Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC CURVES **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
24 :
25 : #undef coordch
26 :
27 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
28 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
29 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
30 : */
31 :
32 : static ulong
33 719864 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
34 719864 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
35 : static ulong
36 697119 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
37 697119 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
38 : static void
39 696472 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
40 : {
41 696472 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
42 696472 : *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
43 696472 : }
44 : static GEN
45 2276462 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
46 2276462 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
47 : static void
48 2276466 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
49 : {
50 2276466 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
51 2276467 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
52 2276152 : }
53 : static GEN
54 93433 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
55 93433 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
56 : static void
57 93436 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
58 : {
59 93436 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
60 93396 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
61 93396 : }
62 : static void
63 2276318 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
64 : {
65 2276318 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
66 2276306 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
67 2276324 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 2276005 : }
69 : static void
70 696472 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
71 : {
72 696472 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
73 696472 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
74 696472 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
75 696472 : }
76 :
77 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
78 : static GEN
79 23253 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
80 : {
81 23253 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
82 23253 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
83 23253 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
84 23253 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
85 : }
86 : static GEN
87 34715 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
88 : {
89 34715 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
90 34715 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
91 34715 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
92 34715 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
93 : }
94 :
95 : static GEN
96 23253 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
97 : {
98 : GEN A4, A6;
99 23253 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
100 23253 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
101 : }
102 : GEN
103 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
104 : {
105 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
106 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
107 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
108 : }
109 : GEN
110 7366 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
111 : {
112 7366 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
113 7366 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
114 7366 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
115 : }
116 :
117 : /* shallow basistoalg */
118 : static GEN
119 391195 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
120 : {
121 391195 : switch(typ(x))
122 : {
123 386624 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
124 4571 : default: return basistoalg(nf, x);
125 : }
126 : }
127 :
128 : void
129 428641 : checkellpt(GEN z)
130 : {
131 428641 : if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
132 428634 : switch(lg(z))
133 : {
134 423342 : case 3: break;
135 5292 : case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
136 : /* fall through */
137 0 : default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
138 : }
139 428634 : }
140 : void
141 72212 : checkell5(GEN E)
142 : {
143 72212 : long l = lg(E);
144 72212 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
145 72212 : }
146 : void
147 3867559 : checkell(GEN E)
148 3867559 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
149 : void
150 3528 : checkellisog(GEN v)
151 3528 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
152 :
153 : void
154 5950 : checkell_Q(GEN E)
155 : {
156 5950 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
157 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
158 5943 : }
159 :
160 : void
161 0 : checkell_Qp(GEN E)
162 : {
163 0 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
164 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
165 0 : }
166 :
167 : static int
168 505399 : ell_over_Fq(GEN E)
169 : {
170 505399 : long t = ell_get_type(E);
171 505399 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
172 : }
173 :
174 : void
175 254086 : checkell_Fq(GEN E)
176 : {
177 254086 : if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
178 254079 : }
179 :
180 : GEN
181 181458 : ellff_get_p(GEN E)
182 : {
183 181458 : GEN fg = ellff_get_field(E);
184 181458 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
185 : }
186 :
187 : int
188 24023 : ell_is_integral(GEN E)
189 : {
190 24023 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
191 23981 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
192 23960 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
193 23960 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
194 48004 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
195 : }
196 :
197 : static void
198 92168 : checkcoordch(GEN z)
199 92168 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
200 :
201 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
202 : GEN
203 20987 : ec_bmodel(GEN e, long v)
204 : {
205 20987 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
206 20987 : GEN P = mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
207 20987 : setvarn(P, v); return P;
208 : }
209 :
210 : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
211 : GEN
212 105 : ec_phi2(GEN e, long v)
213 : {
214 105 : GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
215 105 : GEN P = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
216 105 : setvarn(P, v); return P;
217 : }
218 :
219 : static int
220 11382 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
221 :
222 : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
223 : static GEN
224 11565 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
225 : {
226 11565 : GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e,0), prec);
227 11565 : long s = ellR_get_sign(e);
228 11565 : if (s > 0)
229 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
230 3794 : R = real_i(R);
231 3794 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
232 3794 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
233 3794 : d3 = subrr(e1,e2);
234 3794 : d1 = subrr(e2,e3);
235 3794 : d2 = subrr(e1,e3);
236 3794 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
237 : } else {
238 7771 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
239 7771 : if (s < 0)
