Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ELLIPTIC CURVES **/
17 : /** **/
18 : /********************************************************************/
19 : #include "pari.h"
20 : #include "paripriv.h"
21 : #undef coordch
22 :
23 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
24 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
25 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
26 : */
27 :
28 : static ulong
29 303306 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
30 303306 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
31 : static void
32 303012 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
33 : {
34 303012 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
35 303012 : *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
36 303012 : }
37 : static GEN
38 2740683 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
39 2740683 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
40 : static void
41 2740683 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
42 : {
43 2740683 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
44 2740684 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
45 2740684 : }
46 : static GEN
47 70112 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
48 70112 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
49 : static void
50 70112 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
51 : {
52 70112 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
53 70112 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
54 70112 : }
55 : static void
56 2740536 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
57 : {
58 2740536 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
59 2740537 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
60 2740536 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
61 2740537 : }
62 : static void
63 303012 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
64 : {
65 303012 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
66 303012 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
67 303012 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 303012 : }
69 :
70 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
71 : static GEN
72 22723 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
73 : {
74 22723 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
75 22722 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
76 22723 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
77 22724 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
78 : }
79 : static GEN
80 294 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
81 : {
82 294 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
83 294 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
84 294 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
85 294 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
86 : }
87 :
88 : static GEN
89 22723 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
90 : {
91 : GEN A4, A6;
92 22723 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
93 22724 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
94 : }
95 : GEN
96 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
97 : {
98 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
99 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
100 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
101 : }
102 : GEN
103 294 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
104 : {
105 294 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
106 294 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
107 294 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
108 : }
109 :
110 : /* shallow basistoalg */
111 : static GEN
112 387394 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
113 : {
114 387394 : switch(typ(x))
115 : {
116 383817 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
117 3577 : default: return basistoalg(nf, x);
118 : }
119 : }
120 :
121 : void
122 307455 : checkellpt(GEN z)
123 : {
124 307455 : if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
125 307448 : switch(lg(z))
126 : {
127 302212 : case 3: break;
128 5236 : case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
129 : /* fall through */
130 0 : default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
131 : }
132 307448 : }
133 : void
134 72212 : checkell5(GEN E)
135 : {
136 72212 : long l = lg(E);
137 72212 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
138 72212 : }
139 : void
140 4271116 : checkell(GEN E)
141 4271116 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
142 : void
143 3248 : checkellisog(GEN v)
144 3248 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
145 :
146 : void
147 2737 : checkell_Q(GEN E)
148 : {
149 2737 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
150 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
151 2730 : }
152 :
153 : void
154 0 : checkell_Qp(GEN E)
155 : {
156 0 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
157 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
158 0 : }
159 :
160 : static int
161 528438 : ell_over_Fq(GEN E)
162 : {
163 528438 : long t = ell_get_type(E);
164 528438 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
165 : }
166 :
167 : void
168 279447 : checkell_Fq(GEN E)
169 : {
170 279447 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
171 7 : pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
172 279440 : }
173 :
174 : GEN
175 179923 : ellff_get_p(GEN E)
176 : {
177 179923 : GEN fg = ellff_get_field(E);
178 179923 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
179 : }
180 :
181 : int
182 203 : ell_is_integral(GEN E)
183 : {
184 406 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
185 168 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
186 154 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
187 154 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
188 357 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
189 : }
190 :
191 : static void
192 72793 : checkcoordch(GEN z)
193 72793 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
194 :
195 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
196 : GEN
197 12105 : ec_bmodel(GEN e)
198 : {
199 12105 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
200 12105 : return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
201 : }
202 :
203 : static int
204 5736 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
205 :
206 : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
207 : static GEN
208 7667 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
209 : {
210 7667 : GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = roots(ec_bmodel(e), prec);
211 7667 : long s = ellR_get_sign(e);
212 7667 : if (s > 0)
213 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
214 1912 : R = real_i(R);
215 1912 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
216 1912 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
217 1912 : d3 = subrr(e1,e2);
218 1912 : d1 = subrr(e2,e3);
219 1912 : d2 = subrr(e1,e3);
220 1912 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
221 : } else {
222 5755 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
223 5755 : if (s < 0)
224 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
225 1443 : e1 = real_i(e1);
226 1443 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
227 : }
228 5755 : d3 = gsub(e1,e2);
229 5755 : d1 = gsub(e2,e3);
230 5755 : d2 = gsub(e1,e3);
231 5755 : if (precision(d1) < prec0
232 5734 : || precision(d2) < prec0
233 5734 : || precision(d3) < prec0) return NULL;
234 : }
235 7624 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
236 : }
237 : static GEN
238 4271 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
239 : {
240 : long p;
241 4314 : for (p = prec0;; p = precdbl(p))
242 : {
243 4314 : GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
244 8585 : if (v) return v;
245 43 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
246 43 : }
247 : }
248 : static GEN
249 1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
250 :
251 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
252 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
253 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
254 : GEN
255 528780 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
256 : {
257 528780 : pari_sp av = avma;
258 : GEN z;
259 528780 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
260 528780 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
261 528780 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
262 528780 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
263 : }
264 :
265 : /* a1 x + a3 */
266 : GEN
267 545538 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
268 : {
269 545538 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
270 545538 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
271 545538 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
272 : }
273 : static GEN
274 516453 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
275 : {
276 516453 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
277 516453 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
278 516453 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
279 : }
280 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
281 : static GEN
282 15470 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
283 : {
284 15470 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
285 15470 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
286 : }
287 :
288 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
289 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
290 : * which is the derivative of the curve equation
291 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
292 : * wrt x evaluated at Q */
293 : GEN
294 2247 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
295 : {
296 2247 : pari_sp av = avma;
297 2247 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
298 2247 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
299 2247 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
300 2247 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
301 2247 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
302 2247 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
303 : }
304 :
305 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
306 : GEN
307 5684 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
308 : {
309 5684 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
310 5684 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
311 : }
312 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
313 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
314 : * which is the derivative of the curve equation
315 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
316 : * wrt y evaluated at Q */
317 : GEN
318 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
319 : {
320 532 : pari_sp av = avma;
321 532 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
322 : }
323 :
324 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
325 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
326 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
327 : GEN
328 1785 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
329 : {
330 1785 : pari_sp av = avma;
331 1785 : GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
332 1785 : GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
333 1785 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
334 1785 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
335 : {
336 98 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
337 98 : t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
338 98 : t2 = nfadd(nf, t1, b42);
339 98 : t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
340 98 : t2 = nftoalg(nf, t2);
341 : }
342 : else
343 : {
344 1687 : t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
345 1687 : t2 = gadd(t1, b42);
346 1687 : t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
347 : }
348 1785 : return gerepileupto(av, t2);
349 : }
350 :
351 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
352 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
353 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
354 : GEN
355 14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
356 : {
357 14 : pari_sp av = avma;
358 14 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
359 14 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
360 14 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
361 14 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
362 14 : GEN x2 = gsqr(x);
363 14 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
364 14 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
365 14 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
366 : }
367 :
368 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
369 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
370 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
371 : GEN
372 1491 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
373 : {
374 1491 : pari_sp av = avma;
375 1491 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
376 1491 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
377 1491 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
378 1491 : return gerepileupto(av, res);
379 : }
380 :
381 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
382 : GEN
383 2492 : ellbasechar(GEN E)
384 : {
385 2492 : pari_sp av = avma;
386 2492 : GEN D = ell_get_disc(E);
387 2492 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
388 : }
389 :
390 : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
391 : * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
392 : * Also allocate room for n dynamic members. */
393 : static GEN
394 683581 : initsmall_i(GEN x, long n)
395 : {
396 : GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D;
397 683581 : GEN y = obj_init(15, n);
398 683581 : switch(lg(x))
399 : {
400 : case 1:
401 : case 2:
402 : case 4:
403 : case 5:
404 7 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
405 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
406 : case 3:
407 15701 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
408 15701 : a4 = gel(x,1);
409 15701 : a6 = gel(x,2);
410 15701 : b2 = gen_0;
411 15701 : b4 = gmul2n(a4,1);
412 15701 : b6 = gmul2n(a6,2);
413 15701 : b8 = gneg(gsqr(a4));
414 15701 : c4 = gmulgs(a4,-48);
415 15701 : c6 = gmulgs(a6,-864);
416 15701 : D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
417 15701 : break;
418 : default: /* l > 5 */
419 : { GEN a11, a13, a33, b22;
420 667873 : a1 = gel(x,1);
421 667873 : a2 = gel(x,2);
422 667873 : a3 = gel(x,3);
423 667873 : a4 = gel(x,4);
424 667873 : a6 = gel(x,5);
425 667873 : a11= gsqr(a1);
426 667873 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
427 667874 : a13= gmul(a1, a3);
428 667874 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
429 667873 : a33= gsqr(a3);
430 667871 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
431 667872 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
432 667874 : b22= gsqr(b2);
433 667874 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
434 667872 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
435 667875 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
436 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
437 667875 : break;
438 : }
439 : }
440 683576 : gel(y,1) = a1;
441 683576 : gel(y,2) = a2;
442 683576 : gel(y,3) = a3;
443 683576 : gel(y,4) = a4;
444 683576 : gel(y,5) = a6;
445 683576 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
446 683576 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
447 683576 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
448 683576 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
449 683576 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
450 683576 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
451 683576 : gel(y,12)= D;
452 683576 : gel(y,16) = zerovec(n);
453 683576 : return y;
454 : }
455 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
456 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
457 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
458 : * component y[16])*/
459 : static GEN
460 683560 : initsmall(GEN x, long n)
461 : {
462 683560 : GEN j, y = initsmall_i(x, n), c4 = ell_get_c4(y), D = ell_get_disc(y);
463 683555 : if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
464 :
465 675595 : if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
466 315 : { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
467 315 : GEN g = RgX_gcd(D, c4);
468 315 : if (degpol(g) == 0)
469 266 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
470 : else
471 : {
472 49 : GEN d, c = RgX_div(c4, g);
473 49 : D = RgX_div(D, g);
474 49 : g = RgX_gcd(D,c4);
475 49 : if (degpol(g) == 0)
476 7 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
477 : else
478 : {
479 42 : D = RgX_div(D, g);
480 42 : d = RgX_div(c4, g);
481 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
482 42 : if (degpol(g))
483 : {
484 21 : D = RgX_div(D, g);
485 21 : c4 = RgX_div(c4, g);
486 : }
487 42 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
488 : }
489 : }
490 : }
491 : else
492 675280 : j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
493 675595 : gel(y,13) = j;
494 675595 : return y;
495 : }
496 : void
497 0 : ellprint(GEN e)
498 : {
499 0 : pari_sp av = avma;
500 : long vx, vy;
501 : GEN z;
502 0 : checkell5(e);
503 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
504 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
505 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
506 0 : (void)delete_var();
507 0 : (void)delete_var(); avma = av;
508 0 : }
509 :
510 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
511 : static GEN
512 203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
513 : {
514 203 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
515 203 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
516 :
517 203 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
518 203 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
519 105 : b = mulrr(d3,d2);
520 : else
521 98 : b = cxnorm(d3);
522 203 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
523 203 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
524 203 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
525 203 : return mkvec2(a, b);
526 : }
527 : GEN
528 1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
529 1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
530 :
531 : /* q a t_REAL*/
532 : static long
533 84 : real_prec(GEN q)
534 84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
535 : /* q a t_PADIC */
536 : static long
537 252 : padic_prec(GEN q)
538 252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
539 :
540 : /* check whether moduli are consistent */
541 : static void
542 99673 : chk_p(GEN p, GEN p2)
543 99673 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
544 :
545 : static int
546 36379 : fix_nftype(GEN *pp)
547 : {
548 36379 : switch(nftyp(*pp))
549 : {
550 36379 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
551 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
552 0 : default: return 0;
553 : }
554 36379 : return 1;
555 : }
556 : static long
557 713674 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
558 : {
559 713674 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
560 713675 : GEN p = NULL;
561 713675 : long t = t_FRAC;
562 713675 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
563 : {
564 : case t_INT:
565 490693 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
566 1981 : p = *pp;
567 1981 : t = t_INTMOD;
568 1981 : break;
569 : case t_INTMOD:
570 665 : p = gel(*pp, 1);
571 665 : break;
572 : case t_REAL:
573 28 : e = real_prec(*pp);
574 28 : p = NULL;
575 28 : break;
576 : case t_PADIC:
577 224 : ep = padic_prec(*pp);
578 224 : p = gel(*pp, 2);
579 224 : break;
580 : case t_FFELT:
581 18144 : p = *pp;
582 18144 : break;
583 : case t_VEC:
584 36379 : t = t_VEC; p = *pp;
585 36379 : if (fix_nftype(&p)) break;
586 : default:
587 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
588 0 : return 0;
589 : }
590 : /* Possible cases:
591 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
592 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
593 : * t = t_INTMOD (p a prime)
594 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
595 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
596 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
597 4229373 : for (i = 1; i < imax; i++)
598 : {
599 3518288 : GEN p2, q = gel(x,i);
600 3518288 : switch(typ(q)) {
601 : case t_PADIC:
602 49 : p2 = gel(q,2);
603 49 : switch(t)
604 : {
605 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
606 14 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
607 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
608 : }
609 28 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
610 28 : break;
611 : case t_INTMOD:
612 124601 : p2 = gel(q,1);
613 124601 : switch(t)
614 : {
615 24957 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
616 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
617 99581 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
618 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
619 : }
620 124587 : break;
621 : case t_FFELT:
622 256104 : switch(t)
623 : {
624 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
625 96042 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
626 : case t_FFELT:
627 160055 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
628 160055 : break;
629 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
630 : }
631 256097 : break;
632 :
633 3133782 : case t_INT: case t_FRAC: break;
634 : case t_REAL:
635 56 : switch(t)
636 : {
637 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
638 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
639 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
640 : }
641 56 : break;
642 : case t_COL:
643 : case t_POL:
644 : case t_POLMOD:
645 3682 : if (t == t_VEC) break;
646 : default: /* base ring too general */
647 2541 : return t_COMPLEX;
648 : }
649 : }
650 711085 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
651 : }
652 :
653 : /* s = 0 complex, else real;
654 : * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
655 : static GEN
656 5922 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
657 : {
658 : GEN y;
659 5922 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
660 : {
661 : case t_ELL_Rg:
662 7 : case t_ELL_Q: break;
663 7 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
664 : }
665 5915 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
666 5915 : if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
667 5915 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
668 5915 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
669 5915 : return y;
670 : }
671 :
672 : static GEN
673 196 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
674 : {
675 : GEN y;
676 196 : if (lg(x) > 6)
677 : {
678 28 : switch(ell_get_type(x))
679 : { /* sanity checks */
680 21 : case t_ELL_Q: break;
681 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
682 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
683 : }
684 21 : x = vecslice(x,1,5);
685 : }
686 189 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
687 189 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
688 189 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
689 189 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
690 189 : return y;
691 : }
692 :
693 : static GEN
694 495824 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
695 : {
696 : GEN y;
697 : long s;
698 495824 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
699 495691 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
700 495691 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
701 495691 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
702 495691 : return y;
703 : }
704 :
705 : static GEN
706 36967 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
707 : {
708 : long i, l;
709 36967 : GEN y = cgetg_copy(x,&l);
710 36967 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
711 36967 : return y;
712 : }
713 :
714 : static GEN
715 36953 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
716 : {
717 : GEN y, nf;
718 36953 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
719 36953 : nf = checknf(p);
720 36953 : x = nfVtoalg(nf, x);
721 36953 : if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
722 36953 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
723 36953 : gel(y,15) = mkvec(p);
724 36953 : return y;
725 : }
726 :
727 : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
728 : static GEN
729 114123 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
730 : {
731 114123 : x = FF_ellinit(x,fg);
732 114123 : return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
733 : }
734 :
735 : static GEN
736 30416 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
737 : {
738 : long i;
739 : GEN y, disc;
740 30416 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
741 : {
742 2429 : case t_ELL_Q: break;
743 0 : case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
744 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
745 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
746 : }
747 30409 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
748 : /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
749 25468 : if (abscmpiu(p,3)<=0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
750 22725 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
751 22726 : if (!signe(disc)) return NULL;
752 317949 : for(i=1;i<=13;i++)
753 295232 : gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
754 22717 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
755 22716 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
756 22716 : return y;
757 : }
758 :
759 : static GEN
760 114270 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
761 : {
762 : GEN y;
763 114270 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
764 111379 : return FF_ellinit_ns(y,fg);
765 : }
766 :
767 : static GEN
768 3073 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
769 : {
770 3073 : GEN e = vecslice(x,1,5);
771 : GEN p, modP;
772 3073 : if (get_modpr(P))
773 : { /* modpr accept */
774 2877 : modP = P;
775 2877 : p = modpr_get_p(modP);
776 : }
777 : else
778 : { /* pr, initialize modpr */
779 196 : GEN d = Q_denom(e);
780 196 : p = pr_get_p(P);
781 196 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
782 : }
783 3073 : *pp = p;
784 3073 : *pT = modpr_get_T(modP);
785 3073 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
786 : }
787 : static GEN
788 3052 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
789 : {
790 : GEN T,p;
791 3052 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
792 3052 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
793 : }
794 :
795 : GEN
796 679283 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
797 : {
798 679283 : pari_sp av = avma;
799 : GEN y;
800 679283 : switch(typ(x))
801 : {
802 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
803 : case t_VEC:
804 679276 : if (lg(x) > 6) checkell(x);
805 679277 : break;
806 0 : default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
807 : }
808 679284 : if (D && get_prid(D))
809 : {
810 2632 : if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
811 2632 : y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
812 2632 : goto END;
813 : }
814 676652 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
815 : {
816 : case t_PADIC:
817 196 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
818 189 : break;
819 : case t_INTMOD:
820 27575 : y = ellinit_Fp(x, D);
821 27567 : break;
822 : case t_FFELT:
823 114060 : y = ellinit_Fq(x, D);
824 114060 : break;
825 : case t_FRAC:
826 495824 : y = ellinit_Q(x, prec);
827 495817 : break;
828 : case t_REAL:
829 28 : y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
830 21 : break;
831 : case t_VEC:
832 36379 : y = ellinit_nf(x, D);
833 36379 : break;
834 : default:
835 2541 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
836 : }
837 : END:
838 679205 : if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
839 671225 : return gerepilecopy(av,y);
840 : }
841 :
842 : /********************************************************************/
843 : /** **/
844 : /** COORDINATE CHANGE **/
845 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
846 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
847 : /** verbatim **/
848 : /** **/
849 : /********************************************************************/
850 : /* [1,0,0,0] */
851 : static GEN
852 2565969 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
853 : static int
854 455882 : is_trivial_change(GEN v)
855 : {
856 : GEN u, r, s, t;
857 455882 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
858 455882 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
859 455882 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
860 : }
861 :
862 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
863 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
864 : static void
865 574 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
866 : {
867 574 : GEN v = *vtotal;
868 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
869 :
870 1148 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
871 546 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
872 546 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
873 546 : U2 = gsqr(U);
874 546 : gel(v,1) = gmul(U, u);
875 546 : gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
876 546 : gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
877 546 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
878 : }
879 :
880 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
881 : GEN
882 21 : ellchangeinvert(GEN w)
883 : {
884 : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
885 21 : if (typ(w) == t_INT) return w;
886 21 : u = gel(w,1);
887 21 : r = gel(w,2);
888 21 : s = gel(w,3);
889 21 : t = gel(w,4);
890 21 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
