Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.8.0 lcov report (development 19352-1b11b25) Lines: 3611 3894 92.7 %
Date: 2016-08-25 06:11:27 Functions: 315 326 96.6 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      438616 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      438616 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      438196 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      438196 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      438196 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      438196 : }
      37             : static GEN
      38     2716820 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2716820 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2716820 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2716820 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2716821 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2716821 : }
      46             : static GEN
      47      135156 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48      135156 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50      135156 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52      135156 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53      135156 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54      135156 : }
      55             : static void
      56     2716673 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2716673 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2716674 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2716673 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2716674 : }
      62             : static void
      63      438196 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      438196 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      438196 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      438196 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      438196 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       22037 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       22037 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       22038 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       22038 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       22038 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         420 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         420 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         420 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         420 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         420 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       22037 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       22037 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       22038 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         420 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         420 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         420 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         420 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : void
     111       93970 : checkellpt(GEN z)
     112             : {
     113       93970 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     114       93963 :   switch(lg(z))
     115             :   {
     116       93613 :     case 3: break;
     117         350 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     118             :     /* fall through */
     119           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     120             :   }
     121       93963 : }
     122             : void
     123       71890 : checkell5(GEN E)
     124             : {
     125       71890 :   long l = lg(E);
     126       71890 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     127       71890 : }
     128             : void
     129     3357168 : checkell(GEN E)
     130     3357168 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     131             : void
     132        2212 : checkellisog(GEN v)
     133        2212 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     134             : 
     135             : void
     136      457814 : checkell_Q(GEN E)
     137             : {
     138      457814 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     139           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     140      457814 : }
     141             : 
     142             : void
     143           0 : checkell_Qp(GEN E)
     144             : {
     145           0 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     146           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     147           0 : }
     148             : 
     149             : static int
     150      226801 : ell_over_Fq(GEN E)
     151             : {
     152      226801 :   long t = ell_get_type(E);
     153      226801 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     154             : }
     155             : 
     156             : void
     157      124012 : checkell_Fq(GEN E)
     158             : {
     159      124012 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
     160           7 :   pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     161      124005 : }
     162             : 
     163             : GEN
     164      142241 : ellff_get_p(GEN E)
     165             : {
     166      142241 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     167      142241 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     168             : }
     169             : 
     170             : int
     171         301 : ell_is_integral(GEN E)
     172             : {
     173         602 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     174         259 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     175         245 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     176         245 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     177         546 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     178             : }
     179             : 
     180             : static void
     181       72226 : checkcoordch(GEN z)
     182       72226 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     183             : 
     184             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     185             : GEN
     186        3165 : ec_bmodel(GEN e)
     187             : {
     188        3165 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     189        3165 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     190             : }
     191             : 
     192             : static int
     193         633 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     194             : 
     195             : static GEN
     196         666 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     197             : {
     198             :   GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
     199         666 :   long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
     200             : START:
     201         680 :   R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     202         680 :   if (s > 0)
     203             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     204         211 :     R = real_i(R);
     205         211 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     206         211 :     e1 = gel(R,1);
     207         211 :     e2 = gel(R,2);
     208         211 :     e3 = gel(R,3);
     209         211 :     d3 = subrr(e1,e2);
     210         211 :     d1 = subrr(e2,e3);
     211         211 :     d2 = subrr(e1,e3);
     212         211 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
     213             :     {
     214          14 :       prec = precdbl(prec);
     215          14 :       if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
     216          14 :       goto START;
     217             :     }
     218             :   } else {
     219         469 :     e1 = gel(R,1);
     220         469 :     e2 = gel(R,2);
     221         469 :     e3 = gel(R,3);
     222         469 :     if (s < 0)
     223             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     224         455 :       e1 = real_i(e1);
     225         455 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     226             :     }
     227         469 :     d3 = gsub(e1,e2);
     228         469 :     d1 = gsub(e2,e3);
     229         469 :     d2 = gsub(e1,e3);
     230             :   }
     231         666 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     232             : }
     233             : static GEN
     234         973 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     235             : 
     236             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     237             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     238             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     239             : GEN
     240      753102 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     241             : {
     242      753102 :   pari_sp av = avma;
     243             :   GEN z;
     244      753102 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     245      753102 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     246      753102 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     247      753102 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     248             : }
     249             : 
     250             : /* a1 x + a3 */
     251             : GEN
     252      763077 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     253             : {
     254      763077 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     255      763077 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     256      763077 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     257             : }
     258             : static GEN
     259     1169406 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     260             : {
     261     1169406 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     262     1169406 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     263     1169406 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     264             : }
     265             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     266             : static GEN
     267        2947 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     268             : {
     269        2947 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     270        2947 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     271             : }
     272             : 
     273             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     274             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     275             :  * which is the derivative of the curve equation
     276             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     277             :  * wrt x evaluated at Q */
     278             : GEN
     279        1351 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     280             : {
     281        1351 :   pari_sp av = avma;
     282        1351 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     283        1351 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     284        1351 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     285        1351 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     286        1351 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     287        1351 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     288             : }
     289             : 
     290             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     291             : GEN
     292        5355 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     293             : {
     294        5355 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     295        5355 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     296             : }
     297             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     298             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     299             :  * which is the derivative of the curve equation
     300             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     301             :  * wrt y evaluated at Q */
     302             : GEN
     303         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     304             : {
     305         532 :   pari_sp av = avma;
     306         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     307             : }
     308             : 
     309             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     310             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     311             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     312             : GEN
     313        1449 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     314             : {
     315        1449 :   pari_sp av = avma;
     316        1449 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     317        1449 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     318        1449 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     319        1449 :   GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
     320        1449 :   GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
     321        1449 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
     322             : }
     323             : 
     324             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     325             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     326             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     327             : GEN
     328        1253 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     329             : {
     330        1253 :   pari_sp av = avma;
     331        1253 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     332        1253 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     333        1253 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     334        1253 :   return gerepileupto(av, res);
     335             : }
     336             : 
     337             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     338             : GEN
     339        1533 : ellbasechar(GEN E)
     340             : {
     341        1533 :   pari_sp av = avma;
     342        1533 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     343        1533 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     344             : }
     345             : 
     346             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     347             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     348             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     349             :  * component y[16])*/
     350             : static GEN
     351      633902 : initsmall(GEN x, long n)
     352             : {
     353             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
     354      633902 :   GEN y = obj_init(15, n);
     355      633902 :   switch(lg(x))
     356             :   {
     357             :     case 1:
     358             :     case 2:
     359             :     case 4:
     360             :     case 5:
     361           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     362           0 :       return NULL; break; /* not reached */
     363             :     case 3:
     364       13811 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     365       13811 :       a4 = gel(x,1);
     366       13811 :       a6 = gel(x,2);
     367       13811 :       b2 = gen_0;
     368       13811 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     369       13811 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     370       13811 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     371       13811 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     372       13811 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     373       13811 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     374       13811 :       break;
     375             :     default: /* l > 5 */
     376             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     377      620084 :       a1 = gel(x,1);
     378      620084 :       a2 = gel(x,2);
     379      620084 :       a3 = gel(x,3);
     380      620084 :       a4 = gel(x,4);
     381      620084 :       a6 = gel(x,5);
     382      620084 :       a11= gsqr(a1);
     383      620084 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     384      620083 :       a13= gmul(a1, a3);
     385      620081 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     386      620082 :       a33= gsqr(a3);
     387      620082 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     388      620082 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     389      620083 :       b22= gsqr(b2);
     390      620082 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     391      620084 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     392      620082 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     393             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     394      620083 :       break;
     395             :     }
     396             :   }
     397      633894 :   gel(y,1) = a1;
     398      633894 :   gel(y,2) = a2;
     399      633894 :   gel(y,3) = a3;
     400      633894 :   gel(y,4) = a4;
     401      633894 :   gel(y,5) = a6;
     402      633894 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     403      633894 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     404      633894 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     405      633894 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     406      633894 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     407      633894 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     408      633894 :   gel(y,12)= D;
     409      633894 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     410             : 
     411      627417 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     412         329 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     413         329 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     414         329 :     if (degpol(g) == 0)
     415         287 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     416             :     else
     417             :     {
     418          42 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     419          42 :       D = RgX_div(D, g);
     420          42 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     421          42 :       if (degpol(g) == 0)
     422           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     423             :       else
     424             :       {
     425          35 :         D = RgX_div(D, g);
     426          35 :         d = RgX_div(c4, g);
     427          35 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     428          35 :         if (degpol(g))
     429             :         {
     430          14 :           D = RgX_div(D, g);
     431          14 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     432             :         }
     433          35 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     434             :       }
     435             :     }
     436             :   }
     437             :   else
     438      627088 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     439      627417 :   gel(y,13) = j;
     440      627417 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     441             : }
     442             : 
     443             : void
     444           0 : ellprint(GEN e)
     445             : {
     446           0 :   pari_sp av = avma;
     447             :   long vx, vy;
     448             :   GEN z;
     449           0 :   checkell5(e);
     450           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     451           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     452           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     453           0 :   (void)delete_var();
     454           0 :   (void)delete_var(); avma = av;
     455           0 : }
     456             : 
     457             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     458             : static GEN
     459          70 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     460             : {
     461          70 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     462          70 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     463             : 
     464          70 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     465          70 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     466          56 :     b = mulrr(d3,d2);
     467             :   else
     468          14 :     b = cxnorm(d3);
     469          70 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     470          70 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     471          70 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     472          70 :   return mkvec2(a, b);
     473             : }
     474             : GEN
     475         973 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     476         973 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     477             : 
     478             : /* return x/p^v(x) mod p (p odd), resp mod 8 (p = 2) */
     479             : static GEN
     480         686 : padic_mod(GEN x)
     481             : {
     482         686 :   GEN p = gel(x,2), u = gel(x,4);
     483         686 :   return absequaliu(p,2)? utoipos(mod8(u)): modii(u, p);
     484             : }
     485             : 
     486             : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
     487             :  * Return u^2 = 1 / 4M2(a1,b1), where M2(A,B) = B AGM(sqrt(A/B),1)^2; M2(A,B)
     488             :  * is the common limit of (A_n, B_n), A_0 = A, B _0 = B;
     489             :  *   A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
     490             :  *   B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = the square root of A_n B_n congruent to B_n
     491             :  * Update (x,y) using p-adic Landen transform; if *pty = NULL, don't update y */
     492             : static GEN
     493         196 : do_padic_agm(GEN *ptx, GEN *pty, GEN a1, GEN b1)
     494             : {
     495         196 :   GEN bp = padic_mod(b1), x = *ptx;
     496             :   for(;;)
     497             :   {
     498         490 :     GEN p1, d, a = a1, b = b1;
     499         490 :     b1 = Qp_sqrt(gmul(a,b));
     500         490 :     if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
     501         490 :     if (!equalii(padic_mod(b1), bp)) b1 = gneg_i(b1);
     502         490 :     a1 = gmul2n(gadd(gadd(a,b),gmul2n(b1,1)),-2);
     503         490 :     d = gsub(a1,b1);
     504         686 :     if (gequal0(d)) { *ptx = x; return ginv(gmul2n(a1,2)); }
     505         294 :     p1 = Qp_sqrt(gdiv(gadd(x,d),x)); /* = 1 (mod p) */
     506             :     /* x_{n+1} = x_n  ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
     507         294 :     x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,p1),-1)));
     508             :     /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
     509         294 :     if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(d,gmul2n(x,2)))));
     510         294 :   }
     511             : }
     512             : 
     513             : /* q a t_REAL*/
     514             : static long
     515          77 : real_prec(GEN q)
     516          77 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     517             : /* q a t_PADIC */
     518             : static long
     519          98 : padic_prec(GEN q)
     520          98 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     521             : 
     522             : /* check whether moduli are consistent */
     523             : static void
     524       97280 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     525       97280 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     526             : 
     527             : static int
     528       36015 : fix_nftype(GEN *pp)
     529             : {
     530       36015 :   switch(nftyp(*pp))
     531             :   {
     532       36015 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     533           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     534           0 :     default: return 0;
     535             :   }
     536       36015 :   return 1;
     537             : }
     538             : static long
     539      667250 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     540             : {
     541      667250 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     542      667250 :   GEN p = NULL;
     543      667250 :   long t = t_FRAC;
     544      667250 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     545             :   {
     546             :     case t_INT:
     547      490539 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     548        1918 :       p = *pp;
     549        1918 :       t = t_INTMOD;
     550        1918 :       break;
     551             :     case t_INTMOD:
     552           7 :       p = gel(*pp, 1);
     553           7 :       break;
     554             :     case t_REAL:
     555          21 :       e = real_prec(*pp);
     556          21 :       p = NULL;
     557          21 :       break;
     558             :     case t_PADIC:
     559          70 :       ep = padic_prec(*pp);
     560          70 :       p = gel(*pp, 2);
     561          70 :       break;
     562             :     case t_FFELT:
     563       16898 :       p = *pp;
     564       16898 :       break;
     565             :     case t_VEC:
     566       36015 :       t = t_VEC; p = *pp;
     567       36015 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     568             :     default:
     569           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     570           0 :       return 0;
     571             :   }
     572             :   /* Possible cases:
     573             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     574             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     575             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     576             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     577             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     578             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     579     3961324 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     580             :   {
     581     3294242 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     582     3294242 :     switch(typ(q)) {
     583             :       case t_PADIC:
     584          49 :         p2 = gel(q,2);
     585          49 :         switch(t)
     586             :         {
     587          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     588          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     589          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     590             :         }
     591          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     592          28 :         break;
     593             :       case t_INTMOD:
     594      121628 :         p2 = gel(q,1);
     595      121628 :         switch(t)
     596             :         {
     597       24362 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     598          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     599       97203 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     600          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     601             :         }
     602      121613 :         break;
     603             :       case t_FFELT:
     604      138481 :         switch(t)
     605             :         {
     606          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     607       56631 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     608             :           case t_FFELT:
     609       81844 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     610       81844 :             break;
     611           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     612             :         }
     613      138475 :         break;
     614             : 
     615     3033559 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     616             :       case t_REAL:
     617          56 :         switch(t)
     618             :         {
     619          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     620          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     621           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     622             :         }
     623          56 :         break;
     624             :       case t_COL:
     625             :       case t_POL:
     626             :       case t_POLMOD:
     627         462 :         if (t == t_VEC) break;
     628             :       default: /* base ring too general */
     629         119 :         return t_COMPLEX;
     630             :     }
     631             :   }
     632      667082 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     633             : }
     634             : 
     635             : static GEN
     636         133 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
     637             : {
     638             :   GEN y;
     639             :   long s;
     640         133 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     641         133 :   s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
     642         133 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     643         133 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     644         133 :   return y;
     645             : }
     646             : 
     647             : static GEN
     648          70 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     649             : {
     650             :   GEN y;
     651          70 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     652          70 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     653          70 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     654          70 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     655          70 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     656          70 :   return y;
     657             : }
     658             : 
     659             : static GEN
     660      494830 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     661             : {
     662             :   GEN y;
     663             :   long s;
     664      494830 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     665      494697 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     666      494697 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     667      494697 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     668      494697 :   return y;
     669             : }
     670             : 
     671             : /* shallow basistoalg */
     672             : static GEN
     673     1256885 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     674             : {
     675     1256885 :   switch(typ(x))
     676             :   {
     677     1256416 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     678         469 :     default: return basistoalg(nf, x);
     679             :   }
     680             : }
     681             : static GEN
     682       36022 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     683             : {
     684             :   long i, l;
     685       36022 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     686       36022 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     687       36022 :   return y;
     688             : }
     689             : 
     690             : static GEN
     691       36015 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     692             : {
     693             :   GEN y;
     694       36015 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     695       36015 :   x = nfVtoalg(p, x);
     696       36015 :   if (!(y = initsmall(x, 1))) return NULL;
     697       36015 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     698       36015 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     699       36015 :   return y;
     700             : }
     701             : 
     702             : static GEN
     703       29206 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     704             : {
     705             :   long i;
     706             :   GEN y, disc;
     707       29206 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     708       24262 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     709        2751 :     return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
     710       21511 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     711       21514 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     712      301128 :   for(i=1;i<=13;i++)
     713      279616 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     714       21512 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     715       21512 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     716       21513 :   return y;
     717             : }
     718             : 
     719             : static GEN
     720       73648 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     721             : {
     722             :   GEN y;
     723       73648 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     724       72241 :   return FF_ellinit(y,fg);
     725             : }
     726             : 
     727             : static GEN
     728        3003 : ellnf_to_Fq(GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     729             : {
     730        3003 :   GEN nf = ellnf_get_nf(x), e = vecslice(x,1,5);
     731             :   GEN p, modP;
     732        3003 :   if (get_modpr(P))
     733             :   { /* modpr accept */
     734        2828 :     modP = P;
     735        2828 :     p = modpr_get_p(modP);
     736             :   }
     737             :   else
     738             :   { /* pr, initialize modpr */
     739         175 :     GEN d = Q_denom(e);
     740         175 :     p = pr_get_p(P);
     741         175 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     742             :   }
     743        3003 :   *pp = p;
     744        3003 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     745        3003 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     746             : }
     747             : static GEN
     748        3003 : ellinit_nf_to_Fq(GEN E, GEN P)
     749             : {
     750             :   GEN T,p;
     751        3003 :   E = ellnf_to_Fq(E, P, &p, &T);
     752        3003 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     753             : }
     754             : 
     755             : GEN
     756      633265 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     757             : {
     758      633265 :   pari_sp av = avma;
     759             :   GEN y;
     760      633265 :   switch(typ(x))
     761             :   {
     762           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     763             :     case t_VEC:
     764      633258 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     765      633258 :       break;
     766           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     767             :   }
     768      633265 :   if (D && get_prid(D))
     769             :   {
     770        2506 :     if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     771        2506 :     y = ellinit_nf_to_Fq(x, D);
     772        2506 :     goto END;
     773             :   }
     774      630759 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     775             :   {
     776             :   case t_PADIC:
     777          70 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     778          70 :     break;
     779             :   case t_INTMOD:
     780       26259 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     781       26257 :     break;
     782             :   case t_FFELT:
     783       73403 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     784       73403 :     break;
     785             :   case t_FRAC:
     786      494830 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     787      494823 :     break;
     788             :   case t_REAL:
     789          21 :     y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
     790          21 :     break;
     791             :   case t_VEC:
     792       36015 :     y = ellinit_nf(x, D);
     793       36015 :     break;
     794             :   default:
     795         112 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     796             :   }
     797             : END:
     798      633207 :   if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
     799      626718 :   return gerepilecopy(av,y);
     800             : }
     801             : 
     802             : /********************************************************************/
     803             : /**                                                                **/
     804             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     805             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     806             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     807             : /**  verbatim                                                      **/
     808             : /**                                                                **/
     809             : /********************************************************************/
     810             : /* [1,0,0,0] */
     811             : static GEN
     812     3262476 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     813             : static int
     814      455077 : is_trivial_change(GEN v)
     815             : {
     816             :   GEN u, r, s, t;
     817      455077 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     818      455077 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     819      455077 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     820             : }
     821             : 
     822             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     823             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     824             : static void
     825         161 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     826             : {
     827         161 :   GEN v = *vtotal;
     828             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     829             : 
     830         322 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     831         161 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     832         161 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     833         161 :   U2 = gsqr(U);
     834         161 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     835         161 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     836         161 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     837         161 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     838             : }
     839             : 
     840             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     841             : GEN
     842          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     843             : {
     844             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     845          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     846          21 :   u = gel(w,1);
     847          21 :   r = gel(w,2);
     848          21 :   s = gel(w,3);
     849          21 :   t = gel(w,4);
     850          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     851          21 :   U = ginv(u);
     852          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     853          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     854          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     855          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     856             : }
     857             : 
     858             : /* apply [u,0,0,0] */
     859             : static GEN
     860      223545 : coordch_u(GEN e, GEN u)
     861             : {
     862             :   GEN y, u2, u3, u4, u6;
     863             :   long lx;
     864      223545 :   if (gequal1(u)) return e;
     865      223020 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     866      223020 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
     867      223020 :   gel(y,1) = gdiv(ell_get_a1(e),  u);
     868      223020 :   gel(y,2) = gdiv(ell_get_a2(e), u2);
     869      223020 :   gel(y,3) = gdiv(ell_get_a3(e), u3);
     870      223020 :   gel(y,4) = gdiv(ell_get_a4(e), u4);
     871      223020 :   gel(y,5) = gdiv(ell_get_a6(e), u6);
     872      223020 :   if (lx == 6) return y;
     873      223020 :   gel(y,6) = gdiv(ell_get_b2(e), u2);
     874      223020 :   gel(y,7) = gdiv(ell_get_b4(e), u4);
     875      223020 :   gel(y,8) = gdiv(ell_get_b6(e), u6);
     876      223020 :   gel(y,9) = gdiv(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
     877      223020 :   gel(y,10)= gdiv(ell_get_c4(e), u4);
     878      223020 :   gel(y,11)= gdiv(ell_get_c6(e), u6);
     879      223020 :   gel(y,12)= gdiv(ell_get_disc(e), gsqr(u6));
     880      223020 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
     881      223020 :   gel(y,14)= gel(e,14);
     882      223020 :   gel(y,15)= gel(e,15);
     883      223020 :   gel(y,16)= gel(e,16);
     884      223020 :   return y;
     885             : }
     886             : /* apply [1,r,0,0] */
     887             : static GEN
