Branch data Line data Source code
1 : : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 : :
3 : : This file is part of the PARI/GP package.
4 : :
5 : : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 : :
10 : : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 : :
14 : : /********************************************************************/
15 : : /** **/
16 : : /** ELLIPTIC CURVES **/
17 : : /** **/
18 : : /********************************************************************/
19 : : #include "pari.h"
20 : : #include "paripriv.h"
21 : : #undef coordch
22 : :
23 : : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
24 : : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
25 : : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
26 : : */
27 : :
28 : : static ulong
29 : 132367 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
30 : 132367 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
31 : : static void
32 : 131947 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
33 : : {
34 : 131947 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
35 : 131947 : *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
36 : 131947 : }
37 : : static GEN
38 : 2713071 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
39 : 2713071 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
40 : : static void
41 : 2713072 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
42 : : {
43 : 2713072 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
44 : 2713072 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
45 : 2713071 : }
46 : : static void
47 : 2712924 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
48 : : {
49 : 2712924 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
50 : 2712925 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
51 : 2712925 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
52 : 2712924 : }
53 : : static void
54 : 131947 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
55 : : {
56 : 131947 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
57 : 131947 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
58 : 131947 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
59 : 131947 : }
60 : :
61 : : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
62 : : static GEN
63 : 21977 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
64 : : {
65 : 21977 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
66 : 21978 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
67 : 21978 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
68 : 21978 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
69 : : }
70 : : static GEN
71 : 420 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
72 : : {
73 : 420 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
74 : 420 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
75 : 420 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
76 : 420 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
77 : : }
78 : :
79 : : static GEN
80 : 21977 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
81 : : {
82 : : GEN A4, A6;
83 : 21977 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
84 : 21977 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
85 : : }
86 : : GEN
87 : 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
88 : : {
89 : 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
90 : 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
91 : 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
92 : : }
93 : : GEN
94 : 420 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
95 : : {
96 : 420 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
97 : 420 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
98 : 420 : return Fle_changepointinv(RgC_to_Flc(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
99 : : }
100 : :
101 : : void
102 : 93207 : checkellpt(GEN z)
103 : : {
104 [ + + ]: 93207 : if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
105 [ + + - ]: 93200 : switch(lg(z))
106 : : {
107 : 92857 : case 3: break;
108 [ + - ]: 343 : case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
109 : : /* fall through */
110 : 0 : default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
111 : : }
112 : 93200 : }
113 : : void
114 : 280 : checkell5(GEN E)
115 : : {
116 : 280 : long l = lg(E);
117 [ + - ][ + + ]: 280 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
[ - + ]
118 : 280 : }
119 : : void
120 : 2973760 : checkell(GEN E)
121 [ + - ][ + + ]: 2973760 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
122 : : void
123 : 70 : checkellisog(GEN v)
124 [ + + ][ - + ]: 70 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
125 : :
126 : : void
127 : 456589 : checkell_Q(GEN E)
128 : : {
129 [ + - ][ + - ]: 456589 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
[ + + ]
130 : 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
131 : 456582 : }
132 : :
133 : : void
134 : 0 : checkell_Qp(GEN E)
135 : : {
136 [ # # ][ # # ]: 0 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
[ # # ]
137 : 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
138 : 0 : }
139 : :
140 : : static int
141 : 199362 : ell_over_Fq(GEN E)
142 : : {
143 : 199362 : long t = ell_get_type(E);
144 [ + + ][ + + ]: 199362 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
145 : : }
146 : :
147 : : void
148 : 96656 : checkell_Fq(GEN E)
149 : : {
150 [ + - ][ + - ]: 96656 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
[ + + ]
151 : 7 : pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
152 : 96649 : }
153 : :
154 : : GEN
155 : 87763 : ellff_get_p(GEN E)
156 : : {
157 : 87763 : GEN fg = ellff_get_field(E);
158 [ + + ]: 87763 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
159 : : }
160 : :
161 : : int
162 : 301 : ell_is_integral(GEN E)
163 : : {
164 : 602 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
165 [ + + ]: 259 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
166 [ + - ]: 245 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
167 [ + - ]: 245 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
168 [ + + ][ + - ]: 560 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
169 : : }
170 : :
171 : : static void
172 : 616 : checkcoordch(GEN z)
173 [ + - ][ - + ]: 616 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
174 : :
175 : : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
176 : : GEN
177 : 1618 : ec_bmodel(GEN e)
178 : : {
179 : 1618 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
180 : 1618 : return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
181 : : }
182 : :
183 : : static int
184 : 465 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
185 : :
186 : : static GEN
187 : 337 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
188 : : {
189 : : GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
190 : 337 : long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
191 : : START:
192 : 351 : R = roots(ec_bmodel(e), prec);
193 [ + + ]: 351 : if (s > 0)
194 : : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
195 : 155 : R = real_i(R);
196 : 155 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
197 : 155 : e1 = gel(R,1);
198 : 155 : e2 = gel(R,2);
199 : 155 : e3 = gel(R,3);
200 : 155 : d3 = subrr(e1,e2);
201 : 155 : d1 = subrr(e2,e3);
202 : 155 : d2 = subrr(e1,e3);
203 [ + + ][ - + ]: 155 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
204 : : {
205 : 14 : prec = precdbl(prec);
206 [ - + ]: 14 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
207 : 14 : goto START;
208 : : }
209 : : } else {
210 : 196 : e1 = gel(R,1);
211 : 196 : e2 = gel(R,2);
212 : 196 : e3 = gel(R,3);
213 [ + + ]: 196 : if (s < 0)
214 : : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
215 : 182 : e1 = real_i(e1);
216 [ + + ]: 182 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
217 : : }
218 : 196 : d3 = gsub(e1,e2);
219 : 196 : d1 = gsub(e2,e3);
220 : 196 : d2 = gsub(e1,e3);
221 : : }
222 : 337 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
223 : : }
224 : : static GEN
225 : 973 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
226 : :
227 : : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
228 : : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
229 : : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
230 : : GEN
231 : 416227 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
232 : : {
233 : 416227 : pari_sp av = avma;
234 : : GEN z;
235 : 416227 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
236 : 416227 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
237 : 416227 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
238 : 416227 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
239 : : }
240 : :
241 : : /* a1 x + a3 */
242 : : GEN
243 : 878136 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
244 : : {
245 : 878136 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
246 : 878136 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
247 : 878136 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
248 : : }
249 : : static GEN
250 : 7 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
251 : : {
252 : 7 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
253 : 7 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
254 [ - + ]: 7 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
255 : : }
256 : : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
257 : : static GEN
258 : 2912 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
259 : : {
260 : 2912 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
261 : 2912 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
262 : : }
263 : :
264 : : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
265 : : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
266 : : * which is the derivative of the curve equation
267 : : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
268 : : * wrt x evaluated at Q */
269 : : GEN
270 : 819 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
271 : : {
272 : 819 : pari_sp av = avma;
273 : 819 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
274 : 819 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
275 : 819 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
276 : 819 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
277 : 819 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
278 : 819 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
279 : : }
280 : :
281 : : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
282 : : GEN
283 : 4235 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
284 : : {
285 : 4235 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
286 : 4235 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
287 : : }
288 : : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
289 : : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
290 : : * which is the derivative of the curve equation
291 : : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
292 : : * wrt y evaluated at Q */
293 : : GEN
294 : 504 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
295 : : {
296 : 504 : pari_sp av = avma;
297 : 504 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
298 : : }
299 : :
300 : : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
301 : : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
302 : : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
303 : : GEN
304 : 1015 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
305 : : {
306 : 1015 : pari_sp av = avma;
307 : 1015 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
308 : 1015 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
309 : 1015 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
310 : 1015 : GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
311 : 1015 : GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
312 : 1015 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
313 : : }
314 : :
315 : : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
316 : : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
317 : : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
318 : : GEN
319 : 840 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
320 : : {
321 : 840 : pari_sp av = avma;
322 : 840 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
323 : 840 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
324 : 840 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
325 : 840 : return gerepileupto(av, res);
326 : : }
327 : :
328 : : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
329 : : GEN
330 : 322 : ellbasechar(GEN E)
331 : : {
332 : 322 : pari_sp av = avma;
333 : 322 : GEN D = ell_get_disc(E);
334 : 322 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
335 : : }
336 : :
337 : : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
338 : : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
339 : : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
340 : : * component y[16])*/
341 : : static GEN
342 : 603078 : initsmall(GEN x, long n)
343 : : {
344 : : GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
345 : 603078 : GEN y = obj_init(15, n);
346 [ + + + ]: 603080 : switch(lg(x))
347 : : {
348 : : case 1:
349 : : case 2:
350 : : case 4:
351 : : case 5:
352 : 7 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
353 : 0 : return NULL; break; /* not reached */
354 : : case 3:
355 : 12726 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
356 : 12726 : a4 = gel(x,1);
357 : 12726 : a6 = gel(x,2);
358 : 12726 : b2 = gen_0;
359 : 12726 : b4 = gmul2n(a4,1);
360 : 12726 : b6 = gmul2n(a6,2);
361 : 12726 : b8 = gneg(gsqr(a4));
362 : 12726 : c4 = gmulgs(a4,-48);
363 : 12726 : c6 = gmulgs(a6,-864);
364 : 12726 : D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
365 : 12726 : break;
366 : : default: /* l > 5 */
367 : : { GEN a11, a13, a33, b22;
368 : 590347 : a1 = gel(x,1);
369 : 590347 : a2 = gel(x,2);
370 : 590347 : a3 = gel(x,3);
371 : 590347 : a4 = gel(x,4);
372 : 590347 : a6 = gel(x,5);
373 : 590347 : a11= gsqr(a1);
374 : 590344 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
375 : 590347 : a13= gmul(a1, a3);
376 : 590343 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
377 : 590344 : a33= gsqr(a3);
378 : 590343 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
379 : 590346 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
380 : 590347 : b22= gsqr(b2);
381 : 590346 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
382 : 590347 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
383 : 590347 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
384 : : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
385 : 590346 : break;
386 : : }
387 : : }
388 : 603072 : gel(y,1) = a1;
389 : 603072 : gel(y,2) = a2;
390 : 603072 : gel(y,3) = a3;
391 : 603072 : gel(y,4) = a4;
392 : 603072 : gel(y,5) = a6;
393 : 603072 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
394 : 603072 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
395 : 603072 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
396 : 603072 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
397 : 603072 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
398 : 603072 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
399 : 603072 : gel(y,12)= D;
400 [ + + ]: 603072 : if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
401 : :
402 [ + + ][ + - ]: 596596 : if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
[ + - ]
403 : 49 : { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
404 : 49 : GEN g = RgX_gcd(D, c4);
405 [ + + ]: 49 : if (degpol(g) == 0)
406 : 28 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
407 : : else
408 : : {
409 : 21 : GEN d, c = RgX_div(c4, g);
410 : 21 : D = RgX_div(D, g);
411 : 21 : g = RgX_gcd(D,c4);
412 [ + + ]: 21 : if (degpol(g) == 0)
413 : 7 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
414 : : else
415 : : {
416 : 14 : D = RgX_div(D, g);
417 : 14 : d = RgX_div(c4, g);
418 : 14 : g = RgX_gcd(D,c4);
419 [ + - ]: 14 : if (degpol(g))
420 : : {
421 : 14 : D = RgX_div(D, g);
422 : 14 : c4 = RgX_div(c4, g);
423 : : }
424 : 14 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
425 : : }
426 : : }
427 : : }
428 : : else
429 : 596547 : j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
430 : 596598 : gel(y,13) = j;
431 : 603073 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
432 : : }
433 : :
434 : : void
435 : 0 : ellprint(GEN e)
436 : : {
437 : 0 : pari_sp av = avma;
438 : : long vx, vy;
439 : : GEN z;
440 : 0 : checkell5(e);
441 : 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
442 : 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
443 : 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
444 : 0 : (void)delete_var();
445 : 0 : (void)delete_var(); avma = av;
446 : 0 : }
447 : :
448 : : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
449 : : static GEN
450 : 70 : doellR_ab(GEN E, long prec)
451 : : {
452 : 70 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
453 : 70 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
454 : :
455 : 70 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
456 [ + + ]: 70 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
457 : 56 : b = mulrr(d3,d2);
458 : : else
459 : 14 : b = cxnorm(d3);
460 : 70 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
461 [ + + ]: 70 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
462 : 70 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
463 : 70 : return mkvec2(a, b);
464 : : }
465 : : GEN
466 : 973 : ellR_ab(GEN E, long prec)
467 : 973 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
468 : :
469 : : /* return x mod p */
470 : : static GEN
471 : 420 : padic_mod(GEN x) { return modii(gel(x,4), gel(x,2)); }
472 : :
473 : : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
474 : : * Return u^2 = 1 / 4M2(a1,b1), where M2(A,B) = B AGM(sqrt(A/B),1)^2; M2(A,B)
475 : : * is the common limit of (A_n, B_n), A_0 = A, B _0 = B;
476 : : * A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
477 : : * B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = the square root of A_n B_n congruent to B_n
478 : : * Update (x,y) using p-adic Landen transform; if *pty = NULL, don't update y */
479 : : static GEN
480 : 119 : do_padic_agm(GEN *ptx, GEN *pty, GEN a1, GEN b1)
481 : : {
482 : 119 : GEN bp = padic_mod(b1), x = *ptx;
483 : : for(;;)
484 : : {
485 : 301 : GEN p1, d, a = a1, b = b1;
486 : 301 : b1 = Qp_sqrt(gmul(a,b));
487 [ - + ]: 301 : if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
488 [ + + ]: 301 : if (!equalii(padic_mod(b1), bp)) b1 = gneg_i(b1);
489 : 301 : a1 = gmul2n(gadd(gadd(a,b),gmul2n(b1,1)),-2);
490 : 301 : d = gsub(a1,b1);
491 [ + + ]: 301 : if (gequal0(d)) { *ptx = x; return ginv(gmul2n(a1,2)); }
492 : 182 : p1 = Qp_sqrt(gdiv(gadd(x,d),x)); /* = 1 (mod p) */
493 : : /* x_{n+1} = x_n ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
494 : 182 : x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,p1),-1)));
495 : : /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
496 [ + + ]: 182 : if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(d,gmul2n(x,2)))));
497 : 182 : }
498 : : }
499 : :
500 : : /* q a t_REAL*/
501 : : static long
502 : 77 : real_prec(GEN q)
503 [ + - ]: 77 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
504 : : /* q a t_PADIC */
505 : : static long
506 : 77 : padic_prec(GEN q)
507 [ + + ]: 77 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
508 : :
509 : : /* check whether moduli are consistent */
510 : : static void
511 : 97079 : chk_p(GEN p, GEN p2)
512 [ + + ]: 97079 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
513 : :
514 : : static int
515 : 35917 : fix_nftype(GEN *pp)
516 : : {
517 [ + - - ]: 35917 : switch(nftyp(*pp))
518 : : {
519 : 35917 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
520 : 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
521 : 0 : default: return 0;
522 : : }
523 : 35917 : return 1;
524 : : }
525 : : static long
526 : 600704 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
527 : : {
528 : 600704 : long i, e = *prec, imax = minss(lg(x), 6);
529 : 600708 : GEN p = NULL;
530 : 600708 : long t = t_FRAC;
531 [ + + ][ + + : 600708 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
+ + + +
+ ]
532 : : {
533 : : case t_INT:
534 [ + + ]: 490504 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
535 : 1883 : p = *pp;
536 : 1883 : t = t_INTMOD;
537 : 1883 : break;
538 : : case t_INTMOD:
539 : 7 : p = gel(*pp, 1);
540 : 7 : break;
541 : : case t_REAL:
542 : 21 : e = real_prec(*pp);
543 : 21 : p = NULL;
544 : 21 : break;
545 : : case t_PADIC:
546 : 63 : e = padic_prec(*pp);
547 : 63 : p = gel(*pp, 2);
548 : 63 : break;
549 : : case t_FFELT:
550 : 16863 : p = *pp;
551 : 16863 : break;
552 : : case t_VEC:
553 : 35917 : t = t_VEC; p = *pp;
554 [ + - ]: 35917 : if (fix_nftype(&p)) break;
555 : : default:
556 : 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
557 : 0 : return 0;
558 : : }
559 : : /* Possible cases:
560 : : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
561 : : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
562 : : * t = t_INTMOD (p a prime)
563 : : * t = t_PADIC (p a prime, e = padic prec)
564 : : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
565 : : * t = t_FRAC (p = NULL) */
566 [ + + ]: 3565553 : for (i = 1; i < imax; i++)
567 : : {
568 : 2964966 : GEN p2, q = gel(x,i);
569 [ + + + + : 2964966 : switch(typ(q)) {
+ + + ]
570 : : case t_PADIC:
571 : 35 : p2 = gel(q,2);
572 [ + + + ]: 35 : switch(t)
573 : : {
574 : 14 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
575 : 7 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
576 : 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
577 : : }
578 : 14 : e = minss(e, padic_prec(q));
579 : 14 : break;
580 : : case t_INTMOD:
581 : 121396 : p2 = gel(q,1);
582 [ + + + + ]: 121396 : switch(t)
583 : : {
584 : 24321 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
585 : 14 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
586 : 97047 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
587 : 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
588 : : }
589 : 121379 : break;
590 : : case t_FFELT:
591 [ + + + - ]: 83709 : switch(t)
592 : : {
593 : 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
594 : 29341 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
595 : : case t_FFELT:
596 [ - + ]: 54362 : if (!FF_samefield(p,q)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
597 : 54362 : break;
598 : 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
599 : : }
600 : 83703 : break;
601 : :
602 : 2759560 : case t_INT: case t_FRAC: break;
603 : : case t_REAL:
604 [ + + - ]: 56 : switch(t)
605 : : {
606 : 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
607 : 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
608 : 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
609 : : }
610 : 56 : break;
611 : : case t_COL:
612 : : case t_POL:
613 : : case t_POLMOD:
614 [ + + ]: 203 : if (t == t_VEC) break;
615 : : default: /* base ring too general */
616 : 70 : return t_COMPLEX;
617 : : }
618 : : }
619 : 600657 : *pp = p; *prec = e; return t;
620 : : }
621 : :
622 : : static GEN
623 : 91 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
624 : : {
625 : : GEN y;
626 : : long s;
627 [ - + ]: 91 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
628 [ + + ]: 91 : s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
629 : 91 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
630 : 91 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
631 : 91 : return y;
632 : : }
633 : :
634 : : static GEN
635 : 56 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
636 : : {
637 : : GEN y;
638 [ - + ]: 56 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
639 : 56 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
640 [ - + ]: 56 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
641 : 56 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
642 : 56 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
643 : 56 : return y;
644 : : }
645 : :
646 : : static GEN
647 : 492058 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
648 : : {
649 : : GEN y;
650 : : long s;
651 [ + + ]: 492058 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
652 : 491925 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
653 : 491925 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
654 : 491925 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
655 : 492051 : return y;
656 : : }
657 : :
658 : : /* shallow basistoalg */
659 : : static GEN
660 : 181685 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
661 : : {
662 [ + + ]: 181685 : switch(typ(x))
663 : : {
664 : 181468 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
665 : 181685 : default: return basistoalg(nf, x);
666 : : }
667 : : }
668 : : static GEN
669 : 35924 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
670 : : {
671 : : long i, l;
672 : 35924 : GEN y = cgetg_copy(x,&l);
673 [ + + ]: 215418 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
674 : 35924 : return y;
675 : : }
676 : :
677 : : static GEN
678 : 35917 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
679 : : {
680 : : GEN y;
681 [ - + ]: 35917 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
682 : 35917 : x = nfVtoalg(p, x);
683 [ - + ]: 35917 : if (!(y = initsmall(x, 1))) return NULL;
684 : 35917 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
685 : 35917 : gel(y,15) = mkvec(p);
686 : 35917 : return y;
687 : : }
688 : :
689 : : static GEN
690 : 28878 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
691 : : {
692 : : long i;
693 : : GEN y, disc;
694 [ + + ]: 28878 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
695 [ + + ]: 23938 : if (cmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
696 : 2485 : return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
697 : 21453 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
698 [ - + ]: 21457 : if (!signe(disc)) return NULL;
699 [ + + ]: 300275 : for(i=1;i<=13;i++)
700 : 278823 : gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
701 : 21452 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
702 : 21453 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
703 : 28880 : return y;
704 : : }
705 : :
706 : : static GEN
707 : 46078 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
708 : : {
709 : : GEN y;
710 [ + + ]: 46078 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
711 : 46078 : return FF_ellinit(y,fg);
712 : : }
713 : :
714 : : static GEN
715 : 2506 : ellinit_nf_to_Fq(GEN x, GEN P)
716 : : {
717 : 2506 : GEN nf = ellnf_get_nf(x), e = vecslice(x,1,5);
718 : : GEN T,p, modP;
719 [ + + ]: 2506 : if (get_modpr(P))
720 : : { /* modpr accept */
721 : 2331 : modP = P;
722 : 2331 : p = modpr_get_p(modP);
723 : : }
724 : : else
725 : : { /* pr, initialize modpr */
726 : 175 : GEN d = Q_denom(e);
727 : 175 : p = pr_get_p(P);
728 [ - + ]: 175 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
729 : : }
730 : 2506 : T = modpr_get_T(modP);
731 : 2506 : e = nfV_to_FqV(e, nf, modP);
732 [ - + ]: 2506 : return T? ellinit_Fq(e,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(e,p);
733 : : }
734 : : GEN
735 : 602938 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
736 : : {
737 : 602938 : pari_sp av = avma;
738 : : GEN y;
739 [ + + - ]: 602938 : switch(typ(x))
740 : : {
741 : 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
742 : : case t_VEC:
743 [ + + ]: 602931 : if (lg(x) > 6) checkell(x);
744 : 602931 : break;
745 : 0 : default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
746 : : }
747 [ + + ][ + + ]: 602939 : if (D && get_prid(D))
748 : : {
749 [ - + ]: 2506 : if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
750 : 2506 : y = ellinit_nf_to_Fq(x, D);
751 : 2506 : goto END;
752 : : }
753 [ + + + + : 600433 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
+ + + ]
754 : : {
755 : : case t_PADIC:
756 : 56 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
757 : 56 : break;
758 : : case t_INTMOD:
759 : 26183 : y = ellinit_Fp(x, D);
760 : 26184 : break;
761 : : case t_FFELT:
762 : 46078 : y = ellinit_Fq(x, D);
763 : 46078 : break;
764 : : case t_FRAC:
765 : 492058 : y = ellinit_Q(x, prec);
766 : 492051 : break;
767 : : case t_REAL:
768 : 21 : y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
769 : 21 : break;
770 : : case t_VEC:
771 : 35917 : y = ellinit_nf(x, D);
772 : 35917 : break;
773 : : default:
774 : 70 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