240 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
241 3102 : e1 = real_i(e1);
242 3102 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
243 3102 : d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
244 : }
245 : else
246 4669 : d1 = gsub(e2,e3);
247 7771 : d3 = gsub(e1,e2);
248 7771 : d2 = gsub(e1,e3);
249 7771 : if (precision(d1) < prec0
250 7758 : || precision(d2) < prec0
251 7771 : || precision(d3) < prec0) return NULL;
252 : }
253 11529 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
254 : }
255 : static GEN
256 7798 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
257 : {
258 : long p;
259 7834 : for (p = prec0;; p = precdbl(p))
260 36 : {
261 7834 : GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
262 7834 : if (v) return v;
263 36 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
264 : }
265 : }
266 : static GEN
267 25577 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
268 :
269 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
270 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
271 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
272 : GEN
273 558240 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
274 : {
275 558240 : pari_sp av = avma;
276 : GEN z;
277 558240 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
278 558240 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
279 558240 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
280 558240 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
281 : }
282 :
283 : /* a1 x + a3 */
284 : GEN
285 660501 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
286 : {
287 660501 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
288 660501 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
289 660501 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
290 : }
291 : static GEN
292 519000 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
293 : {
294 519000 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
295 519000 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
296 519000 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
297 : }
298 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
299 : static GEN
300 43355 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
301 : {
302 43355 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
303 43355 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
304 : }
305 :
306 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
307 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
308 : * which is the derivative of the curve equation
309 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
310 : * wrt x evaluated at Q */
311 : GEN
312 3584 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
313 : {
314 3584 : pari_sp av = avma;
315 3584 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
316 3584 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
317 3584 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
318 3584 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
319 3584 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
320 3584 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
321 : }
322 :
323 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
324 : GEN
325 42874 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
326 : {
327 42874 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
328 42874 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
329 : }
330 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
331 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
332 : * which is the derivative of the curve equation
333 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
334 : * wrt y evaluated at Q */
335 : GEN
336 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
337 : {
338 532 : pari_sp av = avma;
339 532 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
340 : }
341 :
342 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
343 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
344 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
345 : GEN
346 994 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
347 : {
348 994 : pari_sp av = avma;
349 994 : GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
350 994 : GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
351 994 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
352 994 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF && typ(x)==t_COL)
353 0 : {
354 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
355 0 : t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
356 0 : t2 = nfadd(nf, t1, b42);
357 0 : t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
358 0 : t2 = nftoalg(nf, t2);
359 : }
360 : else
361 : {
362 994 : t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
363 994 : t2 = gadd(t1, b42);
364 994 : t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
365 : }
366 994 : return gerepileupto(av, t2);
367 : }
368 :
369 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
370 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
371 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
372 : GEN
373 14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
374 : {
375 14 : pari_sp av = avma;
376 14 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
377 14 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
378 14 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
379 14 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
380 14 : GEN x2 = gsqr(x);
381 14 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
382 14 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
383 14 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
384 : }
385 :
386 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
387 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
388 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
389 : GEN
390 812 : ec_half_deriv_2divpol(GEN E, long v)
391 812 : { return deg2pol_shallow(utoi(6), ell_get_b2(E), ell_get_b4(E), v); }
392 :
393 : GEN
394 707 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
395 : {
396 707 : pari_sp av = avma;
397 707 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
398 707 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
399 707 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
400 707 : return gerepileupto(av, res);
401 : }
402 :
403 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
404 : GEN
405 3927 : ellbasechar(GEN E)
406 : {
407 3927 : pari_sp av = avma;
408 3927 : GEN D = ell_get_disc(E);
409 3927 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
410 : }
411 :
412 : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
413 : * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
414 : * Also allocate room for n dynamic members. */
415 : static GEN
416 144003 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
417 : {
418 144003 : GEN y = obj_init(15, n);
419 144002 : gel(y,1) = gen_0;
420 144002 : gel(y,2) = gen_0;
421 144002 : gel(y,3) = gen_0;
422 144002 : gel(y,4) = a4;
423 144002 : gel(y,5) = a6;
424 144002 : gel(y,6) = gen_0;
425 144002 : gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
426 144003 : gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
427 144003 : gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
428 144002 : gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
429 144002 : gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
430 144003 : gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
431 144003 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
