Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.8.0 lcov report (development 19619-c9e92b8) Lines: 3801 4083 93.1 %
Date: 2016-09-29 05:54:10 Functions: 328 337 97.3 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      438616 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      438616 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      438196 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      438196 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      438196 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      438196 : }
      37             : static GEN
      38     2716794 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2716794 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2716794 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2716794 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2716793 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2716796 : }
      46             : static GEN
      47      135156 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48      135156 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50      135156 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52      135156 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53      135156 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54      135156 : }
      55             : static void
      56     2716651 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2716651 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2716651 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2716648 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2716648 : }
      62             : static void
      63      438196 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      438196 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      438196 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      438196 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      438196 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       22012 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       22012 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       22014 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       22011 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       22012 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         420 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         420 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         420 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         420 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         420 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       22015 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       22015 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       22012 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         420 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         420 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         420 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         420 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : void
     111      244494 : checkellpt(GEN z)
     112             : {
     113      244494 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     114      244488 :   switch(lg(z))
     115             :   {
     116      244082 :     case 3: break;
     117         406 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     118             :     /* fall through */
     119           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     120             :   }
     121      244488 : }
     122             : void
     123       71890 : checkell5(GEN E)
     124             : {
     125       71890 :   long l = lg(E);
     126       71890 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     127       71890 : }
     128             : void
     129     3999338 : checkell(GEN E)
     130     3999338 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     131             : void
     132        2212 : checkellisog(GEN v)
     133        2212 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     134             : 
     135             : void
     136        4641 : checkell_Q(GEN E)
     137             : {
     138        4641 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     139           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     140        4641 : }
     141             : 
     142             : void
     143           0 : checkell_Qp(GEN E)
     144             : {
     145           0 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     146           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     147           0 : }
     148             : 
     149             : static int
     150      527553 : ell_over_Fq(GEN E)
     151             : {
     152      527553 :   long t = ell_get_type(E);
     153      527554 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     154             : }
     155             : 
     156             : void
     157      274428 : checkell_Fq(GEN E)
     158             : {
     159      274428 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
     160           7 :   pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     161      274421 : }
     162             : 
     163             : GEN
     164      179804 : ellff_get_p(GEN E)
     165             : {
     166      179804 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     167      179804 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     168             : }
     169             : 
     170             : int
     171         301 : ell_is_integral(GEN E)
     172             : {
     173         602 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     174         259 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     175         245 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     176         245 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     177         546 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     178             : }
     179             : 
     180             : static void
     181       72226 : checkcoordch(GEN z)
     182       72226 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     183             : 
     184             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     185             : GEN
     186        3172 : ec_bmodel(GEN e)
     187             : {
     188        3172 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     189        3172 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     190             : }
     191             : 
     192             : static int
     193         633 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     194             : 
     195             : static GEN
     196         673 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     197             : {
     198             :   GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
     199         673 :   long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
     200             : START:
     201         687 :   R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     202         687 :   if (s > 0)
     203             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     204         211 :     R = real_i(R);
     205         211 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     206         211 :     e1 = gel(R,1);
     207         211 :     e2 = gel(R,2);
     208         211 :     e3 = gel(R,3);
     209         211 :     d3 = subrr(e1,e2);
     210         211 :     d1 = subrr(e2,e3);
     211         211 :     d2 = subrr(e1,e3);
     212         211 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
     213             :     {
     214          14 :       prec = precdbl(prec);
     215          14 :       if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
     216          14 :       goto START;
     217             :     }
     218             :   } else {
     219         476 :     e1 = gel(R,1);
     220         476 :     e2 = gel(R,2);
     221         476 :     e3 = gel(R,3);
     222         476 :     if (s < 0)
     223             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     224         462 :       e1 = real_i(e1);
     225         462 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     226             :     }
     227         476 :     d3 = gsub(e1,e2);
     228         476 :     d1 = gsub(e2,e3);
     229         476 :     d2 = gsub(e1,e3);
     230             :   }
     231         673 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     232             : }
     233             : static GEN
     234         973 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     235             : 
     236             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     237             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     238             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     239             : GEN
     240      753431 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     241             : {
     242      753431 :   pari_sp av = avma;
     243             :   GEN z;
     244      753431 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     245      753431 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     246      753431 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     247      753431 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     248             : }
     249             : 
     250             : /* a1 x + a3 */
     251             : GEN
     252      763539 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     253             : {
     254      763539 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     255      763539 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     256      763539 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     257             : }
     258             : static GEN
     259     1170253 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     260             : {
     261     1170253 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     262     1170253 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     263     1170253 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     264             : }
     265             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     266             : static GEN
     267        2982 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     268             : {
     269        2982 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     270        2982 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     271             : }
     272             : 
     273             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     274             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     275             :  * which is the derivative of the curve equation
     276             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     277             :  * wrt x evaluated at Q */
     278             : GEN
     279        1351 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     280             : {
     281        1351 :   pari_sp av = avma;
     282        1351 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     283        1351 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     284        1351 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     285        1351 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     286        1351 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     287        1351 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     288             : }
     289             : 
     290             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     291             : GEN
     292        5411 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     293             : {
     294        5411 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     295        5411 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     296             : }
     297             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     298             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     299             :  * which is the derivative of the curve equation
     300             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     301             :  * wrt y evaluated at Q */
     302             : GEN
     303         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     304             : {
     305         532 :   pari_sp av = avma;
     306         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     307             : }
     308             : 
     309             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     310             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     311             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     312             : GEN
     313        1449 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     314             : {
     315        1449 :   pari_sp av = avma;
     316        1449 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     317        1449 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     318        1449 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     319        1449 :   GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
     320        1449 :   GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
     321        1449 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
     322             : }
     323             : 
     324             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     325             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     326             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     327             : GEN
     328        1253 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     329             : {
     330        1253 :   pari_sp av = avma;
     331        1253 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     332        1253 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     333        1253 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     334        1253 :   return gerepileupto(av, res);
     335             : }
     336             : 
     337             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     338             : GEN
     339        1533 : ellbasechar(GEN E)
     340             : {
     341        1533 :   pari_sp av = avma;
     342        1533 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     343        1533 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     344             : }
     345             : 
     346             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     347             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     348             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     349             :  * component y[16])*/
     350             : static GEN
     351      673598 : initsmall(GEN x, long n)
     352             : {
     353             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
     354      673598 :   GEN y = obj_init(15, n);
     355      673600 :   switch(lg(x))
     356             :   {
     357             :     case 1:
     358             :     case 2:
     359             :     case 4:
     360             :     case 5:
     361           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     362           0 :       return NULL; break; /* not reached */
     363             :     case 3:
     364       13909 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     365       13909 :       a4 = gel(x,1);
     366       13909 :       a6 = gel(x,2);
     367       13909 :       b2 = gen_0;
     368       13909 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     369       13909 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     370       13909 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     371       13909 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     372       13909 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     373       13909 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     374       13909 :       break;
     375             :     default: /* l > 5 */
     376             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     377      659684 :       a1 = gel(x,1);
     378      659684 :       a2 = gel(x,2);
     379      659684 :       a3 = gel(x,3);
     380      659684 :       a4 = gel(x,4);
     381      659684 :       a6 = gel(x,5);
     382      659684 :       a11= gsqr(a1);
     383      659682 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     384      659682 :       a13= gmul(a1, a3);
     385      659680 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     386      659682 :       a33= gsqr(a3);
     387      659681 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     388      659680 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     389      659683 :       b22= gsqr(b2);
     390      659684 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     391      659684 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     392      659684 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     393             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     394      659682 :       break;
     395             :     }
     396             :   }
     397      673591 :   gel(y,1) = a1;
     398      673591 :   gel(y,2) = a2;
     399      673591 :   gel(y,3) = a3;
     400      673591 :   gel(y,4) = a4;
     401      673591 :   gel(y,5) = a6;
     402      673591 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     403      673591 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     404      673591 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     405      673591 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     406      673591 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     407      673591 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     408      673591 :   gel(y,12)= D;
     409      673591 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     410             : 
     411      665632 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     412         329 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     413         329 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     414         329 :     if (degpol(g) == 0)
     415         287 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     416             :     else
     417             :     {
     418          42 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     419          42 :       D = RgX_div(D, g);
     420          42 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     421          42 :       if (degpol(g) == 0)
     422           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     423             :       else
     424             :       {
     425          35 :         D = RgX_div(D, g);
     426          35 :         d = RgX_div(c4, g);
     427          35 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     428          35 :         if (degpol(g))
     429             :         {
     430          14 :           D = RgX_div(D, g);
     431          14 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     432             :         }
     433          35 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     434             :       }
     435             :     }
     436             :   }
     437             :   else
     438      665303 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     439      665633 :   gel(y,13) = j;
     440      665633 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     441             : }
     442             : 
     443             : void
     444           0 : ellprint(GEN e)
     445             : {
     446           0 :   pari_sp av = avma;
     447             :   long vx, vy;
     448             :   GEN z;
     449           0 :   checkell5(e);
     450           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     451           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     452           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     453           0 :   (void)delete_var();
     454           0 :   (void)delete_var(); avma = av;
     455           0 : }
     456             : 
     457             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     458             : static GEN
     459          70 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     460             : {
     461          70 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     462          70 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     463             : 
     464          70 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     465          70 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     466          56 :     b = mulrr(d3,d2);
     467             :   else
     468          14 :     b = cxnorm(d3);
     469          70 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     470          70 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     471          70 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     472          70 :   return mkvec2(a, b);
     473             : }
     474             : GEN
     475         973 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     476         973 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     477             : 
     478             : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
     479             :  * Let (A_n, B_n) be defined by A_1 = a1/p^v, B_1 = b1/p^v, v=v(a1)=v(a2);
     480             :  *   A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
     481             :  *   B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = square root of A_n B_n congruent to B_n
     482             :  *   R_n = p^v( A_n - B_n ) = r_{n+1}
     483             :  * Return [An,Bn,Rn]. N.B. lim An = M2(a1,b1) = M(sqrt(a1),sqrt(b1))^2 */
     484             : static GEN
     485         210 : Qp_agm2_sequence(GEN a1, GEN b1)
     486             : {
     487         210 :   GEN bp, pmod, p = gel(a1,2), q = gel(a1,3), An, Bn, Rn;
     488         210 :   long pp = precp(a1), v = valp(a1), i;
     489         210 :   int pis2 = absequaliu(p,2);
     490         210 :   a1 = gel(a1,4);
     491         210 :   b1 = gel(b1,4);
     492         210 :   if (pis2)
     493         154 :     pmod = utoipos(8);
     494             :   else
     495          56 :     pmod = p;
     496         210 :   bp = modii(b1, pmod);
     497         210 :   An = cgetg(pp+1, t_VEC); /* overestimate: rather log_2(pp) */
     498         210 :   Bn = cgetg(pp+1, t_VEC);
     499         210 :   Rn = cgetg(pp+1, t_VEC);
     500         714 :   for(i = 1;; i++)
     501             :   {
     502         714 :     GEN a = a1, b = b1, r;
     503             :     long vr;
     504         714 :     gel(An, i) = a;
     505         714 :     gel(Bn, i) = b;
     506         714 :     r = subii(a,b);
     507         924 :     if (!signe(r)) break;
     508         532 :     vr = Z_pvalrem(r,p,&r);
     509         532 :     if (vr >= pp) break;
     510         504 :     r = cvtop(r, p, pp - vr); setvalp(r, vr+v);
     511         504 :     gel(Rn, i) = r;
     512             : 
     513         504 :     b1 = Zp_sqrt(Fp_mul(a,b,q), p, pp);
     514         504 :     if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
     515         504 :     if (!equalii(modii(b1,pmod), bp)) b1 = Fp_neg(b1, q);
     516             :     /* a1 = (a+b+2sqrt(ab))/4 */
     517         504 :     if (pis2)
     518             :     {
     519         343 :       b1 = remi2n(b1, pp-1);
     520         343 :       a1 = shifti(addii(addii(a,b), shifti(b1,1)),-2);
     521         343 :       a1 = remi2n(a1, pp-2);
     522         343 :       pp -= 2;
     523             :     }
     524             :     else
     525         161 :       a1 = modii(Fp_halve(addii(Fp_halve(addii(a,b),q), b1), q), q);
     526         504 :   }
     527         210 :   setlg(An,i+1);
     528         210 :   setlg(Bn,i+1);
     529         210 :   setlg(Rn,i); return mkvec4(An, Bn, Rn, stoi(v));
     530             : }
     531             : static void
     532         301 : Qp_descending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
     533             : {
     534         301 :   GEN R = gel(AB,3);
     535         301 :   long i, n = lg(R)-1;
     536         301 :   GEN x = *ptx;
     537         301 :   if (isintzero(x))
     538             :   {
     539         210 :     i = 2;
     540         210 :     x = gmul2n(gel(R,1),-2);
     541         210 :     if (pty)
     542             :     {
     543           0 :       GEN A = gel(AB,1);
     544           0 :       if (n == 1)
     545           0 :         *pty = gmul(x, Qp_sqrt(gadd(x,gel(A,2))));
     546             :       else
     547           0 :         *pty = Qp_sqrt(gmul(gmul(x, gadd(x,gel(A,2))), gadd(x,gel(R,2))));
     548           0 :       if (!*pty) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     549             :     }
     550             :   }
     551             :   else
     552          91 :     i = 1;
     553         833 :   for (; i <= n; i++)
     554             :   {
     555         532 :     GEN r = gel(R,i), t;
     556         532 :     if (gequal0(x)) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     557         532 :     t = Qp_sqrt(gaddsg(1, gdiv(r,x))); /* = 1 (mod p) */
     558         532 :     if (!t) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     559         532 :     if (i == n)
     560             :     {
     561         259 :       GEN p = gel(r,2);
     562         259 :       long v, vx = valp(x), vr = valp(r);
     563         259 :       if (vx >= vr) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     564             :       /* last loop, take into account loss of accuracy from multiplication
     565             :        * by \prod_{j > n} sqrt(1+r_j/x_j); since vx < vr, j = n+1 is enough */
     566         259 :       v = 2*vr - vx;
     567             :       /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| + 1 bit for sqrt loss */
     568         259 :       if (absequaliu(p,2)) v -= 4;
     569             :       /* tail is 1 + O(p^v) */
     570         259 :       if (v < precp(x)) x = cvtop(x,p,v);
     571             :     }
     572             :     /* x_{n+1} = x_n  ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
     573         532 :     x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,t),-1)));
     574             :     /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
     575         532 :     if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r,gmul2n(x,2)))));
     576             :   }
     577         301 :   *ptx = x;
     578         301 : }
     579             : static void
     580          56 : Qp_ascending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
     581             : {
     582          56 :   GEN A = gel(AB,1), R = gel(AB,3), x = *ptx, p, r;
     583          56 :   long n = lg(R)-1, va = itos(gel(AB,4)), v, i;
     584             : 
     585          56 :   r = gel(R,n);
     586          56 :   v = 2*valp(r) + va;
     587          56 :   if (typ(x) == t_PADIC)
     588          35 :     v -= 2*valp(x);
     589             :   else
     590          21 :     v -= valp(gnorm(x)); /* v(x) = v(Nx) / (e*f), here ef = 2 */
     591          56 :   p = gel(r,2);
     592          56 :   if (absequaliu(p,2)) v -= 3; /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| */
     593             :   /* v = v(A[n+1] R[n+1] / x_{n+1}^2) */
     594          56 :   if (v <= 0) pari_err_PREC("Qp_ascending_Landen");
     595             :   /* v > 0 => v = v(x_oo) = ... = v(x_{n+1}) */
     596          56 :   x = gsub(x, gmul2n(r,-1));
     597          56 :   if (padicprec_relative(x) > v) x = gcvtop(x, p, v);
     598             :   /* x = x_n */
     599         154 :   for (i = n; i > 1; i--)
     600             :   {
     601          98 :     GEN ar = gmul(gel(A,i),gel(R,i)), xp;
     602          98 :     setvalp(ar, valp(ar)+va); /* A_i = A[i] * p^va */
     603             :     /* x_{i-1} = x_i + a_i r_i / x_i - r_{i-1}/2 */
     604          98 :     xp = gsub(gadd(x, gdiv(ar, x)), gmul2n(gel(R,i-1),-1));
     605             :     /* y_{i-1} = y_i (1 - a_i r_i / x^2) */
     606          98 :     if (pty) *pty = gmul(*pty, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x))));
     607          98 :     x = xp;
     608             :   }
     609          56 :   *ptx = x;
     610          56 : }
     611             : 
     612             : /* q a t_REAL*/
     613             : static long
     614          77 : real_prec(GEN q)
     615          77 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     616             : /* q a t_PADIC */
     617             : static long
     618         119 : padic_prec(GEN q)
     619         119 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     620             : 
     621             : /* check whether moduli are consistent */
     622             : static void
     623       97236 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     624       97236 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     625             : 
     626             : static int
     627       36036 : fix_nftype(GEN *pp)
     628             : {
     629       36036 :   switch(nftyp(*pp))
     630             :   {
     631       36036 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     632           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     633           0 :     default: return 0;
     634             :   }
     635       36036 :   return 1;
     636             : }
     637             : static long
     638      707395 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     639             : {
     640      707395 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     641      707395 :   GEN p = NULL;
     642      707395 :   long t = t_FRAC;
     643      707395 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     644             :   {
     645             :     case t_INT:
     646      490539 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     647        1918 :       p = *pp;
     648        1918 :       t = t_INTMOD;
     649        1918 :       break;
     650             :     case t_INTMOD:
     651           7 :       p = gel(*pp, 1);
     652           7 :       break;
     653             :     case t_REAL:
     654          21 :       e = real_prec(*pp);
     655          21 :       p = NULL;
     656          21 :       break;
     657             :     case t_PADIC:
     658          91 :       ep = padic_prec(*pp);
     659          91 :       p = gel(*pp, 2);
     660          91 :       break;
     661             :     case t_FFELT:
     662       16898 :       p = *pp;
     663       16898 :       break;
     664             :     case t_VEC:
     665       36036 :       t = t_VEC; p = *pp;
     666       36036 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     667             :     default:
     668           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     669           0 :       return 0;
     670             :   }
     671             :   /* Possible cases:
     672             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     673             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     674             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     675             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     676             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     677             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     678     4201828 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     679             :   {
     680     3494616 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     681     3494616 :     switch(typ(q)) {
     682             :       case t_PADIC:
     683          49 :         p2 = gel(q,2);
     684          49 :         switch(t)
     685             :         {
     686          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     687          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     688          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     689             :         }
     690          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     691          28 :         break;
     692             :       case t_INTMOD:
     693      121575 :         p2 = gel(q,1);
     694      121575 :         switch(t)
     695             :         {
     696       24352 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     697          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     698       97160 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     699          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     700             :         }
     701      121561 :         break;
     702             :       case t_FFELT:
     703      255743 :         switch(t)
     704             :         {
     705          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     706       95715 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     707             :           case t_FFELT:
     708      160020 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     709      160020 :             break;
     710           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     711             :         }
     712      255735 :         break;
     713             : 
     714     3116668 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     715             :       case t_REAL:
     716          56 :         switch(t)
     717             :         {
     718          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     719          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     720           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     721             :         }
     722          56 :         break;
     723             :       case t_COL:
     724             :       case t_POL:
     725             :       case t_POLMOD:
     726         518 :         if (t == t_VEC) break;
     727             :       default: /* base ring too general */
     728         133 :         return t_COMPLEX;
     729             :     }
     730             :   }
     731      707212 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     732             : }
     733             : 
     734             : static GEN
     735         140 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
     736             : {
     737             :   GEN y;
     738             :   long s;
     739         140 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     740         140 :   s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
     741         140 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     742         140 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     743         140 :   return y;
     744             : }
     745             : 
     746             : static GEN
     747          91 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     748             : {
     749             :   GEN y;
     750          91 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     751          91 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     752          91 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     753          91 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     754          91 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     755          91 :   return y;
     756             : }
     757             : 
     758             : static GEN
     759      495425 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     760             : {
     761             :   GEN y;
     762             :   long s;
     763      495425 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     764      495292 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     765      495292 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     766      495292 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     767      495292 :   return y;
     768             : }
     769             : 
     770             : /* shallow basistoalg */
     771             : static GEN
     772     1257109 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     773             : {
     774     1257109 :   switch(typ(x))
     775             :   {
     776     1256640 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     777         469 :     default: return basistoalg(nf, x);
     778             :   }
     779             : }
     780             : static GEN
     781       36043 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     782             : {
     783             :   long i, l;
     784       36043 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     785       36043 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     786       36043 :   return y;
     787             : }
     788             : 
     789             : static GEN
     790       36036 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     791             : {
     792             :   GEN y, nf;
     793             :   long i;
     794       36036 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     795       36036 :   nf = checknf(p);
     796       36036 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     797       36036 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     798       36036 :   for (i = 10; i < 14; i++) gel(y,i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(y,i));
     799       36036 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     800       36036 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     801       36036 :   return y;
     802             : }
     803             : 
     804             : static GEN
     805       29174 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     806             : {
     807             :   long i;
     808             :   GEN y, disc;
     809       29174 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     810       24233 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     811        2744 :     return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
     812       21489 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     813       21502 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     814      300750 :   for(i=1;i<=13;i++)
     815      279261 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     816       21489 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     817       21490 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     818       21488 :   return y;
     819             : }
     820             : 
     821             : static GEN
     822      112732 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     823             : {
     824             :   GEN y;
     825      112732 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     826      109841 :   return FF_ellinit(y,fg);
     827             : }
     828             : 
     829             : static GEN
     830        2982 : ellnf_to_Fq(GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     831             : {
     832        2982 :   GEN nf = ellnf_get_nf(x), e = vecslice(x,1,5);
     833             :   GEN p, modP;
     834        2982 :   if (get_modpr(P))
     835             :   { /* modpr accept */
     836        2807 :     modP = P;
     837        2807 :     p = modpr_get_p(modP);
     838             :   }
     839             :   else
     840             :   { /* pr, initialize modpr */
     841         175 :     GEN d = Q_denom(e);
     842         175 :     p = pr_get_p(P);
     843         175 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     844             :   }
     845        2982 :   *pp = p;
     846        2982 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     847        2982 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     848             : }
     849             : static GEN
     850        2982 : ellinit_nf_to_Fq(GEN E, GEN P)
     851             : {
     852             :   GEN T,p;
     853        2982 :   E = ellnf_to_Fq(E, P, &p, &T);
     854        2982 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     855             : }
     856             : 
     857             : GEN
     858      672958 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     859             : {
     860      672958 :   pari_sp av = avma;
     861             :   GEN y;
     862      672958 :   switch(typ(x))
     863             :   {
     864           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     865             :     case t_VEC:
     866      672951 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     867      672955 :       break;
     868           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     869             :   }
     870      672960 :   if (D && get_prid(D))
     871             :   {
     872        2485 :     if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     873        2485 :     y = ellinit_nf_to_Fq(x, D);
     874        2485 :     goto END;
     875             :   }
     876      670475 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     877             :   {
     878             :   case t_PADIC:
     879          91 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     880          91 :     break;
     881             :   case t_INTMOD:
     882       26247 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     883       26246 :     break;
     884             :   case t_FFELT:
     885      112487 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     886      112487 :     break;
     887             :   case t_FRAC:
     888      495425 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     889      495418 :     break;
     890             :   case t_REAL:
     891          21 :     y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
     892          21 :     break;
     893             :   case t_VEC:
     894       36036 :     y = ellinit_nf(x, D);
     895       36036 :     break;
     896             :   default:
     897         119 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     898             :   }
     899             : END:
     900      672903 :   if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
     901      664930 :   return gerepilecopy(av,y);
     902             : }
     903             : 
     904             : /********************************************************************/
     905             : /**                                                                **/
     906             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     907             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     908             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     909             : /**  verbatim                                                      **/
     910             : /**                                                                **/
     911             : /********************************************************************/
     912             : /* [1,0,0,0] */
     913             : static GEN
     914     3263785 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     915             : static int
     916      456015 : is_trivial_change(GEN v)
     917             : {
     918             :   GEN u, r, s, t;
     919      456015 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     920      456015 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     921      456015 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     922             : }
     923             : 
     924             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     925             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     926             : static void
     927         462 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     928             : {
     929         462 :   GEN v = *vtotal;
     930             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     931             : 
     932         924 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     933         448 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     934         448 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     935         448 :   U2 = gsqr(U);