775 : : }
776 : : END:
777 [ + + ]: 602883 : if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
778 : 602883 : return gerepilecopy(av,y);
779 : : }
780 : :
781 : : /********************************************************************/
782 : : /** **/
783 : : /** COORDINATE CHANGE **/
784 : : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
785 : : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
786 : : /** verbatim **/
787 : : /** **/
788 : : /********************************************************************/
789 : : /* [1,0,0,0] */
790 : : static GEN
791 : 2580102 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
792 : : static int
793 : 453348 : is_trivial_change(GEN v)
794 : : {
795 : : GEN u, r, s, t;
796 [ - + ]: 453348 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
797 : 453348 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
798 [ + + ][ + + ]: 453348 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
[ + - ][ + + ]
799 : : }
800 : :
801 : : /* compose coordinate changes, *vtotal = v is a ZV */
802 : : /* v = [u,0,0,0] o v, u t_INT */
803 : : static void
804 : 0 : composev_u(GEN *vtotal, GEN u)
805 : : {
806 : 0 : GEN v = *vtotal;
807 [ # # ]: 0 : if (typ(v) == t_INT)
808 : 0 : *vtotal = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
809 [ # # ]: 0 : else if (!equali1(u))
810 : : {
811 : 0 : GEN U = gel(v,1);
812 [ # # ]: 0 : GEN uU = equali1(U)? u: mulii(u, U);
813 : 0 : gel(v,1) = uU;
814 : : }
815 : 0 : }
816 : : /* v = [1,r,0,0] o v, r t_INT */
817 : : static void
818 : 248451 : composev_r(GEN *vtotal, GEN r)
819 : : {
820 : 248451 : GEN v = *vtotal;
821 [ - + ]: 248451 : if (typ(v) == t_INT)
822 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,r,gen_0,gen_0);
823 [ + - ]: 248451 : else if (signe(r))
824 : : {
825 : 248451 : GEN U = gel(v,1), R = gel(v,2), S = gel(v,3), T = gel(v,4);
826 [ - + ]: 248451 : GEN rU2 = equali1(U)? r: mulii(r, sqri(U));
827 : 248451 : gel(v,2) = addii(R, rU2);
828 : 248451 : gel(v,4) = addii(T, mulii(rU2, S));
829 : : }
830 : 248451 : }
831 : : /* v = [1,0,s,0] o v, s t_INT */
832 : : static void
833 : 67130 : composev_s(GEN *vtotal, GEN s)
834 : : {
835 : 67130 : GEN v = *vtotal;
836 [ - + ]: 67130 : if (typ(v) == t_INT)
837 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,s,gen_0);
838 [ + - ]: 67130 : else if (signe(s))
839 : : {
840 : 67130 : GEN U = gel(v,1), S = gel(v,3);
841 [ - + ]: 67130 : GEN sU = equali1(U)? s: mulii(s,U);
842 : 67130 : gel(v,3) = addii(S, sU);
843 : : }
844 : 67130 : }
845 : : /* v = [1,0,0,t] o v, t t_INT */
846 : : static void
847 : 246414 : composev_t(GEN *vtotal, GEN t)
848 : : {
849 : 246414 : GEN v = *vtotal;
850 [ - + ]: 246414 : if (typ(v) == t_INT)
851 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,t);
852 [ + - ]: 246414 : else if (signe(t))
853 : : {
854 : 246414 : GEN U = gel(v,1), T = gel(v,4);
855 [ - + ]: 246414 : GEN tU3 = equali1(U)? t: mulii(t, powiu(U,3));
856 : 246414 : gel(v,4) = addii(T, tU3);
857 : : }
858 : 246414 : }
859 : : /* v = [1,0,s,t] o v, s,t t_INT */
860 : : static void
861 : 97461 : composev_st(GEN *vtotal, GEN s, GEN t)
862 : : {
863 : 97461 : GEN v = *vtotal;
864 [ - + ]: 97461 : if (typ(v) == t_INT)
865 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,s,t);
866 [ + + ]: 97461 : else if (!signe(t)) composev_s(vtotal, s);
867 [ + + ]: 30331 : else if (!signe(s)) composev_t(vtotal, t);
868 : : else
869 : : {
870 : 18536 : GEN U = gel(v,1), S = gel(v,3), T = gel(v,4);
871 [ - + ]: 18536 : if (!equali1(U))
872 : : {
873 : 0 : GEN U3 = mulii(sqri(U), U);
874 : 0 : t = mulii(U3, t);
875 : 0 : s = mulii(U, s);
876 : : }
877 : 18536 : gel(v,3) = addii(S, s);
878 : 18536 : gel(v,4) = addii(T, t);
879 : : }
880 : 97461 : }
881 : : /* v = [1,r,s,t] o v, r,s,t t_INT */
882 : : static void
883 : 260701 : composev_rst(GEN *vtotal, GEN r, GEN s, GEN t)
884 : : {
885 : 260701 : GEN v = *vtotal, U, R, S, T;
886 [ - + ]: 260701 : if (typ(v) == t_INT) { *vtotal = mkvec4(gen_1,r,s,t); return; }
887 [ + + ]: 260701 : if (!signe(r)) { composev_st(vtotal, s,t); return; }
888 : 163240 : v = *vtotal;
889 : 163240 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
890 [ + - ]: 163240 : if (equali1(U))
891 : 163240 : t = addii(t, mulii(S, r));
892 : : else
893 : : {
894 : 0 : GEN U2 = sqri(U);
895 : 0 : t = mulii(U2, addii(mulii(U, t), mulii(S, r)));
896 : 0 : r = mulii(U2, r);
897 : 0 : s = mulii(U, s);
898 : : }
899 : 163240 : gel(v,2) = addii(R, r);
900 : 163240 : gel(v,3) = addii(S, s);
901 : 260701 : gel(v,4) = addii(T, t);
902 : : }
903 : :
904 : : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
905 : : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
906 : : static void
907 : 49 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
908 : : {
909 : 49 : GEN v = *vtotal;
910 : : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
911 : :
912 [ - + ]: 98 : if (typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
913 : 49 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
914 : 49 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
915 : 49 : U2 = gsqr(U);
916 : 49 : gel(v,1) = gmul(U, u);
917 : 49 : gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
918 : 49 : gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
919 : 49 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
920 : : }
921 : :
922 : : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
923 : : GEN
924 : 14 : ellchangeinvert(GEN w)
925 : : {
926 : : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
927 [ - + ]: 14 : if (typ(w) == t_INT) return w;
928 : 14 : u = gel(w,1);
929 : 14 : r = gel(w,2);
930 : 14 : s = gel(w,3);
931 : 14 : t = gel(w,4);
932 : 14 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
933 : 14 : U = ginv(u);
934 : 14 : R = gdiv(gneg(r), u2);
935 : 14 : S = gdiv(gneg(s), u);
936 : 14 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
937 : 14 : return mkvec4(U,R,S,T);
938 : : }
939 : :
940 : : /* apply [u,0,0,0] */
941 : : static GEN
942 : 315 : coordch_u(GEN e, GEN u)
943 : : {
944 : : GEN y, u2, u3, u4, u6;
945 : : long lx;
946 [ + + ]: 315 : if (gequal1(u)) return e;
947 : 294 : y = cgetg_copy(e, &lx);
948 : 294 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
949 : 294 : gel(y,1) = gdiv(ell_get_a1(e), u);
950 : 294 : gel(y,2) = gdiv(ell_get_a2(e), u2);
951 : 294 : gel(y,3) = gdiv(ell_get_a3(e), u3);
952 : 294 : gel(y,4) = gdiv(ell_get_a4(e), u4);
953 : 294 : gel(y,5) = gdiv(ell_get_a6(e), u6);
954 [ - + ]: 294 : if (lx == 6) return y;
955 : 294 : gel(y,6) = gdiv(ell_get_b2(e), u2);
956 : 294 : gel(y,7) = gdiv(ell_get_b4(e), u4);
957 : 294 : gel(y,8) = gdiv(ell_get_b6(e), u6);
958 : 294 : gel(y,9) = gdiv(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
959 : 294 : gel(y,10)= gdiv(ell_get_c4(e), u4);
960 : 294 : gel(y,11)= gdiv(ell_get_c6(e), u6);
961 : 294 : gel(y,12)= gdiv(ell_get_disc(e), gsqr(u6));
962 : 294 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
963 : 294 : gel(y,14)= gel(e,14);
964 : 294 : gel(y,15)= gel(e,15);
965 : 294 : gel(y,16)= gel(e,16);
966 : 315 : return y;
967 : : }
968 : : /* apply [1,r,0,0] */
969 : : static GEN
970 : 509425 : coordch_r(GEN e, GEN r)
971 : : {
972 : : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
973 [ + + ]: 509425 : if (gequal0(r)) return e;
974 : 411943 : y = leafcopy(e);
975 : 411943 : a2 = ell_get_a2(e);
976 : 411943 : rx3 = gmulsg(3,r);
977 : :
978 : : /* A2 = a2 + 3r */
979 : 411943 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
980 : : /* A3 = a1 r + a3 */
981 : 411943 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
982 : : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
983 : 411943 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
984 : : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
985 : 411943 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
986 [ + + ]: 411943 : if (lg(y) == 6) return y;
987 : :
988 : 411936 : b4 = ell_get_b4(e);
989 : 411936 : b6 = ell_get_b6(e);
990 : : /* B2 = 12r + b2 */
991 : 411936 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
992 : 411936 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
993 : 411936 : r2 = gsqr(r);
994 : : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
995 : 411936 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
996 : : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
997 : 411936 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
998 : : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
999 : 411936 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1000 : 411936 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1001 : 509425 : return y;
1002 : : }
1003 : : /* apply [1,0,s,0] */
1004 : : static GEN
1005 : 111426 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1006 : : {
1007 : : GEN a1, y;
1008 [ - + ]: 111426 : if (gequal0(s)) return e;
1009 : 111426 : a1 = ell_get_a1(e);
1010 : 111426 : y = leafcopy(e);
1011 : :
1012 : : /* A1 = a1 + 2s */
1013 : 111426 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1014 : : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1015 : 111426 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1016 : : /* A4 = a4 - s a3 */
1017 : 111426 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1018 : 111426 : return y;
1019 : : }
1020 : : /* apply [1,0,0,t] */
1021 : : static GEN
1022 : 328664 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1023 : : {
1024 : : GEN a1, a3, y;
1025 [ + + ]: 328664 : if (gequal0(t)) return e;
1026 : 264509 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1027 : 264509 : y = leafcopy(e);
1028 : : /* A3 = 2t + a3 */
1029 : 264509 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1030 : : /* A4 = a4 - a1 t */
1031 : 264509 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1032 : : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1033 : 264509 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1034 : 328664 : return y;
1035 : : }
1036 : : /* apply [1,0,s,t] */
1037 : : static GEN
1038 : 260974 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1039 : : {
1040 : : GEN y, a1, a3;
1041 [ + + ]: 260974 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1042 [ + + ]: 166929 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1043 : 55503 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1044 : 55503 : y = leafcopy(e);
1045 : : /* A1 = a1 + 2s */
1046 : 55503 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1047 : : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1048 : 55503 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1049 : : /* A3 = 2t + a3 */
1050 : 55503 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1051 : : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1052 : 55503 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1053 : : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1054 : 55503 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1055 : 260974 : return y;
1056 : : }
1057 : : /* apply [1,r,s,t] */
1058 : : static GEN
1059 : 260974 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1060 : : {
1061 : 260974 : e = coordch_r(e, r);
1062 : 260974 : return coordch_st(e, s, t);
1063 : : }
1064 : : /* apply w = [u,r,s,t] */
1065 : : static GEN
1066 : 273 : coordch(GEN e, GEN w)
1067 : : {
1068 [ - + ]: 273 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1069 : 273 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1070 : 273 : return coordch_u(e, gel(w,1));
1071 : : }
1072 : :
1073 : : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1074 : : * (dynamic data) */
1075 : : static GEN
1076 : 7 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1077 : : {
1078 : 7 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1079 : 7 : long prec = valp(p);
1080 [ - + ]: 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1081 [ + - ]: 7 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1082 : : {
1083 [ + - ]: 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1084 : 7 : obj_insert(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1085 : : }
1086 [ + - ]: 7 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1087 : : {
1088 : 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4);
1089 [ - + ]: 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1090 : 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1091 : 7 : U = gmul(U, u);
1092 : 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1093 : 7 : obj_insert(E, Qp_TATE, mkvec4(U2,U,Q,AB));
1094 : : }
1095 : 7 : return E;
1096 : : }
1097 : :
1098 : : /* common to Q and Rg */
1099 : : static GEN
1100 : 133 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1101 : : {
1102 : 133 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1103 [ + + ]: 133 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1104 : 21 : obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1105 [ + + ]: 133 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1106 : 21 : obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
1107 [ + + ]: 133 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1108 : : {
1109 : 21 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1110 : : long i;
1111 [ + + ]: 84 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1112 : 21 : obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
1113 : : }
1114 : 133 : return E;
1115 : : }
1116 : :
1117 : : static GEN
1118 : 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1119 : : {
1120 : 7 : GEN p = NULL;
1121 : 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1122 [ - + ]: 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1123 : 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1124 : : }
1125 : :
1126 : : static GEN
1127 : 133 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1128 : : {
1129 : 133 : long prec = ellR_get_prec(E);
1130 : 133 : GEN S, v = NULL, p = NULL;
1131 [ + + ]: 133 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1132 : 126 : ch_R(E, e, w);
1133 [ - + ]: 126 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1134 : 0 : S = obj_insert(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1135 [ + + ]: 126 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1136 : : {
1137 [ + + ]: 35 : if (lg(S) == 2)
1138 : : { /* model was minimal */
1139 [ + - ]: 7 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1140 : 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1141 : 7 : (void)obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1142 : : }
1143 : : else
1144 : : {
1145 : 28 : v = gel(S,2);
1146 [ + + ][ - + ]: 28 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
[ # # ]
1147 : 21 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1148 : : else
1149 : : {
1150 : 7 : w = ellchangeinvert(w);
1151 : 7 : gcomposev(&w, v); v = w;
1152 : 7 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1153 : 7 : gel(S,2) = v;
1154 : : }
1155 : 28 : (void)obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1156 : : }
1157 : : }
1158 [ + + ]: 126 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1159 : 7 : S = obj_insert(E, Q_GLOBALRED, S);
1160 [ - + ]: 126 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1161 : 0 : S = obj_insert(E, Q_ROOTNO, S);
1162 : 133 : return E;
1163 : : }
1164 : :
1165 : : static void
1166 : 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1167 : : {
1168 : : GEN S;
1169 [ + + ]: 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1170 : 21 : S = obj_insert(E, FF_CARD, S);
1171 [ + + ]: 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1172 : 21 : S = obj_insert(E, FF_GROUP, S);
1173 [ + + ]: 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1174 : 21 : S = obj_insert(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1175 [ + + ]: 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1176 : 21 : S = obj_insert(E, FF_O, S);
1177 : 126 : }
1178 : :
1179 : : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1180 : : static GEN
1181 : 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1182 : : {
1183 : 7 : long prec = 0;
1184 : 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1185 [ - + ]: 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1186 : 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1187 : 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1188 : : }
1189 : : static GEN
1190 : 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1191 : : {
1192 : 119 : long prec = 0;
1193 : 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1194 [ - + ]: 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1195 : 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1196 : 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1197 : : }
1198 : :
1199 : : static void
1200 : 259 : ell_reset(GEN E)
1201 : 259 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1202 : :
1203 : : GEN
1204 : 280 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1205 : : {
1206 : 280 : pari_sp av = avma;
1207 : : GEN E;
1208 : 280 : checkell5(e);
1209 [ + + ]: 280 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1210 : 273 : checkcoordch(w);
1211 : 273 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1212 [ + + ]: 273 : if (lg(E) == 6) return gerepilecopy(av, E);
1213 : 259 : ell_reset(E); E = gerepilecopy(av, E);
1214 [ + + + + : 259 : switch(ell_get_type(E))
+ - ]
1215 : : {
1216 : 7 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1217 : 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1218 : 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1219 : 119 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1220 : 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1221 : : }
1222 : 280 : return E;
1223 : : }
1224 : :
1225 : : static void
1226 : 0 : E_compose_u(GEN *vtotal, GEN *e, GEN u) {*e=coordch_u(*e,u); composev_u(vtotal,u);}
1227 : : static void
1228 : 248451 : E_compose_r(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r) {*e=coordch_r(*e,r); composev_r(vtotal,r);}
1229 : : #if 0
1230 : : static void
1231 : : E_compose_s(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s) {*e=coordch_s(*e,s); composev_s(vtotal,s);}
1232 : : #endif
1233 : : static void
1234 : 234619 : E_compose_t(GEN *vtotal, GEN *e, GEN t) {*e=coordch_t(*e,t); composev_t(vtotal,t);}
1235 : : static void
1236 : 260701 : E_compose_rst(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN s, GEN t)
1237 : 260701 : { *e=coordch_rst(*e,r,s,t); composev_rst(vtotal,r,s,t); }
1238 : :
1239 : : /* X = (x-r)/u^2
1240 : : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1241 : : static GEN
1242 : 280 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1243 : : {
1244 : : GEN a, x, y;
1245 [ + + ]: 280 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1246 : 266 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1247 : 280 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1248 : : }
1249 : :
1250 : : GEN
1251 : 280 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1252 : : {
1253 : : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1254 : 280 : long tx, i, lx = lg(x);
1255 : 280 : pari_sp av = avma;
1256 : :
1257 [ - + ]: 280 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1258 [ - + ]: 280 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1259 : 280 : checkcoordch(ch);
1260 [ - + ]: 280 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1261 : 280 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1262 : 280 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1263 : 280 : tx = typ(gel(x,1));
1264 [ + + ]: 280 : if (is_matvec_t(tx))
1265 : : {
1266 : 21 : y = cgetg(lx,tx);
1267 [ + + ]: 42 : for (i=1; i<lx; i++)
1268 : 21 : gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1269 : : }
1270 : : else
1271 : 259 : y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
1272 : 280 : return gerepilecopy(av,y);
1273 : : }
1274 : :
1275 : : /* x = u^2*X + r
1276 : : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1277 : : static GEN
1278 : 63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1279 : : {
1280 : : GEN a, X, Y;
1281 [ - + ]: 63 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1282 : 63 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1283 : 63 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1284 : : }
1285 : : GEN
1286 : 63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1287 : : {
1288 : : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1289 : 63 : long tx, i, lx = lg(x);
1290 : 63 : pari_sp av = avma;
1291 : :
1292 [ - + ]: 63 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1293 [ - + ]: 63 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1294 : 63 : checkcoordch(ch);
1295 [ - + ]: 63 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1296 : 63 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1297 : 63 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1298 : 63 : tx = typ(gel(x,1));
1299 [ + + ]: 63 : if (is_matvec_t(tx))
1300 : : {
1301 : 7 : y = cgetg(lx,tx);
1302 [ + + ]: 14 : for (i=1; i<lx; i++)
1303 : 7 : gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1304 : : }
1305 : : else
1306 : 56 : y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
1307 : 63 : return gerepilecopy(av,y);
1308 : : }
1309 : :
1310 : : static long
1311 : 7 : ellexpo(GEN E)
1312 : : {
1313 : 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1314 [ + + ]: 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1315 : : {
1316 : 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1317 [ + + ]: 35 : if (f > e) e = f;
1318 : : }
1319 : 7 : return e;
1320 : : }
1321 : :
1322 : : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
1323 : : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1324 : : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1325 : : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1326 : : int
1327 : 2989 : oncurve(GEN e, GEN z)
1328 : : {
1329 : : GEN LHS, RHS, x;
1330 : : long pl, pr, ex, expx;
1331 : : pari_sp av;
1332 : :
1333 [ + + ]: 2989 : checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1334 [ + + ]: 2912 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1335 : 2912 : av = avma;
1336 : 2912 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1337 : 2912 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1338 [ + + ]: 2912 : if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
1339 : 21 : pl = precision(LHS);
1340 : 21 : pr = precision(RHS);
1341 [ + + ][ + - ]: 21 : if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
1342 : : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1343 [ + - ]: 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1344 [ + - ][ + - ]: 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
[ - + ]
1345 : 7 : expx = gexpo(x);
1346 [ + - ]: 8 : pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
1347 [ + - ]: 7 : || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
[ - + - + ]
1348 : 2989 : avma = av; return pr;
1349 : : }
1350 : :
1351 : : GEN
1352 : 4144 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1353 : : {
1354 : 4144 : long i, tx = typ(x), lx;
1355 : :
1356 : 4144 : checkell(e);
1357 [ - + ]: 4144 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1358 [ - + ]: 4144 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1359 : 4144 : tx = typ(gel(x,1));
1360 [ + + ]: 4144 : if (is_vec_t(tx))
1361 : : {
1362 : 1687 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1363 [ + + ]: 3514 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1364 : 1687 : return z;
1365 : : }
1366 [ + + ]: 4144 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1367 : : }
1368 : :
1369 : : GEN
1370 : 3276 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1371 : : {
1372 : : GEN p1, p2, x, y, x1, x2, y1, y2;
1373 : 3276 : pari_sp av = avma, tetpil;
1374 : :
1375 : 3276 : checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
1376 [ + + ]: 3276 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1377 [ - + ]: 3101 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1378 : :
1379 : 3101 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1380 : 3101 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1381 [ + + ]: 3101 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1382 : : {
1383 : 462 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1384 : 462 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1385 : 462 : x2 = nftoalg(nf, x2);
1386 : 462 : y1 = nftoalg(nf, y1);
1387 : 462 : y2 = nftoalg(nf, y2);
1388 : : }
1389 [ + + ][ + + ]: 3101 : if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
1390 : : { /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1391 [ + + ]: 1652 : if (y1 != y2)
1392 : : {
1393 : : int eq;
1394 [ + + ][ - + ]: 245 : if (precision(y1) || precision(y2))
1395 : 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x1),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1396 : : else
1397 : 238 : eq = gequal(y1,y2);
1398 [ + + ]: 245 : if (!eq) { avma = av; return ellinf(); }
1399 : : }
1400 : 1645 : p2 = ec_dmFdy_evalQ(e,z1);
1401 [ + + ]: 1645 : if (gequal0(p2)) { avma = av; return ellinf(); }
1402 : 1617 : p1 = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1403 : : gmul(x1,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x1))));
1404 : : }
1405 : : else {
1406 : 1449 : p1 = gsub(y2,y1);
1407 : 1449 : p2 = gsub(x2,x1);
1408 : : }
1409 : 3066 : p1 = gdiv(p1,p2);
1410 : 3066 : x = gsub(gmul(p1,gadd(p1,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1411 : 3066 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(p1,gsub(x,x1)));
1412 : 3066 : tetpil = avma; p1 = cgetg(3,t_VEC);
1413 : 3066 : gel(p1,1) = gcopy(x);
1414 : 3276 : gel(p1,2) = gneg(y); return gerepile(av,tetpil,p1);
1415 : : }
1416 : :
1417 : : static GEN
1418 : 49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1419 : : {
1420 : : GEN t, x, y;
1421 [ - + ]: 49 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1422 : 49 : x = gel(z,1);
1423 : 49 : y = gel(z,2);
1424 [ - + ]: 49 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1425 : : {
1426 : 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1427 : 0 : x = nftoalg(nf,x);
1428 : 0 : y = nftoalg(nf,y);
1429 : : }
1430 : 49 : t = cgetg(3,t_VEC);
1431 : 49 : gel(t,1) = x;
1432 : 49 : gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
1433 : 49 : return t;
1434 : : }
1435 : :
1436 : : GEN
1437 : 343 : ellneg(GEN e, GEN z)
1438 : : {
1439 : : pari_sp av;
1440 : : GEN t, y;
1441 : 343 : checkell(e); checkellpt(z);
1442 [ - + ]: 343 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1443 : 343 : t = cgetg(3,t_VEC);
1444 : 343 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
1445 : 343 : av = avma;
1446 : 343 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
1447 : 343 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
1448 : 343 : return t;
1449 : : }
1450 : :
1451 : : GEN
1452 : 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1453 : : {
1454 : 49 : pari_sp av = avma;
1455 : 49 : checkell(e); checkellpt(z2);
1456 : 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
1457 : : }
1458 : :
1459 : : /* E an ell, x a scalar */
1460 : : static GEN
1461 : 1330 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
1462 : : {
1463 : 1330 : pari_sp av = avma;
1464 : 1330 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
1465 : :
1466 [ + + ]: 1330 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1467 : : {
1468 : 343 : nf = ellnf_get_nf(E);
1469 : 343 : x = nftoalg(nf,x);
1470 : : }
1471 : 1330 : a = ec_f_evalx(E,x);
1472 : 1330 : b = ec_h_evalx(E,x);
1473 : 1330 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
1474 : : /* solve y*(y+b) = a */
1475 [ + + ]: 1330 : if (gequal0(D)) {
1476 [ - + ][ # # ]: 301 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && equaliu(ellff_get_p(E),2))
1477 : 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
1478 : 301 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
1479 : 301 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
1480 : 301 : return gerepileupto(av,y);
1481 : : }
1482 : : /* D != 0 */
1483 [ + + + + : 1029 : switch(ell_get_type(E))
+ + ]
1484 : : {
1485 : : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
1486 : 28 : p = ellff_get_p(E);
1487 : 28 : D = gel(D,2);
1488 [ + + ]: 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1489 : 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
1490 : 7 : break;
1491 : : case t_ELL_Fq:
1492 [ + + ]: 217 : if (equaliu(ellff_get_p(E),2))
1493 : : {
1494 : 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
