Branch data Line data Source code
1 : : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 : :
3 : : This file is part of the PARI/GP package.
4 : :
5 : : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 : :
10 : : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 : :
14 : : /********************************************************************/
15 : : /** **/
16 : : /** ELLIPTIC CURVES **/
17 : : /** **/
18 : : /********************************************************************/
19 : : #include "pari.h"
20 : : #include "paripriv.h"
21 : : #undef coordch
22 : :
23 : : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
24 : : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
25 : : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
26 : : */
27 : :
28 : : static void
29 : 4855 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
30 : : {
31 : 4855 : *a4 = Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p);
32 : 4855 : *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
33 : 4855 : }
34 : : static void
35 : 2007223 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
36 : : {
37 : 2007223 : *a4 = Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p);
38 : 2007223 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
39 : 2007223 : }
40 : : static void
41 : 2007118 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
42 : : {
43 : 2007118 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
44 : 2007118 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
45 : 2007118 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
46 : 2007118 : }
47 : : static void
48 : 4855 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
49 : : {
50 : 4855 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
51 : 4855 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
52 : 4855 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
53 : 4855 : }
54 : :
55 : : static GEN
56 : 13855 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
57 : : {
58 : : GEN a1, a3, b2, c4, c6;
59 : 13855 : a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
60 : 13855 : a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
61 : 13855 : b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
62 : 13855 : c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
63 : 13855 : c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
64 : : /* [-27c4, -54c6, [6,3b2,3a1,108a3]] */
65 : 13855 : retmkvec3(Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p), Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p),
66 : : mkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p)));
67 : : }
68 : :
69 : : void
70 : 65116 : checkellpt(GEN z)
71 : : {
72 [ + + ]: 65116 : if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
73 [ + + - ]: 65111 : switch(lg(z))
74 : : {
75 : 64986 : case 3: break;
76 [ + - ]: 125 : case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
77 : : /* fall through */
78 : 0 : default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
79 : : }
80 : 65111 : }
81 : : void
82 : 60581 : checkell5(GEN E)
83 : : {
84 : 60581 : long l = lg(E);
85 [ + - ][ + + ]: 60581 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
[ - + ]
86 : 60581 : }
87 : : void
88 : 2129823 : checkell(GEN E)
89 [ + - ][ - + ]: 2129823 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
90 : : void
91 : 50 : checkellisog(GEN v)
92 [ + + ][ - + ]: 50 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
93 : :
94 : : void
95 : 326335 : checkell_Q(GEN E)
96 : : {
97 [ + - ][ + - ]: 326335 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
[ + + ]
98 : 5 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
99 : 326330 : }
100 : :
101 : : void
102 : 0 : checkell_Qp(GEN E)
103 : : {
104 [ # # ][ # # ]: 0 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
[ # # ]
105 : 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
106 : 0 : }
107 : :
108 : : static int
109 : 140175 : ell_over_Fq(GEN E)
110 : : {
111 : 140175 : long t = ell_get_type(E);
112 [ + + ][ + + ]: 140175 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
113 : : }
114 : :
115 : : void
116 : 68990 : checkell_Fq(GEN E)
117 : : {
118 [ + - ][ + - ]: 68990 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
[ + + ]
119 : 5 : pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
120 : 68985 : }
121 : :
122 : : GEN
123 : 47125 : ellff_get_p(GEN E)
124 : : {
125 : 47125 : GEN fg = ellff_get_field(E);
126 [ + + ]: 47125 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
127 : : }
128 : :
129 : : static int
130 : 220 : ell_is_integral(GEN E)
131 : : {
132 : 440 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
133 [ + + ]: 190 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
134 [ + - ]: 180 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
135 [ + - ]: 180 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
136 [ + + ][ + - ]: 410 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
137 : : }
138 : :
139 : : static void
140 : 460 : checkcoordch(GEN z)
141 [ + - ][ - + ]: 460 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
142 : :
143 : : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6, N is the characteristic of the base
144 : : * ring of NULL (char = 0) */
145 : : static GEN
146 : 907 : RHSpol(GEN e, GEN N)
147 : : {
148 : 907 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
149 [ + + ]: 907 : return mkpoln(4, N? modsi(4,N): utoipos(4), b2, b42, b6);
150 : : }
151 : :
152 : : static int
153 : 426 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
154 : :
155 : : static GEN
156 : 282 : doellR_roots(GEN e, long prec)
157 : : {
158 : 282 : GEN R = roots(RHSpol(e,NULL), prec);
159 : 282 : long s = ellR_get_sign(e);
160 [ + + ]: 282 : if (s > 0)
161 : : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
162 : 142 : R = real_i(R);
163 : 142 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
164 [ + + ]: 140 : } else if (s < 0)
165 : : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
166 : 130 : gel(R,1) = real_i(gel(R,1));
167 [ + + ]: 130 : if (signe(gmael(R,2,2)) < 0) swap(gel(R,2), gel(R,3));
168 : : }
169 : 282 : return R;
170 : : }
171 : : static GEN
172 : 1530 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
173 : :
174 : : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
175 : : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
176 : : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
177 : : GEN
178 : 297081 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
179 : : {
180 : 297081 : pari_sp av = avma;
181 : : GEN z;
182 : 297081 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
183 : 297081 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
184 : 297081 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
185 : 297081 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
186 : : }
187 : :
188 : : /* a1 x + a3 */
189 : : static GEN
190 : 626371 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
191 : : {
192 : 626371 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
193 : 626371 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
194 : 626371 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
195 : : }
196 : : static GEN
197 : 5 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
198 : : {
199 : 5 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
200 : 5 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
201 [ - + ]: 5 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
202 : : }
203 : : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
204 : : static GEN
205 : 2126 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
206 : : {
207 : 2126 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
208 : 2126 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
209 : : }
210 : :
211 : : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
212 : : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
213 : : * which is the derivative of the curve equation
214 : : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
215 : : * wrt x evaluated at Q */
216 : : GEN
217 : 585 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
218 : : {
219 : 585 : pari_sp av = avma;
220 : 585 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
221 : 585 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
222 : 585 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
223 : 585 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
224 : 585 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
225 : 585 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
226 : : }
227 : :
228 : : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
229 : : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
230 : : * which is the derivative of the curve equation
231 : : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
232 : : * wrt y evaluated at Q */
233 : : GEN
234 : 1280 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
235 : : {
236 : 1280 : pari_sp av = avma;
237 : 1280 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
238 : 1280 : GEN tmp = gadd(ec_h_evalx(E,x), gmul2n(y,1));
239 : 1280 : return gerepileupto(av, gneg(tmp));
240 : : }
241 : : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dfdy_evalQ */
242 : : static GEN
243 : 1600 : ec_dLHSdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
244 : : {
245 : 1600 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
246 : 1600 : return gadd(ec_h_evalx(e, x), gmul2n(y,1));
247 : : }
248 : :
249 : : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
250 : : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
251 : : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
252 : : GEN
253 : 725 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
254 : : {
255 : 725 : pari_sp av = avma;
256 : 725 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
257 : 725 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
258 : 725 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
259 : 725 : GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
260 : 725 : GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
261 : 725 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
262 : : }
263 : :
264 : : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
265 : : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
266 : : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
267 : : GEN
268 : 600 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
269 : : {
270 : 600 : pari_sp av = avma;
271 : 600 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
272 : 600 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
273 : 600 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
274 : 600 : return gerepileupto(av, res);
275 : : }
276 : :
277 : : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
278 : : GEN
279 : 230 : ellbasechar(GEN E)
280 : : {
281 : 230 : pari_sp av = avma;
282 : 230 : GEN D = ell_get_disc(E);
283 : 230 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
284 : : }
285 : :
286 : : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
287 : : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
288 : : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
289 : : * component y[16])*/
290 : : static GEN
291 : 424070 : initsmall(GEN x, long n)
292 : : {
293 : : GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
294 : 424070 : GEN y = obj_init(15, n);
295 [ + + + ]: 424070 : switch(lg(x))
296 : : {
297 : : case 1:
298 : : case 2:
299 : : case 4:
300 : : case 5:
301 : 5 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
302 : 0 : return NULL; break; /* not reached */
303 : : case 3:
304 : 9045 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
305 : 9045 : a4 = gel(x,1);
306 : 9045 : a6 = gel(x,2);
307 : 9045 : b2 = gen_0;
308 : 9045 : b4 = gmul2n(a4,1);
309 : 9045 : b6 = gmul2n(a6,2);
310 : 9045 : b8 = gneg(gsqr(a4));
311 : 9045 : c4 = gmulgs(a4,-48);
312 : 9045 : c6 = gmulgs(a6,-864);
313 : 9045 : D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
314 : 9045 : break;
315 : : default: /* l > 5 */
316 : : { GEN a11, a13, a33, b22;
317 : 415020 : a1 = gel(x,1);
318 : 415020 : a2 = gel(x,2);
319 : 415020 : a3 = gel(x,3);
320 : 415020 : a4 = gel(x,4);
321 : 415020 : a6 = gel(x,5);
322 : 415020 : a11= gsqr(a1);
323 : 415020 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
324 : 415020 : a13= gmul(a1, a3);
325 : 415020 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
326 : 415020 : a33= gsqr(a3);
327 : 415020 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
328 : 415020 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
329 : 415020 : b22= gsqr(b2);
330 : 415020 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
331 : 415020 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
332 : 415020 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
333 : : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
334 : 415020 : break;
335 : : }
336 : : }
337 : 424065 : gel(y,1) = a1;
338 : 424065 : gel(y,2) = a2;
339 : 424065 : gel(y,3) = a3;
340 : 424065 : gel(y,4) = a4;
341 : 424065 : gel(y,5) = a6;
342 : 424065 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
343 : 424065 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
344 : 424065 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
345 : 424065 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
346 : 424065 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
347 : 424065 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
348 : 424065 : gel(y,12)= D;
349 [ + + ]: 424065 : if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
350 : :
351 [ + + ][ + - ]: 419440 : if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
[ + - ]
352 : 35 : { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
353 : 35 : GEN g = RgX_gcd(D, c4);
354 [ + + ]: 35 : if (degpol(g) == 0)
355 : 20 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
356 : : else
357 : : {
358 : 15 : GEN d, c = RgX_div(c4, g);
359 : 15 : D = RgX_div(D, g);
360 : 15 : g = RgX_gcd(D,c4);
361 [ + + ]: 15 : if (degpol(g) == 0)
362 : 5 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
363 : : else
364 : : {
365 : 10 : D = RgX_div(D, g);
366 : 10 : d = RgX_div(c4, g);
367 : 10 : g = RgX_gcd(D,c4);
368 [ + - ]: 10 : if (degpol(g))
369 : : {
370 : 10 : D = RgX_div(D, g);
371 : 10 : c4 = RgX_div(c4, g);
372 : : }
373 : 10 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
374 : : }
375 : : }
376 : : }
377 : : else
378 : 419405 : j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
379 : 419440 : gel(y,13) = j;
380 : 424065 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
381 : : }
382 : :
383 : : void
384 : 0 : ellprint(GEN e)
385 : : {
386 : 0 : pari_sp av = avma;
387 : : long vx, vy;
388 : : GEN z;
389 : 0 : checkell5(e);
390 : 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
391 : 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
392 : 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
393 : 0 : (void)delete_var();
394 : 0 : (void)delete_var(); avma = av;
395 : 0 : }
396 : :
397 : : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
398 : : static GEN
399 : 60 : doellR_ab(GEN E, long prec)
400 : : {
401 : 60 : GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellR_root(E, prec);
402 : : GEN a, b, t, w;
403 : :
404 : 60 : t = gmul2n(gadd(gmulsg(12,e1), b2), -2); /* = (12 e1 + b2) / 4 */
405 : 60 : w = sqrtr( gmul2n(gadd(b4, gmul(e1,gadd(b2, mulur(6,e1)))),1) );
406 [ + + ]: 60 : if (gsigne(t) > 0) setsigne(w, -1);
407 : : /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
408 : 60 : a = gmul2n(gsub(w,t),-2);
409 : 60 : b = gmul2n(w,-1); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
410 : 60 : return mkvec2(a, b);
411 : : }
412 : : GEN
413 : 735 : ellR_ab(GEN E, long prec)
414 : 735 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
415 : :
416 : : /* return x mod p */
417 : : static GEN
418 : 300 : padic_mod(GEN x) { return modii(gel(x,4), gel(x,2)); }
419 : :
420 : : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
421 : : * Return u^2 = 1 / 4M2(a1,b1), where M2(A,B) = B AGM(sqrt(A/B),1)^2; M2(A,B)
422 : : * is the common limit of (A_n, B_n), A_0 = A, B _0 = B;
423 : : * A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
424 : : * B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = the square root of A_n B_n congruent to B_n
425 : : * Update (x,y) using p-adic Landen transform; if *pty = NULL, don't update y */
426 : : static GEN
427 : 85 : do_padic_agm(GEN *ptx, GEN *pty, GEN a1, GEN b1)
428 : : {
429 : 85 : GEN bp = padic_mod(b1), x = *ptx;
430 : : for(;;)
431 : : {
432 : 215 : GEN p1, d, a = a1, b = b1;
433 : 215 : b1 = Qp_sqrt(gmul(a,b));
434 [ - + ]: 215 : if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
435 [ + + ]: 215 : if (!equalii(padic_mod(b1), bp)) b1 = gneg_i(b1);
436 : 215 : a1 = gmul2n(gadd(gadd(a,b),gmul2n(b1,1)),-2);
437 : 215 : d = gsub(a1,b1);
438 [ + + ]: 215 : if (gequal0(d)) { *ptx = x; return ginv(gmul2n(a1,2)); }
439 : 130 : p1 = Qp_sqrt(gdiv(gadd(x,d),x)); /* = 1 (mod p) */
440 : : /* x_{n+1} = x_n ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
441 : 130 : x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,p1),-1)));
442 : : /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
443 [ + + ]: 130 : if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(d,gmul2n(x,2)))));
444 : 130 : }
445 : : }
446 : :
447 : : /* q a t_REAL*/
448 : : static long
449 : 55 : real_prec(GEN q)
450 [ + - ]: 55 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
451 : : /* q a t_PADIC */
452 : : static long
453 : 55 : padic_prec(GEN q)
454 [ + + ]: 55 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
455 : :
456 : : /* check whether moduli are consistent */
457 : : static void
458 : 68405 : chk_p(GEN p, GEN p2)
459 [ + + ]: 68405 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
460 : :
461 : : static int
462 : 25570 : fix_nftype(GEN *pp)
463 : : {
464 [ + - - ]: 25570 : switch(nftyp(*pp))
465 : : {
466 : 25570 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
467 : 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
468 : 0 : default: return 0;
469 : : }
470 : 25570 : return 1;
471 : : }
472 : : static long
473 : 424160 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
474 : : {
475 : 424160 : long i, e = *prec, imax = minss(lg(x), 6);
476 : 424160 : GEN p = NULL;
477 : 424160 : long t = t_FRAC;
478 [ + + ][ + + : 424160 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
+ + + +
+ ]
479 : : {
480 : : case t_INT:
481 [ + + ]: 350355 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
482 : 1340 : p = *pp;
483 : 1340 : t = t_INTMOD;
484 : 1340 : break;
485 : : case t_INTMOD:
486 : 5 : p = gel(*pp, 1);
487 : 5 : break;
488 : : case t_REAL:
489 : 15 : e = real_prec(*pp);
490 : 15 : p = NULL;
491 : 15 : break;
492 : : case t_PADIC:
493 : 45 : e = padic_prec(*pp);
494 : 45 : p = gel(*pp, 2);
495 : 45 : break;
496 : : case t_FFELT:
497 : 19630 : p = *pp;
498 : 19630 : break;
499 : : case t_VEC:
500 : 25570 : t = t_VEC; p = *pp;
501 [ + - ]: 25570 : if (fix_nftype(&p)) break;
502 : : default:
503 : 5 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
504 : 0 : return 0;
505 : : }
506 : : /* Possible cases:
507 : : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
508 : : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
509 : : * t = t_INTMOD (p a prime)
510 : : * t = t_PADIC (p a prime, e = padic prec)
511 : : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
512 : : * t = t_FRAC (p = NULL) */
513 [ + + ]: 2517470 : for (i = 1; i < imax; i++)
514 : : {
515 : 2093395 : GEN p2, q = gel(x,i);
516 [ + + + + : 2093395 : switch(typ(q)) {
+ + + ]
517 : : case t_PADIC:
518 : 25 : p2 = gel(q,2);
519 [ + + + ]: 25 : switch(t)
520 : : {
521 : 10 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
522 : 5 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
523 : 10 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
524 : : }
525 : 10 : e = minss(e, padic_prec(q));
526 : 10 : break;
527 : : case t_INTMOD:
528 : 85515 : p2 = gel(q,1);
529 [ + + + + ]: 85515 : switch(t)
530 : : {
531 : 17115 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
532 : 10 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
533 : 68380 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
534 : 10 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
535 : : }
536 : 85505 : break;
537 : : case t_FFELT:
538 [ + + + - ]: 73605 : switch(t)
539 : : {
540 : 10 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
541 : 8785 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
542 : : case t_FFELT:
543 [ - + ]: 64815 : if (!FF_samefield(p,q)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
544 : 64815 : break;
545 : 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
546 : : }
547 : 73600 : break;
548 : :
549 : 1934150 : case t_INT: case t_FRAC: break;
550 : : case t_REAL:
551 [ + + - ]: 40 : switch(t)
552 : : {
553 : 25 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
554 : 15 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
555 : 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
556 : : }
557 : 40 : break;
558 : : case t_COL:
559 : : case t_POL:
560 : : case t_POLMOD:
561 [ + + ]: 55 : if (t == t_VEC) break;
562 : : default: /* base ring too general */
563 : 50 : return t_COMPLEX;
564 : : }
565 : : }
566 : 424125 : *pp = p; *prec = e; return t;
567 : : }
568 : :
569 : : static GEN
570 : 65 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
571 : : {
572 : : GEN y;
573 : : long s;
574 [ - + ]: 65 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
575 [ + + ]: 65 : s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
576 : 65 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
577 : 65 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
578 : 65 : return y;
579 : : }
580 : :
581 : : static GEN
582 : 40 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
583 : : {
584 : : GEN y;
585 [ - + ]: 40 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
586 : 40 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
587 [ - + ]: 40 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
588 : 40 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
589 : 40 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
590 : 40 : return y;
591 : : }
592 : :
593 : : static GEN
594 : 351485 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
595 : : {
596 : : GEN y;
597 : : long s;
598 [ + + ]: 351485 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
599 : 351390 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
600 : 351390 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
601 : 351390 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
602 : 351480 : return y;
603 : : }
604 : :
605 : : /* shallow basistoalg */
606 : : static GEN
607 : 127915 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
608 : : {
609 [ + + ]: 127915 : switch(typ(x))
610 : : {
611 : 127835 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
612 : 127915 : default: return basistoalg(nf, x);
613 : : }
614 : : }
615 : : static GEN
616 : 25575 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
617 : : {
618 : : long i, l;
619 : 25575 : GEN y = cgetg_copy(x,&l);
620 [ + + ]: 153420 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
621 : 25575 : return y;
622 : : }
623 : :
624 : : static GEN
625 : 25570 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
626 : : {
627 : : GEN y;
628 : 25570 : x = nfVtoalg(p, x);
629 [ - + ]: 25570 : if (!(y = initsmall(x, 1))) return NULL;
630 : 25570 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
631 : 25570 : gel(y,15) = mkvec(p);
632 : 25570 : return y;
633 : : }
634 : :
635 : : static GEN
636 : 18585 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
637 : : {
638 : : long i;
639 : : GEN y, disc;
640 [ + + ]: 18585 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
641 [ + + ]: 15055 : if (cmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
642 : 1765 : return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
643 : 13290 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
644 [ - + ]: 13290 : if (!signe(disc)) return NULL;
645 [ + + ]: 186060 : for(i=1;i<=13;i++)
646 : 172770 : gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
647 : 13290 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
648 : 13290 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
649 : 18585 : return y;
650 : : }
651 : :
652 : : static GEN
653 : 28325 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
654 : : {
655 : : GEN y;
656 [ + + ]: 28325 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
657 : 28325 : return FF_ellinit(y,fg);
658 : : }
659 : :
660 : : static GEN
661 : 10 : ellinit_nf_to_Fq(GEN x, GEN P)
662 : : {
663 : 10 : GEN nf = ellnf_get_nf(x);
664 : 10 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
665 : 10 : x = nfV_to_FqV(vecslice(x,1,5), nf, modP);
666 [ - + ]: 10 : return T? ellinit_Fq(x,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(x,p);
667 : : }
668 : : GEN
669 : 423970 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
670 : : {
671 : 423970 : pari_sp av = avma;
672 : : GEN y;
673 [ + + - ]: 423970 : switch(typ(x))
674 : : {
675 : 5 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
676 : 423965 : case t_VEC: break;
677 : 0 : default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
678 : : }
679 [ + + ][ + + ]: 423970 : if (D && get_prid(D))
680 : : {
681 : 10 : checkell(x);
682 [ - + ]: 10 : if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
683 : 10 : y = ellinit_nf_to_Fq(x, D);
684 : 10 : goto END;
685 : : }
686 [ + + + + : 423960 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
+ + + ]
687 : : {
688 : : case t_PADIC:
689 : 40 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
690 : 40 : break;
691 : : case t_INTMOD:
692 : 18440 : y = ellinit_Fp(x, D);
693 : 18440 : break;
694 : : case t_FFELT:
695 : 28325 : y = ellinit_Fq(x, D);
696 : 28325 : break;
697 : : case t_FRAC:
698 : 351485 : y = ellinit_Q(x, prec);
699 : 351480 : break;
700 : : case t_REAL:
701 : 15 : y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
702 : 15 : break;
703 : : case t_VEC:
704 : 25570 : y = ellinit_nf(x, D);
705 : 25570 : break;
706 : : default:
707 : 50 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
708 : : }
709 : : END:
710 [ + + ]: 423930 : if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
711 : 423930 : return gerepilecopy(av,y);
712 : : }
713 : :
714 : : /********************************************************************/
715 : : /** **/
716 : : /** COORDINATE CHANGE **/
717 : : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
718 : : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
719 : : /** verbatim **/
720 : : /** **/
721 : : /********************************************************************/
722 : : /* [1,0,0,0] */
723 : : static GEN
724 : 1842970 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
725 : : static int
726 : 323815 : is_trivial_change(GEN v)
727 : : {
728 : : GEN u, r, s, t;
729 [ - + ]: 323815 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
730 : 323815 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
731 [ + + ][ + + ]: 323815 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
[ + - ][ + + ]
732 : : }
733 : :
734 : : /* compose coordinate changes, *vtotal = v is a ZV */
735 : : /* v = [u,0,0,0] o v, u t_INT */
736 : : static void
737 : 0 : composev_u(GEN *vtotal, GEN u)
738 : : {
739 : 0 : GEN v = *vtotal;
740 [ # # ]: 0 : if (typ(v) == t_INT)
741 : 0 : *vtotal = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
742 [ # # ]: 0 : else if (!equali1(u))
743 : : {
744 : 0 : GEN U = gel(v,1);
745 [ # # ]: 0 : GEN uU = equali1(U)? u: mulii(u, U);
746 : 0 : gel(v,1) = uU;
747 : : }
748 : 0 : }
749 : : /* v = [1,r,0,0] o v, r t_INT */
750 : : static void
751 : 177485 : composev_r(GEN *vtotal, GEN r)
752 : : {
753 : 177485 : GEN v = *vtotal;
754 [ - + ]: 177485 : if (typ(v) == t_INT)
755 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,r,gen_0,gen_0);
756 [ + - ]: 177485 : else if (signe(r))
757 : : {
758 : 177485 : GEN U = gel(v,1), R = gel(v,2), S = gel(v,3), T = gel(v,4);
759 [ - + ]: 177485 : GEN rU2 = equali1(U)? r: mulii(r, sqri(U));
760 : 177485 : gel(v,2) = addii(R, rU2);
761 : 177485 : gel(v,4) = addii(T, mulii(rU2, S));
762 : : }
763 : 177485 : }
764 : : /* v = [1,0,s,0] o v, s t_INT */
765 : : static void
766 : 47945 : composev_s(GEN *vtotal, GEN s)
767 : : {
768 : 47945 : GEN v = *vtotal;
769 [ - + ]: 47945 : if (typ(v) == t_INT)
770 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,s,gen_0);
771 [ + - ]: 47945 : else if (signe(s))
772 : : {
773 : 47945 : GEN U = gel(v,1), S = gel(v,3);
774 [ - + ]: 47945 : GEN sU = equali1(U)? s: mulii(s,U);
775 : 47945 : gel(v,3) = addii(S, sU);
776 : : }
777 : 47945 : }
778 : : /* v = [1,0,0,t] o v, t t_INT */
779 : : static void
780 : 176020 : composev_t(GEN *vtotal, GEN t)
781 : : {
782 : 176020 : GEN v = *vtotal;
783 [ - + ]: 176020 : if (typ(v) == t_INT)
784 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,t);
785 [ + - ]: 176020 : else if (signe(t))
786 : : {
787 : 176020 : GEN U = gel(v,1), T = gel(v,4);
788 [ - + ]: 176020 : GEN tU3 = equali1(U)? t: mulii(t, powiu(U,3));
789 : 176020 : gel(v,4) = addii(T, tU3);
790 : : }
791 : 176020 : }
792 : : /* v = [1,0,s,t] o v, s,t t_INT */
793 : : static void
794 : 69610 : composev_st(GEN *vtotal, GEN s, GEN t)
795 : : {
796 : 69610 : GEN v = *vtotal;
797 [ - + ]: 69610 : if (typ(v) == t_INT)
798 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,s,t);
799 [ + + ]: 69610 : else if (!signe(t)) composev_s(vtotal, s);
800 [ + + ]: 21665 : else if (!signe(s)) composev_t(vtotal, t);
801 : : else
802 : : {
803 : 13240 : GEN U = gel(v,1), S = gel(v,3), T = gel(v,4);
804 [ - + ]: 13240 : if (!equali1(U))
805 : : {
806 : 0 : GEN U3 = mulii(sqri(U), U);
807 : 0 : t = mulii(U3, t);
808 : 0 : s = mulii(U, s);
809 : : }
810 : 13240 : gel(v,3) = addii(S, s);
811 : 13240 : gel(v,4) = addii(T, t);
812 : : }
813 : 69610 : }
814 : : /* v = [1,r,s,t] o v, r,s,t t_INT */
815 : : static void
816 : 186215 : composev_rst(GEN *vtotal, GEN r, GEN s, GEN t)
817 : : {
818 : 186215 : GEN v = *vtotal, U, R, S, T;
819 [ - + ]: 186215 : if (typ(v) == t_INT) { *vtotal = mkvec4(gen_1,r,s,t); return; }
820 [ + + ]: 186215 : if (!signe(r)) { composev_st(vtotal, s,t); return; }
821 : 116605 : v = *vtotal;
822 : 116605 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
823 [ + - ]: 116605 : if (equali1(U))
824 : 116605 : t = addii(t, mulii(S, r));
825 : : else
826 : : {
827 : 0 : GEN U2 = sqri(U);
828 : 0 : t = mulii(U2, addii(mulii(U, t), mulii(S, r)));
829 : 0 : r = mulii(U2, r);
830 : 0 : s = mulii(U, s);
831 : : }
832 : 116605 : gel(v,2) = addii(R, r);
833 : 116605 : gel(v,3) = addii(S, s);
834 : 186215 : gel(v,4) = addii(T, t);
835 : : }
836 : :
837 : : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
838 : : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
839 : : static void
840 : 30 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
841 : : {
842 : 30 : GEN v = *vtotal;
843 : : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
844 : :
845 [ - + ]: 60 : if (typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
846 : 30 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
847 : 30 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
848 : 30 : U2 = gsqr(U);
849 : 30 : gel(v,1) = gmul(U, u);
850 : 30 : gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
851 : 30 : gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
852 : 30 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
853 : : }
854 : :
855 : : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
856 : : GEN
857 : 10 : ellchangeinvert(GEN w)
858 : : {
859 : : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
860 [ - + ]: 10 : if (typ(w) == t_INT) return w;
861 : 10 : u = gel(w,1);
862 : 10 : r = gel(w,2);
863 : 10 : s = gel(w,3);
864 : 10 : t = gel(w,4);
865 : 10 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
866 : 10 : U = ginv(u);
867 : 10 : R = gdiv(gneg(r), u2);
868 : 10 : S = gdiv(gneg(s), u);
869 : 10 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
870 : 10 : return mkvec4(U,R,S,T);
871 : : }
872 : :
873 : : /* apply [u,0,0,0] */
874 : : static GEN
875 : 225 : coordch_u(GEN e, GEN u)
876 : : {
877 : : GEN y, u2, u3, u4, u6;
878 : : long lx;
879 [ + + ]: 225 : if (gequal1(u)) return e;
880 : 210 : y = cgetg_copy(e, &lx);
881 : 210 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
