Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC CURVES **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
24 :
25 : #undef coordch
26 :
27 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
28 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
29 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
30 : */
31 :
32 : static ulong
33 1529352 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
34 1529352 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
35 : static ulong
36 1450033 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
37 1450033 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
38 : static void
39 1449385 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
40 : {
41 1449385 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
42 1449385 : *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
43 1449385 : }
44 : static GEN
45 2592318 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
46 2592318 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
47 : static void
48 2592318 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
49 : {
50 2592318 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
51 2592307 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
52 2592261 : }
53 : static GEN
54 93474 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
55 93474 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
56 : static void
57 93473 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
58 : {
59 93473 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
60 93466 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
61 93469 : }
62 : static void
63 2592161 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
64 : {
65 2592161 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
66 2592159 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
67 2592175 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 2592114 : }
69 : static void
70 1449385 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
71 : {
72 1449385 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
73 1449385 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
74 1449385 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
75 1449385 : }
76 :
77 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
78 : static GEN
79 150807 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
80 : {
81 150807 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
82 150807 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
83 150807 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
84 150807 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
85 : }
86 : static GEN
87 91289 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
88 : {
89 91289 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
90 91289 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
91 91289 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
92 91289 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
93 : }
94 :
95 : static GEN
96 150806 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
97 : {
98 : GEN A4, A6;
99 150806 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
100 150807 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
101 : }
102 : GEN
103 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
104 : {
105 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
106 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
107 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
108 : }
109 : GEN
110 64236 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
111 : {
112 64236 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
113 64236 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
114 64236 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
115 : }
116 :
117 : /* shallow basistoalg; true nf */
118 : static GEN
119 2127391 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
120 : { /* hope for the best */
121 2127391 : if (typ(x) == t_POL && varn(x) != nf_get_varn(nf)) return x;
122 2127349 : return nf_to_scalar_or_polmod(nf, x);
123 : }
124 : static GEN
125 1352519 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x) { pari_APPLY_same(nftoalg(nf,gel(x,i))); }
126 : static GEN
127 156926 : ellchangetoalg(GEN nf, GEN w)
128 : {
129 156926 : if (isint1(w)) return gen_1;
130 156926 : return nfVtoalg(nf, w);
131 : }
132 :
133 : static int
134 1571655 : isptcoord(GEN x)
135 : {
136 1571655 : switch(typ(x))
137 : {
138 1571466 : case t_INT:
139 : case t_REAL:
140 : case t_INTMOD:
141 : case t_FRAC:
142 : case t_FFELT:
143 : case t_COMPLEX:
144 : case t_PADIC:
145 : case t_QUAD:
146 : case t_POLMOD:
147 : case t_POL:
148 : case t_SER:
149 : case t_RFRAC:
150 1571466 : case t_COL: return 1; /* t_COL: nf elt */
151 : }
152 189 : return 0;
153 : }
154 :
155 : /* typ(z) == t_VEC. Is it (probably) a point ? */
156 : static int
157 793636 : vecispt(GEN z)
158 : {
159 793636 : switch(lg(z))
160 : {
161 6916 : case 2: return isintzero(gel(z,1));
162 785915 : case 3: return isptcoord(gel(z,1)) && isptcoord(gel(z,2));
163 805 : default: return 0;
164 : }
165 : }
166 : int
167 601527 : checkellpt_i(GEN z)
168 601527 : { return typ(z) == t_VEC && vecispt(z); }
169 : void
170 0 : checkellpt(GEN z)
171 0 : { if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("checkellpt", z); }
172 : void
173 228788 : checkell5(GEN E)
174 : {
175 228788 : long l = lg(E);
176 228788 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
177 228788 : }
178 : void
179 4408829 : checkell(GEN E)
180 4408829 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
181 : void
182 3528 : checkellisog(GEN v)
183 3528 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
184 :
185 : void
186 8239 : checkell_Q(GEN E)
187 : {
188 8239 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
189 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
190 8232 : }
191 :
192 : void
193 0 : checkell_Qp(GEN E)
194 : {
195 0 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
196 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
197 0 : }
198 :
199 : static int
200 505084 : ell_over_Fq(GEN E)
201 : {
202 505084 : long t = ell_get_type(E);
203 505084 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
204 : }
205 :
206 : void
207 253918 : checkell_Fq(GEN E)
208 : {
209 253918 : if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
210 253911 : }
211 :
212 : GEN
213 385781 : ellff_get_p(GEN E)
214 : {
215 385781 : GEN fg = ellff_get_field(E);
216 385781 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
217 : }
218 :
219 : int
220 52753 : ell_is_integral(GEN E)
221 : {
222 52753 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
223 52711 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
224 52690 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
225 52690 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
226 105464 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
227 : }
228 :
229 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
230 : GEN
231 247495 : ec_bmodel(GEN e, long v)
232 : {
233 247495 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
234 247495 : GEN P = mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
235 247495 : setvarn(P, v); return P;
236 : }
237 :
238 : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
239 : GEN
240 105 : ec_phi2(GEN e, long v)
241 : {
242 105 : GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
243 105 : GEN P = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
244 105 : setvarn(P, v); return P;
245 : }
246 :
247 : static int
248 236475 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
249 :
250 : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
251 : static GEN
252 231360 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
253 : {
254 231360 : GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e,0), prec);
255 231360 : long s = ellR_get_sign(e);
256 231360 : if (s > 0)
257 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
258 78825 : R = real_i(R);
259 78825 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
260 78825 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
261 78825 : d3 = subrr(e1,e2);
262 78825 : d1 = subrr(e2,e3);
263 78825 : d2 = subrr(e1,e3);
264 78825 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
265 : } else {
266 152535 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
267 152535 : if (s < 0)
268 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
269 90213 : e1 = real_i(e1);
270 90213 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
271 90213 : d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
272 : }
273 : else
274 62322 : d1 = gsub(e2,e3);
275 152535 : d3 = gsub(e1,e2);
276 152535 : d2 = gsub(e1,e3);
277 152535 : if (precision(d1) < prec0
278 152522 : || precision(d2) < prec0
279 152535 : || precision(d3) < prec0) return NULL;
280 : }
281 231322 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
282 : }
283 : static GEN
284 169953 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
285 : {
286 : long p;
287 169991 : for (p = prec0;; p = precdbl(p))
288 38 : {
289 169991 : GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
290 169991 : if (v) return v;
291 38 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
292 : }
293 : }
294 : static GEN
295 83056 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
296 :
297 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
298 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
299 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
300 : GEN
301 783670 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
302 : {
303 783670 : pari_sp av = avma;
304 : GEN z;
305 783670 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
306 783670 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
307 783670 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
308 783670 : return gc_upto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
309 : }
310 :
311 : /* a1 x + a3 */
312 : GEN
313 1166134 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
314 : {
315 1166134 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
316 1166134 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
317 1166134 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
318 : }
319 : static GEN
320 565817 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
321 : {
322 565817 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
323 565817 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
324 565817 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
325 : }
326 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
327 : static GEN
328 129779 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
329 : {
330 129779 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
331 129779 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
332 : }
333 :
334 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
335 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
336 : * which is the derivative of the curve equation
337 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
338 : * wrt x evaluated at Q */
339 : GEN
340 134996 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
341 : {
342 134996 : pari_sp av = avma;
343 134996 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
344 134996 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
345 134996 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
346 134996 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
347 134996 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
348 134996 : return gc_upto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
349 : }
350 :
351 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
352 : GEN
353 248440 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
354 : {
355 248440 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
356 248440 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
357 : }
358 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
359 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
360 : * which is the derivative of the curve equation
361 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
362 : * wrt y evaluated at Q */
363 : GEN
364 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
365 : {
366 532 : pari_sp av = avma;
367 532 : return gc_upto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
368 : }
369 :
370 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
371 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
372 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
373 : GEN
374 29715 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
375 : {
376 29715 : pari_sp av = avma;
377 29715 : GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
378 29715 : GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
379 29715 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
380 29715 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF && typ(x)==t_COL)
381 0 : {
382 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
383 0 : t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
384 0 : t2 = nfadd(nf, t1, b42);
385 0 : t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
386 0 : t2 = nftoalg(nf, t2);
387 : }
388 : else
389 : {
390 29715 : t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
391 29715 : t2 = gadd(t1, b42);
392 29715 : t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
393 : }
394 29715 : return gc_upto(av, t2);
395 : }
396 :
397 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
398 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
399 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
400 : GEN
401 64856 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
402 : {
403 64856 : pari_sp av = avma;
404 64856 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
405 64856 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
406 64856 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
407 64856 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
408 64856 : GEN x2 = gsqr(x);
409 64856 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
410 64856 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
411 64856 : return gc_upto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
412 : }
413 :
414 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
415 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
416 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
417 : GEN
418 812 : ec_half_deriv_2divpol(GEN E, long v)
419 812 : { return deg2pol_shallow(utoi(6), ell_get_b2(E), ell_get_b4(E), v); }
420 :
421 : GEN
422 707 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
423 : {
424 707 : pari_sp av = avma;
425 707 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
426 707 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
427 707 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
428 707 : return gc_upto(av, res);
429 : }
430 :
431 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
432 : GEN
433 9149 : ellbasechar(GEN E)
434 : {
435 9149 : pari_sp av = avma;
436 9149 : GEN D = ell_get_disc(E);
437 9149 : return gc_INT(av, characteristic(D));
438 : }
439 :
440 : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
441 : * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
442 : * Also allocate room for n dynamic members. */
443 : static GEN
444 194535 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
445 : {
446 194535 : GEN y = obj_init(15, n);
447 194535 : gel(y,1) = gen_0;
448 194535 : gel(y,2) = gen_0;
449 194535 : gel(y,3) = gen_0;
450 194535 : gel(y,4) = a4;
451 194535 : gel(y,5) = a6;
452 194535 : gel(y,6) = gen_0;
453 194535 : gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
454 194535 : gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
455 194535 : gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
456 194534 : gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
457 194536 : gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
458 194536 : gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
459 194536 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
460 : }
461 : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
462 : static GEN
463 945030 : initsmall5(GEN x, long n)
464 : {
465 945030 : GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
466 945030 : GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
467 : GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
468 945030 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
469 795722 : a11= gsqr(a1);
470 795722 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
471 795722 : a13= gmul(a1, a3);
472 795722 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
473 795722 : a33= gsqr(a3);
474 795722 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
475 795722 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
476 795722 : b22= gsqr(b2);
477 795722 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
478 795722 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
479 795722 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
480 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
481 795722 : y = obj_init(15, n);
482 795722 : gel(y,1) = a1;
483 795722 : gel(y,2) = a2;
484 795722 : gel(y,3) = a3;
485 795722 : gel(y,4) = a4;
486 795722 : gel(y,5) = a6;
487 795722 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
488 795722 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
489 795722 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
490 795722 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
491 795722 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
492 795722 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
493 795722 : gel(y,12)= D;
494 795722 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
495 : }
496 :
497 : static GEN
498 982193 : get_j(GEN c4, GEN D)
499 : {
500 : GEN g, d, c;
501 982193 : if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
502 981850 : return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
503 : /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
504 343 : g = RgX_gcd(D, c4);
505 343 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
506 42 : c = RgX_div(c4, g);
507 42 : D = RgX_div(D, g);
508 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
509 42 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
510 35 : D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
511 35 : g = RgX_gcd(D,c4);
512 35 : if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
513 35 : return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
514 : }
515 :
516 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
517 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
518 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
519 : * component y[16])*/
520 : static GEN
521 990236 : initsmall(GEN x, long n)
522 : {
523 : GEN y, D;
524 :
525 990236 : switch(lg(x))
526 : {
527 490 : case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
528 45227 : case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
529 944519 : case 6:
530 944519 : case 17: y = initsmall5(x, n); break;
531 0 : default:
532 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
533 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
534 : }
535 990237 : D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
536 982193 : gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
537 : }
538 : void
539 0 : ellprint(GEN e)
540 : {
541 0 : pari_sp av = avma;
542 : long vx, vy;
543 : GEN z;
544 0 : checkell5(e);
545 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
546 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
547 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
548 0 : (void)delete_var();
549 0 : (void)delete_var(); set_avma(av);
550 0 : }
551 :
552 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
553 : static GEN
554 58842 : doellR_ab(GEN E, long prec)
555 : {
556 58842 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
557 58842 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
558 :
559 58842 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
560 58842 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
561 26733 : b = mulrr(d3,d2);
562 : else
563 32109 : b = cxnorm(d3);
564 58842 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
565 58842 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
566 58842 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
567 58842 : return mkvec2(a, b);
568 : }
569 : GEN
570 83056 : ellR_ab(GEN E, long prec)
571 83056 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
572 :
573 : /* q a t_REAL*/
574 : static long
575 84 : real_prec(GEN q)
576 84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
577 : /* q a t_PADIC */
578 : static long
579 238 : padic_prec(GEN q)
580 238 : { return signe(padic_u(q))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
581 :
582 : /* check whether moduli are consistent */
583 : static void
584 99630 : chk_p(GEN p, GEN p2)
585 99630 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
586 :
587 : static int
588 213367 : fix_nftype(GEN *pp)
589 : {
590 213367 : switch(nftyp(*pp))
591 : {
592 213367 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
593 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
594 0 : default: return 0;
595 : }
596 213367 : return 1;
597 : }
598 : static long
599 994653 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
600 : {
601 994653 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
602 994653 : GEN p = NULL, pol = NULL;
603 994653 : long t = t_FRAC;
604 994653 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
605 : {
606 509600 : case t_INT:
607 509600 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
608 2121 : p = *pp;
609 2121 : t = t_INTMOD;
610 2121 : break;
611 665 : case t_INTMOD:
612 665 : p = gel(*pp, 1);
613 665 : break;
614 28 : case t_REAL:
615 28 : e = real_prec(*pp);
616 28 : p = NULL;
617 28 : break;
618 217 : case t_PADIC:
619 217 : ep = padic_prec(*pp);
620 217 : p = padic_p(*pp);
621 217 : break;
622 1820 : case t_FFELT:
623 1820 : p = *pp;
624 1820 : break;
625 213367 : case t_VEC:
626 213367 : t = t_VEC; p = *pp;
627 213367 : if (fix_nftype(&p)) break;
628 : default:
629 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
630 0 : return 0;
631 : }
632 994646 : if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
633 : /* Possible cases:
634 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
635 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
636 : * t = t_INTMOD (p a prime)
637 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
638 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
639 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
640 5684355 : for (i = 1; i < imax; i++)
641 : {
642 4695470 : GEN p2, q = gel(x,i);
643 4695470 : switch(typ(q)) {
644 42 : case t_PADIC:
645 42 : p2 = padic_p(q);
646 : switch(t)
647 : {
648 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
649 7 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
650 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
651 : }
652 21 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
653 21 : break;
654 124576 : case t_INTMOD:
655 124576 : p2 = gel(q,1);
656 : switch(t)
657 : {
658 24967 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
659 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
660 99546 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
661 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
662 : }
663 124562 : break;
664 168578 : case t_FFELT:
665 : switch(t)
666 : {
667 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
668 85383 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
669 83188 : case t_FFELT:
670 83188 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
671 83188 : break;
672 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
673 : }
674 168571 : break;
675 :
676 4126866 : case t_INT: case t_FRAC: break;
677 56 : case t_REAL:
678 : switch(t)
679 : {
680 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
681 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
682 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
683 : }
684 56 : break;
685 274078 : case t_POLMOD:
686 274078 : if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
687 7 : pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
688 : case t_COL:
689 : case t_POL:
690 275331 : if (t == t_VEC) break;
691 : default: /* base ring too general */
692 5712 : return t_COMPLEX;
693 : }
694 : }
695 988885 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
696 : }
697 :
698 : /* s = 0 complex, else real;
699 : * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
700 : static GEN
701 67109 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
702 : {
703 : GEN y;
704 67109 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
705 : {
706 7 : case t_ELL_Rg:
707 7 : case t_ELL_Q: break;
708 7 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
709 : }
710 67102 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
711 67102 : if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
712 67102 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
713 67102 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
714 67102 : return y;
715 : }
716 :
717 : static GEN
718 203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
719 : {
720 : GEN y;
721 203 : if (lg(x) > 6)
722 : {
723 28 : switch(ell_get_type(x))
724 : { /* sanity checks */
725 21 : case t_ELL_Q: break;
726 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
727 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
728 : }
729 21 : x = vecslice(x,1,5);
730 : }
731 196 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
732 196 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
733 196 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
734 196 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic_shallow(p, prec));
735 196 : return y;
736 : }
737 :
738 : static GEN
739 569786 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
740 : {
741 : GEN y;
742 : long s;
743 569786 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
744 569653 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
745 569653 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
746 569653 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
747 569653 : return y;
748 : }
749 :
750 : static GEN
751 73437 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
752 : {
753 : GEN y, nf;
754 73437 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
755 73437 : nf = checknf(p);
756 73437 : x = nfVtoalg(nf, x);
757 73437 : if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
758 73437 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
759 73437 : gel(y,15) = mkvec(p);
760 73437 : return y;
761 : }
762 :
763 : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
764 : static GEN
765 120999 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
766 : {
767 120999 : x = FF_ellinit(x,fg);
768 120999 : return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
769 : }
770 :
771 : static GEN
772 1960487 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
773 : static GEN
774 165226 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
775 : {
776 : long i;
777 : GEN y, disc;
778 165226 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
779 : {
780 2429 : case t_ELL_Q: break;
781 0 : case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
782 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
783 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
784 : }
785 165219 : if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
786 165219 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
787 : /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
788 160278 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
789 150807 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
790 150807 : if (!signe(disc)) return NULL;
791 2111189 : for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
792 150800 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
793 150799 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
794 150800 : return y;
795 : }
796 :
797 : static GEN
798 114496 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
799 : {
800 : GEN y;
801 114496 : if (lg(x) == 2)
802 : {
803 33418 : GEN j = gel(x,1);
804 33418 : if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
805 33418 : x = ellfromj(j);
806 : }
807 114496 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
808 111528 : return FF_ellinit_ns(y,fg);
809 : }
810 :
811 : static GEN
812 137753 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
813 : {
814 137753 : GEN e = vecslice(x,1,5);
815 : GEN p, modP;
816 137753 : if (get_modpr(P))
817 : { /* modpr accept */
818 108731 : modP = P;
819 108731 : p = modpr_get_p(modP);
820 : }
821 : else
822 : { /* pr, initialize modpr */
823 29022 : GEN d = Q_denom(e);
824 29022 : p = pr_get_p(P);
825 29022 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
826 : }
827 137753 : *pp = p;
828 137753 : *pT = modpr_get_T(modP);
829 137753 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
830 : }
831 : static GEN
832 137732 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
833 : {
834 : GEN T,p;
835 137732 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
836 137732 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
837 : }
838 :
839 : static GEN
840 900629 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
841 : {
842 : GEN y;
843 :
844 900629 : switch(typ(x))
845 : {
846 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
847 900622 : case t_VEC:
848 900622 : switch(lg(x))
849 : {
850 900615 : case 2: case 3: case 6: case 17: break;
851 7 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
852 : }
853 900615 : break;
854 0 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
855 : }
856 900622 : if (D && get_prid(D))
857 : {
858 137249 : if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
859 137249 : return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
860 : }
861 763373 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
862 : {
863 203 : case t_PADIC:
864 203 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
865 196 : break;
866 27725 : case t_INTMOD:
867 27725 : y = ellinit_Fp(x, D);
868 27719 : break;
869 87077 : case t_FFELT:
870 87077 : y = ellinit_Fq(x, D);
871 87077 : break;
872 569786 : case t_FRAC:
873 569786 : y = ellinit_Q(x, prec);
874 569786 : break;
875 28 : case t_REAL:
876 28 : y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
877 21 : break;
878 72786 : case t_VEC:
879 72786 : y = ellinit_nf(x, D);
880 72786 : break;
881 5712 : default:
882 5712 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
883 : }
884 763297 : return y;
885 : }
886 : GEN
887 899600 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
888 : {
889 899600 : pari_sp av = avma;
890 899600 : GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
891 899517 : if (!y) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
892 891460 : return gc_GEN(av,y);
893 : }
894 :
895 : /********************************************************************/
896 : /** **/
897 : /** COORDINATE CHANGE **/
898 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
899 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
900 : /** verbatim **/
901 : /** **/
902 : /********************************************************************/
903 : /* [1,0,0,0] */
904 : static GEN
905 2694013 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
906 : /* if fun != NULL, check whether w is a valid change of variables
907 : * (raise type exception in 'fun' if not). Otherwise assume valid.