1495 [ + + ]: 77 : if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1496 : 28 : return gerepileupto(av, F);
1497 : : }
1498 [ + + ]: 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1499 : 77 : break;
1500 : : case t_ELL_Q:
1501 [ + + ]: 420 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
1502 [ + + ]: 413 : if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1503 : 301 : break;
1504 : :
1505 : : case t_ELL_NF:
1506 : : {
1507 : 343 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
1508 : 343 : setvarn(T, fetch_var_higher());
1509 : 343 : d = nfroots(nf, T);
1510 : 343 : delete_var();
1511 [ + + ]: 343 : if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
1512 : 329 : d = gel(d,1);
1513 : 329 : break;
1514 : : }
1515 : :
1516 : : case t_ELL_Qp:
1517 : 14 : p = ellQp_get_p(E);
1518 : 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
1519 [ - + ]: 14 : if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1520 : 14 : d = Qp_sqrt(D);
1521 : 14 : break;
1522 : :
1523 : : default:
1524 : 7 : d = gsqrt(D,prec);
1525 : : }
1526 : 742 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
1527 : 742 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
1528 : 742 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
1529 : 1330 : return gerepileupto(av,y);
1530 : : }
1531 : :
1532 : : GEN
1533 : 1330 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
1534 : : {
1535 : 1330 : checkell(e);
1536 [ - + ]: 1330 : if (is_matvec_t(typ(x)))
1537 : : {
1538 : : long i, lx;
1539 : 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
1540 [ # # ]: 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
1541 : 0 : return v;
1542 : : }
1543 : 1330 : return ellordinate_i(e, x, prec);
1544 : : }
1545 : :
1546 : : GEN
1547 : 93611 : ellrandom(GEN E)
1548 : : {
1549 : : GEN fg;
1550 : 93611 : checkell_Fq(E);
1551 : 93611 : fg = ellff_get_field(E);
1552 [ + + ]: 93611 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1553 : 93583 : return FF_ellrandom(E);
1554 : : else
1555 : : {
1556 : 28 : pari_sp av = avma;
1557 : 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
1558 : 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
1559 : 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
1560 : 93611 : return gerepileupto(av, P);
1561 : : }
1562 : : }
1563 : :
1564 : : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, z != [0] */
1565 : : static GEN
1566 : 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN z, GEN n)
1567 : : {
1568 : 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
1569 : : long ln, ep, vn;
1570 : :
1571 [ - + ]: 14 : if (typ(N) != t_INT)
1572 : 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
1573 : 14 : ln = itos_or_0(shifti(addsi(1, N), 3));
1574 [ - + ]: 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
1575 : 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
1576 : 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
1577 : 14 : z2 = gsubst(z1, 0, monomial(n, 1, 0));
1578 : 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
1579 : 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
1580 : : do
1581 : : {
1582 : 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
1583 : : do
1584 : : {
1585 : 28 : ep = (-valp(z2)) >> 1;
1586 : 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), monomial(gen_1, ep, 0)));
1587 : 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
1588 : : }
1589 [ + + ]: 28 : while (valp(z2) <= 0);
1590 : 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
1591 : 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
1592 [ + + ]: 21 : if (!signe(z2)) break;
1593 : 7 : z2 = ginv(z2);
1594 : : }
1595 [ + - ]: 7 : while (degpol(p1) < vn);
1596 [ + - ][ - + ]: 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
1597 : 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
1598 : 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
1599 : 14 : b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12); /* x - b2/12 */
1600 : 14 : grdx = gadd(gel(z,1), b2ov12);
1601 : 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
1602 [ - + ]: 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
1603 : :
1604 : 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
1605 : 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
1606 : 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
1607 : 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
1608 : :
1609 : 14 : x = gdiv(p1,q1);
1610 : 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
1611 : 14 : x = gsub(x, b2ov12);
1612 : 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,z), y), ec_h_evalx(e,x));
1613 : 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
1614 : : }
1615 : :
1616 : : static GEN
1617 : 595 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
1618 : : static GEN
1619 : 175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
1620 : :
1621 : : static GEN
1622 : 77688 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
1623 : : {
1624 : 77688 : GEN fg = ellff_get_field(E);
1625 [ + + ]: 77689 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1626 : 77259 : return FF_ellmul(E, P, n);
1627 : : else
1628 : : {
1629 : 430 : pari_sp av = avma;
1630 : 430 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
1631 : 430 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
1632 : 428 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
1633 : 384 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
1634 : 77643 : return gerepileupto(av, Q);
1635 : : }
1636 : : }
1637 : : /* [n] z, n integral */
1638 : : static GEN
1639 : 78171 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
1640 : : {
1641 : : long s;
1642 [ - + ]: 78171 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
1643 [ + + ]: 78172 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
1644 : 483 : s = signe(n);
1645 [ + + ]: 483 : if (!s) return ellinf();
1646 [ - + ]: 469 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
1647 [ + + ]: 469 : if (is_pm1(n)) return z;
1648 : 78126 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
1649 : : }
1650 : :
1651 : : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
1652 : : enum { OK, LOW_PREC, NO };
1653 : : static long
1654 : 42 : myroundr(GEN *px)
1655 : : {
1656 : 42 : GEN x = *px;
1657 : : long e;
1658 [ - + ]: 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
1659 : 42 : *px = grndtoi(x, &e);
1660 [ - + ]: 42 : if (e >= -5) return NO;
1661 : 42 : return OK;
1662 : : }
1663 : :
1664 : : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
1665 : : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
1666 : : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
1667 : : static GEN
1668 : 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
1669 : : {
1670 : : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
1671 : : long prec;
1672 : :
1673 [ - + ]: 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
1674 [ - + - ]: 14 : switch(typ(Q))
1675 : : {
1676 : : case t_COMPLEX:
1677 : 0 : D = utoineg(4);
1678 : 0 : v = gel(Q,2);
1679 : 0 : break;
1680 : : case t_QUAD:
1681 : 14 : D = quad_disc(Q);
1682 : 14 : v = gel(Q,3);
1683 : 14 : break;
1684 : : default:
1685 : 0 : return NULL; /*-Wall*/
1686 : : }
1687 : : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
1688 : 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
1689 : 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
1690 : 14 : prec = precision(tau);
1691 : : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
1692 : : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
1693 : : * Compute f*k */
1694 : 14 : x = gel(tau,1);
1695 : 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
1696 : 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
1697 [ - - + ]: 14 : switch(myroundr(&fk))
1698 : : {
1699 : 0 : case NO: return NULL;
1700 : 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
1701 : : }
1702 : 14 : fk = absi(fk);
1703 : :
1704 : 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
1705 [ - - + ]: 14 : switch(myroundr(&fkb))
1706 : : {
1707 : 0 : case NO: return NULL;
1708 : 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
1709 : : }
1710 : :
1711 : 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
1712 [ - - + ]: 14 : switch(myroundr(&fkc))
1713 : : {
1714 : 0 : case NO: return NULL;
1715 : 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
1716 : : }
1717 : :
1718 : : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
1719 : 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
1720 : 14 : dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
1721 : 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
1722 [ + - ][ - + ]: 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
1723 : : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
1724 : 14 : v = dvmdii(absi(v), q, &r);
1725 [ - + ]: 14 : if (r != gen_0) return NULL;
1726 [ + - ]: 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
1727 : : }
1728 : :
1729 : : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
1730 : : static GEN
1731 : 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
1732 : : {
1733 : : GEN A, B, q;
1734 [ - + ]: 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
1735 : 14 : q = CM_factor(e, w);
1736 [ - + ]: 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
1737 [ - + ]: 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
1738 : : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
1739 [ + - ][ + + ]: 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
1740 : : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
1741 : : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
1742 : 7 : GEN u = gtrace(w);
1743 [ - + ]: 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
1744 : 7 : u = shifti(u, -1);
1745 [ - + ]: 7 : if (signe(u))
1746 : : {
1747 : 0 : w = gsub(w, u);
1748 : 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
1749 : : }
1750 : : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
1751 : : }
1752 : 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
1753 : 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
1754 [ - + ]: 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
1755 : 14 : return elladd(e, A, B);
1756 : : }
1757 : : GEN
1758 : 78172 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
1759 : : {
1760 : 78172 : pari_sp av = avma;
1761 : :
1762 : 78172 : checkell(e); checkellpt(z);
1763 [ - + ]: 78163 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
1764 [ + + - - ]: 78162 : switch(typ(n))
1765 : : {
1766 : 78148 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
1767 : : case t_QUAD: {
1768 : 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
1769 [ - + ]: 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
1770 : 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
1771 : : }
1772 : : case t_COMPLEX: {
1773 : 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
1774 : 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
1775 : : }
1776 : : }
1777 : 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
1778 : 78119 : return NULL; /* not reached */
1779 : : }
1780 : :
1781 : : /********************************************************************/
1782 : : /** **/
1783 : : /** Periods **/
1784 : : /** **/
1785 : : /********************************************************************/
1786 : :
1787 : : /* References:
1788 : : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
1789 : : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
1790 : : */
1791 : :
1792 : : static GEN
1793 : 232 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
1794 : : {
1795 : 232 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
1796 : 232 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
1797 : 232 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
1798 : : }
1799 : :
1800 : : static GEN
1801 : 71 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
1802 : : {
1803 : 71 : pari_sp av = avma;
1804 : 71 : GEN roots = ellR_roots(E,prec);
1805 : 64 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
1806 : 64 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
1807 : 64 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
1808 : : }
1809 : :
1810 : : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
1811 : : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
1812 : : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
1813 : : static GEN
1814 : 239 : doellR_omega(GEN E, long prec)
1815 : : {
1816 : 239 : pari_sp av = avma;
1817 : : GEN roots, d2, z, a, b, c;
1818 [ + + ]: 239 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
1819 : 168 : roots = ellR_roots(E,prec);
1820 : 168 : d2 = gel(roots,5);
1821 : 168 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
1822 : 168 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
1823 : 168 : b = gel(z,2);
1824 : 168 : c = gabs(z, prec);
1825 : 168 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
1826 : 232 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
1827 : : }
1828 : : static GEN
1829 : 28 : doellR_eta(GEN E, long prec)
1830 : 28 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
1831 : :
1832 : : GEN
1833 : 1253 : ellR_omega(GEN E, long prec)
1834 : 1253 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
1835 : : GEN
1836 : 42 : ellR_eta(GEN E, long prec)
1837 : 42 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
1838 : : GEN
1839 : 1317 : ellR_roots(GEN E, long prec)
1840 : 1317 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
1841 : :
1842 : : /********************************************************************/
1843 : : /** **/
1844 : : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
1845 : : /** **/
1846 : : /********************************************************************/
1847 : : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
1848 : : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
1849 : : static GEN
1850 : 0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
1851 : : {
1852 : 0 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
1853 : 0 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
1854 : 0 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
1855 : 0 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
1856 : 0 : GEN z = gel(om,2);
1857 [ # # ]: 0 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
1858 [ # # ]: 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
1859 : : else
1860 [ # # ]: 0 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
1861 : 0 : return gmul2n(z, -1);
1862 : : }
1863 : :
1864 : : static GEN
1865 : 7 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
1866 : : {
1867 : 7 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
1868 : 7 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
1869 [ - + ]: 7 : if (gequal0(y0))
1870 : 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
1871 : : else
1872 : : {
1873 : 7 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
1874 : 7 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
1875 : 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
1876 : 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
1877 : 7 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
1878 : : /* |a+b| < |a-b| */
1879 [ + - ]: 7 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
1880 : 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
1881 : : }
1882 : : }
1883 : :
1884 : : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
1885 : : static GEN
1886 : 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
1887 : : {
1888 : 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
1889 [ # # ]: 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
1890 : : else
1891 : : {
1892 : 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
1893 : 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
1894 : 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
1895 : 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
1896 : 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
1897 : 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
1898 : 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
1899 : 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
1900 : : }
1901 : : }
1902 : :
1903 : : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
1904 : : static GEN
1905 : 7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
1906 : : {
1907 : 7 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
1908 : 7 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
1909 [ - + ]: 7 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
1910 : 7 : e1 = gel(R,1);
1911 : 7 : e2 = gel(R,2);
1912 : 7 : e3 = gel(R,3);
1913 : 7 : d2 = gel(R,5);
1914 : 7 : d3 = gel(R,6);
1915 : 7 : a = gsqrt(d2,prec);
1916 : 7 : b = gsqrt(d3,prec);
1917 [ + - ]: 7 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
1918 : 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
1919 : 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
1920 : 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
1921 : : } else {
1922 : 0 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
1923 : 0 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
1924 : 0 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
1925 : 7 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
1926 : : }
1927 : : }
1928 : :
1929 : : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
1930 : : * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
1931 : : * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
1932 : : static GEN
1933 : 161 : doellQp_root(GEN E, long prec)
1934 : : {
1935 : 161 : GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
1936 : : GEN c4p, c6p, T, a, pe;
1937 : : long alpha;
1938 : 161 : int pis2 = equaliu(p, 2);
1939 [ - + ]: 161 : if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
1940 : : /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
1941 : 161 : alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
1942 [ + + ]: 161 : if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
1943 : : /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
1944 [ + + ][ - + ]: 161 : if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
1945 : 161 : pe = powiu(p, prec);
1946 : 161 : c4 = Rg_to_Fp(c4, pe); c4p = remii(c4,p);
1947 : 161 : c6 = Rg_to_Fp(c6, pe); c6p = remii(c6,p);
1948 [ + + ]: 161 : if (pis2)
1949 : : { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
1950 : 70 : T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, Fp_muls(c4, -9, pe), Fp_muls(c6, -2, pe));
1951 : 70 : a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec);
1952 : 70 : alpha -= 2;
1953 : : }
1954 [ + + ]: 91 : else if (equaliu(p, 3))
1955 : : { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
1956 : 56 : a = Fp_neg(c6p, p);
1957 : 56 : T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, Fp_muls(c4, -6, pe), Fp_neg(c6, pe));
1958 : 56 : a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
1959 [ + + - ]: 56 : switch(lg(a)-1)
1960 : : {
1961 : : case 1: /* single root */
1962 : 42 : a = gel(a,1); break;
1963 : : case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
1964 : : {
1965 : 14 : GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
1966 : 14 : long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
1967 : 14 : long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
1968 : 14 : long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
1969 [ + - ]: 14 : if (v1 == v2) a = a3;
1970 [ # # ]: 0 : else if (v1 == v3) a = a2;
1971 : 0 : else a = a1;
1972 : : }
1973 : 14 : break;
1974 : : }
1975 : 56 : alpha--;
1976 : : }
1977 : : else
1978 : : { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
1979 : : * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
1980 : 35 : a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
1981 : 35 : T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, Fp_muls(c4, -18, pe), Fp_neg(c6, pe));
1982 : 35 : a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
1983 : : }
1984 : 161 : a = cvtop(a, p, prec);
1985 [ + + ]: 161 : if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
1986 : 161 : return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
1987 : : }
1988 : : GEN
1989 : 168 : ellQp_root(GEN E, long prec)
1990 : 168 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
1991 : :
1992 : : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
1993 : : static void
1994 : 126 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
1995 : : {
1996 : 126 : GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
1997 : 126 : GEN w, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1));
1998 : 126 : w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
1999 [ + + ]: 126 : if (valp(gadd(t,w)) <= valp(w)) w = gneg_i(w); /* <=> v(d) > v(w) */
2000 : : /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
2001 : 126 : *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
2002 : 126 : *ptb = gmul2n(w,-1);
2003 : 126 : }
2004 : :
2005 : : static GEN
2006 : 49 : doellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec0)
2007 : : {
2008 : 49 : GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
2009 : : GEN u, u2, q, x1, a, b, d, s, t;
2010 : 49 : long v, prec = prec0+2;
2011 : :
2012 [ - + ]: 49 : if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
2013 : : START:
2014 : 126 : doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
2015 : 126 : d = gsub(a,b);
2016 : 126 : v = prec0 - precp(d);
2017 [ + + ]: 126 : if (v > 0) { prec += v; goto START; }
2018 : 91 : x1 = gmul2n(d,-2);
2019 : 91 : u2 = do_padic_agm(&x1,NULL,a,b);
2020 : :
2021 : 91 : t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
2022 : 91 : s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
2023 : 91 : q = gadd(t,s);
2024 [ + + ]: 91 : if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
2025 : 91 : v = prec0 - precp(q);
2026 [ + + ]: 91 : if (v > 0) { prec += v; goto START; }
2027 [ + + ]: 49 : if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
2028 [ + + ]: 49 : if (issquare(u2))
2029 : 14 : u = Qp_sqrt(u2);
2030 : : else
2031 : : {
2032 : 35 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
2033 : 35 : u = mkpolmod(pol_x(0), T);
2034 : : }
2035 : 49 : return mkvec4(u2, u, q, mkvec2(a, b));
2036 : : }
2037 : : GEN
2038 : 84 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
2039 : 84 : {return obj_checkbuild_padicprec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate_uniformization,prec);}
2040 : : GEN
2041 : 28 : ellQp_u(GEN E, long prec)
2042 : 28 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
2043 : : GEN
2044 : 0 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
2045 : 0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
2046 : : GEN
2047 : 0 : ellQp_q(GEN E, long prec)
2048 : 0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
2049 : : GEN
2050 : 28 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
2051 : 28 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
2052 : :
2053 : : static GEN
2054 : 28 : zellQp(GEN E, GEN z, long prec)
2055 : : {
2056 : 28 : pari_sp av = avma;
2057 : : GEN b2, a, b, ab, c0, r0, r1, ar1, e1, x, y, delta, x0,x1, y0,y1, t;
2058 [ - + ]: 28 : if (ell_is_inf(z)) return gen_1;
2059 : 28 : b2 = ell_get_b2(E);
2060 : 28 : e1 = ellQp_root(E, prec);
2061 : 28 : ab = ellQp_ab(E, prec);
2062 : 28 : a = gel(ab,1);
2063 : 28 : b = gel(ab,2); r1 = gsub(a,b);
2064 : 28 : x = gel(z,1);
2065 : 28 : y = gel(z,2);
2066 : 28 : r0 = gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2067 : 28 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1)); ar1 = gmul(a,r1);
2068 : 28 : delta = gdiv(ar1, gsqr(c0));
2069 : 28 : x0 = gmul2n(gmul(c0,gaddsg(1,Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2))))),-1);
2070 : 28 : y0 = gdiv(gadd(y, gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,z), -1)), gsubsg(1, gdiv(ar1,gsqr(x0))));
2071 : :
2072 : 28 : x1 = gmul(x0, gsqr(gmul2n(gaddsg(1, Qp_sqrt(gdiv(gadd(x0,r1),x0))),-1)));
2073 : 28 : y1 = gdiv(y0, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r1,gmul2n(x1,2)))));
2074 [ - + ]: 28 : if (gequal0(x1)) pari_err_PREC("ellpointtoz");
2075 : :
2076 : 28 : (void)do_padic_agm(&x1,&y1, a,b);
2077 : 28 : t = gmul(ellQp_u(E, prec), gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2078 : 28 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2079 [ - + ]: 28 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2080 : 28 : return gerepileupto(av, t);
2081 : : }
2082 : :
2083 : : /* t to w := -1/y */
2084 : : GEN
2085 : 329 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
2086 : : {
2087 : 329 : pari_sp av = avma, av2;
2088 : : GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
2089 : 329 : GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
2090 : 329 : ulong mask, nold = 1;
2091 [ + + ]: 329 : if (v < 0) v = 0;
2092 [ + + ]: 329 : if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
2093 : 315 : mask = quadratic_prec_mask(n);
2094 : 315 : t = pol_x(v);
2095 : 315 : checkell(e);
2096 : 315 : a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
2097 : 315 : a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
2098 : 315 : w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
2099 : 315 : gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
2100 : : /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
2101 : : *
2102 : : * w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
2103 : : * w <- w - -----------------------------------------------------
2104 : : * w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
2105 : : *
2106 : : * w^3 a6 + w^2 U + w V + W
2107 : : * =: w - -----------------------
2108 : : * w^2 (3a6) + 2w U + V
2109 : : */
2110 : 315 : U = gadd(gmul(a4,t), a3);
2111 : 315 : U2 = gmul2n(U,1);
2112 : 315 : V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
2113 : 315 : W = gpowgs(t,3);
2114 : 315 : av2 = avma;
2115 [ + + ]: 1330 : while (mask > 1)
2116 : : { /* nold correct terms in w */
2117 : 1015 : ulong i, nnew = nold << 1;
2118 : : GEN num, den, wnew, w2, w3;
2119 [ + + ]: 1015 : if (mask & 1) nnew--;
2120 : 1015 : mask >>= 1;
2121 : 1015 : wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
2122 : 1015 : wnew[1] = w[1];
2123 [ + + ]: 3577 : for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
2124 [ + + ]: 3087 : for ( ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
2125 : 1015 : w = wnew;
2126 : 1015 : w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
2127 : 1015 : num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
2128 : 1015 : den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
2129 : :
2130 : 1015 : w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
2131 : 1015 : nold = nnew;
2132 : : }
2133 : 315 : return gerepilecopy(av, w);
2134 : : }
2135 : :
2136 : : static GEN
2137 : 294 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
2138 : 294 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
2139 : :
2140 : : /* t to [x,y] */
2141 : : GEN
2142 : 21 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
2143 : : {
2144 : 21 : pari_sp av = avma;
2145 : 21 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w);
2146 : 21 : return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
2147 : : }
2148 : :
2149 : : static GEN
2150 : 273 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
2151 : : {
2152 : : GEN x, w1;
2153 [ + + ][ - + ]: 273 : if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
2154 : : { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
2155 : 0 : x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
2156 : 0 : w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
2157 : : }
2158 : : else
2159 : : {
2160 : 273 : GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
2161 : 273 : x = gel(P,1);
2162 : 273 : w1 = gdiv(derivser(x), ec_dmFdy_evalQ(e, P));
2163 : : }
2164 : 273 : *px = x; return w1;
2165 : : }
2166 : : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
2167 : : GEN
2168 : 21 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
2169 : : {
2170 : 21 : pari_sp av = avma;
2171 : 21 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w), x;
2172 : 21 : GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2173 : 21 : return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
2174 : : }
2175 : :
2176 : : /* t to z, dz = w1 dt */
2177 : : GEN
2178 : 49 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
2179 : : {
2180 : 49 : pari_sp av = avma;
2181 : 49 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = inv_ser(w), x;
