Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 20459-9710128) Lines: 3931 4195 93.7 %
Date: 2017-04-28 05:33:48 Functions: 346 355 97.5 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      236352 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      236352 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      236034 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      236034 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      236034 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      236034 : }
      37             : static GEN
      38     2327032 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2327032 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2327032 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2327032 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2327034 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2327034 : }
      46             : static GEN
      47      108690 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48      108690 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50      108690 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52      108690 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53      108690 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54      108690 : }
      55             : static void
      56     2326906 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2326906 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2326908 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2326907 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2326908 : }
      62             : static void
      63      236034 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      236034 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      236034 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      236034 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      236034 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       18953 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       18953 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       18953 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       18953 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       18953 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         318 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         318 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         318 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         318 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         318 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       18952 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       18952 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       18954 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         318 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         318 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         318 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         318 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : void
     111      263422 : checkellpt(GEN z)
     112             : {
     113      263422 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     114      263417 :   switch(lg(z))
     115             :   {
     116      258953 :     case 3: break;
     117        4464 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     118             :     /* fall through */
     119           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     120             :   }
     121      263417 : }
     122             : void
     123       61632 : checkell5(GEN E)
     124             : {
     125       61632 :   long l = lg(E);
     126       61632 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     127       61632 : }
     128             : void
     129     3464172 : checkell(GEN E)
     130     3464172 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     131             : void
     132        1896 : checkellisog(GEN v)
     133        1896 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     134             : 
     135             : void
     136        3318 : checkell_Q(GEN E)
     137             : {
     138        3318 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     139           6 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     140        3312 : }
     141             : 
     142             : void
     143           0 : checkell_Qp(GEN E)
     144             : {
     145           0 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     146           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     147           0 : }
     148             : 
     149             : static int
     150      473614 : ell_over_Fq(GEN E)
     151             : {
     152      473614 :   long t = ell_get_type(E);
     153      473614 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     154             : }
     155             : 
     156             : void
     157      239520 : checkell_Fq(GEN E)
     158             : {
     159      239520 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
     160           6 :   pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     161      239514 : }
     162             : 
     163             : GEN
     164      154292 : ellff_get_p(GEN E)
     165             : {
     166      154292 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     167      154292 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     168             : }
     169             : 
     170             : int
     171         240 : ell_is_integral(GEN E)
     172             : {
     173         480 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     174         210 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     175         198 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     176         198 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     177         438 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     178             : }
     179             : 
     180             : static void
     181       61920 : checkcoordch(GEN z)
     182       61920 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     183             : 
     184             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     185             : GEN
     186        3252 : ec_bmodel(GEN e)
     187             : {
     188        3252 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     189        3252 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     190             : }
     191             : 
     192             : static int
     193         756 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     194             : 
     195             : static GEN
     196         774 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     197             : {
     198             :   GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
     199         774 :   long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
     200             : START:
     201         786 :   R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     202         786 :   if (s > 0)
     203             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     204         252 :     R = real_i(R);
     205         252 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     206         252 :     e1 = gel(R,1);
     207         252 :     e2 = gel(R,2);
     208         252 :     e3 = gel(R,3);
     209         252 :     d3 = subrr(e1,e2);
     210         252 :     d1 = subrr(e2,e3);
     211         252 :     d2 = subrr(e1,e3);
     212         252 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
     213             :     {
     214          12 :       prec = precdbl(prec);
     215          12 :       if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
     216          12 :       goto START;
     217             :     }
     218             :   } else {
     219         534 :     e1 = gel(R,1);
     220         534 :     e2 = gel(R,2);
     221         534 :     e3 = gel(R,3);
     222         534 :     if (s < 0)
     223             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     224         474 :       e1 = real_i(e1);
     225         474 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     226             :     }
     227         534 :     d3 = gsub(e1,e2);
     228         534 :     d1 = gsub(e2,e3);
     229         534 :     d2 = gsub(e1,e3);
     230             :   }
     231         774 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     232             : }
     233             : static GEN
     234         834 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     235             : 
     236             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     237             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     238             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     239             : GEN
     240      656904 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     241             : {
     242      656904 :   pari_sp av = avma;
     243             :   GEN z;
     244      656904 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     245      656904 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     246      656904 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     247      656904 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     248             : }
     249             : 
     250             : /* a1 x + a3 */
     251             : GEN
     252      671304 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     253             : {
     254      671304 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     255      671304 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     256      671304 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     257             : }
     258             : static GEN
     259     1003188 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     260             : {
     261     1003188 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     262     1003188 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     263     1003188 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     264             : }
     265             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     266             : static GEN
     267       13302 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     268             : {
     269       13302 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     270       13302 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     271             : }
     272             : 
     273             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     274             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     275             :  * which is the derivative of the curve equation
     276             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     277             :  * wrt x evaluated at Q */
     278             : GEN
     279        1158 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     280             : {
     281        1158 :   pari_sp av = avma;
     282        1158 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     283        1158 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     284        1158 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     285        1158 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     286        1158 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     287        1158 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     288             : }
     289             : 
     290             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     291             : GEN
     292        4692 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     293             : {
     294        4692 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     295        4692 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     296             : }
     297             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     298             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     299             :  * which is the derivative of the curve equation
     300             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     301             :  * wrt y evaluated at Q */
     302             : GEN
     303         456 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     304             : {
     305         456 :   pari_sp av = avma;
     306         456 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     307             : }
     308             : 
     309             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     310             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     311             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     312             : GEN
     313        1242 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     314             : {
     315        1242 :   pari_sp av = avma;
     316        1242 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     317        1242 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     318        1242 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     319        1242 :   GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
     320        1242 :   GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
     321        1242 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
     322             : }
     323             : 
     324             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     325             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     326             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     327             : GEN
     328        1074 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     329             : {
     330        1074 :   pari_sp av = avma;
     331        1074 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     332        1074 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     333        1074 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     334        1074 :   return gerepileupto(av, res);
     335             : }
     336             : 
     337             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     338             : GEN
     339        1314 : ellbasechar(GEN E)
     340             : {
     341        1314 :   pari_sp av = avma;
     342        1314 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     343        1314 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     344             : }
     345             : 
     346             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     347             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     348             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     349             :  * component y[16])*/
     350             : static GEN
     351      577860 : initsmall(GEN x, long n)
     352             : {
     353             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
     354      577860 :   GEN y = obj_init(15, n);
     355      577860 :   switch(lg(x))
     356             :   {
     357             :     case 1:
     358             :     case 2:
     359             :     case 4:
     360             :     case 5:
     361           6 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     362             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     363             :     case 3:
     364       11988 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     365       11988 :       a4 = gel(x,1);
     366       11988 :       a6 = gel(x,2);
     367       11988 :       b2 = gen_0;
     368       11988 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     369       11988 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     370       11988 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     371       11988 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     372       11988 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     373       11988 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     374       11988 :       break;
     375             :     default: /* l > 5 */
     376             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     377      565866 :       a1 = gel(x,1);
     378      565866 :       a2 = gel(x,2);
     379      565866 :       a3 = gel(x,3);
     380      565866 :       a4 = gel(x,4);
     381      565866 :       a6 = gel(x,5);
     382      565866 :       a11= gsqr(a1);
     383      565866 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     384      565865 :       a13= gmul(a1, a3);
     385      565865 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     386      565866 :       a33= gsqr(a3);
     387      565867 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     388      565866 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     389      565866 :       b22= gsqr(b2);
     390      565865 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     391      565867 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     392      565866 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     393             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     394      565865 :       break;
     395             :     }
     396             :   }
     397      577853 :   gel(y,1) = a1;
     398      577853 :   gel(y,2) = a2;
     399      577853 :   gel(y,3) = a3;
     400      577853 :   gel(y,4) = a4;
     401      577853 :   gel(y,5) = a6;
     402      577853 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     403      577853 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     404      577853 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     405      577853 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     406      577853 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     407      577853 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     408      577853 :   gel(y,12)= D;
     409      577853 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     410             : 
     411      571033 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     412         288 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     413         288 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     414         288 :     if (degpol(g) == 0)
     415         246 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     416             :     else
     417             :     {
     418          42 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     419          42 :       D = RgX_div(D, g);
     420          42 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     421          42 :       if (degpol(g) == 0)
     422           6 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     423             :       else
     424             :       {
     425          36 :         D = RgX_div(D, g);
     426          36 :         d = RgX_div(c4, g);
     427          36 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     428          36 :         if (degpol(g))
     429             :         {
     430          18 :           D = RgX_div(D, g);
     431          18 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     432             :         }
     433          36 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     434             :       }
     435             :     }
     436             :   }
     437             :   else
     438      570745 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     439      571033 :   gel(y,13) = j;
     440      571033 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     441             : }
     442             : 
     443             : void
     444           0 : ellprint(GEN e)
     445             : {
     446           0 :   pari_sp av = avma;
     447             :   long vx, vy;
     448             :   GEN z;
     449           0 :   checkell5(e);
     450           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     451           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     452           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     453           0 :   (void)delete_var();
     454           0 :   (void)delete_var(); avma = av;
     455           0 : }
     456             : 
     457             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     458             : static GEN
     459          60 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     460             : {
     461          60 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     462          60 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     463             : 
     464          60 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     465          60 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     466          48 :     b = mulrr(d3,d2);
     467             :   else
     468          12 :     b = cxnorm(d3);
     469          60 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     470          60 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     471          60 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     472          60 :   return mkvec2(a, b);
     473             : }
     474             : GEN
     475         834 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     476         834 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     477             : 
     478             : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
     479             :  * Let (A_n, B_n) be defined by A_1 = a1/p^v, B_1 = b1/p^v, v=v(a1)=v(a2);
     480             :  *   A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
     481             :  *   B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = square root of A_n B_n congruent to B_n
     482             :  *   R_n = p^v( A_n - B_n ) = r_{n+1}
     483             :  * Return [An,Bn,Rn]. N.B. lim An = M2(a1,b1) = M(sqrt(a1),sqrt(b1))^2 */
     484             : static GEN
     485         180 : Qp_agm2_sequence(GEN a1, GEN b1)
     486             : {
     487         180 :   GEN bp, pmod, p = gel(a1,2), q = gel(a1,3), An, Bn, Rn;
     488         180 :   long pp = precp(a1), v = valp(a1), i;
     489         180 :   int pis2 = absequaliu(p,2);
     490         180 :   a1 = gel(a1,4);
     491         180 :   b1 = gel(b1,4);
     492         180 :   if (pis2)
     493         132 :     pmod = utoipos(8);
     494             :   else
     495          48 :     pmod = p;
     496         180 :   bp = modii(b1, pmod);
     497         180 :   An = cgetg(pp+1, t_VEC); /* overestimate: rather log_2(pp) */
     498         180 :   Bn = cgetg(pp+1, t_VEC);
     499         180 :   Rn = cgetg(pp+1, t_VEC);
     500         612 :   for(i = 1;; i++)
     501             :   {
     502         612 :     GEN a = a1, b = b1, r;
     503             :     long vr;
     504         612 :     gel(An, i) = a;
     505         612 :     gel(Bn, i) = b;
     506         612 :     r = subii(a,b);
     507         792 :     if (!signe(r)) break;
     508         456 :     vr = Z_pvalrem(r,p,&r);
     509         456 :     if (vr >= pp) break;
     510         432 :     r = cvtop(r, p, pp - vr); setvalp(r, vr+v);
     511         432 :     gel(Rn, i) = r;
     512             : 
     513         432 :     b1 = Zp_sqrt(Fp_mul(a,b,q), p, pp);
     514         432 :     if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
     515         432 :     if (!equalii(modii(b1,pmod), bp)) b1 = Fp_neg(b1, q);
     516             :     /* a1 = (a+b+2sqrt(ab))/4 */
     517         432 :     if (pis2)
     518             :     {
     519         294 :       b1 = remi2n(b1, pp-1);
     520         294 :       a1 = shifti(addii(addii(a,b), shifti(b1,1)),-2);
     521         294 :       a1 = remi2n(a1, pp-2);
     522         294 :       pp -= 2;
     523             :     }
     524             :     else
     525         138 :       a1 = modii(Fp_halve(addii(Fp_halve(addii(a,b),q), b1), q), q);
     526         432 :   }
     527         180 :   setlg(An,i+1);
     528         180 :   setlg(Bn,i+1);
     529         180 :   setlg(Rn,i); return mkvec4(An, Bn, Rn, stoi(v));
     530             : }
     531             : static void
     532         258 : Qp_descending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
     533             : {
     534         258 :   GEN R = gel(AB,3);
     535         258 :   long i, n = lg(R)-1;
     536         258 :   GEN x = *ptx;
     537         258 :   if (isintzero(x))
     538             :   {
     539         180 :     i = 2;
     540         180 :     x = gmul2n(gel(R,1),-2);
     541         180 :     if (pty)
     542             :     {
     543           0 :       GEN A = gel(AB,1);
     544           0 :       if (n == 1)
     545           0 :         *pty = gmul(x, Qp_sqrt(gadd(x,gel(A,2))));
     546             :       else
     547           0 :         *pty = Qp_sqrt(gmul(gmul(x, gadd(x,gel(A,2))), gadd(x,gel(R,2))));
     548           0 :       if (!*pty) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     549             :     }
     550             :   }
     551             :   else
     552          78 :     i = 1;
     553         714 :   for (; i <= n; i++)
     554             :   {
     555         456 :     GEN r = gel(R,i), t;
     556         456 :     if (gequal0(x)) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     557         456 :     t = Qp_sqrt(gaddsg(1, gdiv(r,x))); /* = 1 (mod p) */
     558         456 :     if (!t) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     559         456 :     if (i == n)
     560             :     {
     561         222 :       GEN p = gel(r,2);
     562         222 :       long v, vx = valp(x), vr = valp(r);
     563         222 :       if (vx >= vr) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     564             :       /* last loop, take into account loss of accuracy from multiplication
     565             :        * by \prod_{j > n} sqrt(1+r_j/x_j); since vx < vr, j = n+1 is enough */
     566         222 :       v = 2*vr - vx;
     567             :       /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| + 1 bit for sqrt loss */
     568         222 :       if (absequaliu(p,2)) v -= 4;
     569             :       /* tail is 1 + O(p^v) */
     570         222 :       if (v < precp(x)) x = cvtop(x,p,v);
     571             :     }
     572             :     /* x_{n+1} = x_n  ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
     573         456 :     x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,t),-1)));
     574             :     /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
     575         456 :     if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r,gmul2n(x,2)))));
     576             :   }
     577         258 :   *ptx = x;
     578         258 : }
     579             : static void
     580          48 : Qp_ascending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
     581             : {
     582          48 :   GEN A = gel(AB,1), R = gel(AB,3), x = *ptx, p, r;
     583          48 :   long n = lg(R)-1, va = itos(gel(AB,4)), v, i;
     584             : 
     585          48 :   r = gel(R,n);
     586          48 :   v = 2*valp(r) + va;
     587          48 :   if (typ(x) == t_PADIC)
     588          30 :     v -= 2*valp(x);
     589             :   else
     590          18 :     v -= valp(gnorm(x)); /* v(x) = v(Nx) / (e*f), here ef = 2 */
     591          48 :   p = gel(r,2);
     592          48 :   if (absequaliu(p,2)) v -= 3; /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| */
     593             :   /* v = v(A[n+1] R[n+1] / x_{n+1}^2) */
     594          48 :   if (v <= 0) pari_err_PREC("Qp_ascending_Landen");
     595             :   /* v > 0 => v = v(x_oo) = ... = v(x_{n+1}) */
     596          48 :   x = gsub(x, gmul2n(r,-1));
     597          48 :   if (padicprec_relative(x) > v) x = gcvtop(x, p, v);
     598             :   /* x = x_n */
     599         132 :   for (i = n; i > 1; i--)
     600             :   {
     601          84 :     GEN ar = gmul(gel(A,i),gel(R,i)), xp;
     602          84 :     setvalp(ar, valp(ar)+va); /* A_i = A[i] * p^va */
     603             :     /* x_{i-1} = x_i + a_i r_i / x_i - r_{i-1}/2 */
     604          84 :     xp = gsub(gadd(x, gdiv(ar, x)), gmul2n(gel(R,i-1),-1));
     605             :     /* y_{i-1} = y_i (1 - a_i r_i / x^2) */
     606          84 :     if (pty) *pty = gmul(*pty, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x))));
     607          84 :     x = xp;
     608             :   }
     609          48 :   *ptx = x;
     610          48 : }
     611             : 
     612             : /* q a t_REAL*/
     613             : static long
     614          66 : real_prec(GEN q)
     615          66 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     616             : /* q a t_PADIC */
     617             : static long
     618         102 : padic_prec(GEN q)
     619         102 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     620             : 
     621             : /* check whether moduli are consistent */
     622             : static void
     623       83559 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     624       83559 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     625             : 
     626             : static int
     627       30936 : fix_nftype(GEN *pp)
     628             : {
     629       30936 :   switch(nftyp(*pp))
     630             :   {
     631       30936 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     632           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     633           0 :     default: return 0;
     634             :   }
     635       30936 :   return 1;
     636             : }
     637             : static long
     638      606666 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     639             : {
     640      606666 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     641      606669 :   GEN p = NULL;
     642      606669 :   long t = t_FRAC;
     643      606669 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     644             :   {
     645             :     case t_INT:
     646      420468 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     647        1650 :       p = *pp;
     648        1650 :       t = t_INTMOD;
     649        1650 :       break;
     650             :     case t_INTMOD:
     651           6 :       p = gel(*pp, 1);
     652           6 :       break;
     653             :     case t_REAL:
     654          18 :       e = real_prec(*pp);
     655          18 :       p = NULL;
     656          18 :       break;
     657             :     case t_PADIC:
     658          78 :       ep = padic_prec(*pp);
     659          78 :       p = gel(*pp, 2);
     660          78 :       break;
     661             :     case t_FFELT:
     662       14496 :       p = *pp;
     663       14496 :       break;
     664             :     case t_VEC:
     665       30936 :       t = t_VEC; p = *pp;
     666       30936 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     667             :     default:
     668           6 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     669           0 :       return 0;
     670             :   }
     671             :   /* Possible cases:
     672             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     673             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     674             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     675             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     676             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     677             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     678     3603251 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     679             :   {
     680     2996763 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     681     2996763 :     switch(typ(q)) {
     682             :       case t_PADIC:
     683          42 :         p2 = gel(q,2);
     684          42 :         switch(t)
     685             :         {
     686          18 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     687          12 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     688          12 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     689             :         }
     690          24 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     691          24 :         break;
     692             :       case t_INTMOD:
     693      104475 :         p2 = gel(q,1);
     694      104475 :         switch(t)
     695             :         {
     696       20927 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     697          42 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     698       83494 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     699          12 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     700             :         }
     701      104460 :         break;
     702             :       case t_FFELT:
     703      219282 :         switch(t)
     704             :         {
     705          12 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     706       82088 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     707             :           case t_FFELT:
     708      137190 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     709      137190 :             break;
     710           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     711             :         }
     712      219278 :         break;
     713             : 
     714     2672322 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     715             :       case t_REAL:
     716          48 :         switch(t)
     717             :         {
     718          30 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     719          18 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     720           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     721             :         }
     722          48 :         break;
     723             :       case t_COL:
     724             :       case t_POL:
     725             :       case t_POLMOD:
     726         582 :         if (t == t_VEC) break;
     727             :       default: /* base ring too general */
     728         138 :         return t_COMPLEX;
     729             :     }
     730             :   }
     731      606488 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     732             : }
     733             : 
     734             : static GEN
     735         282 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
     736             : {
     737             :   GEN y;
     738             :   long s;
     739         282 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     740         282 :   s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
     741         282 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     742         282 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     743         282 :   return y;
     744             : }
     745             : 
     746             : static GEN
     747          78 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     748             : {
     749             :   GEN y;
     750          78 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     751          78 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     752          78 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     753          78 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     754          78 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     755          78 :   return y;
     756             : }
     757             : 
     758             : static GEN
     759      424782 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     760             : {
     761             :   GEN y;
     762             :   long s;
     763      424782 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     764      424668 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     765      424668 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     766      424668 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     767      424668 :   return y;
     768             : }
     769             : 
     770             : /* shallow basistoalg */
     771             : static GEN
     772     1078224 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     773             : {
     774     1078224 :   switch(typ(x))
     775             :   {
     776     1077624 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     777         600 :     default: return basistoalg(nf, x);
     778             :   }
     779             : }
     780             : static GEN
     781       30948 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     782             : {
     783             :   long i, l;
     784       30948 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     785       30948 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     786       30948 :   return y;
     787             : }
     788             : 
     789             : static GEN
     790       30936 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     791             : {
     792             :   GEN y, nf;
     793       30936 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     794       30936 :   nf = checknf(p);
     795       30936 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     796       30936 :   if (!(y = initsmall(x, 3))) return NULL;
     797       30936 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     798       30936 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     799       30936 :   return y;
     800             : }
     801             : 
     802             : static GEN
     803       25097 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     804             : {
     805             :   long i;
     806             :   GEN y, disc;
     807       25097 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     808       20860 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     809        2358 :     return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
     810       18503 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     811       18507 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     812      258971 :   for(i=1;i<=13;i++)
     813      240468 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     814       18503 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     815       18502 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     816       18503 :   return y;
     817             : }
     818             : 
     819             : static GEN
     820       96685 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     821             : {
     822             :   GEN y;
     823       96685 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     824       94208 :   return FF_ellinit(y,fg);
     825             : }
     826             : 
     827             : static GEN
     828        2586 : ellnf_to_Fq(GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     829             : {
     830        2586 :   GEN nf = ellnf_get_nf(x), e = vecslice(x,1,5);
     831             :   GEN p, modP;
     832        2586 :   if (get_modpr(P))
     833             :   { /* modpr accept */
     834        2460 :     modP = P;
     835        2460 :     p = modpr_get_p(modP);
     836             :   }
     837             :   else
     838             :   { /* pr, initialize modpr */
     839         126 :     GEN d = Q_denom(e);
     840         126 :     p = pr_get_p(P);
     841         126 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     842             :   }
     843        2586 :   *pp = p;
     844        2586 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     845        2586 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     846             : }
     847             : static GEN
     848        2586 : ellinit_nf_to_Fq(GEN E, GEN P)
     849             : {
     850             :   GEN T,p;
     851        2586 :   E = ellnf_to_Fq(E, P, &p, &T);
     852        2586 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     853             : }
     854             : 
     855             : GEN
     856      577170 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     857             : {
     858      577170 :   pari_sp av = avma;
     859             :   GEN y;
     860      577170 :   switch(typ(x))
     861             :   {
     862           6 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     863             :     case t_VEC:
     864      577164 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     865      577165 :       break;
     866           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     867             :   }
     868      577172 :   if (D && get_prid(D))
     869             :   {
     870        2160 :     if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     871        2160 :     y = ellinit_nf_to_Fq(x, D);
     872        2160 :     goto END;
     873             :   }
     874      575012 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     875             :   {
     876             :   case t_PADIC:
     877          78 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     878          78 :     break;
     879             :   case t_INTMOD:
     880       22559 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     881       22559 :     break;
     882             :   case t_FFELT:
     883       96475 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     884       96476 :     break;
     885             :   case t_FRAC:
     886      424782 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     887      424776 :     break;
     888             :   case t_REAL:
     889          18 :     y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
     890          18 :     break;
     891             :   case t_VEC:
     892       30936 :     y = ellinit_nf(x, D);
     893       30936 :     break;
     894             :   default:
     895         120 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     896             :   }
     897             : END:
     898      577123 :   if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
     899      570289 :   return gerepilecopy(av,y);
     900             : }
     901             : 
     902             : /********************************************************************/
     903             : /**                                                                **/
     904             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     905             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     906             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     907             : /**  verbatim                                                      **/
     908             : /**                                                                **/
     909             : /********************************************************************/
     910             : /* [1,0,0,0] */
     911             : static GEN
     912     2797680 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     913             : static int
     914      390960 : is_trivial_change(GEN v)
     915             : {
     916             :   GEN u, r, s, t;
     917      390960 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     918      390960 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     919      390960 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     920             : }
     921             : 
     922             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     923             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     924             : static void
     925         408 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     926             : {
     927         408 :   GEN v = *vtotal;
     928             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     929             : 
     930         816 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     931         390 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     932         390 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     933         390 :   U2 = gsqr(U);
     934         390 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     935         390 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     936         390 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     937         390 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     938             : }
     939             : 
     940             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     941             : GEN
     942          18 : ellchangeinvert(GEN w)
     943             : {
     944             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     945          18 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     946          18 :   u = gel(w,1);
