Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.18.1 lcov report (development 30359-47f31365a1) Lines: 3904 4151 94.0 %
Date: 2025-06-29 09:21:56 Functions: 361 369 97.8 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
       8             : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       9             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
      10             : 
      11             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      12             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      13             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      14             : 
      15             : /********************************************************************/
      16             : /**                                                                **/
      17             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      18             : /**                                                                **/
      19             : /********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
      24             : 
      25             : #undef coordch
      26             : 
      27             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      28             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      29             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      30             : */
      31             : 
      32             : static ulong
      33     1529353 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      34     1529353 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      35             : static ulong
      36     1450033 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
      37     1450033 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
      38             : static void
      39     1449385 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      40             : {
      41     1449385 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      42     1449385 :   *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
      43     1449385 : }
      44             : static GEN
      45     2592293 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      46     2592293 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      47             : static void
      48     2592292 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      49             : {
      50     2592292 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      51     2592321 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      52     2592092 : }
      53             : static GEN
      54       93474 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      55       93474 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      56             : static void
      57       93468 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      58             : {
      59       93468 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      60       93462 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      61       93463 : }
      62             : static void
      63     2592149 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      64             : {
      65     2592149 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      66     2592143 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      67     2592143 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68     2591938 : }
      69             : static void
      70     1449385 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      71             : {
      72     1449385 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      73     1449385 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      74     1449385 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      75     1449385 : }
      76             : 
      77             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      78             : static GEN
      79      150821 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      80             : {
      81      150821 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      82      150821 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      83      150821 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      84      150821 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      85             : }
      86             : static GEN
      87       91290 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      88             : {
      89       91290 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      90       91290 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      91       91290 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      92       91290 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      93             : }
      94             : 
      95             : static GEN
      96      150820 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      97             : {
      98             :   GEN A4, A6;
      99      150820 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
     100      150821 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
     101             : }
     102             : GEN
     103           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
     104             : {
     105           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
     106           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     107           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     108             : }
     109             : GEN
     110       64236 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     111             : {
     112       64236 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     113       64236 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     114       64236 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     115             : }
     116             : 
     117             : /* shallow basistoalg; true nf */
     118             : static GEN
     119     2127139 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     120             : {
     121     2127139 :   switch(typ(x))
     122             :   {
     123     1924244 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     124        1652 :     case t_POL: if (varn(x) != nf_get_varn(nf)) return x; /*hope for the best*/
     125             :   }
     126      202853 :   return basistoalg(nf, x);
     127             : }
     128             : static GEN
     129     1352519 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x) { pari_APPLY_same(nftoalg(nf,gel(x,i))); }
     130             : static GEN
     131      156926 : ellchangetoalg(GEN nf, GEN w)
     132             : {
     133      156926 :   if (isint1(w)) return gen_1;
     134      156926 :   return nfVtoalg(nf, w);
     135             : }
     136             : 
     137             : static int
     138     1571683 : isptcoord(GEN x)
     139             : {
     140     1571683 :   switch(typ(x))
     141             :   {
     142     1571494 :     case t_INT:
     143             :     case t_REAL:
     144             :     case t_INTMOD:
     145             :     case t_FRAC:
     146             :     case t_FFELT:
     147             :     case t_COMPLEX:
     148             :     case t_PADIC:
     149             :     case t_QUAD:
     150             :     case t_POLMOD:
     151             :     case t_POL:
     152             :     case t_SER:
     153             :     case t_RFRAC:
     154     1571494 :     case t_COL: return 1; /* t_COL: nf elt */
     155             :   }
     156         189 :   return 0;
     157             : }
     158             : 
     159             : /* typ(z) == t_VEC. Is it (probably) a point ? */
     160             : static int
     161      793650 : vecispt(GEN z)
     162             : {
     163      793650 :   switch(lg(z))
     164             :   {
     165        6916 :     case 2: return isintzero(gel(z,1));
     166      785929 :     case 3: return isptcoord(gel(z,1)) && isptcoord(gel(z,2));
     167         805 :     default: return 0;
     168             :   }
     169             : }
     170             : int
     171      601541 : checkellpt_i(GEN z)
     172      601541 : { return typ(z) == t_VEC && vecispt(z); }
     173             : void
     174           0 : checkellpt(GEN z)
     175           0 : { if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("checkellpt", z); }
     176             : void
     177      228788 : checkell5(GEN E)
     178             : {
     179      228788 :   long l = lg(E);
     180      228788 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     181      228788 : }
     182             : void
     183     4408831 : checkell(GEN E)
     184     4408831 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     185             : void
     186        3528 : checkellisog(GEN v)
     187        3528 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     188             : 
     189             : void
     190        8239 : checkell_Q(GEN E)
     191             : {
     192        8239 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     193           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     194        8232 : }
     195             : 
     196             : void
     197           0 : checkell_Qp(GEN E)
     198             : {
     199           0 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     200           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     201           0 : }
     202             : 
     203             : static int
     204      505098 : ell_over_Fq(GEN E)
     205             : {
     206      505098 :   long t = ell_get_type(E);
     207      505098 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     208             : }
     209             : 
     210             : void
     211      253918 : checkell_Fq(GEN E)
     212             : {
     213      253918 :   if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     214      253911 : }
     215             : 
     216             : GEN
     217      385780 : ellff_get_p(GEN E)
     218             : {
     219      385780 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     220      385780 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     221             : }
     222             : 
     223             : int
     224       52753 : ell_is_integral(GEN E)
     225             : {
     226       52753 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     227       52711 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     228       52690 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     229       52690 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     230      105464 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     231             : }
     232             : 
     233             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     234             : GEN
     235      247495 : ec_bmodel(GEN e, long v)
     236             : {
     237      247495 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     238      247495 :   GEN P = mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     239      247495 :   setvarn(P, v); return P;
     240             : }
     241             : 
     242             : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
     243             : GEN
     244         105 : ec_phi2(GEN e, long v)
     245             : {
     246         105 :   GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
     247         105 :   GEN P = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
     248         105 :   setvarn(P, v); return P;
     249             : }
     250             : 
     251             : static int
     252      236475 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     253             : 
     254             : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
     255             : static GEN
     256      231360 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
     257             : {
     258      231360 :   GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e,0), prec);
     259      231360 :   long s = ellR_get_sign(e);
     260      231360 :   if (s > 0)
     261             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     262       78825 :     R = real_i(R);
     263       78825 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     264       78825 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     265       78825 :     d3 = subrr(e1,e2);
     266       78825 :     d1 = subrr(e2,e3);
     267       78825 :     d2 = subrr(e1,e3);
     268       78825 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
     269             :   } else {
     270      152535 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     271      152535 :     if (s < 0)
     272             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     273       90213 :       e1 = real_i(e1);
     274       90213 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     275       90213 :       d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
     276             :     }
     277             :     else
     278       62322 :       d1 = gsub(e2,e3);
     279      152535 :     d3 = gsub(e1,e2);
     280      152535 :     d2 = gsub(e1,e3);
     281      152535 :     if (precision(d1) < prec0
     282      152522 :         || precision(d2) < prec0
     283      152535 :         || precision(d3) < prec0) return NULL;
     284             :   }
     285      231322 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     286             : }
     287             : static GEN
     288      169953 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     289             : {
     290             :   long p;
     291      169991 :   for (p = prec0;; p = precdbl(p))
     292          38 :   {
     293      169991 :     GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
     294      169991 :     if (v) return v;
     295          38 :     if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
     296             :   }
     297             : }
     298             : static GEN
     299       83056 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     300             : 
     301             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     302             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     303             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     304             : GEN
     305      783670 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     306             : {
     307      783670 :   pari_sp av = avma;
     308             :   GEN z;
     309      783670 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     310      783670 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     311      783670 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     312      783670 :   return gc_upto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     313             : }
     314             : 
     315             : /* a1 x + a3 */
     316             : GEN
     317     1166134 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     318             : {
     319     1166134 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     320     1166134 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     321     1166134 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     322             : }
     323             : static GEN
     324      565817 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     325             : {
     326      565817 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     327      565817 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     328      565817 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     329             : }
     330             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     331             : static GEN
     332      129779 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     333             : {
     334      129779 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     335      129779 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     336             : }
     337             : 
     338             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     339             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     340             :  * which is the derivative of the curve equation
     341             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     342             :  * wrt x evaluated at Q */
     343             : GEN
     344      134996 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     345             : {
     346      134996 :   pari_sp av = avma;
     347      134996 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     348      134996 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     349      134996 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     350      134996 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     351      134996 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     352      134996 :   return gc_upto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     353             : }
     354             : 
     355             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     356             : GEN
     357      248440 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     358             : {
     359      248440 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     360      248440 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     361             : }
     362             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     363             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     364             :  * which is the derivative of the curve equation
     365             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     366             :  * wrt y evaluated at Q */
     367             : GEN
     368         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     369             : {
     370         532 :   pari_sp av = avma;
     371         532 :   return gc_upto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     372             : }
     373             : 
     374             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     375             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     376             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     377             : GEN
     378       29715 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     379             : {
     380       29715 :   pari_sp av = avma;
     381       29715 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
     382       29715 :   GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
     383       29715 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     384       29715 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF && typ(x)==t_COL)
     385           0 :   {
     386           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E);
     387           0 :     t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
     388           0 :     t2 = nfadd(nf, t1, b42);
     389           0 :     t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
     390           0 :     t2 = nftoalg(nf, t2);
     391             :   }
     392             :   else
     393             :   {
     394       29715 :     t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
     395       29715 :     t2 = gadd(t1, b42);
     396       29715 :     t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
     397             :   }
     398       29715 :   return gc_upto(av, t2);
     399             : }
     400             : 
     401             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     402             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     403             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     404             : GEN
     405       64856 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     406             : {
     407       64856 :   pari_sp av = avma;
     408       64856 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     409       64856 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     410       64856 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     411       64856 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     412       64856 :   GEN x2 = gsqr(x);
     413       64856 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     414       64856 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     415       64856 :   return gc_upto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     416             : }
     417             : 
     418             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     419             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     420             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     421             : GEN
     422         812 : ec_half_deriv_2divpol(GEN E, long v)
     423         812 : { return deg2pol_shallow(utoi(6), ell_get_b2(E), ell_get_b4(E), v); }
     424             : 
     425             : GEN
     426         707 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     427             : {
     428         707 :   pari_sp av = avma;
     429         707 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     430         707 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     431         707 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     432         707 :   return gc_upto(av, res);
     433             : }
     434             : 
     435             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     436             : GEN
     437        9149 : ellbasechar(GEN E)
     438             : {
     439        9149 :   pari_sp av = avma;
     440        9149 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     441        9149 :   return gc_INT(av, characteristic(D));
     442             : }
     443             : 
     444             : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
     445             :  * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
     446             :  * Also allocate room for n dynamic members. */
     447             : static GEN
     448      194550 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
     449             : {
     450      194550 :   GEN y = obj_init(15, n);
     451      194550 :   gel(y,1) = gen_0;
     452      194550 :   gel(y,2) = gen_0;
     453      194550 :   gel(y,3) = gen_0;
     454      194550 :   gel(y,4) = a4;
     455      194550 :   gel(y,5) = a6;
     456      194550 :   gel(y,6) = gen_0;
     457      194550 :   gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
     458      194550 :   gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
     459      194550 :   gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
     460      194550 :   gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
     461      194550 :   gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
     462      194550 :   gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     463      194550 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     464             : }
     465             : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
     466             : static GEN
     467      945044 : initsmall5(GEN x, long n)
     468             : {
     469      945044 :   GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
     470      945044 :   GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
     471             :   GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
     472      945044 :   if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
     473      795721 :   a11= gsqr(a1);
     474      795721 :   b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     475      795721 :   a13= gmul(a1, a3);
     476      795721 :   b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     477      795721 :   a33= gsqr(a3);
     478      795721 :   b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     479      795721 :   b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     480      795721 :   b22= gsqr(b2);
     481      795721 :   c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     482      795721 :   c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     483      795721 :   D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     484             :             gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     485      795721 :   y = obj_init(15, n);
     486      795721 :   gel(y,1) = a1;
     487      795721 :   gel(y,2) = a2;
     488      795721 :   gel(y,3) = a3;
     489      795721 :   gel(y,4) = a4;
     490      795721 :   gel(y,5) = a6;
     491      795721 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     492      795721 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     493      795721 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     494      795721 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     495      795721 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     496      795721 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     497      795721 :   gel(y,12)= D;
     498      795721 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     499             : }
     500             : 
     501             : static GEN
     502      982207 : get_j(GEN c4, GEN D)
     503             : {
     504             :   GEN g, d, c;
     505      982207 :   if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
     506      981864 :     return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     507             :   /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     508         343 :   g = RgX_gcd(D, c4);
     509         343 :   if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     510          42 :   c = RgX_div(c4, g);
     511          42 :   D = RgX_div(D, g);
     512          42 :   g = RgX_gcd(D,c4);
     513          42 :   if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     514          35 :   D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
     515          35 :   g = RgX_gcd(D,c4);
     516          35 :   if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
     517          35 :   return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     518             : }
     519             : 
     520             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     521             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     522             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     523             :  * component y[16])*/
     524             : static GEN
     525      990250 : initsmall(GEN x, long n)
     526             : {
     527             :   GEN y, D;
     528             : 
     529      990250 :   switch(lg(x))
     530             :   {
     531         490 :     case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
     532       45227 :     case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
     533      944533 :     case 6:
     534      944533 :     case 17: y = initsmall5(x, n); break;
     535           0 :     default:
     536           0 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     537             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     538             :   }
     539      990250 :   D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
     540      982207 :   gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
     541             : }
     542             : void
     543           0 : ellprint(GEN e)
     544             : {
     545           0 :   pari_sp av = avma;
     546             :   long vx, vy;
     547             :   GEN z;
     548           0 :   checkell5(e);
     549           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     550           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     551           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     552           0 :   (void)delete_var();
     553           0 :   (void)delete_var(); set_avma(av);
     554           0 : }
     555             : 
     556             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     557             : static GEN
     558       58842 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     559             : {
     560       58842 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     561       58842 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     562             : 
     563       58842 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     564       58842 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     565       26733 :     b = mulrr(d3,d2);
     566             :   else
     567       32109 :     b = cxnorm(d3);
     568       58842 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     569       58842 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     570       58842 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     571       58842 :   return mkvec2(a, b);
     572             : }
     573             : GEN
     574       83056 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     575       83056 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     576             : 
     577             : /* q a t_REAL*/
     578             : static long
     579          84 : real_prec(GEN q)
     580          84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     581             : /* q a t_PADIC */
     582             : static long
     583         238 : padic_prec(GEN q)
     584         238 : { return signe(padic_u(q))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     585             : 
     586             : /* check whether moduli are consistent */
     587             : static void
     588       99690 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     589       99690 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     590             : 
     591             : static int
     592      213367 : fix_nftype(GEN *pp)
     593             : {
     594      213367 :   switch(nftyp(*pp))
     595             :   {
     596      213367 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     597           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     598           0 :     default: return 0;
     599             :   }
     600      213367 :   return 1;
     601             : }
     602             : static long
     603      994667 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     604             : {
     605      994667 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     606      994667 :   GEN p = NULL, pol = NULL;
     607      994667 :   long t = t_FRAC;
     608      994667 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     609             :   {
     610      509600 :     case t_INT:
     611      509600 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     612        2121 :       p = *pp;
     613        2121 :       t = t_INTMOD;
     614        2121 :       break;
     615         665 :     case t_INTMOD:
     616         665 :       p = gel(*pp, 1);
     617         665 :       break;
     618          28 :     case t_REAL:
     619          28 :       e = real_prec(*pp);
     620          28 :       p = NULL;
     621          28 :       break;
     622         217 :     case t_PADIC:
     623         217 :       ep = padic_prec(*pp);
     624         217 :       p = padic_p(*pp);
     625         217 :       break;
     626        1820 :     case t_FFELT:
     627        1820 :       p = *pp;
     628        1820 :       break;
     629      213367 :     case t_VEC:
     630      213367 :       t = t_VEC; p = *pp;
     631      213367 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     632             :     default:
     633           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     634           0 :       return 0;
     635             :   }
     636      994660 :   if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
     637             :   /* Possible cases:
     638             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     639             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     640             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     641             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     642             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     643             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     644     5683599 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     645             :   {
     646     4695120 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     647     4695120 :     switch(typ(q)) {
     648          42 :       case t_PADIC:
     649          42 :         p2 = padic_p(q);
     650             :         switch(t)
     651             :         {
     652          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     653           7 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     654          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     655             :         }
     656          21 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     657          21 :         break;
     658      124651 :       case t_INTMOD:
     659      124651 :         p2 = gel(q,1);
     660             :         switch(t)
     661             :         {
     662       24982 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     663          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     664       99606 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     665          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     666             :         }
     667      124637 :         break;
     668      168577 :       case t_FFELT:
     669             :         switch(t)
     670             :         {
     671          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     672       85382 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     673       83188 :           case t_FFELT:
     674       83188 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     675       83188 :             break;
     676           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     677             :         }
     678      168570 :         break;
     679             : 
     680     4074152 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     681          56 :       case t_REAL:
     682             :         switch(t)
     683             :         {
     684          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     685          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     686           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     687             :         }
     688          56 :         break;
     689      326368 :       case t_POLMOD:
     690      326368 :         if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
     691           7 :           pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
     692             :       case t_COL:
     693             :       case t_POL:
     694      327621 :         if (t == t_VEC) break;
     695             :       default: /* base ring too general */
     696        6132 :         return t_COMPLEX;
     697             :     }
     698             :   }
     699      988479 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     700             : }
     701             : 
     702             : /* s = 0 complex, else real;
     703             :  * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
     704             : static GEN
     705       67529 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
     706             : {
     707             :   GEN y;
     708       67529 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     709             :   {
     710           7 :     case t_ELL_Rg:
     711           7 :     case t_ELL_Q: break;
     712           7 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     713             :   }
     714       67522 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     715       67522 :   if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
     716       67522 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     717       67522 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
     718       67522 :   return y;
     719             : }
     720             : 
     721             : static GEN
     722         203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     723             : {
     724             :   GEN y;
     725         203 :   if (lg(x) > 6)
     726             :   {
     727          28 :     switch(ell_get_type(x))
     728             :     { /* sanity checks */
     729          21 :       case t_ELL_Q: break;
     730           7 :       case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
     731           0 :       default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     732             :     }
     733          21 :     x = vecslice(x,1,5);
     734             :   }
     735         196 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     736         196 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     737         196 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     738         196 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic_shallow(p, prec));
     739         196 :   return y;
     740             : }
     741             : 
     742             : static GEN
     743      569366 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     744             : {
     745             :   GEN y;
     746             :   long s;
     747      569366 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     748      569233 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     749      569233 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     750      569233 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
     751      569233 :   return y;
     752             : }
     753             : 
     754             : static GEN
     755       73437 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     756             : {
     757             :   GEN y, nf;
     758       73437 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     759       73437 :   nf = checknf(p);
     760       73437 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     761       73437 :   if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
     762       73437 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     763       73437 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     764       73437 :   return y;
     765             : }
     766             : 
     767             : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
     768             : static GEN
     769      120998 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
     770             : {
     771      120998 :   x = FF_ellinit(x,fg);
     772      120998 :   return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
     773             : }
     774             : 
     775             : static GEN
     776     1960670 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
     777             : static GEN
     778      165241 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     779             : {
     780             :   long i;
     781             :   GEN y, disc;
     782      165241 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     783             :   {
     784        2429 :     case t_ELL_Q: break;
     785           0 :     case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
     786           7 :     case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
     787           0 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     788             :   }
     789      165234 :   if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
     790      165234 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     791             :   /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     792      160292 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
     793      150821 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     794      150821 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     795     2111386 :   for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
     796      150814 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     797      150813 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     798      150814 :   return y;
     799             : }
     800             : 
     801             : static GEN
     802      114495 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     803             : {
     804             :   GEN y;
     805      114495 :   if (lg(x) == 2)
     806             :   {
     807       33418 :     GEN j = gel(x,1);
     808       33418 :     if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
     809       33418 :     x = ellfromj(j);
     810             :   }
     811      114495 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     812      111527 :   return FF_ellinit_ns(y,fg);
     813             : }
     814             : 
     815             : static GEN
     816      137753 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     817             : {
     818      137753 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     819             :   GEN p, modP;
     820      137753 :   if (get_modpr(P))
     821             :   { /* modpr accept */
     822      108731 :     modP = P;
     823      108731 :     p = modpr_get_p(modP);
     824             :   }
     825             :   else
     826             :   { /* pr, initialize modpr */
     827       29022 :     GEN d = Q_denom(e);
     828       29022 :     p = pr_get_p(P);
     829       29022 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     830             :   }
     831      137753 :   *pp = p;
     832      137753 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     833      137753 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     834             : }
     835             : static GEN
     836      137732 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     837             : {
     838             :   GEN T,p;
     839      137732 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     840      137732 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     841             : }
     842             : 
     843             : static GEN
     844      900643 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
     845             : {
     846             :   GEN y;
     847             : 
     848      900643 :   switch(typ(x))
     849             :   {
     850           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     851      900636 :     case t_VEC:
     852      900636 :       switch(lg(x))
     853             :       {
     854      900629 :         case 2: case 3: case 6: case 17: break;
     855           7 :         default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
     856             :       }
     857      900629 :       break;
     858           0 :     default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
     859             :   }
     860      900636 :   if (D && get_prid(D))
     861             :   {
     862      137249 :     if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     863      137249 :     return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     864             :   }
     865      763387 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     866             :   {
     867         203 :   case t_PADIC:
     868         203 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     869         196 :     break;
     870       27740 :   case t_INTMOD:
     871       27740 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     872       27733 :     break;
     873       87076 :   case t_FFELT:
     874       87076 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     875       87076 :     break;
     876      569366 :   case t_FRAC:
     877      569366 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     878      569366 :     break;
     879          28 :   case t_REAL:
     880          28 :     y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
     881          21 :     break;
     882       72786 :   case t_VEC:
     883       72786 :     y = ellinit_nf(x, D);
     884       72786 :     break;
     885        6132 :   default:
     886        6132 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     887             :   }
     888      763310 :   return y;
     889             : }
     890             : GEN
     891      899614 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     892             : {
     893      899614 :   pari_sp av = avma;
     894      899614 :   GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
     895      899530 :   if (!y) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
     896      891473 :   return gc_GEN(av,y);
     897             : }
     898             : 
     899             : /********************************************************************/
     900             : /**                                                                **/
     901             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     902             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     903             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     904             : /**  verbatim                                                      **/
     905             : /**                                                                **/
     906             : /********************************************************************/
     907             : /* [1,0,0,0] */
     908             : static GEN
     909     2694013 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     910             : /* if fun != NULL, check whether w is a valid change of variables
     911             :  * (raise type exception in 'fun' if not). Otherwise assume valid.
