Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.12.0 lcov report (development 23824-6063b5d10) Lines: 3742 3987 93.9 %
Date: 2019-04-24 05:44:56 Functions: 343 350 98.0 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      308024 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      308024 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      307555 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      307555 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      307555 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      307555 : }
      37             : static GEN
      38     2810825 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2810825 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2810846 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2810846 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2810805 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2810630 : }
      46             : static GEN
      47       70030 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48       70030 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50       70029 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52       70029 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53       70008 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54       70008 : }
      55             : static void
      56     2810680 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2810680 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2810695 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2810734 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2810481 : }
      62             : static void
      63      307555 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      307555 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      307555 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      307555 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      307555 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       22627 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       22627 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       22630 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       22632 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       22632 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         469 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         469 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         469 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         469 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         469 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       22626 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       22626 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       22625 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         469 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         469 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         469 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         469 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : /* shallow basistoalg */
     111             : static GEN
     112      388262 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     113             : {
     114      388262 :   switch(typ(x))
     115             :   {
     116      384503 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     117        3759 :     default: return basistoalg(nf, x);
     118             :   }
     119             : }
     120             : 
     121             : void
     122      308133 : checkellpt(GEN z)
     123             : {
     124      308133 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     125      308126 :   switch(lg(z))
     126             :   {
     127      302862 :     case 3: break;
     128        5264 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     129             :     /* fall through */
     130           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     131             :   }
     132      308126 : }
     133             : void
     134       72212 : checkell5(GEN E)
     135             : {
     136       72212 :   long l = lg(E);
     137       72212 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     138       72212 : }
     139             : void
     140     4344778 : checkell(GEN E)
     141     4344778 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     142             : void
     143        3416 : checkellisog(GEN v)
     144        3416 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     145             : 
     146             : void
     147        3570 : checkell_Q(GEN E)
     148             : {
     149        3570 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     150           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     151        3563 : }
     152             : 
     153             : void
     154           0 : checkell_Qp(GEN E)
     155             : {
     156           0 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     157           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     158           0 : }
     159             : 
     160             : static int
     161      528493 : ell_over_Fq(GEN E)
     162             : {
     163      528493 :   long t = ell_get_type(E);
     164      528493 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     165             : }
     166             : 
     167             : void
     168      279734 : checkell_Fq(GEN E)
     169             : {
     170      279734 :   if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     171      279727 : }
     172             : 
     173             : GEN
     174      180406 : ellff_get_p(GEN E)
     175             : {
     176      180406 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     177      180406 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     178             : }
     179             : 
     180             : int
     181         315 : ell_is_integral(GEN E)
     182             : {
     183         315 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     184         273 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     185         259 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     186         259 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     187         574 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     188             : }
     189             : 
     190             : static void
     191       72793 : checkcoordch(GEN z)
     192       72793 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     193             : 
     194             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     195             : GEN
     196       12863 : ec_bmodel(GEN e)
     197             : {
     198       12863 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     199       12863 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     200             : }
     201             : 
     202             : static int
     203        6138 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     204             : 
     205             : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
     206             : static GEN
     207        8019 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
     208             : {
     209        8019 :   GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     210        8019 :   long s = ellR_get_sign(e);
     211        8019 :   if (s > 0)
     212             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     213        2046 :     R = real_i(R);
     214        2046 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     215        2046 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     216        2046 :     d3 = subrr(e1,e2);
     217        2046 :     d1 = subrr(e2,e3);
     218        2046 :     d2 = subrr(e1,e3);
     219        2046 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
     220             :   } else {
     221        5973 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     222        5973 :     if (s < 0)
     223             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     224        1647 :       e1 = real_i(e1);
     225        1647 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     226             :     }
     227        5973 :     d3 = gsub(e1,e2);
     228        5973 :     d1 = gsub(e2,e3);
     229        5973 :     d2 = gsub(e1,e3);
     230        5973 :     if (precision(d1) < prec0
     231        5952 :         || precision(d2) < prec0
     232        5952 :         || precision(d3) < prec0) return NULL;
     233             :   }
     234        7976 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     235             : }
     236             : static GEN
     237        4525 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     238             : {
     239             :   long p;
     240        4568 :   for (p = prec0;; p = precdbl(p))
     241          43 :   {
     242        4568 :     GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
     243        9093 :     if (v) return v;
     244          43 :     if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
     245             :   }
     246             : }
     247             : static GEN
     248        1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     249             : 
     250             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     251             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     252             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     253             : GEN
     254      529242 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     255             : {
     256      529242 :   pari_sp av = avma;
     257             :   GEN z;
     258      529242 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     259      529242 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     260      529242 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     261      529242 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     262             : }
     263             : 
     264             : /* a1 x + a3 */
     265             : GEN
     266      546434 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     267             : {
     268      546434 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     269      546434 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     270      546434 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     271             : }
     272             : static GEN
     273      516747 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     274             : {
     275      516747 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     276      516747 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     277      516747 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     278             : }
     279             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     280             : static GEN
     281       15932 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     282             : {
     283       15932 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     284       15932 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     285             : }
     286             : 
     287             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     288             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     289             :  * which is the derivative of the curve equation
     290             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     291             :  * wrt x evaluated at Q */
     292             : GEN
     293        2499 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     294             : {
     295        2499 :   pari_sp av = avma;
     296        2499 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     297        2499 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     298        2499 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     299        2499 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     300        2499 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     301        2499 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     302             : }
     303             : 
     304             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     305             : GEN
     306        5796 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     307             : {
     308        5796 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     309        5796 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     310             : }
     311             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     312             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     313             :  * which is the derivative of the curve equation
     314             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     315             :  * wrt y evaluated at Q */
     316             : GEN
     317         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     318             : {
     319         532 :   pari_sp av = avma;
     320         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     321             : }
     322             : 
     323             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     324             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     325             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     326             : GEN
     327        1806 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     328             : {
     329        1806 :   pari_sp av = avma;
     330        1806 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
     331        1806 :   GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
     332        1806 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     333        1806 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
     334             :   {
     335          91 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E);
     336          91 :     t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
     337          91 :     t2 = nfadd(nf, t1, b42);
     338          91 :     t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
     339          91 :     t2 = nftoalg(nf, t2);
     340             :   }
     341             :   else
     342             :   {
     343        1715 :     t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
     344        1715 :     t2 = gadd(t1, b42);
     345        1715 :     t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
     346             :   }
     347        1806 :   return gerepileupto(av, t2);
     348             : }
     349             : 
     350             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     351             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     352             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     353             : GEN
     354          14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     355             : {
     356          14 :   pari_sp av = avma;
     357          14 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     358          14 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     359          14 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     360          14 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     361          14 :   GEN x2 = gsqr(x);
     362          14 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     363          14 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     364          14 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     365             : }
     366             : 
     367             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     368             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     369             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     370             : GEN
     371        1519 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     372             : {
     373        1519 :   pari_sp av = avma;
     374        1519 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     375        1519 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     376        1519 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     377        1519 :   return gerepileupto(av, res);
     378             : }
     379             : 
     380             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     381             : GEN
     382        2814 : ellbasechar(GEN E)
     383             : {
     384        2814 :   pari_sp av = avma;
     385        2814 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     386        2814 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     387             : }
     388             : 
     389             : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
     390             :  * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
     391             :  * Also allocate room for n dynamic members. */
     392             : static GEN
     393      684547 : initsmall_i(GEN x, long n)
     394             : {
     395             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D;
     396      684547 :   GEN y = obj_init(15, n);
     397      684548 :   switch(lg(x))
     398             :   {
     399             :     case 1:
     400             :     case 2:
     401             :     case 4:
     402             :     case 5:
     403           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     404             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     405             :     case 3:
     406       16212 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     407       16212 :       a4 = gel(x,1);
     408       16212 :       a6 = gel(x,2);
     409       16212 :       b2 = gen_0;
     410       16212 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     411       16212 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     412       16212 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     413       16212 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     414       16212 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     415       16212 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     416       16212 :       break;
     417             :     default: /* l > 5 */
     418             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     419      668329 :       a1 = gel(x,1);
     420      668329 :       a2 = gel(x,2);
     421      668329 :       a3 = gel(x,3);
     422      668329 :       a4 = gel(x,4);
     423      668329 :       a6 = gel(x,5);
     424      668329 :       a11= gsqr(a1);
     425      668323 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     426      668326 :       a13= gmul(a1, a3);
     427      668327 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     428      668326 :       a33= gsqr(a3);
     429      668328 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     430      668328 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     431      668329 :       b22= gsqr(b2);
     432      668328 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     433      668326 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     434      668331 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     435             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     436      668330 :       break;
     437             :     }
     438             :   }
     439      684542 :   gel(y,1) = a1;
     440      684542 :   gel(y,2) = a2;
     441      684542 :   gel(y,3) = a3;
     442      684542 :   gel(y,4) = a4;
     443      684542 :   gel(y,5) = a6;
     444      684542 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     445      684542 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     446      684542 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     447      684542 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     448      684542 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     449      684542 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     450      684542 :   gel(y,12)= D;
     451      684542 :   gel(y,16) = zerovec(n);
     452      684542 :   return y;
     453             : }
     454             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     455             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     456             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     457             :  * component y[16])*/
     458             : static GEN
     459      684526 : initsmall(GEN x, long n)
     460             : {
     461      684526 :   GEN j, y = initsmall_i(x, n), c4 = ell_get_c4(y), D = ell_get_disc(y);
     462      684521 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     463             : 
     464      676632 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     465         315 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     466         315 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     467         315 :     if (degpol(g) == 0)
     468         266 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     469             :     else
     470             :     {
     471          49 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     472          49 :       D = RgX_div(D, g);
     473          49 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     474          49 :       if (degpol(g) == 0)
     475           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     476             :       else
     477             :       {
     478          42 :         D = RgX_div(D, g);
     479          42 :         d = RgX_div(c4, g);
     480          42 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     481          42 :         if (degpol(g))
     482             :         {
     483          21 :           D = RgX_div(D, g);
     484          21 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     485             :         }
     486          42 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     487             :       }
     488             :     }
     489             :   }
     490             :   else
     491      676317 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     492      676632 :   gel(y,13) = j;
     493      676632 :   return y;
     494             : }
     495             : void
     496           0 : ellprint(GEN e)
     497             : {
     498           0 :   pari_sp av = avma;
     499             :   long vx, vy;
     500             :   GEN z;
     501           0 :   checkell5(e);
     502           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     503           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     504           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     505           0 :   (void)delete_var();
     506           0 :   (void)delete_var(); set_avma(av);
     507           0 : }
     508             : 
     509             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     510             : static GEN
     511         203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     512             : {
     513         203 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     514         203 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     515             : 
     516         203 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     517         203 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     518         105 :     b = mulrr(d3,d2);
     519             :   else
     520          98 :     b = cxnorm(d3);
     521         203 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     522         203 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     523         203 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     524         203 :   return mkvec2(a, b);
     525             : }
     526             : GEN
     527        1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     528        1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     529             : 
     530             : /* q a t_REAL*/
     531             : static long
     532          84 : real_prec(GEN q)
     533          84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     534             : /* q a t_PADIC */
     535             : static long
     536         252 : padic_prec(GEN q)
     537         252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     538             : 
     539             : /* check whether moduli are consistent */
     540             : static void
     541       97583 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     542       97583 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     543             : 
     544             : static int
     545       36435 : fix_nftype(GEN *pp)
     546             : {
     547       36435 :   switch(nftyp(*pp))
     548             :   {
     549       36435 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     550           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     551           0 :     default: return 0;
     552             :   }
     553       36435 :   return 1;
     554             : }
     555             : static long
     556      714312 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     557             : {
     558      714312 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     559      714315 :   GEN p = NULL;
     560      714315 :   long t = t_FRAC;
     561      714315 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     562             :   {
     563             :     case t_INT:
     564      490826 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     565        1988 :       p = *pp;
     566        1988 :       t = t_INTMOD;
     567        1988 :       break;
     568             :     case t_INTMOD:
     569         665 :       p = gel(*pp, 1);
     570         665 :       break;
     571             :     case t_REAL:
     572          28 :       e = real_prec(*pp);
     573          28 :       p = NULL;
     574          28 :       break;
     575             :     case t_PADIC:
     576         224 :       ep = padic_prec(*pp);
     577         224 :       p = gel(*pp, 2);
     578         224 :       break;
     579             :     case t_FFELT:
     580       18144 :       p = *pp;
     581       18144 :       break;
     582             :     case t_VEC:
     583       36435 :       t = t_VEC; p = *pp;
     584       36435 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     585             :     default:
     586           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     587           0 :       return 0;
     588             :   }
     589             :   /* Possible cases:
     590             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     591             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     592             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     593             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     594             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     595             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     596     4231673 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     597             :   {
     598     3519949 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     599     3519949 :     switch(typ(q)) {
     600             :       case t_PADIC:
     601          49 :         p2 = gel(q,2);
     602          49 :         switch(t)
     603             :         {
     604          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     605          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     606          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     607             :         }
     608          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     609          28 :         break;
     610             :       case t_INTMOD:
     611      121986 :         p2 = gel(q,1);
     612      121986 :         switch(t)
     613             :         {
     614       24431 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     615          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     616       97492 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     617          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     618             :         }
     619      121970 :         break;
     620             :       case t_FFELT:
     621      255879 :         switch(t)
     622             :         {
     623          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     624       95818 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     625             :           case t_FFELT:
     626      160055 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     627      160055 :             break;
     628           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     629             :         }
     630      255873 :         break;
     631             : 
     632     3138234 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     633             :       case t_REAL:
     634          56 :         switch(t)
     635             :         {
     636          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     637          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     638           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     639             :         }
     640          56 :         break;
     641             :       case t_COL:
     642             :       case t_POL:
     643             :       case t_POLMOD:
     644        3731 :         if (t == t_VEC) break;
     645             :       default: /* base ring too general */
     646        2541 :         return t_COMPLEX;
     647             :     }
     648             :   }
     649      711724 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     650             : }
     651             : 
     652             : /* s = 0 complex, else real;
     653             :  * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
     654             : static GEN
     655        6020 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
     656             : {
     657             :   GEN y;
     658        6020 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     659             :   {
     660             :     case t_ELL_Rg:
     661           7 :     case t_ELL_Q: break;
     662           7 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     663             :   }
     664        6013 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     665        6013 :   if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
     666        6013 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     667        6013 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     668        6013 :   return y;
     669             : }
     670             : 
     671             : static GEN
     672         196 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     673             : {
     674             :   GEN y;
     675         196 :   if (lg(x) > 6)
     676             :   {
     677          28 :     switch(ell_get_type(x))
     678             :     { /* sanity checks */
     679          21 :       case t_ELL_Q: break;
     680           7 :       case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
     681           0 :       default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     682             :     }
     683          21 :     x = vecslice(x,1,5);
     684             :   }
     685         189 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     686         189 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     687         189 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     688         189 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     689         189 :   return y;
     690             : }
     691             : 
     692             : static GEN
     693      496958 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     694             : {
     695             :   GEN y;
     696             :   long s;
     697      496958 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     698      496825 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     699      496825 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     700      496825 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     701      496825 :   return y;
     702             : }
     703             : 
     704             : static GEN
     705       37023 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     706             : {
     707             :   long i, l;
     708       37023 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     709       37023 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     710       37023 :   return y;
     711             : }
     712             : 
     713             : static GEN
     714       37009 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     715             : {
     716             :   GEN y, nf;
     717       37009 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     718       37009 :   nf = checknf(p);
     719       37009 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     720       37009 :   if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
     721       37009 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     722       37009 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     723       37009 :   return y;
     724             : }
     725             : 
     726             : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
     727             : static GEN
     728      113969 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
     729             : {
     730      113969 :   x = FF_ellinit(x,fg);
     731      113969 :   return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
     732             : }
     733             : 
     734             : static GEN
     735       30318 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     736             : {
     737             :   long i;
     738             :   GEN y, disc;
     739       30318 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     740             :   {
     741        2429 :     case t_ELL_Q: break;
     742           0 :     case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
     743           7 :     case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
     744           0 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     745             :   }
     746       30311 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     747             :   /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     748       25371 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
     749       22627 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     750       22656 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     751      316369 :   for(i=1;i<=13;i++)
     752      293753 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     753       22616 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     754       22621 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     755       22623 :   return y;
     756             : }
     757             : 
     758             : static GEN
     759      114046 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     760             : {
     761             :   GEN y;
     762      114046 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     763      111225 :   return FF_ellinit_ns(y,fg);
     764             : }
     765             : 
     766             : static GEN
     767        3493 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     768             : {
     769        3493 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     770             :   GEN p, modP;
     771        3493 :   if (get_modpr(P))
     772             :   { /* modpr accept */
     773        3192 :     modP = P;
     774        3192 :     p = modpr_get_p(modP);
     775             :   }
     776             :   else
     777             :   { /* pr, initialize modpr */
     778         301 :     GEN d = Q_denom(e);
     779         301 :     p = pr_get_p(P);
     780         301 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     781             :   }
     782        3493 :   *pp = p;
     783        3493 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     784        3493 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     785             : }
     786             : static GEN
     787        3472 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     788             : {
     789             :   GEN T,p;
     790        3472 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     791        3472 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     792             : }
     793             : 
     794             : GEN
     795      680151 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     796             : {
     797      680151 :   pari_sp av = avma;
     798             :   GEN y;
     799      680151 :   switch(typ(x))
     800             :   {
     801           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     802             :     case t_VEC:
     803      680144 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     804      680146 :       break;
     805           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     806             :   }
     807      680153 :   if (D && get_prid(D))
     808             :   {
     809        3052 :     if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     810        3052 :     y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     811        3052 :     goto END;
     812             :   }
     813      677101 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     814             :   {
     815             :   case t_PADIC:
     816         196 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     817         189 :     break;
     818             :   case t_INTMOD:
     819       27057 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     820       27050 :     break;
     821             :   case t_FFELT:
     822      113836 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     823      113836 :     break;
     824             :   case t_FRAC:
     825      496958 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     826      496951 :     break;
     827             :   case t_REAL:
     828          28 :     y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
     829          21 :     break;
     830             :   case t_VEC:
     831       36435 :     y = ellinit_nf(x, D);
     832       36435 :     break;
     833             :   default:
     834        2541 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     835             :   }
     836             : END:
     837      680075 :   if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
     838      672165 :   return gerepilecopy(av,y);
     839             : }
     840             : 
     841             : /********************************************************************/
     842             : /**                                                                **/
     843             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     844             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     845             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     846             : /**  verbatim                                                      **/
     847             : /**                                                                **/
     848             : /********************************************************************/
     849             : /* [1,0,0,0] */
     850             : static GEN
     851     2566795 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     852             : static int
     853      456666 : is_trivial_change(GEN v)
     854             : {
     855             :   GEN u, r, s, t;
     856      456666 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     857      456666 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     858      456666 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     859             : }
     860             : 
     861             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     862             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     863             : static void
     864         700 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     865             : {
     866         700 :   GEN v = *vtotal;
     867             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     868             : 
     869         700 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     870         672 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     871         672 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     872         672 :   U2 = gsqr(U);
     873         672 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     874         672 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     875         672 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     876         672 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     877             : }
     878             : 
     879             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     880             : GEN
     881          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     882             : {
     883             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     884          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     885          21 :   u = gel(w,1);
     886          21 :   r = gel(w,2);
     887          21 :   s = gel(w,3);
     888          21 :   t = gel(w,4);
     889          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     890          21 :   U = ginv(u);
     891          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     892          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     893          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     894          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     895             : }
     896             : 
     897             : static GEN
     898       99393 : ell_to_nfell10(GEN e)
     899             : {
     900             :   long i;
     901       99393 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     902       99393 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     903     1093323 :   for(i=1; i<=10; i++)
     904      993930 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     905       99393 :   return y;
     906             : }
     907             : 
     908             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     909             : static GEN
     910      153552 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     911             : {
     912             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     913             :   long lx;
     914      153552 :   if (gequal1(u)) return e;
     915      153139 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     916      153139 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     917      153139 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     918      153139 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     919      153139 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     920      153139 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     921      153139 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
     922      153139 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
     923      153139 :   if (lx == 6) return y;
     924      153132 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
     925      153132 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
     926      153132 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
     927      153132 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
     928      153132 :   return y;
     929             : }
     930             : /* apply [1,r,0,0] */
     931             : static GEN
     932      267323 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
     933             : {
     934             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     935             :   long lx;
     936      267323 :   if (gequal0(r)) return e;
     937      238980 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     938      238980 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
     939      238980 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     940             : 
     941      238980 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
     942             :   /* A2 = a2 + 3r */
     943      238980 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
     944             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     945      238980 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
     946             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     947      238980 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
     948             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     949      238980 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
     950      238980 :   if (lx == 6) return y;
     951             : 
     952      238973 :   b4 = ell_get_b4(e);
     953      238973 :   b6 = ell_get_b6(e);
     954             :   /* B2 = 12r + b2 */
     955      238973 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     956      238973 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
     957      238973 :   r2 = nfsqr(nf,r);
     958             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
     959      238973 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
     960             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
     961      238973 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
     962             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
     963      238973 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
     964      238973 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
     965      238973 :   return y;
     966             : }
     967             : 
     968             : static GEN
     969      109557 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
     970             : {
     971             :   GEN a1, y;
     972      109557 :   if (gequal0(s)) return e;
     973      109557 :   a1 = ell_get_a1(e);
     974      109557 :   y = leafcopy(e);
     975             : 
     976             :   /* A1 = a1 + 2s */
     977      109557 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
     978             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     979      109557 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
     980             :   /* A4 = a4 - s a3 */
     981      109557 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
     982      109557 :   return y;
     983             : }
     984             : /* apply [1,0,0,t] */
     985             : static GEN
     986      251874 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
     987             : {
     988             :   GEN a1, a3, y;
     989      251874 :   if (gequal0(t)) return e;
     990      251454 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     991      251454 :   y = leafcopy(e);
     992             :   /* A3 = 2t + a3 */
     993      251454 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
     994             :   /* A4 = a4 - a1 t */
     995      251454 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
     996             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     997      251454 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
     998      251454 :   return y;
     999             : }
