Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 20777-d2a9243) Lines: 4159 4425 94.0 %
Date: 2017-06-25 05:59:24 Functions: 370 379 97.6 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      276482 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      276482 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      276111 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      276111 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      276111 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      276111 : }
      37             : static GEN
      38     2715865 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2715865 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2715865 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2715865 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2715863 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2715864 : }
      46             : static GEN
      47       69496 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48       69496 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50       69496 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52       69496 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53       69496 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54       69496 : }
      55             : static void
      56     2715718 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2715718 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2715718 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2715718 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2715717 : }
      62             : static void
      63      276111 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      276111 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      276111 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      276111 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      276111 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       22740 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       22740 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       22740 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       22739 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       22740 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         371 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         371 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         371 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         371 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         371 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       22741 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       22741 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       22741 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         371 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         371 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         371 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         371 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : void
     111      308264 : checkellpt(GEN z)
     112             : {
     113      308264 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     114      308257 :   switch(lg(z))
     115             :   {
     116      303021 :     case 3: break;
     117        5236 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     118             :     /* fall through */
     119           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     120             :   }
     121      308257 : }
     122             : void
     123       72149 : checkell5(GEN E)
     124             : {
     125       72149 :   long l = lg(E);
     126       72149 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     127       72149 : }
     128             : void
     129     4045657 : checkell(GEN E)
     130     4045657 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     131             : void
     132        2352 : checkellisog(GEN v)
     133        2352 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     134             : 
     135             : void
     136        3514 : checkell_Q(GEN E)
     137             : {
     138        3514 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     139           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     140        3507 : }
     141             : 
     142             : void
     143           0 : checkell_Qp(GEN E)
     144             : {
     145           0 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     146           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     147           0 : }
     148             : 
     149             : static int
     150      553180 : ell_over_Fq(GEN E)
     151             : {
     152      553180 :   long t = ell_get_type(E);
     153      553180 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     154             : }
     155             : 
     156             : void
     157      279440 : checkell_Fq(GEN E)
     158             : {
     159      279440 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
     160           7 :   pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     161      279433 : }
     162             : 
     163             : GEN
     164      180434 : ellff_get_p(GEN E)
     165             : {
     166      180434 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     167      180435 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     168             : }
     169             : 
     170             : int
     171         280 : ell_is_integral(GEN E)
     172             : {
     173         560 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     174         245 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     175         231 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     176         231 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     177         511 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     178             : }
     179             : 
     180             : static void
     181       72730 : checkcoordch(GEN z)
     182       72730 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     183             : 
     184             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     185             : GEN
     186        7708 : ec_bmodel(GEN e)
     187             : {
     188        7708 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     189        7708 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     190             : }
     191             : 
     192             : static int
     193        3258 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     194             : 
     195             : static GEN
     196        4208 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     197             : {
     198             :   GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
     199        4208 :   long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
     200             : START:
     201        4229 :   R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     202        4229 :   if (s > 0)
     203             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     204        1086 :     R = real_i(R);
     205        1086 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     206        1086 :     e1 = gel(R,1);
     207        1086 :     e2 = gel(R,2);
     208        1086 :     e3 = gel(R,3);
     209        1086 :     d3 = subrr(e1,e2);
     210        1086 :     d1 = subrr(e2,e3);
     211        1086 :     d2 = subrr(e1,e3);
     212        1086 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
     213             :     {
     214          21 :       prec = precdbl(prec);
     215          21 :       if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
     216          21 :       goto START;
     217             :     }
     218             :   } else {
     219        3143 :     e1 = gel(R,1);
     220        3143 :     e2 = gel(R,2);
     221        3143 :     e3 = gel(R,3);
     222        3143 :     if (s < 0)
     223             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     224        1001 :       e1 = real_i(e1);
     225        1001 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     226             :     }
     227        3143 :     d3 = gsub(e1,e2);
     228        3143 :     d1 = gsub(e2,e3);
     229        3143 :     d2 = gsub(e1,e3);
     230             :   }
     231        4208 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     232             : }
     233             : static GEN
     234        1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     235             : 
     236             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     237             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     238             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     239             : GEN
     240      529466 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     241             : {
     242      529466 :   pari_sp av = avma;
     243             :   GEN z;
     244      529466 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     245      529466 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     246      529466 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     247      529466 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     248             : }
     249             : 
     250             : /* a1 x + a3 */
     251             : GEN
     252      546707 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     253             : {
     254      546707 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     255      546707 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     256      546707 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     257             : }
     258             : static GEN
     259     1170428 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     260             : {
     261     1170428 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     262     1170428 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     263     1170428 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     264             : }
     265             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     266             : static GEN
     267       15519 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     268             : {
     269       15519 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     270       15519 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     271             : }
     272             : 
     273             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     274             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     275             :  * which is the derivative of the curve equation
     276             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     277             :  * wrt x evaluated at Q */
     278             : GEN
     279        1869 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     280             : {
     281        1869 :   pari_sp av = avma;
     282        1869 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     283        1869 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     284        1869 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     285        1869 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     286        1869 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     287        1869 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     288             : }
     289             : 
     290             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     291             : GEN
     292        5873 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     293             : {
     294        5873 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     295        5873 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     296             : }
     297             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     298             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     299             :  * which is the derivative of the curve equation
     300             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     301             :  * wrt y evaluated at Q */
     302             : GEN
     303         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     304             : {
     305         532 :   pari_sp av = avma;
     306         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     307             : }
     308             : 
     309             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     310             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     311             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     312             : GEN
     313        1477 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     314             : {
     315        1477 :   pari_sp av = avma;
     316        1477 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     317        1477 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     318        1477 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     319        1477 :   GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
     320        1477 :   GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
     321        1477 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
     322             : }
     323             : 
     324             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     325             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     326             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     327             : GEN
     328          14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     329             : {
     330          14 :   pari_sp av = avma;
     331          14 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     332          14 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     333          14 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     334          14 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     335          14 :   GEN x2 = gsqr(x);
     336          14 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     337          14 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     338          14 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     339             : }
     340             : 
     341             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     342             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     343             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     344             : GEN
     345        1281 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     346             : {
     347        1281 :   pari_sp av = avma;
     348        1281 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     349        1281 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     350        1281 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     351        1281 :   return gerepileupto(av, res);
     352             : }
     353             : 
     354             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     355             : GEN
     356        1848 : ellbasechar(GEN E)
     357             : {
     358        1848 :   pari_sp av = avma;
     359        1848 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     360        1848 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     361             : }
     362             : 
     363             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     364             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     365             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     366             :  * component y[16])*/
     367             : static GEN
     368      678916 : initsmall(GEN x, long n)
     369             : {
     370             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
     371      678916 :   GEN y = obj_init(15, n);
     372      678916 :   switch(lg(x))
     373             :   {
     374             :     case 1:
     375             :     case 2:
     376             :     case 4:
     377             :     case 5:
     378           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     379             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     380             :     case 3:
     381       14035 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     382       14035 :       a4 = gel(x,1);
     383       14035 :       a6 = gel(x,2);
     384       14035 :       b2 = gen_0;
     385       14035 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     386       14035 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     387       14035 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     388       14035 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     389       14035 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     390       14035 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     391       14035 :       break;
     392             :     default: /* l > 5 */
     393             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     394      664874 :       a1 = gel(x,1);
     395      664874 :       a2 = gel(x,2);
     396      664874 :       a3 = gel(x,3);
     397      664874 :       a4 = gel(x,4);
     398      664874 :       a6 = gel(x,5);
     399      664874 :       a11= gsqr(a1);
     400      664874 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     401      664873 :       a13= gmul(a1, a3);
     402      664873 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     403      664874 :       a33= gsqr(a3);
     404      664874 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     405      664874 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     406      664873 :       b22= gsqr(b2);
     407      664874 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     408      664875 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     409      664874 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     410             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     411      664872 :       break;
     412             :     }
     413             :   }
     414      678907 :   gel(y,1) = a1;
     415      678907 :   gel(y,2) = a2;
     416      678907 :   gel(y,3) = a3;
     417      678907 :   gel(y,4) = a4;
     418      678907 :   gel(y,5) = a6;
     419      678907 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     420      678907 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     421      678907 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     422      678907 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     423      678907 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     424      678907 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     425      678907 :   gel(y,12)= D;
     426      678907 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     427             : 
     428      670951 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     429         287 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     430         287 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     431         287 :     if (degpol(g) == 0)
     432         245 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     433             :     else
     434             :     {
     435          42 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     436          42 :       D = RgX_div(D, g);
     437          42 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     438          42 :       if (degpol(g) == 0)
     439           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     440             :       else
     441             :       {
     442          35 :         D = RgX_div(D, g);
     443          35 :         d = RgX_div(c4, g);
     444          35 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     445          35 :         if (degpol(g))
     446             :         {
     447          21 :           D = RgX_div(D, g);
     448          21 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     449             :         }
     450          35 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     451             :       }
     452             :     }
     453             :   }
     454             :   else
     455      670664 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     456      670950 :   gel(y,13) = j;
     457      670950 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     458             : }
     459             : 
     460             : void
     461           0 : ellprint(GEN e)
     462             : {
     463           0 :   pari_sp av = avma;
     464             :   long vx, vy;
     465             :   GEN z;
     466           0 :   checkell5(e);
     467           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     468           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     469           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     470           0 :   (void)delete_var();
     471           0 :   (void)delete_var(); avma = av;
     472           0 : }
     473             : 
     474             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     475             : static GEN
     476         203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     477             : {
     478         203 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     479         203 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     480             : 
     481         203 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     482         203 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     483         105 :     b = mulrr(d3,d2);
     484             :   else
     485          98 :     b = cxnorm(d3);
     486         203 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     487         203 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     488         203 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     489         203 :   return mkvec2(a, b);
     490             : }
     491             : GEN
     492        1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     493        1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     494             : 
     495             : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
     496             :  * Let (A_n, B_n) be defined by A_1 = a1/p^v, B_1 = b1/p^v, v=v(a1)=v(a2);
     497             :  *   A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
     498             :  *   B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = square root of A_n B_n congruent to B_n
     499             :  *   R_n = p^v( A_n - B_n ) = r_{n+1}
     500             :  * Return [An,Bn,Rn]. N.B. lim An = M2(a1,b1) = M(sqrt(a1),sqrt(b1))^2 */
     501             : static GEN
     502         210 : Qp_agm2_sequence(GEN a1, GEN b1)
     503             : {
     504         210 :   GEN bp, pmod, p = gel(a1,2), q = gel(a1,3), An, Bn, Rn;
     505         210 :   long pp = precp(a1), v = valp(a1), i;
     506         210 :   int pis2 = absequaliu(p,2);
     507         210 :   a1 = gel(a1,4);
     508         210 :   b1 = gel(b1,4);
     509         210 :   if (pis2)
     510         154 :     pmod = utoipos(8);
     511             :   else
     512          56 :     pmod = p;
     513         210 :   bp = modii(b1, pmod);
     514         210 :   An = cgetg(pp+1, t_VEC); /* overestimate: rather log_2(pp) */
     515         210 :   Bn = cgetg(pp+1, t_VEC);
     516         210 :   Rn = cgetg(pp+1, t_VEC);
     517         714 :   for(i = 1;; i++)
     518             :   {
     519         714 :     GEN a = a1, b = b1, r;
     520             :     long vr;
     521         714 :     gel(An, i) = a;
     522         714 :     gel(Bn, i) = b;
     523         714 :     r = subii(a,b);
     524         924 :     if (!signe(r)) break;
     525         532 :     vr = Z_pvalrem(r,p,&r);
     526         532 :     if (vr >= pp) break;
     527         504 :     r = cvtop(r, p, pp - vr); setvalp(r, vr+v);
     528         504 :     gel(Rn, i) = r;
     529             : 
     530         504 :     b1 = Zp_sqrt(Fp_mul(a,b,q), p, pp);
     531         504 :     if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
     532         504 :     if (!equalii(modii(b1,pmod), bp)) b1 = Fp_neg(b1, q);
     533             :     /* a1 = (a+b+2sqrt(ab))/4 */
     534         504 :     if (pis2)
     535             :     {
     536         343 :       b1 = remi2n(b1, pp-1);
     537         343 :       a1 = shifti(addii(addii(a,b), shifti(b1,1)),-2);
     538         343 :       a1 = remi2n(a1, pp-2);
     539         343 :       pp -= 2;
     540             :     }
     541             :     else
     542         161 :       a1 = modii(Fp_halve(addii(Fp_halve(addii(a,b),q), b1), q), q);
     543         504 :   }
     544         210 :   setlg(An,i+1);
     545         210 :   setlg(Bn,i+1);
     546         210 :   setlg(Rn,i); return mkvec4(An, Bn, Rn, stoi(v));
     547             : }
     548             : static void
     549         301 : Qp_descending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
     550             : {
     551         301 :   GEN R = gel(AB,3);
     552         301 :   long i, n = lg(R)-1;
     553         301 :   GEN x = *ptx;
     554         301 :   if (isintzero(x))
     555             :   {
     556         210 :     i = 2;
     557         210 :     x = gmul2n(gel(R,1),-2);
     558         210 :     if (pty)
     559             :     {
     560           0 :       GEN A = gel(AB,1);
     561           0 :       if (n == 1)
     562           0 :         *pty = gmul(x, Qp_sqrt(gadd(x,gel(A,2))));
     563             :       else
     564           0 :         *pty = Qp_sqrt(gmul(gmul(x, gadd(x,gel(A,2))), gadd(x,gel(R,2))));
     565           0 :       if (!*pty) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     566             :     }
     567             :   }
     568             :   else
     569          91 :     i = 1;
     570         833 :   for (; i <= n; i++)
     571             :   {
     572         532 :     GEN r = gel(R,i), t;
     573         532 :     if (gequal0(x)) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     574         532 :     t = Qp_sqrt(gaddsg(1, gdiv(r,x))); /* = 1 (mod p) */
     575         532 :     if (!t) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     576         532 :     if (i == n)
     577             :     {
     578         259 :       GEN p = gel(r,2);
     579         259 :       long v, vx = valp(x), vr = valp(r);
     580         259 :       if (vx >= vr) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     581             :       /* last loop, take into account loss of accuracy from multiplication
     582             :        * by \prod_{j > n} sqrt(1+r_j/x_j); since vx < vr, j = n+1 is enough */
     583         259 :       v = 2*vr - vx;
     584             :       /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| + 1 bit for sqrt loss */
     585         259 :       if (absequaliu(p,2)) v -= 4;
     586             :       /* tail is 1 + O(p^v) */
     587         259 :       if (v < precp(x)) x = cvtop(x,p,v);
     588             :     }
     589             :     /* x_{n+1} = x_n  ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
     590         532 :     x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,t),-1)));
     591             :     /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
     592         532 :     if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r,gmul2n(x,2)))));
     593             :   }
     594         301 :   *ptx = x;
     595         301 : }
     596             : static void
     597          56 : Qp_ascending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
     598             : {
     599          56 :   GEN A = gel(AB,1), R = gel(AB,3), x = *ptx, p, r;
     600          56 :   long n = lg(R)-1, va = itos(gel(AB,4)), v, i;
     601             : 
     602          56 :   r = gel(R,n);
     603          56 :   v = 2*valp(r) + va;
     604          56 :   if (typ(x) == t_PADIC)
     605          35 :     v -= 2*valp(x);
     606             :   else
     607          21 :     v -= valp(gnorm(x)); /* v(x) = v(Nx) / (e*f), here ef = 2 */
     608          56 :   p = gel(r,2);
     609          56 :   if (absequaliu(p,2)) v -= 3; /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| */
     610             :   /* v = v(A[n+1] R[n+1] / x_{n+1}^2) */
     611          56 :   if (v <= 0) pari_err_PREC("Qp_ascending_Landen");
     612             :   /* v > 0 => v = v(x_oo) = ... = v(x_{n+1}) */
     613          56 :   x = gsub(x, gmul2n(r,-1));
     614          56 :   if (padicprec_relative(x) > v) x = gcvtop(x, p, v);
     615             :   /* x = x_n */
     616         154 :   for (i = n; i > 1; i--)
     617             :   {
     618          98 :     GEN ar = gmul(gel(A,i),gel(R,i)), xp;
     619          98 :     setvalp(ar, valp(ar)+va); /* A_i = A[i] * p^va */
     620             :     /* x_{i-1} = x_i + a_i r_i / x_i - r_{i-1}/2 */
     621          98 :     xp = gsub(gadd(x, gdiv(ar, x)), gmul2n(gel(R,i-1),-1));
     622             :     /* y_{i-1} = y_i (1 - a_i r_i / x^2) */
     623          98 :     if (pty) *pty = gmul(*pty, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x))));
     624          98 :     x = xp;
     625             :   }
     626          56 :   *ptx = x;
     627          56 : }
     628             : 
     629             : /* q a t_REAL*/
     630             : static long
     631          77 : real_prec(GEN q)
     632          77 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     633             : /* q a t_PADIC */
     634             : static long
     635         119 : padic_prec(GEN q)
     636         119 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     637             : 
     638             : /* check whether moduli are consistent */
     639             : static void
     640       99669 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     641       99669 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     642             : 
     643             : static int
     644       36204 : fix_nftype(GEN *pp)
     645             : {
     646       36204 :   switch(nftyp(*pp))
     647             :   {
     648       36204 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     649           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     650           0 :     default: return 0;
     651             :   }
     652       36204 :   return 1;
     653             : }
     654             : static long
     655      708799 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     656             : {
     657      708799 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     658      708802 :   GEN p = NULL;
     659      708802 :   long t = t_FRAC;
     660      708802 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     661             :   {
     662             :     case t_INT:
     663      490546 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     664        1925 :       p = *pp;
     665        1925 :       t = t_INTMOD;
     666        1925 :       break;
     667             :     case t_INTMOD:
     668           7 :       p = gel(*pp, 1);
     669           7 :       break;
     670             :     case t_REAL:
     671          21 :       e = real_prec(*pp);
     672          21 :       p = NULL;
     673          21 :       break;
     674             :     case t_PADIC:
     675          91 :       ep = padic_prec(*pp);
     676          91 :       p = gel(*pp, 2);
     677          91 :       break;
     678             :     case t_FFELT:
     679       16912 :       p = *pp;
     680       16912 :       break;
     681             :     case t_VEC:
     682       36204 :       t = t_VEC; p = *pp;
     683       36204 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     684             :     default:
     685           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     686           0 :       return 0;
     687             :   }
     688             :   /* Possible cases:
     689             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     690             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     691             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     692             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     693             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     694             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     695     4209779 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     696             :   {
     697     3501190 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     698     3501190 :     switch(typ(q)) {
     699             :       case t_PADIC:
     700          49 :         p2 = gel(q,2);
     701          49 :         switch(t)
     702             :         {
     703          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     704          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     705          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     706             :         }
     707          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     708          28 :         break;
     709             :       case t_INTMOD:
     710      124615 :         p2 = gel(q,1);
     711      124615 :         switch(t)
     712             :         {
     713       24960 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     714          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     715       99592 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     716          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     717             :         }
     718      124599 :         break;
     719             :       case t_FFELT:
     720      256091 :         switch(t)
     721             :         {
     722          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     723       96028 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     724             :           case t_FFELT:
     725      160055 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     726      160055 :             break;
     727           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     728             :         }
     729      256083 :         break;
     730             : 
     731     3119364 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     732             :       case t_REAL:
     733          56 :         switch(t)
     734             :         {
     735          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     736          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     737           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     738             :         }
     739          56 :         break;
     740             :       case t_COL:
     741             :       case t_POL:
     742             :       case t_POLMOD:
     743        1001 :         if (t == t_VEC) break;
     744             :       default: /* base ring too general */
     745         161 :         return t_COMPLEX;
     746             :     }
     747             :   }
     748      708589 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     749             : }
     750             : 
     751             : static GEN
     752        3472 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
     753             : {
     754             :   GEN y;
     755             :   long s;
     756        3472 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     757        3472 :   s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
     758        3472 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     759        3472 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     760        3472 :   return y;
     761             : }
     762             : 
     763             : static GEN
     764          91 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     765             : {
     766             :   GEN y;
     767          91 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     768          91 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     769          91 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     770          91 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     771          91 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     772          91 :   return y;
     773             : }
     774             : 
     775             : static GEN
     776      495684 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     777             : {
     778             :   GEN y;
     779             :   long s;
     780      495684 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     781      495551 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     782      495551 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     783      495551 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     784      495551 :   return y;
     785             : }
     786             : 
     787             : /* shallow basistoalg */
     788             : static GEN
     789      386638 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     790             : {
     791      386638 :   switch(typ(x))
     792             :   {
     793      383271 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     794        3367 :     default: return basistoalg(nf, x);
     795             :   }
     796             : }
     797             : static GEN
     798       36792 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     799             : {
     800             :   long i, l;
     801       36792 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     802       36792 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     803       36792 :   return y;
     804             : }
     805             : 
     806             : static GEN
     807       36778 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     808             : {
     809             :   GEN y, nf;
     810       36778 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     811       36778 :   nf = checknf(p);
     812       36778 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     813       36778 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     814       36778 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     815       36778 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     816       36778 :   return y;
     817             : }
     818             : 
     819             : static GEN
     820       29880 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     821             : {
     822             :   long i;
     823             :   GEN y, disc;
     824       29880 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     825       24938 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     826        2723 :     return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
     827       22215 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     828       22218 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     829      310964 :   for(i=1;i<=13;i++)
     830      288748 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     831       22216 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     832       22216 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     833       22214 :   return y;
     834             : }
     835             : 
     836             : static GEN
     837      113010 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     838             : {
     839             :   GEN y;
     840      113010 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     841      110120 :   return FF_ellinit(y,fg);
     842             : }
     843             : 
     844             : static GEN
     845        3024 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     846             : {
     847        3024 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     848             :   GEN p, modP;
     849        3024 :   if (get_modpr(P))
     850             :   { /* modpr accept */
     851        2877 :     modP = P;
     852        2877 :     p = modpr_get_p(modP);
     853             :   }
     854             :   else
     855             :   { /* pr, initialize modpr */
     856         147 :     GEN d = Q_denom(e);
     857         147 :     p = pr_get_p(P);
     858         147 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     859             :   }
     860        3024 :   *pp = p;
     861        3024 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     862        3024 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     863             : }
     864             : static GEN
     865        3024 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     866             : {
     867             :   GEN T,p;
     868        3024 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     869        3024 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     870             : }
     871             : 
     872             : GEN
     873      674471 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     874             : {
     875      674471 :   pari_sp av = avma;
     876             :   GEN y;
     877      674471 :   switch(typ(x))
     878             :   {
     879           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     880             :     case t_VEC:
     881      674464 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     882      674464 :       break;
     883           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     884             :   }
     885      674472 :   if (D && get_prid(D))
     886             :   {
     887        2604 :     if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     888        2604 :     y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     889        2604 :     goto END;
     890             :   }
     891      671868 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     892             :   {
     893             :   case t_PADIC:
     894          91 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     895          91 :     break;
     896             :   case t_INTMOD:
     897       26863 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     898       26862 :     break;
     899             :   case t_FFELT:
     900      112814 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     901      112814 :     break;
     902             :   case t_FRAC:
     903      495684 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     904      495677 :     break;
     905             :   case t_REAL:
     906          21 :     y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
     907          21 :     break;
     908             :   case t_VEC:
     909       36204 :     y = ellinit_nf(x, D);
     910       36204 :     break;
     911             :   default:
     912         140 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     913             :   }
     914             : END:
     915      674414 :   if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
     916      666441 :   return gerepilecopy(av,y);
     917             : }
     918             : 
     919             : /********************************************************************/
     920             : /**                                                                **/
     921             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     922             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     923             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     924             : /**  verbatim                                                      **/
     925             : /**                                                                **/
     926             : /********************************************************************/
     927             : /* [1,0,0,0] */
     928             : static GEN
     929     3267376 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     930             : static int
     931      456141 : is_trivial_change(GEN v)
     932             : {
     933             :   GEN u, r, s, t;
     934      456141 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     935      456141 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     936      456141 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     937             : }
     938             : 
     939             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     940             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     941             : static void
     942         476 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     943             : {
     944         476 :   GEN v = *vtotal;
     945             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     946             : 
     947         952 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     948         455 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     949         455 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     950         455 :   U2 = gsqr(U);
     951         455 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     952         455 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     953         455 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     954         455 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     955             : }
     956             : 
     957             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     958             : GEN
     959          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     960             : {
     961             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     962          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     963          21 :   u = gel(w,1);
     964          21 :   r = gel(w,2);
     965          21 :   s = gel(w,3);
     966          21 :   t = gel(w,4);
     967          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     968          21 :   U = ginv(u);
     969          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     970          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     971          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     972          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     973             : }
     974             : 
     975             : static GEN
