Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ELLIPTIC CURVES **/
17 : /** **/
18 : /********************************************************************/
19 : #include "pari.h"
20 : #include "paripriv.h"
21 : #undef coordch
22 :
23 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
24 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
25 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
26 : */
27 :
28 : static ulong
29 342842 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
30 342842 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
31 : static void
32 342373 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
33 : {
34 342373 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
35 342373 : *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
36 342373 : }
37 : static GEN
38 2813132 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
39 2813132 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
40 : static void
41 2813133 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
42 : {
43 2813133 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
44 2813124 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
45 2812761 : }
46 : static GEN
47 70232 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
48 70232 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
49 : static void
50 70232 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
51 : {
52 70232 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
53 70218 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
54 70220 : }
55 : static void
56 2812977 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
57 : {
58 2812977 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
59 2812965 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
60 2812992 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
61 2812609 : }
62 : static void
63 342373 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
64 : {
65 342373 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
66 342373 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
67 342373 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 342373 : }
69 :
70 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
71 : static GEN
72 22641 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
73 : {
74 22641 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
75 22642 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
76 22642 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
77 22642 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
78 : }
79 : static GEN
80 469 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
81 : {
82 469 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
83 469 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
84 469 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
85 469 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
86 : }
87 :
88 : static GEN
89 22642 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
90 : {
91 : GEN A4, A6;
92 22642 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
93 22641 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
94 : }
95 : GEN
96 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
97 : {
98 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
99 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
100 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
101 : }
102 : GEN
103 469 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
104 : {
105 469 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
106 469 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
107 469 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
108 : }
109 :
110 : /* shallow basistoalg */
111 : static GEN
112 388276 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
113 : {
114 388276 : switch(typ(x))
115 : {
116 384517 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
117 3759 : default: return basistoalg(nf, x);
118 : }
119 : }
120 :
121 : void
122 307869 : checkellpt(GEN z)
123 : {
124 307869 : if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
125 307862 : switch(lg(z))
126 : {
127 302626 : case 3: break;
128 5236 : case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
129 : /* fall through */
130 0 : default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
131 : }
132 307862 : }
133 : void
134 72212 : checkell5(GEN E)
135 : {
136 72212 : long l = lg(E);
137 72212 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
138 72212 : }
139 : void
140 4346970 : checkell(GEN E)
141 4346970 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
142 : void
143 3472 : checkellisog(GEN v)
144 3472 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
145 :
146 : void
147 3983 : checkell_Q(GEN E)
148 : {
149 3983 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
150 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
151 3976 : }
152 :
153 : void
154 0 : checkell_Qp(GEN E)
155 : {
156 0 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
157 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
158 0 : }
159 :
160 : static int
161 527816 : ell_over_Fq(GEN E)
162 : {
163 527816 : long t = ell_get_type(E);
164 527816 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
165 : }
166 :
167 : void
168 279391 : checkell_Fq(GEN E)
169 : {
170 279391 : if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
171 279384 : }
172 :
173 : GEN
174 180342 : ellff_get_p(GEN E)
175 : {
176 180342 : GEN fg = ellff_get_field(E);
177 180342 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
178 : }
179 :
180 : int
181 315 : ell_is_integral(GEN E)
182 : {
183 315 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
184 273 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
185 259 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
186 259 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
187 588 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
188 : }
189 :
190 : static void
191 72793 : checkcoordch(GEN z)
192 72793 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
193 :
194 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
195 : GEN
196 13724 : ec_bmodel(GEN e)
197 : {
198 13724 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
199 13724 : return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
200 : }
201 :
202 : static int
203 6537 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
204 :
205 : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
206 : static GEN
207 8705 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
208 : {
209 8705 : GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = roots(ec_bmodel(e), prec);
210 8705 : long s = ellR_get_sign(e);
211 8705 : if (s > 0)
212 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
213 2179 : R = real_i(R);
214 2179 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
215 2179 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
216 2179 : d3 = subrr(e1,e2);
217 2179 : d1 = subrr(e2,e3);
218 2179 : d2 = subrr(e1,e3);
219 2179 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
220 : } else {
221 6526 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
222 6526 : if (s < 0)
223 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
224 2200 : e1 = real_i(e1);
225 2200 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
226 : }
227 6526 : d3 = gsub(e1,e2);
228 6526 : d1 = gsub(e2,e3);
229 6526 : d2 = gsub(e1,e3);
230 6526 : if (precision(d1) < prec0
231 6505 : || precision(d2) < prec0
232 6526 : || precision(d3) < prec0) return NULL;
233 : }
234 8662 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
235 : }
236 : static GEN
237 5211 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
238 : {
239 : long p;
240 5254 : for (p = prec0;; p = precdbl(p))
241 43 : {
242 5254 : GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
243 5254 : if (v) return v;
244 43 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
245 : }
246 : }
247 : static GEN
248 1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
249 :
250 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
251 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
252 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
253 : GEN
254 529333 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
255 : {
256 529333 : pari_sp av = avma;
257 : GEN z;
258 529333 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
259 529333 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
260 529333 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
261 529333 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
262 : }
263 :
264 : /* a1 x + a3 */
265 : GEN
266 546539 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
267 : {
268 546539 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
269 546539 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
270 546539 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
271 : }
272 : static GEN
273 517447 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
274 : {
275 517447 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
276 517447 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
277 517447 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
278 : }
279 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
280 : static GEN
281 15988 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
282 : {
283 15988 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
284 15988 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
285 : }
286 :
287 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
288 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
289 : * which is the derivative of the curve equation
290 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
291 : * wrt x evaluated at Q */
292 : GEN
293 2562 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
294 : {
295 2562 : pari_sp av = avma;
296 2562 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
297 2562 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
298 2562 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
299 2562 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
300 2562 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
301 2562 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
302 : }
303 :
304 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
305 : GEN
306 5810 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
307 : {
308 5810 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
309 5810 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
310 : }
311 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
312 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
313 : * which is the derivative of the curve equation
314 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
315 : * wrt y evaluated at Q */
316 : GEN
317 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
318 : {
319 532 : pari_sp av = avma;
320 532 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
321 : }
322 :
323 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
324 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
325 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
326 : GEN
327 1806 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
328 : {
329 1806 : pari_sp av = avma;
330 1806 : GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
331 1806 : GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
332 1806 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
333 1806 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
334 : {
335 91 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
336 91 : t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
337 91 : t2 = nfadd(nf, t1, b42);
338 91 : t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
339 91 : t2 = nftoalg(nf, t2);
340 : }
341 : else
342 : {
343 1715 : t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
344 1715 : t2 = gadd(t1, b42);
345 1715 : t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
346 : }
347 1806 : return gerepileupto(av, t2);
348 : }
349 :
350 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
351 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
352 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
353 : GEN
354 14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
355 : {
356 14 : pari_sp av = avma;
357 14 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
358 14 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
359 14 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
360 14 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
361 14 : GEN x2 = gsqr(x);
362 14 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
363 14 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
364 14 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
365 : }
366 :
367 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
368 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
369 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
370 : GEN
371 1519 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
372 : {
373 1519 : pari_sp av = avma;
374 1519 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
375 1519 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
376 1519 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
377 1519 : return gerepileupto(av, res);
378 : }
379 :
380 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
381 : GEN
382 2891 : ellbasechar(GEN E)
383 : {
384 2891 : pari_sp av = avma;
385 2891 : GEN D = ell_get_disc(E);
386 2891 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
387 : }
388 :
389 : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
390 : * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
391 : * Also allocate room for n dynamic members. */
392 : static GEN
393 685486 : initsmall_i(GEN x, long n)
394 : {
395 : GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D;
396 685486 : GEN y = obj_init(15, n);
397 685486 : switch(lg(x))
398 : {
399 7 : case 1:
400 : case 2:
401 : case 4:
402 : case 5:
403 7 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
404 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
405 16716 : case 3:
406 16716 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
407 16716 : a4 = gel(x,1);
408 16716 : a6 = gel(x,2);
409 16716 : b2 = gen_0;
410 16716 : b4 = gmul2n(a4,1);
411 16716 : b6 = gmul2n(a6,2);
412 16716 : b8 = gneg(gsqr(a4));
413 16716 : c4 = gmulgs(a4,-48);
414 16716 : c6 = gmulgs(a6,-864);
415 16716 : D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
416 16716 : break;
417 668763 : default: /* l > 5 */
418 : { GEN a11, a13, a33, b22;
419 668763 : a1 = gel(x,1);
420 668763 : a2 = gel(x,2);
421 668763 : a3 = gel(x,3);
422 668763 : a4 = gel(x,4);
423 668763 : a6 = gel(x,5);
424 668763 : a11= gsqr(a1);
425 668762 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
426 668762 : a13= gmul(a1, a3);
427 668763 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
428 668762 : a33= gsqr(a3);
429 668763 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
430 668763 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
431 668763 : b22= gsqr(b2);
432 668762 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
433 668764 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
434 668763 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
435 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
436 668764 : break;
437 : }
438 : }
439 685480 : gel(y,1) = a1;
440 685480 : gel(y,2) = a2;
441 685480 : gel(y,3) = a3;
442 685480 : gel(y,4) = a4;
443 685480 : gel(y,5) = a6;
444 685480 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
445 685480 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
446 685480 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
447 685480 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
448 685480 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
449 685480 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
450 685480 : gel(y,12)= D;
451 685480 : gel(y,16) = zerovec(n);
452 685479 : return y;
453 : }
454 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
455 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
456 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
457 : * component y[16])*/
458 : static GEN
459 685465 : initsmall(GEN x, long n)
460 : {
461 685465 : GEN j, y = initsmall_i(x, n), c4 = ell_get_c4(y), D = ell_get_disc(y);
462 685458 : if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
463 :
464 677478 : if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
465 315 : { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
466 315 : GEN g = RgX_gcd(D, c4);
467 315 : if (degpol(g) == 0)
468 273 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
469 : else
470 : {
471 42 : GEN d, c = RgX_div(c4, g);
472 42 : D = RgX_div(D, g);
473 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
474 42 : if (degpol(g) == 0)
475 7 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
476 : else
477 : {
478 35 : D = RgX_div(D, g);
479 35 : d = RgX_div(c4, g);
480 35 : g = RgX_gcd(D,c4);
481 35 : if (degpol(g))
482 : {
483 21 : D = RgX_div(D, g);
484 21 : c4 = RgX_div(c4, g);
485 : }
486 35 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
487 : }
488 : }
489 : }
490 : else
491 677163 : j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
492 677477 : gel(y,13) = j;
493 677477 : return y;
494 : }
495 : void
496 0 : ellprint(GEN e)
497 : {
498 0 : pari_sp av = avma;
499 : long vx, vy;
500 : GEN z;
501 0 : checkell5(e);
502 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
503 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
504 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
505 0 : (void)delete_var();
506 0 : (void)delete_var(); set_avma(av);
507 0 : }
508 :
509 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
510 : static GEN
511 203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
512 : {
513 203 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
514 203 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
515 :
516 203 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
517 203 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
518 105 : b = mulrr(d3,d2);
519 : else
520 98 : b = cxnorm(d3);
521 203 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
522 203 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
523 203 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
524 203 : return mkvec2(a, b);
525 : }
526 : GEN
527 1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
528 1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
529 :
530 : /* q a t_REAL*/
531 : static long
532 84 : real_prec(GEN q)
533 84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
534 : /* q a t_PADIC */
535 : static long
536 252 : padic_prec(GEN q)
537 252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
538 :
539 : /* check whether moduli are consistent */
540 : static void
541 97591 : chk_p(GEN p, GEN p2)
542 97591 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
543 :
544 : static int
545 36442 : fix_nftype(GEN *pp)
546 : {
547 36442 : switch(nftyp(*pp))
548 : {
549 36442 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
550 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
551 0 : default: return 0;
552 : }
553 36442 : return 1;
554 : }
555 : static long
556 715558 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
557 : {
558 715558 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
559 715558 : GEN p = NULL;
560 715558 : long t = t_FRAC;
561 715558 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
562 : {
563 491141 : case t_INT:
564 491141 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
565 1995 : p = *pp;
566 1995 : t = t_INTMOD;
567 1995 : break;
568 665 : case t_INTMOD:
569 665 : p = gel(*pp, 1);
570 665 : break;
571 28 : case t_REAL:
572 28 : e = real_prec(*pp);
573 28 : p = NULL;
574 28 : break;
575 224 : case t_PADIC:
576 224 : ep = padic_prec(*pp);
577 224 : p = gel(*pp, 2);
578 224 : break;
579 18151 : case t_FFELT:
580 18151 : p = *pp;
581 18151 : break;
582 36442 : case t_VEC:
583 36442 : t = t_VEC; p = *pp;
584 36442 : if (fix_nftype(&p)) break;
585 : default:
586 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
587 0 : return 0;
588 : }
589 : /* Possible cases:
590 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
591 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
592 : * t = t_INTMOD (p a prime)
593 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
594 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
595 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
596 4237632 : for (i = 1; i < imax; i++)
597 : {
598 3524665 : GEN p2, q = gel(x,i);
599 3524665 : switch(typ(q)) {
600 49 : case t_PADIC:
601 49 : p2 = gel(q,2);
602 : switch(t)
603 : {
604 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
605 14 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
606 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
607 : }
608 28 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
609 28 : break;
610 122002 : case t_INTMOD:
611 122002 : p2 = gel(q,1);
612 : switch(t)
613 : {
614 24440 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
615 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
616 97500 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
617 13 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
618 : }
619 121987 : break;
620 255893 : case t_FFELT:
621 : switch(t)
622 : {
623 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
624 95831 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
625 160055 : case t_FFELT:
626 160055 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
627 160055 : break;
628 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
629 : }
630 255886 : break;
631 :
632 3142920 : case t_INT: case t_FRAC: break;
633 56 : case t_REAL:
634 : switch(t)
635 : {
636 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
637 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
638 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
639 : }
640 56 : break;
641 3731 : case t_COL:
642 : case t_POL:
643 : case t_POLMOD:
644 3731 : if (t == t_VEC) break;
645 : default: /* base ring too general */
646 2541 : return t_COMPLEX;
647 : }
648 : }
649 712967 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
650 : }
651 :
652 : /* s = 0 complex, else real;
653 : * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
654 : static GEN
655 6020 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
656 : {
657 : GEN y;
658 6020 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
659 : {
660 7 : case t_ELL_Rg:
661 7 : case t_ELL_Q: break;
662 7 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
663 : }
664 6013 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
665 6013 : if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
666 6013 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
667 6013 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
668 6013 : return y;
669 : }
670 :
671 : static GEN
672 196 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
673 : {
674 : GEN y;
675 196 : if (lg(x) > 6)
676 : {
677 28 : switch(ell_get_type(x))
678 : { /* sanity checks */
679 21 : case t_ELL_Q: break;
680 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
681 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
682 : }
683 21 : x = vecslice(x,1,5);
684 : }
685 189 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
686 189 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
687 189 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
688 189 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
689 189 : return y;
690 : }
691 :
692 : static GEN
693 497854 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
694 : {
695 : GEN y;
696 : long s;
697 497854 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
698 497721 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
699 497721 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
700 497721 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
701 497721 : return y;
702 : }
703 :
704 : static GEN
705 37030 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
706 : {
707 : long i, l;
708 37030 : GEN y = cgetg_copy(x,&l);
709 221319 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
710 37030 : return y;
711 : }
712 :
713 : static GEN
714 37016 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
715 : {
716 : GEN y, nf;
717 37016 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
718 37016 : nf = checknf(p);
719 37016 : x = nfVtoalg(nf, x);
720 37016 : if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
721 37016 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
722 37016 : gel(y,15) = mkvec(p);
723 37016 : return y;
724 : }
725 :
726 : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
727 : static GEN
728 113897 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
729 : {
730 113897 : x = FF_ellinit(x,fg);
731 113898 : return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
732 : }
733 :
734 : static GEN
735 30334 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
736 : {
737 : long i;
738 : GEN y, disc;
739 30334 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
740 : {
741 2429 : case t_ELL_Q: break;
742 0 : case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
743 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
744 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
745 : }
746 30327 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
747 : /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
748 25385 : if (abscmpiu(p,3)<=0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
749 22641 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
750 22642 : if (!signe(disc)) return NULL;
751 316823 : for(i=1;i<=13;i++)
752 294189 : gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
753 22634 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
754 22635 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
755 22635 : return y;
756 : }
757 :
758 : static GEN
759 114066 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
760 : {
761 : GEN y;
762 114066 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
763 111153 : return FF_ellinit_ns(y,fg);
764 : }
765 :
766 : static GEN
767 3493 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
768 : {
769 3493 : GEN e = vecslice(x,1,5);
770 : GEN p, modP;
771 3493 : if (get_modpr(P))
772 : { /* modpr accept */
773 3192 : modP = P;
774 3192 : p = modpr_get_p(modP);
775 : }
776 : else
777 : { /* pr, initialize modpr */
778 301 : GEN d = Q_denom(e);
779 301 : p = pr_get_p(P);
780 301 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
781 : }
782 3493 : *pp = p;
783 3493 : *pT = modpr_get_T(modP);
784 3493 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
785 : }
786 : static GEN
787 3472 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
788 : {
789 : GEN T,p;
790 3472 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
791 3472 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
792 : }
793 :
794 : GEN
795 681090 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
796 : {
797 681090 : pari_sp av = avma;
798 : GEN y;
799 681090 : switch(typ(x))
800 : {
801 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
802 681083 : case t_VEC:
803 681083 : if (lg(x) > 6) checkell(x);
804 681084 : break;
805 0 : default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
806 : }
807 681091 : if (D && get_prid(D))
808 : {
809 3052 : if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
810 3052 : y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
811 3052 : goto END;
812 : }
813 678039 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
814 : {
815 196 : case t_PADIC:
816 196 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
817 189 : break;
818 27072 : case t_INTMOD:
819 27072 : y = ellinit_Fp(x, D);
820 27066 : break;
821 113856 : case t_FFELT:
822 113856 : y = ellinit_Fq(x, D);
823 113856 : break;
824 497854 : case t_FRAC:
825 497854 : y = ellinit_Q(x, prec);
826 497847 : break;
827 28 : case t_REAL:
828 28 : y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
829 21 : break;
830 36442 : case t_VEC:
831 36442 : y = ellinit_nf(x, D);
832 36442 : break;
833 2541 : default:
834 2541 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
835 : }
836 681014 : END:
837 681014 : if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
838 673013 : return gerepilecopy(av,y);
839 : }
840 :
841 : /********************************************************************/
842 : /** **/
843 : /** COORDINATE CHANGE **/
844 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
845 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
846 : /** verbatim **/
847 : /** **/
848 : /********************************************************************/
849 : /* [1,0,0,0] */
850 : static GEN
851 2567971 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
852 : static int
853 457674 : is_trivial_change(GEN v)
854 : {
855 : GEN u, r, s, t;
856 457674 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
857 457674 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
858 457674 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
859 : }
860 :
861 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
862 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
863 : static void
864 1008 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
865 : {
866 1008 : GEN v = *vtotal;
867 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
868 :
869 1008 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
870 980 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
871 980 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
872 980 : U2 = gsqr(U);
873 980 : gel(v,1) = gmul(U, u);
874 980 : gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
875 980 : gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
876 980 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
877 : }
878 :
879 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
880 : GEN
881 21 : ellchangeinvert(GEN w)
882 : {
883 : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
884 21 : if (typ(w) == t_INT) return w;
885 21 : u = gel(w,1);
886 21 : r = gel(w,2);
887 21 : s = gel(w,3);
888 21 : t = gel(w,4);
889 21 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
890 21 : U = ginv(u);
891 21 : R = gdiv(gneg(r), u2);
892 21 : S = gdiv(gneg(s), u);
893 21 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
894 21 : return mkvec4(U,R,S,T);
895 : }
896 :
897 : static GEN
898 99393 : ell_to_nfell10(GEN e)
899 : {
900 : long i;
901 99393 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
902 99393 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
903 1093323 : for(i=1; i<=10; i++)
904 993930 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
905 99393 : return y;
906 : }
907 :
908 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
909 : static GEN
910 153552 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
911 : {
912 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
913 : long lx;
914 153552 : if (gequal1(u)) return e;
915 153139 : y = cgetg_copy(e, &lx);
916 153139 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
917 153139 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
918 153139 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
919 153139 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
920 153139 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
921 153139 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
922 153139 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
923 153139 : if (lx == 6) return y;
924 153132 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
925 153132 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
926 153132 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
927 153132 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
928 153132 : return y;
929 : }
930 : /* apply [1,r,0,0] */
931 : static GEN
932 267323 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
933 : {
934 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
935 : long lx;
936 267323 : if (gequal0(r)) return e;
937 238980 : y = cgetg_copy(e, &lx);
938 238980 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
939 238980 : rx3 = gmulsg(3,r);
940 :
941 238980 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
942 : /* A2 = a2 + 3r */
943 238980 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
944 : /* A3 = a1 r + a3 */
945 238980 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
946 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
947 238980 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
948 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
949 238980 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
950 238980 : if (lx == 6) return y;
951 :
952 238973 : b4 = ell_get_b4(e);
953 238973 : b6 = ell_get_b6(e);
954 : /* B2 = 12r + b2 */
955 238973 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
956 238973 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
957 238973 : r2 = nfsqr(nf,r);
958 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
959 238973 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
960 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
961 238973 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
962 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
963 238973 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
964 238973 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
965 238973 : return y;
966 : }
967 :
968 : static GEN
969 109557 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
970 : {
971 : GEN a1, y;
972 109557 : if (gequal0(s)) return e;
973 109557 : a1 = ell_get_a1(e);
974 109557 : y = leafcopy(e);
975 :
976 : /* A1 = a1 + 2s */
977 109557 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
978 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
979 109557 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
980 : /* A4 = a4 - s a3 */
981 109557 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
982 109557 : return y;
983 : }
984 : /* apply [1,0,0,t] */
985 : static GEN
986 251874 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
987 : {
988 : GEN a1, a3, y;
989 251874 : if (gequal0(t)) return e;
990 251454 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
991 251454 : y = leafcopy(e);
992 : /* A3 = 2t + a3 */
993 251454 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
994 : /* A4 = a4 - a1 t */
995 251454 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
996 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
997 251454 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
998 251454 : return y;
999 : }
1000 :
1001 : /* apply [1,0,s,t] */
1002 : static GEN
1003 12936 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1004 : {
1005 : GEN y, a1, a3;
1006 12936 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1007 12516 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1008 12516 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1009 12516 : y = leafcopy(e);