     936         448 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     937         448 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     938         448 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     939         448 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     940             : }
     941             : 
     942             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     943             : GEN
     944          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     945             : {
     946             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     947          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     948          21 :   u = gel(w,1);
     949          21 :   r = gel(w,2);
     950          21 :   s = gel(w,3);
     951          21 :   t = gel(w,4);
     952          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     953          21 :   U = ginv(u);
     954          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     955          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     956          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     957          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     958             : }
     959             : 
     960             : /* apply [u,0,0,0] */
     961             : static GEN
     962      223930 : coordch_u(GEN e, GEN u)
     963             : {
     964             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
     965             :   long lx;
     966      223930 :   if (gequal1(u)) return e;
     967      223384 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     968      223384 :   u = ginv(u); u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
     969      223384 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
     970      223384 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
     971      223384 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
     972      223384 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
     973      223384 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
     974      223384 :   if (lx == 6) return y;
     975      223384 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
     976      223384 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
     977      223384 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
     978      223384 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
     979      223384 :   u12 = gsqr(u6);
     980      223384 :   D = ell_get_disc(e);
     981      223384 :   c4 = ell_get_c4(e);
     982      223384 :   c6 = ell_get_c6(e);
     983      223384 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
     984             :   {
     985      186893 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     986      186893 :     c4 = nfmul(nf, c4, u4);
     987      186893 :     c6 = nfmul(nf, c6, u6);
     988      186893 :     D = nfmul(nf, D, u12);
     989             :   }
     990             :   else
     991             :   {
     992       36491 :     c4 = gmul(c4, u4);
     993       36491 :     c6 = gmul(c6, u6);
     994       36491 :     D = gmul(D, u12);
     995             :   }
     996      223384 :   gel(y,10)= c4;
     997      223384 :   gel(y,11)= c6;
     998      223384 :   gel(y,12)= D;
     999      223384 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1000      223384 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1001      223384 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1002      223384 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1003      223384 :   return y;
    1004             : }
    1005             : /* apply [1,r,0,0] */
    1006             : static GEN
    1007      875805 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1008             : {
    1009             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1010      875805 :   if (gequal0(r)) return e;
    1011      748678 :   y = leafcopy(e);
    1012      748678 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1013      748678 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1014             : 
    1015             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1016      748678 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1017             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1018      748678 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1019             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1020      748678 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1021             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1022      748678 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1023      748678 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1024             : 
    1025      748671 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1026      748671 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1027             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1028      748671 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1029      748671 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1030      748671 :   r2 = gsqr(r);
    1031             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1032      748671 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1033             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1034      748671 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1035             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1036      748671 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1037      748671 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1038      748671 :   return y;
    1039             : }
    1040             : /* apply [1,0,s,0] */
    1041             : static GEN
    1042      227199 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1043             : {
    1044             :   GEN a1, y;
    1045      227199 :   if (gequal0(s)) return e;
    1046      227199 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1047      227199 :   y = leafcopy(e);
    1048             : 
    1049             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1050      227199 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1051             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1052      227199 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1053             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1054      227199 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1055      227199 :   return y;
    1056             : }
    1057             : /* apply [1,0,0,t] */
    1058             : static GEN
    1059      594384 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1060             : {
    1061             :   GEN a1, a3, y;
    1062      594384 :   if (gequal0(t)) return e;
    1063      524181 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1064      524181 :   y = leafcopy(e);
    1065             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1066      524181 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1067             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1068      524181 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1069             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1070      524181 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1071      524181 :   return y;
    1072             : }
    1073             : /* apply [1,0,s,t] */
    1074             : static GEN
    1075      359842 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1076             : {
    1077             :   GEN y, a1, a3;
    1078      359842 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1079      258146 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1080      140168 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1081      140168 :   y = leafcopy(e);
    1082             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1083      140168 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1084             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1085      140168 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1086             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1087      140168 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1088             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1089      140168 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1090             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1091      140168 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1092      140168 :   return y;
    1093             : }
    1094             : /* apply [1,r,0,t] */
    1095             : static GEN
    1096      169848 : coordch_rt(GEN e, GEN r, GEN t)
    1097             : {
    1098      169848 :   e = coordch_r(e, r);
    1099      169848 :   return coordch_t(e, t);
    1100             : }
    1101             : /* apply [1,r,s,t] */
    1102             : static GEN
    1103      347613 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1104             : {
    1105      347613 :   e = coordch_r(e, r);
    1106      347613 :   return coordch_st(e, s, t);
    1107             : }
    1108             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1109             : static GEN
    1110       72422 : coordch(GEN e, GEN w)
    1111             : {
    1112       72422 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1113       72422 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1114       72422 :   return coordch_u(e, gel(w,1));
    1115             : }
    1116             : 
    1117             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1118             :  * (dynamic data) */
    1119             : static GEN
    1120           7 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1121             : {
    1122           7 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1123           7 :   long prec = valp(p);
    1124           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1125           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1126             :   {
    1127           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1128           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1129             :   }
    1130           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1131             :   {
    1132           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1133           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1134           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1135           7 :     U = gmul(U, u);
    1136           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1137           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1138             :   }
    1139           7 :   return E;
    1140             : }
    1141             : 
    1142             : /* common to Q and Rg */
    1143             : static GEN
    1144       36764 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1145             : {
    1146       36764 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1147       36764 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1148          28 :     obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1149       36764 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1150          28 :     obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1151       36764 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1152             :   {
    1153          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1154             :     long i;
    1155          28 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1156          28 :     obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
    1157             :   }
    1158       36764 :   return E;
    1159             : }
    1160             : 
    1161             : static GEN
    1162          21 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1163             : {
    1164          21 :   GEN p = NULL;
    1165          21 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1166          21 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1167           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1168             : }
    1169             : 
    1170             : static GEN
    1171       36764 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1172             : {
    1173       36764 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1174       36764 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1175       36764 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1176       36757 :   ch_R(E, e, w);
    1177       36757 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1178           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1179       36757 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1180             :   {
    1181         875 :     if (lg(S) == 2)
    1182             :     { /* model was minimal */
    1183           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1184           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1185           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1186             :     }
    1187             :     else
    1188             :     {
    1189         868 :       v = gel(S,2);
    1190         868 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1191         854 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1192             :       else
    1193             :       {
    1194          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1195          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1196          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1197          14 :         gel(S,2) = v;
    1198             :       }
    1199         868 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1200             :     }
    1201             :   }
    1202       36757 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1203          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1204       36757 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1205           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1206       36757 :   return E;
    1207             : }
    1208             : 
    1209             : static void
    1210         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1211             : {
    1212             :   GEN S;
    1213         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1214          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1215         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1216          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1217         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1218          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1219         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1220          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1221         126 : }
    1222             : 
    1223             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1224             : static GEN
    1225           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1226             : {
    1227           7 :   long prec = 0;
    1228           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1229           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1230           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1231           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1232             : }
    1233             : static GEN
    1234         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1235             : {
    1236         119 :   long prec = 0;
    1237         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1238         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1239         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1240         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1241             : }
    1242             : 
    1243             : static void
    1244       71869 : ell_reset(GEN E)
    1245       71869 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1246             : 
    1247             : GEN
    1248       71890 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1249             : {
    1250       71890 :   pari_sp av = avma;
    1251             :   GEN E;
    1252       71890 :   checkell5(e);
    1253       71890 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1254       71883 :   checkcoordch(w);
    1255       71883 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1256       71883 :   if (lg(E) != 6)
    1257             :   {
    1258       71869 :     ell_reset(E);
    1259       71869 :     switch(ell_get_type(E))
    1260             :     {
    1261           7 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1262           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1263         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1264       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1265           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1266             :     }
    1267             :   }
    1268       71883 :   return gerepilecopy(av, E);
    1269             : }
    1270             : 
    1271             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1272             : static void
    1273      161749 : E_gcompose_r(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1274             : {
    1275      161749 :   GEN v = *vtotal;
    1276             :   GEN U2, R, S, T;
    1277      323498 :   if (gequal0(r)) return;
    1278       94647 :   *e = coordch_r(*e,r);
    1279       94647 :   U2 = gsqr(gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1280       94647 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
    1281       94647 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gmul(S, r)));
    1282             : }
    1283             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1284             : static void
    1285      109221 : E_gcompose_s(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1286             : {
    1287      109221 :   GEN v = *vtotal;
    1288             :   GEN U, S;
    1289      109221 :   *e = coordch_s(*e,s);
    1290      109221 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1291      109221 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
    1292      109221 : }
    1293             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1294             : static void
    1295      250110 : E_gcompose_t(GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1296             : {
    1297      250110 :   GEN v = *vtotal;
    1298             :   GEN U3, U, T;
    1299      500220 :   if (gequal0(t)) return;
    1300       79387 :   *e = coordch_t(*e,t);
    1301       79387 :   U = gel(v,1); U3 = gmul(U, gsqr(U)); T = gel(v,4);
    1302       79387 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
    1303             : }
    1304             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1305             : static void
    1306      248395 : E_gcompose_rt(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1307             : {
    1308      248395 :   GEN v = *vtotal;
    1309             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1310      496790 :   if (gequal0(t)) { E_gcompose_r(vtotal, e, r); return; }
    1311      169848 :   *e = coordch_rt(*e,r,t);
    1312      169848 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1313      169848 :   U2 = gsqr(U);
    1314      169848 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
    1315      169848 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
    1316             : }
    1317             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1318             : static void
    1319      181937 : E_gcompose_st(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1320             : {
    1321      181937 :   GEN v = *vtotal;
    1322             :   GEN U3, U, S, T;
    1323      181937 :   if (gequal0(s)) { E_gcompose_t(vtotal, e, t); return; }
    1324      121450 :   if (gequal0(t)) { E_gcompose_s(vtotal, e, s); return; }
    1325       12229 :   *e = coordch_st(*e,s,t);
    1326       12229 :   U = gel(v,1); U3 = gmul(U,gsqr(U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1327       12229 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
    1328       12229 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
    1329             : }
    1330             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1331             : static void
    1332      151039 : E_gcompose_u(GEN *vtotal, GEN *e, GEN u)
    1333             : {
    1334      151039 :   GEN v = *vtotal;
    1335      151039 :   *e = coordch_u(*e,u); gel(v,1) = gmul(gel(v,1), u);
    1336      151039 : }
    1337             : 
    1338             : /* X = (x-r)/u^2
    1339             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1340             : static GEN
    1341         280 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1342             : {
    1343             :   GEN a, x, y;
    1344         280 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1345         266 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1346         266 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1347             : }
    1348             : 
    1349             : GEN
    1350         280 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1351             : {
    1352             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1353         280 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1354         280 :   pari_sp av = avma;
    1355             : 
    1356         280 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1357         280 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1358         280 :   checkcoordch(ch);
    1359         280 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1360         280 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1361         280 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1362         280 :   tx = typ(gel(x,1));
    1363         280 :   if (is_matvec_t(tx))
    1364             :   {
    1365          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1366          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1367          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1368             :   }
    1369             :   else
    1370         259 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1371         280 :   return gerepilecopy(av,y);
    1372             : }
    1373             : 
    1374             : /* x = u^2*X + r
    1375             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1376             : static GEN
    1377          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1378             : {
    1379             :   GEN a, X, Y;
    1380          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1381          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1382          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1383             : }
    1384             : GEN
    1385          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1386             : {
    1387             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1388          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1389          63 :   pari_sp av = avma;
    1390             : 
    1391          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1392          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1393          63 :   checkcoordch(ch);
    1394          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1395          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1396          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1397          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1398          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1399             :   {
    1400           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1401          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1402           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1403             :   }
    1404             :   else
    1405          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1406          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1407             : }
    1408             : 
    1409             : GEN
    1410       28364 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1411             : {
    1412       28364 :   pari_sp av = avma;
    1413             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1414             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1415             :   GEN V;
    1416       28364 :   checkell(E);
    1417       28364 :   if (!P)
    1418             :   {
    1419             :     GEN a4, a6;
    1420       27188 :     checkell_Fq(E);
    1421       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1422             :     {
    1423             :       case t_ELL_Fp:
    1424             :         {
    1425           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1426           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1427       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1428             :         }
    1429             :       case t_ELL_Fq:
    1430       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1431             :     }
    1432             :   }
    1433        1176 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1434        1176 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1435        1176 :   if (typ(P) == t_INT)
    1436             :   {
    1437        1162 :     if (equali1(P))
    1438         182 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1439         980 :     P = quadpoly(P);
    1440             :   } else
    1441             :   {
    1442          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1443          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1444           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1445             :   }
    1446         994 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1447         994 :   ac = gmul(a, c);
    1448         994 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1449         994 :   D2 = gsqr(D);
    1450         994 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1451         994 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1452         994 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1453         994 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1454         994 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1455         994 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1456         994 :   return gerepilecopy(av, V);
    1457             : }
    1458             : 
    1459             : /********************************************************************/
    1460             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1461             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1462             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1463             : /********************************************************************/
    1464             : 
    1465             : static long
    1466        2576 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1467        2576 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1468             : 
    1469             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1470             :  * ellminimalmodel / get_u; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1471             :  * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1472             :  * Good case if reduction in get_u i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1473             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1474             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1475             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1476             :  * After rescaling in get_u (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1477             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1478             : static long
    1479         364 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1480             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1481             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1482             :   long v4, v6, vD;
    1483             : 
    1484         364 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1485          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1486             : 
    1487             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1488         308 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1489             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1490         301 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1491             : 
    1492             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1493         301 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1494             : 
    1495             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1496         238 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1497         168 :   vD = vali(disc);
    1498         168 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1499         161 :   return -8;
    1500             : }
    1501             : 
    1502             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1503             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1504             : */
    1505             : GEN
    1506         497 : ellminimaltwist(GEN e)
    1507             : {
    1508         497 :   pari_sp av = avma;
    1509         497 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1510             :   long i, lF;
    1511         497 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1512         497 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1513         497 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1514         497 :   disc = ell_get_disc(E);
    1515         497 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1516         497 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1517         497 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1518             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1519             :    * then apply get_u(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3 and
    1520             :    * v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1521        1995 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1522             :   {
    1523        1498 :     GEN p = gel(F, i);
    1524        1498 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1525        1498 :     if (vg < 6) continue;
    1526             :     /* twist by fund. discriminant d2; in get_u, we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1527        1092 :     switch(itou_or_0(p))
    1528             :     {
    1529             :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1530         434 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1531         434 :         break;
    1532             :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1533         294 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1534         294 :         break;
    1535             :       case 2:
    1536         364 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1537         364 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1538         364 :         break;
    1539             :     }
    1540             :   }
    1541         497 :   obj_free(E);
    1542         497 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1543             : }
    1544             : 
    1545             : /*
    1546             : Reference:
    1547             : William A. Stein and Mark Watkins
    1548             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1549             : ANTS 5
    1550             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1551             : */
    1552             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1553             : GEN
    1554         231 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1555             : {
    1556         231 :   pari_sp av = avma;
    1557         231 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1558         231 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1559         231 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1560         231 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1561         231 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1562         217 :   else if (f==6)
    1563             :   {
    1564          14 :     if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
    1565             :     else
    1566             :     {
    1567           7 :       long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
    1568           7 :       D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
    1569             :     }
    1570             :   }
    1571         231 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1572             : }
    1573             : 
    1574             : GEN
    1575         441 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1576             : {
    1577         441 :   switch(flag)
    1578             :   {
    1579             :     case 0:
    1580         266 :       return ellminimaltwist(e);
    1581             :     case 1:
    1582         175 :       return ellminimaltwistcond(e);
    1583             :   }
    1584           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1585           0 :   return NULL; /* NOT REACHED */
    1586             : }
    1587             : 
    1588             : static long
    1589           7 : ellexpo(GEN E)
    1590             : {
    1591           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1592          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1593             :   {
    1594          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1595          35 :     if (f > e) e = f;
    1596             :   }
    1597           7 :   return e;
    1598             : }
    1599             : 
    1600             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1601             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1602             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1603             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1604             : int
    1605        3059 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1606             : {
    1607             :   GEN LHS, RHS, x;
    1608             :   long pl, pr, ex, expx;
    1609             :   pari_sp av;
    1610             : 
    1611        3059 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1612        2982 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1613        2982 :   av = avma;
    1614        2982 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1615        2982 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1616        2982 :   if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
    1617          21 :   pl = precision(LHS);
    1618          21 :   pr = precision(RHS);
    1619          21 :   if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
    1620             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1621           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1622           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1623           7 :   expx = gexpo(x);
    1624          13 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1625           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1626           7 :   avma = av; return pr;
    1627             : }
    1628             : 
    1629             : GEN
    1630        4193 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1631             : {
    1632        4193 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1633             : 
    1634        4193 :   checkell(e);
    1635        4193 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1636        4193 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1637        4193 :   tx = typ(gel(x,1));
    1638        4193 :   if (is_vec_t(tx))
    1639             :   {
    1640        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1641        1687 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1642        1687 :     return z;
    1643             :   }
    1644        2506 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1645             : }
    1646             : 
    1647             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1648             : static GEN
    1649        1799 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1650             : {
    1651             :   GEN dy,dx;
    1652        1799 :   if (y1 != y2)
    1653             :   {
    1654             :     int eq;
    1655         245 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1656           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1657             :     else
    1658         238 :       eq = gequal(y1,y2);
    1659         245 :     if (!eq) return NULL;
    1660             :   }
    1661        1792 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1662        1792 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1663        1757 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1664             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1665        1757 :   return gdiv(dy,dx);
    1666             : }
    1667             : static GEN
    1668        3283 : get_slope(GEN e, GEN x1, GEN x2, GEN y1, GEN y2)
    1669             : {
    1670             :   GEN dy,dx;
    1671        3283 :   if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
    1672        1799 :     return slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1673        1484 :   dx = gsub(x2,x1);
    1674        1484 :   if (typ(dx) == t_COMPLEX) /* its Norm may be 0 */
    1675             :   {
    1676           0 :     GEN N = gnorm(dx);
    1677           0 :     if (gequal0(N)) return slope_samex(e,x1,y1,y2);
    1678           0 :     dy = gsub(y2,y1);
    1679           0 :     return gdiv(gmul(dy,gconj(dx)),N); /* dy/dx */
    1680             :   }
    1681        1484 :   dy = gsub(y2,y1);
    1682        1484 :   return gdiv(dy,dx);
    1683             : }
    1684             : 
    1685             : GEN
    1686        3458 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1687             : {
    1688             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1689        3458 :   pari_sp av = avma;
    1690             : 
    1691        3458 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1692        3458 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1693        3283 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1694             : 
    1695        3283 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1696        3283 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1697        3283 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1698             :   {
    1699         462 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1700         462 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1701         462 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1702         462 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1703         462 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1704             :   }
    1705        3283 :   s = get_slope(e,x1,x2,y1,y2);
    1706        3283 :   if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
    1707        3241 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1708        3241 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1709        3241 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1710        3241 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1711        3241 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1712             : }
    1713             : 
    1714             : static GEN
    1715          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1716             : {
    1717             :   GEN t, x, y;
    1718          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1719          49 :   x = gel(z,1);
    1720          49 :   y = gel(z,2);
    1721          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1722             :   {
    1723           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1724           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1725           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1726             :   }
    1727          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1728          49 :   gel(t,1) = x;
    1729          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1730          49 :   return t;
    1731             : }
    1732             : 
    1733             : GEN
    1734         357 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1735             : {
    1736             :   pari_sp av;
    1737             :   GEN t, y;
    1738         357 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1739         357 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1740         357 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1741         357 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1742         357 :   av = avma;
    1743         357 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1744         357 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1745         357 :   return t;
    1746             : }
    1747             : 
    1748             : GEN
    1749          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1750             : {
    1751          49 :   pari_sp av = avma;
    1752          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1753          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1754             : }
    1755             : 
    1756             : /* E an ell, x a scalar */
    1757             : static GEN
    1758        1729 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1759             : {
    1760        1729 :   pari_sp av = avma;
    1761        1729 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1762             : 
    1763        1729 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1764             :   {
    1765         343 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1766         343 :     x = nftoalg(nf,x);
    1767             :   }
    1768        1729 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1769        1729 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1770        1729 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1771             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1772        1729 :   if (gequal0(D)) {
    1773         441 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1774           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1775         441 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1776         441 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1777         441 :     return gerepileupto(av,y);
    1778             :   }
    1779             :   /* D != 0 */
    1780        1288 :   switch(ell_get_type(E))
    1781             :   {
    1782             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1783          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1784          28 :       D = gel(D,2);
    1785          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1786           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1787           7 :       break;
    1788             :     case t_ELL_Fq:
    1789         210 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1790             :       {
    1791          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1792          77 :         if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1793          42 :         return gerepileupto(av, F);
    1794             :       }
    1795         133 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1796          63 :       break;
    1797             :     case t_ELL_Q:
    1798         686 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1799         679 :       if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1800         441 :       break;