    1000             : 
    1001             : /* apply [1,0,s,t] */
    1002             : static GEN
    1003       12936 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1004             : {
    1005             :   GEN y, a1, a3;
    1006       12936 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1007       12516 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1008       12516 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1009       12516 :   y = leafcopy(e);
    1010             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1011       12516 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1012             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1013       12516 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1014             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1015       12516 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1016             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1017       12516 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1018             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1019       12516 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1020       12516 :   return y;
    1021             : }
    1022             : 
    1023             : static GEN
    1024      171094 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1025             : {
    1026      171094 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1027      171094 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1028             : }
    1029             : 
    1030             : /* apply [1,r,s,t] */
    1031             : static GEN
    1032         420 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1033             : {
    1034         420 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1035         420 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1036             : }
    1037             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1038             : static GEN
    1039         420 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1040             : {
    1041         420 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1042         420 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1043         420 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1044             : }
    1045             : 
    1046             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1047             : static GEN
    1048       73444 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1049             : {
    1050             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1051             :   long lx;
    1052       73444 :   if (gequal1(u)) return e;
    1053       73115 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1054       73115 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1055       73115 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1056       73115 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1057       73115 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1058       73115 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1059       73115 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1060       73115 :   if (lx == 6) return y;
    1061       73115 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1062       73115 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1063       73115 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1064       73115 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1065       73115 :   u12 = gsqr(u6);
    1066       73115 :   D = ell_get_disc(e);
    1067       73115 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1068       73115 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1069       73115 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1070       73115 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1071       73115 :   D = gmul(D, u12);
    1072       73115 :   gel(y,10)= c4;
    1073       73115 :   gel(y,11)= c6;
    1074       73115 :   gel(y,12)= D;
    1075       73115 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1076       73115 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1077       73115 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1078       73115 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1079       73115 :   return y;
    1080             : }
    1081             : /* apply [1,r,0,0] */
    1082             : static GEN
    1083      611212 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1084             : {
    1085             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1086      611212 :   if (gequal0(r)) return e;
    1087      511784 :   y = leafcopy(e);
    1088      511784 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1089      511784 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1090             : 
    1091             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1092      511784 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1093             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1094      511784 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1095             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1096      511784 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1097             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1098      511784 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1099      511784 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1100             : 
    1101      511777 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1102      511777 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1103             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1104      511777 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1105      511777 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1106      511777 :   r2 = gsqr(r);
    1107             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1108      511777 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1109             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1110      511777 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1111             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1112      511777 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1113      511777 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1114      511777 :   return y;
    1115             : }
    1116             : /* apply [1,0,s,0] */
    1117             : static GEN
    1118      118020 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1119             : {
    1120             :   GEN a1, y;
    1121      118020 :   if (gequal0(s)) return e;
    1122      118020 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1123      118020 :   y = leafcopy(e);
    1124             : 
    1125             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1126      118020 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1127             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1128      118020 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1129             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1130      118020 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1131      118020 :   return y;
    1132             : }
    1133             : /* apply [1,0,0,t] */
    1134             : static GEN
    1135      344960 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1136             : {
    1137             :   GEN a1, a3, y;
    1138      344960 :   if (gequal0(t)) return e;
    1139      275002 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1140      275002 :   y = leafcopy(e);
    1141             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1142      275002 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1143             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1144      275002 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1145             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1146      275002 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1147      275002 :   return y;
    1148             : }
    1149             : /* apply [1,0,s,t] */
    1150             : static GEN
    1151      347522 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1152             : {
    1153             :   GEN y, a1, a3;
    1154      347522 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1155      246001 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1156      127981 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1157      127981 :   y = leafcopy(e);
    1158             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1159      127981 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1160             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1161      127981 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1162             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1163      127981 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1164             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1165      127981 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1166             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1167      127981 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1168      127981 :   return y;
    1169             : }
    1170             : /* apply [1,r,s,t] */
    1171             : static GEN
    1172      347522 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1173             : {
    1174      347522 :   e = coordch_r(e, r);
    1175      347522 :   return coordch_st(e, s, t);
    1176             : }
    1177             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1178             : static GEN
    1179       72275 : coordch(GEN e, GEN w)
    1180             : {
    1181       72275 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1182       72275 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1183       72275 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1184             : }
    1185             : 
    1186             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1187             :  * (dynamic data) */
    1188             : static GEN
    1189          35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1190             : {
    1191          35 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1192          35 :   long prec = valp(p);
    1193          35 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1194          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1195             :   {
    1196           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1197           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1198             :   }
    1199          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1200             :   {
    1201           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1202           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1203           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1204           7 :     U = gmul(U, u);
    1205           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1206           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1207             :   }
    1208          35 :   return E;
    1209             : }
    1210             : 
    1211             : /* common to Q and Rg */
    1212             : static GEN
    1213       37044 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1214             : {
    1215       37044 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1216       37044 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1217          28 :     obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1218       37044 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1219          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1220       37044 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1221             :   {
    1222          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1223             :     long i;
    1224          28 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1225          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
    1226             :   }
    1227       37044 :   return E;
    1228             : }
    1229             : 
    1230             : static GEN
    1231           7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1232             : {
    1233           7 :   GEN p = NULL;
    1234           7 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1235           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1236           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1237             : }
    1238             : 
    1239             : static GEN
    1240       37044 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1241             : {
    1242       37044 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1243       37044 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1244       37044 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1245       37037 :   ch_R(E, e, w);
    1246       37037 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1247           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1248       37037 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1249             :   {
    1250        1155 :     if (lg(S) == 2)
    1251             :     { /* model was minimal */
    1252           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1253           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1254           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1255             :     }
    1256             :     else
    1257             :     {
    1258        1148 :       v = gel(S,2);
    1259        1148 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1260        1134 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1261             :       else
    1262             :       {
    1263          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1264          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1265          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1266          14 :         gel(S,2) = v;
    1267             :       }
    1268        1148 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1269             :     }
    1270             :   }
    1271       37037 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1272          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1273       37037 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1274           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1275       37037 :   return E;
    1276             : }
    1277             : 
    1278             : static void
    1279         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1280             : {
    1281             :   GEN S;
    1282         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1283          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1284         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1285          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1286         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1287          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1288         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1289          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1290         126 : }
    1291             : 
    1292             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1293             : static GEN
    1294           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1295             : {
    1296           7 :   long prec = 0;
    1297           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1298           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1299           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1300           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1301             : }
    1302             : static GEN
    1303         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1304             : {
    1305         119 :   long prec = 0;
    1306         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1307         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1308         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1309         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1310             : }
    1311             : 
    1312             : static void
    1313       72191 : ell_reset(GEN E)
    1314       72191 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1315             : 
    1316             : GEN
    1317       72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1318             : {
    1319       72212 :   pari_sp av = avma;
    1320             :   GEN E;
    1321       72212 :   checkell5(e);
    1322       72212 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1323       72205 :   checkcoordch(w);
    1324       72205 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1325       72205 :   if (lg(E) != 6)
    1326             :   {
    1327       72191 :     ell_reset(E);
    1328       72191 :     switch(ell_get_type(E))
    1329             :     {
    1330          35 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1331           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1332         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1333       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1334           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1335             :     }
    1336             :   }
    1337       72205 :   return gerepilecopy(av, E);
    1338             : }
    1339             : 
    1340             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1341             : static void
    1342      164395 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1343             : {
    1344      164395 :   GEN v = *vtotal;
    1345             :   GEN U2, R, S, T;
    1346      164395 :   if (gequal0(r)) return;
    1347       95809 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1348       95809 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1349       95809 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1350       95809 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1351             : }
    1352             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1353             : static void
    1354      109557 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1355             : {
    1356      109557 :   GEN v = *vtotal;
    1357             :   GEN U, S;
    1358      109557 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1359      109557 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1360      109557 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1361      109557 : }
    1362             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1363             : static void
    1364      254030 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1365             : {
    1366      254030 :   GEN v = *vtotal;
    1367             :   GEN U3, U, T;
    1368      254030 :   if (gequal0(t)) return;
    1369       80360 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1370       80360 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1371       80360 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1372             : }
    1373             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1374             : static void
    1375      251846 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1376             : {
    1377      251846 :   GEN v = *vtotal;
    1378             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1379      251846 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1380      171094 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1381      171094 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1382      171094 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1383      171094 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1384      171094 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1385             : }
    1386             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1387             : static void
    1388      184345 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1389             : {
    1390      184345 :   GEN v = *vtotal;
    1391             :   GEN U3, U, S, T;
    1392      184345 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1393      122073 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1394       12516 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1395       12516 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1396       12516 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1397       12516 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1398             : }
    1399             : 
    1400             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1401             : static void
    1402      153132 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1403             : {
    1404      153132 :   GEN v = *vtotal;
    1405      153132 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1406      153132 : }
    1407             : 
    1408             : /* X = (x-r)/u^2
    1409             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1410             : static GEN
    1411         525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1412             : {
    1413             :   GEN a, x, y;
    1414         525 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1415         511 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1416         511 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1417             : }
    1418             : 
    1419             : GEN
    1420         525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1421             : {
    1422             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1423         525 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1424         525 :   pari_sp av = avma;
    1425             : 
    1426         525 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1427         525 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1428         525 :   checkcoordch(ch);
    1429         525 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1430         525 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1431         525 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1432         525 :   tx = typ(gel(x,1));
    1433         525 :   if (is_matvec_t(tx))
    1434             :   {
    1435          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1436          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1437          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1438             :   }
    1439             :   else
    1440         504 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1441         525 :   return gerepilecopy(av,y);
    1442             : }
    1443             : 
    1444             : /* x = u^2*X + r
    1445             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1446             : static GEN
    1447          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1448             : {
    1449             :   GEN a, X, Y;
    1450          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1451          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1452          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1453             : }
    1454             : GEN
    1455          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1456             : {
    1457             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1458          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1459          63 :   pari_sp av = avma;
    1460             : 
    1461          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1462          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1463          63 :   checkcoordch(ch);
    1464          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1465          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1466          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1467          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1468          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1469             :   {
    1470           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1471          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1472           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1473             :   }
    1474             :   else
    1475          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1476          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1477             : }
    1478             : 
    1479             : GEN
    1480       28504 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1481             : {
    1482       28504 :   pari_sp av = avma;
    1483             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1484             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1485             :   GEN V;
    1486       28504 :   checkell(E);
    1487       28504 :   if (!P)
    1488             :   {
    1489             :     GEN a4, a6;
    1490       27188 :     checkell_Fq(E);
    1491       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1492             :     {
    1493             :       case t_ELL_Fp:
    1494             :         {
    1495           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1496           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1497       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1498             :         }
    1499             :       case t_ELL_Fq:
    1500       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1501             :     }
    1502             :   }
    1503        1316 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1504        1316 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1505        1316 :   if (typ(P) == t_INT)
    1506             :   {
    1507        1302 :     if (equali1(P))
    1508         322 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1509         980 :     P = quadpoly(P);
    1510             :   } else
    1511             :   {
    1512          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1513          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1514           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1515             :   }
    1516         994 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1517         994 :   ac = gmul(a, c);
    1518         994 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1519         994 :   D2 = gsqr(D);
    1520         994 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1521         994 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1522         994 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1523         994 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1524         994 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1525         994 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1526         994 :   return gerepilecopy(av, V);
    1527             : }
    1528             : 
    1529             : /********************************************************************/
    1530             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1531             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1532             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1533             : /********************************************************************/
    1534             : 
    1535             : static long
    1536        2877 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1537        2877 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1538             : 
    1539             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1540             :  * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1541             :  * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1542             :  * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1543             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1544             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1545             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1546             :  * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1547             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1548             : static long
    1549         392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1550             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1551             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1552             :   long v4, v6, vD;
    1553             : 
    1554         392 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1555          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1556             : 
    1557             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1558         336 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1559             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1560         329 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1561             : 
    1562             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1563         329 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1564             : 
    1565             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1566         266 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1567         175 :   vD = vali(disc);
    1568         175 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1569         168 :   return -8;
    1570             : }
    1571             : 
    1572             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1573             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1574             : */
    1575             : GEN
    1576         637 : ellminimaltwist(GEN e)
    1577             : {
    1578         637 :   pari_sp av = avma;
    1579         637 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1580             :   long i, lF;
    1581         637 :   checkell_Q(e);
    1582         637 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1583         637 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1584         637 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1585         637 :   disc = ell_get_disc(E);
    1586         637 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1587         637 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1588         637 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1589             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1590             :    * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
    1591             :    * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1592        2366 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1593             :   {
    1594        1729 :     GEN p = gel(F, i);
    1595        1729 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1596        1729 :     if (vg < 6) continue;
    1597             :     /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
    1598             :      * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1599        1197 :     switch(itou_or_0(p))
    1600             :     {
    1601             :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1602         441 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1603         441 :         break;
    1604             :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1605         364 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1606         364 :         break;
    1607             :       case 2:
    1608         392 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1609         392 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1610         392 :         break;
    1611             :     }
    1612             :   }
    1613         637 :   obj_free(E);
    1614         637 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1615             : }
    1616             : 
    1617             : /*
    1618             : Reference:
    1619             : William A. Stein and Mark Watkins
    1620             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1621             : ANTS 5
    1622             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1623             : */
    1624             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1625             : GEN
    1626         371 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1627             : {
    1628         371 :   pari_sp av = avma;
    1629         371 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1630         371 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1631         371 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1632         371 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1633         371 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1634         357 :   else if (f==6)
    1635             :   {
    1636             :     long s, t;
    1637          21 :     if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
    1638             :     else
    1639             :     {
    1640          14 :       t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
    1641          14 :       s = signe(D)==t ? -3: -1;
    1642             :     }
    1643          21 :     D = shifti(D, s);
    1644             :   }
    1645         371 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1646             : }
    1647             : 
    1648             : GEN
    1649         448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1650             : {
    1651         448 :   switch(flag)
    1652             :   {
    1653         266 :     case 0: return ellminimaltwist(e);
    1654         182 :     case 1: return ellminimaltwistcond(e);
    1655             :   }
    1656           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1657             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1658             : }
    1659             : 
    1660             : static long
    1661           7 : ellexpo(GEN E)
    1662             : {
    1663           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1664          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1665             :   {
    1666          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1667          35 :     if (f > e) e = f;
    1668             :   }
    1669           7 :   return e;
    1670             : }
    1671             : 
    1672             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1673             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1674             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1675             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1676             : int
    1677       16009 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1678             : {
    1679             :   GEN LHS, RHS, x;
    1680             :   long pl, pr, ex, expx;
    1681             :   pari_sp av;
    1682             : 
    1683       16009 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1684       15932 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1685       15932 :   av = avma;
    1686       15932 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1687       15932 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1688       15932 :   if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
    1689          21 :   pl = precision(LHS);
    1690          21 :   pr = precision(RHS);
    1691          21 :   if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
    1692             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1693           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1694           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1695           7 :   expx = gexpo(x);
    1696          14 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1697           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1698           7 :   return gc_bool(av,pr);
    1699             : }
    1700             : 
    1701             : GEN
    1702       17157 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1703             : {
    1704       17157 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1705             : 
    1706       17157 :   checkell(e);
    1707       17157 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1708       17157 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1709       17157 :   tx = typ(gel(x,1));
    1710       17157 :   if (is_vec_t(tx))
    1711             :   {
    1712        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1713        1687 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1714        1687 :     return z;
    1715             :   }
    1716       15470 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1717             : }
    1718             : 
    1719             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1720             : static GEN
    1721        1785 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1722             : {
    1723             :   GEN dy,dx;
    1724        1785 :   if (y1 != y2)
    1725             :   {
    1726             :     int eq;
    1727         259 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1728           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1729             :     else
    1730         252 :       eq = gequal(y1,y2);
    1731         259 :     if (!eq) return NULL;
    1732             :   }
    1733        1778 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1734        1778 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1735        1743 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1736             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1737        1743 :   return gdiv(dy,dx);
    1738             : }
    1739             : 
    1740             : GEN
    1741       13384 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1742             : {
    1743             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1744       13384 :   pari_sp av = avma;
    1745             : 
    1746       13384 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1747       13384 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1748       10983 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1749             : 
    1750        9331 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1751        9331 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1752        9331 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1753             :   {
    1754         539 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1755         539 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1756         539 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1757         539 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1758         539 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1759             :   }
    1760        9331 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    1761             :   {
    1762        1785 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1763        1785 :     if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
    1764             :   }
    1765             :   else
    1766        7546 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    1767        9289 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1768        9289 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1769        9289 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1770        9289 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1771        9289 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1772             : }
    1773             : 
    1774             : static GEN
    1775          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1776             : {
    1777             :   GEN t, x, y;
    1778          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1779          49 :   x = gel(z,1);
    1780          49 :   y = gel(z,2);
    1781          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1782             :   {
    1783           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1784           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1785           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1786             :   }
    1787          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1788          49 :   gel(t,1) = x;
    1789          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1790          49 :   return t;
    1791             : }
    1792             : 
    1793             : GEN
    1794         994 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1795             : {
    1796             :   pari_sp av;
    1797             :   GEN t, y;
    1798         994 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1799         994 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1800         994 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1801         994 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1802         994 :   av = avma;
    1803         994 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1804         994 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1805         994 :   return t;
    1806             : }
    1807             : 
    1808             : GEN
    1809          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1810             : {
    1811          49 :   pari_sp av = avma;
    1812          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1813          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1814             : }
    1815             : 
    1816             : /* E an ell, x a scalar */
    1817             : static GEN
    1818        1484 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1819             : {
    1820        1484 :   pari_sp av = avma;
    1821        1484 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1822             : 
    1823        1484 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1824             :   {
    1825         532 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1826         532 :     x = nftoalg(nf,x);
    1827             :   }
    1828        1484 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1829        1484 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1830        1484 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1831             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1832        1484 :   if (gequal0(D)) {
    1833         336 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1834           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1835         336 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1836         336 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1837         336 :     return gerepileupto(av,y);
    1838             :   }
    1839             :   /* D != 0 */
    1840        1148 :   switch(ell_get_type(E))
    1841             :   {
    1842             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1843          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1844          28 :       D = gel(D,2);
    1845          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1846           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1847           7 :       break;
    1848             :     case t_ELL_Fq:
    1849         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1850             :       {
    1851          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1852          77 :         if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1853          28 :         return gerepileupto(av, F);
    1854             :       }
    1855         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1856          77 :       break;
    1857             :     case t_ELL_Q:
    1858         357 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1859         350 :       if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1860         266 :       break;
    1861             : 
    1862             :     case t_ELL_NF:
    1863             :     {
    1864         525 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1865         525 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1866         525 :       d = nfroots(nf, T);
    1867         525 :       delete_var();
    1868         525 :       if (lg(d) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
    1869         511 :       d = gel(d,1);
    1870         511 :       break;
    1871             :     }
    1872             : 
    1873             :     case t_ELL_Qp:
    1874          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1875          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1876          14 :       if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1877          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1878          14 :       break;
    1879             : 
    1880             :     default:
    1881           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1882             :   }
    1883         889 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1884         889 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1885         889 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1886         889 :   return gerepileupto(av,y);
    1887             : }
    1888             : 
    1889             : GEN
    1890        1484 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1891             : {
    1892        1484 :   checkell(e);
    1893        1484 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1894             :   {
    1895             :     long i, lx;
    1896           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1897           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1898           0 :     return v;
    1899             :   }
    1900        1484 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1901             : }
    1902             : 
    1903             : GEN
    1904      244342 : ellrandom(GEN E)
    1905             : {
    1906             :   GEN fg;
    1907      244342 :   checkell_Fq(E);
    1908      244342 :   fg = ellff_get_field(E);
    1909      244342 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1910      244314 :     return FF_ellrandom(E);
    1911             :   else
    1912             :   {
    1913          28 :     pari_sp av = avma;
    1914          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1915          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1916          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1917          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1918             :   }
    1919             : }
    1920             : 
    1921             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    1922             : static GEN
    1923          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    1924             : {
    1925          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1926             :   long ln, vn;
    1927             : 
    1928          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    1929           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1930          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    1931          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1932          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1933          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1934          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    1935          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1936          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1937             :   do
    1938             :   {