1010 : /* A1 = a1 + 2s */
1011 12516 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1012 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1013 12516 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1014 : /* A3 = 2t + a3 */
1015 12516 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1016 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1017 12516 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1018 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1019 12516 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1020 12516 : return y;
1021 : }
1022 :
1023 : static GEN
1024 171094 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1025 : {
1026 171094 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1027 171094 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1028 : }
1029 :
1030 : /* apply [1,r,s,t] */
1031 : static GEN
1032 420 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1033 : {
1034 420 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1035 420 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1036 : }
1037 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1038 : static GEN
1039 420 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1040 : {
1041 420 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1042 420 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1043 420 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1044 : }
1045 :
1046 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1047 : static GEN
1048 73752 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1049 : {
1050 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1051 : long lx;
1052 73752 : if (gequal1(u)) return e;
1053 73423 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1054 73423 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1055 73423 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1056 73423 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1057 73423 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1058 73423 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1059 73423 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1060 73423 : if (lx == 6) return y;
1061 73423 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1062 73423 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1063 73423 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1064 73423 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1065 73423 : u12 = gsqr(u6);
1066 73423 : D = ell_get_disc(e);
1067 73423 : c4 = ell_get_c4(e);
1068 73423 : c6 = ell_get_c6(e);
1069 73423 : c4 = gmul(c4, u4);
1070 73423 : c6 = gmul(c6, u6);
1071 73423 : D = gmul(D, u12);
1072 73423 : gel(y,10)= c4;
1073 73423 : gel(y,11)= c6;
1074 73423 : gel(y,12)= D;
1075 73423 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1076 73423 : gel(y,14)= gel(e,14);
1077 73423 : gel(y,15)= gel(e,15);
1078 73423 : gel(y,16)= gel(e,16);
1079 73423 : return y;
1080 : }
1081 : /* apply [1,r,0,0] */
1082 : static GEN
1083 611282 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1084 : {
1085 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1086 611282 : if (gequal0(r)) return e;
1087 511819 : y = leafcopy(e);
1088 511819 : a2 = ell_get_a2(e);
1089 511819 : rx3 = gmulsg(3,r);
1090 :
1091 : /* A2 = a2 + 3r */
1092 511819 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1093 : /* A3 = a1 r + a3 */
1094 511819 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1095 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1096 511819 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1097 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1098 511819 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1099 511819 : if (lg(y) == 6) return y;
1100 :
1101 511812 : b4 = ell_get_b4(e);
1102 511812 : b6 = ell_get_b6(e);
1103 : /* B2 = 12r + b2 */
1104 511812 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1105 511812 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1106 511812 : r2 = gsqr(r);
1107 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1108 511812 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1109 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1110 511812 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1111 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1112 511812 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1113 511812 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1114 511812 : return y;
1115 : }
1116 : /* apply [1,0,s,0] */
1117 : static GEN
1118 118069 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1119 : {
1120 : GEN a1, y;
1121 118069 : if (gequal0(s)) return e;
1122 118069 : a1 = ell_get_a1(e);
1123 118069 : y = leafcopy(e);
1124 :
1125 : /* A1 = a1 + 2s */
1126 118069 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1127 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1128 118069 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1129 : /* A4 = a4 - s a3 */
1130 118069 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1131 118069 : return y;
1132 : }
1133 : /* apply [1,0,0,t] */
1134 : static GEN
1135 345044 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1136 : {
1137 : GEN a1, a3, y;
1138 345044 : if (gequal0(t)) return e;
1139 275072 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1140 275072 : y = leafcopy(e);
1141 : /* A3 = 2t + a3 */
1142 275072 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1143 : /* A4 = a4 - a1 t */
1144 275072 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1145 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1146 275072 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1147 275072 : return y;
1148 : }
1149 : /* apply [1,0,s,t] */
1150 : static GEN
1151 347592 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1152 : {
1153 : GEN y, a1, a3;
1154 347592 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1155 246050 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1156 127981 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1157 127981 : y = leafcopy(e);
1158 : /* A1 = a1 + 2s */
1159 127981 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1160 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1161 127981 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1162 : /* A3 = 2t + a3 */
1163 127981 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1164 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1165 127981 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1166 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1167 127981 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1168 127981 : return y;
1169 : }
1170 : /* apply [1,r,s,t] */
1171 : static GEN
1172 347592 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1173 : {
1174 347592 : e = coordch_r(e, r);
1175 347592 : return coordch_st(e, s, t);
1176 : }
1177 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1178 : static GEN
1179 72275 : coordch(GEN e, GEN w)
1180 : {
1181 72275 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1182 72275 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1183 72275 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1184 : }
1185 :
1186 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1187 : * (dynamic data) */
1188 : static GEN
1189 35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1190 : {
1191 35 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1192 35 : long prec = valp(p);
1193 35 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1194 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1195 : {
1196 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1197 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1198 : }
1199 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1200 : {
1201 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1202 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1203 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1204 7 : U = gmul(U, u);
1205 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1206 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1207 : }
1208 35 : return E;
1209 : }
1210 :
1211 : /* common to Q and Rg */
1212 : static GEN
1213 37352 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1214 : {
1215 37352 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1216 37352 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1217 28 : obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1218 37352 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1219 28 : obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
1220 37352 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1221 : {
1222 28 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1223 : long i;
1224 112 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1225 28 : obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
1226 : }
1227 37352 : return E;
1228 : }
1229 :
1230 : static GEN
1231 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1232 : {
1233 7 : GEN p = NULL;
1234 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1235 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1236 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1237 : }
1238 :
1239 : static GEN
1240 37352 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1241 : {
1242 37352 : long prec = ellR_get_prec(E);
1243 37352 : GEN S, v = NULL, p = NULL;
1244 37352 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1245 37345 : ch_R(E, e, w);
1246 37345 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1247 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1248 37345 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1249 : {
1250 1463 : if (lg(S) == 2)
1251 : { /* model was minimal */
1252 7 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1253 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1254 7 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1255 : }
1256 : else
1257 : {
1258 1456 : v = gel(S,2);
1259 1456 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
1260 1442 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1261 : else
1262 : {
1263 14 : w = ellchangeinvert(w);
1264 14 : gcomposev(&w, v); v = w;
1265 14 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1266 14 : gel(S,2) = v;
1267 : }
1268 1456 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1269 : }
1270 : }
1271 37345 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1272 14 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1273 37345 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1274 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1275 37345 : return E;
1276 : }
1277 :
1278 : static void
1279 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1280 : {
1281 : GEN S;
1282 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1283 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1284 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1285 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1286 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1287 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1288 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1289 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1290 126 : }
1291 :
1292 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1293 : static GEN
1294 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1295 : {
1296 7 : long prec = 0;
1297 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1298 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1299 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1300 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1301 : }
1302 : static GEN
1303 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1304 : {
1305 119 : long prec = 0;
1306 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1307 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1308 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1309 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1310 : }
1311 :
1312 : static void
1313 72191 : ell_reset(GEN E)
1314 72191 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1315 :
1316 : GEN
1317 72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1318 : {
1319 72212 : pari_sp av = avma;
1320 : GEN E;
1321 72212 : checkell5(e);
1322 72212 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1323 72205 : checkcoordch(w);
1324 72205 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1325 72205 : if (lg(E) != 6)
1326 : {
1327 72191 : ell_reset(E);
1328 72191 : switch(ell_get_type(E))
1329 : {
1330 35 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1331 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1332 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1333 35917 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1334 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1335 : }
1336 14 : }
1337 72205 : return gerepilecopy(av, E);
1338 : }
1339 :
1340 : /* v o= [1,r,0,0] */
1341 : static void
1342 164395 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1343 : {
1344 164395 : GEN v = *vtotal;
1345 : GEN U2, R, S, T;
1346 164395 : if (gequal0(r)) return;
1347 95809 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1348 95809 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1349 95809 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1350 95809 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1351 : }
1352 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1353 : static void
1354 109557 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1355 : {
1356 109557 : GEN v = *vtotal;
1357 : GEN U, S;
1358 109557 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1359 109557 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1360 109557 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1361 109557 : }
1362 : /* v o= [1,0,0,t] */
1363 : static void
1364 254030 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1365 : {
1366 254030 : GEN v = *vtotal;
1367 : GEN U3, U, T;
1368 254030 : if (gequal0(t)) return;
1369 80360 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1370 80360 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1371 80360 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1372 : }
1373 : /* v o= [1,r,0,t] */
1374 : static void
1375 251846 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1376 : {
1377 251846 : GEN v = *vtotal;
1378 : GEN U2, U, R, S, T;
1379 251846 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1380 171094 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1381 171094 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1382 171094 : U2 = nfsqr(nf,U);
1383 171094 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1384 171094 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1385 : }
1386 : /* v o= [1,0,s,t] */
1387 : static void
1388 184345 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1389 : {
1390 184345 : GEN v = *vtotal;
1391 : GEN U3, U, S, T;
1392 184345 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1393 122073 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1394 12516 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1395 12516 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1396 12516 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1397 12516 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1398 : }
1399 :
1400 : /* v o= [u,0,0,0] */
1401 : static void
1402 153132 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1403 : {
1404 153132 : GEN v = *vtotal;
1405 153132 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1406 153132 : }
1407 :
1408 : /* X = (x-r)/u^2
1409 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1410 : static GEN
1411 525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1412 : {
1413 : GEN a, x, y;
1414 525 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1415 511 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1416 511 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1417 : }
1418 :
1419 : GEN
1420 525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1421 : {
1422 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1423 525 : long tx, i, lx = lg(x);
1424 525 : pari_sp av = avma;
1425 :
1426 525 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1427 525 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1428 525 : checkcoordch(ch);
1429 525 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1430 525 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1431 525 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1432 525 : tx = typ(gel(x,1));
1433 525 : if (is_matvec_t(tx))
1434 : {
1435 21 : y = cgetg(lx,tx);
1436 42 : for (i=1; i<lx; i++)
1437 21 : gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1438 : }
1439 : else
1440 504 : y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
1441 525 : return gerepilecopy(av,y);
1442 : }
1443 :
1444 : /* x = u^2*X + r
1445 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1446 : static GEN
1447 63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1448 : {
1449 : GEN a, X, Y;
1450 63 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1451 63 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1452 63 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1453 : }
1454 : GEN
1455 63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1456 : {
1457 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1458 63 : long tx, i, lx = lg(x);
1459 63 : pari_sp av = avma;
1460 :
1461 63 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1462 63 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1463 63 : checkcoordch(ch);
1464 63 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1465 63 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1466 63 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1467 63 : tx = typ(gel(x,1));
1468 63 : if (is_matvec_t(tx))
1469 : {
1470 7 : y = cgetg(lx,tx);
1471 14 : for (i=1; i<lx; i++)
1472 7 : gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1473 : }
1474 : else
1475 56 : y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
1476 63 : return gerepilecopy(av,y);
1477 : }
1478 :
1479 : GEN
1480 28504 : elltwist(GEN E, GEN P)
1481 : {
1482 28504 : pari_sp av = avma;
1483 : GEN a1, a2, a3, a4, a6;
1484 : GEN a, b, c, ac, D, D2;
1485 : GEN V;
1486 28504 : checkell(E);
1487 28504 : if (!P)
1488 : {
1489 : GEN a4, a6;
1490 27188 : checkell_Fq(E);
1491 27188 : switch (ell_get_type(E))
1492 : {
1493 0 : case t_ELL_Fp:
1494 : {
1495 0 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
1496 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
1497 27188 : return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
1498 : }
1499 27188 : case t_ELL_Fq:
1500 27188 : return FF_elltwist(E);
1501 : }
1502 : }
1503 1316 : a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
1504 1316 : a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
1505 1316 : if (typ(P) == t_INT)
1506 : {
1507 1302 : if (equali1(P))
1508 322 : retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
1509 980 : P = quadpoly(P);
1510 : } else
1511 : {
1512 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1513 14 : if (degpol(P) != 2 )
1514 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1515 : }
1516 994 : a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
1517 994 : ac = gmul(a, c);
1518 994 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
1519 994 : D2 = gsqr(D);
1520 994 : V = cgetg(6, t_VEC);
1521 994 : gel(V, 1) = gmul(a1, b);
1522 994 : gel(V, 2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1523 994 : gel(V, 3) = gmul(gmul(a3, b), D);
1524 994 : gel(V, 4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
1525 994 : gel(V, 5) = gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
1526 994 : return gerepilecopy(av, V);
1527 : }
1528 :
1529 : /********************************************************************/
1530 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1531 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1532 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1533 : /********************************************************************/
1534 :
1535 : static long
1536 3185 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1537 3185 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1538 :
1539 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1540 : * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1541 : * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1542 : * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1543 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1544 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1545 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1546 : * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1547 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1548 : static long
1549 392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1550 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1551 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1552 : long v4, v6, vD;
1553 :
1554 392 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1555 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1556 :
1557 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1558 336 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1559 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1560 329 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1561 :
1562 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1563 329 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1564 :
1565 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1566 266 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1567 175 : vD = vali(disc);
1568 175 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1569 168 : return -8;
1570 : }
1571 :
1572 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
1573 : It also has minimal conductor in Z[1/2]
1574 : */
1575 : GEN
1576 637 : ellminimaltwist(GEN e)
1577 : {
1578 637 : pari_sp av = avma;
1579 637 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1580 : long i, lF;
1581 637 : checkell_Q(e);
1582 637 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1583 637 : c4 = ell_get_c4(E);
1584 637 : c6 = ell_get_c6(E);
1585 637 : disc = ell_get_disc(E);
1586 637 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1587 637 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1588 637 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1589 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1590 : * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
1591 : * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1592 2366 : for(i = 1; i < lF; i++)
1593 : {
1594 1729 : GEN p = gel(F, i);
1595 1729 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1596 1729 : if (vg < 6) continue;
1597 : /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
1598 : * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1599 1197 : switch(itou_or_0(p))
1600 : {
1601 441 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1602 441 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1603 441 : break;
1604 364 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1605 364 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1606 364 : break;
1607 392 : case 2:
1608 392 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1609 392 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1610 392 : break;
1611 : }
1612 : }
1613 637 : obj_free(E);
1614 637 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1615 : }
1616 :
1617 : /*
1618 : Reference:
1619 : William A. Stein and Mark Watkins
1620 : A Database of Elliptic Curves-First Report
1621 : ANTS 5
1622 : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
1623 : */
1624 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1625 : GEN
1626 371 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1627 : {
1628 371 : pari_sp av = avma;
1629 371 : GEN D = ellminimaltwist(e);
1630 371 : GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
1631 371 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1632 371 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1633 371 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1634 357 : else if (f==6)
1635 : {
1636 : long s, t;
1637 21 : if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
1638 : else
1639 : {
1640 14 : t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
1641 14 : s = signe(D)==t ? -3: -1;
1642 : }
1643 21 : D = shifti(D, s);
1644 : }
1645 371 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1646 : }
1647 :
1648 : GEN
1649 448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1650 : {
1651 448 : switch(flag)
1652 : {
1653 266 : case 0: return ellminimaltwist(e);
1654 182 : case 1: return ellminimaltwistcond(e);
1655 : }
1656 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1657 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1658 : }
1659 :
1660 : static long
1661 7 : ellexpo(GEN E)
1662 : {
1663 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1664 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1665 : {
1666 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1667 35 : if (f > e) e = f;
1668 : }
1669 7 : return e;
1670 : }
1671 :
1672 : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
1673 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1674 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1675 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1676 : int
1677 16065 : oncurve(GEN e, GEN z)
1678 : {
1679 : GEN LHS, RHS, x;
1680 : long pl, pr, ex, expx;
1681 : pari_sp av;
1682 :
1683 16065 : checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1684 15988 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1685 15988 : av = avma;
1686 15988 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1687 15988 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1688 15988 : if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
1689 21 : pl = precision(LHS);
1690 21 : pr = precision(RHS);
1691 21 : if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
1692 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1693 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1694 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
1695 7 : expx = gexpo(x);
1696 7 : pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
1697 7 : || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
1698 7 : return gc_bool(av,pr);
1699 : }
1700 :
1701 : GEN
1702 17213 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1703 : {
1704 17213 : long i, tx = typ(x), lx;
1705 :
1706 17213 : checkell(e);
1707 17213 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1708 17213 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1709 17213 : tx = typ(gel(x,1));
1710 17213 : if (is_vec_t(tx))
1711 : {
1712 1687 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1713 3514 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1714 1687 : return z;
1715 : }
1716 15526 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1717 : }
1718 :
1719 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1720 : static GEN
1721 1785 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
1722 : {
1723 : GEN dy,dx;
1724 1785 : if (y1 != y2)
1725 : {
1726 : int eq;
1727 259 : if (precision(y1) || precision(y2))
1728 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1729 : else
1730 252 : eq = gequal(y1,y2);
1731 259 : if (!eq) return NULL;
1732 : }
1733 1778 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
1734 1778 : if (gequal0(dx)) return NULL;
1735 1743 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1736 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
1737 1743 : return gdiv(dy,dx);
1738 : }
1739 :
1740 : GEN
1741 13384 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1742 : {
1743 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
1744 13384 : pari_sp av = avma;
1745 :
1746 13384 : checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
1747 13384 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1748 10983 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1749 :
1750 9331 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1751 9331 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1752 9331 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1753 : {
1754 539 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1755 539 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1756 539 : x2 = nftoalg(nf, x2);
1757 539 : y1 = nftoalg(nf, y1);
1758 539 : y2 = nftoalg(nf, y2);
1759 : }
1760 9331 : if (cx_approx_equal(x1,x2))
1761 : {
1762 1785 : s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
1763 1785 : if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
1764 : }
1765 : else
1766 7546 : s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
1767 9289 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1768 9289 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
1769 9289 : z = cgetg(3,t_VEC);
1770 9289 : gel(z,1) = gcopy(x);
1771 9289 : gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
1772 : }
1773 :
1774 : static GEN
1775 49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1776 : {
1777 : GEN t, x, y;
1778 49 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1779 49 : x = gel(z,1);
1780 49 : y = gel(z,2);
1781 49 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1782 : {
1783 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1784 0 : x = nftoalg(nf,x);
1785 0 : y = nftoalg(nf,y);
1786 : }
1787 49 : t = cgetg(3,t_VEC);
1788 49 : gel(t,1) = x;
1789 49 : gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
1790 49 : return t;
1791 : }
1792 :
1793 : GEN
1794 994 : ellneg(GEN e, GEN z)
1795 : {
1796 : pari_sp av;
1797 : GEN t, y;
1798 994 : checkell(e); checkellpt(z);
1799 994 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1800 994 : t = cgetg(3,t_VEC);
1801 994 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
1802 994 : av = avma;
1803 994 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
1804 994 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
1805 994 : return t;
1806 : }
1807 :
1808 : GEN
1809 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1810 : {
1811 49 : pari_sp av = avma;
1812 49 : checkell(e); checkellpt(z2);
1813 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
1814 : }
1815 :
1816 : /* E an ell, x a scalar */
1817 : static GEN
1818 1484 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
1819 : {
1820 1484 : pari_sp av = avma;
1821 1484 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
1822 :
1823 1484 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1824 : {
1825 532 : nf = ellnf_get_nf(E);
1826 532 : x = nftoalg(nf,x);
1827 : }
1828 1484 : a = ec_f_evalx(E,x);
1829 1484 : b = ec_h_evalx(E,x);
1830 1484 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
1831 : /* solve y*(y+b) = a */
1832 1484 : if (gequal0(D)) {
1833 336 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1834 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
1835 336 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
1836 336 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
1837 336 : return gerepileupto(av,y);
1838 : }
1839 : /* D != 0 */
1840 1148 : switch(ell_get_type(E))
1841 : {
1842 28 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
1843 28 : p = ellff_get_p(E);
1844 28 : D = gel(D,2);
1845 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1846 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
1847 7 : break;
1848 217 : case t_ELL_Fq:
1849 217 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1850 : {
1851 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
1852 77 : if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1853 28 : return gerepileupto(av, F);
1854 : }
1855 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1856 105 : break;
1857 357 : case t_ELL_Q:
1858 357 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
1859 350 : if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1860 266 : break;
1861 :
1862 525 : case t_ELL_NF:
1863 : {
1864 525 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
1865 525 : setvarn(T, fetch_var_higher());
1866 525 : d = nfroots(nf, T);
1867 525 : delete_var();
1868 525 : if (lg(d) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
1869 511 : d = gel(d,1);
1870 511 : break;
1871 : }
1872 :
1873 14 : case t_ELL_Qp:
1874 14 : p = ellQp_get_p(E);
1875 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
1876 14 : if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1877 14 : d = Qp_sqrt(D);
1878 14 : break;
1879 :
1880 7 : default:
1881 7 : d = gsqrt(D,prec);
1882 : }
1883 917 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
1884 917 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
1885 917 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
1886 917 : return gerepileupto(av,y);
1887 : }
1888 :
1889 : GEN
1890 1484 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
1891 : {
1892 1484 : checkell(e);
1893 1484 : if (is_matvec_t(typ(x)))
1894 : {
1895 : long i, lx;
1896 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
1897 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
1898 0 : return v;
1899 : }
1900 1484 : return ellordinate_i(e, x, prec);
1901 : }
1902 :
1903 : GEN
1904 243978 : ellrandom(GEN E)
1905 : {
1906 : GEN fg;
1907 243978 : checkell_Fq(E);
1908 243978 : fg = ellff_get_field(E);
1909 243978 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1910 243950 : return FF_ellrandom(E);
1911 : else
1912 : {
1913 28 : pari_sp av = avma;
1914 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
1915 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
1916 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
1917 28 : return gerepileupto(av, P);
1918 : }
1919 : }
1920 :
1921 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
1922 : static GEN
1923 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
1924 : {
1925 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
1926 : long ln, vn;
1927 :
1928 14 : if (typ(N) != t_INT)
1929 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
1930 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
1931 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
1932 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
1933 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
1934 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
1935 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
1936 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
1937 : do
1938 : {
1939 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
1940 : do
1941 : {
1942 28 : long ep = (-valp(z2)) >> 1;
1943 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
1944 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
1945 : }
1946 28 : while (valp(z2) <= 0);
1947 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
1948 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
1949 21 : if (!signe(z2)) break;
1950 7 : z2 = ginv(z2);
1951 : }
1952 7 : while (degpol(p1) < vn);