2182 : 49 : GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2183 : 49 : return gerepileupto(av, integser(w1));
2184 : : }
2185 : : /* z to t */
2186 : : GEN
2187 : 21 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
2188 : : {
2189 : 21 : pari_sp av = avma;
2190 : 21 : return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
2191 : : }
2192 : : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
2193 : : * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
2194 : : * sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
2195 : : * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
2196 : : static GEN
2197 : 203 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
2198 : : {
2199 : 203 : pari_sp av = avma;
2200 : 203 : GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = inv_ser(w), t = pol_x(0);
2201 : 203 : GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2202 : 203 : GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
2203 : 203 : return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
2204 : : integser(s)));
2205 : : }
2206 : :
2207 : : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
2208 : : static int
2209 : 252 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
2210 : : {
2211 : 252 : pari_sp av = avma;
2212 : : GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
2213 [ + - ][ + + ]: 252 : if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
2214 : 245 : P = Q_muli_to_int(P,d);
2215 : 245 : x = gel(P,1);
2216 : 245 : y = gel(P,2);
2217 : 245 : a1 = ell_get_a1(E);
2218 : 245 : a3 = ell_get_a3(E);
2219 : 245 : t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
2220 [ + + ]: 245 : if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
2221 : 28 : a2 = ell_get_a2(E);
2222 : 28 : a4 = ell_get_a4(E);
2223 : 28 : d = Fp_inv(d, p);
2224 : 28 : x = Fp_mul(x,d,p);
2225 : 28 : y = Fp_mul(y,d,p);
2226 : 28 : t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
2227 : 252 : avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
2228 : : }
2229 : :
2230 : : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
2231 : : * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
2232 : : GEN
2233 : 217 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
2234 : : {
2235 : 217 : pari_sp av = avma;
2236 : 217 : GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
2237 : : long i, l;
2238 : 217 : checkellpt(P);
2239 [ - + ]: 217 : if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
2240 [ + + ]: 217 : if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
2241 : 217 : S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
2242 : 217 : NP = gmael(S,3,1);
2243 : 217 : L = gel(S,4);
2244 : 217 : l = lg(NP);
2245 : 217 : d = Q_denom(P);
2246 [ + + ]: 462 : for (i = 1; i < l; i++)
2247 : : {
2248 : 245 : GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
2249 [ + + ]: 245 : if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
2250 : 21 : c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
2251 : 21 : kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
2252 [ + + ]: 21 : if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
2253 : : {
2254 : 7 : long nu = itos(kod) - 4;
2255 : 7 : long n = minss(Q_pval(ec_dmFdy_evalQ(E,P), p), nu/2);
2256 : 7 : nu /= ugcd(nu, n);
2257 : 7 : g = muliu(g, nu);
2258 : 7 : P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
2259 : 7 : d = Q_denom(P);
2260 [ + + ]: 14 : } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
2261 : : { /* either 2 or 4 */
2262 : 7 : long nu = - itos(kod) - 4;
2263 : 7 : P = elladd(E, P,P);
2264 : 7 : d = Q_denom(P);
2265 : 7 : g = shifti(g,1);
2266 [ + - ][ + - ]: 7 : if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
2267 : : { /* it's 4 */
2268 : 7 : P = elladd(E, P,P);
2269 : 7 : d = Q_denom(P);
2270 : 7 : g = shifti(g,1);
2271 : : }
2272 : : } else {
2273 [ - + ]: 7 : if (equaliu(c, 4)) c = gen_2;
2274 : 7 : P = ellmul(E, P, c);
2275 : 7 : d = Q_denom(P);
2276 : 7 : g = mulii(g, c);
2277 : : }
2278 : : }
2279 [ + + ]: 217 : if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
2280 : 217 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
2281 : : }
2282 : :
2283 : : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
2284 : : * notation (Duke 1991)*/
2285 : : static GEN
2286 : 7434 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
2287 : : {
2288 : : hashentry *h;
2289 : : GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
2290 : : ulong m4;
2291 [ + + ][ + + : 7434 : if (cmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
+ + + - ]
2292 : : {
2293 : 322 : case 0: return gen_0;
2294 : 882 : case 1: return gen_1;
2295 : 1064 : case 2: return subiu(N,1);
2296 : 1330 : case 3: return b8;
2297 : 1386 : case 4: return g4;
2298 : : }
2299 [ + + ]: 2450 : if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
2300 : 1260 : m4 = mod4(m);
2301 : 1260 : n = shifti(m, -1); f = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
2302 : 1260 : np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
2303 : 1260 : np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
2304 : 1260 : nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
2305 : 1260 : nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
2306 [ + + ]: 1260 : if (odd(m4))
2307 : : {
2308 : 770 : GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
2309 : 770 : GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
2310 [ + + ]: 770 : if (mpodd(n))
2311 : 322 : z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
2312 : : else
2313 : 448 : z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
2314 : : }
2315 : : else
2316 : : {
2317 : 490 : GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
2318 : 490 : GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
2319 : 490 : z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
2320 : : }
2321 : 1260 : hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
2322 : 7434 : return z;
2323 : : }
2324 : :
2325 : : static GEN
2326 : 1134 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
2327 : : static GEN
2328 : 756 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
2329 : : static GEN
2330 : 378 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
2331 : :
2332 : : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
2333 : : * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
2334 : : * [num,den] (coprime) */
2335 : : static GEN
2336 : 378 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
2337 : : {
2338 : 378 : pari_sp av = avma;
2339 : 378 : ulong k = expi(m);
2340 : 378 : hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
2341 : : (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
2342 : 378 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
2343 : 378 : GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
2344 : : GEN B4, B6, B8, T, g4;
2345 : 378 : GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
2346 : 378 : GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
2347 : 378 : GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
2348 : 378 : GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
2349 : 378 : GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
2350 : 378 : B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
2351 : : mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
2352 : 378 : B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
2353 : : shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
2354 : : b6d3);
2355 : 378 : B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd, mulii(b4,d2));
2356 : :
2357 : 378 : B4 = modii(B4,N);
2358 : 378 : B6 = modii(B6,N);
2359 : 378 : B8 = modii(B8,N);
2360 : :
2361 : 378 : g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
2362 : 378 : T = Fp_sqr(B6,N);
2363 : :
2364 : 378 : g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
2365 : 378 : gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
2366 : 378 : gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
2367 : 378 : C = Fp_sqr(g, N);
2368 : 378 : D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
2369 : :
2370 [ + + ]: 378 : if(mpodd(m))
2371 : : {
2372 : 168 : n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
2373 : 168 : d = Fp_mul(C,d, N);
2374 : : }
2375 : : else
2376 : : {
2377 : 210 : n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
2378 : 210 : d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
2379 : : }
2380 : 378 : return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
2381 : : }
2382 : : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
2383 : : * return t = -x/y + O(p^v) */
2384 : : static GEN
2385 : 203 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
2386 : : {
2387 : 203 : GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
2388 : : GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
2389 [ - + ]: 203 : if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
2390 : 203 : a1 = ell_get_a1(e);
2391 : 203 : b2 = ell_get_b2(e);
2392 : 203 : a3 = ell_get_a3(e);
2393 : 203 : b4 = ell_get_b4(e);
2394 : 203 : b6 = ell_get_b6(e);
2395 : 203 : d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
2396 [ - + ]: 203 : if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
2397 : : /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
2398 : : * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
2399 : 203 : d4 = Fp_sqr(d2, N);
2400 : 203 : d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
2401 : 203 : B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
2402 : 203 : C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
2403 : : Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
2404 : : Fp_mul(b6,d6,N));
2405 : 203 : C = FpX_eval(C, n, N);
2406 [ - + ]: 203 : if (!signe(C))
2407 : 0 : Y = zeropadic(p, v >> 1);
2408 : : else
2409 : 203 : Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
2410 [ - + ]: 203 : if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
2411 : 203 : *pd = d;
2412 : 203 : return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
2413 : : }
2414 : :
2415 : : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
2416 : : static long
2417 : 203 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
2418 : : {
2419 : 203 : double log2p = dbllog2(p);
2420 : 203 : long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
2421 [ + + ][ - + ]: 203 : if (equaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
2422 : : /* guaranteed to work, now optimize */
2423 [ + - ]: 252 : for (j = i-1; j >= 2; j--)
2424 : : {
2425 [ + + ]: 252 : if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
2426 : 49 : i = j;
2427 : : }
2428 [ - + ]: 203 : if (j == 1)
2429 : : {
2430 [ # # ]: 0 : if (- equaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
2431 : : }
2432 : 203 : return i;
2433 : : }
2434 : : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
2435 : : static long
2436 : 7 : log_prec(GEN p, long v, long t)
2437 : : {
2438 : 7 : double log2p = dbllog2(p);
2439 : 7 : long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
2440 : : /* guaranteed to work, now optimize */
2441 [ + - ]: 28 : for (j = i-1; j >= 1; j--)
2442 : : {
2443 [ + + ]: 28 : if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
2444 : 21 : i = j;
2445 : : }
2446 : 7 : return i;
2447 : : }
2448 : :
2449 : : static GEN
2450 : 210 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
2451 : : {
2452 : 210 : *ab = NULL;
2453 [ + + - ]: 210 : switch(typ(p))
2454 : : {
2455 : 105 : case t_INT: break;
2456 : : case t_VEC:
2457 [ - + ]: 105 : if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
2458 : 105 : *ab = gel(p,2);
2459 [ + - ][ - + ]: 105 : if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
2460 : 105 : p = gel(p,1);
2461 : : }
2462 [ - + ]: 210 : if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
2463 : 210 : return p;
2464 : : }
2465 : :
2466 : : static GEN
2467 : 301 : precp_fix(GEN h, long v)
2468 [ + + ]: 301 : { return (precp(h) > v)? gprec(h,v): h; }
2469 : :
2470 : : GEN
2471 : 217 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
2472 : : {
2473 : 217 : pari_sp av = avma;
2474 : : GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
2475 : : long v, vd;
2476 : : int is2;
2477 : 217 : checkellpt(P);
2478 [ + + ]: 217 : if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
2479 : 210 : checkell_Q(e);
2480 : 210 : p = parse_p(p, &ab);
2481 [ + + ][ + - ]: 210 : if (ellorder_Q(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
2482 : 203 : E = ellanal_globalred(e, &ch);
2483 [ + + ]: 203 : if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
2484 : 203 : S = ellnonsingularmultiple(E, P);
2485 : 203 : P = gel(S,1);
2486 : 203 : g = gel(S,2);
2487 : 203 : v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
2488 : 203 : is2 = equaliu(p,2);
2489 [ + + ]: 203 : if (is2) v += 2;
2490 : 203 : x = gel(P,1);
2491 : 203 : n = numer(x);
2492 : 203 : d = denom(x);
2493 : 203 : x = mkvec2(n, d);
2494 : 203 : vd = Z_pval(d, p);
2495 [ + + ]: 203 : if (!vd)
2496 : : { /* P not in kernel of reduction mod p */
2497 : 189 : GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
2498 : 189 : long w = v+2;
2499 [ - + ]: 189 : if (!Ep) pari_err(e_MISC,"ellpadicheight: bad reduction");
2500 : 189 : Pp = RgV_to_FpV(P, p);
2501 : 189 : m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
2502 : 189 : g = mulii(g,m);
2503 : : for(;;)
2504 : : {
2505 : 378 : N = powiu(p, w);
2506 : 378 : X = xmP(E, x, m, N);
2507 : 378 : d = gel(X,2);
2508 [ - + ]: 378 : if (!signe(d))
2509 : 0 : w <<= 1;
2510 : : else
2511 : : {
2512 : 378 : vd = Z_pval(d, p);
2513 [ + + ]: 378 : if (w >= v+2*vd + is2) break;
2514 : 189 : w = v+2*vd + is2;
2515 : : }
2516 : 189 : }
2517 : 189 : x = X;
2518 : : }
2519 : : /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
2520 : : * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
2521 : 203 : v += 2*vd + is2;
2522 : 203 : N = powiu(p,v);
2523 : 203 : t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
2524 : 203 : S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
2525 : 203 : ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
2526 : 203 : lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
2527 : : /* evaluate our formal power series at t */
2528 : 203 : H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
2529 : 203 : h = gsqr(poleval(lt, t));
2530 : 203 : g = sqri(g);
2531 : 203 : a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
2532 : 203 : b = gdiv(gneg(h), g);
2533 [ + + ]: 203 : if (E != e)
2534 : : {
2535 : 21 : GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
2536 : 21 : a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
2537 : 21 : b = gmul(u,b);
2538 : : }
2539 : 203 : H = mkvec2(a,b);
2540 [ + + ]: 203 : if (ab)
2541 : : {
2542 : 105 : H = RgV_dotproduct(H, ab);
2543 : 105 : H = precp_fix(H,v0);
2544 : : }
2545 : : else
2546 : : {
2547 : 98 : gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
2548 : 98 : gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
2549 : : }
2550 : 210 : return gerepilecopy(av, H);
2551 : : }
2552 : :
2553 : : GEN
2554 : 14 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
2555 : : {
2556 : 14 : pari_sp av = avma;
2557 : : long vt;
2558 : : GEN t, x, y, L;
2559 : 14 : checkellpt(P);
2560 [ - + ]: 14 : if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
2561 : 14 : x = gel(P,1);
2562 : 14 : y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
2563 : 14 : vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
2564 [ + + ]: 14 : if (vt <= 0)
2565 : 7 : pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
2566 : 7 : L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
2567 : 7 : return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
2568 : : }
2569 : :
2570 : : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
2571 : : GEN
2572 : 21 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
2573 : : {
2574 : 21 : pari_sp av = avma;
2575 : : GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
2576 : : ulong pp;
2577 [ - + ]: 21 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
2578 [ - + ]: 21 : if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
2579 : 21 : pp = itou_or_0(p);
2580 : 21 : F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
2581 : 21 : a = gcoeff(F,1,1);
2582 : 21 : b = gcoeff(F,1,2);
2583 : 21 : d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
2584 [ - + ]: 21 : if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
2585 [ + - ][ + + ]: 21 : if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
[ - + ]
2586 : 0 : ap = ellap(E,p);
2587 : : else
2588 : : { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
2589 [ + + ]: 21 : GEN q = cmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
2590 : 21 : ap = padic_to_Fp(ap, q);
2591 : 21 : ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
2592 : : }
2593 : 21 : D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
2594 [ - + ]: 21 : if (equaliu(p,2)) n++;
2595 : 21 : sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
2596 : 21 : l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
2597 : 21 : return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
2598 : : }
2599 : :
2600 : : GEN
2601 : 42 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
2602 : : {
2603 : 42 : pari_sp av = avma;
2604 : : GEN t;
2605 : : long s;
2606 : :
2607 : 42 : checkell(e); checkellpt(z);
2608 [ + + + - ]: 42 : switch(ell_get_type(e))
2609 : : {
2610 : : case t_ELL_Qp:
2611 : 28 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
2612 : 28 : return zellQp(e, z, prec);
2613 : 7 : case t_ELL_Q: break;
2614 : 7 : case t_ELL_Rg: break;
2615 : 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
2616 : : }
2617 : 14 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
2618 [ - + ]: 14 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
2619 : 14 : s = ellR_get_sign(e);
2620 [ + + ][ + - ]: 14 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
[ + - ]
2621 [ - + ]: 7 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
2622 : : else
2623 : 7 : t = zellcx(e,z,prec);
2624 : 42 : return gerepileupto(av,t);
2625 : : }
2626 : :
2627 : : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
2628 : : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
2629 : : typedef struct {
2630 : : enum period_type type;
2631 : : GEN in; /* original input */
2632 : : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
2633 : : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
2634 : : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
2635 : : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z + x*tau + y reduced mod <1,tau> */
2636 : : GEN x,y; /* t_INT */
2637 : : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
2638 : : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
2639 : : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
2640 : : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 = it, t \in R */
2641 : : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
2642 : : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
2643 : : long prec; /* precision(Z) */
2644 : : } ellred_t;
2645 : :
2646 : : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
2647 : : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
2648 : : static void
2649 : 23352 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
2650 : : {
2651 : 23352 : GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
2652 : 23352 : pari_sp av = avma;
2653 : :
2654 : 23352 : a = d = gen_1;
2655 : 23352 : b = c = gen_0;
2656 : : for(;;)
2657 : : {
2658 : 44065 : GEN m, n = ground(real_i(t));
2659 [ + + ]: 44065 : if (signe(n))
2660 : : { /* apply T^n */
2661 : 26798 : t = gsub(t,n);
2662 : 26798 : a = subii(a, mulii(n,c));
2663 : 26798 : b = subii(b, mulii(n,d));
2664 : : }
2665 [ + + ]: 44065 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
2666 : 20713 : t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
2667 : 20713 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
2668 : 20713 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
2669 [ - + ]: 20713 : if (gc_needed(av, 1)) {
2670 [ # # ]: 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "redimagsl2");
2671 : 0 : gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
2672 : : }
2673 : 20713 : }
2674 : 23352 : *pa = a;
2675 : 23352 : *pb = b;
2676 : 23352 : *pc = c;
2677 : 23352 : *pd = d;
2678 : 23352 : }
2679 : : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
2680 : : * Set *pU to U. */
2681 : : GEN
2682 : 8911 : redtausl2(GEN t, GEN *pU)
2683 : : {
2684 : 8911 : pari_sp av = avma;
2685 : : GEN U, a,b,c,d;
2686 : 8911 : set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
2687 : 8911 : U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
2688 : 8911 : t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b),
2689 : : gadd(gmul(c,t), d));
2690 : 8911 : gerepileall(av, 2, &t, &U);
2691 : 8911 : *pU = U; return t;
2692 : : }
2693 : :
2694 : : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
2695 : : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
2696 : : static void
2697 : 14441 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
2698 : : {
2699 : : long s, p;
2700 : 14441 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
2701 [ + + ]: 14441 : if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
2702 : 14441 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
2703 [ - + ]: 14441 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
2704 : : mkvec2(T->w1,T->w2));
2705 : 14441 : T->swap = (s < 0);
2706 [ + + ]: 14441 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
2707 : 14441 : set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
2708 : : /* update lattice */
2709 : 14441 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
2710 : 14441 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
2711 : 14441 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
2712 [ + + ]: 14441 : if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2713 [ + + ]: 14441 : p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
2714 : 14441 : T->prec = p;
2715 : 14441 : }
2716 : : static void
2717 : 9863 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
2718 : : {
2719 : : long p;
2720 : : GEN Z;
2721 : 9863 : T->abs_u_is_1 = 0;
2722 : 9863 : T->some_z_is_real = 0;
2723 : 9863 : T->some_z_is_pure_imag = 0;
2724 [ + - - ]: 9863 : switch(typ(z))
2725 : : {
2726 : 9863 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
2727 : : case t_QUAD:
2728 [ # # ]: 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
2729 : 0 : break;
2730 : 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
2731 : : }
2732 : 9863 : T->z = z;
2733 : 9863 : Z = gdiv(z, T->W2);
2734 : 9863 : T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
2735 [ + + ]: 9863 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
2736 : 9863 : T->y = ground(real_i(Z));
2737 [ + + ]: 9863 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2738 [ + + ]: 9863 : if (typ(Z) != t_COMPLEX)
2739 : 497 : T->some_z_is_real = T->abs_u_is_1 = 1;
2740 [ + + ]: 9366 : else if (typ(z) != t_COMPLEX)
2741 : 4522 : T->some_z_is_real = 1;
2742 [ + + ][ - + ]: 4844 : else if (isexactzero(gel(z,1)) || isexactzero(gel(Z,1)))
2743 : 28 : T->some_z_is_pure_imag = 1;
2744 : 9863 : p = precision(Z);
2745 [ + + ][ + + ]: 9863 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
[ - + ]
2746 : 14 : Z = NULL; /*z in L*/
2747 [ + + ][ - + ]: 9863 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2748 : 9863 : T->Z = Z;
2749 : 9863 : }
2750 : : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2751 : : static GEN
2752 : 8862 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2753 : : {
2754 : 8862 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2755 [ + + ]: 8862 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2756 [ + + ]: 8862 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2757 [ + + ][ + + ]: 8862 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2758 [ + + ]: 8862 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2759 : : }
2760 : : /* e is either
2761 : : * - [w1,w2]
2762 : : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2763 : : * - an ellinit structure */
2764 : : static void
2765 : 14448 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2766 : : {
2767 : : GEN w, e;
2768 : 14448 : T->q_is_real = 0;
2769 : 14448 : T->some_q_is_real = 0;
2770 [ + + + ]: 14448 : switch(T->type)
2771 : : {
2772 : : case t_PER_ELL:
2773 : : {
2774 : 1008 : long pr, p = prec;
2775 [ + + ][ + + ]: 1008 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2776 : 1008 : e = T->in;
2777 : 1008 : w = ellR_omega(e, p);
2778 : 1001 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2779 : 1001 : break;
2780 : : }
2781 : : case t_PER_W:
2782 : 13286 : w = T->in; break;
2783 : : default: /*t_PER_WETA*/
2784 : 154 : w = gel(T->in,1); break;
2785 : : }
2786 : 14441 : T->w1 = gel(w,1);
2787 : 14441 : T->w2 = gel(w,2);
2788 : 14441 : red_modSL2(T, prec);
2789 [ + + ]: 14441 : if (z) reduce_z(z, T);
2790 : 14441 : }
2791 : : static int
2792 : 14455 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2793 : : {
2794 : : GEN w1;
2795 [ - + ]: 14455 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2796 : 14455 : T->in = e;
2797 [ + + - ]: 14455 : switch(lg(e))
2798 : : {
2799 : : case 17:
2800 : 1015 : T->type = t_PER_ELL;
2801 : 1015 : break;
2802 : : case 3:
2803 : 13440 : w1 = gel(e,1);
2804 [ + + ]: 13440 : if (typ(w1) != t_VEC)
2805 : 13286 : T->type = t_PER_W;
2806 : : else
2807 : : {
2808 [ - + ]: 154 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2809 : 154 : T->type = t_PER_WETA;
2810 : : }
2811 : 13440 : break;
2812 : 0 : default: return 0;
2813 : : }
2814 : 14455 : return 1;
2815 : : }
2816 : : static int
2817 : 14413 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2818 : : {
2819 [ - + ]: 14413 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2820 : 14413 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2821 : : }
2822 : :
2823 : : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2824 : : static GEN
2825 : 8904 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2826 : : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
2827 : : GEN
2828 : 33418 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
2829 : :
2830 : : static GEN
2831 : 13734 : check_real(GEN q)
2832 [ + + ][ + + ]: 13734 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
2833 : :
2834 : : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
2835 : : static GEN
2836 : 13489 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
2837 : : {
2838 : : pari_sp av;
2839 : : GEN p1, q, y, qn;
2840 : 13489 : long n = 1;
2841 : :
2842 [ + + ]: 13489 : if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
2843 : 245 : q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
2844 : 245 : q = check_real(q);
2845 : 245 : y = gen_0;
2846 : 245 : av = avma; qn = gen_1;
2847 : 2164 : for(;; n++)
2848 : : { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
2849 : 2409 : qn = gmul(q,qn);
2850 : 2409 : p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
2851 [ + - ][ + + ]: 2409 : if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
2852 : 2164 : y = gadd(y, p1);
2853 [ - + ]: 2164 : if (gc_needed(av,2))
2854 : : {
2855 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
2856 : 0 : gerepileall(av, 2, &y,&qn);
2857 : : }
2858 : 2164 : }
2859 : 13489 : return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
2860 : : }
2861 : :
2862 : : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2863 : : static GEN
2864 : 13489 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2865 : : {
2866 : 13489 : GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
2867 : 13489 : y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
2868 : 13489 : return check_real(y);
2869 : : }
2870 : :
2871 : : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2872 : : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2873 : : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2874 : : GEN
2875 : 4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2876 : : {
2877 : 4438 : pari_sp av = avma;
2878 : : GEN y;
2879 : : ellred_t T;
2880 : :
2881 [ - + ]: 4438 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2882 [ - + ]: 4438 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2883 [ - + ]: 4438 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2884 : 4438 : y = _elleisnum(&T, k);
2885 [ + + ][ + + ]: 4438 : if (k==2 && signe(T.c))