     888      875469 : coordch_r(GEN e, GEN r)
     889             : {
     890             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     891      875469 :   if (gequal0(r)) return e;
     892      748384 :   y = leafcopy(e);
     893      748384 :   a2 = ell_get_a2(e);
     894      748384 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     895             : 
     896             :   /* A2 = a2 + 3r */
     897      748384 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
     898             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     899      748384 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
     900             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     901      748384 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
     902             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     903      748384 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
     904      748384 :   if (lg(y) == 6) return y;
     905             : 
     906      748377 :   b4 = ell_get_b4(e);
     907      748377 :   b6 = ell_get_b6(e);
     908             :   /* B2 = 12r + b2 */
     909      748377 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     910      748377 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
     911      748377 :   r2 = gsqr(r);
     912             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
     913      748377 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
     914             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
     915      748377 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
     916             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
     917      748377 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
     918      748377 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
     919      748377 :   return y;
     920             : }
     921             : /* apply [1,0,s,0] */
     922             : static GEN
     923      227150 : coordch_s(GEN e, GEN s)
     924             : {
     925             :   GEN a1, y;
     926      227150 :   if (gequal0(s)) return e;
     927      227150 :   a1 = ell_get_a1(e);
     928      227150 :   y = leafcopy(e);
     929             : 
     930             :   /* A1 = a1 + 2s */
     931      227150 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
     932             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     933      227150 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
     934             :   /* A4 = a4 - s a3 */
     935      227150 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
     936      227150 :   return y;
     937             : }
     938             : /* apply [1,0,0,t] */
     939             : static GEN
     940      594195 : coordch_t(GEN e, GEN t)
     941             : {
     942             :   GEN a1, a3, y;
     943      594195 :   if (gequal0(t)) return e;
     944      524048 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     945      524048 :   y = leafcopy(e);
     946             :   /* A3 = 2t + a3 */
     947      524048 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
     948             :   /* A4 = a4 - a1 t */
     949      524048 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
     950             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     951      524048 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
     952      524048 :   return y;
     953             : }
     954             : /* apply [1,0,s,t] */
     955             : static GEN
     956      359653 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
     957             : {
     958             :   GEN y, a1, a3;
     959      359653 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
     960      258034 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
     961      140105 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     962      140105 :   y = leafcopy(e);
     963             :   /* A1 = a1 + 2s */
     964      140105 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
     965             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     966      140105 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
     967             :   /* A3 = 2t + a3 */
     968      140105 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
     969             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
     970      140105 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
     971             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     972      140105 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
     973      140105 :   return y;
     974             : }
     975             : /* apply [1,r,0,t] */
     976             : static GEN
     977      169848 : coordch_rt(GEN e, GEN r, GEN t)
     978             : {
     979      169848 :   e = coordch_r(e, r);
     980      169848 :   return coordch_t(e, t);
     981             : }
     982             : /* apply [1,r,s,t] */
     983             : static GEN
     984      347459 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
     985             : {
     986      347459 :   e = coordch_r(e, r);
     987      347459 :   return coordch_st(e, s, t);
     988             : }
     989             : /* apply w = [u,r,s,t] */
     990             : static GEN
     991       72394 : coordch(GEN e, GEN w)
     992             : {
     993       72394 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
     994       72394 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
     995       72394 :   return coordch_u(e, gel(w,1));
     996             : }
     997             : 
     998             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
     999             :  * (dynamic data) */
    1000             : static GEN
    1001           7 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1002             : {
    1003           7 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1004           7 :   long prec = valp(p);
    1005           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1006           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1007             :   {
    1008           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1009           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1010             :   }
    1011           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1012             :   {
    1013           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1014           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1015           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1016           7 :     U = gmul(U, u);
    1017           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1018           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1019             :   }
    1020           7 :   return E;
    1021             : }
    1022             : 
    1023             : /* common to Q and Rg */
    1024             : static GEN
    1025       36344 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1026             : {
    1027       36344 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1028       36344 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1029          28 :     obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1030       36344 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1031          28 :     obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1032       36344 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1033             :   {
    1034          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1035             :     long i;
    1036          28 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1037          28 :     obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
    1038             :   }
    1039       36344 :   return E;
    1040             : }
    1041             : 
    1042             : static GEN
    1043          14 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1044             : {
    1045          14 :   GEN p = NULL;
    1046          14 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1047          14 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1048           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1049             : }
    1050             : 
    1051             : static GEN
    1052       36344 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1053             : {
    1054       36344 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1055       36344 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1056       36344 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1057       36337 :   ch_R(E, e, w);
    1058       36337 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1059           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1060       36337 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1061             :   {
    1062         455 :     if (lg(S) == 2)
    1063             :     { /* model was minimal */
    1064           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1065           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1066           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1067             :     }
    1068             :     else
    1069             :     {
    1070         448 :       v = gel(S,2);
    1071         448 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1072         434 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1073             :       else
    1074             :       {
    1075          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1076          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1077          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1078          14 :         gel(S,2) = v;
    1079             :       }
    1080         448 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1081             :     }
    1082             :   }
    1083       36337 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1084          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1085       36337 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1086           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1087       36337 :   return E;
    1088             : }
    1089             : 
    1090             : static void
    1091         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1092             : {
    1093             :   GEN S;
    1094         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1095          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1096         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1097          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1098         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1099          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1100         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1101          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1102         126 : }
    1103             : 
    1104             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1105             : static GEN
    1106           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1107             : {
    1108           7 :   long prec = 0;
    1109           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1110           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1111           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1112           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1113             : }
    1114             : static GEN
    1115         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1116             : {
    1117         119 :   long prec = 0;
    1118         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1119         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1120         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1121         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1122             : }
    1123             : 
    1124             : static void
    1125       71869 : ell_reset(GEN E)
    1126       71869 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1127             : 
    1128             : GEN
    1129       71890 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1130             : {
    1131       71890 :   pari_sp av = avma;
    1132             :   GEN E;
    1133       71890 :   checkell5(e);
    1134       71890 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1135       71883 :   checkcoordch(w);
    1136       71883 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1137       71883 :   if (lg(E) != 6)
    1138             :   {
    1139       71869 :     ell_reset(E);
    1140       71869 :     switch(ell_get_type(E))
    1141             :     {
    1142           7 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1143           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1144         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1145       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1146           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1147             :     }
    1148             :   }
    1149       71883 :   return gerepilecopy(av, E);
    1150             : }
    1151             : 
    1152             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1153             : static void
    1154      161700 : E_gcompose_r(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1155             : {
    1156      161700 :   GEN v = *vtotal;
    1157             :   GEN U2, R;
    1158      323400 :   if (gequal0(r)) return;
    1159       94612 :   *e = coordch_r(*e,r);
    1160       94612 :   U2 = gsqr(gel(v,1)); R = gel(v,2);
    1161       94612 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
    1162             : }
    1163             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1164             : static void
    1165      109221 : E_gcompose_s(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1166             : {
    1167      109221 :   GEN v = *vtotal;
    1168             :   GEN U, S;
    1169      109221 :   *e = coordch_s(*e,s);
    1170      109221 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1171      109221 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
    1172      109221 : }
    1173             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1174             : static void
    1175      250075 : E_gcompose_t(GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1176             : {
    1177      250075 :   GEN v = *vtotal;
    1178             :   GEN U3, U, T;
    1179      500150 :   if (gequal0(t)) return;
    1180       79380 :   *e = coordch_t(*e,t);
    1181       79380 :   U = gel(v,1); U3 = gmul(U, gsqr(U)); T = gel(v,4);
    1182       79380 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
    1183             : }
    1184             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1185             : static void
    1186      248360 : E_gcompose_rt(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1187             : {
    1188      248360 :   GEN v = *vtotal;
    1189             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1190      496720 :   if (gequal0(t)) { E_gcompose_r(vtotal, e, r); return; }
    1191      169848 :   *e = coordch_rt(*e,r,t);
    1192      169848 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1193      169848 :   U2 = gsqr(U);
    1194      169848 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
    1195      169848 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
    1196             : }
    1197             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1198             : static void
    1199      181895 : E_gcompose_st(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1200             : {
    1201      181895 :   GEN v = *vtotal;
    1202             :   GEN U3, U, S, T;
    1203      181895 :   if (gequal0(s)) { E_gcompose_t(vtotal, e, t); return; }
    1204      121415 :   if (gequal0(t)) { E_gcompose_s(vtotal, e, s); return; }
    1205       12194 :   *e = coordch_st(*e,s,t);
    1206       12194 :   U = gel(v,1); U3 = gmul(U,gsqr(U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1207       12194 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
    1208       12194 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
    1209             : }
    1210             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1211             : static void
    1212      151011 : E_gcompose_u(GEN *vtotal, GEN *e, GEN u)
    1213             : {
    1214      151011 :   GEN v = *vtotal;
    1215      151011 :   *e = coordch_u(*e,u); gel(v,1) = gmul(gel(v,1), u);
    1216      151011 : }
    1217             : 
    1218             : /* X = (x-r)/u^2
    1219             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1220             : static GEN
    1221         280 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1222             : {
    1223             :   GEN a, x, y;
    1224         280 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1225         266 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1226         266 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1227             : }
    1228             : 
    1229             : GEN
    1230         280 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1231             : {
    1232             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1233         280 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1234         280 :   pari_sp av = avma;
    1235             : 
    1236         280 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1237         280 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1238         280 :   checkcoordch(ch);
    1239         280 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1240         280 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1241         280 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1242         280 :   tx = typ(gel(x,1));
    1243         280 :   if (is_matvec_t(tx))
    1244             :   {
    1245          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1246          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1247          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1248             :   }
    1249             :   else
    1250         259 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1251         280 :   return gerepilecopy(av,y);
    1252             : }
    1253             : 
    1254             : /* x = u^2*X + r
    1255             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1256             : static GEN
    1257          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1258             : {
    1259             :   GEN a, X, Y;
    1260          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1261          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1262          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1263             : }
    1264             : GEN
    1265          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1266             : {
    1267             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1268          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1269          63 :   pari_sp av = avma;
    1270             : 
    1271          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1272          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1273          63 :   checkcoordch(ch);
    1274          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1275          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1276          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1277          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1278          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1279             :   {
    1280           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1281          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1282           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1283             :   }
    1284             :   else
    1285          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1286          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1287             : }
    1288             : 
    1289             : GEN
    1290       27846 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1291             : {
    1292       27846 :   pari_sp av = avma;
    1293             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1294             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1295             :   GEN V;
    1296       27846 :   checkell(E);
    1297       27846 :   if (!P)
    1298             :   {
    1299             :     GEN a4, a6;
    1300       27188 :     checkell_Fq(E);
    1301       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1302             :     {
    1303             :       case t_ELL_Fp:
    1304             :         {
    1305           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1306           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1307       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1308             :         }
    1309             :       case t_ELL_Fq:
    1310       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1311             :     }
    1312             :   }
    1313         658 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1314         658 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1315         658 :   if (typ(P) == t_INT)
    1316             :   {
    1317         644 :     if (equali1(P))
    1318          42 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1319         602 :     P = quadpoly(P);
    1320             :   } else
    1321             :   {
    1322          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1323          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1324           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1325             :   }
    1326         616 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1327         616 :   ac = gmul(a, c);
    1328         616 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1329         616 :   D2 = gsqr(D);
    1330         616 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1331         616 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1332         616 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1333         616 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1334         616 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1335         616 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1336         616 :   return gerepilecopy(av, V);
    1337             : }
    1338             : 
    1339             : static ulong
    1340          56 : smod2BIL(GEN x)
    1341             : {
    1342          56 :   long s = signe(x);
    1343          56 :   return s==0 ? 0: s==1 ? *int_LSW(x) : -*int_LSW(x);
    1344             : }
    1345             : 
    1346             : static long
    1347        1946 : safe_Z_pval(GEN n, GEN p)
    1348             : {
    1349        1946 :   return signe(n)==0? -1: Z_pval(n, p);
    1350             : }
    1351             : 
    1352             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1353             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1354             : Reference:
    1355             : Ian Connell, Elliptic Curve Handbook,
    1356             : http://www.math.mcgill.ca/connell/
    1357             : */
    1358             : GEN
    1359         238 : ellminimaltwist(GEN e)
    1360             : {
    1361         238 :   pari_sp av = avma;
    1362             :   GEN c4, c6, disc;
    1363         238 :   GEN D = gen_1;
    1364             :   GEN N, M, F, E;
    1365             :   long i, lF;
    1366         238 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1367         238 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1368         238 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1369         238 :   disc = ell_get_disc(E);
    1370         238 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1371         238 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1372        1211 :   for(i=1; i < lF; i++)
    1373             :   {
    1374         973 :     GEN p = gel(F, i);
    1375         973 :     long v4 = safe_Z_pval(c4, p), v6 = safe_Z_pval(c6,p), vD = Z_pval(disc,p);
    1376         973 :     long l = v4<0 ? minss(2*v6, vD): v6<0 ? minss(3*v4, vD): minss(minss(3*v4, 2*v6), vD);
    1377         973 :     if (abscmpiu(p, 3)>0)
    1378             :     {
    1379         623 :       if (l>=6) D = mulii(D,mod4(p)==1 ? p: negi(p));
    1380             :     }
    1381         350 :     else if (absequaliu(p, 3))
    1382             :     {
    1383         182 :       if (l>=6 && v6!=5) D = mulis(D,-3);
    1384             :     }
    1385             :     else /* p == 2*/
    1386             :     {
    1387         168 :       if ((v4==4 && v6==6 && vD>=12) || ((v4<0 || v4>=8) && v6==9 && vD==12))
    1388          42 :         D = mulis(D,-4);
    1389         126 :       else if (v4==6 && v6==9 && vD>=18)
    1390          42 :         D = mulis(D, ((smod2BIL(c6)>>9)&3UL) == 1 ? -8: 8);
    1391          84 :       else if ((v4<0 || v4>=6) && v6==6 && vD==6)
    1392          14 :         D = mulis(D, ((smod2BIL(c6)>>6)&3UL) == 1 ? 8: -8);
    1393             :       else
    1394          70 :         if (!(v4==4 || v4==5 || v6==3 || v6==5 || v6==7 || (v4==0 && v6==0)))
    1395          28 :           D = mulis(D, -8);
    1396             :     }
    1397             :   }
    1398         238 :   obj_free(E);
    1399         238 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1400             : }
    1401             : 
    1402             : /*
    1403             : Reference:
    1404             : William A. Stein and Mark Watkins
    1405             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1406             : ANTS 5
    1407             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1408             : */
    1409             : GEN
    1410         224 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1411             : {
    1412         224 :   pari_sp av = avma;
    1413         224 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1414         224 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1415         224 :   GEN E = ellminimalmodel(eD, NULL);
    1416         224 :   GEN R = elllocalred(E, gen_2);
    1417         224 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1418         224 :   obj_free(eD); obj_free(E);
    1419         224 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1420         210 :   else if (f==6)
    1421             :   {
    1422          14 :     if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
    1423             :     else
    1424             :     {
    1425           7 :       long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
    1426           7 :       D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
    1427             :     }
    1428             :   }
    1429         224 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1430             : }
    1431             : 
    1432             : GEN
    1433         189 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1434             : {
    1435         189 :   switch(flag)
    1436             :   {
    1437             :     case 0:
    1438          14 :       return ellminimaltwist(e);
    1439             :     case 1:
    1440         175 :       return ellminimaltwistcond(e);
    1441             :   }
    1442           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1443           0 :   return NULL; /* NOT REACHED */
    1444             : }
    1445             : 
    1446             : static long
    1447           7 : ellexpo(GEN E)
    1448             : {
    1449           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1450          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1451             :   {
    1452          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1453          35 :     if (f > e) e = f;
    1454             :   }
    1455           7 :   return e;
    1456             : }
    1457             : 
    1458             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1459             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1460             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1461             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1462             : int
    1463        3024 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1464             : {
    1465             :   GEN LHS, RHS, x;
    1466             :   long pl, pr, ex, expx;
    1467             :   pari_sp av;
    1468             : 
    1469        3024 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1470        2947 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1471        2947 :   av = avma;
    1472        2947 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1473        2947 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1474        2947 :   if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
    1475          21 :   pl = precision(LHS);
    1476          21 :   pr = precision(RHS);
    1477          21 :   if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
    1478             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1479           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1480           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1481           7 :   expx = gexpo(x);
    1482          13 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1483           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1484           7 :   avma = av; return pr;
    1485             : }
    1486             : 
    1487             : GEN
    1488        4158 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1489             : {
    1490        4158 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1491             : 
    1492        4158 :   checkell(e);
    1493        4158 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1494        4158 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1495        4158 :   tx = typ(gel(x,1));
    1496        4158 :   if (is_vec_t(tx))
    1497             :   {
    1498        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1499        1687 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1500        1687 :     return z;
    1501             :   }
    1502        2471 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1503             : }
    1504             : 
    1505             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1506             : static GEN
    1507        1778 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1508             : {
    1509             :   GEN dy,dx;
    1510        1778 :   if (y1 != y2)
    1511             :   {
    1512             :     int eq;
    1513         245 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1514           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1515             :     else
    1516         238 :       eq = gequal(y1,y2);
    1517         245 :     if (!eq) return NULL;
    1518             :   }
    1519        1771 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1520        1771 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1521        1736 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1522             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1523        1736 :   return gdiv(dy,dx);
    1524             : }
    1525             : static GEN
    1526        3262 : get_slope(GEN e, GEN x1, GEN x2, GEN y1, GEN y2)
    1527             : {
    1528             :   GEN dy,dx;
    1529        3262 :   if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
    1530        1778 :     return slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1531        1484 :   dx = gsub(x2,x1);
    1532        1484 :   if (typ(dx) == t_COMPLEX) /* its Norm may be 0 */
    1533             :   {
    1534           0 :     GEN N = gnorm(dx);
    1535           0 :     if (gequal0(N)) return slope_samex(e,x1,y1,y2);
    1536           0 :     dy = gsub(y2,y1);
    1537           0 :     return gdiv(gmul(dy,gconj(dx)),N); /* dy/dx */
    1538             :   }
    1539        1484 :   dy = gsub(y2,y1);
    1540        1484 :   return gdiv(dy,dx);
    1541             : }
    1542             : 
    1543             : GEN
    1544        3437 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1545             : {
    1546             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1547        3437 :   pari_sp av = avma;
    1548             : 
    1549        3437 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1550        3437 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1551        3262 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1552             : 
    1553        3262 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1554        3262 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1555        3262 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1556             :   {
    1557         462 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1558         462 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1559         462 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1560         462 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1561         462 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1562             :   }
    1563        3262 :   s = get_slope(e,x1,x2,y1,y2);
    1564        3262 :   if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
    1565        3220 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1566        3220 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1567        3220 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1568        3220 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1569        3220 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1570             : }
    1571             : 
    1572             : static GEN
    1573          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1574             : {
    1575             :   GEN t, x, y;
    1576          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1577          49 :   x = gel(z,1);
    1578          49 :   y = gel(z,2);
    1579          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1580             :   {
    1581           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1582           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1583           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1584             :   }
    1585          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1586          49 :   gel(t,1) = x;
    1587          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1588          49 :   return t;
    1589             : }
    1590             : 
    1591             : GEN
    1592         357 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1593             : {
    1594             :   pari_sp av;
    1595             :   GEN t, y;
    1596         357 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1597         357 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1598         357 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1599         357 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1600         357 :   av = avma;
    1601         357 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1602         357 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1603         357 :   return t;
    1604             : }
    1605             : 
    1606             : GEN
    1607          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1608             : {
    1609          49 :   pari_sp av = avma;
    1610          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1611          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1612             : }
    1613             : 
    1614             : /* E an ell, x a scalar */
    1615             : static GEN
    1616        1729 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1617             : {
    1618        1729 :   pari_sp av = avma;
    1619        1729 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1620             : 
    1621        1729 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1622             :   {
    1623         343 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1624         343 :     x = nftoalg(nf,x);
    1625             :   }
    1626        1729 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1627        1729 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1628        1729 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1629             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1630        1729 :   if (gequal0(D)) {
    1631         434 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1632           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1633         434 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1634         434 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1635         434 :     return gerepileupto(av,y);
    1636             :   }
    1637             :   /* D != 0 */
    1638        1295 :   switch(ell_get_type(E))
    1639             :   {
    1640             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1641          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1642          28 :       D = gel(D,2);
    1643          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1644           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1645           7 :       break;
    1646             :     case t_ELL_Fq:
    1647         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1648             :       {
    1649          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1650          77 :         if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1651          28 :         return gerepileupto(av, F);
    1652             :       }
    1653         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1654          63 :       break;
    1655             :     case t_ELL_Q:
    1656         686 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1657         679 :       if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1658         441 :       break;
    1659             : 
    1660             :     case t_ELL_NF:
    1661             :     {
    1662         343 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1663         343 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1664         343 :       d = nfroots(nf, T);
    1665         343 :       delete_var();
    1666         343 :       if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    1667         329 :       d = gel(d,1);
    1668         329 :       break;
    1669             :     }
    1670             : 
    1671             :     case t_ELL_Qp:
    1672          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1673          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1674          14 :       if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1675          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1676          14 :       break;
    1677             : 
    1678             :     default:
    1679           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1680             :   }
    1681         868 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1682         868 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1683         868 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1684         868 :   return gerepileupto(av,y);
    1685             : }
    1686             : 
    1687             : GEN
    1688        1729 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1689             : {
    1690        1729 :   checkell(e);
    1691        1729 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1692             :   {
    1693             :     long i, lx;
    1694           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1695           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1696           0 :     return v;
    1697             :   }
    1698        1729 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1699             : }
    1700             : 
    1701             : GEN
    1702       93632 : ellrandom(GEN E)
    1703             : {
    1704             :   GEN fg;
    1705       93632 :   checkell_Fq(E);
    1706       93632 :   fg = ellff_get_field(E);
    1707       93632 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1708       93604 :     return FF_ellrandom(E);
    1709             :   else
    1710             :   {
    1711          28 :     pari_sp av = avma;
    1712          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1713          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1714          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1715          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1716             :   }
    1717             : }
    1718             : 
    1719             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, z != [0] */
    1720             : static GEN
    1721          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN z, GEN n)
    1722             : {
    1723          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1724             :   long ln, ep, vn;
    1725             : 
    1726          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    1727           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1728          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addsi(1, N), 3));
    1729          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1730          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1731          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1732          14 :   z2 = gsubst(z1, 0, monomial(n, 1, 0));
