Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.16.1 lcov report (development 28695-49bb1ac00f) Lines: 4275 4561 93.7 %
Date: 2023-09-24 07:47:42 Functions: 383 391 98.0 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
       8             : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       9             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
      10             : 
      11             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      12             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      13             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      14             : 
      15             : /********************************************************************/
      16             : /**                                                                **/
      17             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      18             : /**                                                                **/
      19             : /********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
      24             : 
      25             : #undef coordch
      26             : 
      27             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      28             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      29             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      30             : */
      31             : 
      32             : static ulong
      33      719864 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      34      719864 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      35             : static ulong
      36      697119 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
      37      697119 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
      38             : static void
      39      696472 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      40             : {
      41      696472 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      42      696472 :   *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
      43      696472 : }
      44             : static GEN
      45     2276462 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      46     2276462 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      47             : static void
      48     2276466 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      49             : {
      50     2276466 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      51     2276467 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      52     2276152 : }
      53             : static GEN
      54       93433 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      55       93433 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      56             : static void
      57       93436 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      58             : {
      59       93436 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      60       93396 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      61       93396 : }
      62             : static void
      63     2276318 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      64             : {
      65     2276318 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      66     2276306 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      67     2276324 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68     2276005 : }
      69             : static void
      70      696472 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      71             : {
      72      696472 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      73      696472 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      74      696472 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      75      696472 : }
      76             : 
      77             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      78             : static GEN
      79       23253 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      80             : {
      81       23253 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      82       23253 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      83       23253 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      84       23253 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      85             : }
      86             : static GEN
      87       34715 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      88             : {
      89       34715 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      90       34715 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      91       34715 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      92       34715 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      93             : }
      94             : 
      95             : static GEN
      96       23253 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      97             : {
      98             :   GEN A4, A6;
      99       23253 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
     100       23253 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
     101             : }
     102             : GEN
     103           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
     104             : {
     105           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
     106           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     107           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     108             : }
     109             : GEN
     110        7366 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     111             : {
     112        7366 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     113        7366 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     114        7366 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     115             : }
     116             : 
     117             : /* shallow basistoalg */
     118             : static GEN
     119      391195 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     120             : {
     121      391195 :   switch(typ(x))
     122             :   {
     123      386624 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     124        4571 :     default: return basistoalg(nf, x);
     125             :   }
     126             : }
     127             : 
     128             : void
     129      428641 : checkellpt(GEN z)
     130             : {
     131      428641 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     132      428634 :   switch(lg(z))
     133             :   {
     134      423342 :     case 3: break;
     135        5292 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     136             :     /* fall through */
     137           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     138             :   }
     139      428634 : }
     140             : void
     141       72212 : checkell5(GEN E)
     142             : {
     143       72212 :   long l = lg(E);
     144       72212 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     145       72212 : }
     146             : void
     147     3867559 : checkell(GEN E)
     148     3867559 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     149             : void
     150        3528 : checkellisog(GEN v)
     151        3528 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     152             : 
     153             : void
     154        5950 : checkell_Q(GEN E)
     155             : {
     156        5950 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     157           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     158        5943 : }
     159             : 
     160             : void
     161           0 : checkell_Qp(GEN E)
     162             : {
     163           0 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     164           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     165           0 : }
     166             : 
     167             : static int
     168      505399 : ell_over_Fq(GEN E)
     169             : {
     170      505399 :   long t = ell_get_type(E);
     171      505399 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     172             : }
     173             : 
     174             : void
     175      254086 : checkell_Fq(GEN E)
     176             : {
     177      254086 :   if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     178      254079 : }
     179             : 
     180             : GEN
     181      181458 : ellff_get_p(GEN E)
     182             : {
     183      181458 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     184      181458 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     185             : }
     186             : 
     187             : int
     188       24023 : ell_is_integral(GEN E)
     189             : {
     190       24023 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     191       23981 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     192       23960 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     193       23960 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     194       48004 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     195             : }
     196             : 
     197             : static void
     198       92168 : checkcoordch(GEN z)
     199       92168 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     200             : 
     201             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     202             : GEN
     203       20987 : ec_bmodel(GEN e, long v)
     204             : {
     205       20987 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     206       20987 :   GEN P = mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     207       20987 :   setvarn(P, v); return P;
     208             : }
     209             : 
     210             : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
     211             : GEN
     212         105 : ec_phi2(GEN e, long v)
     213             : {
     214         105 :   GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
     215         105 :   GEN P = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
     216         105 :   setvarn(P, v); return P;
     217             : }
     218             : 
     219             : static int
     220       11382 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     221             : 
     222             : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
     223             : static GEN
     224       11565 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
     225             : {
     226       11565 :   GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e,0), prec);
     227       11565 :   long s = ellR_get_sign(e);
     228       11565 :   if (s > 0)
     229             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     230        3794 :     R = real_i(R);
     231        3794 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     232        3794 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     233        3794 :     d3 = subrr(e1,e2);
     234        3794 :     d1 = subrr(e2,e3);
     235        3794 :     d2 = subrr(e1,e3);
     236        3794 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
     237             :   } else {
     238        7771 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     239        7771 :     if (s < 0)
     240             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     241        3102 :       e1 = real_i(e1);
     242        3102 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     243        3102 :       d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
     244             :     }
     245             :     else
     246        4669 :       d1 = gsub(e2,e3);
     247        7771 :     d3 = gsub(e1,e2);
     248        7771 :     d2 = gsub(e1,e3);
     249        7771 :     if (precision(d1) < prec0
     250        7758 :         || precision(d2) < prec0
     251        7771 :         || precision(d3) < prec0) return NULL;
     252             :   }
     253       11529 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     254             : }
     255             : static GEN
     256        7798 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     257             : {
     258             :   long p;
     259        7834 :   for (p = prec0;; p = precdbl(p))
     260          36 :   {
     261        7834 :     GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
     262        7834 :     if (v) return v;
     263          36 :     if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
     264             :   }
     265             : }
     266             : static GEN
     267       25577 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     268             : 
     269             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     270             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     271             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     272             : GEN
     273      558240 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     274             : {
     275      558240 :   pari_sp av = avma;
     276             :   GEN z;
     277      558240 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     278      558240 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     279      558240 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     280      558240 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     281             : }
     282             : 
     283             : /* a1 x + a3 */
     284             : GEN
     285      660501 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     286             : {
     287      660501 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     288      660501 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     289      660501 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     290             : }
     291             : static GEN
     292      519000 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     293             : {
     294      519000 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     295      519000 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     296      519000 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     297             : }
     298             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     299             : static GEN
     300       43355 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     301             : {
     302       43355 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     303       43355 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     304             : }
     305             : 
     306             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     307             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     308             :  * which is the derivative of the curve equation
     309             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     310             :  * wrt x evaluated at Q */
     311             : GEN
     312        3584 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     313             : {
     314        3584 :   pari_sp av = avma;
     315        3584 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     316        3584 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     317        3584 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     318        3584 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     319        3584 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     320        3584 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     321             : }
     322             : 
     323             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     324             : GEN
     325       42874 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     326             : {
     327       42874 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     328       42874 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     329             : }
     330             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     331             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     332             :  * which is the derivative of the curve equation
     333             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     334             :  * wrt y evaluated at Q */
     335             : GEN
     336         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     337             : {
     338         532 :   pari_sp av = avma;
     339         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     340             : }
     341             : 
     342             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     343             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     344             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     345             : GEN
     346         994 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     347             : {
     348         994 :   pari_sp av = avma;
     349         994 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
     350         994 :   GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
     351         994 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     352         994 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF && typ(x)==t_COL)
     353           0 :   {
     354           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E);
     355           0 :     t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
     356           0 :     t2 = nfadd(nf, t1, b42);
     357           0 :     t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
     358           0 :     t2 = nftoalg(nf, t2);
     359             :   }
     360             :   else
     361             :   {
     362         994 :     t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
     363         994 :     t2 = gadd(t1, b42);
     364         994 :     t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
     365             :   }
     366         994 :   return gerepileupto(av, t2);
     367             : }
     368             : 
     369             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     370             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     371             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     372             : GEN
     373          14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     374             : {
     375          14 :   pari_sp av = avma;
     376          14 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     377          14 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     378          14 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     379          14 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     380          14 :   GEN x2 = gsqr(x);
     381          14 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     382          14 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     383          14 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     384             : }
     385             : 
     386             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     387             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     388             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     389             : GEN
     390         812 : ec_half_deriv_2divpol(GEN E, long v)
     391         812 : { return deg2pol_shallow(utoi(6), ell_get_b2(E), ell_get_b4(E), v); }
     392             : 
     393             : GEN
     394         707 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     395             : {
     396         707 :   pari_sp av = avma;
     397         707 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     398         707 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     399         707 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     400         707 :   return gerepileupto(av, res);
     401             : }
     402             : 
     403             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     404             : GEN
     405        3927 : ellbasechar(GEN E)
     406             : {
     407        3927 :   pari_sp av = avma;
     408        3927 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     409        3927 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     410             : }
     411             : 
     412             : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
     413             :  * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
     414             :  * Also allocate room for n dynamic members. */
     415             : static GEN
     416      144003 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
     417             : {
     418      144003 :   GEN y = obj_init(15, n);
     419      144002 :   gel(y,1) = gen_0;
     420      144002 :   gel(y,2) = gen_0;
     421      144002 :   gel(y,3) = gen_0;
     422      144002 :   gel(y,4) = a4;
     423      144002 :   gel(y,5) = a6;
     424      144002 :   gel(y,6) = gen_0;
     425      144002 :   gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
     426      144003 :   gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
     427      144003 :   gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
     428      144002 :   gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
     429      144002 :   gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
     430      144003 :   gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     431      144003 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     432             : }
     433             : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
     434             : static GEN
     435      672744 : initsmall5(GEN x, long n)
     436             : {
     437      672744 :   GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
     438      672744 :   GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
     439             :   GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
     440      672744 :   if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
     441      548965 :   a11= gsqr(a1);
     442      548965 :   b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     443      548965 :   a13= gmul(a1, a3);
     444      548965 :   b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     445      548965 :   a33= gsqr(a3);
     446      548965 :   b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     447      548965 :   b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     448      548965 :   b22= gsqr(b2);
     449      548965 :   c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     450      548965 :   c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     451      548965 :   D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     452             :             gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     453      548965 :   y = obj_init(15, n);
     454      548965 :   gel(y,1) = a1;
     455      548965 :   gel(y,2) = a2;
     456      548965 :   gel(y,3) = a3;
     457      548965 :   gel(y,4) = a4;
     458      548965 :   gel(y,5) = a6;
     459      548965 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     460      548965 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     461      548965 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     462      548965 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     463      548965 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     464      548965 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     465      548965 :   gel(y,12)= D;
     466      548965 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     467             : }
     468             : 
     469             : static GEN
     470      684946 : get_j(GEN c4, GEN D)
     471             : {
     472             :   GEN g, d, c;
     473      684946 :   if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
     474      684610 :     return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     475             :   /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     476         336 :   g = RgX_gcd(D, c4);
     477         336 :   if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     478          42 :   c = RgX_div(c4, g);
     479          42 :   D = RgX_div(D, g);
     480          42 :   g = RgX_gcd(D,c4);
     481          42 :   if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     482          35 :   D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
     483          35 :   g = RgX_gcd(D,c4);
     484          35 :   if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
     485          35 :   return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     486             : }
     487             : 
     488             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     489             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     490             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     491             :  * component y[16])*/
     492             : static GEN
     493      692946 : initsmall(GEN x, long n)
     494             : {
     495             :   GEN y, D;
     496             : 
     497      692946 :   switch(lg(x))
     498             :   {
     499         490 :     case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
     500       20223 :     case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
     501      672233 :     case 6:
     502      672233 :     case 17: y = initsmall5(x, n); break;
     503           0 :     default:
     504           0 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     505             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     506             :   }
     507      692947 :   D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
     508      684946 :   gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
     509             : }
     510             : void
     511           0 : ellprint(GEN e)
     512             : {
     513           0 :   pari_sp av = avma;
     514             :   long vx, vy;
     515             :   GEN z;
     516           0 :   checkell5(e);
     517           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     518           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     519           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     520           0 :   (void)delete_var();
     521           0 :   (void)delete_var(); set_avma(av);
     522           0 : }
     523             : 
     524             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     525             : static GEN
     526        1385 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     527             : {
     528        1385 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     529        1385 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     530             : 
     531        1385 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     532        1385 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     533         888 :     b = mulrr(d3,d2);
     534             :   else
     535         497 :     b = cxnorm(d3);
     536        1385 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     537        1385 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     538        1385 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     539        1385 :   return mkvec2(a, b);
     540             : }
     541             : GEN
     542       25577 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     543       25577 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     544             : 
     545             : /* q a t_REAL*/
     546             : static long
     547          84 : real_prec(GEN q)
     548          84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     549             : /* q a t_PADIC */
     550             : static long
     551         252 : padic_prec(GEN q)
     552         252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     553             : 
     554             : /* check whether moduli are consistent */
     555             : static void
     556       99910 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     557       99910 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     558             : 
     559             : static int
     560       36981 : fix_nftype(GEN *pp)
     561             : {
     562       36981 :   switch(nftyp(*pp))
     563             :   {
     564       36981 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     565           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     566           0 :     default: return 0;
     567             :   }
     568       36981 :   return 1;
     569             : }
     570             : static long
     571      695572 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     572             : {
     573      695572 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     574      695572 :   GEN p = NULL, pol = NULL;
     575      695572 :   long t = t_FRAC;
     576      695572 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     577             :   {
     578      491155 :     case t_INT:
     579      491155 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     580        2016 :       p = *pp;
     581        2016 :       t = t_INTMOD;
     582        2016 :       break;
     583         665 :     case t_INTMOD:
     584         665 :       p = gel(*pp, 1);
     585         665 :       break;
     586          28 :     case t_REAL:
     587          28 :       e = real_prec(*pp);
     588          28 :       p = NULL;
     589          28 :       break;
     590         231 :     case t_PADIC:
     591         231 :       ep = padic_prec(*pp);
     592         231 :       p = gel(*pp, 2);
     593         231 :       break;
     594        1820 :     case t_FFELT:
     595        1820 :       p = *pp;
     596        1820 :       break;
     597       36981 :     case t_VEC:
     598       36981 :       t = t_VEC; p = *pp;
     599       36981 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     600             :     default:
     601           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     602           0 :       return 0;
     603             :   }
     604      695565 :   if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
     605             :   /* Possible cases:
     606             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     607             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     608             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     609             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     610             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     611             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     612     3964036 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     613             :   {
     614     3274652 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     615     3274652 :     switch(typ(q)) {
     616          42 :       case t_PADIC:
     617          42 :         p2 = gel(q,2);
     618             :         switch(t)
     619             :         {
     620          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     621           7 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     622          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     623             :         }
     624          21 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     625          21 :         break;
     626      124926 :       case t_INTMOD:
     627      124926 :         p2 = gel(q,1);
     628             :         switch(t)
     629             :         {
     630       25038 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     631          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     632       99826 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     633          13 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     634             :         }
     635      124912 :         break;
     636      168606 :       case t_FFELT:
     637             :         switch(t)
     638             :         {
     639          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     640       85411 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     641       83188 :           case t_FFELT:
     642       83188 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     643       83188 :             break;
     644           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     645             :         }
     646      168599 :         break;
     647             : 
     648     2972699 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     649          56 :       case t_REAL:
     650             :         switch(t)
     651             :         {
     652          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     653          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     654           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     655             :         }
     656          56 :         break;
     657        7105 :       case t_POLMOD:
     658        7105 :         if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
     659           7 :           pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
     660             :       case t_COL:
     661             :       case t_POL:
     662        8302 :         if (t == t_VEC) break;
     663             :       default: /* base ring too general */
     664        6132 :         return t_COMPLEX;
     665             :     }
     666             :   }
     667      689384 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     668             : }
     669             : 
     670             : /* s = 0 complex, else real;
     671             :  * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
     672             : static GEN
     673        9891 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
     674             : {
     675             :   GEN y;
     676        9891 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     677             :   {
     678           7 :     case t_ELL_Rg:
     679           7 :     case t_ELL_Q: break;
     680           7 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     681             :   }
     682        9884 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     683        9884 :   if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
     684        9884 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     685        9884 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     686        9884 :   return y;
     687             : }
     688             : 
     689             : static GEN
     690         203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     691             : {
     692             :   GEN y;
     693         203 :   if (lg(x) > 6)
     694             :   {
     695          28 :     switch(ell_get_type(x))
     696             :     { /* sanity checks */
     697          21 :       case t_ELL_Q: break;
     698           7 :       case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
     699           0 :       default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     700             :     }
     701          21 :     x = vecslice(x,1,5);
     702             :   }
     703         196 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     704         196 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     705         196 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     706         196 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     707         196 :   return y;
     708             : }
     709             : 
     710             : static GEN
     711      499772 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     712             : {
     713             :   GEN y;
     714             :   long s;
     715      499772 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     716      499639 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     717      499639 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     718      499639 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     719      499639 :   return y;
     720             : }
     721             : 
     722             : static GEN
     723      223195 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x) { pari_APPLY_same(nftoalg(nf,gel(x,i))); }
     724             : 
     725             : static GEN
     726       37590 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     727             : {
     728             :   GEN y, nf;
     729       37590 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     730       37590 :   nf = checknf(p);
     731       37590 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     732       37590 :   if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
     733       37590 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     734       37590 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     735       37590 :   return y;
     736             : }
     737             : 
     738             : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
     739             : static GEN
     740      114384 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
     741             : {
     742      114384 :   x = FF_ellinit(x,fg);
     743      114384 :   return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
     744             : }
     745             : 
     746             : static GEN
     747      302284 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
     748             : static GEN
     749       30994 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     750             : {
     751             :   long i;
     752             :   GEN y, disc;
     753       30994 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     754             :   {
     755        2429 :     case t_ELL_Q: break;
     756           0 :     case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
     757           7 :     case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
     758           0 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     759             :   }
     760       30987 :   if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
     761       30987 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     762             :   /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     763       26046 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
     764       23253 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     765       23253 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     766      325432 :   for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
     767       23246 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     768       23246 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     769       23246 :   return y;
     770             : }
     771             : 
     772             : static GEN
     773      114517 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     774             : {
     775             :   GEN y;
     776      114517 :   if (lg(x) == 2)
     777             :   {
     778       33418 :     GEN j = gel(x,1);
     779       33418 :     if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
     780       33418 :     x = ellfromj(j);
     781             :   }
     782      114517 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     783      111591 :   return FF_ellinit_ns(y,fg);
     784             : }
     785             : 
     786             : static GEN
     787        3549 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     788             : {
     789        3549 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     790             :   GEN p, modP;
     791        3549 :   if (get_modpr(P))
     792             :   { /* modpr accept */
     793        3248 :     modP = P;
     794        3248 :     p = modpr_get_p(modP);
     795             :   }
     796             :   else
     797             :   { /* pr, initialize modpr */
     798         301 :     GEN d = Q_denom(e);
     799         301 :     p = pr_get_p(P);
     800         301 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     801             :   }
     802        3549 :   *pp = p;
     803        3549 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     804        3549 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     805             : }
     806             : static GEN
     807        3528 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     808             : {
     809             :   GEN T,p;
     810        3528 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     811        3528 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     812             : }
     813             : 
     814             : static GEN
     815      661020 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
     816             : {
     817             :   GEN y;
     818             : 
     819      661020 :   switch(typ(x))
     820             :   {
     821           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     822      661013 :     case t_VEC:
     823      661013 :       switch(lg(x))
     824             :       {
     825      661006 :         case 2: case 3: case 6: case 17: break;
     826           7 :         default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
     827             :       }
     828      661006 :       break;
     829           0 :     default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
     830             :   }
     831      661013 :   if (D && get_prid(D))
     832             :   {
     833        3052 :     if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     834        3052 :     return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     835             :   }
     836      657961 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     837             :   {
     838         203 :   case t_PADIC:
     839         203 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     840         196 :     break;
     841       27690 :   case t_INTMOD:
     842       27690 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     843       27684 :     break;
     844       87105 :   case t_FFELT:
     845       87105 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     846       87105 :     break;
     847      499772 :   case t_FRAC:
     848      499772 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     849      499772 :     break;
     850          28 :   case t_REAL:
     851          28 :     y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
     852          21 :     break;
     853       36974 :   case t_VEC:
     854       36974 :     y = ellinit_nf(x, D);
     855       36974 :     break;
     856        6132 :   default:
     857        6132 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     858             :   }
     859      657884 :   return y;
     860             : }
     861             : GEN
     862      659998 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     863             : {
     864      659998 :   pari_sp av = avma;
     865      659998 :   GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
     866      659914 :   if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
     867      651899 :   return gerepilecopy(av,y);
     868             : }
     869             : 
     870             : /********************************************************************/
     871             : /**                                                                **/
     872             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     873             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     874             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     875             : /**  verbatim                                                      **/
     876             : /**                                                                **/
     877             : /********************************************************************/
     878             : /* [1,0,0,0] */
     879             : static GEN
     880     2570232 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     881             : static int
     882      460291 : is_trivial_change(GEN v)
     883             : {
     884             :   GEN u, r, s, t;
     885      460291 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     886      460291 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     887      460291 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     888             : }
     889             : 
     890             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     891             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     892             : static void
     893        1638 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     894             : {
     895        1638 :   GEN v = *vtotal;
     896             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     897             : 
     898        1638 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     899        1610 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     900        1610 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     901        1610 :   U2 = NULL;
     902        1610 :   if (!gequal0(r))
     903             :   {
     904             :     GEN rU2;
     905         784 :     U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
     906         784 :     R = gadd(R, rU2);
     907         784 :     T = gadd(T, gmul(S, rU2));
     908             :   }
     909        1610 :   if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
     910        1610 :   if (!gequal0(t))
     911             :   {
     912         882 :     if (!U2) U2 = gsqr(U);
     913         882 :     T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
     914             :   }
     915        1610 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     916        1610 :   gel(v,2) = R;
     917        1610 :   gel(v,3) = S;
     918        1610 :   gel(v,4) = T;
     919             : }
     920             : 
     921             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     922             : GEN
     923          28 : ellchangeinvert(GEN w)
     924             : {
     925             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     926          28 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     927          28 :   u = gel(w,1);
     928          28 :   r = gel(w,2);
     929          28 :   s = gel(w,3);
     930          28 :   t = gel(w,4);
     931          28 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     932          28 :   U = ginv(u);
     933          28 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     934          28 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     935          28 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     936          28 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     937             : }
     938             : 
     939             : static GEN
     940       99876 : ell_to_nfell10(GEN e)
     941             : {
     942             :   long i;
     943       99876 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     944       99876 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     945     1098636 :   for(i=1; i<=10; i++)
     946      998760 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     947       99876 :   return y;
     948             : }
     949             : 
     950             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     951             : static GEN
     952      153986 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     953             : {
     954             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     955             :   long lx;
     956      153986 :   if (gequal1(u)) return e;
     957      153517 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     958      153517 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     959      153517 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     960      153517 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     961      153517 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     962      153517 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     963      153517 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
     964      153517 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
     965      153517 :   if (lx == 6) return y;
     966      153510 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
     967      153510 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
     968      153510 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
     969      153510 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
     970      153510 :   return y;
     971             : }
     972             : /* apply [1,r,0,0] */
     973             : static GEN
     974      267950 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
     975             : {
     976             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     977             :   long lx;
     978      267950 :   if (gequal0(r)) return e;
     979      239606 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     980      239606 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
     981      239606 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     982             : 
     983      239606 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
     984             :   /* A2 = a2 + 3r */
     985      239606 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
     986             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     987      239606 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
