Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.8.0 lcov report (development 19222-cc5b867) Lines: 3603 3885 92.7 %
Date: 2016-07-28 07:10:28 Functions: 316 327 96.6 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* FIXME: export ? */
      24             : static ulong
      25     1501997 : Mod32(GEN x) {
      26     1501997 :   long s = signe(x);
      27             :   ulong m;
      28     1501997 :   if (!s) return 0;
      29     1492407 :   m = mod32(x); if (!m) return m;
      30     1258537 :   if (s < 0) m = 32 - m;
      31     1258537 :   return m;
      32             : }
      33             : #define Mod16(x) Mod32(x)&15
      34             : #define Mod2(x) Mod32(x)&1
      35             : 
      36             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      37             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      38             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      39             : */
      40             : 
      41             : static ulong
      42      438616 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      43      438616 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      44             : static void
      45      438196 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      46             : {
      47      438196 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      48      438196 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      49      438196 : }
      50             : static GEN
      51     2716817 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      52     2716817 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      53             : static void
      54     2716818 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      55             : {
      56     2716818 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      57     2716820 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      58     2716820 : }
      59             : static GEN
      60      141491 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      61      141491 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      62             : static void
      63      141491 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      64             : {
      65      141491 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      66      141491 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      67      141491 : }
      68             : static void
      69     2716673 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      70             : {
      71     2716673 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      72     2716674 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      73     2716672 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      74     2716673 : }
      75             : static void
      76      438196 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      77             : {
      78      438196 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      79      438196 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      80      438196 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      81      438196 : }
      82             : 
      83             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      84             : static GEN
      85       22037 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      86             : {
      87       22037 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      88       22037 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      89       22037 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      90       22038 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      91             : }
      92             : static GEN
      93         420 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      94             : {
      95         420 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      96         420 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      97         420 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      98         420 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      99             : }
     100             : 
     101             : static GEN
     102       22037 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
     103             : {
     104             :   GEN A4, A6;
     105       22037 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
     106       22038 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
     107             : }
     108             : GEN
     109           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
     110             : {
     111           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
     112           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     113           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     114             : }
     115             : GEN
     116         420 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     117             : {
     118         420 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     119         420 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     120         420 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     121             : }
     122             : 
     123             : void
     124       93964 : checkellpt(GEN z)
     125             : {
     126       93964 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     127       93956 :   switch(lg(z))
     128             :   {
     129       93606 :     case 3: break;
     130         350 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     131             :     /* fall through */
     132           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     133             :   }
     134       93956 : }
     135             : void
     136       71890 : checkell5(GEN E)
     137             : {
     138       71890 :   long l = lg(E);
     139       71890 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     140       71890 : }
     141             : void
     142     3356970 : checkell(GEN E)
     143     3356970 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     144             : void
     145        2212 : checkellisog(GEN v)
     146        2212 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     147             : 
     148             : void
     149      457814 : checkell_Q(GEN E)
     150             : {
     151      457814 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     152           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     153      457814 : }
     154             : 
     155             : void
     156           0 : checkell_Qp(GEN E)
     157             : {
     158           0 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     159           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     160           0 : }
     161             : 
     162             : static int
     163      226800 : ell_over_Fq(GEN E)
     164             : {
     165      226800 :   long t = ell_get_type(E);
     166      226800 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     167             : }
     168             : 
     169             : void
     170      124012 : checkell_Fq(GEN E)
     171             : {
     172      124012 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
     173           7 :   pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     174      124005 : }
     175             : 
     176             : GEN
     177      142246 : ellff_get_p(GEN E)
     178             : {
     179      142246 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     180      142246 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     181             : }
     182             : 
     183             : int
     184         301 : ell_is_integral(GEN E)
     185             : {
     186         602 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     187         259 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     188         245 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     189         245 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     190         546 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     191             : }
     192             : 
     193             : static void
     194       72226 : checkcoordch(GEN z)
     195       72226 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     196             : 
     197             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     198             : GEN
     199        3165 : ec_bmodel(GEN e)
     200             : {
     201        3165 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     202        3165 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     203             : }
     204             : 
     205             : static int
     206         633 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     207             : 
     208             : static GEN
     209         666 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     210             : {
     211             :   GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
     212         666 :   long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
     213             : START:
     214         680 :   R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     215         680 :   if (s > 0)
     216             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     217         211 :     R = real_i(R);
     218         211 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     219         211 :     e1 = gel(R,1);
     220         211 :     e2 = gel(R,2);
     221         211 :     e3 = gel(R,3);
     222         211 :     d3 = subrr(e1,e2);
     223         211 :     d1 = subrr(e2,e3);
     224         211 :     d2 = subrr(e1,e3);
     225         211 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
     226             :     {
     227          14 :       prec = precdbl(prec);
     228          14 :       if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
     229          14 :       goto START;
     230             :     }
     231             :   } else {
     232         469 :     e1 = gel(R,1);
     233         469 :     e2 = gel(R,2);
     234         469 :     e3 = gel(R,3);
     235         469 :     if (s < 0)
     236             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     237         455 :       e1 = real_i(e1);
     238         455 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     239             :     }
     240         469 :     d3 = gsub(e1,e2);
     241         469 :     d1 = gsub(e2,e3);
     242         469 :     d2 = gsub(e1,e3);
     243             :   }
     244         666 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     245             : }
     246             : static GEN
     247         973 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     248             : 
     249             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     250             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     251             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     252             : GEN
     253      753102 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     254             : {
     255      753102 :   pari_sp av = avma;
     256             :   GEN z;
     257      753102 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     258      753102 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     259      753102 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     260      753102 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     261             : }
     262             : 
     263             : /* a1 x + a3 */
     264             : GEN
     265      763077 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     266             : {
     267      763077 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     268      763077 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     269      763077 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     270             : }
     271             : static GEN
     272     1169406 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     273             : {
     274     1169406 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     275     1169406 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     276     1169406 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     277             : }
     278             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     279             : static GEN
     280        2947 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     281             : {
     282        2947 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     283        2947 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     284             : }
     285             : 
     286             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     287             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     288             :  * which is the derivative of the curve equation
     289             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     290             :  * wrt x evaluated at Q */
     291             : GEN
     292        1351 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     293             : {
     294        1351 :   pari_sp av = avma;
     295        1351 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     296        1351 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     297        1351 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     298        1351 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     299        1351 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     300        1351 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     301             : }
     302             : 
     303             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     304             : GEN
     305        5355 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     306             : {
     307        5355 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     308        5355 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     309             : }
     310             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     311             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     312             :  * which is the derivative of the curve equation
     313             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     314             :  * wrt y evaluated at Q */
     315             : GEN
     316         588 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     317             : {
     318         588 :   pari_sp av = avma;
     319         588 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     320             : }
     321             : 
     322             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     323             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     324             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     325             : GEN
     326        1449 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     327             : {
     328        1449 :   pari_sp av = avma;
     329        1449 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     330        1449 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     331        1449 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     332        1449 :   GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
     333        1449 :   GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
     334        1449 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
     335             : }
     336             : 
     337             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     338             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     339             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     340             : GEN
     341        1253 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     342             : {
     343        1253 :   pari_sp av = avma;
     344        1253 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     345        1253 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     346        1253 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     347        1253 :   return gerepileupto(av, res);
     348             : }
     349             : 
     350             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     351             : GEN
     352        1533 : ellbasechar(GEN E)
     353             : {
     354        1533 :   pari_sp av = avma;
     355        1533 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     356        1533 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     357             : }
     358             : 
     359             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     360             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     361             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     362             :  * component y[16])*/
     363             : static GEN
     364      633854 : initsmall(GEN x, long n)
     365             : {
     366             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
     367      633854 :   GEN y = obj_init(15, n);
     368      633854 :   switch(lg(x))
     369             :   {
     370             :     case 1:
     371             :     case 2:
     372             :     case 4:
     373             :     case 5:
     374           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     375           0 :       return NULL; break; /* not reached */
     376             :     case 3:
     377       13804 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     378       13804 :       a4 = gel(x,1);
     379       13804 :       a6 = gel(x,2);
     380       13804 :       b2 = gen_0;
     381       13804 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     382       13804 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     383       13804 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     384       13804 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     385       13804 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     386       13804 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     387       13804 :       break;
     388             :     default: /* l > 5 */
     389             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     390      620043 :       a1 = gel(x,1);
     391      620043 :       a2 = gel(x,2);
     392      620043 :       a3 = gel(x,3);
     393      620043 :       a4 = gel(x,4);
     394      620043 :       a6 = gel(x,5);
     395      620043 :       a11= gsqr(a1);
     396      620043 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     397      620047 :       a13= gmul(a1, a3);
     398      620043 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     399      620046 :       a33= gsqr(a3);
     400      620047 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     401      620046 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     402      620047 :       b22= gsqr(b2);
     403      620043 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     404      620046 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     405      620048 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     406             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     407      620047 :       break;
     408             :     }
     409             :   }
     410      633851 :   gel(y,1) = a1;
     411      633851 :   gel(y,2) = a2;
     412      633851 :   gel(y,3) = a3;
     413      633851 :   gel(y,4) = a4;
     414      633851 :   gel(y,5) = a6;
     415      633851 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     416      633851 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     417      633851 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     418      633851 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     419      633851 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     420      633851 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     421      633851 :   gel(y,12)= D;
     422      633851 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     423             : 
     424      627376 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     425         301 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     426         301 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     427         301 :     if (degpol(g) == 0)
     428         259 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     429             :     else
     430             :     {
     431          42 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     432          42 :       D = RgX_div(D, g);
     433          42 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     434          42 :       if (degpol(g) == 0)
     435           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     436             :       else
     437             :       {
     438          35 :         D = RgX_div(D, g);
     439          35 :         d = RgX_div(c4, g);
     440          35 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     441          35 :         if (degpol(g))
     442             :         {
     443          14 :           D = RgX_div(D, g);
     444          14 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     445             :         }
     446          35 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     447             :       }
     448             :     }
     449             :   }
     450             :   else
     451      627075 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     452      627377 :   gel(y,13) = j;
     453      627377 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     454             : }
     455             : 
     456             : void
     457           0 : ellprint(GEN e)
     458             : {
     459           0 :   pari_sp av = avma;
     460             :   long vx, vy;
     461             :   GEN z;
     462           0 :   checkell5(e);
     463           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     464           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     465           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     466           0 :   (void)delete_var();
     467           0 :   (void)delete_var(); avma = av;
     468           0 : }
     469             : 
     470             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     471             : static GEN
     472          70 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     473             : {
     474          70 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     475          70 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     476             : 
     477          70 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     478          70 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     479          56 :     b = mulrr(d3,d2);
     480             :   else
     481          14 :     b = cxnorm(d3);
     482          70 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     483          70 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     484          70 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     485          70 :   return mkvec2(a, b);
     486             : }
     487             : GEN
     488         973 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     489         973 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     490             : 
     491             : /* return x/p^v(x) mod p (p odd), resp mod 8 (p = 2) */
     492             : static GEN
     493         658 : padic_mod(GEN x)
     494             : {
     495         658 :   GEN p = gel(x,2), u = gel(x,4);
     496         658 :   return equaliu(p,2)? utoipos(mod8(u)): modii(u, p);
     497             : }
     498             : 
     499             : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
     500             :  * Return u^2 = 1 / 4M2(a1,b1), where M2(A,B) = B AGM(sqrt(A/B),1)^2; M2(A,B)
     501             :  * is the common limit of (A_n, B_n), A_0 = A, B _0 = B;
     502             :  *   A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
     503             :  *   B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = the square root of A_n B_n congruent to B_n
     504             :  * Update (x,y) using p-adic Landen transform; if *pty = NULL, don't update y */
     505             : static GEN
     506         189 : do_padic_agm(GEN *ptx, GEN *pty, GEN a1, GEN b1)
     507             : {
     508         189 :   GEN bp = padic_mod(b1), x = *ptx;
     509             :   for(;;)
     510             :   {
     511         469 :     GEN p1, d, a = a1, b = b1;
     512         469 :     b1 = Qp_sqrt(gmul(a,b));
     513         469 :     if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
     514         469 :     if (!equalii(padic_mod(b1), bp)) b1 = gneg_i(b1);
     515         469 :     a1 = gmul2n(gadd(gadd(a,b),gmul2n(b1,1)),-2);
     516         469 :     d = gsub(a1,b1);
     517         658 :     if (gequal0(d)) { *ptx = x; return ginv(gmul2n(a1,2)); }
     518         280 :     p1 = Qp_sqrt(gdiv(gadd(x,d),x)); /* = 1 (mod p) */
     519             :     /* x_{n+1} = x_n  ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
     520         280 :     x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,p1),-1)));
     521             :     /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
     522         280 :     if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(d,gmul2n(x,2)))));
     523         280 :   }
     524             : }
     525             : 
     526             : /* q a t_REAL*/
     527             : static long
     528          77 : real_prec(GEN q)
     529          77 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     530             : /* q a t_PADIC */
     531             : static long
     532          98 : padic_prec(GEN q)
     533          98 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     534             : 
     535             : /* check whether moduli are consistent */
     536             : static void
     537       97247 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     538       97247 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     539             : 
     540             : static int
     541       35994 : fix_nftype(GEN *pp)
     542             : {
     543       35994 :   switch(nftyp(*pp))
     544             :   {
     545       35994 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     546           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     547           0 :     default: return 0;
     548             :   }
     549       35994 :   return 1;
     550             : }
     551             : static long
     552      667232 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     553             : {
     554      667232 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     555      667244 :   GEN p = NULL;
     556      667244 :   long t = t_FRAC;
     557      667244 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     558             :   {
     559             :     case t_INT:
     560      490539 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     561        1918 :       p = *pp;
     562        1918 :       t = t_INTMOD;
     563        1918 :       break;
     564             :     case t_INTMOD:
     565           7 :       p = gel(*pp, 1);
     566           7 :       break;
     567             :     case t_REAL:
     568          21 :       e = real_prec(*pp);
     569          21 :       p = NULL;
     570          21 :       break;
     571             :     case t_PADIC:
     572          70 :       ep = padic_prec(*pp);
     573          70 :       p = gel(*pp, 2);
     574          70 :       break;
     575             :     case t_FFELT:
     576       16898 :       p = *pp;
     577       16898 :       break;
     578             :     case t_VEC:
     579       35994 :       t = t_VEC; p = *pp;
     580       35994 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     581             :     default:
     582           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     583           0 :       return 0;
     584             :   }
     585             :   /* Possible cases:
     586             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     587             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     588             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     589             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     590             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     591             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     592     3961220 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     593             :   {
     594     3294157 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     595     3294157 :     switch(typ(q)) {
     596             :       case t_PADIC:
     597          49 :         p2 = gel(q,2);
     598          49 :         switch(t)
     599             :         {
     600          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     601          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     602          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     603             :         }
     604          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     605          28 :         break;
     606             :       case t_INTMOD:
     607      121599 :         p2 = gel(q,1);
     608      121599 :         switch(t)
     609             :         {
     610       24360 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     611          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     612       97176 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     613          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     614             :         }
     615      121574 :         break;
     616             :       case t_FFELT:
     617      138489 :         switch(t)
     618             :         {
     619          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     620       56636 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     621             :           case t_FFELT:
     622       81844 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     623       81844 :             break;
     624           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     625             :         }
     626      138480 :         break;
     627             : 
     628     3033558 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     629             :       case t_REAL:
     630          56 :         switch(t)
     631             :         {
     632          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     633          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     634           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     635             :         }
     636          56 :         break;
     637             :       case t_COL:
     638             :       case t_POL:
     639             :       case t_POLMOD:
     640         399 :         if (t == t_VEC) break;
     641             :       default: /* base ring too general */
     642         119 :         return t_COMPLEX;
     643             :     }
     644             :   }
     645      667063 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     646             : }
     647             : 
     648             : static GEN
     649         133 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
     650             : {
     651             :   GEN y;
     652             :   long s;
     653         133 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     654         133 :   s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
     655         133 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     656         133 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     657         133 :   return y;
     658             : }
     659             : 
     660             : static GEN
     661          70 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     662             : {
     663             :   GEN y;
     664          70 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     665          70 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     666          70 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     667          70 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     668          70 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     669          70 :   return y;
     670             : }
     671             : 
     672             : static GEN
     673      494830 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     674             : {
     675             :   GEN y;
     676             :   long s;
     677      494830 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     678      494697 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     679      494697 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     680      494697 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     681      494697 :   return y;
     682             : }
     683             : 
     684             : /* shallow basistoalg */
     685             : static GEN
     686     1256633 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     687             : {
     688     1256633 :   switch(typ(x))
     689             :   {
     690     1256227 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     691         406 :     default: return basistoalg(nf, x);
     692             :   }
     693             : }
     694             : static GEN
     695       36001 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     696             : {
     697             :   long i, l;
     698       36001 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     699       36001 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     700       36001 :   return y;
     701             : }
     702             : 
     703             : static GEN
     704       35994 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     705             : {
     706             :   GEN y;
     707       35994 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     708       35994 :   x = nfVtoalg(p, x);
     709       35994 :   if (!(y = initsmall(x, 1))) return NULL;
     710       35994 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     711       35994 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     712       35994 :   return y;
     713             : }
     714             : 
     715             : static GEN
     716       29202 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     717             : {
     718             :   long i;
     719             :   GEN y, disc;
     720       29202 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     721       24261 :   if (cmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     722        2751 :     return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
     723       21513 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     724       21523 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     725      301048 :   for(i=1;i<=13;i++)
     726      279536 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     727       21512 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     728       21514 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     729       21511 :   return y;
     730             : }
     731             : 
     732             : static GEN
     733       73625 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     734             : {
     735             :   GEN y;
     736       73625 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     737       72218 :   return FF_ellinit(y,fg);
     738             : }
     739             : 
     740             : static GEN
     741        2975 : ellnf_to_Fq(GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     742             : {
     743        2975 :   GEN nf = ellnf_get_nf(x), e = vecslice(x,1,5);
     744             :   GEN p, modP;
     745        2975 :   if (get_modpr(P))
     746             :   { /* modpr accept */
     747        2800 :     modP = P;
     748        2800 :     p = modpr_get_p(modP);
     749             :   }
     750             :   else
     751             :   { /* pr, initialize modpr */
     752         175 :     GEN d = Q_denom(e);
     753         175 :     p = pr_get_p(P);
     754         175 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     755             :   }
     756        2975 :   *pp = p;
     757        2975 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     758        2975 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     759             : }
     760             : static GEN
     761        2975 : ellinit_nf_to_Fq(GEN E, GEN P)
     762             : {
     763             :   GEN T,p;
     764        2975 :   E = ellnf_to_Fq(E, P, &p, &T);
     765        2975 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     766             : }
     767             : 
     768             : GEN
     769      633238 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     770             : {
     771      633238 :   pari_sp av = avma;
     772             :   GEN y;
     773      633238 :   switch(typ(x))
     774             :   {
     775           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     776             :     case t_VEC:
     777      633231 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     778      633242 :       break;
     779           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     780             :   }
     781      633248 :   if (D && get_prid(D))
     782             :   {
     783        2506 :     if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     784        2506 :     y = ellinit_nf_to_Fq(x, D);
     785        2506 :     goto END;
     786             :   }
     787      630742 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     788             :   {
     789             :   case t_PADIC:
     790          70 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     791          70 :     break;
     792             :   case t_INTMOD:
     793       26255 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     794       26256 :     break;
     795             :   case t_FFELT:
     796       73408 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     797       73408 :     break;
     798             :   case t_FRAC:
     799      494830 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     800      494823 :     break;
     801             :   case t_REAL:
     802          21 :     y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
     803          21 :     break;
     804             :   case t_VEC:
     805       35994 :     y = ellinit_nf(x, D);
     806       35994 :     break;
     807             :   default:
     808         112 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     809             :   }
     810             : END:
     811      633191 :   if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
     812      626702 :   return gerepilecopy(av,y);
     813             : }
     814             : 
     815             : /********************************************************************/
     816             : /**                                                                **/
     817             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     818             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     819             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     820             : /**  verbatim                                                      **/
     821             : /**                                                                **/
     822             : /********************************************************************/
     823             : /* [1,0,0,0] */
     824             : static GEN
     825     3262392 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     826             : static int
     827      455077 : is_trivial_change(GEN v)
     828             : {
     829             :   GEN u, r, s, t;
     830      455077 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     831      455077 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     832      455077 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     833             : }
     834             : 
     835             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     836             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     837             : static void
     838         161 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     839             : {
     840         161 :   GEN v = *vtotal;
     841             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     842             : 
     843         322 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     844         161 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     845         161 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     846         161 :   U2 = gsqr(U);
     847         161 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     848         161 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     849         161 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     850         161 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     851             : }
     852             : 
     853             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     854             : GEN
     855          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     856             : {
     857             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     858          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     859          21 :   u = gel(w,1);
     860          21 :   r = gel(w,2);
     861          21 :   s = gel(w,3);
     862          21 :   t = gel(w,4);
     863          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     864          21 :   U = ginv(u);
