Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 22303-eb3e11d) Lines: 3710 3973 93.4 %
Date: 2018-04-21 06:16:28 Functions: 339 347 97.7 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      303306 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      303306 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      303012 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      303012 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      303012 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      303012 : }
      37             : static GEN
      38     2740683 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2740683 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2740683 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2740683 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2740684 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2740684 : }
      46             : static GEN
      47       70112 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48       70112 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50       70112 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52       70112 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53       70112 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54       70112 : }
      55             : static void
      56     2740536 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2740536 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2740537 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2740536 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2740537 : }
      62             : static void
      63      303012 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      303012 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      303012 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      303012 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      303012 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       22723 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       22723 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       22722 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       22723 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       22724 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         294 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         294 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         294 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         294 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         294 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       22723 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       22723 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       22724 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         294 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         294 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         294 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         294 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : /* shallow basistoalg */
     111             : static GEN
     112      387394 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     113             : {
     114      387394 :   switch(typ(x))
     115             :   {
     116      383817 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     117        3577 :     default: return basistoalg(nf, x);
     118             :   }
     119             : }
     120             : 
     121             : void
     122      307455 : checkellpt(GEN z)
     123             : {
     124      307455 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     125      307448 :   switch(lg(z))
     126             :   {
     127      302212 :     case 3: break;
     128        5236 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     129             :     /* fall through */
     130           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     131             :   }
     132      307448 : }
     133             : void
     134       72212 : checkell5(GEN E)
     135             : {
     136       72212 :   long l = lg(E);
     137       72212 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     138       72212 : }
     139             : void
     140     4271116 : checkell(GEN E)
     141     4271116 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     142             : void
     143        3248 : checkellisog(GEN v)
     144        3248 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     145             : 
     146             : void
     147        2737 : checkell_Q(GEN E)
     148             : {
     149        2737 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     150           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     151        2730 : }
     152             : 
     153             : void
     154           0 : checkell_Qp(GEN E)
     155             : {
     156           0 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     157           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     158           0 : }
     159             : 
     160             : static int
     161      528438 : ell_over_Fq(GEN E)
     162             : {
     163      528438 :   long t = ell_get_type(E);
     164      528438 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     165             : }
     166             : 
     167             : void
     168      279447 : checkell_Fq(GEN E)
     169             : {
     170      279447 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
     171           7 :   pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     172      279440 : }
     173             : 
     174             : GEN
     175      179923 : ellff_get_p(GEN E)
     176             : {
     177      179923 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     178      179923 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     179             : }
     180             : 
     181             : int
     182         203 : ell_is_integral(GEN E)
     183             : {
     184         406 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     185         168 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     186         154 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     187         154 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     188         357 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     189             : }
     190             : 
     191             : static void
     192       72793 : checkcoordch(GEN z)
     193       72793 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     194             : 
     195             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     196             : GEN
     197       12105 : ec_bmodel(GEN e)
     198             : {
     199       12105 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     200       12105 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     201             : }
     202             : 
     203             : static int
     204        5736 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     205             : 
     206             : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
     207             : static GEN
     208        7667 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
     209             : {
     210        7667 :   GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     211        7667 :   long s = ellR_get_sign(e);
     212        7667 :   if (s > 0)
     213             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     214        1912 :     R = real_i(R);
     215        1912 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     216        1912 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     217        1912 :     d3 = subrr(e1,e2);
     218        1912 :     d1 = subrr(e2,e3);
     219        1912 :     d2 = subrr(e1,e3);
     220        1912 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
     221             :   } else {
     222        5755 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     223        5755 :     if (s < 0)
     224             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     225        1443 :       e1 = real_i(e1);
     226        1443 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     227             :     }
     228        5755 :     d3 = gsub(e1,e2);
     229        5755 :     d1 = gsub(e2,e3);
     230        5755 :     d2 = gsub(e1,e3);
     231        5755 :     if (precision(d1) < prec0
     232        5734 :         || precision(d2) < prec0
     233        5734 :         || precision(d3) < prec0) return NULL;
     234             :   }
     235        7624 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     236             : }
     237             : static GEN
     238        4271 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     239             : {
     240             :   long p;
     241        4314 :   for (p = prec0;; p = precdbl(p))
     242             :   {
     243        4314 :     GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
     244        8585 :     if (v) return v;
     245          43 :     if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
     246          43 :   }
     247             : }
     248             : static GEN
     249        1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     250             : 
     251             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     252             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     253             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     254             : GEN
     255      528780 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     256             : {
     257      528780 :   pari_sp av = avma;
     258             :   GEN z;
     259      528780 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     260      528780 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     261      528780 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     262      528780 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     263             : }
     264             : 
     265             : /* a1 x + a3 */
     266             : GEN
     267      545538 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     268             : {
     269      545538 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     270      545538 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     271      545538 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     272             : }
     273             : static GEN
     274      516453 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     275             : {
     276      516453 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     277      516453 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     278      516453 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     279             : }
     280             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     281             : static GEN
     282       15470 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     283             : {
     284       15470 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     285       15470 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     286             : }
     287             : 
     288             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     289             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     290             :  * which is the derivative of the curve equation
     291             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     292             :  * wrt x evaluated at Q */
     293             : GEN
     294        2247 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     295             : {
     296        2247 :   pari_sp av = avma;
     297        2247 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     298        2247 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     299        2247 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     300        2247 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     301        2247 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     302        2247 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     303             : }
     304             : 
     305             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     306             : GEN
     307        5684 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     308             : {
     309        5684 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     310        5684 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     311             : }
     312             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     313             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     314             :  * which is the derivative of the curve equation
     315             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     316             :  * wrt y evaluated at Q */
     317             : GEN
     318         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     319             : {
     320         532 :   pari_sp av = avma;
     321         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     322             : }
     323             : 
     324             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     325             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     326             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     327             : GEN
     328        1785 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     329             : {
     330        1785 :   pari_sp av = avma;
     331        1785 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
     332        1785 :   GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
     333        1785 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     334        1785 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
     335             :   {
     336          98 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E);
     337          98 :     t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
     338          98 :     t2 = nfadd(nf, t1, b42);
     339          98 :     t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
     340          98 :     t2 = nftoalg(nf, t2);
     341             :   }
     342             :   else
     343             :   {
     344        1687 :     t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
     345        1687 :     t2 = gadd(t1, b42);
     346        1687 :     t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
     347             :   }
     348        1785 :   return gerepileupto(av, t2);
     349             : }
     350             : 
     351             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     352             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     353             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     354             : GEN
     355          14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     356             : {
     357          14 :   pari_sp av = avma;
     358          14 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     359          14 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     360          14 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     361          14 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     362          14 :   GEN x2 = gsqr(x);
     363          14 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     364          14 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     365          14 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     366             : }
     367             : 
     368             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     369             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     370             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     371             : GEN
     372        1491 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     373             : {
     374        1491 :   pari_sp av = avma;
     375        1491 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     376        1491 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     377        1491 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     378        1491 :   return gerepileupto(av, res);
     379             : }
     380             : 
     381             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     382             : GEN
     383        2492 : ellbasechar(GEN E)
     384             : {
     385        2492 :   pari_sp av = avma;
     386        2492 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     387        2492 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     388             : }
     389             : 
     390             : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
     391             :  * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
     392             :  * Also allocate room for n dynamic members. */
     393             : static GEN
     394      683581 : initsmall_i(GEN x, long n)
     395             : {
     396             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D;
     397      683581 :   GEN y = obj_init(15, n);
     398      683581 :   switch(lg(x))
     399             :   {
     400             :     case 1:
     401             :     case 2:
     402             :     case 4:
     403             :     case 5:
     404           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     405             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     406             :     case 3:
     407       15701 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     408       15701 :       a4 = gel(x,1);
     409       15701 :       a6 = gel(x,2);
     410       15701 :       b2 = gen_0;
     411       15701 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     412       15701 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     413       15701 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     414       15701 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     415       15701 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     416       15701 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     417       15701 :       break;
     418             :     default: /* l > 5 */
     419             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     420      667873 :       a1 = gel(x,1);
     421      667873 :       a2 = gel(x,2);
     422      667873 :       a3 = gel(x,3);
     423      667873 :       a4 = gel(x,4);
     424      667873 :       a6 = gel(x,5);
     425      667873 :       a11= gsqr(a1);
     426      667873 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     427      667874 :       a13= gmul(a1, a3);
     428      667874 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     429      667873 :       a33= gsqr(a3);
     430      667871 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     431      667872 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     432      667874 :       b22= gsqr(b2);
     433      667874 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     434      667872 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     435      667875 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     436             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     437      667875 :       break;
     438             :     }
     439             :   }
     440      683576 :   gel(y,1) = a1;
     441      683576 :   gel(y,2) = a2;
     442      683576 :   gel(y,3) = a3;
     443      683576 :   gel(y,4) = a4;
     444      683576 :   gel(y,5) = a6;
     445      683576 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     446      683576 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     447      683576 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     448      683576 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     449      683576 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     450      683576 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     451      683576 :   gel(y,12)= D;
     452      683576 :   gel(y,16) = zerovec(n);
     453      683576 :   return y;
     454             : }
     455             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     456             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     457             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     458             :  * component y[16])*/
     459             : static GEN
     460      683560 : initsmall(GEN x, long n)
     461             : {
     462      683560 :   GEN j, y = initsmall_i(x, n), c4 = ell_get_c4(y), D = ell_get_disc(y);
     463      683555 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     464             : 
     465      675595 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     466         315 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     467         315 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     468         315 :     if (degpol(g) == 0)
     469         266 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     470             :     else
     471             :     {
     472          49 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     473          49 :       D = RgX_div(D, g);
     474          49 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     475          49 :       if (degpol(g) == 0)
     476           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     477             :       else
     478             :       {
     479          42 :         D = RgX_div(D, g);
     480          42 :         d = RgX_div(c4, g);
     481          42 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     482          42 :         if (degpol(g))
     483             :         {
     484          21 :           D = RgX_div(D, g);
     485          21 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     486             :         }
     487          42 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     488             :       }
     489             :     }
     490             :   }
     491             :   else
     492      675280 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     493      675595 :   gel(y,13) = j;
     494      675595 :   return y;
     495             : }
     496             : void
     497           0 : ellprint(GEN e)
     498             : {
     499           0 :   pari_sp av = avma;
     500             :   long vx, vy;
     501             :   GEN z;
     502           0 :   checkell5(e);
     503           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     504           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     505           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     506           0 :   (void)delete_var();
     507           0 :   (void)delete_var(); avma = av;
     508           0 : }
     509             : 
     510             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     511             : static GEN
     512         203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     513             : {
     514         203 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     515         203 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     516             : 
     517         203 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     518         203 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     519         105 :     b = mulrr(d3,d2);
     520             :   else
     521          98 :     b = cxnorm(d3);
     522         203 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     523         203 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     524         203 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     525         203 :   return mkvec2(a, b);
     526             : }
     527             : GEN
     528        1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     529        1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     530             : 
     531             : /* q a t_REAL*/
     532             : static long
     533          84 : real_prec(GEN q)
     534          84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     535             : /* q a t_PADIC */
     536             : static long
     537         252 : padic_prec(GEN q)
     538         252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     539             : 
     540             : /* check whether moduli are consistent */
     541             : static void
     542       99673 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     543       99673 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     544             : 
     545             : static int
     546       36379 : fix_nftype(GEN *pp)
     547             : {
     548       36379 :   switch(nftyp(*pp))
     549             :   {
     550       36379 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     551           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     552           0 :     default: return 0;
     553             :   }
     554       36379 :   return 1;
     555             : }
     556             : static long
     557      713674 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     558             : {
     559      713674 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     560      713675 :   GEN p = NULL;
     561      713675 :   long t = t_FRAC;
     562      713675 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     563             :   {
     564             :     case t_INT:
     565      490693 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     566        1981 :       p = *pp;
     567        1981 :       t = t_INTMOD;
     568        1981 :       break;
     569             :     case t_INTMOD:
     570         665 :       p = gel(*pp, 1);
     571         665 :       break;
     572             :     case t_REAL:
     573          28 :       e = real_prec(*pp);
     574          28 :       p = NULL;
     575          28 :       break;
     576             :     case t_PADIC:
     577         224 :       ep = padic_prec(*pp);
     578         224 :       p = gel(*pp, 2);
     579         224 :       break;
     580             :     case t_FFELT:
     581       18144 :       p = *pp;
     582       18144 :       break;
     583             :     case t_VEC:
     584       36379 :       t = t_VEC; p = *pp;
     585       36379 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     586             :     default:
     587           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     588           0 :       return 0;
     589             :   }
     590             :   /* Possible cases:
     591             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     592             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     593             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     594             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     595             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     596             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     597     4229373 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     598             :   {
     599     3518288 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     600     3518288 :     switch(typ(q)) {
     601             :       case t_PADIC:
     602          49 :         p2 = gel(q,2);
     603          49 :         switch(t)
     604             :         {
     605          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     606          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     607          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     608             :         }
     609          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     610          28 :         break;
     611             :       case t_INTMOD:
     612      124601 :         p2 = gel(q,1);
     613      124601 :         switch(t)
     614             :         {
     615       24957 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     616          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     617       99581 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     618          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     619             :         }
     620      124587 :         break;
     621             :       case t_FFELT:
     622      256104 :         switch(t)
     623             :         {
     624          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     625       96042 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     626             :           case t_FFELT:
     627      160055 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     628      160055 :             break;
     629           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     630             :         }
     631      256097 :         break;
     632             : 
     633     3133782 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     634             :       case t_REAL:
     635          56 :         switch(t)
     636             :         {
     637          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     638          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     639           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     640             :         }
     641          56 :         break;
     642             :       case t_COL:
     643             :       case t_POL:
     644             :       case t_POLMOD:
     645        3682 :         if (t == t_VEC) break;
     646             :       default: /* base ring too general */
     647        2541 :         return t_COMPLEX;
     648             :     }
     649             :   }
     650      711085 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     651             : }
     652             : 
     653             : /* s = 0 complex, else real;
     654             :  * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
     655             : static GEN
     656        5922 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
     657             : {
     658             :   GEN y;
     659        5922 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     660             :   {
     661             :     case t_ELL_Rg:
     662           7 :     case t_ELL_Q: break;
     663           7 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     664             :   }
     665        5915 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     666        5915 :   if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
     667        5915 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     668        5915 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     669        5915 :   return y;
     670             : }
     671             : 
     672             : static GEN
     673         196 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     674             : {
     675             :   GEN y;
     676         196 :   if (lg(x) > 6)
     677             :   {
     678          28 :     switch(ell_get_type(x))
     679             :     { /* sanity checks */
     680          21 :       case t_ELL_Q: break;
     681           7 :       case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
     682           0 :       default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     683             :     }
     684          21 :     x = vecslice(x,1,5);
     685             :   }
     686         189 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     687         189 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     688         189 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     689         189 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     690         189 :   return y;
     691             : }
     692             : 
     693             : static GEN
     694      495824 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     695             : {
     696             :   GEN y;
     697             :   long s;
     698      495824 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     699      495691 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     700      495691 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     701      495691 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     702      495691 :   return y;
     703             : }
     704             : 
     705             : static GEN
     706       36967 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     707             : {
     708             :   long i, l;
     709       36967 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     710       36967 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     711       36967 :   return y;
     712             : }
     713             : 
     714             : static GEN
     715       36953 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     716             : {
     717             :   GEN y, nf;
     718       36953 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     719       36953 :   nf = checknf(p);
     720       36953 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     721       36953 :   if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
     722       36953 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     723       36953 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     724       36953 :   return y;
     725             : }
     726             : 
     727             : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
     728             : static GEN
     729      114123 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
     730             : {
     731      114123 :   x = FF_ellinit(x,fg);
     732      114123 :   return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
     733             : }
     734             : 
     735             : static GEN
     736       30416 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     737             : {
     738             :   long i;
     739             :   GEN y, disc;
     740       30416 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     741             :   {
     742        2429 :     case t_ELL_Q: break;
     743           0 :     case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
     744           7 :     case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
     745           0 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     746             :   }
     747       30409 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     748             :   /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     749       25468 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
     750       22725 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     751       22726 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     752      317949 :   for(i=1;i<=13;i++)
     753      295232 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     754       22717 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     755       22716 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     756       22716 :   return y;
     757             : }
     758             : 
     759             : static GEN
     760      114270 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     761             : {
     762             :   GEN y;
     763      114270 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     764      111379 :   return FF_ellinit_ns(y,fg);
     765             : }
     766             : 
     767             : static GEN
     768        3073 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     769             : {
     770        3073 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     771             :   GEN p, modP;
     772        3073 :   if (get_modpr(P))
     773             :   { /* modpr accept */
     774        2877 :     modP = P;
     775        2877 :     p = modpr_get_p(modP);
     776             :   }
     777             :   else
     778             :   { /* pr, initialize modpr */
     779         196 :     GEN d = Q_denom(e);
     780         196 :     p = pr_get_p(P);
     781         196 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     782             :   }
     783        3073 :   *pp = p;
     784        3073 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     785        3073 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     786             : }
     787             : static GEN
     788        3052 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     789             : {
     790             :   GEN T,p;
     791        3052 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     792        3052 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     793             : }
     794             : 
     795             : GEN
     796      679283 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     797             : {
     798      679283 :   pari_sp av = avma;
     799             :   GEN y;
     800      679283 :   switch(typ(x))
     801             :   {
     802           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     803             :     case t_VEC:
     804      679276 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     805      679277 :       break;
     806           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     807             :   }
     808      679284 :   if (D && get_prid(D))
     809             :   {
     810        2632 :     if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     811        2632 :     y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     812        2632 :     goto END;
     813             :   }
     814      676652 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     815             :   {
     816             :   case t_PADIC:
     817         196 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     818         189 :     break;
     819             :   case t_INTMOD:
     820       27575 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     821       27567 :     break;
     822             :   case t_FFELT:
     823      114060 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     824      114060 :     break;
     825             :   case t_FRAC:
     826      495824 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     827      495817 :     break;
     828             :   case t_REAL:
     829          28 :     y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
     830          21 :     break;
     831             :   case t_VEC:
     832       36379 :     y = ellinit_nf(x, D);
     833       36379 :     break;
     834             :   default:
     835        2541 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     836             :   }
     837             : END:
     838      679205 :   if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
     839      671225 :   return gerepilecopy(av,y);
     840             : }
     841             : 
     842             : /********************************************************************/
     843             : /**                                                                **/
     844             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     845             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     846             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     847             : /**  verbatim                                                      **/
     848             : /**                                                                **/
     849             : /********************************************************************/
     850             : /* [1,0,0,0] */
     851             : static GEN
     852     2565969 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     853             : static int
     854      455882 : is_trivial_change(GEN v)
     855             : {
     856             :   GEN u, r, s, t;
     857      455882 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     858      455882 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     859      455882 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     860             : }
     861             : 
     862             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     863             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     864             : static void
     865         574 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     866             : {
     867         574 :   GEN v = *vtotal;
     868             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     869             : 
     870        1148 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     871         546 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     872         546 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     873         546 :   U2 = gsqr(U);
     874         546 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     875         546 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     876         546 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     877         546 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     878             : }
     879             : 
     880             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     881             : GEN
     882          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     883             : {
     884             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     885          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     886          21 :   u = gel(w,1);
     887          21 :   r = gel(w,2);
     888          21 :   s = gel(w,3);
     889          21 :   t = gel(w,4);
     890          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     891          21 :   U = ginv(u);
     892          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     893          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     894          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     895          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     896             : }
     897             : 
     898             : static GEN
     899       99295 : ell_to_nfell10(GEN e)
     900             : {
     901             :   long i;
     902       99295 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     903       99295 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     904     1092245 :   for(i=1; i<=10; i++)
     905      992950 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     906       99295 :   return y;
     907             : }
     908             : 
     909             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     910             : static GEN
     911      153405 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     912             : {
     913             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     914             :   long lx;
     915      153405 :   if (gequal1(u)) return e;
     916      152992 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     917      152992 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     918      152992 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     919      152992 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     920      152992 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     921      152992 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     922      152992 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
     923      152992 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
     924      152992 :   if (lx == 6) return y;
     925      152985 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