     947          18 :   r = gel(w,2);
     948          18 :   s = gel(w,3);
     949          18 :   t = gel(w,4);
     950          18 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     951          18 :   U = ginv(u);
     952          18 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     953          18 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     954          18 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     955          18 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     956             : }
     957             : 
     958             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     959             : static GEN
     960      192018 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
     961             : {
     962             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
     963             :   long lx;
     964      192018 :   if (gequal1(u)) return e;
     965      191544 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     966      191544 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
     967      191544 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
     968      191544 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
     969      191544 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
     970      191544 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
     971      191544 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
     972      191544 :   if (lx == 6) return y;
     973      191544 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
     974      191544 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
     975      191544 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
     976      191544 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
     977      191544 :   u12 = gsqr(u6);
     978      191544 :   D = ell_get_disc(e);
     979      191544 :   c4 = ell_get_c4(e);
     980      191544 :   c6 = ell_get_c6(e);
     981      191544 :   c4 = gmul(c4, u4);
     982      191544 :   c6 = gmul(c6, u6);
     983      191544 :   D = gmul(D, u12);
     984      191544 :   gel(y,10)= c4;
     985      191544 :   gel(y,11)= c6;
     986      191544 :   gel(y,12)= D;
     987      191544 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
     988      191544 :   gel(y,14)= gel(e,14);
     989      191544 :   gel(y,15)= gel(e,15);
     990      191544 :   gel(y,16)= gel(e,16);
     991      191544 :   return y;
     992             : }
     993             : /* apply [1,r,0,0] */
     994             : static GEN
     995      750816 : coordch_r(GEN e, GEN r)
     996             : {
     997             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     998      750816 :   if (gequal0(r)) return e;
     999      641820 :   y = leafcopy(e);
    1000      641820 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1001      641820 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1002             : 
    1003             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1004      641820 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1005             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1006      641820 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1007             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1008      641820 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1009             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1010      641820 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1011      641820 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1012             : 
    1013      641814 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1014      641814 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1015             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1016      641814 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1017      641814 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1018      641814 :   r2 = gsqr(r);
    1019             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1020      641814 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1021             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1022      641814 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1023             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1024      641814 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1025      641814 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1026      641814 :   return y;
    1027             : }
    1028             : /* apply [1,0,s,0] */
    1029             : static GEN
    1030      194760 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1031             : {
    1032             :   GEN a1, y;
    1033      194760 :   if (gequal0(s)) return e;
    1034      194760 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1035      194760 :   y = leafcopy(e);
    1036             : 
    1037             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1038      194760 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1039             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1040      194760 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1041             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1042      194760 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1043      194760 :   return y;
    1044             : }
    1045             : /* apply [1,0,0,t] */
    1046             : static GEN
    1047      509544 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1048             : {
    1049             :   GEN a1, a3, y;
    1050      509544 :   if (gequal0(t)) return e;
    1051      449358 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1052      449358 :   y = leafcopy(e);
    1053             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1054      449358 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1055             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1056      449358 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1057             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1058      449358 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1059      449358 :   return y;
    1060             : }
    1061             : /* apply [1,0,s,t] */
    1062             : static GEN
    1063      308508 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1064             : {
    1065             :   GEN y, a1, a3;
    1066      308508 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1067      221328 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1068      120192 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1069      120192 :   y = leafcopy(e);
    1070             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1071      120192 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1072             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1073      120192 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1074             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1075      120192 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1076             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1077      120192 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1078             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1079      120192 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1080      120192 :   return y;
    1081             : }
    1082             : /* apply [1,r,0,t] */
    1083             : static GEN
    1084      145638 : coordch_rt(GEN e, GEN r, GEN t)
    1085             : {
    1086      145638 :   e = coordch_r(e, r);
    1087      145638 :   return coordch_t(e, t);
    1088             : }
    1089             : /* apply [1,r,s,t] */
    1090             : static GEN
    1091      298014 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1092             : {
    1093      298014 :   e = coordch_r(e, r);
    1094      298014 :   return coordch_st(e, s, t);
    1095             : }
    1096             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1097             : static GEN
    1098       62100 : coordch(GEN e, GEN w)
    1099             : {
    1100       62100 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1101       62100 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1102       62100 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1103             : }
    1104             : 
    1105             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1106             :  * (dynamic data) */
    1107             : static GEN
    1108           6 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1109             : {
    1110           6 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1111           6 :   long prec = valp(p);
    1112           6 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1113           6 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1114             :   {
    1115           6 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1116           6 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1117             :   }
    1118           6 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1119             :   {
    1120           6 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1121           6 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1122           6 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1123           6 :     U = gmul(U, u);
    1124           6 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1125           6 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1126             :   }
    1127           6 :   return E;
    1128             : }
    1129             : 
    1130             : /* common to Q and Rg */
    1131             : static GEN
    1132       31518 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1133             : {
    1134       31518 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1135       31518 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1136          24 :     obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1137       31518 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1138          24 :     obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1139       31518 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1140             :   {
    1141          24 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1142             :     long i;
    1143          24 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1144          24 :     obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
    1145             :   }
    1146       31518 :   return E;
    1147             : }
    1148             : 
    1149             : static GEN
    1150          24 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1151             : {
    1152          24 :   GEN p = NULL;
    1153          24 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1154          24 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1155           6 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1156             : }
    1157             : 
    1158             : static GEN
    1159       31518 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1160             : {
    1161       31518 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1162       31518 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1163       31518 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1164       31512 :   ch_R(E, e, w);
    1165       31512 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1166           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1167       31512 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1168             :   {
    1169         756 :     if (lg(S) == 2)
    1170             :     { /* model was minimal */
    1171           6 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1172           6 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1173           6 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1174             :     }
    1175             :     else
    1176             :     {
    1177         750 :       v = gel(S,2);
    1178         750 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1179         738 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1180             :       else
    1181             :       {
    1182          12 :         w = ellchangeinvert(w);
    1183          12 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1184          12 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1185          12 :         gel(S,2) = v;
    1186             :       }
    1187         750 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1188             :     }
    1189             :   }
    1190       31512 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1191          12 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1192       31512 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1193           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1194       31512 :   return E;
    1195             : }
    1196             : 
    1197             : static void
    1198         108 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1199             : {
    1200             :   GEN S;
    1201         108 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1202          18 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1203         108 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1204          18 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1205         108 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1206          18 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1207         108 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1208          18 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1209         108 : }
    1210             : 
    1211             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1212             : static GEN
    1213           6 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1214             : {
    1215           6 :   long prec = 0;
    1216           6 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1217           6 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1218           6 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1219           6 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1220             : }
    1221             : static GEN
    1222         102 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1223             : {
    1224         102 :   long prec = 0;
    1225         102 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1226         102 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1227         102 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1228         102 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1229             : }
    1230             : 
    1231             : static void
    1232       61614 : ell_reset(GEN E)
    1233       61614 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1234             : 
    1235             : GEN
    1236       61632 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1237             : {
    1238       61632 :   pari_sp av = avma;
    1239             :   GEN E;
    1240       61632 :   checkell5(e);
    1241       61632 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1242       61626 :   checkcoordch(w);
    1243       61626 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1244       61626 :   if (lg(E) != 6)
    1245             :   {
    1246       61614 :     ell_reset(E);
    1247       61614 :     switch(ell_get_type(E))
    1248             :     {
    1249           6 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1250           6 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1251         102 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1252       30786 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1253           6 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1254             :     }
    1255             :   }
    1256       61626 :   return gerepilecopy(av, E);
    1257             : }
    1258             : 
    1259             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1260             : static void
    1261      138690 : E_gcompose_r(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1262             : {
    1263      138690 :   GEN v = *vtotal;
    1264             :   GEN U2, R, S, T;
    1265      277380 :   if (gequal0(r)) return;
    1266       81138 :   *e = coordch_r(*e,r);
    1267       81138 :   U2 = gsqr(gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1268       81138 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
    1269       81138 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gmul(S, r)));
    1270             : }
    1271             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1272             : static void
    1273       93624 : E_gcompose_s(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1274             : {
    1275       93624 :   GEN v = *vtotal;
    1276             :   GEN U, S;
    1277       93624 :   *e = coordch_s(*e,s);
    1278       93624 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1279       93624 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
    1280       93624 : }
    1281             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1282             : static void
    1283      214446 : E_gcompose_t(GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1284             : {
    1285      214446 :   GEN v = *vtotal;
    1286             :   GEN U3, U, T;
    1287      428892 :   if (gequal0(t)) return;
    1288       68052 :   *e = coordch_t(*e,t);
    1289       68052 :   U = gel(v,1); U3 = gmul(U, gsqr(U)); T = gel(v,4);
    1290       68052 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
    1291             : }
    1292             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1293             : static void
    1294      213006 : E_gcompose_rt(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1295             : {
    1296      213006 :   GEN v = *vtotal;
    1297             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1298      426012 :   if (gequal0(t)) { E_gcompose_r(vtotal, e, r); return; }
    1299      145638 :   *e = coordch_rt(*e,r,t);
    1300      145638 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1301      145638 :   U2 = gsqr(U);
    1302      145638 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
    1303      145638 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
    1304             : }
    1305             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1306             : static void
    1307      155988 : E_gcompose_st(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1308             : {
    1309      155988 :   GEN v = *vtotal;
    1310             :   GEN U3, U, S, T;
    1311      155988 :   if (gequal0(s)) { E_gcompose_t(vtotal, e, t); return; }
    1312      104118 :   if (gequal0(t)) { E_gcompose_s(vtotal, e, s); return; }
    1313       10494 :   *e = coordch_st(*e,s,t);
    1314       10494 :   U = gel(v,1); U3 = gmul(U,gsqr(U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1315       10494 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
    1316       10494 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
    1317             : }
    1318             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1319             : static void
    1320      129504 : E_gcompose_u(GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1321             : {
    1322      129504 :   GEN v = *vtotal;
    1323      129504 :   *e = coordch_uinv(*e,uinv); gel(v,1) = gmul(gel(v,1), u);
    1324      129504 : }
    1325             : 
    1326             : /* X = (x-r)/u^2
    1327             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1328             : static GEN
    1329         240 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1330             : {
    1331             :   GEN a, x, y;
    1332         240 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1333         228 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1334         228 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1335             : }
    1336             : 
    1337             : GEN
    1338         240 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1339             : {
    1340             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1341         240 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1342         240 :   pari_sp av = avma;
    1343             : 
    1344         240 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1345         240 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1346         240 :   checkcoordch(ch);
    1347         240 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1348         240 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1349         240 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1350         240 :   tx = typ(gel(x,1));
    1351         240 :   if (is_matvec_t(tx))
    1352             :   {
    1353          18 :     y = cgetg(lx,tx);
    1354          36 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1355          18 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1356             :   }
    1357             :   else
    1358         222 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1359         240 :   return gerepilecopy(av,y);
    1360             : }
    1361             : 
    1362             : /* x = u^2*X + r
    1363             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1364             : static GEN
    1365          54 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1366             : {
    1367             :   GEN a, X, Y;
    1368          54 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1369          54 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1370          54 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1371             : }
    1372             : GEN
    1373          54 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1374             : {
    1375             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1376          54 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1377          54 :   pari_sp av = avma;
    1378             : 
    1379          54 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1380          54 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1381          54 :   checkcoordch(ch);
    1382          54 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1383          54 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1384          54 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1385          54 :   tx = typ(gel(x,1));
    1386          54 :   if (is_matvec_t(tx))
    1387             :   {
    1388           6 :     y = cgetg(lx,tx);
    1389          12 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1390           6 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1391             :   }
    1392             :   else
    1393          48 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1394          54 :   return gerepilecopy(av,y);
    1395             : }
    1396             : 
    1397             : GEN
    1398       24330 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1399             : {
    1400       24330 :   pari_sp av = avma;
    1401             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1402             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1403             :   GEN V;
    1404       24330 :   checkell(E);
    1405       24330 :   if (!P)
    1406             :   {
    1407             :     GEN a4, a6;
    1408       23304 :     checkell_Fq(E);
    1409       23304 :     switch (ell_get_type(E))
    1410             :     {
    1411             :       case t_ELL_Fp:
    1412             :         {
    1413           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1414           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1415       23304 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1416             :         }
    1417             :       case t_ELL_Fq:
    1418       23304 :         return FF_elltwist(E);
    1419             :     }
    1420             :   }
    1421        1026 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1422        1026 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1423        1026 :   if (typ(P) == t_INT)
    1424             :   {
    1425        1014 :     if (equali1(P))
    1426         156 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1427         858 :     P = quadpoly(P);
    1428             :   } else
    1429             :   {
    1430          12 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1431          12 :     if (degpol(P) != 2 )
    1432           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1433             :   }
    1434         870 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1435         870 :   ac = gmul(a, c);
    1436         870 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1437         870 :   D2 = gsqr(D);
    1438         870 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1439         870 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1440         870 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1441         870 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1442         870 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1443         870 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1444         870 :   return gerepilecopy(av, V);
    1445             : }
    1446             : 
    1447             : /********************************************************************/
    1448             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1449             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1450             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1451             : /********************************************************************/
    1452             : 
    1453             : static long
    1454        2214 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1455        2214 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1456             : 
    1457             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1458             :  * ellminimalmodel / get_u; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1459             :  * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1460             :  * Good case if reduction in get_u i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1461             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1462             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1463             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1464             :  * After rescaling in get_u (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1465             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1466             : static long
    1467         312 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1468             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1469             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1470             :   long v4, v6, vD;
    1471             : 
    1472         312 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1473          48 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1474             : 
    1475             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1476         264 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1477             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1478         258 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1479             : 
    1480             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1481         258 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1482             : 
    1483             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1484         204 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1485         144 :   vD = vali(disc);
    1486         144 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1487         138 :   return -8;
    1488             : }
    1489             : 
    1490             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1491             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1492             : */
    1493             : GEN
    1494         426 : ellminimaltwist(GEN e)
    1495             : {
    1496         426 :   pari_sp av = avma;
    1497         426 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1498             :   long i, lF;
    1499         426 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1500         426 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1501         426 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1502         426 :   disc = ell_get_disc(E);
    1503         426 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1504         426 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1505         426 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1506             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1507             :    * then apply get_u(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3 and
    1508             :    * v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1509        1710 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1510             :   {
    1511        1284 :     GEN p = gel(F, i);
    1512        1284 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1513        1284 :     if (vg < 6) continue;
    1514             :     /* twist by fund. discriminant d2; in get_u, we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1515         936 :     switch(itou_or_0(p))
    1516             :     {
    1517             :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1518         372 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1519         372 :         break;
    1520             :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1521         252 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1522         252 :         break;
    1523             :       case 2:
    1524         312 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1525         312 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1526         312 :         break;
    1527             :     }
    1528             :   }
    1529         426 :   obj_free(E);
    1530         426 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1531             : }
    1532             : 
    1533             : /*
    1534             : Reference:
    1535             : William A. Stein and Mark Watkins
    1536             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1537             : ANTS 5
    1538             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1539             : */
    1540             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1541             : GEN
    1542         198 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1543             : {
    1544         198 :   pari_sp av = avma;
    1545         198 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1546         198 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1547         198 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1548         198 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1549         198 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1550         186 :   else if (f==6)
    1551             :   {
    1552          12 :     if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
    1553             :     else
    1554             :     {
    1555           6 :       long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
    1556           6 :       D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
    1557             :     }
    1558             :   }
    1559         198 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1560             : }
    1561             : 
    1562             : GEN
    1563         378 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1564             : {
    1565         378 :   switch(flag)
    1566             :   {
    1567             :     case 0:
    1568         228 :       return ellminimaltwist(e);
    1569             :     case 1:
    1570         150 :       return ellminimaltwistcond(e);
    1571             :   }
    1572           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1573             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1574             : }
    1575             : 
    1576             : static long
    1577           6 : ellexpo(GEN E)
    1578             : {
    1579           6 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1580          36 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1581             :   {
    1582          30 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1583          30 :     if (f > e) e = f;
    1584             :   }
    1585           6 :   return e;
    1586             : }
    1587             : 
    1588             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1589             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1590             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1591             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1592             : int
    1593       13368 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1594             : {
    1595             :   GEN LHS, RHS, x;
    1596             :   long pl, pr, ex, expx;
    1597             :   pari_sp av;
    1598             : 
    1599       13368 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1600       13302 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1601       13302 :   av = avma;
    1602       13302 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1603       13302 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1604       13302 :   if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
    1605          18 :   pl = precision(LHS);
    1606          18 :   pr = precision(RHS);
    1607          18 :   if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
    1608             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1609           6 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1610           6 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1611           6 :   expx = gexpo(x);
    1612          12 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1613           6 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1614           6 :   avma = av; return pr;
    1615             : }
    1616             : 
    1617             : GEN
    1618       14340 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1619             : {
    1620       14340 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1621             : 
    1622       14340 :   checkell(e);
    1623       14340 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1624       14340 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1625       14340 :   tx = typ(gel(x,1));
    1626       14340 :   if (is_vec_t(tx))
    1627             :   {
    1628        1446 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1629        1446 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1630        1446 :     return z;
    1631             :   }
    1632       12894 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1633             : }
    1634             : 
    1635             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1636             : static GEN
    1637        1548 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1638             : {
    1639             :   GEN dy,dx;
    1640        1548 :   if (y1 != y2)
    1641             :   {
    1642             :     int eq;
    1643         210 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1644           6 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1645             :     else
    1646         204 :       eq = gequal(y1,y2);
    1647         210 :     if (!eq) return NULL;
    1648             :   }
    1649        1542 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1650        1542 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1651        1512 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1652             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1653        1512 :   return gdiv(dy,dx);
    1654             : }
    1655             : static GEN
    1656        8082 : get_slope(GEN e, GEN x1, GEN x2, GEN y1, GEN y2)
    1657             : {
    1658             :   GEN dy,dx;
    1659        8082 :   if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
    1660        1548 :     return slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1661        6534 :   dx = gsub(x2,x1);
    1662        6534 :   if (typ(dx) == t_COMPLEX) /* its Norm may be 0 */
    1663             :   {
    1664           0 :     GEN N = gnorm(dx);
    1665           0 :     if (gequal0(N)) return slope_samex(e,x1,y1,y2);
    1666           0 :     dy = gsub(y2,y1);
    1667           0 :     return gdiv(gmul(dy,gconj(dx)),N); /* dy/dx */
    1668             :   }
    1669        6534 :   dy = gsub(y2,y1);
    1670        6534 :   return gdiv(dy,dx);
    1671             : }
    1672             : 
    1673             : GEN
    1674       11532 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1675             : {
    1676             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1677       11532 :   pari_sp av = avma;
    1678             : 
    1679       11532 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1680       11532 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1681        9498 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1682             : 
    1683        8082 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1684        8082 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1685        8082 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1686             :   {
    1687         408 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1688         408 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1689         408 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1690         408 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1691         408 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1692             :   }
    1693        8082 :   s = get_slope(e,x1,x2,y1,y2);
    1694        8082 :   if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
    1695        8046 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1696        8046 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1697        8046 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1698        8046 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1699        8046 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1700             : }
    1701             : 
    1702             : static GEN
    1703          42 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1704             : {
    1705             :   GEN t, x, y;
    1706          42 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1707          42 :   x = gel(z,1);
    1708          42 :   y = gel(z,2);
    1709          42 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1710             :   {
    1711           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1712           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1713           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1714             :   }
    1715          42 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1716          42 :   gel(t,1) = x;
    1717          42 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1718          42 :   return t;
    1719             : }
    1720             : 
    1721             : GEN
    1722         708 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1723             : {
    1724             :   pari_sp av;
    1725             :   GEN t, y;
    1726         708 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1727         708 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1728         708 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1729         708 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1730         708 :   av = avma;
    1731         708 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1732         708 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1733         708 :   return t;
    1734             : }
    1735             : 
    1736             : GEN
    1737          42 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1738             : {
    1739          42 :   pari_sp av = avma;
    1740          42 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1741          42 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1742             : }
    1743             : 
    1744             : /* E an ell, x a scalar */
    1745             : static GEN
    1746        1746 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1747             : {
    1748        1746 :   pari_sp av = avma;
    1749        1746 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1750             : 
    1751        1746 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1752             :   {
    1753         396 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1754         396 :     x = nftoalg(nf,x);
    1755             :   }
    1756        1746 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1757        1746 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1758        1746 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1759             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1760        1746 :   if (gequal0(D)) {
    1761         492 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1762           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1763         492 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1764         492 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1765         492 :     return gerepileupto(av,y);
    1766             :   }
    1767             :   /* D != 0 */
    1768        1254 :   switch(ell_get_type(E))
    1769             :   {
    1770             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1771          24 :       p = ellff_get_p(E);
    1772          24 :       D = gel(D,2);
    1773          24 :       if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1774           6 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1775           6 :       break;
    1776             :     case t_ELL_Fq:
    1777         180 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1778             :       {
    1779          66 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1780          66 :         if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1781          36 :         return gerepileupto(av, F);
    1782             :       }
    1783         114 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1784          54 :       break;
    1785             :     case t_ELL_Q:
    1786         642 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1787         636 :       if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1788         390 :       break;
    1789             : 
    1790             :     case t_ELL_NF:
    1791             :     {
    1792         390 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1793         390 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1794         390 :       d = nfroots(nf, T);
    1795         390 :       delete_var();
    1796         390 :       if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    1797         378 :       d = gel(d,1);
    1798         378 :       break;
    1799             :     }
    1800             : 
    1801             :     case t_ELL_Qp:
    1802          12 :       p = ellQp_get_p(E);
    1803          12 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1804          12 :       if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1805          12 :       d = Qp_sqrt(D);
    1806          12 :       break;
    1807             : 
    1808             :     default:
    1809           6 :       d = gsqrt(D,prec);
    1810             :   }
    1811         852 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1812         852 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1813         852 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1814         852 :   return gerepileupto(av,y);
    1815             : }
    1816             : 
    1817             : GEN
    1818        1746 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1819             : {
    1820        1746 :   checkell(e);
    1821        1746 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1822             :   {
    1823             :     long i, lx;
    1824           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1825           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1826           0 :     return v;