432 : }
433 : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
434 : static GEN
435 672744 : initsmall5(GEN x, long n)
436 : {
437 672744 : GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
438 672744 : GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
439 : GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
440 672744 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
441 548965 : a11= gsqr(a1);
442 548965 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
443 548965 : a13= gmul(a1, a3);
444 548965 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
445 548965 : a33= gsqr(a3);
446 548965 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
447 548965 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
448 548965 : b22= gsqr(b2);
449 548965 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
450 548965 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
451 548965 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
452 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
453 548965 : y = obj_init(15, n);
454 548965 : gel(y,1) = a1;
455 548965 : gel(y,2) = a2;
456 548965 : gel(y,3) = a3;
457 548965 : gel(y,4) = a4;
458 548965 : gel(y,5) = a6;
459 548965 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
460 548965 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
461 548965 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
462 548965 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
463 548965 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
464 548965 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
465 548965 : gel(y,12)= D;
466 548965 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
467 : }
468 :
469 : static GEN
470 684946 : get_j(GEN c4, GEN D)
471 : {
472 : GEN g, d, c;
473 684946 : if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
474 684610 : return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
475 : /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
476 336 : g = RgX_gcd(D, c4);
477 336 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
478 42 : c = RgX_div(c4, g);
479 42 : D = RgX_div(D, g);
480 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
481 42 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
482 35 : D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
483 35 : g = RgX_gcd(D,c4);
484 35 : if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
485 35 : return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
486 : }
487 :
488 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
489 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
490 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
491 : * component y[16])*/
492 : static GEN
493 692946 : initsmall(GEN x, long n)
494 : {
495 : GEN y, D;
496 :
497 692946 : switch(lg(x))
498 : {
499 490 : case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
500 20223 : case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
501 672233 : case 6:
502 672233 : case 17: y = initsmall5(x, n); break;
503 0 : default:
504 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
505 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
506 : }
507 692947 : D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
508 684946 : gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
509 : }
510 : void
511 0 : ellprint(GEN e)
512 : {
513 0 : pari_sp av = avma;
514 : long vx, vy;
515 : GEN z;
516 0 : checkell5(e);
517 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
518 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
519 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
520 0 : (void)delete_var();
521 0 : (void)delete_var(); set_avma(av);
522 0 : }
523 :
524 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
525 : static GEN
526 1385 : doellR_ab(GEN E, long prec)
527 : {
528 1385 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
529 1385 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
530 :
531 1385 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
532 1385 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
533 888 : b = mulrr(d3,d2);
534 : else
535 497 : b = cxnorm(d3);
536 1385 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
537 1385 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
538 1385 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
539 1385 : return mkvec2(a, b);
540 : }
541 : GEN
542 25577 : ellR_ab(GEN E, long prec)
543 25577 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
544 :
545 : /* q a t_REAL*/
546 : static long
547 84 : real_prec(GEN q)
548 84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
549 : /* q a t_PADIC */
550 : static long
551 252 : padic_prec(GEN q)
552 252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
553 :
554 : /* check whether moduli are consistent */
555 : static void
556 99910 : chk_p(GEN p, GEN p2)
557 99910 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
558 :
559 : static int
560 36981 : fix_nftype(GEN *pp)
561 : {
562 36981 : switch(nftyp(*pp))
563 : {
564 36981 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
565 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
566 0 : default: return 0;
567 : }
568 36981 : return 1;
569 : }
570 : static long
571 695572 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
572 : {
573 695572 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
574 695572 : GEN p = NULL, pol = NULL;
575 695572 : long t = t_FRAC;
576 695572 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
577 : {
578 491155 : case t_INT:
579 491155 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
580 2016 : p = *pp;
581 2016 : t = t_INTMOD;
582 2016 : break;
583 665 : case t_INTMOD:
584 665 : p = gel(*pp, 1);
585 665 : break;
586 28 : case t_REAL:
587 28 : e = real_prec(*pp);
588 28 : p = NULL;
589 28 : break;
590 231 : case t_PADIC:
591 231 : ep = padic_prec(*pp);
592 231 : p = gel(*pp, 2);
593 231 : break;
594 1820 : case t_FFELT:
595 1820 : p = *pp;
596 1820 : break;
597 36981 : case t_VEC:
598 36981 : t = t_VEC; p = *pp;
599 36981 : if (fix_nftype(&p)) break;
600 : default:
601 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
602 0 : return 0;
603 : }
604 695565 : if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
605 : /* Possible cases:
606 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
607 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
608 : * t = t_INTMOD (p a prime)
609 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
610 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
611 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
612 3964036 : for (i = 1; i < imax; i++)
613 : {
614 3274652 : GEN p2, q = gel(x,i);
615 3274652 : switch(typ(q)) {
616 42 : case t_PADIC:
617 42 : p2 = gel(q,2);
618 : switch(t)
619 : {
620 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
621 7 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
622 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
623 : }
624 21 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
625 21 : break;
626 124926 : case t_INTMOD:
627 124926 : p2 = gel(q,1);
628 : switch(t)
629 : {
630 25038 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
631 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
632 99826 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
633 13 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
634 : }
635 124912 : break;
636 168606 : case t_FFELT:
637 : switch(t)
638 : {
639 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
640 85411 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
641 83188 : case t_FFELT:
642 83188 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
643 83188 : break;
644 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
645 : }
646 168599 : break;
647 :
648 2972699 : case t_INT: case t_FRAC: break;
649 56 : case t_REAL:
650 : switch(t)
651 : {
652 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
653 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
654 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
655 : }
656 56 : break;
657 7105 : case t_POLMOD:
658 7105 : if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
659 7 : pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
660 : case t_COL:
661 : case t_POL:
662 8302 : if (t == t_VEC) break;
663 : default: /* base ring too general */
664 6132 : return t_COMPLEX;
665 : }
666 : }
667 689384 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
668 : }
669 :
670 : /* s = 0 complex, else real;
671 : * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
672 : static GEN
673 9891 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
674 : {
675 : GEN y;
676 9891 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
677 : {
678 7 : case t_ELL_Rg:
679 7 : case t_ELL_Q: break;
680 7 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
681 : }
682 9884 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
683 9884 : if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
684 9884 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
685 9884 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
686 9884 : return y;
687 : }
688 :
689 : static GEN
690 203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
691 : {
692 : GEN y;
693 203 : if (lg(x) > 6)
694 : {
695 28 : switch(ell_get_type(x))
696 : { /* sanity checks */
697 21 : case t_ELL_Q: break;
698 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
699 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
700 : }
701 21 : x = vecslice(x,1,5);
702 : }
703 196 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
704 196 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
705 196 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
706 196 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
707 196 : return y;
708 : }
709 :
710 : static GEN
711 499772 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
712 : {
713 : GEN y;
714 : long s;
715 499772 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
716 499639 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
717 499639 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
718 499639 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
719 499639 : return y;
720 : }
721 :
722 : static GEN
723 223195 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x) { pari_APPLY_same(nftoalg(nf,gel(x,i))); }
724 :
725 : static GEN
726 37590 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
727 : {
728 : GEN y, nf;
729 37590 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
730 37590 : nf = checknf(p);
731 37590 : x = nfVtoalg(nf, x);
732 37590 : if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
733 37590 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
734 37590 : gel(y,15) = mkvec(p);
735 37590 : return y;
736 : }
737 :
738 : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
739 : static GEN
740 114384 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
741 : {
742 114384 : x = FF_ellinit(x,fg);
743 114384 : return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
744 : }
745 :
746 : static GEN
747 302284 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
748 : static GEN
749 30994 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
750 : {
751 : long i;
752 : GEN y, disc;
753 30994 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
754 : {
755 2429 : case t_ELL_Q: break;
756 0 : case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
757 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
758 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
759 : }
760 30987 : if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
761 30987 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
762 : /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
763 26046 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
764 23253 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
765 23253 : if (!signe(disc)) return NULL;
766 325432 : for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
767 23246 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
768 23246 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
769 23246 : return y;
770 : }
771 :
772 : static GEN
773 114517 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
774 : {
775 : GEN y;
776 114517 : if (lg(x) == 2)
777 : {
778 33418 : GEN j = gel(x,1);
779 33418 : if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
780 33418 : x = ellfromj(j);
781 : }
782 114517 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
783 111591 : return FF_ellinit_ns(y,fg);
784 : }
785 :
786 : static GEN
787 3549 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
788 : {
789 3549 : GEN e = vecslice(x,1,5);
790 : GEN p, modP;
791 3549 : if (get_modpr(P))
792 : { /* modpr accept */
793 3248 : modP = P;
794 3248 : p = modpr_get_p(modP);
795 : }
796 : else
797 : { /* pr, initialize modpr */
798 301 : GEN d = Q_denom(e);
799 301 : p = pr_get_p(P);
800 301 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
801 : }
802 3549 : *pp = p;
803 3549 : *pT = modpr_get_T(modP);
804 3549 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
805 : }
806 : static GEN
807 3528 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
808 : {
809 : GEN T,p;
810 3528 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
811 3528 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
812 : }
813 :
814 : static GEN
815 661020 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
816 : {
817 : GEN y;
818 :
819 661020 : switch(typ(x))
820 : {
821 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
822 661013 : case t_VEC:
823 661013 : switch(lg(x))
824 : {
825 661006 : case 2: case 3: case 6: case 17: break;
826 7 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
827 : }
828 661006 : break;
829 0 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
830 : }
831 661013 : if (D && get_prid(D))
832 : {
833 3052 : if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
834 3052 : return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
835 : }
836 657961 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
837 : {
838 203 : case t_PADIC:
839 203 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
840 196 : break;
841 27690 : case t_INTMOD:
842 27690 : y = ellinit_Fp(x, D);
843 27684 : break;
844 87105 : case t_FFELT:
845 87105 : y = ellinit_Fq(x, D);
846 87105 : break;
847 499772 : case t_FRAC:
848 499772 : y = ellinit_Q(x, prec);
849 499772 : break;
850 28 : case t_REAL:
851 28 : y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
852 21 : break;
853 36974 : case t_VEC:
854 36974 : y = ellinit_nf(x, D);
855 36974 : break;
856 6132 : default:
857 6132 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
858 : }
859 657884 : return y;
860 : }
861 : GEN
862 659998 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
863 : {
864 659998 : pari_sp av = avma;
865 659998 : GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
866 659914 : if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
867 651899 : return gerepilecopy(av,y);
868 : }
869 :
870 : /********************************************************************/
871 : /** **/
872 : /** COORDINATE CHANGE **/