     926      152985 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
     927      152985 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
     928      152985 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
     929      152985 :   return y;
     930             : }
     931             : /* apply [1,r,0,0] */
     932             : static GEN
     933      267246 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
     934             : {
     935             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     936             :   long lx;
     937      267246 :   if (gequal0(r)) return e;
     938      238910 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     939      238910 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
     940      238910 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     941             : 
     942      238910 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
     943             :   /* A2 = a2 + 3r */
     944      238910 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
     945             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     946      238910 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
     947             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     948      238910 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
     949             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     950      238910 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
     951      238910 :   if (lx == 6) return y;
     952             : 
     953      238903 :   b4 = ell_get_b4(e);
     954      238903 :   b6 = ell_get_b6(e);
     955             :   /* B2 = 12r + b2 */
     956      238903 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     957      238903 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
     958      238903 :   r2 = nfsqr(nf,r);
     959             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
     960      238903 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
     961             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
     962      238903 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
     963             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
     964      238903 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
     965      238903 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
     966      238903 :   return y;
     967             : }
     968             : 
     969             : static GEN
     970      109557 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
     971             : {
     972             :   GEN a1, y;
     973      109557 :   if (gequal0(s)) return e;
     974      109557 :   a1 = ell_get_a1(e);
     975      109557 :   y = leafcopy(e);
     976             : 
     977             :   /* A1 = a1 + 2s */
     978      109557 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
     979             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     980      109557 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
     981             :   /* A4 = a4 - s a3 */
     982      109557 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
     983      109557 :   return y;
     984             : }
     985             : /* apply [1,0,0,t] */
     986             : static GEN
     987      251839 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
     988             : {
     989             :   GEN a1, a3, y;
     990      251839 :   if (gequal0(t)) return e;
     991      251419 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     992      251419 :   y = leafcopy(e);
     993             :   /* A3 = 2t + a3 */
     994      251419 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
     995             :   /* A4 = a4 - a1 t */
     996      251419 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
     997             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     998      251419 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
     999      251419 :   return y;
    1000             : }
    1001             : 
    1002             : /* apply [1,0,s,t] */
    1003             : static GEN
    1004       12922 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1005             : {
    1006             :   GEN y, a1, a3;
    1007       12922 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1008       12502 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1009       12502 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1010       12502 :   y = leafcopy(e);
    1011             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1012       12502 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1013             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1014       12502 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1015             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1016       12502 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1017             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1018       12502 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1019             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1020       12502 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1021       12502 :   return y;
    1022             : }
    1023             : 
    1024             : static GEN
    1025      171087 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1026             : {
    1027      171087 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1028      171087 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1029             : }
    1030             : 
    1031             : /* apply [1,r,s,t] */
    1032             : static GEN
    1033         420 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1034             : {
    1035         420 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1036         420 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1037             : }
    1038             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1039             : static GEN
    1040         420 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1041             : {
    1042         420 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1043         420 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1044         420 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1045             : }
    1046             : 
    1047             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1048             : static GEN
    1049       73318 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1050             : {
    1051             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1052             :   long lx;
    1053       73318 :   if (gequal1(u)) return e;
    1054       72989 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1055       72989 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1056       72989 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1057       72989 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1058       72989 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1059       72989 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1060       72989 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1061       72989 :   if (lx == 6) return y;
    1062       72989 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1063       72989 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1064       72989 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1065       72989 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1066       72989 :   u12 = gsqr(u6);
    1067       72989 :   D = ell_get_disc(e);
    1068       72989 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1069       72989 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1070       72989 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1071       72989 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1072       72989 :   D = gmul(D, u12);
    1073       72989 :   gel(y,10)= c4;
    1074       72989 :   gel(y,11)= c6;
    1075       72989 :   gel(y,12)= D;
    1076       72989 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1077       72989 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1078       72989 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1079       72989 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1080       72989 :   return y;
    1081             : }
    1082             : /* apply [1,r,0,0] */
    1083             : static GEN
    1084      611177 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1085             : {
    1086             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1087      611177 :   if (gequal0(r)) return e;
    1088      511798 :   y = leafcopy(e);
    1089      511798 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1090      511798 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1091             : 
    1092             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1093      511798 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1094             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1095      511798 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1096             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1097      511798 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1098             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1099      511798 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1100      511798 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1101             : 
    1102      511791 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1103      511791 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1104             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1105      511791 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1106      511791 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1107      511791 :   r2 = gsqr(r);
    1108             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1109      511791 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1110             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1111      511791 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1112             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1113      511791 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1114      511791 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1115      511791 :   return y;
    1116             : }
    1117             : /* apply [1,0,s,0] */
    1118             : static GEN
    1119      117992 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1120             : {
    1121             :   GEN a1, y;
    1122      117992 :   if (gequal0(s)) return e;
    1123      117992 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1124      117992 :   y = leafcopy(e);
    1125             : 
    1126             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1127      117992 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1128             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1129      117992 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1130             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1131      117992 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1132      117992 :   return y;
    1133             : }
    1134             : /* apply [1,0,0,t] */
    1135             : static GEN
    1136      344918 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1137             : {
    1138             :   GEN a1, a3, y;
    1139      344918 :   if (gequal0(t)) return e;
    1140      274960 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1141      274960 :   y = leafcopy(e);
    1142             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1143      274960 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1144             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1145      274960 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1146             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1147      274960 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1148      274960 :   return y;
    1149             : }
    1150             : /* apply [1,0,s,t] */
    1151             : static GEN
    1152      347473 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1153             : {
    1154             :   GEN y, a1, a3;
    1155      347473 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1156      245987 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1157      127995 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1158      127995 :   y = leafcopy(e);
    1159             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1160      127995 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1161             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1162      127995 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1163             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1164      127995 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1165             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1166      127995 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1167             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1168      127995 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1169      127995 :   return y;
    1170             : }
    1171             : /* apply [1,r,s,t] */
    1172             : static GEN
    1173      347473 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1174             : {
    1175      347473 :   e = coordch_r(e, r);
    1176      347473 :   return coordch_st(e, s, t);
    1177             : }
    1178             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1179             : static GEN
    1180       72275 : coordch(GEN e, GEN w)
    1181             : {
    1182       72275 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1183       72275 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1184       72275 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1185             : }
    1186             : 
    1187             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1188             :  * (dynamic data) */
    1189             : static GEN
    1190          35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1191             : {
    1192          35 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1193          35 :   long prec = valp(p);
    1194          35 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1195          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1196             :   {
    1197           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1198           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1199             :   }
    1200          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1201             :   {
    1202           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1203           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1204           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1205           7 :     U = gmul(U, u);
    1206           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1207           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1208             :   }
    1209          35 :   return E;
    1210             : }
    1211             : 
    1212             : /* common to Q and Rg */
    1213             : static GEN
    1214       36855 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1215             : {
    1216       36855 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1217       36855 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1218          28 :     obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1219       36855 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1220          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1221       36855 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1222             :   {
    1223          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1224             :     long i;
    1225          28 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1226          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
    1227             :   }
    1228       36855 :   return E;
    1229             : }
    1230             : 
    1231             : static GEN
    1232           7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1233             : {
    1234           7 :   GEN p = NULL;
    1235           7 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1236           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1237           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1238             : }
    1239             : 
    1240             : static GEN
    1241       36855 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1242             : {
    1243       36855 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1244       36855 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1245       36855 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1246       36848 :   ch_R(E, e, w);
    1247       36848 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1248           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1249       36848 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1250             :   {
    1251         966 :     if (lg(S) == 2)
    1252             :     { /* model was minimal */
    1253           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1254           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1255           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1256             :     }
    1257             :     else
    1258             :     {
    1259         959 :       v = gel(S,2);
    1260         959 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1261         945 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1262             :       else
    1263             :       {
    1264          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1265          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1266          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1267          14 :         gel(S,2) = v;
    1268             :       }
    1269         959 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1270             :     }
    1271             :   }
    1272       36848 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1273          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1274       36848 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1275           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1276       36848 :   return E;
    1277             : }
    1278             : 
    1279             : static void
    1280         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1281             : {
    1282             :   GEN S;
    1283         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1284          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1285         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1286          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1287         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1288          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1289         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1290          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1291         126 : }
    1292             : 
    1293             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1294             : static GEN
    1295           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1296             : {
    1297           7 :   long prec = 0;
    1298           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1299           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1300           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1301           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1302             : }
    1303             : static GEN
    1304         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1305             : {
    1306         119 :   long prec = 0;
    1307         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1308         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1309         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1310         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1311             : }
    1312             : 
    1313             : static void
    1314       72191 : ell_reset(GEN E)
    1315       72191 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1316             : 
    1317             : GEN
    1318       72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1319             : {
    1320       72212 :   pari_sp av = avma;
    1321             :   GEN E;
    1322       72212 :   checkell5(e);
    1323       72212 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1324       72205 :   checkcoordch(w);
    1325       72205 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1326       72205 :   if (lg(E) != 6)
    1327             :   {
    1328       72191 :     ell_reset(E);
    1329       72191 :     switch(ell_get_type(E))
    1330             :     {
    1331          35 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1332           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1333         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1334       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1335           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1336             :     }
    1337             :   }
    1338       72205 :   return gerepilecopy(av, E);
    1339             : }
    1340             : 
    1341             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1342             : static void
    1343      164143 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1344             : {
    1345      164143 :   GEN v = *vtotal;
    1346             :   GEN U2, R, S, T;
    1347      328286 :   if (gequal0(r)) return;
    1348       95739 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1349       95739 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1350       95739 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1351       95739 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1352             : }
    1353             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1354             : static void
    1355      109557 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1356             : {
    1357      109557 :   GEN v = *vtotal;
    1358             :   GEN U, S;
    1359      109557 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1360      109557 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1361      109557 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1362      109557 : }
    1363             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1364             : static void
    1365      253673 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1366             : {
    1367      253673 :   GEN v = *vtotal;
    1368             :   GEN U3, U, T;
    1369      507346 :   if (gequal0(t)) return;
    1370       80332 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1371       80332 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1372       80332 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1373             : }
    1374             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1375             : static void
    1376      251643 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1377             : {
    1378      251643 :   GEN v = *vtotal;
    1379             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1380      503286 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1381      171087 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1382      171087 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1383      171087 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1384      171087 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1385      171087 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1386             : }
    1387             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1388             : static void
    1389      184163 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1390             : {
    1391      184163 :   GEN v = *vtotal;
    1392             :   GEN U3, U, S, T;
    1393      184163 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1394      122059 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1395       12502 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1396       12502 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1397       12502 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1398       12502 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1399             : }
    1400             : 
    1401             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1402             : static void
    1403      152985 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1404             : {
    1405      152985 :   GEN v = *vtotal;
    1406      152985 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1407      152985 : }
    1408             : 
    1409             : /* X = (x-r)/u^2
    1410             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1411             : static GEN
    1412         525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1413             : {
    1414             :   GEN a, x, y;
    1415         525 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1416         511 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1417         511 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1418             : }
    1419             : 
    1420             : GEN
    1421         525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1422             : {
    1423             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1424         525 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1425         525 :   pari_sp av = avma;
    1426             : 
    1427         525 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1428         525 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1429         525 :   checkcoordch(ch);
    1430         525 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1431         525 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1432         525 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1433         525 :   tx = typ(gel(x,1));
    1434         525 :   if (is_matvec_t(tx))
    1435             :   {
    1436          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1437          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1438          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1439             :   }
    1440             :   else
    1441         504 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1442         525 :   return gerepilecopy(av,y);
    1443             : }
    1444             : 
    1445             : /* x = u^2*X + r
    1446             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1447             : static GEN
    1448          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1449             : {
    1450             :   GEN a, X, Y;
    1451          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1452          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1453          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1454             : }
    1455             : GEN
    1456          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1457             : {
    1458             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1459          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1460          63 :   pari_sp av = avma;
    1461             : 
    1462          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1463          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1464          63 :   checkcoordch(ch);
    1465          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1466          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1467          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1468          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1469          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1470             :   {
    1471           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1472          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1473           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1474             :   }
    1475             :   else
    1476          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1477          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1478             : }
    1479             : 
    1480             : GEN
    1481       28231 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1482             : {
    1483       28231 :   pari_sp av = avma;
    1484             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1485             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1486             :   GEN V;
    1487       28231 :   checkell(E);
    1488       28231 :   if (!P)
    1489             :   {
    1490             :     GEN a4, a6;
    1491       27188 :     checkell_Fq(E);
    1492       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1493             :     {
    1494             :       case t_ELL_Fp:
    1495             :         {
    1496           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1497           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1498       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1499             :         }
    1500             :       case t_ELL_Fq:
    1501       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1502             :     }
    1503             :   }
    1504        1043 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1505        1043 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1506        1043 :   if (typ(P) == t_INT)
    1507             :   {
    1508        1029 :     if (equali1(P))
    1509         182 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1510         847 :     P = quadpoly(P);
    1511             :   } else
    1512             :   {
    1513          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1514          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1515           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1516             :   }
    1517         861 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1518         861 :   ac = gmul(a, c);
    1519         861 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1520         861 :   D2 = gsqr(D);
    1521         861 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1522         861 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1523         861 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1524         861 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1525         861 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1526         861 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1527         861 :   return gerepilecopy(av, V);
    1528             : }
    1529             : 
    1530             : /********************************************************************/
    1531             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1532             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1533             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1534             : /********************************************************************/
    1535             : 
    1536             : static long
    1537        2618 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1538        2618 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1539             : 
    1540             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1541             :  * ellminimalmodel / get_u; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1542             :  * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1543             :  * Good case if reduction in get_u i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1544             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1545             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1546             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1547             :  * After rescaling in get_u (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1548             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1549             : static long
    1550         364 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1551             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1552             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1553             :   long v4, v6, vD;
    1554             : 
    1555         364 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1556          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1557             : 
    1558             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1559         308 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1560             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1561         301 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1562             : 
    1563             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1564         301 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1565             : 
    1566             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1567         238 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1568         168 :   vD = vali(disc);
    1569         168 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1570         161 :   return -8;
    1571             : }
    1572             : 
    1573             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1574             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1575             : */
    1576             : GEN
    1577         497 : ellminimaltwist(GEN e)
    1578             : {
    1579         497 :   pari_sp av = avma;
    1580         497 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1581             :   long i, lF;
    1582         497 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1583         497 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1584         497 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1585         497 :   disc = ell_get_disc(E);
    1586         497 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1587         497 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1588         497 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1589             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1590             :    * then apply get_u(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3 and
    1591             :    * v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1592        1995 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1593             :   {
    1594        1498 :     GEN p = gel(F, i);
    1595        1498 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1596        1498 :     if (vg < 6) continue;
    1597             :     /* twist by fund. discriminant d2; in get_u, we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1598        1092 :     switch(itou_or_0(p))
    1599             :     {
    1600             :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1601         434 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1602         434 :         break;
    1603             :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1604         294 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1605         294 :         break;
    1606             :       case 2:
    1607         364 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1608         364 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1609         364 :         break;
    1610             :     }
    1611             :   }
    1612         497 :   obj_free(E);
    1613         497 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1614             : }
    1615             : 
    1616             : /*
    1617             : Reference:
    1618             : William A. Stein and Mark Watkins
    1619             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1620             : ANTS 5
    1621             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1622             : */
    1623             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1624             : GEN
    1625         231 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1626             : {
    1627         231 :   pari_sp av = avma;
    1628         231 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1629         231 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1630         231 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1631         231 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1632         231 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1633         217 :   else if (f==6)
    1634             :   {
    1635          14 :     if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
    1636             :     else
    1637             :     {
    1638           7 :       long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
    1639           7 :       D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
    1640             :     }
    1641             :   }
    1642         231 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1643             : }
    1644             : 
    1645             : GEN
    1646         441 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1647             : {
    1648         441 :   switch(flag)
    1649             :   {
    1650             :     case 0:
    1651         266 :       return ellminimaltwist(e);
    1652             :     case 1:
    1653         175 :       return ellminimaltwistcond(e);
    1654             :   }
    1655           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1656             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1657             : }
    1658             : 
    1659             : static long
    1660           7 : ellexpo(GEN E)
    1661             : {
    1662           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1663          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1664             :   {
    1665          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1666          35 :     if (f > e) e = f;
    1667             :   }
    1668           7 :   return e;
    1669             : }
    1670             : 
    1671             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1672             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1673             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1674             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1675             : int
    1676       15547 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1677             : {
    1678             :   GEN LHS, RHS, x;
    1679             :   long pl, pr, ex, expx;
    1680             :   pari_sp av;
    1681             : 
    1682       15547 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1683       15470 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1684       15470 :   av = avma;
    1685       15470 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1686       15470 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1687       15470 :   if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
    1688          21 :   pl = precision(LHS);
    1689          21 :   pr = precision(RHS);
    1690          21 :   if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
    1691             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1692           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1693           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1694           7 :   expx = gexpo(x);
    1695          13 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1696           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1697           7 :   avma = av; return pr;
    1698             : }
    1699             : 
    1700             : GEN
    1701       16681 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1702             : {
    1703       16681 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1704             : 
    1705       16681 :   checkell(e);
    1706       16681 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1707       16681 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1708       16681 :   tx = typ(gel(x,1));
    1709       16681 :   if (is_vec_t(tx))
    1710             :   {
    1711        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1712        1687 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1713        1687 :     return z;
    1714             :   }
    1715       14994 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1716             : }
    1717             : 
    1718             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1719             : static GEN
    1720        1743 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1721             : {
    1722             :   GEN dy,dx;
    1723        1743 :   if (y1 != y2)
    1724             :   {
    1725             :     int eq;
    1726         245 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1727           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1728             :     else
    1729         238 :       eq = gequal(y1,y2);
    1730         245 :     if (!eq) return NULL;
    1731             :   }
    1732        1736 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1733        1736 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1734        1701 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1735             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1736        1701 :   return gdiv(dy,dx);
    1737             : }
    1738             : 
    1739             : GEN
    1740       13321 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1741             : {
    1742             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1743       13321 :   pari_sp av = avma;
    1744             : 
    1745       13321 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1746       13321 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1747       10920 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1748             : 
    1749        9268 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1750        9268 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1751        9268 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1752             :   {
    1753         476 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1754         476 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1755         476 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1756         476 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1757         476 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1758             :   }
    1759        9268 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    1760             :   {
    1761        1743 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1762        1743 :     if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
    1763             :   }
    1764             :   else
    1765        7525 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    1766        9226 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1767        9226 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1768        9226 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1769        9226 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1770        9226 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1771             : }
