Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux1.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.8.0 lcov report (development 16358-a11f489) Lines: 2832 3242 87.4 %
Date: 2014-04-11 Functions: 250 267 93.6 %
Legend: Lines: hit not hit | Branches: + taken - not taken # not executed Branches: 1452 2200 66.0 %

           Branch data     Line data    Source code
       1                 :            : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2                 :            : 
       3                 :            : This file is part of the PARI/GP package.
       4                 :            : 
       5                 :            : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6                 :            : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7                 :            : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8                 :            : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9                 :            : 
      10                 :            : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11                 :            : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12                 :            : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13                 :            : 
      14                 :            : /********************************************************************/
      15                 :            : /**                                                                **/
      16                 :            : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17                 :            : /**                                                                **/
      18                 :            : /********************************************************************/
      19                 :            : #include "pari.h"
      20                 :            : #include "paripriv.h"
      21                 :            : #undef coordch
      22                 :            : 
      23                 :            : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24                 :            :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25                 :            :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26                 :            : */
      27                 :            : 
      28                 :            : static void
      29                 :       4750 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      30                 :            : {
      31                 :       4750 :   *a4 = Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p);
      32                 :       4750 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      33                 :       4750 : }
      34                 :            : static void
      35                 :    1970045 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      36                 :            : {
      37                 :    1970045 :   *a4 = Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p);
      38                 :    1970045 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      39                 :    1970045 : }
      40                 :            : static void
      41                 :    1969940 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42                 :            : {
      43                 :    1969940 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      44                 :    1969940 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      45                 :    1969940 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      46                 :    1969940 : }
      47                 :            : static void
      48                 :       4750 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      49                 :            : {
      50                 :       4750 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      51                 :       4750 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      52                 :       4750 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      53                 :       4750 : }
      54                 :            : 
      55                 :            : static GEN
      56                 :      13625 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      57                 :            : {
      58                 :            :   GEN a1, a3, b2, c4, c6;
      59                 :      13625 :   a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      60                 :      13625 :   a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      61                 :      13625 :   b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      62                 :      13625 :   c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      63                 :      13625 :   c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      64                 :            :   /* [-27c4, -54c6, [6,3b2,3a1,108a3]] */
      65                 :      13625 :   retmkvec3(Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p), Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p),
      66                 :            :             mkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p)));
      67                 :            : }
      68                 :            : 
      69                 :            : void
      70                 :      64146 : checkellpt(GEN z)
      71                 :            : {
      72         [ +  + ]:      64146 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
      73      [ +  +  - ]:      64141 :   switch(lg(z))
      74                 :            :   {
      75                 :      64016 :     case 3: break;
      76         [ +  - ]:        125 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
      77                 :            :     /* fall through */
      78                 :          0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
      79                 :            :   }
      80                 :      64141 : }
      81                 :            : void
      82                 :      60341 : checkell5(GEN E)
      83                 :            : {
      84                 :      60341 :   long l = lg(E);
      85 [ +  - ][ +  + ]:      60341 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
                 [ -  + ]
      86                 :      60341 : }
      87                 :            : void
      88                 :    2021725 : checkell(GEN E)
      89 [ +  - ][ -  + ]:    2021725 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
      90                 :            : void
      91                 :         50 : checkellisog(GEN v)
      92 [ +  + ][ -  + ]:         50 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
      93                 :            : 
      94                 :            : void
      95                 :     325390 : checkell_Q(GEN E)
      96                 :            : {
      97 [ +  - ][ +  - ]:     325390 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
                 [ +  + ]
      98                 :          5 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
      99                 :     325385 : }
     100                 :            : 
     101                 :            : void
     102                 :          0 : checkell_Qp(GEN E)
     103                 :            : {
     104 [ #  # ][ #  # ]:          0 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
                 [ #  # ]
     105                 :          0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     106                 :          0 : }
     107                 :            : 
     108                 :            : static int
     109                 :     139875 : ell_over_Fq(GEN E)
     110                 :            : {
     111                 :     139875 :   long t = ell_get_type(E);
     112 [ +  + ][ +  + ]:     139875 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     113                 :            : }
     114                 :            : 
     115                 :            : void
     116                 :      68855 : checkell_Fq(GEN E)
     117                 :            : {
     118 [ +  - ][ +  - ]:      68855 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
                 [ +  + ]
     119                 :          5 :   pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     120                 :      68850 : }
     121                 :            : 
     122                 :            : GEN
     123                 :      46895 : ellff_get_p(GEN E)
     124                 :            : {
     125                 :      46895 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     126         [ +  + ]:      46895 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     127                 :            : }
     128                 :            : 
     129                 :            : static int
     130                 :         70 : ell_is_integral(GEN E)
     131                 :            : {
     132                 :        140 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     133         [ +  + ]:         40 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     134         [ +  - ]:         30 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     135         [ +  - ]:         30 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     136 [ +  + ][ +  - ]:        110 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     137                 :            : }
     138                 :            : 
     139                 :            : static void
     140                 :        420 : checkcoordch(GEN z)
     141 [ +  - ][ -  + ]:        420 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     142                 :            : 
     143                 :            : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6, N is the characteristic of the base
     144                 :            :  * ring of NULL (char = 0) */
     145                 :            : static GEN
     146                 :        692 : RHSpol(GEN e, GEN N)
     147                 :            : {
     148                 :        692 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     149         [ +  + ]:        692 :   return mkpoln(4, N? modsi(4,N): utoipos(4), b2, b42, b6);
     150                 :            : }
     151                 :            : 
     152                 :            : static int
     153                 :        411 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     154                 :            : 
     155                 :            : static GEN
     156                 :        222 : doellR_roots(GEN e, long prec)
     157                 :            : {
     158                 :        222 :   GEN R = roots(RHSpol(e,NULL), prec);
     159                 :        222 :   long s = ellR_get_sign(e);
     160         [ +  + ]:        222 :   if (s > 0)
     161                 :            :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     162                 :        137 :     R = real_i(R);
     163                 :        137 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     164         [ +  + ]:         85 :   } else if (s < 0)
     165                 :            :   { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     166                 :         75 :     gel(R,1) = real_i(gel(R,1));
     167         [ +  - ]:         75 :     if (signe(gmael(R,2,2)) < 0) swap(gel(R,2), gel(R,3));
     168                 :            :   }
     169                 :        222 :   return R;
     170                 :            : }
     171                 :            : static GEN
     172                 :       1540 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     173                 :            : 
     174                 :            : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     175                 :            :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     176                 :            :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     177                 :            : GEN
     178                 :     296961 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     179                 :            : {
     180                 :     296961 :   pari_sp av = avma;
     181                 :            :   GEN z;
     182                 :     296961 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     183                 :     296961 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     184                 :     296961 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     185                 :     296961 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     186                 :            : }
     187                 :            : 
     188                 :            : /* a1 x + a3 */
     189                 :            : static GEN
     190                 :     625686 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     191                 :            : {
     192                 :     625686 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     193                 :     625686 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     194                 :     625686 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     195                 :            : }
     196                 :            : static GEN
     197                 :          5 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     198                 :            : {
     199                 :          5 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     200                 :          5 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     201         [ -  + ]:          5 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     202                 :            : }
     203                 :            : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     204                 :            : static GEN
     205                 :       2136 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     206                 :            : {
     207                 :       2136 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     208                 :       2136 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     209                 :            : }
     210                 :            : 
     211                 :            : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     212                 :            :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     213                 :            :  * which is the derivative of the curve equation
     214                 :            :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     215                 :            :  * wrt x evaluated at Q */
     216                 :            : GEN
     217                 :        585 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     218                 :            : {
     219                 :        585 :   pari_sp av = avma;
     220                 :        585 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     221                 :        585 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     222                 :        585 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     223                 :        585 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     224                 :        585 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     225                 :        585 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     226                 :            : }
     227                 :            : 
     228                 :            : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     229                 :            :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     230                 :            :  * which is the derivative of the curve equation
     231                 :            :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     232                 :            :  * wrt y evaluated at Q */
     233                 :            : GEN
     234                 :       1080 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     235                 :            : {
     236                 :       1080 :   pari_sp av = avma;
     237                 :       1080 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     238                 :       1080 :   GEN tmp = gadd(ec_h_evalx(E,x), gmul2n(y,1));
     239                 :       1080 :   return gerepileupto(av, gneg(tmp));
     240                 :            : }
     241                 :            : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dfdy_evalQ */
     242                 :            : static GEN
     243                 :       1560 : ec_dLHSdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     244                 :            : {
     245                 :       1560 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     246                 :       1560 :   return gadd(ec_h_evalx(e, x), gmul2n(y,1));
     247                 :            : }
     248                 :            : 
     249                 :            : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     250                 :            :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     251                 :            :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     252                 :            : GEN
     253                 :        725 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     254                 :            : {
     255                 :        725 :   pari_sp av = avma;
     256                 :        725 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     257                 :        725 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     258                 :        725 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     259                 :        725 :   GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
     260                 :        725 :   GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
     261                 :        725 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
     262                 :            : }
     263                 :            : 
     264                 :            : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     265                 :            :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     266                 :            :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     267                 :            : GEN
     268                 :        600 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     269                 :            : {
     270                 :        600 :   pari_sp av = avma;
     271                 :        600 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     272                 :        600 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     273                 :        600 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     274                 :        600 :   return gerepileupto(av, res);
     275                 :            : }
     276                 :            : 
     277                 :            : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     278                 :            : GEN
     279                 :        230 : ellbasechar(GEN E)
     280                 :            : {
     281                 :        230 :   pari_sp av = avma;
     282                 :        230 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     283                 :        230 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     284                 :            : }
     285                 :            : 
     286                 :            : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     287                 :            :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     288                 :            :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     289                 :            :  * component y[16])*/
     290                 :            : static GEN
     291                 :     372625 : initsmall(GEN x, long n)
     292                 :            : {
     293                 :            :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
     294                 :     372625 :   GEN y = obj_init(15, n);
     295      [ +  +  + ]:     372625 :   switch(lg(x))
     296                 :            :   {
     297                 :            :     case 1:
     298                 :            :     case 2:
     299                 :            :     case 4:
     300                 :            :     case 5:
     301                 :          5 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     302                 :          0 :       return NULL; break; /* not reached */
     303                 :            :     case 3:
     304                 :       8975 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     305                 :       8975 :       a4 = gel(x,1);
     306                 :       8975 :       a6 = gel(x,2);
     307                 :       8975 :       b2 = gen_0;
     308                 :       8975 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     309                 :       8975 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     310                 :       8975 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     311                 :       8975 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     312                 :       8975 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     313                 :       8975 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     314                 :       8975 :       break;
     315                 :            :     default: /* l > 5 */
     316                 :            :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     317                 :     363645 :       a1 = gel(x,1);
     318                 :     363645 :       a2 = gel(x,2);
     319                 :     363645 :       a3 = gel(x,3);
     320                 :     363645 :       a4 = gel(x,4);
     321                 :     363645 :       a6 = gel(x,5);
     322                 :     363645 :       a11= gsqr(a1);
     323                 :     363645 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     324                 :     363645 :       a13= gmul(a1, a3);
     325                 :     363645 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     326                 :     363645 :       a33= gsqr(a3);
     327                 :     363645 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     328                 :     363645 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     329                 :     363645 :       b22= gsqr(b2);
     330                 :     363645 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     331                 :     363645 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     332                 :     363645 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     333                 :            :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     334                 :     363645 :       break;
     335                 :            :     }
     336                 :            :   }
     337                 :     372620 :   gel(y,1) = a1;
     338                 :     372620 :   gel(y,2) = a2;
     339                 :     372620 :   gel(y,3) = a3;
     340                 :     372620 :   gel(y,4) = a4;
     341                 :     372620 :   gel(y,5) = a6;
     342                 :     372620 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     343                 :     372620 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     344                 :     372620 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     345                 :     372620 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     346                 :     372620 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     347                 :     372620 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     348                 :     372620 :   gel(y,12)= D;
     349         [ +  + ]:     372620 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     350                 :            : 
     351 [ +  + ][ +  - ]:     367995 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
                 [ +  - ]
     352                 :         35 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     353                 :         35 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     354         [ +  + ]:         35 :     if (degpol(g) == 0)
     355                 :         20 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     356                 :            :     else
     357                 :            :     {
     358                 :         15 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     359                 :         15 :       D = RgX_div(D, g);
     360                 :         15 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     361         [ +  + ]:         15 :       if (degpol(g) == 0)
     362                 :          5 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     363                 :            :       else
     364                 :            :       {
     365                 :         10 :         D = RgX_div(D, g);
     366                 :         10 :         d = RgX_div(c4, g);
     367                 :         10 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     368         [ +  - ]:         10 :         if (degpol(g))
     369                 :            :         {
     370                 :         10 :           D = RgX_div(D, g);
     371                 :         10 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     372                 :            :         }
     373                 :         10 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     374                 :            :       }
     375                 :            :     }
     376                 :            :   }
     377                 :            :   else
     378                 :     367960 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     379                 :     367995 :   gel(y,13) = j;
     380                 :     372620 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     381                 :            : }
     382                 :            : 
     383                 :            : void
     384                 :          0 : ellprint(GEN e)
     385                 :            : {
     386                 :          0 :   pari_sp av = avma;
     387                 :            :   long vx, vy;
     388                 :            :   GEN z;
     389                 :          0 :   checkell5(e);
     390                 :          0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     391                 :          0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     392                 :          0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     393                 :          0 :   (void)delete_var();
     394                 :          0 :   (void)delete_var(); avma = av;
     395                 :          0 : }
     396                 :            : 
     397                 :            : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     398                 :            : static GEN
     399                 :         60 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     400                 :            : {
     401                 :         60 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellR_root(E, prec);
     402                 :            :   GEN a, b, t, w;
     403                 :            : 
     404                 :         60 :   t = gmul2n(gadd(gmulsg(12,e1), b2), -2); /* = (12 e1 + b2) / 4 */
     405                 :         60 :   w = sqrtr( gmul2n(gadd(b4, gmul(e1,gadd(b2, mulur(6,e1)))),1) );
     406         [ +  + ]:         60 :   if (gsigne(t) > 0) setsigne(w, -1);
     407                 :            :   /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
     408                 :         60 :   a = gmul2n(gsub(w,t),-2);
     409                 :         60 :   b = gmul2n(w,-1); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     410                 :         60 :   return mkvec2(a, b);
     411                 :            : }
     412                 :            : GEN
     413                 :        740 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     414                 :        740 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     415                 :            : 
     416                 :            : /* return x mod p */
     417                 :            : static GEN
     418                 :        300 : padic_mod(GEN x) { return modii(gel(x,4), gel(x,2)); }
     419                 :            : 
     420                 :            : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
     421                 :            :  * Return u^2 = 1 / 4M2(a1,b1), where M2(A,B) = B AGM(sqrt(A/B),1)^2; M2(A,B)
     422                 :            :  * is the common limit of (A_n, B_n), A_0 = A, B _0 = B;
     423                 :            :  *   A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
     424                 :            :  *   B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = the square root of A_n B_n congruent to B_n
     425                 :            :  * Update (x,y) using p-adic Landen transform; if *pty = NULL, don't update y */
     426                 :            : static GEN
     427                 :         85 : do_padic_agm(GEN *ptx, GEN *pty, GEN a1, GEN b1)
     428                 :            : {
     429                 :         85 :   GEN bp = padic_mod(b1), x = *ptx;
     430                 :            :   for(;;)
     431                 :            :   {
     432                 :        215 :     GEN p1, d, a = a1, b = b1;
     433                 :        215 :     b1 = Qp_sqrt(gmul(a,b));
     434         [ -  + ]:        215 :     if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
     435         [ +  + ]:        215 :     if (!equalii(padic_mod(b1), bp)) b1 = gneg_i(b1);
     436                 :        215 :     a1 = gmul2n(gadd(gadd(a,b),gmul2n(b1,1)),-2);
     437                 :        215 :     d = gsub(a1,b1);
     438         [ +  + ]:        215 :     if (gequal0(d)) { *ptx = x; return ginv(gmul2n(a1,2)); }
     439                 :        130 :     p1 = Qp_sqrt(gdiv(gadd(x,d),x)); /* = 1 (mod p) */
     440                 :            :     /* x_{n+1} = x_n  ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
     441                 :        130 :     x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,p1),-1)));
     442                 :            :     /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
     443         [ +  + ]:        130 :     if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(d,gmul2n(x,2)))));
     444                 :        130 :   }
     445                 :            : }
     446                 :            : 
     447                 :            : /* q a t_REAL*/
     448                 :            : static long
     449                 :         55 : real_prec(GEN q)
     450         [ +  - ]:         55 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     451                 :            : /* q a t_PADIC */
     452                 :            : static long
     453                 :         55 : padic_prec(GEN q)
     454         [ +  + ]:         55 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     455                 :            : 
     456                 :            : /* check whether moduli are consistent */
     457                 :            : static void
     458                 :      68405 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     459         [ +  + ]:      68405 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     460                 :            : 
     461                 :            : static long
     462                 :     372855 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     463                 :            : {
     464                 :     372855 :   long i, e = *prec, imax = minss(lg(x), 6);
     465                 :     372855 :   GEN p = NULL;
     466                 :     372855 :   long t = t_FRAC;
     467 [ +  + ][ +  +  :     372855 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
             +  +  +  + ]
     468                 :            :   {
     469                 :            :     case t_INT:
     470         [ +  + ]:     324790 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     471                 :       1340 :       p = *pp;
     472                 :       1340 :       t = t_INTMOD;
     473                 :       1340 :       break;
     474                 :            :     case t_INTMOD:
     475                 :          5 :       p = gel(*pp, 1);
     476                 :          5 :       break;
     477                 :            :     case t_REAL:
     478                 :         15 :       e = real_prec(*pp);
     479                 :         15 :       p = NULL;
     480                 :         15 :       break;
     481                 :            :     case t_PADIC:
     482                 :         45 :       e = padic_prec(*pp);
     483                 :         45 :       p = gel(*pp, 2);
     484                 :         45 :       break;
     485                 :            :     case t_FFELT:
     486                 :      19630 :       p = *pp;
     487                 :      19630 :       break;
     488                 :            :     default:
     489                 :          5 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     490                 :          0 :       return 0;
     491                 :            :   }
     492                 :            :   /* Possible cases:
     493                 :            :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     494                 :            :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     495                 :            :    * t = t_PADIC (p a prime, e = padic prec)
     496                 :            :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     497                 :            :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     498         [ +  + ]:    2209850 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     499                 :            :   {
     500                 :    1837080 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     501   [ +  +  +  +  :    1837080 :     switch(typ(q)) {
                   +  + ]
     502                 :            :       case t_PADIC:
     503                 :         25 :         p2 = gel(q,2);
     504      [ +  +  + ]:         25 :         switch(t)
     505                 :            :         {
     506                 :         10 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     507                 :          5 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     508                 :         10 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     509                 :            :         }
     510                 :         10 :         e = minss(e, padic_prec(q));
     511                 :         10 :         break;
     512                 :            :       case t_INTMOD:
     513                 :      85515 :         p2 = gel(q,1);
     514   [ +  +  +  + ]:      85515 :         switch(t)
     515                 :            :         {
     516                 :      17115 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     517                 :         10 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     518                 :      68380 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     519                 :         10 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     520                 :            :         }
     521                 :      85505 :         break;
     522                 :            :       case t_FFELT:
     523   [ +  +  +  - ]:      73605 :         switch(t)
     524                 :            :         {
     525                 :         10 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     526                 :       8785 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     527                 :            :           case t_FFELT:
     528         [ -  + ]:      64815 :             if (!FF_samefield(p,q)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     529                 :      64815 :             break;
     530                 :          0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     531                 :            :         }
     532                 :      73600 :         break;
     533                 :            : 
     534                 :    1677845 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     535                 :            :       case t_REAL:
     536      [ +  +  - ]:         40 :         switch(t)
     537                 :            :         {
     538                 :         25 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     539                 :         15 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     540                 :          0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     541                 :            :         }
     542                 :         40 :         break;
     543                 :            :       default: /* base ring too general */
     544                 :         50 :         return t_COMPLEX;
     545                 :            :     }
     546                 :            :   }
     547                 :     372820 :   *pp = p; *prec = e; return t;
     548                 :            : }
     549                 :            : 
     550                 :            : static GEN
     551                 :         65 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
     552                 :            : {
     553                 :         65 :   pari_sp av=avma;
     554                 :            :   GEN y;
     555                 :            :   long s;
     556         [ -  + ]:         65 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     557         [ +  + ]:         65 :   s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
     558                 :         65 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     559                 :         65 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     560                 :         65 :   return gerepilecopy(av, y);
     561                 :            : }
     562                 :            : 
     563                 :            : static GEN
     564                 :         40 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     565                 :            : {
     566                 :         40 :   pari_sp av=avma;
     567                 :            :   GEN y;
     568         [ -  + ]:         40 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     569                 :         40 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     570         [ -  + ]:         40 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     571                 :         40 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     572                 :         40 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     573                 :         40 :   return gerepilecopy(av, y);
     574                 :            : }
     575                 :            : 
     576                 :            : static GEN
     577                 :     325755 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     578                 :            : {
     579                 :     325755 :   pari_sp av=avma;
     580                 :            :   GEN y;
     581                 :            :   long s;
     582         [ +  + ]:     325755 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     583                 :     325660 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     584                 :     325660 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     585                 :     325660 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     586                 :     325750 :   return gerepilecopy(av, y);
     587                 :            : }
     588                 :            : 
     589                 :            : static GEN
     590                 :      18440 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     591                 :            : {
     592                 :      18440 :   pari_sp av=avma;
     593                 :            :   long i;
     594                 :            :   GEN y, disc;
     595         [ +  + ]:      18440 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     596         [ +  + ]:      14910 :   if (cmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     597                 :            :   {
     598                 :       1720 :     y = FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
     599         [ +  + ]:       1720 :     if (!y) return NULL;
     600                 :       1715 :     return gerepilecopy(av, y);
     601                 :            :   }
     602                 :      13190 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     603         [ -  + ]:      13190 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     604         [ +  + ]:     184660 :   for(i=1;i<=13;i++)
     605                 :     171470 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     606                 :      13190 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     607                 :      13190 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     608                 :      18440 :   return gerepilecopy(av, y);
     609                 :            : }
     610                 :            : 
     611                 :            : static GEN
     612                 :      28325 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     613                 :            : {
     614                 :      28325 :   pari_sp av=avma;
     615                 :            :   GEN y;
     616         [ +  + ]:      28325 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     617                 :      27320 :   y = FF_ellinit(y,fg);
     618         [ +  - ]:      28325 :   return y ? gerepilecopy(av, y): NULL;
     619                 :            : }
     620                 :            : 
     621                 :            : GEN
     622                 :     372660 : ellinit(GEN x, GEN p, long prec)
     623                 :            : {
     624                 :     372660 :   pari_sp av = avma;
     625                 :            :   GEN y;
     626      [ +  +  - ]:     372660 :   switch(typ(x))
     627                 :            :   {
     628                 :          5 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     629                 :     372655 :     case t_VEC: break;
     630                 :          0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     631                 :            :   }
     632   [ +  +  +  +  :     372660 :   switch (base_ring(x, &p, &prec))
                   +  + ]
     633                 :            :   {
     634                 :            :   case t_PADIC:
     635                 :         40 :     y = ellinit_Qp(x, p, prec);
     636                 :         40 :     break;
     637                 :            :   case t_INTMOD:
     638                 :      18440 :     y = ellinit_Fp(x, p);
     639                 :      18440 :     break;
     640                 :            :   case t_FFELT:
     641                 :      28325 :     y = ellinit_Fq(x, p);
     642                 :      28325 :     break;
     643                 :            :   case t_FRAC:
     644                 :     325755 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     645                 :     325750 :     break;
     646                 :            :   case t_REAL:
     647                 :         15 :     y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
     648                 :         15 :     break;
     649                 :            :   default:
     650                 :         50 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     651                 :            :   }
     652         [ +  + ]:     372620 :   if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
     653                 :     372620 :   return y;
     654                 :            : }
     655                 :            : 
     656                 :            : /********************************************************************/
     657                 :            : /**                                                                **/
     658                 :            : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     659                 :            : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     660                 :            : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     661                 :            : /**  verbatim                                                      **/
     662                 :            : /**                                                                **/
     663                 :            : /********************************************************************/
     664                 :            : /* [1,0,0,0] */
     665                 :            : static GEN
     666                 :    1772415 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     667                 :            : static int
     668                 :     323645 : is_trivial_change(GEN v)
     669                 :            : {
     670                 :            :   GEN u, r, s, t;
     671         [ -  + ]:     323645 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     672                 :     323645 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     673 [ +  + ][ +  + ]:     323645 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
         [ +  - ][ +  + ]
     674                 :            : }
     675                 :            : 
     676                 :            : /* compose coordinate changes, *vtotal = v is a ZV */
     677                 :            : /* v = [u,0,0,0] o v, u t_INT */
     678                 :            : static void
     679                 :          0 : composev_u(GEN *vtotal, GEN u)
     680                 :            : {
     681                 :          0 :   GEN v = *vtotal;
     682         [ #  # ]:          0 :   if (typ(v) == t_INT)
     683                 :          0 :     *vtotal = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
     684         [ #  # ]:          0 :   else if (!equali1(u))
     685                 :            :   {
     686                 :          0 :     GEN U = gel(v,1);
     687         [ #  # ]:          0 :     GEN uU = equali1(U)? u: mulii(u, U);
     688                 :          0 :     gel(v,1) = uU;
     689                 :            :   }
     690                 :          0 : }
     691                 :            : /* v = [1,r,0,0] o v, r t_INT */
     692                 :            : static void
     693                 :     177445 : composev_r(GEN *vtotal, GEN r)
     694                 :            : {
     695                 :     177445 :   GEN v = *vtotal;
     696         [ -  + ]:     177445 :   if (typ(v) == t_INT)
     697                 :          0 :     *vtotal = mkvec4(gen_1,r,gen_0,gen_0);
     698         [ +  - ]:     177445 :   else if (signe(r))
     699                 :            :   {
     700                 :     177445 :     GEN U = gel(v,1), R = gel(v,2), S = gel(v,3), T = gel(v,4);
     701         [ -  + ]:     177445 :     GEN rU2 = equali1(U)? r: mulii(r, sqri(U));
     702                 :     177445 :     gel(v,2) = addii(R, rU2);
     703                 :     177445 :     gel(v,4) = addii(T, mulii(rU2, S));
     704                 :            :   }
     705                 :     177445 : }
     706                 :            : /* v = [1,0,s,0] o v, s t_INT */
     707                 :            : static void
     708                 :      47945 : composev_s(GEN *vtotal, GEN s)
     709                 :            : {
     710                 :      47945 :   GEN v = *vtotal;
     711         [ -  + ]:      47945 :   if (typ(v) == t_INT)
     712                 :          0 :     *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,s,gen_0);
     713         [ +  - ]:      47945 :   else if (signe(s))
     714                 :            :   {
     715                 :      47945 :     GEN U = gel(v,1), S = gel(v,3);
     716         [ -  + ]:      47945 :     GEN sU = equali1(U)? s: mulii(s,U);
     717                 :      47945 :     gel(v,3) = addii(S, sU);
     718                 :            :   }
     719                 :      47945 : }
     720                 :            : /* v = [1,0,0,t] o v, t t_INT */
     721                 :            : static void
     722                 :     175995 : composev_t(GEN *vtotal, GEN t)