     865          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     866          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     867          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     868          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     869             : }
     870             : 
     871             : /* apply [u,0,0,0] */
     872             : static GEN
     873      223517 : coordch_u(GEN e, GEN u)
     874             : {
     875             :   GEN y, u2, u3, u4, u6;
     876             :   long lx;
     877      223517 :   if (gequal1(u)) return e;
     878      223020 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     879      223020 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
     880      223020 :   gel(y,1) = gdiv(ell_get_a1(e),  u);
     881      223020 :   gel(y,2) = gdiv(ell_get_a2(e), u2);
     882      223020 :   gel(y,3) = gdiv(ell_get_a3(e), u3);
     883      223020 :   gel(y,4) = gdiv(ell_get_a4(e), u4);
     884      223020 :   gel(y,5) = gdiv(ell_get_a6(e), u6);
     885      223020 :   if (lx == 6) return y;
     886      223020 :   gel(y,6) = gdiv(ell_get_b2(e), u2);
     887      223020 :   gel(y,7) = gdiv(ell_get_b4(e), u4);
     888      223020 :   gel(y,8) = gdiv(ell_get_b6(e), u6);
     889      223020 :   gel(y,9) = gdiv(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
     890      223020 :   gel(y,10)= gdiv(ell_get_c4(e), u4);
     891      223020 :   gel(y,11)= gdiv(ell_get_c6(e), u6);
     892      223020 :   gel(y,12)= gdiv(ell_get_disc(e), gsqr(u6));
     893      223020 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
     894      223020 :   gel(y,14)= gel(e,14);
     895      223020 :   gel(y,15)= gel(e,15);
     896      223020 :   gel(y,16)= gel(e,16);
     897      223020 :   return y;
     898             : }
     899             : /* apply [1,r,0,0] */
     900             : static GEN
     901      875399 : coordch_r(GEN e, GEN r)
     902             : {
     903             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     904      875399 :   if (gequal0(r)) return e;
     905      748384 :   y = leafcopy(e);
     906      748384 :   a2 = ell_get_a2(e);
     907      748384 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     908             : 
     909             :   /* A2 = a2 + 3r */
     910      748384 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
     911             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     912      748384 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
     913             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     914      748384 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
     915             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     916      748384 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
     917      748384 :   if (lg(y) == 6) return y;
     918             : 
     919      748377 :   b4 = ell_get_b4(e);
     920      748377 :   b6 = ell_get_b6(e);
     921             :   /* B2 = 12r + b2 */
     922      748377 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     923      748377 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
     924      748377 :   r2 = gsqr(r);
     925             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
     926      748377 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
     927             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
     928      748377 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
     929             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
     930      748377 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
     931      748377 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
     932      748377 :   return y;
     933             : }
     934             : /* apply [1,0,s,0] */
     935             : static GEN
     936      227150 : coordch_s(GEN e, GEN s)
     937             : {
     938             :   GEN a1, y;
     939      227150 :   if (gequal0(s)) return e;
     940      227150 :   a1 = ell_get_a1(e);
     941      227150 :   y = leafcopy(e);
     942             : 
     943             :   /* A1 = a1 + 2s */
     944      227150 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
     945             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     946      227150 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
     947             :   /* A4 = a4 - s a3 */
     948      227150 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
     949      227150 :   return y;
     950             : }
     951             : /* apply [1,0,0,t] */
     952             : static GEN
     953      594125 : coordch_t(GEN e, GEN t)
     954             : {
     955             :   GEN a1, a3, y;
     956      594125 :   if (gequal0(t)) return e;
     957      524006 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     958      524006 :   y = leafcopy(e);
     959             :   /* A3 = 2t + a3 */
     960      524006 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
     961             :   /* A4 = a4 - a1 t */
     962      524006 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
     963             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     964      524006 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
     965      524006 :   return y;
     966             : }
     967             : /* apply [1,0,s,t] */
     968             : static GEN
     969      359625 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
     970             : {
     971             :   GEN y, a1, a3;
     972      359625 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
     973      258034 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
     974      140105 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     975      140105 :   y = leafcopy(e);
     976             :   /* A1 = a1 + 2s */
     977      140105 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
     978             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     979      140105 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
     980             :   /* A3 = 2t + a3 */
     981      140105 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
     982             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
     983      140105 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
     984             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     985      140105 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
     986      140105 :   return y;
     987             : }
     988             : /* apply [1,r,0,t] */
     989             : static GEN
     990      169806 : coordch_rt(GEN e, GEN r, GEN t)
     991             : {
     992      169806 :   e = coordch_r(e, r);
     993      169806 :   return coordch_t(e, t);
     994             : }
     995             : /* apply [1,r,s,t] */
     996             : static GEN
     997      347431 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
     998             : {
     999      347431 :   e = coordch_r(e, r);
    1000      347431 :   return coordch_st(e, s, t);
    1001             : }
    1002             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1003             : static GEN
    1004       72366 : coordch(GEN e, GEN w)
    1005             : {
    1006       72366 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1007       72366 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1008       72366 :   return coordch_u(e, gel(w,1));
    1009             : }
    1010             : 
    1011             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1012             :  * (dynamic data) */
    1013             : static GEN
    1014           7 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1015             : {
    1016           7 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1017           7 :   long prec = valp(p);
    1018           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1019           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1020             :   {
    1021           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1022           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1023             :   }
    1024           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1025             :   {
    1026           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1027           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1028           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1029           7 :     U = gmul(U, u);
    1030           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1031           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1032             :   }
    1033           7 :   return E;
    1034             : }
    1035             : 
    1036             : /* common to Q and Rg */
    1037             : static GEN
    1038       36344 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1039             : {
    1040       36344 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1041       36344 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1042          28 :     obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1043       36344 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1044          28 :     obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1045       36344 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1046             :   {
    1047          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1048             :     long i;
    1049          28 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1050          28 :     obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
    1051             :   }
    1052       36344 :   return E;
    1053             : }
    1054             : 
    1055             : static GEN
    1056          14 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1057             : {
    1058          14 :   GEN p = NULL;
    1059          14 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1060          14 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1061           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1062             : }
    1063             : 
    1064             : static GEN
    1065       36344 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1066             : {
    1067       36344 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1068       36344 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1069       36344 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1070       36337 :   ch_R(E, e, w);
    1071       36337 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1072           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1073       36337 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1074             :   {
    1075         455 :     if (lg(S) == 2)
    1076             :     { /* model was minimal */
    1077           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1078           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1079           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1080             :     }
    1081             :     else
    1082             :     {
    1083         448 :       v = gel(S,2);
    1084         448 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1085         434 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1086             :       else
    1087             :       {
    1088          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1089          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1090          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1091          14 :         gel(S,2) = v;
    1092             :       }
    1093         448 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1094             :     }
    1095             :   }
    1096       36337 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1097          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1098       36337 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1099           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1100       36337 :   return E;
    1101             : }
    1102             : 
    1103             : static void
    1104         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1105             : {
    1106             :   GEN S;
    1107         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1108          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1109         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1110          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1111         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1112          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1113         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1114          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1115         126 : }
    1116             : 
    1117             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1118             : static GEN
    1119           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1120             : {
    1121           7 :   long prec = 0;
    1122           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1123           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1124           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1125           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1126             : }
    1127             : static GEN
    1128         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1129             : {
    1130         119 :   long prec = 0;
    1131         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1132         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1133         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1134         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1135             : }
    1136             : 
    1137             : static void
    1138       71869 : ell_reset(GEN E)
    1139       71869 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1140             : 
    1141             : GEN
    1142       71890 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1143             : {
    1144       71890 :   pari_sp av = avma;
    1145             :   GEN E;
    1146       71890 :   checkell5(e);
    1147       71890 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1148       71883 :   checkcoordch(w);
    1149       71883 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1150       71883 :   if (lg(E) != 6)
    1151             :   {
    1152       71869 :     ell_reset(E);
    1153       71869 :     switch(ell_get_type(E))
    1154             :     {
    1155           7 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1156           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1157         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1158       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1159           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1160             :     }
    1161             :   }
    1162       71883 :   return gerepilecopy(av, E);
    1163             : }
    1164             : 
    1165             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1166             : static void
    1167      161700 : E_gcompose_r(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1168             : {
    1169      161700 :   GEN v = *vtotal;
    1170             :   GEN U2, R;
    1171      323400 :   if (gequal0(r)) return;
    1172       94612 :   *e = coordch_r(*e,r);
    1173       94612 :   U2 = gsqr(gel(v,1)); R = gel(v,2);
    1174       94612 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
    1175             : }
    1176             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1177             : static void
    1178      109221 : E_gcompose_s(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1179             : {
    1180      109221 :   GEN v = *vtotal;
    1181             :   GEN U, S;
    1182      109221 :   *e = coordch_s(*e,s);
    1183      109221 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1184      109221 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
    1185      109221 : }
    1186             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1187             : static void
    1188      250033 : E_gcompose_t(GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1189             : {
    1190      250033 :   GEN v = *vtotal;
    1191             :   GEN U3, U, T;
    1192      500066 :   if (gequal0(t)) return;
    1193       79380 :   *e = coordch_t(*e,t);
    1194       79380 :   U = gel(v,1); U3 = gmul(U, gsqr(U)); T = gel(v,4);
    1195       79380 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
    1196             : }
    1197             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1198             : static void
    1199      248318 : E_gcompose_rt(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1200             : {
    1201      248318 :   GEN v = *vtotal;
    1202             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1203      496636 :   if (gequal0(t)) { E_gcompose_r(vtotal, e, r); return; }
    1204      169806 :   *e = coordch_rt(*e,r,t);
    1205      169806 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1206      169806 :   U2 = gsqr(U);
    1207      169806 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
    1208      169806 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
    1209             : }
    1210             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1211             : static void
    1212      181853 : E_gcompose_st(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1213             : {
    1214      181853 :   GEN v = *vtotal;
    1215             :   GEN U3, U, S, T;
    1216      181853 :   if (gequal0(s)) { E_gcompose_t(vtotal, e, t); return; }
    1217      121415 :   if (gequal0(t)) { E_gcompose_s(vtotal, e, s); return; }
    1218       12194 :   *e = coordch_st(*e,s,t);
    1219       12194 :   U = gel(v,1); U3 = gmul(U,gsqr(U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1220       12194 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
    1221       12194 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
    1222             : }
    1223             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1224             : static void
    1225      151011 : E_gcompose_u(GEN *vtotal, GEN *e, GEN u)
    1226             : {
    1227      151011 :   GEN v = *vtotal;
    1228      151011 :   *e = coordch_u(*e,u); gel(v,1) = gmul(gel(v,1), u);
    1229      151011 : }
    1230             : 
    1231             : /* X = (x-r)/u^2
    1232             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1233             : static GEN
    1234         280 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1235             : {
    1236             :   GEN a, x, y;
    1237         280 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1238         266 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1239         266 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1240             : }
    1241             : 
    1242             : GEN
    1243         280 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1244             : {
    1245             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1246         280 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1247         280 :   pari_sp av = avma;
    1248             : 
    1249         280 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1250         280 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1251         280 :   checkcoordch(ch);
    1252         280 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1253         280 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1254         280 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1255         280 :   tx = typ(gel(x,1));
    1256         280 :   if (is_matvec_t(tx))
    1257             :   {
    1258          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1259          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1260          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1261             :   }
    1262             :   else
    1263         259 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1264         280 :   return gerepilecopy(av,y);
    1265             : }
    1266             : 
    1267             : /* x = u^2*X + r
    1268             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1269             : static GEN
    1270          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1271             : {
    1272             :   GEN a, X, Y;
    1273          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1274          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1275          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1276             : }
    1277             : GEN
    1278          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1279             : {
    1280             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1281          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1282          63 :   pari_sp av = avma;
    1283             : 
    1284          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1285          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1286          63 :   checkcoordch(ch);
    1287          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1288          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1289          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1290          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1291          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1292             :   {
    1293           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1294          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1295           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1296             :   }
    1297             :   else
    1298          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1299          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1300             : }
    1301             : 
    1302             : GEN
    1303       27846 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1304             : {
    1305       27846 :   pari_sp av = avma;
    1306             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1307             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1308             :   GEN V;
    1309       27846 :   checkell(E);
    1310       27846 :   if (!P)
    1311             :   {
    1312             :     GEN a4, a6;
    1313       27188 :     checkell_Fq(E);
    1314       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1315             :     {
    1316             :       case t_ELL_Fp:
    1317             :         {
    1318           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1319           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1320       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1321             :         }
    1322             :       case t_ELL_Fq:
    1323       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1324             :     }
    1325             :   }
    1326         658 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1327         658 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1328         658 :   if (typ(P) == t_INT)
    1329             :   {
    1330         644 :     if (equali1(P))
    1331          42 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1332         602 :     P = quadpoly(P);
    1333             :   } else
    1334             :   {
    1335          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1336          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1337           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1338             :   }
    1339         616 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1340         616 :   ac = gmul(a, c);
    1341         616 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1342         616 :   D2 = gsqr(D);
    1343         616 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1344         616 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1345         616 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1346         616 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1347         616 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1348         616 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1349         616 :   return gerepilecopy(av, V);
    1350             : }
    1351             : 
    1352             : static ulong
    1353          56 : smod2BIL(GEN x)
    1354             : {
    1355          56 :   long s = signe(x);
    1356          56 :   return s==0 ? 0: s==1 ? *int_LSW(x) : -*int_LSW(x);
    1357             : }
    1358             : 
    1359             : static long
    1360        1946 : safe_Z_pval(GEN n, GEN p)
    1361             : {
    1362        1946 :   return signe(n)==0? -1: Z_pval(n, p);
    1363             : }
    1364             : 
    1365             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1366             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1367             : Reference:
    1368             : Ian Connell, Elliptic Curve Handbook,
    1369             : http://www.math.mcgill.ca/connell/
    1370             : */
    1371             : GEN
    1372         238 : ellminimaltwist(GEN e)
    1373             : {
    1374         238 :   pari_sp av = avma;
    1375             :   GEN c4, c6, disc;
    1376         238 :   GEN D = gen_1;
    1377             :   GEN N, M, F, E;
    1378             :   long i, lF;
    1379         238 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1380         238 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1381         238 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1382         238 :   disc = ell_get_disc(E);
    1383         238 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1384         238 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1385        1211 :   for(i=1; i < lF; i++)
    1386             :   {
    1387         973 :     GEN p = gel(F, i);
    1388         973 :     long v4 = safe_Z_pval(c4, p), v6 = safe_Z_pval(c6,p), vD = Z_pval(disc,p);
    1389         973 :     long l = v4<0 ? minss(2*v6, vD): v6<0 ? minss(3*v4, vD): minss(minss(3*v4, 2*v6), vD);
    1390         973 :     if (cmpiu(p, 3)>0)
    1391             :     {
    1392         623 :       if (l>=6) D = mulii(D,mod4(p)==1 ? p: negi(p));
    1393             :     }
    1394         350 :     else if (equaliu(p, 3))
    1395             :     {
    1396         182 :       if (l>=6 && v6!=5) D = mulis(D,-3);
    1397             :     }
    1398             :     else /* p == 2*/
    1399             :     {
    1400         168 :       if ((v4==4 && v6==6 && vD>=12) || ((v4<0 || v4>=8) && v6==9 && vD==12))
    1401          42 :         D = mulis(D,-4);
    1402         126 :       else if (v4==6 && v6==9 && vD>=18)
    1403          42 :         D = mulis(D, ((smod2BIL(c6)>>9)&3UL) == 1 ? -8: 8);
    1404          84 :       else if ((v4<0 || v4>=6) && v6==6 && vD==6)
    1405          14 :         D = mulis(D, ((smod2BIL(c6)>>6)&3UL) == 1 ? 8: -8);
    1406             :       else
    1407          70 :         if (!(v4==4 || v4==5 || v6==3 || v6==5 || v6==7 || (v4==0 && v6==0)))
    1408          28 :           D = mulis(D, -8);
    1409             :     }
    1410             :   }
    1411         238 :   obj_free(E);
    1412         238 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1413             : }
    1414             : 
    1415             : /*
    1416             : Reference:
    1417             : William A. Stein and Mark Watkins
    1418             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1419             : ANTS 5
    1420             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1421             : */
    1422             : GEN
    1423         224 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1424             : {
    1425         224 :   pari_sp av = avma;
    1426         224 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1427         224 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1428         224 :   GEN E = ellminimalmodel(eD, NULL);
    1429         224 :   GEN R = elllocalred(E, gen_2);
    1430         224 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1431         224 :   obj_free(eD); obj_free(E);
    1432         224 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1433         210 :   else if (f==6)
    1434             :   {
    1435          14 :     if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
    1436             :     else
    1437             :     {
    1438           7 :       long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
    1439           7 :       D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
    1440             :     }
    1441             :   }
    1442         224 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1443             : }
    1444             : 
    1445             : GEN
    1446         189 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1447             : {
    1448         189 :   switch(flag)
    1449             :   {
    1450             :     case 0:
    1451          14 :       return ellminimaltwist(e);
    1452             :     case 1:
    1453         175 :       return ellminimaltwistcond(e);
    1454             :   }
    1455           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1456           0 :   return NULL; /* NOT REACHED */
    1457             : }
    1458             : 
    1459             : static long
    1460           7 : ellexpo(GEN E)
    1461             : {
    1462           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1463          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1464             :   {
    1465          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1466          35 :     if (f > e) e = f;
    1467             :   }
    1468           7 :   return e;
    1469             : }
    1470             : 
    1471             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1472             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1473             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1474             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1475             : int
    1476        3024 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1477             : {
    1478             :   GEN LHS, RHS, x;
    1479             :   long pl, pr, ex, expx;
    1480             :   pari_sp av;
    1481             : 
    1482        3024 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1483        2947 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1484        2947 :   av = avma;
    1485        2947 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1486        2947 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1487        2947 :   if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
    1488          21 :   pl = precision(LHS);
    1489          21 :   pr = precision(RHS);
    1490          21 :   if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
    1491             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1492           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1493           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1494           7 :   expx = gexpo(x);
    1495          13 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1496           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1497           7 :   avma = av; return pr;
    1498             : }
    1499             : 
    1500             : GEN
    1501        4158 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1502             : {
    1503        4158 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1504             : 
    1505        4158 :   checkell(e);
    1506        4158 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1507        4158 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1508        4158 :   tx = typ(gel(x,1));
    1509        4158 :   if (is_vec_t(tx))
    1510             :   {
    1511        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1512        1687 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1513        1687 :     return z;
    1514             :   }
    1515        2471 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1516             : }
    1517             : 
    1518             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1519             : static GEN
    1520        1778 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1521             : {
    1522             :   GEN dy,dx;
    1523        1778 :   if (y1 != y2)
    1524             :   {
    1525             :     int eq;
    1526         245 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1527           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1528             :     else
    1529         238 :       eq = gequal(y1,y2);
    1530         245 :     if (!eq) return NULL;
    1531             :   }
    1532        1771 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1533        1771 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1534        1736 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1535             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1536        1736 :   return gdiv(dy,dx);
    1537             : }
    1538             : static GEN
    1539        3262 : get_slope(GEN e, GEN x1, GEN x2, GEN y1, GEN y2)
    1540             : {
    1541             :   GEN dy,dx;
    1542        3262 :   if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
    1543        1778 :     return slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1544        1484 :   dx = gsub(x2,x1);
    1545        1484 :   if (typ(dx) == t_COMPLEX) /* its Norm may be 0 */
    1546             :   {
    1547           0 :     GEN N = gnorm(dx);
    1548           0 :     if (gequal0(N)) return slope_samex(e,x1,y1,y2);
    1549           0 :     dy = gsub(y2,y1);
    1550           0 :     return gdiv(gmul(dy,gconj(dx)),N); /* dy/dx */
    1551             :   }
    1552        1484 :   dy = gsub(y2,y1);
    1553        1484 :   return gdiv(dy,dx);
    1554             : }
    1555             : 
    1556             : GEN
    1557        3437 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1558             : {
    1559             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1560        3437 :   pari_sp av = avma;
    1561             : 
    1562        3437 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1563        3437 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1564        3262 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1565             : 
    1566        3262 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1567        3262 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1568        3262 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1569             :   {
    1570         462 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1571         462 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1572         462 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1573         462 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1574         462 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1575             :   }
    1576        3262 :   s = get_slope(e,x1,x2,y1,y2);
    1577        3262 :   if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
    1578        3220 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1579        3220 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1580        3220 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1581        3220 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1582        3220 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1583             : }
    1584             : 
    1585             : static GEN
    1586          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1587             : {
    1588             :   GEN t, x, y;
    1589          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1590          49 :   x = gel(z,1);
    1591          49 :   y = gel(z,2);
    1592          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1593             :   {
    1594           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1595           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1596           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1597             :   }
    1598          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1599          49 :   gel(t,1) = x;
    1600          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1601          49 :   return t;
    1602             : }
    1603             : 
    1604             : GEN
    1605         357 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1606             : {
    1607             :   pari_sp av;
    1608             :   GEN t, y;
    1609         357 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1610         357 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1611         357 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1612         357 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1613         357 :   av = avma;
    1614         357 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1615         357 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1616         357 :   return t;
    1617             : }
    1618             : 
    1619             : GEN
    1620          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1621             : {
    1622          49 :   pari_sp av = avma;
    1623          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1624          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1625             : }
    1626             : 
    1627             : /* E an ell, x a scalar */
    1628             : static GEN
    1629        1729 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1630             : {
    1631        1729 :   pari_sp av = avma;
    1632        1729 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1633             : 
    1634        1729 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1635             :   {
    1636         343 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1637         343 :     x = nftoalg(nf,x);
    1638             :   }
    1639        1729 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1640        1729 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1641        1729 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1642             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1643        1729 :   if (gequal0(D)) {
    1644         434 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && equaliu(ellff_get_p(E),2))
    1645           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1646         434 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1647         434 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1648         434 :     return gerepileupto(av,y);
    1649             :   }
    1650             :   /* D != 0 */
    1651        1295 :   switch(ell_get_type(E))
    1652             :   {
    1653             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1654          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1655          28 :       D = gel(D,2);
    1656          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1657           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1658           7 :       break;
    1659             :     case t_ELL_Fq:
    1660         217 :       if (equaliu(ellff_get_p(E),2))
    1661             :       {
    1662          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1663          77 :         if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1664          28 :         return gerepileupto(av, F);
    1665             :       }
    1666         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1667          63 :       break;
    1668             :     case t_ELL_Q:
    1669         686 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1670         679 :       if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1671         441 :       break;
    1672             : 
    1673             :     case t_ELL_NF:
    1674             :     {
    1675         343 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1676         343 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1677         343 :       d = nfroots(nf, T);
    1678         343 :       delete_var();
    1679         343 :       if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    1680         329 :       d = gel(d,1);
    1681         329 :       break;
    1682             :     }
    1683             : 
    1684             :     case t_ELL_Qp:
    1685          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1686          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1687          14 :       if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1688          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1689          14 :       break;
    1690             : 
    1691             :     default:
    1692           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1693             :   }
    1694         868 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1695         868 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1696         868 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1697         868 :   return gerepileupto(av,y);
    1698             : }
    1699             : 
    1700             : GEN
    1701        1729 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1702             : {
    1703        1729 :   checkell(e);
    1704        1729 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1705             :   {
    1706             :     long i, lx;
    1707           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1708           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1709           0 :     return v;
    1710             :   }
    1711        1729 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1712             : }
    1713             : 