     912             :  * Return 1 if trivial change, 0 otherwise */
     913             : static int
     914      902028 : is_trivial_change(GEN w, const char *fun)
     915             : {
     916      902028 :   if (fun)
     917             :   {
     918      376538 :     if (isint1(w)) return 1;
     919      376531 :     if (typ(w) != t_VEC || lg(w) != 5) pari_err_TYPE(fun, w);
     920             :   }
     921             :   else
     922      525490 :     if (typ(w) == t_INT) return 1;
     923     1450849 :   return isint1(gel(w,1)) && isintzero(gel(w,2))
     924     1450849 :                           && isintzero(gel(w,3)) && isintzero(gel(w,4));
     925             : }
     926             : 
     927             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     928             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     929             : static void
     930       15743 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     931             : {
     932       15743 :   GEN v = *vtotal;
     933             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     934             : 
     935       15743 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     936       15715 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     937       15715 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     938       15715 :   U2 = NULL;
     939       15715 :   if (!gequal0(r))
     940             :   {
     941             :     GEN rU2;
     942       14441 :     U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
     943       14441 :     R = gadd(R, rU2);
     944       14441 :     T = gadd(T, gmul(S, rU2));
     945             :   }
     946       15715 :   if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
     947       15715 :   if (!gequal0(t))
     948             :   {
     949        8939 :     if (!U2) U2 = gsqr(U);
     950        8939 :     T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
     951             :   }
     952       15715 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     953       15715 :   gel(v,2) = R;
     954       15715 :   gel(v,3) = S;
     955       15715 :   gel(v,4) = T;
     956             : }
     957             : 
     958             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     959             : static GEN
     960          49 : ellchangeinvert_i(GEN w)
     961             : {
     962          49 :   GEN u = gel(w,1), r = gel(w,2), s = gel(w,3), t = gel(w,4);
     963          49 :   GEN u2 = gsqr(u), u3 = gmul(u2,u);
     964          49 :   GEN R = gneg(r), S = gneg(s);
     965          49 :   GEN T = gsub(gmul(r,s), t);
     966          49 :   retmkvec4(ginv(u),gdiv(R, u2), gdiv(S, u), gdiv(T, u3));
     967             : }
     968             : 
     969             : GEN
     970          14 : ellchangeinvert(GEN E, GEN v)
     971             : {
     972          14 :   pari_sp av = avma;
     973          14 :   checkell(E);
     974          14 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF) v = ellchangetoalg(ellnf_get_nf(E), v);
     975          14 :   if (is_trivial_change(v, "ellchangeinvert")) return gc_const(av, gen_1);
     976          14 :   return gc_upto(av, ellchangeinvert_i(v));
     977             : }
     978             : 
     979             : static GEN
     980          14 : ellchangecompose_i(GEN v, GEN w)
     981             : {
     982          14 :   GEN u = gel(v,1), r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
     983          14 :   GEN uu = gel(w,1), rr = gel(w,2), ss = gel(w,3), tt = gel(w,4);
     984          14 :   GEN u2 = gsqr(u), u3 = gmul(u, u2);
     985          14 :   GEN R = gmul(rr,u2), S = gmul(ss,u);
     986          14 :   GEN T = gadd(gmul(tt,u3), gmul(s,R));
     987          14 :   retmkvec4(gmul(u,uu),gadd(r,R),gadd(s,S),gadd(t,T));
     988             : }
     989             : 
     990             : GEN
     991          14 : ellchangecompose(GEN E, GEN v, GEN w)
     992             : {
     993          14 :   pari_sp av = avma;
     994          14 :   GEN nf = NULL;
     995          14 :   checkell(E);
     996          14 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
     997             :   {
     998           7 :     nf = ellnf_get_nf(E);
     999           7 :     v = ellchangetoalg(nf, v);
    1000           7 :     w = ellchangetoalg(nf, w);
    1001             :   }
    1002          14 :   if (is_trivial_change(v, "ellchangecompose"))
    1003             :   {
    1004           0 :     if (is_trivial_change(w, "ellchangecompose")) return gc_const(av, gen_1);
    1005           0 :     return nf? gc_GEN(av, w): gcopy(w);
    1006             :   }
    1007          14 :   if (is_trivial_change(w, "ellchajgecompose"))
    1008           0 :     return nf? gc_GEN(av, v): gcopy(v);
    1009          14 :   return gc_upto(av, ellchangecompose_i(v, w));
    1010             : }
    1011             : 
    1012             : static GEN
    1013      181986 : ell_to_nfell10(GEN e)
    1014             : {
    1015             :   long i;
    1016      181986 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1017      181986 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
    1018     2001846 :   for(i=1; i<=10; i++)
    1019     1819860 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
    1020      181986 :   return y;
    1021             : }
    1022             : 
    1023             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1024             : static GEN
    1025      444206 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
    1026             : {
    1027             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
    1028             :   long lx;
    1029      444206 :   if (gequal1(u)) return e;
    1030      443737 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1031      443737 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
    1032      443737 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
    1033      443737 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
    1034      443737 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
    1035      443737 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
    1036      443737 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
    1037      443737 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
    1038      443737 :   if (lx == 6) return y;
    1039      443723 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
    1040      443723 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
    1041      443723 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
    1042      443723 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
    1043      443723 :   return y;
    1044             : }
    1045             : /* apply [1,r,0,0] */
    1046             : static GEN
    1047      500026 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
    1048             : {
    1049             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1050             :   long lx;
    1051      500026 :   if (gequal0(r)) return e;
    1052      420658 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1053      420658 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
    1054      420658 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1055             : 
    1056      420658 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
    1057             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1058      420658 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
    1059             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1060      420658 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
    1061             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1062      420658 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
    1063             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1064      420658 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
    1065      420658 :   if (lx == 6) return y;
    1066             : 
    1067      420644 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1068      420644 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1069             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1070      420644 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1071      420644 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
    1072      420644 :   r2 = nfsqr(nf,r);
    1073             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1074      420644 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
    1075             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1076      420644 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1077             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1078      420644 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
    1079      420644 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
    1080      420644 :   return y;
    1081             : }
    1082             : 
    1083             : static GEN
    1084      184658 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
    1085             : {
    1086             :   GEN a1, y;
    1087      184658 :   if (gequal0(s)) return e;
    1088      184658 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1089      184658 :   y = leafcopy(e);
    1090             : 
    1091             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1092      184658 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1093             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1094      184658 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1095             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1096      184658 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
    1097      184658 :   return y;
    1098             : }
    1099             : /* apply [1,0,0,t] */
    1100             : static GEN
    1101      407583 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
    1102             : {
    1103             :   GEN a1, a3, y;
    1104      407583 :   if (gequal0(t)) return e;
    1105      407100 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1106      407100 :   y = leafcopy(e);
    1107             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1108      407100 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
    1109             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1110      407100 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
    1111             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1112      407100 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1113      407100 :   return y;
    1114             : }
    1115             : 
    1116             : /* apply [1,0,s,t] */
    1117             : static GEN
    1118       19406 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1119             : {
    1120             :   GEN y, a1, a3;
    1121       19406 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1122       18923 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1123       18923 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1124       18923 :   y = leafcopy(e);
    1125             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1126       18923 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1127             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1128       18923 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1129             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1130       18923 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1131             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1132       18923 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1133             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1134       18923 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1135       18923 :   return y;
    1136             : }
    1137             : 
    1138             : static GEN
    1139      301564 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1140             : {
    1141      301564 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1142      301564 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1143             : }
    1144             : 
    1145             : /* apply [1,r,s,t] */
    1146             : static GEN
    1147         483 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1148             : {
    1149         483 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1150         483 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1151             : }
    1152             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1153             : static GEN
    1154         483 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1155             : {
    1156         483 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1157         483 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1158         483 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1159             : }
    1160             : 
    1161             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1162             : static GEN
    1163      229656 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1164             : {
    1165             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1166             :   long lx;
    1167      229656 :   if (gequal1(u)) return e;
    1168      224448 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1169      224448 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1170      224448 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1171      224448 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1172      224448 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1173      224448 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1174      224448 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1175      224448 :   if (lx == 6) return y;
    1176      224448 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1177      224448 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1178      224448 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1179      224448 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1180      224448 :   u12 = gsqr(u6);
    1181      224448 :   D = ell_get_disc(e);
    1182      224448 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1183      224448 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1184      224448 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1185      224448 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1186      224448 :   D = gmul(D, u12);
    1187      224448 :   gel(y,10)= c4;
    1188      224448 :   gel(y,11)= c6;
    1189      224448 :   gel(y,12)= D;
    1190      224448 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1191      224448 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1192      224448 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1193      224448 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1194      224448 :   return y;
    1195             : }
    1196             : /* apply [1,r,0,0] */
    1197             : static GEN
    1198      753872 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1199             : {
    1200             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1201      753872 :   if (gequal0(r)) return e;
    1202      650839 :   y = leafcopy(e);
    1203      650839 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1204      650839 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1205             : 
    1206             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1207      650839 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1208             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1209      650839 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1210             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1211      650839 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1212             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1213      650839 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1214      650839 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1215             : 
    1216      650832 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1217      650832 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1218             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1219      650832 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1220      650832 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1221      650832 :   r2 = gsqr(r);
    1222             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1223      650832 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1224             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1225      650832 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1226             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1227      650832 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1228      650832 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1229      650832 :   return y;
    1230             : }
    1231             : /* apply [1,0,s,0] */
    1232             : static GEN
    1233      119392 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1234             : {
    1235             :   GEN a1, y;
    1236      119392 :   if (gequal0(s)) return e;
    1237      119392 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1238      119392 :   y = leafcopy(e);
    1239             : 
    1240             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1241      119392 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1242             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1243      119392 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1244             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1245      119392 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1246      119392 :   return y;
    1247             : }
    1248             : /* apply [1,0,0,t] */
    1249             : static GEN
    1250      353486 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1251             : {
    1252             :   GEN a1, a3, y;
    1253      353486 :   if (gequal0(t)) return e;
    1254      281008 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1255      281008 :   y = leafcopy(e);
    1256             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1257      281008 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1258             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1259      281008 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1260             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1261      281008 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1262      281008 :   return y;
    1263             : }
    1264             : /* apply [1,0,s,t] */
    1265             : static GEN
    1266      489447 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1267             : {
    1268             :   GEN y, a1, a3;
    1269      489447 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1270      380338 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1271      260946 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1272      260946 :   y = leafcopy(e);
    1273             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1274      260946 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1275             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1276      260946 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1277             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1278      260946 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1279             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1280      260946 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1281             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1282      260946 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1283      260946 :   return y;
    1284             : }
    1285             : /* apply [1,r,s,t] */
    1286             : static GEN
    1287      489447 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1288             : {
    1289      489447 :   e = coordch_r(e, r);
    1290      489447 :   return coordch_st(e, s, t);
    1291             : }
    1292             : /* apply valid change of variable w */
    1293             : static GEN
    1294      213157 : coordch(GEN e, GEN w)
    1295             : {
    1296      213157 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1297      213157 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1298      213157 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1299             : }
    1300             : 
    1301             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1302             :  * (dynamic data) */
    1303             : static GEN
    1304          21 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1305             : {
    1306          21 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1307          21 :   long prec = valp(p);
    1308          21 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1309          21 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1310             :   {
    1311           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1312           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1313             :   }
    1314          21 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1315             :   {
    1316           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1317           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1318           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1319           7 :     U = gmul(U, u);
    1320           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1321           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1322             :   }
    1323          21 :   return E;
    1324             : }
    1325             : 
    1326             : /* common to Q and Rg */
    1327             : static GEN
    1328       90552 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1329             : {
    1330       90552 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1331       90552 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1332          28 :     obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1333       90552 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1334          21 :     obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1335       90552 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1336             :   {
    1337          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1338             :     long i;
    1339         112 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1340          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
    1341             :   }
    1342       90552 :   return E;
    1343             : }
    1344             : 
    1345             : static GEN
    1346           7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1347             : {
    1348           7 :   GEN p = NULL;
    1349           7 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1350           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1351           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1352             : }
    1353             : 
    1354             : /* w valid change of variables in alg form */
    1355             : static GEN
    1356      140574 : ch_NF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1357             : {
    1358      140574 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1359      140574 :   GEN S, p = ellnf_get_nf(E);
    1360      140574 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_VEC) return ellinit(E, p, prec);
    1361      140574 :   if ((S = obj_check(e, NF_MINIMALMODEL)))
    1362             :   {
    1363          14 :     if (lg(S) == 1)
    1364             :     { /* model was minimal */
    1365           0 :       if (!is_trivial_change(w, NULL)) /* no longer minimal */
    1366           0 :         S = mkvec2(ellchangeinvert_i(w), e);
    1367             :     }
    1368          14 :     else if (lg(S)==3)
    1369             :     {
    1370          14 :       GEN v = gel(S,1);
    1371          28 :       if (gequal(v, w) ||
    1372          14 :           (is_trivial_change(v, NULL) && is_trivial_change(w, NULL)))
    1373           0 :         S = cgetg(1,t_VEC); /* now minimal */
    1374             :       else
    1375             :       {
    1376          14 :         w = ellchangeinvert_i(w);
    1377          14 :         gcomposev(&w, v);
    1378          14 :         S = mkvec2(w, gel(S,2));
    1379             :       }
    1380             :     }
    1381          14 :     (void)obj_insert_shallow(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    1382             :   }
    1383      140574 :   if ((S = obj_check(e, NF_GLOBALRED)))
    1384          14 :     S = obj_insert_shallow(E, NF_GLOBALRED, S);
    1385      140574 :   if ((S = obj_check(e, NF_ROOTNO)))
    1386          14 :     S = obj_insert_shallow(E, NF_ROOTNO, S);
    1387      140574 :   if ((S = obj_check(e, NF_NF)))
    1388       68957 :     S = obj_insert_shallow(E, NF_NF, S);
    1389      140574 :   return E;
    1390             : }
    1391             : 
    1392             : /* w valid change of variable */
    1393             : static GEN
    1394       90552 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1395             : {
    1396       90552 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1397       90552 :   GEN S, p = NULL;
    1398       90552 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1399       90545 :   ch_R(E, e, w);
    1400       90545 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1401           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1402       90545 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1403             :   {
    1404       18865 :     if (lg(S) == 2)
    1405             :     { /* model was minimal */
    1406           7 :       if (!is_trivial_change(w, NULL)) /* no longer minimal */
    1407           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert_i(w), e);
    1408             :     }
    1409             :     else
    1410             :     {
    1411       18858 :       GEN v = gel(S,2);
    1412       18858 :       if (gequal(v, w)
    1413           7 :           || (is_trivial_change(v, NULL) && is_trivial_change(w, NULL)))
    1414       18851 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1415             :       else
    1416             :       {
    1417           7 :         w = ellchangeinvert_i(w);
    1418           7 :         gcomposev(&w, v);
    1419           7 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1420           7 :         gel(S,2) = w;
    1421             :       }
    1422             :     }
    1423       18865 :     (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1424             :   }
    1425       90545 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1426          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1427       90545 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1428           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1429       90545 :   return E;
    1430             : }
    1431             : 
    1432             : static void
    1433         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1434             : {
    1435             :   GEN S;
    1436         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1437          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1438         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1439          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1440         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1441          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1442         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1443          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1444         126 : }
    1445             : 
    1446             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1447             : static GEN
    1448           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1449             : {
    1450           7 :   long prec = 0;
    1451           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1452           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1453           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1454           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1455             : }
    1456             : static GEN
    1457         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1458             : {
    1459         119 :   long prec = 0;
    1460         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1461         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1462         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1463         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1464             : }
    1465             : 
    1466             : static void
    1467      213402 : ell_reset(GEN E)
    1468      213402 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1469             : 
    1470             : GEN
    1471      228788 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1472             : {
    1473      228788 :   pari_sp av = avma;
    1474      228788 :   GEN E, nf = NULL;
    1475      228788 :   checkell5(e);
    1476      228788 :   if (lg(e) != 6 && ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1477             :   {
    1478      156877 :     nf = ellnf_get_nf(e);
    1479      156877 :     w = ellchangetoalg(nf, w);
    1480             :   }
    1481      228788 :   if (is_trivial_change(w, "ellchangecurve"))
    1482             :   {
    1483       16338 :     set_avma(av);
    1484       16338 :     return gcopy(e);
    1485             :   }
    1486      212443 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1487      212443 :   if (lg(E) != 6)
    1488             :   {
    1489      212436 :     ell_reset(E);
    1490      212436 :     switch(ell_get_type(E))
    1491             :     {
    1492          21 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1493           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1494         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1495       71708 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1496           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1497      140574 :       case t_ELL_NF: E = ch_NF(E,e,w); break;
    1498             :     }
    1499             :   }
    1500      212443 :   return gc_GEN(av, E);
    1501             : }
    1502             : 
    1503             : static GEN
    1504           7 : ellQ_isisom(GEN E, GEN F)
    1505             : {
    1506           7 :   pari_sp av = avma;
    1507             :   GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
    1508             :   GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
    1509           7 :   j = ell_get_j(E);
    1510           7 :   if (!gequal(j, ell_get_j(F))) return gen_0;
    1511           7 :   Ec4  = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
    1512           7 :   Fc4  = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
    1513           7 :   if (gequal0(j))
    1514             :   {
    1515           0 :     if (!ispower(gdiv(Ec6, Fc6), utoi(6), &u))
    1516           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1517           7 :   } else if(gequalgs(j, 1728))
    1518             :   {
    1519           0 :     if (!ispower(gdiv(Ec4, Fc4), utoi(4), &u))
    1520           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1521             :   } else
    1522             :   {
    1523           7 :     if (!issquareall(gdiv(gmul(Fc4, Ec6),gmul(Fc6,Ec4)),&u))
    1524           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1525             :   }
    1526           7 :   Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
    1527           7 :   Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
    1528           7 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1529           7 :   s = gdivgs(gsub(gmul(u, Fa1), Ea1), 2);
    1530           7 :   r = gdivgs(gadd(gsub(gadd(gmul(u2, Fa2), gmul(s, Ea1)), Ea2), gsqr(s)), 3);
    1531           7 :   t = gdivgs(gsub(gsub(gmul(u3, Fa3), gmul(r, Ea1)), Ea3), 2);
    1532           7 :   return gc_GEN(av, mkvec4(u,r,s,t));
    1533             : }
    1534             : 
    1535             : static GEN
    1536           7 : ellnf_isisom(GEN nf, GEN E, GEN F)
    1537             : {
    1538           7 :   pari_sp av = avma;
    1539             :   GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
    1540             :   GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
    1541           7 :   j = basistoalg(nf, ell_get_j(E));
    1542           7 :   if (!gequal(j, basistoalg(nf, ell_get_j(F))))
    1543           0 :     return gc_const(av, gen_0);
    1544           7 :   Ec4  = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
    1545           7 :   Fc4  = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
    1546           7 :   if (gequal0(j))
    1547             :   {
    1548           0 :     if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec6, Fc6), 6, &u))
    1549           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1550           7 :   } else if(gequalgs(j, 1728))
    1551             :   {
    1552           0 :     if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec4, Fc4), 4, &u))
    1553           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1554             :   } else
    1555             :   {
    1556           7 :     if (!nfissquare(nf, nfdiv(nf, nfmul(nf, Fc4, Ec6), nfmul(nf, Fc6,Ec4)), &u))
    1557           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1558             :   }
    1559           7 :   Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
    1560           7 :   Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
    1561           7 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2);
    1562           7 :   s = gdivgs(nfsub(nf, nfmul(nf, u, Fa1), Ea1),2);
    1563           7 :   r = gdivgs(nfadd(nf, nfsub(nf, nfadd(nf, nfmul(nf, u2, Fa2), nfmul(nf, s, Ea1)), Ea2), nfsqr(nf, s)), 3);
    1564           7 :   t = gdivgs(nfsub(nf, nfsub(nf, nfmul(nf, u3, Fa3), nfmul(nf, r, Ea1)), Ea3), 2);
    1565           7 :   u = basistoalg(nf, u); r = basistoalg(nf, r);
    1566           7 :   s = basistoalg(nf, s); t = basistoalg(nf, t);
    1567           7 :   return gc_GEN(av, mkvec4(u,r,s,t));
    1568             : }
    1569             : 
    1570             : GEN
    1571          14 : ellisisom(GEN E, GEN F)
    1572             : {
    1573          14 :   checkell(E); checkell(F);
    1574          14 :   if (ell_get_type(E)!=ell_get_type(F))
    1575           0 :     pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
    1576          14 :   switch(ell_get_type(E))
    1577             :   {
    1578           7 :     case t_ELL_Q:
    1579           7 :       return ellQ_isisom(E, F);
    1580           7 :     case t_ELL_NF:
    1581           7 :       if (gequal(ellnf_get_nf(E), ellnf_get_nf(F)))
    1582           7 :         return ellnf_isisom(ellnf_get_nf(E), E, F);
    1583             :     default: /*FALL THROUGH*/
    1584           0 :       pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
    1585             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    1586             :   }
    1587             : }
    1588             : 
    1589             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1590             : static void
    1591      479434 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1592             : {
    1593      479434 :   GEN v = *vtotal;
    1594             :   GEN U2, R, S, T;
    1595      479434 :   if (gequal0(r)) return;
    1596      197979 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1597      197979 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1598      197979 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1599      197979 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1600             : }
    1601             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1602             : static void
    1603      184658 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1604             : {
    1605      184658 :   GEN v = *vtotal;
    1606             :   GEN U, S;
    1607      184658 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1608      184658 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1609      184658 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1610      184658 : }
    1611             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1612             : static void
    1613      843276 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1614             : {
    1615      843276 :   GEN v = *vtotal;
    1616             :   GEN U3, U, T;
    1617      843276 :   if (gequal0(t)) return;
    1618      105536 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1619      105536 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1620      105536 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1621             : }
    1622             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1623             : static void
    1624      594209 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1625             : {
    1626      594209 :   GEN v = *vtotal;
    1627             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1628      594209 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1629      301564 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1630      301564 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1631      301564 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1632      301564 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1633      301564 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1634             : }
    1635             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1636             : static void
    1637      496370 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1638             : {
    1639      496370 :   GEN v = *vtotal;
    1640             :   GEN U3, U, S, T;
    1641      496370 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1642      203581 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1643       18923 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1644       18923 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1645       18923 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1646       18923 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1647             : }
    1648             : 
    1649             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1650             : static void
    1651      443723 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1652             : {
    1653      443723 :   GEN v = *vtotal;
    1654      443723 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1655      443723 : }
    1656             : 
    1657             : /* raise a type exception in fun unless x is a point (return 0) or a
    1658             :  * t_VEC/t_COL of points (return 1) */
    1659             : static int
    1660      192193 : checkellpts(GEN x, const char *fun)
    1661             : {
    1662             :   long i, lx;
    1663      192193 :   switch(typ(x))
    1664             :   {
    1665      192158 :     case t_VEC:
    1666      192158 :       if (vecispt(x)) return 0;
    1667        2681 :       break;
    1668           0 :     case t_COL:
    1669           0 :       break;
    1670          35 :     default: pari_err_TYPE(fun, x);
    1671             :   }
    1672        2681 :   lx = lg(x);
    1673        8526 :   for (i = 1; i < lx; i++)
    1674        5887 :     if (!checkellpt_i(gel(x,i))) pari_err_TYPE(fun, x);
    1675        2639 :   return 1;
    1676             : }
    1677             : 
    1678             : /* X = (x-r)/u^2
    1679             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3; P a point */
    1680             : static GEN
    1681      116208 : ellchangept(GEN nf, GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1682             : {
    1683             :   GEN a, x, y;
    1684      116208 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1685      116194 :   if (nf) P = nfVtoalg(nf, P);
    1686      116194 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1687      116194 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1688             : }
    1689             : static GEN
    1690          56 : ellchangevecpt(GEN nf, GEN x, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1691         126 : { pari_APPLY_same(ellchangept(nf, gel(x,i), v2,v3,r,s,t)); }
    1692             : GEN
    1693      147022 : ellchangepoint0(GEN E, GEN x, GEN ch)
    1694             : {
    1695      147022 :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u, nf = NULL;
    1696      147022 :   pari_sp av = avma;
    1697             :   int vec;
    1698             : 
    1699             :   /* backward compatibility */
    1700      147022 :   if (ch) checkell(E); else { ch = x; x = E; E = NULL; }
    1701      147022 :   vec = checkellpts(x, "ellchangepoint");
    1702      146973 :   if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1703      146924 :   if (E && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1704             :   {
    1705          14 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1706          14 :     ch = ellchangetoalg(nf, ch);
    1707             :   }
    1708      146924 :   if (is_trivial_change(ch, "ellchangepoint"))
    1709             :   {
    1710       30723 :     set_avma(av);
    1711       30723 :     return gcopy(x);
    1712             :   }
    1713      116194 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1714      116194 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1715          56 :   y = vec? ellchangevecpt(nf, x,v2,v3,r,s,t)
    1716      116194 :          : ellchangept(nf, x,v2,v3,r,s,t);
    1717      116194 :   return gc_GEN(av,y);
    1718             : }
    1719             : GEN
    1720      132385 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch) { return ellchangepoint0(x, ch, NULL); }
    1721             : 
    1722             : /* x = u^2*X + r
    1723             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t; P a point */
    1724             : static GEN
    1725        3360 : ellchangeptinv(GEN nf, GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1726             : {
    1727             :   GEN a, X, Y;
    1728        3360 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1729        3360 :   if (nf) P = nfVtoalg(nf, P);
    1730        3360 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1731        3360 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1732             : }
    1733             : static GEN
    1734         504 : ellchangevecptinv(GEN nf, GEN x, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1735        3787 : { pari_APPLY_same(ellchangeptinv(nf, gel(x,i), v2,v3,r,s,t));}
    1736             : GEN
    1737        1043 : ellchangepointinv0(GEN E, GEN x, GEN ch)
    1738             : {
    1739        1043 :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3, nf = NULL;
    1740        1043 :   pari_sp av = avma;
    1741             :   int vec;
    1742             : 
    1743             :   /* backward compatibility */
    1744        1043 :   if (ch) checkell(E); else { ch = x; x = E; E = NULL; }
    1745        1043 :   vec = checkellpts(x, "ellchangepointinv");
    1746        1015 :   if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1747         784 :   if (E && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1748             :   {
    1749          14 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1750          14 :     ch = ellchangetoalg(nf, ch);
    1751             :   }
    1752         784 :   if (is_trivial_change(ch, "ellchangepointinv"))
    1753             :   {
    1754         196 :     set_avma(av);
    1755         196 :     return gcopy(x);
    1756             :   }
    1757         581 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1758         581 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1759         504 :   y = vec? ellchangevecptinv(nf,x,u2,u3,r,s,t)
    1760         581 :          : ellchangeptinv(nf,x,u2,u3,r,s,t);
    1761         581 :   return gc_GEN(av,y);
    1762             : }
    1763             : GEN
    1764         980 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch) { return ellchangepointinv0(x, ch, NULL); }
    1765             : 
    1766             : static GEN
    1767           0 : elltwist_card(GEN h, GEN q) { return subii(shifti(addiu(q, 1), 1), h); }
    1768             : GEN
    1769       28574 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1770             : {
    1771       28574 :   pari_sp av = avma;
    1772       28574 :   GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
    1773       28574 :   long prec = DEFAULTPREC, isell = (lg(E) == 17);
    1774             : 
    1775       28574 :   if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
    1776       28574 :   if (isell) switch(ell_get_type(E))
    1777             :   {
    1778        1323 :     case t_ELL_Q:
    1779        1323 :     case t_ELL_Rg: prec = ellR_get_prec(E); break;
    1780             :   }
    1781       28574 :   if (!P)
    1782             :   {
    1783             :     GEN Et, S, a4, a6, e, fg, q;
    1784       27195 :     if (!isell)
    1785             :     { /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
    1786           7 :       e = E; E = ellinit_i(E, NULL, prec);
    1787           7 :       if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
    1788             :     }
    1789       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1790             :     {
    1791           0 :       case t_ELL_Fp:
    1792           0 :         q = ellff_get_field(E);
    1793           0 :         e = ellff_get_a4a6(E);
    1794           0 :         Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e,2), q, &a4, &a6);
    1795           0 :         Et = ellinit_Fp(mkvec2(a4,a6), q); break;
    1796       27188 :       case t_ELL_Fq:
    1797       27188 :         fg = ellff_get_field(E); q = FF_q(fg);
    1798       27188 :         Et = ellinit_Fq(FF_elltwist(E), fg); break;
    1799           0 :       default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
    1800             :         return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    1801             :     }
    1802       27188 :     if ((S = obj_check(E, FF_CARD)))
    1803           0 :       obj_insert_shallow(Et, FF_CARD, elltwist_card(S, q));
    1804       27188 :     return gc_GEN(av, Et);
    1805             :   }
    1806        1379 :   if (isell && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1807          14 :     if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
    1808        1379 :   if (typ(P) == t_INT)
    1809             :   {
    1810        1365 :     if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, prec);
    1811        1008 :     P = quadpoly(P);
    1812             :   }
    1813             :   else
    1814             :   {
    1815          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1816          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1817           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1818             :   }
    1819        1022 :   switch(lg(E))
    1820             :   {
    1821           7 :     case 3:
    1822           7 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
    1823           7 :       a4 = gel(E,1);
    1824           7 :       a6 = gel(E,2); break;
    1825        1015 :     case 6: case 17:
    1826        1015 :       a1 = ell_get_a1(E);
    1827        1015 :       a2 = ell_get_a2(E);
    1828        1015 :       a3 = ell_get_a3(E);
    1829        1015 :       a4 = ell_get_a4(E);
    1830        1015 :       a6 = ell_get_a6(E); break;
    1831           0 :     default:
    1832           0 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
    1833             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1834             :   }
    1835        1022 :   a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
    1836        1022 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
    1837        1022 :   if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
    1838         763 :     V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
    1839             :   else
    1840             :   {
    1841         259 :     GEN a3D = gmul(a3, D);
    1842         259 :     V = cgetg(6, t_VEC);
    1843         259 :     gel(V,1) = gmul(a1, b);
    1844         259 :     gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1845         259 :     gel(V,3) = gmul(a3D, b);
    1846         259 :     gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
    1847         259 :     gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
    1848             :   }
    1849        1022 :   E = ellinit_i(V, DOM, prec);
    1850        1022 :   if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
    1851        1022 :   return gc_GEN(av, E);
    1852             : }
    1853             : 
    1854             : /********************************************************************/
    1855             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1856             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1857             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1858             : /********************************************************************/
    1859             : 
    1860             : static long
    1861       29386 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1862       29386 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1863             : 
    1864             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1865             :  * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1866             :  * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1867             :  * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1868             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1869             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1870             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1871             :  * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1872             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1873             : static long
    1874         392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1875             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1876             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1877             :   long v4, v6, vD;
    1878             : 
    1879         392 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1880          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1881             : 
    1882             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1883         336 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1884             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1885         329 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1886             : 
    1887             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1888         329 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1889             : 
    1890             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1891         266 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1892         175 :   vD = vali(disc);
    1893         175 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1894         168 :   return -8;
    1895             : }
    1896             : 
    1897             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant. It also has minimal
    1898             :  * conductor in Z[1/2] */
    1899             : GEN
    1900         665 : ellminimaltwist(GEN e)
    1901             : {
    1902         665 :   pari_sp av = avma;
    1903         665 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1904             :   long i, lF;
    1905         665 :   checkell_Q(e);
    1906         665 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1907         665 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1908         665 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1909         665 :   disc = ell_get_disc(E);
    1910         665 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1911         665 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1912         665 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1913             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1914             :    * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
    1915             :    * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1916        2436 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1917             :   {
    1918        1771 :     GEN p = gel(F, i);
    1919        1771 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1920        1771 :     if (vg < 6) continue;
    1921             :     /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
    1922             :      * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1923        1197 :     switch(itou_or_0(p))
    1924             :     {
    1925         441 :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1926         441 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1927         441 :         break;
    1928         364 :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1929         364 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1930         364 :         break;
    1931         392 :       case 2:
    1932         392 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1933         392 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1934         392 :         break;
    1935             :     }
    1936             :   }
    1937         665 :   obj_free(E);
    1938         665 :   return gc_leaf(av, D);
    1939             : }
    1940             : 
    1941             : /* Reference: William A. Stein and Mark Watkins
    1942             :  * A Database of Elliptic Curves-First Report, ANTS 5
    1943             :  * http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf */
    1944             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1945             : GEN
    1946         399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1947             : {
    1948         399 :   pari_sp av = avma;
    1949         399 :   GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
    1950         399 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1951         399 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1952         399 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1953         385 :   else if (f==6)
    1954             :   {
    1955             :     long s, t;
    1956          21 :     if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
    1957             :     else
    1958             :     {
    1959          14 :       t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
    1960          14 :       s = signe(D)==t ? -3: -1;
    1961             :     }
    1962          21 :     D = shifti(D, s);
    1963             :   }
    1964         399 :   return gc_leaf(av, D);
    1965             : }
    1966             : 
    1967             : GEN
    1968         448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1969             : {
    1970         448 :   switch(flag)
    1971             :   {
    1972         266 :     case 0: return ellminimaltwist(e);
    1973         182 :     case 1: return ellminimaltwistcond(e);
    1974             :   }
    1975           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1976             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1977             : }
    1978             : 
    1979             : static long
    1980           7 : ellexpo(GEN E)
    1981             : {
    1982           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1983          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1984             :   {
    1985          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1986          35 :     if (f > e) e = f;
    1987             :   }
    1988           7 :   return e;
    1989             : }
    1990             : 
    1991             : 
    1992             : static int
    1993        3855 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
    1994             : {
    1995        3855 :   pari_sp av = avma;
    1996        3855 :   GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
    1997        3855 :   return gc_bool(av, gequal(A, B));
    1998             : }
    1999             : /* Assume e is an ell and z is an ellpt.
