Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ELLIPTIC CURVES **/
17 : /** **/
18 : /********************************************************************/
19 : #include "pari.h"
20 : #include "paripriv.h"
21 : #undef coordch
22 :
23 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
24 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
25 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
26 : */
27 :
28 : static ulong
29 308437 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
30 308437 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
31 : static void
32 307968 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
33 : {
34 307968 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
35 307968 : *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
36 307968 : }
37 : static GEN
38 2811031 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
39 2811031 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
40 : static void
41 2811011 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
42 : {
43 2811011 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
44 2810999 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
45 2810512 : }
46 : static GEN
47 70032 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
48 70032 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
49 : static void
50 70032 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
51 : {
52 70032 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
53 69978 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
54 69983 : }
55 : static void
56 2810937 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
57 : {
58 2810937 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
59 2810869 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
60 2810923 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
61 2810353 : }
62 : static void
63 307968 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
64 : {
65 307968 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
66 307968 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
67 307968 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 307968 : }
69 :
70 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
71 : static GEN
72 22639 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
73 : {
74 22639 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
75 22641 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
76 22638 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
77 22638 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
78 : }
79 : static GEN
80 469 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
81 : {
82 469 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
83 469 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
84 469 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
85 469 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
86 : }
87 :
88 : static GEN
89 22631 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
90 : {
91 : GEN A4, A6;
92 22631 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
93 22634 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
94 : }
95 : GEN
96 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
97 : {
98 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
99 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
100 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
101 : }
102 : GEN
103 469 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
104 : {
105 469 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
106 469 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
107 469 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
108 : }
109 :
110 : /* shallow basistoalg */
111 : static GEN
112 388262 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
113 : {
114 388262 : switch(typ(x))
115 : {
116 384503 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
117 3759 : default: return basistoalg(nf, x);
118 : }
119 : }
120 :
121 : void
122 308150 : checkellpt(GEN z)
123 : {
124 308150 : if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
125 308143 : switch(lg(z))
126 : {
127 302879 : case 3: break;
128 5264 : case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
129 : /* fall through */
130 0 : default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
131 : }
132 308143 : }
133 : void
134 72212 : checkell5(GEN E)
135 : {
136 72212 : long l = lg(E);
137 72212 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
138 72212 : }
139 : void
140 4344116 : checkell(GEN E)
141 4344116 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
142 : void
143 3472 : checkellisog(GEN v)
144 3472 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
145 :
146 : void
147 3591 : checkell_Q(GEN E)
148 : {
149 3591 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
150 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
151 3584 : }
152 :
153 : void
154 0 : checkell_Qp(GEN E)
155 : {
156 0 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
157 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
158 0 : }
159 :
160 : static int
161 528509 : ell_over_Fq(GEN E)
162 : {
163 528509 : long t = ell_get_type(E);
164 528509 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
165 : }
166 :
167 : void
168 279734 : checkell_Fq(GEN E)
169 : {
170 279734 : if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
171 279727 : }
172 :
173 : GEN
174 180416 : ellff_get_p(GEN E)
175 : {
176 180416 : GEN fg = ellff_get_field(E);
177 180416 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
178 : }
179 :
180 : int
181 315 : ell_is_integral(GEN E)
182 : {
183 315 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
184 273 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
185 259 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
186 259 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
187 574 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
188 : }
189 :
190 : static void
191 72793 : checkcoordch(GEN z)
192 72793 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
193 :
194 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
195 : GEN
196 13101 : ec_bmodel(GEN e)
197 : {
198 13101 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
199 13101 : return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
200 : }
201 :
202 : static int
203 6306 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
204 :
205 : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
206 : static GEN
207 8152 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
208 : {
209 8152 : GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = roots(ec_bmodel(e), prec);
210 8152 : long s = ellR_get_sign(e);
211 8152 : if (s > 0)
212 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
213 2102 : R = real_i(R);
214 2102 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
215 2102 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
216 2102 : d3 = subrr(e1,e2);
217 2102 : d1 = subrr(e2,e3);
218 2102 : d2 = subrr(e1,e3);
219 2102 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
220 : } else {
221 6050 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
222 6050 : if (s < 0)
223 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
224 1724 : e1 = real_i(e1);
225 1724 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
226 : }
227 6050 : d3 = gsub(e1,e2);
228 6050 : d1 = gsub(e2,e3);
229 6050 : d2 = gsub(e1,e3);
230 6050 : if (precision(d1) < prec0
231 6029 : || precision(d2) < prec0
232 6029 : || precision(d3) < prec0) return NULL;
233 : }
234 8109 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
235 : }
236 : static GEN
237 4658 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
238 : {
239 : long p;
240 4701 : for (p = prec0;; p = precdbl(p))
241 43 : {
242 4701 : GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
243 9359 : if (v) return v;
244 43 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
245 : }
246 : }
247 : static GEN
248 1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
249 :
250 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
251 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
252 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
253 : GEN
254 529242 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
255 : {
256 529242 : pari_sp av = avma;
257 : GEN z;
258 529242 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
259 529242 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
260 529242 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
261 529242 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
262 : }
263 :
264 : /* a1 x + a3 */
265 : GEN
266 546448 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
267 : {
268 546448 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
269 546448 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
270 546448 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
271 : }
272 : static GEN
273 516894 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
274 : {
275 516894 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
276 516894 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
277 516894 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
278 : }
279 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
280 : static GEN
281 15932 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
282 : {
283 15932 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
284 15932 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
285 : }
286 :
287 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
288 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
289 : * which is the derivative of the curve equation
290 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
291 : * wrt x evaluated at Q */
292 : GEN
293 2562 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
294 : {
295 2562 : pari_sp av = avma;
296 2562 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
297 2562 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
298 2562 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
299 2562 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
300 2562 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
301 2562 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
302 : }
303 :
304 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
305 : GEN
306 5810 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
307 : {
308 5810 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
309 5810 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
310 : }
311 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
312 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
313 : * which is the derivative of the curve equation
314 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
315 : * wrt y evaluated at Q */
316 : GEN
317 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
318 : {
319 532 : pari_sp av = avma;
320 532 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
321 : }
322 :
323 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
324 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
325 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
326 : GEN
327 1806 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
328 : {
329 1806 : pari_sp av = avma;
330 1806 : GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
331 1806 : GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
332 1806 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
333 1806 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
334 : {
335 91 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
336 91 : t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
337 91 : t2 = nfadd(nf, t1, b42);
338 91 : t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
339 91 : t2 = nftoalg(nf, t2);
340 : }
341 : else
342 : {
343 1715 : t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
344 1715 : t2 = gadd(t1, b42);
345 1715 : t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
346 : }
347 1806 : return gerepileupto(av, t2);
348 : }
349 :
350 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
351 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
352 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
353 : GEN
354 14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
355 : {
356 14 : pari_sp av = avma;
357 14 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
358 14 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
359 14 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
360 14 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
361 14 : GEN x2 = gsqr(x);
362 14 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
363 14 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
364 14 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
365 : }
366 :
367 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
368 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
369 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
370 : GEN
371 1519 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
372 : {
373 1519 : pari_sp av = avma;
374 1519 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
375 1519 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
376 1519 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
377 1519 : return gerepileupto(av, res);
378 : }
379 :
380 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
381 : GEN
382 2891 : ellbasechar(GEN E)
383 : {
384 2891 : pari_sp av = avma;
385 2891 : GEN D = ell_get_disc(E);
386 2891 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
387 : }
388 :
389 : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
390 : * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
391 : * Also allocate room for n dynamic members. */
392 : static GEN
393 684908 : initsmall_i(GEN x, long n)
394 : {
395 : GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D;
396 684908 : GEN y = obj_init(15, n);
397 684914 : switch(lg(x))
398 : {
399 : case 1:
400 : case 2:
401 : case 4:
402 : case 5:
403 7 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
404 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
405 : case 3:
406 16443 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
407 16443 : a4 = gel(x,1);
408 16443 : a6 = gel(x,2);
409 16443 : b2 = gen_0;
410 16443 : b4 = gmul2n(a4,1);
411 16443 : b6 = gmul2n(a6,2);
412 16443 : b8 = gneg(gsqr(a4));
413 16443 : c4 = gmulgs(a4,-48);
414 16443 : c6 = gmulgs(a6,-864);
415 16443 : D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
416 16443 : break;
417 : default: /* l > 5 */
418 : { GEN a11, a13, a33, b22;
419 668464 : a1 = gel(x,1);
420 668464 : a2 = gel(x,2);
421 668464 : a3 = gel(x,3);
422 668464 : a4 = gel(x,4);
423 668464 : a6 = gel(x,5);
424 668464 : a11= gsqr(a1);
425 668459 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
426 668459 : a13= gmul(a1, a3);
427 668460 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
428 668459 : a33= gsqr(a3);
429 668463 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
430 668462 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
431 668465 : b22= gsqr(b2);
432 668461 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
433 668469 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
434 668465 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
435 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
436 668464 : break;
437 : }
438 : }
439 684907 : gel(y,1) = a1;
440 684907 : gel(y,2) = a2;
441 684907 : gel(y,3) = a3;
442 684907 : gel(y,4) = a4;
443 684907 : gel(y,5) = a6;
444 684907 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
445 684907 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
446 684907 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
447 684907 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
448 684907 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
449 684907 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
450 684907 : gel(y,12)= D;
451 684907 : gel(y,16) = zerovec(n);
452 684911 : return y;
453 : }
454 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
455 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
456 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
457 : * component y[16])*/
458 : static GEN
459 684888 : initsmall(GEN x, long n)
460 : {
461 684888 : GEN j, y = initsmall_i(x, n), c4 = ell_get_c4(y), D = ell_get_disc(y);
462 684888 : if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
463 :
464 676999 : if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
465 315 : { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
466 315 : GEN g = RgX_gcd(D, c4);
467 315 : if (degpol(g) == 0)
468 266 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
469 : else
470 : {
471 49 : GEN d, c = RgX_div(c4, g);
472 49 : D = RgX_div(D, g);
473 49 : g = RgX_gcd(D,c4);
474 49 : if (degpol(g) == 0)
475 7 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
476 : else
477 : {
478 42 : D = RgX_div(D, g);
479 42 : d = RgX_div(c4, g);
480 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
481 42 : if (degpol(g))
482 : {
483 21 : D = RgX_div(D, g);
484 21 : c4 = RgX_div(c4, g);
485 : }
486 42 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
487 : }
488 : }
489 : }
490 : else
491 676684 : j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
492 677003 : gel(y,13) = j;
493 677003 : return y;
494 : }
495 : void
496 0 : ellprint(GEN e)
497 : {
498 0 : pari_sp av = avma;
499 : long vx, vy;
500 : GEN z;
501 0 : checkell5(e);
502 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
503 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
504 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
505 0 : (void)delete_var();
506 0 : (void)delete_var(); set_avma(av);
507 0 : }
508 :
509 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
510 : static GEN
511 203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
512 : {
513 203 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
514 203 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
515 :
516 203 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
517 203 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
518 105 : b = mulrr(d3,d2);
519 : else
520 98 : b = cxnorm(d3);
521 203 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
522 203 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
523 203 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
524 203 : return mkvec2(a, b);
525 : }
526 : GEN
527 1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
528 1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
529 :
530 : /* q a t_REAL*/
531 : static long
532 84 : real_prec(GEN q)
533 84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
534 : /* q a t_PADIC */
535 : static long
536 252 : padic_prec(GEN q)
537 252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
538 :
539 : /* check whether moduli are consistent */
540 : static void
541 97584 : chk_p(GEN p, GEN p2)
542 97584 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
543 :
544 : static int
545 36435 : fix_nftype(GEN *pp)
546 : {
547 36435 : switch(nftyp(*pp))
548 : {
549 36435 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
550 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
551 0 : default: return 0;
552 : }
553 36435 : return 1;
554 : }
555 : static long
556 714812 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
557 : {
558 714812 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
559 714815 : GEN p = NULL;
560 714815 : long t = t_FRAC;
561 714815 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
562 : {
563 : case t_INT:
564 490959 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
565 1988 : p = *pp;
566 1988 : t = t_INTMOD;
567 1988 : break;
568 : case t_INTMOD:
569 665 : p = gel(*pp, 1);
570 665 : break;
571 : case t_REAL:
572 28 : e = real_prec(*pp);
573 28 : p = NULL;
574 28 : break;
575 : case t_PADIC:
576 224 : ep = padic_prec(*pp);
577 224 : p = gel(*pp, 2);
578 224 : break;
579 : case t_FFELT:
580 18144 : p = *pp;
581 18144 : break;
582 : case t_VEC:
583 36435 : t = t_VEC; p = *pp;
584 36435 : if (fix_nftype(&p)) break;
585 : default:
586 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
587 2 : return 0;
588 : }
589 : /* Possible cases:
590 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
591 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
592 : * t = t_INTMOD (p a prime)
593 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
594 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
595 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
596 4233939 : for (i = 1; i < imax; i++)
597 : {
598 3521725 : GEN p2, q = gel(x,i);
599 3521725 : switch(typ(q)) {
600 : case t_PADIC:
601 49 : p2 = gel(q,2);
602 49 : switch(t)
603 : {
604 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
605 14 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
606 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
607 : }
608 28 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
609 28 : break;
610 : case t_INTMOD:
611 121997 : p2 = gel(q,1);
612 121997 : switch(t)
613 : {
614 24442 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
615 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
616 97492 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
617 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
618 : }
619 121964 : break;
620 : case t_FFELT:
621 255882 : switch(t)
622 : {
623 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
624 95828 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
625 : case t_FFELT:
626 160055 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
627 160055 : break;
628 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
629 : }
630 255883 : break;
631 :
632 3139996 : case t_INT: case t_FRAC: break;
633 : case t_REAL:
634 56 : switch(t)
635 : {
636 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
637 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
638 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
639 : }
640 56 : break;
641 : case t_COL:
642 : case t_POL:
643 : case t_POLMOD:
644 3731 : if (t == t_VEC) break;
645 : default: /* base ring too general */
646 2541 : return t_COMPLEX;
647 : }
648 : }
649 712214 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
650 : }
651 :
652 : /* s = 0 complex, else real;
653 : * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
654 : static GEN
655 6020 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
656 : {
657 : GEN y;
658 6020 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
659 : {
660 : case t_ELL_Rg:
661 7 : case t_ELL_Q: break;
662 7 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
663 : }
664 6013 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
665 6013 : if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
666 6013 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
667 6013 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
668 6013 : return y;
669 : }
670 :
671 : static GEN
672 196 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
673 : {
674 : GEN y;
675 196 : if (lg(x) > 6)
676 : {
677 28 : switch(ell_get_type(x))
678 : { /* sanity checks */
679 21 : case t_ELL_Q: break;
680 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
681 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
682 : }
683 21 : x = vecslice(x,1,5);
684 : }
685 189 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
686 189 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
687 189 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
688 189 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
689 189 : return y;
690 : }
691 :
692 : static GEN
693 497308 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
694 : {
695 : GEN y;
696 : long s;
697 497308 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
698 497175 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
699 497175 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
700 497175 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
701 497175 : return y;
702 : }
703 :
704 : static GEN
705 37023 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
706 : {
707 : long i, l;
708 37023 : GEN y = cgetg_copy(x,&l);
709 37023 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
710 37023 : return y;
711 : }
712 :
713 : static GEN
714 37009 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
715 : {
716 : GEN y, nf;
717 37009 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
718 37009 : nf = checknf(p);
719 37009 : x = nfVtoalg(nf, x);
720 37009 : if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
721 37009 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
722 37009 : gel(y,15) = mkvec(p);
723 37009 : return y;
724 : }
725 :
726 : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
727 : static GEN
728 113979 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
729 : {
730 113979 : x = FF_ellinit(x,fg);
731 113979 : return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
732 : }
733 :
734 : static GEN
735 30318 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
736 : {
737 : long i;
738 : GEN y, disc;
739 30318 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
740 : {
741 2429 : case t_ELL_Q: break;
742 0 : case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
743 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
744 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
745 : }
746 30311 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
747 : /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
748 25382 : if (abscmpiu(p,3)<=0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
749 22638 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
750 22647 : if (!signe(disc)) return NULL;
751 316313 : for(i=1;i<=13;i++)
752 293695 : gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
753 22618 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
754 22625 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
755 22630 : return y;
756 : }
757 :
758 : static GEN
759 114056 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
760 : {
761 : GEN y;
762 114056 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
763 111235 : return FF_ellinit_ns(y,fg);
764 : }
765 :
766 : static GEN
767 3493 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
768 : {
769 3493 : GEN e = vecslice(x,1,5);
770 : GEN p, modP;
771 3493 : if (get_modpr(P))
772 : { /* modpr accept */
773 3192 : modP = P;
774 3192 : p = modpr_get_p(modP);
775 : }
776 : else
777 : { /* pr, initialize modpr */
778 301 : GEN d = Q_denom(e);
779 301 : p = pr_get_p(P);
780 301 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
781 : }
782 3493 : *pp = p;
783 3493 : *pT = modpr_get_T(modP);
784 3493 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
785 : }
786 : static GEN
787 3472 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
788 : {
789 : GEN T,p;
790 3472 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
791 3472 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
792 : }
793 :
794 : GEN
795 680519 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
796 : {
797 680519 : pari_sp av = avma;
798 : GEN y;
799 680519 : switch(typ(x))
800 : {
801 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
802 : case t_VEC:
803 680512 : if (lg(x) > 6) checkell(x);
804 680513 : break;
805 0 : default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
806 : }
807 680520 : if (D && get_prid(D))
808 : {
809 3052 : if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
810 3052 : y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
811 3052 : goto END;
812 : }
813 677468 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
814 : {
815 : case t_PADIC:
816 196 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
817 189 : break;
818 : case t_INTMOD:
819 27058 : y = ellinit_Fp(x, D);
820 27061 : break;
821 : case t_FFELT:
822 113846 : y = ellinit_Fq(x, D);
823 113846 : break;
824 : case t_FRAC:
825 497308 : y = ellinit_Q(x, prec);
826 497301 : break;
827 : case t_REAL:
828 28 : y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
829 21 : break;
830 : case t_VEC:
831 36435 : y = ellinit_nf(x, D);
832 36435 : break;
833 : default:
834 2541 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
835 : }
836 : END:
837 680446 : if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
838 672536 : return gerepilecopy(av,y);
839 : }
840 :
841 : /********************************************************************/
842 : /** **/
843 : /** COORDINATE CHANGE **/
844 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
845 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
846 : /** verbatim **/
847 : /** **/
848 : /********************************************************************/
849 : /* [1,0,0,0] */
850 : static GEN
851 2566830 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
852 : static int
853 456946 : is_trivial_change(GEN v)
854 : {
855 : GEN u, r, s, t;
856 456946 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
857 456946 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
858 456946 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
859 : }
860 :
861 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
862 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
863 : static void
864 833 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
865 : {
866 833 : GEN v = *vtotal;
867 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
868 :
869 833 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
870 805 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
871 805 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
872 805 : U2 = gsqr(U);
873 805 : gel(v,1) = gmul(U, u);
874 805 : gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
875 805 : gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
876 805 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
877 : }
878 :
879 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
880 : GEN
881 21 : ellchangeinvert(GEN w)
882 : {
883 : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
884 21 : if (typ(w) == t_INT) return w;
885 21 : u = gel(w,1);
886 21 : r = gel(w,2);
887 21 : s = gel(w,3);
888 21 : t = gel(w,4);
889 21 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
890 21 : U = ginv(u);
891 21 : R = gdiv(gneg(r), u2);
892 21 : S = gdiv(gneg(s), u);
893 21 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
894 21 : return mkvec4(U,R,S,T);
895 : }
896 :
897 : static GEN
898 99393 : ell_to_nfell10(GEN e)
899 : {
900 : long i;
901 99393 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
902 99393 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
903 1093323 : for(i=1; i<=10; i++)
904 993930 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
905 99393 : return y;
906 : }
907 :
908 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
909 : static GEN
910 153552 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
911 : {
912 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
913 : long lx;
914 153552 : if (gequal1(u)) return e;
915 153139 : y = cgetg_copy(e, &lx);
916 153139 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
917 153139 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
918 153139 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
919 153139 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
920 153139 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
921 153139 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
922 153139 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
923 153139 : if (lx == 6) return y;
924 153132 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
925 153132 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
926 153132 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
927 153132 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