     976       99218 : ell_to_nfell10(GEN e)
     977             : {
     978             :   long i;
     979       99218 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     980       99218 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     981     1091398 :   for(i=1; i<=10; i++)
     982      992180 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     983       99218 :   return y;
     984             : }
     985             : 
     986             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     987             : static GEN
     988      153363 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     989             : {
     990             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     991             :   long lx;
     992      153363 :   if (gequal1(u)) return e;
     993      152950 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     994      152950 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     995      152950 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     996      152950 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     997      152950 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     998      152950 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     999      152950 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
    1000      152950 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
    1001      152950 :   if (lx == 6) return y;
    1002      152943 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
    1003      152943 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
    1004      152943 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
    1005      152943 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
    1006      152943 :   return y;
    1007             : }
    1008             : /* apply [1,r,0,0] */
    1009             : static GEN
    1010      267162 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
    1011             : {
    1012             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1013             :   long lx;
    1014      267162 :   if (gequal0(r)) return e;
    1015      238840 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1016      238840 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
    1017      238840 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1018             : 
    1019      238840 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
    1020             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1021      238840 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
    1022             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1023      238840 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
    1024             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1025      238840 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
    1026             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1027      238840 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
    1028      238840 :   if (lx == 6) return y;
    1029             : 
    1030      238833 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1031      238833 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1032             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1033      238833 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1034      238833 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
    1035      238833 :   r2 = nfsqr(nf,r);
    1036             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1037      238833 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
    1038             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1039      238833 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1040             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1041      238833 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
    1042      238833 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
    1043      238833 :   return y;
    1044             : }
    1045             : 
    1046             : static GEN
    1047      109550 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
    1048             : {
    1049             :   GEN a1, y;
    1050      109550 :   if (gequal0(s)) return e;
    1051      109550 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1052      109550 :   y = leafcopy(e);
    1053             : 
    1054             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1055      109550 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1056             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1057      109550 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1058             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1059      109550 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
    1060      109550 :   return y;
    1061             : }
    1062             : /* apply [1,0,0,t] */
    1063             : static GEN
    1064      251783 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
    1065             : {
    1066             :   GEN a1, a3, y;
    1067      251783 :   if (gequal0(t)) return e;
    1068      251363 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1069      251363 :   y = leafcopy(e);
    1070             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1071      251363 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
    1072             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1073      251363 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
    1074             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1075      251363 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1076      251363 :   return y;
    1077             : }
    1078             : 
    1079             : /* apply [1,0,s,t] */
    1080             : static GEN
    1081       12901 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1082             : {
    1083             :   GEN y, a1, a3;
    1084       12901 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1085       12481 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1086       12481 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1087       12481 :   y = leafcopy(e);
    1088             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1089       12481 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1090             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1091       12481 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1092             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1093       12481 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1094             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1095       12481 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1096             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1097       12481 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1098       12481 :   return y;
    1099             : }
    1100             : 
    1101             : static GEN
    1102      171059 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1103             : {
    1104      171059 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1105      171059 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1106             : }
    1107             : 
    1108             : /* apply [1,r,s,t] */
    1109             : static GEN
    1110         420 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1111             : {
    1112         420 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1113         420 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1114             : }
    1115             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1116             : static GEN
    1117         420 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1118             : {
    1119         420 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1120         420 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1121         420 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1122             : }
    1123             : 
    1124             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1125             : static GEN
    1126       73052 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1127             : {
    1128             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1129             :   long lx;
    1130       73052 :   if (gequal1(u)) return e;
    1131       72751 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1132       72751 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1133       72751 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1134       72751 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1135       72751 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1136       72751 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1137       72751 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1138       72751 :   if (lx == 6) return y;
    1139       72751 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1140       72751 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1141       72751 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1142       72751 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1143       72751 :   u12 = gsqr(u6);
    1144       72751 :   D = ell_get_disc(e);
    1145       72751 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1146       72751 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1147       72751 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1148       72751 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1149       72751 :   D = gmul(D, u12);
    1150       72751 :   gel(y,10)= c4;
    1151       72751 :   gel(y,11)= c6;
    1152       72751 :   gel(y,12)= D;
    1153       72751 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1154       72751 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1155       72751 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1156       72751 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1157       72751 :   return y;
    1158             : }
    1159             : /* apply [1,r,0,0] */
    1160             : static GEN
    1161      611149 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1162             : {
    1163             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1164      611149 :   if (gequal0(r)) return e;
    1165      511805 :   y = leafcopy(e);
    1166      511805 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1167      511805 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1168             : 
    1169             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1170      511805 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1171             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1172      511805 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1173             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1174      511805 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1175             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1176      511805 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1177      511805 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1178             : 
    1179      511798 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1180      511798 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1181             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1182      511798 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1183      511798 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1184      511798 :   r2 = gsqr(r);
    1185             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1186      511798 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1187             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1188      511798 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1189             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1190      511798 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1191      511798 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1192      511798 :   return y;
    1193             : }
    1194             : /* apply [1,0,s,0] */
    1195             : static GEN
    1196      117992 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1197             : {
    1198             :   GEN a1, y;
    1199      117992 :   if (gequal0(s)) return e;
    1200      117992 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1201      117992 :   y = leafcopy(e);
    1202             : 
    1203             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1204      117992 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1205             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1206      117992 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1207             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1208      117992 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1209      117992 :   return y;
    1210             : }
    1211             : /* apply [1,0,0,t] */
    1212             : static GEN
    1213      344925 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1214             : {
    1215             :   GEN a1, a3, y;
    1216      344925 :   if (gequal0(t)) return e;
    1217      275016 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1218      275016 :   y = leafcopy(e);
    1219             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1220      275016 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1221             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1222      275016 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1223             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1224      275016 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1225      275016 :   return y;
    1226             : }
    1227             : /* apply [1,0,s,t] */
    1228             : static GEN
    1229      347452 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1230             : {
    1231             :   GEN y, a1, a3;
    1232      347452 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1233      245980 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1234      127988 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1235      127988 :   y = leafcopy(e);
    1236             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1237      127988 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1238             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1239      127988 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1240             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1241      127988 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1242             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1243      127988 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1244             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1245      127988 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1246      127988 :   return y;
    1247             : }
    1248             : /* apply [1,r,s,t] */
    1249             : static GEN
    1250      347452 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1251             : {
    1252      347452 :   e = coordch_r(e, r);
    1253      347452 :   return coordch_st(e, s, t);
    1254             : }
    1255             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1256             : static GEN
    1257       72198 : coordch(GEN e, GEN w)
    1258             : {
    1259       72198 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1260       72198 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1261       72198 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1262             : }
    1263             : 
    1264             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1265             :  * (dynamic data) */
    1266             : static GEN
    1267           7 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1268             : {
    1269           7 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1270           7 :   long prec = valp(p);
    1271           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1272           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1273             :   {
    1274           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1275           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1276             :   }
    1277           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1278             :   {
    1279           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1280           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1281           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1282           7 :     U = gmul(U, u);
    1283           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1284           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1285             :   }
    1286           7 :   return E;
    1287             : }
    1288             : 
    1289             : /* common to Q and Rg */
    1290             : static GEN
    1291       36771 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1292             : {
    1293       36771 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1294       36771 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1295          28 :     obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1296       36771 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1297          28 :     obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1298       36771 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1299             :   {
    1300          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1301             :     long i;
    1302          28 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1303          28 :     obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
    1304             :   }
    1305       36771 :   return E;
    1306             : }
    1307             : 
    1308             : static GEN
    1309          28 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1310             : {
    1311          28 :   GEN p = NULL;
    1312          28 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1313          28 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1314           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1315             : }
    1316             : 
    1317             : static GEN
    1318       36771 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1319             : {
    1320       36771 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1321       36771 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1322       36771 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1323       36764 :   ch_R(E, e, w);
    1324       36764 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1325           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1326       36764 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1327             :   {
    1328         882 :     if (lg(S) == 2)
    1329             :     { /* model was minimal */
    1330           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1331           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1332           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1333             :     }
    1334             :     else
    1335             :     {
    1336         875 :       v = gel(S,2);
    1337         875 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1338         861 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1339             :       else
    1340             :       {
    1341          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1342          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1343          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1344          14 :         gel(S,2) = v;
    1345             :       }
    1346         875 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1347             :     }
    1348             :   }
    1349       36764 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1350          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1351       36764 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1352           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1353       36764 :   return E;
    1354             : }
    1355             : 
    1356             : static void
    1357         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1358             : {
    1359             :   GEN S;
    1360         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1361          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1362         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1363          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1364         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1365          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1366         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1367          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1368         126 : }
    1369             : 
    1370             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1371             : static GEN
    1372           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1373             : {
    1374           7 :   long prec = 0;
    1375           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1376           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1377           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1378           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1379             : }
    1380             : static GEN
    1381         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1382             : {
    1383         119 :   long prec = 0;
    1384         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1385         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1386         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1387         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1388             : }
    1389             : 
    1390             : static void
    1391       72128 : ell_reset(GEN E)
    1392       72128 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1393             : 
    1394             : GEN
    1395       72149 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1396             : {
    1397       72149 :   pari_sp av = avma;
    1398             :   GEN E;
    1399       72149 :   checkell5(e);
    1400       72149 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1401       72142 :   checkcoordch(w);
    1402       72142 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1403       72142 :   if (lg(E) != 6)
    1404             :   {
    1405       72128 :     ell_reset(E);
    1406       72128 :     switch(ell_get_type(E))
    1407             :     {
    1408           7 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1409           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1410         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1411       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1412           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1413             :     }
    1414             :   }
    1415       72142 :   return gerepilecopy(av, E);
    1416             : }
    1417             : 
    1418             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1419             : static void
    1420      164045 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1421             : {
    1422      164045 :   GEN v = *vtotal;
    1423             :   GEN U2, R, S, T;
    1424      328090 :   if (gequal0(r)) return;
    1425       95683 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1426       95683 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1427       95683 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1428       95683 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1429             : }
    1430             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1431             : static void
    1432      109550 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1433             : {
    1434      109550 :   GEN v = *vtotal;
    1435             :   GEN U, S;
    1436      109550 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1437      109550 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1438      109550 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1439      109550 : }
    1440             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1441             : static void
    1442      253610 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1443             : {
    1444      253610 :   GEN v = *vtotal;
    1445             :   GEN U3, U, T;
    1446      507220 :   if (gequal0(t)) return;
    1447       80304 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1448       80304 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1449       80304 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1450             : }
    1451             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1452             : static void
    1453      251538 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1454             : {
    1455      251538 :   GEN v = *vtotal;
    1456             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1457      503076 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1458      171059 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1459      171059 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1460      171059 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1461      171059 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1462      171059 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1463             : }
    1464             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1465             : static void
    1466      184114 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1467             : {
    1468      184114 :   GEN v = *vtotal;
    1469             :   GEN U3, U, S, T;
    1470      184114 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1471      122031 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1472       12481 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1473       12481 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1474       12481 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1475       12481 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1476             : }
    1477             : 
    1478             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1479             : static void
    1480      152943 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1481             : {
    1482      152943 :   GEN v = *vtotal;
    1483      152943 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1484      152943 : }
    1485             : 
    1486             : /* X = (x-r)/u^2
    1487             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1488             : static GEN
    1489         525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1490             : {
    1491             :   GEN a, x, y;
    1492         525 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1493         511 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1494         511 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1495             : }
    1496             : 
    1497             : GEN
    1498         525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1499             : {
    1500             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1501         525 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1502         525 :   pari_sp av = avma;
    1503             : 
    1504         525 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1505         525 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1506         525 :   checkcoordch(ch);
    1507         525 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1508         525 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1509         525 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1510         525 :   tx = typ(gel(x,1));
    1511         525 :   if (is_matvec_t(tx))
    1512             :   {
    1513          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1514          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1515          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1516             :   }
    1517             :   else
    1518         504 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1519         525 :   return gerepilecopy(av,y);
    1520             : }
    1521             : 
    1522             : /* x = u^2*X + r
    1523             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1524             : static GEN
    1525          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1526             : {
    1527             :   GEN a, X, Y;
    1528          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1529          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1530          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1531             : }
    1532             : GEN
    1533          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1534             : {
    1535             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1536          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1537          63 :   pari_sp av = avma;
    1538             : 
    1539          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1540          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1541          63 :   checkcoordch(ch);
    1542          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1543          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1544          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1545          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1546          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1547             :   {
    1548           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1549          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1550           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1551             :   }
    1552             :   else
    1553          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1554          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1555             : }
    1556             : 
    1557             : GEN
    1558       28385 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1559             : {
    1560       28385 :   pari_sp av = avma;
    1561             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1562             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1563             :   GEN V;
    1564       28385 :   checkell(E);
    1565       28385 :   if (!P)
    1566             :   {
    1567             :     GEN a4, a6;
    1568       27188 :     checkell_Fq(E);
    1569       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1570             :     {
    1571             :       case t_ELL_Fp:
    1572             :         {
    1573           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1574           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1575       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1576             :         }
    1577             :       case t_ELL_Fq:
    1578       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1579             :     }
    1580             :   }
    1581        1197 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1582        1197 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1583        1197 :   if (typ(P) == t_INT)
    1584             :   {
    1585        1183 :     if (equali1(P))
    1586         182 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1587        1001 :     P = quadpoly(P);
    1588             :   } else
    1589             :   {
    1590          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1591          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1592           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1593             :   }
    1594        1015 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1595        1015 :   ac = gmul(a, c);
    1596        1015 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1597        1015 :   D2 = gsqr(D);
    1598        1015 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1599        1015 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1600        1015 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1601        1015 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1602        1015 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1603        1015 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1604        1015 :   return gerepilecopy(av, V);
    1605             : }
    1606             : 
    1607             : /********************************************************************/
    1608             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1609             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1610             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1611             : /********************************************************************/
    1612             : 
    1613             : static long
    1614        2583 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1615        2583 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1616             : 
    1617             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1618             :  * ellminimalmodel / get_u; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1619             :  * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1620             :  * Good case if reduction in get_u i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1621             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1622             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1623             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1624             :  * After rescaling in get_u (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1625             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1626             : static long
    1627         364 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1628             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1629             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1630             :   long v4, v6, vD;
    1631             : 
    1632         364 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1633          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1634             : 
    1635             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1636         308 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1637             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1638         301 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1639             : 
    1640             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1641         301 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1642             : 
    1643             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1644         238 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1645         168 :   vD = vali(disc);
    1646         168 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1647         161 :   return -8;
    1648             : }
    1649             : 
    1650             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1651             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1652             : */
    1653             : GEN
    1654         497 : ellminimaltwist(GEN e)
    1655             : {
    1656         497 :   pari_sp av = avma;
    1657         497 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1658             :   long i, lF;
    1659         497 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1660         497 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1661         497 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1662         497 :   disc = ell_get_disc(E);
    1663         497 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1664         497 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1665         497 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1666             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1667             :    * then apply get_u(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3 and
    1668             :    * v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1669        1995 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1670             :   {
    1671        1498 :     GEN p = gel(F, i);
    1672        1498 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1673        1498 :     if (vg < 6) continue;
    1674             :     /* twist by fund. discriminant d2; in get_u, we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1675        1092 :     switch(itou_or_0(p))
    1676             :     {
    1677             :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1678         434 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1679         434 :         break;
    1680             :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1681         294 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1682         294 :         break;
    1683             :       case 2:
    1684         364 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1685         364 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1686         364 :         break;
    1687             :     }
    1688             :   }
    1689         497 :   obj_free(E);
    1690         497 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1691             : }
    1692             : 
    1693             : /*
    1694             : Reference:
    1695             : William A. Stein and Mark Watkins
    1696             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1697             : ANTS 5
    1698             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1699             : */
    1700             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1701             : GEN
    1702         231 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1703             : {
    1704         231 :   pari_sp av = avma;
    1705         231 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1706         231 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1707         231 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1708         231 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1709         231 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1710         217 :   else if (f==6)
    1711             :   {
    1712          14 :     if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
    1713             :     else
    1714             :     {
    1715           7 :       long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
    1716           7 :       D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
    1717             :     }
    1718             :   }
    1719         231 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1720             : }
    1721             : 
    1722             : GEN
    1723         441 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1724             : {
    1725         441 :   switch(flag)
    1726             :   {
    1727             :     case 0:
    1728         266 :       return ellminimaltwist(e);
    1729             :     case 1:
    1730         175 :       return ellminimaltwistcond(e);
    1731             :   }
    1732           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1733             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1734             : }
    1735             : 
    1736             : static long
    1737           7 : ellexpo(GEN E)
    1738             : {
    1739           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1740          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1741             :   {
    1742          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1743          35 :     if (f > e) e = f;
    1744             :   }
    1745           7 :   return e;
    1746             : }
    1747             : 
    1748             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1749             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1750             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1751             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1752             : int
    1753       15596 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1754             : {
    1755             :   GEN LHS, RHS, x;
    1756             :   long pl, pr, ex, expx;
    1757             :   pari_sp av;
    1758             : 
    1759       15596 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1760       15519 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1761       15519 :   av = avma;
    1762       15519 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1763       15519 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1764       15519 :   if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
    1765          21 :   pl = precision(LHS);
    1766          21 :   pr = precision(RHS);
    1767          21 :   if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
    1768             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1769           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1770           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1771           7 :   expx = gexpo(x);
    1772          13 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1773           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1774           7 :   avma = av; return pr;
    1775             : }
    1776             : 
    1777             : GEN
    1778       16730 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1779             : {
    1780       16730 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1781             : 
    1782       16730 :   checkell(e);
    1783       16730 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1784       16730 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1785       16730 :   tx = typ(gel(x,1));
    1786       16730 :   if (is_vec_t(tx))
    1787             :   {
    1788        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1789        1687 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1790        1687 :     return z;
    1791             :   }
    1792       15043 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1793             : }
    1794             : 
    1795             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1796             : static GEN
    1797        1848 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1798             : {
    1799             :   GEN dy,dx;
    1800        1848 :   if (y1 != y2)
    1801             :   {
    1802             :     int eq;
    1803         245 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1804           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1805             :     else
    1806         238 :       eq = gequal(y1,y2);
    1807         245 :     if (!eq) return NULL;
    1808             :   }
    1809        1841 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1810        1841 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1811        1806 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1812             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1813        1806 :   return gdiv(dy,dx);
    1814             : }
    1815             : static GEN
    1816        9471 : get_slope(GEN e, GEN x1, GEN x2, GEN y1, GEN y2)
    1817             : {
    1818             :   GEN dy,dx;
    1819        9471 :   if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
    1820        1848 :     return slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1821        7623 :   dx = gsub(x2,x1);
    1822        7623 :   if (typ(dx) == t_COMPLEX) /* its Norm may be 0 */
    1823             :   {
    1824           0 :     GEN N = gnorm(dx);
    1825           0 :     if (gequal0(N)) return slope_samex(e,x1,y1,y2);
    1826           0 :     dy = gsub(y2,y1);
    1827           0 :     return gdiv(gmul(dy,gconj(dx)),N); /* dy/dx */
    1828             :   }
    1829        7623 :   dy = gsub(y2,y1);
    1830        7623 :   return gdiv(dy,dx);
    1831             : }
    1832             : 
    1833             : GEN
    1834       13524 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1835             : {
    1836             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1837       13524 :   pari_sp av = avma;
    1838             : 
    1839       13524 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1840       13524 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1841       11123 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1842             : 
    1843        9471 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1844        9471 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1845        9471 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1846             :   {
    1847         476 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1848         476 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1849         476 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1850         476 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1851         476 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1852             :   }
    1853        9471 :   s = get_slope(e,x1,x2,y1,y2);
    1854        9471 :   if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
    1855        9429 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1856        9429 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1857        9429 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1858        9429 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1859        9429 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1860             : }
    1861             : 
    1862             : static GEN
    1863          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1864             : {
    1865             :   GEN t, x, y;
    1866          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1867          49 :   x = gel(z,1);
    1868          49 :   y = gel(z,2);
    1869          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1870             :   {