    2000             :  * Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
    2001             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    2002             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    2003             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    2004             : int
    2005      126001 : ellisoncurve_i(GEN e, GEN z)
    2006             : {
    2007             :   GEN LHS, RHS, x;
    2008             :   long pl, pr, ex, expx;
    2009             :   pari_sp av;
    2010             : 
    2011      126001 :   if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    2012      125924 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    2013      125924 :   av = avma;
    2014      125924 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    2015      125924 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    2016      125924 :   if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
    2017          21 :   pl = precision(LHS);
    2018          21 :   pr = precision(RHS);
    2019          21 :   if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
    2020             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    2021           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    2022           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    2023           7 :   expx = gexpo(x);
    2024          14 :   pr = (expx < ex - pr + 15
    2025           7 :      || expx < ellexpo(e) - pr + 5);
    2026           7 :   return gc_bool(av,pr);
    2027             : }
    2028             : /* assume e is an ell and x an ellpt */
    2029             : static GEN
    2030       44268 : gellisoncurve_i(GEN e, GEN x) { return ellisoncurve_i(e, x)? gen_1: gen_0; }
    2031             : GEN
    2032       44128 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    2033             : {
    2034             :   int vec;
    2035       44128 :   checkell(e); vec = checkellpts(x, "ellisoncurve");
    2036       44128 :   if (lg(x) == 1) return leafcopy(x);
    2037       45955 :   if (vec) pari_APPLY_same(gellisoncurve_i(e,gel(x,i)));
    2038       42441 :   return gellisoncurve_i(e, x);
    2039             : }
    2040             : 
    2041             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    2042             : static GEN
    2043       25768 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    2044             : {
    2045             :   GEN dy,dx;
    2046       25768 :   if (y1 != y2)
    2047             :   {
    2048             :     int eq;
    2049         273 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    2050           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    2051             :     else
    2052         266 :       eq = gequal(y1,y2);
    2053         273 :     if (!eq) return NULL;
    2054             :   }
    2055       25761 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    2056       25761 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    2057       25719 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    2058             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    2059       25719 :   return gdiv(dy,dx);
    2060             : }
    2061             : 
    2062             : GEN
    2063       54041 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    2064             : {
    2065             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    2066       54041 :   pari_sp av = avma;
    2067             : 
    2068       54041 :   checkell(e);
    2069       54041 :   if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("elladd", z1);
    2070       54041 :   if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("elladd", z2);
    2071       54041 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    2072       51633 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    2073             : 
    2074       49981 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    2075       49981 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    2076       49981 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    2077             :   {
    2078         560 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    2079         560 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    2080         560 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    2081         560 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    2082         560 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    2083             :   }
    2084       49981 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    2085             :   {
    2086       25768 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    2087       25768 :     if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
    2088             :   }
    2089             :   else
    2090       24213 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    2091       49932 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    2092       49932 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    2093       49932 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    2094       49932 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    2095       49932 :   gel(z,2) = gneg(y); return gc_upto(av, z);
    2096             : }
    2097             : 
    2098             : static GEN
    2099          70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    2100             : {
    2101             :   GEN x, y;
    2102          70 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    2103          70 :   x = gel(z,1);
    2104          70 :   y = gel(z,2);
    2105          70 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    2106             :   {
    2107           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    2108           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    2109           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    2110             :   }
    2111          70 :   retmkvec2(x, gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x))));
    2112             : }
    2113             : 
    2114             : GEN
    2115       82034 : ellneg(GEN e, GEN z)
    2116             : {
    2117             :   pari_sp av;
    2118             :   GEN t, y;
    2119       82034 :   checkell(e);
    2120       82034 :   if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellneg", z);
    2121       82034 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    2122       82034 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    2123       82034 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    2124       82034 :   av = avma;
    2125       82034 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    2126       82034 :   gel(t,2) = gc_upto(av, y);
    2127       82034 :   return t;
    2128             : }
    2129             : 
    2130             : GEN
    2131          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    2132             : {
    2133          49 :   pari_sp av = avma;
    2134          49 :   checkell(e);
    2135          49 :   if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("ellsub", z1);
    2136          49 :   if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("ellsub", z2);
    2137          49 :   return gc_upto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    2138             : }
    2139             : 
    2140             : /* E an ell, x a scalar */
    2141             : static GEN
    2142        3010 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    2143             : {
    2144        3010 :   pari_sp av = avma;
    2145        3010 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    2146             : 
    2147        3010 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    2148             :   {
    2149         532 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    2150         532 :     x = nftoalg(nf,x);
    2151             :   }
    2152        3010 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    2153        3010 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    2154        3010 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    2155             :   /* solve y*(y+b) = a */
    2156        3010 :   if (gequal0(D)) {
    2157        1246 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    2158           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    2159        1246 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    2160        1246 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    2161        1246 :     return gc_upto(av,y);
    2162             :   }
    2163             :   /* D != 0 */
    2164        1764 :   switch(ell_get_type(E))
    2165             :   {
    2166          28 :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    2167          28 :       p = ellff_get_p(E);
    2168          28 :       D = gel(D,2);
    2169          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
    2170           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    2171           7 :       break;
    2172         217 :     case t_ELL_Fq:
    2173         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    2174             :       {
    2175          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    2176          77 :         if (lg(F) == 1) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
    2177          42 :         return gc_upto(av, F);
    2178             :       }
    2179         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
    2180          70 :       break;
    2181         973 :     case t_ELL_Q:
    2182         973 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    2183         966 :       if (!issquareall(D,&d)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
    2184         630 :       break;
    2185             : 
    2186         525 :     case t_ELL_NF:
    2187         525 :       if (!nfissquare(nf, D, &d)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
    2188         511 :       d = nftoalg(nf, d);
    2189         511 :       break;
    2190             : 
    2191          14 :     case t_ELL_Qp:
    2192          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    2193          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    2194          14 :       if (!issquare(D)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
    2195          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    2196          14 :       break;
    2197             : 
    2198           7 :     default:
    2199           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    2200             :   }
    2201        1246 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    2202        1246 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    2203        1246 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    2204        1246 :   return gc_upto(av,y);
    2205             : }
    2206             : 
    2207             : GEN
    2208        3010 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    2209             : {
    2210        3010 :   checkell(e);
    2211        3010 :   if (!is_matvec_t(typ(x))) return ellordinate_i(e, x, prec);
    2212           0 :   pari_APPLY_same(ellordinate_i(e,gel(x,i),prec));
    2213             : }
    2214             : 
    2215             : GEN
    2216      245679 : ellrandom(GEN E)
    2217             : {
    2218             :   GEN fg;
    2219      245679 :   checkell_Fq(E);
    2220      245679 :   fg = ellff_get_field(E);
    2221      245679 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    2222      245651 :     return FF_ellrandom(E);
    2223             :   else
    2224             :   {
    2225          28 :     pari_sp av = avma;
    2226          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    2227          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    2228          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    2229          28 :     return gc_upto(av, P);
    2230             :   }
    2231             : }
    2232             : 
    2233             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    2234             : static GEN
    2235          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    2236             : {
    2237          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    2238             :   long ln, vn;
    2239             : 
    2240          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    2241           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    2242          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    2243          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    2244          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    2245          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    2246          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    2247          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    2248          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    2249             :   do
    2250             :   {
    2251          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    2252             :     do
    2253             :     {
    2254          28 :       long ep = (-valser(z2)) >> 1;
    2255          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    2256          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    2257             :     }
    2258          28 :     while (valser(z2) <= 0);
    2259          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    2260          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    2261          21 :     if (!signe(z2)) break;
    2262           7 :     z2 = ginv(z2);
    2263             :   }
    2264           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    2265          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    2266           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    2267          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    2268          14 :   b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
    2269          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    2270          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    2271          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    2272             : 
    2273          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    2274          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    2275          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    2276          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    2277             : 
    2278          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    2279          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    2280          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    2281          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    2282          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    2283             : }
    2284             : 
    2285             : static GEN
    2286        1190 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    2287             : static GEN
    2288         385 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    2289             : 
    2290             : static GEN
    2291      250172 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    2292             : {
    2293      250172 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    2294      250172 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    2295      249074 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    2296             :   else
    2297             :   {
    2298        1098 :     pari_sp av = avma;
    2299        1098 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    2300        1098 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    2301        1098 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    2302        1042 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    2303        1042 :     return gc_upto(av, Q);
    2304             :   }
    2305             : }
    2306             : /* [n] z, n integral */
    2307             : static GEN
    2308      251180 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    2309             : {
    2310             :   long s;
    2311      251180 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2312      251180 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2313        1008 :   s = signe(n);
    2314        1008 :   if (!s) return ellinf();
    2315         959 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2316         959 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2317         721 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2318             : }
    2319             : 
    2320             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2321             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2322             : static long
    2323          42 : myroundr(GEN *px)
    2324             : {
    2325          42 :   GEN x = *px;
    2326             :   long e;
    2327          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2328          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2329          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2330          42 :   return OK;
    2331             : }
    2332             : 
    2333             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2334             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2335             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2336             : static GEN
    2337          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2338             : {
    2339             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2340             :   long prec;
    2341             : 
    2342          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2343          14 :   switch(typ(Q))
    2344             :   {
    2345           0 :     case t_COMPLEX:
    2346           0 :       D = utoineg(4);
    2347           0 :       v = gel(Q,2);
    2348           0 :       break;
    2349          14 :     case t_QUAD:
    2350          14 :       D = quad_disc(Q);
    2351          14 :       v = gel(Q,3);
    2352          14 :       break;
    2353           0 :     default:
    2354           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2355             :   }
    2356             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2357          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2extraprec(expi(D)));
    2358          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2359          14 :   prec = precision(tau);
    2360             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2361             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2362             :    * Compute f*k */
    2363          14 :   x = gel(tau,1);
    2364          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2365          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2366          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2367             :   {
    2368           0 :     case NO: return NULL;
    2369           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2370             :   }
    2371          14 :   fk = absi_shallow(fk);
    2372             : 
    2373          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2374          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2375             :   {
    2376           0 :     case NO: return NULL;
    2377           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2378             :   }
    2379             : 
    2380          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2381          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2382             :   {
    2383           0 :     case NO: return NULL;
    2384           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2385             :   }
    2386             : 
    2387             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2388          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2389          14 :   dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
    2390             :   /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2391          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2392          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2393             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2394          14 :   v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
    2395          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2396          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2397             : }
    2398             : 
    2399             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2400             : static GEN
    2401          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2402             : {
    2403             :   GEN A, B, q;
    2404          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2405          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2406          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2407          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2408             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2409          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2410             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2411             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2412           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2413           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2414           7 :     u = shifti(u, -1);
    2415           7 :     if (signe(u))
    2416             :     {
    2417           0 :       w = gsub(w, u);
    2418           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2419             :     }
    2420             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2421             :   }
    2422          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2423          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2424          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2425          14 :   return elladd(e, A, B);
    2426             : }
    2427             : GEN
    2428      251243 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2429             : {
    2430      251243 :   pari_sp av = avma;
    2431             : 
    2432      251243 :   checkell(e);
    2433      251236 :   if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellmul", z);
    2434      251236 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2435      251180 :   switch(typ(n))
    2436             :   {
    2437      251166 :     case t_INT: return gc_GEN(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2438          14 :     case t_QUAD: {
    2439          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2440          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2441          14 :       return gc_upto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2442             :     }
    2443           0 :     case t_COMPLEX: {
    2444           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2445           0 :       return gc_upto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2446             :     }
    2447             :   }
    2448           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2449             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2450             : }
    2451             : GEN
    2452      223042 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2453      223042 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2454             : 
    2455             : GEN
    2456       11942 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2457             : {
    2458       11942 :   pari_sp av = avma;
    2459             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2460       11942 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2461       11942 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2462       11942 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2463       11942 :   return gc_upto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2464             : }
    2465             : 
    2466             : /********************************************************************/
    2467             : /**                                                                **/
    2468             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    2469             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    2470             : /**                                                                **/
    2471             : /********************************************************************/
    2472             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    2473             : typedef struct {
    2474             :   long a1; /*{0,1}*/
    2475             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    2476             :   long a3; /*{0,1}*/
    2477             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    2478             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    2479             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    2480             : } ellmin_t;
    2481             : 
    2482             : /* u from [u,r,s,t] */
    2483             : static void
    2484      566139 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    2485             : {
    2486      566139 :   M->u = u;
    2487      566139 :   if (is_pm1(u))
    2488      470533 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    2489             :   else
    2490             :   {
    2491       95606 :     M->u2 = sqri(u);
    2492       95606 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    2493       95606 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    2494       95606 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    2495             :   }
    2496      566139 : }
    2497             : /* E = original curve */
    2498             : static void
    2499      566139 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    2500             : {
    2501      566139 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    2502      566139 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    2503       95606 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    2504       95606 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    2505             :   }
    2506      566139 :   M->c4 = c4;
    2507      566139 :   M->c6 = c6;
    2508      566139 : }
    2509             : static void
    2510      565831 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    2511             : {
    2512      565831 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    2513      565831 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    2514      565831 :   M->D = D;
    2515      565831 : }
    2516             : static void
    2517      565992 : min_set_b(ellmin_t *M)
    2518             : {
    2519             :   long b22, b2;
    2520      565992 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    2521      565992 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    2522      565992 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    2523      565992 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    2524      565992 : }
    2525             : static void
    2526      565852 : min_set_a(ellmin_t *M)
    2527             : {
    2528      565852 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    2529      565852 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    2530      565852 :   if (odd(b2))
    2531             :   {
    2532      286503 :     a1 = 1;
    2533      286503 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    2534             :   }
    2535             :   else
    2536             :   {
    2537      279349 :     a1 = 0;
    2538      279349 :     a2 = b2 >> 2;
    2539             :   }
    2540      565852 :   M->a1 = a1;
    2541      565852 :   M->a2 = a2;
    2542      565852 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    2543      565852 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    2544      565852 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    2545      565852 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    2546      565852 : }
    2547             : static void
    2548      565817 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    2549             : {
    2550      565817 :   min_set_u(M, u);
    2551      565817 :   min_set_c(M, E);
    2552      565817 :   min_set_D(M, E);
    2553      565817 :   min_set_b(M);
    2554      565817 :   min_set_a(M);
    2555      565817 : }
    2556             : static GEN
    2557      552734 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    2558             : {
    2559      552734 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    2560             :   long a11, a13;
    2561      552734 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    2562      552734 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    2563      552734 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    2564      552734 :   gel(y,4) = M->a4;
    2565      552734 :   gel(y,5) = M->a6;
    2566      552734 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    2567      552734 :   gel(y,7) = M->b4;
    2568      552734 :   gel(y,8) = M->b6;
    2569      552734 :   a11 = M->a1;
    2570      552734 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    2571      552734 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    2572             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    2573      552734 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    2574      552734 :   gel(y,10)= M->c4;
    2575      552734 :   gel(y,11)= M->c6;
    2576      552734 :   gel(y,12)= M->D;
    2577      552734 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    2578      552734 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    2579      552734 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    2580      552734 :   return y;
    2581             : }
    2582             : static GEN
    2583      565817 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    2584             : {
    2585             :   GEN r, s, t;
    2586      565817 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    2587      565817 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    2588      565817 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    2589      565817 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    2590             : }
    2591             : 
    2592             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    2593             : static long
    2594     1702557 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    2595             : {
    2596     1702557 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    2597     1702557 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    2598     1702557 :   if (!signe(c6))
    2599             :   {
    2600        3045 :     d = vD / 12;
    2601        3045 :     if (d)
    2602             :     {
    2603        1127 :       if (p == 2)
    2604             :       {
    2605         875 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    2606         875 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    2607         875 :         if (a) d--;
    2608             :       }
    2609        1127 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    2610             :     }
    2611        3045 :     v6 = 12; /* +oo */
    2612             :   }
    2613             :   else
    2614             :   {
    2615     1699512 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    2616     1699512 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    2617     1699512 :     if (d) {
    2618      181286 :       if (p == 2) {
    2619      109858 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    2620      109858 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    2621      109858 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    2622      109858 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    2623       71428 :       } else if (p == 3) {
    2624       45199 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    2625             :       }
    2626      181286 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    2627             :     }
    2628             :   }
    2629     1702557 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    2630             : }
    2631             : static long
    2632      881468 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    2633             : {
    2634             :   GEN c6;
    2635             :   long d, v6, vD;
    2636      881468 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    2637          39 :   c6 = ell_get_c6(E);
    2638          39 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    2639          39 :   if (!signe(c6))
    2640             :   {
    2641           0 :     d = vD / 12;
    2642           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    2643           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    2644             :   }
    2645             :   else
    2646             :   {
    2647          39 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    2648          39 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    2649          39 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    2650             :   }
    2651          39 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    2652             : }
    2653             : 
    2654             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    2655             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    2656             :   in the form [f, kod, v, c].
    2657             : 
    2658             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    2659             : 
    2660             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    2661             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    2662             :     I0  -->  1
    2663             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    2664             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    2665             : 
    2666             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    2667             : 
    2668             :   * c is the Tamagawa number.