    1772             : 
    1773             : static GEN
    1774          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1775             : {
    1776             :   GEN t, x, y;
    1777          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1778          49 :   x = gel(z,1);
    1779          49 :   y = gel(z,2);
    1780          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1781             :   {
    1782           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1783           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1784           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1785             :   }
    1786          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1787          49 :   gel(t,1) = x;
    1788          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1789          49 :   return t;
    1790             : }
    1791             : 
    1792             : GEN
    1793         735 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1794             : {
    1795             :   pari_sp av;
    1796             :   GEN t, y;
    1797         735 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1798         735 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1799         735 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1800         735 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1801         735 :   av = avma;
    1802         735 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1803         735 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1804         735 :   return t;
    1805             : }
    1806             : 
    1807             : GEN
    1808          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1809             : {
    1810          49 :   pari_sp av = avma;
    1811          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1812          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1813             : }
    1814             : 
    1815             : /* E an ell, x a scalar */
    1816             : static GEN
    1817        1470 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1818             : {
    1819        1470 :   pari_sp av = avma;
    1820        1470 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1821             : 
    1822        1470 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1823             :   {
    1824         518 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1825         518 :     x = nftoalg(nf,x);
    1826             :   }
    1827        1470 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1828        1470 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1829        1470 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1830             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1831        1470 :   if (gequal0(D)) {
    1832         336 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1833           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1834         336 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1835         336 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1836         336 :     return gerepileupto(av,y);
    1837             :   }
    1838             :   /* D != 0 */
    1839        1134 :   switch(ell_get_type(E))
    1840             :   {
    1841             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1842          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1843          28 :       D = gel(D,2);
    1844          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1845           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1846           7 :       break;
    1847             :     case t_ELL_Fq:
    1848         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1849             :       {
    1850          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1851          77 :         if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1852          28 :         return gerepileupto(av, F);
    1853             :       }
    1854         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1855          56 :       break;
    1856             :     case t_ELL_Q:
    1857         357 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1858         350 :       if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1859         266 :       break;
    1860             : 
    1861             :     case t_ELL_NF:
    1862             :     {
    1863         511 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1864         511 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1865         511 :       d = nfroots(nf, T);
    1866         511 :       delete_var();
    1867         511 :       if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    1868         497 :       d = gel(d,1);
    1869         497 :       break;
    1870             :     }
    1871             : 
    1872             :     case t_ELL_Qp:
    1873          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1874          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1875          14 :       if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1876          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1877          14 :       break;
    1878             : 
    1879             :     default:
    1880           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1881             :   }
    1882         854 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1883         854 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1884         854 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1885         854 :   return gerepileupto(av,y);
    1886             : }
    1887             : 
    1888             : GEN
    1889        1470 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1890             : {
    1891        1470 :   checkell(e);
    1892        1470 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1893             :   {
    1894             :     long i, lx;
    1895           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1896           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1897           0 :     return v;
    1898             :   }
    1899        1470 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1900             : }
    1901             : 
    1902             : GEN
    1903      244062 : ellrandom(GEN E)
    1904             : {
    1905             :   GEN fg;
    1906      244062 :   checkell_Fq(E);
    1907      244062 :   fg = ellff_get_field(E);
    1908      244062 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1909      244034 :     return FF_ellrandom(E);
    1910             :   else
    1911             :   {
    1912          28 :     pari_sp av = avma;
    1913          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1914          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1915          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1916          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1917             :   }
    1918             : }
    1919             : 
    1920             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    1921             : static GEN
    1922          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    1923             : {
    1924          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1925             :   long ln, vn;
    1926             : 
    1927          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    1928           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1929          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    1930          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1931          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1932          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1933          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    1934          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1935          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1936             :   do
    1937             :   {
    1938          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1939             :     do
    1940             :     {
    1941          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1942          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    1943          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1944             :     }
    1945          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    1946          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1947          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1948          21 :     if (!signe(z2)) break;
    1949           7 :     z2 = ginv(z2);
    1950             :   }
    1951           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    1952          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1953           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1954          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1955          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    1956          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    1957          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1958          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1959             : 
    1960          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1961          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1962          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1963          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1964             : 
    1965          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    1966          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1967          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1968          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    1969          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1970             : }
    1971             : 
    1972             : static GEN
    1973         602 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1974             : static GEN
    1975         175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1976             : 
    1977             : static GEN
    1978      248515 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1979             : {
    1980      248515 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1981      248515 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1982      247450 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1983             :   else
    1984             :   {
    1985        1065 :     pari_sp av = avma;
    1986        1065 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1987        1065 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1988        1063 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1989        1011 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1990        1011 :     return gerepileupto(av, Q);
    1991             :   }
    1992             : }
    1993             : /* [n] z, n integral */
    1994             : static GEN
    1995      248991 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1996             : {
    1997             :   long s;
    1998      248991 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1999      248991 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2000         476 :   s = signe(n);
    2001         476 :   if (!s) return ellinf();
    2002         427 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2003         427 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2004         364 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2005             : }
    2006             : 
    2007             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2008             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2009             : static long
    2010          42 : myroundr(GEN *px)
    2011             : {
    2012          42 :   GEN x = *px;
    2013             :   long e;
    2014          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2015          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2016          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2017          42 :   return OK;
    2018             : }
    2019             : 
    2020             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2021             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2022             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2023             : static GEN
    2024          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2025             : {
    2026             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2027             :   long prec;
    2028             : 
    2029          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2030          14 :   switch(typ(Q))
    2031             :   {
    2032             :     case t_COMPLEX:
    2033           0 :       D = utoineg(4);
    2034           0 :       v = gel(Q,2);
    2035           0 :       break;
    2036             :     case t_QUAD:
    2037          14 :       D = quad_disc(Q);
    2038          14 :       v = gel(Q,3);
    2039          14 :       break;
    2040             :     default:
    2041           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2042             :   }
    2043             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2044          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    2045          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2046          14 :   prec = precision(tau);
    2047             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2048             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2049             :    * Compute f*k */
    2050          14 :   x = gel(tau,1);
    2051          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2052          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2053          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2054             :   {
    2055           0 :     case NO: return NULL;
    2056           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2057             :   }
    2058          14 :   fk = absi(fk);
    2059             : 
    2060          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2061          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2062             :   {
    2063           0 :     case NO: return NULL;
    2064           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2065             :   }
    2066             : 
    2067          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2068          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2069             :   {
    2070           0 :     case NO: return NULL;
    2071           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2072             :   }
    2073             : 
    2074             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2075          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2076          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2077          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2078          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2079             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2080          14 :   v = dvmdii(absi(v), q, &r);
    2081          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2082          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2083             : }
    2084             : 
    2085             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2086             : static GEN
    2087          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2088             : {
    2089             :   GEN A, B, q;
    2090          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2091          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2092          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2093          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2094             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2095          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2096             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2097             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2098           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2099           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2100           7 :     u = shifti(u, -1);
    2101           7 :     if (signe(u))
    2102             :     {
    2103           0 :       w = gsub(w, u);
    2104           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2105             :     }
    2106             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2107             :   }
    2108          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2109          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2110          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2111          14 :   return elladd(e, A, B);
    2112             : }
    2113             : GEN
    2114      249054 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2115             : {
    2116      249054 :   pari_sp av = avma;
    2117             : 
    2118      249054 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2119      249047 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2120      248991 :   switch(typ(n))
    2121             :   {
    2122      248977 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2123             :     case t_QUAD: {
    2124          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2125          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2126          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2127             :     }
    2128             :     case t_COMPLEX: {
    2129           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2130           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2131             :     }
    2132             :   }
    2133           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2134             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2135             : }
    2136             : 
    2137             : /********************************************************************/
    2138             : /**                                                                **/
    2139             : /**                       Periods                                  **/
    2140             : /**                                                                **/
    2141             : /********************************************************************/
    2142             : 
    2143             : /* References:
    2144             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2145             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2146             : */
    2147             : 
    2148             : static GEN
    2149        3872 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2150             : {
    2151        3872 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2152        3872 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2153        3872 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2154             : }
    2155             : 
    2156             : static GEN
    2157        3067 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2158             : {
    2159        3067 :   pari_sp av = avma;
    2160        3067 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    2161        3067 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2162        3067 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2163        3067 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2164             : }
    2165             : 
    2166             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2167             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2168             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2169             : static GEN
    2170        3872 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2171             : {
    2172        3872 :   pari_sp av = avma;
    2173             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2174        3872 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2175         805 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    2176         805 :   d2 = gel(roots,5);
    2177         805 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2178         805 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2179         805 :   b = gel(z,2);
    2180         805 :   c = gabs(z, prec);
    2181         805 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2182         805 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2183             : }
    2184             : static GEN
    2185          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2186          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    2187             : 
    2188             : GEN
    2189        5145 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2190        5145 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2191             : GEN
    2192          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2193          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2194             : GEN
    2195        5244 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2196        5244 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2197             : 
    2198             : GEN
    2199        2142 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2200             : {
    2201        2142 :   pari_sp av = avma;
    2202             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2203        2142 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2204        2142 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2205        2142 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2206        2142 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2207             : }
    2208             : 
    2209             : /********************************************************************/
    2210             : /**                                                                **/
    2211             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2212             : /**                                                                **/
    2213             : /********************************************************************/
    2214             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2215             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2216             : static GEN
    2217           0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2218             : {
    2219           0 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2220           0 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2221           0 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2222           0 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2223           0 :   GEN z = gel(om,2);
    2224           0 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2225           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2226             :   else
    2227           0 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2228           0 :   return gmul2n(z, -1);
    2229             : }
    2230             : 
    2231             : static GEN
    2232          35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2233             : {
    2234          35 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2235          35 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2236          35 :   if (gequal0(y0))
    2237           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2238             :   else
    2239             :   {
    2240          35 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2241          35 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2242          35 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2243          35 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2244          35 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2245             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2246          35 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2247          35 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2248             :   }
    2249             : }
    2250             : 
    2251             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2252             : static GEN
    2253           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2254             : {
    2255           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2256           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2257             :   else
    2258             :   {
    2259           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2260           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2261           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2262           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2263           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2264           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2265           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2266           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2267             :   }
    2268             : }
    2269             : 
    2270             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2271             : static GEN
    2272           7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2273             : {
    2274           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2275           7 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2276           7 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2277           7 :   e1 = gel(R,1);
    2278           7 :   e2 = gel(R,2);
    2279           7 :   e3 = gel(R,3);
    2280           7 :   d2 = gel(R,5);
    2281           7 :   d3 = gel(R,6);
    2282           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2283           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2284           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2285           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2286           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2287           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2288             :   } else {
    2289           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2290           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2291           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2292           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2293             :   }
    2294             : }
    2295             : 
    2296             : static void
    2297           7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2298             : {
    2299           7 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2300           7 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2301           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2302           0 : }
    2303             : static GEN
    2304         161 : get_r0(GEN E, long prec)
    2305             : {
    2306         161 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2307         161 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2308             : }
    2309             : static GEN
    2310         112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2311             : {
    2312         112 :   pari_sp av = avma;
    2313             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2314             :   long vq, vt, Q, R;
    2315         112 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2316         105 :   ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
    2317         105 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2318         105 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2319         105 :   x = gel(P,1);
    2320         105 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2321         105 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2322         105 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2323          98 :   r = gsub(a,b);
    2324          98 :   ar = gmul(a, r);
    2325          98 :   if (gequal0(c0))
    2326             :   {
    2327           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2328           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2329             :   }
    2330             :   else
    2331             :   {
    2332          91 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2333          91 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2334          91 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2335          84 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2336             :   }
    2337          91 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2338          91 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2339             : 
    2340          91 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2341          91 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2342             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2343          91 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2344          56 :     vt = valp(t);
    2345             :   else
    2346          35 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2347          91 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2348          91 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2349          91 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2350          91 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2351          91 :   return gerepileupto(av, t);
    2352             : }
    2353             : 
    2354             : static GEN
    2355          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2356             : {
    2357          56 :   pari_sp av = avma;
    2358             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2359             :   long v;
    2360          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2361             : 
    2362          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2363          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2364          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2365          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2366          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2367          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2368          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2369             : 
    2370          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2371          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2372          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2373          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2374          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2375             : }
    2376             : 
    2377             : GEN
    2378         154 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
    2379             : {
    2380         154 :   pari_sp av = avma;
    2381             :   GEN t;
    2382             :   long s;
    2383             : 
    2384         154 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2385         154 :   switch(ell_get_type(e))
    2386             :   {
    2387             :     case t_ELL_Qp:
    2388         112 :       prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    2389         112 :       return ellQp_P2t(e, z, prec);
    2390           7 :     case t_ELL_Q: break;
    2391          35 :     case t_ELL_Rg: break;
    2392           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
    2393             :   }
    2394          42 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2395          42 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2396          42 :   s = ellR_get_sign(e);
    2397          42 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2398           7 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2399             :   else
    2400          35 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2401          42 :   return gerepileupto(av,t);
    2402             : }
    2403             : 
    2404             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2405             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2406             : typedef struct {
    2407             :   enum period_type type;
    2408             :   GEN in; /* original input */
    2409             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2410             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2411             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2412             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2413             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2414             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2415             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2416             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2417             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2418             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2419             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2420             :   long prec; /* precision(Z) */
    2421             : } ellred_t;
    2422             : 
    2423             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2424             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2425             : static void
    2426       23590 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2427             : {
    2428       23590 :   GEN a, b, c, d, t = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2429       23590 :   long e = gexpo(gel(t,2));
    2430       23590 :   if (e < 0) *pt = t = gprec_wensure(t, precision(t) + nbits2extraprec(-e));
    2431       23590 :   a = d = gen_1;
    2432       23590 :   b = c = gen_0;
    2433             :   for(;;)
    2434             :   {
    2435       45416 :     GEN m, n = ground(gel(t,1));
    2436       45416 :     if (signe(n))
    2437             :     { /* apply T^n */
    2438       27335 :       t = gsub(t,n);
    2439       27335 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2440       27335 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2441             :     }
    2442       45416 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2443       21826 :     t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
    2444       21826 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2445       21826 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2446       21826 :   }
    2447       23590 :   *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
    2448       23590 : }
    2449             : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2450             :  * Set *pU to U. */
    2451             : GEN
    2452        9016 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
    2453             : {
    2454             :   GEN a,b,c,d;
    2455        9016 :   set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
    2456        9016 :   *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2457        9016 :   *czd = gadd(gmul(c,z), d);
    2458        9016 :   return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
    2459             : }
    2460             : GEN
    2461        8981 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    2462             : {
    2463        8981 :   pari_sp av = avma;
    2464             :   GEN czd;
    2465        8981 :   t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
    2466        8981 :   gerepileall(av, 2, &t, pU); return t;
    2467             : }
    2468             : 
    2469             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2470             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2471             : static void
    2472       14574 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2473             : {
    2474             :   long s, p;
    2475       14574 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2476       14574 :   if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2477       14574 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2478       14574 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2479             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2480       14574 :   T->swap = (s < 0);
    2481       14574 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2482       14574 :   set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2483             :   /* update lattice */
    2484       14574 :   p = precision(T->tau);
    2485       14574 :   if (p)
    2486             :   {
    2487       14224 :     T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
    2488       14224 :     T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
    2489             :   }
    2490       14574 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2491       14574 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2492       14574 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2493       14574 :   if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2494       14574 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    2495       14574 :   T->prec = p;
    2496       14574 : }
    2497             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2498             : static void
    2499       15561 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2500             : {
    2501       15561 :   if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
    2502       10220 :   else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
    2503       15561 : }
    2504             : static void
    2505        9919 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2506             : {
    2507             :   long p;
    2508             :   GEN Z;
    2509        9919 :   T->abs_u_is_1 = 0;
    2510        9919 :   T->some_z_is_real = 0;
    2511        9919 :   T->some_z_is_pure_imag = 0;
    2512        9919 :   switch(typ(z))
    2513             :   {
    2514        9919 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2515             :     case t_QUAD:
    2516           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2517           0 :       break;
    2518           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2519             :   }
    2520        9919 :   T->z = z;
    2521        9919 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2522        9919 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    2523        9919 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2524        9919 :   T->y = ground(real_i(Z));
    2525        9919 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2526        9919 :   if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
    2527             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2528        9919 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2529        9919 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2530             :   {
    2531        4858 :     int W2real = 0, W2imag = 0;
    2532        4858 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2533        4858 :     if (W2real)
    2534         378 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2535        4480 :     else if (W2imag)
    2536         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2537             :   }
    2538        9919 :   p = precision(Z);
    2539        9919 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    2540          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    2541        9919 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2542        9919 :   T->Z = Z;
    2543        9919 : }
    2544             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2545             : static GEN
    2546        8890 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2547             : {
    2548        8890 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2549        8890 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2550        8890 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2551        8890 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2552        4255 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2553             : }
    2554             : /* e is either
    2555             :  * - [w1,w2]
    2556             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2557             :  * - an ellinit structure */
    2558             : static void
    2559       14574 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2560             : {
    2561             :   GEN w, e;
    2562       14574 :   T->q_is_real = 0;
    2563       14574 :   T->some_q_is_real = 0;
    2564       14574 :   switch(T->type)
    2565             :   {
    2566             :     case t_PER_ELL:
    2567             :     {
    2568        1057 :       long pr, p = prec;
    2569        1057 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2570        1057 :       e = T->in;
    2571        1057 :       w = ellR_omega(e, p);
    2572        1057 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2573        1057 :       break;
    2574             :     }
    2575             :     case t_PER_W:
    2576       13335 :       w = T->in; break;
    2577             :     default: /*t_PER_WETA*/
    2578         182 :       w = gel(T->in,1); break;
    2579             :   }
    2580       14574 :   T->w1 = gel(w,1);
    2581       14574 :   T->w2 = gel(w,2);
    2582       14574 :   red_modSL2(T, prec);
    2583       14574 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2584       14574 : }
    2585             : static int
    2586       14581 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2587             : {
    2588             :   GEN w1;
    2589       14581 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2590       14581 :   T->in = e;
    2591       14581 :   switch(lg(e))
    2592             :   {
    2593             :     case 17:
    2594        1064 :       T->type = t_PER_ELL;
    2595        1064 :       break;
    2596             :     case 3:
    2597       13517 :       w1 = gel(e,1);
    2598       13517 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    2599       13335 :         T->type = t_PER_W;
    2600             :       else
    2601             :       {
    2602         182 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    2603         182 :         T->type = t_PER_WETA;
    2604             :       }
    2605       13517 :       break;
    2606           0 :     default: return 0;
    2607             :   }
    2608       14581 :   return 1;
    2609             : }
    2610             : static int
    2611       14497 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    2612             : {
    2613       14497 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    2614       14497 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    2615             : }
    2616             : 
    2617             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    2618             : static GEN
    2619        9002 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    2620             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    2621             : GEN
    2622       33600 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    2623             : 
    2624             : static GEN
    2625       13790 : check_real(GEN q)