908 : * Return 1 if trivial change, 0 otherwise */
909 : static int
910 902028 : is_trivial_change(GEN w, const char *fun)
911 : {
912 902028 : if (fun)
913 : {
914 376538 : if (isint1(w)) return 1;
915 376531 : if (typ(w) != t_VEC || lg(w) != 5) pari_err_TYPE(fun, w);
916 : }
917 : else
918 525490 : if (typ(w) == t_INT) return 1;
919 1450849 : return isint1(gel(w,1)) && isintzero(gel(w,2))
920 1450849 : && isintzero(gel(w,3)) && isintzero(gel(w,4));
921 : }
922 :
923 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
924 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
925 : static void
926 15743 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
927 : {
928 15743 : GEN v = *vtotal;
929 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
930 :
931 15743 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
932 15715 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
933 15715 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
934 15715 : U2 = NULL;
935 15715 : if (!gequal0(r))
936 : {
937 : GEN rU2;
938 14441 : U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
939 14441 : R = gadd(R, rU2);
940 14441 : T = gadd(T, gmul(S, rU2));
941 : }
942 15715 : if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
943 15715 : if (!gequal0(t))
944 : {
945 8939 : if (!U2) U2 = gsqr(U);
946 8939 : T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
947 : }
948 15715 : gel(v,1) = gmul(U, u);
949 15715 : gel(v,2) = R;
950 15715 : gel(v,3) = S;
951 15715 : gel(v,4) = T;
952 : }
953 :
954 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
955 : static GEN
956 49 : ellchangeinvert_i(GEN w)
957 : {
958 49 : GEN u = gel(w,1), r = gel(w,2), s = gel(w,3), t = gel(w,4);
959 49 : GEN u2 = gsqr(u), u3 = gmul(u2,u);
960 49 : GEN R = gneg(r), S = gneg(s);
961 49 : GEN T = gsub(gmul(r,s), t);
962 49 : retmkvec4(ginv(u),gdiv(R, u2), gdiv(S, u), gdiv(T, u3));
963 : }
964 :
965 : GEN
966 14 : ellchangeinvert(GEN E, GEN v)
967 : {
968 14 : pari_sp av = avma;
969 14 : checkell(E);
970 14 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF) v = ellchangetoalg(ellnf_get_nf(E), v);
971 14 : if (is_trivial_change(v, "ellchangeinvert")) return gc_const(av, gen_1);
972 14 : return gc_upto(av, ellchangeinvert_i(v));
973 : }
974 :
975 : static GEN
976 14 : ellchangecompose_i(GEN v, GEN w)
977 : {
978 14 : GEN u = gel(v,1), r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
979 14 : GEN uu = gel(w,1), rr = gel(w,2), ss = gel(w,3), tt = gel(w,4);
980 14 : GEN u2 = gsqr(u), u3 = gmul(u, u2);
981 14 : GEN R = gmul(rr,u2), S = gmul(ss,u);
982 14 : GEN T = gadd(gmul(tt,u3), gmul(s,R));
983 14 : retmkvec4(gmul(u,uu),gadd(r,R),gadd(s,S),gadd(t,T));
984 : }
985 :
986 : GEN
987 14 : ellchangecompose(GEN E, GEN v, GEN w)
988 : {
989 14 : pari_sp av = avma;
990 14 : GEN nf = NULL;
991 14 : checkell(E);
992 14 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
993 : {
994 7 : nf = ellnf_get_nf(E);
995 7 : v = ellchangetoalg(nf, v);
996 7 : w = ellchangetoalg(nf, w);
997 : }
998 14 : if (is_trivial_change(v, "ellchangecompose"))
999 : {
1000 0 : if (is_trivial_change(w, "ellchangecompose")) return gc_const(av, gen_1);
1001 0 : return nf? gc_GEN(av, w): gcopy(w);
1002 : }
1003 14 : if (is_trivial_change(w, "ellchajgecompose"))
1004 0 : return nf? gc_GEN(av, v): gcopy(v);
1005 14 : return gc_upto(av, ellchangecompose_i(v, w));
1006 : }
1007 :
1008 : static GEN
1009 181986 : ell_to_nfell10(GEN e)
1010 : {
1011 : long i;
1012 181986 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1013 181986 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
1014 2001846 : for(i=1; i<=10; i++)
1015 1819860 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
1016 181986 : return y;
1017 : }
1018 :
1019 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1020 : static GEN
1021 444206 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
1022 : {
1023 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
1024 : long lx;
1025 444206 : if (gequal1(u)) return e;
1026 443737 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1027 443737 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
1028 443737 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
1029 443737 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
1030 443737 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
1031 443737 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
1032 443737 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
1033 443737 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
1034 443737 : if (lx == 6) return y;
1035 443723 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
1036 443723 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
1037 443723 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
1038 443723 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
1039 443723 : return y;
1040 : }
1041 : /* apply [1,r,0,0] */
1042 : static GEN
1043 500026 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
1044 : {
1045 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1046 : long lx;
1047 500026 : if (gequal0(r)) return e;
1048 420658 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1049 420658 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
1050 420658 : rx3 = gmulsg(3,r);
1051 :
1052 420658 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
1053 : /* A2 = a2 + 3r */
1054 420658 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
1055 : /* A3 = a1 r + a3 */
1056 420658 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
1057 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1058 420658 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
1059 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1060 420658 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
1061 420658 : if (lx == 6) return y;
1062 :
1063 420644 : b4 = ell_get_b4(e);
1064 420644 : b6 = ell_get_b6(e);
1065 : /* B2 = 12r + b2 */
1066 420644 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1067 420644 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
1068 420644 : r2 = nfsqr(nf,r);
1069 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1070 420644 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
1071 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1072 420644 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
1073 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1074 420644 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
1075 420644 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
1076 420644 : return y;
1077 : }
1078 :
1079 : static GEN
1080 184658 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
1081 : {
1082 : GEN a1, y;
1083 184658 : if (gequal0(s)) return e;
1084 184658 : a1 = ell_get_a1(e);
1085 184658 : y = leafcopy(e);
1086 :
1087 : /* A1 = a1 + 2s */
1088 184658 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1089 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1090 184658 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1091 : /* A4 = a4 - s a3 */
1092 184658 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
1093 184658 : return y;
1094 : }
1095 : /* apply [1,0,0,t] */
1096 : static GEN
1097 407583 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
1098 : {
1099 : GEN a1, a3, y;
1100 407583 : if (gequal0(t)) return e;
1101 407100 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1102 407100 : y = leafcopy(e);
1103 : /* A3 = 2t + a3 */
1104 407100 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
1105 : /* A4 = a4 - a1 t */
1106 407100 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
1107 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1108 407100 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1109 407100 : return y;
1110 : }
1111 :
1112 : /* apply [1,0,s,t] */
1113 : static GEN
1114 19406 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1115 : {
1116 : GEN y, a1, a3;
1117 19406 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1118 18923 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1119 18923 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1120 18923 : y = leafcopy(e);
1121 : /* A1 = a1 + 2s */
1122 18923 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1123 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1124 18923 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1125 : /* A3 = 2t + a3 */
1126 18923 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1127 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1128 18923 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1129 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1130 18923 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1131 18923 : return y;
1132 : }
1133 :
1134 : static GEN
1135 301564 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1136 : {
1137 301564 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1138 301564 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1139 : }
1140 :
1141 : /* apply [1,r,s,t] */
1142 : static GEN
1143 483 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1144 : {
1145 483 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1146 483 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1147 : }
1148 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1149 : static GEN
1150 483 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1151 : {
1152 483 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1153 483 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1154 483 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1155 : }
1156 :
1157 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1158 : static GEN
1159 229656 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1160 : {
1161 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1162 : long lx;
1163 229656 : if (gequal1(u)) return e;
1164 224448 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1165 224448 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1166 224448 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1167 224448 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1168 224448 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1169 224448 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1170 224448 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1171 224448 : if (lx == 6) return y;
1172 224448 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1173 224448 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1174 224448 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1175 224448 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1176 224448 : u12 = gsqr(u6);
1177 224448 : D = ell_get_disc(e);
1178 224448 : c4 = ell_get_c4(e);
1179 224448 : c6 = ell_get_c6(e);
1180 224448 : c4 = gmul(c4, u4);
1181 224448 : c6 = gmul(c6, u6);
1182 224448 : D = gmul(D, u12);
1183 224448 : gel(y,10)= c4;
1184 224448 : gel(y,11)= c6;
1185 224448 : gel(y,12)= D;
1186 224448 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1187 224448 : gel(y,14)= gel(e,14);
1188 224448 : gel(y,15)= gel(e,15);
1189 224448 : gel(y,16)= gel(e,16);
1190 224448 : return y;
1191 : }
1192 : /* apply [1,r,0,0] */
1193 : static GEN
1194 753872 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1195 : {
1196 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1197 753872 : if (gequal0(r)) return e;
1198 650839 : y = leafcopy(e);
1199 650839 : a2 = ell_get_a2(e);
1200 650839 : rx3 = gmulsg(3,r);
1201 :
1202 : /* A2 = a2 + 3r */
1203 650839 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1204 : /* A3 = a1 r + a3 */
1205 650839 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1206 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1207 650839 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1208 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1209 650839 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1210 650839 : if (lg(y) == 6) return y;
1211 :
1212 650832 : b4 = ell_get_b4(e);
1213 650832 : b6 = ell_get_b6(e);
1214 : /* B2 = 12r + b2 */
1215 650832 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1216 650832 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1217 650832 : r2 = gsqr(r);
1218 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1219 650832 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1220 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1221 650832 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1222 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1223 650832 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1224 650832 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1225 650832 : return y;
1226 : }
1227 : /* apply [1,0,s,0] */
1228 : static GEN
1229 119392 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1230 : {
1231 : GEN a1, y;
1232 119392 : if (gequal0(s)) return e;
1233 119392 : a1 = ell_get_a1(e);
1234 119392 : y = leafcopy(e);
1235 :
1236 : /* A1 = a1 + 2s */
1237 119392 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1238 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1239 119392 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1240 : /* A4 = a4 - s a3 */
1241 119392 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1242 119392 : return y;
1243 : }
1244 : /* apply [1,0,0,t] */
1245 : static GEN
1246 353486 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1247 : {
1248 : GEN a1, a3, y;
1249 353486 : if (gequal0(t)) return e;
1250 281008 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1251 281008 : y = leafcopy(e);
1252 : /* A3 = 2t + a3 */
1253 281008 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1254 : /* A4 = a4 - a1 t */
1255 281008 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1256 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1257 281008 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1258 281008 : return y;
1259 : }
1260 : /* apply [1,0,s,t] */
1261 : static GEN
1262 489447 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1263 : {
1264 : GEN y, a1, a3;
1265 489447 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1266 380338 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1267 260946 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1268 260946 : y = leafcopy(e);
1269 : /* A1 = a1 + 2s */
1270 260946 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1271 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1272 260946 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1273 : /* A3 = 2t + a3 */
1274 260946 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1275 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1276 260946 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1277 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1278 260946 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1279 260946 : return y;
1280 : }
1281 : /* apply [1,r,s,t] */
1282 : static GEN
1283 489447 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1284 : {
1285 489447 : e = coordch_r(e, r);
1286 489447 : return coordch_st(e, s, t);
1287 : }
1288 : /* apply valid change of variable w */
1289 : static GEN
1290 213157 : coordch(GEN e, GEN w)
1291 : {
1292 213157 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1293 213157 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1294 213157 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1295 : }
1296 :
1297 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1298 : * (dynamic data) */
1299 : static GEN
1300 21 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1301 : {
1302 21 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1303 21 : long prec = valp(p);
1304 21 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1305 21 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1306 : {
1307 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1308 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1309 : }
1310 21 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1311 : {
1312 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1313 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1314 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1315 7 : U = gmul(U, u);
1316 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1317 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1318 : }
1319 21 : return E;
1320 : }
1321 :
1322 : /* common to Q and Rg */
1323 : static GEN
1324 90552 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1325 : {
1326 90552 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1327 90552 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1328 28 : obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1329 90552 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1330 21 : obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
1331 90552 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1332 : {
1333 28 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1334 : long i;
1335 112 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1336 28 : obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
1337 : }
1338 90552 : return E;
1339 : }
1340 :
1341 : static GEN
1342 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1343 : {
1344 7 : GEN p = NULL;
1345 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1346 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1347 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1348 : }
1349 :
1350 : /* w valid change of variables in alg form */
1351 : static GEN
1352 140574 : ch_NF(GEN E, GEN e, GEN w)
1353 : {
1354 140574 : long prec = ellR_get_prec(E);
1355 140574 : GEN S, p = ellnf_get_nf(E);
1356 140574 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_VEC) return ellinit(E, p, prec);
1357 140574 : if ((S = obj_check(e, NF_MINIMALMODEL)))
1358 : {
1359 14 : if (lg(S) == 1)
1360 : { /* model was minimal */
1361 0 : if (!is_trivial_change(w, NULL)) /* no longer minimal */
1362 0 : S = mkvec2(ellchangeinvert_i(w), e);
1363 : }
1364 14 : else if (lg(S)==3)
1365 : {
1366 14 : GEN v = gel(S,1);
1367 28 : if (gequal(v, w) ||
1368 14 : (is_trivial_change(v, NULL) && is_trivial_change(w, NULL)))
1369 0 : S = cgetg(1,t_VEC); /* now minimal */
1370 : else
1371 : {
1372 14 : w = ellchangeinvert_i(w);
1373 14 : gcomposev(&w, v);
1374 14 : S = mkvec2(w, gel(S,2));
1375 : }
1376 : }
1377 14 : (void)obj_insert_shallow(E, NF_MINIMALMODEL, S);
1378 : }
1379 140574 : if ((S = obj_check(e, NF_GLOBALRED)))
1380 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_GLOBALRED, S);
1381 140574 : if ((S = obj_check(e, NF_ROOTNO)))
1382 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_ROOTNO, S);
1383 140574 : if ((S = obj_check(e, NF_NF)))
1384 68957 : S = obj_insert_shallow(E, NF_NF, S);
1385 140574 : return E;
1386 : }
1387 :
1388 : /* w valid change of variable */
1389 : static GEN
1390 90552 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1391 : {
1392 90552 : long prec = ellR_get_prec(E);
1393 90552 : GEN S, p = NULL;
1394 90552 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1395 90545 : ch_R(E, e, w);
1396 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1397 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1398 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1399 : {
1400 18865 : if (lg(S) == 2)
1401 : { /* model was minimal */
1402 7 : if (!is_trivial_change(w, NULL)) /* no longer minimal */
1403 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert_i(w), e);
1404 : }
1405 : else
1406 : {
1407 18858 : GEN v = gel(S,2);
1408 18858 : if (gequal(v, w)
1409 7 : || (is_trivial_change(v, NULL) && is_trivial_change(w, NULL)))
1410 18851 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1411 : else
1412 : {
1413 7 : w = ellchangeinvert_i(w);
1414 7 : gcomposev(&w, v);
1415 7 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1416 7 : gel(S,2) = w;
1417 : }
1418 : }
1419 18865 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1420 : }
1421 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1422 14 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1423 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1424 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1425 90545 : return E;
1426 : }
1427 :
1428 : static void
1429 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1430 : {
1431 : GEN S;
1432 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1433 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1434 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1435 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1436 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1437 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1438 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1439 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1440 126 : }
1441 :
1442 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1443 : static GEN
1444 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1445 : {
1446 7 : long prec = 0;
1447 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1448 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1449 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1450 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1451 : }
1452 : static GEN
1453 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1454 : {
1455 119 : long prec = 0;
1456 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1457 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1458 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1459 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1460 : }
1461 :
1462 : static void
1463 213402 : ell_reset(GEN E)
1464 213402 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1465 :
1466 : GEN
1467 228788 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1468 : {
1469 228788 : pari_sp av = avma;
1470 228788 : GEN E, nf = NULL;
1471 228788 : checkell5(e);
1472 228788 : if (lg(e) != 6 && ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1473 : {
1474 156877 : nf = ellnf_get_nf(e);
1475 156877 : w = ellchangetoalg(nf, w);
1476 : }
1477 228788 : if (is_trivial_change(w, "ellchangecurve"))
1478 : {
1479 16338 : set_avma(av);
1480 16338 : return gcopy(e);
1481 : }
1482 212443 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1483 212443 : if (lg(E) != 6)
1484 : {
1485 212436 : ell_reset(E);
1486 212436 : switch(ell_get_type(E))
1487 : {
1488 21 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1489 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1490 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1491 71708 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1492 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1493 140574 : case t_ELL_NF: E = ch_NF(E,e,w); break;
1494 : }
1495 : }
1496 212443 : return gc_GEN(av, E);
1497 : }
1498 :
1499 : static GEN
1500 7 : ellQ_isisom(GEN E, GEN F)
1501 : {
1502 7 : pari_sp av = avma;
1503 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1504 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1505 7 : j = ell_get_j(E);
1506 7 : if (!gequal(j, ell_get_j(F))) return gen_0;
1507 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1508 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1509 7 : if (gequal0(j))
1510 : {
1511 0 : if (!ispower(gdiv(Ec6, Fc6), utoi(6), &u))
1512 0 : return gc_const(av, gen_0);
1513 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1514 : {
1515 0 : if (!ispower(gdiv(Ec4, Fc4), utoi(4), &u))
1516 0 : return gc_const(av, gen_0);
1517 : } else
1518 : {
1519 7 : if (!issquareall(gdiv(gmul(Fc4, Ec6),gmul(Fc6,Ec4)),&u))
1520 0 : return gc_const(av, gen_0);
1521 : }
1522 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1523 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1524 7 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1525 7 : s = gdivgs(gsub(gmul(u, Fa1), Ea1), 2);
1526 7 : r = gdivgs(gadd(gsub(gadd(gmul(u2, Fa2), gmul(s, Ea1)), Ea2), gsqr(s)), 3);
1527 7 : t = gdivgs(gsub(gsub(gmul(u3, Fa3), gmul(r, Ea1)), Ea3), 2);
1528 7 : return gc_GEN(av, mkvec4(u,r,s,t));
1529 : }
1530 :
1531 : static GEN
1532 7 : ellnf_isisom(GEN nf, GEN E, GEN F)
1533 : {
1534 7 : pari_sp av = avma;
1535 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1536 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1537 7 : j = nf_to_scalar_or_alg(nf, ell_get_j(E));
1538 7 : if (!gequal(j, nf_to_scalar_or_alg(nf, ell_get_j(F))))
1539 0 : return gc_const(av, gen_0);
1540 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1541 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1542 7 : if (gequal0(j))
1543 : {
1544 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec6, Fc6), 6, &u))
1545 0 : return gc_const(av, gen_0);
1546 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1547 : {
1548 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec4, Fc4), 4, &u))
1549 0 : return gc_const(av, gen_0);
1550 : } else
1551 : {
1552 7 : if (!nfissquare(nf, nfdiv(nf, nfmul(nf, Fc4, Ec6), nfmul(nf, Fc6,Ec4)), &u))
1553 0 : return gc_const(av, gen_0);
1554 : }
1555 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1556 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1557 7 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2);
1558 7 : s = gdivgs(nfsub(nf, nfmul(nf, u, Fa1), Ea1),2);
1559 7 : r = gdivgs(nfadd(nf, nfsub(nf, nfadd(nf, nfmul(nf, u2, Fa2), nfmul(nf, s, Ea1)), Ea2), nfsqr(nf, s)), 3);
1560 7 : t = gdivgs(nfsub(nf, nfsub(nf, nfmul(nf, u3, Fa3), nfmul(nf, r, Ea1)), Ea3), 2);
1561 7 : u = nftoalg(nf, u);
1562 7 : r = nftoalg(nf, r);
1563 7 : s = nftoalg(nf, s);
1564 7 : t = nftoalg(nf, t); return gc_GEN(av, mkvec4(u,r,s,t));
1565 : }
1566 :
1567 : GEN
1568 14 : ellisisom(GEN E, GEN F)
1569 : {
1570 14 : checkell(E); checkell(F);
1571 14 : if (ell_get_type(E)!=ell_get_type(F))
1572 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1573 14 : switch(ell_get_type(E))
1574 : {
1575 7 : case t_ELL_Q:
1576 7 : return ellQ_isisom(E, F);
1577 7 : case t_ELL_NF:
1578 7 : if (gequal(ellnf_get_nf(E), ellnf_get_nf(F)))
1579 7 : return ellnf_isisom(ellnf_get_nf(E), E, F);
1580 : default: /*FALL THROUGH*/
1581 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1582 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1583 : }
1584 : }
1585 :
1586 : /* v o= [1,r,0,0] */
1587 : static void
1588 479434 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1589 : {
1590 479434 : GEN v = *vtotal;
1591 : GEN U2, R, S, T;
1592 479434 : if (gequal0(r)) return;
1593 197979 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1594 197979 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1595 197979 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1596 197979 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1597 : }
1598 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1599 : static void
1600 184658 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1601 : {
1602 184658 : GEN v = *vtotal;
1603 : GEN U, S;
1604 184658 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1605 184658 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1606 184658 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1607 184658 : }
1608 : /* v o= [1,0,0,t] */
1609 : static void
1610 843276 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1611 : {
1612 843276 : GEN v = *vtotal;
1613 : GEN U3, U, T;
1614 843276 : if (gequal0(t)) return;
1615 105536 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1616 105536 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1617 105536 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1618 : }
1619 : /* v o= [1,r,0,t] */
1620 : static void
1621 594209 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1622 : {
1623 594209 : GEN v = *vtotal;
1624 : GEN U2, U, R, S, T;
1625 594209 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1626 301564 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1627 301564 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1628 301564 : U2 = nfsqr(nf,U);
1629 301564 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1630 301564 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1631 : }
1632 : /* v o= [1,0,s,t] */
1633 : static void
1634 496370 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1635 : {
1636 496370 : GEN v = *vtotal;
1637 : GEN U3, U, S, T;
1638 496370 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1639 203581 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1640 18923 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1641 18923 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1642 18923 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1643 18923 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1644 : }
1645 :
1646 : /* v o= [u,0,0,0] */
1647 : static void
1648 443723 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1649 : {
1650 443723 : GEN v = *vtotal;
1651 443723 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1652 443723 : }
1653 :
1654 : /* raise a type exception in fun unless x is a point (return 0) or a
1655 : * t_VEC/t_COL of points (return 1) */
1656 : static int
1657 192193 : checkellpts(GEN x, const char *fun)
1658 : {
1659 : long i, lx;
1660 192193 : switch(typ(x))
1661 : {
1662 192158 : case t_VEC:
1663 192158 : if (vecispt(x)) return 0;
1664 2681 : break;
1665 0 : case t_COL:
1666 0 : break;
1667 35 : default: pari_err_TYPE(fun, x);
1668 : }
1669 2681 : lx = lg(x);
1670 8526 : for (i = 1; i < lx; i++)
1671 5887 : if (!checkellpt_i(gel(x,i))) pari_err_TYPE(fun, x);
1672 2639 : return 1;
1673 : }
1674 :
1675 : /* X = (x-r)/u^2
1676 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3; P a point */
1677 : static GEN
1678 116208 : ellchangept(GEN nf, GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1679 : {
1680 : GEN a, x, y;
1681 116208 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1682 116194 : if (nf) P = nfVtoalg(nf, P);
1683 116194 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1684 116194 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1685 : }
1686 : static GEN
1687 56 : ellchangevecpt(GEN nf, GEN x, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1688 126 : { pari_APPLY_same(ellchangept(nf, gel(x,i), v2,v3,r,s,t)); }
1689 : GEN
1690 147022 : ellchangepoint0(GEN E, GEN x, GEN ch)
1691 : {
1692 147022 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u, nf = NULL;
1693 147022 : pari_sp av = avma;
1694 : int vec;
1695 :
1696 : /* backward compatibility */
1697 147022 : if (ch) checkell(E); else { ch = x; x = E; E = NULL; }
1698 147022 : vec = checkellpts(x, "ellchangepoint");
1699 146973 : if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1700 146924 : if (E && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1701 : {
1702 14 : nf = ellnf_get_nf(E);
1703 14 : ch = ellchangetoalg(nf, ch);
1704 : }
1705 146924 : if (is_trivial_change(ch, "ellchangepoint"))
1706 : {
1707 30723 : set_avma(av);
1708 30723 : return gcopy(x);
1709 : }
1710 116194 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1711 116194 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1712 56 : y = vec? ellchangevecpt(nf, x,v2,v3,r,s,t)
1713 116194 : : ellchangept(nf, x,v2,v3,r,s,t);
1714 116194 : return gc_GEN(av,y);
1715 : }
1716 : GEN
1717 132385 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch) { return ellchangepoint0(x, ch, NULL); }
1718 :
1719 : /* x = u^2*X + r
1720 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t; P a point */
1721 : static GEN
1722 3360 : ellchangeptinv(GEN nf, GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1723 : {
1724 : GEN a, X, Y;
1725 3360 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1726 3360 : if (nf) P = nfVtoalg(nf, P);
1727 3360 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1728 3360 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1729 : }
1730 : static GEN
1731 504 : ellchangevecptinv(GEN nf, GEN x, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1732 3787 : { pari_APPLY_same(ellchangeptinv(nf, gel(x,i), v2,v3,r,s,t));}
1733 : GEN
1734 1043 : ellchangepointinv0(GEN E, GEN x, GEN ch)
1735 : {
1736 1043 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3, nf = NULL;
1737 1043 : pari_sp av = avma;
1738 : int vec;
1739 :
1740 : /* backward compatibility */
1741 1043 : if (ch) checkell(E); else { ch = x; x = E; E = NULL; }
1742 1043 : vec = checkellpts(x, "ellchangepointinv");
1743 1015 : if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1744 784 : if (E && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1745 : {
1746 14 : nf = ellnf_get_nf(E);
1747 14 : ch = ellchangetoalg(nf, ch);
1748 : }
1749 784 : if (is_trivial_change(ch, "ellchangepointinv"))
1750 : {
1751 196 : set_avma(av);
1752 196 : return gcopy(x);
1753 : }
1754 581 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1755 581 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1756 504 : y = vec? ellchangevecptinv(nf,x,u2,u3,r,s,t)
1757 581 : : ellchangeptinv(nf,x,u2,u3,r,s,t);
1758 581 : return gc_GEN(av,y);
1759 : }
1760 : GEN
1761 980 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch) { return ellchangepointinv0(x, ch, NULL); }
1762 :
1763 : static GEN
1764 0 : elltwist_card(GEN h, GEN q) { return subii(shifti(addiu(q, 1), 1), h); }
1765 : GEN
1766 28574 : elltwist(GEN E, GEN P)
1767 : {
1768 28574 : pari_sp av = avma;
1769 28574 : GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
1770 28574 : long prec = DEFAULTPREC, isell = (lg(E) == 17);
1771 :
1772 28574 : if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
1773 28574 : if (isell) switch(ell_get_type(E))
1774 : {
1775 1323 : case t_ELL_Q:
1776 1323 : case t_ELL_Rg: prec = ellR_get_prec(E); break;
1777 : }
1778 28574 : if (!P)
1779 : {
1780 : GEN Et, S, a4, a6, e, fg, q;
1781 27195 : if (!isell)
1782 : { /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
1783 7 : e = E; E = ellinit_i(E, NULL, prec);
1784 7 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
1785 : }
1786 27188 : switch (ell_get_type(E))
1787 : {
1788 0 : case t_ELL_Fp:
1789 0 : q = ellff_get_field(E);
1790 0 : e = ellff_get_a4a6(E);
1791 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e,2), q, &a4, &a6);
1792 0 : Et = ellinit_Fp(mkvec2(a4,a6), q); break;
1793 27188 : case t_ELL_Fq:
1794 27188 : fg = ellff_get_field(E); q = FF_q(fg);
1795 27188 : Et = ellinit_Fq(FF_elltwist(E), fg); break;
1796 0 : default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
1797 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1798 : }
1799 27188 : if ((S = obj_check(E, FF_CARD)))
1800 0 : obj_insert_shallow(Et, FF_CARD, elltwist_card(S, q));
1801 27188 : return gc_GEN(av, Et);
1802 : }
1803 1379 : if (isell && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1804 14 : if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
1805 1379 : if (typ(P) == t_INT)
1806 : {
1807 1365 : if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, prec);
1808 1008 : P = quadpoly(P);
1809 : }
1810 : else
1811 : {
1812 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1813 14 : if (degpol(P) != 2 )
1814 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1815 : }
1816 1022 : switch(lg(E))
1817 : {
1818 7 : case 3:
1819 7 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
1820 7 : a4 = gel(E,1);
1821 7 : a6 = gel(E,2); break;
1822 1015 : case 6: case 17:
1823 1015 : a1 = ell_get_a1(E);
1824 1015 : a2 = ell_get_a2(E);
1825 1015 : a3 = ell_get_a3(E);
1826 1015 : a4 = ell_get_a4(E);
1827 1015 : a6 = ell_get_a6(E); break;
1828 0 : default:
1829 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
1830 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1831 : }
1832 1022 : a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
1833 1022 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
1834 1022 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
1835 763 : V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
1836 : else
1837 : {
1838 259 : GEN a3D = gmul(a3, D);
1839 259 : V = cgetg(6, t_VEC);
1840 259 : gel(V,1) = gmul(a1, b);
1841 259 : gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1842 259 : gel(V,3) = gmul(a3D, b);
1843 259 : gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
1844 259 : gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
1845 : }
1846 1022 : E = ellinit_i(V, DOM, prec);
1847 1022 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
1848 1022 : return gc_GEN(av, E);
1849 : }
1850 :
1851 : /********************************************************************/
1852 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1853 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1854 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1855 : /********************************************************************/
1856 :
1857 : static long
1858 29386 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1859 29386 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1860 :
1861 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1862 : * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1863 : * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1864 : * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1865 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1866 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1867 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1868 : * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1869 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1870 : static long
1871 392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1872 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1873 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1874 : long v4, v6, vD;
1875 :
1876 392 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1877 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1878 :
1879 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1880 336 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1881 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1882 329 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1883 :
1884 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1885 329 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1886 :
1887 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1888 266 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1889 175 : vD = vali(disc);
1890 175 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1891 168 : return -8;
1892 : }
1893 :
1894 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant. It also has minimal
1895 : * conductor in Z[1/2] */
1896 : GEN
1897 665 : ellminimaltwist(GEN e)
1898 : {
1899 665 : pari_sp av = avma;
1900 665 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1901 : long i, lF;
1902 665 : checkell_Q(e);
1903 665 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1904 665 : c4 = ell_get_c4(E);
1905 665 : c6 = ell_get_c6(E);
1906 665 : disc = ell_get_disc(E);
1907 665 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1908 665 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1909 665 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1910 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1911 : * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
1912 : * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1913 2436 : for(i = 1; i < lF; i++)
1914 : {
1915 1771 : GEN p = gel(F, i);
1916 1771 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1917 1771 : if (vg < 6) continue;
1918 : /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
1919 : * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1920 1197 : switch(itou_or_0(p))
1921 : {
1922 441 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1923 441 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1924 441 : break;
1925 364 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1926 364 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1927 364 : break;
1928 392 : case 2:
1929 392 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1930 392 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1931 392 : break;
1932 : }
1933 : }
1934 665 : obj_free(E);
1935 665 : return gc_leaf(av, D);
1936 : }
1937 :
1938 : /* Reference: William A. Stein and Mark Watkins
1939 : * A Database of Elliptic Curves-First Report, ANTS 5
1940 : * http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf */
1941 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1942 : GEN
1943 399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1944 : {
1945 399 : pari_sp av = avma;
1946 399 : GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
1947 399 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1948 399 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1949 399 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1950 385 : else if (f==6)
1951 : {
1952 : long s, t;
1953 21 : if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
1954 : else
1955 : {
1956 14 : t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
1957 14 : s = signe(D)==t ? -3: -1;
1958 : }
1959 21 : D = shifti(D, s);
1960 : }
1961 399 : return gc_leaf(av, D);
1962 : }
1963 :
1964 : GEN
1965 448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1966 : {
1967 448 : switch(flag)
1968 : {
1969 266 : case 0: return ellminimaltwist(e);
1970 182 : case 1: return ellminimaltwistcond(e);
1971 : }
1972 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1973 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1974 : }
1975 :
1976 : static long
1977 7 : ellexpo(GEN E)
1978 : {
1979 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1980 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1981 : {
1982 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1983 35 : if (f > e) e = f;
1984 : }
1985 7 : return e;
1986 : }
1987 :
1988 :
1989 : static int
1990 3855 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
1991 : {
1992 3855 : pari_sp av = avma;
1993 3855 : GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
1994 3855 : return gc_bool(av, gequal(A, B));
1995 : }
1996 : /* Assume e is an ell and z is an ellpt.