1953 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
1954 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
1955 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
1956 14 : b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
1957 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
1958 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
1959 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
1960 :
1961 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
1962 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
1963 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
1964 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
1965 :
1966 14 : x = gdiv(p1,q1);
1967 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
1968 14 : x = gsub(x, b2ov12);
1969 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
1970 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
1971 : }
1972 :
1973 : static GEN
1974 637 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
1975 : static GEN
1976 196 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
1977 :
1978 : static GEN
1979 247914 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
1980 : {
1981 247914 : GEN fg = ellff_get_field(E);
1982 247914 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1983 247366 : return FF_ellmul(E, P, n);
1984 : else
1985 : {
1986 548 : pari_sp av = avma;
1987 548 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
1988 548 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
1989 549 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
1990 470 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
1991 470 : return gerepileupto(av, Q);
1992 : }
1993 : }
1994 : /* [n] z, n integral */
1995 : static GEN
1996 248425 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
1997 : {
1998 : long s;
1999 248425 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2000 248425 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
2001 511 : s = signe(n);
2002 511 : if (!s) return ellinf();
2003 462 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2004 462 : if (is_pm1(n)) return z;
2005 392 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2006 : }
2007 :
2008 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2009 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2010 : static long
2011 42 : myroundr(GEN *px)
2012 : {
2013 42 : GEN x = *px;
2014 : long e;
2015 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2016 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2017 42 : if (e >= -5) return NO;
2018 42 : return OK;
2019 : }
2020 :
2021 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2022 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2023 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2024 : static GEN
2025 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2026 : {
2027 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2028 : long prec;
2029 :
2030 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2031 14 : switch(typ(Q))
2032 : {
2033 0 : case t_COMPLEX:
2034 0 : D = utoineg(4);
2035 0 : v = gel(Q,2);
2036 0 : break;
2037 14 : case t_QUAD:
2038 14 : D = quad_disc(Q);
2039 14 : v = gel(Q,3);
2040 14 : break;
2041 0 : default:
2042 0 : return NULL; /*-Wall*/
2043 : }
2044 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2045 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
2046 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2047 14 : prec = precision(tau);
2048 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2049 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2050 : * Compute f*k */
2051 14 : x = gel(tau,1);
2052 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2053 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2054 14 : switch(myroundr(&fk))
2055 : {
2056 0 : case NO: return NULL;
2057 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2058 : }
2059 14 : fk = absi_shallow(fk);
2060 :
2061 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2062 14 : switch(myroundr(&fkb))
2063 : {
2064 0 : case NO: return NULL;
2065 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2066 : }
2067 :
2068 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2069 14 : switch(myroundr(&fkc))
2070 : {
2071 0 : case NO: return NULL;
2072 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2073 : }
2074 :
2075 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2076 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2077 14 : dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2078 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2079 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2080 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2081 14 : v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
2082 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2083 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2084 : }
2085 :
2086 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2087 : static GEN
2088 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2089 : {
2090 : GEN A, B, q;
2091 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2092 14 : q = CM_factor(e, w);
2093 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2094 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2095 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2096 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2097 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2098 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2099 7 : GEN u = gtrace(w);
2100 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2101 7 : u = shifti(u, -1);
2102 7 : if (signe(u))
2103 : {
2104 0 : w = gsub(w, u);
2105 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2106 : }
2107 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2108 : }
2109 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2110 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2111 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2112 14 : return elladd(e, A, B);
2113 : }
2114 : GEN
2115 248488 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2116 : {
2117 248488 : pari_sp av = avma;
2118 :
2119 248488 : checkell(e); checkellpt(z);
2120 248481 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2121 248425 : switch(typ(n))
2122 : {
2123 248411 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
2124 14 : case t_QUAD: {
2125 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2126 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2127 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2128 : }
2129 0 : case t_COMPLEX: {
2130 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2131 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2132 : }
2133 : }
2134 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2135 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2136 : }
2137 :
2138 : /********************************************************************/
2139 : /** **/
2140 : /** Periods **/
2141 : /** **/
2142 : /********************************************************************/
2143 :
2144 : /* References:
2145 : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
2146 : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
2147 : */
2148 :
2149 : static GEN
2150 4798 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
2151 : {
2152 4798 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
2153 4798 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
2154 4798 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
2155 : }
2156 :
2157 : static GEN
2158 3306 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
2159 : {
2160 3306 : pari_sp av = avma;
2161 3306 : GEN roots = ellR_roots(E,prec);
2162 3306 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
2163 3306 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
2164 3306 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
2165 : }
2166 :
2167 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
2168 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
2169 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
2170 : static GEN
2171 4798 : doellR_omega(GEN E, long prec)
2172 : {
2173 4798 : pari_sp av = avma;
2174 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
2175 4798 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
2176 1492 : roots = ellR_roots(E,prec);
2177 1492 : d2 = gel(roots,5);
2178 1492 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
2179 1492 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
2180 1492 : b = gel(z,2);
2181 1492 : c = gabs(z, prec);
2182 1492 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
2183 1492 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
2184 : }
2185 : static GEN
2186 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
2187 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
2188 :
2189 : GEN
2190 6286 : ellR_omega(GEN E, long prec)
2191 6286 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
2192 : GEN
2193 84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
2194 84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
2195 : GEN
2196 6184 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2197 6184 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2198 :
2199 : GEN
2200 2450 : ellR_area(GEN E, long prec)
2201 : {
2202 2450 : pari_sp av = avma;
2203 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2204 2450 : w = ellR_omega(E, prec);
2205 2450 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2206 2450 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2207 2450 : return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2208 : }
2209 :
2210 : /********************************************************************/
2211 : /** **/
2212 : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
2213 : /** **/
2214 : /********************************************************************/
2215 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
2216 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
2217 : static GEN
2218 14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
2219 : {
2220 14 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
2221 14 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
2222 14 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
2223 14 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
2224 14 : GEN z = gel(om,2);
2225 14 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
2226 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
2227 : else
2228 14 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
2229 14 : return gmul2n(z, -1);
2230 : }
2231 :
2232 : static GEN
2233 35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
2234 : {
2235 35 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2236 35 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2237 35 : if (gequal0(y0))
2238 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
2239 : else
2240 : {
2241 35 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
2242 35 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
2243 35 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2244 35 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2245 35 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
2246 : /* |a+b| < |a-b| */
2247 35 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
2248 35 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2249 : }
2250 : }
2251 :
2252 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
2253 : static GEN
2254 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
2255 : {
2256 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2257 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
2258 : else
2259 : {
2260 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2261 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
2262 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
2263 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
2264 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
2265 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
2266 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
2267 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
2268 : }
2269 : }
2270 :
2271 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
2272 : static GEN
2273 21 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
2274 : {
2275 21 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2276 21 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2277 21 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
2278 7 : e1 = gel(R,1);
2279 7 : e2 = gel(R,2);
2280 7 : e3 = gel(R,3);
2281 7 : d2 = gel(R,5);
2282 7 : d3 = gel(R,6);
2283 7 : a = gsqrt(d2,prec);
2284 7 : b = gsqrt(d3,prec);
2285 7 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
2286 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2287 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2288 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2289 : } else {
2290 0 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
2291 0 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
2292 0 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
2293 0 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
2294 : }
2295 : }
2296 :
2297 : static void
2298 7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
2299 : {
2300 7 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
2301 7 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
2302 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
2303 0 : }
2304 : static GEN
2305 161 : get_r0(GEN E, long prec)
2306 : {
2307 161 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2308 161 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2309 : }
2310 : static GEN
2311 112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
2312 : {
2313 112 : pari_sp av = avma;
2314 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
2315 : long vq, vt, Q, R;
2316 112 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
2317 105 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
2318 105 : u = ellQp_u(E, prec);
2319 105 : q = ellQp_q(E, prec);
2320 105 : x = gel(P,1);
2321 105 : r0 = get_r0(E, prec);
2322 105 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
2323 105 : if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
2324 98 : r = gsub(a,b);
2325 98 : ar = gmul(a, r);
2326 98 : if (gequal0(c0))
2327 : {
2328 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
2329 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
2330 : }
2331 : else
2332 : {
2333 91 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
2334 91 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
2335 91 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
2336 84 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
2337 : }
2338 91 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
2339 91 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
2340 :
2341 91 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2342 91 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2343 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
2344 91 : if (typ(t) == t_PADIC)
2345 56 : vt = valp(t);
2346 : else
2347 35 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
2348 91 : vq = valp(q); /* > 0 */
2349 91 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
2350 91 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
2351 91 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2352 91 : return gerepileupto(av, t);
2353 : }
2354 :
2355 : static GEN
2356 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
2357 : {
2358 56 : pari_sp av = avma;
2359 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
2360 : long v;
2361 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
2362 :
2363 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
2364 56 : u = ellQp_u(E,prec);
2365 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
2366 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
2367 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
2368 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
2369 56 : r0 = get_r0(E, prec);
2370 :
2371 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
2372 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
2373 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
2374 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
2375 56 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
2376 : }
2377 :
2378 : static GEN
2379 56 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
2380 : {
2381 : GEN t;
2382 : long s;
2383 56 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
2384 56 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
2385 56 : s = ellR_get_sign(e);
2386 56 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
2387 21 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
2388 : else
2389 35 : t = zellcx(e,z,prec);
2390 56 : return t;
2391 : }
2392 : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
2393 : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
2394 : static void ellnfembed_free(GEN L);
2395 : GEN
2396 161 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
2397 : {
2398 161 : pari_sp av = avma;
2399 161 : checkell(E); checkellpt(P);
2400 161 : switch(ell_get_type(E))
2401 : {
2402 112 : case t_ELL_Qp:
2403 112 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
2404 112 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
2405 7 : case t_ELL_NF:
2406 : {
2407 7 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
2408 7 : long i, l = lg(Pe);
2409 21 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
2410 7 : ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
2411 : }
2412 7 : case t_ELL_Q: break;
2413 35 : case t_ELL_Rg: break;
2414 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
2415 : }
2416 42 : return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
2417 : }
2418 :
2419 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
2420 : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
2421 : typedef struct {
2422 : enum period_type type;
2423 : GEN in; /* original input */
2424 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
2425 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
2426 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
2427 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
2428 : GEN x,y; /* t_INT */
2429 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
2430 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
2431 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
2432 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
2433 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
2434 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
2435 : long prec; /* precision(Z) */
2436 : long prec0; /* required precision for result */
2437 : } ellred_t;
2438 :
2439 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
2440 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
2441 : static void
2442 23744 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
2443 : {
2444 23744 : GEN a, b, c, d, t, t0e, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
2445 23744 : long e = gexpo(gel(t0,2));
2446 23744 : t = t0e = (e >= 0)? t0: gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
2447 23744 : a = d = gen_1;
2448 23744 : b = c = gen_0;
2449 : for(;;)
2450 21924 : {
2451 45668 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
2452 45668 : if (signe(n))
2453 : { /* apply T^n */
2454 27439 : t = gsub(t,n);
2455 27439 : a = subii(a, mulii(n,c));
2456 27439 : b = subii(b, mulii(n,d));
2457 : }
2458 45668 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
2459 21924 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
2460 21924 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
2461 21924 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
2462 : }
2463 23744 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0e;
2464 23744 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
2465 23744 : }
2466 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
2467 : * Set *pU to U. */
2468 : GEN
2469 9135 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
2470 : {
2471 : GEN a,b,c,d;
2472 9135 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
2473 9135 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
2474 9135 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
2475 9135 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
2476 : }
2477 : GEN
2478 9100 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
2479 : {
2480 9100 : pari_sp av = avma;
2481 : GEN czd;
2482 9100 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
2483 9100 : gerepileall(av, 2, &t, pU); return t;
2484 : }
2485 :
2486 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
2487 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
2488 : static void
2489 14609 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
2490 : {
2491 : long s, p;
2492 14609 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
2493 14609 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
2494 14609 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
2495 14609 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
2496 : mkvec2(T->w1,T->w2));
2497 14609 : T->swap = (s < 0);
2498 14609 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
2499 14609 : p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
2500 14609 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
2501 : /* update lattice */
2502 14609 : p = precision(T->tau);
2503 14609 : if (p)
2504 : {
2505 14231 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
2506 14231 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
2507 : }
2508 14609 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
2509 14609 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
2510 14609 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
2511 14609 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2512 14609 : p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
2513 14609 : }
2514 : /* is z real or pure imaginary ? */
2515 : static void
2516 15680 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
2517 : {
2518 15680 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
2519 10283 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
2520 9758 : else *real = *imag = 0;
2521 15680 : }
2522 : static void
2523 9933 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
2524 : {
2525 : long p;
2526 : GEN Z;
2527 9933 : switch(typ(z))
2528 : {
2529 9933 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
2530 0 : case t_QUAD:
2531 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
2532 0 : break;
2533 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
2534 : }
2535 9933 : Z = gdiv(z, T->W2);
2536 9933 : T->z = z;
2537 9933 : T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
2538 9933 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
2539 9933 : T->y = ground(real_i(Z));
2540 9933 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2541 9933 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
2542 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
2543 9933 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2544 9933 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
2545 : {
2546 : int W2real, W2imag;
2547 4872 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
2548 4872 : if (W2real)
2549 399 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2550 4473 : else if (W2imag)
2551 406 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
2552 : }
2553 9933 : p = precision(Z);
2554 9933 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
2555 28 : Z = NULL; /*z in L*/
2556 9933 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2557 9933 : T->Z = Z;
2558 9933 : }
2559 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2560 : static GEN
2561 8904 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2562 : {
2563 8904 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2564 8904 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2565 8904 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2566 8904 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2567 4255 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2568 : }
2569 : /* e is either
2570 : * - [w1,w2]
2571 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2572 : * - an ellinit structure */
2573 : static void
2574 14609 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2575 : {
2576 : GEN w, e;
2577 14609 : T->q_is_real = 0;
2578 14609 : T->some_q_is_real = 0;
2579 14609 : switch(T->type)
2580 : {
2581 1064 : case t_PER_ELL:
2582 : {
2583 1064 : long pr, p = prec;
2584 1064 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2585 1064 : e = T->in;
2586 1064 : w = ellR_omega(e, p);
2587 1064 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2588 1064 : break;
2589 : }
2590 13363 : case t_PER_W:
2591 13363 : w = T->in; break;
2592 182 : default: /*t_PER_WETA*/
2593 182 : w = gel(T->in,1); break;
2594 : }
2595 14609 : T->w1 = gel(w,1);
2596 14609 : T->w2 = gel(w,2);
2597 14609 : red_modSL2(T, prec);
2598 14609 : if (z) reduce_z(z, T);
2599 14609 : }
2600 : static int
2601 14616 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2602 : {
2603 : GEN w1;
2604 14616 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2605 14616 : T->in = e;
2606 14616 : switch(lg(e))
2607 : {
2608 1071 : case 17:
2609 1071 : T->type = t_PER_ELL;
2610 1071 : break;
2611 13545 : case 3:
2612 13545 : w1 = gel(e,1);
2613 13545 : if (typ(w1) != t_VEC)
2614 13363 : T->type = t_PER_W;
2615 : else
2616 : {
2617 182 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2618 182 : T->type = t_PER_WETA;
2619 : }
2620 13545 : break;
2621 0 : default: return 0;
2622 : }
2623 14616 : return 1;
2624 : }
2625 : static int
2626 14532 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2627 : {
2628 14532 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2629 14532 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2630 : }
2631 :
2632 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2633 : static GEN
2634 23562 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2635 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2636 : static GEN
2637 13580 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2638 : {
2639 13580 : GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
2640 13580 : return cxtoreal(z);
2641 : }
2642 :
2643 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2644 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2645 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2646 : GEN
2647 4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2648 : {
2649 4459 : pari_sp av = avma;
2650 : GEN y;
2651 : ellred_t T;
2652 :
2653 4459 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2654 4459 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2655 4459 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2656 4459 : y = _elleisnum(&T, k);
2657 4459 : if (k==2 && signe(T.c))
2658 4011 : {
2659 4011 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2660 4011 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2661 : }
2662 448 : else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y, 12);
2663 420 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2664 4459 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
2665 : }
2666 :
2667 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
2668 : static GEN
2669 8939 : _elleta(ellred_t *T)
2670 : {
2671 8939 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
2672 8939 : y2 = gmul(T->W2, e2);
2673 8939 : y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
2674 8939 : retmkvec2(y1, y2);
2675 : }
2676 :
2677 : /* compute eta1, eta2 */
2678 : GEN
2679 84 : elleta(GEN om, long prec)
2680 : {
2681 84 : pari_sp av = avma;
2682 : GEN y1, y2, E2, pi;
2683 : ellred_t T;
2684 :
2685 84 : if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
2686 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
2687 :
2688 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
2689 77 : prec = T.prec;
2690 77 : pi = mppi(prec);
2691 77 : E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
2692 77 : if (signe(T.c))
2693 : {
2694 21 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
2695 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
2696 21 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
2697 : }
2698 77 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
2699 77 : if (T.swap)
2700 : {
2701 7 : y1 = y2;
2702 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
2703 : }
2704 : else
2705 70 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
2706 77 : switch(typ(T.w1))
2707 : {
2708 49 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
2709 49 : y1 = real_i(y1);
2710 : }
2711 77 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
2712 : }
2713 : GEN
2714 49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
2715 : {
2716 49 : pari_sp av = avma;
2717 : ellred_t T;
2718 49 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
2719 49 : switch(flag)
2720 : {
2721 14 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
2722 35 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
2723 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
2724 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2725 : }
2726 : }
2727 :
2728 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
2729 : static double
2730 9793 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
2731 :
2732 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
2733 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
2734 : static GEN
2735 987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
2736 : {
2737 : long toadd;
2738 987 : pari_sp av = avma, av1;
2739 : GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
2740 : ellred_t T;
2741 : int simple_case;
2742 :
2743 987 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
2744 987 : if (!T.Z) return NULL;
2745 966 : prec = T.prec;
2746 :
2747 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
2748 966 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
2749 966 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
2750 966 : u1 = gsubsg(1,u);
2751 966 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
2752 966 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
2753 966 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
2754 966 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
2755 966 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
2756 966 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
2757 966 : yp = flall? gen_0: NULL;
2758 966 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2759 :
2760 966 : av1 = avma; qn = q;
2761 : for(;;)
2762 11872 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
2763 : /* analogous formula for yp */
2764 12838 : GEN yadd, ypadd = NULL;
2765 12838 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
2766 12838 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
2767 12838 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
2768 12838 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
2769 12838 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
2770 388 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
2771 : else
2772 : {
2773 12450 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
2774 12450 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
2775 12450 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
2776 12450 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
2777 : }
2778 12838 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
2779 12838 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
2780 12838 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
2781 :
2782 12838 : qn = gmul(q,qn);
2783 12838 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
2784 11872 : if (gc_needed(av1,1))
2785 : {
2786 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
2787 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
2788 : }
2789 : }
2790 966 : if (yp)
2791 : {
2792 903 : if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
2793 903 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
2794 : }
2795 :
2796 966 : u1 = PiI2div(T.W2, prec);
2797 966 : u2 = gsqr(u1);
2798 966 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
2799 966 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
2800 567 : y = real_i(y);
2801 966 : if (yp)
2802 : {
2803 903 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
2804 903 : if (T.some_q_is_real)
2805 : {
2806 903 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
2807 385 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
2808 : }
2809 903 : y = mkvec2(y, yp);
2810 : }
2811 966 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
2812 : }
2813 : static GEN
2814 301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
2815 : {
2816 : long i, k, l;
2817 : pari_sp av;
2818 301 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
2819 :
2820 301 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
2821 301 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
2822 :
2823 2520 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
2824 301 : _1 = Rg_get_1(c4);
2825 301 : switch(PRECDL)
2826 : {
2827 301 : default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
2828 301 : case 6:
2829 301 : case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
2830 301 : case 4:
2831 301 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
2832 301 : case 2:
2833 301 : case 1: P[0] = _1;
2834 : }
2835 301 : if (PRECDL <= 8) return res;
2836 301 : av = avma;
2837 301 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
2838 1085 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
2839 : {
2840 784 : av = avma;
2841 784 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
2842 1239 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
2843 784 : t = gmul2n(t, 1);
2844 784 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
2845 784 : if (k % 3 == 2)
2846 273 : t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
2847 : else /* same value, more efficient */
2848 511 : t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
2849 784 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
2850 : }
2851 301 : return res;
2852 : }
2853 :
2854 : static int
2855 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
2856 : {
2857 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
2858 : {
2859 203 : case 17:
2860 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
2861 203 : *c6 = ell_get_c6(w);
2862 203 : return 1;
2863 91 : case 3:
2864 : {
2865 : ellred_t T;
2866 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
2867 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
2868 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
2869 91 : return 1;
2870 : }
2871 : }
2872 0 : *c4 = *c6 = NULL;
2873 0 : return 0;
2874 : }
2875 :
2876 : GEN
2877 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