     988             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     989      239606 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
     990             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     991      239606 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
     992      239606 :   if (lx == 6) return y;
     993             : 
     994      239599 :   b4 = ell_get_b4(e);
     995      239599 :   b6 = ell_get_b6(e);
     996             :   /* B2 = 12r + b2 */
     997      239599 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     998      239599 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
     999      239599 :   r2 = nfsqr(nf,r);
    1000             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1001      239599 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
    1002             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1003      239599 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1004             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1005      239599 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
    1006      239599 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
    1007      239599 :   return y;
    1008             : }
    1009             : 
    1010             : static GEN
    1011      109653 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
    1012             : {
    1013             :   GEN a1, y;
    1014      109653 :   if (gequal0(s)) return e;
    1015      109653 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1016      109653 :   y = leafcopy(e);
    1017             : 
    1018             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1019      109653 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1020             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1021      109653 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1022             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1023      109653 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
    1024      109653 :   return y;
    1025             : }
    1026             : /* apply [1,0,0,t] */
    1027             : static GEN
    1028      252113 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
    1029             : {
    1030             :   GEN a1, a3, y;
    1031      252113 :   if (gequal0(t)) return e;
    1032      251637 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1033      251637 :   y = leafcopy(e);
    1034             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1035      251637 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
    1036             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1037      251637 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
    1038             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1039      251637 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1040      251637 :   return y;
    1041             : }
    1042             : 
    1043             : /* apply [1,0,s,t] */
    1044             : static GEN
    1045       13142 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1046             : {
    1047             :   GEN y, a1, a3;
    1048       13142 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1049       12666 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1050       12666 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1051       12666 :   y = leafcopy(e);
    1052             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1053       12666 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1054             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1055       12666 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1056             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1057       12666 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1058             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1059       12666 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1060             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1061       12666 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1062       12666 :   return y;
    1063             : }
    1064             : 
    1065             : static GEN
    1066      171174 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1067             : {
    1068      171174 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1069      171174 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1070             : }
    1071             : 
    1072             : /* apply [1,r,s,t] */
    1073             : static GEN
    1074         476 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1075             : {
    1076         476 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1077         476 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1078             : }
    1079             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1080             : static GEN
    1081         476 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1082             : {
    1083         476 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1084         476 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1085         476 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1086             : }
    1087             : 
    1088             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1089             : static GEN
    1090       75243 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1091             : {
    1092             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1093             :   long lx;
    1094       75243 :   if (gequal1(u)) return e;
    1095       74914 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1096       74914 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1097       74914 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1098       74914 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1099       74914 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1100       74914 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1101       74914 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1102       74914 :   if (lx == 6) return y;
    1103       74914 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1104       74914 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1105       74914 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1106       74914 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1107       74914 :   u12 = gsqr(u6);
    1108       74914 :   D = ell_get_disc(e);
    1109       74914 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1110       74914 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1111       74914 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1112       74914 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1113       74914 :   D = gmul(D, u12);
    1114       74914 :   gel(y,10)= c4;
    1115       74914 :   gel(y,11)= c6;
    1116       74914 :   gel(y,12)= D;
    1117       74914 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1118       74914 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1119       74914 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1120       74914 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1121       74914 :   return y;
    1122             : }
    1123             : /* apply [1,r,0,0] */
    1124             : static GEN
    1125      611947 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1126             : {
    1127             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1128      611947 :   if (gequal0(r)) return e;
    1129      511868 :   y = leafcopy(e);
    1130      511868 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1131      511868 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1132             : 
    1133             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1134      511868 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1135             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1136      511868 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1137             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1138      511868 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1139             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1140      511868 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1141      511868 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1142             : 
    1143      511861 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1144      511861 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1145             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1146      511861 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1147      511861 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1148      511861 :   r2 = gsqr(r);
    1149             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1150      511861 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1151             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1152      511861 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1153             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1154      511861 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1155      511861 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1156      511861 :   return y;
    1157             : }
    1158             : /* apply [1,0,s,0] */
    1159             : static GEN
    1160      118433 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1161             : {
    1162             :   GEN a1, y;
    1163      118433 :   if (gequal0(s)) return e;
    1164      118433 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1165      118433 :   y = leafcopy(e);
    1166             : 
    1167             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1168      118433 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1169             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1170      118433 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1171             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1172      118433 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1173      118433 :   return y;
    1174             : }
    1175             : /* apply [1,0,0,t] */
    1176             : static GEN
    1177      345219 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1178             : {
    1179             :   GEN a1, a3, y;
    1180      345219 :   if (gequal0(t)) return e;
    1181      275247 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1182      275247 :   y = leafcopy(e);
    1183             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1184      275247 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1185             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1186      275247 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1187             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1188      275247 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1189      275247 :   return y;
    1190             : }
    1191             : /* apply [1,0,s,t] */
    1192             : static GEN
    1193      348236 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1194             : {
    1195             :   GEN y, a1, a3;
    1196      348236 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1197      246547 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1198      128114 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1199      128114 :   y = leafcopy(e);
    1200             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1201      128114 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1202             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1203      128114 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1204             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1205      128114 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1206             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1207      128114 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1208             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1209      128114 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1210      128114 :   return y;
    1211             : }
    1212             : /* apply [1,r,s,t] */
    1213             : static GEN
    1214      348236 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1215             : {
    1216      348236 :   e = coordch_r(e, r);
    1217      348236 :   return coordch_st(e, s, t);
    1218             : }
    1219             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1220             : static GEN
    1221       72877 : coordch(GEN e, GEN w)
    1222             : {
    1223       72877 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1224       72877 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1225       72877 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1226             : }
    1227             : 
    1228             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1229             :  * (dynamic data) */
    1230             : static GEN
    1231          35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1232             : {
    1233          35 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1234          35 :   long prec = valp(p);
    1235          35 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1236          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1237             :   {
    1238           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1239           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1240             :   }
    1241          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1242             :   {
    1243           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1244           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1245           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1246           7 :     U = gmul(U, u);
    1247           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1248           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1249             :   }
    1250          35 :   return E;
    1251             : }
    1252             : 
    1253             : /* common to Q and Rg */
    1254             : static GEN
    1255       37443 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1256             : {
    1257       37443 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1258       37443 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1259          28 :     obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1260       37443 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1261          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1262       37443 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1263             :   {
    1264          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1265             :     long i;
    1266         112 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1267          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
    1268             :   }
    1269       37443 :   return E;
    1270             : }
    1271             : 
    1272             : static GEN
    1273           7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1274             : {
    1275           7 :   GEN p = NULL;
    1276           7 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1277           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1278           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1279             : }
    1280             : 
    1281             : static GEN
    1282       37443 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1283             : {
    1284       37443 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1285       37443 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1286       37443 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1287       37436 :   ch_R(E, e, w);
    1288       37436 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1289           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1290       37436 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1291             :   {
    1292        1554 :     if (lg(S) == 2)
    1293             :     { /* model was minimal */
    1294           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1295           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1296           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1297             :     }
    1298             :     else
    1299             :     {
    1300        1547 :       v = gel(S,2);
    1301        1547 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1302        1533 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1303             :       else
    1304             :       {
    1305          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1306          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1307          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1308          14 :         gel(S,2) = v;
    1309             :       }
    1310        1547 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1311             :     }
    1312             :   }
    1313       37436 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1314          21 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1315       37436 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1316           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1317       37436 :   return E;
    1318             : }
    1319             : 
    1320             : static void
    1321         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1322             : {
    1323             :   GEN S;
    1324         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1325          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1326         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1327          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1328         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1329          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1330         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1331          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1332         126 : }
    1333             : 
    1334             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1335             : static GEN
    1336           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1337             : {
    1338           7 :   long prec = 0;
    1339           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1340           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1341           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1342           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1343             : }
    1344             : static GEN
    1345         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1346             : {
    1347         119 :   long prec = 0;
    1348         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1349         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1350         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1351         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1352             : }
    1353             : 
    1354             : static void
    1355       73129 : ell_reset(GEN E)
    1356       73129 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1357             : 
    1358             : GEN
    1359       72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1360             : {
    1361       72212 :   pari_sp av = avma;
    1362             :   GEN E;
    1363       72212 :   checkell5(e);
    1364       72212 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1365       72205 :   checkcoordch(w);
    1366       72205 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1367       72205 :   if (lg(E) != 6)
    1368             :   {
    1369       72191 :     ell_reset(E);
    1370       72191 :     switch(ell_get_type(E))
    1371             :     {
    1372          35 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1373           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1374         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1375       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1376           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1377             :     }
    1378          14 :   }
    1379       72205 :   return gerepilecopy(av, E);
    1380             : }
    1381             : 
    1382             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1383             : static void
    1384      165392 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1385             : {
    1386      165392 :   GEN v = *vtotal;
    1387             :   GEN U2, R, S, T;
    1388      165392 :   if (gequal0(r)) return;
    1389       96300 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1390       96300 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1391       96300 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1392       96300 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1393             : }
    1394             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1395             : static void
    1396      109653 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1397             : {
    1398      109653 :   GEN v = *vtotal;
    1399             :   GEN U, S;
    1400      109653 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1401      109653 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1402      109653 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1403      109653 : }
    1404             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1405             : static void
    1406      255037 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1407             : {
    1408      255037 :   GEN v = *vtotal;
    1409             :   GEN U3, U, T;
    1410      255037 :   if (gequal0(t)) return;
    1411       80463 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1412       80463 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1413       80463 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1414             : }
    1415             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1416             : static void
    1417      252602 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1418             : {
    1419      252602 :   GEN v = *vtotal;
    1420             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1421      252602 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1422      171174 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1423      171174 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1424      171174 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1425      171174 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1426      171174 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1427             : }
    1428             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1429             : static void
    1430      184961 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1431             : {
    1432      184961 :   GEN v = *vtotal;
    1433             :   GEN U3, U, S, T;
    1434      184961 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1435      122319 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1436       12666 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1437       12666 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1438       12666 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1439       12666 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1440             : }
    1441             : 
    1442             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1443             : static void
    1444      153510 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1445             : {
    1446      153510 :   GEN v = *vtotal;
    1447      153510 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1448      153510 : }
    1449             : 
    1450             : /* X = (x-r)/u^2
    1451             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1452             : static GEN
    1453       18976 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1454             : {
    1455             :   GEN a, x, y;
    1456       18976 :   long l = lg(P);
    1457       18976 :   if (typ(P) != t_VEC || l == 1 || l > 4) pari_err_TYPE("ellchangepoint", P);
    1458       18969 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1459       18955 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1460       18955 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1461             : }
    1462             : 
    1463             : GEN
    1464       19004 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1465             : {
    1466             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1467       19004 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1468       19004 :   pari_sp av = avma;
    1469             : 
    1470       19004 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1471       19004 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1472       19004 :   checkcoordch(ch);
    1473       19004 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1474       18955 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1475       18955 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1476       18955 :   tx = typ(gel(x,1));
    1477       18955 :   if (is_matvec_t(tx))
    1478             :   {
    1479          77 :     y = cgetg(lx,tx);
    1480         168 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1481          98 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1482             :   }
    1483             :   else
    1484       18878 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1485       18948 :   return gerepilecopy(av,y);
    1486             : }
    1487             : 
    1488             : /* x = u^2*X + r
    1489             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1490             : static GEN
    1491        4066 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1492             : {
    1493             :   GEN a, X, Y;
    1494        4066 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1495        4066 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1496        4066 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1497             : }
    1498             : GEN
    1499         959 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1500             : {
    1501             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1502         959 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1503         959 :   pari_sp av = avma;
    1504             : 
    1505         959 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1506         959 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1507         959 :   checkcoordch(ch);
    1508         959 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1509         748 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1510         748 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1511         748 :   tx = typ(gel(x,1));
    1512         748 :   if (is_matvec_t(tx))
    1513             :   {
    1514         594 :     y = cgetg(lx,tx);
    1515        4506 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1516        3912 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1517             :   }
    1518             :   else
    1519         154 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1520         748 :   return gerepilecopy(av,y);
    1521             : }
    1522             : 
    1523             : static GEN
    1524           0 : elltwist_card(GEN h, GEN q) { return subii(shifti(addiu(q, 1), 1), h); }
    1525             : GEN
    1526       28567 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1527             : {
    1528       28567 :   pari_sp av = avma;
    1529       28567 :   GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
    1530       28567 :   long prec = DEFAULTPREC, isell = (lg(E) == 17);
    1531             : 
    1532       28567 :   if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
    1533       28567 :   if (isell) switch(ell_get_type(E))
    1534             :   {
    1535        1316 :     case t_ELL_Q:
    1536        1316 :     case t_ELL_Rg: prec = ellR_get_prec(E); break;
    1537             :   }
    1538       28567 :   if (!P)
    1539             :   {
    1540             :     GEN Et, S, a4, a6, e, fg, q;
    1541       27195 :     if (!isell)
    1542             :     { /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
    1543           7 :       e = E; E = ellinit_i(E, NULL, prec);
    1544           7 :       if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
    1545             :     }
    1546       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1547             :     {
    1548           0 :       case t_ELL_Fp:
    1549           0 :         q = ellff_get_field(E);
    1550           0 :         e = ellff_get_a4a6(E);
    1551           0 :         Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e,2), q, &a4, &a6);
    1552           0 :         Et = ellinit_Fp(mkvec2(a4,a6), q); break;
    1553       27188 :       case t_ELL_Fq:
    1554       27188 :         fg = ellff_get_field(E); q = FF_q(fg);
    1555       27188 :         Et = ellinit_Fq(FF_elltwist(E), fg); break;
    1556           0 :       default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
    1557             :         return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    1558             :     }
    1559       27188 :     if ((S = obj_check(E, FF_CARD)))
    1560           0 :       obj_insert_shallow(Et, FF_CARD, elltwist_card(S, q));
    1561       27188 :     return gerepilecopy(av, Et);
    1562             :   }
    1563        1372 :   if (isell && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1564          14 :     if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
    1565        1372 :   if (typ(P) == t_INT)
    1566             :   {
    1567        1358 :     if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, prec);
    1568        1001 :     P = quadpoly(P);
    1569             :   }
    1570             :   else
    1571             :   {
    1572          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1573          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1574           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1575             :   }
    1576        1015 :   switch(lg(E))
    1577             :   {
    1578           7 :     case 3:
    1579           7 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
    1580           7 :       a4 = gel(E,1);
    1581           7 :       a6 = gel(E,2); break;
    1582        1008 :     case 6: case 17:
    1583        1008 :       a1 = ell_get_a1(E);
    1584        1008 :       a2 = ell_get_a2(E);
    1585        1008 :       a3 = ell_get_a3(E);
    1586        1008 :       a4 = ell_get_a4(E);
    1587        1008 :       a6 = ell_get_a6(E); break;
    1588           0 :     default:
    1589           0 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
    1590             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1591             :   }
    1592        1015 :   a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
    1593        1015 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
    1594        1015 :   if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
    1595         763 :     V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
    1596             :   else
    1597             :   {
    1598         252 :     GEN a3D = gmul(a3, D);
    1599         252 :     V = cgetg(6, t_VEC);
    1600         252 :     gel(V,1) = gmul(a1, b);
    1601         252 :     gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1602         252 :     gel(V,3) = gmul(a3D, b);
    1603         252 :     gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
    1604         252 :     gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
    1605             :   }
    1606        1015 :   E = ellinit_i(V, DOM, prec);
    1607        1015 :   if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
    1608        1015 :   return gerepilecopy(av, E);
    1609             : }
    1610             : 
    1611             : /********************************************************************/
    1612             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1613             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1614             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1615             : /********************************************************************/
    1616             : 
    1617             : static long
    1618        3227 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1619        3227 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1620             : 
    1621             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1622             :  * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1623             :  * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1624             :  * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1625             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1626             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1627             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1628             :  * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1629             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1630             : static long
    1631         392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1632             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1633             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1634             :   long v4, v6, vD;
    1635             : 
    1636         392 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1637          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1638             : 
    1639             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1640         336 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1641             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1642         329 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1643             : 
    1644             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1645         329 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1646             : 
    1647             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1648         266 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1649         175 :   vD = vali(disc);
    1650         175 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1651         168 :   return -8;
    1652             : }
    1653             : 
    1654             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant. It also has minimal
    1655             :  * conductor in Z[1/2] */
    1656             : GEN
    1657         665 : ellminimaltwist(GEN e)
    1658             : {
    1659         665 :   pari_sp av = avma;
    1660         665 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1661             :   long i, lF;
    1662         665 :   checkell_Q(e);
    1663         665 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1664         665 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1665         665 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1666         665 :   disc = ell_get_disc(E);
    1667         665 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1668         665 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1669         665 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1670             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1671             :    * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
    1672             :    * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1673        2436 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1674             :   {
    1675        1771 :     GEN p = gel(F, i);
    1676        1771 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1677        1771 :     if (vg < 6) continue;
    1678             :     /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
    1679             :      * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1680        1197 :     switch(itou_or_0(p))
    1681             :     {
    1682         441 :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1683         441 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1684         441 :         break;
    1685         364 :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1686         364 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1687         364 :         break;
    1688         392 :       case 2:
    1689         392 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1690         392 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1691         392 :         break;
    1692             :     }
    1693             :   }
    1694         665 :   obj_free(E);
    1695         665 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1696             : }
    1697             : 
    1698             : /*
    1699             : Reference:
    1700             : William A. Stein and Mark Watkins
    1701             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1702             : ANTS 5
    1703             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1704             : */
    1705             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1706             : GEN
    1707         399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1708             : {
    1709         399 :   pari_sp av = avma;
    1710         399 :   GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
    1711         399 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1712         399 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1713         399 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1714         385 :   else if (f==6)
    1715             :   {
    1716             :     long s, t;
    1717          21 :     if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
    1718             :     else
    1719             :     {
    1720          14 :       t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
    1721          14 :       s = signe(D)==t ? -3: -1;
    1722             :     }
    1723          21 :     D = shifti(D, s);
    1724             :   }
    1725         399 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1726             : }
    1727             : 
    1728             : GEN
    1729         448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1730             : {
    1731         448 :   switch(flag)
    1732             :   {
    1733         266 :     case 0: return ellminimaltwist(e);
    1734         182 :     case 1: return ellminimaltwistcond(e);
    1735             :   }
    1736           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1737             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1738             : }
    1739             : 
    1740             : static long
    1741           7 : ellexpo(GEN E)
    1742             : {
    1743           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1744          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1745             :   {
    1746          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1747          35 :     if (f > e) e = f;
    1748             :   }
    1749           7 :   return e;
    1750             : }
    1751             : 
    1752             : 
    1753             : static int
    1754        3827 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
    1755             : {
    1756        3827 :   pari_sp av = avma;
    1757        3827 :   GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
    1758        3827 :   return gc_bool(av, gequal(A, B));
    1759             : }
    1760             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
    1761             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1762             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1763             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1764             : int
    1765       39605 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1766             : {
    1767             :   GEN LHS, RHS, x;
    1768             :   long pl, pr, ex, expx;
    1769             :   pari_sp av;
    1770             : 
    1771       39605 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1772       39528 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1773       39528 :   av = avma;
    1774       39528 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1775       39528 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1776       39528 :   if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
    1777          21 :   pl = precision(LHS);
    1778          21 :   pr = precision(RHS);
    1779          21 :   if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
    1780             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1781           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1782           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1783           7 :   expx = gexpo(x);
    1784           7 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1785           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1786           7 :   return gc_bool(av,pr);
    1787             : }
    1788             : 
    1789             : GEN
    1790       17192 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1791             : {
    1792       17192 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1793             : 
    1794       17192 :   checkell(e);
    1795       17192 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1796       17192 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1797       17192 :   tx = typ(gel(x,1));
    1798       17192 :   if (is_vec_t(tx))
    1799             :   {
    1800        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1801        3514 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1802        1687 :     return z;
    1803             :   }
    1804       15505 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1805             : }
    1806             : 
    1807             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1808             : static GEN
    1809        8589 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1810             : {
    1811             :   GEN dy,dx;
    1812        8589 :   if (y1 != y2)
    1813             :   {
    1814             :     int eq;
    1815         259 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1816           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1817             :     else
    1818         252 :       eq = gequal(y1,y2);
    1819         259 :     if (!eq) return NULL;
    1820             :   }
    1821        8582 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1822        8582 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1823        8547 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1824             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1825        8547 :   return gdiv(dy,dx);
    1826             : }
    1827             : 
    1828             : GEN
    1829       36834 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1830             : {
    1831             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1832       36834 :   pari_sp av = avma;
    1833             : 
    1834       36834 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1835       36834 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1836       34433 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1837             : 
    1838       32781 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1839       32781 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1840       32781 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1841             :   {
    1842         539 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1843         539 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1844         539 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1845         539 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1846         539 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1847             :   }
    1848       32781 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    1849             :   {
    1850        8589 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1851        8589 :     if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
    1852             :   }
    1853             :   else
    1854       24192 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    1855       32739 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1856       32739 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1857       32739 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1858       32739 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1859       32739 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1860             : }
    1861             : 
    1862             : static GEN
    1863          70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1864             : {
    1865             :   GEN t, x, y;
    1866          70 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1867          70 :   x = gel(z,1);
    1868          70 :   y = gel(z,2);
    1869          70 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1870             :   {
    1871           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1872           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1873           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1874             :   }
    1875          70 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1876          70 :   gel(t,1) = x;
    1877          70 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1878          70 :   return t;
    1879             : }
    1880             : 
    1881             : GEN
    1882       24590 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1883             : {
    1884             :   pari_sp av;
    1885             :   GEN t, y;
    1886       24590 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1887       24590 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1888       24590 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1889       24590 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1890       24590 :   av = avma;
    1891       24590 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1892       24590 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1893       24590 :   return t;
    1894             : }
    1895             : 
    1896             : GEN
    1897          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1898             : {
    1899          49 :   pari_sp av = avma;
    1900          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1901          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1902             : }
    1903             : 
    1904             : /* E an ell, x a scalar */
    1905             : static GEN
    1906        2975 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1907             : {
    1908        2975 :   pari_sp av = avma;
    1909        2975 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1910             : 
    1911        2975 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1912             :   {
    1913         532 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1914         532 :     x = nftoalg(nf,x);
    1915             :   }
    1916        2975 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1917        2975 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1918        2975 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1919             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1920        2975 :   if (gequal0(D)) {
    1921        1211 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1922           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1923        1211 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1924        1211 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1925        1211 :     return gerepileupto(av,y);
    1926             :   }
    1927             :   /* D != 0 */
    1928        1764 :   switch(ell_get_type(E))
    1929             :   {
    1930          28 :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1931          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1932          28 :       D = gel(D,2);
    1933          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1934           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1935           7 :       break;
    1936         217 :     case t_ELL_Fq:
    1937         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1938             :       {
    1939          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1940          77 :         if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1941          28 :         return gerepileupto(av, F);
    1942             :       }
    1943         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1944          56 :       break;
    1945         973 :     case t_ELL_Q:
    1946         973 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1947         966 :       if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1948         630 :       break;
    1949             : 
    1950         525 :     case t_ELL_NF:
    1951             :     {
    1952         525 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1953         525 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1954         525 :       d = nfroots(nf, T);