1997 : * Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
1998 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1999 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
2000 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
2001 : int
2002 126001 : ellisoncurve_i(GEN e, GEN z)
2003 : {
2004 : GEN LHS, RHS, x;
2005 : long pl, pr, ex, expx;
2006 : pari_sp av;
2007 :
2008 126001 : if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
2009 125924 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
2010 125924 : av = avma;
2011 125924 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
2012 125924 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
2013 125924 : if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
2014 21 : pl = precision(LHS);
2015 21 : pr = precision(RHS);
2016 21 : if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
2017 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
2018 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
2019 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
2020 7 : expx = gexpo(x);
2021 14 : pr = (expx < ex - pr + 15
2022 7 : || expx < ellexpo(e) - pr + 5);
2023 7 : return gc_bool(av,pr);
2024 : }
2025 : /* assume e is an ell and x an ellpt */
2026 : static GEN
2027 44268 : gellisoncurve_i(GEN e, GEN x) { return ellisoncurve_i(e, x)? gen_1: gen_0; }
2028 : GEN
2029 44128 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
2030 : {
2031 : int vec;
2032 44128 : checkell(e); vec = checkellpts(x, "ellisoncurve");
2033 44128 : if (lg(x) == 1) return leafcopy(x);
2034 45955 : if (vec) pari_APPLY_same(gellisoncurve_i(e,gel(x,i)));
2035 42441 : return gellisoncurve_i(e, x);
2036 : }
2037 :
2038 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
2039 : static GEN
2040 25768 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
2041 : {
2042 : GEN dy,dx;
2043 25768 : if (y1 != y2)
2044 : {
2045 : int eq;
2046 434 : if (precision(y1) || precision(y2))
2047 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
2048 : else
2049 427 : eq = gequal(y1,y2);
2050 434 : if (!eq) return NULL;
2051 : }
2052 25761 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
2053 25761 : if (gequal0(dx)) return NULL;
2054 25719 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
2055 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
2056 25719 : return gdiv(dy,dx);
2057 : }
2058 :
2059 : GEN
2060 54041 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
2061 : {
2062 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
2063 54041 : pari_sp av = avma;
2064 :
2065 54041 : checkell(e);
2066 54041 : if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("elladd", z1);
2067 54041 : if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("elladd", z2);
2068 54041 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
2069 51633 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
2070 :
2071 49981 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
2072 49981 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
2073 49981 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
2074 : {
2075 560 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
2076 560 : x1 = nftoalg(nf, x1);
2077 560 : x2 = nftoalg(nf, x2);
2078 560 : y1 = nftoalg(nf, y1);
2079 560 : y2 = nftoalg(nf, y2);
2080 : }
2081 49981 : if (cx_approx_equal(x1,x2))
2082 : {
2083 25768 : s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
2084 25768 : if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
2085 : }
2086 : else
2087 24213 : s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
2088 49932 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
2089 49932 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
2090 49932 : z = cgetg(3,t_VEC);
2091 49932 : gel(z,1) = gcopy(x);
2092 49932 : gel(z,2) = gneg(y); return gc_upto(av, z);
2093 : }
2094 :
2095 : static GEN
2096 70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
2097 : {
2098 : GEN x, y;
2099 70 : if (ell_is_inf(z)) return z;
2100 70 : x = gel(z,1);
2101 70 : y = gel(z,2);
2102 70 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
2103 : {
2104 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
2105 0 : x = nftoalg(nf,x);
2106 0 : y = nftoalg(nf,y);
2107 : }
2108 70 : retmkvec2(x, gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x))));
2109 : }
2110 :
2111 : GEN
2112 82034 : ellneg(GEN e, GEN z)
2113 : {
2114 : pari_sp av;
2115 : GEN t, y;
2116 82034 : checkell(e);
2117 82034 : if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellneg", z);
2118 82034 : if (ell_is_inf(z)) return z;
2119 82034 : t = cgetg(3,t_VEC);
2120 82034 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
2121 82034 : av = avma;
2122 82034 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
2123 82034 : gel(t,2) = gc_upto(av, y);
2124 82034 : return t;
2125 : }
2126 :
2127 : GEN
2128 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
2129 : {
2130 49 : pari_sp av = avma;
2131 49 : checkell(e);
2132 49 : if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("ellsub", z1);
2133 49 : if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("ellsub", z2);
2134 49 : return gc_upto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
2135 : }
2136 :
2137 : /* E an ell, x a scalar */
2138 : static GEN
2139 3010 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
2140 : {
2141 3010 : pari_sp av = avma;
2142 3010 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
2143 :
2144 3010 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
2145 : {
2146 532 : nf = ellnf_get_nf(E);
2147 532 : x = nftoalg(nf,x);
2148 : }
2149 3010 : a = ec_f_evalx(E,x);
2150 3010 : b = ec_h_evalx(E,x);
2151 3010 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
2152 : /* solve y*(y+b) = a */
2153 3010 : if (gequal0(D)) {
2154 1246 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2155 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
2156 1246 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
2157 1246 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
2158 1246 : return gc_upto(av,y);
2159 : }
2160 : /* D != 0 */
2161 1764 : switch(ell_get_type(E))
2162 : {
2163 28 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
2164 28 : p = ellff_get_p(E);
2165 28 : D = gel(D,2);
2166 28 : if (kronecker(D, p) < 0) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2167 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
2168 7 : break;
2169 217 : case t_ELL_Fq:
2170 217 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2171 : {
2172 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
2173 77 : if (lg(F) == 1) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2174 42 : return gc_upto(av, F);
2175 : }
2176 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2177 70 : break;
2178 973 : case t_ELL_Q:
2179 973 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
2180 966 : if (!issquareall(D,&d)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2181 630 : break;
2182 :
2183 525 : case t_ELL_NF:
2184 525 : if (!nfissquare(nf, D, &d)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2185 511 : d = nftoalg(nf, d);
2186 511 : break;
2187 :
2188 14 : case t_ELL_Qp:
2189 14 : p = ellQp_get_p(E);
2190 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
2191 14 : if (!issquare(D)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2192 14 : d = Qp_sqrt(D);
2193 14 : break;
2194 :
2195 7 : default:
2196 7 : d = gsqrt(D,prec);
2197 : }
2198 1246 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
2199 1246 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
2200 1246 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
2201 1246 : return gc_upto(av,y);
2202 : }
2203 :
2204 : GEN
2205 3010 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
2206 : {
2207 3010 : checkell(e);
2208 3010 : if (!is_matvec_t(typ(x))) return ellordinate_i(e, x, prec);
2209 0 : pari_APPLY_same(ellordinate_i(e,gel(x,i),prec));
2210 : }
2211 :
2212 : GEN
2213 245679 : ellrandom(GEN E)
2214 : {
2215 : GEN fg;
2216 245679 : checkell_Fq(E);
2217 245679 : fg = ellff_get_field(E);
2218 245679 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2219 245651 : return FF_ellrandom(E);
2220 : else
2221 : {
2222 28 : pari_sp av = avma;
2223 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
2224 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
2225 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
2226 28 : return gc_upto(av, P);
2227 : }
2228 : }
2229 :
2230 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
2231 : static GEN
2232 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
2233 : {
2234 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
2235 : long ln, vn;
2236 :
2237 14 : if (typ(N) != t_INT)
2238 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
2239 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
2240 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
2241 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
2242 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
2243 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
2244 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
2245 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
2246 : do
2247 : {
2248 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
2249 : do
2250 : {
2251 28 : long ep = (-valser(z2)) >> 1;
2252 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
2253 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
2254 : }
2255 28 : while (valser(z2) <= 0);
2256 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
2257 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
2258 21 : if (!signe(z2)) break;
2259 7 : z2 = ginv(z2);
2260 : }
2261 7 : while (degpol(p1) < vn);
2262 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
2263 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
2264 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
2265 14 : b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
2266 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
2267 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
2268 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
2269 :
2270 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
2271 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
2272 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
2273 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
2274 :
2275 14 : x = gdiv(p1,q1);
2276 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
2277 14 : x = gsub(x, b2ov12);
2278 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
2279 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
2280 : }
2281 :
2282 : static GEN
2283 1190 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
2284 : static GEN
2285 385 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
2286 :
2287 : static GEN
2288 250158 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
2289 : {
2290 250158 : GEN fg = ellff_get_field(E);
2291 250158 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2292 249074 : return FF_ellmul(E, P, n);
2293 : else
2294 : {
2295 1084 : pari_sp av = avma;
2296 1084 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
2297 1084 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
2298 1083 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
2299 1028 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
2300 1028 : return gc_upto(av, Q);
2301 : }
2302 : }
2303 : /* [n] z, n integral */
2304 : static GEN
2305 251166 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
2306 : {
2307 : long s;
2308 251166 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2309 251166 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
2310 1008 : s = signe(n);
2311 1008 : if (!s) return ellinf();
2312 959 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2313 959 : if (is_pm1(n)) return z;
2314 721 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2315 : }
2316 :
2317 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2318 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2319 : static long
2320 42 : myroundr(GEN *px)
2321 : {
2322 42 : GEN x = *px;
2323 : long e;
2324 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2325 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2326 42 : if (e >= -5) return NO;
2327 42 : return OK;
2328 : }
2329 :
2330 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2331 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2332 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2333 : static GEN
2334 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2335 : {
2336 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2337 : long prec;
2338 :
2339 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2340 14 : switch(typ(Q))
2341 : {
2342 0 : case t_COMPLEX:
2343 0 : D = utoineg(4);
2344 0 : v = gel(Q,2);
2345 0 : break;
2346 14 : case t_QUAD:
2347 14 : D = quad_disc(Q);
2348 14 : v = gel(Q,3);
2349 14 : break;
2350 0 : default:
2351 0 : return NULL; /*-Wall*/
2352 : }
2353 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2354 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2extraprec(expi(D)));
2355 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2356 14 : prec = precision(tau);
2357 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2358 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2359 : * Compute f*k */
2360 14 : x = gel(tau,1);
2361 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2362 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2363 14 : switch(myroundr(&fk))
2364 : {
2365 0 : case NO: return NULL;
2366 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2367 : }
2368 14 : fk = absi_shallow(fk);
2369 :
2370 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2371 14 : switch(myroundr(&fkb))
2372 : {
2373 0 : case NO: return NULL;
2374 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2375 : }
2376 :
2377 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2378 14 : switch(myroundr(&fkc))
2379 : {
2380 0 : case NO: return NULL;
2381 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2382 : }
2383 :
2384 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2385 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2386 14 : dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
2387 : /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2388 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2389 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2390 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2391 14 : v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
2392 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2393 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2394 : }
2395 :
2396 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2397 : static GEN
2398 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2399 : {
2400 : GEN A, B, q;
2401 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2402 14 : q = CM_factor(e, w);
2403 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2404 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2405 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2406 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2407 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2408 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2409 7 : GEN u = gtrace(w);
2410 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2411 7 : u = shifti(u, -1);
2412 7 : if (signe(u))
2413 : {
2414 0 : w = gsub(w, u);
2415 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2416 : }
2417 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2418 : }
2419 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2420 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2421 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2422 14 : return elladd(e, A, B);
2423 : }
2424 : GEN
2425 251229 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2426 : {
2427 251229 : pari_sp av = avma;
2428 :
2429 251229 : checkell(e);
2430 251222 : if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellmul", z);
2431 251222 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2432 251166 : switch(typ(n))
2433 : {
2434 251152 : case t_INT: return gc_GEN(av, ellmul_Z(e,z,n));
2435 14 : case t_QUAD: {
2436 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2437 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2438 14 : return gc_upto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2439 : }
2440 0 : case t_COMPLEX: {
2441 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2442 0 : return gc_upto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2443 : }
2444 : }
2445 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2446 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2447 : }
2448 : GEN
2449 223042 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2450 223042 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2451 :
2452 : GEN
2453 11942 : ellR_area(GEN E, long prec)
2454 : {
2455 11942 : pari_sp av = avma;
2456 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2457 11942 : w = ellR_omega(E, prec);
2458 11942 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2459 11942 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2460 11942 : return gc_upto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2461 : }
2462 :
2463 : /********************************************************************/
2464 : /** **/
2465 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
2466 : /** Kodaira types, global minimal model **/
2467 : /** **/
2468 : /********************************************************************/
2469 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
2470 : typedef struct {
2471 : long a1; /*{0,1}*/
2472 : long a2; /*{-1,0,1}*/
2473 : long a3; /*{0,1}*/
2474 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
2475 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
2476 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
2477 : } ellmin_t;
2478 :
2479 : /* u from [u,r,s,t] */
2480 : static void
2481 566139 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
2482 : {
2483 566139 : M->u = u;
2484 566139 : if (is_pm1(u))
2485 470533 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
2486 : else
2487 : {
2488 95606 : M->u2 = sqri(u);
2489 95606 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
2490 95606 : M->u4 = sqri(M->u2);
2491 95606 : M->u6 = sqri(M->u3);
2492 : }
2493 566139 : }
2494 : /* E = original curve */
2495 : static void
2496 566139 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
2497 : {
2498 566139 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
2499 566139 : if (!is_pm1(M->u4)) {
2500 95606 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
2501 95606 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
2502 : }
2503 566139 : M->c4 = c4;
2504 566139 : M->c6 = c6;
2505 566139 : }
2506 : static void
2507 565831 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
2508 : {
2509 565831 : GEN D = ell_get_disc(E);
2510 565831 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
2511 565831 : M->D = D;
2512 565831 : }
2513 : static void
2514 565992 : min_set_b(ellmin_t *M)
2515 : {
2516 : long b22, b2;
2517 565992 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
2518 565992 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
2519 565992 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
2520 565992 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
2521 565992 : }
2522 : static void
2523 565852 : min_set_a(ellmin_t *M)
2524 : {
2525 565852 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
2526 565852 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
2527 565852 : if (odd(b2))
2528 : {
2529 286503 : a1 = 1;
2530 286503 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
2531 : }
2532 : else
2533 : {
2534 279349 : a1 = 0;
2535 279349 : a2 = b2 >> 2;
2536 : }
2537 565852 : M->a1 = a1;
2538 565852 : M->a2 = a2;
2539 565852 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
2540 565852 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
2541 565852 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
2542 565852 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
2543 565852 : }
2544 : static void
2545 565817 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
2546 : {
2547 565817 : min_set_u(M, u);
2548 565817 : min_set_c(M, E);
2549 565817 : min_set_D(M, E);
2550 565817 : min_set_b(M);
2551 565817 : min_set_a(M);
2552 565817 : }
2553 : static GEN
2554 552734 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
2555 : {
2556 552734 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
2557 : long a11, a13;
2558 552734 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
2559 552734 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
2560 552734 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
2561 552734 : gel(y,4) = M->a4;
2562 552734 : gel(y,5) = M->a6;
2563 552734 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
2564 552734 : gel(y,7) = M->b4;
2565 552734 : gel(y,8) = M->b6;
2566 552734 : a11 = M->a1;
2567 552734 : a13 = M->a1 & M->a3;
2568 552734 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
2569 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
2570 552734 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
2571 552734 : gel(y,10)= M->c4;
2572 552734 : gel(y,11)= M->c6;
2573 552734 : gel(y,12)= M->D;
2574 552734 : gel(y,13)= gel(E,13);
2575 552734 : gel(y,14)= gel(E,14);
2576 552734 : gel(y,15)= gel(E,15);
2577 552734 : return y;
2578 : }
2579 : static GEN
2580 565817 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
2581 : {
2582 : GEN r, s, t;
2583 565817 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
2584 565817 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
2585 565817 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
2586 565817 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
2587 : }
2588 :
2589 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
2590 : static long
2591 1702557 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
2592 : {
2593 1702557 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
2594 1702557 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
2595 1702557 : if (!signe(c6))
2596 : {
2597 3045 : d = vD / 12;
2598 3045 : if (d)
2599 : {
2600 1127 : if (p == 2)
2601 : {
2602 875 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
2603 875 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
2604 875 : if (a) d--;
2605 : }
2606 1127 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
2607 : }
2608 3045 : v6 = 12; /* +oo */
2609 : }
2610 : else
2611 : {
2612 1699512 : v6 = Z_lval(c6,p);
2613 1699512 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
2614 1699512 : if (d) {
2615 181286 : if (p == 2) {
2616 109858 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
2617 109858 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
2618 109858 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
2619 109858 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
2620 71428 : } else if (p == 3) {
2621 45199 : if (v6 == 6*d+2) d--;
2622 : }
2623 181286 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
2624 : }
2625 : }
2626 1702557 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
2627 : }
2628 : static long
2629 881468 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
2630 : {
2631 : GEN c6;
2632 : long d, v6, vD;
2633 881468 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
2634 39 : c6 = ell_get_c6(E);
2635 39 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
2636 39 : if (!signe(c6))
2637 : {
2638 0 : d = vD / 12;
2639 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
2640 0 : v6 = 12; /* +oo */
2641 : }
2642 : else
2643 : {
2644 39 : v6 = Z_pval(c6,p);
2645 39 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
2646 39 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
2647 : }
2648 39 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
2649 : }
2650 :
2651 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
2652 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
2653 : in the form [f, kod, v, c].
2654 :
2655 : * The integer f is the conductor's exponent.
2656 :
2657 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
2658 : II , III , IV --> 2, 3, 4
2659 : I0 --> 1
2660 : Inu --> 4+nu for nu > 0
2661 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
2662 :
2663 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
2664 :
2665 : * c is the Tamagawa number.