891 21 : U = ginv(u);
892 21 : R = gdiv(gneg(r), u2);
893 21 : S = gdiv(gneg(s), u);
894 21 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
895 21 : return mkvec4(U,R,S,T);
896 : }
897 :
898 : static GEN
899 99295 : ell_to_nfell10(GEN e)
900 : {
901 : long i;
902 99295 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
903 99295 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
904 1092245 : for(i=1; i<=10; i++)
905 992950 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
906 99295 : return y;
907 : }
908 :
909 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
910 : static GEN
911 153405 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
912 : {
913 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
914 : long lx;
915 153405 : if (gequal1(u)) return e;
916 152992 : y = cgetg_copy(e, &lx);
917 152992 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
918 152992 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
919 152992 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
920 152992 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
921 152992 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
922 152992 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
923 152992 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
924 152992 : if (lx == 6) return y;
925 152985 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
926 152985 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
927 152985 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
928 152985 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
929 152985 : return y;
930 : }
931 : /* apply [1,r,0,0] */
932 : static GEN
933 267246 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
934 : {
935 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
936 : long lx;
937 267246 : if (gequal0(r)) return e;
938 238910 : y = cgetg_copy(e, &lx);
939 238910 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
940 238910 : rx3 = gmulsg(3,r);
941 :
942 238910 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
943 : /* A2 = a2 + 3r */
944 238910 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
945 : /* A3 = a1 r + a3 */
946 238910 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
947 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
948 238910 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
949 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
950 238910 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
951 238910 : if (lx == 6) return y;
952 :
953 238903 : b4 = ell_get_b4(e);
954 238903 : b6 = ell_get_b6(e);
955 : /* B2 = 12r + b2 */
956 238903 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
957 238903 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
958 238903 : r2 = nfsqr(nf,r);
959 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
960 238903 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
961 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
962 238903 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
963 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
964 238903 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
965 238903 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
966 238903 : return y;
967 : }
968 :
969 : static GEN
970 109557 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
971 : {
972 : GEN a1, y;
973 109557 : if (gequal0(s)) return e;
974 109557 : a1 = ell_get_a1(e);
975 109557 : y = leafcopy(e);
976 :
977 : /* A1 = a1 + 2s */
978 109557 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
979 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
980 109557 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
981 : /* A4 = a4 - s a3 */
982 109557 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
983 109557 : return y;
984 : }
985 : /* apply [1,0,0,t] */
986 : static GEN
987 251839 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
988 : {
989 : GEN a1, a3, y;
990 251839 : if (gequal0(t)) return e;
991 251419 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
992 251419 : y = leafcopy(e);
993 : /* A3 = 2t + a3 */
994 251419 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
995 : /* A4 = a4 - a1 t */
996 251419 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
997 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
998 251419 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
999 251419 : return y;
1000 : }
1001 :
1002 : /* apply [1,0,s,t] */
1003 : static GEN
1004 12922 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1005 : {
1006 : GEN y, a1, a3;
1007 12922 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1008 12502 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1009 12502 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1010 12502 : y = leafcopy(e);
1011 : /* A1 = a1 + 2s */
1012 12502 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1013 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1014 12502 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1015 : /* A3 = 2t + a3 */
1016 12502 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1017 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1018 12502 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1019 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1020 12502 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1021 12502 : return y;
1022 : }
1023 :
1024 : static GEN
1025 171087 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1026 : {
1027 171087 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1028 171087 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1029 : }
1030 :
1031 : /* apply [1,r,s,t] */
1032 : static GEN
1033 420 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1034 : {
1035 420 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1036 420 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1037 : }
1038 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1039 : static GEN
1040 420 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1041 : {
1042 420 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1043 420 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1044 420 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1045 : }
1046 :
1047 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1048 : static GEN
1049 73318 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1050 : {
1051 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1052 : long lx;
1053 73318 : if (gequal1(u)) return e;
1054 72989 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1055 72989 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1056 72989 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1057 72989 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1058 72989 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1059 72989 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1060 72989 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1061 72989 : if (lx == 6) return y;
1062 72989 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1063 72989 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1064 72989 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1065 72989 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1066 72989 : u12 = gsqr(u6);
1067 72989 : D = ell_get_disc(e);
1068 72989 : c4 = ell_get_c4(e);
1069 72989 : c6 = ell_get_c6(e);
1070 72989 : c4 = gmul(c4, u4);
1071 72989 : c6 = gmul(c6, u6);
1072 72989 : D = gmul(D, u12);
1073 72989 : gel(y,10)= c4;
1074 72989 : gel(y,11)= c6;
1075 72989 : gel(y,12)= D;
1076 72989 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1077 72989 : gel(y,14)= gel(e,14);
1078 72989 : gel(y,15)= gel(e,15);
1079 72989 : gel(y,16)= gel(e,16);
1080 72989 : return y;
1081 : }
1082 : /* apply [1,r,0,0] */
1083 : static GEN
1084 611177 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1085 : {
1086 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1087 611177 : if (gequal0(r)) return e;
1088 511798 : y = leafcopy(e);
1089 511798 : a2 = ell_get_a2(e);
1090 511798 : rx3 = gmulsg(3,r);
1091 :
1092 : /* A2 = a2 + 3r */
1093 511798 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1094 : /* A3 = a1 r + a3 */
1095 511798 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1096 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1097 511798 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1098 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1099 511798 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1100 511798 : if (lg(y) == 6) return y;
1101 :
1102 511791 : b4 = ell_get_b4(e);
1103 511791 : b6 = ell_get_b6(e);
1104 : /* B2 = 12r + b2 */
1105 511791 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1106 511791 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1107 511791 : r2 = gsqr(r);
1108 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1109 511791 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1110 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1111 511791 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1112 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1113 511791 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1114 511791 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1115 511791 : return y;
1116 : }
1117 : /* apply [1,0,s,0] */
1118 : static GEN
1119 117992 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1120 : {
1121 : GEN a1, y;
1122 117992 : if (gequal0(s)) return e;
1123 117992 : a1 = ell_get_a1(e);
1124 117992 : y = leafcopy(e);
1125 :
1126 : /* A1 = a1 + 2s */
1127 117992 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1128 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1129 117992 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1130 : /* A4 = a4 - s a3 */
1131 117992 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1132 117992 : return y;
1133 : }
1134 : /* apply [1,0,0,t] */
1135 : static GEN
1136 344918 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1137 : {
1138 : GEN a1, a3, y;
1139 344918 : if (gequal0(t)) return e;
1140 274960 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1141 274960 : y = leafcopy(e);
1142 : /* A3 = 2t + a3 */
1143 274960 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1144 : /* A4 = a4 - a1 t */
1145 274960 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1146 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1147 274960 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1148 274960 : return y;
1149 : }
1150 : /* apply [1,0,s,t] */
1151 : static GEN
1152 347473 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1153 : {
1154 : GEN y, a1, a3;
1155 347473 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1156 245987 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1157 127995 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1158 127995 : y = leafcopy(e);
1159 : /* A1 = a1 + 2s */
1160 127995 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1161 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1162 127995 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1163 : /* A3 = 2t + a3 */
1164 127995 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1165 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1166 127995 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1167 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1168 127995 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1169 127995 : return y;
1170 : }
1171 : /* apply [1,r,s,t] */
1172 : static GEN
1173 347473 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1174 : {
1175 347473 : e = coordch_r(e, r);
1176 347473 : return coordch_st(e, s, t);
1177 : }
1178 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1179 : static GEN
1180 72275 : coordch(GEN e, GEN w)
1181 : {
1182 72275 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1183 72275 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1184 72275 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1185 : }
1186 :
1187 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1188 : * (dynamic data) */
1189 : static GEN
1190 35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1191 : {
1192 35 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1193 35 : long prec = valp(p);
1194 35 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1195 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1196 : {
1197 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1198 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1199 : }
1200 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1201 : {
1202 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1203 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1204 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1205 7 : U = gmul(U, u);
1206 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1207 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1208 : }
1209 35 : return E;
1210 : }
1211 :
1212 : /* common to Q and Rg */
1213 : static GEN
1214 36855 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1215 : {
1216 36855 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1217 36855 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1218 28 : obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1219 36855 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1220 28 : obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
1221 36855 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1222 : {
1223 28 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1224 : long i;
1225 28 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1226 28 : obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
1227 : }
1228 36855 : return E;
1229 : }
1230 :
1231 : static GEN
1232 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1233 : {
1234 7 : GEN p = NULL;
1235 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1236 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1237 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1238 : }
1239 :
1240 : static GEN
1241 36855 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1242 : {
1243 36855 : long prec = ellR_get_prec(E);
1244 36855 : GEN S, v = NULL, p = NULL;
1245 36855 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1246 36848 : ch_R(E, e, w);
1247 36848 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1248 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1249 36848 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1250 : {
1251 966 : if (lg(S) == 2)
1252 : { /* model was minimal */
1253 7 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1254 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1255 7 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1256 : }
1257 : else
1258 : {
1259 959 : v = gel(S,2);
1260 959 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
1261 945 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1262 : else
1263 : {
1264 14 : w = ellchangeinvert(w);
1265 14 : gcomposev(&w, v); v = w;
1266 14 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1267 14 : gel(S,2) = v;
1268 : }
1269 959 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1270 : }
1271 : }
1272 36848 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1273 14 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1274 36848 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1275 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1276 36848 : return E;
1277 : }
1278 :
1279 : static void
1280 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1281 : {
1282 : GEN S;
1283 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1284 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1285 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1286 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1287 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1288 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1289 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1290 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1291 126 : }
1292 :
1293 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1294 : static GEN
1295 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1296 : {
1297 7 : long prec = 0;
1298 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1299 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1300 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1301 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1302 : }
1303 : static GEN
1304 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1305 : {
1306 119 : long prec = 0;
1307 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1308 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1309 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1310 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1311 : }
1312 :
1313 : static void
1314 72191 : ell_reset(GEN E)
1315 72191 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1316 :
1317 : GEN
1318 72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1319 : {
1320 72212 : pari_sp av = avma;
1321 : GEN E;
1322 72212 : checkell5(e);
1323 72212 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1324 72205 : checkcoordch(w);
1325 72205 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1326 72205 : if (lg(E) != 6)
1327 : {
1328 72191 : ell_reset(E);
1329 72191 : switch(ell_get_type(E))
1330 : {
1331 35 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1332 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1333 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1334 35917 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1335 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1336 : }
1337 : }
1338 72205 : return gerepilecopy(av, E);
1339 : }
1340 :
1341 : /* v o= [1,r,0,0] */
1342 : static void
1343 164143 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1344 : {
1345 164143 : GEN v = *vtotal;
1346 : GEN U2, R, S, T;
1347 328286 : if (gequal0(r)) return;
1348 95739 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1349 95739 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1350 95739 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1351 95739 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1352 : }
1353 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1354 : static void
1355 109557 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1356 : {
1357 109557 : GEN v = *vtotal;
1358 : GEN U, S;
1359 109557 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1360 109557 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1361 109557 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1362 109557 : }
1363 : /* v o= [1,0,0,t] */
1364 : static void
1365 253673 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1366 : {
1367 253673 : GEN v = *vtotal;
1368 : GEN U3, U, T;
1369 507346 : if (gequal0(t)) return;
1370 80332 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1371 80332 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1372 80332 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1373 : }
1374 : /* v o= [1,r,0,t] */
1375 : static void
1376 251643 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1377 : {
1378 251643 : GEN v = *vtotal;
1379 : GEN U2, U, R, S, T;
1380 503286 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1381 171087 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1382 171087 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1383 171087 : U2 = nfsqr(nf,U);
1384 171087 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1385 171087 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1386 : }
1387 : /* v o= [1,0,s,t] */
1388 : static void
1389 184163 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1390 : {
1391 184163 : GEN v = *vtotal;
1392 : GEN U3, U, S, T;
1393 184163 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1394 122059 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1395 12502 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1396 12502 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1397 12502 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1398 12502 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1399 : }
1400 :
1401 : /* v o= [u,0,0,0] */
1402 : static void
1403 152985 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1404 : {
1405 152985 : GEN v = *vtotal;
1406 152985 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1407 152985 : }
1408 :
1409 : /* X = (x-r)/u^2
1410 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1411 : static GEN
1412 525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1413 : {
1414 : GEN a, x, y;
1415 525 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1416 511 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1417 511 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1418 : }
1419 :
1420 : GEN
1421 525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1422 : {
1423 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1424 525 : long tx, i, lx = lg(x);
1425 525 : pari_sp av = avma;
1426 :
1427 525 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1428 525 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1429 525 : checkcoordch(ch);
1430 525 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1431 525 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1432 525 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1433 525 : tx = typ(gel(x,1));
1434 525 : if (is_matvec_t(tx))
1435 : {
1436 21 : y = cgetg(lx,tx);
1437 42 : for (i=1; i<lx; i++)
1438 21 : gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1439 : }
1440 : else
1441 504 : y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
1442 525 : return gerepilecopy(av,y);
1443 : }
1444 :
1445 : /* x = u^2*X + r
1446 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1447 : static GEN
1448 63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1449 : {
1450 : GEN a, X, Y;
1451 63 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1452 63 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1453 63 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1454 : }
1455 : GEN
1456 63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1457 : {
1458 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1459 63 : long tx, i, lx = lg(x);
1460 63 : pari_sp av = avma;
1461 :
1462 63 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1463 63 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1464 63 : checkcoordch(ch);
1465 63 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1466 63 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1467 63 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1468 63 : tx = typ(gel(x,1));
1469 63 : if (is_matvec_t(tx))
1470 : {
1471 7 : y = cgetg(lx,tx);
1472 14 : for (i=1; i<lx; i++)
1473 7 : gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1474 : }
1475 : else
1476 56 : y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
1477 63 : return gerepilecopy(av,y);
1478 : }
1479 :
1480 : GEN
1481 28231 : elltwist(GEN E, GEN P)
1482 : {
1483 28231 : pari_sp av = avma;
1484 : GEN a1, a2, a3, a4, a6;
1485 : GEN a, b, c, ac, D, D2;
1486 : GEN V;
1487 28231 : checkell(E);
1488 28231 : if (!P)
1489 : {
1490 : GEN a4, a6;
1491 27188 : checkell_Fq(E);
1492 27188 : switch (ell_get_type(E))
1493 : {
1494 : case t_ELL_Fp:
1495 : {
1496 0 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
1497 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
1498 27188 : return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
1499 : }
1500 : case t_ELL_Fq:
1501 27188 : return FF_elltwist(E);
1502 : }
1503 : }
1504 1043 : a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
1505 1043 : a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
1506 1043 : if (typ(P) == t_INT)
1507 : {
1508 1029 : if (equali1(P))
1509 182 : retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
1510 847 : P = quadpoly(P);
1511 : } else
1512 : {
1513 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1514 14 : if (degpol(P) != 2 )
1515 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1516 : }
1517 861 : a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
1518 861 : ac = gmul(a, c);
1519 861 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
1520 861 : D2 = gsqr(D);
1521 861 : V = cgetg(6, t_VEC);
1522 861 : gel(V, 1) = gmul(a1, b);
1523 861 : gel(V, 2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1524 861 : gel(V, 3) = gmul(gmul(a3, b), D);
1525 861 : gel(V, 4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
1526 861 : gel(V, 5) = gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
1527 861 : return gerepilecopy(av, V);
1528 : }
1529 :
1530 : /********************************************************************/
1531 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1532 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1533 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1534 : /********************************************************************/
1535 :
1536 : static long
1537 2618 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1538 2618 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1539 :
1540 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1541 : * ellminimalmodel / get_u; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1542 : * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1543 : * Good case if reduction in get_u i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1544 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1545 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1546 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1547 : * After rescaling in get_u (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1548 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1549 : static long
1550 364 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1551 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1552 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1553 : long v4, v6, vD;
1554 :
1555 364 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1556 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1557 :
1558 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1559 308 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1560 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1561 301 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1562 :
1563 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1564 301 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1565 :
1566 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1567 238 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1568 168 : vD = vali(disc);
1569 168 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1570 161 : return -8;
1571 : }
1572 :
1573 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
1574 : It also has minimal conductor in Z[1/2]
1575 : */
1576 : GEN
1577 497 : ellminimaltwist(GEN e)
1578 : {
1579 497 : pari_sp av = avma;
1580 497 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1581 : long i, lF;
1582 497 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1583 497 : c4 = ell_get_c4(E);
1584 497 : c6 = ell_get_c6(E);
1585 497 : disc = ell_get_disc(E);
1586 497 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1587 497 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1588 497 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1589 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1590 : * then apply get_u(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3 and
1591 : * v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1592 1995 : for(i = 1; i < lF; i++)
1593 : {
1594 1498 : GEN p = gel(F, i);
1595 1498 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1596 1498 : if (vg < 6) continue;
1597 : /* twist by fund. discriminant d2; in get_u, we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1598 1092 : switch(itou_or_0(p))
1599 : {
1600 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1601 434 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1602 434 : break;
1603 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1604 294 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1605 294 : break;
1606 : case 2:
1607 364 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1608 364 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1609 364 : break;
1610 : }
1611 : }
1612 497 : obj_free(E);
1613 497 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1614 : }
1615 :
1616 : /*
1617 : Reference:
1618 : William A. Stein and Mark Watkins
1619 : A Database of Elliptic Curves-First Report
1620 : ANTS 5
1621 : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
1622 : */
1623 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1624 : GEN
1625 231 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1626 : {
1627 231 : pari_sp av = avma;
1628 231 : GEN D = ellminimaltwist(e);
1629 231 : GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
1630 231 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1631 231 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1632 231 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1633 217 : else if (f==6)
1634 : {
1635 14 : if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
1636 : else
1637 : {
1638 7 : long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
1639 7 : D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
1640 : }
1641 : }
1642 231 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1643 : }
1644 :
1645 : GEN
1646 441 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1647 : {
1648 441 : switch(flag)
1649 : {
1650 : case 0:
1651 266 : return ellminimaltwist(e);
1652 : case 1:
1653 175 : return ellminimaltwistcond(e);
1654 : }
1655 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1656 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1657 : }
1658 :
1659 : static long
1660 7 : ellexpo(GEN E)
1661 : {
1662 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1663 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1664 : {
1665 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1666 35 : if (f > e) e = f;
1667 : }
1668 7 : return e;
1669 : }
1670 :
1671 : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
1672 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1673 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1674 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1675 : int
1676 15547 : oncurve(GEN e, GEN z)