     723                 :            : {
     724                 :     175995 :   GEN v = *vtotal;
     725         [ -  + ]:     175995 :   if (typ(v) == t_INT)
     726                 :          0 :     *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,t);
     727         [ +  - ]:     175995 :   else if (signe(t))
     728                 :            :   {
     729                 :     175995 :     GEN U = gel(v,1), T = gel(v,4);
     730         [ -  + ]:     175995 :     GEN tU3 = equali1(U)? t: mulii(t, powiu(U,3));
     731                 :     175995 :     gel(v,4) = addii(T, tU3);
     732                 :            :   }
     733                 :     175995 : }
     734                 :            : /* v = [1,0,s,t] o v, s,t t_INT */
     735                 :            : static void
     736                 :      69610 : composev_st(GEN *vtotal, GEN s, GEN t)
     737                 :            : {
     738                 :      69610 :   GEN v = *vtotal;
     739         [ -  + ]:      69610 :   if (typ(v) == t_INT)
     740                 :          0 :     *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,s,t);
     741         [ +  + ]:      69610 :   else if (!signe(t)) composev_s(vtotal, s);
     742         [ +  + ]:      21665 :   else if (!signe(s)) composev_t(vtotal, t);
     743                 :            :   else
     744                 :            :   {
     745                 :      13240 :     GEN U = gel(v,1), S = gel(v,3), T = gel(v,4);
     746         [ -  + ]:      13240 :     if (!equali1(U))
     747                 :            :     {
     748                 :          0 :       GEN U3 = mulii(sqri(U), U);
     749                 :          0 :       t = mulii(U3, t);
     750                 :          0 :       s = mulii(U, s);
     751                 :            :     }
     752                 :      13240 :     gel(v,3) = addii(S, s);
     753                 :      13240 :     gel(v,4) = addii(T, t);
     754                 :            :   }
     755                 :      69610 : }
     756                 :            : /* v = [1,r,s,t] o v, r,s,t t_INT */
     757                 :            : static void
     758                 :     186180 : composev_rst(GEN *vtotal, GEN r, GEN s, GEN t)
     759                 :            : {
     760                 :     186180 :   GEN v = *vtotal, U, R, S, T;
     761         [ -  + ]:     186180 :   if (typ(v) == t_INT) { *vtotal = mkvec4(gen_1,r,s,t); return; }
     762         [ +  + ]:     186180 :   if (!signe(r)) { composev_st(vtotal, s,t); return; }
     763                 :     116570 :   v = *vtotal;
     764                 :     116570 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     765         [ +  - ]:     116570 :   if (equali1(U))
     766                 :     116570 :     t = addii(t, mulii(S, r));
     767                 :            :   else
     768                 :            :   {
     769                 :          0 :     GEN U2 = sqri(U);
     770                 :          0 :     t = mulii(U2, addii(mulii(U, t), mulii(S, r)));
     771                 :          0 :     r = mulii(U2, r);
     772                 :          0 :     s = mulii(U, s);
     773                 :            :   }
     774                 :     116570 :   gel(v,2) = addii(R, r);
     775                 :     116570 :   gel(v,3) = addii(S, s);
     776                 :     186180 :   gel(v,4) = addii(T, t);
     777                 :            : }
     778                 :            : 
     779                 :            : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     780                 :            :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     781                 :            : static void
     782                 :         25 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     783                 :            : {
     784                 :         25 :   GEN v = *vtotal;
     785                 :            :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     786                 :            : 
     787         [ -  + ]:         50 :   if (typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     788                 :         25 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     789                 :         25 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     790                 :         25 :   U2 = gsqr(U);
     791                 :         25 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     792                 :         25 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     793                 :         25 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     794                 :         25 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     795                 :            : }
     796                 :            : 
     797                 :            : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     798                 :            : GEN
     799                 :         10 : ellchangeinvert(GEN w)
     800                 :            : {
     801                 :            :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     802         [ -  + ]:         10 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     803                 :         10 :   u = gel(w,1);
     804                 :         10 :   r = gel(w,2);
     805                 :         10 :   s = gel(w,3);
     806                 :         10 :   t = gel(w,4);
     807                 :         10 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     808                 :         10 :   U = ginv(u);
     809                 :         10 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     810                 :         10 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     811                 :         10 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     812                 :         10 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     813                 :            : }
     814                 :            : 
     815                 :            : /* apply [u,0,0,0] */
     816                 :            : static GEN
     817                 :        215 : coordch_u(GEN e, GEN u)
     818                 :            : {
     819                 :            :   GEN y, u2, u3, u4, u6;
     820                 :            :   long lx;
     821         [ +  + ]:        215 :   if (gequal1(u)) return e;
     822                 :        200 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     823                 :        200 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
     824                 :        200 :   gel(y,1) = gdiv(ell_get_a1(e),  u);
     825                 :        200 :   gel(y,2) = gdiv(ell_get_a2(e), u2);
     826                 :        200 :   gel(y,3) = gdiv(ell_get_a3(e), u3);
     827                 :        200 :   gel(y,4) = gdiv(ell_get_a4(e), u4);
     828                 :        200 :   gel(y,5) = gdiv(ell_get_a6(e), u6);
     829         [ -  + ]:        200 :   if (lx == 6) return y;
     830                 :        200 :   gel(y,6) = gdiv(ell_get_b2(e), u2);
     831                 :        200 :   gel(y,7) = gdiv(ell_get_b4(e), u4);
     832                 :        200 :   gel(y,8) = gdiv(ell_get_b6(e), u6);
     833                 :        200 :   gel(y,9) = gdiv(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
     834                 :        200 :   gel(y,10)= gdiv(ell_get_c4(e), u4);
     835                 :        200 :   gel(y,11)= gdiv(ell_get_c6(e), u6);
     836                 :        200 :   gel(y,12)= gdiv(ell_get_disc(e), gsqr(u6));
     837                 :        200 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
     838                 :        200 :   gel(y,14)= gel(e,14);
     839                 :        200 :   gel(y,15)= gel(e,15);
     840                 :        200 :   gel(y,16)= gel(e,16);
     841                 :        215 :   return y;
     842                 :            : }
     843                 :            : /* apply [1,r,0,0] */
     844                 :            : static GEN
     845                 :     363825 : coordch_r(GEN e, GEN r)
     846                 :            : {
     847                 :            :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     848         [ +  + ]:     363825 :   if (gequal0(r)) return e;
     849                 :     294200 :   y = leafcopy(e);
     850                 :     294200 :   a2 = ell_get_a2(e);
     851                 :     294200 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     852                 :            : 
     853                 :            :   /* A2 = a2 + 3r */
     854                 :     294200 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
     855                 :            :   /* A3 = a1 r + a3 */
     856                 :     294200 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
     857                 :            :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     858                 :     294200 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
     859                 :            :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     860                 :     294200 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
     861         [ +  + ]:     294200 :   if (lg(y) == 6) return y;
     862                 :            : 
     863                 :     294195 :   b4 = ell_get_b4(e);
     864                 :     294195 :   b6 = ell_get_b6(e);
     865                 :            :   /* B2 = 12r + b2 */
     866                 :     294195 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     867                 :     294195 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
     868                 :     294195 :   r2 = gsqr(r);
     869                 :            :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
     870                 :     294195 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
     871                 :            :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
     872                 :     294195 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
     873                 :            :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
     874                 :     294195 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
     875                 :     294195 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
     876                 :     363825 :   return y;
     877                 :            : }
     878                 :            : /* apply [1,0,s,0] */
     879                 :            : static GEN
     880                 :      79560 : coordch_s(GEN e, GEN s)
     881                 :            : {
     882                 :            :   GEN a1, y;
     883         [ -  + ]:      79560 :   if (gequal0(s)) return e;
     884                 :      79560 :   a1 = ell_get_a1(e);
     885                 :      79560 :   y = leafcopy(e);
     886                 :            : 
     887                 :            :   /* A1 = a1 + 2s */
     888                 :      79560 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
     889                 :            :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     890                 :      79560 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
     891                 :            :   /* A4 = a4 - s a3 */
     892                 :      79560 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
     893                 :      79560 :   return y;
     894                 :            : }
     895                 :            : /* apply [1,0,0,t] */
     896                 :            : static GEN
     897                 :     234740 : coordch_t(GEN e, GEN t)
     898                 :            : {
     899                 :            :   GEN a1, a3, y;
     900         [ +  + ]:     234740 :   if (gequal0(t)) return e;
     901                 :     188920 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     902                 :     188920 :   y = leafcopy(e);
     903                 :            :   /* A3 = 2t + a3 */
     904                 :     188920 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
     905                 :            :   /* A4 = a4 - a1 t */
     906                 :     188920 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
     907                 :            :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     908                 :     188920 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
     909                 :     234740 :   return y;
     910                 :            : }
     911                 :            : /* apply [1,0,s,t] */
     912                 :            : static GEN
     913                 :     186375 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
     914                 :            : {
     915                 :            :   GEN y, a1, a3;
     916         [ +  + ]:     186375 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
     917         [ +  + ]:     119205 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
     918                 :      39645 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     919                 :      39645 :   y = leafcopy(e);
     920                 :            :   /* A1 = a1 + 2s */
     921                 :      39645 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
     922                 :            :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     923                 :      39645 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
     924                 :            :   /* A3 = 2t + a3 */
     925                 :      39645 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
     926                 :            :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
     927                 :      39645 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
     928                 :            :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     929                 :      39645 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
     930                 :     186375 :   return y;
     931                 :            : }
     932                 :            : /* apply [1,r,s,t] */
     933                 :            : static GEN
     934                 :     186375 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
     935                 :            : {
     936                 :     186375 :   e = coordch_r(e, r);
     937                 :     186375 :   return coordch_st(e, s, t);
     938                 :            : }
     939                 :            : /* apply w = [u,r,s,t] */
     940                 :            : static GEN
     941                 :        195 : coordch(GEN e, GEN w)
     942                 :            : {
     943         [ -  + ]:        195 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
     944                 :        195 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
     945                 :        195 :   return coordch_u(e, gel(w,1));
     946                 :            : }
     947                 :            : 
     948                 :            : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
     949                 :            :  * (dynamic data) */
     950                 :            : static GEN
     951                 :          5 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
     952                 :            : {
     953                 :          5 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
     954                 :          5 :   long prec = valp(p);
     955         [ -  + ]:          5 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
     956         [ +  - ]:          5 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
     957                 :            :   {
     958         [ +  - ]:          5 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
     959                 :          5 :     obj_insert(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
     960                 :            :   }
     961         [ +  - ]:          5 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
     962                 :            :   {
     963                 :          5 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4);
     964         [ -  + ]:          5 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
     965                 :          5 :     U2 = gmul(U2, u2);
     966                 :          5 :     U = gmul(U, u);
     967                 :          5 :     AB = gdiv(AB, u2);
     968                 :          5 :     obj_insert(E, Qp_TATE, mkvec4(U2,U,Q,AB));
     969                 :            :   }
     970                 :          5 :   return E;
     971                 :            : }
     972                 :            : 
     973                 :            : /* common to Q and Rg */
     974                 :            : static GEN
     975                 :         95 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
     976                 :            : {
     977                 :         95 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
     978         [ +  + ]:         95 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
     979                 :         15 :     obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
     980         [ +  + ]:         95 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
     981                 :         15 :     obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
     982         [ +  + ]:         95 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
     983                 :            :   {
     984                 :         15 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
     985                 :            :     long i;
     986         [ +  + ]:         60 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
     987                 :         15 :     obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
     988                 :            :   }
     989                 :         95 :   return E;
     990                 :            : }
     991                 :            : 
     992                 :            : static GEN
     993                 :          5 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
     994                 :            : {
     995                 :          5 :   GEN p = NULL;
     996                 :          5 :   long prec = ellR_get_prec(E);
     997         [ -  + ]:          5 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
     998                 :          5 :   ch_R(E, e, w); return E;
     999                 :            : }
    1000                 :            : 
    1001                 :            : static GEN
    1002                 :         95 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1003                 :            : {
    1004                 :         95 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1005                 :         95 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1006         [ +  + ]:         95 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1007                 :         90 :   ch_R(E, e, w);
    1008         [ -  + ]:         90 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1009                 :          0 :     S = obj_insert(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1010         [ +  + ]:         90 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1011                 :            :   {
    1012         [ +  + ]:         25 :     if (lg(S) == 2)
    1013                 :            :     { /* model was minimal */
    1014         [ +  - ]:          5 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1015                 :          5 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1016                 :          5 :       (void)obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1017                 :            :     }
    1018                 :            :     else
    1019                 :            :     {
    1020                 :         20 :       v = gel(S,2);
    1021 [ +  + ][ -  + ]:         20 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
                 [ #  # ]
    1022                 :         15 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1023                 :            :       else
    1024                 :            :       {
    1025                 :          5 :         w = ellchangeinvert(w);
    1026                 :          5 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1027                 :          5 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1028                 :          5 :         gel(S,2) = v;
    1029                 :            :       }
    1030                 :         20 :       (void)obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1031                 :            :     }
    1032                 :            :   }
    1033         [ +  + ]:         90 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1034                 :          5 :     S = obj_insert(E, Q_GLOBALRED, S);
    1035         [ -  + ]:         90 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1036                 :          0 :     S = obj_insert(E, Q_ROOTNO, S);
    1037                 :         95 :   return E;
    1038                 :            : }
    1039                 :            : 
    1040                 :            : static void
    1041                 :         90 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1042                 :            : {
    1043                 :            :   GEN S;
    1044         [ +  + ]:         90 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1045                 :         15 :     S = obj_insert(E, FF_CARD, S);
    1046         [ +  + ]:         90 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1047                 :         15 :     S = obj_insert(E, FF_GROUP, S);
    1048         [ +  + ]:         90 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1049                 :         15 :     S = obj_insert(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1050         [ +  + ]:         90 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1051                 :         15 :     S = obj_insert(E, FF_O, S);
    1052                 :         90 : }
    1053                 :            : 
    1054                 :            : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1055                 :            : static GEN
    1056                 :          5 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1057                 :            : {
    1058                 :          5 :   long prec = 0;
    1059                 :          5 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1060         [ -  + ]:          5 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1061                 :          5 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1062                 :          5 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1063                 :            : }
    1064                 :            : static GEN
    1065                 :         85 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1066                 :            : {
    1067                 :         85 :   long prec = 0;
    1068                 :         85 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1069         [ -  + ]:         85 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1070                 :         85 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1071                 :         85 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1072                 :            : }
    1073                 :            : 
    1074                 :            : static void
    1075                 :        185 : ell_reset(GEN E)
    1076                 :        185 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1077                 :            : 
    1078                 :            : GEN
    1079                 :        200 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1080                 :            : {
    1081                 :        200 :   pari_sp av = avma;
    1082                 :            :   GEN E;
    1083                 :        200 :   checkell5(e);
    1084         [ +  + ]:        200 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1085                 :        195 :   checkcoordch(w);
    1086                 :        195 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1087         [ +  + ]:        195 :   if (lg(E) == 6) return gerepilecopy(av, E);
    1088                 :        185 :   ell_reset(E); E = gerepilecopy(av, E);
    1089   [ +  +  +  +  :        185 :   switch(ell_get_type(E))
                   +  - ]
    1090                 :            :   {
    1091                 :          5 :     case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1092                 :          5 :     case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1093                 :         85 :     case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1094                 :         85 :     case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1095                 :          5 :     case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1096                 :            :   }
    1097                 :        200 :   return E;
    1098                 :            : }
    1099                 :            : 
    1100                 :            : static void
    1101                 :          0 : E_compose_u(GEN *vtotal, GEN *e, GEN u) {*e=coordch_u(*e,u); composev_u(vtotal,u);}
    1102                 :            : static void
    1103                 :     177445 : E_compose_r(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r) {*e=coordch_r(*e,r); composev_r(vtotal,r);}
    1104                 :            : #if 0
    1105                 :            : static void
    1106                 :            : E_compose_s(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s) {*e=coordch_s(*e,s); composev_s(vtotal,s);}
    1107                 :            : #endif
    1108                 :            : static void
    1109                 :     167570 : E_compose_t(GEN *vtotal, GEN *e, GEN t) {*e=coordch_t(*e,t); composev_t(vtotal,t);}
    1110                 :            : static void
    1111                 :     186180 : E_compose_rst(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1112                 :     186180 : { *e=coordch_rst(*e,r,s,t); composev_rst(vtotal,r,s,t); }
    1113                 :            : 
    1114                 :            : /* apply [1,r,0,0] to P */
    1115                 :            : static GEN
    1116                 :          5 : ellchangepoint_r(GEN P, GEN r)
    1117                 :            : {
    1118                 :            :   GEN x, y, a;
    1119         [ -  + ]:          5 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1120                 :          5 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1121                 :          5 :   return mkvec2(a, y);
    1122                 :            : }
    1123                 :            : 
    1124                 :            : /* X = (x-r)/u^2
    1125                 :            :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1126                 :            : static GEN
    1127                 :        190 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1128                 :            : {
    1129                 :            :   GEN a, x, y;
    1130         [ +  + ]:        190 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1131                 :        180 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1132                 :        190 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1133                 :            : }
    1134                 :            : 
    1135                 :            : GEN
    1136                 :        190 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1137                 :            : {
    1138                 :            :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1139                 :        190 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1140                 :        190 :   pari_sp av = avma;
    1141                 :            : 
    1142         [ -  + ]:        190 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1143         [ -  + ]:        190 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1144                 :        190 :   checkcoordch(ch);
    1145         [ -  + ]:        190 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1146                 :        190 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1147                 :        190 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1148                 :        190 :   tx = typ(gel(x,1));
    1149         [ +  + ]:        190 :   if (is_matvec_t(tx))
    1150                 :            :   {
    1151                 :         15 :     y = cgetg(lx,tx);
    1152         [ +  + ]:         30 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1153                 :         15 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1154                 :            :   }
    1155                 :            :   else
    1156                 :        175 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1157                 :        190 :   return gerepilecopy(av,y);
    1158                 :            : }
    1159                 :            : 
    1160                 :            : /* x = u^2*X + r
    1161                 :            :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1162                 :            : static GEN
    1163                 :         35 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1164                 :            : {
    1165                 :            :   GEN a, X, Y;
    1166         [ -  + ]:         35 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1167                 :         35 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1168                 :         35 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1169                 :            : }
    1170                 :            : GEN
    1171                 :         35 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1172                 :            : {
    1173                 :            :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1174                 :         35 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1175                 :         35 :   pari_sp av = avma;
    1176                 :            : 
    1177         [ -  + ]:         35 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1178         [ -  + ]:         35 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1179                 :         35 :   checkcoordch(ch);
    1180         [ -  + ]:         35 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1181                 :         35 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1182                 :         35 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1183                 :         35 :   tx = typ(gel(x,1));
    1184         [ +  + ]:         35 :   if (is_matvec_t(tx))
    1185                 :            :   {
    1186                 :          5 :     y = cgetg(lx,tx);
    1187         [ +  + ]:         10 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1188                 :          5 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1189                 :            :   }
    1190                 :            :   else
    1191                 :         30 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1192                 :         35 :   return gerepilecopy(av,y);
    1193                 :            : }
    1194                 :            : 
    1195                 :            : static long
    1196                 :          4 : ellexpo(GEN E)
    1197                 :            : {
    1198                 :          4 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1199         [ +  + ]:         24 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1200                 :            :   {
    1201                 :         20 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1202         [ +  + ]:         20 :     if (f > e) e = f;
    1203                 :            :   }
    1204                 :          4 :   return e;
    1205                 :            : }
    1206                 :            : 
    1207                 :            : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1208                 :            :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1209                 :            :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1210                 :            :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1211                 :            : int
    1212                 :       2191 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1213                 :            : {
    1214                 :            :   GEN LHS, RHS, x;
    1215                 :            :   long pl, pr, ex, expx;
    1216                 :            :   pari_sp av;
    1217                 :            : 
    1218         [ +  + ]:       2191 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1219                 :       2136 :   av = avma;
    1220                 :       2136 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1221                 :       2136 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1222         [ +  + ]:       2136 :   if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
    1223                 :         14 :   pl = precision(LHS);
    1224                 :         14 :   pr = precision(RHS);
    1225 [ +  + ][ +  - ]:         14 :   if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
    1226                 :            :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1227         [ +  - ]:          4 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1228 [ +  - ][ +  - ]:          4 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
                 [ -  + ]
    1229                 :          4 :   expx = gexpo(x);
    1230         [ #  # ]:          4 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1231         [ +  - ]:          4 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
           [ -  +  #  # ]
    1232                 :       2191 :   avma = av; return pr;
    1233                 :            : }
    1234                 :            : 
    1235                 :            : GEN
    1236                 :       2951 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1237                 :            : {
    1238                 :       2951 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1239                 :            : 
    1240                 :       2951 :   checkell5(e);
    1241         [ -  + ]:       2951 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1242         [ -  + ]:       2951 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1243                 :       2951 :   tx = typ(gel(x,1));
    1244         [ +  + ]:       2951 :   if (is_vec_t(tx))
    1245                 :            :   {
    1246                 :       1205 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1247         [ +  + ]:       2510 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1248                 :       1205 :     return z;
    1249                 :            :   }
    1250         [ +  + ]:       2951 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1251                 :            : }
    1252                 :            : 
    1253                 :            : GEN
    1254                 :       1890 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1255                 :            : {
    1256                 :            :   GEN p1, p2, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1257                 :       1890 :   pari_sp av = avma, tetpil;
    1258                 :            : 
    1259                 :       1890 :   checkell5(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1260         [ +  + ]:       1890 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1261         [ -  + ]:       1875 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1262                 :            : 
    1263                 :       1875 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1264                 :       1875 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1265 [ +  + ][ +  + ]:       1875 :   if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
    1266                 :            :   { /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1267         [ +  + ]:        965 :     if (y1 != y2)
    1268                 :            :     {
    1269                 :            :       int eq;
    1270 [ +  + ][ -  + ]:        190 :       if (precision(y1) || precision(y2))
    1271                 :          5 :         eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x1),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1272                 :            :       else
    1273                 :        185 :         eq = gequal(y1,y2);
    1274         [ +  + ]:        190 :       if (!eq) { avma = av; return ellinf(); }
    1275                 :            :     }
    1276                 :        915 :     p2 = ec_dLHSdy_evalQ(e,z1);
    1277         [ +  + ]:        915 :     if (gequal0(p2)) { avma = av; return ellinf(); }
    1278                 :        880 :     p1 = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1279                 :            :               gmul(x1,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x1))));
    1280                 :            :   }
    1281                 :            :   else {
    1282                 :        910 :     p1 = gsub(y2,y1);
    1283                 :        910 :     p2 = gsub(x2,x1);
    1284                 :            :   }
    1285                 :       1790 :   p1 = gdiv(p1,p2);
    1286                 :       1790 :   x = gsub(gmul(p1,gadd(p1,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1287                 :       1790 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(p1,gsub(x,x1)));
    1288                 :       1790 :   tetpil = avma; p1 = cgetg(3,t_VEC);
    1289                 :       1790 :   gel(p1,1) = gcopy(x);
    1290                 :       1890 :   gel(p1,2) = gneg(y); return gerepile(av,tetpil,p1);
    1291                 :            : }
    1292                 :            : 
    1293                 :            : static GEN
    1294                 :         40 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1295                 :            : {
    1296                 :            :   GEN t;
    1297         [ -  + ]:         40 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1298                 :         40 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1299                 :         40 :   gel(t,1) = gel(z,1);
    1300                 :         40 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1301                 :         40 :   return t;
    1302                 :            : }
    1303                 :            : 
    1304                 :            : GEN
    1305                 :          5 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1306                 :            : {
    1307                 :            :   pari_sp av;
    1308                 :            :   GEN t, y;
    1309                 :          5 :   checkell5(e); checkellpt(z);
    1310         [ -  + ]:          5 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1311                 :          5 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1312                 :          5 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1313                 :          5 :   av = avma;
    1314                 :          5 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1315                 :          5 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1316                 :          5 :   return t;
    1317                 :            : }
    1318                 :            : 
    1319                 :            : GEN
    1320                 :         15 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1321                 :            : {
    1322                 :         15 :   pari_sp av = avma;
    1323                 :         15 :   checkell5(e); checkellpt(z2);
    1324                 :         15 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1325                 :            : }
    1326                 :            : 
    1327                 :            : /* E an ell, x a scalar */
    1328                 :            : static GEN
    1329                 :        595 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1330                 :            : {
    1331                 :        595 :   pari_sp av = avma;
    1332                 :        595 :   GEN a = ec_f_evalx(E,x), b = ec_h_evalx(E,x), D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1333                 :            :   GEN d, y, p;
    1334                 :            : 
    1335                 :            :   /* solve y*(y+b) = a */
    1336         [ +  + ]:        595 :   if (gequal0(D)) {
    1337 [ +  + ][ -  + ]:        214 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && equaliu(ellff_get_p(E),2))
    1338                 :          0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1339                 :        214 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1340                 :        214 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1341                 :        214 :     return gerepileupto(av,y);
    1342                 :            :   }
    1343                 :            :   /* D != 0 */
    1344   [ +  +  +  +  :        381 :   switch(ell_get_type(E))
                      + ]
    1345                 :            :   {
    1346                 :            :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1347                 :         20 :       p = ellff_get_p(E);
    1348                 :         20 :       D = gel(D,2);
    1349         [ +  + ]:         20 :       if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1350                 :          5 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1351                 :          5 :       break;
    1352                 :            :     case t_ELL_Fq:
    1353         [ +  + ]:        151 :       if (equaliu(ellff_get_p(E),2))
    1354                 :            :       {
    1355                 :         55 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1356         [ +  + ]:         55 :         if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1357                 :         28 :         return gerepileupto(av, F);
    1358                 :            :       }
    1359         [ +  + ]:         96 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1360                 :         43 :       break;
    1361                 :            :     case t_ELL_Q:
    1362         [ +  + ]:        195 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1363         [ +  + ]:        190 :       if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1364                 :        135 :       break;
    1365                 :            : 
    1366                 :            :     case t_ELL_Qp:
    1367                 :         10 :       p = ellQp_get_p(E);
    1368                 :         10 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1369         [ -  + ]:         10 :       if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1370                 :         10 :       d = Qp_sqrt(D);
    1371                 :         10 :       break;
    1372                 :            : 
    1373                 :            :     default:
    1374                 :          5 :       d = gsqrt(D,prec);
    1375                 :            :   }
    1376                 :        203 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1377                 :        203 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1378                 :        203 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1379                 :        595 :   return gerepileupto(av,y);
    1380                 :            : }
    1381                 :            : 
    1382                 :            : GEN
    1383                 :        245 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1384                 :            : {
    1385                 :        245 :   checkell(e);
    1386         [ -  + ]:        245 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1387                 :            :   {
    1388                 :            :     long i, lx;
    1389                 :          0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1390         [ #  # ]:          0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1391                 :          0 :     return v;
    1392                 :            :   }
    1393                 :        245 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1394                 :            : }
    1395                 :            : 
    1396                 :            : GEN
    1397                 :      66850 : ellrandom(GEN E)
    1398                 :            : {
    1399                 :            :   GEN fg;
    1400                 :      66850 :   checkell_Fq(E);
    1401                 :      66850 :   fg = ellff_get_field(E);
    1402         [ +  + ]:      66850 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1403                 :      66830 :     return FF_ellrandom(E);
    1404                 :            :   else
    1405                 :            :   {
    1406                 :         20 :     pari_sp av = avma;
    1407                 :         20 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1408                 :         20 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1409                 :         20 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1410                 :      66850 :     return gerepileupto(av, P);
    1411                 :            :   }
    1412                 :            : }
    1413                 :            : 
    1414                 :            : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, z != [0] */
    1415                 :            : static GEN
    1416                 :         15 : ellmul_CM(GEN e, GEN z, GEN n)
    1417                 :            : {
    1418                 :         15 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1419                 :            :   long ln, ep, vn;
    1420                 :            : 
    1421         [ -  + ]:         15 :   if (typ(N) != t_INT)
    1422                 :          0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1423                 :         15 :   ln = itos_or_0(shifti(addsi(1, N), 3));
    1424         [ -  + ]:         15 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1425                 :         15 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1426                 :         15 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1427                 :         15 :   z2 = gsubst(z1, 0, monomial(n, 1, 0));
    1428                 :         15 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1429                 :         15 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1430                 :            :   do
    1431                 :            :   {
    1432                 :         25 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1433                 :            :     do
    1434                 :            :     {
    1435                 :         35 :       ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1436                 :         35 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), monomial(gen_1, ep, 0)));
    1437                 :         35 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1438                 :            :     }
    1439         [ +  + ]:         35 :     while (valp(z2) <= 0);
    1440                 :         25 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1441                 :         25 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1442         [ +  + ]:         25 :     if (!signe(z2)) break;
    1443                 :         10 :     z2 = ginv(z2);
    1444                 :            :   }
    1445         [ +  - ]:         10 :   while (degpol(p1) < vn);
    1446 [ +  - ][ -  + ]:         15 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1447                 :          0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1448                 :         15 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1449                 :         15 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12); /* x - b2/12 */
    1450                 :         15 :   grdx = gadd(gel(z,1), b2ov12);
    1451                 :         15 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1452         [ -  + ]:         15 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1453                 :            : 