    1801             : 
    1802             :     case t_ELL_NF:
    1803             :     {
    1804         343 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1805         343 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1806         343 :       d = nfroots(nf, T);
    1807         343 :       delete_var();
    1808         343 :       if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    1809         329 :       d = gel(d,1);
    1810         329 :       break;
    1811             :     }
    1812             : 
    1813             :     case t_ELL_Qp:
    1814          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1815          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1816          14 :       if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1817          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1818          14 :       break;
    1819             : 
    1820             :     default:
    1821           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1822             :   }
    1823         868 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1824         868 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1825         868 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1826         868 :   return gerepileupto(av,y);
    1827             : }
    1828             : 
    1829             : GEN
    1830        1729 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1831             : {
    1832        1729 :   checkell(e);
    1833        1729 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1834             :   {
    1835             :     long i, lx;
    1836           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1837           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1838           0 :     return v;
    1839             :   }
    1840        1729 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1841             : }
    1842             : 
    1843             : GEN
    1844      244048 : ellrandom(GEN E)
    1845             : {
    1846             :   GEN fg;
    1847      244048 :   checkell_Fq(E);
    1848      244048 :   fg = ellff_get_field(E);
    1849      244048 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1850      244020 :     return FF_ellrandom(E);
    1851             :   else
    1852             :   {
    1853          28 :     pari_sp av = avma;
    1854          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1855          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1856          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1857          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1858             :   }
    1859             : }
    1860             : 
    1861             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    1862             : static GEN
    1863          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    1864             : {
    1865          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1866             :   long ln, vn;
    1867             : 
    1868          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    1869           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1870          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    1871          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1872          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1873          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1874          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    1875          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1876          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1877             :   do
    1878             :   {
    1879          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1880             :     do
    1881             :     {
    1882          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1883          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    1884          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1885             :     }
    1886          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    1887          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1888          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1889          21 :     if (!signe(z2)) break;
    1890           7 :     z2 = ginv(z2);
    1891             :   }
    1892           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    1893          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1894           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1895          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1896          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    1897          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    1898          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1899          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1900             : 
    1901          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1902          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1903          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1904          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1905             : 
    1906          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    1907          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1908          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1909          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    1910          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1911             : }
    1912             : 
    1913             : static GEN
    1914         616 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1915             : static GEN
    1916         175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1917             : 
    1918             : static GEN
    1919      228093 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1920             : {
    1921      228093 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1922      228094 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1923      227640 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1924             :   else
    1925             :   {
    1926         454 :     pari_sp av = avma;
    1927         454 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1928         454 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1929         454 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1930         407 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1931         407 :     return gerepileupto(av, Q);
    1932             :   }
    1933             : }
    1934             : /* [n] z, n integral */
    1935             : static GEN
    1936      228601 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1937             : {
    1938             :   long s;
    1939      228601 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1940      228605 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    1941         511 :   s = signe(n);
    1942         511 :   if (!s) return ellinf();
    1943         497 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    1944         497 :   if (is_pm1(n)) return z;
    1945         378 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    1946             : }
    1947             : 
    1948             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    1949             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    1950             : static long
    1951          42 : myroundr(GEN *px)
    1952             : {
    1953          42 :   GEN x = *px;
    1954             :   long e;
    1955          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    1956          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    1957          42 :   if (e >= -5) return NO;
    1958          42 :   return OK;
    1959             : }
    1960             : 
    1961             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    1962             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    1963             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    1964             : static GEN
    1965          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    1966             : {
    1967             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    1968             :   long prec;
    1969             : 
    1970          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    1971          14 :   switch(typ(Q))
    1972             :   {
    1973             :     case t_COMPLEX:
    1974           0 :       D = utoineg(4);
    1975           0 :       v = gel(Q,2);
    1976           0 :       break;
    1977             :     case t_QUAD:
    1978          14 :       D = quad_disc(Q);
    1979          14 :       v = gel(Q,3);
    1980          14 :       break;
    1981             :     default:
    1982           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    1983             :   }
    1984             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    1985          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    1986          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    1987          14 :   prec = precision(tau);
    1988             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    1989             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    1990             :    * Compute f*k */
    1991          14 :   x = gel(tau,1);
    1992          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    1993          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    1994          14 :   switch(myroundr(&fk))
    1995             :   {
    1996           0 :     case NO: return NULL;
    1997           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1998             :   }
    1999          14 :   fk = absi(fk);
    2000             : 
    2001          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2002          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2003             :   {
    2004           0 :     case NO: return NULL;
    2005           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2006             :   }
    2007             : 
    2008          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2009          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2010             :   {
    2011           0 :     case NO: return NULL;
    2012           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2013             :   }
    2014             : 
    2015             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2016          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2017          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2018          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2019          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2020             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2021          14 :   v = dvmdii(absi(v), q, &r);
    2022          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2023          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2024             : }
    2025             : 
    2026             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2027             : static GEN
    2028          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2029             : {
    2030             :   GEN A, B, q;
    2031          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2032          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2033          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2034          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2035             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2036          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2037             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2038             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2039           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2040           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2041           7 :     u = shifti(u, -1);
    2042           7 :     if (signe(u))
    2043             :     {
    2044           0 :       w = gsub(w, u);
    2045           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2046             :     }
    2047             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2048             :   }
    2049          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2050          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2051          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2052          14 :   return elladd(e, A, B);
    2053             : }
    2054             : GEN
    2055      228660 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2056             : {
    2057      228660 :   pari_sp av = avma;
    2058             : 
    2059      228660 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2060      228654 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2061      228595 :   switch(typ(n))
    2062             :   {
    2063      228581 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2064             :     case t_QUAD: {
    2065          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2066          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2067          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2068             :     }
    2069             :     case t_COMPLEX: {
    2070           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2071           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2072             :     }
    2073             :   }
    2074           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2075           0 :   return NULL; /* not reached */
    2076             : }
    2077             : 
    2078             : /********************************************************************/
    2079             : /**                                                                **/
    2080             : /**                       Periods                                  **/
    2081             : /**                                                                **/
    2082             : /********************************************************************/
    2083             : 
    2084             : /* References:
    2085             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2086             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2087             : */
    2088             : 
    2089             : static GEN
    2090         568 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2091             : {
    2092         568 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2093         568 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2094         568 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2095             : }
    2096             : 
    2097             : static GEN
    2098         120 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2099             : {
    2100         120 :   pari_sp av = avma;
    2101         120 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    2102         120 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2103         120 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2104         120 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2105             : }
    2106             : 
    2107             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2108             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2109             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2110             : static GEN
    2111         568 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2112             : {
    2113         568 :   pari_sp av = avma;
    2114             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2115         568 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2116         448 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    2117         448 :   d2 = gel(roots,5);
    2118         448 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2119         448 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2120         448 :   b = gel(z,2);
    2121         448 :   c = gabs(z, prec);
    2122         448 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2123         448 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2124             : }
    2125             : static GEN
    2126          28 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2127          28 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    2128             : 
    2129             : GEN
    2130        1596 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2131        1596 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2132             : GEN
    2133          42 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2134          42 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2135             : GEN
    2136        1646 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2137        1646 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2138             : 
    2139             : /********************************************************************/
    2140             : /**                                                                **/
    2141             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2142             : /**                                                                **/
    2143             : /********************************************************************/
    2144             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2145             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2146             : static GEN
    2147           0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2148             : {
    2149           0 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2150           0 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2151           0 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2152           0 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2153           0 :   GEN z = gel(om,2);
    2154           0 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2155           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2156             :   else
    2157           0 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2158           0 :   return gmul2n(z, -1);
    2159             : }
    2160             : 
    2161             : static GEN
    2162           7 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2163             : {
    2164           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2165           7 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2166           7 :   if (gequal0(y0))
    2167           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2168             :   else
    2169             :   {
    2170           7 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2171           7 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2172           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2173           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2174           7 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2175             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2176           7 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2177           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2178             :   }
    2179             : }
    2180             : 
    2181             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2182             : static GEN
    2183           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2184             : {
    2185           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2186           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2187             :   else
    2188             :   {
    2189           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2190           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2191           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2192           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2193           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2194           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2195           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2196           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2197             :   }
    2198             : }
    2199             : 
    2200             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2201             : static GEN
    2202           7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2203             : {
    2204           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2205           7 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2206           7 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2207           7 :   e1 = gel(R,1);
    2208           7 :   e2 = gel(R,2);
    2209           7 :   e3 = gel(R,3);
    2210           7 :   d2 = gel(R,5);
    2211           7 :   d3 = gel(R,6);
    2212           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2213           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2214           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2215           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2216           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2217           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2218             :   } else {
    2219           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2220           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2221           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2222           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2223             :   }
    2224             : }
    2225             : 
    2226             : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
    2227             :  * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
    2228             :  * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
    2229             : static GEN
    2230         224 : doellQp_root(GEN E, long prec)
    2231             : {
    2232         224 :   GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
    2233             :   GEN c6p, T, a;
    2234             :   long alpha;
    2235         224 :   int pis2 = absequaliu(p, 2);
    2236         224 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2237             :   /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
    2238         224 :   alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
    2239         224 :   if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
    2240             :   /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
    2241         224 :   if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
    2242         224 :   c6p = modii(c6,p);
    2243         224 :   if (pis2)
    2244             :   { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
    2245         140 :     T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, mulis(c4,-9), mulis(c6, -2));
    2246             :     /* v_2(root a) = 1, i.e. will lose one bit of accuracy: prec+1 */
    2247         140 :     a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec+1);
    2248         140 :     alpha -= 2;
    2249             :   }
    2250          84 :   else if (absequaliu(p, 3))
    2251             :   { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
    2252          56 :     a = Fp_neg(c6p, p);
    2253          56 :     T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, mulis(c4, -6), negi(c6));
    2254          56 :     a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
    2255          56 :     switch(lg(a)-1)
    2256             :     {
    2257             :       case 1: /* single root */
    2258          28 :         a = gel(a,1); break;
    2259             :       case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
    2260             :       {
    2261          28 :         GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
    2262          28 :         long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
    2263          28 :         long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
    2264          28 :         long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
    2265          28 :         if      (v1 == v2) a = a3;
    2266           0 :         else if (v1 == v3) a = a2;
    2267           0 :         else a = a1;
    2268             :       }
    2269          28 :       break;
    2270             :     }
    2271          56 :     alpha--;
    2272             :   }
    2273             :   else
    2274             :   { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
    2275             :      * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
    2276          28 :     GEN c4p = modii(c4,p);
    2277          28 :     a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
    2278          28 :     T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, mulis(c4, -18), negi(c6));
    2279          28 :     a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
    2280             :   }
    2281         224 :   a = cvtop(a, p, prec);
    2282         224 :   if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
    2283         224 :   return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
    2284             : }
    2285             : GEN
    2286         455 : ellQp_root(GEN E, long prec)
    2287         455 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
    2288             : 
    2289             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x+a-b) ~ E */
    2290             : static void
    2291         273 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
    2292             : {
    2293         273 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2294         273 :   GEN w, u, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1)), p = ellQp_get_p(E);
    2295         273 :   w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
    2296         273 :   u = gadd(t,w);
    2297             :   /* Decide between w and -w: we want v(a-b) > v(b) */
    2298         273 :   if (absequaliu(p,2))
    2299         203 :   { if (valp(u)-1 <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2300             :   else
    2301          70 :   { if (valp(u) <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2302             : 
    2303             :   /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
    2304         273 :   *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
    2305         273 :   *ptb = gmul2n(w,-1);
    2306         273 : }
    2307             : 
    2308             : static GEN
    2309          91 : doellQp_Tate(GEN E, long prec0)
    2310             : {
    2311          91 :   GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
    2312             :   GEN L, u, u2, q, x1, a, b, d, s, t, AB, A, M2;
    2313          91 :   long v, n, pp, prec = prec0+3;
    2314          91 :   int split = -1; /* unknown */
    2315          91 :   int pis2 = equaliu(p,2);
    2316             : 
    2317          91 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2318             : START:
    2319         273 :   doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
    2320         273 :   d = gsub(a,b);
    2321         273 :   v = prec0 - precp(d);
    2322         273 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2323         210 :   AB = Qp_agm2_sequence(a,b);
    2324         210 :   A = gel(AB,1);
    2325         210 :   n = lg(A)-1; /* AGM iterations */
    2326         210 :   pp = minss(precp(a),precp(b));
    2327         210 :   M2 = cvtop(gel(A,n), p, pis2? pp-2*n: pp);
    2328         210 :   setvalp(M2, valp(a));
    2329         210 :   u2 = ginv(gmul2n(M2, 2));
    2330         210 :   if (split < 0) split = issquare(u2);
    2331         210 :   x1 = gen_0;
    2332         210 :   Qp_descending_Landen(AB,&x1,NULL);
    2333             : 
    2334         210 :   t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
    2335         210 :   s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
    2336         210 :   q = gadd(t,s);
    2337         210 :   if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
    2338         210 :   v = prec0 - precp(q);
    2339         210 :   if (split)
    2340             :   { /* we want log q at precision prec0 */
    2341          63 :     GEN q0 = leafcopy(q); setvalp(q0, 0);
    2342          63 :     v +=  valp(gsubgs(q0,1));
    2343             :   }
    2344         210 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2345          91 :   if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
    2346          91 :   if (split)
    2347             :   {
    2348          35 :     u = Qp_sqrt(u2);
    2349          35 :     L = gdivgs(Qp_log(q), valp(q));
    2350             :   }
    2351             :   else
    2352             :   {
    2353          56 :     GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
    2354          56 :     u = mkpolmod(pol_x(0), T);
    2355          56 :     L = gen_1;
    2356             :   }
    2357          91 :   return mkvecn(6, u2, u, q, mkvec2(a, b), L, AB);
    2358             : }
    2359             : static long
    2360         581 : Tate_prec(GEN T) { return padicprec_relative(gel(T,3)); }
    2361             : GEN
    2362         665 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
    2363         665 : { return obj_checkbuild_prec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate, &Tate_prec,prec); }
    2364             : GEN
    2365         168 : ellQp_u(GEN E, long prec)
    2366         168 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
    2367             : GEN
    2368          56 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
    2369          56 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
    2370             : GEN
    2371         105 : ellQp_q(GEN E, long prec)
    2372         105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
    2373             : GEN
    2374         105 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
    2375         105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
    2376             : GEN
    2377           0 : ellQp_L(GEN E, long prec)
    2378           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,5); }
    2379             : GEN
    2380         147 : ellQp_AGM(GEN E, long prec)
    2381         147 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,6); }
    2382             : 
    2383             : static void
    2384           7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2385             : {
    2386           7 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2387           7 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2388           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2389           0 : }
    2390             : static GEN
    2391         161 : get_r0(GEN E, long prec)
    2392             : {
    2393         161 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2394         161 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2395             : }
    2396             : static GEN
    2397         112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2398             : {
    2399         112 :   pari_sp av = avma;
    2400             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2401             :   long vq, vt, Q, R;
    2402         112 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2403         105 :   ab = ellQp_ab(E, prec);
    2404         105 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2405         105 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2406         105 :   a = gel(ab,1);
    2407         105 :   b = gel(ab,2);
    2408         105 :   x = gel(P,1);
    2409         105 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2410         105 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2411         105 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2412          98 :   r = gsub(a,b);
    2413          98 :   ar = gmul(a, r);
    2414          98 :   if (gequal0(c0))
    2415             :   {
    2416           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2417           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2418             :   }
    2419             :   else
    2420             :   {
    2421          91 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2422          91 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2423          91 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2424          84 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2425             :   }
    2426          91 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2427          91 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2428             : 
    2429          91 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2430          91 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2431             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2432          91 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2433          56 :     vt = valp(t);
    2434             :   else
    2435          35 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2436          91 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2437          91 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2438          91 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2439          91 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2440          91 :   return gerepileupto(av, t);
    2441             : }
    2442             : 
    2443             : static GEN
    2444          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2445             : {
    2446          56 :   pari_sp av = avma;
    2447             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2448             :   long v;
    2449          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2450             : 
    2451          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2452          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2453          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2454          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2455          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2456          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2457          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2458             : 
    2459          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2460          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2461          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2462          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2463          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2464             : }
    2465             : 
    2466             : /* t to w := -1/y */
    2467             : GEN
    2468         329 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
    2469             : {
    2470         329 :   pari_sp av = avma, av2;
    2471             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
    2472         329 :   GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
    2473         329 :   ulong mask, nold = 1;
    2474         329 :   if (v < 0) v = 0;
    2475         329 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
    2476         315 :   mask = quadratic_prec_mask(n);
    2477         315 :   t = pol_x(v);
    2478         315 :   checkell(e);
    2479         315 :   a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
    2480         315 :   a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
    2481         315 :   w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
    2482         315 :   gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
    2483             :   /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
    2484             :    *
    2485             :    *            w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
    2486             :    * w  <-  w - -----------------------------------------------------
    2487             :    *              w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
    2488             :    *
    2489             :    *              w^3 a6 + w^2 U + w V + W
    2490             :    *      =: w -  -----------------------
    2491             :    *                w^2 (3a6) + 2w U + V
    2492             :    */
    2493         315 :   U = gadd(gmul(a4,t), a3);
    2494         315 :   U2 = gmul2n(U,1);
    2495         315 :   V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
    2496         315 :   W = gpowgs(t,3);
    2497         315 :   av2 = avma;
    2498        1645 :   while (mask > 1)
    2499             :   { /* nold correct terms in w */
    2500        1015 :     ulong i, nnew = nold << 1;
    2501             :     GEN num, den, wnew, w2, w3;
    2502        1015 :     if (mask & 1) nnew--;
    2503        1015 :     mask >>= 1;
    2504        1015 :     wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
    2505        1015 :     wnew[1] = w[1];
    2506        1015 :     for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
    2507        1015 :     for (     ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
    2508        1015 :     w = wnew;
    2509        1015 :     w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
    2510        1015 :     num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
    2511        1015 :     den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
    2512             : 
    2513        1015 :     w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
    2514        1015 :     nold = nnew;
    2515             :   }
    2516         315 :   return gerepilecopy(av, w);
    2517             : }
    2518             : 
    2519             : static GEN
    2520         294 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
    2521         294 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
    2522             : 
    2523             : /* t to [x,y] */
    2524             : GEN
    2525          21 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
    2526             : {
    2527          21 :   pari_sp av = avma;
    2528          21 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w);
    2529          21 :   return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
    2530             : }
    2531             : 
    2532             : static GEN
    2533         273 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
    2534             : {
    2535             :   GEN x, w1;
    2536         273 :   if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
    2537             :   { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
    2538           0 :     x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
    2539           0 :     w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
    2540             :   }
    2541             :   else
    2542             :   {
    2543         273 :     GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
    2544         273 :     x = gel(P,1);
    2545         273 :     w1 = gdiv(derivser(x), ec_dmFdy_evalQ(e, P));
    2546             :   }
    2547         273 :   *px = x; return w1;
    2548             : }
    2549             : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
    2550             : GEN
    2551          21 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
    2552             : {
    2553          21 :   pari_sp av = avma;
    2554          21 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
    2555          21 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2556          21 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
    2557             : }
    2558             : 
    2559             : /* t to z, dz = w1 dt */
    2560             : GEN
    2561          49 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
    2562             : {
    2563          49 :   pari_sp av = avma;
    2564          49 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
    2565          49 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2566          49 :   return gerepileupto(av, integser(w1));
    2567             : }
    2568             : /* z to t */
    2569             : GEN
    2570          21 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
    2571             : {
    2572          21 :   pari_sp av = avma;
    2573          21 :   return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
    2574             : }
    2575             : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
    2576             :  * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
    2577             :  *   sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
    2578             :  * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
    2579             : static GEN
    2580         203 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
    2581             : {
    2582         203 :   pari_sp av = avma;
    2583         203 :   GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = ser_inv(w), t = pol_x(0);
    2584         203 :   GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2585         203 :   GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
    2586         203 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
    2587             :                                  integser(s)));
    2588             : }
    2589             : 
    2590             : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
    2591             : static int
    2592         252 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
    2593             : {
    2594         252 :   pari_sp av = avma;
    2595             :   GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
    2596         252 :   if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
    2597         245 :   P = Q_muli_to_int(P,d);
    2598         245 :   x = gel(P,1);
    2599         245 :   y = gel(P,2);
    2600         245 :   a1 = ell_get_a1(E);
    2601         245 :   a3 = ell_get_a3(E);
    2602         245 :   t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
    2603         245 :   if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
    2604          28 :   a2 = ell_get_a2(E);
    2605          28 :   a4 = ell_get_a4(E);
    2606          28 :   d = Fp_inv(d, p);
    2607          28 :   x = Fp_mul(x,d,p);
    2608          28 :   y = Fp_mul(y,d,p);
    2609          28 :   t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
    2610          28 :   avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
    2611             : }
    2612             : 
    2613             : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
    2614             :  * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
    2615             : GEN
    2616         217 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
    2617             : {
    2618         217 :   pari_sp av = avma;
    2619         217 :   GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
    2620             :   long i, l;
    2621         217 :   checkellpt(P);
    2622         217 :   if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
    2623         217 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2624         217 :   S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
    2625         217 :   NP = gmael(S,3,1);
    2626         217 :   L = gel(S,4);
    2627         217 :   l = lg(NP);
    2628         217 :   d = Q_denom(P);
    2629         462 :   for (i = 1; i < l; i++)
    2630             :   {
    2631         245 :     GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
    2632         245 :     if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
    2633          21 :     c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
    2634          21 :     kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
    2635          21 :     if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