1677 : {
1678 : GEN LHS, RHS, x;
1679 : long pl, pr, ex, expx;
1680 : pari_sp av;
1681 :
1682 15547 : checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1683 15470 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1684 15470 : av = avma;
1685 15470 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1686 15470 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1687 15470 : if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
1688 21 : pl = precision(LHS);
1689 21 : pr = precision(RHS);
1690 21 : if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
1691 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1692 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1693 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
1694 7 : expx = gexpo(x);
1695 13 : pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
1696 7 : || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
1697 7 : avma = av; return pr;
1698 : }
1699 :
1700 : GEN
1701 16681 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1702 : {
1703 16681 : long i, tx = typ(x), lx;
1704 :
1705 16681 : checkell(e);
1706 16681 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1707 16681 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1708 16681 : tx = typ(gel(x,1));
1709 16681 : if (is_vec_t(tx))
1710 : {
1711 1687 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1712 1687 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1713 1687 : return z;
1714 : }
1715 14994 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1716 : }
1717 :
1718 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1719 : static GEN
1720 1743 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
1721 : {
1722 : GEN dy,dx;
1723 1743 : if (y1 != y2)
1724 : {
1725 : int eq;
1726 245 : if (precision(y1) || precision(y2))
1727 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1728 : else
1729 238 : eq = gequal(y1,y2);
1730 245 : if (!eq) return NULL;
1731 : }
1732 1736 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
1733 1736 : if (gequal0(dx)) return NULL;
1734 1701 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1735 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
1736 1701 : return gdiv(dy,dx);
1737 : }
1738 :
1739 : GEN
1740 13321 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1741 : {
1742 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
1743 13321 : pari_sp av = avma;
1744 :
1745 13321 : checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
1746 13321 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1747 10920 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1748 :
1749 9268 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1750 9268 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1751 9268 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1752 : {
1753 476 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1754 476 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1755 476 : x2 = nftoalg(nf, x2);
1756 476 : y1 = nftoalg(nf, y1);
1757 476 : y2 = nftoalg(nf, y2);
1758 : }
1759 9268 : if (cx_approx_equal(x1,x2))
1760 : {
1761 1743 : s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
1762 1743 : if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
1763 : }
1764 : else
1765 7525 : s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
1766 9226 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1767 9226 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
1768 9226 : z = cgetg(3,t_VEC);
1769 9226 : gel(z,1) = gcopy(x);
1770 9226 : gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
1771 : }
1772 :
1773 : static GEN
1774 49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1775 : {
1776 : GEN t, x, y;
1777 49 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1778 49 : x = gel(z,1);
1779 49 : y = gel(z,2);
1780 49 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1781 : {
1782 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1783 0 : x = nftoalg(nf,x);
1784 0 : y = nftoalg(nf,y);
1785 : }
1786 49 : t = cgetg(3,t_VEC);
1787 49 : gel(t,1) = x;
1788 49 : gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
1789 49 : return t;
1790 : }
1791 :
1792 : GEN
1793 735 : ellneg(GEN e, GEN z)
1794 : {
1795 : pari_sp av;
1796 : GEN t, y;
1797 735 : checkell(e); checkellpt(z);
1798 735 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1799 735 : t = cgetg(3,t_VEC);
1800 735 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
1801 735 : av = avma;
1802 735 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
1803 735 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
1804 735 : return t;
1805 : }
1806 :
1807 : GEN
1808 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1809 : {
1810 49 : pari_sp av = avma;
1811 49 : checkell(e); checkellpt(z2);
1812 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
1813 : }
1814 :
1815 : /* E an ell, x a scalar */
1816 : static GEN
1817 1470 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
1818 : {
1819 1470 : pari_sp av = avma;
1820 1470 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
1821 :
1822 1470 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1823 : {
1824 518 : nf = ellnf_get_nf(E);
1825 518 : x = nftoalg(nf,x);
1826 : }
1827 1470 : a = ec_f_evalx(E,x);
1828 1470 : b = ec_h_evalx(E,x);
1829 1470 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
1830 : /* solve y*(y+b) = a */
1831 1470 : if (gequal0(D)) {
1832 336 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1833 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
1834 336 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
1835 336 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
1836 336 : return gerepileupto(av,y);
1837 : }
1838 : /* D != 0 */
1839 1134 : switch(ell_get_type(E))
1840 : {
1841 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
1842 28 : p = ellff_get_p(E);
1843 28 : D = gel(D,2);
1844 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1845 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
1846 7 : break;
1847 : case t_ELL_Fq:
1848 217 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1849 : {
1850 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
1851 77 : if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1852 28 : return gerepileupto(av, F);
1853 : }
1854 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1855 56 : break;
1856 : case t_ELL_Q:
1857 357 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
1858 350 : if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1859 266 : break;
1860 :
1861 : case t_ELL_NF:
1862 : {
1863 511 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
1864 511 : setvarn(T, fetch_var_higher());
1865 511 : d = nfroots(nf, T);
1866 511 : delete_var();
1867 511 : if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
1868 497 : d = gel(d,1);
1869 497 : break;
1870 : }
1871 :
1872 : case t_ELL_Qp:
1873 14 : p = ellQp_get_p(E);
1874 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
1875 14 : if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1876 14 : d = Qp_sqrt(D);
1877 14 : break;
1878 :
1879 : default:
1880 7 : d = gsqrt(D,prec);
1881 : }
1882 854 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
1883 854 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
1884 854 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
1885 854 : return gerepileupto(av,y);
1886 : }
1887 :
1888 : GEN
1889 1470 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
1890 : {
1891 1470 : checkell(e);
1892 1470 : if (is_matvec_t(typ(x)))
1893 : {
1894 : long i, lx;
1895 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
1896 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
1897 0 : return v;
1898 : }
1899 1470 : return ellordinate_i(e, x, prec);
1900 : }
1901 :
1902 : GEN
1903 244062 : ellrandom(GEN E)
1904 : {
1905 : GEN fg;
1906 244062 : checkell_Fq(E);
1907 244062 : fg = ellff_get_field(E);
1908 244062 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1909 244034 : return FF_ellrandom(E);
1910 : else
1911 : {
1912 28 : pari_sp av = avma;
1913 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
1914 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
1915 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
1916 28 : return gerepileupto(av, P);
1917 : }
1918 : }
1919 :
1920 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
1921 : static GEN
1922 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
1923 : {
1924 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
1925 : long ln, vn;
1926 :
1927 14 : if (typ(N) != t_INT)
1928 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
1929 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
1930 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
1931 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
1932 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
1933 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
1934 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
1935 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
1936 : do
1937 : {
1938 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
1939 : do
1940 : {
1941 28 : long ep = (-valp(z2)) >> 1;
1942 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
1943 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
1944 : }
1945 28 : while (valp(z2) <= 0);
1946 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
1947 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
1948 21 : if (!signe(z2)) break;
1949 7 : z2 = ginv(z2);
1950 : }
1951 7 : while (degpol(p1) < vn);
1952 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
1953 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
1954 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
1955 14 : b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
1956 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
1957 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
1958 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
1959 :
1960 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
1961 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
1962 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
1963 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
1964 :
1965 14 : x = gdiv(p1,q1);
1966 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
1967 14 : x = gsub(x, b2ov12);
1968 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
1969 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
1970 : }
1971 :
1972 : static GEN
1973 602 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
1974 : static GEN
1975 175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
1976 :
1977 : static GEN
1978 248515 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
1979 : {
1980 248515 : GEN fg = ellff_get_field(E);
1981 248515 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1982 247450 : return FF_ellmul(E, P, n);
1983 : else
1984 : {
1985 1065 : pari_sp av = avma;
1986 1065 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
1987 1065 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
1988 1063 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
1989 1011 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
1990 1011 : return gerepileupto(av, Q);
1991 : }
1992 : }
1993 : /* [n] z, n integral */
1994 : static GEN
1995 248991 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
1996 : {
1997 : long s;
1998 248991 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
1999 248991 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
2000 476 : s = signe(n);
2001 476 : if (!s) return ellinf();
2002 427 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2003 427 : if (is_pm1(n)) return z;
2004 364 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2005 : }
2006 :
2007 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2008 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2009 : static long
2010 42 : myroundr(GEN *px)
2011 : {
2012 42 : GEN x = *px;
2013 : long e;
2014 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2015 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2016 42 : if (e >= -5) return NO;
2017 42 : return OK;
2018 : }
2019 :
2020 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2021 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2022 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2023 : static GEN
2024 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2025 : {
2026 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2027 : long prec;
2028 :
2029 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2030 14 : switch(typ(Q))
2031 : {
2032 : case t_COMPLEX:
2033 0 : D = utoineg(4);
2034 0 : v = gel(Q,2);
2035 0 : break;
2036 : case t_QUAD:
2037 14 : D = quad_disc(Q);
2038 14 : v = gel(Q,3);
2039 14 : break;
2040 : default:
2041 0 : return NULL; /*-Wall*/
2042 : }
2043 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2044 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
2045 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2046 14 : prec = precision(tau);
2047 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2048 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2049 : * Compute f*k */
2050 14 : x = gel(tau,1);
2051 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2052 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2053 14 : switch(myroundr(&fk))
2054 : {
2055 0 : case NO: return NULL;
2056 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2057 : }
2058 14 : fk = absi(fk);
2059 :
2060 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2061 14 : switch(myroundr(&fkb))
2062 : {
2063 0 : case NO: return NULL;
2064 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2065 : }
2066 :
2067 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2068 14 : switch(myroundr(&fkc))
2069 : {
2070 0 : case NO: return NULL;
2071 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2072 : }
2073 :
2074 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2075 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2076 14 : dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2077 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2078 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2079 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2080 14 : v = dvmdii(absi(v), q, &r);
2081 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2082 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2083 : }
2084 :
2085 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2086 : static GEN
2087 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2088 : {
2089 : GEN A, B, q;
2090 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2091 14 : q = CM_factor(e, w);
2092 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2093 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2094 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2095 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2096 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2097 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2098 7 : GEN u = gtrace(w);
2099 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2100 7 : u = shifti(u, -1);
2101 7 : if (signe(u))
2102 : {
2103 0 : w = gsub(w, u);
2104 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2105 : }
2106 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2107 : }
2108 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2109 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2110 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2111 14 : return elladd(e, A, B);
2112 : }
2113 : GEN
2114 249054 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2115 : {
2116 249054 : pari_sp av = avma;
2117 :
2118 249054 : checkell(e); checkellpt(z);
2119 249047 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2120 248991 : switch(typ(n))
2121 : {
2122 248977 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
2123 : case t_QUAD: {
2124 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2125 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2126 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2127 : }
2128 : case t_COMPLEX: {
2129 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2130 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2131 : }
2132 : }
2133 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2134 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2135 : }
2136 :
2137 : /********************************************************************/
2138 : /** **/
2139 : /** Periods **/
2140 : /** **/
2141 : /********************************************************************/
2142 :
2143 : /* References:
2144 : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
2145 : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
2146 : */
2147 :
2148 : static GEN
2149 3872 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
2150 : {
2151 3872 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
2152 3872 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
2153 3872 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
2154 : }
2155 :
2156 : static GEN
2157 3067 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
2158 : {
2159 3067 : pari_sp av = avma;
2160 3067 : GEN roots = ellR_roots(E,prec);
2161 3067 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
2162 3067 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
2163 3067 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
2164 : }
2165 :
2166 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
2167 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
2168 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
2169 : static GEN
2170 3872 : doellR_omega(GEN E, long prec)
2171 : {
2172 3872 : pari_sp av = avma;
2173 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
2174 3872 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
2175 805 : roots = ellR_roots(E,prec);
2176 805 : d2 = gel(roots,5);
2177 805 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
2178 805 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
2179 805 : b = gel(z,2);
2180 805 : c = gabs(z, prec);
2181 805 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
2182 805 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
2183 : }
2184 : static GEN
2185 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
2186 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
2187 :
2188 : GEN
2189 5145 : ellR_omega(GEN E, long prec)
2190 5145 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
2191 : GEN
2192 84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
2193 84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
2194 : GEN
2195 5244 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2196 5244 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2197 :
2198 : GEN
2199 2142 : ellR_area(GEN E, long prec)
2200 : {
2201 2142 : pari_sp av = avma;
2202 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2203 2142 : w = ellR_omega(E, prec);
2204 2142 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2205 2142 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2206 2142 : return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2207 : }
2208 :
2209 : /********************************************************************/
2210 : /** **/
2211 : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
2212 : /** **/
2213 : /********************************************************************/
2214 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
2215 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
2216 : static GEN
2217 0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
2218 : {
2219 0 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
2220 0 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
2221 0 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
2222 0 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
2223 0 : GEN z = gel(om,2);
2224 0 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
2225 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
2226 : else
2227 0 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
2228 0 : return gmul2n(z, -1);
2229 : }
2230 :
2231 : static GEN
2232 35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
2233 : {
2234 35 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2235 35 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2236 35 : if (gequal0(y0))
2237 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
2238 : else
2239 : {
2240 35 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
2241 35 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
2242 35 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2243 35 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2244 35 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
2245 : /* |a+b| < |a-b| */
2246 35 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
2247 35 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2248 : }
2249 : }
2250 :
2251 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
2252 : static GEN
2253 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
2254 : {
2255 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2256 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
2257 : else
2258 : {
2259 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2260 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
2261 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
2262 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
2263 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
2264 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
2265 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
2266 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
2267 : }
2268 : }
2269 :
2270 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
2271 : static GEN
2272 7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
2273 : {
2274 7 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2275 7 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2276 7 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
2277 7 : e1 = gel(R,1);
2278 7 : e2 = gel(R,2);
2279 7 : e3 = gel(R,3);
2280 7 : d2 = gel(R,5);
2281 7 : d3 = gel(R,6);
2282 7 : a = gsqrt(d2,prec);
2283 7 : b = gsqrt(d3,prec);
2284 7 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
2285 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2286 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2287 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2288 : } else {
2289 0 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
2290 0 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
2291 0 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
2292 0 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
2293 : }
2294 : }
2295 :
2296 : static void
2297 7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
2298 : {
2299 7 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
2300 7 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
2301 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
2302 0 : }
2303 : static GEN
2304 161 : get_r0(GEN E, long prec)
2305 : {
2306 161 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2307 161 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2308 : }
2309 : static GEN
2310 112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
2311 : {
2312 112 : pari_sp av = avma;
2313 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
2314 : long vq, vt, Q, R;
2315 112 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
2316 105 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
2317 105 : u = ellQp_u(E, prec);
2318 105 : q = ellQp_q(E, prec);
2319 105 : x = gel(P,1);
2320 105 : r0 = get_r0(E, prec);
2321 105 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
2322 105 : if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
2323 98 : r = gsub(a,b);
2324 98 : ar = gmul(a, r);
2325 98 : if (gequal0(c0))
2326 : {
2327 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
2328 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
2329 : }
2330 : else
2331 : {
2332 91 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
2333 91 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
2334 91 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
2335 84 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
2336 : }
2337 91 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
2338 91 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
2339 :
2340 91 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2341 91 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2342 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
2343 91 : if (typ(t) == t_PADIC)
2344 56 : vt = valp(t);
2345 : else
2346 35 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
2347 91 : vq = valp(q); /* > 0 */
2348 91 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
2349 91 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
2350 91 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2351 91 : return gerepileupto(av, t);
2352 : }
2353 :
2354 : static GEN
2355 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
2356 : {
2357 56 : pari_sp av = avma;
2358 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
2359 : long v;
2360 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
2361 :
2362 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
2363 56 : u = ellQp_u(E,prec);
2364 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
2365 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
2366 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
2367 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
2368 56 : r0 = get_r0(E, prec);
2369 :
2370 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
2371 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
2372 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
2373 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
2374 56 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
2375 : }
2376 :
2377 : GEN
2378 154 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
2379 : {
2380 154 : pari_sp av = avma;
2381 : GEN t;
2382 : long s;
2383 :
2384 154 : checkell(e); checkellpt(z);
2385 154 : switch(ell_get_type(e))
2386 : {
2387 : case t_ELL_Qp:
2388 112 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
2389 112 : return ellQp_P2t(e, z, prec);
2390 7 : case t_ELL_Q: break;
2391 35 : case t_ELL_Rg: break;
2392 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
2393 : }
2394 42 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
2395 42 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
2396 42 : s = ellR_get_sign(e);
2397 42 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
2398 7 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
2399 : else
2400 35 : t = zellcx(e,z,prec);
2401 42 : return gerepileupto(av,t);
2402 : }
2403 :
2404 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
2405 : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
2406 : typedef struct {
2407 : enum period_type type;
2408 : GEN in; /* original input */
2409 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
2410 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
2411 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
2412 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
2413 : GEN x,y; /* t_INT */
2414 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
2415 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
2416 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
2417 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
2418 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
2419 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
2420 : long prec; /* precision(Z) */
2421 : } ellred_t;
2422 :
2423 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
2424 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
2425 : static void
2426 23590 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
2427 : {
2428 23590 : GEN a, b, c, d, t = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
2429 23590 : long e = gexpo(gel(t,2));
2430 23590 : if (e < 0) *pt = t = gprec_wensure(t, precision(t) + nbits2extraprec(-e));
2431 23590 : a = d = gen_1;
2432 23590 : b = c = gen_0;
2433 : for(;;)
2434 : {
2435 45416 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
2436 45416 : if (signe(n))
2437 : { /* apply T^n */
2438 27335 : t = gsub(t,n);
2439 27335 : a = subii(a, mulii(n,c));
2440 27335 : b = subii(b, mulii(n,d));
2441 : }
2442 45416 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
2443 21826 : t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
2444 21826 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
2445 21826 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
2446 21826 : }
2447 23590 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
2448 23590 : }
2449 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
2450 : * Set *pU to U. */
2451 : GEN
2452 9016 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
2453 : {
2454 : GEN a,b,c,d;
2455 9016 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
2456 9016 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
2457 9016 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
2458 9016 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
2459 : }
2460 : GEN
2461 8981 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
2462 : {
2463 8981 : pari_sp av = avma;
2464 : GEN czd;
2465 8981 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
2466 8981 : gerepileall(av, 2, &t, pU); return t;
2467 : }
2468 :
2469 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
2470 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
2471 : static void
2472 14574 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
2473 : {
2474 : long s, p;
2475 14574 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
2476 14574 : if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
2477 14574 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
2478 14574 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
2479 : mkvec2(T->w1,T->w2));
2480 14574 : T->swap = (s < 0);
2481 14574 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
2482 14574 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
2483 : /* update lattice */
2484 14574 : p = precision(T->tau);
2485 14574 : if (p)
2486 : {