    1733          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1734          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1735             :   do
    1736             :   {
    1737          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1738             :     do
    1739             :     {
    1740          28 :       ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1741          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), monomial(gen_1, ep, 0)));
    1742          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1743             :     }
    1744          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    1745          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1746          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1747          21 :     if (!signe(z2)) break;
    1748           7 :     z2 = ginv(z2);
    1749             :   }
    1750           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    1751          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1752           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1753          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1754          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12); /* x - b2/12 */
    1755          14 :   grdx = gadd(gel(z,1), b2ov12);
    1756          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1757          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1758             : 
    1759          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1760          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1761          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1762          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1763             : 
    1764          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    1765          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1766          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1767          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,z), y), ec_h_evalx(e,x));
    1768          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1769             : }
    1770             : 
    1771             : static GEN
    1772         609 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1773             : static GEN
    1774         175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1775             : 
    1776             : static GEN
    1777       77744 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1778             : {
    1779       77744 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1780       77744 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1781       77280 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1782             :   else
    1783             :   {
    1784         464 :     pari_sp av = avma;
    1785         464 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1786         464 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1787         462 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1788         416 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1789         416 :     return gerepileupto(av, Q);
    1790             :   }
    1791             : }
    1792             : /* [n] z, n integral */
    1793             : static GEN
    1794       78248 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1795             : {
    1796             :   long s;
    1797       78248 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1798       78247 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    1799         504 :   s = signe(n);
    1800         504 :   if (!s) return ellinf();
    1801         490 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    1802         490 :   if (is_pm1(n)) return z;
    1803         371 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    1804             : }
    1805             : 
    1806             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    1807             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    1808             : static long
    1809          42 : myroundr(GEN *px)
    1810             : {
    1811          42 :   GEN x = *px;
    1812             :   long e;
    1813          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    1814          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    1815          42 :   if (e >= -5) return NO;
    1816          42 :   return OK;
    1817             : }
    1818             : 
    1819             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    1820             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    1821             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    1822             : static GEN
    1823          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    1824             : {
    1825             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    1826             :   long prec;
    1827             : 
    1828          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    1829          14 :   switch(typ(Q))
    1830             :   {
    1831             :     case t_COMPLEX:
    1832           0 :       D = utoineg(4);
    1833           0 :       v = gel(Q,2);
    1834           0 :       break;
    1835             :     case t_QUAD:
    1836          14 :       D = quad_disc(Q);
    1837          14 :       v = gel(Q,3);
    1838          14 :       break;
    1839             :     default:
    1840           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    1841             :   }
    1842             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    1843          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    1844          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    1845          14 :   prec = precision(tau);
    1846             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    1847             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    1848             :    * Compute f*k */
    1849          14 :   x = gel(tau,1);
    1850          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    1851          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    1852          14 :   switch(myroundr(&fk))
    1853             :   {
    1854           0 :     case NO: return NULL;
    1855           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1856             :   }
    1857          14 :   fk = absi(fk);
    1858             : 
    1859          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    1860          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    1861             :   {
    1862           0 :     case NO: return NULL;
    1863           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1864             :   }
    1865             : 
    1866          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    1867          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    1868             :   {
    1869           0 :     case NO: return NULL;
    1870           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1871             :   }
    1872             : 
    1873             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    1874          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    1875          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    1876          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    1877          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    1878             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    1879          14 :   v = dvmdii(absi(v), q, &r);
    1880          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    1881          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    1882             : }
    1883             : 
    1884             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    1885             : static GEN
    1886          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    1887             : {
    1888             :   GEN A, B, q;
    1889          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    1890          14 :   q = CM_factor(e, w);
    1891          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    1892          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    1893             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    1894          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    1895             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    1896             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    1897           7 :     GEN u = gtrace(w);
    1898           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    1899           7 :     u = shifti(u, -1);
    1900           7 :     if (signe(u))
    1901             :     {
    1902           0 :       w = gsub(w, u);
    1903           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    1904             :     }
    1905             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    1906             :   }
    1907          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    1908          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    1909          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    1910          14 :   return elladd(e, A, B);
    1911             : }
    1912             : GEN
    1913       78248 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    1914             : {
    1915       78248 :   pari_sp av = avma;
    1916             : 
    1917       78248 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1918       78241 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1919       78241 :   switch(typ(n))
    1920             :   {
    1921       78227 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    1922             :     case t_QUAD: {
    1923          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    1924          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    1925          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    1926             :     }
    1927             :     case t_COMPLEX: {
    1928           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    1929           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    1930             :     }
    1931             :   }
    1932           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    1933           0 :   return NULL; /* not reached */
    1934             : }
    1935             : 
    1936             : /********************************************************************/
    1937             : /**                                                                **/
    1938             : /**                       Periods                                  **/
    1939             : /**                                                                **/
    1940             : /********************************************************************/
    1941             : 
    1942             : /* References:
    1943             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    1944             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    1945             : */
    1946             : 
    1947             : static GEN
    1948         561 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    1949             : {
    1950         561 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    1951         561 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    1952         561 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    1953             : }
    1954             : 
    1955             : static GEN
    1956         127 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    1957             : {
    1958         127 :   pari_sp av = avma;
    1959         127 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    1960         120 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    1961         120 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    1962         120 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    1963             : }
    1964             : 
    1965             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    1966             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    1967             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    1968             : static GEN
    1969         568 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    1970             : {
    1971         568 :   pari_sp av = avma;
    1972             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    1973         568 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    1974         441 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    1975         441 :   d2 = gel(roots,5);
    1976         441 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    1977         441 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    1978         441 :   b = gel(z,2);
    1979         441 :   c = gabs(z, prec);
    1980         441 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    1981         441 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    1982             : }
    1983             : static GEN
    1984          28 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    1985          28 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    1986             : 
    1987             : GEN
    1988        1596 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    1989        1596 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    1990             : GEN
    1991          42 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    1992          42 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    1993             : GEN
    1994        1646 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    1995        1646 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    1996             : 
    1997             : /********************************************************************/
    1998             : /**                                                                **/
    1999             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2000             : /**                                                                **/
    2001             : /********************************************************************/
    2002             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2003             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2004             : static GEN
    2005           0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2006             : {
    2007           0 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2008           0 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2009           0 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2010           0 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2011           0 :   GEN z = gel(om,2);
    2012           0 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2013           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2014             :   else
    2015           0 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2016           0 :   return gmul2n(z, -1);
    2017             : }
    2018             : 
    2019             : static GEN
    2020           7 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2021             : {
    2022           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2023           7 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2024           7 :   if (gequal0(y0))
    2025           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2026             :   else
    2027             :   {
    2028           7 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2029           7 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2030           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2031           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2032           7 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2033             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2034           7 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2035           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2036             :   }
    2037             : }
    2038             : 
    2039             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2040             : static GEN
    2041           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2042             : {
    2043           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2044           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2045             :   else
    2046             :   {
    2047           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2048           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2049           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2050           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2051           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2052           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2053           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2054           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2055             :   }
    2056             : }
    2057             : 
    2058             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2059             : static GEN
    2060           7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2061             : {
    2062           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2063           7 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2064           7 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2065           7 :   e1 = gel(R,1);
    2066           7 :   e2 = gel(R,2);
    2067           7 :   e3 = gel(R,3);
    2068           7 :   d2 = gel(R,5);
    2069           7 :   d3 = gel(R,6);
    2070           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2071           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2072           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2073           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2074           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2075           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2076             :   } else {
    2077           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2078           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2079           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2080           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2081             :   }
    2082             : }
    2083             : 
    2084             : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
    2085             :  * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
    2086             :  * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
    2087             : static GEN
    2088         168 : doellQp_root(GEN E, long prec)
    2089             : {
    2090         168 :   GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
    2091             :   GEN c4p, c6p, T, a;
    2092             :   long alpha;
    2093         168 :   int pis2 = absequaliu(p, 2);
    2094         168 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2095             :   /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
    2096         168 :   alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
    2097         168 :   if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
    2098             :   /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
    2099         168 :   if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
    2100         168 :   c4p = modii(c4,p);
    2101         168 :   c6p = modii(c6,p);
    2102         168 :   if (pis2)
    2103             :   { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
    2104          91 :     T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, mulis(c4,-9), mulis(c6, -2));
    2105          91 :     a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec);
    2106          91 :     alpha -= 2;
    2107             :   }
    2108          77 :   else if (absequaliu(p, 3))
    2109             :   { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
    2110          56 :     a = Fp_neg(c6p, p);
    2111          56 :     T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, mulis(c4, -6), negi(c6));
    2112          56 :     a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
    2113          56 :     switch(lg(a)-1)
    2114             :     {
    2115             :       case 1: /* single root */
    2116          28 :         a = gel(a,1); break;
    2117             :       case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
    2118             :       {
    2119          28 :         GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
    2120          28 :         long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
    2121          28 :         long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
    2122          28 :         long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
    2123          28 :         if      (v1 == v2) a = a3;
    2124           0 :         else if (v1 == v3) a = a2;
    2125           0 :         else a = a1;
    2126             :       }
    2127          28 :       break;
    2128             :     }
    2129          56 :     alpha--;
    2130             :   }
    2131             :   else
    2132             :   { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
    2133             :      * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
    2134          21 :     a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
    2135          21 :     T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, mulis(c4, -18), negi(c6));
    2136          21 :     a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
    2137             :   }
    2138         168 :   a = cvtop(a, p, prec);
    2139         168 :   if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
    2140         168 :   return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
    2141             : }
    2142             : GEN
    2143         280 : ellQp_root(GEN E, long prec)
    2144         280 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
    2145             : 
    2146             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
    2147             : static void
    2148         189 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
    2149             : {
    2150         189 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2151         189 :   GEN w, u, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1)), p = ellQp_get_p(E);
    2152         189 :   w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
    2153         189 :   u = gadd(t,w);
    2154             :   /* Decide between w and -w: we want v(a-b) > v(b) */
    2155         189 :   if (absequaliu(p,2))
    2156          98 :   { if (valp(u)-1 <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2157             :   else
    2158          91 :   { if (valp(u) <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2159             : 
    2160             :   /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
    2161         189 :   *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
    2162         189 :   *ptb = gmul2n(w,-1);
    2163         189 : }
    2164             : 
    2165             : static GEN
    2166          91 : doellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec0)
    2167             : {
    2168          91 :   GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
    2169             :   GEN L, u, u2, q, x1, a, b, d, s, t;
    2170          91 :   long v, prec = prec0+3;
    2171          91 :   int split = -1; /* unknown */
    2172             : 
    2173          91 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2174             : START:
    2175         189 :   doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
    2176         189 :   d = gsub(a,b);
    2177         189 :   v = prec0 - precp(d);
    2178         189 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2179         140 :   x1 = gmul2n(d,-2);
    2180         140 :   u2 = do_padic_agm(&x1,NULL,a,b);
    2181         140 :   if (split < 0) split = issquare(u2);
    2182             : 
    2183         140 :   t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
    2184         140 :   s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
    2185         140 :   q = gadd(t,s);
    2186         140 :   if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
    2187         140 :   v = prec0 - precp(q);
    2188         140 :   if (split)
    2189             :   { /* we want log q at precision prec0 */
    2190          49 :     GEN q0 = leafcopy(q); setvalp(q0, 0);
    2191          49 :     v +=  valp(gsubgs(q0,1));
    2192             :   }
    2193         140 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2194          91 :   if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
    2195          91 :   if (split)
    2196             :   {
    2197          42 :     u = Qp_sqrt(u2);
    2198          42 :     L = gdivgs(Qp_log(q), valp(q));
    2199             :   }
    2200             :   else
    2201             :   {
    2202          49 :     GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
    2203          49 :     u = mkpolmod(pol_x(0), T);
    2204          49 :     L = gen_1;
    2205             :   }
    2206          91 :   return mkvec5(u2, u, q, mkvec2(a, b), L);
    2207             : }
    2208             : GEN
    2209         161 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
    2210         161 : {return obj_checkbuild_padicprec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate_uniformization,prec);}
    2211             : GEN
    2212          56 : ellQp_u(GEN E, long prec)
    2213          56 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
    2214             : GEN
    2215           0 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
    2216           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
    2217             : GEN
    2218           0 : ellQp_q(GEN E, long prec)
    2219           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
    2220             : GEN
    2221          70 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
    2222          70 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
    2223             : GEN
    2224           0 : ellQp_L(GEN E, long prec)
    2225           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,5); }
    2226             : 
    2227             : static GEN
    2228          77 : zellQp(GEN E, GEN z, long prec)
    2229             : {
    2230          77 :   pari_sp av = avma;
    2231             :   GEN b2, a, b, ab, c0, r0, r1, ar1, e1, x, delta, x0,x1, y0,y1, t;
    2232          77 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_1;
    2233          70 :   b2 = ell_get_b2(E);
    2234          70 :   ab = ellQp_ab(E, prec);
    2235             :   /* e1 already computed in ellQp_ab, possibly to larger accuracy */
    2236          70 :   e1 = ellQp_root(E, prec);
    2237          70 :   a = gel(ab,1);
    2238          70 :   b = gel(ab,2); r1 = gsub(a,b);
    2239          70 :   x = gel(z,1);
    2240          70 :   r0 = gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2241          70 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2242          70 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",z);
    2243          63 :   ar1 = gmul(a,r1);
    2244          63 :   delta = gdiv(ar1, gsqr(c0));
    2245          63 :   t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2246          63 :   if (!t)
    2247           7 :     pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2248          56 :   x0 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2249          56 :   y0 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,z), -1), gsubgs(gdiv(ar1,gsqr(x0)), 1));
    2250             : 
    2251          56 :   x1 = gmul(x0, gsqr(gmul2n(gaddsg(1, Qp_sqrt(gaddsg(1,gdiv(r1,x0)))),-1)));
    2252          56 :   y1 = gdiv(y0, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r1,gmul2n(x1,2)))));
    2253          56 :   if (gequal0(x1)) pari_err_PREC("ellpointtoz");
    2254             : 
    2255          56 :   (void)do_padic_agm(&x1,&y1, a,b);
    2256          56 :   t = gmul(ellQp_u(E, prec), gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2257          56 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2258          56 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2259          56 :   return gerepileupto(av, t);
    2260             : }
    2261             : 
    2262             : /* t to w := -1/y */
    2263             : GEN
    2264         329 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
    2265             : {
    2266         329 :   pari_sp av = avma, av2;
    2267             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
    2268         329 :   GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
    2269         329 :   ulong mask, nold = 1;
    2270         329 :   if (v < 0) v = 0;
    2271         329 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
    2272         315 :   mask = quadratic_prec_mask(n);
    2273         315 :   t = pol_x(v);
    2274         315 :   checkell(e);
    2275         315 :   a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
    2276         315 :   a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
    2277         315 :   w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
    2278         315 :   gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
    2279             :   /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
    2280             :    *
    2281             :    *            w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
    2282             :    * w  <-  w - -----------------------------------------------------
    2283             :    *              w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
    2284             :    *
    2285             :    *              w^3 a6 + w^2 U + w V + W
    2286             :    *      =: w -  -----------------------
    2287             :    *                w^2 (3a6) + 2w U + V
    2288             :    */
    2289         315 :   U = gadd(gmul(a4,t), a3);
    2290         315 :   U2 = gmul2n(U,1);
    2291         315 :   V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
    2292         315 :   W = gpowgs(t,3);
    2293         315 :   av2 = avma;
    2294        1645 :   while (mask > 1)
    2295             :   { /* nold correct terms in w */
    2296        1015 :     ulong i, nnew = nold << 1;
    2297             :     GEN num, den, wnew, w2, w3;
    2298        1015 :     if (mask & 1) nnew--;
    2299        1015 :     mask >>= 1;
    2300        1015 :     wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
    2301        1015 :     wnew[1] = w[1];
    2302        1015 :     for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
    2303        1015 :     for (     ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
    2304        1015 :     w = wnew;
    2305        1015 :     w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
    2306        1015 :     num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
    2307        1015 :     den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
    2308             : 
    2309        1015 :     w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
    2310        1015 :     nold = nnew;
    2311             :   }
    2312         315 :   return gerepilecopy(av, w);
    2313             : }
    2314             : 
    2315             : static GEN
    2316         294 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
    2317         294 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
    2318             : 
    2319             : /* t to [x,y] */
    2320             : GEN
    2321          21 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
    2322             : {
    2323          21 :   pari_sp av = avma;
    2324          21 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w);
    2325          21 :   return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
    2326             : }
    2327             : 
    2328             : static GEN
    2329         273 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
    2330             : {
    2331             :   GEN x, w1;
    2332         273 :   if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
    2333             :   { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
    2334           0 :     x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
    2335           0 :     w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
    2336             :   }
    2337             :   else
    2338             :   {
    2339         273 :     GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
    2340         273 :     x = gel(P,1);
    2341         273 :     w1 = gdiv(derivser(x), ec_dmFdy_evalQ(e, P));
    2342             :   }
    2343         273 :   *px = x; return w1;
    2344             : }
    2345             : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
    2346             : GEN
    2347          21 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
    2348             : {
    2349          21 :   pari_sp av = avma;
    2350          21 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w), x;
    2351          21 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2352          21 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
    2353             : }
    2354             : 
    2355             : /* t to z, dz = w1 dt */
    2356             : GEN
    2357          49 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
    2358             : {
    2359          49 :   pari_sp av = avma;
    2360          49 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w), x;
    2361          49 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2362          49 :   return gerepileupto(av, integser(w1));
    2363             : }
    2364             : /* z to t */
    2365             : GEN
    2366          21 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
    2367             : {
    2368          21 :   pari_sp av = avma;
    2369          21 :   return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
    2370             : }
    2371             : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
    2372             :  * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
    2373             :  *   sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
    2374             :  * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
    2375             : static GEN
    2376         203 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
    2377             : {
    2378         203 :   pari_sp av = avma;
    2379         203 :   GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = inv_ser(w), t = pol_x(0);
    2380         203 :   GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2381         203 :   GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
    2382         203 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
    2383             :                                  integser(s)));
    2384             : }
    2385             : 
    2386             : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
    2387             : static int
    2388         252 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
    2389             : {
    2390         252 :   pari_sp av = avma;
    2391             :   GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
    2392         252 :   if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
    2393         245 :   P = Q_muli_to_int(P,d);
    2394         245 :   x = gel(P,1);
    2395         245 :   y = gel(P,2);
    2396         245 :   a1 = ell_get_a1(E);
    2397         245 :   a3 = ell_get_a3(E);
    2398         245 :   t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
    2399         245 :   if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
    2400          28 :   a2 = ell_get_a2(E);
    2401          28 :   a4 = ell_get_a4(E);
    2402          28 :   d = Fp_inv(d, p);
    2403          28 :   x = Fp_mul(x,d,p);
    2404          28 :   y = Fp_mul(y,d,p);
    2405          28 :   t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
    2406          28 :   avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
    2407             : }
    2408             : 
    2409             : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
    2410             :  * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
    2411             : GEN
    2412         217 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
    2413             : {
    2414         217 :   pari_sp av = avma;
    2415         217 :   GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
    2416             :   long i, l;
    2417         217 :   checkellpt(P);
    2418         217 :   if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
    2419         217 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2420         217 :   S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
    2421         217 :   NP = gmael(S,3,1);
    2422         217 :   L = gel(S,4);
    2423         217 :   l = lg(NP);
    2424         217 :   d = Q_denom(P);
    2425         462 :   for (i = 1; i < l; i++)
    2426             :   {
    2427         245 :     GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
    2428         245 :     if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
    2429          21 :     c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
    2430          21 :     kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
    2431          21 :     if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
    2432             :     {
    2433           7 :       long nu = itos(kod) - 4;
    2434           7 :       long n = minss(Q_pval(ec_dmFdy_evalQ(E,P), p), nu/2);
    2435           7 :       nu /= ugcd(nu, n);
    2436           7 :       g = muliu(g, nu);
    2437           7 :       P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
    2438           7 :       d = Q_denom(P);
    2439          14 :     } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
    2440             :     { /* either 2 or 4 */
    2441           7 :       long nu = - itos(kod) - 4;
    2442           7 :       P = elladd(E, P,P);
    2443           7 :       d = Q_denom(P);
    2444           7 :       g = shifti(g,1);
    2445           7 :       if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
    2446             :       { /* it's 4 */
    2447           7 :         P = elladd(E, P,P);
    2448           7 :         d = Q_denom(P);
    2449           7 :         g = shifti(g,1);
    2450             :       }
    2451             :     } else {
    2452           7 :       if (absequaliu(c, 4)) c = gen_2;
    2453           7 :       P = ellmul(E, P, c);
    2454           7 :       d = Q_denom(P);
    2455           7 :       g = mulii(g, c);
    2456             :     }
    2457             :   }
    2458         217 :   if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
    2459         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
    2460             : }
    2461             : 
    2462             : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
    2463             :  * notation (Duke 1991)*/
    2464             : static GEN
    2465        7434 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
    2466             : {
    2467             :   hashentry *h;
    2468             :   GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
    2469             :   ulong m4;
    2470        7434 :   if (abscmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
    2471             :   {
    2472         322 :     case 0: return gen_0;
    2473         882 :     case 1: return gen_1;
    2474        1064 :     case 2: return subiu(N,1);
    2475        1330 :     case 3: return b8;
    2476        1386 :     case 4: return g4;
    2477             :   }
    2478        2450 :   if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
    2479        1260 :   m4 = mod4(m);
    2480        1260 :   n = shifti(m, -1); f   = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
    2481        1260 :   np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
    2482        1260 :   np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
    2483        1260 :   nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
    2484        1260 :   nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
    2485        1260 :   if (odd(m4))
    2486             :   {
    2487         770 :     GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
    2488         770 :     GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
    2489         770 :     if (mpodd(n))
    2490         322 :       z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
    2491             :     else
    2492         448 :       z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
    2493             :   }
    2494             :   else
    2495             :   {
    2496         490 :     GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
    2497         490 :     GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
    2498         490 :     z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
    2499             :   }
    2500        1260 :   hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
    2501        1260 :   return z;
    2502             : }
    2503             : 
    2504             : static GEN
    2505        1134 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