928 153132 : return y;
929 : }
930 : /* apply [1,r,0,0] */
931 : static GEN
932 267323 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
933 : {
934 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
935 : long lx;
936 267323 : if (gequal0(r)) return e;
937 238980 : y = cgetg_copy(e, &lx);
938 238980 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
939 238980 : rx3 = gmulsg(3,r);
940 :
941 238980 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
942 : /* A2 = a2 + 3r */
943 238980 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
944 : /* A3 = a1 r + a3 */
945 238980 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
946 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
947 238980 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
948 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
949 238980 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
950 238980 : if (lx == 6) return y;
951 :
952 238973 : b4 = ell_get_b4(e);
953 238973 : b6 = ell_get_b6(e);
954 : /* B2 = 12r + b2 */
955 238973 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
956 238973 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
957 238973 : r2 = nfsqr(nf,r);
958 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
959 238973 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
960 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
961 238973 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
962 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
963 238973 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
964 238973 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
965 238973 : return y;
966 : }
967 :
968 : static GEN
969 109557 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
970 : {
971 : GEN a1, y;
972 109557 : if (gequal0(s)) return e;
973 109557 : a1 = ell_get_a1(e);
974 109557 : y = leafcopy(e);
975 :
976 : /* A1 = a1 + 2s */
977 109557 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
978 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
979 109557 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
980 : /* A4 = a4 - s a3 */
981 109557 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
982 109557 : return y;
983 : }
984 : /* apply [1,0,0,t] */
985 : static GEN
986 251874 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
987 : {
988 : GEN a1, a3, y;
989 251874 : if (gequal0(t)) return e;
990 251454 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
991 251454 : y = leafcopy(e);
992 : /* A3 = 2t + a3 */
993 251454 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
994 : /* A4 = a4 - a1 t */
995 251454 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
996 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
997 251454 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
998 251454 : return y;
999 : }
1000 :
1001 : /* apply [1,0,s,t] */
1002 : static GEN
1003 12936 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1004 : {
1005 : GEN y, a1, a3;
1006 12936 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1007 12516 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1008 12516 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1009 12516 : y = leafcopy(e);
1010 : /* A1 = a1 + 2s */
1011 12516 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1012 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1013 12516 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1014 : /* A3 = 2t + a3 */
1015 12516 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1016 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1017 12516 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1018 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1019 12516 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1020 12516 : return y;
1021 : }
1022 :
1023 : static GEN
1024 171094 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1025 : {
1026 171094 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1027 171094 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1028 : }
1029 :
1030 : /* apply [1,r,s,t] */
1031 : static GEN
1032 420 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1033 : {
1034 420 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1035 420 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1036 : }
1037 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1038 : static GEN
1039 420 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1040 : {
1041 420 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1042 420 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1043 420 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1044 : }
1045 :
1046 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1047 : static GEN
1048 73577 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1049 : {
1050 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1051 : long lx;
1052 73577 : if (gequal1(u)) return e;
1053 73248 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1054 73248 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1055 73248 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1056 73248 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1057 73248 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1058 73248 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1059 73248 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1060 73248 : if (lx == 6) return y;
1061 73248 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1062 73248 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1063 73248 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1064 73248 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1065 73248 : u12 = gsqr(u6);
1066 73248 : D = ell_get_disc(e);
1067 73248 : c4 = ell_get_c4(e);
1068 73248 : c6 = ell_get_c6(e);
1069 73248 : c4 = gmul(c4, u4);
1070 73248 : c6 = gmul(c6, u6);
1071 73248 : D = gmul(D, u12);
1072 73248 : gel(y,10)= c4;
1073 73248 : gel(y,11)= c6;
1074 73248 : gel(y,12)= D;
1075 73248 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1076 73248 : gel(y,14)= gel(e,14);
1077 73248 : gel(y,15)= gel(e,15);
1078 73248 : gel(y,16)= gel(e,16);
1079 73248 : return y;
1080 : }
1081 : /* apply [1,r,0,0] */
1082 : static GEN
1083 611212 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1084 : {
1085 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1086 611212 : if (gequal0(r)) return e;
1087 511784 : y = leafcopy(e);
1088 511784 : a2 = ell_get_a2(e);
1089 511784 : rx3 = gmulsg(3,r);
1090 :
1091 : /* A2 = a2 + 3r */
1092 511784 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1093 : /* A3 = a1 r + a3 */
1094 511784 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1095 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1096 511784 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1097 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1098 511784 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1099 511784 : if (lg(y) == 6) return y;
1100 :
1101 511777 : b4 = ell_get_b4(e);
1102 511777 : b6 = ell_get_b6(e);
1103 : /* B2 = 12r + b2 */
1104 511777 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1105 511777 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1106 511777 : r2 = gsqr(r);
1107 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1108 511777 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1109 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1110 511777 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1111 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1112 511777 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1113 511777 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1114 511777 : return y;
1115 : }
1116 : /* apply [1,0,s,0] */
1117 : static GEN
1118 118020 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1119 : {
1120 : GEN a1, y;
1121 118020 : if (gequal0(s)) return e;
1122 118020 : a1 = ell_get_a1(e);
1123 118020 : y = leafcopy(e);
1124 :
1125 : /* A1 = a1 + 2s */
1126 118020 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1127 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1128 118020 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1129 : /* A4 = a4 - s a3 */
1130 118020 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1131 118020 : return y;
1132 : }
1133 : /* apply [1,0,0,t] */
1134 : static GEN
1135 344960 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1136 : {
1137 : GEN a1, a3, y;
1138 344960 : if (gequal0(t)) return e;
1139 275002 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1140 275002 : y = leafcopy(e);
1141 : /* A3 = 2t + a3 */
1142 275002 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1143 : /* A4 = a4 - a1 t */
1144 275002 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1145 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1146 275002 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1147 275002 : return y;
1148 : }
1149 : /* apply [1,0,s,t] */
1150 : static GEN
1151 347522 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1152 : {
1153 : GEN y, a1, a3;
1154 347522 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1155 246001 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1156 127981 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1157 127981 : y = leafcopy(e);
1158 : /* A1 = a1 + 2s */
1159 127981 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1160 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1161 127981 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1162 : /* A3 = 2t + a3 */
1163 127981 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1164 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1165 127981 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1166 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1167 127981 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1168 127981 : return y;
1169 : }
1170 : /* apply [1,r,s,t] */
1171 : static GEN
1172 347522 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1173 : {
1174 347522 : e = coordch_r(e, r);
1175 347522 : return coordch_st(e, s, t);
1176 : }
1177 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1178 : static GEN
1179 72275 : coordch(GEN e, GEN w)
1180 : {
1181 72275 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1182 72275 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1183 72275 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1184 : }
1185 :
1186 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1187 : * (dynamic data) */
1188 : static GEN
1189 35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1190 : {
1191 35 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1192 35 : long prec = valp(p);
1193 35 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1194 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1195 : {
1196 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1197 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1198 : }
1199 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1200 : {
1201 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1202 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1203 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1204 7 : U = gmul(U, u);
1205 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1206 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1207 : }
1208 35 : return E;
1209 : }
1210 :
1211 : /* common to Q and Rg */
1212 : static GEN
1213 37177 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1214 : {
1215 37177 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1216 37177 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1217 28 : obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1218 37177 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1219 28 : obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
1220 37177 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1221 : {
1222 28 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1223 : long i;
1224 28 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1225 28 : obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
1226 : }
1227 37177 : return E;
1228 : }
1229 :
1230 : static GEN
1231 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1232 : {
1233 7 : GEN p = NULL;
1234 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1235 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1236 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1237 : }
1238 :
1239 : static GEN
1240 37177 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1241 : {
1242 37177 : long prec = ellR_get_prec(E);
1243 37177 : GEN S, v = NULL, p = NULL;
1244 37177 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1245 37170 : ch_R(E, e, w);
1246 37170 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1247 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1248 37170 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1249 : {
1250 1288 : if (lg(S) == 2)
1251 : { /* model was minimal */
1252 7 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1253 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1254 7 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1255 : }
1256 : else
1257 : {
1258 1281 : v = gel(S,2);
1259 1281 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
1260 1267 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1261 : else
1262 : {
1263 14 : w = ellchangeinvert(w);
1264 14 : gcomposev(&w, v); v = w;
1265 14 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1266 14 : gel(S,2) = v;
1267 : }
1268 1281 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1269 : }
1270 : }
1271 37170 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1272 14 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1273 37170 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1274 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1275 37170 : return E;
1276 : }
1277 :
1278 : static void
1279 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1280 : {
1281 : GEN S;
1282 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1283 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1284 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1285 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1286 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1287 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1288 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1289 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1290 126 : }
1291 :
1292 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1293 : static GEN
1294 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1295 : {
1296 7 : long prec = 0;
1297 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1298 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1299 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1300 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1301 : }
1302 : static GEN
1303 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1304 : {
1305 119 : long prec = 0;
1306 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1307 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1308 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1309 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1310 : }
1311 :
1312 : static void
1313 72191 : ell_reset(GEN E)
1314 72191 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1315 :
1316 : GEN
1317 72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1318 : {
1319 72212 : pari_sp av = avma;
1320 : GEN E;
1321 72212 : checkell5(e);
1322 72212 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1323 72205 : checkcoordch(w);
1324 72205 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1325 72205 : if (lg(E) != 6)
1326 : {
1327 72191 : ell_reset(E);
1328 72191 : switch(ell_get_type(E))
1329 : {
1330 35 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1331 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1332 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1333 35917 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1334 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1335 : }
1336 : }
1337 72205 : return gerepilecopy(av, E);
1338 : }
1339 :
1340 : /* v o= [1,r,0,0] */
1341 : static void
1342 164395 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1343 : {
1344 164395 : GEN v = *vtotal;
1345 : GEN U2, R, S, T;
1346 164395 : if (gequal0(r)) return;
1347 95809 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1348 95809 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1349 95809 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1350 95809 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1351 : }
1352 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1353 : static void
1354 109557 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1355 : {
1356 109557 : GEN v = *vtotal;
1357 : GEN U, S;
1358 109557 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1359 109557 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1360 109557 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1361 109557 : }
1362 : /* v o= [1,0,0,t] */
1363 : static void
1364 254030 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1365 : {
1366 254030 : GEN v = *vtotal;
1367 : GEN U3, U, T;
1368 254030 : if (gequal0(t)) return;
1369 80360 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1370 80360 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1371 80360 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1372 : }
1373 : /* v o= [1,r,0,t] */
1374 : static void
1375 251846 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1376 : {
1377 251846 : GEN v = *vtotal;
1378 : GEN U2, U, R, S, T;
1379 251846 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1380 171094 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1381 171094 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1382 171094 : U2 = nfsqr(nf,U);
1383 171094 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1384 171094 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1385 : }
1386 : /* v o= [1,0,s,t] */
1387 : static void
1388 184345 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1389 : {
1390 184345 : GEN v = *vtotal;
1391 : GEN U3, U, S, T;
1392 184345 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1393 122073 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1394 12516 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1395 12516 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1396 12516 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1397 12516 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1398 : }
1399 :
1400 : /* v o= [u,0,0,0] */
1401 : static void
1402 153132 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1403 : {
1404 153132 : GEN v = *vtotal;
1405 153132 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1406 153132 : }
1407 :
1408 : /* X = (x-r)/u^2
1409 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1410 : static GEN
1411 525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1412 : {
1413 : GEN a, x, y;
1414 525 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1415 511 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1416 511 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1417 : }
1418 :
1419 : GEN
1420 525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1421 : {
1422 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1423 525 : long tx, i, lx = lg(x);
1424 525 : pari_sp av = avma;
1425 :
1426 525 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1427 525 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1428 525 : checkcoordch(ch);
1429 525 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1430 525 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1431 525 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1432 525 : tx = typ(gel(x,1));
1433 525 : if (is_matvec_t(tx))
1434 : {
1435 21 : y = cgetg(lx,tx);
1436 42 : for (i=1; i<lx; i++)
1437 21 : gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1438 : }
1439 : else
1440 504 : y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
1441 525 : return gerepilecopy(av,y);
1442 : }
1443 :
1444 : /* x = u^2*X + r
1445 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1446 : static GEN
1447 63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1448 : {
1449 : GEN a, X, Y;
1450 63 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1451 63 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1452 63 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1453 : }
1454 : GEN
1455 63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1456 : {
1457 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1458 63 : long tx, i, lx = lg(x);
1459 63 : pari_sp av = avma;
1460 :
1461 63 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1462 63 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1463 63 : checkcoordch(ch);
1464 63 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1465 63 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1466 63 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1467 63 : tx = typ(gel(x,1));
1468 63 : if (is_matvec_t(tx))
1469 : {
1470 7 : y = cgetg(lx,tx);
1471 14 : for (i=1; i<lx; i++)
1472 7 : gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1473 : }
1474 : else
1475 56 : y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
1476 63 : return gerepilecopy(av,y);
1477 : }
1478 :
1479 : GEN
1480 28504 : elltwist(GEN E, GEN P)
1481 : {
1482 28504 : pari_sp av = avma;
1483 : GEN a1, a2, a3, a4, a6;
1484 : GEN a, b, c, ac, D, D2;
1485 : GEN V;
1486 28504 : checkell(E);
1487 28504 : if (!P)
1488 : {
1489 : GEN a4, a6;
1490 27188 : checkell_Fq(E);
1491 27188 : switch (ell_get_type(E))
1492 : {
1493 : case t_ELL_Fp:
1494 : {
1495 0 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
1496 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
1497 27188 : return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
1498 : }
1499 : case t_ELL_Fq:
1500 27188 : return FF_elltwist(E);
1501 : }
1502 : }
1503 1316 : a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
1504 1316 : a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
1505 1316 : if (typ(P) == t_INT)
1506 : {
1507 1302 : if (equali1(P))
1508 322 : retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
1509 980 : P = quadpoly(P);
1510 : } else
1511 : {
1512 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1513 14 : if (degpol(P) != 2 )
1514 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1515 : }
1516 994 : a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
1517 994 : ac = gmul(a, c);
1518 994 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
1519 994 : D2 = gsqr(D);
1520 994 : V = cgetg(6, t_VEC);
1521 994 : gel(V, 1) = gmul(a1, b);
1522 994 : gel(V, 2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1523 994 : gel(V, 3) = gmul(gmul(a3, b), D);
1524 994 : gel(V, 4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
1525 994 : gel(V, 5) = gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
1526 994 : return gerepilecopy(av, V);
1527 : }
1528 :
1529 : /********************************************************************/
1530 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1531 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1532 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1533 : /********************************************************************/
1534 :
1535 : static long
1536 3010 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1537 3010 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1538 :
1539 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1540 : * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1541 : * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1542 : * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1543 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1544 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1545 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1546 : * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1547 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1548 : static long
1549 392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1550 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1551 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1552 : long v4, v6, vD;
1553 :
1554 392 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1555 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1556 :
1557 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1558 336 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1559 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1560 329 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1561 :
1562 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1563 329 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1564 :
1565 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1566 266 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1567 175 : vD = vali(disc);
1568 175 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1569 168 : return -8;
1570 : }
1571 :
1572 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
1573 : It also has minimal conductor in Z[1/2]
1574 : */
1575 : GEN
1576 637 : ellminimaltwist(GEN e)
1577 : {
1578 637 : pari_sp av = avma;
1579 637 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1580 : long i, lF;
1581 637 : checkell_Q(e);
1582 637 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1583 637 : c4 = ell_get_c4(E);
1584 637 : c6 = ell_get_c6(E);
1585 637 : disc = ell_get_disc(E);
1586 637 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1587 637 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1588 637 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1589 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1590 : * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
1591 : * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1592 2366 : for(i = 1; i < lF; i++)
1593 : {
1594 1729 : GEN p = gel(F, i);
1595 1729 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1596 1729 : if (vg < 6) continue;
1597 : /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
1598 : * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1599 1197 : switch(itou_or_0(p))
1600 : {
1601 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1602 441 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1603 441 : break;
1604 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1605 364 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1606 364 : break;
1607 : case 2:
1608 392 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1609 392 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1610 392 : break;
1611 : }
1612 : }
1613 637 : obj_free(E);
1614 637 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1615 : }
1616 :
1617 : /*
1618 : Reference:
1619 : William A. Stein and Mark Watkins
1620 : A Database of Elliptic Curves-First Report
1621 : ANTS 5
1622 : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
1623 : */
1624 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1625 : GEN
1626 371 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1627 : {
1628 371 : pari_sp av = avma;
1629 371 : GEN D = ellminimaltwist(e);
1630 371 : GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
1631 371 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1632 371 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1633 371 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1634 357 : else if (f==6)
1635 : {
1636 : long s, t;
1637 21 : if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
1638 : else
1639 : {
1640 14 : t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
1641 14 : s = signe(D)==t ? -3: -1;
1642 : }
1643 21 : D = shifti(D, s);
1644 : }
1645 371 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1646 : }
1647 :
1648 : GEN
1649 448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1650 : {
1651 448 : switch(flag)
1652 : {
1653 266 : case 0: return ellminimaltwist(e);
1654 182 : case 1: return ellminimaltwistcond(e);
1655 : }
1656 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1657 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1658 : }
1659 :
1660 : static long
1661 7 : ellexpo(GEN E)
1662 : {
1663 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1664 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1665 : {
1666 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1667 35 : if (f > e) e = f;
1668 : }
1669 7 : return e;
1670 : }
1671 :
1672 : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
1673 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1674 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1675 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1676 : int
1677 16009 : oncurve(GEN e, GEN z)
1678 : {
1679 : GEN LHS, RHS, x;
1680 : long pl, pr, ex, expx;
1681 : pari_sp av;
1682 :
1683 16009 : checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1684 15932 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1685 15932 : av = avma;
1686 15932 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1687 15932 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1688 15932 : if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
1689 21 : pl = precision(LHS);
1690 21 : pr = precision(RHS);
1691 21 : if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
1692 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1693 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1694 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
1695 7 : expx = gexpo(x);
1696 14 : pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
1697 7 : || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
1698 7 : return gc_bool(av,pr);
1699 : }
1700 :
1701 : GEN
1702 17157 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1703 : {
1704 17157 : long i, tx = typ(x), lx;
1705 :
1706 17157 : checkell(e);
1707 17157 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1708 17157 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1709 17157 : tx = typ(gel(x,1));
1710 17157 : if (is_vec_t(tx))
1711 : {
1712 1687 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1713 1687 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1714 1687 : return z;
1715 : }
1716 15470 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1717 : }
1718 :
1719 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1720 : static GEN
1721 1785 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
1722 : {
1723 : GEN dy,dx;
1724 1785 : if (y1 != y2)
1725 : {
1726 : int eq;
1727 259 : if (precision(y1) || precision(y2))
1728 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1729 : else
1730 252 : eq = gequal(y1,y2);
1731 259 : if (!eq) return NULL;
1732 : }
1733 1778 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
1734 1778 : if (gequal0(dx)) return NULL;
1735 1743 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1736 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
1737 1743 : return gdiv(dy,dx);
1738 : }
1739 :
1740 : GEN
1741 13384 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1742 : {
1743 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
1744 13384 : pari_sp av = avma;
1745 :
1746 13384 : checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
1747 13384 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1748 10983 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1749 :
1750 9331 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1751 9331 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1752 9331 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1753 : {
1754 539 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1755 539 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1756 539 : x2 = nftoalg(nf, x2);
1757 539 : y1 = nftoalg(nf, y1);
1758 539 : y2 = nftoalg(nf, y2);
1759 : }
1760 9331 : if (cx_approx_equal(x1,x2))
1761 : {