    2669             : 
    2670             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    2671             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    2672             : static GEN
    2673     1898715 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    2674             : {
    2675     1898715 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    2676     1898715 :   gel(z,1) = stoi(f);
    2677     1898715 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    2678     1898715 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    2679     1898715 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    2680             : }
    2681             : static GEN
    2682           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    2683             : {
    2684           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    2685           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    2686             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2687             : }
    2688             : 
    2689             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    2690             : static long
    2691      884842 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    2692             : 
    2693             : /* p > 3, e integral */
    2694             : static GEN
    2695      881468 : localred_p(GEN e, GEN p)
    2696             : {
    2697             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    2698      881468 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    2699             : 
    2700      881468 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2701      881468 :   c6 = ell_get_c6(e);
    2702      881468 :   nuj = j_pval(e, p);
    2703      881468 :   nuD = Z_pval(D, p);
    2704      881468 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    2705      881468 :   if (!k) v = init_ch();
    2706             :   else
    2707             :   { /* model not minimal */
    2708             :     ellmin_t M;
    2709       13097 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    2710       13097 :     v = min_get_v(&M, e);
    2711       13097 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    2712             :   }
    2713             : 
    2714      881468 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    2715             :   {
    2716      763021 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    2717      763021 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    2718             :       {
    2719      393218 :         case  1: c = nuD; break;
    2720      369803 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    2721           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    2722             :       }
    2723      763021 :       break;
    2724       45829 :     case 6:
    2725             :     {
    2726       45829 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    2727       45829 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    2728       45829 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    2729       45829 :       break;
    2730             :     }
    2731           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    2732             :   }
    2733       72618 :   else switch(nuD)
    2734             :   {
    2735         539 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    2736       11718 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    2737       10346 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    2738        5663 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    2739        5663 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    2740        5663 :       break;
    2741       16856 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    2742       16856 :       p2 = sqri(p);
    2743             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    2744       16856 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    2745             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    2746             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    2747       16856 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    2748       16856 :       break;
    2749       11641 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    2750       11641 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    2751       11641 :       break;
    2752       10241 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    2753        5614 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    2754           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    2755             :   }
    2756      881468 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    2757             : }
    2758             : 
    2759             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    2760             : static ulong
    2761      891702 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    2762      891702 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    2763             : 
    2764             : static ulong
    2765     1424346 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    2766     1424346 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
    2767             : 
    2768             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    2769             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    2770             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    2771             : static long
    2772      245056 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    2773             : {
    2774      245056 :   if (p == 2)
    2775             :   {
    2776      141554 :     if (odd(c + a * b)) return 3;
    2777      122766 :     *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
    2778             :   }
    2779             :   /* p = 3 */
    2780      103502 :   if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
    2781       69286 :   *mult = a * b;
    2782       69286 :   if (b == 2)
    2783       23065 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    2784             :   else
    2785       46221 :     return c ? 3 : 2;
    2786             : }
    2787             : 
    2788             : /* same for aX^2 +bX + c */
    2789             : static long
    2790      790440 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    2791             : {
    2792      790440 :   if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
    2793             :   /* p = 3 */
    2794      302113 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    2795             : }
    2796             : 
    2797             : /* p = 2 or 3 */
    2798             : static GEN
    2799      706853 : localred_23(GEN e, long p)
    2800             : {
    2801             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    2802             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    2803             :   GEN v;
    2804             : 
    2805      706853 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    2806      706853 :   if (!k) v = init_ch();
    2807             :   else
    2808             :   {
    2809             :     ellmin_t M;
    2810       48776 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    2811       48776 :     v = min_get_v(&M, e);
    2812       48776 :     e = min_to_ell(&M, e);
    2813             :   }
    2814             :   /* model is minimal */
    2815      706853 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    2816      706853 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    2817      705362 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    2818      322833 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    2819             : 
    2820      705362 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    2821             :   {
    2822      387590 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    2823      196819 :       c = nuD;
    2824             :     else
    2825      190771 :       c = odd(nuD)? 1: 2;
    2826      387590 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    2827             :   }
    2828      317772 :   if (p == 2)
    2829             :   {
    2830      186494 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    2831      186494 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    2832      186494 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    2833      186494 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    2834             :   }
    2835             :   else /* p == 3 */
    2836             :   {
    2837      131278 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    2838      131278 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    2839      131278 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    2840      131278 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    2841             :   }
    2842             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    2843      317772 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    2844      317772 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    2845       22351 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    2846      295421 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    2847       27748 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    2848      267673 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    2849             :   {
    2850       22617 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    2851       11578 :       c = 3;
    2852             :     else
    2853       11039 :       c = 1;
    2854       22617 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    2855             :   }
    2856             : 
    2857      245056 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    2858       91511 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    2859             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    2860      245056 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    2861      245056 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    2862      245056 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    2863      245056 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    2864             :   {
    2865       36078 :     case 3:
    2866       36078 :       c = a63 ? 1: 2;
    2867       36078 :       if (p == 2)
    2868       18788 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    2869             :       else {
    2870       17290 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    2871       17290 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    2872             :       }
    2873       36078 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    2874      130711 :     case 2:
    2875             :     { /* compute nu */
    2876             :       GEN pk, pk1, p2k;
    2877             :       long al, be, ga;
    2878      130711 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    2879             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    2880      130711 :       nu = 1;
    2881      130711 :       pk  = utoipos(p2);
    2882      130711 :       p2k = utoipos(p4);
    2883             :       for(;;)
    2884             :       {
    2885      388402 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    2886      388402 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    2887      388402 :         al = 1;
    2888      388402 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    2889      323771 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    2890      323771 :         pk1 = pk;
    2891      323771 :         pk  = mului(p, pk);
    2892      323771 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    2893             : 
    2894      323771 :         al = a21;
    2895      323771 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    2896      323771 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    2897      323771 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    2898      257691 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    2899      257691 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    2900             :       }
    2901      130711 :       if (p == 2)
    2902       72387 :         c = odd(ga)? 2: 4;
    2903             :       else
    2904       58324 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    2905      130711 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    2906             :     }
    2907       78267 :     case 1:
    2908       78267 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    2909             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    2910       78267 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    2911       78267 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    2912       78267 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    2913             :       {
    2914       29925 :         if (p == 2)
    2915       20447 :           c = 3 - 2 * a64;
    2916             :         else
    2917        9478 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    2918       29925 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    2919             :       }
    2920       48342 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    2921             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    2922       48342 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    2923       29078 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    2924             : 
    2925             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    2926       19264 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    2927             :   }
    2928             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2929             : }
    2930             : 
    2931             : /* e is integral */
    2932             : static GEN
    2933     1587901 : localred(GEN e, GEN p)
    2934             : {
    2935     1587901 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    2936      881468 :     return localred_p(e,p);
    2937             :   else
    2938             :   {
    2939      706433 :     long l = itos(p);
    2940      706433 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    2941      706433 :     return localred_23(e, l);
    2942             :   }
    2943             : }
    2944             : 
    2945             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    2946             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    2947             : static GEN
    2948      140616 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    2949             : {
    2950      140616 :   GEN b = z;
    2951             :   long i;
    2952      140616 :   if (typ(b) == t_INT)
    2953             :   {
    2954      140525 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    2955      140525 :     return shifti(negi(b),-1);
    2956             :   }
    2957         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    2958             :   {
    2959         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    2960             :   }
    2961          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    2962             : }
    2963             : 
    2964             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    2965             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    2966             : static GEN
    2967       70308 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    2968             : {
    2969       70308 :   GEN b = z;
    2970             :   long i;
    2971       70308 :   if (typ(b) == t_INT)
    2972             :   {
    2973       70259 :     long s = smodis(b,3);
    2974       70259 :     if (s)
    2975             :     {
    2976           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    2977           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    2978           0 :         b = subii(b, Jz);
    2979             :       else
    2980           0 :         b = addii(b, Jz);
    2981             :     }
    2982       70259 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    2983             :   }
    2984         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    2985             :   {
    2986          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    2987          98 :     if (!s) continue;
    2988          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    2989          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    2990             :     else
    2991          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    2992             :   }
    2993          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    2994             : }
    2995             : 
    2996             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    2997             : static GEN
    2998      157675 : get_piinv(GEN P)
    2999             : {
    3000      157675 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    3001      157675 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    3002      157675 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    3003             : }
    3004             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    3005             : static void
    3006      310394 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    3007             : {
    3008      310394 :   if (pr_is_inert(P))
    3009             :   {
    3010      152768 :     *pi = pr_get_p(P);
    3011      152768 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    3012             :   }
    3013             :   else
    3014             :   {
    3015      157626 :     *pv = get_piinv(P);
    3016      157626 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    3017             :   }
    3018      310394 : }
    3019             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    3020             : static GEN
    3021      579782 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    3022             : {
    3023      579782 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3024      579782 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3025      579782 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    3026             : }
    3027             : 
    3028             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    3029             : static GEN
    3030     1070167 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    3031             : {
    3032     1070167 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    3033     1070167 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3034     1070167 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    3035             : }
    3036             : 
    3037             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    3038             : 
    3039             : static GEN
    3040      592928 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    3041             : {
    3042      592928 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    3043      592928 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    3044      592928 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3045      592928 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    3046             : }
    3047             : 
    3048             : static GEN
    3049     1627108 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    3050             : {
    3051     1627108 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3052     1627108 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    3053     1627108 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    3054     1627108 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    3055     1627108 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    3056             : }
    3057             : 
    3058             : static GEN
    3059       27524 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    3060             : {
    3061       27524 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3062       27524 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    3063       27524 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    3064       27524 :   long n = 1;
    3065             :   while(1)
    3066       83881 :   {
    3067      111405 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    3068             :     GEN gama;
    3069      111405 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3070             :     {
    3071       14847 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3072       14847 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3073             :     }
    3074       96558 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3075       96558 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    3076       96558 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3077       96558 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    3078       96558 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3079             :     {
    3080       12677 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3081       12677 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3082             :     }
    3083       83881 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3084       83881 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    3085       83881 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    3086       83881 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3087             :   }
    3088             : }
    3089             : 
    3090             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    3091             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    3092             : 
    3093             : static GEN
    3094      181986 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    3095             : {
    3096             :   GEN T, p, modP;
    3097             :   long vD;
    3098             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    3099      181986 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3100      181986 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    3101      181986 :   ch = init_ch();
    3102      181986 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3103      181986 :   *ap = 0;
    3104             :   while(1)
    3105             :   {
    3106      625709 :     if (vD==0)
    3107       31500 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    3108             :     else
    3109             :     {
    3110      594209 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3111      594209 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3112      594209 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    3113      594209 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    3114      594209 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    3115             :       GEN x0, y0;
    3116      594209 :       if (absequaliu(p,2))
    3117             :       {
    3118             :         GEN x02, y02;
    3119      385560 :         if (signe(a1))
    3120             :         {
    3121       43827 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    3122       43827 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    3123       43827 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    3124             :         }
    3125             :         else
    3126             :         {
    3127      341733 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    3128      341733 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    3129             :         }
    3130      385560 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    3131             :       }
    3132             :       else
    3133             :       {
    3134      208649 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    3135      208649 :         if (signe(a12))
    3136       39585 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    3137             :         else
    3138      169064 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    3139      208649 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    3140             :       }
    3141      594209 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    3142      594209 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    3143      594209 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    3144             :     }
    3145             :     /* 2 */
    3146             :     {
    3147      594209 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    3148      594209 :       if (signe(b2) != 0)
    3149             :       {
    3150       83412 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    3151       83412 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    3152       83412 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    3153       41818 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    3154             :       }
    3155             :     }
    3156             :     /* 3 */
    3157             :     {
    3158      510797 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    3159      510797 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    3160             :     }
    3161             :     /* 4 */
    3162             :     {
    3163      506898 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    3164      506898 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    3165             :     }
    3166             :     /* 5 */
    3167      499765 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    3168             :     {
    3169      499765 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    3170      499765 :       if (vb6<=2)
    3171             :       {
    3172        3395 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    3173        3395 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3174        3395 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    3175             :       }
    3176             :     }
    3177             :     /* 6 */
    3178             :     {
    3179      496370 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    3180      496370 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    3181      496370 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    3182             :       GEN po2, E, F, mr;
    3183             :       long i, lE;
    3184      496370 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    3185      496370 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    3186      496370 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
    3187             :       {
    3188      124034 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    3189      124034 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    3190      124034 :         lE = lg(E);
    3191      124034 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    3192             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    3193             :           long c; /* 1 + number of roots */
    3194        9849 :           switch(lE)
    3195             :           {
    3196        2534 :             case 2: c = 1; break;
    3197        6643 :             case 3: c = 2; break;
    3198         672 :             default: c = 4; break;
    3199             :           }
    3200        9849 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    3201             :         }
    3202             :       /* 7 */
    3203      114185 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    3204      114185 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    3205      114185 :         if (!gequal0(mr))
    3206             :         { /* not so frequent */
    3207      102908 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    3208      102908 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    3209             :         }
    3210      114185 :         if (lE == 3)
    3211       27524 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    3212             :       }
    3213             :     }
    3214      458997 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    3215      458997 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    3216             :     /*  8 */
    3217      458997 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    3218             :     {
    3219        5068 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    3220        5068 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    3221             :     }
    3222             :     /*  9 */
    3223             :     {
    3224      453929 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    3225      453929 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    3226      453929 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    3227        7651 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    3228             :     }
    3229             :     /* 10 */
    3230      446278 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    3231        2555 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    3232             :     /* 11 */
    3233      443723 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    3234      443723 :     vD -= 12;
    3235             :   }
    3236             : }
    3237             : 
    3238             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    3239             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    3240             : static GEN
    3241      128408 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    3242             : {
    3243      128408 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3244             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    3245             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    3246             : 
    3247      128408 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3248      128408 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3249      128408 :   D = ell_get_disc(e);
    3250      128408 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3251      128408 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    3252      128408 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    3253      128408 :   m = (vD - nuj)/12;
    3254      128408 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    3255             : 
    3256      128408 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    3257             :   else
    3258             :   { /* model not minimal */
    3259             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    3260       70308 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    3261       70308 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    3262       70308 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    3263       70308 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    3264       70308 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    3265       70308 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    3266       70308 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    3267       70308 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    3268       70308 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    3269       70308 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    3270       70308 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    3271       70308 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    3272       70308 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    3273       70308 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    3274       70308 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    3275       70308 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    3276       70308 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    3277       70308 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    3278             :   }
    3279             : 
    3280      128408 :   kod = 1; c = 1;
    3281             :   /* minimal at P */
    3282      128408 :   if (nuj > 0)
    3283             :   { /* v(j) < 0 */
    3284       79765 :     if (vD == nuj)
    3285             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    3286       72520 :       f = 1; kod = 4+vD;
    3287       72520 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    3288       72520 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    3289       44849 :         c = vD;/* split */
    3290             :       else
    3291       27671 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
    3292             :     }
    3293             :     else
    3294             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    3295             :       GEN Du;
    3296        7245 :       f = 2; kod = 2-vD;
    3297        7245 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    3298        7245 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    3299        7245 :       if(odd(vD))
    3300             :       {
    3301             :         GEN c6u;
    3302        4116 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    3303        4116 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    3304        4116 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    3305             :       }
    3306        7245 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    3307             :     }
    3308             :   }
    3309             :   else
    3310             :   { /* v(j) >= 0 */
    3311       48643 :     f = vD? 2: 0;
    3312       48643 :     switch(vD)
    3313             :     {
    3314             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    3315       37541 :       case 0: kod = 1; c = 1; break;
    3316        1932 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    3317        2345 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    3318        1141 :       case 4: kod = 4;
    3319        1141 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    3320        1141 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3321        1141 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3322        1141 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3323        1141 :         break;
    3324        2576 :       case 6: kod = -1;
    3325        2576 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    3326        2576 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    3327        2576 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3328        2576 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    3329        2576 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    3330        2576 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    3331        2576 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    3332        2576 :         break;
    3333        1526 :       case 8: kod = -4;
    3334        1526 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    3335        1526 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3336        1526 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3337        1526 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3338        1526 :         break;
    3339        1281 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    3340         301 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    3341             :     }
    3342             :   }
    3343      128408 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    3344             : }
    3345             : /* E is integral */
    3346             : static GEN
    3347      261233 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    3348             : {
    3349      261233 :   GEN p = pr_get_p(pr), q, v, nf = ellnf_get_nf(E);
    3350             :   long i;
    3351      261233 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    3352             :   {
    3353             :     long ap, vu;
    3354      132825 :     GEN e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E), u;
    3355      132825 :     q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap); v = gel(q,3); u = gel(v,1);
    3356             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    3357      132825 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    3358      132825 :     if (vu > 0)
    3359             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    3360      119441 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    3361      119441 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    3362      119441 :       if (!equali1(D))
    3363             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    3364             :         GEN a;
    3365         637 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    3366             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    3367         637 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    3368         637 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    3369         637 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    3370         637 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    3371             :       }
    3372             :     }
    3373             :   } else
    3374      128408 :     q = nflocalred_p(E,pr);
    3375      261233 :   v = gel(q,3);
    3376     1306165 :   for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    3377      261233 :   return q;
    3378             : }
    3379             : 
    3380             : static GEN
    3381     3113208 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
    3382             : {
    3383     3113208 :   GEN q, E = *pE;
    3384             :   long tE;
    3385     3113208 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    3386     3113186 :   if (pv) *pv = NULL;
    3387     3113186 :   if (p) switch(typ(p))
    3388             :   {
    3389     2642360 :     case t_INT:
    3390     2642360 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    3391     2642339 :       break;
    3392      205821 :     case t_VEC:
    3393      205821 :       q = get_prid(p);
    3394      205821 :       if (q && tE == t_ELL_NF)
    3395             :       {
    3396      205821 :         *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    3397      205821 :         return q;
    3398             :       }
    3399           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    3400             :   }
    3401     2907337 :   switch(tE)
    3402             :   {
    3403      385409 :     case t_ELL_Fp:
    3404      385409 :     case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
    3405         273 :     case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
    3406     2521652 :     case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
    3407             :     default:
    3408          17 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    3409             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    3410             :   }
    3411     2907320 :   if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
    3412     2907285 :   if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
    3413     2521876 :     *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    3414     2907340 :   return q;
    3415             : }
    3416             : 
    3417             : GEN
    3418      197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
    3419             : {
    3420      197085 :   pari_sp av = avma;
    3421             :   GEN v, q;
    3422      197085 :   checkell(E);
    3423      197085 :   p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
    3424      197071 :   switch(ell_get_type(E))
    3425             :   {
    3426       99477 :     case t_ELL_Qp:
    3427       99477 :     case t_ELL_Q:  q = localred(E, p); break;
    3428       97594 :     case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
    3429           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
    3430             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    3431             :   }
    3432      197071 :   if (v)
    3433             :   { /* compose local change of variables with v */
    3434          28 :     GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
    3435          28 :     if (is_trivial_change(w, NULL))
    3436          21 :       gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    3437             :     else
    3438           7 :       gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
    3439             :   }
    3440      197071 :   return gc_GEN(av, q);
    3441             : }
    3442             : 
    3443             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    3444             : static GEN
    3445       41678 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    3446             : {
    3447       41678 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    3448       41678 :   return c;
    3449             : }
    3450             : static GEN
    3451    16516226 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    3452             : {
    3453    16516226 :   *pd = NULL;
    3454    16516226 :   switch(typ(c))
    3455             :   {
    3456    16443215 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    3457       31332 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    3458       41678 :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    3459       41678 :       if (nf)
    3460             :       {
    3461       41678 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    3462       41678 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    3463             :       }
    3464           1 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    3465             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    3466             :   }
    3467             : }
    3468             : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
    3469             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    3470             : GEN
    3471     3303302 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    3472             : {
    3473             :   GEN a, t, u, L, nf;
    3474             :   long i, l, k;
    3475             : 
    3476     3303302 :   if (pv) *pv = NULL;
    3477             :   /* t_ELL_Qp is also possible */
    3478     3303302 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    3479     3303289 :   L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
    3480    19819559 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    3481             :   {
    3482             :     GEN d;
    3483    16516199 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    3484    16516230 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    3485       32431 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    3486             :   }
    3487             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    3488     3303360 :   l = lg(L); if (l == 1) return e;
    3489       16497 :   L = ZV_sort_uniq_shallow(L);
    3490       16499 :   l = lg(L);
    3491             : 
    3492       16499 :   t = gen_1;
    3493       39739 :   for (k = 1; k < l; k++)
    3494             :   {
    3495       23240 :     GEN p = gel(L,k);
    3496       23240 :     long n = 0, m;
    3497      139440 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    3498      116200 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    3499             :       {
    3500       47649 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    3501       47649 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    3502       71435 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    3503             :       }
    3504       23240 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    3505             :   }
    3506       16499 :   u = ginv(t);
    3507       16499 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    3508       16499 :   return coordch_uinv(e, t);
    3509             : }
    3510             : GEN
    3511        2478 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    3512             : {
    3513        2478 :   pari_sp av = avma;
    3514        2478 :   checkell(e);
    3515        2478 :   switch(ell_get_type(e))
    3516             :   {
    3517        2478 :     case t_ELL_Q:
    3518             :     case t_ELL_Qp:
    3519        2478 :     case t_ELL_NF: break;
    3520           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    3521             :   }
    3522        2478 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    3523        2478 :   if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
    3524        2457 :   e = gc_GEN(av, e);
    3525        2457 :   if (pv) *pv = init_ch();
    3526        2457 :   return e;
    3527             : }
    3528             : 
    3529             : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
    3530             : GEN
    3531           0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
    3532             : {
    3533           0 :   pari_sp av = avma;
    3534             :   GEN f, a1, a3;
    3535             : 
    3536           0 :   checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
    3537           0 :   a1 = ell_get_a1(f);
    3538           0 :   a3 = ell_get_a3(f);