    2506             : static GEN
    2507         756 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
    2508             : static GEN
    2509         378 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
    2510             : 
    2511             : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
    2512             :  * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
    2513             :  * [num,den] (coprime) */
    2514             : static GEN
    2515         378 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
    2516             : {
    2517         378 :   pari_sp av = avma;
    2518         378 :   ulong k = expi(m);
    2519         378 :   hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
    2520             :                                       (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
    2521         378 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
    2522         378 :   GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
    2523             :   GEN B4, B6, B8, T, g4;
    2524         378 :   GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
    2525         378 :   GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
    2526         378 :   GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
    2527         378 :   GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
    2528         378 :   GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
    2529         378 :   B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
    2530             :               mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
    2531         378 :   B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
    2532             :               shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
    2533             :               b6d3);
    2534         378 :   B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd,  mulii(b4,d2));
    2535             : 
    2536         378 :   B4 = modii(B4,N);
    2537         378 :   B6 = modii(B6,N);
    2538         378 :   B8 = modii(B8,N);
    2539             : 
    2540         378 :   g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
    2541         378 :   T = Fp_sqr(B6,N);
    2542             : 
    2543         378 :   g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
    2544         378 :   gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2545         378 :   gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2546         378 :   C = Fp_sqr(g, N);
    2547         378 :   D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
    2548             : 
    2549         378 :   if(mpodd(m))
    2550             :   {
    2551         168 :     n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
    2552         168 :     d = Fp_mul(C,d, N);
    2553             :   }
    2554             :   else
    2555             :   {
    2556         210 :     n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
    2557         210 :     d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
    2558             :   }
    2559         378 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
    2560             : }
    2561             : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
    2562             :  * return t = -x/y + O(p^v) */
    2563             : static GEN
    2564         203 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
    2565             : {
    2566         203 :   GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
    2567             :   GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
    2568         203 :   if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
    2569         203 :   a1 = ell_get_a1(e);
    2570         203 :   b2 = ell_get_b2(e);
    2571         203 :   a3 = ell_get_a3(e);
    2572         203 :   b4 = ell_get_b4(e);
    2573         203 :   b6 = ell_get_b6(e);
    2574         203 :   d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
    2575         203 :   if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2576             :   /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
    2577             :    * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
    2578         203 :   d4 = Fp_sqr(d2, N);
    2579         203 :   d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
    2580         203 :   B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
    2581         203 :   C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
    2582             :                 Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
    2583             :                 Fp_mul(b6,d6,N));
    2584         203 :   C = FpX_eval(C, n, N);
    2585         203 :   if (!signe(C))
    2586           0 :     Y = zeropadic(p, v >> 1);
    2587             :   else
    2588         203 :     Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
    2589         203 :   if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2590         203 :   *pd = d;
    2591         203 :   return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
    2592             : }
    2593             : 
    2594             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2595             : static long
    2596         203 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
    2597             : {
    2598         203 :   double log2p = dbllog2(p);
    2599         203 :   long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
    2600         203 :   if (absequaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
    2601             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2602         252 :   for (j = i-1; j >= 2; j--)
    2603             :   {
    2604         252 :     if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2605          49 :     i = j;
    2606             :   }
    2607         203 :   if (j == 1)
    2608             :   {
    2609           0 :     if (- absequaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
    2610             :   }
    2611         203 :   return i;
    2612             : }
    2613             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2614             : static long
    2615           7 : log_prec(GEN p, long v, long t)
    2616             : {
    2617           7 :   double log2p = dbllog2(p);
    2618           7 :   long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
    2619             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2620          28 :   for (j = i-1; j >= 1; j--)
    2621             :   {
    2622          28 :     if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2623          21 :     i = j;
    2624             :   }
    2625           7 :   return i;
    2626             : }
    2627             : 
    2628             : static GEN
    2629         210 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
    2630             : {
    2631         210 :   *ab = NULL;
    2632         210 :   switch(typ(p))
    2633             :   {
    2634         105 :     case t_INT: break;
    2635             :     case t_VEC:
    2636         105 :       if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2637         105 :       *ab = gel(p,2);
    2638         105 :       if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2639         105 :       p = gel(p,1);
    2640             :   }
    2641         210 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
    2642         210 :   return p;
    2643             : }
    2644             : 
    2645             : static GEN
    2646         301 : precp_fix(GEN h, long v)
    2647         301 : { return (precp(h) > v)? cvtop(h,gel(h,2),v): h; }
    2648             : 
    2649             : GEN
    2650         217 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
    2651             : {
    2652         217 :   pari_sp av = avma;
    2653             :   GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
    2654             :   long v, vd;
    2655             :   int is2;
    2656         217 :   checkellpt(P);
    2657         217 :   if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
    2658         210 :   checkell_Q(e);
    2659         210 :   p = parse_p(p, &ab);
    2660         210 :   if (ellorder_Q(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
    2661         203 :   E = ellanal_globalred(e, &ch);
    2662         203 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2663         203 :   S = ellnonsingularmultiple(E, P);
    2664         203 :   P = gel(S,1);
    2665         203 :   g = gel(S,2);
    2666         203 :   v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
    2667         203 :   is2 = absequaliu(p,2);
    2668         203 :   if (is2) v += 2;
    2669         203 :   x = gel(P,1);
    2670         203 :   n = numer(x);
    2671         203 :   d = denom(x);
    2672         203 :   x = mkvec2(n, d);
    2673         203 :   vd = Z_pval(d, p);
    2674         203 :   if (!vd)
    2675             :   { /* P not in kernel of reduction mod p */
    2676         189 :     GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
    2677         189 :     long w = v+2;
    2678         189 :     Pp = RgV_to_FpV(P, p);
    2679         189 :     if (Ep)
    2680         189 :       m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
    2681             :     else
    2682             :     {
    2683           0 :       m = ellcard(E, p); /* E has bad reduction at p */
    2684           0 :       if (equalii(m, p)) pari_err_TYPE("ellpadicheight: additive reduction", E);
    2685             :     }
    2686         189 :     g = mulii(g,m);
    2687             :     for(;;)
    2688             :     {
    2689         378 :       N = powiu(p, w);
    2690         378 :       X = xmP(E, x, m, N);
    2691         378 :       d = gel(X,2);
    2692         378 :       if (!signe(d))
    2693           0 :         w <<= 1;
    2694             :       else
    2695             :       {
    2696         378 :         vd = Z_pval(d, p);
    2697         378 :         if (w >= v+2*vd + is2) break;
    2698         189 :         w = v+2*vd + is2;
    2699             :       }
    2700         189 :     }
    2701         189 :     x = X;
    2702             :   }
    2703             :   /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
    2704             :    * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
    2705         203 :   v += 2*vd + is2;
    2706         203 :   N = powiu(p,v);
    2707         203 :   t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
    2708         203 :   S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
    2709         203 :   ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
    2710         203 :   lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
    2711             :   /* evaluate our formal power series at t */
    2712         203 :   H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
    2713         203 :   h = gsqr(poleval(lt, t));
    2714         203 :   g = sqri(g);
    2715         203 :   a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
    2716         203 :   b = gdiv(gneg(h), g);
    2717         203 :   if (E != e)
    2718             :   {
    2719          21 :     GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
    2720          21 :     a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
    2721          21 :     b = gmul(u,b);
    2722             :   }
    2723         203 :   H = mkvec2(a,b);
    2724         203 :   if (ab)
    2725             :   {
    2726         105 :     H = RgV_dotproduct(H, ab);
    2727         105 :     H = precp_fix(H,v0);
    2728             :   }
    2729             :   else
    2730             :   {
    2731          98 :     gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
    2732          98 :     gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
    2733             :   }
    2734         203 :   return gerepilecopy(av, H);
    2735             : }
    2736             : 
    2737             : GEN
    2738          14 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    2739             : {
    2740          14 :   pari_sp av = avma;
    2741             :   long vt;
    2742             :   GEN t, x, y, L;
    2743          14 :   checkellpt(P);
    2744          14 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
    2745          14 :   x = gel(P,1);
    2746          14 :   y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
    2747          14 :   vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
    2748          14 :   if (vt <= 0)
    2749           7 :     pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
    2750           7 :   L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
    2751           7 :   return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
    2752             : }
    2753             : 
    2754             : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
    2755             : GEN
    2756          21 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
    2757             : {
    2758          21 :   pari_sp av = avma;
    2759             :   GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
    2760             :   ulong pp;
    2761          21 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
    2762          21 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
    2763          21 :   pp = itou_or_0(p);
    2764          21 :   F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
    2765          21 :   a = gcoeff(F,1,1);
    2766          21 :   b = gcoeff(F,1,2);
    2767          21 :   d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
    2768          21 :   if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
    2769          21 :   if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
    2770           0 :     ap = ellap(E,p);
    2771             :   else
    2772             :   { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
    2773          21 :     GEN q = abscmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
    2774          21 :     ap = padic_to_Fp(ap, q);
    2775          21 :     ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
    2776             :   }
    2777          21 :   D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
    2778          21 :   if (absequaliu(p,2)) n++;
    2779          21 :   sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
    2780          21 :   l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
    2781          21 :   return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
    2782             : }
    2783             : 
    2784             : GEN
    2785          91 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
    2786             : {
    2787          91 :   pari_sp av = avma;
    2788             :   GEN t;
    2789             :   long s;
    2790             : 
    2791          91 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2792          91 :   switch(ell_get_type(e))
    2793             :   {
    2794             :     case t_ELL_Qp:
    2795          77 :       prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    2796          77 :       return zellQp(e, z, prec);
    2797           7 :     case t_ELL_Q: break;
    2798           7 :     case t_ELL_Rg: break;
    2799           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
    2800             :   }
    2801          14 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2802          14 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2803          14 :   s = ellR_get_sign(e);
    2804          14 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2805           7 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2806             :   else
    2807           7 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2808          14 :   return gerepileupto(av,t);
    2809             : }
    2810             : 
    2811             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2812             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2813             : typedef struct {
    2814             :   enum period_type type;
    2815             :   GEN in; /* original input */
    2816             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2817             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2818             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2819             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2820             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2821             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2822             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2823             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2824             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2825             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2826             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2827             :   long prec; /* precision(Z) */
    2828             : } ellred_t;
    2829             : 
    2830             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2831             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2832             : static void
    2833       23373 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2834             : {
    2835       23373 :   GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2836       23373 :   pari_sp av = avma;
    2837             : 
    2838       23373 :   a = d = gen_1;
    2839       23373 :   b = c = gen_0;
    2840             :   for(;;)
    2841             :   {
    2842       44093 :     GEN m, n = ground(real_i(t));
    2843       44093 :     if (signe(n))
    2844             :     { /* apply T^n */
    2845       26805 :       t = gsub(t,n);
    2846       26805 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2847       26805 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2848             :     }
    2849       44093 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2850       20720 :     t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
    2851       20720 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2852       20720 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2853       20720 :     if (gc_needed(av, 1)) {
    2854           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "redtausl2");
    2855           0 :       gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
    2856             :     }
    2857       20720 :   }
    2858       23373 :   *pa = a;
    2859       23373 :   *pb = b;
    2860       23373 :   *pc = c;
    2861       23373 :   *pd = d;
    2862       23373 : }
    2863             : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2864             :  * Set *pU to U. */
    2865             : GEN
    2866        8911 : redtausl2(GEN t, GEN *pU)
    2867             : {
    2868        8911 :   pari_sp av = avma;
    2869             :   GEN U, a,b,c,d;
    2870        8911 :   set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
    2871        8911 :   U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2872        8911 :   t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b),
    2873             :            gadd(gmul(c,t), d));
    2874        8911 :   gerepileall(av, 2, &t, &U);
    2875        8911 :   *pU = U; return t;
    2876             : }
    2877             : 
    2878             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2879             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2880             : static void
    2881       14462 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2882             : {
    2883             :   long s, p;
    2884       14462 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2885       14462 :   if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2886       14462 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2887       14462 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2888             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2889       14462 :   T->swap = (s < 0);
    2890       14462 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2891       14462 :   set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2892             :   /* update lattice */
    2893       14462 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2894       14462 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2895       14462 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2896       14462 :   if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2897       14462 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    2898       14462 :   T->prec = p;
    2899       14462 : }
    2900             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2901             : static void
    2902       15540 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2903             : {
    2904       15540 :   if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
    2905       10150 :   else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
    2906       15540 : }
    2907             : static void
    2908        9884 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2909             : {
    2910             :   long p;
    2911             :   GEN Z;
    2912        9884 :   T->abs_u_is_1 = 0;
    2913        9884 :   T->some_z_is_real = 0;
    2914        9884 :   T->some_z_is_pure_imag = 0;
    2915        9884 :   switch(typ(z))
    2916             :   {
    2917        9884 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2918             :     case t_QUAD:
    2919           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2920           0 :       break;
    2921           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2922             :   }
    2923        9884 :   T->z = z;
    2924        9884 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2925        9884 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    2926        9884 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2927        9884 :   T->y = ground(real_i(Z));
    2928        9884 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2929        9884 :   if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
    2930             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2931        9884 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2932        9884 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2933             :   {
    2934        4823 :     int W2real = 0, W2imag = 0;
    2935        4823 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2936        4823 :     if (W2real)
    2937         427 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2938        4396 :     else if (W2imag)
    2939         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2940             :   }
    2941        9884 :   p = precision(Z);
    2942        9884 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    2943          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    2944        9884 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2945        9884 :   T->Z = Z;
    2946        9884 : }
    2947             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2948             : static GEN
    2949        8862 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2950             : {
    2951        8862 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2952        8862 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2953        8862 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2954        8862 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2955        3976 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2956             : }
    2957             : /* e is either
    2958             :  * - [w1,w2]
    2959             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2960             :  * - an ellinit structure */
    2961             : static void
    2962       14469 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2963             : {
    2964             :   GEN w, e;
    2965       14469 :   T->q_is_real = 0;
    2966       14469 :   T->some_q_is_real = 0;
    2967       14469 :   switch(T->type)
    2968             :   {
    2969             :     case t_PER_ELL:
    2970             :     {
    2971        1029 :       long pr, p = prec;
    2972        1029 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2973        1029 :       e = T->in;
    2974        1029 :       w = ellR_omega(e, p);
    2975        1022 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2976        1022 :       break;
    2977             :     }
    2978             :     case t_PER_W:
    2979       13286 :       w = T->in; break;
    2980             :     default: /*t_PER_WETA*/
    2981         154 :       w = gel(T->in,1); break;
    2982             :   }
    2983       14462 :   T->w1 = gel(w,1);
    2984       14462 :   T->w2 = gel(w,2);
    2985       14462 :   red_modSL2(T, prec);
    2986       14462 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2987       14462 : }
    2988             : static int
    2989       14476 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2990             : {
    2991             :   GEN w1;
    2992       14476 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2993       14476 :   T->in = e;
    2994       14476 :   switch(lg(e))
    2995             :   {
    2996             :     case 17:
    2997        1036 :       T->type = t_PER_ELL;
    2998        1036 :       break;
    2999             :     case 3:
    3000       13440 :       w1 = gel(e,1);
    3001       13440 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    3002       13286 :         T->type = t_PER_W;
    3003             :       else
    3004             :       {
    3005         154 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    3006         154 :         T->type = t_PER_WETA;
    3007             :       }
    3008       13440 :       break;
    3009           0 :     default: return 0;
    3010             :   }
    3011       14476 :   return 1;
    3012             : }
    3013             : static int
    3014       14434 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    3015             : {
    3016       14434 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    3017       14434 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    3018             : }
    3019             : 
    3020             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    3021             : static GEN
    3022        8904 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    3023             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    3024             : GEN
    3025       33432 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    3026             : 
    3027             : static GEN
    3028       13734 : check_real(GEN q)
    3029       13734 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
    3030             : 
    3031             : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
    3032             : static GEN
    3033       13489 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
    3034             : {
    3035             :   pari_sp av;
    3036             :   GEN p1, q, y, qn;
    3037       13489 :   long n = 1;
    3038             : 
    3039       13489 :   if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
    3040         245 :   q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
    3041         245 :   q = check_real(q);
    3042         245 :   y = gen_0;
    3043         245 :   av = avma; qn = gen_1;
    3044        2164 :   for(;; n++)
    3045             :   { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
    3046        2409 :     qn = gmul(q,qn);
    3047        2409 :     p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
    3048        2409 :     if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3049        2164 :     y = gadd(y, p1);
    3050        2164 :     if (gc_needed(av,2))
    3051             :     {
    3052           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
    3053           0 :       gerepileall(av, 2, &y,&qn);
    3054             :     }
    3055        2164 :   }
    3056         245 :   return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
    3057             : }
    3058             : 
    3059             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    3060             : static GEN
    3061       13489 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    3062             : {
    3063       13489 :   GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
    3064       13489 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    3065       13489 :   return check_real(y);
    3066             : }
    3067             : 
    3068             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    3069             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    3070             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    3071             : GEN
    3072        4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    3073             : {
    3074        4438 :   pari_sp av = avma;
    3075             :   GEN y;
    3076             :   ellred_t T;
    3077             : 
    3078        4438 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    3079        4438 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    3080        4438 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    3081        4438 :   y = _elleisnum(&T, k);
    3082        4438 :   if (k==2 && signe(T.c))
    3083        3955 :   {
    3084        3955 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    3085        3955 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    3086             :   }
    3087         483 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    3088         462 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    3089        4438 :   return gerepileupto(av,y);
    3090             : }
    3091             : 
    3092             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    3093             : static GEN
    3094        8869 : _elleta(ellred_t *T)
    3095             : {
    3096        8869 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
    3097        8869 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    3098        8869 :   y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
    3099        8869 :   retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
    3100             : }
    3101             : 
    3102             : /* compute eta1, eta2 */
    3103             : GEN
    3104          42 : elleta(GEN om, long prec)
    3105             : {
    3106          42 :   pari_sp av = avma;
    3107             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    3108             :   ellred_t T;
    3109             : 
    3110          42 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    3111          42 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    3112             : 
    3113          35 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    3114          35 :   prec = T.prec;
    3115          35 :   pi = mppi(prec);
    3116          35 :   E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
    3117          35 :   if (signe(T.c))
    3118             :   {
    3119           0 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    3120             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    3121           0 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    3122             :   }
    3123          35 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    3124          35 :   if (T.swap)
    3125             :   {
    3126           7 :     y1 = y2;
    3127           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    3128             :   }
    3129             :   else
    3130          28 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    3131          35 :   switch(typ(T.w1))
    3132             :   {
    3133             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    3134          28 :       y1 = real_i(y1);
    3135             :   }
    3136          35 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    3137             : }
    3138             : GEN
    3139          14 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    3140             : {
    3141          14 :   pari_sp av = avma;
    3142             :   ellred_t T;
    3143          14 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    3144          14 :   switch(flag)
    3145             :   {
    3146           7 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    3147           7 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    3148           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    3149           0 :              return NULL;/*not reached*/
    3150             :   }
    3151             : }
    3152             : 
    3153             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    3154             : static double
    3155        9842 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    3156             : 
    3157             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    3158             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    3159             : static GEN
    3160         987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    3161             : {
    3162             :   long toadd;
    3163         987 :   pari_sp av = avma, av1;
    3164             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    3165             :   ellred_t T;
    3166             :   int simple_case;
    3167             : 
    3168         987 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    3169         980 :   if (!T.Z) return NULL;
    3170         959 :   prec = T.prec;
    3171             : 
    3172             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    3173         959 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3174         959 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3175         959 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3176         959 :   u1 = gsubsg(1,u);
    3177         959 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    3178         959 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    3179         959 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    3180         959 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    3181         959 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3182         959 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    3183         959 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    3184         959 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3185             : 
    3186         959 :   av1 = avma; qn = q;
    3187             :   for(;;)
    3188             :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    3189             :     /* analogous formula for yp */
    3190       12476 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    3191       12476 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    3192       12476 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    3193       12476 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    3194       12476 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    3195       12476 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    3196         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    3197             :     else
    3198             :     {
    3199       12088 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    3200       12088 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    3201       12088 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    3202       12088 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    3203             :     }
    3204       12476 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    3205       12476 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    3206       12476 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    3207             : 
    3208       12476 :     qn = gmul(q,qn);
    3209       12476 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3210       11517 :     if (gc_needed(av1,1))
    3211             :     {
    3212           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    3213           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    3214             :     }
    3215       11517 :   }
    3216         959 :   if (yp)
    3217             :   {
    3218         896 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
    3219         896 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    3220             :   }
    3221             : 
    3222         959 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    3223         959 :   u2 = gsqr(u1);
    3224         959 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    3225         959 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    3226         567 :     y = real_i(y);
    3227         959 :   if (yp)
    3228             :   {
    3229         896 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    3230         896 :     if (T.some_q_is_real)
    3231             :     {
    3232         896 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    3233         378 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    3234             :     }
    3235         896 :     y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
    3236             :   }
    3237         959 :   return gerepilecopy(av, y);
    3238             : }
    3239             : static GEN
    3240         196 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    3241             : {
    3242             :   long i, k, l;
    3243             :   pari_sp av;
    3244         196 :   GEN t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    3245             : 
    3246         196 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    3247         196 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    3248             : 
    3249         196 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    3250         196 :   switch(PRECDL)
    3251             :   {
    3252         196 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    3253             :     case 6:
    3254         196 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    3255             :     case 4:
    3256         196 :     case 3: P[2] = gen_0;
    3257             :     case 2:
    3258         196 :     case 1: P[0] = gen_1;
    3259         196 :     case 0: break;
    3260             :   }
    3261         196 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    3262         196 :   av = avma;
    3263         196 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    3264         665 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    3265             :   {
    3266         469 :     av = avma;
    3267         469 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    3268         469 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    3269         469 :     t = gmul2n(t, 1);
    3270         469 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    3271         469 :     if (k % 3 == 2)
    3272         168 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    3273             :     else /* same value, more efficient */
    3274         301 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    3275         469 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    3276             :   }
    3277         196 :   return res;
    3278             : }
    3279             : 
    3280             : static int
    3281         189 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    3282             : {
    3283         189 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    3284             :   {
    3285             :     case 17:
    3286          98 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    3287          98 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    3288          98 :       return 1;
    3289             :     case 3:
    3290             :     {
    3291             :       ellred_t T;
    3292          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    3293          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    3294          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    3295          91 :       return 1;
    3296             :     }
    3297             :   }
    3298           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    3299           0 :   return 0;
    3300             : }
    3301             : 
    3302             : GEN
    3303          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    3304             : {
    3305             :   GEN c4, c6;
    3306          14 :   checkell(e);
    3307          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3308          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    3309             : }
    3310             : 
    3311             : GEN
    3312           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    3313           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    3314             : 
    3315             : GEN
    3316         140 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    3317             : {
    3318         140 :   pari_sp av = avma;
    3319             :   GEN y;
    3320             : 
    3321         140 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    3322         140 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3323         140 :   y = toser_i(z);
    3324         140 :   if (y)
    3325             :   {