    1454                 :         15 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1455                 :         15 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1456                 :         15 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1457                 :         15 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1458                 :            : 
    1459                 :         15 :   x = gdiv(p1,q1);
    1460                 :         15 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1461                 :         15 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1462                 :         15 :   y = gsub( gmul(ec_dLHSdy_evalQ(e,z), y), ec_h_evalx(e,x));
    1463                 :         15 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1464                 :            : }
    1465                 :            : 
    1466                 :            : static GEN
    1467                 :        115 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1468                 :            : static GEN
    1469                 :         30 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1470                 :            : 
    1471                 :            : static GEN
    1472                 :      55235 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1473                 :            : {
    1474                 :      55235 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1475         [ +  + ]:      55235 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1476                 :      55155 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1477                 :            :   else
    1478                 :            :   {
    1479                 :         80 :     pari_sp av = avma;
    1480                 :         80 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1481                 :         80 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1482                 :         80 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1483                 :         70 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1484                 :      55225 :     return gerepileupto(av, Q);
    1485                 :            :   }
    1486                 :            : }
    1487                 :            : /* [n] z, n integral */
    1488                 :            : static GEN
    1489                 :      55335 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1490                 :            : {
    1491                 :            :   long s;
    1492         [ -  + ]:      55335 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1493         [ +  + ]:      55335 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    1494                 :        100 :   s = signe(n);
    1495         [ +  + ]:        100 :   if (!s) return ellinf();
    1496         [ -  + ]:         85 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    1497         [ +  + ]:         85 :   if (is_pm1(n)) return z;
    1498                 :      55325 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    1499                 :            : }
    1500                 :            : 
    1501                 :            : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    1502                 :            : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    1503                 :            : static long
    1504                 :         45 : myroundr(GEN *px)
    1505                 :            : {
    1506                 :         45 :   GEN x = *px;
    1507                 :            :   long e;
    1508         [ -  + ]:         45 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    1509                 :         45 :   *px = grndtoi(x, &e);
    1510         [ -  + ]:         45 :   if (e >= -5) return NO;
    1511                 :         45 :   return OK;
    1512                 :            : }
    1513                 :            : 
    1514                 :            : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    1515                 :            :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    1516                 :            :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    1517                 :            : static GEN
    1518                 :         15 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    1519                 :            : {
    1520                 :            :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    1521                 :            :   long prec;
    1522                 :            : 
    1523         [ -  + ]:         15 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    1524      [ -  +  - ]:         15 :   switch(typ(Q))
    1525                 :            :   {
    1526                 :            :     case t_COMPLEX:
    1527                 :          0 :       D = utoineg(4);
    1528                 :          0 :       v = gel(Q,2);
    1529                 :          0 :       break;
    1530                 :            :     case t_QUAD:
    1531                 :         15 :       D = quad_disc(Q);
    1532                 :         15 :       v = gel(Q,3);
    1533                 :         15 :       break;
    1534                 :            :     default:
    1535                 :          0 :       return NULL; /*-Wall*/
    1536                 :            :   }
    1537                 :            :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    1538                 :         15 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    1539                 :         15 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    1540                 :         15 :   prec = precision(tau);
    1541                 :            :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    1542                 :            :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    1543                 :            :    * Compute f*k */
    1544                 :         15 :   x = gel(tau,1);
    1545                 :         15 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    1546                 :         15 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    1547      [ -  -  + ]:         15 :   switch(myroundr(&fk))
    1548                 :            :   {
    1549                 :          0 :     case NO: return NULL;
    1550                 :          0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1551                 :            :   }
    1552                 :         15 :   fk = absi(fk);
    1553                 :            : 
    1554                 :         15 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    1555      [ -  -  + ]:         15 :   switch(myroundr(&fkb))
    1556                 :            :   {
    1557                 :          0 :     case NO: return NULL;
    1558                 :          0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1559                 :            :   }
    1560                 :            : 
    1561                 :         15 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    1562      [ -  -  + ]:         15 :   switch(myroundr(&fkc))
    1563                 :            :   {
    1564                 :          0 :     case NO: return NULL;
    1565                 :          0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1566                 :            :   }
    1567                 :            : 
    1568                 :            :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    1569                 :         15 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    1570                 :         15 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    1571                 :         15 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    1572 [ +  - ][ -  + ]:         15 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    1573                 :            :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    1574                 :         15 :   v = dvmdii(absi(v), q, &r);
    1575         [ -  + ]:         15 :   if (r != gen_0) return NULL;
    1576         [ +  - ]:         15 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    1577                 :            : }
    1578                 :            : 
    1579                 :            : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    1580                 :            : static GEN
    1581                 :         15 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    1582                 :            : {
    1583                 :            :   GEN A, B, q;
    1584         [ -  + ]:         15 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    1585                 :         15 :   q = CM_factor(e, w);
    1586         [ -  + ]:         15 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    1587         [ -  + ]:         15 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    1588                 :            :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    1589 [ +  - ][ +  + ]:         15 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    1590                 :            :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    1591                 :            :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    1592                 :         10 :     GEN u = gtrace(w);
    1593         [ -  + ]:         10 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    1594                 :         10 :     u = shifti(u, -1);
    1595         [ -  + ]:         10 :     if (signe(u))
    1596                 :            :     {
    1597                 :          0 :       w = gsub(w, u);
    1598                 :          0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    1599                 :            :     }
    1600                 :            :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    1601                 :            :   }
    1602                 :         15 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    1603                 :         15 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    1604         [ -  + ]:         15 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    1605                 :         15 :   return elladd(e, A, B);
    1606                 :            : }
    1607                 :            : GEN
    1608                 :      55280 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    1609                 :            : {
    1610                 :      55280 :   pari_sp av = avma;
    1611                 :            : 
    1612                 :      55280 :   checkell5(e); checkellpt(z);
    1613         [ -  + ]:      55280 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1614   [ +  +  -  - ]:      55280 :   switch(typ(n))
    1615                 :            :   {
    1616                 :      55265 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    1617                 :            :     case t_QUAD: {
    1618                 :         15 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    1619         [ -  + ]:         15 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    1620                 :         15 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    1621                 :            :     }
    1622                 :            :     case t_COMPLEX: {
    1623                 :          0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    1624                 :          0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    1625                 :            :     }
    1626                 :            :   }
    1627                 :          0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    1628                 :      55270 :   return NULL; /* not reached */
    1629                 :            : }
    1630                 :            : 
    1631                 :            : /********************************************************************/
    1632                 :            : /**                                                                **/
    1633                 :            : /**                       Periods                                  **/
    1634                 :            : /**                                                                **/
    1635                 :            : /********************************************************************/
    1636                 :            : 
    1637                 :            : /* References:
    1638                 :            :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    1639                 :            :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    1640                 :            : */
    1641                 :            : 
    1642                 :            : static GEN
    1643                 :        122 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    1644                 :            : {
    1645                 :        122 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    1646                 :        122 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    1647                 :        122 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    1648                 :            : }
    1649                 :            : 
    1650                 :            : static GEN
    1651                 :         62 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    1652                 :            : {
    1653                 :         62 :   pari_sp av = avma;
    1654                 :         62 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    1655                 :         57 :   GEN e1=gel(roots,1), e2=gel(roots,2), e3=gel(roots,3);
    1656                 :         57 :   GEN a = gsqrt(gsub(e1,e2),prec);
    1657                 :         57 :   GEN b = gsqrt(gsub(e2,e3),prec);
    1658                 :         57 :   GEN c = gsqrt(gsub(e1,e3),prec);
    1659                 :         57 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    1660                 :            : }
    1661                 :            : 
    1662                 :            : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    1663                 :            :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    1664                 :            :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    1665                 :            : static GEN
    1666                 :        127 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    1667                 :            : {
    1668                 :        127 :   pari_sp av = avma;
    1669                 :            :   GEN roots, e1, e3, z, a, b, c;
    1670         [ +  + ]:        127 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    1671                 :         65 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    1672                 :         65 :   e1 = gel(roots,1);
    1673                 :         65 :   e3 = gel(roots,3);
    1674                 :         65 :   z = gsqrt(gsub(e1,e3),prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    1675                 :         65 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    1676                 :         65 :   b = gel(z,2);
    1677                 :         65 :   c = gabs(z, prec);
    1678                 :         65 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    1679                 :        122 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    1680                 :            : }
    1681                 :            : static GEN
    1682                 :         20 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    1683                 :         20 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    1684                 :            : 
    1685                 :            : GEN
    1686                 :        855 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    1687                 :        855 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    1688                 :            : GEN
    1689                 :         30 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    1690                 :         30 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    1691                 :            : GEN
    1692                 :       1712 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    1693                 :       1712 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    1694                 :            : 
    1695                 :            : /********************************************************************/
    1696                 :            : /**                                                                **/
    1697                 :            : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    1698                 :            : /**                                                                **/
    1699                 :            : /********************************************************************/
    1700                 :            : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    1701                 :            :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    1702                 :            : static GEN
    1703                 :          0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    1704                 :            : {
    1705                 :          0 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    1706                 :          0 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    1707                 :          0 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    1708                 :          0 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    1709                 :          0 :   GEN z = gel(om,2);
    1710         [ #  # ]:          0 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    1711         [ #  # ]:          0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    1712                 :            :   else
    1713         [ #  # ]:          0 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    1714                 :          0 :   return gmul2n(z, -1);
    1715                 :            : }
    1716                 :            : 
    1717                 :            : static GEN
    1718                 :          5 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    1719                 :            : {
    1720                 :          5 :   GEN roots = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    1721                 :          5 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dLHSdy_evalQ(E,P);
    1722         [ -  + ]:          5 :   if (gequal0(y0))
    1723                 :          0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,roots);
    1724                 :            :   else
    1725                 :            :   {
    1726                 :          5 :     GEN e1 = gel(roots,1), e2 = gel(roots,2), e3 = gel(roots,3);
    1727                 :          5 :     GEN a = gsqrt(gsub(e1,e3),prec), b = gsqrt(gsub(e1,e2),prec);
    1728                 :          5 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    1729                 :          5 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    1730                 :          5 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    1731                 :            :     /* |a+b| < |a-b| */
    1732         [ +  - ]:          5 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    1733                 :          5 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    1734                 :            :   }
    1735                 :            : }
    1736                 :            : 
    1737                 :            : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    1738                 :            : static GEN
    1739                 :          0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    1740                 :            : {
    1741                 :          0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dLHSdy_evalQ(E,P);
    1742         [ #  # ]:          0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    1743                 :            :   else
    1744                 :            :   {
    1745                 :          0 :     GEN roots = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    1746                 :          0 :     GEN e1 = gel(roots,1), e3 = gel(roots,3);
    1747                 :          0 :     GEN a = gsqrt(gsub(e1,e3),prec);
    1748                 :          0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    1749                 :          0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    1750                 :          0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    1751                 :          0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    1752                 :          0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    1753                 :            :   }
    1754                 :            : }
    1755                 :            : 
    1756                 :            : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    1757                 :            : static GEN
    1758                 :         20 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    1759                 :            : {
    1760                 :         20 :   GEN roots = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    1761                 :         20 :   GEN e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dLHSdy_evalQ(E,P);
    1762         [ -  + ]:         20 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,roots);
    1763                 :         20 :   e1 = gel(roots,1);
    1764                 :         20 :   e2 = gel(roots,2);
    1765                 :         20 :   e3 = gel(roots,3);
    1766                 :         20 :   a = gsqrt(gsub(e1,e3),prec);
    1767                 :         20 :   b = gsqrt(gsub(e1,e2),prec);
    1768         [ +  - ]:         20 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    1769                 :         20 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    1770                 :         20 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    1771                 :         20 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    1772                 :            :   } else {
    1773                 :          0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    1774                 :          0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    1775                 :          0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    1776                 :         20 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    1777                 :            :   }
    1778                 :            : }
    1779                 :            : 
    1780                 :            : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
    1781                 :            :  * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
    1782                 :            :  * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
    1783                 :            : static GEN
    1784                 :        115 : doellQp_root(GEN E, long prec)
    1785                 :            : {
    1786                 :        115 :   GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
    1787                 :            :   GEN c4p, c6p, T, a, pe;
    1788                 :            :   long alpha;
    1789                 :        115 :   int pis2 = equaliu(p, 2);
    1790         [ -  + ]:        115 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    1791                 :            :   /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
    1792                 :        115 :   alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
    1793         [ +  + ]:        115 :   if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
    1794                 :            :   /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
    1795 [ +  + ][ -  + ]:        115 :   if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
    1796                 :        115 :   pe = powiu(p, prec);
    1797                 :        115 :   c4 = Rg_to_Fp(c4, pe); c4p = remii(c4,p);
    1798                 :        115 :   c6 = Rg_to_Fp(c6, pe); c6p = remii(c6,p);
    1799         [ +  + ]:        115 :   if (pis2)
    1800                 :            :   { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
    1801                 :         50 :     T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, Fp_muls(c4, -9, pe), Fp_muls(c6, -2, pe));
    1802                 :         50 :     a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec);
    1803                 :         50 :     alpha -= 2;
    1804                 :            :   }
    1805         [ +  + ]:         65 :   else if (equaliu(p, 3))
    1806                 :            :   { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
    1807                 :         40 :     a = Fp_neg(c6p, p);
    1808                 :         40 :     T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, Fp_muls(c4, -6, pe), Fp_neg(c6, pe));
    1809                 :         40 :     a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
    1810      [ +  +  - ]:         40 :     switch(lg(a)-1)
    1811                 :            :     {
    1812                 :            :       case 1: /* single root */
    1813                 :         30 :         a = gel(a,1); break;
    1814                 :            :       case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
    1815                 :            :       {
    1816                 :         10 :         GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
    1817                 :         10 :         long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
    1818                 :         10 :         long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
    1819                 :         10 :         long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
    1820         [ +  - ]:         10 :         if      (v1 == v2) a = a3;
    1821         [ #  # ]:          0 :         else if (v1 == v3) a = a2;
    1822                 :          0 :         else a = a1;
    1823                 :            :       }
    1824                 :         10 :       break;
    1825                 :            :     }
    1826                 :         40 :     alpha--;
    1827                 :            :   }
    1828                 :            :   else
    1829                 :            :   { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
    1830                 :            :      * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
    1831                 :         25 :     a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
    1832                 :         25 :     T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, Fp_muls(c4, -18, pe), Fp_neg(c6, pe));
    1833                 :         25 :     a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
    1834                 :            :   }
    1835                 :        115 :   a = cvtop(a, p, prec);
    1836         [ +  + ]:        115 :   if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
    1837                 :        115 :   return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
    1838                 :            : }
    1839                 :            : GEN
    1840                 :        120 : ellQp_root(GEN E, long prec)
    1841                 :        120 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
    1842                 :            : 
    1843                 :            : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
    1844                 :            : static void
    1845                 :         90 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
    1846                 :            : {
    1847                 :         90 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    1848                 :         90 :   GEN w, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1));
    1849                 :         90 :   w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
    1850         [ +  + ]:         90 :   if (valp(gadd(t,w)) <= valp(w)) w = gneg_i(w); /* <=> v(d) > v(w) */
    1851                 :            :   /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
    1852                 :         90 :   *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
    1853                 :         90 :   *ptb = gmul2n(w,-1);
    1854                 :         90 : }
    1855                 :            : 
    1856                 :            : static GEN
    1857                 :         35 : doellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec0)
    1858                 :            : {
    1859                 :         35 :   GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
    1860                 :            :   GEN u, u2, q, x1, a, b, d, s, t;
    1861                 :         35 :   long v, prec = prec0+2;
    1862                 :            : 
    1863         [ -  + ]:         35 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    1864                 :            : START:
    1865                 :         90 :   doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
    1866                 :         90 :   d = gsub(a,b);
    1867                 :         90 :   v = prec0 - precp(d);
    1868         [ +  + ]:         90 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    1869                 :         65 :   x1 = gmul2n(d,-2);
    1870                 :         65 :   u2 = do_padic_agm(&x1,NULL,a,b);
    1871                 :            : 
    1872                 :         65 :   t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
    1873                 :         65 :   s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
    1874                 :         65 :   q = gadd(t,s);
    1875         [ +  + ]:         65 :   if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
    1876                 :         65 :   v = prec0 - precp(q);
    1877         [ +  + ]:         65 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    1878         [ +  + ]:         35 :   if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
    1879         [ +  + ]:         35 :   if (issquare(u2))
    1880                 :         10 :     u = Qp_sqrt(u2);
    1881                 :            :   else
    1882                 :            :   {
    1883                 :         25 :     long v = fetch_user_var("u");
    1884                 :         25 :     GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
    1885                 :         25 :     setvarn(T, v); u = mkpolmod(pol_x(v), T);
    1886                 :            :   }
    1887                 :         35 :   return mkvec4(u2, u, q, mkvec2(a, b));
    1888                 :            : }
    1889                 :            : GEN
    1890                 :         60 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
    1891                 :         60 : {return obj_checkbuild_padicprec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate_uniformization,prec);}
    1892                 :            : GEN
    1893                 :         20 : ellQp_u(GEN E, long prec)
    1894                 :         20 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
    1895                 :            : GEN
    1896                 :          0 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
    1897                 :          0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
    1898                 :            : GEN
    1899                 :          0 : ellQp_q(GEN E, long prec)
    1900                 :          0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
    1901                 :            : GEN
    1902                 :         20 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
    1903                 :         20 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
    1904                 :            : 
    1905                 :            : static GEN
    1906                 :         20 : zellQp(GEN E, GEN z, long prec)
    1907                 :            : {
    1908                 :         20 :   pari_sp av = avma;
    1909                 :            :   GEN b2, a, b, ab, c0, r0, r1, ar1, e1, x, y, delta, x0,x1, y0,y1, t;
    1910         [ -  + ]:         20 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_1;
    1911                 :         20 :   b2 = ell_get_b2(E);
    1912                 :         20 :   e1 = ellQp_root(E, prec);
    1913                 :         20 :   ab = ellQp_ab(E, prec);
    1914                 :         20 :   a = gel(ab,1);
    1915                 :         20 :   b = gel(ab,2); r1 = gsub(a,b);
    1916                 :         20 :   x = gel(z,1);
    1917                 :         20 :   y = gel(z,2);
    1918                 :         20 :   r0 = gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    1919                 :         20 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1)); ar1 = gmul(a,r1);
    1920                 :         20 :   delta = gdiv(ar1, gsqr(c0));
    1921                 :         20 :   x0 = gmul2n(gmul(c0,gaddsg(1,Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2))))),-1);
    1922                 :         20 :   y0 = gdiv(gadd(y, gmul2n(ec_dLHSdy_evalQ(E,z), -1)), gsubsg(1, gdiv(ar1,gsqr(x0))));
    1923                 :            : 
    1924                 :         20 :   x1 = gmul(x0, gsqr(gmul2n(gaddsg(1, Qp_sqrt(gdiv(gadd(x0,r1),x0))),-1)));
    1925                 :         20 :   y1 = gdiv(y0, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r1,gmul2n(x1,2)))));
    1926         [ -  + ]:         20 :   if (gequal0(x1)) pari_err_PREC("ellpointtoz");
    1927                 :            : 
    1928                 :         20 :   (void)do_padic_agm(&x1,&y1, a,b);
    1929                 :         20 :   t = gmul(ellQp_u(E, prec), gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    1930                 :         20 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    1931                 :         20 :   return gerepileupto(av, t);
    1932                 :            : }
    1933                 :            : 
    1934                 :            : GEN
    1935                 :         45 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
    1936                 :            : {
    1937                 :         45 :   pari_sp av = avma;
    1938                 :            :   GEN t;
    1939                 :            :   long s;
    1940                 :            : 
    1941                 :         45 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1942   [ +  +  +  - ]:         45 :   switch(ell_get_type(e))
    1943                 :            :   {
    1944                 :            :     case t_ELL_Qp:
    1945                 :         20 :       prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    1946                 :         20 :       return zellQp(e, z, prec);
    1947                 :         20 :     case t_ELL_Q: break;
    1948                 :          5 :     case t_ELL_Rg: break;
    1949                 :          0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
    1950                 :            :   }
    1951                 :         25 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    1952         [ -  + ]:         25 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    1953                 :         25 :   s = ellR_get_sign(e);
    1954 [ +  + ][ +  - ]:         25 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
                 [ +  - ]
    1955         [ -  + ]:         20 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    1956                 :            :   else
    1957                 :          5 :     t = zellcx(e,z,prec);
    1958                 :         45 :   return gerepileupto(av,t);
    1959                 :            : }
    1960                 :            : 
    1961                 :            : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    1962                 :            : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    1963                 :            : typedef struct {
    1964                 :            :   enum period_type type;
    1965                 :            :   GEN in; /* original input */
    1966                 :            :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    1967                 :            :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    1968                 :            :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    1969                 :            :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z + x*tau + y reduced mod <1,tau> */
    1970                 :            :   GEN x,y; /* t_INT */
    1971                 :            :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    1972                 :            :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    1973                 :            :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    1974                 :            :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 = it, t \in R */
    1975                 :            :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    1976                 :            :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    1977                 :            :   long prec; /* precision(Z) */
    1978                 :            : } ellred_t;
    1979                 :            : 
    1980                 :            : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    1981                 :            :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    1982                 :            : static void
    1983                 :      16175 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    1984                 :            : {
    1985                 :      16175 :   GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
    1986                 :      16175 :   pari_sp av = avma, lim = stack_lim(av, 1);
    1987                 :            : 
    1988                 :      16175 :   a = d = gen_1;
    1989                 :      16175 :   b = c = gen_0;
    1990                 :            :   for(;;)
    1991                 :            :   {
    1992                 :      30579 :     GEN m, n = ground(real_i(t));
    1993         [ +  + ]:      30579 :     if (signe(n))
    1994                 :            :     { /* apply T^n */
    1995                 :      18661 :       t = gsub(t,n);
    1996                 :      18661 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    1997                 :      18661 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    1998                 :            :     }
    1999         [ +  + ]:      30579 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2000                 :      14404 :     t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
    2001                 :      14404 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2002                 :      14404 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2003         [ -  + ]:      14404 :     if (low_stack(lim, stack_lim(av, 1))) {
    2004         [ #  # ]:          0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "redimagsl2");
    2005                 :          0 :       gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
    2006                 :            :     }
    2007                 :      14404 :   }
    2008                 :      16175 :   *pa = a;
    2009                 :      16175 :   *pb = b;
    2010                 :      16175 :   *pc = c;
    2011                 :      16175 :   *pd = d;
    2012                 :      16175 : }
    2013                 :            : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2014                 :            :  * Set *pU to U. */
    2015                 :            : GEN
    2016                 :       6170 : redtausl2(GEN t, GEN *pU)
    2017                 :            : {
    2018                 :       6170 :   pari_sp av = avma;
    2019                 :            :   GEN U, a,b,c,d;
    2020                 :       6170 :   set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
    2021                 :       6170 :   U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2022                 :       6170 :   t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b),
    2023                 :            :            gadd(gmul(c,t), d));
    2024                 :       6170 :   gerepileall(av, 2, &t, &U);
    2025                 :       6170 :   *pU = U; return t;
    2026                 :            : }
    2027                 :            : 
    2028                 :            : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2029                 :            :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2030                 :            : static void
    2031                 :      10005 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2032                 :            : {
    2033                 :            :   long s, p;
    2034                 :      10005 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2035         [ +  + ]:      10005 :   if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2036                 :      10005 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2037         [ -  + ]:      10005 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2038                 :            :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2039                 :      10005 :   T->swap = (s < 0);
    2040         [ +  + ]:      10005 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2041                 :      10005 :   set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2042                 :            :   /* update lattice */
    2043                 :      10005 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2044                 :      10005 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2045                 :      10005 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2046         [ +  + ]:      10005 :   if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2047         [ +  + ]:      10005 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    2048                 :      10005 :   T->prec = p;
    2049                 :      10005 : }
    2050                 :            : static void
    2051                 :       6840 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2052                 :            : {
    2053                 :            :   long p;
    2054                 :            :   GEN Z;
    2055                 :       6840 :   T->abs_u_is_1 = 0;
    2056                 :       6840 :   T->some_z_is_real = 0;
    2057                 :       6840 :   T->some_z_is_pure_imag = 0;
    2058      [ +  -  - ]:       6840 :   switch(typ(z))
    2059                 :            :   {
    2060                 :       6840 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2061                 :            :     case t_QUAD:
    2062         [ #  # ]:          0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2063                 :          0 :       break;
    2064                 :          0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2065                 :            :   }
    2066                 :       6840 :   T->z = z;
    2067                 :       6840 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2068                 :       6840 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    2069         [ +  + ]:       6840 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2070                 :       6840 :   T->y = ground(real_i(Z));
    2071         [ +  + ]:       6840 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2072         [ +  + ]:       6840 :   if (typ(Z) != t_COMPLEX)
    2073                 :        340 :     T->some_z_is_real = T->abs_u_is_1 = 1;
    2074         [ +  + ]:       6500 :   else if (typ(z) != t_COMPLEX)
    2075                 :       3105 :     T->some_z_is_real = 1;
    2076 [ +  + ][ -  + ]:       3395 :   else if (isexactzero(gel(z,1)) || isexactzero(gel(Z,1)))
    2077                 :         60 :     T->some_z_is_pure_imag = 1;
    2078                 :       6840 :   p = precision(Z);
    2079 [ +  + ][ +  + ]:       6840 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
                 [ -  + ]
    2080                 :         10 :     Z = NULL; /*z in L*/
    2081 [ +  + ][ -  + ]:       6840 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2082                 :       6840 :   T->Z = Z;
    2083                 :       6840 : }
    2084                 :            : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2085                 :            : static GEN
    2086                 :       6100 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2087                 :            : {
    2088                 :       6100 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2089         [ +  + ]:       6100 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2090         [ +  + ]:       6100 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2091 [ +  + ][ +  + ]:       6100 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2092         [ +  + ]:       6100 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2093                 :            : }
    2094                 :            : /* e is either
    2095                 :            :  * - [w1,w2]
    2096                 :            :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2097                 :            :  * - an ellinit structure */
    2098                 :            : static void
    2099                 :      10010 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2100                 :            : {
    2101                 :            :   GEN w, e;
    2102                 :      10010 :   T->q_is_real = 0;
    2103                 :      10010 :   T->some_q_is_real = 0;
    2104      [ +  +  + ]:      10010 :   switch(T->type)
    2105                 :            :   {
    2106                 :            :     case t_PER_ELL:
    2107                 :            :     {
    2108                 :        725 :       long pr, p = prec;
    2109 [ +  + ][ +  + ]:        725 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2110                 :        725 :       e = T->in;
    2111                 :        725 :       w = ellR_omega(e, p);
    2112                 :        720 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2113                 :        720 :       break;
    2114                 :            :     }
    2115                 :            :     case t_PER_W:
    2116                 :       9175 :       w = T->in; break;
    2117                 :            :     default: /*t_PER_WETA*/
    2118                 :        110 :       w = gel(T->in,1); break;
    2119                 :            :   }
    2120                 :      10005 :   T->w1 = gel(w,1);
    2121                 :      10005 :   T->w2 = gel(w,2);
    2122                 :      10005 :   red_modSL2(T, prec);
    2123         [ +  + ]:      10005 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2124                 :      10005 : }
    2125                 :            : static int
    2126                 :      10015 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2127                 :            : {
    2128                 :            :   GEN w1;
    2129         [ -  + ]:      10015 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2130                 :      10015 :   T->in = e;
    2131      [ +  +  - ]:      10015 :   switch(lg(e))
    2132                 :            :   {
    2133                 :            :     case 17:
    2134                 :        730 :       T->type = t_PER_ELL;
    2135                 :        730 :       break;
    2136                 :            :     case 3:
    2137                 :       9285 :       w1 = gel(e,1);
    2138         [ +  + ]:       9285 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    2139                 :       9175 :         T->type = t_PER_W;
    2140                 :            :       else
    2141                 :            :       {
    2142         [ -  + ]:        110 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    2143                 :        110 :         T->type = t_PER_WETA;
    2144                 :            :       }
    2145                 :       9285 :       break;
    2146                 :          0 :     default: return 0;
    2147                 :            :   }
    2148                 :      10015 :   return 1;
    2149                 :            : }
    2150                 :            : static int
    2151                 :       9985 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    2152                 :            : {