    1871           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1872           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1873           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1874             :   }
    1875          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1876          49 :   gel(t,1) = x;
    1877          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1878          49 :   return t;
    1879             : }
    1880             : 
    1881             : GEN
    1882         826 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1883             : {
    1884             :   pari_sp av;
    1885             :   GEN t, y;
    1886         826 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1887         826 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1888         826 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1889         826 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1890         826 :   av = avma;
    1891         826 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1892         826 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1893         826 :   return t;
    1894             : }
    1895             : 
    1896             : GEN
    1897          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1898             : {
    1899          49 :   pari_sp av = avma;
    1900          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1901          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1902             : }
    1903             : 
    1904             : /* E an ell, x a scalar */
    1905             : static GEN
    1906        2100 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1907             : {
    1908        2100 :   pari_sp av = avma;
    1909        2100 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1910             : 
    1911        2100 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1912             :   {
    1913         518 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1914         518 :     x = nftoalg(nf,x);
    1915             :   }
    1916        2100 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1917        2100 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1918        2100 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1919             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1920        2100 :   if (gequal0(D)) {
    1921         574 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1922           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1923         574 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1924         574 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1925         574 :     return gerepileupto(av,y);
    1926             :   }
    1927             :   /* D != 0 */
    1928        1526 :   switch(ell_get_type(E))
    1929             :   {
    1930             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1931          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1932          28 :       D = gel(D,2);
    1933          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1934           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1935           7 :       break;
    1936             :     case t_ELL_Fq:
    1937         210 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1938             :       {
    1939          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1940          77 :         if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1941          42 :         return gerepileupto(av, F);
    1942             :       }
    1943         133 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1944          63 :       break;
    1945             :     case t_ELL_Q:
    1946         756 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1947         749 :       if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1948         462 :       break;
    1949             : 
    1950             :     case t_ELL_NF:
    1951             :     {
    1952         511 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1953         511 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1954         511 :       d = nfroots(nf, T);
    1955         511 :       delete_var();
    1956         511 :       if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    1957         497 :       d = gel(d,1);
    1958         497 :       break;
    1959             :     }
    1960             : 
    1961             :     case t_ELL_Qp:
    1962          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1963          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1964          14 :       if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1965          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1966          14 :       break;
    1967             : 
    1968             :     default:
    1969           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1970             :   }
    1971        1057 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1972        1057 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1973        1057 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1974        1057 :   return gerepileupto(av,y);
    1975             : }
    1976             : 
    1977             : GEN
    1978        2100 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1979             : {
    1980        2100 :   checkell(e);
    1981        2100 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1982             :   {
    1983             :     long i, lx;
    1984           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1985           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1986           0 :     return v;
    1987             :   }
    1988        2100 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1989             : }
    1990             : 
    1991             : GEN
    1992      244062 : ellrandom(GEN E)
    1993             : {
    1994             :   GEN fg;
    1995      244062 :   checkell_Fq(E);
    1996      244062 :   fg = ellff_get_field(E);
    1997      244062 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1998      244034 :     return FF_ellrandom(E);
    1999             :   else
    2000             :   {
    2001          28 :     pari_sp av = avma;
    2002          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    2003          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    2004          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    2005          28 :     return gerepileupto(av, P);
    2006             :   }
    2007             : }
    2008             : 
    2009             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    2010             : static GEN
    2011          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    2012             : {
    2013          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    2014             :   long ln, vn;
    2015             : 
    2016          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    2017           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    2018          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    2019          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    2020          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    2021          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    2022          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    2023          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    2024          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    2025             :   do
    2026             :   {
    2027          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    2028             :     do
    2029             :     {
    2030          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    2031          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    2032          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    2033             :     }
    2034          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    2035          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    2036          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    2037          21 :     if (!signe(z2)) break;
    2038           7 :     z2 = ginv(z2);
    2039             :   }
    2040           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    2041          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    2042           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    2043          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    2044          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    2045          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    2046          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    2047          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    2048             : 
    2049          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    2050          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    2051          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    2052          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    2053             : 
    2054          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    2055          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    2056          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    2057          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    2058          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    2059             : }
    2060             : 
    2061             : static GEN
    2062         616 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    2063             : static GEN
    2064         175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    2065             : 
    2066             : static GEN
    2067      248519 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    2068             : {
    2069      248519 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    2070      248518 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    2071      247450 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    2072             :   else
    2073             :   {
    2074        1068 :     pari_sp av = avma;
    2075        1068 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    2076        1068 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    2077        1068 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    2078        1013 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    2079        1013 :     return gerepileupto(av, Q);
    2080             :   }
    2081             : }
    2082             : /* [n] z, n integral */
    2083             : static GEN
    2084      249029 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    2085             : {
    2086             :   long s;
    2087      249029 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2088      249030 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2089         511 :   s = signe(n);
    2090         511 :   if (!s) return ellinf();
    2091         462 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2092         462 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2093         378 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2094             : }
    2095             : 
    2096             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2097             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2098             : static long
    2099          42 : myroundr(GEN *px)
    2100             : {
    2101          42 :   GEN x = *px;
    2102             :   long e;
    2103          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2104          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2105          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2106          42 :   return OK;
    2107             : }
    2108             : 
    2109             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2110             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2111             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2112             : static GEN
    2113          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2114             : {
    2115             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2116             :   long prec;
    2117             : 
    2118          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2119          14 :   switch(typ(Q))
    2120             :   {
    2121             :     case t_COMPLEX:
    2122           0 :       D = utoineg(4);
    2123           0 :       v = gel(Q,2);
    2124           0 :       break;
    2125             :     case t_QUAD:
    2126          14 :       D = quad_disc(Q);
    2127          14 :       v = gel(Q,3);
    2128          14 :       break;
    2129             :     default:
    2130           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2131             :   }
    2132             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2133          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    2134          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2135          14 :   prec = precision(tau);
    2136             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2137             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2138             :    * Compute f*k */
    2139          14 :   x = gel(tau,1);
    2140          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2141          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2142          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2143             :   {
    2144           0 :     case NO: return NULL;
    2145           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2146             :   }
    2147          14 :   fk = absi(fk);
    2148             : 
    2149          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2150          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2151             :   {
    2152           0 :     case NO: return NULL;
    2153           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2154             :   }
    2155             : 
    2156          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2157          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2158             :   {
    2159           0 :     case NO: return NULL;
    2160           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2161             :   }
    2162             : 
    2163             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2164          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2165          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2166          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2167          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2168             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2169          14 :   v = dvmdii(absi(v), q, &r);
    2170          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2171          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2172             : }
    2173             : 
    2174             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2175             : static GEN
    2176          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2177             : {
    2178             :   GEN A, B, q;
    2179          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2180          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2181          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2182          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2183             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2184          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2185             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2186             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2187           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2188           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2189           7 :     u = shifti(u, -1);
    2190           7 :     if (signe(u))
    2191             :     {
    2192           0 :       w = gsub(w, u);
    2193           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2194             :     }
    2195             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2196             :   }
    2197          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2198          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2199          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2200          14 :   return elladd(e, A, B);
    2201             : }
    2202             : GEN
    2203      249085 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2204             : {
    2205      249085 :   pari_sp av = avma;
    2206             : 
    2207      249085 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2208      249079 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2209      249022 :   switch(typ(n))
    2210             :   {
    2211      249008 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2212             :     case t_QUAD: {
    2213          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2214          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2215          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2216             :     }
    2217             :     case t_COMPLEX: {
    2218           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2219           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2220             :     }
    2221             :   }
    2222           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2223             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2224             : }
    2225             : 
    2226             : /********************************************************************/
    2227             : /**                                                                **/
    2228             : /**                       Periods                                  **/
    2229             : /**                                                                **/
    2230             : /********************************************************************/
    2231             : 
    2232             : /* References:
    2233             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2234             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2235             : */
    2236             : 
    2237             : static GEN
    2238        3809 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2239             : {
    2240        3809 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2241        3809 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2242        3809 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2243             : }
    2244             : 
    2245             : static GEN
    2246        2990 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2247             : {
    2248        2990 :   pari_sp av = avma;
    2249        2990 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    2250        2990 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2251        2990 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2252        2990 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2253             : }
    2254             : 
    2255             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2256             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2257             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2258             : static GEN
    2259        3809 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2260             : {
    2261        3809 :   pari_sp av = avma;
    2262             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2263        3809 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2264         819 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    2265         819 :   d2 = gel(roots,5);
    2266         819 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2267         819 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2268         819 :   b = gel(z,2);
    2269         819 :   c = gabs(z, prec);
    2270         819 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2271         819 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2272             : }
    2273             : static GEN
    2274          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2275          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    2276             : 
    2277             : GEN
    2278        4865 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2279        4865 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2280             : GEN
    2281          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2282          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2283             : GEN
    2284        5181 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2285        5181 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2286             : 
    2287             : GEN
    2288        2114 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2289             : {
    2290        2114 :   pari_sp av = avma;
    2291             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2292        2114 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2293        2114 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2294        2114 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2295        2114 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2296             : }
    2297             : 
    2298             : /********************************************************************/
    2299             : /**                                                                **/
    2300             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2301             : /**                                                                **/
    2302             : /********************************************************************/
    2303             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2304             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2305             : static GEN
    2306           0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2307             : {
    2308           0 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2309           0 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2310           0 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2311           0 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2312           0 :   GEN z = gel(om,2);
    2313           0 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2314           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2315             :   else
    2316           0 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2317           0 :   return gmul2n(z, -1);
    2318             : }
    2319             : 
    2320             : static GEN
    2321          35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2322             : {
    2323          35 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2324          35 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2325          35 :   if (gequal0(y0))
    2326           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2327             :   else
    2328             :   {
    2329          35 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2330          35 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2331          35 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2332          35 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2333          35 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2334             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2335          35 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2336          35 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2337             :   }
    2338             : }
    2339             : 
    2340             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2341             : static GEN
    2342           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2343             : {
    2344           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2345           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2346             :   else
    2347             :   {
    2348           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2349           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2350           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2351           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2352           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2353           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2354           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2355           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2356             :   }
    2357             : }
    2358             : 
    2359             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2360             : static GEN
    2361           7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2362             : {
    2363           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2364           7 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2365           7 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2366           7 :   e1 = gel(R,1);
    2367           7 :   e2 = gel(R,2);
    2368           7 :   e3 = gel(R,3);
    2369           7 :   d2 = gel(R,5);
    2370           7 :   d3 = gel(R,6);
    2371           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2372           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2373           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2374           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2375           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2376           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2377             :   } else {
    2378           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2379           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2380           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2381           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2382             :   }
    2383             : }
    2384             : 
    2385             : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
    2386             :  * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
    2387             :  * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
    2388             : static GEN
    2389         224 : doellQp_root(GEN E, long prec)
    2390             : {
    2391         224 :   GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
    2392             :   GEN c6p, T, a;
    2393             :   long alpha;
    2394         224 :   int pis2 = absequaliu(p, 2);
    2395         224 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2396             :   /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
    2397         224 :   alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
    2398         224 :   if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
    2399             :   /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
    2400         224 :   if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
    2401         224 :   c6p = modii(c6,p);
    2402         224 :   if (pis2)
    2403             :   { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
    2404         140 :     T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, mulis(c4,-9), mulis(c6, -2));
    2405             :     /* v_2(root a) = 1, i.e. will lose one bit of accuracy: prec+1 */
    2406         140 :     a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec+1);
    2407         140 :     alpha -= 2;
    2408             :   }
    2409          84 :   else if (absequaliu(p, 3))
    2410             :   { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
    2411          56 :     a = Fp_neg(c6p, p);
    2412          56 :     T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, mulis(c4, -6), negi(c6));
    2413          56 :     a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
    2414          56 :     switch(lg(a)-1)
    2415             :     {
    2416             :       case 1: /* single root */
    2417          28 :         a = gel(a,1); break;
    2418             :       case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
    2419             :       {
    2420          28 :         GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
    2421          28 :         long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
    2422          28 :         long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
    2423          28 :         long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
    2424          28 :         if      (v1 == v2) a = a3;
    2425           0 :         else if (v1 == v3) a = a2;
    2426           0 :         else a = a1;
    2427             :       }
    2428          28 :       break;
    2429             :     }
    2430          56 :     alpha--;
    2431             :   }
    2432             :   else
    2433             :   { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
    2434             :      * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
    2435          28 :     GEN c4p = modii(c4,p);
    2436          28 :     a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
    2437          28 :     T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, mulis(c4, -18), negi(c6));
    2438          28 :     a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
    2439             :   }
    2440         224 :   a = cvtop(a, p, prec);
    2441         224 :   if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
    2442         224 :   return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
    2443             : }
    2444             : GEN
    2445         455 : ellQp_root(GEN E, long prec)
    2446         455 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
    2447             : 
    2448             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x+a-b) ~ E */
    2449             : static void
    2450         273 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
    2451             : {
    2452         273 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2453         273 :   GEN w, u, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1)), p = ellQp_get_p(E);
    2454         273 :   w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
    2455         273 :   u = gadd(t,w);
    2456             :   /* Decide between w and -w: we want v(a-b) > v(b) */
    2457         273 :   if (absequaliu(p,2))
    2458         203 :   { if (valp(u)-1 <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2459             :   else
    2460          70 :   { if (valp(u) <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2461             : 
    2462             :   /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
    2463         273 :   *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
    2464         273 :   *ptb = gmul2n(w,-1);
    2465         273 : }
    2466             : 
    2467             : static GEN
    2468          91 : doellQp_Tate(GEN E, long prec0)
    2469             : {
    2470          91 :   GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
    2471             :   GEN L, u, u2, q, x1, a, b, d, s, t, AB, A, M2;
    2472          91 :   long v, n, pp, prec = prec0+3;
    2473          91 :   int split = -1; /* unknown */
    2474          91 :   int pis2 = equaliu(p,2);
    2475             : 
    2476          91 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2477             : START:
    2478         273 :   doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
    2479         273 :   d = gsub(a,b);
    2480         273 :   v = prec0 - precp(d);
    2481         273 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2482         210 :   AB = Qp_agm2_sequence(a,b);
    2483         210 :   A = gel(AB,1);
    2484         210 :   n = lg(A)-1; /* AGM iterations */
    2485         210 :   pp = minss(precp(a),precp(b));
    2486         210 :   M2 = cvtop(gel(A,n), p, pis2? pp-2*n: pp);
    2487         210 :   setvalp(M2, valp(a));
    2488         210 :   u2 = ginv(gmul2n(M2, 2));
    2489         210 :   if (split < 0) split = issquare(u2);
    2490         210 :   x1 = gen_0;
    2491         210 :   Qp_descending_Landen(AB,&x1,NULL);
    2492             : 
    2493         210 :   t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
    2494         210 :   s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
    2495         210 :   q = gadd(t,s);
    2496         210 :   if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
    2497         210 :   v = prec0 - precp(q);
    2498         210 :   if (split)
    2499             :   { /* we want log q at precision prec0 */
    2500          63 :     GEN q0 = leafcopy(q); setvalp(q0, 0);
    2501          63 :     v +=  valp(gsubgs(q0,1));
    2502             :   }
    2503         210 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2504          91 :   if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
    2505          91 :   if (split)
    2506             :   {
    2507          35 :     u = Qp_sqrt(u2);
    2508          35 :     L = gdivgs(Qp_log(q), valp(q));
    2509             :   }
    2510             :   else
    2511             :   {
    2512          56 :     GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
    2513          56 :     u = mkpolmod(pol_x(0), T);
    2514          56 :     L = gen_1;
    2515             :   }
    2516          91 :   return mkvecn(6, u2, u, q, mkvec2(a, b), L, AB);
    2517             : }
    2518             : static long
    2519         581 : Tate_prec(GEN T) { return padicprec_relative(gel(T,3)); }
    2520             : GEN
    2521         665 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
    2522         665 : { return obj_checkbuild_prec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate, &Tate_prec,prec); }
    2523             : GEN
    2524         168 : ellQp_u(GEN E, long prec)
    2525         168 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
    2526             : GEN
    2527          56 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
    2528          56 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
    2529             : GEN
    2530         105 : ellQp_q(GEN E, long prec)
    2531         105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
    2532             : GEN
    2533         105 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
    2534         105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
    2535             : GEN
    2536           0 : ellQp_L(GEN E, long prec)
    2537           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,5); }
    2538             : GEN
    2539         147 : ellQp_AGM(GEN E, long prec)
    2540         147 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,6); }
    2541             : 
    2542             : static void
    2543           7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2544             : {
    2545           7 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2546           7 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2547           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2548           0 : }
    2549             : static GEN
    2550         161 : get_r0(GEN E, long prec)
    2551             : {
    2552         161 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2553         161 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2554             : }
    2555             : static GEN
    2556         112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2557             : {
    2558         112 :   pari_sp av = avma;
    2559             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2560             :   long vq, vt, Q, R;
    2561         112 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2562         105 :   ab = ellQp_ab(E, prec);
    2563         105 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2564         105 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2565         105 :   a = gel(ab,1);
    2566         105 :   b = gel(ab,2);
    2567         105 :   x = gel(P,1);
    2568         105 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2569         105 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2570         105 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2571          98 :   r = gsub(a,b);
    2572          98 :   ar = gmul(a, r);
    2573          98 :   if (gequal0(c0))
    2574             :   {
    2575           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2576           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2577             :   }
    2578             :   else
    2579             :   {
    2580          91 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2581          91 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2582          91 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2583          84 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2584             :   }
    2585          91 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2586          91 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2587             : 
    2588          91 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2589          91 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2590             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2591          91 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2592          56 :     vt = valp(t);
    2593             :   else
    2594          35 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2595          91 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2596          91 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2597          91 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2598          91 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2599          91 :   return gerepileupto(av, t);
    2600             : }
    2601             : 
    2602             : static GEN
    2603          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2604             : {
    2605          56 :   pari_sp av = avma;
    2606             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2607             :   long v;
    2608          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2609             : 
    2610          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2611          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2612          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2613          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2614          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2615          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2616          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2617             : 
    2618          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2619          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2620          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2621          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2622          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2623             : }
    2624             : 
    2625             : /* t to w := -1/y */
    2626             : GEN
    2627         574 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
    2628             : {
    2629         574 :   pari_sp av = avma, av2;
    2630             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
    2631         574 :   GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
    2632         574 :   ulong mask, nold = 1;
    2633         574 :   if (v < 0) v = 0;
    2634         574 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
    2635         560 :   mask = quadratic_prec_mask(n);
    2636         560 :   t = pol_x(v);
    2637         560 :   checkell(e);
    2638         560 :   a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
    2639         560 :   a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
    2640         560 :   w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
    2641         560 :   gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
    2642             :   /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
    2643             :    *
    2644             :    *            w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
    2645             :    * w  <-  w - -----------------------------------------------------
    2646             :    *              w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
    2647             :    *
    2648             :    *              w^3 a6 + w^2 U + w V + W
    2649             :    *      =: w -  -----------------------
    2650             :    *                w^2 (3a6) + 2w U + V
    2651             :    */
    2652         560 :   U = gadd(gmul(a4,t), a3);
    2653         560 :   U2 = gmul2n(U,1);
    2654         560 :   V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
    2655         560 :   W = gpowgs(t,3);
    2656         560 :   av2 = avma;
    2657        3115 :   while (mask > 1)
    2658             :   { /* nold correct terms in w */
    2659        1995 :     ulong i, nnew = nold << 1;
    2660             :     GEN num, den, wnew, w2, w3;
    2661        1995 :     if (mask & 1) nnew--;
    2662        1995 :     mask >>= 1;
    2663        1995 :     wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
    2664        1995 :     wnew[1] = w[1];
    2665        1995 :     for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
    2666        1995 :     for (     ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
    2667        1995 :     w = wnew;
    2668        1995 :     w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
    2669        1995 :     num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
    2670        1995 :     den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
    2671             : 
    2672        1995 :     w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
    2673        1995 :     nold = nnew;
    2674             :   }
    2675         560 :   return gerepilecopy(av, w);
    2676             : }
    2677             : 
    2678             : static GEN
    2679         343 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
    2680         343 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
    2681             : 
    2682             : /* t to [x,y] */
    2683             : GEN
    2684          70 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
    2685             : {
    2686          70 :   pari_sp av = avma;
    2687          70 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w);
    2688          70 :   return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
    2689             : }
    2690             : 
    2691             : static GEN
    2692         420 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
    2693             : {
    2694             :   GEN x, w1;
    2695         420 :   if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
    2696             :   { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
    2697         147 :     x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
    2698         147 :     w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
    2699             :   }
    2700             :   else
    2701             :   {
    2702         273 :     GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
    2703         273 :     x = gel(P,1);
    2704         273 :     w1 = gdiv(derivser(x), ec_dmFdy_evalQ(e, P));
    2705             :   }
    2706         420 :   *px = x; return w1;
    2707             : }
    2708             : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
    2709             : GEN
    2710          70 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
    2711             : {
    2712          70 :   pari_sp av = avma;
    2713          70 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
    2714          70 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2715          70 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
    2716             : }
    2717             : 
    2718             : /* t to z, dz = w1 dt */
    2719             : GEN
    2720         147 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
    2721             : {
    2722         147 :   pari_sp av = avma;
    2723         147 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
    2724         147 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2725         147 :   return gerepileupto(av, integser(w1));
    2726             : }
    2727             : /* z to t */
    2728             : GEN
    2729          70 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
    2730             : {
    2731          70 :   pari_sp av = avma;
    2732          70 :   return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
    2733             : }
    2734             : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
    2735             :  * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
    2736             :  *   sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
    2737             :  * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
    2738             : static GEN
    2739         203 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
    2740             : {
    2741         203 :   pari_sp av = avma;
    2742         203 :   GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = ser_inv(w), t = pol_x(0);
    2743         203 :   GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2744         203 :   GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
    2745         203 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
    2746             :                                  integser(s)));
    2747             : }
    2748             : 
    2749             : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
    2750             : static int
    2751         252 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
    2752             : {
    2753         252 :   pari_sp av = avma;