    3326          70 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3327             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3328          70 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    3329          70 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    3330          70 :     if (gequal0(y)) {
    3331           0 :       avma = av;
    3332           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    3333           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    3334             :     }
    3335          70 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3336          70 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3337          70 :     if (!flag)
    3338          70 :       return gerepileupto(av, Q);
    3339             :     else
    3340             :     {
    3341           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    3342           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    3343             :     }
    3344             :   }
    3345          70 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    3346          70 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    3347          63 :   return gerepileupto(av, y);
    3348             : }
    3349             : 
    3350             : GEN
    3351         119 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3352             : {
    3353             :   long prec;
    3354         119 :   pari_sp av = avma;
    3355         119 :   GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
    3356             :   ellred_t T;
    3357             :   int simple_case;
    3358             : 
    3359         119 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3360         119 :   y = toser_i(z);
    3361         119 :   if (y)
    3362             :   {
    3363          56 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3364             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3365          56 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3366          56 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3367          56 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3368          56 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3369          56 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3370          56 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3371          56 :     return gerepileupto(av, Q);
    3372             :   }
    3373          63 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3374          63 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3375          63 :   prec = T.prec;
    3376          63 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3377             : 
    3378          63 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3379          63 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3380          63 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3381          63 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3382             : 
    3383          63 :   y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3384          63 :   v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3385          63 :   if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3386          63 :   y = gadd(y, v);
    3387             : 
    3388          63 :   if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
    3389             :   {
    3390          49 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3391          49 :     pari_sp av1 = avma;
    3392             :     GEN qn;
    3393          49 :     for (qn = q;;)
    3394             :     { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
    3395         483 :       GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
    3396         483 :       y = gadd(y, gmul(qn,p1));
    3397         483 :       qn = gmul(q,qn);
    3398         483 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3399         434 :       if (gc_needed(av1,1))
    3400             :       {
    3401           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3402           0 :         gerepileall(av1,2, &y,&qn);
    3403             :       }
    3404         434 :     }
    3405             :   }
    3406          63 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3407          63 :   if (et) y = gadd(y,et);
    3408          63 :   if (T.some_q_is_real)
    3409             :   {
    3410          63 :     if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3411          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3412             :   }
    3413          63 :   return gerepilecopy(av, y);
    3414             : }
    3415             : 
    3416             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3417             : GEN
    3418        8904 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3419             : {
    3420             :   long toadd, prec, n;
    3421        8904 :   pari_sp av = avma, av1;
    3422             :   GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3423             :   GEN u, uhalf, urn, urninv;
    3424             :   ellred_t T;
    3425             : 
    3426        8904 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3427             : 
    3428        8904 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3429        8904 :   y = toser_i(z);
    3430        8904 :   if (y)
    3431             :   {
    3432          63 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3433             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3434          63 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3435          63 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3436          63 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3437          56 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3438          56 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3439          56 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3440             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3441          56 :     P = integser(gsub(P, monomial(gen_1,-1,vy)));
    3442          56 :     P = gexp(P, prec0);
    3443          56 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3444          56 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3445          56 :     return gerepileupto(av, Q);
    3446             :   }
    3447        8841 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3448        8841 :   if (!T.Z)
    3449             :   {
    3450           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3451           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3452             :   }
    3453        8834 :   prec = T.prec;
    3454        8834 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3455        8834 :   pi  = mppi(prec);
    3456             : 
    3457        8834 :   toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3458        8834 :   uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3459        8834 :   u = gsqr(uhalf);
    3460        8834 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    3461        8834 :   q = gpowgs(q8,8);
    3462        8834 :   u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
    3463        8834 :   y = gen_0;
    3464        8834 :   av1 = avma;
    3465        8834 :   qn = q; qn2 = gen_1;
    3466        8834 :   urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
    3467       57960 :   for(n=0;;n++)
    3468             :   {
    3469       57960 :     y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
    3470       57960 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3471       57960 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3472       49126 :     qn  = gmul(q,qn);
    3473       49126 :     urn = gmul(urn,u);
    3474       49126 :     urninv = gmul(urninv,uinv);
    3475       49126 :     if (gc_needed(av1,1))
    3476             :     {
    3477           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3478           0 :       gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3479             :     }
    3480       49126 :   }
    3481        8834 :   y = gmul(gmul(y,q8),
    3482             :            gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3483             : 
    3484        8834 :   et = _elleta(&T);
    3485        8834 :   etnew = eta_correction(&T, et);
    3486        8834 :   zinit = gmul(T.Z,T.W2);
    3487        8834 :   etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
    3488             :                            gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
    3489        8834 :   if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
    3490        8834 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
    3491        8834 :   if (flag)
    3492             :   {
    3493        8771 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3494        8771 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
    3495             :     { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
    3496          21 :       if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
    3497             :     }
    3498             :   }
    3499             :   else
    3500             :   {
    3501          63 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3502          63 :     if (T.some_q_is_real)
    3503             :     {
    3504          63 :       if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3505          42 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3506             :     }
    3507             :   }
    3508        8834 :   return gerepilecopy(av, y);
    3509             : }
    3510             : 
    3511             : GEN
    3512         917 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3513             : {
    3514         917 :   pari_sp av = avma;
    3515             :   GEN v;
    3516             : 
    3517         917 :   checkell(e);
    3518         917 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3519         910 :   if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
    3520         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3521         896 :   gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
    3522         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3523             : }
    3524             : 
    3525             : /********************************************************************/
    3526             : /**                                                                **/
    3527             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3528             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3529             : /**                                                                **/
    3530             : /********************************************************************/
    3531             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3532             : typedef struct {
    3533             :   long a1; /*{0,1}*/
    3534             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3535             :   long a3; /*{0,1}*/
    3536             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3537             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3538             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3539             : } ellmin_t;
    3540             : 
    3541             : /* u from [u,r,s,t] */
    3542             : static void
    3543     1169721 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3544             : {
    3545     1169721 :   M->u = u;
    3546     1169721 :   if (is_pm1(u))
    3547     1107330 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3548             :   else
    3549             :   {
    3550       62391 :     M->u2 = sqri(u);
    3551       62391 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3552       62391 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3553       62391 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3554             :   }
    3555     1169721 : }
    3556             : /* E = original curve */
    3557             : static void
    3558     1169721 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3559             : {
    3560     1169721 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3561     1169721 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3562       62391 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3563       62391 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3564             :   }
    3565     1169721 :   M->c4 = c4;
    3566     1169721 :   M->c6 = c6;
    3567     1169721 : }
    3568             : static void
    3569     1169413 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3570             : {
    3571     1169413 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3572     1169413 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3573     1169413 :   M->D = D;
    3574     1169413 : }
    3575             : static void
    3576     1169574 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3577             : {
    3578             :   long b22, b2;
    3579     1169574 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3580     1169574 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3581     1169574 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3582     1169574 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3583     1169574 : }
    3584             : static void
    3585     1169434 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3586             : {
    3587     1169434 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3588     1169434 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3589     1169434 :   if (odd(b2))
    3590             :   {
    3591      600299 :     a1 = 1;
    3592      600299 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3593             :   }
    3594             :   else
    3595             :   {
    3596      569135 :     a1 = 0;
    3597      569135 :     a2 = b2 >> 2;
    3598             :   }
    3599     1169434 :   M->a1 = a1;
    3600     1169434 :   M->a2 = a2;
    3601     1169434 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3602     1169434 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3603     1169434 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3604     1169434 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3605     1169434 : }
    3606             : static void
    3607     1169406 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3608             : {
    3609     1169406 :   min_set_u(M, u);
    3610     1169406 :   min_set_c(M, E);
    3611     1169406 :   min_set_D(M, E);
    3612     1169406 :   min_set_b(M);
    3613     1169406 :   min_set_a(M);
    3614     1169406 : }
    3615             : static GEN
    3616     1156323 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3617             : {
    3618     1156323 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3619             :   long a11, a13;
    3620     1156323 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3621     1156323 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3622     1156323 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3623     1156323 :   gel(y,4) = M->a4;
    3624     1156323 :   gel(y,5) = M->a6;
    3625     1156323 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3626     1156323 :   gel(y,7) = M->b4;
    3627     1156323 :   gel(y,8) = M->b6;
    3628     1156323 :   a11 = M->a1;
    3629     1156323 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3630     1156323 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3631             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3632     1156323 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3633     1156323 :   gel(y,10)= M->c4;
    3634     1156323 :   gel(y,11)= M->c6;
    3635     1156323 :   gel(y,12)= M->D;
    3636     1156323 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3637     1156323 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3638     1156323 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3639     1156323 :   return y;
    3640             : }
    3641             : static GEN
    3642     1169406 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3643             : {
    3644             :   GEN r, s, t;
    3645     1169406 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3646     1169406 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3647     1169406 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3648     1169406 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3649             : }
    3650             : 
    3651             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3652             : static long
    3653     1681834 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3654             : {
    3655     1681834 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3656     1681834 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3657     1681834 :   if (!signe(c6))
    3658             :   {
    3659        2814 :     d = vD / 12;
    3660        2814 :     if (d)
    3661             :     {
    3662        1029 :       if (p == 2)
    3663             :       {
    3664         777 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3665         777 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3666         777 :         if (a) d--;
    3667             :       }
    3668        1029 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3669             :     }
    3670        2814 :     v6 = 12; /* +oo */
    3671             :   }
    3672             :   else
    3673             :   {
    3674     1679020 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3675     1679020 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3676     1679020 :     if (d) {
    3677      180796 :       if (p == 2) {
    3678      109466 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3679      109466 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3680      109466 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3681      109466 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3682       71330 :       } else if (p == 3) {
    3683       45108 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3684             :       }
    3685      180796 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3686             :     }
    3687             :   }
    3688     1681834 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3689             : }
    3690             : static long
    3691      878262 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3692             : {
    3693             :   GEN c6;
    3694             :   long d, v6, vD;
    3695      878262 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3696           7 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3697           7 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3698           7 :   if (!signe(c6))
    3699             :   {
    3700           0 :     d = vD / 12;
    3701           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3702           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3703             :   }
    3704             :   else
    3705             :   {
    3706           7 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3707           7 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3708           7 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3709             :   }
    3710           7 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3711             : }
    3712             : 
    3713             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3714             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3715             :   in the form [f, kod, v, c].
    3716             : 
    3717             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3718             : 
    3719             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3720             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3721             :     I0  -->  1
    3722             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3723             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3724             : 
    3725             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3726             : 
    3727             :   * c is the Tamagawa number.
    3728             : 
    3729             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3730             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3731             : static GEN
    3732     1727432 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3733             : {
    3734     1727432 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3735     1727432 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3736     1727432 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3737     1727432 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3738     1727432 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3739             : }
    3740             : static GEN
    3741           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3742             : {
    3743           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3744           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3745           0 :   return NULL; /* not reached */
    3746             : }
    3747             : 
    3748             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3749             : static long
    3750      879060 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3751             : 
    3752             : #if 0
    3753             : /* Here p > 3. e assumed integral, return v_p(N). Simplified version of
    3754             :  * localred_p */
    3755             : static long
    3756             : localred_p_get_f(GEN e, GEN p)
    3757             : {
    3758             :   long nuj, nuD;
    3759             :   GEN D = ell_get_disc(e);
    3760             :   nuj = j_pval(e, p);
    3761             :   nuD = Z_pval(D, p);
    3762             :   if (nuj == 0) return (nuD % 12)? 2 : 0;
    3763             :   return (nuD - nuj) % 12 ? 2: 1;
    3764             : }
    3765             : #endif
    3766             : /* p > 3, e integral */
    3767             : static GEN
    3768      878262 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3769             : {
    3770             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3771      878262 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3772             : 
    3773      878262 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3774      878262 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3775      878262 :   nuj = j_pval(e, p);
    3776      878262 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3777      878262 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3778      878262 :   if (!k) v = init_ch();
    3779             :   else
    3780             :   { /* model not minimal */
    3781             :     ellmin_t M;
    3782       13090 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3783       13090 :     v = min_get_v(&M, e);
    3784       13090 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3785             :   }
    3786             : 
    3787      878262 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3788             :   {
    3789      760585 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3790      760585 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3791             :       {
    3792      392077 :         case  1: c = nuD; break;
    3793      368508 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3794           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3795             :       }
    3796      760585 :       break;
    3797             :     case 6:
    3798             :     {
    3799       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3800       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3801       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3802       45703 :       break;
    3803             :     }
    3804           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3805             :   }
    3806       71974 :   else switch(nuD)
    3807             :   {
    3808          14 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3809       11662 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3810       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3811        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3812        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3813        5635 :       break;
    3814       16898 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3815       16898 :       p2 = sqri(p);
    3816             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3817       16898 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3818             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3819             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3820       16898 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3821       16898 :       break;
    3822       11613 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3823       11613 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3824       11613 :       break;
    3825       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3826        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3827           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3828             :   }
    3829      878262 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3830             : }
    3831             : 
    3832             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3833             : static ulong
    3834      887537 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3835      887537 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3836             : 
    3837             : static ulong
    3838     1421210 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3839             : {
    3840     1421210 :   pari_sp av = avma;
    3841     1421210 :   ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
    3842     1421210 :   avma = av; return res;
    3843             : }
    3844             : 
    3845             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3846             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3847             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3848             : static long
    3849      243999 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3850             : {
    3851      243999 :   if (p == 2)
    3852             :   {
    3853      140938 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    3854      122234 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    3855             :   }
    3856             :   /* p = 3 */
    3857      103061 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    3858       69055 :   *mult = a * b;
    3859       69055 :   if (b == 2)
    3860       22995 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3861             :   else
    3862       46060 :     return c ? 3 : 2;
    3863             : }
    3864             : 
    3865             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3866             : static long
    3867      788375 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3868             : {
    3869      788375 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    3870             :   /* p = 3 */
    3871      300972 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3872             : }
    3873             : 
    3874             : /* p = 2 or 3 */
    3875             : static GEN
    3876      702219 : localred_23(GEN e, long p)
    3877             : {
    3878             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3879             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3880             :   GEN v;
    3881             : 
    3882      702219 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3883      702219 :   if (!k) v = init_ch();
    3884             :   {
    3885             :     ellmin_t M;
    3886      702219 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3887      702219 :     v = min_get_v(&M, e);
    3888      702219 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3889             :   }
    3890             :   /* model is minimal */
    3891      702219 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3892      702219 :   v = init_ch();
    3893      702219 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3894      321440 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3895             : 
    3896      702219 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3897      702107 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3898             :   {
    3899      385868 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3900      195923 :       c = nuD;
    3901             :     else
    3902      189945 :       c = 2 - (nuD & 1);
    3903      385868 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3904             :   }
    3905      316239 :   if (p == 2)
    3906             :   {
    3907      185535 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3908      185535 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3909      185535 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3910      185535 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3911             :   }
    3912             :   else /* p == 3 */
    3913             :   {
    3914      130704 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3915      130704 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3916      130704 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3917      130704 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3918             :   }
    3919             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3920      316239 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3921      316239 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3922       22218 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3923      294021 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3924       27573 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3925      266448 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3926             :   {
    3927       22449 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3928       11508 :       c = 3;
    3929             :     else
    3930       10941 :       c = 1;
    3931       22449 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3932             :   }
    3933             : 
    3934      243999 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3935       91007 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3936             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3937      243999 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3938      243999 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3939      243999 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3940      243999 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3941             :   {
    3942             :     case 3:
    3943       36001 :       c = a63 ? 1: 2;
    3944       36001 :       if (p == 2)
    3945       18704 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3946             :       else {
    3947       17297 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3948       17297 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3949             :       }
    3950       36001 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3951             :     case 2:
    3952             :     { /* compute nu */
    3953             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3954             :       long al, be, ga;
    3955      130228 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3956             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3957      130228 :       nu = 1;
    3958      130228 :       pk  = utoipos(p2);
    3959      130228 :       p2k = utoipos(p4);
    3960             :       for(;;)
    3961             :       {
    3962      387506 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3963      387506 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3964      387506 :         al = 1;
    3965      387506 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3966      323099 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3967      323099 :         pk1 = pk;
    3968      323099 :         pk  = mului(p, pk);
    3969      323099 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3970             : 
    3971      323099 :         al = a21;
    3972      323099 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3973      323099 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3974      323099 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3975      257278 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3976      257278 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3977      257278 :       }
    3978      130228 :       if (p == 2)
    3979       72142 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    3980             :       else
    3981       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3982      130228 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3983             :     }
    3984             :     case 1:
    3985       77770 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3986             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3987       77770 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3988       77770 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    3989       77770 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    3990             :       {
    3991       29722 :         if (p == 2)
    3992       20286 :           c = 3 - 2 * a64;
    3993             :         else
    3994        9436 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    3995       29722 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    3996             :       }
    3997       48048 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    3998             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    3999       48048 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    4000       28959 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    4001             : 
    4002             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    4003       19089 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    4004             :   }
    4005           0 :   return NULL; /* not reached */
    4006             : }
    4007             : 
    4008             : static GEN
    4009     1580460 : localred(GEN e, GEN p)
    4010             : {
    4011     1580460 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    4012      878262 :     return localred_p(e,p);
    4013             :   else
    4014             :   {
    4015      702198 :     long l = itos(p);
    4016      702198 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    4017      702198 :     return localred_23(e, l);
    4018             :   }
    4019             : }
    4020             : 
    4021             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    4022             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    4023             : static GEN
    4024       26208 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    4025             : {
    4026       26208 :   GEN b = z;
    4027             :   long i;
    4028       26208 :   if (typ(b) == t_INT)
    4029             :   {
    4030       13090 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    4031       13090 :     return shifti(negi(b),-1);
    4032             :   }
    4033       26278 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4034             :   {
    4035       13160 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4036             :   }
    4037       13118 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    4038             : }
    4039             : 
    4040             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    4041             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    4042             : static GEN
    4043       13104 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    4044             : {
    4045       13104 :   GEN b = z;
    4046             :   long i;
    4047       13104 :   if (typ(b) == t_INT)
    4048             :   {
    4049           0 :     long s = smodis(b,3);
    4050           0 :     if (s)
    4051             :     {
    4052           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    4053           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    4054           0 :         b = subii(b, Jz);
    4055             :       else
    4056           0 :         b = addii(b, Jz);
    4057             :     }
    4058           0 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    4059             :   }
    4060       26236 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4061             :   {
    4062       13132 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    4063       13132 :     if (!s) continue;
    4064          28 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    4065          14 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    4066             :     else
    4067          14 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4068             :   }
    4069       13104 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    4070             : }
    4071             : 
    4072             : /* return a such that v_P(a) = -1, v_Q(a) >= 0, Q!=P, Q|p */
    4073             : static GEN
    4074       62580 : get_piinv(GEN P)
    4075             : {
    4076       62580 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    4077       62580 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    4078       62580 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    4079             : }
    4080             : 
    4081             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    4082             : static GEN
    4083      238938 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    4084             : {
    4085      238938 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4086      238938 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4087      238938 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    4088             : }
    4089             : 
    4090             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    4091             : static GEN
    4092      387170 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    4093             : {
    4094      387170 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    4095      387170 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4096      387170 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    4097             : }
    4098             : 
    4099             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    4100             : 
    4101             : static GEN
    4102      213997 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    4103             : {
    4104      213997 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    4105      213997 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    4106      213997 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4107      213997 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    4108             : }
    4109             : 
    4110             : static GEN
    4111      578053 : pol2sqrt_23(GEN nf, GEN modP, GEN Q)
    4112             : {
    4113      578053 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4114      578053 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    4115      578053 :   if (!gequal1(gel(Q,4)))
    4116        4018 :     r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    4117      578053 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    4118      578053 :   return nftoalg(nf, Fq_to_nf(r, modP));
    4119             : }
    4120             : 
    4121             : static GEN
    4122       15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    4123             : {
    4124       15498 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4125       15498 :   GEN pi3 = gsqr(pi);
    4126       15498 :   GEN pv3 = gsqr(pv), pv4 = gmul(pv,pv3), pv6 = gsqr(pv3);
    4127       15498 :   long n = 1;
    4128             :   while(1)
    4129             :   {
    4130       40166 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    4131             :     GEN gama;
    4132       40166 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4133             :     {
    4134        8064 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4135        8064 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4136             :     }
    4137       32102 :     gama = pol2sqrt_23(nf,modP, Q);
    4138       32102 :     E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(gama,pi3));
    4139       32102 :     pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
    4140       32102 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    4141       32102 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4142             :     {
    4143        7434 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4144        7434 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4145             :     }
    4146       24668 :     gama = pol2sqrt_23(nf, modP, Q);
    4147       24668 :     E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama, pi3));
    4148       24668 :     pi3 = gmul(pi, pi3);
    4149       24668 :     pv3 = pv4; pv4 = gmul(pv,pv4); pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
    4150       24668 :   }
    4151             : }
    4152             : 
    4153             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    4154             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    4155             : 
    4156             : static GEN
    4157       97846 : nflocalred_23(GEN e, GEN P, long *ap)
    4158             : {