    2636             :     {
    2637           7 :       long nu = itos(kod) - 4;
    2638           7 :       long n = minss(Q_pval(ec_dmFdy_evalQ(E,P), p), nu/2);
    2639           7 :       nu /= ugcd(nu, n);
    2640           7 :       g = muliu(g, nu);
    2641           7 :       P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
    2642           7 :       d = Q_denom(P);
    2643          14 :     } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
    2644             :     { /* either 2 or 4 */
    2645           7 :       long nu = - itos(kod) - 4;
    2646           7 :       P = elladd(E, P,P);
    2647           7 :       d = Q_denom(P);
    2648           7 :       g = shifti(g,1);
    2649           7 :       if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
    2650             :       { /* it's 4 */
    2651           7 :         P = elladd(E, P,P);
    2652           7 :         d = Q_denom(P);
    2653           7 :         g = shifti(g,1);
    2654             :       }
    2655             :     } else {
    2656           7 :       if (absequaliu(c, 4)) c = gen_2;
    2657           7 :       P = ellmul(E, P, c);
    2658           7 :       d = Q_denom(P);
    2659           7 :       g = mulii(g, c);
    2660             :     }
    2661             :   }
    2662         217 :   if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
    2663         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
    2664             : }
    2665             : 
    2666             : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
    2667             :  * notation (Duke 1991)*/
    2668             : static GEN
    2669        7434 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
    2670             : {
    2671             :   hashentry *h;
    2672             :   GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
    2673             :   ulong m4;
    2674        7434 :   if (abscmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
    2675             :   {
    2676         322 :     case 0: return gen_0;
    2677         882 :     case 1: return gen_1;
    2678        1064 :     case 2: return subiu(N,1);
    2679        1330 :     case 3: return b8;
    2680        1386 :     case 4: return g4;
    2681             :   }
    2682        2450 :   if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
    2683        1260 :   m4 = mod4(m);
    2684        1260 :   n = shifti(m, -1); f   = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
    2685        1260 :   np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
    2686        1260 :   np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
    2687        1260 :   nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
    2688        1260 :   nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
    2689        1260 :   if (odd(m4))
    2690             :   {
    2691         770 :     GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
    2692         770 :     GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
    2693         770 :     if (mpodd(n))
    2694         322 :       z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
    2695             :     else
    2696         448 :       z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
    2697             :   }
    2698             :   else
    2699             :   {
    2700         490 :     GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
    2701         490 :     GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
    2702         490 :     z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
    2703             :   }
    2704        1260 :   hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
    2705        1260 :   return z;
    2706             : }
    2707             : 
    2708             : static GEN
    2709        1134 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
    2710             : static GEN
    2711         756 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
    2712             : static GEN
    2713         378 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
    2714             : 
    2715             : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
    2716             :  * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
    2717             :  * [num,den] (coprime) */
    2718             : static GEN
    2719         378 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
    2720             : {
    2721         378 :   pari_sp av = avma;
    2722         378 :   ulong k = expi(m);
    2723         378 :   hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
    2724             :                                       (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
    2725         378 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
    2726         378 :   GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
    2727             :   GEN B4, B6, B8, T, g4;
    2728         378 :   GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
    2729         378 :   GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
    2730         378 :   GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
    2731         378 :   GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
    2732         378 :   GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
    2733         378 :   B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
    2734             :               mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
    2735         378 :   B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
    2736             :               shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
    2737             :               b6d3);
    2738         378 :   B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd,  mulii(b4,d2));
    2739             : 
    2740         378 :   B4 = modii(B4,N);
    2741         378 :   B6 = modii(B6,N);
    2742         378 :   B8 = modii(B8,N);
    2743             : 
    2744         378 :   g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
    2745         378 :   T = Fp_sqr(B6,N);
    2746             : 
    2747         378 :   g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
    2748         378 :   gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2749         378 :   gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2750         378 :   C = Fp_sqr(g, N);
    2751         378 :   D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
    2752             : 
    2753         378 :   if(mpodd(m))
    2754             :   {
    2755         168 :     n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
    2756         168 :     d = Fp_mul(C,d, N);
    2757             :   }
    2758             :   else
    2759             :   {
    2760         210 :     n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
    2761         210 :     d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
    2762             :   }
    2763         378 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
    2764             : }
    2765             : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
    2766             :  * return t = -x/y + O(p^v) */
    2767             : static GEN
    2768         203 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
    2769             : {
    2770         203 :   GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
    2771             :   GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
    2772         203 :   if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
    2773         203 :   a1 = ell_get_a1(e);
    2774         203 :   b2 = ell_get_b2(e);
    2775         203 :   a3 = ell_get_a3(e);
    2776         203 :   b4 = ell_get_b4(e);
    2777         203 :   b6 = ell_get_b6(e);
    2778         203 :   d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
    2779         203 :   if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2780             :   /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
    2781             :    * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
    2782         203 :   d4 = Fp_sqr(d2, N);
    2783         203 :   d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
    2784         203 :   B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
    2785         203 :   C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
    2786             :                 Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
    2787             :                 Fp_mul(b6,d6,N));
    2788         203 :   C = FpX_eval(C, n, N);
    2789         203 :   if (!signe(C))
    2790           0 :     Y = zeropadic(p, v >> 1);
    2791             :   else
    2792         203 :     Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
    2793         203 :   if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2794         203 :   *pd = d;
    2795         203 :   return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
    2796             : }
    2797             : 
    2798             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2799             : static long
    2800         203 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
    2801             : {
    2802         203 :   double log2p = dbllog2(p);
    2803         203 :   long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
    2804         203 :   if (absequaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
    2805             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2806         252 :   for (j = i-1; j >= 2; j--)
    2807             :   {
    2808         252 :     if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2809          49 :     i = j;
    2810             :   }
    2811         203 :   if (j == 1)
    2812             :   {
    2813           0 :     if (- absequaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
    2814             :   }
    2815         203 :   return i;
    2816             : }
    2817             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2818             : static long
    2819           7 : log_prec(GEN p, long v, long t)
    2820             : {
    2821           7 :   double log2p = dbllog2(p);
    2822           7 :   long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
    2823             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2824          28 :   for (j = i-1; j >= 1; j--)
    2825             :   {
    2826          28 :     if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2827          21 :     i = j;
    2828             :   }
    2829           7 :   return i;
    2830             : }
    2831             : 
    2832             : static GEN
    2833         210 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
    2834             : {
    2835         210 :   *ab = NULL;
    2836         210 :   switch(typ(p))
    2837             :   {
    2838         105 :     case t_INT: break;
    2839             :     case t_VEC:
    2840         105 :       if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2841         105 :       *ab = gel(p,2);
    2842         105 :       if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2843         105 :       p = gel(p,1);
    2844             :   }
    2845         210 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
    2846         210 :   return p;
    2847             : }
    2848             : 
    2849             : static GEN
    2850         301 : precp_fix(GEN h, long v)
    2851         301 : { return (precp(h) > v)? cvtop(h,gel(h,2),v): h; }
    2852             : 
    2853             : GEN
    2854         217 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
    2855             : {
    2856         217 :   pari_sp av = avma;
    2857             :   GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
    2858             :   long v, vd;
    2859             :   int is2;
    2860         217 :   checkellpt(P);
    2861         217 :   if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
    2862         210 :   checkell_Q(e);
    2863         210 :   p = parse_p(p, &ab);
    2864         210 :   if (ellorder_Q(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
    2865         203 :   E = ellanal_globalred(e, &ch);
    2866         203 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2867         203 :   S = ellnonsingularmultiple(E, P);
    2868         203 :   P = gel(S,1);
    2869         203 :   g = gel(S,2);
    2870         203 :   v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
    2871         203 :   is2 = absequaliu(p,2);
    2872         203 :   if (is2) v += 2;
    2873         203 :   x = gel(P,1);
    2874         203 :   n = numer(x);
    2875         203 :   d = denom(x);
    2876         203 :   x = mkvec2(n, d);
    2877         203 :   vd = Z_pval(d, p);
    2878         203 :   if (!vd)
    2879             :   { /* P not in kernel of reduction mod p */
    2880         189 :     GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
    2881         189 :     long w = v+2;
    2882         189 :     Pp = RgV_to_FpV(P, p);
    2883         189 :     if (Ep)
    2884         189 :       m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
    2885             :     else
    2886             :     {
    2887           0 :       m = ellcard(E, p); /* E has bad reduction at p */
    2888           0 :       if (equalii(m, p)) pari_err_TYPE("ellpadicheight: additive reduction", E);
    2889             :     }
    2890         189 :     g = mulii(g,m);
    2891             :     for(;;)
    2892             :     {
    2893         378 :       N = powiu(p, w);
    2894         378 :       X = xmP(E, x, m, N);
    2895         378 :       d = gel(X,2);
    2896         378 :       if (!signe(d))
    2897           0 :         w <<= 1;
    2898             :       else
    2899             :       {
    2900         378 :         vd = Z_pval(d, p);
    2901         378 :         if (w >= v+2*vd + is2) break;
    2902         189 :         w = v+2*vd + is2;
    2903             :       }
    2904         189 :     }
    2905         189 :     x = X;
    2906             :   }
    2907             :   /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
    2908             :    * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
    2909         203 :   v += 2*vd + is2;
    2910         203 :   N = powiu(p,v);
    2911         203 :   t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
    2912         203 :   S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
    2913         203 :   ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
    2914         203 :   lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
    2915             :   /* evaluate our formal power series at t */
    2916         203 :   H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
    2917         203 :   h = gsqr(poleval(lt, t));
    2918         203 :   g = sqri(g);
    2919         203 :   a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
    2920         203 :   b = gdiv(gneg(h), g);
    2921         203 :   if (E != e)
    2922             :   {
    2923          21 :     GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
    2924          21 :     a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
    2925          21 :     b = gmul(u,b);
    2926             :   }
    2927         203 :   H = mkvec2(a,b);
    2928         203 :   if (ab)
    2929             :   {
    2930         105 :     H = RgV_dotproduct(H, ab);
    2931         105 :     H = precp_fix(H,v0);
    2932             :   }
    2933             :   else
    2934             :   {
    2935          98 :     gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
    2936          98 :     gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
    2937             :   }
    2938         203 :   return gerepilecopy(av, H);
    2939             : }
    2940             : 
    2941             : GEN
    2942          14 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    2943             : {
    2944          14 :   pari_sp av = avma;
    2945             :   long vt;
    2946             :   GEN t, x, y, L;
    2947          14 :   checkellpt(P);
    2948          14 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
    2949          14 :   x = gel(P,1);
    2950          14 :   y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
    2951          14 :   vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
    2952          14 :   if (vt <= 0)
    2953           7 :     pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
    2954           7 :   L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
    2955           7 :   return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
    2956             : }
    2957             : 
    2958             : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
    2959             : GEN
    2960          21 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
    2961             : {
    2962          21 :   pari_sp av = avma;
    2963             :   GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
    2964             :   ulong pp;
    2965          21 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
    2966          21 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
    2967          21 :   pp = itou_or_0(p);
    2968          21 :   F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
    2969          21 :   a = gcoeff(F,1,1);
    2970          21 :   b = gcoeff(F,1,2);
    2971          21 :   d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
    2972          21 :   if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
    2973          21 :   if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
    2974           0 :     ap = ellap(E,p);
    2975             :   else
    2976             :   { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
    2977          21 :     GEN q = abscmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
    2978          21 :     ap = padic_to_Fp(ap, q);
    2979          21 :     ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
    2980             :   }
    2981          21 :   D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
    2982          21 :   if (absequaliu(p,2)) n++;
    2983          21 :   sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
    2984          21 :   l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
    2985          21 :   return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
    2986             : }
    2987             : 
    2988             : GEN
    2989         126 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
    2990             : {
    2991         126 :   pari_sp av = avma;
    2992             :   GEN t;
    2993             :   long s;
    2994             : 
    2995         126 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2996         126 :   switch(ell_get_type(e))
    2997             :   {
    2998             :     case t_ELL_Qp:
    2999         112 :       prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3000         112 :       return ellQp_P2t(e, z, prec);
    3001           7 :     case t_ELL_Q: break;
    3002           7 :     case t_ELL_Rg: break;
    3003           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
    3004             :   }
    3005          14 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    3006          14 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    3007          14 :   s = ellR_get_sign(e);
    3008          14 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    3009           7 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    3010             :   else
    3011           7 :     t = zellcx(e,z,prec);
    3012          14 :   return gerepileupto(av,t);
    3013             : }
    3014             : 
    3015             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    3016             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    3017             : typedef struct {
    3018             :   enum period_type type;
    3019             :   GEN in; /* original input */
    3020             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    3021             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    3022             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    3023             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    3024             :   GEN x,y; /* t_INT */
    3025             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    3026             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    3027             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    3028             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    3029             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    3030             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    3031             :   long prec; /* precision(Z) */
    3032             : } ellred_t;
    3033             : 
    3034             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    3035             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    3036             : static void
    3037       23373 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    3038             : {
    3039       23373 :   GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
    3040       23373 :   pari_sp av = avma;
    3041             : 
    3042       23373 :   a = d = gen_1;
    3043       23373 :   b = c = gen_0;
    3044             :   for(;;)
    3045             :   {
    3046       44093 :     GEN m, n = ground(real_i(t));
    3047       44093 :     if (signe(n))
    3048             :     { /* apply T^n */
    3049       26805 :       t = gsub(t,n);
    3050       26805 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    3051       26805 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    3052             :     }
    3053       44093 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    3054       20720 :     t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
    3055       20720 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    3056       20720 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    3057       20720 :     if (gc_needed(av, 1)) {
    3058           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "redtausl2");
    3059           0 :       gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
    3060             :     }
    3061       20720 :   }
    3062       23373 :   *pa = a;
    3063       23373 :   *pb = b;
    3064       23373 :   *pc = c;
    3065       23373 :   *pd = d;
    3066       23373 : }
    3067             : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    3068             :  * Set *pU to U. */
    3069             : GEN
    3070        8911 : redtausl2(GEN t, GEN *pU)
    3071             : {
    3072        8911 :   pari_sp av = avma;
    3073             :   GEN U, a,b,c,d;
    3074        8911 :   set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
    3075        8911 :   U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    3076        8911 :   t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b),
    3077             :            gadd(gmul(c,t), d));
    3078        8911 :   gerepileall(av, 2, &t, &U);
    3079        8911 :   *pU = U; return t;
    3080             : }
    3081             : 
    3082             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    3083             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    3084             : static void
    3085       14462 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    3086             : {
    3087             :   long s, p;
    3088       14462 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    3089       14462 :   if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    3090       14462 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    3091       14462 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    3092             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    3093       14462 :   T->swap = (s < 0);
    3094       14462 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    3095       14462 :   set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    3096             :   /* update lattice */
    3097       14462 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    3098       14462 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    3099       14462 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    3100       14462 :   if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    3101       14462 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    3102       14462 :   T->prec = p;
    3103       14462 : }
    3104             : /* is z real or pure imaginary ? */
    3105             : static void
    3106       15540 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    3107             : {
    3108       15540 :   if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
    3109       10150 :   else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
    3110       15540 : }
    3111             : static void
    3112        9884 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    3113             : {
    3114             :   long p;
    3115             :   GEN Z;
    3116        9884 :   T->abs_u_is_1 = 0;
    3117        9884 :   T->some_z_is_real = 0;
    3118        9884 :   T->some_z_is_pure_imag = 0;
    3119        9884 :   switch(typ(z))
    3120             :   {
    3121        9884 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    3122             :     case t_QUAD:
    3123           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    3124           0 :       break;
    3125           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    3126             :   }
    3127        9884 :   T->z = z;
    3128        9884 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    3129        9884 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    3130        9884 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    3131        9884 :   T->y = ground(real_i(Z));
    3132        9884 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    3133        9884 :   if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
    3134             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    3135        9884 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    3136        9884 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    3137             :   {
    3138        4823 :     int W2real = 0, W2imag = 0;
    3139        4823 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    3140        4823 :     if (W2real)
    3141         427 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    3142        4396 :     else if (W2imag)
    3143         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    3144             :   }
    3145        9884 :   p = precision(Z);
    3146        9884 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    3147          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    3148        9884 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    3149        9884 :   T->Z = Z;
    3150        9884 : }
    3151             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    3152             : static GEN
    3153        8862 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    3154             : {
    3155        8862 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    3156        8862 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    3157        8862 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    3158        8862 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    3159        3976 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    3160             : }
    3161             : /* e is either
    3162             :  * - [w1,w2]
    3163             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    3164             :  * - an ellinit structure */
    3165             : static void
    3166       14462 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    3167             : {
    3168             :   GEN w, e;
    3169       14462 :   T->q_is_real = 0;
    3170       14462 :   T->some_q_is_real = 0;
    3171       14462 :   switch(T->type)
    3172             :   {
    3173             :     case t_PER_ELL:
    3174             :     {
    3175        1022 :       long pr, p = prec;
    3176        1022 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    3177        1022 :       e = T->in;
    3178        1022 :       w = ellR_omega(e, p);
    3179        1022 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    3180        1022 :       break;
    3181             :     }
    3182             :     case t_PER_W:
    3183       13286 :       w = T->in; break;
    3184             :     default: /*t_PER_WETA*/
    3185         154 :       w = gel(T->in,1); break;
    3186             :   }
    3187       14462 :   T->w1 = gel(w,1);
    3188       14462 :   T->w2 = gel(w,2);
    3189       14462 :   red_modSL2(T, prec);
    3190       14462 :   if (z) reduce_z(z, T);
    3191       14462 : }
    3192             : static int
    3193       14469 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    3194             : {
    3195             :   GEN w1;
    3196       14469 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    3197       14469 :   T->in = e;
    3198       14469 :   switch(lg(e))
    3199             :   {
    3200             :     case 17:
    3201        1029 :       T->type = t_PER_ELL;
    3202        1029 :       break;
    3203             :     case 3:
    3204       13440 :       w1 = gel(e,1);
    3205       13440 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    3206       13286 :         T->type = t_PER_W;
    3207             :       else
    3208             :       {
    3209         154 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    3210         154 :         T->type = t_PER_WETA;
    3211             :       }
    3212       13440 :       break;
    3213           0 :     default: return 0;
    3214             :   }
    3215       14469 :   return 1;
    3216             : }
    3217             : static int
    3218       14427 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    3219             : {
    3220       14427 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    3221       14427 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    3222             : }
    3223             : 
    3224             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    3225             : static GEN
    3226        8904 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    3227             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    3228             : GEN
    3229       33432 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    3230             : 
    3231             : static GEN
    3232       13734 : check_real(GEN q)
    3233       13734 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
    3234             : 
    3235             : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
    3236             : static GEN
    3237       13489 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
    3238             : {
    3239             :   pari_sp av;
    3240             :   GEN p1, q, y, qn;
    3241       13489 :   long n = 1;
    3242             : 
    3243       13489 :   if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
    3244         245 :   q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
    3245         245 :   q = check_real(q);
    3246         245 :   y = gen_0;
    3247         245 :   av = avma; qn = gen_1;
    3248        2164 :   for(;; n++)
    3249             :   { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
    3250        2409 :     qn = gmul(q,qn);
    3251        2409 :     p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
    3252        2409 :     if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3253        2164 :     y = gadd(y, p1);
    3254        2164 :     if (gc_needed(av,2))
    3255             :     {
    3256           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
    3257           0 :       gerepileall(av, 2, &y,&qn);
    3258             :     }
    3259        2164 :   }
    3260         245 :   return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
    3261             : }
    3262             : 
    3263             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    3264             : static GEN
    3265       13489 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    3266             : {
    3267       13489 :   GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
    3268       13489 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    3269       13489 :   return check_real(y);
    3270             : }
    3271             : 
    3272             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    3273             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    3274             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    3275             : GEN
    3276        4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    3277             : {
    3278        4438 :   pari_sp av = avma;
    3279             :   GEN y;
    3280             :   ellred_t T;
    3281             : 
    3282        4438 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    3283        4438 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    3284        4438 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    3285        4438 :   y = _elleisnum(&T, k);
    3286        4438 :   if (k==2 && signe(T.c))
    3287        3955 :   {
    3288        3955 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    3289        3955 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    3290             :   }
    3291         483 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    3292         462 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    3293        4438 :   return gerepileupto(av,y);
    3294             : }
    3295             : 
    3296             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    3297             : static GEN
    3298        8869 : _elleta(ellred_t *T)
    3299             : {
    3300        8869 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
    3301        8869 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    3302        8869 :   y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
    3303        8869 :   retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
    3304             : }
    3305             : 
    3306             : /* compute eta1, eta2 */
    3307             : GEN
    3308          42 : elleta(GEN om, long prec)
    3309             : {
    3310          42 :   pari_sp av = avma;
    3311             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    3312             :   ellred_t T;
    3313             : 
    3314          42 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    3315          42 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    3316             : 
    3317          35 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    3318          35 :   prec = T.prec;
    3319          35 :   pi = mppi(prec);
    3320          35 :   E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
    3321          35 :   if (signe(T.c))
    3322             :   {
    3323           0 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    3324             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    3325           0 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    3326             :   }
    3327          35 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    3328          35 :   if (T.swap)
    3329             :   {
    3330           7 :     y1 = y2;
    3331           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    3332             :   }
    3333             :   else
    3334          28 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    3335          35 :   switch(typ(T.w1))
    3336             :   {
    3337             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    3338          28 :       y1 = real_i(y1);
    3339             :   }
    3340          35 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    3341             : }
    3342             : GEN
    3343          14 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    3344             : {
    3345          14 :   pari_sp av = avma;
    3346             :   ellred_t T;
    3347          14 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    3348          14 :   switch(flag)
    3349             :   {
    3350           7 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    3351           7 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    3352           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    3353           0 :              return NULL;/*not reached*/
    3354             :   }
    3355             : }
    3356             : 
    3357             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    3358             : static double
    3359        9842 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    3360             : 
    3361             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    3362             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    3363             : static GEN
    3364         980 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    3365             : {
    3366             :   long toadd;
    3367         980 :   pari_sp av = avma, av1;
    3368             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    3369             :   ellred_t T;
    3370             :   int simple_case;
    3371             : 
    3372         980 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    3373         980 :   if (!T.Z) return NULL;
    3374         959 :   prec = T.prec;
    3375             : 
    3376             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    3377         959 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3378         959 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3379         959 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3380         959 :   u1 = gsubsg(1,u);
    3381         959 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    3382         959 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    3383         959 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    3384         959 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    3385         959 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3386         959 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    3387         959 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    3388         959 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3389             : 
    3390         959 :   av1 = avma; qn = q;
    3391             :   for(;;)
    3392             :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    3393             :     /* analogous formula for yp */
    3394       12476 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    3395       12476 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    3396       12476 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    3397       12476 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    3398       12476 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    3399       12476 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    3400         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    3401             :     else
    3402             :     {
    3403       12088 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    3404       12088 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    3405       12088 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    3406       12088 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    3407             :     }
    3408       12476 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    3409       12476 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    3410       12476 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    3411             : 
    3412       12476 :     qn = gmul(q,qn);
    3413       12476 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3414       11517 :     if (gc_needed(av1,1))
    3415             :     {
    3416           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    3417           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    3418             :     }
    3419       11517 :   }
    3420         959 :   if (yp)
    3421             :   {
    3422         896 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
    3423         896 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    3424             :   }
    3425             : 
    3426         959 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    3427         959 :   u2 = gsqr(u1);
    3428         959 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    3429         959 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    3430         567 :     y = real_i(y);
    3431         959 :   if (yp)
    3432             :   {
    3433         896 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    3434         896 :     if (T.some_q_is_real)
    3435             :     {
    3436         896 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    3437         378 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    3438             :     }
    3439         896 :     y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
    3440             :   }
    3441         959 :   return gerepilecopy(av, y);
    3442             : }
    3443             : static GEN
    3444         196 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    3445             : {
    3446             :   long i, k, l;
    3447             :   pari_sp av;
    3448         196 :   GEN t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    3449             : 
    3450         196 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    3451         196 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    3452             : 
    3453         196 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    3454         196 :   switch(PRECDL)
    3455             :   {
    3456         196 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    3457             :     case 6:
    3458         196 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    3459             :     case 4:
    3460         196 :     case 3: P[2] = gen_0;
    3461             :     case 2:
    3462         196 :     case 1: P[0] = gen_1;
    3463         196 :     case 0: break;
    3464             :   }
    3465         196 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    3466         196 :   av = avma;
    3467         196 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    3468         665 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    3469             :   {
    3470         469 :     av = avma;
    3471         469 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    3472         469 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    3473         469 :     t = gmul2n(t, 1);
    3474         469 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    3475         469 :     if (k % 3 == 2)
    3476         168 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    3477             :     else /* same value, more efficient */
    3478         301 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    3479         469 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    3480             :   }
    3481         196 :   return res;
    3482             : }
    3483             : 
    3484             : static int
    3485         189 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    3486             : {
    3487         189 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    3488             :   {
    3489             :     case 17:
    3490          98 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    3491          98 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    3492          98 :       return 1;
    3493             :     case 3:
    3494             :     {