882 : 210 : gel(y,1) = gdiv(ell_get_a1(e), u);
883 : 210 : gel(y,2) = gdiv(ell_get_a2(e), u2);
884 : 210 : gel(y,3) = gdiv(ell_get_a3(e), u3);
885 : 210 : gel(y,4) = gdiv(ell_get_a4(e), u4);
886 : 210 : gel(y,5) = gdiv(ell_get_a6(e), u6);
887 [ - + ]: 210 : if (lx == 6) return y;
888 : 210 : gel(y,6) = gdiv(ell_get_b2(e), u2);
889 : 210 : gel(y,7) = gdiv(ell_get_b4(e), u4);
890 : 210 : gel(y,8) = gdiv(ell_get_b6(e), u6);
891 : 210 : gel(y,9) = gdiv(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
892 : 210 : gel(y,10)= gdiv(ell_get_c4(e), u4);
893 : 210 : gel(y,11)= gdiv(ell_get_c6(e), u6);
894 : 210 : gel(y,12)= gdiv(ell_get_disc(e), gsqr(u6));
895 : 210 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
896 : 210 : gel(y,14)= gel(e,14);
897 : 210 : gel(y,15)= gel(e,15);
898 : 210 : gel(y,16)= gel(e,16);
899 : 225 : return y;
900 : : }
901 : : /* apply [1,r,0,0] */
902 : : static GEN
903 : 363900 : coordch_r(GEN e, GEN r)
904 : : {
905 : : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
906 [ + + ]: 363900 : if (gequal0(r)) return e;
907 : 294275 : y = leafcopy(e);
908 : 294275 : a2 = ell_get_a2(e);
909 : 294275 : rx3 = gmulsg(3,r);
910 : :
911 : : /* A2 = a2 + 3r */
912 : 294275 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
913 : : /* A3 = a1 r + a3 */
914 : 294275 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
915 : : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
916 : 294275 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
917 : : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
918 : 294275 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
919 [ + + ]: 294275 : if (lg(y) == 6) return y;
920 : :
921 : 294270 : b4 = ell_get_b4(e);
922 : 294270 : b6 = ell_get_b6(e);
923 : : /* B2 = 12r + b2 */
924 : 294270 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
925 : 294270 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
926 : 294270 : r2 = gsqr(r);
927 : : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
928 : 294270 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
929 : : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
930 : 294270 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
931 : : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
932 : 294270 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
933 : 294270 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
934 : 363900 : return y;
935 : : }
936 : : /* apply [1,0,s,0] */
937 : : static GEN
938 : 79590 : coordch_s(GEN e, GEN s)
939 : : {
940 : : GEN a1, y;
941 [ - + ]: 79590 : if (gequal0(s)) return e;
942 : 79590 : a1 = ell_get_a1(e);
943 : 79590 : y = leafcopy(e);
944 : :
945 : : /* A1 = a1 + 2s */
946 : 79590 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
947 : : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
948 : 79590 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
949 : : /* A4 = a4 - s a3 */
950 : 79590 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
951 : 79590 : return y;
952 : : }
953 : : /* apply [1,0,0,t] */
954 : : static GEN
955 : 234770 : coordch_t(GEN e, GEN t)
956 : : {
957 : : GEN a1, a3, y;
958 [ + + ]: 234770 : if (gequal0(t)) return e;
959 : 188945 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
960 : 188945 : y = leafcopy(e);
961 : : /* A3 = 2t + a3 */
962 : 188945 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
963 : : /* A4 = a4 - a1 t */
964 : 188945 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
965 : : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
966 : 188945 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
967 : 234770 : return y;
968 : : }
969 : : /* apply [1,0,s,t] */
970 : : static GEN
971 : 186415 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
972 : : {
973 : : GEN y, a1, a3;
974 [ + + ]: 186415 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
975 [ + + ]: 119240 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
976 : 39650 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
977 : 39650 : y = leafcopy(e);
978 : : /* A1 = a1 + 2s */
979 : 39650 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
980 : : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
981 : 39650 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
982 : : /* A3 = 2t + a3 */
983 : 39650 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
984 : : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
985 : 39650 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
986 : : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
987 : 39650 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
988 : 186415 : return y;
989 : : }
990 : : /* apply [1,r,s,t] */
991 : : static GEN
992 : 186415 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
993 : : {
994 : 186415 : e = coordch_r(e, r);
995 : 186415 : return coordch_st(e, s, t);
996 : : }
997 : : /* apply w = [u,r,s,t] */
998 : : static GEN
999 : 200 : coordch(GEN e, GEN w)
1000 : : {
1001 [ - + ]: 200 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1002 : 200 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1003 : 200 : return coordch_u(e, gel(w,1));
1004 : : }
1005 : :
1006 : : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1007 : : * (dynamic data) */
1008 : : static GEN
1009 : 5 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1010 : : {
1011 : 5 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1012 : 5 : long prec = valp(p);
1013 [ - + ]: 5 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1014 [ + - ]: 5 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1015 : : {
1016 [ + - ]: 5 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1017 : 5 : obj_insert(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1018 : : }
1019 [ + - ]: 5 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1020 : : {
1021 : 5 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4);
1022 [ - + ]: 5 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1023 : 5 : U2 = gmul(U2, u2);
1024 : 5 : U = gmul(U, u);
1025 : 5 : AB = gdiv(AB, u2);
1026 : 5 : obj_insert(E, Qp_TATE, mkvec4(U2,U,Q,AB));
1027 : : }
1028 : 5 : return E;
1029 : : }
1030 : :
1031 : : /* common to Q and Rg */
1032 : : static GEN
1033 : 100 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1034 : : {
1035 : 100 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1036 [ + + ]: 100 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1037 : 15 : obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1038 [ + + ]: 100 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1039 : 15 : obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
1040 [ + + ]: 100 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1041 : : {
1042 : 15 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1043 : : long i;
1044 [ + + ]: 60 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1045 : 15 : obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
1046 : : }
1047 : 100 : return E;
1048 : : }
1049 : :
1050 : : static GEN
1051 : 5 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1052 : : {
1053 : 5 : GEN p = NULL;
1054 : 5 : long prec = ellR_get_prec(E);
1055 [ - + ]: 5 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1056 : 5 : ch_R(E, e, w); return E;
1057 : : }
1058 : :
1059 : : static GEN
1060 : 100 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1061 : : {
1062 : 100 : long prec = ellR_get_prec(E);
1063 : 100 : GEN S, v = NULL, p = NULL;
1064 [ + + ]: 100 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1065 : 95 : ch_R(E, e, w);
1066 [ - + ]: 95 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1067 : 0 : S = obj_insert(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1068 [ + + ]: 95 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1069 : : {
1070 [ + + ]: 25 : if (lg(S) == 2)
1071 : : { /* model was minimal */
1072 [ + - ]: 5 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1073 : 5 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1074 : 5 : (void)obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1075 : : }
1076 : : else
1077 : : {
1078 : 20 : v = gel(S,2);
1079 [ + + ][ - + ]: 20 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
[ # # ]
1080 : 15 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1081 : : else
1082 : : {
1083 : 5 : w = ellchangeinvert(w);
1084 : 5 : gcomposev(&w, v); v = w;
1085 : 5 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1086 : 5 : gel(S,2) = v;
1087 : : }
1088 : 20 : (void)obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1089 : : }
1090 : : }
1091 [ + + ]: 95 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1092 : 5 : S = obj_insert(E, Q_GLOBALRED, S);
1093 [ - + ]: 95 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1094 : 0 : S = obj_insert(E, Q_ROOTNO, S);
1095 : 100 : return E;
1096 : : }
1097 : :
1098 : : static void
1099 : 90 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1100 : : {
1101 : : GEN S;
1102 [ + + ]: 90 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1103 : 15 : S = obj_insert(E, FF_CARD, S);
1104 [ + + ]: 90 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1105 : 15 : S = obj_insert(E, FF_GROUP, S);
1106 [ + + ]: 90 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1107 : 15 : S = obj_insert(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1108 [ + + ]: 90 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1109 : 15 : S = obj_insert(E, FF_O, S);
1110 : 90 : }
1111 : :
1112 : : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1113 : : static GEN
1114 : 5 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1115 : : {
1116 : 5 : long prec = 0;
1117 : 5 : GEN p = ellff_get_field(E);
1118 [ - + ]: 5 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1119 : 5 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1120 : 5 : ch_FF(E, e, w); return E;
1121 : : }
1122 : : static GEN
1123 : 85 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1124 : : {
1125 : 85 : long prec = 0;
1126 : 85 : GEN p = ellff_get_field(E);
1127 [ - + ]: 85 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1128 : 85 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1129 : 85 : ch_FF(E, e, w); return E;
1130 : : }
1131 : :
1132 : : static void
1133 : 190 : ell_reset(GEN E)
1134 : 190 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1135 : :
1136 : : GEN
1137 : 205 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1138 : : {
1139 : 205 : pari_sp av = avma;
1140 : : GEN E;
1141 : 205 : checkell5(e);
1142 [ + + ]: 205 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1143 : 200 : checkcoordch(w);
1144 : 200 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1145 [ + + ]: 200 : if (lg(E) == 6) return gerepilecopy(av, E);
1146 : 190 : ell_reset(E); E = gerepilecopy(av, E);
1147 [ + + + + : 190 : switch(ell_get_type(E))
+ - ]
1148 : : {
1149 : 5 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1150 : 5 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1151 : 85 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1152 : 90 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1153 : 5 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1154 : : }
1155 : 205 : return E;
1156 : : }
1157 : :
1158 : : static void
1159 : 0 : E_compose_u(GEN *vtotal, GEN *e, GEN u) {*e=coordch_u(*e,u); composev_u(vtotal,u);}
1160 : : static void
1161 : 177485 : E_compose_r(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r) {*e=coordch_r(*e,r); composev_r(vtotal,r);}
1162 : : #if 0
1163 : : static void
1164 : : E_compose_s(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s) {*e=coordch_s(*e,s); composev_s(vtotal,s);}
1165 : : #endif
1166 : : static void
1167 : 167595 : E_compose_t(GEN *vtotal, GEN *e, GEN t) {*e=coordch_t(*e,t); composev_t(vtotal,t);}
1168 : : static void
1169 : 186215 : E_compose_rst(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN s, GEN t)
1170 : 186215 : { *e=coordch_rst(*e,r,s,t); composev_rst(vtotal,r,s,t); }
1171 : :
1172 : : /* X = (x-r)/u^2
1173 : : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1174 : : static GEN
1175 : 215 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1176 : : {
1177 : : GEN a, x, y;
1178 [ + + ]: 215 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1179 : 205 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1180 : 215 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1181 : : }
1182 : :
1183 : : GEN
1184 : 215 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1185 : : {
1186 : : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1187 : 215 : long tx, i, lx = lg(x);
1188 : 215 : pari_sp av = avma;
1189 : :
1190 [ - + ]: 215 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1191 [ - + ]: 215 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1192 : 215 : checkcoordch(ch);
1193 [ - + ]: 215 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1194 : 215 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1195 : 215 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1196 : 215 : tx = typ(gel(x,1));
1197 [ + + ]: 215 : if (is_matvec_t(tx))
1198 : : {
1199 : 15 : y = cgetg(lx,tx);
1200 [ + + ]: 30 : for (i=1; i<lx; i++)
1201 : 15 : gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1202 : : }
1203 : : else
1204 : 200 : y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
1205 : 215 : return gerepilecopy(av,y);
1206 : : }
1207 : :
1208 : : /* x = u^2*X + r
1209 : : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1210 : : static GEN
1211 : 45 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1212 : : {
1213 : : GEN a, X, Y;
1214 [ - + ]: 45 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1215 : 45 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1216 : 45 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1217 : : }
1218 : : GEN
1219 : 45 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1220 : : {
1221 : : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1222 : 45 : long tx, i, lx = lg(x);
1223 : 45 : pari_sp av = avma;
1224 : :
1225 [ - + ]: 45 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1226 [ - + ]: 45 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1227 : 45 : checkcoordch(ch);
1228 [ - + ]: 45 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1229 : 45 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1230 : 45 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1231 : 45 : tx = typ(gel(x,1));
1232 [ + + ]: 45 : if (is_matvec_t(tx))
1233 : : {
1234 : 5 : y = cgetg(lx,tx);
1235 [ + + ]: 10 : for (i=1; i<lx; i++)
1236 : 5 : gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1237 : : }
1238 : : else
1239 : 40 : y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
1240 : 45 : return gerepilecopy(av,y);
1241 : : }
1242 : :
1243 : : static long
1244 : 4 : ellexpo(GEN E)
1245 : : {
1246 : 4 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1247 [ + + ]: 24 : for (i=1; i<=5; i++)
1248 : : {
1249 : 20 : f = gexpo(gel(E,i));
1250 [ + + ]: 20 : if (f > e) e = f;
1251 : : }
1252 : 4 : return e;
1253 : : }
1254 : :
1255 : : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
1256 : : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1257 : : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1258 : : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1259 : : int
1260 : 2181 : oncurve(GEN e, GEN z)
1261 : : {
1262 : : GEN LHS, RHS, x;
1263 : : long pl, pr, ex, expx;
1264 : : pari_sp av;
1265 : :
1266 [ + + ]: 2181 : checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1267 [ + + ]: 2126 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1268 : 2126 : av = avma;
1269 : 2126 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1270 : 2126 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1271 [ + + ]: 2126 : if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
1272 : 14 : pl = precision(LHS);
1273 : 14 : pr = precision(RHS);
1274 [ + + ][ + - ]: 14 : if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
1275 : : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1276 [ + - ]: 4 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1277 [ + - ][ + - ]: 4 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
[ - + ]
1278 : 4 : expx = gexpo(x);
1279 [ # # ]: 4 : pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
1280 [ + - ]: 4 : || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
[ - + # # ]
1281 : 2181 : avma = av; return pr;
1282 : : }
1283 : :
1284 : : GEN
1285 : 2956 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1286 : : {
1287 : 2956 : long i, tx = typ(x), lx;
1288 : :
1289 : 2956 : checkell5(e);
1290 [ - + ]: 2956 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1291 [ - + ]: 2956 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1292 : 2956 : tx = typ(gel(x,1));
1293 [ + + ]: 2956 : if (is_vec_t(tx))
1294 : : {
1295 : 1205 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1296 [ + + ]: 2510 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1297 : 1205 : return z;
1298 : : }
1299 [ + + ]: 2956 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1300 : : }
1301 : :
1302 : : GEN
1303 : 2060 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1304 : : {
1305 : : GEN p1, p2, x, y, x1, x2, y1, y2;
1306 : 2060 : pari_sp av = avma, tetpil;
1307 : :
1308 : 2060 : checkell5(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
1309 [ + + ]: 2060 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1310 [ - + ]: 2045 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1311 : :
1312 : 2045 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1313 : 2045 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1314 [ + + ]: 2045 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1315 : : {
1316 : 15 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1317 : 15 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1318 : 15 : x2 = nftoalg(nf, x2);
1319 : 15 : y1 = nftoalg(nf, y1);
1320 : 15 : y2 = nftoalg(nf, y2);
1321 : : }
1322 [ + + ][ + + ]: 2045 : if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
1323 : : { /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1324 [ + + ]: 1020 : if (y1 != y2)
1325 : : {
1326 : : int eq;
1327 [ + + ][ - + ]: 205 : if (precision(y1) || precision(y2))
1328 : 5 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x1),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1329 : : else
1330 : 200 : eq = gequal(y1,y2);
1331 [ + + ]: 205 : if (!eq) { avma = av; return ellinf(); }
1332 : : }
1333 : 965 : p2 = ec_dLHSdy_evalQ(e,z1);
1334 [ + + ]: 965 : if (gequal0(p2)) { avma = av; return ellinf(); }
1335 : 930 : p1 = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1336 : : gmul(x1,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x1))));
1337 : : }
1338 : : else {
1339 : 1025 : p1 = gsub(y2,y1);
1340 : 1025 : p2 = gsub(x2,x1);
1341 : : }
1342 : 1955 : p1 = gdiv(p1,p2);
1343 : 1955 : x = gsub(gmul(p1,gadd(p1,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1344 : 1955 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(p1,gsub(x,x1)));
1345 : 1955 : tetpil = avma; p1 = cgetg(3,t_VEC);
1346 : 1955 : gel(p1,1) = gcopy(x);
1347 : 2060 : gel(p1,2) = gneg(y); return gerepile(av,tetpil,p1);
1348 : : }
1349 : :
1350 : : static GEN
1351 : 75 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1352 : : {
1353 : : GEN t, x, y;
1354 [ - + ]: 75 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1355 : 75 : x = gel(z,1);
1356 : 75 : y = gel(z,2);
1357 [ - + ]: 75 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1358 : : {
1359 : 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1360 : 0 : x = nftoalg(nf,x);
1361 : 0 : y = nftoalg(nf,y);
1362 : : }
1363 : 75 : t = cgetg(3,t_VEC);
1364 : 75 : gel(t,1) = x;
1365 : 75 : gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
1366 : 75 : return t;
1367 : : }
1368 : :
1369 : : GEN
1370 : 5 : ellneg(GEN e, GEN z)
1371 : : {
1372 : : pari_sp av;
1373 : : GEN t, y;
1374 : 5 : checkell5(e); checkellpt(z);
1375 [ - + ]: 5 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1376 : 5 : t = cgetg(3,t_VEC);
1377 : 5 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
1378 : 5 : av = avma;
1379 : 5 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
1380 : 5 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
1381 : 5 : return t;
1382 : : }
1383 : :
1384 : : GEN
1385 : 50 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1386 : : {
1387 : 50 : pari_sp av = avma;
1388 : 50 : checkell5(e); checkellpt(z2);
1389 : 50 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
1390 : : }
1391 : :
1392 : : /* E an ell, x a scalar */
1393 : : static GEN
1394 : 650 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
1395 : : {
1396 : 650 : pari_sp av = avma;
1397 : 650 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
1398 : :
1399 [ + + ]: 650 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1400 : : {
1401 : 10 : nf = ellnf_get_nf(E);
1402 : 10 : x = nftoalg(nf,x);
1403 : : }
1404 : 650 : a = ec_f_evalx(E,x);
1405 : 650 : b = ec_h_evalx(E,x);
1406 : 650 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
1407 : : /* solve y*(y+b) = a */
1408 [ + + ]: 650 : if (gequal0(D)) {
1409 [ + + ][ - + ]: 229 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && equaliu(ellff_get_p(E),2))
1410 : 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
1411 : 229 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
1412 : 229 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
1413 : 229 : return gerepileupto(av,y);
1414 : : }
1415 : : /* D != 0 */
1416 [ + + + + : 421 : switch(ell_get_type(E))
+ + ]
1417 : : {
1418 : : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
1419 : 20 : p = ellff_get_p(E);
1420 : 20 : D = gel(D,2);
1421 [ + + ]: 20 : if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1422 : 5 : d = Fp_sqrt(D, p);
1423 : 5 : break;
1424 : : case t_ELL_Fq:
1425 [ + + ]: 151 : if (equaliu(ellff_get_p(E),2))
1426 : : {
1427 : 55 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
1428 [ + + ]: 55 : if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1429 : 28 : return gerepileupto(av, F);
1430 : : }
1431 [ + + ]: 96 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1432 : 43 : break;
1433 : : case t_ELL_Q:
1434 [ + + ]: 225 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
1435 [ + + ]: 220 : if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1436 : 135 : break;
1437 : :
1438 : : case t_ELL_NF:
1439 : 10 : d = nfroots(nf, mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D)));
1440 [ + + ]: 10 : if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
1441 : 5 : d = gel(d,1);
1442 : 5 : break;
1443 : :
1444 : : case t_ELL_Qp:
1445 : 10 : p = ellQp_get_p(E);
1446 : 10 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
1447 [ - + ]: 10 : if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1448 : 10 : d = Qp_sqrt(D);
1449 : 10 : break;
1450 : :
1451 : : default:
1452 : 5 : d = gsqrt(D,prec);
1453 : : }
1454 : 208 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
1455 : 208 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
1456 : 208 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
1457 : 650 : return gerepileupto(av,y);
1458 : : }
1459 : :
1460 : : GEN
1461 : 255 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
1462 : : {
1463 : 255 : checkell(e);
1464 [ - + ]: 255 : if (is_matvec_t(typ(x)))
1465 : : {
1466 : : long i, lx;
1467 : 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
1468 [ # # ]: 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
1469 : 0 : return v;
1470 : : }
1471 : 255 : return ellordinate_i(e, x, prec);
1472 : : }
1473 : :
1474 : : GEN
1475 : 66850 : ellrandom(GEN E)
1476 : : {
1477 : : GEN fg;
1478 : 66850 : checkell_Fq(E);
1479 : 66850 : fg = ellff_get_field(E);
1480 [ + + ]: 66850 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1481 : 66830 : return FF_ellrandom(E);
1482 : : else
1483 : : {
1484 : 20 : pari_sp av = avma;
1485 : 20 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
1486 : 20 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
1487 : 20 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
1488 : 66850 : return gerepileupto(av, P);
1489 : : }
1490 : : }
1491 : :
1492 : : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, z != [0] */
1493 : : static GEN
1494 : 15 : ellmul_CM(GEN e, GEN z, GEN n)
1495 : : {
1496 : 15 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
1497 : : long ln, ep, vn;
1498 : :
1499 [ - + ]: 15 : if (typ(N) != t_INT)
1500 : 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
1501 : 15 : ln = itos_or_0(shifti(addsi(1, N), 3));
1502 [ - + ]: 15 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
1503 : 15 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
1504 : 15 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
1505 : 15 : z2 = gsubst(z1, 0, monomial(n, 1, 0));
1506 : 15 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
1507 : 15 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
1508 : : do
1509 : : {
1510 : 25 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
1511 : : do
1512 : : {
1513 : 35 : ep = (-valp(z2)) >> 1;
1514 : 35 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), monomial(gen_1, ep, 0)));
1515 : 35 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
1516 : : }
1517 [ + + ]: 35 : while (valp(z2) <= 0);
1518 : 25 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
1519 : 25 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
1520 [ + + ]: 25 : if (!signe(z2)) break;
1521 : 10 : z2 = ginv(z2);
1522 : : }
1523 [ + - ]: 10 : while (degpol(p1) < vn);
1524 [ + - ][ - + ]: 15 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
1525 : 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
1526 : 15 : q1p = RgX_deriv(q1);
1527 : 15 : b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12); /* x - b2/12 */
1528 : 15 : grdx = gadd(gel(z,1), b2ov12);
1529 : 15 : q1 = poleval(q1, grdx);
1530 [ - + ]: 15 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
1531 : :
1532 : 15 : p1p = RgX_deriv(p1);
1533 : 15 : p1 = poleval(p1, grdx);
1534 : 15 : p1p = poleval(p1p, grdx);
1535 : 15 : q1p = poleval(q1p, grdx);
1536 : :
1537 : 15 : x = gdiv(p1,q1);
1538 : 15 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
1539 : 15 : x = gsub(x, b2ov12);
1540 : 15 : y = gsub( gmul(ec_dLHSdy_evalQ(e,z), y), ec_h_evalx(e,x));
1541 : 15 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
1542 : : }
1543 : :
1544 : : static GEN
1545 : 145 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
1546 : : static GEN
1547 : 40 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
1548 : :
1549 : : static GEN
1550 : 55235 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
1551 : : {
1552 : 55235 : GEN fg = ellff_get_field(E);
1553 [ + + ]: 55235 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1554 : 55155 : return FF_ellmul(E, P, n);
1555 : : else
1556 : : {
1557 : 80 : pari_sp av = avma;
1558 : 80 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
1559 : 80 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
1560 : 80 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
1561 : 70 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
1562 : 55225 : return gerepileupto(av, Q);
1563 : : }
1564 : : }
1565 : : /* [n] z, n integral */
1566 : : static GEN
1567 : 55365 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
1568 : : {
1569 : : long s;
1570 [ - + ]: 55365 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
1571 [ + + ]: 55365 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
1572 : 130 : s = signe(n);
1573 [ + + ]: 130 : if (!s) return ellinf();
1574 [ - + ]: 115 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
1575 [ + + ]: 115 : if (is_pm1(n)) return z;
1576 : 55355 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
1577 : : }
1578 : :
1579 : : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
1580 : : enum { OK, LOW_PREC, NO };
1581 : : static long
1582 : 45 : myroundr(GEN *px)
1583 : : {
1584 : 45 : GEN x = *px;
1585 : : long e;
1586 [ - + ]: 45 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
1587 : 45 : *px = grndtoi(x, &e);
1588 [ - + ]: 45 : if (e >= -5) return NO;
1589 : 45 : return OK;
1590 : : }
1591 : :
1592 : : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
1593 : : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
1594 : : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
1595 : : static GEN
1596 : 15 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
1597 : : {
1598 : : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
1599 : : long prec;
1600 : :
1601 [ - + ]: 15 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
1602 [ - + - ]: 15 : switch(typ(Q))
1603 : : {
1604 : : case t_COMPLEX:
1605 : 0 : D = utoineg(4);
1606 : 0 : v = gel(Q,2);
1607 : 0 : break;
1608 : : case t_QUAD:
1609 : 15 : D = quad_disc(Q);
1610 : 15 : v = gel(Q,3);
1611 : 15 : break;
1612 : : default:
1613 : 0 : return NULL; /*-Wall*/
1614 : : }
1615 : : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
1616 : 15 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
1617 : 15 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
1618 : 15 : prec = precision(tau);
1619 : : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
1620 : : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
1621 : : * Compute f*k */
1622 : 15 : x = gel(tau,1);
1623 : 15 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
1624 : 15 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
1625 [ - - + ]: 15 : switch(myroundr(&fk))
1626 : : {
1627 : 0 : case NO: return NULL;
1628 : 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
1629 : : }
1630 : 15 : fk = absi(fk);
1631 : :
1632 : 15 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
1633 [ - - + ]: 15 : switch(myroundr(&fkb))
1634 : : {
1635 : 0 : case NO: return NULL;
1636 : 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
1637 : : }
1638 : :
1639 : 15 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
1640 [ - - + ]: 15 : switch(myroundr(&fkc))
1641 : : {
1642 : 0 : case NO: return NULL;
1643 : 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
1644 : : }
1645 : :
1646 : : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
1647 : 15 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
1648 : 15 : dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
1649 : 15 : q = dvmdii(dF, D, &r);
1650 [ + - ][ - + ]: 15 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
1651 : : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
1652 : 15 : v = dvmdii(absi(v), q, &r);
1653 [ - + ]: 15 : if (r != gen_0) return NULL;
1654 [ + - ]: 15 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
1655 : : }
1656 : :
1657 : : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
1658 : : static GEN
1659 : 15 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
1660 : : {
1661 : : GEN A, B, q;
1662 [ - + ]: 15 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
1663 : 15 : q = CM_factor(e, w);
1664 [ - + ]: 15 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
1665 [ - + ]: 15 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
1666 : : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
1667 [ + - ][ + + ]: 15 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
1668 : : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
1669 : : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
1670 : 10 : GEN u = gtrace(w);
1671 [ - + ]: 10 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
1672 : 10 : u = shifti(u, -1);
1673 [ - + ]: 10 : if (signe(u))
1674 : : {
1675 : 0 : w = gsub(w, u);
1676 : 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
1677 : : }
1678 : : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
1679 : : }
1680 : 15 : A = ellmul_Z(e,z,a);
1681 : 15 : B = ellmul_CM(e,z,w);
1682 [ - + ]: 15 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
1683 : 15 : return elladd(e, A, B);
1684 : : }
1685 : : GEN
1686 : 55305 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
1687 : : {
1688 : 55305 : pari_sp av = avma;
1689 : :
1690 : 55305 : checkell5(e); checkellpt(z);
1691 [ - + ]: 55305 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
1692 [ + + - - ]: 55305 : switch(typ(n))
1693 : : {
1694 : 55290 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
1695 : : case t_QUAD: {
1696 : 15 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
1697 [ - + ]: 15 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
1698 : 15 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
1699 : : }
1700 : : case t_COMPLEX: {
1701 : 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