2666 :
2667 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
2668 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
2669 : static GEN
2670 1898715 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
2671 : {
2672 1898715 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
2673 1898715 : gel(z,1) = stoi(f);
2674 1898715 : gel(z,2) = stoi(kod);
2675 1898715 : gel(z,3) = gcopy(v);
2676 1898715 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
2677 : }
2678 : static GEN
2679 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
2680 : {
2681 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
2682 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
2683 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2684 : }
2685 :
2686 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
2687 : static long
2688 884842 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
2689 :
2690 : /* p > 3, e integral */
2691 : static GEN
2692 881468 : localred_p(GEN e, GEN p)
2693 : {
2694 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
2695 881468 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
2696 :
2697 881468 : c4 = ell_get_c4(e);
2698 881468 : c6 = ell_get_c6(e);
2699 881468 : nuj = j_pval(e, p);
2700 881468 : nuD = Z_pval(D, p);
2701 881468 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
2702 881468 : if (!k) v = init_ch();
2703 : else
2704 : { /* model not minimal */
2705 : ellmin_t M;
2706 13097 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
2707 13097 : v = min_get_v(&M, e);
2708 13097 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
2709 : }
2710 :
2711 881468 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
2712 : {
2713 763021 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
2714 763021 : switch(kronecker(negi(c6),p))
2715 : {
2716 393218 : case 1: c = nuD; break;
2717 369803 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
2718 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
2719 : }
2720 763021 : break;
2721 45829 : case 6:
2722 : {
2723 45829 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
2724 45829 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
2725 45829 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
2726 45829 : break;
2727 : }
2728 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
2729 : }
2730 72618 : else switch(nuD)
2731 : {
2732 539 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
2733 11718 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
2734 10346 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
2735 5663 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
2736 5663 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
2737 5663 : break;
2738 16856 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
2739 16856 : p2 = sqri(p);
2740 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
2741 16856 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
2742 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
2743 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
2744 16856 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
2745 16856 : break;
2746 11641 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
2747 11641 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
2748 11641 : break;
2749 10241 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
2750 5614 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
2751 0 : default: return localredbug(p,"localred");
2752 : }
2753 881468 : return localred_result(f, kod, c, v);
2754 : }
2755 :
2756 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
2757 : static ulong
2758 891702 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
2759 891702 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
2760 :
2761 : static ulong
2762 1424346 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
2763 1424346 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
2764 :
2765 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
2766 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
2767 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
2768 : static long
2769 245056 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
2770 : {
2771 245056 : if (p == 2)
2772 : {
2773 141554 : if (odd(c + a * b)) return 3;
2774 122766 : *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
2775 : }
2776 : /* p = 3 */
2777 103502 : if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
2778 69286 : *mult = a * b;
2779 69286 : if (b == 2)
2780 23065 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
2781 : else
2782 46221 : return c ? 3 : 2;
2783 : }
2784 :
2785 : /* same for aX^2 +bX + c */
2786 : static long
2787 790440 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
2788 : {
2789 790440 : if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
2790 : /* p = 3 */
2791 302113 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
2792 : }
2793 :
2794 : /* p = 2 or 3 */
2795 : static GEN
2796 706853 : localred_23(GEN e, long p)
2797 : {
2798 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
2799 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
2800 : GEN v;
2801 :
2802 706853 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
2803 706853 : if (!k) v = init_ch();
2804 : else
2805 : {
2806 : ellmin_t M;
2807 48776 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
2808 48776 : v = min_get_v(&M, e);
2809 48776 : e = min_to_ell(&M, e);
2810 : }
2811 : /* model is minimal */
2812 706853 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
2813 706853 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
2814 705362 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
2815 322833 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
2816 :
2817 705362 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
2818 : {
2819 387590 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
2820 196819 : c = nuD;
2821 : else
2822 190771 : c = odd(nuD)? 1: 2;
2823 387590 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
2824 : }
2825 317772 : if (p == 2)
2826 : {
2827 186494 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
2828 186494 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
2829 186494 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
2830 186494 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
2831 : }
2832 : else /* p == 3 */
2833 : {
2834 131278 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
2835 131278 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
2836 131278 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
2837 131278 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
2838 : }
2839 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
2840 317772 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
2841 317772 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
2842 22351 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
2843 295421 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
2844 27748 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
2845 267673 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
2846 : {
2847 22617 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
2848 11578 : c = 3;
2849 : else
2850 11039 : c = 1;
2851 22617 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
2852 : }
2853 :
2854 245056 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
2855 91511 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
2856 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
2857 245056 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
2858 245056 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
2859 245056 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
2860 245056 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
2861 : {
2862 36078 : case 3:
2863 36078 : c = a63 ? 1: 2;
2864 36078 : if (p == 2)
2865 18788 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
2866 : else {
2867 17290 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
2868 17290 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
2869 : }
2870 36078 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
2871 130711 : case 2:
2872 : { /* compute nu */
2873 : GEN pk, pk1, p2k;
2874 : long al, be, ga;
2875 130711 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
2876 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
2877 130711 : nu = 1;
2878 130711 : pk = utoipos(p2);
2879 130711 : p2k = utoipos(p4);
2880 : for(;;)
2881 : {
2882 388402 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
2883 388402 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
2884 388402 : al = 1;
2885 388402 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
2886 323771 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
2887 323771 : pk1 = pk;
2888 323771 : pk = mului(p, pk);
2889 323771 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
2890 :
2891 323771 : al = a21;
2892 323771 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
2893 323771 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
2894 323771 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
2895 257691 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
2896 257691 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
2897 : }
2898 130711 : if (p == 2)
2899 72387 : c = odd(ga)? 2: 4;
2900 : else
2901 58324 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
2902 130711 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
2903 : }
2904 78267 : case 1:
2905 78267 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
2906 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
2907 78267 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
2908 78267 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
2909 78267 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
2910 : {
2911 29925 : if (p == 2)
2912 20447 : c = 3 - 2 * a64;
2913 : else
2914 9478 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
2915 29925 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
2916 : }
2917 48342 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
2918 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
2919 48342 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
2920 29078 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
2921 :
2922 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
2923 19264 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
2924 : }
2925 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2926 : }
2927 :
2928 : /* e is integral */
2929 : static GEN
2930 1587901 : localred(GEN e, GEN p)
2931 : {
2932 1587901 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
2933 881468 : return localred_p(e,p);
2934 : else
2935 : {
2936 706433 : long l = itos(p);
2937 706433 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
2938 706433 : return localred_23(e, l);
2939 : }
2940 : }
2941 :
2942 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
2943 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
2944 : static GEN
2945 140616 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
2946 : {
2947 140616 : GEN b = z;
2948 : long i;
2949 140616 : if (typ(b) == t_INT)
2950 : {
2951 140525 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
2952 140525 : return shifti(negi(b),-1);
2953 : }
2954 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
2955 : {
2956 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
2957 : }
2958 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
2959 : }
2960 :
2961 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
2962 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
2963 : static GEN
2964 70308 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
2965 : {
2966 70308 : GEN b = z;
2967 : long i;
2968 70308 : if (typ(b) == t_INT)
2969 : {
2970 70259 : long s = smodis(b,3);
2971 70259 : if (s)
2972 : {
2973 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
2974 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
2975 0 : b = subii(b, Jz);
2976 : else
2977 0 : b = addii(b, Jz);
2978 : }
2979 70259 : return diviiexact(b, stoi(-3));
2980 : }
2981 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
2982 : {
2983 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
2984 98 : if (!s) continue;
2985 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
2986 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
2987 : else
2988 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
2989 : }
2990 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
2991 : }
2992 :
2993 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
2994 : static GEN
2995 157675 : get_piinv(GEN P)
2996 : {
2997 157675 : GEN z = pr_get_tau(P);
2998 157675 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
2999 157675 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
3000 : }
3001 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
3002 : static void
3003 310394 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
3004 : {
3005 310394 : if (pr_is_inert(P))
3006 : {
3007 152768 : *pi = pr_get_p(P);
3008 152768 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
3009 : }
3010 : else
3011 : {
3012 157626 : *pv = get_piinv(P);
3013 157626 : *pi = nfinv(nf, *pv);
3014 : }
3015 310394 : }
3016 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
3017 : static GEN
3018 579782 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
3019 : {
3020 579782 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3021 579782 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3022 579782 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
3023 : }
3024 :
3025 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
3026 : static GEN
3027 1070167 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
3028 : {
3029 1070167 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
3030 1070167 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3031 1070167 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
3032 : }
3033 :
3034 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
3035 :
3036 : static GEN
3037 592928 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
3038 : {
3039 592928 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
3040 592928 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
3041 592928 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3042 592928 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
3043 : }
3044 :
3045 : static GEN
3046 1627108 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
3047 : {
3048 1627108 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3049 1627108 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
3050 1627108 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
3051 1627108 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
3052 1627108 : return Fq_to_nf(r, modP);
3053 : }
3054 :
3055 : static GEN
3056 27524 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
3057 : {
3058 27524 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3059 27524 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
3060 27524 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
3061 27524 : long n = 1;
3062 : while(1)
3063 83881 : {
3064 111405 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
3065 : GEN gama;
3066 111405 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3067 : {
3068 14847 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3069 14847 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3070 : }
3071 96558 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3072 96558 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
3073 96558 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3074 96558 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
3075 96558 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3076 : {
3077 12677 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3078 12677 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3079 : }
3080 83881 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3081 83881 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
3082 83881 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
3083 83881 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3084 : }
3085 : }
3086 :
3087 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
3088 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
3089 :
3090 : static GEN
3091 181986 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
3092 : {
3093 : GEN T, p, modP;
3094 : long vD;
3095 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
3096 181986 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3097 181986 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
3098 181986 : ch = init_ch();
3099 181986 : vD = nfval(nf,D,P);
3100 181986 : *ap = 0;
3101 : while(1)
3102 : {
3103 625709 : if (vD==0)
3104 31500 : return localred_result(0,1,1,ch);
3105 : else
3106 : {
3107 594209 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3108 594209 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3109 594209 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
3110 594209 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
3111 594209 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
3112 : GEN x0, y0;
3113 594209 : if (absequaliu(p,2))
3114 : {
3115 : GEN x02, y02;
3116 385560 : if (signe(a1))
3117 : {
3118 43827 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
3119 43827 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
3120 43827 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
3121 : }
3122 : else
3123 : {
3124 341733 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
3125 341733 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
3126 : }
3127 385560 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
3128 : }
3129 : else
3130 : {
3131 208649 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
3132 208649 : if (signe(a12))
3133 39585 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
3134 : else
3135 169064 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
3136 208649 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
3137 : }
3138 594209 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
3139 594209 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
3140 594209 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
3141 : }
3142 : /* 2 */
3143 : {
3144 594209 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
3145 594209 : if (signe(b2) != 0)
3146 : {
3147 83412 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
3148 83412 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
3149 83412 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
3150 41818 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
3151 : }
3152 : }
3153 : /* 3 */
3154 : {
3155 510797 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
3156 510797 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
3157 : }
3158 : /* 4 */
3159 : {
3160 506898 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
3161 506898 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
3162 : }
3163 : /* 5 */
3164 499765 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
3165 : {
3166 499765 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
3167 499765 : if (vb6<=2)
3168 : {
3169 3395 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
3170 3395 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3171 3395 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
3172 : }
3173 : }
3174 : /* 6 */
3175 : {
3176 496370 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
3177 496370 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
3178 496370 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
3179 : GEN po2, E, F, mr;
3180 : long i, lE;
3181 496370 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
3182 496370 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
3183 496370 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
3184 : {
3185 124034 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
3186 124034 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
3187 124034 : lE = lg(E);
3188 124034 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
3189 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
3190 : long c; /* 1 + number of roots */
3191 9849 : switch(lE)
3192 : {
3193 2534 : case 2: c = 1; break;
3194 6643 : case 3: c = 2; break;
3195 672 : default: c = 4; break;
3196 : }
3197 9849 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
3198 : }
3199 : /* 7 */
3200 114185 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
3201 114185 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
3202 114185 : if (!gequal0(mr))
3203 : { /* not so frequent */
3204 102908 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
3205 102908 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
3206 : }
3207 114185 : if (lE == 3)
3208 27524 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
3209 : }
3210 : }
3211 458997 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
3212 458997 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
3213 : /* 8 */
3214 458997 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
3215 : {
3216 5068 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
3217 5068 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
3218 : }
3219 : /* 9 */
3220 : {
3221 453929 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
3222 453929 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
3223 453929 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
3224 7651 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
3225 : }
3226 : /* 10 */
3227 446278 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
3228 2555 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
3229 : /* 11 */
3230 443723 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
3231 443723 : vD -= 12;
3232 : }
3233 : }
3234 :
3235 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
3236 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
3237 : static GEN
3238 128408 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
3239 : {
3240 128408 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3241 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
3242 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
3243 :
3244 128408 : c4 = ell_get_c4(e);
3245 128408 : c6 = ell_get_c6(e);
3246 128408 : D = ell_get_disc(e);
3247 128408 : vD = nfval(nf,D,P);
3248 128408 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
3249 128408 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
3250 128408 : m = (vD - nuj)/12;
3251 128408 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
3252 :
3253 128408 : if(m <= 0) ch = init_ch();
3254 : else
3255 : { /* model not minimal */
3256 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
3257 70308 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
3258 70308 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
3259 70308 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
3260 70308 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
3261 70308 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
3262 70308 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
3263 70308 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
3264 70308 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
3265 70308 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
3266 70308 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
3267 70308 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
3268 70308 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
3269 70308 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
3270 70308 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
3271 70308 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
3272 70308 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
3273 70308 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
3274 70308 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
3275 : }
3276 :
3277 128408 : kod = 1; c = 1;
3278 : /* minimal at P */
3279 128408 : if (nuj > 0)
3280 : { /* v(j) < 0 */
3281 79765 : if (vD == nuj)
3282 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
3283 72520 : f = 1; kod = 4+vD;
3284 72520 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
3285 72520 : if (Fq_issquare(z,T,p))
3286 44849 : c = vD;/* split */
3287 : else
3288 27671 : c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
3289 : }
3290 : else
3291 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
3292 : GEN Du;
3293 7245 : f = 2; kod = 2-vD;
3294 7245 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
3295 7245 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
3296 7245 : if(odd(vD))
3297 : {
3298 : GEN c6u;
3299 4116 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
3300 4116 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
3301 4116 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
3302 : }
3303 7245 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
3304 : }
3305 : }
3306 : else
3307 : { /* v(j) >= 0 */
3308 48643 : f = vD? 2: 0;
3309 48643 : switch(vD)
3310 : {
3311 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
3312 37541 : case 0: kod = 1; c = 1; break;
3313 1932 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
3314 2345 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
3315 1141 : case 4: kod = 4;
3316 1141 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
3317 1141 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3318 1141 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3319 1141 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3320 1141 : break;
3321 2576 : case 6: kod = -1;
3322 2576 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
3323 2576 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
3324 2576 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3325 2576 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
3326 2576 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
3327 2576 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
3328 2576 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
3329 2576 : break;
3330 1526 : case 8: kod = -4;
3331 1526 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
3332 1526 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3333 1526 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3334 1526 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3335 1526 : break;
3336 1281 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
3337 301 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
3338 : }
3339 : }
3340 128408 : return localred_result(f,kod,c,ch);
3341 : }
3342 : /* E is integral */
3343 : static GEN
3344 261233 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
3345 : {
3346 261233 : GEN p = pr_get_p(pr), q, v, nf = ellnf_get_nf(E);
3347 : long i;
3348 261233 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
3349 : {
3350 : long ap, vu;
3351 132825 : GEN e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E), u;
3352 132825 : q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap); v = gel(q,3); u = gel(v,1);
3353 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
3354 132825 : vu = nfval(nf, u, pr);
3355 132825 : if (vu > 0)
3356 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
3357 119441 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
3358 119441 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
3359 119441 : if (!equali1(D))
3360 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
3361 : GEN a;
3362 637 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
3363 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
3364 637 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
3365 637 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
3366 637 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
3367 637 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
3368 : }
3369 : }
3370 : } else
3371 128408 : q = nflocalred_p(E,pr);
3372 261233 : v = gel(q,3);
3373 1306165 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
3374 261233 : return q;
3375 : }
3376 :
3377 : static GEN
3378 3113219 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
3379 : {
3380 3113219 : GEN q, E = *pE;
3381 : long tE;
3382 3113219 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
3383 3113200 : if (pv) *pv = NULL;
3384 3113200 : if (p) switch(typ(p))
3385 : {
3386 2642376 : case t_INT:
3387 2642376 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
3388 2642364 : break;
3389 205821 : case t_VEC:
3390 205821 : q = get_prid(p);
3391 205821 : if (q && tE == t_ELL_NF)
3392 : {
3393 205821 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
3394 205821 : return q;
3395 : }
3396 6 : default: pari_err_TYPE(s,p);
3397 : }
3398 2907361 : switch(tE)
3399 : {
3400 385410 : case t_ELL_Fp:
3401 385410 : case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
3402 273 : case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
3403 2521676 : case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
3404 : default:
3405 17 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
3406 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
3407 : }
3408 2907344 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
3409 2907309 : if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
3410 2521899 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
3411 2907333 : return q;
3412 : }
3413 :
3414 : GEN
3415 197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
3416 : {
3417 197085 : pari_sp av = avma;
3418 : GEN v, q;
3419 197085 : checkell(E);
3420 197085 : p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
3421 197071 : switch(ell_get_type(E))
3422 : {
3423 99477 : case t_ELL_Qp:
3424 99477 : case t_ELL_Q: q = localred(E, p); break;
3425 97594 : case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
3426 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
3427 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
3428 : }
3429 197071 : if (v)
3430 : { /* compose local change of variables with v */
3431 28 : GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
3432 28 : if (is_trivial_change(w, NULL))
3433 21 : gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
3434 : else
3435 7 : gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
3436 : }
3437 197071 : return gc_GEN(av, q);
3438 : }
3439 :
3440 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
3441 : static GEN
3442 40495 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
3443 : {
3444 40495 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
3445 40495 : return c;
3446 : }
3447 : static GEN
3448 16516469 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
3449 : {
3450 16516469 : *pd = NULL;
3451 16516469 : switch(typ(c))
3452 : {
3453 16444643 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
3454 31332 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
3455 40495 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
3456 40495 : if (nf)
3457 : {
3458 40495 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
3459 40495 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
3460 : }
3461 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
3462 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
3463 : }
3464 : }
3465 : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
3466 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
3467 : GEN
3468 3303328 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
3469 : {
3470 : GEN a, t, u, L, nf;
3471 : long i, l, k;
3472 :
3473 3303328 : if (pv) *pv = NULL;
3474 : /* t_ELL_Qp is also possible */
3475 3303328 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
3476 3303312 : L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
3477 19819795 : for (i = 1; i < 6; i++)
3478 : {
3479 : GEN d;
3480 16516442 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
3481 16516462 : if (d) /* partial factorization of denominator */
3482 32431 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
3483 : }
3484 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
3485 3303353 : l = lg(L); if (l == 1) return e;
3486 16501 : L = ZV_sort_uniq_shallow(L);
3487 16499 : l = lg(L);
3488 :
3489 16499 : t = gen_1;
3490 39739 : for (k = 1; k < l; k++)
3491 : {
3492 23240 : GEN p = gel(L,k);
3493 23240 : long n = 0, m;
3494 139440 : for (i = 1; i < 6; i++)
3495 116200 : if (!gequal0(gel(a,i)))
3496 : {
3497 47649 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