    2754             :   GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
    2755         252 :   if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
    2756         245 :   P = Q_muli_to_int(P,d);
    2757         245 :   x = gel(P,1);
    2758         245 :   y = gel(P,2);
    2759         245 :   a1 = ell_get_a1(E);
    2760         245 :   a3 = ell_get_a3(E);
    2761         245 :   t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
    2762         245 :   if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
    2763          28 :   a2 = ell_get_a2(E);
    2764          28 :   a4 = ell_get_a4(E);
    2765          28 :   d = Fp_inv(d, p);
    2766          28 :   x = Fp_mul(x,d,p);
    2767          28 :   y = Fp_mul(y,d,p);
    2768          28 :   t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
    2769          28 :   avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
    2770             : }
    2771             : 
    2772             : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
    2773             :  * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
    2774             : GEN
    2775         217 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
    2776             : {
    2777         217 :   pari_sp av = avma;
    2778         217 :   GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
    2779             :   long i, l;
    2780         217 :   checkellpt(P);
    2781         217 :   if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
    2782         217 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2783         217 :   S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
    2784         217 :   NP = gmael(S,3,1);
    2785         217 :   L = gel(S,4);
    2786         217 :   l = lg(NP);
    2787         217 :   d = Q_denom(P);
    2788         462 :   for (i = 1; i < l; i++)
    2789             :   {
    2790         245 :     GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
    2791         245 :     if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
    2792          21 :     c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
    2793          21 :     kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
    2794          21 :     if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
    2795             :     {
    2796           7 :       long nu = itos(kod) - 4;
    2797           7 :       long n = minss(Q_pval(ec_dmFdy_evalQ(E,P), p), nu/2);
    2798           7 :       nu /= ugcd(nu, n);
    2799           7 :       g = muliu(g, nu);
    2800           7 :       P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
    2801           7 :       d = Q_denom(P);
    2802          14 :     } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
    2803             :     { /* either 2 or 4 */
    2804           7 :       long nu = - itos(kod) - 4;
    2805           7 :       P = elladd(E, P,P);
    2806           7 :       d = Q_denom(P);
    2807           7 :       g = shifti(g,1);
    2808           7 :       if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
    2809             :       { /* it's 4 */
    2810           7 :         P = elladd(E, P,P);
    2811           7 :         d = Q_denom(P);
    2812           7 :         g = shifti(g,1);
    2813             :       }
    2814             :     } else {
    2815           7 :       if (absequaliu(c, 4)) c = gen_2;
    2816           7 :       P = ellmul(E, P, c);
    2817           7 :       d = Q_denom(P);
    2818           7 :       g = mulii(g, c);
    2819             :     }
    2820             :   }
    2821         217 :   if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
    2822         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
    2823             : }
    2824             : 
    2825             : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
    2826             :  * notation (Duke 1991)*/
    2827             : static GEN
    2828        7434 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
    2829             : {
    2830             :   hashentry *h;
    2831             :   GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
    2832             :   ulong m4;
    2833        7434 :   if (abscmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
    2834             :   {
    2835         322 :     case 0: return gen_0;
    2836         882 :     case 1: return gen_1;
    2837        1064 :     case 2: return subiu(N,1);
    2838        1330 :     case 3: return b8;
    2839        1386 :     case 4: return g4;
    2840             :   }
    2841        2450 :   if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
    2842        1260 :   m4 = mod4(m);
    2843        1260 :   n = shifti(m, -1); f   = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
    2844        1260 :   np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
    2845        1260 :   np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
    2846        1260 :   nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
    2847        1260 :   nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
    2848        1260 :   if (odd(m4))
    2849             :   {
    2850         770 :     GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
    2851         770 :     GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
    2852         770 :     if (mpodd(n))
    2853         322 :       z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
    2854             :     else
    2855         448 :       z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
    2856             :   }
    2857             :   else
    2858             :   {
    2859         490 :     GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
    2860         490 :     GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
    2861         490 :     z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
    2862             :   }
    2863        1260 :   hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
    2864        1260 :   return z;
    2865             : }
    2866             : 
    2867             : static GEN
    2868        1134 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
    2869             : static GEN
    2870         756 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
    2871             : static GEN
    2872         378 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
    2873             : 
    2874             : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
    2875             :  * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
    2876             :  * [num,den] (coprime) */
    2877             : static GEN
    2878         378 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
    2879             : {
    2880         378 :   pari_sp av = avma;
    2881         378 :   ulong k = expi(m);
    2882         378 :   hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
    2883             :                                       (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
    2884         378 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
    2885         378 :   GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
    2886             :   GEN B4, B6, B8, T, g4;
    2887         378 :   GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
    2888         378 :   GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
    2889         378 :   GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
    2890         378 :   GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
    2891         378 :   GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
    2892         378 :   B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
    2893             :               mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
    2894         378 :   B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
    2895             :               shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
    2896             :               b6d3);
    2897         378 :   B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd,  mulii(b4,d2));
    2898             : 
    2899         378 :   B4 = modii(B4,N);
    2900         378 :   B6 = modii(B6,N);
    2901         378 :   B8 = modii(B8,N);
    2902             : 
    2903         378 :   g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
    2904         378 :   T = Fp_sqr(B6,N);
    2905             : 
    2906         378 :   g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
    2907         378 :   gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2908         378 :   gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2909         378 :   C = Fp_sqr(g, N);
    2910         378 :   D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
    2911             : 
    2912         378 :   if(mpodd(m))
    2913             :   {
    2914         168 :     n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
    2915         168 :     d = Fp_mul(C,d, N);
    2916             :   }
    2917             :   else
    2918             :   {
    2919         210 :     n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
    2920         210 :     d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
    2921             :   }
    2922         378 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
    2923             : }
    2924             : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
    2925             :  * return t = -x/y + O(p^v) */
    2926             : static GEN
    2927         203 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
    2928             : {
    2929         203 :   GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
    2930             :   GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
    2931         203 :   if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
    2932         203 :   a1 = ell_get_a1(e);
    2933         203 :   b2 = ell_get_b2(e);
    2934         203 :   a3 = ell_get_a3(e);
    2935         203 :   b4 = ell_get_b4(e);
    2936         203 :   b6 = ell_get_b6(e);
    2937         203 :   d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
    2938         203 :   if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2939             :   /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
    2940             :    * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
    2941         203 :   d4 = Fp_sqr(d2, N);
    2942         203 :   d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
    2943         203 :   B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
    2944         203 :   C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
    2945             :                 Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
    2946             :                 Fp_mul(b6,d6,N));
    2947         203 :   C = FpX_eval(C, n, N);
    2948         203 :   if (!signe(C))
    2949           0 :     Y = zeropadic(p, v >> 1);
    2950             :   else
    2951         203 :     Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
    2952         203 :   if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2953         203 :   *pd = d;
    2954         203 :   return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
    2955             : }
    2956             : 
    2957             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2958             : static long
    2959         203 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
    2960             : {
    2961         203 :   double log2p = dbllog2(p);
    2962         203 :   long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
    2963         203 :   if (absequaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
    2964             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2965         252 :   for (j = i-1; j >= 2; j--)
    2966             :   {
    2967         252 :     if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2968          49 :     i = j;
    2969             :   }
    2970         203 :   if (j == 1)
    2971             :   {
    2972           0 :     if (- absequaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
    2973             :   }
    2974         203 :   return i;
    2975             : }
    2976             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2977             : static long
    2978           7 : log_prec(GEN p, long v, long t)
    2979             : {
    2980           7 :   double log2p = dbllog2(p);
    2981           7 :   long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
    2982             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2983          28 :   for (j = i-1; j >= 1; j--)
    2984             :   {
    2985          28 :     if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2986          21 :     i = j;
    2987             :   }
    2988           7 :   return i;
    2989             : }
    2990             : 
    2991             : static GEN
    2992         210 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
    2993             : {
    2994         210 :   *ab = NULL;
    2995         210 :   switch(typ(p))
    2996             :   {
    2997         105 :     case t_INT: break;
    2998             :     case t_VEC:
    2999         105 :       if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    3000         105 :       *ab = gel(p,2);
    3001         105 :       if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    3002         105 :       p = gel(p,1);
    3003             :   }
    3004         210 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
    3005         210 :   return p;
    3006             : }
    3007             : 
    3008             : static GEN
    3009         301 : precp_fix(GEN h, long v)
    3010         301 : { return (precp(h) > v)? cvtop(h,gel(h,2),v): h; }
    3011             : 
    3012             : GEN
    3013         217 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
    3014             : {
    3015         217 :   pari_sp av = avma;
    3016             :   GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
    3017             :   long v, vd;
    3018             :   int is2;
    3019         217 :   checkellpt(P);
    3020         217 :   if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
    3021         210 :   checkell_Q(e);
    3022         210 :   p = parse_p(p, &ab);
    3023         210 :   if (ellorder_Q(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
    3024         203 :   E = ellanal_globalred(e, &ch);
    3025         203 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    3026         203 :   S = ellnonsingularmultiple(E, P);
    3027         203 :   P = gel(S,1);
    3028         203 :   g = gel(S,2);
    3029         203 :   v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
    3030         203 :   is2 = absequaliu(p,2);
    3031         203 :   if (is2) v += 2;
    3032         203 :   x = gel(P,1);
    3033         203 :   n = numer(x);
    3034         203 :   d = denom(x);
    3035         203 :   x = mkvec2(n, d);
    3036         203 :   vd = Z_pval(d, p);
    3037         203 :   if (!vd)
    3038             :   { /* P not in kernel of reduction mod p */
    3039         189 :     GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
    3040         189 :     long w = v+2;
    3041         189 :     Pp = RgV_to_FpV(P, p);
    3042         189 :     if (Ep)
    3043         189 :       m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
    3044             :     else
    3045             :     {
    3046           0 :       m = ellcard(E, p); /* E has bad reduction at p */
    3047           0 :       if (equalii(m, p)) pari_err_TYPE("ellpadicheight: additive reduction", E);
    3048             :     }
    3049         189 :     g = mulii(g,m);
    3050             :     for(;;)
    3051             :     {
    3052         378 :       N = powiu(p, w);
    3053         378 :       X = xmP(E, x, m, N);
    3054         378 :       d = gel(X,2);
    3055         378 :       if (!signe(d))
    3056           0 :         w <<= 1;
    3057             :       else
    3058             :       {
    3059         378 :         vd = Z_pval(d, p);
    3060         378 :         if (w >= v+2*vd + is2) break;
    3061         189 :         w = v+2*vd + is2;
    3062             :       }
    3063         189 :     }
    3064         189 :     x = X;
    3065             :   }
    3066             :   /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
    3067             :    * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
    3068         203 :   v += 2*vd + is2;
    3069         203 :   N = powiu(p,v);
    3070         203 :   t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
    3071         203 :   S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
    3072         203 :   ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
    3073         203 :   lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
    3074             :   /* evaluate our formal power series at t */
    3075         203 :   H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
    3076         203 :   h = gsqr(poleval(lt, t));
    3077         203 :   g = sqri(g);
    3078         203 :   a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
    3079         203 :   b = gdiv(gneg(h), g);
    3080         203 :   if (E != e)
    3081             :   {
    3082          21 :     GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
    3083          21 :     a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
    3084          21 :     b = gmul(u,b);
    3085             :   }
    3086         203 :   H = mkvec2(a,b);
    3087         203 :   if (ab)
    3088             :   {
    3089         105 :     H = RgV_dotproduct(H, ab);
    3090         105 :     H = precp_fix(H,v0);
    3091             :   }
    3092             :   else
    3093             :   {
    3094          98 :     gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
    3095          98 :     gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
    3096             :   }
    3097         203 :   return gerepilecopy(av, H);
    3098             : }
    3099             : 
    3100             : GEN
    3101          14 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    3102             : {
    3103          14 :   pari_sp av = avma;
    3104             :   long vt;
    3105             :   GEN t, x, y, L;
    3106          14 :   checkellpt(P);
    3107          14 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
    3108          14 :   x = gel(P,1);
    3109          14 :   y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
    3110          14 :   vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
    3111          14 :   if (vt <= 0)
    3112           7 :     pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
    3113           7 :   L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
    3114           7 :   return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
    3115             : }
    3116             : 
    3117             : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
    3118             : GEN
    3119          21 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
    3120             : {
    3121          21 :   pari_sp av = avma;
    3122             :   GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
    3123             :   ulong pp;
    3124          21 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
    3125          21 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
    3126          21 :   pp = itou_or_0(p);
    3127          21 :   F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
    3128          21 :   a = gcoeff(F,1,1);
    3129          21 :   b = gcoeff(F,1,2);
    3130          21 :   d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
    3131          21 :   if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
    3132          21 :   if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
    3133           0 :     ap = ellap(E,p);
    3134             :   else
    3135             :   { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
    3136          21 :     GEN q = abscmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
    3137          21 :     ap = padic_to_Fp(ap, q);
    3138          21 :     ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
    3139             :   }
    3140          21 :   D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
    3141          21 :   if (absequaliu(p,2)) n++;
    3142          21 :   sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
    3143          21 :   l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
    3144          21 :   return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
    3145             : }
    3146             : 
    3147             : GEN
    3148         154 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
    3149             : {
    3150         154 :   pari_sp av = avma;
    3151             :   GEN t;
    3152             :   long s;
    3153             : 
    3154         154 :   checkell(e); checkellpt(z);
    3155         154 :   switch(ell_get_type(e))
    3156             :   {
    3157             :     case t_ELL_Qp:
    3158         112 :       prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3159         112 :       return ellQp_P2t(e, z, prec);
    3160           7 :     case t_ELL_Q: break;
    3161          35 :     case t_ELL_Rg: break;
    3162           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
    3163             :   }
    3164          42 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    3165          42 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    3166          42 :   s = ellR_get_sign(e);
    3167          42 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    3168           7 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    3169             :   else
    3170          35 :     t = zellcx(e,z,prec);
    3171          42 :   return gerepileupto(av,t);
    3172             : }
    3173             : 
    3174             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    3175             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    3176             : typedef struct {
    3177             :   enum period_type type;
    3178             :   GEN in; /* original input */
    3179             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    3180             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    3181             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    3182             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    3183             :   GEN x,y; /* t_INT */
    3184             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    3185             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    3186             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    3187             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    3188             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    3189             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    3190             :   long prec; /* precision(Z) */
    3191             : } ellred_t;
    3192             : 
    3193             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    3194             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    3195             : static void
    3196       23499 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    3197             : {
    3198       23499 :   GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
    3199       23499 :   pari_sp av = avma;
    3200             : 
    3201       23499 :   a = d = gen_1;
    3202       23499 :   b = c = gen_0;
    3203             :   for(;;)
    3204             :   {
    3205       45304 :     GEN m, n = ground(real_i(t));
    3206       45304 :     if (signe(n))
    3207             :     { /* apply T^n */
    3208       27537 :       t = gsub(t,n);
    3209       27537 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    3210       27537 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    3211             :     }
    3212       45304 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    3213       21805 :     t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
    3214       21805 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    3215       21805 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    3216       21805 :     if (gc_needed(av, 1)) {
    3217           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "cxredsl2");
    3218           0 :       gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
    3219             :     }
    3220       21805 :   }
    3221       23499 :   *pa = a;
    3222       23499 :   *pb = b;
    3223       23499 :   *pc = c;
    3224       23499 :   *pd = d;
    3225       23499 : }
    3226             : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    3227             :  * Set *pU to U. */
    3228             : GEN
    3229        8939 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    3230             : {
    3231        8939 :   pari_sp av = avma;
    3232             :   GEN U, a,b,c,d;
    3233        8939 :   set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
    3234        8939 :   U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    3235        8939 :   t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b), gadd(gmul(c,t), d));
    3236        8939 :   gerepileall(av, 2, &t, &U);
    3237        8939 :   *pU = U; return t;
    3238             : }
    3239             : 
    3240             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    3241             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    3242             : static void
    3243       14560 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    3244             : {
    3245             :   long s, p;
    3246       14560 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    3247       14560 :   if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    3248       14560 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    3249       14560 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    3250             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    3251       14560 :   T->swap = (s < 0);
    3252       14560 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    3253       14560 :   set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    3254             :   /* update lattice */
    3255       14560 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    3256       14560 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    3257       14560 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    3258       14560 :   if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    3259       14560 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    3260       14560 :   T->prec = p;
    3261       14560 : }
    3262             : /* is z real or pure imaginary ? */
    3263             : static void
    3264       15540 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    3265             : {
    3266       15540 :   if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
    3267       10206 :   else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
    3268       15540 : }
    3269             : static void
    3270        9912 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    3271             : {
    3272             :   long p;
    3273             :   GEN Z;
    3274        9912 :   T->abs_u_is_1 = 0;
    3275        9912 :   T->some_z_is_real = 0;
    3276        9912 :   T->some_z_is_pure_imag = 0;
    3277        9912 :   switch(typ(z))
    3278             :   {
    3279        9912 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    3280             :     case t_QUAD:
    3281           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    3282           0 :       break;
    3283           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    3284             :   }
    3285        9912 :   T->z = z;
    3286        9912 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    3287        9912 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    3288        9912 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    3289        9912 :   T->y = ground(real_i(Z));
    3290        9912 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    3291        9912 :   if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
    3292             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    3293        9912 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    3294        9912 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    3295             :   {
    3296        4851 :     int W2real = 0, W2imag = 0;
    3297        4851 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    3298        4851 :     if (W2real)
    3299         371 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    3300        4480 :     else if (W2imag)
    3301         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    3302             :   }
    3303        9912 :   p = precision(Z);
    3304        9912 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    3305          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    3306        9912 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    3307        9912 :   T->Z = Z;
    3308        9912 : }
    3309             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    3310             : static GEN
    3311        8890 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    3312             : {
    3313        8890 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    3314        8890 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    3315        8890 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    3316        8890 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    3317        4242 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    3318             : }
    3319             : /* e is either
    3320             :  * - [w1,w2]
    3321             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    3322             :  * - an ellinit structure */
    3323             : static void
    3324       14560 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    3325             : {
    3326             :   GEN w, e;
    3327       14560 :   T->q_is_real = 0;
    3328       14560 :   T->some_q_is_real = 0;
    3329       14560 :   switch(T->type)
    3330             :   {
    3331             :     case t_PER_ELL:
    3332             :     {
    3333        1050 :       long pr, p = prec;
    3334        1050 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    3335        1050 :       e = T->in;
    3336        1050 :       w = ellR_omega(e, p);
    3337        1050 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    3338        1050 :       break;
    3339             :     }
    3340             :     case t_PER_W:
    3341       13328 :       w = T->in; break;
    3342             :     default: /*t_PER_WETA*/
    3343         182 :       w = gel(T->in,1); break;
    3344             :   }
    3345       14560 :   T->w1 = gel(w,1);
    3346       14560 :   T->w2 = gel(w,2);
    3347       14560 :   red_modSL2(T, prec);
    3348       14560 :   if (z) reduce_z(z, T);
    3349       14560 : }
    3350             : static int
    3351       14567 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    3352             : {
    3353             :   GEN w1;
    3354       14567 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    3355       14567 :   T->in = e;
    3356       14567 :   switch(lg(e))
    3357             :   {
    3358             :     case 17:
    3359        1057 :       T->type = t_PER_ELL;
    3360        1057 :       break;
    3361             :     case 3:
    3362       13510 :       w1 = gel(e,1);
    3363       13510 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    3364       13328 :         T->type = t_PER_W;
    3365             :       else
    3366             :       {
    3367         182 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    3368         182 :         T->type = t_PER_WETA;
    3369             :       }
    3370       13510 :       break;
    3371           0 :     default: return 0;
    3372             :   }
    3373       14567 :   return 1;
    3374             : }
    3375             : static int
    3376       14483 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    3377             : {
    3378       14483 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    3379       14483 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    3380             : }
    3381             : 
    3382             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    3383             : static GEN
    3384        9002 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    3385             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    3386             : GEN
    3387       33586 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    3388             : 
    3389             : static GEN
    3390       13790 : check_real(GEN q)
    3391       13790 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
    3392             : 
    3393             : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
    3394             : static GEN
    3395       13545 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
    3396             : {
    3397             :   pari_sp av;
    3398             :   GEN p1, q, y, qn;
    3399       13545 :   long n = 1;
    3400             : 
    3401       13545 :   if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
    3402         245 :   q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
    3403         245 :   q = check_real(q);
    3404         245 :   y = gen_0;
    3405         245 :   av = avma; qn = gen_1;
    3406        2164 :   for(;; n++)
    3407             :   { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
    3408        2409 :     qn = gmul(q,qn);
    3409        2409 :     p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
    3410        2409 :     if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3411        2164 :     y = gadd(y, p1);
    3412        2164 :     if (gc_needed(av,2))
    3413             :     {
    3414           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
    3415           0 :       gerepileall(av, 2, &y,&qn);
    3416             :     }
    3417        2164 :   }
    3418         245 :   return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
    3419             : }
    3420             : 
    3421             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    3422             : static GEN
    3423       13545 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    3424             : {
    3425       13545 :   GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
    3426       13545 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    3427       13545 :   return check_real(y);
    3428             : }
    3429             : 
    3430             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    3431             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    3432             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    3433             : GEN
    3434        4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    3435             : {
    3436        4438 :   pari_sp av = avma;
    3437             :   GEN y;
    3438             :   ellred_t T;
    3439             : 
    3440        4438 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    3441        4438 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    3442        4438 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    3443        4438 :   y = _elleisnum(&T, k);
    3444        4438 :   if (k==2 && signe(T.c))
    3445        4011 :   {
    3446        4011 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    3447        4011 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    3448             :   }
    3449         427 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    3450         406 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    3451        4438 :   return gerepileupto(av,y);
    3452             : }
    3453             : 
    3454             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    3455             : static GEN
    3456        8925 : _elleta(ellred_t *T)
    3457             : {
    3458        8925 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
    3459        8925 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    3460        8925 :   y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
    3461        8925 :   retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
    3462             : }
    3463             : 
    3464             : /* compute eta1, eta2 */
    3465             : GEN
    3466          84 : elleta(GEN om, long prec)
    3467             : {
    3468          84 :   pari_sp av = avma;
    3469             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    3470             :   ellred_t T;
    3471             : 
    3472          84 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    3473          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    3474             : 
    3475          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    3476          77 :   prec = T.prec;
    3477          77 :   pi = mppi(prec);
    3478          77 :   E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
    3479          77 :   if (signe(T.c))
    3480             :   {
    3481          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    3482             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    3483          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    3484             :   }
    3485          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    3486          77 :   if (T.swap)
    3487             :   {
    3488           7 :     y1 = y2;
    3489           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    3490             :   }
    3491             :   else
    3492          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    3493          77 :   switch(typ(T.w1))
    3494             :   {
    3495             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    3496          49 :       y1 = real_i(y1);
    3497             :   }
    3498          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    3499             : }
    3500             : GEN
    3501          42 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    3502             : {
    3503          42 :   pari_sp av = avma;
    3504             :   ellred_t T;
    3505          42 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    3506          42 :   switch(flag)
    3507             :   {
    3508           7 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    3509          35 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    3510           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    3511             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    3512             :   }
    3513             : }
    3514             : 
    3515             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    3516             : static double
    3517        9870 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    3518             : 
    3519             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    3520             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    3521             : static GEN
    3522         980 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    3523             : {
    3524             :   long toadd;
    3525         980 :   pari_sp av = avma, av1;
    3526             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    3527             :   ellred_t T;
    3528             :   int simple_case;
    3529             : 
    3530         980 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    3531         980 :   if (!T.Z) return NULL;
    3532         959 :   prec = T.prec;
    3533             : 
    3534             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    3535         959 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3536         959 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3537         959 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3538         959 :   u1 = gsubsg(1,u);
    3539         959 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    3540         959 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    3541         959 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    3542         959 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    3543         959 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3544         959 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    3545         959 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    3546         959 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3547             : 
    3548         959 :   av1 = avma; qn = q;
    3549             :   for(;;)
    3550             :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    3551             :     /* analogous formula for yp */
    3552       12476 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    3553       12476 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    3554       12476 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    3555       12476 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    3556       12476 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    3557       12476 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    3558         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    3559             :     else
    3560             :     {
    3561       12088 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    3562       12088 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    3563       12088 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    3564       12088 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    3565             :     }
    3566       12476 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    3567       12476 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    3568       12476 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    3569             : 
    3570       12476 :     qn = gmul(q,qn);
    3571       12476 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3572       11517 :     if (gc_needed(av1,1))
    3573             :     {
    3574           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    3575           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    3576             :     }
    3577       11517 :   }
    3578         959 :   if (yp)
    3579             :   {
    3580         896 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
    3581         896 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    3582             :   }
    3583             : 
    3584         959 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    3585         959 :   u2 = gsqr(u1);
    3586         959 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    3587         959 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    3588         567 :     y = real_i(y);
    3589         959 :   if (yp)
    3590             :   {
    3591         896 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    3592         896 :     if (T.some_q_is_real)
    3593             :     {
    3594         896 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    3595         378 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    3596             :     }
    3597         896 :     y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
    3598             :   }
    3599         959 :   return gerepilecopy(av, y);
    3600             : }
    3601             : static GEN
    3602         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    3603             : {
    3604             :   long i, k, l;
    3605             :   pari_sp av;
    3606         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    3607             : 
    3608         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    3609         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    3610             : 
    3611         301 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    3612         301 :   _1 = RgX_get_1(c4);
    3613         301 :   switch(PRECDL)
    3614             :   {
    3615         301 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    3616             :     case 6:
    3617         301 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    3618             :     case 4:
    3619         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    3620             :     case 2:
    3621         301 :     case 1: P[0] = _1;
    3622             :   }
    3623         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    3624         301 :   av = avma;
    3625         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    3626        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    3627             :   {
    3628         784 :     av = avma;
    3629         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    3630         784 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    3631         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    3632         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    3633         784 :     if (k % 3 == 2)
    3634         273 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    3635             :     else /* same value, more efficient */
    3636         511 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    3637         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    3638             :   }
    3639         301 :   return res;
    3640             : }
    3641             : 
    3642             : static int
    3643         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    3644             : {
    3645         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    3646             :   {
    3647             :     case 17:
    3648         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    3649         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    3650         203 :       return 1;
    3651             :     case 3:
    3652             :     {
    3653             :       ellred_t T;
    3654          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    3655          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    3656          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    3657          91 :       return 1;
    3658             :     }
    3659             :   }
    3660           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    3661           0 :   return 0;
    3662             : }
    3663             : 
    3664             : GEN
    3665          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    3666             : {
    3667             :   GEN c4, c6;
    3668          14 :   checkell(e);
    3669          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3670          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    3671             : }
    3672             : 
    3673             : GEN
    3674           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    3675           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    3676             : 
    3677             : GEN
    3678         175 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    3679             : {
    3680         175 :   pari_sp av = avma;
    3681             :   GEN y;
    3682             : 
    3683         175 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    3684         175 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3685         175 :   y = toser_i(z);
    3686         175 :   if (y)
    3687             :   {
    3688         105 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3689             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3690         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    3691         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    3692         105 :     if (gequal0(y)) {
    3693           0 :       avma = av;
    3694           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    3695           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    3696             :     }
    3697         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3698         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3699         105 :     if (!flag)
    3700         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    3701             :     else
    3702             :     {
    3703           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    3704           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    3705             :     }
    3706             :   }
    3707          70 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    3708          70 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    3709          63 :   return gerepileupto(av, y);
    3710             : }
    3711             : 
    3712             : GEN
    3713         154 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3714             : {
    3715             :   long prec;
    3716         154 :   pari_sp av = avma;
    3717         154 :   GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
    3718             :   ellred_t T;
    3719             :   int simple_case;
    3720             : 
    3721         154 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3722         154 :   y = toser_i(z);
    3723         154 :   if (y)
    3724             :   {
    3725          91 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3726             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3727          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3728          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3729          91 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3730          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3731          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3732          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3733          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3734             :   }
    3735          63 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3736          63 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3737          63 :   prec = T.prec;
    3738          63 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3739             : 
    3740          63 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3741          63 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3742          63 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3743          63 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3744             : 
    3745          63 :   y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3746          63 :   v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3747          63 :   if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3748          63 :   y = gadd(y, v);
    3749             : 
    3750          63 :   if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
    3751             :   {
    3752          49 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3753          49 :     pari_sp av1 = avma;
    3754             :     GEN qn;
    3755          49 :     for (qn = q;;)
    3756             :     { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
    3757         483 :       GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
    3758         483 :       y = gadd(y, gmul(qn,p1));
    3759         483 :       qn = gmul(q,qn);
    3760         483 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3761         434 :       if (gc_needed(av1,1))
    3762             :       {
    3763           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3764           0 :         gerepileall(av1,2, &y,&qn);
    3765             :       }
    3766         434 :     }
    3767             :   }
    3768          63 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3769          63 :   if (et) y = gadd(y,et);
    3770          63 :   if (T.some_q_is_real)
    3771             :   {
    3772          63 :     if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3773          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3774             :   }
    3775          63 :   return gerepilecopy(av, y);
    3776             : }
    3777             : 
    3778             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3779             : GEN
    3780        8967 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3781             : {
    3782             :   long toadd, prec, n;
    3783        8967 :   pari_sp av = avma, av1;
    3784             :   GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3785             :   GEN u, uhalf, urn, urninv;
    3786             :   ellred_t T;
    3787             : 
    3788        8967 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3789             : 
    3790        8967 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3791        8967 :   y = toser_i(z);
    3792        8967 :   if (y)
    3793             :   {
    3794          98 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3795             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3796          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3797          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3798          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3799          91 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3800          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3801          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3802             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3803          91 :     P = integser(serchop0(P));
    3804          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3805          91 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3806          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3807          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3808             :   }
    3809        8869 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3810        8869 :   if (!T.Z)
    3811             :   {
    3812           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3813           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3814             :   }
    3815        8862 :   prec = T.prec;
    3816        8862 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3817        8862 :   pi  = mppi(prec);
    3818             : 
    3819        8862 :   toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3820        8862 :   uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3821        8862 :   u = gsqr(uhalf);
    3822        8862 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    3823        8862 :   q = gpowgs(q8,8);
    3824        8862 :   u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
    3825        8862 :   y = gen_0;
    3826        8862 :   av1 = avma;
    3827        8862 :   qn = q; qn2 = gen_1;
    3828        8862 :   urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
    3829       58100 :   for(n=0;;n++)
    3830             :   {
    3831       58100 :     y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
    3832       58100 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3833       58100 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3834       49238 :     qn  = gmul(q,qn);
    3835       49238 :     urn = gmul(urn,u);
    3836       49238 :     urninv = gmul(urninv,uinv);
    3837       49238 :     if (gc_needed(av1,1))
    3838             :     {
    3839           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3840           0 :       gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3841             :     }
    3842       49238 :   }
    3843        8862 :   y = gmul(gmul(y,q8),
    3844             :            gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3845             : 
    3846        8862 :   et = _elleta(&T);
    3847        8862 :   etnew = eta_correction(&T, et);
    3848        8862 :   zinit = gmul(T.Z,T.W2);
    3849        8862 :   etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
    3850             :                            gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
    3851        8862 :   if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
    3852        8862 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
    3853        8862 :   if (flag)
    3854             :   {
    3855        8799 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3856        8799 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
    3857             :     { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
    3858          21 :       if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
    3859             :     }
    3860             :   }
    3861             :   else
    3862             :   {
    3863          63 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3864          63 :     if (T.some_q_is_real)
    3865             :     {
    3866          63 :       if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3867          42 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3868             :     }
    3869             :   }
    3870        8862 :   return gerepilecopy(av, y);
    3871             : }
    3872             : 
    3873             : GEN
    3874         966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3875             : {
    3876         966 :   pari_sp av = avma;
    3877             :   GEN v;
    3878             : 
    3879         966 :   checkell(e);
    3880         966 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3881             :   {
    3882          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3883          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3884             :   }
    3885         910 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3886         910 :   if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
    3887         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3888         896 :   gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
    3889         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3890             : }
    3891             : 
    3892             : /********************************************************************/
    3893             : /**                                                                **/
    3894             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3895             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3896             : /**                                                                **/
    3897             : /********************************************************************/
    3898             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3899             : typedef struct {
    3900             :   long a1; /*{0,1}*/
    3901             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3902             :   long a3; /*{0,1}*/
    3903             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3904             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3905             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3906             : } ellmin_t;
    3907             : 
    3908             : /* u from [u,r,s,t] */
    3909             : static void
    3910     1170743 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3911             : {
    3912     1170743 :   M->u = u;
    3913     1170743 :   if (is_pm1(u))
    3914     1107806 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3915             :   else
    3916             :   {
    3917       62937 :     M->u2 = sqri(u);
    3918       62937 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3919       62937 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3920       62937 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3921             :   }
    3922     1170743 : }
    3923             : /* E = original curve */
    3924             : static void
    3925     1170743 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3926             : {
    3927     1170743 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3928     1170743 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3929       62937 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3930       62937 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3931             :   }
    3932     1170743 :   M->c4 = c4;
    3933     1170743 :   M->c6 = c6;
    3934     1170743 : }
    3935             : static void
    3936     1170435 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3937             : {
    3938     1170435 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3939     1170435 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3940     1170435 :   M->D = D;
    3941     1170435 : }
    3942             : static void
    3943     1170596 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3944             : {
    3945             :   long b22, b2;
    3946     1170596 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3947     1170596 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3948     1170596 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3949     1170596 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3950     1170596 : }
    3951             : static void
    3952     1170456 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3953             : {
    3954     1170456 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3955     1170456 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3956     1170456 :   if (odd(b2))
    3957             :   {
    3958      600411 :     a1 = 1;
    3959      600411 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3960             :   }
    3961             :   else
    3962             :   {
    3963      570045 :     a1 = 0;
    3964      570045 :     a2 = b2 >> 2;
    3965             :   }
    3966     1170456 :   M->a1 = a1;
    3967     1170456 :   M->a2 = a2;
    3968     1170456 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3969     1170456 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3970     1170456 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3971     1170456 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3972     1170456 : }
    3973             : static void
    3974     1170428 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3975             : {
    3976     1170428 :   min_set_u(M, u);
    3977     1170428 :   min_set_c(M, E);
    3978     1170428 :   min_set_D(M, E);
    3979     1170428 :   min_set_b(M);
    3980     1170428 :   min_set_a(M);
    3981     1170428 : }
    3982             : static GEN
    3983     1157345 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3984             : {
    3985     1157345 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3986             :   long a11, a13;
    3987     1157345 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3988     1157345 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3989     1157345 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3990     1157345 :   gel(y,4) = M->a4;
    3991     1157345 :   gel(y,5) = M->a6;
    3992     1157345 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3993     1157345 :   gel(y,7) = M->b4;
    3994     1157345 :   gel(y,8) = M->b6;
    3995     1157345 :   a11 = M->a1;
    3996     1157345 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3997     1157345 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3998             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3999     1157345 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    4000     1157345 :   gel(y,10)= M->c4;
    4001     1157345 :   gel(y,11)= M->c6;
    4002     1157345 :   gel(y,12)= M->D;
    4003     1157345 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    4004     1157345 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    4005     1157345 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    4006     1157345 :   return y;
    4007             : }
    4008             : static GEN
    4009     1170428 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    4010             : {
    4011             :   GEN r, s, t;
    4012     1170428 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    4013     1170428 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    4014     1170428 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    4015     1170428 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    4016             : }
    4017             : 
    4018             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    4019             : static long
    4020     1682730 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    4021             : {
    4022     1682730 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    4023     1682730 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    4024     1682730 :   if (!signe(c6))
    4025             :   {
    4026        2870 :     d = vD / 12;
    4027        2870 :     if (d)
    4028             :     {
    4029        1071 :       if (p == 2)
    4030             :       {
    4031         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4032         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4033         819 :         if (a) d--;
    4034             :       }
    4035        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    4036             :     }
    4037        2870 :     v6 = 12; /* +oo */
    4038             :   }
    4039             :   else
    4040             :   {
    4041     1679860 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    4042     1679860 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    4043     1679860 :     if (d) {
    4044      181146 :       if (p == 2) {
    4045      109732 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4046      109732 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4047      109732 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4048      109732 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    4049       71414 :       } else if (p == 3) {
    4050       45192 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    4051             :       }
    4052      181146 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4053             :     }
    4054             :   }
    4055     1682730 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    4056             : }
    4057             : static long
    4058      878514 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    4059             : {
    4060             :   GEN c6;
    4061             :   long d, v6, vD;
    4062      878514 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    4063           7 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4064           7 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    4065           7 :   if (!signe(c6))
    4066             :   {
    4067           0 :     d = vD / 12;
    4068           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    4069           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    4070             :   }
    4071             :   else
    4072             :   {
    4073           7 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    4074           7 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    4075           7 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4076             :   }
    4077           7 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    4078             : }
    4079             : 
    4080             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    4081             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    4082             :   in the form [f, kod, v, c].
    4083             : 
    4084             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    4085             : 
    4086             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    4087             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    4088             :     I0  -->  1
    4089             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    4090             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    4091             : 
    4092             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    4093             : 
    4094             :   * c is the Tamagawa number.
    4095             : 
    4096             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    4097             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    4098             : static GEN
    4099     1731331 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    4100             : {
    4101     1731331 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    4102     1731331 :   gel(z,1) = stoi(f);
    4103     1731331 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    4104     1731331 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    4105     1731331 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    4106             : }
    4107             : static GEN
    4108           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    4109             : {
    4110           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    4111           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    4112             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4113             : }
    4114             : 
    4115             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    4116             : static long
    4117      879375 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    4118             : 
    4119             : /* p > 3, e integral */
    4120             : static GEN
    4121      878514 : localred_p(GEN e, GEN p)
    4122             : {
    4123             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    4124      878514 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    4125             : 
    4126      878514 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4127      878514 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4128      878514 :   nuj = j_pval(e, p);
    4129      878514 :   nuD = Z_pval(D, p);
    4130      878514 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    4131      878514 :   if (!k) v = init_ch();
    4132             :   else
    4133             :   { /* model not minimal */
    4134             :     ellmin_t M;
    4135       13090 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    4136       13090 :     v = min_get_v(&M, e);
    4137       13090 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    4138             :   }
    4139             : 
    4140      878514 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    4141             :   {
    4142      760816 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    4143      760816 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    4144             :       {
    4145      392224 :         case  1: c = nuD; break;
    4146      368592 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    4147           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    4148             :       }
    4149      760816 :       break;
    4150             :     case 6:
    4151             :     {
    4152       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    4153       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    4154       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    4155       45703 :       break;
    4156             :     }
    4157           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    4158             :   }
    4159       71995 :   else switch(nuD)
    4160             :   {
    4161          14 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    4162       11676 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    4163       10339 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    4164        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    4165        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    4166        5635 :       break;
    4167       16898 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    4168       16898 :       p2 = sqri(p);
    4169             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    4170       16898 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    4171             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    4172             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    4173       16898 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    4174       16898 :       break;
    4175       11613 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    4176       11613 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    4177       11613 :       break;
    4178       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    4179        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    4180           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    4181             :   }
    4182      878514 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    4183             : }
    4184             : 
    4185             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    4186             : static ulong
    4187      888699 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    4188      888699 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    4189             : 
    4190             : static ulong
    4191     1421994 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    4192             : {
    4193     1421994 :   pari_sp av = avma;
    4194     1421994 :   ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
    4195     1421994 :   avma = av; return res;
    4196             : }
    4197             : 
    4198             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    4199             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    4200             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    4201             : static long
    4202      244307 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    4203             : {
    4204      244307 :   if (p == 2)
    4205             :   {
    4206      141099 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    4207      122367 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    4208             :   }
    4209             :   /* p = 3 */
    4210      103208 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    4211       69062 :   *mult = a * b;
    4212       69062 :   if (b == 2)
    4213       22995 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    4214             :   else
    4215       46067 :     return c ? 3 : 2;
    4216             : }
    4217             : 
    4218             : /* same for aX^2 +bX + c */
    4219             : static long
    4220      788886 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    4221             : {
    4222      788886 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    4223             :   /* p = 3 */
    4224      301077 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    4225             : }
    4226             : 
    4227             : /* p = 2 or 3 */
    4228             : static GEN
    4229      702695 : localred_23(GEN e, long p)
    4230             : {
    4231             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    4232             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    4233             :   GEN v;
    4234             : 
    4235      702695 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    4236      702695 :   if (!k) v = init_ch();
    4237             :   {
    4238             :     ellmin_t M;
    4239      702695 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    4240      702695 :     v = min_get_v(&M, e);
    4241      702695 :     e = min_to_ell(&M, e);
    4242             :   }
    4243             :   /* model is minimal */
    4244      702695 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    4245      702695 :   v = init_ch();
    4246      702695 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    4247      321650 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    4248             : 
    4249      702695 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    4250      702576 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    4251             :   {
    4252      385903 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    4253      195937 :       c = nuD;
    4254             :     else
    4255      189966 :       c = 2 - (nuD & 1);
    4256      385903 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    4257             :   }
    4258      316673 :   if (p == 2)
    4259             :   {
    4260      185787 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    4261      185787 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    4262      185787 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    4263      185787 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    4264             :   }
    4265             :   else /* p == 3 */
    4266             :   {
    4267      130886 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    4268      130886 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    4269      130886 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    4270      130886 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    4271             :   }
    4272             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    4273      316673 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    4274      316673 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    4275       22281 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    4276      294392 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    4277       27608 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    4278      266784 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    4279             :   {
    4280       22477 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    4281       11522 :       c = 3;
    4282             :     else
    4283       10955 :       c = 1;
    4284       22477 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    4285             :   }
    4286             : 
    4287      244307 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    4288       91021 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    4289             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    4290      244307 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    4291      244307 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    4292      244307 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    4293      244307 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    4294             :   {
    4295             :     case 3:
    4296       36071 :       c = a63 ? 1: 2;
    4297       36071 :       if (p == 2)
    4298       18732 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    4299             :       else {
    4300       17339 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    4301       17339 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    4302             :       }
    4303       36071 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    4304             :     case 2:
    4305             :     { /* compute nu */
    4306             :       GEN pk, pk1, p2k;
    4307             :       long al, be, ga;
    4308      130347 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    4309             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    4310      130347 :       nu = 1;
    4311      130347 :       pk  = utoipos(p2);
    4312      130347 :       p2k = utoipos(p4);
    4313             :       for(;;)
    4314             :       {
    4315      387716 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    4316      387716 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    4317      387716 :         al = 1;
    4318      387716 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    4319      323281 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    4320      323281 :         pk1 = pk;
    4321      323281 :         pk  = mului(p, pk);
    4322      323281 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    4323             : 
    4324      323281 :         al = a21;
    4325      323281 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    4326      323281 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    4327      323281 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    4328      257369 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    4329      257369 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    4330      257369 :       }
    4331      130347 :       if (p == 2)
    4332       72261 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    4333             :       else
    4334       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    4335      130347 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    4336             :     }
    4337             :     case 1:
    4338       77889 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    4339             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    4340       77889 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    4341       77889 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    4342       77889 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    4343             :       {
    4344       29743 :         if (p == 2)
    4345       20286 :           c = 3 - 2 * a64;
    4346             :         else
    4347        9457 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    4348       29743 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    4349             :       }
    4350       48146 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    4351             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    4352       48146 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    4353       28959 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    4354             : 
    4355             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    4356       19187 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    4357             :   }
    4358             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4359             : }
    4360             : 
    4361             : static GEN
    4362     1580964 : localred(GEN e, GEN p)
    4363             : {
    4364     1580964 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    4365      878514 :     return localred_p(e,p);
    4366             :   else
    4367             :   {
    4368      702450 :     long l = itos(p);
    4369      702450 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    4370      702450 :     return localred_23(e, l);
    4371             :   }
    4372             : }
    4373             : 
    4374             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    4375             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    4376             : static GEN
    4377       26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    4378             : {
    4379       26306 :   GEN b = z;
    4380             :   long i;
    4381       26306 :   if (typ(b) == t_INT)
    4382             :   {
    4383       26215 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    4384       26215 :     return shifti(negi(b),-1);
    4385             :   }
    4386         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4387             :   {
    4388         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4389             :   }
    4390          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    4391             : }
    4392             : 
    4393             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    4394             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    4395             : static GEN
    4396       13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    4397             : {
    4398       13153 :   GEN b = z;
    4399             :   long i;
    4400       13153 :   if (typ(b) == t_INT)
    4401             :   {
    4402       13104 :     long s = smodis(b,3);
    4403       13104 :     if (s)
    4404             :     {
    4405           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    4406           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    4407           0 :         b = subii(b, Jz);
    4408             :       else
    4409           0 :         b = addii(b, Jz);
    4410             :     }
    4411       13104 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    4412             :   }
    4413         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4414             :   {
    4415          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    4416          98 :     if (!s) continue;
    4417          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    4418          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    4419             :     else
    4420          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4421             :   }
    4422          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    4423             : }
    4424             : 
    4425             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    4426             : static GEN
    4427        3556 : get_piinv(GEN P)
    4428             : {
    4429        3556 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    4430        3556 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    4431        3556 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    4432             : }
    4433             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    4434             : static void
    4435      150122 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    4436             : {
    4437      150122 :   if (pr_is_inert(P))
    4438             :   {
    4439      146615 :     *pi = pr_get_p(P);
    4440      146615 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    4441             :   }
    4442             :   else
    4443             :   {
    4444        3507 :     *pv = get_piinv(P);
    4445        3507 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    4446             :   }
    4447      150122 : }
    4448             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    4449             : static GEN
    4450      241787 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    4451             : {
    4452      241787 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4453      241787 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4454      241787 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    4455             : }
    4456             : 
    4457             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    4458             : static GEN
    4459      391531 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    4460             : {
    4461      391531 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    4462      391531 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4463      391531 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    4464             : }
    4465             : 
    4466             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    4467             : 
    4468             : static GEN
    4469      216216 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    4470             : {
    4471      216216 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    4472      216216 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    4473      216216 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4474      216216 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    4475             : }
    4476             : 
    4477             : static GEN
    4478      584423 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    4479             : {
    4480      584423 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4481      584423 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    4482      584423 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    4483      584423 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    4484      584423 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    4485             : }
    4486             : 
    4487             : static GEN
    4488       15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    4489             : {
    4490       15498 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4491       15498 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    4492       15498 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    4493       15498 :   long n = 1;
    4494             :   while(1)
    4495             :   {
    4496       40166 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    4497             :     GEN gama;
    4498       40166 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4499             :     {
    4500        8064 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4501        8064 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4502             :     }
    4503       32102 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    4504       32102 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    4505       32102 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    4506       32102 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    4507       32102 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4508             :     {
    4509        7434 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4510        7434 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4511             :     }
    4512       24668 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    4513       24668 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    4514       24668 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    4515       24668 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    4516       24668 :   }
    4517             : }
    4518             : 
    4519             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    4520             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    4521             : 
    4522             : static GEN
    4523       99218 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    4524             : {
    4525             :   GEN T, p, modP;
    4526             :   long vD;
    4527             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    4528       99218 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4529       99218 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    4530       99218 :   ch = init_ch();
    4531       99218 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4532       99218 :   *ap = 0;
    4533             :   while(1)
    4534             :   {
    4535      252161 :     if (vD==0)
    4536         623 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    4537             :     else
    4538             :     {
    4539      251538 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4540      251538 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4541      251538 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    4542      251538 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    4543      251538 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    4544             :       GEN x0, y0;
    4545      251538 :       if (absequaliu(p,2))
    4546             :       {
    4547             :         GEN x02, y02;
    4548      164234 :         if (signe(a1))
    4549             :         {
    4550       30163 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    4551       30163 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    4552       30163 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    4553             :         }
    4554             :         else
    4555             :         {
    4556      134071 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    4557      134071 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    4558             :         }
    4559      164234 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    4560             :       }
    4561             :       else
    4562             :       {
    4563       87304 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    4564       87304 :         if (signe(a12))
    4565       27510 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    4566             :         else
    4567       59794 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    4568       87304 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    4569             :       }