    2626       13790 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
    2627             : 
    2628             : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
    2629             : static GEN
    2630       13545 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
    2631             : {
    2632             :   pari_sp av;
    2633             :   GEN p1, q, y, qn;
    2634       13545 :   long n = 1;
    2635             : 
    2636       13545 :   if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
    2637         245 :   q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
    2638         245 :   q = check_real(q);
    2639         245 :   y = gen_0;
    2640         245 :   av = avma; qn = gen_1;
    2641        2314 :   for(;; n++)
    2642             :   { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
    2643        2559 :     qn = gmul(q,qn);
    2644        2559 :     p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
    2645        2559 :     if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    2646        2314 :     y = gadd(y, p1);
    2647        2314 :     if (gc_needed(av,2))
    2648             :     {
    2649           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
    2650           0 :       gerepileall(av, 2, &y,&qn);
    2651             :     }
    2652        2314 :   }
    2653         245 :   return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
    2654             : }
    2655             : 
    2656             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    2657             : static GEN
    2658       13545 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    2659             : {
    2660       13545 :   GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
    2661       13545 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    2662       13545 :   return check_real(y);
    2663             : }
    2664             : 
    2665             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    2666             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    2667             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    2668             : GEN
    2669        4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    2670             : {
    2671        4438 :   pari_sp av = avma;
    2672             :   GEN y;
    2673             :   ellred_t T;
    2674             : 
    2675        4438 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    2676        4438 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    2677        4438 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    2678        4438 :   y = _elleisnum(&T, k);
    2679        4438 :   if (k==2 && signe(T.c))
    2680        4011 :   {
    2681        4011 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    2682        4011 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    2683             :   }
    2684         427 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    2685         406 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    2686        4438 :   return gerepileupto(av,y);
    2687             : }
    2688             : 
    2689             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    2690             : static GEN
    2691        8925 : _elleta(ellred_t *T)
    2692             : {
    2693        8925 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
    2694        8925 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    2695        8925 :   y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
    2696        8925 :   retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
    2697             : }
    2698             : 
    2699             : /* compute eta1, eta2 */
    2700             : GEN
    2701          84 : elleta(GEN om, long prec)
    2702             : {
    2703          84 :   pari_sp av = avma;
    2704             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    2705             :   ellred_t T;
    2706             : 
    2707          84 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    2708          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    2709             : 
    2710          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    2711          77 :   prec = T.prec;
    2712          77 :   pi = mppi(prec);
    2713          77 :   E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
    2714          77 :   if (signe(T.c))
    2715             :   {
    2716          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    2717             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    2718          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    2719             :   }
    2720          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    2721          77 :   if (T.swap)
    2722             :   {
    2723           7 :     y1 = y2;
    2724           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    2725             :   }
    2726             :   else
    2727          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    2728          77 :   switch(typ(T.w1))
    2729             :   {
    2730             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    2731          49 :       y1 = real_i(y1);
    2732             :   }
    2733          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    2734             : }
    2735             : GEN
    2736          49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    2737             : {
    2738          49 :   pari_sp av = avma;
    2739             :   ellred_t T;
    2740          49 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    2741          49 :   switch(flag)
    2742             :   {
    2743          14 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    2744          35 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    2745           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    2746             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2747             :   }
    2748             : }
    2749             : 
    2750             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    2751             : static double
    2752        9891 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    2753             : 
    2754             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    2755             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    2756             : static GEN
    2757         987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    2758             : {
    2759             :   long toadd;
    2760         987 :   pari_sp av = avma, av1;
    2761             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    2762             :   ellred_t T;
    2763             :   int simple_case;
    2764             : 
    2765         987 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    2766         987 :   if (!T.Z) return NULL;
    2767         966 :   prec = T.prec;
    2768             : 
    2769             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    2770         966 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2771         966 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    2772         966 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    2773         966 :   u1 = gsubsg(1,u);
    2774         966 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    2775         966 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    2776         966 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    2777         966 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    2778         966 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2779         966 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    2780         966 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    2781         966 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2782             : 
    2783         966 :   av1 = avma; qn = q;
    2784             :   for(;;)
    2785             :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    2786             :     /* analogous formula for yp */
    2787       12838 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    2788       12838 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    2789       12838 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    2790       12838 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    2791       12838 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    2792       12838 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    2793         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    2794             :     else
    2795             :     {
    2796       12450 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    2797       12450 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    2798       12450 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    2799       12450 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    2800             :     }
    2801       12838 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    2802       12838 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    2803       12838 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    2804             : 
    2805       12838 :     qn = gmul(q,qn);
    2806       12838 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2807       11872 :     if (gc_needed(av1,1))
    2808             :     {
    2809           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    2810           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    2811             :     }
    2812       11872 :   }
    2813         966 :   if (yp)
    2814             :   {
    2815         903 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
    2816         903 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    2817             :   }
    2818             : 
    2819         966 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    2820         966 :   u2 = gsqr(u1);
    2821         966 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    2822         966 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    2823         567 :     y = real_i(y);
    2824         966 :   if (yp)
    2825             :   {
    2826         903 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    2827         903 :     if (T.some_q_is_real)
    2828             :     {
    2829         903 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    2830         385 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    2831             :     }
    2832         903 :     y = mkvec2(y, yp);
    2833             :   }
    2834         966 :   return gerepilecopy(av, y);
    2835             : }
    2836             : static GEN
    2837         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    2838             : {
    2839             :   long i, k, l;
    2840             :   pari_sp av;
    2841         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    2842             : 
    2843         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    2844         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    2845             : 
    2846         301 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    2847         301 :   _1 = Rg_get_1(c4);
    2848         301 :   switch(PRECDL)
    2849             :   {
    2850         301 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    2851             :     case 6:
    2852         301 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    2853             :     case 4:
    2854         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    2855             :     case 2:
    2856         301 :     case 1: P[0] = _1;
    2857             :   }
    2858         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    2859         301 :   av = avma;
    2860         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    2861        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    2862             :   {
    2863         784 :     av = avma;
    2864         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    2865         784 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    2866         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    2867         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    2868         784 :     if (k % 3 == 2)
    2869         273 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    2870             :     else /* same value, more efficient */
    2871         511 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    2872         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    2873             :   }
    2874         301 :   return res;
    2875             : }
    2876             : 
    2877             : static int
    2878         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    2879             : {
    2880         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    2881             :   {
    2882             :     case 17:
    2883         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    2884         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    2885         203 :       return 1;
    2886             :     case 3:
    2887             :     {
    2888             :       ellred_t T;
    2889          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    2890          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    2891          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    2892          91 :       return 1;
    2893             :     }
    2894             :   }
    2895           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    2896           0 :   return 0;
    2897             : }
    2898             : 
    2899             : GEN
    2900          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    2901             : {
    2902             :   GEN c4, c6;
    2903          14 :   checkell(e);
    2904          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2905          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    2906             : }
    2907             : 
    2908             : GEN
    2909           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    2910           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    2911             : 
    2912             : GEN
    2913         182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    2914             : {
    2915         182 :   pari_sp av = avma;
    2916             :   GEN y;
    2917             : 
    2918         182 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    2919         182 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2920         182 :   y = toser_i(z);
    2921         182 :   if (y)
    2922             :   {
    2923         105 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2924             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2925         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    2926         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    2927         105 :     if (gequal0(y)) {
    2928           0 :       avma = av;
    2929           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    2930           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    2931             :     }
    2932         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2933         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2934         105 :     if (!flag)
    2935         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    2936             :     else
    2937             :     {
    2938           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    2939           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    2940             :     }
    2941             :   }
    2942          77 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    2943          77 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    2944          70 :   return gerepileupto(av, y);
    2945             : }
    2946             : 
    2947             : GEN
    2948         154 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    2949             : {
    2950             :   long prec;
    2951         154 :   pari_sp av = avma;
    2952         154 :   GEN pi2, q, y, et = NULL;
    2953             :   ellred_t T;
    2954             : 
    2955         154 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2956         154 :   y = toser_i(z);
    2957         154 :   if (y)
    2958             :   {
    2959          91 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2960             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2961          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    2962          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    2963          91 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    2964          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2965          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    2966          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2967          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    2968             :   }
    2969          63 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    2970          63 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    2971          63 :   prec = T.prec;
    2972          63 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    2973             : 
    2974          63 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2975          63 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    2976             : 
    2977          63 :   y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    2978          63 :   if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
    2979             :   { /* else u = -1 and this vanishes */
    2980          63 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2981          63 :     GEN qn, u, v, S = gen_0;
    2982             :     pari_sp av1;
    2983          63 :     u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    2984          63 :     v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    2985          63 :     if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    2986          63 :     y = gadd(y, v);
    2987             :     /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
    2988             :      *     = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
    2989          63 :     av1 = avma;
    2990          63 :     for (qn = q;;)
    2991             :     {
    2992         737 :       S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
    2993         737 :       qn = gmul(q,qn);
    2994         737 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2995         674 :       if (gc_needed(av1,1))
    2996             :       {
    2997           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    2998           0 :         gerepileall(av1,2, &S,&qn);
    2999             :       }
    3000         674 :     }
    3001          63 :     y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
    3002             :   }
    3003          63 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3004          63 :   if (et) y = gadd(y,et);
    3005          63 :   if (T.some_q_is_real)
    3006             :   {
    3007          63 :     if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3008          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3009             :   }
    3010          63 :   return gerepilecopy(av, y);
    3011             : }
    3012             : 
    3013             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3014             : GEN
    3015        8967 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3016             : {
    3017             :   long toadd, prec, n;
    3018        8967 :   pari_sp av = avma, av1;
    3019             :   GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3020             :   GEN u, uhalf, urn, urninv;
    3021             :   ellred_t T;
    3022             : 
    3023        8967 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3024             : 
    3025        8967 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3026        8967 :   y = toser_i(z);
    3027        8967 :   if (y)
    3028             :   {
    3029          98 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3030             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3031          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3032          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3033          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3034          91 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3035          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3036          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3037             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3038          91 :     P = integser(serchop0(P));
    3039          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3040          91 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3041          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3042          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3043             :   }
    3044        8869 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3045        8869 :   if (!T.Z)
    3046             :   {
    3047           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3048           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3049             :   }
    3050        8862 :   prec = T.prec;
    3051        8862 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3052        8862 :   pi  = mppi(prec);
    3053             : 
    3054        8862 :   toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3055        8862 :   uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3056        8862 :   u = gsqr(uhalf);
    3057        8862 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    3058        8862 :   q = gpowgs(q8,8);
    3059        8862 :   u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
    3060        8862 :   y = gen_0;
    3061        8862 :   av1 = avma;
    3062        8862 :   qn = q; qn2 = gen_1;
    3063        8862 :   urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
    3064       65183 :   for(n=0;;n++)
    3065             :   {
    3066       65183 :     y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
    3067       65183 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3068       65183 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3069       56321 :     qn  = gmul(q,qn);
    3070       56321 :     urn = gmul(urn,u);
    3071       56321 :     urninv = gmul(urninv,uinv);
    3072       56321 :     if (gc_needed(av1,1))
    3073             :     {
    3074           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3075           0 :       gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3076             :     }
    3077       56321 :   }
    3078        8862 :   y = gmul(gmul(y,q8),
    3079             :            gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3080             : 
    3081        8862 :   et = _elleta(&T);
    3082        8862 :   etnew = eta_correction(&T, et);
    3083        8862 :   zinit = gmul(T.Z,T.W2);
    3084        8862 :   etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
    3085             :                            gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
    3086        8862 :   if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
    3087        8862 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
    3088        8862 :   if (flag)
    3089             :   {
    3090        8799 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3091        8799 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
    3092             :     { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
    3093          21 :       if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
    3094             :     }
    3095             :   }
    3096             :   else
    3097             :   {
    3098          63 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3099          63 :     if (T.some_q_is_real)
    3100             :     {
    3101          63 :       if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3102          42 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3103             :     }
    3104             :   }
    3105        8862 :   return gerepilecopy(av, y);
    3106             : }
    3107             : 
    3108             : GEN
    3109         966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3110             : {
    3111         966 :   pari_sp av = avma;
    3112             :   GEN v;
    3113             : 
    3114         966 :   checkell(e);
    3115         966 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3116             :   {
    3117          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3118          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3119             :   }
    3120         910 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3121         910 :   if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
    3122         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3123         896 :   gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
    3124         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3125             : }
    3126             : 
    3127             : /********************************************************************/
    3128             : /**                                                                **/
    3129             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3130             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3131             : /**                                                                **/
    3132             : /********************************************************************/
    3133             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3134             : typedef struct {
    3135             :   long a1; /*{0,1}*/
    3136             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3137             :   long a3; /*{0,1}*/
    3138             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3139             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3140             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3141             : } ellmin_t;
    3142             : 
    3143             : /* u from [u,r,s,t] */
    3144             : static void
    3145      516768 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3146             : {
    3147      516768 :   M->u = u;
    3148      516768 :   if (is_pm1(u))
    3149      453754 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3150             :   else
    3151             :   {
    3152       63014 :     M->u2 = sqri(u);
    3153       63014 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3154       63014 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3155       63014 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3156             :   }
    3157      516768 : }
    3158             : /* E = original curve */
    3159             : static void
    3160      516768 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3161             : {
    3162      516768 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3163      516768 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3164       63014 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3165       63014 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3166             :   }
    3167      516768 :   M->c4 = c4;
    3168      516768 :   M->c6 = c6;
    3169      516768 : }
    3170             : static void
    3171      516460 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3172             : {
    3173      516460 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3174      516460 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3175      516460 :   M->D = D;
    3176      516460 : }
    3177             : static void
    3178      516621 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3179             : {
    3180             :   long b22, b2;
    3181      516621 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3182      516621 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3183      516621 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3184      516621 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3185      516621 : }
    3186             : static void
    3187      516481 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3188             : {
    3189      516481 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3190      516481 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3191      516481 :   if (odd(b2))
    3192             :   {
    3193      256823 :     a1 = 1;
    3194      256823 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3195             :   }
    3196             :   else
    3197             :   {
    3198      259658 :     a1 = 0;
    3199      259658 :     a2 = b2 >> 2;
    3200             :   }
    3201      516481 :   M->a1 = a1;
    3202      516481 :   M->a2 = a2;
    3203      516481 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3204      516481 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3205      516481 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3206      516481 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3207      516481 : }
    3208             : static void
    3209      516453 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3210             : {
    3211      516453 :   min_set_u(M, u);
    3212      516453 :   min_set_c(M, E);
    3213      516453 :   min_set_D(M, E);
    3214      516453 :   min_set_b(M);
    3215      516453 :   min_set_a(M);
    3216      516453 : }
    3217             : static GEN
    3218      503363 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3219             : {
    3220      503363 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3221             :   long a11, a13;
    3222      503363 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3223      503363 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3224      503363 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3225      503363 :   gel(y,4) = M->a4;
    3226      503363 :   gel(y,5) = M->a6;
    3227      503363 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3228      503363 :   gel(y,7) = M->b4;
    3229      503363 :   gel(y,8) = M->b6;
    3230      503363 :   a11 = M->a1;
    3231      503363 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3232      503363 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3233             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3234      503363 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3235      503363 :   gel(y,10)= M->c4;
    3236      503363 :   gel(y,11)= M->c6;
    3237      503363 :   gel(y,12)= M->D;
    3238      503363 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3239      503363 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3240      503363 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3241      503363 :   return y;
    3242             : }
    3243             : static GEN
    3244      516453 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3245             : {
    3246             :   GEN r, s, t;
    3247      516453 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3248      516453 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3249      516453 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3250      516453 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3251             : }
    3252             : 
    3253             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3254             : static long
    3255     1684378 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3256             : {
    3257     1684378 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3258     1684378 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3259     1684378 :   if (!signe(c6))
    3260             :   {
    3261        2926 :     d = vD / 12;
    3262        2926 :     if (d)
    3263             :     {
    3264        1071 :       if (p == 2)
    3265             :       {
    3266         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3267         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3268         819 :         if (a) d--;
    3269             :       }
    3270        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3271             :     }
    3272        2926 :     v6 = 12; /* +oo */
    3273             :   }
    3274             :   else
    3275             :   {
    3276     1681452 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3277     1681452 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3278     1681452 :     if (d) {
    3279      181153 :       if (p == 2) {
    3280      109725 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3281      109725 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3282      109725 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3283      109725 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3284       71428 :       } else if (p == 3) {
    3285       45199 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3286             :       }
    3287      181153 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3288             :     }
    3289             :   }
    3290     1684378 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3291             : }
    3292             : static long
    3293      878864 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3294             : {
    3295             :   GEN c6;
    3296             :   long d, v6, vD;
    3297      878864 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3298          39 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3299          39 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3300          39 :   if (!signe(c6))
    3301             :   {
    3302           0 :     d = vD / 12;
    3303           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3304           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3305             :   }
    3306             :   else
    3307             :   {
    3308          39 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3309          39 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3310          39 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3311             :   }
    3312          39 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3313             : }
    3314             : 
    3315             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3316             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3317             :   in the form [f, kod, v, c].
    3318             : 
    3319             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3320             : 
    3321             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3322             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3323             :     I0  -->  1
    3324             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3325             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3326             : 
    3327             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3328             : 
    3329             :   * c is the Tamagawa number.
    3330             : 
    3331             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3332             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3333             : static GEN
    3334     1733004 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3335             : {
    3336     1733004 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3337     1733004 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3338     1733004 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3339     1733004 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3340     1733004 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3341             : }
    3342             : static GEN
    3343           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3344             : {
    3345           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3346           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3347             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3348             : }
    3349             : 
    3350             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3351             : static long
    3352      879634 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3353             : 
    3354             : /* p > 3, e integral */
    3355             : static GEN
    3356      878864 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3357             : {
    3358             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3359      878864 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3360             : 
    3361      878864 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3362      878864 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3363      878864 :   nuj = j_pval(e, p);
    3364      878864 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3365      878864 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3366      878864 :   if (!k) v = init_ch();
    3367             :   else
    3368             :   { /* model not minimal */
    3369             :     ellmin_t M;
    3370       13097 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3371       13097 :     v = min_get_v(&M, e);
    3372       13097 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3373             :   }
    3374             : 
    3375      878864 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3376             :   {
    3377      760697 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3378      760697 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3379             :       {
    3380      392161 :         case  1: c = nuD; break;
    3381      368536 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3382           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3383             :       }
    3384      760697 :       break;
    3385             :     case 6:
    3386             :     {
    3387       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3388       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3389       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3390       45703 :       break;
    3391             :     }
    3392           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3393             :   }
    3394       72464 :   else switch(nuD)
    3395             :   {
    3396         539 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3397       11683 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3398       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3399        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3400        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3401        5635 :       break;
    3402       16835 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3403       16835 :       p2 = sqri(p);
    3404             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3405       16835 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3406             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3407             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3408       16835 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3409       16835 :       break;
    3410       11620 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3411       11620 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3412       11620 :       break;
    3413       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3414        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3415           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3416             :   }
    3417      878864 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3418             : }
    3419             : 
    3420             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3421             : static ulong
    3422      888468 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3423      888468 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3424             : 
    3425             : static ulong
    3426     1421980 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3427             : {
    3428     1421980 :   pari_sp av = avma;
    3429     1421980 :   ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
    3430     1421980 :   avma = av; return res;
    3431             : }
    3432             : 
    3433             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3434             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3435             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3436             : static long
    3437      244230 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3438             : {
    3439      244230 :   if (p == 2)
    3440             :   {
    3441      141092 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    3442      122360 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    3443             :   }
    3444             :   /* p = 3 */
    3445      103138 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    3446       69027 :   *mult = a * b;
    3447       69027 :   if (b == 2)
    3448       22981 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3449             :   else
    3450       46046 :     return c ? 3 : 2;
    3451             : }
    3452             : 
    3453             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3454             : static long
    3455      788879 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3456             : {
    3457      788879 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    3458             :   /* p = 3 */
    3459      301077 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3460             : }
    3461             : 
    3462             : /* p = 2 or 3 */
    3463             : static GEN
    3464      703920 : localred_23(GEN e, long p)
    3465             : {
    3466             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3467             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3468             :   GEN v;
    3469             : 
    3470      703920 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3471      703920 :   if (!k) v = init_ch();
    3472             :   else
    3473             :   {
    3474             :     ellmin_t M;
    3475       48769 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3476       48769 :     v = min_get_v(&M, e);
    3477       48769 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3478             :   }
    3479             :   /* model is minimal */
    3480      703920 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3481      703920 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3482      322749 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3483             : 
    3484      703920 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3485      702534 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3486             :   {
    3487      385931 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3488      195951 :       c = nuD;
    3489             :     else
    3490      189980 :       c = 2 - (nuD & 1);
    3491      385931 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3492             :   }
    3493      316603 :   if (p == 2)
    3494             :   {