    1714             : GEN
    1715       93632 : ellrandom(GEN E)
    1716             : {
    1717             :   GEN fg;
    1718       93632 :   checkell_Fq(E);
    1719       93632 :   fg = ellff_get_field(E);
    1720       93632 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1721       93604 :     return FF_ellrandom(E);
    1722             :   else
    1723             :   {
    1724          28 :     pari_sp av = avma;
    1725          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1726          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1727          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1728          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1729             :   }
    1730             : }
    1731             : 
    1732             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, z != [0] */
    1733             : static GEN
    1734          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN z, GEN n)
    1735             : {
    1736          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1737             :   long ln, ep, vn;
    1738             : 
    1739          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    1740           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1741          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addsi(1, N), 3));
    1742          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1743          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1744          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1745          14 :   z2 = gsubst(z1, 0, monomial(n, 1, 0));
    1746          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1747          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1748             :   do
    1749             :   {
    1750          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1751             :     do
    1752             :     {
    1753          28 :       ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1754          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), monomial(gen_1, ep, 0)));
    1755          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1756             :     }
    1757          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    1758          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1759          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1760          21 :     if (!signe(z2)) break;
    1761           7 :     z2 = ginv(z2);
    1762             :   }
    1763           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    1764          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1765           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1766          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1767          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12); /* x - b2/12 */
    1768          14 :   grdx = gadd(gel(z,1), b2ov12);
    1769          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1770          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1771             : 
    1772          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1773          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1774          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1775          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1776             : 
    1777          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    1778          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1779          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1780          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,z), y), ec_h_evalx(e,x));
    1781          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1782             : }
    1783             : 
    1784             : static GEN
    1785         609 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1786             : static GEN
    1787         175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1788             : 
    1789             : static GEN
    1790       77742 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1791             : {
    1792       77742 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1793       77742 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1794       77280 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1795             :   else
    1796             :   {
    1797         462 :     pari_sp av = avma;
    1798         462 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1799         463 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1800         460 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1801         418 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1802         418 :     return gerepileupto(av, Q);
    1803             :   }
    1804             : }
    1805             : /* [n] z, n integral */
    1806             : static GEN
    1807       78246 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1808             : {
    1809             :   long s;
    1810       78246 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1811       78247 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    1812         504 :   s = signe(n);
    1813         504 :   if (!s) return ellinf();
    1814         490 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    1815         490 :   if (is_pm1(n)) return z;
    1816         371 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    1817             : }
    1818             : 
    1819             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    1820             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    1821             : static long
    1822          42 : myroundr(GEN *px)
    1823             : {
    1824          42 :   GEN x = *px;
    1825             :   long e;
    1826          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    1827          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    1828          42 :   if (e >= -5) return NO;
    1829          42 :   return OK;
    1830             : }
    1831             : 
    1832             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    1833             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    1834             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    1835             : static GEN
    1836          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    1837             : {
    1838             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    1839             :   long prec;
    1840             : 
    1841          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    1842          14 :   switch(typ(Q))
    1843             :   {
    1844             :     case t_COMPLEX:
    1845           0 :       D = utoineg(4);
    1846           0 :       v = gel(Q,2);
    1847           0 :       break;
    1848             :     case t_QUAD:
    1849          14 :       D = quad_disc(Q);
    1850          14 :       v = gel(Q,3);
    1851          14 :       break;
    1852             :     default:
    1853           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    1854             :   }
    1855             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    1856          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    1857          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    1858          14 :   prec = precision(tau);
    1859             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    1860             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    1861             :    * Compute f*k */
    1862          14 :   x = gel(tau,1);
    1863          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    1864          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    1865          14 :   switch(myroundr(&fk))
    1866             :   {
    1867           0 :     case NO: return NULL;
    1868           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1869             :   }
    1870          14 :   fk = absi(fk);
    1871             : 
    1872          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    1873          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    1874             :   {
    1875           0 :     case NO: return NULL;
    1876           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1877             :   }
    1878             : 
    1879          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    1880          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    1881             :   {
    1882           0 :     case NO: return NULL;
    1883           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1884             :   }
    1885             : 
    1886             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    1887          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    1888          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    1889          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    1890          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    1891             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    1892          14 :   v = dvmdii(absi(v), q, &r);
    1893          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    1894          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    1895             : }
    1896             : 
    1897             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    1898             : static GEN
    1899          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    1900             : {
    1901             :   GEN A, B, q;
    1902          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    1903          14 :   q = CM_factor(e, w);
    1904          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    1905          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    1906             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    1907          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    1908             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    1909             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    1910           7 :     GEN u = gtrace(w);
    1911           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    1912           7 :     u = shifti(u, -1);
    1913           7 :     if (signe(u))
    1914             :     {
    1915           0 :       w = gsub(w, u);
    1916           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    1917             :     }
    1918             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    1919             :   }
    1920          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    1921          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    1922          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    1923          14 :   return elladd(e, A, B);
    1924             : }
    1925             : GEN
    1926       78249 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    1927             : {
    1928       78249 :   pari_sp av = avma;
    1929             : 
    1930       78249 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1931       78241 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1932       78240 :   switch(typ(n))
    1933             :   {
    1934       78226 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    1935             :     case t_QUAD: {
    1936          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    1937          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    1938          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    1939             :     }
    1940             :     case t_COMPLEX: {
    1941           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    1942           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    1943             :     }
    1944             :   }
    1945           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    1946           0 :   return NULL; /* not reached */
    1947             : }
    1948             : 
    1949             : /********************************************************************/
    1950             : /**                                                                **/
    1951             : /**                       Periods                                  **/
    1952             : /**                                                                **/
    1953             : /********************************************************************/
    1954             : 
    1955             : /* References:
    1956             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    1957             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    1958             : */
    1959             : 
    1960             : static GEN
    1961         561 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    1962             : {
    1963         561 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    1964         561 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    1965         561 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    1966             : }
    1967             : 
    1968             : static GEN
    1969         127 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    1970             : {
    1971         127 :   pari_sp av = avma;
    1972         127 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    1973         120 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    1974         120 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    1975         120 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    1976             : }
    1977             : 
    1978             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    1979             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    1980             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    1981             : static GEN
    1982         568 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    1983             : {
    1984         568 :   pari_sp av = avma;
    1985             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    1986         568 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    1987         441 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    1988         441 :   d2 = gel(roots,5);
    1989         441 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    1990         441 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    1991         441 :   b = gel(z,2);
    1992         441 :   c = gabs(z, prec);
    1993         441 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    1994         441 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    1995             : }
    1996             : static GEN
    1997          28 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    1998          28 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    1999             : 
    2000             : GEN
    2001        1596 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2002        1596 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2003             : GEN
    2004          42 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2005          42 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2006             : GEN
    2007        1646 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2008        1646 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2009             : 
    2010             : /********************************************************************/
    2011             : /**                                                                **/
    2012             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2013             : /**                                                                **/
    2014             : /********************************************************************/
    2015             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2016             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2017             : static GEN
    2018           0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2019             : {
    2020           0 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2021           0 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2022           0 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2023           0 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2024           0 :   GEN z = gel(om,2);
    2025           0 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2026           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2027             :   else
    2028           0 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2029           0 :   return gmul2n(z, -1);
    2030             : }
    2031             : 
    2032             : static GEN
    2033           7 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2034             : {
    2035           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2036           7 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2037           7 :   if (gequal0(y0))
    2038           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2039             :   else
    2040             :   {
    2041           7 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2042           7 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2043           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2044           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2045           7 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2046             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2047           7 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2048           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2049             :   }
    2050             : }
    2051             : 
    2052             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2053             : static GEN
    2054           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2055             : {
    2056           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2057           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2058             :   else
    2059             :   {
    2060           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2061           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2062           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2063           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2064           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2065           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2066           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2067           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2068             :   }
    2069             : }
    2070             : 
    2071             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2072             : static GEN
    2073           7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2074             : {
    2075           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2076           7 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2077           7 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2078           7 :   e1 = gel(R,1);
    2079           7 :   e2 = gel(R,2);
    2080           7 :   e3 = gel(R,3);
    2081           7 :   d2 = gel(R,5);
    2082           7 :   d3 = gel(R,6);
    2083           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2084           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2085           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2086           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2087           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2088           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2089             :   } else {
    2090           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2091           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2092           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2093           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2094             :   }
    2095             : }
    2096             : 
    2097             : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
    2098             :  * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
    2099             :  * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
    2100             : static GEN
    2101         168 : doellQp_root(GEN E, long prec)
    2102             : {
    2103         168 :   GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
    2104             :   GEN c4p, c6p, T, a;
    2105             :   long alpha;
    2106         168 :   int pis2 = equaliu(p, 2);
    2107         168 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2108             :   /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
    2109         168 :   alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
    2110         168 :   if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
    2111             :   /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
    2112         168 :   if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
    2113         168 :   c4p = modii(c4,p);
    2114         168 :   c6p = modii(c6,p);
    2115         168 :   if (pis2)
    2116             :   { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
    2117          91 :     T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, mulis(c4,-9), mulis(c6, -2));
    2118          91 :     a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec);
    2119          91 :     alpha -= 2;
    2120             :   }
    2121          77 :   else if (equaliu(p, 3))
    2122             :   { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
    2123          56 :     a = Fp_neg(c6p, p);
    2124          56 :     T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, mulis(c4, -6), negi(c6));
    2125          56 :     a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
    2126          56 :     switch(lg(a)-1)
    2127             :     {
    2128             :       case 1: /* single root */
    2129          28 :         a = gel(a,1); break;
    2130             :       case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
    2131             :       {
    2132          28 :         GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
    2133          28 :         long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
    2134          28 :         long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
    2135          28 :         long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
    2136          28 :         if      (v1 == v2) a = a3;
    2137           0 :         else if (v1 == v3) a = a2;
    2138           0 :         else a = a1;
    2139             :       }
    2140          28 :       break;
    2141             :     }
    2142          56 :     alpha--;
    2143             :   }
    2144             :   else
    2145             :   { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
    2146             :      * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
    2147          21 :     a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
    2148          21 :     T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, mulis(c4, -18), negi(c6));
    2149          21 :     a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
    2150             :   }
    2151         168 :   a = cvtop(a, p, prec);
    2152         168 :   if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
    2153         168 :   return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
    2154             : }
    2155             : GEN
    2156         266 : ellQp_root(GEN E, long prec)
    2157         266 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
    2158             : 
    2159             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
    2160             : static void
    2161         182 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
    2162             : {
    2163         182 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2164         182 :   GEN w, u, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1)), p = ellQp_get_p(E);
    2165         182 :   w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
    2166         182 :   u = gadd(t,w);
    2167             :   /* Decide between w and -w: we want v(a-b) > v(b) */
    2168         182 :   if (equaliu(p,2))
    2169          98 :   { if (valp(u)-1 <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2170             :   else
    2171          84 :   { if (valp(u) <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2172             : 
    2173             :   /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
    2174         182 :   *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
    2175         182 :   *ptb = gmul2n(w,-1);
    2176         182 : }
    2177             : 
    2178             : static GEN
    2179          84 : doellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec0)
    2180             : {
    2181          84 :   GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
    2182             :   GEN L, u, u2, q, x1, a, b, d, s, t;
    2183          84 :   long v, prec = prec0+3;
    2184          84 :   int split = -1; /* unknown */
    2185             : 
    2186          84 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2187             : START:
    2188         182 :   doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
    2189         182 :   d = gsub(a,b);
    2190         182 :   v = prec0 - precp(d);
    2191         182 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2192         133 :   x1 = gmul2n(d,-2);
    2193         133 :   u2 = do_padic_agm(&x1,NULL,a,b);
    2194         133 :   if (split < 0) split = issquare(u2);
    2195             : 
    2196         133 :   t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
    2197         133 :   s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
    2198         133 :   q = gadd(t,s);
    2199         133 :   if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
    2200         133 :   v = prec0 - precp(q);
    2201         133 :   if (split)
    2202             :   { /* we want log q at precision prec0 */
    2203          42 :     GEN q0 = leafcopy(q); setvalp(q0, 0);
    2204          42 :     v +=  valp(gsubgs(q0,1));
    2205             :   }
    2206         133 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2207          84 :   if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
    2208          84 :   if (split)
    2209             :   {
    2210          35 :     u = Qp_sqrt(u2);
    2211          35 :     L = gdivgs(Qp_log(q), valp(q));
    2212             :   }
    2213             :   else
    2214             :   {
    2215          49 :     GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
    2216          49 :     u = mkpolmod(pol_x(0), T);
    2217          49 :     L = gen_1;
    2218             :   }
    2219          84 :   return mkvec5(u2, u, q, mkvec2(a, b), L);
    2220             : }
    2221             : GEN
    2222         154 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
    2223         154 : {return obj_checkbuild_padicprec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate_uniformization,prec);}
    2224             : GEN
    2225          56 : ellQp_u(GEN E, long prec)
    2226          56 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
    2227             : GEN
    2228           0 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
    2229           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
    2230             : GEN
    2231           0 : ellQp_q(GEN E, long prec)
    2232           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
    2233             : GEN
    2234          63 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
    2235          63 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
    2236             : GEN
    2237           0 : ellQp_L(GEN E, long prec)
    2238           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,5); }
    2239             : 
    2240             : static GEN
    2241          70 : zellQp(GEN E, GEN z, long prec)
    2242             : {
    2243          70 :   pari_sp av = avma;
    2244             :   GEN b2, a, b, ab, c0, r0, r1, ar1, e1, x, delta, x0,x1, y0,y1, t;
    2245          70 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_1;
    2246          63 :   b2 = ell_get_b2(E);
    2247          63 :   ab = ellQp_ab(E, prec);
    2248             :   /* e1 already computed in ellQp_ab, possibly to larger accuracy */
    2249          63 :   e1 = ellQp_root(E, prec);
    2250          63 :   a = gel(ab,1);
    2251          63 :   b = gel(ab,2); r1 = gsub(a,b);
    2252          63 :   x = gel(z,1);
    2253          63 :   r0 = gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2254          63 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1)); ar1 = gmul(a,r1);
    2255          63 :   delta = gdiv(ar1, gsqr(c0));
    2256          63 :   t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2257          63 :   if (!t)
    2258           7 :     pari_err_DOMAIN("ellztopoint", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2259          56 :   x0 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2260          56 :   y0 = gdiv(gmul2n(ec_dFdy_evalQ(E,z), -1), gsubsg(1, gdiv(ar1,gsqr(x0))));
    2261             : 
    2262          56 :   x1 = gmul(x0, gsqr(gmul2n(gaddsg(1, Qp_sqrt(gaddsg(1,gdiv(r1,x0)))),-1)));
    2263          56 :   y1 = gdiv(y0, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r1,gmul2n(x1,2)))));
    2264          56 :   if (gequal0(x1)) pari_err_PREC("ellpointtoz");
    2265             : 
    2266          56 :   (void)do_padic_agm(&x1,&y1, a,b);
    2267          56 :   t = gmul(ellQp_u(E, prec), gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2268          56 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2269          56 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2270          56 :   return gerepileupto(av, t);
    2271             : }
    2272             : 
    2273             : /* t to w := -1/y */
    2274             : GEN
    2275         329 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
    2276             : {
    2277         329 :   pari_sp av = avma, av2;
    2278             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
    2279         329 :   GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
    2280         329 :   ulong mask, nold = 1;
    2281         329 :   if (v < 0) v = 0;
    2282         329 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
    2283         315 :   mask = quadratic_prec_mask(n);
    2284         315 :   t = pol_x(v);
    2285         315 :   checkell(e);
    2286         315 :   a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
    2287         315 :   a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
    2288         315 :   w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
    2289         315 :   gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
    2290             :   /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
    2291             :    *
    2292             :    *            w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
    2293             :    * w  <-  w - -----------------------------------------------------
    2294             :    *              w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
    2295             :    *
    2296             :    *              w^3 a6 + w^2 U + w V + W
    2297             :    *      =: w -  -----------------------
    2298             :    *                w^2 (3a6) + 2w U + V
    2299             :    */
    2300         315 :   U = gadd(gmul(a4,t), a3);
    2301         315 :   U2 = gmul2n(U,1);
    2302         315 :   V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
    2303         315 :   W = gpowgs(t,3);
    2304         315 :   av2 = avma;
    2305        1645 :   while (mask > 1)
    2306             :   { /* nold correct terms in w */
    2307        1015 :     ulong i, nnew = nold << 1;
    2308             :     GEN num, den, wnew, w2, w3;
    2309        1015 :     if (mask & 1) nnew--;
    2310        1015 :     mask >>= 1;
    2311        1015 :     wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
    2312        1015 :     wnew[1] = w[1];
    2313        1015 :     for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
    2314        1015 :     for (     ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
    2315        1015 :     w = wnew;
    2316        1015 :     w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
    2317        1015 :     num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
    2318        1015 :     den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
    2319             : 
    2320        1015 :     w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
    2321        1015 :     nold = nnew;
    2322             :   }
    2323         315 :   return gerepilecopy(av, w);
    2324             : }
    2325             : 
    2326             : static GEN
    2327         294 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
    2328         294 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
    2329             : 
    2330             : /* t to [x,y] */
    2331             : GEN
    2332          21 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
    2333             : {
    2334          21 :   pari_sp av = avma;
    2335          21 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w);
    2336          21 :   return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
    2337             : }
    2338             : 
    2339             : static GEN
    2340         273 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
    2341             : {
    2342             :   GEN x, w1;
    2343         273 :   if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
    2344             :   { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
    2345           0 :     x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
    2346           0 :     w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
    2347             :   }
    2348             :   else
    2349             :   {
    2350         273 :     GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
    2351         273 :     x = gel(P,1);
    2352         273 :     w1 = gdiv(derivser(x), ec_dmFdy_evalQ(e, P));
    2353             :   }
    2354         273 :   *px = x; return w1;
    2355             : }
    2356             : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
    2357             : GEN
    2358          21 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
    2359             : {
    2360          21 :   pari_sp av = avma;
    2361          21 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w), x;
    2362          21 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2363          21 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
    2364             : }
    2365             : 
    2366             : /* t to z, dz = w1 dt */
    2367             : GEN
    2368          49 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
    2369             : {
    2370          49 :   pari_sp av = avma;
    2371          49 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w), x;
    2372          49 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2373          49 :   return gerepileupto(av, integser(w1));
    2374             : }
    2375             : /* z to t */
    2376             : GEN
    2377          21 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
    2378             : {
    2379          21 :   pari_sp av = avma;
    2380          21 :   return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
    2381             : }
    2382             : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
    2383             :  * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
    2384             :  *   sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
    2385             :  * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
    2386             : static GEN
    2387         203 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
    2388             : {
    2389         203 :   pari_sp av = avma;
    2390         203 :   GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = inv_ser(w), t = pol_x(0);
    2391         203 :   GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2392         203 :   GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
    2393         203 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
    2394             :                                  integser(s)));
    2395             : }
    2396             : 
    2397             : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
    2398             : static int
    2399         252 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
    2400             : {
    2401         252 :   pari_sp av = avma;
    2402             :   GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
    2403         252 :   if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
    2404         245 :   P = Q_muli_to_int(P,d);
    2405         245 :   x = gel(P,1);
    2406         245 :   y = gel(P,2);
    2407         245 :   a1 = ell_get_a1(E);
    2408         245 :   a3 = ell_get_a3(E);
    2409         245 :   t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
    2410         245 :   if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
    2411          28 :   a2 = ell_get_a2(E);
    2412          28 :   a4 = ell_get_a4(E);
    2413          28 :   d = Fp_inv(d, p);
    2414          28 :   x = Fp_mul(x,d,p);
    2415          28 :   y = Fp_mul(y,d,p);
    2416          28 :   t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
    2417          28 :   avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
    2418             : }
    2419             : 
    2420             : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
    2421             :  * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
    2422             : GEN
    2423         217 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
    2424             : {
    2425         217 :   pari_sp av = avma;
    2426         217 :   GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
    2427             :   long i, l;
    2428         217 :   checkellpt(P);
    2429         217 :   if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
    2430         217 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2431         217 :   S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
    2432         217 :   NP = gmael(S,3,1);
    2433         217 :   L = gel(S,4);
    2434         217 :   l = lg(NP);
    2435         217 :   d = Q_denom(P);
    2436         462 :   for (i = 1; i < l; i++)
    2437             :   {
    2438         245 :     GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
    2439         245 :     if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
    2440          21 :     c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
    2441          21 :     kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
    2442          21 :     if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
    2443             :     {
    2444           7 :       long nu = itos(kod) - 4;
    2445           7 :       long n = minss(Q_pval(ec_dmFdy_evalQ(E,P), p), nu/2);
    2446           7 :       nu /= ugcd(nu, n);
    2447           7 :       g = muliu(g, nu);
    2448           7 :       P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
    2449           7 :       d = Q_denom(P);
    2450          14 :     } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
    2451             :     { /* either 2 or 4 */
    2452           7 :       long nu = - itos(kod) - 4;
    2453           7 :       P = elladd(E, P,P);
    2454           7 :       d = Q_denom(P);
    2455           7 :       g = shifti(g,1);
    2456           7 :       if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
    2457             :       { /* it's 4 */
    2458           7 :         P = elladd(E, P,P);
    2459           7 :         d = Q_denom(P);
    2460           7 :         g = shifti(g,1);
    2461             :       }
    2462             :     } else {
    2463           7 :       if (equaliu(c, 4)) c = gen_2;
    2464           7 :       P = ellmul(E, P, c);
    2465           7 :       d = Q_denom(P);
    2466           7 :       g = mulii(g, c);
    2467             :     }
    2468             :   }
    2469         217 :   if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
    2470         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
    2471             : }
    2472             : 
    2473             : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
    2474             :  * notation (Duke 1991)*/
    2475             : static GEN
    2476        7434 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
    2477             : {
    2478             :   hashentry *h;
    2479             :   GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
    2480             :   ulong m4;
    2481        7434 :   if (cmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
    2482             :   {
    2483         322 :     case 0: return gen_0;
    2484         882 :     case 1: return gen_1;
    2485        1064 :     case 2: return subiu(N,1);
    2486        1330 :     case 3: return b8;
    2487        1386 :     case 4: return g4;
    2488             :   }
    2489        2450 :   if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
    2490        1260 :   m4 = mod4(m);
    2491        1260 :   n = shifti(m, -1); f   = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
    2492        1260 :   np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
    2493        1260 :   np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
    2494        1260 :   nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
    2495        1260 :   nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