1762 1785 : s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
1763 1785 : if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
1764 : }
1765 : else
1766 7546 : s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
1767 9289 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1768 9289 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
1769 9289 : z = cgetg(3,t_VEC);
1770 9289 : gel(z,1) = gcopy(x);
1771 9289 : gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
1772 : }
1773 :
1774 : static GEN
1775 49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1776 : {
1777 : GEN t, x, y;
1778 49 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1779 49 : x = gel(z,1);
1780 49 : y = gel(z,2);
1781 49 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1782 : {
1783 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1784 0 : x = nftoalg(nf,x);
1785 0 : y = nftoalg(nf,y);
1786 : }
1787 49 : t = cgetg(3,t_VEC);
1788 49 : gel(t,1) = x;
1789 49 : gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
1790 49 : return t;
1791 : }
1792 :
1793 : GEN
1794 994 : ellneg(GEN e, GEN z)
1795 : {
1796 : pari_sp av;
1797 : GEN t, y;
1798 994 : checkell(e); checkellpt(z);
1799 994 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1800 994 : t = cgetg(3,t_VEC);
1801 994 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
1802 994 : av = avma;
1803 994 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
1804 994 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
1805 994 : return t;
1806 : }
1807 :
1808 : GEN
1809 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1810 : {
1811 49 : pari_sp av = avma;
1812 49 : checkell(e); checkellpt(z2);
1813 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
1814 : }
1815 :
1816 : /* E an ell, x a scalar */
1817 : static GEN
1818 1484 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
1819 : {
1820 1484 : pari_sp av = avma;
1821 1484 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
1822 :
1823 1484 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1824 : {
1825 532 : nf = ellnf_get_nf(E);
1826 532 : x = nftoalg(nf,x);
1827 : }
1828 1484 : a = ec_f_evalx(E,x);
1829 1484 : b = ec_h_evalx(E,x);
1830 1484 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
1831 : /* solve y*(y+b) = a */
1832 1484 : if (gequal0(D)) {
1833 336 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1834 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
1835 336 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
1836 336 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
1837 336 : return gerepileupto(av,y);
1838 : }
1839 : /* D != 0 */
1840 1148 : switch(ell_get_type(E))
1841 : {
1842 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
1843 28 : p = ellff_get_p(E);
1844 28 : D = gel(D,2);
1845 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1846 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
1847 7 : break;
1848 : case t_ELL_Fq:
1849 217 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1850 : {
1851 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
1852 77 : if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1853 28 : return gerepileupto(av, F);
1854 : }
1855 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1856 77 : break;
1857 : case t_ELL_Q:
1858 357 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
1859 350 : if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1860 266 : break;
1861 :
1862 : case t_ELL_NF:
1863 : {
1864 525 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
1865 525 : setvarn(T, fetch_var_higher());
1866 525 : d = nfroots(nf, T);
1867 525 : delete_var();
1868 525 : if (lg(d) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
1869 511 : d = gel(d,1);
1870 511 : break;
1871 : }
1872 :
1873 : case t_ELL_Qp:
1874 14 : p = ellQp_get_p(E);
1875 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
1876 14 : if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1877 14 : d = Qp_sqrt(D);
1878 14 : break;
1879 :
1880 : default:
1881 7 : d = gsqrt(D,prec);
1882 : }
1883 889 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
1884 889 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
1885 889 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
1886 889 : return gerepileupto(av,y);
1887 : }
1888 :
1889 : GEN
1890 1484 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
1891 : {
1892 1484 : checkell(e);
1893 1484 : if (is_matvec_t(typ(x)))
1894 : {
1895 : long i, lx;
1896 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
1897 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
1898 0 : return v;
1899 : }
1900 1484 : return ellordinate_i(e, x, prec);
1901 : }
1902 :
1903 : GEN
1904 244342 : ellrandom(GEN E)
1905 : {
1906 : GEN fg;
1907 244342 : checkell_Fq(E);
1908 244342 : fg = ellff_get_field(E);
1909 244342 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1910 244314 : return FF_ellrandom(E);
1911 : else
1912 : {
1913 28 : pari_sp av = avma;
1914 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
1915 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
1916 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
1917 28 : return gerepileupto(av, P);
1918 : }
1919 : }
1920 :
1921 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
1922 : static GEN
1923 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
1924 : {
1925 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
1926 : long ln, vn;
1927 :
1928 14 : if (typ(N) != t_INT)
1929 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
1930 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
1931 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
1932 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
1933 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
1934 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
1935 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
1936 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
1937 : do
1938 : {
1939 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
1940 : do
1941 : {
1942 28 : long ep = (-valp(z2)) >> 1;
1943 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
1944 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
1945 : }
1946 28 : while (valp(z2) <= 0);
1947 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
1948 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
1949 21 : if (!signe(z2)) break;
1950 7 : z2 = ginv(z2);
1951 : }
1952 7 : while (degpol(p1) < vn);
1953 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
1954 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
1955 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
1956 14 : b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
1957 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
1958 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
1959 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
1960 :
1961 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
1962 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
1963 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
1964 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
1965 :
1966 14 : x = gdiv(p1,q1);
1967 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
1968 14 : x = gsub(x, b2ov12);
1969 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
1970 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
1971 : }
1972 :
1973 : static GEN
1974 637 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
1975 : static GEN
1976 196 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
1977 :
1978 : static GEN
1979 248264 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
1980 : {
1981 248264 : GEN fg = ellff_get_field(E);
1982 248264 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1983 247702 : return FF_ellmul(E, P, n);
1984 : else
1985 : {
1986 562 : pari_sp av = avma;
1987 562 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
1988 562 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
1989 551 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
1990 485 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
1991 485 : return gerepileupto(av, Q);
1992 : }
1993 : }
1994 : /* [n] z, n integral */
1995 : static GEN
1996 248776 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
1997 : {
1998 : long s;
1999 248776 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2000 248775 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
2001 511 : s = signe(n);
2002 511 : if (!s) return ellinf();
2003 462 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2004 462 : if (is_pm1(n)) return z;
2005 392 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2006 : }
2007 :
2008 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2009 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2010 : static long
2011 42 : myroundr(GEN *px)
2012 : {
2013 42 : GEN x = *px;
2014 : long e;
2015 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2016 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2017 42 : if (e >= -5) return NO;
2018 42 : return OK;
2019 : }
2020 :
2021 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2022 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2023 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2024 : static GEN
2025 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2026 : {
2027 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2028 : long prec;
2029 :
2030 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2031 14 : switch(typ(Q))
2032 : {
2033 : case t_COMPLEX:
2034 0 : D = utoineg(4);
2035 0 : v = gel(Q,2);
2036 0 : break;
2037 : case t_QUAD:
2038 14 : D = quad_disc(Q);
2039 14 : v = gel(Q,3);
2040 14 : break;
2041 : default:
2042 0 : return NULL; /*-Wall*/
2043 : }
2044 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2045 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
2046 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2047 14 : prec = precision(tau);
2048 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2049 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2050 : * Compute f*k */
2051 14 : x = gel(tau,1);
2052 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2053 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2054 14 : switch(myroundr(&fk))
2055 : {
2056 0 : case NO: return NULL;
2057 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2058 : }
2059 14 : fk = absi_shallow(fk);
2060 :
2061 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2062 14 : switch(myroundr(&fkb))
2063 : {
2064 0 : case NO: return NULL;
2065 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2066 : }
2067 :
2068 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2069 14 : switch(myroundr(&fkc))
2070 : {
2071 0 : case NO: return NULL;
2072 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2073 : }
2074 :
2075 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2076 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2077 14 : dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2078 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2079 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2080 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2081 14 : v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
2082 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2083 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2084 : }
2085 :
2086 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2087 : static GEN
2088 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2089 : {
2090 : GEN A, B, q;
2091 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2092 14 : q = CM_factor(e, w);
2093 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2094 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2095 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2096 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2097 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2098 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2099 7 : GEN u = gtrace(w);
2100 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2101 7 : u = shifti(u, -1);
2102 7 : if (signe(u))
2103 : {
2104 0 : w = gsub(w, u);
2105 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2106 : }
2107 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2108 : }
2109 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2110 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2111 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2112 14 : return elladd(e, A, B);
2113 : }
2114 : GEN
2115 248866 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2116 : {
2117 248866 : pari_sp av = avma;
2118 :
2119 248866 : checkell(e); checkellpt(z);
2120 248860 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2121 248777 : switch(typ(n))
2122 : {
2123 248763 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
2124 : case t_QUAD: {
2125 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2126 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2127 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2128 : }
2129 : case t_COMPLEX: {
2130 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2131 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2132 : }
2133 : }
2134 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2135 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2136 : }
2137 :
2138 : /********************************************************************/
2139 : /** **/
2140 : /** Periods **/
2141 : /** **/
2142 : /********************************************************************/
2143 :
2144 : /* References:
2145 : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
2146 : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
2147 : */
2148 :
2149 : static GEN
2150 4245 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
2151 : {
2152 4245 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
2153 4245 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
2154 4245 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
2155 : }
2156 :
2157 : static GEN
2158 3229 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
2159 : {
2160 3229 : pari_sp av = avma;
2161 3229 : GEN roots = ellR_roots(E,prec);
2162 3229 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
2163 3229 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
2164 3229 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
2165 : }
2166 :
2167 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
2168 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
2169 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
2170 : static GEN
2171 4245 : doellR_omega(GEN E, long prec)
2172 : {
2173 4245 : pari_sp av = avma;
2174 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
2175 4245 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
2176 1016 : roots = ellR_roots(E,prec);
2177 1016 : d2 = gel(roots,5);
2178 1016 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
2179 1016 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
2180 1016 : b = gel(z,2);
2181 1016 : c = gabs(z, prec);
2182 1016 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
2183 1016 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
2184 : }
2185 : static GEN
2186 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
2187 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
2188 :
2189 : GEN
2190 5726 : ellR_omega(GEN E, long prec)
2191 5726 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
2192 : GEN
2193 84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
2194 84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
2195 : GEN
2196 5631 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2197 5631 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2198 :
2199 : GEN
2200 2443 : ellR_area(GEN E, long prec)
2201 : {
2202 2443 : pari_sp av = avma;
2203 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2204 2443 : w = ellR_omega(E, prec);
2205 2443 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2206 2443 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2207 2443 : return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2208 : }
2209 :
2210 : /********************************************************************/
2211 : /** **/
2212 : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
2213 : /** **/
2214 : /********************************************************************/
2215 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
2216 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
2217 : static GEN
2218 14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
2219 : {
2220 14 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
2221 14 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
2222 14 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
2223 14 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
2224 14 : GEN z = gel(om,2);
2225 14 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
2226 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
2227 : else
2228 14 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
2229 14 : return gmul2n(z, -1);
2230 : }
2231 :
2232 : static GEN
2233 35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
2234 : {
2235 35 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2236 35 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2237 35 : if (gequal0(y0))
2238 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
2239 : else
2240 : {
2241 35 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
2242 35 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
2243 35 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2244 35 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2245 35 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
2246 : /* |a+b| < |a-b| */
2247 35 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
2248 35 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2249 : }
2250 : }
2251 :
2252 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
2253 : static GEN
2254 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
2255 : {
2256 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2257 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
2258 : else
2259 : {
2260 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2261 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
2262 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
2263 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
2264 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
2265 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
2266 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
2267 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
2268 : }
2269 : }
2270 :
2271 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
2272 : static GEN
2273 21 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
2274 : {
2275 21 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2276 21 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2277 21 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
2278 7 : e1 = gel(R,1);
2279 7 : e2 = gel(R,2);
2280 7 : e3 = gel(R,3);
2281 7 : d2 = gel(R,5);
2282 7 : d3 = gel(R,6);
2283 7 : a = gsqrt(d2,prec);
2284 7 : b = gsqrt(d3,prec);
2285 7 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
2286 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2287 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2288 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2289 : } else {
2290 0 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
2291 0 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
2292 0 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
2293 0 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
2294 : }
2295 : }
2296 :
2297 : static void
2298 7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
2299 : {
2300 7 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
2301 7 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
2302 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
2303 0 : }
2304 : static GEN
2305 161 : get_r0(GEN E, long prec)
2306 : {
2307 161 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2308 161 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2309 : }
2310 : static GEN
2311 112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
2312 : {
2313 112 : pari_sp av = avma;
2314 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
2315 : long vq, vt, Q, R;
2316 112 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
2317 105 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
2318 105 : u = ellQp_u(E, prec);
2319 105 : q = ellQp_q(E, prec);
2320 105 : x = gel(P,1);
2321 105 : r0 = get_r0(E, prec);
2322 105 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
2323 105 : if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
2324 98 : r = gsub(a,b);
2325 98 : ar = gmul(a, r);
2326 98 : if (gequal0(c0))
2327 : {
2328 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
2329 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
2330 : }
2331 : else
2332 : {
2333 91 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
2334 91 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
2335 91 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
2336 84 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
2337 : }
2338 91 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
2339 91 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
2340 :
2341 91 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2342 91 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2343 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
2344 91 : if (typ(t) == t_PADIC)
2345 56 : vt = valp(t);
2346 : else
2347 35 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
2348 91 : vq = valp(q); /* > 0 */
2349 91 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
2350 91 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
2351 91 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2352 91 : return gerepileupto(av, t);
2353 : }
2354 :
2355 : static GEN
2356 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
2357 : {
2358 56 : pari_sp av = avma;
2359 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
2360 : long v;
2361 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
2362 :
2363 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
2364 56 : u = ellQp_u(E,prec);
2365 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
2366 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
2367 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
2368 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
2369 56 : r0 = get_r0(E, prec);
2370 :
2371 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
2372 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
2373 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
2374 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
2375 56 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
2376 : }
2377 :
2378 : static GEN
2379 56 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
2380 : {
2381 : GEN t;
2382 : long s;
2383 56 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
2384 56 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
2385 56 : s = ellR_get_sign(e);
2386 56 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
2387 21 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
2388 : else
2389 35 : t = zellcx(e,z,prec);
2390 56 : return t;
2391 : }
2392 : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
2393 : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
2394 : static void ellnfembed_free(GEN L);
2395 : GEN
2396 161 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
2397 : {
2398 161 : pari_sp av = avma;
2399 161 : checkell(E); checkellpt(P);
2400 161 : switch(ell_get_type(E))
2401 : {
2402 : case t_ELL_Qp:
2403 112 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
2404 112 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
2405 : case t_ELL_NF:
2406 : {
2407 7 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
2408 7 : long i, l = lg(Pe);
2409 7 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
2410 7 : ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
2411 : }
2412 7 : case t_ELL_Q: break;
2413 35 : case t_ELL_Rg: break;
2414 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
2415 : }
2416 42 : return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
2417 : }
2418 :
2419 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
2420 : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
2421 : typedef struct {
2422 : enum period_type type;
2423 : GEN in; /* original input */
2424 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
2425 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
2426 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
2427 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
2428 : GEN x,y; /* t_INT */
2429 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
2430 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
2431 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
2432 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
2433 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
2434 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
2435 : long prec; /* precision(Z) */
2436 : } ellred_t;
2437 :
2438 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
2439 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
2440 : static void
2441 23737 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
2442 : {
2443 23737 : GEN a, b, c, d, t, t0e, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
2444 23737 : long e = gexpo(gel(t0,2));
2445 23737 : t = t0e = (e >= 0)? t0: gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
2446 23737 : a = d = gen_1;
2447 23737 : b = c = gen_0;
2448 : for(;;)
2449 21980 : {
2450 45717 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
2451 45717 : if (signe(n))
2452 : { /* apply T^n */
2453 27502 : t = gsub(t,n);
2454 27502 : a = subii(a, mulii(n,c));
2455 27502 : b = subii(b, mulii(n,d));
2456 : }
2457 45717 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
2458 21980 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
2459 21980 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
2460 21980 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
2461 : }
2462 23737 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0e;
2463 23737 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
2464 23737 : }
2465 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
2466 : * Set *pU to U. */
2467 : GEN
2468 9135 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
2469 : {
2470 : GEN a,b,c,d;
2471 9135 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
2472 9135 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
2473 9135 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
2474 9135 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
2475 : }
2476 : GEN
2477 9100 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
2478 : {
2479 9100 : pari_sp av = avma;
2480 : GEN czd;
2481 9100 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
2482 9100 : gerepileall(av, 2, &t, pU); return t;
2483 : }
2484 :
2485 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
2486 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
2487 : static void
2488 14602 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
2489 : {
2490 : long s, p;
2491 14602 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
2492 14602 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
2493 14602 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
2494 14602 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
2495 : mkvec2(T->w1,T->w2));
2496 14602 : T->swap = (s < 0);
2497 14602 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
2498 14602 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
2499 : /* update lattice */
2500 14602 : p = precision(T->tau);
2501 14602 : if (p)
2502 : {
2503 14224 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
2504 14224 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
2505 : }
2506 14602 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
2507 14602 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
2508 14602 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
2509 14602 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2510 14602 : p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
2511 14602 : T->prec = p;
2512 14602 : }
2513 : /* is z real or pure imaginary ? */
2514 : static void
2515 15680 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
2516 : {
2517 15680 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
2518 10283 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
2519 9758 : else *real = *imag = 0;
2520 15680 : }
2521 : static void
2522 9933 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
2523 : {
2524 : long p;
2525 : GEN Z;
2526 9933 : switch(typ(z))
2527 : {
2528 9933 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
2529 : case t_QUAD:
2530 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
2531 0 : break;
2532 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
2533 : }
2534 9933 : Z = gdiv(z, T->W2);
2535 9933 : T->z = z;
2536 9933 : T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
2537 9933 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
2538 9933 : T->y = ground(real_i(Z));
2539 9933 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2540 9933 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
2541 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
2542 9933 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2543 9933 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
2544 : {
2545 : int W2real, W2imag;
2546 4872 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
2547 4872 : if (W2real)
2548 399 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2549 4473 : else if (W2imag)
2550 406 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
2551 : }
2552 9933 : p = precision(Z);
2553 9933 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
2554 28 : Z = NULL; /*z in L*/
2555 9933 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2556 9933 : T->Z = Z;
2557 9933 : }
2558 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2559 : static GEN
2560 8904 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2561 : {
2562 8904 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2563 8904 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2564 8904 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2565 8904 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2566 4269 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2567 : }
2568 : /* e is either
2569 : * - [w1,w2]
2570 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2571 : * - an ellinit structure */
2572 : static void
2573 14602 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2574 : {
2575 : GEN w, e;
2576 14602 : T->q_is_real = 0;
2577 14602 : T->some_q_is_real = 0;
2578 14602 : switch(T->type)
2579 : {
2580 : case t_PER_ELL:
2581 : {
2582 1057 : long pr, p = prec;
2583 1057 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2584 1057 : e = T->in;
2585 1057 : w = ellR_omega(e, p);
2586 1057 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2587 1057 : break;
2588 : }
2589 : case t_PER_W:
2590 13363 : w = T->in; break;
2591 : default: /*t_PER_WETA*/
2592 182 : w = gel(T->in,1); break;
2593 : }
2594 14602 : T->w1 = gel(w,1);
2595 14602 : T->w2 = gel(w,2);
2596 14602 : red_modSL2(T, prec);
2597 14602 : if (z) reduce_z(z, T);
2598 14602 : }
2599 : static int
2600 14609 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2601 : {
2602 : GEN w1;
2603 14609 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2604 14609 : T->in = e;
2605 14609 : switch(lg(e))
2606 : {
2607 : case 17:
2608 1064 : T->type = t_PER_ELL;
2609 1064 : break;
2610 : case 3:
2611 13545 : w1 = gel(e,1);
2612 13545 : if (typ(w1) != t_VEC)
2613 13363 : T->type = t_PER_W;
2614 : else
2615 : {
2616 182 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2617 182 : T->type = t_PER_WETA;
2618 : }
2619 13545 : break;
2620 0 : default: return 0;
2621 : }
2622 14609 : return 1;
2623 : }
2624 : static int
2625 14525 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2626 : {
2627 14525 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2628 14525 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2629 : }
2630 :
2631 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2632 : static GEN
2633 9016 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2634 : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
2635 : GEN
2636 33537 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
2637 :
2638 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2639 : static GEN
2640 13573 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2641 : {
2642 13573 : GEN y = cxEk(T->Tau, k, T->prec);
2643 13573 : y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
2644 13573 : return cxtoreal(y);
2645 : }
2646 :
2647 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2648 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2649 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2650 : GEN
2651 4452 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2652 : {
2653 4452 : pari_sp av = avma;
2654 : GEN y;
2655 : ellred_t T;
2656 :
2657 4452 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2658 4452 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2659 4452 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2660 4452 : y = _elleisnum(&T, k);
2661 4452 : if (k==2 && signe(T.c))
2662 4011 : {
2663 4011 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2664 4011 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2665 : }
2666 441 : else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y, 12);
2667 420 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2668 4452 : return gerepileupto(av,y);
2669 : }
2670 :
2671 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
2672 : static GEN
2673 8939 : _elleta(ellred_t *T)
2674 : {
2675 8939 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
2676 8939 : y2 = gmul(T->W2, e2);
2677 8939 : y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
2678 8939 : retmkvec2(y1, y2);
2679 : }
2680 :
2681 : /* compute eta1, eta2 */
2682 : GEN
2683 84 : elleta(GEN om, long prec)
2684 : {
2685 84 : pari_sp av = avma;
2686 : GEN y1, y2, E2, pi;
2687 : ellred_t T;
2688 :
2689 84 : if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
2690 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
2691 :
2692 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
2693 77 : prec = T.prec;
2694 77 : pi = mppi(prec);
2695 77 : E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
2696 77 : if (signe(T.c))
2697 : {
2698 21 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
2699 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
2700 21 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
2701 : }
2702 77 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
2703 77 : if (T.swap)
2704 : {
2705 7 : y1 = y2;
2706 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
2707 : }
2708 : else
2709 70 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
2710 77 : switch(typ(T.w1))
2711 : {
2712 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
2713 49 : y1 = real_i(y1);
2714 : }
2715 77 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
2716 : }
2717 : GEN
2718 49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
2719 : {
2720 49 : pari_sp av = avma;
2721 : ellred_t T;
2722 49 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
2723 49 : switch(flag)
2724 : {
2725 14 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
2726 35 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
2727 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
2728 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2729 : }
2730 : }
2731 :
2732 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
2733 : static double
2734 9793 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
2735 :
2736 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
2737 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
2738 : static GEN
2739 987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
2740 : {
2741 : long toadd;
2742 987 : pari_sp av = avma, av1;
2743 : GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
2744 : ellred_t T;
2745 : int simple_case;
2746 :
2747 987 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
2748 987 : if (!T.Z) return NULL;
2749 966 : prec = T.prec;
2750 :
2751 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
2752 966 : pi2 = Pi2n(1, prec);
2753 966 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
2754 966 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
2755 966 : u1 = gsubsg(1,u);
2756 966 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
2757 966 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
2758 966 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
2759 966 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
2760 966 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
2761 966 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
2762 966 : yp = flall? gen_0: NULL;
2763 966 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2764 :
2765 966 : av1 = avma; qn = q;
2766 : for(;;)
2767 11872 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
2768 : /* analogous formula for yp */
2769 12838 : GEN yadd, ypadd = NULL;
2770 12838 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
2771 12838 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
2772 12838 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
2773 12838 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
2774 12838 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
2775 388 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
2776 : else
2777 : {
2778 12450 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
2779 12450 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
2780 12450 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
2781 12450 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
2782 : }
2783 12838 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
2784 12838 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
2785 12838 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
2786 :
2787 12838 : qn = gmul(q,qn);
2788 12838 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
2789 11872 : if (gc_needed(av1,1))
2790 : {
2791 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
2792 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
2793 : }
2794 : }
2795 966 : if (yp)
2796 : {
2797 903 : if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
2798 903 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
2799 : }
2800 :
2801 966 : u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
2802 966 : u2 = gsqr(u1);
2803 966 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
2804 966 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
2805 567 : y = real_i(y);
2806 966 : if (yp)
2807 : {
2808 903 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
2809 903 : if (T.some_q_is_real)
2810 : {
2811 903 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
2812 385 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
2813 : }
2814 903 : y = mkvec2(y, yp);
2815 : }
2816 966 : return gerepilecopy(av, y);
2817 : }
2818 : static GEN
2819 301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
2820 : {
2821 : long i, k, l;
2822 : pari_sp av;
2823 301 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
2824 :
2825 301 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
2826 301 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
2827 :
2828 301 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
2829 301 : _1 = Rg_get_1(c4);
2830 301 : switch(PRECDL)
2831 : {
2832 301 : default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
2833 : case 6:
2834 301 : case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
2835 : case 4:
2836 301 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
2837 : case 2:
2838 301 : case 1: P[0] = _1;
2839 : }
2840 301 : if (PRECDL <= 8) return res;
2841 301 : av = avma;
2842 301 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
2843 1085 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
2844 : {
2845 784 : av = avma;
2846 784 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
2847 784 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
2848 784 : t = gmul2n(t, 1);
2849 784 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
2850 784 : if (k % 3 == 2)
2851 273 : t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
2852 : else /* same value, more efficient */
2853 511 : t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
2854 784 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
2855 : }
2856 301 : return res;
2857 : }
2858 :
2859 : static int
2860 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
2861 : {
2862 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
2863 : {
2864 : case 17:
2865 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
2866 203 : *c6 = ell_get_c6(w);
2867 203 : return 1;
2868 : case 3:
2869 : {
2870 : ellred_t T;
2871 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
2872 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
2873 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
2874 91 : return 1;
2875 : }
2876 : }
2877 0 : *c4 = *c6 = NULL;
2878 0 : return 0;
2879 : }
2880 :
2881 : GEN
2882 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
2883 : {
2884 : GEN c4, c6;
2885 14 : checkell(e);
2886 14 : c4 = ell_get_c4(e);
2887 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
2888 : }
2889 :
2890 : GEN
2891 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
2892 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
2893 :
2894 : GEN
2895 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
2896 : {
2897 182 : pari_sp av = avma;
2898 : GEN y;
2899 :
2900 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
2901 182 : if (!z) z = pol_x(0);
2902 182 : y = toser_i(z);
2903 182 : if (y)
2904 : {
2905 105 : long vy = varn(y), v = valp(y);
2906 : GEN P, Q, c4,c6;
2907 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
2908 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
2909 105 : if (gequal0(y)) {
2910 0 : set_avma(av);
2911 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
2912 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
2913 : }
2914 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
2915 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
2916 105 : if (!flag)
2917 105 : return gerepileupto(av, Q);
2918 : else
2919 : {
2920 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
2921 0 : return gerepilecopy(av, R);
2922 : }
2923 : }
2924 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
2925 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
2926 70 : return gerepileupto(av, y);
2927 : }
2928 :
2929 : GEN
2930 161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
2931 : {
2932 : long prec;
2933 161 : pari_sp av = avma;
2934 161 : GEN pi2, q, y, et = NULL;
2935 : ellred_t T;
2936 :
2937 161 : if (!z) z = pol_x(0);
2938 161 : y = toser_i(z);
2939 161 : if (y)
2940 : {
2941 91 : long vy = varn(y), v = valp(y);
2942 : GEN P, Q, c4,c6;
2943 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
2944 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
2945 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
2946 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
2947 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
2948 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
2949 91 : return gerepileupto(av, Q);
2950 : }
2951 70 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
2952 70 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
2953 70 : prec = T.prec;
2954 70 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
2955 :
2956 70 : pi2 = Pi2n(1, prec);
2957 70 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
2958 :
2959 70 : y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
2960 70 : if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
2961 : { /* else u = -1 and this vanishes */
2962 70 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2963 70 : GEN qn, u, v, S = gen_0;
2964 : pari_sp av1;
2965 70 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
2966 70 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
2967 70 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
2968 70 : y = gadd(y, v);
2969 : /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
2970 : * = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
2971 70 : av1 = avma;
2972 70 : for (qn = q;;)
2973 : {
2974 1600 : S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
2975 835 : qn = gmul(q,qn);
2976 835 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
2977 765 : if (gc_needed(av1,1))
2978 : {
2979 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
2980 0 : gerepileall(av1,2, &S,&qn);
2981 : }
2982 : }
2983 70 : y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
2984 : }
2985 70 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
2986 70 : if (T.some_q_is_real)
2987 : {
2988 70 : if (T.some_z_is_real)
2989 : {
2990 28 : if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
2991 : }
2992 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
2993 : {
2994 21 : if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
2995 21 : gel(y,1) = gen_0;
2996 : }
2997 : }
2998 70 : return et? gerepileupto(av, gadd(y,et)): gerepilecopy(av, y);
2999 : }
3000 :
3001 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3002 : GEN
3003 8974 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3004 : {
3005 : long toadd, prec, n;
3006 8974 : pari_sp av = avma, av1;
3007 : GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3008 : ellred_t T;
3009 :
3010 8974 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3011 :
3012 8974 : if (!z) z = pol_x(0);
3013 8974 : y = toser_i(z);
3014 8974 : if (y)
3015 : {
3016 98 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3017 : GEN P, Q, c4,c6;
3018 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3019 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3020 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3021 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3022 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3023 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3024 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3025 91 : P = integser(serchop0(P));
3026 91 : P = gexp(P, prec0);
3027 91 : setvalp(P, valp(P)+1);
3028 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3029 91 : return gerepileupto(av, Q);
3030 : }
3031 8876 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3032 8876 : if (!T.Z)
3033 : {
3034 7 : if (!flag) return gen_0;
3035 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3036 : }
3037 8869 : prec = T.prec;
3038 8869 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3039 8869 : pi = mppi(prec);
3040 :
3041 8869 : urninv = uinv = NULL;
3042 8869 : if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
3043 : {
3044 112 : toadd = 0;
3045 112 : urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
3046 112 : u = gen_1;
3047 : }
3048 : else
3049 : {
3050 8757 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3051 8757 : urn = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3052 8757 : u = gneg_i(gsqr(urn));
3053 8757 : if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
3054 : }
3055 8869 : q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
3056 8869 : q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
3057 8869 : y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
3058 65174 : for(n=0;;n++)
3059 : { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
3060 : * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
3061 121479 : y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
3062 65174 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3063 65174 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3064 56305 : qn = gmul(q,qn);
3065 56305 : urn = gmul(urn,u);
3066 56305 : if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
3067 56305 : if (gc_needed(av1,1))
3068 : {
3069 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3070 0 : gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3071 : }
3072 : }
3073 8869 : y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3074 8869 : y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
3075 :
3076 8869 : et = _elleta(&T);
3077 8869 : z0 = gmul(T.Z,T.W2);
3078 8869 : y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
3079 8869 : etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
3080 8869 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
3081 8869 : if (flag)
3082 : {
3083 8799 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3084 8799 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
3085 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
3086 8799 : if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
3087 21 : y = real_i(y);
3088 : }
3089 : else
3090 : {
3091 70 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3092 70 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
3093 70 : if (T.some_q_is_real)
3094 : {
3095 : int re, cx;
3096 70 : check_complex(z,&re,&cx);
3097 70 : if (re) y = real_i(y);
3098 49 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
3099 : }
3100 : }
3101 8869 : return gerepilecopy(av, y);
3102 : }
3103 :
3104 : GEN
3105 966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3106 : {
3107 966 : pari_sp av = avma;
3108 : GEN v;
3109 :
3110 966 : checkell(e);
3111 966 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
3112 : {
3113 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3114 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
3115 : }
3116 910 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3117 910 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
3118 896 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
3119 896 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
3120 896 : return gerepilecopy(av, v);
3121 : }
3122 :
3123 : /********************************************************************/
3124 : /** **/
3125 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3126 : /** Kodaira types, global minimal model **/
3127 : /** **/
3128 : /********************************************************************/
3129 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3130 : typedef struct {
3131 : long a1; /*{0,1}*/
3132 : long a2; /*{-1,0,1}*/
3133 : long a3; /*{0,1}*/
3134 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3135 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3136 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3137 : } ellmin_t;
3138 :
3139 : /* u from [u,r,s,t] */
3140 : static void
3141 517209 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3142 : {
3143 517209 : M->u = u;
3144 517209 : if (is_pm1(u))
3145 453866 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3146 : else
3147 : {
3148 63343 : M->u2 = sqri(u);
3149 63343 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3150 63343 : M->u4 = sqri(M->u2);
3151 63343 : M->u6 = sqri(M->u3);
3152 : }
3153 517209 : }
3154 : /* E = original curve */
3155 : static void
3156 517209 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3157 : {
3158 517209 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3159 517209 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3160 63343 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3161 63343 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3162 : }
3163 517209 : M->c4 = c4;
3164 517209 : M->c6 = c6;
3165 517209 : }
3166 : static void
3167 516901 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3168 : {
3169 516901 : GEN D = ell_get_disc(E);
3170 516901 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3171 516901 : M->D = D;
3172 516901 : }
3173 : static void
3174 517062 : min_set_b(ellmin_t *M)
3175 : {
3176 : long b22, b2;
3177 517062 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3178 517062 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
3179 517062 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3180 517062 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3181 517062 : }
3182 : static void
3183 516922 : min_set_a(ellmin_t *M)
3184 : {
3185 516922 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3186 516922 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3187 516922 : if (odd(b2))
3188 : {
3189 257124 : a1 = 1;
3190 257124 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3191 : }
3192 : else
3193 : {
3194 259798 : a1 = 0;
3195 259798 : a2 = b2 >> 2;
3196 : }
3197 516922 : M->a1 = a1;
3198 516922 : M->a2 = a2;
3199 516922 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3200 516922 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3201 516922 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3202 516922 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3203 516922 : }
3204 : static void
3205 516894 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
3206 : {
3207 516894 : min_set_u(M, u);
3208 516894 : min_set_c(M, E);
3209 516894 : min_set_D(M, E);
3210 516894 : min_set_b(M);
3211 516894 : min_set_a(M);
3212 516894 : }
3213 : static GEN
3214 503804 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3215 : {
3216 503804 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3217 : long a11, a13;
3218 503804 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3219 503804 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3220 503804 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3221 503804 : gel(y,4) = M->a4;
3222 503804 : gel(y,5) = M->a6;
3223 503804 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3224 503804 : gel(y,7) = M->b4;
3225 503804 : gel(y,8) = M->b6;
3226 503804 : a11 = M->a1;
3227 503804 : a13 = M->a1 & M->a3;
3228 503804 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3229 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3230 503804 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3231 503804 : gel(y,10)= M->c4;
3232 503804 : gel(y,11)= M->c6;
3233 503804 : gel(y,12)= M->D;
3234 503804 : gel(y,13)= gel(E,13);
3235 503804 : gel(y,14)= gel(E,14);
3236 503804 : gel(y,15)= gel(E,15);
3237 503804 : return y;
3238 : }
3239 : static GEN
3240 516894 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3241 : {
3242 : GEN r, s, t;
3243 516894 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3244 516894 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3245 516894 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
3246 516894 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3247 : }
3248 :
3249 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
3250 : static long
3251 1684749 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
3252 : {
3253 1684749 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
3254 1684749 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
3255 1684749 : if (!signe(c6))
3256 : {
3257 2933 : d = vD / 12;
3258 2933 : if (d)
3259 : {
3260 1071 : if (p == 2)
3261 : {
3262 819 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3263 819 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3264 819 : if (a) d--;
3265 : }
3266 1071 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3267 : }
3268 2933 : v6 = 12; /* +oo */
3269 : }
3270 : else
3271 : {
3272 1681816 : v6 = Z_lval(c6,p);
3273 1681816 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3274 1681816 : if (d) {
3275 181167 : if (p == 2) {
3276 109739 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3277 109739 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3278 109739 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3279 109739 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
3280 71428 : } else if (p == 3) {
3281 45199 : if (v6 == 6*d+2) d--;
3282 : }
3283 181167 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3284 : }
3285 : }
3286 1684749 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3287 : }
3288 : static long
3289 878899 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
3290 : {
3291 : GEN c6;
3292 : long d, v6, vD;
3293 878899 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
3294 39 : c6 = ell_get_c6(E);
3295 39 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
3296 39 : if (!signe(c6))
3297 : {
3298 0 : d = vD / 12;
3299 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3300 0 : v6 = 12; /* +oo */
3301 : }
3302 : else
3303 : {
3304 39 : v6 = Z_pval(c6,p);
3305 39 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3306 39 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3307 : }
3308 39 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3309 : }
3310 :
3311 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3312 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3313 : in the form [f, kod, v, c].
3314 :
3315 : * The integer f is the conductor's exponent.
3316 :
3317 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3318 : II , III , IV --> 2, 3, 4
3319 : I0 --> 1
3320 : Inu --> 4+nu for nu > 0
3321 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3322 :
3323 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3324 :
3325 : * c is the Tamagawa number.
3326 :
3327 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3328 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3329 : static GEN
3330 1733459 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3331 : {
3332 1733459 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3333 1733459 : gel(z,1) = stoi(f);
3334 1733459 : gel(z,2) = stoi(kod);
3335 1733459 : gel(z,3) = gcopy(v);
3336 1733459 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3337 : }
3338 : static GEN
3339 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3340 : {
3341 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3342 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3343 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3344 : }
3345 :
3346 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3347 : static long
3348 879753 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3349 :
3350 : /* p > 3, e integral */
3351 : static GEN
3352 878899 : localred_p(GEN e, GEN p)
3353 : {
3354 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
3355 878899 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3356 :
3357 878899 : c4 = ell_get_c4(e);
3358 878899 : c6 = ell_get_c6(e);
3359 878899 : nuj = j_pval(e, p);
3360 878899 : nuD = Z_pval(D, p);
3361 878899 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
3362 878899 : if (!k) v = init_ch();
3363 : else
3364 : { /* model not minimal */
3365 : ellmin_t M;
3366 13097 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
3367 13097 : v = min_get_v(&M, e);
3368 13097 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
3369 : }
3370 :
3371 878899 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
3372 : {
3373 760725 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3374 760725 : switch(kronecker(negi(c6),p))
3375 : {
3376 392189 : case 1: c = nuD; break;
3377 368536 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
3378 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
3379 : }
3380 760725 : break;
3381 : case 6:
3382 : {
3383 45703 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
3384 45703 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
3385 45703 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
3386 45703 : break;
3387 : }
3388 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
3389 : }
3390 72471 : else switch(nuD)
3391 : {
3392 539 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
3393 11683 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
3394 10332 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
3395 5635 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
3396 5635 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
3397 5635 : break;
3398 16842 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
3399 16842 : p2 = sqri(p);
3400 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
3401 16842 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
3402 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
3403 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
3404 16842 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
3405 16842 : break;
3406 11620 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
3407 11620 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
3408 11620 : break;
3409 10227 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
3410 5593 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
3411 0 : default: return localredbug(p,"localred");
3412 : }
3413 878899 : return localred_result(f, kod, c, v);
3414 : }
3415 :
3416 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
3417 : static ulong
3418 888531 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
3419 888531 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
3420 :
3421 : static ulong
3422 1421910 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
3423 1421910 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
3424 :
3425 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
3426 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
3427 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
3428 : static long
3429 244237 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3430 : {
3431 244237 : if (p == 2)
3432 : {
3433 141099 : if ((c + a * b) & 1) return 3;
3434 122381 : *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
3435 : }
3436 : /* p = 3 */
3437 103138 : if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
3438 69027 : *mult = a * b;
3439 69027 : if (b == 2)
3440 22974 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
3441 : else
3442 46053 : return c ? 3 : 2;
3443 : }
3444 :
3445 : /* same for aX^2 +bX + c */
3446 : static long
3447 788865 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3448 : {
3449 788865 : if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
3450 : /* p = 3 */
3451 301084 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
3452 : }
3453 :
3454 : /* p = 2 or 3 */
3455 : static GEN
3456 704116 : localred_23(GEN e, long p)
3457 : {
3458 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
3459 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
3460 : GEN v;
3461 :
3462 704116 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
3463 704116 : if (!k) v = init_ch();
3464 : else
3465 : {
3466 : ellmin_t M;
3467 48776 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
3468 48776 : v = min_get_v(&M, e);
3469 48776 : e = min_to_ell(&M, e);
3470 : }
3471 : /* model is minimal */
3472 704116 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
3473 704116 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
3474 322749 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
3475 :
3476 704116 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
3477 702653 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
3478 : {
3479 385987 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
3480 195951 : c = nuD;
3481 : else
3482 190036 : c = 2 - (nuD & 1);
3483 385987 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
3484 : }
3485 316666 : if (p == 2)
3486 : {
3487 185843 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
3488 185843 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