    4570      251538 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    4571      251538 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    4572      251538 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    4573             :     }
    4574             :     /* 2 */
    4575             :     {
    4576      251538 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    4577      251538 :       if (signe(b2) != 0)
    4578             :       {
    4579       57673 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    4580       57673 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    4581       57673 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    4582       27867 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    4583             :       }
    4584             :     }
    4585             :     /* 3 */
    4586             :     {
    4587      193865 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    4588      193865 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    4589             :     }
    4590             :     /* 4 */
    4591             :     {
    4592      191177 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    4593      191177 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    4594             :     }
    4595             :     /* 5 */
    4596      187481 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    4597             :     {
    4598      187481 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    4599      187481 :       if (vb6<=2)
    4600             :       {
    4601        3367 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    4602        3367 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4603        3367 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    4604             :       }
    4605             :     }
    4606             :     /* 6 */
    4607             :     {
    4608      184114 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    4609      184114 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    4610      184114 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    4611             :       GEN po2, E, F, mr;
    4612             :       long i, lE;
    4613      184114 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    4614      184114 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    4615      184114 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    4616             :       {
    4617       69678 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    4618       69678 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    4619       69678 :         lE = lg(E);
    4620       69678 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    4621             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    4622             :           long c; /* 1 + number of roots */
    4623        4732 :           switch(lE)
    4624             :           {
    4625        1764 :             case 2: c = 1; break;
    4626        2618 :             case 3: c = 2; break;
    4627         350 :             default: c = 4; break;
    4628             :           }
    4629        4732 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    4630             :         }
    4631             :       /* 7 */
    4632       64946 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    4633       64946 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    4634       64946 :         if (!gequal0(mr))
    4635             :         { /* not so frequent */
    4636       58898 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    4637       58898 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    4638             :         }
    4639       64946 :         if (lE == 3)
    4640       15498 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    4641             :       }
    4642             :     }
    4643      163884 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    4644      163884 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    4645             :     /*  8 */
    4646      163884 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    4647             :     {
    4648        4459 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    4649        4459 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    4650             :     }
    4651             :     /*  9 */
    4652             :     {
    4653      159425 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    4654      159425 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    4655      159425 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    4656        3948 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    4657             :     }
    4658             :     /* 10 */
    4659      155477 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    4660        2534 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    4661             :     /* 11 */
    4662      152943 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    4663      152943 :     vD -= 12;
    4664      152943 :   }
    4665             : }
    4666             : 
    4667             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    4668             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    4669             : static GEN
    4670       50904 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    4671             : {
    4672       50904 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4673             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    4674             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    4675             : 
    4676       50904 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4677       50904 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4678       50904 :   D = ell_get_disc(e);
    4679       50904 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4680       50904 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    4681       50904 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    4682       50904 :   m = (vD - nuj)/12;
    4683       50904 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    4684             : 
    4685       50904 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    4686             :   else
    4687             :   { /* model not minimal */
    4688             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    4689       13153 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    4690       13153 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    4691       13153 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    4692       13153 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    4693       13153 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4694       13153 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    4695       13153 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    4696       13153 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    4697       13153 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    4698       13153 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4699       13153 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4700       13153 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4701       13153 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4702       13153 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4703       13153 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4704       13153 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4705       13153 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4706       13153 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4707             :   }
    4708             : 
    4709       50904 :   kod = 0; c = 1;
    4710             :   /* minimal at P */
    4711       50904 :   if (nuj > 0)
    4712             :   { /* v(j) < 0 */
    4713       47306 :     if (vD == nuj)
    4714             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4715       45213 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4716       45213 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4717       45213 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4718       24059 :         c = vD;/* split */
    4719             :       else
    4720       21154 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    4721             :     }
    4722             :     else
    4723             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4724             :       GEN Du;
    4725        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4726        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4727        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4728        2093 :       if(odd(vD))
    4729             :       {
    4730             :         GEN c6u;
    4731        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4732        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4733        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4734             :       }
    4735        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4736             :     }
    4737             :   }
    4738             :   else
    4739             :   { /* v(j) >= 0 */
    4740        3598 :     f = vD? 2: 0;
    4741        3598 :     switch(vD)
    4742             :     {
    4743             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4744          77 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    4745         609 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4746         490 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4747         273 :       case 4: kod = 4;
    4748         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4749         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4750         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4751         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4752         273 :         break;
    4753         791 :       case 6: kod = -1;
    4754         791 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4755         791 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4756         791 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4757         791 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4758         791 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4759         791 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4760         791 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4761         791 :         break;
    4762         609 :       case 8: kod = -4;
    4763         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4764         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4765         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4766         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4767         609 :         break;
    4768         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4769         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4770             :     }
    4771             :   }
    4772       50904 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4773             : }
    4774             : static GEN
    4775      101052 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4776             : {
    4777      101052 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4778      101052 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4779             :   {
    4780             :     long i, ap, vu;
    4781       50148 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4782       50148 :     GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4783       50148 :     gel(q,3) = v;
    4784             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4785       50148 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4786       50148 :     if (vu > 0)
    4787             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4788       49231 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4789       49231 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    4790       49231 :       if (!equali1(D))
    4791             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4792             :         GEN a;
    4793         399 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4794             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4795         399 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4796         399 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    4797         399 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    4798         399 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    4799             :       }
    4800             :     }
    4801       50148 :     for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    4802       50148 :     return q;
    4803             :   }
    4804       50904 :   return nflocalred_p(E,pr);
    4805             : }
    4806             : 
    4807             : GEN
    4808      195153 : elllocalred(GEN e, GEN p)
    4809             : {
    4810      195153 :   pari_sp av = avma;
    4811      195153 :   checkell(e);
    4812      195153 :   switch(ell_get_type(e))
    4813             :   {
    4814             :     case t_ELL_Q:
    4815       97587 :       if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
    4816           0 :         pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
    4817       97587 :       if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
    4818       97587 :       if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
    4819       97587 :       return gerepileupto(av, localred(e, p));
    4820           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
    4821             :     case t_ELL_NF:
    4822       97566 :       checkprid(p);
    4823       97566 :       return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
    4824             :   }
    4825             : }
    4826             : 
    4827             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4828             : static GEN
    4829        5222 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4830             : {
    4831        5222 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4832        5222 :   return c;
    4833             : }
    4834             : static GEN
    4835     2294915 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4836             : {
    4837     2294915 :   *pd = NULL;
    4838     2294915 :   switch(typ(c))
    4839             :   {
    4840     2288853 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4841         840 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4842             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4843        5222 :       if (nf)
    4844             :       {
    4845        5222 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4846        5222 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4847             :       }
    4848           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4849           0 :       return NULL;
    4850             :   }
    4851             : }
    4852             : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
    4853             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4854             : GEN
    4855      458983 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4856             : {
    4857      458983 :   GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
    4858             :   long i, l, k;
    4859             : 
    4860      458983 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4861      458983 :   L = cgetg(1, t_VEC);
    4862     2753898 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4863             :   {
    4864             :     GEN d;
    4865     2294915 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4866     2294915 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4867        1736 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4868             :   }
    4869             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4870      458983 :   l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
    4871         854 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4872         854 :   l = lg(L);
    4873             : 
    4874         854 :   t = gen_1;
    4875        1904 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4876             :   {
    4877        1050 :     GEN p = gel(L,k);
    4878        1050 :     long n = 0, m;
    4879        6300 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4880        5250 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4881             :       {
    4882        3276 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4883        3276 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4884        3276 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4885             :       }
    4886        1050 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4887             :   }
    4888         854 :   u = ginv(t);
    4889         854 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4890         854 :   return coordch_uinv(e, t);
    4891             : }
    4892             : GEN
    4893         196 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4894             : {
    4895         196 :   pari_sp av = avma;
    4896             :   long t;
    4897         196 :   checkell(e);
    4898         196 :   t = ell_get_type(e);
    4899         196 :   if (t != t_ELL_Q && t != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4900         196 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4901         196 :   if (!pv || !*pv)
    4902             :   {
    4903         182 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4904         182 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4905             :   }
    4906             :   else
    4907          14 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4908         196 :   return e;
    4909             : }
    4910             : 
    4911             : static long
    4912        1491 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4913             : {
    4914        1491 :   long N = 1; /* oo */
    4915        1491 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4916        1323 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4917        1491 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4918        1197 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4919        1491 :   return N;
    4920             : }
    4921             : static long
    4922        3017 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4923             : {
    4924        3017 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4925             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4926        3017 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4927             : }
    4928             : static long
    4929        1470 : cardmod2(GEN e)
    4930             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4931        1470 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4932        1470 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4933        1470 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4934        1470 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4935        1470 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4936        1470 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4937             : }
    4938             : static long
    4939        2877 : cardmod3(GEN e)
    4940             : {
    4941        2877 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4942        2877 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4943        2877 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4944        2877 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4945             : }
    4946             : 
    4947             : static ulong
    4948         112 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4949             : 
    4950             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4951             : static void
    4952          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4953             : {
    4954          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4955          28 :   min_set_c(M, E);
    4956          28 :   min_set_b(M);
    4957          28 :   min_set_a(M);
    4958          28 : }
    4959             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4960             : static void
    4961         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4962             : {
    4963         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4964         140 :   min_set_c(M, E);
    4965         140 :   min_set_b(M);
    4966         140 : }
    4967             : 
    4968             : static long
    4969      101136 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4970             : {
    4971      101136 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4972      101136 :   if (vD) /* bad reduction */
    4973             :   {
    4974             :     GEN c6;
    4975             :     long s;
    4976      100828 :     *good_red = 0;
    4977      100828 :     if (vc6) return 0;
    4978       73808 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4979       73808 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4980       73808 :     s = kroiu(c6,p);
    4981       73808 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4982       73808 :     return s;
    4983             :   }
    4984         308 :   *good_red = 1;
    4985         308 :   if (p == 2)
    4986             :   {
    4987             :     ellmin_t M;
    4988          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4989          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4990          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4991             :   }
    4992         287 :   else if (p == 3)
    4993             :   {
    4994             :     ellmin_t M;
    4995         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4996         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4997         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4998             :   }
    4999             :   else
    5000             :   {
    5001             :     ellmin_t M;
    5002         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    5003         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    5004         147 :     min_set_c(&M, E);
    5005         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    5006         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    5007             :   }
    5008             : }
    5009             : 
    5010             : static GEN
    5011       98574 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    5012             : {
    5013             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    5014             :   long vc6, vD, d;
    5015       98574 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    5016           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    5017           0 :   D = ell_get_disc(E);
    5018           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    5019           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    5020           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    5021           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    5022             :   {
    5023             :     long s;
    5024           0 :     *good_red = 0;
    5025           0 :     if (vc6) return gen_0;
    5026           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    5027           0 :     s = kronecker(c6,p);
    5028           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    5029           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    5030             :   }
    5031           0 :   *good_red = 1;
    5032           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    5033           0 :   if (d)
    5034             :   {
    5035           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    5036           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    5037           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    5038             :   }
    5039           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    5040           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    5041             : }
    5042             : 
    5043             : static GEN
    5044      115025 : doellcard(GEN E)
    5045             : {
    5046      115025 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    5047      115026 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    5048       94117 :     return FF_ellcard(E);
    5049             :   else
    5050             :   {
    5051       20909 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    5052       20909 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    5053             :   }
    5054             : }
    5055             : 
    5056             : static GEN
    5057      167685 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    5058             : {
    5059      167685 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    5060      167685 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    5061      167685 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    5062             :   {
    5063             :     long ap;
    5064       49070 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    5065       49070 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    5066       49070 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    5067         420 :     *good_red = 1;
    5068         420 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    5069         420 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    5070         420 :     card = FF_ellcard(E);
    5071             :   }
    5072             :   else
    5073             :   {
    5074      118615 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    5075      118615 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    5076      118615 :     if (vD)
    5077             :     {
    5078             :       GEN c6new;
    5079       49168 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    5080       49168 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    5081       49168 :       if (vD > 12*d)
    5082             :       { /* bad reduction */
    5083       49119 :         *good_red = 0;
    5084       98238 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    5085       43764 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    5086       43764 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    5087             :       }
    5088          49 :       if (d)
    5089             :       { /* model not minimal at P */
    5090          49 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    5091          49 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    5092          49 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    5093          49 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    5094          49 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    5095          49 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    5096             :       }
    5097             :     }
    5098       69496 :     *good_red = 1;
    5099       69496 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    5100       69496 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    5101       69496 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    5102      140455 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    5103       70959 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    5104             :   }
    5105       69916 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    5106             : }
    5107             : 
    5108             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    5109             :  * basis */
    5110             : static GEN
    5111      455490 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    5112             : {
    5113             :   GEN P;
    5114      455490 :   if (!signe(a))
    5115        1652 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    5116      453838 :   else if (!signe(b))
    5117         945 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    5118             :   else
    5119             :   {
    5120      452893 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    5121             :     long k, l;
    5122      452893 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    5123      344596 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    5124      344596 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    5125             :     /* d = gcd(A,B) */
    5126      344596 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    5127      344596 :     l = lg(P);
    5128      344596 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    5129      344596 :     P = shallowconcat1(P);
    5130      344596 :     P = ZV_sort(P);
    5131             :   }
    5132      347193 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    5133             : }
    5134             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    5135             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    5136             : static GEN
    5137      454643 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
    5138             : {
    5139             :   pari_sp av;
    5140      454643 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    5141      454643 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    5142      454643 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    5143             :   long l, k;
    5144             : 
    5145      454643 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    5146      454643 :   l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
    5147      346486 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    5148      346486 :   av = avma;
    5149      346486 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    5150      346486 :   u = gen_1;
    5151      852362 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5152             :   {
    5153      505876 :     GEN p = gel(P, k);
    5154      505876 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    5155      505876 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    5156             :     {
    5157             :       case 2:
    5158             :       {
    5159             :         long a, b;
    5160       56854 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    5161       56854 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    5162       56854 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    5163       56854 :         break;
    5164             :       }
    5165             :       case 3:
    5166        2289 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    5167        2289 :         break;
    5168             :     }
    5169      505876 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    5170      505876 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    5171             :   }
    5172      346486 :   *pDP = DP;
    5173      346486 :   return gerepileuptoint(av, u);
    5174             : }
    5175             : 
    5176             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    5177             : static GEN
    5178          28 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    5179             : {
    5180          28 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    5181          28 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    5182          28 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    5183             : 
    5184          28 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    5185          28 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    5186          28 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    5187          28 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    5188          28 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    5189          28 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    5190          28 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    5191          28 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    5192          28 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    5193          28 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    5194             : }
    5195             : 
    5196             : static GEN
    5197        2478 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    5198             : {
    5199        2478 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    5200        2478 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    5201             : }
    5202             : static GEN
    5203         847 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    5204             : {
    5205         847 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5206         847 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    5207         847 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    5208         847 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    5209             : }
    5210             : static GEN
    5211         784 : ellnf_D_primes(GEN E)
    5212             : {
    5213         784 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5214         784 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    5215         784 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    5216         784 :   long k, l = lg(P);
    5217         784 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    5218         784 :   if (!is_pm1(DZ))
    5219             :   {
    5220         693 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    5221         693 :     settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
    5222             :   }
    5223         784 :   return P;
    5224             : }
    5225             : 
    5226             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    5227             : static GEN
    5228         833 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    5229             : {
    5230             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    5231         833 :   long k, l = lg(P);
    5232         833 :   Lr = vectrunc_init(l);
    5233         833 :   Ls = vectrunc_init(l);
    5234         833 :   Lt = vectrunc_init(l);
    5235         833 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    5236         833 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    5237        4032 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5238             :   {
    5239        3199 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    5240             :     long vu;
    5241        3199 :     v = gel(q,3);
    5242        3199 :     u = gel(v,1);
    5243        3199 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    5244        3199 :     if (!vu) continue;
    5245         714 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    5246         714 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    5247         714 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    5248         714 :     vectrunc_append(L, pr);
    5249         714 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    5250             :   }
    5251         833 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    5252             : }
    5253             : static GEN
    5254         819 : ellminimalprimes(GEN E0)
    5255             : {
    5256             :   GEN E, S, nf, c4, c6, P, Q;
    5257             :   long j, k, l;
    5258             : 
    5259         819 :   if ((S = obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    5260          63 :   E = ellintegralmodel_i(E0, NULL);
    5261          63 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    5262          63 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    5263          63 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    5264          63 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    5265          63 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    5266          63 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    5267          63 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    5268         217 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    5269             :   {
    5270         154 :     GEN pr = gel(P, k);
    5271         154 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    5272         147 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    5273         147 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    5274         147 :     gel(P,j++) = pr;
    5275             :   }
    5276          63 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    5277          63 :   return obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    5278             : }
    5279             : static GEN
    5280         756 : ellminimalnormu(GEN E0)
    5281             : {
    5282         756 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    5283             :   long i, l;
    5284         756 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    5285         756 :   S = ellminimalprimes(E);
    5286         756 :   L = gel(S,1);
    5287         756 :   U = gel(S,2);
    5288         756 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    5289         756 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    5290         756 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    5291         756 :   P = factorback2(P, U);
    5292         756 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    5293         756 :   return P;
    5294             : }
    5295             : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
    5296             :  * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL), set DP = primes where the
    5297             :  * model is not locally minimal */
    5298             : static GEN
    5299          49 : bnf_get_v(GEN E)
    5300             : {
    5301          49 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    5302             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    5303             : 
    5304          49 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    5305          49 :   S = ellminimalprimes(E);
    5306          49 :   L = gel(S,1);
    5307          49 :   U = gel(S,2);
    5308          49 :   Lr = gel(S,3);
    5309          49 :   Ls = gel(S,4);
    5310          49 :   Lt = gel(S,5);
    5311          49 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    5312          49 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    5313          28 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    5314          28 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    5315          28 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    5316          28 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    5317          28 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    5318          28 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    5319          28 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    5320             : }
    5321             : 
    5322             : GEN
    5323          21 : ellminimaldisc(GEN E)
    5324             : {
    5325          21 :   pari_sp av = avma;
    5326          21 :   checkell(E);
    5327          21 :   switch(ell_get_type(E))
    5328             :   {
    5329             :     case t_ELL_Q:
    5330           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    5331           7 :       return gerepileuptoint(av, absi(ell_get_disc(E)));
    5332             :     case t_ELL_NF:
    5333             :     {
    5334          14 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5335          14 :       GEN S = ellminimalprimes(E), L, U, D;
    5336          14 :       L = gel(S,1);
    5337          14 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    5338          14 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    5339          14 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    5340             :     }
    5341           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    5342             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5343             :   }
    5344             : }
    5345             : 
    5346             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    5347             :  * ellminimalmodel(E) */
    5348             : static GEN
    5349      456183 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    5350             : {
    5351             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    5352             :   ellmin_t M;
    5353      456183 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    5354             :   {
    5355        1540 :     if (lg(S) != 2)
    5356             :     {
    5357         196 :       E = gel(S,3);
    5358         196 :       v = gel(S,2);
    5359             :     }
    5360             :     else
    5361        1344 :       v = init_ch();
    5362        1540 :     if (ptv) *ptv = v;
    5363        1540 :     return gcopy(E);
    5364             :   }
    5365      454643 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    5366      454643 :   u = get_u(e, &DP);
    5367      454643 :   min_set_all(&M, e, u);
    5368      454643 :   v = min_get_v(&M, e);
    5369      454643 :   y = min_to_ell(&M, e);
    5370      454643 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    5371      454643 :   if (is_trivial_change(v))
    5372             :   {
    5373      453530 :     v = init_ch();
    5374      453530 :     S = mkvec(DP);
    5375             :   }
    5376             :   else
    5377        1113 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    5378      454643 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    5379      454643 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    5380             : }
    5381             : 
    5382             : static GEN
    5383        1421 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5384             : {
    5385        1421 :   pari_sp av = avma;
    5386        1421 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    5387        1421 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    5388        1421 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5389        1421 :   DP = gel(S,1);
    5390        1421 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    5391        1421 :   if (!ptv)
    5392        1386 :     y = gerepilecopy(av, y);
    5393             :   else
    5394          35 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    5395        1421 :   return y;
    5396             : }
    5397             : 
    5398             : static GEN
    5399          49 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    5400             : {
    5401             :   GEN S, y, v, v2;
    5402          49 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    5403             :   {
    5404           0 :     switch(lg(S))
    5405             :     {
    5406           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    5407           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    5408           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    5409             :     }
    5410           0 :     *ptv = v;
    5411           0 :     return gcopy(E);
    5412             :   }
    5413          49 :   *ptv = NULL;
    5414          49 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    5415          49 :   v2 = bnf_get_v(y);
    5416          49 :   if (typ(v2) == t_COL)
    5417             :   {
    5418          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    5419          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    5420             :   }
    5421          28 :   y = coordch(y, v2);
    5422          28 :   gcomposev(&v, v2);
    5423          28 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    5424          28 :   y = coordch(y, v2);
    5425             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    5426          28 :   y = obj_reinit(y);
    5427          28 :   gcomposev(&v, v2);
    5428          28 :   if (is_trivial_change(v))
    5429             :   {
    5430           7 :     v = init_ch();
    5431           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    5432             :   }
    5433             :   else
    5434             :   {
    5435          21 :     v = lift_if_rational(v);
    5436          21 :     S = mkvec2(v, y);
    5437             :   }
    5438          28 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    5439          28 :   *ptv = v; return y;
    5440             : }
    5441             : static GEN
    5442          49 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5443             : {
    5444          49 :   pari_sp av = avma;
    5445          49 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    5446          49 :   if (v) /* true change of variable; v = NULL => no minimal model */
    5447             :   {
    5448          28 :     if (!is_trivial_change(v)) (void)ch_Rg(y, E, v);
    5449          28 :     obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    5450             :   }
    5451          49 :   if (!v || !ptv)
    5452          21 :     y = gerepilecopy(av, y);
    5453             :   else
    5454          28 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    5455          49 :   return y;
    5456             : }
    5457             : GEN
    5458        1477 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5459             : {
    5460        1477 :   checkell(E);
    5461        1477 :   switch(ell_get_type(E))
    5462             :   {
    5463        1421 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    5464          49 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    5465           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    5466             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5467             :   }
    5468             : }
    5469             : 
    5470             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    5471             :  * update type-dependant components.