    3539           0 :   if (!signe(a1) && !signe(a3))
    3540           0 :   { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
    3541             :   else
    3542             :   {
    3543           0 :     GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
    3544             :                    gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    3545           0 :     gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
    3546             :   }
    3547           0 :   if (f != e) ell_reset(f);
    3548           0 :   return gc_all(av, 2, &f, pv);
    3549             : }
    3550             : 
    3551             : static long
    3552        5159 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    3553             : {
    3554        5159 :   long N = 1; /* oo */
    3555        5159 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    3556        3990 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    3557        5159 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    3558        3969 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    3559        5159 :   return N;
    3560             : }
    3561             : static long
    3562        6335 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    3563             : {
    3564        6335 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    3565             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    3566        6335 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    3567             : }
    3568             : static long
    3569        5138 : cardmod2(GEN e)
    3570             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    3571        5138 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    3572        5138 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    3573        5138 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    3574        5138 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    3575        5138 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    3576        5138 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    3577             : }
    3578             : static long
    3579        6195 : cardmod3(GEN e)
    3580             : {
    3581        6195 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    3582        6195 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    3583        6195 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    3584        6195 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    3585             : }
    3586             : 
    3587             : static ulong
    3588        1820 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    3589             : 
    3590             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    3591             : static void
    3592          35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    3593             : {
    3594          35 :   min_set_u(M, int2n(d));
    3595          35 :   min_set_c(M, E);
    3596          35 :   min_set_b(M);
    3597          35 :   min_set_a(M);
    3598          35 : }
    3599             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    3600             : static void
    3601         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    3602             : {
    3603         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    3604         140 :   min_set_c(M, E);
    3605         140 :   min_set_b(M);
    3606         140 : }
    3607             : 
    3608             : static long
    3609      111181 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    3610             : {
    3611      111181 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    3612      111181 :   if (vD) /* bad reduction */
    3613             :   {
    3614             :     GEN c6;
    3615             :     long s;
    3616      110873 :     *good_red = 0;
    3617      110873 :     if (vc6) return 0;
    3618       81480 :     c6 = ell_get_c6(E);
    3619       81480 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    3620       81480 :     s = kroiu(c6,p);
    3621       81480 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    3622       81480 :     return s;
    3623             :   }
    3624         308 :   *good_red = 1;
    3625         308 :   if (p == 2)
    3626             :   {
    3627             :     ellmin_t M;
    3628          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    3629          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    3630          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    3631             :   }
    3632         287 :   else if (p == 3)
    3633             :   {
    3634             :     ellmin_t M;
    3635         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    3636         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    3637         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    3638             :   }
    3639             :   else
    3640             :   {
    3641             :     ellmin_t M;
    3642         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    3643         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    3644         147 :     min_set_c(&M, E);
    3645         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    3646         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    3647             :   }
    3648             : }
    3649             : 
    3650             : static GEN
    3651       98581 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    3652             : {
    3653             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    3654             :   long vc6, vD, d;
    3655       98581 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    3656           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3657           0 :   D = ell_get_disc(E);
    3658           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    3659           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    3660           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3661           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    3662             :   {
    3663             :     long s;
    3664           0 :     *good_red = 0;
    3665           0 :     if (vc6) return gen_0;
    3666           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    3667           0 :     s = kronecker(c6,p);
    3668           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    3669           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    3670             :   }
    3671           0 :   *good_red = 1;
    3672           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    3673           0 :   if (d)
    3674             :   {
    3675           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    3676           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    3677           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    3678             :   }
    3679           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    3680           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    3681             : }
    3682             : 
    3683             : static GEN
    3684      223492 : doellcard(GEN E)
    3685             : {
    3686      223492 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    3687      223492 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    3688      102882 :     return FF_ellcard(E);
    3689             :   else
    3690             :   {
    3691      120610 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    3692      120610 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    3693             :   }
    3694             : }
    3695             : 
    3696             : static GEN
    3697      191802 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    3698             : {
    3699      191802 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    3700      191798 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3701      191815 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    3702             :   {
    3703             :     long ap;
    3704       49161 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    3705       49161 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    3706       49161 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    3707         483 :     *good_red = 1;
    3708         483 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    3709         483 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    3710         483 :     card = FF_ellcard(E);
    3711             :   }
    3712             :   else
    3713             :   {
    3714      142651 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    3715      142647 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    3716      142606 :     if (vD)
    3717             :     {
    3718             :       GEN c6new;
    3719       49189 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    3720       49189 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    3721       49189 :       if (vD > 12*d)
    3722             :       { /* bad reduction */
    3723       49140 :         *good_red = 0;
    3724       92925 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    3725       43785 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    3726       43785 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    3727             :       }
    3728          49 :       if (d)
    3729             :       { /* model not minimal at P */
    3730          49 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    3731          49 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    3732          49 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    3733          49 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    3734          49 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    3735          49 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    3736             :       }
    3737             :     }
    3738       93466 :     *good_red = 1;
    3739       93466 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    3740       93479 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    3741       93467 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    3742       93471 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    3743       93463 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    3744             :   }
    3745       93954 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    3746             : }
    3747             : 
    3748             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    3749             :  * basis */
    3750             : static GEN
    3751      533729 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    3752             : {
    3753             :   GEN P;
    3754      533729 :   if (!signe(a))
    3755        2569 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    3756      531160 :   else if (!signe(b))
    3757        1526 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    3758             :   else
    3759             :   {
    3760      529634 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    3761             :     long k, l;
    3762      529634 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    3763      412804 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    3764      412804 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    3765             :     /* d = gcd(A,B) */
    3766      412804 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    3767      412804 :     l = lg(P);
    3768      979678 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    3769      412804 :     P = shallowconcat1(P);
    3770      412804 :     ZV_sort_inplace(P);
    3771             :   }
    3772      416899 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    3773             : }
    3774             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    3775             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    3776             : static GEN
    3777      503958 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
    3778             : {
    3779             :   pari_sp av;
    3780      503958 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3781      503958 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3782      503958 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    3783             :   long l, k;
    3784             : 
    3785      503958 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    3786      503958 :   l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
    3787      391363 :   DP = coltrunc_init(l);
    3788      391363 :   av = avma;
    3789      391363 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    3790      391363 :   u = gen_1;
    3791      998221 :   for (k = 1; k < l; k++)
    3792             :   {
    3793      606858 :     GEN p = gel(P, k);
    3794      606858 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    3795      606858 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    3796             :     {
    3797       89397 :       case 2:
    3798             :       {
    3799             :         long a, b;
    3800       89397 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3801       89397 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3802       89397 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    3803       89397 :         break;
    3804             :       }
    3805       29022 :       case 3:
    3806       29022 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    3807       29022 :         break;
    3808             :     }
    3809      606858 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    3810      606858 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    3811             :   }
    3812      391363 :   if (pDP) *pDP = DP;
    3813      391363 :   return gc_INT(av, u);
    3814             : }
    3815             : 
    3816             : /* True nf. Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    3817             : static GEN
    3818          42 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    3819             : {
    3820          42 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    3821          42 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    3822          42 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E)), T = nf_get_pol(nf);
    3823             : 
    3824          42 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    3825          42 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    3826          42 :   s = nf_to_scalar_or_alg(nf, s);
    3827          42 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    3828          42 :   r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    3829          42 :   r = nf_to_scalar_or_alg(nf, r);
    3830          42 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    3831          42 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    3832          42 :   t = nf_to_scalar_or_alg(nf, t);
    3833          42 :   if (typ(r) == t_POL) r = mkpolmod(r, T);
    3834          42 :   if (typ(s) == t_POL) s = mkpolmod(s, T);
    3835          42 :   if (typ(t) == t_POL) t = mkpolmod(t, T);
    3836          42 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    3837             : }
    3838             : 
    3839             : static GEN
    3840       60648 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    3841             : {
    3842       60648 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    3843       60648 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    3844             : }
    3845             : static GEN
    3846       29771 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    3847             : {
    3848       29771 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    3849       29771 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    3850       29771 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    3851       29771 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    3852             : }
    3853             : static GEN
    3854        1106 : ellnf_D_primes(GEN E)
    3855             : {
    3856        1106 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    3857        1106 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    3858        1106 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    3859        1106 :   long k, l = lg(P);
    3860        2870 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    3861        1106 :   if (!is_pm1(DZ))
    3862             :   {
    3863         910 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    3864         910 :     settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
    3865             :   }
    3866        1106 :   return P;
    3867             : }
    3868             : 
    3869             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    3870             : static GEN
    3871       29554 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    3872             : {
    3873             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    3874       29554 :   long k, l = lg(P);
    3875       29554 :   Lr = vectrunc_init(l);
    3876       29554 :   Ls = vectrunc_init(l);
    3877       29554 :   Lt = vectrunc_init(l);
    3878       29554 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    3879       29554 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    3880      107723 :   for (k = 1; k < l; k++)
    3881             :   {
    3882       78169 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    3883             :     long vu;
    3884       78169 :     v = gel(q,3);
    3885       78169 :     u = gel(v,1);
    3886       78169 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    3887       78169 :     if (!vu) continue;
    3888       64295 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    3889       64295 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    3890       64295 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    3891       64295 :     vectrunc_append(L, pr);
    3892       64295 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    3893             :   }
    3894       29554 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    3895             : }
    3896             : /* E integral */
    3897             : static GEN
    3898       58660 : ellminimalprimes(GEN E)
    3899             : {
    3900             :   GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
    3901             :   long j, k, l;
    3902             : 
    3903       58660 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    3904       28665 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    3905       28665 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    3906       28665 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    3907       28665 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    3908       28665 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    3909       28665 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    3910       28665 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    3911      103068 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    3912             :   {
    3913       74403 :     GEN pr = gel(P, k);
    3914       74403 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    3915       74333 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    3916       74319 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    3917       74319 :     gel(P,j++) = pr;
    3918             :   }
    3919       28665 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    3920       28665 :   return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    3921             : }
    3922             : static GEN
    3923       29722 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
    3924             : {
    3925       29722 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    3926             :   long i, l;
    3927       29722 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    3928       29722 :   S = ellminimalprimes(E);
    3929       29722 :   L = gel(S,1);
    3930       29722 :   U = gel(S,2);
    3931       29722 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    3932       29722 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    3933       94339 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    3934       29722 :   P = factorback2(P, U);
    3935       29722 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    3936       29722 :   return P;
    3937             : }
    3938             : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
    3939             :  * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
    3940             : static GEN
    3941          63 : bnf_get_v(GEN E)
    3942             : {
    3943          63 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    3944             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    3945             : 
    3946          63 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    3947          63 :   S = ellminimalprimes(E);
    3948          63 :   L = gel(S,1);
    3949          63 :   U = gel(S,2);
    3950          63 :   Lr = gel(S,3);
    3951          63 :   Ls = gel(S,4);
    3952          63 :   Lt = gel(S,5);
    3953          63 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    3954          63 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    3955          42 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    3956          42 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    3957          42 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    3958          42 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    3959          42 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    3960          42 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    3961          42 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    3962             : }
    3963             : 
    3964             : GEN
    3965          70 : ellminimaldisc(GEN E)
    3966             : {
    3967          70 :   pari_sp av = avma;
    3968          70 :   checkell(E);
    3969          70 :   switch(ell_get_type(E))
    3970             :   {
    3971           7 :     case t_ELL_Q:
    3972           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    3973           7 :       return gc_INT(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
    3974          63 :     case t_ELL_NF:
    3975             :     {
    3976          63 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
    3977          63 :       E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
    3978          63 :       S = ellminimalprimes(E);
    3979          63 :       L = gel(S,1);
    3980          63 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    3981          63 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    3982          63 :       return gc_upto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    3983             :     }
    3984           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    3985             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    3986             :   }
    3987             : }
    3988             : 
    3989             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    3990             :  * ellminimalmodel(E) */
    3991             : static GEN
    3992      507570 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
    3993             : {
    3994             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    3995             :   ellmin_t M;
    3996      507570 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    3997             :   {
    3998        3626 :     if (lg(S) != 2)
    3999             :     {
    4000          70 :       E = gel(S,3);
    4001          70 :       v = gel(S,2);
    4002             :     }
    4003             :     else
    4004        3556 :       v = init_ch();
    4005        3626 :     if (ptv) *ptv = v;
    4006        3626 :     if (pS) *pS = S;
    4007        3626 :     return gcopy(E);
    4008             :   }
    4009      503944 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    4010      503944 :   u = ellQ_minimalu(e, &DP);
    4011      503944 :   min_set_all(&M, e, u);
    4012      503944 :   v = min_get_v(&M, e);
    4013      503944 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4014      503944 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4015      503944 :   if (is_trivial_change(v, NULL))
    4016             :   {
    4017      470281 :     v = init_ch();
    4018      470281 :     S = mkvec(DP);
    4019             :   }
    4020             :   else
    4021       33663 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4022      503944 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4023      503944 :   if (pS) *pS = S;
    4024      503944 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    4025             : }
    4026             : 
    4027             : static GEN
    4028       21399 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4029             : {
    4030       21399 :   pari_sp av = avma;
    4031       21399 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
    4032       21399 :   if (!is_trivial_change(v, NULL)) ch_Q(y, E, v);
    4033       21399 :   DP = gel(S,1);
    4034       21399 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4035       21399 :   if (!ptv) return gc_GEN(av, y);
    4036        1050 :   *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
    4037             : }
    4038             : 
    4039             : static GEN
    4040          63 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4041             : {
    4042             :   GEN S, y, v, v2;
    4043          63 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4044             :   {
    4045           0 :     switch(lg(S))
    4046             :     {
    4047           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    4048           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    4049           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    4050             :     }
    4051           0 :     *ptv = v;
    4052           0 :     return gcopy(E);
    4053             :   }
    4054          63 :   *ptv = NULL;
    4055          63 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    4056          63 :   v2 = bnf_get_v(y);
    4057          63 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4058             :   {
    4059          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    4060          21 :     return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
    4061             :   }
    4062          42 :   y = coordch(y, v2);
    4063          42 :   gcomposev(&v, v2);
    4064          42 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    4065          42 :   y = coordch(y, v2);
    4066             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4067          42 :   y = obj_reinit(y);
    4068          42 :   gcomposev(&v, v2);
    4069          42 :   if (is_trivial_change(v, NULL))
    4070             :   {
    4071           7 :     v = init_ch();
    4072           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    4073             :   }
    4074             :   else
    4075             :   {
    4076          35 :     v = lift_if_rational(v);
    4077          35 :     S = mkvec2(v, y);
    4078             :   }
    4079          42 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4080          42 :   *ptv = v; return y;
    4081             : }
    4082             : static GEN
    4083          63 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4084             : {
    4085          63 :   pari_sp av = avma;
    4086          63 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4087          63 :   if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    4088          63 :   if (!v || !ptv) return gc_GEN(av, y);
    4089          35 :   *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
    4090             : }
    4091             : GEN
    4092       21469 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4093             : {
    4094       21469 :   checkell(E);
    4095       21469 :   switch(ell_get_type(E))
    4096             :   {
    4097       21399 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4098          63 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4099           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4100             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4101             :   }
    4102             : }
    4103             : 
    4104             : /* return a model minimal among b models */
    4105             : GEN
    4106         966 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
    4107             : {
    4108         966 :   pari_sp av = avma;
    4109             :   GEN f, a1, a3;
    4110             : 
    4111         966 :   checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
    4112         966 :   a1 = ell_get_a1(f);
    4113         966 :   a3 = ell_get_a3(f);
    4114         966 :   if (!signe(a1) && !signe(a3))
    4115         336 :   { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
    4116             :   else
    4117             :   {
    4118         630 :     GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
    4119             :                    gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    4120         630 :     gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
    4121             :   }
    4122         966 :   if (f != e) ell_reset(f);
    4123         966 :   return gc_all(av, 2, &f, pv);
    4124             : }
    4125             : 
    4126             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4127             :  * update type-dependant components.
    4128             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4129             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4130             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4131             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4132             :  *   fa = factorization of N
    4133             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    4134             : static GEN
    4135      456708 : ellQ_globalred(GEN e)
    4136             : {
    4137             :   long k, l, iN;
    4138             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    4139             : 
    4140      456708 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
    4141      456708 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4142      456708 :   D  = ell_get_disc(E);
    4143      866733 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4144      456708 :   if (!is_pm1(D))
    4145             :   {
    4146      438774 :     P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
    4147      438774 :     ZV_sort_inplace(P);
    4148             :   }
    4149      456708 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4150      456708 :   iN = 1;
    4151      456708 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4152      456708 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4153      456708 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4154     1945118 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4155             :   {
    4156     1488410 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    4157     1488410 :     if (!signe(ex)) continue;
    4158     1488410 :     gel(NP, iN) = p;
    4159     1488410 :     gel(NE, iN) = ex;
    4160     1488410 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    4161     1488410 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    4162     1488410 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4163             :   }
    4164      456708 :   setlg(L, iN);
    4165      456708 :   setlg(NP, iN);
    4166      456708 :   setlg(NE, iN);
    4167      456708 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    4168             : }
    4169             : static GEN
    4170      469728 : ellglobalred_i(GEN E)
    4171      469728 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    4172             : 
    4173             : static GEN
    4174         980 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    4175             : {
    4176             :   GEN c, L, NP, NE;
    4177         980 :   long j, k, l = lg(P);
    4178         980 :   c = gen_1;
    4179         980 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4180         980 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4181         980 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4182        5068 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4183             :   {
    4184        4088 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    4185        4088 :     ex = gel(q,1);
    4186        4088 :     if (!signe(ex)) continue;
    4187        3857 :     gel(NP, j) = p;
    4188        3857 :     gel(NE, j) = ex;
    4189        3857 :     gel(L, j) = q; j++;
    4190        3857 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4191             :   }
    4192         980 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    4193         980 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    4194             : }
    4195             : 
    4196             : static GEN
    4197         980 : ellnfglobalred(GEN E0)
    4198             : {
    4199             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    4200             :   long j, k, l;
    4201             : 
    4202         980 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4203         980 :   if (!v) v = init_ch();
    4204         980 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4205         980 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    4206         980 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    4207         980 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    4208         980 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4209        7700 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4210             :   {
    4211        6720 :     GEN p = gel(P,k);
    4212        6720 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    4213        4088 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    4214        4088 :     gel(P,j++) = p;
    4215             :   }
    4216         980 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4217         980 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    4218         889 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4219         980 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    4220             : }
    4221             : 
    4222             : GEN
    4223      454223 : ellglobalred(GEN E)
    4224             : {
    4225      454223 :   pari_sp av = avma;
    4226             :   GEN S, gr, v;
    4227      454223 :   checkell(E);
    4228      454223 :   switch(ell_get_type(E))
    4229             :   {
    4230           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    4231      452949 :     case t_ELL_Q:
    4232      452949 :       gr = ellglobalred_i(E);
    4233      452949 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4234      452949 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    4235      452949 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    4236      452949 :       break;
    4237        1274 :     case t_ELL_NF:
    4238        1274 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    4239        1274 :       break;
    4240             :   }
    4241      454223 :   return gc_GEN(av, v);
    4242             : }
    4243             : 
    4244             : static GEN doellrootno(GEN e);
    4245             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    4246             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    4247             :  * and E (shallow insert) */
    4248             : GEN
    4249        4543 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    4250             : {
    4251        4543 :   GEN E, S, v = NULL;
    4252        4543 :   checkell_Q(e);
    4253        4543 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    4254             :   {
    4255         406 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
    4256         406 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4257             :   }
    4258        4137 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    4259        4123 :     E = e;
    4260             :   else
    4261             :   {
    4262          14 :     v = gel(S,2);
    4263          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    4264          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4265             :   }
    4266        4543 :   if (ch) *ch = v;
    4267        4543 :   S = ellglobalred_i(e);
    4268        4543 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    4269        4543 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    4270        4543 :   if (!S)
    4271             :   {
    4272        3248 :     S = doellrootno(E);
    4273        3248 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    4274             :   }
    4275        4543 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    4276        4543 :   return E;
    4277             : }
    4278             : 
    4279             : static long
    4280        9632 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
    4281             : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
    4282             :  * d'une courbe elliptique" */
    4283             : GEN
    4284       19747 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
    4285             : {
    4286       19747 :   GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
    4287       19747 :   if (s == 1)
    4288       10164 :     w = gel(w,1);
    4289        9583 :   else if (nb_real_components(E) == 2)
    4290        5334 :     w = gneg(gel(w,2));
    4291             :   else
    4292        4249 :     w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
    4293       19747 :   return w;
    4294             : }
    4295             : 
    4296             : static GEN
    4297          49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    4298             : {
    4299          49 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4300          49 :   return muliu(tam, nb_real_components(e));
    4301             : }
    4302             : 
    4303             : static GEN
    4304         882 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    4305             : {
    4306         882 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4307         882 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    4308             :   long r1, r2;
    4309         882 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    4310         882 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    4311             : }
    4312             : 
    4313             : GEN
    4314          49 : elltamagawa(GEN E)
    4315             : {
    4316          49 :   pari_sp av = avma;
    4317             :   GEN v;
    4318          49 :   checkell(E);
    4319          49 :   switch(ell_get_type(E))
    4320             :   {
    4321           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    4322          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    4323          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    4324             :   }
    4325          49 :   return gc_INT(av, v);
    4326             : }
    4327             : 
    4328             : static GEN
    4329       58660 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
    4330             : {
    4331       58660 :   GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
    4332       58660 :   if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
    4333       46081 :   if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
    4334       29351 :   return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
    4335             : }
    4336             : /* true nf, use nf prec */
    4337             : static GEN
    4338      206843 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
    4339             : {
    4340             :   long r1, r2;
    4341             :   GEN cx;
    4342      206843 :   nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
    4343      206843 :   x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
    4344      206843 :   if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
    4345        3276 :   x = Q_primitive_part(x, &cx);
    4346        3276 :   x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
    4347        3276 :   if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
    4348        3276 :   return x;
    4349             : }
    4350             : static long
    4351       58660 : nfembed_extraprec(GEN x)
    4352       58660 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
    4353             : GEN
    4354       29841 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    4355             : {
    4356       29841 :   GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
    4357             :   long prec0, r1, r2, n, i;
    4358             : 
    4359       29841 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
    4360       29841 :   E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
    4361       29841 :   prec0 = prec + EXTRAPREC64;
    4362             :   /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
    4363       29841 :   prec += 3*prec0 + nfembed_extraprec(E0);
    4364       29841 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    4365       29841 :   sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
    4366             :   for(;;)
    4367             :   {
    4368       29841 :     nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    4369      179046 :     for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
    4370       91210 :     for (i=1; i<=n; i++)
    4371             :     {
    4372             :       GEN Ei, r;
    4373             :       long j;
    4374      368214 :       for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    4375       61369 :       gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
    4376       61369 :       if (!Ei) break;
    4377       61369 :       r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
    4378       61369 :       if (!r) break;
    4379             :     }
    4380       29841 :     if (i > n) return L;
    4381           0 :     prec = precdbl(prec);
    4382           0 :     if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
    4383             :   }
    4384             : }
    4385             : 
    4386             : GEN
    4387       28819 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
    4388             : {
    4389       28819 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
    4390             :   long i, l;
    4391       28819 :   P = RgC_to_nfC(nf, P);
    4392       28819 :   prec += nfembed_extraprec(P);
    4393       28819 :   nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    4394       28819 :   Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
    4395       28819 :   Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
    4396       28819 :   l = lg(Px); L =  cgetg(l, t_VEC);
    4397       86436 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    4398       28819 :   return L;
    4399             : }
    4400             : 
    4401             : void
    4402        1029 : ellnfembed_free(GEN L)
    4403             : {
    4404        1029 :   long i, l = lg(L);
    4405        4795 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    4406        1029 : }
    4407             : 
    4408             : static GEN
    4409         168 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    4410             : {
    4411         168 :   pari_sp av = avma;
    4412         168 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    4413         168 :   long i, l = lg(V);
    4414         168 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    4415         448 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    4416         168 :   ellnfembed_free(V);
    4417         168 :   return gc_GEN(av, P);
    4418             : }
    4419             : 
    4420             : GEN
    4421          91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    4422          91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    4423             : 
    4424             : GEN
    4425          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    4426          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    4427             : 
    4428             : GEN
    4429          49 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    4430          49 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    4431             : 
    4432             : static GEN
    4433         854 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    4434             : {