873 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
874 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
875 : /** verbatim **/
876 : /** **/
877 : /********************************************************************/
878 : /* [1,0,0,0] */
879 : static GEN
880 2570232 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
881 : static int
882 460291 : is_trivial_change(GEN v)
883 : {
884 : GEN u, r, s, t;
885 460291 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
886 460291 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
887 460291 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
888 : }
889 :
890 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
891 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
892 : static void
893 1638 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
894 : {
895 1638 : GEN v = *vtotal;
896 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
897 :
898 1638 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
899 1610 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
900 1610 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
901 1610 : U2 = NULL;
902 1610 : if (!gequal0(r))
903 : {
904 : GEN rU2;
905 784 : U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
906 784 : R = gadd(R, rU2);
907 784 : T = gadd(T, gmul(S, rU2));
908 : }
909 1610 : if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
910 1610 : if (!gequal0(t))
911 : {
912 882 : if (!U2) U2 = gsqr(U);
913 882 : T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
914 : }
915 1610 : gel(v,1) = gmul(U, u);
916 1610 : gel(v,2) = R;
917 1610 : gel(v,3) = S;
918 1610 : gel(v,4) = T;
919 : }
920 :
921 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
922 : GEN
923 28 : ellchangeinvert(GEN w)
924 : {
925 : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
926 28 : if (typ(w) == t_INT) return w;
927 28 : u = gel(w,1);
928 28 : r = gel(w,2);
929 28 : s = gel(w,3);
930 28 : t = gel(w,4);
931 28 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
932 28 : U = ginv(u);
933 28 : R = gdiv(gneg(r), u2);
934 28 : S = gdiv(gneg(s), u);
935 28 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
936 28 : return mkvec4(U,R,S,T);
937 : }
938 :
939 : static GEN
940 99876 : ell_to_nfell10(GEN e)
941 : {
942 : long i;
943 99876 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
944 99876 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
945 1098636 : for(i=1; i<=10; i++)
946 998760 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
947 99876 : return y;
948 : }
949 :
950 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
951 : static GEN
952 153986 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
953 : {
954 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
955 : long lx;
956 153986 : if (gequal1(u)) return e;
957 153517 : y = cgetg_copy(e, &lx);
958 153517 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
959 153517 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
960 153517 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
961 153517 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
962 153517 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
963 153517 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
964 153517 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
965 153517 : if (lx == 6) return y;
966 153510 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
967 153510 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
968 153510 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
969 153510 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
970 153510 : return y;
971 : }
972 : /* apply [1,r,0,0] */
973 : static GEN
974 267950 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
975 : {
976 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
977 : long lx;
978 267950 : if (gequal0(r)) return e;
979 239606 : y = cgetg_copy(e, &lx);
980 239606 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
981 239606 : rx3 = gmulsg(3,r);
982 :
983 239606 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
984 : /* A2 = a2 + 3r */
985 239606 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
986 : /* A3 = a1 r + a3 */
987 239606 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
988 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
989 239606 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
990 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
991 239606 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
992 239606 : if (lx == 6) return y;
993 :
994 239599 : b4 = ell_get_b4(e);
995 239599 : b6 = ell_get_b6(e);
996 : /* B2 = 12r + b2 */
997 239599 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
998 239599 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
999 239599 : r2 = nfsqr(nf,r);
1000 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1001 239599 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
1002 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1003 239599 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
1004 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1005 239599 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
1006 239599 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
1007 239599 : return y;
1008 : }
1009 :
1010 : static GEN
1011 109653 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
1012 : {
1013 : GEN a1, y;
1014 109653 : if (gequal0(s)) return e;
1015 109653 : a1 = ell_get_a1(e);
1016 109653 : y = leafcopy(e);
1017 :
1018 : /* A1 = a1 + 2s */
1019 109653 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1020 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1021 109653 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1022 : /* A4 = a4 - s a3 */
1023 109653 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
1024 109653 : return y;
1025 : }
1026 : /* apply [1,0,0,t] */
1027 : static GEN
1028 252113 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
1029 : {
1030 : GEN a1, a3, y;
1031 252113 : if (gequal0(t)) return e;
1032 251637 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1033 251637 : y = leafcopy(e);
1034 : /* A3 = 2t + a3 */
1035 251637 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
1036 : /* A4 = a4 - a1 t */
1037 251637 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
1038 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1039 251637 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1040 251637 : return y;
1041 : }
1042 :
1043 : /* apply [1,0,s,t] */
1044 : static GEN
1045 13142 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1046 : {
1047 : GEN y, a1, a3;
1048 13142 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1049 12666 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1050 12666 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1051 12666 : y = leafcopy(e);
1052 : /* A1 = a1 + 2s */
1053 12666 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1054 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1055 12666 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1056 : /* A3 = 2t + a3 */
1057 12666 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1058 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1059 12666 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1060 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1061 12666 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1062 12666 : return y;
1063 : }
1064 :
1065 : static GEN
1066 171174 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1067 : {