    2496        1260 :   if (odd(m4))
    2497             :   {
    2498         770 :     GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
    2499         770 :     GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
    2500         770 :     if (mpodd(n))
    2501         322 :       z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
    2502             :     else
    2503         448 :       z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
    2504             :   }
    2505             :   else
    2506             :   {
    2507         490 :     GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
    2508         490 :     GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
    2509         490 :     z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
    2510             :   }
    2511        1260 :   hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
    2512        1260 :   return z;
    2513             : }
    2514             : 
    2515             : static GEN
    2516        1134 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
    2517             : static GEN
    2518         756 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
    2519             : static GEN
    2520         378 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
    2521             : 
    2522             : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
    2523             :  * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
    2524             :  * [num,den] (coprime) */
    2525             : static GEN
    2526         378 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
    2527             : {
    2528         378 :   pari_sp av = avma;
    2529         378 :   ulong k = expi(m);
    2530         378 :   hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
    2531             :                                       (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
    2532         378 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
    2533         378 :   GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
    2534             :   GEN B4, B6, B8, T, g4;
    2535         378 :   GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
    2536         378 :   GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
    2537         378 :   GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
    2538         378 :   GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
    2539         378 :   GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
    2540         378 :   B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
    2541             :               mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
    2542         378 :   B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
    2543             :               shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
    2544             :               b6d3);
    2545         378 :   B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd,  mulii(b4,d2));
    2546             : 
    2547         378 :   B4 = modii(B4,N);
    2548         378 :   B6 = modii(B6,N);
    2549         378 :   B8 = modii(B8,N);
    2550             : 
    2551         378 :   g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
    2552         378 :   T = Fp_sqr(B6,N);
    2553             : 
    2554         378 :   g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
    2555         378 :   gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2556         378 :   gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2557         378 :   C = Fp_sqr(g, N);
    2558         378 :   D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
    2559             : 
    2560         378 :   if(mpodd(m))
    2561             :   {
    2562         168 :     n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
    2563         168 :     d = Fp_mul(C,d, N);
    2564             :   }
    2565             :   else
    2566             :   {
    2567         210 :     n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
    2568         210 :     d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
    2569             :   }
    2570         378 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
    2571             : }
    2572             : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
    2573             :  * return t = -x/y + O(p^v) */
    2574             : static GEN
    2575         203 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
    2576             : {
    2577         203 :   GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
    2578             :   GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
    2579         203 :   if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
    2580         203 :   a1 = ell_get_a1(e);
    2581         203 :   b2 = ell_get_b2(e);
    2582         203 :   a3 = ell_get_a3(e);
    2583         203 :   b4 = ell_get_b4(e);
    2584         203 :   b6 = ell_get_b6(e);
    2585         203 :   d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
    2586         203 :   if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2587             :   /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
    2588             :    * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
    2589         203 :   d4 = Fp_sqr(d2, N);
    2590         203 :   d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
    2591         203 :   B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
    2592         203 :   C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
    2593             :                 Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
    2594             :                 Fp_mul(b6,d6,N));
    2595         203 :   C = FpX_eval(C, n, N);
    2596         203 :   if (!signe(C))
    2597           0 :     Y = zeropadic(p, v >> 1);
    2598             :   else
    2599         203 :     Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
    2600         203 :   if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2601         203 :   *pd = d;
    2602         203 :   return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
    2603             : }
    2604             : 
    2605             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2606             : static long
    2607         203 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
    2608             : {
    2609         203 :   double log2p = dbllog2(p);
    2610         203 :   long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
    2611         203 :   if (equaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
    2612             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2613         252 :   for (j = i-1; j >= 2; j--)
    2614             :   {
    2615         252 :     if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2616          49 :     i = j;
    2617             :   }
    2618         203 :   if (j == 1)
    2619             :   {
    2620           0 :     if (- equaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
    2621             :   }
    2622         203 :   return i;
    2623             : }
    2624             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2625             : static long
    2626           7 : log_prec(GEN p, long v, long t)
    2627             : {
    2628           7 :   double log2p = dbllog2(p);
    2629           7 :   long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
    2630             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2631          28 :   for (j = i-1; j >= 1; j--)
    2632             :   {
    2633          28 :     if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2634          21 :     i = j;
    2635             :   }
    2636           7 :   return i;
    2637             : }
    2638             : 
    2639             : static GEN
    2640         210 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
    2641             : {
    2642         210 :   *ab = NULL;
    2643         210 :   switch(typ(p))
    2644             :   {
    2645         105 :     case t_INT: break;
    2646             :     case t_VEC:
    2647         105 :       if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2648         105 :       *ab = gel(p,2);
    2649         105 :       if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2650         105 :       p = gel(p,1);
    2651             :   }
    2652         210 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
    2653         210 :   return p;
    2654             : }
    2655             : 
    2656             : static GEN
    2657         301 : precp_fix(GEN h, long v)
    2658         301 : { return (precp(h) > v)? cvtop(h,gel(h,2),v): h; }
    2659             : 
    2660             : GEN
    2661         217 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
    2662             : {
    2663         217 :   pari_sp av = avma;
    2664             :   GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
    2665             :   long v, vd;
    2666             :   int is2;
    2667         217 :   checkellpt(P);
    2668         217 :   if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
    2669         210 :   checkell_Q(e);
    2670         210 :   p = parse_p(p, &ab);
    2671         210 :   if (ellorder_Q(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
    2672         203 :   E = ellanal_globalred(e, &ch);
    2673         203 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2674         203 :   S = ellnonsingularmultiple(E, P);
    2675         203 :   P = gel(S,1);
    2676         203 :   g = gel(S,2);
    2677         203 :   v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
    2678         203 :   is2 = equaliu(p,2);
    2679         203 :   if (is2) v += 2;
    2680         203 :   x = gel(P,1);
    2681         203 :   n = numer(x);
    2682         203 :   d = denom(x);
    2683         203 :   x = mkvec2(n, d);
    2684         203 :   vd = Z_pval(d, p);
    2685         203 :   if (!vd)
    2686             :   { /* P not in kernel of reduction mod p */
    2687         189 :     GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
    2688         189 :     long w = v+2;
    2689         189 :     Pp = RgV_to_FpV(P, p);
    2690         189 :     if (Ep)
    2691         189 :       m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
    2692             :     else
    2693             :     {
    2694           0 :       m = ellcard(E, p); /* E has bad reduction at p */
    2695           0 :       if (equalii(m, p)) pari_err_TYPE("ellpadicheight: additive reduction", E);
    2696             :     }
    2697         189 :     g = mulii(g,m);
    2698             :     for(;;)
    2699             :     {
    2700         378 :       N = powiu(p, w);
    2701         378 :       X = xmP(E, x, m, N);
    2702         378 :       d = gel(X,2);
    2703         378 :       if (!signe(d))
    2704           0 :         w <<= 1;
    2705             :       else
    2706             :       {
    2707         378 :         vd = Z_pval(d, p);
    2708         378 :         if (w >= v+2*vd + is2) break;
    2709         189 :         w = v+2*vd + is2;
    2710             :       }
    2711         189 :     }
    2712         189 :     x = X;
    2713             :   }
    2714             :   /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
    2715             :    * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
    2716         203 :   v += 2*vd + is2;
    2717         203 :   N = powiu(p,v);
    2718         203 :   t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
    2719         203 :   S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
    2720         203 :   ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
    2721         203 :   lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
    2722             :   /* evaluate our formal power series at t */
    2723         203 :   H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
    2724         203 :   h = gsqr(poleval(lt, t));
    2725         203 :   g = sqri(g);
    2726         203 :   a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
    2727         203 :   b = gdiv(gneg(h), g);
    2728         203 :   if (E != e)
    2729             :   {
    2730          21 :     GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
    2731          21 :     a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
    2732          21 :     b = gmul(u,b);
    2733             :   }
    2734         203 :   H = mkvec2(a,b);
    2735         203 :   if (ab)
    2736             :   {
    2737         105 :     H = RgV_dotproduct(H, ab);
    2738         105 :     H = precp_fix(H,v0);
    2739             :   }
    2740             :   else
    2741             :   {
    2742          98 :     gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
    2743          98 :     gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
    2744             :   }
    2745         203 :   return gerepilecopy(av, H);
    2746             : }
    2747             : 
    2748             : GEN
    2749          14 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    2750             : {
    2751          14 :   pari_sp av = avma;
    2752             :   long vt;
    2753             :   GEN t, x, y, L;
    2754          14 :   checkellpt(P);
    2755          14 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
    2756          14 :   x = gel(P,1);
    2757          14 :   y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
    2758          14 :   vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
    2759          14 :   if (vt <= 0)
    2760           7 :     pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
    2761           7 :   L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
    2762           7 :   return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
    2763             : }
    2764             : 
    2765             : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
    2766             : GEN
    2767          21 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
    2768             : {
    2769          21 :   pari_sp av = avma;
    2770             :   GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
    2771             :   ulong pp;
    2772          21 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
    2773          21 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
    2774          21 :   pp = itou_or_0(p);
    2775          21 :   F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
    2776          21 :   a = gcoeff(F,1,1);
    2777          21 :   b = gcoeff(F,1,2);
    2778          21 :   d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
    2779          21 :   if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
    2780          21 :   if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
    2781           0 :     ap = ellap(E,p);
    2782             :   else
    2783             :   { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
    2784          21 :     GEN q = cmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
    2785          21 :     ap = padic_to_Fp(ap, q);
    2786          21 :     ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
    2787             :   }
    2788          21 :   D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
    2789          21 :   if (equaliu(p,2)) n++;
    2790          21 :   sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
    2791          21 :   l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
    2792          21 :   return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
    2793             : }
    2794             : 
    2795             : GEN
    2796          84 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
    2797             : {
    2798          84 :   pari_sp av = avma;
    2799             :   GEN t;
    2800             :   long s;
    2801             : 
    2802          84 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2803          84 :   switch(ell_get_type(e))
    2804             :   {
    2805             :     case t_ELL_Qp:
    2806          70 :       prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    2807          70 :       return zellQp(e, z, prec);
    2808           7 :     case t_ELL_Q: break;
    2809           7 :     case t_ELL_Rg: break;
    2810           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
    2811             :   }
    2812          14 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2813          14 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2814          14 :   s = ellR_get_sign(e);
    2815          14 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2816           7 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2817             :   else
    2818           7 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2819          14 :   return gerepileupto(av,t);
    2820             : }
    2821             : 
    2822             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2823             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2824             : typedef struct {
    2825             :   enum period_type type;
    2826             :   GEN in; /* original input */
    2827             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2828             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2829             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2830             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2831             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2832             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2833             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2834             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2835             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2836             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2837             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2838             :   long prec; /* precision(Z) */
    2839             : } ellred_t;
    2840             : 
    2841             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2842             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2843             : static void
    2844       23373 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2845             : {
    2846       23373 :   GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2847       23373 :   pari_sp av = avma;
    2848             : 
    2849       23373 :   a = d = gen_1;
    2850       23373 :   b = c = gen_0;
    2851             :   for(;;)
    2852             :   {
    2853       44093 :     GEN m, n = ground(real_i(t));
    2854       44093 :     if (signe(n))
    2855             :     { /* apply T^n */
    2856       26805 :       t = gsub(t,n);
    2857       26805 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2858       26805 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2859             :     }
    2860       44093 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2861       20720 :     t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
    2862       20720 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2863       20720 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2864       20720 :     if (gc_needed(av, 1)) {
    2865           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "redimagsl2");
    2866           0 :       gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
    2867             :     }
    2868       20720 :   }
    2869       23373 :   *pa = a;
    2870       23373 :   *pb = b;
    2871       23373 :   *pc = c;
    2872       23373 :   *pd = d;
    2873       23373 : }
    2874             : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2875             :  * Set *pU to U. */
    2876             : GEN
    2877        8911 : redtausl2(GEN t, GEN *pU)
    2878             : {
    2879        8911 :   pari_sp av = avma;
    2880             :   GEN U, a,b,c,d;
    2881        8911 :   set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
    2882        8911 :   U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2883        8911 :   t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b),
    2884             :            gadd(gmul(c,t), d));
    2885        8911 :   gerepileall(av, 2, &t, &U);
    2886        8911 :   *pU = U; return t;
    2887             : }
    2888             : 
    2889             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2890             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2891             : static void
    2892       14462 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2893             : {
    2894             :   long s, p;
    2895       14462 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2896       14462 :   if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2897       14462 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2898       14462 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2899             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2900       14462 :   T->swap = (s < 0);
    2901       14462 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2902       14462 :   set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2903             :   /* update lattice */
    2904       14462 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2905       14462 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2906       14462 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2907       14462 :   if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2908       14462 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    2909       14462 :   T->prec = p;
    2910       14462 : }
    2911             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2912             : static void
    2913       15540 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2914             : {
    2915       15540 :   if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
    2916       10150 :   else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
    2917       15540 : }
    2918             : static void
    2919        9884 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2920             : {
    2921             :   long p;
    2922             :   GEN Z;
    2923        9884 :   T->abs_u_is_1 = 0;
    2924        9884 :   T->some_z_is_real = 0;
    2925        9884 :   T->some_z_is_pure_imag = 0;
    2926        9884 :   switch(typ(z))
    2927             :   {
    2928        9884 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2929             :     case t_QUAD:
    2930           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2931           0 :       break;
    2932           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2933             :   }
    2934        9884 :   T->z = z;
    2935        9884 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2936        9884 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    2937        9884 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2938        9884 :   T->y = ground(real_i(Z));
    2939        9884 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2940        9884 :   if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
    2941             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2942        9884 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2943        9884 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2944             :   {
    2945        4823 :     int W2real = 0, W2imag = 0;
    2946        4823 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2947        4823 :     if (W2real)
    2948         427 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2949        4396 :     else if (W2imag)
    2950         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2951             :   }
    2952        9884 :   p = precision(Z);
    2953        9884 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    2954          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    2955        9884 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2956        9884 :   T->Z = Z;
    2957        9884 : }
    2958             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2959             : static GEN
    2960        8862 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2961             : {
    2962        8862 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2963        8862 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2964        8862 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2965        8862 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2966        3976 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2967             : }
    2968             : /* e is either
    2969             :  * - [w1,w2]
    2970             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2971             :  * - an ellinit structure */
    2972             : static void
    2973       14469 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2974             : {
    2975             :   GEN w, e;
    2976       14469 :   T->q_is_real = 0;
    2977       14469 :   T->some_q_is_real = 0;
    2978       14469 :   switch(T->type)
    2979             :   {
    2980             :     case t_PER_ELL:
    2981             :     {
    2982        1029 :       long pr, p = prec;
    2983        1029 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2984        1029 :       e = T->in;
    2985        1029 :       w = ellR_omega(e, p);
    2986        1022 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2987        1022 :       break;
    2988             :     }
    2989             :     case t_PER_W:
    2990       13286 :       w = T->in; break;
    2991             :     default: /*t_PER_WETA*/
    2992         154 :       w = gel(T->in,1); break;
    2993             :   }
    2994       14462 :   T->w1 = gel(w,1);
    2995       14462 :   T->w2 = gel(w,2);
    2996       14462 :   red_modSL2(T, prec);
    2997       14462 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2998       14462 : }
    2999             : static int
    3000       14476 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    3001             : {
    3002             :   GEN w1;
    3003       14476 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    3004       14476 :   T->in = e;
    3005       14476 :   switch(lg(e))
    3006             :   {
    3007             :     case 17:
    3008        1036 :       T->type = t_PER_ELL;
    3009        1036 :       break;
    3010             :     case 3:
    3011       13440 :       w1 = gel(e,1);
    3012       13440 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    3013       13286 :         T->type = t_PER_W;
    3014             :       else
    3015             :       {
    3016         154 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    3017         154 :         T->type = t_PER_WETA;
    3018             :       }
    3019       13440 :       break;
    3020           0 :     default: return 0;
    3021             :   }
    3022       14476 :   return 1;
    3023             : }
    3024             : static int
    3025       14434 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    3026             : {
    3027       14434 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    3028       14434 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    3029             : }
    3030             : 
    3031             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    3032             : static GEN
    3033        8904 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    3034             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    3035             : GEN
    3036       33432 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    3037             : 
    3038             : static GEN
    3039       13734 : check_real(GEN q)
    3040       13734 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
    3041             : 
    3042             : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
    3043             : static GEN
    3044       13489 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
    3045             : {
    3046             :   pari_sp av;
    3047             :   GEN p1, q, y, qn;
    3048       13489 :   long n = 1;
    3049             : 
    3050       13489 :   if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
    3051         245 :   q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
    3052         245 :   q = check_real(q);
    3053         245 :   y = gen_0;
    3054         245 :   av = avma; qn = gen_1;
    3055        2164 :   for(;; n++)
    3056             :   { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
    3057        2409 :     qn = gmul(q,qn);
    3058        2409 :     p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
    3059        2409 :     if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3060        2164 :     y = gadd(y, p1);
    3061        2164 :     if (gc_needed(av,2))
    3062             :     {
    3063           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
    3064           0 :       gerepileall(av, 2, &y,&qn);
    3065             :     }
    3066        2164 :   }
    3067         245 :   return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
    3068             : }
    3069             : 
    3070             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    3071             : static GEN
    3072       13489 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    3073             : {
    3074       13489 :   GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
    3075       13489 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    3076       13489 :   return check_real(y);
    3077             : }
    3078             : 
    3079             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    3080             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    3081             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    3082             : GEN
    3083        4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    3084             : {
    3085        4438 :   pari_sp av = avma;
    3086             :   GEN y;
    3087             :   ellred_t T;
    3088             : 
    3089        4438 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    3090        4438 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    3091        4438 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    3092        4438 :   y = _elleisnum(&T, k);
    3093        4438 :   if (k==2 && signe(T.c))
    3094        3955 :   {
    3095        3955 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    3096        3955 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    3097             :   }
    3098         483 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    3099         462 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    3100        4438 :   return gerepileupto(av,y);
    3101             : }
    3102             : 
    3103             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    3104             : static GEN
    3105        8869 : _elleta(ellred_t *T)
    3106             : {
    3107        8869 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
    3108        8869 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    3109        8869 :   y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
    3110        8869 :   retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
    3111             : }
    3112             : 
    3113             : /* compute eta1, eta2 */
    3114             : GEN
    3115          42 : elleta(GEN om, long prec)
    3116             : {
    3117          42 :   pari_sp av = avma;
    3118             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    3119             :   ellred_t T;
    3120             : 
    3121          42 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    3122          42 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    3123             : 
    3124          35 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    3125          35 :   prec = T.prec;
    3126          35 :   pi = mppi(prec);
    3127          35 :   E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
    3128          35 :   if (signe(T.c))
    3129             :   {
    3130           0 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    3131             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    3132           0 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    3133             :   }
    3134          35 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    3135          35 :   if (T.swap)
    3136             :   {
    3137           7 :     y1 = y2;
    3138           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    3139             :   }
    3140             :   else
    3141          28 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    3142          35 :   switch(typ(T.w1))
    3143             :   {
    3144             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    3145          28 :       y1 = real_i(y1);
    3146             :   }
    3147          35 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    3148             : }
    3149             : GEN
    3150          14 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    3151             : {
    3152          14 :   pari_sp av = avma;
    3153             :   ellred_t T;
    3154          14 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    3155          14 :   switch(flag)
    3156             :   {
    3157           7 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    3158           7 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    3159           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    3160           0 :              return NULL;/*not reached*/
    3161             :   }
    3162             : }
    3163             : 
    3164             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    3165             : static double
    3166        9842 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    3167             : 
    3168             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    3169             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    3170             : static GEN
    3171         987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    3172             : {
    3173             :   long toadd;
    3174         987 :   pari_sp av = avma, av1;
    3175             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    3176             :   ellred_t T;
    3177             :   int simple_case;
    3178             : 
    3179         987 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    3180         980 :   if (!T.Z) return NULL;
    3181         959 :   prec = T.prec;
    3182             : 
    3183             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    3184         959 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3185         959 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3186         959 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3187         959 :   u1 = gsubsg(1,u);
    3188         959 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    3189         959 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    3190         959 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    3191         959 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    3192         959 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3193         959 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    3194         959 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    3195         959 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3196             : 
    3197         959 :   av1 = avma; qn = q;
    3198             :   for(;;)
    3199             :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    3200             :     /* analogous formula for yp */
    3201       12476 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    3202       12476 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    3203       12476 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    3204       12476 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    3205       12476 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    3206       12476 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    3207         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    3208             :     else
    3209             :     {
    3210       12088 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    3211       12088 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    3212       12088 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    3213       12088 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    3214             :     }
    3215       12476 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    3216       12476 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    3217       12476 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    3218             : 
    3219       12476 :     qn = gmul(q,qn);
    3220       12476 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3221       11517 :     if (gc_needed(av1,1))
    3222             :     {
    3223           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    3224           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    3225             :     }
    3226       11517 :   }
    3227         959 :   if (yp)
    3228             :   {
    3229         896 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
    3230         896 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    3231             :   }
    3232             : 
    3233         959 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    3234         959 :   u2 = gsqr(u1);
    3235         959 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    3236         959 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    3237         567 :     y = real_i(y);
    3238         959 :   if (yp)
    3239             :   {
    3240         896 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    3241         896 :     if (T.some_q_is_real)
    3242             :     {
    3243         896 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    3244         378 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    3245             :     }
    3246         896 :     y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
    3247             :   }
    3248         959 :   return gerepilecopy(av, y);
    3249             : }
    3250             : static GEN
    3251         196 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    3252             : {
    3253             :   long i, k, l;
    3254             :   pari_sp av;
    3255         196 :   GEN t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    3256             : 
    3257         196 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    3258         196 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    3259             : 
    3260         196 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    3261         196 :   switch(PRECDL)
    3262             :   {
    3263         196 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    3264             :     case 6:
    3265         196 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    3266             :     case 4:
    3267         196 :     case 3: P[2] = gen_0;
    3268             :     case 2:
    3269         196 :     case 1: P[0] = gen_1;
    3270         196 :     case 0: break;
    3271             :   }
    3272         196 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    3273         196 :   av = avma;
    3274         196 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    3275         665 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    3276             :   {
    3277         469 :     av = avma;
    3278         469 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    3279         469 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    3280         469 :     t = gmul2n(t, 1);
    3281         469 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    3282         469 :     if (k % 3 == 2)
    3283         168 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    3284             :     else /* same value, more efficient */
    3285         301 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    3286         469 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    3287             :   }
    3288         196 :   return res;
    3289             : }
    3290             : 
    3291             : static int
    3292         189 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    3293             : {
    3294         189 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    3295             :   {
    3296             :     case 17:
    3297          98 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    3298          98 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    3299          98 :       return 1;
    3300             :     case 3:
    3301             :     {
    3302             :       ellred_t T;
    3303          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    3304          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    3305          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    3306          91 :       return 1;
    3307             :     }
    3308             :   }
    3309           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    3310           0 :   return 0;
    3311             : }
    3312             : 
    3313             : GEN
    3314          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    3315             : {
    3316             :   GEN c4, c6;
    3317          14 :   checkell(e);
    3318          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3319          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    3320             : }
    3321             : 
    3322             : GEN