    3495             :       ellred_t T;
    3496          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    3497          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    3498          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    3499          91 :       return 1;
    3500             :     }
    3501             :   }
    3502           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    3503           0 :   return 0;
    3504             : }
    3505             : 
    3506             : GEN
    3507          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    3508             : {
    3509             :   GEN c4, c6;
    3510          14 :   checkell(e);
    3511          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3512          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    3513             : }
    3514             : 
    3515             : GEN
    3516           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    3517           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    3518             : 
    3519             : GEN
    3520         140 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    3521             : {
    3522         140 :   pari_sp av = avma;
    3523             :   GEN y;
    3524             : 
    3525         140 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    3526         140 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3527         140 :   y = toser_i(z);
    3528         140 :   if (y)
    3529             :   {
    3530          70 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3531             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3532          70 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    3533          70 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    3534          70 :     if (gequal0(y)) {
    3535           0 :       avma = av;
    3536           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    3537           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    3538             :     }
    3539          70 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3540          70 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3541          70 :     if (!flag)
    3542          70 :       return gerepileupto(av, Q);
    3543             :     else
    3544             :     {
    3545           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    3546           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    3547             :     }
    3548             :   }
    3549          70 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    3550          70 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    3551          63 :   return gerepileupto(av, y);
    3552             : }
    3553             : 
    3554             : GEN
    3555         119 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3556             : {
    3557             :   long prec;
    3558         119 :   pari_sp av = avma;
    3559         119 :   GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
    3560             :   ellred_t T;
    3561             :   int simple_case;
    3562             : 
    3563         119 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3564         119 :   y = toser_i(z);
    3565         119 :   if (y)
    3566             :   {
    3567          56 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3568             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3569          56 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3570          56 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3571          56 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3572          56 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3573          56 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3574          56 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3575          56 :     return gerepileupto(av, Q);
    3576             :   }
    3577          63 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3578          63 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3579          63 :   prec = T.prec;
    3580          63 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3581             : 
    3582          63 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3583          63 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3584          63 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3585          63 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3586             : 
    3587          63 :   y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3588          63 :   v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3589          63 :   if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3590          63 :   y = gadd(y, v);
    3591             : 
    3592          63 :   if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
    3593             :   {
    3594          49 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3595          49 :     pari_sp av1 = avma;
    3596             :     GEN qn;
    3597          49 :     for (qn = q;;)
    3598             :     { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
    3599         483 :       GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
    3600         483 :       y = gadd(y, gmul(qn,p1));
    3601         483 :       qn = gmul(q,qn);
    3602         483 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3603         434 :       if (gc_needed(av1,1))
    3604             :       {
    3605           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3606           0 :         gerepileall(av1,2, &y,&qn);
    3607             :       }
    3608         434 :     }
    3609             :   }
    3610          63 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3611          63 :   if (et) y = gadd(y,et);
    3612          63 :   if (T.some_q_is_real)
    3613             :   {
    3614          63 :     if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3615          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3616             :   }
    3617          63 :   return gerepilecopy(av, y);
    3618             : }
    3619             : 
    3620             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3621             : GEN
    3622        8904 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3623             : {
    3624             :   long toadd, prec, n;
    3625        8904 :   pari_sp av = avma, av1;
    3626             :   GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3627             :   GEN u, uhalf, urn, urninv;
    3628             :   ellred_t T;
    3629             : 
    3630        8904 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3631             : 
    3632        8904 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3633        8904 :   y = toser_i(z);
    3634        8904 :   if (y)
    3635             :   {
    3636          63 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3637             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3638          63 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3639          63 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3640          63 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3641          56 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3642          56 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3643          56 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3644             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3645          56 :     P = integser(gsub(P, pol_xnall(-1,vy)));
    3646          56 :     P = gexp(P, prec0);
    3647          56 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3648          56 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3649          56 :     return gerepileupto(av, Q);
    3650             :   }
    3651        8841 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3652        8841 :   if (!T.Z)
    3653             :   {
    3654           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3655           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3656             :   }
    3657        8834 :   prec = T.prec;
    3658        8834 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3659        8834 :   pi  = mppi(prec);
    3660             : 
    3661        8834 :   toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3662        8834 :   uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3663        8834 :   u = gsqr(uhalf);
    3664        8834 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    3665        8834 :   q = gpowgs(q8,8);
    3666        8834 :   u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
    3667        8834 :   y = gen_0;
    3668        8834 :   av1 = avma;
    3669        8834 :   qn = q; qn2 = gen_1;
    3670        8834 :   urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
    3671       57960 :   for(n=0;;n++)
    3672             :   {
    3673       57960 :     y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
    3674       57960 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3675       57960 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3676       49126 :     qn  = gmul(q,qn);
    3677       49126 :     urn = gmul(urn,u);
    3678       49126 :     urninv = gmul(urninv,uinv);
    3679       49126 :     if (gc_needed(av1,1))
    3680             :     {
    3681           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3682           0 :       gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3683             :     }
    3684       49126 :   }
    3685        8834 :   y = gmul(gmul(y,q8),
    3686             :            gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3687             : 
    3688        8834 :   et = _elleta(&T);
    3689        8834 :   etnew = eta_correction(&T, et);
    3690        8834 :   zinit = gmul(T.Z,T.W2);
    3691        8834 :   etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
    3692             :                            gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
    3693        8834 :   if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
    3694        8834 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
    3695        8834 :   if (flag)
    3696             :   {
    3697        8771 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3698        8771 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
    3699             :     { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
    3700          21 :       if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
    3701             :     }
    3702             :   }
    3703             :   else
    3704             :   {
    3705          63 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3706          63 :     if (T.some_q_is_real)
    3707             :     {
    3708          63 :       if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3709          42 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3710             :     }
    3711             :   }
    3712        8834 :   return gerepilecopy(av, y);
    3713             : }
    3714             : 
    3715             : GEN
    3716         966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3717             : {
    3718         966 :   pari_sp av = avma;
    3719             :   GEN v;
    3720             : 
    3721         966 :   checkell(e);
    3722         966 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3723             :   {
    3724          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3725          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3726             :   }
    3727         910 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3728         910 :   if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
    3729         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3730         896 :   gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
    3731         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3732             : }
    3733             : 
    3734             : /********************************************************************/
    3735             : /**                                                                **/
    3736             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3737             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3738             : /**                                                                **/
    3739             : /********************************************************************/
    3740             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3741             : typedef struct {
    3742             :   long a1; /*{0,1}*/
    3743             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3744             :   long a3; /*{0,1}*/
    3745             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3746             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3747             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3748             : } ellmin_t;
    3749             : 
    3750             : /* u from [u,r,s,t] */
    3751             : static void
    3752     1170568 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3753             : {
    3754     1170568 :   M->u = u;
    3755     1170568 :   if (is_pm1(u))
    3756     1107645 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3757             :   else
    3758             :   {
    3759       62923 :     M->u2 = sqri(u);
    3760       62923 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3761       62923 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3762       62923 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3763             :   }
    3764     1170568 : }
    3765             : /* E = original curve */
    3766             : static void
    3767     1170568 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3768             : {
    3769     1170568 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3770     1170568 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3771       62923 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3772       62923 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3773             :   }
    3774     1170568 :   M->c4 = c4;
    3775     1170568 :   M->c6 = c6;
    3776     1170568 : }
    3777             : static void
    3778     1170260 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3779             : {
    3780     1170260 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3781     1170260 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3782     1170260 :   M->D = D;
    3783     1170260 : }
    3784             : static void
    3785     1170421 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3786             : {
    3787             :   long b22, b2;
    3788     1170421 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3789     1170421 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3790     1170421 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3791     1170421 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3792     1170421 : }
    3793             : static void
    3794     1170281 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3795             : {
    3796     1170281 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3797     1170281 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3798     1170281 :   if (odd(b2))
    3799             :   {
    3800      600313 :     a1 = 1;
    3801      600313 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3802             :   }
    3803             :   else
    3804             :   {
    3805      569968 :     a1 = 0;
    3806      569968 :     a2 = b2 >> 2;
    3807             :   }
    3808     1170281 :   M->a1 = a1;
    3809     1170281 :   M->a2 = a2;
    3810     1170281 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3811     1170281 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3812     1170281 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3813     1170281 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3814     1170281 : }
    3815             : static void
    3816     1170253 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3817             : {
    3818     1170253 :   min_set_u(M, u);
    3819     1170253 :   min_set_c(M, E);
    3820     1170253 :   min_set_D(M, E);
    3821     1170253 :   min_set_b(M);
    3822     1170253 :   min_set_a(M);
    3823     1170253 : }
    3824             : static GEN
    3825     1157170 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3826             : {
    3827     1157170 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3828             :   long a11, a13;
    3829     1157170 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3830     1157170 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3831     1157170 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3832     1157170 :   gel(y,4) = M->a4;
    3833     1157170 :   gel(y,5) = M->a6;
    3834     1157170 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3835     1157170 :   gel(y,7) = M->b4;
    3836     1157170 :   gel(y,8) = M->b6;
    3837     1157170 :   a11 = M->a1;
    3838     1157170 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3839     1157170 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3840             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3841     1157170 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3842     1157170 :   gel(y,10)= M->c4;
    3843     1157170 :   gel(y,11)= M->c6;
    3844     1157170 :   gel(y,12)= M->D;
    3845     1157170 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3846     1157170 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3847     1157170 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3848     1157170 :   return y;
    3849             : }
    3850             : static GEN
    3851     1170253 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3852             : {
    3853             :   GEN r, s, t;
    3854     1170253 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3855     1170253 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3856     1170253 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3857     1170253 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3858             : }
    3859             : 
    3860             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3861             : static long
    3862     1682380 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3863             : {
    3864     1682380 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3865     1682380 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3866     1682380 :   if (!signe(c6))
    3867             :   {
    3868        2856 :     d = vD / 12;
    3869        2856 :     if (d)
    3870             :     {
    3871        1071 :       if (p == 2)
    3872             :       {
    3873         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3874         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3875         819 :         if (a) d--;
    3876             :       }
    3877        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3878             :     }
    3879        2856 :     v6 = 12; /* +oo */
    3880             :   }
    3881             :   else
    3882             :   {
    3883     1679524 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3884     1679524 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3885     1679524 :     if (d) {
    3886      181146 :       if (p == 2) {
    3887      109732 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3888      109732 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3889      109732 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3890      109732 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3891       71414 :       } else if (p == 3) {
    3892       45192 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3893             :       }
    3894      181146 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3895             :     }
    3896             :   }
    3897     1682380 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3898             : }
    3899             : static long
    3900      878395 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3901             : {
    3902             :   GEN c6;
    3903             :   long d, v6, vD;
    3904      878395 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3905           7 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3906           7 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3907           7 :   if (!signe(c6))
    3908             :   {
    3909           0 :     d = vD / 12;
    3910           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3911           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3912             :   }
    3913             :   else
    3914             :   {
    3915           7 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3916           7 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3917           7 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3918             :   }
    3919           7 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3920             : }
    3921             : 
    3922             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3923             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3924             :   in the form [f, kod, v, c].
    3925             : 
    3926             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3927             : 
    3928             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3929             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3930             :     I0  -->  1
    3931             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3932             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3933             : 
    3934             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3935             : 
    3936             :   * c is the Tamagawa number.
    3937             : 
    3938             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3939             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3940             : static GEN
    3941     1728132 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3942             : {
    3943     1728132 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3944     1728132 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3945     1728132 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3946     1728132 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3947     1728132 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3948             : }
    3949             : static GEN
    3950           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3951             : {
    3952           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3953           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3954           0 :   return NULL; /* not reached */
    3955             : }
    3956             : 
    3957             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3958             : static long
    3959      879193 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3960             : 
    3961             : #if 0
    3962             : /* Here p > 3. e assumed integral, return v_p(N). Simplified version of
    3963             :  * localred_p */
    3964             : static long
    3965             : localred_p_get_f(GEN e, GEN p)
    3966             : {
    3967             :   long nuj, nuD;
    3968             :   GEN D = ell_get_disc(e);
    3969             :   nuj = j_pval(e, p);
    3970             :   nuD = Z_pval(D, p);
    3971             :   if (nuj == 0) return (nuD % 12)? 2 : 0;
    3972             :   return (nuD - nuj) % 12 ? 2: 1;
    3973             : }
    3974             : #endif
    3975             : /* p > 3, e integral */
    3976             : static GEN
    3977      878395 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3978             : {
    3979             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3980      878395 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3981             : 
    3982      878395 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3983      878395 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3984      878395 :   nuj = j_pval(e, p);
    3985      878395 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3986      878395 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3987      878395 :   if (!k) v = init_ch();
    3988             :   else
    3989             :   { /* model not minimal */
    3990             :     ellmin_t M;
    3991       13090 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3992       13090 :     v = min_get_v(&M, e);
    3993       13090 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3994             :   }
    3995             : 
    3996      878395 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3997             :   {
    3998      760718 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3999      760718 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    4000             :       {
    4001      392161 :         case  1: c = nuD; break;
    4002      368557 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    4003           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    4004             :       }
    4005      760718 :       break;
    4006             :     case 6:
    4007             :     {
    4008       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    4009       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    4010       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    4011       45703 :       break;
    4012             :     }
    4013           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    4014             :   }
    4015       71974 :   else switch(nuD)
    4016             :   {
    4017          14 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    4018       11662 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    4019       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    4020        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    4021        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    4022        5635 :       break;
    4023       16898 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    4024       16898 :       p2 = sqri(p);
    4025             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    4026       16898 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    4027             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    4028             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    4029       16898 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    4030       16898 :       break;
    4031       11613 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    4032       11613 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    4033       11613 :       break;
    4034       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    4035        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    4036           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    4037             :   }
    4038      878395 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    4039             : }
    4040             : 
    4041             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    4042             : static ulong
    4043      888636 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    4044      888636 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    4045             : 
    4046             : static ulong
    4047     1421994 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    4048             : {
    4049     1421994 :   pari_sp av = avma;
    4050     1421994 :   ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
    4051     1421994 :   avma = av; return res;
    4052             : }
    4053             : 
    4054             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    4055             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    4056             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    4057             : static long
    4058      244286 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    4059             : {
    4060      244286 :   if (p == 2)
    4061             :   {
    4062      141099 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    4063      122367 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    4064             :   }
    4065             :   /* p = 3 */
    4066      103187 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    4067       69062 :   *mult = a * b;
    4068       69062 :   if (b == 2)
    4069       22995 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    4070             :   else
    4071       46067 :     return c ? 3 : 2;
    4072             : }
    4073             : 
    4074             : /* same for aX^2 +bX + c */
    4075             : static long
    4076      788886 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    4077             : {
    4078      788886 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    4079             :   /* p = 3 */
    4080      301077 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    4081             : }
    4082             : 
    4083             : /* p = 2 or 3 */
    4084             : static GEN
    4085      702625 : localred_23(GEN e, long p)
    4086             : {
    4087             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    4088             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    4089             :   GEN v;
    4090             : 
    4091      702625 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    4092      702625 :   if (!k) v = init_ch();
    4093             :   {
    4094             :     ellmin_t M;
    4095      702625 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    4096      702625 :     v = min_get_v(&M, e);
    4097      702625 :     e = min_to_ell(&M, e);
    4098             :   }
    4099             :   /* model is minimal */
    4100      702625 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    4101      702625 :   v = init_ch();
    4102      702625 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    4103      321615 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    4104             : 
    4105      702625 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    4106      702506 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    4107             :   {
    4108      385896 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    4109      195937 :       c = nuD;
    4110             :     else
    4111      189959 :       c = 2 - (nuD & 1);
    4112      385896 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    4113             :   }
    4114      316610 :   if (p == 2)
    4115             :   {
    4116      185759 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    4117      185759 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    4118      185759 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    4119      185759 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    4120             :   }
    4121             :   else /* p == 3 */
    4122             :   {
    4123      130851 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    4124      130851 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    4125      130851 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    4126      130851 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    4127             :   }
    4128             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    4129      316610 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    4130      316610 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    4131       22281 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    4132      294329 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    4133       27580 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    4134      266749 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    4135             :   {
    4136       22463 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    4137       11508 :       c = 3;
    4138             :     else
    4139       10955 :       c = 1;
    4140       22463 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    4141             :   }
    4142             : 
    4143      244286 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    4144       91021 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    4145             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    4146      244286 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    4147      244286 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    4148      244286 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    4149      244286 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    4150             :   {
    4151             :     case 3:
    4152       36050 :       c = a63 ? 1: 2;
    4153       36050 :       if (p == 2)
    4154       18732 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    4155             :       else {
    4156       17318 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    4157       17318 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    4158             :       }
    4159       36050 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    4160             :     case 2:
    4161             :     { /* compute nu */
    4162             :       GEN pk, pk1, p2k;
    4163             :       long al, be, ga;
    4164      130347 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    4165             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    4166      130347 :       nu = 1;
    4167      130347 :       pk  = utoipos(p2);
    4168      130347 :       p2k = utoipos(p4);
    4169             :       for(;;)
    4170             :       {
    4171      387716 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    4172      387716 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    4173      387716 :         al = 1;
    4174      387716 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    4175      323281 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    4176      323281 :         pk1 = pk;
    4177      323281 :         pk  = mului(p, pk);
    4178      323281 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    4179             : 
    4180      323281 :         al = a21;
    4181      323281 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    4182      323281 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    4183      323281 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    4184      257369 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    4185      257369 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    4186      257369 :       }
    4187      130347 :       if (p == 2)
    4188       72261 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    4189             :       else
    4190       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    4191      130347 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    4192             :     }
    4193             :     case 1:
    4194       77889 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    4195             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    4196       77889 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    4197       77889 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    4198       77889 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    4199             :       {
    4200       29743 :         if (p == 2)
    4201       20286 :           c = 3 - 2 * a64;
    4202             :         else
    4203        9457 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    4204       29743 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    4205             :       }
    4206       48146 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    4207             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    4208       48146 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    4209       28959 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    4210             : 
    4211             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    4212       19187 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    4213             :   }
    4214           0 :   return NULL; /* not reached */
    4215             : }
    4216             : 
    4217             : static GEN
    4218     1580775 : localred(GEN e, GEN p)
    4219             : {
    4220     1580775 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    4221      878395 :     return localred_p(e,p);
    4222             :   else
    4223             :   {
    4224      702380 :     long l = itos(p);
    4225      702380 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    4226      702380 :     return localred_23(e, l);
    4227             :   }
    4228             : }
    4229             : 
    4230             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    4231             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    4232             : static GEN
    4233       26278 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    4234             : {
    4235       26278 :   GEN b = z;
    4236             :   long i;
    4237       26278 :   if (typ(b) == t_INT)
    4238             :   {
    4239       26201 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    4240       26201 :     return shifti(negi(b),-1);
    4241             :   }
    4242         231 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4243             :   {
    4244         154 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4245             :   }
    4246          77 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    4247             : }
    4248             : 
    4249             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    4250             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    4251             : static GEN
    4252       13139 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    4253             : {
    4254       13139 :   GEN b = z;
    4255             :   long i;
    4256       13139 :   if (typ(b) == t_INT)
    4257             :   {
    4258       13090 :     long s = smodis(b,3);
    4259       13090 :     if (s)
    4260             :     {
    4261           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    4262           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    4263           0 :         b = subii(b, Jz);
    4264             :       else
    4265           0 :         b = addii(b, Jz);
    4266             :     }
    4267       13090 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    4268             :   }
    4269         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4270             :   {
    4271          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    4272          98 :     if (!s) continue;
    4273          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    4274          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    4275             :     else
    4276          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4277             :   }
    4278          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    4279             : }
    4280             : 
    4281             : /* return a such that v_P(a) = -1, v_Q(a) >= 0, Q!=P, Q|p */
    4282             : static GEN
    4283       62741 : get_piinv(GEN P)
    4284             : {
    4285       62741 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    4286       62741 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    4287       62741 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    4288             : }
    4289             : 
    4290             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    4291             : static GEN
    4292      238973 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    4293             : {
    4294      238973 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4295      238973 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4296      238973 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    4297             : }
    4298             : 
    4299             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    4300             : static GEN
    4301      387233 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    4302             : {
    4303      387233 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    4304      387233 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4305      387233 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    4306             : }
    4307             : 
    4308             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    4309             : 
    4310             : static GEN
    4311      214039 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    4312             : {
    4313      214039 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    4314      214039 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    4315      214039 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4316      214039 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    4317             : }
    4318             : 
    4319             : static GEN
    4320      578165 : pol2sqrt_23(GEN nf, GEN modP, GEN Q)
    4321             : {
    4322      578165 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4323      578165 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    4324      578165 :   if (!gequal1(gel(Q,4)))
    4325        4018 :     r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    4326      578165 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    4327      578165 :   return nftoalg(nf, Fq_to_nf(r, modP));
    4328             : }
    4329             : 
    4330             : static GEN
    4331       15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    4332             : {
    4333       15498 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4334       15498 :   GEN pi3 = gsqr(pi);
    4335       15498 :   GEN pv3 = gsqr(pv), pv4 = gmul(pv,pv3), pv6 = gsqr(pv3);
    4336       15498 :   long n = 1;
    4337             :   while(1)
    4338             :   {
    4339       40166 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    4340             :     GEN gama;
    4341       40166 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4342             :     {
    4343        8064 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4344        8064 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4345             :     }
    4346       32102 :     gama = pol2sqrt_23(nf,modP, Q);
    4347       32102 :     E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(gama,pi3));
    4348       32102 :     pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
    4349       32102 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    4350       32102 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4351             :     {
    4352        7434 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4353        7434 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4354             :     }
    4355       24668 :     gama = pol2sqrt_23(nf, modP, Q);
    4356       24668 :     E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama, pi3));
    4357       24668 :     pi3 = gmul(pi, pi3);
    4358       24668 :     pv3 = pv4; pv4 = gmul(pv,pv4); pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
    4359       24668 :   }
    4360             : }
    4361             : 
    4362             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    4363             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    4364             : 
    4365             : static GEN
    4366       97881 : nflocalred_23(GEN e, GEN P, long *ap)
    4367             : {
    4368       97881 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP;
    4369             :   long vD;