2886 : 3955 : {
2887 : 3955 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2888 : 3955 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2889 : : }
2890 [ + + ][ + - ]: 483 : else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y, 12);
2891 [ + + ][ + - ]: 462 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2892 : 4438 : return gerepileupto(av,y);
2893 : : }
2894 : :
2895 : : /* return quasi-periods associated to [T->W1,T->W2] */
2896 : : static GEN
2897 : 8869 : _elleta(ellred_t *T)
2898 : : {
2899 : 8869 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
2900 : 8869 : y2 = gmul(T->W2, e2);
2901 : 8869 : y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
2902 : 8869 : retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
2903 : : }
2904 : :
2905 : : /* compute eta1, eta2 */
2906 : : GEN
2907 : 42 : elleta(GEN om, long prec)
2908 : : {
2909 : 42 : pari_sp av = avma;
2910 : : GEN y1, y2, E2, pi;
2911 : : ellred_t T;
2912 : :
2913 [ - + ]: 42 : if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
2914 [ + + ]: 42 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
2915 : :
2916 : 35 : compute_periods(&T, NULL, prec);
2917 : 35 : prec = T.prec;
2918 : 35 : pi = mppi(prec);
2919 : 35 : E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
2920 [ - + ]: 35 : if (signe(T.c))
2921 : : {
2922 : 0 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
2923 : : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
2924 : 0 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
2925 : : }
2926 : 35 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
2927 [ + + ]: 35 : if (T.swap)
2928 : : {
2929 : 7 : y1 = y2;
2930 : 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
2931 : : }
2932 : : else
2933 : 28 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
2934 [ + + ]: 35 : switch(typ(T.w1))
2935 : : {
2936 : : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
2937 : 28 : y1 = real_i(y1);
2938 : : }
2939 : 42 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
2940 : : }
2941 : : GEN
2942 : 14 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
2943 : : {
2944 : 14 : pari_sp av = avma;
2945 : : ellred_t T;
2946 [ - + ]: 14 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
2947 [ + + - ]: 14 : switch(flag)
2948 : : {
2949 : 7 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
2950 : 7 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
2951 : 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
2952 : 14 : return NULL;/*not reached*/
2953 : : }
2954 : : }
2955 : :
2956 : : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
2957 : : static double
2958 : 9828 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
2959 : :
2960 : : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
2961 : : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
2962 : : static GEN
2963 : 966 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
2964 : : {
2965 : : long toadd;
2966 : 966 : pari_sp av = avma, av1;
2967 : : GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
2968 : : ellred_t T;
2969 : : int simple_case;
2970 : :
2971 [ - + ]: 966 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
2972 [ + + ]: 959 : if (!T.Z) return NULL;
2973 : 952 : prec = T.prec;
2974 : :
2975 : : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
2976 : 952 : pi2 = Pi2n(1, prec);
2977 : 952 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
2978 : 952 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
2979 : 952 : u1 = gsubsg(1,u);
2980 : 952 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
2981 [ + + ]: 952 : if (gequal0(u2)) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
2982 : 945 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
2983 [ + + ]: 945 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
2984 [ + + ][ + - ]: 945 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
2985 : 945 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
2986 [ + + ]: 945 : yp = flall? gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)): NULL;
2987 : 945 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2988 : :
2989 : 945 : av1 = avma; qn = q;
2990 : : for(;;)
2991 : : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
2992 : : /* analogous formula for yp */
2993 : 12294 : GEN yadd, ypadd = NULL;
2994 : 12294 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
2995 : 12294 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
2996 : 12294 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
2997 [ + + ]: 12294 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
2998 [ + + ]: 12294 : if (simple_case)
2999 : : { /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
3000 : 206 : yadd = gdiv(u, a2);
3001 : 206 : yadd = gmul2n(real_i(yadd), 1);
3002 [ + + ]: 206 : if (yp) ypadd = gmul2n(real_i(ypadd), 1);
3003 : : }
3004 : : else
3005 : : {
3006 : 12088 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
3007 : 12088 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
3008 : 12088 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
3009 [ + + ]: 12088 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
3010 : : }
3011 : 12294 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
3012 : 12294 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
3013 [ + + ]: 12294 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
3014 : :
3015 : 12294 : qn = gmul(q,qn);
3016 [ + + ]: 12294 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
3017 [ - + ]: 11349 : if (gc_needed(av1,1))
3018 : : {
3019 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
3020 [ # # ]: 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
3021 : : }
3022 : 11349 : }
3023 : :
3024 : 945 : u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
3025 : 945 : u2 = gsqr(u1);
3026 : 945 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
3027 [ + - ][ + + ]: 945 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
[ + + ]
3028 : 553 : y = real_i(y);
3029 [ + + ]: 945 : if (yp)
3030 : : {
3031 : 882 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
3032 [ + - ][ + + ]: 882 : if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
3033 : 882 : y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
3034 : : }
3035 : 959 : return gerepilecopy(av, y);
3036 : : }
3037 : : static GEN
3038 : 196 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
3039 : : {
3040 : : long i, k, l;
3041 : : pari_sp av;
3042 : 196 : GEN t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
3043 : :
3044 : 196 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
3045 [ - + ]: 196 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
3046 : :
3047 [ + + ]: 1575 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
3048 [ + - - - : 196 : switch(PRECDL)
- ]
3049 : : {
3050 : 196 : default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
3051 : : case 6:
3052 : 196 : case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
3053 : : case 4:
3054 : 196 : case 3: P[2] = gen_0;
3055 : : case 2:
3056 : 196 : case 1: P[0] = gen_1;
3057 : 196 : case 0: break;
3058 : : }
3059 [ - + ]: 196 : if (PRECDL <= 8) return res;
3060 : 196 : av = avma;
3061 : 196 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
3062 [ + + ]: 665 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
3063 : : {
3064 : 469 : av = avma;
3065 : 469 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
3066 [ + + ]: 819 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
3067 : 469 : t = gmul2n(t, 1);
3068 [ + + ]: 469 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
3069 [ + + ]: 469 : if (k % 3 == 2)
3070 : 168 : t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
3071 : : else /* same value, more efficient */
3072 : 301 : t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
3073 : 469 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
3074 : : }
3075 : 196 : return res;
3076 : : }
3077 : :
3078 : : static int
3079 : 189 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
3080 : : {
3081 [ + - ]: 189 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
[ + + - ]
3082 : : {
3083 : : case 17:
3084 : 98 : *c4 = ell_get_c4(w);
3085 : 98 : *c6 = ell_get_c6(w);
3086 : 98 : return 1;
3087 : : case 3:
3088 : : {
3089 : : ellred_t T;
3090 [ + - ]: 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
3091 : 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
3092 : 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
3093 : 91 : return 1;
3094 : : }
3095 : : }
3096 : 0 : *c4 = *c6 = NULL;
3097 : 189 : return 0;
3098 : : }
3099 : :
3100 : : GEN
3101 : 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
3102 : : {
3103 : : GEN c4, c6;
3104 : 14 : checkell(e);
3105 : 14 : c4 = ell_get_c4(e);
3106 : 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
3107 : : }
3108 : :
3109 : : GEN
3110 : 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
3111 : 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
3112 : :
3113 : : GEN
3114 : 140 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
3115 : : {
3116 : 140 : pari_sp av = avma;
3117 : : GEN y;
3118 : :
3119 [ - + ][ # # ]: 140 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
3120 [ + + ]: 140 : if (!z) z = pol_x(0);
3121 : 140 : y = toser_i(z);
3122 [ + + ]: 140 : if (y)
3123 : : {
3124 : 70 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3125 : : GEN P, Q, c4,c6;
3126 [ - + ]: 70 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
3127 [ - + ]: 70 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
3128 [ - + ]: 70 : if (gequal0(y)) {
3129 : 0 : avma = av;
3130 [ # # ]: 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
3131 : 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
3132 : : }
3133 : 70 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3134 : 70 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3135 [ + - ]: 70 : if (!flag)
3136 : 70 : return gerepileupto(av, Q);
3137 : : else
3138 : : {
3139 : 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
3140 : 70 : return gerepilecopy(av, R);
3141 : : }
3142 : : }
3143 : 70 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
3144 [ + + ]: 70 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
3145 : 133 : return gerepileupto(av, y);
3146 : : }
3147 : :
3148 : : GEN
3149 : 119 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
3150 : : {
3151 : : long prec;
3152 : 119 : pari_sp av = avma;
3153 : 119 : GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
3154 : : ellred_t T;
3155 : : int simple_case;
3156 : :
3157 [ + + ]: 119 : if (!z) z = pol_x(0);
3158 : 119 : y = toser_i(z);
3159 [ + + ]: 119 : if (y)
3160 : : {
3161 : 56 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3162 : : GEN P, Q, c4,c6;
3163 [ - + ]: 56 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
3164 [ - + ]: 56 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
3165 [ - + ]: 56 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
3166 : 56 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3167 : 56 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3168 : 56 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3169 : 56 : return gerepileupto(av, Q);
3170 : : }
3171 [ - + ]: 63 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
3172 [ - + ]: 63 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
3173 : 63 : prec = T.prec;
3174 [ + - ][ + + ]: 63 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
3175 : :
3176 : 63 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3177 : 63 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
3178 : 63 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
3179 [ + + ][ + - ]: 63 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
3180 : :
3181 : 63 : y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
3182 : 63 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
3183 [ + + ]: 63 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
3184 : 63 : y = gadd(y, v);
3185 : :
3186 [ + + ]: 63 : if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
3187 : : {
3188 : 49 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3189 : 49 : pari_sp av1 = avma;
3190 : : GEN qn;
3191 : 49 : for (qn = q;;)
3192 : : { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
3193 : 483 : GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
3194 : 483 : y = gadd(y, gmul(qn,p1));
3195 : 483 : qn = gmul(q,qn);
3196 [ + + ]: 483 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
3197 [ - + ]: 434 : if (gc_needed(av1,1))
3198 : : {
3199 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
3200 : 0 : gerepileall(av1,2, &y,&qn);
3201 : : }
3202 : 483 : }
3203 : : }
3204 : 63 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
3205 [ + + ]: 63 : if (et) y = gadd(y,et);
3206 [ + - ]: 63 : if (T.some_q_is_real)
3207 : : {
3208 [ + + ]: 63 : if (T.some_z_is_real)
3209 : 35 : y = real_i(y);
3210 [ + + ]: 28 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
3211 : 7 : gel(y,1) = gen_0;
3212 : : }
3213 : 119 : return gerepilecopy(av, y);
3214 : : }
3215 : :
3216 : : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3217 : : GEN
3218 : 8904 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3219 : : {
3220 : : long toadd, prec, n;
3221 : 8904 : pari_sp av = avma, av1;
3222 : : GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3223 : : GEN u, uhalf, urn, urninv;
3224 : : ellred_t T;
3225 : :
3226 [ + - ][ - + ]: 8904 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3227 : :
3228 [ + + ]: 8904 : if (!z) z = pol_x(0);
3229 : 8904 : y = toser_i(z);
3230 [ + + ]: 8904 : if (y)
3231 : : {
3232 : 63 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3233 : : GEN P, Q, c4,c6;
3234 [ - + ]: 63 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3235 [ - + ]: 63 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3236 [ + + ]: 63 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3237 [ - + ]: 56 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
3238 : 56 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3239 : 56 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3240 : : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3241 : 56 : P = integser(gsub(P, monomial(gen_1,-1,vy)));
3242 : 56 : P = gexp(P, prec0);
3243 : 56 : setvalp(P, valp(P)+1);
3244 : 56 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3245 : 56 : return gerepileupto(av, Q);
3246 : : }
3247 [ - + ]: 8841 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3248 [ + + ]: 8841 : if (!T.Z)
3249 : : {
3250 [ - + ]: 7 : if (!flag) return gen_0;
3251 : 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3252 : : }
3253 : 8834 : prec = T.prec;
3254 : 8834 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3255 : 8834 : pi = mppi(prec);
3256 : :
3257 : 8834 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3258 : 8834 : uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3259 : 8834 : u = gsqr(uhalf);
3260 : 8834 : q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
3261 : 8834 : q = gpowgs(q8,8);
3262 : 8834 : u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
3263 : 8834 : y = gen_0;
3264 : 8834 : av1 = avma;
3265 : 8834 : qn = q; qn2 = gen_1;
3266 : 8834 : urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
3267 : 8834 : for(n=0;;n++)
3268 : : {
3269 : 57960 : y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
3270 : 57960 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3271 [ + + ]: 57960 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3272 : 49126 : qn = gmul(q,qn);
3273 : 49126 : urn = gmul(urn,u);
3274 : 49126 : urninv = gmul(urninv,uinv);
3275 [ - + ]: 49126 : if (gc_needed(av1,1))
3276 : : {
3277 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3278 : 0 : gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3279 : : }
3280 : 49126 : }
3281 : 8834 : y = gmul(gmul(y,q8),
3282 : : gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3283 : :
3284 : 8834 : et = _elleta(&T);
3285 : 8834 : etnew = eta_correction(&T, et);
3286 : 8834 : zinit = gmul(T.Z,T.W2);
3287 : 8834 : etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
3288 : : gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
3289 [ + + ][ + + ]: 8834 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
3290 : 8834 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
3291 [ + + ]: 8834 : if (flag)
3292 : : {
3293 : 8771 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3294 [ + + ][ + + ]: 8771 : if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
3295 : : { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
3296 [ + - ]: 35 : if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
3297 : : }
3298 : : }
3299 : : else
3300 : : {
3301 : 63 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3302 [ + - ]: 63 : if (T.some_q_is_real)
3303 : : {
3304 [ + + ]: 63 : if (T.some_z_is_real)
3305 : 35 : y = real_i(y);
3306 [ + + ]: 28 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
3307 : 7 : gel(y,1) = gen_0;
3308 : : }
3309 : : }
3310 : 8890 : return gerepilecopy(av, y);
3311 : : }
3312 : :
3313 : : GEN
3314 : 896 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3315 : : {
3316 : 896 : pari_sp av = avma;
3317 : : GEN v;
3318 : :
3319 : 896 : checkell(e);
3320 : 896 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3321 [ + + ]: 889 : if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
3322 : 882 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
3323 : 882 : gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
3324 : 889 : return gerepilecopy(av, v);
3325 : : }
3326 : :
3327 : : /********************************************************************/
3328 : : /** **/
3329 : : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3330 : : /** Kodaira types, global minimal model **/
3331 : : /** **/
3332 : : /********************************************************************/
3333 : :
3334 : : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3335 : : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3336 : : in the form [f, kod, v, c].
3337 : :
3338 : : * The integer f is the conductor's exponent.
3339 : :
3340 : : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3341 : : II , III , IV --> 2, 3, 4
3342 : : I0 --> 1
3343 : : Inu --> 4+nu for nu > 0
3344 : : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3345 : :
3346 : : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3347 : :
3348 : : * c is the Tamagawa number.
3349 : :
3350 : : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3351 : : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3352 : : static GEN
3353 : 1673952 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3354 : : {
3355 : 1673952 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3356 : 1673952 : gel(z,1) = stoi(f);
3357 : 1673952 : gel(z,2) = stoi(kod);
3358 : 1673952 : gel(z,3) = gcopy(v);
3359 : 1673952 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3360 : : }
3361 : : static GEN
3362 : 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3363 : : {
3364 [ # # ]: 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3365 : 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3366 : 0 : return NULL; /* not reached */
3367 : : }
3368 : :
3369 : : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3370 : : static long
3371 : 877583 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3372 : :
3373 : : #if 0
3374 : : /* Here p > 3. e assumed integral, return v_p(N). Simplified version of
3375 : : * localred_p */
3376 : : static long
3377 : : localred_p_get_f(GEN e, GEN p)
3378 : : {
3379 : : long nuj, nuD;
3380 : : GEN D = ell_get_disc(e);
3381 : : nuj = j_pval(e, p);
3382 : : nuD = Z_pval(D, p);
3383 : : if (nuj == 0) return (nuD % 12)? 2 : 0;
3384 : : return (nuD - nuj) % 12 ? 2: 1;
3385 : : }
3386 : : #endif
3387 : : /* p > 3, e integral */
3388 : : static GEN
3389 : 877156 : localred_p(GEN e, GEN p)
3390 : : {
3391 : : long k, f, kod, c, nuj, nuD;
3392 : 877156 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3393 : :
3394 : 877156 : c4 = ell_get_c4(e);
3395 : 877156 : c6 = ell_get_c6(e);
3396 : 877156 : nuj = j_pval(e, p);
3397 : 877156 : nuD = Z_pval(D, p);
3398 : 877156 : k = (nuD - nuj) / 12;
3399 [ + + ]: 877156 : if (k <= 0) v = init_ch();
3400 : : else
3401 : : { /* model not minimal */
3402 : 7 : GEN pk = powiu(p,k), p2k = sqri(pk), p4k = sqri(p2k), p6k = mulii(p4k,p2k);
3403 : : GEN r, s, t;
3404 : :
3405 : 7 : s = negi(ell_get_a1(e));
3406 [ - + ]: 7 : if (mpodd(s)) s = addii(s, pk);
3407 : 7 : s = shifti(s, -1);
3408 : :
3409 : 7 : r = subii(ell_get_a2(e), mulii(s, addii(ell_get_a1(e), s)));
3410 [ + - - ]: 7 : switch(umodiu(r, 3))
3411 : : {
3412 : 7 : default: break; /* 0 */
3413 : 0 : case 2: r = addii(r, p2k); break;
3414 : 0 : case 1: r = subii(r, p2k); break;
3415 : : }
3416 : 7 : r = negi( diviuexact(r, 3) );
3417 : :
3418 : 7 : t = negi(Zec_h_evalx(e,r));
3419 [ - + ]: 7 : if (mpodd(t)) t = addii(t, mulii(pk, p2k));
3420 : 7 : t = shifti(t, -1);
3421 : :
3422 : 7 : v = mkvec4(pk,r,s,t);
3423 : 7 : nuD -= 12 * k;
3424 : 7 : c4 = diviiexact(c4, p4k);
3425 : 7 : c6 = diviiexact(c6, p6k);
3426 : 7 : D = diviiexact(D, sqri(p6k));
3427 : : }
3428 : :
3429 [ + + ]: 877156 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
[ + + - ]
3430 : : {
3431 : 760165 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3432 [ + + - ]: 760165 : switch(kronecker(negi(c6),p))
3433 : : {
3434 : 391860 : case 1: c = nuD; break;
3435 [ + + ]: 368305 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
3436 : 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
3437 : : }
3438 : 760165 : break;
3439 : : case 6:
3440 : : {
3441 : 45689 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
3442 [ + + ]: 45689 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
3443 : 45689 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
3444 : 45689 : break;
3445 : : }
3446 : 805854 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
3447 : : }
3448 [ + + + + : 71302 : else switch(nuD)
+ + + +
- ]
3449 : : {
3450 : 7 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
3451 : 11613 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
3452 : 10227 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
3453 : 5614 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
3454 : 5614 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
3455 : 5614 : break;
3456 : 16415 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
3457 : 16415 : p2 = sqri(p);
3458 : : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
3459 : 16415 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
3460 : : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
3461 : : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
3462 : 16415 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
3463 : 16415 : break;
3464 : 11613 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
3465 : 11613 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
3466 : 11613 : break;
3467 : 10220 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
3468 : 5593 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
3469 : 0 : default: return localredbug(p,"localred");
3470 : : }
3471 : 877156 : return localred_result(f, kod, c, v);
3472 : : }
3473 : :
3474 : : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
3475 : : static ulong
3476 : 828982 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
3477 : : {
3478 : 828982 : return umodiu(ak, q) / pl;
3479 : : }
3480 : :
3481 : : static ulong
3482 : 1346744 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
3483 : : {
3484 : 1346744 : pari_sp av = avma;
3485 : 1346744 : ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
3486 : 1346744 : avma = av; return res;
3487 : : }
3488 : :
3489 : : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
3490 : : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
3491 : : * if there's a multiple root, put it in *mult */
3492 : : static long
3493 : 228144 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3494 : : {
3495 [ + + ]: 228144 : if (p == 2)
3496 : : {
3497 [ + + ]: 131600 : if ((c + a * b) & 1) return 3;
3498 [ + + ]: 114072 : *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
3499 : : }
3500 : : /* p = 3 */
3501 [ + + ][ + + ]: 96544 : if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
3502 : 64778 : *mult = a * b;
3503 [ + + ]: 64778 : if (b == 2)
3504 [ + + ]: 21518 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
3505 : : else
3506 [ + + ]: 228144 : return c ? 3 : 2;
3507 : : }
3508 : :
3509 : : /* same for aX^2 +bX + c */
3510 : : static long
3511 : 745647 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3512 : : {
3513 [ + + ][ + + ]: 745647 : if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
3514 : : /* p = 3 */
3515 [ + + ]: 745647 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
3516 : : }
3517 : :
3518 : : /* p = 2 or 3 */
3519 : : static GEN
3520 : 747817 : localred_23(GEN e, long p)
3521 : : {
3522 : : long c, nu, nuD, r, s, t;
3523 : : long theroot, p2, p3, p4, p5, p6, a21, a42, a63, a32, a64;
3524 : : GEN v;
3525 : :
3526 : 747817 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
3527 : 747817 : v = init_ch();
3528 [ + + ]: 747817 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; p6 = 64;}
3529 : 355866 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; p6 =729; }
3530 : :
3531 : : for (;;)
3532 : : {
3533 [ + + ]: 747817 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v);
3534 : : /* I0 */
3535 [ + + ]: 652820 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
3536 : : {
3537 [ + + ][ + + ]: 357280 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
3538 : 181293 : c = nuD;
3539 : : else
3540 : 175987 : c = 2 - (nuD & 1);
3541 : 357280 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v);
3542 : : }
3543 : : /* Inu */
3544 [ + + ]: 295540 : if (p == 2)
3545 : : {
3546 : 173124 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
3547 : 173124 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
3548 : 173124 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
3549 [ + + ]: 173124 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
3550 : : }
3551 : : else /* p == 3 */
3552 : : {
3553 : 122416 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
3554 : 122416 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
3555 : 122416 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
3556 [ + + ][ + + ]: 122416 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
3557 : : }
3558 : : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
3559 [ + + ][ + + ]: 295540 : if (r || s || t) E_compose_rst(&v, &e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
[ + + ]
3560 [ + + ]: 295540 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
3561 : 20874 : return localred_result(nuD, 2, 1, v);
3562 : : /* II */
3563 [ + + ]: 274666 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
3564 : 25704 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v);
3565 : : /* III */
3566 [ + + ]: 248962 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
3567 : : {
3568 [ + + ][ + + ]: 20818 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
3569 : 10577 : c = 3;
3570 : : else
3571 : 10241 : c = 1;
3572 : 20818 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v);
3573 : : }
3574 : : /* IV */
3575 : :
3576 [ + + ]: 228144 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
3577 [ + + ]: 87262 : E_compose_t(&v, &e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
3578 : : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
3579 : 228144 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
3580 : 228144 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
3581 : 228144 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
3582 [ + + + - ]: 228144 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
3583 : : {
3584 : : case 3:
3585 [ + + ]: 33537 : c = a63 ? 1: 2;
3586 [ + + ]: 33537 : if (p == 2)
3587 : 17528 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
3588 : : else {
3589 [ + + ]: 16009 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
3590 [ + + ]: 16009 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
3591 : : }
3592 : 33537 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v);
3593 : : case 2: /* I0* */
3594 : : { /* compute nu */
3595 : : GEN pk, pk1, p2k;
3596 : : long al, be, ga;
3597 [ + + ]: 122332 : if (theroot) E_compose_r(&v, &e, stoi(theroot * p));
3598 : : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3599 : 122332 : nu = 1;