    3323           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    3324           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    3325             : 
    3326             : GEN
    3327         140 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    3328             : {
    3329         140 :   pari_sp av = avma;
    3330             :   GEN y;
    3331             : 
    3332         140 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    3333         140 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3334         140 :   y = toser_i(z);
    3335         140 :   if (y)
    3336             :   {
    3337          70 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3338             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3339          70 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    3340          70 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    3341          70 :     if (gequal0(y)) {
    3342           0 :       avma = av;
    3343           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    3344           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    3345             :     }
    3346          70 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3347          70 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3348          70 :     if (!flag)
    3349          70 :       return gerepileupto(av, Q);
    3350             :     else
    3351             :     {
    3352           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    3353           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    3354             :     }
    3355             :   }
    3356          70 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    3357          70 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    3358          63 :   return gerepileupto(av, y);
    3359             : }
    3360             : 
    3361             : GEN
    3362         119 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3363             : {
    3364             :   long prec;
    3365         119 :   pari_sp av = avma;
    3366         119 :   GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
    3367             :   ellred_t T;
    3368             :   int simple_case;
    3369             : 
    3370         119 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3371         119 :   y = toser_i(z);
    3372         119 :   if (y)
    3373             :   {
    3374          56 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3375             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3376          56 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3377          56 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3378          56 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3379          56 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3380          56 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3381          56 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3382          56 :     return gerepileupto(av, Q);
    3383             :   }
    3384          63 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3385          63 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3386          63 :   prec = T.prec;
    3387          63 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3388             : 
    3389          63 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3390          63 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3391          63 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3392          63 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3393             : 
    3394          63 :   y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3395          63 :   v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3396          63 :   if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3397          63 :   y = gadd(y, v);
    3398             : 
    3399          63 :   if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
    3400             :   {
    3401          49 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3402          49 :     pari_sp av1 = avma;
    3403             :     GEN qn;
    3404          49 :     for (qn = q;;)
    3405             :     { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
    3406         483 :       GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
    3407         483 :       y = gadd(y, gmul(qn,p1));
    3408         483 :       qn = gmul(q,qn);
    3409         483 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3410         434 :       if (gc_needed(av1,1))
    3411             :       {
    3412           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3413           0 :         gerepileall(av1,2, &y,&qn);
    3414             :       }
    3415         434 :     }
    3416             :   }
    3417          63 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3418          63 :   if (et) y = gadd(y,et);
    3419          63 :   if (T.some_q_is_real)
    3420             :   {
    3421          63 :     if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3422          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3423             :   }
    3424          63 :   return gerepilecopy(av, y);
    3425             : }
    3426             : 
    3427             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3428             : GEN
    3429        8904 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3430             : {
    3431             :   long toadd, prec, n;
    3432        8904 :   pari_sp av = avma, av1;
    3433             :   GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3434             :   GEN u, uhalf, urn, urninv;
    3435             :   ellred_t T;
    3436             : 
    3437        8904 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3438             : 
    3439        8904 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3440        8904 :   y = toser_i(z);
    3441        8904 :   if (y)
    3442             :   {
    3443          63 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3444             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3445          63 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3446          63 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3447          63 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3448          56 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3449          56 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3450          56 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3451             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3452          56 :     P = integser(gsub(P, monomial(gen_1,-1,vy)));
    3453          56 :     P = gexp(P, prec0);
    3454          56 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3455          56 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3456          56 :     return gerepileupto(av, Q);
    3457             :   }
    3458        8841 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3459        8841 :   if (!T.Z)
    3460             :   {
    3461           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3462           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3463             :   }
    3464        8834 :   prec = T.prec;
    3465        8834 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3466        8834 :   pi  = mppi(prec);
    3467             : 
    3468        8834 :   toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3469        8834 :   uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3470        8834 :   u = gsqr(uhalf);
    3471        8834 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    3472        8834 :   q = gpowgs(q8,8);
    3473        8834 :   u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
    3474        8834 :   y = gen_0;
    3475        8834 :   av1 = avma;
    3476        8834 :   qn = q; qn2 = gen_1;
    3477        8834 :   urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
    3478       57960 :   for(n=0;;n++)
    3479             :   {
    3480       57960 :     y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
    3481       57960 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3482       57960 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3483       49126 :     qn  = gmul(q,qn);
    3484       49126 :     urn = gmul(urn,u);
    3485       49126 :     urninv = gmul(urninv,uinv);
    3486       49126 :     if (gc_needed(av1,1))
    3487             :     {
    3488           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3489           0 :       gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3490             :     }
    3491       49126 :   }
    3492        8834 :   y = gmul(gmul(y,q8),
    3493             :            gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3494             : 
    3495        8834 :   et = _elleta(&T);
    3496        8834 :   etnew = eta_correction(&T, et);
    3497        8834 :   zinit = gmul(T.Z,T.W2);
    3498        8834 :   etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
    3499             :                            gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
    3500        8834 :   if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
    3501        8834 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
    3502        8834 :   if (flag)
    3503             :   {
    3504        8771 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3505        8771 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
    3506             :     { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
    3507          21 :       if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
    3508             :     }
    3509             :   }
    3510             :   else
    3511             :   {
    3512          63 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3513          63 :     if (T.some_q_is_real)
    3514             :     {
    3515          63 :       if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3516          42 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3517             :     }
    3518             :   }
    3519        8834 :   return gerepilecopy(av, y);
    3520             : }
    3521             : 
    3522             : GEN
    3523         917 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3524             : {
    3525         917 :   pari_sp av = avma;
    3526             :   GEN v;
    3527             : 
    3528         917 :   checkell(e);
    3529         917 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3530         910 :   if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
    3531         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3532         896 :   gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
    3533         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3534             : }
    3535             : 
    3536             : /********************************************************************/
    3537             : /**                                                                **/
    3538             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3539             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3540             : /**                                                                **/
    3541             : /********************************************************************/
    3542             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3543             : typedef struct {
    3544             :   long a1; /*{0,1}*/
    3545             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3546             :   long a3; /*{0,1}*/
    3547             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3548             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3549             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3550             : } ellmin_t;
    3551             : 
    3552             : /* u from [u,r,s,t] */
    3553             : static void
    3554     1169721 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3555             : {
    3556     1169721 :   M->u = u;
    3557     1169721 :   if (is_pm1(u))
    3558     1107330 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3559             :   else
    3560             :   {
    3561       62391 :     M->u2 = sqri(u);
    3562       62391 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3563       62391 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3564       62391 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3565             :   }
    3566     1169721 : }
    3567             : /* E = original curve */
    3568             : static void
    3569     1169721 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3570             : {
    3571     1169721 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3572     1169721 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3573       62391 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3574       62391 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3575             :   }
    3576     1169721 :   M->c4 = c4;
    3577     1169721 :   M->c6 = c6;
    3578     1169721 : }
    3579             : static void
    3580     1169413 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3581             : {
    3582     1169413 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3583     1169413 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3584     1169413 :   M->D = D;
    3585     1169413 : }
    3586             : static void
    3587     1169574 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3588             : {
    3589             :   long b22, b2;
    3590     1169574 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3591     1169574 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3592     1169574 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3593     1169574 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3594     1169574 : }
    3595             : static void
    3596     1169434 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3597             : {
    3598     1169434 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3599     1169434 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3600     1169434 :   if (odd(b2))
    3601             :   {
    3602      600299 :     a1 = 1;
    3603      600299 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3604             :   }
    3605             :   else
    3606             :   {
    3607      569135 :     a1 = 0;
    3608      569135 :     a2 = b2 >> 2;
    3609             :   }
    3610     1169434 :   M->a1 = a1;
    3611     1169434 :   M->a2 = a2;
    3612     1169434 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3613     1169434 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3614     1169434 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3615     1169434 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3616     1169434 : }
    3617             : static void
    3618     1169406 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3619             : {
    3620     1169406 :   min_set_u(M, u);
    3621     1169406 :   min_set_c(M, E);
    3622     1169406 :   min_set_D(M, E);
    3623     1169406 :   min_set_b(M);
    3624     1169406 :   min_set_a(M);
    3625     1169406 : }
    3626             : static GEN
    3627     1156323 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3628             : {
    3629     1156323 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3630             :   long a11, a13;
    3631     1156323 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3632     1156323 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3633     1156323 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3634     1156323 :   gel(y,4) = M->a4;
    3635     1156323 :   gel(y,5) = M->a6;
    3636     1156323 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3637     1156323 :   gel(y,7) = M->b4;
    3638     1156323 :   gel(y,8) = M->b6;
    3639     1156323 :   a11 = M->a1;
    3640     1156323 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3641     1156323 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3642             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3643     1156323 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3644     1156323 :   gel(y,10)= M->c4;
    3645     1156323 :   gel(y,11)= M->c6;
    3646     1156323 :   gel(y,12)= M->D;
    3647     1156323 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3648     1156323 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3649     1156323 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3650     1156323 :   return y;
    3651             : }
    3652             : static GEN
    3653     1169406 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3654             : {
    3655             :   GEN r, s, t;
    3656     1169406 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3657     1169406 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3658     1169406 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3659     1169406 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3660             : }
    3661             : 
    3662             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3663             : static long
    3664     1681834 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3665             : {
    3666     1681834 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3667     1681834 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3668     1681834 :   if (!signe(c6))
    3669             :   {
    3670        2814 :     d = vD / 12;
    3671        2814 :     if (d)
    3672             :     {
    3673        1029 :       if (p == 2)
    3674             :       {
    3675         777 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3676         777 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3677         777 :         if (a) d--;
    3678             :       }
    3679        1029 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3680             :     }
    3681        2814 :     v6 = 12; /* +oo */
    3682             :   }
    3683             :   else
    3684             :   {
    3685     1679020 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3686     1679020 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3687     1679020 :     if (d) {
    3688      180796 :       if (p == 2) {
    3689      109466 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3690      109466 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3691      109466 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3692      109466 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3693       71330 :       } else if (p == 3) {
    3694       45108 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3695             :       }
    3696      180796 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3697             :     }
    3698             :   }
    3699     1681834 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3700             : }
    3701             : static long
    3702      878262 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3703             : {
    3704             :   GEN c6;
    3705             :   long d, v6, vD;
    3706      878262 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3707           7 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3708           7 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3709           7 :   if (!signe(c6))
    3710             :   {
    3711           0 :     d = vD / 12;
    3712           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3713           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3714             :   }
    3715             :   else
    3716             :   {
    3717           7 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3718           7 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3719           7 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3720             :   }
    3721           7 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3722             : }
    3723             : 
    3724             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3725             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3726             :   in the form [f, kod, v, c].
    3727             : 
    3728             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3729             : 
    3730             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3731             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3732             :     I0  -->  1
    3733             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3734             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3735             : 
    3736             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3737             : 
    3738             :   * c is the Tamagawa number.
    3739             : 
    3740             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3741             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3742             : static GEN
    3743     1727348 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3744             : {
    3745     1727348 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3746     1727348 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3747     1727348 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3748     1727348 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3749     1727348 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3750             : }
    3751             : static GEN
    3752           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3753             : {
    3754           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3755           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3756           0 :   return NULL; /* not reached */
    3757             : }
    3758             : 
    3759             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3760             : static long
    3761      879060 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3762             : 
    3763             : #if 0
    3764             : /* Here p > 3. e assumed integral, return v_p(N). Simplified version of
    3765             :  * localred_p */
    3766             : static long
    3767             : localred_p_get_f(GEN e, GEN p)
    3768             : {
    3769             :   long nuj, nuD;
    3770             :   GEN D = ell_get_disc(e);
    3771             :   nuj = j_pval(e, p);
    3772             :   nuD = Z_pval(D, p);
    3773             :   if (nuj == 0) return (nuD % 12)? 2 : 0;
    3774             :   return (nuD - nuj) % 12 ? 2: 1;
    3775             : }
    3776             : #endif
    3777             : /* p > 3, e integral */
    3778             : static GEN
    3779      878262 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3780             : {
    3781             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3782      878262 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3783             : 
    3784      878262 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3785      878262 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3786      878262 :   nuj = j_pval(e, p);
    3787      878262 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3788      878262 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3789      878262 :   if (!k) v = init_ch();
    3790             :   else
    3791             :   { /* model not minimal */
    3792             :     ellmin_t M;
    3793       13090 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3794       13090 :     v = min_get_v(&M, e);
    3795       13090 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3796             :   }
    3797             : 
    3798      878262 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3799             :   {
    3800      760585 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3801      760585 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3802             :       {
    3803      392077 :         case  1: c = nuD; break;
    3804      368508 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3805           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3806             :       }
    3807      760585 :       break;
    3808             :     case 6:
    3809             :     {
    3810       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3811       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3812       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3813       45703 :       break;
    3814             :     }
    3815           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3816             :   }
    3817       71974 :   else switch(nuD)
    3818             :   {
    3819          14 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3820       11662 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3821       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3822        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3823        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3824        5635 :       break;
    3825       16898 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3826       16898 :       p2 = sqri(p);
    3827             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3828       16898 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3829             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3830             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3831       16898 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3832       16898 :       break;
    3833       11613 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3834       11613 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3835       11613 :       break;
    3836       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3837        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3838           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3839             :   }
    3840      878262 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3841             : }
    3842             : 
    3843             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3844             : static ulong
    3845      887537 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3846      887537 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3847             : 
    3848             : static ulong
    3849     1421210 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3850             : {
    3851     1421210 :   pari_sp av = avma;
    3852     1421210 :   ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
    3853     1421210 :   avma = av; return res;
    3854             : }
    3855             : 
    3856             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3857             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3858             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3859             : static long
    3860      243999 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3861             : {
    3862      243999 :   if (p == 2)
    3863             :   {
    3864      140938 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    3865      122234 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    3866             :   }
    3867             :   /* p = 3 */
    3868      103061 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    3869       69055 :   *mult = a * b;
    3870       69055 :   if (b == 2)
    3871       22995 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3872             :   else
    3873       46060 :     return c ? 3 : 2;
    3874             : }
    3875             : 
    3876             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3877             : static long
    3878      788375 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3879             : {
    3880      788375 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    3881             :   /* p = 3 */
    3882      300972 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3883             : }
    3884             : 
    3885             : /* p = 2 or 3 */
    3886             : static GEN
    3887      702219 : localred_23(GEN e, long p)
    3888             : {
    3889             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3890             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3891             :   GEN v;
    3892             : 
    3893      702219 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3894      702219 :   if (!k) v = init_ch();
    3895             :   {
    3896             :     ellmin_t M;
    3897      702219 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3898      702219 :     v = min_get_v(&M, e);
    3899      702219 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3900             :   }
    3901             :   /* model is minimal */
    3902      702219 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3903      702219 :   v = init_ch();
    3904      702219 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3905      321440 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3906             : 
    3907      702219 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3908      702107 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3909             :   {
    3910      385868 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3911      195923 :       c = nuD;
    3912             :     else
    3913      189945 :       c = 2 - (nuD & 1);
    3914      385868 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3915             :   }
    3916      316239 :   if (p == 2)
    3917             :   {
    3918      185535 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3919      185535 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3920      185535 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3921      185535 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3922             :   }
    3923             :   else /* p == 3 */
    3924             :   {
    3925      130704 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3926      130704 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3927      130704 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3928      130704 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3929             :   }
    3930             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3931      316239 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3932      316239 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3933       22218 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3934      294021 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3935       27573 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3936      266448 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3937             :   {
    3938       22449 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3939       11508 :       c = 3;
    3940             :     else
    3941       10941 :       c = 1;
    3942       22449 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3943             :   }
    3944             : 
    3945      243999 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3946       91007 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3947             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3948      243999 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3949      243999 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3950      243999 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3951      243999 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3952             :   {
    3953             :     case 3:
    3954       36001 :       c = a63 ? 1: 2;
    3955       36001 :       if (p == 2)
    3956       18704 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3957             :       else {
    3958       17297 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3959       17297 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3960             :       }
    3961       36001 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3962             :     case 2:
    3963             :     { /* compute nu */
    3964             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3965             :       long al, be, ga;
    3966      130228 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3967             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3968      130228 :       nu = 1;
    3969      130228 :       pk  = utoipos(p2);
    3970      130228 :       p2k = utoipos(p4);
    3971             :       for(;;)
    3972             :       {
    3973      387506 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3974      387506 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3975      387506 :         al = 1;
    3976      387506 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3977      323099 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3978      323099 :         pk1 = pk;
    3979      323099 :         pk  = mului(p, pk);
    3980      323099 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3981             : 
    3982      323099 :         al = a21;
    3983      323099 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3984      323099 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3985      323099 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3986      257278 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3987      257278 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3988      257278 :       }
    3989      130228 :       if (p == 2)
    3990       72142 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    3991             :       else
    3992       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3993      130228 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3994             :     }
    3995             :     case 1:
    3996       77770 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3997             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3998       77770 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3999       77770 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    4000       77770 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    4001             :       {
    4002       29722 :         if (p == 2)
    4003       20286 :           c = 3 - 2 * a64;
    4004             :         else
    4005        9436 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    4006       29722 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    4007             :       }
    4008       48048 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    4009             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    4010       48048 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    4011       28959 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    4012             : 
    4013             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    4014       19089 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    4015             :   }
    4016           0 :   return NULL; /* not reached */
    4017             : }
    4018             : 
    4019             : static GEN
    4020     1580460 : localred(GEN e, GEN p)
    4021             : {
    4022     1580460 :   if (cmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    4023      878262 :     return localred_p(e,p);
    4024             :   else
    4025             :   {
    4026      702198 :     long l = itos(p);
    4027      702198 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    4028      702198 :     return localred_23(e, l);
    4029             :   }
    4030             : }
    4031             : 
    4032             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    4033             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    4034             : static GEN
    4035       26208 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    4036             : {
    4037       26208 :   GEN b = z;
    4038             :   long i;
    4039       26208 :   if (typ(b) == t_INT)
    4040             :   {
    4041       13090 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    4042       13090 :     return shifti(negi(b),-1);
    4043             :   }
    4044       26278 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4045             :   {
    4046       13160 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4047             :   }
    4048       13118 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    4049             : }
    4050             : 
    4051             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    4052             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    4053             : static GEN
    4054       13104 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    4055             : {
    4056       13104 :   GEN b = z;
    4057             :   long i;
    4058       13104 :   if (typ(b) == t_INT)
    4059             :   {
    4060           0 :     long s = smodis(b,3);
    4061           0 :     if (s)
    4062             :     {
    4063           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    4064           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    4065           0 :         b = subii(b, Jz);
    4066             :       else
    4067           0 :         b = addii(b, Jz);
    4068             :     }
    4069           0 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    4070             :   }
    4071       26236 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4072             :   {
    4073       13132 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    4074       13132 :     if (!s) continue;
    4075          28 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    4076          14 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    4077             :     else
    4078          14 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4079             :   }
    4080       13104 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    4081             : }
    4082             : 
    4083             : /* return a such that v_P(a) = -1, v_Q(a) >= 0, Q!=P, Q|p */
    4084             : static GEN
    4085       62524 : get_piinv(GEN P)
    4086             : {
    4087       62524 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    4088       62524 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    4089       62524 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    4090             : }
    4091             : 
    4092             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    4093             : static GEN
    4094      238896 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    4095             : {
    4096      238896 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4097      238896 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4098      238896 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    4099             : }
    4100             : 
    4101             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    4102             : static GEN
    4103      387086 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    4104             : {
    4105      387086 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    4106      387086 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4107      387086 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    4108             : }
    4109             : 
    4110             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    4111             : 
    4112             : static GEN
    4113      213955 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    4114             : {
    4115      213955 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    4116      213955 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    4117      213955 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4118      213955 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    4119             : }
    4120             : 
    4121             : static GEN
    4122      577969 : pol2sqrt_23(GEN nf, GEN modP, GEN Q)
    4123             : {
    4124      577969 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4125      577969 :   GEN r = equaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    4126      577969 :   if (!gequal1(gel(Q,4)))
    4127        4018 :     r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    4128      577969 :   if (equaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    4129      577969 :   return nftoalg(nf, Fq_to_nf(r, modP));
    4130             : }
    4131             : 
    4132             : static GEN
    4133       15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    4134             : {
    4135       15498 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4136       15498 :   GEN pi3 = gsqr(pi);
    4137       15498 :   GEN pv3 = gsqr(pv), pv4 = gmul(pv,pv3), pv6 = gsqr(pv3);
    4138       15498 :   long n = 1;
    4139             :   while(1)
    4140             :   {
    4141       40166 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    4142             :     GEN gama;
    4143       40166 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4144             :     {
    4145        8064 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4146        8064 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4147             :     }
    4148       32102 :     gama = pol2sqrt_23(nf,modP, Q);
    4149       32102 :     E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(gama,pi3));
    4150       32102 :     pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
    4151       32102 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    4152       32102 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4153             :     {
    4154        7434 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4155        7434 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4156             :     }
    4157       24668 :     gama = pol2sqrt_23(nf, modP, Q);
    4158       24668 :     E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama, pi3));
    4159       24668 :     pi3 = gmul(pi, pi3);
    4160       24668 :     pv3 = pv4; pv4 = gmul(pv,pv4); pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