    1827             :   }
    1828        1746 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1829             : }
    1830             : 
    1831             : GEN
    1832      209196 : ellrandom(GEN E)
    1833             : {
    1834             :   GEN fg;
    1835      209196 :   checkell_Fq(E);
    1836      209196 :   fg = ellff_get_field(E);
    1837      209196 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1838      209172 :     return FF_ellrandom(E);
    1839             :   else
    1840             :   {
    1841          24 :     pari_sp av = avma;
    1842          24 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1843          24 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1844          24 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1845          24 :     return gerepileupto(av, P);
    1846             :   }
    1847             : }
    1848             : 
    1849             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    1850             : static GEN
    1851          12 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    1852             : {
    1853          12 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1854             :   long ln, vn;
    1855             : 
    1856          12 :   if (typ(N) != t_INT)
    1857           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1858          12 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    1859          12 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1860          12 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1861          12 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1862          12 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    1863          12 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1864          12 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1865             :   do
    1866             :   {
    1867          18 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1868             :     do
    1869             :     {
    1870          24 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1871          24 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    1872          24 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1873             :     }
    1874          24 :     while (valp(z2) <= 0);
    1875          18 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1876          18 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1877          18 :     if (!signe(z2)) break;
    1878           6 :     z2 = ginv(z2);
    1879             :   }
    1880           6 :   while (degpol(p1) < vn);
    1881          12 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1882           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1883          12 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1884          12 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    1885          12 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    1886          12 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1887          12 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1888             : 
    1889          12 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1890          12 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1891          12 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1892          12 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1893             : 
    1894          12 :   x = gdiv(p1,q1);
    1895          12 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1896          12 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1897          12 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    1898          12 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1899             : }
    1900             : 
    1901             : static GEN
    1902         528 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1903             : static GEN
    1904         150 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1905             : 
    1906             : static GEN
    1907      212548 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1908             : {
    1909      212548 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1910      212548 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1911      212100 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1912             :   else
    1913             :   {
    1914         448 :     pari_sp av = avma;
    1915         448 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1916         447 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1917         449 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1918         404 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1919         404 :     return gerepileupto(av, Q);
    1920             :   }
    1921             : }
    1922             : /* [n] z, n integral */
    1923             : static GEN
    1924      212986 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1925             : {
    1926             :   long s;
    1927      212986 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1928      212986 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    1929         438 :   s = signe(n);
    1930         438 :   if (!s) return ellinf();
    1931         396 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    1932         396 :   if (is_pm1(n)) return z;
    1933         324 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    1934             : }
    1935             : 
    1936             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    1937             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    1938             : static long
    1939          36 : myroundr(GEN *px)
    1940             : {
    1941          36 :   GEN x = *px;
    1942             :   long e;
    1943          36 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    1944          36 :   *px = grndtoi(x, &e);
    1945          36 :   if (e >= -5) return NO;
    1946          36 :   return OK;
    1947             : }
    1948             : 
    1949             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    1950             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    1951             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    1952             : static GEN
    1953          12 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    1954             : {
    1955             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    1956             :   long prec;
    1957             : 
    1958          12 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    1959          12 :   switch(typ(Q))
    1960             :   {
    1961             :     case t_COMPLEX:
    1962           0 :       D = utoineg(4);
    1963           0 :       v = gel(Q,2);
    1964           0 :       break;
    1965             :     case t_QUAD:
    1966          12 :       D = quad_disc(Q);
    1967          12 :       v = gel(Q,3);
    1968          12 :       break;
    1969             :     default:
    1970           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    1971             :   }
    1972             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    1973          12 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    1974          12 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    1975          12 :   prec = precision(tau);
    1976             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    1977             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    1978             :    * Compute f*k */
    1979          12 :   x = gel(tau,1);
    1980          12 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    1981          12 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    1982          12 :   switch(myroundr(&fk))
    1983             :   {
    1984           0 :     case NO: return NULL;
    1985           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1986             :   }
    1987          12 :   fk = absi(fk);
    1988             : 
    1989          12 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    1990          12 :   switch(myroundr(&fkb))
    1991             :   {
    1992           0 :     case NO: return NULL;
    1993           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1994             :   }
    1995             : 
    1996          12 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    1997          12 :   switch(myroundr(&fkc))
    1998             :   {
    1999           0 :     case NO: return NULL;
    2000           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2001             :   }
    2002             : 
    2003             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2004          12 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2005          12 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2006          12 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2007          12 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2008             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2009          12 :   v = dvmdii(absi(v), q, &r);
    2010          12 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2011          12 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2012             : }
    2013             : 
    2014             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2015             : static GEN
    2016          12 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2017             : {
    2018             :   GEN A, B, q;
    2019          12 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2020          12 :   q = CM_factor(e, w);
    2021          12 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2022          12 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2023             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2024          12 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2025             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2026             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2027           6 :     GEN u = gtrace(w);
    2028           6 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2029           6 :     u = shifti(u, -1);
    2030           6 :     if (signe(u))
    2031             :     {
    2032           0 :       w = gsub(w, u);
    2033           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2034             :     }
    2035             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2036             :   }
    2037          12 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2038          12 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2039          12 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2040          12 :   return elladd(e, A, B);
    2041             : }
    2042             : GEN
    2043      213034 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2044             : {
    2045      213034 :   pari_sp av = avma;
    2046             : 
    2047      213034 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2048      213029 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2049      212980 :   switch(typ(n))
    2050             :   {
    2051      212968 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2052             :     case t_QUAD: {
    2053          12 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2054          12 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2055          12 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2056             :     }
    2057             :     case t_COMPLEX: {
    2058           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2059           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2060             :     }
    2061             :   }
    2062           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2063             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2064             : }
    2065             : 
    2066             : /********************************************************************/
    2067             : /**                                                                **/
    2068             : /**                       Periods                                  **/
    2069             : /**                                                                **/
    2070             : /********************************************************************/
    2071             : 
    2072             : /* References:
    2073             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2074             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2075             : */
    2076             : 
    2077             : static GEN
    2078         684 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2079             : {
    2080         684 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2081         684 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2082         684 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2083             : }
    2084             : 
    2085             : static GEN
    2086         222 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2087             : {
    2088         222 :   pari_sp av = avma;
    2089         222 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    2090         222 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2091         222 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2092         222 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2093             : }
    2094             : 
    2095             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2096             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2097             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2098             : static GEN
    2099         684 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2100             : {
    2101         684 :   pari_sp av = avma;
    2102             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2103         684 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2104         462 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    2105         462 :   d2 = gel(roots,5);
    2106         462 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2107         462 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2108         462 :   b = gel(z,2);
    2109         462 :   c = gabs(z, prec);
    2110         462 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2111         462 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2112             : }
    2113             : static GEN
    2114          54 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2115          54 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    2116             : 
    2117             : GEN
    2118        1566 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2119        1566 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2120             : GEN
    2121          66 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2122          66 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2123             : GEN
    2124        1608 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2125        1608 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2126             : 
    2127             : GEN
    2128          96 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2129             : {
    2130          96 :   pari_sp av = avma;
    2131             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2132          96 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2133          96 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2134          96 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2135          96 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2136             : }
    2137             : 
    2138             : /********************************************************************/
    2139             : /**                                                                **/
    2140             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2141             : /**                                                                **/
    2142             : /********************************************************************/
    2143             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2144             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2145             : static GEN
    2146           0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2147             : {
    2148           0 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2149           0 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2150           0 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2151           0 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2152           0 :   GEN z = gel(om,2);
    2153           0 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2154           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2155             :   else
    2156           0 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2157           0 :   return gmul2n(z, -1);
    2158             : }
    2159             : 
    2160             : static GEN
    2161           6 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2162             : {
    2163           6 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2164           6 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2165           6 :   if (gequal0(y0))
    2166           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2167             :   else
    2168             :   {
    2169           6 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2170           6 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2171           6 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2172           6 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2173           6 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2174             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2175           6 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2176           6 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2177             :   }
    2178             : }
    2179             : 
    2180             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2181             : static GEN
    2182           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2183             : {
    2184           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2185           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2186             :   else
    2187             :   {
    2188           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2189           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2190           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2191           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2192           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2193           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2194           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2195           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2196             :   }
    2197             : }
    2198             : 
    2199             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2200             : static GEN
    2201           6 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2202             : {
    2203           6 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2204           6 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2205           6 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2206           6 :   e1 = gel(R,1);
    2207           6 :   e2 = gel(R,2);
    2208           6 :   e3 = gel(R,3);
    2209           6 :   d2 = gel(R,5);
    2210           6 :   d3 = gel(R,6);
    2211           6 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2212           6 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2213           6 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2214           6 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2215           6 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2216           6 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2217             :   } else {
    2218           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2219           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2220           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2221           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2222             :   }
    2223             : }
    2224             : 
    2225             : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
    2226             :  * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
    2227             :  * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
    2228             : static GEN
    2229         192 : doellQp_root(GEN E, long prec)
    2230             : {
    2231         192 :   GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
    2232             :   GEN c6p, T, a;
    2233             :   long alpha;
    2234         192 :   int pis2 = absequaliu(p, 2);
    2235         192 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2236             :   /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
    2237         192 :   alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
    2238         192 :   if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
    2239             :   /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
    2240         192 :   if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
    2241         192 :   c6p = modii(c6,p);
    2242         192 :   if (pis2)
    2243             :   { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
    2244         120 :     T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, mulis(c4,-9), mulis(c6, -2));
    2245             :     /* v_2(root a) = 1, i.e. will lose one bit of accuracy: prec+1 */
    2246         120 :     a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec+1);
    2247         120 :     alpha -= 2;
    2248             :   }
    2249          72 :   else if (absequaliu(p, 3))
    2250             :   { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
    2251          48 :     a = Fp_neg(c6p, p);
    2252          48 :     T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, mulis(c4, -6), negi(c6));
    2253          48 :     a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
    2254          48 :     switch(lg(a)-1)
    2255             :     {
    2256             :       case 1: /* single root */
    2257          24 :         a = gel(a,1); break;
    2258             :       case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
    2259             :       {
    2260          24 :         GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
    2261          24 :         long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
    2262          24 :         long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
    2263          24 :         long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
    2264          24 :         if      (v1 == v2) a = a3;
    2265           0 :         else if (v1 == v3) a = a2;
    2266           0 :         else a = a1;
    2267             :       }
    2268          24 :       break;
    2269             :     }
    2270          48 :     alpha--;
    2271             :   }
    2272             :   else
    2273             :   { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
    2274             :      * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
    2275          24 :     GEN c4p = modii(c4,p);
    2276          24 :     a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
    2277          24 :     T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, mulis(c4, -18), negi(c6));
    2278          24 :     a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
    2279             :   }
    2280         192 :   a = cvtop(a, p, prec);
    2281         192 :   if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
    2282         192 :   return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
    2283             : }
    2284             : GEN
    2285         390 : ellQp_root(GEN E, long prec)
    2286         390 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
    2287             : 
    2288             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x+a-b) ~ E */
    2289             : static void
    2290         234 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
    2291             : {
    2292         234 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2293         234 :   GEN w, u, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1)), p = ellQp_get_p(E);
    2294         234 :   w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
    2295         234 :   u = gadd(t,w);
    2296             :   /* Decide between w and -w: we want v(a-b) > v(b) */
    2297         234 :   if (absequaliu(p,2))
    2298         174 :   { if (valp(u)-1 <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2299             :   else
    2300          60 :   { if (valp(u) <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2301             : 
    2302             :   /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
    2303         234 :   *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
    2304         234 :   *ptb = gmul2n(w,-1);
    2305         234 : }
    2306             : 
    2307             : static GEN
    2308          78 : doellQp_Tate(GEN E, long prec0)
    2309             : {
    2310          78 :   GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
    2311             :   GEN L, u, u2, q, x1, a, b, d, s, t, AB, A, M2;
    2312          78 :   long v, n, pp, prec = prec0+3;
    2313          78 :   int split = -1; /* unknown */
    2314          78 :   int pis2 = equaliu(p,2);
    2315             : 
    2316          78 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2317             : START:
    2318         234 :   doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
    2319         234 :   d = gsub(a,b);
    2320         234 :   v = prec0 - precp(d);
    2321         234 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2322         180 :   AB = Qp_agm2_sequence(a,b);
    2323         180 :   A = gel(AB,1);
    2324         180 :   n = lg(A)-1; /* AGM iterations */
    2325         180 :   pp = minss(precp(a),precp(b));
    2326         180 :   M2 = cvtop(gel(A,n), p, pis2? pp-2*n: pp);
    2327         180 :   setvalp(M2, valp(a));
    2328         180 :   u2 = ginv(gmul2n(M2, 2));
    2329         180 :   if (split < 0) split = issquare(u2);
    2330         180 :   x1 = gen_0;
    2331         180 :   Qp_descending_Landen(AB,&x1,NULL);
    2332             : 
    2333         180 :   t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
    2334         180 :   s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
    2335         180 :   q = gadd(t,s);
    2336         180 :   if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
    2337         180 :   v = prec0 - precp(q);
    2338         180 :   if (split)
    2339             :   { /* we want log q at precision prec0 */
    2340          54 :     GEN q0 = leafcopy(q); setvalp(q0, 0);
    2341          54 :     v +=  valp(gsubgs(q0,1));
    2342             :   }
    2343         180 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2344          78 :   if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
    2345          78 :   if (split)
    2346             :   {
    2347          30 :     u = Qp_sqrt(u2);
    2348          30 :     L = gdivgs(Qp_log(q), valp(q));
    2349             :   }
    2350             :   else
    2351             :   {
    2352          48 :     GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
    2353          48 :     u = mkpolmod(pol_x(0), T);
    2354          48 :     L = gen_1;
    2355             :   }
    2356          78 :   return mkvecn(6, u2, u, q, mkvec2(a, b), L, AB);
    2357             : }
    2358             : static long
    2359         498 : Tate_prec(GEN T) { return padicprec_relative(gel(T,3)); }
    2360             : GEN
    2361         570 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
    2362         570 : { return obj_checkbuild_prec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate, &Tate_prec,prec); }
    2363             : GEN
    2364         144 : ellQp_u(GEN E, long prec)
    2365         144 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
    2366             : GEN
    2367          48 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
    2368          48 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
    2369             : GEN
    2370          90 : ellQp_q(GEN E, long prec)
    2371          90 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
    2372             : GEN
    2373          90 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
    2374          90 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
    2375             : GEN
    2376           0 : ellQp_L(GEN E, long prec)
    2377           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,5); }
    2378             : GEN
    2379         126 : ellQp_AGM(GEN E, long prec)
    2380         126 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,6); }
    2381             : 
    2382             : static void
    2383           6 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2384             : {
    2385           6 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2386           6 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2387           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2388           0 : }
    2389             : static GEN
    2390         138 : get_r0(GEN E, long prec)
    2391             : {
    2392         138 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2393         138 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2394             : }
    2395             : static GEN
    2396          96 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2397             : {
    2398          96 :   pari_sp av = avma;
    2399             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2400             :   long vq, vt, Q, R;
    2401          96 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2402          90 :   ab = ellQp_ab(E, prec);
    2403          90 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2404          90 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2405          90 :   a = gel(ab,1);
    2406          90 :   b = gel(ab,2);
    2407          90 :   x = gel(P,1);
    2408          90 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2409          90 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2410          90 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2411          84 :   r = gsub(a,b);
    2412          84 :   ar = gmul(a, r);
    2413          84 :   if (gequal0(c0))
    2414             :   {
    2415           6 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2416           6 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2417             :   }
    2418             :   else
    2419             :   {
    2420          78 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2421          78 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2422          78 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2423          72 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2424             :   }
    2425          78 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2426          78 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2427             : 
    2428          78 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2429          78 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2430             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2431          78 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2432          48 :     vt = valp(t);
    2433             :   else
    2434          30 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2435          78 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2436          78 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2437          78 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2438          78 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2439          78 :   return gerepileupto(av, t);
    2440             : }
    2441             : 
    2442             : static GEN
    2443          48 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2444             : {
    2445          48 :   pari_sp av = avma;
    2446             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2447             :   long v;
    2448          48 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2449             : 
    2450          48 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2451          48 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2452          48 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2453          48 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2454          48 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2455          48 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2456          48 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2457             : 
    2458          48 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2459          48 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2460          48 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2461          48 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2462          48 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2463             : }
    2464             : 
    2465             : /* t to w := -1/y */
    2466             : GEN
    2467         492 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
    2468             : {
    2469         492 :   pari_sp av = avma, av2;
    2470             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
    2471         492 :   GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
    2472         492 :   ulong mask, nold = 1;
    2473         492 :   if (v < 0) v = 0;
    2474         492 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
    2475         480 :   mask = quadratic_prec_mask(n);
    2476         480 :   t = pol_x(v);
    2477         480 :   checkell(e);
    2478         480 :   a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
    2479         480 :   a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
    2480         480 :   w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
    2481         480 :   gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
    2482             :   /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
    2483             :    *
    2484             :    *            w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
    2485             :    * w  <-  w - -----------------------------------------------------
    2486             :    *              w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
    2487             :    *
    2488             :    *              w^3 a6 + w^2 U + w V + W
    2489             :    *      =: w -  -----------------------
    2490             :    *                w^2 (3a6) + 2w U + V
    2491             :    */
    2492         480 :   U = gadd(gmul(a4,t), a3);
    2493         480 :   U2 = gmul2n(U,1);
    2494         480 :   V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
    2495         480 :   W = gpowgs(t,3);
    2496         480 :   av2 = avma;
    2497        2670 :   while (mask > 1)
    2498             :   { /* nold correct terms in w */
    2499        1710 :     ulong i, nnew = nold << 1;
    2500             :     GEN num, den, wnew, w2, w3;
    2501        1710 :     if (mask & 1) nnew--;
    2502        1710 :     mask >>= 1;
    2503        1710 :     wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
    2504        1710 :     wnew[1] = w[1];
    2505        1710 :     for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
    2506        1710 :     for (     ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
    2507        1710 :     w = wnew;
    2508        1710 :     w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
    2509        1710 :     num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
    2510        1710 :     den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
    2511             : 
    2512        1710 :     w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
    2513        1710 :     nold = nnew;
    2514             :   }
    2515         480 :   return gerepilecopy(av, w);
    2516             : }
    2517             : 
    2518             : static GEN
    2519         294 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
    2520         294 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
    2521             : 
    2522             : /* t to [x,y] */
    2523             : GEN
    2524          60 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
    2525             : {
    2526          60 :   pari_sp av = avma;
    2527          60 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w);
    2528          60 :   return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
    2529             : }
    2530             : 
    2531             : static GEN
    2532         360 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
    2533             : {
    2534             :   GEN x, w1;
    2535         360 :   if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
    2536             :   { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
    2537         126 :     x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
    2538         126 :     w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
    2539             :   }
    2540             :   else
    2541             :   {
    2542         234 :     GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
    2543         234 :     x = gel(P,1);
    2544         234 :     w1 = gdiv(derivser(x), ec_dmFdy_evalQ(e, P));
    2545             :   }
    2546         360 :   *px = x; return w1;
    2547             : }
    2548             : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
    2549             : GEN
    2550          60 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
    2551             : {
    2552          60 :   pari_sp av = avma;
    2553          60 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
    2554          60 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2555          60 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
    2556             : }
    2557             : 
    2558             : /* t to z, dz = w1 dt */
    2559             : GEN
    2560         126 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
    2561             : {
    2562         126 :   pari_sp av = avma;
    2563         126 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
    2564         126 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2565         126 :   return gerepileupto(av, integser(w1));
    2566             : }
    2567             : /* z to t */
    2568             : GEN
    2569          60 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
    2570             : {
    2571          60 :   pari_sp av = avma;
    2572          60 :   return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
    2573             : }
    2574             : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
    2575             :  * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
    2576             :  *   sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
    2577             :  * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
    2578             : static GEN
    2579         174 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
    2580             : {
    2581         174 :   pari_sp av = avma;
    2582         174 :   GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = ser_inv(w), t = pol_x(0);
    2583         174 :   GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2584         174 :   GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
    2585         174 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
    2586             :                                  integser(s)));
    2587             : }
    2588             : 
    2589             : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
    2590             : static int
    2591         216 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
    2592             : {
    2593         216 :   pari_sp av = avma;
    2594             :   GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
    2595         216 :   if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
    2596         210 :   P = Q_muli_to_int(P,d);
    2597         210 :   x = gel(P,1);
    2598         210 :   y = gel(P,2);
    2599         210 :   a1 = ell_get_a1(E);
    2600         210 :   a3 = ell_get_a3(E);
    2601         210 :   t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
    2602         210 :   if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
    2603          24 :   a2 = ell_get_a2(E);
    2604          24 :   a4 = ell_get_a4(E);
    2605          24 :   d = Fp_inv(d, p);
    2606          24 :   x = Fp_mul(x,d,p);
    2607          24 :   y = Fp_mul(y,d,p);
    2608          24 :   t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
    2609          24 :   avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
    2610             : }
    2611             : 
    2612             : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
    2613             :  * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
    2614             : GEN
    2615         186 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
    2616             : {
    2617         186 :   pari_sp av = avma;
    2618         186 :   GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
    2619             :   long i, l;
    2620         186 :   checkellpt(P);
    2621         186 :   if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
    2622         186 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2623         186 :   S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
    2624         186 :   NP = gmael(S,3,1);
    2625         186 :   L = gel(S,4);
    2626         186 :   l = lg(NP);
    2627         186 :   d = Q_denom(P);
    2628         396 :   for (i = 1; i < l; i++)
    2629             :   {
    2630         210 :     GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
    2631         210 :     if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
    2632          18 :     c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
    2633          18 :     kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
    2634          18 :     if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
    2635             :     {
    2636           6 :       long nu = itos(kod) - 4;
    2637           6 :       long n = minss(Q_pval(ec_dmFdy_evalQ(E,P), p), nu/2);
    2638           6 :       nu /= ugcd(nu, n);
    2639           6 :       g = muliu(g, nu);
    2640           6 :       P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
    2641           6 :       d = Q_denom(P);
    2642          12 :     } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
    2643             :     { /* either 2 or 4 */
    2644           6 :       long nu = - itos(kod) - 4;
    2645           6 :       P = elladd(E, P,P);
    2646           6 :       d = Q_denom(P);
    2647           6 :       g = shifti(g,1);
    2648           6 :       if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
    2649             :       { /* it's 4 */
    2650           6 :         P = elladd(E, P,P);
    2651           6 :         d = Q_denom(P);
    2652           6 :         g = shifti(g,1);
    2653             :       }
    2654             :     } else {
    2655           6 :       if (absequaliu(c, 4)) c = gen_2;
    2656           6 :       P = ellmul(E, P, c);
    2657           6 :       d = Q_denom(P);
    2658           6 :       g = mulii(g, c);
    2659             :     }
    2660             :   }
    2661         186 :   if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
    2662         186 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
    2663             : }
    2664             : 
    2665             : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
    2666             :  * notation (Duke 1991)*/
    2667             : static GEN
    2668        6372 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
    2669             : {
    2670             :   hashentry *h;