2487 14224 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
2488 14224 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
2489 : }
2490 14574 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
2491 14574 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
2492 14574 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
2493 14574 : if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2494 14574 : p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
2495 14574 : T->prec = p;
2496 14574 : }
2497 : /* is z real or pure imaginary ? */
2498 : static void
2499 15561 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
2500 : {
2501 15561 : if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
2502 10220 : else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
2503 15561 : }
2504 : static void
2505 9919 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
2506 : {
2507 : long p;
2508 : GEN Z;
2509 9919 : T->abs_u_is_1 = 0;
2510 9919 : T->some_z_is_real = 0;
2511 9919 : T->some_z_is_pure_imag = 0;
2512 9919 : switch(typ(z))
2513 : {
2514 9919 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
2515 : case t_QUAD:
2516 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
2517 0 : break;
2518 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
2519 : }
2520 9919 : T->z = z;
2521 9919 : Z = gdiv(z, T->W2);
2522 9919 : T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
2523 9919 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
2524 9919 : T->y = ground(real_i(Z));
2525 9919 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2526 9919 : if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
2527 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
2528 9919 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2529 9919 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
2530 : {
2531 4858 : int W2real = 0, W2imag = 0;
2532 4858 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
2533 4858 : if (W2real)
2534 378 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2535 4480 : else if (W2imag)
2536 406 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
2537 : }
2538 9919 : p = precision(Z);
2539 9919 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
2540 28 : Z = NULL; /*z in L*/
2541 9919 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2542 9919 : T->Z = Z;
2543 9919 : }
2544 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2545 : static GEN
2546 8890 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2547 : {
2548 8890 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2549 8890 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2550 8890 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2551 8890 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2552 4255 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2553 : }
2554 : /* e is either
2555 : * - [w1,w2]
2556 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2557 : * - an ellinit structure */
2558 : static void
2559 14574 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2560 : {
2561 : GEN w, e;
2562 14574 : T->q_is_real = 0;
2563 14574 : T->some_q_is_real = 0;
2564 14574 : switch(T->type)
2565 : {
2566 : case t_PER_ELL:
2567 : {
2568 1057 : long pr, p = prec;
2569 1057 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2570 1057 : e = T->in;
2571 1057 : w = ellR_omega(e, p);
2572 1057 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2573 1057 : break;
2574 : }
2575 : case t_PER_W:
2576 13335 : w = T->in; break;
2577 : default: /*t_PER_WETA*/
2578 182 : w = gel(T->in,1); break;
2579 : }
2580 14574 : T->w1 = gel(w,1);
2581 14574 : T->w2 = gel(w,2);
2582 14574 : red_modSL2(T, prec);
2583 14574 : if (z) reduce_z(z, T);
2584 14574 : }
2585 : static int
2586 14581 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2587 : {
2588 : GEN w1;
2589 14581 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2590 14581 : T->in = e;
2591 14581 : switch(lg(e))
2592 : {
2593 : case 17:
2594 1064 : T->type = t_PER_ELL;
2595 1064 : break;
2596 : case 3:
2597 13517 : w1 = gel(e,1);
2598 13517 : if (typ(w1) != t_VEC)
2599 13335 : T->type = t_PER_W;
2600 : else
2601 : {
2602 182 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2603 182 : T->type = t_PER_WETA;
2604 : }
2605 13517 : break;
2606 0 : default: return 0;
2607 : }
2608 14581 : return 1;
2609 : }
2610 : static int
2611 14497 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2612 : {
2613 14497 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2614 14497 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2615 : }
2616 :
2617 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2618 : static GEN
2619 9002 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2620 : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
2621 : GEN
2622 33600 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
2623 :
2624 : static GEN
2625 13790 : check_real(GEN q)
2626 13790 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
2627 :
2628 : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
2629 : static GEN
2630 13545 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
2631 : {
2632 : pari_sp av;
2633 : GEN p1, q, y, qn;
2634 13545 : long n = 1;
2635 :
2636 13545 : if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
2637 245 : q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
2638 245 : q = check_real(q);
2639 245 : y = gen_0;
2640 245 : av = avma; qn = gen_1;
2641 2314 : for(;; n++)
2642 : { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
2643 2559 : qn = gmul(q,qn);
2644 2559 : p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
2645 2559 : if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
2646 2314 : y = gadd(y, p1);
2647 2314 : if (gc_needed(av,2))
2648 : {
2649 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
2650 0 : gerepileall(av, 2, &y,&qn);
2651 : }
2652 2314 : }
2653 245 : return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
2654 : }
2655 :
2656 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2657 : static GEN
2658 13545 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2659 : {
2660 13545 : GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
2661 13545 : y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
2662 13545 : return check_real(y);
2663 : }
2664 :
2665 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2666 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2667 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2668 : GEN
2669 4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2670 : {
2671 4438 : pari_sp av = avma;
2672 : GEN y;
2673 : ellred_t T;
2674 :
2675 4438 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2676 4438 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2677 4438 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2678 4438 : y = _elleisnum(&T, k);
2679 4438 : if (k==2 && signe(T.c))
2680 4011 : {
2681 4011 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2682 4011 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2683 : }
2684 427 : else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y, 12);
2685 406 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2686 4438 : return gerepileupto(av,y);
2687 : }
2688 :
2689 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
2690 : static GEN
2691 8925 : _elleta(ellred_t *T)
2692 : {
2693 8925 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
2694 8925 : y2 = gmul(T->W2, e2);
2695 8925 : y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
2696 8925 : retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
2697 : }
2698 :
2699 : /* compute eta1, eta2 */
2700 : GEN
2701 84 : elleta(GEN om, long prec)
2702 : {
2703 84 : pari_sp av = avma;
2704 : GEN y1, y2, E2, pi;
2705 : ellred_t T;
2706 :
2707 84 : if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
2708 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
2709 :
2710 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
2711 77 : prec = T.prec;
2712 77 : pi = mppi(prec);
2713 77 : E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
2714 77 : if (signe(T.c))
2715 : {
2716 21 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
2717 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
2718 21 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
2719 : }
2720 77 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
2721 77 : if (T.swap)
2722 : {
2723 7 : y1 = y2;
2724 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
2725 : }
2726 : else
2727 70 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
2728 77 : switch(typ(T.w1))
2729 : {
2730 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
2731 49 : y1 = real_i(y1);
2732 : }
2733 77 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
2734 : }
2735 : GEN
2736 49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
2737 : {
2738 49 : pari_sp av = avma;
2739 : ellred_t T;
2740 49 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
2741 49 : switch(flag)
2742 : {
2743 14 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
2744 35 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
2745 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
2746 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2747 : }
2748 : }
2749 :
2750 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
2751 : static double
2752 9891 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
2753 :
2754 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
2755 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
2756 : static GEN
2757 987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
2758 : {
2759 : long toadd;
2760 987 : pari_sp av = avma, av1;
2761 : GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
2762 : ellred_t T;
2763 : int simple_case;
2764 :
2765 987 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
2766 987 : if (!T.Z) return NULL;
2767 966 : prec = T.prec;
2768 :
2769 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
2770 966 : pi2 = Pi2n(1, prec);
2771 966 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
2772 966 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
2773 966 : u1 = gsubsg(1,u);
2774 966 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
2775 966 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
2776 966 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
2777 966 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
2778 966 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
2779 966 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
2780 966 : yp = flall? gen_0: NULL;
2781 966 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2782 :
2783 966 : av1 = avma; qn = q;
2784 : for(;;)
2785 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
2786 : /* analogous formula for yp */
2787 12838 : GEN yadd, ypadd = NULL;
2788 12838 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
2789 12838 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
2790 12838 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
2791 12838 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
2792 12838 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
2793 388 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
2794 : else
2795 : {
2796 12450 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
2797 12450 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
2798 12450 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
2799 12450 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
2800 : }
2801 12838 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
2802 12838 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
2803 12838 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
2804 :
2805 12838 : qn = gmul(q,qn);
2806 12838 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
2807 11872 : if (gc_needed(av1,1))
2808 : {
2809 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
2810 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
2811 : }
2812 11872 : }
2813 966 : if (yp)
2814 : {
2815 903 : if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
2816 903 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
2817 : }
2818 :
2819 966 : u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
2820 966 : u2 = gsqr(u1);
2821 966 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
2822 966 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
2823 567 : y = real_i(y);
2824 966 : if (yp)
2825 : {
2826 903 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
2827 903 : if (T.some_q_is_real)
2828 : {
2829 903 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
2830 385 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
2831 : }
2832 903 : y = mkvec2(y, yp);
2833 : }
2834 966 : return gerepilecopy(av, y);
2835 : }
2836 : static GEN
2837 301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
2838 : {
2839 : long i, k, l;
2840 : pari_sp av;
2841 301 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
2842 :
2843 301 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
2844 301 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
2845 :
2846 301 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
2847 301 : _1 = Rg_get_1(c4);
2848 301 : switch(PRECDL)
2849 : {
2850 301 : default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
2851 : case 6:
2852 301 : case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
2853 : case 4:
2854 301 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
2855 : case 2:
2856 301 : case 1: P[0] = _1;
2857 : }
2858 301 : if (PRECDL <= 8) return res;
2859 301 : av = avma;
2860 301 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
2861 1085 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
2862 : {
2863 784 : av = avma;
2864 784 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
2865 784 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
2866 784 : t = gmul2n(t, 1);
2867 784 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
2868 784 : if (k % 3 == 2)
2869 273 : t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
2870 : else /* same value, more efficient */
2871 511 : t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
2872 784 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
2873 : }
2874 301 : return res;
2875 : }
2876 :
2877 : static int
2878 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
2879 : {
2880 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
2881 : {
2882 : case 17:
2883 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
2884 203 : *c6 = ell_get_c6(w);
2885 203 : return 1;
2886 : case 3:
2887 : {
2888 : ellred_t T;
2889 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
2890 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
2891 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
2892 91 : return 1;
2893 : }
2894 : }
2895 0 : *c4 = *c6 = NULL;
2896 0 : return 0;
2897 : }
2898 :
2899 : GEN
2900 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
2901 : {
2902 : GEN c4, c6;
2903 14 : checkell(e);
2904 14 : c4 = ell_get_c4(e);
2905 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
2906 : }
2907 :
2908 : GEN
2909 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
2910 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
2911 :
2912 : GEN
2913 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
2914 : {
2915 182 : pari_sp av = avma;
2916 : GEN y;
2917 :
2918 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
2919 182 : if (!z) z = pol_x(0);
2920 182 : y = toser_i(z);
2921 182 : if (y)
2922 : {
2923 105 : long vy = varn(y), v = valp(y);
2924 : GEN P, Q, c4,c6;
2925 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
2926 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
2927 105 : if (gequal0(y)) {
2928 0 : avma = av;
2929 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
2930 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
2931 : }
2932 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
2933 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
2934 105 : if (!flag)
2935 105 : return gerepileupto(av, Q);
2936 : else
2937 : {
2938 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
2939 0 : return gerepilecopy(av, R);
2940 : }
2941 : }
2942 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
2943 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
2944 70 : return gerepileupto(av, y);
2945 : }
2946 :
2947 : GEN
2948 154 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
2949 : {
2950 : long prec;
2951 154 : pari_sp av = avma;
2952 154 : GEN pi2, q, y, et = NULL;
2953 : ellred_t T;
2954 :
2955 154 : if (!z) z = pol_x(0);
2956 154 : y = toser_i(z);
2957 154 : if (y)
2958 : {
2959 91 : long vy = varn(y), v = valp(y);
2960 : GEN P, Q, c4,c6;
2961 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
2962 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
2963 91 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
2964 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
2965 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
2966 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
2967 91 : return gerepileupto(av, Q);
2968 : }
2969 63 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
2970 63 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
2971 63 : prec = T.prec;
2972 63 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
2973 :
2974 63 : pi2 = Pi2n(1, prec);
2975 63 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
2976 :
2977 63 : y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
2978 63 : if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
2979 : { /* else u = -1 and this vanishes */
2980 63 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2981 63 : GEN qn, u, v, S = gen_0;
2982 : pari_sp av1;
2983 63 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
2984 63 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
2985 63 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
2986 63 : y = gadd(y, v);
2987 : /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
2988 : * = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
2989 63 : av1 = avma;
2990 63 : for (qn = q;;)
2991 : {
2992 737 : S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
2993 737 : qn = gmul(q,qn);
2994 737 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
2995 674 : if (gc_needed(av1,1))
2996 : {
2997 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
2998 0 : gerepileall(av1,2, &S,&qn);
2999 : }
3000 674 : }
3001 63 : y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
3002 : }
3003 63 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
3004 63 : if (et) y = gadd(y,et);
3005 63 : if (T.some_q_is_real)
3006 : {
3007 63 : if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
3008 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
3009 : }
3010 63 : return gerepilecopy(av, y);
3011 : }
3012 :
3013 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3014 : GEN
3015 8967 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3016 : {
3017 : long toadd, prec, n;
3018 8967 : pari_sp av = avma, av1;
3019 : GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3020 : GEN u, uhalf, urn, urninv;
3021 : ellred_t T;
3022 :
3023 8967 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3024 :
3025 8967 : if (!z) z = pol_x(0);
3026 8967 : y = toser_i(z);
3027 8967 : if (y)
3028 : {
3029 98 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3030 : GEN P, Q, c4,c6;
3031 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3032 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3033 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3034 91 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
3035 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3036 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3037 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3038 91 : P = integser(serchop0(P));
3039 91 : P = gexp(P, prec0);
3040 91 : setvalp(P, valp(P)+1);
3041 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3042 91 : return gerepileupto(av, Q);
3043 : }
3044 8869 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3045 8869 : if (!T.Z)
3046 : {
3047 7 : if (!flag) return gen_0;
3048 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3049 : }
3050 8862 : prec = T.prec;
3051 8862 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3052 8862 : pi = mppi(prec);
3053 :
3054 8862 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3055 8862 : uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3056 8862 : u = gsqr(uhalf);
3057 8862 : q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
3058 8862 : q = gpowgs(q8,8);
3059 8862 : u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
3060 8862 : y = gen_0;
3061 8862 : av1 = avma;
3062 8862 : qn = q; qn2 = gen_1;
3063 8862 : urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
3064 65183 : for(n=0;;n++)
3065 : {
3066 65183 : y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
3067 65183 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3068 65183 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3069 56321 : qn = gmul(q,qn);
3070 56321 : urn = gmul(urn,u);
3071 56321 : urninv = gmul(urninv,uinv);
3072 56321 : if (gc_needed(av1,1))
3073 : {
3074 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3075 0 : gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3076 : }
3077 56321 : }
3078 8862 : y = gmul(gmul(y,q8),
3079 : gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3080 :
3081 8862 : et = _elleta(&T);
3082 8862 : etnew = eta_correction(&T, et);
3083 8862 : zinit = gmul(T.Z,T.W2);
3084 8862 : etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
3085 : gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
3086 8862 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
3087 8862 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
3088 8862 : if (flag)
3089 : {
3090 8799 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3091 8799 : if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
3092 : { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
3093 21 : if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
3094 : }
3095 : }
3096 : else
3097 : {
3098 63 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3099 63 : if (T.some_q_is_real)
3100 : {
3101 63 : if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
3102 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
3103 : }
3104 : }
3105 8862 : return gerepilecopy(av, y);
3106 : }
3107 :
3108 : GEN
3109 966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3110 : {
3111 966 : pari_sp av = avma;
3112 : GEN v;
3113 :
3114 966 : checkell(e);
3115 966 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
3116 : {
3117 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3118 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
3119 : }
3120 910 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3121 910 : if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
3122 896 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
3123 896 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
3124 896 : return gerepilecopy(av, v);
3125 : }
3126 :
3127 : /********************************************************************/
3128 : /** **/
3129 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3130 : /** Kodaira types, global minimal model **/
3131 : /** **/
3132 : /********************************************************************/
3133 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3134 : typedef struct {
3135 : long a1; /*{0,1}*/
3136 : long a2; /*{-1,0,1}*/
3137 : long a3; /*{0,1}*/
3138 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3139 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3140 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3141 : } ellmin_t;
3142 :
3143 : /* u from [u,r,s,t] */
3144 : static void
3145 516768 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3146 : {
3147 516768 : M->u = u;
3148 516768 : if (is_pm1(u))
3149 453754 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3150 : else
3151 : {
3152 63014 : M->u2 = sqri(u);
3153 63014 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3154 63014 : M->u4 = sqri(M->u2);
3155 63014 : M->u6 = sqri(M->u3);
3156 : }
3157 516768 : }
3158 : /* E = original curve */
3159 : static void
3160 516768 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3161 : {
3162 516768 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3163 516768 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3164 63014 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3165 63014 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3166 : }
3167 516768 : M->c4 = c4;
3168 516768 : M->c6 = c6;
3169 516768 : }
3170 : static void
3171 516460 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3172 : {
3173 516460 : GEN D = ell_get_disc(E);
3174 516460 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3175 516460 : M->D = D;
3176 516460 : }
3177 : static void
3178 516621 : min_set_b(ellmin_t *M)
3179 : {
3180 : long b22, b2;
3181 516621 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3182 516621 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
3183 516621 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3184 516621 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3185 516621 : }
3186 : static void
3187 516481 : min_set_a(ellmin_t *M)
3188 : {
3189 516481 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3190 516481 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3191 516481 : if (odd(b2))
3192 : {
3193 256823 : a1 = 1;
3194 256823 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3195 : }
3196 : else
3197 : {
3198 259658 : a1 = 0;
3199 259658 : a2 = b2 >> 2;
3200 : }
3201 516481 : M->a1 = a1;
3202 516481 : M->a2 = a2;
3203 516481 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3204 516481 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3205 516481 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3206 516481 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3207 516481 : }
3208 : static void
3209 516453 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
3210 : {
3211 516453 : min_set_u(M, u);
3212 516453 : min_set_c(M, E);
3213 516453 : min_set_D(M, E);
3214 516453 : min_set_b(M);
3215 516453 : min_set_a(M);
3216 516453 : }
3217 : static GEN
3218 503363 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3219 : {
3220 503363 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3221 : long a11, a13;
3222 503363 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3223 503363 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3224 503363 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3225 503363 : gel(y,4) = M->a4;
3226 503363 : gel(y,5) = M->a6;
3227 503363 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3228 503363 : gel(y,7) = M->b4;
3229 503363 : gel(y,8) = M->b6;
3230 503363 : a11 = M->a1;
3231 503363 : a13 = M->a1 & M->a3;
3232 503363 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3233 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3234 503363 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3235 503363 : gel(y,10)= M->c4;
3236 503363 : gel(y,11)= M->c6;
3237 503363 : gel(y,12)= M->D;
3238 503363 : gel(y,13)= gel(E,13);
3239 503363 : gel(y,14)= gel(E,14);
3240 503363 : gel(y,15)= gel(E,15);
3241 503363 : return y;
3242 : }
3243 : static GEN
3244 516453 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3245 : {
3246 : GEN r, s, t;
3247 516453 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3248 516453 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3249 516453 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
3250 516453 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3251 : }
3252 :
3253 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
3254 : static long
3255 1684378 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
3256 : {
3257 1684378 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
3258 1684378 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
3259 1684378 : if (!signe(c6))
3260 : {
3261 2926 : d = vD / 12;
3262 2926 : if (d)
3263 : {
3264 1071 : if (p == 2)
3265 : {
3266 819 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3267 819 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3268 819 : if (a) d--;
3269 : }
3270 1071 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3271 : }
3272 2926 : v6 = 12; /* +oo */
3273 : }
3274 : else
3275 : {
3276 1681452 : v6 = Z_lval(c6,p);
3277 1681452 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3278 1681452 : if (d) {
3279 181153 : if (p == 2) {
3280 109725 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3281 109725 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3282 109725 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3283 109725 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
3284 71428 : } else if (p == 3) {
3285 45199 : if (v6 == 6*d+2) d--;
3286 : }
3287 181153 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3288 : }
3289 : }
3290 1684378 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3291 : }
3292 : static long
3293 878864 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
3294 : {
3295 : GEN c6;
3296 : long d, v6, vD;
3297 878864 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
3298 39 : c6 = ell_get_c6(E);
3299 39 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
3300 39 : if (!signe(c6))
3301 : {
3302 0 : d = vD / 12;
3303 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3304 0 : v6 = 12; /* +oo */
3305 : }
3306 : else
3307 : {
3308 39 : v6 = Z_pval(c6,p);
3309 39 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3310 39 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3311 : }
3312 39 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3313 : }
3314 :
3315 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3316 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3317 : in the form [f, kod, v, c].
3318 :
3319 : * The integer f is the conductor's exponent.
3320 :
3321 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3322 : II , III , IV --> 2, 3, 4
3323 : I0 --> 1
3324 : Inu --> 4+nu for nu > 0
3325 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3326 :
3327 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3328 :
3329 : * c is the Tamagawa number.