3600 : 122332 : pk = utoipos(p2);
3601 : 122332 : p2k = utoipos(p4);
3602 : : for(;;)
3603 : : {
3604 : 366828 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
3605 : 366828 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3606 : 366828 : al = 1;
3607 [ + + ]: 366828 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3608 [ + + ]: 306544 : if (theroot) E_compose_t(&v, &e, mulsi(theroot,pk));
3609 : 306544 : pk1 = pk;
3610 : 306544 : pk = mului(p, pk);
3611 : 306544 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3612 : :
3613 : 306544 : al = a21;
3614 : 306544 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
3615 : 306544 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3616 [ + + ]: 306544 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3617 [ + + ]: 244496 : if (theroot) E_compose_r(&v, &e, mulsi(theroot, pk1));
3618 : 244496 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3619 : 244496 : }
3620 [ + + ]: 122332 : if (p == 2)
3621 : 67683 : c = 4 - 2 * (ga & 1);
3622 : : else
3623 : 54649 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
3624 : 122332 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v);
3625 : : }
3626 : : case 1: /* Inu* */
3627 [ + + ]: 72275 : if (theroot) E_compose_r(&v, &e, stoi(theroot*p));
3628 : : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3629 : 72275 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
3630 : 72275 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
3631 [ + + ]: 72275 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
3632 : : {
3633 [ + + ]: 27503 : if (p == 2)
3634 : 18620 : c = 3 - 2 * a64;
3635 : : else
3636 : 8883 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
3637 : 27503 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v);
3638 : : }
3639 : : /* IV* */
3640 [ + + ]: 44772 : if (theroot) E_compose_t(&v, &e, stoi(theroot*p2));
3641 : : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
3642 [ + + ]: 44772 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
3643 : 26971 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v);
3644 : : /* III* */
3645 : :
3646 [ + - ]: 17801 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p6))
3647 : 17801 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v);
3648 : : /* II* */
3649 : 0 : E_compose_u(&v, &e, utoipos(p)); /* not minimal */
3650 : 0 : nuD -= 12;
3651 : : }
3652 : 747817 : }
3653 : : }
3654 : :
3655 : : static GEN
3656 : 1624952 : localred(GEN e, GEN p)
3657 : : {
3658 [ + + ]: 1624952 : if (cmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
3659 : 877156 : return localred_p(e,p);
3660 : : else
3661 : : {
3662 : 747796 : long l = itos(p);
3663 [ - + ]: 747796 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
3664 : 1624952 : return localred_23(e, l);
3665 : : }
3666 : : }
3667 : :
3668 : : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
3669 : : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
3670 : : static GEN
3671 : 0 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
3672 : : {
3673 : 0 : GEN b = z;
3674 : : long i;
3675 [ # # ]: 0 : if (typ(b) == t_INT)
3676 : : {
3677 [ # # ]: 0 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
3678 : 0 : return shifti(negi(b),-1);
3679 : : }
3680 [ # # ]: 0 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3681 : : {
3682 [ # # ]: 0 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
3683 : : }
3684 : 0 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
3685 : : }
3686 : :
3687 : : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
3688 : : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
3689 : : static GEN
3690 : 0 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
3691 : : {
3692 : 0 : GEN b = z;
3693 : : long i;
3694 [ # # ]: 0 : if (typ(b) == t_INT)
3695 : : {
3696 : 0 : long s = smodis(b,3);
3697 [ # # ]: 0 : if (s)
3698 : : {
3699 : 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
3700 [ # # ]: 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
3701 : 0 : b = subii(b, Jz);
3702 : : else
3703 : 0 : b = addii(b, Jz);
3704 : : }
3705 : 0 : return diviiexact(b, stoi(-3));
3706 : : }
3707 [ # # ]: 0 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3708 : : {
3709 : 0 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
3710 [ # # ]: 0 : if (!s) continue;
3711 [ # # ]: 0 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
3712 : 0 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
3713 : : else
3714 : 0 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3715 : : }
3716 : 0 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3717 : : }
3718 : :
3719 : : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
3720 : : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
3721 : : static GEN
3722 : 48979 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
3723 : : {
3724 : 48979 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3725 : : long c, f, vc4, vc6, vD, kod, m;
3726 : : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
3727 : :
3728 : 48979 : c4 = ell_get_c4(e);
3729 : 48979 : c6 = ell_get_c6(e);
3730 : 48979 : D = ell_get_disc(e);
3731 : 48979 : vc4= nfval(nf,c4,P);
3732 : 48979 : vc6= nfval(nf,c6,P);
3733 : 48979 : vD = nfval(nf,D,P);
3734 : 48979 : m = minss(vc4/4, vc6/6);
3735 : 48979 : piinv = pr_get_tau(P);
3736 [ - + ]: 48979 : if (typ(piinv) == t_MAT) piinv = gel(piinv,1);
3737 : 48979 : piinv = gdiv(piinv, p); /* v_P(piinv) = -1, v_Q(piinv) >= 0, Q!=P */
3738 : 48979 : pi = nfinv(nf, piinv); /* local uniformizer */
3739 : :
3740 [ + - ]: 48979 : if(m <= 0) ch = init_ch();
3741 : : else
3742 : : { /* model not minimal */
3743 : : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
3744 : 0 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
3745 : 0 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
3746 : 0 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
3747 : 0 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
3748 : 0 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
3749 : 0 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
3750 : 0 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4); vc4-= 4*m;
3751 : 0 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6); vc6-= 6*m;
3752 : 0 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
3753 : 0 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
3754 : 0 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
3755 : 0 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
3756 : 0 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
3757 : 0 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
3758 : 0 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
3759 : 0 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
3760 : 0 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
3761 : 0 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
3762 : : }
3763 : :
3764 : 48979 : kod = 0; c = 1;
3765 : : /* minimal at P */
3766 [ + + ]: 48979 : if (3*vc4 < vD)
3767 : : { /* v(j) < 0 */
3768 [ + + ]: 45717 : if (vc4==0)
3769 : : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
3770 : 43624 : f = 1; kod = 4+vD;
3771 : 43624 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
3772 [ + + ]: 43624 : if (Fq_issquare(z,T,p))
3773 : 23156 : c = vD;/* split */
3774 : : else
3775 [ + + ]: 20468 : c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
3776 : : }
3777 : : else
3778 : : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
3779 : : GEN Du;
3780 : 2093 : f = 2; kod = 2-vD;
3781 : 2093 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
3782 : 2093 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
3783 [ + + ]: 2093 : if(odd(vD))
3784 : : {
3785 : : GEN c6u;
3786 : 1120 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
3787 : 1120 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
3788 : 1120 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
3789 : : }
3790 [ + + ]: 2093 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
3791 : : }
3792 : : }
3793 : : else
3794 : : { /* v(j) >= 0 */
3795 [ + - ]: 3262 : f = vD? 2: 0;
3796 [ - + + + : 3262 : switch(vD)
+ + + +
- ]
3797 : : {
3798 : : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
3799 : 0 : case 0: kod = 0; c = 1; break;
3800 : 588 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
3801 : 462 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
3802 : 273 : case 4: kod = 4;
3803 : 273 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
3804 : 273 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3805 : 273 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3806 [ + + ]: 273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3807 : 273 : break;
3808 : 616 : case 6: kod = -1;
3809 : 616 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
3810 : 616 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
3811 : 616 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3812 : 616 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
3813 : 616 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
3814 : 616 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
3815 : 616 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
3816 : 616 : break;
3817 : 588 : case 8: kod = -4;
3818 : 588 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
3819 : 588 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3820 : 588 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3821 [ + + ]: 588 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3822 : 588 : break;
3823 : 462 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
3824 : 273 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
3825 : : }
3826 : : }
3827 : 48979 : return localred_result(f,kod,c,ch);
3828 : : }
3829 : : static GEN
3830 : 48979 : nflocalred(GEN e, GEN pr)
3831 : : {
3832 : 48979 : GEN p = pr_get_p(pr);
3833 [ - + ]: 48979 : if (cmpiu(p, 3) <= 0) pari_err_IMPL("nflocalred (p < 5)");
3834 : 48979 : return nflocalred_p(e,pr);
3835 : : }
3836 : :
3837 : : GEN
3838 : 97972 : elllocalred(GEN e, GEN p)
3839 : : {
3840 : 97972 : pari_sp av = avma;
3841 : 97972 : checkell(e);
3842 [ + - + ]: 97972 : switch(ell_get_type(e))
3843 : : {
3844 : : case t_ELL_Q:
3845 [ - + ]: 48993 : if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
3846 : 0 : pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
3847 [ - + ]: 48993 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
3848 [ - + ]: 48993 : if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
3849 : 48993 : return gerepileupto(av, localred(e, p));
3850 : 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
3851 : : case t_ELL_NF:
3852 : 48979 : checkprid(p);
3853 : 97972 : return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
3854 : : }
3855 : : }
3856 : :
3857 : : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
3858 : : static GEN
3859 : 0 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
3860 : : {
3861 [ # # ]: 0 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
3862 : 0 : return c;
3863 : : }
3864 : : static GEN
3865 : 2267475 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
3866 : : {
3867 : 2267475 : *pd = NULL;
3868 [ + + - - ]: 2267475 : switch(typ(c))
3869 : : {
3870 : 2267321 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
3871 : 154 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
3872 : : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
3873 [ # # ]: 0 : if (nf)
3874 : : {
3875 : 0 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
3876 : 0 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
3877 : : }
3878 : 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
3879 : 2267475 : return NULL;
3880 : : }
3881 : : }
3882 : : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
3883 : : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
3884 : : GEN
3885 : 453495 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
3886 : : {
3887 : 453495 : GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
3888 : : long i, l, k;
3889 : :
3890 [ - + ]: 453495 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?checknf(ellnf_get_nf(e)): NULL;
3891 : 453495 : L = cgetg(1, t_VEC);
3892 [ + + ]: 2720970 : for (i = 1; i < 6; i++)
3893 : : {
3894 : : GEN d;
3895 : 2267475 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
3896 [ + + ]: 2267475 : if (d) /* partial factorization of denominator */
3897 : 154 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
3898 : : }
3899 : : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
3900 [ + + ][ + + ]: 453495 : l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
3901 : 42 : L = ZV_sort_uniq(L);
3902 : 42 : l = lg(L);
3903 : :
3904 : 42 : t = gen_1;
3905 [ + + ]: 119 : for (k = 1; k < l; k++)
3906 : : {
3907 : 77 : GEN p = gel(L,k);
3908 : 77 : long n = 0, m;
3909 [ + + ]: 462 : for (i = 1; i < 6; i++)
3910 [ + + ]: 385 : if (!gequal0(gel(a,i)))
3911 : : {
3912 [ + + ]: 322 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
3913 : 322 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
3914 [ + + ]: 427 : while (m < 0) { n++; m += r; }
3915 : : }
3916 : 77 : t = mulii(t, powiu(p, n));
3917 : : }
3918 : 42 : u = ginv(t);
3919 [ + - ]: 42 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
3920 : 453495 : return coordch_u(e, u);
3921 : : }
3922 : :
3923 : : /* FIXME: export ? */
3924 : : static ulong
3925 : 566132 : Mod32(GEN x) {
3926 : 566132 : long s = signe(x);
3927 : : ulong m;
3928 [ + + ]: 566132 : if (!s) return 0;
3929 [ + + ]: 562289 : m = mod32(x); if (!m) return m;
3930 [ + + ]: 489209 : if (s < 0) m = 32 - m;
3931 : 566132 : return m;
3932 : : }
3933 : : #define Mod16(x) Mod32(x)&15
3934 : : #define Mod2(x) Mod32(x)&1
3935 : :
3936 : : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3937 : : typedef struct {
3938 : : long a1; /*{0,1}*/
3939 : : long a2; /*{-1,0,1}*/
3940 : : long a3; /*{0,1}*/
3941 : : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3942 : : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3943 : : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3944 : : } ellmin_t;
3945 : :
3946 : : /* u from [u,r,s,t] */
3947 : : static void
3948 : 453551 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3949 : : {
3950 : 453551 : M->u = u;
3951 [ + + ]: 453551 : if (is_pm1(u))
3952 : 453096 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3953 : : else
3954 : : {
3955 : 455 : M->u2 = sqri(u);
3956 : 455 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3957 : 455 : M->u4 = sqri(M->u2);
3958 : 455 : M->u6 = sqri(M->u3);
3959 : : }
3960 : 453551 : }
3961 : : /* E = original curve */
3962 : : static void
3963 : 453551 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3964 : : {
3965 : 453551 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3966 [ + + ]: 453551 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3967 : 455 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3968 : 455 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3969 : : }
3970 : 453551 : M->c4 = c4;
3971 : 453551 : M->c6 = c6;
3972 : 453551 : }
3973 : : static void
3974 : 453243 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3975 : : {
3976 : 453243 : GEN D = ell_get_disc(E);
3977 [ + + ]: 453243 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3978 : 453243 : M->D = D;
3979 : 453243 : }
3980 : : static void
3981 : 453404 : min_set_b(ellmin_t *M)
3982 : : {
3983 : 453404 : long b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3984 : 453404 : long b22 = b2*b2; /* in [0,36] */
3985 : 453404 : M->b2 = b2;
3986 : 453404 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3987 : 453404 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3988 : 453404 : }
3989 : : static void
3990 : 453264 : min_set_a(ellmin_t *M)
3991 : : {
3992 : 453264 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3993 : 453264 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3994 [ + + ]: 453264 : if (odd(b2))
3995 : : {
3996 : 241556 : a1 = 1;
3997 : 241556 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3998 : : }
3999 : : else
4000 : : {
4001 : 211708 : a1 = 0;
4002 : 211708 : a2 = b2 >> 2;
4003 : : }
4004 : 453264 : M->a1 = a1;
4005 : 453264 : M->a2 = a2;
4006 : 453264 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
4007 : 453264 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
4008 : 453264 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
4009 : 453264 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
4010 : 453264 : }
4011 : : static GEN
4012 : 453243 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
4013 : : {
4014 : 453243 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
4015 : : long a11, a13;
4016 [ + + ]: 453243 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
4017 : 453243 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
4018 [ + + ]: 453243 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
4019 : 453243 : gel(y,4) = M->a4;
4020 : 453243 : gel(y,5) = M->a6;
4021 : 453243 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
4022 : 453243 : gel(y,7) = M->b4;
4023 : 453243 : gel(y,8) = M->b6;
4024 : 453243 : a11 = M->a1;
4025 : 453243 : a13 = M->a1 & M->a3;
4026 : 453243 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
4027 : : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
4028 : 453243 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
4029 : 453243 : gel(y,10)= M->c4;
4030 : 453243 : gel(y,11)= M->c6;
4031 : 453243 : gel(y,12)= M->D;
4032 : 453243 : gel(y,13)= gel(E,13);
4033 : 453243 : gel(y,14)= gel(E,14);
4034 : 453243 : gel(y,15)= gel(E,15);
4035 : 453243 : return y;
4036 : : }
4037 : : static GEN
4038 : 453236 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
4039 : : {
4040 : : GEN r, s, t;
4041 : 453236 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
4042 [ + + ]: 453236 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
4043 [ + + ]: 453236 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, ec_h_evalx(E,r)), -1);
4044 : 453236 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
4045 : : }
4046 : :
4047 : : static long
4048 : 427 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4049 : : {
4050 : 427 : long N = 1; /* oo */
4051 [ + + ]: 427 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4052 [ + + ]: 371 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4053 [ + + ]: 427 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4054 [ + + ]: 336 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4055 : 427 : return N;
4056 : : }
4057 : : static long
4058 : 1876 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4059 : : {
4060 : 1876 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4061 : : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4062 : 1876 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4063 : : }
4064 : : static long
4065 : 406 : cardmod2(GEN e)
4066 : : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4067 : 406 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4068 : 406 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4069 : 406 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4070 : 406 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4071 : 406 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4072 : 406 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4073 : : }
4074 : : static long
4075 : 1736 : cardmod3(GEN e)
4076 : : {
4077 : 1736 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4078 : 1736 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4079 : 1736 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4080 : 1736 : return F3_card(b2,b4,b6);
4081 : : }
4082 : :
4083 : : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
4084 : : static long
4085 : 2156 : get_vu_p_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
4086 : : {
4087 : 2156 : GEN c6 = ell_get_c6(E), D = ell_get_disc(E);
4088 : 2156 : long d, v6, vD = Z_lval(D,p);
4089 [ + + ]: 2156 : if (!signe(c6))
4090 : : {
4091 : 350 : d = vD / 12;
4092 [ - + ]: 350 : if (d)
4093 : : {
4094 [ # # ]: 0 : if (p == 2)
4095 : : {
4096 : 0 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4097 : 0 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4098 [ # # ]: 0 : if (a) d--;
4099 : : }
4100 [ # # ]: 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
4101 : : }
4102 : 350 : v6 = 12; /* +oo */
4103 : : }
4104 : : else
4105 : : {
4106 : 1806 : v6 = Z_lval(c6,p);
4107 : 1806 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
4108 [ + + ]: 1806 : if (d) {
4109 [ + + ]: 616 : if (p == 2) {
4110 : 287 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4111 : 287 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4112 : 287 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4113 [ + + ][ + + ]: 287 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
[ + + ][ + + ]
4114 [ + + ]: 329 : } else if (p == 3) {
4115 [ - + ]: 182 : if (v6 == 6*d+2) d--;
4116 : : }
4117 [ + + ]: 616 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4118 : : }
4119 : : }
4120 : 2156 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
4121 : : }
4122 : :
4123 : : static ulong
4124 : 84 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4125 : :
4126 : : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4127 : : static void
4128 : 28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4129 : : {
4130 : 28 : min_set_u(M, int2n(d));
4131 : 28 : min_set_c(M, E);
4132 : 28 : min_set_b(M);
4133 : 28 : min_set_a(M);
4134 : 28 : }
4135 : : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4136 : : static void
4137 : 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4138 : : {
4139 : 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4140 : 140 : min_set_c(M, E);
4141 : 140 : min_set_b(M);
4142 : 140 : }
4143 : :
4144 : : static long
4145 : 1939 : is_minimal_ap_small(GEN E, ulong p, int *good_red)
4146 : : {
4147 : 1939 : long vc6, vD, d = get_vu_p_small(E, p, &vc6, &vD);
4148 [ + + ]: 1939 : if (vD) /* bad reduction */
4149 : : {
4150 : : GEN c6;
4151 : : long s;
4152 : 1631 : *good_red = 0;
4153 [ + + ]: 1631 : if (vc6) return 0;
4154 : 721 : c6 = ell_get_c6(E);
4155 [ + + ]: 721 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4156 : 721 : s = kroiu(c6,p);
4157 [ + + ]: 721 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4158 : 721 : return s;
4159 : : }
4160 : 308 : *good_red = 1;
4161 [ + + ]: 308 : if (p == 2)
4162 : : {
4163 : : ellmin_t M;
4164 [ - + ]: 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4165 : 21 : min_set_2(&M, E, d);
4166 : 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4167 : : }
4168 [ + + ]: 287 : else if (p == 3)
4169 : : {
4170 : : ellmin_t M;
4171 [ - + ]: 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4172 : 140 : min_set_3(&M, E, d);
4173 : 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4174 : : }
4175 : : else
4176 : : {
4177 : : ellmin_t M;
4178 : 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4179 : 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4180 : 147 : min_set_c(&M, E);
4181 : 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4182 : 1939 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4183 : : }
4184 : : }
4185 : :
4186 : : static GEN
4187 : 973 : is_minimal_ap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4188 : : {
4189 : : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4190 : : long vc6, vD, d;
4191 [ + - ]: 973 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( is_minimal_ap_small(E, p[2], good_red) );
4192 : 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4193 : 0 : D = ell_get_disc(E);
4194 : 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4195 : 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4196 [ # # ]: 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4197 [ # # ]: 0 : if (vD) /* bad reduction */
4198 : : {
4199 : : long s;
4200 : 0 : *good_red = 0;
4201 [ # # ]: 0 : if (vc6) return gen_0;
4202 [ # # ]: 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4203 : 0 : s = kronecker(c6,p);
4204 [ # # ]: 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4205 [ # # ]: 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4206 : : }
4207 : 0 : *good_red = 1;
4208 : 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4209 [ # # ]: 0 : if (d)
4210 : : {
4211 : 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4212 : 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4213 : 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4214 : : }
4215 : 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4216 : 973 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4217 : : }
4218 : :
4219 : : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm */
4220 : : static GEN
4221 : 453236 : get_u(GEN E, GEN *pc4c6P, GEN P)
4222 : : {
4223 : : pari_sp av;
4224 : : GEN c4, c6, g, u, D, c4c6P;
4225 : : long l, k;
4226 : :
4227 : 453236 : D = ell_get_disc(E);
4228 : 453236 : c4 = ell_get_c4(E);
4229 : 453236 : c6 = ell_get_c6(E);
4230 [ + - ]: 453236 : if (!P) P = gel(Z_factor(gcdii(c4,c6)),1); /* primes dividing gcd(c4,c6) */
4231 : 453236 : l = lg(P);
4232 : 453236 : c4c6P = vectrunc_init(l); settyp(c4c6P,t_COL);
4233 : 453236 : av = avma;
4234 : 453236 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4235 : 453236 : u = gen_1;
4236 [ + + ]: 955598 : for (k = 1; k < l; k++)
4237 : : {
4238 : 502362 : GEN p = gel(P, k);
4239 : 502362 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4240 [ + + ]: 502362 : if (!d) { vectrunc_append(c4c6P, p); continue; }
4241 [ + + + ]: 58023 : switch(itou_or_0(p))
4242 : : {
4243 : : case 2:
4244 : : {
4245 : : long a, b;
4246 : 56147 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4247 : 56147 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4248 [ + + ][ + + ]: 56147 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
[ + + ][ + + ]
4249 : 56147 : break;
4250 : : }
4251 : : case 3:
4252 [ + + ]: 1869 : if (Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4253 : 1869 : break;
4254 : : }
4255 [ + + ]: 58023 : if (r) vectrunc_append(c4c6P, p);
4256 [ + + ]: 58023 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
4257 : : }
4258 : 453236 : *pc4c6P = c4c6P;
4259 : 453236 : return gerepileuptoint(av, u);
4260 : : }
4261 : :
4262 : : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
4263 : : * ellminimalmodel(E) */
4264 : : static GEN
4265 : 453593 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4266 : : {
4267 : 453593 : pari_sp av = avma;
4268 : : GEN S, y, e, v, v0, u;
4269 : : GEN c4c6P;
4270 : : ellmin_t M;
4271 [ + + ]: 453593 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4272 : : {
4273 [ + + ]: 357 : if (lg(S) != 2)
4274 : : {
4275 : 147 : E = gel(S,3);
4276 : 147 : v = gel(S,2);
4277 : : }
4278 : : else
4279 : 210 : v = init_ch();
4280 [ + - ]: 357 : if (ptv) *ptv = v;
4281 : 357 : return gcopy(E);
4282 : : }
4283 : 453236 : e = ellintegralmodel(E, &v0);
4284 : 453236 : u = get_u(e, &c4c6P, NULL);
4285 : 453236 : min_set_u(&M, u);
4286 : 453236 : min_set_c(&M, e);
4287 : 453236 : min_set_D(&M, e);
4288 : 453236 : min_set_b(&M);
4289 : 453236 : min_set_a(&M);
4290 : 453236 : y = min_to_ell(&M, e);
4291 : 453236 : v = min_get_v(&M, e);
4292 [ + + ]: 453236 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4293 [ + + ]: 453236 : if (is_trivial_change(v))
4294 : 453026 : S = mkvec(c4c6P);
4295 : : else
4296 : 210 : S = mkvec3(c4c6P, v, y);
4297 : 453236 : S = gclone(S);
4298 : 453236 : y = gerepilecopy(av, y);
4299 : 453236 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4300 [ + + ]: 453236 : *ptv = lg(S) == 2? init_ch(): gel(S,2);
4301 : 453593 : return y;
4302 : : }
4303 : : GEN
4304 : 105 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4305 : : {
4306 : : GEN S, y, v;
4307 : 105 : checkell_Q(E);
4308 : 98 : y = ellminimalmodel_i(E, &v);
4309 [ + + ]: 98 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
4310 [ + + ]: 98 : if (ptv) *ptv = gcopy(v);
4311 : 98 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4312 : 98 : obj_insert(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4313 : 98 : return y;
4314 : : }
4315 : :
4316 : : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
4317 : : * update type-dependant components.
4318 : : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
4319 : : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
4320 : : * N = arithmetic conductor of E
4321 : : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
4322 : : * fa = factorization of N
4323 : : * L = list of localred(E,p) for p | N.