    4370             :   GEN ch, D, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    4371       97881 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4372       97881 :   if (typ(pr_get_tau(P)) == t_INT) /* inert prime */
    4373             :   {
    4374       97454 :     pv = mkfrac(gen_1, p);
    4375       97454 :     pi = p;
    4376             :   }
    4377             :   else
    4378             :   {
    4379         427 :     pv = basistoalg(nf, get_piinv(P));
    4380         427 :     pi = basistoalg(nf, nfinv(nf,pv)); /* local uniformizer */
    4381             :   }
    4382       97881 :   ch = init_ch();
    4383       97881 :   D = ell_get_disc(e);
    4384       97881 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4385       97881 :   *ap = 0;
    4386             :   while(1)
    4387             :   {
    4388      248920 :     if (vD==0)
    4389         525 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    4390             :     else
    4391             :     {
    4392      248395 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4393      248395 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4394      248395 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    4395      248395 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    4396      248395 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    4397             :       GEN x0, y0;
    4398      248395 :       if (absequaliu(p,2))
    4399             :       {
    4400             :         GEN x02, y02;
    4401      161658 :         if (signe(a1))
    4402             :         {
    4403       29666 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    4404       29666 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    4405       29666 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    4406             :         }
    4407             :         else
    4408             :         {
    4409      131992 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    4410      131992 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    4411             :         }
    4412      161658 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    4413             :       }
    4414             :       else
    4415             :       {
    4416       86737 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    4417       86737 :         if (signe(a12))
    4418       27370 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    4419             :         else
    4420       59367 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    4421       86737 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    4422             :       }
    4423      248395 :       x0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(x0, modP));
    4424      248395 :       y0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(y0, modP));
    4425      248395 :       E_gcompose_rt(&ch, &e, x0, y0);
    4426             :     }
    4427             :     /* 2 */
    4428             :     {
    4429      248395 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    4430      248395 :       if (signe(b2) != 0)
    4431             :       {
    4432       57036 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    4433       57036 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    4434       57036 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    4435       27748 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    4436             :       }
    4437             :     }
    4438             :     /* 3 */
    4439             :     {
    4440      191359 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    4441      191359 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    4442             :     }
    4443             :     /* 4 */
    4444             :     {
    4445      188790 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    4446      188790 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    4447             :     }
    4448             :     /* 5 */
    4449      185143 :     pv2 = gsqr(pv);
    4450             :     {
    4451      185143 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    4452      185143 :       if (vb6<=2)
    4453             :       {
    4454        3206 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    4455        3206 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4456        3206 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    4457             :       }
    4458             :     }
    4459             :     /* 6 */
    4460             :     {
    4461      181937 :       GEN pv3 = gmul(pv, pv2);
    4462      181937 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pola1a2(e, nf, modP));
    4463      181937 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(nf, modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    4464             :       GEN po2, E, F, mr;
    4465             :       long i, lE;
    4466      181937 :       E_gcompose_st(&ch, &e, alpha, gmul(beta, pi));
    4467      181937 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    4468      181937 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    4469             :       {
    4470       69097 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    4471       69097 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    4472       69097 :         lE = lg(E);
    4473       69097 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    4474             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    4475             :           long c; /* 1 + number of roots */
    4476        4515 :           switch(lE)
    4477             :           {
    4478        1764 :             case 2: c = 1; break;
    4479        2534 :             case 3: c = 2; break;
    4480         217 :             default: c = 4; break;
    4481             :           }
    4482        4515 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    4483             :         }
    4484             :       /* 7 */
    4485       64582 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    4486       64582 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    4487       64582 :         if (!gequal0(mr))
    4488             :         { /* not so frequent */
    4489       58534 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    4490       58534 :           E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama,pi));
    4491             :         }
    4492       64582 :         if (lE == 3)
    4493       15498 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    4494             :       }
    4495             :     }
    4496      161924 :     pv4 = gsqr(pv2);
    4497      161924 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    4498             :     /*  8 */
    4499      161924 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    4500             :     {
    4501        4403 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    4502        4403 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    4503             :     }
    4504             :     /*  9 */
    4505             :     {
    4506      157521 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pol);
    4507      157521 :       E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(alpha, gsqr(pi)));
    4508      157521 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    4509        3948 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    4510             :     }
    4511             :     /* 10 */
    4512      153573 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    4513        2534 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    4514             :     /* 11 */
    4515      151039 :     E_gcompose_u(&ch, &e, pi);
    4516      151039 :     vD -= 12;
    4517      151039 :   }
    4518             : }
    4519             : 
    4520             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    4521             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    4522             : static GEN
    4523       49231 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    4524             : {
    4525       49231 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4526             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    4527             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    4528             : 
    4529       49231 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4530       49231 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4531       49231 :   D = ell_get_disc(e);
    4532       49231 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4533       49231 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    4534       49231 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    4535       49231 :   m = (vD - nuj)/12;
    4536       49231 :   piinv = get_piinv(P);
    4537       49231 :   pi = nfinv(nf, piinv); /* local uniformizer */
    4538             : 
    4539       49231 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    4540             :   else
    4541             :   { /* model not minimal */
    4542             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    4543       13139 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    4544       13139 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    4545       13139 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    4546       13139 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    4547       13139 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4548       13139 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    4549       13139 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    4550       13139 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    4551       13139 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    4552       13139 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4553       13139 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4554       13139 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4555       13139 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4556       13139 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4557       13139 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4558       13139 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4559       13139 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4560       13139 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4561             :   }
    4562             : 
    4563       49231 :   kod = 0; c = 1;
    4564             :   /* minimal at P */
    4565       49231 :   if (nuj > 0)
    4566             :   { /* v(j) < 0 */
    4567       45864 :     if (vD == nuj)
    4568             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4569       43771 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4570       43771 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4571       43771 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4572       23226 :         c = vD;/* split */
    4573             :       else
    4574       20545 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    4575             :     }
    4576             :     else
    4577             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4578             :       GEN Du;
    4579        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4580        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4581        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4582        2093 :       if(odd(vD))
    4583             :       {
    4584             :         GEN c6u;
    4585        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4586        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4587        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4588             :       }
    4589        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4590             :     }
    4591             :   }
    4592             :   else
    4593             :   { /* v(j) >= 0 */
    4594        3367 :     f = vD? 2: 0;
    4595        3367 :     switch(vD)
    4596             :     {
    4597             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4598          63 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    4599         588 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4600         462 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4601         273 :       case 4: kod = 4;
    4602         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4603         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4604         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4605         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4606         273 :         break;
    4607         623 :       case 6: kod = -1;
    4608         623 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4609         623 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4610         623 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4611         623 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4612         623 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4613         623 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4614         623 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4615         623 :         break;
    4616         609 :       case 8: kod = -4;
    4617         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4618         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4619         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4620         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4621         609 :         break;
    4622         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4623         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4624             :     }
    4625             :   }
    4626       49231 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4627             : }
    4628             : static GEN
    4629       97937 : nflocalred(GEN e, GEN  pr)
    4630             : {
    4631       97937 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4632       97937 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0) { long ap; return nflocalred_23(e,pr,&ap); }
    4633       49231 :   return nflocalred_p(e,pr);
    4634             : }
    4635             : 
    4636             : GEN
    4637      195153 : elllocalred(GEN e, GEN p)
    4638             : {
    4639      195153 :   pari_sp av = avma;
    4640      195153 :   checkell(e);
    4641      195153 :   switch(ell_get_type(e))
    4642             :   {
    4643             :     case t_ELL_Q:
    4644       97587 :       if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
    4645           0 :         pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
    4646       97587 :       if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
    4647       97587 :       if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
    4648       97587 :       return gerepileupto(av, localred(e, p));
    4649           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
    4650             :     case t_ELL_NF:
    4651       97566 :       checkprid(p);
    4652       97566 :       return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
    4653             :   }
    4654             : }
    4655             : 
    4656             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4657             : static GEN
    4658         392 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4659             : {
    4660         392 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4661         392 :   return c;
    4662             : }
    4663             : static GEN
    4664     2284380 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4665             : {
    4666     2284380 :   *pd = NULL;
    4667     2284380 :   switch(typ(c))
    4668             :   {
    4669     2283148 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4670         840 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4671             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4672         392 :       if (nf)
    4673             :       {
    4674         392 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4675         392 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4676             :       }
    4677           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4678           0 :       return NULL;
    4679             :   }
    4680             : }
    4681             : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
    4682             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4683             : GEN
    4684      456876 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4685             : {
    4686      456876 :   GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
    4687             :   long i, l, k;
    4688             : 
    4689      456876 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4690      456876 :   L = cgetg(1, t_VEC);
    4691     2741256 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4692             :   {
    4693             :     GEN d;
    4694     2284380 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4695     2284380 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4696         952 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4697             :   }
    4698             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4699      456876 :   l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
    4700         469 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4701         469 :   l = lg(L);
    4702             : 
    4703         469 :   t = gen_1;
    4704        1120 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4705             :   {
    4706         651 :     GEN p = gel(L,k);
    4707         651 :     long n = 0, m;
    4708        3906 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4709        3255 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4710             :       {
    4711        1666 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4712        1666 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4713        1666 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4714             :       }
    4715         651 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4716             :   }
    4717         469 :   u = ginv(t);
    4718         469 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4719         469 :   return coordch_u(e, u);
    4720             : }
    4721             : GEN
    4722          21 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4723             : {
    4724          21 :   pari_sp av = avma;
    4725             :   long t;
    4726          21 :   checkell(e);
    4727          21 :   t = ell_get_type(e);
    4728          21 :   if (t != t_ELL_Q && t != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4729          21 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4730          21 :   if (!pv || !*pv)
    4731             :   {
    4732           7 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4733           7 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4734             :   }
    4735             :   else
    4736          14 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4737          21 :   return e;
    4738             : }
    4739             : 
    4740             : static long
    4741        1435 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4742             : {
    4743        1435 :   long N = 1; /* oo */
    4744        1435 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4745        1288 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4746        1435 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4747        1162 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4748        1435 :   return N;
    4749             : }
    4750             : static long
    4751        2933 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4752             : {
    4753        2933 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4754             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4755        2933 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4756             : }
    4757             : static long
    4758        1414 : cardmod2(GEN e)
    4759             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4760        1414 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4761        1414 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4762        1414 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4763        1414 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4764        1414 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4765        1414 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4766             : }
    4767             : static long
    4768        2793 : cardmod3(GEN e)
    4769             : {
    4770        2793 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4771        2793 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4772        2793 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4773        2793 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4774             : }
    4775             : 
    4776             : static ulong
    4777         112 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4778             : 
    4779             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4780             : static void
    4781          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4782             : {
    4783          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4784          28 :   min_set_c(M, E);
    4785          28 :   min_set_b(M);
    4786          28 :   min_set_a(M);
    4787          28 : }
    4788             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4789             : static void
    4790         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4791             : {
    4792         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4793         140 :   min_set_c(M, E);
    4794         140 :   min_set_b(M);
    4795         140 : }
    4796             : 
    4797             : static long
    4798      101003 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4799             : {
    4800      101003 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4801      101003 :   if (vD) /* bad reduction */
    4802             :   {
    4803             :     GEN c6;
    4804             :     long s;
    4805      100695 :     *good_red = 0;
    4806      100695 :     if (vc6) return 0;
    4807       73752 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4808       73752 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4809       73752 :     s = kroiu(c6,p);
    4810       73752 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4811       73752 :     return s;
    4812             :   }
    4813         308 :   *good_red = 1;
    4814         308 :   if (p == 2)
    4815             :   {
    4816             :     ellmin_t M;
    4817          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4818          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4819          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4820             :   }
    4821         287 :   else if (p == 3)
    4822             :   {
    4823             :     ellmin_t M;
    4824         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4825         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4826         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4827             :   }
    4828             :   else
    4829             :   {
    4830             :     ellmin_t M;
    4831         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4832         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4833         147 :     min_set_c(&M, E);
    4834         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4835         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4836             :   }
    4837             : }
    4838             : 
    4839             : static GEN
    4840       98553 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4841             : {
    4842             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4843             :   long vc6, vD, d;
    4844       98553 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4845           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4846           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4847           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4848           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4849           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4850           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4851             :   {
    4852             :     long s;
    4853           0 :     *good_red = 0;
    4854           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4855           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4856           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4857           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4858           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4859             :   }
    4860           0 :   *good_red = 1;
    4861           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4862           0 :   if (d)
    4863             :   {
    4864           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4865           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4866           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4867             :   }
    4868           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4869           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4870             : }
    4871             : 
    4872             : static GEN
    4873      115054 : doellcard(GEN E)
    4874             : {
    4875      115054 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4876      115054 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4877       94285 :     return FF_ellcard(E);
    4878             :   else
    4879             :   {
    4880       20769 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4881       20769 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4882             :   }
    4883             : }
    4884             : 
    4885             : static GEN
    4886      233506 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4887             : {
    4888      233506 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4889      233506 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4890      233506 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4891             :   {
    4892             :     long ap;
    4893       49175 :     GEN L = nflocalred_23(E,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4894       49175 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4895         497 :     *good_red = 1;
    4896         497 :     E = coordch(E, gel(L,3));
    4897         497 :     E = ellinit_nf_to_Fq(E, modP);
    4898         497 :     card = doellcard(E);
    4899             :   }
    4900             :   else
    4901             :   {
    4902      184331 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4903      184331 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4904      184331 :     if (vD)
    4905             :     {
    4906       49224 :       long vc6 = nfval(nf,c6,P), d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4907       49224 :       GEN piinv = NULL;
    4908             :       /* non minimal model ? */
    4909       49224 :       if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; piinv = get_piinv(P); }
    4910       49224 :       if (vD) /* bad reduction */
    4911             :       {
    4912       49175 :         *good_red = 0;
    4913       49175 :         if (vc6) return gen_0;
    4914       43820 :         if (d) c6 = nfmul(nf, c6, nfpow(nf, piinv, stoi(6*d)));
    4915       43820 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4916       43820 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4917             :       }
    4918          49 :       if (d)
    4919             :       {
    4920          49 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4921          49 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4922          49 :         GEN ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4923          49 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4924          49 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4925             :       }
    4926             :     }
    4927      135156 :     *good_red = 1;
    4928      135156 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4929      135156 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4930      135156 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4931      272279 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4932      137123 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4933             :   }
    4934      135653 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4935             : }
    4936             : 
    4937             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4938             :  * basis */
    4939             : static GEN
    4940      454671 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4941             : {
    4942             :   GEN P;
    4943      454671 :   if (!signe(a))
    4944        1645 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4945      453026 :   else if (!signe(b))
    4946         938 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4947             :   else
    4948             :   {
    4949      452088 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4950             :     long k, l;
    4951      452088 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4952      343917 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4953      343917 :     B = diviiexact(b, coprime_part(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4954             :     /* d = gcd(A,B) */
    4955      343917 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4956      343917 :     l = lg(P);
    4957      343917 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4958      343917 :     P = shallowconcat1(P);
    4959      343917 :     P = ZV_sort(P);
    4960             :   }
    4961      346500 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4962             : }
    4963             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4964             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4965             : static GEN
    4966      454538 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
    4967             : {
    4968             :   pari_sp av;
    4969      454538 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4970      454538 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4971      454538 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4972             :   long l, k;
    4973             : 
    4974      454538 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4975      454538 :   l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
    4976      346388 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    4977      346388 :   av = avma;
    4978      346388 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4979      346388 :   u = gen_1;
    4980      852117 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4981             :   {
    4982      505729 :     GEN p = gel(P, k);
    4983      505729 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4984      505729 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4985             :     {
    4986             :       case 2:
    4987             :       {
    4988             :         long a, b;
    4989       56840 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4990       56840 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4991       56840 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4992       56840 :         break;
    4993             :       }
    4994             :       case 3:
    4995        2282 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4996        2282 :         break;
    4997             :     }
    4998      505729 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4999      505729 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    5000             :   }
    5001      346388 :   *pDP = DP;
    5002      346388 :   return gerepileuptoint(av, u);
    5003             : }
    5004             : 
    5005             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    5006             : static GEN
    5007          21 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    5008             : {
    5009          21 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    5010          21 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    5011          21 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    5012             : 
    5013          21 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    5014          21 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    5015          21 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    5016          21 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    5017          21 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    5018          21 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    5019          21 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    5020          21 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    5021          21 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    5022          21 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    5023             : }
    5024             : 
    5025             : static GEN
    5026         357 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    5027             : {
    5028         357 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    5029         357 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    5030             : }
    5031             : static GEN
    5032         133 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    5033             : {
    5034         133 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5035         133 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    5036         133 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    5037         133 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* prime ideals potentially dividing D */
    5038             : }
    5039             : static GEN
    5040          91 : ellnf_D_primes(GEN E)
    5041             : {
    5042          91 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5043          91 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    5044          91 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    5045          91 :   long k, l = lg(P);
    5046          91 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    5047          91 :   if (!is_pm1(DZ))
    5048             :   {
    5049          77 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    5050          77 :     settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
    5051             :   }
    5052          91 :   return P;
    5053             : }
    5054             : 
    5055             : static GEN
    5056          42 : bnf_get_v(GEN bnf, GEN E, GEN *pDP)
    5057             : {
    5058             :   GEN nf, c4, c6, P, DP, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    5059             :   long l, k;
    5060             : 
    5061          42 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    5062          42 :   c4 = ell_get_c4(E); if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    5063          42 :   c6 = ell_get_c6(E); if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    5064          42 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    5065          42 :   l = lg(P);
    5066          42 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    5067          42 :   Lr = vectrunc_init(l);
    5068          42 :   Ls = vectrunc_init(l);
    5069          42 :   Lt = vectrunc_init(l);
    5070          42 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    5071          42 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    5072         168 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5073             :   {
    5074         126 :     GEN pr = gel(P, k), q, f, v, u;
    5075             :     long vu;
    5076         126 :     if (c4 && !ZC_prdvd(nf,c4,pr)) continue;
    5077         119 :     if (c6 && !ZC_prdvd(nf,c6,pr)) continue;
    5078             :     /* pr | (c4,c6) */
    5079         119 :     q = nflocalred(E, pr);
    5080         119 :     f = gel(q,1);
    5081         119 :     v = gel(q,3);
    5082         119 :     u = gel(v,1);
    5083         119 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    5084         119 :     if (signe(f)) vectrunc_append(DP, q); /* store useful localred data */
    5085         119 :     if (!vu) continue;
    5086          70 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    5087          70 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    5088          70 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    5089          70 :     vectrunc_append(L, pr);
    5090          70 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    5091             :   }
    5092          42 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    5093          42 :   *pDP = DP;
    5094          42 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    5095          21 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    5096          21 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    5097          21 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    5098          21 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    5099          21 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    5100          21 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    5101             : }
    5102             : 
    5103             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    5104             :  * ellminimalmodel(E) */
    5105             : static GEN
    5106      456015 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    5107             : {
    5108             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    5109             :   ellmin_t M;
    5110      456015 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    5111             :   {
    5112        1477 :     if (lg(S) != 2)
    5113             :     {
    5114         168 :       E = gel(S,3);
    5115         168 :       v = gel(S,2);
    5116             :     }
    5117             :     else
    5118        1309 :       v = init_ch();
    5119        1477 :     if (ptv) *ptv = v;
    5120        1477 :     return gcopy(E);
    5121             :   }
    5122      454538 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    5123      454538 :   u = get_u(e, &DP);
    5124      454538 :   min_set_all(&M, e, u);
    5125      454538 :   v = min_get_v(&M, e);
    5126      454538 :   y = min_to_ell(&M, e);
    5127      454538 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    5128      454538 :   if (is_trivial_change(v))
    5129             :   {
    5130      453474 :     v = init_ch();
    5131      453474 :     S = mkvec(DP);
    5132             :   }
    5133             :   else
    5134        1064 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    5135      454538 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    5136      454538 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    5137             : }
    5138             : 
    5139             : static GEN
    5140        1414 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5141             : {
    5142        1414 :   pari_sp av = avma;
    5143        1414 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    5144        1414 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    5145        1414 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5146        1414 :   DP = gel(S,1);
    5147        1414 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    5148        1414 :   if (!ptv)
    5149        1379 :     y = gerepilecopy(av, y);
    5150             :   else
    5151          35 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    5152        1414 :   return y;
    5153             : }
    5154             : 
    5155             : static GEN
    5156          42 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    5157             : {
    5158             :   GEN S, y, v, v2, bnf, nf, DP;
    5159          42 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    5160             :   {
    5161           0 :     switch(lg(S))
    5162             :     {
    5163           0 :       case 2: v = init_ch(); break;
    5164           0 :       case 3: v = NULL; E = gel(S,2); break;
    5165           0 :       default: E = gel(S,3); v = gel(S,2); break;
    5166             :     }
    5167           0 :     if (ptv) *ptv = v;
    5168           0 :     return gcopy(E);
    5169             :   }
    5170          42 :   bnf = ellnf_get_bnf(E);
    5171          42 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    5172          42 :   if (ptv) *ptv = NULL;
    5173          42 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    5174          42 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    5175          42 :   v2 = bnf_get_v(bnf, y, &DP);
    5176          42 :   if (typ(v2) == t_COL)
    5177             :   {
    5178          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec2(DP, v2));
    5179          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    5180             :   }
    5181          21 :   y = coordch(y, v2);
    5182          21 :   gcomposev(&v, v2);
    5183          21 :   v2 = nfrestrict23(nf, y);
    5184          21 :   y = coordch(y, v2);
    5185             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    5186          21 :   y = obj_reinit(y);
    5187          21 :   gcomposev(&v, v2);
    5188          21 :   if (is_trivial_change(v))
    5189             :   {
    5190           7 :     v = init_ch();
    5191           7 :     S = mkvec(DP);
    5192             :   }
    5193             :   else
    5194          14 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    5195          21 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    5196          21 :   if (ptv) *ptv = v;
    5197          21 :   return y;
    5198             : }
    5199             : static GEN
    5200          42 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5201             : {
    5202          42 :   pari_sp av = avma;
    5203          42 :   GEN S, v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    5204          42 :   S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL);
    5205          42 :   if (v) /* true change of variable; v = NULL => no minimal model */
    5206             :   {
    5207          21 :     S = mkvec(gel(S,1));
    5208          21 :     if (!is_trivial_change(v)) (void)ch_Rg(y, E, v);
    5209          21 :     obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, S);
    5210             :   }
    5211          42 :   if (!v || !ptv)
    5212          21 :     y = gerepilecopy(av, y);
    5213             :   else
    5214          21 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    5215          42 :   return y;
    5216             : }
    5217             : GEN
    5218        1463 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5219             : {
    5220        1463 :   checkell(E);
    5221        1463 :   switch(ell_get_type(E))
    5222             :   {
    5223        1414 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    5224          42 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    5225           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    5226           0 :              return NULL;
    5227             :   }
    5228             : }
    5229             : 
    5230             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    5231             :  * update type-dependant components.