3489 185843 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
3490 185843 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
3491 : }
3492 : else /* p == 3 */
3493 : {
3494 130823 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
3495 130823 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
3496 130823 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
3497 130823 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
3498 : }
3499 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
3500 316666 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
3501 316666 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
3502 22288 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
3503 294378 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
3504 27636 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
3505 266742 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
3506 : {
3507 22505 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
3508 11522 : c = 3;
3509 : else
3510 10983 : c = 1;
3511 22505 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
3512 : }
3513 :
3514 244237 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
3515 91000 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
3516 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
3517 244237 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
3518 244237 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
3519 244237 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
3520 244237 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
3521 : {
3522 : case 3:
3523 35987 : c = a63 ? 1: 2;
3524 35987 : if (p == 2)
3525 18718 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
3526 : else {
3527 17269 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
3528 17269 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
3529 : }
3530 35987 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
3531 : case 2:
3532 : { /* compute nu */
3533 : GEN pk, pk1, p2k;
3534 : long al, be, ga;
3535 130340 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
3536 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3537 130340 : nu = 1;
3538 130340 : pk = utoipos(p2);
3539 130340 : p2k = utoipos(p4);
3540 : for(;;)
3541 : {
3542 645050 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
3543 387695 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3544 387695 : al = 1;
3545 387695 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3546 323260 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
3547 323260 : pk1 = pk;
3548 323260 : pk = mului(p, pk);
3549 323260 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3550 :
3551 323260 : al = a21;
3552 323260 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
3553 323260 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3554 323260 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3555 257355 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
3556 257355 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3557 : }
3558 130340 : if (p == 2)
3559 72254 : c = 4 - 2 * (ga & 1);
3560 : else
3561 58086 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
3562 130340 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
3563 : }
3564 : case 1:
3565 77910 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
3566 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3567 77910 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
3568 77910 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
3569 77910 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
3570 : {
3571 29750 : if (p == 2)
3572 20300 : c = 3 - 2 * a64;
3573 : else
3574 9450 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
3575 29750 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
3576 : }
3577 48160 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
3578 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
3579 48160 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
3580 28966 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
3581 :
3582 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
3583 19194 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
3584 : }
3585 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3586 : }
3587 :
3588 : /* e is integral */
3589 : static GEN
3590 1582630 : localred(GEN e, GEN p)
3591 : {
3592 1582630 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
3593 878899 : return localred_p(e,p);
3594 : else
3595 : {
3596 703731 : long l = itos(p);
3597 703731 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
3598 703731 : return localred_23(e, l);
3599 : }
3600 : }
3601 :
3602 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
3603 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
3604 : static GEN
3605 26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
3606 : {
3607 26306 : GEN b = z;
3608 : long i;
3609 26306 : if (typ(b) == t_INT)
3610 : {
3611 26215 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
3612 26215 : return shifti(negi(b),-1);
3613 : }
3614 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3615 : {
3616 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
3617 : }
3618 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
3619 : }
3620 :
3621 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
3622 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
3623 : static GEN
3624 13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
3625 : {
3626 13153 : GEN b = z;
3627 : long i;
3628 13153 : if (typ(b) == t_INT)
3629 : {
3630 13104 : long s = smodis(b,3);
3631 13104 : if (s)
3632 : {
3633 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
3634 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
3635 0 : b = subii(b, Jz);
3636 : else
3637 0 : b = addii(b, Jz);
3638 : }
3639 13104 : return diviiexact(b, stoi(-3));
3640 : }
3641 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3642 : {
3643 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
3644 98 : if (!s) continue;
3645 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
3646 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
3647 : else
3648 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3649 : }
3650 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3651 : }
3652 :
3653 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
3654 : static GEN
3655 3724 : get_piinv(GEN P)
3656 : {
3657 3724 : GEN z = pr_get_tau(P);
3658 3724 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
3659 3724 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
3660 : }
3661 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
3662 : static void
3663 150444 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
3664 : {
3665 150444 : if (pr_is_inert(P))
3666 : {
3667 146755 : *pi = pr_get_p(P);
3668 146755 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
3669 : }
3670 : else
3671 : {
3672 3689 : *pv = get_piinv(P);
3673 3689 : *pi = nfinv(nf, *pv);
3674 : }
3675 150444 : }
3676 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
3677 : static GEN
3678 242060 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
3679 : {
3680 242060 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3681 242060 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3682 242060 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
3683 : }
3684 :
3685 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
3686 : static GEN
3687 392007 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
3688 : {
3689 392007 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
3690 392007 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3691 392007 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
3692 : }
3693 :
3694 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
3695 :
3696 : static GEN
3697 216468 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
3698 : {
3699 216468 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
3700 216468 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
3701 216468 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3702 216468 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
3703 : }
3704 :
3705 : static GEN
3706 585130 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
3707 : {
3708 585130 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3709 585130 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
3710 585130 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
3711 585130 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
3712 585130 : return Fq_to_nf(r, modP);
3713 : }
3714 :
3715 : static GEN
3716 15512 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
3717 : {
3718 15512 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3719 15512 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
3720 15512 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
3721 15512 : long n = 1;
3722 : while(1)
3723 24682 : {
3724 40194 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
3725 : GEN gama;
3726 40194 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3727 : {
3728 8071 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3729 8071 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3730 : }
3731 32123 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3732 32123 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
3733 32123 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3734 32123 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
3735 32123 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3736 : {
3737 7441 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3738 7441 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3739 : }
3740 24682 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3741 24682 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
3742 24682 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
3743 24682 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3744 : }
3745 : }
3746 :
3747 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
3748 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
3749 :
3750 : static GEN
3751 99393 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
3752 : {
3753 : GEN T, p, modP;
3754 : long vD;
3755 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
3756 99393 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3757 99393 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
3758 99393 : ch = init_ch();
3759 99393 : vD = nfval(nf,D,P);
3760 99393 : *ap = 0;
3761 : while(1)
3762 : {
3763 405657 : if (vD==0)
3764 679 : return localred_result(0,1,1,ch);
3765 : else
3766 : {
3767 251846 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3768 251846 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3769 251846 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
3770 251846 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
3771 251846 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
3772 : GEN x0, y0;
3773 251846 : if (absequaliu(p,2))
3774 : {
3775 : GEN x02, y02;
3776 164444 : if (signe(a1))
3777 : {
3778 30191 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
3779 30191 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
3780 30191 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
3781 : }
3782 : else
3783 : {
3784 134253 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
3785 134253 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
3786 : }
3787 164444 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
3788 : }
3789 : else
3790 : {
3791 87402 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
3792 87402 : if (signe(a12))
3793 27524 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
3794 : else
3795 59878 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
3796 87402 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
3797 : }
3798 251846 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
3799 251846 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
3800 251846 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
3801 : }
3802 : /* 2 */
3803 : {
3804 251846 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
3805 251846 : if (signe(b2) != 0)
3806 : {
3807 57715 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
3808 57715 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
3809 57715 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
3810 27895 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
3811 : }
3812 : }
3813 : /* 3 */
3814 : {
3815 194131 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
3816 194131 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
3817 : }
3818 : /* 4 */
3819 : {
3820 191429 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
3821 191429 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
3822 : }
3823 : /* 5 */
3824 187719 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
3825 : {
3826 187719 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
3827 187719 : if (vb6<=2)
3828 : {
3829 3374 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
3830 3374 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3831 3374 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
3832 : }
3833 : }
3834 : /* 6 */
3835 : {
3836 184345 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
3837 184345 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
3838 184345 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
3839 : GEN po2, E, F, mr;
3840 : long i, lE;
3841 184345 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
3842 184345 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
3843 184345 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
3844 : {
3845 69748 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
3846 69748 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
3847 69748 : lE = lg(E);
3848 69748 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
3849 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
3850 : long c; /* 1 + number of roots */
3851 4739 : switch(lE)
3852 : {
3853 1764 : case 2: c = 1; break;
3854 2625 : case 3: c = 2; break;
3855 350 : default: c = 4; break;
3856 : }
3857 4739 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
3858 : }
3859 : /* 7 */
3860 65009 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
3861 65009 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
3862 65009 : if (!gequal0(mr))
3863 : { /* not so frequent */
3864 58961 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
3865 58961 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
3866 : }
3867 65009 : if (lE == 3)
3868 15512 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
3869 : }
3870 : }
3871 164094 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
3872 164094 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
3873 : /* 8 */
3874 164094 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
3875 : {
3876 4459 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
3877 4459 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
3878 : }
3879 : /* 9 */
3880 : {
3881 159635 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
3882 159635 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
3883 159635 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
3884 3962 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
3885 : }
3886 : /* 10 */
3887 155673 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
3888 2541 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
3889 : /* 11 */
3890 153132 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
3891 153132 : vD -= 12;
3892 : }
3893 : }
3894 :
3895 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
3896 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
3897 : static GEN
3898 51051 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
3899 : {
3900 51051 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3901 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
3902 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
3903 :
3904 51051 : c4 = ell_get_c4(e);
3905 51051 : c6 = ell_get_c6(e);
3906 51051 : D = ell_get_disc(e);
3907 51051 : vD = nfval(nf,D,P);
3908 51051 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
3909 51051 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
3910 51051 : m = (vD - nuj)/12;
3911 51051 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
3912 :
3913 51051 : if(m <= 0) ch = init_ch();
3914 : else
3915 : { /* model not minimal */
3916 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
3917 13153 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
3918 13153 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
3919 13153 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
3920 13153 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
3921 13153 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
3922 13153 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
3923 13153 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
3924 13153 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
3925 13153 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
3926 13153 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
3927 13153 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
3928 13153 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
3929 13153 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
3930 13153 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
3931 13153 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
3932 13153 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
3933 13153 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
3934 13153 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
3935 : }
3936 :
3937 51051 : kod = 0; c = 1;
3938 : /* minimal at P */
3939 51051 : if (nuj > 0)
3940 : { /* v(j) < 0 */
3941 47313 : if (vD == nuj)
3942 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
3943 45220 : f = 1; kod = 4+vD;
3944 45220 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
3945 45220 : if (Fq_issquare(z,T,p))
3946 24059 : c = vD;/* split */
3947 : else
3948 21161 : c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
3949 : }
3950 : else
3951 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
3952 : GEN Du;
3953 2093 : f = 2; kod = 2-vD;
3954 2093 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
3955 2093 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
3956 2093 : if(odd(vD))
3957 : {
3958 : GEN c6u;
3959 1120 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
3960 1120 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
3961 1120 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
3962 : }
3963 2093 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
3964 : }
3965 : }
3966 : else
3967 : { /* v(j) >= 0 */
3968 3738 : f = vD? 2: 0;
3969 3738 : switch(vD)
3970 : {
3971 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
3972 91 : case 0: kod = 0; c = 1; break;
3973 616 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
3974 497 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
3975 273 : case 4: kod = 4;
3976 273 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
3977 273 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3978 273 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3979 273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3980 273 : break;
3981 903 : case 6: kod = -1;
3982 903 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
3983 903 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
3984 903 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3985 903 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
3986 903 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
3987 903 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
3988 903 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
3989 903 : break;
3990 609 : case 8: kod = -4;
3991 609 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
3992 609 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3993 609 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3994 609 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3995 609 : break;
3996 476 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
3997 273 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
3998 : }
3999 : }
4000 51051 : return localred_result(f,kod,c,ch);
4001 : }
4002 : /* E is integral */
4003 : static GEN
4004 101353 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
4005 : {
4006 101353 : GEN p = pr_get_p(pr);
4007 101353 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4008 : {
4009 : long i, ap, vu;
4010 50302 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4011 50302 : GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
4012 50302 : gel(q,3) = v;
4013 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
4014 50302 : vu = nfval(nf, u, pr);
4015 50302 : if (vu > 0)
4016 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
4017 49315 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
4018 49315 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
4019 49315 : if (!equali1(D))
4020 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
4021 : GEN a;
4022 413 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
4023 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
4024 413 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
4025 413 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
4026 413 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
4027 413 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
4028 : }
4029 : }
4030 50302 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
4031 50302 : return q;
4032 : }
4033 51051 : return nflocalred_p(E,pr);
4034 : }
4035 :
4036 : static GEN
4037 3342258 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
4038 : {
4039 3342258 : GEN q, E = *pE;
4040 : long tE;
4041 3342258 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
4042 3342201 : if (pv) *pv = NULL;
4043 3342201 : if (p) switch(typ(p))
4044 : {
4045 : case t_INT:
4046 2986968 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
4047 2986939 : break;
4048 : case t_VEC:
4049 196679 : q = get_prid(p);
4050 196679 : if (q && tE == t_ELL_NF)
4051 : {
4052 196679 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4053 196679 : return q;
4054 : }
4055 7 : default: pari_err_TYPE(s,p);
4056 : }
4057 3145481 : switch(tE)
4058 : {
4059 : case t_ELL_Fp:
4060 180045 : case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
4061 273 : case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
4062 2965163 : case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
4063 : default:
4064 12 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
4065 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4066 : }
4067 3145465 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
4068 3145430 : if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
4069 2965384 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4070 3145469 : return q;
4071 : }
4072 :
4073 : GEN
4074 197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
4075 : {
4076 197085 : pari_sp av = avma;
4077 : GEN v, q;
4078 197085 : checkell(E);
4079 197085 : p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
4080 197071 : switch(ell_get_type(E))
4081 : {
4082 : case t_ELL_Qp:
4083 99477 : case t_ELL_Q: q = localred(E, p); break;
4084 97594 : case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
4085 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
4086 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4087 : }
4088 197071 : if (v)
4089 : { /* compose local change of variables with v */
4090 28 : GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
4091 28 : if (is_trivial_change(w))
4092 21 : gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4093 : else
4094 7 : gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
4095 : }
4096 197071 : return gerepilecopy(av, q);
4097 : }
4098 :
4099 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
4100 : static GEN
4101 9247 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
4102 : {
4103 9247 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
4104 9247 : return c;
4105 : }
4106 : static GEN
4107 18108555 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
4108 : {
4109 18108555 : *pd = NULL;
4110 18108555 : switch(typ(c))
4111 : {
4112 18097674 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
4113 1652 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
4114 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
4115 9247 : if (nf)
4116 : {
4117 9247 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
4118 9247 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
4119 : }
4120 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
4121 0 : return NULL;
4122 : }
4123 : }
4124 : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
4125 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
4126 : GEN
4127 3621738 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
4128 : {
4129 : GEN a, t, u, L, nf;
4130 : long i, l, k;
4131 :
4132 3621738 : if (pv) *pv = NULL;
4133 : /* t_ELL_Qp is also possible */
4134 3621738 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
4135 3621725 : L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
4136 21730234 : for (i = 1; i < 6; i++)
4137 : {
4138 : GEN d;
4139 18108447 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
4140 18108562 : if (d) /* partial factorization of denominator */
4141 2625 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
4142 : }
4143 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
4144 3621787 : l = lg(L); if (l == 1) return e;
4145 1302 : L = ZV_sort_uniq(L);
4146 1302 : l = lg(L);
4147 :
4148 1302 : t = gen_1;
4149 3017 : for (k = 1; k < l; k++)
4150 : {
4151 1715 : GEN p = gel(L,k);
4152 1715 : long n = 0, m;
4153 10290 : for (i = 1; i < 6; i++)
4154 8575 : if (!gequal0(gel(a,i)))
4155 : {
4156 4599 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
4157 4599 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
4158 4599 : while (m < 0) { n++; m += r; }
4159 : }
4160 1715 : t = mulii(t, powiu(p, n));
4161 : }
4162 1302 : u = ginv(t);
4163 1302 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4164 1302 : return coordch_uinv(e, t);
4165 : }
4166 : GEN
4167 329 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
4168 : {
4169 329 : pari_sp av = avma;
4170 329 : checkell(e);
4171 329 : switch(ell_get_type(e))
4172 : {
4173 : case t_ELL_Q:
4174 : case t_ELL_Qp:
4175 329 : case t_ELL_NF: break;
4176 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
4177 : }
4178 329 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
4179 329 : if (!pv || !*pv)
4180 : {
4181 308 : e = gerepilecopy(av, e);
4182 308 : if (pv) *pv = init_ch();
4183 : }
4184 : else
4185 21 : gerepileall(av, 2, &e, pv);
4186 329 : return e;
4187 : }
4188 :
4189 : static long
4190 1939 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4191 : {
4192 1939 : long N = 1; /* oo */
4193 1939 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4194 1834 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4195 1939 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4196 1638 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4197 1939 : return N;
4198 : }
4199 : static long
4200 2289 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4201 : {
4202 2289 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4203 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4204 2289 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4205 : }
4206 : static long
4207 1918 : cardmod2(GEN e)
4208 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4209 1918 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4210 1918 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4211 1918 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4212 1918 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4213 1918 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4214 1918 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4215 : }
4216 : static long
4217 2149 : cardmod3(GEN e)
4218 : {
4219 2149 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4220 2149 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4221 2149 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4222 2149 : return F3_card(b2,b4,b6);
4223 : }
4224 :
4225 : static ulong
4226 182 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4227 :
4228 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4229 : static void
4230 28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4231 : {
4232 28 : min_set_u(M, int2n(d));
4233 28 : min_set_c(M, E);
4234 28 : min_set_b(M);
4235 28 : min_set_a(M);
4236 28 : }
4237 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4238 : static void
4239 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4240 : {
4241 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4242 140 : min_set_c(M, E);
4243 140 : min_set_b(M);
4244 140 : }
4245 :
4246 : static long
4247 101360 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
4248 : {
4249 101360 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
4250 101360 : if (vD) /* bad reduction */
4251 : {
4252 : GEN c6;
4253 : long s;
4254 101052 : *good_red = 0;
4255 101052 : if (vc6) return 0;
4256 74263 : c6 = ell_get_c6(E);
4257 74263 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4258 74263 : s = kroiu(c6,p);
4259 74263 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4260 74263 : return s;
4261 : }
4262 308 : *good_red = 1;
4263 308 : if (p == 2)
4264 : {
4265 : ellmin_t M;
4266 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4267 21 : min_set_2(&M, E, d);
4268 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4269 : }
4270 287 : else if (p == 3)
4271 : {
4272 : ellmin_t M;
4273 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4274 140 : min_set_3(&M, E, d);
4275 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4276 : }
4277 : else
4278 : {
4279 : ellmin_t M;
4280 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4281 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4282 147 : min_set_c(&M, E);
4283 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4284 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4285 : }
4286 : }
4287 :
4288 : static GEN
4289 98497 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4290 : {
4291 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4292 : long vc6, vD, d;
4293 98497 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
4294 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4295 0 : D = ell_get_disc(E);
4296 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4297 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4298 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4299 0 : if (vD) /* bad reduction */
4300 : {
4301 : long s;
4302 0 : *good_red = 0;
4303 0 : if (vc6) return gen_0;
4304 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4305 0 : s = kronecker(c6,p);
4306 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4307 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4308 : }
4309 0 : *good_red = 1;
4310 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4311 0 : if (d)
4312 : {
4313 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4314 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4315 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4316 : }
4317 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4318 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4319 : }
4320 :
4321 : static GEN
4322 116947 : doellcard(GEN E)
4323 : {
4324 116947 : GEN fg = ellff_get_field(E);
4325 116947 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4326 95254 : return FF_ellcard(E);
4327 : else
4328 : {
4329 21693 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