4324 : : * Return standard minimal model (a1,a3 = 0 or 1, a2 = -1, 0 or 1) */
4325 : : static GEN
4326 : 453208 : ellglobalred_all(GEN e, GEN *pgr, GEN *pv)
4327 : : {
4328 : : long k, l, iN;
4329 : : GEN S, E, c, L, P, NP, NE, D;
4330 : :
4331 : 453208 : E = ellminimalmodel_i(e, pv);
4332 : 453208 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4333 : 453208 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* prime divisors of (c4,c6) */
4334 : 453208 : D = ell_get_disc(E);
4335 [ + + ]: 955346 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
4336 [ + + ]: 453208 : if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absi_factor(D),1)) );
4337 : 453208 : l = lg(P); c = gen_1;
4338 : 453208 : iN = 1;
4339 : 453208 : NP = cgetg(l, t_COL);
4340 : 453208 : NE = cgetg(l, t_COL);
4341 : 453208 : L = cgetg(l, t_VEC);
4342 [ + + ]: 2029167 : for (k = 1; k < l; k++)
4343 : : {
4344 : 1575959 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
4345 [ + + ]: 1575959 : if (signe(ex))
4346 : : {
4347 : 1480962 : gel(NP, iN) = p;
4348 : 1480962 : gel(NE, iN) = ex;
4349 : 1480962 : gel(L, iN) = q; iN++;
4350 : 1480962 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
4351 : 1480962 : c = mulii(c, gel(q,4));
4352 : : }
4353 : : }
4354 : 453208 : setlg(L, iN);
4355 : 453208 : setlg(NP, iN);
4356 : 453208 : setlg(NE, iN);
4357 : 453208 : *pgr = mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
4358 : 453208 : return E;
4359 : : }
4360 : : static GEN
4361 : 453194 : doellglobalred(GEN E)
4362 : : {
4363 : : GEN v, gr;
4364 : 453194 : E = ellglobalred_all(E, &gr, &v);
4365 : 453194 : return gr;
4366 : : }
4367 : : static GEN
4368 : 454804 : ellglobalred_i(GEN E)
4369 : 454804 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &doellglobalred); }
4370 : : GEN
4371 : 452956 : ellglobalred(GEN E)
4372 : : {
4373 : 452956 : pari_sp av = avma;
4374 : : GEN S, gr, v;
4375 : 452956 : checkell_Q(E); gr = ellglobalred_i(E);
4376 : 452956 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4377 [ + + ]: 452956 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
4378 : 452956 : return gerepilecopy(av, mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4)));
4379 : : }
4380 : :
4381 : : static GEN doellrootno(GEN e);
4382 : : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
4383 : : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
4384 : : * and E (shallow insert) */
4385 : : GEN
4386 : 868 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
4387 : : {
4388 : 868 : GEN E, S, v = NULL;
4389 : 868 : checkell_Q(e);
4390 [ + + ]: 868 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
4391 : : {
4392 : 259 : E = ellminimalmodel_i(e, &v);
4393 : 259 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4394 : 259 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4395 : : }
4396 [ + + ]: 609 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
4397 : 595 : E = e;
4398 : : else
4399 : : {
4400 : 14 : v = gel(S,2);
4401 : 14 : E = gcopy(gel(S,3));
4402 : 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4403 : : }
4404 [ + + ]: 868 : if (ch) *ch = v;
4405 : 868 : S = ellglobalred_i(e);
4406 [ + + ]: 868 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
4407 : 868 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
4408 [ + + ]: 868 : if (!S)
4409 : : {
4410 : 287 : S = doellrootno(E);
4411 : 287 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
4412 : : }
4413 [ + + ]: 868 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
4414 : 868 : return E;
4415 : : }
4416 : :
4417 : : /********************************************************************/
4418 : : /** **/
4419 : : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
4420 : : /** **/
4421 : : /********************************************************************/
4422 : : /* x a t_INT */
4423 : : static long
4424 : 651 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
4425 : : {
4426 : : long v;
4427 : : GEN z;
4428 [ + + ]: 651 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
4429 : 539 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
4430 : 651 : *u = umodiu(z,pk); return v;
4431 : : }
4432 : : static void
4433 : 217 : val_init(GEN e, long p, long pk,
4434 : : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
4435 : : {
4436 : 217 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
4437 : 217 : pari_sp av = avma;
4438 : 217 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
4439 : 217 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
4440 : 217 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
4441 : 217 : }
4442 : :
4443 : : static long
4444 : 217 : kod_23(GEN e, long p)
4445 : : {
4446 : : GEN S, nv;
4447 [ + + ]: 217 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
4448 : : {
4449 : 196 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
4450 [ + + ]: 196 : nv = equaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
4451 : : }
4452 : : else
4453 : 21 : nv = localred_23(e, p);
4454 : 217 : return itos(gel(nv,2));
4455 : : }
4456 : :
4457 : : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
4458 : : static long
4459 : 133 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
4460 : : {
4461 [ + + ]: 133 : if (kod > 4) return 1;
4462 [ - - + + : 112 : switch(kod)
- + - + +
- - - ]
4463 : : {
4464 [ # # ]: 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
4465 : : case 2:
4466 [ # # ]: 0 : if (vD==4) return 1;
4467 : : else
4468 : : {
4469 [ # # ]: 0 : if (vD==7) return 3;
4470 [ # # ]: 0 : else return v4==4 ? 2 : 4;
4471 : : }
4472 : : case 3:
4473 [ + - + - ]: 56 : switch(vD)
4474 : : {
4475 : 42 : case 6: return 3;
4476 : 0 : case 8: return 4;
4477 : 14 : case 9: return 5;
4478 [ # # ]: 0 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
4479 : : }
4480 [ + - ]: 21 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
4481 : : case -1:
4482 [ # # # ]: 0 : switch(vD)
4483 : : {
4484 : 0 : case 9: return 2;
4485 : 0 : case 10: return 4;
4486 [ # # ]: 0 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
4487 : : }
4488 : : case -2:
4489 [ + - - ]: 7 : switch(vD)
4490 : : {
4491 : 7 : case 12: return 2;
4492 : 0 : case 14: return 3;
4493 : 0 : default: return 1;
4494 : : }
4495 : : case -3:
4496 [ # # # # ]: 0 : switch(vD)
4497 : : {
4498 : 0 : case 12: return 2;
4499 : 0 : case 14: return 3;
4500 : 0 : case 15: return 4;
4501 : 0 : default: return 1;
4502 : : }
4503 [ - + ]: 21 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
4504 [ + - ][ - + ]: 7 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
4505 : : case -6:
4506 [ # # # ]: 0 : switch(vD)
4507 : : {
4508 : 0 : case 12: return 2;
4509 : 0 : case 13: return 3;
4510 [ # # ]: 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
4511 : : }
4512 [ # # ][ # # ]: 0 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
4513 [ # # ]: 133 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
4514 : : }
4515 : : }
4516 : : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
4517 : : static long
4518 : 70 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
4519 : : {
4520 [ + + ]: 70 : if (labs(kod) > 4) return 1;
4521 [ + - + + ]: 56 : switch(kod)
4522 : : {
4523 [ + - ]: 28 : case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
4524 [ # # ]: 0 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
4525 : : case -4: case 2:
4526 [ - - + ]: 21 : switch (vD%6)
4527 : : {
4528 : 0 : case 4: return 3;
4529 : 0 : case 5: return 4;
4530 [ - + ]: 21 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
4531 : : }
4532 : : default: /* kod = -2 et 4 */
4533 [ - - + ]: 7 : switch (vD%6)
4534 : : {
4535 : 0 : case 0: return 2;
4536 : 0 : case 1: return 3;
4537 : 70 : default: return 1;
4538 : : }
4539 : : }
4540 : : }
4541 : :
4542 : : static long
4543 : 133 : ellrootno_2(GEN e)
4544 : : {
4545 : : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
4546 : 133 : long d = get_vu_p_small(e, 2, &v6, &vD);
4547 : :
4548 [ - + ]: 133 : if (!vD) return 1;
4549 [ + + ]: 133 : if (d) { /* not minimal */
4550 : : ellmin_t M;
4551 : 7 : min_set_2(&M, e, d);
4552 : 7 : min_set_D(&M, e);
4553 : 7 : e = min_to_ell(&M, e);
4554 : : }
4555 : 133 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
4556 : 133 : kod = kod_23(e,2);
4557 : 133 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
4558 [ + + ]: 133 : if (kod>=5)
4559 : : {
4560 : : long a2, a3;
4561 : 21 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
4562 : 21 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
4563 [ + + ]: 21 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
4564 : : }
4565 [ - + ][ # # ]: 112 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
4566 : 112 : x1 = u+v+v;
4567 [ - - + - : 112 : switch(kod)
+ - + - -
- - + ]
4568 : : {
4569 : 0 : case 1: return 1;
4570 : : case 2:
4571 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
4572 : : {
4573 : : case 1:
4574 [ # # # ]: 0 : switch(v4)
4575 : : {
4576 : 0 : case 4: return kross(-1,u);
4577 : 0 : case 5: return 1;
4578 : 0 : default: return -1;
4579 : : }
4580 [ # # ]: 0 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
4581 [ # # ][ # # ]: 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
4582 [ # # ]: 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
4583 [ # # ]: 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
4584 : : }
4585 : : case 3:
4586 [ - - + - : 56 : switch(n2)
+ - ]
4587 : : {
4588 : 0 : case 1: return -kross(2,u*v);
4589 : 0 : case 2: return -kross(2,v);
4590 : 42 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
4591 [ + - ][ + + ]: 42 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
4592 [ # # ][ # # ]: 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
4593 [ - + ]: 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
4594 : : }
4595 : : case -1:
4596 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
4597 : : {
4598 : 0 : case 1: return -kross(2,x1);
4599 [ # # ][ # # ]: 0 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
4600 [ # # ]: 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
4601 [ # # ]: 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
4602 [ # # ]: 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
4603 : : }
4604 [ - + ]: 7 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
4605 : : case -3:
4606 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
4607 : : {
4608 [ # # ]: 0 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
4609 [ # # ][ # # ]: 0 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
4610 : 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
4611 : 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
4612 [ # # ]: 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
4613 : : }
4614 : : case -5:
4615 [ + - ][ - + ]: 7 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
4616 : 0 : else return -kross(2,2*u+v);
4617 : : case -6:
4618 [ # # # # ]: 0 : switch(n2)
4619 : : {
4620 : 0 : case 1: return 1;
4621 [ # # ]: 0 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
4622 [ # # ][ # # ]: 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
4623 : : }
4624 : : case -7:
4625 [ # # ]: 0 : if (n2==1) return 1;
4626 : : else
4627 : : {
4628 : 0 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
4629 [ # # ][ # # ]: 0 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
[ # # ]
4630 [ # # ][ # # ]: 0 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
4631 : : }
4632 [ # # ]: 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
4633 [ # # ]: 0 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
4634 : 133 : default: return -1;
4635 : : }
4636 : : }
4637 : :
4638 : : static long
4639 : 84 : ellrootno_3(GEN e)
4640 : : {
4641 : : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
4642 : 84 : long d = get_vu_p_small(e, 3, &v6, &vD);
4643 : :
4644 [ - + ]: 84 : if (!vD) return 1;
4645 [ - + ]: 84 : if (d) { /* not minimal */
4646 : : ellmin_t M;
4647 : 0 : min_set_3(&M, e, d);
4648 : 0 : min_set_a(&M);
4649 : 0 : min_set_D(&M, e);
4650 : 0 : e = min_to_ell(&M, e);
4651 : : }
4652 : 84 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
4653 : 84 : kod = kod_23(e,3);
4654 [ + + ]: 84 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
4655 : 70 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
4656 : 70 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
4657 [ - - + - : 70 : switch(kod)
+ + ]
4658 : : {
4659 : 0 : case 1: case 3: case -3: return 1;
4660 : : case 2:
4661 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
4662 : : {
4663 [ # # ][ # # ]: 0 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
4664 : 0 : case 2: return -K4*K6;
4665 : 0 : case 3: return 1;
4666 : 0 : case 4: return -K6;
4667 : : }
4668 : : case 4:
4669 [ + - - - ]: 7 : switch(n2)
4670 : : {
4671 : 7 : case 1: return K6*kross(D1,3);
4672 : 0 : case 2: return -K4;
4673 : 0 : case 3: return -K6;
4674 : : }
4675 [ # # ]: 0 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
4676 : : case -4:
4677 [ + - - - : 21 : switch(n2)
- ]
4678 : : {
4679 : : case 1:
4680 [ - + ][ # # ]: 21 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
[ # # ]
4681 [ + - ][ + - ]: 21 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
4682 : 0 : case 2: return -K6;
4683 [ # # ][ # # ]: 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
4684 : 0 : case 4: return K6;
4685 : : }
4686 : 84 : default: return -1;
4687 : : }
4688 : : }
4689 : :
4690 : : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
4691 : : static long
4692 : 427 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
4693 : : {
4694 : : long nuj, nuD, nu;
4695 : 427 : GEN D = ell_get_disc(e);
4696 : : long ep, z;
4697 : :
4698 : 427 : nuD = Q_pval(D, p);
4699 [ - + ]: 427 : if (!nuD) return 1;
4700 : 427 : nuj = j_pval(e, p);
4701 : 427 : nu = (nuD - nuj) % 12;
4702 [ + + ]: 427 : if (nu == 0)
4703 : : {
4704 : : GEN c6;
4705 : : long d, vg;
4706 [ - + ]: 259 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
4707 : : /* p || N */
4708 : 259 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
4709 : 259 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
4710 : 259 : d = vg / 12;
4711 [ + + ]: 259 : if (d)
4712 : : {
4713 : 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
4714 [ + - ]: 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
4715 : : }
4716 [ - + ]: 259 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
4717 : : /* c6 in minimal model */
4718 : 259 : return -kronecker(negi(c6), p);
4719 : : }
4720 [ + + ]: 168 : if (nuj) return krosi(-1,p);
4721 : 140 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
4722 [ + + ][ + + ]: 140 : if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
4723 : 427 : return krosi(-z, p);
4724 : : }
4725 : :
4726 : : static GEN
4727 : 301 : doellrootno(GEN e)
4728 : : {
4729 : : GEN S, V, v, P;
4730 : 301 : long i, l, s = -1;
4731 [ + + ]: 301 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
4732 : : {
4733 : 287 : GEN S2 = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
4734 [ - + ]: 287 : if (lg(S2) != 2) e = gel(S2,3);
4735 : : }
4736 : : else
4737 : : {
4738 : 14 : GEN E = ellglobalred_all(e, &S, &v);
4739 : 14 : obj_insert(e, Q_GLOBALRED, S);
4740 : 14 : e = E;
4741 : : }
4742 : 301 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
4743 : 301 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
4744 [ + + ]: 924 : for (i = 1; i < l; i++)
4745 : : {
4746 : 623 : GEN p = gel(P,i);
4747 : : long t;
4748 [ + + + ]: 623 : switch(itou_or_0(p))
4749 : : {
4750 : 119 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
4751 : 84 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
4752 : 420 : default:t = ellrootno_p(e, p);
4753 : : }
4754 : 623 : V[i] = t; s *= t;
4755 : : }
4756 : 301 : return mkvec2(stoi(s), V);
4757 : : }
4758 : : long
4759 : 539 : ellrootno_global(GEN e)
4760 : : {
4761 : 539 : pari_sp av = avma;
4762 : 539 : GEN S = obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno);
4763 : 539 : avma = av; return itos(gel(S,1));
4764 : : }
4765 : :
4766 : : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
4767 : : * Global if p==1 or NULL. */
4768 : : long
4769 : 42 : ellrootno(GEN e, GEN p)
4770 : : {
4771 : 42 : pari_sp av = avma;
4772 : : GEN S;
4773 : : long s;
4774 : 42 : checkell_Q(e);
4775 [ + + ][ - + ]: 42 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
4776 [ - + ]: 28 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
4777 [ - + ]: 28 : if (signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
4778 [ - + ]: 28 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
4779 [ + + ]: 28 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
4780 : : {
4781 : 7 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
4782 : 7 : long i, l = lg(NP);
4783 [ + - ]: 7 : for (i = 1; i < l; i++)
4784 : : {
4785 : 7 : GEN q = gel(NP,i);
4786 [ + - ]: 7 : if (equalii(p, q)) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
4787 : : }
4788 : 0 : return 1;
4789 : : }
4790 [ + - + ]: 21 : switch(itou_or_0(p))
4791 : : {
4792 : : case 2:
4793 : 14 : e = ellintegralmodel(e, NULL);
4794 : 14 : s = ellrootno_2(e); break;
4795 : : case 3:
4796 : 0 : e = ellintegralmodel(e, NULL);
4797 : 0 : s = ellrootno_3(e); break;
4798 : : default:
4799 : 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
4800 : : }
4801 : 42 : avma = av; return s;
4802 : : }
4803 : :
4804 : : /********************************************************************/
4805 : : /** **/
4806 : : /** TRACE OF FROBENIUS **/
4807 : : /** **/
4808 : : /********************************************************************/
4809 : :
4810 : : /* assume p does not divide disc E */
4811 : : long
4812 : 132542 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
4813 : : {
4814 : : ulong a4, a6;
4815 [ + + ]: 132542 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
4816 [ + + ]: 132332 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
4817 : 131947 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
4818 : 132542 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
4819 : : }
4820 : :
4821 : : static void
4822 : 1106 : checkell_int(GEN e)
4823 : : {
4824 : 1106 : checkell_Q(e);
4825 [ + - + - ]: 2212 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
4826 [ + - ]: 2212 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
4827 [ + - ]: 2212 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
4828 [ - + ]: 2212 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
4829 : 1106 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("anellsmall [not an integral model]",e);
4830 : 1106 : }
4831 : :
4832 : : long
4833 : 658 : ellQ_get_CM(GEN e)
4834 : : {
4835 : 658 : GEN j = ell_get_j(e);
4836 : 658 : long CM = 0;
4837 [ + + ][ + + : 658 : if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
+ + + + +
+ + + + +
+ - ]
4838 : : {
4839 : : case 0:
4840 [ + + ]: 30 : if (!signe(j)) CM = -3;
4841 : 30 : break;
4842 : 63 : case 1728: CM = -4; break;
4843 : 7 : case -3375: CM = -7; break;
4844 : 7 : case 8000: CM = -8; break;
4845 : 7 : case 54000: CM = -12; break;
4846 : 7 : case -32768: CM = -11; break;
4847 : 7 : case 287496: CM = -16; break;
4848 : 7 : case -884736: CM = -19; break;
4849 : 7 : case -12288000: CM = -27; break;
4850 : 7 : case 16581375: CM = -28; break;
4851 : 7 : case -884736000: CM = -43; break;
4852 : : #ifdef LONG_IS_64BIT
4853 : 6 : case -147197952000: CM = -67; break;
4854 : 6 : case -262537412640768000: CM = -163; break;
4855 : : #endif
4856 : : }
4857 : 658 : return CM;
4858 : : }
4859 : : GEN
4860 : 413 : anellsmall(GEN e, long n0)
4861 : : {
4862 : : pari_sp av;
4863 : 413 : ulong p, m, SQRTn, n = (ulong)n0;
4864 : : GEN an, D;
4865 : : long CM;
4866 : :
4867 : 413 : checkell_int(e);
4868 [ - + ]: 413 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
4869 [ - + ]: 413 : if (n >= LGBITS)
4870 : 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
4871 : 413 : SQRTn = (ulong)sqrt(n);
4872 : 413 : D = ell_get_disc(e);
4873 : 413 : CM = ellQ_get_CM(e);
4874 : :
4875 : 413 : an = cgetg(n+1,t_VECSMALL); an[1] = 1;
4876 : 413 : av = avma;
4877 [ + + ]: 1187947 : for (p=2; p <= n; p++) an[p] = LONG_MAX; /* not computed yet */
4878 [ + + ]: 1187947 : for (p=2; p<=n; p++)
4879 : : {
4880 : : long ap;
4881 [ + + ]: 1187534 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
4882 [ + + ]: 132136 : if (!umodiu(D,p)) /* p | D, bad reduction or non-minimal model */
4883 : : {
4884 : : int good_red;
4885 : 966 : ap = is_minimal_ap_small(e, p, &good_red);
4886 [ + + ]: 966 : if (good_red) goto GOOD_RED;
4887 [ + + + - ]: 910 : switch (ap) /* (-c6/p) */
4888 : : {
4889 : : case -1: { /* non-split */
4890 : 196 : ulong N = n/p;
4891 [ + + ]: 403324 : for (m=1; m<=N; m++)
4892 [ + + ]: 403128 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
4893 : 196 : break;
4894 : : }
4895 : : case 0: /* additive */
4896 [ + + ]: 415459 : for (m=p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
4897 : 609 : break;
4898 : : case 1: { /* split */
4899 : 105 : ulong N = n/p;
4900 [ + + ]: 2502 : for (m=1; m<=N; m++)
4901 [ + + ]: 2397 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
4902 : 966 : break;
4903 : : }
4904 : : }
4905 : : }
4906 : : else /* good reduction */
4907 : : {
4908 : 131170 : ap = ellap_CM_fast(e, p, CM);
4909 : : GOOD_RED:
4910 [ + + ]: 131226 : if (p <= SQRTn) {
4911 : 2811 : ulong pk, oldpk = 1;
4912 [ + + ]: 10868 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
4913 : : {
4914 [ + + ]: 8057 : if (pk == p)
4915 : 2811 : an[pk] = ap;
4916 : : else
4917 : 5246 : an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
4918 [ + + ]: 1728495 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
4919 [ + + ][ + + ]: 1720438 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
4920 : : }
4921 : : } else {
4922 : 128415 : an[p] = ap;
4923 [ + + ]: 746372 : for (m = n/p; m > 1; m--)
4924 [ + - ]: 617957 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
4925 : : }
4926 : : }
4927 : : }
4928 : 413 : avma = av; return an;
4929 : : }
4930 : :
4931 : : GEN
4932 : 133 : anell(GEN e, long n0)
4933 : : {
4934 : 133 : GEN v = anellsmall(e, n0);
4935 : : long i;
4936 [ + + ]: 21952 : for (i = 1; i <= n0; i++) gel(v,i) = stoi(v[i]);
4937 : 133 : settyp(v, t_VEC); return v;
4938 : : }
4939 : :
4940 : : static GEN
4941 : 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
4942 : : {
4943 : : GEN u, v, w;
4944 : : long j;
4945 [ + + ]: 735 : if (e == 1) return ap;
4946 : 112 : u = ap;
4947 : 112 : w = subii(sqri(ap), p);
4948 [ + + ]: 126 : for (j=3; j<=e; j++)
4949 : : {
4950 : 14 : v = u; u = w;
4951 : 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
4952 : : }
4953 : 735 : return w;
4954 : : }
4955 : :
4956 : : GEN
4957 : 693 : akell(GEN e, GEN n)
4958 : : {
4959 : : long i, j, s;
4960 : 693 : pari_sp av = avma;
4961 : : GEN fa, P, E, D, u, y;
4962 : :
4963 : 693 : checkell_int(e);
4964 [ - + ]: 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
4965 [ - + ]: 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
4966 [ - + ]: 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
4967 : 693 : D = ell_get_disc(e);
4968 : 693 : u = coprime_part(n, D);
4969 : 693 : y = gen_1;
4970 : 693 : s = 1;
4971 [ + + ]: 693 : if (!equalii(u, n))
4972 : : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
4973 : 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
4974 : 441 : P = gel(fa,1);
4975 : 441 : E = gel(fa,2);
4976 [ + + ]: 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
4977 : : {
4978 : 581 : GEN p = gel(P,i);
4979 : 581 : long ex = itos(gel(E,i));
4980 : : int good_red;
4981 : 581 : GEN ap = is_minimal_ap(e,p,&good_red);
4982 [ + + ]: 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
4983 : 350 : j = signe(ap);
4984 [ - + ]: 350 : if (!j) { avma = av; return gen_0; }
4985 [ + + ][ - + ]: 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
4986 : : }
4987 : : }
4988 [ - + ]: 693 : if (s < 0) y = negi(y);
4989 : 693 : fa = Z_factor(u);
4990 : 693 : P = gel(fa,1);
4991 : 693 : E = gel(fa,2);
4992 [ + + ]: 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
4993 : : { /* good reduction */
4994 : 504 : GEN p = gel(P,i);
4995 : 504 : GEN ap = ellap(e,p);
4996 : 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
4997 : : }
4998 : 693 : return gerepileuptoint(av,y);
4999 : : }
5000 : :
5001 : : GEN
5002 : 945 : ellQ_get_N(GEN e)
5003 : 945 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
5004 : : void
5005 : 35 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
5006 : 35 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
5007 : :
5008 : : GEN
5009 : 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
5010 : : {
5011 : 14 : pari_sp av = avma, av1;
5012 : : ulong l, n;
5013 : : long eps, flun;
5014 : : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
5015 : :
5016 [ + + ]: 14 : if (!A) A = gen_1;
5017 : : else
5018 : : {
5019 [ - + ]: 7 : if (gsigne(A)<=0)
5020 : 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
5021 [ - + ]: 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
5022 : : }
5023 [ + - ][ - + ]: 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
5024 [ + + ][ - + ]: 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
5025 : 14 : checkell_Q(e);
5026 : 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
5027 : 14 : N = ellQ_get_N(e);
5028 : 14 : eps = ellrootno_global(e);
5029 [ - + ][ # # ]: 14 : if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
5030 : :
5031 : 14 : gs = ggamma(s, prec);
5032 : 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
5033 : 14 : cga = gmul(cg, A);
5034 : 14 : cgb = gdiv(cg, A);
5035 : 14 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
5036 : 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
5037 : 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
5038 [ - + ]: 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
5039 : 14 : v = anellsmall(e, minss(l,LGBITS-1));
5040 : 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
5041 [ + - ]: 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
5042 : 14 : z = gen_0;
5043 : 14 : av1 = avma;
5044 [ + + ]: 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
5045 : : {
5046 : 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
5047 [ + - ]: 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
5048 [ + + ]: 1330 : if (!signe(an)) continue;
5049 : :
5050 : 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
5051 : 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
5052 [ - + ]: 1106 : if (flun)
5053 : 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
5054 : : else
5055 : : {
5056 : 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
5057 [ + - ]: 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
5058 : 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
5059 : : }
5060 : 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
5061 [ - + ]: 1106 : if (gc_needed(av1,1))
5062 : : {
5063 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
5064 : 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
5065 : : }
5066 : : }
5067 : 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
5068 : : }
5069 : :
5070 : : /********************************************************************/
5071 : : /** **/
5072 : : /** CANONICAL HEIGHT **/
5073 : : /** **/
5074 : : /********************************************************************/
5075 : :
5076 : : static GEN
5077 [ + + ]: 329 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
5078 : :
5079 : : /* one root of X^2 - t X + c */
5080 : : static GEN
5081 : 973 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
5082 : : {
5083 : 973 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
5084 : : }
5085 : :
5086 : : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
5087 : : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
5088 : : static GEN
5089 : 973 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
5090 : : {
5091 : 973 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
5092 : 973 : long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
5093 : :
5094 [ + + ][ + - ]: 973 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
5095 : 973 : ab = ellR_ab(e, p);
5096 : 973 : a = gel(ab, 1);
5097 : 973 : b = gel(ab, 2);
5098 : 973 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
5099 : 973 : x = gsub(x, e1);
5100 : 973 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
5101 : :
5102 : 973 : x_a = gsub(x, a);
5103 [ + + ]: 973 : if (gsigne(a) > 0)
5104 : : {
5105 : 84 : GEN a0 = a;
5106 : 84 : x = gsub(x, b);
5107 : 84 : a = gneg(b);
5108 : 84 : b = gsub(a0, b);
5109 : : }
5110 : 973 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
5111 : 973 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
5112 : : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
5113 : 973 : for(n=0; ; n++)
5114 : : {
5115 : 5188 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
5116 : 5188 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
5117 : 5188 : r = gsub(a, a0);
5118 [ + + ][ + + ]: 5188 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
5119 : 4215 : ab = gmul(a0, b);
5120 : 4215 : b = gsqrt(ab, prec);
5121 : :
5122 : 4215 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
5123 : 4215 : p2 = gsqr(a);
5124 : 4215 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
5125 : 4215 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
5126 : 4215 : }
5127 [ + - ]: 973 : if (n) {
5128 : 973 : x = gel(V,n);
5129 [ + + ]: 4215 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
5130 : : } else {
5131 : 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
5132 : : }
5133 : : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
5134 : 1526 : return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
5135 [ + + ]: 1526 : : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
5136 : : }
5137 : : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
5138 : : static int
5139 : 973 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
5140 : : {
5141 : 973 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
5142 : 973 : return gcmp(x, e1) >= 0;
5143 : : }
5144 : :
5145 : : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
5146 : : static GEN
5147 : 973 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
5148 : : {
5149 : 973 : pari_sp av = avma;
5150 : : GEN h;
5151 : 973 : checkell_Q(E);
5152 [ + + ]: 973 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
5153 : : {
5154 : 420 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
5155 : : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
5156 : 420 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
5157 : : }
5158 : : else
5159 : 553 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
5160 [ + + ]: 973 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
5161 : 973 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
5162 : : }
5163 : : GEN
5164 : 868 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
5165 : :
5166 : : static GEN
5167 : 217 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
5168 [ + + ]: 217 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
5169 : : static GEN
5170 : 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
5171 : : {
5172 : 35 : pari_sp av = avma;
5173 : 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
5174 : 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
5175 : 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
5176 : : }
5177 : : GEN
5178 : 28 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
5179 [ - + ]: 28 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
5180 : : GEN
5181 : 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
5182 [ + + ]: 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
5183 : :
5184 : : GEN
5185 : 126 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
5186 : : {
5187 : : long i, lx;
5188 : 126 : pari_sp av = avma;
5189 : : GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
5190 : : GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