    3495      185780 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3496      185780 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3497      185780 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3498      185780 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3499             :   }
    3500             :   else /* p == 3 */
    3501             :   {
    3502      130823 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3503      130823 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3504      130823 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3505      130823 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3506             :   }
    3507             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3508      316603 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3509      316603 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3510       22281 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3511      294322 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3512       27622 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3513      266700 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3514             :   {
    3515       22470 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3516       11522 :       c = 3;
    3517             :     else
    3518       10948 :       c = 1;
    3519       22470 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3520             :   }
    3521             : 
    3522      244230 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3523       90993 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3524             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3525      244230 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3526      244230 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3527      244230 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3528      244230 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3529             :   {
    3530             :     case 3:
    3531       36001 :       c = a63 ? 1: 2;
    3532       36001 :       if (p == 2)
    3533       18732 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3534             :       else {
    3535       17269 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3536       17269 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3537             :       }
    3538       36001 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3539             :     case 2:
    3540             :     { /* compute nu */
    3541             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3542             :       long al, be, ga;
    3543      130340 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3544             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3545      130340 :       nu = 1;
    3546      130340 :       pk  = utoipos(p2);
    3547      130340 :       p2k = utoipos(p4);
    3548             :       for(;;)
    3549             :       {
    3550      387709 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3551      387709 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3552      387709 :         al = 1;
    3553      387709 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3554      323281 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3555      323281 :         pk1 = pk;
    3556      323281 :         pk  = mului(p, pk);
    3557      323281 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3558             : 
    3559      323281 :         al = a21;
    3560      323281 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3561      323281 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3562      323281 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3563      257369 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3564      257369 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3565      257369 :       }
    3566      130340 :       if (p == 2)
    3567       72254 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    3568             :       else
    3569       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3570      130340 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3571             :     }
    3572             :     case 1:
    3573       77889 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3574             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3575       77889 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3576       77889 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    3577       77889 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    3578             :       {
    3579       29743 :         if (p == 2)
    3580       20286 :           c = 3 - 2 * a64;
    3581             :         else
    3582        9457 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    3583       29743 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    3584             :       }
    3585       48146 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    3586             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    3587       48146 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    3588       28959 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    3589             : 
    3590             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    3591       19187 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    3592             :   }
    3593             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3594             : }
    3595             : 
    3596             : /* e is integral */
    3597             : static GEN
    3598     1582539 : localred(GEN e, GEN p)
    3599             : {
    3600     1582539 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    3601      878864 :     return localred_p(e,p);
    3602             :   else
    3603             :   {
    3604      703675 :     long l = itos(p);
    3605      703675 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    3606      703675 :     return localred_23(e, l);
    3607             :   }
    3608             : }
    3609             : 
    3610             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    3611             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    3612             : static GEN
    3613       26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    3614             : {
    3615       26306 :   GEN b = z;
    3616             :   long i;
    3617       26306 :   if (typ(b) == t_INT)
    3618             :   {
    3619       26215 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    3620       26215 :     return shifti(negi(b),-1);
    3621             :   }
    3622         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3623             :   {
    3624         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3625             :   }
    3626          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    3627             : }
    3628             : 
    3629             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    3630             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    3631             : static GEN
    3632       13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    3633             : {
    3634       13153 :   GEN b = z;
    3635             :   long i;
    3636       13153 :   if (typ(b) == t_INT)
    3637             :   {
    3638       13104 :     long s = smodis(b,3);
    3639       13104 :     if (s)
    3640             :     {
    3641           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    3642           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    3643           0 :         b = subii(b, Jz);
    3644             :       else
    3645           0 :         b = addii(b, Jz);
    3646             :     }
    3647       13104 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    3648             :   }
    3649         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3650             :   {
    3651          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    3652          98 :     if (!s) continue;
    3653          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    3654          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    3655             :     else
    3656          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3657             :   }
    3658          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    3659             : }
    3660             : 
    3661             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    3662             : static GEN
    3663        3619 : get_piinv(GEN P)
    3664             : {
    3665        3619 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    3666        3619 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    3667        3619 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    3668             : }
    3669             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    3670             : static void
    3671      150220 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    3672             : {
    3673      150220 :   if (pr_is_inert(P))
    3674             :   {
    3675      146636 :     *pi = pr_get_p(P);
    3676      146636 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    3677             :   }
    3678             :   else
    3679             :   {
    3680        3584 :     *pv = get_piinv(P);
    3681        3584 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    3682             :   }
    3683      150220 : }
    3684             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    3685             : static GEN
    3686      241878 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    3687             : {
    3688      241878 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3689      241878 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3690      241878 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    3691             : }
    3692             : 
    3693             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    3694             : static GEN
    3695      391622 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    3696             : {
    3697      391622 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    3698      391622 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3699      391622 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    3700             : }
    3701             : 
    3702             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    3703             : 
    3704             : static GEN
    3705      216265 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    3706             : {
    3707      216265 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    3708      216265 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    3709      216265 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3710      216265 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    3711             : }
    3712             : 
    3713             : static GEN
    3714      584563 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    3715             : {
    3716      584563 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3717      584563 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    3718      584563 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    3719      584563 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    3720      584563 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    3721             : }
    3722             : 
    3723             : static GEN
    3724       15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    3725             : {
    3726       15498 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3727       15498 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    3728       15498 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    3729       15498 :   long n = 1;
    3730             :   while(1)
    3731             :   {
    3732       40166 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    3733             :     GEN gama;
    3734       40166 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3735             :     {
    3736        8064 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3737        8064 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3738             :     }
    3739       32102 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3740       32102 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    3741       32102 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3742       32102 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    3743       32102 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3744             :     {
    3745        7434 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3746        7434 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3747             :     }
    3748       24668 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3749       24668 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    3750       24668 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    3751       24668 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3752       24668 :   }
    3753             : }
    3754             : 
    3755             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    3756             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    3757             : 
    3758             : static GEN
    3759       99295 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    3760             : {
    3761             :   GEN T, p, modP;
    3762             :   long vD;
    3763             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    3764       99295 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3765       99295 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    3766       99295 :   ch = init_ch();
    3767       99295 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3768       99295 :   *ap = 0;
    3769             :   while(1)
    3770             :   {
    3771      252280 :     if (vD==0)
    3772         637 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    3773             :     else
    3774             :     {
    3775      251643 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3776      251643 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3777      251643 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    3778      251643 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    3779      251643 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    3780             :       GEN x0, y0;
    3781      251643 :       if (absequaliu(p,2))
    3782             :       {
    3783             :         GEN x02, y02;
    3784      164304 :         if (signe(a1))
    3785             :         {
    3786       30191 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    3787       30191 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    3788       30191 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    3789             :         }
    3790             :         else
    3791             :         {
    3792      134113 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    3793      134113 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    3794             :         }
    3795      164304 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    3796             :       }
    3797             :       else
    3798             :       {
    3799       87339 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    3800       87339 :         if (signe(a12))
    3801       27524 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    3802             :         else
    3803       59815 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    3804       87339 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    3805             :       }
    3806      251643 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    3807      251643 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    3808      251643 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    3809             :     }
    3810             :     /* 2 */
    3811             :     {
    3812      251643 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    3813      251643 :       if (signe(b2) != 0)
    3814             :       {
    3815       57715 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    3816       57715 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    3817       57715 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    3818       27895 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    3819             :       }
    3820             :     }
    3821             :     /* 3 */
    3822             :     {
    3823      193928 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    3824      193928 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    3825             :     }
    3826             :     /* 4 */
    3827             :     {
    3828      191233 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    3829      191233 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    3830             :     }
    3831             :     /* 5 */
    3832      187530 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    3833             :     {
    3834      187530 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    3835      187530 :       if (vb6<=2)
    3836             :       {
    3837        3367 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    3838        3367 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3839        3367 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    3840             :       }
    3841             :     }
    3842             :     /* 6 */
    3843             :     {
    3844      184163 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    3845      184163 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    3846      184163 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    3847             :       GEN po2, E, F, mr;
    3848             :       long i, lE;
    3849      184163 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    3850      184163 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    3851      184163 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    3852             :       {
    3853       69706 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    3854       69706 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    3855       69706 :         lE = lg(E);
    3856       69706 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    3857             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    3858             :           long c; /* 1 + number of roots */
    3859        4739 :           switch(lE)
    3860             :           {
    3861        1764 :             case 2: c = 1; break;
    3862        2625 :             case 3: c = 2; break;
    3863         350 :             default: c = 4; break;
    3864             :           }
    3865        4739 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    3866             :         }
    3867             :       /* 7 */
    3868       64967 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    3869       64967 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    3870       64967 :         if (!gequal0(mr))
    3871             :         { /* not so frequent */
    3872       58919 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    3873       58919 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    3874             :         }
    3875       64967 :         if (lE == 3)
    3876       15498 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    3877             :       }
    3878             :     }
    3879      163926 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    3880      163926 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    3881             :     /*  8 */
    3882      163926 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    3883             :     {
    3884        4459 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    3885        4459 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    3886             :     }
    3887             :     /*  9 */
    3888             :     {
    3889      159467 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    3890      159467 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    3891      159467 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    3892        3948 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    3893             :     }
    3894             :     /* 10 */
    3895      155519 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    3896        2534 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    3897             :     /* 11 */
    3898      152985 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    3899      152985 :     vD -= 12;
    3900      152985 :   }
    3901             : }
    3902             : 
    3903             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    3904             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    3905             : static GEN
    3906       50925 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    3907             : {
    3908       50925 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3909             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    3910             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    3911             : 
    3912       50925 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3913       50925 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3914       50925 :   D = ell_get_disc(e);
    3915       50925 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3916       50925 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    3917       50925 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    3918       50925 :   m = (vD - nuj)/12;
    3919       50925 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    3920             : 
    3921       50925 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    3922             :   else
    3923             :   { /* model not minimal */
    3924             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    3925       13153 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    3926       13153 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    3927       13153 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    3928       13153 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    3929       13153 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    3930       13153 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    3931       13153 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    3932       13153 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    3933       13153 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    3934       13153 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    3935       13153 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    3936       13153 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    3937       13153 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    3938       13153 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    3939       13153 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    3940       13153 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    3941       13153 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    3942       13153 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    3943             :   }
    3944             : 
    3945       50925 :   kod = 0; c = 1;
    3946             :   /* minimal at P */
    3947       50925 :   if (nuj > 0)
    3948             :   { /* v(j) < 0 */
    3949       47313 :     if (vD == nuj)
    3950             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    3951       45220 :       f = 1; kod = 4+vD;
    3952       45220 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    3953       45220 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    3954       24059 :         c = vD;/* split */
    3955             :       else
    3956       21161 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    3957             :     }
    3958             :     else
    3959             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    3960             :       GEN Du;
    3961        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    3962        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    3963        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    3964        2093 :       if(odd(vD))
    3965             :       {
    3966             :         GEN c6u;
    3967        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    3968        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    3969        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    3970             :       }
    3971        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    3972             :     }
    3973             :   }
    3974             :   else
    3975             :   { /* v(j) >= 0 */
    3976        3612 :     f = vD? 2: 0;
    3977        3612 :     switch(vD)
    3978             :     {
    3979             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    3980          91 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    3981         609 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    3982         490 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    3983         273 :       case 4: kod = 4;
    3984         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    3985         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3986         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3987         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3988         273 :         break;
    3989         791 :       case 6: kod = -1;
    3990         791 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    3991         791 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    3992         791 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3993         791 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    3994         791 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    3995         791 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    3996         791 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    3997         791 :         break;
    3998         609 :       case 8: kod = -4;
    3999         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4000         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4001         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4002         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4003         609 :         break;
    4004         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4005         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4006             :     }
    4007             :   }
    4008       50925 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4009             : }
    4010             : /* E is integral */
    4011             : static GEN
    4012      101129 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4013             : {
    4014      101129 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4015      101129 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4016             :   {
    4017             :     long i, ap, vu;
    4018       50204 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4019       50204 :     GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4020       50204 :     gel(q,3) = v;
    4021             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4022       50204 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4023       50204 :     if (vu > 0)
    4024             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4025       49259 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4026       49259 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    4027       49259 :       if (!equali1(D))
    4028             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4029             :         GEN a;
    4030         406 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4031             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4032         406 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4033         406 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    4034         406 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    4035         406 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    4036             :       }
    4037             :     }
    4038       50204 :     for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    4039       50204 :     return q;
    4040             :   }
    4041       50925 :   return nflocalred_p(E,pr);
    4042             : }
    4043             : 
    4044             : static GEN
    4045     3271102 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
    4046             : {
    4047     3271102 :   GEN q, E = *pE;
    4048             :   long tE;
    4049     3271102 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    4050     3271102 :   if (pv) *pv = NULL;
    4051     3271102 :   if (p) switch(typ(p))
    4052             :   {
    4053             :     case t_INT:
    4054     2916046 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    4055     2916039 :       break;
    4056             :     case t_VEC:
    4057      196679 :       q = get_prid(p);
    4058      196679 :       if (q && tE == t_ELL_NF)
    4059             :       {
    4060      196679 :         *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4061      196679 :         return q;
    4062             :       }
    4063           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    4064             :   }
    4065     3074409 :   switch(tE)
    4066             :   {
    4067             :     case t_ELL_Fp:
    4068      179552 :     case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
    4069         273 :     case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
    4070     2894584 :     case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
    4071             :     default:
    4072          14 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    4073             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4074             :   }
    4075     3074395 :   if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
    4076     3074360 :   if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
    4077     2894808 :     *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4078     3074360 :   return q;
    4079             : }
    4080             : 
    4081             : GEN
    4082      197057 : elllocalred(GEN E, GEN p)
    4083             : {
    4084      197057 :   pari_sp av = avma;
    4085             :   GEN v, q;
    4086      197057 :   checkell(E);
    4087      197057 :   p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
    4088      197043 :   switch(ell_get_type(E))
    4089             :   {
    4090             :     case t_ELL_Qp:
    4091       99449 :     case t_ELL_Q:  q = localred(E, p); break;
    4092       97594 :     case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
    4093           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
    4094             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4095             :   }
    4096      197043 :   if (v)
    4097             :   { /* compose local change of variables with v */
    4098          28 :     GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
    4099          28 :     if (is_trivial_change(w))
    4100          21 :       gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4101             :     else
    4102           7 :       gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
    4103             :   }
    4104      197043 :   return gerepilecopy(av, q);
    4105             : }
    4106             : 
    4107             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4108             : static GEN
    4109        9142 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4110             : {
    4111        9142 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4112        9142 :   return c;
    4113             : }
    4114             : static GEN
    4115    17751440 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4116             : {
    4117    17751440 :   *pd = NULL;
    4118    17751440 :   switch(typ(c))
    4119             :   {
    4120    17741164 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4121        1134 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4122             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4123        9142 :       if (nf)
    4124             :       {
    4125        9142 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4126        9142 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4127             :       }
    4128           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4129           0 :       return NULL;
    4130             :   }
    4131             : }
    4132             : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
    4133             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4134             : GEN
    4135     3550288 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4136             : {
    4137             :   GEN a, t, u, L, nf;
    4138             :   long i, l, k;
    4139             : 
    4140     3550288 :   if (pv) *pv = NULL;
    4141             :   /* t_ELL_Qp is also possible */
    4142     3550288 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4143     3550288 :   L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
    4144    21301728 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4145             :   {
    4146             :     GEN d;
    4147    17751440 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4148    17751440 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4149        2107 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4150             :   }
    4151             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4152     3550288 :   l = lg(L); if (l == 1) return e;
    4153        1043 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4154        1043 :   l = lg(L);
    4155             : 
    4156        1043 :   t = gen_1;
    4157        2317 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4158             :   {
    4159        1274 :     GEN p = gel(L,k);
    4160        1274 :     long n = 0, m;
    4161        7644 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4162        6370 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4163             :       {
    4164        3717 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4165        3717 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4166        3717 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4167             :       }
    4168        1274 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4169             :   }
    4170        1043 :   u = ginv(t);
    4171        1043 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4172        1043 :   return coordch_uinv(e, t);
    4173             : }
    4174             : GEN
    4175         224 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4176             : {
    4177         224 :   pari_sp av = avma;
    4178         224 :   checkell(e);
    4179         224 :   switch(ell_get_type(e))
    4180             :   {
    4181             :     case t_ELL_Q:
    4182             :     case t_ELL_Qp:
    4183         224 :     case t_ELL_NF: break;
    4184           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4185             :   }
    4186         224 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4187         224 :   if (!pv || !*pv)
    4188             :   {
    4189         203 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4190         203 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4191             :   }
    4192             :   else
    4193          21 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4194         224 :   return e;
    4195             : }
    4196             : 
    4197             : static long
    4198        1638 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4199             : {
    4200        1638 :   long N = 1; /* oo */
    4201        1638 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4202        1533 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4203        1638 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4204        1337 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4205        1638 :   return N;
    4206             : }
    4207             : static long
    4208        1981 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4209             : {
    4210        1981 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4211             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4212        1981 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4213             : }
    4214             : static long
    4215        1617 : cardmod2(GEN e)
    4216             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4217        1617 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4218        1617 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4219        1617 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4220        1617 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4221        1617 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4222        1617 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4223             : }
    4224             : static long
    4225        1841 : cardmod3(GEN e)
    4226             : {
    4227        1841 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4228        1841 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4229        1841 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4230        1841 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4231             : }
    4232             : 
    4233             : static ulong
    4234         126 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4235             : 
    4236             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4237             : static void
    4238          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4239             : {
    4240          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4241          28 :   min_set_c(M, E);
    4242          28 :   min_set_b(M);
    4243          28 :   min_set_a(M);
    4244          28 : }
    4245             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4246             : static void
    4247         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4248             : {
    4249         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4250         140 :   min_set_c(M, E);
    4251         140 :   min_set_b(M);
    4252         140 : }
    4253             : 
    4254             : static long
    4255      101325 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4256             : {
    4257      101325 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4258      101325 :   if (vD) /* bad reduction */
    4259             :   {
    4260             :     GEN c6;
    4261             :     long s;
    4262      101017 :     *good_red = 0;
    4263      101017 :     if (vc6) return 0;
    4264       74193 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4265       74193 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4266       74193 :     s = kroiu(c6,p);
    4267       74193 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4268       74193 :     return s;
    4269             :   }
    4270         308 :   *good_red = 1;
    4271         308 :   if (p == 2)
    4272             :   {
    4273             :     ellmin_t M;
    4274          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4275          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4276          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4277             :   }
    4278         287 :   else if (p == 3)
    4279             :   {
    4280             :     ellmin_t M;
    4281         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4282         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4283         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4284             :   }
    4285             :   else
    4286             :   {
    4287             :     ellmin_t M;
    4288         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4289         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4290         147 :     min_set_c(&M, E);
    4291         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4292         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4293             :   }
    4294             : }
    4295             : 
    4296             : static GEN
    4297       98581 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4298             : {
    4299             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4300             :   long vc6, vD, d;
    4301       98581 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4302           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4303           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4304           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4305           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4306           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4307           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4308             :   {
    4309             :     long s;
    4310           0 :     *good_red = 0;
    4311           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4312           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4313           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4314           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4315           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4316             :   }
    4317           0 :   *good_red = 1;
    4318           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4319           0 :   if (d)
    4320             :   {
    4321           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4322           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4323           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4324             :   }
    4325           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4326           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4327             : }
    4328             : 
    4329             : static GEN
    4330      116769 : doellcard(GEN E)
    4331             : {
    4332      116769 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4333      116769 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4334       95398 :     return FF_ellcard(E);
    4335             :   else
    4336             :   {
    4337       21371 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4338       21371 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4339             :   }
    4340             : }
    4341             : 
    4342             : static GEN
    4343      168329 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4344             : {
    4345      168329 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4346      168329 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4347      168329 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4348             :   {
    4349             :     long ap;