4330 21693 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
4331 : }
4332 : }
4333 :
4334 : static GEN
4335 168291 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
4336 : {
4337 168291 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
4338 168285 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4339 168288 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4340 : {
4341 : long ap;
4342 49091 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4343 49091 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
4344 49091 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
4345 420 : *good_red = 1;
4346 420 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
4347 420 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
4348 420 : card = FF_ellcard(E);
4349 : }
4350 : else
4351 : {
4352 119188 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
4353 119183 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
4354 119135 : if (vD)
4355 : {
4356 : GEN c6new;
4357 49161 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
4358 49161 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
4359 49161 : if (vD > 12*d)
4360 : { /* bad reduction */
4361 49126 : *good_red = 0;
4362 98252 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
4363 43771 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
4364 43771 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
4365 : }
4366 35 : if (d)
4367 : { /* model not minimal at P */
4368 35 : GEN piinv = get_piinv(P);
4369 35 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
4370 35 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
4371 35 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
4372 35 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
4373 35 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
4374 : }
4375 : }
4376 70009 : *good_red = 1;
4377 70009 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
4378 70051 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
4379 70045 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
4380 141817 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
4381 71732 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
4382 : }
4383 70505 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
4384 : }
4385 :
4386 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
4387 : * basis */
4388 : static GEN
4389 455931 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
4390 : {
4391 : GEN P;
4392 455931 : if (!signe(a))
4393 1715 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
4394 454216 : else if (!signe(b))
4395 959 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
4396 : else
4397 : {
4398 453257 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
4399 : long k, l;
4400 453257 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
4401 344939 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
4402 344939 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
4403 : /* d = gcd(A,B) */
4404 344939 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
4405 344939 : l = lg(P);
4406 344939 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
4407 344939 : P = shallowconcat1(P);
4408 344939 : P = ZV_sort(P);
4409 : }
4410 347613 : settyp(P, t_VEC); return P;
4411 : }
4412 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
4413 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
4414 : static GEN
4415 455021 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
4416 : {
4417 : pari_sp av;
4418 455021 : GEN D = ell_get_disc(E);
4419 455021 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4420 455021 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
4421 : long l, k;
4422 :
4423 455021 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
4424 455021 : l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
4425 346843 : DP = coltrunc_init(l);
4426 346843 : av = avma;
4427 346843 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4428 346843 : u = gen_1;
4429 853412 : for (k = 1; k < l; k++)
4430 : {
4431 506569 : GEN p = gel(P, k);
4432 506569 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4433 506569 : if (d) switch(itou_or_0(p))
4434 : {
4435 : case 2:
4436 : {
4437 : long a, b;
4438 57204 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4439 57204 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4440 57204 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
4441 57204 : break;
4442 : }
4443 : case 3:
4444 2646 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4445 2646 : break;
4446 : }
4447 506569 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
4448 506569 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
4449 : }
4450 346843 : if (pDP) *pDP = DP;
4451 346843 : return gerepileuptoint(av, u);
4452 : }
4453 :
4454 : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
4455 : static GEN
4456 35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
4457 : {
4458 35 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
4459 35 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
4460 35 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
4461 :
4462 35 : A1 = gmodgs(a1,2);
4463 35 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
4464 35 : s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
4465 35 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
4466 35 : r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
4467 35 : r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
4468 35 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
4469 35 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
4470 35 : t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
4471 35 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
4472 : }
4473 :
4474 : static GEN
4475 2604 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
4476 : {
4477 2604 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
4478 2604 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
4479 : }
4480 : static GEN
4481 910 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
4482 : {
4483 910 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4484 910 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
4485 910 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
4486 910 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
4487 : }
4488 : static GEN
4489 784 : ellnf_D_primes(GEN E)
4490 : {
4491 784 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4492 784 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
4493 784 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
4494 784 : long k, l = lg(P);
4495 784 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
4496 784 : if (!is_pm1(DZ))
4497 : {
4498 693 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
4499 693 : settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
4500 : }
4501 784 : return P;
4502 : }
4503 :
4504 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
4505 : static GEN
4506 889 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
4507 : {
4508 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
4509 889 : long k, l = lg(P);
4510 889 : Lr = vectrunc_init(l);
4511 889 : Ls = vectrunc_init(l);
4512 889 : Lt = vectrunc_init(l);
4513 889 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
4514 889 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
4515 4326 : for (k = 1; k < l; k++)
4516 : {
4517 3437 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
4518 : long vu;
4519 3437 : v = gel(q,3);
4520 3437 : u = gel(v,1);
4521 3437 : vu = nfval(nf, u, pr);
4522 3437 : if (!vu) continue;
4523 784 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
4524 784 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
4525 784 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
4526 784 : vectrunc_append(L, pr);
4527 784 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
4528 : }
4529 889 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
4530 : }
4531 : /* E integral */
4532 : static GEN
4533 931 : ellminimalprimes(GEN E)
4534 : {
4535 : GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
4536 : long j, k, l;
4537 :
4538 931 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
4539 126 : nf = ellnf_get_nf(E);
4540 126 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
4541 126 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
4542 126 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
4543 126 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
4544 126 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
4545 126 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4546 574 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4547 : {
4548 448 : GEN pr = gel(P, k);
4549 448 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
4550 406 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
4551 399 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
4552 399 : gel(P,j++) = pr;
4553 : }
4554 126 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4555 126 : return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4556 : }
4557 : static GEN
4558 812 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
4559 : {
4560 812 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
4561 : long i, l;
4562 812 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4563 812 : S = ellminimalprimes(E);
4564 812 : L = gel(S,1);
4565 812 : U = gel(S,2);
4566 812 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
4567 812 : P = cgetg_copy(L, &l);
4568 812 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
4569 812 : P = factorback2(P, U);
4570 812 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
4571 812 : return P;
4572 : }
4573 : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
4574 : * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL) */
4575 : static GEN
4576 56 : bnf_get_v(GEN E)
4577 : {
4578 56 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
4579 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
4580 :
4581 56 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
4582 56 : S = ellminimalprimes(E);
4583 56 : L = gel(S,1);
4584 56 : U = gel(S,2);
4585 56 : Lr = gel(S,3);
4586 56 : Ls = gel(S,4);
4587 56 : Lt = gel(S,5);
4588 56 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
4589 56 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
4590 35 : nf = bnf_get_nf(bnf);
4591 35 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
4592 35 : U = basistoalg(nf, gel(F,2));
4593 35 : R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
4594 35 : S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
4595 35 : T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
4596 35 : return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
4597 : }
4598 :
4599 : GEN
4600 70 : ellminimaldisc(GEN E)
4601 : {
4602 70 : pari_sp av = avma;
4603 70 : checkell(E);
4604 70 : switch(ell_get_type(E))
4605 : {
4606 : case t_ELL_Q:
4607 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
4608 7 : return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
4609 : case t_ELL_NF:
4610 : {
4611 63 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
4612 63 : E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
4613 63 : S = ellminimalprimes(E);
4614 63 : L = gel(S,1);
4615 63 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
4616 63 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
4617 63 : return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
4618 : }
4619 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
4620 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4621 : }
4622 : }
4623 :
4624 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
4625 : * ellminimalmodel(E) */
4626 : static GEN
4627 456372 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4628 : {
4629 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
4630 : ellmin_t M;
4631 456372 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4632 : {
4633 1351 : if (lg(S) != 2)
4634 : {
4635 56 : E = gel(S,3);
4636 56 : v = gel(S,2);
4637 : }
4638 : else
4639 1295 : v = init_ch();
4640 1351 : if (ptv) *ptv = v;
4641 1351 : return gcopy(E);
4642 : }
4643 455021 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
4644 455021 : u = ellQ_minimalu(e, &DP);
4645 455021 : min_set_all(&M, e, u);
4646 455021 : v = min_get_v(&M, e);
4647 455021 : y = min_to_ell(&M, e);
4648 455021 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4649 455021 : if (is_trivial_change(v))
4650 : {
4651 453642 : v = init_ch();
4652 453642 : S = mkvec(DP);
4653 : }
4654 : else
4655 1379 : S = mkvec3(DP, v, y);
4656 455021 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4657 455021 : if (ptv) *ptv = v; return y;
4658 : }
4659 :
4660 : static GEN
4661 1841 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4662 : {
4663 1841 : pari_sp av = avma;
4664 1841 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
4665 1841 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
4666 1841 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4667 1841 : DP = gel(S,1);
4668 1841 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
4669 1841 : if (!ptv)
4670 1806 : y = gerepilecopy(av, y);
4671 : else
4672 35 : { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
4673 1841 : return y;
4674 : }
4675 :
4676 : static GEN
4677 56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4678 : {
4679 : GEN S, y, v, v2;
4680 56 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
4681 : {
4682 0 : switch(lg(S))
4683 : {
4684 0 : case 1: v = init_ch(); break;
4685 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
4686 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
4687 : }
4688 0 : *ptv = v;
4689 0 : return gcopy(E);
4690 : }
4691 56 : *ptv = NULL;
4692 56 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
4693 56 : v2 = bnf_get_v(y);
4694 56 : if (typ(v2) == t_COL)
4695 : {
4696 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
4697 21 : return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
4698 : }
4699 35 : y = coordch(y, v2);
4700 35 : gcomposev(&v, v2);
4701 35 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
4702 35 : y = coordch(y, v2);
4703 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
4704 35 : y = obj_reinit(y);
4705 35 : gcomposev(&v, v2);
4706 35 : if (is_trivial_change(v))
4707 : {
4708 7 : v = init_ch();
4709 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
4710 : }
4711 : else
4712 : {
4713 28 : v = lift_if_rational(v);
4714 28 : S = mkvec2(v, y);
4715 : }
4716 35 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
4717 35 : *ptv = v; return y;
4718 : }
4719 : static GEN
4720 56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4721 : {
4722 56 : pari_sp av = avma;
4723 56 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
4724 56 : if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
4725 56 : if (!v || !ptv)
4726 28 : y = gerepilecopy(av, y);
4727 : else
4728 28 : { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
4729 56 : return y;
4730 : }
4731 : GEN
4732 1904 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4733 : {
4734 1904 : checkell(E);
4735 1904 : switch(ell_get_type(E))
4736 : {
4737 1841 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
4738 56 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
4739 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
4740 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4741 : }
4742 : }
4743 :
4744 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
4745 : * update type-dependant components.
4746 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
4747 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
4748 : * N = arithmetic conductor of E
4749 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
4750 : * fa = factorization of N
4751 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
4752 : static GEN
4753 454132 : ellQ_globalred(GEN e)
4754 : {
4755 : long k, l, iN;
4756 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
4757 :
4758 454132 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
4759 454132 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4760 454132 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
4761 454132 : D = ell_get_disc(E);
4762 454132 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
4763 454132 : if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
4764 454132 : l = lg(P); c = gen_1;
4765 454132 : iN = 1;
4766 454132 : NP = cgetg(l, t_COL);
4767 454132 : NE = cgetg(l, t_COL);
4768 454132 : L = cgetg(l, t_VEC);
4769 1937271 : for (k = 1; k < l; k++)
4770 : {
4771 1483139 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
4772 1483139 : if (!signe(ex)) continue;
4773 1483139 : gel(NP, iN) = p;
4774 1483139 : gel(NE, iN) = ex;
4775 1483139 : gel(L, iN) = q; iN++;
4776 1483139 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
4777 1483139 : c = mulii(c, gel(q,4));
4778 : }
4779 454132 : setlg(L, iN);
4780 454132 : setlg(NP, iN);
4781 454132 : setlg(NE, iN);
4782 454132 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
4783 : }
4784 : static GEN
4785 458794 : ellglobalred_i(GEN E)
4786 458794 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
4787 :
4788 : static GEN
4789 784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
4790 : {
4791 : GEN c, L, NP, NE;
4792 784 : long j, k, l = lg(P);
4793 784 : c = gen_1;
4794 784 : NP = cgetg(l, t_COL);
4795 784 : NE = cgetg(l, t_COL);
4796 784 : L = cgetg(l, t_VEC);
4797 3878 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4798 : {
4799 3094 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
4800 3094 : ex = gel(q,1);
4801 3094 : if (!signe(ex)) continue;
4802 2891 : gel(NP, j) = p;
4803 2891 : gel(NE, j) = ex;
4804 2891 : gel(L, j) = q; j++;
4805 2891 : c = mulii(c, gel(q,4));
4806 : }
4807 784 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
4808 784 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
4809 : }
4810 :
4811 : static GEN
4812 784 : ellnfglobalred(GEN E0)
4813 : {
4814 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
4815 : long j, k, l;
4816 :
4817 784 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4818 784 : if (!v) v = init_ch();
4819 784 : nf = ellnf_get_nf(E);
4820 784 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
4821 784 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
4822 784 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
4823 784 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4824 6083 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4825 : {
4826 5299 : GEN p = gel(P,k);
4827 5299 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
4828 3094 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
4829 3094 : gel(P,j++) = p;
4830 : }
4831 784 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4832 784 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
4833 763 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4834 784 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
4835 : }
4836 :
4837 : GEN
4838 453950 : ellglobalred(GEN E)
4839 : {
4840 453950 : pari_sp av = avma;
4841 : GEN S, gr, v;
4842 453950 : checkell(E);
4843 453950 : switch(ell_get_type(E))
4844 : {
4845 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
4846 : case t_ELL_Q:
4847 452921 : gr = ellglobalred_i(E);
4848 452921 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4849 452921 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
4850 452921 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
4851 452921 : break;
4852 : case t_ELL_NF:
4853 1029 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
4854 1029 : break;
4855 : }
4856 453950 : return gerepilecopy(av, v);
4857 : }
4858 :
4859 : static GEN doellrootno(GEN e);
4860 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
4861 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
4862 : * and E (shallow insert) */
4863 : GEN
4864 1757 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
4865 : {
4866 1757 : GEN E, S, v = NULL;
4867 1757 : checkell_Q(e);
4868 1757 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
4869 : {
4870 371 : E = ellminimalmodel_i(e, &v);
4871 371 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4872 371 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4873 : }
4874 1386 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
4875 1372 : E = e;
4876 : else
4877 : {
4878 14 : v = gel(S,2);
4879 14 : E = gcopy(gel(S,3));
4880 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4881 : }
4882 1757 : if (ch) *ch = v;
4883 1757 : S = ellglobalred_i(e);
4884 1757 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
4885 1757 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
4886 1757 : if (!S)
4887 : {
4888 707 : S = doellrootno(E);
4889 707 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
4890 : }
4891 1757 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
4892 1757 : return E;
4893 : }
4894 :
4895 : static GEN
4896 35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
4897 : {
4898 35 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
4899 35 : return (signe(ell_get_disc(e)) > 0)? shifti(tam,1): icopy(tam);
4900 : }
4901 :
4902 : static GEN
4903 784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
4904 : {
4905 784 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
4906 784 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
4907 : long r1, r2;
4908 784 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
4909 784 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
4910 : }
4911 :
4912 : GEN
4913 42 : elltamagawa(GEN E)
4914 : {
4915 42 : pari_sp av = avma;
4916 : GEN v;
4917 42 : checkell(E);
4918 42 : switch(ell_get_type(E))
4919 : {
4920 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
4921 14 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
4922 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
4923 : }
4924 42 : return gerepileuptoint(av, v);
4925 : }
4926 :
4927 : static GEN
4928 1106 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
4929 : {
4930 1106 : GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
4931 1106 : if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
4932 994 : if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
4933 861 : return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
4934 : }
4935 : /* true nf, use nf prec */
4936 : static GEN
4937 5236 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
4938 : {
4939 : long r1, r2;
4940 : GEN cx;
4941 5236 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
4942 5236 : x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
4943 5236 : if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
4944 2905 : x = Q_primitive_part(x, &cx);
4945 2905 : x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
4946 2905 : if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
4947 2905 : return x;
4948 : }
4949 : static long
4950 2114 : nfembed_extraprec(GEN x)
4951 2114 : { long e = gexpo(x); return e < 8? 0: nbits2extraprec(e); }
4952 : static GEN
4953 1008 : ellnfembed(GEN E, long prec)
4954 : {
4955 1008 : GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
4956 1008 : long prec0 = prec, r1, r2, n, i;
4957 :
4958 1008 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
4959 1008 : E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
4960 1008 : prec += nfembed_extraprec(E0);
4961 : /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
4962 1008 : prec0 = prec;
4963 1008 : prec += (prec-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
4964 1008 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
4965 1008 : sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
4966 : for(;;)
4967 : {
4968 1008 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
4969 1008 : for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
4970 4459 : for (i=1; i<=n; i++)
4971 : {
4972 : GEN Ei, r;
4973 : long j;
4974 3451 : for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
4975 3451 : gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
4976 3451 : if (!Ei) break;
4977 3451 : r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
4978 3451 : if (!r) break;
4979 : }
4980 2016 : if (i > n) return L;
4981 0 : prec = precdbl(prec);
4982 0 : if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
4983 : }
4984 : }
4985 :
4986 : static GEN
4987 98 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
4988 : {
4989 98 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
4990 : long i, l;
4991 98 : P = RgC_to_nfC(nf, P);
4992 98 : prec += nfembed_extraprec(P);
4993 98 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
4994 98 : Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
4995 98 : Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
4996 98 : l = lg(Px); L = cgetg(l, t_VEC);
4997 98 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
4998 98 : return L;
4999 : }
5000 :
5001 : static void
5002 917 : ellnfembed_free(GEN L)
5003 : {
5004 917 : long i, l = lg(L);
5005 917 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
5006 917 : }
5007 :
5008 : static GEN
5009 154 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
5010 : {
5011 154 : pari_sp av = avma;
5012 154 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
5013 154 : long i, l = lg(V);
5014 154 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
5015 154 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
5016 154 : ellnfembed_free(V);
5017 154 : return gerepilecopy(av, P);
5018 : }
5019 :
5020 : GEN
5021 91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
5022 91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
5023 :
5024 : GEN
5025 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
5026 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
5027 :
5028 : GEN
5029 35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
5030 35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
5031 :
5032 : static GEN
5033 756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
5034 : {
5035 756 : pari_sp av = avma;
5036 756 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
5037 756 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
5038 3780 : for(i = 1; i < l; i++)
5039 : {
5040 3024 : GEN e = gel(Eb, i);
5041 3024 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
5042 3024 : per = mulrr(per, pi);
5043 : }
5044 756 : ellnfembed_free(Eb);
5045 756 : return gerepileuptoleaf(av, per);
5046 : }
5047 : static GEN
5048 756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
5049 : {
5050 756 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
5051 756 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
5052 : }
5053 :
5054 : static GEN
5055 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
5056 : {
5057 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5058 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5059 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
5060 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
5061 : }
5062 :
5063 : static GEN
5064 21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
5065 : {
5066 21 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
5067 21 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
5068 21 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5069 21 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5070 21 : if (lg(S) != 2)
5071 : { /* switch to minimal model if needed */
5072 14 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
5073 14 : per = gmul(per,u);
5074 : }
5075 21 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
5076 : }
5077 :
5078 : GEN
5079 63 : ellbsd(GEN E, long prec)
5080 : {
5081 63 : pari_sp av = avma;
5082 : GEN v;
5083 63 : checkell(E);
5084 63 : switch(ell_get_type(E))
5085 : {
5086 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
5087 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
5088 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
5089 : }
5090 63 : return gerepileupto(av, v);
5091 : }
5092 :
5093 : /********************************************************************/
5094 : /** **/
5095 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
5096 : /** **/
5097 : /********************************************************************/
5098 : /* x a t_INT */
5099 : static long
5100 1239 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
5101 : {
5102 : long v;
5103 : GEN z;
5104 1239 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
5105 1085 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
5106 1085 : *u = umodiu(z,pk); return v;
5107 : }
5108 : static void
5109 413 : val_init(GEN e, long p, long pk,
5110 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
5111 : {
5112 413 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
5113 413 : pari_sp av = avma;
5114 413 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
5115 413 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
5116 413 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
5117 413 : }
5118 :
5119 : static long
5120 413 : kod_23(GEN e, long p)
5121 : {
5122 : GEN S, nv;
5123 413 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
5124 : {
5125 399 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
5126 399 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
5127 : }
5128 : else
5129 14 : nv = localred_23(e, p);
5130 413 : return itos(gel(nv,2));
5131 : }
5132 :
5133 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5134 : static long
5135 224 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
5136 : {
5137 224 : if (kod > 4) return 1;
5138 154 : switch(kod)
5139 : {
5140 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
5141 : case 2:
5142 7 : if (vD==4) return 1;
5143 : else
5144 : {
5145 0 : if (vD==7) return 3;
5146 0 : else return v4==4 ? 2 : 4;
5147 : }
5148 : case 3:
5149 63 : switch(vD)
5150 : {
5151 42 : case 6: return 3;
5152 0 : case 8: return 4;
5153 14 : case 9: return 5;
5154 7 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
5155 : }
5156 35 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
5157 : case -1:
5158 14 : switch(vD)
5159 : {
5160 0 : case 9: return 2;
5161 0 : case 10: return 4;
5162 14 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
5163 : }
5164 : case -2:
5165 7 : switch(vD)
5166 : {
5167 7 : case 12: return 2;
5168 0 : case 14: return 3;
5169 0 : default: return 1;
5170 : }
5171 : case -3:
5172 0 : switch(vD)
5173 : {
5174 0 : case 12: return 2;
5175 0 : case 14: return 3;
5176 0 : case 15: return 4;
5177 0 : default: return 1;
5178 : }
5179 7 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
5180 7 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
5181 : case -6:
5182 7 : switch(vD)
5183 : {
5184 7 : case 12: return 2;
5185 0 : case 13: return 3;
5186 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5187 : }
5188 0 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
5189 7 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5190 : }
5191 : }
5192 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5193 : static long
5194 147 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
5195 : {
5196 147 : if (labs(kod) > 4) return 1;
5197 112 : switch(kod)
5198 : {
5199 28 : case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
5200 28 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
5201 : case -4: case 2:
5202 49 : switch (vD%6)
5203 : {
5204 0 : case 4: return 3;
5205 0 : case 5: return 4;
5206 49 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
5207 : }
5208 : default: /* kod = -2 et 4 */
5209 7 : switch (vD%6)
5210 : {
5211 0 : case 0: return 2;
5212 0 : case 1: return 3;
5213 7 : default: return 1;
5214 : }
5215 : }
5216 : }
5217 :
5218 : static long
5219 224 : ellrootno_2(GEN e)
5220 : {
5221 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