1702 : 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
1703 : : }
1704 : : }
1705 : 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
1706 : 55295 : return NULL; /* not reached */
1707 : : }
1708 : :
1709 : : /********************************************************************/
1710 : : /** **/
1711 : : /** Periods **/
1712 : : /** **/
1713 : : /********************************************************************/
1714 : :
1715 : : /* References:
1716 : : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
1717 : : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
1718 : : */
1719 : :
1720 : : static GEN
1721 : 177 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
1722 : : {
1723 : 177 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
1724 : 177 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
1725 : 177 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
1726 : : }
1727 : :
1728 : : static GEN
1729 : 62 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
1730 : : {
1731 : 62 : pari_sp av = avma;
1732 : 62 : GEN roots = ellR_roots(E,prec);
1733 : 57 : GEN e1=gel(roots,1), e2=gel(roots,2), e3=gel(roots,3);
1734 : 57 : GEN a = gsqrt(gsub(e1,e2),prec);
1735 : 57 : GEN b = gsqrt(gsub(e2,e3),prec);
1736 : 57 : GEN c = gsqrt(gsub(e1,e3),prec);
1737 : 57 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
1738 : : }
1739 : :
1740 : : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
1741 : : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
1742 : : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
1743 : : static GEN
1744 : 182 : doellR_omega(GEN E, long prec)
1745 : : {
1746 : 182 : pari_sp av = avma;
1747 : : GEN roots, e1, e3, z, a, b, c;
1748 [ + + ]: 182 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
1749 : 120 : roots = ellR_roots(E,prec);
1750 : 120 : e1 = gel(roots,1);
1751 : 120 : e3 = gel(roots,3);
1752 : 120 : z = gsqrt(gsub(e1,e3),prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
1753 : 120 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
1754 : 120 : b = gel(z,2);
1755 : 120 : c = gabs(z, prec);
1756 : 120 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
1757 : 177 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
1758 : : }
1759 : : static GEN
1760 : 20 : doellR_eta(GEN E, long prec)
1761 : 20 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
1762 : :
1763 : : GEN
1764 : 910 : ellR_omega(GEN E, long prec)
1765 : 910 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
1766 : : GEN
1767 : 30 : ellR_eta(GEN E, long prec)
1768 : 30 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
1769 : : GEN
1770 : 1747 : ellR_roots(GEN E, long prec)
1771 : 1747 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
1772 : :
1773 : : /********************************************************************/
1774 : : /** **/
1775 : : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
1776 : : /** **/
1777 : : /********************************************************************/
1778 : : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
1779 : : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
1780 : : static GEN
1781 : 0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
1782 : : {
1783 : 0 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
1784 : 0 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
1785 : 0 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
1786 : 0 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
1787 : 0 : GEN z = gel(om,2);
1788 [ # # ]: 0 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
1789 [ # # ]: 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
1790 : : else
1791 [ # # ]: 0 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
1792 : 0 : return gmul2n(z, -1);
1793 : : }
1794 : :
1795 : : static GEN
1796 : 5 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
1797 : : {
1798 : 5 : GEN roots = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
1799 : 5 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dLHSdy_evalQ(E,P);
1800 [ - + ]: 5 : if (gequal0(y0))
1801 : 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,roots);
1802 : : else
1803 : : {
1804 : 5 : GEN e1 = gel(roots,1), e2 = gel(roots,2), e3 = gel(roots,3);
1805 : 5 : GEN a = gsqrt(gsub(e1,e3),prec), b = gsqrt(gsub(e1,e2),prec);
1806 : 5 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
1807 : 5 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
1808 : 5 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
1809 : : /* |a+b| < |a-b| */
1810 [ + - ]: 5 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
1811 : 5 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
1812 : : }
1813 : : }
1814 : :
1815 : : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
1816 : : static GEN
1817 : 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
1818 : : {
1819 : 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dLHSdy_evalQ(E,P);
1820 [ # # ]: 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
1821 : : else
1822 : : {
1823 : 0 : GEN roots = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
1824 : 0 : GEN e1 = gel(roots,1), e3 = gel(roots,3);
1825 : 0 : GEN a = gsqrt(gsub(e1,e3),prec);
1826 : 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
1827 : 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
1828 : 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
1829 : 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
1830 : 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
1831 : : }
1832 : : }
1833 : :
1834 : : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
1835 : : static GEN
1836 : 15 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
1837 : : {
1838 : 15 : GEN roots = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
1839 : 15 : GEN e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dLHSdy_evalQ(E,P);
1840 [ - + ]: 15 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,roots);
1841 : 15 : e1 = gel(roots,1);
1842 : 15 : e2 = gel(roots,2);
1843 : 15 : e3 = gel(roots,3);
1844 : 15 : a = gsqrt(gsub(e1,e3),prec);
1845 : 15 : b = gsqrt(gsub(e1,e2),prec);
1846 [ + - ]: 15 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
1847 : 15 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
1848 : 15 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
1849 : 15 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
1850 : : } else {
1851 : 0 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
1852 : 0 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
1853 : 0 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
1854 : 15 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
1855 : : }
1856 : : }
1857 : :
1858 : : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
1859 : : * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
1860 : : * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
1861 : : static GEN
1862 : 115 : doellQp_root(GEN E, long prec)
1863 : : {
1864 : 115 : GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
1865 : : GEN c4p, c6p, T, a, pe;
1866 : : long alpha;
1867 : 115 : int pis2 = equaliu(p, 2);
1868 [ - + ]: 115 : if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
1869 : : /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
1870 : 115 : alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
1871 [ + + ]: 115 : if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
1872 : : /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
1873 [ + + ][ - + ]: 115 : if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
1874 : 115 : pe = powiu(p, prec);
1875 : 115 : c4 = Rg_to_Fp(c4, pe); c4p = remii(c4,p);
1876 : 115 : c6 = Rg_to_Fp(c6, pe); c6p = remii(c6,p);
1877 [ + + ]: 115 : if (pis2)
1878 : : { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
1879 : 50 : T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, Fp_muls(c4, -9, pe), Fp_muls(c6, -2, pe));
1880 : 50 : a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec);
1881 : 50 : alpha -= 2;
1882 : : }
1883 [ + + ]: 65 : else if (equaliu(p, 3))
1884 : : { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
1885 : 40 : a = Fp_neg(c6p, p);
1886 : 40 : T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, Fp_muls(c4, -6, pe), Fp_neg(c6, pe));
1887 : 40 : a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
1888 [ + + - ]: 40 : switch(lg(a)-1)
1889 : : {
1890 : : case 1: /* single root */
1891 : 30 : a = gel(a,1); break;
1892 : : case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
1893 : : {
1894 : 10 : GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
1895 : 10 : long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
1896 : 10 : long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
1897 : 10 : long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
1898 [ + - ]: 10 : if (v1 == v2) a = a3;
1899 [ # # ]: 0 : else if (v1 == v3) a = a2;
1900 : 0 : else a = a1;
1901 : : }
1902 : 10 : break;
1903 : : }
1904 : 40 : alpha--;
1905 : : }
1906 : : else
1907 : : { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
1908 : : * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
1909 : 25 : a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
1910 : 25 : T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, Fp_muls(c4, -18, pe), Fp_neg(c6, pe));
1911 : 25 : a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
1912 : : }
1913 : 115 : a = cvtop(a, p, prec);
1914 [ + + ]: 115 : if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
1915 : 115 : return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
1916 : : }
1917 : : GEN
1918 : 120 : ellQp_root(GEN E, long prec)
1919 : 120 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
1920 : :
1921 : : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
1922 : : static void
1923 : 90 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
1924 : : {
1925 : 90 : GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
1926 : 90 : GEN w, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1));
1927 : 90 : w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
1928 [ + + ]: 90 : if (valp(gadd(t,w)) <= valp(w)) w = gneg_i(w); /* <=> v(d) > v(w) */
1929 : : /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
1930 : 90 : *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
1931 : 90 : *ptb = gmul2n(w,-1);
1932 : 90 : }
1933 : :
1934 : : static GEN
1935 : 35 : doellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec0)
1936 : : {
1937 : 35 : GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
1938 : : GEN u, u2, q, x1, a, b, d, s, t;
1939 : 35 : long v, prec = prec0+2;
1940 : :
1941 [ - + ]: 35 : if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
1942 : : START:
1943 : 90 : doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
1944 : 90 : d = gsub(a,b);
1945 : 90 : v = prec0 - precp(d);
1946 [ + + ]: 90 : if (v > 0) { prec += v; goto START; }
1947 : 65 : x1 = gmul2n(d,-2);
1948 : 65 : u2 = do_padic_agm(&x1,NULL,a,b);
1949 : :
1950 : 65 : t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
1951 : 65 : s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
1952 : 65 : q = gadd(t,s);
1953 [ + + ]: 65 : if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
1954 : 65 : v = prec0 - precp(q);
1955 [ + + ]: 65 : if (v > 0) { prec += v; goto START; }
1956 [ + + ]: 35 : if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
1957 [ + + ]: 35 : if (issquare(u2))
1958 : 10 : u = Qp_sqrt(u2);
1959 : : else
1960 : : {
1961 : 25 : long v = fetch_user_var("u");
1962 : 25 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
1963 : 25 : setvarn(T, v); u = mkpolmod(pol_x(v), T);
1964 : : }
1965 : 35 : return mkvec4(u2, u, q, mkvec2(a, b));
1966 : : }
1967 : : GEN
1968 : 60 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
1969 : 60 : {return obj_checkbuild_padicprec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate_uniformization,prec);}
1970 : : GEN
1971 : 20 : ellQp_u(GEN E, long prec)
1972 : 20 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
1973 : : GEN
1974 : 0 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
1975 : 0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
1976 : : GEN
1977 : 0 : ellQp_q(GEN E, long prec)
1978 : 0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
1979 : : GEN
1980 : 20 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
1981 : 20 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
1982 : :
1983 : : static GEN
1984 : 20 : zellQp(GEN E, GEN z, long prec)
1985 : : {
1986 : 20 : pari_sp av = avma;
1987 : : GEN b2, a, b, ab, c0, r0, r1, ar1, e1, x, y, delta, x0,x1, y0,y1, t;
1988 [ - + ]: 20 : if (ell_is_inf(z)) return gen_1;
1989 : 20 : b2 = ell_get_b2(E);
1990 : 20 : e1 = ellQp_root(E, prec);
1991 : 20 : ab = ellQp_ab(E, prec);
1992 : 20 : a = gel(ab,1);
1993 : 20 : b = gel(ab,2); r1 = gsub(a,b);
1994 : 20 : x = gel(z,1);
1995 : 20 : y = gel(z,2);
1996 : 20 : r0 = gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
1997 : 20 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1)); ar1 = gmul(a,r1);
1998 : 20 : delta = gdiv(ar1, gsqr(c0));
1999 : 20 : x0 = gmul2n(gmul(c0,gaddsg(1,Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2))))),-1);
2000 : 20 : y0 = gdiv(gadd(y, gmul2n(ec_dLHSdy_evalQ(E,z), -1)), gsubsg(1, gdiv(ar1,gsqr(x0))));
2001 : :
2002 : 20 : x1 = gmul(x0, gsqr(gmul2n(gaddsg(1, Qp_sqrt(gdiv(gadd(x0,r1),x0))),-1)));
2003 : 20 : y1 = gdiv(y0, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r1,gmul2n(x1,2)))));
2004 [ - + ]: 20 : if (gequal0(x1)) pari_err_PREC("ellpointtoz");
2005 : :
2006 : 20 : (void)do_padic_agm(&x1,&y1, a,b);
2007 : 20 : t = gmul(ellQp_u(E, prec), gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2008 : 20 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2009 : 20 : return gerepileupto(av, t);
2010 : : }
2011 : :
2012 : : /* t to w := -1/y */
2013 : : GEN
2014 : 235 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
2015 : : {
2016 : 235 : pari_sp av = avma, av2;
2017 : : GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
2018 : 235 : GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
2019 : 235 : ulong mask, nold = 1;
2020 [ + + ]: 235 : if (v < 0) v = 0;
2021 [ + + ]: 235 : if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
2022 : 225 : mask = quadratic_prec_mask(n);
2023 : 225 : t = pol_x(v);
2024 : 225 : checkell(e);
2025 : 225 : a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
2026 : 225 : a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
2027 : 225 : w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
2028 : 225 : gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
2029 : : /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
2030 : : *
2031 : : * w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
2032 : : * w <- w - -----------------------------------------------------
2033 : : * w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
2034 : : *
2035 : : * w^3 a6 + w^2 U + w V + W
2036 : : * =: w - -----------------------
2037 : : * w^2 (3a6) + 2w U + V
2038 : : */
2039 : 225 : U = gadd(gmul(a4,t), a3);
2040 : 225 : U2 = gmul2n(U,1);
2041 : 225 : V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
2042 : 225 : W = gpowgs(t,3);
2043 : 225 : av2 = avma;
2044 [ + + ]: 950 : while (mask > 1)
2045 : : { /* nold correct terms in w */
2046 : 725 : ulong i, nnew = nold << 1;
2047 : : GEN num, den, wnew, w2, w3;
2048 [ + + ]: 725 : if (mask & 1) nnew--;
2049 : 725 : mask >>= 1;
2050 : 725 : wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
2051 : 725 : wnew[1] = w[1];
2052 [ + + ]: 2555 : for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
2053 [ + + ]: 2205 : for ( ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
2054 : 725 : w = wnew;
2055 : 725 : w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
2056 : 725 : num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
2057 : 725 : den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
2058 : :
2059 : 725 : w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
2060 : 725 : nold = nnew;
2061 : : }
2062 : 225 : return gerepilecopy(av, w);
2063 : : }
2064 : :
2065 : : static GEN
2066 : 210 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
2067 : 210 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
2068 : :
2069 : : /* t to [x,y] */
2070 : : GEN
2071 : 15 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
2072 : : {
2073 : 15 : pari_sp av = avma;
2074 : 15 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w);
2075 : 15 : return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
2076 : : }
2077 : :
2078 : : static GEN
2079 : 195 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
2080 : : {
2081 : : GEN x, w1;
2082 [ + + ][ - + ]: 195 : if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
2083 : : { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
2084 : 0 : x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
2085 : 0 : w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
2086 : : }
2087 : : else
2088 : : {
2089 : 195 : GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
2090 : 195 : x = gel(P,1);
2091 : 195 : w1 = gdiv(derivser(x), gneg(ec_dFdy_evalQ(e, P)));
2092 : : }
2093 : 195 : *px = x; return w1;
2094 : : }
2095 : : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
2096 : : GEN
2097 : 15 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
2098 : : {
2099 : 15 : pari_sp av = avma;
2100 : 15 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w), x;
2101 : 15 : GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2102 : 15 : return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
2103 : : }
2104 : :
2105 : : /* t to z, dz = w1 dt */
2106 : : GEN
2107 : 35 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
2108 : : {
2109 : 35 : pari_sp av = avma;
2110 : 35 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w), x;
2111 : 35 : GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2112 : 35 : return gerepileupto(av, integser(w1));
2113 : : }
2114 : : /* z to t */
2115 : : GEN
2116 : 15 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
2117 : : {
2118 : 15 : pari_sp av = avma;
2119 : 15 : return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
2120 : : }
2121 : : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
2122 : : * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
2123 : : * sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
2124 : : * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
2125 : : static GEN
2126 : 145 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
2127 : : {
2128 : 145 : pari_sp av = avma;
2129 : 145 : GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = inv_ser(w), t = pol_x(0);
2130 : 145 : GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2131 : 145 : GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
2132 : 145 : return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
2133 : : integser(s)));
2134 : : }
2135 : :
2136 : : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
2137 : : static int
2138 : 180 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
2139 : : {
2140 : 180 : pari_sp av = avma;
2141 : : GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
2142 [ + - ][ + + ]: 180 : if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
2143 : 175 : P = Q_muli_to_int(P,d);
2144 : 175 : x = gel(P,1);
2145 : 175 : y = gel(P,2);
2146 : 175 : a1 = ell_get_a1(E);
2147 : 175 : a3 = ell_get_a3(E);
2148 : 175 : t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
2149 [ + + ]: 175 : if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
2150 : 20 : a2 = ell_get_a2(E);
2151 : 20 : a4 = ell_get_a4(E);
2152 : 20 : d = Fp_inv(d, p);
2153 : 20 : x = Fp_mul(x,d,p);
2154 : 20 : y = Fp_mul(y,d,p);
2155 : 20 : t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
2156 : 180 : avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
2157 : : }
2158 : :
2159 : : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
2160 : : * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
2161 : : GEN
2162 : 155 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
2163 : : {
2164 : 155 : pari_sp av = avma;
2165 : 155 : GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
2166 : : long i, l;
2167 : 155 : checkellpt(P);
2168 [ - + ]: 155 : if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
2169 [ + + ]: 155 : if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
2170 : 155 : S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
2171 : 155 : NP = gmael(S,3,1);
2172 : 155 : L = gel(S,4);
2173 : 155 : l = lg(NP);
2174 : 155 : d = Q_denom(P);
2175 [ + + ]: 330 : for (i = 1; i < l; i++)
2176 : : {
2177 : 175 : GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
2178 [ + + ]: 175 : if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
2179 : 15 : c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
2180 : 15 : kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
2181 [ + + ]: 15 : if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
2182 : : {
2183 : 5 : long nu = itos(kod) - 4;
2184 : 5 : long n = minss(Q_pval(ec_dFdy_evalQ(E, P), p), nu/2);
2185 : 5 : nu /= ugcd(nu, n);
2186 : 5 : g = muliu(g, nu);
2187 : 5 : P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
2188 : 5 : d = Q_denom(P);
2189 [ + + ]: 10 : } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
2190 : : { /* either 2 or 4 */
2191 : 5 : long nu = - itos(kod) - 4;
2192 : 5 : P = elladd(E, P,P);
2193 : 5 : d = Q_denom(P);
2194 : 5 : g = shifti(g,1);
2195 [ + - ][ + - ]: 5 : if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
2196 : : { /* it's 4 */
2197 : 5 : P = elladd(E, P,P);
2198 : 5 : d = Q_denom(P);
2199 : 5 : g = shifti(g,1);
2200 : : }
2201 : : } else {
2202 [ - + ]: 5 : if (equaliu(c, 4)) c = gen_2;
2203 : 5 : P = ellmul(E, P, c);
2204 : 5 : d = Q_denom(P);
2205 : 5 : g = mulii(g, c);
2206 : : }
2207 : : }
2208 [ + + ]: 155 : if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
2209 : 155 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
2210 : : }
2211 : :
2212 : : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
2213 : : * notation (Duke 1991)*/
2214 : : static GEN
2215 : 5310 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
2216 : : {
2217 : : hashentry *h;
2218 : : GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
2219 : : ulong m4;
2220 [ + + ][ + + : 5310 : if (cmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
+ + + - ]
2221 : : {
2222 : 230 : case 0: return gen_0;
2223 : 630 : case 1: return gen_1;
2224 : 760 : case 2: return subiu(N,1);
2225 : 950 : case 3: return b8;
2226 : 990 : case 4: return g4;
2227 : : }
2228 [ + + ]: 1750 : if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
2229 : 900 : m4 = mod4(m);
2230 : 900 : n = shifti(m, -1); f = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
2231 : 900 : np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
2232 : 900 : np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
2233 : 900 : nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
2234 : 900 : nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
2235 [ + + ]: 900 : if (odd(m4))
2236 : : {
2237 : 550 : GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
2238 : 550 : GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
2239 [ + + ]: 550 : if (mpodd(n))
2240 : 230 : z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
2241 : : else
2242 : 320 : z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
2243 : : }
2244 : : else
2245 : : {
2246 : 350 : GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
2247 : 350 : GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
2248 : 350 : z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
2249 : : }
2250 : 900 : hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
2251 : 5310 : return z;
2252 : : }
2253 : :
2254 : : static GEN
2255 : 810 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
2256 : : static GEN
2257 : 540 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
2258 : : static GEN
2259 : 270 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
2260 : :
2261 : : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
2262 : : * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
2263 : : * [num,den] (coprime) */
2264 : : static GEN
2265 : 270 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
2266 : : {
2267 : 270 : pari_sp av = avma;
2268 : 270 : ulong k = expi(m);
2269 : 270 : hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
2270 : : (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
2271 : 270 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
2272 : 270 : GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
2273 : : GEN B4, B6, B8, T, g4;
2274 : 270 : GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
2275 : 270 : GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
2276 : 270 : GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
2277 : 270 : GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
2278 : 270 : GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
2279 : 270 : B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
2280 : : mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
2281 : 270 : B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
2282 : : shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
2283 : : b6d3);
2284 : 270 : B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd, mulii(b4,d2));
2285 : :
2286 : 270 : B4 = modii(B4,N);
2287 : 270 : B6 = modii(B6,N);
2288 : 270 : B8 = modii(B8,N);
2289 : :
2290 : 270 : g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
2291 : 270 : T = Fp_sqr(B6,N);
2292 : :
2293 : 270 : g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
2294 : 270 : gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
2295 : 270 : gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
2296 : 270 : C = Fp_sqr(g, N);
2297 : 270 : D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
2298 : :
2299 [ + + ]: 270 : if(mpodd(m))
2300 : : {
2301 : 120 : n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
2302 : 120 : d = Fp_mul(C,d, N);
2303 : : }
2304 : : else
2305 : : {
2306 : 150 : n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
2307 : 150 : d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
2308 : : }
2309 : 270 : return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
2310 : : }
2311 : : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
2312 : : * return t = -x/y + O(p^v) */
2313 : : static GEN
2314 : 145 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
2315 : : {
2316 : 145 : GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
2317 : : GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
2318 [ - + ]: 145 : if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
2319 : 145 : a1 = ell_get_a1(e);
2320 : 145 : b2 = ell_get_b2(e);
2321 : 145 : a3 = ell_get_a3(e);
2322 : 145 : b4 = ell_get_b4(e);
2323 : 145 : b6 = ell_get_b6(e);
2324 : 145 : d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
2325 [ - + ]: 145 : if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
2326 : : /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
2327 : : * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
2328 : 145 : d4 = Fp_sqr(d2, N);
2329 : 145 : d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
2330 : 145 : B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
2331 : 145 : C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
2332 : : Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
2333 : : Fp_mul(b6,d6,N));
2334 : 145 : C = FpX_eval(C, n, N);
2335 [ - + ]: 145 : if (!signe(C))
2336 : 0 : Y = zeropadic(p, v >> 1);
2337 : : else
2338 : 145 : Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
2339 [ - + ]: 145 : if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
2340 : 145 : *pd = d;
2341 : 145 : return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
2342 : : }
2343 : :
2344 : : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
2345 : : static long
2346 : 145 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
2347 : : {
2348 : 145 : double log2p = dbllog2(p);
2349 : 145 : long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
2350 [ + + ][ - + ]: 145 : if (equaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
2351 : : /* guaranteed to work, now optimize */
2352 [ + - ]: 180 : for (j = i-1; j >= 2; j--)
2353 : : {
2354 [ + + ]: 180 : if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
2355 : 35 : i = j;
2356 : : }
2357 [ - + ]: 145 : if (j == 1)
2358 : : {
2359 [ # # ]: 0 : if (- equaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
2360 : : }
2361 : 145 : return i;
2362 : : }
2363 : : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
2364 : : static long
2365 : 5 : log_prec(GEN p, long v, long t)
2366 : : {
2367 : 5 : double log2p = dbllog2(p);
2368 : 5 : long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
2369 : : /* guaranteed to work, now optimize */
2370 [ + - ]: 20 : for (j = i-1; j >= 1; j--)
2371 : : {
2372 [ + + ]: 20 : if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
2373 : 15 : i = j;
2374 : : }
2375 : 5 : return i;
2376 : : }
2377 : :
2378 : : static long _orderell(GEN E, GEN P);
2379 : : static GEN
2380 : 150 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
2381 : : {
2382 : 150 : *ab = NULL;
2383 [ + + - ]: 150 : switch(typ(p))
2384 : : {
2385 : 75 : case t_INT: break;
2386 : : case t_VEC:
2387 [ - + ]: 75 : if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
2388 : 75 : *ab = gel(p,2);
2389 [ + - ][ - + ]: 75 : if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
2390 : 75 : p = gel(p,1);
2391 : : }
2392 [ - + ]: 150 : if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
2393 : 150 : return p;
2394 : : }
2395 : :
2396 : : static GEN
2397 : 215 : precp_fix(GEN h, long v)
2398 [ + + ]: 215 : { return (precp(h) > v)? gprec(h,v): h; }
2399 : :
2400 : : GEN
2401 : 155 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
2402 : : {
2403 : 155 : pari_sp av = avma;
2404 : : GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
2405 : : long v, vd;
2406 : : int is2;
2407 : 155 : checkellpt(P);
2408 [ + + ]: 155 : if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
2409 : 150 : checkell_Q(e);
2410 : 150 : p = parse_p(p, &ab);
2411 [ + - ][ + + ]: 150 : if (ell_is_inf(P) || _orderell(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
[ + - ]
2412 : 145 : E = ellanal_globalred(e, &ch);
2413 [ + + ]: 145 : if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
2414 : 145 : S = ellnonsingularmultiple(E, P);
2415 : 145 : P = gel(S,1);
2416 : 145 : g = gel(S,2);
2417 : 145 : v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
2418 : 145 : is2 = equaliu(p,2);
2419 [ + + ]: 145 : if (is2) v += 2;
2420 : 145 : x = gel(P,1);
2421 : 145 : n = numer(x);
2422 : 145 : d = denom(x);
2423 : 145 : x = mkvec2(n, d);
2424 : 145 : vd = Z_pval(d, p);
2425 [ + + ]: 145 : if (!vd)
2426 : : { /* P not in kernel of reduction mod p */
2427 : 135 : GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
2428 : 135 : long w = v+2;
2429 [ - + ]: 135 : if (!Ep) pari_err(e_MISC,"ellpadicheight: bad reduction");
2430 : 135 : Pp = RgV_to_FpV(P, p);
2431 : 135 : m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
2432 : 135 : g = mulii(g,m);
2433 : : for(;;)
2434 : : {
2435 : 270 : N = powiu(p, w);
2436 : 270 : X = xmP(E, x, m, N);
2437 : 270 : d = gel(X,2);
2438 [ - + ]: 270 : if (!signe(d))
2439 : 0 : w <<= 1;
2440 : : else
2441 : : {
2442 : 270 : vd = Z_pval(d, p);
2443 [ + + ]: 270 : if (w >= v+2*vd + is2) break;
2444 : 135 : w = v+2*vd + is2;
2445 : : }
2446 : 135 : }
2447 : 135 : x = X;
2448 : : }
2449 : : /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
2450 : : * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
2451 : 145 : v += 2*vd + is2;
2452 : 145 : N = powiu(p,v);
2453 : 145 : t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
2454 : 145 : S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
2455 : 145 : ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
2456 : 145 : lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
2457 : : /* evaluate our formal power series at t */
2458 : 145 : H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
2459 : 145 : h = gsqr(poleval(lt, t));
2460 : 145 : g = sqri(g);
2461 : 145 : a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
2462 : 145 : b = gdiv(gneg(h), g);
2463 [ + + ]: 145 : if (E != e)
2464 : : {
2465 : 15 : GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
2466 : 15 : a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
2467 : 15 : b = gmul(u,b);
2468 : : }