    2153         [ -  + ]:       9985 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    2154                 :       9985 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    2155                 :            : }
    2156                 :            : 
    2157                 :            : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    2158                 :            : static GEN
    2159                 :       6130 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    2160                 :            : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    2161                 :            : GEN
    2162                 :      23130 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    2163                 :            : 
    2164                 :            : static GEN
    2165                 :       9475 : check_real(GEN q)
    2166 [ +  + ][ +  + ]:       9475 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
    2167                 :            : 
    2168                 :            : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
    2169                 :            : static GEN
    2170                 :       9300 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
    2171                 :            : {
    2172                 :            :   pari_sp lim, av;
    2173                 :            :   GEN p1, q, y, qn;
    2174                 :       9300 :   long n = 1;
    2175                 :            : 
    2176         [ +  + ]:       9300 :   if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
    2177                 :        175 :   q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
    2178                 :        175 :   q = check_real(q);
    2179                 :        175 :   y = gen_0;
    2180                 :        175 :   av = avma; lim = stack_lim(av,2); qn = gen_1;
    2181                 :       2764 :   for(;; n++)
    2182                 :            :   { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
    2183                 :       2939 :     qn = gmul(q,qn);
    2184                 :       2939 :     p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
    2185 [ +  - ][ +  + ]:       2939 :     if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    2186                 :       2764 :     y = gadd(y, p1);
    2187         [ -  + ]:       2764 :     if (low_stack(lim, stack_lim(av,2)))
    2188                 :            :     {
    2189         [ #  # ]:          0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
    2190                 :          0 :       gerepileall(av, 2, &y,&qn);
    2191                 :            :     }
    2192                 :       2764 :   }
    2193                 :       9300 :   return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
    2194                 :            : }
    2195                 :            : 
    2196                 :            : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    2197                 :            : static GEN
    2198                 :       9300 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    2199                 :            : {
    2200                 :       9300 :   GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
    2201                 :       9300 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    2202                 :       9300 :   return check_real(y);
    2203                 :            : }
    2204                 :            : 
    2205                 :            : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    2206                 :            :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    2207                 :            :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    2208                 :            : GEN
    2209                 :       3065 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    2210                 :            : {
    2211                 :       3065 :   pari_sp av = avma;
    2212                 :            :   GEN y;
    2213                 :            :   ellred_t T;
    2214                 :            : 
    2215         [ -  + ]:       3065 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    2216         [ -  + ]:       3065 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    2217         [ -  + ]:       3065 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    2218                 :       3065 :   y = _elleisnum(&T, k);
    2219 [ +  + ][ +  + ]:       3065 :   if (k==2 && signe(T.c))
    2220                 :       2735 :   {
    2221                 :       2735 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    2222                 :       2735 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    2223                 :            :   }
    2224 [ +  + ][ +  - ]:        330 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    2225 [ +  + ][ +  - ]:        315 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    2226                 :       3065 :   return gerepileupto(av,y);
    2227                 :            : }
    2228                 :            : 
    2229                 :            : /* return quasi-periods associated to [T->W1,T->W2] */
    2230                 :            : static GEN
    2231                 :       6105 : _elleta(ellred_t *T)
    2232                 :            : {
    2233                 :       6105 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
    2234                 :       6105 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    2235                 :       6105 :   y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
    2236                 :       6105 :   retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
    2237                 :            : }
    2238                 :            : 
    2239                 :            : /* compute eta1, eta2 */
    2240                 :            : GEN
    2241                 :         30 : elleta(GEN om, long prec)
    2242                 :            : {
    2243                 :         30 :   pari_sp av = avma;
    2244                 :            :   GEN y1, y2, E2, pi;
    2245                 :            :   ellred_t T;
    2246                 :            : 
    2247         [ -  + ]:         30 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    2248         [ +  + ]:         30 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    2249                 :            : 
    2250                 :         25 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    2251                 :         25 :   prec = T.prec;
    2252                 :         25 :   pi = mppi(prec);
    2253                 :         25 :   E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
    2254         [ -  + ]:         25 :   if (signe(T.c))
    2255                 :            :   {
    2256                 :          0 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    2257                 :            :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    2258                 :          0 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    2259                 :            :   }
    2260                 :         25 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    2261         [ +  + ]:         25 :   if (T.swap)
    2262                 :            :   {
    2263                 :          5 :     y1 = y2;
    2264                 :          5 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    2265                 :            :   }
    2266                 :            :   else
    2267                 :         20 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    2268         [ +  + ]:         25 :   switch(typ(T.w1))
    2269                 :            :   {
    2270                 :            :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    2271                 :         20 :       y1 = real_i(y1);
    2272                 :            :   }
    2273                 :         30 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    2274                 :            : }
    2275                 :            : GEN
    2276                 :         10 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    2277                 :            : {
    2278                 :         10 :   pari_sp av = avma;
    2279                 :            :   ellred_t T;
    2280         [ -  + ]:         10 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    2281      [ +  +  - ]:         10 :   switch(flag)
    2282                 :            :   {
    2283                 :          5 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    2284                 :          5 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    2285                 :          0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    2286                 :         10 :              return NULL;/*not reached*/
    2287                 :            :   }
    2288                 :            : }
    2289                 :            : 
    2290                 :            : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    2291                 :            : static double
    2292                 :       6815 : get_toadd(GEN z) { return (2*PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    2293                 :            : 
    2294                 :            : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    2295                 :            :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    2296                 :            : static GEN
    2297                 :        695 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    2298                 :            : {
    2299                 :            :   long toadd;
    2300                 :        695 :   pari_sp av = avma, lim, av1;
    2301                 :            :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    2302                 :            :   ellred_t T;
    2303                 :            :   int simple_case;
    2304                 :            : 
    2305         [ -  + ]:        695 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    2306         [ +  + ]:        690 :   if (!T.Z) return NULL;
    2307                 :        685 :   prec = T.prec;
    2308                 :            : 
    2309                 :            :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    2310                 :        685 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2311                 :        685 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    2312                 :        685 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    2313                 :        685 :   u1 = gsubsg(1,u);
    2314                 :        685 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    2315         [ +  + ]:        685 :   if (gequal0(u2)) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    2316                 :        680 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    2317         [ +  + ]:        680 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    2318 [ +  + ][ +  - ]:        680 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2319                 :        680 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    2320         [ +  + ]:        680 :   yp = flall? gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)): NULL;
    2321                 :        680 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2322                 :            : 
    2323                 :        680 :   av1 = avma; lim = stack_lim(av1,1); qn = q;
    2324                 :            :   for(;;)
    2325                 :            :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    2326                 :            :     /* analogous formula for yp */
    2327                 :       8877 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    2328                 :       8877 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    2329                 :       8877 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    2330                 :       8877 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    2331         [ +  + ]:       8877 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    2332         [ +  + ]:       8877 :     if (simple_case)
    2333                 :            :     { /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    2334                 :        216 :       yadd = gdiv(u, a2);
    2335                 :        216 :       yadd = gmul2n(real_i(yadd), 1);
    2336         [ +  + ]:        216 :       if (yp) ypadd = gmul2n(real_i(ypadd), 1);
    2337                 :            :     }
    2338                 :            :     else
    2339                 :            :     {
    2340                 :       8661 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    2341                 :       8661 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    2342                 :       8661 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    2343         [ +  + ]:       8661 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    2344                 :            :     }
    2345                 :       8877 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    2346                 :       8877 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    2347         [ +  + ]:       8877 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    2348                 :            : 
    2349                 :       8877 :     qn = gmul(q,qn);
    2350         [ +  + ]:       8877 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2351         [ -  + ]:       8197 :     if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
    2352                 :            :     {
    2353         [ #  # ]:          0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    2354         [ #  # ]:          0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    2355                 :            :     }
    2356                 :       8197 :   }
    2357                 :            : 
    2358                 :        680 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    2359                 :        680 :   u2 = gsqr(u1);
    2360                 :        680 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    2361 [ +  - ][ +  + ]:        680 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
                 [ +  + ]
    2362                 :        400 :     y = real_i(y);
    2363         [ +  + ]:        680 :   if (yp)
    2364                 :            :   {
    2365                 :        635 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    2366 [ +  - ][ +  + ]:        635 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    2367                 :        635 :     y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
    2368                 :            :   }
    2369                 :        690 :   return gerepilecopy(av, y);
    2370                 :            : }
    2371                 :            : static GEN
    2372                 :        150 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    2373                 :            : {
    2374                 :            :   long i, k, l;
    2375                 :            :   pari_sp av;
    2376                 :        150 :   GEN t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    2377                 :            : 
    2378                 :        150 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    2379         [ -  + ]:        150 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    2380                 :            : 
    2381         [ +  + ]:       1225 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    2382   [ +  -  -  -  :        150 :   switch(PRECDL)
                      - ]
    2383                 :            :   {
    2384                 :        150 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    2385                 :            :     case 6:
    2386                 :        150 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    2387                 :            :     case 4:
    2388                 :        150 :     case 3: P[2] = gen_0;
    2389                 :            :     case 2:
    2390                 :        150 :     case 1: P[0] = gen_1;
    2391                 :        150 :     case 0: break;
    2392                 :            :   }
    2393         [ -  + ]:        150 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    2394                 :        150 :   av = avma;
    2395                 :        150 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    2396         [ +  + ]:        525 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    2397                 :            :   {
    2398                 :        375 :     av = avma;
    2399                 :        375 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    2400         [ +  + ]:        670 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    2401                 :        375 :     t = gmul2n(t, 1);
    2402         [ +  + ]:        375 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    2403         [ +  + ]:        375 :     if (k % 3 == 2)
    2404                 :        140 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    2405                 :            :     else /* same value, more efficient */
    2406                 :        235 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    2407                 :        375 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    2408                 :            :   }
    2409                 :        150 :   return res;
    2410                 :            : }
    2411                 :            : 
    2412                 :            : static int
    2413                 :        135 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    2414                 :            : {
    2415         [ +  - ]:        135 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
              [ +  +  - ]
    2416                 :            :   {
    2417                 :            :     case 17:
    2418                 :         70 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    2419                 :         70 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    2420                 :         70 :       return 1;
    2421                 :            :     case 3:
    2422                 :            :     {
    2423                 :            :       ellred_t T;
    2424         [ +  - ]:         65 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    2425                 :         65 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    2426                 :         65 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    2427                 :         65 :       return 1;
    2428                 :            :     }
    2429                 :            :   }
    2430                 :          0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    2431                 :        135 :   return 0;
    2432                 :            : }
    2433                 :            : 
    2434                 :            : GEN
    2435                 :         20 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    2436                 :            : {
    2437                 :            :   GEN c4, c6;
    2438                 :         20 :   checkell(e);
    2439                 :         20 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2440                 :         20 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    2441                 :            : }
    2442                 :            : 
    2443                 :            : GEN
    2444                 :          0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    2445                 :          0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    2446                 :            : 
    2447                 :            : GEN
    2448                 :        100 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    2449                 :            : {
    2450                 :        100 :   pari_sp av = avma;
    2451                 :            :   GEN y;
    2452                 :            : 
    2453 [ -  + ][ #  # ]:        100 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    2454         [ +  + ]:        100 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2455                 :        100 :   y = toser_i(z);
    2456         [ +  + ]:        100 :   if (y)
    2457                 :            :   {
    2458                 :         50 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2459                 :            :     GEN P, Q, c4,c6;
    2460         [ -  + ]:         50 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    2461         [ -  + ]:         50 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    2462         [ -  + ]:         50 :     if (gequal0(y)) {
    2463                 :          0 :       avma = av;
    2464         [ #  # ]:          0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    2465                 :          0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    2466                 :            :     }
    2467                 :         50 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2468                 :         50 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2469         [ +  - ]:         50 :     if (!flag)
    2470                 :         50 :       return gerepileupto(av, Q);
    2471                 :            :     else
    2472                 :            :     {
    2473                 :          0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    2474                 :         50 :       return gerepilecopy(av, R);
    2475                 :            :     }
    2476                 :            :   }
    2477                 :         50 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    2478         [ +  + ]:         50 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    2479                 :         95 :   return gerepileupto(av, y);
    2480                 :            : }
    2481                 :            : 
    2482                 :            : GEN
    2483                 :         85 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    2484                 :            : {
    2485                 :            :   long prec;
    2486                 :         85 :   pari_sp av = avma;
    2487                 :         85 :   GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
    2488                 :            :   ellred_t T;
    2489                 :            :   int simple_case;
    2490                 :            : 
    2491         [ +  + ]:         85 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2492                 :         85 :   y = toser_i(z);
    2493         [ +  + ]:         85 :   if (y)
    2494                 :            :   {
    2495                 :         40 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2496                 :            :     GEN P, Q, c4,c6;
    2497         [ -  + ]:         40 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    2498         [ -  + ]:         40 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    2499         [ -  + ]:         40 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    2500                 :         40 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2501                 :         40 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    2502                 :         40 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2503                 :         40 :     return gerepileupto(av, Q);
    2504                 :            :   }
    2505         [ -  + ]:         45 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    2506         [ -  + ]:         45 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    2507                 :         45 :   prec = T.prec;
    2508 [ +  - ][ -  + ]:         45 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    2509                 :            : 
    2510                 :         45 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2511                 :         45 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    2512                 :         45 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    2513 [ +  + ][ +  - ]:         45 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2514                 :            : 
    2515                 :         45 :   y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    2516                 :         45 :   v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    2517         [ +  + ]:         45 :   if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    2518                 :         45 :   y = gadd(y, v);
    2519                 :            : 
    2520         [ +  + ]:         45 :   if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
    2521                 :            :   {
    2522                 :         35 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2523                 :         35 :     pari_sp av1 = avma, lim = stack_lim(av1,1);
    2524                 :            :     GEN qn;
    2525                 :         35 :     for (qn = q;;)
    2526                 :            :     { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
    2527                 :        525 :       GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
    2528                 :        525 :       y = gadd(y, gmul(qn,p1));
    2529                 :        525 :       qn = gmul(q,qn);
    2530         [ +  + ]:        525 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2531         [ -  + ]:        490 :       if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
    2532                 :            :       {
    2533         [ #  # ]:          0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    2534                 :          0 :         gerepileall(av1,2, &y,&qn);
    2535                 :            :       }
    2536                 :        525 :     }
    2537                 :            :   }
    2538                 :         45 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    2539         [ -  + ]:         45 :   if (et) y = gadd(y,et);
    2540         [ +  - ]:         45 :   if (T.some_q_is_real)
    2541                 :            :   {
    2542         [ +  + ]:         45 :     if (T.some_z_is_real)
    2543                 :         15 :       y = real_i(y);
    2544         [ +  + ]:         30 :     else if (T.some_z_is_pure_imag)
    2545                 :         15 :       gel(y,1) = gen_0;
    2546                 :            :   }
    2547                 :         85 :   return gerepilecopy(av, y);
    2548                 :            : }
    2549                 :            : 
    2550                 :            : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    2551                 :            : GEN
    2552                 :       6150 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    2553                 :            : {
    2554                 :            :   long toadd, prec, n;
    2555                 :       6150 :   pari_sp av = avma, lim, av1;
    2556                 :            :   GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    2557                 :            :   GEN u, uhalf, urn, urninv;
    2558                 :            :   ellred_t T;
    2559                 :            : 
    2560 [ +  - ][ -  + ]:       6150 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    2561                 :            : 
    2562         [ +  + ]:       6150 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2563                 :       6150 :   y = toser_i(z);
    2564         [ +  + ]:       6150 :   if (y)
    2565                 :            :   {
    2566                 :         45 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2567                 :            :     GEN P, Q, c4,c6;
    2568         [ -  + ]:         45 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    2569         [ -  + ]:         45 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    2570         [ +  + ]:         45 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    2571         [ -  + ]:         40 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    2572                 :         40 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2573                 :         40 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    2574                 :            :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    2575                 :         40 :     P = integser(gsub(P, monomial(gen_1,-1,vy)));
    2576                 :         40 :     P = gexp(P, prec0);
    2577                 :         40 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    2578                 :         40 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2579                 :         40 :     return gerepileupto(av, Q);
    2580                 :            :   }
    2581         [ -  + ]:       6105 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    2582         [ +  + ]:       6105 :   if (!T.Z)
    2583                 :            :   {
    2584         [ -  + ]:          5 :     if (!flag) return gen_0;
    2585                 :          5 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    2586                 :            :   }
    2587                 :       6100 :   prec = T.prec;
    2588                 :       6100 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    2589                 :       6100 :   pi  = mppi(prec);
    2590                 :            : 
    2591                 :       6100 :   toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    2592                 :       6100 :   uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    2593                 :       6100 :   u = gsqr(uhalf);
    2594                 :       6100 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    2595                 :       6100 :   q = gpowgs(q8,8);
    2596                 :       6100 :   u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
    2597                 :       6100 :   y = gen_0;
    2598                 :       6100 :   av1 = avma; lim = stack_lim(av1,1);
    2599                 :       6100 :   qn = q; qn2 = gen_1;
    2600                 :       6100 :   urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
    2601                 :       6100 :   for(n=0;;n++)
    2602                 :            :   {
    2603                 :      34230 :     y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
    2604                 :      34230 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    2605         [ +  + ]:      34230 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    2606                 :      28130 :     qn  = gmul(q,qn);
    2607                 :      28130 :     urn = gmul(urn,u);
    2608                 :      28130 :     urninv = gmul(urninv,uinv);
    2609         [ -  + ]:      28130 :     if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
    2610                 :            :     {
    2611         [ #  # ]:          0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    2612                 :          0 :       gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    2613                 :            :     }
    2614                 :      28130 :   }
    2615                 :       6100 :   y = gmul(gmul(y,q8),
    2616                 :            :            gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    2617                 :            : 
    2618                 :       6100 :   et = _elleta(&T);
    2619                 :       6100 :   etnew = eta_correction(&T, et);
    2620                 :       6100 :   zinit = gmul(T.Z,T.W2);
    2621                 :       6100 :   etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
    2622                 :            :                            gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
    2623 [ +  + ][ +  + ]:       6100 :   if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
    2624                 :       6100 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
    2625         [ +  + ]:       6100 :   if (flag)
    2626                 :            :   {
    2627                 :       6055 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    2628 [ +  + ][ +  + ]:       6055 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
    2629                 :            :     { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
    2630         [ +  - ]:         15 :       if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
    2631                 :            :     }
    2632                 :            :   }
    2633                 :            :   else
    2634                 :            :   {
    2635                 :         45 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    2636         [ +  - ]:         45 :     if (T.some_q_is_real)
    2637                 :            :     {
    2638         [ +  + ]:         45 :       if (T.some_z_is_real)
    2639                 :         15 :         y = real_i(y);
    2640         [ +  + ]:         30 :       else if (T.some_z_is_pure_imag)
    2641                 :         15 :         gel(y,1) = gen_0;
    2642                 :            :     }
    2643                 :            :   }
    2644                 :       6140 :   return gerepilecopy(av, y);
    2645                 :            : }
    2646                 :            : 
    2647                 :            : GEN
    2648                 :        645 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    2649                 :            : {
    2650                 :        645 :   pari_sp av = avma;
    2651                 :            :   GEN v;
    2652                 :            : 
    2653                 :        645 :   checkell(e);
    2654                 :        645 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    2655         [ +  + ]:        640 :   if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
    2656                 :        635 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    2657                 :        635 :   gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
    2658                 :        640 :   return gerepilecopy(av, v);
    2659                 :            : }
    2660                 :            : 
    2661                 :            : /********************************************************************/
    2662                 :            : /**                                                                **/
    2663                 :            : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    2664                 :            : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    2665                 :            : /**                                                                **/
    2666                 :            : /********************************************************************/
    2667                 :            : 
    2668                 :            : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    2669                 :            :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    2670                 :            :   in the form [f, kod, v, c].
    2671                 :            : 
    2672                 :            :   * The integer f is the conductor's exponent.
    2673                 :            : 
    2674                 :            :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    2675                 :            :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    2676                 :            :     I0  -->  1
    2677                 :            :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    2678                 :            :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    2679                 :            : 
    2680                 :            :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    2681                 :            : 
    2682                 :            :   * c is the Tamagawa number.
    2683                 :            : 
    2684                 :            :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    2685                 :            :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    2686                 :            : static GEN
    2687                 :    1125390 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    2688                 :            : {
    2689                 :    1125390 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    2690                 :    1125390 :   gel(z,1) = stoi(f);
    2691                 :    1125390 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    2692                 :    1125390 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    2693                 :    1125390 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    2694                 :            : }
    2695                 :            : static GEN
    2696                 :          0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    2697                 :            : {
    2698         [ #  # ]:          0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    2699                 :          0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    2700                 :          0 :   return NULL; /* not reached */
    2701                 :            : }
    2702                 :            : 
    2703                 :            : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    2704                 :            : static long
    2705                 :     591585 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    2706                 :            : 
    2707                 :            : #if 0
    2708                 :            : /* Here p > 3. e assumed integral, return v_p(N). Simplified version of
    2709                 :            :  * localred_p */
    2710                 :            : static long
    2711                 :            : localred_p_get_f(GEN e, GEN p)
    2712                 :            : {
    2713                 :            :   long nuj, nuD;
    2714                 :            :   GEN D = ell_get_disc(e);
    2715                 :            :   nuj = j_pval(e, p);
    2716                 :            :   nuD = Z_pval(D, p);
    2717                 :            :   if (nuj == 0) return (nuD % 12)? 2 : 0;
    2718                 :            :   return (nuD - nuj) % 12 ? 2: 1;
    2719                 :            : }
    2720                 :            : #endif
    2721                 :            : /* Here p > 3. e assumed integral, minim = 1 if we only want a minimal model */
    2722                 :            : static GEN
    2723                 :     591395 : localred_p(GEN e, GEN p)
    2724                 :            : {
    2725                 :            :   long k, f, kod, c, nuj, nuD;
    2726                 :     591395 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    2727                 :            : 
    2728                 :     591395 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2729                 :     591395 :   c6 = ell_get_c6(e);
    2730                 :     591395 :   nuj = j_pval(e, p);
    2731                 :     591395 :   nuD = Z_pval(D, p);
    2732                 :     591395 :   k = (nuD - nuj) / 12;
    2733         [ +  + ]:     591395 :   if (k <= 0) v = init_ch();
    2734                 :            :   else
    2735                 :            :   { /* model not minimal */
    2736                 :          5 :     GEN pk = powiu(p,k), p2k = sqri(pk), p4k = sqri(p2k), p6k = mulii(p4k,p2k);
    2737                 :            :     GEN r, s, t;
    2738                 :            : 
    2739                 :          5 :     s = negi(ell_get_a1(e));
    2740         [ -  + ]:          5 :     if (mpodd(s)) s = addii(s, pk);
    2741                 :          5 :     s = shifti(s, -1);
    2742                 :            : 
    2743                 :          5 :     r = subii(ell_get_a2(e), mulii(s, addii(ell_get_a1(e), s)));
    2744      [ +  -  - ]:          5 :     switch(umodiu(r, 3))
    2745                 :            :     {
    2746                 :          5 :       default: break; /* 0 */
    2747                 :          0 :       case 2: r = addii(r, p2k); break;
    2748                 :          0 :       case 1: r = subii(r, p2k); break;
    2749                 :            :     }
    2750                 :          5 :     r = negi( diviuexact(r, 3) );
    2751                 :            : 
    2752                 :          5 :     t = negi(Zec_h_evalx(e,r));
    2753         [ -  + ]:          5 :     if (mpodd(t)) t = addii(t, mulii(pk, p2k));
    2754                 :          5 :     t = shifti(t, -1);
    2755                 :            : 
    2756                 :          5 :     v = mkvec4(pk,r,s,t);
    2757                 :          5 :     nuD -= 12 * k;
    2758                 :          5 :     c4 = diviiexact(c4, p4k);
    2759                 :          5 :     c6 = diviiexact(c6, p6k);
    2760                 :          5 :     D = diviiexact(D, sqri(p6k));
    2761                 :            :   }
    2762                 :            : 
    2763         [ +  + ]:     591395 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
              [ +  +  - ]
    2764                 :            :   {
    2765                 :     511655 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    2766      [ +  +  - ]:     511655 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    2767                 :            :       {
    2768                 :     263275 :         case  1: c = nuD; break;
    2769         [ +  + ]:     248380 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    2770                 :          0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    2771                 :            :       }
    2772                 :     511655 :       break;
    2773                 :            :     case 6:
    2774                 :            :     {
    2775                 :      31140 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    2776         [ +  + ]:      31140 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    2777                 :      31140 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    2778                 :      31140 :       break;
    2779                 :            :     }
    2780                 :     542795 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    2781                 :            :   }
    2782   [ +  +  +  +  :      48600 :   else switch(nuD)
             +  +  +  +  
                      - ]
    2783                 :            :   {
    2784                 :          5 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    2785                 :       7875 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    2786                 :       6975 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    2787                 :       3815 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    2788                 :       3815 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    2789                 :       3815 :       break;
    2790                 :      11285 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    2791                 :      11285 :       p2 = sqri(p);
    2792                 :            :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    2793                 :      11285 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    2794                 :            :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    2795                 :            :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    2796                 :      11285 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    2797                 :      11285 :       break;
    2798                 :       7875 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    2799                 :       7875 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    2800                 :       7875 :       break;
    2801                 :       6970 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    2802                 :       3800 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    2803                 :          0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    2804                 :            :   }
    2805                 :     591395 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    2806                 :            : }
    2807                 :            : 
    2808                 :            : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    2809                 :            : static ulong
    2810                 :     591945 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    2811                 :            : {
    2812                 :     591945 :   return umodiu(ak, q) / pl;
    2813                 :            : }
    2814                 :            : 
    2815                 :            : static ulong
    2816                 :     961930 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    2817                 :            : {
    2818                 :     961930 :   pari_sp av = avma;
    2819                 :     961930 :   ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
    2820                 :     961930 :   avma = av; return res;
    2821                 :            : }
    2822                 :            : 
    2823                 :            : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    2824                 :            :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    2825                 :            :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    2826                 :            : static long
    2827                 :     162915 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    2828                 :            : {
    2829         [ +  + ]:     162915 :   if (p == 2)
    2830                 :            :   {
    2831         [ +  + ]:      93965 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    2832         [ +  + ]:      81445 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    2833                 :            :   }
    2834                 :            :   /* p = 3 */
    2835 [ +  + ][ +  + ]:      68950 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    2836                 :      46265 :   *mult = a * b;
    2837         [ +  + ]:      46265 :   if (b == 2)
    2838         [ +  + ]:      15370 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    2839                 :            :   else
    2840         [ +  + ]:     162915 :     return c ? 3 : 2;
    2841                 :            : }
    2842                 :            : 
    2843                 :            : /* same for aX^2 +bX + c */
    2844                 :            : static long
    2845                 :     532565 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    2846                 :            : {
    2847 [ +  + ][ +  + ]:     532565 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    2848                 :            :   /* p = 3 */
    2849         [ +  + ]:     532565 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    2850                 :            : }
    2851                 :            : 
    2852                 :            : /* p = 2 or 3 */
    2853                 :            : static GEN
    2854                 :     533995 : localred_23(GEN e, long p)
    2855                 :            : {
    2856                 :            :   long c, nu, nuD, r, s, t;
    2857                 :            :   long theroot, p2, p3, p4, p5, p6, a21, a42, a63, a32, a64;
    2858                 :            :   GEN v;
    2859                 :            : 
    2860                 :     533995 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    2861                 :     533995 :   v = init_ch();
    2862         [ +  + ]:     533995 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; p6 = 64;}
    2863                 :     254120 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; p6 =729; }
    2864                 :            : 
    2865                 :            :   for (;;)
    2866                 :            :   {
    2867         [ +  + ]:     533995 :     if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v);
    2868                 :            :         /* I0   */
    2869         [ +  + ]:     466235 :     if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    2870                 :            :     {
    2871 [ +  + ][ +  + ]:     255180 :       if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    2872                 :     129480 :         c = nuD;
    2873                 :            :       else
    2874                 :     125700 :         c = 2 - (nuD & 1);
    2875                 :     255180 :       return localred_result(1, 4 + nuD, c, v);
    2876                 :            :     }
    2877                 :            :         /* Inu  */
    2878         [ +  + ]:     211055 :     if (p == 2)