    2671             :   GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
    2672             :   ulong m4;
    2673        6372 :   if (abscmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
    2674             :   {
    2675         276 :     case 0: return gen_0;
    2676         756 :     case 1: return gen_1;
    2677         912 :     case 2: return subiu(N,1);
    2678        1140 :     case 3: return b8;
    2679        1188 :     case 4: return g4;
    2680             :   }
    2681        2100 :   if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
    2682        1080 :   m4 = mod4(m);
    2683        1080 :   n = shifti(m, -1); f   = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
    2684        1080 :   np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
    2685        1080 :   np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
    2686        1080 :   nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
    2687        1080 :   nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
    2688        1080 :   if (odd(m4))
    2689             :   {
    2690         660 :     GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
    2691         660 :     GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
    2692         660 :     if (mpodd(n))
    2693         276 :       z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
    2694             :     else
    2695         384 :       z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
    2696             :   }
    2697             :   else
    2698             :   {
    2699         420 :     GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
    2700         420 :     GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
    2701         420 :     z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
    2702             :   }
    2703        1080 :   hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
    2704        1080 :   return z;
    2705             : }
    2706             : 
    2707             : static GEN
    2708         972 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
    2709             : static GEN
    2710         648 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
    2711             : static GEN
    2712         324 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
    2713             : 
    2714             : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
    2715             :  * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
    2716             :  * [num,den] (coprime) */
    2717             : static GEN
    2718         324 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
    2719             : {
    2720         324 :   pari_sp av = avma;
    2721         324 :   ulong k = expi(m);
    2722         324 :   hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
    2723             :                                       (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
    2724         324 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
    2725         324 :   GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
    2726             :   GEN B4, B6, B8, T, g4;
    2727         324 :   GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
    2728         324 :   GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
    2729         324 :   GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
    2730         324 :   GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
    2731         324 :   GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
    2732         324 :   B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
    2733             :               mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
    2734         324 :   B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
    2735             :               shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
    2736             :               b6d3);
    2737         324 :   B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd,  mulii(b4,d2));
    2738             : 
    2739         324 :   B4 = modii(B4,N);
    2740         324 :   B6 = modii(B6,N);
    2741         324 :   B8 = modii(B8,N);
    2742             : 
    2743         324 :   g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
    2744         324 :   T = Fp_sqr(B6,N);
    2745             : 
    2746         324 :   g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
    2747         324 :   gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2748         324 :   gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2749         324 :   C = Fp_sqr(g, N);
    2750         324 :   D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
    2751             : 
    2752         324 :   if(mpodd(m))
    2753             :   {
    2754         144 :     n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
    2755         144 :     d = Fp_mul(C,d, N);
    2756             :   }
    2757             :   else
    2758             :   {
    2759         180 :     n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
    2760         180 :     d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
    2761             :   }
    2762         324 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
    2763             : }
    2764             : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
    2765             :  * return t = -x/y + O(p^v) */
    2766             : static GEN
    2767         174 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
    2768             : {
    2769         174 :   GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
    2770             :   GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
    2771         174 :   if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
    2772         174 :   a1 = ell_get_a1(e);
    2773         174 :   b2 = ell_get_b2(e);
    2774         174 :   a3 = ell_get_a3(e);
    2775         174 :   b4 = ell_get_b4(e);
    2776         174 :   b6 = ell_get_b6(e);
    2777         174 :   d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
    2778         174 :   if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2779             :   /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
    2780             :    * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
    2781         174 :   d4 = Fp_sqr(d2, N);
    2782         174 :   d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
    2783         174 :   B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
    2784         174 :   C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
    2785             :                 Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
    2786             :                 Fp_mul(b6,d6,N));
    2787         174 :   C = FpX_eval(C, n, N);
    2788         174 :   if (!signe(C))
    2789           0 :     Y = zeropadic(p, v >> 1);
    2790             :   else
    2791         174 :     Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
    2792         174 :   if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2793         174 :   *pd = d;
    2794         174 :   return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
    2795             : }
    2796             : 
    2797             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2798             : static long
    2799         174 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
    2800             : {
    2801         174 :   double log2p = dbllog2(p);
    2802         174 :   long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
    2803         174 :   if (absequaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
    2804             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2805         216 :   for (j = i-1; j >= 2; j--)
    2806             :   {
    2807         216 :     if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2808          42 :     i = j;
    2809             :   }
    2810         174 :   if (j == 1)
    2811             :   {
    2812           0 :     if (- absequaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
    2813             :   }
    2814         174 :   return i;
    2815             : }
    2816             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2817             : static long
    2818           6 : log_prec(GEN p, long v, long t)
    2819             : {
    2820           6 :   double log2p = dbllog2(p);
    2821           6 :   long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
    2822             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2823          24 :   for (j = i-1; j >= 1; j--)
    2824             :   {
    2825          24 :     if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2826          18 :     i = j;
    2827             :   }
    2828           6 :   return i;
    2829             : }
    2830             : 
    2831             : static GEN
    2832         180 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
    2833             : {
    2834         180 :   *ab = NULL;
    2835         180 :   switch(typ(p))
    2836             :   {
    2837          90 :     case t_INT: break;
    2838             :     case t_VEC:
    2839          90 :       if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2840          90 :       *ab = gel(p,2);
    2841          90 :       if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2842          90 :       p = gel(p,1);
    2843             :   }
    2844         180 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
    2845         180 :   return p;
    2846             : }
    2847             : 
    2848             : static GEN
    2849         258 : precp_fix(GEN h, long v)
    2850         258 : { return (precp(h) > v)? cvtop(h,gel(h,2),v): h; }
    2851             : 
    2852             : GEN
    2853         186 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
    2854             : {
    2855         186 :   pari_sp av = avma;
    2856             :   GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
    2857             :   long v, vd;
    2858             :   int is2;
    2859         186 :   checkellpt(P);
    2860         186 :   if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
    2861         180 :   checkell_Q(e);
    2862         180 :   p = parse_p(p, &ab);
    2863         180 :   if (ellorder_Q(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
    2864         174 :   E = ellanal_globalred(e, &ch);
    2865         174 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2866         174 :   S = ellnonsingularmultiple(E, P);
    2867         174 :   P = gel(S,1);
    2868         174 :   g = gel(S,2);
    2869         174 :   v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
    2870         174 :   is2 = absequaliu(p,2);
    2871         174 :   if (is2) v += 2;
    2872         174 :   x = gel(P,1);
    2873         174 :   n = numer(x);
    2874         174 :   d = denom(x);
    2875         174 :   x = mkvec2(n, d);
    2876         174 :   vd = Z_pval(d, p);
    2877         174 :   if (!vd)
    2878             :   { /* P not in kernel of reduction mod p */
    2879         162 :     GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
    2880         162 :     long w = v+2;
    2881         162 :     Pp = RgV_to_FpV(P, p);
    2882         162 :     if (Ep)
    2883         162 :       m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
    2884             :     else
    2885             :     {
    2886           0 :       m = ellcard(E, p); /* E has bad reduction at p */
    2887           0 :       if (equalii(m, p)) pari_err_TYPE("ellpadicheight: additive reduction", E);
    2888             :     }
    2889         162 :     g = mulii(g,m);
    2890             :     for(;;)
    2891             :     {
    2892         324 :       N = powiu(p, w);
    2893         324 :       X = xmP(E, x, m, N);
    2894         324 :       d = gel(X,2);
    2895         324 :       if (!signe(d))
    2896           0 :         w <<= 1;
    2897             :       else
    2898             :       {
    2899         324 :         vd = Z_pval(d, p);
    2900         324 :         if (w >= v+2*vd + is2) break;
    2901         162 :         w = v+2*vd + is2;
    2902             :       }
    2903         162 :     }
    2904         162 :     x = X;
    2905             :   }
    2906             :   /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
    2907             :    * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
    2908         174 :   v += 2*vd + is2;
    2909         174 :   N = powiu(p,v);
    2910         174 :   t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
    2911         174 :   S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
    2912         174 :   ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
    2913         174 :   lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
    2914             :   /* evaluate our formal power series at t */
    2915         174 :   H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
    2916         174 :   h = gsqr(poleval(lt, t));
    2917         174 :   g = sqri(g);
    2918         174 :   a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
    2919         174 :   b = gdiv(gneg(h), g);
    2920         174 :   if (E != e)
    2921             :   {
    2922          18 :     GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
    2923          18 :     a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
    2924          18 :     b = gmul(u,b);
    2925             :   }
    2926         174 :   H = mkvec2(a,b);
    2927         174 :   if (ab)
    2928             :   {
    2929          90 :     H = RgV_dotproduct(H, ab);
    2930          90 :     H = precp_fix(H,v0);
    2931             :   }
    2932             :   else
    2933             :   {
    2934          84 :     gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
    2935          84 :     gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
    2936             :   }
    2937         174 :   return gerepilecopy(av, H);
    2938             : }
    2939             : 
    2940             : GEN
    2941          12 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    2942             : {
    2943          12 :   pari_sp av = avma;
    2944             :   long vt;
    2945             :   GEN t, x, y, L;
    2946          12 :   checkellpt(P);
    2947          12 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
    2948          12 :   x = gel(P,1);
    2949          12 :   y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
    2950          12 :   vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
    2951          12 :   if (vt <= 0)
    2952           6 :     pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
    2953           6 :   L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
    2954           6 :   return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
    2955             : }
    2956             : 
    2957             : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
    2958             : GEN
    2959          18 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
    2960             : {
    2961          18 :   pari_sp av = avma;
    2962             :   GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
    2963             :   ulong pp;
    2964          18 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
    2965          18 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
    2966          18 :   pp = itou_or_0(p);
    2967          18 :   F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
    2968          18 :   a = gcoeff(F,1,1);
    2969          18 :   b = gcoeff(F,1,2);
    2970          18 :   d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
    2971          18 :   if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
    2972          18 :   if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
    2973           0 :     ap = ellap(E,p);
    2974             :   else
    2975             :   { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
    2976          18 :     GEN q = abscmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
    2977          18 :     ap = padic_to_Fp(ap, q);
    2978          18 :     ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
    2979             :   }
    2980          18 :   D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
    2981          18 :   if (absequaliu(p,2)) n++;
    2982          18 :   sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
    2983          18 :   l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
    2984          18 :   return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
    2985             : }
    2986             : 
    2987             : GEN
    2988         108 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
    2989             : {
    2990         108 :   pari_sp av = avma;
    2991             :   GEN t;
    2992             :   long s;
    2993             : 
    2994         108 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2995         108 :   switch(ell_get_type(e))
    2996             :   {
    2997             :     case t_ELL_Qp:
    2998          96 :       prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    2999          96 :       return ellQp_P2t(e, z, prec);
    3000           6 :     case t_ELL_Q: break;
    3001           6 :     case t_ELL_Rg: break;
    3002           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
    3003             :   }
    3004          12 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    3005          12 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    3006          12 :   s = ellR_get_sign(e);
    3007          12 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    3008           6 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    3009             :   else
    3010           6 :     t = zellcx(e,z,prec);
    3011          12 :   return gerepileupto(av,t);
    3012             : }
    3013             : 
    3014             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    3015             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    3016             : typedef struct {
    3017             :   enum period_type type;
    3018             :   GEN in; /* original input */
    3019             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    3020             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    3021             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    3022             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    3023             :   GEN x,y; /* t_INT */
    3024             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    3025             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    3026             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    3027             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    3028             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    3029             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    3030             :   long prec; /* precision(Z) */
    3031             : } ellred_t;
    3032             : 
    3033             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    3034             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    3035             : static void
    3036       20064 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    3037             : {
    3038       20064 :   GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
    3039       20064 :   pari_sp av = avma;
    3040             : 
    3041       20064 :   a = d = gen_1;
    3042       20064 :   b = c = gen_0;
    3043             :   for(;;)
    3044             :   {
    3045       38742 :     GEN m, n = ground(real_i(t));
    3046       38742 :     if (signe(n))
    3047             :     { /* apply T^n */
    3048       23568 :       t = gsub(t,n);
    3049       23568 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    3050       23568 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    3051             :     }
    3052       38742 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    3053       18678 :     t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
    3054       18678 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    3055       18678 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    3056       18678 :     if (gc_needed(av, 1)) {
    3057           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "cxredsl2");
    3058           0 :       gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
    3059             :     }
    3060       18678 :   }
    3061       20064 :   *pa = a;
    3062       20064 :   *pb = b;
    3063       20064 :   *pc = c;
    3064       20064 :   *pd = d;
    3065       20064 : }
    3066             : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    3067             :  * Set *pU to U. */
    3068             : GEN
    3069        7638 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    3070             : {
    3071        7638 :   pari_sp av = avma;
    3072             :   GEN U, a,b,c,d;
    3073        7638 :   set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
    3074        7638 :   U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    3075        7638 :   t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b), gadd(gmul(c,t), d));
    3076        7638 :   gerepileall(av, 2, &t, &U);
    3077        7638 :   *pU = U; return t;
    3078             : }
    3079             : 
    3080             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    3081             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    3082             : static void
    3083       12426 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    3084             : {
    3085             :   long s, p;
    3086       12426 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    3087       12426 :   if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    3088       12426 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    3089       12426 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    3090             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    3091       12426 :   T->swap = (s < 0);
    3092       12426 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    3093       12426 :   set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    3094             :   /* update lattice */
    3095       12426 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    3096       12426 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    3097       12426 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    3098       12426 :   if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    3099       12426 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    3100       12426 :   T->prec = p;
    3101       12426 : }
    3102             : /* is z real or pure imaginary ? */
    3103             : static void
    3104       13272 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    3105             : {
    3106       13272 :   if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
    3107        8700 :   else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
    3108       13272 : }
    3109             : static void
    3110        8472 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    3111             : {
    3112             :   long p;
    3113             :   GEN Z;
    3114        8472 :   T->abs_u_is_1 = 0;
    3115        8472 :   T->some_z_is_real = 0;
    3116        8472 :   T->some_z_is_pure_imag = 0;
    3117        8472 :   switch(typ(z))
    3118             :   {
    3119        8472 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    3120             :     case t_QUAD:
    3121           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    3122           0 :       break;
    3123           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    3124             :   }
    3125        8472 :   T->z = z;
    3126        8472 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    3127        8472 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    3128        8472 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    3129        8472 :   T->y = ground(real_i(Z));
    3130        8472 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    3131        8472 :   if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
    3132             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    3133        8472 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    3134        8472 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    3135             :   {
    3136        4134 :     int W2real = 0, W2imag = 0;
    3137        4134 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    3138        4134 :     if (W2real)
    3139         318 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    3140        3816 :     else if (W2imag)
    3141         348 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    3142             :   }
    3143        8472 :   p = precision(Z);
    3144        8472 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    3145          24 :     Z = NULL; /*z in L*/
    3146        8472 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    3147        8472 :   T->Z = Z;
    3148        8472 : }
    3149             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    3150             : static GEN
    3151        7596 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    3152             : {
    3153        7596 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    3154        7596 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    3155        7596 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    3156        7596 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    3157        3624 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    3158             : }
    3159             : /* e is either
    3160             :  * - [w1,w2]
    3161             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    3162             :  * - an ellinit structure */
    3163             : static void
    3164       12426 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    3165             : {
    3166             :   GEN w, e;
    3167       12426 :   T->q_is_real = 0;
    3168       12426 :   T->some_q_is_real = 0;
    3169       12426 :   switch(T->type)
    3170             :   {
    3171             :     case t_PER_ELL:
    3172             :     {
    3173         876 :       long pr, p = prec;
    3174         876 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    3175         876 :       e = T->in;
    3176         876 :       w = ellR_omega(e, p);
    3177         876 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    3178         876 :       break;
    3179             :     }
    3180             :     case t_PER_W:
    3181       11418 :       w = T->in; break;
    3182             :     default: /*t_PER_WETA*/
    3183         132 :       w = gel(T->in,1); break;
    3184             :   }
    3185       12426 :   T->w1 = gel(w,1);
    3186       12426 :   T->w2 = gel(w,2);
    3187       12426 :   red_modSL2(T, prec);
    3188       12426 :   if (z) reduce_z(z, T);
    3189       12426 : }
    3190             : static int
    3191       12432 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    3192             : {
    3193             :   GEN w1;
    3194       12432 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    3195       12432 :   T->in = e;
    3196       12432 :   switch(lg(e))
    3197             :   {
    3198             :     case 17:
    3199         882 :       T->type = t_PER_ELL;
    3200         882 :       break;
    3201             :     case 3:
    3202       11550 :       w1 = gel(e,1);
    3203       11550 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    3204       11418 :         T->type = t_PER_W;
    3205             :       else
    3206             :       {
    3207         132 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    3208         132 :         T->type = t_PER_WETA;
    3209             :       }
    3210       11550 :       break;
    3211           0 :     default: return 0;
    3212             :   }
    3213       12432 :   return 1;
    3214             : }
    3215             : static int
    3216       12366 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    3217             : {
    3218       12366 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    3219       12366 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    3220             : }
    3221             : 
    3222             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    3223             : static GEN
    3224        7662 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    3225             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    3226             : GEN
    3227       28686 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    3228             : 
    3229             : static GEN
    3230       11772 : check_real(GEN q)
    3231       11772 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
    3232             : 
    3233             : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
    3234             : static GEN
    3235       11562 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
    3236             : {
    3237             :   pari_sp av;
    3238             :   GEN p1, q, y, qn;
    3239       11562 :   long n = 1;
    3240             : 
    3241       11562 :   if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
    3242         210 :   q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
    3243         210 :   q = check_real(q);
    3244         210 :   y = gen_0;
    3245         210 :   av = avma; qn = gen_1;
    3246        1860 :   for(;; n++)
    3247             :   { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
    3248        2070 :     qn = gmul(q,qn);
    3249        2070 :     p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
    3250        2070 :     if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3251        1860 :     y = gadd(y, p1);
    3252        1860 :     if (gc_needed(av,2))
    3253             :     {
    3254           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
    3255           0 :       gerepileall(av, 2, &y,&qn);
    3256             :     }
    3257        1860 :   }
    3258         210 :   return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
    3259             : }
    3260             : 
    3261             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    3262             : static GEN
    3263       11562 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    3264             : {
    3265       11562 :   GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
    3266       11562 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    3267       11562 :   return check_real(y);
    3268             : }
    3269             : 
    3270             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    3271             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    3272             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    3273             : GEN
    3274        3804 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    3275             : {
    3276        3804 :   pari_sp av = avma;
    3277             :   GEN y;
    3278             :   ellred_t T;
    3279             : 
    3280        3804 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    3281        3804 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    3282        3804 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    3283        3804 :   y = _elleisnum(&T, k);
    3284        3804 :   if (k==2 && signe(T.c))
    3285        3438 :   {
    3286        3438 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    3287        3438 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    3288             :   }
    3289         366 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    3290         348 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    3291        3804 :   return gerepileupto(av,y);
    3292             : }
    3293             : 
    3294             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    3295             : static GEN
    3296        7602 : _elleta(ellred_t *T)
    3297             : {
    3298        7602 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
    3299        7602 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    3300        7602 :   y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
    3301        7602 :   retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
    3302             : }
    3303             : 
    3304             : /* compute eta1, eta2 */
    3305             : GEN
    3306          66 : elleta(GEN om, long prec)
    3307             : {
    3308          66 :   pari_sp av = avma;
    3309             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    3310             :   ellred_t T;
    3311             : 
    3312          66 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    3313          66 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    3314             : 
    3315          60 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    3316          60 :   prec = T.prec;
    3317          60 :   pi = mppi(prec);
    3318          60 :   E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
    3319          60 :   if (signe(T.c))
    3320             :   {
    3321          18 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    3322             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    3323          18 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    3324             :   }
    3325          60 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    3326          60 :   if (T.swap)
    3327             :   {
    3328           6 :     y1 = y2;
    3329           6 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    3330             :   }
    3331             :   else
    3332          54 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    3333          60 :   switch(typ(T.w1))
    3334             :   {
    3335             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    3336          42 :       y1 = real_i(y1);
    3337             :   }
    3338          60 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    3339             : }
    3340             : GEN
    3341          12 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    3342             : {
    3343          12 :   pari_sp av = avma;
    3344             :   ellred_t T;
    3345          12 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    3346          12 :   switch(flag)
    3347             :   {
    3348           6 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    3349           6 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    3350           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    3351             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    3352             :   }
    3353             : }
    3354             : 
    3355             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    3356             : static double
    3357        8436 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    3358             : 
    3359             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    3360             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    3361             : static GEN
    3362         840 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    3363             : {
    3364             :   long toadd;
    3365         840 :   pari_sp av = avma, av1;
    3366             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    3367             :   ellred_t T;
    3368             :   int simple_case;
    3369             : 
    3370         840 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    3371         840 :   if (!T.Z) return NULL;
    3372         822 :   prec = T.prec;
    3373             : 
    3374             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    3375         822 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3376         822 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3377         822 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3378         822 :   u1 = gsubsg(1,u);
    3379         822 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    3380         822 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    3381         822 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    3382         822 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    3383         822 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3384         822 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    3385         822 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    3386         822 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3387             : 
    3388         822 :   av1 = avma; qn = q;
    3389             :   for(;;)
    3390             :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    3391             :     /* analogous formula for yp */
    3392       11328 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    3393       11328 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    3394       11328 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    3395       11328 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    3396       11328 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    3397       11328 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    3398         336 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    3399             :     else
    3400             :     {
    3401       10992 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    3402       10992 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    3403       10992 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    3404       10992 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    3405             :     }
    3406       11328 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    3407       11328 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    3408       11328 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    3409             : 
    3410       11328 :     qn = gmul(q,qn);
    3411       11328 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3412       10506 :     if (gc_needed(av1,1))
    3413             :     {
    3414           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    3415           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    3416             :     }
    3417       10506 :   }
    3418         822 :   if (yp)
    3419             :   {
    3420         768 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
    3421         768 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    3422             :   }
    3423             : 
    3424         822 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    3425         822 :   u2 = gsqr(u1);
    3426         822 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    3427         822 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    3428         486 :     y = real_i(y);
    3429         822 :   if (yp)
    3430             :   {
    3431         768 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    3432         768 :     if (T.some_q_is_real)
    3433             :     {
    3434         768 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    3435         324 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    3436             :     }
    3437         768 :     y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
    3438             :   }
    3439         822 :   return gerepilecopy(av, y);
    3440             : }
    3441             : static GEN
    3442         258 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    3443             : {
    3444             :   long i, k, l;
    3445             :   pari_sp av;
    3446         258 :   GEN t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    3447             : 
    3448         258 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    3449         258 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    3450             : 
    3451         258 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    3452         258 :   switch(PRECDL)
    3453             :   {
    3454         258 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    3455             :     case 6:
    3456         258 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    3457             :     case 4:
    3458         258 :     case 3: P[2] = gen_0;
    3459             :     case 2:
    3460         258 :     case 1: P[0] = gen_1;
    3461         258 :     case 0: break;
    3462             :   }
    3463         258 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    3464         258 :   av = avma;
    3465         258 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    3466         930 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    3467             :   {
    3468         672 :     av = avma;
    3469         672 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    3470         672 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    3471         672 :     t = gmul2n(t, 1);
    3472         672 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    3473         672 :     if (k % 3 == 2)
    3474         234 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    3475             :     else /* same value, more efficient */
    3476         438 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    3477         672 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    3478             :   }
    3479         258 :   return res;
    3480             : }
    3481             : 
    3482             : static int
    3483         252 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    3484             : {
    3485         252 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    3486             :   {
    3487             :     case 17:
    3488         174 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    3489         174 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    3490         174 :       return 1;
    3491             :     case 3:
    3492             :     {
    3493             :       ellred_t T;
    3494          78 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    3495          78 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    3496          78 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    3497          78 :       return 1;
    3498             :     }
    3499             :   }
    3500           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    3501           0 :   return 0;
    3502             : }
    3503             : 
    3504             : GEN
    3505          12 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    3506             : {
    3507             :   GEN c4, c6;
    3508          12 :   checkell(e);
    3509          12 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3510          12 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    3511             : }
    3512             : 
    3513             : GEN
    3514           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    3515           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    3516             : 
    3517             : GEN
    3518         150 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    3519             : {
    3520         150 :   pari_sp av = avma;
    3521             :   GEN y;
    3522             : 
    3523         150 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    3524         150 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3525         150 :   y = toser_i(z);
    3526         150 :   if (y)
    3527             :   {
    3528          90 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3529             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3530          90 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    3531          90 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    3532          90 :     if (gequal0(y)) {
    3533           0 :       avma = av;
    3534           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    3535           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    3536             :     }
    3537          90 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3538          90 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3539          90 :     if (!flag)
    3540          90 :       return gerepileupto(av, Q);
    3541             :     else
    3542             :     {