2469 : 145 : H = mkvec2(a,b);
2470 [ + + ]: 145 : if (ab)
2471 : : {
2472 : 75 : H = RgV_dotproduct(H, ab);
2473 : 75 : H = precp_fix(H,v0);
2474 : : }
2475 : : else
2476 : : {
2477 : 70 : gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
2478 : 70 : gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
2479 : : }
2480 : 150 : return gerepilecopy(av, H);
2481 : : }
2482 : :
2483 : : GEN
2484 : 10 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
2485 : : {
2486 : 10 : pari_sp av = avma;
2487 : : long vt;
2488 : : GEN t, x, y, L;
2489 : 10 : checkellpt(P);
2490 [ - + ]: 10 : if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
2491 : 10 : x = gel(P,1);
2492 : 10 : y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
2493 : 10 : vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
2494 [ + + ]: 10 : if (vt <= 0)
2495 : 5 : pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
2496 : 5 : L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
2497 : 5 : return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
2498 : : }
2499 : :
2500 : : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
2501 : : GEN
2502 : 15 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
2503 : : {
2504 : 15 : pari_sp av = avma;
2505 : : GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
2506 : : ulong pp;
2507 [ - + ]: 15 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
2508 [ - + ]: 15 : if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
2509 : 15 : pp = itou_or_0(p);
2510 : 15 : F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
2511 : 15 : a = gcoeff(F,1,1);
2512 : 15 : b = gcoeff(F,1,2);
2513 : 15 : d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
2514 [ - + ]: 15 : if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
2515 [ + - ][ + + ]: 15 : if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
[ - + ]
2516 : 0 : ap = ellap(E,p);
2517 : : else
2518 : : { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
2519 [ + + ]: 15 : GEN q = cmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
2520 : 15 : ap = padic_to_Fp(ap, q);
2521 : 15 : ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
2522 : : }
2523 : 15 : D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
2524 [ - + ]: 15 : if (equaliu(p,2)) n++;
2525 : 15 : sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
2526 : 15 : l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
2527 : 15 : return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
2528 : : }
2529 : :
2530 : : GEN
2531 : 40 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
2532 : : {
2533 : 40 : pari_sp av = avma;
2534 : : GEN t;
2535 : : long s;
2536 : :
2537 : 40 : checkell(e); checkellpt(z);
2538 [ + + + - ]: 40 : switch(ell_get_type(e))
2539 : : {
2540 : : case t_ELL_Qp:
2541 : 20 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
2542 : 20 : return zellQp(e, z, prec);
2543 : 15 : case t_ELL_Q: break;
2544 : 5 : case t_ELL_Rg: break;
2545 : 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
2546 : : }
2547 : 20 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
2548 [ - + ]: 20 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
2549 : 20 : s = ellR_get_sign(e);
2550 [ + + ][ + - ]: 20 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
[ + - ]
2551 [ - + ]: 15 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
2552 : : else
2553 : 5 : t = zellcx(e,z,prec);
2554 : 40 : return gerepileupto(av,t);
2555 : : }
2556 : :
2557 : : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
2558 : : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
2559 : : typedef struct {
2560 : : enum period_type type;
2561 : : GEN in; /* original input */
2562 : : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
2563 : : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
2564 : : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
2565 : : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z + x*tau + y reduced mod <1,tau> */
2566 : : GEN x,y; /* t_INT */
2567 : : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
2568 : : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
2569 : : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
2570 : : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 = it, t \in R */
2571 : : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
2572 : : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
2573 : : long prec; /* precision(Z) */
2574 : : } ellred_t;
2575 : :
2576 : : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
2577 : : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
2578 : : static void
2579 : 16175 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
2580 : : {
2581 : 16175 : GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
2582 : 16175 : pari_sp av = avma, lim = stack_lim(av, 1);
2583 : :
2584 : 16175 : a = d = gen_1;
2585 : 16175 : b = c = gen_0;
2586 : : for(;;)
2587 : : {
2588 : 30579 : GEN m, n = ground(real_i(t));
2589 [ + + ]: 30579 : if (signe(n))
2590 : : { /* apply T^n */
2591 : 18661 : t = gsub(t,n);
2592 : 18661 : a = subii(a, mulii(n,c));
2593 : 18661 : b = subii(b, mulii(n,d));
2594 : : }
2595 [ + + ]: 30579 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
2596 : 14404 : t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
2597 : 14404 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
2598 : 14404 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
2599 [ - + ]: 14404 : if (low_stack(lim, stack_lim(av, 1))) {
2600 [ # # ]: 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "redimagsl2");
2601 : 0 : gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
2602 : : }
2603 : 14404 : }
2604 : 16175 : *pa = a;
2605 : 16175 : *pb = b;
2606 : 16175 : *pc = c;
2607 : 16175 : *pd = d;
2608 : 16175 : }
2609 : : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
2610 : : * Set *pU to U. */
2611 : : GEN
2612 : 6170 : redtausl2(GEN t, GEN *pU)
2613 : : {
2614 : 6170 : pari_sp av = avma;
2615 : : GEN U, a,b,c,d;
2616 : 6170 : set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
2617 : 6170 : U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
2618 : 6170 : t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b),
2619 : : gadd(gmul(c,t), d));
2620 : 6170 : gerepileall(av, 2, &t, &U);
2621 : 6170 : *pU = U; return t;
2622 : : }
2623 : :
2624 : : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
2625 : : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
2626 : : static void
2627 : 10005 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
2628 : : {
2629 : : long s, p;
2630 : 10005 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
2631 [ + + ]: 10005 : if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
2632 : 10005 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
2633 [ - + ]: 10005 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
2634 : : mkvec2(T->w1,T->w2));
2635 : 10005 : T->swap = (s < 0);
2636 [ + + ]: 10005 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
2637 : 10005 : set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
2638 : : /* update lattice */
2639 : 10005 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
2640 : 10005 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
2641 : 10005 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
2642 [ + + ]: 10005 : if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2643 [ + + ]: 10005 : p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
2644 : 10005 : T->prec = p;
2645 : 10005 : }
2646 : : static void
2647 : 6840 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
2648 : : {
2649 : : long p;
2650 : : GEN Z;
2651 : 6840 : T->abs_u_is_1 = 0;
2652 : 6840 : T->some_z_is_real = 0;
2653 : 6840 : T->some_z_is_pure_imag = 0;
2654 [ + - - ]: 6840 : switch(typ(z))
2655 : : {
2656 : 6840 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
2657 : : case t_QUAD:
2658 [ # # ]: 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
2659 : 0 : break;
2660 : 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
2661 : : }
2662 : 6840 : T->z = z;
2663 : 6840 : Z = gdiv(z, T->W2);
2664 : 6840 : T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
2665 [ + + ]: 6840 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
2666 : 6840 : T->y = ground(real_i(Z));
2667 [ + + ]: 6840 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2668 [ + + ]: 6840 : if (typ(Z) != t_COMPLEX)
2669 : 340 : T->some_z_is_real = T->abs_u_is_1 = 1;
2670 [ + + ]: 6500 : else if (typ(z) != t_COMPLEX)
2671 : 3105 : T->some_z_is_real = 1;
2672 [ + + ][ - + ]: 3395 : else if (isexactzero(gel(z,1)) || isexactzero(gel(Z,1)))
2673 : 60 : T->some_z_is_pure_imag = 1;
2674 : 6840 : p = precision(Z);
2675 [ + + ][ + + ]: 6840 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
[ - + ]
2676 : 10 : Z = NULL; /*z in L*/
2677 [ + + ][ - + ]: 6840 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2678 : 6840 : T->Z = Z;
2679 : 6840 : }
2680 : : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2681 : : static GEN
2682 : 6100 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2683 : : {
2684 : 6100 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2685 [ + + ]: 6100 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2686 [ + + ]: 6100 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2687 [ + + ][ + + ]: 6100 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2688 [ + + ]: 6100 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2689 : : }
2690 : : /* e is either
2691 : : * - [w1,w2]
2692 : : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2693 : : * - an ellinit structure */
2694 : : static void
2695 : 10010 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2696 : : {
2697 : : GEN w, e;
2698 : 10010 : T->q_is_real = 0;
2699 : 10010 : T->some_q_is_real = 0;
2700 [ + + + ]: 10010 : switch(T->type)
2701 : : {
2702 : : case t_PER_ELL:
2703 : : {
2704 : 725 : long pr, p = prec;
2705 [ + + ][ + + ]: 725 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2706 : 725 : e = T->in;
2707 : 725 : w = ellR_omega(e, p);
2708 : 720 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2709 : 720 : break;
2710 : : }
2711 : : case t_PER_W:
2712 : 9175 : w = T->in; break;
2713 : : default: /*t_PER_WETA*/
2714 : 110 : w = gel(T->in,1); break;
2715 : : }
2716 : 10005 : T->w1 = gel(w,1);
2717 : 10005 : T->w2 = gel(w,2);
2718 : 10005 : red_modSL2(T, prec);
2719 [ + + ]: 10005 : if (z) reduce_z(z, T);
2720 : 10005 : }
2721 : : static int
2722 : 10015 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2723 : : {
2724 : : GEN w1;
2725 [ - + ]: 10015 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2726 : 10015 : T->in = e;
2727 [ + + - ]: 10015 : switch(lg(e))
2728 : : {
2729 : : case 17:
2730 : 730 : T->type = t_PER_ELL;
2731 : 730 : break;
2732 : : case 3:
2733 : 9285 : w1 = gel(e,1);
2734 [ + + ]: 9285 : if (typ(w1) != t_VEC)
2735 : 9175 : T->type = t_PER_W;
2736 : : else
2737 : : {
2738 [ - + ]: 110 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2739 : 110 : T->type = t_PER_WETA;
2740 : : }
2741 : 9285 : break;
2742 : 0 : default: return 0;
2743 : : }
2744 : 10015 : return 1;
2745 : : }
2746 : : static int
2747 : 9985 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2748 : : {
2749 [ - + ]: 9985 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2750 : 9985 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2751 : : }
2752 : :
2753 : : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2754 : : static GEN
2755 : 6130 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2756 : : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
2757 : : GEN
2758 : 23125 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
2759 : :
2760 : : static GEN
2761 : 9475 : check_real(GEN q)
2762 [ + + ][ + + ]: 9475 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
2763 : :
2764 : : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
2765 : : static GEN
2766 : 9300 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
2767 : : {
2768 : : pari_sp lim, av;
2769 : : GEN p1, q, y, qn;
2770 : 9300 : long n = 1;
2771 : :
2772 [ + + ]: 9300 : if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
2773 : 175 : q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
2774 : 175 : q = check_real(q);
2775 : 175 : y = gen_0;
2776 : 175 : av = avma; lim = stack_lim(av,2); qn = gen_1;
2777 : 2764 : for(;; n++)
2778 : : { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
2779 : 2939 : qn = gmul(q,qn);
2780 : 2939 : p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
2781 [ + - ][ + + ]: 2939 : if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
2782 : 2764 : y = gadd(y, p1);
2783 [ - + ]: 2764 : if (low_stack(lim, stack_lim(av,2)))
2784 : : {
2785 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
2786 : 0 : gerepileall(av, 2, &y,&qn);
2787 : : }
2788 : 2764 : }
2789 : 9300 : return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
2790 : : }
2791 : :
2792 : : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2793 : : static GEN
2794 : 9300 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2795 : : {
2796 : 9300 : GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
2797 : 9300 : y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
2798 : 9300 : return check_real(y);
2799 : : }
2800 : :
2801 : : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2802 : : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2803 : : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2804 : : GEN
2805 : 3065 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2806 : : {
2807 : 3065 : pari_sp av = avma;
2808 : : GEN y;
2809 : : ellred_t T;
2810 : :
2811 [ - + ]: 3065 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2812 [ - + ]: 3065 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2813 [ - + ]: 3065 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2814 : 3065 : y = _elleisnum(&T, k);
2815 [ + + ][ + + ]: 3065 : if (k==2 && signe(T.c))
2816 : 2735 : {
2817 : 2735 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2818 : 2735 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2819 : : }
2820 [ + + ][ + - ]: 330 : else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y, 12);
2821 [ + + ][ + - ]: 315 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2822 : 3065 : return gerepileupto(av,y);
2823 : : }
2824 : :
2825 : : /* return quasi-periods associated to [T->W1,T->W2] */
2826 : : static GEN
2827 : 6105 : _elleta(ellred_t *T)
2828 : : {
2829 : 6105 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
2830 : 6105 : y2 = gmul(T->W2, e2);
2831 : 6105 : y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
2832 : 6105 : retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
2833 : : }
2834 : :
2835 : : /* compute eta1, eta2 */
2836 : : GEN
2837 : 30 : elleta(GEN om, long prec)
2838 : : {
2839 : 30 : pari_sp av = avma;
2840 : : GEN y1, y2, E2, pi;
2841 : : ellred_t T;
2842 : :
2843 [ - + ]: 30 : if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
2844 [ + + ]: 30 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
2845 : :
2846 : 25 : compute_periods(&T, NULL, prec);
2847 : 25 : prec = T.prec;
2848 : 25 : pi = mppi(prec);
2849 : 25 : E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
2850 [ - + ]: 25 : if (signe(T.c))
2851 : : {
2852 : 0 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
2853 : : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
2854 : 0 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
2855 : : }
2856 : 25 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
2857 [ + + ]: 25 : if (T.swap)
2858 : : {
2859 : 5 : y1 = y2;
2860 : 5 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
2861 : : }
2862 : : else
2863 : 20 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
2864 [ + + ]: 25 : switch(typ(T.w1))
2865 : : {
2866 : : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
2867 : 20 : y1 = real_i(y1);
2868 : : }
2869 : 30 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
2870 : : }
2871 : : GEN
2872 : 10 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
2873 : : {
2874 : 10 : pari_sp av = avma;
2875 : : ellred_t T;
2876 [ - + ]: 10 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
2877 [ + + - ]: 10 : switch(flag)
2878 : : {
2879 : 5 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
2880 : 5 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
2881 : 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
2882 : 10 : return NULL;/*not reached*/
2883 : : }
2884 : : }
2885 : :
2886 : : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
2887 : : static double
2888 : 6815 : get_toadd(GEN z) { return (2*PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
2889 : :
2890 : : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
2891 : : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
2892 : : static GEN
2893 : 695 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
2894 : : {
2895 : : long toadd;
2896 : 695 : pari_sp av = avma, lim, av1;
2897 : : GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
2898 : : ellred_t T;
2899 : : int simple_case;
2900 : :
2901 [ - + ]: 695 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
2902 [ + + ]: 690 : if (!T.Z) return NULL;
2903 : 685 : prec = T.prec;
2904 : :
2905 : : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
2906 : 685 : pi2 = Pi2n(1, prec);
2907 : 685 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
2908 : 685 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
2909 : 685 : u1 = gsubsg(1,u);
2910 : 685 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
2911 [ + + ]: 685 : if (gequal0(u2)) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
2912 : 680 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
2913 [ + + ]: 680 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
2914 [ + + ][ + - ]: 680 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
2915 : 680 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
2916 [ + + ]: 680 : yp = flall? gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)): NULL;
2917 : 680 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2918 : :
2919 : 680 : av1 = avma; lim = stack_lim(av1,1); qn = q;
2920 : : for(;;)
2921 : : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
2922 : : /* analogous formula for yp */
2923 : 8877 : GEN yadd, ypadd = NULL;
2924 : 8877 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
2925 : 8877 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
2926 : 8877 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
2927 [ + + ]: 8877 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
2928 [ + + ]: 8877 : if (simple_case)
2929 : : { /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
2930 : 216 : yadd = gdiv(u, a2);
2931 : 216 : yadd = gmul2n(real_i(yadd), 1);
2932 [ + + ]: 216 : if (yp) ypadd = gmul2n(real_i(ypadd), 1);
2933 : : }
2934 : : else
2935 : : {
2936 : 8661 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
2937 : 8661 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
2938 : 8661 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
2939 [ + + ]: 8661 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
2940 : : }
2941 : 8877 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
2942 : 8877 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
2943 [ + + ]: 8877 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
2944 : :
2945 : 8877 : qn = gmul(q,qn);
2946 [ + + ]: 8877 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
2947 [ - + ]: 8197 : if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
2948 : : {
2949 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
2950 [ # # ]: 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
2951 : : }
2952 : 8197 : }
2953 : :
2954 : 680 : u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
2955 : 680 : u2 = gsqr(u1);
2956 : 680 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
2957 [ + - ][ + + ]: 680 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
[ + + ]
2958 : 400 : y = real_i(y);
2959 [ + + ]: 680 : if (yp)
2960 : : {
2961 : 635 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
2962 [ + - ][ + + ]: 635 : if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
2963 : 635 : y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
2964 : : }
2965 : 690 : return gerepilecopy(av, y);
2966 : : }
2967 : : static GEN
2968 : 150 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
2969 : : {
2970 : : long i, k, l;
2971 : : pari_sp av;
2972 : 150 : GEN t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
2973 : :
2974 : 150 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
2975 [ - + ]: 150 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
2976 : :
2977 [ + + ]: 1225 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
2978 [ + - - - : 150 : switch(PRECDL)
- ]
2979 : : {
2980 : 150 : default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
2981 : : case 6:
2982 : 150 : case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
2983 : : case 4:
2984 : 150 : case 3: P[2] = gen_0;
2985 : : case 2:
2986 : 150 : case 1: P[0] = gen_1;
2987 : 150 : case 0: break;
2988 : : }
2989 [ - + ]: 150 : if (PRECDL <= 8) return res;
2990 : 150 : av = avma;
2991 : 150 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
2992 [ + + ]: 525 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
2993 : : {
2994 : 375 : av = avma;
2995 : 375 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
2996 [ + + ]: 670 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
2997 : 375 : t = gmul2n(t, 1);
2998 [ + + ]: 375 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
2999 [ + + ]: 375 : if (k % 3 == 2)
3000 : 140 : t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
3001 : : else /* same value, more efficient */
3002 : 235 : t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
3003 : 375 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
3004 : : }
3005 : 150 : return res;
3006 : : }
3007 : :
3008 : : static int
3009 : 135 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
3010 : : {
3011 [ + - ]: 135 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
[ + + - ]
3012 : : {
3013 : : case 17:
3014 : 70 : *c4 = ell_get_c4(w);
3015 : 70 : *c6 = ell_get_c6(w);
3016 : 70 : return 1;
3017 : : case 3:
3018 : : {
3019 : : ellred_t T;
3020 [ + - ]: 65 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
3021 : 65 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
3022 : 65 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
3023 : 65 : return 1;
3024 : : }
3025 : : }
3026 : 0 : *c4 = *c6 = NULL;
3027 : 135 : return 0;
3028 : : }
3029 : :
3030 : : GEN
3031 : 20 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
3032 : : {
3033 : : GEN c4, c6;
3034 : 20 : checkell(e);
3035 : 20 : c4 = ell_get_c4(e);
3036 : 20 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
3037 : : }
3038 : :
3039 : : GEN
3040 : 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
3041 : 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
3042 : :
3043 : : GEN
3044 : 100 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
3045 : : {
3046 : 100 : pari_sp av = avma;
3047 : : GEN y;
3048 : :
3049 [ - + ][ # # ]: 100 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
3050 [ + + ]: 100 : if (!z) z = pol_x(0);
3051 : 100 : y = toser_i(z);
3052 [ + + ]: 100 : if (y)
3053 : : {
3054 : 50 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3055 : : GEN P, Q, c4,c6;
3056 [ - + ]: 50 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
3057 [ - + ]: 50 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
3058 [ - + ]: 50 : if (gequal0(y)) {
3059 : 0 : avma = av;
3060 [ # # ]: 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
3061 : 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
3062 : : }
3063 : 50 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3064 : 50 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3065 [ + - ]: 50 : if (!flag)
3066 : 50 : return gerepileupto(av, Q);
3067 : : else
3068 : : {
3069 : 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
3070 : 50 : return gerepilecopy(av, R);
3071 : : }
3072 : : }
3073 : 50 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
3074 [ + + ]: 50 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
3075 : 95 : return gerepileupto(av, y);
3076 : : }
3077 : :
3078 : : GEN
3079 : 85 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
3080 : : {
3081 : : long prec;
3082 : 85 : pari_sp av = avma;
3083 : 85 : GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
3084 : : ellred_t T;
3085 : : int simple_case;
3086 : :
3087 [ + + ]: 85 : if (!z) z = pol_x(0);
3088 : 85 : y = toser_i(z);
3089 [ + + ]: 85 : if (y)
3090 : : {
3091 : 40 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3092 : : GEN P, Q, c4,c6;
3093 [ - + ]: 40 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
3094 [ - + ]: 40 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
3095 [ - + ]: 40 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
3096 : 40 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3097 : 40 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3098 : 40 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3099 : 40 : return gerepileupto(av, Q);
3100 : : }
3101 [ - + ]: 45 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
3102 [ - + ]: 45 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
3103 : 45 : prec = T.prec;
3104 [ + - ][ - + ]: 45 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
3105 : :
3106 : 45 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3107 : 45 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
3108 : 45 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
3109 [ + + ][ + - ]: 45 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
3110 : :
3111 : 45 : y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
3112 : 45 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
3113 [ + + ]: 45 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
3114 : 45 : y = gadd(y, v);
3115 : :
3116 [ + + ]: 45 : if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
3117 : : {
3118 : 35 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3119 : 35 : pari_sp av1 = avma, lim = stack_lim(av1,1);
3120 : : GEN qn;
3121 : 35 : for (qn = q;;)
3122 : : { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
3123 : 525 : GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
3124 : 525 : y = gadd(y, gmul(qn,p1));
3125 : 525 : qn = gmul(q,qn);
3126 [ + + ]: 525 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
3127 [ - + ]: 490 : if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
3128 : : {
3129 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
3130 : 0 : gerepileall(av1,2, &y,&qn);
3131 : : }
3132 : 525 : }
3133 : : }
3134 : 45 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
3135 [ - + ]: 45 : if (et) y = gadd(y,et);
3136 [ + - ]: 45 : if (T.some_q_is_real)
3137 : : {
3138 [ + + ]: 45 : if (T.some_z_is_real)
3139 : 15 : y = real_i(y);
3140 [ + + ]: 30 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
3141 : 15 : gel(y,1) = gen_0;
3142 : : }
3143 : 85 : return gerepilecopy(av, y);
3144 : : }
3145 : :
3146 : : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3147 : : GEN
3148 : 6150 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3149 : : {
3150 : : long toadd, prec, n;
3151 : 6150 : pari_sp av = avma, lim, av1;
3152 : : GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3153 : : GEN u, uhalf, urn, urninv;
3154 : : ellred_t T;
3155 : :
3156 [ + - ][ - + ]: 6150 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3157 : :
3158 [ + + ]: 6150 : if (!z) z = pol_x(0);
3159 : 6150 : y = toser_i(z);
3160 [ + + ]: 6150 : if (y)
3161 : : {
3162 : 45 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3163 : : GEN P, Q, c4,c6;
3164 [ - + ]: 45 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3165 [ - + ]: 45 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3166 [ + + ]: 45 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3167 [ - + ]: 40 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
3168 : 40 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3169 : 40 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3170 : : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3171 : 40 : P = integser(gsub(P, monomial(gen_1,-1,vy)));
3172 : 40 : P = gexp(P, prec0);
3173 : 40 : setvalp(P, valp(P)+1);
3174 : 40 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3175 : 40 : return gerepileupto(av, Q);
3176 : : }
3177 [ - + ]: 6105 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3178 [ + + ]: 6105 : if (!T.Z)
3179 : : {
3180 [ - + ]: 5 : if (!flag) return gen_0;
3181 : 5 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3182 : : }
3183 : 6100 : prec = T.prec;
3184 : 6100 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3185 : 6100 : pi = mppi(prec);
3186 : :
3187 : 6100 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3188 : 6100 : uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3189 : 6100 : u = gsqr(uhalf);
3190 : 6100 : q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
3191 : 6100 : q = gpowgs(q8,8);
3192 : 6100 : u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
3193 : 6100 : y = gen_0;
3194 : 6100 : av1 = avma; lim = stack_lim(av1,1);
3195 : 6100 : qn = q; qn2 = gen_1;
3196 : 6100 : urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
3197 : 6100 : for(n=0;;n++)
3198 : : {
3199 : 34230 : y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
3200 : 34230 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3201 [ + + ]: 34230 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3202 : 28130 : qn = gmul(q,qn);
3203 : 28130 : urn = gmul(urn,u);
3204 : 28130 : urninv = gmul(urninv,uinv);
3205 [ - + ]: 28130 : if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
3206 : : {
3207 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3208 : 0 : gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3209 : : }
3210 : 28130 : }
3211 : 6100 : y = gmul(gmul(y,q8),
3212 : : gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3213 : :
3214 : 6100 : et = _elleta(&T);
3215 : 6100 : etnew = eta_correction(&T, et);
3216 : 6100 : zinit = gmul(T.Z,T.W2);
3217 : 6100 : etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
3218 : : gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
3219 [ + + ][ + + ]: 6100 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
3220 : 6100 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
3221 [ + + ]: 6100 : if (flag)
3222 : : {
3223 : 6055 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3224 [ + + ][ + + ]: 6055 : if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
3225 : : { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
3226 [ + - ]: 15 : if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
3227 : : }
3228 : : }
3229 : : else
3230 : : {
3231 : 45 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3232 [ + - ]: 45 : if (T.some_q_is_real)
3233 : : {
3234 [ + + ]: 45 : if (T.some_z_is_real)
3235 : 15 : y = real_i(y);
3236 [ + + ]: 30 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
3237 : 15 : gel(y,1) = gen_0;
3238 : : }
3239 : : }
3240 : 6140 : return gerepilecopy(av, y);
3241 : : }
3242 : :
3243 : : GEN
3244 : 645 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3245 : : {
3246 : 645 : pari_sp av = avma;
3247 : : GEN v;
3248 : :
3249 : 645 : checkell(e);
3250 : 645 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3251 [ + + ]: 640 : if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
3252 : 635 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
3253 : 635 : gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
3254 : 640 : return gerepilecopy(av, v);
3255 : : }
3256 : :
3257 : : /********************************************************************/
3258 : : /** **/
3259 : : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3260 : : /** Kodaira types, global minimal model **/
3261 : : /** **/
3262 : : /********************************************************************/
3263 : :
3264 : : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3265 : : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3266 : : in the form [f, kod, v, c].
3267 : :
3268 : : * The integer f is the conductor's exponent.
3269 : :
3270 : : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3271 : : II , III , IV --> 2, 3, 4
3272 : : I0 --> 1
3273 : : Inu --> 4+nu for nu > 0
3274 : : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3275 : :
3276 : : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3277 : :
3278 : : * c is the Tamagawa number.