2878 : {
2879 : GEN c4, c6;
2880 14 : checkell(e);
2881 14 : c4 = ell_get_c4(e);
2882 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
2883 : }
2884 :
2885 : GEN
2886 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
2887 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
2888 :
2889 : GEN
2890 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
2891 : {
2892 182 : pari_sp av = avma;
2893 : GEN y;
2894 :
2895 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
2896 182 : if (!z) z = pol_x(0);
2897 182 : y = toser_i(z);
2898 182 : if (y)
2899 : {
2900 105 : long vy = varn(y), v = valp(y);
2901 : GEN P, Q, c4,c6;
2902 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
2903 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
2904 105 : if (gequal0(y)) {
2905 0 : set_avma(av);
2906 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
2907 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
2908 : }
2909 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
2910 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
2911 105 : if (!flag)
2912 105 : return gerepileupto(av, Q);
2913 : else
2914 : {
2915 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
2916 0 : return gerepilecopy(av, R);
2917 : }
2918 : }
2919 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
2920 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
2921 70 : return gerepileupto(av, y);
2922 : }
2923 :
2924 : GEN
2925 161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
2926 : {
2927 : long prec;
2928 161 : pari_sp av = avma;
2929 161 : GEN pi2, q, y, et = NULL;
2930 : ellred_t T;
2931 :
2932 161 : if (!z) z = pol_x(0);
2933 161 : y = toser_i(z);
2934 161 : if (y)
2935 : {
2936 91 : long vy = varn(y), v = valp(y);
2937 : GEN P, Q, c4,c6;
2938 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
2939 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
2940 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
2941 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
2942 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
2943 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
2944 91 : return gerepileupto(av, Q);
2945 : }
2946 70 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
2947 70 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
2948 70 : prec = T.prec;
2949 70 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
2950 :
2951 70 : pi2 = Pi2n(1, prec);
2952 70 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
2953 70 : y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
2954 70 : if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
2955 : { /* else u = -1 and this vanishes */
2956 70 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2957 70 : GEN qn, u, v, S = gen_0;
2958 : pari_sp av1;
2959 70 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
2960 70 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
2961 70 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
2962 70 : y = gadd(y, v);
2963 : /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
2964 : * = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
2965 70 : av1 = avma;
2966 70 : for (qn = q;;)
2967 : {
2968 835 : S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
2969 835 : qn = gmul(q,qn);
2970 835 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
2971 765 : if (gc_needed(av1,1))
2972 : {
2973 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
2974 0 : gerepileall(av1,2, &S,&qn);
2975 : }
2976 : }
2977 70 : y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
2978 : }
2979 70 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
2980 70 : if (T.some_q_is_real)
2981 : {
2982 70 : if (T.some_z_is_real)
2983 : {
2984 28 : if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
2985 : }
2986 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
2987 : {
2988 21 : if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
2989 21 : gel(y,1) = gen_0;
2990 : }
2991 : }
2992 70 : if (et) y = gadd(y, et);
2993 70 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
2994 : }
2995 :
2996 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
2997 : GEN
2998 8974 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
2999 : {
3000 : long toadd, prec, n;
3001 8974 : pari_sp av = avma, av1;
3002 : GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3003 : ellred_t T;
3004 :
3005 8974 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3006 :
3007 8974 : if (!z) z = pol_x(0);
3008 8974 : y = toser_i(z);
3009 8974 : if (y)
3010 : {
3011 98 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3012 : GEN P, Q, c4,c6;
3013 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3014 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3015 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3016 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3017 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3018 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3019 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3020 91 : P = integser(serchop0(P));
3021 91 : P = gexp(P, prec0);
3022 91 : setvalp(P, valp(P)+1);
3023 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3024 91 : return gerepileupto(av, Q);
3025 : }
3026 8876 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3027 8876 : if (!T.Z)
3028 : {
3029 7 : if (!flag) return gen_0;
3030 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3031 : }
3032 8869 : prec = T.prec;
3033 8869 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3034 8869 : pi = mppi(prec);
3035 :
3036 8869 : urninv = uinv = NULL;
3037 8869 : if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
3038 : {
3039 112 : toadd = 0;
3040 112 : urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
3041 112 : u = gen_1;
3042 : }
3043 : else
3044 : {
3045 8757 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3046 8757 : urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3047 8757 : u = gneg_i(gsqr(urn));
3048 8757 : if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
3049 : }
3050 8869 : q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
3051 8869 : q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
3052 8869 : y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
3053 8869 : for(n=0;;n++)
3054 : { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
3055 : * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
3056 65167 : y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
3057 65167 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3058 65167 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3059 56298 : qn = gmul(q,qn);
3060 56298 : urn = gmul(urn,u);
3061 56298 : if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
3062 56298 : if (gc_needed(av1,1))
3063 : {
3064 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3065 0 : gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3066 : }
3067 : }
3068 8869 : y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3069 8869 : y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
3070 :
3071 8869 : et = _elleta(&T);
3072 8869 : z0 = gmul(T.Z,T.W2);
3073 8869 : y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
3074 8869 : etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
3075 8869 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
3076 8869 : if (flag)
3077 : {
3078 8799 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3079 8799 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
3080 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
3081 8799 : if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
3082 21 : y = real_i(y);
3083 : }
3084 : else
3085 : {
3086 70 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3087 70 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
3088 70 : if (T.some_q_is_real)
3089 : {
3090 : int re, cx;
3091 70 : check_complex(z,&re,&cx);
3092 70 : if (re) y = real_i(y);
3093 49 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
3094 : }
3095 : }
3096 8869 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3097 : }
3098 :
3099 : GEN
3100 966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3101 : {
3102 966 : pari_sp av = avma;
3103 : GEN v;
3104 :
3105 966 : checkell(e);
3106 966 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
3107 : {
3108 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3109 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
3110 : }
3111 910 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3112 910 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
3113 896 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
3114 896 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
3115 896 : return gerepilecopy(av, v);
3116 : }
3117 :
3118 : /********************************************************************/
3119 : /** **/
3120 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3121 : /** Kodaira types, global minimal model **/
3122 : /** **/
3123 : /********************************************************************/
3124 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3125 : typedef struct {
3126 : long a1; /*{0,1}*/
3127 : long a2; /*{-1,0,1}*/
3128 : long a3; /*{0,1}*/
3129 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3130 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3131 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3132 : } ellmin_t;
3133 :
3134 : /* u from [u,r,s,t] */
3135 : static void
3136 517762 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3137 : {
3138 517762 : M->u = u;
3139 517762 : if (is_pm1(u))
3140 454244 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3141 : else
3142 : {
3143 63518 : M->u2 = sqri(u);
3144 63518 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3145 63518 : M->u4 = sqri(M->u2);
3146 63518 : M->u6 = sqri(M->u3);
3147 : }
3148 517762 : }
3149 : /* E = original curve */
3150 : static void
3151 517762 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3152 : {
3153 517762 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3154 517762 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3155 63518 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3156 63518 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3157 : }
3158 517762 : M->c4 = c4;
3159 517762 : M->c6 = c6;
3160 517762 : }
3161 : static void
3162 517454 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3163 : {
3164 517454 : GEN D = ell_get_disc(E);
3165 517454 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3166 517454 : M->D = D;
3167 517454 : }
3168 : static void
3169 517615 : min_set_b(ellmin_t *M)
3170 : {
3171 : long b22, b2;
3172 517615 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3173 517615 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
3174 517615 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3175 517615 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3176 517615 : }
3177 : static void
3178 517475 : min_set_a(ellmin_t *M)
3179 : {
3180 517475 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3181 517475 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3182 517475 : if (odd(b2))
3183 : {
3184 257306 : a1 = 1;
3185 257306 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3186 : }
3187 : else
3188 : {
3189 260169 : a1 = 0;
3190 260169 : a2 = b2 >> 2;
3191 : }
3192 517475 : M->a1 = a1;
3193 517475 : M->a2 = a2;
3194 517475 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3195 517475 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3196 517475 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3197 517475 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3198 517475 : }
3199 : static void
3200 517447 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
3201 : {
3202 517447 : min_set_u(M, u);
3203 517447 : min_set_c(M, E);
3204 517447 : min_set_D(M, E);
3205 517447 : min_set_b(M);
3206 517447 : min_set_a(M);
3207 517447 : }
3208 : static GEN
3209 504357 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3210 : {
3211 504357 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3212 : long a11, a13;
3213 504357 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3214 504357 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3215 504357 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3216 504357 : gel(y,4) = M->a4;
3217 504357 : gel(y,5) = M->a6;
3218 504357 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3219 504357 : gel(y,7) = M->b4;
3220 504357 : gel(y,8) = M->b6;
3221 504357 : a11 = M->a1;
3222 504357 : a13 = M->a1 & M->a3;
3223 504357 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3224 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3225 504357 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3226 504357 : gel(y,10)= M->c4;
3227 504357 : gel(y,11)= M->c6;
3228 504357 : gel(y,12)= M->D;
3229 504357 : gel(y,13)= gel(E,13);
3230 504357 : gel(y,14)= gel(E,14);
3231 504357 : gel(y,15)= gel(E,15);
3232 504357 : return y;
3233 : }
3234 : static GEN
3235 517447 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3236 : {
3237 : GEN r, s, t;
3238 517447 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3239 517447 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3240 517447 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
3241 517447 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3242 : }
3243 :
3244 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
3245 : static long
3246 1686548 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
3247 : {
3248 1686548 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
3249 1686548 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
3250 1686548 : if (!signe(c6))
3251 : {
3252 2933 : d = vD / 12;
3253 2933 : if (d)
3254 : {
3255 1071 : if (p == 2)
3256 : {
3257 819 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3258 819 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3259 819 : if (a) d--;
3260 : }
3261 1071 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3262 : }
3263 2933 : v6 = 12; /* +oo */
3264 : }
3265 : else
3266 : {
3267 1683615 : v6 = Z_lval(c6,p);
3268 1683615 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3269 1683615 : if (d) {
3270 181167 : if (p == 2) {
3271 109739 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3272 109739 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3273 109739 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3274 109739 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
3275 71428 : } else if (p == 3) {
3276 45199 : if (v6 == 6*d+2) d--;
3277 : }
3278 181167 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3279 : }
3280 : }
3281 1686548 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3282 : }
3283 : static long
3284 879410 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
3285 : {
3286 : GEN c6;
3287 : long d, v6, vD;
3288 879410 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
3289 39 : c6 = ell_get_c6(E);
3290 39 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
3291 39 : if (!signe(c6))
3292 : {
3293 0 : d = vD / 12;
3294 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3295 0 : v6 = 12; /* +oo */
3296 : }
3297 : else
3298 : {
3299 39 : v6 = Z_pval(c6,p);
3300 39 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3301 39 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3302 : }
3303 39 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3304 : }
3305 :
3306 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3307 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3308 : in the form [f, kod, v, c].
3309 :
3310 : * The integer f is the conductor's exponent.
3311 :
3312 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3313 : II , III , IV --> 2, 3, 4
3314 : I0 --> 1
3315 : Inu --> 4+nu for nu > 0
3316 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3317 :
3318 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3319 :
3320 : * c is the Tamagawa number.
3321 :
3322 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3323 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3324 : static GEN
3325 1734215 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3326 : {
3327 1734215 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3328 1734215 : gel(z,1) = stoi(f);
3329 1734215 : gel(z,2) = stoi(kod);
3330 1734215 : gel(z,3) = gcopy(v);
3331 1734215 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3332 : }
3333 : static GEN
3334 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3335 : {
3336 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3337 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3338 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3339 : }
3340 :
3341 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3342 : static long
3343 880768 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3344 :
3345 : /* p > 3, e integral */
3346 : static GEN
3347 879410 : localred_p(GEN e, GEN p)
3348 : {
3349 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
3350 879410 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3351 :
3352 879410 : c4 = ell_get_c4(e);
3353 879410 : c6 = ell_get_c6(e);
3354 879410 : nuj = j_pval(e, p);
3355 879410 : nuD = Z_pval(D, p);
3356 879410 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
3357 879410 : if (!k) v = init_ch();
3358 : else
3359 : { /* model not minimal */
3360 : ellmin_t M;
3361 13097 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
3362 13097 : v = min_get_v(&M, e);
3363 13097 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
3364 : }
3365 :
3366 879410 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
3367 : {
3368 761236 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3369 761236 : switch(kronecker(negi(c6),p))
3370 : {
3371 392455 : case 1: c = nuD; break;
3372 368781 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
3373 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
3374 : }
3375 761236 : break;
3376 45703 : case 6:
3377 : {
3378 45703 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
3379 45703 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
3380 45703 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
3381 45703 : break;
3382 : }
3383 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
3384 : }
3385 72471 : else switch(nuD)
3386 : {
3387 539 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
3388 11683 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
3389 10332 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
3390 5635 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
3391 5635 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
3392 5635 : break;
3393 16842 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
3394 16842 : p2 = sqri(p);
3395 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
3396 16842 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
3397 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
3398 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
3399 16842 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
3400 16842 : break;
3401 11620 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
3402 11620 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
3403 11620 : break;
3404 10227 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
3405 5593 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
3406 0 : default: return localredbug(p,"localred");
3407 : }
3408 879410 : return localred_result(f, kod, c, v);
3409 : }
3410 :
3411 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
3412 : static ulong
3413 888818 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
3414 888818 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
3415 :
3416 : static ulong
3417 1421938 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
3418 1421938 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
3419 :
3420 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
3421 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
3422 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
3423 : static long
3424 244300 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3425 : {
3426 244300 : if (p == 2)
3427 : {
3428 141162 : if ((c + a * b) & 1) return 3;
3429 122444 : *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
3430 : }
3431 : /* p = 3 */
3432 103138 : if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
3433 69027 : *mult = a * b;
3434 69027 : if (b == 2)
3435 22974 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
3436 : else
3437 46053 : return c ? 3 : 2;
3438 : }
3439 :
3440 : /* same for aX^2 +bX + c */
3441 : static long
3442 788928 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3443 : {
3444 788928 : if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
3445 : /* p = 3 */
3446 301084 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
3447 : }
3448 :
3449 : /* p = 2 or 3 */
3450 : static GEN
3451 704361 : localred_23(GEN e, long p)
3452 : {
3453 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
3454 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
3455 : GEN v;
3456 :
3457 704361 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
3458 704361 : if (!k) v = init_ch();
3459 : else
3460 : {
3461 : ellmin_t M;
3462 48776 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
3463 48776 : v = min_get_v(&M, e);
3464 48776 : e = min_to_ell(&M, e);
3465 : }
3466 : /* model is minimal */
3467 704361 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
3468 704361 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
3469 322826 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
3470 :
3471 704361 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
3472 702898 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
3473 : {
3474 386162 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
3475 196056 : c = nuD;
3476 : else
3477 190106 : c = 2 - (nuD & 1);
3478 386162 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
3479 : }
3480 316736 : if (p == 2)
3481 : {
3482 185913 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
3483 185913 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
3484 185913 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
3485 185913 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
3486 : }
3487 : else /* p == 3 */
3488 : {
3489 130823 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
3490 130823 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
3491 130823 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
3492 130823 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
3493 : }
3494 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
3495 316736 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
3496 316736 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
3497 22288 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
3498 294448 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
3499 27636 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
3500 266812 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
3501 : {
3502 22512 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
3503 11529 : c = 3;
3504 : else
3505 10983 : c = 1;
3506 22512 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
3507 : }
3508 :
3509 244300 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
3510 91063 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
3511 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
3512 244300 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
3513 244300 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
3514 244300 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
3515 244300 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
3516 : {
3517 35987 : case 3:
3518 35987 : c = a63 ? 1: 2;
3519 35987 : if (p == 2)
3520 18718 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
3521 : else {
3522 17269 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
3523 17269 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
3524 : }
3525 35987 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
3526 130354 : case 2:
3527 : { /* compute nu */
3528 : GEN pk, pk1, p2k;
3529 : long al, be, ga;
3530 130354 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
3531 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3532 130354 : nu = 1;
3533 130354 : pk = utoipos(p2);
3534 130354 : p2k = utoipos(p4);
3535 : for(;;)
3536 : {
3537 387709 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
3538 387709 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3539 387709 : al = 1;
3540 387709 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3541 323260 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
3542 323260 : pk1 = pk;
3543 323260 : pk = mului(p, pk);
3544 323260 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3545 :
3546 323260 : al = a21;
3547 323260 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
3548 323260 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3549 323260 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3550 257355 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
3551 257355 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3552 : }
3553 130354 : if (p == 2)
3554 72268 : c = 4 - 2 * (ga & 1);
3555 : else
3556 58086 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
3557 130354 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
3558 : }
3559 77959 : case 1:
3560 77959 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
3561 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3562 77959 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
3563 77959 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
3564 77959 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
3565 : {
3566 29799 : if (p == 2)
3567 20349 : c = 3 - 2 * a64;
3568 : else
3569 9450 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
3570 29799 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
3571 : }
3572 48160 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
3573 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
3574 48160 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
3575 28966 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
3576 :
3577 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
3578 19194 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
3579 : }
3580 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3581 : }
3582 :
3583 : /* e is integral */
3584 : static GEN
3585 1583386 : localred(GEN e, GEN p)
3586 : {
3587 1583386 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
3588 879410 : return localred_p(e,p);
3589 : else
3590 : {
3591 703976 : long l = itos(p);
3592 703976 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
3593 703976 : return localred_23(e, l);
3594 : }
3595 : }
3596 :
3597 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
3598 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
3599 : static GEN
3600 26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
3601 : {
3602 26306 : GEN b = z;
3603 : long i;
3604 26306 : if (typ(b) == t_INT)
3605 : {
3606 26215 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
3607 26215 : return shifti(negi(b),-1);
3608 : }
3609 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3610 : {
3611 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
3612 : }
3613 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
3614 : }
3615 :
3616 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
3617 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
3618 : static GEN
3619 13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
3620 : {
3621 13153 : GEN b = z;
3622 : long i;
3623 13153 : if (typ(b) == t_INT)
3624 : {
3625 13104 : long s = smodis(b,3);
3626 13104 : if (s)
3627 : {
3628 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
3629 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
3630 0 : b = subii(b, Jz);
3631 : else
3632 0 : b = addii(b, Jz);
3633 : }
3634 13104 : return diviiexact(b, stoi(-3));
3635 : }
3636 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3637 : {
3638 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
3639 98 : if (!s) continue;
3640 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
3641 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
3642 : else
3643 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3644 : }
3645 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3646 : }
3647 :
3648 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
3649 : static GEN
3650 3724 : get_piinv(GEN P)
3651 : {
3652 3724 : GEN z = pr_get_tau(P);
3653 3724 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
3654 3724 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
3655 : }
3656 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
3657 : static void
3658 150444 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
3659 : {
3660 150444 : if (pr_is_inert(P))
3661 : {
3662 146755 : *pi = pr_get_p(P);
3663 146755 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
3664 : }
3665 : else
3666 : {
3667 3689 : *pv = get_piinv(P);
3668 3689 : *pi = nfinv(nf, *pv);
3669 : }
3670 150444 : }
3671 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
3672 : static GEN
3673 242060 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
3674 : {
3675 242060 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3676 242060 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3677 242060 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
3678 : }
3679 :
3680 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
3681 : static GEN
3682 392007 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
3683 : {
3684 392007 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
3685 392007 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3686 392007 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
3687 : }
3688 :
3689 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
3690 :
3691 : static GEN
3692 216468 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
3693 : {
3694 216468 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
3695 216468 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
3696 216468 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3697 216468 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
3698 : }
3699 :
3700 : static GEN
3701 585130 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
3702 : {
3703 585130 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3704 585130 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
3705 585130 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
3706 585130 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
3707 585130 : return Fq_to_nf(r, modP);
3708 : }
3709 :
3710 : static GEN
3711 15512 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
3712 : {
3713 15512 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3714 15512 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
3715 15512 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
3716 15512 : long n = 1;
3717 : while(1)
3718 24682 : {
3719 40194 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
3720 : GEN gama;
3721 40194 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3722 : {
3723 8071 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3724 8071 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3725 : }
3726 32123 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3727 32123 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
3728 32123 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3729 32123 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
3730 32123 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3731 : {
3732 7441 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3733 7441 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3734 : }
3735 24682 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3736 24682 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
3737 24682 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
3738 24682 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3739 : }
3740 : }
3741 :
3742 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
3743 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
3744 :
3745 : static GEN
3746 99393 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
3747 : {
3748 : GEN T, p, modP;
3749 : long vD;
3750 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
3751 99393 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3752 99393 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
3753 99393 : ch = init_ch();
3754 99393 : vD = nfval(nf,D,P);
3755 99393 : *ap = 0;
3756 : while(1)
3757 : {
3758 252525 : if (vD==0)
3759 679 : return localred_result(0,1,1,ch);
3760 : else
3761 : {
3762 251846 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3763 251846 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3764 251846 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
3765 251846 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
3766 251846 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
3767 : GEN x0, y0;
3768 251846 : if (absequaliu(p,2))
3769 : {
3770 : GEN x02, y02;
3771 164444 : if (signe(a1))
3772 : {
3773 30191 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
3774 30191 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
3775 30191 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
3776 : }
3777 : else
3778 : {
3779 134253 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
3780 134253 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
3781 : }
3782 164444 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
3783 : }
3784 : else
3785 : {
3786 87402 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
3787 87402 : if (signe(a12))
3788 27524 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
3789 : else
3790 59878 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
3791 87402 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
3792 : }
3793 251846 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
3794 251846 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
3795 251846 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
3796 : }
3797 : /* 2 */
3798 : {
3799 251846 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
3800 251846 : if (signe(b2) != 0)
3801 : {
3802 57715 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
3803 57715 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
3804 57715 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
3805 27895 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
3806 : }
3807 : }
3808 : /* 3 */
3809 : {
3810 194131 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
3811 194131 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
3812 : }
3813 : /* 4 */
3814 : {
3815 191429 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
3816 191429 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
3817 : }
3818 : /* 5 */
3819 187719 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
3820 : {
3821 187719 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
3822 187719 : if (vb6<=2)
3823 : {