    1939          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1940             :     do
    1941             :     {
    1942          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1943          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    1944          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1945             :     }
    1946          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    1947          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1948          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1949          21 :     if (!signe(z2)) break;
    1950           7 :     z2 = ginv(z2);
    1951             :   }
    1952           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    1953          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1954           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1955          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1956          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    1957          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    1958          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1959          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1960             : 
    1961          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1962          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1963          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1964          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1965             : 
    1966          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    1967          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1968          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1969          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    1970          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1971             : }
    1972             : 
    1973             : static GEN
    1974         637 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1975             : static GEN
    1976         196 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1977             : 
    1978             : static GEN
    1979      248248 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1980             : {
    1981      248248 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1982      248249 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1983      247702 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1984             :   else
    1985             :   {
    1986         547 :     pari_sp av = avma;
    1987         547 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1988         548 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1989         547 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1990         474 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1991         473 :     return gerepileupto(av, Q);
    1992             :   }
    1993             : }
    1994             : /* [n] z, n integral */
    1995             : static GEN
    1996      248758 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1997             : {
    1998             :   long s;
    1999      248758 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2000      248760 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2001         511 :   s = signe(n);
    2002         511 :   if (!s) return ellinf();
    2003         462 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2004         462 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2005         392 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2006             : }
    2007             : 
    2008             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2009             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2010             : static long
    2011          42 : myroundr(GEN *px)
    2012             : {
    2013          42 :   GEN x = *px;
    2014             :   long e;
    2015          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2016          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2017          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2018          42 :   return OK;
    2019             : }
    2020             : 
    2021             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2022             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2023             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2024             : static GEN
    2025          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2026             : {
    2027             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2028             :   long prec;
    2029             : 
    2030          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2031          14 :   switch(typ(Q))
    2032             :   {
    2033             :     case t_COMPLEX:
    2034           0 :       D = utoineg(4);
    2035           0 :       v = gel(Q,2);
    2036           0 :       break;
    2037             :     case t_QUAD:
    2038          14 :       D = quad_disc(Q);
    2039          14 :       v = gel(Q,3);
    2040          14 :       break;
    2041             :     default:
    2042           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2043             :   }
    2044             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2045          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    2046          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2047          14 :   prec = precision(tau);
    2048             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2049             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2050             :    * Compute f*k */
    2051          14 :   x = gel(tau,1);
    2052          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2053          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2054          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2055             :   {
    2056           0 :     case NO: return NULL;
    2057           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2058             :   }
    2059          14 :   fk = absi_shallow(fk);
    2060             : 
    2061          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2062          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2063             :   {
    2064           0 :     case NO: return NULL;
    2065           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2066             :   }
    2067             : 
    2068          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2069          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2070             :   {
    2071           0 :     case NO: return NULL;
    2072           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2073             :   }
    2074             : 
    2075             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2076          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2077          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2078          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2079          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2080             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2081          14 :   v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
    2082          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2083          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2084             : }
    2085             : 
    2086             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2087             : static GEN
    2088          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2089             : {
    2090             :   GEN A, B, q;
    2091          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2092          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2093          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2094          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2095             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2096          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2097             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2098             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2099           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2100           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2101           7 :     u = shifti(u, -1);
    2102           7 :     if (signe(u))
    2103             :     {
    2104           0 :       w = gsub(w, u);
    2105           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2106             :     }
    2107             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2108             :   }
    2109          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2110          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2111          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2112          14 :   return elladd(e, A, B);
    2113             : }
    2114             : GEN
    2115      248851 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2116             : {
    2117      248851 :   pari_sp av = avma;
    2118             : 
    2119      248851 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2120      248843 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2121      248759 :   switch(typ(n))
    2122             :   {
    2123      248745 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2124             :     case t_QUAD: {
    2125          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2126          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2127          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2128             :     }
    2129             :     case t_COMPLEX: {
    2130           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2131           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2132             :     }
    2133             :   }
    2134           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2135             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2136             : }
    2137             : 
    2138             : /********************************************************************/
    2139             : /**                                                                **/
    2140             : /**                       Periods                                  **/
    2141             : /**                                                                **/
    2142             : /********************************************************************/
    2143             : 
    2144             : /* References:
    2145             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2146             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2147             : */
    2148             : 
    2149             : static GEN
    2150        4112 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2151             : {
    2152        4112 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2153        4112 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2154        4112 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2155             : }
    2156             : 
    2157             : static GEN
    2158        3173 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2159             : {
    2160        3173 :   pari_sp av = avma;
    2161        3173 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    2162        3173 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2163        3173 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2164        3173 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2165             : }
    2166             : 
    2167             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2168             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2169             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2170             : static GEN
    2171        4112 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2172             : {
    2173        4112 :   pari_sp av = avma;
    2174             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2175        4112 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2176         939 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    2177         939 :   d2 = gel(roots,5);
    2178         939 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2179         939 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2180         939 :   b = gel(z,2);
    2181         939 :   c = gabs(z, prec);
    2182         939 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2183         939 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2184             : }
    2185             : static GEN
    2186          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2187          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    2188             : 
    2189             : GEN
    2190        5593 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2191        5593 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2192             : GEN
    2193          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2194          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2195             : GEN
    2196        5498 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2197        5498 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2198             : 
    2199             : GEN
    2200        2310 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2201             : {
    2202        2310 :   pari_sp av = avma;
    2203             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2204        2310 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2205        2310 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2206        2310 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2207        2310 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2208             : }
    2209             : 
    2210             : /********************************************************************/
    2211             : /**                                                                **/
    2212             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2213             : /**                                                                **/
    2214             : /********************************************************************/
    2215             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2216             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2217             : static GEN
    2218          14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2219             : {
    2220          14 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2221          14 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2222          14 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2223          14 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2224          14 :   GEN z = gel(om,2);
    2225          14 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2226           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2227             :   else
    2228          14 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2229          14 :   return gmul2n(z, -1);
    2230             : }
    2231             : 
    2232             : static GEN
    2233          35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2234             : {
    2235          35 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2236          35 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2237          35 :   if (gequal0(y0))
    2238           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2239             :   else
    2240             :   {
    2241          35 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2242          35 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2243          35 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2244          35 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2245          35 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2246             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2247          35 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2248          35 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2249             :   }
    2250             : }
    2251             : 
    2252             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2253             : static GEN
    2254           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2255             : {
    2256           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2257           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2258             :   else
    2259             :   {
    2260           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2261           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2262           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2263           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2264           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2265           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2266           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2267           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2268             :   }
    2269             : }
    2270             : 
    2271             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2272             : static GEN
    2273          21 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2274             : {
    2275          21 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2276          21 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2277          21 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2278           7 :   e1 = gel(R,1);
    2279           7 :   e2 = gel(R,2);
    2280           7 :   e3 = gel(R,3);
    2281           7 :   d2 = gel(R,5);
    2282           7 :   d3 = gel(R,6);
    2283           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2284           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2285           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2286           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2287           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2288           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2289             :   } else {
    2290           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2291           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2292           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2293           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2294             :   }
    2295             : }
    2296             : 
    2297             : static void
    2298           7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2299             : {
    2300           7 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2301           7 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2302           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2303           0 : }
    2304             : static GEN
    2305         161 : get_r0(GEN E, long prec)
    2306             : {
    2307         161 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2308         161 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2309             : }
    2310             : static GEN
    2311         112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2312             : {
    2313         112 :   pari_sp av = avma;
    2314             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2315             :   long vq, vt, Q, R;
    2316         112 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2317         105 :   ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
    2318         105 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2319         105 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2320         105 :   x = gel(P,1);
    2321         105 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2322         105 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2323         105 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2324          98 :   r = gsub(a,b);
    2325          98 :   ar = gmul(a, r);
    2326          98 :   if (gequal0(c0))
    2327             :   {
    2328           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2329           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2330             :   }
    2331             :   else
    2332             :   {
    2333          91 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2334          91 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2335          91 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2336          84 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2337             :   }
    2338          91 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2339          91 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2340             : 
    2341          91 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2342          91 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2343             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2344          91 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2345          56 :     vt = valp(t);
    2346             :   else
    2347          35 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2348          91 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2349          91 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2350          91 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2351          91 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2352          91 :   return gerepileupto(av, t);
    2353             : }
    2354             : 
    2355             : static GEN
    2356          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2357             : {
    2358          56 :   pari_sp av = avma;
    2359             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2360             :   long v;
    2361          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2362             : 
    2363          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2364          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2365          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2366          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2367          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2368          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2369          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2370             : 
    2371          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2372          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2373          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2374          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2375          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2376             : }
    2377             : 
    2378             : static GEN
    2379          56 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
    2380             : {
    2381             :   GEN t;
    2382             :   long s;
    2383          56 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2384          56 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2385          56 :   s = ellR_get_sign(e);
    2386          56 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2387          21 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2388             :   else
    2389          35 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2390          56 :   return t;
    2391             : }
    2392             : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
    2393             : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
    2394             : static void ellnfembed_free(GEN L);
    2395             : GEN
    2396         161 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
    2397             : {
    2398         161 :   pari_sp av = avma;
    2399         161 :   checkell(E); checkellpt(P);
    2400         161 :   switch(ell_get_type(E))
    2401             :   {
    2402             :     case t_ELL_Qp:
    2403         112 :       prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
    2404         112 :       return ellQp_P2t(E, P, prec);
    2405             :     case t_ELL_NF:
    2406             :     {
    2407           7 :       GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    2408           7 :       long i, l = lg(Pe);
    2409           7 :       for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
    2410           7 :       ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
    2411             :     }
    2412           7 :     case t_ELL_Q: break;
    2413          35 :     case t_ELL_Rg: break;
    2414           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
    2415             :   }
    2416          42 :   return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
    2417             : }
    2418             : 
    2419             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2420             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2421             : typedef struct {
    2422             :   enum period_type type;
    2423             :   GEN in; /* original input */
    2424             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2425             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2426             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2427             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2428             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2429             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2430             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2431             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2432             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2433             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2434             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2435             :   long prec; /* precision(Z) */
    2436             : } ellred_t;
    2437             : 
    2438             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2439             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2440             : static void
    2441       23681 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2442             : {
    2443       23681 :   GEN a, b, c, d, t, t0e, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2444       23681 :   long e = gexpo(gel(t0,2));
    2445       23681 :   t = t0e = (e >= 0)? t0: gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
    2446       23681 :   a = d = gen_1;
    2447       23681 :   b = c = gen_0;
    2448             :   for(;;)
    2449       21924 :   {
    2450       45605 :     GEN m, n = ground(gel(t,1));
    2451       45605 :     if (signe(n))
    2452             :     { /* apply T^n */
    2453       27446 :       t = gsub(t,n);
    2454       27446 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2455       27446 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2456             :     }
    2457       45605 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2458       21924 :     t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
    2459       21924 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2460       21924 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2461             :   }
    2462       23681 :   if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0e;
    2463       23681 :   *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
    2464       23681 : }
    2465             : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2466             :  * Set *pU to U. */
    2467             : GEN
    2468        9079 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
    2469             : {
    2470             :   GEN a,b,c,d;
    2471        9079 :   set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
    2472        9079 :   *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2473        9079 :   *czd = gadd(gmul(c,z), d);
    2474        9079 :   return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
    2475             : }
    2476             : GEN
    2477        9044 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    2478             : {
    2479        9044 :   pari_sp av = avma;
    2480             :   GEN czd;
    2481        9044 :   t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
    2482        9044 :   gerepileall(av, 2, &t, pU); return t;
    2483             : }
    2484             : 
    2485             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2486             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2487             : static void
    2488       14602 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2489             : {
    2490             :   long s, p;
    2491       14602 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2492       14602 :   if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2493       14602 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2494       14602 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2495             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2496       14602 :   T->swap = (s < 0);
    2497       14602 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2498       14602 :   set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2499             :   /* update lattice */
    2500       14602 :   p = precision(T->tau);
    2501       14602 :   if (p)
    2502             :   {
    2503       14224 :     T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
    2504       14224 :     T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
    2505             :   }
    2506       14602 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2507       14602 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2508       14602 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2509       14602 :   if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2510       14602 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    2511       14602 :   T->prec = p;
    2512       14602 : }
    2513             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2514             : static void
    2515       15673 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2516             : {
    2517       15673 :   if (typ(z) != t_COMPLEX)      { *real = 1; *imag = 0; }
    2518       10283 :   else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
    2519        9758 :   else *real = *imag = 0;
    2520       15673 : }
    2521             : static void
    2522        9933 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2523             : {
    2524             :   long p;
    2525             :   GEN Z;
    2526        9933 :   switch(typ(z))
    2527             :   {
    2528        9933 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2529             :     case t_QUAD:
    2530           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2531           0 :       break;
    2532           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2533             :   }
    2534        9933 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2535        9933 :   T->z = z;
    2536        9933 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    2537        9933 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2538        9933 :   T->y = ground(real_i(Z));
    2539        9933 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2540        9933 :   T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
    2541             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2542        9933 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2543        9933 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2544             :   {
    2545             :     int W2real, W2imag;
    2546        4872 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2547        4872 :     if (W2real)
    2548         392 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2549        4480 :     else if (W2imag)
    2550         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2551             :   }
    2552        9933 :   p = precision(Z);
    2553        9933 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    2554          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    2555        9933 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2556        9933 :   T->Z = Z;
    2557        9933 : }
    2558             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2559             : static GEN
    2560        8904 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2561             : {
    2562        8904 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2563        8904 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2564        8904 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2565        8904 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2566        4269 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2567             : }
    2568             : /* e is either
    2569             :  * - [w1,w2]
    2570             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2571             :  * - an ellinit structure */
    2572             : static void
    2573       14602 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2574             : {
    2575             :   GEN w, e;
    2576       14602 :   T->q_is_real = 0;
    2577       14602 :   T->some_q_is_real = 0;
    2578       14602 :   switch(T->type)
    2579             :   {
    2580             :     case t_PER_ELL:
    2581             :     {
    2582        1057 :       long pr, p = prec;
    2583        1057 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2584        1057 :       e = T->in;
    2585        1057 :       w = ellR_omega(e, p);
    2586        1057 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2587        1057 :       break;
    2588             :     }
    2589             :     case t_PER_W:
    2590       13363 :       w = T->in; break;
    2591             :     default: /*t_PER_WETA*/
    2592         182 :       w = gel(T->in,1); break;
    2593             :   }
    2594       14602 :   T->w1 = gel(w,1);
    2595       14602 :   T->w2 = gel(w,2);
    2596       14602 :   red_modSL2(T, prec);
    2597       14602 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2598       14602 : }
    2599             : static int
    2600       14609 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2601             : {
    2602             :   GEN w1;
    2603       14609 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2604       14609 :   T->in = e;
    2605       14609 :   switch(lg(e))
    2606             :   {
    2607             :     case 17:
    2608        1064 :       T->type = t_PER_ELL;
    2609        1064 :       break;
    2610             :     case 3:
    2611       13545 :       w1 = gel(e,1);
    2612       13545 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    2613       13363 :         T->type = t_PER_W;
    2614             :       else
    2615             :       {
    2616         182 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    2617         182 :         T->type = t_PER_WETA;
    2618             :       }
    2619       13545 :       break;
    2620           0 :     default: return 0;
    2621             :   }
    2622       14609 :   return 1;
    2623             : }
    2624             : static int
    2625       14525 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    2626             : {
    2627       14525 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    2628       14525 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    2629             : }
    2630             : 
    2631             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    2632             : static GEN
    2633        9016 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    2634             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    2635             : GEN
    2636       33537 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    2637             : 
    2638             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    2639             : static GEN
    2640       13573 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    2641             : {
    2642       13573 :   GEN y = cxEk(T->Tau, k, T->prec);
    2643       13573 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    2644       13573 :   return cxtoreal(y);
    2645             : }
    2646             : 
    2647             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    2648             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    2649             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    2650             : GEN
    2651        4452 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    2652             : {
    2653        4452 :   pari_sp av = avma;
    2654             :   GEN y;
    2655             :   ellred_t T;
    2656             : 
    2657        4452 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    2658        4452 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    2659        4452 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    2660        4452 :   y = _elleisnum(&T, k);
    2661        4452 :   if (k==2 && signe(T.c))
    2662        4018 :   {
    2663        4018 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    2664        4018 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    2665             :   }
    2666         434 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    2667         413 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    2668        4452 :   return gerepileupto(av,y);
    2669             : }
    2670             : 
    2671             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    2672             : static GEN
    2673        8939 : _elleta(ellred_t *T)
    2674             : {
    2675        8939 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
    2676        8939 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    2677        8939 :   y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
    2678        8939 :   retmkvec2(y1, y2);
    2679             : }
    2680             : 
    2681             : /* compute eta1, eta2 */
    2682             : GEN
    2683          84 : elleta(GEN om, long prec)
    2684             : {
    2685          84 :   pari_sp av = avma;
    2686             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    2687             :   ellred_t T;
    2688             : 
    2689          84 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    2690          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    2691             : 
    2692          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    2693          77 :   prec = T.prec;
    2694          77 :   pi = mppi(prec);
    2695          77 :   E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
    2696          77 :   if (signe(T.c))
    2697             :   {
    2698          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    2699             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    2700          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    2701             :   }
    2702          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    2703          77 :   if (T.swap)
    2704             :   {
    2705           7 :     y1 = y2;
    2706           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    2707             :   }
    2708             :   else
    2709          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    2710          77 :   switch(typ(T.w1))
    2711             :   {
    2712             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    2713          49 :       y1 = real_i(y1);
    2714             :   }
    2715          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    2716             : }
    2717             : GEN
    2718          49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    2719             : {
    2720          49 :   pari_sp av = avma;
    2721             :   ellred_t T;
    2722          49 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    2723          49 :   switch(flag)
    2724             :   {
    2725          14 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    2726          35 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    2727           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    2728             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2729             :   }
    2730             : }
    2731             : 
    2732             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    2733             : static double
    2734        9793 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    2735             : 
    2736             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    2737             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    2738             : static GEN
    2739         987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    2740             : {
    2741             :   long toadd;
    2742         987 :   pari_sp av = avma, av1;
    2743             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    2744             :   ellred_t T;
    2745             :   int simple_case;
    2746             : 
    2747         987 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    2748         987 :   if (!T.Z) return NULL;
    2749         966 :   prec = T.prec;
    2750             : 
    2751             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    2752         966 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2753         966 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    2754         966 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    2755         966 :   u1 = gsubsg(1,u);
    2756         966 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    2757         966 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    2758         966 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    2759         966 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    2760         966 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2761         966 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    2762         966 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    2763         966 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2764             : 
    2765         966 :   av1 = avma; qn = q;
    2766             :   for(;;)
    2767       11872 :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    2768             :     /* analogous formula for yp */
    2769       12838 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    2770       12838 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    2771       12838 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    2772       12838 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    2773       12838 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    2774       12838 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    2775         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    2776             :     else
    2777             :     {
    2778       12450 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    2779       12450 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    2780       12450 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    2781       12450 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    2782             :     }
    2783       12838 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    2784       12838 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    2785       12838 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    2786             : 
    2787       12838 :     qn = gmul(q,qn);
    2788       12838 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2789       11872 :     if (gc_needed(av1,1))
    2790             :     {
    2791           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    2792           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    2793             :     }
    2794             :   }
    2795         966 :   if (yp)
    2796             :   {
    2797         903 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
    2798         903 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    2799             :   }
    2800             : 
    2801         966 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    2802         966 :   u2 = gsqr(u1);
    2803         966 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    2804         966 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    2805         567 :     y = real_i(y);
    2806         966 :   if (yp)
    2807             :   {
    2808         903 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    2809         903 :     if (T.some_q_is_real)
    2810             :     {
    2811         903 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    2812         385 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    2813             :     }
    2814         903 :     y = mkvec2(y, yp);
    2815             :   }
    2816         966 :   return gerepilecopy(av, y);
    2817             : }
    2818             : static GEN
    2819         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    2820             : {
    2821             :   long i, k, l;
    2822             :   pari_sp av;
    2823         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    2824             : 
    2825         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    2826         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    2827             : 
    2828         301 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    2829         301 :   _1 = Rg_get_1(c4);
    2830         301 :   switch(PRECDL)
    2831             :   {
    2832         301 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    2833             :     case 6:
    2834         301 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    2835             :     case 4:
    2836         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    2837             :     case 2:
    2838         301 :     case 1: P[0] = _1;
    2839             :   }
    2840         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    2841         301 :   av = avma;
    2842         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    2843        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    2844             :   {
    2845         784 :     av = avma;
    2846         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    2847         784 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    2848         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    2849         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    2850         784 :     if (k % 3 == 2)
    2851         273 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    2852             :     else /* same value, more efficient */
    2853         511 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    2854         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    2855             :   }
    2856         301 :   return res;
    2857             : }
    2858             : 
    2859             : static int
    2860         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    2861             : {
    2862         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    2863             :   {
    2864             :     case 17:
    2865         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    2866         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    2867         203 :       return 1;
    2868             :     case 3:
    2869             :     {
    2870             :       ellred_t T;
    2871          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    2872          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    2873          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    2874          91 :       return 1;
    2875             :     }
    2876             :   }
    2877           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    2878           0 :   return 0;
    2879             : }
    2880             : 
    2881             : GEN
    2882          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    2883             : {
    2884             :   GEN c4, c6;
    2885          14 :   checkell(e);
    2886          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2887          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    2888             : }
    2889             : 
    2890             : GEN
    2891           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    2892           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    2893             : 
    2894             : GEN
    2895         182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    2896             : {
    2897         182 :   pari_sp av = avma;
    2898             :   GEN y;
    2899             : 
    2900         182 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    2901         182 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2902         182 :   y = toser_i(z);
    2903         182 :   if (y)
    2904             :   {
    2905         105 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2906             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2907         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    2908         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    2909         105 :     if (gequal0(y)) {
    2910           0 :       set_avma(av);
    2911           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    2912           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    2913             :     }
    2914         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2915         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2916         105 :     if (!flag)
    2917         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    2918             :     else
    2919             :     {
    2920           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    2921           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    2922             :     }
    2923             :   }
    2924          77 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    2925          77 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    2926          70 :   return gerepileupto(av, y);
    2927             : }
    2928             : 
    2929             : GEN
    2930         161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    2931             : {
    2932             :   long prec;
    2933         161 :   pari_sp av = avma;
    2934         161 :   GEN pi2, q, y, et = NULL;
    2935             :   ellred_t T;
    2936             : 
    2937         161 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2938         161 :   y = toser_i(z);
    2939         161 :   if (y)
    2940             :   {
    2941          91 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2942             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2943          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    2944          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    2945          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    2946          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2947          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    2948          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2949          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    2950             :   }
    2951          70 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    2952          70 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    2953          70 :   prec = T.prec;
    2954          70 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    2955             : 
    2956          70 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2957          70 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    2958             : 
    2959          70 :   y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    2960          70 :   if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
    2961             :   { /* else u = -1 and this vanishes */
    2962          70 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2963          70 :     GEN qn, u, v, S = gen_0;
    2964             :     pari_sp av1;
    2965          70 :     u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    2966          70 :     v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    2967          70 :     if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    2968          70 :     y = gadd(y, v);
    2969             :     /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
    2970             :      *     = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
    2971          70 :     av1 = avma;
    2972          70 :     for (qn = q;;)
    2973             :     {
    2974        1600 :       S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
    2975         835 :       qn = gmul(q,qn);
    2976         835 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2977         765 :       if (gc_needed(av1,1))
    2978             :       {
    2979           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    2980           0 :         gerepileall(av1,2, &S,&qn);
    2981             :       }
    2982             :     }
    2983          70 :     y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
    2984             :   }
    2985          70 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    2986          70 :   if (T.some_q_is_real)
    2987             :   {
    2988          70 :     if (T.some_z_is_real)
    2989             :     {
    2990          28 :       if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
    2991             :     }
    2992          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag)
    2993             :     {
    2994          21 :       if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
    2995          21 :         gel(y,1) = gen_0;
    2996             :     }
    2997             :   }
    2998          70 :   return et? gerepileupto(av, gadd(y,et)): gerepilecopy(av, y);
    2999             : }
    3000             : 
    3001             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3002             : GEN
    3003        8974 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3004             : {
    3005             :   long toadd, prec, n;
    3006        8974 :   pari_sp av = avma, av1;
    3007             :   GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3008             :   ellred_t T;
    3009             : 
    3010        8974 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3011             : 
    3012        8974 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3013        8974 :   y = toser_i(z);
    3014        8974 :   if (y)
    3015             :   {
    3016          98 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3017             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3018          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3019          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3020          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3021          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3022          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3023          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3024             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3025          91 :     P = integser(serchop0(P));
    3026          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3027          91 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3028          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3029          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3030             :   }
    3031        8876 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3032        8876 :   if (!T.Z)
    3033             :   {
    3034           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3035           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3036             :   }
    3037        8869 :   prec = T.prec;
    3038        8869 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3039        8869 :   pi  = mppi(prec);
    3040             : 
    3041        8869 :   urninv = uinv = NULL;
    3042        8869 :   if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
    3043             :   {
    3044         112 :     toadd = 0;
    3045         112 :     urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
    3046         112 :     u = gen_1;
    3047             :   }
    3048             :   else
    3049             :   {
    3050        8757 :     toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3051        8757 :     urn = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3052        8757 :     u = gneg_i(gsqr(urn));
    3053        8757 :     if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
    3054             :   }
    3055        8869 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    3056        8869 :   q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
    3057        8869 :   y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
    3058       65194 :   for(n=0;;n++)
    3059             :   { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
    3060             :      * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
    3061      121519 :     y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
    3062       65194 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3063       65194 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3064       56325 :     qn  = gmul(q,qn);
    3065       56325 :     urn = gmul(urn,u);
    3066       56325 :     if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
    3067       56325 :     if (gc_needed(av1,1))
    3068             :     {
    3069           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3070           0 :       gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3071             :     }
    3072             :   }
    3073        8869 :   y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3074        8869 :   y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
    3075             : 
    3076        8869 :   et = _elleta(&T);
    3077        8869 :   z0 = gmul(T.Z,T.W2);
    3078        8869 :   y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
    3079        8869 :   etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
    3080        8869 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
    3081        8869 :   if (flag)
    3082             :   {
    3083        8799 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3084        8799 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
    3085             :     /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
    3086        8799 :     if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
    3087          21 :       y = real_i(y);
    3088             :   }
    3089             :   else
    3090             :   {
    3091          70 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3092          70 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
    3093          70 :     if (T.some_q_is_real)
    3094             :     {
    3095             :       int re, cx;
    3096          70 :       check_complex(z,&re,&cx);
    3097          70 :       if (re) y = real_i(y);
    3098          49 :       else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
    3099             :     }
    3100             :   }
    3101        8869 :   return gerepilecopy(av, y);
    3102             : }
    3103             : 
    3104             : GEN
    3105         966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3106             : {
    3107         966 :   pari_sp av = avma;
    3108             :   GEN v;
    3109             : 
    3110         966 :   checkell(e);
    3111         966 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3112             :   {
    3113          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3114          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3115             :   }
    3116         910 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3117         910 :   if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
    3118         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3119         896 :   gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
    3120         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3121             : }
    3122             : 
    3123             : /********************************************************************/
    3124             : /**                                                                **/
    3125             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3126             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3127             : /**                                                                **/
    3128             : /********************************************************************/
    3129             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3130             : typedef struct {
    3131             :   long a1; /*{0,1}*/
    3132             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3133             :   long a3; /*{0,1}*/
    3134             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3135             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3136             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3137             : } ellmin_t;
    3138             : 
    3139             : /* u from [u,r,s,t] */
    3140             : static void
    3141      517062 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3142             : {
    3143      517062 :   M->u = u;
    3144      517062 :   if (is_pm1(u))
    3145      453852 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3146             :   else
    3147             :   {
    3148       63210 :     M->u2 = sqri(u);
    3149       63210 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3150       63210 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3151       63210 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3152             :   }
    3153      517062 : }
    3154             : /* E = original curve */
    3155             : static void
    3156      517062 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3157             : {
    3158      517062 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3159      517062 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3160       63210 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3161       63210 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3162             :   }
    3163      517062 :   M->c4 = c4;
    3164      517062 :   M->c6 = c6;
    3165      517062 : }
    3166             : static void
    3167      516754 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3168             : {
    3169      516754 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3170      516754 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3171      516754 :   M->D = D;
    3172      516754 : }
    3173             : static void
    3174      516915 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3175             : {
    3176             :   long b22, b2;
    3177      516915 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3178      516915 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3179      516915 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3180      516915 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3181      516915 : }
    3182             : static void
    3183      516775 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3184             : {
    3185      516775 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3186      516775 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3187      516775 :   if (odd(b2))
    3188             :   {
    3189      256991 :     a1 = 1;
    3190      256991 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3191             :   }
    3192             :   else
    3193             :   {
    3194      259784 :     a1 = 0;
    3195      259784 :     a2 = b2 >> 2;
    3196             :   }
    3197      516775 :   M->a1 = a1;
    3198      516775 :   M->a2 = a2;
    3199      516775 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3200      516775 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3201      516775 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3202      516775 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3203      516775 : }
    3204             : static void
    3205      516747 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3206             : {
    3207      516747 :   min_set_u(M, u);
    3208      516747 :   min_set_c(M, E);
    3209      516747 :   min_set_D(M, E);
    3210      516747 :   min_set_b(M);
    3211      516747 :   min_set_a(M);
    3212      516747 : }
    3213             : static GEN
    3214      503657 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3215             : {
    3216      503657 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3217             :   long a11, a13;
    3218      503657 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3219      503657 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3220      503657 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3221      503657 :   gel(y,4) = M->a4;
    3222      503657 :   gel(y,5) = M->a6;
    3223      503657 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3224      503657 :   gel(y,7) = M->b4;
    3225      503657 :   gel(y,8) = M->b6;
    3226      503657 :   a11 = M->a1;
    3227      503657 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3228      503657 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3229             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3230      503657 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3231      503657 :   gel(y,10)= M->c4;
    3232      503657 :   gel(y,11)= M->c6;
    3233      503657 :   gel(y,12)= M->D;
    3234      503657 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3235      503657 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3236      503657 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3237      503657 :   return y;
    3238             : }
    3239             : static GEN
    3240      516747 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3241             : {
    3242             :   GEN r, s, t;
    3243      516747 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3244      516747 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3245      516747 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3246      516747 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3247             : }
    3248             : 
    3249             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3250             : static long
    3251     1684728 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3252             : {
    3253     1684728 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3254     1684728 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3255     1684728 :   if (!signe(c6))
    3256             :   {
    3257        2933 :     d = vD / 12;
    3258        2933 :     if (d)
    3259             :     {
    3260        1071 :       if (p == 2)
    3261             :       {
    3262         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3263         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3264         819 :         if (a) d--;
    3265             :       }
    3266        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3267             :     }
    3268        2933 :     v6 = 12; /* +oo */
    3269             :   }
    3270             :   else
    3271             :   {
    3272     1681795 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3273     1681795 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3274     1681795 :     if (d) {
    3275      181167 :       if (p == 2) {
    3276      109739 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3277      109739 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3278      109739 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3279      109739 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3280       71428 :       } else if (p == 3) {
    3281       45199 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3282             :       }
    3283      181167 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3284             :     }
    3285             :   }
    3286     1684728 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3287             : }
    3288             : static long
    3289      878885 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3290             : {
    3291             :   GEN c6;
    3292             :   long d, v6, vD;
    3293      878885 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3294          39 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3295          39 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3296          39 :   if (!signe(c6))
    3297             :   {
    3298           0 :     d = vD / 12;
    3299           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3300           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3301             :   }
    3302             :   else
    3303             :   {
    3304          39 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3305          39 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3306          39 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3307             :   }
    3308          39 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3309             : }
    3310             : 
    3311             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3312             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3313             :   in the form [f, kod, v, c].
    3314             : 
    3315             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3316             : 
    3317             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3318             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3319             :     I0  -->  1
    3320             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3321             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3322             : 
    3323             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3324             : 
    3325             :   * c is the Tamagawa number.
    3326             : 
    3327             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3328             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3329             : static GEN
    3330     1733445 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3331             : {
    3332     1733445 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3333     1733445 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3334     1733445 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3335     1733445 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3336     1733445 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3337             : }
    3338             : static GEN
    3339           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3340             : {
    3341           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3342           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3343             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3344             : }
    3345             : 
    3346             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3347             : static long
    3348      879732 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3349             : 
    3350             : /* p > 3, e integral */
    3351             : static GEN
    3352      878885 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3353             : {
    3354             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3355      878885 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3356             : 
    3357      878885 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3358      878885 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3359      878885 :   nuj = j_pval(e, p);
    3360      878885 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3361      878885 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3362      878885 :   if (!k) v = init_ch();
    3363             :   else
    3364             :   { /* model not minimal */
    3365             :     ellmin_t M;
    3366       13097 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3367       13097 :     v = min_get_v(&M, e);
    3368       13097 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3369             :   }
    3370             : 
    3371      878885 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3372             :   {
    3373      760711 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3374      760711 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3375             :       {
    3376      392182 :         case  1: c = nuD; break;
    3377      368529 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3378           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3379             :       }
    3380      760711 :       break;
    3381             :     case 6:
    3382             :     {
    3383       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3384       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3385       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3386       45703 :       break;
    3387             :     }
    3388           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3389             :   }
    3390       72471 :   else switch(nuD)
    3391             :   {
    3392         539 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3393       11683 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3394       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3395        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3396        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3397        5635 :       break;
    3398       16842 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3399       16842 :       p2 = sqri(p);
    3400             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3401       16842 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3402             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3403             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3404       16842 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3405       16842 :       break;
    3406       11620 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3407       11620 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3408       11620 :       break;
    3409       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3410        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3411           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3412             :   }
    3413      878885 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3414             : }
    3415             : 
    3416             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3417             : static ulong
    3418      888531 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3419      888531 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3420             : 
    3421             : static ulong
    3422     1421910 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3423     1421910 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
    3424             : 
    3425             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3426             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3427             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3428             : static long
    3429      244237 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3430             : {
    3431      244237 :   if (p == 2)
    3432             :   {
    3433      141099 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    3434      122381 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    3435             :   }
    3436             :   /* p = 3 */
    3437      103138 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    3438       69027 :   *mult = a * b;
    3439       69027 :   if (b == 2)
    3440       22974 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3441             :   else
    3442       46053 :     return c ? 3 : 2;
    3443             : }
    3444             : 
    3445             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3446             : static long
    3447      788865 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3448             : {
    3449      788865 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    3450             :   /* p = 3 */
    3451      301084 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3452             : }
    3453             : 
    3454             : /* p = 2 or 3 */
    3455             : static GEN
    3456      704116 : localred_23(GEN e, long p)
    3457             : {
    3458             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3459             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3460             :   GEN v;
    3461             : 
    3462      704116 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3463      704116 :   if (!k) v = init_ch();
    3464             :   else
    3465             :   {
    3466             :     ellmin_t M;
    3467       48776 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3468       48776 :     v = min_get_v(&M, e);
    3469       48776 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3470             :   }
    3471             :   /* model is minimal */
    3472      704116 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3473      704116 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3474      322749 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3475             : 
    3476      704116 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3477      702653 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3478             :   {
    3479      385987 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3480      195951 :       c = nuD;
    3481             :     else
    3482      190036 :       c = 2 - (nuD & 1);
    3483      385987 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3484             :   }
    3485      316666 :   if (p == 2)
    3486             :   {
    3487      185843 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3488      185843 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3489      185843 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3490      185843 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3491             :   }
    3492             :   else /* p == 3 */
    3493             :   {
    3494      130823 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3495      130823 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3496      130823 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3497      130823 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3498             :   }
    3499             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3500      316666 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3501      316666 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3502       22288 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3503      294378 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3504       27636 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3505      266742 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3506             :   {
    3507       22505 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3508       11522 :       c = 3;
    3509             :     else
    3510       10983 :       c = 1;
    3511       22505 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3512             :   }
    3513             : 
    3514      244237 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3515       91000 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3516             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3517      244237 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3518      244237 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3519      244237 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3520      244237 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3521             :   {
    3522             :     case 3:
    3523       35987 :       c = a63 ? 1: 2;
    3524       35987 :       if (p == 2)
    3525       18718 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3526             :       else {
    3527       17269 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3528       17269 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3529             :       }
    3530       35987 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3531             :     case 2:
    3532             :     { /* compute nu */
    3533             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3534             :       long al, be, ga;
    3535      130340 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3536             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3537      130340 :       nu = 1;
    3538      130340 :       pk  = utoipos(p2);
    3539      130340 :       p2k = utoipos(p4);
    3540             :       for(;;)
    3541             :       {
    3542      645050 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3543      387695 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3544      387695 :         al = 1;
    3545      387695 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3546      323260 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3547      323260 :         pk1 = pk;
    3548      323260 :         pk  = mului(p, pk);
    3549      323260 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3550             : 
    3551      323260 :         al = a21;
    3552      323260 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3553      323260 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3554      323260 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3555      257355 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3556      257355 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3557             :       }
    3558      130340 :       if (p == 2)
    3559       72254 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    3560             :       else
    3561       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3562      130340 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3563             :     }
    3564             :     case 1:
    3565       77910 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3566             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3567       77910 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3568       77910 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    3569       77910 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    3570             :       {
    3571       29750 :         if (p == 2)
    3572       20300 :           c = 3 - 2 * a64;
    3573             :         else
    3574        9450 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    3575       29750 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    3576             :       }
    3577       48160 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    3578             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    3579       48160 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    3580       28966 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    3581             : 
    3582             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    3583       19194 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    3584             :   }
    3585             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3586             : }
    3587             : 
    3588             : /* e is integral */
    3589             : static GEN
    3590     1582616 : localred(GEN e, GEN p)
    3591             : {
    3592     1582616 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    3593      878885 :     return localred_p(e,p);
    3594             :   else
    3595             :   {
    3596      703731 :     long l = itos(p);
    3597      703731 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    3598      703731 :     return localred_23(e, l);
    3599             :   }
    3600             : }
    3601             : 
    3602             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    3603             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    3604             : static GEN
    3605       26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    3606             : {
    3607       26306 :   GEN b = z;
    3608             :   long i;
    3609       26306 :   if (typ(b) == t_INT)
    3610             :   {
    3611       26215 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    3612       26215 :     return shifti(negi(b),-1);
    3613             :   }
    3614         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3615             :   {
    3616         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3617             :   }
    3618          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    3619             : }
    3620             : 
    3621             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    3622             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    3623             : static GEN
    3624       13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    3625             : {
    3626       13153 :   GEN b = z;
    3627             :   long i;
    3628       13153 :   if (typ(b) == t_INT)
    3629             :   {
    3630       13104 :     long s = smodis(b,3);
    3631       13104 :     if (s)
    3632             :     {
    3633           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    3634           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    3635           0 :         b = subii(b, Jz);
    3636             :       else
    3637           0 :         b = addii(b, Jz);
    3638             :     }
    3639       13104 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    3640             :   }
    3641         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3642             :   {
    3643          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    3644          98 :     if (!s) continue;
    3645          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    3646          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    3647             :     else
    3648          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3649             :   }
    3650          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    3651             : }
    3652             : 
    3653             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    3654             : static GEN
    3655        3724 : get_piinv(GEN P)
    3656             : {
    3657        3724 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    3658        3724 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    3659        3724 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    3660             : }
    3661             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    3662             : static void
    3663      150444 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    3664             : {
    3665      150444 :   if (pr_is_inert(P))
    3666             :   {
    3667      146755 :     *pi = pr_get_p(P);
    3668      146755 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    3669             :   }
    3670             :   else
    3671             :   {
    3672        3689 :     *pv = get_piinv(P);
    3673        3689 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    3674             :   }
    3675      150444 : }
    3676             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    3677             : static GEN
    3678      242060 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    3679             : {
    3680      242060 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3681      242060 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3682      242060 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    3683             : }
    3684             : 
    3685             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    3686             : static GEN
    3687      392007 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    3688             : {
    3689      392007 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    3690      392007 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3691      392007 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    3692             : }
    3693             : 
    3694             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    3695             : 
    3696             : static GEN
    3697      216468 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    3698             : {
    3699      216468 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    3700      216468 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    3701      216468 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3702      216468 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    3703             : }
    3704             : 
    3705             : static GEN
    3706      585130 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    3707             : {
    3708      585130 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3709      585130 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    3710      585130 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    3711      585130 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    3712      585130 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    3713             : }
    3714             : 
    3715             : static GEN
    3716       15512 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    3717             : {
    3718       15512 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3719       15512 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    3720       15512 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    3721       15512 :   long n = 1;
    3722             :   while(1)
    3723       24682 :   {
    3724       40194 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    3725             :     GEN gama;
    3726       40194 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3727             :     {
    3728        8071 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3729        8071 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3730             :     }
    3731       32123 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3732       32123 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    3733       32123 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3734       32123 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    3735       32123 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3736             :     {
    3737        7441 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3738        7441 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3739             :     }
    3740       24682 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3741       24682 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    3742       24682 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    3743       24682 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3744             :   }
    3745             : }
    3746             : 
    3747             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    3748             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    3749             : 
    3750             : static GEN
    3751       99393 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    3752             : {
    3753             :   GEN T, p, modP;
    3754             :   long vD;
    3755             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    3756       99393 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3757       99393 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    3758       99393 :   ch = init_ch();
    3759       99393 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3760       99393 :   *ap = 0;
    3761             :   while(1)
    3762             :   {
    3763      405657 :     if (vD==0)
    3764         679 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    3765             :     else
    3766             :     {
    3767      251846 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3768      251846 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3769      251846 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    3770      251846 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    3771      251846 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    3772             :       GEN x0, y0;
    3773      251846 :       if (absequaliu(p,2))
    3774             :       {
    3775             :         GEN x02, y02;
    3776      164444 :         if (signe(a1))
    3777             :         {
    3778       30191 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    3779       30191 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    3780       30191 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    3781             :         }
    3782             :         else
    3783             :         {
    3784      134253 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    3785      134253 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    3786             :         }
    3787      164444 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    3788             :       }
    3789             :       else
    3790             :       {
    3791       87402 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    3792       87402 :         if (signe(a12))
    3793       27524 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    3794             :         else
    3795       59878 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    3796       87402 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    3797             :       }
    3798      251846 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    3799      251846 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    3800      251846 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    3801             :     }
    3802             :     /* 2 */
    3803             :     {
    3804      251846 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    3805      251846 :       if (signe(b2) != 0)
    3806             :       {
    3807       57715 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    3808       57715 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    3809       57715 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    3810       27895 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    3811             :       }