3279 : :
3280 : : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3281 : : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3282 : : static GEN
3283 : 1195730 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3284 : : {
3285 : 1195730 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3286 : 1195730 : gel(z,1) = stoi(f);
3287 : 1195730 : gel(z,2) = stoi(kod);
3288 : 1195730 : gel(z,3) = gcopy(v);
3289 : 1195730 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3290 : : }
3291 : : static GEN
3292 : 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3293 : : {
3294 [ # # ]: 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3295 : 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3296 : 0 : return NULL; /* not reached */
3297 : : }
3298 : :
3299 : : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3300 : : static long
3301 : 626895 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3302 : :
3303 : : #if 0
3304 : : /* Here p > 3. e assumed integral, return v_p(N). Simplified version of
3305 : : * localred_p */
3306 : : static long
3307 : : localred_p_get_f(GEN e, GEN p)
3308 : : {
3309 : : long nuj, nuD;
3310 : : GEN D = ell_get_disc(e);
3311 : : nuj = j_pval(e, p);
3312 : : nuD = Z_pval(D, p);
3313 : : if (nuj == 0) return (nuD % 12)? 2 : 0;
3314 : : return (nuD - nuj) % 12 ? 2: 1;
3315 : : }
3316 : : #endif
3317 : : /* p > 3, e integral */
3318 : : static GEN
3319 : 626565 : localred_p(GEN e, GEN p)
3320 : : {
3321 : : long k, f, kod, c, nuj, nuD;
3322 : 626565 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3323 : :
3324 : 626565 : c4 = ell_get_c4(e);
3325 : 626565 : c6 = ell_get_c6(e);
3326 : 626565 : nuj = j_pval(e, p);
3327 : 626565 : nuD = Z_pval(D, p);
3328 : 626565 : k = (nuD - nuj) / 12;
3329 [ + + ]: 626565 : if (k <= 0) v = init_ch();
3330 : : else
3331 : : { /* model not minimal */
3332 : 5 : GEN pk = powiu(p,k), p2k = sqri(pk), p4k = sqri(p2k), p6k = mulii(p4k,p2k);
3333 : : GEN r, s, t;
3334 : :
3335 : 5 : s = negi(ell_get_a1(e));
3336 [ - + ]: 5 : if (mpodd(s)) s = addii(s, pk);
3337 : 5 : s = shifti(s, -1);
3338 : :
3339 : 5 : r = subii(ell_get_a2(e), mulii(s, addii(ell_get_a1(e), s)));
3340 [ + - - ]: 5 : switch(umodiu(r, 3))
3341 : : {
3342 : 5 : default: break; /* 0 */
3343 : 0 : case 2: r = addii(r, p2k); break;
3344 : 0 : case 1: r = subii(r, p2k); break;
3345 : : }
3346 : 5 : r = negi( diviuexact(r, 3) );
3347 : :
3348 : 5 : t = negi(Zec_h_evalx(e,r));
3349 [ - + ]: 5 : if (mpodd(t)) t = addii(t, mulii(pk, p2k));
3350 : 5 : t = shifti(t, -1);
3351 : :
3352 : 5 : v = mkvec4(pk,r,s,t);
3353 : 5 : nuD -= 12 * k;
3354 : 5 : c4 = diviiexact(c4, p4k);
3355 : 5 : c6 = diviiexact(c6, p6k);
3356 : 5 : D = diviiexact(D, sqri(p6k));
3357 : : }
3358 : :
3359 [ + + ]: 626565 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
[ + + - ]
3360 : : {
3361 : 542970 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3362 [ + + - ]: 542970 : switch(kronecker(negi(c6),p))
3363 : : {
3364 : 279900 : case 1: c = nuD; break;
3365 [ + + ]: 263070 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
3366 : 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
3367 : : }
3368 : 542970 : break;
3369 : : case 6:
3370 : : {
3371 : 32635 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
3372 [ + + ]: 32635 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
3373 : 32635 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
3374 : 32635 : break;
3375 : : }
3376 : 575605 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
3377 : : }
3378 [ + + + + : 50960 : else switch(nuD)
+ + + +
- ]
3379 : : {
3380 : 5 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
3381 : 8295 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
3382 : 7305 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
3383 : 4010 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
3384 : 4010 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
3385 : 4010 : break;
3386 : 11755 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
3387 : 11755 : p2 = sqri(p);
3388 : : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
3389 : 11755 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
3390 : : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
3391 : : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
3392 : 11755 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
3393 : 11755 : break;
3394 : 8295 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
3395 : 8295 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
3396 : 8295 : break;
3397 : 7300 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
3398 : 3995 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
3399 : 0 : default: return localredbug(p,"localred");
3400 : : }
3401 : 626565 : return localred_result(f, kod, c, v);
3402 : : }
3403 : :
3404 : : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
3405 : : static ulong
3406 : 592160 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
3407 : : {
3408 : 592160 : return umodiu(ak, q) / pl;
3409 : : }
3410 : :
3411 : : static ulong
3412 : 962120 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
3413 : : {
3414 : 962120 : pari_sp av = avma;
3415 : 962120 : ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
3416 : 962120 : avma = av; return res;
3417 : : }
3418 : :
3419 : : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
3420 : : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
3421 : : * if there's a multiple root, put it in *mult */
3422 : : static long
3423 : 162970 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3424 : : {
3425 [ + + ]: 162970 : if (p == 2)
3426 : : {
3427 [ + + ]: 94010 : if ((c + a * b) & 1) return 3;
3428 [ + + ]: 81490 : *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
3429 : : }
3430 : : /* p = 3 */
3431 [ + + ][ + + ]: 68960 : if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
3432 : 46270 : *mult = a * b;
3433 [ + + ]: 46270 : if (b == 2)
3434 [ + + ]: 15370 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
3435 : : else
3436 [ + + ]: 162970 : return c ? 3 : 2;
3437 : : }
3438 : :
3439 : : /* same for aX^2 +bX + c */
3440 : : static long
3441 : 532685 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3442 : : {
3443 [ + + ][ + + ]: 532685 : if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
3444 : : /* p = 3 */
3445 [ + + ]: 532685 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
3446 : : }
3447 : :
3448 : : /* p = 2 or 3 */
3449 : : static GEN
3450 : 534180 : localred_23(GEN e, long p)
3451 : : {
3452 : : long c, nu, nuD, r, s, t;
3453 : : long theroot, p2, p3, p4, p5, p6, a21, a42, a63, a32, a64;
3454 : : GEN v;
3455 : :
3456 : 534180 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
3457 : 534180 : v = init_ch();
3458 [ + + ]: 534180 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; p6 = 64;}
3459 : 254195 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; p6 =729; }
3460 : :
3461 : : for (;;)
3462 : : {
3463 [ + + ]: 534180 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v);
3464 : : /* I0 */
3465 [ + + ]: 466310 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
3466 : : {
3467 [ + + ][ + + ]: 255200 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
3468 : 129490 : c = nuD;
3469 : : else
3470 : 125710 : c = 2 - (nuD & 1);
3471 : 255200 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v);
3472 : : }
3473 : : /* Inu */
3474 [ + + ]: 211110 : if (p == 2)
3475 : : {
3476 : 123670 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
3477 : 123670 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
3478 : 123670 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
3479 [ + + ]: 123670 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
3480 : : }
3481 : : else /* p == 3 */
3482 : : {
3483 : 87440 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
3484 : 87440 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
3485 : 87440 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
3486 [ + + ][ + + ]: 87440 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
3487 : : }
3488 : : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
3489 [ + + ][ + + ]: 211110 : if (r || s || t) E_compose_rst(&v, &e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
[ + + ]
3490 [ + + ]: 211110 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
3491 : 14915 : return localred_result(nuD, 2, 1, v);
3492 : : /* II */
3493 [ + + ]: 196195 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
3494 : 18355 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v);
3495 : : /* III */
3496 [ + + ]: 177840 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
3497 : : {
3498 [ + + ][ + + ]: 14870 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
3499 : 7555 : c = 3;
3500 : : else
3501 : 7315 : c = 1;
3502 : 14870 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v);
3503 : : }
3504 : : /* IV */
3505 : :
3506 [ + + ]: 162970 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
3507 [ + + ]: 62330 : E_compose_t(&v, &e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
3508 : : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
3509 : 162970 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
3510 : 162970 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
3511 : 162970 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
3512 [ + + + - ]: 162970 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
3513 : : {
3514 : : case 3:
3515 [ + + ]: 23955 : c = a63 ? 1: 2;
3516 [ + + ]: 23955 : if (p == 2)
3517 : 12520 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
3518 : : else {
3519 [ + + ]: 11435 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
3520 [ + + ]: 11435 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
3521 : : }
3522 : 23955 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v);
3523 : : case 2: /* I0* */
3524 : : { /* compute nu */
3525 : : GEN pk, pk1, p2k;
3526 : : long al, be, ga;
3527 [ + + ]: 87390 : if (theroot) E_compose_r(&v, &e, stoi(theroot * p));
3528 : : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3529 : 87390 : nu = 1;
3530 : 87390 : pk = utoipos(p2);
3531 : 87390 : p2k = utoipos(p4);
3532 : : for(;;)
3533 : : {
3534 : 262060 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
3535 : 262060 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3536 : 262060 : al = 1;
3537 [ + + ]: 262060 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3538 [ + + ]: 219000 : if (theroot) E_compose_t(&v, &e, mulsi(theroot,pk));
3539 : 219000 : pk1 = pk;
3540 : 219000 : pk = mului(p, pk);
3541 : 219000 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3542 : :
3543 : 219000 : al = a21;
3544 : 219000 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
3545 : 219000 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3546 [ + + ]: 219000 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3547 [ + + ]: 174670 : if (theroot) E_compose_r(&v, &e, mulsi(theroot, pk1));
3548 : 174670 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3549 : 174670 : }
3550 [ + + ]: 87390 : if (p == 2)
3551 : 48355 : c = 4 - 2 * (ga & 1);
3552 : : else
3553 : 39035 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
3554 : 87390 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v);
3555 : : }
3556 : : case 1: /* Inu* */
3557 [ + + ]: 51625 : if (theroot) E_compose_r(&v, &e, stoi(theroot*p));
3558 : : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3559 : 51625 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
3560 : 51625 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
3561 [ + + ]: 51625 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
3562 : : {
3563 [ + + ]: 19645 : if (p == 2)
3564 : 13300 : c = 3 - 2 * a64;
3565 : : else
3566 : 6345 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
3567 : 19645 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v);
3568 : : }
3569 : : /* IV* */
3570 [ + + ]: 31980 : if (theroot) E_compose_t(&v, &e, stoi(theroot*p2));
3571 : : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
3572 [ + + ]: 31980 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
3573 : 19265 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v);
3574 : : /* III* */
3575 : :
3576 [ + - ]: 12715 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p6))
3577 : 12715 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v);
3578 : : /* II* */
3579 : 0 : E_compose_u(&v, &e, utoipos(p)); /* not minimal */
3580 : 0 : nuD -= 12;
3581 : : }
3582 : 534180 : }
3583 : : }
3584 : :
3585 : : static GEN
3586 : 1160735 : localred(GEN e, GEN p)
3587 : : {
3588 [ + + ]: 1160735 : if (cmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
3589 : 626565 : return localred_p(e,p);
3590 : : else
3591 : : {
3592 : 534170 : long l = itos(p);
3593 [ - + ]: 534170 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
3594 : 1160735 : return localred_23(e, l);
3595 : : }
3596 : : }
3597 : :
3598 : : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
3599 : : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
3600 : : static GEN
3601 : 0 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
3602 : : {
3603 : 0 : GEN b = z;
3604 : : long i;
3605 [ # # ]: 0 : if (typ(b) == t_INT)
3606 : : {
3607 [ # # ]: 0 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
3608 : 0 : return shifti(negi(b),-1);
3609 : : }
3610 [ # # ]: 0 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3611 : : {
3612 [ # # ]: 0 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
3613 : : }
3614 : 0 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
3615 : : }
3616 : :
3617 : : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
3618 : : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
3619 : : static GEN
3620 : 0 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
3621 : : {
3622 : 0 : GEN b = z;
3623 : : long i;
3624 [ # # ]: 0 : if (typ(b) == t_INT)
3625 : : {
3626 : 0 : long s = smodis(b,3);
3627 [ # # ]: 0 : if (s)
3628 : : {
3629 : 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
3630 [ # # ]: 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
3631 : 0 : b = subii(b, Jz);
3632 : : else
3633 : 0 : b = addii(b, Jz);
3634 : : }
3635 : 0 : return diviiexact(b, stoi(-3));
3636 : : }
3637 [ # # ]: 0 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3638 : : {
3639 : 0 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
3640 [ # # ]: 0 : if (!s) continue;
3641 [ # # ]: 0 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
3642 : 0 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
3643 : : else
3644 : 0 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3645 : : }
3646 : 0 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3647 : : }
3648 : :
3649 : : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
3650 : : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
3651 : : static GEN
3652 : 34985 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
3653 : : {
3654 : 34985 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3655 : : long c, f, vc4, vc6, vD, kod, m;
3656 : : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
3657 : :
3658 : 34985 : c4 = ell_get_c4(e);
3659 : 34985 : c6 = ell_get_c6(e);
3660 : 34985 : D = ell_get_disc(e);
3661 : 34985 : vc4= nfval(nf,c4,P);
3662 : 34985 : vc6= nfval(nf,c6,P);
3663 : 34985 : vD = nfval(nf,D,P);
3664 : 34985 : m = minss(vc4/4, vc6/6);
3665 : 34985 : piinv = pr_get_tau(P);
3666 [ - + ]: 34985 : if (typ(piinv) == t_MAT) piinv = gel(piinv,1);
3667 : 34985 : piinv = gdiv(piinv, p); /* v_P(piinv) = -1, v_Q(piinv) >= 0, Q!=P */
3668 : 34985 : pi = nfinv(nf, piinv); /* local uniformizer */
3669 : :
3670 [ + - ]: 34985 : if(m <= 0) ch = init_ch();
3671 : : else
3672 : : { /* model not minimal */
3673 : : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
3674 : 0 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
3675 : 0 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
3676 : 0 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
3677 : 0 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
3678 : 0 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
3679 : 0 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
3680 : 0 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4); vc4-= 4*m;
3681 : 0 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6); vc6-= 6*m;
3682 : 0 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
3683 : 0 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
3684 : 0 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
3685 : 0 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
3686 : 0 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
3687 : 0 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
3688 : 0 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
3689 : 0 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
3690 : 0 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
3691 : 0 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
3692 : : }
3693 : :
3694 : 34985 : kod = 0; c = 1;
3695 : : /* minimal at P */
3696 [ + + ]: 34985 : if (3*vc4 < vD)
3697 : : { /* v(j) < 0 */
3698 [ + + ]: 32655 : if (vc4==0)
3699 : : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
3700 : 31160 : f = 1; kod = 4+vD;
3701 : 31160 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
3702 [ + + ]: 31160 : if (Fq_issquare(z,T,p))
3703 : 16540 : c = vD;/* split */
3704 : : else
3705 [ + + ]: 14620 : c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
3706 : : }
3707 : : else
3708 : : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
3709 : : GEN Du;
3710 : 1495 : f = 2; kod = 2-vD;
3711 : 1495 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
3712 : 1495 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
3713 [ + + ]: 1495 : if(odd(vD))
3714 : : {
3715 : : GEN c6u;
3716 : 800 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
3717 : 800 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
3718 : 800 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
3719 : : }
3720 [ + + ]: 1495 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
3721 : : }
3722 : : }
3723 : : else
3724 : : { /* v(j) >= 0 */
3725 [ + - ]: 2330 : f = vD? 2: 0;
3726 [ - + + + : 2330 : switch(vD)
+ + + +
- ]
3727 : : {
3728 : : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
3729 : 0 : case 0: kod = 0; c = 1; break;
3730 : 420 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
3731 : 330 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
3732 : 195 : case 4: kod = 4;
3733 : 195 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
3734 : 195 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3735 : 195 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3736 [ + + ]: 195 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3737 : 195 : break;
3738 : 440 : case 6: kod = -1;
3739 : 440 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
3740 : 440 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
3741 : 440 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3742 : 440 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
3743 : 440 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
3744 : 440 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
3745 : 440 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
3746 : 440 : break;
3747 : 420 : case 8: kod = -4;
3748 : 420 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
3749 : 420 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3750 : 420 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3751 [ + + ]: 420 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3752 : 420 : break;
3753 : 330 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
3754 : 195 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
3755 : : }
3756 : : }
3757 : 34985 : return localred_result(f,kod,c,ch);
3758 : : }
3759 : : static GEN
3760 : 34985 : nflocalred(GEN e, GEN pr)
3761 : : {
3762 : 34985 : GEN p = pr_get_p(pr);
3763 [ - + ]: 34985 : if (cmpiu(p, 3) <= 0) pari_err_IMPL("nflocalred (p < 5)");
3764 : 34985 : return nflocalred_p(e,pr);
3765 : : }
3766 : :
3767 : : GEN
3768 : 69985 : elllocalred(GEN e, GEN p)
3769 : : {
3770 : 69985 : pari_sp av = avma;
3771 : 69985 : checkell(e);
3772 [ + - + ]: 69985 : switch(ell_get_type(e))
3773 : : {
3774 : : case t_ELL_Q:
3775 [ - + ]: 35000 : if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
3776 : 0 : pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
3777 [ - + ]: 35000 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
3778 [ - + ]: 35000 : if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
3779 : 35000 : return gerepileupto(av, localred(e, p));
3780 : 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
3781 : : case t_ELL_NF:
3782 : 34985 : checkprid(p);
3783 : 69985 : return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
3784 : : }
3785 : : }
3786 : :
3787 : : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
3788 : : static GEN
3789 : 0 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
3790 : : {
3791 [ # # ]: 0 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
3792 : 0 : return c;
3793 : : }
3794 : : static GEN
3795 : 1619600 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
3796 : : {
3797 : 1619600 : *pd = NULL;
3798 [ + + - - ]: 1619600 : switch(typ(c))
3799 : : {
3800 : 1619515 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
3801 : 85 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
3802 : : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
3803 [ # # ]: 0 : if (nf)
3804 : : {
3805 : 0 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
3806 : 0 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
3807 : : }
3808 : 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
3809 : 1619600 : return NULL;
3810 : : }
3811 : : }
3812 : : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
3813 : : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
3814 : : static GEN
3815 : 323920 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
3816 : : {
3817 : 323920 : GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
3818 : : long i, l, k;
3819 : :
3820 [ - + ]: 323920 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?checknf(ellnf_get_nf(e)): NULL;
3821 : 323920 : L = cgetg(1, t_VEC);
3822 [ + + ]: 1943520 : for (i = 1; i < 6; i++)
3823 : : {
3824 : : GEN d;
3825 : 1619600 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
3826 [ + + ]: 1619600 : if (d) /* partial factorization of denominator */
3827 : 85 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
3828 : : }
3829 : : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
3830 [ + + ][ + + ]: 323920 : l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
3831 : 25 : L = ZV_sort_uniq(L);
3832 : 25 : l = lg(L);
3833 : :
3834 : 25 : t = gen_1;
3835 [ + + ]: 70 : for (k = 1; k < l; k++)
3836 : : {
3837 : 45 : GEN p = gel(L,k);
3838 : 45 : long n = 0, m;
3839 [ + + ]: 270 : for (i = 1; i < 6; i++)
3840 [ + + ]: 225 : if (!gequal0(gel(a,i)))
3841 : : {
3842 [ + + ]: 180 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
3843 : 180 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
3844 [ + + ]: 230 : while (m < 0) { n++; m += r; }
3845 : : }
3846 : 45 : t = mulii(t, powiu(p, n));
3847 : : }
3848 : 25 : u = ginv(t);
3849 [ + - ]: 25 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
3850 : 323920 : return coordch_u(e, u);
3851 : : }
3852 : :
3853 : : /* FIXME: export ? */
3854 : : static ulong
3855 : 404395 : Mod32(GEN x) {
3856 : 404395 : long s = signe(x);
3857 : : ulong m;
3858 [ + + ]: 404395 : if (!s) return 0;
3859 [ + + ]: 401645 : m = mod32(x); if (!m) return m;
3860 [ + + ]: 349445 : if (s < 0) m = 32 - m;
3861 : 404395 : return m;
3862 : : }
3863 : : #define Mod16(x) Mod32(x)&15
3864 : : #define Mod2(x) Mod32(x)&1
3865 : :
3866 : : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3867 : : typedef struct {
3868 : : long a1; /*{0,1}*/
3869 : : long a2; /*{-1,0,1}*/
3870 : : long a3; /*{0,1}*/
3871 : : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3872 : : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3873 : : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3874 : : } ellmin_t;
3875 : :
3876 : : /* u from [u,r,s,t] */
3877 : : static void
3878 : 323960 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3879 : : {
3880 : 323960 : M->u = u;
3881 [ + + ]: 323960 : if (is_pm1(u))
3882 : 323645 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3883 : : else
3884 : : {
3885 : 315 : M->u2 = sqri(u);
3886 : 315 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3887 : 315 : M->u4 = sqri(M->u2);
3888 : 315 : M->u6 = sqri(M->u3);
3889 : : }
3890 : 323960 : }
3891 : : /* E = original curve */
3892 : : static void
3893 : 323960 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3894 : : {
3895 : 323960 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3896 [ + + ]: 323960 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3897 : 315 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3898 : 315 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3899 : : }
3900 : 323960 : M->c4 = c4;
3901 : 323960 : M->c6 = c6;
3902 : 323960 : }
3903 : : static void
3904 : 323740 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3905 : : {
3906 : 323740 : GEN D = ell_get_disc(E);
3907 [ + + ]: 323740 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3908 : 323740 : M->D = D;
3909 : 323740 : }
3910 : : static void
3911 : 323855 : min_set_b(ellmin_t *M)
3912 : : {
3913 : 323855 : long b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3914 : 323855 : long b22 = b2*b2; /* in [0,36] */
3915 : 323855 : M->b2 = b2;
3916 : 323855 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3917 : 323855 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3918 : 323855 : }
3919 : : static void
3920 : 323755 : min_set_a(ellmin_t *M)
3921 : : {
3922 : 323755 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3923 : 323755 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3924 [ + + ]: 323755 : if (odd(b2))
3925 : : {
3926 : 172515 : a1 = 1;
3927 : 172515 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3928 : : }
3929 : : else
3930 : : {
3931 : 151240 : a1 = 0;
3932 : 151240 : a2 = b2 >> 2;
3933 : : }
3934 : 323755 : M->a1 = a1;
3935 : 323755 : M->a2 = a2;
3936 : 323755 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3937 : 323755 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3938 : 323755 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3939 : 323755 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3940 : 323755 : }
3941 : : static GEN
3942 : 323740 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3943 : : {
3944 : 323740 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3945 : : long a11, a13;
3946 [ + + ]: 323740 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3947 : 323740 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3948 [ + + ]: 323740 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3949 : 323740 : gel(y,4) = M->a4;
3950 : 323740 : gel(y,5) = M->a6;
3951 : 323740 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3952 : 323740 : gel(y,7) = M->b4;
3953 : 323740 : gel(y,8) = M->b6;
3954 : 323740 : a11 = M->a1;
3955 : 323740 : a13 = M->a1 & M->a3;
3956 : 323740 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3957 : : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3958 : 323740 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3959 : 323740 : gel(y,10)= M->c4;
3960 : 323740 : gel(y,11)= M->c6;
3961 : 323740 : gel(y,12)= M->D;
3962 : 323740 : gel(y,13)= gel(E,13);
3963 : 323740 : gel(y,14)= gel(E,14);
3964 : 323740 : gel(y,15)= gel(E,15);
3965 : 323740 : return y;
3966 : : }
3967 : : static GEN
3968 : 323740 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3969 : : {
3970 : : GEN r, s, t;
3971 : 323740 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3972 [ + + ]: 323740 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3973 [ + + ]: 323740 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, ec_h_evalx(E,r)), -1);
3974 : 323740 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3975 : : }
3976 : :
3977 : : static long
3978 : 325 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
3979 : : {
3980 : 325 : long N = 1; /* oo */
3981 [ + + ]: 325 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
3982 [ + + ]: 285 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
3983 [ + + ]: 325 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
3984 [ + + ]: 280 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
3985 : 325 : return N;
3986 : : }
3987 : : static long
3988 : 1370 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
3989 : : {
3990 : 1370 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
3991 : : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
3992 : 1370 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
3993 : : }
3994 : : static long
3995 : 310 : cardmod2(GEN e)
3996 : : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
3997 : 310 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
3998 : 310 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
3999 : 310 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4000 : 310 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4001 : 310 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4002 : 310 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4003 : : }
4004 : : static long
4005 : 1270 : cardmod3(GEN e)
4006 : : {
4007 : 1270 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4008 : 1270 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4009 : 1270 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4010 : 1270 : return F3_card(b2,b4,b6);
4011 : : }
4012 : :
4013 : : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
4014 : : static long
4015 : 1580 : get_vu_p_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
4016 : : {
4017 : 1580 : GEN c6 = ell_get_c6(E), D = ell_get_disc(E);
4018 : 1580 : long d, v6, vD = Z_lval(D,p);
4019 [ + + ]: 1580 : if (!signe(c6))
4020 : : {
4021 : 260 : d = vD / 12;
4022 [ - + ]: 260 : if (d)
4023 : : {
4024 [ # # ]: 0 : if (p == 2)
4025 : : {
4026 : 0 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4027 : 0 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4028 [ # # ]: 0 : if (a) d--;
4029 : : }
4030 [ # # ]: 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
4031 : : }
4032 : 260 : v6 = 12; /* +oo */
4033 : : }
4034 : : else
4035 : : {
4036 : 1320 : v6 = Z_lval(c6,p);
4037 : 1320 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
4038 [ + + ]: 1320 : if (d) {
4039 [ + + ]: 455 : if (p == 2) {
4040 : 220 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4041 : 220 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4042 : 220 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4043 [ + + ][ + + ]: 220 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
[ + + ][ + + ]
4044 [ + + ]: 235 : } else if (p == 3) {
4045 [ - + ]: 130 : if (v6 == 6*d+2) d--;
4046 : : }
4047 [ + + ]: 455 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4048 : : }
4049 : : }
4050 : 1580 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
4051 : : }
4052 : :
4053 : : static ulong
4054 : 60 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4055 : :
4056 : : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4057 : : static void
4058 : 15 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4059 : : {
4060 : 15 : min_set_u(M, int2n(d));
4061 : 15 : min_set_c(M, E);
4062 : 15 : min_set_b(M);
4063 : 15 : min_set_a(M);
4064 : 15 : }
4065 : : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4066 : : static void
4067 : 100 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4068 : : {
4069 : 100 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4070 : 100 : min_set_c(M, E);
4071 : 100 : min_set_b(M);
4072 : 100 : }
4073 : :
4074 : : static long
4075 : 1420 : is_minimal_ap_small(GEN E, ulong p, int *good_red)
4076 : : {
4077 : 1420 : long vc6, vD, d = get_vu_p_small(E, p, &vc6, &vD);
4078 [ + + ]: 1420 : if (vD) /* bad reduction */
4079 : : {
4080 : : GEN c6;
4081 : : long s;
4082 : 1200 : *good_red = 0;
4083 [ + + ]: 1200 : if (vc6) return 0;
4084 : 500 : c6 = ell_get_c6(E);
4085 [ + + ]: 500 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4086 : 500 : s = kroiu(c6,p);
4087 [ + + ]: 500 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4088 : 500 : return s;
4089 : : }
4090 : 220 : *good_red = 1;
4091 [ + + ]: 220 : if (p == 2)
4092 : : {
4093 : : ellmin_t M;
4094 [ - + ]: 15 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4095 : 15 : min_set_2(&M, E, d);
4096 : 15 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4097 : : }
4098 [ + + ]: 205 : else if (p == 3)
4099 : : {
4100 : : ellmin_t M;
4101 [ - + ]: 100 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4102 : 100 : min_set_3(&M, E, d);
4103 : 100 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4104 : : }
4105 : : else
4106 : : {
4107 : : ellmin_t M;
4108 : 105 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4109 : 105 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4110 : 105 : min_set_c(&M, E);
4111 : 105 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4112 : 1420 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4113 : : }
4114 : : }
4115 : :
4116 : : static GEN
4117 : 1020 : is_minimal_ap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4118 : : {
4119 : : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4120 : : long vc6, vD, d;
4121 [ + - ]: 1020 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( is_minimal_ap_small(E, p[2], good_red) );
4122 : 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4123 : 0 : D = ell_get_disc(E);
4124 : 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4125 : 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4126 [ # # ]: 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4127 [ # # ]: 0 : if (vD) /* bad reduction */
4128 : : {
4129 : : long s;
4130 : 0 : *good_red = 0;
4131 [ # # ]: 0 : if (vc6) return gen_0;
4132 [ # # ]: 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4133 : 0 : s = kronecker(c6,p);
4134 [ # # ]: 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4135 [ # # ]: 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4136 : : }
4137 : 0 : *good_red = 1;
4138 : 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4139 [ # # ]: 0 : if (d)
4140 : : {
4141 : 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4142 : 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4143 : 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4144 : : }
4145 : 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4146 : 1020 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4147 : : }
4148 : :
4149 : : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm */
4150 : : static GEN
4151 : 323740 : get_u(GEN E, GEN *pc4c6P, GEN P)
4152 : : {
4153 : : pari_sp av;
4154 : : GEN c4, c6, g, u, D, c4c6P;
4155 : : long l, k;
4156 : :
4157 : 323740 : D = ell_get_disc(E);
4158 : 323740 : c4 = ell_get_c4(E);
4159 : 323740 : c6 = ell_get_c6(E);
4160 [ + - ]: 323740 : if (!P) P = gel(Z_factor(gcdii(c4,c6)),1); /* primes dividing gcd(c4,c6) */
4161 : 323740 : l = lg(P);
4162 : 323740 : c4c6P = vectrunc_init(l); settyp(c4c6P,t_COL);
4163 : 323740 : av = avma;
4164 : 323740 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4165 : 323740 : u = gen_1;
4166 [ + + ]: 682610 : for (k = 1; k < l; k++)
4167 : : {
4168 : 358870 : GEN p = gel(P, k);
4169 : 358870 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4170 [ + + ]: 358870 : if (!d) { vectrunc_append(c4c6P, p); continue; }
4171 [ + + + ]: 41435 : switch(itou_or_0(p))
4172 : : {
4173 : : case 2:
4174 : : {
4175 : : long a, b;
4176 : 40100 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4177 : 40100 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4178 [ + + ][ + + ]: 40100 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
[ + + ][ + + ]
4179 : 40100 : break;
4180 : : }
4181 : : case 3:
4182 [ + + ]: 1330 : if (Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4183 : 1330 : break;
4184 : : }
4185 [ + + ]: 41435 : if (r) vectrunc_append(c4c6P, p);
4186 [ + + ]: 41435 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
4187 : : }
4188 : 323740 : *pc4c6P = c4c6P;
4189 : 323740 : return gerepileuptoint(av, u);
4190 : : }
4191 : :
4192 : : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
4193 : : * ellminimalmodel(E) */
4194 : : static GEN
4195 : 323990 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4196 : : {
4197 : 323990 : pari_sp av = avma;
4198 : : GEN S, y, e, v, v0, u;
4199 : : GEN c4c6P;
4200 : : ellmin_t M;
4201 [ + + ]: 323990 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4202 : : {
4203 [ + + ]: 250 : if (lg(S) != 2)
4204 : : {
4205 : 105 : E = gel(S,3);
4206 : 105 : v = gel(S,2);
4207 : : }
4208 : : else
4209 : 145 : v = init_ch();
4210 [ + - ]: 250 : if (ptv) *ptv = v;
4211 : 250 : return gcopy(E);
4212 : : }
4213 : 323740 : e = ellintegralmodel(E, &v0);
4214 : 323740 : u = get_u(e, &c4c6P, NULL);
4215 : 323740 : min_set_u(&M, u);
4216 : 323740 : min_set_c(&M, e);
4217 : 323740 : min_set_D(&M, e);
4218 : 323740 : min_set_b(&M);
4219 : 323740 : min_set_a(&M);
4220 : 323740 : y = min_to_ell(&M, e);
4221 : 323740 : v = min_get_v(&M, e);
4222 [ + + ]: 323740 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4223 [ + + ]: 323740 : if (is_trivial_change(v))
4224 : 323590 : S = mkvec(c4c6P);
4225 : : else
4226 : 150 : S = mkvec3(c4c6P, v, y);
4227 : 323740 : S = gclone(S);
4228 : 323740 : y = gerepilecopy(av, y);
4229 : 323740 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4230 [ + + ]: 323740 : *ptv = lg(S) == 2? init_ch(): gel(S,2);
4231 : 323990 : return y;
4232 : : }
4233 : : GEN
4234 : 70 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4235 : : {
4236 : : GEN S, y, v;
4237 : 70 : checkell_Q(E);
4238 : 65 : y = ellminimalmodel_i(E, &v);
4239 [ + + ]: 65 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
4240 [ + + ]: 65 : if (ptv) *ptv = gcopy(v);
4241 : 65 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4242 : 65 : obj_insert(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4243 : 65 : return y;
4244 : : }
4245 : :
4246 : : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
4247 : : * update type-dependant components.