1068 171174 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1069 171174 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1070 : }
1071 :
1072 : /* apply [1,r,s,t] */
1073 : static GEN
1074 476 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1075 : {
1076 476 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1077 476 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1078 : }
1079 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1080 : static GEN
1081 476 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1082 : {
1083 476 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1084 476 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1085 476 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1086 : }
1087 :
1088 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1089 : static GEN
1090 75243 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1091 : {
1092 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1093 : long lx;
1094 75243 : if (gequal1(u)) return e;
1095 74914 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1096 74914 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1097 74914 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1098 74914 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1099 74914 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1100 74914 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1101 74914 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1102 74914 : if (lx == 6) return y;
1103 74914 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1104 74914 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1105 74914 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1106 74914 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1107 74914 : u12 = gsqr(u6);
1108 74914 : D = ell_get_disc(e);
1109 74914 : c4 = ell_get_c4(e);
1110 74914 : c6 = ell_get_c6(e);
1111 74914 : c4 = gmul(c4, u4);
1112 74914 : c6 = gmul(c6, u6);
1113 74914 : D = gmul(D, u12);
1114 74914 : gel(y,10)= c4;
1115 74914 : gel(y,11)= c6;
1116 74914 : gel(y,12)= D;
1117 74914 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1118 74914 : gel(y,14)= gel(e,14);
1119 74914 : gel(y,15)= gel(e,15);
1120 74914 : gel(y,16)= gel(e,16);
1121 74914 : return y;
1122 : }
1123 : /* apply [1,r,0,0] */
1124 : static GEN
1125 611947 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1126 : {
1127 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1128 611947 : if (gequal0(r)) return e;
1129 511868 : y = leafcopy(e);
1130 511868 : a2 = ell_get_a2(e);
1131 511868 : rx3 = gmulsg(3,r);
1132 :
1133 : /* A2 = a2 + 3r */
1134 511868 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1135 : /* A3 = a1 r + a3 */
1136 511868 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1137 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1138 511868 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1139 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1140 511868 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1141 511868 : if (lg(y) == 6) return y;
1142 :
1143 511861 : b4 = ell_get_b4(e);
1144 511861 : b6 = ell_get_b6(e);
1145 : /* B2 = 12r + b2 */
1146 511861 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1147 511861 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1148 511861 : r2 = gsqr(r);
1149 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1150 511861 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1151 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1152 511861 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1153 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1154 511861 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1155 511861 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1156 511861 : return y;
1157 : }
1158 : /* apply [1,0,s,0] */
1159 : static GEN
1160 118433 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1161 : {
1162 : GEN a1, y;
1163 118433 : if (gequal0(s)) return e;
1164 118433 : a1 = ell_get_a1(e);
1165 118433 : y = leafcopy(e);
1166 :
1167 : /* A1 = a1 + 2s */
1168 118433 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1169 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1170 118433 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1171 : /* A4 = a4 - s a3 */
1172 118433 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1173 118433 : return y;
1174 : }
1175 : /* apply [1,0,0,t] */
1176 : static GEN
1177 345219 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1178 : {
1179 : GEN a1, a3, y;
1180 345219 : if (gequal0(t)) return e;
1181 275247 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1182 275247 : y = leafcopy(e);
1183 : /* A3 = 2t + a3 */
1184 275247 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1185 : /* A4 = a4 - a1 t */
1186 275247 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1187 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1188 275247 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1189 275247 : return y;
1190 : }
1191 : /* apply [1,0,s,t] */
1192 : static GEN
1193 348236 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1194 : {
1195 : GEN y, a1, a3;
1196 348236 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1197 246547 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1198 128114 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1199 128114 : y = leafcopy(e);
1200 : /* A1 = a1 + 2s */
1201 128114 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1202 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1203 128114 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1204 : /* A3 = 2t + a3 */
1205 128114 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1206 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1207 128114 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1208 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1209 128114 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1210 128114 : return y;
1211 : }
1212 : /* apply [1,r,s,t] */
1213 : static GEN
1214 348236 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1215 : {
1216 348236 : e = coordch_r(e, r);
1217 348236 : return coordch_st(e, s, t);
1218 : }
1219 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1220 : static GEN
1221 72877 : coordch(GEN e, GEN w)
1222 : {
1223 72877 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1224 72877 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1225 72877 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1226 : }
1227 :
1228 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1229 : * (dynamic data) */
1230 : static GEN
1231 35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1232 : {
1233 35 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1234 35 : long prec = valp(p);
1235 35 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1236 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1237 : {
1238 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1239 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1240 : }
1241 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1242 : {
1243 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1244 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1245 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1246 7 : U = gmul(U, u);
1247 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1248 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1249 : }
1250 35 : return E;
1251 : }
1252 :
1253 : /* common to Q and Rg */
1254 : static GEN
1255 37443 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1256 : {