    3812             :     }
    3813             :     /* 3 */
    3814             :     {
    3815      194131 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    3816      194131 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    3817             :     }
    3818             :     /* 4 */
    3819             :     {
    3820      191429 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    3821      191429 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    3822             :     }
    3823             :     /* 5 */
    3824      187719 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    3825             :     {
    3826      187719 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    3827      187719 :       if (vb6<=2)
    3828             :       {
    3829        3374 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    3830        3374 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3831        3374 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    3832             :       }
    3833             :     }
    3834             :     /* 6 */
    3835             :     {
    3836      184345 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    3837      184345 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    3838      184345 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    3839             :       GEN po2, E, F, mr;
    3840             :       long i, lE;
    3841      184345 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    3842      184345 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    3843      184345 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    3844             :       {
    3845       69748 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    3846       69748 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    3847       69748 :         lE = lg(E);
    3848       69748 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    3849             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    3850             :           long c; /* 1 + number of roots */
    3851        4739 :           switch(lE)
    3852             :           {
    3853        1764 :             case 2: c = 1; break;
    3854        2625 :             case 3: c = 2; break;
    3855         350 :             default: c = 4; break;
    3856             :           }
    3857        4739 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    3858             :         }
    3859             :       /* 7 */
    3860       65009 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    3861       65009 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    3862       65009 :         if (!gequal0(mr))
    3863             :         { /* not so frequent */
    3864       58961 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    3865       58961 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    3866             :         }
    3867       65009 :         if (lE == 3)
    3868       15512 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    3869             :       }
    3870             :     }
    3871      164094 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    3872      164094 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    3873             :     /*  8 */
    3874      164094 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    3875             :     {
    3876        4459 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    3877        4459 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    3878             :     }
    3879             :     /*  9 */
    3880             :     {
    3881      159635 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    3882      159635 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    3883      159635 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    3884        3962 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    3885             :     }
    3886             :     /* 10 */
    3887      155673 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    3888        2541 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    3889             :     /* 11 */
    3890      153132 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    3891      153132 :     vD -= 12;
    3892             :   }
    3893             : }
    3894             : 
    3895             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    3896             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    3897             : static GEN
    3898       51051 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    3899             : {
    3900       51051 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3901             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    3902             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    3903             : 
    3904       51051 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3905       51051 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3906       51051 :   D = ell_get_disc(e);
    3907       51051 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3908       51051 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    3909       51051 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    3910       51051 :   m = (vD - nuj)/12;
    3911       51051 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    3912             : 
    3913       51051 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    3914             :   else
    3915             :   { /* model not minimal */
    3916             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    3917       13153 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    3918       13153 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    3919       13153 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    3920       13153 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    3921       13153 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    3922       13153 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    3923       13153 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    3924       13153 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    3925       13153 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    3926       13153 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    3927       13153 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    3928       13153 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    3929       13153 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    3930       13153 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    3931       13153 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    3932       13153 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    3933       13153 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    3934       13153 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    3935             :   }
    3936             : 
    3937       51051 :   kod = 0; c = 1;
    3938             :   /* minimal at P */
    3939       51051 :   if (nuj > 0)
    3940             :   { /* v(j) < 0 */
    3941       47313 :     if (vD == nuj)
    3942             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    3943       45220 :       f = 1; kod = 4+vD;
    3944       45220 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    3945       45220 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    3946       24059 :         c = vD;/* split */
    3947             :       else
    3948       21161 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    3949             :     }
    3950             :     else
    3951             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    3952             :       GEN Du;
    3953        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    3954        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    3955        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    3956        2093 :       if(odd(vD))
    3957             :       {
    3958             :         GEN c6u;
    3959        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    3960        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    3961        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    3962             :       }
    3963        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    3964             :     }
    3965             :   }
    3966             :   else
    3967             :   { /* v(j) >= 0 */
    3968        3738 :     f = vD? 2: 0;
    3969        3738 :     switch(vD)
    3970             :     {
    3971             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    3972          91 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    3973         616 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    3974         497 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    3975         273 :       case 4: kod = 4;
    3976         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    3977         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3978         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3979         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3980         273 :         break;
    3981         903 :       case 6: kod = -1;
    3982         903 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    3983         903 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    3984         903 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3985         903 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    3986         903 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    3987         903 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    3988         903 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    3989         903 :         break;
    3990         609 :       case 8: kod = -4;
    3991         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    3992         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3993         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3994         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3995         609 :         break;
    3996         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    3997         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    3998             :     }
    3999             :   }
    4000       51051 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4001             : }
    4002             : /* E is integral */
    4003             : static GEN
    4004      101353 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4005             : {
    4006      101353 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4007      101353 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4008             :   {
    4009             :     long i, ap, vu;
    4010       50302 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4011       50302 :     GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4012       50302 :     gel(q,3) = v;
    4013             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4014       50302 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4015       50302 :     if (vu > 0)
    4016             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4017       49315 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4018       49315 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    4019       49315 :       if (!equali1(D))
    4020             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4021             :         GEN a;
    4022         413 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4023             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4024         413 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4025         413 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    4026         413 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    4027         413 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    4028             :       }
    4029             :     }
    4030       50302 :     for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    4031       50302 :     return q;
    4032             :   }
    4033       51051 :   return nflocalred_p(E,pr);
    4034             : }
    4035             : 
    4036             : static GEN
    4037     3341994 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
    4038             : {
    4039     3341994 :   GEN q, E = *pE;
    4040             :   long tE;
    4041     3341994 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    4042     3341965 :   if (pv) *pv = NULL;
    4043     3341965 :   if (p) switch(typ(p))
    4044             :   {
    4045             :     case t_INT:
    4046     2986747 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    4047     2986728 :       break;
    4048             :     case t_VEC:
    4049      196679 :       q = get_prid(p);
    4050      196679 :       if (q && tE == t_ELL_NF)
    4051             :       {
    4052      196679 :         *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4053      196679 :         return q;
    4054             :       }
    4055           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    4056             :   }
    4057     3145263 :   switch(tE)
    4058             :   {
    4059             :     case t_ELL_Fp:
    4060      180035 :     case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
    4061         273 :     case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
    4062     2964955 :     case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
    4063             :     default:
    4064          19 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    4065             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4066             :   }
    4067     3145244 :   if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
    4068     3145209 :   if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
    4069     2965172 :     *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4070     3145242 :   return q;
    4071             : }
    4072             : 
    4073             : GEN
    4074      197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
    4075             : {
    4076      197085 :   pari_sp av = avma;
    4077             :   GEN v, q;
    4078      197085 :   checkell(E);
    4079      197085 :   p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
    4080      197071 :   switch(ell_get_type(E))
    4081             :   {
    4082             :     case t_ELL_Qp:
    4083       99477 :     case t_ELL_Q:  q = localred(E, p); break;
    4084       97594 :     case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
    4085           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
    4086             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4087             :   }
    4088      197071 :   if (v)
    4089             :   { /* compose local change of variables with v */
    4090          28 :     GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
    4091          28 :     if (is_trivial_change(w))
    4092          21 :       gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4093             :     else
    4094           7 :       gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
    4095             :   }
    4096      197071 :   return gerepilecopy(av, q);
    4097             : }
    4098             : 
    4099             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4100             : static GEN
    4101        9247 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4102             : {
    4103        9247 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4104        9247 :   return c;
    4105             : }
    4106             : static GEN
    4107    18106425 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4108             : {
    4109    18106425 :   *pd = NULL;
    4110    18106425 :   switch(typ(c))
    4111             :   {
    4112    18095825 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4113        1386 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4114             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4115        9247 :       if (nf)
    4116             :       {
    4117        9247 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4118        9247 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4119             :       }
    4120           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4121           0 :       return NULL;
    4122             :   }
    4123             : }
    4124             : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
    4125             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4126             : GEN
    4127     3621334 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4128             : {
    4129             :   GEN a, t, u, L, nf;
    4130             :   long i, l, k;
    4131             : 
    4132     3621334 :   if (pv) *pv = NULL;
    4133             :   /* t_ELL_Qp is also possible */
    4134     3621334 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4135     3621331 :   L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
    4136    21727829 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4137             :   {
    4138             :     GEN d;
    4139    18106457 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4140    18106478 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4141        2359 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4142             :   }
    4143             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4144     3621372 :   l = lg(L); if (l == 1) return e;
    4145        1169 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4146        1169 :   l = lg(L);
    4147             : 
    4148        1169 :   t = gen_1;
    4149        2653 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4150             :   {
    4151        1484 :     GEN p = gel(L,k);
    4152        1484 :     long n = 0, m;
    4153        8904 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4154        7420 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4155             :       {
    4156        4137 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4157        4137 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4158        4137 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4159             :       }
    4160        1484 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4161             :   }
    4162        1169 :   u = ginv(t);
    4163        1169 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4164        1169 :   return coordch_uinv(e, t);
    4165             : }
    4166             : GEN
    4167         315 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4168             : {
    4169         315 :   pari_sp av = avma;
    4170         315 :   checkell(e);
    4171         315 :   switch(ell_get_type(e))
    4172             :   {
    4173             :     case t_ELL_Q:
    4174             :     case t_ELL_Qp:
    4175         315 :     case t_ELL_NF: break;
    4176           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4177             :   }
    4178         315 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4179         315 :   if (!pv || !*pv)
    4180             :   {
    4181         294 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4182         294 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4183             :   }
    4184             :   else
    4185          21 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4186         315 :   return e;
    4187             : }
    4188             : 
    4189             : static long
    4190        1904 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4191             : {
    4192        1904 :   long N = 1; /* oo */
    4193        1904 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4194        1799 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4195        1904 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4196        1603 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4197        1904 :   return N;
    4198             : }
    4199             : static long
    4200        2254 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4201             : {
    4202        2254 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4203             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4204        2254 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4205             : }
    4206             : static long
    4207        1883 : cardmod2(GEN e)
    4208             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4209        1883 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4210        1883 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4211        1883 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4212        1883 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4213        1883 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4214        1883 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4215             : }
    4216             : static long
    4217        2114 : cardmod3(GEN e)
    4218             : {
    4219        2114 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4220        2114 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4221        2114 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4222        2114 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4223             : }
    4224             : 
    4225             : static ulong
    4226         182 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4227             : 
    4228             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4229             : static void
    4230          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4231             : {
    4232          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4233          28 :   min_set_c(M, E);
    4234          28 :   min_set_b(M);
    4235          28 :   min_set_a(M);
    4236          28 : }
    4237             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4238             : static void
    4239         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4240             : {
    4241         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4242         140 :   min_set_c(M, E);
    4243         140 :   min_set_b(M);
    4244         140 : }
    4245             : 
    4246             : static long
    4247      101353 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4248             : {
    4249      101353 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4250      101353 :   if (vD) /* bad reduction */
    4251             :   {
    4252             :     GEN c6;
    4253             :     long s;
    4254      101045 :     *good_red = 0;
    4255      101045 :     if (vc6) return 0;
    4256       74256 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4257       74256 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4258       74256 :     s = kroiu(c6,p);
    4259       74256 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4260       74256 :     return s;
    4261             :   }
    4262         308 :   *good_red = 1;
    4263         308 :   if (p == 2)
    4264             :   {
    4265             :     ellmin_t M;
    4266          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4267          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4268          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4269             :   }
    4270         287 :   else if (p == 3)
    4271             :   {
    4272             :     ellmin_t M;
    4273         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4274         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4275         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4276             :   }
    4277             :   else
    4278             :   {
    4279             :     ellmin_t M;
    4280         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4281         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4282         147 :     min_set_c(&M, E);
    4283         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4284         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4285             :   }
    4286             : }
    4287             : 
    4288             : static GEN
    4289       98497 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4290             : {
    4291             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4292             :   long vc6, vD, d;
    4293       98497 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4294           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4295           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4296           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4297           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4298           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4299           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4300             :   {
    4301             :     long s;
    4302           0 :     *good_red = 0;
    4303           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4304           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4305           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4306           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4307           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4308             :   }
    4309           0 :   *good_red = 1;
    4310           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4311           0 :   if (d)
    4312             :   {
    4313           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4314           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4315           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4316             :   }
    4317           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4318           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4319             : }
    4320             : 
    4321             : static GEN
    4322      116937 : doellcard(GEN E)
    4323             : {
    4324      116937 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4325      116937 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4326       95244 :     return FF_ellcard(E);
    4327             :   else
    4328             :   {
    4329       21693 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4330       21693 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4331             :   }
    4332             : }
    4333             : 
    4334             : static GEN
    4335      168295 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4336             : {
    4337      168295 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4338      168296 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4339      168290 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4340             :   {
    4341             :     long ap;
    4342       49091 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4343       49091 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4344       49091 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4345         420 :     *good_red = 1;
    4346         420 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    4347         420 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    4348         420 :     card = FF_ellcard(E);
    4349             :   }
    4350             :   else
    4351             :   {
    4352      119197 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4353      119187 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4354      119176 :     if (vD)
    4355             :     {
    4356             :       GEN c6new;
    4357       49161 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    4358       49161 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    4359       49161 :       if (vD > 12*d)
    4360             :       { /* bad reduction */
    4361       49126 :         *good_red = 0;
    4362       98252 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4363       43771 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    4364       43771 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4365             :       }
    4366          35 :       if (d)
    4367             :       { /* model not minimal at P */
    4368          35 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    4369          35 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4370          35 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4371          35 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    4372          35 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4373          35 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4374             :       }
    4375             :     }
    4376       70050 :     *good_red = 1;
    4377       70050 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4378       70061 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4379       70064 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4380      141851 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4381       71756 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4382             :   }
    4383       70515 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4384             : }
    4385             : 
    4386             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4387             :  * basis */
    4388             : static GEN
    4389      455784 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4390             : {
    4391             :   GEN P;
    4392      455784 :   if (!signe(a))
    4393        1715 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4394      454069 :   else if (!signe(b))
    4395         959 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4396             :   else
    4397             :   {
    4398      453110 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4399             :     long k, l;
    4400      453110 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4401      344792 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4402      344792 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4403             :     /* d = gcd(A,B) */
    4404      344792 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4405      344792 :     l = lg(P);
    4406      344792 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4407      344792 :     P = shallowconcat1(P);
    4408      344792 :     P = ZV_sort(P);
    4409             :   }
    4410      347466 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4411             : }
    4412             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4413             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4414             : static GEN
    4415      454874 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
    4416             : {
    4417             :   pari_sp av;
    4418      454874 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4419      454874 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4420      454874 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4421             :   long l, k;
    4422             : 
    4423      454874 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4424      454874 :   l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
    4425      346696 :   DP = coltrunc_init(l);
    4426      346696 :   av = avma;
    4427      346696 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4428      346696 :   u = gen_1;
    4429      852985 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4430             :   {
    4431      506289 :     GEN p = gel(P, k);
    4432      506289 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4433      506289 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4434             :     {
    4435             :       case 2:
    4436             :       {
    4437             :         long a, b;
    4438       57071 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4439       57071 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4440       57071 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4441       57071 :         break;
    4442             :       }
    4443             :       case 3:
    4444        2513 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4445        2513 :         break;
    4446             :     }
    4447      506289 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4448      506289 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4449             :   }
    4450      346696 :   if (pDP) *pDP = DP;
    4451      346696 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4452             : }
    4453             : 
    4454             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4455             : static GEN
    4456          35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4457             : {
    4458          35 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4459          35 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4460          35 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4461             : 
    4462          35 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4463          35 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4464          35 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4465          35 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4466          35 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4467          35 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4468          35 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4469          35 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4470          35 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4471          35 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4472             : }
    4473             : 
    4474             : static GEN
    4475        2604 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    4476             : {
    4477        2604 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    4478        2604 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    4479             : }
    4480             : static GEN
    4481         910 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    4482             : {
    4483         910 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4484         910 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    4485         910 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    4486         910 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    4487             : }
    4488             : static GEN
    4489         784 : ellnf_D_primes(GEN E)
    4490             : {
    4491         784 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4492         784 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    4493         784 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    4494         784 :   long k, l = lg(P);
    4495         784 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    4496         784 :   if (!is_pm1(DZ))
    4497             :   {
    4498         693 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    4499         693 :     settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
    4500             :   }
    4501         784 :   return P;
    4502             : }
    4503             : 
    4504             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    4505             : static GEN
    4506         889 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    4507             : {
    4508             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    4509         889 :   long k, l = lg(P);
    4510         889 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4511         889 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4512         889 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4513         889 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4514         889 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4515        4326 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4516             :   {
    4517        3437 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    4518             :     long vu;
    4519        3437 :     v = gel(q,3);
    4520        3437 :     u = gel(v,1);
    4521        3437 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4522        3437 :     if (!vu) continue;
    4523         784 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4524         784 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4525         784 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4526         784 :     vectrunc_append(L, pr);
    4527         784 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4528             :   }
    4529         889 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    4530             : }
    4531             : /* E integral */
    4532             : static GEN
    4533         931 : ellminimalprimes(GEN E)
    4534             : {
    4535             :   GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
    4536             :   long j, k, l;
    4537             : 
    4538         931 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    4539         126 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4540         126 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    4541         126 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    4542         126 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    4543         126 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    4544         126 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    4545         126 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4546         574 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4547             :   {
    4548         448 :     GEN pr = gel(P, k);
    4549         448 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    4550         406 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    4551         399 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    4552         399 :     gel(P,j++) = pr;
    4553             :   }
    4554         126 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4555         126 :   return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4556             : }
    4557             : static GEN
    4558         812 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
    4559             : {
    4560         812 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    4561             :   long i, l;
    4562         812 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4563         812 :   S = ellminimalprimes(E);
    4564         812 :   L = gel(S,1);
    4565         812 :   U = gel(S,2);
    4566         812 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    4567         812 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    4568         812 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    4569         812 :   P = factorback2(P, U);
    4570         812 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    4571         812 :   return P;
    4572             : }
    4573             : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
    4574             :  * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL) */
    4575             : static GEN
    4576          56 : bnf_get_v(GEN E)
    4577             : {
    4578          56 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4579             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4580             : 
    4581          56 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4582          56 :   S = ellminimalprimes(E);
    4583          56 :   L = gel(S,1);
    4584          56 :   U = gel(S,2);
    4585          56 :   Lr = gel(S,3);
    4586          56 :   Ls = gel(S,4);
    4587          56 :   Lt = gel(S,5);
    4588          56 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4589          56 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4590          35 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4591          35 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4592          35 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4593          35 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4594          35 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4595          35 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4596          35 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4597             : }
    4598             : 
    4599             : GEN
    4600          70 : ellminimaldisc(GEN E)
    4601             : {
    4602          70 :   pari_sp av = avma;
    4603          70 :   checkell(E);
    4604          70 :   switch(ell_get_type(E))
    4605             :   {
    4606             :     case t_ELL_Q:
    4607           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    4608           7 :       return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
    4609             :     case t_ELL_NF:
    4610             :     {
    4611          63 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
    4612          63 :       E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
    4613          63 :       S = ellminimalprimes(E);
    4614          63 :       L = gel(S,1);
    4615          63 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    4616          63 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    4617          63 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    4618             :     }
    4619           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    4620             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4621             :   }
    4622             : }
    4623             : 
    4624             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4625             :  * ellminimalmodel(E) */
    4626             : static GEN
    4627      456218 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4628             : {
    4629             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4630             :   ellmin_t M;
    4631      456218 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4632             :   {
    4633        1344 :     if (lg(S) != 2)
    4634             :     {
    4635          56 :       E = gel(S,3);
    4636          56 :       v = gel(S,2);
    4637             :     }
    4638             :     else
    4639        1288 :       v = init_ch();
    4640        1344 :     if (ptv) *ptv = v;
    4641        1344 :     return gcopy(E);
    4642             :   }
    4643      454874 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    4644      454874 :   u = ellQ_minimalu(e, &DP);
    4645      454874 :   min_set_all(&M, e, u);
    4646      454874 :   v = min_get_v(&M, e);
    4647      454874 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4648      454874 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4649      454874 :   if (is_trivial_change(v))
    4650             :   {
    4651      453628 :     v = init_ch();
    4652      453628 :     S = mkvec(DP);
    4653             :   }
    4654             :   else
    4655        1246 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4656      454874 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4657      454874 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    4658             : }
    4659             : 
    4660             : static GEN
    4661        1708 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4662             : {
    4663        1708 :   pari_sp av = avma;
    4664        1708 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    4665        1708 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4666        1708 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4667        1708 :   DP = gel(S,1);
    4668        1708 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4669        1708 :   if (!ptv)
    4670        1673 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4671             :   else
    4672          35 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4673        1708 :   return y;
    4674             : }
    4675             : 
    4676             : static GEN
    4677          56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4678             : {
    4679             :   GEN S, y, v, v2;
    4680          56 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4681             :   {
    4682           0 :     switch(lg(S))
    4683             :     {
    4684           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    4685           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    4686           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    4687             :     }
    4688           0 :     *ptv = v;
    4689           0 :     return gcopy(E);
    4690             :   }
    4691          56 :   *ptv = NULL;
    4692          56 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    4693          56 :   v2 = bnf_get_v(y);
    4694          56 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4695             :   {
    4696          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    4697          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    4698             :   }
    4699          35 :   y = coordch(y, v2);
    4700          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4701          35 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    4702          35 :   y = coordch(y, v2);
    4703             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4704          35 :   y = obj_reinit(y);
    4705          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4706          35 :   if (is_trivial_change(v))
    4707             :   {
    4708           7 :     v = init_ch();
    4709           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    4710             :   }
    4711             :   else
    4712             :   {
    4713          28 :     v = lift_if_rational(v);
    4714          28 :     S = mkvec2(v, y);
    4715             :   }
    4716          35 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4717          35 :   *ptv = v; return y;
    4718             : }
    4719             : static GEN
    4720          56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4721             : {
    4722          56 :   pari_sp av = avma;
    4723          56 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4724          56 :   if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    4725          56 :   if (!v || !ptv)
    4726          28 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4727             :   else
    4728          28 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4729          56 :   return y;
    4730             : }
    4731             : GEN
    4732        1771 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4733             : {
    4734        1771 :   checkell(E);
    4735        1771 :   switch(ell_get_type(E))
    4736             :   {
    4737        1708 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4738          56 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4739           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4740             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4741             :   }
    4742             : }
    4743             : 
    4744             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4745             :  * update type-dependant components.