    1955         525 :       delete_var();
    1956         525 :       if (lg(d) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
    1957         511 :       d = gel(d,1);
    1958         511 :       break;
    1959             :     }
    1960             : 
    1961          14 :     case t_ELL_Qp:
    1962          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1963          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1964          14 :       if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1965          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1966          14 :       break;
    1967             : 
    1968           7 :     default:
    1969           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1970             :   }
    1971        1232 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1972        1232 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1973        1232 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1974        1232 :   return gerepileupto(av,y);
    1975             : }
    1976             : 
    1977             : GEN
    1978        2975 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1979             : {
    1980        2975 :   checkell(e);
    1981        2975 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1982             :   {
    1983             :     long i, lx;
    1984           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1985           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1986           0 :     return v;
    1987             :   }
    1988        2975 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1989             : }
    1990             : 
    1991             : GEN
    1992      245847 : ellrandom(GEN E)
    1993             : {
    1994             :   GEN fg;
    1995      245847 :   checkell_Fq(E);
    1996      245847 :   fg = ellff_get_field(E);
    1997      245847 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1998      245819 :     return FF_ellrandom(E);
    1999             :   else
    2000             :   {
    2001          28 :     pari_sp av = avma;
    2002          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    2003          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    2004          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    2005          28 :     return gerepileupto(av, P);
    2006             :   }
    2007             : }
    2008             : 
    2009             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    2010             : static GEN
    2011          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    2012             : {
    2013          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    2014             :   long ln, vn;
    2015             : 
    2016          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    2017           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    2018          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    2019          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    2020          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    2021          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    2022          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    2023          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    2024          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    2025             :   do
    2026             :   {
    2027          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    2028             :     do
    2029             :     {
    2030          28 :       long ep = (-valser(z2)) >> 1;
    2031          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    2032          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    2033             :     }
    2034          28 :     while (valser(z2) <= 0);
    2035          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    2036          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    2037          21 :     if (!signe(z2)) break;
    2038           7 :     z2 = ginv(z2);
    2039             :   }
    2040           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    2041          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    2042           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    2043          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    2044          14 :   b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
    2045          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    2046          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    2047          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    2048             : 
    2049          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    2050          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    2051          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    2052          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    2053             : 
    2054          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    2055          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    2056          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    2057          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    2058          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    2059             : }
    2060             : 
    2061             : static GEN
    2062        1169 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    2063             : static GEN
    2064         371 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    2065             : 
    2066             : static GEN
    2067      250340 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    2068             : {
    2069      250340 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    2070      250340 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    2071      249186 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    2072             :   else
    2073             :   {
    2074        1154 :     pari_sp av = avma;
    2075        1154 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    2076        1154 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    2077        1152 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    2078        1066 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    2079        1065 :     return gerepileupto(av, Q);
    2080             :   }
    2081             : }
    2082             : /* [n] z, n integral */
    2083             : static GEN
    2084      251313 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    2085             : {
    2086             :   long s;
    2087      251313 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2088      251313 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2089         973 :   s = signe(n);
    2090         973 :   if (!s) return ellinf();
    2091         924 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2092         924 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2093         700 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2094             : }
    2095             : 
    2096             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2097             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2098             : static long
    2099          42 : myroundr(GEN *px)
    2100             : {
    2101          42 :   GEN x = *px;
    2102             :   long e;
    2103          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2104          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2105          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2106          42 :   return OK;
    2107             : }
    2108             : 
    2109             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2110             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2111             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2112             : static GEN
    2113          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2114             : {
    2115             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2116             :   long prec;
    2117             : 
    2118          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2119          14 :   switch(typ(Q))
    2120             :   {
    2121           0 :     case t_COMPLEX:
    2122           0 :       D = utoineg(4);
    2123           0 :       v = gel(Q,2);
    2124           0 :       break;
    2125          14 :     case t_QUAD:
    2126          14 :       D = quad_disc(Q);
    2127          14 :       v = gel(Q,3);
    2128          14 :       break;
    2129           0 :     default:
    2130           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2131             :   }
    2132             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2133          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    2134          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2135          14 :   prec = precision(tau);
    2136             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2137             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2138             :    * Compute f*k */
    2139          14 :   x = gel(tau,1);
    2140          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2141          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2142          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2143             :   {
    2144           0 :     case NO: return NULL;
    2145           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2146             :   }
    2147          14 :   fk = absi_shallow(fk);
    2148             : 
    2149          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2150          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2151             :   {
    2152           0 :     case NO: return NULL;
    2153           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2154             :   }
    2155             : 
    2156          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2157          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2158             :   {
    2159           0 :     case NO: return NULL;
    2160           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2161             :   }
    2162             : 
    2163             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2164          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2165          14 :   dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
    2166             :   /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2167          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2168          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2169             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2170          14 :   v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
    2171          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2172          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2173             : }
    2174             : 
    2175             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2176             : static GEN
    2177          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2178             : {
    2179             :   GEN A, B, q;
    2180          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2181          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2182          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2183          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2184             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2185          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2186             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2187             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2188           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2189           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2190           7 :     u = shifti(u, -1);
    2191           7 :     if (signe(u))
    2192             :     {
    2193           0 :       w = gsub(w, u);
    2194           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2195             :     }
    2196             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2197             :   }
    2198          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2199          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2200          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2201          14 :   return elladd(e, A, B);
    2202             : }
    2203             : GEN
    2204      251432 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2205             : {
    2206      251432 :   pari_sp av = avma;
    2207             : 
    2208      251432 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2209      251425 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2210      251313 :   switch(typ(n))
    2211             :   {
    2212      251299 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2213          14 :     case t_QUAD: {
    2214          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2215          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2216          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2217             :     }
    2218           0 :     case t_COMPLEX: {
    2219           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2220           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2221             :     }
    2222             :   }
    2223           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2224             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2225             : }
    2226             : 
    2227             : /********************************************************************/
    2228             : /**                                                                **/
    2229             : /**                       Periods                                  **/
    2230             : /**                                                                **/
    2231             : /********************************************************************/
    2232             : 
    2233             : /* References:
    2234             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2235             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2236             : */
    2237             : 
    2238             : static GEN
    2239        5119 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2240             : {
    2241        5119 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2242        5119 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2243        5119 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2244             : }
    2245             : 
    2246             : static GEN
    2247        3543 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2248             : {
    2249        3543 :   pari_sp av = avma;
    2250        3543 :   GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
    2251        3543 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2252        3543 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2253        3543 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2254             : }
    2255             : 
    2256             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2257             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2258             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2259             : static GEN
    2260        5119 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2261             : {
    2262        5119 :   pari_sp av = avma;
    2263             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2264        5119 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2265        1576 :   roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
    2266        1576 :   d2 = gel(roots,5);
    2267        1576 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2268        1576 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2269        1576 :   b = gel(z,2);
    2270        1576 :   c = gabs(z, prec);
    2271        1576 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2272        1576 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2273             : }
    2274             : static GEN
    2275          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2276          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
    2277             : 
    2278             : GEN
    2279        7539 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2280        7539 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2281             : GEN
    2282          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2283          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2284             : GEN
    2285       32165 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2286       32165 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2287             : 
    2288             : GEN
    2289        2646 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2290             : {
    2291        2646 :   pari_sp av = avma;
    2292             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2293        2646 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2294        2646 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2295        2646 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2296        2646 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2297             : }
    2298             : 
    2299             : /********************************************************************/
    2300             : /**                                                                **/
    2301             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2302             : /**                                                                **/
    2303             : /********************************************************************/
    2304             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2305             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2306             : static GEN
    2307          14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2308             : {
    2309          14 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2310          14 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2311          14 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2312          14 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2313          14 :   GEN z = gel(om,2);
    2314          14 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2315           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2316             :   else
    2317          14 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2318          14 :   return gmul2n(z, -1);
    2319             : }
    2320             : 
    2321             : static GEN
    2322          35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2323             : {
    2324          35 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
    2325          35 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2326          35 :   if (gequal0(y0))
    2327           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2328             :   else
    2329             :   {
    2330          35 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2331          35 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2332          35 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2333          35 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2334          35 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2335             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2336          35 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2337          35 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2338             :   }
    2339             : }
    2340             : 
    2341             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2342             : static GEN
    2343           7 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2344             : {
    2345           7 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2346           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2347             :   else
    2348             :   {
    2349           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
    2350           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2351           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2352           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2353           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2354           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2355           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2356           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2357             :   }
    2358             : }
    2359             : 
    2360             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2361             : static GEN
    2362          28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2363             : {
    2364          28 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
    2365          28 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2366          28 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2367          14 :   e1 = gel(R,1);
    2368          14 :   e2 = gel(R,2);
    2369          14 :   e3 = gel(R,3);
    2370          14 :   d2 = gel(R,5);
    2371          14 :   d3 = gel(R,6);
    2372          14 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2373          14 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2374          14 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2375           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2376           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2377           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2378             :   } else {
    2379           7 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2380           7 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2381           7 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2382           7 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2383             :   }
    2384             : }
    2385             : 
    2386             : static void
    2387          21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2388             : {
    2389          21 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2390          21 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2391           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2392           0 : }
    2393             : static GEN
    2394         189 : get_r0(GEN E, long prec)
    2395             : {
    2396         189 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2397         189 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2398             : }
    2399             : static GEN
    2400         140 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2401             : {
    2402         140 :   pari_sp av = avma;
    2403             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2404             :   long vq, vt, Q, R;
    2405         140 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2406         133 :   ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
    2407         133 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2408         133 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2409         133 :   x = gel(P,1);
    2410         133 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2411         133 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2412         133 :   if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
    2413          14 :     pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2414         119 :   r = gsub(a,b);
    2415         119 :   ar = gmul(a, r);
    2416         119 :   if (gequal0(c0))
    2417             :   {
    2418           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2419           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2420             :   }
    2421             :   else
    2422             :   {
    2423         112 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2424         112 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2425         112 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2426         105 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2427             :   }
    2428         112 :   y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
    2429         112 :   if (gequal0(y1))
    2430             :   {
    2431          14 :     y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
    2432          14 :     if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2433             :   }
    2434             :   else
    2435          98 :     y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
    2436          98 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2437             : 
    2438          98 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2439          98 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2440             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2441          98 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2442          56 :     vt = valp(t);
    2443             :   else
    2444          42 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2445          98 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2446          98 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2447          98 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2448          98 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2449          98 :   return gerepileupto(av, t);
    2450             : }
    2451             : 
    2452             : static GEN
    2453          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2454             : {
    2455          56 :   pari_sp av = avma;
    2456             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2457             :   long v;
    2458          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2459             : 
    2460          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2461          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2462          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2463          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2464          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2465          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2466          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2467             : 
    2468          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2469          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2470          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2471          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2472          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2473             : }
    2474             : 
    2475             : static GEN
    2476          70 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
    2477             : {
    2478             :   GEN t;
    2479             :   long s;
    2480          70 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2481          70 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2482          70 :   s = ellR_get_sign(e);
    2483          70 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2484          35 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2485             :   else
    2486          35 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2487          63 :   return t;
    2488             : }
    2489             : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
    2490             : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
    2491             : static void ellnfembed_free(GEN L);
    2492             : GEN
    2493         203 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
    2494             : {
    2495         203 :   pari_sp av = avma;
    2496         203 :   checkell(E); checkellpt(P);
    2497         203 :   switch(ell_get_type(E))
    2498             :   {
    2499         140 :     case t_ELL_Qp:
    2500         140 :       prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
    2501         140 :       return ellQp_P2t(E, P, prec);
    2502           7 :     case t_ELL_NF:
    2503             :     {
    2504           7 :       GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    2505           7 :       long i, l = lg(Pe);
    2506          21 :       for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
    2507           7 :       ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
    2508             :     }
    2509          21 :     case t_ELL_Q: break;
    2510          35 :     case t_ELL_Rg: break;
    2511           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
    2512             :   }
    2513          56 :   return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
    2514             : }
    2515             : 
    2516             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2517             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2518             : typedef struct {
    2519             :   enum period_type type;
    2520             :   GEN in; /* original input */
    2521             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2522             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2523             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2524             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2525             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2526             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2527             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2528             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2529             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2530             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2531             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2532             :   long prec; /* precision(Z) */
    2533             :   long prec0; /* required precision for result */
    2534             : } ellred_t;
    2535             : 
    2536             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2537             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2538             : static void
    2539       24682 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2540             : {
    2541       24682 :   GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2542       24682 :   long e = gexpo(gel(t0,2));
    2543       24682 :   if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
    2544       24682 :   t = t0;
    2545       24682 :   a = d = gen_1;
    2546       24682 :   b = c = gen_0;
    2547             :   for(;;)
    2548       21958 :   {
    2549       46640 :     GEN m, n = ground(gel(t,1));
    2550       46640 :     if (signe(n))
    2551             :     { /* apply T^n */
    2552       27680 :       t = gsub(t,n);
    2553       27680 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2554       27680 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2555             :     }
    2556       46640 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2557       21958 :     t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
    2558       21958 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2559       21958 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2560             :   }
    2561       24682 :   if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
    2562       24682 :   *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
    2563       24682 : }
    2564             : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2565             :  * Set *pU to U. */
    2566             : GEN
    2567        9149 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
    2568             : {
    2569             :   GEN a,b,c,d;
    2570        9149 :   set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
    2571        9149 :   *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2572        9149 :   *czd = gadd(gmul(c,z), d);
    2573        9149 :   return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
    2574             : }
    2575             : GEN
    2576        9114 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    2577             : {
    2578        9114 :   pari_sp av = avma;
    2579             :   GEN czd;
    2580        9114 :   t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
    2581        9114 :   return gc_all(av, 2, &t, pU);
    2582             : }
    2583             : 
    2584             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2585             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2586             : static void
    2587       15533 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2588             : {
    2589             :   long s, p;
    2590       15533 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2591       15533 :   if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2592       15533 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2593       15533 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2594             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2595       15533 :   T->swap = (s < 0);
    2596       15533 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2597       15533 :   p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
    2598       15533 :   set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2599             :   /* update lattice */
    2600       15533 :   p = precision(T->tau);
    2601       15533 :   if (p)
    2602             :   {
    2603       15155 :     T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
    2604       15155 :     T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
    2605             :   }
    2606       15533 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2607       15533 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2608       15533 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2609       15533 :   if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2610       15533 :   p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
    2611       15533 : }
    2612             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2613             : static void
    2614       17516 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2615             : {
    2616       17516 :   if (typ(z) != t_COMPLEX)      { *real = 1; *imag = 0; }
    2617       11655 :   else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
    2618       10682 :   else *real = *imag = 0;
    2619       17516 : }
    2620             : static void
    2621       10857 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2622             : {
    2623             :   GEN x, Z;
    2624             :   long p, e;
    2625       10857 :   switch(typ(z))
    2626             :   {
    2627       10857 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2628           0 :     case t_QUAD:
    2629           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2630           0 :       break;
    2631           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2632             :   }
    2633       10857 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2634       10857 :   T->z = z;
    2635       10857 :   x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
    2636       10857 :   T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
    2637             :   /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
    2638             :    * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
    2639             :    * at the end */
    2640       10857 :   if (e > -10) T->x = gfloor(x);
    2641       10857 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2642       10857 :   T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
    2643       10857 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2644       10857 :   T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
    2645             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2646       10857 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2647       10857 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2648             :   {
    2649             :     int W2real, W2imag;
    2650        5334 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2651        5334 :     if (W2real)
    2652         401 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2653        4933 :     else if (W2imag)
    2654         854 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2655             :   }
    2656       10857 :   p = precision(Z);
    2657       10857 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p))) Z = NULL; /*z in L*/
    2658       10857 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2659       10857 :   T->Z = Z;
    2660       10857 : }
    2661             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2662             : static GEN
    2663        8918 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2664             : {
    2665        8918 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2666        8918 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2667        8918 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2668        8918 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2669        6718 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2670             : }
    2671             : /* e is either
    2672             :  * - [w1,w2]
    2673             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2674             :  * - an ellinit structure */
    2675             : static void
    2676       15533 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2677             : {
    2678             :   GEN w, e;
    2679       15533 :   T->q_is_real = 0;
    2680       15533 :   T->some_q_is_real = 0;
    2681       15533 :   switch(T->type)
    2682             :   {
    2683        1988 :     case t_PER_ELL:
    2684             :     {
    2685        1988 :       long pr, p = prec;
    2686        1988 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2687        1988 :       e = T->in;
    2688        1988 :       w = ellR_omega(e, p);
    2689        1988 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2690        1988 :       break;
    2691             :     }
    2692       13363 :     case t_PER_W:
    2693       13363 :       w = T->in; break;
    2694         182 :     default: /*t_PER_WETA*/
    2695         182 :       w = gel(T->in,1); break;
    2696             :   }
    2697       15533 :   T->w1 = gel(w,1);
    2698       15533 :   T->w2 = gel(w,2);
    2699       15533 :   red_modSL2(T, prec);
    2700       15533 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2701       15533 : }
    2702             : static int
    2703       15540 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2704             : {
    2705             :   GEN w1;
    2706       15540 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2707       15540 :   T->in = e;
    2708       15540 :   switch(lg(e))
    2709             :   {
    2710        1995 :     case 17:
    2711        1995 :       T->type = t_PER_ELL;
    2712        1995 :       break;
    2713       13545 :     case 3:
    2714       13545 :       w1 = gel(e,1);
    2715       13545 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    2716       13363 :         T->type = t_PER_W;
    2717             :       else
    2718             :       {
    2719         182 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    2720         182 :         T->type = t_PER_WETA;
    2721             :       }
    2722       13545 :       break;
    2723           0 :     default: return 0;
    2724             :   }
    2725       15540 :   return 1;
    2726             : }
    2727             : static int
    2728       15456 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    2729             : {
    2730       15456 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    2731       15456 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    2732             : }
    2733             : 
    2734             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    2735             : static GEN
    2736       24514 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    2737             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    2738             : static GEN
    2739       13594 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    2740             : {
    2741       13594 :   GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
    2742       13594 :   return cxtoreal(z);
    2743             : }
    2744             : 
    2745             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    2746             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    2747             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    2748             : GEN
    2749        4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    2750             : {
    2751        4459 :   pari_sp av = avma;
    2752             :   GEN y;
    2753             :   ellred_t T;
    2754             : 
    2755        4459 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    2756        4459 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    2757        4459 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    2758        4459 :   y = _elleisnum(&T, k);
    2759        4459 :   if (k==2 && signe(T.c))
    2760        4023 :   {
    2761        4023 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    2762        4023 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    2763             :   }
    2764         436 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgu(y,  12);
    2765         408 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    2766        4459 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2767             : }
    2768             : 
    2769             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    2770             : static GEN
    2771        8953 : _elleta(ellred_t *T)
    2772             : {
    2773        8953 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
    2774        8953 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    2775        8953 :   y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
    2776        8953 :   retmkvec2(y1, y2);
    2777             : }
    2778             : 
    2779             : /* compute eta1, eta2 */
    2780             : GEN
    2781          84 : elleta(GEN om, long prec)
    2782             : {
    2783          84 :   pari_sp av = avma;
    2784             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    2785             :   ellred_t T;
    2786             : 
    2787          84 :   if (!check_periods(om, &T))
    2788             :   {
    2789           0 :     pari_err_TYPE("elleta",om);
    2790             :     return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2791             :   }
    2792          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    2793             : 
    2794          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    2795          77 :   prec = T.prec;
    2796          77 :   pi = mppi(prec);
    2797          77 :   E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
    2798          77 :   if (signe(T.c))
    2799             :   {
    2800          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    2801             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    2802          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    2803             :   }
    2804          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    2805          77 :   if (T.swap)
    2806             :   {
    2807           7 :     y1 = y2;
    2808           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    2809             :   }
    2810             :   else
    2811          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    2812          77 :   switch(typ(T.w1))
    2813             :   {
    2814          49 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    2815          49 :       y1 = real_i(y1);
    2816             :   }
    2817          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    2818             : }
    2819             : GEN
    2820          49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    2821             : {
    2822          49 :   pari_sp av = avma;
    2823             :   ellred_t T;
    2824          49 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    2825          49 :   switch(flag)
    2826             :   {
    2827          14 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    2828          35 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    2829           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    2830             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2831             :   }
    2832             : }
    2833             : 
    2834             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    2835             : static double
    2836       10729 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    2837             : 
    2838             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    2839             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    2840             : static GEN
    2841        1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    2842             : {
    2843             :   long toadd;
    2844        1911 :   pari_sp av = avma, av1;
    2845             :   GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    2846             :   ellred_t T;
    2847             :   int simple_case;
    2848             : 
    2849        1911 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    2850        1911 :   if (!T.Z) return NULL;
    2851        1890 :   prec = T.prec;
    2852             : 
    2853             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    2854        1890 :   q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
    2855        1890 :   u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
    2856        1890 :   u1 = gsubsg(1,u);
    2857        1890 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    2858        1890 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    2859        1890 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    2860        1890 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    2861        1890 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2862        1890 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    2863        1890 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    2864        1890 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2865             : 
    2866        1890 :   av1 = avma; qn = q;
    2867             :   for(;;)
    2868       23627 :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    2869             :     /* analogous formula for yp */
    2870       25517 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    2871       25517 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    2872       25517 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    2873       25517 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    2874       25517 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    2875       25517 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    2876         410 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    2877             :     else
    2878             :     {
    2879       25107 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    2880       25107 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    2881       25107 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    2882       25107 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    2883             :     }
    2884       25517 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    2885       25517 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    2886       25517 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    2887             : 
    2888       25517 :     qn = gmul(q,qn);
    2889       25517 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2890       23627 :     if (gc_needed(av1,1))
    2891             :     {
    2892           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    2893           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    2894             :     }
    2895             :   }
    2896        1890 :   if (yp)
    2897             :   {
    2898        1827 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
    2899        1827 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    2900             :   }
    2901             : 
    2902        1890 :   u1 = PiI2div(T.W2, prec);
    2903        1890 :   u2 = gsqr(u1);
    2904        1890 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    2905        1890 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    2906        1029 :     y = real_i(y);
    2907        1890 :   if (yp)
    2908             :   {
    2909        1827 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    2910        1827 :     if (T.some_q_is_real)
    2911             :     {
    2912        1827 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    2913         847 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    2914             :     }
    2915        1827 :     y = mkvec2(y, yp);