1257 37443 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1258 37443 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1259 28 : obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1260 37443 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1261 28 : obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
1262 37443 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1263 : {
1264 28 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1265 : long i;
1266 112 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1267 28 : obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
1268 : }
1269 37443 : return E;
1270 : }
1271 :
1272 : static GEN
1273 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1274 : {
1275 7 : GEN p = NULL;
1276 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1277 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1278 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1279 : }
1280 :
1281 : static GEN
1282 37443 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1283 : {
1284 37443 : long prec = ellR_get_prec(E);
1285 37443 : GEN S, v = NULL, p = NULL;
1286 37443 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1287 37436 : ch_R(E, e, w);
1288 37436 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1289 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1290 37436 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1291 : {
1292 1554 : if (lg(S) == 2)
1293 : { /* model was minimal */
1294 7 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1295 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1296 7 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1297 : }
1298 : else
1299 : {
1300 1547 : v = gel(S,2);
1301 1547 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
1302 1533 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1303 : else
1304 : {
1305 14 : w = ellchangeinvert(w);
1306 14 : gcomposev(&w, v); v = w;
1307 14 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1308 14 : gel(S,2) = v;
1309 : }
1310 1547 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1311 : }
1312 : }
1313 37436 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1314 21 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1315 37436 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1316 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1317 37436 : return E;
1318 : }
1319 :
1320 : static void
1321 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1322 : {
1323 : GEN S;
1324 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1325 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1326 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1327 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1328 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1329 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1330 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1331 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1332 126 : }
1333 :
1334 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1335 : static GEN
1336 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1337 : {
1338 7 : long prec = 0;
1339 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1340 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1341 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1342 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1343 : }
1344 : static GEN
1345 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1346 : {
1347 119 : long prec = 0;
1348 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1349 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1350 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1351 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1352 : }
1353 :
1354 : static void
1355 73129 : ell_reset(GEN E)
1356 73129 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1357 :
1358 : GEN
1359 72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1360 : {
1361 72212 : pari_sp av = avma;
1362 : GEN E;
1363 72212 : checkell5(e);
1364 72212 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1365 72205 : checkcoordch(w);
1366 72205 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1367 72205 : if (lg(E) != 6)
1368 : {
1369 72191 : ell_reset(E);
1370 72191 : switch(ell_get_type(E))
1371 : {
1372 35 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1373 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1374 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1375 35917 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1376 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1377 : }
1378 14 : }
1379 72205 : return gerepilecopy(av, E);
1380 : }
1381 :
1382 : /* v o= [1,r,0,0] */
1383 : static void
1384 165392 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1385 : {
1386 165392 : GEN v = *vtotal;
1387 : GEN U2, R, S, T;
1388 165392 : if (gequal0(r)) return;
1389 96300 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1390 96300 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1391 96300 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1392 96300 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1393 : }
1394 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1395 : static void
1396 109653 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1397 : {
1398 109653 : GEN v = *vtotal;
1399 : GEN U, S;
1400 109653 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1401 109653 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1402 109653 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1403 109653 : }
1404 : /* v o= [1,0,0,t] */
1405 : static void
1406 255037 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1407 : {
1408 255037 : GEN v = *vtotal;
1409 : GEN U3, U, T;
1410 255037 : if (gequal0(t)) return;
1411 80463 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1412 80463 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1413 80463 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1414 : }
1415 : /* v o= [1,r,0,t] */
1416 : static void
1417 252602 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1418 : {
1419 252602 : GEN v = *vtotal;
1420 : GEN U2, U, R, S, T;
1421 252602 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1422 171174 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1423 171174 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1424 171174 : U2 = nfsqr(nf,U);
1425 171174 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1426 171174 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1427 : }
1428 : /* v o= [1,0,s,t] */
1429 : static void
1430 184961 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1431 : {
1432 184961 : GEN v = *vtotal;
1433 : GEN U3, U, S, T;
1434 184961 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1435 122319 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1436 12666 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1437 12666 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1438 12666 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1439 12666 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1440 : }
1441 :
1442 : /* v o= [u,0,0,0] */
1443 : static void
1444 153510 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1445 : {
1446 153510 : GEN v = *vtotal;
1447 153510 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1448 153510 : }
1449 :
1450 : /* X = (x-r)/u^2
1451 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1452 : static GEN
1453 18976 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1454 : {
1455 : GEN a, x, y;
1456 18976 : long l = lg(P);
1457 18976 : if (typ(P) != t_VEC || l == 1 || l > 4) pari_err_TYPE("ellchangepoint", P);