    4435         854 :   pari_sp av = avma;
    4436         854 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
    4437         854 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    4438        4326 :   for(i = 1; i < l; i++)
    4439             :   {
    4440        3472 :     GEN e = gel(Eb, i);
    4441        3472 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    4442        3472 :     per = mulrr(per, pi);
    4443             :   }
    4444         854 :   ellnfembed_free(Eb);
    4445         854 :   return gc_leaf(av, per);
    4446             : }
    4447             : static GEN
    4448         854 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    4449             : {
    4450         854 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    4451         854 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    4452             : }
    4453             : 
    4454             : static GEN
    4455          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    4456             : {
    4457          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    4458          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    4459          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    4460          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    4461             : }
    4462             : 
    4463             : static GEN
    4464          28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    4465             : {
    4466          28 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    4467          28 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    4468          28 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    4469          28 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4470          28 :   if (lg(S) != 2)
    4471             :   { /* switch to minimal model if needed */
    4472          21 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    4473          21 :     per = gmul(per,u);
    4474             :   }
    4475          28 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    4476             : }
    4477             : 
    4478             : GEN
    4479          70 : ellbsd(GEN E, long prec)
    4480             : {
    4481          70 :   pari_sp av = avma;
    4482             :   GEN v;
    4483          70 :   checkell(E);
    4484          70 :   switch(ell_get_type(E))
    4485             :   {
    4486           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    4487          28 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    4488          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    4489             :   }
    4490          70 :   return gc_upto(av, v);
    4491             : }
    4492             : 
    4493             : static GEN
    4494       33680 : QE_to_ZJ(GEN P)
    4495             : {
    4496       33680 :   if (ell_is_inf(P))
    4497           0 :     return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
    4498             :   else
    4499             :   {
    4500       33680 :     pari_sp av = avma;
    4501       33680 :     GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
    4502       33680 :     GEN R  = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
    4503       33680 :     GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
    4504       33680 :     GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
    4505       33680 :     GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
    4506       33680 :     GEN Z  = denom(mkvec2(Q1, Q2));
    4507       33680 :     GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
    4508       33680 :     return gc_GEN(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
    4509             :   }
    4510             : }
    4511             : 
    4512             : static GEN
    4513        4460 : QEV_to_ZJV(GEN x)
    4514       38098 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
    4515             : 
    4516             : static GEN
    4517       15322 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
    4518             : {
    4519      168280 :   pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
    4520             : }
    4521             : 
    4522             : static GEN
    4523       10789 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
    4524             : {
    4525       10789 :   long i, j, k, l = lg(A);
    4526             :   GEN B, Q;
    4527       34026 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
    4528       23237 :     if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
    4529       10789 :   if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
    4530         155 :   B = cgetg(k, t_VEC);
    4531         155 :   Q = cgetg(k, typ(P));
    4532         735 :   for (i = j = 1; i < l; i++)
    4533         580 :     if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
    4534         155 :   *pQ = Q; return B;
    4535             : }
    4536             : 
    4537             : static GEN
    4538        5332 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
    4539             : {
    4540        5332 :   GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
    4541        5332 :   return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
    4542             : }
    4543             : 
    4544             : static GEN
    4545       15732 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
    4546             : {
    4547       15732 :   pari_sp av = avma;
    4548       15732 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    4549       15732 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4550       15732 :   ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
    4551             :   GEN a4a6, a, Hp;
    4552       15732 :   ulong d = 1;
    4553       15732 :   if (l != 1)
    4554             :   {
    4555         648 :     GEN c6 = ell_get_c6(E);
    4556         648 :     ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
    4557         648 :     ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    4558         648 :     d = Fl_invsafe(l % c, c);
    4559         648 :     if (!d) return NULL;
    4560             :   }
    4561       15322 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    4562       15322 :   a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
    4563       15322 :   Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
    4564       15322 :   if (d != 1)
    4565         238 :     Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
    4566       15322 :   Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
    4567       15322 :   Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
    4568       15322 :   return gc_leaf(av, Hp);
    4569             : }
    4570             : 
    4571             : static GEN
    4572        8741 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
    4573             : {
    4574        8741 :   pari_sp av = avma;
    4575        8741 :   long i, n = lg(P)-1;
    4576        8741 :   long CM = ellQ_get_CM(E);
    4577             :   GEN H, T, B, Q;
    4578        8741 :   if (n == 1)
    4579             :   {
    4580        3284 :     ulong p = uel(P,1);
    4581        3284 :     GEN Hp = ellQ_factorback1(ZVV_to_FlvV(A, p), L, l, E, CM, p);
    4582        3284 :     if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
    4583        3260 :     *mod = utoi(p);
    4584        3260 :     return Flv_to_ZV(Hp);
    4585             :   }
    4586        5457 :   T = ZV_producttree(P);
    4587        5457 :   A = ZVV_nv_mod_tree(A, P, T);
    4588        5457 :   H = cgetg(n+1, t_VEC);
    4589       17905 :   for(i=1; i <= n; i++)
    4590             :   {
    4591       12448 :     gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
    4592       12448 :     if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
    4593             :   }
    4594        5457 :   B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
    4595        5457 :   if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
    4596        5457 :   H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
    4597        5457 :   *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
    4598             : }
    4599             : 
    4600             : GEN
    4601        8741 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
    4602             : {
    4603        8741 :   GEN V = cgetg(3, t_VEC);
    4604        8741 :   gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
    4605        8741 :   return V;
    4606             : }
    4607             : 
    4608             : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
    4609             : static long
    4610        4214 : ZV_is_ei(GEN v)
    4611             : {
    4612        4214 :   long i, ei = 0;
    4613       15081 :   for (i = lg(v)-1; i; i--)
    4614       14109 :     if (signe(gel(v,i)))
    4615             :     {
    4616        5825 :       if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
    4617        2583 :       ei = i;
    4618             :     }
    4619         972 :   return ei;
    4620             : }
    4621             : 
    4622             : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
    4623             :  * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
    4624             :  * torsion */
    4625             : static GEN
    4626        4228 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
    4627             : {
    4628        4228 :   pari_sp av = avma;
    4629        4228 :   GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
    4630             :   forprime_t S;
    4631        4228 :   ulong bound = 1;
    4632             : 
    4633        4228 :   if (l == 1)
    4634             :   {
    4635        4214 :     long i = ZV_is_ei(L);
    4636        4214 :     if (i) return gel(A,i);
    4637             :   }
    4638        3256 :   hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
    4639        3256 :   D = ell_get_disc(E);
    4640        3256 :   worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
    4641             :                        mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
    4642        3256 :   if (l==1)
    4643        3242 :     init_modular_big(&S);
    4644             :   else
    4645          14 :     init_modular_small(&S);
    4646        3256 :   for (bound = 1;; bound <<= 1)
    4647        3564 :   {
    4648             :     GEN amax, r;
    4649        6820 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
    4650             :                &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
    4651        6820 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    4652        6820 :     if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
    4653        3826 :                        && oncurve_exact(E,r))
    4654             :     {
    4655             :       GEN g;
    4656        3256 :       settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
    4657        3256 :       if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec/2)
    4658        3256 :         return gc_upto(av, r);
    4659             :     }
    4660        3564 :     if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
    4661             :   }
    4662             : }
    4663             : 
    4664             : GEN
    4665         833 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
    4666             : {
    4667         833 :   pari_sp av = avma;
    4668         833 :   long i, j, l = lg(G);
    4669         833 :   GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
    4670             : 
    4671         833 :   if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
    4672             :   while(1)
    4673             :   {
    4674         833 :     L = lllgram(M);
    4675         833 :     if (L) break;
    4676           0 :     prec = precdbl(prec);
    4677           0 :     M = ellheightmatrix(E, G, prec);
    4678             :   }
    4679         833 :   l = lg(L); /* can decrease */
    4680        4914 :   for (i = j = 1; i < l; i++)
    4681             :   {
    4682        4081 :     GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
    4683        4081 :     if (expo(h) > -prec/2)
    4684        4081 :       gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
    4685             :   }
    4686         833 :   setlg(V, j); return gc_GEN(av, V);
    4687             : }
    4688             : 
    4689             : static long
    4690          42 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
    4691             : {
    4692          42 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4693          42 :   pari_sp av = avma;
    4694             :   long m;
    4695        2247 :   for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
    4696             :   {
    4697        2219 :     ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
    4698        2219 :     if (dvdiu(D, p)) continue;
    4699        2219 :     Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    4700        2219 :     o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    4701        2219 :     if (o % l == 0)
    4702             :     {
    4703         294 :       ulong pi = get_Fl_red(p);
    4704         294 :       GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    4705         294 :       GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
    4706         294 :       GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
    4707         294 :       if (uel(R, 3) != 0) return 0;
    4708         280 :       m++;
    4709             :     }
    4710             :   }
    4711          28 :   return 1;
    4712             : }
    4713             : 
    4714             : /* Assume l prime to 210 */
    4715             : GEN
    4716          42 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
    4717             : {
    4718          42 :   pari_sp av = avma;
    4719          42 :   GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
    4720             :   forprime_t S, U;
    4721          42 :   long CM = ellQ_get_CM(E);
    4722             :   ulong bound;
    4723             : 
    4724          42 :   u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
    4725          42 :   if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
    4726          28 :   worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
    4727             :                        mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
    4728          28 :   init_modular_small(&S);
    4729          28 :   for (bound = 1;; bound <<= 1)
    4730          62 :   {
    4731             :     GEN amax, r;
    4732          90 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
    4733             :                &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
    4734          90 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    4735          90 :     if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
    4736          29 :                        && oncurve_exact(E,r))
    4737             :     {
    4738          28 :       settyp(r,t_VEC);
    4739          28 :       if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gc_upto(av, r);
    4740           0 :       if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
    4741             :     }
    4742             :   }
    4743             : }
    4744             : 
    4745             : /********************************************************************/
    4746             : /**                                                                **/
    4747             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    4748             : /**                                                                **/
    4749             : /********************************************************************/
    4750             : /* x a t_INT */
    4751             : static long
    4752        9282 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    4753             : {
    4754             :   long v;
    4755             :   GEN z;
    4756        9282 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    4757        9058 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    4758        9058 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    4759             : }
    4760             : static void
    4761        3094 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    4762             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    4763             : {
    4764        3094 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    4765        3094 :   pari_sp av = avma;
    4766        3094 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    4767        3094 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    4768        3094 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
    4769        3094 : }
    4770             : 
    4771             : static long
    4772        3094 : kod_23(GEN e, long p)
    4773             : {
    4774             :   GEN S, nv;
    4775        3094 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    4776             :   {
    4777        3073 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    4778        3073 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    4779             :   }
    4780             :   else
    4781          21 :     nv = localred_23(e, p);
    4782        3094 :   return itos(gel(nv,2));
    4783             : }
    4784             : 
    4785             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    4786             : static long
    4787        1673 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    4788             : {
    4789        1673 :   if (kod > 4) return 1;
    4790         784 :   switch(kod)
    4791             :   {
    4792           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    4793          49 :     case 2:
    4794          49 :       if (vD==4) return 1;
    4795             :       else
    4796             :       {
    4797           7 :         if (vD==7) return 3;
    4798           7 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    4799             :       }
    4800         112 :     case 3:
    4801         112 :       switch(vD)
    4802             :       {
    4803          70 :         case 6: return 3;
    4804           0 :         case 8: return 4;
    4805          14 :         case 9: return 5;
    4806          28 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    4807             :       }
    4808         133 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    4809          84 :     case -1:
    4810          84 :       switch(vD)
    4811             :       {
    4812          42 :         case 9: return 2;
    4813           0 :         case 10: return 4;
    4814          42 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    4815             :       }
    4816          56 :     case -2:
    4817          56 :       switch(vD)
    4818             :       {
    4819           7 :         case 12: return 2;
    4820           0 :         case 14: return 3;
    4821          49 :         default: return 1;
    4822             :       }
    4823          56 :     case -3:
    4824          56 :       switch(vD)
    4825             :       {
    4826           0 :         case 12: return 2;
    4827           0 :         case 14: return 3;
    4828           0 :         case 15: return 4;
    4829          56 :         default: return 1;
    4830             :       }
    4831         140 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    4832          56 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    4833          42 :     case -6:
    4834          42 :       switch(vD)
    4835             :       {
    4836          14 :         case 12: return 2;
    4837           0 :         case 13: return 3;
    4838          28 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    4839             :       }
    4840          35 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    4841          21 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    4842             :   }
    4843             : }
    4844             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    4845             : static long
    4846         595 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    4847             : {
    4848         595 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    4849         322 :   switch(kod)
    4850             :   {
    4851          49 :     case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
    4852         140 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
    4853          91 :     case -4: case 2:
    4854          91 :       switch (vD%6)
    4855             :       {
    4856           0 :         case 4: return 3;
    4857           0 :         case 5: return 4;
    4858          91 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    4859             :       }
    4860          42 :     default: /* kod = -2 et 4 */
    4861          42 :       switch (vD%6)
    4862             :       {
    4863           0 :         case 0: return 2;
    4864           0 :         case 1: return 3;
    4865          42 :         default: return 1;
    4866             :       }
    4867             :   }
    4868             : }
    4869             : 
    4870             : static long
    4871        1673 : ellrootno_2(GEN e)
    4872             : {
    4873             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    4874        1673 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    4875             : 
    4876        1673 :   if (!vD) return 1;
    4877        1673 :   if (d) { /* not minimal */
    4878             :     ellmin_t M;
    4879          14 :     min_set_2(&M, e, d);
    4880          14 :     min_set_D(&M, e);
    4881          14 :     e = min_to_ell(&M, e);
    4882             :   }
    4883        1673 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    4884        1673 :   kod = kod_23(e,2);
    4885        1673 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    4886        1673 :   if (kod>=5)
    4887             :   {
    4888             :     long a2, a3;
    4889         889 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    4890         889 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    4891         889 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    4892             :   }
    4893         784 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    4894         777 :   x1 = u+v+v;
    4895         777 :   switch(kod)
    4896             :   {
    4897           0 :     case 1: return 1;
    4898          49 :     case 2:
    4899             :       switch(n2)
    4900             :       {
    4901          42 :         case 1:
    4902          42 :           switch(v4)
    4903             :           {
    4904          14 :             case 4: return kross(-1,u);
    4905          14 :             case 5: return 1;
    4906          14 :             default: return -1;
    4907             :           }
    4908           7 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    4909           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    4910           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    4911           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    4912             :       }
    4913             :     case 3:
    4914             :       switch(n2)
    4915             :       {
    4916           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    4917          21 :         case 2: return -kross(2,v);
    4918          70 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    4919          70 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    4920           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    4921          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    4922             :       }
    4923             :     case -1:
    4924             :       switch(n2)
    4925             :       {
    4926          42 :         case 1: return -kross(2,x1);
    4927          42 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    4928           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    4929           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    4930           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    4931             :       }
    4932          56 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    4933          56 :     case -3:
    4934             :       switch(n2)
    4935             :       {
    4936          56 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    4937          56 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    4938           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    4939           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    4940           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    4941             :       }
    4942             :     case -5:
    4943          56 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    4944           7 :       else return -kross(2,2*u+v);
    4945          42 :     case -6:
    4946             :       switch(n2)
    4947             :       {
    4948          28 :         case 1: return 1;
    4949          14 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    4950           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    4951             :       }
    4952             :     case -7:
    4953          35 :       if (n2==1) return 1;
    4954             :       else
    4955             :       {
    4956          21 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    4957          21 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    4958           7 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    4959             :       }
    4960           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    4961          14 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    4962         273 :     default: return -1;
    4963             :   }
    4964             : }
    4965             : 
    4966             : static long
    4967        1421 : ellrootno_3(GEN e)
    4968             : {
    4969             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    4970        1421 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    4971             : 
    4972        1421 :   if (!vD) return 1;
    4973        1421 :   if (d) { /* not minimal */
    4974             :     ellmin_t M;
    4975           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    4976           0 :     min_set_a(&M);
    4977           0 :     min_set_D(&M, e);
    4978           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    4979             :   }
    4980        1421 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    4981        1421 :   kod = kod_23(e,3);
    4982        1421 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    4983         595 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    4984         595 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    4985         595 :   switch(kod)
    4986             :   {
    4987         140 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    4988          21 :     case 2:
    4989             :       switch(n2)
    4990             :       {
    4991          21 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    4992           0 :         case 2: return -K4*K6;
    4993           0 :         case 3: return 1;
    4994           0 :         case 4: return -K6;
    4995             :       }
    4996             :     case 4:
    4997             :       switch(n2)
    4998             :       {
    4999          21 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5000           0 :         case 2: return -K4;
    5001           0 :         case 3: return -K6;
    5002             :       }
    5003          21 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5004          70 :     case -4:
    5005             :       switch(n2)
    5006             :       {
    5007          63 :         case 1:
    5008          63 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5009          49 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5010           7 :         case 2: return -K6;
    5011           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5012           0 :         case 4: return K6;
    5013             :       }
    5014         322 :     default: return -1;
    5015             :   }
    5016             : }
    5017             : 
    5018             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5019             : static long
    5020        3374 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5021             : {
    5022             :   long nuj, nuD, nu;
    5023        3374 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5024             :   long ep, z;
    5025             : 
    5026        3374 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5027        3374 :   if (!nuD) return 1;
    5028        3374 :   nuj = j_pval(e, p);
    5029        3374 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5030        3374 :   if (nu == 0)
    5031             :   {
    5032             :     GEN c6;
    5033             :     long d, vg;
    5034        2919 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5035             :    /* p || N */
    5036        2919 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5037        2919 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5038        2919 :     d = vg / 12;
    5039        2919 :     if (d)
    5040             :     {
    5041           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5042           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5043             :     }
    5044        2919 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5045             :     /* c6 in minimal model */
    5046        2919 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5047             :   }
    5048         455 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5049         301 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5050         301 :   if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
    5051         301 :   return krosi(-z, p);
    5052             : }
    5053             : 
    5054             : static GEN
    5055        3262 : doellrootno(GEN e)
    5056             : {
    5057        3262 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5058        3262 :   long i, l, s = -1;
    5059             : 
    5060        3262 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5061        3262 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5062        3262 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5063        3262 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5064        9702 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5065             :   {
    5066        6440 :     GEN p = gel(P,i);
    5067             :     long t;
    5068        6440 :     switch(itou_or_0(p))
    5069             :     {
    5070        1652 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5071        1421 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5072        3367 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5073             :     }
    5074        6440 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5075             :   }
    5076        3262 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5077             : }
    5078             : 
    5079             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5080             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5081             : static long
    5082          91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    5083             : {
    5084          91 :   pari_sp av = avma;
    5085             :   GEN S;
    5086             :   long s;
    5087          91 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5088          77 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5089          77 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5090             :   {
    5091          49 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5092          49 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5093          49 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5094           0 :     return 1;
    5095             :   }
    5096          28 :   switch(itou_or_0(p))
    5097             :   {
    5098          21 :     case 2:
    5099          21 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5100          21 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5101           0 :     case 3:
    5102           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5103           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5104           7 :     default:
    5105           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5106             :   }
    5107          28 :   return gc_long(av, s);
    5108             : }
    5109             : 
    5110             : /* global root number over number field
    5111             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    5112             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    5113             :  */
    5114             : 
    5115             : static GEN
    5116         364 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    5117             : {
    5118             :   long i;
    5119         364 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5120        2184 :   for(i=1; i<=5; i++)
    5121        1820 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    5122         364 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    5123             : }
    5124             : 
    5125             : static GEN
    5126         287 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    5127             : {
    5128         287 :   long v = fetch_var_higher();
    5129         287 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    5130         287 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    5131         287 :   delete_var();
    5132         287 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    5133             : }
    5134             : 
    5135             : static GEN
    5136         245 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN C, GEN z, long prec)
    5137             : {
    5138         245 :   pari_sp av = avma;
    5139         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5140         245 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, mkvec2(P, C), 1);
    5141         245 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5142         245 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    5143         245 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    5144         245 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    5145         245 :   return gc_GEN(av, mkvec2(c1,c2));
    5146             : }
    5147             : 
    5148             : static long
    5149         287 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    5150         287 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    5151             : 
    5152             : static long
    5153         168 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    5154             : {
    5155         168 :   pari_sp av = avma;
    5156         168 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5157         168 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    5158         168 :   long v, var = fetch_var_higher();
    5159             :   GEN F;
    5160         168 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    5161         168 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel(E, var));
    5162         168 :   if (lg(F)>1)
    5163             :   {
    5164          42 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    5165          42 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5166          42 :     obj_free(Et);
    5167          42 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    5168             :   } else
    5169             :   {
    5170         126 :     GEN C = ellnf_D_primes(E);
    5171         126 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
    5172         126 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E, var), utoi(4)), 4);
    5173         126 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, C, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
    5174         126 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    5175         126 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    5176         126 :     if (lg(F)>1)
    5177           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    5178             :     else
    5179             :     {
    5180         119 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5181         119 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    5182         119 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), C, gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    5183         119 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    5184         119 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,mkvec2(D,C),1);
    5185         119 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5186         119 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5187         119 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    5188         119 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    5189         119 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    5190         119 :       v = odd(v2+v3);
    5191             :     }
    5192             :   }
    5193         168 :   delete_var();
    5194         168 :   return gc_long(av, v? -1: 1);
    5195             : }
    5196             : 
    5197             : static GEN
    5198         168 : doellnfrootno(GEN e)
    5199         168 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    5200             : 
    5201             : long
    5202        4592 : ellrootno_global(GEN e)
    5203             : {
    5204        4592 :   pari_sp av = avma;
    5205             :   GEN S;
    5206        4592 :   switch(ell_get_type(e))
    5207             :   {
    5208        4270 :     case t_ELL_Q:
    5209        4270 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    5210        4270 :       break;
    5211         322 :     case t_ELL_NF:
    5212         322 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    5213         322 :       break;
    5214           0 :     default:
    5215             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5216             :   }
    5217        4592 :   return gc_long(av, itos(S));
    5218             : }
    5219             : 
    5220             : long
    5221         210 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5222             : {
    5223         210 :   checkell(e);
    5224         210 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5225         210 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5226         210 :   switch(ell_get_type(e))
    5227             :   {
    5228          91 :     case t_ELL_Q:
    5229          91 :       return ellQ_rootno(e, p);
    5230           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    5231         119 :     case t_ELL_NF:
    5232         119 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    5233         119 :       return ellrootno_global(e);
    5234             :   }
    5235             : }
    5236             : 
    5237             : /********************************************************************/
    5238             : /**                                                                **/
    5239             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5240             : /**                                                                **/
    5241             : /********************************************************************/
    5242             : 
    5243             : /* assume p does not divide disc E */
    5244             : long
    5245     1135064 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5246             : {
    5247             :   ulong a4, a6;
    5248     1135064 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5249     1131669 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5250     1127091 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5251     1127091 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5252             : }
    5253             : 
    5254             : static void
    5255         693 : checkell_int(GEN e)
    5256             : {
    5257         693 :   checkell_Q(e);
    5258         693 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5259         693 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5260         693 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5261         693 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5262         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5263         693 : }
    5264             : 
    5265             : long
    5266       20382 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5267             : {
    5268       20382 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5269       20382 :   if (typ(j) != t_INT) return 0;
    5270        1226 :   if (is_bigint(j))
    5271             :   {
    5272             : #ifndef LONG_IS_64BIT
    5273           4 :     if (signe(j) < 0)
    5274             :     {
    5275           4 :       pari_sp av = avma;
    5276           4 :       if (absequalii(j, uu32toi(0x22UL,0x45ae8000UL))) return gc_long(av,-67);
    5277           2 :       if (absequalii(j, uu32toi(0x03a4b862,0xc4b40000UL))) return gc_long(av,-163);
    5278             :     }
    5279             : #endif
    5280           0 :     return 0;
    5281             :   }
    5282        1222 :   switch(signe(j))
    5283             :   {
    5284         372 :     default: return -3; /* j = 0 */
    5285         567 :     case 1:
    5286         567 :       switch(j[2])
    5287             :       {
    5288         266 :       case 1728: return -4;
    5289          28 :       case 8000: return -8;
    5290          70 :       case 54000: return -12;
    5291         112 :       case 287496: return -16;
    5292          70 :       case 16581375: return -28;
    5293          21 :       default: return 0;
    5294             :       }
    5295         283 :     case -1:
    5296         283 :       switch(j[2]) {
    5297          84 :       case 3375: return -7;
    5298          28 :       case 32768: return -11;
    5299          14 :       case 884736: return -19;
    5300          77 :       case 12288000: return -27;
    5301          14 :       case 884736000: return -43;
    5302             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    5303          12 :       case 147197952000L: return -67;
    5304          12 :       case 262537412640768000L: return -163;
    5305             : #endif
    5306          42 :       default: return 0;
    5307             :     }
    5308             :   }
    5309             : }
    5310             : 
    5311             : static long
    5312          56 : ellnf_get_CM(GEN E)
    5313             : {
    5314          56 :   long av = avma;
    5315          56 :   GEN j = ell_get_j(E), nf = ellnf_get_nf(E);
    5316          56 :   GEN P = minpoly(basistoalg(nf, j), 0);
    5317          56 :   return gc_long(av, polisclass(P));
    5318             : }
    5319             : 
    5320             : long
    5321         154 : elliscm(GEN E)
    5322             : {
    5323         154 :   checkell(E);
    5324         154 :   switch(ell_get_type(E))
    5325             :   {
    5326          98 :     case t_ELL_Q:  return ellQ_get_CM(E);
    5327          56 :     case t_ELL_NF: return ellnf_get_CM(E);
    5328           0 :     default: pari_err_TYPE("elliscm", E);
    5329             :              return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5330             :   }
    5331             : }
    5332             : 
    5333             : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
    5334             : static GEN
    5335     2422050 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    5336             : {
    5337     2422050 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    5338     2421989 :   if (!signe(D))
    5339             :   {
    5340       98000 :     pari_sp av = avma;
    5341       98000 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    5342       98000 :     return gc_INT(av, subii(addiu(p,1), ap));
    5343             :   }
    5344     2323989 :   *good_red = 1;
    5345     2323989 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    5346     2322239 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    5347     2320616 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    5348     2320399 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    5349             : }
    5350             : 
    5351             : 
    5352             : /* bad reduction at p */