3498 47649 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
3499 71435 : while (m < 0) { n++; m += r; }
3500 : }
3501 23240 : t = mulii(t, powiu(p, n));
3502 : }
3503 16499 : u = ginv(t);
3504 16499 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
3505 16499 : return coordch_uinv(e, t);
3506 : }
3507 : GEN
3508 2478 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
3509 : {
3510 2478 : pari_sp av = avma;
3511 2478 : checkell(e);
3512 2478 : switch(ell_get_type(e))
3513 : {
3514 2478 : case t_ELL_Q:
3515 : case t_ELL_Qp:
3516 2478 : case t_ELL_NF: break;
3517 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
3518 : }
3519 2478 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
3520 2478 : if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
3521 2457 : e = gc_GEN(av, e);
3522 2457 : if (pv) *pv = init_ch();
3523 2457 : return e;
3524 : }
3525 :
3526 : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
3527 : GEN
3528 0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
3529 : {
3530 0 : pari_sp av = avma;
3531 : GEN f, a1, a3;
3532 :
3533 0 : checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
3534 0 : a1 = ell_get_a1(f);
3535 0 : a3 = ell_get_a3(f);
3536 0 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
3537 0 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
3538 : else
3539 : {
3540 0 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
3541 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
3542 0 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
3543 : }
3544 0 : if (f != e) ell_reset(f);
3545 0 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
3546 : }
3547 :
3548 : static long
3549 5159 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
3550 : {
3551 5159 : long N = 1; /* oo */
3552 5159 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
3553 3990 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
3554 5159 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
3555 3969 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
3556 5159 : return N;
3557 : }
3558 : static long
3559 6335 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
3560 : {
3561 6335 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
3562 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
3563 6335 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
3564 : }
3565 : static long
3566 5138 : cardmod2(GEN e)
3567 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
3568 5138 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
3569 5138 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
3570 5138 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
3571 5138 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
3572 5138 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
3573 5138 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
3574 : }
3575 : static long
3576 6195 : cardmod3(GEN e)
3577 : {
3578 6195 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
3579 6195 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
3580 6195 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
3581 6195 : return F3_card(b2,b4,b6);
3582 : }
3583 :
3584 : static ulong
3585 1820 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
3586 :
3587 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
3588 : static void
3589 35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
3590 : {
3591 35 : min_set_u(M, int2n(d));
3592 35 : min_set_c(M, E);
3593 35 : min_set_b(M);
3594 35 : min_set_a(M);
3595 35 : }
3596 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
3597 : static void
3598 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
3599 : {
3600 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
3601 140 : min_set_c(M, E);
3602 140 : min_set_b(M);
3603 140 : }
3604 :
3605 : static long
3606 111181 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
3607 : {
3608 111181 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
3609 111181 : if (vD) /* bad reduction */
3610 : {
3611 : GEN c6;
3612 : long s;
3613 110873 : *good_red = 0;
3614 110873 : if (vc6) return 0;
3615 81480 : c6 = ell_get_c6(E);
3616 81480 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
3617 81480 : s = kroiu(c6,p);
3618 81480 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
3619 81480 : return s;
3620 : }
3621 308 : *good_red = 1;
3622 308 : if (p == 2)
3623 : {
3624 : ellmin_t M;
3625 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
3626 21 : min_set_2(&M, E, d);
3627 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
3628 : }
3629 287 : else if (p == 3)
3630 : {
3631 : ellmin_t M;
3632 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
3633 140 : min_set_3(&M, E, d);
3634 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
3635 : }
3636 : else
3637 : {
3638 : ellmin_t M;
3639 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
3640 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
3641 147 : min_set_c(&M, E);
3642 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
3643 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
3644 : }
3645 : }
3646 :
3647 : static GEN
3648 98581 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
3649 : {
3650 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
3651 : long vc6, vD, d;
3652 98581 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
3653 0 : c6 = ell_get_c6(E);
3654 0 : D = ell_get_disc(E);
3655 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
3656 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
3657 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3658 0 : if (vD) /* bad reduction */
3659 : {
3660 : long s;
3661 0 : *good_red = 0;
3662 0 : if (vc6) return gen_0;
3663 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
3664 0 : s = kronecker(c6,p);
3665 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
3666 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
3667 : }
3668 0 : *good_red = 1;
3669 0 : c4 = ell_get_c4(E);
3670 0 : if (d)
3671 : {
3672 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
3673 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
3674 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
3675 : }
3676 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
3677 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
3678 : }
3679 :
3680 : static GEN
3681 223493 : doellcard(GEN E)
3682 : {
3683 223493 : GEN fg = ellff_get_field(E);
3684 223493 : if (typ(fg)==t_FFELT)
3685 102883 : return FF_ellcard(E);
3686 : else
3687 : {
3688 120610 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
3689 120610 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
3690 : }
3691 : }
3692 :
3693 : static GEN
3694 191811 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
3695 : {
3696 191811 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
3697 191810 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3698 191819 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
3699 : {
3700 : long ap;
3701 49161 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
3702 49161 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
3703 49161 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
3704 483 : *good_red = 1;
3705 483 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
3706 483 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
3707 483 : card = FF_ellcard(E);
3708 : }
3709 : else
3710 : {
3711 142658 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
3712 142655 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
3713 142617 : if (vD)
3714 : {
3715 : GEN c6new;
3716 49189 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
3717 49189 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
3718 49189 : if (vD > 12*d)
3719 : { /* bad reduction */
3720 49140 : *good_red = 0;
3721 92925 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
3722 43785 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
3723 43785 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
3724 : }
3725 49 : if (d)
3726 : { /* model not minimal at P */
3727 49 : GEN piinv = get_piinv(P);
3728 49 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
3729 49 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
3730 49 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
3731 49 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
3732 49 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
3733 : }
3734 : }
3735 93477 : *good_red = 1;
3736 93477 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
3737 93482 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
3738 93473 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
3739 93484 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
3740 93468 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
3741 : }
3742 93967 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
3743 : }
3744 :
3745 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
3746 : * basis */
3747 : static GEN
3748 533729 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
3749 : {
3750 : GEN P;
3751 533729 : if (!signe(a))
3752 2569 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
3753 531160 : else if (!signe(b))
3754 1526 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
3755 : else
3756 : {
3757 529634 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
3758 : long k, l;
3759 529634 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
3760 412804 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
3761 412804 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
3762 : /* d = gcd(A,B) */
3763 412804 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
3764 412804 : l = lg(P);
3765 979678 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
3766 412804 : P = shallowconcat1(P);
3767 412804 : ZV_sort_inplace(P);
3768 : }
3769 416899 : settyp(P, t_VEC); return P;
3770 : }
3771 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
3772 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
3773 : static GEN
3774 503958 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
3775 : {
3776 : pari_sp av;
3777 503958 : GEN D = ell_get_disc(E);
3778 503958 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3779 503958 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
3780 : long l, k;
3781 :
3782 503958 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
3783 503958 : l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
3784 391363 : DP = coltrunc_init(l);
3785 391363 : av = avma;
3786 391363 : g = gcdii(sqri(c6), D);
3787 391363 : u = gen_1;
3788 998221 : for (k = 1; k < l; k++)
3789 : {
3790 606858 : GEN p = gel(P, k);
3791 606858 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
3792 606858 : if (d) switch(itou_or_0(p))
3793 : {
3794 89397 : case 2:
3795 : {
3796 : long a, b;
3797 89397 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3798 89397 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3799 89397 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
3800 89397 : break;
3801 : }
3802 29022 : case 3:
3803 29022 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
3804 29022 : break;
3805 : }
3806 606858 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
3807 606858 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
3808 : }
3809 391363 : if (pDP) *pDP = DP;
3810 391363 : return gc_INT(av, u);
3811 : }
3812 :
3813 : /* True nf. Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
3814 : static GEN
3815 42 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
3816 : {
3817 42 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
3818 42 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
3819 42 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E)), T = nf_get_pol(nf);
3820 :
3821 42 : A1 = gmodgs(a1,2);
3822 42 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
3823 42 : s = nf_to_scalar_or_alg(nf, s);
3824 42 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
3825 42 : r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
3826 42 : r = nf_to_scalar_or_alg(nf, r);
3827 42 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
3828 42 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
3829 42 : t = nf_to_scalar_or_alg(nf, t);
3830 42 : if (typ(r) == t_POL) r = mkpolmod(r, T);
3831 42 : if (typ(s) == t_POL) s = mkpolmod(s, T);
3832 42 : if (typ(t) == t_POL) t = mkpolmod(t, T);
3833 42 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
3834 : }
3835 :
3836 : static GEN
3837 60648 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
3838 : {
3839 60648 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
3840 60648 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
3841 : }
3842 : static GEN
3843 29771 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
3844 : {
3845 29771 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
3846 29771 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
3847 29771 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
3848 29771 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
3849 : }
3850 : static GEN
3851 1106 : ellnf_D_primes(GEN E)
3852 : {
3853 1106 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
3854 1106 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
3855 1106 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
3856 1106 : long k, l = lg(P);
3857 2870 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
3858 1106 : if (!is_pm1(DZ))
3859 : {
3860 910 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
3861 910 : settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
3862 : }
3863 1106 : return P;
3864 : }
3865 :
3866 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
3867 : static GEN
3868 29554 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
3869 : {
3870 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
3871 29554 : long k, l = lg(P);
3872 29554 : Lr = vectrunc_init(l);
3873 29554 : Ls = vectrunc_init(l);
3874 29554 : Lt = vectrunc_init(l);
3875 29554 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
3876 29554 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
3877 107723 : for (k = 1; k < l; k++)
3878 : {
3879 78169 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
3880 : long vu;
3881 78169 : v = gel(q,3);
3882 78169 : u = gel(v,1);
3883 78169 : vu = nfval(nf, u, pr);
3884 78169 : if (!vu) continue;
3885 64295 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
3886 64295 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
3887 64295 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
3888 64295 : vectrunc_append(L, pr);
3889 64295 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
3890 : }
3891 29554 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
3892 : }
3893 : /* E integral */
3894 : static GEN
3895 58660 : ellminimalprimes(GEN E)
3896 : {
3897 : GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
3898 : long j, k, l;
3899 :
3900 58660 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
3901 28665 : nf = ellnf_get_nf(E);
3902 28665 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
3903 28665 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
3904 28665 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
3905 28665 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
3906 28665 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
3907 28665 : Q = cgetg_copy(P, &l);
3908 103068 : for (k = j = 1; k < l; k++)
3909 : {
3910 74403 : GEN pr = gel(P, k);
3911 74403 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
3912 74333 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
3913 74319 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
3914 74319 : gel(P,j++) = pr;
3915 : }
3916 28665 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
3917 28665 : return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
3918 : }
3919 : static GEN
3920 29722 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
3921 : {
3922 29722 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
3923 : long i, l;
3924 29722 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
3925 29722 : S = ellminimalprimes(E);
3926 29722 : L = gel(S,1);
3927 29722 : U = gel(S,2);
3928 29722 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
3929 29722 : P = cgetg_copy(L, &l);
3930 94339 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
3931 29722 : P = factorback2(P, U);
3932 29722 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
3933 29722 : return P;
3934 : }
3935 : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
3936 : * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
3937 : static GEN
3938 63 : bnf_get_v(GEN E)
3939 : {
3940 63 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
3941 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
3942 :
3943 63 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
3944 63 : S = ellminimalprimes(E);
3945 63 : L = gel(S,1);
3946 63 : U = gel(S,2);
3947 63 : Lr = gel(S,3);
3948 63 : Ls = gel(S,4);
3949 63 : Lt = gel(S,5);
3950 63 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
3951 63 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
3952 42 : nf = bnf_get_nf(bnf);
3953 42 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
3954 42 : U = nftoalg(nf, gel(F,2));
3955 42 : R = nftoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
3956 42 : S = nftoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
3957 42 : T = nftoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
3958 42 : return mkvec4(U,R,S,T);
3959 : }
3960 :
3961 : GEN
3962 70 : ellminimaldisc(GEN E)
3963 : {
3964 70 : pari_sp av = avma;
3965 70 : checkell(E);
3966 70 : switch(ell_get_type(E))
3967 : {
3968 7 : case t_ELL_Q:
3969 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
3970 7 : return gc_INT(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
3971 63 : case t_ELL_NF:
3972 : {
3973 63 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
3974 63 : E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
3975 63 : S = ellminimalprimes(E);
3976 63 : L = gel(S,1);
3977 63 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
3978 63 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
3979 63 : return gc_upto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
3980 : }
3981 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
3982 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3983 : }
3984 : }
3985 :
3986 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
3987 : * ellminimalmodel(E) */
3988 : static GEN
3989 507570 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
3990 : {
3991 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
3992 : ellmin_t M;
3993 507570 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
3994 : {
3995 3626 : if (lg(S) != 2)
3996 : {
3997 70 : E = gel(S,3);
3998 70 : v = gel(S,2);
3999 : }
4000 : else
4001 3556 : v = init_ch();
4002 3626 : if (ptv) *ptv = v;
4003 3626 : if (pS) *pS = S;
4004 3626 : return gcopy(E);
4005 : }
4006 503944 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
4007 503944 : u = ellQ_minimalu(e, &DP);
4008 503944 : min_set_all(&M, e, u);
4009 503944 : v = min_get_v(&M, e);
4010 503944 : y = min_to_ell(&M, e);
4011 503944 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4012 503944 : if (is_trivial_change(v, NULL))
4013 : {
4014 470281 : v = init_ch();
4015 470281 : S = mkvec(DP);
4016 : }
4017 : else
4018 33663 : S = mkvec3(DP, v, y);
4019 503944 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4020 503944 : if (pS) *pS = S;
4021 503944 : if (ptv) *ptv = v; return y;
4022 : }
4023 :
4024 : static GEN
4025 21399 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4026 : {
4027 21399 : pari_sp av = avma;
4028 21399 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
4029 21399 : if (!is_trivial_change(v, NULL)) ch_Q(y, E, v);
4030 21399 : DP = gel(S,1);
4031 21399 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
4032 21399 : if (!ptv) return gc_GEN(av, y);
4033 1050 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4034 : }
4035 :
4036 : static GEN
4037 63 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4038 : {
4039 : GEN S, y, v, v2;
4040 63 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
4041 : {
4042 0 : switch(lg(S))
4043 : {
4044 0 : case 1: v = init_ch(); break;
4045 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
4046 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
4047 : }
4048 0 : *ptv = v;
4049 0 : return gcopy(E);
4050 : }
4051 63 : *ptv = NULL;
4052 63 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
4053 63 : v2 = bnf_get_v(y);
4054 63 : if (typ(v2) == t_COL)
4055 : {
4056 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
4057 21 : return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
4058 : }
4059 42 : y = coordch(y, v2);
4060 42 : gcomposev(&v, v2);
4061 42 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
4062 42 : y = coordch(y, v2);
4063 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
4064 42 : y = obj_reinit(y);
4065 42 : gcomposev(&v, v2);
4066 42 : if (is_trivial_change(v, NULL))
4067 : {
4068 7 : v = init_ch();
4069 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
4070 : }
4071 : else
4072 : {
4073 35 : v = lift_if_rational(v);
4074 35 : S = mkvec2(v, y);
4075 : }
4076 42 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
4077 42 : *ptv = v; return y;
4078 : }
4079 : static GEN
4080 63 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4081 : {
4082 63 : pari_sp av = avma;
4083 63 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
4084 63 : if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
4085 63 : if (!v || !ptv) return gc_GEN(av, y);
4086 35 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4087 : }
4088 : GEN
4089 21469 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4090 : {
4091 21469 : checkell(E);
4092 21469 : switch(ell_get_type(E))
4093 : {
4094 21399 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
4095 63 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
4096 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
4097 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4098 : }
4099 : }
4100 :
4101 : /* return a model minimal among b models */
4102 : GEN
4103 966 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
4104 : {
4105 966 : pari_sp av = avma;
4106 : GEN f, a1, a3;
4107 :
4108 966 : checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
4109 966 : a1 = ell_get_a1(f);
4110 966 : a3 = ell_get_a3(f);
4111 966 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
4112 336 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
4113 : else
4114 : {
4115 630 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
4116 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4117 630 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
4118 : }
4119 966 : if (f != e) ell_reset(f);
4120 966 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
4121 : }
4122 :
4123 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
4124 : * update type-dependant components.
4125 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
4126 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
4127 : * N = arithmetic conductor of E
4128 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
4129 : * fa = factorization of N
4130 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
4131 : static GEN
4132 456708 : ellQ_globalred(GEN e)
4133 : {
4134 : long k, l, iN;
4135 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
4136 :
4137 456708 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
4138 456708 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
4139 456708 : D = ell_get_disc(E);
4140 866733 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
4141 456708 : if (!is_pm1(D))
4142 : {
4143 438774 : P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
4144 438774 : ZV_sort_inplace(P);
4145 : }
4146 456708 : l = lg(P); c = gen_1;
4147 456708 : iN = 1;
4148 456708 : NP = cgetg(l, t_COL);
4149 456708 : NE = cgetg(l, t_COL);
4150 456708 : L = cgetg(l, t_VEC);
4151 1945118 : for (k = 1; k < l; k++)
4152 : {
4153 1488410 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
4154 1488410 : if (!signe(ex)) continue;
4155 1488410 : gel(NP, iN) = p;
4156 1488410 : gel(NE, iN) = ex;
4157 1488410 : gel(L, iN) = q; iN++;
4158 1488410 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
4159 1488410 : c = mulii(c, gel(q,4));
4160 : }
4161 456708 : setlg(L, iN);
4162 456708 : setlg(NP, iN);
4163 456708 : setlg(NE, iN);
4164 456708 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
4165 : }
4166 : static GEN
4167 469728 : ellglobalred_i(GEN E)
4168 469728 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
4169 :
4170 : static GEN
4171 980 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
4172 : {
4173 : GEN c, L, NP, NE;
4174 980 : long j, k, l = lg(P);
4175 980 : c = gen_1;
4176 980 : NP = cgetg(l, t_COL);
4177 980 : NE = cgetg(l, t_COL);
4178 980 : L = cgetg(l, t_VEC);
4179 5068 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4180 : {
4181 4088 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
4182 4088 : ex = gel(q,1);
4183 4088 : if (!signe(ex)) continue;
4184 3857 : gel(NP, j) = p;
4185 3857 : gel(NE, j) = ex;
4186 3857 : gel(L, j) = q; j++;
4187 3857 : c = mulii(c, gel(q,4));
4188 : }
4189 980 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
4190 980 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
4191 : }
4192 :
4193 : static GEN
4194 980 : ellnfglobalred(GEN E0)
4195 : {
4196 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
4197 : long j, k, l;
4198 :
4199 980 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4200 980 : if (!v) v = init_ch();
4201 980 : nf = ellnf_get_nf(E);
4202 980 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
4203 980 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
4204 980 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
4205 980 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4206 7700 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4207 : {
4208 6720 : GEN p = gel(P,k);
4209 6720 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
4210 4088 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
4211 4088 : gel(P,j++) = p;
4212 : }
4213 980 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4214 980 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
4215 889 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4216 980 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
4217 : }
4218 :
4219 : GEN
4220 454223 : ellglobalred(GEN E)
4221 : {
4222 454223 : pari_sp av = avma;
4223 : GEN S, gr, v;
4224 454223 : checkell(E);
4225 454223 : switch(ell_get_type(E))
4226 : {
4227 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
4228 452949 : case t_ELL_Q:
4229 452949 : gr = ellglobalred_i(E);
4230 452949 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4231 452949 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
4232 452949 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
4233 452949 : break;
4234 1274 : case t_ELL_NF:
4235 1274 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
4236 1274 : break;
4237 : }
4238 454223 : return gc_GEN(av, v);
4239 : }
4240 :
4241 : static GEN doellrootno(GEN e);
4242 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
4243 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
4244 : * and E (shallow insert) */
4245 : GEN
4246 4543 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
4247 : {
4248 4543 : GEN E, S, v = NULL;
4249 4543 : checkell_Q(e);
4250 4543 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
4251 : {
4252 406 : E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
4253 406 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4254 : }
4255 4137 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
4256 4123 : E = e;
4257 : else
4258 : {
4259 14 : v = gel(S,2);
4260 14 : E = gcopy(gel(S,3));
4261 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4262 : }
4263 4543 : if (ch) *ch = v;
4264 4543 : S = ellglobalred_i(e);
4265 4543 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
4266 4543 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
4267 4543 : if (!S)
4268 : {
4269 3248 : S = doellrootno(E);
4270 3248 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
4271 : }
4272 4543 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
4273 4543 : return E;
4274 : }
4275 :
4276 : static long
4277 9632 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
4278 : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
4279 : * d'une courbe elliptique" */
4280 : GEN
4281 19747 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
4282 : {
4283 19747 : GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
4284 19747 : if (s == 1)
4285 10164 : w = gel(w,1);
4286 9583 : else if (nb_real_components(E) == 2)
4287 5334 : w = gneg(gel(w,2));
4288 : else
4289 4249 : w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
4290 19747 : return w;
4291 : }
4292 :
4293 : static GEN
4294 49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
4295 : {
4296 49 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
4297 49 : return muliu(tam, nb_real_components(e));
4298 : }
4299 :
4300 : static GEN
4301 882 : ellnf_tamagawa(GEN e)
4302 : {
4303 882 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
4304 882 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
4305 : long r1, r2;
4306 882 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
4307 882 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
4308 : }
4309 :
4310 : GEN
4311 49 : elltamagawa(GEN E)
4312 : {
4313 49 : pari_sp av = avma;
4314 : GEN v;
4315 49 : checkell(E);
4316 49 : switch(ell_get_type(E))
4317 : {
4318 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
4319 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
4320 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
4321 : }
4322 49 : return gc_INT(av, v);
4323 : }
4324 :
4325 : static GEN
4326 58660 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
4327 : {
4328 58660 : GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
4329 58660 : if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
4330 46081 : if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
4331 29351 : return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
4332 : }
4333 : /* true nf, use nf prec */
4334 : static GEN
4335 206843 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
4336 : {
4337 : long r1, r2;
4338 : GEN cx;
4339 206843 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
4340 206843 : x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
4341 206843 : if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
4342 3276 : x = Q_primitive_part(x, &cx);
4343 3276 : x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
4344 3276 : if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
4345 3276 : return x;
4346 : }
4347 : static long
4348 58660 : nfembed_extraprec(GEN x)
4349 58660 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
4350 : GEN
4351 29841 : ellnfembed(GEN E, long prec)
4352 : {
4353 29841 : GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
4354 : long prec0, r1, r2, n, i;
4355 :
4356 29841 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
4357 29841 : E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
4358 29841 : prec0 = prec + EXTRAPREC64;
4359 : /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
4360 29841 : prec += 3*prec0 + nfembed_extraprec(E0);
4361 29841 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
4362 29841 : sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
4363 : for(;;)
4364 : {
4365 29841 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
4366 179046 : for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
4367 91210 : for (i=1; i<=n; i++)
4368 : {
4369 : GEN Ei, r;
4370 : long j;
4371 368214 : for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
4372 61369 : gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
4373 61369 : if (!Ei) break;
4374 61369 : r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
4375 61369 : if (!r) break;
4376 : }
4377 29841 : if (i > n) return L;
4378 0 : prec = precdbl(prec);
4379 0 : if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
4380 : }
4381 : }
4382 :
4383 : GEN
4384 28819 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
4385 : {
4386 28819 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
4387 : long i, l;
4388 28819 : P = RgC_to_nfC(nf, P);