    4161       24668 :   }
    4162             : }
    4163             : 
    4164             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    4165             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    4166             : 
    4167             : static GEN
    4168       97776 : nflocalred_23(GEN e, GEN P, long *ap)
    4169             : {
    4170       97776 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP;
    4171             :   long vD;
    4172             :   GEN ch, D, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    4173       97776 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4174       97776 :   if (typ(pr_get_tau(P)) == t_INT) /* inert prime */
    4175             :   {
    4176       97426 :     pv = mkfrac(gen_1, p);
    4177       97426 :     pi = p;
    4178             :   }
    4179             :   else
    4180             :   {
    4181         350 :     pv = basistoalg(nf, get_piinv(P));
    4182         350 :     pi = basistoalg(nf, nfinv(nf,pv)); /* local uniformizer */
    4183             :   }
    4184       97776 :   ch = init_ch();
    4185       97776 :   D = ell_get_disc(e);
    4186       97776 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4187       97776 :   *ap = 0;
    4188             :   while(1)
    4189             :   {
    4190      248787 :     if (vD==0)
    4191         469 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    4192             :     else
    4193             :     {
    4194      248318 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4195      248318 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4196      248318 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    4197      248318 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    4198      248318 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    4199             :       GEN x0, y0;
    4200      248318 :       if (equaliu(p,2))
    4201             :       {
    4202             :         GEN x02, y02;
    4203      161581 :         if (signe(a1))
    4204             :         {
    4205       29673 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    4206       29673 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    4207       29673 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    4208             :         }
    4209             :         else
    4210             :         {
    4211      131908 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    4212      131908 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    4213             :         }
    4214      161581 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    4215             :       }
    4216             :       else
    4217             :       {
    4218       86737 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    4219       86737 :         if (signe(a12))
    4220       27370 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    4221             :         else
    4222       59367 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    4223       86737 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    4224             :       }
    4225      248318 :       x0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(x0, modP));
    4226      248318 :       y0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(y0, modP));
    4227      248318 :       E_gcompose_rt(&ch, &e, x0, y0);
    4228             :     }
    4229             :     /* 2 */
    4230             :     {
    4231      248318 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    4232      248318 :       if (signe(b2) != 0)
    4233             :       {
    4234       57043 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    4235       57043 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    4236       57043 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    4237       27741 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    4238             :       }
    4239             :     }
    4240             :     /* 3 */
    4241             :     {
    4242      191275 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    4243      191275 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    4244             :     }
    4245             :     /* 4 */
    4246             :     {
    4247      188706 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    4248      188706 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    4249             :     }
    4250             :     /* 5 */
    4251      185059 :     pv2 = gsqr(pv);
    4252             :     {
    4253      185059 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    4254      185059 :       if (vb6<=2)
    4255             :       {
    4256        3206 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    4257        3206 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4258        3206 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    4259             :       }
    4260             :     }
    4261             :     /* 6 */
    4262             :     {
    4263      181853 :       GEN pv3 = gmul(pv, pv2);
    4264      181853 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pola1a2(e, nf, modP));
    4265      181853 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(nf, modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    4266             :       GEN po2, E, F, mr;
    4267             :       long i, lE;
    4268      181853 :       E_gcompose_st(&ch, &e, alpha, gmul(beta, pi));
    4269      181853 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    4270      181853 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    4271             :       {
    4272       69062 :         pol = RgX_add(monomial(gen_1,3,0), po2);
    4273       69062 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    4274       69062 :         lE = lg(E);
    4275       69062 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    4276             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    4277             :           long c; /* 1 + number of roots */
    4278        4494 :           switch(lE)
    4279             :           {
    4280        1743 :             case 2: c = 1; break;
    4281        2534 :             case 3: c = 2; break;
    4282         217 :             default: c = 4; break;
    4283             :           }
    4284        4494 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    4285             :         }
    4286             :       /* 7 */
    4287       64568 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    4288       64568 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    4289       64568 :         if (!gequal0(mr))
    4290             :         { /* not so frequent */
    4291       58520 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    4292       58520 :           E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama,pi));
    4293             :         }
    4294       64568 :         if (lE == 3)
    4295       15498 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    4296             :       }
    4297             :     }
    4298      161861 :     pv4 = gsqr(pv2);
    4299      161861 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    4300             :     /*  8 */
    4301      161861 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    4302             :     {
    4303        4368 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    4304        4368 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    4305             :     }
    4306             :     /*  9 */
    4307             :     {
    4308      157493 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pol);
    4309      157493 :       E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(alpha, gsqr(pi)));
    4310      157493 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    4311        3948 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    4312             :     }
    4313             :     /* 10 */
    4314      153545 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    4315        2534 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    4316             :     /* 11 */
    4317      151011 :     E_gcompose_u(&ch, &e, pi);
    4318      151011 :     vD -= 12;
    4319      151011 :   }
    4320             : }
    4321             : 
    4322             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    4323             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    4324             : static GEN
    4325       49091 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    4326             : {
    4327       49091 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4328             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    4329             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    4330             : 
    4331       49091 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4332       49091 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4333       49091 :   D = ell_get_disc(e);
    4334       49091 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4335       49091 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    4336       49091 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    4337       49091 :   m = (vD - nuj)/12;
    4338       49091 :   piinv = get_piinv(P);
    4339       49091 :   pi = nfinv(nf, piinv); /* local uniformizer */
    4340             : 
    4341       49091 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    4342             :   else
    4343             :   { /* model not minimal */
    4344             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    4345       13104 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    4346       13104 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    4347       13104 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    4348       13104 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    4349       13104 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4350       13104 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    4351       13104 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    4352       13104 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    4353       13104 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    4354       13104 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4355       13104 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4356       13104 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4357       13104 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4358       13104 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4359       13104 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4360       13104 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4361       13104 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4362       13104 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4363             :   }
    4364             : 
    4365       49091 :   kod = 0; c = 1;
    4366             :   /* minimal at P */
    4367       49091 :   if (nuj > 0)
    4368             :   { /* v(j) < 0 */
    4369       45801 :     if (vD == nuj)
    4370             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4371       43708 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4372       43708 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4373       43708 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4374       23184 :         c = vD;/* split */
    4375             :       else
    4376       20524 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    4377             :     }
    4378             :     else
    4379             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4380             :       GEN Du;
    4381        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4382        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4383        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4384        2093 :       if(odd(vD))
    4385             :       {
    4386             :         GEN c6u;
    4387        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4388        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4389        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4390             :       }
    4391        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4392             :     }
    4393             :   }
    4394             :   else
    4395             :   { /* v(j) >= 0 */
    4396        3290 :     f = vD? 2: 0;
    4397        3290 :     switch(vD)
    4398             :     {
    4399             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4400          28 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    4401         588 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4402         462 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4403         273 :       case 4: kod = 4;
    4404         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4405         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4406         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4407         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4408         273 :         break;
    4409         616 :       case 6: kod = -1;
    4410         616 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4411         616 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4412         616 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4413         616 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4414         616 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4415         616 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4416         616 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4417         616 :         break;
    4418         588 :       case 8: kod = -4;
    4419         588 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4420         588 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4421         588 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4422         588 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4423         588 :         break;
    4424         462 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4425         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4426             :     }
    4427             :   }
    4428       49091 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4429             : }
    4430             : static GEN
    4431       97748 : nflocalred(GEN e, GEN  pr)
    4432             : {
    4433       97748 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4434       97748 :   if (cmpiu(p, 3) <= 0) { long ap; return nflocalred_23(e,pr,&ap); }
    4435       49091 :   return nflocalred_p(e,pr);
    4436             : }
    4437             : 
    4438             : GEN
    4439      195503 : elllocalred(GEN e, GEN p)
    4440             : {
    4441      195503 :   pari_sp av = avma;
    4442      195503 :   checkell(e);
    4443      195503 :   switch(ell_get_type(e))
    4444             :   {
    4445             :     case t_ELL_Q:
    4446       97811 :       if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
    4447           0 :         pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
    4448       97811 :       if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
    4449       97811 :       if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
    4450       97811 :       return gerepileupto(av, localred(e, p));
    4451           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
    4452             :     case t_ELL_NF:
    4453       97692 :       checkprid(p);
    4454       97692 :       return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
    4455             :   }
    4456             : }
    4457             : 
    4458             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4459             : static GEN
    4460          77 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4461             : {
    4462          77 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4463          77 :   return c;
    4464             : }
    4465             : static GEN
    4466     2280390 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4467             : {
    4468     2280390 :   *pd = NULL;
    4469     2280390 :   switch(typ(c))
    4470             :   {
    4471     2279977 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4472         336 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4473             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4474          77 :       if (nf)
    4475             :       {
    4476          77 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4477          77 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4478             :       }
    4479           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4480           0 :       return NULL;
    4481             :   }
    4482             : }
    4483             : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
    4484             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4485             : GEN
    4486      456078 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4487             : {
    4488      456078 :   GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
    4489             :   long i, l, k;
    4490             : 
    4491      456078 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4492      456078 :   L = cgetg(1, t_VEC);
    4493     2736468 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4494             :   {
    4495             :     GEN d;
    4496     2280390 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4497     2280390 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4498         371 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4499             :   }
    4500             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4501      456078 :   l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
    4502         140 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4503         140 :   l = lg(L);
    4504             : 
    4505         140 :   t = gen_1;
    4506         371 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4507             :   {
    4508         231 :     GEN p = gel(L,k);
    4509         231 :     long n = 0, m;
    4510        1386 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4511        1155 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4512             :       {
    4513         714 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4514         714 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4515         714 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4516             :       }
    4517         231 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4518             :   }
    4519         140 :   u = ginv(t);
    4520         140 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4521         140 :   return coordch_u(e, u);
    4522             : }
    4523             : 
    4524             : static long
    4525        1428 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4526             : {
    4527        1428 :   long N = 1; /* oo */
    4528        1428 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4529        1281 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4530        1428 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4531        1155 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4532        1428 :   return N;
    4533             : }
    4534             : static long
    4535        2926 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4536             : {
    4537        2926 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4538             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4539        2926 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4540             : }
    4541             : static long
    4542        1407 : cardmod2(GEN e)
    4543             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4544        1407 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4545        1407 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4546        1407 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4547        1407 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4548        1407 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4549        1407 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4550             : }
    4551             : static long
    4552        2786 : cardmod3(GEN e)
    4553             : {
    4554        2786 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4555        2786 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4556        2786 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4557        2786 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4558             : }
    4559             : 
    4560             : static ulong
    4561         112 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4562             : 
    4563             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4564             : static void
    4565          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4566             : {
    4567          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4568          28 :   min_set_c(M, E);
    4569          28 :   min_set_b(M);
    4570          28 :   min_set_a(M);
    4571          28 : }
    4572             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4573             : static void
    4574         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4575             : {
    4576         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4577         140 :   min_set_c(M, E);
    4578         140 :   min_set_b(M);
    4579         140 : }
    4580             : 
    4581             : static long
    4582      100996 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4583             : {
    4584      100996 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4585      100996 :   if (vD) /* bad reduction */
    4586             :   {
    4587             :     GEN c6;
    4588             :     long s;
    4589      100688 :     *good_red = 0;
    4590      100688 :     if (vc6) return 0;
    4591       73745 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4592       73745 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4593       73745 :     s = kroiu(c6,p);
    4594       73745 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4595       73745 :     return s;
    4596             :   }
    4597         308 :   *good_red = 1;
    4598         308 :   if (p == 2)
    4599             :   {
    4600             :     ellmin_t M;
    4601          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4602          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4603          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4604             :   }
    4605         287 :   else if (p == 3)
    4606             :   {
    4607             :     ellmin_t M;
    4608         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4609         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4610         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4611             :   }
    4612             :   else
    4613             :   {
    4614             :     ellmin_t M;
    4615         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4616         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4617         147 :     min_set_c(&M, E);
    4618         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4619         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4620             :   }
    4621             : }
    4622             : 
    4623             : static GEN
    4624       98546 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4625             : {
    4626             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4627             :   long vc6, vD, d;
    4628       98546 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4629           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4630           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4631           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4632           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4633           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4634           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4635             :   {
    4636             :     long s;
    4637           0 :     *good_red = 0;
    4638           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4639           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4640           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4641           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4642           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4643             :   }
    4644           0 :   *good_red = 1;
    4645           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4646           0 :   if (d)
    4647             :   {
    4648           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4649           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4650           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4651             :   }
    4652           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4653           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4654             : }
    4655             : 
    4656             : static GEN
    4657       77454 : doellcard(GEN E)
    4658             : {
    4659       77454 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4660       77454 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4661       56671 :     return FF_ellcard(E);
    4662             :   else
    4663             :   {
    4664       20783 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4665       20783 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4666             :   }
    4667             : }
    4668             : 
    4669             : static GEN
    4670      239757 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4671             : {
    4672      239757 :   GEN a4,a6, c4, D, modP, p, T, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4673             :   long vD;
    4674             : 
    4675      239757 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4676      239757 :   D = ell_get_disc(E);
    4677      239757 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4678      239757 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4679      239757 :   p = pr_get_p(P);
    4680      239757 :   if (cmpiu(p, 3) <= 0)
    4681             :   {
    4682             :     long ap;
    4683       49119 :     GEN L = nflocalred_23(E,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4684       49119 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4685         469 :     *good_red = 1;
    4686         469 :     E = coordch(E, gel(L,3));
    4687         469 :     E = ellinit_nf_to_Fq(E, modP);
    4688         469 :     card = doellcard(E);
    4689             :   }
    4690             :   else
    4691             :   {
    4692      190638 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), piinv = NULL;
    4693      190638 :     long vc6 = nfval(nf,c6,P), d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4694             :     /* non minimal model ? */
    4695      190638 :     if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; piinv = get_piinv(P); }
    4696      190638 :     if (vD) /* bad reduction */
    4697             :     {
    4698       49147 :       *good_red = 0;
    4699       49147 :       if (vc6) return gen_0;
    4700       43792 :       if (d) c6 = nfmul(nf, c6, nfpow(nf, piinv, stoi(6*d)));
    4701       43792 :       c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4702       43792 :       return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4703             :     }
    4704      141491 :     *good_red = 1;
    4705      141491 :     if (d)
    4706             :     {
    4707          49 :       GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4708          49 :       GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4709          49 :       GEN ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4710          49 :       c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4711          49 :       c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4712             :     }
    4713      141491 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4714      141491 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4715      141491 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4716      331177 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4717      189686 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4718             :   }
    4719      141960 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4720             : }
    4721             : 
    4722             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4723             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4724             : static GEN
    4725      454097 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
    4726             : {
    4727             :   pari_sp av;
    4728      454097 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4729      454097 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4730      454097 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4731             :   long l, k;
    4732             : 
    4733      454097 :   if (!signe(c4))
    4734        1568 :     P = gel(absi_factor(c6), 1);
    4735      452529 :   else if (!signe(c6))
    4736         875 :     P = gel(absi_factor(c4), 1);
    4737             :   else
    4738             :   {
    4739      451654 :     GEN A, B, v = Z_ppio(c4,c6), d = gel(v,1); /* = gcd(c4,c6), u^4 | d */
    4740      451654 :     if (is_pm1(d)) { *pDP = cgetg(1, t_COL); return gen_1; }
    4741      343504 :     A = gel(v,2); /* gcd(c4, c6^oo) */
    4742      343504 :     B = diviiexact(c6, coprime_part(c6, d)); /* gcd(c6, c4^oo) */
    4743             :     /* d = gcd(A,B) */
    4744      343504 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4745      343504 :     l = lg(P);
    4746      343504 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4747      343504 :     P = shallowconcat1(P);
    4748      343504 :     P = ZV_sort(P); /* potential primes dividing u, sorted */
    4749             :   }
    4750      345947 :   l = lg(P);
    4751      345947 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    4752      345947 :   av = avma;
    4753      345947 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4754      345947 :   u = gen_1;
    4755      850829 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4756             :   {
    4757      504882 :     GEN p = gel(P, k);
    4758      504882 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4759      504882 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4760             :     {
    4761             :       case 2:
    4762             :       {
    4763             :         long a, b;
    4764       56427 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4765       56427 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4766       56427 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4767       56427 :         break;
    4768             :       }
    4769             :       case 3:
    4770        2023 :         if (Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4771        2023 :         break;
    4772             :     }
    4773      504882 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4774      504882 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4775             :   }
    4776      345947 :   *pDP = DP;
    4777      345947 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4778             : }
    4779             : 
    4780             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4781             : static GEN
    4782           7 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4783             : {
    4784           7 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4785           7 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4786           7 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4787             : 
    4788           7 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4789           7 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4790           7 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4791           7 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4792           7 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4793           7 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4794           7 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4795           7 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4796           7 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4797           7 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4798             : }
    4799             : 
    4800             : static GEN
    4801          28 : bnf_get_v(GEN bnf, GEN E, GEN *pDP, GEN P)
    4802             : {
    4803             :   GEN nf, c4, c6, DP, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4804             :   long l, k;
    4805             : 
    4806          28 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4807          28 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4808          28 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4809          28 :   if (!P)
    4810             :   { /* FIXME: use dcba */
    4811          28 :     GEN d = idealadd(nf, c4, c6);
    4812          28 :     P = gel(idealfactor(nf, d),1); /* primes potentially dividing u */
    4813             :   }
    4814          28 :   l = lg(P);
    4815          28 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    4816          28 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4817          28 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4818          28 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4819          28 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4820          28 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4821          84 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4822             :   {
    4823          56 :     GEN pr = gel(P, k);
    4824          56 :     GEN q = nflocalred(E, pr), f = gel(q,1), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4825          56 :     long vu = nfval(nf, u, pr);
    4826          56 :     if (signe(f)) vectrunc_append(DP, q); /* store useful localred data */
    4827          56 :     if (!vu) continue;
    4828          49 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4829          49 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4830          49 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4831          49 :     vectrunc_append(L, pr);
    4832          49 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4833             :   }
    4834          28 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4835          28 :   *pDP = DP;
    4836          28 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4837           7 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4838           7 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4839           7 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4840           7 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4841           7 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4842           7 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4843             : }
    4844             : 
    4845             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4846             :  * ellminimalmodel(E) */
    4847             : static GEN
    4848      455273 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4849             : {
    4850             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4851             :   ellmin_t M;
    4852      455273 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4853             :   {
    4854        1176 :     if (lg(S) != 2)
    4855             :     {
    4856         168 :       E = gel(S,3);
    4857         168 :       v = gel(S,2);
    4858             :     }
    4859             :     else
    4860        1008 :       v = init_ch();
    4861        1176 :     if (ptv) *ptv = v;
    4862        1176 :     return gcopy(E);
    4863             :   }
    4864      454097 :   e = ellintegralmodel(E, &v0);
    4865      454097 :   u = get_u(e, &DP);
    4866      454097 :   min_set_all(&M, e, u);
    4867      454097 :   v = min_get_v(&M, e);
    4868      454097 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4869      454097 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4870      454097 :   if (is_trivial_change(v))
    4871             :   {
    4872      453453 :     v = init_ch();
    4873      453453 :     S = mkvec(DP);
    4874             :   }
    4875             :   else
    4876         644 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4877      454097 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4878      454097 :   *ptv = v; return y;
    4879             : }
    4880             : 
    4881             : static GEN
    4882         945 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4883             : {
    4884         945 :   pari_sp av = avma;
    4885         945 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    4886         945 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4887         945 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4888         945 :   DP = gel(S,1);
    4889         945 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4890         945 :   if (!ptv)
    4891         910 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4892             :   else
    4893          35 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4894         945 :   return y;
    4895             : }
    4896             : 
    4897             : static GEN
    4898          28 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4899             : {
    4900             :   GEN S, y, v, v2, bnf, nf, DP;
    4901          28 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4902             :   {
    4903           0 :     switch(lg(S))
    4904             :     {
    4905           0 :       case 2: v = init_ch(); break;
    4906           0 :       case 3: v = NULL; E = gel(S,2); break;
    4907           0 :       default: E = gel(S,3); v = gel(S,2); break;
    4908             :     }
    4909           0 :     if (ptv) *ptv = v;
    4910           0 :     return gcopy(E);
    4911             :   }
    4912          28 :   bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4913          28 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4914          28 :   if (ptv) *ptv = NULL;
    4915          28 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4916          28 :   y = ellintegralmodel(E, &v);
    4917          28 :   v2 = bnf_get_v(bnf, y, &DP, NULL);
    4918          28 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4919             :   {
    4920          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec2(DP, v2));
    4921          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    4922             :   }
    4923           7 :   y = coordch(y, v2);
    4924           7 :   gcomposev(&v, v2);
    4925           7 :   v2 = nfrestrict23(nf, y);
    4926           7 :   y = coordch(y, v2);
    4927             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4928           7 :   y = obj_reinit(y);
    4929           7 :   gcomposev(&v, v2);
    4930           7 :   if (is_trivial_change(v))
    4931             :   {
    4932           0 :     v = init_ch();
    4933           0 :     S = mkvec(DP);
    4934             :   }
    4935             :   else
    4936           7 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4937           7 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4938           7 :   if (ptv) *ptv = v;
    4939           7 :   return y;
    4940             : }
    4941             : static GEN
    4942          28 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4943             : {
    4944          28 :   pari_sp av = avma;
    4945          28 :   GEN S, v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4946          28 :   S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL);
    4947          28 :   if (v) /* true change of variable; v = NULL => no minimal model */
    4948             :   {
    4949           7 :     S = mkvec(gel(S,1));
    4950           7 :     if (!is_trivial_change(v)) (void)ch_Rg(y, E, v);
    4951           7 :     obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, S);
    4952             :   }
    4953          28 :   if (!v || !ptv)
    4954          21 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4955             :   else
    4956           7 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4957          28 :   return y;
    4958             : }
    4959             : GEN
    4960         980 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4961             : {
    4962         980 :   checkell(E);
    4963         980 :   switch(ell_get_type(E))
    4964             :   {
    4965         945 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4966          28 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4967           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4968           0 :              return NULL;
    4969             :   }
    4970             : }
    4971             : 
    4972             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4973             :  * update type-dependant components.
    4974             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4975             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4976             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4977             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4978             :  *   fa = factorization of N
    4979             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N.