    5353             : static void
    5354       12544 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    5355             : {
    5356             :   ulong m, N;
    5357       12544 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    5358             :   {
    5359        4424 :     case -1: /* nonsplit */
    5360        4424 :       N = n/p;
    5361      661801 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5362      657377 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    5363        4424 :       break;
    5364        3794 :     case 0: /* additive */
    5365     7819392 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    5366        3794 :       break;
    5367        4326 :     case 1: /* split */
    5368        4326 :       N = n/p;
    5369      386358 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5370      382032 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    5371        4326 :       break;
    5372             :   }
    5373       12544 : }
    5374             : /* good reduction at p */
    5375             : static void
    5376     1069698 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    5377             : {
    5378     1069698 :   const long ap = an[p];
    5379             :   ulong m;
    5380     1069698 :   if (p <= SQRTn) {
    5381       32830 :     ulong pk, oldpk = 1;
    5382      128912 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    5383             :     {
    5384       96082 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    5385    12318425 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    5386    12222343 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    5387             :     }
    5388             :   } else {
    5389     6170052 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    5390     5133184 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    5391             :   }
    5392     1069698 : }
    5393             : static void
    5394     1082242 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    5395             : {
    5396     1082242 :   if (good_red)
    5397     1069698 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    5398             :   else
    5399       12544 :     sievep_bad(p, an, n);
    5400     1082242 : }
    5401             : 
    5402             : static long
    5403     1082242 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    5404             : {
    5405     1082242 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
    5406       12600 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    5407             :   else /* good reduction */
    5408             :   {
    5409     1069642 :     *good_red = 1;
    5410     1069642 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    5411             :   }
    5412             : }
    5413             : GEN
    5414        6699 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    5415             : {
    5416             :   pari_sp av;
    5417        6699 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    5418             :   GEN an;
    5419             :   int CM;
    5420             : 
    5421        6699 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    5422        6699 :   if (n >= LGBITS)
    5423           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    5424        6699 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    5425        6699 :   SQRTn = usqrt(n);
    5426        6699 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    5427             : 
    5428        6699 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    5429        6699 :   an[1] = 1; av = avma;
    5430     9823688 :   for (p=2; p<=n; p++)
    5431             :   {
    5432             :     int good_red;
    5433     9816989 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    5434     1082242 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    5435     1082242 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    5436             :   }
    5437        6699 :   set_avma(av); return an;
    5438             : }
    5439             : 
    5440             : static GEN
    5441          77 : ellQ_charpoly(GEN e, GEN p)
    5442             : {
    5443          77 :   pari_sp av = avma;
    5444             :   int good_red;
    5445          77 :   GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
    5446          77 :   GEN ap = subii(addiu(p, 1), card), T;
    5447          77 :   if (good_red)
    5448          63 :     T =  deg2pol_shallow(gen_1, gneg(ap), p, 0);
    5449          14 :   else if (!signe(ap)) { set_avma(av); return pol_1(0); }
    5450           7 :   else T = deg1pol_shallow(gen_1, negi(ap), 0);
    5451          70 :   return gc_GEN(av, T);
    5452             : }
    5453             : 
    5454             : static GEN
    5455          49 : ellnf_charpoly(GEN e, GEN pr)
    5456             : {
    5457          49 :   pari_sp av = avma;
    5458             :   int good_red;
    5459          49 :   GEN T, ap = ellnfap(e, pr, &good_red);
    5460          49 :   if (good_red)
    5461          35 :     T =  deg2pol_shallow(gen_1, gneg(ap), pr_norm(pr), 0);
    5462          14 :   else if (!signe(ap)) { set_avma(av); return pol_1(0); }
    5463          14 :   else T = deg1pol_shallow(gen_1, negi(ap), 0);
    5464          49 :   return gc_GEN(av, T);
    5465             : }
    5466             : 
    5467             : static GEN
    5468         140 : ellff_charpoly(GEN E)
    5469             : {
    5470         140 :   pari_sp av = avma;
    5471         140 :   GEN f = ellff_get_field(E), q = typ(f)==t_INT ? f : FF_q(f);
    5472         140 :   GEN mt = subii(ellff_get_card(E), addiu(q,1));
    5473         140 :   return gc_GEN(av, deg2pol_shallow(gen_1, mt, q, 0));
    5474             : }
    5475             : 
    5476             : GEN
    5477         210 : ellcharpoly(GEN E, GEN p)
    5478             : {
    5479         210 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcharpoly");
    5480         210 :   switch(ell_get_type(E))
    5481             :   {
    5482         140 :    case t_ELL_Fp:
    5483         140 :    case t_ELL_Fq: return ellff_charpoly(E);
    5484          21 :    case t_ELL_Q:  return ellQ_charpoly(E, p);
    5485          49 :    case t_ELL_NF: return ellnf_charpoly(E, p);
    5486           0 :    default:
    5487           0 :      pari_err_TYPE("ellcharpoly",E);
    5488             :      return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5489             :   }
    5490             : }
    5491             : 
    5492             : static GEN
    5493       83778 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
    5494             : {
    5495       83778 :   pari_sp av = avma;
    5496       83778 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5497       83776 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
    5498       83789 :   long l = lg(LP), i;
    5499      167559 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5500             :   {
    5501             :     int goodred;
    5502       83759 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    5503       83759 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    5504       83746 :     long f = pr_get_f(P);
    5505       83743 :     if (goodred)
    5506       83561 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    5507             :     else
    5508             :     {
    5509         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    5510         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    5511             :     }
    5512       83744 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    5513       83755 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    5514             :   }
    5515       83800 :   if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
    5516       46373 :   if (n==0) return gc_GEN(av, mkrfrac(gen_1,T));
    5517       46359 :   return gc_upto(av, RgXn_inv_i(T, n));
    5518             : }
    5519             : 
    5520             : 
    5521             : GEN
    5522          70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
    5523             : {
    5524          70 :   checkell(E);
    5525          70 :   switch(ell_get_type(E))
    5526             :   {
    5527          56 :     case t_ELL_Q:  return ginv(RgX_recip(ellQ_charpoly(E, p)));
    5528          14 :     case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
    5529           0 :     default:
    5530           0 :       pari_err_TYPE("elleulerf",E);
    5531             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5532             :   }
    5533             : }
    5534             : 
    5535             : static GEN
    5536         329 : ellanQ(GEN e, long N)
    5537         329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    5538             : 
    5539             : GEN
    5540        4962 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
    5541             : {
    5542        4962 :   pari_sp av = avma;
    5543        4962 :   long i, l = lg(P);
    5544        4962 :   GEN W = cgetg(l, t_VEC);
    5545       88730 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5546             :   {
    5547       83767 :     ulong p = uel(P,i);
    5548       83767 :     long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
    5549       83761 :     gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
    5550             :   }
    5551        4963 :   return gc_GEN(av, mkvec2(P,W));
    5552             : }
    5553             : 
    5554             : static GEN
    5555         203 : ellnfan(GEN E, long N)
    5556             : {
    5557         203 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
    5558         203 :   return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    5559             : }
    5560             : 
    5561             : GEN
    5562         525 : ellan(GEN E, long N)
    5563             : {
    5564         525 :   checkell(E);
    5565         525 :   switch(ell_get_type(E))
    5566             :   {
    5567         322 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    5568         203 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    5569           0 :     default:
    5570           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    5571             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5572             :   }
    5573             : }
    5574             : 
    5575             : static GEN
    5576         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    5577             : {
    5578             :   GEN u, v, w;
    5579             :   long j;
    5580         735 :   if (e == 1) return ap;
    5581         112 :   u = ap;
    5582         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    5583         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    5584             :   {
    5585          14 :     v = u; u = w;
    5586          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    5587             :   }
    5588         112 :   return w;
    5589             : }
    5590             : 
    5591             : GEN
    5592         693 : akell(GEN e, GEN n)
    5593             : {
    5594             :   long i, j, s;
    5595         693 :   pari_sp av = avma;
    5596             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    5597             : 
    5598         693 :   checkell_int(e);
    5599         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    5600         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    5601         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    5602         693 :   D = ell_get_disc(e);
    5603         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    5604         693 :   y = gen_1;
    5605         693 :   s = 1;
    5606         693 :   if (!equalii(u, n))
    5607             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    5608         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    5609         441 :     P = gel(fa,1);
    5610         441 :     E = gel(fa,2);
    5611        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    5612             :     {
    5613         581 :       GEN p = gel(P,i);
    5614         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    5615             :       int good_red;
    5616         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    5617         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    5618         350 :       j = signe(ap);
    5619         350 :       if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
    5620         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    5621             :     }
    5622             :   }
    5623         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    5624         693 :   fa = Z_factor(u);
    5625         693 :   P = gel(fa,1);
    5626         693 :   E = gel(fa,2);
    5627        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    5628             :   { /* good reduction */
    5629         504 :     GEN p = gel(P,i);
    5630         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    5631         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    5632             :   }
    5633         693 :   return gc_INT(av,y);
    5634             : }
    5635             : 
    5636             : GEN
    5637        8057 : ellQ_get_N(GEN e)
    5638        8057 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    5639             : void
    5640         917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    5641         917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    5642             : 
    5643             : GEN
    5644          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    5645             : {
    5646          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    5647             :   ulong l, n;
    5648             :   long eps, flun;
    5649             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    5650             : 
    5651          14 :   if (!A) A = gen_1;
    5652             :   else
    5653             :   {
    5654           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    5655           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    5656           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    5657             :   }
    5658          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
    5659          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    5660          14 :   checkell_Q(e);
    5661          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    5662          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    5663          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    5664          14 :   if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
    5665             : 
    5666          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    5667          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    5668          14 :   cga = gmul(cg, A);
    5669          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    5670          14 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
    5671          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    5672          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    5673          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    5674          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    5675          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    5676          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    5677          14 :   z = gen_0;
    5678          14 :   av1 = avma;
    5679        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    5680             :   {
    5681        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    5682        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    5683        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    5684             : 
    5685        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    5686        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    5687        1106 :     if (flun)
    5688           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    5689             :     else
    5690             :     {
    5691        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    5692        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    5693        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    5694             :     }
    5695        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    5696        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    5697             :     {
    5698           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    5699           0 :       z = gc_GEN(av1,z);
    5700             :     }
    5701             :   }
    5702          14 :   return gc_upto(av, gdiv(z,gs));
    5703             : }
    5704             : 
    5705             : /********************************************************************/
    5706             : /**                                                                **/
    5707             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    5708             : /**                                                                **/
    5709             : /********************************************************************/
    5710             : 
    5711             : static GEN
    5712          56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
    5713             : {
    5714          56 :   GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
    5715          56 :   long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
    5716          56 :   GEN r = gen_1;
    5717         133 :   for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
    5718          63 :   for(   ; i < l  ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
    5719          56 :   return r;
    5720             : }
    5721             : 
    5722             : /* The function follows
    5723             : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
    5724             : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
    5725             : */
    5726             : 
    5727             : static GEN
    5728          70 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
    5729             : {
    5730             :   GEN h;
    5731             :   long d;
    5732          70 :   pari_sp av = avma;
    5733          70 :   checkell(e);
    5734          70 :   switch(ell_get_type(e))
    5735             :   {
    5736          14 :     case t_ELL_Q:
    5737          14 :       d = 1; e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    5738          14 :       h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
    5739          14 :       break;
    5740          56 :     case t_ELL_NF:
    5741          56 :       d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
    5742          56 :       h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
    5743          56 :       break;
    5744           0 :     default:
    5745           0 :       pari_err_TYPE("ellheight", e);
    5746             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5747             :   }
    5748          70 :   return gc_upto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
    5749             : }
    5750             : 
    5751             : static GEN
    5752      157580 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    5753             : 
    5754             : /* one root of X^2 - t X + c */
    5755             : static GEN
    5756       83056 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    5757             : {
    5758       83056 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    5759             : }
    5760             : 
    5761             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    5762             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    5763             : static GEN
    5764       83056 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    5765             : {
    5766       83056 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    5767       83056 :   long n, ex = 5-prec, p = prec+EXTRAPREC64;
    5768             : 
    5769       83056 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    5770       83056 :   ab = ellR_ab(e, p);
    5771       83056 :   a = gel(ab, 1);
    5772       83056 :   b = gel(ab, 2);
    5773       83056 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    5774       83056 :   x = gsub(x, e1);
    5775       83056 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    5776             : 
    5777       83056 :   x_a = gsub(x, a);
    5778       83056 :   if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
    5779       83056 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    5780       83056 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    5781             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    5782       83056 :   for(n=0;; n++)
    5783      442740 :   {
    5784      525796 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    5785      525796 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    5786      525796 :     r = gsub(a, a0);
    5787      525796 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    5788      442740 :     ab = gmul(a0, b);
    5789      442740 :     b = gsqrt(ab, prec);
    5790             : 
    5791      442740 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    5792      442740 :     p2 = gsqr(a);
    5793      442740 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    5794      442740 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    5795             :   }
    5796       83056 :   if (n) {
    5797       83056 :     x = gel(V,n);
    5798      442740 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    5799             :   } else
    5800           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    5801             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    5802       83056 :   return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
    5803             : }
    5804             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    5805             : static int
    5806       83056 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    5807             : {
    5808       83056 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    5809       83056 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    5810             : }
    5811             : 
    5812             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    5813             : static GEN
    5814       83056 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    5815             : {
    5816       83056 :   pari_sp av = avma;
    5817             :   GEN h;
    5818       83056 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    5819             :   {
    5820       23794 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    5821             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    5822       23794 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    5823             :   }
    5824             :   else
    5825       59262 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    5826       83056 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    5827       83056 :   return gc_leaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    5828             : }
    5829             : GEN
    5830       30660 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    5831             : 
    5832             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    5833             : static GEN
    5834       28728 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    5835             : {
    5836       28728 :   pari_sp av = avma;
    5837       28728 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    5838       28728 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    5839       28728 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
    5840       28728 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    5841       28728 :   GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
    5842       28728 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
    5843       28728 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    5844       28728 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    5845       28728 :   GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
    5846       28728 :   GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
    5847       28728 :   return gc_upto(av, gsub(r, l));
    5848             : }
    5849             : 
    5850             : static GEN
    5851       20468 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    5852       20468 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    5853             : static GEN
    5854          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    5855             : {
    5856          35 :   pari_sp av = avma;
    5857          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    5858          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    5859          35 :   return gc_upto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    5860             : }
    5861             : GEN
    5862       57659 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    5863             : {
    5864       57659 :   if (!a)
    5865             :   {
    5866          77 :     if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
    5867          70 :     return ellheightfaltings(e,n);
    5868             :   }
    5869       57582 :   return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
    5870             : }
    5871             : GEN
    5872          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    5873          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    5874             : 
    5875             : /* Based on J.H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic
    5876             :  * Curves, GTM 151, chap VI, p 478, exercise 6.7
    5877             :  * Note that we use BSD normalization not Silverman's. */
    5878             : /* P an affine point on e */
    5879             : static GEN
    5880       85211 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    5881             : {
    5882             :   long v2, vD, vu, vP, vQ;
    5883       85211 :   GEN lr = nflocalred(e,pr), k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3);
    5884       85211 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    5885       85211 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst), nf = ellnf_get_nf(e), v;
    5886             : 
    5887       85211 :   vP = minss(0, nfval(nf, gel(P,1), pr)); /* v_p(den(x_P)) */
    5888       85211 :   vQ = minss(0, nfval(nf, gel(Q,1), pr)); /* v_p(den(x_Q)) */
    5889       85211 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    5890       85211 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
    5891       85211 :   vu = (vQ-vP) >> 1;
    5892       85211 :   if (v2 <= 0 || nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr) <= 0)
    5893       46018 :     v = gen_0;
    5894       39193 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    5895             :   {
    5896       26733 :     GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
    5897       26733 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
    5898             :   }
    5899             :   else
    5900             :   {
    5901       12460 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    5902       12460 :     v = (v2 < LONG_MAX && v3 >= 3*v2)? sstoQ(-v2,3): sstoQ(-v3,8);
    5903             :   }
    5904       85211 :   return gsubgs(v,vu);
    5905             : }
    5906             : 
    5907             : /* L list of prime ideals, merge with prime ideals dividing integral ideal A
    5908             :  * in HNF (use elements of L as hints, which may or may not divide A).
    5909             :  * Return sorted list, without duplicates */
    5910             : static GEN
    5911       28812 : prV_merge_factors(GEN nf, GEN L, GEN A)
    5912             : {
    5913       28812 :   if (lg(L) > 1)
    5914             :   {
    5915       20104 :     GEN LQ = prV_primes(L); /* rational primes */
    5916       20104 :     GEN p, e, N = Z_smoothen(gcoeff(A,1,1), LQ, &p, &e);
    5917       20104 :     L = shallowconcat(L, gel(idealfactor_partial(nf, A, LQ), 1));
    5918             :     /* L = primes in original L or dividing (A, vecprod(LQ)) */
    5919       20104 :     A = N? ZM_hnfmodid(A, N): NULL;
    5920             :   }
    5921             :   /* A made coprime to vecprod(LQ), add remaining primes if not trivial */
    5922       28812 :   if (A) L = shallowconcat(L, gel(idealfactor(nf, A), 1));
    5923       28812 :   return gen_sort_uniq(L, (void*)cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
    5924             : }
    5925             : /* assume E is an ell and P an ellpt */
    5926             : static GEN
    5927       28833 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    5928             : {
    5929       28833 :   pari_sp av = avma;
    5930             :   GEN logp, oldp, x, nf, d, F, Ee, Pe, s, v, phi2, psi2;
    5931             :   long i, l, r1;
    5932       28833 :   E = ellintegralmodel_i(E, &v); if (v) P = ellchangepoint(P, v);
    5933       28833 :   if (!ellisoncurve_i(E,P))
    5934           0 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
    5935       28833 :   if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gc_const(av, gen_0);
    5936       28812 :   x = gel(P,1);
    5937       28812 :   if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) return gc_const(av, gen_0);
    5938       28812 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    5939       28812 :   phi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dFdx_evalQ(E, P)), 1);
    5940       28812 :   psi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, P)),1);
    5941       28812 :   d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
    5942       28812 :   F = gel(ellminimalprimes(E), 1); /* prime ideals dividing (c4,c6) */
    5943       28812 :   F = prV_merge_factors(nf, F, idealadd(nf, phi2, psi2));
    5944       28812 :   Ee = ellnfembed(E, prec); Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    5945       28812 :   l = lg(Ee); r1 = nf_get_r1(nf);
    5946       28812 :   s = gsub(gmul2n(glog(d, prec), -1), glog(ellnf_minimalnormu(E), prec));
    5947       57687 :   for (i=1; i <= r1; i++)
    5948       28875 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    5949       57540 :   for (   ; i < l; i++)
    5950       28728 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    5951       28812 :   l = lg(F); oldp = logp = NULL;
    5952      114023 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5953             :   { /* F = primes dividing (c4,c6) or (phi2,psi2) */
    5954       85211 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr), lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    5955       85211 :     if (!oldp || !equalii(p, oldp)) { oldp = p; logp = glog(p, prec); }
    5956       85211 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulru(logp, pr_get_f(pr))));
    5957             :   }
    5958       28812 :   return gc_upto(av, gmul2n(s, 1));
    5959             : }
    5960             : 
    5961             : /* assume e is an ell and a an ellpt */
    5962             : static GEN
    5963       52410 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    5964             : {
    5965       52410 :   long i, lx, newell = 0;
    5966             :   pari_sp av;
    5967             :   GEN Lp, x, z, phi2, psi2, psi3;
    5968             :   GEN v, S, c4, D;
    5969             : 
    5970       52410 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    5971       52403 :   if (!ellisoncurve_i(e,a))
    5972           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    5973       52396 :   if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
    5974       52396 :   av = avma;
    5975       52396 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5976             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5977       23339 :     if (lg(S) != 2)
    5978             :     {
    5979       17872 :       v = gel(S,2);
    5980       17872 :       e = gel(S,3);
    5981       17872 :       a = ellchangepoint(a, v);
    5982             :     }
    5983             :   }
    5984             :   else
    5985             :   {
    5986       29057 :     newell = 1;
    5987       29057 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
    5988       29057 :     a = ellchangepoint(a, v);
    5989             :   }
    5990       52396 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    5991       52396 :   if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
    5992       52396 :   x = gel(a,1);
    5993       52396 :   psi3 = Q_numer( ec_3divpol_evalx(e, x) );
    5994       52396 :   if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
    5995       52396 :   phi2 = Q_numer(ec_dFdx_evalQ(e, a));
    5996       52396 :   c4 = ell_get_c4(e);
    5997       52396 :   D = ell_get_disc(e);
    5998       52396 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    5999       52396 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6000       52396 :   lx = lg(Lp);
    6001      222862 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6002             :   {
    6003      170466 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6004             :     long u, v, n, n2;
    6005      170466 :     if (!dvdii(c4,p))
    6006             :     { /* p \nmid c4 */
    6007      146704 :       long N = Z_pval(D,p);
    6008      146704 :       if (!N) continue;
    6009      146704 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6010      146704 :       if (n > N) n = N;
    6011      146704 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6012      146704 :       v = N << 3;
    6013             :     }
    6014             :     else
    6015             :     {
    6016       23762 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6017       23762 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6018       23762 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6019             :     }
    6020             :     /* z -= u log(p) / v */
    6021      170466 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6022             :   }
    6023       52396 :   if (newell) obj_free(e);
    6024       52396 :   return gc_upto(av, gmul2n(z, 1));
    6025             : }
    6026             : 
    6027             : GEN
    6028       81243 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6029             : {
    6030       81243 :   checkell(e);
    6031       81243 :   if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("ellheight", a);
    6032       81243 :   switch(ell_get_type(e))
    6033             :   {
    6034       52410 :     case t_ELL_Q:
    6035       52410 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6036           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6037       28833 :     case t_ELL_NF:
    6038       28833 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6039             :   }
    6040             : }
    6041             : 
    6042             : GEN
    6043         875 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6044             : {
    6045             :   GEN D, A, B;
    6046         875 :   long lx = lg(x), i, j;
    6047         875 :   pari_sp av = avma;
    6048             : 
    6049         875 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6050         875 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6051         875 :   A = cgetg(lx,t_MAT);
    6052         875 :   B = cgetg(lx,t_MAT);
    6053        5124 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6054             :   {
    6055        4249 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6056        4249 :     gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6057        4249 :     gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
    6058             :   }
    6059        5124 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6060             :   {
    6061        4249 :     GEN h = gel(D,i);
    6062        4249 :     if (p)
    6063             :     {
    6064          28 :       gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
    6065          28 :       gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
    6066             :     }
    6067             :     else
    6068        4221 :       gcoeff(A,i,i) = h;
    6069       20398 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6070             :     {
    6071       16149 :       h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6072       16149 :       h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
    6073       16149 :       if (p)
    6074             :       {
    6075          21 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
    6076          21 :         gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
    6077             :       }
    6078             :       else
    6079       16128 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
    6080             :     }
    6081             :   }
    6082         875 :   return gc_GEN(av, p? mkvec2(A,B): A);
    6083             : }
    6084             : GEN
    6085         861 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6086         861 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6087             : 
    6088             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6089             : static GEN
    6090          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6091             : {
    6092             :   GEN y;
    6093          21 :   long i, l = lg(P);
    6094          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6095          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
    6096           7 :   y = cgetg(l, typ(P));
    6097          21 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
    6098           7 :   return y;
    6099             : }
    6100             : GEN
    6101           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6102             : {
    6103           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6104           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6105           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6106           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6107           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6108           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6109           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6110             :   {
    6111           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6112           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6113           0 :     return bilhell_i(E,Q,P,n);
    6114             :   }
    6115           7 :   return bilhell_i(E,P,Q,n);
    6116             : }
    6117             : /********************************************************************/
    6118             : /**                                                                **/
    6119             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6120             : /**                                                                **/
    6121             : /********************************************************************/
    6122             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6123             : static GEN
    6124           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6125             : {
    6126           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6127           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(v) | evalvarn(0);
    6128           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6129             : }
    6130             : 
    6131             : GEN
    6132          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6133             : {
    6134             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6135             :   long n, m;
    6136          14 :   pari_sp av = avma;
    6137             : 
    6138          14 :   checkell_Q(e);
    6139          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6140           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6141             : 
    6142           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6143           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
    6144           7 :   d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalser(d,-1);
    6145             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6146             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6147           7 :   c = gsqr(d);
    6148             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6149             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6150             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6151             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6152             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6153             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6154             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6155             :    * */
    6156           7 :   C = c+4;
    6157           7 :   X = x+4;
    6158           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6159           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6160           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6161           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6162         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6163             :   {
    6164         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6165             :     GEN s1, s2, s3;
    6166         105 :     if (n != 2)
    6167             :     {
    6168          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6169          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6170          98 :       s2 = gen_0;
    6171        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6172         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6173          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6174          98 :       s1 = gen_0;
    6175         476 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6176          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6177          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6178             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6179          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6180             :     }
    6181             :     else
    6182             :     {
    6183           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6184           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6185           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
    6186           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6187           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6188           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6189           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6190           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6191           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6192           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6193             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6194           7 :       w = derivser(U); setvalser(w,-2); /* q X' */
    6195             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6196           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6197             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6198           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6199           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6200             :     }
    6201         105 :     gel(X,n+2) = gc_upto(av2, s1);
    6202             :   }
    6203           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalser(w, valser(w)+1);
    6204           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6205           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6206           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6207           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gc_upto(av, c);
    6208             : }
    6209             : 
    6210             : /********************************************************************/
    6211             : /**                                                                **/
    6212             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6213             : /**                                                                **/
    6214             : /********************************************************************/
    6215             : static GEN
    6216       19292 : doellff_get_o(GEN E)
    6217             : {
    6218       19292 :   GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
    6219       19292 :   return mkvec2(d, Z_factor(d));