    5472             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    5473             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    5474             :  *   N = arithmetic conductor of E
    5475             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    5476             :  *   fa = factorization of N
    5477             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    5478             : static GEN
    5479      454279 : ellQ_globalred(GEN e)
    5480             : {
    5481             :   long k, l, iN;
    5482             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    5483             : 
    5484      454279 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
    5485      454279 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5486      454279 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    5487      454279 :   D  = ell_get_disc(E);
    5488      454279 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    5489      454279 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    5490      454279 :   l = lg(P); c = gen_1;
    5491      454279 :   iN = 1;
    5492      454279 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    5493      454279 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    5494      454279 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    5495     1937656 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5496             :   {
    5497     1483377 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    5498     1483377 :     if (!signe(ex)) continue;
    5499     1483377 :     gel(NP, iN) = p;
    5500     1483377 :     gel(NE, iN) = ex;
    5501     1483377 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    5502     1483377 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    5503     1483377 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5504             :   }
    5505      454279 :   setlg(L, iN);
    5506      454279 :   setlg(NP, iN);
    5507      454279 :   setlg(NE, iN);
    5508      454279 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    5509             : }
    5510             : static GEN
    5511      464408 : ellglobalred_i(GEN E)
    5512      464408 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    5513             : 
    5514             : static GEN
    5515         784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    5516             : {
    5517             :   GEN c, L, NP, NE;
    5518         784 :   long j, k, l = lg(P);
    5519         784 :   c = gen_1;
    5520         784 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    5521         784 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    5522         784 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    5523        3878 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    5524             :   {
    5525        3094 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    5526        3094 :     ex = gel(q,1);
    5527        3094 :     if (!signe(ex)) continue;
    5528        2891 :     gel(NP, j) = p;
    5529        2891 :     gel(NE, j) = ex;
    5530        2891 :     gel(L, j) = q; j++;
    5531        2891 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5532             :   }
    5533         784 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    5534         784 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    5535             : }
    5536             : 
    5537             : static GEN
    5538         784 : ellnfglobalred(GEN E0)
    5539             : {
    5540             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    5541             :   long j, k, l;
    5542             : 
    5543         784 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    5544         784 :   if (!v) v = init_ch();
    5545         784 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    5546         784 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    5547         784 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    5548         784 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    5549         784 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    5550        6083 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    5551             :   {
    5552        5299 :     GEN p = gel(P,k);
    5553        5299 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    5554        3094 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    5555        3094 :     gel(P,j++) = p;
    5556             :   }
    5557         784 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    5558         784 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    5559         770 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    5560         784 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    5561             : }
    5562             : 
    5563             : GEN
    5564      453971 : ellglobalred(GEN E)
    5565             : {
    5566      453971 :   pari_sp av = avma;
    5567             :   GEN S, gr, v;
    5568      453971 :   checkell(E);
    5569      453971 :   switch(ell_get_type(E))
    5570             :   {
    5571           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    5572             :     case t_ELL_Q:
    5573      452942 :       gr = ellglobalred_i(E);
    5574      452942 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5575      452942 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    5576      452942 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    5577      452942 :       break;
    5578             :     case t_ELL_NF:
    5579        1029 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    5580        1029 :       break;
    5581             :   }
    5582      453971 :   return gerepilecopy(av, v);
    5583             : }
    5584             : 
    5585             : static GEN doellrootno(GEN e);
    5586             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    5587             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    5588             :  * and E (shallow insert) */
    5589             : GEN
    5590        2100 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    5591             : {
    5592        2100 :   GEN E, S, v = NULL;
    5593        2100 :   checkell_Q(e);
    5594        2100 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5595             :   {
    5596         455 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    5597         455 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5598         455 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5599             :   }
    5600        1645 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    5601        1631 :     E = e;
    5602             :   else
    5603             :   {
    5604          14 :     v = gel(S,2);
    5605          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    5606          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5607             :   }
    5608        2100 :   if (ch) *ch = v;
    5609        2100 :   S = ellglobalred_i(e);
    5610        2100 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    5611        2100 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    5612        2100 :   if (!S)
    5613             :   {
    5614         672 :     S = doellrootno(E);
    5615         672 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    5616             :   }
    5617        2100 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    5618        2100 :   return E;
    5619             : }
    5620             : 
    5621             : static GEN
    5622          35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    5623             : {
    5624          35 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5625          35 :   return (signe(ell_get_disc(e)) > 0)? shifti(tam,1): icopy(tam);
    5626             : }
    5627             : 
    5628             : static GEN
    5629         784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    5630             : {
    5631         784 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5632         784 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    5633             :   long r1, r2;
    5634         784 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    5635         784 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    5636             : }
    5637             : 
    5638             : GEN
    5639          42 : elltamagawa(GEN E)
    5640             : {
    5641          42 :   pari_sp av = avma;
    5642             :   GEN v;
    5643          42 :   checkell(E);
    5644          42 :   switch(ell_get_type(E))
    5645             :   {
    5646           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    5647          14 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    5648          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    5649             :   }
    5650          42 :   return gerepileuptoint(av, v);
    5651             : }
    5652             : 
    5653             : static GEN
    5654         931 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    5655             : {
    5656         931 :   pari_sp av = avma;
    5657         931 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5658         931 :   long r1 = nf_get_r1(nf), r2 = nf_get_r2(nf), n = r1+r2;
    5659             :   GEN Eb, e, L;
    5660             :   long i,j;
    5661         931 :   Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5662        5586 :   for(i=1;i<=5; i++)
    5663        4655 :     gel(Eb, i) = nfeltembed(nf,gel(E, i),NULL);
    5664         931 :   e = cgetg(6, t_VEC);
    5665         931 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    5666        4242 :   for(i=1; i<=n; i++)
    5667             :   {
    5668        3311 :     for(j=1;j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    5669        3311 :     gel(L,i) = ellinit_Rg(e, i<=r1, prec);
    5670             :   }
    5671         931 :   return gerepilecopy(av, L);
    5672             : }
    5673             : 
    5674             : static GEN
    5675          91 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P)
    5676             : {
    5677          91 :   pari_sp av = avma;
    5678          91 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5679          91 :   GEN Px = nfeltembed(nf, gel(P,1), NULL);
    5680          91 :   GEN Py = nfeltembed(nf, gel(P,2), NULL);
    5681          91 :   long i, l = lg(Px);
    5682          91 :   GEN L =  cgetg(l, t_VEC);
    5683          91 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    5684          91 :   return gerepilecopy(av, L);
    5685             : }
    5686             : 
    5687             : static void
    5688         840 : ellnfembed_free(GEN L)
    5689             : {
    5690         840 :   long i, l = lg(L);
    5691         840 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    5692         840 : }
    5693             : 
    5694             : static GEN
    5695          84 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    5696             : {
    5697          84 :   pari_sp av = avma;
    5698          84 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5699          84 :   long i, l = lg(V);
    5700          84 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5701          84 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    5702          84 :   ellnfembed_free(V);
    5703          84 :   return gerepilecopy(av, P);
    5704             : }
    5705             : 
    5706             : GEN
    5707          28 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5708          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    5709             : 
    5710             : GEN
    5711          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5712          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    5713             : 
    5714             : GEN
    5715          28 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5716          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    5717             : 
    5718             : static GEN
    5719         756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    5720             : {
    5721         756 :   pari_sp av = avma;
    5722         756 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellminimalnormu(E), prec);
    5723         756 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    5724        3780 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5725             :   {
    5726        3024 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5727        3024 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5728        3024 :     per = mulrr(per, pi);
    5729             :   }
    5730         756 :   ellnfembed_free(Eb);
    5731         756 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    5732             : }
    5733             : static GEN
    5734         756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    5735             : {
    5736         756 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    5737         756 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    5738             : }
    5739             : 
    5740             : static GEN
    5741          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5742             : {
    5743          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5744          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5745          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5746          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5747             : }
    5748             : 
    5749             : static GEN
    5750          21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5751             : {
    5752          21 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5753          21 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5754          21 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5755          21 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5756          21 :   if (lg(S) != 2)
    5757             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5758          14 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5759          14 :     per = gmul(per,u);
    5760             :   }
    5761          21 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5762             : }
    5763             : 
    5764             : GEN
    5765          63 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5766             : {
    5767          63 :   pari_sp av = avma;
    5768             :   GEN v;
    5769          63 :   checkell(E);
    5770          63 :   switch(ell_get_type(E))
    5771             :   {
    5772           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5773          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5774          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5775             :   }
    5776          63 :   return gerepileupto(av, v);
    5777             : }
    5778             : 
    5779             : /********************************************************************/
    5780             : /**                                                                **/
    5781             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5782             : /**                                                                **/
    5783             : /********************************************************************/
    5784             : /* x a t_INT */
    5785             : static long
    5786        1176 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5787             : {
    5788             :   long v;
    5789             :   GEN z;
    5790        1176 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5791        1022 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5792        1022 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5793             : }
    5794             : static void
    5795         392 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5796             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5797             : {
    5798         392 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5799         392 :   pari_sp av = avma;
    5800         392 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5801         392 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5802         392 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
    5803         392 : }
    5804             : 
    5805             : static long
    5806         392 : kod_23(GEN e, long p)
    5807             : {
    5808             :   GEN S, nv;
    5809         392 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5810             :   {
    5811         378 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5812         378 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5813             :   }
    5814             :   else
    5815          14 :     nv = localred_23(e, p);
    5816         392 :   return itos(gel(nv,2));
    5817             : }
    5818             : 
    5819             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5820             : static long
    5821         168 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5822             : {
    5823         168 :   if (kod > 4) return 1;
    5824         133 :   switch(kod)
    5825             :   {
    5826           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5827             :     case 2:
    5828           7 :       if (vD==4) return 1;
    5829             :       else
    5830             :       {
    5831           0 :         if (vD==7) return 3;
    5832           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5833             :       }
    5834             :     case 3:
    5835          63 :       switch(vD)
    5836             :       {
    5837          42 :         case 6: return 3;
    5838           0 :         case 8: return 4;
    5839          14 :         case 9: return 5;
    5840           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5841             :       }
    5842          35 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5843             :     case -1:
    5844           0 :       switch(vD)
    5845             :       {
    5846           0 :         case 9: return 2;
    5847           0 :         case 10: return 4;
    5848           0 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5849             :       }
    5850             :     case -2:
    5851           7 :       switch(vD)
    5852             :       {
    5853           7 :         case 12: return 2;
    5854           0 :         case 14: return 3;
    5855           0 :         default: return 1;
    5856             :       }
    5857             :     case -3:
    5858           0 :       switch(vD)
    5859             :       {
    5860           0 :         case 12: return 2;
    5861           0 :         case 14: return 3;
    5862           0 :         case 15: return 4;
    5863           0 :         default: return 1;
    5864             :       }
    5865           7 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5866          14 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5867             :     case -6:
    5868           0 :       switch(vD)
    5869             :       {
    5870           0 :         case 12: return 2;
    5871           0 :         case 13: return 3;
    5872           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5873             :       }
    5874           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5875           0 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5876             :   }
    5877             : }
    5878             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5879             : static long
    5880         182 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5881             : {
    5882         182 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5883         161 :   switch(kod)
    5884             :   {
    5885          98 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5886          21 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5887             :     case -4: case 2:
    5888          35 :       switch (vD%6)
    5889             :       {
    5890           0 :         case 4: return 3;
    5891           0 :         case 5: return 4;
    5892          35 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5893             :       }
    5894             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5895           7 :       switch (vD%6)
    5896             :       {
    5897           0 :         case 0: return 2;
    5898           0 :         case 1: return 3;
    5899           7 :         default: return 1;
    5900             :       }
    5901             :   }
    5902             : }
    5903             : 
    5904             : static long
    5905         168 : ellrootno_2(GEN e)
    5906             : {
    5907             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5908         168 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5909             : 
    5910         168 :   if (!vD) return 1;
    5911         168 :   if (d) { /* not minimal */
    5912             :     ellmin_t M;
    5913           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5914           7 :     min_set_D(&M, e);
    5915           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5916             :   }
    5917         168 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5918         168 :   kod = kod_23(e,2);
    5919         168 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5920         168 :   if (kod>=5)
    5921             :   {
    5922             :     long a2, a3;
    5923          35 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5924          35 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5925          35 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5926             :   }
    5927         133 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5928         133 :   x1 = u+v+v;
    5929         133 :   switch(kod)
    5930             :   {
    5931           0 :     case 1: return 1;
    5932             :     case 2:
    5933           7 :       switch(n2)
    5934             :       {
    5935             :         case 1:
    5936           7 :           switch(v4)
    5937             :           {
    5938           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5939           0 :             case 5: return 1;
    5940           0 :             default: return -1;
    5941             :           }
    5942           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5943           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5944           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5945           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5946             :       }
    5947             :     case 3:
    5948          63 :       switch(n2)
    5949             :       {
    5950           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5951           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5952          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5953          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5954           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5955          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5956             :       }
    5957             :     case -1:
    5958           0 :       switch(n2)
    5959             :       {
    5960           0 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5961           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5962           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5963           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5964           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5965             :       }
    5966           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5967             :     case -3:
    5968           0 :       switch(n2)
    5969             :       {
    5970           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5971           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5972           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5973           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5974           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5975             :       }
    5976             :     case -5:
    5977          14 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5978           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5979             :     case -6:
    5980           0 :       switch(n2)
    5981             :       {
    5982           0 :         case 1: return 1;
    5983           0 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5984           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5985             :       }
    5986             :     case -7:
    5987           0 :       if (n2==1) return 1;
    5988             :       else
    5989             :       {
    5990           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5991           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5992           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5993             :       }
    5994           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5995           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5996          42 :     default: return -1;
    5997             :   }
    5998             : }
    5999             : 
    6000             : static long
    6001         224 : ellrootno_3(GEN e)
    6002             : {
    6003             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    6004         224 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    6005             : 
    6006         224 :   if (!vD) return 1;
    6007         224 :   if (d) { /* not minimal */
    6008             :     ellmin_t M;
    6009           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    6010           0 :     min_set_a(&M);
    6011           0 :     min_set_D(&M, e);
    6012           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    6013             :   }
    6014         224 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    6015         224 :   kod = kod_23(e,3);
    6016         224 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    6017         182 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    6018         182 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    6019         182 :   switch(kod)
    6020             :   {
    6021          21 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    6022             :     case 2:
    6023           7 :       switch(n2)
    6024             :       {
    6025           7 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    6026           0 :         case 2: return -K4*K6;
    6027           0 :         case 3: return 1;
    6028           0 :         case 4: return -K6;
    6029             :       }
    6030             :     case 4:
    6031           7 :       switch(n2)
    6032             :       {
    6033           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    6034           0 :         case 2: return -K4;
    6035           0 :         case 3: return -K6;
    6036             :       }
    6037           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    6038             :     case -4:
    6039          28 :       switch(n2)
    6040             :       {
    6041             :         case 1:
    6042          28 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    6043          28 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    6044           0 :         case 2: return -K6;
    6045           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    6046           0 :         case 4: return K6;
    6047             :       }
    6048         119 :     default: return -1;
    6049             :   }
    6050             : }
    6051             : 
    6052             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    6053             : static long
    6054         861 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    6055             : {
    6056             :   long nuj, nuD, nu;
    6057         861 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    6058             :   long ep, z;
    6059             : 
    6060         861 :   nuD = Q_pval(D, p);
    6061         861 :   if (!nuD) return 1;
    6062         861 :   nuj = j_pval(e, p);
    6063         861 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    6064         861 :   if (nu == 0)
    6065             :   {
    6066             :     GEN c6;
    6067             :     long d, vg;
    6068         609 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    6069             :    /* p || N */
    6070         609 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    6071         609 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    6072         609 :     d = vg / 12;
    6073         609 :     if (d)
    6074             :     {
    6075           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    6076           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    6077             :     }
    6078         609 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    6079             :     /* c6 in minimal model */
    6080         609 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    6081             :   }
    6082         252 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    6083         224 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    6084         224 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    6085         224 :   return krosi(-z, p);
    6086             : }
    6087             : 
    6088             : static GEN
    6089         686 : doellrootno(GEN e)
    6090             : {
    6091         686 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    6092         686 :   long i, l, s = -1;
    6093             : 
    6094         686 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    6095         686 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    6096         686 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    6097         686 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    6098        1918 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6099             :   {
    6100        1232 :     GEN p = gel(P,i);
    6101             :     long t;
    6102        1232 :     switch(itou_or_0(p))
    6103             :     {
    6104         154 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    6105         224 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    6106         854 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    6107             :     }
    6108        1232 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    6109             :   }
    6110         686 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    6111             : }
    6112             : 
    6113             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    6114             :  * Global if p==1 or NULL. */
    6115             : static long
    6116          42 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    6117             : {
    6118          42 :   pari_sp av = avma;
    6119             :   GEN S;
    6120             :   long s;
    6121          42 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    6122          28 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    6123          28 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    6124             :   {
    6125           7 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    6126           7 :     long i = ZV_search(NP, p);
    6127           7 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    6128           0 :     return 1;
    6129             :   }
    6130          21 :   switch(itou_or_0(p))
    6131             :   {
    6132             :     case 2:
    6133          14 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    6134          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    6135             :     case 3:
    6136           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    6137           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    6138             :     default:
    6139           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    6140             :   }
    6141          21 :   avma = av; return s;
    6142             : }
    6143             : 
    6144             : /* global root number over number field
    6145             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    6146             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    6147             :  */
    6148             : 
    6149             : static GEN
    6150         322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    6151             : {
    6152             :   long i;
    6153         322 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    6154        1932 :   for(i=1; i<=5; i++)
    6155        1610 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    6156         322 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    6157             : }
    6158             : 
    6159             : static GEN
    6160         252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    6161             : {
    6162         252 :   long v = fetch_var_higher();
    6163         252 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    6164         252 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    6165         252 :   delete_var();
    6166         252 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    6167             : }
    6168             : 
    6169             : static GEN
    6170         217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    6171             : {
    6172         217 :   pari_sp av = avma;
    6173         217 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    6174         217 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    6175         217 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    6176         217 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    6177         217 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    6178         217 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    6179         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    6180             : }
    6181             : 
    6182             : static long
    6183         252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    6184         252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    6185             : 
    6186             : static long
    6187         147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    6188             : {
    6189         147 :   pari_sp av = avma;
    6190         147 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    6191         147 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    6192             :   long v;
    6193             :   GEN F;
    6194         147 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    6195         147 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel(E));
    6196         147 :   if (lg(F)>1)
    6197             :   {
    6198          35 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    6199          35 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    6200          35 :     obj_free(Et);
    6201          35 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    6202             :   } else
    6203             :   {
    6204         112 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), 0);
    6205         112 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E), utoi(4)), 4);
    6206         112 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(0),-2), prec);
    6207         112 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    6208         112 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    6209         112 :     if (lg(F)>1)
    6210           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    6211             :     else
    6212             :     {
    6213         105 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    6214         105 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    6215         105 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    6216         105 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    6217         105 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    6218         105 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    6219         105 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    6220         105 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    6221         105 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    6222         105 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    6223         105 :       v = odd(v2+v3);
    6224             :     }
    6225             :   }
    6226         147 :   avma = av; return v ? -1: 1;
    6227             : }
    6228             : 
    6229             : static GEN
    6230         147 : doellnfrootno(GEN e)
    6231         147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    6232             : 
    6233             : long
    6234        2030 : ellrootno_global(GEN e)
    6235             : {
    6236        2030 :   pari_sp av = avma;
    6237             :   GEN S;
    6238        2030 :   switch(ell_get_type(e))
    6239             :   {
    6240             :     case t_ELL_Q:
    6241        1764 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    6242        1764 :       break;
    6243             :     case t_ELL_NF:
    6244         266 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    6245         266 :       break;
    6246             :     default:
    6247             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6248             :   }
    6249        2030 :   avma = av; return itos(S);
    6250             : }
    6251             : 
    6252             : long
    6253         140 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    6254             : {
    6255         140 :   checkell(e);
    6256         140 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    6257         140 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    6258         140 :   switch(ell_get_type(e))
    6259             :   {
    6260             :     case t_ELL_Q:
    6261          42 :       return ellQ_rootno(e, p);
    6262           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    6263             :     case t_ELL_NF:
    6264          98 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    6265          98 :       return ellrootno_global(e);
    6266             :   }
    6267             : }
    6268             : 
    6269             : /********************************************************************/
    6270             : /**                                                                **/
    6271             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    6272             : /**                                                                **/
    6273             : /********************************************************************/
    6274             : 
    6275             : /* assume p does not divide disc E */
    6276             : long
    6277      278617 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    6278             : {
    6279             :   ulong a4, a6;
    6280      278617 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    6281      277595 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    6282      276111 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    6283      276111 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    6284             : }
    6285             : 
    6286             : static void
    6287         693 : checkell_int(GEN e)
    6288             : {
    6289         693 :   checkell_Q(e);
    6290        1386 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    6291        1386 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    6292        1386 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    6293        1386 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    6294         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    6295         693 : }
    6296             : 
    6297             : long
    6298        2275 : ellQ_get_CM(GEN e)
    6299             : {
    6300        2275 :   GEN j = ell_get_j(e);
    6301        2275 :   long CM = 0;
    6302        2275 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    6303             :   {
    6304             :     case 0:
    6305         135 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    6306         135 :       break;
    6307         119 :     case 1728: CM = -4; break;
    6308          21 :     case -3375: CM = -7; break;
    6309          21 :     case  8000: CM = -8; break;
    6310          21 :     case 54000: CM = -12; break;
    6311          35 :     case -32768: CM = -11; break;
    6312          21 :     case 287496: CM = -16; break;
    6313           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    6314          21 :     case -12288000: CM = -27; break;
    6315          21 :     case  16581375: CM = -28; break;
    6316           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    6317             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    6318           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    6319           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    6320             : #endif
    6321             :   }
    6322        2275 :   return CM;
    6323             : }
    6324             : 
    6325             : /* bad reduction at p */
    6326             : static void
    6327        2506 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    6328             : {
    6329             :   ulong m, N;
    6330        2506 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    6331             :   {
    6332             :     case -1: /* non-split */
    6333         581 :       N = n/p;
    6334      408596 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6335      408015 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    6336         581 :       break;
    6337             :     case 0: /* additive */
    6338        1267 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    6339        1267 :       break;
    6340             :     case 1: /* split */
    6341         658 :       N = n/p;
    6342       92032 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6343       91374 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    6344         658 :       break;
    6345             :   }
    6346        2506 : }
    6347             : /* good reduction at p */
    6348             : static void
    6349      272681 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    6350             : {
    6351      272681 :   const long ap = an[p];
    6352             :   ulong m;
    6353      272681 :   if (p <= SQRTn) {
    6354        8118 :     ulong pk, oldpk = 1;
    6355       32390 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    6356             :     {
    6357       24272 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    6358     4263652 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    6359     4239380 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    6360             :     }
    6361             :   } else {
    6362     1520125 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    6363     1255562 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    6364             :   }
    6365      272681 : }
    6366             : static void
    6367      275187 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    6368             : {
    6369      275187 :   if (good_red)
    6370      272681 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    6371             :   else
    6372        2506 :     sievep_bad(p, an, n);
    6373      275187 : }
    6374             : 
    6375             : static long
    6376      275187 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    6377             : {
    6378      275187 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    6379        2562 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    6380             :   else /* good reduction */
    6381             :   {
    6382      272625 :     *good_red = 1;
    6383      272625 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    6384             :   }
    6385             : }
    6386             : GEN
    6387        1512 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    6388             : {
    6389             :   pari_sp av;
    6390        1512 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    6391             :   GEN an;
    6392             :   int CM;
    6393             : 
    6394        1512 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    6395        1512 :   if (n >= LGBITS)
    6396           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    6397        1512 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    6398        1512 :   SQRTn = usqrt(n);
    6399        1512 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    6400             : 
    6401        1512 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    6402        1512 :   an[1] = 1; av = avma;
    6403     2423800 :   for (p=2; p<=n; p++)
    6404             :   {
    6405             :     int good_red;
    6406     2422288 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    6407      275187 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    6408      275187 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    6409             :   }
    6410        1512 :   avma = av; return an;
    6411             : }
    6412             : 
    6413             : static GEN
    6414         854 : ellanQ(GEN e, long N)
    6415         854 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    6416             : 
    6417             : static GEN
    6418       69538 : ellnflocal(void *S, GEN p, long n)
    6419             : {
    6420       69538 :   pari_sp av = avma;
    6421       69538 :   GEN E = (GEN)S;
    6422       69538 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
    6423       69538 :   long l = lg(LP), i;
    6424      139132 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6425             :   {
    6426             :     int goodred;
    6427       69594 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    6428       69594 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    6429       69594 :     long f = pr_get_f(P);
    6430       69594 :     if (goodred)
    6431       69412 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    6432             :     else
    6433             :     {
    6434         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    6435         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    6436             :     }
    6437       69580 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    6438       69580 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    6439             :   }
    6440       69538 :   if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
    6441       37996 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv(T, n));
    6442             : }
    6443             : 
    6444             : static GEN
    6445         189 : ellnfan(GEN E, long N)
    6446             : {
    6447         189 :   return direuler_bad((void*)E, &ellnflocal, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    6448             : }
    6449             : GEN
    6450        1036 : ellan(GEN E, long N)
    6451             : {
    6452        1036 :   checkell(E);
    6453        1036 :   switch(ell_get_type(E))
    6454             :   {
    6455         847 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    6456         189 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    6457             :     default:
    6458           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    6459             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6460             :   }
    6461             : }
    6462             : 
    6463             : static GEN
    6464         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    6465             : {
    6466             :   GEN u, v, w;
    6467             :   long j;
    6468         735 :   if (e == 1) return ap;
    6469         112 :   u = ap;
    6470         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    6471         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    6472             :   {
    6473          14 :     v = u; u = w;
    6474          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    6475             :   }
    6476         112 :   return w;
    6477             : }
    6478             : 
    6479             : GEN
    6480         693 : akell(GEN e, GEN n)
    6481             : {
    6482             :   long i, j, s;
    6483         693 :   pari_sp av = avma;
    6484             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    6485             : 
    6486         693 :   checkell_int(e);
    6487         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    6488         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    6489         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    6490         693 :   D = ell_get_disc(e);
    6491         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    6492         693 :   y = gen_1;
    6493         693 :   s = 1;
    6494         693 :   if (!equalii(u, n))
    6495             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    6496         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    6497         441 :     P = gel(fa,1);
    6498         441 :     E = gel(fa,2);
    6499        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    6500             :     {
    6501         581 :       GEN p = gel(P,i);
    6502         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    6503             :       int good_red;
    6504         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    6505         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    6506         350 :       j = signe(ap);
    6507         350 :       if (!j) { avma = av; return gen_0; }
    6508         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    6509             :     }
    6510             :   }
    6511         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    6512         693 :   fa = Z_factor(u);
    6513         693 :   P = gel(fa,1);
    6514         693 :   E = gel(fa,2);
    6515        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    6516             :   { /* good reduction */
    6517         504 :     GEN p = gel(P,i);
    6518         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6519         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6520             :   }
    6521         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6522             : }
    6523             : 
    6524             : GEN
    6525        8092 : ellQ_get_N(GEN e)
    6526        8092 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6527             : void
    6528         588 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6529         588 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6530             : 
    6531             : GEN
    6532          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6533             : {
    6534          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    6535             :   ulong l, n;
    6536             :   long eps, flun;
    6537             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6538             : 
    6539          14 :   if (!A) A = gen_1;
    6540             :   else
    6541             :   {
    6542           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    6543           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6544           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6545             :   }
    6546          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
    6547          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6548          14 :   checkell_Q(e);
    6549          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6550          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    6551          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    6552          14 :   if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
    6553             : 
    6554          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    6555          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6556          14 :   cga = gmul(cg, A);
    6557          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6558          42 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
    6559          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6560          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6561          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6562          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6563          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6564          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6565          14 :   z = gen_0;
    6566          14 :   av1 = avma;
    6567        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6568             :   {
    6569        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6570        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6571        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    6572             : 
    6573        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6574        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6575        1106 :     if (flun)
    6576           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6577             :     else
    6578             :     {
    6579        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6580        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6581        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6582             :     }
    6583        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6584        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    6585             :     {
    6586           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6587           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6588             :     }
    6589             :   }
    6590          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6591             : }
    6592             : 
    6593             : /********************************************************************/
    6594             : /**                                                                **/