3330 :
3331 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3332 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3333 : static GEN
3334 1733004 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3335 : {
3336 1733004 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3337 1733004 : gel(z,1) = stoi(f);
3338 1733004 : gel(z,2) = stoi(kod);
3339 1733004 : gel(z,3) = gcopy(v);
3340 1733004 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3341 : }
3342 : static GEN
3343 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3344 : {
3345 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3346 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3347 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3348 : }
3349 :
3350 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3351 : static long
3352 879634 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3353 :
3354 : /* p > 3, e integral */
3355 : static GEN
3356 878864 : localred_p(GEN e, GEN p)
3357 : {
3358 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
3359 878864 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3360 :
3361 878864 : c4 = ell_get_c4(e);
3362 878864 : c6 = ell_get_c6(e);
3363 878864 : nuj = j_pval(e, p);
3364 878864 : nuD = Z_pval(D, p);
3365 878864 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
3366 878864 : if (!k) v = init_ch();
3367 : else
3368 : { /* model not minimal */
3369 : ellmin_t M;
3370 13097 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
3371 13097 : v = min_get_v(&M, e);
3372 13097 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
3373 : }
3374 :
3375 878864 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
3376 : {
3377 760697 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3378 760697 : switch(kronecker(negi(c6),p))
3379 : {
3380 392161 : case 1: c = nuD; break;
3381 368536 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
3382 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
3383 : }
3384 760697 : break;
3385 : case 6:
3386 : {
3387 45703 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
3388 45703 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
3389 45703 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
3390 45703 : break;
3391 : }
3392 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
3393 : }
3394 72464 : else switch(nuD)
3395 : {
3396 539 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
3397 11683 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
3398 10332 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
3399 5635 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
3400 5635 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
3401 5635 : break;
3402 16835 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
3403 16835 : p2 = sqri(p);
3404 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
3405 16835 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
3406 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
3407 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
3408 16835 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
3409 16835 : break;
3410 11620 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
3411 11620 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
3412 11620 : break;
3413 10227 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
3414 5593 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
3415 0 : default: return localredbug(p,"localred");
3416 : }
3417 878864 : return localred_result(f, kod, c, v);
3418 : }
3419 :
3420 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
3421 : static ulong
3422 888468 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
3423 888468 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
3424 :
3425 : static ulong
3426 1421980 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
3427 : {
3428 1421980 : pari_sp av = avma;
3429 1421980 : ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
3430 1421980 : avma = av; return res;
3431 : }
3432 :
3433 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
3434 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
3435 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
3436 : static long
3437 244230 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3438 : {
3439 244230 : if (p == 2)
3440 : {
3441 141092 : if ((c + a * b) & 1) return 3;
3442 122360 : *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
3443 : }
3444 : /* p = 3 */
3445 103138 : if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
3446 69027 : *mult = a * b;
3447 69027 : if (b == 2)
3448 22981 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
3449 : else
3450 46046 : return c ? 3 : 2;
3451 : }
3452 :
3453 : /* same for aX^2 +bX + c */
3454 : static long
3455 788879 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3456 : {
3457 788879 : if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
3458 : /* p = 3 */
3459 301077 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
3460 : }
3461 :
3462 : /* p = 2 or 3 */
3463 : static GEN
3464 703920 : localred_23(GEN e, long p)
3465 : {
3466 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
3467 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
3468 : GEN v;
3469 :
3470 703920 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
3471 703920 : if (!k) v = init_ch();
3472 : else
3473 : {
3474 : ellmin_t M;
3475 48769 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
3476 48769 : v = min_get_v(&M, e);
3477 48769 : e = min_to_ell(&M, e);
3478 : }
3479 : /* model is minimal */
3480 703920 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
3481 703920 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
3482 322749 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
3483 :
3484 703920 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
3485 702534 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
3486 : {
3487 385931 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
3488 195951 : c = nuD;
3489 : else
3490 189980 : c = 2 - (nuD & 1);
3491 385931 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
3492 : }
3493 316603 : if (p == 2)
3494 : {
3495 185780 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
3496 185780 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
3497 185780 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
3498 185780 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
3499 : }
3500 : else /* p == 3 */
3501 : {
3502 130823 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
3503 130823 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
3504 130823 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
3505 130823 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
3506 : }
3507 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
3508 316603 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
3509 316603 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
3510 22281 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
3511 294322 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
3512 27622 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
3513 266700 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
3514 : {
3515 22470 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
3516 11522 : c = 3;
3517 : else
3518 10948 : c = 1;
3519 22470 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
3520 : }
3521 :
3522 244230 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
3523 90993 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
3524 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
3525 244230 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
3526 244230 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
3527 244230 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
3528 244230 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
3529 : {
3530 : case 3:
3531 36001 : c = a63 ? 1: 2;
3532 36001 : if (p == 2)
3533 18732 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
3534 : else {
3535 17269 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
3536 17269 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
3537 : }
3538 36001 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
3539 : case 2:
3540 : { /* compute nu */
3541 : GEN pk, pk1, p2k;
3542 : long al, be, ga;
3543 130340 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
3544 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3545 130340 : nu = 1;
3546 130340 : pk = utoipos(p2);
3547 130340 : p2k = utoipos(p4);
3548 : for(;;)
3549 : {
3550 387709 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
3551 387709 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3552 387709 : al = 1;
3553 387709 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3554 323281 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
3555 323281 : pk1 = pk;
3556 323281 : pk = mului(p, pk);
3557 323281 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3558 :
3559 323281 : al = a21;
3560 323281 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
3561 323281 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3562 323281 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3563 257369 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
3564 257369 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3565 257369 : }
3566 130340 : if (p == 2)
3567 72254 : c = 4 - 2 * (ga & 1);
3568 : else
3569 58086 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
3570 130340 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
3571 : }
3572 : case 1:
3573 77889 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
3574 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3575 77889 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
3576 77889 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
3577 77889 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
3578 : {
3579 29743 : if (p == 2)
3580 20286 : c = 3 - 2 * a64;
3581 : else
3582 9457 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
3583 29743 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
3584 : }
3585 48146 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
3586 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
3587 48146 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
3588 28959 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
3589 :
3590 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
3591 19187 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
3592 : }
3593 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3594 : }
3595 :
3596 : /* e is integral */
3597 : static GEN
3598 1582539 : localred(GEN e, GEN p)
3599 : {
3600 1582539 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
3601 878864 : return localred_p(e,p);
3602 : else
3603 : {
3604 703675 : long l = itos(p);
3605 703675 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
3606 703675 : return localred_23(e, l);
3607 : }
3608 : }
3609 :
3610 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
3611 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
3612 : static GEN
3613 26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
3614 : {
3615 26306 : GEN b = z;
3616 : long i;
3617 26306 : if (typ(b) == t_INT)
3618 : {
3619 26215 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
3620 26215 : return shifti(negi(b),-1);
3621 : }
3622 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3623 : {
3624 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
3625 : }
3626 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
3627 : }
3628 :
3629 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
3630 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
3631 : static GEN
3632 13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
3633 : {
3634 13153 : GEN b = z;
3635 : long i;
3636 13153 : if (typ(b) == t_INT)
3637 : {
3638 13104 : long s = smodis(b,3);
3639 13104 : if (s)
3640 : {
3641 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
3642 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
3643 0 : b = subii(b, Jz);
3644 : else
3645 0 : b = addii(b, Jz);
3646 : }
3647 13104 : return diviiexact(b, stoi(-3));
3648 : }
3649 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3650 : {
3651 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
3652 98 : if (!s) continue;
3653 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
3654 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
3655 : else
3656 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3657 : }
3658 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3659 : }
3660 :
3661 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
3662 : static GEN
3663 3619 : get_piinv(GEN P)
3664 : {
3665 3619 : GEN z = pr_get_tau(P);
3666 3619 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
3667 3619 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
3668 : }
3669 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
3670 : static void
3671 150220 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
3672 : {
3673 150220 : if (pr_is_inert(P))
3674 : {
3675 146636 : *pi = pr_get_p(P);
3676 146636 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
3677 : }
3678 : else
3679 : {
3680 3584 : *pv = get_piinv(P);
3681 3584 : *pi = nfinv(nf, *pv);
3682 : }
3683 150220 : }
3684 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
3685 : static GEN
3686 241878 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
3687 : {
3688 241878 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3689 241878 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3690 241878 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
3691 : }
3692 :
3693 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
3694 : static GEN
3695 391622 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
3696 : {
3697 391622 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
3698 391622 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3699 391622 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
3700 : }
3701 :
3702 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
3703 :
3704 : static GEN
3705 216265 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
3706 : {
3707 216265 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
3708 216265 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
3709 216265 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3710 216265 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
3711 : }
3712 :
3713 : static GEN
3714 584563 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
3715 : {
3716 584563 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3717 584563 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
3718 584563 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
3719 584563 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
3720 584563 : return Fq_to_nf(r, modP);
3721 : }
3722 :
3723 : static GEN
3724 15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
3725 : {
3726 15498 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3727 15498 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
3728 15498 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
3729 15498 : long n = 1;
3730 : while(1)
3731 : {
3732 40166 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
3733 : GEN gama;
3734 40166 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3735 : {
3736 8064 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3737 8064 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3738 : }
3739 32102 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3740 32102 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
3741 32102 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3742 32102 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
3743 32102 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3744 : {
3745 7434 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3746 7434 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3747 : }
3748 24668 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3749 24668 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
3750 24668 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
3751 24668 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3752 24668 : }
3753 : }
3754 :
3755 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
3756 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
3757 :
3758 : static GEN
3759 99295 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
3760 : {
3761 : GEN T, p, modP;
3762 : long vD;
3763 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
3764 99295 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3765 99295 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
3766 99295 : ch = init_ch();
3767 99295 : vD = nfval(nf,D,P);
3768 99295 : *ap = 0;
3769 : while(1)
3770 : {
3771 252280 : if (vD==0)
3772 637 : return localred_result(0,1,1,ch);
3773 : else
3774 : {
3775 251643 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3776 251643 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3777 251643 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
3778 251643 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
3779 251643 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
3780 : GEN x0, y0;
3781 251643 : if (absequaliu(p,2))
3782 : {
3783 : GEN x02, y02;
3784 164304 : if (signe(a1))
3785 : {
3786 30191 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
3787 30191 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
3788 30191 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
3789 : }
3790 : else
3791 : {
3792 134113 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
3793 134113 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
3794 : }
3795 164304 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
3796 : }
3797 : else
3798 : {
3799 87339 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
3800 87339 : if (signe(a12))
3801 27524 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
3802 : else
3803 59815 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
3804 87339 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
3805 : }
3806 251643 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
3807 251643 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
3808 251643 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
3809 : }
3810 : /* 2 */
3811 : {
3812 251643 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
3813 251643 : if (signe(b2) != 0)
3814 : {
3815 57715 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
3816 57715 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
3817 57715 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
3818 27895 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
3819 : }
3820 : }
3821 : /* 3 */
3822 : {
3823 193928 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
3824 193928 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
3825 : }
3826 : /* 4 */
3827 : {
3828 191233 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
3829 191233 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
3830 : }
3831 : /* 5 */
3832 187530 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
3833 : {
3834 187530 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
3835 187530 : if (vb6<=2)
3836 : {
3837 3367 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
3838 3367 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3839 3367 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
3840 : }
3841 : }
3842 : /* 6 */
3843 : {
3844 184163 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
3845 184163 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
3846 184163 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
3847 : GEN po2, E, F, mr;
3848 : long i, lE;
3849 184163 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
3850 184163 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
3851 184163 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
3852 : {
3853 69706 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
3854 69706 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
3855 69706 : lE = lg(E);
3856 69706 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
3857 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
3858 : long c; /* 1 + number of roots */
3859 4739 : switch(lE)
3860 : {
3861 1764 : case 2: c = 1; break;
3862 2625 : case 3: c = 2; break;
3863 350 : default: c = 4; break;
3864 : }
3865 4739 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
3866 : }
3867 : /* 7 */
3868 64967 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
3869 64967 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
3870 64967 : if (!gequal0(mr))
3871 : { /* not so frequent */
3872 58919 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
3873 58919 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
3874 : }
3875 64967 : if (lE == 3)
3876 15498 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
3877 : }
3878 : }
3879 163926 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
3880 163926 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
3881 : /* 8 */
3882 163926 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
3883 : {
3884 4459 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
3885 4459 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
3886 : }
3887 : /* 9 */
3888 : {
3889 159467 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
3890 159467 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
3891 159467 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
3892 3948 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
3893 : }
3894 : /* 10 */
3895 155519 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
3896 2534 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
3897 : /* 11 */
3898 152985 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
3899 152985 : vD -= 12;
3900 152985 : }
3901 : }
3902 :
3903 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
3904 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
3905 : static GEN
3906 50925 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
3907 : {
3908 50925 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3909 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
3910 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
3911 :
3912 50925 : c4 = ell_get_c4(e);
3913 50925 : c6 = ell_get_c6(e);
3914 50925 : D = ell_get_disc(e);
3915 50925 : vD = nfval(nf,D,P);
3916 50925 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
3917 50925 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
3918 50925 : m = (vD - nuj)/12;
3919 50925 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
3920 :
3921 50925 : if(m <= 0) ch = init_ch();
3922 : else
3923 : { /* model not minimal */
3924 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
3925 13153 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
3926 13153 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
3927 13153 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
3928 13153 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
3929 13153 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
3930 13153 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
3931 13153 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
3932 13153 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
3933 13153 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
3934 13153 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
3935 13153 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
3936 13153 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
3937 13153 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
3938 13153 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
3939 13153 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
3940 13153 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
3941 13153 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
3942 13153 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
3943 : }
3944 :
3945 50925 : kod = 0; c = 1;
3946 : /* minimal at P */
3947 50925 : if (nuj > 0)
3948 : { /* v(j) < 0 */
3949 47313 : if (vD == nuj)
3950 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
3951 45220 : f = 1; kod = 4+vD;
3952 45220 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
3953 45220 : if (Fq_issquare(z,T,p))
3954 24059 : c = vD;/* split */
3955 : else
3956 21161 : c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
3957 : }
3958 : else
3959 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
3960 : GEN Du;
3961 2093 : f = 2; kod = 2-vD;
3962 2093 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
3963 2093 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
3964 2093 : if(odd(vD))
3965 : {
3966 : GEN c6u;
3967 1120 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
3968 1120 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
3969 1120 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
3970 : }
3971 2093 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
3972 : }
3973 : }
3974 : else
3975 : { /* v(j) >= 0 */
3976 3612 : f = vD? 2: 0;
3977 3612 : switch(vD)
3978 : {
3979 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
3980 91 : case 0: kod = 0; c = 1; break;
3981 609 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
3982 490 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
3983 273 : case 4: kod = 4;
3984 273 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
3985 273 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3986 273 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3987 273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3988 273 : break;
3989 791 : case 6: kod = -1;
3990 791 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
3991 791 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
3992 791 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3993 791 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
3994 791 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
3995 791 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
3996 791 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
3997 791 : break;
3998 609 : case 8: kod = -4;
3999 609 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
4000 609 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4001 609 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4002 609 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4003 609 : break;
4004 476 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
4005 273 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
4006 : }
4007 : }
4008 50925 : return localred_result(f,kod,c,ch);
4009 : }
4010 : /* E is integral */
4011 : static GEN
4012 101129 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
4013 : {
4014 101129 : GEN p = pr_get_p(pr);
4015 101129 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4016 : {
4017 : long i, ap, vu;
4018 50204 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4019 50204 : GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
4020 50204 : gel(q,3) = v;
4021 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
4022 50204 : vu = nfval(nf, u, pr);
4023 50204 : if (vu > 0)
4024 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
4025 49259 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
4026 49259 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
4027 49259 : if (!equali1(D))
4028 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
4029 : GEN a;
4030 406 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
4031 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
4032 406 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
4033 406 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
4034 406 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
4035 406 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
4036 : }
4037 : }
4038 50204 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
4039 50204 : return q;
4040 : }
4041 50925 : return nflocalred_p(E,pr);
4042 : }
4043 :
4044 : static GEN
4045 3271102 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
4046 : {
4047 3271102 : GEN q, E = *pE;
4048 : long tE;
4049 3271102 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
4050 3271102 : if (pv) *pv = NULL;
4051 3271102 : if (p) switch(typ(p))
4052 : {
4053 : case t_INT:
4054 2916046 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
4055 2916039 : break;
4056 : case t_VEC:
4057 196679 : q = get_prid(p);
4058 196679 : if (q && tE == t_ELL_NF)
4059 : {
4060 196679 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4061 196679 : return q;
4062 : }
4063 7 : default: pari_err_TYPE(s,p);
4064 : }
4065 3074409 : switch(tE)
4066 : {
4067 : case t_ELL_Fp:
4068 179552 : case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
4069 273 : case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
4070 2894584 : case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
4071 : default:
4072 14 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
4073 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4074 : }
4075 3074395 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
4076 3074360 : if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
4077 2894808 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4078 3074360 : return q;
4079 : }
4080 :
4081 : GEN
4082 197057 : elllocalred(GEN E, GEN p)
4083 : {
4084 197057 : pari_sp av = avma;
4085 : GEN v, q;
4086 197057 : checkell(E);
4087 197057 : p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
4088 197043 : switch(ell_get_type(E))
4089 : {
4090 : case t_ELL_Qp:
4091 99449 : case t_ELL_Q: q = localred(E, p); break;
4092 97594 : case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
4093 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
4094 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4095 : }
4096 197043 : if (v)
4097 : { /* compose local change of variables with v */
4098 28 : GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
4099 28 : if (is_trivial_change(w))
4100 21 : gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4101 : else
4102 7 : gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
4103 : }
4104 197043 : return gerepilecopy(av, q);
4105 : }
4106 :
4107 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
4108 : static GEN
4109 9142 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
4110 : {
4111 9142 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
4112 9142 : return c;
4113 : }
4114 : static GEN
4115 17751440 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
4116 : {
4117 17751440 : *pd = NULL;
4118 17751440 : switch(typ(c))
4119 : {
4120 17741164 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
4121 1134 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
4122 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
4123 9142 : if (nf)
4124 : {
4125 9142 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
4126 9142 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
4127 : }
4128 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
4129 0 : return NULL;
4130 : }
4131 : }
4132 : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
4133 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
4134 : GEN
4135 3550288 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
4136 : {
4137 : GEN a, t, u, L, nf;
4138 : long i, l, k;
4139 :
4140 3550288 : if (pv) *pv = NULL;
4141 : /* t_ELL_Qp is also possible */
4142 3550288 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
4143 3550288 : L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
4144 21301728 : for (i = 1; i < 6; i++)
4145 : {
4146 : GEN d;
4147 17751440 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
4148 17751440 : if (d) /* partial factorization of denominator */
4149 2107 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
4150 : }
4151 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
4152 3550288 : l = lg(L); if (l == 1) return e;
4153 1043 : L = ZV_sort_uniq(L);
4154 1043 : l = lg(L);
4155 :
4156 1043 : t = gen_1;
4157 2317 : for (k = 1; k < l; k++)
4158 : {
4159 1274 : GEN p = gel(L,k);
4160 1274 : long n = 0, m;
4161 7644 : for (i = 1; i < 6; i++)
4162 6370 : if (!gequal0(gel(a,i)))
4163 : {
4164 3717 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
4165 3717 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
4166 3717 : while (m < 0) { n++; m += r; }
4167 : }
4168 1274 : t = mulii(t, powiu(p, n));
4169 : }
4170 1043 : u = ginv(t);
4171 1043 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4172 1043 : return coordch_uinv(e, t);
4173 : }
4174 : GEN
4175 224 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
4176 : {
4177 224 : pari_sp av = avma;
4178 224 : checkell(e);
4179 224 : switch(ell_get_type(e))
4180 : {
4181 : case t_ELL_Q:
4182 : case t_ELL_Qp:
4183 224 : case t_ELL_NF: break;
4184 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
4185 : }
4186 224 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