5222 224 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
5223 :
5224 224 : if (!vD) return 1;
5225 224 : if (d) { /* not minimal */
5226 : ellmin_t M;
5227 7 : min_set_2(&M, e, d);
5228 7 : min_set_D(&M, e);
5229 7 : e = min_to_ell(&M, e);
5230 : }
5231 224 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5232 224 : kod = kod_23(e,2);
5233 224 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
5234 224 : if (kod>=5)
5235 : {
5236 : long a2, a3;
5237 70 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
5238 70 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
5239 70 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
5240 : }
5241 154 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
5242 147 : x1 = u+v+v;
5243 147 : switch(kod)
5244 : {
5245 0 : case 1: return 1;
5246 : case 2:
5247 7 : switch(n2)
5248 : {
5249 : case 1:
5250 7 : switch(v4)
5251 : {
5252 7 : case 4: return kross(-1,u);
5253 0 : case 5: return 1;
5254 0 : default: return -1;
5255 : }
5256 0 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
5257 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
5258 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
5259 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
5260 : }
5261 : case 3:
5262 63 : switch(n2)
5263 : {
5264 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
5265 0 : case 2: return -kross(2,v);
5266 42 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
5267 42 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
5268 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
5269 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
5270 : }
5271 : case -1:
5272 14 : switch(n2)
5273 : {
5274 14 : case 1: return -kross(2,x1);
5275 0 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
5276 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
5277 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
5278 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
5279 : }
5280 7 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
5281 : case -3:
5282 0 : switch(n2)
5283 : {
5284 0 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
5285 0 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
5286 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
5287 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
5288 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
5289 : }
5290 : case -5:
5291 7 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
5292 0 : else return -kross(2,2*u+v);
5293 : case -6:
5294 7 : switch(n2)
5295 : {
5296 0 : case 1: return 1;
5297 7 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
5298 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
5299 : }
5300 : case -7:
5301 0 : if (n2==1) return 1;
5302 : else
5303 : {
5304 0 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
5305 0 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
5306 0 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
5307 : }
5308 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
5309 0 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
5310 42 : default: return -1;
5311 : }
5312 : }
5313 :
5314 : static long
5315 189 : ellrootno_3(GEN e)
5316 : {
5317 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
5318 189 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
5319 :
5320 189 : if (!vD) return 1;
5321 189 : if (d) { /* not minimal */
5322 : ellmin_t M;
5323 0 : min_set_3(&M, e, d);
5324 0 : min_set_a(&M);
5325 0 : min_set_D(&M, e);
5326 0 : e = min_to_ell(&M, e);
5327 : }
5328 189 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5329 189 : kod = kod_23(e,3);
5330 189 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
5331 147 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
5332 147 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
5333 147 : switch(kod)
5334 : {
5335 28 : case 1: case 3: case -3: return 1;
5336 : case 2:
5337 0 : switch(n2)
5338 : {
5339 0 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
5340 0 : case 2: return -K4*K6;
5341 0 : case 3: return 1;
5342 0 : case 4: return -K6;
5343 : }
5344 : case 4:
5345 7 : switch(n2)
5346 : {
5347 7 : case 1: return K6*kross(D1,3);
5348 0 : case 2: return -K4;
5349 0 : case 3: return -K6;
5350 : }
5351 0 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5352 : case -4:
5353 49 : switch(n2)
5354 : {
5355 : case 1:
5356 42 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5357 42 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5358 7 : case 2: return -K6;
5359 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5360 0 : case 4: return K6;
5361 : }
5362 63 : default: return -1;
5363 : }
5364 : }
5365 :
5366 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
5367 : static long
5368 854 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
5369 : {
5370 : long nuj, nuD, nu;
5371 854 : GEN D = ell_get_disc(e);
5372 : long ep, z;
5373 :
5374 854 : nuD = Q_pval(D, p);
5375 854 : if (!nuD) return 1;
5376 854 : nuj = j_pval(e, p);
5377 854 : nu = (nuD - nuj) % 12;
5378 854 : if (nu == 0)
5379 : {
5380 : GEN c6;
5381 : long d, vg;
5382 651 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
5383 : /* p || N */
5384 651 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
5385 651 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
5386 651 : d = vg / 12;
5387 651 : if (d)
5388 : {
5389 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
5390 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
5391 : }
5392 651 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
5393 : /* c6 in minimal model */
5394 651 : return -kronecker(negi(c6), p);
5395 : }
5396 203 : if (nuj) return krosi(-1,p);
5397 175 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
5398 175 : if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
5399 175 : return krosi(-z, p);
5400 : }
5401 :
5402 : static GEN
5403 721 : doellrootno(GEN e)
5404 : {
5405 721 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
5406 721 : long i, l, s = -1;
5407 :
5408 721 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5409 721 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
5410 721 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
5411 721 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
5412 1967 : for (i = 1; i < l; i++)
5413 : {
5414 1246 : GEN p = gel(P,i);
5415 : long t;
5416 1246 : switch(itou_or_0(p))
5417 : {
5418 210 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
5419 189 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
5420 847 : default:t = ellrootno_p(e, p);
5421 : }
5422 1246 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
5423 : }
5424 721 : return mkvec2(stoi(s), V);
5425 : }
5426 :
5427 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
5428 : * Global if p==1 or NULL. */
5429 : static long
5430 84 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
5431 : {
5432 84 : pari_sp av = avma;
5433 : GEN S;
5434 : long s;
5435 84 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
5436 70 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
5437 70 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
5438 : {
5439 49 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
5440 49 : long i = ZV_search(NP, p);
5441 49 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
5442 0 : return 1;
5443 : }
5444 21 : switch(itou_or_0(p))
5445 : {
5446 : case 2:
5447 14 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5448 14 : s = ellrootno_2(e); break;
5449 : case 3:
5450 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5451 0 : s = ellrootno_3(e); break;
5452 : default:
5453 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
5454 : }
5455 21 : return gc_long(av, s);
5456 : }
5457 :
5458 : /* global root number over number field
5459 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
5460 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
5461 : */
5462 :
5463 : static GEN
5464 322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
5465 : {
5466 : long i;
5467 322 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
5468 1932 : for(i=1; i<=5; i++)
5469 1610 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
5470 322 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
5471 : }
5472 :
5473 : static GEN
5474 252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
5475 : {
5476 252 : long v = fetch_var_higher();
5477 252 : GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
5478 252 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
5479 252 : delete_var();
5480 252 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
5481 : }
5482 :
5483 : static GEN
5484 217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
5485 : {
5486 217 : pari_sp av = avma;
5487 217 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5488 217 : GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
5489 217 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5490 217 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
5491 217 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
5492 217 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
5493 217 : return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
5494 : }
5495 :
5496 : static long
5497 252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
5498 252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
5499 :
5500 : static GEN
5501 259 : ec_bmodel_var(GEN E, long v)
5502 : {
5503 259 : GEN P = ec_bmodel(E);
5504 259 : setvarn(P,v); return P;
5505 : }
5506 :
5507 : static long
5508 147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
5509 : {
5510 147 : pari_sp av = avma;
5511 147 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5512 147 : long prec = nf_get_prec(nf);
5513 147 : long v, var = fetch_var_higher();
5514 : GEN F;
5515 147 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
5516 147 : F = nfroots(nf, ec_bmodel_var(E, var));
5517 147 : if (lg(F)>1)
5518 : {
5519 35 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
5520 35 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5521 35 : obj_free(Et);
5522 35 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
5523 : } else
5524 : {
5525 112 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
5526 112 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel_var(E, var), utoi(4)), 4);
5527 112 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
5528 112 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
5529 112 : GEN F = nfroots(nf, D);
5530 112 : if (lg(F)>1)
5531 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
5532 : else
5533 : {
5534 105 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5535 105 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
5536 105 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
5537 105 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
5538 105 : GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
5539 105 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5540 105 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5541 105 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
5542 105 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
5543 105 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
5544 105 : v = odd(v2+v3);
5545 : }
5546 : }
5547 147 : delete_var();
5548 147 : return gc_long(av, v? -1: 1);
5549 : }
5550 :
5551 : static GEN
5552 147 : doellnfrootno(GEN e)
5553 147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
5554 :
5555 : long
5556 1743 : ellrootno_global(GEN e)
5557 : {
5558 1743 : pari_sp av = avma;
5559 : GEN S;
5560 1743 : switch(ell_get_type(e))
5561 : {
5562 : case t_ELL_Q:
5563 1477 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
5564 1477 : break;
5565 : case t_ELL_NF:
5566 266 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
5567 266 : break;
5568 : default:
5569 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5570 : }
5571 1743 : return gc_long(av, itos(S));
5572 : }
5573 :
5574 : long
5575 182 : ellrootno(GEN e, GEN p)
5576 : {
5577 182 : checkell(e);
5578 182 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
5579 182 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
5580 182 : switch(ell_get_type(e))
5581 : {
5582 : case t_ELL_Q:
5583 84 : return ellQ_rootno(e, p);
5584 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
5585 : case t_ELL_NF:
5586 98 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
5587 98 : return ellrootno_global(e);
5588 : }
5589 : }
5590 :
5591 : /********************************************************************/
5592 : /** **/
5593 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
5594 : /** **/
5595 : /********************************************************************/
5596 :
5597 : /* assume p does not divide disc E */
5598 : long
5599 310887 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
5600 : {
5601 : ulong a4, a6;
5602 310887 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
5603 309599 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
5604 307968 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5605 307968 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5606 : }
5607 :
5608 : static void
5609 693 : checkell_int(GEN e)
5610 : {
5611 693 : checkell_Q(e);
5612 1386 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
5613 1386 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
5614 1386 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
5615 1386 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
5616 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
5617 693 : }
5618 :
5619 : long
5620 2387 : ellQ_get_CM(GEN e)
5621 : {
5622 2387 : GEN j = ell_get_j(e);
5623 2387 : long CM = 0;
5624 2387 : if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
5625 : {
5626 : case 0:
5627 121 : if (!signe(j)) CM = -3;
5628 121 : break;
5629 126 : case 1728: CM = -4; break;
5630 21 : case -3375: CM = -7; break;
5631 21 : case 8000: CM = -8; break;
5632 21 : case 54000: CM = -12; break;
5633 21 : case -32768: CM = -11; break;
5634 21 : case 287496: CM = -16; break;
5635 7 : case -884736: CM = -19; break;
5636 21 : case -12288000: CM = -27; break;
5637 21 : case 16581375: CM = -28; break;
5638 7 : case -884736000: CM = -43; break;
5639 : #ifdef LONG_IS_64BIT
5640 6 : case -147197952000L: CM = -67; break;
5641 6 : case -262537412640768000L: CM = -163; break;
5642 : #endif
5643 : }
5644 2387 : return CM;
5645 : }
5646 :
5647 : /* bad reduction at p */
5648 : static void
5649 2807 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
5650 : {
5651 : ulong m, N;
5652 2807 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
5653 : {
5654 : case -1: /* non-split */
5655 714 : N = n/p;
5656 427713 : for (m=2; m<=N; m++)
5657 426999 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
5658 714 : break;
5659 : case 0: /* additive */
5660 1204 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
5661 1204 : break;
5662 : case 1: /* split */
5663 889 : N = n/p;
5664 125499 : for (m=2; m<=N; m++)
5665 124610 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
5666 889 : break;
5667 : }
5668 2807 : }
5669 : /* good reduction at p */
5670 : static void
5671 303425 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
5672 : {
5673 303425 : const long ap = an[p];
5674 : ulong m;
5675 303425 : if (p <= SQRTn) {
5676 10295 : ulong pk, oldpk = 1;
5677 41707 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
5678 : {
5679 31412 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
5680 4606036 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
5681 4574624 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
5682 : }
5683 : } else {
5684 1627484 : for (m = n/p; m > 1; m--)
5685 1334354 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
5686 : }
5687 303425 : }
5688 : static void
5689 306232 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
5690 : {
5691 306232 : if (good_red)
5692 303425 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
5693 : else
5694 2807 : sievep_bad(p, an, n);
5695 306232 : }
5696 :
5697 : static long
5698 306232 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
5699 : {
5700 306232 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
5701 2863 : return ellQap_u(e, p, good_red);
5702 : else /* good reduction */
5703 : {
5704 303369 : *good_red = 1;
5705 303369 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
5706 : }
5707 : }
5708 : GEN
5709 1848 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
5710 : {
5711 : pari_sp av;
5712 1848 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
5713 : GEN an;
5714 : int CM;
5715 :
5716 1848 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
5717 1848 : if (n >= LGBITS)
5718 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
5719 1848 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
5720 1848 : SQRTn = usqrt(n);
5721 1848 : CM = ellQ_get_CM(e);
5722 :
5723 1848 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
5724 1848 : an[1] = 1; av = avma;
5725 2611624 : for (p=2; p<=n; p++)
5726 : {
5727 : int good_red;
5728 2609776 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
5729 306232 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
5730 306232 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
5731 : }
5732 1848 : set_avma(av); return an;
5733 : }
5734 :
5735 : static GEN
5736 315 : ellanQ(GEN e, long N)
5737 315 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
5738 :
5739 : static GEN
5740 69298 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
5741 : {
5742 69298 : pari_sp av = avma;
5743 69298 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
5744 69317 : long l = lg(LP), i;
5745 138729 : for (i = 1; i < l; i++)
5746 : {
5747 : int goodred;
5748 69391 : GEN P = gel(LP,i), T2;
5749 69391 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
5750 69377 : long f = pr_get_f(P);
5751 69378 : if (goodred)
5752 69196 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
5753 : else
5754 : {
5755 182 : if (!signe(ap)) continue;
5756 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
5757 : }
5758 69399 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
5759 69399 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
5760 : }
5761 69338 : if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
5762 37905 : return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
5763 : }
5764 :
5765 : GEN
5766 4363 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
5767 : {
5768 4363 : pari_sp av = avma;
5769 4363 : long i, l = lg(P);
5770 4363 : GEN W = cgetg(l, t_VEC);
5771 73686 : for(i = 1; i < l; i++)
5772 : {
5773 69304 : ulong p = uel(P,i);
5774 69304 : long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
5775 69310 : gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
5776 : }
5777 4382 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
5778 : }
5779 :
5780 : static GEN
5781 189 : ellnfan(GEN E, long N)
5782 : {
5783 189 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
5784 189 : return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
5785 : }
5786 :
5787 : GEN
5788 497 : ellan(GEN E, long N)
5789 : {
5790 497 : checkell(E);
5791 497 : switch(ell_get_type(E))
5792 : {
5793 308 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
5794 189 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
5795 : default:
5796 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
5797 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5798 : }
5799 : }
5800 :
5801 : static GEN
5802 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
5803 : {
5804 : GEN u, v, w;
5805 : long j;
5806 735 : if (e == 1) return ap;
5807 112 : u = ap;
5808 112 : w = subii(sqri(ap), p);
5809 126 : for (j=3; j<=e; j++)
5810 : {
5811 14 : v = u; u = w;
5812 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
5813 : }
5814 112 : return w;
5815 : }
5816 :
5817 : GEN
5818 693 : akell(GEN e, GEN n)
5819 : {
5820 : long i, j, s;
5821 693 : pari_sp av = avma;
5822 : GEN fa, P, E, D, u, y;
5823 :
5824 693 : checkell_int(e);
5825 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
5826 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
5827 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
5828 693 : D = ell_get_disc(e);
5829 693 : u = Z_ppo(n, D);
5830 693 : y = gen_1;
5831 693 : s = 1;
5832 693 : if (!equalii(u, n))
5833 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
5834 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
5835 441 : P = gel(fa,1);
5836 441 : E = gel(fa,2);
5837 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5838 : {
5839 581 : GEN p = gel(P,i);
5840 581 : long ex = itos(gel(E,i));
5841 : int good_red;
5842 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
5843 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
5844 350 : j = signe(ap);
5845 350 : if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
5846 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
5847 : }
5848 : }
5849 693 : if (s < 0) y = negi(y);
5850 693 : fa = Z_factor(u);
5851 693 : P = gel(fa,1);
5852 693 : E = gel(fa,2);
5853 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5854 : { /* good reduction */
5855 504 : GEN p = gel(P,i);
5856 504 : GEN ap = ellap(e,p);
5857 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
5858 : }
5859 693 : return gerepileuptoint(av,y);
5860 : }
5861 :
5862 : GEN
5863 2513 : ellQ_get_N(GEN e)
5864 2513 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
5865 : void
5866 882 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
5867 882 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
5868 :
5869 : GEN
5870 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
5871 : {
5872 14 : pari_sp av = avma, av1;
5873 : ulong l, n;
5874 : long eps, flun;
5875 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
5876 :
5877 14 : if (!A) A = gen_1;
5878 : else
5879 : {
5880 7 : if (gsigne(A)<=0)
5881 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
5882 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
5883 : }
5884 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
5885 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
5886 14 : checkell_Q(e);
5887 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
5888 14 : N = ellQ_get_N(e);
5889 14 : eps = ellrootno_global(e);
5890 14 : if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
5891 :
5892 14 : gs = ggamma(s, prec);
5893 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
5894 14 : cga = gmul(cg, A);
5895 14 : cgb = gdiv(cg, A);
5896 42 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
5897 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
5898 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
5899 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
5900 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
5901 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
5902 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
5903 14 : z = gen_0;
5904 14 : av1 = avma;
5905 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
5906 : {
5907 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
5908 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
5909 1330 : if (!signe(an)) continue;
5910 :
5911 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
5912 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
5913 1106 : if (flun)
5914 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
5915 : else
5916 : {
5917 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
5918 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
5919 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
5920 : }
5921 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
5922 1106 : if (gc_needed(av1,1))
5923 : {
5924 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
5925 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
5926 : }
5927 : }
5928 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
5929 : }
5930 :
5931 : /********************************************************************/
5932 : /** **/
5933 : /** CANONICAL HEIGHT **/
5934 : /** **/
5935 : /********************************************************************/
5936 :
5937 : static GEN
5938 56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
5939 : {
5940 56 : GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
5941 56 : long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
5942 56 : GEN r = gen_1;
5943 56 : for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
5944 56 : for( ; i < l ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
5945 56 : return r;
5946 : }
5947 :
5948 : /* The function follows
5949 : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
5950 : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
5951 : */
5952 :
5953 : static GEN
5954 56 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
5955 : {
5956 : GEN h;
5957 : long d;
5958 56 : pari_sp av = avma;
5959 56 : checkell(e);
5960 56 : switch(ell_get_type(e))
5961 : {
5962 : case t_ELL_Q:
5963 0 : d = 1;
5964 0 : h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
5965 0 : break;
5966 : case t_ELL_NF:
5967 56 : d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
5968 56 : h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
5969 56 : break;
5970 : default:
5971 0 : pari_err_TYPE("ellheight", e);
5972 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5973 : }
5974 56 : return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
5975 : }
5976 :
5977 : static GEN
5978 707 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
5979 :
5980 : /* one root of X^2 - t X + c */
5981 : static GEN
5982 1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
5983 : {
5984 1106 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
5985 : }
5986 :
5987 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
5988 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
5989 : static GEN
5990 1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
5991 : {
5992 1106 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
5993 1106 : long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
5994 :
5995 1106 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
5996 1106 : ab = ellR_ab(e, p);
5997 1106 : a = gel(ab, 1);
5998 1106 : b = gel(ab, 2);
5999 1106 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
6000 1106 : x = gsub(x, e1);
6001 1106 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
6002 :
6003 1106 : x_a = gsub(x, a);
6004 1106 : if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
6005 1106 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
6006 1106 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
6007 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
6008 6049 : for(n=0;; n++)
6009 4943 : {
6010 6049 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
6011 6049 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
6012 6049 : r = gsub(a, a0);
6013 6049 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
6014 4943 : ab = gmul(a0, b);
6015 4943 : b = gsqrt(ab, prec);
6016 :
6017 4943 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
6018 4943 : p2 = gsqr(a);
6019 4943 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
6020 4943 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
6021 : }
6022 1106 : if (n) {
6023 1106 : x = gel(V,n);
6024 1106 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
6025 : } else
6026 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
6027 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
6028 1106 : return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
6029 : }
6030 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
6031 : static int
6032 1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
6033 : {
6034 1106 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
6035 1106 : return gcmp(x, e1) >= 0;
6036 : }
6037 :
6038 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
6039 : static GEN
6040 1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
6041 : {
6042 1106 : pari_sp av = avma;
6043 : GEN h;
6044 1106 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
6045 : {
6046 455 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
6047 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
6048 455 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
6049 : }
6050 : else
6051 651 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
6052 1106 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
6053 1106 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
6054 : }
6055 : GEN
6056 1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
6057 :
6058 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
6059 : static GEN
6060 28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
6061 : {
6062 28 : pari_sp av = avma;
6063 28 : GEN z = zell(E, P, prec);
6064 28 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
6065 28 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
6066 28 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
6067 28 : GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
6068 28 : GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
6069 28 : GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
6070 28 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
6071 28 : GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
6072 28 : GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
6073 28 : return gerepileupto(av, gsub(r, l));
6074 : }
6075 :
6076 : static GEN
6077 140 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
6078 140 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
6079 : static GEN
6080 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6081 : {
6082 35 : pari_sp av = avma;
6083 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
6084 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
6085 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
6086 : }
6087 : GEN
6088 217 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
6089 217 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): a? ellheight(e,a,n): ellheightfaltings(e,n); }
6090 : GEN
6091 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6092 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
6093 :
6094 : static GEN
6095 245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
6096 : {
6097 : long v1, v2, vD, vu;
6098 245 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
6099 245 : GEN lr = nflocalred(e,pr);
6100 245 : GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
6101 245 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
6102 245 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
6103 : GEN v;
6104 245 : vu = nfval(nf, u, pr);
6105 245 : v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
6106 245 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
6107 245 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
6108 245 : if (v1<0)
6109 7 : vu = 0;
6110 245 : if (v1<=0 || v2<=0)
6111 210 : v = gen_0;
6112 35 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
6113 : {
6114 21 : GEN a = sstoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
6115 21 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a), sstoQ(vD,2));
6116 : }
6117 : else
6118 : {
6119 14 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
6120 28 : v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? sstoQ(-v2,3):
6121 14 : sstoQ(-v3,8);
6122 : }
6123 245 : return gsubgs(v,vu);
6124 : }
6125 :
6126 : static GEN
6127 112 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
6128 : {
6129 112 : pari_sp av = avma;
6130 : GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
6131 : long i, n, l, r1;
6132 112 : if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gen_0;
6133 91 : x = gel(P,1);
6134 91 : if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { set_avma(av); return gen_0; }