    2879                 :            :     {
    2880                 :     123625 :       r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    2881                 :     123625 :       s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    2882                 :     123625 :       t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    2883         [ +  + ]:     123625 :       if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    2884                 :            :     }
    2885                 :            :     else /* p == 3 */
    2886                 :            :     {
    2887                 :      87430 :       r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    2888                 :      87430 :       s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    2889                 :      87430 :       t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    2890 [ +  + ][ +  + ]:      87430 :       if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    2891                 :            :     }
    2892                 :            :     /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    2893 [ +  + ][ +  + ]:     211055 :     if (r || s || t) E_compose_rst(&v, &e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
                 [ +  + ]
    2894         [ +  + ]:     211055 :     if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    2895                 :      14915 :       return localred_result(nuD, 2, 1, v);
    2896                 :            :         /* II   */
    2897         [ +  + ]:     196140 :     if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    2898                 :      18355 :       return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v);
    2899                 :            :         /* III  */
    2900         [ +  + ]:     177785 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    2901                 :            :     {
    2902 [ +  + ][ +  + ]:      14870 :       if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    2903                 :       7555 :         c = 3;
    2904                 :            :       else
    2905                 :       7315 :         c = 1;
    2906                 :      14870 :       return localred_result(nuD - 2, 4, c, v);
    2907                 :            :     }
    2908                 :            :         /* IV   */
    2909                 :            : 
    2910         [ +  + ]:     162915 :     if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    2911         [ +  + ]:      62320 :       E_compose_t(&v, &e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    2912                 :            :         /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    2913                 :     162915 :     a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    2914                 :     162915 :     a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    2915                 :     162915 :     a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    2916   [ +  +  +  - ]:     162915 :     switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    2917                 :            :     {
    2918                 :            :       case 3:
    2919         [ +  + ]:      23950 :         c = a63 ? 1: 2;
    2920         [ +  + ]:      23950 :         if (p == 2)
    2921                 :      12520 :           c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    2922                 :            :         else {
    2923         [ +  + ]:      11430 :           if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    2924         [ +  + ]:      11430 :           if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    2925                 :            :         }
    2926                 :      23950 :         return localred_result(nuD - 4, -1, c, v);
    2927                 :            :       case 2: /* I0*  */
    2928                 :            :       { /* compute nu */
    2929                 :            :         GEN pk, pk1, p2k;
    2930                 :            :         long al, be, ga;
    2931         [ +  + ]:      87365 :         if (theroot) E_compose_r(&v, &e, stoi(theroot * p));
    2932                 :            :             /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    2933                 :      87365 :         nu = 1;
    2934                 :      87365 :         pk  = utoipos(p2);
    2935                 :      87365 :         p2k = utoipos(p4);
    2936                 :            :         for(;;)
    2937                 :            :         {
    2938                 :     262005 :           be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    2939                 :     262005 :           ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    2940                 :     262005 :           al = 1;
    2941         [ +  + ]:     262005 :           if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    2942         [ +  + ]:     218960 :           if (theroot) E_compose_t(&v, &e, mulsi(theroot,pk));
    2943                 :     218960 :           pk1 = pk;
    2944                 :     218960 :           pk  = mului(p, pk);
    2945                 :     218960 :           p2k = mului(p, p2k); nu++;
    2946                 :            : 
    2947                 :     218960 :           al = a21;
    2948                 :     218960 :           be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    2949                 :     218960 :           ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    2950         [ +  + ]:     218960 :           if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    2951         [ +  + ]:     174640 :           if (theroot) E_compose_r(&v, &e, mulsi(theroot, pk1));
    2952                 :     174640 :           p2k = mului(p, p2k); nu++;
    2953                 :     174640 :         }
    2954         [ +  + ]:      87365 :         if (p == 2)
    2955                 :      48335 :           c = 4 - 2 * (ga & 1);
    2956                 :            :         else
    2957                 :      39030 :           c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    2958                 :      87365 :         return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v);
    2959                 :            :       }
    2960                 :            :       case 1: /* Inu* */
    2961         [ +  + ]:      51600 :         if (theroot) E_compose_r(&v, &e, stoi(theroot*p));
    2962                 :            :             /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    2963                 :      51600 :         a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    2964                 :      51600 :         a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    2965         [ +  + ]:      51600 :         if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    2966                 :            :         {
    2967         [ +  + ]:      19625 :           if (p == 2)
    2968                 :      13280 :             c = 3 - 2 * a64;
    2969                 :            :           else
    2970                 :       6345 :             c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    2971                 :      19625 :           return localred_result(nuD - 6, -4, c, v);
    2972                 :            :         }
    2973                 :            :             /* IV*  */
    2974         [ +  + ]:      31975 :         if (theroot) E_compose_t(&v, &e, stoi(theroot*p2));
    2975                 :            :             /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    2976         [ +  + ]:      31975 :         if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    2977                 :      19265 :           return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v);
    2978                 :            :             /* III* */
    2979                 :            : 
    2980         [ +  - ]:      12710 :         if (umodiu(ell_get_a6(e), p6))
    2981                 :      12710 :           return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v);
    2982                 :            :             /* II*  */
    2983                 :          0 :         E_compose_u(&v, &e, utoipos(p)); /* not minimal */
    2984                 :          0 :         nuD -= 12;
    2985                 :            :     }
    2986                 :     533995 :   }
    2987                 :            : }
    2988                 :            : 
    2989                 :            : static GEN
    2990                 :    1125380 : localred(GEN e, GEN p)
    2991                 :            : {
    2992         [ +  + ]:    1125380 :   if (cmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    2993                 :     591395 :     return localred_p(e,p);
    2994                 :            :   else
    2995                 :            :   {
    2996                 :     533985 :     long l = itos(p);
    2997         [ -  + ]:     533985 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    2998                 :    1125380 :     return localred_23(e, l);
    2999                 :            :   }
    3000                 :            : }
    3001                 :            : 
    3002                 :            : GEN
    3003                 :         15 : elllocalred(GEN e, GEN p)
    3004                 :            : {
    3005                 :         15 :   pari_sp av = avma;
    3006                 :         15 :   checkell_Q(e);
    3007         [ -  + ]:         15 :   if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
    3008                 :          0 :     pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
    3009         [ -  + ]:         15 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
    3010         [ -  + ]:         15 :   if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
    3011                 :         15 :   return gerepileupto(av, localred(e, p));
    3012                 :            : }
    3013                 :            : 
    3014                 :            : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
    3015                 :            :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    3016                 :            : static GEN
    3017                 :     323750 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    3018                 :            : {
    3019                 :     323750 :   GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L;
    3020                 :            :   long i, l, k;
    3021                 :            : 
    3022                 :     323750 :   L = cgetg(1, t_VEC);
    3023         [ +  + ]:    1942500 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    3024                 :            :   {
    3025                 :    1618750 :     GEN c = gel(e,i);
    3026                 :    1618750 :     gel(a,i) = c;
    3027      [ +  +  - ]:    1618750 :     switch(typ(c))
    3028                 :            :     {
    3029                 :    1618690 :       case t_INT: break;
    3030                 :            :       case t_FRAC: /* partial factorization */
    3031                 :         60 :         L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(gel(c,2), 0),1));
    3032                 :         60 :         break;
    3033                 :          0 :       default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel [not a rational curve]",e);
    3034                 :            :     }
    3035                 :            :   }
    3036                 :            :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    3037 [ +  + ][ +  + ]:     323750 :   l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
    3038                 :         20 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    3039                 :         20 :   l = lg(L);
    3040                 :            : 
    3041                 :         20 :   t = gen_1;
    3042         [ +  + ]:         55 :   for (k = 1; k < l; k++)
    3043                 :            :   {
    3044                 :         35 :     GEN p = gel(L,k);
    3045                 :         35 :     long n = 0, m;
    3046         [ +  + ]:        210 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    3047         [ +  + ]:        175 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    3048                 :            :       {
    3049         [ +  + ]:        130 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    3050                 :        130 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    3051         [ +  + ]:        165 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    3052                 :            :       }
    3053                 :         35 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    3054                 :            :   }
    3055                 :         20 :   u = ginv(t);
    3056         [ +  - ]:         20 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    3057                 :     323750 :   return coordch_u(e, u);
    3058                 :            : }
    3059                 :            : 
    3060                 :            : /* FIXME: export ? */
    3061                 :            : static ulong
    3062                 :     404120 : Mod32(GEN x) {
    3063                 :     404120 :   long s = signe(x);
    3064                 :            :   ulong m;
    3065         [ +  + ]:     404120 :   if (!s) return 0;
    3066         [ +  + ]:     401370 :   m = mod32(x); if (!m) return m;
    3067         [ +  + ]:     349215 :   if (s < 0) m = 32 - m;
    3068                 :     404120 :   return m;
    3069                 :            : }
    3070                 :            : #define Mod16(x) Mod32(x)&15
    3071                 :            : #define Mod2(x) Mod32(x)&1
    3072                 :            : 
    3073                 :            : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3074                 :            : typedef struct {
    3075                 :            :   long a1; /*{0,1}*/
    3076                 :            :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3077                 :            :   long a3; /*{0,1}*/
    3078                 :            :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3079                 :            :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3080                 :            :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3081                 :            : } ellmin_t;
    3082                 :            : 
    3083                 :            : /* u from [u,r,s,t] */
    3084                 :            : static void
    3085                 :     323835 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3086                 :            : {
    3087                 :     323835 :   M->u = u;
    3088         [ +  + ]:     323835 :   if (is_pm1(u))
    3089                 :     323565 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3090                 :            :   else
    3091                 :            :   {
    3092                 :        270 :     M->u2 = sqri(u);
    3093                 :        270 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3094                 :        270 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3095                 :        270 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3096                 :            :   }
    3097                 :     323835 : }
    3098                 :            : /* E = original curve */
    3099                 :            : static void
    3100                 :     323835 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3101                 :            : {
    3102                 :     323835 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3103         [ +  + ]:     323835 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3104                 :        270 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3105                 :        270 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3106                 :            :   }
    3107                 :     323835 :   M->c4 = c4;
    3108                 :     323835 :   M->c6 = c6;
    3109                 :     323835 : }
    3110                 :            : static void
    3111                 :     323615 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3112                 :            : {
    3113                 :     323615 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3114         [ +  + ]:     323615 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3115                 :     323615 :   M->D = D;
    3116                 :     323615 : }
    3117                 :            : static void
    3118                 :     323730 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3119                 :            : {
    3120                 :     323730 :   long b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3121                 :     323730 :   long b22 = b2*b2; /* in [0,36] */
    3122                 :     323730 :   M->b2 = b2;
    3123                 :     323730 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3124                 :     323730 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3125                 :     323730 : }
    3126                 :            : static void
    3127                 :     323630 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3128                 :            : {
    3129                 :     323630 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3130                 :     323630 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3131         [ +  + ]:     323630 :   if (odd(b2))
    3132                 :            :   {
    3133                 :     172495 :     a1 = 1;
    3134                 :     172495 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3135                 :            :   }
    3136                 :            :   else
    3137                 :            :   {
    3138                 :     151135 :     a1 = 0;
    3139                 :     151135 :     a2 = b2 >> 2;
    3140                 :            :   }
    3141                 :     323630 :   M->a1 = a1;
    3142                 :     323630 :   M->a2 = a2;
    3143                 :     323630 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3144                 :     323630 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3145                 :     323630 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3146                 :     323630 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3147                 :     323630 : }
    3148                 :            : static GEN
    3149                 :     323615 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3150                 :            : {
    3151                 :     323615 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3152                 :            :   long a11, a13;
    3153         [ +  + ]:     323615 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3154                 :     323615 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3155         [ +  + ]:     323615 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3156                 :     323615 :   gel(y,4) = M->a4;
    3157                 :     323615 :   gel(y,5) = M->a6;
    3158                 :     323615 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3159                 :     323615 :   gel(y,7) = M->b4;
    3160                 :     323615 :   gel(y,8) = M->b6;
    3161                 :     323615 :   a11 = M->a1;
    3162                 :     323615 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3163                 :     323615 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3164                 :            :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3165                 :     323615 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3166                 :     323615 :   gel(y,10)= M->c4;
    3167                 :     323615 :   gel(y,11)= M->c6;
    3168                 :     323615 :   gel(y,12)= M->D;
    3169                 :     323615 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3170                 :     323615 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3171                 :     323615 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3172                 :     323615 :   return y;
    3173                 :            : }
    3174                 :            : static GEN
    3175                 :     323615 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3176                 :            : {
    3177                 :            :   GEN r, s, t;
    3178                 :     323615 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3179         [ +  + ]:     323615 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3180         [ +  + ]:     323615 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, ec_h_evalx(E,r)), -1);
    3181                 :     323615 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3182                 :            : }
    3183                 :            : 
    3184                 :            : static long
    3185                 :        220 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    3186                 :            : {
    3187                 :        220 :   long N = 1; /* oo */
    3188         [ +  + ]:        220 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    3189         [ +  + ]:        180 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    3190         [ +  + ]:        220 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    3191         [ +  + ]:        195 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    3192                 :        220 :   return N;
    3193                 :            : }
    3194                 :            : static long
    3195                 :       1180 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    3196                 :            : {
    3197                 :       1180 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    3198                 :            :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    3199                 :       1180 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    3200                 :            : }
    3201                 :            : static long
    3202                 :        205 : cardmod2(GEN e)
    3203                 :            : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    3204                 :        205 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    3205                 :        205 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    3206                 :        205 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    3207                 :        205 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    3208                 :        205 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    3209                 :        205 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    3210                 :            : }
    3211                 :            : static long
    3212                 :       1080 : cardmod3(GEN e)
    3213                 :            : {
    3214                 :       1080 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    3215                 :       1080 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    3216                 :       1080 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    3217                 :       1080 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    3218                 :            : }
    3219                 :            : 
    3220                 :            : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3221                 :            : static long
    3222                 :       1370 : get_vu_p_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3223                 :            : {
    3224                 :       1370 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), D = ell_get_disc(E);
    3225                 :       1370 :   long d, v6, vD = Z_lval(D,p);
    3226         [ +  + ]:       1370 :   if (!signe(c6))
    3227                 :            :   {
    3228                 :        260 :     d = vD / 12;
    3229         [ -  + ]:        260 :     if (d)
    3230                 :            :     {
    3231         [ #  # ]:          0 :       if (p == 2)
    3232                 :            :       {
    3233                 :          0 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3234                 :          0 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3235         [ #  # ]:          0 :         if (a) d--;
    3236                 :            :       }
    3237         [ #  # ]:          0 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3238                 :            :     }
    3239                 :        260 :     v6 = 12; /* +oo */
    3240                 :            :   }
    3241                 :            :   else
    3242                 :            :   {
    3243                 :       1110 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3244                 :       1110 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3245         [ +  + ]:       1110 :     if (d) {
    3246         [ +  + ]:        425 :       if (p == 2) {
    3247                 :        190 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3248                 :        190 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3249                 :        190 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3250 [ +  + ][ +  + ]:        190 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
         [ +  + ][ +  + ]
    3251         [ +  + ]:        235 :       } else if (p == 3) {
    3252         [ -  + ]:        130 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3253                 :            :       }
    3254         [ +  + ]:        425 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3255                 :            :     }
    3256                 :            :   }
    3257                 :       1370 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3258                 :            : }
    3259                 :            : 
    3260                 :            : static ulong
    3261                 :         40 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    3262                 :            : 
    3263                 :            : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    3264                 :            : static void
    3265                 :         15 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    3266                 :            : {
    3267                 :         15 :   min_set_u(M, int2n(d));
    3268                 :         15 :   min_set_c(M, E);
    3269                 :         15 :   min_set_b(M);
    3270                 :         15 :   min_set_a(M);
    3271                 :         15 : }
    3272                 :            : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    3273                 :            : static void
    3274                 :        100 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    3275                 :            : {
    3276                 :        100 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    3277                 :        100 :   min_set_c(M, E);
    3278                 :        100 :   min_set_b(M);
    3279                 :        100 : }
    3280                 :            : 
    3281                 :            : static long
    3282                 :       1270 : is_minimal_ap_small(GEN E, ulong p, int *good_red)
    3283                 :            : {
    3284                 :       1270 :   long vc6, vD, d = get_vu_p_small(E, p, &vc6, &vD);
    3285         [ +  + ]:       1270 :   if (vD) /* bad reduction */
    3286                 :            :   {
    3287                 :            :     GEN c6;
    3288                 :            :     long s;
    3289                 :       1050 :     *good_red = 0;
    3290         [ +  + ]:       1050 :     if (vc6) return 0;
    3291                 :        415 :     c6 = ell_get_c6(E);
    3292         [ +  + ]:        415 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    3293                 :        415 :     s = kroiu(c6,p);
    3294         [ +  + ]:        415 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    3295                 :        415 :     return s;
    3296                 :            :   }
    3297                 :        220 :   *good_red = 1;
    3298         [ +  + ]:        220 :   if (p == 2)
    3299                 :            :   {
    3300                 :            :     ellmin_t M;
    3301         [ -  + ]:         15 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    3302                 :         15 :     min_set_2(&M, E, d);
    3303                 :         15 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    3304                 :            :   }
    3305         [ +  + ]:        205 :   else if (p == 3)
    3306                 :            :   {
    3307                 :            :     ellmin_t M;
    3308         [ -  + ]:        100 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    3309                 :        100 :     min_set_3(&M, E, d);
    3310                 :        100 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    3311                 :            :   }
    3312                 :            :   else
    3313                 :            :   {
    3314                 :            :     ellmin_t M;
    3315                 :        105 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    3316                 :        105 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    3317                 :        105 :     min_set_c(&M, E);
    3318                 :        105 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    3319                 :       1270 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    3320                 :            :   }
    3321                 :            : }
    3322                 :            : 
    3323                 :            : static GEN
    3324                 :        870 : is_minimal_ap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    3325                 :            : {
    3326                 :            :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    3327                 :            :   long vc6, vD, d;
    3328         [ +  - ]:        870 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( is_minimal_ap_small(E, p[2], good_red) );
    3329                 :          0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3330                 :          0 :   D = ell_get_disc(E);
    3331                 :          0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    3332                 :          0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    3333         [ #  # ]:          0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3334         [ #  # ]:          0 :   if (vD) /* bad reduction */
    3335                 :            :   {
    3336                 :            :     long s;
    3337                 :          0 :     *good_red = 0;
    3338         [ #  # ]:          0 :     if (vc6) return gen_0;
    3339         [ #  # ]:          0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    3340                 :          0 :     s = kronecker(c6,p);
    3341         [ #  # ]:          0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    3342         [ #  # ]:          0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    3343                 :            :   }
    3344                 :          0 :   *good_red = 1;
    3345                 :          0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    3346         [ #  # ]:          0 :   if (d)
    3347                 :            :   {
    3348                 :          0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    3349                 :          0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    3350                 :          0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    3351                 :            :   }
    3352                 :          0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    3353                 :        870 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    3354                 :            : }
    3355                 :            : 
    3356                 :            : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm */
    3357                 :            : static GEN
    3358                 :     323615 : get_u(GEN E, GEN *pc4c6P, GEN P)
    3359                 :            : {
    3360                 :            :   pari_sp av;
    3361                 :            :   GEN c4, c6, g, u, D, c4c6P;
    3362                 :            :   long l, k;
    3363                 :            : 
    3364                 :     323615 :   D = ell_get_disc(E);
    3365                 :     323615 :   c4 = ell_get_c4(E);
    3366                 :     323615 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3367         [ +  - ]:     323615 :   if (!P) P = gel(Z_factor(gcdii(c4,c6)),1); /* primes dividing gcd(c4,c6) */
    3368                 :     323615 :   l = lg(P);
    3369                 :     323615 :   c4c6P = vectrunc_init(l); settyp(c4c6P,t_COL);
    3370                 :     323615 :   av = avma;
    3371                 :     323615 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    3372                 :     323615 :   u = gen_1;
    3373         [ +  + ]:     682250 :   for (k = 1; k < l; k++)
    3374                 :            :   {
    3375                 :     358635 :     GEN p = gel(P, k);
    3376                 :     358635 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    3377         [ +  + ]:     358635 :     if (!d) { vectrunc_append(c4c6P, p); continue; }
    3378      [ +  +  + ]:      41345 :     switch(itou_or_0(p))
    3379                 :            :     {
    3380                 :            :       case 2:
    3381                 :            :       {
    3382                 :            :         long a, b;
    3383                 :      40055 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3384                 :      40055 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3385 [ +  + ][ +  + ]:      40055 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
         [ +  + ][ +  + ]
    3386                 :      40055 :         break;
    3387                 :            :       }
    3388                 :            :       case 3:
    3389         [ +  + ]:       1285 :         if (Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    3390                 :       1285 :         break;
    3391                 :            :     }
    3392         [ +  + ]:      41345 :     if (r) vectrunc_append(c4c6P, p);
    3393         [ +  + ]:      41345 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    3394                 :            :   }
    3395                 :     323615 :   *pc4c6P = c4c6P;
    3396                 :     323615 :   return gerepileuptoint(av, u);
    3397                 :            : }
    3398                 :            : 
    3399                 :            : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    3400                 :            :  * ellminimalmodel(E) */
    3401                 :            : static GEN
    3402                 :     323720 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    3403                 :            : {
    3404                 :     323720 :   pari_sp av = avma;
    3405                 :            :   GEN S, y, e, v, v0, u;
    3406                 :            :   GEN c4c6P;
    3407                 :            :   ellmin_t M;
    3408         [ +  + ]:     323720 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    3409                 :            :   {
    3410         [ +  + ]:        105 :     if (lg(S) != 2)
    3411                 :            :     {
    3412                 :         55 :       E = gel(S,3);
    3413                 :         55 :       v = gel(S,2);
    3414                 :            :     }
    3415                 :            :     else
    3416                 :         50 :       v = init_ch();
    3417         [ +  - ]:        105 :     if (ptv) *ptv = v;
    3418                 :        105 :     return gcopy(E);
    3419                 :            :   }
    3420                 :     323615 :   e = ellintegralmodel(E, &v0);
    3421                 :     323615 :   u = get_u(e, &c4c6P, NULL);
    3422                 :     323615 :   min_set_u(&M, u);
    3423                 :     323615 :   min_set_c(&M, e);
    3424                 :     323615 :   min_set_D(&M, e);
    3425                 :     323615 :   min_set_b(&M);
    3426                 :     323615 :   min_set_a(&M);
    3427                 :     323615 :   y = min_to_ell(&M, e);
    3428                 :     323615 :   v = min_get_v(&M, e);
    3429         [ +  + ]:     323615 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    3430         [ +  + ]:     323615 :   if (is_trivial_change(v))
    3431                 :     323515 :     S = mkvec(c4c6P);
    3432                 :            :   else
    3433                 :        100 :     S = mkvec3(c4c6P, v, y);
    3434                 :     323615 :   S = gclone(S);
    3435                 :     323615 :   y = gerepilecopy(av, y);
    3436                 :     323615 :   obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    3437         [ +  + ]:     323615 :   *ptv = lg(S) == 2? init_ch(): gel(S,2);
    3438                 :     323720 :   return y;
    3439                 :            : }
    3440                 :            : GEN
    3441                 :         25 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    3442                 :            : {
    3443                 :            :   GEN S, y, v;
    3444                 :         25 :   checkell_Q(E);
    3445                 :         20 :   y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    3446         [ +  + ]:         20 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    3447         [ +  + ]:         20 :   if (ptv) *ptv = gcopy(v);
    3448                 :         20 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    3449                 :         20 :   obj_insert(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    3450                 :         20 :   return y;
    3451                 :            : }
    3452                 :            : 
    3453                 :            : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    3454                 :            :  * update type-dependant components.
    3455                 :            :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    3456                 :            :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    3457                 :            :  *   N = arithmetic conductor of E
    3458                 :            :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    3459                 :            :  *   fa = factorization of N
    3460                 :            :  *   L = list of localred(E,p) for p | N.
    3461                 :            :  * Return standard minimal model (a1,a3 = 0 or 1, a2 = -1, 0 or 1) */
    3462                 :            : static GEN
    3463                 :     323580 : ellglobalred_all(GEN e, GEN *pgr, GEN *pv)
    3464                 :            : {
    3465                 :            :   long k, l, iN;
    3466                 :            :   GEN S, E, c, L, P, NP, NE, D;
    3467                 :            : 
    3468                 :     323580 :   E = ellminimalmodel_i(e, pv);
    3469                 :     323580 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    3470                 :     323580 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* prime divisors of (c4,c6) */
    3471                 :     323580 :   D  = ell_get_disc(E);
    3472         [ +  + ]:     682110 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    3473         [ +  + ]:     323580 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absi_factor(D),1)) );
    3474                 :     323580 :   l = lg(P); c = gen_1;
    3475                 :     323580 :   iN = 1;
    3476                 :     323580 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    3477                 :     323580 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    3478                 :     323580 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    3479         [ +  + ]:    1448945 :   for (k = 1; k < l; k++)
    3480                 :            :   {
    3481                 :    1125365 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    3482         [ +  + ]:    1125365 :     if (signe(ex))
    3483                 :            :     {
    3484                 :    1057605 :       gel(NP, iN) = p;
    3485                 :    1057605 :       gel(NE, iN) = ex;
    3486                 :    1057605 :       gel(L, iN) = q; iN++;
    3487                 :    1057605 :       gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    3488                 :    1057605 :       c = mulii(c, gel(q,4));
    3489                 :            :     }
    3490                 :            :   }
    3491                 :     323580 :   setlg(L, iN);
    3492                 :     323580 :   setlg(NP, iN);
    3493                 :     323580 :   setlg(NE, iN);
    3494                 :     323580 :   *pgr = mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    3495                 :     323580 :   return E;
    3496                 :            : }
    3497                 :            : static GEN
    3498                 :     323570 : doellglobalred(GEN E)
    3499                 :            : {
    3500                 :            :   GEN v, gr;
    3501                 :     323570 :   E = ellglobalred_all(E, &gr, &v);
    3502                 :     323570 :   return gr;
    3503                 :            : }
    3504                 :            : static GEN
    3505                 :     323825 : ellglobalred_i(GEN E)
    3506                 :     323825 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &doellglobalred); }
    3507                 :            : GEN
    3508                 :     323495 : ellglobalred(GEN E)
    3509                 :            : {
    3510                 :     323495 :   pari_sp av = avma;
    3511                 :            :   GEN S, gr, v;
    3512                 :     323495 :   checkell_Q(E); gr = ellglobalred_i(E);
    3513                 :     323495 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    3514         [ +  + ]:     323495 :   v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    3515                 :     323495 :   return gerepilecopy(av, mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4)));
    3516                 :            : }
    3517                 :            : 
    3518                 :            : static GEN doellrootno(GEN e);
    3519                 :            : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    3520                 :            :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    3521                 :            :  * and E (shallow insert) */
    3522                 :            : GEN
    3523                 :        170 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    3524                 :            : {
    3525                 :        170 :   GEN E, S, v = NULL;
    3526                 :        170 :   checkell_Q(e);
    3527         [ +  + ]:        170 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    3528                 :            :   {
    3529                 :        100 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    3530                 :        100 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    3531                 :        100 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    3532                 :            :   }
    3533         [ +  + ]:         70 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    3534                 :         55 :     E = e;
    3535                 :            :   else
    3536                 :            :   {
    3537                 :         15 :     v = gel(S,2);
    3538                 :         15 :     E = gcopy(gel(S,3));
    3539                 :         15 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    3540                 :            :   }
    3541         [ +  + ]:        170 :   if (ch) *ch = v;
    3542                 :        170 :   S = ellglobalred_i(e);
    3543         [ +  + ]:        170 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    3544                 :        170 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    3545         [ +  + ]:        170 :   if (!S)
    3546                 :            :   {
    3547                 :        105 :     S = doellrootno(E);
    3548                 :        105 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    3549                 :            :   }
    3550         [ +  + ]:        170 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    3551                 :        170 :   return E;
    3552                 :            : }
    3553                 :            : 
    3554                 :            : /********************************************************************/
    3555                 :            : /**                                                                **/
    3556                 :            : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    3557                 :            : /**                                                                **/
    3558                 :            : /********************************************************************/
    3559                 :            : /* x a t_INT */
    3560                 :            : static long
    3561                 :        300 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    3562                 :            : {
    3563                 :            :   long v;
    3564                 :            :   GEN z;
    3565         [ +  + ]:        300 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    3566                 :        220 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    3567                 :        300 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    3568                 :            : }
    3569                 :            : static void
    3570                 :        100 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    3571                 :            :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    3572                 :            : {
    3573                 :        100 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    3574                 :        100 :   pari_sp av = avma;
    3575                 :        100 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    3576                 :        100 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    3577                 :        100 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
    3578                 :        100 : }
    3579                 :            : 
    3580                 :            : static long
    3581                 :        100 : kod_23(GEN e, long p)
    3582                 :            : {
    3583                 :            :   GEN S, nv;
    3584         [ +  + ]:        100 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    3585                 :            :   {
    3586                 :         90 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    3587         [ +  + ]:         90 :     nv = equaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    3588                 :            :   }
    3589                 :            :   else
    3590                 :         10 :     nv = localred_23(e, p);
    3591                 :        100 :   return itos(gel(nv,2));
    3592                 :            : }
    3593                 :            : 
    3594                 :            : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    3595                 :            : static long
    3596                 :         55 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    3597                 :            : {
    3598         [ +  + ]:         55 :   if (kod > 4) return 1;
    3599   [ -  -  +  +  :         50 :   switch(kod)
          -  -  -  -  -  
                -  -  - ]
    3600                 :            :   {
    3601         [ #  # ]:          0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    3602                 :            :     case 2:
    3603         [ #  # ]:          0 :       if (vD==4) return 1;
    3604                 :            :       else
    3605                 :            :       {
    3606         [ #  # ]:          0 :         if (vD==7) return 3;
    3607         [ #  # ]:          0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    3608                 :            :       }