    3543           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    3544           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    3545             :     }
    3546             :   }
    3547          60 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    3548          60 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    3549          54 :   return gerepileupto(av, y);
    3550             : }
    3551             : 
    3552             : GEN
    3553         132 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3554             : {
    3555             :   long prec;
    3556         132 :   pari_sp av = avma;
    3557         132 :   GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
    3558             :   ellred_t T;
    3559             :   int simple_case;
    3560             : 
    3561         132 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3562         132 :   y = toser_i(z);
    3563         132 :   if (y)
    3564             :   {
    3565          78 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3566             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3567          78 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3568          78 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3569          78 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3570          78 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3571          78 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3572          78 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3573          78 :     return gerepileupto(av, Q);
    3574             :   }
    3575          54 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3576          54 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3577          54 :   prec = T.prec;
    3578          54 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3579             : 
    3580          54 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3581          54 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3582          54 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3583          54 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3584             : 
    3585          54 :   y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3586          54 :   v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3587          54 :   if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3588          54 :   y = gadd(y, v);
    3589             : 
    3590          54 :   if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
    3591             :   {
    3592          42 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3593          42 :     pari_sp av1 = avma;
    3594             :     GEN qn;
    3595          42 :     for (qn = q;;)
    3596             :     { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
    3597         414 :       GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
    3598         414 :       y = gadd(y, gmul(qn,p1));
    3599         414 :       qn = gmul(q,qn);
    3600         414 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3601         372 :       if (gc_needed(av1,1))
    3602             :       {
    3603           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3604           0 :         gerepileall(av1,2, &y,&qn);
    3605             :       }
    3606         372 :     }
    3607             :   }
    3608          54 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3609          54 :   if (et) y = gadd(y,et);
    3610          54 :   if (T.some_q_is_real)
    3611             :   {
    3612          54 :     if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3613          36 :     else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3614             :   }
    3615          54 :   return gerepilecopy(av, y);
    3616             : }
    3617             : 
    3618             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3619             : GEN
    3620        7662 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3621             : {
    3622             :   long toadd, prec, n;
    3623        7662 :   pari_sp av = avma, av1;
    3624             :   GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3625             :   GEN u, uhalf, urn, urninv;
    3626             :   ellred_t T;
    3627             : 
    3628        7662 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3629             : 
    3630        7662 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3631        7662 :   y = toser_i(z);
    3632        7662 :   if (y)
    3633             :   {
    3634          84 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3635             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3636          84 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3637          84 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3638          84 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3639          78 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3640          78 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3641          78 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3642             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3643          78 :     P = integser(gsub(P, pol_xnall(-1,vy)));
    3644          78 :     P = gexp(P, prec0);
    3645          78 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3646          78 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3647          78 :     return gerepileupto(av, Q);
    3648             :   }
    3649        7578 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3650        7578 :   if (!T.Z)
    3651             :   {
    3652           6 :     if (!flag) return gen_0;
    3653           6 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3654             :   }
    3655        7572 :   prec = T.prec;
    3656        7572 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3657        7572 :   pi  = mppi(prec);
    3658             : 
    3659        7572 :   toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3660        7572 :   uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3661        7572 :   u = gsqr(uhalf);
    3662        7572 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    3663        7572 :   q = gpowgs(q8,8);
    3664        7572 :   u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
    3665        7572 :   y = gen_0;
    3666        7572 :   av1 = avma;
    3667        7572 :   qn = q; qn2 = gen_1;
    3668        7572 :   urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
    3669       49680 :   for(n=0;;n++)
    3670             :   {
    3671       49680 :     y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
    3672       49680 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3673       49680 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3674       42108 :     qn  = gmul(q,qn);
    3675       42108 :     urn = gmul(urn,u);
    3676       42108 :     urninv = gmul(urninv,uinv);
    3677       42108 :     if (gc_needed(av1,1))
    3678             :     {
    3679           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3680           0 :       gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3681             :     }
    3682       42108 :   }
    3683        7572 :   y = gmul(gmul(y,q8),
    3684             :            gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3685             : 
    3686        7572 :   et = _elleta(&T);
    3687        7572 :   etnew = eta_correction(&T, et);
    3688        7572 :   zinit = gmul(T.Z,T.W2);
    3689        7572 :   etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
    3690             :                            gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
    3691        7572 :   if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
    3692        7572 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
    3693        7572 :   if (flag)
    3694             :   {
    3695        7518 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3696        7518 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
    3697             :     { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
    3698          18 :       if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
    3699             :     }
    3700             :   }
    3701             :   else
    3702             :   {
    3703          54 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3704          54 :     if (T.some_q_is_real)
    3705             :     {
    3706          54 :       if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3707          36 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3708             :     }
    3709             :   }
    3710        7572 :   return gerepilecopy(av, y);
    3711             : }
    3712             : 
    3713             : GEN
    3714         828 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3715             : {
    3716         828 :   pari_sp av = avma;
    3717             :   GEN v;
    3718             : 
    3719         828 :   checkell(e);
    3720         828 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3721             :   {
    3722          48 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3723          48 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3724             :   }
    3725         780 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3726         780 :   if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
    3727         768 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3728         768 :   gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
    3729         768 :   return gerepilecopy(av, v);
    3730             : }
    3731             : 
    3732             : /********************************************************************/
    3733             : /**                                                                **/
    3734             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3735             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3736             : /**                                                                **/
    3737             : /********************************************************************/
    3738             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3739             : typedef struct {
    3740             :   long a1; /*{0,1}*/
    3741             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3742             :   long a3; /*{0,1}*/
    3743             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3744             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3745             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3746             : } ellmin_t;
    3747             : 
    3748             : /* u from [u,r,s,t] */
    3749             : static void
    3750     1003458 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3751             : {
    3752     1003458 :   M->u = u;
    3753     1003458 :   if (is_pm1(u))
    3754      949512 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3755             :   else
    3756             :   {
    3757       53946 :     M->u2 = sqri(u);
    3758       53946 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3759       53946 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3760       53946 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3761             :   }
    3762     1003458 : }
    3763             : /* E = original curve */
    3764             : static void
    3765     1003458 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3766             : {
    3767     1003458 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3768     1003458 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3769       53946 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3770       53946 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3771             :   }
    3772     1003458 :   M->c4 = c4;
    3773     1003458 :   M->c6 = c6;
    3774     1003458 : }
    3775             : static void
    3776     1003194 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3777             : {
    3778     1003194 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3779     1003194 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3780     1003194 :   M->D = D;
    3781     1003194 : }
    3782             : static void
    3783     1003332 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3784             : {
    3785             :   long b22, b2;
    3786     1003332 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3787     1003332 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3788     1003332 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3789     1003332 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3790     1003332 : }
    3791             : static void
    3792     1003212 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3793             : {
    3794     1003212 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3795     1003212 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3796     1003212 :   if (odd(b2))
    3797             :   {
    3798      514638 :     a1 = 1;
    3799      514638 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3800             :   }
    3801             :   else
    3802             :   {
    3803      488574 :     a1 = 0;
    3804      488574 :     a2 = b2 >> 2;
    3805             :   }
    3806     1003212 :   M->a1 = a1;
    3807     1003212 :   M->a2 = a2;
    3808     1003212 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3809     1003212 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3810     1003212 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3811     1003212 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3812     1003212 : }
    3813             : static void
    3814     1003188 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3815             : {
    3816     1003188 :   min_set_u(M, u);
    3817     1003188 :   min_set_c(M, E);
    3818     1003188 :   min_set_D(M, E);
    3819     1003188 :   min_set_b(M);
    3820     1003188 :   min_set_a(M);
    3821     1003188 : }
    3822             : static GEN
    3823      991974 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3824             : {
    3825      991974 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3826             :   long a11, a13;
    3827      991974 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3828      991974 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3829      991974 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3830      991974 :   gel(y,4) = M->a4;
    3831      991974 :   gel(y,5) = M->a6;
    3832      991974 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3833      991974 :   gel(y,7) = M->b4;
    3834      991974 :   gel(y,8) = M->b6;
    3835      991974 :   a11 = M->a1;
    3836      991974 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3837      991974 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3838             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3839      991974 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3840      991974 :   gel(y,10)= M->c4;
    3841      991974 :   gel(y,11)= M->c6;
    3842      991974 :   gel(y,12)= M->D;
    3843      991974 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3844      991974 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3845      991974 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3846      991974 :   return y;
    3847             : }
    3848             : static GEN
    3849     1003188 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3850             : {
    3851             :   GEN r, s, t;
    3852     1003188 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3853     1003188 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3854     1003188 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3855     1003188 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3856             : }
    3857             : 
    3858             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3859             : static long
    3860     1442244 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3861             : {
    3862     1442244 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3863     1442244 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3864     1442244 :   if (!signe(c6))
    3865             :   {
    3866        2460 :     d = vD / 12;
    3867        2460 :     if (d)
    3868             :     {
    3869         918 :       if (p == 2)
    3870             :       {
    3871         702 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3872         702 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3873         702 :         if (a) d--;
    3874             :       }
    3875         918 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3876             :     }
    3877        2460 :     v6 = 12; /* +oo */
    3878             :   }
    3879             :   else
    3880             :   {
    3881     1439784 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3882     1439784 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3883     1439784 :     if (d) {
    3884      155268 :       if (p == 2) {
    3885       94056 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3886       94056 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3887       94056 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3888       94056 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3889       61212 :       } else if (p == 3) {
    3890       38736 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3891             :       }
    3892      155268 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3893             :     }
    3894             :   }
    3895     1442244 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3896             : }
    3897             : static long
    3898      752994 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3899             : {
    3900             :   GEN c6;
    3901             :   long d, v6, vD;
    3902      752994 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3903           6 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3904           6 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3905           6 :   if (!signe(c6))
    3906             :   {
    3907           0 :     d = vD / 12;
    3908           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3909           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3910             :   }
    3911             :   else
    3912             :   {
    3913           6 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3914           6 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3915           6 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3916             :   }
    3917           6 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3918             : }
    3919             : 
    3920             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3921             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3922             :   in the form [f, kod, v, c].
    3923             : 
    3924             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3925             : 
    3926             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3927             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3928             :     I0  -->  1
    3929             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3930             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3931             : 
    3932             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3933             : 
    3934             :   * c is the Tamagawa number.
    3935             : 
    3936             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3937             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3938             : static GEN
    3939     1481544 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3940             : {
    3941     1481544 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3942     1481544 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3943     1481544 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3944     1481544 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3945     1481544 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3946             : }
    3947             : static GEN
    3948           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3949             : {
    3950           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3951           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3952             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3953             : }
    3954             : 
    3955             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3956             : static long
    3957      753732 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3958             : 
    3959             : /* p > 3, e integral */
    3960             : static GEN
    3961      752994 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3962             : {
    3963             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3964      752994 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3965             : 
    3966      752994 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3967      752994 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3968      752994 :   nuj = j_pval(e, p);
    3969      752994 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3970      752994 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3971      752994 :   if (!k) v = init_ch();
    3972             :   else
    3973             :   { /* model not minimal */
    3974             :     ellmin_t M;
    3975       11220 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3976       11220 :     v = min_get_v(&M, e);
    3977       11220 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3978             :   }
    3979             : 
    3980      752994 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3981             :   {
    3982      652110 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3983      652110 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3984             :       {
    3985      336180 :         case  1: c = nuD; break;
    3986      315930 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3987           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3988             :       }
    3989      652110 :       break;
    3990             :     case 6:
    3991             :     {
    3992       39174 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3993       39174 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3994       39174 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3995       39174 :       break;
    3996             :     }
    3997           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3998             :   }
    3999       61710 :   else switch(nuD)
    4000             :   {
    4001          12 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    4002       10008 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    4003        8862 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    4004        4830 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    4005        4830 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    4006        4830 :       break;
    4007       14484 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    4008       14484 :       p2 = sqri(p);
    4009             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    4010       14484 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    4011             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    4012             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    4013       14484 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    4014       14484 :       break;
    4015        9954 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    4016        9954 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    4017        9954 :       break;
    4018        8766 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    4019        4794 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    4020           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    4021             :   }
    4022      752994 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    4023             : }
    4024             : 
    4025             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    4026             : static ulong
    4027      761742 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    4028      761742 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    4029             : 
    4030             : static ulong
    4031     1218852 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    4032             : {
    4033     1218852 :   pari_sp av = avma;
    4034     1218852 :   ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
    4035     1218852 :   avma = av; return res;
    4036             : }
    4037             : 
    4038             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    4039             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    4040             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    4041             : static long
    4042      209406 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    4043             : {
    4044      209406 :   if (p == 2)
    4045             :   {
    4046      120942 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    4047      104886 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    4048             :   }
    4049             :   /* p = 3 */
    4050       88464 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    4051       59196 :   *mult = a * b;
    4052       59196 :   if (b == 2)
    4053       19710 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    4054             :   else
    4055       39486 :     return c ? 3 : 2;
    4056             : }
    4057             : 
    4058             : /* same for aX^2 +bX + c */
    4059             : static long
    4060      676188 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    4061             : {
    4062      676188 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    4063             :   /* p = 3 */
    4064      258066 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    4065             : }
    4066             : 
    4067             : /* p = 2 or 3 */
    4068             : static GEN
    4069      602292 : localred_23(GEN e, long p)
    4070             : {
    4071             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    4072             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    4073             :   GEN v;
    4074             : 
    4075      602292 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    4076      602292 :   if (!k) v = init_ch();
    4077             :   {
    4078             :     ellmin_t M;
    4079      602292 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    4080      602292 :     v = min_get_v(&M, e);
    4081      602292 :     e = min_to_ell(&M, e);
    4082             :   }
    4083             :   /* model is minimal */
    4084      602292 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    4085      602292 :   v = init_ch();
    4086      602292 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    4087      275694 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    4088             : 
    4089      602292 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    4090      602190 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    4091             :   {
    4092      330774 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    4093      167946 :       c = nuD;
    4094             :     else
    4095      162828 :       c = 2 - (nuD & 1);
    4096      330774 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    4097             :   }
    4098      271416 :   if (p == 2)
    4099             :   {
    4100      159234 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    4101      159234 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    4102      159234 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    4103      159234 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    4104             :   }
    4105             :   else /* p == 3 */
    4106             :   {
    4107      112182 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    4108      112182 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    4109      112182 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    4110      112182 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    4111             :   }
    4112             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    4113      271416 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    4114      271416 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    4115       19098 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    4116      252318 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    4117       23658 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    4118      228660 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    4119             :   {
    4120       19254 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    4121        9864 :       c = 3;
    4122             :     else
    4123        9390 :       c = 1;
    4124       19254 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    4125             :   }
    4126             : 
    4127      209406 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    4128       78018 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    4129             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    4130      209406 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    4131      209406 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    4132      209406 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    4133      209406 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    4134             :   {
    4135             :     case 3:
    4136       30918 :       c = a63 ? 1: 2;
    4137       30918 :       if (p == 2)
    4138       16056 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    4139             :       else {
    4140       14862 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    4141       14862 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    4142             :       }
    4143       30918 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    4144             :     case 2:
    4145             :     { /* compute nu */
    4146             :       GEN pk, pk1, p2k;
    4147             :       long al, be, ga;
    4148      111726 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    4149             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    4150      111726 :       nu = 1;
    4151      111726 :       pk  = utoipos(p2);
    4152      111726 :       p2k = utoipos(p4);
    4153             :       for(;;)
    4154             :       {
    4155      332328 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    4156      332328 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    4157      332328 :         al = 1;
    4158      332328 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    4159      277098 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    4160      277098 :         pk1 = pk;
    4161      277098 :         pk  = mului(p, pk);
    4162      277098 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    4163             : 
    4164      277098 :         al = a21;
    4165      277098 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    4166      277098 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    4167      277098 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    4168      220602 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    4169      220602 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    4170      220602 :       }
    4171      111726 :       if (p == 2)
    4172       61938 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    4173             :       else
    4174       49788 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    4175      111726 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    4176             :     }
    4177             :     case 1:
    4178       66762 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    4179             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    4180       66762 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    4181       66762 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    4182       66762 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    4183             :       {
    4184       25494 :         if (p == 2)
    4185       17388 :           c = 3 - 2 * a64;
    4186             :         else
    4187        8106 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    4188       25494 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    4189             :       }
    4190       41268 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    4191             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    4192       41268 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    4193       24822 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    4194             : 
    4195             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    4196       16446 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    4197             :   }
    4198             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4199             : }
    4200             : 
    4201             : static GEN
    4202     1355076 : localred(GEN e, GEN p)
    4203             : {
    4204     1355076 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    4205      752994 :     return localred_p(e,p);
    4206             :   else
    4207             :   {
    4208      602082 :     long l = itos(p);
    4209      602082 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    4210      602082 :     return localred_23(e, l);
    4211             :   }
    4212             : }
    4213             : 
    4214             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    4215             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    4216             : static GEN
    4217       22572 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    4218             : {
    4219       22572 :   GEN b = z;
    4220             :   long i;
    4221       22572 :   if (typ(b) == t_INT)
    4222             :   {
    4223       22482 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    4224       22482 :     return shifti(negi(b),-1);
    4225             :   }
    4226         270 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4227             :   {
    4228         180 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4229             :   }
    4230          90 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    4231             : }
    4232             : 
    4233             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    4234             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    4235             : static GEN
    4236       11286 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    4237             : {
    4238       11286 :   GEN b = z;
    4239             :   long i;
    4240       11286 :   if (typ(b) == t_INT)
    4241             :   {
    4242       11244 :     long s = smodis(b,3);
    4243       11244 :     if (s)
    4244             :     {
    4245           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    4246           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    4247           0 :         b = subii(b, Jz);
    4248             :       else
    4249           0 :         b = addii(b, Jz);
    4250             :     }
    4251       11244 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    4252             :   }
    4253         126 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4254             :   {
    4255          84 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    4256          84 :     if (!s) continue;
    4257          42 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    4258          18 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    4259             :     else
    4260          24 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4261             :   }
    4262          42 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    4263             : }
    4264             : 
    4265             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    4266             : static GEN
    4267         690 : get_piinv(GEN P)
    4268             : {
    4269         690 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    4270         690 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    4271         690 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    4272             : }
    4273             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    4274             : static void
    4275      126258 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    4276             : {
    4277      126258 :   if (pr_is_inert(P))
    4278             :   {
    4279      125610 :     *pi = pr_get_p(P);
    4280      125610 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    4281             :   }
    4282             :   else
    4283             :   {
    4284         648 :     *pv = get_piinv(P);
    4285         648 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    4286             :   }
    4287      126258 : }
    4288             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    4289             : static GEN
    4290      204882 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    4291             : {
    4292      204882 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4293      204882 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4294      204882 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    4295             : }
    4296             : 
    4297             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    4298             : static GEN
    4299      332010 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    4300             : {
    4301      332010 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    4302      332010 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4303      332010 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    4304             : }
    4305             : 
    4306             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    4307             : 
    4308             : static GEN
    4309      183504 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    4310             : {
    4311      183504 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    4312      183504 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    4313      183504 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4314      183504 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    4315             : }
    4316             : 
    4317             : static GEN
    4318      495696 : pol2sqrt_23(GEN nf, GEN modP, GEN Q)
    4319             : {
    4320      495696 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4321      495696 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    4322      495696 :   if (!gequal1(gel(Q,4)))
    4323        3444 :     r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    4324      495696 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    4325      495696 :   return nftoalg(nf, Fq_to_nf(r, modP));
    4326             : }
    4327             : 
    4328             : static GEN
    4329       13284 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    4330             : {
    4331       13284 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4332       13284 :   GEN pi3 = gsqr(pi);
    4333       13284 :   GEN pv3 = gsqr(pv), pv4 = gmul(pv,pv3), pv6 = gsqr(pv3);
    4334       13284 :   long n = 1;
    4335             :   while(1)
    4336             :   {
    4337       34428 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    4338             :     GEN gama;
    4339       34428 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4340             :     {
    4341        6912 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4342        6912 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4343             :     }
    4344       27516 :     gama = pol2sqrt_23(nf,modP, Q);
    4345       27516 :     E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(gama,pi3));
    4346       27516 :     pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
    4347       27516 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    4348       27516 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4349             :     {
    4350        6372 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4351        6372 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4352             :     }
    4353       21144 :     gama = pol2sqrt_23(nf, modP, Q);
    4354       21144 :     E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama, pi3));
    4355       21144 :     pi3 = gmul(pi, pi3);
    4356       21144 :     pv3 = pv4; pv4 = gmul(pv,pv4); pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
    4357       21144 :   }
    4358             : }
    4359             : 
    4360             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    4361             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    4362             : 
    4363             : static GEN
    4364       84024 : nflocalred_23(GEN e, GEN P, long *ap)
    4365             : {
    4366       84024 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP;
    4367             :   long vD;
    4368             :   GEN ch, D, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    4369       84024 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4370       84024 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    4371       84024 :   if (typ(pi) == t_COL)
    4372             :   { /* sigh, we should stick to basis form */
    4373         450 :     pi = coltoalg(nf,pi);
    4374         450 :     pv = coltoalg(nf,pv);
    4375             :   }
    4376       84024 :   ch = init_ch();
    4377       84024 :   D = ell_get_disc(e);
    4378       84024 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4379       84024 :   *ap = 0;
    4380             :   while(1)
    4381             :   {
    4382      213528 :     if (vD==0)
    4383         522 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    4384             :     else
    4385             :     {
    4386      213006 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4387      213006 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4388      213006 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    4389      213006 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    4390      213006 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    4391             :       GEN x0, y0;
    4392      213006 :       if (absequaliu(p,2))
    4393             :       {
    4394             :         GEN x02, y02;
    4395      138606 :         if (signe(a1))
    4396             :         {
    4397       25434 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    4398       25434 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    4399       25434 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    4400             :         }
    4401             :         else
    4402             :         {
    4403      113172 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    4404      113172 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    4405             :         }
    4406      138606 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    4407             :       }
    4408             :       else
    4409             :       {
    4410       74400 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    4411       74400 :         if (signe(a12))
    4412       23460 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    4413             :         else
    4414       50940 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    4415       74400 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    4416             :       }
    4417      213006 :       x0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(x0, modP));
    4418      213006 :       y0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(y0, modP));
    4419      213006 :       E_gcompose_rt(&ch, &e, x0, y0);
    4420             :     }
    4421             :     /* 2 */
    4422             :     {
    4423      213006 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    4424      213006 :       if (signe(b2) != 0)
    4425             :       {