4187 224 : if (!pv || !*pv)
4188 : {
4189 203 : e = gerepilecopy(av, e);
4190 203 : if (pv) *pv = init_ch();
4191 : }
4192 : else
4193 21 : gerepileall(av, 2, &e, pv);
4194 224 : return e;
4195 : }
4196 :
4197 : static long
4198 1638 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4199 : {
4200 1638 : long N = 1; /* oo */
4201 1638 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4202 1533 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4203 1638 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4204 1337 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4205 1638 : return N;
4206 : }
4207 : static long
4208 1981 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4209 : {
4210 1981 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4211 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4212 1981 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4213 : }
4214 : static long
4215 1617 : cardmod2(GEN e)
4216 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4217 1617 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4218 1617 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4219 1617 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4220 1617 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4221 1617 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4222 1617 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4223 : }
4224 : static long
4225 1841 : cardmod3(GEN e)
4226 : {
4227 1841 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4228 1841 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4229 1841 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4230 1841 : return F3_card(b2,b4,b6);
4231 : }
4232 :
4233 : static ulong
4234 126 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4235 :
4236 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4237 : static void
4238 28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4239 : {
4240 28 : min_set_u(M, int2n(d));
4241 28 : min_set_c(M, E);
4242 28 : min_set_b(M);
4243 28 : min_set_a(M);
4244 28 : }
4245 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4246 : static void
4247 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4248 : {
4249 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4250 140 : min_set_c(M, E);
4251 140 : min_set_b(M);
4252 140 : }
4253 :
4254 : static long
4255 101325 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
4256 : {
4257 101325 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
4258 101325 : if (vD) /* bad reduction */
4259 : {
4260 : GEN c6;
4261 : long s;
4262 101017 : *good_red = 0;
4263 101017 : if (vc6) return 0;
4264 74193 : c6 = ell_get_c6(E);
4265 74193 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4266 74193 : s = kroiu(c6,p);
4267 74193 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4268 74193 : return s;
4269 : }
4270 308 : *good_red = 1;
4271 308 : if (p == 2)
4272 : {
4273 : ellmin_t M;
4274 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4275 21 : min_set_2(&M, E, d);
4276 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4277 : }
4278 287 : else if (p == 3)
4279 : {
4280 : ellmin_t M;
4281 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4282 140 : min_set_3(&M, E, d);
4283 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4284 : }
4285 : else
4286 : {
4287 : ellmin_t M;
4288 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4289 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4290 147 : min_set_c(&M, E);
4291 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4292 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4293 : }
4294 : }
4295 :
4296 : static GEN
4297 98581 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4298 : {
4299 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4300 : long vc6, vD, d;
4301 98581 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
4302 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4303 0 : D = ell_get_disc(E);
4304 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4305 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4306 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4307 0 : if (vD) /* bad reduction */
4308 : {
4309 : long s;
4310 0 : *good_red = 0;
4311 0 : if (vc6) return gen_0;
4312 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4313 0 : s = kronecker(c6,p);
4314 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4315 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4316 : }
4317 0 : *good_red = 1;
4318 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4319 0 : if (d)
4320 : {
4321 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4322 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4323 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4324 : }
4325 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4326 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4327 : }
4328 :
4329 : static GEN
4330 116769 : doellcard(GEN E)
4331 : {
4332 116769 : GEN fg = ellff_get_field(E);
4333 116769 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4334 95398 : return FF_ellcard(E);
4335 : else
4336 : {
4337 21371 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
4338 21371 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
4339 : }
4340 : }
4341 :
4342 : static GEN
4343 168329 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
4344 : {
4345 168329 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
4346 168329 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4347 168329 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4348 : {
4349 : long ap;
4350 49091 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4351 49091 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
4352 49091 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
4353 420 : *good_red = 1;
4354 420 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
4355 420 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
4356 420 : card = FF_ellcard(E);
4357 : }
4358 : else
4359 : {
4360 119238 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
4361 119238 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
4362 119238 : if (vD)
4363 : {
4364 : GEN c6new;
4365 49161 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
4366 49161 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
4367 49161 : if (vD > 12*d)
4368 : { /* bad reduction */
4369 49126 : *good_red = 0;
4370 98252 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
4371 43771 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
4372 43771 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
4373 : }
4374 35 : if (d)
4375 : { /* model not minimal at P */
4376 35 : GEN piinv = get_piinv(P);
4377 35 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
4378 35 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
4379 35 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
4380 35 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
4381 35 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
4382 : }
4383 : }
4384 70112 : *good_red = 1;
4385 70112 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
4386 70112 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
4387 70112 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
4388 141974 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
4389 71862 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
4390 : }
4391 70532 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
4392 : }
4393 :
4394 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
4395 : * basis */
4396 : static GEN
4397 455448 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
4398 : {
4399 : GEN P;
4400 455448 : if (!signe(a))
4401 1638 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
4402 453810 : else if (!signe(b))
4403 945 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
4404 : else
4405 : {
4406 452865 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
4407 : long k, l;
4408 452865 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
4409 344568 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
4410 344568 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
4411 : /* d = gcd(A,B) */
4412 344568 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
4413 344568 : l = lg(P);
4414 344568 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
4415 344568 : P = shallowconcat1(P);
4416 344568 : P = ZV_sort(P);
4417 : }
4418 347151 : settyp(P, t_VEC); return P;
4419 : }
4420 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
4421 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
4422 : static GEN
4423 454587 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
4424 : {
4425 : pari_sp av;
4426 454587 : GEN D = ell_get_disc(E);
4427 454587 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4428 454587 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
4429 : long l, k;
4430 :
4431 454587 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
4432 454587 : l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
4433 346430 : DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
4434 346430 : av = avma;
4435 346430 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4436 346430 : u = gen_1;
4437 852208 : for (k = 1; k < l; k++)
4438 : {
4439 505778 : GEN p = gel(P, k);
4440 505778 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4441 505778 : if (d) switch(itou_or_0(p))
4442 : {
4443 : case 2:
4444 : {
4445 : long a, b;
4446 56938 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4447 56938 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4448 56938 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
4449 56938 : break;
4450 : }
4451 : case 3:
4452 2324 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4453 2324 : break;
4454 : }
4455 505778 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
4456 505778 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
4457 : }
4458 346430 : *pDP = DP;
4459 346430 : return gerepileuptoint(av, u);
4460 : }
4461 :
4462 : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
4463 : static GEN
4464 35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
4465 : {
4466 35 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
4467 35 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
4468 35 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
4469 :
4470 35 : A1 = gmodgs(a1,2);
4471 35 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
4472 35 : s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
4473 35 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
4474 35 : r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
4475 35 : r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
4476 35 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
4477 35 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
4478 35 : t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
4479 35 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
4480 : }
4481 :
4482 : static GEN
4483 2506 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
4484 : {
4485 2506 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
4486 2506 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
4487 : }
4488 : static GEN
4489 861 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
4490 : {
4491 861 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4492 861 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
4493 861 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
4494 861 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
4495 : }
4496 : static GEN
4497 784 : ellnf_D_primes(GEN E)
4498 : {
4499 784 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4500 784 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
4501 784 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
4502 784 : long k, l = lg(P);
4503 784 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
4504 784 : if (!is_pm1(DZ))
4505 : {
4506 693 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
4507 693 : settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
4508 : }
4509 784 : return P;
4510 : }
4511 :
4512 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
4513 : static GEN
4514 847 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
4515 : {
4516 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
4517 847 : long k, l = lg(P);
4518 847 : Lr = vectrunc_init(l);
4519 847 : Ls = vectrunc_init(l);
4520 847 : Lt = vectrunc_init(l);
4521 847 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
4522 847 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
4523 4074 : for (k = 1; k < l; k++)
4524 : {
4525 3227 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
4526 : long vu;
4527 3227 : v = gel(q,3);
4528 3227 : u = gel(v,1);
4529 3227 : vu = nfval(nf, u, pr);
4530 3227 : if (!vu) continue;
4531 728 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
4532 728 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
4533 728 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
4534 728 : vectrunc_append(L, pr);
4535 728 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
4536 : }
4537 847 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
4538 : }
4539 : /* E integral */
4540 : static GEN
4541 833 : ellminimalprimes(GEN E)
4542 : {
4543 : GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
4544 : long j, k, l;
4545 :
4546 833 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
4547 77 : nf = ellnf_get_nf(E);
4548 77 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
4549 77 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
4550 77 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
4551 77 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
4552 77 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
4553 77 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4554 273 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4555 : {
4556 196 : GEN pr = gel(P, k);
4557 196 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
4558 182 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
4559 175 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
4560 175 : gel(P,j++) = pr;
4561 : }
4562 77 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4563 77 : return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4564 : }
4565 : static GEN
4566 756 : ellminimalnormu(GEN E0)
4567 : {
4568 756 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
4569 : long i, l;
4570 756 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4571 756 : S = ellminimalprimes(E);
4572 756 : L = gel(S,1);
4573 756 : U = gel(S,2);
4574 756 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
4575 756 : P = cgetg_copy(L, &l);
4576 756 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
4577 756 : P = factorback2(P, U);
4578 756 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
4579 756 : return P;
4580 : }
4581 : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
4582 : * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL) */
4583 : static GEN
4584 56 : bnf_get_v(GEN E)
4585 : {
4586 56 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
4587 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
4588 :
4589 56 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
4590 56 : S = ellminimalprimes(E);
4591 56 : L = gel(S,1);
4592 56 : U = gel(S,2);
4593 56 : Lr = gel(S,3);
4594 56 : Ls = gel(S,4);
4595 56 : Lt = gel(S,5);
4596 56 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
4597 56 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
4598 35 : nf = bnf_get_nf(bnf);
4599 35 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
4600 35 : U = basistoalg(nf, gel(F,2));
4601 35 : R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
4602 35 : S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
4603 35 : T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
4604 35 : return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
4605 : }
4606 :
4607 : GEN
4608 28 : ellminimaldisc(GEN E)
4609 : {
4610 28 : pari_sp av = avma;
4611 28 : checkell(E);
4612 28 : switch(ell_get_type(E))
4613 : {
4614 : case t_ELL_Q:
4615 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
4616 7 : return gerepileuptoint(av, absi(ell_get_disc(E)));
4617 : case t_ELL_NF:
4618 : {
4619 21 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
4620 21 : E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
4621 21 : S = ellminimalprimes(E);
4622 21 : L = gel(S,1);
4623 21 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
4624 21 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
4625 21 : return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
4626 : }
4627 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
4628 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4629 : }
4630 : }
4631 :
4632 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
4633 : * ellminimalmodel(E) */
4634 : static GEN
4635 455637 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4636 : {
4637 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
4638 : ellmin_t M;
4639 455637 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4640 : {
4641 1050 : if (lg(S) != 2)
4642 : {
4643 56 : E = gel(S,3);
4644 56 : v = gel(S,2);
4645 : }
4646 : else
4647 994 : v = init_ch();
4648 1050 : if (ptv) *ptv = v;
4649 1050 : return gcopy(E);
4650 : }
4651 454587 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
4652 454587 : u = get_u(e, &DP);
4653 454587 : min_set_all(&M, e, u);
4654 454587 : v = min_get_v(&M, e);
4655 454587 : y = min_to_ell(&M, e);
4656 454587 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4657 454587 : if (is_trivial_change(v))
4658 : {
4659 453530 : v = init_ch();
4660 453530 : S = mkvec(DP);
4661 : }
4662 : else
4663 1057 : S = mkvec3(DP, v, y);
4664 454587 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4665 454587 : if (ptv) *ptv = v; return y;
4666 : }
4667 :
4668 : static GEN
4669 1211 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4670 : {
4671 1211 : pari_sp av = avma;
4672 1211 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
4673 1211 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
4674 1211 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4675 1211 : DP = gel(S,1);
4676 1211 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
4677 1211 : if (!ptv)
4678 1176 : y = gerepilecopy(av, y);
4679 : else
4680 35 : { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
4681 1211 : return y;
4682 : }
4683 :
4684 : static GEN
4685 56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4686 : {
4687 : GEN S, y, v, v2;
4688 56 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
4689 : {
4690 0 : switch(lg(S))
4691 : {
4692 0 : case 1: v = init_ch(); break;
4693 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
4694 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
4695 : }
4696 0 : *ptv = v;
4697 0 : return gcopy(E);
4698 : }
4699 56 : *ptv = NULL;
4700 56 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
4701 56 : v2 = bnf_get_v(y);
4702 56 : if (typ(v2) == t_COL)
4703 : {
4704 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
4705 21 : return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
4706 : }
4707 35 : y = coordch(y, v2);
4708 35 : gcomposev(&v, v2);
4709 35 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
4710 35 : y = coordch(y, v2);
4711 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
4712 35 : y = obj_reinit(y);
4713 35 : gcomposev(&v, v2);
4714 35 : if (is_trivial_change(v))
4715 : {
4716 7 : v = init_ch();
4717 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
4718 : }
4719 : else
4720 : {
4721 28 : v = lift_if_rational(v);
4722 28 : S = mkvec2(v, y);
4723 : }
4724 35 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
4725 35 : *ptv = v; return y;
4726 : }
4727 : static GEN
4728 56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4729 : {
4730 56 : pari_sp av = avma;
4731 56 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
4732 56 : if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
4733 56 : if (!v || !ptv)
4734 28 : y = gerepilecopy(av, y);
4735 : else
4736 28 : { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
4737 56 : return y;
4738 : }
4739 : GEN
4740 1274 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4741 : {
4742 1274 : checkell(E);
4743 1274 : switch(ell_get_type(E))
4744 : {
4745 1211 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
4746 56 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
4747 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
4748 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4749 : }
4750 : }
4751 :
4752 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
4753 : * update type-dependant components.
4754 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
4755 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
4756 : * N = arithmetic conductor of E
4757 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
4758 : * fa = factorization of N
4759 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
4760 : static GEN
4761 454111 : ellQ_globalred(GEN e)
4762 : {
4763 : long k, l, iN;
4764 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
4765 :
4766 454111 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
4767 454111 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4768 454111 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
4769 454111 : D = ell_get_disc(E);
4770 454111 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
4771 454111 : if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
4772 454111 : l = lg(P); c = gen_1;
4773 454111 : iN = 1;
4774 454111 : NP = cgetg(l, t_COL);
4775 454111 : NE = cgetg(l, t_COL);
4776 454111 : L = cgetg(l, t_VEC);
4777 1937187 : for (k = 1; k < l; k++)
4778 : {
4779 1483076 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
4780 1483076 : if (!signe(ex)) continue;
4781 1483076 : gel(NP, iN) = p;
4782 1483076 : gel(NE, iN) = ex;
4783 1483076 : gel(L, iN) = q; iN++;
4784 1483076 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
4785 1483076 : c = mulii(c, gel(q,4));
4786 : }
4787 454111 : setlg(L, iN);
4788 454111 : setlg(NP, iN);
4789 454111 : setlg(NE, iN);
4790 454111 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
4791 : }
4792 : static GEN
4793 463029 : ellglobalred_i(GEN E)
4794 463029 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
4795 :
4796 : static GEN
4797 784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
4798 : {
4799 : GEN c, L, NP, NE;
4800 784 : long j, k, l = lg(P);
4801 784 : c = gen_1;
4802 784 : NP = cgetg(l, t_COL);
4803 784 : NE = cgetg(l, t_COL);
4804 784 : L = cgetg(l, t_VEC);
4805 3878 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4806 : {
4807 3094 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
4808 3094 : ex = gel(q,1);
4809 3094 : if (!signe(ex)) continue;
4810 2891 : gel(NP, j) = p;
4811 2891 : gel(NE, j) = ex;
4812 2891 : gel(L, j) = q; j++;
4813 2891 : c = mulii(c, gel(q,4));
4814 : }
4815 784 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
4816 784 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
4817 : }
4818 :
4819 : static GEN
4820 784 : ellnfglobalred(GEN E0)
4821 : {
4822 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
4823 : long j, k, l;
4824 :
4825 784 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4826 784 : if (!v) v = init_ch();
4827 784 : nf = ellnf_get_nf(E);
4828 784 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
4829 784 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
4830 784 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
4831 784 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4832 6083 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4833 : {
4834 5299 : GEN p = gel(P,k);
4835 5299 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
4836 3094 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
4837 3094 : gel(P,j++) = p;
4838 : }
4839 784 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4840 784 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
4841 770 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4842 784 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
4843 : }
4844 :
4845 : GEN
4846 453950 : ellglobalred(GEN E)
4847 : {
4848 453950 : pari_sp av = avma;
4849 : GEN S, gr, v;
4850 453950 : checkell(E);
4851 453950 : switch(ell_get_type(E))
4852 : {
4853 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
4854 : case t_ELL_Q:
4855 452921 : gr = ellglobalred_i(E);
4856 452921 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4857 452921 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
4858 452921 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
4859 452921 : break;
4860 : case t_ELL_NF:
4861 1029 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
4862 1029 : break;
4863 : }
4864 453950 : return gerepilecopy(av, v);
4865 : }
4866 :
4867 : static GEN doellrootno(GEN e);
4868 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
4869 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
4870 : * and E (shallow insert) */
4871 : GEN
4872 1568 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
4873 : {
4874 1568 : GEN E, S, v = NULL;
4875 1568 : checkell_Q(e);
4876 1568 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
4877 : {
4878 287 : E = ellminimalmodel_i(e, &v);
4879 287 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4880 287 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4881 : }
4882 1281 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
4883 1267 : E = e;
4884 : else
4885 : {
4886 14 : v = gel(S,2);
4887 14 : E = gcopy(gel(S,3));
4888 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4889 : }
4890 1568 : if (ch) *ch = v;
4891 1568 : S = ellglobalred_i(e);
4892 1568 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
4893 1568 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
4894 1568 : if (!S)
4895 : {
4896 602 : S = doellrootno(E);
4897 602 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
4898 : }
4899 1568 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
4900 1568 : return E;
4901 : }
4902 :
4903 : static GEN
4904 35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
4905 : {
4906 35 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
4907 35 : return (signe(ell_get_disc(e)) > 0)? shifti(tam,1): icopy(tam);
4908 : }
4909 :
4910 : static GEN
4911 784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
4912 : {
4913 784 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
4914 784 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
4915 : long r1, r2;
4916 784 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
4917 784 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
4918 : }
4919 :
4920 : GEN
4921 42 : elltamagawa(GEN E)
4922 : {
4923 42 : pari_sp av = avma;
4924 : GEN v;
4925 42 : checkell(E);
4926 42 : switch(ell_get_type(E))
4927 : {
4928 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
4929 14 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
4930 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
4931 : }
4932 42 : return gerepileuptoint(av, v);
4933 : }
4934 :
4935 : static GEN
4936 1036 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
4937 : {
4938 1036 : GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
4939 1036 : if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
4940 931 : if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
4941 798 : return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
4942 : }
4943 : /* true nf, use nf prec */
4944 : static GEN
4945 4907 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
4946 : {
4947 : long r1, r2;
4948 : GEN cx;
4949 4907 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
4950 4907 : x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
4951 4907 : if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
4952 2842 : x = Q_primitive_part(x, &cx);
4953 2842 : x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
4954 2842 : if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
4955 2842 : return x;
4956 : }
4957 : static long
4958 1981 : nfembed_extraprec(GEN x)
4959 1981 : { long e = gexpo(x); return e < 8? 0: nbits2extraprec(e); }
4960 : static GEN
4961 945 : ellnfembed(GEN E, long prec)
4962 : {
4963 945 : GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
4964 945 : long prec0 = prec, r1, r2, n, i;
4965 :
4966 945 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
4967 945 : E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
4968 945 : prec += nfembed_extraprec(E0);
4969 : /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
4970 945 : prec0 = prec;
4971 945 : prec += (prec-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
4972 945 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
4973 945 : sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
4974 : for(;;)
4975 : {
4976 945 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
4977 945 : for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
4978 4298 : for (i=1; i<=n; i++)
4979 : {
4980 : GEN Ei, r;
4981 : long j;
4982 3353 : for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
4983 3353 : gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
4984 3353 : if (!Ei) break;
4985 3353 : r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
4986 3353 : if (!r) break;
4987 : }
4988 1890 : if (i > n) return L;
4989 0 : prec = precdbl(prec);
4990 0 : if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
4991 0 : }
4992 : }
4993 :
4994 : static GEN
4995 91 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
4996 : {
4997 91 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
4998 : long i, l;
4999 91 : P = RgC_to_nfC(nf, P);
5000 91 : prec += nfembed_extraprec(P);
5001 91 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5002 91 : Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
5003 91 : Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
5004 91 : l = lg(Px); L = cgetg(l, t_VEC);
5005 91 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
5006 91 : return L;
5007 : }
5008 :
5009 : static void
5010 854 : ellnfembed_free(GEN L)
5011 : {
5012 854 : long i, l = lg(L);
5013 854 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
5014 854 : }
5015 :
5016 : static GEN
5017 98 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
5018 : {
5019 98 : pari_sp av = avma;
5020 98 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
5021 98 : long i, l = lg(V);
5022 98 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
5023 98 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
5024 98 : ellnfembed_free(V);
5025 98 : return gerepilecopy(av, P);
5026 : }
5027 :
5028 : GEN
5029 35 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
5030 35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
5031 :
5032 : GEN
5033 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
5034 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
5035 :
5036 : GEN
5037 35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
5038 35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
5039 :
5040 : static GEN
5041 756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
5042 : {
5043 756 : pari_sp av = avma;
5044 756 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellminimalnormu(E), prec);
5045 756 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
5046 3780 : for(i = 1; i < l; i++)
5047 : {
5048 3024 : GEN e = gel(Eb, i);
5049 3024 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
5050 3024 : per = mulrr(per, pi);
5051 : }
5052 756 : ellnfembed_free(Eb);
5053 756 : return gerepileuptoleaf(av, per);
5054 : }
5055 : static GEN
5056 756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
5057 : {
5058 756 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
5059 756 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
5060 : }
5061 :
5062 : static GEN
5063 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
5064 : {
5065 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5066 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5067 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
5068 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
5069 : }
5070 :
5071 : static GEN
5072 21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
5073 : {
5074 21 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
5075 21 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
5076 21 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5077 21 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5078 21 : if (lg(S) != 2)
5079 : { /* switch to minimal model if needed */
5080 14 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
5081 14 : per = gmul(per,u);
5082 : }
5083 21 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
5084 : }
5085 :
5086 : GEN
5087 63 : ellbsd(GEN E, long prec)
5088 : {
5089 63 : pari_sp av = avma;
5090 : GEN v;