4248 : : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
4249 : : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
4250 : : * N = arithmetic conductor of E
4251 : : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
4252 : : * fa = factorization of N
4253 : : * L = list of localred(E,p) for p | N.
4254 : : * Return standard minimal model (a1,a3 = 0 or 1, a2 = -1, 0 or 1) */
4255 : : static GEN
4256 : 323720 : ellglobalred_all(GEN e, GEN *pgr, GEN *pv)
4257 : : {
4258 : : long k, l, iN;
4259 : : GEN S, E, c, L, P, NP, NE, D;
4260 : :
4261 : 323720 : E = ellminimalmodel_i(e, pv);
4262 : 323720 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4263 : 323720 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* prime divisors of (c4,c6) */
4264 : 323720 : D = ell_get_disc(E);
4265 [ + + ]: 682445 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
4266 [ + + ]: 323720 : if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absi_factor(D),1)) );
4267 : 323720 : l = lg(P); c = gen_1;
4268 : 323720 : iN = 1;
4269 : 323720 : NP = cgetg(l, t_COL);
4270 : 323720 : NE = cgetg(l, t_COL);
4271 : 323720 : L = cgetg(l, t_VEC);
4272 [ + + ]: 1449455 : for (k = 1; k < l; k++)
4273 : : {
4274 : 1125735 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
4275 [ + + ]: 1125735 : if (signe(ex))
4276 : : {
4277 : 1057865 : gel(NP, iN) = p;
4278 : 1057865 : gel(NE, iN) = ex;
4279 : 1057865 : gel(L, iN) = q; iN++;
4280 : 1057865 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
4281 : 1057865 : c = mulii(c, gel(q,4));
4282 : : }
4283 : : }
4284 : 323720 : setlg(L, iN);
4285 : 323720 : setlg(NP, iN);
4286 : 323720 : setlg(NE, iN);
4287 : 323720 : *pgr = mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
4288 : 323720 : return E;
4289 : : }
4290 : : static GEN
4291 : 323710 : doellglobalred(GEN E)
4292 : : {
4293 : : GEN v, gr;
4294 : 323710 : E = ellglobalred_all(E, &gr, &v);
4295 : 323710 : return gr;
4296 : : }
4297 : : static GEN
4298 : 324885 : ellglobalred_i(GEN E)
4299 : 324885 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &doellglobalred); }
4300 : : GEN
4301 : 323540 : ellglobalred(GEN E)
4302 : : {
4303 : 323540 : pari_sp av = avma;
4304 : : GEN S, gr, v;
4305 : 323540 : checkell_Q(E); gr = ellglobalred_i(E);
4306 : 323540 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4307 [ + + ]: 323540 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
4308 : 323540 : return gerepilecopy(av, mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4)));
4309 : : }
4310 : :
4311 : : static GEN doellrootno(GEN e);
4312 : : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
4313 : : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
4314 : : * and E (shallow insert) */
4315 : : GEN
4316 : 620 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
4317 : : {
4318 : 620 : GEN E, S, v = NULL;
4319 : 620 : checkell_Q(e);
4320 [ + + ]: 620 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
4321 : : {
4322 : 185 : E = ellminimalmodel_i(e, &v);
4323 : 185 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4324 : 185 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4325 : : }
4326 [ + + ]: 435 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
4327 : 420 : E = e;
4328 : : else
4329 : : {
4330 : 15 : v = gel(S,2);
4331 : 15 : E = gcopy(gel(S,3));
4332 : 15 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4333 : : }
4334 [ + + ]: 620 : if (ch) *ch = v;
4335 : 620 : S = ellglobalred_i(e);
4336 [ + + ]: 620 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
4337 : 620 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
4338 [ + + ]: 620 : if (!S)
4339 : : {
4340 : 205 : S = doellrootno(E);
4341 : 205 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
4342 : : }
4343 [ + + ]: 620 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
4344 : 620 : return E;
4345 : : }
4346 : :
4347 : : /********************************************************************/
4348 : : /** **/
4349 : : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
4350 : : /** **/
4351 : : /********************************************************************/
4352 : : /* x a t_INT */
4353 : : static long
4354 : 480 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
4355 : : {
4356 : : long v;
4357 : : GEN z;
4358 [ + + ]: 480 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
4359 : 400 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
4360 : 480 : *u = umodiu(z,pk); return v;
4361 : : }
4362 : : static void
4363 : 160 : val_init(GEN e, long p, long pk,
4364 : : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
4365 : : {
4366 : 160 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
4367 : 160 : pari_sp av = avma;
4368 : 160 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
4369 : 160 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
4370 : 160 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
4371 : 160 : }
4372 : :
4373 : : static long
4374 : 160 : kod_23(GEN e, long p)
4375 : : {
4376 : : GEN S, nv;
4377 [ + + ]: 160 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
4378 : : {
4379 : 150 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
4380 [ + + ]: 150 : nv = equaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
4381 : : }
4382 : : else
4383 : 10 : nv = localred_23(e, p);
4384 : 160 : return itos(gel(nv,2));
4385 : : }
4386 : :
4387 : : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
4388 : : static long
4389 : 100 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
4390 : : {
4391 [ + + ]: 100 : if (kod > 4) return 1;
4392 [ - - + + : 85 : switch(kod)
- + - + +
- - + ]
4393 : : {
4394 [ # # ]: 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
4395 : : case 2:
4396 [ # # ]: 0 : if (vD==4) return 1;
4397 : : else
4398 : : {
4399 [ # # ]: 0 : if (vD==7) return 3;
4400 [ # # ]: 0 : else return v4==4 ? 2 : 4;
4401 : : }
4402 : : case 3:
4403 [ + - + - ]: 35 : switch(vD)
4404 : : {
4405 : 25 : case 6: return 3;
4406 : 0 : case 8: return 4;
4407 : 10 : case 9: return 5;
4408 [ # # ]: 0 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
4409 : : }
4410 [ + - ]: 15 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
4411 : : case -1:
4412 [ # # # ]: 0 : switch(vD)
4413 : : {
4414 : 0 : case 9: return 2;
4415 : 0 : case 10: return 4;
4416 [ # # ]: 0 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
4417 : : }
4418 : : case -2:
4419 [ + - - ]: 5 : switch(vD)
4420 : : {
4421 : 5 : case 12: return 2;
4422 : 0 : case 14: return 3;
4423 : 0 : default: return 1;
4424 : : }
4425 : : case -3:
4426 [ # # # # ]: 0 : switch(vD)
4427 : : {
4428 : 0 : case 12: return 2;
4429 : 0 : case 14: return 3;
4430 : 0 : case 15: return 4;
4431 : 0 : default: return 1;
4432 : : }
4433 [ - + ]: 15 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
4434 [ + - ][ - + ]: 5 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
4435 : : case -6:
4436 [ # # # ]: 0 : switch(vD)
4437 : : {
4438 : 0 : case 12: return 2;
4439 : 0 : case 13: return 3;
4440 [ # # ]: 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
4441 : : }
4442 [ # # ][ # # ]: 0 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
4443 [ + - ]: 100 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
4444 : : }
4445 : : }
4446 : : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
4447 : : static long
4448 : 50 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
4449 : : {
4450 [ + + ]: 50 : if (labs(kod) > 4) return 1;
4451 [ + - + + ]: 40 : switch(kod)
4452 : : {
4453 [ + - ]: 20 : case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
4454 [ # # ]: 0 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
4455 : : case -4: case 2:
4456 [ - - + ]: 15 : switch (vD%6)
4457 : : {
4458 : 0 : case 4: return 3;
4459 : 0 : case 5: return 4;
4460 [ - + ]: 15 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
4461 : : }
4462 : : default: /* kod = -2 et 4 */
4463 [ - - + ]: 5 : switch (vD%6)
4464 : : {
4465 : 0 : case 0: return 2;
4466 : 0 : case 1: return 3;
4467 : 50 : default: return 1;
4468 : : }
4469 : : }
4470 : : }
4471 : :
4472 : : static long
4473 : 100 : ellrootno_2(GEN e)
4474 : : {
4475 : : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
4476 : 100 : long d = get_vu_p_small(e, 2, &v6, &vD);
4477 : :
4478 [ - + ]: 100 : if (!vD) return 1;
4479 [ - + ]: 100 : if (d) { /* not minimal */
4480 : : ellmin_t M;
4481 : 0 : min_set_2(&M, e, d);
4482 : 0 : e = min_to_ell(&M, e);
4483 : : }
4484 : 100 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
4485 : 100 : kod = kod_23(e,2);
4486 : 100 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
4487 [ + + ]: 100 : if (kod>=5)
4488 : : {
4489 : : long a2, a3;
4490 : 15 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
4491 : 15 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
4492 [ + + ]: 15 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
4493 : : }
4494 [ + + ][ + - ]: 85 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
4495 : 75 : x1 = u+v+v;
4496 [ - - + - : 75 : switch(kod)
+ - + - -
- - + ]
4497 : : {
4498 : 0 : case 1: return 1;
4499 : : case 2:
4500 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
4501 : : {
4502 : : case 1:
4503 [ # # # ]: 0 : switch(v4)
4504 : : {
4505 : 0 : case 4: return kross(-1,u);
4506 : 0 : case 5: return 1;
4507 : 0 : default: return -1;
4508 : : }
4509 [ # # ]: 0 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
4510 [ # # ][ # # ]: 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
4511 [ # # ]: 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
4512 [ # # ]: 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
4513 : : }
4514 : : case 3:
4515 [ - - + - : 35 : switch(n2)
+ - ]
4516 : : {
4517 : 0 : case 1: return -kross(2,u*v);
4518 : 0 : case 2: return -kross(2,v);
4519 : 25 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
4520 [ + - ][ + + ]: 25 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
4521 [ # # ][ # # ]: 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
4522 [ - + ]: 10 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
4523 : : }
4524 : : case -1:
4525 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
4526 : : {
4527 : 0 : case 1: return -kross(2,x1);
4528 [ # # ][ # # ]: 0 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
4529 [ # # ]: 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
4530 [ # # ]: 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
4531 [ # # ]: 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
4532 : : }
4533 [ - + ]: 5 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
4534 : : case -3:
4535 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
4536 : : {
4537 [ # # ]: 0 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
4538 [ # # ][ # # ]: 0 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
4539 : 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
4540 : 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
4541 [ # # ]: 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
4542 : : }
4543 : : case -5:
4544 [ + - ][ + - ]: 5 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
4545 : 0 : else return -kross(2,2*u+v);
4546 : : case -6:
4547 [ # # # # ]: 0 : switch(n2)
4548 : : {
4549 : 0 : case 1: return 1;
4550 [ # # ]: 0 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
4551 [ # # ][ # # ]: 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
4552 : : }
4553 : : case -7:
4554 [ # # ]: 0 : if (n2==1) return 1;
4555 : : else
4556 : : {
4557 : 0 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
4558 [ # # ][ # # ]: 0 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
[ # # ]
4559 [ # # ][ # # ]: 0 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
4560 : : }
4561 [ # # ]: 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
4562 [ # # ]: 0 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
4563 : 100 : default: return -1;
4564 : : }
4565 : : }
4566 : :
4567 : : static long
4568 : 60 : ellrootno_3(GEN e)
4569 : : {
4570 : : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
4571 : 60 : long d = get_vu_p_small(e, 3, &v6, &vD);
4572 : :
4573 [ - + ]: 60 : if (!vD) return 1;
4574 [ - + ]: 60 : if (d) { /* not minimal */
4575 : : ellmin_t M;
4576 : 0 : min_set_3(&M, e, d);
4577 : 0 : min_set_a(&M);
4578 : 0 : e = min_to_ell(&M, e);
4579 : : }
4580 : 60 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
4581 : 60 : kod = kod_23(e,3);
4582 [ + + ]: 60 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
4583 : 50 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
4584 : 50 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
4585 [ - - + - : 50 : switch(kod)
+ + ]
4586 : : {
4587 : 0 : case 1: case 3: case -3: return 1;
4588 : : case 2:
4589 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
4590 : : {
4591 [ # # ][ # # ]: 0 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
4592 : 0 : case 2: return -K4*K6;
4593 : 0 : case 3: return 1;
4594 : 0 : case 4: return -K6;
4595 : : }
4596 : : case 4:
4597 [ + - - - ]: 5 : switch(n2)
4598 : : {
4599 : 5 : case 1: return K6*kross(D1,3);
4600 : 0 : case 2: return -K4;
4601 : 0 : case 3: return -K6;
4602 : : }
4603 [ # # ]: 0 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
4604 : : case -4:
4605 [ + - - - : 15 : switch(n2)
- ]
4606 : : {
4607 : : case 1:
4608 [ - + ][ # # ]: 15 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
[ # # ]
4609 [ + - ][ + - ]: 15 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
4610 : 0 : case 2: return -K6;
4611 [ # # ][ # # ]: 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
4612 : 0 : case 4: return K6;
4613 : : }
4614 : 60 : default: return -1;
4615 : : }
4616 : : }
4617 : :
4618 : : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
4619 : : static long
4620 : 330 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
4621 : : {
4622 : : long nuj, nuD, nu;
4623 : 330 : GEN D = ell_get_disc(e);
4624 : : long ep, z;
4625 : :
4626 : 330 : nuD = Q_pval(D, p);
4627 [ - + ]: 330 : if (!nuD) return 1;
4628 : 330 : nuj = j_pval(e, p);
4629 : 330 : nu = (nuD - nuj) % 12;
4630 [ + + ]: 330 : if (nu == 0)
4631 : : {
4632 : : GEN c6;
4633 : : long d, vg;
4634 [ - + ]: 180 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
4635 : : /* p || N */
4636 : 180 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
4637 : 180 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
4638 : 180 : d = vg / 12;
4639 [ + + ]: 180 : if (d)
4640 : : {
4641 : 5 : GEN q = powiu(p,6*d);
4642 [ + - ]: 5 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
4643 : : }
4644 [ - + ]: 180 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
4645 : : /* c6 in minimal model */
4646 : 180 : return -kronecker(negi(c6), p);
4647 : : }
4648 [ + + ]: 150 : if (nuj) return krosi(-1,p);
4649 : 130 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
4650 [ + + ][ + + ]: 130 : if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
4651 : 330 : return krosi(-z, p);
4652 : : }
4653 : :
4654 : : static GEN
4655 : 215 : doellrootno(GEN e)
4656 : : {
4657 : : GEN S, V, v, P;
4658 : 215 : long i, l, s = -1;
4659 [ + + ]: 215 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
4660 : : {
4661 : 205 : GEN S2 = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4662 [ - + ]: 205 : if (lg(S2) != 2) e = gel(S2,3);
4663 : : }
4664 : : else
4665 : : {
4666 : 10 : GEN E = ellglobalred_all(e, &S, &v);
4667 : 10 : obj_insert(e, Q_GLOBALRED, S);
4668 : 10 : e = E;
4669 : : }
4670 : 215 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
4671 : 215 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
4672 [ + + ]: 695 : for (i = 1; i < l; i++)
4673 : : {
4674 : 480 : GEN p = gel(P,i);
4675 : : long t;
4676 [ + + + ]: 480 : switch(itou_or_0(p))
4677 : : {
4678 : 95 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
4679 : 60 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
4680 : 325 : default:t = ellrootno_p(e, p);
4681 : : }
4682 : 480 : V[i] = t; s *= t;
4683 : : }
4684 : 215 : return mkvec2(stoi(s), V);
4685 : : }
4686 : : long
4687 : 285 : ellrootno_global(GEN e)
4688 : : {
4689 : 285 : pari_sp av = avma;
4690 : 285 : GEN S = obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno);
4691 : 285 : avma = av; return itos(gel(S,1));
4692 : : }
4693 : :
4694 : : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
4695 : : * Global if p==1 or NULL. */
4696 : : long
4697 : 25 : ellrootno(GEN e, GEN p)
4698 : : {
4699 : 25 : pari_sp av = avma;
4700 : : GEN S;
4701 : : long s;
4702 : 25 : checkell_Q(e);
4703 [ + + ][ - + ]: 25 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
4704 [ - + ]: 15 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
4705 [ - + ]: 15 : if (signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
4706 [ - + ]: 15 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
4707 [ + + ]: 15 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
4708 : : {
4709 : 5 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
4710 : 5 : long i, l = lg(NP);
4711 [ + - ]: 5 : for (i = 1; i < l; i++)
4712 : : {
4713 : 5 : GEN q = gel(NP,i);
4714 [ + - ]: 5 : if (equalii(p, q)) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
4715 : : }
4716 : 0 : return 1;
4717 : : }
4718 [ + - + ]: 10 : switch(itou_or_0(p))
4719 : : {
4720 : : case 2:
4721 : 5 : e = ellintegralmodel(e, NULL);
4722 : 5 : s = ellrootno_2(e); break;
4723 : : case 3:
4724 : 0 : e = ellintegralmodel(e, NULL);
4725 : 0 : s = ellrootno_3(e); break;
4726 : : default:
4727 : 5 : s = ellrootno_p(e,p); break;
4728 : : }
4729 : 25 : avma = av; return s;
4730 : : }
4731 : :
4732 : : /********************************************************************/
4733 : : /** **/
4734 : : /** TRACE OF FROBENIUS **/
4735 : : /** **/
4736 : : /********************************************************************/
4737 : :
4738 : : /* assume e has good reduction mod p */
4739 : : static long
4740 : 5055 : ellap_small_goodred(int CM, GEN E, ulong p)
4741 : : {
4742 : : ulong a4, a6;
4743 [ + + ]: 5055 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
4744 [ + + ]: 5005 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
4745 : 4855 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
4746 [ + + ]: 5055 : return CM? Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p): Fl_elltrace(a4, a6, p);
4747 : : }
4748 : :
4749 : : static void
4750 : 635 : checkell_int(GEN e)
4751 : : {
4752 : 635 : checkell_Q(e);
4753 [ + - + - ]: 1270 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
4754 [ + - ]: 1270 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
4755 [ + - ]: 1270 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
4756 [ - + ]: 1270 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
4757 : 635 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("anellsmall [not an integral model]",e);
4758 : 635 : }
4759 : :
4760 : : static int
4761 : 310 : ell_get_CM(GEN e)
4762 : : {
4763 : 310 : GEN j = ell_get_j(e);
4764 : 310 : int CM = 0;
4765 [ + + ][ + + : 310 : if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
+ + + + +
+ + + + +
+ - ]
4766 : : {
4767 : : case 0:
4768 [ + + ]: 12 : if (!signe(j)) CM = -3;
4769 : 12 : break;
4770 : 30 : case 1728: CM = -4; break;
4771 : 5 : case -3375: CM = -7; break;
4772 : 5 : case 8000: CM = -8; break;
4773 : 5 : case 54000: CM = -12; break;
4774 : 5 : case -32768: CM = -11; break;
4775 : 5 : case 287496: CM = -16; break;
4776 : 5 : case -884736: CM = -19; break;
4777 : 5 : case -12288000: CM = -27; break;
4778 : 5 : case 16581375: CM = -28; break;
4779 : 5 : case -884736000: CM = -43; break;
4780 : : #ifdef LONG_IS_64BIT
4781 : 4 : case -147197952000: CM = -67; break;
4782 : 4 : case -262537412640768000: CM = -163; break;
4783 : : #endif
4784 : : }
4785 : 310 : return CM;
4786 : : }
4787 : : GEN
4788 : 135 : anellsmall(GEN e, long n0)
4789 : : {
4790 : : pari_sp av;
4791 : 135 : ulong p, m, SQRTn, n = (ulong)n0;
4792 : : GEN an, D;
4793 : : int CM;
4794 : :
4795 : 135 : checkell_int(e);
4796 [ - + ]: 135 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
4797 [ - + ]: 135 : if (n >= LGBITS)
4798 : 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
4799 : 135 : SQRTn = (ulong)sqrt(n);
4800 : 135 : D = ell_get_disc(e);
4801 : 135 : CM = ell_get_CM(e);
4802 : :
4803 : 135 : an = cgetg(n+1,t_VECSMALL); an[1] = 1;
4804 : 135 : av = avma;
4805 [ + + ]: 18575 : for (p=2; p <= n; p++) an[p] = LONG_MAX; /* not computed yet */
4806 [ + + ]: 18575 : for (p=2; p<=n; p++)
4807 : : {
4808 : : long ap;
4809 [ + + ]: 18440 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
4810 [ + + ]: 4450 : if (!umodiu(D,p)) /* p | D, bad reduction or non-minimal model */
4811 : : {
4812 : : int good_red;
4813 : 400 : ap = is_minimal_ap_small(e, p, &good_red);
4814 [ + + ]: 400 : if (good_red) goto GOOD_RED;
4815 [ + + + - ]: 360 : switch (ap) /* (-c6/p) */
4816 : : {
4817 : : case -1: { /* non-split */
4818 : 60 : ulong N = n/p;
4819 [ + + ]: 160 : for (m=1; m<=N; m++)
4820 [ + - ]: 100 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
4821 : 60 : break;
4822 : : }
4823 : : case 0: /* additive */
4824 [ + + ]: 12350 : for (m=p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
4825 : 290 : break;
4826 : : case 1: { /* split */
4827 : 10 : ulong N = n/p;
4828 [ + + ]: 510 : for (m=1; m<=N; m++)
4829 [ + + ]: 500 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
4830 : 400 : break;
4831 : : }
4832 : : }
4833 : : }
4834 : : else /* good reduction */
4835 : : {
4836 : 4050 : ap = ellap_small_goodred(CM, e, p);
4837 : : GOOD_RED:
4838 [ + + ]: 4090 : if (p <= SQRTn) {
4839 : 405 : ulong pk, oldpk = 1;
4840 [ + + ]: 1645 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
4841 : : {
4842 [ + + ]: 1240 : if (pk == p)
4843 : 405 : an[pk] = ap;
4844 : : else
4845 : 835 : an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
4846 [ + + ]: 17095 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
4847 [ + + ][ + + ]: 15855 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
4848 : : }
4849 : : } else {
4850 : 3685 : an[p] = ap;
4851 [ + + ]: 9095 : for (m = n/p; m > 1; m--)
4852 [ + - ]: 5410 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
4853 : : }
4854 : : }
4855 : : }
4856 : 135 : avma = av; return an;
4857 : : }
4858 : :
4859 : : GEN
4860 : 115 : anell(GEN e, long n0)
4861 : : {
4862 : 115 : GEN v = anellsmall(e, n0);
4863 : : long i;
4864 [ + + ]: 17265 : for (i = 1; i <= n0; i++) gel(v,i) = stoi(v[i]);
4865 : 115 : settyp(v, t_VEC); return v;
4866 : : }
4867 : :
4868 : : static GEN
4869 : 530 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
4870 : : {
4871 : : GEN u, v, w;
4872 : : long j;
4873 [ + + ]: 530 : if (e == 1) return ap;
4874 : 80 : u = ap;
4875 : 80 : w = subii(sqri(ap), p);
4876 [ + + ]: 90 : for (j=3; j<=e; j++)
4877 : : {
4878 : 10 : v = u; u = w;
4879 : 10 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
4880 : : }
4881 : 530 : return w;
4882 : : }
4883 : :
4884 : : GEN
4885 : 500 : akell(GEN e, GEN n)
4886 : : {
4887 : : long i, j, s;
4888 : 500 : pari_sp av = avma;
4889 : : GEN fa, P, E, D, u, y;
4890 : :
4891 : 500 : checkell_int(e);
4892 [ - + ]: 500 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
4893 [ - + ]: 500 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
4894 [ - + ]: 500 : if (gequal1(n)) return gen_1;
4895 : 500 : D = ell_get_disc(e);
4896 : 500 : u = coprime_part(n, D);
4897 : 500 : y = gen_1;
4898 : 500 : s = 1;
4899 [ + + ]: 500 : if (!equalii(u, n))
4900 : : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
4901 : 315 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
4902 : 315 : P = gel(fa,1);
4903 : 315 : E = gel(fa,2);
4904 [ + + ]: 730 : for (i=1; i<lg(P); i++)
4905 : : {
4906 : 415 : GEN p = gel(P,i);
4907 : 415 : long ex = itos(gel(E,i));
4908 : : int good_red;
4909 : 415 : GEN ap = is_minimal_ap(e,p,&good_red);
4910 [ + + ]: 415 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
4911 : 250 : j = signe(ap);
4912 [ - + ]: 250 : if (!j) { avma = av; return gen_0; }
4913 [ + + ][ - + ]: 250 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
4914 : : }
4915 : : }
4916 [ - + ]: 500 : if (s < 0) y = negi(y);
4917 : 500 : fa = Z_factor(u);
4918 : 500 : P = gel(fa,1);
4919 : 500 : E = gel(fa,2);
4920 [ + + ]: 865 : for (i=1; i<lg(P); i++)
4921 : : { /* good reduction */
4922 : 365 : GEN p = gel(P,i);
4923 : 365 : GEN ap = ellap(e,p);
4924 : 365 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
4925 : : }
4926 : 500 : return gerepileuptoint(av,y);
4927 : : }
4928 : :
4929 : : GEN
4930 : 700 : ellQ_get_N(GEN e)
4931 : 700 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
4932 : : void
4933 : 25 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
4934 : 25 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
4935 : :
4936 : : GEN
4937 : 20 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
4938 : : {
4939 : 20 : pari_sp av = avma, av1, lim;
4940 : : ulong l, n;
4941 : : long eps, flun;
4942 : : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
4943 : :
4944 [ + + ]: 20 : if (!A) A = gen_1;
4945 : : else
4946 : : {
4947 [ - + ]: 15 : if (gsigne(A)<=0)
4948 : 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
4949 [ - + ]: 15 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
4950 : : }
4951 [ + - ][ - + ]: 20 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
4952 [ + + ][ - + ]: 20 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
4953 : 20 : checkell_Q(e);
4954 : 20 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
4955 : 20 : N = ellQ_get_N(e);
4956 : 20 : eps = ellrootno_global(e);
4957 [ - + ][ # # ]: 20 : if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
4958 : :
4959 : 20 : gs = ggamma(s, prec);
4960 : 20 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
4961 : 20 : cga = gmul(cg, A);
4962 : 20 : cgb = gdiv(cg, A);
4963 : 20 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
4964 : 20 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
4965 : 20 : / rtodbl(cgb) + 1);
4966 [ - + ]: 20 : if ((long)l < 1) l = 1;
4967 : 20 : v = anellsmall(e, minss(l,LGBITS-1));
4968 : 20 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
4969 [ + - ]: 20 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
4970 : 20 : z = gen_0;
4971 : 20 : av1 = avma; lim = stack_lim(av1,1);
4972 [ + + ]: 1445 : for (n = 1; n <= l; n++)
4973 : : {
4974 : 1425 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
4975 [ + - ]: 1425 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
4976 [ + + ]: 1425 : if (!signe(an)) continue;
4977 : :
4978 : 1190 : ns = gpow(gn,s,prec);
4979 : 1190 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
4980 [ - + ]: 1190 : if (flun)
4981 : 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
4982 : : else
4983 : : {
4984 : 1190 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
4985 [ + - ]: 1190 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
4986 : 1190 : p1 = gadd(p1, p2);
4987 : : }
4988 : 1190 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
4989 [ - + ]: 1190 : if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
4990 : : {
4991 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
4992 : 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
4993 : : }
4994 : : }
4995 : 20 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
4996 : : }
4997 : :
4998 : : /********************************************************************/
4999 : : /** **/
5000 : : /** CANONICAL HEIGHT **/
5001 : : /** **/
5002 : : /********************************************************************/
5003 : :
5004 : : static GEN
5005 [ + + ]: 355 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
5006 : :
5007 : : /* one root of X^2 - t X + c */
5008 : : static GEN
5009 : 735 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
5010 : : {
5011 : 735 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
5012 : : }
5013 : :
5014 : : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
5015 : : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
5016 : : static GEN
5017 : 735 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
5018 : : {
5019 : 735 : GEN x_a, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
5020 : 735 : long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
5021 : :
5022 [ + + ][ + - ]: 735 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
5023 : 735 : e1 = ellR_root(e, p);
5024 : : {
5025 : 735 : GEN ab = ellR_ab(e, p);
5026 : 735 : a = gel(ab, 1);
5027 : 735 : b = gel(ab, 2);
5028 : : }
5029 : 735 : x = gsub(x, e1);
5030 : 735 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
5031 : :
5032 : 735 : x_a = gsub(x, a);
5033 [ + + ]: 735 : if (gsigne(a) > 0)