    5232             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    5233             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    5234             :  *   N = arithmetic conductor of E
    5235             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    5236             :  *   fa = factorization of N
    5237             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    5238             : static GEN
    5239      454174 : ellQ_globalred(GEN e)
    5240             : {
    5241             :   long k, l, iN;
    5242             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    5243             : 
    5244      454174 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
    5245      454174 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5246      454174 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    5247      454174 :   D  = ell_get_disc(E);
    5248      454174 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    5249      454174 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    5250      454174 :   l = lg(P); c = gen_1;
    5251      454174 :   iN = 1;
    5252      454174 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    5253      454174 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    5254      454174 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    5255     1937362 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5256             :   {
    5257     1483188 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    5258     1483188 :     if (!signe(ex)) continue;
    5259     1483188 :     gel(NP, iN) = p;
    5260     1483188 :     gel(NE, iN) = ex;
    5261     1483188 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    5262     1483188 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    5263     1483188 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5264             :   }
    5265      454174 :   setlg(L, iN);
    5266      454174 :   setlg(NP, iN);
    5267      454174 :   setlg(NE, iN);
    5268      454174 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    5269             : }
    5270             : static GEN
    5271      463981 : ellglobalred_i(GEN E)
    5272      463981 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    5273             : 
    5274             : static GEN
    5275          91 : ellnfglobalred(GEN E)
    5276             : {
    5277             :   GEN c, L, P, NP, NE, D, nf, v;
    5278             :   long k, lP, iN;
    5279             : 
    5280          91 :   E = ellintegralmodel_i(E, &v);
    5281          91 :   if (!v) v = init_ch();
    5282          91 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    5283          91 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    5284          91 :   lP = lg(P);
    5285          91 :   D = ell_get_disc(E);
    5286          91 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    5287             : 
    5288          91 :   c = gen_1;
    5289          91 :   iN = 1;
    5290          91 :   NP = cgetg(lP, t_COL);
    5291          91 :   NE = cgetg(lP, t_COL);
    5292          91 :   L = cgetg(lP, t_VEC);
    5293         469 :   for (k = 1; k < lP; k++)
    5294             :   {
    5295         378 :     GEN p = gel(P,k), q, ex;
    5296         378 :     if (D && !ZC_prdvd(nf, D, p)) continue;
    5297             : 
    5298         252 :     q = nflocalred(E, p),
    5299         252 :     ex = gel(q,1);
    5300         252 :     if (!signe(ex)) continue;
    5301         210 :     gel(NP, iN) = p;
    5302         210 :     gel(NE, iN) = ex;
    5303         210 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    5304         210 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5305             :   }
    5306          91 :   setlg(L, iN);
    5307          91 :   setlg(NP, iN);
    5308          91 :   setlg(NE, iN);
    5309          91 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    5310             : }
    5311             : 
    5312             : GEN
    5313      453390 : ellglobalred(GEN E)
    5314             : {
    5315      453390 :   pari_sp av = avma;
    5316             :   GEN S, gr, v;
    5317      453390 :   checkell(E);
    5318      453390 :   switch(ell_get_type(E))
    5319             :   {
    5320           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    5321             :     case t_ELL_Q:
    5322      453180 :       gr = ellglobalred_i(E);
    5323      453180 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5324      453180 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    5325      453180 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    5326      453180 :       break;
    5327             :     case t_ELL_NF:
    5328         210 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    5329         210 :       break;
    5330             :   }
    5331      453390 :   return gerepilecopy(av, v);
    5332             : }
    5333             : 
    5334             : static GEN doellrootno(GEN e);
    5335             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    5336             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    5337             :  * and E (shallow insert) */
    5338             : GEN
    5339        2002 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    5340             : {
    5341        2002 :   GEN E, S, v = NULL;
    5342        2002 :   checkell_Q(e);
    5343        2002 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5344             :   {
    5345         399 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    5346         399 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5347         399 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5348             :   }
    5349        1603 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    5350        1589 :     E = e;
    5351             :   else
    5352             :   {
    5353          14 :     v = gel(S,2);
    5354          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    5355          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5356             :   }
    5357        2002 :   if (ch) *ch = v;
    5358        2002 :   S = ellglobalred_i(e);
    5359        2002 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    5360        2002 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    5361        2002 :   if (!S)
    5362             :   {
    5363         616 :     S = doellrootno(E);
    5364         616 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    5365             :   }
    5366        2002 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    5367        2002 :   return E;
    5368             : }
    5369             : 
    5370             : /********************************************************************/
    5371             : /**                                                                **/
    5372             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5373             : /**                                                                **/
    5374             : /********************************************************************/
    5375             : /* x a t_INT */
    5376             : static long
    5377        1092 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5378             : {
    5379             :   long v;
    5380             :   GEN z;
    5381        1092 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5382         938 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5383         938 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5384             : }
    5385             : static void
    5386         364 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5387             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5388             : {
    5389         364 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5390         364 :   pari_sp av = avma;
    5391         364 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5392         364 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5393         364 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
    5394         364 : }
    5395             : 
    5396             : static long
    5397         364 : kod_23(GEN e, long p)
    5398             : {
    5399             :   GEN S, nv;
    5400         364 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5401             :   {
    5402         350 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5403         350 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5404             :   }
    5405             :   else
    5406          14 :     nv = localred_23(e, p);
    5407         364 :   return itos(gel(nv,2));
    5408             : }
    5409             : 
    5410             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5411             : static long
    5412         168 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5413             : {
    5414         168 :   if (kod > 4) return 1;
    5415         133 :   switch(kod)
    5416             :   {
    5417           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5418             :     case 2:
    5419           7 :       if (vD==4) return 1;
    5420             :       else
    5421             :       {
    5422           0 :         if (vD==7) return 3;
    5423           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5424             :       }
    5425             :     case 3:
    5426          63 :       switch(vD)
    5427             :       {
    5428          42 :         case 6: return 3;
    5429           0 :         case 8: return 4;
    5430          14 :         case 9: return 5;
    5431           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5432             :       }
    5433          35 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5434             :     case -1:
    5435           0 :       switch(vD)
    5436             :       {
    5437           0 :         case 9: return 2;
    5438           0 :         case 10: return 4;
    5439           0 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5440             :       }
    5441             :     case -2:
    5442           7 :       switch(vD)
    5443             :       {
    5444           7 :         case 12: return 2;
    5445           0 :         case 14: return 3;
    5446           0 :         default: return 1;
    5447             :       }
    5448             :     case -3:
    5449           0 :       switch(vD)
    5450             :       {
    5451           0 :         case 12: return 2;
    5452           0 :         case 14: return 3;
    5453           0 :         case 15: return 4;
    5454           0 :         default: return 1;
    5455             :       }
    5456           7 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5457          14 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5458             :     case -6:
    5459           0 :       switch(vD)
    5460             :       {
    5461           0 :         case 12: return 2;
    5462           0 :         case 13: return 3;
    5463           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5464             :       }
    5465           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5466           0 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5467             :   }
    5468             : }
    5469             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5470             : static long
    5471         154 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5472             : {
    5473         154 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5474         133 :   switch(kod)
    5475             :   {
    5476          77 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5477          14 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5478             :     case -4: case 2:
    5479          35 :       switch (vD%6)
    5480             :       {
    5481           0 :         case 4: return 3;
    5482           0 :         case 5: return 4;
    5483          35 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5484             :       }
    5485             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5486           7 :       switch (vD%6)
    5487             :       {
    5488           0 :         case 0: return 2;
    5489           0 :         case 1: return 3;
    5490           7 :         default: return 1;
    5491             :       }
    5492             :   }
    5493             : }
    5494             : 
    5495             : static long
    5496         168 : ellrootno_2(GEN e)
    5497             : {
    5498             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5499         168 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5500             : 
    5501         168 :   if (!vD) return 1;
    5502         168 :   if (d) { /* not minimal */
    5503             :     ellmin_t M;
    5504           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5505           7 :     min_set_D(&M, e);
    5506           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5507             :   }
    5508         168 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5509         168 :   kod = kod_23(e,2);
    5510         168 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5511         168 :   if (kod>=5)
    5512             :   {
    5513             :     long a2, a3;
    5514          35 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5515          35 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5516          35 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5517             :   }
    5518         133 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5519         133 :   x1 = u+v+v;
    5520         133 :   switch(kod)
    5521             :   {
    5522           0 :     case 1: return 1;
    5523             :     case 2:
    5524           7 :       switch(n2)
    5525             :       {
    5526             :         case 1:
    5527           7 :           switch(v4)
    5528             :           {
    5529           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5530           0 :             case 5: return 1;
    5531           0 :             default: return -1;
    5532             :           }
    5533           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5534           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5535           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5536           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5537             :       }
    5538             :     case 3:
    5539          63 :       switch(n2)
    5540             :       {
    5541           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5542           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5543          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5544          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5545           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5546          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5547             :       }
    5548             :     case -1:
    5549           0 :       switch(n2)
    5550             :       {
    5551           0 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5552           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5553           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5554           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5555           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5556             :       }
    5557           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5558             :     case -3:
    5559           0 :       switch(n2)
    5560             :       {
    5561           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5562           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5563           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5564           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5565           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5566             :       }
    5567             :     case -5:
    5568          14 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5569           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5570             :     case -6:
    5571           0 :       switch(n2)
    5572             :       {
    5573           0 :         case 1: return 1;
    5574           0 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5575           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5576             :       }
    5577             :     case -7:
    5578           0 :       if (n2==1) return 1;
    5579             :       else
    5580             :       {
    5581           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5582           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5583           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5584             :       }
    5585           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5586           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5587          42 :     default: return -1;
    5588             :   }
    5589             : }
    5590             : 
    5591             : static long
    5592         196 : ellrootno_3(GEN e)
    5593             : {
    5594             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5595         196 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5596             : 
    5597         196 :   if (!vD) return 1;
    5598         196 :   if (d) { /* not minimal */
    5599             :     ellmin_t M;
    5600           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5601           0 :     min_set_a(&M);
    5602           0 :     min_set_D(&M, e);
    5603           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5604             :   }
    5605         196 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5606         196 :   kod = kod_23(e,3);
    5607         196 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5608         154 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5609         154 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5610         154 :   switch(kod)
    5611             :   {
    5612          14 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5613             :     case 2:
    5614           7 :       switch(n2)
    5615             :       {
    5616           7 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5617           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5618           0 :         case 3: return 1;
    5619           0 :         case 4: return -K6;
    5620             :       }
    5621             :     case 4:
    5622           7 :       switch(n2)
    5623             :       {
    5624           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5625           0 :         case 2: return -K4;
    5626           0 :         case 3: return -K6;
    5627             :       }
    5628           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5629             :     case -4:
    5630          28 :       switch(n2)
    5631             :       {
    5632             :         case 1:
    5633          28 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5634          28 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5635           0 :         case 2: return -K6;
    5636           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5637           0 :         case 4: return K6;
    5638             :       }
    5639          98 :     default: return -1;
    5640             :   }
    5641             : }
    5642             : 
    5643             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5644             : static long
    5645         798 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5646             : {
    5647             :   long nuj, nuD, nu;
    5648         798 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5649             :   long ep, z;
    5650             : 
    5651         798 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5652         798 :   if (!nuD) return 1;
    5653         798 :   nuj = j_pval(e, p);
    5654         798 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5655         798 :   if (nu == 0)
    5656             :   {
    5657             :     GEN c6;
    5658             :     long d, vg;
    5659         546 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5660             :    /* p || N */
    5661         546 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5662         546 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5663         546 :     d = vg / 12;
    5664         546 :     if (d)
    5665             :     {
    5666           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5667           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5668             :     }
    5669         546 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5670             :     /* c6 in minimal model */
    5671         546 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5672             :   }
    5673         252 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5674         224 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5675         224 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5676         224 :   return krosi(-z, p);
    5677             : }
    5678             : 
    5679             : static GEN
    5680         630 : doellrootno(GEN e)
    5681             : {
    5682         630 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5683         630 :   long i, l, s = -1;
    5684             : 
    5685         630 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5686         630 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5687         630 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5688         630 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5689        1771 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5690             :   {
    5691        1141 :     GEN p = gel(P,i);
    5692             :     long t;
    5693        1141 :     switch(itou_or_0(p))
    5694             :     {
    5695         154 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5696         196 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5697         791 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5698             :     }
    5699        1141 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5700             :   }
    5701         630 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5702             : }
    5703             : long
    5704        1666 : ellrootno_global(GEN e)
    5705             : {
    5706        1666 :   pari_sp av = avma;
    5707        1666 :   GEN S = obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno);
    5708        1666 :   avma = av; return itos(gel(S,1));
    5709             : }
    5710             : 
    5711             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5712             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5713             : long
    5714          42 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5715             : {
    5716          42 :   pari_sp av = avma;
    5717             :   GEN S;
    5718             :   long s;
    5719          42 :   checkell_Q(e);
    5720          42 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5721          28 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5722          28 :   if (signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5723          28 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5724          28 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5725             :   {
    5726           7 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5727           7 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5728           7 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5729           0 :     return 1;
    5730             :   }
    5731          21 :   switch(itou_or_0(p))
    5732             :   {
    5733             :     case 2:
    5734          14 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5735          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5736             :     case 3:
    5737           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5738           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5739             :     default:
    5740           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5741             :   }
    5742          21 :   avma = av; return s;
    5743             : }
    5744             : 
    5745             : /********************************************************************/
    5746             : /**                                                                **/
    5747             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5748             : /**                                                                **/
    5749             : /********************************************************************/
    5750             : 
    5751             : /* assume p does not divide disc E */
    5752             : long
    5753      440548 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5754             : {
    5755             :   ulong a4, a6;
    5756      440548 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5757      439589 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5758      438196 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5759      438196 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5760             : }
    5761             : 
    5762             : static void
    5763         693 : checkell_int(GEN e)
    5764             : {
    5765         693 :   checkell_Q(e);
    5766        1386 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5767        1386 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5768        1386 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5769        1386 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5770         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5771         693 : }
    5772             : 
    5773             : long
    5774        1939 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5775             : {
    5776        1939 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5777        1939 :   long CM = 0;
    5778        1939 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5779             :   {
    5780             :     case 0:
    5781         107 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5782         107 :       break;
    5783          98 :     case 1728: CM = -4; break;
    5784           7 :     case -3375: CM = -7; break;
    5785           7 :     case  8000: CM = -8; break;
    5786           7 :     case 54000: CM = -12; break;
    5787          35 :     case -32768: CM = -11; break;
    5788           7 :     case 287496: CM = -16; break;
    5789           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    5790           7 :     case -12288000: CM = -27; break;
    5791           7 :     case  16581375: CM = -28; break;
    5792           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    5793             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    5794           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    5795           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    5796             : #endif
    5797             :   }
    5798        1939 :   return CM;
    5799             : }
    5800             : 
    5801             : /* bad reduction at p */
    5802             : static void
    5803        2394 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    5804             : {
    5805             :   ulong m, N;
    5806        2394 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    5807             :   {
    5808             :     case -1: /* non-split */
    5809         553 :       N = n/p;
    5810      408498 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5811      407945 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    5812         553 :       break;
    5813             :     case 0: /* additive */
    5814        1211 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    5815        1211 :       break;
    5816             :     case 1: /* split */
    5817         630 :       N = n/p;
    5818      282726 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5819      282096 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    5820         630 :       break;
    5821             :   }
    5822        2394 : }
    5823             : /* good reduction at p */
    5824             : static void
    5825      438581 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    5826             : {
    5827      438581 :   const long ap = an[p];
    5828             :   ulong m;
    5829      438581 :   if (p <= SQRTn) {
    5830        8265 :     ulong pk, oldpk = 1;
    5831       32719 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    5832             :     {
    5833       24454 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    5834     9186535 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    5835     9162081 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    5836             :     }
    5837             :   } else {
    5838     2882304 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    5839     2451988 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    5840             :   }
    5841      438581 : }
    5842             : static void
    5843      440975 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    5844             : {
    5845      440975 :   if (good_red)
    5846      438581 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    5847             :   else
    5848        2394 :     sievep_bad(p, an, n);
    5849      440975 : }
    5850             : 
    5851             : static long
    5852      440975 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    5853             : {
    5854      440975 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    5855        2450 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    5856             :   else /* good reduction */
    5857             :   {
    5858      438525 :     *good_red = 1;
    5859      438525 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    5860             :   }
    5861             : }
    5862             : GEN
    5863        1421 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    5864             : {
    5865             :   pari_sp av;
    5866        1421 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    5867             :   GEN an;
    5868             :   int CM;
    5869             : 
    5870        1421 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    5871        1421 :   if (n >= LGBITS)
    5872           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    5873        1421 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    5874        1421 :   SQRTn = usqrt(n);
    5875        1421 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    5876             : 
    5877        1421 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    5878        1421 :   an[1] = 1; av = avma;
    5879     4512460 :   for (p=2; p<=n; p++)
    5880             :   {
    5881             :     int good_red;
    5882     4511039 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    5883      440975 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    5884      440975 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    5885             :   }
    5886        1421 :   avma = av; return an;
    5887             : }
    5888             : 
    5889             : static GEN
    5890         805 : ellanQ(GEN e, long N)
    5891             : {
    5892         805 :   GEN v = ellanQ_zv(e, N);
    5893             :   long i;
    5894         805 :   for (i = 1; i <= N; i++) gel(v,i) = stoi(v[i]);
    5895         805 :   settyp(v, t_VEC); return v;
    5896             : }
    5897             : 
    5898             : static GEN
    5899      135590 : ellnflocal(void *S, GEN p)
    5900             : {
    5901      135590 :   pari_sp av = avma;
    5902      135590 :   GEN gS = (GEN)S, E = gel(gS,1), N = gel(gS,2);
    5903      135590 :   GEN LP = idealprimedec_limit_norm(ellnf_get_nf(E), p, N), T = NULL;
    5904      135590 :   long l = lg(LP), i;
    5905      271481 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5906             :   {
    5907             :     int goodred;
    5908      135891 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    5909      135891 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    5910      135891 :     long f = pr_get_f(P);
    5911      135891 :     if (goodred)
    5912      135618 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    5913             :     else
    5914             :     {
    5915         273 :       if (!signe(ap)) continue;
    5916         245 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    5917             :     }
    5918      135863 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    5919      135863 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    5920             :   }
    5921      135590 :   if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
    5922       75740 :   return gerepileupto(av, ginv(T));
    5923             : }
    5924             : 
    5925             : static GEN
    5926         245 : ellnfan(GEN E, long N)
    5927             : {
    5928         245 :   GEN gN = stoi(N);
    5929         245 :   return direuler((void*)mkvec2(E,gN), &ellnflocal, gen_2, gN, NULL);
    5930             : }
    5931             : GEN
    5932        1043 : ellan(GEN E, long N)
    5933             : {
    5934        1043 :   checkell(E);
    5935        1043 :   switch(ell_get_type(E))
    5936             :   {
    5937         798 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    5938         245 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    5939             :     default:
    5940           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    5941           0 :       return NULL; /*NOT REACHED*/
    5942             :   }
    5943             : }
    5944             : 
    5945             : static GEN
    5946         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    5947             : {
    5948             :   GEN u, v, w;
    5949             :   long j;
    5950         735 :   if (e == 1) return ap;
    5951         112 :   u = ap;
    5952         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    5953         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    5954             :   {
    5955          14 :     v = u; u = w;
    5956          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    5957             :   }
    5958         112 :   return w;
    5959             : }
    5960             : 
    5961             : GEN
    5962         693 : akell(GEN e, GEN n)
    5963             : {
    5964             :   long i, j, s;
    5965         693 :   pari_sp av = avma;
    5966             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    5967             : 
    5968         693 :   checkell_int(e);
    5969         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    5970         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    5971         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    5972         693 :   D = ell_get_disc(e);
    5973         693 :   u = coprime_part(n, D);
    5974         693 :   y = gen_1;
    5975         693 :   s = 1;
    5976         693 :   if (!equalii(u, n))
    5977             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    5978         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    5979         441 :     P = gel(fa,1);
    5980         441 :     E = gel(fa,2);
    5981        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    5982             :     {
    5983         581 :       GEN p = gel(P,i);
    5984         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    5985             :       int good_red;
    5986         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    5987         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    5988         350 :       j = signe(ap);
    5989         350 :       if (!j) { avma = av; return gen_0; }
    5990         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    5991             :     }
    5992             :   }
    5993         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    5994         693 :   fa = Z_factor(u);
    5995         693 :   P = gel(fa,1);
    5996         693 :   E = gel(fa,2);
    5997        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    5998             :   { /* good reduction */
    5999         504 :     GEN p = gel(P,i);
    6000         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6001         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6002             :   }
    6003         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6004             : }
    6005             : 
    6006             : GEN
    6007        7581 : ellQ_get_N(GEN e)
    6008        7581 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6009             : void
    6010         588 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6011         588 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6012             : 
    6013             : GEN
    6014          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6015             : {
    6016          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    6017             :   ulong l, n;
    6018             :   long eps, flun;
    6019             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6020             : 
    6021          14 :   if (!A) A = gen_1;
    6022             :   else
    6023             :   {
    6024           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    6025           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6026           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6027             :   }
    6028          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
    6029          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6030          14 :   checkell_Q(e);
    6031          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6032          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    6033          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    6034          14 :   if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
    6035             : 
    6036          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    6037          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6038          14 :   cga = gmul(cg, A);
    6039          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6040          42 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
    6041          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6042          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6043          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6044          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6045          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6046          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6047          14 :   z = gen_0;
    6048          14 :   av1 = avma;
    6049        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6050             :   {
    6051        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6052        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6053        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    6054             : 
    6055        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6056        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6057        1106 :     if (flun)
    6058           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6059             :     else
    6060             :     {
    6061        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6062        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6063        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6064             :     }
    6065        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6066        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    6067             :     {
    6068           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6069           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6070             :     }
    6071             :   }
    6072          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6073             : }
    6074             : 
    6075             : /********************************************************************/
    6076             : /**                                                                **/
    6077             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6078             : /**                                                                **/
    6079             : /********************************************************************/
    6080             : 
    6081             : static GEN
    6082         329 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6083             : 
    6084             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6085             : static GEN
    6086         973 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6087             : {
    6088         973 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6089             : }
    6090             : 
    6091             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6092             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6093             : static GEN
    6094         973 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6095             : {
    6096         973 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6097         973 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    6098             : 
    6099         973 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6100         973 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6101         973 :   a = gel(ab, 1);
    6102         973 :   b = gel(ab, 2);
    6103         973 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6104         973 :   x = gsub(x, e1);
    6105         973 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6106             : 
    6107         973 :   x_a = gsub(x, a);
    6108         973 :   if (gsigne(a) > 0)
    6109             :   {
    6110          84 :     GEN a0 = a;
    6111          84 :     x = gsub(x, b);
    6112          84 :     a = gneg(b);
    6113          84 :     b = gsub(a0, b);
    6114             :   }
    6115         973 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6116         973 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6117             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6118        5188 :   for(n=0; ; n++)
    6119             :   {
    6120        5188 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6121        5188 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6122        5188 :     r = gsub(a, a0);
    6123        5188 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6124        4215 :     ab = gmul(a0, b);
    6125        4215 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6126             : 
    6127        4215 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6128        4215 :     p2 = gsqr(a);
    6129        4215 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6130        4215 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6131        4215 :   }
    6132         973 :   if (n) {
    6133         973 :     x = gel(V,n);
    6134         973 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6135             :   } else {
    6136           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6137             :   }
    6138             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6139        1526 :   return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
    6140        1526 :              : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
    6141             : }
    6142             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6143             : static int
    6144         973 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6145             : {
    6146         973 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6147         973 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6148             : }
    6149             : 
    6150             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6151             : static GEN
    6152         973 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6153             : {
    6154         973 :   pari_sp av = avma;
    6155             :   GEN h;
    6156         973 :   checkell_Q(E);
    6157         973 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6158             :   {
    6159         420 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6160             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6161         420 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6162             :   }