    4746             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4747             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4748             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4749             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4750             :  *   fa = factorization of N
    4751             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    4752             : static GEN
    4753      454118 : ellQ_globalred(GEN e)
    4754             : {
    4755             :   long k, l, iN;
    4756             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    4757             : 
    4758      454118 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
    4759      454118 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4760      454118 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4761      454118 :   D  = ell_get_disc(E);
    4762      454118 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4763      454118 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    4764      454118 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4765      454118 :   iN = 1;
    4766      454118 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4767      454118 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4768      454118 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4769     1937243 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4770             :   {
    4771     1483125 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    4772     1483125 :     if (!signe(ex)) continue;
    4773     1483125 :     gel(NP, iN) = p;
    4774     1483125 :     gel(NE, iN) = ex;
    4775     1483125 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    4776     1483125 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    4777     1483125 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4778             :   }
    4779      454118 :   setlg(L, iN);
    4780      454118 :   setlg(NP, iN);
    4781      454118 :   setlg(NE, iN);
    4782      454118 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    4783             : }
    4784             : static GEN
    4785      458738 : ellglobalred_i(GEN E)
    4786      458738 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    4787             : 
    4788             : static GEN
    4789         784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    4790             : {
    4791             :   GEN c, L, NP, NE;
    4792         784 :   long j, k, l = lg(P);
    4793         784 :   c = gen_1;
    4794         784 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4795         784 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4796         784 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4797        3878 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4798             :   {
    4799        3094 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    4800        3094 :     ex = gel(q,1);
    4801        3094 :     if (!signe(ex)) continue;
    4802        2891 :     gel(NP, j) = p;
    4803        2891 :     gel(NE, j) = ex;
    4804        2891 :     gel(L, j) = q; j++;
    4805        2891 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4806             :   }
    4807         784 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    4808         784 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    4809             : }
    4810             : 
    4811             : static GEN
    4812         784 : ellnfglobalred(GEN E0)
    4813             : {
    4814             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    4815             :   long j, k, l;
    4816             : 
    4817         784 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4818         784 :   if (!v) v = init_ch();
    4819         784 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4820         784 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    4821         784 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    4822         784 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    4823         784 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4824        6083 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4825             :   {
    4826        5299 :     GEN p = gel(P,k);
    4827        5299 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    4828        3094 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    4829        3094 :     gel(P,j++) = p;
    4830             :   }
    4831         784 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4832         784 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    4833         763 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4834         784 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    4835             : }
    4836             : 
    4837             : GEN
    4838      453950 : ellglobalred(GEN E)
    4839             : {
    4840      453950 :   pari_sp av = avma;
    4841             :   GEN S, gr, v;
    4842      453950 :   checkell(E);
    4843      453950 :   switch(ell_get_type(E))
    4844             :   {
    4845           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    4846             :     case t_ELL_Q:
    4847      452921 :       gr = ellglobalred_i(E);
    4848      452921 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4849      452921 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    4850      452921 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    4851      452921 :       break;
    4852             :     case t_ELL_NF:
    4853        1029 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    4854        1029 :       break;
    4855             :   }
    4856      453950 :   return gerepilecopy(av, v);
    4857             : }
    4858             : 
    4859             : static GEN doellrootno(GEN e);
    4860             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    4861             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    4862             :  * and E (shallow insert) */
    4863             : GEN
    4864        1736 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    4865             : {
    4866        1736 :   GEN E, S, v = NULL;
    4867        1736 :   checkell_Q(e);
    4868        1736 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    4869             :   {
    4870         364 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    4871         364 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4872         364 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4873             :   }
    4874        1372 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    4875        1358 :     E = e;
    4876             :   else
    4877             :   {
    4878          14 :     v = gel(S,2);
    4879          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    4880          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4881             :   }
    4882        1736 :   if (ch) *ch = v;
    4883        1736 :   S = ellglobalred_i(e);
    4884        1736 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    4885        1736 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    4886        1736 :   if (!S)
    4887             :   {
    4888         700 :     S = doellrootno(E);
    4889         700 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    4890             :   }
    4891        1736 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    4892        1736 :   return E;
    4893             : }
    4894             : 
    4895             : static GEN
    4896          35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    4897             : {
    4898          35 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4899          35 :   return (signe(ell_get_disc(e)) > 0)? shifti(tam,1): icopy(tam);
    4900             : }
    4901             : 
    4902             : static GEN
    4903         784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    4904             : {
    4905         784 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4906         784 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    4907             :   long r1, r2;
    4908         784 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    4909         784 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    4910             : }
    4911             : 
    4912             : GEN
    4913          42 : elltamagawa(GEN E)
    4914             : {
    4915          42 :   pari_sp av = avma;
    4916             :   GEN v;
    4917          42 :   checkell(E);
    4918          42 :   switch(ell_get_type(E))
    4919             :   {
    4920           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    4921          14 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    4922          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    4923             :   }
    4924          42 :   return gerepileuptoint(av, v);
    4925             : }
    4926             : 
    4927             : static GEN
    4928        1106 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
    4929             : {
    4930        1106 :   GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
    4931        1106 :   if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
    4932         994 :   if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
    4933         861 :   return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
    4934             : }
    4935             : /* true nf, use nf prec */
    4936             : static GEN
    4937        5236 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
    4938             : {
    4939             :   long r1, r2;
    4940             :   GEN cx;
    4941        5236 :   nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
    4942        5236 :   x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
    4943        5236 :   if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
    4944        2905 :   x = Q_primitive_part(x, &cx);
    4945        2905 :   x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
    4946        2905 :   if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
    4947        2905 :   return x;
    4948             : }
    4949             : static long
    4950        2114 : nfembed_extraprec(GEN x)
    4951        2114 : { long e = gexpo(x); return e < 8? 0: nbits2extraprec(e); }
    4952             : static GEN
    4953        1008 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    4954             : {
    4955        1008 :   GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
    4956        1008 :   long prec0 = prec, r1, r2, n, i;
    4957             : 
    4958        1008 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
    4959        1008 :   E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
    4960        1008 :   prec += nfembed_extraprec(E0);
    4961             :   /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
    4962        1008 :   prec0 = prec;
    4963        1008 :   prec += (prec-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
    4964        1008 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    4965        1008 :   sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
    4966             :   for(;;)
    4967             :   {
    4968        1008 :     nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    4969        1008 :     for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
    4970        4459 :     for (i=1; i<=n; i++)
    4971             :     {
    4972             :       GEN Ei, r;
    4973             :       long j;
    4974        3451 :       for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    4975        3451 :       gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
    4976        3451 :       if (!Ei) break;
    4977        3451 :       r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
    4978        3451 :       if (!r) break;
    4979             :     }
    4980        2016 :     if (i > n) return L;
    4981           0 :     prec = precdbl(prec);
    4982           0 :     if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
    4983             :   }
    4984             : }
    4985             : 
    4986             : static GEN
    4987          98 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
    4988             : {
    4989          98 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
    4990             :   long i, l;
    4991          98 :   P = RgC_to_nfC(nf, P);
    4992          98 :   prec += nfembed_extraprec(P);
    4993          98 :   nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    4994          98 :   Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
    4995          98 :   Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
    4996          98 :   l = lg(Px); L =  cgetg(l, t_VEC);
    4997          98 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    4998          98 :   return L;
    4999             : }
    5000             : 
    5001             : static void
    5002         917 : ellnfembed_free(GEN L)
    5003             : {
    5004         917 :   long i, l = lg(L);
    5005         917 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    5006         917 : }
    5007             : 
    5008             : static GEN
    5009         154 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    5010             : {
    5011         154 :   pari_sp av = avma;
    5012         154 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5013         154 :   long i, l = lg(V);
    5014         154 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5015         154 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    5016         154 :   ellnfembed_free(V);
    5017         154 :   return gerepilecopy(av, P);
    5018             : }
    5019             : 
    5020             : GEN
    5021          91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5022          91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    5023             : 
    5024             : GEN
    5025          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5026          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    5027             : 
    5028             : GEN
    5029          35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5030          35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    5031             : 
    5032             : static GEN
    5033         756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    5034             : {
    5035         756 :   pari_sp av = avma;
    5036         756 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
    5037         756 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    5038        3780 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5039             :   {
    5040        3024 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5041        3024 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5042        3024 :     per = mulrr(per, pi);
    5043             :   }
    5044         756 :   ellnfembed_free(Eb);
    5045         756 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    5046             : }
    5047             : static GEN
    5048         756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    5049             : {
    5050         756 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    5051         756 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    5052             : }
    5053             : 
    5054             : static GEN
    5055          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5056             : {
    5057          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5058          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5059          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5060          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5061             : }
    5062             : 
    5063             : static GEN
    5064          21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5065             : {
    5066          21 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5067          21 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5068          21 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5069          21 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5070          21 :   if (lg(S) != 2)
    5071             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5072          14 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5073          14 :     per = gmul(per,u);
    5074             :   }
    5075          21 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5076             : }
    5077             : 
    5078             : GEN
    5079          63 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5080             : {
    5081          63 :   pari_sp av = avma;
    5082             :   GEN v;
    5083          63 :   checkell(E);
    5084          63 :   switch(ell_get_type(E))
    5085             :   {
    5086           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5087          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5088          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5089             :   }
    5090          63 :   return gerepileupto(av, v);
    5091             : }
    5092             : 
    5093             : /********************************************************************/
    5094             : /**                                                                **/
    5095             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5096             : /**                                                                **/
    5097             : /********************************************************************/
    5098             : /* x a t_INT */
    5099             : static long
    5100        1239 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5101             : {
    5102             :   long v;
    5103             :   GEN z;
    5104        1239 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5105        1085 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5106        1085 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5107             : }
    5108             : static void
    5109         413 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5110             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5111             : {
    5112         413 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5113         413 :   pari_sp av = avma;
    5114         413 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5115         413 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5116         413 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
    5117         413 : }
    5118             : 
    5119             : static long
    5120         413 : kod_23(GEN e, long p)
    5121             : {
    5122             :   GEN S, nv;
    5123         413 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5124             :   {
    5125         399 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5126         399 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5127             :   }
    5128             :   else
    5129          14 :     nv = localred_23(e, p);
    5130         413 :   return itos(gel(nv,2));
    5131             : }
    5132             : 
    5133             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5134             : static long
    5135         224 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5136             : {
    5137         224 :   if (kod > 4) return 1;
    5138         154 :   switch(kod)
    5139             :   {
    5140           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5141             :     case 2:
    5142           7 :       if (vD==4) return 1;
    5143             :       else
    5144             :       {
    5145           0 :         if (vD==7) return 3;
    5146           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5147             :       }
    5148             :     case 3:
    5149          63 :       switch(vD)
    5150             :       {
    5151          42 :         case 6: return 3;
    5152           0 :         case 8: return 4;
    5153          14 :         case 9: return 5;
    5154           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5155             :       }
    5156          35 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5157             :     case -1:
    5158          14 :       switch(vD)
    5159             :       {
    5160           0 :         case 9: return 2;
    5161           0 :         case 10: return 4;
    5162          14 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5163             :       }
    5164             :     case -2:
    5165           7 :       switch(vD)
    5166             :       {
    5167           7 :         case 12: return 2;
    5168           0 :         case 14: return 3;
    5169           0 :         default: return 1;
    5170             :       }
    5171             :     case -3:
    5172           0 :       switch(vD)
    5173             :       {
    5174           0 :         case 12: return 2;
    5175           0 :         case 14: return 3;
    5176           0 :         case 15: return 4;
    5177           0 :         default: return 1;
    5178             :       }
    5179           7 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5180           7 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5181             :     case -6:
    5182           7 :       switch(vD)
    5183             :       {
    5184           7 :         case 12: return 2;
    5185           0 :         case 13: return 3;
    5186           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5187             :       }
    5188           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5189           7 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5190             :   }
    5191             : }
    5192             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5193             : static long
    5194         147 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5195             : {
    5196         147 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5197         112 :   switch(kod)
    5198             :   {
    5199          28 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5200          28 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5201             :     case -4: case 2:
    5202          49 :       switch (vD%6)
    5203             :       {
    5204           0 :         case 4: return 3;
    5205           0 :         case 5: return 4;
    5206          49 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5207             :       }
    5208             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5209           7 :       switch (vD%6)
    5210             :       {
    5211           0 :         case 0: return 2;
    5212           0 :         case 1: return 3;
    5213           7 :         default: return 1;
    5214             :       }
    5215             :   }
    5216             : }
    5217             : 
    5218             : static long
    5219         224 : ellrootno_2(GEN e)
    5220             : {
    5221             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5222         224 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5223             : 
    5224         224 :   if (!vD) return 1;
    5225         224 :   if (d) { /* not minimal */
    5226             :     ellmin_t M;
    5227           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5228           7 :     min_set_D(&M, e);
    5229           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5230             :   }
    5231         224 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5232         224 :   kod = kod_23(e,2);
    5233         224 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5234         224 :   if (kod>=5)
    5235             :   {
    5236             :     long a2, a3;
    5237          70 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5238          70 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5239          70 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5240             :   }
    5241         154 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5242         147 :   x1 = u+v+v;
    5243         147 :   switch(kod)
    5244             :   {
    5245           0 :     case 1: return 1;
    5246             :     case 2:
    5247           7 :       switch(n2)
    5248             :       {
    5249             :         case 1:
    5250           7 :           switch(v4)
    5251             :           {
    5252           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5253           0 :             case 5: return 1;
    5254           0 :             default: return -1;
    5255             :           }
    5256           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5257           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5258           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5259           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5260             :       }
    5261             :     case 3:
    5262          63 :       switch(n2)
    5263             :       {
    5264           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5265           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5266          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5267          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5268           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5269          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5270             :       }
    5271             :     case -1:
    5272          14 :       switch(n2)
    5273             :       {
    5274          14 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5275           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5276           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5277           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5278           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5279             :       }
    5280           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5281             :     case -3:
    5282           0 :       switch(n2)
    5283             :       {
    5284           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5285           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5286           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5287           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5288           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5289             :       }
    5290             :     case -5:
    5291           7 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5292           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5293             :     case -6:
    5294           7 :       switch(n2)
    5295             :       {
    5296           0 :         case 1: return 1;
    5297           7 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5298           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5299             :       }
    5300             :     case -7:
    5301           0 :       if (n2==1) return 1;
    5302             :       else
    5303             :       {
    5304           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5305           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5306           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5307             :       }
    5308           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5309           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5310          42 :     default: return -1;
    5311             :   }
    5312             : }
    5313             : 
    5314             : static long
    5315         189 : ellrootno_3(GEN e)
    5316             : {
    5317             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5318         189 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5319             : 
    5320         189 :   if (!vD) return 1;
    5321         189 :   if (d) { /* not minimal */
    5322             :     ellmin_t M;
    5323           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5324           0 :     min_set_a(&M);
    5325           0 :     min_set_D(&M, e);
    5326           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5327             :   }
    5328         189 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5329         189 :   kod = kod_23(e,3);
    5330         189 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5331         147 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5332         147 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5333         147 :   switch(kod)
    5334             :   {
    5335          28 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5336             :     case 2:
    5337           0 :       switch(n2)
    5338             :       {
    5339           0 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5340           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5341           0 :         case 3: return 1;
    5342           0 :         case 4: return -K6;
    5343             :       }
    5344             :     case 4:
    5345           7 :       switch(n2)
    5346             :       {
    5347           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5348           0 :         case 2: return -K4;
    5349           0 :         case 3: return -K6;
    5350             :       }
    5351           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5352             :     case -4:
    5353          49 :       switch(n2)
    5354             :       {
    5355             :         case 1:
    5356          42 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5357          42 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5358           7 :         case 2: return -K6;
    5359           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5360           0 :         case 4: return K6;
    5361             :       }
    5362          63 :     default: return -1;
    5363             :   }
    5364             : }
    5365             : 
    5366             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5367             : static long
    5368         847 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5369             : {
    5370             :   long nuj, nuD, nu;
    5371         847 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5372             :   long ep, z;
    5373             : 
    5374         847 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5375         847 :   if (!nuD) return 1;
    5376         847 :   nuj = j_pval(e, p);
    5377         847 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5378         847 :   if (nu == 0)
    5379             :   {
    5380             :     GEN c6;
    5381             :     long d, vg;
    5382         644 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5383             :    /* p || N */
    5384         644 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5385         644 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5386         644 :     d = vg / 12;
    5387         644 :     if (d)
    5388             :     {
    5389           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5390           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5391             :     }
    5392         644 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5393             :     /* c6 in minimal model */
    5394         644 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5395             :   }
    5396         203 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5397         175 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5398         175 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5399         175 :   return krosi(-z, p);
    5400             : }
    5401             : 
    5402             : static GEN
    5403         714 : doellrootno(GEN e)
    5404             : {
    5405         714 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5406         714 :   long i, l, s = -1;
    5407             : 
    5408         714 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5409         714 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5410         714 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5411         714 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5412        1953 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5413             :   {
    5414        1239 :     GEN p = gel(P,i);
    5415             :     long t;
    5416        1239 :     switch(itou_or_0(p))
    5417             :     {
    5418         210 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5419         189 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5420         840 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5421             :     }
    5422        1239 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5423             :   }
    5424         714 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5425             : }
    5426             : 
    5427             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5428             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5429             : static long
    5430          84 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    5431             : {
    5432          84 :   pari_sp av = avma;
    5433             :   GEN S;
    5434             :   long s;
    5435          84 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5436          70 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5437          70 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5438             :   {
    5439          49 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5440          49 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5441          49 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5442           0 :     return 1;
    5443             :   }
    5444          21 :   switch(itou_or_0(p))
    5445             :   {
    5446             :     case 2:
    5447          14 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5448          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5449             :     case 3:
    5450           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5451           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5452             :     default:
    5453           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5454             :   }
    5455          21 :   return gc_long(av, s);
    5456             : }
    5457             : 
    5458             : /* global root number over number field
    5459             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    5460             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    5461             :  */
    5462             : 
    5463             : static GEN
    5464         322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    5465             : {
    5466             :   long i;
    5467         322 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5468        1932 :   for(i=1; i<=5; i++)
    5469        1610 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    5470         322 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    5471             : }
    5472             : 
    5473             : static GEN
    5474         252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    5475             : {
    5476         252 :   long v = fetch_var_higher();
    5477         252 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    5478         252 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    5479         252 :   delete_var();
    5480         252 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    5481             : }
    5482             : 
    5483             : static GEN
    5484         217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    5485             : {
    5486         217 :   pari_sp av = avma;
    5487         217 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5488         217 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    5489         217 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5490         217 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    5491         217 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    5492         217 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    5493         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    5494             : }
    5495             : 
    5496             : static long
    5497         252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    5498         252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    5499             : 
    5500             : static GEN
    5501         259 : ec_bmodel_var(GEN E, long v)
    5502             : {
    5503         259 :   GEN P = ec_bmodel(E);
    5504         259 :   setvarn(P,v); return P;
    5505             : }
    5506             : 
    5507             : static long
    5508         147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    5509             : {
    5510         147 :   pari_sp av = avma;
    5511         147 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5512         147 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    5513         147 :   long v, var = fetch_var_higher();
    5514             :   GEN F;
    5515         147 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    5516         147 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel_var(E, var));
    5517         147 :   if (lg(F)>1)
    5518             :   {