    2916             :   }
    2917        1890 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2918             : }
    2919             : static GEN
    2920         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    2921             : {
    2922             :   long i, k, l;
    2923             :   pari_sp av;
    2924         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    2925             : 
    2926         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
    2927         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    2928             : 
    2929        2520 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    2930         301 :   _1 = Rg_get_1(c4);
    2931         301 :   switch(PRECDL)
    2932             :   {
    2933         301 :     default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
    2934         301 :     case 6:
    2935         301 :     case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
    2936         301 :     case 4:
    2937         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    2938         301 :     case 2:
    2939         301 :     case 1: P[0] = _1;
    2940             :   }
    2941         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    2942         301 :   av = avma;
    2943         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
    2944        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    2945             :   {
    2946         784 :     av = avma;
    2947         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    2948        1239 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    2949         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    2950         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    2951         784 :     if (k % 3 == 2)
    2952         273 :       t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    2953             :     else /* same value, more efficient */
    2954         511 :       t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    2955         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    2956             :   }
    2957         301 :   return res;
    2958             : }
    2959             : 
    2960             : static int
    2961         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    2962             : {
    2963         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    2964             :   {
    2965         203 :     case 17:
    2966         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    2967         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    2968         203 :       return 1;
    2969          91 :     case 3:
    2970             :     {
    2971             :       ellred_t T;
    2972          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    2973          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    2974          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    2975          91 :       return 1;
    2976             :     }
    2977             :   }
    2978           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    2979           0 :   return 0;
    2980             : }
    2981             : 
    2982             : GEN
    2983          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    2984             : {
    2985             :   GEN c4, c6;
    2986          14 :   checkell(e);
    2987          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2988          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    2989             : }
    2990             : 
    2991             : GEN
    2992           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    2993           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    2994             : 
    2995             : GEN
    2996         182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    2997             : {
    2998         182 :   pari_sp av = avma;
    2999             :   GEN y;
    3000             : 
    3001         182 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    3002         182 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3003         182 :   y = toser_i(z);
    3004         182 :   if (y)
    3005             :   {
    3006         105 :     long vy = varn(y), v = valser(y);
    3007             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3008         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    3009         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    3010         105 :     if (gequal0(y)) {
    3011           0 :       set_avma(av);
    3012           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    3013           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    3014             :     }
    3015         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3016         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3017         105 :     if (!flag)
    3018         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    3019             :     else
    3020             :     {
    3021           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    3022           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    3023             :     }
    3024             :   }
    3025          77 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    3026          77 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    3027          70 :   return gerepileupto(av, y);
    3028             : }
    3029             : 
    3030             : GEN
    3031         161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3032             : {
    3033             :   long prec;
    3034         161 :   pari_sp av = avma;
    3035         161 :   GEN pi2, q, y, et = NULL;
    3036             :   ellred_t T;
    3037             : 
    3038         161 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3039         161 :   y = toser_i(z);
    3040         161 :   if (y)
    3041             :   {
    3042          91 :     long vy = varn(y), v = valser(y);
    3043             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3044          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3045          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3046          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3047          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3048          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3049          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3050          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3051             :   }
    3052          70 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3053          70 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3054          70 :   prec = T.prec;
    3055          70 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3056             : 
    3057          70 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3058          70 :   q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
    3059          70 :   y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3060          70 :   if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
    3061             :   { /* else u = -1 and this vanishes */
    3062          70 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3063          70 :     GEN qn, u, v, S = gen_0;
    3064             :     pari_sp av1;
    3065          70 :     u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
    3066          70 :     v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3067          70 :     if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3068          70 :     y = gadd(y, v);
    3069             :     /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
    3070             :      *     = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
    3071          70 :     av1 = avma;
    3072          70 :     for (qn = q;;)
    3073             :     {
    3074         863 :       S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
    3075         863 :       qn = gmul(q,qn);
    3076         863 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3077         793 :       if (gc_needed(av1,1))
    3078             :       {
    3079           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3080           0 :         gerepileall(av1,2, &S,&qn);
    3081             :       }
    3082             :     }
    3083          70 :     y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
    3084             :   }
    3085          70 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3086          70 :   if (T.some_q_is_real)
    3087             :   {
    3088          70 :     if (T.some_z_is_real)
    3089             :     {
    3090          28 :       if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
    3091             :     }
    3092          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag)
    3093             :     {
    3094          21 :       if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
    3095          21 :         gel(y,1) = gen_0;
    3096             :     }
    3097             :   }
    3098          70 :   if (et) y = gadd(y, et);
    3099          70 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3100             : }
    3101             : 
    3102             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3103             : GEN
    3104        8974 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3105             : {
    3106             :   long toadd, prec, n;
    3107        8974 :   pari_sp av = avma, av1;
    3108             :   GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3109             :   ellred_t T;
    3110             : 
    3111        8974 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3112             : 
    3113        8974 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3114        8974 :   y = toser_i(z);
    3115        8974 :   if (y)
    3116             :   {
    3117          98 :     long vy = varn(y), v = valser(y);
    3118             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3119          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3120          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3121          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3122          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3123          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3124          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3125             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3126          91 :     P = integser(serchop0(P));
    3127          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3128          91 :     setvalser(P, valser(P)+1);
    3129          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3130          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3131             :   }
    3132        8876 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3133        8876 :   if (!T.Z)
    3134             :   {
    3135           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3136           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3137             :   }
    3138        8869 :   prec = T.prec;
    3139        8869 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3140        8869 :   pi  = mppi(prec);
    3141             : 
    3142        8869 :   urninv = uinv = NULL;
    3143        8869 :   if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
    3144             :   {
    3145         100 :     toadd = 0;
    3146         100 :     urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
    3147         100 :     u = gen_1;
    3148             :   }
    3149             :   else
    3150             :   {
    3151        8769 :     toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3152        8769 :     urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3153        8769 :     u = gneg_i(gsqr(urn));
    3154        8769 :     if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
    3155             :   }
    3156        8869 :   q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
    3157        8869 :   q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
    3158        8869 :   y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
    3159       71630 :   for(n=0;;n++)
    3160             :   { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
    3161             :      * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
    3162       71630 :     y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
    3163       71630 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3164       71630 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3165       62761 :     qn  = gmul(q,qn);
    3166       62761 :     urn = gmul(urn,u);
    3167       62761 :     if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
    3168       62761 :     if (gc_needed(av1,1))
    3169             :     {
    3170           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3171           0 :       gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3172             :     }
    3173             :   }
    3174        8869 :   y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3175        8869 :   y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
    3176             : 
    3177        8869 :   et = _elleta(&T);
    3178        8869 :   z0 = gmul(T.Z,T.W2);
    3179        8869 :   y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
    3180        8869 :   etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
    3181        8869 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
    3182        8869 :   if (flag)
    3183             :   {
    3184        8799 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3185        8799 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
    3186             :     /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
    3187        8799 :     if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
    3188           7 :       y = real_i(y);
    3189             :   }
    3190             :   else
    3191             :   {
    3192          70 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3193          70 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
    3194          70 :     if (T.some_q_is_real)
    3195             :     {
    3196             :       int re, cx;
    3197          70 :       check_complex(z,&re,&cx);
    3198          70 :       if (re) y = real_i(y);
    3199          49 :       else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
    3200             :     }
    3201             :   }
    3202        8869 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3203             : }
    3204             : 
    3205             : GEN
    3206        1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3207             : {
    3208        1890 :   pari_sp av = avma;
    3209             :   GEN v;
    3210             : 
    3211        1890 :   checkell(e);
    3212        1890 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3213             :   {
    3214          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3215          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3216             :   }
    3217        1834 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3218        1834 :   if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
    3219        1820 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
    3220        1820 :   gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
    3221        1820 :   return gerepilecopy(av, v);
    3222             : }
    3223             : 
    3224             : /********************************************************************/
    3225             : /**                                                                **/
    3226             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3227             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3228             : /**                                                                **/
    3229             : /********************************************************************/
    3230             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3231             : typedef struct {
    3232             :   long a1; /*{0,1}*/
    3233             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3234             :   long a3; /*{0,1}*/
    3235             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3236             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3237             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3238             : } ellmin_t;
    3239             : 
    3240             : /* u from [u,r,s,t] */
    3241             : static void
    3242      519322 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3243             : {
    3244      519322 :   M->u = u;
    3245      519322 :   if (is_pm1(u))
    3246      455266 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3247             :   else
    3248             :   {
    3249       64056 :     M->u2 = sqri(u);
    3250       64056 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3251       64056 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3252       64056 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3253             :   }
    3254      519322 : }
    3255             : /* E = original curve */
    3256             : static void
    3257      519322 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3258             : {
    3259      519322 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3260      519322 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3261       64056 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3262       64056 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3263             :   }
    3264      519322 :   M->c4 = c4;
    3265      519322 :   M->c6 = c6;
    3266      519322 : }
    3267             : static void
    3268      519014 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3269             : {
    3270      519014 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3271      519014 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3272      519014 :   M->D = D;
    3273      519014 : }
    3274             : static void
    3275      519175 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3276             : {
    3277             :   long b22, b2;
    3278      519175 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3279      519175 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3280      519175 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3281      519175 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3282      519175 : }
    3283             : static void
    3284      519035 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3285             : {
    3286      519035 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3287      519035 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3288      519035 :   if (odd(b2))
    3289             :   {
    3290      258159 :     a1 = 1;
    3291      258159 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3292             :   }
    3293             :   else
    3294             :   {
    3295      260876 :     a1 = 0;
    3296      260876 :     a2 = b2 >> 2;
    3297             :   }
    3298      519035 :   M->a1 = a1;
    3299      519035 :   M->a2 = a2;
    3300      519035 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3301      519035 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3302      519035 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3303      519035 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3304      519035 : }
    3305             : static void
    3306      519000 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3307             : {
    3308      519000 :   min_set_u(M, u);
    3309      519000 :   min_set_c(M, E);
    3310      519000 :   min_set_D(M, E);
    3311      519000 :   min_set_b(M);
    3312      519000 :   min_set_a(M);
    3313      519000 : }
    3314             : static GEN
    3315      505917 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3316             : {
    3317      505917 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3318             :   long a11, a13;
    3319      505917 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3320      505917 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3321      505917 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3322      505917 :   gel(y,4) = M->a4;
    3323      505917 :   gel(y,5) = M->a6;
    3324      505917 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3325      505917 :   gel(y,7) = M->b4;
    3326      505917 :   gel(y,8) = M->b6;
    3327      505917 :   a11 = M->a1;
    3328      505917 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3329      505917 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3330             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3331      505917 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3332      505917 :   gel(y,10)= M->c4;
    3333      505917 :   gel(y,11)= M->c6;
    3334      505917 :   gel(y,12)= M->D;
    3335      505917 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3336      505917 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3337      505917 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3338      505917 :   return y;
    3339             : }
    3340             : static GEN
    3341      519000 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3342             : {
    3343             :   GEN r, s, t;
    3344      519000 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3345      519000 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3346      519000 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3347      519000 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3348             : }
    3349             : 
    3350             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3351             : static long
    3352     1686996 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3353             : {
    3354     1686996 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3355     1686996 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3356     1686996 :   if (!signe(c6))
    3357             :   {
    3358        2933 :     d = vD / 12;
    3359        2933 :     if (d)
    3360             :     {
    3361        1071 :       if (p == 2)
    3362             :       {
    3363         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3364         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3365         819 :         if (a) d--;
    3366             :       }
    3367        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3368             :     }
    3369        2933 :     v6 = 12; /* +oo */
    3370             :   }
    3371             :   else
    3372             :   {
    3373     1684063 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3374     1684063 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3375     1684063 :     if (d) {
    3376      181174 :       if (p == 2) {
    3377      109746 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3378      109746 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3379      109746 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3380      109746 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3381       71428 :       } else if (p == 3) {
    3382       45199 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3383             :       }
    3384      181174 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3385             :     }
    3386             :   }
    3387     1686996 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3388             : }
    3389             : static long
    3390      879487 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3391             : {
    3392             :   GEN c6;
    3393             :   long d, v6, vD;
    3394      879487 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3395          39 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3396          39 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3397          39 :   if (!signe(c6))
    3398             :   {
    3399           0 :     d = vD / 12;
    3400           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3401           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3402             :   }
    3403             :   else
    3404             :   {
    3405          39 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3406          39 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3407          39 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3408             :   }
    3409          39 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3410             : }
    3411             : 
    3412             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3413             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3414             :   in the form [f, kod, v, c].
    3415             : 
    3416             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3417             : 
    3418             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3419             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3420             :     I0  -->  1
    3421             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3422             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3423             : 
    3424             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3425             : 
    3426             :   * c is the Tamagawa number.
    3427             : 
    3428             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3429             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3430             : static GEN
    3431     1735216 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3432             : {
    3433     1735216 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3434     1735216 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3435     1735216 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3436     1735216 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3437     1735216 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3438             : }
    3439             : static GEN
    3440           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3441             : {
    3442           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3443           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3444             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3445             : }
    3446             : 
    3447             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3448             : static long
    3449      880880 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3450             : 
    3451             : /* p > 3, e integral */
    3452             : static GEN
    3453      879487 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3454             : {
    3455             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3456      879487 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3457             : 
    3458      879487 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3459      879487 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3460      879487 :   nuj = j_pval(e, p);
    3461      879487 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3462      879487 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3463      879487 :   if (!k) v = init_ch();
    3464             :   else
    3465             :   { /* model not minimal */
    3466             :     ellmin_t M;
    3467       13097 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3468       13097 :     v = min_get_v(&M, e);
    3469       13097 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3470             :   }
    3471             : 
    3472      879487 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3473             :   {
    3474      761278 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3475      761278 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3476             :       {
    3477      392483 :         case  1: c = nuD; break;
    3478      368795 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3479           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3480             :       }
    3481      761278 :       break;
    3482       45703 :     case 6:
    3483             :     {
    3484       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3485       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3486       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3487       45703 :       break;
    3488             :     }
    3489           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3490             :   }
    3491       72506 :   else switch(nuD)
    3492             :   {
    3493         539 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3494       11697 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3495       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3496        5642 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3497        5642 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3498        5642 :       break;
    3499       16856 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3500       16856 :       p2 = sqri(p);
    3501             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3502       16856 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3503             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3504             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3505       16856 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3506       16856 :       break;
    3507       11620 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3508       11620 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3509       11620 :       break;
    3510       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3511        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3512           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3513             :   }
    3514      879487 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3515             : }
    3516             : 
    3517             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3518             : static ulong
    3519      888965 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3520      888965 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3521             : 
    3522             : static ulong
    3523     1421966 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3524     1421966 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
    3525             : 
    3526             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3527             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3528             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3529             : static long
    3530      244335 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3531             : {
    3532      244335 :   if (p == 2)
    3533             :   {
    3534      141169 :     if (odd(c + a * b)) return 3;
    3535      122451 :     *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
    3536             :   }
    3537             :   /* p = 3 */
    3538      103166 :   if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
    3539       69041 :   *mult = a * b;
    3540       69041 :   if (b == 2)
    3541       22974 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3542             :   else
    3543       46067 :     return c ? 3 : 2;
    3544             : }
    3545             : 
    3546             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3547             : static long
    3548      788963 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3549             : {
    3550      788963 :   if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
    3551             :   /* p = 3 */
    3552      301112 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3553             : }
    3554             : 
    3555             : /* p = 2 or 3 */
    3556             : static GEN
    3557      704445 : localred_23(GEN e, long p)
    3558             : {
    3559             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3560             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3561             :   GEN v;
    3562             : 
    3563      704445 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3564      704445 :   if (!k) v = init_ch();
    3565             :   else
    3566             :   {
    3567             :     ellmin_t M;
    3568       48776 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3569       48776 :     v = min_get_v(&M, e);
    3570       48776 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3571             :   }
    3572             :   /* model is minimal */
    3573      704445 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3574      704445 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3575      702954 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3576      321699 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3577             : 
    3578      702954 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3579             :   {
    3580      386162 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3581      196056 :       c = nuD;
    3582             :     else
    3583      190106 :       c = odd(nuD)? 1: 2;
    3584      386162 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3585             :   }
    3586      316792 :   if (p == 2)
    3587             :   {
    3588      185941 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3589      185941 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3590      185941 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3591      185941 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3592             :   }
    3593             :   else /* p == 3 */
    3594             :   {
    3595      130851 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3596      130851 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3597      130851 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3598      130851 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3599             :   }
    3600             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3601      316792 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3602      316792 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3603       22295 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3604      294497 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3605       27650 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3606      266847 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3607             :   {
    3608       22512 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3609       11529 :       c = 3;
    3610             :     else
    3611       10983 :       c = 1;
    3612       22512 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3613             :   }
    3614             : 
    3615      244335 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3616       91084 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3617             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3618      244335 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3619      244335 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3620      244335 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3621      244335 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3622             :   {
    3623       35987 :     case 3:
    3624       35987 :       c = a63 ? 1: 2;
    3625       35987 :       if (p == 2)
    3626       18718 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3627             :       else {
    3628       17269 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3629       17269 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3630             :       }
    3631       35987 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3632      130368 :     case 2:
    3633             :     { /* compute nu */
    3634             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3635             :       long al, be, ga;
    3636      130368 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3637             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3638      130368 :       nu = 1;
    3639      130368 :       pk  = utoipos(p2);
    3640      130368 :       p2k = utoipos(p4);
    3641             :       for(;;)
    3642             :       {
    3643      387723 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3644      387723 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3645      387723 :         al = 1;
    3646      387723 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3647      323260 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3648      323260 :         pk1 = pk;
    3649      323260 :         pk  = mului(p, pk);
    3650      323260 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3651             : 
    3652      323260 :         al = a21;
    3653      323260 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3654      323260 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3655      323260 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3656      257355 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3657      257355 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3658             :       }
    3659      130368 :       if (p == 2)
    3660       72268 :         c = odd(ga)? 2: 4;
    3661             :       else
    3662       58100 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3663      130368 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3664             :     }
    3665       77980 :     case 1:
    3666       77980 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3667             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3668       77980 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3669       77980 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    3670       77980 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    3671             :       {
    3672       29813 :         if (p == 2)
    3673       20356 :           c = 3 - 2 * a64;
    3674             :         else
    3675        9457 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    3676       29813 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    3677             :       }
    3678       48167 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    3679             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    3680       48167 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    3681       28966 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    3682             : 
    3683             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    3684       19201 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    3685             :   }
    3686             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3687             : }
    3688             : 
    3689             : /* e is integral */
    3690             : static GEN
    3691     1583512 : localred(GEN e, GEN p)
    3692             : {
    3693     1583512 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    3694      879487 :     return localred_p(e,p);
    3695             :   else
    3696             :   {
    3697      704025 :     long l = itos(p);
    3698      704025 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    3699      704025 :     return localred_23(e, l);
    3700             :   }
    3701             : }
    3702             : 
    3703             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    3704             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    3705             : static GEN
    3706       26320 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    3707             : {
    3708       26320 :   GEN b = z;
    3709             :   long i;
    3710       26320 :   if (typ(b) == t_INT)
    3711             :   {
    3712       26229 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    3713       26229 :     return shifti(negi(b),-1);
    3714             :   }
    3715         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3716             :   {
    3717         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3718             :   }
    3719          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    3720             : }
    3721             : 
    3722             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    3723             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    3724             : static GEN
    3725       13160 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    3726             : {
    3727       13160 :   GEN b = z;
    3728             :   long i;
    3729       13160 :   if (typ(b) == t_INT)
    3730             :   {
    3731       13111 :     long s = smodis(b,3);
    3732       13111 :     if (s)
    3733             :     {
    3734           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    3735           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    3736           0 :         b = subii(b, Jz);
    3737             :       else
    3738           0 :         b = addii(b, Jz);
    3739             :     }
    3740       13111 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    3741             :   }
    3742         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3743             :   {
    3744          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    3745          98 :     if (!s) continue;
    3746          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    3747          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    3748             :     else
    3749          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3750             :   }
    3751          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    3752             : }
    3753             : 
    3754             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    3755             : static GEN
    3756        4403 : get_piinv(GEN P)
    3757             : {
    3758        4403 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    3759        4403 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    3760        4403 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    3761             : }
    3762             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    3763             : static void
    3764      151284 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    3765             : {
    3766      151284 :   if (pr_is_inert(P))
    3767             :   {
    3768      146923 :     *pi = pr_get_p(P);
    3769      146923 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    3770             :   }
    3771             :   else
    3772             :   {
    3773        4361 :     *pv = get_piinv(P);
    3774        4361 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    3775             :   }
    3776      151284 : }
    3777             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    3778             : static GEN
    3779      242711 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    3780             : {
    3781      242711 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3782      242711 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3783      242711 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    3784             : }
    3785             : 
    3786             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    3787             : static GEN
    3788      393344 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    3789             : {
    3790      393344 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    3791      393344 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3792      393344 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    3793             : }
    3794             : 
    3795             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    3796             : 
    3797             : static GEN
    3798      217322 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    3799             : {
    3800      217322 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    3801      217322 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    3802      217322 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3803      217322 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    3804             : }
    3805             : 
    3806             : static GEN
    3807      587188 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    3808             : {
    3809      587188 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3810      587188 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    3811      587188 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    3812      587188 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    3813      587188 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    3814             : }
    3815             : 
    3816             : static GEN
    3817       15575 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    3818             : {
    3819       15575 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3820       15575 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    3821       15575 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    3822       15575 :   long n = 1;
    3823             :   while(1)
    3824       24871 :   {
    3825       40446 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    3826             :     GEN gama;
    3827       40446 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3828             :     {
    3829        8085 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3830        8085 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3831             :     }
    3832       32361 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3833       32361 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    3834       32361 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3835       32361 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    3836       32361 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3837             :     {
    3838        7490 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3839        7490 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3840             :     }
    3841       24871 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3842       24871 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    3843       24871 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    3844       24871 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3845             :   }
    3846             : }
    3847             : 
    3848             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    3849             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    3850             : 
    3851             : static GEN
    3852       99876 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    3853             : {
    3854             :   GEN T, p, modP;
    3855             :   long vD;
    3856             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    3857       99876 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3858       99876 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    3859       99876 :   ch = init_ch();
    3860       99876 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3861       99876 :   *ap = 0;
    3862             :   while(1)
    3863             :   {
    3864      253386 :     if (vD==0)
    3865         784 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    3866             :     else
    3867             :     {
    3868      252602 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3869      252602 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3870      252602 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    3871      252602 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    3872      252602 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    3873             :       GEN x0, y0;
    3874      252602 :       if (absequaliu(p,2))
    3875             :       {
    3876             :         GEN x02, y02;
    3877      165039 :         if (signe(a1))
    3878             :         {
    3879       30205 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    3880       30205 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    3881       30205 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    3882             :         }
    3883             :         else
    3884             :         {
    3885      134834 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    3886      134834 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    3887             :         }
    3888      165039 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    3889             :       }
    3890             :       else
    3891             :       {
    3892       87563 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    3893       87563 :         if (signe(a12))
    3894       27545 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    3895             :         else
    3896       60018 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    3897       87563 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    3898             :       }
    3899      252602 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    3900      252602 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    3901      252602 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    3902             :     }
    3903             :     /* 2 */
    3904             :     {