6135 91 : nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
6136 91 : disc = ell_get_disc(E);
6137 91 : d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
6138 91 : F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
6139 91 : Ee = ellnfembed(E, prec);
6140 91 : Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
6141 91 : n = lg(Ee); l = lg(F);
6142 91 : s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
6143 224 : for (i=1; i<=r1; i++)
6144 133 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
6145 119 : for ( ; i<n; i++)
6146 28 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
6147 336 : for (i=1; i<l; i++)
6148 : {
6149 245 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
6150 245 : long f = pr_get_f(pr);
6151 245 : GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
6152 245 : s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
6153 : }
6154 91 : return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
6155 : }
6156 :
6157 : static GEN
6158 133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
6159 : {
6160 : long i, lx;
6161 : pari_sp av;
6162 : GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
6163 : GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
6164 :
6165 133 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
6166 126 : if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
6167 112 : av = avma;
6168 112 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
6169 : { /* switch to minimal model if needed */
6170 84 : if (lg(S) != 2)
6171 : {
6172 7 : v = gel(S,2);
6173 7 : e = gel(S,3);
6174 7 : a = ellchangepoint(a, v);
6175 : }
6176 : }
6177 : else
6178 : {
6179 28 : e = ellminimalmodel_i(e, &v);
6180 28 : a = ellchangepoint(a, v);
6181 : }
6182 112 : if (!oncurve(e,a))
6183 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
6184 105 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6185 105 : if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
6186 105 : x = gel(a,1);
6187 105 : y = gel(a,2);
6188 105 : b2 = ell_get_b2(e);
6189 105 : b4 = ell_get_b4(e);
6190 105 : b6 = ell_get_b6(e);
6191 105 : b8 = ell_get_b8(e);
6192 105 : psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
6193 : poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
6194 : );
6195 105 : if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
6196 105 : a1 = ell_get_a1(e);
6197 105 : a2 = ell_get_a2(e);
6198 105 : a4 = ell_get_a4(e);
6199 105 : phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
6200 : poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
6201 : );
6202 105 : c4 = ell_get_c4(e);
6203 105 : D = ell_get_disc(e);
6204 105 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6205 105 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6206 105 : lx = lg(Lp);
6207 217 : for (i=1; i<lx; i++)
6208 : {
6209 112 : GEN p = gel(Lp,i);
6210 : long u, v, n, n2;
6211 112 : if (!dvdii(c4,p))
6212 : { /* p \nmid c4 */
6213 35 : long N = Z_pval(D,p);
6214 35 : if (!N) continue;
6215 35 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6216 35 : if (n > N) n = N;
6217 35 : u = n * ((N<<1) - n);
6218 35 : v = N << 3;
6219 : }
6220 : else
6221 : {
6222 77 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6223 77 : n = Z_pval(psi3, p);
6224 77 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6225 : }
6226 : /* z -= u log(p) / v */
6227 112 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6228 : }
6229 105 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
6230 : }
6231 :
6232 : GEN
6233 245 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6234 : {
6235 245 : checkell(e); checkellpt(a);
6236 245 : switch(ell_get_type(e))
6237 : {
6238 : case t_ELL_Q:
6239 133 : return ellQ_height(e, a, prec);
6240 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6241 : case t_ELL_NF:
6242 112 : return ellnf_height(e, a, prec);
6243 : }
6244 : }
6245 :
6246 : GEN
6247 21 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6248 : {
6249 : GEN D, A, B;
6250 21 : long lx = lg(x), i, j;
6251 21 : pari_sp av = avma;
6252 :
6253 21 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6254 21 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6255 21 : A = cgetg(lx,t_MAT);
6256 21 : B = cgetg(lx,t_MAT);
6257 63 : for (i=1; i<lx; i++)
6258 : {
6259 42 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6260 42 : gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
6261 42 : gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
6262 : }
6263 63 : for (i=1; i<lx; i++)
6264 : {
6265 42 : GEN h = gel(D,i);
6266 42 : if (p)
6267 : {
6268 28 : gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
6269 28 : gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
6270 : }
6271 : else
6272 14 : gcoeff(A,i,i) = h;
6273 70 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6274 : {
6275 28 : h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6276 28 : h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
6277 28 : if (p)
6278 : {
6279 21 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
6280 21 : gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
6281 : }
6282 : else
6283 7 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
6284 : }
6285 : }
6286 21 : return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
6287 : }
6288 : GEN
6289 7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6290 7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6291 :
6292 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6293 : static GEN
6294 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6295 : {
6296 : GEN y;
6297 21 : long i, l = lg(P);
6298 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6299 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
6300 7 : y = cgetg(l, typ(P));
6301 7 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
6302 7 : return y;
6303 : }
6304 : GEN
6305 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6306 : {
6307 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6308 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6309 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6310 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6311 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6312 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6313 7 : if (is_matvec_t(t2))
6314 : {
6315 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6316 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6317 0 : return bilhell_i(E,Q,P,n);
6318 : }
6319 7 : return bilhell_i(E,P,Q,n);
6320 : }
6321 : /********************************************************************/
6322 : /** **/
6323 : /** Modular Parametrization **/
6324 : /** **/
6325 : /********************************************************************/
6326 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6327 : static GEN
6328 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6329 : {
6330 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6331 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
6332 0 : gel(s,2) = t; return s;
6333 : }
6334 :
6335 : GEN
6336 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6337 : {
6338 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6339 : long n, m;
6340 14 : pari_sp av = avma;
6341 :
6342 14 : checkell_Q(e);
6343 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
6344 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
6345 :
6346 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
6347 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
6348 7 : d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalp(d,-1);
6349 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
6350 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6351 7 : c = gsqr(d);
6352 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
6353 : * Take derivative then divide by 2x':
6354 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
6355 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
6356 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
6357 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
6358 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
6359 : * */
6360 7 : C = c+4;
6361 7 : X = x+4;
6362 7 : gel(X,-2) = gen_1;
6363 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
6364 7 : b2 = ell_get_b2(e);
6365 7 : b4 = ell_get_b4(e);
6366 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
6367 : {
6368 105 : pari_sp av2 = avma;
6369 : GEN s1, s2, s3;
6370 105 : if (n != 2)
6371 : {
6372 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
6373 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
6374 98 : s2 = gen_0;
6375 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
6376 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
6377 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
6378 98 : s1 = gen_0;
6379 98 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
6380 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
6381 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
6382 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
6383 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
6384 : }
6385 : else
6386 : {
6387 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
6388 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
6389 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
6390 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
6391 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
6392 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
6393 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
6394 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
6395 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
6396 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
6397 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
6398 7 : w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
6399 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
6400 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
6401 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
6402 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
6403 7 : s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
6404 : }
6405 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
6406 : }
6407 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
6408 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
6409 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
6410 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
6411 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
6412 : }
6413 :
6414 : /********************************************************************/
6415 : /** **/
6416 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
6417 : /** **/
6418 : /********************************************************************/
6419 : static GEN
6420 19285 : doellff_get_o(GEN E)
6421 : {
6422 19285 : GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
6423 19285 : return mkvec2(d, Z_factor(d));
6424 : }
6425 : GEN
6426 19824 : ellff_get_o(GEN E)
6427 19824 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
6428 :
6429 : GEN
6430 140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
6431 : {
6432 140 : pari_sp av = avma;
6433 : GEN fg, r;
6434 140 : checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
6435 140 : fg = ellff_get_field(E);
6436 140 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
6437 140 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6438 91 : r = FF_elllog(E, a, g, o);
6439 : else
6440 : {
6441 49 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6442 49 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
6443 49 : GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
6444 49 : r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
6445 : }
6446 140 : return gerepileuptoint(av, r);
6447 : }
6448 :
6449 : GEN
6450 5236 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6451 : {
6452 : GEN fg;
6453 5236 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
6454 5229 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
6455 5229 : fg = ellff_get_field(E);
6456 5229 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6457 4984 : return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
6458 : else
6459 : {
6460 245 : pari_sp av = avma;
6461 245 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6462 490 : GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
6463 490 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
6464 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
6465 : }
6466 : }
6467 :
6468 : GEN
6469 294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6470 : {
6471 : GEN fg;
6472 294 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
6473 294 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
6474 294 : fg = ellff_get_field(E);
6475 294 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6476 91 : return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
6477 : else
6478 : {
6479 203 : pari_sp av = avma;
6480 203 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6481 406 : GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
6482 406 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
6483 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
6484 : }
6485 : }
6486 :
6487 : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
6488 : static GEN
6489 2865429 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
6490 : {
6491 2865429 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
6492 2865435 : if (!signe(D))
6493 : {
6494 97916 : pari_sp av = avma;
6495 97916 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
6496 97916 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
6497 : }
6498 2767519 : *good_red = 1;
6499 2767519 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
6500 2766908 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
6501 2766398 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
6502 2765798 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
6503 : }
6504 :
6505 : GEN
6506 3018561 : ellap(GEN E, GEN p)
6507 : {
6508 3018561 : pari_sp av = avma;
6509 : GEN q, card;
6510 : int goodred;
6511 3018561 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
6512 3018507 : switch(ell_get_type(E))
6513 : {
6514 : case t_ELL_Fp:
6515 105 : q = p; card = ellff_get_card(E);
6516 105 : break;
6517 : case t_ELL_Fq:
6518 54467 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
6519 54467 : break;
6520 : case t_ELL_Qp:
6521 : case t_ELL_Q:
6522 2865056 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6523 2865159 : break;
6524 : case t_ELL_NF:
6525 98868 : return ellnfap(E, p, &goodred);
6526 : default:
6527 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
6528 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6529 : }
6530 2919731 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
6531 : }
6532 :
6533 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
6534 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
6535 : GEN
6536 126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
6537 : {
6538 126 : const ulong minq = 523;
6539 126 : checkell_Fq(E);
6540 126 : switch(ell_get_type(E))
6541 : {
6542 : case t_ELL_Fp:
6543 : {
6544 112 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
6545 112 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
6546 105 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
6547 : }
6548 : case t_ELL_Fq:
6549 : {
6550 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6551 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
6552 0 : return FF_ellcard(E);
6553 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
6554 : }
6555 : }
6556 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6557 : }
6558 :
6559 : GEN
6560 162727 : ellff_get_card(GEN E)
6561 162727 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
6562 :
6563 : GEN
6564 87253 : ellcard(GEN E, GEN p)
6565 : {
6566 87253 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
6567 87246 : switch(ell_get_type(E))
6568 : {
6569 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6570 86791 : return icopy(ellff_get_card(E));
6571 : case t_ELL_Qp:
6572 : case t_ELL_Q:
6573 : {
6574 420 : pari_sp av = avma;
6575 : int goodred;
6576 420 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6577 420 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
6578 420 : return gerepileuptoint(av, N);
6579 : }
6580 : case t_ELL_NF:
6581 : {
6582 35 : pari_sp av = avma;
6583 : int goodred;
6584 35 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
6585 35 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
6586 35 : return gerepileuptoint(av, N);
6587 : }
6588 : default:
6589 0 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
6590 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6591 : }
6592 : }
6593 :
6594 : /* assume model is p-minimal */
6595 : static GEN
6596 21917 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
6597 : {
6598 21917 : GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
6599 21917 : *pm = gen_1;
6600 21917 : if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
6601 21917 : if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
6602 21917 : if (absequaliu(p, 3))
6603 : { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
6604 : ulong b2, b4, b6;
6605 0 : if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
6606 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
6607 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
6608 0 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
6609 0 : if (b6) return mkvec(N);
6610 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
6611 0 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
6612 0 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
6613 0 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
6614 0 : return mkvec2s(2, 2);
6615 : } /* Now assume p > 3 */
6616 21917 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
6617 21917 : return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
6618 : }
6619 :
6620 : static GEN
6621 40971 : doellGm(GEN E)
6622 : {
6623 40971 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6624 40971 : GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
6625 40971 : return mkvec2(G, m);
6626 : }
6627 : static GEN
6628 80493 : ellff_Gm(GEN E)
6629 80493 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
6630 : GEN
6631 61810 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
6632 : GEN
6633 18683 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
6634 : GEN
6635 18683 : ellff_get_D(GEN E)
6636 : {
6637 18683 : GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
6638 18683 : switch(lg(G))
6639 : {
6640 91 : case 1: return G;
6641 15869 : case 2: return mkvec(o);
6642 2723 : default: return mkvec2(o, gel(G,2));
6643 : }
6644 : }
6645 :
6646 : /* E / Fp */
6647 : static GEN
6648 18683 : doellgens(GEN E)
6649 : {
6650 18683 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6651 18683 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6652 18109 : return FF_ellgens(E);
6653 : else
6654 : {
6655 574 : GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6656 574 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
6657 574 : return FpVV_to_mod(F,p);
6658 : }
6659 : }
6660 :
6661 : GEN
6662 18760 : ellff_get_gens(GEN E)
6663 18760 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
6664 :
6665 : GEN
6666 22323 : ellgroup(GEN E, GEN p)
6667 : {
6668 22323 : pari_sp av = avma;
6669 : GEN m, G;
6670 22323 : p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
6671 22316 : switch(ell_get_type(E))
6672 : {
6673 : case t_ELL_Fp:
6674 21882 : case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
6675 : case t_ELL_Qp:
6676 : case t_ELL_Q:
6677 392 : if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
6678 : {
6679 14 : GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
6680 14 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
6681 14 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
6682 : }
6683 378 : G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
6684 : case t_ELL_NF:
6685 42 : if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
6686 : {
6687 21 : GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
6688 21 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
6689 21 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
6690 : }
6691 28 : E = ellinit(E, p, 0);
6692 28 : G = ellff_get_group(E);
6693 28 : G = gcopy(G); obj_free(E); break;
6694 : default:
6695 0 : pari_err_TYPE("ellgroup", E);
6696 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
6697 : }
6698 22316 : return gerepilecopy(av, G);
6699 : }
6700 :
6701 : GEN
6702 21483 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
6703 : {
6704 21483 : pari_sp av = avma;
6705 21483 : long tE, freeE = 0;
6706 : GEN G;
6707 21483 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
6708 1946 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
6709 1946 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
6710 1946 : if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
6711 : {
6712 1869 : GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
6713 : long vu;
6714 1862 : switch(tE)
6715 : {
6716 70 : case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
6717 1841 : case t_ELL_Q: vu = Q_pval(u, p); break;
6718 21 : case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
6719 0 : default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
6720 : }
6721 1862 : if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
6722 1855 : if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
6723 : {
6724 91 : GEN Ep = obj_init(15, 4), T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
6725 91 : if (typ(p) == t_INT)
6726 : {
6727 : long i;
6728 70 : for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
6729 : }
6730 : else
6731 : {
6732 21 : q = pr_norm(p);
6733 21 : Ep = initsmall_i(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
6734 : }
6735 91 : E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
6736 91 : obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
6737 : }
6738 : else
6739 1764 : E = ellinit(E, p, 0);
6740 1855 : freeE = 1;
6741 : }
6742 1932 : G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
6743 1932 : if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
6744 1855 : G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
6745 : }
6746 :
6747 : GEN
6748 16842 : ellgenerators(GEN E)
6749 : {
6750 16842 : checkell(E);
6751 16842 : switch(ell_get_type(E))
6752 : {
6753 : case t_ELL_Q:
6754 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
6755 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6756 16828 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
6757 : default:
6758 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
6759 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
6760 : }
6761 : }
6762 :
6763 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
6764 : static GEN
6765 22568 : ellfromj_simple(GEN j)
6766 : {
6767 22568 : pari_sp av = avma;
6768 22568 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
6769 22568 : GEN E = zerovec(5);
6770 22568 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
6771 22568 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
6772 : }
6773 : GEN
6774 33845 : ellfromj(GEN j)
6775 : {
6776 33845 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
6777 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
6778 33845 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
6779 : {
6780 : case 2:
6781 3549 : if (gequal0(j))
6782 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
6783 : else
6784 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
6785 : case 3:
6786 7637 : if (gequal0(j))
6787 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6788 : else
6789 : {
6790 7630 : GEN E = zerovec(5);
6791 7630 : pari_sp av = avma;
6792 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
6793 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
6794 7630 : return E;
6795 : }
6796 : }
6797 22659 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
6798 22631 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6799 22568 : return ellfromj_simple(j);
6800 : }
6801 :
6802 : /********************************************************************/
6803 : /** **/
6804 : /** IS SUPERSINGULAR **/
6805 : /** **/
6806 : /********************************************************************/
6807 :
6808 : int
6809 164703 : elljissupersingular(GEN x)
6810 : {
6811 164703 : pari_sp av = avma;
6812 : int res;
6813 :
6814 164703 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
6815 497 : GEN p = gel(x, 1);
6816 497 : GEN j = gel(x, 2);
6817 497 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6818 164206 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
6819 164199 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
6820 164199 : GEN p = FF_p_i(x);
6821 164199 : GEN T = FF_mod(x);
6822 164199 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6823 : } else {
6824 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
6825 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6826 : }
6827 164696 : set_avma(av);
6828 164696 : return res;
6829 : }
6830 :
6831 : int
6832 164913 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
6833 : {
6834 : pari_sp av;
6835 : GEN j;
6836 164913 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
6837 17010 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
6838 16996 : j = ell_get_j(E);
6839 16996 : switch(ell_get_type(E))
6840 : {
6841 : case t_ELL_Fp:
6842 : case t_ELL_Fq:
6843 16800 : return elljissupersingular(j);
6844 : case t_ELL_Qp:
6845 : case t_ELL_Q:
6846 56 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
6847 21 : av = avma;
6848 21 : return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
6849 : case t_ELL_NF:
6850 : {
6851 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
6852 : int res;
6853 140 : av = avma;
6854 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
6855 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
6856 : {
6857 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
6858 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
6859 : }
6860 : else
6861 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
6862 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
6863 126 : if (typ(j) == t_INT)
6864 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6865 : else
6866 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6867 126 : return gc_bool(av, res);
6868 : }
6869 : default:
6870 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
6871 : }
6872 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6873 : }
6874 :
6875 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6876 : static GEN
6877 5579 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
6878 : {
6879 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
6880 5579 : if (n==0) return pol_0(v);
6881 5579 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
6882 1204 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
6883 1204 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
6884 1204 : if (n==3)
6885 665 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
6886 : else
6887 : {
6888 539 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
6889 539 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
6890 539 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
6891 : }
6892 1204 : setvarn(res, v); return res;
6893 : }
6894 :
6895 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
6896 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6897 : static GEN
6898 4207 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
6899 : {
6900 : GEN ret;
6901 4207 : long m = n/2;
6902 4207 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
6903 2478 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
6904 728 : else if (odd(n))
6905 : {
6906 441 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6907 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
6908 441 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
6909 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
6910 441 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
6911 105 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
6912 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
6913 336 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
6914 : }
6915 : else
6916 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
6917 287 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6918 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
6919 287 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
6920 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
6921 287 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
6922 : }
6923 2478 : gel(t,n) = ret;
6924 2478 : return ret;
6925 : }
6926 :
6927 : GEN
6928 4039 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
6929 : {
6930 4039 : pari_sp av = avma;
6931 : GEN f, D, N;
6932 4039 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6933 4039 : if (v==-1) v = 0;
6934 4039 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6935 4039 : N = characteristic(D);
6936 4039 : if (!signe(N)) N = NULL;
6937 4039 : if (n<0) n = -n;
6938 4039 : if (n==1 || n==3)
6939 196 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
6940 : else
6941 : {
6942 3843 : GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
6943 3843 : setvarn(d2,v);
6944 3843 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
6945 3843 : if (n <= 4)
6946 3633 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
6947 : else
6948 210 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
6949 3843 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
6950 : }
6951 4039 : return gerepilecopy(av, f);
6952 : }
6953 :
6954 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
6955 : GEN
6956 413 : ellxn(GEN e, long n, long v)
6957 : {
6958 413 : pari_sp av = avma;
6959 : GEN d2, D, N, A, B;
6960 413 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6961 413 : if (v==-1) v = 0;
6962 413 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6963 413 : N = characteristic(D);
6964 413 : if (!signe(N)) N = NULL;
6965 413 : if (n < 0) n = -n;
6966 413 : d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
6967 413 : setvarn(d2,v);
6968 413 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
6969 413 : if (n == 0)
6970 : {
6971 21 : A = pol_0(v);
6972 21 : B = pol_0(v);
6973 : }
6974 392 : else if (n == 1)
6975 : {
6976 7 : A = pol_1(v);
6977 7 : B = pol_x(v);
6978 : }
6979 385 : else if (n == 2)
6980 : {
6981 119 : GEN b4 = ell_get_b4(e);
6982 119 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
6983 119 : GEN b8 = ell_get_b8(e);
6984 119 : A = d2;
6985 : /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
6986 119 : B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
6987 119 : setvarn(B,v);
6988 : }
6989 : else
6990 : {
6991 266 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
6992 266 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
6993 266 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
6994 266 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
6995 266 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
6996 266 : if (!odd(n))
6997 7 : A = RgX_mul(f2, d2);
6998 : else
6999 259 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
7000 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
7001 266 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
7002 : }
7003 413 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
7004 : }
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