3824 3374 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
3825 3374 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3826 3374 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
3827 : }
3828 : }
3829 : /* 6 */
3830 : {
3831 184345 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
3832 184345 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
3833 184345 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
3834 : GEN po2, E, F, mr;
3835 : long i, lE;
3836 184345 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
3837 184345 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
3838 184345 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
3839 : {
3840 69748 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
3841 69748 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
3842 69748 : lE = lg(E);
3843 69748 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
3844 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
3845 : long c; /* 1 + number of roots */
3846 4739 : switch(lE)
3847 : {
3848 1764 : case 2: c = 1; break;
3849 2625 : case 3: c = 2; break;
3850 350 : default: c = 4; break;
3851 : }
3852 4739 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
3853 : }
3854 : /* 7 */
3855 65009 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
3856 65009 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
3857 65009 : if (!gequal0(mr))
3858 : { /* not so frequent */
3859 58961 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
3860 58961 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
3861 : }
3862 65009 : if (lE == 3)
3863 15512 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
3864 : }
3865 : }
3866 164094 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
3867 164094 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
3868 : /* 8 */
3869 164094 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
3870 : {
3871 4459 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
3872 4459 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
3873 : }
3874 : /* 9 */
3875 : {
3876 159635 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
3877 159635 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
3878 159635 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
3879 3962 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
3880 : }
3881 : /* 10 */
3882 155673 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
3883 2541 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
3884 : /* 11 */
3885 153132 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
3886 153132 : vD -= 12;
3887 : }
3888 : }
3889 :
3890 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
3891 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
3892 : static GEN
3893 51051 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
3894 : {
3895 51051 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3896 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
3897 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
3898 :
3899 51051 : c4 = ell_get_c4(e);
3900 51051 : c6 = ell_get_c6(e);
3901 51051 : D = ell_get_disc(e);
3902 51051 : vD = nfval(nf,D,P);
3903 51051 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
3904 51051 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
3905 51051 : m = (vD - nuj)/12;
3906 51051 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
3907 :
3908 51051 : if(m <= 0) ch = init_ch();
3909 : else
3910 : { /* model not minimal */
3911 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
3912 13153 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
3913 13153 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
3914 13153 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
3915 13153 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
3916 13153 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
3917 13153 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
3918 13153 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
3919 13153 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
3920 13153 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
3921 13153 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
3922 13153 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
3923 13153 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
3924 13153 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
3925 13153 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
3926 13153 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
3927 13153 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
3928 13153 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
3929 13153 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
3930 : }
3931 :
3932 51051 : kod = 1; c = 1;
3933 : /* minimal at P */
3934 51051 : if (nuj > 0)
3935 : { /* v(j) < 0 */
3936 47320 : if (vD == nuj)
3937 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
3938 45227 : f = 1; kod = 4+vD;
3939 45227 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
3940 45227 : if (Fq_issquare(z,T,p))
3941 24066 : c = vD;/* split */
3942 : else
3943 21161 : c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
3944 : }
3945 : else
3946 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
3947 : GEN Du;
3948 2093 : f = 2; kod = 2-vD;
3949 2093 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
3950 2093 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
3951 2093 : if(odd(vD))
3952 : {
3953 : GEN c6u;
3954 1120 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
3955 1120 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
3956 1120 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
3957 : }
3958 2093 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
3959 : }
3960 : }
3961 : else
3962 : { /* v(j) >= 0 */
3963 3731 : f = vD? 2: 0;
3964 3731 : switch(vD)
3965 : {
3966 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
3967 84 : case 0: kod = 1; c = 1; break;
3968 616 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
3969 497 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
3970 273 : case 4: kod = 4;
3971 273 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
3972 273 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3973 273 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3974 273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3975 273 : break;
3976 903 : case 6: kod = -1;
3977 903 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
3978 903 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
3979 903 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3980 903 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
3981 903 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
3982 903 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
3983 903 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
3984 903 : break;
3985 609 : case 8: kod = -4;
3986 609 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
3987 609 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3988 609 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3989 609 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3990 609 : break;
3991 476 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
3992 273 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
3993 : }
3994 51051 : }
3995 51051 : return localred_result(f,kod,c,ch);
3996 : }
3997 : /* E is integral */
3998 : static GEN
3999 101353 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
4000 : {
4001 101353 : GEN p = pr_get_p(pr);
4002 101353 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4003 : {
4004 : long i, ap, vu;
4005 50302 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4006 50302 : GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
4007 50302 : gel(q,3) = v;
4008 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
4009 50302 : vu = nfval(nf, u, pr);
4010 50302 : if (vu > 0)
4011 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
4012 49315 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
4013 49315 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
4014 49315 : if (!equali1(D))
4015 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
4016 : GEN a;
4017 413 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
4018 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
4019 413 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
4020 413 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
4021 413 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
4022 413 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
4023 : }
4024 : }
4025 251510 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
4026 50302 : return q;
4027 : }
4028 51051 : return nflocalred_p(E,pr);
4029 : }
4030 :
4031 : static GEN
4032 3344993 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
4033 : {
4034 3344993 : GEN q, E = *pE;
4035 : long tE;
4036 3344993 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
4037 3344990 : if (pv) *pv = NULL;
4038 3344990 : if (p) switch(typ(p))
4039 : {
4040 2989641 : case t_INT:
4041 2989641 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
4042 2989631 : break;
4043 196882 : case t_VEC:
4044 196882 : q = get_prid(p);
4045 196882 : if (q && tE == t_ELL_NF)
4046 : {
4047 196882 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4048 196882 : return q;
4049 : }
4050 7 : default: pari_err_TYPE(s,p);
4051 : }
4052 3148091 : switch(tE)
4053 : {
4054 179971 : case t_ELL_Fp:
4055 179971 : case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
4056 273 : case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
4057 2967847 : case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
4058 : default:
4059 22 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
4060 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4061 : }
4062 3148069 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
4063 3148034 : if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
4064 2968062 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4065 3148024 : return q;
4066 : }
4067 :
4068 : GEN
4069 197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
4070 : {
4071 197085 : pari_sp av = avma;
4072 : GEN v, q;
4073 197085 : checkell(E);
4074 197085 : p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
4075 197071 : switch(ell_get_type(E))
4076 : {
4077 99477 : case t_ELL_Qp:
4078 99477 : case t_ELL_Q: q = localred(E, p); break;
4079 97594 : case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
4080 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
4081 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4082 : }
4083 197071 : if (v)
4084 : { /* compose local change of variables with v */
4085 28 : GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
4086 28 : if (is_trivial_change(w))
4087 21 : gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4088 : else
4089 7 : gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
4090 : }
4091 197071 : return gerepilecopy(av, q);
4092 : }
4093 :
4094 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
4095 : static GEN
4096 9247 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
4097 : {
4098 9247 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
4099 9247 : return c;
4100 : }
4101 : static GEN
4102 18127739 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
4103 : {
4104 18127739 : *pd = NULL;
4105 18127739 : switch(typ(c))
4106 : {
4107 18116510 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
4108 1995 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
4109 9247 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
4110 9247 : if (nf)
4111 : {
4112 9247 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
4113 9247 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
4114 : }
4115 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
4116 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4117 : }
4118 : }
4119 : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
4120 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
4121 : GEN
4122 3625570 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
4123 : {
4124 : GEN a, t, u, L, nf;
4125 : long i, l, k;
4126 :
4127 3625570 : if (pv) *pv = NULL;
4128 : /* t_ELL_Qp is also possible */
4129 3625570 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
4130 3625568 : L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
4131 21753304 : for (i = 1; i < 6; i++)
4132 : {
4133 : GEN d;
4134 18127742 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
4135 18127747 : if (d) /* partial factorization of denominator */
4136 2968 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
4137 : }
4138 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
4139 3625562 : l = lg(L); if (l == 1) return e;
4140 1474 : L = ZV_sort_uniq(L);
4141 1477 : l = lg(L);
4142 :
4143 1477 : t = gen_1;
4144 3500 : for (k = 1; k < l; k++)
4145 : {
4146 2023 : GEN p = gel(L,k);
4147 2023 : long n = 0, m;
4148 12138 : for (i = 1; i < 6; i++)
4149 10115 : if (!gequal0(gel(a,i)))
4150 : {
4151 5215 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
4152 5215 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
4153 7651 : while (m < 0) { n++; m += r; }
4154 : }
4155 2023 : t = mulii(t, powiu(p, n));
4156 : }
4157 1477 : u = ginv(t);
4158 1477 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4159 1477 : return coordch_uinv(e, t);
4160 : }
4161 : GEN
4162 329 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
4163 : {
4164 329 : pari_sp av = avma;
4165 329 : checkell(e);
4166 329 : switch(ell_get_type(e))
4167 : {
4168 329 : case t_ELL_Q:
4169 : case t_ELL_Qp:
4170 329 : case t_ELL_NF: break;
4171 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
4172 : }
4173 329 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
4174 329 : if (!pv || !*pv)
4175 : {
4176 308 : e = gerepilecopy(av, e);
4177 308 : if (pv) *pv = init_ch();
4178 : }
4179 : else
4180 21 : gerepileall(av, 2, &e, pv);
4181 329 : return e;
4182 : }
4183 :
4184 : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
4185 : GEN
4186 0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
4187 : {
4188 0 : GEN f = ellintegralmodel_i(e, pv);
4189 0 : GEN a1 = ell_get_a1(f), a3 = ell_get_a3(f);
4190 0 : if (signe(a1)==0 && signe(a3)==0)
4191 : {
4192 0 : if (!*pv) *pv = init_ch();
4193 0 : return f;
4194 : }
4195 : else
4196 : {
4197 0 : GEN urst = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf: gen_1,
4198 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4199 0 : gcomposev(pv, urst);
4200 0 : return coordch(f, urst);
4201 : }
4202 : }
4203 :
4204 : static long
4205 2387 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4206 : {
4207 2387 : long N = 1; /* oo */
4208 2387 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4209 2254 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4210 2387 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4211 1974 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4212 2387 : return N;
4213 : }
4214 : static long
4215 2954 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4216 : {
4217 2954 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4218 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4219 2954 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4220 : }
4221 : static long
4222 2366 : cardmod2(GEN e)
4223 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4224 2366 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4225 2366 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4226 2366 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4227 2366 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4228 2366 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4229 2366 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4230 : }
4231 : static long
4232 2814 : cardmod3(GEN e)
4233 : {
4234 2814 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4235 2814 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4236 2814 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4237 2814 : return F3_card(b2,b4,b6);
4238 : }
4239 :
4240 : static ulong
4241 378 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4242 :
4243 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4244 : static void
4245 28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4246 : {
4247 28 : min_set_u(M, int2n(d));
4248 28 : min_set_c(M, E);
4249 28 : min_set_b(M);
4250 28 : min_set_a(M);
4251 28 : }
4252 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4253 : static void
4254 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4255 : {
4256 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4257 140 : min_set_c(M, E);
4258 140 : min_set_b(M);
4259 140 : }
4260 :
4261 : static long
4262 102165 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
4263 : {
4264 102165 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
4265 102165 : if (vD) /* bad reduction */
4266 : {
4267 : GEN c6;
4268 : long s;
4269 101857 : *good_red = 0;
4270 101857 : if (vc6) return 0;
4271 74991 : c6 = ell_get_c6(E);
4272 74991 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4273 74991 : s = kroiu(c6,p);
4274 74991 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4275 74991 : return s;
4276 : }
4277 308 : *good_red = 1;
4278 308 : if (p == 2)
4279 : {
4280 : ellmin_t M;
4281 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4282 21 : min_set_2(&M, E, d);
4283 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4284 : }
4285 287 : else if (p == 3)
4286 : {
4287 : ellmin_t M;
4288 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4289 140 : min_set_3(&M, E, d);
4290 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4291 : }
4292 : else
4293 : {
4294 : ellmin_t M;
4295 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4296 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4297 147 : min_set_c(&M, E);
4298 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4299 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4300 : }
4301 : }
4302 :
4303 : static GEN
4304 98553 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4305 : {
4306 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4307 : long vc6, vD, d;
4308 98553 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
4309 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4310 0 : D = ell_get_disc(E);
4311 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4312 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4313 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4314 0 : if (vD) /* bad reduction */
4315 : {
4316 : long s;
4317 0 : *good_red = 0;
4318 0 : if (vc6) return gen_0;
4319 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4320 0 : s = kronecker(c6,p);
4321 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4322 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4323 : }
4324 0 : *good_red = 1;
4325 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4326 0 : if (d)
4327 : {
4328 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4329 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4330 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4331 : }
4332 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4333 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4334 : }
4335 :
4336 : static GEN
4337 116873 : doellcard(GEN E)
4338 : {
4339 116873 : GEN fg = ellff_get_field(E);
4340 116873 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4341 95166 : return FF_ellcard(E);
4342 : else
4343 : {
4344 21707 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
4345 21707 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
4346 : }
4347 : }
4348 :
4349 : static GEN
4350 168511 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
4351 : {
4352 168511 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
4353 168512 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4354 168501 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4355 : {
4356 : long ap;
4357 49091 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4358 49091 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
4359 49091 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
4360 420 : *good_red = 1;
4361 420 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
4362 420 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
4363 420 : card = FF_ellcard(E);
4364 : }
4365 : else
4366 : {
4367 119401 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
4368 119400 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
4369 119380 : if (vD)
4370 : {
4371 : GEN c6new;
4372 49168 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
4373 49168 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
4374 49168 : if (vD > 12*d)
4375 : { /* bad reduction */
4376 49133 : *good_red = 0;
4377 92911 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
4378 43778 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
4379 43778 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
4380 : }
4381 35 : if (d)
4382 : { /* model not minimal at P */
4383 35 : GEN piinv = get_piinv(P);
4384 35 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
4385 35 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
4386 35 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
4387 35 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
4388 35 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
4389 : }
4390 : }
4391 70247 : *good_red = 1;
4392 70247 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
4393 70257 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
4394 70249 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
4395 70269 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
4396 70219 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
4397 : }
4398 70689 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
4399 : }
4400 :
4401 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
4402 : * basis */
4403 : static GEN
4404 456491 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
4405 : {
4406 : GEN P;
4407 456491 : if (!signe(a))
4408 1715 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
4409 454776 : else if (!signe(b))
4410 959 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
4411 : else
4412 : {
4413 453817 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
4414 : long k, l;
4415 453817 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
4416 345429 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
4417 345429 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
4418 : /* d = gcd(A,B) */
4419 345429 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
4420 345429 : l = lg(P);
4421 807849 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
4422 345429 : P = shallowconcat1(P);
4423 345429 : P = ZV_sort(P);
4424 : }
4425 348103 : settyp(P, t_VEC); return P;
4426 : }
4427 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
4428 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
4429 : static GEN
4430 455581 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
4431 : {
4432 : pari_sp av;
4433 455581 : GEN D = ell_get_disc(E);
4434 455581 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4435 455581 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
4436 : long l, k;
4437 :
4438 455581 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
4439 455581 : l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
4440 347333 : DP = coltrunc_init(l);
4441 347333 : av = avma;
4442 347333 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4443 347333 : u = gen_1;
4444 854616 : for (k = 1; k < l; k++)
4445 : {
4446 507283 : GEN p = gel(P, k);
4447 507283 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4448 507283 : if (d) switch(itou_or_0(p))
4449 : {
4450 57323 : case 2:
4451 : {
4452 : long a, b;
4453 57323 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4454 57323 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4455 57323 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
4456 57323 : break;
4457 : }
4458 2821 : case 3:
4459 2821 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4460 2821 : break;
4461 : }
4462 507283 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
4463 507283 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
4464 : }
4465 347333 : if (pDP) *pDP = DP;
4466 347333 : return gerepileuptoint(av, u);
4467 : }
4468 :
4469 : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
4470 : static GEN
4471 35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
4472 : {
4473 35 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
4474 35 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
4475 35 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
4476 :
4477 35 : A1 = gmodgs(a1,2);
4478 35 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
4479 35 : s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
4480 35 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
4481 35 : r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
4482 35 : r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
4483 35 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
4484 35 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
4485 35 : t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
4486 35 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
4487 : }
4488 :
4489 : static GEN
4490 2604 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
4491 : {
4492 2604 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
4493 2604 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
4494 : }
4495 : static GEN
4496 910 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
4497 : {
4498 910 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4499 910 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
4500 910 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
4501 910 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
4502 : }
4503 : static GEN
4504 784 : ellnf_D_primes(GEN E)
4505 : {
4506 784 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4507 784 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
4508 784 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
4509 784 : long k, l = lg(P);
4510 1890 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
4511 784 : if (!is_pm1(DZ))
4512 : {
4513 693 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
4514 693 : settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
4515 : }
4516 784 : return P;
4517 : }
4518 :
4519 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
4520 : static GEN
4521 889 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
4522 : {
4523 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
4524 889 : long k, l = lg(P);
4525 889 : Lr = vectrunc_init(l);
4526 889 : Ls = vectrunc_init(l);
4527 889 : Lt = vectrunc_init(l);
4528 889 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
4529 889 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
4530 4326 : for (k = 1; k < l; k++)
4531 : {
4532 3437 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
4533 : long vu;
4534 3437 : v = gel(q,3);
4535 3437 : u = gel(v,1);
4536 3437 : vu = nfval(nf, u, pr);
4537 3437 : if (!vu) continue;
4538 784 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
4539 784 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
4540 784 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
4541 784 : vectrunc_append(L, pr);
4542 784 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
4543 : }
4544 889 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
4545 : }
4546 : /* E integral */
4547 : static GEN
4548 931 : ellminimalprimes(GEN E)
4549 : {
4550 : GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
4551 : long j, k, l;
4552 :
4553 931 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
4554 126 : nf = ellnf_get_nf(E);
4555 126 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
4556 126 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
4557 126 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
4558 126 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
4559 126 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
4560 126 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4561 574 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4562 : {
4563 448 : GEN pr = gel(P, k);
4564 448 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
4565 406 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
4566 399 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
4567 399 : gel(P,j++) = pr;
4568 : }
4569 126 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4570 126 : return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4571 : }
4572 : static GEN
4573 812 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
4574 : {
4575 812 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
4576 : long i, l;
4577 812 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4578 812 : S = ellminimalprimes(E);
4579 812 : L = gel(S,1);
4580 812 : U = gel(S,2);
4581 812 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
4582 812 : P = cgetg_copy(L, &l);
4583 1484 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
4584 812 : P = factorback2(P, U);
4585 812 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
4586 812 : return P;
4587 : }
4588 : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
4589 : * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL) */
4590 : static GEN
4591 56 : bnf_get_v(GEN E)
4592 : {
4593 56 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
4594 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
4595 :
4596 56 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
4597 56 : S = ellminimalprimes(E);
4598 56 : L = gel(S,1);
4599 56 : U = gel(S,2);
4600 56 : Lr = gel(S,3);
4601 56 : Ls = gel(S,4);
4602 56 : Lt = gel(S,5);
4603 56 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
4604 56 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
4605 35 : nf = bnf_get_nf(bnf);
4606 35 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
4607 35 : U = basistoalg(nf, gel(F,2));
4608 35 : R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
4609 35 : S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
4610 35 : T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
4611 35 : return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
4612 : }
4613 :
4614 : GEN
4615 70 : ellminimaldisc(GEN E)
4616 : {
4617 70 : pari_sp av = avma;
4618 70 : checkell(E);
4619 70 : switch(ell_get_type(E))
4620 : {
4621 7 : case t_ELL_Q:
4622 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
4623 7 : return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
4624 63 : case t_ELL_NF:
4625 : {
4626 63 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
4627 63 : E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
4628 63 : S = ellminimalprimes(E);
4629 63 : L = gel(S,1);
4630 63 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
4631 63 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
4632 63 : return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
4633 : }
4634 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
4635 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4636 : }
4637 : }
4638 :
4639 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
4640 : * ellminimalmodel(E) */
4641 : static GEN
4642 456932 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4643 : {
4644 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
4645 : ellmin_t M;
4646 456932 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4647 : {
4648 1358 : if (lg(S) != 2)
4649 : {
4650 56 : E = gel(S,3);
4651 56 : v = gel(S,2);
4652 : }
4653 : else
4654 1302 : v = init_ch();
4655 1358 : if (ptv) *ptv = v;
4656 1358 : return gcopy(E);
4657 : }
4658 455574 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
4659 455574 : u = ellQ_minimalu(e, &DP);
4660 455574 : min_set_all(&M, e, u);
4661 455574 : v = min_get_v(&M, e);
4662 455574 : y = min_to_ell(&M, e);
4663 455574 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4664 455574 : if (is_trivial_change(v))
4665 : {
4666 454020 : v = init_ch();
4667 454020 : S = mkvec(DP);
4668 : }
4669 : else
4670 1554 : S = mkvec3(DP, v, y);
4671 455574 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4672 455574 : if (ptv) *ptv = v; return y;
4673 : }
4674 :
4675 : static GEN
4676 2016 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4677 : {
4678 2016 : pari_sp av = avma;
4679 2016 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
4680 2016 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
4681 2016 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4682 2016 : DP = gel(S,1);
4683 2016 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
4684 2016 : if (!ptv)
4685 1981 : y = gerepilecopy(av, y);
4686 : else
4687 35 : { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
4688 2016 : return y;
4689 : }
4690 :
4691 : static GEN
4692 56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4693 : {
4694 : GEN S, y, v, v2;
4695 56 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
4696 : {
4697 0 : switch(lg(S))
4698 : {
4699 0 : case 1: v = init_ch(); break;
4700 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
4701 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
4702 : }
4703 0 : *ptv = v;
4704 0 : return gcopy(E);
4705 : }
4706 56 : *ptv = NULL;
4707 56 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
4708 56 : v2 = bnf_get_v(y);
4709 56 : if (typ(v2) == t_COL)
4710 : {
4711 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
4712 21 : return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
4713 : }
4714 35 : y = coordch(y, v2);
4715 35 : gcomposev(&v, v2);
4716 35 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
4717 35 : y = coordch(y, v2);
4718 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
4719 35 : y = obj_reinit(y);
4720 35 : gcomposev(&v, v2);
4721 35 : if (is_trivial_change(v))
4722 : {
4723 7 : v = init_ch();
4724 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
4725 : }
4726 : else
4727 : {
4728 28 : v = lift_if_rational(v);
4729 28 : S = mkvec2(v, y);
4730 : }
4731 35 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
4732 35 : *ptv = v; return y;
4733 : }
4734 : static GEN
4735 56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4736 : {
4737 56 : pari_sp av = avma;
4738 56 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
4739 56 : if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
4740 56 : if (!v || !ptv)
4741 28 : y = gerepilecopy(av, y);
4742 : else
4743 28 : { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
4744 56 : return y;
4745 : }
4746 : GEN
4747 2079 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4748 : {
4749 2079 : checkell(E);
4750 2079 : switch(ell_get_type(E))
4751 : {
4752 2016 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
4753 56 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
4754 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
4755 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4756 : }
4757 : }
4758 :
4759 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
4760 : * update type-dependant components.