    4350       49091 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4351       49091 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4352       49091 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4353         420 :     *good_red = 1;
    4354         420 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    4355         420 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    4356         420 :     card = FF_ellcard(E);
    4357             :   }
    4358             :   else
    4359             :   {
    4360      119238 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4361      119238 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4362      119238 :     if (vD)
    4363             :     {
    4364             :       GEN c6new;
    4365       49161 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    4366       49161 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    4367       49161 :       if (vD > 12*d)
    4368             :       { /* bad reduction */
    4369       49126 :         *good_red = 0;
    4370       98252 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4371       43771 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    4372       43771 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4373             :       }
    4374          35 :       if (d)
    4375             :       { /* model not minimal at P */
    4376          35 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    4377          35 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4378          35 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4379          35 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    4380          35 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4381          35 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4382             :       }
    4383             :     }
    4384       70112 :     *good_red = 1;
    4385       70112 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4386       70112 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4387       70112 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4388      141974 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4389       71862 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4390             :   }
    4391       70532 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4392             : }
    4393             : 
    4394             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4395             :  * basis */
    4396             : static GEN
    4397      455448 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4398             : {
    4399             :   GEN P;
    4400      455448 :   if (!signe(a))
    4401        1638 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4402      453810 :   else if (!signe(b))
    4403         945 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4404             :   else
    4405             :   {
    4406      452865 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4407             :     long k, l;
    4408      452865 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4409      344568 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4410      344568 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4411             :     /* d = gcd(A,B) */
    4412      344568 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4413      344568 :     l = lg(P);
    4414      344568 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4415      344568 :     P = shallowconcat1(P);
    4416      344568 :     P = ZV_sort(P);
    4417             :   }
    4418      347151 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4419             : }
    4420             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4421             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4422             : static GEN
    4423      454587 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
    4424             : {
    4425             :   pari_sp av;
    4426      454587 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4427      454587 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4428      454587 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4429             :   long l, k;
    4430             : 
    4431      454587 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4432      454587 :   l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
    4433      346430 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    4434      346430 :   av = avma;
    4435      346430 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4436      346430 :   u = gen_1;
    4437      852208 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4438             :   {
    4439      505778 :     GEN p = gel(P, k);
    4440      505778 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4441      505778 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4442             :     {
    4443             :       case 2:
    4444             :       {
    4445             :         long a, b;
    4446       56938 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4447       56938 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4448       56938 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4449       56938 :         break;
    4450             :       }
    4451             :       case 3:
    4452        2324 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4453        2324 :         break;
    4454             :     }
    4455      505778 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4456      505778 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4457             :   }
    4458      346430 :   *pDP = DP;
    4459      346430 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4460             : }
    4461             : 
    4462             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4463             : static GEN
    4464          35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4465             : {
    4466          35 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4467          35 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4468          35 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4469             : 
    4470          35 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4471          35 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4472          35 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4473          35 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4474          35 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4475          35 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4476          35 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4477          35 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4478          35 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4479          35 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4480             : }
    4481             : 
    4482             : static GEN
    4483        2506 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    4484             : {
    4485        2506 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    4486        2506 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    4487             : }
    4488             : static GEN
    4489         861 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    4490             : {
    4491         861 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4492         861 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    4493         861 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    4494         861 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    4495             : }
    4496             : static GEN
    4497         784 : ellnf_D_primes(GEN E)
    4498             : {
    4499         784 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4500         784 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    4501         784 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    4502         784 :   long k, l = lg(P);
    4503         784 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    4504         784 :   if (!is_pm1(DZ))
    4505             :   {
    4506         693 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    4507         693 :     settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
    4508             :   }
    4509         784 :   return P;
    4510             : }
    4511             : 
    4512             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    4513             : static GEN
    4514         847 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    4515             : {
    4516             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    4517         847 :   long k, l = lg(P);
    4518         847 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4519         847 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4520         847 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4521         847 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4522         847 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4523        4074 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4524             :   {
    4525        3227 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    4526             :     long vu;
    4527        3227 :     v = gel(q,3);
    4528        3227 :     u = gel(v,1);
    4529        3227 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4530        3227 :     if (!vu) continue;
    4531         728 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4532         728 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4533         728 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4534         728 :     vectrunc_append(L, pr);
    4535         728 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4536             :   }
    4537         847 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    4538             : }
    4539             : /* E integral */
    4540             : static GEN
    4541         833 : ellminimalprimes(GEN E)
    4542             : {
    4543             :   GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
    4544             :   long j, k, l;
    4545             : 
    4546         833 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    4547          77 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4548          77 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    4549          77 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    4550          77 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    4551          77 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    4552          77 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    4553          77 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4554         273 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4555             :   {
    4556         196 :     GEN pr = gel(P, k);
    4557         196 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    4558         182 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    4559         175 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    4560         175 :     gel(P,j++) = pr;
    4561             :   }
    4562          77 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4563          77 :   return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4564             : }
    4565             : static GEN
    4566         756 : ellminimalnormu(GEN E0)
    4567             : {
    4568         756 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    4569             :   long i, l;
    4570         756 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4571         756 :   S = ellminimalprimes(E);
    4572         756 :   L = gel(S,1);
    4573         756 :   U = gel(S,2);
    4574         756 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    4575         756 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    4576         756 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    4577         756 :   P = factorback2(P, U);
    4578         756 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    4579         756 :   return P;
    4580             : }
    4581             : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
    4582             :  * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL) */
    4583             : static GEN
    4584          56 : bnf_get_v(GEN E)
    4585             : {
    4586          56 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4587             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4588             : 
    4589          56 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4590          56 :   S = ellminimalprimes(E);
    4591          56 :   L = gel(S,1);
    4592          56 :   U = gel(S,2);
    4593          56 :   Lr = gel(S,3);
    4594          56 :   Ls = gel(S,4);
    4595          56 :   Lt = gel(S,5);
    4596          56 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4597          56 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4598          35 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4599          35 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4600          35 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4601          35 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4602          35 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4603          35 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4604          35 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4605             : }
    4606             : 
    4607             : GEN
    4608          28 : ellminimaldisc(GEN E)
    4609             : {
    4610          28 :   pari_sp av = avma;
    4611          28 :   checkell(E);
    4612          28 :   switch(ell_get_type(E))
    4613             :   {
    4614             :     case t_ELL_Q:
    4615           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    4616           7 :       return gerepileuptoint(av, absi(ell_get_disc(E)));
    4617             :     case t_ELL_NF:
    4618             :     {
    4619          21 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
    4620          21 :       E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
    4621          21 :       S = ellminimalprimes(E);
    4622          21 :       L = gel(S,1);
    4623          21 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    4624          21 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    4625          21 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    4626             :     }
    4627           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    4628             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4629             :   }
    4630             : }
    4631             : 
    4632             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4633             :  * ellminimalmodel(E) */
    4634             : static GEN
    4635      455637 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4636             : {
    4637             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4638             :   ellmin_t M;
    4639      455637 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4640             :   {
    4641        1050 :     if (lg(S) != 2)
    4642             :     {
    4643          56 :       E = gel(S,3);
    4644          56 :       v = gel(S,2);
    4645             :     }
    4646             :     else
    4647         994 :       v = init_ch();
    4648        1050 :     if (ptv) *ptv = v;
    4649        1050 :     return gcopy(E);
    4650             :   }
    4651      454587 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    4652      454587 :   u = get_u(e, &DP);
    4653      454587 :   min_set_all(&M, e, u);
    4654      454587 :   v = min_get_v(&M, e);
    4655      454587 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4656      454587 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4657      454587 :   if (is_trivial_change(v))
    4658             :   {
    4659      453530 :     v = init_ch();
    4660      453530 :     S = mkvec(DP);
    4661             :   }
    4662             :   else
    4663        1057 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4664      454587 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4665      454587 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    4666             : }
    4667             : 
    4668             : static GEN
    4669        1211 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4670             : {
    4671        1211 :   pari_sp av = avma;
    4672        1211 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    4673        1211 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4674        1211 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4675        1211 :   DP = gel(S,1);
    4676        1211 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4677        1211 :   if (!ptv)
    4678        1176 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4679             :   else
    4680          35 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4681        1211 :   return y;
    4682             : }
    4683             : 
    4684             : static GEN
    4685          56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4686             : {
    4687             :   GEN S, y, v, v2;
    4688          56 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4689             :   {
    4690           0 :     switch(lg(S))
    4691             :     {
    4692           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    4693           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    4694           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    4695             :     }
    4696           0 :     *ptv = v;
    4697           0 :     return gcopy(E);
    4698             :   }
    4699          56 :   *ptv = NULL;
    4700          56 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    4701          56 :   v2 = bnf_get_v(y);
    4702          56 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4703             :   {
    4704          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    4705          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    4706             :   }
    4707          35 :   y = coordch(y, v2);
    4708          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4709          35 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    4710          35 :   y = coordch(y, v2);
    4711             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4712          35 :   y = obj_reinit(y);
    4713          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4714          35 :   if (is_trivial_change(v))
    4715             :   {
    4716           7 :     v = init_ch();
    4717           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    4718             :   }
    4719             :   else
    4720             :   {
    4721          28 :     v = lift_if_rational(v);
    4722          28 :     S = mkvec2(v, y);
    4723             :   }
    4724          35 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4725          35 :   *ptv = v; return y;
    4726             : }
    4727             : static GEN
    4728          56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4729             : {
    4730          56 :   pari_sp av = avma;
    4731          56 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4732          56 :   if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    4733          56 :   if (!v || !ptv)
    4734          28 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4735             :   else
    4736          28 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4737          56 :   return y;
    4738             : }
    4739             : GEN
    4740        1274 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4741             : {
    4742        1274 :   checkell(E);
    4743        1274 :   switch(ell_get_type(E))
    4744             :   {
    4745        1211 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4746          56 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4747           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4748             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4749             :   }
    4750             : }
    4751             : 
    4752             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4753             :  * update type-dependant components.
    4754             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4755             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4756             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4757             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4758             :  *   fa = factorization of N
    4759             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    4760             : static GEN
    4761      454111 : ellQ_globalred(GEN e)
    4762             : {
    4763             :   long k, l, iN;
    4764             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    4765             : 
    4766      454111 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
    4767      454111 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4768      454111 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4769      454111 :   D  = ell_get_disc(E);
    4770      454111 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4771      454111 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    4772      454111 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4773      454111 :   iN = 1;
    4774      454111 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4775      454111 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4776      454111 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4777     1937187 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4778             :   {
    4779     1483076 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    4780     1483076 :     if (!signe(ex)) continue;
    4781     1483076 :     gel(NP, iN) = p;
    4782     1483076 :     gel(NE, iN) = ex;
    4783     1483076 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    4784     1483076 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    4785     1483076 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4786             :   }
    4787      454111 :   setlg(L, iN);
    4788      454111 :   setlg(NP, iN);
    4789      454111 :   setlg(NE, iN);
    4790      454111 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    4791             : }
    4792             : static GEN
    4793      463029 : ellglobalred_i(GEN E)
    4794      463029 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    4795             : 
    4796             : static GEN
    4797         784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    4798             : {
    4799             :   GEN c, L, NP, NE;
    4800         784 :   long j, k, l = lg(P);
    4801         784 :   c = gen_1;
    4802         784 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4803         784 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4804         784 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4805        3878 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4806             :   {
    4807        3094 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    4808        3094 :     ex = gel(q,1);
    4809        3094 :     if (!signe(ex)) continue;
    4810        2891 :     gel(NP, j) = p;
    4811        2891 :     gel(NE, j) = ex;
    4812        2891 :     gel(L, j) = q; j++;
    4813        2891 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4814             :   }
    4815         784 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    4816         784 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    4817             : }
    4818             : 
    4819             : static GEN
    4820         784 : ellnfglobalred(GEN E0)
    4821             : {
    4822             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    4823             :   long j, k, l;
    4824             : 
    4825         784 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4826         784 :   if (!v) v = init_ch();
    4827         784 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4828         784 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    4829         784 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    4830         784 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    4831         784 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4832        6083 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4833             :   {
    4834        5299 :     GEN p = gel(P,k);
    4835        5299 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    4836        3094 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    4837        3094 :     gel(P,j++) = p;
    4838             :   }
    4839         784 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4840         784 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    4841         770 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4842         784 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    4843             : }
    4844             : 
    4845             : GEN
    4846      453950 : ellglobalred(GEN E)
    4847             : {
    4848      453950 :   pari_sp av = avma;
    4849             :   GEN S, gr, v;
    4850      453950 :   checkell(E);
    4851      453950 :   switch(ell_get_type(E))
    4852             :   {
    4853           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    4854             :     case t_ELL_Q:
    4855      452921 :       gr = ellglobalred_i(E);
    4856      452921 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4857      452921 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    4858      452921 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    4859      452921 :       break;
    4860             :     case t_ELL_NF:
    4861        1029 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    4862        1029 :       break;
    4863             :   }
    4864      453950 :   return gerepilecopy(av, v);
    4865             : }
    4866             : 
    4867             : static GEN doellrootno(GEN e);
    4868             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    4869             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    4870             :  * and E (shallow insert) */
    4871             : GEN
    4872        1568 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    4873             : {
    4874        1568 :   GEN E, S, v = NULL;
    4875        1568 :   checkell_Q(e);
    4876        1568 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    4877             :   {
    4878         287 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    4879         287 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4880         287 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4881             :   }
    4882        1281 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    4883        1267 :     E = e;
    4884             :   else
    4885             :   {
    4886          14 :     v = gel(S,2);
    4887          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    4888          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4889             :   }
    4890        1568 :   if (ch) *ch = v;
    4891        1568 :   S = ellglobalred_i(e);
    4892        1568 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    4893        1568 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    4894        1568 :   if (!S)
    4895             :   {
    4896         602 :     S = doellrootno(E);
    4897         602 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    4898             :   }
    4899        1568 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    4900        1568 :   return E;
    4901             : }
    4902             : 
    4903             : static GEN
    4904          35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    4905             : {
    4906          35 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4907          35 :   return (signe(ell_get_disc(e)) > 0)? shifti(tam,1): icopy(tam);
    4908             : }
    4909             : 
    4910             : static GEN
    4911         784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    4912             : {
    4913         784 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4914         784 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    4915             :   long r1, r2;
    4916         784 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    4917         784 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    4918             : }
    4919             : 
    4920             : GEN
    4921          42 : elltamagawa(GEN E)
    4922             : {
    4923          42 :   pari_sp av = avma;
    4924             :   GEN v;
    4925          42 :   checkell(E);
    4926          42 :   switch(ell_get_type(E))
    4927             :   {
    4928           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    4929          14 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    4930          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    4931             :   }
    4932          42 :   return gerepileuptoint(av, v);
    4933             : }
    4934             : 
    4935             : static GEN
    4936        1036 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
    4937             : {
    4938        1036 :   GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
    4939        1036 :   if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
    4940         931 :   if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
    4941         798 :   return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
    4942             : }
    4943             : /* true nf, use nf prec */
    4944             : static GEN
    4945        4907 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
    4946             : {
    4947             :   long r1, r2;
    4948             :   GEN cx;
    4949        4907 :   nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
    4950        4907 :   x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
    4951        4907 :   if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
    4952        2842 :   x = Q_primitive_part(x, &cx);
    4953        2842 :   x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
    4954        2842 :   if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
    4955        2842 :   return x;
    4956             : }
    4957             : static long
    4958        1981 : nfembed_extraprec(GEN x)
    4959        1981 : { long e = gexpo(x); return e < 8? 0: nbits2extraprec(e); }
    4960             : static GEN
    4961         945 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    4962             : {
    4963         945 :   GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
    4964         945 :   long prec0 = prec, r1, r2, n, i;
    4965             : 
    4966         945 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
    4967         945 :   E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
    4968         945 :   prec += nfembed_extraprec(E0);
    4969             :   /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
    4970         945 :   prec0 = prec;
    4971         945 :   prec += (prec-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
    4972         945 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    4973         945 :   sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
    4974             :   for(;;)
    4975             :   {
    4976         945 :     nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    4977         945 :     for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
    4978        4298 :     for (i=1; i<=n; i++)
    4979             :     {
    4980             :       GEN Ei, r;
    4981             :       long j;
    4982        3353 :       for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    4983        3353 :       gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
    4984        3353 :       if (!Ei) break;
    4985        3353 :       r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
    4986        3353 :       if (!r) break;
    4987             :     }
    4988        1890 :     if (i > n) return L;
    4989           0 :     prec = precdbl(prec);
    4990           0 :     if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
    4991           0 :   }
    4992             : }
    4993             : 
    4994             : static GEN
    4995          91 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
    4996             : {
    4997          91 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
    4998             :   long i, l;
    4999          91 :   P = RgC_to_nfC(nf, P);
    5000          91 :   prec += nfembed_extraprec(P);
    5001          91 :   nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5002          91 :   Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
    5003          91 :   Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
    5004          91 :   l = lg(Px); L =  cgetg(l, t_VEC);
    5005          91 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    5006          91 :   return L;
    5007             : }
    5008             : 
    5009             : static void
    5010         854 : ellnfembed_free(GEN L)
    5011             : {
    5012         854 :   long i, l = lg(L);
    5013         854 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    5014         854 : }
    5015             : 
    5016             : static GEN
    5017          98 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    5018             : {
    5019          98 :   pari_sp av = avma;
    5020          98 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5021          98 :   long i, l = lg(V);
    5022          98 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5023          98 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    5024          98 :   ellnfembed_free(V);
    5025          98 :   return gerepilecopy(av, P);
    5026             : }
    5027             : 
    5028             : GEN
    5029          35 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5030          35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    5031             : 
    5032             : GEN
    5033          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5034          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    5035             : 
    5036             : GEN
    5037          35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5038          35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    5039             : 
    5040             : static GEN
    5041         756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    5042             : {
    5043         756 :   pari_sp av = avma;
    5044         756 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellminimalnormu(E), prec);
    5045         756 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    5046        3780 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5047             :   {
    5048        3024 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5049        3024 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5050        3024 :     per = mulrr(per, pi);
    5051             :   }
    5052         756 :   ellnfembed_free(Eb);
    5053         756 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    5054             : }
    5055             : static GEN
    5056         756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    5057             : {
    5058         756 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    5059         756 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    5060             : }
    5061             : 
    5062             : static GEN
    5063          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5064             : {
    5065          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5066          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5067          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5068          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5069             : }
    5070             : 
    5071             : static GEN
    5072          21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5073             : {
    5074          21 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5075          21 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5076          21 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5077          21 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5078          21 :   if (lg(S) != 2)
    5079             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5080          14 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5081          14 :     per = gmul(per,u);
    5082             :   }
    5083          21 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5084             : }
    5085             : 
    5086             : GEN
    5087          63 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5088             : {
    5089          63 :   pari_sp av = avma;
    5090             :   GEN v;
    5091          63 :   checkell(E);
    5092          63 :   switch(ell_get_type(E))
    5093             :   {
    5094           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5095          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5096          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5097             :   }
    5098          63 :   return gerepileupto(av, v);
    5099             : }
    5100             : 
    5101             : /********************************************************************/
    5102             : /**                                                                **/
    5103             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5104             : /**                                                                **/
    5105             : /********************************************************************/
    5106             : /* x a t_INT */
    5107             : static long
    5108         924 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5109             : {
    5110             :   long v;
    5111             :   GEN z;
    5112         924 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5113         791 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5114         791 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5115             : }
    5116             : static void
    5117         308 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5118             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5119             : {
    5120         308 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5121         308 :   pari_sp av = avma;
    5122         308 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5123         308 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5124         308 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
    5125         308 : }
    5126             : 
    5127             : static long
    5128         308 : kod_23(GEN e, long p)
    5129             : {
    5130             :   GEN S, nv;
    5131         308 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5132             :   {
    5133         294 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5134         294 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5135             :   }
    5136             :   else
    5137          14 :     nv = localred_23(e, p);
    5138         308 :   return itos(gel(nv,2));
    5139             : }
    5140             : 
    5141             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5142             : static long
    5143         161 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5144             : {
    5145         161 :   if (kod > 4) return 1;
    5146         119 :   switch(kod)
    5147             :   {
    5148           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5149             :     case 2:
    5150           7 :       if (vD==4) return 1;
    5151             :       else
    5152             :       {
    5153           0 :         if (vD==7) return 3;
    5154           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5155             :       }
    5156             :     case 3:
    5157          63 :       switch(vD)
    5158             :       {
    5159          42 :         case 6: return 3;
    5160           0 :         case 8: return 4;
    5161          14 :         case 9: return 5;
    5162           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5163             :       }
    5164          28 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5165             :     case -1:
    5166           0 :       switch(vD)
    5167             :       {
    5168           0 :         case 9: return 2;
    5169           0 :         case 10: return 4;
    5170           0 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5171             :       }
    5172             :     case -2:
    5173           7 :       switch(vD)
    5174             :       {
    5175           7 :         case 12: return 2;
    5176           0 :         case 14: return 3;
    5177           0 :         default: return 1;
    5178             :       }
    5179             :     case -3:
    5180           0 :       switch(vD)
    5181             :       {
    5182           0 :         case 12: return 2;
    5183           0 :         case 14: return 3;
    5184           0 :         case 15: return 4;
    5185           0 :         default: return 1;
    5186             :       }
    5187           7 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5188           7 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5189             :     case -6:
    5190           0 :       switch(vD)
    5191             :       {
    5192           0 :         case 12: return 2;
    5193           0 :         case 13: return 3;
    5194           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5195             :       }
    5196           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5197           0 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5198             :   }
    5199             : }
    5200             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5201             : static long
    5202         112 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5203             : {
    5204         112 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5205          91 :   switch(kod)
    5206             :   {
    5207          28 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5208          28 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5209             :     case -4: case 2:
    5210          28 :       switch (vD%6)
    5211             :       {
    5212           0 :         case 4: return 3;
    5213           0 :         case 5: return 4;
    5214          28 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5215             :       }
    5216             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5217           7 :       switch (vD%6)
    5218             :       {
    5219           0 :         case 0: return 2;
    5220           0 :         case 1: return 3;
    5221           7 :         default: return 1;
    5222             :       }
    5223             :   }
    5224             : }
    5225             : 
    5226             : static long