5091 63 : checkell(E);
5092 63 : switch(ell_get_type(E))
5093 : {
5094 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
5095 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
5096 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
5097 : }
5098 63 : return gerepileupto(av, v);
5099 : }
5100 :
5101 : /********************************************************************/
5102 : /** **/
5103 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
5104 : /** **/
5105 : /********************************************************************/
5106 : /* x a t_INT */
5107 : static long
5108 924 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
5109 : {
5110 : long v;
5111 : GEN z;
5112 924 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
5113 791 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
5114 791 : *u = umodiu(z,pk); return v;
5115 : }
5116 : static void
5117 308 : val_init(GEN e, long p, long pk,
5118 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
5119 : {
5120 308 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
5121 308 : pari_sp av = avma;
5122 308 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
5123 308 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
5124 308 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
5125 308 : }
5126 :
5127 : static long
5128 308 : kod_23(GEN e, long p)
5129 : {
5130 : GEN S, nv;
5131 308 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
5132 : {
5133 294 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
5134 294 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
5135 : }
5136 : else
5137 14 : nv = localred_23(e, p);
5138 308 : return itos(gel(nv,2));
5139 : }
5140 :
5141 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5142 : static long
5143 161 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
5144 : {
5145 161 : if (kod > 4) return 1;
5146 119 : switch(kod)
5147 : {
5148 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
5149 : case 2:
5150 7 : if (vD==4) return 1;
5151 : else
5152 : {
5153 0 : if (vD==7) return 3;
5154 0 : else return v4==4 ? 2 : 4;
5155 : }
5156 : case 3:
5157 63 : switch(vD)
5158 : {
5159 42 : case 6: return 3;
5160 0 : case 8: return 4;
5161 14 : case 9: return 5;
5162 7 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
5163 : }
5164 28 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
5165 : case -1:
5166 0 : switch(vD)
5167 : {
5168 0 : case 9: return 2;
5169 0 : case 10: return 4;
5170 0 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
5171 : }
5172 : case -2:
5173 7 : switch(vD)
5174 : {
5175 7 : case 12: return 2;
5176 0 : case 14: return 3;
5177 0 : default: return 1;
5178 : }
5179 : case -3:
5180 0 : switch(vD)
5181 : {
5182 0 : case 12: return 2;
5183 0 : case 14: return 3;
5184 0 : case 15: return 4;
5185 0 : default: return 1;
5186 : }
5187 7 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
5188 7 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
5189 : case -6:
5190 0 : switch(vD)
5191 : {
5192 0 : case 12: return 2;
5193 0 : case 13: return 3;
5194 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5195 : }
5196 0 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
5197 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5198 : }
5199 : }
5200 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5201 : static long
5202 112 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
5203 : {
5204 112 : if (labs(kod) > 4) return 1;
5205 91 : switch(kod)
5206 : {
5207 28 : case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
5208 28 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
5209 : case -4: case 2:
5210 28 : switch (vD%6)
5211 : {
5212 0 : case 4: return 3;
5213 0 : case 5: return 4;
5214 28 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
5215 : }
5216 : default: /* kod = -2 et 4 */
5217 7 : switch (vD%6)
5218 : {
5219 0 : case 0: return 2;
5220 0 : case 1: return 3;
5221 7 : default: return 1;
5222 : }
5223 : }
5224 : }
5225 :
5226 : static long
5227 161 : ellrootno_2(GEN e)
5228 : {
5229 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
5230 161 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
5231 :
5232 161 : if (!vD) return 1;
5233 161 : if (d) { /* not minimal */
5234 : ellmin_t M;
5235 7 : min_set_2(&M, e, d);
5236 7 : min_set_D(&M, e);
5237 7 : e = min_to_ell(&M, e);
5238 : }
5239 161 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5240 161 : kod = kod_23(e,2);
5241 161 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
5242 161 : if (kod>=5)
5243 : {
5244 : long a2, a3;
5245 42 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
5246 42 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
5247 42 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
5248 : }
5249 119 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
5250 119 : x1 = u+v+v;
5251 119 : switch(kod)
5252 : {
5253 0 : case 1: return 1;
5254 : case 2:
5255 7 : switch(n2)
5256 : {
5257 : case 1:
5258 7 : switch(v4)
5259 : {
5260 7 : case 4: return kross(-1,u);
5261 0 : case 5: return 1;
5262 0 : default: return -1;
5263 : }
5264 0 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
5265 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
5266 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
5267 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
5268 : }
5269 : case 3:
5270 63 : switch(n2)
5271 : {
5272 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
5273 0 : case 2: return -kross(2,v);
5274 42 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
5275 42 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
5276 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
5277 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
5278 : }
5279 : case -1:
5280 0 : switch(n2)
5281 : {
5282 0 : case 1: return -kross(2,x1);
5283 0 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
5284 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
5285 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
5286 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
5287 : }
5288 7 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
5289 : case -3:
5290 0 : switch(n2)
5291 : {
5292 0 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
5293 0 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
5294 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
5295 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
5296 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
5297 : }
5298 : case -5:
5299 7 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
5300 0 : else return -kross(2,2*u+v);
5301 : case -6:
5302 0 : switch(n2)
5303 : {
5304 0 : case 1: return 1;
5305 0 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
5306 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
5307 : }
5308 : case -7:
5309 0 : if (n2==1) return 1;
5310 : else
5311 : {
5312 0 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
5313 0 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
5314 0 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
5315 : }
5316 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
5317 0 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
5318 35 : default: return -1;
5319 : }
5320 : }
5321 :
5322 : static long
5323 147 : ellrootno_3(GEN e)
5324 : {
5325 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
5326 147 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
5327 :
5328 147 : if (!vD) return 1;
5329 147 : if (d) { /* not minimal */
5330 : ellmin_t M;
5331 0 : min_set_3(&M, e, d);
5332 0 : min_set_a(&M);
5333 0 : min_set_D(&M, e);
5334 0 : e = min_to_ell(&M, e);
5335 : }
5336 147 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5337 147 : kod = kod_23(e,3);
5338 147 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
5339 112 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
5340 112 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
5341 112 : switch(kod)
5342 : {
5343 28 : case 1: case 3: case -3: return 1;
5344 : case 2:
5345 0 : switch(n2)
5346 : {
5347 0 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
5348 0 : case 2: return -K4*K6;
5349 0 : case 3: return 1;
5350 0 : case 4: return -K6;
5351 : }
5352 : case 4:
5353 7 : switch(n2)
5354 : {
5355 7 : case 1: return K6*kross(D1,3);
5356 0 : case 2: return -K4;
5357 0 : case 3: return -K6;
5358 : }
5359 0 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5360 : case -4:
5361 28 : switch(n2)
5362 : {
5363 : case 1:
5364 28 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5365 28 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5366 0 : case 2: return -K6;
5367 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5368 0 : case 4: return K6;
5369 : }
5370 49 : default: return -1;
5371 : }
5372 : }
5373 :
5374 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
5375 : static long
5376 770 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
5377 : {
5378 : long nuj, nuD, nu;
5379 770 : GEN D = ell_get_disc(e);
5380 : long ep, z;
5381 :
5382 770 : nuD = Q_pval(D, p);
5383 770 : if (!nuD) return 1;
5384 770 : nuj = j_pval(e, p);
5385 770 : nu = (nuD - nuj) % 12;
5386 770 : if (nu == 0)
5387 : {
5388 : GEN c6;
5389 : long d, vg;
5390 574 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
5391 : /* p || N */
5392 574 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
5393 574 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
5394 574 : d = vg / 12;
5395 574 : if (d)
5396 : {
5397 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
5398 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
5399 : }
5400 574 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
5401 : /* c6 in minimal model */
5402 574 : return -kronecker(negi(c6), p);
5403 : }
5404 196 : if (nuj) return krosi(-1,p);
5405 168 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
5406 168 : if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
5407 168 : return krosi(-z, p);
5408 : }
5409 :
5410 : static GEN
5411 616 : doellrootno(GEN e)
5412 : {
5413 616 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
5414 616 : long i, l, s = -1;
5415 :
5416 616 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5417 616 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
5418 616 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
5419 616 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
5420 1673 : for (i = 1; i < l; i++)
5421 : {
5422 1057 : GEN p = gel(P,i);
5423 : long t;
5424 1057 : switch(itou_or_0(p))
5425 : {
5426 147 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
5427 147 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
5428 763 : default:t = ellrootno_p(e, p);
5429 : }
5430 1057 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
5431 : }
5432 616 : return mkvec2(stoi(s), V);
5433 : }
5434 :
5435 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
5436 : * Global if p==1 or NULL. */
5437 : static long
5438 42 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
5439 : {
5440 42 : pari_sp av = avma;
5441 : GEN S;
5442 : long s;
5443 42 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
5444 28 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
5445 28 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
5446 : {
5447 7 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
5448 7 : long i = ZV_search(NP, p);
5449 7 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
5450 0 : return 1;
5451 : }
5452 21 : switch(itou_or_0(p))
5453 : {
5454 : case 2:
5455 14 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5456 14 : s = ellrootno_2(e); break;
5457 : case 3:
5458 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5459 0 : s = ellrootno_3(e); break;
5460 : default:
5461 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
5462 : }
5463 21 : avma = av; return s;
5464 : }
5465 :
5466 : /* global root number over number field
5467 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
5468 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
5469 : */
5470 :
5471 : static GEN
5472 322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
5473 : {
5474 : long i;
5475 322 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
5476 1932 : for(i=1; i<=5; i++)
5477 1610 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
5478 322 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
5479 : }
5480 :
5481 : static GEN
5482 252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
5483 : {
5484 252 : long v = fetch_var_higher();
5485 252 : GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
5486 252 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
5487 252 : delete_var();
5488 252 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
5489 : }
5490 :
5491 : static GEN
5492 217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
5493 : {
5494 217 : pari_sp av = avma;
5495 217 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5496 217 : GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
5497 217 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5498 217 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
5499 217 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
5500 217 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
5501 217 : return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
5502 : }
5503 :
5504 : static long
5505 252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
5506 252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
5507 :
5508 : static long
5509 147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
5510 : {
5511 147 : pari_sp av = avma;
5512 147 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5513 147 : long prec = nf_get_prec(nf);
5514 : long v;
5515 : GEN F;
5516 147 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
5517 147 : F = nfroots(nf, ec_bmodel(E));
5518 147 : if (lg(F)>1)
5519 : {
5520 35 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
5521 35 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5522 35 : obj_free(Et);
5523 35 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
5524 : } else
5525 : {
5526 112 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), 0);
5527 112 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E), utoi(4)), 4);
5528 112 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(0),-2), prec);
5529 112 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
5530 112 : GEN F = nfroots(nf, D);
5531 112 : if (lg(F)>1)
5532 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
5533 : else
5534 : {
5535 105 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5536 105 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
5537 105 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
5538 105 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
5539 105 : GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
5540 105 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5541 105 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5542 105 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
5543 105 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
5544 105 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
5545 105 : v = odd(v2+v3);
5546 : }
5547 : }
5548 147 : avma = av; return v ? -1: 1;
5549 : }
5550 :
5551 : static GEN
5552 147 : doellnfrootno(GEN e)
5553 147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
5554 :
5555 : long
5556 1624 : ellrootno_global(GEN e)
5557 : {
5558 1624 : pari_sp av = avma;
5559 : GEN S;
5560 1624 : switch(ell_get_type(e))
5561 : {
5562 : case t_ELL_Q:
5563 1358 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
5564 1358 : break;
5565 : case t_ELL_NF:
5566 266 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
5567 266 : break;
5568 : default:
5569 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5570 : }
5571 1624 : avma = av; return itos(S);
5572 : }
5573 :
5574 : long
5575 140 : ellrootno(GEN e, GEN p)
5576 : {
5577 140 : checkell(e);
5578 140 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
5579 140 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
5580 140 : switch(ell_get_type(e))
5581 : {
5582 : case t_ELL_Q:
5583 42 : return ellQ_rootno(e, p);
5584 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
5585 : case t_ELL_NF:
5586 98 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
5587 98 : return ellrootno_global(e);
5588 : }
5589 : }
5590 :
5591 : /********************************************************************/
5592 : /** **/
5593 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
5594 : /** **/
5595 : /********************************************************************/
5596 :
5597 : /* assume p does not divide disc E */
5598 : long
5599 305777 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
5600 : {
5601 : ulong a4, a6;
5602 305777 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
5603 304545 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
5604 303012 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5605 303012 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5606 : }
5607 :
5608 : static void
5609 693 : checkell_int(GEN e)
5610 : {
5611 693 : checkell_Q(e);
5612 1386 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
5613 1386 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
5614 1386 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
5615 1386 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
5616 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
5617 693 : }
5618 :
5619 : long
5620 2177 : ellQ_get_CM(GEN e)
5621 : {
5622 2177 : GEN j = ell_get_j(e);
5623 2177 : long CM = 0;
5624 2177 : if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
5625 : {
5626 : case 0:
5627 107 : if (!signe(j)) CM = -3;
5628 107 : break;
5629 119 : case 1728: CM = -4; break;
5630 21 : case -3375: CM = -7; break;
5631 21 : case 8000: CM = -8; break;
5632 21 : case 54000: CM = -12; break;
5633 21 : case -32768: CM = -11; break;
5634 21 : case 287496: CM = -16; break;
5635 7 : case -884736: CM = -19; break;
5636 21 : case -12288000: CM = -27; break;
5637 21 : case 16581375: CM = -28; break;
5638 7 : case -884736000: CM = -43; break;
5639 : #ifdef LONG_IS_64BIT
5640 6 : case -147197952000L: CM = -67; break;
5641 6 : case -262537412640768000L: CM = -163; break;
5642 : #endif
5643 : }
5644 2177 : return CM;
5645 : }
5646 :
5647 : /* bad reduction at p */
5648 : static void
5649 2688 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
5650 : {
5651 : ulong m, N;
5652 2688 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
5653 : {
5654 : case -1: /* non-split */
5655 651 : N = n/p;
5656 425823 : for (m=2; m<=N; m++)
5657 425172 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
5658 651 : break;
5659 : case 0: /* additive */
5660 1204 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
5661 1204 : break;
5662 : case 1: /* split */
5663 833 : N = n/p;
5664 124862 : for (m=2; m<=N; m++)
5665 124029 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
5666 833 : break;
5667 : }
5668 2688 : }
5669 : /* good reduction at p */
5670 : static void
5671 300303 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
5672 : {
5673 300303 : const long ap = an[p];
5674 : ulong m;
5675 300303 : if (p <= SQRTn) {
5676 9994 : ulong pk, oldpk = 1;
5677 40475 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
5678 : {
5679 30481 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
5680 4572625 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
5681 4542144 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
5682 : }
5683 : } else {
5684 1618097 : for (m = n/p; m > 1; m--)
5685 1327788 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
5686 : }
5687 300303 : }
5688 : static void
5689 302991 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
5690 : {
5691 302991 : if (good_red)
5692 300303 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
5693 : else
5694 2688 : sievep_bad(p, an, n);
5695 302991 : }
5696 :
5697 : static long
5698 302991 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
5699 : {
5700 302991 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
5701 2744 : return ellQap_u(e, p, good_red);
5702 : else /* good reduction */
5703 : {
5704 300247 : *good_red = 1;
5705 300247 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
5706 : }
5707 : }
5708 : GEN
5709 1750 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
5710 : {
5711 : pari_sp av;
5712 1750 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
5713 : GEN an;
5714 : int CM;
5715 :
5716 1750 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
5717 1750 : if (n >= LGBITS)
5718 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
5719 1750 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
5720 1750 : SQRTn = usqrt(n);
5721 1750 : CM = ellQ_get_CM(e);
5722 :
5723 1750 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
5724 1750 : an[1] = 1; av = avma;
5725 2594607 : for (p=2; p<=n; p++)
5726 : {
5727 : int good_red;
5728 2592857 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
5729 302991 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
5730 302991 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
5731 : }
5732 1750 : avma = av; return an;
5733 : }
5734 :
5735 : static GEN
5736 1477 : ellanQ(GEN e, long N)
5737 1477 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
5738 :
5739 : static GEN
5740 69405 : ellnflocal(void *S, GEN p, long n)
5741 : {
5742 69405 : pari_sp av = avma;
5743 69405 : GEN E = (GEN)S;
5744 69405 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
5745 69405 : long l = lg(LP), i;
5746 138831 : for (i = 1; i < l; i++)
5747 : {
5748 : int goodred;
5749 69426 : GEN P = gel(LP,i), T2;
5750 69426 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
5751 69426 : long f = pr_get_f(P);
5752 69426 : if (goodred)
5753 69244 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
5754 : else
5755 : {
5756 182 : if (!signe(ap)) continue;
5757 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
5758 : }
5759 69412 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
5760 69412 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
5761 : }
5762 69405 : if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
5763 37912 : return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
5764 : }
5765 :
5766 : static GEN
5767 189 : ellnfan(GEN E, long N)
5768 : {
5769 189 : return direuler_bad((void*)E, &ellnflocal, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
5770 : }
5771 : GEN
5772 1659 : ellan(GEN E, long N)
5773 : {
5774 1659 : checkell(E);
5775 1659 : switch(ell_get_type(E))
5776 : {
5777 1470 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
5778 189 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
5779 : default:
5780 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
5781 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5782 : }
5783 : }
5784 :
5785 : static GEN
5786 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
5787 : {
5788 : GEN u, v, w;
5789 : long j;
5790 735 : if (e == 1) return ap;
5791 112 : u = ap;
5792 112 : w = subii(sqri(ap), p);
5793 126 : for (j=3; j<=e; j++)
5794 : {
5795 14 : v = u; u = w;
5796 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
5797 : }
5798 112 : return w;
5799 : }
5800 :
5801 : GEN
5802 693 : akell(GEN e, GEN n)
5803 : {
5804 : long i, j, s;
5805 693 : pari_sp av = avma;
5806 : GEN fa, P, E, D, u, y;
5807 :
5808 693 : checkell_int(e);
5809 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
5810 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
5811 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
5812 693 : D = ell_get_disc(e);
5813 693 : u = Z_ppo(n, D);
5814 693 : y = gen_1;
5815 693 : s = 1;
5816 693 : if (!equalii(u, n))
5817 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
5818 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
5819 441 : P = gel(fa,1);
5820 441 : E = gel(fa,2);
5821 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5822 : {
5823 581 : GEN p = gel(P,i);
5824 581 : long ex = itos(gel(E,i));
5825 : int good_red;
5826 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
5827 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
5828 350 : j = signe(ap);
5829 350 : if (!j) { avma = av; return gen_0; }
5830 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
5831 : }
5832 : }
5833 693 : if (s < 0) y = negi(y);
5834 693 : fa = Z_factor(u);
5835 693 : P = gel(fa,1);
5836 693 : E = gel(fa,2);
5837 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5838 : { /* good reduction */
5839 504 : GEN p = gel(P,i);
5840 504 : GEN ap = ellap(e,p);
5841 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
5842 : }
5843 693 : return gerepileuptoint(av,y);
5844 : }
5845 :
5846 : GEN
5847 7336 : ellQ_get_N(GEN e)
5848 7336 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
5849 : void
5850 588 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
5851 588 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
5852 :
5853 : GEN
5854 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
5855 : {
5856 14 : pari_sp av = avma, av1;
5857 : ulong l, n;
5858 : long eps, flun;
5859 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
5860 :
5861 14 : if (!A) A = gen_1;
5862 : else
5863 : {
5864 7 : if (gsigne(A)<=0)
5865 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
5866 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
5867 : }
5868 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
5869 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
5870 14 : checkell_Q(e);
5871 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
5872 14 : N = ellQ_get_N(e);
5873 14 : eps = ellrootno_global(e);
5874 14 : if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
5875 :
5876 14 : gs = ggamma(s, prec);
5877 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
5878 14 : cga = gmul(cg, A);
5879 14 : cgb = gdiv(cg, A);
5880 42 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
5881 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
5882 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
5883 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
5884 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
5885 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
5886 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
5887 14 : z = gen_0;
5888 14 : av1 = avma;
5889 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
5890 : {
5891 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
5892 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
5893 1330 : if (!signe(an)) continue;
5894 :
5895 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
5896 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
5897 1106 : if (flun)
5898 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
5899 : else
5900 : {
5901 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
5902 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
5903 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
5904 : }
5905 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
5906 1106 : if (gc_needed(av1,1))
5907 : {
5908 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
5909 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
5910 : }
5911 : }
5912 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
5913 : }
5914 :
5915 : /********************************************************************/
5916 : /** **/
5917 : /** CANONICAL HEIGHT **/
5918 : /** **/
5919 : /********************************************************************/
5920 :
5921 : static GEN
5922 721 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
5923 :
5924 : /* one root of X^2 - t X + c */
5925 : static GEN
5926 1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
5927 : {
5928 1106 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
5929 : }
5930 :
5931 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
5932 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
5933 : static GEN
5934 1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
5935 : {
5936 1106 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
5937 1106 : long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
5938 :
5939 1106 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
5940 1106 : ab = ellR_ab(e, p);
5941 1106 : a = gel(ab, 1);
5942 1106 : b = gel(ab, 2);
5943 1106 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
5944 1106 : x = gsub(x, e1);
5945 1106 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
5946 :
5947 1106 : x_a = gsub(x, a);
5948 1106 : if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
5949 1106 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
5950 1106 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
5951 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
5952 6049 : for(n=0;; n++)
5953 : {
5954 6049 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
5955 6049 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
5956 6049 : r = gsub(a, a0);
5957 6049 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
5958 4943 : ab = gmul(a0, b);
5959 4943 : b = gsqrt(ab, prec);
5960 :
5961 4943 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
5962 4943 : p2 = gsqr(a);
5963 4943 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
5964 4943 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
5965 4943 : }
5966 1106 : if (n) {
5967 1106 : x = gel(V,n);
5968 1106 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
5969 : } else
5970 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
5971 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
5972 1106 : return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs(x_a)));
5973 : }
5974 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
5975 : static int
5976 1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
5977 : {
5978 1106 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
5979 1106 : return gcmp(x, e1) >= 0;
5980 : }
5981 :
5982 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
5983 : static GEN
5984 1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
5985 : {
5986 1106 : pari_sp av = avma;
5987 : GEN h;
5988 1106 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
5989 : {
5990 455 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
5991 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
5992 455 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
5993 : }
5994 : else
5995 651 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
5996 1106 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
5997 1106 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
5998 : }
5999 : GEN
6000 1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
6001 :
6002 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
6003 : static GEN
6004 28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
6005 : {
6006 28 : pari_sp av = avma;
6007 28 : GEN z = zell(E, P, prec);
6008 28 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
6009 28 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = gconj(w1);
6010 28 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
6011 28 : GEN D = gsub(gmul(w1, gconj(w2)),gmul(w1c, w2));
6012 28 : GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, gconj(z)),gmul(w1c, z)), D);
6013 28 : GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
6014 28 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
6015 28 : GEN r = gmul2n(greal(gmul(z, eta)), -1);
6016 28 : GEN l = greal(ellsigma(per, z, 1, prec));
6017 28 : return gerepileupto(av, gsub(r, l));
6018 : }
6019 :
6020 : static GEN
6021 140 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
6022 140 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
6023 : static GEN
6024 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6025 : {
6026 35 : pari_sp av = avma;
6027 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
6028 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
6029 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
6030 : }
6031 : GEN
6032 147 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
6033 147 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
6034 : GEN
6035 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6036 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
6037 :
6038 : static GEN
6039 245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
6040 : {
6041 : long v1, v2, vD, vu;
6042 245 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
6043 245 : GEN lr = nflocalred(e,pr);
6044 245 : GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
6045 245 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
6046 245 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
6047 : GEN v;
6048 245 : vu = nfval(nf, u, pr);
6049 245 : v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
6050 245 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
6051 245 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