    3905      252602 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    3906      252602 :       if (signe(b2) != 0)
    3907             :       {
    3908       57750 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    3909       57750 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    3910       57750 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    3911       27930 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    3912             :       }
    3913             :     }
    3914             :     /* 3 */
    3915             :     {
    3916      194852 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    3917      194852 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    3918             :     }
    3919             :     /* 4 */
    3920             :     {
    3921      192087 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    3922      192087 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    3923             :     }
    3924             :     /* 5 */
    3925      188370 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    3926             :     {
    3927      188370 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    3928      188370 :       if (vb6<=2)
    3929             :       {
    3930        3409 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    3931        3409 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3932        3409 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    3933             :       }
    3934             :     }
    3935             :     /* 6 */
    3936             :     {
    3937      184961 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    3938      184961 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    3939      184961 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    3940             :       GEN po2, E, F, mr;
    3941             :       long i, lE;
    3942      184961 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    3943      184961 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    3944      184961 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
    3945             :       {
    3946       70006 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    3947       70006 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    3948       70006 :         lE = lg(E);
    3949       70006 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    3950             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    3951             :           long c; /* 1 + number of roots */
    3952        4858 :           switch(lE)
    3953             :           {
    3954        1778 :             case 2: c = 1; break;
    3955        2709 :             case 3: c = 2; break;
    3956         371 :             default: c = 4; break;
    3957             :           }
    3958        4858 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    3959             :         }
    3960             :       /* 7 */
    3961       65148 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    3962       65148 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    3963       65148 :         if (!gequal0(mr))
    3964             :         { /* not so frequent */
    3965       59093 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    3966       59093 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    3967             :         }
    3968       65148 :         if (lE == 3)
    3969       15575 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    3970             :       }
    3971             :     }
    3972      164528 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    3973      164528 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    3974             :     /*  8 */
    3975      164528 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    3976             :     {
    3977        4494 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    3978        4494 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    3979             :     }
    3980             :     /*  9 */
    3981             :     {
    3982      160034 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    3983      160034 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    3984      160034 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    3985        3969 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    3986             :     }
    3987             :     /* 10 */
    3988      156065 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    3989        2555 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    3990             :     /* 11 */
    3991      153510 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    3992      153510 :     vD -= 12;
    3993             :   }
    3994             : }
    3995             : 
    3996             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    3997             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    3998             : static GEN
    3999       51408 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    4000             : {
    4001       51408 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4002             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    4003             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    4004             : 
    4005       51408 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4006       51408 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4007       51408 :   D = ell_get_disc(e);
    4008       51408 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4009       51408 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    4010       51408 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    4011       51408 :   m = (vD - nuj)/12;
    4012       51408 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    4013             : 
    4014       51408 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    4015             :   else
    4016             :   { /* model not minimal */
    4017             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    4018       13160 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    4019       13160 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    4020       13160 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    4021       13160 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    4022       13160 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4023       13160 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    4024       13160 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    4025       13160 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    4026       13160 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    4027       13160 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4028       13160 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4029       13160 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4030       13160 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4031       13160 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4032       13160 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4033       13160 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4034       13160 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4035       13160 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4036             :   }
    4037             : 
    4038       51408 :   kod = 1; c = 1;
    4039             :   /* minimal at P */
    4040       51408 :   if (nuj > 0)
    4041             :   { /* v(j) < 0 */
    4042       47481 :     if (vD == nuj)
    4043             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4044       45360 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4045       45360 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4046       45360 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4047       24171 :         c = vD;/* split */
    4048             :       else
    4049       21189 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
    4050             :     }
    4051             :     else
    4052             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4053             :       GEN Du;
    4054        2121 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4055        2121 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4056        2121 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4057        2121 :       if(odd(vD))
    4058             :       {
    4059             :         GEN c6u;
    4060        1148 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4061        1148 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4062        1148 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4063             :       }
    4064        2121 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4065             :     }
    4066             :   }
    4067             :   else
    4068             :   { /* v(j) >= 0 */
    4069        3927 :     f = vD? 2: 0;
    4070        3927 :     switch(vD)
    4071             :     {
    4072             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4073          91 :       case 0: kod = 1; c = 1; break;
    4074         616 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4075         518 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4076         273 :       case 4: kod = 4;
    4077         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4078         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4079         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4080         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4081         273 :         break;
    4082        1057 :       case 6: kod = -1;
    4083        1057 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4084        1057 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4085        1057 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4086        1057 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4087        1057 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4088        1057 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4089        1057 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4090        1057 :         break;
    4091         616 :       case 8: kod = -4;
    4092         616 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4093         616 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4094         616 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4095         616 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4096         616 :         break;
    4097         483 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4098         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4099             :     }
    4100       51408 :   }
    4101       51408 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4102             : }
    4103             : /* E is integral */
    4104             : static GEN
    4105      102137 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4106             : {
    4107      102137 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4108      102137 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4109             :   {
    4110             :     long i, ap, vu;
    4111       50729 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4112       50729 :     GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4113       50729 :     gel(q,3) = v;
    4114             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4115       50729 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4116       50729 :     if (vu > 0)
    4117             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4118       49504 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4119       49504 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    4120       49504 :       if (!equali1(D))
    4121             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4122             :         GEN a;
    4123         511 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4124             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4125         511 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4126         511 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    4127         511 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    4128         511 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    4129             :       }
    4130             :     }
    4131      253645 :     for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    4132       50729 :     return q;
    4133             :   }
    4134       51408 :   return nflocalred_p(E,pr);
    4135             : }
    4136             : 
    4137             : static GEN
    4138     2817787 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
    4139             : {
    4140     2817787 :   GEN q, E = *pE;
    4141             :   long tE;
    4142     2817787 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    4143     2817770 :   if (pv) *pv = NULL;
    4144     2817770 :   if (p) switch(typ(p))
    4145             :   {
    4146     2452416 :     case t_INT:
    4147     2452416 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    4148     2452415 :       break;
    4149      205772 :     case t_VEC:
    4150      205772 :       q = get_prid(p);
    4151      205772 :       if (q && tE == t_ELL_NF)
    4152             :       {
    4153      205772 :         *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4154      205772 :         return q;
    4155             :       }
    4156           6 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    4157             :   }
    4158     2611991 :   switch(tE)
    4159             :   {
    4160      181087 :     case t_ELL_Fp:
    4161      181087 :     case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
    4162         273 :     case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
    4163     2430630 :     case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
    4164             :     default:
    4165          15 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    4166             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4167             :   }
    4168     2611976 :   if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
    4169     2611941 :   if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
    4170     2430854 :     *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4171     2611962 :   return q;
    4172             : }
    4173             : 
    4174             : GEN
    4175      197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
    4176             : {
    4177      197085 :   pari_sp av = avma;
    4178             :   GEN v, q;
    4179      197085 :   checkell(E);
    4180      197085 :   p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
    4181      197071 :   switch(ell_get_type(E))
    4182             :   {
    4183       99477 :     case t_ELL_Qp:
    4184       99477 :     case t_ELL_Q:  q = localred(E, p); break;
    4185       97594 :     case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
    4186           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
    4187             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4188             :   }
    4189      197071 :   if (v)
    4190             :   { /* compose local change of variables with v */
    4191          28 :     GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
    4192          28 :     if (is_trivial_change(w))
    4193          21 :       gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4194             :     else
    4195           7 :       gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
    4196             :   }
    4197      197071 :   return gerepilecopy(av, q);
    4198             : }
    4199             : 
    4200             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4201             : static GEN
    4202       40614 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4203             : {
    4204       40614 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4205       40614 :   return c;
    4206             : }
    4207             : static GEN
    4208    15505959 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4209             : {
    4210    15505959 :   *pd = NULL;
    4211    15505959 :   switch(typ(c))
    4212             :   {
    4213    15461591 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4214        3773 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4215       40614 :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4216       40614 :       if (nf)
    4217             :       {
    4218       40614 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4219       40614 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4220             :       }
    4221           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4222             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4223             :   }
    4224             : }
    4225             : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
    4226             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4227             : GEN
    4228     3101240 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4229             : {
    4230             :   GEN a, t, u, L, nf;
    4231             :   long i, l, k;
    4232             : 
    4233     3101240 :   if (pv) *pv = NULL;
    4234             :   /* t_ELL_Qp is also possible */
    4235     3101240 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4236     3101228 :   L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
    4237    18607183 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4238             :   {
    4239             :     GEN d;
    4240    15505923 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4241    15505974 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4242        4746 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4243             :   }
    4244             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4245     3101260 :   l = lg(L); if (l == 1) return e;
    4246        2369 :   L = ZV_sort_uniq_shallow(L);
    4247        2366 :   l = lg(L);
    4248             : 
    4249        2366 :   t = gen_1;
    4250        6160 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4251             :   {
    4252        3794 :     GEN p = gel(L,k);
    4253        3794 :     long n = 0, m;
    4254       22764 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4255       18970 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4256             :       {
    4257        8799 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4258        8799 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4259       13111 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4260             :       }
    4261        3794 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4262             :   }
    4263        2366 :   u = ginv(t);
    4264        2366 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4265        2366 :   return coordch_uinv(e, t);
    4266             : }
    4267             : GEN
    4268         336 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4269             : {
    4270         336 :   pari_sp av = avma;
    4271         336 :   checkell(e);
    4272         336 :   switch(ell_get_type(e))
    4273             :   {
    4274         336 :     case t_ELL_Q:
    4275             :     case t_ELL_Qp:
    4276         336 :     case t_ELL_NF: break;
    4277           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4278             :   }
    4279         336 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4280         336 :   if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
    4281         315 :   e = gerepilecopy(av, e);
    4282         315 :   if (pv) *pv = init_ch();
    4283         315 :   return e;
    4284             : }
    4285             : 
    4286             : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
    4287             : GEN
    4288           0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
    4289             : {
    4290           0 :   pari_sp av = avma;
    4291             :   GEN f, a1, a3;
    4292             : 
    4293           0 :   checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4294           0 :   a1 = ell_get_a1(f);
    4295           0 :   a3 = ell_get_a3(f);
    4296           0 :   if (!signe(a1) && !signe(a3))
    4297           0 :   { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
    4298             :   else
    4299             :   {
    4300           0 :     GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
    4301             :                    gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    4302           0 :     gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
    4303             :   }
    4304           0 :   if (f != e) ell_reset(f);
    4305           0 :   return gc_all(av, 2, &f, pv);
    4306             : }
    4307             : 
    4308             : static long
    4309        2555 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4310             : {
    4311        2555 :   long N = 1; /* oo */
    4312        2555 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4313        2415 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4314        2555 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4315        2121 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4316        2555 :   return N;
    4317             : }
    4318             : static long
    4319        3619 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4320             : {
    4321        3619 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4322             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4323        3619 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4324             : }
    4325             : static long
    4326        2534 : cardmod2(GEN e)
    4327             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4328        2534 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4329        2534 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4330        2534 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4331        2534 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4332        2534 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4333        2534 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4334             : }
    4335             : static long
    4336        3479 : cardmod3(GEN e)
    4337             : {
    4338        3479 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4339        3479 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4340        3479 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4341        3479 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4342             : }
    4343             : 
    4344             : static ulong
    4345         378 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4346             : 
    4347             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4348             : static void
    4349          35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4350             : {
    4351          35 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4352          35 :   min_set_c(M, E);
    4353          35 :   min_set_b(M);
    4354          35 :   min_set_a(M);
    4355          35 : }
    4356             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4357             : static void
    4358         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4359             : {
    4360         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4361         140 :   min_set_c(M, E);
    4362         140 :   min_set_b(M);
    4363         140 : }
    4364             : 
    4365             : static long
    4366      102417 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4367             : {
    4368      102417 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4369      102417 :   if (vD) /* bad reduction */
    4370             :   {
    4371             :     GEN c6;
    4372             :     long s;
    4373      102109 :     *good_red = 0;
    4374      102109 :     if (vc6) return 0;
    4375       75159 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4376       75159 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4377       75159 :     s = kroiu(c6,p);
    4378       75159 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4379       75159 :     return s;
    4380             :   }
    4381         308 :   *good_red = 1;
    4382         308 :   if (p == 2)
    4383             :   {
    4384             :     ellmin_t M;
    4385          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4386          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4387          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4388             :   }
    4389         287 :   else if (p == 3)
    4390             :   {
    4391             :     ellmin_t M;
    4392         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4393         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4394         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4395             :   }
    4396             :   else
    4397             :   {
    4398             :     ellmin_t M;
    4399         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4400         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4401         147 :     min_set_c(&M, E);
    4402         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4403         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4404             :   }
    4405             : }
    4406             : 
    4407             : static GEN
    4408       98574 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4409             : {
    4410             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4411             :   long vc6, vD, d;
    4412       98574 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4413           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4414           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4415           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4416           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4417           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4418           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4419             :   {
    4420             :     long s;
    4421           0 :     *good_red = 0;
    4422           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4423           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4424           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4425           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4426           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4427             :   }
    4428           0 :   *good_red = 1;
    4429           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4430           0 :   if (d)
    4431             :   {
    4432           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4433           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4434           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4435             :   }
    4436           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4437           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4438             : }
    4439             : 
    4440             : static GEN
    4441      117982 : doellcard(GEN E)
    4442             : {
    4443      117982 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4444      117982 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4445       96275 :     return FF_ellcard(E);
    4446             :   else
    4447             :   {
    4448       21707 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4449       21707 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4450             :   }
    4451             : }
    4452             : 
    4453             : static GEN
    4454      191753 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4455             : {
    4456      191753 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4457      191747 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4458      191749 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4459             :   {
    4460             :     long ap;
    4461       49147 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4462       49147 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4463       49147 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4464         476 :     *good_red = 1;
    4465         476 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    4466         476 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    4467         476 :     card = FF_ellcard(E);
    4468             :   }
    4469             :   else
    4470             :   {
    4471      142599 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4472      142595 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4473      142578 :     if (vD)
    4474             :     {
    4475             :       GEN c6new;
    4476       49175 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    4477       49175 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    4478       49175 :       if (vD > 12*d)
    4479             :       { /* bad reduction */
    4480       49133 :         *good_red = 0;
    4481       92911 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4482       43778 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    4483       43778 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4484             :       }
    4485          42 :       if (d)
    4486             :       { /* model not minimal at P */
    4487          42 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    4488          42 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4489          42 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4490          42 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    4491          42 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4492          42 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4493             :       }
    4494             :     }
    4495       93445 :     *good_red = 1;
    4496       93445 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4497       93449 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4498       93458 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4499       93454 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4500       93395 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4501             :   }
    4502       93930 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4503             : }
    4504             : 
    4505             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4506             :  * basis */
    4507             : static GEN
    4508      458219 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4509             : {
    4510             :   GEN P;
    4511      458219 :   if (!signe(a))
    4512        1841 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4513      456378 :   else if (!signe(b))
    4514        1022 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4515             :   else
    4516             :   {
    4517      455356 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4518             :     long k, l;
    4519      455356 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4520      346674 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4521      346674 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4522             :     /* d = gcd(A,B) */
    4523      346674 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4524      346674 :     l = lg(P);
    4525      811151 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4526      346674 :     P = shallowconcat1(P);
    4527      346674 :     ZV_sort_inplace(P);
    4528             :   }
    4529      349537 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4530             : }
    4531             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4532             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4533             : static GEN
    4534      457141 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
    4535             : {
    4536             :   pari_sp av;
    4537      457141 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4538      457141 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4539      457141 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4540             :   long l, k;
    4541             : 
    4542      457141 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4543      457141 :   l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
    4544      348599 :   DP = coltrunc_init(l);
    4545      348599 :   av = avma;
    4546      348599 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4547      348599 :   u = gen_1;
    4548      858282 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4549             :   {
    4550      509683 :     GEN p = gel(P, k);
    4551      509683 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4552      509683 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4553             :     {
    4554       57896 :       case 2:
    4555             :       {
    4556             :         long a, b;
    4557       57896 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4558       57896 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4559       57896 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4560       57896 :         break;
    4561             :       }
    4562        2863 :       case 3:
    4563        2863 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4564        2863 :         break;
    4565             :     }
    4566      509683 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4567      509683 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4568             :   }
    4569      348599 :   if (pDP) *pDP = DP;
    4570      348599 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4571             : }
    4572             : 
    4573             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4574             : static GEN
    4575          35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4576             : {
    4577          35 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4578          35 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4579          35 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4580             : 
    4581          35 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4582          35 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4583          35 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4584          35 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4585          35 :   r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4586          35 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4587          35 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4588          35 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4589          35 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4590          35 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4591             : }
    4592             : 
    4593             : static GEN
    4594        3108 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    4595             : {
    4596        3108 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    4597        3108 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    4598             : }
    4599             : static GEN
    4600        1078 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    4601             : {
    4602        1078 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4603        1078 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    4604        1078 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    4605        1078 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    4606             : }
    4607             : static GEN
    4608         952 : ellnf_D_primes(GEN E)
    4609             : {
    4610         952 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4611         952 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    4612         952 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    4613         952 :   long k, l = lg(P);
    4614        2534 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    4615         952 :   if (!is_pm1(DZ))
    4616             :   {
    4617         770 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    4618         770 :     settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
    4619             :   }
    4620         952 :   return P;
    4621             : }
    4622             : 
    4623             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    4624             : static GEN
    4625        1057 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    4626             : {
    4627             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    4628        1057 :   long k, l = lg(P);
    4629        1057 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4630        1057 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4631        1057 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4632        1057 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4633        1057 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4634        5278 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4635             :   {
    4636        4221 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    4637             :     long vu;
    4638        4221 :     v = gel(q,3);
    4639        4221 :     u = gel(v,1);
    4640        4221 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4641        4221 :     if (!vu) continue;
    4642         980 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4643         980 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4644         980 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4645         980 :     vectrunc_append(L, pr);
    4646         980 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4647             :   }
    4648        1057 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    4649             : }
    4650             : /* E integral */
    4651             : static GEN
    4652         987 : ellminimalprimes(GEN E)
    4653             : {
    4654             :   GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
    4655             :   long j, k, l;
    4656             : 
    4657         987 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    4658         126 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4659         126 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    4660         126 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    4661         126 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    4662         126 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    4663         126 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    4664         126 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4665         574 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4666             :   {
    4667         448 :     GEN pr = gel(P, k);
    4668         448 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    4669         406 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    4670         399 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    4671         399 :     gel(P,j++) = pr;
    4672             :   }
    4673         126 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4674         126 :   return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4675             : }
    4676             : static GEN
    4677         868 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
    4678             : {
    4679         868 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    4680             :   long i, l;
    4681         868 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4682         868 :   S = ellminimalprimes(E);
    4683         868 :   L = gel(S,1);
    4684         868 :   U = gel(S,2);
    4685         868 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    4686         868 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    4687        1645 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    4688         868 :   P = factorback2(P, U);
    4689         868 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    4690         868 :   return P;
    4691             : }
    4692             : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
    4693             :  * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
    4694             : static GEN
    4695          56 : bnf_get_v(GEN E)
    4696             : {
    4697          56 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4698             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4699             : 
    4700          56 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4701          56 :   S = ellminimalprimes(E);
    4702          56 :   L = gel(S,1);
    4703          56 :   U = gel(S,2);
    4704          56 :   Lr = gel(S,3);
    4705          56 :   Ls = gel(S,4);
    4706          56 :   Lt = gel(S,5);
    4707          56 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4708          56 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4709          35 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4710          35 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4711          35 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4712          35 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4713          35 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4714          35 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4715          35 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4716             : }
    4717             : 
    4718             : GEN
    4719          70 : ellminimaldisc(GEN E)
    4720             : {
    4721          70 :   pari_sp av = avma;
    4722          70 :   checkell(E);
    4723          70 :   switch(ell_get_type(E))
    4724             :   {
    4725           7 :     case t_ELL_Q:
    4726           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    4727           7 :       return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
    4728          63 :     case t_ELL_NF:
    4729             :     {
    4730          63 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
    4731          63 :       E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
    4732          63 :       S = ellminimalprimes(E);
    4733          63 :       L = gel(S,1);
    4734          63 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    4735          63 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    4736          63 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    4737             :     }
    4738           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    4739             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4740             :   }
    4741             : }
    4742             : 
    4743             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4744             :  * ellminimalmodel(E) */
    4745             : static GEN
    4746      458611 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
    4747             : {
    4748             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4749             :   ellmin_t M;
    4750      458611 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4751             :   {
    4752        1484 :     if (lg(S) != 2)
    4753             :     {
    4754          70 :       E = gel(S,3);
    4755          70 :       v = gel(S,2);
    4756             :     }
    4757             :     else
    4758        1414 :       v = init_ch();
    4759        1484 :     if (ptv) *ptv = v;
    4760        1484 :     if (pS) *pS = S;
    4761        1484 :     return gcopy(E);
    4762             :   }
    4763      457127 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    4764      457127 :   u = ellQ_minimalu(e, &DP);
    4765      457127 :   min_set_all(&M, e, u);
    4766      457127 :   v = min_get_v(&M, e);
    4767      457127 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4768      457127 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4769      457127 :   if (is_trivial_change(v))
    4770             :   {
    4771      455014 :     v = init_ch();
    4772      455014 :     S = mkvec(DP);
    4773             :   }
    4774             :   else
    4775        2113 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4776      457127 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4777      457127 :   if (pS) *pS = S;
    4778      457127 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    4779             : }
    4780             : 
    4781             : static GEN
    4782        3031 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4783             : {
    4784        3031 :   pari_sp av = avma;
    4785        3031 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
    4786        3031 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4787        3031 :   DP = gel(S,1);
    4788        3031 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4789        3031 :   if (!ptv) return gerepilecopy(av, y);
    4790        1022 :   *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
    4791             : }
    4792             : 
    4793             : static GEN
    4794          56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4795             : {
    4796             :   GEN S, y, v, v2;
    4797          56 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4798             :   {
    4799           0 :     switch(lg(S))
    4800             :     {
    4801           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    4802           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    4803           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    4804             :     }
    4805           0 :     *ptv = v;
    4806           0 :     return gcopy(E);
    4807             :   }
    4808          56 :   *ptv = NULL;
    4809          56 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    4810          56 :   v2 = bnf_get_v(y);
    4811          56 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4812             :   {
    4813          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    4814          21 :     return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
    4815             :   }
    4816          35 :   y = coordch(y, v2);
    4817          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4818          35 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    4819          35 :   y = coordch(y, v2);
    4820             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4821          35 :   y = obj_reinit(y);
    4822          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4823          35 :   if (is_trivial_change(v))
    4824             :   {
    4825           7 :     v = init_ch();
    4826           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    4827             :   }
    4828             :   else
    4829             :   {
    4830          28 :     v = lift_if_rational(v);
    4831          28 :     S = mkvec2(v, y);
    4832             :   }
    4833          35 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4834          35 :   *ptv = v; return y;
    4835             : }
    4836             : static GEN
    4837          56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4838             : {
    4839          56 :   pari_sp av = avma;
    4840          56 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4841          56 :   if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    4842          56 :   if (!v || !ptv) return gerepilecopy(av, y);
    4843          28 :   *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
    4844             : }
    4845             : GEN
    4846        3094 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4847             : {
    4848        3094 :   checkell(E);
    4849        3094 :   switch(ell_get_type(E))
    4850             :   {
    4851        3031 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4852          56 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4853           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4854             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4855             :   }
    4856             : }
    4857             : 
    4858             : /* return a model minimal among b models */
    4859             : GEN
    4860         938 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
    4861             : {
    4862         938 :   pari_sp av = avma;
    4863             :   GEN f, a1, a3;
    4864             : 
    4865         938 :   checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
    4866         938 :   a1 = ell_get_a1(f);
    4867         938 :   a3 = ell_get_a3(f);
    4868         938 :   if (!signe(a1) && !signe(a3))
    4869         336 :   { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
    4870             :   else
    4871             :   {
    4872         602 :     GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
    4873             :                    gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    4874         602 :     gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
    4875             :   }
    4876         938 :   if (f != e) ell_reset(f);
    4877         938 :   return gc_all(av, 2, &f, pv);
    4878             : }
    4879             : 
    4880             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4881             :  * update type-dependant components.