    6595             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6596             : /**                                                                **/
    6597             : /********************************************************************/
    6598             : 
    6599             : static GEN
    6600         329 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6601             : 
    6602             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6603             : static GEN
    6604        1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6605             : {
    6606        1106 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6607             : }
    6608             : 
    6609             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6610             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6611             : static GEN
    6612        1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6613             : {
    6614        1106 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6615        1106 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    6616             : 
    6617        1106 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6618        1106 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6619        1106 :   a = gel(ab, 1);
    6620        1106 :   b = gel(ab, 2);
    6621        1106 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6622        1106 :   x = gsub(x, e1);
    6623        1106 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6624             : 
    6625        1106 :   x_a = gsub(x, a);
    6626        1106 :   if (gsigne(a) > 0)
    6627             :   {
    6628         161 :     GEN a0 = a;
    6629         161 :     x = gsub(x, b);
    6630         161 :     a = gneg(b);
    6631         161 :     b = gsub(a0, b);
    6632             :   }
    6633        1106 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6634        1106 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6635             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6636        6049 :   for(n=0; ; n++)
    6637             :   {
    6638        6049 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6639        6049 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6640        6049 :     r = gsub(a, a0);
    6641        6049 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6642        4943 :     ab = gmul(a0, b);
    6643        4943 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6644             : 
    6645        4943 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6646        4943 :     p2 = gsqr(a);
    6647        4943 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6648        4943 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6649        4943 :   }
    6650        1106 :   if (n) {
    6651        1106 :     x = gel(V,n);
    6652        1106 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6653             :   } else {
    6654           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6655             :   }
    6656             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6657        1757 :   return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
    6658        1757 :              : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
    6659             : }
    6660             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6661             : static int
    6662        1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6663             : {
    6664        1106 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6665        1106 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6666             : }
    6667             : 
    6668             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6669             : static GEN
    6670        1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6671             : {
    6672        1106 :   pari_sp av = avma;
    6673             :   GEN h;
    6674        1106 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6675             :   {
    6676         455 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6677             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6678         455 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6679             :   }
    6680             :   else
    6681         651 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6682        1106 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6683        1106 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6684             : }
    6685             : GEN
    6686        1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6687             : 
    6688             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    6689             : 
    6690             : static GEN
    6691          28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    6692             : {
    6693          28 :   pari_sp av = avma;
    6694          28 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    6695          28 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    6696          28 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = gconj(w1);
    6697          28 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    6698          28 :   GEN D = gsub(gmul(w1, gconj(w2)),gmul(w1c, w2));
    6699          28 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, gconj(z)),gmul(w1c, z)), D);
    6700          28 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    6701          28 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    6702          28 :   GEN r = gmul2n(greal(gmul(z, eta)), -1);
    6703          28 :   GEN l = greal(ellsigma(per, z, 1, prec));
    6704          28 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    6705             : }
    6706             : 
    6707             : static GEN
    6708         217 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6709         217 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6710             : static GEN
    6711          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6712             : {
    6713          35 :   pari_sp av = avma;
    6714          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6715          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6716          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6717             : }
    6718             : GEN
    6719         126 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6720         126 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
    6721             : GEN
    6722          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6723          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6724             : 
    6725             : static GEN
    6726         245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    6727             : {
    6728             :   long v1, v2, vD, vu;
    6729         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    6730         245 :   GEN lr = nflocalred(e,pr);
    6731         245 :   GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
    6732         245 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    6733         245 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
    6734             :   GEN v;
    6735         245 :   vu = nfval(nf, u, pr);
    6736         245 :   v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
    6737         245 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    6738         245 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
    6739         245 :   if (v1<0)
    6740           7 :     vu = 0;
    6741         245 :   if (v1<=0 || v2<=0)
    6742         210 :     v = gen_0;
    6743          35 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    6744             :   {
    6745          21 :     GEN a = gdivsg(minss(2*v2,vD),mulss(2,vD));
    6746          21 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a),gdivgs(stoi(vD),2));
    6747             :   }
    6748             :   else
    6749             :   {
    6750          14 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    6751          28 :     v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? gdivgs(stoi(v2),-3):
    6752          14 :                                     gdivgs(stoi(v3),-8);
    6753             :   }
    6754         245 :   return gsubgs(v,vu);
    6755             : }
    6756             : 
    6757             : static GEN
    6758          91 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    6759             : {
    6760          91 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), disc = ell_get_disc(E);
    6761          91 :   GEN d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, gel(P,1)), 2));
    6762          91 :   GEN F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
    6763          91 :   GEN Ee = ellnfembed(E, prec);
    6764          91 :   GEN Pe = ellpointnfembed(E, P);
    6765          91 :   long i, n = lg(Ee), l = lg(F), r1 = nf_get_r1(nf);
    6766          91 :   GEN s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
    6767         224 :   for (i=1; i<=r1; i++)
    6768         133 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    6769         119 :   for (   ; i<n; i++)
    6770          28 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    6771         336 :   for (i=1; i<l; i++)
    6772             :   {
    6773         245 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
    6774         245 :     long f = pr_get_f(pr);
    6775         245 :     GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    6776         245 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
    6777             :   }
    6778          91 :   return gmul2n(s, 1);
    6779             : }
    6780             : 
    6781             : static GEN
    6782         133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    6783             : {
    6784             :   long i, lx;
    6785         133 :   pari_sp av = avma;
    6786             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6787             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6788             : 
    6789         133 :   checkell_Q(e);
    6790         133 :   checkellpt(a);
    6791         133 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    6792         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6793         126 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6794             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6795          98 :     if (lg(S) != 2)
    6796             :     {
    6797           7 :       v = gel(S,2);
    6798           7 :       e = gel(S,3);
    6799           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6800             :     }
    6801             :   }
    6802             :   else
    6803             :   {
    6804          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    6805          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6806             :   }
    6807         126 :   if (!oncurve(e,a))
    6808           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6809         119 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6810         119 :   if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
    6811         105 :   x = gel(a,1);
    6812         105 :   y = gel(a,2);
    6813         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6814         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6815         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6816         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6817         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6818             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6819             :   );
    6820         105 :   if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
    6821         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6822         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6823         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6824         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6825             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6826             :   );
    6827         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6828         105 :   D = ell_get_disc(e);
    6829         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6830         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6831         105 :   lx = lg(Lp);
    6832         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6833             :   {
    6834         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6835             :     long u, v, n, n2;
    6836         112 :     if (signe(remii(c4,p)))
    6837             :     { /* p \nmid c4 */
    6838          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    6839          35 :       if (!N) continue;
    6840          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6841          35 :       if (n > N) n = N;
    6842          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6843          35 :       v = N << 3;
    6844             :     }
    6845             :     else
    6846             :     {
    6847          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6848          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6849          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6850             :     }
    6851             :     /* z -= u log(p) / v */
    6852         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6853             :   }
    6854         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6855             : }
    6856             : 
    6857             : GEN
    6858         224 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6859             : {
    6860         224 :   checkell(e);
    6861         224 :   checkellpt(a);
    6862         224 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    6863         224 :   switch(ell_get_type(e))
    6864             :   {
    6865             :     case t_ELL_Q:
    6866         133 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6867           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6868             :     case t_ELL_NF:
    6869          91 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6870             :   }
    6871             : }
    6872             : 
    6873             : GEN
    6874          28 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6875             : {
    6876             :   GEN y, D;
    6877          28 :   long lx = lg(x), i, j;
    6878          28 :   pari_sp av = avma;
    6879             : 
    6880          28 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6881          28 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6882          28 :   y = cgetg(lx,t_MAT);
    6883         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6884             :   {
    6885          77 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6886          77 :     gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6887             :   }
    6888         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6889             :   {
    6890          77 :     gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
    6891         147 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6892             :     {
    6893          70 :       GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6894          70 :       h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
    6895          70 :       gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
    6896             :     }
    6897             :   }
    6898          28 :   return gerepilecopy(av,y);
    6899             : }
    6900             : GEN
    6901           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6902           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6903             : 
    6904             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6905             : static GEN
    6906          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6907             : {
    6908          21 :   long l = lg(P);
    6909          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6910          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
    6911             :   else
    6912             :   {
    6913           7 :     GEN y = cgetg(l, typ(P));
    6914             :     long i;
    6915           7 :     for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
    6916           7 :     return y;
    6917             :   }
    6918             : }
    6919             : static GEN
    6920           7 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6921             : {
    6922           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6923           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6924           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6925           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6926           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6927           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6928           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6929             :   {
    6930           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6931           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6932           0 :     return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
    6933             :   }
    6934           7 :   return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
    6935             : }
    6936             : GEN
    6937           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6938           7 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
    6939             : /********************************************************************/
    6940             : /**                                                                **/
    6941             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6942             : /**                                                                **/
    6943             : /********************************************************************/
    6944             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6945             : static GEN
    6946           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6947             : {
    6948           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6949           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6950           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6951             : }
    6952             : 
    6953             : GEN
    6954          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6955             : {
    6956             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6957             :   long n, m;
    6958          14 :   pari_sp av = avma;
    6959             : 
    6960          14 :   checkell_Q(e);
    6961          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6962           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6963             : 
    6964           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6965           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6966           7 :   d = ginv(gtoser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
    6967             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6968             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6969           7 :   c = gsqr(d);
    6970             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6971             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6972             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6973             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6974             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6975             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6976             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6977             :    * */
    6978           7 :   C = c+4;
    6979           7 :   X = x+4;
    6980           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6981           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6982           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6983           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6984         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6985             :   {
    6986         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6987             :     GEN s1, s2, s3;
    6988         105 :     if (n != 2)
    6989             :     {
    6990          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6991          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6992          98 :       s2 = gen_0;
    6993        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6994         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6995          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6996          98 :       s1 = gen_0;
    6997          98 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6998          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6999          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    7000             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    7001          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    7002             :     }
    7003             :     else
    7004             :     {
    7005           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    7006           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    7007           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    7008           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    7009           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    7010           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    7011           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    7012           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    7013           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    7014           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    7015             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    7016           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    7017             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    7018           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    7019             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    7020           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    7021           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    7022             :     }
    7023         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    7024             :   }
    7025           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    7026           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    7027           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    7028           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    7029           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    7030             : }
    7031             : 
    7032             : /********************************************************************/
    7033             : /**                                                                **/
    7034             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    7035             : /**                                                                **/
    7036             : /********************************************************************/
    7037             : static GEN
    7038         917 : doellff_get_o(GEN E)
    7039             : {
    7040         917 :   GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
    7041         917 :   return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
    7042             : }
    7043             : GEN
    7044        1218 : ellff_get_o(GEN E)
    7045        1218 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    7046             : 
    7047             : GEN
    7048         133 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    7049             : {
    7050         133 :   pari_sp av = avma;
    7051             :   GEN fg, r;
    7052         133 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    7053         133 :   fg = ellff_get_field(E);
    7054         133 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    7055         133 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7056          91 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    7057             :   else
    7058             :   {
    7059          42 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    7060          42 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    7061          42 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    7062          42 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    7063             :   }
    7064         133 :   return gerepileuptoint(av, r);
    7065             : }
    7066             : 
    7067             : GEN
    7068        5236 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    7069             : {
    7070             :   GEN fg;
    7071        5236 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    7072        5229 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    7073        5229 :   fg = ellff_get_field(E);
    7074        5229 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7075        4984 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    7076             :   else
    7077             :   {
    7078         245 :     pari_sp av = avma;
    7079         245 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    7080         490 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    7081         490 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    7082         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    7083             :   }
    7084             : }
    7085             : 
    7086             : GEN
    7087         294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    7088             : {
    7089             :   GEN fg;
    7090         294 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    7091         294 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    7092         294 :   fg = ellff_get_field(E);
    7093         294 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7094          91 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    7095             :   else
    7096             :   {
    7097         203 :     pari_sp av = avma;
    7098         203 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    7099         406 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    7100         406 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    7101         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    7102             :   }
    7103             : }
    7104             : 
    7105             : /* E/Q, return cardinality including the (possible) ramified point */
    7106             : static GEN
    7107     2771146 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    7108             : {
    7109     2771146 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    7110     2771146 :   if (!signe(D))
    7111             :   {
    7112       97993 :     pari_sp av = avma;
    7113       97993 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    7114       97993 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    7115             :   }
    7116     2673153 :   *good_red = 1;
    7117     2673153 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    7118     2672705 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    7119     2671312 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    7120     2671312 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    7121             : }
    7122             : 
    7123             : static GEN
    7124     3051658 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
    7125             : {
    7126             :   GEN q;
    7127     3051658 :   if (p) switch(typ(p))
    7128             :   {
    7129             :     case t_INT:
    7130     2794197 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    7131     2794190 :       break;
    7132             :     case t_VEC:
    7133       98231 :       q = get_prid(p);
    7134       98231 :       if (q) { p = q; break; }
    7135           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    7136             :   }
    7137     3051644 :   checkell(E);
    7138     3051645 :   switch(ell_get_type(E))
    7139             :   {
    7140             :     case t_ELL_Qp:
    7141          14 :       q = ellQp_get_p(E);
    7142          14 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    7143          14 :       return q;
    7144             : 
    7145             :     case t_ELL_Fp:
    7146             :     case t_ELL_Fq:
    7147      180064 :       q = ellff_get_p(E);
    7148      180064 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    7149      180063 :       return q;
    7150             :     case t_ELL_NF:
    7151             :     case t_ELL_Q:
    7152     2871568 :       if (p) return p;
    7153             :     default:
    7154          13 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    7155             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7156             :   }
    7157             : }
    7158             : 
    7159             : GEN
    7160     2921471 : ellap(GEN E, GEN p)
    7161             : {
    7162     2921471 :   pari_sp av = avma;
    7163             :   GEN q, card;
    7164             :   int goodred;
    7165     2921471 :   p = checkellp(E, p, "ellap");
    7166     2921450 :   switch(ell_get_type(E))
    7167             :   {
    7168             :   case t_ELL_Fp:
    7169          91 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    7170          91 :     break;
    7171             :   case t_ELL_Fq:
    7172       54460 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    7173       54460 :     break;
    7174             :   case t_ELL_Q:
    7175     2768829 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    7176     2768829 :     break;
    7177             :   case t_ELL_NF:
    7178       98070 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    7179             :   default:
    7180           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    7181             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7182             :   }
    7183     2823380 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    7184             : }
    7185             : 
    7186             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    7187             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    7188             : GEN
    7189          35 : ellsea(GEN E, ulong smallfact)
    7190             : {
    7191          35 :   const ulong minq = 523;
    7192          35 :   checkell_Fq(E);
    7193          35 :   switch(ell_get_type(E))
    7194             :   {
    7195             :   case t_ELL_Fp:
    7196             :     {
    7197          21 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    7198          21 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    7199          14 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    7200             :     }
    7201             :   case t_ELL_Fq:
    7202             :     {
    7203          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    7204          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    7205           0 :         return FF_ellcard(E);
    7206          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    7207             :     }
    7208             :   }
    7209             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7210             : }
    7211             : 
    7212             : GEN
    7213      158860 : ellff_get_card(GEN E)
    7214      158860 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    7215             : 
    7216             : GEN
    7217       88495 : ellcard(GEN E, GEN p)
    7218             : {
    7219       88495 :   p = checkellp(E, p, "ellcard");
    7220       88496 :   switch(ell_get_type(E))
    7221             :   {
    7222             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7223       86151 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    7224             :   case t_ELL_Q:
    7225             :     {
    7226        2317 :       pari_sp av = avma;
    7227             :       int goodred;
    7228        2317 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    7229        2317 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    7230        2317 :       return gerepileuptoint(av, N);
    7231             :     }
    7232             :   case t_ELL_NF:
    7233             :     {
    7234          21 :       pari_sp av = avma;
    7235             :       int goodred;
    7236          21 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    7237          21 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    7238          21 :       return gerepileuptoint(av, N);
    7239             :     }
    7240             :   default:
    7241           7 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    7242             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7243             :   }
    7244             : }
    7245             : 
    7246             : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
    7247             :  * d_r | ... | d_1 */
    7248             : static GEN
    7249        1764 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
    7250             : {
    7251        1764 :   pari_sp av = avma;
    7252        1764 :   if (abscmpiu(p, 3)<=0)
    7253             :   {
    7254        1246 :     ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
    7255        1246 :     long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
    7256        1246 :     long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
    7257        1246 :     if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
    7258        1169 :     if (l==2)
    7259             :     {
    7260          98 :       long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
    7261          98 :       long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
    7262          98 :       long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
    7263          98 :       switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
    7264             :       { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
    7265             :         case 18: case 29:
    7266           7 :           retmkvec(mkvec2s(1,1));
    7267             :         case 19: case 24: case 26:
    7268           7 :           retmkvec(mkvec2s(0,1));
    7269             :         case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
    7270          35 :           retmkvec(mkvec2s(1,0));
    7271             :         default:
    7272          49 :           retmkvec(mkvec2s(0,0));
    7273             :       }
    7274             :     } else
    7275             :     { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    7276        1071 :       long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
    7277        1071 :       long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
    7278        1071 :       long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
    7279        1071 :       long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
    7280             :       long x,y;
    7281        1071 :       if (r==2) /* [2,2] */
    7282          63 :         retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
    7283             :       /* cyclic, order d_1 */
    7284        1008 :       y = absequaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
    7285        1008 :       if (absequaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
    7286             :       {
    7287         189 :         long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
    7288         189 :         x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
    7289             :       }
    7290             :       else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
    7291             :       { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
    7292         819 :         if (y == 1)
    7293         630 :           x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
    7294             :         else
    7295         189 :           x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
    7296             :       }
    7297        1008 :       retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
    7298             :     }
    7299             :   }
    7300             :   else
    7301             :   {
    7302         518 :     GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
    7303         518 :     return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
    7304             :   }
    7305             : }
    7306             : 
    7307             : static GEN
    7308       22918 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
    7309             : {
    7310       22918 :   GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
    7311       22911 :   if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
    7312       22834 :   if (absequaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
    7313       22736 :   if (absequaliu(p, 3))
    7314             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    7315             :     ulong b2, b4, b6;
    7316        1071 :     if (!absequaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
    7317             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    7318             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    7319         252 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    7320         252 :     if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
    7321             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    7322         126 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    7323         126 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    7324         126 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
    7325          63 :     G = mkvec2s(2, 2); goto END;
    7326             :   } /* Now assume p > 3 */
    7327       21665 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    7328       21665 :   G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
    7329             : END:
    7330       22911 :   return mkvec2(G, m);
    7331             : }
    7332             : 
    7333             : static GEN
    7334       38850 : doellgroup(GEN E)
    7335             : {
    7336       38850 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7337       38850 :   return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
    7338             : }
    7339             : 
    7340             : GEN
    7341       39389 : ellff_get_group(GEN E)
    7342       39389 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
    7343             : 
    7344             : /* E / Fp */
    7345             : static GEN
    7346       16828 : doellgens(GEN E)
    7347             : {
    7348       16828 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7349       16828 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7350       16772 :     return FF_ellgens(E);
    7351             :   else
    7352             :   {
    7353          56 :     GEN e, Gm, F, p = fg;
    7354          56 :     e = ellff_get_a4a6(E);
    7355          56 :     Gm = ellff_get_group(E);
    7356          56 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
    7357          56 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    7358             :   }
    7359             : }
    7360             : 
    7361             : GEN
    7362       16905 : ellff_get_gens(GEN E)
    7363       16905 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    7364             : 
    7365             : GEN
    7366       22862 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    7367             : {
    7368       22862 :   pari_sp av = avma;
    7369             :   GEN G;
    7370       22862 :   p = checkellp(E,p, "ellgroup");
    7371       22862 :   if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
    7372         378 :   else                G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
    7373       22862 :   return gerepilecopy(av, gel(G,1));
    7374             : }
    7375             : 
    7376             : GEN
    7377       21329 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    7378             : {
    7379       21329 :   pari_sp av = avma;
    7380             :   GEN V;
    7381       21329 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    7382        1855 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    7383        1855 :   p = checkellp(E, p, "ellgroup");
    7384        1848 :   if (!ell_over_Fq(E))
    7385             :   { /* t_ELL_Q */
    7386        1771 :     GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
    7387        1764 :     GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
    7388        1764 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
    7389             :   }
    7390          77 :   V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
    7391          77 :   return gerepilecopy(av, V);
    7392             : }
    7393             : 
    7394             : GEN
    7395       16842 : ellgenerators(GEN E)
    7396             : {
    7397       16842 :   checkell(E);
    7398       16842 :   switch(ell_get_type(E))
    7399             :   {
    7400             :     case t_ELL_Q:
    7401           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    7402             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7403       16828 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    7404             :     default:
    7405           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    7406             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7407             :   }
    7408             : }
    7409             : 
    7410             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    7411             : static GEN
    7412       22540 : ellfromj_simple(GEN j)
    7413             : {
    7414       22540 :   pari_sp av = avma;
    7415       22540 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    7416       22540 :   GEN E = zerovec(5);
    7417       22540 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    7418       22540 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    7419             : }
    7420             : GEN
    7421       33817 : ellfromj(GEN j)
    7422             : {
    7423       33817 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    7424             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    7425       33817 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    7426             :   {
    7427             :     case 2:
    7428        3549 :       if (gequal0(j))
    7429           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    7430             :       else
    7431        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    7432             :     case 3:
    7433        7637 :       if (gequal0(j))
    7434           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7435             :       else
    7436             :       {
    7437        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    7438        7630 :         pari_sp av = avma;
    7439        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    7440        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    7441        7630 :         return E;
    7442             :       }
    7443             :   }
    7444       22631 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    7445       22603 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7446       22540 :   return ellfromj_simple(j);
    7447             : }
    7448             : 
    7449             : /********************************************************************/
    7450             : /**                                                                **/
    7451             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    7452             : /**                                                                **/
    7453             : /********************************************************************/
    7454             : 
    7455             : int
    7456      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    7457             : {
    7458      164703 :   pari_sp av = avma;
    7459             :   int res;
    7460             : 
    7461      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    7462         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    7463         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    7464         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7465      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    7466      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    7467      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    7468      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    7469      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7470             :   } else {
    7471           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    7472             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7473             :   }
    7474      164696 :   avma = av;
    7475      164696 :   return res;
    7476             : }
    7477             : 
    7478             : int
    7479      164878 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    7480             : {
    7481             :   pari_sp av;
    7482             :   GEN j;
    7483             :   int res;
    7484      164878 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    7485       16975 :   j = ell_get_j(E);
    7486       16975 :   p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
    7487       16975 :   switch(ell_get_type(E))
    7488             :   {
    7489             :   case t_ELL_Fp:
    7490             :   case t_ELL_Fq:
    7491       16800 :     return elljissupersingular(j);
    7492             :   case t_ELL_Q:
    7493          35 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    7494          14 :     av = avma;
    7495          14 :     res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
    7496          14 :     avma = av; return res;
    7497             :   case t_ELL_NF:
    7498             :     {
    7499         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    7500         140 :       av = avma;
    7501         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    7502         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    7503             :       {
    7504          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    7505           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7506             :       }
    7507             :       else
    7508         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7509         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    7510         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    7511          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7512             :       else
    7513          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7514         126 :       avma = av; return res;
    7515             :     }
    7516             :   default:
    7517           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    7518             :   }
    7519             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7520             : }
    7521             : 
    7522             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7523             : static GEN
    7524        4172 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    7525             : {
    7526             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    7527        4172 :   if (n==0) return pol_0(v);
    7528        4172 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    7529        1477 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    7530        1477 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    7531        1477 :   if (n==3)
    7532         756 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    7533             :   else
    7534             :   {
    7535         721 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    7536         721 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    7537         721 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    7538             :   }
    7539        1477 :   setvarn(res, v); return res;
    7540             : }
    7541             : 
    7542             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    7543             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7544             : static GEN
    7545        4585 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    7546             : {
    7547             :   GEN ret;
    7548        4585 :   long m = n/2;
    7549        4585 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    7550        2800 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    7551         812 :   else if (odd(n))
    7552             :   {
    7553         511 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7554             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    7555         511 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    7556             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    7557         511 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    7558         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    7559             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    7560         406 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    7561             :   }
    7562             :   else
    7563             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    7564         301 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7565             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    7566         301 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    7567             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    7568         301 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    7569             :   }
    7570        2800 :   gel(t,n) = ret;
    7571        2800 :   return ret;
    7572             : }
    7573             : 
    7574             : GEN
    7575        2464 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    7576             : {
    7577        2464 :   pari_sp av = avma;
    7578             :   GEN f, D, N;
    7579        2464 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7580        2464 :   if (v==-1) v = 0;
    7581        2464 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7582        2464 :   N = characteristic(D);
    7583        2464 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7584        2464 :   if (n<0) n = -n;
    7585        2464 :   if (n==1 || n==3)
    7586         231 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7587             :   else
    7588             :   {
    7589        2233 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7590        2233 :     setvarn(d2,v);
    7591        2233 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7592        2233 :     if (n <= 4)
    7593        1953 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7594             :     else
    7595         280 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    7596        2233 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    7597             :   }
    7598        2464 :   return gerepilecopy(av, f);
    7599             : }
    7600             : 
    7601             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    7602             : GEN
    7603         392 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    7604             : {
    7605         392 :   pari_sp av = avma;
    7606             :   GEN d2, D, N, A, B;
    7607         392 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7608         392 :   if (v==-1) v = 0;
    7609         392 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7610         392 :   N = characteristic(D);
    7611         392 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7612         392 :   if (n < 0) n = -n;
    7613         392 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7614         392 :   setvarn(d2,v);
    7615         392 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7616         392 :   if (n == 0)
    7617             :   {
    7618          21 :     A = pol_0(v);
    7619          21 :     B = pol_0(v);
    7620             :   }
    7621         371 :   else if (n == 1)
    7622             :   {
    7623           7 :     A = pol_1(v);
    7624           7 :     B = pol_x(v);
    7625             :   }
    7626         364 :   else if (n == 2)
    7627             :   {
    7628         112 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    7629         112 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    7630         112 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    7631         112 :     A = d2;
    7632             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    7633         112 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    7634         112 :     setvarn(B,v);
    7635             :   }
    7636             :   else
    7637             :   {
    7638         252 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7639         252 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7640         252 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7641         252 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7642         252 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7643         252 :     if (!odd(n))
    7644           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7645             :     else
    7646         245 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7647             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7648         252 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7649             :   }
    7650         392 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7651             : }
    7652             : 
    7653             : GEN
    7654         175 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
    7655             : {
    7656         175 :   checkell_Q(E);
    7657         175 :   return hyperellpadicfrobenius(ec_bmodel(E), p, n);
    7658             : }

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