4761 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
4762 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
4763 : * N = arithmetic conductor of E
4764 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
4765 : * fa = factorization of N
4766 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
4767 : static GEN
4768 454510 : ellQ_globalred(GEN e)
4769 : {
4770 : long k, l, iN;
4771 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
4772 :
4773 454510 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
4774 454510 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4775 454510 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
4776 454510 : D = ell_get_disc(E);
4777 863233 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
4778 454510 : if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
4779 454510 : l = lg(P); c = gen_1;
4780 454510 : iN = 1;
4781 454510 : NP = cgetg(l, t_COL);
4782 454510 : NE = cgetg(l, t_COL);
4783 454510 : L = cgetg(l, t_VEC);
4784 1938405 : for (k = 1; k < l; k++)
4785 : {
4786 1483895 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
4787 1483895 : if (!signe(ex)) continue;
4788 1483895 : gel(NP, iN) = p;
4789 1483895 : gel(NE, iN) = ex;
4790 1483895 : gel(L, iN) = q; iN++;
4791 1483895 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
4792 1483895 : c = mulii(c, gel(q,4));
4793 : }
4794 454510 : setlg(L, iN);
4795 454510 : setlg(NP, iN);
4796 454510 : setlg(NE, iN);
4797 454510 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
4798 : }
4799 : static GEN
4800 460530 : ellglobalred_i(GEN E)
4801 460530 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
4802 :
4803 : static GEN
4804 784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
4805 : {
4806 : GEN c, L, NP, NE;
4807 784 : long j, k, l = lg(P);
4808 784 : c = gen_1;
4809 784 : NP = cgetg(l, t_COL);
4810 784 : NE = cgetg(l, t_COL);
4811 784 : L = cgetg(l, t_VEC);
4812 3878 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4813 : {
4814 3094 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
4815 3094 : ex = gel(q,1);
4816 3094 : if (!signe(ex)) continue;
4817 2891 : gel(NP, j) = p;
4818 2891 : gel(NE, j) = ex;
4819 2891 : gel(L, j) = q; j++;
4820 2891 : c = mulii(c, gel(q,4));
4821 : }
4822 784 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
4823 784 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
4824 : }
4825 :
4826 : static GEN
4827 784 : ellnfglobalred(GEN E0)
4828 : {
4829 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
4830 : long j, k, l;
4831 :
4832 784 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4833 784 : if (!v) v = init_ch();
4834 784 : nf = ellnf_get_nf(E);
4835 784 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
4836 784 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
4837 784 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
4838 784 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4839 6083 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4840 : {
4841 5299 : GEN p = gel(P,k);
4842 5299 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
4843 3094 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
4844 3094 : gel(P,j++) = p;
4845 : }
4846 784 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4847 784 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
4848 763 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4849 784 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
4850 : }
4851 :
4852 : GEN
4853 453950 : ellglobalred(GEN E)
4854 : {
4855 453950 : pari_sp av = avma;
4856 : GEN S, gr, v;
4857 453950 : checkell(E);
4858 453950 : switch(ell_get_type(E))
4859 : {
4860 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
4861 452921 : case t_ELL_Q:
4862 452921 : gr = ellglobalred_i(E);
4863 452921 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4864 452921 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
4865 452921 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
4866 452921 : break;
4867 1029 : case t_ELL_NF:
4868 1029 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
4869 1029 : break;
4870 : }
4871 453950 : return gerepilecopy(av, v);
4872 : }
4873 :
4874 : static GEN doellrootno(GEN e);
4875 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
4876 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
4877 : * and E (shallow insert) */
4878 : GEN
4879 2149 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
4880 : {
4881 2149 : GEN E, S, v = NULL;
4882 2149 : checkell_Q(e);
4883 2149 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
4884 : {
4885 378 : E = ellminimalmodel_i(e, &v);
4886 378 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4887 378 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4888 : }
4889 1771 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
4890 1757 : E = e;
4891 : else
4892 : {
4893 14 : v = gel(S,2);
4894 14 : E = gcopy(gel(S,3));
4895 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4896 : }
4897 2149 : if (ch) *ch = v;
4898 2149 : S = ellglobalred_i(e);
4899 2149 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
4900 2149 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
4901 2149 : if (!S)
4902 : {
4903 1078 : S = doellrootno(E);
4904 1078 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
4905 : }
4906 2149 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
4907 2149 : return E;
4908 : }
4909 :
4910 : static long
4911 448 : nb_real_components(GEN E) { return signe(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
4912 : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
4913 : * d'une courbe elliptique" */
4914 : GEN
4915 1407 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
4916 : {
4917 1407 : GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
4918 1407 : if (s == 1)
4919 994 : w = gel(w,1);
4920 413 : else if (nb_real_components(E) == 2)
4921 147 : w = gneg(gel(w,2));
4922 : else
4923 266 : w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
4924 1407 : return w;
4925 : }
4926 :
4927 : static GEN
4928 35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
4929 : {
4930 35 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
4931 35 : return muliu(tam, nb_real_components(e));
4932 : }
4933 :
4934 : static GEN
4935 784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
4936 : {
4937 784 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
4938 784 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
4939 : long r1, r2;
4940 784 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
4941 784 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
4942 : }
4943 :
4944 : GEN
4945 42 : elltamagawa(GEN E)
4946 : {
4947 42 : pari_sp av = avma;
4948 : GEN v;
4949 42 : checkell(E);
4950 42 : switch(ell_get_type(E))
4951 : {
4952 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
4953 14 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
4954 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
4955 : }
4956 42 : return gerepileuptoint(av, v);
4957 : }
4958 :
4959 : static GEN
4960 1106 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
4961 : {
4962 1106 : GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
4963 1106 : if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
4964 994 : if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
4965 861 : return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
4966 : }
4967 : /* true nf, use nf prec */
4968 : static GEN
4969 5236 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
4970 : {
4971 : long r1, r2;
4972 : GEN cx;
4973 5236 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
4974 5236 : x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
4975 5236 : if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
4976 2905 : x = Q_primitive_part(x, &cx);
4977 2905 : x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
4978 2905 : if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
4979 2905 : return x;
4980 : }
4981 : static long
4982 2114 : nfembed_extraprec(GEN x)
4983 2114 : { long e = gexpo(x); return e < 8? 0: nbits2extraprec(e); }
4984 : static GEN
4985 1008 : ellnfembed(GEN E, long prec)
4986 : {
4987 1008 : GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
4988 1008 : long prec0 = prec, r1, r2, n, i;
4989 :
4990 1008 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
4991 1008 : E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
4992 1008 : prec += nfembed_extraprec(E0);
4993 : /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
4994 1008 : prec0 = prec;
4995 1008 : prec += (prec-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
4996 1008 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
4997 1008 : sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
4998 : for(;;)
4999 : {
5000 1008 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5001 6048 : for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
5002 4459 : for (i=1; i<=n; i++)
5003 : {
5004 : GEN Ei, r;
5005 : long j;
5006 20706 : for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
5007 3451 : gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
5008 3451 : if (!Ei) break;
5009 3451 : r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
5010 3451 : if (!r) break;
5011 : }
5012 1008 : if (i > n) return L;
5013 0 : prec = precdbl(prec);
5014 0 : if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
5015 : }
5016 : }
5017 :
5018 : static GEN
5019 98 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
5020 : {
5021 98 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
5022 : long i, l;
5023 98 : P = RgC_to_nfC(nf, P);
5024 98 : prec += nfembed_extraprec(P);
5025 98 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5026 98 : Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
5027 98 : Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
5028 98 : l = lg(Px); L = cgetg(l, t_VEC);
5029 273 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
5030 98 : return L;
5031 : }
5032 :
5033 : static void
5034 917 : ellnfembed_free(GEN L)
5035 : {
5036 917 : long i, l = lg(L);
5037 4207 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
5038 917 : }
5039 :
5040 : static GEN
5041 154 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
5042 : {
5043 154 : pari_sp av = avma;
5044 154 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
5045 154 : long i, l = lg(V);
5046 154 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
5047 406 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
5048 154 : ellnfembed_free(V);
5049 154 : return gerepilecopy(av, P);
5050 : }
5051 :
5052 : GEN
5053 91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
5054 91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
5055 :
5056 : GEN
5057 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
5058 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
5059 :
5060 : GEN
5061 35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
5062 35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
5063 :
5064 : static GEN
5065 756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
5066 : {
5067 756 : pari_sp av = avma;
5068 756 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
5069 756 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
5070 3780 : for(i = 1; i < l; i++)
5071 : {
5072 3024 : GEN e = gel(Eb, i);
5073 3024 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
5074 3024 : per = mulrr(per, pi);
5075 : }
5076 756 : ellnfembed_free(Eb);
5077 756 : return gerepileuptoleaf(av, per);
5078 : }
5079 : static GEN
5080 756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
5081 : {
5082 756 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
5083 756 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
5084 : }
5085 :
5086 : static GEN
5087 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
5088 : {
5089 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5090 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5091 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
5092 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
5093 : }
5094 :
5095 : static GEN
5096 21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
5097 : {
5098 21 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
5099 21 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
5100 21 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5101 21 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5102 21 : if (lg(S) != 2)
5103 : { /* switch to minimal model if needed */
5104 14 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
5105 14 : per = gmul(per,u);
5106 : }
5107 21 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
5108 : }
5109 :
5110 : GEN
5111 63 : ellbsd(GEN E, long prec)
5112 : {
5113 63 : pari_sp av = avma;
5114 : GEN v;
5115 63 : checkell(E);
5116 63 : switch(ell_get_type(E))
5117 : {
5118 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
5119 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
5120 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
5121 : }
5122 63 : return gerepileupto(av, v);
5123 : }
5124 :
5125 : static GEN
5126 0 : QE_to_ZJ(GEN P)
5127 : {
5128 0 : if (ell_is_inf(P))
5129 0 : return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
5130 : else
5131 : {
5132 0 : GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
5133 0 : GEN R = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
5134 0 : GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
5135 0 : GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
5136 0 : GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
5137 0 : GEN Z = denom(mkvec2(Q1, Q2));
5138 0 : GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
5139 0 : retmkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R));
5140 : }
5141 : }
5142 :
5143 : static GEN
5144 0 : QEV_to_ZJV(GEN x)
5145 0 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
5146 :
5147 : static GEN
5148 0 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
5149 : {
5150 0 : pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
5151 : }
5152 :
5153 : static GEN
5154 0 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, GEN E, ulong p)
5155 : {
5156 0 : pari_sp av = avma;
5157 0 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5158 0 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
5159 0 : ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
5160 0 : GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5161 0 : GEN a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p , pi);
5162 0 : GEN Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
5163 0 : Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
5164 0 : Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
5165 0 : return gerepileuptoleaf(av, Hp);
5166 : }
5167 :
5168 : static GEN
5169 0 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, GEN E, GEN P, GEN *mod)
5170 : {
5171 0 : pari_sp av = avma;
5172 0 : long i, n = lg(P)-1;
5173 : GEN H, T;
5174 0 : if (n == 1)
5175 : {
5176 0 : ulong p = uel(P,1);
5177 0 : GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, E, p);
5178 0 : *mod = utoi(p);
5179 0 : return Flv_to_ZV(Hp);
5180 : }
5181 0 : T = ZV_producttree(P);
5182 0 : A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
5183 0 : H = cgetg(n+1, t_VEC);
5184 0 : for(i=1; i <= n; i++)
5185 0 : gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i),L,E,uel(P,i));
5186 0 : H = ncV_chinese_center_tree(H, P, T, ZV_chinesetree(P,T));
5187 0 : *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
5188 0 : gerepileall(av, 2, &H, mod);
5189 0 : return H;
5190 : }
5191 :
5192 : GEN
5193 0 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L)
5194 : {
5195 0 : GEN V = cgetg(3, t_VEC);
5196 0 : gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, E, P, &gel(V,2));
5197 0 : return V;
5198 : }
5199 :
5200 : static GEN
5201 0 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L)
5202 : {
5203 0 : pari_sp av = avma;
5204 0 : GEN mod = gen_1, H = NULL;
5205 : forprime_t S;
5206 0 : GEN worker = strtoclosure("_ellQ_factorback_worker", 3, E, QEV_to_ZJV(A), L);
5207 0 : ulong bound = 1;
5208 0 : init_modular_big(&S);
5209 : while (1)
5210 0 : {
5211 : GEN amax, r;
5212 0 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, NULL, bound, 0,
5213 : &S, &H, &mod, ncV_chinese_center, FpC_center);
5214 0 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5215 0 : r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL);
5216 0 : if (r) settyp(r,t_VEC);
5217 0 : if (r && oncurve(E,r)) return gerepileupto(av, r);
5218 0 : bound <<=1;
5219 : }
5220 : }
5221 :
5222 : static GEN
5223 0 : ellQ_vecfactorback(GEN E, GEN G, GEN x)
5224 0 : { pari_APPLY_type(t_VEC,ellQ_factorback(E, G, gel(x,i))) }
5225 :
5226 : GEN
5227 0 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, long prec)
5228 : {
5229 0 : GEN M = ellheightmatrix(E, G, prec);
5230 0 : GEN L = lllgram(M);
5231 0 : return ellQ_vecfactorback(E, G, L);
5232 : }
5233 :
5234 : /********************************************************************/
5235 : /** **/
5236 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
5237 : /** **/
5238 : /********************************************************************/
5239 : /* x a t_INT */
5240 : static long
5241 1953 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
5242 : {
5243 : long v;
5244 : GEN z;
5245 1953 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
5246 1799 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
5247 1799 : *u = umodiu(z,pk); return v;
5248 : }
5249 : static void
5250 651 : val_init(GEN e, long p, long pk,
5251 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
5252 : {
5253 651 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
5254 651 : pari_sp av = avma;
5255 651 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
5256 651 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
5257 651 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
5258 651 : }
5259 :
5260 : static long
5261 651 : kod_23(GEN e, long p)
5262 : {
5263 : GEN S, nv;
5264 651 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
5265 : {
5266 637 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
5267 637 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
5268 : }
5269 : else
5270 14 : nv = localred_23(e, p);
5271 651 : return itos(gel(nv,2));
5272 : }
5273 :
5274 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5275 : static long
5276 385 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
5277 : {
5278 385 : if (kod > 4) return 1;
5279 217 : switch(kod)
5280 : {
5281 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
5282 7 : case 2:
5283 7 : if (vD==4) return 1;
5284 : else
5285 : {
5286 0 : if (vD==7) return 3;
5287 0 : else return v4==4 ? 2 : 4;
5288 : }
5289 63 : case 3:
5290 63 : switch(vD)
5291 : {
5292 42 : case 6: return 3;
5293 0 : case 8: return 4;
5294 14 : case 9: return 5;
5295 7 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
5296 : }
5297 42 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
5298 14 : case -1:
5299 14 : switch(vD)
5300 : {
5301 0 : case 9: return 2;
5302 0 : case 10: return 4;
5303 14 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
5304 : }
5305 7 : case -2:
5306 7 : switch(vD)
5307 : {
5308 7 : case 12: return 2;
5309 0 : case 14: return 3;
5310 0 : default: return 1;
5311 : }
5312 0 : case -3:
5313 0 : switch(vD)
5314 : {
5315 0 : case 12: return 2;
5316 0 : case 14: return 3;
5317 0 : case 15: return 4;
5318 0 : default: return 1;
5319 : }
5320 49 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
5321 21 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
5322 7 : case -6:
5323 7 : switch(vD)
5324 : {
5325 7 : case 12: return 2;
5326 0 : case 13: return 3;
5327 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5328 : }
5329 0 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
5330 7 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5331 : }
5332 : }
5333 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5334 : static long
5335 147 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
5336 : {
5337 147 : if (labs(kod) > 4) return 1;
5338 112 : switch(kod)
5339 : {
5340 28 : case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
5341 28 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
5342 49 : case -4: case 2:
5343 49 : switch (vD%6)
5344 : {
5345 0 : case 4: return 3;
5346 0 : case 5: return 4;
5347 49 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
5348 : }
5349 7 : default: /* kod = -2 et 4 */
5350 7 : switch (vD%6)
5351 : {
5352 0 : case 0: return 2;
5353 0 : case 1: return 3;
5354 7 : default: return 1;
5355 : }
5356 : }
5357 : }
5358 :
5359 : static long
5360 385 : ellrootno_2(GEN e)
5361 : {
5362 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
5363 385 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
5364 :
5365 385 : if (!vD) return 1;
5366 385 : if (d) { /* not minimal */
5367 : ellmin_t M;
5368 7 : min_set_2(&M, e, d);
5369 7 : min_set_D(&M, e);
5370 7 : e = min_to_ell(&M, e);
5371 : }
5372 385 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5373 385 : kod = kod_23(e,2);
5374 385 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
5375 385 : if (kod>=5)
5376 : {
5377 : long a2, a3;
5378 168 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
5379 168 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
5380 168 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
5381 : }
5382 217 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
5383 210 : x1 = u+v+v;
5384 210 : switch(kod)
5385 : {
5386 0 : case 1: return 1;
5387 7 : case 2:
5388 : switch(n2)
5389 : {
5390 7 : case 1:
5391 7 : switch(v4)
5392 : {
5393 7 : case 4: return kross(-1,u);
5394 0 : case 5: return 1;
5395 0 : default: return -1;
5396 : }
5397 0 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
5398 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
5399 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
5400 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
5401 : }
5402 : case 3:
5403 : switch(n2)
5404 : {
5405 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
5406 0 : case 2: return -kross(2,v);
5407 42 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
5408 42 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
5409 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
5410 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
5411 : }
5412 : case -1:
5413 : switch(n2)
5414 : {
5415 14 : case 1: return -kross(2,x1);
5416 0 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
5417 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
5418 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
5419 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
5420 : }
5421 7 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
5422 0 : case -3:
5423 : switch(n2)
5424 : {
5425 0 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
5426 0 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
5427 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
5428 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
5429 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
5430 : }
5431 : case -5:
5432 21 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
5433 0 : else return -kross(2,2*u+v);
5434 7 : case -6:
5435 : switch(n2)
5436 : {
5437 0 : case 1: return 1;
5438 7 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
5439 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
5440 : }
5441 : case -7:
5442 0 : if (n2==1) return 1;
5443 : else
5444 : {
5445 0 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
5446 0 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
5447 0 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
5448 : }
5449 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
5450 0 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
5451 91 : default: return -1;
5452 : }
5453 : }
5454 :
5455 : static long
5456 266 : ellrootno_3(GEN e)
5457 : {
5458 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
5459 266 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
5460 :
5461 266 : if (!vD) return 1;
5462 266 : if (d) { /* not minimal */
5463 : ellmin_t M;
5464 0 : min_set_3(&M, e, d);
5465 0 : min_set_a(&M);
5466 0 : min_set_D(&M, e);
5467 0 : e = min_to_ell(&M, e);
5468 : }
5469 266 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5470 266 : kod = kod_23(e,3);
5471 266 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
5472 147 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
5473 147 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
5474 147 : switch(kod)
5475 : {
5476 28 : case 1: case 3: case -3: return 1;
5477 0 : case 2:
5478 : switch(n2)
5479 : {
5480 0 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
5481 0 : case 2: return -K4*K6;
5482 0 : case 3: return 1;
5483 0 : case 4: return -K6;
5484 : }
5485 : case 4:
5486 : switch(n2)
5487 : {
5488 7 : case 1: return K6*kross(D1,3);
5489 0 : case 2: return -K4;
5490 0 : case 3: return -K6;
5491 : }
5492 0 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5493 49 : case -4:
5494 : switch(n2)
5495 : {
5496 42 : case 1:
5497 42 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5498 42 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5499 7 : case 2: return -K6;
5500 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5501 0 : case 4: return K6;
5502 : }
5503 63 : default: return -1;
5504 : }
5505 : }
5506 :
5507 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
5508 : static long
5509 1358 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
5510 : {
5511 : long nuj, nuD, nu;
5512 1358 : GEN D = ell_get_disc(e);
5513 : long ep, z;
5514 :
5515 1358 : nuD = Q_pval(D, p);
5516 1358 : if (!nuD) return 1;
5517 1358 : nuj = j_pval(e, p);
5518 1358 : nu = (nuD - nuj) % 12;
5519 1358 : if (nu == 0)
5520 : {
5521 : GEN c6;
5522 : long d, vg;
5523 1155 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
5524 : /* p || N */
5525 1155 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
5526 1155 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
5527 1155 : d = vg / 12;
5528 1155 : if (d)
5529 : {
5530 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
5531 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
5532 : }
5533 1155 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
5534 : /* c6 in minimal model */
5535 1155 : return -kronecker(negi(c6), p);
5536 : }
5537 203 : if (nuj) return krosi(-1,p);
5538 175 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
5539 175 : if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
5540 175 : return krosi(-z, p);
5541 : }
5542 :
5543 : static GEN
5544 1092 : doellrootno(GEN e)
5545 : {
5546 1092 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
5547 1092 : long i, l, s = -1;
5548 :
5549 1092 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5550 1092 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
5551 1092 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
5552 1092 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
5553 3080 : for (i = 1; i < l; i++)
5554 : {
5555 1988 : GEN p = gel(P,i);
5556 : long t;
5557 1988 : switch(itou_or_0(p))
5558 : {
5559 371 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
5560 266 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
5561 1351 : default:t = ellrootno_p(e, p);
5562 : }
5563 1988 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
5564 : }
5565 1092 : return mkvec2(stoi(s), V);
5566 : }
5567 :
5568 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
5569 : * Global if p==1 or NULL. */
5570 : static long
5571 84 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
5572 : {
5573 84 : pari_sp av = avma;
5574 : GEN S;
5575 : long s;
5576 84 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
5577 70 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
5578 70 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
5579 : {
5580 49 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
5581 49 : long i = ZV_search(NP, p);
5582 49 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
5583 0 : return 1;
5584 : }
5585 21 : switch(itou_or_0(p))
5586 : {