5034 : : {
5035 : 60 : GEN a0 = a;
5036 : 60 : x = gsub(x, b);
5037 : 60 : a = gneg(b);
5038 : 60 : b = gsub(a0, b);
5039 : : }
5040 : 735 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
5041 : 735 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
5042 : : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
5043 : 735 : for(n=0; ; n++)
5044 : : {
5045 : 3834 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
5046 : 3834 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
5047 : 3834 : r = gsub(a, a0);
5048 [ + + ][ + + ]: 3834 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
5049 : 3099 : ab = gmul(a0, b);
5050 : 3099 : b = gsqrt(ab, prec);
5051 : :
5052 : 3099 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
5053 : 3099 : p2 = gsqr(a);
5054 : 3099 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
5055 : 3099 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
5056 : 3099 : }
5057 [ + - ]: 735 : if (n) {
5058 : 735 : x = gel(V,n);
5059 [ + + ]: 3099 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
5060 : : } else {
5061 : 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
5062 : : }
5063 : : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
5064 : 1140 : return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
5065 [ + + ]: 1140 : : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
5066 : : }
5067 : : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
5068 : : static int
5069 : 735 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
5070 : : {
5071 : 735 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
5072 : 735 : return gcmp(x, e1) >= 0;
5073 : : }
5074 : :
5075 : : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
5076 : : static GEN
5077 : 735 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
5078 : : {
5079 : 735 : pari_sp av = avma;
5080 : : GEN h;
5081 : 735 : checkell_Q(E);
5082 [ + + ]: 735 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
5083 : : {
5084 : 330 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
5085 : : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
5086 : 330 : h = gmul(eh, gabs(ec_dLHSdy_evalQ(E, z), prec));
5087 : : }
5088 : : else
5089 : 405 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
5090 [ + + ]: 735 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
5091 : 735 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
5092 : : }
5093 : : GEN
5094 : 620 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
5095 : :
5096 : : static GEN
5097 : 190 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
5098 [ + + ]: 190 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
5099 : : static GEN
5100 : 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
5101 : : {
5102 : 35 : pari_sp av = avma;
5103 : 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
5104 : 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
5105 : 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
5106 : : }
5107 : : GEN
5108 : 15 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
5109 [ - + ]: 15 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
5110 : : GEN
5111 : 50 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
5112 [ + + ]: 50 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
5113 : :
5114 : : GEN
5115 : 130 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
5116 : : {
5117 : : long i, lx;
5118 : 130 : pari_sp av = avma;
5119 : : GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
5120 : : GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
5121 : :
5122 : 130 : checkell_Q(e);
5123 : 130 : checkellpt(a);
5124 [ - + ]: 130 : if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
5125 [ + + ]: 130 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5126 : : { /* switch to minimal model if needed */
5127 [ + + ]: 110 : if (lg(S) != 2)
5128 : : {
5129 : 15 : v = gel(S,2);
5130 : 15 : e = gel(S,3);
5131 : 15 : a = ellchangepoint(a, v);
5132 : : }
5133 : : }
5134 : : else
5135 : : {
5136 : 20 : e = ellminimalmodel_i(e, &v);
5137 : 20 : a = ellchangepoint(a, v);
5138 : : }
5139 [ + + ]: 130 : if (!oncurve(e,a))
5140 : 5 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
5141 : 125 : psi2 = Q_numer(ec_dLHSdy_evalQ(e,a));
5142 [ + + ]: 125 : if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
5143 : 115 : x = gel(a,1);
5144 : 115 : y = gel(a,2);
5145 : 115 : b2 = ell_get_b2(e);
5146 : 115 : b4 = ell_get_b4(e);
5147 : 115 : b6 = ell_get_b6(e);
5148 : 115 : b8 = ell_get_b8(e);
5149 : 115 : psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
5150 : : poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
5151 : : );
5152 [ - + ]: 115 : if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
5153 : 115 : a1 = ell_get_a1(e);
5154 : 115 : a2 = ell_get_a2(e);
5155 : 115 : a4 = ell_get_a4(e);
5156 : 115 : phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
5157 : : poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
5158 : : );
5159 : 115 : c4 = ell_get_c4(e);
5160 : 115 : D = ell_get_disc(e);
5161 : 115 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
5162 : 115 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
5163 : 115 : lx = lg(Lp);
5164 [ + + ]: 195 : for (i=1; i<lx; i++)
5165 : : {
5166 : 80 : GEN p = gel(Lp,i);
5167 : : long u, v, n, n2;
5168 [ + + ]: 80 : if (signe(remii(c4,p)))
5169 : : { /* p \nmid c4 */
5170 : 10 : long N = Z_pval(D,p);
5171 [ - + ]: 10 : if (!N) continue;
5172 : 10 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
5173 [ - + ]: 10 : if (n > N) n = N;
5174 : 10 : u = n * ((N<<1) - n);
5175 : 10 : v = N << 3;
5176 : : }
5177 : : else
5178 : : {
5179 : 70 : n2 = Z_pval(psi2, p);
5180 : 70 : n = Z_pval(psi3, p);
5181 [ + + ]: 70 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
5182 : : }
5183 : : /* z -= u log(p) / v */
5184 : 80 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
5185 : : }
5186 : 125 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
5187 : : }
5188 : :
5189 : : GEN
5190 : 25 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
5191 : : {
5192 : : GEN y, D;
5193 : 25 : long lx = lg(x), i, j;
5194 : 25 : pari_sp av = avma;
5195 : :
5196 [ - + ]: 25 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
5197 : 25 : D = cgetg(lx,t_VEC);
5198 : 25 : y = cgetg(lx,t_MAT);
5199 [ + + ]: 90 : for (i=1; i<lx; i++)
5200 : : {
5201 : 65 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
5202 : 65 : gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
5203 : : }
5204 [ + + ]: 90 : for (i=1; i<lx; i++)
5205 : : {
5206 : 65 : gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
5207 [ + + ]: 120 : for (j=i+1; j<lx; j++)
5208 : : {
5209 : 55 : GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
5210 : 55 : h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
5211 : 55 : gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
5212 : : }
5213 : : }
5214 : 25 : return gerepilecopy(av,y);
5215 : : }
5216 : : GEN
5217 : 10 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
5218 : 10 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
5219 : :
5220 : : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
5221 : : static GEN
5222 : 30 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
5223 : : {
5224 : 30 : long l = lg(P);
5225 [ - + ]: 30 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
5226 [ + + ]: 30 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
5227 : : else
5228 : : {
5229 : 10 : GEN y = cgetg(l, typ(P));
5230 : : long i;
5231 [ + + ]: 30 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
5232 : 30 : return y;
5233 : : }
5234 : : }
5235 : : static GEN
5236 : 10 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
5237 : : {
5238 : 10 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
5239 [ - + ]: 10 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
5240 [ - + ]: 10 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
5241 [ - + ]: 10 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
5242 [ - + ]: 10 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
5243 : 10 : t2 = typ(gel(Q,1));
5244 [ - + ]: 10 : if (is_matvec_t(t2))
5245 : : {
5246 : 0 : t1 = typ(gel(P,1));
5247 [ # # ]: 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
5248 : 0 : return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
5249 : : }
5250 : 10 : return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
5251 : : }
5252 : : GEN
5253 : 10 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
5254 : 10 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
5255 : : /********************************************************************/
5256 : : /** **/
5257 : : /** Modular Parametrization **/
5258 : : /** **/
5259 : : /********************************************************************/
5260 : : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
5261 : : static GEN
5262 : 0 : triv_ser(GEN t, long v)
5263 : : {
5264 : 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
5265 : 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
5266 : 0 : gel(s,2) = t; return s;
5267 : : }
5268 : :
5269 : : GEN
5270 : 15 : elltaniyama(GEN e, long prec)
5271 : : {
5272 : : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
5273 : : long n, m;
5274 : 15 : pari_sp av = avma;
5275 : :
5276 : 15 : checkell_Q(e);
5277 [ + + ]: 15 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
5278 [ - + ]: 10 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
5279 : :
5280 : 10 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
5281 : 10 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
5282 : 10 : d = ginv(gtoser(anell(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
5283 : : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
5284 : : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
5285 : 10 : c = gsqr(d);
5286 : : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
5287 : : * Take derivative then divide by 2x':
5288 : : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
5289 : : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
5290 : : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
5291 : : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
5292 : : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
5293 : : * */
5294 : 10 : C = c+4;
5295 : 10 : X = x+4;
5296 : 10 : gel(X,-2) = gen_1;
5297 : 10 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
5298 : 10 : b2 = ell_get_b2(e);
5299 : 10 : b4 = ell_get_b4(e);
5300 [ + + ]: 140 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
5301 : : {
5302 : 130 : pari_sp av2 = avma;
5303 : : GEN s1, s2, s3;
5304 [ + + ]: 130 : if (n != 2)
5305 : : {
5306 : 120 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
5307 [ + + ]: 120 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
5308 : 120 : s2 = gen_0;
5309 [ + + ]: 1120 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
5310 [ + + ]: 1000 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
5311 : 120 : s2 = gmul2n(s2,-1);
5312 : 120 : s1 = gen_0;
5313 [ + + ]: 530 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
5314 : 120 : s1 = gmul2n(s1, 1);
5315 [ + + ]: 120 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
5316 : : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
5317 : 120 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
5318 : : }
5319 : : else
5320 : : {
5321 : 10 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
5322 : 10 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
5323 : 10 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
5324 : 10 : gel(U,2) = gel(x,2);
5325 : 10 : gel(U,3) = gel(x,3);
5326 : 10 : gel(U,4) = gel(x,4);
5327 : 10 : gel(U,5) = gel(x,5);
5328 : 10 : gel(U,6) = gel(x,6);
5329 : 10 : gel(U,7) = gel(x,7);
5330 : 10 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
5331 : : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
5332 : 10 : w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
5333 : : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
5334 : 10 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
5335 : : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
5336 : 10 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
5337 [ - + ]: 10 : s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
5338 : : }
5339 : 130 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
5340 : : }
5341 : 10 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
5342 : 10 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
5343 : 10 : c = cgetg(3,t_VEC);
5344 : 10 : gel(c,1) = gcopy(x);
5345 : 10 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
5346 : : }
5347 : :
5348 : : /********************************************************************/
5349 : : /** **/
5350 : : /** TORSION POINTS (over Q) **/
5351 : : /** **/
5352 : : /********************************************************************/
5353 : : static int
5354 : 145 : smaller_x(GEN p, GEN q)
5355 : : {
5356 : 145 : int s = absi_cmp(denom(p), denom(q));
5357 [ + + ][ + + ]: 145 : return (s<0 || (s==0 && absi_cmp(numer(p),numer(q)) < 0));
[ + + ]
5358 : : }
5359 : :
5360 : : /* best generator in cycle of length k */
5361 : : static GEN
5362 : 125 : best_in_cycle(GEN e, GEN p, long k)
5363 : : {
5364 : 125 : GEN p0 = p,q = p;
5365 : : long i;
5366 : :
5367 [ + + ]: 240 : for (i=2; i+i<k; i++)
5368 : : {
5369 : 115 : q = elladd(e,q,p0);
5370 [ + + ][ + + ]: 115 : if (ugcd(i,k)==1 && smaller_x(gel(q,1), gel(p,1))) p = q;
5371 : : }
5372 [ + + ]: 125 : return (gsigne(ec_dLHSdy_evalQ(e,p)) < 0)? ellneg_i(e,p): p;
5373 : : }
5374 : :
5375 : : /* <p,q> = E_tors, possibly NULL (= oo), p,q independent unless NULL
5376 : : * order p = k, order q = 2 unless NULL */
5377 : : static GEN
5378 : 175 : tors(GEN e, long k, GEN p, GEN q, GEN v)
5379 : : {
5380 : : GEN r;
5381 [ + + ]: 175 : if (q)
5382 : : {
5383 : 55 : long n = k>>1;
5384 : 55 : GEN p1, best = q, np = ellmul_Z(e,p,utoipos(n));
5385 [ + + ][ + + ]: 55 : if (n % 2 && smaller_x(gel(np,1), gel(best,1))) best = np;
5386 : 55 : p1 = elladd(e,q,np);
5387 [ + + ]: 55 : if (smaller_x(gel(p1,1), gel(best,1))) q = p1;
5388 [ - + ]: 35 : else if (best == np) { p = elladd(e,p,q); q = np; }
5389 : 55 : p = best_in_cycle(e,p,k);
5390 [ - + ]: 55 : if (v)
5391 : : {
5392 : 0 : p = ellchangepointinv(p,v);
5393 : 0 : q = ellchangepointinv(q,v);
5394 : : }
5395 : 55 : r = cgetg(4,t_VEC);
5396 : 55 : gel(r,1) = utoipos(2*k);
5397 : 55 : gel(r,2) = mkvec2(utoipos(k), gen_2);
5398 : 55 : gel(r,3) = mkvec2copy(p, q);
5399 : : }
5400 : : else
5401 : : {
5402 [ + + ]: 120 : if (p)
5403 : : {
5404 : 70 : p = best_in_cycle(e,p,k);
5405 [ - + ]: 70 : if (v) p = ellchangepointinv(p,v);
5406 : 70 : r = cgetg(4,t_VEC);
5407 : 70 : gel(r,1) = utoipos(k);
5408 : 70 : gel(r,2) = mkvec( gel(r,1) );
5409 : 70 : gel(r,3) = mkvec( gcopy(p) );
5410 : : }
5411 : : else
5412 : : {
5413 : 50 : r = cgetg(4,t_VEC);
5414 : 50 : gel(r,1) = gen_1;
5415 : 50 : gel(r,2) = cgetg(1,t_VEC);
5416 : 50 : gel(r,3) = cgetg(1,t_VEC);
5417 : : }
5418 : : }
5419 : 175 : return r;
5420 : : }
5421 : :
5422 : : static GEN
5423 : 625 : doellff_get_o(GEN E)
5424 : : {
5425 : 625 : GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
5426 : 625 : return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
5427 : : }
5428 : : GEN
5429 : 810 : ellff_get_o(GEN E)
5430 : 810 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); };
5431 : :
5432 : : GEN
5433 : 90 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
5434 : : {
5435 : 90 : pari_sp av = avma;
5436 : : GEN fg, r;
5437 : 90 : checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
5438 : 90 : fg = ellff_get_field(E);
5439 [ + + ]: 90 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
5440 [ + + ]: 90 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5441 : 60 : r = FF_elllog(E, a, g, o);
5442 : : else
5443 : : {
5444 : 30 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
5445 : 30 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
5446 : 30 : GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
5447 : 30 : r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
5448 : : }
5449 : 90 : return gerepileuptoint(av, r);
5450 : : }
5451 : :
5452 : : /* assume e is defined over Q (use Mazur's theorem) */
5453 : : static long
5454 : 220 : _orderell(GEN E, GEN P)
5455 : : {
5456 : 220 : pari_sp av = avma;
5457 : : GEN tmp, p, a4, dx, dy, d4, d6, D, Pp, Q;
5458 : : forprime_t T;
5459 : : ulong pp;
5460 : : long k;
5461 [ - + ]: 220 : if (ell_is_inf(P)) return 1;
5462 : :
5463 : 220 : dx = Q_denom(gel(P,1));
5464 : 220 : dy = Q_denom(gel(P,2));
5465 [ + + ]: 220 : if (ell_is_integral(E)) /* integral model, try Nagell Lutz */
5466 [ + + ][ + + ]: 180 : if (cmpiu(dx, 4) > 0 || cmpiu(dy, 8) > 0) return 0;
5467 : :
5468 : 190 : d4 = Q_denom(ell_get_c4(E));
5469 : 190 : d6 = Q_denom(ell_get_c6(E));
5470 : 190 : D = ell_get_disc (E);
5471 : : /* choose not too small prime p dividing neither a coefficient of the
5472 : : short Weierstrass form nor of P and leading to good reduction */
5473 : :
5474 : 190 : u_forprime_init(&T, 100003, ULONG_MAX);
5475 [ + - ]: 190 : while ( (pp = u_forprime_next(&T)) )
5476 [ + - ][ + - ]: 190 : if (Rg_to_Fl(d4, pp) && Rg_to_Fl(d6, pp) && Rg_to_Fl(D, pp)
[ + - ]
5477 [ + - ][ + - ]: 190 : && Rg_to_Fl(dx, pp) && Rg_to_Fl(dy, pp)) break;
5478 : :
5479 : : /* transform E into short Weierstrass form Ep modulo p
5480 : : and P to Pp on Ep */
5481 : 190 : p = utoipos(pp);
5482 : 190 : tmp = ell_to_a4a6_bc(E, p);
5483 : 190 : a4 = gel(tmp, 1);
5484 : 190 : Pp = FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P, p), gel(tmp,3), p);
5485 : :
5486 : : /* check whether the order of Pp on Ep is <= 12 */
5487 [ + + ]: 1950 : for (Q = FpE_dbl(Pp, a4, p), k = 2;
5488 [ + + ]: 3455 : !ell_is_inf(Q) && k <= 12;
5489 : 1570 : Q = FpE_add(Q, Pp, a4, p), k++) /* empty */;
5490 : :
5491 [ + + ]: 190 : if (k != 13)
5492 : : /* check over Q; one could also run more tests modulo primes */
5493 [ + + ]: 325 : for (Q = elladd(E, P, P), k = 2;
5494 [ + - ]: 455 : !ell_is_inf(Q) && k <= 12;
5495 : 195 : Q = elladd(E, Q, P), k++) /* empty */;
5496 : :
5497 : 190 : avma = av;
5498 [ + + ]: 220 : return (k == 13 ? 0 : k);
5499 : : }
5500 : :
5501 : : GEN
5502 : 1810 : ellorder(GEN E, GEN P, GEN o)
5503 : : {
5504 : 1810 : pari_sp av = avma;
5505 : 1810 : GEN fg, r, E0 = E;
5506 : 1810 : checkell(E); checkellpt(P);
5507 [ + + ]: 1810 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
5508 [ + + ]: 1800 : if (ell_get_type(E)==t_ELL_Q)
5509 : : {
5510 : 1340 : GEN p = NULL;
5511 [ + + ][ + - ]: 1340 : if (is_rational_t(typ(gel(P,1))) && is_rational_t(typ(gel(P,2))))
5512 : 70 : return utoi( _orderell(E, P) );
5513 [ + - ][ + - ]: 1270 : if (RgV_is_FpV(P,&p) && p)
5514 : : {
5515 : 1270 : E = ellinit(E,p,0);
5516 [ + + ]: 1270 : if (lg(E)==1) pari_err_IMPL("ellorder for curve with singular reduction");
5517 : : }
5518 : : }
5519 : 1725 : checkell_Fq(E);
5520 : 1725 : fg = ellff_get_field(E);
5521 [ + + ]: 1725 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
5522 [ + + ]: 1725 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5523 : 1200 : r = FF_ellorder(E, P, o);
5524 : : else
5525 : : {
5526 : 525 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
5527 : 525 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P,p), gel(e,3), p);
5528 : 525 : r = FpE_order(Pp, o, gel(e,1), p);
5529 : : }
5530 [ + + ]: 1725 : if (E != E0) obj_free(E);
5531 : 1805 : return gerepileuptoint(av, r);
5532 : : }
5533 : :
5534 : : GEN
5535 : 5 : orderell(GEN e, GEN z) { return ellorder(e,z,NULL); }
5536 : :
5537 : : /* Using Lutz-Nagell */
5538 : :
5539 : : /* p in Z[X] of degree 3. Return vector of x/4, x integral root of p */
5540 : : static GEN
5541 : 0 : ratroot(GEN p)
5542 : : {
5543 : : GEN L, a, ld;
5544 : 0 : long i, t, v = ZX_valrem(p, &p);
5545 : :
5546 [ # # ]: 0 : if (v == 3) return ellinf();
5547 [ # # ]: 0 : if (v == 2) return mkvec2(gen_0, gmul2n(negi(gel(p,2)), -2));
5548 : :
5549 : 0 : L = cgetg(4,t_VEC); t = 1;
5550 [ # # ]: 0 : if (v == 1) gel(L,t++) = gen_0;
5551 : 0 : ld = divisors(gel(p,2));
5552 [ # # ]: 0 : for (i=1; i<lg(ld); i++)
5553 : : {
5554 : 0 : a = gel(ld,i);
5555 [ # # ]: 0 : if (!signe(poleval(p,a))) gel(L,t++) = gmul2n(a, -2);
5556 : 0 : a = negi(a);
5557 [ # # ]: 0 : if (!signe(poleval(p,a))) gel(L,t++) = gmul2n(a, -2);
5558 : : }
5559 : 0 : setlg(L,t); return L;
5560 : : }
5561 : :
5562 : : static int
5563 : 0 : is_new_torsion(GEN e, GEN v, GEN p, long t2) {
5564 : 0 : GEN pk = p, pkprec = NULL;
5565 : : long k,l;
5566 : :
5567 [ # # ]: 0 : for (k=2; k<=6; k++)
5568 : : {
5569 : 0 : pk = elladd(e,pk,p); /* = [k] p */
5570 [ # # ]: 0 : if (ell_is_inf(pk)) return 1;
5571 : :
5572 [ # # ]: 0 : for (l=2; l<=t2; l++)
5573 [ # # ]: 0 : if (gequal(gel(pk,1),gmael(v,l,1))) return 1;
5574 : :
5575 [ # # ][ # # ]: 0 : if (pkprec && k<=5)
5576 [ # # ]: 0 : if (gequal(gel(pk,1),gel(pkprec,1))) return 1;
5577 : 0 : pkprec=pk;
5578 : : }
5579 : 0 : return 0;
5580 : : }
5581 : :
5582 : : static GEN
5583 : 0 : nagelllutz(GEN e)
5584 : : {
5585 : : GEN ld, pol, p1, lr, r, v, w2, w3;
5586 : : long i, j, nlr, t, t2, k, k2;
5587 : 0 : pari_sp av=avma;
5588 : :
5589 : 0 : e = ellintegralmodel(e, &v);
5590 : 0 : pol = RgX_rescale(RHSpol(e,NULL), utoipos(4));
5591 : 0 : r = cgetg(17, t_VEC);
5592 : 0 : gel(r,1) = ellinf();
5593 : 0 : lr = ratroot(pol); nlr=lg(lr)-1;
5594 [ # # ]: 0 : for (t=1,i=1; i<=nlr; i++)
5595 : : {
5596 : 0 : GEN x = gel(lr,i), y = gmul2n(gneg(ec_h_evalx(e,x)), -1);
5597 : 0 : gel(r,++t) = mkvec2(x, y);
5598 : : }
5599 : 0 : ld = absi_factor(gmul2n(ell_get_disc(e), 4));
5600 : 0 : p1 = gel(ld,2); k = lg(p1);
5601 [ # # ]: 0 : for (i=1; i<k; i++) gel(p1,i) = shifti(gel(p1,i), -1);
5602 : 0 : ld = divisors(ld);
5603 [ # # ]: 0 : for (t2=t,j=1; j<lg(ld); j++)
5604 : : {
5605 : 0 : GEN d = gel(ld,j);
5606 : 0 : lr = ratroot(ZX_Z_sub(pol, shifti(sqri(d), 6)));
5607 [ # # ]: 0 : for (i=1; i<lg(lr); i++)
5608 : : {
5609 : 0 : GEN x = gel(lr,i), y = gmul2n(gsub(d, ec_h_evalx(e,x)), -1);
5610 : 0 : p1 = mkvec2(x, y);
5611 [ # # ]: 0 : if (is_new_torsion(e,r,p1,t2))
5612 : : {
5613 : 0 : gel(r,++t) = p1;
5614 : 0 : gel(r,++t) = mkvec2(x, gsub(y, d));
5615 : : }
5616 : : }
5617 : : }
5618 [ # # ]: 0 : if (t == 1) { avma = av; return tors(e,1,NULL,NULL,v); }
5619 : :
5620 [ # # ]: 0 : if (nlr < 3)
5621 : : {
5622 : 0 : w2 = mkvec( utoipos(t) );
5623 [ # # ]: 0 : for (k=2; k<=t; k++)
5624 [ # # ]: 0 : if (_orderell(e,gel(r,k)) == t) break;
5625 [ # # ]: 0 : if (k>t) pari_err_BUG("elltors (bug1)");
5626 : :
5627 : 0 : w3 = mkvec( gel(r,k) );
5628 : : }
5629 : : else
5630 : : {
5631 [ # # ]: 0 : if (t&3) pari_err_BUG("elltors (bug2)");
5632 : 0 : t2 = t>>1;
5633 : 0 : w2 = mkvec2(utoipos(t2), gen_2);
5634 [ # # ]: 0 : for (k=2; k<=t; k++)
5635 [ # # ]: 0 : if (_orderell(e,gel(r,k)) == t2) break;
5636 [ # # ]: 0 : if (k>t) pari_err_BUG("elltors (bug3)");
5637 : :
5638 : 0 : p1 = ellmul_Z(e,gel(r,k),utoipos(t>>2));
5639 [ # # ][ # # ]: 0 : k2 = (!ell_is_inf(p1) && gequal(gel(r,2),p1))? 3: 2;
5640 : 0 : w3 = mkvec2(gel(r,k), gel(r,k2));
5641 : : }
5642 [ # # ]: 0 : if (v)
5643 : : {
5644 : 0 : gel(v,1) = ginv(gel(v,1));
5645 : 0 : w3 = ellchangepoint(w3,v);
5646 : : }
5647 : 0 : return gerepilecopy(av, mkvec3(utoipos(t), w2,w3));
5648 : : }
5649 : :
5650 : : /* Using Doud's algorithm */
5651 : :
5652 : : /* finds a bound for #E_tor */
5653 : : static long
5654 : 175 : torsbound(GEN e)
5655 : : {
5656 : 175 : GEN D = ell_get_disc(e);
5657 : 175 : pari_sp av = avma, av2;
5658 : : long m, b, bold, nb;
5659 : : forprime_t S;
5660 : 175 : int CM = ell_get_CM(e);
5661 : 175 : nb = expi(D) >> 3;
5662 : : /* nb = number of primes to try ~ 1 prime every 8 bits in D */
5663 : 175 : b = bold = 5040; /* = 2^4 * 3^2 * 5 * 7 */
5664 : 175 : m = 0;
5665 : 175 : (void)u_forprime_init(&S, 3, ULONG_MAX);
5666 : 175 : av2 = avma;
5667 [ + + ][ + + ]: 1415 : while (m < nb || (b > 12 && b != 16))
[ + + ]
5668 : : {
5669 : 1280 : ulong p = u_forprime_next(&S);
5670 [ - + ]: 1280 : if (!p) pari_err_BUG("torsbound [ran out of primes]");
5671 [ + + ]: 1280 : if (!umodiu(D, p)) continue;
5672 : :
5673 : 1005 : b = ugcd(b, p+1 - ellap_small_goodred(CM, e, p));
5674 : 1005 : avma = av2;
5675 [ + + ]: 1005 : if (b == 1) break;
5676 [ + + ]: 965 : if (b == bold) m++; else { bold = b; m = 0; }
5677 : : }
5678 : 175 : avma = av; return b;
5679 : : }
5680 : :
5681 : : static GEN
5682 : 0 : myround(GEN x, long *e)
5683 : : {
5684 : 0 : GEN y = grndtoi(x,e);
5685 [ # # ][ # # ]: 0 : if (*e > -5 && prec2nbits(gprecision(x)) < gexpo(y) - 10)
5686 : 0 : pari_err_PREC("elltors");
5687 : 0 : return y;
5688 : : }
5689 : :
5690 : : /* E the curve, w in C/Lambda ~ E of order n, returns q = pointell(w) as a
5691 : : * rational point on the curve, or NULL if q is not rational. */
5692 : : static GEN
5693 : 0 : torspnt(GEN E, GEN w, long n, long prec)
5694 : : {
5695 : 0 : GEN p = cgetg(3,t_VEC), q = pointell(E, w, prec);
5696 : : long e;
5697 : 0 : gel(p,1) = gmul2n(myround(gmul2n(gel(q,1),2), &e),-2);
5698 [ # # ][ # # ]: 0 : if (e > -5 || typ(gel(p,1)) == t_COMPLEX) return NULL;
5699 : 0 : gel(p,2) = gmul2n(myround(gmul2n(gel(q,2),3), &e),-3);
5700 [ # # ][ # # ]: 0 : if (e > -5 || typ(gel(p,2)) == t_COMPLEX) return NULL;
5701 : 0 : return (oncurve(E,p)
5702 [ # # ]: 0 : && ell_is_inf(ellmul_Z(E,p,utoipos(n)))
5703 [ # # ][ # # ]: 0 : && _orderell(E,p) == n)? p: NULL;
5704 : : }
5705 : :
5706 : : static GEN
5707 : 0 : elltors_doud(GEN e)
5708 : : {
5709 : 0 : long B, i, ord, prec, k = 1;
5710 : 0 : pari_sp av=avma;
5711 : : GEN v,w,w1,w22,w1j,w12,p,tor1,tor2;
5712 : : GEN om;
5713 : :
5714 : 0 : e = ellintegralmodel(e, &v);
5715 : 0 : B = torsbound(e); /* #E_tor | B */
5716 [ # # ]: 0 : if (B == 1) { avma = av; return tors(e,1,NULL,NULL, v); }
5717 : :
5718 : : /* prec >= size of sqrt(D) */
5719 : 0 : prec = DEFAULTPREC + ((lgefint(ell_get_disc(e))-2) >> 1);
5720 : 0 : om = ellR_omega(e, prec);
5721 : 0 : w1 = gel(om,1);
5722 : 0 : w22 = gmul2n(gel(om,2),-1);
5723 [ # # ]: 0 : if (B % 4)
5724 : : { /* cyclic of order 1, p, 2p, p <= 5 */
5725 : 0 : p = NULL;
5726 [ # # ]: 0 : for (i=10; i>1; i--)
5727 : : {
5728 [ # # ]: 0 : if (B%i != 0) continue;
5729 : 0 : w1j = gdivgs(w1,i);
5730 : 0 : p = torspnt(e,w1j,i,prec);
5731 [ # # ][ # # ]: 0 : if (!p && i%2==0)
5732 : : {
5733 : 0 : p = torspnt(e,gadd(w22,w1j),i,prec);
5734 [ # # ]: 0 : if (!p) p = torspnt(e,gadd(w22,gmul2n(w1j,1)),i,prec);
5735 : : }
5736 [ # # ]: 0 : if (p) { k = i; break; }
5737 : : }
5738 : 0 : return gerepileupto(av, tors(e,k,p,NULL, v));
5739 : : }
5740 : :
5741 : 0 : ord = 0; tor1 = tor2 = NULL;
5742 : 0 : w12 = gmul2n(w1,-1);
5743 [ # # ]: 0 : if ((p = torspnt(e,w12,2,prec))) { tor1 = p; ord++; }
5744 : 0 : w = w22;
5745 [ # # ]: 0 : if ((p = torspnt(e,w,2,prec))) { tor2 = p; ord += 2; }
5746 [ # # ]: 0 : if (!ord)
5747 : : {
5748 : 0 : w = gadd(w12,w22);
5749 [ # # ]: 0 : if ((p = torspnt(e,w,2,prec))) { tor2 = p; ord += 2; }
5750 : : }
5751 : 0 : p = NULL;
5752 [ # # # # : 0 : switch(ord)
# ]
5753 : : {
5754 : : case 0: /* no point of order 2 */
5755 [ # # ]: 0 : for (i=9; i>1; i-=2)
5756 : : {
5757 [ # # ]: 0 : if (B%i != 0) continue;
5758 : 0 : w1j = gdivgs(w1,i);
5759 : 0 : p = torspnt(e,w1j,i,prec);
5760 [ # # ]: 0 : if (p) { k = i; break; }
5761 : : }
5762 : 0 : break;
5763 : :
5764 : : case 1: /* 1 point of order 2: w1 / 2 */
5765 [ # # ]: 0 : for (i=12; i>2; i-=2)
5766 : : {
5767 [ # # ]: 0 : if (B%i != 0) continue;
5768 : 0 : w1j = gdivgs(w1,i);
5769 : 0 : p = torspnt(e,w1j,i,prec);
5770 [ # # ][ # # ]: 0 : if (!p && i%4==0) p = torspnt(e,gadd(w22,w1j),i,prec);
5771 [ # # ]: 0 : if (p) { k = i; break; }
5772 : : }
5773 [ # # ]: 0 : if (!p) { p = tor1; k = 2; }
5774 : 0 : break;
5775 : :
5776 : : case 2: /* 1 point of order 2: w = w2/2 or (w1+w2)/2 */
5777 [ # # ]: 0 : for (i=5; i>1; i-=2)
5778 : : {
5779 [ # # ]: 0 : if (B%i != 0) continue;
5780 : 0 : w1j = gdivgs(w1,i);
5781 : 0 : p = torspnt(e,gadd(w,w1j),2*i,prec);
5782 [ # # ]: 0 : if (p) { k = 2*i; break; }
5783 : : }
5784 [ # # ]: 0 : if (!p) { p = tor2; k = 2; }
5785 : 0 : tor2 = NULL; break;
5786 : :
5787 : : case 3: /* 2 points of order 2: w1/2 and w2/2 */
5788 [ # # ]: 0 : for (i=8; i>2; i-=2)
5789 : : {
5790 [ # # ]: 0 : if (B%(2*i) != 0) continue;
5791 : 0 : w1j = gdivgs(w1,i);
5792 : 0 : p = torspnt(e,w1j,i,prec);
5793 [ # # ]: 0 : if (p) { k = i; break; }
5794 : : }
5795 [ # # ]: 0 : if (!p) { p = tor1; k = 2; }
5796 : 0 : break;
5797 : : }
5798 : 0 : return gerepileupto(av, tors(e,k,p,tor2, v));
5799 : : }
5800 : :
5801 : : /* return a rational point of order pk = p^k on E, or NULL if E(Q)[k] = O.