    4159       97846 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP;
    4160             :   long vD;
    4161             :   GEN ch, D, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    4162       97846 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4163       97846 :   if (typ(pr_get_tau(P)) == t_INT) /* inert prime */
    4164             :   {
    4165       97454 :     pv = mkfrac(gen_1, p);
    4166       97454 :     pi = p;
    4167             :   }
    4168             :   else
    4169             :   {
    4170         392 :     pv = basistoalg(nf, get_piinv(P));
    4171         392 :     pi = basistoalg(nf, nfinv(nf,pv)); /* local uniformizer */
    4172             :   }
    4173       97846 :   ch = init_ch();
    4174       97846 :   D = ell_get_disc(e);
    4175       97846 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4176       97846 :   *ap = 0;
    4177             :   while(1)
    4178             :   {
    4179      248857 :     if (vD==0)
    4180         497 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    4181             :     else
    4182             :     {
    4183      248360 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4184      248360 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4185      248360 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    4186      248360 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    4187      248360 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    4188             :       GEN x0, y0;
    4189      248360 :       if (absequaliu(p,2))
    4190             :       {
    4191             :         GEN x02, y02;
    4192      161623 :         if (signe(a1))
    4193             :         {
    4194       29673 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    4195       29673 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    4196       29673 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    4197             :         }
    4198             :         else
    4199             :         {
    4200      131950 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    4201      131950 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    4202             :         }
    4203      161623 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    4204             :       }
    4205             :       else
    4206             :       {
    4207       86737 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    4208       86737 :         if (signe(a12))
    4209       27370 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    4210             :         else
    4211       59367 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    4212       86737 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    4213             :       }
    4214      248360 :       x0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(x0, modP));
    4215      248360 :       y0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(y0, modP));
    4216      248360 :       E_gcompose_rt(&ch, &e, x0, y0);
    4217             :     }
    4218             :     /* 2 */
    4219             :     {
    4220      248360 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    4221      248360 :       if (signe(b2) != 0)
    4222             :       {
    4223       57043 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    4224       57043 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    4225       57043 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    4226       27741 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    4227             :       }
    4228             :     }
    4229             :     /* 3 */
    4230             :     {
    4231      191317 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    4232      191317 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    4233             :     }
    4234             :     /* 4 */
    4235             :     {
    4236      188748 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    4237      188748 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    4238             :     }
    4239             :     /* 5 */
    4240      185101 :     pv2 = gsqr(pv);
    4241             :     {
    4242      185101 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    4243      185101 :       if (vb6<=2)
    4244             :       {
    4245        3206 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    4246        3206 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4247        3206 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    4248             :       }
    4249             :     }
    4250             :     /* 6 */
    4251             :     {
    4252      181895 :       GEN pv3 = gmul(pv, pv2);
    4253      181895 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pola1a2(e, nf, modP));
    4254      181895 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(nf, modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    4255             :       GEN po2, E, F, mr;
    4256             :       long i, lE;
    4257      181895 :       E_gcompose_st(&ch, &e, alpha, gmul(beta, pi));
    4258      181895 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    4259      181895 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    4260             :       {
    4261       69062 :         pol = RgX_add(monomial(gen_1,3,0), po2);
    4262       69062 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    4263       69062 :         lE = lg(E);
    4264       69062 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    4265             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    4266             :           long c; /* 1 + number of roots */
    4267        4494 :           switch(lE)
    4268             :           {
    4269        1743 :             case 2: c = 1; break;
    4270        2534 :             case 3: c = 2; break;
    4271         217 :             default: c = 4; break;
    4272             :           }
    4273        4494 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    4274             :         }
    4275             :       /* 7 */
    4276       64568 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    4277       64568 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    4278       64568 :         if (!gequal0(mr))
    4279             :         { /* not so frequent */
    4280       58520 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    4281       58520 :           E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama,pi));
    4282             :         }
    4283       64568 :         if (lE == 3)
    4284       15498 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    4285             :       }
    4286             :     }
    4287      161903 :     pv4 = gsqr(pv2);
    4288      161903 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    4289             :     /*  8 */
    4290      161903 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    4291             :     {
    4292        4410 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    4293        4410 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    4294             :     }
    4295             :     /*  9 */
    4296             :     {
    4297      157493 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pol);
    4298      157493 :       E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(alpha, gsqr(pi)));
    4299      157493 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    4300        3948 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    4301             :     }
    4302             :     /* 10 */
    4303      153545 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    4304        2534 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    4305             :     /* 11 */
    4306      151011 :     E_gcompose_u(&ch, &e, pi);
    4307      151011 :     vD -= 12;
    4308      151011 :   }
    4309             : }
    4310             : 
    4311             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    4312             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    4313             : static GEN
    4314       49105 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    4315             : {
    4316       49105 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4317             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    4318             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    4319             : 
    4320       49105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4321       49105 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4322       49105 :   D = ell_get_disc(e);
    4323       49105 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4324       49105 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    4325       49105 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    4326       49105 :   m = (vD - nuj)/12;
    4327       49105 :   piinv = get_piinv(P);
    4328       49105 :   pi = nfinv(nf, piinv); /* local uniformizer */
    4329             : 
    4330       49105 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    4331             :   else
    4332             :   { /* model not minimal */
    4333             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    4334       13104 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    4335       13104 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    4336       13104 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    4337       13104 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    4338       13104 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4339       13104 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    4340       13104 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    4341       13104 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    4342       13104 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    4343       13104 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4344       13104 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4345       13104 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4346       13104 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4347       13104 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4348       13104 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4349       13104 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4350       13104 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4351       13104 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4352             :   }
    4353             : 
    4354       49105 :   kod = 0; c = 1;
    4355             :   /* minimal at P */
    4356       49105 :   if (nuj > 0)
    4357             :   { /* v(j) < 0 */
    4358       45815 :     if (vD == nuj)
    4359             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4360       43722 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4361       43722 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4362       43722 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4363       23198 :         c = vD;/* split */
    4364             :       else
    4365       20524 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    4366             :     }
    4367             :     else
    4368             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4369             :       GEN Du;
    4370        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4371        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4372        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4373        2093 :       if(odd(vD))
    4374             :       {
    4375             :         GEN c6u;
    4376        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4377        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4378        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4379             :       }
    4380        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4381             :     }
    4382             :   }
    4383             :   else
    4384             :   { /* v(j) >= 0 */
    4385        3290 :     f = vD? 2: 0;
    4386        3290 :     switch(vD)
    4387             :     {
    4388             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4389          28 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    4390         588 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4391         462 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4392         273 :       case 4: kod = 4;
    4393         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4394         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4395         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4396         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4397         273 :         break;
    4398         616 :       case 6: kod = -1;
    4399         616 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4400         616 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4401         616 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4402         616 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4403         616 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4404         616 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4405         616 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4406         616 :         break;
    4407         588 :       case 8: kod = -4;
    4408         588 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4409         588 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4410         588 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4411         588 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4412         588 :         break;
    4413         462 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4414         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4415             :     }
    4416             :   }
    4417       49105 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4418             : }
    4419             : static GEN
    4420       97776 : nflocalred(GEN e, GEN  pr)
    4421             : {
    4422       97776 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4423       97776 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0) { long ap; return nflocalred_23(e,pr,&ap); }
    4424       49105 :   return nflocalred_p(e,pr);
    4425             : }
    4426             : 
    4427             : GEN
    4428      195531 : elllocalred(GEN e, GEN p)
    4429             : {
    4430      195531 :   pari_sp av = avma;
    4431      195531 :   checkell(e);
    4432      195531 :   switch(ell_get_type(e))
    4433             :   {
    4434             :     case t_ELL_Q:
    4435       97811 :       if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
    4436           0 :         pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
    4437       97811 :       if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
    4438       97811 :       if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
    4439       97811 :       return gerepileupto(av, localred(e, p));
    4440           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
    4441             :     case t_ELL_NF:
    4442       97720 :       checkprid(p);
    4443       97720 :       return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
    4444             :   }
    4445             : }
    4446             : 
    4447             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4448             : static GEN
    4449          77 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4450             : {
    4451          77 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4452          77 :   return c;
    4453             : }
    4454             : static GEN
    4455     2280390 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4456             : {
    4457     2280390 :   *pd = NULL;
    4458     2280390 :   switch(typ(c))
    4459             :   {
    4460     2279977 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4461         336 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4462             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4463          77 :       if (nf)
    4464             :       {
    4465          77 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4466          77 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4467             :       }
    4468           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4469           0 :       return NULL;
    4470             :   }
    4471             : }
    4472             : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
    4473             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4474             : GEN
    4475      456078 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4476             : {
    4477      456078 :   GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
    4478             :   long i, l, k;
    4479             : 
    4480      456078 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4481      456078 :   L = cgetg(1, t_VEC);
    4482     2736468 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4483             :   {
    4484             :     GEN d;
    4485     2280390 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4486     2280390 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4487         371 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4488             :   }
    4489             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4490      456078 :   l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
    4491         140 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4492         140 :   l = lg(L);
    4493             : 
    4494         140 :   t = gen_1;
    4495         371 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4496             :   {
    4497         231 :     GEN p = gel(L,k);
    4498         231 :     long n = 0, m;
    4499        1386 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4500        1155 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4501             :       {
    4502         714 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4503         714 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4504         714 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4505             :       }
    4506         231 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4507             :   }
    4508         140 :   u = ginv(t);
    4509         140 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4510         140 :   return coordch_u(e, u);
    4511             : }
    4512             : 
    4513             : static long
    4514        1428 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4515             : {
    4516        1428 :   long N = 1; /* oo */
    4517        1428 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4518        1281 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4519        1428 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4520        1155 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4521        1428 :   return N;
    4522             : }
    4523             : static long
    4524        2926 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4525             : {
    4526        2926 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4527             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4528        2926 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4529             : }
    4530             : static long
    4531        1407 : cardmod2(GEN e)
    4532             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4533        1407 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4534        1407 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4535        1407 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4536        1407 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4537        1407 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4538        1407 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4539             : }
    4540             : static long
    4541        2786 : cardmod3(GEN e)
    4542             : {
    4543        2786 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4544        2786 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4545        2786 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4546        2786 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4547             : }
    4548             : 
    4549             : static ulong
    4550         112 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4551             : 
    4552             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4553             : static void
    4554          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4555             : {
    4556          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4557          28 :   min_set_c(M, E);
    4558          28 :   min_set_b(M);
    4559          28 :   min_set_a(M);
    4560          28 : }
    4561             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4562             : static void
    4563         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4564             : {
    4565         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4566         140 :   min_set_c(M, E);
    4567         140 :   min_set_b(M);
    4568         140 : }
    4569             : 
    4570             : static long
    4571      100996 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4572             : {
    4573      100996 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4574      100996 :   if (vD) /* bad reduction */
    4575             :   {
    4576             :     GEN c6;
    4577             :     long s;
    4578      100688 :     *good_red = 0;
    4579      100688 :     if (vc6) return 0;
    4580       73745 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4581       73745 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4582       73745 :     s = kroiu(c6,p);
    4583       73745 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4584       73745 :     return s;
    4585             :   }
    4586         308 :   *good_red = 1;
    4587         308 :   if (p == 2)
    4588             :   {
    4589             :     ellmin_t M;
    4590          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4591          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4592          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4593             :   }
    4594         287 :   else if (p == 3)
    4595             :   {
    4596             :     ellmin_t M;
    4597         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4598         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4599         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4600             :   }
    4601             :   else
    4602             :   {
    4603             :     ellmin_t M;
    4604         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4605         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4606         147 :     min_set_c(&M, E);
    4607         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4608         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4609             :   }
    4610             : }
    4611             : 
    4612             : static GEN
    4613       98546 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4614             : {
    4615             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4616             :   long vc6, vD, d;
    4617       98546 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4618           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4619           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4620           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4621           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4622           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4623           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4624             :   {
    4625             :     long s;
    4626           0 :     *good_red = 0;
    4627           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4628           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4629           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4630           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4631           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4632             :   }
    4633           0 :   *good_red = 1;
    4634           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4635           0 :   if (d)
    4636             :   {
    4637           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4638           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4639           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4640             :   }
    4641           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4642           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4643             : }
    4644             : 
    4645             : static GEN
    4646       77477 : doellcard(GEN E)
    4647             : {
    4648       77477 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4649       77477 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4650       56694 :     return FF_ellcard(E);
    4651             :   else
    4652             :   {
    4653       20783 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4654       20783 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4655             :   }
    4656             : }
    4657             : 
    4658             : static GEN
    4659      233506 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4660             : {
    4661      233506 :   GEN a4,a6, c4, D, modP, p, T, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4662             :   long vD;
    4663             : 
    4664      233506 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4665      233506 :   D = ell_get_disc(E);
    4666      233506 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4667      233506 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4668      233506 :   p = pr_get_p(P);
    4669      233506 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4670             :   {
    4671             :     long ap;
    4672       49175 :     GEN L = nflocalred_23(E,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4673       49175 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4674         497 :     *good_red = 1;
    4675         497 :     E = coordch(E, gel(L,3));
    4676         497 :     E = ellinit_nf_to_Fq(E, modP);
    4677         497 :     card = doellcard(E);
    4678             :   }
    4679             :   else
    4680             :   {
    4681      184331 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), piinv = NULL;
    4682      184331 :     long vc6 = nfval(nf,c6,P), d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4683             :     /* non minimal model ? */
    4684      184331 :     if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; piinv = get_piinv(P); }
    4685      184331 :     if (vD) /* bad reduction */
    4686             :     {
    4687       49175 :       *good_red = 0;
    4688       49175 :       if (vc6) return gen_0;
    4689       43820 :       if (d) c6 = nfmul(nf, c6, nfpow(nf, piinv, stoi(6*d)));
    4690       43820 :       c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4691       43820 :       return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4692             :     }
    4693      135156 :     *good_red = 1;
    4694      135156 :     if (d)
    4695             :     {
    4696          49 :       GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4697          49 :       GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4698          49 :       GEN ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4699          49 :       c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4700          49 :       c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4701             :     }
    4702      135156 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4703      135156 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4704      135156 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4705      272279 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4706      137123 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4707             :   }
    4708      135653 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4709             : }
    4710             : 
    4711             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4712             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4713             : static GEN
    4714      454097 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
    4715             : {
    4716             :   pari_sp av;
    4717      454097 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4718      454097 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4719      454097 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4720             :   long l, k;
    4721             : 
    4722      454097 :   if (!signe(c4))
    4723        1568 :     P = gel(absZ_factor(c6), 1);
    4724      452529 :   else if (!signe(c6))
    4725         875 :     P = gel(absZ_factor(c4), 1);
    4726             :   else
    4727             :   {
    4728      451654 :     GEN A, B, v = Z_ppio(c4,c6), d = gel(v,1); /* = gcd(c4,c6), u^4 | d */
    4729      451654 :     if (is_pm1(d)) { *pDP = cgetg(1, t_COL); return gen_1; }
    4730      343504 :     A = gel(v,2); /* gcd(c4, c6^oo) */
    4731      343504 :     B = diviiexact(c6, coprime_part(c6, d)); /* gcd(c6, c4^oo) */
    4732             :     /* d = gcd(A,B) */
    4733      343504 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4734      343504 :     l = lg(P);
    4735      343504 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4736      343504 :     P = shallowconcat1(P);
    4737      343504 :     P = ZV_sort(P); /* potential primes dividing u, sorted */
    4738             :   }
    4739      345947 :   l = lg(P);
    4740      345947 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    4741      345947 :   av = avma;
    4742      345947 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4743      345947 :   u = gen_1;
    4744      850829 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4745             :   {
    4746      504882 :     GEN p = gel(P, k);
    4747      504882 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4748      504882 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4749             :     {
    4750             :       case 2:
    4751             :       {
    4752             :         long a, b;
    4753       56427 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4754       56427 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4755       56427 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4756       56427 :         break;
    4757             :       }
    4758             :       case 3:
    4759        2023 :         if (Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4760        2023 :         break;
    4761             :     }
    4762      504882 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4763      504882 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4764             :   }
    4765      345947 :   *pDP = DP;
    4766      345947 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4767             : }
    4768             : 
    4769             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4770             : static GEN
    4771           7 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4772             : {
    4773           7 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4774           7 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4775           7 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4776             : 
    4777           7 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4778           7 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4779           7 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4780           7 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4781           7 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4782           7 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4783           7 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4784           7 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4785           7 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4786           7 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4787             : }
    4788             : 
    4789             : static GEN
    4790          28 : bnf_get_v(GEN bnf, GEN E, GEN *pDP, GEN P)
    4791             : {
    4792             :   GEN nf, c4, c6, DP, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4793             :   long l, k;
    4794             : 
    4795          28 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4796          28 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4797          28 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4798          28 :   if (!P)
    4799             :   { /* FIXME: use dcba */
    4800          28 :     GEN d = idealadd(nf, c4, c6);
    4801          28 :     P = gel(idealfactor(nf, d),1); /* primes potentially dividing u */
    4802             :   }
    4803          28 :   l = lg(P);
    4804          28 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    4805          28 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4806          28 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4807          28 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4808          28 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4809          28 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4810          84 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4811             :   {
    4812          56 :     GEN pr = gel(P, k);
    4813          56 :     GEN q = nflocalred(E, pr), f = gel(q,1), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4814          56 :     long vu = nfval(nf, u, pr);
    4815          56 :     if (signe(f)) vectrunc_append(DP, q); /* store useful localred data */
    4816          56 :     if (!vu) continue;
    4817          49 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4818          49 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4819          49 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4820          49 :     vectrunc_append(L, pr);
    4821          49 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4822             :   }
    4823          28 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4824          28 :   *pDP = DP;
    4825          28 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4826           7 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4827           7 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4828           7 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4829           7 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4830           7 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4831           7 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4832             : }
    4833             : 
    4834             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4835             :  * ellminimalmodel(E) */
    4836             : static GEN
    4837      455273 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4838             : {
    4839             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4840             :   ellmin_t M;
    4841      455273 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4842             :   {
    4843        1176 :     if (lg(S) != 2)
    4844             :     {
    4845         168 :       E = gel(S,3);
    4846         168 :       v = gel(S,2);
    4847             :     }
    4848             :     else
    4849        1008 :       v = init_ch();
    4850        1176 :     if (ptv) *ptv = v;
    4851        1176 :     return gcopy(E);
    4852             :   }
    4853      454097 :   e = ellintegralmodel(E, &v0);
    4854      454097 :   u = get_u(e, &DP);
    4855      454097 :   min_set_all(&M, e, u);
    4856      454097 :   v = min_get_v(&M, e);
    4857      454097 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4858      454097 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4859      454097 :   if (is_trivial_change(v))
    4860             :   {
    4861      453453 :     v = init_ch();
    4862      453453 :     S = mkvec(DP);
    4863             :   }
    4864             :   else
    4865         644 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4866      454097 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4867      454097 :   *ptv = v; return y;
    4868             : }
    4869             : 
    4870             : static GEN
    4871         945 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4872             : {
    4873         945 :   pari_sp av = avma;
    4874         945 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    4875         945 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4876         945 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4877         945 :   DP = gel(S,1);
    4878         945 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4879         945 :   if (!ptv)
    4880         910 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4881             :   else
    4882          35 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4883         945 :   return y;
    4884             : }
    4885             : 
    4886             : static GEN
    4887          28 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4888             : {
    4889             :   GEN S, y, v, v2, bnf, nf, DP;
    4890          28 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4891             :   {
    4892           0 :     switch(lg(S))
    4893             :     {
    4894           0 :       case 2: v = init_ch(); break;
    4895           0 :       case 3: v = NULL; E = gel(S,2); break;
    4896           0 :       default: E = gel(S,3); v = gel(S,2); break;
    4897             :     }
    4898           0 :     if (ptv) *ptv = v;
    4899           0 :     return gcopy(E);
    4900             :   }
    4901          28 :   bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4902          28 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4903          28 :   if (ptv) *ptv = NULL;
    4904          28 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4905          28 :   y = ellintegralmodel(E, &v);
    4906          28 :   v2 = bnf_get_v(bnf, y, &DP, NULL);
    4907          28 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4908             :   {
    4909          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec2(DP, v2));
    4910          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    4911             :   }
    4912           7 :   y = coordch(y, v2);
    4913           7 :   gcomposev(&v, v2);
    4914           7 :   v2 = nfrestrict23(nf, y);
    4915           7 :   y = coordch(y, v2);
    4916             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4917           7 :   y = obj_reinit(y);
    4918           7 :   gcomposev(&v, v2);
    4919           7 :   if (is_trivial_change(v))
    4920             :   {
    4921           0 :     v = init_ch();
    4922           0 :     S = mkvec(DP);
    4923             :   }
    4924             :   else
    4925           7 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4926           7 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4927           7 :   if (ptv) *ptv = v;
    4928           7 :   return y;
    4929             : }
    4930             : static GEN
    4931          28 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4932             : {
    4933          28 :   pari_sp av = avma;
    4934          28 :   GEN S, v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4935          28 :   S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL);
    4936          28 :   if (v) /* true change of variable; v = NULL => no minimal model */
    4937             :   {
    4938           7 :     S = mkvec(gel(S,1));
    4939           7 :     if (!is_trivial_change(v)) (void)ch_Rg(y, E, v);
    4940           7 :     obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, S);
    4941             :   }
    4942          28 :   if (!v || !ptv)
    4943          21 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4944             :   else
    4945           7 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4946          28 :   return y;
    4947             : }
    4948             : GEN
    4949         980 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4950             : {
    4951         980 :   checkell(E);
    4952         980 :   switch(ell_get_type(E))
    4953             :   {
    4954         945 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4955          28 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4956           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4957           0 :              return NULL;
    4958             :   }
    4959             : }
    4960             : 
    4961             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4962             :  * update type-dependant components.
    4963             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4964             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4965             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4966             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4967             :  *   fa = factorization of N
    4968             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N.