5587 14 : case 2:
5588 14 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5589 14 : s = ellrootno_2(e); break;
5590 0 : case 3:
5591 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5592 0 : s = ellrootno_3(e); break;
5593 7 : default:
5594 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
5595 : }
5596 21 : return gc_long(av, s);
5597 : }
5598 :
5599 : /* global root number over number field
5600 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
5601 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
5602 : */
5603 :
5604 : static GEN
5605 322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
5606 : {
5607 : long i;
5608 322 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
5609 1932 : for(i=1; i<=5; i++)
5610 1610 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
5611 322 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
5612 : }
5613 :
5614 : static GEN
5615 252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
5616 : {
5617 252 : long v = fetch_var_higher();
5618 252 : GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
5619 252 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
5620 252 : delete_var();
5621 252 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
5622 : }
5623 :
5624 : static GEN
5625 217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
5626 : {
5627 217 : pari_sp av = avma;
5628 217 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5629 217 : GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
5630 217 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5631 217 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
5632 217 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
5633 217 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
5634 217 : return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
5635 : }
5636 :
5637 : static long
5638 252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
5639 252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
5640 :
5641 : static GEN
5642 259 : ec_bmodel_var(GEN E, long v)
5643 : {
5644 259 : GEN P = ec_bmodel(E);
5645 259 : setvarn(P,v); return P;
5646 : }
5647 :
5648 : static long
5649 147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
5650 : {
5651 147 : pari_sp av = avma;
5652 147 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5653 147 : long prec = nf_get_prec(nf);
5654 147 : long v, var = fetch_var_higher();
5655 : GEN F;
5656 147 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
5657 147 : F = nfroots(nf, ec_bmodel_var(E, var));
5658 147 : if (lg(F)>1)
5659 : {
5660 35 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
5661 35 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5662 35 : obj_free(Et);
5663 35 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
5664 : } else
5665 : {
5666 112 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
5667 112 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel_var(E, var), utoi(4)), 4);
5668 112 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
5669 112 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
5670 112 : GEN F = nfroots(nf, D);
5671 112 : if (lg(F)>1)
5672 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
5673 : else
5674 : {
5675 105 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5676 105 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
5677 105 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
5678 105 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
5679 105 : GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
5680 105 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5681 105 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5682 105 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
5683 105 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
5684 105 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
5685 105 : v = odd(v2+v3);
5686 : }
5687 : }
5688 147 : delete_var();
5689 147 : return gc_long(av, v? -1: 1);
5690 : }
5691 :
5692 : static GEN
5693 147 : doellnfrootno(GEN e)
5694 147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
5695 :
5696 : long
5697 2135 : ellrootno_global(GEN e)
5698 : {
5699 2135 : pari_sp av = avma;
5700 : GEN S;
5701 2135 : switch(ell_get_type(e))
5702 : {
5703 1869 : case t_ELL_Q:
5704 1869 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
5705 1869 : break;
5706 266 : case t_ELL_NF:
5707 266 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
5708 266 : break;
5709 0 : default:
5710 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5711 : }
5712 2135 : return gc_long(av, itos(S));
5713 : }
5714 :
5715 : long
5716 182 : ellrootno(GEN e, GEN p)
5717 : {
5718 182 : checkell(e);
5719 182 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
5720 182 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
5721 182 : switch(ell_get_type(e))
5722 : {
5723 84 : case t_ELL_Q:
5724 84 : return ellQ_rootno(e, p);
5725 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
5726 98 : case t_ELL_NF:
5727 98 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
5728 98 : return ellrootno_global(e);
5729 : }
5730 : }
5731 :
5732 : /********************************************************************/
5733 : /** **/
5734 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
5735 : /** **/
5736 : /********************************************************************/
5737 :
5738 : /* assume p does not divide disc E */
5739 : long
5740 345845 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
5741 : {
5742 : ulong a4, a6;
5743 345845 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
5744 344326 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
5745 342373 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5746 342373 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5747 : }
5748 :
5749 : static void
5750 693 : checkell_int(GEN e)
5751 : {
5752 693 : checkell_Q(e);
5753 693 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
5754 693 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
5755 693 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
5756 693 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
5757 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
5758 693 : }
5759 :
5760 : long
5761 2786 : ellQ_get_CM(GEN e)
5762 : {
5763 2786 : GEN j = ell_get_j(e);
5764 2786 : long CM = 0;
5765 2786 : if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
5766 : {
5767 121 : case 0:
5768 121 : if (!signe(j)) CM = -3;
5769 121 : break;
5770 126 : case 1728: CM = -4; break;
5771 21 : case -3375: CM = -7; break;
5772 21 : case 8000: CM = -8; break;
5773 21 : case 54000: CM = -12; break;
5774 21 : case -32768: CM = -11; break;
5775 21 : case 287496: CM = -16; break;
5776 7 : case -884736: CM = -19; break;
5777 21 : case -12288000: CM = -27; break;
5778 21 : case 16581375: CM = -28; break;
5779 7 : case -884736000: CM = -43; break;
5780 : #ifdef LONG_IS_64BIT
5781 6 : case -147197952000L: CM = -67; break;
5782 6 : case -262537412640768000L: CM = -163; break;
5783 : #endif
5784 : }
5785 2786 : return CM;
5786 : }
5787 :
5788 : /* bad reduction at p */
5789 : static void
5790 3556 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
5791 : {
5792 : ulong m, N;
5793 3556 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
5794 : {
5795 1029 : case -1: /* non-split */
5796 1029 : N = n/p;
5797 457365 : for (m=2; m<=N; m++)
5798 456336 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
5799 1029 : break;
5800 1274 : case 0: /* additive */
5801 849373 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
5802 1274 : break;
5803 1253 : case 1: /* split */
5804 1253 : N = n/p;
5805 149236 : for (m=2; m<=N; m++)
5806 147983 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
5807 1253 : break;
5808 : }
5809 3556 : }
5810 : /* good reduction at p */
5811 : static void
5812 338383 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
5813 : {
5814 338383 : const long ap = an[p];
5815 : ulong m;
5816 338383 : if (p <= SQRTn) {
5817 12472 : ulong pk, oldpk = 1;
5818 50793 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
5819 : {
5820 38321 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
5821 4986913 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
5822 4948592 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
5823 : }
5824 : } else {
5825 1746967 : for (m = n/p; m > 1; m--)
5826 1421056 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
5827 : }
5828 338383 : }
5829 : static void
5830 341939 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
5831 : {
5832 341939 : if (good_red)
5833 338383 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
5834 : else
5835 3556 : sievep_bad(p, an, n);
5836 341939 : }
5837 :
5838 : static long
5839 341939 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
5840 : {
5841 341939 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
5842 3612 : return ellQap_u(e, p, good_red);
5843 : else /* good reduction */
5844 : {
5845 338327 : *good_red = 1;
5846 338327 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
5847 : }
5848 : }
5849 : GEN
5850 2247 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
5851 : {
5852 : pari_sp av;
5853 2247 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
5854 : GEN an;
5855 : int CM;
5856 :
5857 2247 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
5858 2247 : if (n >= LGBITS)
5859 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
5860 2247 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
5861 2247 : SQRTn = usqrt(n);
5862 2247 : CM = ellQ_get_CM(e);
5863 :
5864 2247 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
5865 2247 : an[1] = 1; av = avma;
5866 2818320 : for (p=2; p<=n; p++)
5867 : {
5868 : int good_red;
5869 2816073 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
5870 341939 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
5871 341939 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
5872 : }
5873 2247 : set_avma(av); return an;
5874 : }
5875 :
5876 : static GEN
5877 315 : ellanQ(GEN e, long N)
5878 315 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
5879 :
5880 : static GEN
5881 69393 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
5882 : {
5883 69393 : pari_sp av = avma;
5884 69393 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
5885 69391 : long l = lg(LP), i;
5886 138805 : for (i = 1; i < l; i++)
5887 : {
5888 : int goodred;
5889 69407 : GEN P = gel(LP,i), T2;
5890 69407 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
5891 69383 : long f = pr_get_f(P);
5892 69383 : if (goodred)
5893 69201 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
5894 : else
5895 : {
5896 182 : if (!signe(ap)) continue;
5897 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
5898 : }
5899 69387 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
5900 69393 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
5901 : }
5902 69398 : if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
5903 37909 : return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
5904 : }
5905 :
5906 : GEN
5907 4382 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
5908 : {
5909 4382 : pari_sp av = avma;
5910 4382 : long i, l = lg(P);
5911 4382 : GEN W = cgetg(l, t_VEC);
5912 73775 : for(i = 1; i < l; i++)
5913 : {
5914 69393 : ulong p = uel(P,i);
5915 69393 : long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
5916 69393 : gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
5917 : }
5918 4382 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
5919 : }
5920 :
5921 : static GEN
5922 189 : ellnfan(GEN E, long N)
5923 : {
5924 189 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
5925 189 : return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
5926 : }
5927 :
5928 : GEN
5929 497 : ellan(GEN E, long N)
5930 : {
5931 497 : checkell(E);
5932 497 : switch(ell_get_type(E))
5933 : {
5934 308 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
5935 189 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
5936 0 : default:
5937 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
5938 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5939 : }
5940 : }
5941 :
5942 : static GEN
5943 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
5944 : {
5945 : GEN u, v, w;
5946 : long j;
5947 735 : if (e == 1) return ap;
5948 112 : u = ap;
5949 112 : w = subii(sqri(ap), p);
5950 126 : for (j=3; j<=e; j++)
5951 : {
5952 14 : v = u; u = w;
5953 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
5954 : }
5955 112 : return w;
5956 : }
5957 :
5958 : GEN
5959 693 : akell(GEN e, GEN n)
5960 : {
5961 : long i, j, s;
5962 693 : pari_sp av = avma;
5963 : GEN fa, P, E, D, u, y;
5964 :
5965 693 : checkell_int(e);
5966 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
5967 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
5968 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
5969 693 : D = ell_get_disc(e);
5970 693 : u = Z_ppo(n, D);
5971 693 : y = gen_1;
5972 693 : s = 1;
5973 693 : if (!equalii(u, n))
5974 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
5975 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
5976 441 : P = gel(fa,1);
5977 441 : E = gel(fa,2);
5978 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5979 : {
5980 581 : GEN p = gel(P,i);
5981 581 : long ex = itos(gel(E,i));
5982 : int good_red;
5983 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
5984 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
5985 350 : j = signe(ap);
5986 350 : if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
5987 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
5988 : }
5989 : }
5990 693 : if (s < 0) y = negi(y);
5991 693 : fa = Z_factor(u);
5992 693 : P = gel(fa,1);
5993 693 : E = gel(fa,2);
5994 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5995 : { /* good reduction */
5996 504 : GEN p = gel(P,i);
5997 504 : GEN ap = ellap(e,p);
5998 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
5999 : }
6000 693 : return gerepileuptoint(av,y);
6001 : }
6002 :
6003 : GEN
6004 3486 : ellQ_get_N(GEN e)
6005 3486 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
6006 : void
6007 882 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
6008 882 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
6009 :
6010 : GEN
6011 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
6012 : {
6013 14 : pari_sp av = avma, av1;
6014 : ulong l, n;
6015 : long eps, flun;
6016 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
6017 :
6018 14 : if (!A) A = gen_1;
6019 : else
6020 : {
6021 7 : if (gsigne(A)<=0)
6022 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
6023 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
6024 : }
6025 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
6026 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
6027 14 : checkell_Q(e);
6028 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
6029 14 : N = ellQ_get_N(e);
6030 14 : eps = ellrootno_global(e);
6031 14 : if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
6032 :
6033 14 : gs = ggamma(s, prec);
6034 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
6035 14 : cga = gmul(cg, A);
6036 14 : cgb = gdiv(cg, A);
6037 14 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
6038 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
6039 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
6040 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
6041 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
6042 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
6043 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
6044 14 : z = gen_0;
6045 14 : av1 = avma;
6046 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
6047 : {
6048 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
6049 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
6050 1330 : if (!signe(an)) continue;
6051 :
6052 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
6053 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
6054 1106 : if (flun)
6055 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
6056 : else
6057 : {
6058 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
6059 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
6060 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
6061 : }
6062 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
6063 1106 : if (gc_needed(av1,1))
6064 : {
6065 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
6066 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
6067 : }
6068 : }
6069 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
6070 : }
6071 :
6072 : /********************************************************************/
6073 : /** **/
6074 : /** CANONICAL HEIGHT **/
6075 : /** **/
6076 : /********************************************************************/
6077 :
6078 : static GEN
6079 56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
6080 : {
6081 56 : GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
6082 56 : long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
6083 56 : GEN r = gen_1;
6084 133 : for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
6085 63 : for( ; i < l ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
6086 56 : return r;
6087 : }
6088 :
6089 : /* The function follows
6090 : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
6091 : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
6092 : */
6093 :
6094 : static GEN
6095 63 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
6096 : {
6097 : GEN h;
6098 : long d;
6099 63 : pari_sp av = avma;
6100 63 : checkell(e);
6101 63 : switch(ell_get_type(e))
6102 : {
6103 7 : case t_ELL_Q:
6104 7 : d = 1;
6105 7 : h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
6106 7 : break;
6107 56 : case t_ELL_NF:
6108 56 : d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
6109 56 : h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
6110 56 : break;
6111 0 : default:
6112 0 : pari_err_TYPE("ellheight", e);
6113 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6114 : }
6115 63 : return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
6116 : }
6117 :
6118 : static GEN
6119 707 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
6120 :
6121 : /* one root of X^2 - t X + c */
6122 : static GEN
6123 1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
6124 : {
6125 1106 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
6126 : }
6127 :
6128 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
6129 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
6130 : static GEN
6131 1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
6132 : {
6133 1106 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
6134 1106 : long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
6135 :
6136 1106 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
6137 1106 : ab = ellR_ab(e, p);
6138 1106 : a = gel(ab, 1);
6139 1106 : b = gel(ab, 2);
6140 1106 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
6141 1106 : x = gsub(x, e1);
6142 1106 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
6143 :
6144 1106 : x_a = gsub(x, a);
6145 1106 : if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
6146 1106 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
6147 1106 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
6148 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
6149 1106 : for(n=0;; n++)
6150 4943 : {
6151 6049 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
6152 6049 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
6153 6049 : r = gsub(a, a0);
6154 6049 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
6155 4943 : ab = gmul(a0, b);
6156 4943 : b = gsqrt(ab, prec);
6157 :
6158 4943 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
6159 4943 : p2 = gsqr(a);
6160 4943 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
6161 4943 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
6162 : }
6163 1106 : if (n) {
6164 1106 : x = gel(V,n);
6165 4943 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
6166 : } else
6167 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
6168 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
6169 1106 : return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
6170 : }
6171 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
6172 : static int
6173 1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
6174 : {
6175 1106 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
6176 1106 : return gcmp(x, e1) >= 0;
6177 : }
6178 :
6179 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
6180 : static GEN
6181 1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
6182 : {
6183 1106 : pari_sp av = avma;
6184 : GEN h;
6185 1106 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
6186 : {
6187 455 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
6188 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
6189 455 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
6190 : }
6191 : else
6192 651 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
6193 1106 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
6194 1106 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
6195 : }
6196 : GEN
6197 1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
6198 :
6199 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
6200 : static GEN
6201 28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
6202 : {
6203 28 : pari_sp av = avma;
6204 28 : GEN z = zell(E, P, prec);
6205 28 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
6206 28 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
6207 28 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
6208 28 : GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
6209 28 : GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
6210 28 : GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
6211 28 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
6212 28 : GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
6213 28 : GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
6214 28 : return gerepileupto(av, gsub(r, l));
6215 : }
6216 :
6217 : static GEN
6218 140 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
6219 140 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
6220 : static GEN
6221 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6222 : {
6223 35 : pari_sp av = avma;
6224 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
6225 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
6226 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
6227 : }
6228 : GEN
6229 224 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
6230 224 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): a? ellheight(e,a,n): ellheightfaltings(e,n); }
6231 : GEN
6232 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6233 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
6234 :
6235 : static GEN
6236 245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
6237 : {
6238 : long v1, v2, vD, vu;
6239 245 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
6240 245 : GEN lr = nflocalred(e,pr);
6241 245 : GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
6242 245 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
6243 245 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
6244 : GEN v;
6245 245 : vu = nfval(nf, u, pr);
6246 245 : v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
6247 245 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
6248 245 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
6249 245 : if (v1<0)
6250 7 : vu = 0;
6251 245 : if (v1<=0 || v2<=0)
6252 210 : v = gen_0;
6253 35 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
6254 : {
6255 21 : GEN a = sstoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
6256 21 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a), sstoQ(vD,2));
6257 : }
6258 : else
6259 : {
6260 14 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
6261 28 : v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? sstoQ(-v2,3):
6262 14 : sstoQ(-v3,8);
6263 : }
6264 245 : return gsubgs(v,vu);
6265 : }
6266 :
6267 : static GEN
6268 112 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
6269 : {
6270 112 : pari_sp av = avma;
6271 : GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
6272 : long i, n, l, r1;
6273 112 : if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gen_0;
6274 91 : x = gel(P,1);
6275 91 : if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { set_avma(av); return gen_0; }
6276 91 : nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
6277 91 : disc = ell_get_disc(E);
6278 91 : d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
6279 91 : F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
6280 91 : Ee = ellnfembed(E, prec);
6281 91 : Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
6282 91 : n = lg(Ee); l = lg(F);
6283 91 : s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
6284 224 : for (i=1; i<=r1; i++)
6285 133 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
6286 119 : for ( ; i<n; i++)
6287 28 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
6288 336 : for (i=1; i<l; i++)
6289 : {
6290 245 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
6291 245 : long f = pr_get_f(pr);
6292 245 : GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
6293 245 : s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
6294 : }
6295 91 : return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
6296 : }
6297 :
6298 : static GEN
6299 133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
6300 : {
6301 : long i, lx;
6302 : pari_sp av;
6303 : GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
6304 : GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
6305 :
6306 133 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
6307 126 : if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
6308 112 : av = avma;
6309 112 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
6310 : { /* switch to minimal model if needed */
6311 84 : if (lg(S) != 2)
6312 : {
6313 7 : v = gel(S,2);
6314 7 : e = gel(S,3);
6315 7 : a = ellchangepoint(a, v);
6316 : }
6317 : }
6318 : else
6319 : {
6320 28 : e = ellminimalmodel_i(e, &v);
6321 28 : a = ellchangepoint(a, v);
6322 : }
6323 112 : if (!oncurve(e,a))
6324 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
6325 105 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6326 105 : if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
6327 105 : x = gel(a,1);
6328 105 : y = gel(a,2);
6329 105 : b2 = ell_get_b2(e);
6330 105 : b4 = ell_get_b4(e);
6331 105 : b6 = ell_get_b6(e);
6332 105 : b8 = ell_get_b8(e);
6333 105 : psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
6334 : poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
6335 : );
6336 105 : if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
6337 105 : a1 = ell_get_a1(e);
6338 105 : a2 = ell_get_a2(e);
6339 105 : a4 = ell_get_a4(e);
6340 105 : phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
6341 : poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
6342 : );
6343 105 : c4 = ell_get_c4(e);
6344 105 : D = ell_get_disc(e);
6345 105 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6346 105 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6347 105 : lx = lg(Lp);
6348 217 : for (i=1; i<lx; i++)
6349 : {
6350 112 : GEN p = gel(Lp,i);
6351 : long u, v, n, n2;
6352 112 : if (!dvdii(c4,p))
6353 : { /* p \nmid c4 */
6354 35 : long N = Z_pval(D,p);
6355 35 : if (!N) continue;
6356 35 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6357 35 : if (n > N) n = N;
6358 35 : u = n * ((N<<1) - n);
6359 35 : v = N << 3;
6360 : }
6361 : else
6362 : {
6363 77 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6364 77 : n = Z_pval(psi3, p);
6365 77 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6366 : }
6367 : /* z -= u log(p) / v */
6368 112 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6369 : }
6370 105 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
6371 : }
6372 :
6373 : GEN
6374 245 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6375 : {
6376 245 : checkell(e); checkellpt(a);
6377 245 : switch(ell_get_type(e))