    4882             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4883             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4884             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4885             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4886             :  *   fa = factorization of N
    4887             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    4888             : static GEN
    4889      454566 : ellQ_globalred(GEN e)
    4890             : {
    4891             :   long k, l, iN;
    4892             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    4893             : 
    4894      454566 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
    4895      454566 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4896      454566 :   D  = ell_get_disc(E);
    4897      863373 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4898      454566 :   if (!is_pm1(D))
    4899             :   {
    4900      436842 :     P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
    4901      436842 :     ZV_sort_inplace(P);
    4902             :   }
    4903      454566 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4904      454566 :   iN = 1;
    4905      454566 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4906      454566 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4907      454566 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4908     1938587 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4909             :   {
    4910     1484021 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    4911     1484021 :     if (!signe(ex)) continue;
    4912     1484021 :     gel(NP, iN) = p;
    4913     1484021 :     gel(NE, iN) = ex;
    4914     1484021 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    4915     1484021 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    4916     1484021 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4917             :   }
    4918      454566 :   setlg(L, iN);
    4919      454566 :   setlg(NP, iN);
    4920      454566 :   setlg(NE, iN);
    4921      454566 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    4922             : }
    4923             : static GEN
    4924      460978 : ellglobalred_i(GEN E)
    4925      460978 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    4926             : 
    4927             : static GEN
    4928         952 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    4929             : {
    4930             :   GEN c, L, NP, NE;
    4931         952 :   long j, k, l = lg(P);
    4932         952 :   c = gen_1;
    4933         952 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4934         952 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4935         952 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4936        4830 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4937             :   {
    4938        3878 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    4939        3878 :     ex = gel(q,1);
    4940        3878 :     if (!signe(ex)) continue;
    4941        3619 :     gel(NP, j) = p;
    4942        3619 :     gel(NE, j) = ex;
    4943        3619 :     gel(L, j) = q; j++;
    4944        3619 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4945             :   }
    4946         952 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    4947         952 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    4948             : }
    4949             : 
    4950             : static GEN
    4951         952 : ellnfglobalred(GEN E0)
    4952             : {
    4953             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    4954             :   long j, k, l;
    4955             : 
    4956         952 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4957         952 :   if (!v) v = init_ch();
    4958         952 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4959         952 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    4960         952 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    4961         952 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    4962         952 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4963        7406 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4964             :   {
    4965        6454 :     GEN p = gel(P,k);
    4966        6454 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    4967        3878 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    4968        3878 :     gel(P,j++) = p;
    4969             :   }
    4970         952 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4971         952 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    4972         931 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4973         952 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    4974             : }
    4975             : 
    4976             : GEN
    4977      454167 : ellglobalred(GEN E)
    4978             : {
    4979      454167 :   pari_sp av = avma;
    4980             :   GEN S, gr, v;
    4981      454167 :   checkell(E);
    4982      454167 :   switch(ell_get_type(E))
    4983             :   {
    4984           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    4985      452949 :     case t_ELL_Q:
    4986      452949 :       gr = ellglobalred_i(E);
    4987      452949 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4988      452949 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    4989      452949 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    4990      452949 :       break;
    4991        1218 :     case t_ELL_NF:
    4992        1218 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    4993        1218 :       break;
    4994             :   }
    4995      454167 :   return gerepilecopy(av, v);
    4996             : }
    4997             : 
    4998             : static GEN doellrootno(GEN e);
    4999             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    5000             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    5001             :  * and E (shallow insert) */
    5002             : GEN
    5003        2310 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    5004             : {
    5005        2310 :   GEN E, S, v = NULL;
    5006        2310 :   checkell_Q(e);
    5007        2310 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5008             :   {
    5009         406 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
    5010         406 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5011             :   }
    5012        1904 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    5013        1890 :     E = e;
    5014             :   else
    5015             :   {
    5016          14 :     v = gel(S,2);
    5017          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    5018          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5019             :   }
    5020        2310 :   if (ch) *ch = v;
    5021        2310 :   S = ellglobalred_i(e);
    5022        2310 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    5023        2310 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    5024        2310 :   if (!S)
    5025             :   {
    5026        1106 :     S = doellrootno(E);
    5027        1106 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    5028             :   }
    5029        2310 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    5030        2310 :   return E;
    5031             : }
    5032             : 
    5033             : static long
    5034         462 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
    5035             : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
    5036             :  * d'une courbe elliptique" */
    5037             : GEN
    5038        1407 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
    5039             : {
    5040        1407 :   GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
    5041        1407 :   if (s == 1)
    5042         994 :     w = gel(w,1);
    5043         413 :   else if (nb_real_components(E) == 2)
    5044         147 :     w = gneg(gel(w,2));
    5045             :   else
    5046         266 :     w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
    5047        1407 :   return w;
    5048             : }
    5049             : 
    5050             : static GEN
    5051          49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    5052             : {
    5053          49 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5054          49 :   return muliu(tam, nb_real_components(e));
    5055             : }
    5056             : 
    5057             : static GEN
    5058         840 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    5059             : {
    5060         840 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5061         840 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    5062             :   long r1, r2;
    5063         840 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    5064         840 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    5065             : }
    5066             : 
    5067             : GEN
    5068          49 : elltamagawa(GEN E)
    5069             : {
    5070          49 :   pari_sp av = avma;
    5071             :   GEN v;
    5072          49 :   checkell(E);
    5073          49 :   switch(ell_get_type(E))
    5074             :   {
    5075           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    5076          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    5077          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    5078             :   }
    5079          49 :   return gerepileuptoint(av, v);
    5080             : }
    5081             : 
    5082             : static GEN
    5083        1162 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
    5084             : {
    5085        1162 :   GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
    5086        1162 :   if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
    5087        1064 :   if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
    5088         861 :   return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
    5089             : }
    5090             : /* true nf, use nf prec */
    5091             : static GEN
    5092        5516 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
    5093             : {
    5094             :   long r1, r2;
    5095             :   GEN cx;
    5096        5516 :   nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
    5097        5516 :   x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
    5098        5516 :   if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
    5099        2975 :   x = Q_primitive_part(x, &cx);
    5100        2975 :   x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
    5101        2975 :   if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
    5102        2975 :   return x;
    5103             : }
    5104             : static long
    5105        1162 : nfembed_extraprec(GEN x)
    5106        1162 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
    5107             : static GEN
    5108        1064 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    5109             : {
    5110        1064 :   GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
    5111             :   long prec0, r1, r2, n, i;
    5112             : 
    5113        1064 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
    5114        1064 :   E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
    5115        1064 :   prec0 = prec + EXTRAPREC64;
    5116             :   /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
    5117        1064 :   prec += (prec0-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
    5118        1064 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    5119        1064 :   sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
    5120             :   for(;;)
    5121             :   {
    5122        1064 :     nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5123        6384 :     for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
    5124        4795 :     for (i=1; i<=n; i++)
    5125             :     {
    5126             :       GEN Ei, r;
    5127             :       long j;
    5128       22386 :       for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    5129        3731 :       gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
    5130        3731 :       if (!Ei) break;
    5131        3731 :       r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
    5132        3731 :       if (!r) break;
    5133             :     }
    5134        1064 :     if (i > n) return L;
    5135           0 :     prec = precdbl(prec);
    5136           0 :     if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
    5137             :   }
    5138             : }
    5139             : 
    5140             : static GEN
    5141          98 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
    5142             : {
    5143          98 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
    5144             :   long i, l;
    5145          98 :   P = RgC_to_nfC(nf, P);
    5146          98 :   prec += nfembed_extraprec(P);
    5147          98 :   nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5148          98 :   Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
    5149          98 :   Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
    5150          98 :   l = lg(Px); L =  cgetg(l, t_VEC);
    5151         273 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    5152          98 :   return L;
    5153             : }
    5154             : 
    5155             : static void
    5156         973 : ellnfembed_free(GEN L)
    5157             : {
    5158         973 :   long i, l = lg(L);
    5159        4543 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    5160         973 : }
    5161             : 
    5162             : static GEN
    5163         154 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    5164             : {
    5165         154 :   pari_sp av = avma;
    5166         154 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5167         154 :   long i, l = lg(V);
    5168         154 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5169         406 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    5170         154 :   ellnfembed_free(V);
    5171         154 :   return gerepilecopy(av, P);
    5172             : }
    5173             : 
    5174             : GEN
    5175          91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5176          91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    5177             : 
    5178             : GEN
    5179          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5180          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    5181             : 
    5182             : GEN
    5183          35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5184          35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    5185             : 
    5186             : static GEN
    5187         812 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    5188             : {
    5189         812 :   pari_sp av = avma;
    5190         812 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
    5191         812 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    5192        4116 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5193             :   {
    5194        3304 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5195        3304 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5196        3304 :     per = mulrr(per, pi);
    5197             :   }
    5198         812 :   ellnfembed_free(Eb);
    5199         812 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    5200             : }
    5201             : static GEN
    5202         812 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    5203             : {
    5204         812 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    5205         812 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    5206             : }
    5207             : 
    5208             : static GEN
    5209          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5210             : {
    5211          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5212          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5213          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5214          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5215             : }
    5216             : 
    5217             : static GEN
    5218          28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5219             : {
    5220          28 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5221          28 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5222          28 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5223          28 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5224          28 :   if (lg(S) != 2)
    5225             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5226          21 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5227          21 :     per = gmul(per,u);
    5228             :   }
    5229          28 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5230             : }
    5231             : 
    5232             : GEN
    5233          70 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5234             : {
    5235          70 :   pari_sp av = avma;
    5236             :   GEN v;
    5237          70 :   checkell(E);
    5238          70 :   switch(ell_get_type(E))
    5239             :   {
    5240           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5241          28 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5242          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5243             :   }
    5244          70 :   return gerepileupto(av, v);
    5245             : }
    5246             : 
    5247             : static GEN
    5248       33684 : QE_to_ZJ(GEN P)
    5249             : {
    5250       33684 :   if (ell_is_inf(P))
    5251           0 :     return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
    5252             :   else
    5253             :   {
    5254       33684 :     pari_sp av = avma;
    5255       33684 :     GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
    5256       33684 :     GEN R  = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
    5257       33684 :     GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
    5258       33684 :     GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
    5259       33684 :     GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
    5260       33684 :     GEN Z  = denom(mkvec2(Q1, Q2));
    5261       33684 :     GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
    5262       33684 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
    5263             :   }
    5264             : }
    5265             : 
    5266             : static GEN
    5267        4445 : QEV_to_ZJV(GEN x)
    5268       38087 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
    5269             : 
    5270             : static GEN
    5271       15617 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
    5272             : {
    5273      173123 :   pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
    5274             : }
    5275             : 
    5276             : static GEN
    5277       10927 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
    5278             : {
    5279       10927 :   long i, j, k, l = lg(A);
    5280             :   GEN B, Q;
    5281       34612 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
    5282       23685 :     if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
    5283       10927 :   if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
    5284         155 :   B = cgetg(k, t_VEC);
    5285         155 :   Q = cgetg(k, typ(P));
    5286         735 :   for (i = j = 1; i < l; i++)
    5287         580 :     if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
    5288         155 :   *pQ = Q; return B;
    5289             : }
    5290             : 
    5291             : static GEN
    5292        5397 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
    5293             : {
    5294        5397 :   GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
    5295        5397 :   return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
    5296             : }
    5297             : 
    5298             : static GEN
    5299       16026 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
    5300             : {
    5301       16026 :   pari_sp av = avma;
    5302       16026 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    5303       16026 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    5304       16026 :   ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
    5305             :   GEN a4a6, a, Hp;
    5306       16026 :   ulong d = 1;
    5307       16026 :   if (l != 1)
    5308             :   {
    5309         647 :     GEN c6 = ell_get_c6(E);
    5310         647 :     ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
    5311         648 :     ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5312         648 :     d = Fl_invsafe(l % c, c);
    5313         647 :     if (!d) return NULL;
    5314             :   }
    5315       15617 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    5316       15617 :   a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
    5317       15617 :   Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
    5318       15617 :   if (d != 1)
    5319         238 :     Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
    5320       15617 :   Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
    5321       15617 :   Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
    5322       15617 :   return gerepileuptoleaf(av, Hp);
    5323             : }
    5324             : 
    5325             : static GEN
    5326        8799 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
    5327             : {
    5328        8799 :   pari_sp av = avma;
    5329        8799 :   long i, n = lg(P)-1;
    5330        8799 :   long CM = ellQ_get_CM(E);
    5331             :   GEN H, T, B, Q;
    5332        8799 :   if (n == 1)
    5333             :   {
    5334        3269 :     ulong p = uel(P,1);
    5335        3269 :     GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, l, E, CM, p);
    5336        3269 :     if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
    5337        3245 :     *mod = utoi(p);
    5338        3245 :     return Flv_to_ZV(Hp);
    5339             :   }
    5340        5530 :   T = ZV_producttree(P);
    5341        5530 :   A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
    5342        5530 :   H = cgetg(n+1, t_VEC);
    5343       18287 :   for(i=1; i <= n; i++)
    5344             :   {
    5345       12757 :     gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
    5346       12757 :     if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
    5347             :   }
    5348        5530 :   B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
    5349        5530 :   if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
    5350        5530 :   H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
    5351        5530 :   *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
    5352             : }
    5353             : 
    5354             : GEN
    5355        8799 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
    5356             : {
    5357        8799 :   GEN V = cgetg(3, t_VEC);
    5358        8799 :   gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
    5359        8799 :   return V;
    5360             : }
    5361             : 
    5362             : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
    5363             : static long
    5364        4199 : ZV_is_ei(GEN v)
    5365             : {
    5366        4199 :   long i, ei = 0;
    5367       15450 :   for (i = lg(v)-1; i; i--)
    5368       14478 :     if (signe(gel(v,i)))
    5369             :     {
    5370        5872 :       if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
    5371        2645 :       ei = i;
    5372             :     }
    5373         972 :   return ei;
    5374             : }
    5375             : 
    5376             : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
    5377             :  * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
    5378             :  * torsion */
    5379             : static GEN
    5380        4213 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
    5381             : {
    5382        4213 :   pari_sp av = avma;
    5383        4213 :   GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
    5384             :   forprime_t S;
    5385        4213 :   ulong bound = 1;
    5386             : 
    5387        4213 :   if (l == 1)
    5388             :   {
    5389        4199 :     long i = ZV_is_ei(L);
    5390        4199 :     if (i) return gel(A,i);
    5391             :   }
    5392        3241 :   hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
    5393        3241 :   D = ell_get_disc(E);
    5394        3241 :   worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
    5395             :                        mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
    5396        3241 :   if (l==1)
    5397        3227 :     init_modular_big(&S);
    5398             :   else
    5399          14 :     init_modular_small(&S);
    5400        3241 :   for (bound = 1;; bound <<= 1)
    5401        3589 :   {
    5402             :     GEN amax, r;
    5403        6830 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
    5404             :                &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
    5405        6830 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    5406        6830 :     if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
    5407        3798 :                        && oncurve_exact(E,r))
    5408             :     {
    5409             :       GEN g;
    5410        3241 :       settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
    5411        3241 :       if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec2nbits(prec)/2)
    5412        3241 :         return gerepileupto(av, r);
    5413             :     }
    5414        3589 :     if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
    5415             :   }
    5416             : }
    5417             : 
    5418             : GEN
    5419         805 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
    5420             : {
    5421         805 :   pari_sp av = avma;
    5422         805 :   long i, j, l = lg(G);
    5423         805 :   GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
    5424             : 
    5425         805 :   if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
    5426         805 :   L = lllgram(M); l = lg(L); /* can decrease */
    5427        4871 :   for (i = j = 1; i < l; i++)
    5428             :   {
    5429        4066 :     GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
    5430        4066 :     if (expo(h) > -prec2nbits(prec)/2)
    5431        4066 :       gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
    5432             :   }
    5433         805 :   setlg(V, j); return gerepilecopy(av, V);
    5434             : }
    5435             : 
    5436             : static long
    5437          42 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
    5438             : {
    5439          42 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    5440          42 :   pari_sp av = avma;
    5441             :   long m;
    5442        2247 :   for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
    5443             :   {
    5444        2219 :     ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
    5445        2219 :     if (dvdiu(D, p)) continue;
    5446        2219 :     Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5447        2219 :     o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5448        2219 :     if (o % l == 0)
    5449             :     {
    5450         294 :       ulong pi = get_Fl_red(p);
    5451         294 :       GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    5452         294 :       GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
    5453         294 :       GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
    5454         294 :       if (uel(R, 3) != 0) return 0;
    5455         280 :       m++;
    5456             :     }
    5457             :   }
    5458          28 :   return 1;
    5459             : }
    5460             : 
    5461             : /* Assume l prime to 210 */
    5462             : GEN
    5463          42 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
    5464             : {
    5465          42 :   pari_sp av = avma;
    5466          42 :   GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
    5467             :   forprime_t S, U;
    5468          42 :   long CM = ellQ_get_CM(E);
    5469             :   ulong bound;
    5470             : 
    5471          42 :   u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
    5472          42 :   if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
    5473          28 :   worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
    5474             :                        mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
    5475          28 :   init_modular_small(&S);
    5476          28 :   for (bound = 1;; bound <<= 1)
    5477          62 :   {
    5478             :     GEN amax, r;
    5479          90 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
    5480             :                &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
    5481          90 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    5482          90 :     if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
    5483          29 :                        && oncurve_exact(E,r))
    5484             :     {
    5485          28 :       settyp(r,t_VEC);
    5486          28 :       if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gerepileupto(av, r);
    5487           0 :       if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
    5488             :     }
    5489             :   }
    5490             : }
    5491             : 
    5492             : /********************************************************************/
    5493             : /**                                                                **/
    5494             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5495             : /**                                                                **/
    5496             : /********************************************************************/
    5497             : /* x a t_INT */
    5498             : static long
    5499        2058 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5500             : {
    5501             :   long v;
    5502             :   GEN z;
    5503        2058 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5504        1904 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5505        1904 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5506             : }
    5507             : static void
    5508         686 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5509             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5510             : {
    5511         686 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5512         686 :   pari_sp av = avma;
    5513         686 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5514         686 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5515         686 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
    5516         686 : }
    5517             : 
    5518             : static long
    5519         686 : kod_23(GEN e, long p)
    5520             : {
    5521             :   GEN S, nv;
    5522         686 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5523             :   {
    5524         665 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5525         665 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5526             :   }
    5527             :   else
    5528          21 :     nv = localred_23(e, p);
    5529         686 :   return itos(gel(nv,2));
    5530             : }
    5531             : 
    5532             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5533             : static long
    5534         399 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5535             : {
    5536         399 :   if (kod > 4) return 1;
    5537         231 :   switch(kod)
    5538             :   {
    5539           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5540          14 :     case 2:
    5541          14 :       if (vD==4) return 1;
    5542             :       else
    5543             :       {
    5544           0 :         if (vD==7) return 3;
    5545           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5546             :       }
    5547          70 :     case 3:
    5548          70 :       switch(vD)
    5549             :       {
    5550          49 :         case 6: return 3;
    5551           0 :         case 8: return 4;
    5552          14 :         case 9: return 5;
    5553           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5554             :       }
    5555          42 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5556          14 :     case -1:
    5557          14 :       switch(vD)
    5558             :       {
    5559           0 :         case 9: return 2;
    5560           0 :         case 10: return 4;
    5561          14 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5562             :       }
    5563           7 :     case -2:
    5564           7 :       switch(vD)
    5565             :       {
    5566           7 :         case 12: return 2;
    5567           0 :         case 14: return 3;
    5568           0 :         default: return 1;
    5569             :       }
    5570           0 :     case -3:
    5571           0 :       switch(vD)
    5572             :       {
    5573           0 :         case 12: return 2;
    5574           0 :         case 14: return 3;
    5575           0 :         case 15: return 4;
    5576           0 :         default: return 1;
    5577             :       }
    5578          49 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5579          21 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5580           7 :     case -6:
    5581           7 :       switch(vD)
    5582             :       {
    5583           7 :         case 12: return 2;
    5584           0 :         case 13: return 3;
    5585           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5586             :       }
    5587           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5588           7 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5589             :   }
    5590             : }
    5591             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5592             : static long
    5593         168 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5594             : {
    5595         168 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5596         119 :   switch(kod)
    5597             :   {
    5598          28 :     case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
    5599          28 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
    5600          49 :     case -4: case 2:
    5601          49 :       switch (vD%6)
    5602             :       {
    5603           0 :         case 4: return 3;
    5604           0 :         case 5: return 4;
    5605          49 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5606             :       }
    5607          14 :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5608          14 :       switch (vD%6)
    5609             :       {
    5610           0 :         case 0: return 2;
    5611           0 :         case 1: return 3;
    5612          14 :         default: return 1;
    5613             :       }
    5614             :   }
    5615             : }
    5616             : 
    5617             : static long
    5618         399 : ellrootno_2(GEN e)
    5619             : {
    5620             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5621         399 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5622             : 
    5623         399 :   if (!vD) return 1;
    5624         399 :   if (d) { /* not minimal */
    5625             :     ellmin_t M;
    5626          14 :     min_set_2(&M, e, d);
    5627          14 :     min_set_D(&M, e);
    5628          14 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5629             :   }
    5630         399 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5631         399 :   kod = kod_23(e,2);
    5632         399 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5633         399 :   if (kod>=5)
    5634             :   {
    5635             :     long a2, a3;
    5636         168 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5637         168 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5638         168 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5639             :   }
    5640         231 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5641         224 :   x1 = u+v+v;
    5642         224 :   switch(kod)
    5643             :   {
    5644           0 :     case 1: return 1;
    5645          14 :     case 2:
    5646             :       switch(n2)
    5647             :       {
    5648          14 :         case 1:
    5649          14 :           switch(v4)
    5650             :           {
    5651          14 :             case 4: return kross(-1,u);
    5652           0 :             case 5: return 1;
    5653           0 :             default: return -1;
    5654             :           }
    5655           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5656           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5657           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5658           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5659             :       }
    5660             :     case 3:
    5661             :       switch(n2)
    5662             :       {
    5663           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5664           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5665          49 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5666          49 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5667           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5668          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5669             :       }
    5670             :     case -1:
    5671             :       switch(n2)
    5672             :       {
    5673          14 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5674           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5675           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5676           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5677           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5678             :       }
    5679           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5680           0 :     case -3:
    5681             :       switch(n2)
    5682             :       {
    5683           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5684           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5685           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5686           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5687           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5688             :       }
    5689             :     case -5:
    5690          21 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5691           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5692           7 :     case -6:
    5693             :       switch(n2)
    5694             :       {
    5695           0 :         case 1: return 1;
    5696           7 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5697           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5698             :       }
    5699             :     case -7:
    5700           0 :       if (n2==1) return 1;
    5701             :       else
    5702             :       {
    5703           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5704           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5705           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5706             :       }
    5707           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5708           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5709          91 :     default: return -1;
    5710             :   }
    5711             : }
    5712             : 
    5713             : static long
    5714         287 : ellrootno_3(GEN e)
    5715             : {
    5716             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5717         287 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5718             : 
    5719         287 :   if (!vD) return 1;
    5720         287 :   if (d) { /* not minimal */
    5721             :     ellmin_t M;
    5722           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5723           0 :     min_set_a(&M);
    5724           0 :     min_set_D(&M, e);
    5725           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5726             :   }
    5727         287 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5728         287 :   kod = kod_23(e,3);
    5729         287 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5730         168 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5731         168 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5732         168 :   switch(kod)
    5733             :   {
    5734          28 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5735           0 :     case 2:
    5736             :       switch(n2)
    5737             :       {
    5738           0 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5739           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5740           0 :         case 3: return 1;
    5741           0 :         case 4: return -K6;
    5742             :       }
    5743             :     case 4:
    5744             :       switch(n2)
    5745             :       {
    5746           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5747           0 :         case 2: return -K4;
    5748           0 :         case 3: return -K6;
    5749             :       }
    5750           7 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5751          49 :     case -4:
    5752             :       switch(n2)
    5753             :       {
    5754          42 :         case 1:
    5755          42 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5756          42 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5757           7 :         case 2: return -K6;
    5758           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5759           0 :         case 4: return K6;
    5760             :       }
    5761          77 :     default: return -1;
    5762             :   }
    5763             : }
    5764             : 
    5765             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5766             : static long
    5767        1393 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5768             : {
    5769             :   long nuj, nuD, nu;
    5770        1393 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5771             :   long ep, z;
    5772             : 
    5773        1393 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5774        1393 :   if (!nuD) return 1;
    5775        1393 :   nuj = j_pval(e, p);
    5776        1393 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5777        1393 :   if (nu == 0)
    5778             :   {
    5779             :     GEN c6;
    5780             :     long d, vg;
    5781        1176 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5782             :    /* p || N */
    5783        1176 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5784        1176 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5785        1176 :     d = vg / 12;
    5786        1176 :     if (d)
    5787             :     {
    5788           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5789           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5790             :     }
    5791        1176 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5792             :     /* c6 in minimal model */
    5793        1176 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5794             :   }
    5795         217 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5796         189 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5797         189 :   if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
    5798         189 :   return krosi(-z, p);
    5799             : }
    5800             : 
    5801             : static GEN
    5802        1120 : doellrootno(GEN e)
    5803             : {
    5804        1120 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5805        1120 :   long i, l, s = -1;
    5806             : 
    5807        1120 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5808        1120 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5809        1120 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5810        1120 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5811        3171 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5812             :   {
    5813        2051 :     GEN p = gel(P,i);
    5814             :     long t;
    5815        2051 :     switch(itou_or_0(p))
    5816             :     {
    5817         378 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5818         287 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5819        1386 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5820             :     }
    5821        2051 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5822             :   }
    5823        1120 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5824             : }
    5825             : 
    5826             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5827             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5828             : static long
    5829          91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    5830             : {
    5831          91 :   pari_sp av = avma;
    5832             :   GEN S;
    5833             :   long s;
    5834          91 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5835          77 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5836          77 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5837             :   {
    5838          49 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5839          49 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5840          49 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5841           0 :     return 1;
    5842             :   }
    5843          28 :   switch(itou_or_0(p))
    5844             :   {
    5845          21 :     case 2:
    5846          21 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5847          21 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5848           0 :     case 3:
    5849           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5850           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5851           7 :     default:
    5852           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5853             :   }
    5854          28 :   return gc_long(av, s);
    5855             : }
    5856             : 
    5857             : /* global root number over number field
    5858             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    5859             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    5860             :  */
    5861             : 
    5862             : static GEN
    5863         343 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    5864             : {
    5865             :   long i;
    5866         343 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5867        2058 :   for(i=1; i<=5; i++)
    5868        1715 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    5869         343 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    5870             : }