    4426       48894 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    4427       48894 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    4428       48894 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    4429       23784 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    4430             :       }
    4431             :     }
    4432             :     /* 3 */
    4433             :     {
    4434      164112 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    4435      164112 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    4436             :     }
    4437             :     /* 4 */
    4438             :     {
    4439      161910 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    4440      161910 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    4441             :     }
    4442             :     /* 5 */
    4443      158748 :     pv2 = gsqr(pv);
    4444             :     {
    4445      158748 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    4446      158748 :       if (vb6<=2)
    4447             :       {
    4448        2760 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    4449        2760 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4450        2760 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    4451             :       }
    4452             :     }
    4453             :     /* 6 */
    4454             :     {
    4455      155988 :       GEN pv3 = gmul(pv, pv2);
    4456      155988 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pola1a2(e, nf, modP));
    4457      155988 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(nf, modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    4458             :       GEN po2, E, F, mr;
    4459             :       long i, lE;
    4460      155988 :       E_gcompose_st(&ch, &e, alpha, gmul(beta, pi));
    4461      155988 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    4462      155988 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    4463             :       {
    4464       59232 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    4465       59232 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    4466       59232 :         lE = lg(E);
    4467       59232 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    4468             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    4469             :           long c; /* 1 + number of roots */
    4470        3870 :           switch(lE)
    4471             :           {
    4472        1512 :             case 2: c = 1; break;
    4473        2172 :             case 3: c = 2; break;
    4474         186 :             default: c = 4; break;
    4475             :           }
    4476        3870 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    4477             :         }
    4478             :       /* 7 */
    4479       55362 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    4480       55362 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    4481       55362 :         if (!gequal0(mr))
    4482             :         { /* not so frequent */
    4483       50178 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    4484       50178 :           E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama,pi));
    4485             :         }
    4486       55362 :         if (lE == 3)
    4487       13284 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    4488             :       }
    4489             :     }
    4490      138834 :     pv4 = gsqr(pv2);
    4491      138834 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    4492             :     /*  8 */
    4493      138834 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    4494             :     {
    4495        3774 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    4496        3774 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    4497             :     }
    4498             :     /*  9 */
    4499             :     {
    4500      135060 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pol);
    4501      135060 :       E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(alpha, gsqr(pi)));
    4502      135060 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    4503        3384 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    4504             :     }
    4505             :     /* 10 */
    4506      131676 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    4507        2172 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    4508             :     /* 11 */
    4509      129504 :     E_gcompose_u(&ch, &e, pi, pv);
    4510      129504 :     vD -= 12;
    4511      129504 :   }
    4512             : }
    4513             : 
    4514             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    4515             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    4516             : static GEN
    4517       42234 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    4518             : {
    4519       42234 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4520             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    4521             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    4522             : 
    4523       42234 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4524       42234 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4525       42234 :   D = ell_get_disc(e);
    4526       42234 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4527       42234 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    4528       42234 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    4529       42234 :   m = (vD - nuj)/12;
    4530       42234 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    4531             : 
    4532       42234 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    4533             :   else
    4534             :   { /* model not minimal */
    4535             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    4536       11286 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    4537       11286 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    4538       11286 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    4539       11286 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    4540       11286 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4541       11286 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    4542       11286 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    4543       11286 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    4544       11286 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    4545       11286 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4546       11286 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4547       11286 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4548       11286 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4549       11286 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4550       11286 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4551       11286 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4552       11286 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4553       11286 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4554             :   }
    4555             : 
    4556       42234 :   kod = 0; c = 1;
    4557             :   /* minimal at P */
    4558       42234 :   if (nuj > 0)
    4559             :   { /* v(j) < 0 */
    4560       39324 :     if (vD == nuj)
    4561             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4562       37530 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4563       37530 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4564       37530 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4565       19914 :         c = vD;/* split */
    4566             :       else
    4567       17616 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    4568             :     }
    4569             :     else
    4570             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4571             :       GEN Du;
    4572        1794 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4573        1794 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4574        1794 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4575        1794 :       if(odd(vD))
    4576             :       {
    4577             :         GEN c6u;
    4578         960 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4579         960 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4580         960 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4581             :       }
    4582        1794 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4583             :     }
    4584             :   }
    4585             :   else
    4586             :   { /* v(j) >= 0 */
    4587        2910 :     f = vD? 2: 0;
    4588        2910 :     switch(vD)
    4589             :     {
    4590             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4591          78 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    4592         504 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4593         396 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4594         234 :       case 4: kod = 4;
    4595         234 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4596         234 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4597         234 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4598         234 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4599         234 :         break;
    4600         534 :       case 6: kod = -1;
    4601         534 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4602         534 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4603         534 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4604         534 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4605         534 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4606         534 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4607         534 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4608         534 :         break;
    4609         522 :       case 8: kod = -4;
    4610         522 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4611         522 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4612         522 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4613         522 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4614         522 :         break;
    4615         408 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4616         234 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4617             :     }
    4618             :   }
    4619       42234 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4620             : }
    4621             : static GEN
    4622       84108 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4623             : {
    4624       84108 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4625       84108 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4626             :   {
    4627             :     long ap, vu;
    4628       41874 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4629       41874 :     GEN q = nflocalred_23(E,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4630             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4631       41874 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4632       41874 :     if (vu > 0)
    4633             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4634       41712 :       GEN D, R, S, T, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4635       41712 :       R = nf_to_scalar_or_basis(nf, r);
    4636       41712 :       S = nf_to_scalar_or_basis(nf, s);
    4637       41712 :       T = nf_to_scalar_or_basis(nf, t);
    4638       41712 :       D = Q_denom(mkvec3(R, S, T));
    4639       41712 :       if (!equali1(D))
    4640             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4641             :         GEN a;
    4642          42 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4643             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4644          42 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4645          42 :         a = basistoalg(nf, a);
    4646          42 :         gel(v,2) = gmul(r, a);
    4647          42 :         gel(v,3) = gmul(s, a);
    4648          42 :         gel(v,4) = gmul(t, a);
    4649          42 :         v = lift_if_rational(v);
    4650             :       }
    4651             :     }
    4652       41874 :     return q;
    4653             :   }
    4654       42234 :   return nflocalred_p(E,pr);
    4655             : }
    4656             : 
    4657             : GEN
    4658      167274 : elllocalred(GEN e, GEN p)
    4659             : {
    4660      167274 :   pari_sp av = avma;
    4661      167274 :   checkell(e);
    4662      167274 :   switch(ell_get_type(e))
    4663             :   {
    4664             :     case t_ELL_Q:
    4665       83646 :       if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
    4666           0 :         pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
    4667       83646 :       if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
    4668       83646 :       if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
    4669       83646 :       return gerepileupto(av, localred(e, p));
    4670           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
    4671             :     case t_ELL_NF:
    4672       83628 :       checkprid(p);
    4673       83628 :       return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
    4674             :   }
    4675             : }
    4676             : 
    4677             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4678             : static GEN
    4679         624 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4680             : {
    4681         624 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4682         624 :   return c;
    4683             : }
    4684             : static GEN
    4685     1959960 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4686             : {
    4687     1959960 :   *pd = NULL;
    4688     1959960 :   switch(typ(c))
    4689             :   {
    4690     1958616 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4691         720 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4692             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4693         624 :       if (nf)
    4694             :       {
    4695         624 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4696         624 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4697             :       }
    4698           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4699           0 :       return NULL;
    4700             :   }
    4701             : }
    4702             : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
    4703             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4704             : GEN
    4705      391992 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4706             : {
    4707      391992 :   GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
    4708             :   long i, l, k;
    4709             : 
    4710      391992 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4711      391992 :   L = cgetg(1, t_VEC);
    4712     2351952 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4713             :   {
    4714             :     GEN d;
    4715     1959960 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4716     1959960 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4717         852 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4718             :   }
    4719             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4720      391992 :   l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
    4721         414 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4722         414 :   l = lg(L);
    4723             : 
    4724         414 :   t = gen_1;
    4725         996 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4726             :   {
    4727         582 :     GEN p = gel(L,k);
    4728         582 :     long n = 0, m;
    4729        3492 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4730        2910 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4731             :       {
    4732        1500 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4733        1500 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4734        1500 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4735             :       }
    4736         582 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4737             :   }
    4738         414 :   u = ginv(t);
    4739         414 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4740         414 :   return coordch_uinv(e, t);
    4741             : }
    4742             : GEN
    4743         168 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4744             : {
    4745         168 :   pari_sp av = avma;
    4746             :   long t;
    4747         168 :   checkell(e);
    4748         168 :   t = ell_get_type(e);
    4749         168 :   if (t != t_ELL_Q && t != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4750         168 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4751         168 :   if (!pv || !*pv)
    4752             :   {
    4753         156 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4754         156 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4755             :   }
    4756             :   else
    4757          12 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4758         168 :   return e;
    4759             : }
    4760             : 
    4761             : static long
    4762        1254 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4763             : {
    4764        1254 :   long N = 1; /* oo */
    4765        1254 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4766        1110 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4767        1254 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4768        1002 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4769        1254 :   return N;
    4770             : }
    4771             : static long
    4772        2550 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4773             : {
    4774        2550 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4775             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4776        2550 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4777             : }
    4778             : static long
    4779        1236 : cardmod2(GEN e)
    4780             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4781        1236 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4782        1236 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4783        1236 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4784        1236 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4785        1236 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4786        1236 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4787             : }
    4788             : static long
    4789        2430 : cardmod3(GEN e)
    4790             : {
    4791        2430 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4792        2430 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4793        2430 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4794        2430 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4795             : }
    4796             : 
    4797             : static ulong
    4798          96 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4799             : 
    4800             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4801             : static void
    4802          24 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4803             : {
    4804          24 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4805          24 :   min_set_c(M, E);
    4806          24 :   min_set_b(M);
    4807          24 :   min_set_a(M);
    4808          24 : }
    4809             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4810             : static void
    4811         120 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4812             : {
    4813         120 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4814         120 :   min_set_c(M, E);
    4815         120 :   min_set_b(M);
    4816         120 : }
    4817             : 
    4818             : static long
    4819       86628 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4820             : {
    4821       86628 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4822       86628 :   if (vD) /* bad reduction */
    4823             :   {
    4824             :     GEN c6;
    4825             :     long s;
    4826       86364 :     *good_red = 0;
    4827       86364 :     if (vc6) return 0;
    4828       63234 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4829       63234 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4830       63234 :     s = kroiu(c6,p);
    4831       63234 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4832       63234 :     return s;
    4833             :   }
    4834         264 :   *good_red = 1;
    4835         264 :   if (p == 2)
    4836             :   {
    4837             :     ellmin_t M;
    4838          18 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4839          18 :     min_set_2(&M, E, d);
    4840          18 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4841             :   }
    4842         246 :   else if (p == 3)
    4843             :   {
    4844             :     ellmin_t M;
    4845         120 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4846         120 :     min_set_3(&M, E, d);
    4847         120 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4848             :   }
    4849             :   else
    4850             :   {
    4851             :     ellmin_t M;
    4852         126 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4853         126 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4854         126 :     min_set_c(&M, E);
    4855         126 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4856         126 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4857             :   }
    4858             : }
    4859             : 
    4860             : static GEN
    4861       84492 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4862             : {
    4863             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4864             :   long vc6, vD, d;
    4865       84492 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4866           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4867           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4868           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4869           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4870           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4871           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4872             :   {
    4873             :     long s;
    4874           0 :     *good_red = 0;
    4875           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4876           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4877           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4878           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4879           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4880             :   }
    4881           0 :   *good_red = 1;
    4882           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4883           0 :   if (d)
    4884             :   {
    4885           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4886           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4887           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4888             :   }
    4889           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4890           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4891             : }
    4892             : 
    4893             : static GEN
    4894       98726 : doellcard(GEN E)
    4895             : {
    4896       98726 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4897       98726 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4898       80876 :     return FF_ellcard(E);
    4899             :   else
    4900             :   {
    4901       17850 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4902       17850 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4903             :   }
    4904             : }
    4905             : 
    4906             : static GEN
    4907      192990 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4908             : {
    4909      192990 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4910      192990 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4911      192990 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4912             :   {
    4913             :     long ap;
    4914       42150 :     GEN L = nflocalred_23(E,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4915       42150 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4916         426 :     *good_red = 1;
    4917         426 :     E = coordch(E, gel(L,3));
    4918         426 :     E = ellinit_nf_to_Fq(E, modP);
    4919         426 :     card = doellcard(E);
    4920             :   }
    4921             :   else
    4922             :   {
    4923      150840 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4924      150840 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4925      150840 :     if (vD)
    4926             :     {
    4927             :       GEN c6new;
    4928       42192 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    4929       42192 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    4930       42192 :       if (vD > 12*d)
    4931             :       { /* bad reduction */
    4932       42150 :         *good_red = 0;
    4933       84300 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4934       37560 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    4935       37560 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4936             :       }
    4937          42 :       if (d)
    4938             :       { /* model not minimal at P */
    4939          42 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    4940          42 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4941          42 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4942          42 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    4943          42 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4944          42 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4945             :       }
    4946             :     }
    4947      108690 :     *good_red = 1;
    4948      108690 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4949      108690 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4950      108690 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4951      219036 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4952      110346 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4953             :   }
    4954      109116 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4955             : }
    4956             : 
    4957             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4958             :  * basis */
    4959             : static GEN
    4960      389868 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4961             : {
    4962             :   GEN P;
    4963      389868 :   if (!signe(a))
    4964        1410 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4965      388458 :   else if (!signe(b))
    4966         810 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4967             :   else
    4968             :   {
    4969      387648 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4970             :     long k, l;
    4971      387648 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4972      294924 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4973      294924 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4974             :     /* d = gcd(A,B) */
    4975      294924 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4976      294924 :     l = lg(P);
    4977      294924 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4978      294924 :     P = shallowconcat1(P);
    4979      294924 :     P = ZV_sort(P);
    4980             :   }
    4981      297144 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4982             : }
    4983             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4984             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4985             : static GEN
    4986      389676 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
    4987             : {
    4988             :   pari_sp av;
    4989      389676 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4990      389676 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4991      389676 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4992             :   long l, k;
    4993             : 
    4994      389676 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4995      389676 :   l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
    4996      296970 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    4997      296970 :   av = avma;
    4998      296970 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4999      296970 :   u = gen_1;
    5000      730548 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5001             :   {
    5002      433578 :     GEN p = gel(P, k);
    5003      433578 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    5004      433578 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    5005             :     {
    5006             :       case 2:
    5007             :       {
    5008             :         long a, b;
    5009       48732 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    5010       48732 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    5011       48732 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    5012       48732 :         break;
    5013             :       }
    5014             :       case 3:
    5015        1962 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    5016        1962 :         break;
    5017             :     }
    5018      433578 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    5019      433578 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    5020             :   }
    5021      296970 :   *pDP = DP;
    5022      296970 :   return gerepileuptoint(av, u);
    5023             : }
    5024             : 
    5025             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    5026             : static GEN
    5027          24 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    5028             : {
    5029          24 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    5030          24 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    5031          24 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    5032             : 
    5033          24 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    5034          24 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    5035          24 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    5036          24 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    5037          24 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    5038          24 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    5039          24 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    5040          24 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    5041          24 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    5042          24 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    5043             : }
    5044             : 
    5045             : static GEN
    5046         492 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    5047             : {
    5048         492 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    5049         492 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    5050             : }
    5051             : static GEN
    5052         192 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    5053             : {
    5054         192 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5055         192 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    5056         192 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    5057         192 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    5058             : }
    5059             : static GEN
    5060         108 : ellnf_D_primes(GEN E)
    5061             : {
    5062         108 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5063         108 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    5064         108 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    5065         108 :   long k, l = lg(P);
    5066         108 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    5067         108 :   if (!is_pm1(DZ))
    5068             :   {
    5069          78 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    5070          78 :     settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
    5071             :   }
    5072         108 :   return P;
    5073             : }
    5074             : 
    5075             : /* assume E integral */
    5076             : static GEN
    5077          84 : ellminimalprimes(GEN E)
    5078             : {
    5079             :   GEN S, nf, c4, c6, P, L, Lr, Ls, Lt, U;
    5080             :   long l, k;
    5081             : 
    5082          84 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    5083             : 
    5084          84 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    5085          84 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    5086          84 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    5087          84 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    5088          84 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    5089          84 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    5090          84 :   l = lg(P);
    5091          84 :   Lr = vectrunc_init(l);
    5092          84 :   Ls = vectrunc_init(l);
    5093          84 :   Lt = vectrunc_init(l);
    5094          84 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    5095          84 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    5096         342 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5097             :   {
    5098         258 :     GEN pr = gel(P, k), q, v, u;
    5099             :     long vu;
    5100         258 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    5101         222 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    5102             :     /* pr | (c4,c6) */
    5103         198 :     q = nflocalred(E, pr);
    5104         198 :     v = gel(q,3);
    5105         198 :     u = gel(v,1);
    5106         198 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    5107         198 :     if (!vu) continue;
    5108          96 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    5109          96 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    5110          96 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    5111          96 :     vectrunc_append(L, pr);
    5112          96 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    5113             :   }
    5114          84 :   return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt));
    5115             : }
    5116             : static GEN
    5117          30 : ellminimalnormu(GEN E)
    5118             : {
    5119          30 :   GEN v, S = ellminimalprimes(ellintegralmodel_i(E, &v));
    5120             :   long i, l;
    5121          30 :   GEN Nu, L = gel(S,1), U = gel(S,2), P = cgetg_copy(L, &l);
    5122          30 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    5123          30 :   Nu = factorback2(P, U);
    5124          30 :   if (v) Nu = gmul(Nu, idealnorm(ellnf_get_nf(E), gel(v,1)));
    5125          30 :   return Nu;
    5126             : }
    5127             : /* return change of variable to miminal model (t_VEC) or (non-trivial)
    5128             :  * Weierstrass class (t_COL), set DP = primes where the
    5129             :  * model is not locally minimal */
    5130             : static GEN
    5131          42 : bnf_get_v(GEN E)
    5132             : {
    5133          42 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    5134             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    5135             : 
    5136          42 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    5137          42 :   S = ellminimalprimes(E);
    5138          42 :   L = gel(S,1);
    5139          42 :   U = gel(S,2);
    5140          42 :   Lr = gel(S,3);
    5141          42 :   Ls = gel(S,4);
    5142          42 :   Lt = gel(S,5);
    5143          42 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    5144          42 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    5145          24 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    5146          24 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    5147          24 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    5148          24 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    5149          24 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    5150          24 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    5151          24 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    5152             : }
    5153             : 
    5154             : GEN
    5155          18 : ellminimaldisc(GEN E)
    5156             : {
    5157          18 :   pari_sp av = avma;
    5158          18 :   checkell(E);
    5159          18 :   switch(ell_get_type(E))
    5160             :   {
    5161             :     case t_ELL_Q:
    5162           6 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    5163           6 :       return gerepileuptoint(av, absi(ell_get_disc(E)));
    5164             :     case t_ELL_NF:
    5165             :     {
    5166          12 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5167          12 :       GEN S = ellminimalprimes(ellintegralmodel_i(E, NULL));
    5168          12 :       S = idealfactorback(nf, gel(S,1), ZC_z_mul(gel(S,2), 12), 0);
    5169          12 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), S));
    5170             :     }
    5171           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    5172             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5173             :   }
    5174             : }
    5175             : 
    5176             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    5177             :  * ellminimalmodel(E) */
    5178             : static GEN
    5179      390996 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    5180             : {
    5181             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    5182             :   ellmin_t M;
    5183      390996 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    5184             :   {
    5185        1320 :     if (lg(S) != 2)
    5186             :     {
    5187         168 :       E = gel(S,3);
    5188         168 :       v = gel(S,2);
    5189             :     }
    5190             :     else
    5191        1152 :       v = init_ch();
    5192        1320 :     if (ptv) *ptv = v;
    5193        1320 :     return gcopy(E);
    5194             :   }
    5195      389676 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    5196      389676 :   u = get_u(e, &DP);
    5197      389676 :   min_set_all(&M, e, u);
    5198      389676 :   v = min_get_v(&M, e);
    5199      389676 :   y = min_to_ell(&M, e);
    5200      389676 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    5201      389676 :   if (is_trivial_change(v))
    5202             :   {
    5203      388722 :     v = init_ch();
    5204      388722 :     S = mkvec(DP);
    5205             :   }
    5206             :   else
    5207         954 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    5208      389676 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    5209      389676 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    5210             : }
    5211             : 
    5212             : static GEN
    5213        1218 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5214             : {
    5215        1218 :   pari_sp av = avma;
    5216        1218 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    5217        1218 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    5218        1218 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5219        1218 :   DP = gel(S,1);
    5220        1218 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    5221        1218 :   if (!ptv)
    5222        1188 :     y = gerepilecopy(av, y);
    5223             :   else
    5224          30 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    5225        1218 :   return y;
    5226             : }
    5227             : 
    5228             : static GEN
    5229          42 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    5230             : {
    5231             :   GEN S, y, v, v2;
    5232          42 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    5233             :   {
    5234           0 :     switch(lg(S))
    5235             :     {
    5236           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    5237           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    5238           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    5239             :     }
    5240           0 :     *ptv = v;
    5241           0 :     return gcopy(E);
    5242             :   }
    5243          42 :   *ptv = NULL;
    5244          42 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    5245          42 :   v2 = bnf_get_v(y);
    5246          42 :   if (typ(v2) == t_COL)
    5247             :   {
    5248          18 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    5249          18 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    5250             :   }
    5251          24 :   y = coordch(y, v2);
    5252          24 :   gcomposev(&v, v2);
    5253          24 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    5254          24 :   y = coordch(y, v2);
    5255             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    5256          24 :   y = obj_reinit(y);
    5257          24 :   gcomposev(&v, v2);
    5258          24 :   if (is_trivial_change(v))
    5259             :   {
    5260           6 :     v = init_ch();
    5261           6 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    5262             :   }
    5263             :   else
    5264             :   {
    5265          18 :     v = lift_if_rational(v);
    5266          18 :     S = mkvec2(v, y);
    5267             :   }
    5268          24 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    5269          24 :   *ptv = v; return y;
    5270             : }
    5271             : static GEN
    5272          42 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5273             : {
    5274          42 :   pari_sp av = avma;
    5275          42 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    5276          42 :   if (v) /* true change of variable; v = NULL => no minimal model */
    5277             :   {
    5278          24 :     if (!is_trivial_change(v)) (void)ch_Rg(y, E, v);
    5279          24 :     obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    5280             :   }
    5281          42 :   if (!v || !ptv)
    5282          18 :     y = gerepilecopy(av, y);
    5283             :   else
    5284          24 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    5285          42 :   return y;
    5286             : }
    5287             : GEN
    5288        1266 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5289             : {
    5290        1266 :   checkell(E);
    5291        1266 :   switch(ell_get_type(E))
    5292             :   {
    5293        1218 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    5294          42 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    5295           6 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    5296             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5297             :   }
    5298             : }
    5299             : 
    5300             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    5301             :  * update type-dependant components.