    3609                 :            :     case 3:
    3610   [ +  -  +  - ]:         35 :       switch(vD)
    3611                 :            :       {
    3612                 :         25 :         case 6: return 3;
    3613                 :          0 :         case 8: return 4;
    3614                 :         10 :         case 9: return 5;
    3615         [ #  # ]:          0 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    3616                 :            :       }
    3617         [ +  - ]:         15 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    3618                 :            :     case -1:
    3619      [ #  #  # ]:          0 :       switch(vD)
    3620                 :            :       {
    3621                 :          0 :         case 9: return 2;
    3622                 :          0 :         case 10: return 4;
    3623         [ #  # ]:          0 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    3624                 :            :       }
    3625                 :            :     case -2:
    3626      [ #  #  # ]:          0 :       switch(vD)
    3627                 :            :       {
    3628                 :          0 :         case 12: return 2;
    3629                 :          0 :         case 14: return 3;
    3630                 :          0 :         default: return 1;
    3631                 :            :       }
    3632                 :            :     case -3:
    3633   [ #  #  #  # ]:          0 :       switch(vD)
    3634                 :            :       {
    3635                 :          0 :         case 12: return 2;
    3636                 :          0 :         case 14: return 3;
    3637                 :          0 :         case 15: return 4;
    3638                 :          0 :         default: return 1;
    3639                 :            :       }
    3640         [ #  # ]:          0 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    3641 [ #  # ][ #  # ]:          0 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    3642                 :            :     case -6:
    3643      [ #  #  # ]:          0 :       switch(vD)
    3644                 :            :       {
    3645                 :          0 :         case 12: return 2;
    3646                 :          0 :         case 13: return 3;
    3647         [ #  # ]:          0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    3648                 :            :       }
    3649 [ #  # ][ #  # ]:          0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    3650         [ #  # ]:         55 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    3651                 :            :   }
    3652                 :            : }
    3653                 :            : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    3654                 :            : static long
    3655                 :         40 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    3656                 :            : {
    3657         [ +  + ]:         40 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    3658   [ +  -  +  + ]:         35 :   switch(kod)
    3659                 :            :   {
    3660         [ +  - ]:         15 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    3661         [ #  # ]:          0 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    3662                 :            :     case -4: case 2:
    3663      [ -  -  + ]:         15 :       switch (vD%6)
    3664                 :            :       {
    3665                 :          0 :         case 4: return 3;
    3666                 :          0 :         case 5: return 4;
    3667         [ -  + ]:         15 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    3668                 :            :       }
    3669                 :            :     default: /* kod = -2 et 4 */
    3670      [ -  -  + ]:          5 :       switch (vD%6)
    3671                 :            :       {
    3672                 :          0 :         case 0: return 2;
    3673                 :          0 :         case 1: return 3;
    3674                 :         40 :         default: return 1;
    3675                 :            :       }
    3676                 :            :   }
    3677                 :            : }
    3678                 :            : 
    3679                 :            : static long
    3680                 :         55 : ellrootno_2(GEN e)
    3681                 :            : {
    3682                 :            :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    3683                 :         55 :   long d = get_vu_p_small(e, 2, &v6, &vD);
    3684                 :            : 
    3685         [ -  + ]:         55 :   if (!vD) return 1;
    3686         [ -  + ]:         55 :   if (d) { /* not minimal */
    3687                 :            :     ellmin_t M;
    3688                 :          0 :     min_set_2(&M, e, d);
    3689                 :          0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3690                 :            :   }
    3691                 :         55 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    3692                 :         55 :   kod = kod_23(e,2);
    3693                 :         55 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    3694         [ +  + ]:         55 :   if (kod>=5)
    3695                 :            :   {
    3696                 :            :     long a2, a3;
    3697                 :          5 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    3698                 :          5 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    3699         [ +  - ]:          5 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    3700                 :            :   }
    3701 [ -  + ][ #  # ]:         50 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    3702                 :         50 :   x1 = u+v+v;
    3703   [ -  -  +  -  :         50 :   switch(kod)
          -  -  -  -  -  
                -  -  + ]
    3704                 :            :   {
    3705                 :          0 :     case 1: return 1;
    3706                 :            :     case 2:
    3707   [ #  #  #  #  :          0 :       switch(n2)
                      # ]
    3708                 :            :       {
    3709                 :            :         case 1:
    3710      [ #  #  # ]:          0 :           switch(v4)
    3711                 :            :           {
    3712                 :          0 :             case 4: return kross(-1,u);
    3713                 :          0 :             case 5: return 1;
    3714                 :          0 :             default: return -1;
    3715                 :            :           }
    3716         [ #  # ]:          0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    3717 [ #  # ][ #  # ]:          0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    3718         [ #  # ]:          0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    3719         [ #  # ]:          0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    3720                 :            :       }
    3721                 :            :     case 3:
    3722   [ -  -  +  -  :         35 :       switch(n2)
                   +  - ]
    3723                 :            :       {
    3724                 :          0 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    3725                 :          0 :         case 2: return -kross(2,v);
    3726                 :         25 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    3727 [ +  - ][ +  + ]:         25 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    3728 [ #  # ][ #  # ]:          0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    3729         [ -  + ]:         10 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    3730                 :            :       }
    3731                 :            :     case -1:
    3732   [ #  #  #  #  :          0 :       switch(n2)
                      # ]
    3733                 :            :       {
    3734                 :          0 :         case 1: return -kross(2,x1);
    3735 [ #  # ][ #  # ]:          0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    3736         [ #  # ]:          0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    3737         [ #  # ]:          0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    3738         [ #  # ]:          0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    3739                 :            :       }
    3740         [ #  # ]:          0 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    3741                 :            :     case -3:
    3742   [ #  #  #  #  :          0 :       switch(n2)
                      # ]
    3743                 :            :       {
    3744         [ #  # ]:          0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    3745 [ #  # ][ #  # ]:          0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    3746                 :          0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    3747                 :          0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    3748         [ #  # ]:          0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    3749                 :            :       }
    3750                 :            :     case -5:
    3751 [ #  # ][ #  # ]:          0 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    3752                 :          0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    3753                 :            :     case -6:
    3754   [ #  #  #  # ]:          0 :       switch(n2)
    3755                 :            :       {
    3756                 :          0 :         case 1: return 1;
    3757         [ #  # ]:          0 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    3758 [ #  # ][ #  # ]:          0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    3759                 :            :       }
    3760                 :            :     case -7:
    3761         [ #  # ]:          0 :       if (n2==1) return 1;
    3762                 :            :       else
    3763                 :            :       {
    3764                 :          0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    3765 [ #  # ][ #  # ]:          0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
                 [ #  # ]
    3766 [ #  # ][ #  # ]:          0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    3767                 :            :       }
    3768         [ #  # ]:          0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    3769         [ #  # ]:          0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    3770                 :         55 :     default: return -1;
    3771                 :            :   }
    3772                 :            : }
    3773                 :            : 
    3774                 :            : static long
    3775                 :         45 : ellrootno_3(GEN e)
    3776                 :            : {
    3777                 :            :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    3778                 :         45 :   long d = get_vu_p_small(e, 3, &v6, &vD);
    3779                 :            : 
    3780         [ -  + ]:         45 :   if (!vD) return 1;
    3781         [ -  + ]:         45 :   if (d) { /* not minimal */
    3782                 :            :     ellmin_t M;
    3783                 :          0 :     min_set_3(&M, e, d);
    3784                 :          0 :     min_set_a(&M);
    3785                 :          0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3786                 :            :   }
    3787                 :         45 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    3788                 :         45 :   kod = kod_23(e,3);
    3789         [ +  + ]:         45 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    3790                 :         40 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    3791                 :         40 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    3792   [ -  -  +  -  :         40 :   switch(kod)
                   +  + ]
    3793                 :            :   {
    3794                 :          0 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    3795                 :            :     case 2:
    3796   [ #  #  #  #  :          0 :       switch(n2)
                      # ]
    3797                 :            :       {
    3798 [ #  # ][ #  # ]:          0 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    3799                 :          0 :         case 2: return -K4*K6;
    3800                 :          0 :         case 3: return 1;
    3801                 :          0 :         case 4: return -K6;
    3802                 :            :       }
    3803                 :            :     case 4:
    3804   [ +  -  -  - ]:          5 :       switch(n2)
    3805                 :            :       {
    3806                 :          5 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    3807                 :          0 :         case 2: return -K4;
    3808                 :          0 :         case 3: return -K6;
    3809                 :            :       }
    3810         [ #  # ]:          0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    3811                 :            :     case -4:
    3812   [ +  -  -  -  :         15 :       switch(n2)
                      - ]
    3813                 :            :       {
    3814                 :            :         case 1:
    3815 [ -  + ][ #  # ]:         15 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
                 [ #  # ]
    3816 [ +  - ][ +  - ]:         15 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    3817                 :          0 :         case 2: return -K6;
    3818 [ #  # ][ #  # ]:          0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    3819                 :          0 :         case 4: return K6;
    3820                 :            :       }
    3821                 :         45 :     default: return -1;
    3822                 :            :   }
    3823                 :            : }
    3824                 :            : 
    3825                 :            : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    3826                 :            : static long
    3827                 :        190 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    3828                 :            : {
    3829                 :            :   long nuj, nuD, nu;
    3830                 :        190 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    3831                 :            :   long ep, z;
    3832                 :            : 
    3833                 :        190 :   nuD = Q_pval(D, p);
    3834         [ -  + ]:        190 :   if (!nuD) return 1;
    3835                 :        190 :   nuj = j_pval(e, p);
    3836                 :        190 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    3837         [ +  + ]:        190 :   if (nu == 0)
    3838                 :            :   {
    3839                 :            :     GEN c6;
    3840                 :            :     long d, vg;
    3841         [ -  + ]:         70 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    3842                 :            :    /* p || N */
    3843                 :         70 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    3844                 :         70 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    3845                 :         70 :     d = vg / 12;
    3846         [ +  + ]:         70 :     if (d)
    3847                 :            :     {
    3848                 :          5 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    3849         [ +  - ]:          5 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    3850                 :            :     }
    3851         [ -  + ]:         70 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    3852                 :            :     /* c6 in minimal model */
    3853                 :         70 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    3854                 :            :   }
    3855         [ +  + ]:        120 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    3856                 :        100 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    3857 [ +  + ][ +  + ]:        100 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    3858                 :        190 :   return krosi(-z, p);
    3859                 :            : }
    3860                 :            : 
    3861                 :            : static GEN
    3862                 :        115 : doellrootno(GEN e)
    3863                 :            : {
    3864                 :            :   GEN S, V, v, P;
    3865                 :        115 :   long i, l, s = -1;
    3866         [ +  + ]:        115 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    3867                 :            :   {
    3868                 :        105 :     GEN S2 = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    3869         [ -  + ]:        105 :     if (lg(S2) != 2) e = gel(S2,3);
    3870                 :            :   }
    3871                 :            :   else
    3872                 :            :   {
    3873                 :         10 :     GEN E = ellglobalred_all(e, &S, &v);
    3874                 :         10 :     obj_insert(e, Q_GLOBALRED, S);
    3875                 :         10 :     e = E;
    3876                 :            :   }
    3877                 :        115 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    3878                 :        115 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    3879         [ +  + ]:        395 :   for (i = 1; i < l; i++)
    3880                 :            :   {
    3881                 :        280 :     GEN p = gel(P,i);
    3882                 :            :     long t;
    3883      [ +  +  + ]:        280 :     switch(itou_or_0(p))
    3884                 :            :     {
    3885                 :         50 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    3886                 :         45 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    3887                 :        185 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    3888                 :            :     }
    3889                 :        280 :     V[i] = t; s *= t;
    3890                 :            :   }
    3891                 :        115 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    3892                 :            : }
    3893                 :            : long
    3894                 :        180 : ellrootno_global(GEN e)
    3895                 :            : {
    3896                 :        180 :   pari_sp av = avma;
    3897                 :        180 :   GEN S = obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno);
    3898                 :        180 :   avma = av; return itos(gel(S,1));
    3899                 :            : }
    3900                 :            : 
    3901                 :            : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    3902                 :            :  * Global if p==1 or NULL. */
    3903                 :            : long
    3904                 :         25 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    3905                 :            : {
    3906                 :         25 :   pari_sp av = avma;
    3907                 :            :   GEN S;
    3908                 :            :   long s;
    3909                 :         25 :   checkell_Q(e);
    3910 [ +  + ][ -  + ]:         25 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    3911         [ -  + ]:         15 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    3912         [ -  + ]:         15 :   if (signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    3913         [ -  + ]:         15 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    3914         [ +  + ]:         15 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    3915                 :            :   {
    3916                 :          5 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    3917                 :          5 :     long i, l = lg(NP);
    3918         [ +  - ]:          5 :     for (i = 1; i < l; i++)
    3919                 :            :     {
    3920                 :          5 :       GEN q = gel(NP,i);
    3921         [ +  - ]:          5 :       if (equalii(p, q)) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    3922                 :            :     }
    3923                 :          0 :     return 1;
    3924                 :            :   }
    3925      [ +  -  + ]:         10 :   switch(itou_or_0(p))
    3926                 :            :   {
    3927                 :            :     case 2:
    3928                 :          5 :       e = ellintegralmodel(e, NULL);
    3929                 :          5 :       s = ellrootno_2(e); break;
    3930                 :            :     case 3:
    3931                 :          0 :       e = ellintegralmodel(e, NULL);
    3932                 :          0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    3933                 :            :     default:
    3934                 :          5 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    3935                 :            :   }
    3936                 :         25 :   avma = av; return s;
    3937                 :            : }
    3938                 :            : 
    3939                 :            : /********************************************************************/
    3940                 :            : /**                                                                **/
    3941                 :            : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    3942                 :            : /**                                                                **/
    3943                 :            : /********************************************************************/
    3944                 :            : 
    3945                 :            : /* assume e has good reduction mod p */
    3946                 :            : static long
    3947                 :       4910 : ellap_small_goodred(int CM, GEN E, ulong p)
    3948                 :            : {
    3949                 :            :   ulong a4, a6;
    3950         [ +  + ]:       4910 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    3951         [ +  + ]:       4860 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    3952                 :       4750 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    3953         [ +  + ]:       4910 :   return CM? Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p): Fl_elltrace(a4, a6, p);
    3954                 :            : }
    3955                 :            : 
    3956                 :            : static void
    3957                 :        635 : checkell_int(GEN e)
    3958                 :            : {
    3959                 :        635 :   checkell_Q(e);
    3960   [ +  -  +  - ]:       1270 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    3961         [ +  - ]:       1270 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    3962         [ +  - ]:       1270 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    3963         [ -  + ]:       1270 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    3964                 :        635 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("anellsmall [not an integral model]",e);
    3965                 :        635 : }
    3966                 :            : 
    3967                 :            : static int
    3968                 :        265 : ell_get_CM(GEN e)
    3969                 :            : {
    3970                 :        265 :   GEN j = ell_get_j(e);
    3971                 :        265 :   int CM = 0;
    3972 [ +  + ][ +  +  :        265 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
          +  +  +  +  +  
          +  +  +  +  +  
                   +  - ]
    3973                 :            :   {
    3974                 :            :     case 0:
    3975         [ +  + ]:         12 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    3976                 :         12 :       break;
    3977                 :         30 :     case 1728: CM = -4; break;
    3978                 :          5 :     case -3375: CM = -7; break;
    3979                 :          5 :     case  8000: CM = -8; break;
    3980                 :          5 :     case 54000: CM = -12; break;
    3981                 :          5 :     case -32768: CM = -11; break;
    3982                 :          5 :     case 287496: CM = -16; break;
    3983                 :          5 :     case -884736: CM = -19; break;
    3984                 :          5 :     case -12288000: CM = -27; break;
    3985                 :          5 :     case  16581375: CM = -28; break;
    3986                 :          5 :     case -884736000: CM = -43; break;
    3987                 :            : #ifdef LONG_IS_64BIT
    3988                 :          4 :     case -147197952000: CM = -67; break;
    3989                 :          4 :     case -262537412640768000: CM = -163; break;
    3990                 :            : #endif
    3991                 :            :   }
    3992                 :        265 :   return CM;
    3993                 :            : }
    3994                 :            : GEN
    3995                 :        135 : anellsmall(GEN e, long n0)
    3996                 :            : {
    3997                 :            :   pari_sp av;
    3998                 :        135 :   ulong p, m, SQRTn, n = (ulong)n0;
    3999                 :            :   GEN an, D;
    4000                 :            :   int CM;
    4001                 :            : 
    4002                 :        135 :   checkell_int(e);
    4003         [ -  + ]:        135 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    4004         [ -  + ]:        135 :   if (n >= LGBITS)
    4005                 :          0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    4006                 :        135 :   SQRTn = (ulong)sqrt(n);
    4007                 :        135 :   D = ell_get_disc(e);
    4008                 :        135 :   CM = ell_get_CM(e);
    4009                 :            : 
    4010                 :        135 :   an = cgetg(n+1,t_VECSMALL); an[1] = 1;
    4011                 :        135 :   av = avma;
    4012         [ +  + ]:      18575 :   for (p=2; p <= n; p++) an[p] = LONG_MAX; /* not computed yet */
    4013         [ +  + ]:      18575 :   for (p=2; p<=n; p++)
    4014                 :            :   {
    4015                 :            :     long ap;
    4016         [ +  + ]:      18440 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    4017         [ +  + ]:       4450 :     if (!umodiu(D,p)) /* p | D, bad reduction or non-minimal model */
    4018                 :            :     {
    4019                 :            :       int good_red;
    4020                 :        400 :       ap = is_minimal_ap_small(e, p, &good_red);
    4021         [ +  + ]:        400 :       if (good_red) goto GOOD_RED;
    4022   [ +  +  +  - ]:        360 :       switch (ap) /* (-c6/p) */
    4023                 :            :       {
    4024                 :            :         case -1: { /* non-split */
    4025                 :         60 :           ulong N = n/p;
    4026         [ +  + ]:        160 :           for (m=1; m<=N; m++)
    4027         [ +  - ]:        100 :             if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    4028                 :         60 :           break;
    4029                 :            :         }
    4030                 :            :         case 0: /* additive */
    4031         [ +  + ]:      12350 :           for (m=p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    4032                 :        290 :           break;
    4033                 :            :         case 1: { /* split */
    4034                 :         10 :           ulong N = n/p;
    4035         [ +  + ]:        510 :           for (m=1; m<=N; m++)
    4036         [ +  + ]:        500 :             if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    4037                 :        400 :           break;
    4038                 :            :         }
    4039                 :            :       }
    4040                 :            :     }
    4041                 :            :     else /* good reduction */
    4042                 :            :     {
    4043                 :       4050 :       ap = ellap_small_goodred(CM, e, p);
    4044                 :            : GOOD_RED:
    4045         [ +  + ]:       4090 :       if (p <= SQRTn) {
    4046                 :        405 :         ulong pk, oldpk = 1;
    4047         [ +  + ]:       1645 :         for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    4048                 :            :         {
    4049         [ +  + ]:       1240 :           if (pk == p)
    4050                 :        405 :             an[pk] = ap;
    4051                 :            :           else
    4052                 :        835 :             an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    4053         [ +  + ]:      17095 :           for (m = n/pk; m > 1; m--)
    4054 [ +  + ][ +  + ]:      15855 :             if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    4055                 :            :         }
    4056                 :            :       } else {
    4057                 :       3685 :         an[p] = ap;
    4058         [ +  + ]:       9095 :         for (m = n/p; m > 1; m--)
    4059         [ +  - ]:       5410 :           if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    4060                 :            :       }
    4061                 :            :     }
    4062                 :            :   }
    4063                 :        135 :   avma = av; return an;
    4064                 :            : }
    4065                 :            : 
    4066                 :            : GEN
    4067                 :        115 : anell(GEN e, long n0)
    4068                 :            : {
    4069                 :        115 :   GEN v = anellsmall(e, n0);
    4070                 :            :   long i;
    4071         [ +  + ]:      17265 :   for (i = 1; i <= n0; i++) gel(v,i) = stoi(v[i]);
    4072                 :        115 :   settyp(v, t_VEC); return v;
    4073                 :            : }
    4074                 :            : 
    4075                 :            : static GEN
    4076                 :        530 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    4077                 :            : {
    4078                 :            :   GEN u, v, w;
    4079                 :            :   long j;
    4080         [ +  + ]:        530 :   if (e == 1) return ap;
    4081                 :         80 :   u = ap;
    4082                 :         80 :   w = subii(sqri(ap), p);
    4083         [ +  + ]:         90 :   for (j=3; j<=e; j++)
    4084                 :            :   {
    4085                 :         10 :     v = u; u = w;
    4086                 :         10 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    4087                 :            :   }
    4088                 :        530 :   return w;
    4089                 :            : }
    4090                 :            : 
    4091                 :            : GEN
    4092                 :        500 : akell(GEN e, GEN n)
    4093                 :            : {
    4094                 :            :   long i, j, s;
    4095                 :        500 :   pari_sp av = avma;
    4096                 :            :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    4097                 :            : 
    4098                 :        500 :   checkell_int(e);
    4099         [ -  + ]:        500 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    4100         [ -  + ]:        500 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    4101         [ -  + ]:        500 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    4102                 :        500 :   D = ell_get_disc(e);
    4103                 :        500 :   u = coprime_part(n, D);
    4104                 :        500 :   y = gen_1;
    4105                 :        500 :   s = 1;
    4106         [ +  + ]:        500 :   if (!equalii(u, n))
    4107                 :            :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    4108                 :        315 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    4109                 :        315 :     P = gel(fa,1);
    4110                 :        315 :     E = gel(fa,2);
    4111         [ +  + ]:        730 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    4112                 :            :     {
    4113                 :        415 :       GEN p = gel(P,i);
    4114                 :        415 :       long ex = itos(gel(E,i));
    4115                 :            :       int good_red;
    4116                 :        415 :       GEN ap = is_minimal_ap(e,p,&good_red);
    4117         [ +  + ]:        415 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    4118                 :        250 :       j = signe(ap);
    4119         [ -  + ]:        250 :       if (!j) { avma = av; return gen_0; }
    4120 [ +  + ][ -  + ]:        250 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    4121                 :            :     }
    4122                 :            :   }
    4123         [ -  + ]:        500 :   if (s < 0) y = negi(y);
    4124                 :        500 :   fa = Z_factor(u);
    4125                 :        500 :   P = gel(fa,1);
    4126                 :        500 :   E = gel(fa,2);
    4127         [ +  + ]:        865 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    4128                 :            :   { /* good reduction */
    4129                 :        365 :     GEN p = gel(P,i);
    4130                 :        365 :     GEN ap = ellap(e,p);
    4131                 :        365 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    4132                 :            :   }
    4133                 :        500 :   return gerepileuptoint(av,y);
    4134                 :            : }
    4135                 :            : 
    4136                 :            : GEN
    4137                 :        135 : ellQ_get_N(GEN e)
    4138                 :        135 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    4139                 :            : void
    4140                 :         25 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    4141                 :         25 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    4142                 :            : 
    4143                 :            : GEN
    4144                 :         20 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    4145                 :            : {
    4146                 :         20 :   pari_sp av = avma, av1, lim;
    4147                 :            :   ulong l, n;
    4148                 :            :   long eps, flun;
    4149                 :            :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    4150                 :            : 
    4151         [ +  + ]:         20 :   if (!A) A = gen_1;
    4152                 :            :   else
    4153                 :            :   {
    4154         [ -  + ]:         15 :     if (gsigne(A)<=0)
    4155                 :          0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    4156         [ -  + ]:         15 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    4157                 :            :   }
    4158 [ +  - ][ -  + ]:         20 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
    4159 [ +  + ][ -  + ]:         20 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    4160                 :         20 :   checkell_Q(e);
    4161                 :         20 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    4162                 :         20 :   N = ellQ_get_N(e);
    4163                 :         20 :   eps = ellrootno_global(e);
    4164 [ -  + ][ #  # ]:         20 :   if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
    4165                 :            : 
    4166                 :         20 :   gs = ggamma(s, prec);
    4167                 :         20 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    4168                 :         20 :   cga = gmul(cg, A);
    4169                 :         20 :   cgb = gdiv(cg, A);
    4170                 :         20 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
    4171                 :         20 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    4172                 :         20 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    4173         [ -  + ]:         20 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    4174                 :         20 :   v = anellsmall(e, minss(l,LGBITS-1));
    4175                 :         20 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    4176         [ +  - ]:         20 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    4177                 :         20 :   z = gen_0;
    4178                 :         20 :   av1 = avma; lim = stack_lim(av1,1);
    4179         [ +  + ]:       1445 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    4180                 :            :   {
    4181                 :       1425 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    4182         [ +  - ]:       1425 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    4183         [ +  + ]:       1425 :     if (!signe(an)) continue;
    4184                 :            : 
    4185                 :       1190 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    4186                 :       1190 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    4187         [ -  + ]:       1190 :     if (flun)
    4188                 :          0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    4189                 :            :     else
    4190                 :            :     {
    4191                 :       1190 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    4192         [ +  - ]:       1190 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    4193                 :       1190 :       p1 = gadd(p1, p2);
    4194                 :            :     }
    4195                 :       1190 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    4196         [ -  + ]:       1190 :     if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
    4197                 :            :     {
    4198         [ #  # ]:          0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    4199                 :          0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    4200                 :            :     }
    4201                 :            :   }
    4202                 :         20 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    4203                 :            : }
    4204                 :            : 
    4205                 :            : /********************************************************************/
    4206                 :            : /**                                                                **/
    4207                 :            : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    4208                 :            : /**                                                                **/
    4209                 :            : /********************************************************************/
    4210                 :            : 
    4211                 :            : /* h' := h_oo(a) + 1/2 log(denom(a)) */
    4212                 :            : static GEN
    4213                 :          5 : hell(GEN e, GEN a, long prec)
    4214                 :            : {
    4215                 :            :   long n;
    4216                 :          5 :   pari_sp av = avma;
    4217                 :          5 :   GEN pi2 = Pi2n(1, prec);
    4218                 :          5 :   GEN om = ellR_omega(e,prec), w1 = gel(om,1), w2 = gel(om,2);
    4219                 :            :   GEN p1, y, z, q, pi2surw, qn, ps;
    4220                 :            : 
    4221                 :          5 :   pi2surw = gdiv(pi2, w1);
    4222                 :          5 :   z = gmul(real_i(zell(e,a,prec)), pi2surw);
    4223                 :          5 :   q = real_i( expIxy(mpneg(pi2surw), w2, prec) );
    4224                 :          5 :   y = mpsin(z); qn = gen_1; ps = gneg_i(q);
    4225                 :          5 :   for (n = 3; ; n += 2)
    4226                 :            :   {
    4227                 :         30 :     qn = gmul(qn, ps);
    4228                 :         30 :     ps = gmul(ps, q);
    4229                 :         30 :     y = gadd(y, gmul(qn, gsin(gmulsg(n,z),prec)));
    4230         [ +  + ]:         30 :     if (gexpo(qn) < -prec2nbits(prec)) break;
    4231                 :         25 :   }
    4232                 :          5 :   p1 = gmul(gsqr(gdiv(gmul2n(y,1), ec_dLHSdy_evalQ(e,a))), pi2surw);
    4233                 :          5 :   p1 = gsqr(gsqr(gdiv(p1, gsqr(gsqr(denom(gel(a,1)))))));
    4234                 :          5 :   p1 = gdiv(gmul(p1,q), ell_get_disc(e));
    4235                 :          5 :   p1 = gmul2n(glog(gabs(p1,prec),prec), -5);
    4236                 :          5 :   return gerepileupto(av, gneg(p1));
    4237                 :            : }
    4238                 :            : 
    4239                 :            : static GEN
    4240         [ +  + ]:        405 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    4241                 :            : 
    4242                 :            : /* h' := h_oo(x) + 1/2 log(denom(x)) */
    4243                 :            : static GEN
    4244                 :          5 : hells(GEN e, GEN Q, long prec)
    4245                 :            : {
    4246                 :          5 :   GEN b2 = ell_get_b2(e);
    4247                 :          5 :   GEN b4 = ell_get_b4(e);
    4248                 :          5 :   GEN b6 = ell_get_b6(e);
    4249                 :          5 :   GEN b8 = ell_get_b8(e);
    4250                 :          5 :   GEN x = gel(Q,1), w, z, t, mu, b42, b62;
    4251                 :            :   long n, lim;
    4252                 :            : 
    4253                 :          5 :   mu = gmul2n(glog(Q_numer(x),prec),-1);
    4254                 :          5 :   t = ginv(gtofp(x, prec));
    4255                 :          5 :   b42 = gmul2n(b4,1);
    4256                 :          5 :   b62 = gmul2n(b6,1);
    4257                 :          5 :   lim = 15 + prec2nbits(prec);
    4258         [ +  + ]:        355 :   for (n = 3; n < lim; n += 2)
    4259                 :            :   {
    4260                 :            :     /* 4 + b2 t + 2b4 t^2 + b6 t^3 */
    4261                 :        350 :     w = gmul(t, gaddsg(4, gmul(t, gadd(b2, gmul(t, gadd(b42, gmul(t, b6)))))));
    4262                 :            :     /* 1 - (b4 t^2 + 2b6 t^3 + b8 t^4) */
    4263                 :        350 :     z = gsubsg(1, gmul(gsqr(t), gadd(b4, gmul(t, gadd(b62, gmul(t, b8))))));
    4264                 :        350 :     mu = gadd(mu, gmul2n(glog(z,prec), -n));
    4265                 :        350 :     t = gdiv(w, z);
    4266                 :            :   }
    4267                 :          5 :   return mu;
    4268                 :            : }
    4269                 :            : 
    4270                 :            : static GEN
    4271                 :          5 : hell2(GEN e, GEN x, long prec)
    4272                 :            : {
    4273                 :            :   GEN e3, ro, r;
    4274                 :          5 :   pari_sp av = avma;
    4275                 :            : 
    4276         [ -  + ]:          5 :   if (ell_is_inf(x)) return gen_0;
    4277                 :          5 :   ro= ellR_roots(e, prec);
    4278         [ -  + ]:          5 :   e3 = (ellR_get_sign(e) < 0)? gel(ro,1): gel(ro,3);
    4279                 :          5 :   r = addis(gfloor(e3),-1);
    4280                 :          5 :   e = coordch_r(e, r);
    4281                 :          5 :   x = ellchangepoint_r(x, r);
    4282                 :          5 :   return gerepileupto(av, hells(e, x, prec));
    4283                 :            : }
    4284                 :            : 
    4285                 :            : /* one root of X^2 - t X + c */
    4286                 :            : static GEN
    4287                 :        740 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    4288                 :            : {
    4289                 :        740 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    4290                 :            : }
    4291                 :            : 
    4292                 :            : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    4293                 :            :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    4294                 :            : static GEN
    4295                 :        740 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    4296                 :            : {
    4297                 :        740 :   GEN x_a, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    4298                 :        740 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    4299                 :            : 
    4300 [ +  + ][ +  - ]:        740 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    4301                 :        740 :   e1 = ellR_root(e, p);
    4302                 :            :   {
    4303                 :        740 :     GEN ab = ellR_ab(e, p);
    4304                 :        740 :     a = gel(ab, 1);
    4305                 :        740 :     b = gel(ab, 2);
    4306                 :            :   }
    4307                 :        740 :   x = gsub(x, e1);
    4308                 :        740 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    4309                 :            : 
    4310                 :        740 :   x_a = gsub(x, a);
    4311         [ +  + ]:        740 :   if (gsigne(a) > 0)
    4312                 :            :   {
    4313                 :         60 :     GEN a0 = a;
    4314                 :         60 :     x = gsub(x, b);
    4315                 :         60 :     a = gneg(b);
    4316                 :         60 :     b = gsub(a0, b);
    4317                 :            :   }
    4318                 :        740 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    4319                 :        740 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    4320                 :            :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    4321                 :        740 :   for(n=0; ; n++)
    4322                 :            :   {
    4323                 :       3854 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    4324                 :       3854 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    4325                 :       3854 :     r = gsub(a, a0);
    4326 [ +  + ][ +  + ]:       3854 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    4327                 :       3114 :     ab = gmul(a0, b);
    4328                 :       3114 :     b = gsqrt(ab, prec);
    4329                 :            : 
    4330                 :       3114 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    4331                 :       3114 :     p2 = gsqr(a);
    4332                 :       3114 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    4333                 :       3114 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    4334                 :       3114 :   }
    4335         [ +  - ]:        740 :   if (n) {
    4336                 :        740 :     x = gel(V,n);
    4337         [ +  + ]:       3114 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    4338                 :            :   } else {
    4339                 :          0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    4340                 :            :   }
    4341                 :            :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    4342                 :       1150 :   return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
    4343         [ +  + ]:       1150 :              : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
    4344                 :            : }
    4345                 :            : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    4346                 :            : static int
    4347                 :        740 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    4348                 :            : {
    4349                 :        740 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    4350                 :        740 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    4351                 :            : }
    4352                 :            : 
    4353                 :            : /* exp( 4h_oo(z) ) */
    4354                 :            : static GEN
    4355                 :        120 : exp4hellagm(GEN E, GEN z, long prec)