    5519          35 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    5520          35 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5521          35 :     obj_free(Et);
    5522          35 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    5523             :   } else
    5524             :   {
    5525         112 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
    5526         112 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel_var(E, var), utoi(4)), 4);
    5527         112 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
    5528         112 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    5529         112 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    5530         112 :     if (lg(F)>1)
    5531           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    5532             :     else
    5533             :     {
    5534         105 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5535         105 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    5536         105 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    5537         105 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    5538         105 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    5539         105 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5540         105 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5541         105 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    5542         105 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    5543         105 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    5544         105 :       v = odd(v2+v3);
    5545             :     }
    5546             :   }
    5547         147 :   delete_var();
    5548         147 :   return gc_long(av, v? -1: 1);
    5549             : }
    5550             : 
    5551             : static GEN
    5552         147 : doellnfrootno(GEN e)
    5553         147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    5554             : 
    5555             : long
    5556        1722 : ellrootno_global(GEN e)
    5557             : {
    5558        1722 :   pari_sp av = avma;
    5559             :   GEN S;
    5560        1722 :   switch(ell_get_type(e))
    5561             :   {
    5562             :     case t_ELL_Q:
    5563        1456 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    5564        1456 :       break;
    5565             :     case t_ELL_NF:
    5566         266 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    5567         266 :       break;
    5568             :     default:
    5569             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5570             :   }
    5571        1722 :   return gc_long(av, itos(S));
    5572             : }
    5573             : 
    5574             : long
    5575         182 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5576             : {
    5577         182 :   checkell(e);
    5578         182 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5579         182 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5580         182 :   switch(ell_get_type(e))
    5581             :   {
    5582             :     case t_ELL_Q:
    5583          84 :       return ellQ_rootno(e, p);
    5584           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    5585             :     case t_ELL_NF:
    5586          98 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    5587          98 :       return ellrootno_global(e);
    5588             :   }
    5589             : }
    5590             : 
    5591             : /********************************************************************/
    5592             : /**                                                                **/
    5593             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5594             : /**                                                                **/
    5595             : /********************************************************************/
    5596             : 
    5597             : /* assume p does not divide disc E */
    5598             : long
    5599      310404 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5600             : {
    5601             :   ulong a4, a6;
    5602      310404 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5603      309151 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5604      307555 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5605      307555 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5606             : }
    5607             : 
    5608             : static void
    5609         693 : checkell_int(GEN e)
    5610             : {
    5611         693 :   checkell_Q(e);
    5612        1386 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5613        1386 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5614        1386 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5615        1386 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5616         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5617         693 : }
    5618             : 
    5619             : long
    5620        2338 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5621             : {
    5622        2338 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5623        2338 :   long CM = 0;
    5624        2338 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5625             :   {
    5626             :     case 0:
    5627         121 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5628         121 :       break;
    5629         126 :     case 1728: CM = -4; break;
    5630          21 :     case -3375: CM = -7; break;
    5631          21 :     case  8000: CM = -8; break;
    5632          21 :     case 54000: CM = -12; break;
    5633          21 :     case -32768: CM = -11; break;
    5634          21 :     case 287496: CM = -16; break;
    5635           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    5636          21 :     case -12288000: CM = -27; break;
    5637          21 :     case  16581375: CM = -28; break;
    5638           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    5639             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    5640           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    5641           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    5642             : #endif
    5643             :   }
    5644        2338 :   return CM;
    5645             : }
    5646             : 
    5647             : /* bad reduction at p */
    5648             : static void
    5649        2800 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    5650             : {
    5651             :   ulong m, N;
    5652        2800 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    5653             :   {
    5654             :     case -1: /* non-split */
    5655         707 :       N = n/p;
    5656      427706 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5657      426999 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    5658         707 :       break;
    5659             :     case 0: /* additive */
    5660        1204 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    5661        1204 :       break;
    5662             :     case 1: /* split */
    5663         889 :       N = n/p;
    5664      125499 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5665      124610 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    5666         889 :       break;
    5667             :   }
    5668        2800 : }
    5669             : /* good reduction at p */
    5670             : static void
    5671      303222 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    5672             : {
    5673      303222 :   const long ap = an[p];
    5674             :   ulong m;
    5675      303222 :   if (p <= SQRTn) {
    5676       10218 :     ulong pk, oldpk = 1;
    5677       41427 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    5678             :     {
    5679       31209 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    5680     4605119 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    5681     4573910 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    5682             :     }
    5683             :   } else {
    5684     1627267 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    5685     1334263 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    5686             :   }
    5687      303222 : }
    5688             : static void
    5689      306022 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    5690             : {
    5691      306022 :   if (good_red)
    5692      303222 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    5693             :   else
    5694        2800 :     sievep_bad(p, an, n);
    5695      306022 : }
    5696             : 
    5697             : static long
    5698      306022 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    5699             : {
    5700      306022 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    5701        2856 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    5702             :   else /* good reduction */
    5703             :   {
    5704      303166 :     *good_red = 1;
    5705      303166 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    5706             :   }
    5707             : }
    5708             : GEN
    5709        1813 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    5710             : {
    5711             :   pari_sp av;
    5712        1813 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    5713             :   GEN an;
    5714             :   int CM;
    5715             : 
    5716        1813 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    5717        1813 :   if (n >= LGBITS)
    5718           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    5719        1813 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    5720        1813 :   SQRTn = usqrt(n);
    5721        1813 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    5722             : 
    5723        1813 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    5724        1813 :   an[1] = 1; av = avma;
    5725     2611015 :   for (p=2; p<=n; p++)
    5726             :   {
    5727             :     int good_red;
    5728     2609202 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    5729      306022 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    5730      306022 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    5731             :   }
    5732        1813 :   set_avma(av); return an;
    5733             : }
    5734             : 
    5735             : static GEN
    5736        1540 : ellanQ(GEN e, long N)
    5737        1540 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    5738             : 
    5739             : static GEN
    5740       69358 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
    5741             : {
    5742       69358 :   pari_sp av = avma;
    5743       69358 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
    5744       69374 :   long l = lg(LP), i;
    5745      138785 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5746             :   {
    5747             :     int goodred;
    5748       69402 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    5749       69402 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    5750       69375 :     long f = pr_get_f(P);
    5751       69375 :     if (goodred)
    5752       69193 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    5753             :     else
    5754             :     {
    5755         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    5756         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    5757             :     }
    5758       69405 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    5759       69405 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    5760             :   }
    5761       69383 :   if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
    5762       37909 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
    5763             : }
    5764             : 
    5765             : GEN
    5766        4373 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
    5767             : {
    5768        4373 :   pari_sp av = avma;
    5769        4373 :   long i, l = lg(P);
    5770        4373 :   GEN W = cgetg(l, t_VEC);
    5771       73743 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5772             :   {
    5773       69361 :     ulong p = uel(P,i);
    5774       69361 :     long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
    5775       69361 :     gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
    5776             :   }
    5777        4382 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
    5778             : }
    5779             : 
    5780             : static GEN
    5781         189 : ellnfan(GEN E, long N)
    5782             : {
    5783         189 :   GEN worker = strtoclosure("_direllnf_worker",1,E);
    5784         189 :   return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    5785             : }
    5786             : 
    5787             : GEN
    5788        1722 : ellan(GEN E, long N)
    5789             : {
    5790        1722 :   checkell(E);
    5791        1722 :   switch(ell_get_type(E))
    5792             :   {
    5793        1533 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    5794         189 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    5795             :     default:
    5796           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    5797             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5798             :   }
    5799             : }
    5800             : 
    5801             : static GEN
    5802         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    5803             : {
    5804             :   GEN u, v, w;
    5805             :   long j;
    5806         735 :   if (e == 1) return ap;
    5807         112 :   u = ap;
    5808         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    5809         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    5810             :   {
    5811          14 :     v = u; u = w;
    5812          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    5813             :   }
    5814         112 :   return w;
    5815             : }
    5816             : 
    5817             : GEN
    5818         693 : akell(GEN e, GEN n)
    5819             : {
    5820             :   long i, j, s;
    5821         693 :   pari_sp av = avma;
    5822             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    5823             : 
    5824         693 :   checkell_int(e);
    5825         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    5826         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    5827         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    5828         693 :   D = ell_get_disc(e);
    5829         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    5830         693 :   y = gen_1;
    5831         693 :   s = 1;
    5832         693 :   if (!equalii(u, n))
    5833             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    5834         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    5835         441 :     P = gel(fa,1);
    5836         441 :     E = gel(fa,2);
    5837        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    5838             :     {
    5839         581 :       GEN p = gel(P,i);
    5840         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    5841             :       int good_red;
    5842         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    5843         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    5844         350 :       j = signe(ap);
    5845         350 :       if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
    5846         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    5847             :     }
    5848             :   }
    5849         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    5850         693 :   fa = Z_factor(u);
    5851         693 :   P = gel(fa,1);
    5852         693 :   E = gel(fa,2);
    5853        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    5854             :   { /* good reduction */
    5855         504 :     GEN p = gel(P,i);
    5856         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    5857         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    5858             :   }
    5859         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    5860             : }
    5861             : 
    5862             : GEN
    5863        2485 : ellQ_get_N(GEN e)
    5864        2485 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    5865             : void
    5866         882 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    5867         882 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    5868             : 
    5869             : GEN
    5870          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    5871             : {
    5872          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    5873             :   ulong l, n;
    5874             :   long eps, flun;
    5875             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    5876             : 
    5877          14 :   if (!A) A = gen_1;
    5878             :   else
    5879             :   {
    5880           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    5881           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    5882           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    5883             :   }
    5884          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
    5885          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    5886          14 :   checkell_Q(e);
    5887          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    5888          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    5889          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    5890          14 :   if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
    5891             : 
    5892          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    5893          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    5894          14 :   cga = gmul(cg, A);
    5895          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    5896          42 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
    5897          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    5898          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    5899          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    5900          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    5901          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    5902          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    5903          14 :   z = gen_0;
    5904          14 :   av1 = avma;
    5905        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    5906             :   {
    5907        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    5908        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    5909        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    5910             : 
    5911        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    5912        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    5913        1106 :     if (flun)
    5914           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    5915             :     else
    5916             :     {
    5917        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    5918        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    5919        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    5920             :     }
    5921        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    5922        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    5923             :     {
    5924           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    5925           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    5926             :     }
    5927             :   }
    5928          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    5929             : }
    5930             : 
    5931             : /********************************************************************/
    5932             : /**                                                                **/
    5933             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    5934             : /**                                                                **/
    5935             : /********************************************************************/
    5936             : 
    5937             : static GEN
    5938          56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
    5939             : {
    5940          56 :   GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
    5941          56 :   long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
    5942          56 :   GEN r = gen_1;
    5943          56 :   for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
    5944          56 :   for(   ; i < l  ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
    5945          56 :   return r;
    5946             : }
    5947             : 
    5948             : /* The function follows
    5949             : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
    5950             : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
    5951             : */
    5952             : 
    5953             : static GEN
    5954          56 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
    5955             : {
    5956             :   GEN h;
    5957             :   long d;
    5958          56 :   pari_sp av = avma;
    5959          56 :   checkell(e);
    5960          56 :   switch(ell_get_type(e))
    5961             :   {
    5962             :     case t_ELL_Q:
    5963           0 :       d = 1;
    5964           0 :       h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
    5965           0 :       break;
    5966             :     case t_ELL_NF:
    5967          56 :       d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
    5968          56 :       h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
    5969          56 :       break;
    5970             :     default:
    5971           0 :       pari_err_TYPE("ellheight", e);
    5972             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5973             :   }
    5974          56 :   return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
    5975             : }
    5976             : 
    5977             : static GEN
    5978         707 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    5979             : 
    5980             : /* one root of X^2 - t X + c */
    5981             : static GEN
    5982        1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    5983             : {
    5984        1106 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    5985             : }
    5986             : 
    5987             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    5988             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    5989             : static GEN
    5990        1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    5991             : {
    5992        1106 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    5993        1106 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    5994             : 
    5995        1106 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    5996        1106 :   ab = ellR_ab(e, p);
    5997        1106 :   a = gel(ab, 1);
    5998        1106 :   b = gel(ab, 2);
    5999        1106 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6000        1106 :   x = gsub(x, e1);
    6001        1106 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6002             : 
    6003        1106 :   x_a = gsub(x, a);
    6004        1106 :   if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
    6005        1106 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6006        1106 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6007             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6008        6049 :   for(n=0;; n++)
    6009        4943 :   {
    6010        6049 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6011        6049 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6012        6049 :     r = gsub(a, a0);
    6013        6049 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6014        4943 :     ab = gmul(a0, b);
    6015        4943 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6016             : 
    6017        4943 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6018        4943 :     p2 = gsqr(a);
    6019        4943 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6020        4943 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6021             :   }
    6022        1106 :   if (n) {
    6023        1106 :     x = gel(V,n);
    6024        1106 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6025             :   } else
    6026           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6027             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6028        1106 :   return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
    6029             : }
    6030             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6031             : static int
    6032        1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6033             : {
    6034        1106 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6035        1106 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6036             : }
    6037             : 
    6038             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6039             : static GEN
    6040        1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6041             : {
    6042        1106 :   pari_sp av = avma;
    6043             :   GEN h;
    6044        1106 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6045             :   {
    6046         455 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6047             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6048         455 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6049             :   }
    6050             :   else
    6051         651 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6052        1106 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6053        1106 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6054             : }
    6055             : GEN
    6056        1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6057             : 
    6058             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    6059             : static GEN
    6060          28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    6061             : {
    6062          28 :   pari_sp av = avma;
    6063          28 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    6064          28 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    6065          28 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
    6066          28 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    6067          28 :   GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
    6068          28 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
    6069          28 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    6070          28 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    6071          28 :   GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
    6072          28 :   GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
    6073          28 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    6074             : }
    6075             : 
    6076             : static GEN
    6077         140 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6078         140 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6079             : static GEN
    6080          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6081             : {
    6082          35 :   pari_sp av = avma;
    6083          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6084          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6085          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6086             : }
    6087             : GEN
    6088         217 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6089         217 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): a? ellheight(e,a,n): ellheightfaltings(e,n); }
    6090             : GEN
    6091          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6092          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6093             : 
    6094             : static GEN
    6095         245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    6096             : {
    6097             :   long v1, v2, vD, vu;
    6098         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    6099         245 :   GEN lr = nflocalred(e,pr);
    6100         245 :   GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
    6101         245 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    6102         245 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
    6103             :   GEN v;
    6104         245 :   vu = nfval(nf, u, pr);
    6105         245 :   v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
    6106         245 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    6107         245 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
    6108         245 :   if (v1<0)
    6109           7 :     vu = 0;
    6110         245 :   if (v1<=0 || v2<=0)
    6111         210 :     v = gen_0;
    6112          35 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    6113             :   {
    6114          21 :     GEN a = sstoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
    6115          21 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a), sstoQ(vD,2));
    6116             :   }
    6117             :   else
    6118             :   {
    6119          14 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    6120          28 :     v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? sstoQ(-v2,3):
    6121          14 :                                     sstoQ(-v3,8);
    6122             :   }
    6123         245 :   return gsubgs(v,vu);
    6124             : }
    6125             : 
    6126             : static GEN
    6127         112 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    6128             : {
    6129         112 :   pari_sp av = avma;
    6130             :   GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
    6131             :   long i, n, l, r1;
    6132         112 :   if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gen_0;
    6133          91 :   x = gel(P,1);
    6134          91 :   if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { set_avma(av); return gen_0; }
    6135          91 :   nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
    6136          91 :   disc = ell_get_disc(E);
    6137          91 :   d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
    6138          91 :   F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
    6139          91 :   Ee = ellnfembed(E, prec);
    6140          91 :   Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    6141          91 :   n = lg(Ee); l = lg(F);
    6142          91 :   s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
    6143         224 :   for (i=1; i<=r1; i++)
    6144         133 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    6145         119 :   for (   ; i<n; i++)
    6146          28 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    6147         336 :   for (i=1; i<l; i++)
    6148             :   {
    6149         245 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
    6150         245 :     long f = pr_get_f(pr);
    6151         245 :     GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    6152         245 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
    6153             :   }
    6154          91 :   return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
    6155             : }
    6156             : 
    6157             : static GEN
    6158         133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    6159             : {
    6160             :   long i, lx;
    6161             :   pari_sp av;
    6162             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6163             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6164             : 
    6165         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6166         126 :   if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
    6167         112 :   av = avma;
    6168         112 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6169             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6170          84 :     if (lg(S) != 2)
    6171             :     {
    6172           7 :       v = gel(S,2);
    6173           7 :       e = gel(S,3);
    6174           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6175             :     }
    6176             :   }
    6177             :   else
    6178             :   {
    6179          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    6180          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6181             :   }
    6182         112 :   if (!oncurve(e,a))
    6183           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6184         105 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6185         105 :   if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6186         105 :   x = gel(a,1);
    6187         105 :   y = gel(a,2);
    6188         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6189         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6190         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6191         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6192         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6193             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6194             :   );
    6195         105 :   if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6196         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6197         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6198         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6199         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6200             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6201             :   );
    6202         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6203         105 :   D = ell_get_disc(e);
    6204         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6205         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6206         105 :   lx = lg(Lp);
    6207         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6208             :   {
    6209         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6210             :     long u, v, n, n2;
    6211         112 :     if (!dvdii(c4,p))
    6212             :     { /* p \nmid c4 */
    6213          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    6214          35 :       if (!N) continue;
    6215          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6216          35 :       if (n > N) n = N;
    6217          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6218          35 :       v = N << 3;
    6219             :     }
    6220             :     else
    6221             :     {
    6222          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6223          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6224          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6225             :     }
    6226             :     /* z -= u log(p) / v */
    6227         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6228             :   }
    6229         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6230             : }
    6231             : 
    6232             : GEN
    6233         245 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6234             : {
    6235         245 :   checkell(e); checkellpt(a);
    6236         245 :   switch(ell_get_type(e))
    6237             :   {
    6238             :     case t_ELL_Q:
    6239         133 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6240           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6241             :     case t_ELL_NF:
    6242         112 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6243             :   }
    6244             : }
    6245             : 
    6246             : GEN
    6247          21 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6248             : {
    6249             :   GEN D, A, B;
    6250          21 :   long lx = lg(x), i, j;
    6251          21 :   pari_sp av = avma;
    6252             : 
    6253          21 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6254          21 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6255          21 :   A = cgetg(lx,t_MAT);
    6256          21 :   B = cgetg(lx,t_MAT);
    6257          63 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6258             :   {
    6259          42 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6260          42 :     gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6261          42 :     gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
    6262             :   }
    6263          63 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6264             :   {