    5227         161 : ellrootno_2(GEN e)
    5228             : {
    5229             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5230         161 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5231             : 
    5232         161 :   if (!vD) return 1;
    5233         161 :   if (d) { /* not minimal */
    5234             :     ellmin_t M;
    5235           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5236           7 :     min_set_D(&M, e);
    5237           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5238             :   }
    5239         161 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5240         161 :   kod = kod_23(e,2);
    5241         161 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5242         161 :   if (kod>=5)
    5243             :   {
    5244             :     long a2, a3;
    5245          42 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5246          42 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5247          42 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5248             :   }
    5249         119 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5250         119 :   x1 = u+v+v;
    5251         119 :   switch(kod)
    5252             :   {
    5253           0 :     case 1: return 1;
    5254             :     case 2:
    5255           7 :       switch(n2)
    5256             :       {
    5257             :         case 1:
    5258           7 :           switch(v4)
    5259             :           {
    5260           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5261           0 :             case 5: return 1;
    5262           0 :             default: return -1;
    5263             :           }
    5264           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5265           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5266           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5267           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5268             :       }
    5269             :     case 3:
    5270          63 :       switch(n2)
    5271             :       {
    5272           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5273           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5274          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5275          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5276           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5277          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5278             :       }
    5279             :     case -1:
    5280           0 :       switch(n2)
    5281             :       {
    5282           0 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5283           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5284           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5285           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5286           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5287             :       }
    5288           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5289             :     case -3:
    5290           0 :       switch(n2)
    5291             :       {
    5292           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5293           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5294           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5295           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5296           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5297             :       }
    5298             :     case -5:
    5299           7 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5300           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5301             :     case -6:
    5302           0 :       switch(n2)
    5303             :       {
    5304           0 :         case 1: return 1;
    5305           0 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5306           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5307             :       }
    5308             :     case -7:
    5309           0 :       if (n2==1) return 1;
    5310             :       else
    5311             :       {
    5312           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5313           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5314           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5315             :       }
    5316           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5317           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5318          35 :     default: return -1;
    5319             :   }
    5320             : }
    5321             : 
    5322             : static long
    5323         147 : ellrootno_3(GEN e)
    5324             : {
    5325             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5326         147 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5327             : 
    5328         147 :   if (!vD) return 1;
    5329         147 :   if (d) { /* not minimal */
    5330             :     ellmin_t M;
    5331           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5332           0 :     min_set_a(&M);
    5333           0 :     min_set_D(&M, e);
    5334           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5335             :   }
    5336         147 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5337         147 :   kod = kod_23(e,3);
    5338         147 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5339         112 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5340         112 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5341         112 :   switch(kod)
    5342             :   {
    5343          28 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5344             :     case 2:
    5345           0 :       switch(n2)
    5346             :       {
    5347           0 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5348           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5349           0 :         case 3: return 1;
    5350           0 :         case 4: return -K6;
    5351             :       }
    5352             :     case 4:
    5353           7 :       switch(n2)
    5354             :       {
    5355           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5356           0 :         case 2: return -K4;
    5357           0 :         case 3: return -K6;
    5358             :       }
    5359           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5360             :     case -4:
    5361          28 :       switch(n2)
    5362             :       {
    5363             :         case 1:
    5364          28 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5365          28 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5366           0 :         case 2: return -K6;
    5367           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5368           0 :         case 4: return K6;
    5369             :       }
    5370          49 :     default: return -1;
    5371             :   }
    5372             : }
    5373             : 
    5374             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5375             : static long
    5376         770 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5377             : {
    5378             :   long nuj, nuD, nu;
    5379         770 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5380             :   long ep, z;
    5381             : 
    5382         770 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5383         770 :   if (!nuD) return 1;
    5384         770 :   nuj = j_pval(e, p);
    5385         770 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5386         770 :   if (nu == 0)
    5387             :   {
    5388             :     GEN c6;
    5389             :     long d, vg;
    5390         574 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5391             :    /* p || N */
    5392         574 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5393         574 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5394         574 :     d = vg / 12;
    5395         574 :     if (d)
    5396             :     {
    5397           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5398           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5399             :     }
    5400         574 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5401             :     /* c6 in minimal model */
    5402         574 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5403             :   }
    5404         196 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5405         168 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5406         168 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5407         168 :   return krosi(-z, p);
    5408             : }
    5409             : 
    5410             : static GEN
    5411         616 : doellrootno(GEN e)
    5412             : {
    5413         616 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5414         616 :   long i, l, s = -1;
    5415             : 
    5416         616 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5417         616 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5418         616 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5419         616 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5420        1673 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5421             :   {
    5422        1057 :     GEN p = gel(P,i);
    5423             :     long t;
    5424        1057 :     switch(itou_or_0(p))
    5425             :     {
    5426         147 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5427         147 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5428         763 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5429             :     }
    5430        1057 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5431             :   }
    5432         616 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5433             : }
    5434             : 
    5435             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5436             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5437             : static long
    5438          42 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    5439             : {
    5440          42 :   pari_sp av = avma;
    5441             :   GEN S;
    5442             :   long s;
    5443          42 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5444          28 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5445          28 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5446             :   {
    5447           7 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5448           7 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5449           7 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5450           0 :     return 1;
    5451             :   }
    5452          21 :   switch(itou_or_0(p))
    5453             :   {
    5454             :     case 2:
    5455          14 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5456          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5457             :     case 3:
    5458           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5459           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5460             :     default:
    5461           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5462             :   }
    5463          21 :   avma = av; return s;
    5464             : }
    5465             : 
    5466             : /* global root number over number field
    5467             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    5468             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    5469             :  */
    5470             : 
    5471             : static GEN
    5472         322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    5473             : {
    5474             :   long i;
    5475         322 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5476        1932 :   for(i=1; i<=5; i++)
    5477        1610 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    5478         322 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    5479             : }
    5480             : 
    5481             : static GEN
    5482         252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    5483             : {
    5484         252 :   long v = fetch_var_higher();
    5485         252 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    5486         252 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    5487         252 :   delete_var();
    5488         252 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    5489             : }
    5490             : 
    5491             : static GEN
    5492         217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    5493             : {
    5494         217 :   pari_sp av = avma;
    5495         217 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5496         217 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    5497         217 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5498         217 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    5499         217 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    5500         217 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    5501         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    5502             : }
    5503             : 
    5504             : static long
    5505         252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    5506         252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    5507             : 
    5508             : static long
    5509         147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    5510             : {
    5511         147 :   pari_sp av = avma;
    5512         147 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5513         147 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    5514             :   long v;
    5515             :   GEN F;
    5516         147 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    5517         147 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel(E));
    5518         147 :   if (lg(F)>1)
    5519             :   {
    5520          35 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    5521          35 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5522          35 :     obj_free(Et);
    5523          35 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    5524             :   } else
    5525             :   {
    5526         112 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), 0);
    5527         112 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E), utoi(4)), 4);
    5528         112 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(0),-2), prec);
    5529         112 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    5530         112 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    5531         112 :     if (lg(F)>1)
    5532           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    5533             :     else
    5534             :     {
    5535         105 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5536         105 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    5537         105 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    5538         105 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    5539         105 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    5540         105 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5541         105 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5542         105 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    5543         105 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    5544         105 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    5545         105 :       v = odd(v2+v3);
    5546             :     }
    5547             :   }
    5548         147 :   avma = av; return v ? -1: 1;
    5549             : }
    5550             : 
    5551             : static GEN
    5552         147 : doellnfrootno(GEN e)
    5553         147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    5554             : 
    5555             : long
    5556        1624 : ellrootno_global(GEN e)
    5557             : {
    5558        1624 :   pari_sp av = avma;
    5559             :   GEN S;
    5560        1624 :   switch(ell_get_type(e))
    5561             :   {
    5562             :     case t_ELL_Q:
    5563        1358 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    5564        1358 :       break;
    5565             :     case t_ELL_NF:
    5566         266 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    5567         266 :       break;
    5568             :     default:
    5569             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5570             :   }
    5571        1624 :   avma = av; return itos(S);
    5572             : }
    5573             : 
    5574             : long
    5575         140 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5576             : {
    5577         140 :   checkell(e);
    5578         140 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5579         140 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5580         140 :   switch(ell_get_type(e))
    5581             :   {
    5582             :     case t_ELL_Q:
    5583          42 :       return ellQ_rootno(e, p);
    5584           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    5585             :     case t_ELL_NF:
    5586          98 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    5587          98 :       return ellrootno_global(e);
    5588             :   }
    5589             : }
    5590             : 
    5591             : /********************************************************************/
    5592             : /**                                                                **/
    5593             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5594             : /**                                                                **/
    5595             : /********************************************************************/
    5596             : 
    5597             : /* assume p does not divide disc E */
    5598             : long
    5599      305777 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5600             : {
    5601             :   ulong a4, a6;
    5602      305777 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5603      304545 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5604      303012 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5605      303012 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5606             : }
    5607             : 
    5608             : static void
    5609         693 : checkell_int(GEN e)
    5610             : {
    5611         693 :   checkell_Q(e);
    5612        1386 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5613        1386 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5614        1386 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5615        1386 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5616         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5617         693 : }
    5618             : 
    5619             : long
    5620        2177 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5621             : {
    5622        2177 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5623        2177 :   long CM = 0;
    5624        2177 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5625             :   {
    5626             :     case 0:
    5627         107 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5628         107 :       break;
    5629         119 :     case 1728: CM = -4; break;
    5630          21 :     case -3375: CM = -7; break;
    5631          21 :     case  8000: CM = -8; break;
    5632          21 :     case 54000: CM = -12; break;
    5633          21 :     case -32768: CM = -11; break;
    5634          21 :     case 287496: CM = -16; break;
    5635           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    5636          21 :     case -12288000: CM = -27; break;
    5637          21 :     case  16581375: CM = -28; break;
    5638           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    5639             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    5640           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    5641           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    5642             : #endif
    5643             :   }
    5644        2177 :   return CM;
    5645             : }
    5646             : 
    5647             : /* bad reduction at p */
    5648             : static void
    5649        2688 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    5650             : {
    5651             :   ulong m, N;
    5652        2688 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    5653             :   {
    5654             :     case -1: /* non-split */
    5655         651 :       N = n/p;
    5656      425823 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5657      425172 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    5658         651 :       break;
    5659             :     case 0: /* additive */
    5660        1204 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    5661        1204 :       break;
    5662             :     case 1: /* split */
    5663         833 :       N = n/p;
    5664      124862 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5665      124029 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    5666         833 :       break;
    5667             :   }
    5668        2688 : }
    5669             : /* good reduction at p */
    5670             : static void
    5671      300303 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    5672             : {
    5673      300303 :   const long ap = an[p];
    5674             :   ulong m;
    5675      300303 :   if (p <= SQRTn) {
    5676        9994 :     ulong pk, oldpk = 1;
    5677       40475 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    5678             :     {
    5679       30481 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    5680     4572625 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    5681     4542144 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    5682             :     }
    5683             :   } else {
    5684     1618097 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    5685     1327788 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    5686             :   }
    5687      300303 : }
    5688             : static void
    5689      302991 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    5690             : {
    5691      302991 :   if (good_red)
    5692      300303 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    5693             :   else
    5694        2688 :     sievep_bad(p, an, n);
    5695      302991 : }
    5696             : 
    5697             : static long
    5698      302991 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    5699             : {
    5700      302991 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    5701        2744 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    5702             :   else /* good reduction */
    5703             :   {
    5704      300247 :     *good_red = 1;
    5705      300247 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    5706             :   }
    5707             : }
    5708             : GEN
    5709        1750 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    5710             : {
    5711             :   pari_sp av;
    5712        1750 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    5713             :   GEN an;
    5714             :   int CM;
    5715             : 
    5716        1750 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    5717        1750 :   if (n >= LGBITS)
    5718           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    5719        1750 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    5720        1750 :   SQRTn = usqrt(n);
    5721        1750 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    5722             : 
    5723        1750 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    5724        1750 :   an[1] = 1; av = avma;
    5725     2594607 :   for (p=2; p<=n; p++)
    5726             :   {
    5727             :     int good_red;
    5728     2592857 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    5729      302991 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    5730      302991 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    5731             :   }
    5732        1750 :   avma = av; return an;
    5733             : }
    5734             : 
    5735             : static GEN
    5736        1477 : ellanQ(GEN e, long N)
    5737        1477 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    5738             : 
    5739             : static GEN
    5740       69405 : ellnflocal(void *S, GEN p, long n)
    5741             : {
    5742       69405 :   pari_sp av = avma;
    5743       69405 :   GEN E = (GEN)S;
    5744       69405 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
    5745       69405 :   long l = lg(LP), i;
    5746      138831 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5747             :   {
    5748             :     int goodred;
    5749       69426 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    5750       69426 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    5751       69426 :     long f = pr_get_f(P);
    5752       69426 :     if (goodred)
    5753       69244 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    5754             :     else
    5755             :     {
    5756         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    5757         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    5758             :     }
    5759       69412 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    5760       69412 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    5761             :   }
    5762       69405 :   if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
    5763       37912 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
    5764             : }
    5765             : 
    5766             : static GEN
    5767         189 : ellnfan(GEN E, long N)
    5768             : {
    5769         189 :   return direuler_bad((void*)E, &ellnflocal, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    5770             : }
    5771             : GEN
    5772        1659 : ellan(GEN E, long N)
    5773             : {
    5774        1659 :   checkell(E);
    5775        1659 :   switch(ell_get_type(E))
    5776             :   {
    5777        1470 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    5778         189 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    5779             :     default:
    5780           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    5781             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5782             :   }
    5783             : }
    5784             : 
    5785             : static GEN
    5786         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    5787             : {
    5788             :   GEN u, v, w;
    5789             :   long j;
    5790         735 :   if (e == 1) return ap;
    5791         112 :   u = ap;
    5792         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    5793         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    5794             :   {
    5795          14 :     v = u; u = w;
    5796          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    5797             :   }
    5798         112 :   return w;
    5799             : }
    5800             : 
    5801             : GEN
    5802         693 : akell(GEN e, GEN n)
    5803             : {
    5804             :   long i, j, s;
    5805         693 :   pari_sp av = avma;
    5806             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    5807             : 
    5808         693 :   checkell_int(e);
    5809         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    5810         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    5811         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    5812         693 :   D = ell_get_disc(e);
    5813         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    5814         693 :   y = gen_1;
    5815         693 :   s = 1;
    5816         693 :   if (!equalii(u, n))
    5817             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    5818         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    5819         441 :     P = gel(fa,1);
    5820         441 :     E = gel(fa,2);
    5821        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    5822             :     {
    5823         581 :       GEN p = gel(P,i);
    5824         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    5825             :       int good_red;
    5826         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    5827         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    5828         350 :       j = signe(ap);
    5829         350 :       if (!j) { avma = av; return gen_0; }
    5830         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    5831             :     }
    5832             :   }
    5833         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    5834         693 :   fa = Z_factor(u);
    5835         693 :   P = gel(fa,1);
    5836         693 :   E = gel(fa,2);
    5837        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    5838             :   { /* good reduction */
    5839         504 :     GEN p = gel(P,i);
    5840         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    5841         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    5842             :   }
    5843         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    5844             : }
    5845             : 
    5846             : GEN
    5847        7336 : ellQ_get_N(GEN e)
    5848        7336 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    5849             : void
    5850         588 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    5851         588 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    5852             : 
    5853             : GEN
    5854          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    5855             : {
    5856          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    5857             :   ulong l, n;
    5858             :   long eps, flun;
    5859             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    5860             : 
    5861          14 :   if (!A) A = gen_1;
    5862             :   else
    5863             :   {
    5864           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    5865           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    5866           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    5867             :   }
    5868          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
    5869          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    5870          14 :   checkell_Q(e);
    5871          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    5872          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    5873          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    5874          14 :   if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
    5875             : 
    5876          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    5877          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    5878          14 :   cga = gmul(cg, A);
    5879          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    5880          42 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
    5881          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    5882          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    5883          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    5884          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    5885          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    5886          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    5887          14 :   z = gen_0;
    5888          14 :   av1 = avma;
    5889        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    5890             :   {
    5891        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    5892        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    5893        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    5894             : 
    5895        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    5896        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    5897        1106 :     if (flun)
    5898           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    5899             :     else
    5900             :     {
    5901        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    5902        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    5903        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    5904             :     }
    5905        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    5906        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    5907             :     {
    5908           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    5909           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    5910             :     }
    5911             :   }
    5912          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    5913             : }
    5914             : 
    5915             : /********************************************************************/
    5916             : /**                                                                **/
    5917             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    5918             : /**                                                                **/
    5919             : /********************************************************************/
    5920             : 
    5921             : static GEN
    5922         721 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    5923             : 
    5924             : /* one root of X^2 - t X + c */
    5925             : static GEN
    5926        1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    5927             : {
    5928        1106 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    5929             : }
    5930             : 
    5931             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    5932             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    5933             : static GEN
    5934        1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    5935             : {
    5936        1106 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    5937        1106 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    5938             : 
    5939        1106 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    5940        1106 :   ab = ellR_ab(e, p);
    5941        1106 :   a = gel(ab, 1);
    5942        1106 :   b = gel(ab, 2);
    5943        1106 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    5944        1106 :   x = gsub(x, e1);
    5945        1106 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    5946             : 
    5947        1106 :   x_a = gsub(x, a);
    5948        1106 :   if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
    5949        1106 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    5950        1106 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    5951             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    5952        6049 :   for(n=0;; n++)
    5953             :   {
    5954        6049 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    5955        6049 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    5956        6049 :     r = gsub(a, a0);
    5957        6049 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    5958        4943 :     ab = gmul(a0, b);
    5959        4943 :     b = gsqrt(ab, prec);
    5960             : 
    5961        4943 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    5962        4943 :     p2 = gsqr(a);
    5963        4943 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    5964        4943 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    5965        4943 :   }
    5966        1106 :   if (n) {
    5967        1106 :     x = gel(V,n);
    5968        1106 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    5969             :   } else
    5970           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    5971             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    5972        1106 :   return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs(x_a)));
    5973             : }
    5974             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    5975             : static int
    5976        1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    5977             : {
    5978        1106 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    5979        1106 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    5980             : }
    5981             : 
    5982             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    5983             : static GEN
    5984        1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    5985             : {
    5986        1106 :   pari_sp av = avma;
    5987             :   GEN h;
    5988        1106 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    5989             :   {
    5990         455 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    5991             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    5992         455 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    5993             :   }
    5994             :   else
    5995         651 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    5996        1106 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    5997        1106 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    5998             : }
    5999             : GEN
    6000        1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6001             : 
    6002             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    6003             : static GEN
    6004          28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    6005             : {
    6006          28 :   pari_sp av = avma;
    6007          28 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    6008          28 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    6009          28 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = gconj(w1);
    6010          28 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    6011          28 :   GEN D = gsub(gmul(w1, gconj(w2)),gmul(w1c, w2));
    6012          28 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, gconj(z)),gmul(w1c, z)), D);
    6013          28 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    6014          28 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    6015          28 :   GEN r = gmul2n(greal(gmul(z, eta)), -1);
    6016          28 :   GEN l = greal(ellsigma(per, z, 1, prec));
    6017          28 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    6018             : }
    6019             : 
    6020             : static GEN
    6021         140 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6022         140 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6023             : static GEN
    6024          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6025             : {
    6026          35 :   pari_sp av = avma;
    6027          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6028          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6029          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6030             : }
    6031             : GEN
    6032         147 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6033         147 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
    6034             : GEN
    6035          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6036          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6037             : 
    6038             : static GEN
    6039         245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    6040             : {
    6041             :   long v1, v2, vD, vu;
    6042         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    6043         245 :   GEN lr = nflocalred(e,pr);
    6044         245 :   GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
    6045         245 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    6046         245 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
    6047             :   GEN v;
    6048         245 :   vu = nfval(nf, u, pr);
    6049         245 :   v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
    6050         245 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    6051         245 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
    6052         245 :   if (v1<0)
    6053           7 :     vu = 0;
    6054         245 :   if (v1<=0 || v2<=0)
    6055         210 :     v = gen_0;
    6056          35 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    6057             :   {
    6058          21 :     GEN a = gdivsg(minss(2*v2,vD),mulss(2,vD));
    6059          21 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a),gdivgs(stoi(vD),2));
    6060             :   }
    6061             :   else
    6062             :   {
    6063          14 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    6064          28 :     v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? gdivgs(stoi(v2),-3):
    6065          14 :                                     gdivgs(stoi(v3),-8);
    6066             :   }
    6067         245 :   return gsubgs(v,vu);
    6068             : }
    6069             : 
    6070             : static GEN
    6071          98 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    6072             : {
    6073          98 :   pari_sp av = avma;
    6074             :   GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
    6075             :   long i, n, l, r1;
    6076          98 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
    6077          98 :   x = gel(P,1);
    6078          98 :   if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { avma = av; return gen_0; }
    6079          91 :   nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
    6080          91 :   disc = ell_get_disc(E);
    6081          91 :   d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
    6082          91 :   F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
    6083          91 :   Ee = ellnfembed(E, prec);
    6084          91 :   Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    6085          91 :   n = lg(Ee); l = lg(F);
    6086          91 :   s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
    6087         224 :   for (i=1; i<=r1; i++)
    6088         133 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    6089         119 :   for (   ; i<n; i++)
    6090          28 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    6091         336 :   for (i=1; i<l; i++)
    6092             :   {
    6093         245 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
    6094         245 :     long f = pr_get_f(pr);