6378 : {
6379 133 : case t_ELL_Q:
6380 133 : return ellQ_height(e, a, prec);
6381 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6382 112 : case t_ELL_NF:
6383 112 : return ellnf_height(e, a, prec);
6384 : }
6385 : }
6386 :
6387 : GEN
6388 21 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6389 : {
6390 : GEN D, A, B;
6391 21 : long lx = lg(x), i, j;
6392 21 : pari_sp av = avma;
6393 :
6394 21 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6395 21 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6396 21 : A = cgetg(lx,t_MAT);
6397 21 : B = cgetg(lx,t_MAT);
6398 63 : for (i=1; i<lx; i++)
6399 : {
6400 42 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6401 42 : gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
6402 42 : gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
6403 : }
6404 63 : for (i=1; i<lx; i++)
6405 : {
6406 42 : GEN h = gel(D,i);
6407 42 : if (p)
6408 : {
6409 28 : gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
6410 28 : gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
6411 : }
6412 : else
6413 14 : gcoeff(A,i,i) = h;
6414 70 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6415 : {
6416 28 : h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6417 28 : h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
6418 28 : if (p)
6419 : {
6420 21 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
6421 21 : gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
6422 : }
6423 : else
6424 7 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
6425 : }
6426 : }
6427 21 : return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
6428 : }
6429 : GEN
6430 7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6431 7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6432 :
6433 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6434 : static GEN
6435 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6436 : {
6437 : GEN y;
6438 21 : long i, l = lg(P);
6439 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6440 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
6441 7 : y = cgetg(l, typ(P));
6442 21 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
6443 7 : return y;
6444 : }
6445 : GEN
6446 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6447 : {
6448 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6449 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6450 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6451 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6452 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6453 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6454 7 : if (is_matvec_t(t2))
6455 : {
6456 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6457 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6458 0 : return bilhell_i(E,Q,P,n);
6459 : }
6460 7 : return bilhell_i(E,P,Q,n);
6461 : }
6462 : /********************************************************************/
6463 : /** **/
6464 : /** Modular Parametrization **/
6465 : /** **/
6466 : /********************************************************************/
6467 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6468 : static GEN
6469 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6470 : {
6471 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6472 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
6473 0 : gel(s,2) = t; return s;
6474 : }
6475 :
6476 : GEN
6477 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6478 : {
6479 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6480 : long n, m;
6481 14 : pari_sp av = avma;
6482 :
6483 14 : checkell_Q(e);
6484 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
6485 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
6486 :
6487 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
6488 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
6489 7 : d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalp(d,-1);
6490 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
6491 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6492 7 : c = gsqr(d);
6493 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
6494 : * Take derivative then divide by 2x':
6495 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
6496 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
6497 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
6498 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
6499 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
6500 : * */
6501 7 : C = c+4;
6502 7 : X = x+4;
6503 7 : gel(X,-2) = gen_1;
6504 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
6505 7 : b2 = ell_get_b2(e);
6506 7 : b4 = ell_get_b4(e);
6507 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
6508 : {
6509 105 : pari_sp av2 = avma;
6510 : GEN s1, s2, s3;
6511 105 : if (n != 2)
6512 : {
6513 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
6514 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
6515 98 : s2 = gen_0;
6516 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
6517 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
6518 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
6519 98 : s1 = gen_0;
6520 476 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
6521 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
6522 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
6523 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
6524 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
6525 : }
6526 : else
6527 : {
6528 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
6529 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
6530 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
6531 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
6532 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
6533 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
6534 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
6535 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
6536 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
6537 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
6538 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
6539 7 : w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
6540 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
6541 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
6542 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
6543 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
6544 7 : s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
6545 : }
6546 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
6547 : }
6548 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
6549 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
6550 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
6551 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
6552 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
6553 : }
6554 :
6555 : /********************************************************************/
6556 : /** **/
6557 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
6558 : /** **/
6559 : /********************************************************************/
6560 : static GEN
6561 19285 : doellff_get_o(GEN E)
6562 : {
6563 19285 : GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
6564 19285 : return mkvec2(d, Z_factor(d));
6565 : }
6566 : GEN
6567 19824 : ellff_get_o(GEN E)
6568 19824 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
6569 :
6570 : static void
6571 497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
6572 : {
6573 497 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
6574 497 : *a4 = gel(e, 1);
6575 497 : *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
6576 497 : *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
6577 497 : }
6578 : GEN
6579 140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
6580 : {
6581 140 : pari_sp av = avma;
6582 : GEN p;
6583 140 : checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
6584 140 : p = ellff_get_field(E);
6585 140 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
6586 140 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
6587 : else
6588 : {
6589 : GEN a4;
6590 49 : RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
6591 49 : return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
6592 : }
6593 : }
6594 :
6595 : GEN
6596 5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6597 : {
6598 : GEN p;
6599 5250 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
6600 5243 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
6601 5243 : p = ellff_get_field(E);
6602 5243 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
6603 : else
6604 : {
6605 245 : pari_sp av = avma;
6606 : GEN w, a4;
6607 245 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
6608 245 : w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
6609 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
6610 : }
6611 : }
6612 :
6613 : GEN
6614 301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6615 : {
6616 : GEN p;
6617 301 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
6618 301 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
6619 301 : p = ellff_get_field(E);
6620 301 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
6621 : else
6622 : {
6623 203 : pari_sp av = avma;
6624 : GEN t, a4;
6625 203 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
6626 203 : t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
6627 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
6628 : }
6629 : }
6630 :
6631 : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
6632 : static GEN
6633 2868104 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
6634 : {
6635 2868104 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
6636 2868082 : if (!signe(D))
6637 : {
6638 97972 : pari_sp av = avma;
6639 97972 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
6640 97972 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
6641 : }
6642 2770110 : *good_red = 1;
6643 2770110 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
6644 2769262 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
6645 2768430 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
6646 2768051 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
6647 : }
6648 :
6649 : GEN
6650 3021404 : ellap(GEN E, GEN p)
6651 : {
6652 3021404 : pari_sp av = avma;
6653 : GEN q, card;
6654 : int goodred;
6655 3021404 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
6656 3021358 : switch(ell_get_type(E))
6657 : {
6658 112 : case t_ELL_Fp:
6659 112 : q = p; card = ellff_get_card(E);
6660 112 : break;
6661 54467 : case t_ELL_Fq:
6662 54467 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
6663 54467 : break;
6664 2867706 : case t_ELL_Qp:
6665 : case t_ELL_Q:
6666 2867706 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6667 2867730 : break;
6668 99071 : case t_ELL_NF:
6669 99071 : return ellnfap(E, p, &goodred);
6670 0 : default:
6671 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
6672 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6673 : }
6674 2922309 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
6675 : }
6676 :
6677 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
6678 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
6679 : GEN
6680 126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
6681 : {
6682 126 : const ulong minq = 523;
6683 126 : checkell_Fq(E);
6684 126 : switch(ell_get_type(E))
6685 : {
6686 112 : case t_ELL_Fp:
6687 : {
6688 112 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
6689 112 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
6690 105 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
6691 : }
6692 14 : case t_ELL_Fq:
6693 : {
6694 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6695 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
6696 0 : return FF_ellcard(E);
6697 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
6698 : }
6699 : }
6700 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6701 : }
6702 :
6703 : GEN
6704 162653 : ellff_get_card(GEN E)
6705 162653 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
6706 :
6707 : GEN
6708 87172 : ellcard(GEN E, GEN p)
6709 : {
6710 87172 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
6711 87165 : switch(ell_get_type(E))
6712 : {
6713 86710 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6714 86710 : return icopy(ellff_get_card(E));
6715 420 : case t_ELL_Qp:
6716 : case t_ELL_Q:
6717 : {
6718 420 : pari_sp av = avma;
6719 : int goodred;
6720 420 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6721 420 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
6722 420 : return gerepileuptoint(av, N);
6723 : }
6724 35 : case t_ELL_NF:
6725 : {
6726 35 : pari_sp av = avma;
6727 : int goodred;
6728 35 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
6729 35 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
6730 35 : return gerepileuptoint(av, N);
6731 : }
6732 0 : default:
6733 0 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
6734 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6735 : }
6736 : }
6737 :
6738 : /* assume model is p-minimal */
6739 : static GEN
6740 21917 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
6741 : {
6742 21917 : GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
6743 21917 : *pm = gen_1;
6744 21917 : if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
6745 21917 : if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
6746 21917 : if (absequaliu(p, 3))
6747 : { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
6748 : ulong b2, b4, b6;
6749 0 : if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
6750 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
6751 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
6752 0 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
6753 0 : if (b6) return mkvec(N);
6754 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
6755 0 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
6756 0 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
6757 0 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
6758 0 : return mkvec2s(2, 2);
6759 : } /* Now assume p > 3 */
6760 21917 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
6761 21917 : return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
6762 : }
6763 :
6764 : static GEN
6765 40971 : doellGm(GEN E)
6766 : {
6767 40971 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6768 40971 : GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
6769 40971 : return mkvec2(G, m);
6770 : }
6771 : static GEN
6772 80493 : ellff_Gm(GEN E)
6773 80493 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
6774 : GEN
6775 61810 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
6776 : GEN
6777 18683 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
6778 : GEN
6779 18683 : ellff_get_D(GEN E)
6780 : {
6781 18683 : GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
6782 18683 : switch(lg(G))
6783 : {
6784 91 : case 1: return G;
6785 15876 : case 2: return mkvec(o);
6786 2716 : default: return mkvec2(o, gel(G,2));
6787 : }
6788 : }
6789 :
6790 : /* E / Fp */
6791 : static GEN
6792 18683 : doellgens(GEN E)
6793 : {
6794 18683 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6795 18683 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6796 18109 : return FF_ellgens(E);
6797 : else
6798 : {
6799 574 : GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6800 574 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
6801 574 : return FpVV_to_mod(F,p);
6802 : }
6803 : }
6804 :
6805 : GEN
6806 18760 : ellff_get_gens(GEN E)
6807 18760 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
6808 :
6809 : GEN
6810 22323 : ellgroup(GEN E, GEN p)
6811 : {
6812 22323 : pari_sp av = avma;
6813 : GEN m, G;
6814 22323 : p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
6815 22316 : switch(ell_get_type(E))
6816 : {
6817 21882 : case t_ELL_Fp:
6818 21882 : case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
6819 392 : case t_ELL_Qp:
6820 : case t_ELL_Q:
6821 392 : if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
6822 : {
6823 14 : GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
6824 14 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
6825 14 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
6826 : }
6827 378 : G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
6828 42 : case t_ELL_NF:
6829 42 : if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
6830 : {
6831 21 : GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
6832 21 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
6833 21 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
6834 : }
6835 28 : E = ellinit(E, p, 0);
6836 28 : G = ellff_get_group(E);
6837 28 : G = gcopy(G); obj_free(E); break;
6838 0 : default:
6839 0 : pari_err_TYPE("ellgroup", E);
6840 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
6841 : }
6842 22316 : return gerepilecopy(av, G);
6843 : }
6844 :
6845 : GEN
6846 21483 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
6847 : {
6848 21483 : pari_sp av = avma;
6849 21483 : long tE, freeE = 0;
6850 : GEN G;
6851 21483 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
6852 1946 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
6853 1946 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
6854 1946 : if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
6855 : {
6856 1869 : GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
6857 : long vu;
6858 1862 : switch(tE)
6859 : {
6860 70 : case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
6861 1841 : case t_ELL_Q: vu = Q_pval(u, p); break;
6862 21 : case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
6863 0 : default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
6864 : }
6865 1862 : if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
6866 1855 : if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
6867 : {
6868 91 : GEN Ep = obj_init(15, 4), T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
6869 91 : if (typ(p) == t_INT)
6870 : {
6871 : long i;
6872 910 : for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
6873 : }
6874 : else
6875 : {
6876 21 : q = pr_norm(p);
6877 21 : Ep = initsmall_i(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
6878 : }
6879 91 : E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
6880 91 : obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
6881 : }
6882 : else
6883 1764 : E = ellinit(E, p, 0);
6884 1855 : freeE = 1;
6885 : }
6886 1932 : G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
6887 1932 : if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
6888 1855 : G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
6889 : }
6890 :
6891 : GEN
6892 16842 : ellgenerators(GEN E)
6893 : {
6894 16842 : checkell(E);
6895 16842 : switch(ell_get_type(E))
6896 : {
6897 7 : case t_ELL_Q:
6898 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
6899 16828 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6900 16828 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
6901 7 : default:
6902 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
6903 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
6904 : }
6905 : }
6906 :
6907 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
6908 : static GEN
6909 22575 : ellfromj_simple(GEN j)
6910 : {
6911 22575 : pari_sp av = avma;
6912 22575 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
6913 22575 : GEN E = zerovec(5);
6914 22575 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
6915 22575 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
6916 : }
6917 : GEN
6918 33852 : ellfromj(GEN j)
6919 : {
6920 33852 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
6921 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
6922 33852 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
6923 : {
6924 3549 : case 2:
6925 3549 : if (gequal0(j))
6926 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
6927 : else
6928 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
6929 7637 : case 3:
6930 7637 : if (gequal0(j))
6931 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6932 : else
6933 : {
6934 7630 : GEN E = zerovec(5);
6935 7630 : pari_sp av = avma;
6936 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
6937 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
6938 7630 : return E;
6939 : }
6940 : }
6941 22666 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
6942 22638 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6943 22575 : return ellfromj_simple(j);
6944 : }
6945 :
6946 : /********************************************************************/
6947 : /** **/
6948 : /** IS SUPERSINGULAR **/
6949 : /** **/
6950 : /********************************************************************/
6951 :
6952 : int
6953 164703 : elljissupersingular(GEN x)
6954 : {
6955 164703 : pari_sp av = avma;
6956 : int res;
6957 :
6958 164703 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
6959 497 : GEN p = gel(x, 1);
6960 497 : GEN j = gel(x, 2);
6961 497 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6962 164206 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
6963 164199 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
6964 164199 : GEN p = FF_p_i(x);
6965 164199 : GEN T = FF_mod(x);
6966 164199 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6967 : } else {
6968 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
6969 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6970 : }
6971 164696 : set_avma(av);
6972 164696 : return res;
6973 : }
6974 :
6975 : int
6976 164913 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
6977 : {
6978 : pari_sp av;
6979 : GEN j;
6980 164913 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
6981 17010 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
6982 16996 : j = ell_get_j(E);
6983 16996 : switch(ell_get_type(E))
6984 : {
6985 16800 : case t_ELL_Fp:
6986 : case t_ELL_Fq:
6987 16800 : return elljissupersingular(j);
6988 56 : case t_ELL_Qp:
6989 : case t_ELL_Q:
6990 56 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
6991 21 : av = avma;
6992 21 : return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
6993 140 : case t_ELL_NF:
6994 : {
6995 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
6996 : int res;
6997 140 : av = avma;
6998 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
6999 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
7000 : {
7001 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
7002 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7003 : }
7004 : else
7005 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7006 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
7007 126 : if (typ(j) == t_INT)
7008 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7009 : else
7010 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7011 126 : return gc_bool(av, res);
7012 : }
7013 0 : default:
7014 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
7015 : }
7016 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7017 : }
7018 :
7019 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7020 : static GEN
7021 5663 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
7022 : {
7023 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
7024 5663 : if (n==0) return pol_0(v);
7025 5663 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
7026 1211 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
7027 1211 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
7028 1211 : if (n==3)
7029 672 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
7030 : else
7031 : {
7032 539 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
7033 539 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
7034 539 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
7035 : }
7036 1211 : setvarn(res, v); return res;
7037 : }
7038 :
7039 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
7040 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7041 : static GEN
7042 4207 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
7043 : {
7044 : GEN ret;
7045 4207 : long m = n/2;
7046 4207 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
7047 2478 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
7048 728 : else if (odd(n))
7049 : {
7050 441 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7051 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
7052 441 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
7053 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
7054 441 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
7055 105 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
7056 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
7057 336 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
7058 : }
7059 : else
7060 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
7061 287 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7062 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
7063 287 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
7064 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
7065 287 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
7066 : }
7067 2478 : gel(t,n) = ret;
7068 2478 : return ret;
7069 : }
7070 :
7071 : GEN
7072 4123 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
7073 : {
7074 4123 : pari_sp av = avma;
7075 : GEN f, D, N;
7076 4123 : long n = labs(n0);
7077 :
7078 4123 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7079 4123 : if (v < 0) v = 0;
7080 4123 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7081 4123 : N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
7082 4123 : if (n==1 || n==3)
7083 210 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7084 : else
7085 : {
7086 3913 : GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
7087 3913 : setvarn(d2,v);
7088 3913 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7089 3913 : if (n <= 4)
7090 3703 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7091 : else
7092 210 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
7093 3913 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
7094 : }
7095 4123 : if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
7096 4102 : return gerepilecopy(av, f);
7097 : }
7098 :
7099 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
7100 : GEN
7101 413 : ellxn(GEN e, long n, long v)
7102 : {
7103 413 : pari_sp av = avma;
7104 : GEN d2, D, N, A, B;
7105 413 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7106 413 : if (v==-1) v = 0;
7107 413 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7108 413 : N = characteristic(D);
7109 413 : if (!signe(N)) N = NULL;
7110 413 : if (n < 0) n = -n;
7111 413 : d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
7112 413 : setvarn(d2,v);
7113 413 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7114 413 : if (n == 0)
7115 : {
7116 21 : A = pol_0(v);
7117 21 : B = pol_0(v);
7118 : }
7119 392 : else if (n == 1)
7120 : {
7121 7 : A = pol_1(v);
7122 7 : B = pol_x(v);
7123 : }
7124 385 : else if (n == 2)
7125 : {
7126 119 : GEN b4 = ell_get_b4(e);
7127 119 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
7128 119 : GEN b8 = ell_get_b8(e);
7129 119 : A = d2;
7130 : /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
7131 119 : B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
7132 119 : setvarn(B,v);
7133 : }
7134 : else
7135 : {
7136 266 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
7137 266 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
7138 266 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
7139 266 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
7140 266 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
7141 266 : if (!odd(n))
7142 7 : A = RgX_mul(f2, d2);
7143 : else
7144 259 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
7145 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
7146 266 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
7147 : }
7148 413 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
7149 : }
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