    4356                 :            : {
    4357         [ +  + ]:        120 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    4358                 :            :   {
    4359                 :         70 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    4360                 :            :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    4361                 :         70 :     return gmul(eh, gabs(ec_dLHSdy_evalQ(E, z), prec));
    4362                 :            :   }
    4363                 :        120 :   return exphellagm(E, z, 1, prec);
    4364                 :            : }
    4365                 :            : 
    4366                 :            : GEN
    4367                 :        620 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec)
    4368                 :            : {
    4369                 :        620 :   pari_sp av = avma;
    4370                 :            :   GEN h;
    4371                 :        620 :   checkell_Q(E);
    4372         [ +  + ]:        620 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    4373                 :            :   {
    4374                 :        260 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    4375                 :            :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    4376                 :        260 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dLHSdy_evalQ(E, z), prec));
    4377                 :            :   }
    4378                 :            :   else
    4379                 :        360 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    4380                 :        620 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    4381                 :            : }
    4382                 :            : 
    4383                 :            : GEN
    4384                 :        145 : ellheight0(GEN e, GEN a, long flag, long prec)
    4385                 :            : {
    4386                 :        145 :   long i, tx = typ(a), lx;
    4387                 :        145 :   pari_sp av = avma;
    4388                 :            :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    4389                 :            :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    4390                 :            : 
    4391 [ +  - ][ -  + ]:        145 :   if (flag > 2 || flag < 0) pari_err_FLAG("ellheight");
    4392         [ -  + ]:        145 :   checkell_Q(e); if (!is_matvec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellheight",a);
    4393         [ -  + ]:        145 :   lx = lg(a); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    4394                 :        145 :   tx = typ(gel(a,1));
    4395         [ +  + ]:        145 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    4396                 :            :   { /* switch to minimal model if needed */
    4397         [ +  + ]:        125 :     if (lg(S) != 2)
    4398                 :            :     {
    4399                 :         20 :       v = gel(S,2);
    4400                 :         20 :       e = gel(S,3);
    4401                 :         20 :       a = ellchangepoint(a, v);
    4402                 :            :     }
    4403                 :            :   }
    4404                 :            :   else
    4405                 :            :   {
    4406                 :         20 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    4407                 :         20 :     a = ellchangepoint(a, v);
    4408                 :            :   }
    4409         [ -  + ]:        145 :   if (is_matvec_t(tx))
    4410                 :            :   {
    4411                 :          0 :     z = cgetg(lx,tx);
    4412         [ #  # ]:          0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellheight0(e,gel(a,i),flag,prec);
    4413                 :          0 :     return z;
    4414                 :            :   }
    4415         [ -  + ]:        145 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    4416         [ +  + ]:        145 :   if (!oncurve(e,a))
    4417                 :          5 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    4418                 :        140 :   psi2 = Q_numer(ec_dLHSdy_evalQ(e,a));
    4419         [ +  + ]:        140 :   if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
    4420      [ +  +  + ]:        130 :   switch(flag)
    4421                 :            :   {
    4422                 :          5 :     case 0:  z = hell2(e,a,prec); break; /* Tate 4^n */
    4423                 :          5 :     case 1:  z = hell(e,a,prec);  break; /* Silverman's log(sigma) */
    4424                 :            :     default:
    4425                 :            :     {
    4426                 :        120 :       GEN d = denom(gel(a,1));
    4427                 :        120 :       z = exp4hellagm(e,a,prec); /* = exp(4h_oo(a)), Mestre's AGM */
    4428         [ +  + ]:        120 :       if (!is_pm1(d)) z = gmul(z, sqri(d));
    4429                 :        120 :       z = gmul2n(mplog(z), -2); break;
    4430                 :            :     }
    4431                 :            :   }
    4432                 :        130 :   x = gel(a,1);
    4433                 :        130 :   y = gel(a,2);
    4434                 :        130 :   b2 = ell_get_b2(e);
    4435                 :        130 :   b4 = ell_get_b4(e);
    4436                 :        130 :   b6 = ell_get_b6(e);
    4437                 :        130 :   b8 = ell_get_b8(e);
    4438                 :        130 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    4439                 :            :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    4440                 :            :   );
    4441         [ -  + ]:        130 :   if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
    4442                 :        130 :   a1 = ell_get_a1(e);
    4443                 :        130 :   a2 = ell_get_a2(e);
    4444                 :        130 :   a4 = ell_get_a4(e);
    4445                 :        130 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    4446                 :            :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    4447                 :            :   );
    4448                 :        130 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4449                 :        130 :   D = ell_get_disc(e);
    4450                 :        130 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    4451                 :        130 :   lx = lg(Lp);
    4452         [ +  + ]:        220 :   for (i=1; i<lx; i++)
    4453                 :            :   {
    4454                 :         90 :     GEN p = gel(Lp,i);
    4455                 :            :     long u, v, n, n2;
    4456         [ +  + ]:         90 :     if (signe(remii(c4,p)))
    4457                 :            :     { /* p \nmid c4 */
    4458                 :         10 :       long N = Z_pval(D,p);
    4459         [ -  + ]:         10 :       if (!N) continue;
    4460                 :         10 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    4461         [ -  + ]:         10 :       if (n > N) n = N;
    4462                 :         10 :       u = n * ((N<<1) - n);
    4463                 :         10 :       v = N << 3;
    4464                 :            :     }
    4465                 :            :     else
    4466                 :            :     {
    4467                 :         80 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    4468                 :         80 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    4469         [ +  + ]:         80 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    4470                 :            :     }
    4471                 :            :     /* z -= u log(p) / v */
    4472                 :         90 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    4473                 :            :   }
    4474                 :        140 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    4475                 :            : }
    4476                 :            : 
    4477                 :            : GEN
    4478                 :        120 : ghell(GEN e, GEN a, long prec) { return ellheight0(e,a,2,prec); }
    4479                 :            : 
    4480                 :            : GEN
    4481                 :         10 : mathell(GEN e, GEN x, long prec)
    4482                 :            : {
    4483                 :            :   GEN y, h, pdiag;
    4484                 :         10 :   long lx = lg(x),i,j,tx=typ(x);
    4485                 :         10 :   pari_sp av = avma;
    4486                 :            : 
    4487         [ -  + ]:         10 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    4488                 :         10 :   y = cgetg(lx,t_MAT); pdiag = new_chunk(lx);
    4489         [ +  + ]:         30 :   for (i=1; i<lx; i++)
    4490                 :            :   {
    4491                 :         20 :     gel(pdiag,i) = ghell(e,gel(x,i),prec);
    4492                 :         20 :     gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
    4493                 :            :   }
    4494         [ +  + ]:         30 :   for (i=1; i<lx; i++)
    4495                 :            :   {
    4496                 :         20 :     gcoeff(y,i,i) = gel(pdiag,i);
    4497         [ +  + ]:         30 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    4498                 :            :     {
    4499                 :         10 :       h = ghell(e, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)), prec);
    4500                 :         10 :       h = gsub(h, gadd(gel(pdiag,i),gel(pdiag,j)));
    4501                 :         10 :       gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
    4502                 :            :     }
    4503                 :            :   }
    4504                 :         10 :   return gerepilecopy(av,y);
    4505                 :            : }
    4506                 :            : 
    4507                 :            : static GEN
    4508                 :         30 : bilhells(GEN e, GEN z1, GEN z2, GEN h2, long prec)
    4509                 :            : {
    4510                 :         30 :   long lz1=lg(z1), tx, i;
    4511                 :         30 :   pari_sp av = avma;
    4512                 :            :   GEN y,p1,p2;
    4513                 :            : 
    4514         [ -  + ]:         30 :   if (lz1==1) return cgetg(1,typ(z1));
    4515                 :            : 
    4516                 :         30 :   tx = typ(gel(z1,1));
    4517         [ +  + ]:         30 :   if (!is_matvec_t(tx))
    4518                 :            :   {
    4519                 :         20 :     p1 = ghell(e, elladd(e,z1,z2),prec);
    4520                 :         20 :     p2 = gadd(h2, ghell(e,z1,prec));
    4521                 :         20 :     return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(p1,p2), -1));
    4522                 :            :   }
    4523                 :         10 :   y = cgetg(lz1, typ(z1));
    4524         [ +  + ]:         30 :   for (i=1; i<lz1; i++) gel(y,i) = bilhells(e,gel(z1,i),z2,h2,prec);
    4525                 :         30 :   return y;
    4526                 :            : }
    4527                 :            : 
    4528                 :            : GEN
    4529                 :         10 : bilhell(GEN e, GEN z1, GEN z2, long prec)
    4530                 :            : {
    4531                 :            :   GEN p1, h2;
    4532                 :         10 :   long tz1 = typ(z1), tz2 = typ(z2);
    4533                 :         10 :   pari_sp av = avma;
    4534                 :            : 
    4535         [ -  + ]:         10 :   if (!is_matvec_t(tz1)) pari_err_TYPE("ellbil",z1);
    4536         [ -  + ]:         10 :   if (!is_matvec_t(tz2)) pari_err_TYPE("ellbil",z2);
    4537         [ -  + ]:         10 :   if (lg(z1)==1) return cgetg(1,tz1);
    4538         [ -  + ]:         10 :   if (lg(z2)==1) return cgetg(1,tz2);
    4539                 :            : 
    4540                 :         10 :   tz1 = typ(gel(z1,1));
    4541                 :         10 :   tz2 = typ(gel(z2,1));
    4542         [ -  + ]:         10 :   if (is_matvec_t(tz2))
    4543                 :            :   {
    4544         [ #  # ]:          0 :     if (is_matvec_t(tz1)) pari_err_TYPE("bilhell",z1);
    4545                 :          0 :     p1 = z1; z1 = z2; z2 = p1;
    4546                 :            :   }
    4547                 :         10 :   h2 = ghell(e,z2,prec);
    4548                 :         10 :   return gerepileupto(av, bilhells(e,z1,z2,h2,prec));
    4549                 :            : }
    4550                 :            : 
    4551                 :            : /********************************************************************/
    4552                 :            : /**                                                                **/
    4553                 :            : /**                    Modular Parametrization                     **/
    4554                 :            : /**                                                                **/
    4555                 :            : /********************************************************************/
    4556                 :            : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    4557                 :            : static GEN
    4558                 :          0 : triv_ser(GEN t, long v)
    4559                 :            : {
    4560                 :          0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    4561                 :          0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    4562                 :          0 :   gel(s,2) = t; return s;
    4563                 :            : }
    4564                 :            : 
    4565                 :            : GEN
    4566                 :         15 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    4567                 :            : {
    4568                 :            :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    4569                 :            :   long n, m;
    4570                 :         15 :   pari_sp av = avma;
    4571                 :            : 
    4572                 :         15 :   checkell_Q(e);
    4573         [ +  + ]:         15 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    4574         [ -  + ]:         10 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    4575                 :            : 
    4576                 :         10 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    4577                 :         10 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    4578                 :         10 :   d = ginv(gtoser(anell(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
    4579                 :            :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    4580                 :            :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    4581                 :         10 :   c = gsqr(d);
    4582                 :            :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    4583                 :            :    * Take derivative then divide by 2x':
    4584                 :            :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    4585                 :            :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    4586                 :            :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    4587                 :            :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    4588                 :            :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    4589                 :            :    * */
    4590                 :         10 :   C = c+4;
    4591                 :         10 :   X = x+4;
    4592                 :         10 :   gel(X,-2) = gen_1;
    4593                 :         10 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    4594                 :         10 :   b2 = ell_get_b2(e);
    4595                 :         10 :   b4 = ell_get_b4(e);
    4596         [ +  + ]:        140 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    4597                 :            :   {
    4598                 :        130 :     pari_sp av2 = avma;
    4599                 :            :     GEN s1, s2, s3;
    4600         [ +  + ]:        130 :     if (n != 2)
    4601                 :            :     {
    4602                 :        120 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    4603         [ +  + ]:        120 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    4604                 :        120 :       s2 = gen_0;
    4605         [ +  + ]:       1120 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    4606         [ +  + ]:       1000 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    4607                 :        120 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    4608                 :        120 :       s1 = gen_0;
    4609         [ +  + ]:        530 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    4610                 :        120 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    4611         [ +  + ]:        120 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    4612                 :            :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    4613                 :        120 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    4614                 :            :     }
    4615                 :            :     else
    4616                 :            :     {
    4617                 :         10 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    4618                 :         10 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    4619                 :         10 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    4620                 :         10 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    4621                 :         10 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    4622                 :         10 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    4623                 :         10 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    4624                 :         10 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    4625                 :         10 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    4626                 :         10 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    4627                 :            :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    4628                 :         10 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    4629                 :            :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    4630                 :         10 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    4631                 :            :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    4632                 :         10 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    4633         [ -  + ]:         10 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    4634                 :            :     }
    4635                 :        130 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    4636                 :            :   }
    4637                 :         10 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    4638                 :         10 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    4639                 :         10 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    4640                 :         10 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    4641                 :         10 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    4642                 :            : }
    4643                 :            : 
    4644                 :            : /********************************************************************/
    4645                 :            : /**                                                                **/
    4646                 :            : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    4647                 :            : /**                                                                **/
    4648                 :            : /********************************************************************/
    4649                 :            : static int
    4650                 :        145 : smaller_x(GEN p, GEN q)
    4651                 :            : {
    4652                 :        145 :   int s = absi_cmp(denom(p), denom(q));
    4653 [ +  + ][ +  + ]:        145 :   return (s<0 || (s==0 && absi_cmp(numer(p),numer(q)) < 0));
                 [ +  + ]
    4654                 :            : }
    4655                 :            : 
    4656                 :            : /* best generator in cycle of length k */
    4657                 :            : static GEN
    4658                 :        110 : best_in_cycle(GEN e, GEN p, long k)
    4659                 :            : {
    4660                 :        110 :   GEN p0 = p,q = p;
    4661                 :            :   long i;
    4662                 :            : 
    4663         [ +  + ]:        225 :   for (i=2; i+i<k; i++)
    4664                 :            :   {
    4665                 :        115 :     q = elladd(e,q,p0);
    4666 [ +  + ][ +  + ]:        115 :     if (ugcd(i,k)==1 && smaller_x(gel(q,1), gel(p,1))) p = q;
    4667                 :            :   }
    4668         [ +  + ]:        110 :   return (gsigne(ec_dLHSdy_evalQ(e,p)) < 0)? ellneg_i(e,p): p;
    4669                 :            : }
    4670                 :            : 
    4671                 :            : /* <p,q> = E_tors, possibly NULL (= oo), p,q independent unless NULL
    4672                 :            :  * order p = k, order q = 2 unless NULL */
    4673                 :            : static GEN
    4674                 :        130 : tors(GEN e, long k, GEN p, GEN q, GEN v)
    4675                 :            : {
    4676                 :            :   GEN r;
    4677         [ +  + ]:        130 :   if (q)
    4678                 :            :   {
    4679                 :         55 :     long n = k>>1;
    4680                 :         55 :     GEN p1, best = q, np = ellmul_Z(e,p,utoipos(n));
    4681 [ +  + ][ +  + ]:         55 :     if (n % 2 && smaller_x(gel(np,1), gel(best,1))) best = np;
    4682                 :         55 :     p1 = elladd(e,q,np);
    4683         [ +  + ]:         55 :     if (smaller_x(gel(p1,1), gel(best,1))) q = p1;
    4684         [ -  + ]:         35 :     else if (best == np) { p = elladd(e,p,q); q = np; }
    4685                 :         55 :     p = best_in_cycle(e,p,k);
    4686         [ -  + ]:         55 :     if (v)
    4687                 :            :     {
    4688                 :          0 :       p = ellchangepointinv(p,v);
    4689                 :          0 :       q = ellchangepointinv(q,v);
    4690                 :            :     }
    4691                 :         55 :     r = cgetg(4,t_VEC);
    4692                 :         55 :     gel(r,1) = utoipos(2*k);
    4693                 :         55 :     gel(r,2) = mkvec2(utoipos(k), gen_2);
    4694                 :         55 :     gel(r,3) = mkvec2copy(p, q);
    4695                 :            :   }
    4696                 :            :   else
    4697                 :            :   {
    4698         [ +  + ]:         75 :     if (p)
    4699                 :            :     {
    4700                 :         55 :       p = best_in_cycle(e,p,k);
    4701         [ -  + ]:         55 :       if (v) p = ellchangepointinv(p,v);
    4702                 :         55 :       r = cgetg(4,t_VEC);
    4703                 :         55 :       gel(r,1) = utoipos(k);
    4704                 :         55 :       gel(r,2) = mkvec( gel(r,1) );
    4705                 :         55 :       gel(r,3) = mkvec( gcopy(p) );
    4706                 :            :     }
    4707                 :            :     else
    4708                 :            :     {
    4709                 :         20 :       r = cgetg(4,t_VEC);
    4710                 :         20 :       gel(r,1) = gen_1;
    4711                 :         20 :       gel(r,2) = cgetg(1,t_VEC);
    4712                 :         20 :       gel(r,3) = cgetg(1,t_VEC);
    4713                 :            :     }
    4714                 :            :   }
    4715                 :        130 :   return r;
    4716                 :            : }
    4717                 :            : 
    4718                 :            : static GEN
    4719                 :        490 : doellff_get_o(GEN E)
    4720                 :            : {
    4721                 :        490 :   GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
    4722                 :        490 :   return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
    4723                 :            : }
    4724                 :            : GEN
    4725                 :        675 : ellff_get_o(GEN E)
    4726                 :        675 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); };
    4727                 :            : 
    4728                 :            : GEN
    4729                 :         90 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    4730                 :            : {
    4731                 :         90 :   pari_sp av = avma;
    4732                 :            :   GEN fg, r;
    4733                 :         90 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    4734                 :         90 :   fg = ellff_get_field(E);
    4735         [ +  + ]:         90 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    4736         [ +  + ]:         90 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4737                 :         60 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    4738                 :            :   else
    4739                 :            :   {
    4740                 :         30 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    4741                 :         30 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    4742                 :         30 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    4743                 :         30 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    4744                 :            :   }
    4745                 :         90 :   return gerepileuptoint(av, r);
    4746                 :            : }
    4747                 :            : 
    4748                 :            : /* assume e is defined over Q (use Mazur's theorem) */
    4749                 :            : static long
    4750                 :         70 : _orderell(GEN E, GEN P)
    4751                 :            : {
    4752                 :         70 :   pari_sp av = avma;
    4753                 :            :   GEN tmp, p, a4, dx, dy, d4, d6, D, Pp, Q;
    4754                 :            :   forprime_t T;
    4755                 :            :   ulong pp;
    4756                 :            :   long k;
    4757         [ -  + ]:         70 :   if (ell_is_inf(P)) return 1;
    4758                 :            : 
    4759                 :         70 :   dx = Q_denom(gel(P,1));
    4760                 :         70 :   dy = Q_denom(gel(P,2));
    4761         [ +  + ]:         70 :   if (ell_is_integral(E)) /* integral model, try Nagell Lutz */
    4762 [ +  + ][ +  + ]:         30 :     if (cmpiu(dx, 4) > 0 || cmpiu(dy, 8) > 0) return 0;
    4763                 :            : 
    4764                 :         60 :   d4 = Q_denom(ell_get_c4(E));
    4765                 :         60 :   d6 = Q_denom(ell_get_c6(E));
    4766                 :         60 :   D = ell_get_disc (E);
    4767                 :            :   /* choose not too small prime p dividing neither a coefficient of the
    4768                 :            :      short Weierstrass form nor of P and leading to good reduction      */
    4769                 :            : 
    4770                 :         60 :   u_forprime_init(&T, 100003, ULONG_MAX);
    4771         [ +  - ]:         60 :   while ( (pp = u_forprime_next(&T)) )
    4772 [ +  - ][ +  - ]:         60 :     if (Rg_to_Fl(d4, pp) && Rg_to_Fl(d6, pp) && Rg_to_Fl(D, pp)
                 [ +  - ]
    4773 [ +  - ][ +  - ]:         60 :      && Rg_to_Fl(dx, pp) && Rg_to_Fl(dy, pp)) break;
    4774                 :            : 
    4775                 :            :   /* transform E into short Weierstrass form Ep modulo p
    4776                 :            :      and P to Pp on Ep */
    4777                 :         60 :   p = utoipos(pp);
    4778                 :         60 :   tmp = ell_to_a4a6_bc(E, p);
    4779                 :         60 :   a4 = gel(tmp, 1);
    4780                 :         60 :   Pp = FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P, p), gel(tmp,3), p);
    4781                 :            : 
    4782                 :            :   /* check whether the order of Pp on Ep is <= 12 */
    4783         [ +  + ]:        300 :   for (Q = FpE_dbl(Pp, a4, p), k = 2;
    4784         [ +  - ]:        420 :        !ell_is_inf(Q) && k <= 12;
    4785                 :        180 :        Q = FpE_add(Q, Pp, a4, p), k++) /* empty */;
    4786                 :            : 
    4787         [ +  - ]:         60 :   if (k != 13)
    4788                 :            :     /* check over Q; one could also run more tests modulo primes */
    4789         [ +  + ]:        300 :     for (Q = elladd(E, P, P), k = 2;
    4790         [ +  - ]:        420 :         !ell_is_inf(Q) && k <= 12;
    4791                 :        180 :         Q = elladd(E, Q, P), k++) /* empty */;
    4792                 :            : 
    4793                 :         60 :   avma = av;
    4794         [ +  - ]:         70 :   return (k == 13 ? 0 : k);
    4795                 :            : }
    4796                 :            : 
    4797                 :            : GEN
    4798                 :       1675 : ellorder(GEN E, GEN P, GEN o)
    4799                 :            : {
    4800                 :       1675 :   pari_sp av = avma;
    4801                 :       1675 :   GEN fg, r, E0 = E;
    4802                 :       1675 :   checkell(E); checkellpt(P);
    4803         [ +  + ]:       1675 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    4804         [ +  + ]:       1665 :   if (ell_get_type(E)==t_ELL_Q)
    4805                 :            :   {
    4806                 :       1340 :     GEN p = NULL;
    4807 [ +  + ][ +  - ]:       1340 :     if (is_rational_t(typ(gel(P,1))) && is_rational_t(typ(gel(P,2))))
    4808                 :         70 :       return utoi( _orderell(E, P) );
    4809 [ +  - ][ +  - ]:       1270 :     if (RgV_is_FpV(P,&p) && p)
    4810                 :            :     {
    4811                 :       1270 :       E = ellinit(E,p,0);
    4812         [ +  + ]:       1270 :       if (lg(E)==1) pari_err_IMPL("ellorder for curve with singular reduction");
    4813                 :            :     }
    4814                 :            :   }
    4815                 :       1590 :   checkell_Fq(E);
    4816                 :       1590 :   fg = ellff_get_field(E);
    4817         [ +  + ]:       1590 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    4818         [ +  + ]:       1590 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4819                 :       1160 :     r = FF_ellorder(E, P, o);
    4820                 :            :   else
    4821                 :            :   {
    4822                 :        430 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    4823                 :        430 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P,p), gel(e,3), p);
    4824                 :        430 :     r = FpE_order(Pp, o, gel(e,1), p);
    4825                 :            :   }
    4826         [ +  + ]:       1590 :   if (E != E0) obj_free(E);
    4827                 :       1670 :   return gerepileuptoint(av, r);
    4828                 :            : }
    4829                 :            : 
    4830                 :            : GEN
    4831                 :          5 : orderell(GEN e, GEN z) { return ellorder(e,z,NULL); }
    4832                 :            : 
    4833                 :            : /* Using Lutz-Nagell */
    4834                 :            : 
    4835                 :            : /* p in Z[X] of degree 3. Return vector of x/4, x integral root of p */
    4836                 :            : static GEN
    4837                 :          0 : ratroot(GEN p)
    4838                 :            : {
    4839                 :            :   GEN L, a, ld;
    4840                 :          0 :   long i, t, v = ZX_valrem(p, &p);
    4841                 :            : 
    4842         [ #  # ]:          0 :   if (v == 3) return ellinf();
    4843         [ #  # ]:          0 :   if (v == 2) return mkvec2(gen_0, gmul2n(negi(gel(p,2)), -2));
    4844                 :            : 
    4845                 :          0 :   L = cgetg(4,t_VEC); t = 1;
    4846         [ #  # ]:          0 :   if (v == 1) gel(L,t++) = gen_0;
    4847                 :          0 :   ld = divisors(gel(p,2));
    4848         [ #  # ]:          0 :   for (i=1; i<lg(ld); i++)
    4849                 :            :   {
    4850                 :          0 :     a = gel(ld,i);
    4851         [ #  # ]:          0 :     if (!signe(poleval(p,a))) gel(L,t++) = gmul2n(a, -2);
    4852                 :          0 :     a = negi(a);
    4853         [ #  # ]:          0 :     if (!signe(poleval(p,a))) gel(L,t++) = gmul2n(a, -2);
    4854                 :            :   }
    4855                 :          0 :   setlg(L,t); return L;
    4856                 :            : }
    4857                 :            : 
    4858                 :            : static int
    4859                 :          0 : is_new_torsion(GEN e, GEN v, GEN p, long t2) {
    4860                 :          0 :   GEN pk = p, pkprec = NULL;
    4861                 :            :   long k,l;
    4862                 :            : 
    4863         [ #  # ]:          0 :   for (k=2; k<=6; k++)
    4864                 :            :   {
    4865                 :          0 :     pk = elladd(e,pk,p); /* = [k] p */
    4866         [ #  # ]:          0 :     if (ell_is_inf(pk)) return 1;
    4867                 :            : 
    4868         [ #  # ]:          0 :     for (l=2; l<=t2; l++)
    4869         [ #  # ]:          0 :       if (gequal(gel(pk,1),gmael(v,l,1))) return 1;
    4870                 :            : 
    4871 [ #  # ][ #  # ]:          0 :     if (pkprec && k<=5)
    4872         [ #  # ]:          0 :       if (gequal(gel(pk,1),gel(pkprec,1))) return 1;
    4873                 :          0 :     pkprec=pk;
    4874                 :            :   }
    4875                 :          0 :   return 0;
    4876                 :            : }
    4877                 :            : 
    4878                 :            : static GEN
    4879                 :          0 : nagelllutz(GEN e)
    4880                 :            : {
    4881                 :            :   GEN ld, pol, p1, lr, r, v, w2, w3;
    4882                 :            :   long i, j, nlr, t, t2, k, k2;
    4883                 :          0 :   pari_sp av=avma;
    4884                 :            : 
    4885                 :          0 :   e = ellintegralmodel(e, &v);
    4886                 :          0 :   pol = RgX_rescale(RHSpol(e,NULL), utoipos(4));
    4887                 :          0 :   r = cgetg(17, t_VEC);
    4888                 :          0 :   gel(r,1) = ellinf();
    4889                 :          0 :   lr = ratroot(pol); nlr=lg(lr)-1;
    4890         [ #  # ]:          0 :   for (t=1,i=1; i<=nlr; i++)
    4891                 :            :   {
    4892                 :          0 :     GEN x = gel(lr,i), y = gmul2n(gneg(ec_h_evalx(e,x)), -1);
    4893                 :          0 :     gel(r,++t) = mkvec2(x, y);
    4894                 :            :   }
    4895                 :          0 :   ld = absi_factor(gmul2n(ell_get_disc(e), 4));
    4896                 :          0 :   p1 = gel(ld,2); k = lg(p1);
    4897         [ #  # ]:          0 :   for (i=1; i<k; i++) gel(p1,i) = shifti(gel(p1,i), -1);
    4898                 :          0 :   ld = divisors(ld);
    4899         [ #  # ]:          0 :   for (t2=t,j=1; j<lg(ld); j++)
    4900                 :            :   {
    4901                 :          0 :     GEN d = gel(ld,j);
    4902                 :          0 :     lr = ratroot(ZX_Z_sub(pol, shifti(sqri(d), 6)));
    4903         [ #  # ]:          0 :     for (i=1; i<lg(lr); i++)
    4904                 :            :     {
    4905                 :          0 :       GEN x = gel(lr,i), y = gmul2n(gsub(d, ec_h_evalx(e,x)), -1);
    4906                 :          0 :       p1 = mkvec2(x, y);
    4907         [ #  # ]:          0 :       if (is_new_torsion(e,r,p1,t2))
    4908                 :            :       {
    4909                 :          0 :         gel(r,++t) = p1;
    4910                 :          0 :         gel(r,++t) = mkvec2(x, gsub(y, d));
    4911                 :            :       }
    4912                 :            :     }
    4913                 :            :   }
    4914         [ #  # ]:          0 :   if (t == 1) { avma = av; return tors(e,1,NULL,NULL,v); }
    4915                 :            : 
    4916         [ #  # ]:          0 :   if (nlr < 3)
    4917                 :            :   {
    4918                 :          0 :     w2 = mkvec( utoipos(t) );
    4919         [ #  # ]:          0 :     for (k=2; k<=t; k++)
    4920         [ #  # ]:          0 :       if (_orderell(e,gel(r,k)) == t) break;
    4921         [ #  # ]:          0 :     if (k>t) pari_err_BUG("elltors (bug1)");
    4922                 :            : 
    4923                 :          0 :     w3 = mkvec( gel(r,k) );
    4924                 :            :   }
    4925                 :            :   else
    4926                 :            :   {
    4927         [ #  # ]:          0 :     if (t&3) pari_err_BUG("elltors (bug2)");
    4928                 :          0 :     t2 = t>>1;
    4929                 :          0 :     w2 = mkvec2(utoipos(t2), gen_2);
    4930         [ #  # ]:          0 :     for (k=2; k<=t; k++)
    4931         [ #  # ]:          0 :       if (_orderell(e,gel(r,k)) == t2) break;
    4932         [ #  # ]:          0 :     if (k>t) pari_err_BUG("elltors (bug3)");
    4933                 :            : 
    4934                 :          0 :     p1 = ellmul_Z(e,gel(r,k),utoipos(t>>2));
    4935 [ #  # ][ #  # ]:          0 :     k2 = (!ell_is_inf(p1) && gequal(gel(r,2),p1))? 3: 2;
    4936                 :          0 :     w3 = mkvec2(gel(r,k), gel(r,k2));
    4937                 :            :   }
    4938         [ #  # ]:          0 :   if (v)
    4939                 :            :   {
    4940                 :          0 :     gel(v,1) = ginv(gel(v,1));
    4941                 :          0 :     w3 = ellchangepoint(w3,v);
    4942                 :            :   }
    4943                 :          0 :   return gerepilecopy(av, mkvec3(utoipos(t), w2,w3));
    4944                 :            : }
    4945                 :            : 
    4946                 :            : /* Using Doud's algorithm */
    4947                 :            : 
    4948                 :            : /* finds a bound for #E_tor */
    4949                 :            : static long
    4950                 :        130 : torsbound(GEN e)
    4951                 :            : {
    4952                 :        130 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    4953                 :        130 :   pari_sp av = avma, av2;
    4954                 :            :   long m, b, bold, nb;
    4955                 :            :   forprime_t S;
    4956                 :        130 :   int CM = ell_get_CM(e);
    4957                 :        130 :   nb = expi(D) >> 3;
    4958                 :            :   /* nb = number of primes to try ~ 1 prime every 8 bits in D */
    4959                 :        130 :   b = bold = 5040; /* = 2^4 * 3^2 * 5 * 7 */
    4960                 :        130 :   m = 0;
    4961                 :        130 :   (void)u_forprime_init(&S, 3, ULONG_MAX);
    4962                 :        130 :   av2 = avma;
    4963 [ +  + ][ +  + ]:       1215 :   while (m < nb || (b > 12 && b != 16))
                 [ +  + ]
    4964                 :            :   {
    4965                 :       1095 :     ulong p = u_forprime_next(&S);
    4966         [ -  + ]:       1095 :     if (!p) pari_err_BUG("torsbound [ran out of primes]");
    4967         [ +  + ]:       1095 :     if (!umodiu(D, p)) continue;
    4968                 :            : 
    4969                 :        860 :     b = ugcd(b, p+1 - ellap_small_goodred(CM, e, p));
    4970                 :        860 :     avma = av2;
    4971         [ +  + ]:        860 :     if (b == 1) break;
    4972         [ +  + ]:        850 :     if (b == bold) m++; else { bold = b; m = 0; }
    4973                 :            :   }
    4974                 :        130 :   avma = av; return b;
    4975                 :            : }
    4976                 :            : 
    4977                 :            : static GEN
    4978                 :          0 : myround(GEN x, long *e)
    4979                 :            : {
    4980                 :          0 :   GEN y = grndtoi(x,e);
    4981 [ #  # ][ #  # ]:          0 :   if (*e > -5 && prec2nbits(gprecision(x)) < gexpo(y) - 10)
    4982                 :          0 :     pari_err_PREC("elltors");
    4983                 :          0 :   return y;
    4984                 :            : }
    4985                 :            : 
    4986                 :            : /* E the curve, w in C/Lambda ~ E of order n, returns q = pointell(w) as a
    4987                 :            :  * rational point on the curve, or NULL if q is not rational. */
    4988                 :            : static GEN
    4989                 :          0 : torspnt(GEN E, GEN w, long n, long prec)
    4990                 :            : {
    4991                 :          0 :   GEN p = cgetg(3,t_VEC), q = pointell(E, w, prec);
    4992                 :            :   long e;
    4993                 :          0 :   gel(p,1) = gmul2n(myround(gmul2n(gel(q,1),2), &e),-2);
    4994 [ #  # ][ #  # ]:          0 :   if (e > -5 || typ(gel(p,1)) == t_COMPLEX) return NULL;
    4995                 :          0 :   gel(p,2) = gmul2n(myround(gmul2n(gel(q,2),3), &e),-3);
    4996 [ #  # ][ #  # ]:          0 :   if (e > -5 || typ(gel(p,2)) == t_COMPLEX) return NULL;
    4997                 :          0 :   return (oncurve(E,p)
    4998         [ #  # ]:          0 :       && ell_is_inf(ellmul_Z(E,p,utoipos(n)))
    4999 [ #  # ][ #  # ]:          0 :       && _orderell(E,p) == n)? p: NULL;
    5000                 :            : }
    5001                 :            : 
    5002                 :            : static GEN
    5003                 :          0 : elltors_doud(GEN e)
    5004                 :            : {
    5005                 :          0 :   long B, i, ord, prec, k = 1;
    5006                 :          0 :   pari_sp av=avma;
    5007                 :            :   GEN v,w,w1,w22,w1j,w12,p,tor1,tor2;
    5008                 :            :   GEN om;
    5009                 :            : 
    5010                 :          0 :   e = ellintegralmodel(e, &v);
    5011                 :          0 :   B = torsbound(e); /* #E_tor | B */
    5012         [ #  # ]:          0 :   if (B == 1) { avma = av; return tors(e,1,NULL,NULL, v); }
    5013                 :            : 
    5014                 :            :   /* prec >= size of sqrt(D) */
    5015                 :          0 :   prec = DEFAULTPREC + ((lgefint(ell_get_disc(e))-2) >> 1);
    5016                 :          0 :   om = ellR_omega(e, prec);
    5017                 :          0 :   w1 = gel(om,1);
    5018                 :          0 :   w22 = gmul2n(gel(om,2),-1);
    5019         [ #  # ]:          0 :   if (B % 4)
    5020                 :            :   { /* cyclic of order 1, p, 2p, p <= 5 */
    5021                 :          0 :     p = NULL;
    5022         [ #  # ]:          0 :     for (i=10; i>1; i--)
    5023                 :            :     {
    5024         [ #  # ]:          0 :       if (B%i != 0) continue;
    5025                 :          0 :       w1j = gdivgs(w1,i);
    5026                 :          0 :       p = torspnt(e,w1j,i,prec);
    5027 [ #  # ][ #  # ]:          0 :       if (!p && i%2==0)
    5028                 :            :       {
    5029                 :          0 :         p = torspnt(e,gadd(w22,w1j),i,prec);
    5030         [ #  # ]:          0 :         if (!p) p = torspnt(e,gadd(w22,gmul2n(w1j,1)),i,prec);
    5031                 :            :       }
    5032         [ #  # ]:          0 :       if (p) { k = i; break; }
    5033                 :            :     }
    5034                 :          0 :     return gerepileupto(av, tors(e,k,p,NULL, v));
    5035                 :            :   }
    5036                 :            : 
    5037                 :          0 :   ord = 0; tor1 = tor2 = NULL;
    5038                 :          0 :   w12 = gmul2n(w1,-1);
    5039         [ #  # ]:          0 :   if ((p = torspnt(e,w12,2,prec))) { tor1 = p; ord++; }
    5040                 :          0 :   w = w22;
    5041         [ #  # ]:          0 :   if ((p = torspnt(e,w,2,prec))) { tor2 = p; ord += 2; }
    5042         [ #  # ]:          0 :   if (!ord)
    5043                 :            :   {
    5044                 :          0 :     w = gadd(w12,w22);
    5045         [ #  # ]:          0 :     if ((p = torspnt(e,w,2,prec))) { tor2 = p; ord += 2; }
    5046                 :            :   }
    5047                 :          0 :   p = NULL;
    5048   [ #  #  #  #  :          0 :   switch(ord)
                      # ]
    5049                 :            :   {
    5050                 :            :     case 0: /* no point of order 2 */
    5051         [ #  # ]:          0 :       for (i=9; i>1; i-=2)
    5052                 :            :       {
    5053         [ #  # ]:          0 :         if (B%i != 0) continue;
    5054                 :          0 :         w1j = gdivgs(w1,i);
    5055                 :          0 :         p = torspnt(e,w1j,i,prec);
    5056         [ #  # ]:          0 :         if (p) { k = i; break; }
    5057                 :            :       }
    5058                 :          0 :       break;
    5059                 :            : 
    5060                 :            :     case 1: /* 1 point of order 2: w1 / 2 */
    5061         [ #  # ]:          0 :       for (i=12; i>2; i-=2)
    5062                 :            :       {
    5063         [ #  # ]:          0 :         if (B%i != 0) continue;
    5064                 :          0 :         w1j = gdivgs(w1,i);
    5065                 :          0 :         p = torspnt(e,w1j,i,prec);
    5066 [ #  # ][ #  # ]:          0 :         if (!p && i%4==0) p = torspnt(e,gadd(w22,w1j),i,prec);
    5067         [ #  # ]:          0 :         if (p) { k = i; break; }
    5068                 :            :       }
    5069         [ #  # ]:          0 :       if (!p) { p = tor1; k = 2; }
    5070                 :          0 :       break;
    5071                 :            : 
    5072                 :            :     case 2: /* 1 point of order 2: w = w2/2 or (w1+w2)/2 */
    5073         [ #  # ]:          0 :       for (i=5; i>1; i-=2)
    5074                 :            :       {
    5075         [ #  # ]:          0 :         if (B%i != 0) continue;
    5076                 :          0 :         w1j = gdivgs(w1,i);
    5077                 :          0 :         p = torspnt(e,gadd(w,w1j),2*i,prec);
    5078         [ #  # ]:          0 :         if (p) { k = 2*i; break; }
    5079                 :            :       }
    5080         [ #  # ]:          0 :       if (!p) { p = tor2; k = 2; }
    5081                 :          0 :       tor2 = NULL; break;
    5082                 :            : 
    5083                 :            :     case 3: /* 2 points of order 2: w1/2 and w2/2 */
    5084         [ #  # ]:          0 :       for (i=8; i>2; i-=2)
    5085                 :            :       {
    5086         [ #  # ]:          0 :         if (B%(2*i) != 0) continue;
    5087                 :          0 :         w1j = gdivgs(w1,i);
    5088                 :          0 :         p = torspnt(e,w1j,i,prec);
    5089         [ #  # ]:          0 :         if (p) { k = i; break; }
    5090                 :            :       }
    5091         [ #  # ]:          0 :       if (!p) { p = tor1; k = 2; }
    5092                 :          0 :       break;
    5093                 :            :   }
    5094                 :          0 :   return gerepileupto(av, tors(e,k,p,tor2, v));
    5095                 :            : }
    5096                 :            : 
    5097                 :            : /* return a rational point of order pk = p^k on E, or NULL if E(Q)[k] = O.