    6220             : }
    6221             : GEN
    6222       19845 : ellff_get_o(GEN E)
    6223       19845 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6224             : 
    6225             : static void
    6226         497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
    6227             : {
    6228         497 :   GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    6229         497 :   *a4 = gel(e, 1);
    6230         497 :   *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
    6231         497 :   *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
    6232         497 : }
    6233             : GEN
    6234         140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6235             : {
    6236         140 :   pari_sp av = avma;
    6237             :   GEN p;
    6238         140 :   checkell_Fq(E);
    6239         140 :   if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("elllog", a);
    6240         140 :   if (!checkellpt_i(g)) pari_err_TYPE("elllog", g);
    6241         140 :   p = ellff_get_field(E);
    6242         140 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6243         140 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
    6244             :   else
    6245             :   {
    6246             :     GEN a4;
    6247          49 :     RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
    6248          49 :     return gc_INT(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
    6249             :   }
    6250             : }
    6251             : 
    6252             : GEN
    6253        5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6254             : {
    6255             :   GEN p;
    6256        5250 :   checkell_Fq(E);
    6257        5243 :   if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", P);
    6258        5243 :   if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", Q);
    6259        5243 :   p = ellff_get_field(E);
    6260        5243 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6261             :   else
    6262             :   {
    6263         245 :     pari_sp av = avma;
    6264             :     GEN w, a4;
    6265         245 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    6266         245 :     w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
    6267         245 :     return gc_upto(av, Fp_to_mod(w, p));
    6268             :   }
    6269             : }
    6270             : 
    6271             : GEN
    6272         301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6273             : {
    6274             :   GEN p;
    6275         301 :   checkell_Fq(E);
    6276         301 :   if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltatepairing", P);
    6277         301 :   if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("elltatepairing", Q);
    6278         301 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6279         301 :   p = ellff_get_field(E);
    6280         301 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6281             :   else
    6282             :   {
    6283         203 :     pari_sp av = avma;
    6284             :     GEN t, a4;
    6285         203 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    6286         203 :     t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
    6287         203 :     return gc_upto(av, Fp_to_mod(t, p));
    6288             :   }
    6289             : }
    6290             : 
    6291             : GEN
    6292     2584099 : ellap(GEN E, GEN p)
    6293             : {
    6294     2584099 :   pari_sp av = avma;
    6295             :   GEN q, card;
    6296             :   int goodred;
    6297     2584099 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
    6298     2584091 :   switch(ell_get_type(E))
    6299             :   {
    6300          98 :   case t_ELL_Fp:
    6301          98 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6302          98 :     break;
    6303       54467 :   case t_ELL_Fq:
    6304       54467 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6305       54467 :     break;
    6306     2421559 :   case t_ELL_Qp:
    6307             :   case t_ELL_Q:
    6308     2421559 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6309     2421383 :     break;
    6310      107961 :   case t_ELL_NF:
    6311      107961 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6312           0 :   default:
    6313           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6314             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6315             :   }
    6316     2475948 :   return gc_INT(av, subii(addiu(q,1), card));
    6317             : }
    6318             : 
    6319             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    6320             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    6321             : GEN
    6322         126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
    6323             : {
    6324         126 :   const ulong minq = 523;
    6325         126 :   checkell_Fq(E);
    6326         126 :   switch(ell_get_type(E))
    6327             :   {
    6328         112 :   case t_ELL_Fp:
    6329             :     {
    6330         112 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6331         112 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6332         105 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6333             :     }
    6334          14 :   case t_ELL_Fq:
    6335             :     {
    6336          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6337          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    6338           0 :         return FF_ellcard(E);
    6339          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6340             :     }
    6341             :   }
    6342             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6343             : }
    6344             : 
    6345             : GEN
    6346      269286 : ellff_get_card(GEN E)
    6347      269286 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6348             : 
    6349             : GEN
    6350      186994 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6351             : {
    6352      186994 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
    6353      186987 :   switch(ell_get_type(E))
    6354             :   {
    6355      186532 :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6356      186532 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6357         420 :   case t_ELL_Qp:
    6358             :   case t_ELL_Q:
    6359             :     {
    6360         420 :       pari_sp av = avma;
    6361             :       int goodred;
    6362         420 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6363         420 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6364         420 :       return gc_INT(av, N);
    6365             :     }
    6366          35 :   case t_ELL_NF:
    6367             :     {
    6368          35 :       pari_sp av = avma;
    6369             :       int goodred;
    6370          35 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6371          35 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6372          35 :       return gc_INT(av, N);
    6373             :     }
    6374           0 :   default:
    6375           0 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6376             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6377             :   }
    6378             : }
    6379             : 
    6380             : /* assume model is p-minimal */
    6381             : static GEN
    6382      120715 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
    6383             : {
    6384      120715 :   GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
    6385      120715 :   *pm = gen_1;
    6386      120715 :   if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
    6387      120715 :   if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
    6388      120715 :   if (absequaliu(p, 3))
    6389             :   { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6390             :     ulong b2, b4, b6;
    6391           0 :     if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
    6392             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6393             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6394           0 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6395           0 :     if (b6) return mkvec(N);
    6396             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6397           0 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6398           0 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6399           0 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
    6400           0 :     return mkvec2s(2, 2);
    6401             :   } /* Now assume p > 3 */
    6402      120715 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6403      120715 :   return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
    6404             : }
    6405             : 
    6406             : static GEN
    6407      146454 : doellGm(GEN E)
    6408             : {
    6409      146454 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6410      146454 :   GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
    6411      146454 :   return mkvec2(G, m);
    6412             : }
    6413             : static GEN
    6414      185997 : ellff_Gm(GEN E)
    6415      185997 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
    6416             : GEN
    6417      167307 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
    6418             : GEN
    6419       18690 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
    6420             : GEN
    6421       18690 : ellff_get_D(GEN E)
    6422             : {
    6423       18690 :   GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
    6424       18690 :   switch(lg(G))
    6425             :   {
    6426          91 :     case 1: return G;
    6427       15883 :     case 2: return mkvec(o);
    6428        2716 :     default: return mkvec2(o, gel(G,2));
    6429             :   }
    6430             : }
    6431             : 
    6432             : /* E / Fp */
    6433             : static GEN
    6434       18690 : doellgens(GEN E)
    6435             : {
    6436       18690 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6437       18690 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6438       18116 :     return FF_ellgens(E);
    6439             :   else
    6440             :   {
    6441         574 :     GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6442         574 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
    6443         574 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6444             :   }
    6445             : }
    6446             : 
    6447             : GEN
    6448       18767 : ellff_get_gens(GEN E)
    6449       18767 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6450             : 
    6451             : GEN
    6452      127806 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6453             : {
    6454      127806 :   pari_sp av = avma;
    6455             :   GEN m, G;
    6456      127806 :   p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
    6457      127799 :   switch(ell_get_type(E))
    6458             :   {
    6459      127365 :     case t_ELL_Fp:
    6460      127365 :     case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
    6461         392 :     case t_ELL_Qp:
    6462             :     case t_ELL_Q:
    6463         392 :       if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
    6464             :       {
    6465          14 :         GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
    6466          14 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    6467          14 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    6468             :       }
    6469         378 :       G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
    6470          42 :     case t_ELL_NF:
    6471          42 :       if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
    6472             :       {
    6473          21 :         GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
    6474          21 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    6475          21 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    6476             :       }
    6477          28 :       E = ellinit(E, p, 0);
    6478          28 :       G = ellff_get_group(E);
    6479          28 :       G = gcopy(G); obj_free(E); break;
    6480           0 :     default:
    6481           0 :       pari_err_TYPE("ellgroup", E);
    6482             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6483             :   }
    6484      127799 :   return gc_GEN(av, G);
    6485             : }
    6486             : 
    6487             : GEN
    6488       21490 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6489             : {
    6490       21490 :   pari_sp av = avma;
    6491       21490 :   long tE, freeE = 0;
    6492             :   GEN G;
    6493       21490 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6494        1946 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6495        1946 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    6496        1946 :   if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
    6497             :   {
    6498        1869 :     GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
    6499             :     long vu;
    6500        1862 :     switch(tE)
    6501             :     {
    6502          70 :       case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
    6503        1841 :       case t_ELL_Q:  vu = Q_pval(u, p); break;
    6504          21 :       case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
    6505           0 :       default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
    6506             :     }
    6507        1862 :     if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
    6508        1855 :     if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
    6509             :     {
    6510          91 :       GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
    6511          91 :       if (typ(p) == t_INT)
    6512             :       {
    6513             :         long i;
    6514          70 :         Ep = obj_init(15, 4);
    6515         910 :         for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
    6516             :       }
    6517             :       else
    6518             :       {
    6519          21 :         q = pr_norm(p);
    6520          21 :         Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
    6521             :       }
    6522          91 :       E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
    6523          91 :       gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
    6524          91 :       obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
    6525             :     }
    6526             :     else
    6527        1764 :       E = ellinit(E, p, 0);
    6528        1855 :     freeE = 1;
    6529             :   }
    6530        1932 :   G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
    6531        1932 :   if (!freeE) return gc_GEN(av, G);
    6532        1855 :   G = gcopy(G); obj_free(E); return gc_upto(av, G);
    6533             : }
    6534             : 
    6535             : GEN
    6536       16849 : ellgenerators(GEN E)
    6537             : {
    6538       16849 :   checkell(E);
    6539       16849 :   switch(ell_get_type(E))
    6540             :   {
    6541           7 :     case t_ELL_Q:
    6542           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    6543       16835 :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6544       16835 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    6545           7 :     default:
    6546           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    6547             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6548             :   }
    6549             : }
    6550             : 
    6551             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    6552             : static GEN
    6553       22715 : ellfromj_simple(GEN j)
    6554             : {
    6555       22715 :   pari_sp av = avma;
    6556       22715 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    6557       22715 :   GEN E = zerovec(5);
    6558       22715 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    6559       22715 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gc_upto(av, E);
    6560             : }
    6561             : GEN
    6562       34020 : ellfromj(GEN j)
    6563             : {
    6564       34020 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    6565             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    6566       34020 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    6567             :   {
    6568        3549 :     case 2:
    6569        3549 :       if (gequal0(j))
    6570           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    6571             :       else
    6572        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    6573        7651 :     case 3:
    6574        7651 :       if (gequal0(j))
    6575          21 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6576             :       else
    6577             :       {
    6578        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    6579        7630 :         pari_sp av = avma;
    6580        7630 :         gel(E,5) = gc_upto(av, gneg(gsqr(j)));
    6581        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    6582        7630 :         return E;
    6583             :       }
    6584             :   }
    6585       22820 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    6586       22785 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6587       22715 :   return ellfromj_simple(j);
    6588             : }
    6589             : 
    6590             : /********************************************************************/
    6591             : /**                                                                **/
    6592             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    6593             : /**                                                                **/
    6594             : /********************************************************************/
    6595             : 
    6596             : int
    6597      165907 : elljissupersingular(GEN x)
    6598             : {
    6599      165907 :   pari_sp av = avma;
    6600             :   int res;
    6601             : 
    6602      165907 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    6603         504 :     GEN p = gel(x, 1);
    6604         504 :     GEN j = gel(x, 2);
    6605         504 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6606      165403 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    6607      165396 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    6608      165396 :     GEN p = FF_p_i(x);
    6609      165396 :     GEN T = FF_mod(x);
    6610      165396 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6611             :   } else {
    6612           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    6613             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6614             :   }
    6615      165900 :   set_avma(av);
    6616      165900 :   return res;
    6617             : }
    6618             : 
    6619             : int
    6620      166117 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    6621             : {
    6622             :   pari_sp av;
    6623             :   GEN j;
    6624      166117 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    6625       17017 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
    6626       17003 :   j = ell_get_j(E);
    6627       17003 :   switch(ell_get_type(E))
    6628             :   {
    6629       16807 :   case t_ELL_Fp:
    6630             :   case t_ELL_Fq:
    6631       16807 :     return elljissupersingular(j);
    6632          56 :   case t_ELL_Qp:
    6633             :   case t_ELL_Q:
    6634          56 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    6635          21 :     av = avma;
    6636          21 :     return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
    6637         140 :   case t_ELL_NF:
    6638             :     {
    6639         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    6640             :       int res;
    6641         140 :       av = avma;
    6642         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    6643         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    6644             :       {
    6645          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    6646           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6647             :       }
    6648             :       else
    6649         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6650         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    6651         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    6652          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6653             :       else
    6654          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6655         126 :       return gc_bool(av, res);
    6656             :     }
    6657           0 :   default:
    6658           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    6659             :   }
    6660             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6661             : }
    6662             : 
    6663             : GEN
    6664        1204 : ellsupersingularj(GEN a)
    6665             : {
    6666        1204 :   pari_sp av = avma;
    6667             :   GEN r, T, p;
    6668             :   long d;
    6669        1204 :   switch(typ(a))
    6670             :   {
    6671        1190 :     case t_INT:
    6672        1190 :       p = a;
    6673        1190 :       if (Z_issquare(p)) pari_err_PRIME("ellsupersingularj", p);
    6674        1190 :       T = init_Fq(p, 2, fetch_user_var("w"));
    6675        1190 :       d = 2;
    6676        1190 :       break;
    6677          14 :     case t_FFELT:
    6678          14 :       p = FF_p_i(a); T = FF_mod(a); d = degpol(T);
    6679          14 :       if (!odd(d))
    6680             :       {
    6681          14 :         if (d != 2)
    6682           7 :           T = init_Fq(p, 2, varn(T));
    6683          14 :         break;
    6684             :       }
    6685             :     default: /* FALL THROUGH */
    6686           0 :       pari_err_TYPE("ellsupersingular", a);
    6687             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    6688             :   }
    6689        1204 :   r = Fq_to_FF(ellsupersingularj_FpXQ(T, p), Tp_to_FF(T, p));
    6690        1204 :   if (d != 2)
    6691           7 :     r = ffmap(ffembed(r, a), r);
    6692        1204 :   return gc_GEN(av, r);
    6693             : }
    6694             : 
    6695             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6696             : static GEN
    6697       15064 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    6698             : {
    6699             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    6700       15064 :   if (n==0) return pol_0(v);
    6701       15064 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    6702        1799 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    6703        1799 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    6704        1799 :   if (n==3)
    6705         833 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    6706             :   else
    6707             :   {
    6708         966 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    6709         966 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    6710         966 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    6711             :   }
    6712        1799 :   setvarn(res, v); return res;
    6713             : }
    6714             : 
    6715             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    6716             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6717             : static GEN
    6718        5075 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    6719             : {
    6720             :   GEN ret;
    6721        5075 :   long m = n/2;
    6722        5075 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    6723        3150 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    6724         882 :   else if (odd(n))
    6725             :   {
    6726         525 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6727             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    6728         525 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    6729             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    6730         525 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    6731          91 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    6732             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    6733         434 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    6734             :   }
    6735             :   else
    6736             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    6737         357 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6738             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    6739         357 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    6740             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    6741         357 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    6742             :   }
    6743        3150 :   gel(t,n) = ret;
    6744        3150 :   return ret;
    6745             : }
    6746             : 
    6747             : GEN
    6748       13125 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
    6749             : {
    6750       13125 :   pari_sp av = avma;
    6751             :   GEN f, D, N;
    6752       13125 :   long n = labs(n0);
    6753             : 
    6754       13125 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6755       13125 :   if (v < 0) v = 0;
    6756       13125 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6757       13125 :   N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
    6758       13125 :   if (n==1 || n==3)
    6759         231 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6760             :   else
    6761             :   {
    6762       12894 :     GEN d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
    6763       12894 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6764       12894 :     if (n <= 4)
    6765       12565 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6766             :     else
    6767         329 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    6768       12894 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    6769             :   }
    6770       13125 :   if (n0 < 0) return gc_upto(av, RgX_neg(f));
    6771       13104 :   return gc_GEN(av, f);
    6772             : }
    6773             : 
    6774             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    6775             : GEN
    6776         406 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    6777             : {
    6778         406 :   pari_sp av = avma;
    6779             :   GEN d2, D, N, A, B;
    6780         406 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6781         406 :   if (v==-1) v = 0;
    6782         406 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6783         406 :   N = characteristic(D);
    6784         406 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6785         406 :   if (n < 0) n = -n;
    6786         406 :   d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6787         406 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6788         406 :   if (n == 0)
    6789             :   {
    6790           7 :     A = pol_0(v);
    6791           7 :     B = pol_0(v);
    6792             :   }
    6793         399 :   else if (n == 1)
    6794             :   {
    6795           7 :     A = pol_1(v);
    6796           7 :     B = pol_x(v);
    6797             :   }
    6798         392 :   else if (n == 2)
    6799             :   {
    6800         105 :     A = d2;
    6801         105 :     B = ec_phi2(e, v);
    6802             :   }
    6803             :   else
    6804             :   {
    6805         287 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    6806         287 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    6807         287 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    6808         287 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    6809         287 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    6810         287 :     if (!odd(n))
    6811          14 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    6812             :     else
    6813         273 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    6814             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    6815         287 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    6816             :   }
    6817         406 :   return gc_GEN(av, mkvec2(B,A));
    6818             : }
    6819             : 
    6820             : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
    6821             : static ulong
    6822        2807 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
    6823             : {
    6824        2807 :   ulong x, y, r = (p-1)/l;
    6825        4389 :   for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
    6826             : }
    6827             : 
    6828             : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
    6829             : static void
    6830        8631 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
    6831             :                    GEN S, long *m)
    6832             : {
    6833        8631 :   long i, n = lg(P)-1;
    6834        8631 :   GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
    6835        8631 :   pari_sp av = avma;
    6836        8631 :   ulong q = o / l;
    6837             : 
    6838        8631 :   F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
    6839        8631 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
    6840        8631 :   g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
    6841       63238 :   for (i=1; i <= n; i++)
    6842             :   {
    6843       54607 :     GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
    6844       54607 :     if (!ell_is_inf(Q))
    6845       54278 :       v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
    6846             :   }
    6847        8631 :   gel(S,(*m)++) = v;
    6848        8631 :   set_avma(av);
    6849        8631 : }
    6850             : 
    6851             : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
    6852             : static void
    6853        2807 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
    6854             :                      ulong p, GEN S, long *m)
    6855             : {
    6856        2807 :   long i, n = lg(P)-1;
    6857        2807 :   GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
    6858        2807 :   ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
    6859        2807 :   pari_sp av = avma;
    6860             : 
    6861        2807 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
    6862        2807 :   G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
    6863        2807 :   G1 = gel(G,1);
    6864        2807 :   G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
    6865       16457 :   for (i = 1; i <= n; i++)
    6866             :   {
    6867       13650 :     GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
    6868       13650 :     if (!ell_is_inf(Q))
    6869             :     {
    6870       13279 :       ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
    6871       13279 :       v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
    6872       13279 :       if (G2)
    6873             :       {
    6874        3395 :         ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
    6875        3395 :         w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
    6876             :       }
    6877             :     }
    6878             :   }
    6879        2807 :   gel(S,(*m)++) = v;
    6880        2807 :   if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
    6881        2807 :   set_avma(av);
    6882        2807 : }
    6883             : 
    6884             : static void
    6885       11438 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
    6886             :             GEN S, long *m)
    6887             : {
    6888       11438 :   P = ZVV_to_FlvV(P, p);
    6889       11438 :   if (p % l == 1)
    6890        2807 :     FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
    6891             :   else
    6892        8631 :     FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
    6893       11438 : }
    6894             : 
    6895             : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
    6896             :  * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
    6897             : static GEN
    6898        1204 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
    6899             : {
    6900        1204 :   long m = 1;
    6901        1204 :   GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
    6902             :   forprime_t S;
    6903             : 
    6904        1204 :   P = QEV_to_ZJV(P);
    6905        1204 :   (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
    6906      326459 :   while (m <= nb)
    6907             :   {
    6908      325255 :     ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
    6909             :     long o;
    6910      325255 :     if (dvdiu(D, p)) continue;
    6911      320075 :     Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    6912      320075 :     if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
    6913             :     {
    6914       34979 :       o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    6915       34979 :       hash_insert_long(h,(void*)p, o);
    6916             :     }
    6917      320075 :     if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
    6918             :   }
    6919        1204 :   return M;
    6920             : }
    6921             : 
    6922             : INLINE long
    6923         147 : Flv_firstnonzero(GEN v)
    6924             : {
    6925         147 :   long i, l = lg(v);
    6926         154 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6927         154 :     if (v[i]) break;
    6928         147 :   return i;
    6929             : }
    6930             : 
    6931             : /* update M in place */
    6932             : static GEN
    6933        1204 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
    6934             :         long vxl, long nb, long prec)
    6935             : {
    6936        1204 :   GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
    6937        1204 :   GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l, nb); /* fill hh */
    6938        1204 :   pari_sp av = avma;
    6939        1204 :   GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
    6940        1204 :   long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
    6941             : 
    6942        1204 :   if (lK==1) return gc_NULL(av);
    6943         147 :   if (DEBUGLEVEL >= 3)
    6944           0 :     err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
    6945             :   /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
    6946         147 :   if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
    6947         147 :   for (i = 1; i < lK; i++)
    6948             :   {
    6949         147 :     GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
    6950         147 :     long f = Flv_firstnonzero(ki);
    6951             : 
    6952             :     /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
    6953         147 :     if (f > nH) continue;
    6954         147 :     if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
    6955         147 :     Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
    6956         147 :     h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
    6957         147 :     if (*xl)
    6958             :     {
    6959         133 :       GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
    6960         133 :       if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
    6961             :     }
    6962             :     else
    6963             :     {
    6964          14 :       h = gdiv(h, sqru(l));
    6965          14 :       R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
    6966             :     }
    6967         147 :     if (DEBUGLEVEL >= 2)
    6968           0 :       err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
    6969         147 :     if (!R)
    6970             :     {
    6971          28 :       if (lK == 2) break;
    6972         140 :       return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
    6973             :     }
    6974         119 :     gcoeff(M, f, f) = h;
    6975         490 :     for (i = 1; i <= nH; i++)
    6976         371 :       if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
    6977         490 :     for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
    6978         119 :     gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
    6979             :   }
    6980           7 :   return gc_NULL(av); /* l-saturated */
    6981             : }
    6982             : 
    6983             : static GEN
    6984          49 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
    6985             : {
    6986             :   forprime_t S;
    6987          49 :   GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
    6988          49 :   long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
    6989             :   hashtable h;
    6990             :   ulong p;
    6991             : 
    6992          49 :   hash_init_ulong(&h, 16, 1);
    6993          49 :   (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
    6994          49 :   P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
    6995        1113 :   while((p = u_forprime_next(&S)))
    6996             :   {
    6997        1064 :     long nb = lg(P)-1 + 25 / log2(p) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
    6998        1064 :     GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
    6999        1064 :     if (lg(T)==1) T = NULL;
    7000             :     while (1)
    7001         140 :     {
    7002        1204 :       GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, nb, prec);
    7003        1204 :       if (!Q) break;
    7004         140 :       nb += lg(P)-1;
    7005         140 :       P = Q;
    7006             :     }
    7007             :   }
    7008          49 :   (void)delete_var(); return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
    7009             : }
    7010             : 
    7011             : GEN
    7012          49 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
    7013             : {
    7014          49 :   pari_sp av = avma;
    7015             :   GEN urst;
    7016             : 
    7017          49 :   if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    7018          49 :   E = ellminimalmodel(E, &urst);
    7019          49 :   if (is_trivial_change(urst, NULL)) urst = NULL;
    7020           7 :   else P = ellchangepoint(P, urst);
    7021          49 :   P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
    7022          49 :   if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert_i(urst));
    7023          49 :   obj_free(E); return gc_GEN(av, P);
    7024             : }
    7025             : 
    7026             : static GEN
    7027         126 : to_RgX(GEN P, long vx)
    7028         126 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
    7029             : GEN
    7030          70 : elltrace(GEN E, GEN P)
    7031             : {
    7032          70 :   pari_sp av = avma;
    7033          70 :   GEN xP, yP, T = NULL, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
    7034             :   long v, n, i, j, d;
    7035             : 
    7036          70 :   checkell(E);
    7037          70 :   if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltrace", P);
    7038          70 :   if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
    7039          63 :   if (!ellisoncurve_i(E,P))
    7040           0 :     pari_err_DOMAIN("elltrace", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
    7041             :   /* More checks */
    7042             : 
    7043          63 :   xP = gel(P,1); yP = gel(P,2);
    7044          63 :   if (typ(xP)==t_POLMOD) { T = gel(xP,1); xP = gel(xP,2); }
    7045          63 :   if (typ(yP)==t_POLMOD)
    7046             :   {
    7047          63 :     if (T)
    7048             :     {
    7049          56 :       if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
    7050             :     }
    7051             :     else
    7052           7 :       T = gel(yP,1);
    7053          63 :     yP = gel(yP,2);
    7054             :   }
    7055          63 :   if (!T) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
    7056          63 :   v = varn(T); n = degpol(T);
    7057             :   /* Trivial cases */
    7058          63 :   if (n == 1) { return gc_GEN(av, mkvec2(xP,yP)); }
    7059          63 :   xP = to_RgX(xP, v);
    7060          63 :   yP = to_RgX(yP, v);
    7061          63 :   if (degpol(xP) <= 0)
    7062             :   {
    7063          28 :     if (degpol(yP) > 0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7064          14 :     P = mkvec2(constant_coeff(xP), constant_coeff(yP));
    7065          14 :     return gc_upto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
    7066             :   }
    7067             :   /* Strategy: look for a function with divisor equal to
    7068             :    *   [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
    7069          35 :   LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
    7070          35 :   gel(LP,1) = pol_1(v);
    7071          35 :   gel(LP,2) = xP;
    7072          35 :   gel(LP,3) = yP;
    7073          84 :   for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = RgXQ_mul(gel(LP,i-2), xP, T);
    7074          35 :   M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
    7075         189 :   for (j = 1; j <= n+1; j++)
    7076         714 :     for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(gel(LP,j), n);
    7077          35 :   K = gel(ker(M),1);
    7078             :   /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
    7079             :    * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
    7080             :    * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
    7081          35 :   U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
    7082          35 :   V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
    7083          35 :   gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
    7084         105 :   for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
    7085          84 :   for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
    7086          35 :   U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
    7087             :   /* f does not depend on y, so trace = oo */
    7088          35 :   if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7089             :   /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
    7090             :    * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
    7091          35 :   R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
    7092          35 :   R = gmul(R, V);
    7093          35 :   R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
    7094          35 :   R = gmul(R, V);
    7095          35 :   R = gsub(R, gsqr(U));
    7096             :   /* Discard Galois orbit of P */
    7097          35 :   R = RgX_div(R, RgXQ_minpoly(xP,T, 0));
    7098             :   /* What is left is either constant -> return 0, or deg 1 -> nontrivial trace. */
    7099          35 :   if(degpol(R)<=0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7100             :   /* Recover the trace */
    7101          28 :   xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
    7102          28 :   yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
    7103          28 :   Q = mkvec2(xQ, yQ);
    7104             :   /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
    7105             :    * we still need to compute [L:K(P)] */
    7106          28 :   d = 0;
    7107          42 :   for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
    7108          28 :   return gc_upto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
    7109             : }

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