    6265          42 :     GEN h = gel(D,i);
    6266          42 :     if (p)
    6267             :     {
    6268          28 :       gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
    6269          28 :       gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
    6270             :     }
    6271             :     else
    6272          14 :       gcoeff(A,i,i) = h;
    6273          70 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6274             :     {
    6275          28 :       h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6276          28 :       h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
    6277          28 :       if (p)
    6278             :       {
    6279          21 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
    6280          21 :         gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
    6281             :       }
    6282             :       else
    6283           7 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
    6284             :     }
    6285             :   }
    6286          21 :   return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
    6287             : }
    6288             : GEN
    6289           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6290           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6291             : 
    6292             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6293             : static GEN
    6294          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6295             : {
    6296             :   GEN y;
    6297          21 :   long i, l = lg(P);
    6298          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6299          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
    6300           7 :   y = cgetg(l, typ(P));
    6301           7 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
    6302           7 :   return y;
    6303             : }
    6304             : GEN
    6305           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6306             : {
    6307           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6308           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6309           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6310           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6311           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6312           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6313           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6314             :   {
    6315           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6316           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6317           0 :     return bilhell_i(E,Q,P,n);
    6318             :   }
    6319           7 :   return bilhell_i(E,P,Q,n);
    6320             : }
    6321             : /********************************************************************/
    6322             : /**                                                                **/
    6323             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6324             : /**                                                                **/
    6325             : /********************************************************************/
    6326             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6327             : static GEN
    6328           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6329             : {
    6330           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6331           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6332           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6333             : }
    6334             : 
    6335             : GEN
    6336          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6337             : {
    6338             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6339             :   long n, m;
    6340          14 :   pari_sp av = avma;
    6341             : 
    6342          14 :   checkell_Q(e);
    6343          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6344           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6345             : 
    6346           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6347           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6348           7 :   d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalp(d,-1);
    6349             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6350             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6351           7 :   c = gsqr(d);
    6352             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6353             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6354             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6355             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6356             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6357             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6358             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6359             :    * */
    6360           7 :   C = c+4;
    6361           7 :   X = x+4;
    6362           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6363           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6364           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6365           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6366         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6367             :   {
    6368         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6369             :     GEN s1, s2, s3;
    6370         105 :     if (n != 2)
    6371             :     {
    6372          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6373          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6374          98 :       s2 = gen_0;
    6375        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6376         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6377          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6378          98 :       s1 = gen_0;
    6379          98 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6380          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6381          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6382             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6383          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6384             :     }
    6385             :     else
    6386             :     {
    6387           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6388           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6389           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6390           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6391           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6392           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6393           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6394           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6395           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6396           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6397             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6398           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6399             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6400           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6401             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6402           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6403           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6404             :     }
    6405         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6406             :   }
    6407           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6408           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6409           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6410           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6411           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6412             : }
    6413             : 
    6414             : /********************************************************************/
    6415             : /**                                                                **/
    6416             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6417             : /**                                                                **/
    6418             : /********************************************************************/
    6419             : static GEN
    6420       19285 : doellff_get_o(GEN E)
    6421             : {
    6422       19285 :   GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
    6423       19285 :   return mkvec2(d, Z_factor(d));
    6424             : }
    6425             : GEN
    6426       19824 : ellff_get_o(GEN E)
    6427       19824 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6428             : 
    6429             : GEN
    6430         140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6431             : {
    6432         140 :   pari_sp av = avma;
    6433             :   GEN fg, r;
    6434         140 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6435         140 :   fg = ellff_get_field(E);
    6436         140 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6437         140 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6438          91 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    6439             :   else
    6440             :   {
    6441          49 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6442          49 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    6443          49 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    6444          49 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    6445             :   }
    6446         140 :   return gerepileuptoint(av, r);
    6447             : }
    6448             : 
    6449             : GEN
    6450        5236 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6451             : {
    6452             :   GEN fg;
    6453        5236 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6454        5229 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6455        5229 :   fg = ellff_get_field(E);
    6456        5229 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6457        4984 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6458             :   else
    6459             :   {
    6460         245 :     pari_sp av = avma;
    6461         245 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6462         490 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6463         490 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6464         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6465             :   }
    6466             : }
    6467             : 
    6468             : GEN
    6469         294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6470             : {
    6471             :   GEN fg;
    6472         294 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6473         294 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6474         294 :   fg = ellff_get_field(E);
    6475         294 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6476          91 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6477             :   else
    6478             :   {
    6479         203 :     pari_sp av = avma;
    6480         203 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6481         406 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6482         406 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6483         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6484             :   }
    6485             : }
    6486             : 
    6487             : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6488             : static GEN
    6489     2865205 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6490             : {
    6491     2865205 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6492     2865249 :   if (!signe(D))
    6493             :   {
    6494       97916 :     pari_sp av = avma;
    6495       97916 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6496       97916 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6497             :   }
    6498     2767333 :   *good_red = 1;
    6499     2767333 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6500     2766654 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6501     2766172 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6502     2765941 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6503             : }
    6504             : 
    6505             : GEN
    6506     3018326 : ellap(GEN E, GEN p)
    6507             : {
    6508     3018326 :   pari_sp av = avma;
    6509             :   GEN q, card;
    6510             :   int goodred;
    6511     3018326 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
    6512     3018293 :   switch(ell_get_type(E))
    6513             :   {
    6514             :   case t_ELL_Fp:
    6515         105 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6516         105 :     break;
    6517             :   case t_ELL_Fq:
    6518       54467 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6519       54467 :     break;
    6520             :   case t_ELL_Qp:
    6521             :   case t_ELL_Q:
    6522     2864835 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6523     2864870 :     break;
    6524             :   case t_ELL_NF:
    6525       98868 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6526             :   default:
    6527           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6528             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6529             :   }
    6530     2919442 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6531             : }
    6532             : 
    6533             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    6534             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    6535             : GEN
    6536         126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
    6537             : {
    6538         126 :   const ulong minq = 523;
    6539         126 :   checkell_Fq(E);
    6540         126 :   switch(ell_get_type(E))
    6541             :   {
    6542             :   case t_ELL_Fp:
    6543             :     {
    6544         112 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6545         112 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6546         105 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6547             :     }
    6548             :   case t_ELL_Fq:
    6549             :     {
    6550          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6551          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    6552           0 :         return FF_ellcard(E);
    6553          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6554             :     }
    6555             :   }
    6556             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6557             : }
    6558             : 
    6559             : GEN
    6560      162717 : ellff_get_card(GEN E)
    6561      162717 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6562             : 
    6563             : GEN
    6564       87243 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6565             : {
    6566       87243 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
    6567       87236 :   switch(ell_get_type(E))
    6568             :   {
    6569             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6570       86781 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6571             :   case t_ELL_Qp:
    6572             :   case t_ELL_Q:
    6573             :     {
    6574         420 :       pari_sp av = avma;
    6575             :       int goodred;
    6576         420 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6577         420 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6578         420 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6579             :     }
    6580             :   case t_ELL_NF:
    6581             :     {
    6582          35 :       pari_sp av = avma;
    6583             :       int goodred;
    6584          35 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6585          35 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6586          35 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6587             :     }
    6588             :   default:
    6589           0 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6590             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6591             :   }
    6592             : }
    6593             : 
    6594             : /* assume model is p-minimal */
    6595             : static GEN
    6596       21917 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
    6597             : {
    6598       21917 :   GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
    6599       21917 :   *pm = gen_1;
    6600       21917 :   if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
    6601       21917 :   if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
    6602       21917 :   if (absequaliu(p, 3))
    6603             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6604             :     ulong b2, b4, b6;
    6605           0 :     if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
    6606             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6607             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6608           0 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6609           0 :     if (b6) return mkvec(N);
    6610             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6611           0 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6612           0 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6613           0 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
    6614           0 :     return mkvec2s(2, 2);
    6615             :   } /* Now assume p > 3 */
    6616       21917 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6617       21917 :   return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
    6618             : }
    6619             : 
    6620             : static GEN
    6621       40971 : doellGm(GEN E)
    6622             : {
    6623       40971 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6624       40971 :   GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
    6625       40971 :   return mkvec2(G, m);
    6626             : }
    6627             : static GEN
    6628       80493 : ellff_Gm(GEN E)
    6629       80493 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
    6630             : GEN
    6631       61810 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
    6632             : GEN
    6633       18683 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
    6634             : GEN
    6635       18683 : ellff_get_D(GEN E)
    6636             : {
    6637       18683 :   GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
    6638       18683 :   switch(lg(G))
    6639             :   {
    6640          91 :     case 1: return G;
    6641       15869 :     case 2: return mkvec(o);
    6642        2723 :     default: return mkvec2(o, gel(G,2));
    6643             :   }
    6644             : }
    6645             : 
    6646             : /* E / Fp */
    6647             : static GEN
    6648       18683 : doellgens(GEN E)
    6649             : {
    6650       18683 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6651       18683 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6652       18109 :     return FF_ellgens(E);
    6653             :   else
    6654             :   {
    6655         574 :     GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6656         574 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
    6657         574 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6658             :   }
    6659             : }
    6660             : 
    6661             : GEN
    6662       18760 : ellff_get_gens(GEN E)
    6663       18760 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6664             : 
    6665             : GEN
    6666       22323 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6667             : {
    6668       22323 :   pari_sp av = avma;
    6669             :   GEN m, G;
    6670       22323 :   p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
    6671       22316 :   switch(ell_get_type(E))
    6672             :   {
    6673             :     case t_ELL_Fp:
    6674       21882 :     case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
    6675             :     case t_ELL_Qp:
    6676             :     case t_ELL_Q:
    6677         392 :       if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
    6678             :       {
    6679          14 :         GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
    6680          14 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    6681          14 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    6682             :       }
    6683         378 :       G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
    6684             :     case t_ELL_NF:
    6685          42 :       if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
    6686             :       {
    6687          21 :         GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
    6688          21 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    6689          21 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    6690             :       }
    6691          28 :       E = ellinit(E, p, 0);
    6692          28 :       G = ellff_get_group(E);
    6693          28 :       G = gcopy(G); obj_free(E); break;
    6694             :     default:
    6695           0 :       pari_err_TYPE("ellgroup", E);
    6696             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6697             :   }
    6698       22316 :   return gerepilecopy(av, G);
    6699             : }
    6700             : 
    6701             : GEN
    6702       21483 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6703             : {
    6704       21483 :   pari_sp av = avma;
    6705       21483 :   long tE, freeE = 0;
    6706             :   GEN G;
    6707       21483 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6708        1946 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6709        1946 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    6710        1946 :   if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
    6711             :   {
    6712        1869 :     GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
    6713             :     long vu;
    6714        1862 :     switch(tE)
    6715             :     {
    6716          70 :       case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
    6717        1841 :       case t_ELL_Q:  vu = Q_pval(u, p); break;
    6718          21 :       case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
    6719           0 :       default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
    6720             :     }
    6721        1862 :     if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
    6722        1855 :     if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
    6723             :     {
    6724          91 :       GEN Ep = obj_init(15, 4), T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
    6725          91 :       if (typ(p) == t_INT)
    6726             :       {
    6727             :         long i;
    6728          70 :         for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
    6729             :       }
    6730             :       else
    6731             :       {
    6732          21 :         q = pr_norm(p);
    6733          21 :         Ep = initsmall_i(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
    6734             :       }
    6735          91 :       E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
    6736          91 :       obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
    6737             :     }
    6738             :     else
    6739        1764 :       E = ellinit(E, p, 0);
    6740        1855 :     freeE = 1;
    6741             :   }
    6742        1932 :   G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
    6743        1932 :   if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
    6744        1855 :   G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
    6745             : }
    6746             : 
    6747             : GEN
    6748       16842 : ellgenerators(GEN E)
    6749             : {
    6750       16842 :   checkell(E);
    6751       16842 :   switch(ell_get_type(E))
    6752             :   {
    6753             :     case t_ELL_Q:
    6754           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    6755             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6756       16828 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    6757             :     default:
    6758           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    6759             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6760             :   }
    6761             : }
    6762             : 
    6763             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    6764             : static GEN
    6765       22568 : ellfromj_simple(GEN j)
    6766             : {
    6767       22568 :   pari_sp av = avma;
    6768       22568 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    6769       22568 :   GEN E = zerovec(5);
    6770       22568 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    6771       22568 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    6772             : }
    6773             : GEN
    6774       33845 : ellfromj(GEN j)
    6775             : {
    6776       33845 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    6777             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    6778       33845 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    6779             :   {
    6780             :     case 2:
    6781        3549 :       if (gequal0(j))
    6782           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    6783             :       else
    6784        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    6785             :     case 3:
    6786        7637 :       if (gequal0(j))
    6787           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6788             :       else
    6789             :       {
    6790        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    6791        7630 :         pari_sp av = avma;
    6792        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    6793        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    6794        7630 :         return E;
    6795             :       }
    6796             :   }
    6797       22659 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    6798       22631 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6799       22568 :   return ellfromj_simple(j);
    6800             : }
    6801             : 
    6802             : /********************************************************************/
    6803             : /**                                                                **/
    6804             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    6805             : /**                                                                **/
    6806             : /********************************************************************/
    6807             : 
    6808             : int
    6809      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    6810             : {
    6811      164703 :   pari_sp av = avma;
    6812             :   int res;
    6813             : 
    6814      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    6815         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    6816         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    6817         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6818      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    6819      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    6820      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    6821      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    6822      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6823             :   } else {
    6824           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    6825             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6826             :   }
    6827      164696 :   set_avma(av);
    6828      164696 :   return res;
    6829             : }
    6830             : 
    6831             : int
    6832      164913 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    6833             : {
    6834             :   pari_sp av;
    6835             :   GEN j;
    6836      164913 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    6837       17010 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
    6838       16996 :   j = ell_get_j(E);
    6839       16996 :   switch(ell_get_type(E))
    6840             :   {
    6841             :   case t_ELL_Fp:
    6842             :   case t_ELL_Fq:
    6843       16800 :     return elljissupersingular(j);
    6844             :   case t_ELL_Qp:
    6845             :   case t_ELL_Q:
    6846          56 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    6847          21 :     av = avma;
    6848          21 :     return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
    6849             :   case t_ELL_NF:
    6850             :     {
    6851         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    6852             :       int res;
    6853         140 :       av = avma;
    6854         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    6855         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    6856             :       {
    6857          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    6858           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6859             :       }
    6860             :       else
    6861         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6862         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    6863         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    6864          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6865             :       else
    6866          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6867         126 :       return gc_bool(av, res);
    6868             :     }
    6869             :   default:
    6870           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    6871             :   }
    6872             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6873             : }
    6874             : 
    6875             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6876             : static GEN
    6877        5474 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    6878             : {
    6879             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    6880        5474 :   if (n==0) return pol_0(v);
    6881        5474 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    6882        1204 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    6883        1204 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    6884        1204 :   if (n==3)
    6885         665 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    6886             :   else
    6887             :   {
    6888         539 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    6889         539 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    6890         539 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    6891             :   }
    6892        1204 :   setvarn(res, v); return res;
    6893             : }
    6894             : 
    6895             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    6896             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6897             : static GEN
    6898        4207 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    6899             : {
    6900             :   GEN ret;
    6901        4207 :   long m = n/2;
    6902        4207 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    6903        2478 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    6904         728 :   else if (odd(n))
    6905             :   {
    6906         441 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6907             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    6908         441 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    6909             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    6910         441 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    6911         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    6912             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    6913         336 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    6914             :   }
    6915             :   else
    6916             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    6917         287 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6918             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    6919         287 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    6920             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    6921         287 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    6922             :   }
    6923        2478 :   gel(t,n) = ret;
    6924        2478 :   return ret;
    6925             : }
    6926             : 
    6927             : GEN
    6928        3934 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    6929             : {
    6930        3934 :   pari_sp av = avma;
    6931             :   GEN f, D, N;
    6932        3934 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6933        3934 :   if (v==-1) v = 0;
    6934        3934 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6935        3934 :   N = characteristic(D);
    6936        3934 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6937        3934 :   if (n<0) n = -n;
    6938        3934 :   if (n==1 || n==3)
    6939         196 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6940             :   else
    6941             :   {
    6942        3738 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6943        3738 :     setvarn(d2,v);
    6944        3738 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6945        3738 :     if (n <= 4)
    6946        3528 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6947             :     else
    6948         210 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    6949        3738 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    6950             :   }
    6951        3934 :   return gerepilecopy(av, f);
    6952             : }
    6953             : 
    6954             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    6955             : GEN
    6956         413 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    6957             : {
    6958         413 :   pari_sp av = avma;
    6959             :   GEN d2, D, N, A, B;
    6960         413 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6961         413 :   if (v==-1) v = 0;
    6962         413 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6963         413 :   N = characteristic(D);
    6964         413 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6965         413 :   if (n < 0) n = -n;
    6966         413 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6967         413 :   setvarn(d2,v);
    6968         413 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6969         413 :   if (n == 0)
    6970             :   {
    6971          21 :     A = pol_0(v);
    6972          21 :     B = pol_0(v);
    6973             :   }
    6974         392 :   else if (n == 1)
    6975             :   {
    6976           7 :     A = pol_1(v);
    6977           7 :     B = pol_x(v);
    6978             :   }
    6979         385 :   else if (n == 2)
    6980             :   {
    6981         119 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    6982         119 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6983         119 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    6984         119 :     A = d2;
    6985             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    6986         119 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    6987         119 :     setvarn(B,v);
    6988             :   }
    6989             :   else
    6990             :   {
    6991         266 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    6992         266 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    6993         266 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    6994         266 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    6995         266 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    6996         266 :     if (!odd(n))
    6997           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    6998             :     else
    6999         259 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7000             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7001         266 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7002             :   }
    7003         413 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7004             : }

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