    5871             : 
    5872             : static GEN
    5873         273 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    5874             : {
    5875         273 :   long v = fetch_var_higher();
    5876         273 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    5877         273 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    5878         273 :   delete_var();
    5879         273 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    5880             : }
    5881             : 
    5882             : static GEN
    5883         231 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    5884             : {
    5885         231 :   pari_sp av = avma;
    5886         231 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5887         231 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    5888         231 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5889         231 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    5890         231 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    5891         231 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    5892         231 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    5893             : }
    5894             : 
    5895             : static long
    5896         273 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    5897         273 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    5898             : 
    5899             : static long
    5900         161 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    5901             : {
    5902         161 :   pari_sp av = avma;
    5903         161 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5904         161 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    5905         161 :   long v, var = fetch_var_higher();
    5906             :   GEN F;
    5907         161 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    5908         161 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel(E, var));
    5909         161 :   if (lg(F)>1)
    5910             :   {
    5911          42 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    5912          42 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5913          42 :     obj_free(Et);
    5914          42 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    5915             :   } else
    5916             :   {
    5917         119 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
    5918         119 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E, var), utoi(4)), 4);
    5919         119 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
    5920         119 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    5921         119 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    5922         119 :     if (lg(F)>1)
    5923           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    5924             :     else
    5925             :     {
    5926         112 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5927         112 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    5928         112 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    5929         112 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    5930         112 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    5931         112 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5932         112 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5933         112 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    5934         112 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    5935         112 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    5936         112 :       v = odd(v2+v3);
    5937             :     }
    5938             :   }
    5939         161 :   delete_var();
    5940         161 :   return gc_long(av, v? -1: 1);
    5941             : }
    5942             : 
    5943             : static GEN
    5944         161 : doellnfrootno(GEN e)
    5945         161 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    5946             : 
    5947             : long
    5948        2338 : ellrootno_global(GEN e)
    5949             : {
    5950        2338 :   pari_sp av = avma;
    5951             :   GEN S;
    5952        2338 :   switch(ell_get_type(e))
    5953             :   {
    5954        2037 :     case t_ELL_Q:
    5955        2037 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    5956        2037 :       break;
    5957         301 :     case t_ELL_NF:
    5958         301 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    5959         301 :       break;
    5960           0 :     default:
    5961             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5962             :   }
    5963        2338 :   return gc_long(av, itos(S));
    5964             : }
    5965             : 
    5966             : long
    5967         203 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5968             : {
    5969         203 :   checkell(e);
    5970         203 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5971         203 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5972         203 :   switch(ell_get_type(e))
    5973             :   {
    5974          91 :     case t_ELL_Q:
    5975          91 :       return ellQ_rootno(e, p);
    5976           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    5977         112 :     case t_ELL_NF:
    5978         112 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    5979         112 :       return ellrootno_global(e);
    5980             :   }
    5981             : }
    5982             : 
    5983             : /********************************************************************/
    5984             : /**                                                                **/
    5985             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5986             : /**                                                                **/
    5987             : /********************************************************************/
    5988             : 
    5989             : /* assume p does not divide disc E */
    5990             : long
    5991      378385 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5992             : {
    5993             :   ulong a4, a6;
    5994      378385 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5995      376726 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5996      374178 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5997      374178 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5998             : }
    5999             : 
    6000             : static void
    6001         693 : checkell_int(GEN e)
    6002             : {
    6003         693 :   checkell_Q(e);
    6004         693 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    6005         693 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    6006         693 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    6007         693 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    6008         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    6009         693 : }
    6010             : 
    6011             : long
    6012       13986 : ellQ_get_CM(GEN e)
    6013             : {
    6014       13986 :   GEN j = ell_get_j(e);
    6015       13986 :   if (typ(j) != t_INT) return 0;
    6016         785 :   if (is_bigint(j))
    6017             :   {
    6018             : #ifndef LONG_IS_64BIT
    6019           4 :     if (signe(j) < 0)
    6020             :     {
    6021           4 :       pari_sp av = avma;
    6022           4 :       if (absequalii(j, uu32toi(0x22UL,0x45ae8000UL))) return gc_long(av,-67);
    6023           2 :       if (absequalii(j, uu32toi(0x03a4b862,0xc4b40000UL))) return gc_long(av,-163);
    6024             :     }
    6025             : #endif
    6026           0 :     return 0;
    6027             :   }
    6028         781 :   switch(signe(j))
    6029             :   {
    6030         281 :     default: return -3; /* j = 0 */
    6031         315 :     case 1:
    6032         315 :       switch(j[2])
    6033             :       {
    6034         182 :       case 1728: return -4;
    6035          28 :       case 8000: return -8;
    6036          28 :       case 54000: return -12;
    6037          28 :       case 287496: return -16;
    6038          28 :       case 16581375: return -28;
    6039          21 :       default: return 0;
    6040             :       }
    6041         185 :     case -1:
    6042         185 :       switch(j[2]) {
    6043          28 :       case 3375: return -7;
    6044          28 :       case 32768: return -11;
    6045          14 :       case 884736: return -19;
    6046          35 :       case 12288000: return -27;
    6047          14 :       case 884736000: return -43;
    6048             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    6049          12 :       case 147197952000L: return -67;
    6050          12 :       case 262537412640768000L: return -163;
    6051             : #endif
    6052          42 :       default: return 0;
    6053             :     }
    6054             :   }
    6055             : }
    6056             : 
    6057             : static long
    6058          56 : ellnf_get_CM(GEN E)
    6059             : {
    6060          56 :   long av = avma;
    6061          56 :   GEN j = ell_get_j(E), nf = ellnf_get_nf(E);
    6062          56 :   GEN P = minpoly(basistoalg(nf, j), 0);
    6063          56 :   return gc_long(av, polisclass(P));
    6064             : }
    6065             : 
    6066             : long
    6067         154 : elliscm(GEN E)
    6068             : {
    6069         154 :   checkell(E);
    6070         154 :   switch(ell_get_type(E))
    6071             :   {
    6072          98 :     case t_ELL_Q:  return ellQ_get_CM(E);
    6073          56 :     case t_ELL_NF: return ellnf_get_CM(E);
    6074           0 :     default: pari_err_TYPE("elliscm", E);
    6075             :              return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6076             :   }
    6077             : }
    6078             : 
    6079             : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6080             : static GEN
    6081     2330984 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6082             : {
    6083     2330984 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6084     2330957 :   if (!signe(D))
    6085             :   {
    6086       97993 :     pari_sp av = avma;
    6087       97993 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6088       97993 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6089             :   }
    6090     2232964 :   *good_red = 1;
    6091     2232964 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6092     2232079 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6093     2231145 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6094     2230838 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6095             : }
    6096             : 
    6097             : 
    6098             : /* bad reduction at p */
    6099             : static void
    6100        3787 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    6101             : {
    6102             :   ulong m, N;
    6103        3787 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    6104             :   {
    6105        1071 :     case -1: /* nonsplit */
    6106        1071 :       N = n/p;
    6107      461048 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6108      459977 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    6109        1071 :       break;
    6110        1351 :     case 0: /* additive */
    6111      886144 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    6112        1351 :       break;
    6113        1365 :     case 1: /* split */
    6114        1365 :       N = n/p;
    6115      161518 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6116      160153 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    6117        1365 :       break;
    6118             :   }
    6119        3787 : }
    6120             : /* good reduction at p */
    6121             : static void
    6122      355075 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    6123             : {
    6124      355075 :   const long ap = an[p];
    6125             :   ulong m;
    6126      355075 :   if (p <= SQRTn) {
    6127       13391 :     ulong pk, oldpk = 1;
    6128       54572 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    6129             :     {
    6130       41181 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    6131     5240900 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    6132     5199719 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    6133             :     }
    6134             :   } else {
    6135     1826111 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    6136     1484427 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    6137             :   }
    6138      355075 : }
    6139             : static void
    6140      358862 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    6141             : {
    6142      358862 :   if (good_red)
    6143      355075 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    6144             :   else
    6145        3787 :     sievep_bad(p, an, n);
    6146      358862 : }
    6147             : 
    6148             : static long
    6149      358862 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    6150             : {
    6151      358862 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
    6152        3843 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    6153             :   else /* good reduction */
    6154             :   {
    6155      355019 :     *good_red = 1;
    6156      355019 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    6157             :   }
    6158             : }
    6159             : GEN
    6160        2415 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    6161             : {
    6162             :   pari_sp av;
    6163        2415 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    6164             :   GEN an;
    6165             :   int CM;
    6166             : 
    6167        2415 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    6168        2415 :   if (n >= LGBITS)
    6169           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    6170        2415 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    6171        2415 :   SQRTn = usqrt(n);
    6172        2415 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    6173             : 
    6174        2415 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    6175        2415 :   an[1] = 1; av = avma;
    6176     2946398 :   for (p=2; p<=n; p++)
    6177             :   {
    6178             :     int good_red;
    6179     2943983 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    6180      358862 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    6181      358862 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    6182             :   }
    6183        2415 :   set_avma(av); return an;
    6184             : }
    6185             : 
    6186             : static GEN
    6187          56 : ellQ_eulerf(GEN e, GEN p)
    6188             : {
    6189             :   int good_red;
    6190          56 :   GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
    6191          56 :   GEN ap = subii(addiu(p, 1), card);
    6192          56 :   if (good_red)
    6193          56 :     return mkrfrac(gen_1,deg2pol_shallow(p, gneg(ap), gen_1, 0));
    6194           0 :   if (!signe(ap)) return pol_1(0);
    6195           0 :   return mkrfrac(gen_1,deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1,0));
    6196             : }
    6197             : 
    6198             : static GEN
    6199         329 : ellanQ(GEN e, long N)
    6200         329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    6201             : 
    6202             : static GEN
    6203       83772 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
    6204             : {
    6205       83772 :   pari_sp av = avma;
    6206       83772 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    6207       83770 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
    6208       83788 :   long l = lg(LP), i;
    6209      167550 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6210             :   {
    6211             :     int goodred;
    6212       83762 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    6213       83762 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    6214       83722 :     long f = pr_get_f(P);
    6215       83721 :     if (goodred)
    6216       83539 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    6217             :     else
    6218             :     {
    6219         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    6220         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    6221             :     }
    6222       83746 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    6223       83752 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    6224             :   }
    6225       83788 :   if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
    6226       46358 :   if (n==0) return gerepilecopy(av, mkrfrac(gen_1,T));
    6227       46344 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
    6228             : }
    6229             : 
    6230             : GEN
    6231        4963 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
    6232             : {
    6233        4963 :   pari_sp av = avma;
    6234        4963 :   long i, l = lg(P);
    6235        4963 :   GEN W = cgetg(l, t_VEC);
    6236       88731 :   for(i = 1; i < l; i++)
    6237             :   {
    6238       83769 :     ulong p = uel(P,i);
    6239       83769 :     long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
    6240       83765 :     gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
    6241             :   }
    6242        4962 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
    6243             : }
    6244             : 
    6245             : static GEN
    6246         203 : ellnfan(GEN E, long N)
    6247             : {
    6248         203 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
    6249         203 :   return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    6250             : }
    6251             : 
    6252             : GEN
    6253          70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
    6254             : {
    6255          70 :   checkell(E);
    6256          70 :   switch(ell_get_type(E))
    6257             :   {
    6258          56 :     case t_ELL_Q: return ellQ_eulerf(E, p);
    6259          14 :     case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
    6260           0 :     default:
    6261           0 :       pari_err_TYPE("elleulerf",E);
    6262             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6263             :   }
    6264             : }
    6265             : 
    6266             : GEN
    6267         525 : ellan(GEN E, long N)
    6268             : {
    6269         525 :   checkell(E);
    6270         525 :   switch(ell_get_type(E))
    6271             :   {
    6272         322 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    6273         203 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    6274           0 :     default:
    6275           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    6276             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6277             :   }
    6278             : }
    6279             : 
    6280             : static GEN
    6281         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    6282             : {
    6283             :   GEN u, v, w;
    6284             :   long j;
    6285         735 :   if (e == 1) return ap;
    6286         112 :   u = ap;
    6287         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    6288         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    6289             :   {
    6290          14 :     v = u; u = w;
    6291          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    6292             :   }
    6293         112 :   return w;
    6294             : }
    6295             : 
    6296             : GEN
    6297         693 : akell(GEN e, GEN n)
    6298             : {
    6299             :   long i, j, s;
    6300         693 :   pari_sp av = avma;
    6301             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    6302             : 
    6303         693 :   checkell_int(e);
    6304         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    6305         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    6306         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    6307         693 :   D = ell_get_disc(e);
    6308         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    6309         693 :   y = gen_1;
    6310         693 :   s = 1;
    6311         693 :   if (!equalii(u, n))
    6312             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    6313         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    6314         441 :     P = gel(fa,1);
    6315         441 :     E = gel(fa,2);
    6316        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    6317             :     {
    6318         581 :       GEN p = gel(P,i);
    6319         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    6320             :       int good_red;
    6321         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    6322         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    6323         350 :       j = signe(ap);
    6324         350 :       if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
    6325         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    6326             :     }
    6327             :   }
    6328         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    6329         693 :   fa = Z_factor(u);
    6330         693 :   P = gel(fa,1);
    6331         693 :   E = gel(fa,2);
    6332        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    6333             :   { /* good reduction */
    6334         504 :     GEN p = gel(P,i);
    6335         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6336         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6337             :   }
    6338         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6339             : }
    6340             : 
    6341             : GEN
    6342        3682 : ellQ_get_N(GEN e)
    6343        3682 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6344             : void
    6345         917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6346         917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6347             : 
    6348             : GEN
    6349          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6350             : {
    6351          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    6352             :   ulong l, n;
    6353             :   long eps, flun;
    6354             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6355             : 
    6356          14 :   if (!A) A = gen_1;
    6357             :   else
    6358             :   {
    6359           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    6360           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6361           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6362             :   }
    6363          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
    6364          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6365          14 :   checkell_Q(e);
    6366          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6367          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    6368          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    6369          14 :   if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
    6370             : 
    6371          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    6372          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6373          14 :   cga = gmul(cg, A);
    6374          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6375          14 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
    6376          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6377          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6378          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6379          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6380          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6381          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6382          14 :   z = gen_0;
    6383          14 :   av1 = avma;
    6384        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6385             :   {
    6386        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6387        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6388        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    6389             : 
    6390        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6391        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6392        1106 :     if (flun)
    6393           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6394             :     else
    6395             :     {
    6396        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6397        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6398        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6399             :     }
    6400        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6401        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    6402             :     {
    6403           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6404           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6405             :     }
    6406             :   }
    6407          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6408             : }
    6409             : 
    6410             : /********************************************************************/
    6411             : /**                                                                **/
    6412             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6413             : /**                                                                **/
    6414             : /********************************************************************/
    6415             : 
    6416             : static GEN
    6417          56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
    6418             : {
    6419          56 :   GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
    6420          56 :   long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
    6421          56 :   GEN r = gen_1;
    6422         133 :   for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
    6423          63 :   for(   ; i < l  ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
    6424          56 :   return r;
    6425             : }
    6426             : 
    6427             : /* The function follows
    6428             : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
    6429             : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
    6430             : */
    6431             : 
    6432             : static GEN
    6433          70 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
    6434             : {
    6435             :   GEN h;
    6436             :   long d;
    6437          70 :   pari_sp av = avma;
    6438          70 :   checkell(e);
    6439          70 :   switch(ell_get_type(e))
    6440             :   {
    6441          14 :     case t_ELL_Q:
    6442          14 :       d = 1; e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    6443          14 :       h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
    6444          14 :       break;
    6445          56 :     case t_ELL_NF:
    6446          56 :       d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
    6447          56 :       h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
    6448          56 :       break;
    6449           0 :     default:
    6450           0 :       pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6451             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6452             :   }
    6453          70 :   return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
    6454             : }
    6455             : 
    6456             : static GEN
    6457       71369 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6458             : 
    6459             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6460             : static GEN
    6461       25577 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6462             : {
    6463       25577 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6464             : }
    6465             : 
    6466             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6467             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6468             : static GEN
    6469       25577 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6470             : {
    6471       25577 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6472       25577 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPREC64;
    6473             : 
    6474       25577 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6475       25577 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6476       25577 :   a = gel(ab, 1);
    6477       25577 :   b = gel(ab, 2);
    6478       25577 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6479       25577 :   x = gsub(x, e1);
    6480       25577 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6481             : 
    6482       25577 :   x_a = gsub(x, a);
    6483       25577 :   if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
    6484       25577 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6485       25577 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6486             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6487       25577 :   for(n=0;; n++)
    6488      146621 :   {
    6489      172198 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6490      172198 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6491      172198 :     r = gsub(a, a0);
    6492      172198 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6493      146621 :     ab = gmul(a0, b);
    6494      146621 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6495             : 
    6496      146621 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6497      146621 :     p2 = gsqr(a);
    6498      146621 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6499      146621 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6500             :   }
    6501       25577 :   if (n) {
    6502       25577 :     x = gel(V,n);
    6503      146621 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6504             :   } else
    6505           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6506             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6507       25577 :   return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
    6508             : }
    6509             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6510             : static int
    6511       25577 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6512             : {
    6513       25577 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6514       25577 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6515             : }
    6516             : 
    6517             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6518             : static GEN
    6519       25577 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6520             : {
    6521       25577 :   pari_sp av = avma;
    6522             :   GEN h;
    6523       25577 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6524             :   {
    6525        6636 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6526             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6527        6636 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6528             :   }
    6529             :   else
    6530       18941 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6531       25577 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6532       25577 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6533             : }
    6534             : GEN
    6535        1918 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6536             : 
    6537             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    6538             : static GEN
    6539          28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    6540             : {
    6541          28 :   pari_sp av = avma;
    6542          28 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    6543          28 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    6544          28 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
    6545          28 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    6546          28 :   GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
    6547          28 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
    6548          28 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    6549          28 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    6550          28 :   GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
    6551          28 :   GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
    6552          28 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    6553             : }
    6554             : 
    6555             : static GEN
    6556       20446 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6557       20446 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6558             : static GEN
    6559          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6560             : {
    6561          35 :   pari_sp av = avma;
    6562          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6563          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6564          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6565             : }
    6566             : GEN
    6567         238 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6568             : {
    6569         238 :   if (!a)
    6570             :   {
    6571          77 :     if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
    6572          70 :     return ellheightfaltings(e,n);
    6573             :   }
    6574         161 :   return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
    6575             : }
    6576             : GEN
    6577          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6578          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6579             : 
    6580             : static GEN
    6581         245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    6582             : {
    6583             :   long v1, v2, vD, vu;
    6584         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    6585         245 :   GEN lr = nflocalred(e,pr);
    6586         245 :   GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
    6587         245 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    6588         245 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
    6589             :   GEN v;
    6590         245 :   vu = nfval(nf, u, pr);
    6591         245 :   v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
    6592         245 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    6593         245 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
    6594         245 :   if (v1<0)
    6595           7 :     vu = 0;
    6596         245 :   if (v1<=0 || v2<=0)
    6597         210 :     v = gen_0;
    6598          35 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    6599             :   {
    6600          21 :     GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
    6601          21 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
    6602             :   }
    6603             :   else
    6604             :   {
    6605          14 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    6606          28 :     v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? sstoQ(-v2,3):
    6607          14 :                                     sstoQ(-v3,8);
    6608             :   }
    6609         245 :   return gsubgs(v,vu);
    6610             : }
    6611             : 
    6612             : static GEN
    6613         112 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    6614             : {
    6615         112 :   pari_sp av = avma;
    6616             :   GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
    6617             :   long i, n, l, r1;
    6618         112 :   if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gen_0;
    6619          91 :   x = gel(P,1);
    6620          91 :   if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { set_avma(av); return gen_0; }
    6621          91 :   nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
    6622          91 :   disc = ell_get_disc(E);
    6623          91 :   d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
    6624          91 :   F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
    6625          91 :   Ee = ellnfembed(E, prec);
    6626          91 :   Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    6627          91 :   n = lg(Ee); l = lg(F);
    6628          91 :   s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
    6629         224 :   for (i=1; i<=r1; i++)
    6630         133 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    6631         119 :   for (   ; i<n; i++)
    6632          28 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    6633         336 :   for (i=1; i<l; i++)
    6634             :   {
    6635         245 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
    6636         245 :     long f = pr_get_f(pr);
    6637         245 :     GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    6638         245 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
    6639             :   }
    6640          91 :   return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
    6641             : }
    6642             : 
    6643             : static GEN
    6644       23673 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    6645             : {
    6646       23673 :   long i, lx, newell = 0;
    6647             :   pari_sp av;
    6648             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6649             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6650             : 
    6651       23673 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6652       23666 :   if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
    6653       23666 :   av = avma;
    6654       23666 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6655             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6656       23058 :     if (lg(S) != 2)
    6657             :     {
    6658       17738 :       v = gel(S,2);
    6659       17738 :       e = gel(S,3);
    6660       17738 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6661             :     }
    6662             :   }
    6663             :   else
    6664             :   {
    6665         608 :     newell = 1;
    6666         608 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
    6667         608 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6668             :   }
    6669       23666 :   if (!oncurve(e,a))
    6670           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6671       23659 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6672       23659 :   if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6673       23659 :   x = gel(a,1);
    6674       23659 :   y = gel(a,2);
    6675       23659 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6676       23659 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6677       23659 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6678       23659 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6679       23659 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6680             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6681             :   );
    6682       23659 :   if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6683       23659 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6684       23659 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6685       23659 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6686       23659 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6687             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6688             :   );
    6689       23659 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6690       23659 :   D = ell_get_disc(e);
    6691       23659 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6692       23659 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6693       23659 :   lx = lg(Lp);
    6694      160971 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6695             :   {
    6696      137312 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6697             :     long u, v, n, n2;
    6698      137312 :     if (!dvdii(c4,p))
    6699             :     { /* p \nmid c4 */
    6700      126288 :       long N = Z_pval(D,p);
    6701      126288 :       if (!N) continue;
    6702      126288 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6703      126288 :       if (n > N) n = N;
    6704      126288 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6705      126288 :       v = N << 3;
    6706             :     }
    6707             :     else
    6708             :     {
    6709       11024 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6710       11024 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6711       11024 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6712             :     }
    6713             :     /* z -= u log(p) / v */
    6714      137312 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6715             :   }
    6716       23659 :   if (newell) obj_free(e);
    6717       23659 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6718             : }
    6719             : 
    6720             : GEN
    6721       23785 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6722             : {
    6723       23785 :   checkell(e); checkellpt(a);
    6724       23785 :   switch(ell_get_type(e))
    6725             :   {
    6726       23673 :     case t_ELL_Q:
    6727       23673 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6728           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6729         112 :     case t_ELL_NF:
    6730         112 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6731             :   }
    6732             : }
    6733             : 
    6734             : GEN
    6735         847 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6736             : {
    6737             :   GEN D, A, B;
    6738         847 :   long lx = lg(x), i, j;
    6739         847 :   pari_sp av = avma;
    6740             : 
    6741         847 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6742         847 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6743         847 :   A = cgetg(lx,t_MAT);
    6744         847 :   B = cgetg(lx,t_MAT);
    6745        5081 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6746             :   {
    6747        4234 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6748        4234 :     gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6749        4234 :     gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
    6750             :   }
    6751        5081 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6752             :   {
    6753        4234 :     GEN h = gel(D,i);
    6754        4234 :     if (p)
    6755             :     {
    6756          28 :       gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
    6757          28 :       gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
    6758             :     }
    6759             :     else
    6760        4206 :       gcoeff(A,i,i) = h;
    6761       20376 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6762             :     {
    6763       16142 :       h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6764       16142 :       h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
    6765       16142 :       if (p)
    6766             :       {
    6767          21 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
    6768          21 :         gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
    6769             :       }
    6770             :       else
    6771       16121 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
    6772             :     }
    6773             :   }
    6774         847 :   return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
    6775             : }
    6776             : GEN
    6777         833 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6778         833 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6779             : 
    6780             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6781             : static GEN
    6782          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6783             : {
    6784             :   GEN y;
    6785          21 :   long i, l = lg(P);
    6786          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6787          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
    6788           7 :   y = cgetg(l, typ(P));
    6789          21 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
    6790           7 :   return y;
    6791             : }
    6792             : GEN
    6793           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6794             : {
    6795           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6796           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6797           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6798           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6799           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6800           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6801           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6802             :   {
    6803           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6804           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6805           0 :     return bilhell_i(E,Q,P,n);
    6806             :   }
    6807           7 :   return bilhell_i(E,P,Q,n);
    6808             : }
    6809             : /********************************************************************/
    6810             : /**                                                                **/
    6811             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6812             : /**                                                                **/
    6813             : /********************************************************************/
    6814             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6815             : static GEN
    6816           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6817             : {
    6818           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6819           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(v) | evalvarn(0);
    6820           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6821             : }
    6822             : 
    6823             : GEN
    6824          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6825             : {
    6826             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6827             :   long n, m;
    6828          14 :   pari_sp av = avma;
    6829             : 
    6830          14 :   checkell_Q(e);
    6831          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6832           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6833             : 
    6834           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6835           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
    6836           7 :   d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalser(d,-1);
    6837             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6838             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6839           7 :   c = gsqr(d);