    4980             :  * Return standard minimal model (a1,a3 = 0 or 1, a2 = -1, 0 or 1) */
    4981             : static GEN
    4982      453901 : ellglobalred_all(GEN e, GEN *pgr, GEN *pv)
    4983             : {
    4984             :   long k, l, iN;
    4985             :   GEN S, E, c, L, P, NP, NE, D;
    4986             : 
    4987      453901 :   E = ellminimalmodel_i(e, pv);
    4988      453901 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4989      453901 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4990      453901 :   D  = ell_get_disc(E);
    4991      453901 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4992      453901 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absi_factor(D),1)) );
    4993      453901 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4994      453901 :   iN = 1;
    4995      453901 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4996      453901 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4997      453901 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4998     1936550 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4999             :   {
    5000     1482649 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    5001     1482649 :     if (signe(ex))
    5002             :     {
    5003     1482649 :       gel(NP, iN) = p;
    5004     1482649 :       gel(NE, iN) = ex;
    5005     1482649 :       gel(L, iN) = q; iN++;
    5006     1482649 :       gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    5007     1482649 :       c = mulii(c, gel(q,4));
    5008             :     }
    5009             :   }
    5010      453901 :   setlg(L, iN);
    5011      453901 :   setlg(NP, iN);
    5012      453901 :   setlg(NE, iN);
    5013      453901 :   *pgr = mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    5014      453901 :   return E;
    5015             : }
    5016             : static GEN
    5017      453887 : doellglobalred(GEN E)
    5018             : {
    5019             :   GEN v, gr;
    5020      453887 :   E = ellglobalred_all(E, &gr, &v);
    5021      453887 :   return gr;
    5022             : }
    5023             : static GEN
    5024      463029 : ellglobalred_i(GEN E)
    5025      463029 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &doellglobalred); }
    5026             : 
    5027             : GEN
    5028      453180 : ellglobalred(GEN E)
    5029             : {
    5030      453180 :   pari_sp av = avma;
    5031             :   GEN S, gr, v;
    5032      453180 :   checkell_Q(E); gr = ellglobalred_i(E);
    5033      453180 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5034      453180 :   v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    5035      453180 :   return gerepilecopy(av, mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4)));
    5036             : }
    5037             : 
    5038             : static GEN doellrootno(GEN e);
    5039             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    5040             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    5041             :  * and E (shallow insert) */
    5042             : GEN
    5043        2002 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    5044             : {
    5045        2002 :   GEN E, S, v = NULL;
    5046        2002 :   checkell_Q(e);
    5047        2002 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5048             :   {
    5049         399 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    5050         399 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5051         399 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5052             :   }
    5053        1603 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    5054        1589 :     E = e;
    5055             :   else
    5056             :   {
    5057          14 :     v = gel(S,2);
    5058          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    5059          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5060             :   }
    5061        2002 :   if (ch) *ch = v;
    5062        2002 :   S = ellglobalred_i(e);
    5063        2002 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    5064        2002 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    5065        2002 :   if (!S)
    5066             :   {
    5067         616 :     S = doellrootno(E);
    5068         616 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    5069             :   }
    5070        2002 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    5071        2002 :   return E;
    5072             : }
    5073             : 
    5074             : /********************************************************************/
    5075             : /**                                                                **/
    5076             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5077             : /**                                                                **/
    5078             : /********************************************************************/
    5079             : /* x a t_INT */
    5080             : static long
    5081        1092 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5082             : {
    5083             :   long v;
    5084             :   GEN z;
    5085        1092 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5086         938 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5087         938 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5088             : }
    5089             : static void
    5090         364 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5091             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5092             : {
    5093         364 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5094         364 :   pari_sp av = avma;
    5095         364 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5096         364 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5097         364 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
    5098         364 : }
    5099             : 
    5100             : static long
    5101         364 : kod_23(GEN e, long p)
    5102             : {
    5103             :   GEN S, nv;
    5104         364 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5105             :   {
    5106         343 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5107         343 :     nv = equaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5108             :   }
    5109             :   else
    5110          21 :     nv = localred_23(e, p);
    5111         364 :   return itos(gel(nv,2));
    5112             : }
    5113             : 
    5114             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5115             : static long
    5116         168 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5117             : {
    5118         168 :   if (kod > 4) return 1;
    5119         133 :   switch(kod)
    5120             :   {
    5121           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5122             :     case 2:
    5123           7 :       if (vD==4) return 1;
    5124             :       else
    5125             :       {
    5126           0 :         if (vD==7) return 3;
    5127           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5128             :       }
    5129             :     case 3:
    5130          63 :       switch(vD)
    5131             :       {
    5132          42 :         case 6: return 3;
    5133           0 :         case 8: return 4;
    5134          14 :         case 9: return 5;
    5135           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5136             :       }
    5137          35 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5138             :     case -1:
    5139           0 :       switch(vD)
    5140             :       {
    5141           0 :         case 9: return 2;
    5142           0 :         case 10: return 4;
    5143           0 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5144             :       }
    5145             :     case -2:
    5146           7 :       switch(vD)
    5147             :       {
    5148           7 :         case 12: return 2;
    5149           0 :         case 14: return 3;
    5150           0 :         default: return 1;
    5151             :       }
    5152             :     case -3:
    5153           0 :       switch(vD)
    5154             :       {
    5155           0 :         case 12: return 2;
    5156           0 :         case 14: return 3;
    5157           0 :         case 15: return 4;
    5158           0 :         default: return 1;
    5159             :       }
    5160           7 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5161          14 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5162             :     case -6:
    5163           0 :       switch(vD)
    5164             :       {
    5165           0 :         case 12: return 2;
    5166           0 :         case 13: return 3;
    5167           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5168             :       }
    5169           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5170           0 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5171             :   }
    5172             : }
    5173             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5174             : static long
    5175         154 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5176             : {
    5177         154 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5178         133 :   switch(kod)
    5179             :   {
    5180          77 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5181          14 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5182             :     case -4: case 2:
    5183          35 :       switch (vD%6)
    5184             :       {
    5185           0 :         case 4: return 3;
    5186           0 :         case 5: return 4;
    5187          35 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5188             :       }
    5189             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5190           7 :       switch (vD%6)
    5191             :       {
    5192           0 :         case 0: return 2;
    5193           0 :         case 1: return 3;
    5194           7 :         default: return 1;
    5195             :       }
    5196             :   }
    5197             : }
    5198             : 
    5199             : static long
    5200         168 : ellrootno_2(GEN e)
    5201             : {
    5202             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5203         168 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5204             : 
    5205         168 :   if (!vD) return 1;
    5206         168 :   if (d) { /* not minimal */
    5207             :     ellmin_t M;
    5208           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5209           7 :     min_set_D(&M, e);
    5210           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5211             :   }
    5212         168 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5213         168 :   kod = kod_23(e,2);
    5214         168 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5215         168 :   if (kod>=5)
    5216             :   {
    5217             :     long a2, a3;
    5218          35 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5219          35 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5220          35 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5221             :   }
    5222         133 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5223         133 :   x1 = u+v+v;
    5224         133 :   switch(kod)
    5225             :   {
    5226           0 :     case 1: return 1;
    5227             :     case 2:
    5228           7 :       switch(n2)
    5229             :       {
    5230             :         case 1:
    5231           7 :           switch(v4)
    5232             :           {
    5233           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5234           0 :             case 5: return 1;
    5235           0 :             default: return -1;
    5236             :           }
    5237           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5238           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5239           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5240           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5241             :       }
    5242             :     case 3:
    5243          63 :       switch(n2)
    5244             :       {
    5245           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5246           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5247          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5248          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5249           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5250          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5251             :       }
    5252             :     case -1:
    5253           0 :       switch(n2)
    5254             :       {
    5255           0 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5256           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5257           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5258           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5259           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5260             :       }
    5261           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5262             :     case -3:
    5263           0 :       switch(n2)
    5264             :       {
    5265           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5266           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5267           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5268           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5269           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5270             :       }
    5271             :     case -5:
    5272          14 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5273           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5274             :     case -6:
    5275           0 :       switch(n2)
    5276             :       {
    5277           0 :         case 1: return 1;
    5278           0 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5279           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5280             :       }
    5281             :     case -7:
    5282           0 :       if (n2==1) return 1;
    5283             :       else
    5284             :       {
    5285           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5286           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5287           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5288             :       }
    5289           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5290           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5291          42 :     default: return -1;
    5292             :   }
    5293             : }
    5294             : 
    5295             : static long
    5296         196 : ellrootno_3(GEN e)
    5297             : {
    5298             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5299         196 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5300             : 
    5301         196 :   if (!vD) return 1;
    5302         196 :   if (d) { /* not minimal */
    5303             :     ellmin_t M;
    5304           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5305           0 :     min_set_a(&M);
    5306           0 :     min_set_D(&M, e);
    5307           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5308             :   }
    5309         196 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5310         196 :   kod = kod_23(e,3);
    5311         196 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5312         154 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5313         154 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5314         154 :   switch(kod)
    5315             :   {
    5316          14 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5317             :     case 2:
    5318           7 :       switch(n2)
    5319             :       {
    5320           7 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5321           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5322           0 :         case 3: return 1;
    5323           0 :         case 4: return -K6;
    5324             :       }
    5325             :     case 4:
    5326           7 :       switch(n2)
    5327             :       {
    5328           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5329           0 :         case 2: return -K4;
    5330           0 :         case 3: return -K6;
    5331             :       }
    5332           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5333             :     case -4:
    5334          28 :       switch(n2)
    5335             :       {
    5336             :         case 1:
    5337          28 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5338          28 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5339           0 :         case 2: return -K6;
    5340           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5341           0 :         case 4: return K6;
    5342             :       }
    5343          98 :     default: return -1;
    5344             :   }
    5345             : }
    5346             : 
    5347             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5348             : static long
    5349         798 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5350             : {
    5351             :   long nuj, nuD, nu;
    5352         798 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5353             :   long ep, z;
    5354             : 
    5355         798 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5356         798 :   if (!nuD) return 1;
    5357         798 :   nuj = j_pval(e, p);
    5358         798 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5359         798 :   if (nu == 0)
    5360             :   {
    5361             :     GEN c6;
    5362             :     long d, vg;
    5363         546 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5364             :    /* p || N */
    5365         546 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5366         546 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5367         546 :     d = vg / 12;
    5368         546 :     if (d)
    5369             :     {
    5370           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5371           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5372             :     }
    5373         546 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5374             :     /* c6 in minimal model */
    5375         546 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5376             :   }
    5377         252 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5378         224 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5379         224 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5380         224 :   return krosi(-z, p);
    5381             : }
    5382             : 
    5383             : static GEN
    5384         630 : doellrootno(GEN e)
    5385             : {
    5386             :   GEN S, V, v, P;
    5387         630 :   long i, l, s = -1;
    5388         630 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5389             :   {
    5390         616 :     GEN S2 = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5391         616 :     if (lg(S2) != 2) e = gel(S2,3);
    5392             :   }
    5393             :   else
    5394             :   {
    5395          14 :     GEN E = ellglobalred_all(e, &S, &v);
    5396          14 :     obj_insert(e, Q_GLOBALRED, S);
    5397          14 :     e = E;
    5398             :   }
    5399         630 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5400         630 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5401        1771 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5402             :   {
    5403        1141 :     GEN p = gel(P,i);
    5404             :     long t;
    5405        1141 :     switch(itou_or_0(p))
    5406             :     {
    5407         154 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5408         196 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5409         791 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5410             :     }
    5411        1141 :     V[i] = t; s *= t;
    5412             :   }
    5413         630 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5414             : }
    5415             : long
    5416        1666 : ellrootno_global(GEN e)
    5417             : {
    5418        1666 :   pari_sp av = avma;
    5419        1666 :   GEN S = obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno);
    5420        1666 :   avma = av; return itos(gel(S,1));
    5421             : }
    5422             : 
    5423             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5424             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5425             : long
    5426          42 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5427             : {
    5428          42 :   pari_sp av = avma;
    5429             :   GEN S;
    5430             :   long s;
    5431          42 :   checkell_Q(e);
    5432          42 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5433          28 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5434          28 :   if (signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5435          28 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5436          28 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5437             :   {
    5438           7 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5439           7 :     long i, l = lg(NP);
    5440           7 :     for (i = 1; i < l; i++)
    5441             :     {
    5442           7 :       GEN q = gel(NP,i);
    5443           7 :       if (equalii(p, q)) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5444             :     }
    5445           0 :     return 1;
    5446             :   }
    5447          21 :   switch(itou_or_0(p))
    5448             :   {
    5449             :     case 2:
    5450          14 :       e = ellintegralmodel(e, NULL);
    5451          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5452             :     case 3:
    5453           0 :       e = ellintegralmodel(e, NULL);
    5454           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5455             :     default:
    5456           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5457             :   }
    5458          21 :   avma = av; return s;
    5459             : }
    5460             : 
    5461             : /********************************************************************/
    5462             : /**                                                                **/
    5463             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5464             : /**                                                                **/
    5465             : /********************************************************************/
    5466             : 
    5467             : /* assume p does not divide disc E */
    5468             : long
    5469      440548 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5470             : {
    5471             :   ulong a4, a6;
    5472      440548 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5473      439589 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5474      438196 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5475      438196 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5476             : }
    5477             : 
    5478             : static void
    5479         693 : checkell_int(GEN e)
    5480             : {
    5481         693 :   checkell_Q(e);
    5482        1386 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5483        1386 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5484        1386 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5485        1386 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5486         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5487         693 : }
    5488             : 
    5489             : long
    5490        1939 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5491             : {
    5492        1939 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5493        1939 :   long CM = 0;
    5494        1939 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5495             :   {
    5496             :     case 0:
    5497         107 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5498         107 :       break;
    5499          98 :     case 1728: CM = -4; break;
    5500           7 :     case -3375: CM = -7; break;
    5501           7 :     case  8000: CM = -8; break;
    5502           7 :     case 54000: CM = -12; break;
    5503          35 :     case -32768: CM = -11; break;
    5504           7 :     case 287496: CM = -16; break;
    5505           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    5506           7 :     case -12288000: CM = -27; break;
    5507           7 :     case  16581375: CM = -28; break;
    5508           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    5509             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    5510           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    5511           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    5512             : #endif
    5513             :   }
    5514        1939 :   return CM;
    5515             : }
    5516             : 
    5517             : /* bad reduction at p */
    5518             : static void
    5519        2394 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    5520             : {
    5521             :   ulong m, N;
    5522        2394 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    5523             :   {
    5524             :     case -1: /* non-split */
    5525         553 :       N = n/p;
    5526      408498 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5527      407945 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    5528         553 :       break;
    5529             :     case 0: /* additive */
    5530        1211 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    5531        1211 :       break;
    5532             :     case 1: /* split */
    5533         630 :       N = n/p;
    5534      282726 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5535      282096 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    5536         630 :       break;
    5537             :   }
    5538        2394 : }
    5539             : /* good reduction at p */
    5540             : static void
    5541      438581 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    5542             : {
    5543      438581 :   const long ap = an[p];
    5544             :   ulong m;
    5545      438581 :   if (p <= SQRTn) {
    5546        8265 :     ulong pk, oldpk = 1;
    5547       32719 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    5548             :     {
    5549       24454 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    5550     9186535 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    5551     9162081 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    5552             :     }
    5553             :   } else {
    5554     2882304 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    5555     2451988 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    5556             :   }
    5557      438581 : }
    5558             : static void
    5559      440975 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    5560             : {
    5561      440975 :   if (good_red)
    5562      438581 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    5563             :   else
    5564        2394 :     sievep_bad(p, an, n);
    5565      440975 : }
    5566             : 
    5567             : static long
    5568      440975 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    5569             : {
    5570      440975 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    5571        2450 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    5572             :   else /* good reduction */
    5573             :   {
    5574      438525 :     *good_red = 1;
    5575      438525 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    5576             :   }
    5577             : }
    5578             : GEN
    5579        1421 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    5580             : {
    5581             :   pari_sp av;
    5582        1421 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    5583             :   GEN an;
    5584             :   int CM;
    5585             : 
    5586        1421 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    5587        1421 :   if (n >= LGBITS)
    5588           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    5589        1421 :   e = ellintegralmodel(e,NULL);
    5590        1421 :   SQRTn = usqrt(n);
    5591        1421 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    5592             : 
    5593        1421 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    5594        1421 :   an[1] = 1; av = avma;
    5595     4512460 :   for (p=2; p<=n; p++)
    5596             :   {
    5597             :     int good_red;
    5598     4511039 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    5599      440975 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    5600      440975 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    5601             :   }
    5602        1421 :   avma = av; return an;
    5603             : }
    5604             : 
    5605             : static GEN
    5606         805 : ellanQ(GEN e, long N)
    5607             : {
    5608         805 :   GEN v = ellanQ_zv(e, N);
    5609             :   long i;
    5610         805 :   for (i = 1; i <= N; i++) gel(v,i) = stoi(v[i]);
    5611         805 :   settyp(v, t_VEC); return v;
    5612             : }
    5613             : 
    5614             : static GEN
    5615       95403 : ellnflocal(void *S, GEN p)
    5616             : {
    5617       95403 :   pari_sp av = avma;
    5618       95403 :   GEN E = (GEN)S;
    5619       95403 :   GEN LP = idealprimedec(ellnf_get_nf(E), p), T = pol_1(0);
    5620       95403 :   long l = lg(LP), i;
    5621      237545 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5622             :   {
    5623             :     int goodred;
    5624      142142 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    5625      142142 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    5626      142142 :     long f = pr_get_f(P);
    5627      142142 :     if (goodred)
    5628      141925 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    5629             :     else
    5630             :     {
    5631         217 :       if (!signe(ap)) continue;
    5632         217 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    5633             :     }
    5634      142142 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    5635      142142 :     T = ZX_mul(T, T2);
    5636             :   }
    5637       95403 :   return gerepileupto(av, ginv(T));
    5638             : }
    5639             : 
    5640             : static GEN
    5641         217 : ellnfan(GEN E, long N)
    5642         217 : { return direuler((void*)E, &ellnflocal, gen_2, stoi(N), NULL); }
    5643             : 
    5644             : GEN
    5645        1015 : ellan(GEN E, long N)
    5646             : {
    5647        1015 :   checkell(E);
    5648        1015 :   switch(ell_get_type(E))
    5649             :   {
    5650         798 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    5651         217 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    5652             :     default:
    5653           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    5654           0 :       return NULL; /*NOT REACHED*/
    5655             :   }
    5656             : }
    5657             : 
    5658             : static GEN
    5659         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    5660             : {
    5661             :   GEN u, v, w;
    5662             :   long j;
    5663         735 :   if (e == 1) return ap;
    5664         112 :   u = ap;
    5665         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    5666         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    5667             :   {
    5668          14 :     v = u; u = w;
    5669          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    5670             :   }
    5671         112 :   return w;
    5672             : }
    5673             : 
    5674             : GEN
    5675         693 : akell(GEN e, GEN n)
    5676             : {
    5677             :   long i, j, s;
    5678         693 :   pari_sp av = avma;
    5679             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    5680             : 
    5681         693 :   checkell_int(e);
    5682         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    5683         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    5684         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    5685         693 :   D = ell_get_disc(e);
    5686         693 :   u = coprime_part(n, D);
    5687         693 :   y = gen_1;
    5688         693 :   s = 1;
    5689         693 :   if (!equalii(u, n))
    5690             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    5691         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    5692         441 :     P = gel(fa,1);
    5693         441 :     E = gel(fa,2);
    5694        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    5695             :     {
    5696         581 :       GEN p = gel(P,i);
    5697         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    5698             :       int good_red;
    5699         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    5700         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    5701         350 :       j = signe(ap);
    5702         350 :       if (!j) { avma = av; return gen_0; }
    5703         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    5704             :     }
    5705             :   }
    5706         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    5707         693 :   fa = Z_factor(u);
    5708         693 :   P = gel(fa,1);
    5709         693 :   E = gel(fa,2);
    5710        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    5711             :   { /* good reduction */
    5712         504 :     GEN p = gel(P,i);
    5713         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    5714         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    5715             :   }
    5716         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    5717             : }
    5718             : 
    5719             : GEN
    5720        7525 : ellQ_get_N(GEN e)
    5721        7525 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    5722             : void
    5723         322 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    5724         322 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    5725             : 
    5726             : GEN
    5727          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    5728             : {
    5729          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    5730             :   ulong l, n;
    5731             :   long eps, flun;
    5732             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    5733             : 
    5734          14 :   if (!A) A = gen_1;
    5735             :   else
    5736             :   {
    5737           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    5738           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    5739           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    5740             :   }
    5741          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
    5742          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    5743          14 :   checkell_Q(e);
    5744          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    5745          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    5746          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    5747          14 :   if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
    5748             : 
    5749          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    5750          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    5751          14 :   cga = gmul(cg, A);
    5752          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    5753          42 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
    5754          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    5755          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    5756          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    5757          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    5758          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    5759          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    5760          14 :   z = gen_0;
    5761          14 :   av1 = avma;
    5762        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    5763             :   {
    5764        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    5765        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    5766        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    5767             : 
    5768        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    5769        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    5770        1106 :     if (flun)
    5771           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    5772             :     else
    5773             :     {
    5774        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    5775        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    5776        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    5777             :     }
    5778        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    5779        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    5780             :     {
    5781           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    5782           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    5783             :     }
    5784             :   }
    5785          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    5786             : }
    5787             : 
    5788             : /********************************************************************/
    5789             : /**                                                                **/
    5790             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    5791             : /**                                                                **/
    5792             : /********************************************************************/
    5793             : 
    5794             : static GEN
    5795         329 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    5796             : 
    5797             : /* one root of X^2 - t X + c */
    5798             : static GEN
    5799         973 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    5800             : {
    5801         973 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    5802             : }
    5803             : 
    5804             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    5805             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    5806             : static GEN
    5807         973 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    5808             : {
    5809         973 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    5810         973 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    5811             : 
    5812         973 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    5813         973 :   ab = ellR_ab(e, p);
    5814         973 :   a = gel(ab, 1);
    5815         973 :   b = gel(ab, 2);
    5816         973 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    5817         973 :   x = gsub(x, e1);
    5818         973 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    5819             : 
    5820         973 :   x_a = gsub(x, a);
    5821         973 :   if (gsigne(a) > 0)
    5822             :   {
    5823          84 :     GEN a0 = a;
    5824          84 :     x = gsub(x, b);
    5825          84 :     a = gneg(b);
    5826          84 :     b = gsub(a0, b);
    5827             :   }
    5828         973 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    5829         973 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    5830             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    5831        5188 :   for(n=0; ; n++)
    5832             :   {
    5833        5188 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    5834        5188 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    5835        5188 :     r = gsub(a, a0);
    5836        5188 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    5837        4215 :     ab = gmul(a0, b);
    5838        4215 :     b = gsqrt(ab, prec);
    5839             : 
    5840        4215 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    5841        4215 :     p2 = gsqr(a);
    5842        4215 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    5843        4215 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    5844        4215 :   }
    5845         973 :   if (n) {
    5846         973 :     x = gel(V,n);
    5847         973 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    5848             :   } else {
    5849           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    5850             :   }
    5851             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    5852        1526 :   return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
    5853        1526 :              : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
    5854             : }
    5855             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    5856             : static int
    5857         973 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    5858             : {
    5859         973 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    5860         973 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    5861             : }
    5862             : 
    5863             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    5864             : static GEN
    5865         973 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    5866             : {
    5867         973 :   pari_sp av = avma;
    5868             :   GEN h;
    5869         973 :   checkell_Q(E);
    5870         973 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    5871             :   {
    5872         420 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    5873             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    5874         420 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    5875             :   }
    5876             :   else
    5877         553 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    5878         973 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    5879         973 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    5880             : }
    5881             : GEN
    5882         868 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    5883             : 
    5884             : static GEN
    5885         217 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    5886         217 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    5887             : static GEN