    4969             :  * Return standard minimal model (a1,a3 = 0 or 1, a2 = -1, 0 or 1) */
    4970             : static GEN
    4971      453901 : ellglobalred_all(GEN e, GEN *pgr, GEN *pv)
    4972             : {
    4973             :   long k, l, iN;
    4974             :   GEN S, E, c, L, P, NP, NE, D;
    4975             : 
    4976      453901 :   E = ellminimalmodel_i(e, pv);
    4977      453901 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4978      453901 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4979      453901 :   D  = ell_get_disc(E);
    4980      453901 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4981      453901 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    4982      453901 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4983      453901 :   iN = 1;
    4984      453901 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4985      453901 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4986      453901 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4987     1936550 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4988             :   {
    4989     1482649 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    4990     1482649 :     if (signe(ex))
    4991             :     {
    4992     1482649 :       gel(NP, iN) = p;
    4993     1482649 :       gel(NE, iN) = ex;
    4994     1482649 :       gel(L, iN) = q; iN++;
    4995     1482649 :       gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    4996     1482649 :       c = mulii(c, gel(q,4));
    4997             :     }
    4998             :   }
    4999      453901 :   setlg(L, iN);
    5000      453901 :   setlg(NP, iN);
    5001      453901 :   setlg(NE, iN);
    5002      453901 :   *pgr = mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    5003      453901 :   return E;
    5004             : }
    5005             : static GEN
    5006      453887 : doellglobalred(GEN E)
    5007             : {
    5008             :   GEN v, gr;
    5009      453887 :   E = ellglobalred_all(E, &gr, &v);
    5010      453887 :   return gr;
    5011             : }
    5012             : static GEN
    5013      463029 : ellglobalred_i(GEN E)
    5014      463029 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &doellglobalred); }
    5015             : 
    5016             : GEN
    5017      453180 : ellglobalred(GEN E)
    5018             : {
    5019      453180 :   pari_sp av = avma;
    5020             :   GEN S, gr, v;
    5021      453180 :   checkell_Q(E); gr = ellglobalred_i(E);
    5022      453180 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5023      453180 :   v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    5024      453180 :   return gerepilecopy(av, mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4)));
    5025             : }
    5026             : 
    5027             : static GEN doellrootno(GEN e);
    5028             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    5029             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    5030             :  * and E (shallow insert) */
    5031             : GEN
    5032        2002 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    5033             : {
    5034        2002 :   GEN E, S, v = NULL;
    5035        2002 :   checkell_Q(e);
    5036        2002 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5037             :   {
    5038         399 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    5039         399 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5040         399 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5041             :   }
    5042        1603 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    5043        1589 :     E = e;
    5044             :   else
    5045             :   {
    5046          14 :     v = gel(S,2);
    5047          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    5048          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5049             :   }
    5050        2002 :   if (ch) *ch = v;
    5051        2002 :   S = ellglobalred_i(e);
    5052        2002 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    5053        2002 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    5054        2002 :   if (!S)
    5055             :   {
    5056         616 :     S = doellrootno(E);
    5057         616 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    5058             :   }
    5059        2002 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    5060        2002 :   return E;
    5061             : }
    5062             : 
    5063             : /********************************************************************/
    5064             : /**                                                                **/
    5065             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5066             : /**                                                                **/
    5067             : /********************************************************************/
    5068             : /* x a t_INT */
    5069             : static long
    5070        1092 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5071             : {
    5072             :   long v;
    5073             :   GEN z;
    5074        1092 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5075         938 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5076         938 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5077             : }
    5078             : static void
    5079         364 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5080             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5081             : {
    5082         364 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5083         364 :   pari_sp av = avma;
    5084         364 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5085         364 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5086         364 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
    5087         364 : }
    5088             : 
    5089             : static long
    5090         364 : kod_23(GEN e, long p)
    5091             : {
    5092             :   GEN S, nv;
    5093         364 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5094             :   {
    5095         343 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5096         343 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5097             :   }
    5098             :   else
    5099          21 :     nv = localred_23(e, p);
    5100         364 :   return itos(gel(nv,2));
    5101             : }
    5102             : 
    5103             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5104             : static long
    5105         168 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5106             : {
    5107         168 :   if (kod > 4) return 1;
    5108         133 :   switch(kod)
    5109             :   {
    5110           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5111             :     case 2:
    5112           7 :       if (vD==4) return 1;
    5113             :       else
    5114             :       {
    5115           0 :         if (vD==7) return 3;
    5116           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5117             :       }
    5118             :     case 3:
    5119          63 :       switch(vD)
    5120             :       {
    5121          42 :         case 6: return 3;
    5122           0 :         case 8: return 4;
    5123          14 :         case 9: return 5;
    5124           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5125             :       }
    5126          35 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5127             :     case -1:
    5128           0 :       switch(vD)
    5129             :       {
    5130           0 :         case 9: return 2;
    5131           0 :         case 10: return 4;
    5132           0 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5133             :       }
    5134             :     case -2:
    5135           7 :       switch(vD)
    5136             :       {
    5137           7 :         case 12: return 2;
    5138           0 :         case 14: return 3;
    5139           0 :         default: return 1;
    5140             :       }
    5141             :     case -3:
    5142           0 :       switch(vD)
    5143             :       {
    5144           0 :         case 12: return 2;
    5145           0 :         case 14: return 3;
    5146           0 :         case 15: return 4;
    5147           0 :         default: return 1;
    5148             :       }
    5149           7 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5150          14 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5151             :     case -6:
    5152           0 :       switch(vD)
    5153             :       {
    5154           0 :         case 12: return 2;
    5155           0 :         case 13: return 3;
    5156           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5157             :       }
    5158           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5159           0 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5160             :   }
    5161             : }
    5162             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5163             : static long
    5164         154 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5165             : {
    5166         154 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5167         133 :   switch(kod)
    5168             :   {
    5169          77 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5170          14 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5171             :     case -4: case 2:
    5172          35 :       switch (vD%6)
    5173             :       {
    5174           0 :         case 4: return 3;
    5175           0 :         case 5: return 4;
    5176          35 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5177             :       }
    5178             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5179           7 :       switch (vD%6)
    5180             :       {
    5181           0 :         case 0: return 2;
    5182           0 :         case 1: return 3;
    5183           7 :         default: return 1;
    5184             :       }
    5185             :   }
    5186             : }
    5187             : 
    5188             : static long
    5189         168 : ellrootno_2(GEN e)
    5190             : {
    5191             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5192         168 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5193             : 
    5194         168 :   if (!vD) return 1;
    5195         168 :   if (d) { /* not minimal */
    5196             :     ellmin_t M;
    5197           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5198           7 :     min_set_D(&M, e);
    5199           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5200             :   }
    5201         168 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5202         168 :   kod = kod_23(e,2);
    5203         168 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5204         168 :   if (kod>=5)
    5205             :   {
    5206             :     long a2, a3;
    5207          35 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5208          35 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5209          35 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5210             :   }
    5211         133 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5212         133 :   x1 = u+v+v;
    5213         133 :   switch(kod)
    5214             :   {
    5215           0 :     case 1: return 1;
    5216             :     case 2:
    5217           7 :       switch(n2)
    5218             :       {
    5219             :         case 1:
    5220           7 :           switch(v4)
    5221             :           {
    5222           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5223           0 :             case 5: return 1;
    5224           0 :             default: return -1;
    5225             :           }
    5226           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5227           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5228           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5229           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5230             :       }
    5231             :     case 3:
    5232          63 :       switch(n2)
    5233             :       {
    5234           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5235           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5236          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5237          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5238           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5239          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5240             :       }
    5241             :     case -1:
    5242           0 :       switch(n2)
    5243             :       {
    5244           0 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5245           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5246           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5247           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5248           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5249             :       }
    5250           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5251             :     case -3:
    5252           0 :       switch(n2)
    5253             :       {
    5254           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5255           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5256           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5257           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5258           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5259             :       }
    5260             :     case -5:
    5261          14 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5262           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5263             :     case -6:
    5264           0 :       switch(n2)
    5265             :       {
    5266           0 :         case 1: return 1;
    5267           0 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5268           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5269             :       }
    5270             :     case -7:
    5271           0 :       if (n2==1) return 1;
    5272             :       else
    5273             :       {
    5274           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5275           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5276           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5277             :       }
    5278           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5279           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5280          42 :     default: return -1;
    5281             :   }
    5282             : }
    5283             : 
    5284             : static long
    5285         196 : ellrootno_3(GEN e)
    5286             : {
    5287             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5288         196 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5289             : 
    5290         196 :   if (!vD) return 1;
    5291         196 :   if (d) { /* not minimal */
    5292             :     ellmin_t M;
    5293           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5294           0 :     min_set_a(&M);
    5295           0 :     min_set_D(&M, e);
    5296           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5297             :   }
    5298         196 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5299         196 :   kod = kod_23(e,3);
    5300         196 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5301         154 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5302         154 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5303         154 :   switch(kod)
    5304             :   {
    5305          14 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5306             :     case 2:
    5307           7 :       switch(n2)
    5308             :       {
    5309           7 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5310           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5311           0 :         case 3: return 1;
    5312           0 :         case 4: return -K6;
    5313             :       }
    5314             :     case 4:
    5315           7 :       switch(n2)
    5316             :       {
    5317           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5318           0 :         case 2: return -K4;
    5319           0 :         case 3: return -K6;
    5320             :       }
    5321           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5322             :     case -4:
    5323          28 :       switch(n2)
    5324             :       {
    5325             :         case 1:
    5326          28 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5327          28 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5328           0 :         case 2: return -K6;
    5329           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5330           0 :         case 4: return K6;
    5331             :       }
    5332          98 :     default: return -1;
    5333             :   }
    5334             : }
    5335             : 
    5336             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5337             : static long
    5338         798 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5339             : {
    5340             :   long nuj, nuD, nu;
    5341         798 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5342             :   long ep, z;
    5343             : 
    5344         798 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5345         798 :   if (!nuD) return 1;
    5346         798 :   nuj = j_pval(e, p);
    5347         798 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5348         798 :   if (nu == 0)
    5349             :   {
    5350             :     GEN c6;
    5351             :     long d, vg;
    5352         546 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5353             :    /* p || N */
    5354         546 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5355         546 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5356         546 :     d = vg / 12;
    5357         546 :     if (d)
    5358             :     {
    5359           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5360           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5361             :     }
    5362         546 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5363             :     /* c6 in minimal model */
    5364         546 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5365             :   }
    5366         252 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5367         224 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5368         224 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5369         224 :   return krosi(-z, p);
    5370             : }
    5371             : 
    5372             : static GEN
    5373         630 : doellrootno(GEN e)
    5374             : {
    5375             :   GEN S, V, v, P;
    5376         630 :   long i, l, s = -1;
    5377         630 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5378             :   {
    5379         616 :     GEN S2 = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5380         616 :     if (lg(S2) != 2) e = gel(S2,3);
    5381             :   }
    5382             :   else
    5383             :   {
    5384          14 :     GEN E = ellglobalred_all(e, &S, &v);
    5385          14 :     obj_insert(e, Q_GLOBALRED, S);
    5386          14 :     e = E;
    5387             :   }
    5388         630 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5389         630 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5390        1771 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5391             :   {
    5392        1141 :     GEN p = gel(P,i);
    5393             :     long t;
    5394        1141 :     switch(itou_or_0(p))
    5395             :     {
    5396         154 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5397         196 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5398         791 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5399             :     }
    5400        1141 :     V[i] = t; s *= t;
    5401             :   }
    5402         630 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5403             : }
    5404             : long
    5405        1666 : ellrootno_global(GEN e)
    5406             : {
    5407        1666 :   pari_sp av = avma;
    5408        1666 :   GEN S = obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno);
    5409        1666 :   avma = av; return itos(gel(S,1));
    5410             : }
    5411             : 
    5412             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5413             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5414             : long
    5415          42 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5416             : {
    5417          42 :   pari_sp av = avma;
    5418             :   GEN S;
    5419             :   long s;
    5420          42 :   checkell_Q(e);
    5421          42 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5422          28 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5423          28 :   if (signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5424          28 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5425          28 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5426             :   {
    5427           7 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5428           7 :     long i, l = lg(NP);
    5429           7 :     for (i = 1; i < l; i++)
    5430             :     {
    5431           7 :       GEN q = gel(NP,i);
    5432           7 :       if (equalii(p, q)) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5433             :     }
    5434           0 :     return 1;
    5435             :   }
    5436          21 :   switch(itou_or_0(p))
    5437             :   {
    5438             :     case 2:
    5439          14 :       e = ellintegralmodel(e, NULL);
    5440          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5441             :     case 3:
    5442           0 :       e = ellintegralmodel(e, NULL);
    5443           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5444             :     default:
    5445           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5446             :   }
    5447          21 :   avma = av; return s;
    5448             : }
    5449             : 
    5450             : /********************************************************************/
    5451             : /**                                                                **/
    5452             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5453             : /**                                                                **/
    5454             : /********************************************************************/
    5455             : 
    5456             : /* assume p does not divide disc E */
    5457             : long
    5458      440548 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5459             : {
    5460             :   ulong a4, a6;
    5461      440548 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5462      439589 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5463      438196 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5464      438196 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5465             : }
    5466             : 
    5467             : static void
    5468         693 : checkell_int(GEN e)
    5469             : {
    5470         693 :   checkell_Q(e);
    5471        1386 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5472        1386 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5473        1386 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5474        1386 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5475         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5476         693 : }
    5477             : 
    5478             : long
    5479        1939 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5480             : {
    5481        1939 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5482        1939 :   long CM = 0;
    5483        1939 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5484             :   {
    5485             :     case 0:
    5486         107 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5487         107 :       break;
    5488          98 :     case 1728: CM = -4; break;
    5489           7 :     case -3375: CM = -7; break;
    5490           7 :     case  8000: CM = -8; break;
    5491           7 :     case 54000: CM = -12; break;
    5492          35 :     case -32768: CM = -11; break;
    5493           7 :     case 287496: CM = -16; break;
    5494           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    5495           7 :     case -12288000: CM = -27; break;
    5496           7 :     case  16581375: CM = -28; break;
    5497           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    5498             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    5499           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    5500           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    5501             : #endif
    5502             :   }
    5503        1939 :   return CM;
    5504             : }
    5505             : 
    5506             : /* bad reduction at p */
    5507             : static void
    5508        2394 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    5509             : {
    5510             :   ulong m, N;
    5511        2394 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    5512             :   {
    5513             :     case -1: /* non-split */
    5514         553 :       N = n/p;
    5515      408498 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5516      407945 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    5517         553 :       break;
    5518             :     case 0: /* additive */
    5519        1211 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    5520        1211 :       break;
    5521             :     case 1: /* split */
    5522         630 :       N = n/p;
    5523      282726 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5524      282096 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    5525         630 :       break;
    5526             :   }
    5527        2394 : }
    5528             : /* good reduction at p */
    5529             : static void
    5530      438581 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    5531             : {
    5532      438581 :   const long ap = an[p];
    5533             :   ulong m;
    5534      438581 :   if (p <= SQRTn) {
    5535        8265 :     ulong pk, oldpk = 1;
    5536       32719 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    5537             :     {
    5538       24454 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    5539     9186535 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    5540     9162081 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    5541             :     }
    5542             :   } else {
    5543     2882304 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    5544     2451988 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    5545             :   }
    5546      438581 : }
    5547             : static void
    5548      440975 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    5549             : {
    5550      440975 :   if (good_red)
    5551      438581 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    5552             :   else
    5553        2394 :     sievep_bad(p, an, n);
    5554      440975 : }
    5555             : 
    5556             : static long
    5557      440975 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    5558             : {
    5559      440975 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    5560        2450 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    5561             :   else /* good reduction */
    5562             :   {
    5563      438525 :     *good_red = 1;
    5564      438525 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    5565             :   }
    5566             : }
    5567             : GEN
    5568        1421 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    5569             : {
    5570             :   pari_sp av;
    5571        1421 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    5572             :   GEN an;
    5573             :   int CM;
    5574             : 
    5575        1421 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    5576        1421 :   if (n >= LGBITS)
    5577           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    5578        1421 :   e = ellintegralmodel(e,NULL);
    5579        1421 :   SQRTn = usqrt(n);
    5580        1421 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    5581             : 
    5582        1421 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    5583        1421 :   an[1] = 1; av = avma;
    5584     4512460 :   for (p=2; p<=n; p++)
    5585             :   {
    5586             :     int good_red;
    5587     4511039 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    5588      440975 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    5589      440975 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    5590             :   }
    5591        1421 :   avma = av; return an;
    5592             : }
    5593             : 
    5594             : static GEN
    5595         805 : ellanQ(GEN e, long N)
    5596             : {
    5597         805 :   GEN v = ellanQ_zv(e, N);
    5598             :   long i;
    5599         805 :   for (i = 1; i <= N; i++) gel(v,i) = stoi(v[i]);
    5600         805 :   settyp(v, t_VEC); return v;
    5601             : }
    5602             : 
    5603             : static GEN
    5604      135590 : ellnflocal(void *S, GEN p)
    5605             : {
    5606      135590 :   pari_sp av = avma;
    5607      135590 :   GEN gS = (GEN)S, E = gel(gS,1), N = gel(gS,2);
    5608      135590 :   GEN LP = idealprimedec_limit_norm(ellnf_get_nf(E), p, N), T = NULL;
    5609      135590 :   long l = lg(LP), i;
    5610      271481 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5611             :   {
    5612             :     int goodred;
    5613      135891 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    5614      135891 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    5615      135891 :     long f = pr_get_f(P);
    5616      135891 :     if (goodred)
    5617      135618 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    5618             :     else
    5619             :     {
    5620         273 :       if (!signe(ap)) continue;
    5621         245 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    5622             :     }
    5623      135863 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    5624      135863 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    5625             :   }
    5626      135590 :   if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
    5627       75740 :   return gerepileupto(av, ginv(T));
    5628             : }
    5629             : 
    5630             : static GEN
    5631         245 : ellnfan(GEN E, long N)
    5632             : {
    5633         245 :   GEN gN = stoi(N);
    5634         245 :   return direuler((void*)mkvec2(E,gN), &ellnflocal, gen_2, gN, NULL);
    5635             : }
    5636             : GEN
    5637        1043 : ellan(GEN E, long N)
    5638             : {
    5639        1043 :   checkell(E);
    5640        1043 :   switch(ell_get_type(E))
    5641             :   {
    5642         798 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    5643         245 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    5644             :     default:
    5645           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    5646           0 :       return NULL; /*NOT REACHED*/
    5647             :   }
    5648             : }
    5649             : 
    5650             : static GEN
    5651         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    5652             : {
    5653             :   GEN u, v, w;
    5654             :   long j;
    5655         735 :   if (e == 1) return ap;
    5656         112 :   u = ap;
    5657         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    5658         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    5659             :   {
    5660          14 :     v = u; u = w;
    5661          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    5662             :   }
    5663         112 :   return w;
    5664             : }
    5665             : 
    5666             : GEN
    5667         693 : akell(GEN e, GEN n)
    5668             : {
    5669             :   long i, j, s;
    5670         693 :   pari_sp av = avma;
    5671             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    5672             : 
    5673         693 :   checkell_int(e);
    5674         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    5675         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    5676         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    5677         693 :   D = ell_get_disc(e);
    5678         693 :   u = coprime_part(n, D);
    5679         693 :   y = gen_1;
    5680         693 :   s = 1;
    5681         693 :   if (!equalii(u, n))
    5682             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    5683         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    5684         441 :     P = gel(fa,1);
    5685         441 :     E = gel(fa,2);
    5686        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    5687             :     {
    5688         581 :       GEN p = gel(P,i);
    5689         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    5690             :       int good_red;
    5691         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    5692         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    5693         350 :       j = signe(ap);
    5694         350 :       if (!j) { avma = av; return gen_0; }
    5695         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    5696             :     }
    5697             :   }
    5698         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    5699         693 :   fa = Z_factor(u);
    5700         693 :   P = gel(fa,1);
    5701         693 :   E = gel(fa,2);
    5702        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    5703             :   { /* good reduction */
    5704         504 :     GEN p = gel(P,i);
    5705         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    5706         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    5707             :   }
    5708         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    5709             : }
    5710             : 
    5711             : GEN
    5712        7525 : ellQ_get_N(GEN e)
    5713        7525 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    5714             : void
    5715         322 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    5716         322 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    5717             : 
    5718             : GEN
    5719          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    5720             : {
    5721          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    5722             :   ulong l, n;
    5723             :   long eps, flun;
    5724             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    5725             : 
    5726          14 :   if (!A) A = gen_1;
    5727             :   else
    5728             :   {
    5729           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    5730           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    5731           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    5732             :   }
    5733          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
    5734          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    5735          14 :   checkell_Q(e);
    5736          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    5737          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    5738          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    5739          14 :   if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
    5740             : 
    5741          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    5742          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    5743          14 :   cga = gmul(cg, A);
    5744          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    5745          42 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
    5746          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    5747          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    5748          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    5749          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    5750          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    5751          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    5752          14 :   z = gen_0;
    5753          14 :   av1 = avma;
    5754        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    5755             :   {
    5756        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    5757        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    5758        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    5759             : 
    5760        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    5761        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    5762        1106 :     if (flun)
    5763           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    5764             :     else
    5765             :     {
    5766        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    5767        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    5768        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    5769             :     }
    5770        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    5771        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    5772             :     {
    5773           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    5774           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    5775             :     }
    5776             :   }
    5777          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    5778             : }
    5779             : 
    5780             : /********************************************************************/
    5781             : /**                                                                **/
    5782             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    5783             : /**                                                                **/
    5784             : /********************************************************************/
    5785             : 
    5786             : static GEN
    5787         329 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    5788             : 
    5789             : /* one root of X^2 - t X + c */
    5790             : static GEN
    5791         973 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    5792             : {
    5793         973 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    5794             : }
    5795             : 
    5796             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    5797             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    5798             : static GEN
    5799         973 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    5800             : {
    5801         973 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    5802         973 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    5803             : 
    5804         973 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    5805         973 :   ab = ellR_ab(e, p);
    5806         973 :   a = gel(ab, 1);
    5807         973 :   b = gel(ab, 2);
    5808         973 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    5809         973 :   x = gsub(x, e1);
    5810         973 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    5811             : 
    5812         973 :   x_a = gsub(x, a);
    5813         973 :   if (gsigne(a) > 0)
    5814             :   {
    5815          84 :     GEN a0 = a;
    5816          84 :     x = gsub(x, b);
    5817          84 :     a = gneg(b);
    5818          84 :     b = gsub(a0, b);
    5819             :   }
    5820         973 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    5821         973 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    5822             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    5823        5188 :   for(n=0; ; n++)
    5824             :   {
    5825        5188 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    5826        5188 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    5827        5188 :     r = gsub(a, a0);
    5828        5188 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    5829        4215 :     ab = gmul(a0, b);
    5830        4215 :     b = gsqrt(ab, prec);
    5831             : 
    5832        4215 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    5833        4215 :     p2 = gsqr(a);
    5834        4215 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    5835        4215 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    5836        4215 :   }
    5837         973 :   if (n) {
    5838         973 :     x = gel(V,n);
    5839         973 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    5840             :   } else {
    5841           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    5842             :   }
    5843             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    5844        1526 :   return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
    5845        1526 :              : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
    5846             : }
    5847             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    5848             : static int
    5849         973 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    5850             : {
    5851         973 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    5852         973 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    5853             : }
    5854             : 
    5855             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    5856             : static GEN
    5857         973 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    5858             : {
    5859         973 :   pari_sp av = avma;
    5860             :   GEN h;
    5861         973 :   checkell_Q(E);
    5862         973 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    5863             :   {
    5864         420 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    5865             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    5866         420 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    5867             :   }
    5868             :   else
    5869         553 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    5870         973 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    5871         973 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    5872             : }
    5873             : GEN
    5874         868 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    5875             : 
    5876             : static GEN
    5877         217 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    5878         217 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    5879             : static GEN
    5880          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    5881             : {
    5882          35 :   pari_sp av = avma;