    6840             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6841             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6842             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6843             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6844             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6845             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6846             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6847             :    * */
    6848           7 :   C = c+4;
    6849           7 :   X = x+4;
    6850           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6851           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6852           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6853           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6854         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6855             :   {
    6856         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6857             :     GEN s1, s2, s3;
    6858         105 :     if (n != 2)
    6859             :     {
    6860          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6861          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6862          98 :       s2 = gen_0;
    6863        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6864         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6865          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6866          98 :       s1 = gen_0;
    6867         476 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6868          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6869          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6870             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6871          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6872             :     }
    6873             :     else
    6874             :     {
    6875           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6876           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6877           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
    6878           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6879           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6880           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6881           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6882           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6883           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6884           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6885             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6886           7 :       w = derivser(U); setvalser(w,-2); /* q X' */
    6887             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6888           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6889             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6890           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6891           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6892             :     }
    6893         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6894             :   }
    6895           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalser(w, valser(w)+1);
    6896           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6897           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6898           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6899           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6900             : }
    6901             : 
    6902             : /********************************************************************/
    6903             : /**                                                                **/
    6904             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6905             : /**                                                                **/
    6906             : /********************************************************************/
    6907             : static GEN
    6908       19292 : doellff_get_o(GEN E)
    6909             : {
    6910       19292 :   GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
    6911       19292 :   return mkvec2(d, Z_factor(d));
    6912             : }
    6913             : GEN
    6914       19845 : ellff_get_o(GEN E)
    6915       19845 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6916             : 
    6917             : static void
    6918         497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
    6919             : {
    6920         497 :   GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    6921         497 :   *a4 = gel(e, 1);
    6922         497 :   *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
    6923         497 :   *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
    6924         497 : }
    6925             : GEN
    6926         140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6927             : {
    6928         140 :   pari_sp av = avma;
    6929             :   GEN p;
    6930         140 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6931         140 :   p = ellff_get_field(E);
    6932         140 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6933         140 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
    6934             :   else
    6935             :   {
    6936             :     GEN a4;
    6937          49 :     RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
    6938          49 :     return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
    6939             :   }
    6940             : }
    6941             : 
    6942             : GEN
    6943        5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6944             : {
    6945             :   GEN p;
    6946        5250 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6947        5243 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6948        5243 :   p = ellff_get_field(E);
    6949        5243 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6950             :   else
    6951             :   {
    6952         245 :     pari_sp av = avma;
    6953             :     GEN w, a4;
    6954         245 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    6955         245 :     w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
    6956         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
    6957             :   }
    6958             : }
    6959             : 
    6960             : GEN
    6961         301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6962             : {
    6963             :   GEN p;
    6964         301 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6965         301 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6966         301 :   p = ellff_get_field(E);
    6967         301 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6968             :   else
    6969             :   {
    6970         203 :     pari_sp av = avma;
    6971             :     GEN t, a4;
    6972         203 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    6973         203 :     t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
    6974         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
    6975             :   }
    6976             : }
    6977             : 
    6978             : GEN
    6979     2493080 : ellap(GEN E, GEN p)
    6980             : {
    6981     2493080 :   pari_sp av = avma;
    6982             :   GEN q, card;
    6983             :   int goodred;
    6984     2493080 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
    6985     2493075 :   switch(ell_get_type(E))
    6986             :   {
    6987         112 :   case t_ELL_Fp:
    6988         112 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6989         112 :     break;
    6990       54474 :   case t_ELL_Fq:
    6991       54474 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6992       54474 :     break;
    6993     2330523 :   case t_ELL_Qp:
    6994             :   case t_ELL_Q:
    6995     2330523 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6996     2330484 :     break;
    6997      107961 :   case t_ELL_NF:
    6998      107961 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6999           0 :   default:
    7000           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    7001             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7002             :   }
    7003     2385070 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    7004             : }
    7005             : 
    7006             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    7007             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    7008             : GEN
    7009         126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
    7010             : {
    7011         126 :   const ulong minq = 523;
    7012         126 :   checkell_Fq(E);
    7013         126 :   switch(ell_get_type(E))
    7014             :   {
    7015         112 :   case t_ELL_Fp:
    7016             :     {
    7017         112 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    7018         112 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    7019         105 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    7020             :     }
    7021          14 :   case t_ELL_Fq:
    7022             :     {
    7023          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    7024          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    7025           0 :         return FF_ellcard(E);
    7026          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    7027             :     }
    7028             :   }
    7029             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7030             : }
    7031             : 
    7032             : GEN
    7033      163762 : ellff_get_card(GEN E)
    7034      163762 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    7035             : 
    7036             : GEN
    7037       88267 : ellcard(GEN E, GEN p)
    7038             : {
    7039       88267 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
    7040       88260 :   switch(ell_get_type(E))
    7041             :   {
    7042       87805 :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7043       87805 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    7044         420 :   case t_ELL_Qp:
    7045             :   case t_ELL_Q:
    7046             :     {
    7047         420 :       pari_sp av = avma;
    7048             :       int goodred;
    7049         420 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    7050         420 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    7051         420 :       return gerepileuptoint(av, N);
    7052             :     }
    7053          35 :   case t_ELL_NF:
    7054             :     {
    7055          35 :       pari_sp av = avma;
    7056             :       int goodred;
    7057          35 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    7058          35 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    7059          35 :       return gerepileuptoint(av, N);
    7060             :     }
    7061           0 :   default:
    7062           0 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    7063             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7064             :   }
    7065             : }
    7066             : 
    7067             : /* assume model is p-minimal */
    7068             : static GEN
    7069       21917 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
    7070             : {
    7071       21917 :   GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
    7072       21917 :   *pm = gen_1;
    7073       21917 :   if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
    7074       21917 :   if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
    7075       21917 :   if (absequaliu(p, 3))
    7076             :   { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    7077             :     ulong b2, b4, b6;
    7078           0 :     if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
    7079             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    7080             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    7081           0 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    7082           0 :     if (b6) return mkvec(N);
    7083             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    7084           0 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    7085           0 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    7086           0 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
    7087           0 :     return mkvec2s(2, 2);
    7088             :   } /* Now assume p > 3 */
    7089       21917 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    7090       21917 :   return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
    7091             : }
    7092             : 
    7093             : static GEN
    7094       40978 : doellGm(GEN E)
    7095             : {
    7096       40978 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7097       40978 :   GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
    7098       40978 :   return mkvec2(G, m);
    7099             : }
    7100             : static GEN
    7101       80521 : ellff_Gm(GEN E)
    7102       80521 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
    7103             : GEN
    7104       61831 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
    7105             : GEN
    7106       18690 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
    7107             : GEN
    7108       18690 : ellff_get_D(GEN E)
    7109             : {
    7110       18690 :   GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
    7111       18690 :   switch(lg(G))
    7112             :   {
    7113          91 :     case 1: return G;
    7114       15883 :     case 2: return mkvec(o);
    7115        2716 :     default: return mkvec2(o, gel(G,2));
    7116             :   }
    7117             : }
    7118             : 
    7119             : /* E / Fp */
    7120             : static GEN
    7121       18690 : doellgens(GEN E)
    7122             : {
    7123       18690 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7124       18690 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7125       18116 :     return FF_ellgens(E);
    7126             :   else
    7127             :   {
    7128         574 :     GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    7129         574 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
    7130         574 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    7131             :   }
    7132             : }
    7133             : 
    7134             : GEN
    7135       18767 : ellff_get_gens(GEN E)
    7136       18767 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    7137             : 
    7138             : GEN
    7139       22330 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    7140             : {
    7141       22330 :   pari_sp av = avma;
    7142             :   GEN m, G;
    7143       22330 :   p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
    7144       22323 :   switch(ell_get_type(E))
    7145             :   {
    7146       21889 :     case t_ELL_Fp:
    7147       21889 :     case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
    7148         392 :     case t_ELL_Qp:
    7149             :     case t_ELL_Q:
    7150         392 :       if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
    7151             :       {
    7152          14 :         GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
    7153          14 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    7154          14 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    7155             :       }
    7156         378 :       G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
    7157          42 :     case t_ELL_NF:
    7158          42 :       if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
    7159             :       {
    7160          21 :         GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
    7161          21 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    7162          21 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    7163             :       }
    7164          28 :       E = ellinit(E, p, 0);
    7165          28 :       G = ellff_get_group(E);
    7166          28 :       G = gcopy(G); obj_free(E); break;
    7167           0 :     default:
    7168           0 :       pari_err_TYPE("ellgroup", E);
    7169             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7170             :   }
    7171       22323 :   return gerepilecopy(av, G);
    7172             : }
    7173             : 
    7174             : GEN
    7175       21490 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    7176             : {
    7177       21490 :   pari_sp av = avma;
    7178       21490 :   long tE, freeE = 0;
    7179             :   GEN G;
    7180       21490 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    7181        1946 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    7182        1946 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    7183        1946 :   if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
    7184             :   {
    7185        1869 :     GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
    7186             :     long vu;
    7187        1862 :     switch(tE)
    7188             :     {
    7189          70 :       case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
    7190        1841 :       case t_ELL_Q:  vu = Q_pval(u, p); break;
    7191          21 :       case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
    7192           0 :       default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
    7193             :     }
    7194        1862 :     if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
    7195        1855 :     if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
    7196             :     {
    7197          91 :       GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
    7198          91 :       if (typ(p) == t_INT)
    7199             :       {
    7200             :         long i;
    7201          70 :         Ep = obj_init(15, 4);
    7202         910 :         for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
    7203             :       }
    7204             :       else
    7205             :       {
    7206          21 :         q = pr_norm(p);
    7207          21 :         Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
    7208             :       }
    7209          91 :       E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
    7210          91 :       gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
    7211          91 :       obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
    7212             :     }
    7213             :     else
    7214        1764 :       E = ellinit(E, p, 0);
    7215        1855 :     freeE = 1;
    7216             :   }
    7217        1932 :   G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
    7218        1932 :   if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
    7219        1855 :   G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
    7220             : }
    7221             : 
    7222             : GEN
    7223       16849 : ellgenerators(GEN E)
    7224             : {
    7225       16849 :   checkell(E);
    7226       16849 :   switch(ell_get_type(E))
    7227             :   {
    7228           7 :     case t_ELL_Q:
    7229           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    7230       16835 :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7231       16835 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    7232           7 :     default:
    7233           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    7234             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7235             :   }
    7236             : }
    7237             : 
    7238             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    7239             : static GEN
    7240       22715 : ellfromj_simple(GEN j)
    7241             : {
    7242       22715 :   pari_sp av = avma;
    7243       22715 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    7244       22715 :   GEN E = zerovec(5);
    7245       22715 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    7246       22715 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    7247             : }
    7248             : GEN
    7249       34020 : ellfromj(GEN j)
    7250             : {
    7251       34020 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    7252             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    7253       34020 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    7254             :   {
    7255        3549 :     case 2:
    7256        3549 :       if (gequal0(j))
    7257           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    7258             :       else
    7259        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    7260        7651 :     case 3:
    7261        7651 :       if (gequal0(j))
    7262          21 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7263             :       else
    7264             :       {
    7265        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    7266        7630 :         pari_sp av = avma;
    7267        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    7268        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    7269        7630 :         return E;
    7270             :       }
    7271             :   }
    7272       22820 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    7273       22785 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7274       22715 :   return ellfromj_simple(j);
    7275             : }
    7276             : 
    7277             : /********************************************************************/
    7278             : /**                                                                **/
    7279             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    7280             : /**                                                                **/
    7281             : /********************************************************************/
    7282             : 
    7283             : int
    7284      165907 : elljissupersingular(GEN x)
    7285             : {
    7286      165907 :   pari_sp av = avma;
    7287             :   int res;
    7288             : 
    7289      165907 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    7290         504 :     GEN p = gel(x, 1);
    7291         504 :     GEN j = gel(x, 2);
    7292         504 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7293      165403 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    7294      165396 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    7295      165396 :     GEN p = FF_p_i(x);
    7296      165396 :     GEN T = FF_mod(x);
    7297      165396 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7298             :   } else {
    7299           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    7300             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7301             :   }
    7302      165900 :   set_avma(av);
    7303      165900 :   return res;
    7304             : }
    7305             : 
    7306             : int
    7307      166117 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    7308             : {
    7309             :   pari_sp av;
    7310             :   GEN j;
    7311      166117 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    7312       17017 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
    7313       17003 :   j = ell_get_j(E);
    7314       17003 :   switch(ell_get_type(E))
    7315             :   {
    7316       16807 :   case t_ELL_Fp:
    7317             :   case t_ELL_Fq:
    7318       16807 :     return elljissupersingular(j);
    7319          56 :   case t_ELL_Qp:
    7320             :   case t_ELL_Q:
    7321          56 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    7322          21 :     av = avma;
    7323          21 :     return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
    7324         140 :   case t_ELL_NF:
    7325             :     {
    7326         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    7327             :       int res;
    7328         140 :       av = avma;
    7329         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    7330         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    7331             :       {
    7332          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    7333           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7334             :       }
    7335             :       else
    7336         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7337         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    7338         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    7339          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7340             :       else
    7341          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7342         126 :       return gc_bool(av, res);
    7343             :     }
    7344           0 :   default:
    7345           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    7346             :   }
    7347             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7348             : }
    7349             : 
    7350             : GEN
    7351        1204 : ellsupersingularj(GEN a)
    7352             : {
    7353        1204 :   pari_sp av = avma;
    7354             :   GEN r, T, p;
    7355             :   long d;
    7356        1204 :   switch(typ(a))
    7357             :   {
    7358        1190 :     case t_INT:
    7359        1190 :       p = a;
    7360        1190 :       if (Z_issquare(p)) pari_err_PRIME("ellsupersingularj", p);
    7361        1190 :       T = init_Fq(p, 2, fetch_user_var("w"));
    7362        1190 :       d = 2;
    7363        1190 :       break;
    7364          14 :     case t_FFELT:
    7365          14 :       p = FF_p_i(a); T = FF_mod(a); d = degpol(T);
    7366          14 :       if (!odd(d))
    7367             :       {
    7368          14 :         if (d != 2)
    7369           7 :           T = init_Fq(p, 2, varn(T));
    7370          14 :         break;
    7371             :       }
    7372             :     default: /* FALL THROUGH */
    7373           0 :       pari_err_TYPE("ellsupersingular", a);
    7374             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    7375             :   }
    7376        1204 :   r = Fq_to_FF(ellsupersingularj_FpXQ(T, p), Tp_to_FF(T, p));
    7377        1204 :   if (d != 2)
    7378           7 :     r = ffmap(ffembed(r, a), r);
    7379        1204 :   return gerepilecopy(av, r);
    7380             : }
    7381             : 
    7382             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7383             : static GEN
    7384        8414 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    7385             : {
    7386             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    7387        8414 :   if (n==0) return pol_0(v);
    7388        8414 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    7389        1799 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    7390        1799 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    7391        1799 :   if (n==3)
    7392         833 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    7393             :   else
    7394             :   {
    7395         966 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    7396         966 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    7397         966 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    7398             :   }
    7399        1799 :   setvarn(res, v); return res;
    7400             : }
    7401             : 
    7402             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    7403             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7404             : static GEN
    7405        5075 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    7406             : {
    7407             :   GEN ret;
    7408        5075 :   long m = n/2;
    7409        5075 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    7410        3150 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    7411         882 :   else if (odd(n))
    7412             :   {
    7413         525 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7414             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    7415         525 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    7416             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    7417         525 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    7418          91 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    7419             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    7420         434 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    7421             :   }
    7422             :   else
    7423             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    7424         357 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7425             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    7426         357 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    7427             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    7428         357 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    7429             :   }
    7430        3150 :   gel(t,n) = ret;
    7431        3150 :   return ret;
    7432             : }
    7433             : 
    7434             : GEN
    7435        6475 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
    7436             : {
    7437        6475 :   pari_sp av = avma;
    7438             :   GEN f, D, N;
    7439        6475 :   long n = labs(n0);
    7440             : 
    7441        6475 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7442        6475 :   if (v < 0) v = 0;
    7443        6475 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7444        6475 :   N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
    7445        6475 :   if (n==1 || n==3)
    7446         231 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7447             :   else
    7448             :   {
    7449        6244 :     GEN d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
    7450        6244 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7451        6244 :     if (n <= 4)
    7452        5915 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7453             :     else
    7454         329 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    7455        6244 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    7456             :   }
    7457        6475 :   if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
    7458        6454 :   return gerepilecopy(av, f);
    7459             : }
    7460             : 
    7461             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    7462             : GEN
    7463         406 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    7464             : {
    7465         406 :   pari_sp av = avma;
    7466             :   GEN d2, D, N, A, B;
    7467         406 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7468         406 :   if (v==-1) v = 0;
    7469         406 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7470         406 :   N = characteristic(D);
    7471         406 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7472         406 :   if (n < 0) n = -n;
    7473         406 :   d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7474         406 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7475         406 :   if (n == 0)
    7476             :   {
    7477           7 :     A = pol_0(v);
    7478           7 :     B = pol_0(v);
    7479             :   }
    7480         399 :   else if (n == 1)
    7481             :   {
    7482           7 :     A = pol_1(v);
    7483           7 :     B = pol_x(v);
    7484             :   }
    7485         392 :   else if (n == 2)
    7486             :   {
    7487         105 :     A = d2;
    7488         105 :     B = ec_phi2(e, v);
    7489             :   }
    7490             :   else
    7491             :   {
    7492         287 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7493         287 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7494         287 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7495         287 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7496         287 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7497         287 :     if (!odd(n))
    7498          14 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7499             :     else
    7500         273 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7501             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7502         287 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7503             :   }
    7504         406 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7505             : }
    7506             : 
    7507             : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
    7508             : static ulong
    7509        2807 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
    7510             : {
    7511        2807 :   ulong x, y, r = (p-1)/l;
    7512        4389 :   for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
    7513             : }
    7514             : 
    7515             : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
    7516             : static void
    7517        8631 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
    7518             :                    GEN S, long *m)
    7519             : {
    7520        8631 :   long i, n = lg(P)-1;
    7521        8631 :   GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
    7522        8631 :   pari_sp av = avma;
    7523        8631 :   ulong q = o / l;
    7524             : 
    7525        8631 :   F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
    7526        8631 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
    7527        8631 :   g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
    7528       63238 :   for (i=1; i <= n; i++)
    7529             :   {
    7530       54607 :     GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
    7531       54607 :     if (!ell_is_inf(Q))
    7532       54229 :       v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
    7533             :   }
    7534        8631 :   gel(S,(*m)++) = v;
    7535        8631 :   set_avma(av);
    7536        8631 : }
    7537             : 
    7538             : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
    7539             : static void
    7540        2807 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
    7541             :                      ulong p, GEN S, long *m)
    7542             : {
    7543        2807 :   long i, n = lg(P)-1;
    7544        2807 :   GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
    7545        2807 :   ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
    7546        2807 :   pari_sp av = avma;
    7547             : 
    7548        2807 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
    7549        2807 :   G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
    7550        2807 :   G1 = gel(G,1);
    7551        2807 :   G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
    7552       16457 :   for (i = 1; i <= n; i++)
    7553             :   {
    7554       13650 :     GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
    7555       13650 :     if (!ell_is_inf(Q))
    7556             :     {
    7557       13272 :       ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
    7558       13272 :       v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
    7559       13272 :       if (G2)
    7560             :       {
    7561        3402 :         ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
    7562        3402 :         w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
    7563             :       }
    7564             :     }
    7565             :   }
    7566        2807 :   gel(S,(*m)++) = v;
    7567        2807 :   if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
    7568        2807 :   set_avma(av);
    7569        2807 : }
    7570             : 
    7571             : static void
    7572       11438 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
    7573             :             GEN S, long *m)
    7574             : {
    7575       11438 :   P = ZM_to_Flm(P, p);
    7576       11438 :   if (p % l == 1)
    7577        2807 :     FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
    7578             :   else
    7579        8631 :     FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
    7580       11438 : }
    7581             : 
    7582             : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
    7583             :  * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
    7584             : static GEN
    7585        1204 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
    7586             : {
    7587        1204 :   long m = 1;
    7588        1204 :   GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
    7589             :   forprime_t S;
    7590             : 
    7591        1204 :   P = QEV_to_ZJV(P);
    7592        1204 :   (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
    7593      326459 :   while (m <= nb)
    7594             :   {
    7595      325255 :     ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
    7596             :     long o;
    7597      325255 :     if (dvdiu(D, p)) continue;
    7598      320075 :     Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    7599      320075 :     if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
    7600             :     {
    7601       34979 :       o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    7602       34979 :       hash_insert_long(h,(void*)p, o);
    7603             :     }
    7604      320075 :     if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
    7605             :   }
    7606        1204 :   return M;
    7607             : }
    7608             : 
    7609             : INLINE long
    7610         147 : Flv_firstnonzero(GEN v)
    7611             : {
    7612         147 :   long i, l = lg(v);
    7613         154 :   for (i = 1; i < l; i++)
    7614         154 :     if (v[i]) break;
    7615         147 :   return i;
    7616             : }
    7617             : 
    7618             : /* update M in place */
    7619             : static GEN
    7620        1204 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
    7621             :         long vxl, long nb, long prec)
    7622             : {
    7623        1204 :   GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
    7624        1204 :   GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l, nb); /* fill hh */
    7625        1204 :   pari_sp av = avma;
    7626        1204 :   GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
    7627        1204 :   long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
    7628             : 
    7629        1204 :   if (lK==1) return gc_NULL(av);
    7630         147 :   if (DEBUGLEVEL >= 3)
    7631           0 :     err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
    7632             :   /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
    7633         147 :   if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
    7634         147 :   for (i = 1; i < lK; i++)
    7635             :   {
    7636         147 :     GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
    7637         147 :     long f = Flv_firstnonzero(ki);
    7638             : 
    7639             :     /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
    7640         147 :     if (f > nH) continue;
    7641         147 :     if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
    7642         147 :     Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
    7643         147 :     h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
    7644         147 :     if (*xl)
    7645             :     {
    7646         133 :       GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
    7647         133 :       if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
    7648             :     }
    7649             :     else
    7650             :     {
    7651          14 :       h = gdiv(h, sqru(l));
    7652          14 :       R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
    7653             :     }
    7654         147 :     if (DEBUGLEVEL >= 2)
    7655           0 :       err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
    7656         147 :     if (!R)
    7657             :     {
    7658          28 :       if (lK == 2) break;
    7659         140 :       return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
    7660             :     }
    7661         119 :     gcoeff(M, f, f) = h;
    7662         490 :     for (i = 1; i <= nH; i++)
    7663         371 :       if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
    7664         490 :     for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
    7665         119 :     gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
    7666             :   }
    7667           7 :   return gc_NULL(av); /* l-saturated */
    7668             : }
    7669             : 
    7670             : static GEN
    7671          49 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
    7672             : {
    7673             :   forprime_t S;
    7674          49 :   GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
    7675          49 :   long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
    7676             :   hashtable h;
    7677             :   ulong p;
    7678             : 
    7679          49 :   hash_init_ulong(&h, 16, 1);
    7680          49 :   (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
    7681          49 :   P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
    7682        1113 :   while((p = u_forprime_next(&S)))
    7683             :   {
    7684        1064 :     long nb = lg(P)-1 + 25 / log2(p) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
    7685        1064 :     GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
    7686        1064 :     if (lg(T)==1) T = NULL;
    7687             :     while (1)
    7688         140 :     {
    7689        1204 :       GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, nb, prec);
    7690        1204 :       if (!Q) break;
    7691         140 :       nb += lg(P)-1;
    7692         140 :       P = Q;
    7693             :     }
    7694             :   }
    7695          49 :   return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
    7696             : }
    7697             : 
    7698             : GEN
    7699          49 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
    7700             : {
    7701          49 :   pari_sp av = avma;
    7702             :   GEN urst;
    7703             : 
    7704          49 :   if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    7705          49 :   E = ellminimalmodel(E, &urst);
    7706          49 :   if (is_trivial_change(urst)) urst = NULL;
    7707          49 :   if (urst) P = ellchangepoint(P, urst);
    7708          49 :   P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
    7709          49 :   if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert(urst));
    7710          49 :   obj_free(E); return gerepilecopy(av, P);
    7711             : }
    7712             : 
    7713             : static GEN
    7714         231 : to_RgX(GEN P, long vx)
    7715         231 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
    7716             : GEN
    7717          56 : elltrace(GEN E, GEN P)
    7718             : {
    7719          56 :   pari_sp av = avma;
    7720             :   GEN xP,yP, T, lxP, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
    7721             :   long v, n, i, j, d;
    7722             : 
    7723          56 :   checkell(E);
    7724          56 :   checkellpt(P);
    7725          56 :   if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
    7726             :   /* More checks */
    7727          49 :   xP = gel(P,1); if (typ(xP)!=t_POLMOD) pari_err_TYPE("elltrace",xP);
    7728          49 :   yP = gel(P,2); if (typ(yP)!=t_POLMOD) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
    7729          49 :   T = gel(xP,1); v = varn(T); n = degpol(T);
    7730          49 :   if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
    7731             :   /* Trivial cases */
    7732          49 :   if (n == 1) { set_avma(av); return gcopy(P); }
    7733          49 :   lxP = to_RgX(gel(xP,2), v);
    7734          49 :   if (!degpol(lxP))
    7735             :   {
    7736           7 :     GEN lyP = to_RgX(gel(yP,2), v);
    7737           7 :     if (degpol(lyP)){ set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7738           7 :     P = mkvec2(gel(lxP,2), gel(lyP,2));
    7739           7 :     return gerepileupto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
    7740             :   }
    7741             :   /* Strategy: look for a function with divisor equal to
    7742             :    *   [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
    7743          42 :   LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
    7744          42 :   gel(LP,1) = gen_1;
    7745          42 :   gel(LP,2) = xP;
    7746          42 :   gel(LP,3) = yP;
    7747          91 :   for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = gmul(gel(LP,i-2), xP);
    7748          42 :   M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
    7749         217 :   for (j = 1; j <= n+1; j++)
    7750             :   {
    7751         175 :     GEN t = to_RgX(liftpol_shallow(gel(LP,j)), v);
    7752         777 :     for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(t, n);
    7753             :   }
    7754          42 :   K = gel(ker(M),1);
    7755             :   /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
    7756             :    * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
    7757             :    * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
    7758          42 :   U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
    7759          42 :   V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
    7760          42 :   gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
    7761         119 :   for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
    7762          98 :   for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
    7763          42 :   U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
    7764             :   /* f does not depend on y, so trace = oo */
    7765          42 :   if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7766             :   /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
    7767             :    * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
    7768          35 :   R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
    7769          35 :   R = gmul(R, V);
    7770          35 :   R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
    7771          35 :   R = gmul(R, V);
    7772          35 :   R = gsub(R, gsqr(U));
    7773             :   /* Discard Galois orbit of P */
    7774          35 :   R = RgX_div(R, minpoly(xP,0));
    7775             :   /* What is left is either constant -> return oo, or deg 1 -> nontrivial trace. */
    7776          35 :   if(degpol(R)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7777             :   /* Recover the trace */
    7778          28 :   xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
    7779          28 :   yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
    7780          28 :   Q = mkvec2(xQ, yQ);
    7781             :   /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
    7782             :    * we still need to compute [L:K(P)] */
    7783          28 :   d = 0;
    7784          42 :   for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
    7785          28 :   return gerepileupto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
    7786             : }

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