4389 28819 : prec += nfembed_extraprec(P);
4390 28819 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
4391 28819 : Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
4392 28819 : Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
4393 28819 : l = lg(Px); L = cgetg(l, t_VEC);
4394 86436 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
4395 28819 : return L;
4396 : }
4397 :
4398 : void
4399 1029 : ellnfembed_free(GEN L)
4400 : {
4401 1029 : long i, l = lg(L);
4402 4795 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
4403 1029 : }
4404 :
4405 : static GEN
4406 168 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
4407 : {
4408 168 : pari_sp av = avma;
4409 168 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
4410 168 : long i, l = lg(V);
4411 168 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
4412 448 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
4413 168 : ellnfembed_free(V);
4414 168 : return gc_GEN(av, P);
4415 : }
4416 :
4417 : GEN
4418 91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
4419 91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
4420 :
4421 : GEN
4422 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
4423 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
4424 :
4425 : GEN
4426 49 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
4427 49 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
4428 :
4429 : static GEN
4430 854 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
4431 : {
4432 854 : pari_sp av = avma;
4433 854 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
4434 854 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
4435 4326 : for(i = 1; i < l; i++)
4436 : {
4437 3472 : GEN e = gel(Eb, i);
4438 3472 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
4439 3472 : per = mulrr(per, pi);
4440 : }
4441 854 : ellnfembed_free(Eb);
4442 854 : return gc_leaf(av, per);
4443 : }
4444 : static GEN
4445 854 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
4446 : {
4447 854 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
4448 854 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
4449 : }
4450 :
4451 : static GEN
4452 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
4453 : {
4454 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
4455 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
4456 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
4457 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
4458 : }
4459 :
4460 : static GEN
4461 28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
4462 : {
4463 28 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
4464 28 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
4465 28 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
4466 28 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4467 28 : if (lg(S) != 2)
4468 : { /* switch to minimal model if needed */
4469 21 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
4470 21 : per = gmul(per,u);
4471 : }
4472 28 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
4473 : }
4474 :
4475 : GEN
4476 70 : ellbsd(GEN E, long prec)
4477 : {
4478 70 : pari_sp av = avma;
4479 : GEN v;
4480 70 : checkell(E);
4481 70 : switch(ell_get_type(E))
4482 : {
4483 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
4484 28 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
4485 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
4486 : }
4487 70 : return gc_upto(av, v);
4488 : }
4489 :
4490 : static GEN
4491 33680 : QE_to_ZJ(GEN P)
4492 : {
4493 33680 : if (ell_is_inf(P))
4494 0 : return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
4495 : else
4496 : {
4497 33680 : pari_sp av = avma;
4498 33680 : GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
4499 33680 : GEN R = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
4500 33680 : GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
4501 33680 : GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
4502 33680 : GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
4503 33680 : GEN Z = denom(mkvec2(Q1, Q2));
4504 33680 : GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
4505 33680 : return gc_GEN(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
4506 : }
4507 : }
4508 :
4509 : static GEN
4510 4460 : QEV_to_ZJV(GEN x)
4511 38098 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
4512 :
4513 : static GEN
4514 15322 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
4515 : {
4516 168279 : pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
4517 : }
4518 :
4519 : static GEN
4520 10789 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
4521 : {
4522 10789 : long i, j, k, l = lg(A);
4523 : GEN B, Q;
4524 34026 : for (i = k = 1; i < l; i++)
4525 23237 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
4526 10789 : if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
4527 155 : B = cgetg(k, t_VEC);
4528 155 : Q = cgetg(k, typ(P));
4529 735 : for (i = j = 1; i < l; i++)
4530 580 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
4531 155 : *pQ = Q; return B;
4532 : }
4533 :
4534 : static GEN
4535 5332 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
4536 : {
4537 5332 : GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
4538 5332 : return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
4539 : }
4540 :
4541 : static GEN
4542 15732 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
4543 : {
4544 15732 : pari_sp av = avma;
4545 15732 : ulong pi = get_Fl_red(p);
4546 15731 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4547 15731 : ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
4548 : GEN a4a6, a, Hp;
4549 15731 : ulong d = 1;
4550 15731 : if (l != 1)
4551 : {
4552 648 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
4553 648 : ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
4554 648 : ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
4555 648 : d = Fl_invsafe(l % c, c);
4556 648 : if (!d) return NULL;
4557 : }
4558 15321 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
4559 15322 : a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
4560 15322 : Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
4561 15322 : if (d != 1)
4562 238 : Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
4563 15322 : Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
4564 15322 : Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
4565 15322 : return gc_leaf(av, Hp);
4566 : }
4567 :
4568 : static GEN
4569 8741 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
4570 : {
4571 8741 : pari_sp av = avma;
4572 8741 : long i, n = lg(P)-1;
4573 8741 : long CM = ellQ_get_CM(E);
4574 : GEN H, T, B, Q;
4575 8741 : if (n == 1)
4576 : {
4577 3284 : ulong p = uel(P,1);
4578 3284 : GEN Hp = ellQ_factorback1(ZVV_to_FlvV(A, p), L, l, E, CM, p);
4579 3284 : if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
4580 3260 : *mod = utoi(p);
4581 3260 : return Flv_to_ZV(Hp);
4582 : }
4583 5457 : T = ZV_producttree(P);
4584 5457 : A = ZVV_nv_mod_tree(A, P, T);
4585 5457 : H = cgetg(n+1, t_VEC);
4586 17905 : for(i=1; i <= n; i++)
4587 : {
4588 12448 : gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
4589 12448 : if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
4590 : }
4591 5457 : B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
4592 5457 : if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
4593 5457 : H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
4594 5457 : *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
4595 : }
4596 :
4597 : GEN
4598 8741 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
4599 : {
4600 8741 : GEN V = cgetg(3, t_VEC);
4601 8741 : gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
4602 8741 : return V;
4603 : }
4604 :
4605 : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
4606 : static long
4607 4214 : ZV_is_ei(GEN v)
4608 : {
4609 4214 : long i, ei = 0;
4610 15081 : for (i = lg(v)-1; i; i--)
4611 14109 : if (signe(gel(v,i)))
4612 : {
4613 5825 : if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
4614 2583 : ei = i;
4615 : }
4616 972 : return ei;
4617 : }
4618 :
4619 : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
4620 : * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
4621 : * torsion */
4622 : static GEN
4623 4228 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
4624 : {
4625 4228 : pari_sp av = avma;
4626 4228 : GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
4627 : forprime_t S;
4628 4228 : ulong bound = 1;
4629 :
4630 4228 : if (l == 1)
4631 : {
4632 4214 : long i = ZV_is_ei(L);
4633 4214 : if (i) return gel(A,i);
4634 : }
4635 3256 : hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
4636 3256 : D = ell_get_disc(E);
4637 3256 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
4638 : mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
4639 3256 : if (l==1)
4640 3242 : init_modular_big(&S);
4641 : else
4642 14 : init_modular_small(&S);
4643 3256 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
4644 3564 : {
4645 : GEN amax, r;
4646 6820 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
4647 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
4648 6820 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
4649 6820 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
4650 3826 : && oncurve_exact(E,r))
4651 : {
4652 : GEN g;
4653 3256 : settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
4654 3256 : if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec/2)
4655 3256 : return gc_upto(av, r);
4656 : }
4657 3564 : if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
4658 : }
4659 : }
4660 :
4661 : GEN
4662 833 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
4663 : {
4664 833 : pari_sp av = avma;
4665 833 : long i, j, l = lg(G);
4666 833 : GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
4667 :
4668 833 : if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
4669 : while(1)
4670 : {
4671 833 : L = lllgram(M);
4672 833 : if (L) break;
4673 0 : prec = precdbl(prec);
4674 0 : M = ellheightmatrix(E, G, prec);
4675 : }
4676 833 : l = lg(L); /* can decrease */
4677 4914 : for (i = j = 1; i < l; i++)
4678 : {
4679 4081 : GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
4680 4081 : if (expo(h) > -prec/2)
4681 4081 : gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
4682 : }
4683 833 : setlg(V, j); return gc_GEN(av, V);
4684 : }
4685 :
4686 : static long
4687 42 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
4688 : {
4689 42 : GEN D = ell_get_disc(E);
4690 42 : pari_sp av = avma;
4691 : long m;
4692 2247 : for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
4693 : {
4694 2219 : ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
4695 2219 : if (dvdiu(D, p)) continue;
4696 2219 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
4697 2219 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
4698 2219 : if (o % l == 0)
4699 : {
4700 294 : ulong pi = get_Fl_red(p);
4701 294 : GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
4702 294 : GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
4703 294 : GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
4704 294 : if (uel(R, 3) != 0) return 0;
4705 280 : m++;
4706 : }
4707 : }
4708 28 : return 1;
4709 : }
4710 :
4711 : /* Assume l prime to 210 */
4712 : GEN
4713 42 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
4714 : {
4715 42 : pari_sp av = avma;
4716 42 : GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
4717 : forprime_t S, U;
4718 42 : long CM = ellQ_get_CM(E);
4719 : ulong bound;
4720 :
4721 42 : u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
4722 42 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
4723 28 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
4724 : mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
4725 28 : init_modular_small(&S);
4726 28 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
4727 62 : {
4728 : GEN amax, r;
4729 90 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
4730 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
4731 90 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
4732 90 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
4733 29 : && oncurve_exact(E,r))
4734 : {
4735 28 : settyp(r,t_VEC);
4736 28 : if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gc_upto(av, r);
4737 0 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
4738 : }
4739 : }
4740 : }
4741 :
4742 : /********************************************************************/
4743 : /** **/
4744 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
4745 : /** **/
4746 : /********************************************************************/
4747 : /* x a t_INT */
4748 : static long
4749 9282 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
4750 : {
4751 : long v;
4752 : GEN z;
4753 9282 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
4754 9058 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
4755 9058 : *u = umodiu(z,pk); return v;
4756 : }
4757 : static void
4758 3094 : val_init(GEN e, long p, long pk,
4759 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
4760 : {
4761 3094 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
4762 3094 : pari_sp av = avma;
4763 3094 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
4764 3094 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
4765 3094 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
4766 3094 : }
4767 :
4768 : static long
4769 3094 : kod_23(GEN e, long p)
4770 : {
4771 : GEN S, nv;
4772 3094 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
4773 : {
4774 3073 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
4775 3073 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
4776 : }
4777 : else
4778 21 : nv = localred_23(e, p);
4779 3094 : return itos(gel(nv,2));
4780 : }
4781 :
4782 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
4783 : static long
4784 1673 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
4785 : {
4786 1673 : if (kod > 4) return 1;
4787 784 : switch(kod)
4788 : {
4789 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
4790 49 : case 2:
4791 49 : if (vD==4) return 1;
4792 : else
4793 : {
4794 7 : if (vD==7) return 3;
4795 7 : else return v4==4 ? 2 : 4;
4796 : }
4797 112 : case 3:
4798 112 : switch(vD)
4799 : {
4800 70 : case 6: return 3;
4801 0 : case 8: return 4;
4802 14 : case 9: return 5;
4803 28 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
4804 : }
4805 133 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
4806 84 : case -1:
4807 84 : switch(vD)
4808 : {
4809 42 : case 9: return 2;
4810 0 : case 10: return 4;
4811 42 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
4812 : }
4813 56 : case -2:
4814 56 : switch(vD)
4815 : {
4816 7 : case 12: return 2;
4817 0 : case 14: return 3;
4818 49 : default: return 1;
4819 : }
4820 56 : case -3:
4821 56 : switch(vD)
4822 : {
4823 0 : case 12: return 2;
4824 0 : case 14: return 3;
4825 0 : case 15: return 4;
4826 56 : default: return 1;
4827 : }
4828 140 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
4829 56 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
4830 42 : case -6:
4831 42 : switch(vD)
4832 : {
4833 14 : case 12: return 2;
4834 0 : case 13: return 3;
4835 28 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
4836 : }
4837 35 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
4838 21 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
4839 : }
4840 : }
4841 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
4842 : static long
4843 595 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
4844 : {
4845 595 : if (labs(kod) > 4) return 1;
4846 322 : switch(kod)
4847 : {
4848 49 : case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
4849 140 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
4850 91 : case -4: case 2:
4851 91 : switch (vD%6)
4852 : {
4853 0 : case 4: return 3;
4854 0 : case 5: return 4;
4855 91 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
4856 : }
4857 42 : default: /* kod = -2 et 4 */
4858 42 : switch (vD%6)
4859 : {
4860 0 : case 0: return 2;
4861 0 : case 1: return 3;
4862 42 : default: return 1;
4863 : }
4864 : }
4865 : }
4866 :
4867 : static long
4868 1673 : ellrootno_2(GEN e)
4869 : {
4870 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
4871 1673 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
4872 :
4873 1673 : if (!vD) return 1;
4874 1673 : if (d) { /* not minimal */
4875 : ellmin_t M;
4876 14 : min_set_2(&M, e, d);
4877 14 : min_set_D(&M, e);
4878 14 : e = min_to_ell(&M, e);
4879 : }
4880 1673 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
4881 1673 : kod = kod_23(e,2);
4882 1673 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
4883 1673 : if (kod>=5)
4884 : {
4885 : long a2, a3;
4886 889 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
4887 889 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
4888 889 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
4889 : }
4890 784 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
4891 777 : x1 = u+v+v;
4892 777 : switch(kod)
4893 : {
4894 0 : case 1: return 1;
4895 49 : case 2:
4896 : switch(n2)
4897 : {
4898 42 : case 1:
4899 42 : switch(v4)
4900 : {
4901 14 : case 4: return kross(-1,u);
4902 14 : case 5: return 1;
4903 14 : default: return -1;
4904 : }
4905 7 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
4906 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
4907 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
4908 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
4909 : }
4910 : case 3:
4911 : switch(n2)
4912 : {
4913 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
4914 21 : case 2: return -kross(2,v);
4915 70 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
4916 70 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
4917 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
4918 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
4919 : }
4920 : case -1:
4921 : switch(n2)
4922 : {
4923 42 : case 1: return -kross(2,x1);
4924 42 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
4925 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
4926 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
4927 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
4928 : }
4929 56 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
4930 56 : case -3:
4931 : switch(n2)
4932 : {
4933 56 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
4934 56 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
4935 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
4936 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
4937 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
4938 : }
4939 : case -5:
4940 56 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
4941 7 : else return -kross(2,2*u+v);
4942 42 : case -6:
4943 : switch(n2)
4944 : {
4945 28 : case 1: return 1;
4946 14 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
4947 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
4948 : }
4949 : case -7:
4950 35 : if (n2==1) return 1;
4951 : else
4952 : {
4953 21 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
4954 21 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
4955 7 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
4956 : }
4957 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
4958 14 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
4959 273 : default: return -1;
4960 : }
4961 : }
4962 :
4963 : static long
4964 1421 : ellrootno_3(GEN e)
4965 : {
4966 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
4967 1421 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
4968 :
4969 1421 : if (!vD) return 1;
4970 1421 : if (d) { /* not minimal */
4971 : ellmin_t M;
4972 0 : min_set_3(&M, e, d);
4973 0 : min_set_a(&M);
4974 0 : min_set_D(&M, e);
4975 0 : e = min_to_ell(&M, e);
4976 : }
4977 1421 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
4978 1421 : kod = kod_23(e,3);
4979 1421 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
4980 595 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
4981 595 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
4982 595 : switch(kod)
4983 : {
4984 140 : case 1: case 3: case -3: return 1;
4985 21 : case 2:
4986 : switch(n2)
4987 : {
4988 21 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
4989 0 : case 2: return -K4*K6;
4990 0 : case 3: return 1;
4991 0 : case 4: return -K6;
4992 : }
4993 : case 4:
4994 : switch(n2)
4995 : {
4996 21 : case 1: return K6*kross(D1,3);
4997 0 : case 2: return -K4;
4998 0 : case 3: return -K6;
4999 : }
5000 21 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5001 70 : case -4:
5002 : switch(n2)
5003 : {
5004 63 : case 1:
5005 63 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5006 49 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5007 7 : case 2: return -K6;
5008 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5009 0 : case 4: return K6;
5010 : }
5011 322 : default: return -1;
5012 : }
5013 : }
5014 :
5015 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
5016 : static long
5017 3374 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
5018 : {
5019 : long nuj, nuD, nu;
5020 3374 : GEN D = ell_get_disc(e);
5021 : long ep, z;
5022 :
5023 3374 : nuD = Q_pval(D, p);
5024 3374 : if (!nuD) return 1;
5025 3374 : nuj = j_pval(e, p);
5026 3374 : nu = (nuD - nuj) % 12;
5027 3374 : if (nu == 0)
5028 : {
5029 : GEN c6;
5030 : long d, vg;
5031 2919 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
5032 : /* p || N */
5033 2919 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
5034 2919 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
5035 2919 : d = vg / 12;
5036 2919 : if (d)
5037 : {
5038 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
5039 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
5040 : }
5041 2919 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
5042 : /* c6 in minimal model */
5043 2919 : return -kronecker(negi(c6), p);
5044 : }
5045 455 : if (nuj) return krosi(-1,p);
5046 301 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
5047 301 : if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
5048 301 : return krosi(-z, p);
5049 : }
5050 :
5051 : static GEN
5052 3262 : doellrootno(GEN e)
5053 : {
5054 3262 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
5055 3262 : long i, l, s = -1;
5056 :
5057 3262 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5058 3262 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
5059 3262 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
5060 3262 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
5061 9702 : for (i = 1; i < l; i++)
5062 : {
5063 6440 : GEN p = gel(P,i);
5064 : long t;
5065 6440 : switch(itou_or_0(p))
5066 : {
5067 1652 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
5068 1421 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
5069 3367 : default:t = ellrootno_p(e, p);
5070 : }
5071 6440 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
5072 : }
5073 3262 : return mkvec2(stoi(s), V);
5074 : }
5075 :
5076 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
5077 : * Global if p==1 or NULL. */
5078 : static long
5079 91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
5080 : {
5081 91 : pari_sp av = avma;
5082 : GEN S;
5083 : long s;
5084 91 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
5085 77 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
5086 77 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
5087 : {
5088 49 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
5089 49 : long i = ZV_search(NP, p);
5090 49 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
5091 0 : return 1;
5092 : }
5093 28 : switch(itou_or_0(p))
5094 : {
5095 21 : case 2:
5096 21 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5097 21 : s = ellrootno_2(e); break;
5098 0 : case 3:
5099 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5100 0 : s = ellrootno_3(e); break;
5101 7 : default:
5102 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
5103 : }
5104 28 : return gc_long(av, s);
5105 : }
5106 :
5107 : /* global root number over number field
5108 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
5109 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
5110 : */
5111 :
5112 : static GEN
5113 364 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
5114 : {
5115 : long i;
5116 364 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
5117 2184 : for(i=1; i<=5; i++)
5118 1820 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
5119 364 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
5120 : }
5121 :
5122 : static GEN
5123 287 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
5124 : {
5125 287 : long v = fetch_var_higher();
5126 287 : GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
5127 287 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
5128 287 : delete_var();
5129 287 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
5130 : }
5131 :
5132 : static GEN
5133 245 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN C, GEN z, long prec)
5134 : {
5135 245 : pari_sp av = avma;
5136 245 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5137 245 : GEN rnf = rnfinit0(nf, mkvec2(P, C), 1);
5138 245 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5139 245 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
5140 245 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
5141 245 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
5142 245 : return gc_GEN(av, mkvec2(c1,c2));
5143 : }
5144 :
5145 : static long
5146 287 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
5147 287 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
5148 :
5149 : static long
5150 168 : ellnf_rootno_global(GEN E)
5151 : {
5152 168 : pari_sp av = avma;
5153 168 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5154 168 : long prec = nf_get_prec(nf);
5155 168 : long v, var = fetch_var_higher();
5156 : GEN F;
5157 168 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
5158 168 : F = nfroots(nf, ec_bmodel(E, var));
5159 168 : if (lg(F)>1)
5160 : {
5161 42 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
5162 42 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5163 42 : obj_free(Et);
5164 42 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
5165 : } else
5166 : {
5167 126 : GEN C = ellnf_D_primes(E);
5168 126 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
5169 126 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E, var), utoi(4)), 4);
5170 126 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, C, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
5171 126 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
5172 126 : GEN F = nfroots(nf, D);
5173 126 : if (lg(F)>1)
5174 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
5175 : else
5176 : {
5177 119 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5178 119 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
5179 119 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), C, gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
5180 119 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
5181 119 : GEN rnf = rnfinit0(nf,mkvec2(D,C),1);
5182 119 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5183 119 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5184 119 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
5185 119 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
5186 119 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
5187 119 : v = odd(v2+v3);
5188 : }
5189 : }
5190 168 : delete_var();
5191 168 : return gc_long(av, v? -1: 1);
5192 : }
5193 :
5194 : static GEN
5195 168 : doellnfrootno(GEN e)
5196 168 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
5197 :
5198 : long
5199 4592 : ellrootno_global(GEN e)
5200 : {
5201 4592 : pari_sp av = avma;
5202 : GEN S;
5203 4592 : switch(ell_get_type(e))
5204 : {
5205 4270 : case t_ELL_Q:
5206 4270 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
5207 4270 : break;
5208 322 : case t_ELL_NF:
5209 322 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
5210 322 : break;
5211 0 : default:
5212 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5213 : }
5214 4592 : return gc_long(av, itos(S));
5215 : }
5216 :
5217 : long
5218 210 : ellrootno(GEN e, GEN p)
5219 : {
5220 210 : checkell(e);
5221 210 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
5222 210 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
5223 210 : switch(ell_get_type(e))
5224 : {
5225 91 : case t_ELL_Q:
5226 91 : return ellQ_rootno(e, p);
5227 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
5228 119 : case t_ELL_NF:
5229 119 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
5230 119 : return ellrootno_global(e);
5231 : }
5232 : }
5233 :
5234 : /********************************************************************/
5235 : /** **/
5236 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
5237 : /** **/
5238 : /********************************************************************/
5239 :
5240 : /* assume p does not divide disc E */
5241 : long
5242 1135064 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
5243 : {
5244 : ulong a4, a6;
5245 1135064 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
5246 1131669 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
5247 1127091 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5248 1127091 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5249 : }
5250 :
5251 : static void
5252 693 : checkell_int(GEN e)
5253 : {
5254 693 : checkell_Q(e);
5255 693 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
5256 693 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
5257 693 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
5258 693 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
5259 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
5260 693 : }
5261 :
5262 : long
5263 20382 : ellQ_get_CM(GEN e)
5264 : {
5265 20382 : GEN j = ell_get_j(e);
5266 20382 : if (typ(j) != t_INT) return 0;
5267 1226 : if (is_bigint(j))
5268 : {
5269 : #ifndef LONG_IS_64BIT
5270 4 : if (signe(j) < 0)
5271 : {
5272 4 : pari_sp av = avma;
5273 4 : if (absequalii(j, uu32toi(0x22UL,0x45ae8000UL))) return gc_long(av,-67);
5274 2 : if (absequalii(j, uu32toi(0x03a4b862,0xc4b40000UL))) return gc_long(av,-163);
5275 : }
5276 : #endif
5277 0 : return 0;
5278 : }
5279 1222 : switch(signe(j))
5280 : {
5281 372 : default: return -3; /* j = 0 */
5282 567 : case 1:
5283 567 : switch(j[2])
5284 : {
5285 266 : case 1728: return -4;
5286 28 : case 8000: return -8;
5287 70 : case 54000: return -12;
5288 112 : case 287496: return -16;
5289 70 : case 16581375: return -28;
5290 21 : default: return 0;
5291 : }
5292 283 : case -1:
5293 283 : switch(j[2]) {
5294 84 : case 3375: return -7;
5295 28 : case 32768: return -11;
5296 14 : case 884736: return -19;
5297 77 : case 12288000: return -27;
5298 14 : case 884736000: return -43;
5299 : #ifdef LONG_IS_64BIT
5300 12 : case 147197952000L: return -67;
5301 12 : case 262537412640768000L: return -163;
5302 : #endif
5303 42 : default: return 0;
5304 : }
5305 : }
5306 : }
5307 :
5308 : static long
5309 56 : ellnf_get_CM(GEN E)
5310 : {
5311 56 : long av = avma;
5312 56 : GEN j = ell_get_j(E), nf = ellnf_get_nf(E);
5313 56 : GEN P = minpoly(nftoalg(nf, j), 0);
5314 56 : return gc_long(av, polisclass(P));
5315 : }
5316 :
5317 : long
5318 154 : elliscm(GEN E)
5319 : {
5320 154 : checkell(E);
5321 154 : switch(ell_get_type(E))
5322 : {
5323 98 : case t_ELL_Q: return ellQ_get_CM(E);
5324 56 : case t_ELL_NF: return ellnf_get_CM(E);
5325 0 : default: pari_err_TYPE("elliscm", E);
5326 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5327 : }
5328 : }
5329 :
5330 : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
5331 : static GEN
5332 2422039 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
5333 : {
5334 2422039 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
5335 2422020 : if (!signe(D))
5336 : {
5337 98000 : pari_sp av = avma;
5338 98000 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
5339 98000 : return gc_INT(av, subii(addiu(p,1), ap));
5340 : }
5341 2324020 : *good_red = 1;
5342 2324020 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
5343 2322273 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
5344 2320641 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
5345 2320590 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
5346 : }
5347 :