    5098                 :            :  * *fk is either NULL (pk = 4 or prime) or elldivpol(p^(k-1)).
    5099                 :            :  * Set *fk to elldivpol(p^k) */
    5100                 :            : static GEN
    5101                 :        125 : tpoint(GEN E, long pk, GEN *fk)
    5102                 :            : {
    5103                 :        125 :   GEN f = elldivpol(E,pk,0), g = *fk, v;
    5104                 :            :   long i, l;
    5105                 :        125 :   *fk = f;
    5106         [ +  + ]:        125 :   if (g) f = RgX_div(f, g);
    5107                 :        125 :   v = nfrootsQ(f); l = lg(v);
    5108         [ +  + ]:        175 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5109                 :            :   {
    5110                 :        150 :     GEN x = gel(v,i);
    5111                 :        150 :     GEN y = ellordinate_i(E,x,0);
    5112         [ +  + ]:        150 :     if (lg(y) != 1) return mkvec2(x,gel(y,1));
    5113                 :            :   }
    5114                 :        125 :   return NULL;
    5115                 :            : }
    5116                 :            : /* return E(Q)[2] */
    5117                 :            : static GEN
    5118                 :         90 : t2points(GEN E, GEN *f2)
    5119                 :            : {
    5120                 :            :   long i, l;
    5121                 :            :   GEN v;
    5122                 :         90 :   *f2 = RHSpol(E,NULL);
    5123                 :         90 :   v = nfrootsQ(*f2); l = lg(v);
    5124         [ +  + ]:        290 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5125                 :            :   {
    5126                 :        200 :     GEN x = gel(v,i);
    5127                 :        200 :     GEN y = ellordinate_i(E,x,0);
    5128         [ +  - ]:        200 :     if (lg(y) != 1) gel(v,i) = mkvec2(x,gel(y,1));
    5129                 :            :   }
    5130                 :         90 :   return v;
    5131                 :            : }
    5132                 :            : 
    5133                 :            : static GEN
    5134                 :        130 : elltors_divpol(GEN E)
    5135                 :            : {
    5136                 :        130 :   GEN T2 = NULL, p, P, Q, v;
    5137                 :            :   long v2, r2, B;
    5138                 :            : 
    5139                 :        130 :   E = ellintegralmodel(E, &v);
    5140                 :        130 :   B = torsbound(E); /* #E_tor | B */
    5141         [ +  + ]:        130 :   if (B == 1) return tors(E,1,NULL,NULL, v);
    5142                 :        120 :   v2 = vals(B); /* bound for v_2(point order) */
    5143                 :        120 :   B >>= v2;
    5144                 :        120 :   p = const_vec(9, NULL);
    5145                 :        120 :   r2 = 0;
    5146         [ +  + ]:        120 :   if (v2) {
    5147                 :            :     GEN f;
    5148                 :         90 :     T2 = t2points(E, &f);
    5149      [ -  +  + ]:         90 :     switch(lg(T2)-1)
    5150                 :            :     {
    5151                 :          0 :       case 0:  v2 = 0; break;
    5152         [ -  + ]:         35 :       case 1:  r2 = 1; if (v2 == 4) v2 = 3; break;
    5153                 :         55 :       default: r2 = 2; v2--; break; /* 3 */
    5154                 :            :     }
    5155         [ +  - ]:         90 :     if (v2) gel(p,2) = gel(T2,1);
    5156                 :            :     /* f = f_2 */
    5157 [ +  + ][ +  + ]:         90 :     if (v2 > 1) { gel(p,4) = tpoint(E,4, &f); if (!gel(p,4)) v2 = 1; }
    5158                 :            :     /* if (v2>1) now f = f4 */
    5159 [ +  + ][ +  + ]:         90 :     if (v2 > 2) { gel(p,8) = tpoint(E,8, &f); if (!gel(p,8)) v2 = 2; }
    5160                 :            :   }
    5161                 :        120 :   B <<= v2;
    5162         [ +  + ]:        120 :   if (B % 3 == 0) {
    5163                 :         45 :     GEN f3 = NULL;
    5164                 :         45 :     gel(p,3) = tpoint(E,3,&f3);
    5165 [ +  + ][ +  - ]:         45 :     if (!gel(p,3)) B /= (B%9)? 3: 9;
    5166 [ +  + ][ +  + ]:         45 :     if (gel(p,3) && B % 9 == 0)
    5167                 :            :     {
    5168                 :          5 :       gel(p,9) = tpoint(E,9,&f3);
    5169         [ -  + ]:         45 :       if (!gel(p,9)) B /= 3;
    5170                 :            :     }
    5171                 :            :   }
    5172         [ +  + ]:        120 :   if (B % 5 == 0) {
    5173                 :         15 :     GEN junk = NULL;
    5174                 :         15 :     gel(p,5) = tpoint(E,5,&junk);
    5175         [ +  + ]:         15 :     if (!gel(p,5)) B /= 5;
    5176                 :            :   }
    5177         [ +  + ]:        120 :   if (B % 7 == 0) {
    5178                 :          5 :     GEN junk = NULL;
    5179                 :          5 :     gel(p,7) = tpoint(E,7,&junk);
    5180         [ -  + ]:          5 :     if (!gel(p,7)) B /= 7;
    5181                 :            :   }
    5182                 :            :   /* B is the exponent of E_tors(Q), r2 is the rank of its 2-Sylow,
    5183                 :            :    * for i > 1, p[i] is a point of order i if one exists and i is a prime power
    5184                 :            :    * and NULL otherwise */
    5185         [ +  + ]:        120 :   if (r2 == 2) /* 2 cyclic factors */
    5186                 :            :   { /* C2 x C2 */
    5187         [ +  + ]:         55 :     if (B == 2) return tors(E,2, gel(T2,1), gel(T2,2), v);
    5188         [ +  + ]:         30 :     else if (B == 6)
    5189                 :            :     { /* C2 x C6 */
    5190                 :         15 :       P = elladd(E, gel(p,3), gel(T2,1));
    5191                 :         15 :       Q = gel(T2,2);
    5192                 :            :     }
    5193                 :            :     else
    5194                 :            :     { /* C2 x C4 or C2 x C8 */
    5195                 :         15 :       P = gel(p, B);
    5196                 :         15 :       Q = gel(T2,2);
    5197         [ -  + ]:         15 :       if (gequal(Q, ellmul(E, P, utoipos(B>>1)))) Q = gel(T2,1);
    5198                 :            :     }
    5199                 :            :   }
    5200                 :            :   else /* cyclic */
    5201                 :            :   {
    5202                 :         65 :     Q = NULL;
    5203         [ +  + ]:         65 :     if (v2)
    5204                 :            :     {
    5205         [ +  + ]:         35 :       if (B>>v2 == 1)
    5206                 :         20 :         P = gel(p, B);
    5207                 :            :       else
    5208                 :         15 :         P = elladd(E, gel(p, B>>v2), gel(p,1<<v2));
    5209                 :            :     }
    5210                 :         30 :     else P = gel(p, B);
    5211                 :            :   }
    5212                 :        130 :   return tors(E,B, P, Q, v);
    5213                 :            : }
    5214                 :            : GEN
    5215                 :        130 : elltors(GEN e)
    5216                 :            : {
    5217                 :        130 :   pari_sp av = avma;
    5218                 :        130 :   checkell_Q(e);
    5219                 :        130 :   return gerepileupto(av, elltors_divpol(e));
    5220                 :            : }
    5221                 :            : 
    5222                 :            : GEN
    5223                 :         95 : elltors0(GEN e, long flag)
    5224                 :            : {
    5225                 :         95 :   checkell_Q(e);
    5226   [ +  -  -  - ]:         95 :   switch(flag)
    5227                 :            :   {
    5228                 :         95 :     case 0: return elltors(e);
    5229                 :          0 :     case 1: return nagelllutz(e);
    5230                 :          0 :     case 2: return elltors_doud(e);
    5231                 :          0 :     default: pari_err_FLAG("elltors");
    5232                 :            :   }
    5233                 :         95 :   return NULL; /* not reached */
    5234                 :            : }
    5235                 :            : 
    5236                 :            : GEN
    5237                 :        180 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    5238                 :            : {
    5239                 :            :   GEN fg;
    5240                 :        180 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    5241         [ -  + ]:        175 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    5242                 :        175 :   fg = ellff_get_field(E);
    5243         [ +  + ]:        175 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    5244                 :          5 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    5245                 :            :   else
    5246                 :            :   {
    5247                 :        170 :     pari_sp av = avma;
    5248                 :        170 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    5249                 :        170 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    5250                 :        340 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    5251                 :        175 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    5252                 :            :   }
    5253                 :            : }
    5254                 :            : 
    5255                 :            : GEN
    5256                 :        145 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    5257                 :            : {
    5258                 :            :   GEN fg;
    5259                 :        145 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    5260         [ -  + ]:        145 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    5261                 :        145 :   fg = ellff_get_field(E);
    5262         [ +  + ]:        145 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    5263                 :          5 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    5264                 :            :   else
    5265                 :            :   {
    5266                 :        140 :     pari_sp av = avma;
    5267                 :        140 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    5268                 :        140 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    5269                 :        280 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    5270                 :        145 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    5271                 :            :   }
    5272                 :            : }
    5273                 :            : 
    5274                 :            : /* E/Q, return cardinal including the (possible) ramified point */
    5275                 :            : static GEN
    5276                 :    1957895 : ellcard_ram(GEN E, GEN p)
    5277                 :            : {
    5278                 :    1957895 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    5279         [ +  + ]:    1957895 :   if (!signe(D))
    5280                 :            :   {
    5281                 :        455 :     pari_sp av = avma;
    5282                 :            :     int good_red;
    5283                 :        455 :     GEN ap = is_minimal_ap(E, p, &good_red);
    5284                 :        455 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    5285                 :            :   }
    5286         [ +  + ]:    1957440 :   if (equaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    5287         [ +  + ]:    1957285 :   if (equaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    5288                 :    1956315 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    5289                 :    1957895 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    5290                 :            : }
    5291                 :            : 
    5292                 :            : static GEN
    5293                 :    2006090 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
    5294                 :            : {
    5295                 :            :   GEN q;
    5296         [ +  + ]:    2006090 :   if (p)
    5297                 :            :   {
    5298         [ +  + ]:    1972485 :     if (typ(p)!=t_INT) pari_err_TYPE(s,p);
    5299         [ +  + ]:    1972480 :     if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    5300                 :            :   }
    5301                 :    2006080 :   checkell(E);
    5302   [ +  +  +  - ]:    2006080 :   switch(ell_get_type(E))
    5303                 :            :   {
    5304                 :            :     case t_ELL_Qp:
    5305                 :         10 :       q = ellQp_get_p(E);
    5306 [ +  + ][ -  + ]:         10 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    5307                 :         10 :       return q;
    5308                 :            : 
    5309                 :            :     case t_ELL_Fp:
    5310                 :            :     case t_ELL_Fq:
    5311                 :      46635 :       q = ellff_get_p(E);
    5312 [ +  + ][ -  + ]:      46635 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    5313                 :      46635 :       return q;
    5314                 :            :     case t_ELL_Q:
    5315         [ +  + ]:    1959435 :       if (p) return p;
    5316                 :            :     default:
    5317                 :         10 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    5318                 :    2006070 :       return NULL;/*not reached*/
    5319                 :            :   }
    5320                 :            : }
    5321                 :            : 
    5322                 :            : GEN
    5323                 :    1956440 : ellap(GEN E, GEN p)
    5324                 :            : {
    5325                 :    1956440 :   pari_sp av = avma;
    5326                 :            :   GEN q, card;
    5327                 :    1956440 :   p = checkellp(E, p, "ellap");
    5328   [ +  -  +  - ]:    1956425 :   switch(ell_get_type(E))
    5329                 :            :   {
    5330                 :            :   case t_ELL_Fp:
    5331                 :         60 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    5332                 :         60 :     break;
    5333                 :            :   case t_ELL_Fq:
    5334                 :          0 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    5335                 :          0 :     break;
    5336                 :            :   case t_ELL_Q:
    5337                 :    1956365 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p);
    5338                 :    1956365 :     break;
    5339                 :            :   default:
    5340                 :          0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    5341                 :          0 :     return NULL; /*NOT REACHED*/
    5342                 :            :   }
    5343                 :    1956425 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    5344                 :            : }
    5345                 :            : 
    5346                 :            : static GEN
    5347                 :      33480 : doellcard(GEN E)
    5348                 :            : {
    5349                 :      33480 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    5350         [ +  + ]:      33480 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    5351                 :      20430 :     return FF_ellcard(E);
    5352                 :            :   else
    5353                 :            :   {
    5354                 :      13050 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    5355                 :      33480 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    5356                 :            :   }
    5357                 :            : }
    5358                 :            : 
    5359                 :            : GEN
    5360                 :      45355 : ellff_get_card(GEN E)
    5361                 :      45355 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    5362                 :            : 
    5363                 :            : GEN
    5364                 :      33960 : ellcard(GEN E, GEN p)
    5365                 :            : {
    5366                 :      33960 :   p = checkellp(E, p, "ellcard");
    5367      [ +  +  + ]:      33960 :   switch(ell_get_type(E))
    5368                 :            :   {
    5369                 :            :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    5370                 :      32425 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    5371                 :            :   case t_ELL_Q:
    5372                 :            :     {
    5373                 :       1530 :       pari_sp av = avma;
    5374                 :       1530 :       GEN N = ellcard_ram(E, p);
    5375                 :       1530 :       GEN D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    5376         [ -  + ]:       1530 :       if (!signe(D)) N = subis(N, 1); /* remove singular point */
    5377                 :       1530 :       return gerepileuptoint(av, N);
    5378                 :            :     }
    5379                 :            :   default:
    5380                 :          5 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    5381                 :      33955 :     return NULL; /*NOT REACHED*/
    5382                 :            :   }
    5383                 :            : }
    5384                 :            : 
    5385                 :            : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
    5386                 :            :  * d_r | ... | d_1 */
    5387                 :            : static GEN
    5388                 :       1260 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
    5389                 :            : {
    5390                 :       1260 :   pari_sp av = avma;
    5391         [ +  + ]:       1260 :   if (cmpiu(p, 3)<=0)
    5392                 :            :   {
    5393                 :        890 :     ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
    5394                 :        890 :     long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
    5395                 :        890 :     long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
    5396         [ +  + ]:        890 :     if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
    5397         [ +  + ]:        835 :     if (l==2)
    5398                 :            :     {
    5399                 :         70 :       long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
    5400                 :         70 :       long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
    5401                 :         70 :       long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
    5402   [ +  +  +  + ]:         70 :       switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
    5403                 :            :       { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
    5404                 :            :         case 18: case 29:
    5405                 :          5 :           retmkvec(mkvec2s(1,1));
    5406                 :            :         case 19: case 24: case 26:
    5407                 :          5 :           retmkvec(mkvec2s(0,1));
    5408                 :            :         case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
    5409                 :         25 :           retmkvec(mkvec2s(1,0));
    5410                 :            :         default:
    5411                 :         35 :           retmkvec(mkvec2s(0,0));
    5412                 :            :       }
    5413                 :            :     } else
    5414                 :            :     { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    5415                 :        765 :       long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
    5416                 :        765 :       long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
    5417                 :        765 :       long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
    5418                 :        765 :       long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
    5419                 :            :       long x,y;
    5420         [ +  + ]:        765 :       if (r==2) /* [2,2] */
    5421                 :         45 :         retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
    5422                 :            :       /* cyclic, order d_1 */
    5423                 :        720 :       y = equaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
    5424         [ +  + ]:        720 :       if (equaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
    5425                 :            :       {
    5426                 :        135 :         long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
    5427 [ +  + ][ +  + ]:        135 :         x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
         [ +  - ][ +  + ]
    5428                 :            :       }
    5429                 :            :       else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
    5430                 :            :       { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
    5431         [ +  + ]:        585 :         if (y == 1)
    5432 [ +  + ][ +  + ]:        450 :           x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
    5433                 :            :         else
    5434 [ +  + ][ -  + ]:        135 :           x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
         [ +  + ][ +  - ]
    5435                 :            :       }
    5436                 :        720 :       retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
    5437                 :            :     }
    5438                 :            :   }
    5439                 :            :   else
    5440                 :            :   {
    5441                 :        370 :     GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
    5442                 :       1260 :     return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
    5443                 :            :   }
    5444                 :            : }
    5445                 :            : 
    5446                 :            : static GEN
    5447                 :      14520 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
    5448                 :            : {
    5449                 :      14520 :   GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
    5450         [ +  + ]:      14515 :   if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
    5451         [ +  + ]:      14460 :   if (equaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
    5452         [ +  + ]:      14390 :   if (equaliu(p, 3))
    5453                 :            :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    5454                 :            :     ulong b2, b4, b6;
    5455         [ +  + ]:        765 :     if (!equaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
    5456                 :            :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    5457                 :            :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    5458                 :        180 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    5459         [ +  + ]:        180 :     if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
    5460                 :            :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    5461                 :         90 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    5462                 :         90 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    5463         [ +  + ]:         90 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
    5464                 :         45 :     G = mkvec2s(2, 2); goto END;
    5465                 :            :   } /* Now assume p > 3 */
    5466                 :      13625 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    5467                 :      13625 :   G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
    5468                 :            : END:
    5469                 :      14515 :   return mkvec2(G, m);
    5470                 :            : }
    5471                 :            : 
    5472                 :            : static GEN
    5473                 :      25810 : doellgroup(GEN E)
    5474                 :            : {
    5475                 :      25810 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    5476         [ +  + ]:      25810 :   return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
    5477                 :            : }
    5478                 :            : 
    5479                 :            : GEN
    5480                 :      26130 : ellff_get_group(GEN E)
    5481                 :      26130 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
    5482                 :            : 
    5483                 :            : /* E / Fp */
    5484                 :            : static GEN
    5485                 :      11980 : doellgens(GEN E)
    5486                 :            : {
    5487                 :      11980 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    5488         [ +  + ]:      11980 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    5489                 :      11945 :     return FF_ellgens(E);
    5490                 :            :   else
    5491                 :            :   {
    5492                 :         35 :     GEN e, Gm, F, p = fg;
    5493                 :         35 :     e = ellff_get_a4a6(E);
    5494                 :         35 :     Gm = ellff_get_group(E);
    5495                 :         35 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
    5496                 :      11980 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    5497                 :            :   }
    5498                 :            : }
    5499                 :            : 
    5500                 :            : GEN
    5501                 :      12035 : ellff_get_gens(GEN E)
    5502                 :      12035 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    5503                 :            : 
    5504                 :            : GEN
    5505                 :      14375 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    5506                 :            : {
    5507                 :      14375 :   pari_sp av = avma;
    5508                 :            :   GEN G;
    5509                 :      14375 :   p = checkellp(E,p, "ellgroup");
    5510         [ +  + ]:      14375 :   if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
    5511                 :        270 :   else                G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
    5512                 :      14375 :   return gerepilecopy(av, gel(G,1));
    5513                 :            : }
    5514                 :            : 
    5515                 :            : GEN
    5516                 :      15190 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    5517                 :            : {
    5518                 :      15190 :   pari_sp av = avma;
    5519                 :            :   GEN V;
    5520         [ +  + ]:      15190 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    5521         [ -  + ]:       1315 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    5522                 :       1315 :   p = checkellp(E, p, "ellgroup");
    5523         [ +  + ]:       1310 :   if (!ell_over_Fq(E))
    5524                 :            :   { /* t_ELL_Q */
    5525                 :       1265 :     GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
    5526                 :       1260 :     GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
    5527                 :       1260 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
    5528                 :            :   }
    5529                 :         45 :   V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
    5530                 :      15180 :   return gerepilecopy(av, V);
    5531                 :            : }
    5532                 :            : 
    5533                 :            : GEN
    5534                 :      12000 : ellgenerators(GEN E)
    5535                 :            : {
    5536                 :      12000 :   checkell(E);
    5537      [ +  +  + ]:      12000 :   switch(ell_get_type(E))
    5538                 :            :   {
    5539                 :            :     case t_ELL_Q:
    5540                 :          5 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    5541                 :            :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    5542                 :      11990 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    5543                 :            :     default:
    5544                 :          5 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    5545                 :      11995 :       return NULL;/*not reached*/
    5546                 :            :   }
    5547                 :            : }
    5548                 :            : 
    5549                 :            : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    5550                 :            : static GEN
    5551                 :       3950 : ellfromj_simple(GEN j)
    5552                 :            : {
    5553                 :       3950 :   pari_sp av = avma;
    5554                 :       3950 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    5555                 :       3950 :   GEN E = zerovec(5);
    5556                 :       3950 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    5557                 :       3950 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    5558                 :            : }
    5559                 :            : GEN
    5560                 :      11990 : ellfromj(GEN j)
    5561                 :            : {
    5562         [ +  + ]:      11990 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    5563                 :            :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    5564 [ +  + ][ +  + ]:      11990 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
         [ +  + ][ +  + ]
              [ +  +  + ]
    5565                 :            :   {
    5566                 :            :     case 2:
    5567         [ +  + ]:       2535 :       if (gequal0(j))
    5568                 :          5 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    5569                 :            :       else
    5570                 :       2530 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    5571                 :            :     case 3:
    5572         [ +  + ]:       5455 :       if (gequal0(j))
    5573                 :          5 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    5574                 :            :       else
    5575                 :            :       {
    5576                 :       5450 :         GEN E = zerovec(5);
    5577                 :       5450 :         pari_sp av = avma;
    5578                 :       5450 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    5579                 :       5450 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    5580                 :       5450 :         return E;
    5581                 :            :       }
    5582                 :            :   }
    5583         [ +  + ]:       4000 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    5584         [ +  + ]:       3985 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    5585                 :      11990 :   return ellfromj_simple(j);
    5586                 :            : }
    5587                 :            : 
    5588                 :            : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    5589                 :            : static GEN
    5590                 :        615 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    5591                 :            : {
    5592                 :            :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    5593         [ -  + ]:        615 :   if (n==0) return pol_0(v);
    5594 [ +  + ][ +  + ]:        615 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    5595                 :        210 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    5596                 :        210 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    5597         [ +  + ]:        210 :   if (n==3)
    5598         [ +  + ]:        110 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    5599                 :            :   else
    5600                 :            :   {
    5601                 :        100 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    5602                 :        100 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    5603         [ +  + ]:        100 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2, N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    5604                 :            :   }
    5605                 :        615 :   setvarn(res, v); return res;
    5606                 :            : }
    5607                 :            : 
    5608                 :            : /* T = (2y + a1x + a3)^2 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    5609                 :            :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    5610                 :            : static GEN
    5611                 :        775 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    5612                 :            : {
    5613                 :            :   GEN ret;
    5614                 :        775 :   long m = n/2;
    5615         [ +  + ]:        775 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    5616         [ +  + ]:        400 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    5617         [ +  + ]:        160 :   else if (odd(n))
    5618                 :            :   {
    5619                 :         85 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    5620                 :            :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    5621                 :         85 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    5622                 :            :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    5623         [ +  + ]:         85 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    5624                 :         15 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    5625                 :            :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    5626                 :         70 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    5627                 :            :   }
    5628                 :            :   else
    5629                 :            :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    5630                 :         75 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    5631                 :            :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    5632                 :         75 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    5633                 :            :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    5634                 :         75 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    5635                 :            :   }
    5636                 :        400 :   gel(t,n) = ret;
    5637                 :        775 :   return ret;
    5638                 :            : }
    5639                 :            : 
    5640                 :            : GEN
    5641                 :        435 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    5642                 :            : {
    5643                 :        435 :   pari_sp av = avma;
    5644                 :            :   GEN ret, D, N;
    5645                 :        435 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    5646         [ +  + ]:        435 :   if (v==-1) v = 0;
    5647         [ -  + ]:        435 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    5648                 :        435 :   N = characteristic(D);
    5649         [ +  + ]:        435 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    5650         [ -  + ]:        435 :   if (n<0) n = -n;
    5651 [ +  + ][ +  + ]:        435 :   if (n==1 || n==3)
    5652                 :         55 :     ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    5653                 :            :   else
    5654                 :            :   {
    5655                 :        380 :     GEN d2 = RHSpol(e, N); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    5656                 :        380 :     setvarn(d2,v);
    5657         [ +  + ]:        380 :     if (n <= 4)
    5658                 :        320 :       ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    5659                 :            :     else
    5660                 :         60 :       ret = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    5661         [ +  + ]:        380 :     if (n%2==0) ret = RgX_mul(ret, d2);
    5662                 :            :   }
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