6052 245 : if (v1<0)
6053 7 : vu = 0;
6054 245 : if (v1<=0 || v2<=0)
6055 210 : v = gen_0;
6056 35 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
6057 : {
6058 21 : GEN a = gdivsg(minss(2*v2,vD),mulss(2,vD));
6059 21 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a),gdivgs(stoi(vD),2));
6060 : }
6061 : else
6062 : {
6063 14 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
6064 28 : v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? gdivgs(stoi(v2),-3):
6065 14 : gdivgs(stoi(v3),-8);
6066 : }
6067 245 : return gsubgs(v,vu);
6068 : }
6069 :
6070 : static GEN
6071 98 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
6072 : {
6073 98 : pari_sp av = avma;
6074 : GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
6075 : long i, n, l, r1;
6076 98 : if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
6077 98 : x = gel(P,1);
6078 98 : if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { avma = av; return gen_0; }
6079 91 : nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
6080 91 : disc = ell_get_disc(E);
6081 91 : d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
6082 91 : F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
6083 91 : Ee = ellnfembed(E, prec);
6084 91 : Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
6085 91 : n = lg(Ee); l = lg(F);
6086 91 : s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
6087 224 : for (i=1; i<=r1; i++)
6088 133 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
6089 119 : for ( ; i<n; i++)
6090 28 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
6091 336 : for (i=1; i<l; i++)
6092 : {
6093 245 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
6094 245 : long f = pr_get_f(pr);
6095 245 : GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
6096 245 : s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
6097 : }
6098 91 : return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
6099 : }
6100 :
6101 : static GEN
6102 133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
6103 : {
6104 : long i, lx;
6105 133 : pari_sp av = avma;
6106 : GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
6107 : GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
6108 :
6109 133 : checkell_Q(e);
6110 133 : checkellpt(a);
6111 133 : if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
6112 133 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
6113 126 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
6114 : { /* switch to minimal model if needed */
6115 98 : if (lg(S) != 2)
6116 : {
6117 7 : v = gel(S,2);
6118 7 : e = gel(S,3);
6119 7 : a = ellchangepoint(a, v);
6120 : }
6121 : }
6122 : else
6123 : {
6124 28 : e = ellminimalmodel_i(e, &v);
6125 28 : a = ellchangepoint(a, v);
6126 : }
6127 126 : if (!oncurve(e,a))
6128 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
6129 119 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6130 119 : if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
6131 105 : x = gel(a,1);
6132 105 : y = gel(a,2);
6133 105 : b2 = ell_get_b2(e);
6134 105 : b4 = ell_get_b4(e);
6135 105 : b6 = ell_get_b6(e);
6136 105 : b8 = ell_get_b8(e);
6137 105 : psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
6138 : poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
6139 : );
6140 105 : if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
6141 105 : a1 = ell_get_a1(e);
6142 105 : a2 = ell_get_a2(e);
6143 105 : a4 = ell_get_a4(e);
6144 105 : phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
6145 : poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
6146 : );
6147 105 : c4 = ell_get_c4(e);
6148 105 : D = ell_get_disc(e);
6149 105 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6150 105 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6151 105 : lx = lg(Lp);
6152 217 : for (i=1; i<lx; i++)
6153 : {
6154 112 : GEN p = gel(Lp,i);
6155 : long u, v, n, n2;
6156 112 : if (!dvdii(c4,p))
6157 : { /* p \nmid c4 */
6158 35 : long N = Z_pval(D,p);
6159 35 : if (!N) continue;
6160 35 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6161 35 : if (n > N) n = N;
6162 35 : u = n * ((N<<1) - n);
6163 35 : v = N << 3;
6164 : }
6165 : else
6166 : {
6167 77 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6168 77 : n = Z_pval(psi3, p);
6169 77 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6170 : }
6171 : /* z -= u log(p) / v */
6172 112 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6173 : }
6174 105 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
6175 : }
6176 :
6177 : GEN
6178 231 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6179 : {
6180 231 : checkell(e);
6181 231 : checkellpt(a);
6182 231 : if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
6183 231 : switch(ell_get_type(e))
6184 : {
6185 : case t_ELL_Q:
6186 133 : return ellQ_height(e, a, prec);
6187 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6188 : case t_ELL_NF:
6189 98 : return ellnf_height(e, a, prec);
6190 : }
6191 : }
6192 :
6193 : GEN
6194 21 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6195 : {
6196 : GEN D, A, B;
6197 21 : long lx = lg(x), i, j;
6198 21 : pari_sp av = avma;
6199 :
6200 21 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6201 21 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6202 21 : A = cgetg(lx,t_MAT);
6203 21 : B = cgetg(lx,t_MAT);
6204 63 : for (i=1; i<lx; i++)
6205 : {
6206 42 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6207 42 : gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
6208 42 : gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
6209 : }
6210 63 : for (i=1; i<lx; i++)
6211 : {
6212 42 : GEN h = gel(D,i);
6213 42 : if (p)
6214 : {
6215 28 : gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
6216 28 : gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
6217 : }
6218 : else
6219 14 : gcoeff(A,i,i) = h;
6220 70 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6221 : {
6222 28 : h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6223 28 : h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
6224 28 : if (p)
6225 : {
6226 21 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
6227 21 : gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
6228 : }
6229 : else
6230 7 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
6231 : }
6232 : }
6233 21 : return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
6234 : }
6235 : GEN
6236 7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6237 7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6238 :
6239 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6240 : static GEN
6241 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6242 : {
6243 : GEN y;
6244 21 : long i, l = lg(P);
6245 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6246 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
6247 7 : y = cgetg(l, typ(P));
6248 7 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
6249 7 : return y;
6250 : }
6251 : GEN
6252 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6253 : {
6254 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6255 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6256 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6257 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6258 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6259 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6260 7 : if (is_matvec_t(t2))
6261 : {
6262 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6263 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6264 0 : return bilhell_i(E,Q,P,n);
6265 : }
6266 7 : return bilhell_i(E,P,Q,n);
6267 : }
6268 : /********************************************************************/
6269 : /** **/
6270 : /** Modular Parametrization **/
6271 : /** **/
6272 : /********************************************************************/
6273 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6274 : static GEN
6275 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6276 : {
6277 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6278 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
6279 0 : gel(s,2) = t; return s;
6280 : }
6281 :
6282 : GEN
6283 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6284 : {
6285 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6286 : long n, m;
6287 14 : pari_sp av = avma;
6288 :
6289 14 : checkell_Q(e);
6290 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
6291 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
6292 :
6293 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
6294 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
6295 7 : d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalp(d,-1);
6296 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
6297 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6298 7 : c = gsqr(d);
6299 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
6300 : * Take derivative then divide by 2x':
6301 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
6302 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
6303 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
6304 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
6305 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
6306 : * */
6307 7 : C = c+4;
6308 7 : X = x+4;
6309 7 : gel(X,-2) = gen_1;
6310 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
6311 7 : b2 = ell_get_b2(e);
6312 7 : b4 = ell_get_b4(e);
6313 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
6314 : {
6315 105 : pari_sp av2 = avma;
6316 : GEN s1, s2, s3;
6317 105 : if (n != 2)
6318 : {
6319 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
6320 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
6321 98 : s2 = gen_0;
6322 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
6323 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
6324 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
6325 98 : s1 = gen_0;
6326 98 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
6327 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
6328 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
6329 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
6330 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
6331 : }
6332 : else
6333 : {
6334 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
6335 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
6336 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
6337 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
6338 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
6339 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
6340 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
6341 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
6342 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
6343 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
6344 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
6345 7 : w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
6346 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
6347 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
6348 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
6349 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
6350 7 : s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
6351 : }
6352 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
6353 : }
6354 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
6355 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
6356 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
6357 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
6358 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
6359 : }
6360 :
6361 : /********************************************************************/
6362 : /** **/
6363 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
6364 : /** **/
6365 : /********************************************************************/
6366 : static GEN
6367 19278 : doellff_get_o(GEN E)
6368 : {
6369 19278 : GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
6370 19278 : return mkvec2(d, Z_factor(d));
6371 : }
6372 : GEN
6373 19817 : ellff_get_o(GEN E)
6374 19817 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
6375 :
6376 : GEN
6377 133 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
6378 : {
6379 133 : pari_sp av = avma;
6380 : GEN fg, r;
6381 133 : checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
6382 133 : fg = ellff_get_field(E);
6383 133 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
6384 133 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6385 91 : r = FF_elllog(E, a, g, o);
6386 : else
6387 : {
6388 42 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6389 42 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
6390 42 : GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
6391 42 : r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
6392 : }
6393 133 : return gerepileuptoint(av, r);
6394 : }
6395 :
6396 : GEN
6397 5236 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6398 : {
6399 : GEN fg;
6400 5236 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
6401 5229 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
6402 5229 : fg = ellff_get_field(E);
6403 5229 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6404 4984 : return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
6405 : else
6406 : {
6407 245 : pari_sp av = avma;
6408 245 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6409 490 : GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
6410 490 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
6411 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
6412 : }
6413 : }
6414 :
6415 : GEN
6416 294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6417 : {
6418 : GEN fg;
6419 294 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
6420 294 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
6421 294 : fg = ellff_get_field(E);
6422 294 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6423 91 : return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
6424 : else
6425 : {
6426 203 : pari_sp av = avma;
6427 203 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6428 406 : GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
6429 406 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
6430 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
6431 : }
6432 : }
6433 :
6434 : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
6435 : static GEN
6436 2794911 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
6437 : {
6438 2794911 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
6439 2794911 : if (!signe(D))
6440 : {
6441 98000 : pari_sp av = avma;
6442 98000 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
6443 98000 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
6444 : }
6445 2696911 : *good_red = 1;
6446 2696911 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
6447 2696526 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
6448 2696218 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
6449 2696218 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
6450 : }
6451 :
6452 : GEN
6453 2947959 : ellap(GEN E, GEN p)
6454 : {
6455 2947959 : pari_sp av = avma;
6456 : GEN q, card;
6457 : int goodred;
6458 2947959 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
6459 2947931 : switch(ell_get_type(E))
6460 : {
6461 : case t_ELL_Fp:
6462 105 : q = p; card = ellff_get_card(E);
6463 105 : break;
6464 : case t_ELL_Fq:
6465 54467 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
6466 54467 : break;
6467 : case t_ELL_Qp:
6468 : case t_ELL_Q:
6469 2794491 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6470 2794491 : break;
6471 : case t_ELL_NF:
6472 98868 : return ellnfap(E, p, &goodred);
6473 : default:
6474 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
6475 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6476 : }
6477 2849063 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
6478 : }
6479 :
6480 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
6481 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
6482 : GEN
6483 126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
6484 : {
6485 126 : const ulong minq = 523;
6486 126 : checkell_Fq(E);
6487 126 : switch(ell_get_type(E))
6488 : {
6489 : case t_ELL_Fp:
6490 : {
6491 112 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
6492 112 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
6493 105 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
6494 : }
6495 : case t_ELL_Fq:
6496 : {
6497 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6498 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
6499 0 : return FF_ellcard(E);
6500 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
6501 : }
6502 : }
6503 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6504 : }
6505 :
6506 : GEN
6507 162549 : ellff_get_card(GEN E)
6508 162549 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
6509 :
6510 : GEN
6511 87075 : ellcard(GEN E, GEN p)
6512 : {
6513 87075 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
6514 87068 : switch(ell_get_type(E))
6515 : {
6516 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6517 86613 : return icopy(ellff_get_card(E));
6518 : case t_ELL_Qp:
6519 : case t_ELL_Q:
6520 : {
6521 420 : pari_sp av = avma;
6522 : int goodred;
6523 420 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6524 420 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
6525 420 : return gerepileuptoint(av, N);
6526 : }
6527 : case t_ELL_NF:
6528 : {
6529 35 : pari_sp av = avma;
6530 : int goodred;
6531 35 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
6532 35 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
6533 35 : return gerepileuptoint(av, N);
6534 : }
6535 : default:
6536 0 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
6537 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6538 : }
6539 : }
6540 :
6541 : /* assume model is p-minimal */
6542 : static GEN
6543 21595 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
6544 : {
6545 21595 : GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
6546 21595 : *pm = gen_1;
6547 21595 : if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
6548 21595 : if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
6549 21595 : if (absequaliu(p, 3))
6550 : { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
6551 : ulong b2, b4, b6;
6552 0 : if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
6553 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
6554 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
6555 0 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
6556 0 : if (b6) return mkvec(N);
6557 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
6558 0 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
6559 0 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
6560 0 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
6561 0 : return mkvec2s(2, 2);
6562 : } /* Now assume p > 3 */
6563 21595 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
6564 21595 : return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
6565 : }
6566 :
6567 : static GEN
6568 40649 : doellGm(GEN E)
6569 : {
6570 40649 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6571 40649 : GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
6572 40649 : return mkvec2(G, m);
6573 : }
6574 : static GEN
6575 80171 : ellff_Gm(GEN E)
6576 80171 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
6577 : GEN
6578 61488 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
6579 : GEN
6580 18683 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
6581 : GEN
6582 18683 : ellff_get_D(GEN E)
6583 : {
6584 18683 : GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
6585 18683 : switch(lg(G))
6586 : {
6587 91 : case 1: return G;
6588 15869 : case 2: return mkvec(o);
6589 2723 : default: return mkvec2(o, gel(G,2));
6590 : }
6591 : }
6592 :
6593 : /* E / Fp */
6594 : static GEN
6595 18683 : doellgens(GEN E)
6596 : {
6597 18683 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6598 18683 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6599 18109 : return FF_ellgens(E);
6600 : else
6601 : {
6602 574 : GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6603 574 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
6604 574 : return FpVV_to_mod(F,p);
6605 : }
6606 : }
6607 :
6608 : GEN
6609 18760 : ellff_get_gens(GEN E)
6610 18760 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
6611 :
6612 : GEN
6613 22008 : ellgroup(GEN E, GEN p)
6614 : {
6615 22008 : pari_sp av = avma;
6616 : GEN m, G;
6617 22008 : p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
6618 22001 : switch(ell_get_type(E))
6619 : {
6620 : case t_ELL_Fp:
6621 21567 : case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
6622 : case t_ELL_Qp:
6623 : case t_ELL_Q:
6624 392 : if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
6625 : {
6626 14 : GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
6627 14 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
6628 14 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
6629 : }
6630 378 : G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
6631 : case t_ELL_NF:
6632 42 : if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
6633 : {
6634 21 : GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
6635 21 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
6636 21 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
6637 : }
6638 28 : E = ellinit(E, p, 0);
6639 28 : G = ellff_get_group(E);
6640 28 : G = gcopy(G); obj_free(E); break;
6641 : default:
6642 0 : pari_err_TYPE("ellgroup", E);
6643 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
6644 : }
6645 22001 : return gerepilecopy(av, G);
6646 : }
6647 :
6648 : GEN
6649 21483 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
6650 : {
6651 21483 : pari_sp av = avma;
6652 21483 : long tE, freeE = 0;
6653 : GEN G;
6654 21483 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
6655 1946 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
6656 1946 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
6657 1946 : if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
6658 : {
6659 1869 : GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
6660 : long vu;
6661 1862 : switch(tE)
6662 : {
6663 70 : case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
6664 1841 : case t_ELL_Q: vu = Q_pval(u, p); break;
6665 21 : case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
6666 0 : default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
6667 : }
6668 1862 : if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
6669 1855 : if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
6670 : {
6671 91 : GEN Ep = obj_init(15, 4), T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
6672 91 : if (typ(p) == t_INT)
6673 : {
6674 : long i;
6675 70 : for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
6676 : }
6677 : else
6678 : {
6679 21 : q = pr_norm(p);
6680 21 : Ep = initsmall_i(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
6681 : }
6682 91 : E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
6683 91 : obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
6684 : }
6685 : else
6686 1764 : E = ellinit(E, p, 0);
6687 1855 : freeE = 1;
6688 : }
6689 1932 : G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
6690 1932 : if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
6691 1855 : G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
6692 : }
6693 :
6694 : GEN
6695 16842 : ellgenerators(GEN E)
6696 : {
6697 16842 : checkell(E);
6698 16842 : switch(ell_get_type(E))
6699 : {
6700 : case t_ELL_Q:
6701 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
6702 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6703 16828 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
6704 : default:
6705 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
6706 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
6707 : }
6708 : }
6709 :
6710 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
6711 : static GEN
6712 22540 : ellfromj_simple(GEN j)
6713 : {
6714 22540 : pari_sp av = avma;
6715 22540 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
6716 22540 : GEN E = zerovec(5);
6717 22540 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
6718 22540 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
6719 : }
6720 : GEN
6721 33817 : ellfromj(GEN j)
6722 : {
6723 33817 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
6724 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
6725 33817 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
6726 : {
6727 : case 2:
6728 3549 : if (gequal0(j))
6729 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
6730 : else
6731 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
6732 : case 3:
6733 7637 : if (gequal0(j))
6734 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6735 : else
6736 : {
6737 7630 : GEN E = zerovec(5);
6738 7630 : pari_sp av = avma;
6739 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
6740 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
6741 7630 : return E;
6742 : }
6743 : }
6744 22631 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
6745 22603 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6746 22540 : return ellfromj_simple(j);
6747 : }
6748 :
6749 : /********************************************************************/
6750 : /** **/
6751 : /** IS SUPERSINGULAR **/
6752 : /** **/
6753 : /********************************************************************/
6754 :
6755 : int
6756 164703 : elljissupersingular(GEN x)
6757 : {
6758 164703 : pari_sp av = avma;
6759 : int res;
6760 :
6761 164703 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
6762 497 : GEN p = gel(x, 1);
6763 497 : GEN j = gel(x, 2);
6764 497 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6765 164206 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
6766 164199 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
6767 164199 : GEN p = FF_p_i(x);
6768 164199 : GEN T = FF_mod(x);
6769 164199 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6770 : } else {
6771 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
6772 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6773 : }
6774 164696 : avma = av;
6775 164696 : return res;
6776 : }
6777 :
6778 : int
6779 164906 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
6780 : {
6781 : pari_sp av;
6782 : GEN j;
6783 : int res;
6784 164906 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
6785 17003 : j = ell_get_j(E);
6786 17003 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
6787 16996 : switch(ell_get_type(E))
6788 : {
6789 : case t_ELL_Fp:
6790 : case t_ELL_Fq:
6791 16800 : return elljissupersingular(j);
6792 : case t_ELL_Qp:
6793 : case t_ELL_Q:
6794 56 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
6795 21 : av = avma;
6796 21 : res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
6797 21 : avma = av; return res;
6798 : case t_ELL_NF:
6799 : {
6800 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
6801 140 : av = avma;
6802 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
6803 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
6804 : {
6805 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
6806 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
6807 : }
6808 : else
6809 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
6810 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
6811 126 : if (typ(j) == t_INT)
6812 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6813 : else
6814 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6815 126 : avma = av; return res;
6816 : }
6817 : default:
6818 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
6819 : }
6820 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6821 : }
6822 :
6823 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6824 : static GEN
6825 5047 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
6826 : {
6827 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
6828 5047 : if (n==0) return pol_0(v);
6829 5047 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
6830 1169 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
6831 1169 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
6832 1169 : if (n==3)
6833 644 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
6834 : else
6835 : {
6836 525 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
6837 525 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
6838 525 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
6839 : }
6840 1169 : setvarn(res, v); return res;
6841 : }
6842 :
6843 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
6844 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6845 : static GEN
6846 4165 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
6847 : {
6848 : GEN ret;
6849 4165 : long m = n/2;
6850 4165 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
6851 2436 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
6852 728 : else if (odd(n))
6853 : {
6854 441 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6855 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
6856 441 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
6857 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
6858 441 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
6859 105 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
6860 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
6861 336 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
6862 : }
6863 : else
6864 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
6865 287 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6866 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
6867 287 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
6868 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
6869 287 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
6870 : }
6871 2436 : gel(t,n) = ret;
6872 2436 : return ret;
6873 : }
6874 :
6875 : GEN
6876 3549 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
6877 : {
6878 3549 : pari_sp av = avma;
6879 : GEN f, D, N;
6880 3549 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6881 3549 : if (v==-1) v = 0;
6882 3549 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6883 3549 : N = characteristic(D);
6884 3549 : if (!signe(N)) N = NULL;
6885 3549 : if (n<0) n = -n;
6886 3549 : if (n==1 || n==3)
6887 189 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
6888 : else
6889 : {
6890 3360 : GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
6891 3360 : setvarn(d2,v);
6892 3360 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
6893 3360 : if (n <= 4)
6894 3150 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
6895 : else
6896 210 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
6897 3360 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
6898 : }
6899 3549 : return gerepilecopy(av, f);
6900 : }
6901 :
6902 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
6903 : GEN
6904 392 : ellxn(GEN e, long n, long v)
6905 : {
6906 392 : pari_sp av = avma;
6907 : GEN d2, D, N, A, B;
6908 392 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6909 392 : if (v==-1) v = 0;
6910 392 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6911 392 : N = characteristic(D);
6912 392 : if (!signe(N)) N = NULL;
6913 392 : if (n < 0) n = -n;
6914 392 : d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
6915 392 : setvarn(d2,v);
6916 392 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
6917 392 : if (n == 0)
6918 : {
6919 21 : A = pol_0(v);
6920 21 : B = pol_0(v);
6921 : }
6922 371 : else if (n == 1)
6923 : {
6924 7 : A = pol_1(v);
6925 7 : B = pol_x(v);
6926 : }
6927 364 : else if (n == 2)
6928 : {
6929 112 : GEN b4 = ell_get_b4(e);
6930 112 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
6931 112 : GEN b8 = ell_get_b8(e);
6932 112 : A = d2;
6933 : /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
6934 112 : B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
6935 112 : setvarn(B,v);
6936 : }
6937 : else
6938 : {
6939 252 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
6940 252 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
6941 252 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
6942 252 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
6943 252 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
6944 252 : if (!odd(n))
6945 7 : A = RgX_mul(f2, d2);
6946 : else
6947 245 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
6948 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
6949 252 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
6950 : }
6951 392 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
6952 : }
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