    6095         245 :     GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    6096         245 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
    6097             :   }
    6098          91 :   return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
    6099             : }
    6100             : 
    6101             : static GEN
    6102         133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    6103             : {
    6104             :   long i, lx;
    6105         133 :   pari_sp av = avma;
    6106             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6107             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6108             : 
    6109         133 :   checkell_Q(e);
    6110         133 :   checkellpt(a);
    6111         133 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    6112         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6113         126 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6114             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6115          98 :     if (lg(S) != 2)
    6116             :     {
    6117           7 :       v = gel(S,2);
    6118           7 :       e = gel(S,3);
    6119           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6120             :     }
    6121             :   }
    6122             :   else
    6123             :   {
    6124          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    6125          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6126             :   }
    6127         126 :   if (!oncurve(e,a))
    6128           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6129         119 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6130         119 :   if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
    6131         105 :   x = gel(a,1);
    6132         105 :   y = gel(a,2);
    6133         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6134         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6135         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6136         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6137         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6138             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6139             :   );
    6140         105 :   if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
    6141         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6142         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6143         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6144         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6145             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6146             :   );
    6147         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6148         105 :   D = ell_get_disc(e);
    6149         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6150         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6151         105 :   lx = lg(Lp);
    6152         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6153             :   {
    6154         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6155             :     long u, v, n, n2;
    6156         112 :     if (!dvdii(c4,p))
    6157             :     { /* p \nmid c4 */
    6158          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    6159          35 :       if (!N) continue;
    6160          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6161          35 :       if (n > N) n = N;
    6162          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6163          35 :       v = N << 3;
    6164             :     }
    6165             :     else
    6166             :     {
    6167          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6168          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6169          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6170             :     }
    6171             :     /* z -= u log(p) / v */
    6172         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6173             :   }
    6174         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6175             : }
    6176             : 
    6177             : GEN
    6178         231 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6179             : {
    6180         231 :   checkell(e);
    6181         231 :   checkellpt(a);
    6182         231 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    6183         231 :   switch(ell_get_type(e))
    6184             :   {
    6185             :     case t_ELL_Q:
    6186         133 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6187           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6188             :     case t_ELL_NF:
    6189          98 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6190             :   }
    6191             : }
    6192             : 
    6193             : GEN
    6194          21 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6195             : {
    6196             :   GEN D, A, B;
    6197          21 :   long lx = lg(x), i, j;
    6198          21 :   pari_sp av = avma;
    6199             : 
    6200          21 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6201          21 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6202          21 :   A = cgetg(lx,t_MAT);
    6203          21 :   B = cgetg(lx,t_MAT);
    6204          63 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6205             :   {
    6206          42 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6207          42 :     gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6208          42 :     gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
    6209             :   }
    6210          63 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6211             :   {
    6212          42 :     GEN h = gel(D,i);
    6213          42 :     if (p)
    6214             :     {
    6215          28 :       gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
    6216          28 :       gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
    6217             :     }
    6218             :     else
    6219          14 :       gcoeff(A,i,i) = h;
    6220          70 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6221             :     {
    6222          28 :       h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6223          28 :       h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
    6224          28 :       if (p)
    6225             :       {
    6226          21 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
    6227          21 :         gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
    6228             :       }
    6229             :       else
    6230           7 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
    6231             :     }
    6232             :   }
    6233          21 :   return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
    6234             : }
    6235             : GEN
    6236           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6237           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6238             : 
    6239             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6240             : static GEN
    6241          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6242             : {
    6243             :   GEN y;
    6244          21 :   long i, l = lg(P);
    6245          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6246          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
    6247           7 :   y = cgetg(l, typ(P));
    6248           7 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
    6249           7 :   return y;
    6250             : }
    6251             : GEN
    6252           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6253             : {
    6254           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6255           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6256           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6257           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6258           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6259           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6260           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6261             :   {
    6262           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6263           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6264           0 :     return bilhell_i(E,Q,P,n);
    6265             :   }
    6266           7 :   return bilhell_i(E,P,Q,n);
    6267             : }
    6268             : /********************************************************************/
    6269             : /**                                                                **/
    6270             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6271             : /**                                                                **/
    6272             : /********************************************************************/
    6273             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6274             : static GEN
    6275           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6276             : {
    6277           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6278           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6279           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6280             : }
    6281             : 
    6282             : GEN
    6283          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6284             : {
    6285             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6286             :   long n, m;
    6287          14 :   pari_sp av = avma;
    6288             : 
    6289          14 :   checkell_Q(e);
    6290          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6291           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6292             : 
    6293           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6294           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6295           7 :   d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalp(d,-1);
    6296             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6297             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6298           7 :   c = gsqr(d);
    6299             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6300             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6301             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6302             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6303             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6304             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6305             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6306             :    * */
    6307           7 :   C = c+4;
    6308           7 :   X = x+4;
    6309           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6310           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6311           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6312           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6313         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6314             :   {
    6315         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6316             :     GEN s1, s2, s3;
    6317         105 :     if (n != 2)
    6318             :     {
    6319          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6320          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6321          98 :       s2 = gen_0;
    6322        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6323         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6324          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6325          98 :       s1 = gen_0;
    6326          98 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6327          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6328          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6329             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6330          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6331             :     }
    6332             :     else
    6333             :     {
    6334           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6335           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6336           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6337           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6338           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6339           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6340           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6341           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6342           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6343           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6344             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6345           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6346             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6347           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6348             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6349           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6350           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6351             :     }
    6352         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6353             :   }
    6354           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6355           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6356           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6357           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6358           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6359             : }
    6360             : 
    6361             : /********************************************************************/
    6362             : /**                                                                **/
    6363             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6364             : /**                                                                **/
    6365             : /********************************************************************/
    6366             : static GEN
    6367       19278 : doellff_get_o(GEN E)
    6368             : {
    6369       19278 :   GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
    6370       19278 :   return mkvec2(d, Z_factor(d));
    6371             : }
    6372             : GEN
    6373       19817 : ellff_get_o(GEN E)
    6374       19817 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6375             : 
    6376             : GEN
    6377         133 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6378             : {
    6379         133 :   pari_sp av = avma;
    6380             :   GEN fg, r;
    6381         133 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6382         133 :   fg = ellff_get_field(E);
    6383         133 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6384         133 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6385          91 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    6386             :   else
    6387             :   {
    6388          42 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6389          42 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    6390          42 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    6391          42 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    6392             :   }
    6393         133 :   return gerepileuptoint(av, r);
    6394             : }
    6395             : 
    6396             : GEN
    6397        5236 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6398             : {
    6399             :   GEN fg;
    6400        5236 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6401        5229 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6402        5229 :   fg = ellff_get_field(E);
    6403        5229 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6404        4984 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6405             :   else
    6406             :   {
    6407         245 :     pari_sp av = avma;
    6408         245 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6409         490 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6410         490 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6411         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6412             :   }
    6413             : }
    6414             : 
    6415             : GEN
    6416         294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6417             : {
    6418             :   GEN fg;
    6419         294 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6420         294 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6421         294 :   fg = ellff_get_field(E);
    6422         294 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6423          91 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6424             :   else
    6425             :   {
    6426         203 :     pari_sp av = avma;
    6427         203 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6428         406 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6429         406 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6430         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6431             :   }
    6432             : }
    6433             : 
    6434             : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6435             : static GEN
    6436     2794911 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6437             : {
    6438     2794911 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6439     2794911 :   if (!signe(D))
    6440             :   {
    6441       98000 :     pari_sp av = avma;
    6442       98000 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6443       98000 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6444             :   }
    6445     2696911 :   *good_red = 1;
    6446     2696911 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6447     2696526 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6448     2696218 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6449     2696218 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6450             : }
    6451             : 
    6452             : GEN
    6453     2947959 : ellap(GEN E, GEN p)
    6454             : {
    6455     2947959 :   pari_sp av = avma;
    6456             :   GEN q, card;
    6457             :   int goodred;
    6458     2947959 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
    6459     2947931 :   switch(ell_get_type(E))
    6460             :   {
    6461             :   case t_ELL_Fp:
    6462         105 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6463         105 :     break;
    6464             :   case t_ELL_Fq:
    6465       54467 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6466       54467 :     break;
    6467             :   case t_ELL_Qp:
    6468             :   case t_ELL_Q:
    6469     2794491 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6470     2794491 :     break;
    6471             :   case t_ELL_NF:
    6472       98868 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6473             :   default:
    6474           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6475             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6476             :   }
    6477     2849063 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6478             : }
    6479             : 
    6480             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    6481             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    6482             : GEN
    6483         126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
    6484             : {
    6485         126 :   const ulong minq = 523;
    6486         126 :   checkell_Fq(E);
    6487         126 :   switch(ell_get_type(E))
    6488             :   {
    6489             :   case t_ELL_Fp:
    6490             :     {
    6491         112 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6492         112 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6493         105 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6494             :     }
    6495             :   case t_ELL_Fq:
    6496             :     {
    6497          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6498          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    6499           0 :         return FF_ellcard(E);
    6500          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6501             :     }
    6502             :   }
    6503             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6504             : }
    6505             : 
    6506             : GEN
    6507      162549 : ellff_get_card(GEN E)
    6508      162549 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6509             : 
    6510             : GEN
    6511       87075 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6512             : {
    6513       87075 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
    6514       87068 :   switch(ell_get_type(E))
    6515             :   {
    6516             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6517       86613 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6518             :   case t_ELL_Qp:
    6519             :   case t_ELL_Q:
    6520             :     {
    6521         420 :       pari_sp av = avma;
    6522             :       int goodred;
    6523         420 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6524         420 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6525         420 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6526             :     }
    6527             :   case t_ELL_NF:
    6528             :     {
    6529          35 :       pari_sp av = avma;
    6530             :       int goodred;
    6531          35 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6532          35 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6533          35 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6534             :     }
    6535             :   default:
    6536           0 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6537             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6538             :   }
    6539             : }
    6540             : 
    6541             : /* assume model is p-minimal */
    6542             : static GEN
    6543       21595 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
    6544             : {
    6545       21595 :   GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
    6546       21595 :   *pm = gen_1;
    6547       21595 :   if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
    6548       21595 :   if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
    6549       21595 :   if (absequaliu(p, 3))
    6550             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6551             :     ulong b2, b4, b6;
    6552           0 :     if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
    6553             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6554             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6555           0 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6556           0 :     if (b6) return mkvec(N);
    6557             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6558           0 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6559           0 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6560           0 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
    6561           0 :     return mkvec2s(2, 2);
    6562             :   } /* Now assume p > 3 */
    6563       21595 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6564       21595 :   return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
    6565             : }
    6566             : 
    6567             : static GEN
    6568       40649 : doellGm(GEN E)
    6569             : {
    6570       40649 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6571       40649 :   GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
    6572       40649 :   return mkvec2(G, m);
    6573             : }
    6574             : static GEN
    6575       80171 : ellff_Gm(GEN E)
    6576       80171 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
    6577             : GEN
    6578       61488 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
    6579             : GEN
    6580       18683 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
    6581             : GEN
    6582       18683 : ellff_get_D(GEN E)
    6583             : {
    6584       18683 :   GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
    6585       18683 :   switch(lg(G))
    6586             :   {
    6587          91 :     case 1: return G;
    6588       15869 :     case 2: return mkvec(o);
    6589        2723 :     default: return mkvec2(o, gel(G,2));
    6590             :   }
    6591             : }
    6592             : 
    6593             : /* E / Fp */
    6594             : static GEN
    6595       18683 : doellgens(GEN E)
    6596             : {
    6597       18683 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6598       18683 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6599       18109 :     return FF_ellgens(E);
    6600             :   else
    6601             :   {
    6602         574 :     GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6603         574 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
    6604         574 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6605             :   }
    6606             : }
    6607             : 
    6608             : GEN
    6609       18760 : ellff_get_gens(GEN E)
    6610       18760 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6611             : 
    6612             : GEN
    6613       22008 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6614             : {
    6615       22008 :   pari_sp av = avma;
    6616             :   GEN m, G;
    6617       22008 :   p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
    6618       22001 :   switch(ell_get_type(E))
    6619             :   {
    6620             :     case t_ELL_Fp:
    6621       21567 :     case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
    6622             :     case t_ELL_Qp:
    6623             :     case t_ELL_Q:
    6624         392 :       if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
    6625             :       {
    6626          14 :         GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
    6627          14 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    6628          14 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    6629             :       }
    6630         378 :       G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
    6631             :     case t_ELL_NF:
    6632          42 :       if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
    6633             :       {
    6634          21 :         GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
    6635          21 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    6636          21 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    6637             :       }
    6638          28 :       E = ellinit(E, p, 0);
    6639          28 :       G = ellff_get_group(E);
    6640          28 :       G = gcopy(G); obj_free(E); break;
    6641             :     default:
    6642           0 :       pari_err_TYPE("ellgroup", E);
    6643             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6644             :   }
    6645       22001 :   return gerepilecopy(av, G);
    6646             : }
    6647             : 
    6648             : GEN
    6649       21483 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6650             : {
    6651       21483 :   pari_sp av = avma;
    6652       21483 :   long tE, freeE = 0;
    6653             :   GEN G;
    6654       21483 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6655        1946 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6656        1946 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    6657        1946 :   if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
    6658             :   {
    6659        1869 :     GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
    6660             :     long vu;
    6661        1862 :     switch(tE)
    6662             :     {
    6663          70 :       case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
    6664        1841 :       case t_ELL_Q:  vu = Q_pval(u, p); break;
    6665          21 :       case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
    6666           0 :       default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
    6667             :     }
    6668        1862 :     if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
    6669        1855 :     if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
    6670             :     {
    6671          91 :       GEN Ep = obj_init(15, 4), T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
    6672          91 :       if (typ(p) == t_INT)
    6673             :       {
    6674             :         long i;
    6675          70 :         for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
    6676             :       }
    6677             :       else
    6678             :       {
    6679          21 :         q = pr_norm(p);
    6680          21 :         Ep = initsmall_i(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
    6681             :       }
    6682          91 :       E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
    6683          91 :       obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
    6684             :     }
    6685             :     else
    6686        1764 :       E = ellinit(E, p, 0);
    6687        1855 :     freeE = 1;
    6688             :   }
    6689        1932 :   G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
    6690        1932 :   if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
    6691        1855 :   G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
    6692             : }
    6693             : 
    6694             : GEN
    6695       16842 : ellgenerators(GEN E)
    6696             : {
    6697       16842 :   checkell(E);
    6698       16842 :   switch(ell_get_type(E))
    6699             :   {
    6700             :     case t_ELL_Q:
    6701           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    6702             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6703       16828 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    6704             :     default:
    6705           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    6706             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6707             :   }
    6708             : }
    6709             : 
    6710             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    6711             : static GEN
    6712       22540 : ellfromj_simple(GEN j)
    6713             : {
    6714       22540 :   pari_sp av = avma;
    6715       22540 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    6716       22540 :   GEN E = zerovec(5);
    6717       22540 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    6718       22540 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    6719             : }
    6720             : GEN
    6721       33817 : ellfromj(GEN j)
    6722             : {
    6723       33817 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    6724             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    6725       33817 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    6726             :   {
    6727             :     case 2:
    6728        3549 :       if (gequal0(j))
    6729           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    6730             :       else
    6731        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    6732             :     case 3:
    6733        7637 :       if (gequal0(j))
    6734           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6735             :       else
    6736             :       {
    6737        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    6738        7630 :         pari_sp av = avma;
    6739        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    6740        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    6741        7630 :         return E;
    6742             :       }
    6743             :   }
    6744       22631 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    6745       22603 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6746       22540 :   return ellfromj_simple(j);
    6747             : }
    6748             : 
    6749             : /********************************************************************/
    6750             : /**                                                                **/
    6751             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    6752             : /**                                                                **/
    6753             : /********************************************************************/
    6754             : 
    6755             : int
    6756      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    6757             : {
    6758      164703 :   pari_sp av = avma;
    6759             :   int res;
    6760             : 
    6761      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    6762         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    6763         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    6764         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6765      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    6766      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    6767      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    6768      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    6769      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6770             :   } else {
    6771           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    6772             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6773             :   }
    6774      164696 :   avma = av;
    6775      164696 :   return res;
    6776             : }
    6777             : 
    6778             : int
    6779      164906 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    6780             : {
    6781             :   pari_sp av;
    6782             :   GEN j;
    6783             :   int res;
    6784      164906 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    6785       17003 :   j = ell_get_j(E);
    6786       17003 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
    6787       16996 :   switch(ell_get_type(E))
    6788             :   {
    6789             :   case t_ELL_Fp:
    6790             :   case t_ELL_Fq:
    6791       16800 :     return elljissupersingular(j);
    6792             :   case t_ELL_Qp:
    6793             :   case t_ELL_Q:
    6794          56 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    6795          21 :     av = avma;
    6796          21 :     res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
    6797          21 :     avma = av; return res;
    6798             :   case t_ELL_NF:
    6799             :     {
    6800         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    6801         140 :       av = avma;
    6802         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    6803         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    6804             :       {
    6805          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    6806           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6807             :       }
    6808             :       else
    6809         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6810         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    6811         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    6812          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6813             :       else
    6814          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6815         126 :       avma = av; return res;
    6816             :     }
    6817             :   default:
    6818           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    6819             :   }
    6820             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6821             : }
    6822             : 
    6823             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6824             : static GEN
    6825        5047 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    6826             : {
    6827             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    6828        5047 :   if (n==0) return pol_0(v);
    6829        5047 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    6830        1169 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    6831        1169 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    6832        1169 :   if (n==3)
    6833         644 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    6834             :   else
    6835             :   {
    6836         525 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    6837         525 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    6838         525 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    6839             :   }
    6840        1169 :   setvarn(res, v); return res;
    6841             : }
    6842             : 
    6843             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    6844             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6845             : static GEN
    6846        4165 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    6847             : {
    6848             :   GEN ret;
    6849        4165 :   long m = n/2;
    6850        4165 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    6851        2436 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    6852         728 :   else if (odd(n))
    6853             :   {
    6854         441 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6855             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    6856         441 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    6857             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    6858         441 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    6859         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    6860             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    6861         336 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    6862             :   }
    6863             :   else
    6864             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    6865         287 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6866             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    6867         287 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    6868             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    6869         287 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    6870             :   }
    6871        2436 :   gel(t,n) = ret;
    6872        2436 :   return ret;
    6873             : }
    6874             : 
    6875             : GEN
    6876        3549 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    6877             : {
    6878        3549 :   pari_sp av = avma;
    6879             :   GEN f, D, N;
    6880        3549 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6881        3549 :   if (v==-1) v = 0;
    6882        3549 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6883        3549 :   N = characteristic(D);
    6884        3549 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6885        3549 :   if (n<0) n = -n;
    6886        3549 :   if (n==1 || n==3)
    6887         189 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6888             :   else
    6889             :   {
    6890        3360 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6891        3360 :     setvarn(d2,v);
    6892        3360 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6893        3360 :     if (n <= 4)
    6894        3150 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6895             :     else
    6896         210 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    6897        3360 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    6898             :   }
    6899        3549 :   return gerepilecopy(av, f);
    6900             : }
    6901             : 
    6902             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    6903             : GEN
    6904         392 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    6905             : {
    6906         392 :   pari_sp av = avma;
    6907             :   GEN d2, D, N, A, B;
    6908         392 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6909         392 :   if (v==-1) v = 0;
    6910         392 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6911         392 :   N = characteristic(D);
    6912         392 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6913         392 :   if (n < 0) n = -n;
    6914         392 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6915         392 :   setvarn(d2,v);
    6916         392 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6917         392 :   if (n == 0)
    6918             :   {
    6919          21 :     A = pol_0(v);
    6920          21 :     B = pol_0(v);
    6921             :   }
    6922         371 :   else if (n == 1)
    6923             :   {
    6924           7 :     A = pol_1(v);
    6925           7 :     B = pol_x(v);
    6926             :   }
    6927         364 :   else if (n == 2)
    6928             :   {
    6929         112 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    6930         112 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6931         112 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    6932         112 :     A = d2;
    6933             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    6934         112 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    6935         112 :     setvarn(B,v);
    6936             :   }
    6937             :   else
    6938             :   {
    6939         252 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    6940         252 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    6941         252 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    6942         252 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    6943         252 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    6944         252 :     if (!odd(n))
    6945           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    6946             :     else
    6947         245 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    6948             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    6949         252 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    6950             :   }
    6951         392 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    6952             : }

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