    5302             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    5303             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    5304             :  *   N = arithmetic conductor of E
    5305             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    5306             :  *   fa = factorization of N
    5307             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    5308             : static GEN
    5309      389364 : ellQ_globalred(GEN e)
    5310             : {
    5311             :   long k, l, iN;
    5312             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    5313             : 
    5314      389364 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
    5315      389364 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5316      389364 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    5317      389364 :   D  = ell_get_disc(E);
    5318      389364 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    5319      389364 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    5320      389364 :   l = lg(P); c = gen_1;
    5321      389364 :   iN = 1;
    5322      389364 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    5323      389364 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    5324      389364 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    5325     1660794 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5326             :   {
    5327     1271430 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    5328     1271430 :     if (!signe(ex)) continue;
    5329     1271430 :     gel(NP, iN) = p;
    5330     1271430 :     gel(NE, iN) = ex;
    5331     1271430 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    5332     1271430 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    5333     1271430 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5334             :   }
    5335      389364 :   setlg(L, iN);
    5336      389364 :   setlg(NP, iN);
    5337      389364 :   setlg(NE, iN);
    5338      389364 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    5339             : }
    5340             : static GEN
    5341      397980 : ellglobalred_i(GEN E)
    5342      397980 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    5343             : 
    5344             : static GEN
    5345         108 : ellnfglobalred(GEN E)
    5346             : {
    5347             :   GEN c, L, P, NP, NE, D, nf, v;
    5348             :   long k, lP, iN;
    5349             : 
    5350         108 :   E = ellintegralmodel_i(E, &v);
    5351         108 :   if (!v) v = init_ch();
    5352         108 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    5353         108 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    5354         108 :   lP = lg(P);
    5355         108 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    5356         108 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    5357             : 
    5358         108 :   c = gen_1;
    5359         108 :   iN = 1;
    5360         108 :   NP = cgetg(lP, t_COL);
    5361         108 :   NE = cgetg(lP, t_COL);
    5362         108 :   L = cgetg(lP, t_VEC);
    5363         588 :   for (k = 1; k < lP; k++)
    5364             :   {
    5365         480 :     GEN p = gel(P,k), q, ex;
    5366         480 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    5367             : 
    5368         282 :     q = nflocalred(E, p),
    5369         282 :     ex = gel(q,1);
    5370         282 :     if (!signe(ex)) continue;
    5371         222 :     gel(NP, iN) = p;
    5372         222 :     gel(NE, iN) = ex;
    5373         222 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    5374         222 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5375             :   }
    5376         108 :   setlg(L, iN);
    5377         108 :   setlg(NP, iN);
    5378         108 :   setlg(NE, iN);
    5379         108 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    5380             : }
    5381             : 
    5382             : GEN
    5383      388464 : ellglobalred(GEN E)
    5384             : {
    5385      388464 :   pari_sp av = avma;
    5386             :   GEN S, gr, v;
    5387      388464 :   checkell(E);
    5388      388464 :   switch(ell_get_type(E))
    5389             :   {
    5390           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    5391             :     case t_ELL_Q:
    5392      388218 :       gr = ellglobalred_i(E);
    5393      388218 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5394      388218 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    5395      388218 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    5396      388218 :       break;
    5397             :     case t_ELL_NF:
    5398         246 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    5399         246 :       break;
    5400             :   }
    5401      388464 :   return gerepilecopy(av, v);
    5402             : }
    5403             : 
    5404             : static GEN doellrootno(GEN e);
    5405             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    5406             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    5407             :  * and E (shallow insert) */
    5408             : GEN
    5409        1800 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    5410             : {
    5411        1800 :   GEN E, S, v = NULL;
    5412        1800 :   checkell_Q(e);
    5413        1800 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5414             :   {
    5415         390 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    5416         390 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5417         390 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5418             :   }
    5419        1410 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    5420        1398 :     E = e;
    5421             :   else
    5422             :   {
    5423          12 :     v = gel(S,2);
    5424          12 :     E = gcopy(gel(S,3));
    5425          12 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5426             :   }
    5427        1800 :   if (ch) *ch = v;
    5428        1800 :   S = ellglobalred_i(e);
    5429        1800 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    5430        1800 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    5431        1800 :   if (!S)
    5432             :   {
    5433         576 :     S = doellrootno(E);
    5434         576 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    5435             :   }
    5436        1800 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    5437        1800 :   return E;
    5438             : }
    5439             : 
    5440             : static GEN
    5441          30 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    5442             : {
    5443          30 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5444          30 :   return (signe(ell_get_disc(e)) > 0)? shifti(tam,1): icopy(tam);
    5445             : }
    5446             : 
    5447             : static GEN
    5448          48 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    5449             : {
    5450          48 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5451          48 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    5452             :   long r1, r2;
    5453          48 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    5454          48 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    5455             : }
    5456             : 
    5457             : GEN
    5458          30 : elltamagawa(GEN E)
    5459             : {
    5460          30 :   pari_sp av = avma;
    5461             :   GEN v;
    5462          30 :   checkell(E);
    5463          30 :   switch(ell_get_type(E))
    5464             :   {
    5465           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    5466          12 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    5467          18 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    5468             :   }
    5469          30 :   return gerepileuptoint(av, v);
    5470             : }
    5471             : 
    5472             : static GEN
    5473          84 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    5474             : {
    5475          84 :   pari_sp av = avma;
    5476          84 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5477          84 :   long r1 = nf_get_r1(nf), r2 = nf_get_r2(nf), n = r1+r2;
    5478             :   GEN Eb, e, L;
    5479             :   long i,j;
    5480          84 :   Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5481         504 :   for(i=1;i<=5; i++)
    5482         420 :     gel(Eb, i) = nfeltembed(nf,gel(E, i),NULL);
    5483          84 :   e = cgetg(6, t_VEC);
    5484          84 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    5485         228 :   for(i=1; i<=n; i++)
    5486             :   {
    5487         144 :     for(j=1;j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    5488         144 :     gel(L,i) = ellinit_Rg(e, i<=r1, prec);
    5489             :   }
    5490          84 :   return gerepilecopy(av, L);
    5491             : }
    5492             : 
    5493             : static void
    5494          84 : ellnfembed_free(GEN L)
    5495             : {
    5496          84 :   long i, n = lg(L)-1;
    5497         228 :   for(i=1; i<=n; i++)
    5498         144 :     obj_free(gel(L,i));
    5499          84 : }
    5500             : 
    5501             : static GEN
    5502          54 : ellnf_vec_wrap(GEN fun(GEN, long), GEN E, long prec)
    5503             : {
    5504          54 :   pari_sp av = avma;
    5505          54 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5506          54 :   long i, l = lg(V);
    5507          54 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5508         144 :   for(i=1; i<l; i++)
    5509          90 :     gel(P, i) = fun(gel(V,i), prec);
    5510          54 :   ellnfembed_free(V);
    5511          54 :   return gerepilecopy(av, P);
    5512             : }
    5513             : 
    5514             : GEN
    5515          18 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5516          18 : { return ellnf_vec_wrap(ellR_area, E, prec); }
    5517             : 
    5518             : GEN
    5519          18 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5520          18 : { return ellnf_vec_wrap(ellR_eta, E, prec); }
    5521             : 
    5522             : GEN
    5523          18 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5524          18 : { return ellnf_vec_wrap(ellR_omega, E, prec); }
    5525             : 
    5526             : static GEN
    5527          30 : ellnfbsdperiod(GEN E, long prec)
    5528             : {
    5529          30 :   pari_sp av = avma;
    5530          30 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec);
    5531          30 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5532          30 :   long r1 = nf_get_r1(nf), r2 = nf_get_r2(nf), n = r1+r2;
    5533          30 :   GEN per = real_1(prec);
    5534             :   long i;
    5535          84 :   for(i=1; i<=n; i++)
    5536             :   {
    5537          54 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5538          54 :     GEN pi = i<=r1 ? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5539          54 :     per = mulrr(per, pi);
    5540             :   }
    5541          30 :   ellnfembed_free(Eb);
    5542          30 :   return gerepileupto(av, per);
    5543             : }
    5544             : 
    5545             : static GEN
    5546          30 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5547             : {
    5548          30 :   GEN per = ellnfbsdperiod(E, prec);
    5549          30 :   GEN tam = ellnf_tamagawa(E);
    5550          30 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5551          30 :   GEN Nu = ellminimalnormu(E);
    5552          30 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5553          30 :   return divrr(divri(mulri(gmul(per,Nu), tam), sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5554             : }
    5555             : 
    5556             : static GEN
    5557          18 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5558             : {
    5559          18 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5560          18 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5561          18 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5562          18 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5563          18 :   if (lg(S) != 2)
    5564             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5565          12 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5566          12 :     per = gmul(per,u);
    5567             :   }
    5568          18 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5569             : }
    5570             : 
    5571             : GEN
    5572          48 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5573             : {
    5574          48 :   pari_sp av = avma;
    5575             :   GEN v;
    5576          48 :   checkell(E);
    5577          48 :   switch(ell_get_type(E))
    5578             :   {
    5579           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5580          18 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5581          30 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5582             :   }
    5583          48 :   return gerepileupto(av, v);
    5584             : }
    5585             : 
    5586             : /********************************************************************/
    5587             : /**                                                                **/
    5588             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5589             : /**                                                                **/
    5590             : /********************************************************************/
    5591             : /* x a t_INT */
    5592             : static long
    5593        1008 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5594             : {
    5595             :   long v;
    5596             :   GEN z;
    5597        1008 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5598         876 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5599         876 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5600             : }
    5601             : static void
    5602         336 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5603             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5604             : {
    5605         336 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5606         336 :   pari_sp av = avma;
    5607         336 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5608         336 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5609         336 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
    5610         336 : }
    5611             : 
    5612             : static long
    5613         336 : kod_23(GEN e, long p)
    5614             : {
    5615             :   GEN S, nv;
    5616         336 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5617             :   {
    5618         324 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5619         324 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5620             :   }
    5621             :   else
    5622          12 :     nv = localred_23(e, p);
    5623         336 :   return itos(gel(nv,2));
    5624             : }
    5625             : 
    5626             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5627             : static long
    5628         144 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5629             : {
    5630         144 :   if (kod > 4) return 1;
    5631         114 :   switch(kod)
    5632             :   {
    5633           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5634             :     case 2:
    5635           6 :       if (vD==4) return 1;
    5636             :       else
    5637             :       {
    5638           0 :         if (vD==7) return 3;
    5639           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5640             :       }
    5641             :     case 3:
    5642          54 :       switch(vD)
    5643             :       {
    5644          36 :         case 6: return 3;
    5645           0 :         case 8: return 4;
    5646          12 :         case 9: return 5;
    5647           6 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5648             :       }
    5649          30 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5650             :     case -1:
    5651           0 :       switch(vD)
    5652             :       {
    5653           0 :         case 9: return 2;
    5654           0 :         case 10: return 4;
    5655           0 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5656             :       }
    5657             :     case -2:
    5658           6 :       switch(vD)
    5659             :       {
    5660           6 :         case 12: return 2;
    5661           0 :         case 14: return 3;
    5662           0 :         default: return 1;
    5663             :       }
    5664             :     case -3:
    5665           0 :       switch(vD)
    5666             :       {
    5667           0 :         case 12: return 2;
    5668           0 :         case 14: return 3;
    5669           0 :         case 15: return 4;
    5670           0 :         default: return 1;
    5671             :       }
    5672           6 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5673          12 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5674             :     case -6:
    5675           0 :       switch(vD)
    5676             :       {
    5677           0 :         case 12: return 2;
    5678           0 :         case 13: return 3;
    5679           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5680             :       }
    5681           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5682           0 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5683             :   }
    5684             : }
    5685             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5686             : static long
    5687         156 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5688             : {
    5689         156 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5690         138 :   switch(kod)
    5691             :   {
    5692          84 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5693          18 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5694             :     case -4: case 2:
    5695          30 :       switch (vD%6)
    5696             :       {
    5697           0 :         case 4: return 3;
    5698           0 :         case 5: return 4;
    5699          30 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5700             :       }
    5701             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5702           6 :       switch (vD%6)
    5703             :       {
    5704           0 :         case 0: return 2;
    5705           0 :         case 1: return 3;
    5706           6 :         default: return 1;
    5707             :       }
    5708             :   }
    5709             : }
    5710             : 
    5711             : static long
    5712         144 : ellrootno_2(GEN e)
    5713             : {
    5714             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5715         144 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5716             : 
    5717         144 :   if (!vD) return 1;
    5718         144 :   if (d) { /* not minimal */
    5719             :     ellmin_t M;
    5720           6 :     min_set_2(&M, e, d);
    5721           6 :     min_set_D(&M, e);
    5722           6 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5723             :   }
    5724         144 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5725         144 :   kod = kod_23(e,2);
    5726         144 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5727         144 :   if (kod>=5)
    5728             :   {
    5729             :     long a2, a3;
    5730          30 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5731          30 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5732          30 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5733             :   }
    5734         114 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5735         114 :   x1 = u+v+v;
    5736         114 :   switch(kod)
    5737             :   {
    5738           0 :     case 1: return 1;
    5739             :     case 2:
    5740           6 :       switch(n2)
    5741             :       {
    5742             :         case 1:
    5743           6 :           switch(v4)
    5744             :           {
    5745           6 :             case 4: return kross(-1,u);
    5746           0 :             case 5: return 1;
    5747           0 :             default: return -1;
    5748             :           }
    5749           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5750           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5751           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5752           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5753             :       }
    5754             :     case 3:
    5755          54 :       switch(n2)
    5756             :       {
    5757           6 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5758           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5759          36 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5760          36 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5761           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5762          12 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5763             :       }
    5764             :     case -1:
    5765           0 :       switch(n2)
    5766             :       {
    5767           0 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5768           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5769           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5770           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5771           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5772             :       }
    5773           6 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5774             :     case -3:
    5775           0 :       switch(n2)
    5776             :       {
    5777           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5778           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5779           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5780           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5781           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5782             :       }
    5783             :     case -5:
    5784          12 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5785           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5786             :     case -6:
    5787           0 :       switch(n2)
    5788             :       {
    5789           0 :         case 1: return 1;
    5790           0 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5791           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5792             :       }
    5793             :     case -7:
    5794           0 :       if (n2==1) return 1;
    5795             :       else
    5796             :       {
    5797           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5798           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5799           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5800             :       }
    5801           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5802           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5803          36 :     default: return -1;
    5804             :   }
    5805             : }
    5806             : 
    5807             : static long
    5808         192 : ellrootno_3(GEN e)
    5809             : {
    5810             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5811         192 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5812             : 
    5813         192 :   if (!vD) return 1;
    5814         192 :   if (d) { /* not minimal */
    5815             :     ellmin_t M;
    5816           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5817           0 :     min_set_a(&M);
    5818           0 :     min_set_D(&M, e);
    5819           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5820             :   }
    5821         192 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5822         192 :   kod = kod_23(e,3);
    5823         192 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5824         156 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5825         156 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5826         156 :   switch(kod)
    5827             :   {
    5828          18 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5829             :     case 2:
    5830           6 :       switch(n2)
    5831             :       {
    5832           6 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5833           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5834           0 :         case 3: return 1;
    5835           0 :         case 4: return -K6;
    5836             :       }
    5837             :     case 4:
    5838           6 :       switch(n2)
    5839             :       {
    5840           6 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5841           0 :         case 2: return -K4;
    5842           0 :         case 3: return -K6;
    5843             :       }
    5844           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5845             :     case -4:
    5846          24 :       switch(n2)
    5847             :       {
    5848             :         case 1:
    5849          24 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5850          24 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5851           0 :         case 2: return -K6;
    5852           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5853           0 :         case 4: return K6;
    5854             :       }
    5855         102 :     default: return -1;
    5856             :   }
    5857             : }
    5858             : 
    5859             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5860             : static long
    5861         738 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5862             : {
    5863             :   long nuj, nuD, nu;
    5864         738 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5865             :   long ep, z;
    5866             : 
    5867         738 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5868         738 :   if (!nuD) return 1;
    5869         738 :   nuj = j_pval(e, p);
    5870         738 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5871         738 :   if (nu == 0)
    5872             :   {
    5873             :     GEN c6;
    5874             :     long d, vg;
    5875         522 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5876             :    /* p || N */
    5877         522 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5878         522 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5879         522 :     d = vg / 12;
    5880         522 :     if (d)
    5881             :     {
    5882           6 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5883           6 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5884             :     }
    5885         522 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5886             :     /* c6 in minimal model */
    5887         522 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5888             :   }
    5889         216 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5890         192 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5891         192 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5892         192 :   return krosi(-z, p);
    5893             : }
    5894             : 
    5895             : static GEN
    5896         588 : doellrootno(GEN e)
    5897             : {
    5898         588 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5899         588 :   long i, l, s = -1;
    5900             : 
    5901         588 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5902         588 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5903         588 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5904         588 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5905        1644 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5906             :   {
    5907        1056 :     GEN p = gel(P,i);
    5908             :     long t;
    5909        1056 :     switch(itou_or_0(p))
    5910             :     {
    5911         132 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5912         192 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5913         732 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5914             :     }
    5915        1056 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5916             :   }
    5917         588 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5918             : }
    5919             : long
    5920        1512 : ellrootno_global(GEN e)
    5921             : {
    5922        1512 :   pari_sp av = avma;
    5923        1512 :   GEN S = obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno);
    5924        1512 :   avma = av; return itos(gel(S,1));
    5925             : }
    5926             : 
    5927             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5928             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5929             : long
    5930          36 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5931             : {
    5932          36 :   pari_sp av = avma;
    5933             :   GEN S;
    5934             :   long s;
    5935          36 :   checkell_Q(e);
    5936          36 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5937          24 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5938          24 :   if (signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5939          24 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5940          24 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5941             :   {
    5942           6 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5943           6 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5944           6 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5945           0 :     return 1;
    5946             :   }
    5947          18 :   switch(itou_or_0(p))
    5948             :   {
    5949             :     case 2:
    5950          12 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5951          12 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5952             :     case 3:
    5953           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5954           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5955             :     default:
    5956           6 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5957             :   }
    5958          18 :   avma = av; return s;
    5959             : }
    5960             : 
    5961             : /********************************************************************/
    5962             : /**                                                                **/
    5963             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5964             : /**                                                                **/
    5965             : /********************************************************************/
    5966             : 
    5967             : /* assume p does not divide disc E */
    5968             : long
    5969      238122 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5970             : {
    5971             :   ulong a4, a6;
    5972      238122 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5973      237270 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5974      236034 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5975      236034 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5976             : }
    5977             : 
    5978             : static void
    5979         594 : checkell_int(GEN e)
    5980             : {
    5981         594 :   checkell_Q(e);
    5982        1188 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5983        1188 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5984        1188 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5985        1188 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5986         594 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5987         594 : }
    5988             : 
    5989             : long
    5990        1896 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5991             : {
    5992        1896 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5993        1896 :   long CM = 0;
    5994        1896 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5995             :   {
    5996             :     case 0:
    5997         102 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5998         102 :       break;
    5999         102 :     case 1728: CM = -4; break;
    6000          18 :     case -3375: CM = -7; break;
    6001          18 :     case  8000: CM = -8; break;
    6002          18 :     case 54000: CM = -12; break;
    6003          30 :     case -32768: CM = -11; break;
    6004          18 :     case 287496: CM = -16; break;
    6005           6 :     case -884736: CM = -19; break;
    6006          18 :     case -12288000: CM = -27; break;
    6007          18 :     case  16581375: CM = -28; break;
    6008           6 :     case -884736000: CM = -43; break;
    6009             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    6010           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    6011           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    6012             : #endif
    6013             :   }
    6014        1896 :   return CM;
    6015             : }
    6016             : 
    6017             : /* bad reduction at p */
    6018             : static void
    6019        2088 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    6020             : {
    6021             :   ulong m, N;
    6022        2088 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    6023             :   {
    6024             :     case -1: /* non-split */
    6025         480 :       N = n/p;
    6026      350052 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6027      349572 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    6028         480 :       break;
    6029             :     case 0: /* additive */
    6030        1056 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    6031        1056 :       break;
    6032             :     case 1: /* split */
    6033         552 :       N = n/p;
    6034       78774 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6035       78222 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    6036         552 :       break;
    6037             :   }
    6038        2088 : }
    6039             : /* good reduction at p */
    6040             : static void
    6041      233268 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    6042             : {
    6043      233268 :   const long ap = an[p];
    6044             :   ulong m;
    6045      233268 :   if (p <= SQRTn) {
    6046        6900 :     ulong pk, oldpk = 1;
    6047       27522 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    6048             :     {
    6049       20622 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    6050     3652944 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    6051     3632322 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    6052             :     }
    6053             :   } else {
    6054     1302048 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    6055     1075680 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    6056             :   }
    6057      233268 : }
    6058             : static void
    6059      235356 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    6060             : {
    6061      235356 :   if (good_red)
    6062      233268 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    6063             :   else
    6064        2088 :     sievep_bad(p, an, n);
    6065      235356 : }
    6066             : 
    6067             : static long
    6068      235356 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    6069             : {
    6070      235356 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    6071        2136 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    6072             :   else /* good reduction */
    6073             :   {
    6074      233220 :     *good_red = 1;
    6075      233220 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    6076             :   }
    6077             : }
    6078             : GEN
    6079        1248 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    6080             : {
    6081             :   pari_sp av;
    6082        1248 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    6083             :   GEN an;
    6084             :   int CM;
    6085             : 
    6086        1248 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    6087        1248 :   if (n >= LGBITS)
    6088           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    6089        1248 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    6090        1248 :   SQRTn = usqrt(n);
    6091        1248 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    6092             : 
    6093        1248 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    6094        1248 :   an[1] = 1; av = avma;
    6095     2075682 :   for (p=2; p<=n; p++)
    6096             :   {
    6097             :     int good_red;
    6098     2074434 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    6099      235356 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    6100      235356 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    6101             :   }
    6102        1248 :   avma = av; return an;
    6103             : }
    6104             : 
    6105             : static GEN
    6106         684 : ellanQ(GEN e, long N)
    6107         684 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    6108             : 
    6109             : static GEN
    6110      109140 : ellnflocal(void *S, GEN p, long n)
    6111             : {
    6112      109140 :   pari_sp av = avma;
    6113      109140 :   GEN E = (GEN)S;
    6114      109140 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
    6115      109140 :   long l = lg(LP), i;
    6116      218460 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6117             :   {
    6118             :     int goodred;
    6119      109320 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    6120      109320 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    6121      109320 :     long f = pr_get_f(P);
    6122      109320 :     if (goodred)
    6123      109086 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    6124             :     else
    6125             :     {
    6126         234 :       if (!signe(ap)) continue;
    6127         210 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    6128             :     }
    6129      109296 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    6130      109296 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    6131             :   }
    6132      109140 :   if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
    6133       60408 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv(T, n));
    6134             : }
    6135             : 
    6136             : static GEN
    6137         210 : ellnfan(GEN E, long N)
    6138             : {
    6139         210 :   return direuler_bad((void*)E, &ellnflocal, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    6140             : }
    6141             : GEN
    6142         888 : ellan(GEN E, long N)
    6143             : {
    6144         888 :   checkell(E);
    6145         888 :   switch(ell_get_type(E))
    6146             :   {
    6147         678 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    6148         210 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    6149             :     default:
    6150           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    6151             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6152             :   }
    6153             : }
    6154             : 
    6155             : static GEN
    6156         630 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    6157             : {
    6158             :   GEN u, v, w;
    6159             :   long j;
    6160         630 :   if (e == 1) return ap;
    6161          96 :   u = ap;
    6162          96 :   w = subii(sqri(ap), p);
    6163         108 :   for (j=3; j<=e; j++)
    6164             :   {
    6165          12 :     v = u; u = w;
    6166          12 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    6167             :   }
    6168          96 :   return w;
    6169             : }
    6170             : 
    6171             : GEN
    6172         594 : akell(GEN e, GEN n)
    6173             : {
    6174             :   long i, j, s;
    6175         594 :   pari_sp av = avma;
    6176             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    6177             : 
    6178         594 :   checkell_int(e);
    6179         594 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    6180         594 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    6181         594 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    6182         594 :   D = ell_get_disc(e);
    6183         594 :   u = Z_ppo(n, D);
    6184         594 :   y = gen_1;
    6185         594 :   s = 1;
    6186         594 :   if (!equalii(u, n))
    6187             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    6188         378 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    6189         378 :     P = gel(fa,1);
    6190         378 :     E = gel(fa,2);
    6191         876 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    6192             :     {
    6193         498 :       GEN p = gel(P,i);
    6194         498 :       long ex = itos(gel(E,i));
    6195             :       int good_red;
    6196         498 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    6197         498 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    6198         300 :       j = signe(ap);
    6199         300 :       if (!j) { avma = av; return gen_0; }
    6200         300 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    6201             :     }
    6202             :   }
    6203         594 :   if (s < 0) y = negi(y);
    6204         594 :   fa = Z_factor(u);
    6205         594 :   P = gel(fa,1);
    6206         594 :   E = gel(fa,2);
    6207        1026 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    6208             :   { /* good reduction */
    6209         432 :     GEN p = gel(P,i);
    6210         432 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6211         432 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6212             :   }
    6213         594 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6214             : }
    6215             : 
    6216             : GEN
    6217        6870 : ellQ_get_N(GEN e)
    6218        6870 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6219             : void
    6220         504 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6221         504 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6222             : 
    6223             : GEN
    6224          12 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6225             : {
    6226          12 :   pari_sp av = avma, av1;
    6227             :   ulong l, n;
    6228             :   long eps, flun;
    6229             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6230             : 
    6231          12 :   if (!A) A = gen_1;
    6232             :   else
    6233             :   {
    6234           6 :     if (gsigne(A)<=0)
    6235           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6236           6 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6237             :   }
    6238          12 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
    6239          12 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6240          12 :   checkell_Q(e);
    6241          12 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6242          12 :   N = ellQ_get_N(e);
    6243          12 :   eps = ellrootno_global(e);
    6244          12 :   if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
    6245             : 
    6246          12 :   gs = ggamma(s, prec);
    6247          12 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6248          12 :   cga = gmul(cg, A);
    6249          12 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6250          36 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
    6251          12 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6252          12 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6253          12 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6254          12 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6255          12 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6256          12 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6257          12 :   z = gen_0;
    6258          12 :   av1 = avma;
    6259        1152 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6260             :   {
    6261        1140 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6262        1140 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6263        1140 :     if (!signe(an)) continue;
    6264             : 
    6265         948 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6266         948 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6267         948 :     if (flun)
    6268           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6269             :     else
    6270             :     {
    6271         948 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6272         948 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6273         948 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6274             :     }
    6275         948 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6276         948 :     if (gc_needed(av1,1))
    6277             :     {
    6278           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6279           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6280             :     }
    6281             :   }
    6282          12 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6283             : }
    6284             : 
    6285             : /********************************************************************/
    6286             : /**                                                                **/
    6287             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6288             : /**                                                                **/
    6289             : /********************************************************************/
    6290             : 
    6291             : static GEN
    6292         282 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6293             : 
    6294             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6295             : static GEN
    6296         834 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6297             : {
    6298         834 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6299             : }
    6300             : 
    6301             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6302             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6303             : static GEN
    6304         834 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6305             : {
    6306         834 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6307         834 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    6308             : 