5348 :
5349 : /* bad reduction at p */
5350 : static void
5351 12544 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
5352 : {
5353 : ulong m, N;
5354 12544 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
5355 : {
5356 4424 : case -1: /* nonsplit */
5357 4424 : N = n/p;
5358 661801 : for (m=2; m<=N; m++)
5359 657377 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
5360 4424 : break;
5361 3794 : case 0: /* additive */
5362 7819392 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
5363 3794 : break;
5364 4326 : case 1: /* split */
5365 4326 : N = n/p;
5366 386358 : for (m=2; m<=N; m++)
5367 382032 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
5368 4326 : break;
5369 : }
5370 12544 : }
5371 : /* good reduction at p */
5372 : static void
5373 1069698 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
5374 : {
5375 1069698 : const long ap = an[p];
5376 : ulong m;
5377 1069698 : if (p <= SQRTn) {
5378 32830 : ulong pk, oldpk = 1;
5379 128912 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
5380 : {
5381 96082 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
5382 12318425 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
5383 12222343 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
5384 : }
5385 : } else {
5386 6170052 : for (m = n/p; m > 1; m--)
5387 5133184 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
5388 : }
5389 1069698 : }
5390 : static void
5391 1082242 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
5392 : {
5393 1082242 : if (good_red)
5394 1069698 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
5395 : else
5396 12544 : sievep_bad(p, an, n);
5397 1082242 : }
5398 :
5399 : static long
5400 1082242 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
5401 : {
5402 1082242 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
5403 12600 : return ellQap_u(e, p, good_red);
5404 : else /* good reduction */
5405 : {
5406 1069642 : *good_red = 1;
5407 1069642 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
5408 : }
5409 : }
5410 : GEN
5411 6699 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
5412 : {
5413 : pari_sp av;
5414 6699 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
5415 : GEN an;
5416 : int CM;
5417 :
5418 6699 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
5419 6699 : if (n >= LGBITS)
5420 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
5421 6699 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
5422 6699 : SQRTn = usqrt(n);
5423 6699 : CM = ellQ_get_CM(e);
5424 :
5425 6699 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
5426 6699 : an[1] = 1; av = avma;
5427 9823688 : for (p=2; p<=n; p++)
5428 : {
5429 : int good_red;
5430 9816989 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
5431 1082242 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
5432 1082242 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
5433 : }
5434 6699 : set_avma(av); return an;
5435 : }
5436 :
5437 : static GEN
5438 77 : ellQ_charpoly(GEN e, GEN p)
5439 : {
5440 77 : pari_sp av = avma;
5441 : int good_red;
5442 77 : GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
5443 77 : GEN ap = subii(addiu(p, 1), card), T;
5444 77 : if (good_red)
5445 63 : T = deg2pol_shallow(gen_1, gneg(ap), p, 0);
5446 14 : else if (!signe(ap)) { set_avma(av); return pol_1(0); }
5447 7 : else T = deg1pol_shallow(gen_1, negi(ap), 0);
5448 70 : return gc_GEN(av, T);
5449 : }
5450 :
5451 : static GEN
5452 49 : ellnf_charpoly(GEN e, GEN pr)
5453 : {
5454 49 : pari_sp av = avma;
5455 : int good_red;
5456 49 : GEN T, ap = ellnfap(e, pr, &good_red);
5457 49 : if (good_red)
5458 35 : T = deg2pol_shallow(gen_1, gneg(ap), pr_norm(pr), 0);
5459 14 : else if (!signe(ap)) { set_avma(av); return pol_1(0); }
5460 14 : else T = deg1pol_shallow(gen_1, negi(ap), 0);
5461 49 : return gc_GEN(av, T);
5462 : }
5463 :
5464 : static GEN
5465 140 : ellff_charpoly(GEN E)
5466 : {
5467 140 : pari_sp av = avma;
5468 140 : GEN f = ellff_get_field(E), q = typ(f)==t_INT ? f : FF_q(f);
5469 140 : GEN mt = subii(ellff_get_card(E), addiu(q,1));
5470 140 : return gc_GEN(av, deg2pol_shallow(gen_1, mt, q, 0));
5471 : }
5472 :
5473 : GEN
5474 210 : ellcharpoly(GEN E, GEN p)
5475 : {
5476 210 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcharpoly");
5477 210 : switch(ell_get_type(E))
5478 : {
5479 140 : case t_ELL_Fp:
5480 140 : case t_ELL_Fq: return ellff_charpoly(E);
5481 21 : case t_ELL_Q: return ellQ_charpoly(E, p);
5482 49 : case t_ELL_NF: return ellnf_charpoly(E, p);
5483 0 : default:
5484 0 : pari_err_TYPE("ellcharpoly",E);
5485 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5486 : }
5487 : }
5488 :
5489 : static GEN
5490 83778 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
5491 : {
5492 83778 : pari_sp av = avma;
5493 83778 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5494 83779 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
5495 83792 : long l = lg(LP), i;
5496 167559 : for (i = 1; i < l; i++)
5497 : {
5498 : int goodred;
5499 83766 : GEN P = gel(LP,i), T2;
5500 83766 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
5501 83746 : long f = pr_get_f(P);
5502 83744 : if (goodred)
5503 83562 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
5504 : else
5505 : {
5506 182 : if (!signe(ap)) continue;
5507 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
5508 : }
5509 83748 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
5510 83752 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
5511 : }
5512 83793 : if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
5513 46364 : if (n==0) return gc_GEN(av, mkrfrac(gen_1,T));
5514 46350 : return gc_upto(av, RgXn_inv_i(T, n));
5515 : }
5516 :
5517 :
5518 : GEN
5519 70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
5520 : {
5521 70 : checkell(E);
5522 70 : switch(ell_get_type(E))
5523 : {
5524 56 : case t_ELL_Q: return ginv(RgX_recip(ellQ_charpoly(E, p)));
5525 14 : case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
5526 0 : default:
5527 0 : pari_err_TYPE("elleulerf",E);
5528 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5529 : }
5530 : }
5531 :
5532 : static GEN
5533 329 : ellanQ(GEN e, long N)
5534 329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
5535 :
5536 : GEN
5537 4961 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
5538 : {
5539 4961 : pari_sp av = avma;
5540 4961 : long i, l = lg(P);
5541 4961 : GEN W = cgetg(l, t_VEC);
5542 88725 : for(i = 1; i < l; i++)
5543 : {
5544 83762 : ulong p = uel(P,i);
5545 83762 : long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
5546 83763 : gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
5547 : }
5548 4963 : return gc_GEN(av, mkvec2(P,W));
5549 : }
5550 :
5551 : static GEN
5552 203 : ellnfan(GEN E, long N)
5553 : {
5554 203 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
5555 203 : return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
5556 : }
5557 :
5558 : GEN
5559 525 : ellan(GEN E, long N)
5560 : {
5561 525 : checkell(E);
5562 525 : switch(ell_get_type(E))
5563 : {
5564 322 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
5565 203 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
5566 0 : default:
5567 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
5568 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5569 : }
5570 : }
5571 :
5572 : static GEN
5573 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
5574 : {
5575 : GEN u, v, w;
5576 : long j;
5577 735 : if (e == 1) return ap;
5578 112 : u = ap;
5579 112 : w = subii(sqri(ap), p);
5580 126 : for (j=3; j<=e; j++)
5581 : {
5582 14 : v = u; u = w;
5583 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
5584 : }
5585 112 : return w;
5586 : }
5587 :
5588 : GEN
5589 693 : akell(GEN e, GEN n)
5590 : {
5591 : long i, j, s;
5592 693 : pari_sp av = avma;
5593 : GEN fa, P, E, D, u, y;
5594 :
5595 693 : checkell_int(e);
5596 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
5597 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
5598 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
5599 693 : D = ell_get_disc(e);
5600 693 : u = Z_ppo(n, D);
5601 693 : y = gen_1;
5602 693 : s = 1;
5603 693 : if (!equalii(u, n))
5604 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
5605 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
5606 441 : P = gel(fa,1);
5607 441 : E = gel(fa,2);
5608 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5609 : {
5610 581 : GEN p = gel(P,i);
5611 581 : long ex = itos(gel(E,i));
5612 : int good_red;
5613 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
5614 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
5615 350 : j = signe(ap);
5616 350 : if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
5617 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
5618 : }
5619 : }
5620 693 : if (s < 0) y = negi(y);
5621 693 : fa = Z_factor(u);
5622 693 : P = gel(fa,1);
5623 693 : E = gel(fa,2);
5624 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5625 : { /* good reduction */
5626 504 : GEN p = gel(P,i);
5627 504 : GEN ap = ellap(e,p);
5628 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
5629 : }
5630 693 : return gc_INT(av,y);
5631 : }
5632 :
5633 : GEN
5634 8057 : ellQ_get_N(GEN e)
5635 8057 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
5636 : void
5637 917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
5638 917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
5639 :
5640 : GEN
5641 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
5642 : {
5643 14 : pari_sp av = avma, av1;
5644 : ulong l, n;
5645 : long eps, flun;
5646 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
5647 :
5648 14 : if (!A) A = gen_1;
5649 : else
5650 : {
5651 7 : if (gsigne(A)<=0)
5652 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
5653 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
5654 : }
5655 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
5656 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
5657 14 : checkell_Q(e);
5658 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
5659 14 : N = ellQ_get_N(e);
5660 14 : eps = ellrootno_global(e);
5661 14 : if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
5662 :
5663 14 : gs = ggamma(s, prec);
5664 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
5665 14 : cga = gmul(cg, A);
5666 14 : cgb = gdiv(cg, A);
5667 14 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
5668 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
5669 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
5670 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
5671 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
5672 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
5673 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
5674 14 : z = gen_0;
5675 14 : av1 = avma;
5676 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
5677 : {
5678 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
5679 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
5680 1330 : if (!signe(an)) continue;
5681 :
5682 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
5683 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
5684 1106 : if (flun)
5685 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
5686 : else
5687 : {
5688 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
5689 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
5690 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
5691 : }
5692 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
5693 1106 : if (gc_needed(av1,1))
5694 : {
5695 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
5696 0 : z = gc_GEN(av1,z);
5697 : }
5698 : }
5699 14 : return gc_upto(av, gdiv(z,gs));
5700 : }
5701 :
5702 : /********************************************************************/
5703 : /** **/
5704 : /** CANONICAL HEIGHT **/
5705 : /** **/
5706 : /********************************************************************/
5707 :
5708 : static GEN
5709 56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
5710 : {
5711 56 : GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
5712 56 : long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
5713 56 : GEN r = gen_1;
5714 133 : for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
5715 63 : for( ; i < l ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
5716 56 : return r;
5717 : }
5718 :
5719 : /* The function follows
5720 : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
5721 : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
5722 : */
5723 :
5724 : static GEN
5725 70 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
5726 : {
5727 : GEN h;
5728 : long d;
5729 70 : pari_sp av = avma;
5730 70 : checkell(e);
5731 70 : switch(ell_get_type(e))
5732 : {
5733 14 : case t_ELL_Q:
5734 14 : d = 1; e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
5735 14 : h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
5736 14 : break;
5737 56 : case t_ELL_NF:
5738 56 : d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
5739 56 : h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
5740 56 : break;
5741 0 : default:
5742 0 : pari_err_TYPE("ellheight", e);
5743 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5744 : }
5745 70 : return gc_upto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
5746 : }
5747 :
5748 : static GEN
5749 157580 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
5750 :
5751 : /* one root of X^2 - t X + c */
5752 : static GEN
5753 83056 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
5754 : {
5755 83056 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
5756 : }
5757 :
5758 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
5759 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
5760 : static GEN
5761 83056 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
5762 : {
5763 83056 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
5764 83056 : long n, ex = 5-prec, p = prec+EXTRAPREC64;
5765 :
5766 83056 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
5767 83056 : ab = ellR_ab(e, p);
5768 83056 : a = gel(ab, 1);
5769 83056 : b = gel(ab, 2);
5770 83056 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
5771 83056 : x = gsub(x, e1);
5772 83056 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
5773 :
5774 83056 : x_a = gsub(x, a);
5775 83056 : if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
5776 83056 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
5777 83056 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
5778 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
5779 83056 : for(n=0;; n++)
5780 442740 : {
5781 525796 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
5782 525796 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
5783 525796 : r = gsub(a, a0);
5784 525796 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
5785 442740 : ab = gmul(a0, b);
5786 442740 : b = gsqrt(ab, prec);
5787 :
5788 442740 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
5789 442740 : p2 = gsqr(a);
5790 442740 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
5791 442740 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
5792 : }
5793 83056 : if (n) {
5794 83056 : x = gel(V,n);
5795 442740 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
5796 : } else
5797 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
5798 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
5799 83056 : return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
5800 : }
5801 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
5802 : static int
5803 83056 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
5804 : {
5805 83056 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
5806 83056 : return gcmp(x, e1) >= 0;
5807 : }
5808 :
5809 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
5810 : static GEN
5811 83056 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
5812 : {
5813 83056 : pari_sp av = avma;
5814 : GEN h;
5815 83056 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
5816 : {
5817 23794 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
5818 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
5819 23794 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
5820 : }
5821 : else
5822 59262 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
5823 83056 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
5824 83056 : return gc_leaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
5825 : }
5826 : GEN
5827 30660 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
5828 :
5829 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
5830 : static GEN
5831 28728 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
5832 : {
5833 28728 : pari_sp av = avma;
5834 28728 : GEN z = zell(E, P, prec);
5835 28728 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
5836 28728 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
5837 28728 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
5838 28728 : GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
5839 28728 : GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
5840 28728 : GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
5841 28728 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
5842 28728 : GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
5843 28728 : GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
5844 28728 : return gc_upto(av, gsub(r, l));
5845 : }
5846 :
5847 : static GEN
5848 20468 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
5849 20468 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
5850 : static GEN
5851 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
5852 : {
5853 35 : pari_sp av = avma;
5854 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
5855 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
5856 35 : return gc_upto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
5857 : }
5858 : GEN
5859 57659 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
5860 : {
5861 57659 : if (!a)
5862 : {
5863 77 : if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
5864 70 : return ellheightfaltings(e,n);
5865 : }
5866 57582 : return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
5867 : }
5868 : GEN
5869 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
5870 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
5871 :
5872 : /* Based on J.H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic
5873 : * Curves, GTM 151, chap VI, p 478, exercise 6.7
5874 : * Note that we use BSD normalization not Silverman's. */
5875 : /* P an affine point on e */
5876 : static GEN
5877 85211 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
5878 : {
5879 : long v2, vD, vu, vP, vQ;
5880 85211 : GEN lr = nflocalred(e,pr), k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3);
5881 85211 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
5882 85211 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst), nf = ellnf_get_nf(e), v;
5883 :
5884 85211 : vP = minss(0, nfval(nf, gel(P,1), pr)); /* v_p(den(x_P)) */
5885 85211 : vQ = minss(0, nfval(nf, gel(Q,1), pr)); /* v_p(den(x_Q)) */
5886 85211 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
5887 85211 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
5888 85211 : vu = (vQ-vP) >> 1;
5889 85211 : if (v2 <= 0 || nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr) <= 0)
5890 46018 : v = gen_0;
5891 39193 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
5892 : {
5893 26733 : GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
5894 26733 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
5895 : }
5896 : else
5897 : {
5898 12460 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
5899 12460 : v = (v2 < LONG_MAX && v3 >= 3*v2)? sstoQ(-v2,3): sstoQ(-v3,8);
5900 : }
5901 85211 : return gsubgs(v,vu);
5902 : }
5903 :
5904 : /* L list of prime ideals, merge with prime ideals dividing integral ideal A
5905 : * in HNF (use elements of L as hints, which may or may not divide A).
5906 : * Return sorted list, without duplicates */
5907 : static GEN
5908 28812 : prV_merge_factors(GEN nf, GEN L, GEN A)
5909 : {
5910 28812 : if (lg(L) > 1)
5911 : {
5912 20104 : GEN LQ = prV_primes(L); /* rational primes */
5913 20104 : GEN p, e, N = Z_smoothen(gcoeff(A,1,1), LQ, &p, &e);
5914 20104 : L = shallowconcat(L, gel(idealfactor_partial(nf, A, LQ), 1));
5915 : /* L = primes in original L or dividing (A, vecprod(LQ)) */
5916 20104 : A = N? ZM_hnfmodid(A, N): NULL;
5917 : }
5918 : /* A made coprime to vecprod(LQ), add remaining primes if not trivial */
5919 28812 : if (A) L = shallowconcat(L, gel(idealfactor(nf, A), 1));
5920 28812 : return gen_sort_uniq(L, (void*)cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
5921 : }
5922 : /* assume E is an ell and P an ellpt */
5923 : static GEN
5924 28833 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
5925 : {
5926 28833 : pari_sp av = avma;
5927 : GEN logp, oldp, x, nf, d, F, Ee, Pe, s, v, phi2, psi2;
5928 : long i, l, r1;
5929 28833 : E = ellintegralmodel_i(E, &v); if (v) P = ellchangepoint(P, v);
5930 28833 : if (!ellisoncurve_i(E,P))
5931 0 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
5932 28833 : if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gc_const(av, gen_0);
5933 28812 : x = gel(P,1);
5934 28812 : if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) return gc_const(av, gen_0);
5935 28812 : nf = ellnf_get_nf(E);
5936 28812 : phi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dFdx_evalQ(E, P)), 1);
5937 28812 : psi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, P)),1);
5938 28812 : d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
5939 28812 : F = gel(ellminimalprimes(E), 1); /* prime ideals dividing (c4,c6) */
5940 28812 : F = prV_merge_factors(nf, F, idealadd(nf, phi2, psi2));
5941 28812 : Ee = ellnfembed(E, prec); Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
5942 28812 : l = lg(Ee); r1 = nf_get_r1(nf);
5943 28812 : s = gsub(gmul2n(glog(d, prec), -1), glog(ellnf_minimalnormu(E), prec));
5944 57687 : for (i=1; i <= r1; i++)
5945 28875 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
5946 57540 : for ( ; i < l; i++)
5947 28728 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
5948 28812 : l = lg(F); oldp = logp = NULL;
5949 114023 : for (i = 1; i < l; i++)
5950 : { /* F = primes dividing (c4,c6) or (phi2,psi2) */
5951 85211 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr), lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
5952 85211 : if (!oldp || !equalii(p, oldp)) { oldp = p; logp = glog(p, prec); }
5953 85211 : s = gadd(s, gmul(lam, mulru(logp, pr_get_f(pr))));
5954 : }
5955 28812 : return gc_upto(av, gmul2n(s, 1));
5956 : }
5957 :
5958 : /* assume e is an ell and a an ellpt */
5959 : static GEN
5960 52410 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
5961 : {
5962 52410 : long i, lx, newell = 0;
5963 : pari_sp av;
5964 : GEN Lp, x, z, phi2, psi2, psi3;
5965 : GEN v, S, c4, D;
5966 :
5967 52410 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
5968 52403 : if (!ellisoncurve_i(e,a))
5969 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
5970 52396 : if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
5971 52396 : av = avma;
5972 52396 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5973 : { /* switch to minimal model if needed */
5974 23339 : if (lg(S) != 2)
5975 : {
5976 17872 : v = gel(S,2);
5977 17872 : e = gel(S,3);
5978 17872 : a = ellchangepoint(a, v);
5979 : }
5980 : }
5981 : else
5982 : {
5983 29057 : newell = 1;
5984 29057 : e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
5985 29057 : a = ellchangepoint(a, v);
5986 : }
5987 52396 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
5988 52396 : if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
5989 52396 : x = gel(a,1);
5990 52396 : psi3 = Q_numer( ec_3divpol_evalx(e, x) );
5991 52396 : if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
5992 52396 : phi2 = Q_numer(ec_dFdx_evalQ(e, a));
5993 52396 : c4 = ell_get_c4(e);
5994 52396 : D = ell_get_disc(e);
5995 52396 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
5996 52396 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
5997 52396 : lx = lg(Lp);
5998 222862 : for (i=1; i<lx; i++)
5999 : {
6000 170466 : GEN p = gel(Lp,i);
6001 : long u, v, n, n2;
6002 170466 : if (!dvdii(c4,p))
6003 : { /* p \nmid c4 */
6004 146704 : long N = Z_pval(D,p);
6005 146704 : if (!N) continue;
6006 146704 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6007 146704 : if (n > N) n = N;
6008 146704 : u = n * ((N<<1) - n);
6009 146704 : v = N << 3;
6010 : }
6011 : else
6012 : {
6013 23762 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6014 23762 : n = Z_pval(psi3, p);
6015 23762 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6016 : }
6017 : /* z -= u log(p) / v */
6018 170466 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6019 : }
6020 52396 : if (newell) obj_free(e);
6021 52396 : return gc_upto(av, gmul2n(z, 1));
6022 : }
6023 :
6024 : GEN
6025 81243 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6026 : {
6027 81243 : checkell(e);
6028 81243 : if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("ellheight", a);
6029 81243 : switch(ell_get_type(e))
6030 : {
6031 52410 : case t_ELL_Q:
6032 52410 : return ellQ_height(e, a, prec);
6033 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6034 28833 : case t_ELL_NF:
6035 28833 : return ellnf_height(e, a, prec);
6036 : }
6037 : }
6038 :
6039 : GEN
6040 875 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6041 : {
6042 : GEN D, A, B;
6043 875 : long lx = lg(x), i, j;
6044 875 : pari_sp av = avma;
6045 :
6046 875 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6047 875 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6048 875 : A = cgetg(lx,t_MAT);
6049 875 : B = cgetg(lx,t_MAT);
6050 5124 : for (i=1; i<lx; i++)
6051 : {
6052 4249 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6053 4249 : gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
6054 4249 : gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
6055 : }
6056 5124 : for (i=1; i<lx; i++)
6057 : {
6058 4249 : GEN h = gel(D,i);
6059 4249 : if (p)
6060 : {
6061 28 : gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
6062 28 : gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
6063 : }
6064 : else
6065 4221 : gcoeff(A,i,i) = h;
6066 20398 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6067 : {
6068 16149 : h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6069 16149 : h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
6070 16149 : if (p)
6071 : {
6072 21 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
6073 21 : gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
6074 : }
6075 : else
6076 16128 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
6077 : }
6078 : }
6079 875 : return gc_GEN(av, p? mkvec2(A,B): A);
6080 : }
6081 : GEN
6082 861 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6083 861 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6084 :
6085 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6086 : static GEN
6087 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6088 : {
6089 : GEN y;
6090 21 : long i, l = lg(P);
6091 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6092 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
6093 7 : y = cgetg(l, typ(P));
6094 21 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
6095 7 : return y;
6096 : }
6097 : GEN
6098 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6099 : {
6100 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6101 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6102 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6103 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6104 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6105 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6106 7 : if (is_matvec_t(t2))
6107 : {
6108 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6109 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6110 0 : return bilhell_i(E,Q,P,n);
6111 : }
6112 7 : return bilhell_i(E,P,Q,n);
6113 : }
6114 : /********************************************************************/
6115 : /** **/
6116 : /** Modular Parametrization **/
6117 : /** **/
6118 : /********************************************************************/
6119 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6120 : static GEN
6121 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6122 : {
6123 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6124 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(v) | evalvarn(0);
6125 0 : gel(s,2) = t; return s;
6126 : }
6127 :
6128 : GEN
6129 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6130 : {
6131 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6132 : long n, m;
6133 14 : pari_sp av = avma;
6134 :
6135 14 : checkell_Q(e);
6136 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
6137 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
6138 :
6139 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
6140 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
6141 7 : d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalser(d,-1);
6142 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
6143 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6144 7 : c = gsqr(d);
6145 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
6146 : * Take derivative then divide by 2x':
6147 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
6148 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
6149 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
6150 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
6151 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
6152 : * */
6153 7 : C = c+4;
6154 7 : X = x+4;
6155 7 : gel(X,-2) = gen_1;
6156 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
6157 7 : b2 = ell_get_b2(e);
6158 7 : b4 = ell_get_b4(e);
6159 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
6160 : {
6161 105 : pari_sp av2 = avma;
6162 : GEN s1, s2, s3;
6163 105 : if (n != 2)
6164 : {
6165 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
6166 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
6167 98 : s2 = gen_0;
6168 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
6169 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
6170 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
6171 98 : s1 = gen_0;
6172 476 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
6173 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
6174 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
6175 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
6176 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
6177 : }
6178 : else
6179 : {
6180 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
6181 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
6182 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
6183 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
6184 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
6185 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
6186 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
6187 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
6188 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
6189 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
6190 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
6191 7 : w = derivser(U); setvalser(w,-2); /* q X' */
6192 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
6193 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
6194 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
6195 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
6196 7 : s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
6197 : }
6198 105 : gel(X,n+2) = gc_upto(av2, s1);
6199 : }
6200 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalser(w, valser(w)+1);
6201 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
6202 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
6203 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
6204 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gc_upto(av, c);
6205 : }
6206 :
6207 : /********************************************************************/
6208 : /** **/
6209 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
6210 : /** **/
6211 : /********************************************************************/
6212 : static GEN