5802 : : * *fk is either NULL (pk = 4 or prime) or elldivpol(p^(k-1)).
5803 : : * Set *fk to elldivpol(p^k) */
5804 : : static GEN
5805 : 140 : tpoint(GEN E, long pk, GEN *fk)
5806 : : {
5807 : 140 : GEN f = elldivpol(E,pk,0), g = *fk, v;
5808 : : long i, l;
5809 : 140 : *fk = f;
5810 [ + + ]: 140 : if (g) f = RgX_div(f, g);
5811 : 140 : v = nfrootsQ(f); l = lg(v);
5812 [ + + ]: 220 : for (i = 1; i < l; i++)
5813 : : {
5814 : 180 : GEN x = gel(v,i);
5815 : 180 : GEN y = ellordinate_i(E,x,0);
5816 [ + + ]: 180 : if (lg(y) != 1) return mkvec2(x,gel(y,1));
5817 : : }
5818 : 140 : return NULL;
5819 : : }
5820 : : /* return E(Q)[2] */
5821 : : static GEN
5822 : 105 : t2points(GEN E, GEN *f2)
5823 : : {
5824 : : long i, l;
5825 : : GEN v;
5826 : 105 : *f2 = RHSpol(E,NULL);
5827 : 105 : v = nfrootsQ(*f2); l = lg(v);
5828 [ + + ]: 320 : for (i = 1; i < l; i++)
5829 : : {
5830 : 215 : GEN x = gel(v,i);
5831 : 215 : GEN y = ellordinate_i(E,x,0);
5832 [ + - ]: 215 : if (lg(y) != 1) gel(v,i) = mkvec2(x,gel(y,1));
5833 : : }
5834 : 105 : return v;
5835 : : }
5836 : :
5837 : : static GEN
5838 : 175 : elltors_divpol(GEN E)
5839 : : {
5840 : 175 : GEN T2 = NULL, p, P, Q, v;
5841 : : long v2, r2, B;
5842 : :
5843 : 175 : E = ellintegralmodel(E, &v);
5844 : 175 : B = torsbound(E); /* #E_tor | B */
5845 [ + + ]: 175 : if (B == 1) return tors(E,1,NULL,NULL, v);
5846 : 135 : v2 = vals(B); /* bound for v_2(point order) */
5847 : 135 : B >>= v2;
5848 : 135 : p = const_vec(9, NULL);
5849 : 135 : r2 = 0;
5850 [ + + ]: 135 : if (v2) {
5851 : : GEN f;
5852 : 105 : T2 = t2points(E, &f);
5853 [ - + + ]: 105 : switch(lg(T2)-1)
5854 : : {
5855 : 0 : case 0: v2 = 0; break;
5856 [ - + ]: 50 : case 1: r2 = 1; if (v2 == 4) v2 = 3; break;
5857 : 55 : default: r2 = 2; v2--; break; /* 3 */
5858 : : }
5859 [ + - ]: 105 : if (v2) gel(p,2) = gel(T2,1);
5860 : : /* f = f_2 */
5861 [ + + ][ + + ]: 105 : if (v2 > 1) { gel(p,4) = tpoint(E,4, &f); if (!gel(p,4)) v2 = 1; }
5862 : : /* if (v2>1) now f = f4 */
5863 [ + + ][ + + ]: 105 : if (v2 > 2) { gel(p,8) = tpoint(E,8, &f); if (!gel(p,8)) v2 = 2; }
5864 : : }
5865 : 135 : B <<= v2;
5866 [ + + ]: 135 : if (B % 3 == 0) {
5867 : 45 : GEN f3 = NULL;
5868 : 45 : gel(p,3) = tpoint(E,3,&f3);
5869 [ + + ][ + - ]: 45 : if (!gel(p,3)) B /= (B%9)? 3: 9;
5870 [ + + ][ + + ]: 45 : if (gel(p,3) && B % 9 == 0)
5871 : : {
5872 : 5 : gel(p,9) = tpoint(E,9,&f3);
5873 [ - + ]: 45 : if (!gel(p,9)) B /= 3;
5874 : : }
5875 : : }
5876 [ + + ]: 135 : if (B % 5 == 0) {
5877 : 15 : GEN junk = NULL;
5878 : 15 : gel(p,5) = tpoint(E,5,&junk);
5879 [ + + ]: 15 : if (!gel(p,5)) B /= 5;
5880 : : }
5881 [ + + ]: 135 : if (B % 7 == 0) {
5882 : 5 : GEN junk = NULL;
5883 : 5 : gel(p,7) = tpoint(E,7,&junk);
5884 [ - + ]: 5 : if (!gel(p,7)) B /= 7;
5885 : : }
5886 : : /* B is the exponent of E_tors(Q), r2 is the rank of its 2-Sylow,
5887 : : * for i > 1, p[i] is a point of order i if one exists and i is a prime power
5888 : : * and NULL otherwise */
5889 [ + + ]: 135 : if (r2 == 2) /* 2 cyclic factors */
5890 : : { /* C2 x C2 */
5891 [ + + ]: 55 : if (B == 2) return tors(E,2, gel(T2,1), gel(T2,2), v);
5892 [ + + ]: 30 : else if (B == 6)
5893 : : { /* C2 x C6 */
5894 : 15 : P = elladd(E, gel(p,3), gel(T2,1));
5895 : 15 : Q = gel(T2,2);
5896 : : }
5897 : : else
5898 : : { /* C2 x C4 or C2 x C8 */
5899 : 15 : P = gel(p, B);
5900 : 15 : Q = gel(T2,2);
5901 [ - + ]: 15 : if (gequal(Q, ellmul(E, P, utoipos(B>>1)))) Q = gel(T2,1);
5902 : : }
5903 : : }
5904 : : else /* cyclic */
5905 : : {
5906 : 80 : Q = NULL;
5907 [ + + ]: 80 : if (v2)
5908 : : {
5909 [ + + ]: 50 : if (B>>v2 == 1)
5910 : 35 : P = gel(p, B);
5911 : : else
5912 : 15 : P = elladd(E, gel(p, B>>v2), gel(p,1<<v2));
5913 : : }
5914 : 30 : else P = gel(p, B);
5915 : : }
5916 : 175 : return tors(E,B, P, Q, v);
5917 : : }
5918 : : GEN
5919 : 175 : elltors(GEN e)
5920 : : {
5921 : 175 : pari_sp av = avma;
5922 : 175 : checkell_Q(e);
5923 : 175 : return gerepileupto(av, elltors_divpol(e));
5924 : : }
5925 : :
5926 : : GEN
5927 : 95 : elltors0(GEN e, long flag)
5928 : : {
5929 : 95 : checkell_Q(e);
5930 [ + - - - ]: 95 : switch(flag)
5931 : : {
5932 : 95 : case 0: return elltors(e);
5933 : 0 : case 1: return nagelllutz(e);
5934 : 0 : case 2: return elltors_doud(e);
5935 : 0 : default: pari_err_FLAG("elltors");
5936 : : }
5937 : 95 : return NULL; /* not reached */
5938 : : }
5939 : :
5940 : : GEN
5941 : 180 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
5942 : : {
5943 : : GEN fg;
5944 : 180 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
5945 [ - + ]: 175 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
5946 : 175 : fg = ellff_get_field(E);
5947 [ + + ]: 175 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5948 : 5 : return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
5949 : : else
5950 : : {
5951 : 170 : pari_sp av = avma;
5952 : 170 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
5953 : 170 : GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
5954 : 340 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
5955 : 175 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
5956 : : }
5957 : : }
5958 : :
5959 : : GEN
5960 : 145 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
5961 : : {
5962 : : GEN fg;
5963 : 145 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
5964 [ - + ]: 145 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
5965 : 145 : fg = ellff_get_field(E);
5966 [ + + ]: 145 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5967 : 5 : return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
5968 : : else
5969 : : {
5970 : 140 : pari_sp av = avma;
5971 : 140 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
5972 : 140 : GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
5973 : 280 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
5974 : 145 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
5975 : : }
5976 : : }
5977 : :
5978 : : /* E/Q, return cardinal including the (possible) ramified point */
5979 : : static GEN
5980 : 1995383 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
5981 : : {
5982 : 1995383 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
5983 [ + + ]: 1995383 : if (!signe(D))
5984 : : {
5985 : 605 : pari_sp av = avma;
5986 : 605 : GEN ap = is_minimal_ap(E, p, good_red);
5987 : 605 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
5988 : : }
5989 : 1994778 : *good_red = 1;
5990 [ + + ]: 1994778 : if (equaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
5991 [ + + ]: 1994518 : if (equaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
5992 : 1993398 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
5993 : 1995383 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
5994 : : }
5995 : :
5996 : : static GEN
5997 : 2043808 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
5998 : : {
5999 : : GEN q;
6000 [ + + ]: 2043808 : if (p) switch(typ(p))
[ + - + ]
6001 : : {
6002 : : case t_INT:
6003 [ + + ]: 2010063 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
6004 : 2010058 : break;
6005 : : case t_VEC:
6006 : 0 : q = get_prid(p);
6007 [ # # ]: 0 : if (q) { p = q; break; }
6008 : 5 : default: pari_err_TYPE(s,p);
6009 : : }
6010 : 2043798 : checkell(E);
6011 [ + + + - ]: 2043798 : switch(ell_get_type(E))
6012 : : {
6013 : : case t_ELL_Qp:
6014 : 10 : q = ellQp_get_p(E);
6015 [ + + ][ - + ]: 10 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
6016 : 10 : return q;
6017 : :
6018 : : case t_ELL_Fp:
6019 : : case t_ELL_Fq:
6020 : 46865 : q = ellff_get_p(E);
6021 [ + + ][ - + ]: 46865 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
6022 : 46865 : return q;
6023 : : case t_ELL_NF:
6024 : : case t_ELL_Q:
6025 [ + + ]: 1996923 : if (p) return p;
6026 : : default:
6027 : 10 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
6028 : 2043788 : return NULL;/*not reached*/
6029 : : }
6030 : : }
6031 : :
6032 : : GEN
6033 : 1993928 : ellap(GEN E, GEN p)
6034 : : {
6035 : 1993928 : pari_sp av = avma;
6036 : : GEN q, card;
6037 : : int goodred;
6038 : 1993928 : p = checkellp(E, p, "ellap");
6039 [ + - + - ]: 1993913 : switch(ell_get_type(E))
6040 : : {
6041 : : case t_ELL_Fp:
6042 : 60 : q = p; card = ellff_get_card(E);
6043 : 60 : break;
6044 : : case t_ELL_Fq:
6045 : 0 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
6046 : 0 : break;
6047 : : case t_ELL_Q:
6048 : 1993853 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6049 : 1993853 : break;
6050 : : default:
6051 : 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
6052 : 0 : return NULL; /*NOT REACHED*/
6053 : : }
6054 : 1993913 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
6055 : : }
6056 : :
6057 : : static GEN
6058 : 33615 : doellcard(GEN E)
6059 : : {
6060 : 33615 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6061 [ + + ]: 33615 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6062 : 20470 : return FF_ellcard(E);
6063 : : else
6064 : : {
6065 : 13145 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
6066 : 33615 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
6067 : : }
6068 : : }
6069 : :
6070 : : GEN
6071 : 45490 : ellff_get_card(GEN E)
6072 : 45490 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
6073 : :
6074 : : GEN
6075 : 34055 : ellcard(GEN E, GEN p)
6076 : : {
6077 : 34055 : p = checkellp(E, p, "ellcard");
6078 [ + + + ]: 34055 : switch(ell_get_type(E))
6079 : : {
6080 : : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6081 : 32520 : return icopy(ellff_get_card(E));
6082 : : case t_ELL_Q:
6083 : : {
6084 : 1530 : pari_sp av = avma;
6085 : : int goodred;
6086 : 1530 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6087 [ - + ]: 1530 : if (!goodred) N = subis(N, 1); /* remove singular point */
6088 : 1530 : return gerepileuptoint(av, N);
6089 : : }
6090 : : default:
6091 : 5 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
6092 : 34050 : return NULL; /*NOT REACHED*/
6093 : : }
6094 : : }
6095 : :
6096 : : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
6097 : : * d_r | ... | d_1 */
6098 : : static GEN
6099 : 1260 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
6100 : : {
6101 : 1260 : pari_sp av = avma;
6102 [ + + ]: 1260 : if (cmpiu(p, 3)<=0)
6103 : : {
6104 : 890 : ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
6105 : 890 : long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
6106 : 890 : long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
6107 [ + + ]: 890 : if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
6108 [ + + ]: 835 : if (l==2)
6109 : : {
6110 : 70 : long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
6111 : 70 : long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
6112 : 70 : long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
6113 [ + + + + ]: 70 : switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
6114 : : { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
6115 : : case 18: case 29:
6116 : 5 : retmkvec(mkvec2s(1,1));
6117 : : case 19: case 24: case 26:
6118 : 5 : retmkvec(mkvec2s(0,1));
6119 : : case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
6120 : 25 : retmkvec(mkvec2s(1,0));
6121 : : default:
6122 : 35 : retmkvec(mkvec2s(0,0));
6123 : : }
6124 : : } else
6125 : : { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6126 : 765 : long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
6127 : 765 : long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
6128 : 765 : long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
6129 : 765 : long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
6130 : : long x,y;
6131 [ + + ]: 765 : if (r==2) /* [2,2] */
6132 : 45 : retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
6133 : : /* cyclic, order d_1 */
6134 : 720 : y = equaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
6135 [ + + ]: 720 : if (equaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
6136 : : {
6137 : 135 : long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
6138 [ + + ][ + + ]: 135 : x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
[ + - ][ + + ]
6139 : : }
6140 : : else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
6141 : : { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
6142 [ + + ]: 585 : if (y == 1)
6143 [ + + ][ + + ]: 450 : x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
6144 : : else
6145 [ + + ][ - + ]: 135 : x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
[ + + ][ + - ]
6146 : : }
6147 : 720 : retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
6148 : : }
6149 : : }
6150 : : else
6151 : : {
6152 : 370 : GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
6153 : 1260 : return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
6154 : : }
6155 : : }
6156 : :
6157 : : static GEN
6158 : 14615 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
6159 : : {
6160 : 14615 : GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
6161 [ + + ]: 14610 : if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
6162 [ + + ]: 14555 : if (equaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
6163 [ + + ]: 14485 : if (equaliu(p, 3))
6164 : : { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
6165 : : ulong b2, b4, b6;
6166 [ + + ]: 765 : if (!equaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
6167 : : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
6168 : : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
6169 : 180 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
6170 [ + + ]: 180 : if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
6171 : : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
6172 : 90 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
6173 : 90 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
6174 [ + + ]: 90 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
6175 : 45 : G = mkvec2s(2, 2); goto END;
6176 : : } /* Now assume p > 3 */
6177 : 13720 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
6178 : 13720 : G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
6179 : : END:
6180 : 14610 : return mkvec2(G, m);
6181 : : }
6182 : :
6183 : : static GEN
6184 : 25945 : doellgroup(GEN E)
6185 : : {
6186 : 25945 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6187 [ + + ]: 25945 : return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
6188 : : }
6189 : :
6190 : : GEN
6191 : 26265 : ellff_get_group(GEN E)
6192 : 26265 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
6193 : :
6194 : : /* E / Fp */
6195 : : static GEN
6196 : 11980 : doellgens(GEN E)
6197 : : {
6198 : 11980 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6199 [ + + ]: 11980 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6200 : 11945 : return FF_ellgens(E);
6201 : : else
6202 : : {
6203 : 35 : GEN e, Gm, F, p = fg;
6204 : 35 : e = ellff_get_a4a6(E);
6205 : 35 : Gm = ellff_get_group(E);
6206 : 35 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
6207 : 11980 : return FpVV_to_mod(F,p);
6208 : : }
6209 : : }
6210 : :
6211 : : GEN
6212 : 12035 : ellff_get_gens(GEN E)
6213 : 12035 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
6214 : :
6215 : : GEN
6216 : 14510 : ellgroup(GEN E, GEN p)
6217 : : {
6218 : 14510 : pari_sp av = avma;
6219 : : GEN G;
6220 : 14510 : p = checkellp(E,p, "ellgroup");
6221 [ + + ]: 14510 : if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
6222 : 270 : else G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
6223 : 14510 : return gerepilecopy(av, gel(G,1));
6224 : : }
6225 : :
6226 : : GEN
6227 : 15190 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
6228 : : {
6229 : 15190 : pari_sp av = avma;
6230 : : GEN V;
6231 [ + + ]: 15190 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
6232 [ - + ]: 1315 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
6233 : 1315 : p = checkellp(E, p, "ellgroup");
6234 [ + + ]: 1310 : if (!ell_over_Fq(E))
6235 : : { /* t_ELL_Q */
6236 : 1265 : GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
6237 : 1260 : GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
6238 : 1260 : return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
6239 : : }
6240 : 45 : V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
6241 : 15180 : return gerepilecopy(av, V);
6242 : : }
6243 : :
6244 : : GEN
6245 : 12000 : ellgenerators(GEN E)
6246 : : {
6247 : 12000 : checkell(E);
6248 [ + + + ]: 12000 : switch(ell_get_type(E))
6249 : : {
6250 : : case t_ELL_Q:
6251 : 5 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
6252 : : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6253 : 11990 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
6254 : : default:
6255 : 5 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
6256 : 11995 : return NULL;/*not reached*/
6257 : : }
6258 : : }
6259 : :
6260 : : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
6261 : : static GEN
6262 : 3955 : ellfromj_simple(GEN j)
6263 : : {
6264 : 3955 : pari_sp av = avma;
6265 : 3955 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
6266 : 3955 : GEN E = zerovec(5);
6267 : 3955 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
6268 : 3955 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
6269 : : }
6270 : : GEN
6271 : 11995 : ellfromj(GEN j)
6272 : : {
6273 [ + + ]: 11995 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
6274 : : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
6275 [ + + ][ + + ]: 11995 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
[ + + ][ + + ]
[ + + + ]
6276 : : {
6277 : : case 2:
6278 [ + + ]: 2535 : if (gequal0(j))
6279 : 5 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
6280 : : else
6281 : 2530 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
6282 : : case 3:
6283 [ + + ]: 5455 : if (gequal0(j))
6284 : 5 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6285 : : else
6286 : : {
6287 : 5450 : GEN E = zerovec(5);
6288 : 5450 : pari_sp av = avma;
6289 : 5450 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
6290 : 5450 : gel(E,2) = gcopy(j);
6291 : 5450 : return E;
6292 : : }
6293 : : }
6294 [ + + ]: 4005 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
6295 [ + + ]: 3990 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6296 : 11995 : return ellfromj_simple(j);
6297 : : }
6298 : :
6299 : : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6300 : : static GEN
6301 : 635 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
6302 : : {
6303 : : GEN b2,b4,b6,b8, res;
6304 [ - + ]: 635 : if (n==0) return pol_0(v);
6305 [ + + ][ + + ]: 635 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
6306 : 230 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
6307 : 230 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
6308 [ + + ]: 230 : if (n==3)
6309 [ + + ]: 115 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
6310 : : else
6311 : : {
6312 : 115 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
6313 : 115 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
6314 [ + + ]: 115 : res = mkpoln(7, N? modsi(2, N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
6315 : : }
6316 : 635 : setvarn(res, v); return res;
6317 : : }
6318 : :
6319 : : /* T = (2y + a1x + a3)^2 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
6320 : : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6321 : : static GEN
6322 : 775 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
6323 : : {
6324 : : GEN ret;
6325 : 775 : long m = n/2;
6326 [ + + ]: 775 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
6327 [ + + ]: 400 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
6328 [ + + ]: 160 : else if (odd(n))
6329 : : {
6330 : 85 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6331 : : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
6332 : 85 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
6333 : : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
6334 [ + + ]: 85 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
6335 : 15 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
6336 : : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
6337 : 70 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
6338 : : }
6339 : : else
6340 : : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
6341 : 75 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6342 : : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
6343 : 75 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
6344 : : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
6345 : 75 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
6346 : : }
6347 : 400 : gel(t,n) = ret;
6348 : 775 : return ret;
6349 : : }
6350 : :
6351 : : GEN
6352 : 455 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
6353 : : {
6354 : 455 : pari_sp av = avma;
6355 : : GEN ret, D, N;
6356 : 455 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6357 [ + + ]: 455 : if (v==-1) v = 0;
6358 [ - + ]: 455 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6359 : 455 : N = characteristic(D);
6360 [ + + ]: 455 : if (!signe(N)) N = NULL;
6361 [ - + ]: 455 : if (n<0) n = -n;
6362 [ + + ][ + + ]: 455 : if (n==1 || n==3)
6363 : 60 : ret = elldivpol4(e, N, n, v);
6364 : : else
6365 : : {
6366 : 395 : GEN d2 = RHSpol(e, N); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
6367 : 395 : setvarn(d2,v);
6368 [ + + ]: 395 : if (n <= 4)
6369 : 335 : ret = elldivpol4(e, N, n, v);
6370 : : else
6371 : 60 : ret = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
6372 [ + + ]: 395 : if (n%2==0) ret = RgX_mul(ret, d2);
6373 : : }
6374 : 455 : return gerepilecopy(av, ret);
6375 : : }
6376 : :
6377 : : GEN
6378 : 125 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
6379 : : {
6380 : 125 : checkell_Q(E);
6381 : 125 : return hyperellpadicfrobenius(RHSpol(E,0), p, n);
6382 : : }
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