    6309         834 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6310         834 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6311         834 :   a = gel(ab, 1);
    6312         834 :   b = gel(ab, 2);
    6313         834 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6314         834 :   x = gsub(x, e1);
    6315         834 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6316             : 
    6317         834 :   x_a = gsub(x, a);
    6318         834 :   if (gsigne(a) > 0)
    6319             :   {
    6320          72 :     GEN a0 = a;
    6321          72 :     x = gsub(x, b);
    6322          72 :     a = gneg(b);
    6323          72 :     b = gsub(a0, b);
    6324             :   }
    6325         834 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6326         834 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6327             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6328        4542 :   for(n=0; ; n++)
    6329             :   {
    6330        4542 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6331        4542 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6332        4542 :     r = gsub(a, a0);
    6333        4542 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6334        3708 :     ab = gmul(a0, b);
    6335        3708 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6336             : 
    6337        3708 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6338        3708 :     p2 = gsqr(a);
    6339        3708 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6340        3708 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6341        3708 :   }
    6342         834 :   if (n) {
    6343         834 :     x = gel(V,n);
    6344         834 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6345             :   } else {
    6346           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6347             :   }
    6348             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6349        1308 :   return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
    6350        1308 :              : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
    6351             : }
    6352             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6353             : static int
    6354         834 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6355             : {
    6356         834 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6357         834 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6358             : }
    6359             : 
    6360             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6361             : static GEN
    6362         834 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6363             : {
    6364         834 :   pari_sp av = avma;
    6365             :   GEN h;
    6366         834 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6367             :   {
    6368         360 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6369             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6370         360 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6371             :   }
    6372             :   else
    6373         474 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6374         834 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6375         834 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6376             : }
    6377             : GEN
    6378         744 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6379             : 
    6380             : static GEN
    6381         186 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6382         186 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6383             : static GEN
    6384          30 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6385             : {
    6386          30 :   pari_sp av = avma;
    6387          30 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6388          30 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6389          30 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6390             : }
    6391             : GEN
    6392          30 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6393          30 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
    6394             : GEN
    6395          60 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6396          60 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6397             : 
    6398             : GEN
    6399         114 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6400             : {
    6401             :   long i, lx;
    6402         114 :   pari_sp av = avma;
    6403             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6404             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6405             : 
    6406         114 :   checkell_Q(e);
    6407         114 :   checkellpt(a);
    6408         114 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    6409         114 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6410         108 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6411             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6412          84 :     if (lg(S) != 2)
    6413             :     {
    6414           6 :       v = gel(S,2);
    6415           6 :       e = gel(S,3);
    6416           6 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6417             :     }
    6418             :   }
    6419             :   else
    6420             :   {
    6421          24 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    6422          24 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6423             :   }
    6424         108 :   if (!oncurve(e,a))
    6425           6 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6426         102 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6427         102 :   if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
    6428          90 :   x = gel(a,1);
    6429          90 :   y = gel(a,2);
    6430          90 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6431          90 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6432          90 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6433          90 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6434          90 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6435             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6436             :   );
    6437          90 :   if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
    6438          90 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6439          90 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6440          90 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6441          90 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6442             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6443             :   );
    6444          90 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6445          90 :   D = ell_get_disc(e);
    6446          90 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6447          90 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6448          90 :   lx = lg(Lp);
    6449         186 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6450             :   {
    6451          96 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6452             :     long u, v, n, n2;
    6453          96 :     if (signe(remii(c4,p)))
    6454             :     { /* p \nmid c4 */
    6455          30 :       long N = Z_pval(D,p);
    6456          30 :       if (!N) continue;
    6457          30 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6458          30 :       if (n > N) n = N;
    6459          30 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6460          30 :       v = N << 3;
    6461             :     }
    6462             :     else
    6463             :     {
    6464          66 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6465          66 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6466          66 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6467             :     }
    6468             :     /* z -= u log(p) / v */
    6469          96 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6470             :   }
    6471          90 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6472             : }
    6473             : 
    6474             : GEN
    6475          24 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6476             : {
    6477             :   GEN y, D;
    6478          24 :   long lx = lg(x), i, j;
    6479          24 :   pari_sp av = avma;
    6480             : 
    6481          24 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6482          24 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6483          24 :   y = cgetg(lx,t_MAT);
    6484          90 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6485             :   {
    6486          66 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6487          66 :     gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6488             :   }
    6489          90 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6490             :   {
    6491          66 :     gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
    6492         126 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6493             :     {
    6494          60 :       GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6495          60 :       h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
    6496          60 :       gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
    6497             :     }
    6498             :   }
    6499          24 :   return gerepilecopy(av,y);
    6500             : }
    6501             : GEN
    6502           6 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6503           6 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6504             : 
    6505             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6506             : static GEN
    6507          18 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6508             : {
    6509          18 :   long l = lg(P);
    6510          18 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6511          18 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
    6512             :   else
    6513             :   {
    6514           6 :     GEN y = cgetg(l, typ(P));
    6515             :     long i;
    6516           6 :     for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
    6517           6 :     return y;
    6518             :   }
    6519             : }
    6520             : static GEN
    6521           6 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6522             : {
    6523           6 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6524           6 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6525           6 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6526           6 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6527           6 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6528           6 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6529           6 :   if (is_matvec_t(t2))
    6530             :   {
    6531           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6532           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6533           0 :     return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
    6534             :   }
    6535           6 :   return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
    6536             : }
    6537             : GEN
    6538           6 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6539           6 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
    6540             : /********************************************************************/
    6541             : /**                                                                **/
    6542             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6543             : /**                                                                **/
    6544             : /********************************************************************/
    6545             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6546             : static GEN
    6547           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6548             : {
    6549           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6550           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6551           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6552             : }
    6553             : 
    6554             : GEN
    6555          12 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6556             : {
    6557             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6558             :   long n, m;
    6559          12 :   pari_sp av = avma;
    6560             : 
    6561          12 :   checkell_Q(e);
    6562          12 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6563           6 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6564             : 
    6565           6 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6566           6 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6567           6 :   d = ginv(gtoser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
    6568             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6569             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6570           6 :   c = gsqr(d);
    6571             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6572             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6573             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6574             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6575             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6576             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6577             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6578             :    * */
    6579           6 :   C = c+4;
    6580           6 :   X = x+4;
    6581           6 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6582           6 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6583           6 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6584           6 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6585          96 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6586             :   {
    6587          90 :     pari_sp av2 = avma;
    6588             :     GEN s1, s2, s3;
    6589          90 :     if (n != 2)
    6590             :     {
    6591          84 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6592          84 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6593          84 :       s2 = gen_0;
    6594         858 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6595         774 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6596          84 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6597          84 :       s1 = gen_0;
    6598          84 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6599          84 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6600          84 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6601             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6602          84 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6603             :     }
    6604             :     else
    6605             :     {
    6606           6 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6607           6 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6608           6 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6609           6 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6610           6 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6611           6 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6612           6 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6613           6 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6614           6 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6615           6 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6616             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6617           6 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6618             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6619           6 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6620             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6621           6 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6622           6 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6623             :     }
    6624          90 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6625             :   }
    6626           6 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6627           6 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6628           6 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6629           6 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6630           6 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6631             : }
    6632             : 
    6633             : /********************************************************************/
    6634             : /**                                                                **/
    6635             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6636             : /**                                                                **/
    6637             : /********************************************************************/
    6638             : static GEN
    6639         786 : doellff_get_o(GEN E)
    6640             : {
    6641         786 :   GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
    6642         786 :   return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
    6643             : }
    6644             : GEN
    6645        1044 : ellff_get_o(GEN E)
    6646        1044 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6647             : 
    6648             : GEN
    6649         114 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6650             : {
    6651         114 :   pari_sp av = avma;
    6652             :   GEN fg, r;
    6653         114 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6654         114 :   fg = ellff_get_field(E);
    6655         114 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6656         114 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6657          78 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    6658             :   else
    6659             :   {
    6660          36 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6661          36 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    6662          36 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    6663          36 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    6664             :   }
    6665         114 :   return gerepileuptoint(av, r);
    6666             : }
    6667             : 
    6668             : GEN
    6669        4488 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6670             : {
    6671             :   GEN fg;
    6672        4488 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6673        4482 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6674        4482 :   fg = ellff_get_field(E);
    6675        4482 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6676        4272 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6677             :   else
    6678             :   {
    6679         210 :     pari_sp av = avma;
    6680         210 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6681         420 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6682         420 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6683         210 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6684             :   }
    6685             : }
    6686             : 
    6687             : GEN
    6688         252 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6689             : {
    6690             :   GEN fg;
    6691         252 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6692         252 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6693         252 :   fg = ellff_get_field(E);
    6694         252 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6695          78 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6696             :   else
    6697             :   {
    6698         174 :     pari_sp av = avma;
    6699         174 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6700         348 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6701         348 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6702         174 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6703             :   }
    6704             : }
    6705             : 
    6706             : /* E/Q, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6707             : static GEN
    6708     2375028 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6709             : {
    6710     2375028 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6711     2375028 :   if (!signe(D))
    6712             :   {
    6713       83994 :     pari_sp av = avma;
    6714       83994 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6715       83994 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6716             :   }
    6717     2291034 :   *good_red = 1;
    6718     2291034 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6719     2290650 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6720     2289456 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6721     2289456 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6722             : }
    6723             : 
    6724             : static GEN
    6725     2614694 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
    6726             : {
    6727             :   GEN q;
    6728     2614694 :   if (p) switch(typ(p))
    6729             :   {
    6730             :     case t_INT:
    6731     2394714 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    6732     2394708 :       break;
    6733             :     case t_VEC:
    6734       83790 :       q = get_prid(p);
    6735       83790 :       if (q) { p = q; break; }
    6736           6 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    6737             :   }
    6738     2614682 :   checkell(E);
    6739     2614682 :   switch(ell_get_type(E))
    6740             :   {
    6741             :     case t_ELL_Qp:
    6742          12 :       q = ellQp_get_p(E);
    6743          12 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6744          12 :       return q;
    6745             : 
    6746             :     case t_ELL_Fp:
    6747             :     case t_ELL_Fq:
    6748      153974 :       q = ellff_get_p(E);
    6749      153974 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6750      153974 :       return q;
    6751             :     case t_ELL_NF:
    6752             :     case t_ELL_Q:
    6753     2460696 :       if (p) return p;
    6754             :     default:
    6755          12 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    6756             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6757             :   }
    6758             : }
    6759             : 
    6760             : GEN
    6761     2503620 : ellap(GEN E, GEN p)
    6762             : {
    6763     2503620 :   pari_sp av = avma;
    6764             :   GEN q, card;
    6765             :   int goodred;
    6766     2503620 :   p = checkellp(E, p, "ellap");
    6767     2503602 :   switch(ell_get_type(E))
    6768             :   {
    6769             :   case t_ELL_Fp:
    6770          78 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6771          78 :     break;
    6772             :   case t_ELL_Fq:
    6773       46680 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6774       46680 :     break;
    6775             :   case t_ELL_Q:
    6776     2373192 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6777     2373192 :     break;
    6778             :   case t_ELL_NF:
    6779       83652 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6780             :   default:
    6781           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6782             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6783             :   }
    6784     2419950 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6785             : }
    6786             : 
    6787             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    6788             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    6789             : GEN
    6790          30 : ellsea(GEN E, ulong smallfact)
    6791             : {
    6792          30 :   const ulong minq = 523;
    6793          30 :   checkell_Fq(E);
    6794          30 :   switch(ell_get_type(E))
    6795             :   {
    6796             :   case t_ELL_Fp:
    6797             :     {
    6798          18 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6799          18 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6800          12 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6801             :     }
    6802             :   case t_ELL_Fq:
    6803             :     {
    6804          12 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6805          12 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    6806           0 :         return FF_ellcard(E);
    6807          12 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6808             :     }
    6809             :   }
    6810             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6811             : }
    6812             : 
    6813             : GEN
    6814      135872 : ellff_get_card(GEN E)
    6815      135872 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6816             : 
    6817             : GEN
    6818       75410 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6819             : {
    6820       75410 :   p = checkellp(E, p, "ellcard");
    6821       75410 :   switch(ell_get_type(E))
    6822             :   {
    6823             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6824       73550 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6825             :   case t_ELL_Q:
    6826             :     {
    6827        1836 :       pari_sp av = avma;
    6828             :       int goodred;
    6829        1836 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6830        1836 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6831        1836 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6832             :     }
    6833             :   case t_ELL_NF:
    6834             :     {
    6835          18 :       pari_sp av = avma;
    6836             :       int goodred;
    6837          18 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6838          18 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6839          18 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6840             :     }
    6841             :   default:
    6842           6 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6843             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6844             :   }
    6845             : }
    6846             : 
    6847             : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
    6848             :  * d_r | ... | d_1 */
    6849             : static GEN
    6850        1512 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
    6851             : {
    6852        1512 :   pari_sp av = avma;
    6853        1512 :   if (abscmpiu(p, 3)<=0)
    6854             :   {
    6855        1068 :     ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
    6856        1068 :     long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
    6857        1068 :     long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
    6858        1068 :     if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
    6859        1002 :     if (l==2)
    6860             :     {
    6861          84 :       long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
    6862          84 :       long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
    6863          84 :       long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
    6864          84 :       switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
    6865             :       { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
    6866             :         case 18: case 29:
    6867           6 :           retmkvec(mkvec2s(1,1));
    6868             :         case 19: case 24: case 26:
    6869           6 :           retmkvec(mkvec2s(0,1));
    6870             :         case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
    6871          30 :           retmkvec(mkvec2s(1,0));
    6872             :         default:
    6873          42 :           retmkvec(mkvec2s(0,0));
    6874             :       }
    6875             :     } else
    6876             :     { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6877         918 :       long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
    6878         918 :       long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
    6879         918 :       long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
    6880         918 :       long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
    6881             :       long x,y;
    6882         918 :       if (r==2) /* [2,2] */
    6883          54 :         retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
    6884             :       /* cyclic, order d_1 */
    6885         864 :       y = absequaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
    6886         864 :       if (absequaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
    6887             :       {
    6888         162 :         long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
    6889         162 :         x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
    6890             :       }
    6891             :       else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
    6892             :       { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
    6893         702 :         if (y == 1)
    6894         540 :           x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
    6895             :         else
    6896         162 :           x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
    6897             :       }
    6898         864 :       retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
    6899             :     }
    6900             :   }
    6901             :   else
    6902             :   {
    6903         444 :     GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
    6904         444 :     return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
    6905             :   }
    6906             : }
    6907             : 
    6908             : static GEN
    6909       19572 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
    6910             : {
    6911       19572 :   GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
    6912       19566 :   if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
    6913       19500 :   if (absequaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6914       19416 :   if (absequaliu(p, 3))
    6915             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6916             :     ulong b2, b4, b6;
    6917         918 :     if (!absequaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6918             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6919             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6920         216 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6921         216 :     if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
    6922             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6923         108 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6924         108 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6925         108 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
    6926          54 :     G = mkvec2s(2, 2); goto END;
    6927             :   } /* Now assume p > 3 */
    6928       18498 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6929       18498 :   G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
    6930             : END:
    6931       19566 :   return mkvec2(G, m);
    6932             : }
    6933             : 
    6934             : static GEN
    6935       33228 : doellgroup(GEN E)
    6936             : {
    6937       33228 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6938       33228 :   return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
    6939             : }
    6940             : 
    6941             : GEN
    6942       33690 : ellff_get_group(GEN E)
    6943       33690 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
    6944             : 
    6945             : /* E / Fp */
    6946             : static GEN
    6947       14424 : doellgens(GEN E)
    6948             : {
    6949       14424 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6950       14424 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6951       14376 :     return FF_ellgens(E);
    6952             :   else
    6953             :   {
    6954          48 :     GEN e, Gm, F, p = fg;
    6955          48 :     e = ellff_get_a4a6(E);
    6956          48 :     Gm = ellff_get_group(E);
    6957          48 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
    6958          48 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6959             :   }
    6960             : }
    6961             : 
    6962             : GEN
    6963       14490 : ellff_get_gens(GEN E)
    6964       14490 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6965             : 
    6966             : GEN
    6967       19524 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6968             : {
    6969       19524 :   pari_sp av = avma;
    6970             :   GEN G;
    6971       19524 :   p = checkellp(E,p, "ellgroup");
    6972       19524 :   if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
    6973         324 :   else                G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
    6974       19524 :   return gerepilecopy(av, gel(G,1));
    6975             : }
    6976             : 
    6977             : GEN
    6978       18282 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6979             : {
    6980       18282 :   pari_sp av = avma;
    6981             :   GEN V;
    6982       18282 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6983        1590 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6984        1590 :   p = checkellp(E, p, "ellgroup");
    6985        1584 :   if (!ell_over_Fq(E))
    6986             :   { /* t_ELL_Q */
    6987        1518 :     GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
    6988        1512 :     GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
    6989        1512 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
    6990             :   }
    6991          66 :   V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
    6992          66 :   return gerepilecopy(av, V);
    6993             : }
    6994             : 
    6995             : GEN
    6996       14436 : ellgenerators(GEN E)
    6997             : {
    6998       14436 :   checkell(E);
    6999       14436 :   switch(ell_get_type(E))
    7000             :   {
    7001             :     case t_ELL_Q:
    7002           6 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    7003             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7004       14424 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    7005             :     default:
    7006           6 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    7007             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7008             :   }
    7009             : }
    7010             : 
    7011             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    7012             : static GEN
    7013       19320 : ellfromj_simple(GEN j)
    7014             : {
    7015       19320 :   pari_sp av = avma;
    7016       19320 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    7017       19320 :   GEN E = zerovec(5);
    7018       19320 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    7019       19320 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    7020             : }
    7021             : GEN
    7022       28986 : ellfromj(GEN j)
    7023             : {
    7024       28986 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    7025             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    7026       28986 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    7027             :   {
    7028             :     case 2:
    7029        3042 :       if (gequal0(j))
    7030           6 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    7031             :       else
    7032        3036 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    7033             :     case 3:
    7034        6546 :       if (gequal0(j))
    7035           6 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7036             :       else
    7037             :       {
    7038        6540 :         GEN E = zerovec(5);
    7039        6540 :         pari_sp av = avma;
    7040        6540 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    7041        6540 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    7042        6540 :         return E;
    7043             :       }
    7044             :   }
    7045       19398 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    7046       19374 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7047       19320 :   return ellfromj_simple(j);
    7048             : }
    7049             : 
    7050             : /********************************************************************/
    7051             : /**                                                                **/
    7052             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    7053             : /**                                                                **/
    7054             : /********************************************************************/
    7055             : 
    7056             : int
    7057      141174 : elljissupersingular(GEN x)
    7058             : {
    7059      141174 :   pari_sp av = avma;
    7060             :   int res;
    7061             : 
    7062      141174 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    7063         426 :     GEN p = gel(x, 1);
    7064         426 :     GEN j = gel(x, 2);
    7065         426 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7066      140748 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    7067      140742 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    7068      140742 :     GEN p = FF_p_i(x);
    7069      140742 :     GEN T = FF_mod(x);
    7070      140742 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7071             :   } else {
    7072           6 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    7073             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7074             :   }
    7075      141168 :   avma = av;
    7076      141168 :   return res;
    7077             : }
    7078             : 
    7079             : int
    7080      141324 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    7081             : {
    7082             :   pari_sp av;
    7083             :   GEN j;
    7084             :   int res;
    7085      141324 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    7086       14550 :   j = ell_get_j(E);
    7087       14550 :   p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
    7088       14550 :   switch(ell_get_type(E))
    7089             :   {
    7090             :   case t_ELL_Fp:
    7091             :   case t_ELL_Fq:
    7092       14400 :     return elljissupersingular(j);
    7093             :   case t_ELL_Q:
    7094          30 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    7095          12 :     av = avma;
    7096          12 :     res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
    7097          12 :     avma = av; return res;
    7098             :   case t_ELL_NF:
    7099             :     {
    7100         120 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    7101         120 :       av = avma;
    7102         120 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    7103         120 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    7104             :       {
    7105          12 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    7106           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7107             :       }
    7108             :       else
    7109         108 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7110         108 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    7111         108 :       if (typ(j) == t_INT)
    7112          84 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7113             :       else
    7114          24 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7115         108 :       avma = av; return res;
    7116             :     }
    7117             :   default:
    7118           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    7119             :   }
    7120             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7121             : }
    7122             : 
    7123             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7124             : static GEN
    7125        3240 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    7126             : {
    7127             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    7128        3240 :   if (n==0) return pol_0(v);
    7129        3240 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    7130        1218 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    7131        1218 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    7132        1218 :   if (n==3)
    7133         618 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    7134             :   else
    7135             :   {
    7136         600 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    7137         600 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    7138         600 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    7139             :   }
    7140        1218 :   setvarn(res, v); return res;
    7141             : }
    7142             : 
    7143             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    7144             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7145             : static GEN
    7146        3864 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    7147             : {
    7148             :   GEN ret;
    7149        3864 :   long m = n/2;
    7150        3864 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    7151        2334 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    7152         690 :   else if (odd(n))
    7153             :   {
    7154         432 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7155             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    7156         432 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    7157             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    7158         432 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    7159          90 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    7160             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    7161         342 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    7162             :   }
    7163             :   else
    7164             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    7165         258 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7166             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    7167         258 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    7168             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    7169         258 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    7170             :   }
    7171        2334 :   gel(t,n) = ret;
    7172        2334 :   return ret;
    7173             : }
    7174             : 
    7175             : GEN
    7176        1830 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    7177             : {
    7178        1830 :   pari_sp av = avma;
    7179             :   GEN f, D, N;
    7180        1830 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7181        1830 :   if (v==-1) v = 0;
    7182        1830 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7183        1830 :   N = characteristic(D);
    7184        1830 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7185        1830 :   if (n<0) n = -n;
    7186        1830 :   if (n==1 || n==3)
    7187         186 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7188             :   else
    7189             :   {
    7190        1644 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7191        1644 :     setvarn(d2,v);
    7192        1644 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7193        1644 :     if (n <= 4)
    7194        1410 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7195             :     else
    7196         234 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    7197        1644 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    7198             :   }
    7199        1830 :   return gerepilecopy(av, f);
    7200             : }
    7201             : 
    7202             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    7203             : GEN
    7204         324 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    7205             : {
    7206         324 :   pari_sp av = avma;
    7207             :   GEN d2, D, N, A, B;
    7208         324 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7209         324 :   if (v==-1) v = 0;
    7210         324 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7211         324 :   N = characteristic(D);
    7212         324 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7213         324 :   if (n < 0) n = -n;
    7214         324 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7215         324 :   setvarn(d2,v);
    7216         324 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7217         324 :   if (n == 0)
    7218             :   {
    7219          18 :     A = pol_0(v);
    7220          18 :     B = pol_0(v);
    7221             :   }
    7222         306 :   else if (n == 1)
    7223             :   {
    7224           6 :     A = pol_1(v);
    7225           6 :     B = pol_x(v);
    7226             :   }
    7227         300 :   else if (n == 2)
    7228             :   {
    7229          96 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    7230          96 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    7231          96 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    7232          96 :     A = d2;
    7233             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    7234          96 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    7235          96 :     setvarn(B,v);
    7236             :   }
    7237             :   else
    7238             :   {
    7239         204 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7240         204 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7241         204 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7242         204 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7243         204 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7244         204 :     if (!odd(n))
    7245           6 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7246             :     else
    7247         198 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7248             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7249         204 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7250             :   }
    7251         324 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7252             : }
    7253             : 
    7254             : GEN
    7255         150 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
    7256             : {
    7257         150 :   checkell_Q(E);
    7258         150 :   return hyperellpadicfrobenius(ec_bmodel(E), p, n);
    7259             : }

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