    5888          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    5889             : {
    5890          35 :   pari_sp av = avma;
    5891          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    5892          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    5893          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    5894             : }
    5895             : GEN
    5896          35 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    5897          35 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
    5898             : GEN
    5899          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    5900          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    5901             : 
    5902             : GEN
    5903         133 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    5904             : {
    5905             :   long i, lx;
    5906         133 :   pari_sp av = avma;
    5907             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    5908             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    5909             : 
    5910         133 :   checkell_Q(e);
    5911         133 :   checkellpt(a);
    5912         133 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    5913         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    5914         126 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5915             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5916          98 :     if (lg(S) != 2)
    5917             :     {
    5918           7 :       v = gel(S,2);
    5919           7 :       e = gel(S,3);
    5920           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    5921             :     }
    5922             :   }
    5923             :   else
    5924             :   {
    5925          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    5926          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    5927             :   }
    5928         126 :   if (!oncurve(e,a))
    5929           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    5930         119 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    5931         119 :   if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
    5932         105 :   x = gel(a,1);
    5933         105 :   y = gel(a,2);
    5934         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    5935         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    5936         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    5937         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    5938         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    5939             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    5940             :   );
    5941         105 :   if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
    5942         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    5943         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    5944         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    5945         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    5946             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    5947             :   );
    5948         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    5949         105 :   D = ell_get_disc(e);
    5950         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    5951         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    5952         105 :   lx = lg(Lp);
    5953         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    5954             :   {
    5955         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    5956             :     long u, v, n, n2;
    5957         112 :     if (signe(remii(c4,p)))
    5958             :     { /* p \nmid c4 */
    5959          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    5960          35 :       if (!N) continue;
    5961          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    5962          35 :       if (n > N) n = N;
    5963          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    5964          35 :       v = N << 3;
    5965             :     }
    5966             :     else
    5967             :     {
    5968          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    5969          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    5970          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    5971             :     }
    5972             :     /* z -= u log(p) / v */
    5973         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    5974             :   }
    5975         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    5976             : }
    5977             : 
    5978             : GEN
    5979          28 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    5980             : {
    5981             :   GEN y, D;
    5982          28 :   long lx = lg(x), i, j;
    5983          28 :   pari_sp av = avma;
    5984             : 
    5985          28 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    5986          28 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    5987          28 :   y = cgetg(lx,t_MAT);
    5988         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    5989             :   {
    5990          77 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    5991          77 :     gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
    5992             :   }
    5993         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    5994             :   {
    5995          77 :     gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
    5996         147 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    5997             :     {
    5998          70 :       GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    5999          70 :       h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
    6000          70 :       gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
    6001             :     }
    6002             :   }
    6003          28 :   return gerepilecopy(av,y);
    6004             : }
    6005             : GEN
    6006           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6007           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6008             : 
    6009             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6010             : static GEN
    6011          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6012             : {
    6013          21 :   long l = lg(P);
    6014          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6015          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
    6016             :   else
    6017             :   {
    6018           7 :     GEN y = cgetg(l, typ(P));
    6019             :     long i;
    6020           7 :     for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
    6021           7 :     return y;
    6022             :   }
    6023             : }
    6024             : static GEN
    6025           7 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6026             : {
    6027           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6028           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6029           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6030           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6031           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6032           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6033           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6034             :   {
    6035           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6036           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6037           0 :     return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
    6038             :   }
    6039           7 :   return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
    6040             : }
    6041             : GEN
    6042           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6043           7 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
    6044             : /********************************************************************/
    6045             : /**                                                                **/
    6046             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6047             : /**                                                                **/
    6048             : /********************************************************************/
    6049             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6050             : static GEN
    6051           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6052             : {
    6053           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6054           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6055           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6056             : }
    6057             : 
    6058             : GEN
    6059          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6060             : {
    6061             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6062             :   long n, m;
    6063          14 :   pari_sp av = avma;
    6064             : 
    6065          14 :   checkell_Q(e);
    6066          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6067           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6068             : 
    6069           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6070           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6071           7 :   d = ginv(gtoser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
    6072             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6073             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6074           7 :   c = gsqr(d);
    6075             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6076             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6077             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6078             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6079             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6080             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6081             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6082             :    * */
    6083           7 :   C = c+4;
    6084           7 :   X = x+4;
    6085           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6086           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6087           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6088           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6089         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6090             :   {
    6091         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6092             :     GEN s1, s2, s3;
    6093         105 :     if (n != 2)
    6094             :     {
    6095          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6096          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6097          98 :       s2 = gen_0;
    6098        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6099         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6100          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6101          98 :       s1 = gen_0;
    6102          98 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6103          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6104          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6105             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6106          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6107             :     }
    6108             :     else
    6109             :     {
    6110           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6111           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6112           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6113           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6114           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6115           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6116           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6117           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6118           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6119           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6120             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6121           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6122             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6123           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6124             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6125           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6126           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6127             :     }
    6128         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6129             :   }
    6130           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6131           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6132           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6133           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6134           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6135             : }
    6136             : 
    6137             : /********************************************************************/
    6138             : /**                                                                **/
    6139             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6140             : /**                                                                **/
    6141             : /********************************************************************/
    6142             : static GEN
    6143         903 : doellff_get_o(GEN E)
    6144             : {
    6145         903 :   GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
    6146         903 :   return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
    6147             : }
    6148             : GEN
    6149        1183 : ellff_get_o(GEN E)
    6150        1183 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6151             : 
    6152             : GEN
    6153         126 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6154             : {
    6155         126 :   pari_sp av = avma;
    6156             :   GEN fg, r;
    6157         126 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6158         126 :   fg = ellff_get_field(E);
    6159         126 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6160         126 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6161          84 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    6162             :   else
    6163             :   {
    6164          42 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6165          42 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    6166          42 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    6167          42 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    6168             :   }
    6169         126 :   return gerepileuptoint(av, r);
    6170             : }
    6171             : 
    6172             : GEN
    6173         280 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6174             : {
    6175             :   GEN fg;
    6176         280 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6177         273 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6178         273 :   fg = ellff_get_field(E);
    6179         273 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6180          28 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6181             :   else
    6182             :   {
    6183         245 :     pari_sp av = avma;
    6184         245 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6185         490 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6186         490 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6187         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6188             :   }
    6189             : }
    6190             : 
    6191             : GEN
    6192         294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6193             : {
    6194             :   GEN fg;
    6195         294 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6196         294 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6197         294 :   fg = ellff_get_field(E);
    6198         294 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6199          91 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6200             :   else
    6201             :   {
    6202         203 :     pari_sp av = avma;
    6203         203 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6204         406 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6205         406 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6206         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6207             :   }
    6208             : }
    6209             : 
    6210             : /* E/Q, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6211             : static GEN
    6212     2772903 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6213             : {
    6214     2772903 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6215     2772903 :   if (!signe(D))
    6216             :   {
    6217       97965 :     pari_sp av = avma;
    6218       97965 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6219       97965 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6220             :   }
    6221     2674938 :   *good_red = 1;
    6222     2674938 :   if (equaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6223     2674490 :   if (equaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6224     2673097 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6225     2673097 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6226             : }
    6227             : 
    6228             : static GEN
    6229     3014619 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
    6230             : {
    6231             :   GEN q;
    6232     3014619 :   if (p) switch(typ(p))
    6233             :   {
    6234             :     case t_INT:
    6235     2795828 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    6236     2795821 :       break;
    6237             :     case t_VEC:
    6238       97615 :       q = get_prid(p);
    6239       97615 :       if (q) { p = q; break; }
    6240           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    6241             :   }
    6242     3014605 :   checkell(E);
    6243     3014605 :   switch(ell_get_type(E))
    6244             :   {
    6245             :     case t_ELL_Qp:
    6246          14 :       q = ellQp_get_p(E);
    6247          14 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6248          14 :       return q;
    6249             : 
    6250             :     case t_ELL_Fp:
    6251             :     case t_ELL_Fq:
    6252      141882 :       q = ellff_get_p(E);
    6253      141882 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6254      141882 :       return q;
    6255             :     case t_ELL_NF:
    6256             :     case t_ELL_Q:
    6257     2872709 :       if (p) return p;
    6258             :     default:
    6259          14 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    6260           0 :       return NULL;/*not reached*/
    6261             :   }
    6262             : }
    6263             : 
    6264             : GEN
    6265     2922927 : ellap(GEN E, GEN p)
    6266             : {
    6267     2922927 :   pari_sp av = avma;
    6268             :   GEN q, card;
    6269             :   int goodred;
    6270     2922927 :   p = checkellp(E, p, "ellap");
    6271     2922906 :   switch(ell_get_type(E))
    6272             :   {
    6273             :   case t_ELL_Fp:
    6274          91 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6275          91 :     break;
    6276             :   case t_ELL_Fq:
    6277       54460 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6278       54460 :     break;
    6279             :   case t_ELL_Q:
    6280     2770761 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6281     2770761 :     break;
    6282             :   case t_ELL_NF:
    6283       97594 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6284             :   default:
    6285           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6286           0 :     return NULL; /*NOT REACHED*/
    6287             :   }
    6288     2825312 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6289             : }
    6290             : 
    6291             : GEN
    6292          28 : ellsea(GEN E, ulong smallfact)
    6293             : {
    6294          28 :   checkell_Fq(E);
    6295          28 :   switch(ell_get_type(E))
    6296             :   {
    6297             :   case t_ELL_Fp:
    6298             :     {
    6299          14 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6300          14 :       if (cmpiu(p, 7) <= 0)
    6301           0 :         return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6302          14 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6303             :     }
    6304             :   case t_ELL_Fq:
    6305             :     {
    6306          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6307          14 :       if (cmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0)
    6308           0 :         return FF_ellcard(E);
    6309          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6310             :     }
    6311             :   }
    6312           0 :   return NULL; /*NOT REACHED*/
    6313             : }
    6314             : 
    6315             : GEN
    6316      120805 : ellff_get_card(GEN E)
    6317      120805 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6318             : 
    6319             : GEN
    6320       50308 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6321             : {
    6322       50308 :   p = checkellp(E, p, "ellcard");
    6323       50308 :   switch(ell_get_type(E))
    6324             :   {
    6325             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6326       48138 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6327             :   case t_ELL_Q:
    6328             :     {
    6329        2142 :       pari_sp av = avma;
    6330             :       int goodred;
    6331        2142 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6332        2142 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6333        2142 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6334             :     }
    6335             :   case t_ELL_NF:
    6336             :     {
    6337          21 :       pari_sp av = avma;
    6338             :       int goodred;
    6339          21 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6340          21 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6341          21 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6342             :     }
    6343             :   default:
    6344           7 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6345           0 :     return NULL; /*NOT REACHED*/
    6346             :   }
    6347             : }
    6348             : 
    6349             : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
    6350             :  * d_r | ... | d_1 */
    6351             : static GEN
    6352        1764 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
    6353             : {
    6354        1764 :   pari_sp av = avma;
    6355        1764 :   if (cmpiu(p, 3)<=0)
    6356             :   {
    6357        1246 :     ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
    6358        1246 :     long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
    6359        1246 :     long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
    6360        1246 :     if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
    6361        1169 :     if (l==2)
    6362             :     {
    6363          98 :       long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
    6364          98 :       long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
    6365          98 :       long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
    6366          98 :       switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
    6367             :       { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
    6368             :         case 18: case 29:
    6369           7 :           retmkvec(mkvec2s(1,1));
    6370             :         case 19: case 24: case 26:
    6371           7 :           retmkvec(mkvec2s(0,1));
    6372             :         case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
    6373          35 :           retmkvec(mkvec2s(1,0));
    6374             :         default:
    6375          49 :           retmkvec(mkvec2s(0,0));
    6376             :       }
    6377             :     } else
    6378             :     { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6379        1071 :       long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
    6380        1071 :       long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
    6381        1071 :       long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
    6382        1071 :       long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
    6383             :       long x,y;
    6384        1071 :       if (r==2) /* [2,2] */
    6385          63 :         retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
    6386             :       /* cyclic, order d_1 */
    6387        1008 :       y = equaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
    6388        1008 :       if (equaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
    6389             :       {
    6390         189 :         long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
    6391         189 :         x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
    6392             :       }
    6393             :       else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
    6394             :       { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
    6395         819 :         if (y == 1)
    6396         630 :           x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
    6397             :         else
    6398         189 :           x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
    6399             :       }
    6400        1008 :       retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
    6401             :     }
    6402             :   }
    6403             :   else
    6404             :   {
    6405         518 :     GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
    6406         518 :     return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
    6407             :   }
    6408             : }
    6409             : 
    6410             : static GEN
    6411       22792 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
    6412             : {
    6413       22792 :   GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
    6414       22785 :   if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
    6415       22708 :   if (equaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6416       22610 :   if (equaliu(p, 3))
    6417             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6418             :     ulong b2, b4, b6;
    6419        1071 :     if (!equaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6420             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6421             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6422         252 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6423         252 :     if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
    6424             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6425         126 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6426         126 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6427         126 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
    6428          63 :     G = mkvec2s(2, 2); goto END;
    6429             :   } /* Now assume p > 3 */
    6430       21539 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6431       21539 :   G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
    6432             : END:
    6433       22785 :   return mkvec2(G, m);
    6434             : }
    6435             : 
    6436             : static GEN
    6437       38696 : doellgroup(GEN E)
    6438             : {
    6439       38696 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6440       38696 :   return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
    6441             : }
    6442             : 
    6443             : GEN
    6444       39193 : ellff_get_group(GEN E)
    6445       39193 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
    6446             : 
    6447             : /* E / Fp */
    6448             : static GEN
    6449       16800 : doellgens(GEN E)
    6450             : {
    6451       16800 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6452       16800 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6453       16744 :     return FF_ellgens(E);
    6454             :   else
    6455             :   {
    6456          56 :     GEN e, Gm, F, p = fg;
    6457          56 :     e = ellff_get_a4a6(E);
    6458          56 :     Gm = ellff_get_group(E);
    6459          56 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
    6460          56 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6461             :   }
    6462             : }
    6463             : 
    6464             : GEN
    6465       16877 : ellff_get_gens(GEN E)
    6466       16877 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6467             : 
    6468             : GEN
    6469       22708 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6470             : {
    6471       22708 :   pari_sp av = avma;
    6472             :   GEN G;
    6473       22708 :   p = checkellp(E,p, "ellgroup");
    6474       22708 :   if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
    6475         378 :   else                G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
    6476       22708 :   return gerepilecopy(av, gel(G,1));
    6477             : }
    6478             : 
    6479             : GEN
    6480       21301 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6481             : {
    6482       21301 :   pari_sp av = avma;
    6483             :   GEN V;
    6484       21301 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6485        1841 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6486        1841 :   p = checkellp(E, p, "ellgroup");
    6487        1834 :   if (!ell_over_Fq(E))
    6488             :   { /* t_ELL_Q */
    6489        1771 :     GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
    6490        1764 :     GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
    6491        1764 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
    6492             :   }
    6493          63 :   V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
    6494          63 :   return gerepilecopy(av, V);
    6495             : }
    6496             : 
    6497             : GEN
    6498       16828 : ellgenerators(GEN E)
    6499             : {
    6500       16828 :   checkell(E);
    6501       16828 :   switch(ell_get_type(E))
    6502             :   {
    6503             :     case t_ELL_Q:
    6504           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    6505             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6506       16814 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    6507             :     default:
    6508           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    6509           0 :       return NULL;/*not reached*/
    6510             :   }
    6511             : }
    6512             : 
    6513             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    6514             : static GEN
    6515       22547 : ellfromj_simple(GEN j)
    6516             : {
    6517       22547 :   pari_sp av = avma;
    6518       22547 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    6519       22547 :   GEN E = zerovec(5);
    6520       22547 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    6521       22547 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    6522             : }
    6523             : GEN
    6524       33824 : ellfromj(GEN j)
    6525             : {
    6526       33824 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    6527             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    6528       33824 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    6529             :   {
    6530             :     case 2:
    6531        3549 :       if (gequal0(j))
    6532           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    6533             :       else
    6534        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    6535             :     case 3:
    6536        7637 :       if (gequal0(j))
    6537           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6538             :       else
    6539             :       {
    6540        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    6541        7630 :         pari_sp av = avma;
    6542        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    6543        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    6544        7630 :         return E;
    6545             :       }
    6546             :   }
    6547       22638 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    6548       22610 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6549       22547 :   return ellfromj_simple(j);
    6550             : }
    6551             : 
    6552             : /********************************************************************/
    6553             : /**                                                                **/
    6554             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    6555             : /**                                                                **/
    6556             : /********************************************************************/
    6557             : 
    6558             : int
    6559      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    6560             : {
    6561      164703 :   pari_sp av = avma;
    6562             :   int res;
    6563             : 
    6564      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    6565         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    6566         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    6567         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6568      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    6569      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    6570      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    6571      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    6572      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6573             :   } else {
    6574           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    6575           0 :     return 0; /*NOT REACHED*/
    6576             :   }
    6577      164696 :   avma = av;
    6578      164696 :   return res;
    6579             : }
    6580             : 
    6581             : int
    6582      164738 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    6583             : {
    6584      164738 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p)
    6585      147903 :     return elljissupersingular(E);
    6586       16835 :   p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
    6587       16835 :   switch(ell_get_type(E))
    6588             :   {
    6589             :   case t_ELL_Fp:
    6590             :   case t_ELL_Fq:
    6591       16800 :       return elljissupersingular(ell_get_j(E));
    6592             :     break;
    6593             :   case t_ELL_Q:
    6594             :     {
    6595          35 :       pari_sp av = avma;
    6596          35 :       GEN j = ell_get_j(E);
    6597             :       int res;
    6598          35 :       if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    6599          14 :       res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
    6600          14 :       avma = av; return res;
    6601             :     }
    6602             :     break;
    6603             :   default:
    6604           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    6605             :   }
    6606           0 :   return 0; /* Not reached */
    6607             : }
    6608             : 
    6609             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6610             : static GEN
    6611        3080 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    6612             : {
    6613             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    6614        3080 :   if (n==0) return pol_0(v);
    6615        3080 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    6616        1008 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    6617        1008 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    6618        1008 :   if (n==3)
    6619         504 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    6620             :   else
    6621             :   {
    6622         504 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    6623         504 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    6624         504 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    6625             :   }
    6626        1008 :   setvarn(res, v); return res;
    6627             : }
    6628             : 
    6629             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    6630             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6631             : static GEN
    6632        3752 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    6633             : {
    6634             :   GEN ret;
    6635        3752 :   long m = n/2;
    6636        3752 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    6637        2051 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    6638         714 :   else if (odd(n))
    6639             :   {
    6640         427 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6641             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    6642         427 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    6643             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    6644         427 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    6645         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    6646             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    6647         322 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    6648             :   }
    6649             :   else
    6650             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    6651         287 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6652             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    6653         287 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    6654             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    6655         287 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    6656             :   }
    6657        2051 :   gel(t,n) = ret;
    6658        2051 :   return ret;
    6659             : }
    6660             : 
    6661             : GEN
    6662        1953 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    6663             : {
    6664        1953 :   pari_sp av = avma;
    6665             :   GEN f, D, N;
    6666        1953 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6667        1953 :   if (v==-1) v = 0;
    6668        1953 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6669        1953 :   N = characteristic(D);
    6670        1953 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6671        1953 :   if (n<0) n = -n;
    6672        1953 :   if (n==1 || n==3)
    6673         168 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6674             :   else
    6675             :   {
    6676        1785 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6677        1785 :     setvarn(d2,v);
    6678        1785 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6679        1785 :     if (n <= 4)
    6680        1575 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6681             :     else
    6682         210 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    6683        1785 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    6684             :   }
    6685        1953 :   return gerepilecopy(av, f);
    6686             : }
    6687             : 
    6688             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    6689             : GEN
    6690         259 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    6691             : {
    6692         259 :   pari_sp av = avma;
    6693             :   GEN d2, D, N, A, B;
    6694         259 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6695         259 :   if (v==-1) v = 0;
    6696         259 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6697         259 :   N = characteristic(D);
    6698         259 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6699         259 :   if (n < 0) n = -n;
    6700         259 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6701         259 :   setvarn(d2,v);
    6702         259 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6703         259 :   if (n == 0)
    6704             :   {
    6705          21 :     A = pol_0(v);
    6706          21 :     B = pol_0(v);
    6707             :   }
    6708         238 :   else if (n == 1)
    6709             :   {
    6710           7 :     A = pol_1(v);
    6711           7 :     B = pol_x(v);
    6712             :   }
    6713         231 :   else if (n == 2)
    6714             :   {
    6715          98 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    6716          98 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6717          98 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    6718          98 :     A = d2;
    6719             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    6720          98 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    6721          98 :     setvarn(B,v);
    6722             :   }
    6723             :   else
    6724             :   {
    6725         133 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    6726         133 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    6727         133 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    6728         133 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    6729         133 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    6730         133 :     if (!odd(n))
    6731           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    6732             :     else
    6733         126 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    6734             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    6735         133 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    6736             :   }
    6737         259 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    6738             : }
    6739             : 
    6740             : GEN
    6741         175 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
    6742             : {
    6743         175 :   checkell_Q(E);
    6744         175 :   return hyperellpadicfrobenius(ec_bmodel(E), p, n);
    6745             : }

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