6213 19292 : doellff_get_o(GEN E)
6214 : {
6215 19292 : GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
6216 19292 : return mkvec2(d, Z_factor(d));
6217 : }
6218 : GEN
6219 19845 : ellff_get_o(GEN E)
6220 19845 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
6221 :
6222 : static void
6223 497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
6224 : {
6225 497 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
6226 497 : *a4 = gel(e, 1);
6227 497 : *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
6228 497 : *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
6229 497 : }
6230 : GEN
6231 140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
6232 : {
6233 140 : pari_sp av = avma;
6234 : GEN p;
6235 140 : checkell_Fq(E);
6236 140 : if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("elllog", a);
6237 140 : if (!checkellpt_i(g)) pari_err_TYPE("elllog", g);
6238 140 : p = ellff_get_field(E);
6239 140 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
6240 140 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
6241 : else
6242 : {
6243 : GEN a4;
6244 49 : RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
6245 49 : return gc_INT(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
6246 : }
6247 : }
6248 :
6249 : GEN
6250 5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6251 : {
6252 : GEN p;
6253 5250 : checkell_Fq(E);
6254 5243 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", P);
6255 5243 : if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", Q);
6256 5243 : p = ellff_get_field(E);
6257 5243 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
6258 : else
6259 : {
6260 245 : pari_sp av = avma;
6261 : GEN w, a4;
6262 245 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
6263 245 : w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
6264 245 : return gc_upto(av, Fp_to_mod(w, p));
6265 : }
6266 : }
6267 :
6268 : GEN
6269 301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6270 : {
6271 : GEN p;
6272 301 : checkell_Fq(E);
6273 301 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltatepairing", P);
6274 301 : if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("elltatepairing", Q);
6275 301 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
6276 301 : p = ellff_get_field(E);
6277 301 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
6278 : else
6279 : {
6280 203 : pari_sp av = avma;
6281 : GEN t, a4;
6282 203 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
6283 203 : t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
6284 203 : return gc_upto(av, Fp_to_mod(t, p));
6285 : }
6286 : }
6287 :
6288 : GEN
6289 2584100 : ellap(GEN E, GEN p)
6290 : {
6291 2584100 : pari_sp av = avma;
6292 : GEN q, card;
6293 : int goodred;
6294 2584100 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
6295 2584081 : switch(ell_get_type(E))
6296 : {
6297 98 : case t_ELL_Fp:
6298 98 : q = p; card = ellff_get_card(E);
6299 98 : break;
6300 54467 : case t_ELL_Fq:
6301 54467 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
6302 54467 : break;
6303 2421544 : case t_ELL_Qp:
6304 : case t_ELL_Q:
6305 2421544 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6306 2421551 : break;
6307 107961 : case t_ELL_NF:
6308 107961 : return ellnfap(E, p, &goodred);
6309 0 : default:
6310 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
6311 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6312 : }
6313 2476116 : return gc_INT(av, subii(addiu(q,1), card));
6314 : }
6315 :
6316 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
6317 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
6318 : GEN
6319 126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
6320 : {
6321 126 : const ulong minq = 523;
6322 126 : checkell_Fq(E);
6323 126 : switch(ell_get_type(E))
6324 : {
6325 112 : case t_ELL_Fp:
6326 : {
6327 112 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
6328 112 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
6329 105 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
6330 : }
6331 14 : case t_ELL_Fq:
6332 : {
6333 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6334 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
6335 0 : return FF_ellcard(E);
6336 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
6337 : }
6338 : }
6339 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6340 : }
6341 :
6342 : GEN
6343 269287 : ellff_get_card(GEN E)
6344 269287 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
6345 :
6346 : GEN
6347 186995 : ellcard(GEN E, GEN p)
6348 : {
6349 186995 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
6350 186988 : switch(ell_get_type(E))
6351 : {
6352 186533 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6353 186533 : return icopy(ellff_get_card(E));
6354 420 : case t_ELL_Qp:
6355 : case t_ELL_Q:
6356 : {
6357 420 : pari_sp av = avma;
6358 : int goodred;
6359 420 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6360 420 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
6361 420 : return gc_INT(av, N);
6362 : }
6363 35 : case t_ELL_NF:
6364 : {
6365 35 : pari_sp av = avma;
6366 : int goodred;
6367 35 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
6368 35 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
6369 35 : return gc_INT(av, N);
6370 : }
6371 0 : default:
6372 0 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
6373 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6374 : }
6375 : }
6376 :
6377 : /* assume model is p-minimal */
6378 : static GEN
6379 120715 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
6380 : {
6381 120715 : GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
6382 120715 : *pm = gen_1;
6383 120715 : if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
6384 120715 : if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
6385 120715 : if (absequaliu(p, 3))
6386 : { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
6387 : ulong b2, b4, b6;
6388 0 : if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
6389 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
6390 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
6391 0 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
6392 0 : if (b6) return mkvec(N);
6393 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
6394 0 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
6395 0 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
6396 0 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
6397 0 : return mkvec2s(2, 2);
6398 : } /* Now assume p > 3 */
6399 120715 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
6400 120715 : return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
6401 : }
6402 :
6403 : static GEN
6404 146454 : doellGm(GEN E)
6405 : {
6406 146454 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6407 146454 : GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
6408 146454 : return mkvec2(G, m);
6409 : }
6410 : static GEN
6411 185997 : ellff_Gm(GEN E)
6412 185997 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
6413 : GEN
6414 167307 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
6415 : GEN
6416 18690 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
6417 : GEN
6418 18690 : ellff_get_D(GEN E)
6419 : {
6420 18690 : GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
6421 18690 : switch(lg(G))
6422 : {
6423 91 : case 1: return G;
6424 15883 : case 2: return mkvec(o);
6425 2716 : default: return mkvec2(o, gel(G,2));
6426 : }
6427 : }
6428 :
6429 : /* E / Fp */
6430 : static GEN
6431 18690 : doellgens(GEN E)
6432 : {
6433 18690 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6434 18690 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6435 18116 : return FF_ellgens(E);
6436 : else
6437 : {
6438 574 : GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6439 574 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
6440 574 : return FpVV_to_mod(F,p);
6441 : }
6442 : }
6443 :
6444 : GEN
6445 18767 : ellff_get_gens(GEN E)
6446 18767 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
6447 :
6448 : GEN
6449 127806 : ellgroup(GEN E, GEN p)
6450 : {
6451 127806 : pari_sp av = avma;
6452 : GEN m, G;
6453 127806 : p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
6454 127799 : switch(ell_get_type(E))
6455 : {
6456 127365 : case t_ELL_Fp:
6457 127365 : case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
6458 392 : case t_ELL_Qp:
6459 : case t_ELL_Q:
6460 392 : if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
6461 : {
6462 14 : GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
6463 14 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
6464 14 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
6465 : }
6466 378 : G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
6467 42 : case t_ELL_NF:
6468 42 : if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
6469 : {
6470 21 : GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
6471 21 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
6472 21 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
6473 : }
6474 28 : E = ellinit(E, p, 0);
6475 28 : G = ellff_get_group(E);
6476 28 : G = gcopy(G); obj_free(E); break;
6477 0 : default:
6478 0 : pari_err_TYPE("ellgroup", E);
6479 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
6480 : }
6481 127799 : return gc_GEN(av, G);
6482 : }
6483 :
6484 : GEN
6485 21490 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
6486 : {
6487 21490 : pari_sp av = avma;
6488 21490 : long tE, freeE = 0;
6489 : GEN G;
6490 21490 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
6491 1946 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
6492 1946 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
6493 1946 : if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
6494 : {
6495 1869 : GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
6496 : long vu;
6497 1862 : switch(tE)
6498 : {
6499 70 : case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
6500 1841 : case t_ELL_Q: vu = Q_pval(u, p); break;
6501 21 : case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
6502 0 : default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
6503 : }
6504 1862 : if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
6505 1855 : if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
6506 : {
6507 91 : GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
6508 91 : if (typ(p) == t_INT)
6509 : {
6510 : long i;
6511 70 : Ep = obj_init(15, 4);
6512 910 : for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
6513 : }
6514 : else
6515 : {
6516 21 : q = pr_norm(p);
6517 21 : Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
6518 : }
6519 91 : E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
6520 91 : gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
6521 91 : obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
6522 : }
6523 : else
6524 1764 : E = ellinit(E, p, 0);
6525 1855 : freeE = 1;
6526 : }
6527 1932 : G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
6528 1932 : if (!freeE) return gc_GEN(av, G);
6529 1855 : G = gcopy(G); obj_free(E); return gc_upto(av, G);
6530 : }
6531 :
6532 : GEN
6533 16849 : ellgenerators(GEN E)
6534 : {
6535 16849 : checkell(E);
6536 16849 : switch(ell_get_type(E))
6537 : {
6538 7 : case t_ELL_Q:
6539 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
6540 16835 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6541 16835 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
6542 7 : default:
6543 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
6544 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
6545 : }
6546 : }
6547 :
6548 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
6549 : static GEN
6550 22715 : ellfromj_simple(GEN j)
6551 : {
6552 22715 : pari_sp av = avma;
6553 22715 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
6554 22715 : GEN E = zerovec(5);
6555 22715 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
6556 22715 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gc_upto(av, E);
6557 : }
6558 : GEN
6559 34020 : ellfromj(GEN j)
6560 : {
6561 34020 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
6562 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
6563 34020 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
6564 : {
6565 3549 : case 2:
6566 3549 : if (gequal0(j))
6567 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
6568 : else
6569 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
6570 7651 : case 3:
6571 7651 : if (gequal0(j))
6572 21 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6573 : else
6574 : {
6575 7630 : GEN E = zerovec(5);
6576 7630 : pari_sp av = avma;
6577 7630 : gel(E,5) = gc_upto(av, gneg(gsqr(j)));
6578 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
6579 7630 : return E;
6580 : }
6581 : }
6582 22820 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
6583 22785 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6584 22715 : return ellfromj_simple(j);
6585 : }
6586 :
6587 : /********************************************************************/
6588 : /** **/
6589 : /** IS SUPERSINGULAR **/
6590 : /** **/
6591 : /********************************************************************/
6592 :
6593 : int
6594 165907 : elljissupersingular(GEN x)
6595 : {
6596 165907 : pari_sp av = avma;
6597 : int res;
6598 :
6599 165907 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
6600 504 : GEN p = gel(x, 1);
6601 504 : GEN j = gel(x, 2);
6602 504 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6603 165403 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
6604 165396 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
6605 165396 : GEN p = FF_p_i(x);
6606 165396 : GEN T = FF_mod(x);
6607 165396 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6608 : } else {
6609 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
6610 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6611 : }
6612 165900 : set_avma(av);
6613 165900 : return res;
6614 : }
6615 :
6616 : int
6617 166117 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
6618 : {
6619 : pari_sp av;
6620 : GEN j;
6621 166117 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
6622 17017 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
6623 17003 : j = ell_get_j(E);
6624 17003 : switch(ell_get_type(E))
6625 : {
6626 16807 : case t_ELL_Fp:
6627 : case t_ELL_Fq:
6628 16807 : return elljissupersingular(j);
6629 56 : case t_ELL_Qp:
6630 : case t_ELL_Q:
6631 56 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
6632 21 : av = avma;
6633 21 : return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
6634 140 : case t_ELL_NF:
6635 : {
6636 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
6637 : int res;
6638 140 : av = avma;
6639 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
6640 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
6641 : {
6642 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
6643 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
6644 : }
6645 : else
6646 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
6647 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
6648 126 : if (typ(j) == t_INT)
6649 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6650 : else
6651 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6652 126 : return gc_bool(av, res);
6653 : }
6654 0 : default:
6655 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
6656 : }
6657 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6658 : }
6659 :
6660 : GEN
6661 1204 : ellsupersingularj(GEN a)
6662 : {
6663 1204 : pari_sp av = avma;
6664 : GEN r, T, p;
6665 : long d;
6666 1204 : switch(typ(a))
6667 : {
6668 1190 : case t_INT:
6669 1190 : p = a;
6670 1190 : if (Z_issquare(p)) pari_err_PRIME("ellsupersingularj", p);
6671 1190 : T = init_Fq(p, 2, fetch_user_var("w"));
6672 1190 : d = 2;
6673 1190 : break;
6674 14 : case t_FFELT:
6675 14 : p = FF_p_i(a); T = FF_mod(a); d = degpol(T);
6676 14 : if (!odd(d))
6677 : {
6678 14 : if (d != 2)
6679 7 : T = init_Fq(p, 2, varn(T));
6680 14 : break;
6681 : }
6682 : default: /* FALL THROUGH */
6683 0 : pari_err_TYPE("ellsupersingular", a);
6684 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
6685 : }
6686 1204 : r = Fq_to_FF(ellsupersingularj_FpXQ(T, p), Tp_to_FF(T, p));
6687 1204 : if (d != 2)
6688 7 : r = ffmap(ffembed(r, a), r);
6689 1204 : return gc_GEN(av, r);
6690 : }
6691 :
6692 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6693 : static GEN
6694 15064 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
6695 : {
6696 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
6697 15064 : if (n==0) return pol_0(v);
6698 15064 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
6699 1799 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
6700 1799 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
6701 1799 : if (n==3)
6702 833 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
6703 : else
6704 : {
6705 966 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
6706 966 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
6707 966 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
6708 : }
6709 1799 : setvarn(res, v); return res;
6710 : }
6711 :
6712 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
6713 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6714 : static GEN
6715 5075 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
6716 : {
6717 : GEN ret;
6718 5075 : long m = n/2;
6719 5075 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
6720 3150 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
6721 882 : else if (odd(n))
6722 : {
6723 525 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6724 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
6725 525 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
6726 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
6727 525 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
6728 91 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
6729 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
6730 434 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
6731 : }
6732 : else
6733 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
6734 357 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6735 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
6736 357 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
6737 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
6738 357 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
6739 : }
6740 3150 : gel(t,n) = ret;
6741 3150 : return ret;
6742 : }
6743 :
6744 : GEN
6745 13125 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
6746 : {
6747 13125 : pari_sp av = avma;
6748 : GEN f, D, N;
6749 13125 : long n = labs(n0);
6750 :
6751 13125 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6752 13125 : if (v < 0) v = 0;
6753 13125 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6754 13125 : N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
6755 13125 : if (n==1 || n==3)
6756 231 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
6757 : else
6758 : {
6759 12894 : GEN d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
6760 12894 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
6761 12894 : if (n <= 4)
6762 12565 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
6763 : else
6764 329 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
6765 12894 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
6766 : }
6767 13125 : if (n0 < 0) return gc_upto(av, RgX_neg(f));
6768 13104 : return gc_GEN(av, f);
6769 : }
6770 :
6771 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
6772 : GEN
6773 406 : ellxn(GEN e, long n, long v)
6774 : {
6775 406 : pari_sp av = avma;
6776 : GEN d2, D, N, A, B;
6777 406 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6778 406 : if (v==-1) v = 0;
6779 406 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6780 406 : N = characteristic(D);
6781 406 : if (!signe(N)) N = NULL;
6782 406 : if (n < 0) n = -n;
6783 406 : d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
6784 406 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
6785 406 : if (n == 0)
6786 : {
6787 7 : A = pol_0(v);
6788 7 : B = pol_0(v);
6789 : }
6790 399 : else if (n == 1)
6791 : {
6792 7 : A = pol_1(v);
6793 7 : B = pol_x(v);
6794 : }
6795 392 : else if (n == 2)
6796 : {
6797 105 : A = d2;
6798 105 : B = ec_phi2(e, v);
6799 : }
6800 : else
6801 : {
6802 287 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
6803 287 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
6804 287 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
6805 287 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
6806 287 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
6807 287 : if (!odd(n))
6808 14 : A = RgX_mul(f2, d2);
6809 : else
6810 273 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
6811 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
6812 287 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
6813 : }
6814 406 : return gc_GEN(av, mkvec2(B,A));
6815 : }
6816 :
6817 : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
6818 : static ulong
6819 2807 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
6820 : {
6821 2807 : ulong x, y, r = (p-1)/l;
6822 4389 : for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
6823 : }
6824 :
6825 : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
6826 : static void
6827 8631 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
6828 : GEN S, long *m)
6829 : {
6830 8631 : long i, n = lg(P)-1;
6831 8631 : GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
6832 8631 : pari_sp av = avma;
6833 8631 : ulong q = o / l;
6834 :
6835 8631 : F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
6836 8631 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
6837 8631 : g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
6838 63238 : for (i=1; i <= n; i++)
6839 : {
6840 54607 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
6841 54607 : if (!ell_is_inf(Q))
6842 54278 : v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
6843 : }
6844 8631 : gel(S,(*m)++) = v;
6845 8631 : set_avma(av);
6846 8631 : }
6847 :
6848 : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
6849 : static void
6850 2807 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
6851 : ulong p, GEN S, long *m)
6852 : {
6853 2807 : long i, n = lg(P)-1;
6854 2807 : GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
6855 2807 : ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
6856 2807 : pari_sp av = avma;
6857 :
6858 2807 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
6859 2807 : G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
6860 2807 : G1 = gel(G,1);
6861 2807 : G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
6862 16457 : for (i = 1; i <= n; i++)
6863 : {
6864 13650 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
6865 13650 : if (!ell_is_inf(Q))
6866 : {
6867 13279 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
6868 13279 : v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
6869 13279 : if (G2)
6870 : {
6871 3395 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
6872 3395 : w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
6873 : }
6874 : }
6875 : }
6876 2807 : gel(S,(*m)++) = v;
6877 2807 : if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
6878 2807 : set_avma(av);
6879 2807 : }
6880 :
6881 : static void
6882 11438 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
6883 : GEN S, long *m)
6884 : {
6885 11438 : P = ZVV_to_FlvV(P, p);
6886 11438 : if (p % l == 1)
6887 2807 : FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
6888 : else
6889 8631 : FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
6890 11438 : }
6891 :
6892 : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
6893 : * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
6894 : static GEN
6895 1204 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
6896 : {
6897 1204 : long m = 1;
6898 1204 : GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
6899 : forprime_t S;
6900 :
6901 1204 : P = QEV_to_ZJV(P);
6902 1204 : (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
6903 326459 : while (m <= nb)
6904 : {
6905 325255 : ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
6906 : long o;
6907 325255 : if (dvdiu(D, p)) continue;
6908 320075 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
6909 320075 : if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
6910 : {
6911 34979 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
6912 34979 : hash_insert_long(h,(void*)p, o);
6913 : }
6914 320075 : if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
6915 : }
6916 1204 : return M;
6917 : }
6918 :
6919 : INLINE long
6920 147 : Flv_firstnonzero(GEN v)
6921 : {
6922 147 : long i, l = lg(v);
6923 154 : for (i = 1; i < l; i++)
6924 154 : if (v[i]) break;
6925 147 : return i;
6926 : }
6927 :
6928 : /* update M in place */
6929 : static GEN
6930 1204 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
6931 : long vxl, long nb, long prec)
6932 : {
6933 1204 : GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
6934 1204 : GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l, nb); /* fill hh */
6935 1204 : pari_sp av = avma;
6936 1204 : GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
6937 1204 : long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
6938 :
6939 1204 : if (lK==1) return gc_NULL(av);
6940 147 : if (DEBUGLEVEL >= 3)
6941 0 : err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
6942 : /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
6943 147 : if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
6944 147 : for (i = 1; i < lK; i++)
6945 : {
6946 147 : GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
6947 147 : long f = Flv_firstnonzero(ki);
6948 :
6949 : /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
6950 147 : if (f > nH) continue;
6951 147 : if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
6952 147 : Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
6953 147 : h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
6954 147 : if (*xl)
6955 : {
6956 133 : GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
6957 133 : if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
6958 : }
6959 : else
6960 : {
6961 14 : h = gdiv(h, sqru(l));
6962 14 : R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
6963 : }
6964 147 : if (DEBUGLEVEL >= 2)
6965 0 : err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
6966 147 : if (!R)
6967 : {
6968 28 : if (lK == 2) break;
6969 140 : return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
6970 : }
6971 119 : gcoeff(M, f, f) = h;
6972 490 : for (i = 1; i <= nH; i++)
6973 371 : if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
6974 490 : for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
6975 119 : gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
6976 : }
6977 7 : return gc_NULL(av); /* l-saturated */
6978 : }
6979 :
6980 : static GEN
6981 49 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
6982 : {
6983 : forprime_t S;
6984 49 : GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
6985 49 : long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
6986 : hashtable h;
6987 : ulong p;
6988 :
6989 49 : hash_init_ulong(&h, 16, 1);
6990 49 : (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
6991 49 : P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
6992 1113 : while((p = u_forprime_next(&S)))
6993 : {
6994 1064 : long nb = lg(P)-1 + 25 / log2(p) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
6995 1064 : GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
6996 1064 : if (lg(T)==1) T = NULL;
6997 : while (1)
6998 140 : {
6999 1204 : GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, nb, prec);
7000 1204 : if (!Q) break;
7001 140 : nb += lg(P)-1;
7002 140 : P = Q;
7003 : }
7004 : }
7005 49 : (void)delete_var(); return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
7006 : }
7007 :
7008 : GEN
7009 49 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7010 : {
7011 49 : pari_sp av = avma;
7012 : GEN urst;
7013 :
7014 49 : if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
7015 49 : E = ellminimalmodel(E, &urst);
7016 49 : if (is_trivial_change(urst, NULL)) urst = NULL;
7017 7 : else P = ellchangepoint(P, urst);
7018 49 : P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
7019 49 : if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert_i(urst));
7020 49 : obj_free(E); return gc_GEN(av, P);
7021 : }
7022 :
7023 : static GEN
7024 126 : to_RgX(GEN P, long vx)
7025 126 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
7026 : GEN
7027 70 : elltrace(GEN E, GEN P)
7028 : {
7029 70 : pari_sp av = avma;
7030 70 : GEN xP, yP, T = NULL, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
7031 : long v, n, i, j, d;
7032 :
7033 70 : checkell(E);
7034 70 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltrace", P);
7035 70 : if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
7036 63 : if (!ellisoncurve_i(E,P))
7037 0 : pari_err_DOMAIN("elltrace", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
7038 : /* More checks */
7039 :
7040 63 : xP = gel(P,1); yP = gel(P,2);
7041 63 : if (typ(xP)==t_POLMOD) { T = gel(xP,1); xP = gel(xP,2); }
7042 63 : if (typ(yP)==t_POLMOD)
7043 : {
7044 63 : if (T)
7045 : {
7046 56 : if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
7047 : }
7048 : else
7049 7 : T = gel(yP,1);
7050 63 : yP = gel(yP,2);
7051 : }
7052 63 : if (!T) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
7053 63 : v = varn(T); n = degpol(T);
7054 : /* Trivial cases */
7055 63 : if (n == 1) { return gc_GEN(av, mkvec2(xP,yP)); }
7056 63 : xP = to_RgX(xP, v);
7057 63 : yP = to_RgX(yP, v);
7058 63 : if (degpol(xP) <= 0)
7059 : {
7060 28 : if (degpol(yP) > 0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7061 14 : P = mkvec2(constant_coeff(xP), constant_coeff(yP));
7062 14 : return gc_upto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
7063 : }
7064 : /* Strategy: look for a function with divisor equal to
7065 : * [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
7066 35 : LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
7067 35 : gel(LP,1) = pol_1(v);
7068 35 : gel(LP,2) = xP;
7069 35 : gel(LP,3) = yP;
7070 84 : for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = RgXQ_mul(gel(LP,i-2), xP, T);
7071 35 : M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
7072 189 : for (j = 1; j <= n+1; j++)
7073 714 : for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(gel(LP,j), n);
7074 35 : K = gel(ker(M),1);
7075 : /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
7076 : * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
7077 : * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
7078 35 : U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
7079 35 : V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
7080 35 : gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
7081 105 : for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
7082 84 : for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
7083 35 : U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
7084 : /* f does not depend on y, so trace = oo */
7085 35 : if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7086 : /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
7087 : * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
7088 35 : R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
7089 35 : R = gmul(R, V);
7090 35 : R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
7091 35 : R = gmul(R, V);
7092 35 : R = gsub(R, gsqr(U));
7093 : /* Discard Galois orbit of P */
7094 35 : R = RgX_div(R, RgXQ_minpoly(xP,T, 0));
7095 : /* What is left is either constant -> return 0, or deg 1 -> nontrivial trace. */
7096 35 : if(degpol(R)<=0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7097 : /* Recover the trace */
7098 28 : xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
7099 28 : yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
7100 28 : Q = mkvec2(xQ, yQ);
7101 : /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
7102 : * we still need to compute [L:K(P)] */
7103 28 : d = 0;
7104 42 : for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
7105 28 : return gc_upto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
7106 : }
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