    6163             :   else
    6164         553 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6165         973 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6166         973 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6167             : }
    6168             : GEN
    6169         868 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6170             : 
    6171             : static GEN
    6172         217 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6173         217 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6174             : static GEN
    6175          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6176             : {
    6177          35 :   pari_sp av = avma;
    6178          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6179          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6180          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6181             : }
    6182             : GEN
    6183          35 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6184          35 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
    6185             : GEN
    6186          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6187          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6188             : 
    6189             : GEN
    6190         133 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6191             : {
    6192             :   long i, lx;
    6193         133 :   pari_sp av = avma;
    6194             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6195             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6196             : 
    6197         133 :   checkell_Q(e);
    6198         133 :   checkellpt(a);
    6199         133 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    6200         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6201         126 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6202             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6203          98 :     if (lg(S) != 2)
    6204             :     {
    6205           7 :       v = gel(S,2);
    6206           7 :       e = gel(S,3);
    6207           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6208             :     }
    6209             :   }
    6210             :   else
    6211             :   {
    6212          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    6213          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6214             :   }
    6215         126 :   if (!oncurve(e,a))
    6216           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6217         119 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6218         119 :   if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
    6219         105 :   x = gel(a,1);
    6220         105 :   y = gel(a,2);
    6221         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6222         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6223         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6224         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6225         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6226             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6227             :   );
    6228         105 :   if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
    6229         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6230         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6231         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6232         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6233             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6234             :   );
    6235         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6236         105 :   D = ell_get_disc(e);
    6237         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6238         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6239         105 :   lx = lg(Lp);
    6240         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6241             :   {
    6242         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6243             :     long u, v, n, n2;
    6244         112 :     if (signe(remii(c4,p)))
    6245             :     { /* p \nmid c4 */
    6246          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    6247          35 :       if (!N) continue;
    6248          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6249          35 :       if (n > N) n = N;
    6250          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6251          35 :       v = N << 3;
    6252             :     }
    6253             :     else
    6254             :     {
    6255          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6256          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6257          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6258             :     }
    6259             :     /* z -= u log(p) / v */
    6260         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6261             :   }
    6262         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6263             : }
    6264             : 
    6265             : GEN
    6266          28 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6267             : {
    6268             :   GEN y, D;
    6269          28 :   long lx = lg(x), i, j;
    6270          28 :   pari_sp av = avma;
    6271             : 
    6272          28 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6273          28 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6274          28 :   y = cgetg(lx,t_MAT);
    6275         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6276             :   {
    6277          77 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6278          77 :     gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6279             :   }
    6280         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6281             :   {
    6282          77 :     gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
    6283         147 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6284             :     {
    6285          70 :       GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6286          70 :       h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
    6287          70 :       gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
    6288             :     }
    6289             :   }
    6290          28 :   return gerepilecopy(av,y);
    6291             : }
    6292             : GEN
    6293           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6294           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6295             : 
    6296             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6297             : static GEN
    6298          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6299             : {
    6300          21 :   long l = lg(P);
    6301          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6302          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
    6303             :   else
    6304             :   {
    6305           7 :     GEN y = cgetg(l, typ(P));
    6306             :     long i;
    6307           7 :     for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
    6308           7 :     return y;
    6309             :   }
    6310             : }
    6311             : static GEN
    6312           7 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6313             : {
    6314           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6315           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6316           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6317           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6318           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6319           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6320           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6321             :   {
    6322           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6323           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6324           0 :     return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
    6325             :   }
    6326           7 :   return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
    6327             : }
    6328             : GEN
    6329           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6330           7 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
    6331             : /********************************************************************/
    6332             : /**                                                                **/
    6333             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6334             : /**                                                                **/
    6335             : /********************************************************************/
    6336             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6337             : static GEN
    6338           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6339             : {
    6340           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6341           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6342           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6343             : }
    6344             : 
    6345             : GEN
    6346          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6347             : {
    6348             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6349             :   long n, m;
    6350          14 :   pari_sp av = avma;
    6351             : 
    6352          14 :   checkell_Q(e);
    6353          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6354           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6355             : 
    6356           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6357           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6358           7 :   d = ginv(gtoser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
    6359             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6360             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6361           7 :   c = gsqr(d);
    6362             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6363             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6364             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6365             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6366             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6367             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6368             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6369             :    * */
    6370           7 :   C = c+4;
    6371           7 :   X = x+4;
    6372           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6373           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6374           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6375           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6376         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6377             :   {
    6378         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6379             :     GEN s1, s2, s3;
    6380         105 :     if (n != 2)
    6381             :     {
    6382          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6383          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6384          98 :       s2 = gen_0;
    6385        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6386         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6387          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6388          98 :       s1 = gen_0;
    6389          98 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6390          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6391          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6392             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6393          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6394             :     }
    6395             :     else
    6396             :     {
    6397           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6398           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6399           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6400           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6401           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6402           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6403           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6404           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6405           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6406           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6407             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6408           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6409             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6410           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6411             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6412           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6413           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6414             :     }
    6415         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6416             :   }
    6417           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6418           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6419           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6420           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6421           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6422             : }
    6423             : 
    6424             : /********************************************************************/
    6425             : /**                                                                **/
    6426             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6427             : /**                                                                **/
    6428             : /********************************************************************/
    6429             : static GEN
    6430         903 : doellff_get_o(GEN E)
    6431             : {
    6432         903 :   GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
    6433         903 :   return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
    6434             : }
    6435             : GEN
    6436        1183 : ellff_get_o(GEN E)
    6437        1183 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6438             : 
    6439             : GEN
    6440         126 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6441             : {
    6442         126 :   pari_sp av = avma;
    6443             :   GEN fg, r;
    6444         126 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6445         126 :   fg = ellff_get_field(E);
    6446         126 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6447         126 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6448          84 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    6449             :   else
    6450             :   {
    6451          42 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6452          42 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    6453          42 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    6454          42 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    6455             :   }
    6456         126 :   return gerepileuptoint(av, r);
    6457             : }
    6458             : 
    6459             : GEN
    6460         280 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6461             : {
    6462             :   GEN fg;
    6463         280 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6464         273 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6465         273 :   fg = ellff_get_field(E);
    6466         273 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6467          28 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6468             :   else
    6469             :   {
    6470         245 :     pari_sp av = avma;
    6471         245 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6472         490 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6473         490 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6474         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6475             :   }
    6476             : }
    6477             : 
    6478             : GEN
    6479         294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6480             : {
    6481             :   GEN fg;
    6482         294 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6483         294 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6484         294 :   fg = ellff_get_field(E);
    6485         294 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6486          91 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6487             :   else
    6488             :   {
    6489         203 :     pari_sp av = avma;
    6490         203 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6491         406 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6492         406 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6493         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6494             :   }
    6495             : }
    6496             : 
    6497             : /* E/Q, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6498             : static GEN
    6499     2772938 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6500             : {
    6501     2772938 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6502     2772938 :   if (!signe(D))
    6503             :   {
    6504       97972 :     pari_sp av = avma;
    6505       97972 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6506       97972 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6507             :   }
    6508     2674966 :   *good_red = 1;
    6509     2674966 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6510     2674511 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6511     2673111 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6512     2673111 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6513             : }
    6514             : 
    6515             : static GEN
    6516     3052352 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
    6517             : {
    6518             :   GEN q;
    6519     3052352 :   if (p) switch(typ(p))
    6520             :   {
    6521             :     case t_INT:
    6522     2795849 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    6523     2795842 :       break;
    6524             :     case t_VEC:
    6525       97755 :       q = get_prid(p);
    6526       97755 :       if (q) { p = q; break; }
    6527           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    6528             :   }
    6529     3052338 :   checkell(E);
    6530     3052339 :   switch(ell_get_type(E))
    6531             :   {
    6532             :     case t_ELL_Qp:
    6533          14 :       q = ellQp_get_p(E);
    6534          14 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6535          14 :       return q;
    6536             : 
    6537             :     case t_ELL_Fp:
    6538             :     case t_ELL_Fq:
    6539      179440 :       q = ellff_get_p(E);
    6540      179440 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6541      179440 :       return q;
    6542             :     case t_ELL_NF:
    6543             :     case t_ELL_Q:
    6544     2872884 :       if (p) return p;
    6545             :     default:
    6546          14 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    6547           0 :       return NULL;/*not reached*/
    6548             :   }
    6549             : }
    6550             : 
    6551             : GEN
    6552     2922962 : ellap(GEN E, GEN p)
    6553             : {
    6554     2922962 :   pari_sp av = avma;
    6555             :   GEN q, card;
    6556             :   int goodred;
    6557     2922962 :   p = checkellp(E, p, "ellap");
    6558     2922941 :   switch(ell_get_type(E))
    6559             :   {
    6560             :   case t_ELL_Fp:
    6561          91 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6562          91 :     break;
    6563             :   case t_ELL_Fq:
    6564       54460 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6565       54460 :     break;
    6566             :   case t_ELL_Q:
    6567     2770796 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6568     2770796 :     break;
    6569             :   case t_ELL_NF:
    6570       97594 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6571             :   default:
    6572           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6573           0 :     return NULL; /*NOT REACHED*/
    6574             :   }
    6575     2825347 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6576             : }
    6577             : 
    6578             : GEN
    6579          28 : ellsea(GEN E, ulong smallfact)
    6580             : {
    6581          28 :   checkell_Fq(E);
    6582          28 :   switch(ell_get_type(E))
    6583             :   {
    6584             :   case t_ELL_Fp:
    6585             :     {
    6586          14 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6587          14 :       if (abscmpiu(p, 7) <= 0)
    6588           0 :         return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6589          14 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6590             :     }
    6591             :   case t_ELL_Fq:
    6592             :     {
    6593          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6594          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0)
    6595           0 :         return FF_ellcard(E);
    6596          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6597             :     }
    6598             :   }
    6599           0 :   return NULL; /*NOT REACHED*/
    6600             : }
    6601             : 
    6602             : GEN
    6603      158377 : ellff_get_card(GEN E)
    6604      158377 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6605             : 
    6606             : GEN
    6607       87887 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6608             : {
    6609       87887 :   p = checkellp(E, p, "ellcard");
    6610       87887 :   switch(ell_get_type(E))
    6611             :   {
    6612             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6613       85718 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6614             :   case t_ELL_Q:
    6615             :     {
    6616        2142 :       pari_sp av = avma;
    6617             :       int goodred;
    6618        2142 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6619        2142 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6620        2142 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6621             :     }
    6622             :   case t_ELL_NF:
    6623             :     {
    6624          21 :       pari_sp av = avma;
    6625             :       int goodred;
    6626          21 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6627          21 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6628          21 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6629             :     }
    6630             :   default:
    6631           7 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6632           0 :     return NULL; /*NOT REACHED*/
    6633             :   }
    6634             : }
    6635             : 
    6636             : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
    6637             :  * d_r | ... | d_1 */
    6638             : static GEN
    6639        1764 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
    6640             : {
    6641        1764 :   pari_sp av = avma;
    6642        1764 :   if (abscmpiu(p, 3)<=0)
    6643             :   {
    6644        1246 :     ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
    6645        1246 :     long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
    6646        1246 :     long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
    6647        1246 :     if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
    6648        1169 :     if (l==2)
    6649             :     {
    6650          98 :       long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
    6651          98 :       long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
    6652          98 :       long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
    6653          98 :       switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
    6654             :       { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
    6655             :         case 18: case 29:
    6656           7 :           retmkvec(mkvec2s(1,1));
    6657             :         case 19: case 24: case 26:
    6658           7 :           retmkvec(mkvec2s(0,1));
    6659             :         case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
    6660          35 :           retmkvec(mkvec2s(1,0));
    6661             :         default:
    6662          49 :           retmkvec(mkvec2s(0,0));
    6663             :       }
    6664             :     } else
    6665             :     { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6666        1071 :       long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
    6667        1071 :       long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
    6668        1071 :       long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
    6669        1071 :       long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
    6670             :       long x,y;
    6671        1071 :       if (r==2) /* [2,2] */
    6672          63 :         retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
    6673             :       /* cyclic, order d_1 */
    6674        1008 :       y = absequaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
    6675        1008 :       if (absequaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
    6676             :       {
    6677         189 :         long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
    6678         189 :         x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
    6679             :       }
    6680             :       else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
    6681             :       { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
    6682         819 :         if (y == 1)
    6683         630 :           x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
    6684             :         else
    6685         189 :           x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
    6686             :       }
    6687        1008 :       retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
    6688             :     }
    6689             :   }
    6690             :   else
    6691             :   {
    6692         518 :     GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
    6693         518 :     return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
    6694             :   }
    6695             : }
    6696             : 
    6697             : static GEN
    6698       22778 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
    6699             : {
    6700       22778 :   GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
    6701       22771 :   if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
    6702       22694 :   if (absequaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6703       22596 :   if (absequaliu(p, 3))
    6704             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6705             :     ulong b2, b4, b6;
    6706        1071 :     if (!absequaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6707             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6708             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6709         252 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6710         252 :     if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
    6711             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6712         126 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6713         126 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6714         126 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
    6715          63 :     G = mkvec2s(2, 2); goto END;
    6716             :   } /* Now assume p > 3 */
    6717       21525 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6718       21525 :   G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
    6719             : END:
    6720       22771 :   return mkvec2(G, m);
    6721             : }
    6722             : 
    6723             : static GEN
    6724       38675 : doellgroup(GEN E)
    6725             : {
    6726       38675 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6727       38675 :   return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
    6728             : }
    6729             : 
    6730             : GEN
    6731       39172 : ellff_get_group(GEN E)
    6732       39172 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
    6733             : 
    6734             : /* E / Fp */
    6735             : static GEN
    6736       16800 : doellgens(GEN E)
    6737             : {
    6738       16800 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6739       16800 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6740       16744 :     return FF_ellgens(E);
    6741             :   else
    6742             :   {
    6743          56 :     GEN e, Gm, F, p = fg;
    6744          56 :     e = ellff_get_a4a6(E);
    6745          56 :     Gm = ellff_get_group(E);
    6746          56 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
    6747          56 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6748             :   }
    6749             : }
    6750             : 
    6751             : GEN
    6752       16877 : ellff_get_gens(GEN E)
    6753       16877 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6754             : 
    6755             : GEN
    6756       22687 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6757             : {
    6758       22687 :   pari_sp av = avma;
    6759             :   GEN G;
    6760       22687 :   p = checkellp(E,p, "ellgroup");
    6761       22687 :   if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
    6762         378 :   else                G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
    6763       22687 :   return gerepilecopy(av, gel(G,1));
    6764             : }
    6765             : 
    6766             : GEN
    6767       21301 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6768             : {
    6769       21301 :   pari_sp av = avma;
    6770             :   GEN V;
    6771       21301 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6772        1841 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6773        1841 :   p = checkellp(E, p, "ellgroup");
    6774        1834 :   if (!ell_over_Fq(E))
    6775             :   { /* t_ELL_Q */
    6776        1771 :     GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
    6777        1764 :     GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
    6778        1764 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
    6779             :   }
    6780          63 :   V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
    6781          63 :   return gerepilecopy(av, V);
    6782             : }
    6783             : 
    6784             : GEN
    6785       16828 : ellgenerators(GEN E)
    6786             : {
    6787       16828 :   checkell(E);
    6788       16828 :   switch(ell_get_type(E))
    6789             :   {
    6790             :     case t_ELL_Q:
    6791           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    6792             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6793       16814 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    6794             :     default:
    6795           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    6796           0 :       return NULL;/*not reached*/
    6797             :   }
    6798             : }
    6799             : 
    6800             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    6801             : static GEN
    6802       22540 : ellfromj_simple(GEN j)
    6803             : {
    6804       22540 :   pari_sp av = avma;
    6805       22540 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    6806       22540 :   GEN E = zerovec(5);
    6807       22540 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    6808       22540 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    6809             : }
    6810             : GEN
    6811       33817 : ellfromj(GEN j)
    6812             : {
    6813       33817 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    6814             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    6815       33817 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    6816             :   {
    6817             :     case 2:
    6818        3549 :       if (gequal0(j))
    6819           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    6820             :       else
    6821        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    6822             :     case 3:
    6823        7637 :       if (gequal0(j))
    6824           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6825             :       else
    6826             :       {
    6827        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    6828        7630 :         pari_sp av = avma;
    6829        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    6830        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    6831        7630 :         return E;
    6832             :       }
    6833             :   }
    6834       22631 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    6835       22603 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6836       22540 :   return ellfromj_simple(j);
    6837             : }
    6838             : 
    6839             : /********************************************************************/
    6840             : /**                                                                **/
    6841             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    6842             : /**                                                                **/
    6843             : /********************************************************************/
    6844             : 
    6845             : int
    6846      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    6847             : {
    6848      164703 :   pari_sp av = avma;
    6849             :   int res;
    6850             : 
    6851      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    6852         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    6853         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    6854         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6855      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    6856      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    6857      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    6858      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    6859      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6860             :   } else {
    6861           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    6862           0 :     return 0; /*NOT REACHED*/
    6863             :   }
    6864      164696 :   avma = av;
    6865      164696 :   return res;
    6866             : }
    6867             : 
    6868             : int
    6869      164878 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    6870             : {
    6871             :   pari_sp av;
    6872             :   GEN j;
    6873             :   int res;
    6874      164878 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    6875       16975 :   j = ell_get_j(E);
    6876       16975 :   p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
    6877       16975 :   switch(ell_get_type(E))
    6878             :   {
    6879             :   case t_ELL_Fp:
    6880             :   case t_ELL_Fq:
    6881       16800 :     return elljissupersingular(j);
    6882             :   case t_ELL_Q:
    6883          35 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    6884          14 :     av = avma;
    6885          14 :     res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
    6886          14 :     avma = av; return res;
    6887             :   case t_ELL_NF:
    6888             :     {
    6889         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    6890         140 :       av = avma;
    6891         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    6892             :       {
    6893          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    6894           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6895             :       }
    6896             :       else
    6897         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6898         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    6899         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    6900          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6901             :       else
    6902          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6903         126 :       avma = av; return res;
    6904             :     }
    6905             :   default:
    6906           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    6907             :   }
    6908           0 :   return 0; /* Not reached */
    6909             : }
    6910             : 
    6911             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6912             : static GEN
    6913        3080 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    6914             : {
    6915             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    6916        3080 :   if (n==0) return pol_0(v);
    6917        3080 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    6918        1008 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    6919        1008 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    6920        1008 :   if (n==3)
    6921         504 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    6922             :   else
    6923             :   {
    6924         504 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    6925         504 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    6926         504 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    6927             :   }
    6928        1008 :   setvarn(res, v); return res;
    6929             : }
    6930             : 
    6931             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    6932             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6933             : static GEN
    6934        3752 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    6935             : {
    6936             :   GEN ret;
    6937        3752 :   long m = n/2;
    6938        3752 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    6939        2051 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    6940         714 :   else if (odd(n))
    6941             :   {
    6942         427 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6943             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    6944         427 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    6945             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    6946         427 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    6947         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    6948             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    6949         322 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    6950             :   }
    6951             :   else
    6952             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    6953         287 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6954             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    6955         287 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    6956             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    6957         287 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    6958             :   }
    6959        2051 :   gel(t,n) = ret;
    6960        2051 :   return ret;
    6961             : }
    6962             : 
    6963             : GEN
    6964        1953 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    6965             : {
    6966        1953 :   pari_sp av = avma;
    6967             :   GEN f, D, N;
    6968        1953 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6969        1953 :   if (v==-1) v = 0;
    6970        1953 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6971        1953 :   N = characteristic(D);
    6972        1953 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6973        1953 :   if (n<0) n = -n;
    6974        1953 :   if (n==1 || n==3)
    6975         168 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6976             :   else
    6977             :   {
    6978        1785 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6979        1785 :     setvarn(d2,v);
    6980        1785 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6981        1785 :     if (n <= 4)
    6982        1575 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6983             :     else
    6984         210 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    6985        1785 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    6986             :   }
    6987        1953 :   return gerepilecopy(av, f);
    6988             : }
    6989             : 
    6990             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    6991             : GEN
    6992         259 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    6993             : {
    6994         259 :   pari_sp av = avma;
    6995             :   GEN d2, D, N, A, B;
    6996         259 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6997         259 :   if (v==-1) v = 0;
    6998         259 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6999         259 :   N = characteristic(D);
    7000         259 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7001         259 :   if (n < 0) n = -n;
    7002         259 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7003         259 :   setvarn(d2,v);
    7004         259 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7005         259 :   if (n == 0)
    7006             :   {
    7007          21 :     A = pol_0(v);
    7008          21 :     B = pol_0(v);
    7009             :   }
    7010         238 :   else if (n == 1)
    7011             :   {
    7012           7 :     A = pol_1(v);
    7013           7 :     B = pol_x(v);
    7014             :   }
    7015         231 :   else if (n == 2)
    7016             :   {
    7017          98 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    7018          98 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    7019          98 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    7020          98 :     A = d2;
    7021             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    7022          98 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    7023          98 :     setvarn(B,v);
    7024             :   }
    7025             :   else
    7026             :   {
    7027         133 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7028         133 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7029         133 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7030         133 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7031         133 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7032         133 :     if (!odd(n))
    7033           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7034             :     else
    7035         126 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7036             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7037         133 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7038             :   }
    7039         259 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7040             : }
    7041             : 
    7042             : GEN
    7043         175 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
    7044             : {
    7045         175 :   checkell_Q(E);
    7046         175 :   return hyperellpadicfrobenius(ec_bmodel(E), p, n);
    7047             : }

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