    5883          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    5884          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    5885          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    5886             : }
    5887             : GEN
    5888          35 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    5889          35 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
    5890             : GEN
    5891          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    5892          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    5893             : 
    5894             : GEN
    5895         133 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    5896             : {
    5897             :   long i, lx;
    5898         133 :   pari_sp av = avma;
    5899             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    5900             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    5901             : 
    5902         133 :   checkell_Q(e);
    5903         133 :   checkellpt(a);
    5904         133 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    5905         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    5906         126 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5907             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5908          98 :     if (lg(S) != 2)
    5909             :     {
    5910           7 :       v = gel(S,2);
    5911           7 :       e = gel(S,3);
    5912           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    5913             :     }
    5914             :   }
    5915             :   else
    5916             :   {
    5917          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    5918          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    5919             :   }
    5920         126 :   if (!oncurve(e,a))
    5921           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    5922         119 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    5923         119 :   if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
    5924         105 :   x = gel(a,1);
    5925         105 :   y = gel(a,2);
    5926         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    5927         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    5928         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    5929         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    5930         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    5931             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    5932             :   );
    5933         105 :   if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
    5934         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    5935         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    5936         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    5937         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    5938             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    5939             :   );
    5940         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    5941         105 :   D = ell_get_disc(e);
    5942         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    5943         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    5944         105 :   lx = lg(Lp);
    5945         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    5946             :   {
    5947         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    5948             :     long u, v, n, n2;
    5949         112 :     if (signe(remii(c4,p)))
    5950             :     { /* p \nmid c4 */
    5951          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    5952          35 :       if (!N) continue;
    5953          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    5954          35 :       if (n > N) n = N;
    5955          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    5956          35 :       v = N << 3;
    5957             :     }
    5958             :     else
    5959             :     {
    5960          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    5961          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    5962          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    5963             :     }
    5964             :     /* z -= u log(p) / v */
    5965         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    5966             :   }
    5967         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    5968             : }
    5969             : 
    5970             : GEN
    5971          28 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    5972             : {
    5973             :   GEN y, D;
    5974          28 :   long lx = lg(x), i, j;
    5975          28 :   pari_sp av = avma;
    5976             : 
    5977          28 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    5978          28 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    5979          28 :   y = cgetg(lx,t_MAT);
    5980         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    5981             :   {
    5982          77 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    5983          77 :     gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
    5984             :   }
    5985         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    5986             :   {
    5987          77 :     gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
    5988         147 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    5989             :     {
    5990          70 :       GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    5991          70 :       h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
    5992          70 :       gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
    5993             :     }
    5994             :   }
    5995          28 :   return gerepilecopy(av,y);
    5996             : }
    5997             : GEN
    5998           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    5999           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6000             : 
    6001             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6002             : static GEN
    6003          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6004             : {
    6005          21 :   long l = lg(P);
    6006          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6007          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
    6008             :   else
    6009             :   {
    6010           7 :     GEN y = cgetg(l, typ(P));
    6011             :     long i;
    6012           7 :     for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
    6013           7 :     return y;
    6014             :   }
    6015             : }
    6016             : static GEN
    6017           7 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6018             : {
    6019           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6020           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6021           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6022           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6023           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6024           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6025           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6026             :   {
    6027           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6028           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6029           0 :     return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
    6030             :   }
    6031           7 :   return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
    6032             : }
    6033             : GEN
    6034           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6035           7 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
    6036             : /********************************************************************/
    6037             : /**                                                                **/
    6038             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6039             : /**                                                                **/
    6040             : /********************************************************************/
    6041             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6042             : static GEN
    6043           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6044             : {
    6045           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6046           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6047           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6048             : }
    6049             : 
    6050             : GEN
    6051          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6052             : {
    6053             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6054             :   long n, m;
    6055          14 :   pari_sp av = avma;
    6056             : 
    6057          14 :   checkell_Q(e);
    6058          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6059           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6060             : 
    6061           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6062           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6063           7 :   d = ginv(gtoser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
    6064             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6065             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6066           7 :   c = gsqr(d);
    6067             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6068             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6069             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6070             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6071             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6072             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6073             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6074             :    * */
    6075           7 :   C = c+4;
    6076           7 :   X = x+4;
    6077           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6078           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6079           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6080           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6081         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6082             :   {
    6083         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6084             :     GEN s1, s2, s3;
    6085         105 :     if (n != 2)
    6086             :     {
    6087          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6088          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6089          98 :       s2 = gen_0;
    6090        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6091         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6092          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6093          98 :       s1 = gen_0;
    6094          98 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6095          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6096          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6097             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6098          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6099             :     }
    6100             :     else
    6101             :     {
    6102           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6103           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6104           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6105           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6106           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6107           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6108           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6109           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6110           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6111           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6112             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6113           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6114             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6115           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6116             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6117           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6118           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6119             :     }
    6120         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6121             :   }
    6122           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6123           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6124           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6125           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6126           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6127             : }
    6128             : 
    6129             : /********************************************************************/
    6130             : /**                                                                **/
    6131             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6132             : /**                                                                **/
    6133             : /********************************************************************/
    6134             : static GEN
    6135         903 : doellff_get_o(GEN E)
    6136             : {
    6137         903 :   GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
    6138         903 :   return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
    6139             : }
    6140             : GEN
    6141        1183 : ellff_get_o(GEN E)
    6142        1183 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6143             : 
    6144             : GEN
    6145         126 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6146             : {
    6147         126 :   pari_sp av = avma;
    6148             :   GEN fg, r;
    6149         126 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6150         126 :   fg = ellff_get_field(E);
    6151         126 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6152         126 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6153          84 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    6154             :   else
    6155             :   {
    6156          42 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6157          42 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    6158          42 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    6159          42 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    6160             :   }
    6161         126 :   return gerepileuptoint(av, r);
    6162             : }
    6163             : 
    6164             : GEN
    6165         280 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6166             : {
    6167             :   GEN fg;
    6168         280 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6169         273 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6170         273 :   fg = ellff_get_field(E);
    6171         273 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6172          28 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6173             :   else
    6174             :   {
    6175         245 :     pari_sp av = avma;
    6176         245 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6177         490 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6178         490 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6179         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6180             :   }
    6181             : }
    6182             : 
    6183             : GEN
    6184         294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6185             : {
    6186             :   GEN fg;
    6187         294 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6188         294 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6189         294 :   fg = ellff_get_field(E);
    6190         294 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6191          91 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6192             :   else
    6193             :   {
    6194         203 :     pari_sp av = avma;
    6195         203 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6196         406 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6197         406 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6198         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6199             :   }
    6200             : }
    6201             : 
    6202             : /* E/Q, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6203             : static GEN
    6204     2772903 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6205             : {
    6206     2772903 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6207     2772903 :   if (!signe(D))
    6208             :   {
    6209       97965 :     pari_sp av = avma;
    6210       97965 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6211       97965 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6212             :   }
    6213     2674938 :   *good_red = 1;
    6214     2674938 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6215     2674490 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6216     2673097 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6217     2673097 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6218             : }
    6219             : 
    6220             : static GEN
    6221     3014754 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
    6222             : {
    6223             :   GEN q;
    6224     3014754 :   if (p) switch(typ(p))
    6225             :   {
    6226             :     case t_INT:
    6227     2795828 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    6228     2795821 :       break;
    6229             :     case t_VEC:
    6230       97755 :       q = get_prid(p);
    6231       97755 :       if (q) { p = q; break; }
    6232           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    6233             :   }
    6234     3014740 :   checkell(E);
    6235     3014740 :   switch(ell_get_type(E))
    6236             :   {
    6237             :     case t_ELL_Qp:
    6238          14 :       q = ellQp_get_p(E);
    6239          14 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6240          14 :       return q;
    6241             : 
    6242             :     case t_ELL_Fp:
    6243             :     case t_ELL_Fq:
    6244      141877 :       q = ellff_get_p(E);
    6245      141877 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6246      141877 :       return q;
    6247             :     case t_ELL_NF:
    6248             :     case t_ELL_Q:
    6249     2872849 :       if (p) return p;
    6250             :     default:
    6251          14 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    6252           0 :       return NULL;/*not reached*/
    6253             :   }
    6254             : }
    6255             : 
    6256             : GEN
    6257     2922927 : ellap(GEN E, GEN p)
    6258             : {
    6259     2922927 :   pari_sp av = avma;
    6260             :   GEN q, card;
    6261             :   int goodred;
    6262     2922927 :   p = checkellp(E, p, "ellap");
    6263     2922906 :   switch(ell_get_type(E))
    6264             :   {
    6265             :   case t_ELL_Fp:
    6266          91 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6267          91 :     break;
    6268             :   case t_ELL_Fq:
    6269       54460 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6270       54460 :     break;
    6271             :   case t_ELL_Q:
    6272     2770761 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6273     2770761 :     break;
    6274             :   case t_ELL_NF:
    6275       97594 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6276             :   default:
    6277           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6278           0 :     return NULL; /*NOT REACHED*/
    6279             :   }
    6280     2825312 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6281             : }
    6282             : 
    6283             : GEN
    6284          28 : ellsea(GEN E, ulong smallfact)
    6285             : {
    6286          28 :   checkell_Fq(E);
    6287          28 :   switch(ell_get_type(E))
    6288             :   {
    6289             :   case t_ELL_Fp:
    6290             :     {
    6291          14 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6292          14 :       if (abscmpiu(p, 7) <= 0)
    6293           0 :         return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6294          14 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6295             :     }
    6296             :   case t_ELL_Fq:
    6297             :     {
    6298          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6299          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0)
    6300           0 :         return FF_ellcard(E);
    6301          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6302             :     }
    6303             :   }
    6304           0 :   return NULL; /*NOT REACHED*/
    6305             : }
    6306             : 
    6307             : GEN
    6308      120800 : ellff_get_card(GEN E)
    6309      120800 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6310             : 
    6311             : GEN
    6312       50303 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6313             : {
    6314       50303 :   p = checkellp(E, p, "ellcard");
    6315       50303 :   switch(ell_get_type(E))
    6316             :   {
    6317             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6318       48133 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6319             :   case t_ELL_Q:
    6320             :     {
    6321        2142 :       pari_sp av = avma;
    6322             :       int goodred;
    6323        2142 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6324        2142 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6325        2142 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6326             :     }
    6327             :   case t_ELL_NF:
    6328             :     {
    6329          21 :       pari_sp av = avma;
    6330             :       int goodred;
    6331          21 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6332          21 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6333          21 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6334             :     }
    6335             :   default:
    6336           7 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6337           0 :     return NULL; /*NOT REACHED*/
    6338             :   }
    6339             : }
    6340             : 
    6341             : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
    6342             :  * d_r | ... | d_1 */
    6343             : static GEN
    6344        1764 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
    6345             : {
    6346        1764 :   pari_sp av = avma;
    6347        1764 :   if (abscmpiu(p, 3)<=0)
    6348             :   {
    6349        1246 :     ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
    6350        1246 :     long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
    6351        1246 :     long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
    6352        1246 :     if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
    6353        1169 :     if (l==2)
    6354             :     {
    6355          98 :       long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
    6356          98 :       long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
    6357          98 :       long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
    6358          98 :       switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
    6359             :       { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
    6360             :         case 18: case 29:
    6361           7 :           retmkvec(mkvec2s(1,1));
    6362             :         case 19: case 24: case 26:
    6363           7 :           retmkvec(mkvec2s(0,1));
    6364             :         case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
    6365          35 :           retmkvec(mkvec2s(1,0));
    6366             :         default:
    6367          49 :           retmkvec(mkvec2s(0,0));
    6368             :       }
    6369             :     } else
    6370             :     { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6371        1071 :       long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
    6372        1071 :       long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
    6373        1071 :       long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
    6374        1071 :       long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
    6375             :       long x,y;
    6376        1071 :       if (r==2) /* [2,2] */
    6377          63 :         retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
    6378             :       /* cyclic, order d_1 */
    6379        1008 :       y = absequaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
    6380        1008 :       if (absequaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
    6381             :       {
    6382         189 :         long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
    6383         189 :         x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
    6384             :       }
    6385             :       else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
    6386             :       { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
    6387         819 :         if (y == 1)
    6388         630 :           x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
    6389             :         else
    6390         189 :           x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
    6391             :       }
    6392        1008 :       retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
    6393             :     }
    6394             :   }
    6395             :   else
    6396             :   {
    6397         518 :     GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
    6398         518 :     return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
    6399             :   }
    6400             : }
    6401             : 
    6402             : static GEN
    6403       22792 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
    6404             : {
    6405       22792 :   GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
    6406       22785 :   if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
    6407       22708 :   if (absequaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6408       22610 :   if (absequaliu(p, 3))
    6409             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6410             :     ulong b2, b4, b6;
    6411        1071 :     if (!absequaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6412             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6413             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6414         252 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6415         252 :     if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
    6416             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6417         126 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6418         126 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6419         126 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
    6420          63 :     G = mkvec2s(2, 2); goto END;
    6421             :   } /* Now assume p > 3 */
    6422       21539 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6423       21539 :   G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
    6424             : END:
    6425       22785 :   return mkvec2(G, m);
    6426             : }
    6427             : 
    6428             : static GEN
    6429       38696 : doellgroup(GEN E)
    6430             : {
    6431       38696 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6432       38696 :   return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
    6433             : }
    6434             : 
    6435             : GEN
    6436       39193 : ellff_get_group(GEN E)
    6437       39193 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
    6438             : 
    6439             : /* E / Fp */
    6440             : static GEN
    6441       16800 : doellgens(GEN E)
    6442             : {
    6443       16800 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6444       16800 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6445       16744 :     return FF_ellgens(E);
    6446             :   else
    6447             :   {
    6448          56 :     GEN e, Gm, F, p = fg;
    6449          56 :     e = ellff_get_a4a6(E);
    6450          56 :     Gm = ellff_get_group(E);
    6451          56 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
    6452          56 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6453             :   }
    6454             : }
    6455             : 
    6456             : GEN
    6457       16877 : ellff_get_gens(GEN E)
    6458       16877 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6459             : 
    6460             : GEN
    6461       22708 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6462             : {
    6463       22708 :   pari_sp av = avma;
    6464             :   GEN G;
    6465       22708 :   p = checkellp(E,p, "ellgroup");
    6466       22708 :   if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
    6467         378 :   else                G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
    6468       22708 :   return gerepilecopy(av, gel(G,1));
    6469             : }
    6470             : 
    6471             : GEN
    6472       21301 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6473             : {
    6474       21301 :   pari_sp av = avma;
    6475             :   GEN V;
    6476       21301 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6477        1841 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6478        1841 :   p = checkellp(E, p, "ellgroup");
    6479        1834 :   if (!ell_over_Fq(E))
    6480             :   { /* t_ELL_Q */
    6481        1771 :     GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
    6482        1764 :     GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
    6483        1764 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
    6484             :   }
    6485          63 :   V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
    6486          63 :   return gerepilecopy(av, V);
    6487             : }
    6488             : 
    6489             : GEN
    6490       16828 : ellgenerators(GEN E)
    6491             : {
    6492       16828 :   checkell(E);
    6493       16828 :   switch(ell_get_type(E))
    6494             :   {
    6495             :     case t_ELL_Q:
    6496           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    6497             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6498       16814 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    6499             :     default:
    6500           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    6501           0 :       return NULL;/*not reached*/
    6502             :   }
    6503             : }
    6504             : 
    6505             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    6506             : static GEN
    6507       22547 : ellfromj_simple(GEN j)
    6508             : {
    6509       22547 :   pari_sp av = avma;
    6510       22547 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    6511       22547 :   GEN E = zerovec(5);
    6512       22547 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    6513       22547 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    6514             : }
    6515             : GEN
    6516       33824 : ellfromj(GEN j)
    6517             : {
    6518       33824 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    6519             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    6520       33824 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    6521             :   {
    6522             :     case 2:
    6523        3549 :       if (gequal0(j))
    6524           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    6525             :       else
    6526        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    6527             :     case 3:
    6528        7637 :       if (gequal0(j))
    6529           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6530             :       else
    6531             :       {
    6532        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    6533        7630 :         pari_sp av = avma;
    6534        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    6535        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    6536        7630 :         return E;
    6537             :       }
    6538             :   }
    6539       22638 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    6540       22610 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6541       22547 :   return ellfromj_simple(j);
    6542             : }
    6543             : 
    6544             : /********************************************************************/
    6545             : /**                                                                **/
    6546             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    6547             : /**                                                                **/
    6548             : /********************************************************************/
    6549             : 
    6550             : int
    6551      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    6552             : {
    6553      164703 :   pari_sp av = avma;
    6554             :   int res;
    6555             : 
    6556      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    6557         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    6558         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    6559         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6560      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    6561      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    6562      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    6563      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    6564      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6565             :   } else {
    6566           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    6567           0 :     return 0; /*NOT REACHED*/
    6568             :   }
    6569      164696 :   avma = av;
    6570      164696 :   return res;
    6571             : }
    6572             : 
    6573             : int
    6574      164878 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    6575             : {
    6576             :   pari_sp av;
    6577             :   GEN j;
    6578             :   int res;
    6579      164878 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    6580       16975 :   j = ell_get_j(E);
    6581       16975 :   p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
    6582       16975 :   switch(ell_get_type(E))
    6583             :   {
    6584             :   case t_ELL_Fp:
    6585             :   case t_ELL_Fq:
    6586       16800 :     return elljissupersingular(j);
    6587             :   case t_ELL_Q:
    6588          35 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    6589          14 :     av = avma;
    6590          14 :     res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
    6591          14 :     avma = av; return res;
    6592             :   case t_ELL_NF:
    6593             :     {
    6594         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    6595         140 :       av = avma;
    6596         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    6597         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    6598             :       {
    6599          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    6600           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6601             :       }
    6602             :       else
    6603         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6604         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    6605         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    6606          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6607             :       else
    6608          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6609         126 :       avma = av; return res;
    6610             :     }
    6611             :   default:
    6612           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    6613             :   }
    6614           0 :   return 0; /* Not reached */
    6615             : }
    6616             : 
    6617             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6618             : static GEN
    6619        3080 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    6620             : {
    6621             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    6622        3080 :   if (n==0) return pol_0(v);
    6623        3080 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    6624        1008 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    6625        1008 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    6626        1008 :   if (n==3)
    6627         504 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    6628             :   else
    6629             :   {
    6630         504 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    6631         504 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    6632         504 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    6633             :   }
    6634        1008 :   setvarn(res, v); return res;
    6635             : }
    6636             : 
    6637             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    6638             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6639             : static GEN
    6640        3752 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    6641             : {
    6642             :   GEN ret;
    6643        3752 :   long m = n/2;
    6644        3752 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    6645        2051 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    6646         714 :   else if (odd(n))
    6647             :   {
    6648         427 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6649             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    6650         427 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    6651             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    6652         427 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    6653         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    6654             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    6655         322 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    6656             :   }
    6657             :   else
    6658             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    6659         287 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6660             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    6661         287 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    6662             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    6663         287 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    6664             :   }
    6665        2051 :   gel(t,n) = ret;
    6666        2051 :   return ret;
    6667             : }
    6668             : 
    6669             : GEN
    6670        1953 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    6671             : {
    6672        1953 :   pari_sp av = avma;
    6673             :   GEN f, D, N;
    6674        1953 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6675        1953 :   if (v==-1) v = 0;
    6676        1953 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6677        1953 :   N = characteristic(D);
    6678        1953 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6679        1953 :   if (n<0) n = -n;
    6680        1953 :   if (n==1 || n==3)
    6681         168 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6682             :   else
    6683             :   {
    6684        1785 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6685        1785 :     setvarn(d2,v);
    6686        1785 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6687        1785 :     if (n <= 4)
    6688        1575 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6689             :     else
    6690         210 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    6691        1785 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    6692             :   }
    6693        1953 :   return gerepilecopy(av, f);
    6694             : }
    6695             : 
    6696             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    6697             : GEN
    6698         259 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    6699             : {
    6700         259 :   pari_sp av = avma;
    6701             :   GEN d2, D, N, A, B;
    6702         259 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6703         259 :   if (v==-1) v = 0;
    6704         259 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6705         259 :   N = characteristic(D);
    6706         259 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6707         259 :   if (n < 0) n = -n;
    6708         259 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6709         259 :   setvarn(d2,v);
    6710         259 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6711         259 :   if (n == 0)
    6712             :   {
    6713          21 :     A = pol_0(v);
    6714          21 :     B = pol_0(v);
    6715             :   }
    6716         238 :   else if (n == 1)
    6717             :   {
    6718           7 :     A = pol_1(v);
    6719           7 :     B = pol_x(v);
    6720             :   }
    6721         231 :   else if (n == 2)
    6722             :   {
    6723          98 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    6724          98 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6725          98 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    6726          98 :     A = d2;
    6727             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    6728          98 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    6729          98 :     setvarn(B,v);
    6730             :   }
    6731             :   else
    6732             :   {
    6733         133 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    6734         133 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    6735         133 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    6736         133 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    6737         133 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    6738         133 :     if (!odd(n))
    6739           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    6740             :     else
    6741         126 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    6742             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    6743         133 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    6744             :   }
    6745         259 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    6746             : }
    6747             : 
    6748             : GEN
    6749         175 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
    6750             : {
    6751         175 :   checkell_Q(E);
    6752         175 :   return hyperellpadicfrobenius(ec_bmodel(E), p, n);
    6753             : }

Generated by: LCOV version 1.11