5191 : :
5192 : 126 : checkell_Q(e);
5193 : 126 : checkellpt(a);
5194 [ - + ]: 126 : if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
5195 [ + + ]: 126 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5196 : : { /* switch to minimal model if needed */
5197 [ + + ]: 98 : if (lg(S) != 2)
5198 : : {
5199 : 7 : v = gel(S,2);
5200 : 7 : e = gel(S,3);
5201 : 7 : a = ellchangepoint(a, v);
5202 : : }
5203 : : }
5204 : : else
5205 : : {
5206 : 28 : e = ellminimalmodel_i(e, &v);
5207 : 28 : a = ellchangepoint(a, v);
5208 : : }
5209 [ + + ]: 126 : if (!oncurve(e,a))
5210 : 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
5211 : 119 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
5212 [ + + ]: 119 : if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
5213 : 105 : x = gel(a,1);
5214 : 105 : y = gel(a,2);
5215 : 105 : b2 = ell_get_b2(e);
5216 : 105 : b4 = ell_get_b4(e);
5217 : 105 : b6 = ell_get_b6(e);
5218 : 105 : b8 = ell_get_b8(e);
5219 : 105 : psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
5220 : : poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
5221 : : );
5222 [ - + ]: 105 : if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
5223 : 105 : a1 = ell_get_a1(e);
5224 : 105 : a2 = ell_get_a2(e);
5225 : 105 : a4 = ell_get_a4(e);
5226 : 105 : phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
5227 : : poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
5228 : : );
5229 : 105 : c4 = ell_get_c4(e);
5230 : 105 : D = ell_get_disc(e);
5231 : 105 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
5232 : 105 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
5233 : 105 : lx = lg(Lp);
5234 [ + + ]: 217 : for (i=1; i<lx; i++)
5235 : : {
5236 : 112 : GEN p = gel(Lp,i);
5237 : : long u, v, n, n2;
5238 [ + + ]: 112 : if (signe(remii(c4,p)))
5239 : : { /* p \nmid c4 */
5240 : 35 : long N = Z_pval(D,p);
5241 [ - + ]: 35 : if (!N) continue;
5242 : 35 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
5243 [ - + ]: 35 : if (n > N) n = N;
5244 : 35 : u = n * ((N<<1) - n);
5245 : 35 : v = N << 3;
5246 : : }
5247 : : else
5248 : : {
5249 : 77 : n2 = Z_pval(psi2, p);
5250 : 77 : n = Z_pval(psi3, p);
5251 [ + + ]: 77 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
5252 : : }
5253 : : /* z -= u log(p) / v */
5254 : 112 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
5255 : : }
5256 : 119 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
5257 : : }
5258 : :
5259 : : GEN
5260 : 28 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
5261 : : {
5262 : : GEN y, D;
5263 : 28 : long lx = lg(x), i, j;
5264 : 28 : pari_sp av = avma;
5265 : :
5266 [ - + ]: 28 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
5267 : 28 : D = cgetg(lx,t_VEC);
5268 : 28 : y = cgetg(lx,t_MAT);
5269 [ + + ]: 105 : for (i=1; i<lx; i++)
5270 : : {
5271 : 77 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
5272 : 77 : gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
5273 : : }
5274 [ + + ]: 105 : for (i=1; i<lx; i++)
5275 : : {
5276 : 77 : gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
5277 [ + + ]: 147 : for (j=i+1; j<lx; j++)
5278 : : {
5279 : 70 : GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
5280 : 70 : h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
5281 : 70 : gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
5282 : : }
5283 : : }
5284 : 28 : return gerepilecopy(av,y);
5285 : : }
5286 : : GEN
5287 : 7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
5288 : 7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
5289 : :
5290 : : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
5291 : : static GEN
5292 : 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
5293 : : {
5294 : 21 : long l = lg(P);
5295 [ - + ]: 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
5296 [ + + ]: 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
5297 : : else
5298 : : {
5299 : 7 : GEN y = cgetg(l, typ(P));
5300 : : long i;
5301 [ + + ]: 21 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
5302 : 21 : return y;
5303 : : }
5304 : : }
5305 : : static GEN
5306 : 7 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
5307 : : {
5308 : 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
5309 [ - + ]: 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
5310 [ - + ]: 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
5311 [ - + ]: 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
5312 [ - + ]: 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
5313 : 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
5314 [ - + ]: 7 : if (is_matvec_t(t2))
5315 : : {
5316 : 0 : t1 = typ(gel(P,1));
5317 [ # # ]: 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
5318 : 0 : return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
5319 : : }
5320 : 7 : return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
5321 : : }
5322 : : GEN
5323 : 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
5324 : 7 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
5325 : : /********************************************************************/
5326 : : /** **/
5327 : : /** Modular Parametrization **/
5328 : : /** **/
5329 : : /********************************************************************/
5330 : : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
5331 : : static GEN
5332 : 0 : triv_ser(GEN t, long v)
5333 : : {
5334 : 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
5335 : 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
5336 : 0 : gel(s,2) = t; return s;
5337 : : }
5338 : :
5339 : : GEN
5340 : 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
5341 : : {
5342 : : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
5343 : : long n, m;
5344 : 14 : pari_sp av = avma;
5345 : :
5346 : 14 : checkell_Q(e);
5347 [ + + ]: 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
5348 [ - + ]: 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
5349 : :
5350 : 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
5351 : 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
5352 : 7 : d = ginv(gtoser(anell(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
5353 : : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
5354 : : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
5355 : 7 : c = gsqr(d);
5356 : : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
5357 : : * Take derivative then divide by 2x':
5358 : : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
5359 : : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
5360 : : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
5361 : : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
5362 : : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
5363 : : * */
5364 : 7 : C = c+4;
5365 : 7 : X = x+4;
5366 : 7 : gel(X,-2) = gen_1;
5367 : 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
5368 : 7 : b2 = ell_get_b2(e);
5369 : 7 : b4 = ell_get_b4(e);
5370 [ + + ]: 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
5371 : : {
5372 : 105 : pari_sp av2 = avma;
5373 : : GEN s1, s2, s3;
5374 [ + + ]: 105 : if (n != 2)
5375 : : {
5376 : 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
5377 [ + + ]: 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
5378 : 98 : s2 = gen_0;
5379 [ + + ]: 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
5380 [ + + ]: 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
5381 : 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
5382 : 98 : s1 = gen_0;
5383 [ + + ]: 476 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
5384 : 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
5385 [ + + ]: 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
5386 : : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
5387 : 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
5388 : : }
5389 : : else
5390 : : {
5391 : 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
5392 : 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
5393 : 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
5394 : 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
5395 : 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
5396 : 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
5397 : 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
5398 : 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
5399 : 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
5400 : 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
5401 : : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
5402 : 7 : w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
5403 : : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
5404 : 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
5405 : : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
5406 : 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
5407 [ - + ]: 7 : s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
5408 : : }
5409 : 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
5410 : : }
5411 : 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
5412 : 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
5413 : 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
5414 : 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
5415 : 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
5416 : : }
5417 : :
5418 : : /********************************************************************/
5419 : : /** **/
5420 : : /** TORSION POINTS (over Q) **/
5421 : : /** **/
5422 : : /********************************************************************/
5423 : : static GEN
5424 : 903 : doellff_get_o(GEN E)
5425 : : {
5426 : 903 : GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
5427 : 903 : return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
5428 : : }
5429 : : GEN
5430 : 1183 : ellff_get_o(GEN E)
5431 : 1183 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
5432 : :
5433 : : GEN
5434 : 126 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
5435 : : {
5436 : 126 : pari_sp av = avma;
5437 : : GEN fg, r;
5438 : 126 : checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
5439 : 126 : fg = ellff_get_field(E);
5440 [ + + ]: 126 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
5441 [ + + ]: 126 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5442 : 84 : r = FF_elllog(E, a, g, o);
5443 : : else
5444 : : {
5445 : 42 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
5446 : 42 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
5447 : 42 : GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
5448 : 42 : r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
5449 : : }
5450 : 126 : return gerepileuptoint(av, r);
5451 : : }
5452 : :
5453 : : GEN
5454 : 252 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
5455 : : {
5456 : : GEN fg;
5457 : 252 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
5458 [ - + ]: 245 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
5459 : 245 : fg = ellff_get_field(E);
5460 [ + + ]: 245 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5461 : 7 : return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
5462 : : else
5463 : : {
5464 : 238 : pari_sp av = avma;
5465 : 238 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
5466 : 238 : GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
5467 : 476 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
5468 : 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
5469 : : }
5470 : : }
5471 : :
5472 : : GEN
5473 : 203 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
5474 : : {
5475 : : GEN fg;
5476 : 203 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
5477 [ - + ]: 203 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
5478 : 203 : fg = ellff_get_field(E);
5479 [ + + ]: 203 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5480 : 7 : return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
5481 : : else
5482 : : {
5483 : 196 : pari_sp av = avma;
5484 : 196 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
5485 : 196 : GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
5486 : 392 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
5487 : 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
5488 : : }
5489 : : }
5490 : :
5491 : : /* E/Q, return cardinality including the (possible) ramified point */
5492 : : static GEN
5493 : 2671354 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
5494 : : {
5495 : 2671354 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
5496 [ + + ]: 2671354 : if (!signe(D))
5497 : : {
5498 : 392 : pari_sp av = avma;
5499 : 392 : GEN ap = is_minimal_ap(E, p, good_red);
5500 : 392 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
5501 : : }
5502 : 2670962 : *good_red = 1;
5503 [ + + ]: 2670962 : if (equaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
5504 [ + + ]: 2670766 : if (equaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
5505 : 2669415 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
5506 : 2671354 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
5507 : : }
5508 : :
5509 : : static GEN
5510 : 2760972 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
5511 : : {
5512 : : GEN q;
5513 [ + + ]: 2760972 : if (p) switch(typ(p))
[ + - + ]
5514 : : {
5515 : : case t_INT:
5516 [ + + ]: 2694265 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
5517 : 2694258 : break;
5518 : : case t_VEC:
5519 : 0 : q = get_prid(p);
5520 [ # # ]: 0 : if (q) { p = q; break; }
5521 : 7 : default: pari_err_TYPE(s,p);
5522 : : }
5523 : 2760958 : checkell(E);
5524 [ + + + - ]: 2760958 : switch(ell_get_type(E))
5525 : : {
5526 : : case t_ELL_Qp:
5527 : 14 : q = ellQp_get_p(E);
5528 [ + + ][ - + ]: 14 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
5529 : 14 : return q;
5530 : :
5531 : : case t_ELL_Fp:
5532 : : case t_ELL_Fq:
5533 : 87399 : q = ellff_get_p(E);
5534 [ + + ][ - + ]: 87399 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
5535 : 87399 : return q;
5536 : : case t_ELL_NF:
5537 : : case t_ELL_Q:
5538 [ + + ]: 2673545 : if (p) return p;
5539 : : default:
5540 : 14 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
5541 : 2760944 : return NULL;/*not reached*/
5542 : : }
5543 : : }
5544 : :
5545 : : GEN
5546 : 2669331 : ellap(GEN E, GEN p)
5547 : : {
5548 : 2669331 : pari_sp av = avma;
5549 : : GEN q, card;
5550 : : int goodred;
5551 : 2669331 : p = checkellp(E, p, "ellap");
5552 [ + + + - ]: 2669310 : switch(ell_get_type(E))
5553 : : {
5554 : : case t_ELL_Fp:
5555 : 84 : q = p; card = ellff_get_card(E);
5556 : 84 : break;
5557 : : case t_ELL_Fq:
5558 : 14 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
5559 : 14 : break;
5560 : : case t_ELL_Q:
5561 : 2669212 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
5562 : 2669212 : break;
5563 : : default:
5564 : 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
5565 : 0 : return NULL; /*NOT REACHED*/
5566 : : }
5567 : 2669310 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
5568 : : }
5569 : :
5570 : : static GEN
5571 : 49704 : doellcard(GEN E)
5572 : : {
5573 : 49704 : GEN fg = ellff_get_field(E);
5574 [ + + ]: 49704 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5575 : 28935 : return FF_ellcard(E);
5576 : : else
5577 : : {
5578 : 20769 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
5579 : 49704 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
5580 : : }
5581 : : }
5582 : :
5583 : : GEN
5584 : 66329 : ellff_get_card(GEN E)
5585 : 66329 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
5586 : :
5587 : : GEN
5588 : 50264 : ellcard(GEN E, GEN p)
5589 : : {
5590 : 50264 : p = checkellp(E, p, "ellcard");
5591 [ + + + ]: 50264 : switch(ell_get_type(E))
5592 : : {
5593 : : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
5594 : 48115 : return icopy(ellff_get_card(E));
5595 : : case t_ELL_Q:
5596 : : {
5597 : 2142 : pari_sp av = avma;
5598 : : int goodred;
5599 : 2142 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
5600 [ - + ]: 2142 : if (!goodred) N = subis(N, 1); /* remove singular point */
5601 : 2142 : return gerepileuptoint(av, N);
5602 : : }
5603 : : default:
5604 : 7 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
5605 : 50257 : return NULL; /*NOT REACHED*/
5606 : : }
5607 : : }
5608 : :
5609 : : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
5610 : : * d_r | ... | d_1 */
5611 : : static GEN
5612 : 1764 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
5613 : : {
5614 : 1764 : pari_sp av = avma;
5615 [ + + ]: 1764 : if (cmpiu(p, 3)<=0)
5616 : : {
5617 : 1246 : ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
5618 : 1246 : long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
5619 : 1246 : long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
5620 [ + + ]: 1246 : if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
5621 [ + + ]: 1169 : if (l==2)
5622 : : {
5623 : 98 : long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
5624 : 98 : long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
5625 : 98 : long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
5626 [ + + + + ]: 98 : switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
5627 : : { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
5628 : : case 18: case 29:
5629 : 7 : retmkvec(mkvec2s(1,1));
5630 : : case 19: case 24: case 26:
5631 : 7 : retmkvec(mkvec2s(0,1));
5632 : : case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
5633 : 35 : retmkvec(mkvec2s(1,0));
5634 : : default:
5635 : 49 : retmkvec(mkvec2s(0,0));
5636 : : }
5637 : : } else
5638 : : { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
5639 : 1071 : long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
5640 : 1071 : long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
5641 : 1071 : long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
5642 : 1071 : long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
5643 : : long x,y;
5644 [ + + ]: 1071 : if (r==2) /* [2,2] */
5645 : 63 : retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
5646 : : /* cyclic, order d_1 */
5647 : 1008 : y = equaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
5648 [ + + ]: 1008 : if (equaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
5649 : : {
5650 : 189 : long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
5651 [ + + ][ + + ]: 189 : x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
[ + - ][ + + ]
5652 : : }
5653 : : else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
5654 : : { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
5655 [ + + ]: 819 : if (y == 1)
5656 [ + + ][ + + ]: 630 : x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
5657 : : else
5658 [ + + ][ - + ]: 189 : x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
[ + + ][ + - ]
5659 : : }
5660 : 1008 : retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
5661 : : }
5662 : : }
5663 : : else
5664 : : {
5665 : 518 : GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
5666 : 1764 : return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
5667 : : }
5668 : : }
5669 : :
5670 : : static GEN
5671 : 22785 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
5672 : : {
5673 : 22785 : GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
5674 [ + + ]: 22778 : if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
5675 [ + + ]: 22701 : if (equaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
5676 [ + + ]: 22603 : if (equaliu(p, 3))
5677 : : { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
5678 : : ulong b2, b4, b6;
5679 [ + + ]: 1071 : if (!equaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
5680 : : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
5681 : : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
5682 : 252 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
5683 [ + + ]: 252 : if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
5684 : : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
5685 : 126 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
5686 : 126 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
5687 [ + + ]: 126 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
5688 : 63 : G = mkvec2s(2, 2); goto END;
5689 : : } /* Now assume p > 3 */
5690 : 21532 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
5691 : 21532 : G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
5692 : : END:
5693 : 22778 : return mkvec2(G, m);
5694 : : }
5695 : :
5696 : : static GEN
5697 : 38689 : doellgroup(GEN E)
5698 : : {
5699 : 38689 : GEN fg = ellff_get_field(E);
5700 [ + + ]: 38689 : return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
5701 : : }
5702 : :
5703 : : GEN
5704 : 39186 : ellff_get_group(GEN E)
5705 : 39186 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
5706 : :
5707 : : /* E / Fp */
5708 : : static GEN
5709 : 16800 : doellgens(GEN E)
5710 : : {
5711 : 16800 : GEN fg = ellff_get_field(E);
5712 [ + + ]: 16800 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5713 : 16744 : return FF_ellgens(E);
5714 : : else
5715 : : {
5716 : 56 : GEN e, Gm, F, p = fg;
5717 : 56 : e = ellff_get_a4a6(E);
5718 : 56 : Gm = ellff_get_group(E);
5719 : 56 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
5720 : 16800 : return FpVV_to_mod(F,p);
5721 : : }
5722 : : }
5723 : :
5724 : : GEN
5725 : 16877 : ellff_get_gens(GEN E)
5726 : 16877 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
5727 : :
5728 : : GEN
5729 : 22701 : ellgroup(GEN E, GEN p)
5730 : : {
5731 : 22701 : pari_sp av = avma;
5732 : : GEN G;
5733 : 22701 : p = checkellp(E,p, "ellgroup");
5734 [ + + ]: 22701 : if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
5735 : 378 : else G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
5736 : 22701 : return gerepilecopy(av, gel(G,1));
5737 : : }
5738 : :
5739 : : GEN
5740 : 21294 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
5741 : : {
5742 : 21294 : pari_sp av = avma;
5743 : : GEN V;
5744 [ + + ]: 21294 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
5745 [ - + ]: 1841 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
5746 : 1841 : p = checkellp(E, p, "ellgroup");
5747 [ + + ]: 1834 : if (!ell_over_Fq(E))
5748 : : { /* t_ELL_Q */
5749 : 1771 : GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
5750 : 1764 : GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
5751 : 1764 : return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
5752 : : }
5753 : 63 : V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
5754 : 21280 : return gerepilecopy(av, V);
5755 : : }
5756 : :
5757 : : GEN
5758 : 16828 : ellgenerators(GEN E)
5759 : : {
5760 : 16828 : checkell(E);
5761 [ + + + ]: 16828 : switch(ell_get_type(E))
5762 : : {
5763 : : case t_ELL_Q:
5764 : 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
5765 : : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
5766 : 16814 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
5767 : : default:
5768 : 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
5769 : 16821 : return NULL;/*not reached*/
5770 : : }
5771 : : }
5772 : :
5773 : : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
5774 : : static GEN
5775 : 22379 : ellfromj_simple(GEN j)
5776 : : {
5777 : 22379 : pari_sp av = avma;
5778 : 22379 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
5779 : 22379 : GEN E = zerovec(5);
5780 : 22379 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
5781 : 22379 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
5782 : : }
5783 : : GEN
5784 : 33642 : ellfromj(GEN j)
5785 : : {
5786 [ + + ]: 33642 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
5787 : : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
5788 [ + + ][ + + ]: 33642 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
[ + + ][ + + ]
[ + + + ]
5789 : : {
5790 : : case 2:
5791 [ + + ]: 3549 : if (gequal0(j))
5792 : 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
5793 : : else
5794 : 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
5795 : : case 3:
5796 [ + + ]: 7637 : if (gequal0(j))
5797 : 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
5798 : : else
5799 : : {
5800 : 7630 : GEN E = zerovec(5);
5801 : 7630 : pari_sp av = avma;
5802 : 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
5803 : 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
5804 : 7630 : return E;
5805 : : }
5806 : : }
5807 [ + + ]: 22456 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
5808 [ + + ]: 22435 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
5809 : 33642 : return ellfromj_simple(j);
5810 : : }
5811 : :
5812 : : /********************************************************************/
5813 : : /** **/
5814 : : /** IS SUPERSINGULAR **/
5815 : : /** **/
5816 : : /********************************************************************/
5817 : :
5818 : : int
5819 : 164703 : elljissupersingular(GEN x)
5820 : : {
5821 : 164703 : pari_sp av = avma;
5822 : : int res;
5823 : :
5824 [ + + ]: 164703 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
5825 : 497 : GEN p = gel(x, 1);
5826 : 497 : GEN j = gel(x, 2);
5827 : 497 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
5828 [ + + ]: 164206 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
5829 : 164199 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
5830 : 164199 : GEN p = FF_p_i(x);
5831 : 164199 : GEN T = FF_mod(x);
5832 : 164199 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
5833 : : } else {
5834 : 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
5835 : 0 : return 0; /*NOT REACHED*/
5836 : : }
5837 : 164696 : avma = av;
5838 : 164696 : return res;
5839 : : }
5840 : :
5841 : : int
5842 : 164738 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
5843 : : {
5844 [ + + ][ + - ]: 164738 : if (typ(E)!=t_VEC && !p)
5845 : 147903 : return elljissupersingular(E);
5846 : 16835 : p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
5847 [ + + - ]: 16835 : switch(ell_get_type(E))
5848 : : {
5849 : : case t_ELL_Fp:
5850 : : case t_ELL_Fq:
5851 : 16800 : return elljissupersingular(ell_get_j(E));
5852 : : break;
5853 : : case t_ELL_Q:
5854 : : {
5855 : 35 : pari_sp av = avma;
5856 : 35 : GEN j = ell_get_j(E);
5857 : : int res;
5858 [ + - ][ + + ]: 35 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
5859 : 14 : res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
5860 : 14 : avma = av; return res;
5861 : : }
5862 : : break;
5863 : : default:
5864 : 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
5865 : : }
5866 : 164731 : return 0; /* Not reached */
5867 : : }
5868 : :
5869 : : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
5870 : : static GEN
5871 : 1750 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
5872 : : {
5873 : : GEN b2,b4,b6,b8, res;
5874 [ - + ]: 1750 : if (n==0) return pol_0(v);
5875 [ + + ][ + + ]: 1750 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
5876 : 763 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
5877 : 763 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
5878 [ + + ]: 763 : if (n==3)
5879 [ + + ]: 399 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
5880 : : else
5881 : : {
5882 : 364 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
5883 : 364 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
5884 [ + + ]: 364 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
5885 : : }
5886 : 1750 : setvarn(res, v); return res;
5887 : : }
5888 : :
5889 : : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
5890 : : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
5891 : : static GEN
5892 : 3339 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
5893 : : {
5894 : : GEN ret;
5895 : 3339 : long m = n/2;
5896 [ + + ]: 3339 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
5897 [ + + ]: 1715 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
5898 [ + + ]: 630 : else if (odd(n))
5899 : : {
5900 : 357 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
5901 : : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
5902 : 357 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
5903 : : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
5904 [ + + ]: 357 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
5905 : 98 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
5906 : : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
5907 : 259 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
5908 : : }
5909 : : else
5910 : : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
5911 : 273 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
5912 : : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
5913 : 273 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
5914 : : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
5915 : 273 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
5916 : : }
5917 : 1715 : gel(t,n) = ret;
5918 : 3339 : return ret;
5919 : : }
5920 : :
5921 : : GEN
5922 : 812 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
5923 : : {
5924 : 812 : pari_sp av = avma;
5925 : : GEN f, D, N;
5926 : 812 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
5927 [ + + ]: 812 : if (v==-1) v = 0;
5928 [ - + ]: 812 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
5929 : 812 : N = characteristic(D);
5930 [ + + ]: 812 : if (!signe(N)) N = NULL;
5931 [ - + ]: 812 : if (n<0) n = -n;
5932 [ + + ][ + + ]: 812 : if (n==1 || n==3)
5933 : 126 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
5934 : : else
5935 : : {
5936 : 686 : GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
5937 : 686 : setvarn(d2,v);
5938 [ + + ][ + + ]: 686 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
5939 [ + + ]: 686 : if (n <= 4)
5940 : 539 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
5941 : : else
5942 : 147 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
5943 [ + + ]: 686 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
5944 : : }
5945 : 812 : return gerepilecopy(av, f);
5946 : : }
5947 : :
5948 : : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
5949 : : GEN
5950 : 259 : ellxn(GEN e, long n, long v)
5951 : : {
5952 : 259 : pari_sp av = avma;
5953 : : GEN d2, D, N, A, B;
5954 : 259 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
5955 [ + + ]: 259 : if (v==-1) v = 0;
5956 [ - + ]: 259 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
5957 : 259 : N = characteristic(D);
5958 [ + - ]: 259 : if (!signe(N)) N = NULL;
5959 [ - + ]: 259 : if (n < 0) n = -n;
5960 : 259 : d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
5961 : 259 : setvarn(d2,v);
5962 [ - + ][ # # ]: 259 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
5963 [ + + ]: 259 : if (n == 0)
5964 : : {
5965 : 21 : A = pol_0(v);
5966 : 21 : B = pol_0(v);
5967 : : }
5968 [ + + ]: 238 : else if (n == 1)
5969 : : {
5970 : 7 : A = pol_1(v);
5971 : 7 : B = pol_x(v);
5972 : : }
5973 [ + + ]: 231 : else if (n == 2)
5974 : : {
5975 : 98 : GEN b4 = ell_get_b4(e);
5976 : 98 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
5977 : 98 : GEN b8 = ell_get_b8(e);
5978 : 98 : A = d2;
5979 : : /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
5980 : 98 : B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
5981 : 98 : setvarn(B,v);
5982 : : }
5983 : : else
5984 : : {
5985 : 133 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
5986 : 133 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
5987 : 133 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
5988 : 133 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
5989 : 133 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
5990 [ + + ]: 133 : if (!odd(n))
5991 : 7 : A = RgX_mul(f2, d2);
5992 : : else
5993 : 126 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
5994 : : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
5995 : 133 : B = RgX_sub(RgX_mulXn(A,1), u);
5996 : : }
5997 : 259 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
5998 : : }
5999 : :
6000 : : GEN
6001 : 175 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
6002 : : {
6003 : 175 : checkell_Q(E);
6004 : 175 : return hyperellpadicfrobenius(ec_bmodel(E), p, n);
6005 : : }
|