1458 18969 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1459 18955 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1460 18955 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1461 : }
1462 :
1463 : GEN
1464 19004 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1465 : {
1466 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1467 19004 : long tx, i, lx = lg(x);
1468 19004 : pari_sp av = avma;
1469 :
1470 19004 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1471 19004 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1472 19004 : checkcoordch(ch);
1473 19004 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1474 18955 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1475 18955 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1476 18955 : tx = typ(gel(x,1));
1477 18955 : if (is_matvec_t(tx))
1478 : {
1479 77 : y = cgetg(lx,tx);
1480 168 : for (i=1; i<lx; i++)
1481 98 : gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1482 : }
1483 : else
1484 18878 : y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
1485 18948 : return gerepilecopy(av,y);
1486 : }
1487 :
1488 : /* x = u^2*X + r
1489 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1490 : static GEN
1491 4066 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1492 : {
1493 : GEN a, X, Y;
1494 4066 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1495 4066 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1496 4066 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1497 : }
1498 : GEN
1499 959 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1500 : {
1501 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1502 959 : long tx, i, lx = lg(x);
1503 959 : pari_sp av = avma;
1504 :
1505 959 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1506 959 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1507 959 : checkcoordch(ch);
1508 959 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1509 748 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1510 748 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1511 748 : tx = typ(gel(x,1));
1512 748 : if (is_matvec_t(tx))
1513 : {
1514 594 : y = cgetg(lx,tx);
1515 4506 : for (i=1; i<lx; i++)
1516 3912 : gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1517 : }
1518 : else
1519 154 : y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
1520 748 : return gerepilecopy(av,y);
1521 : }
1522 :
1523 : static GEN
1524 0 : elltwist_card(GEN h, GEN q) { return subii(shifti(addiu(q, 1), 1), h); }
1525 : GEN
1526 28567 : elltwist(GEN E, GEN P)
1527 : {
1528 28567 : pari_sp av = avma;
1529 28567 : GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
1530 28567 : long prec = DEFAULTPREC, isell = (lg(E) == 17);
1531 :
1532 28567 : if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
1533 28567 : if (isell) switch(ell_get_type(E))
1534 : {
1535 1316 : case t_ELL_Q:
1536 1316 : case t_ELL_Rg: prec = ellR_get_prec(E); break;
1537 : }
1538 28567 : if (!P)
1539 : {
1540 : GEN Et, S, a4, a6, e, fg, q;
1541 27195 : if (!isell)
1542 : { /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
1543 7 : e = E; E = ellinit_i(E, NULL, prec);
1544 7 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
1545 : }
1546 27188 : switch (ell_get_type(E))
1547 : {
1548 0 : case t_ELL_Fp:
1549 0 : q = ellff_get_field(E);
1550 0 : e = ellff_get_a4a6(E);
1551 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e,2), q, &a4, &a6);
1552 0 : Et = ellinit_Fp(mkvec2(a4,a6), q); break;
1553 27188 : case t_ELL_Fq:
1554 27188 : fg = ellff_get_field(E); q = FF_q(fg);
1555 27188 : Et = ellinit_Fq(FF_elltwist(E), fg); break;
1556 0 : default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
1557 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1558 : }
1559 27188 : if ((S = obj_check(E, FF_CARD)))
1560 0 : obj_insert_shallow(Et, FF_CARD, elltwist_card(S, q));
1561 27188 : return gerepilecopy(av, Et);
1562 : }
1563 1372 : if (isell && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1564 14 : if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
1565 1372 : if (typ(P) == t_INT)
1566 : {
1567 1358 : if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, prec);
1568 1001 : P = quadpoly(P);
1569 : }
1570 : else
1571 : {
1572 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1573 14 : if (degpol(P) != 2 )
1574 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1575 : }
1576 1015 : switch(lg(E))
1577 : {
1578 7 : case 3:
1579 7 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
1580 7 : a4 = gel(E,1);
1581 7 : a6 = gel(E,2); break;
1582 1008 : case 6: case 17:
1583 1008 : a1 = ell_get_a1(E);
1584 1008 : a2 = ell_get_a2(E);
1585 1008 : a3 = ell_get_a3(E);
1586 1008 : a4 = ell_get_a4(E);
1587 1008 : a6 = ell_get_a6(E); break;
1588 0 : default:
1589 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
1590 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1591 : }
1592 1015 : a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
1593 1015 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
1594 1015 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
1595 763 : V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
1596 : else
1597 : {
1598 252 : GEN a3D = gmul(a3, D);
1599 252 : V = cgetg(6, t_VEC);
1600 252 : gel(V,1) = gmul(a1, b);
1601 252 : gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1602 252 : gel(V,3) = gmul(a3D, b);
1603 252 : gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
1604 252 : gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
1605 : }
1606 1015 : E = ellinit_i(V, DOM, prec);
1607 1015 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
1608 1015 : return gerepilecopy(av, E);
1609 : }
1610 :
1611 : /********************************************************************/
1612 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1613 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1614 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1615 : /********************************************************************/
1616 :
1617 : static long
1618 3227 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1619 3227 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1620 :
1621 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1622 : * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1623 : * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1624 : * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1625 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1626 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1627 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1628 : * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1629 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1630 : static long
1631 392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1632 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1633 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1634 : long v4, v6, vD;
1635 :
1636 392 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1637 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1638 :
1639 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1640 336 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1641 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1642 329 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1643 :
1644 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1645 329 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1646 :
1647 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1648 266 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1649 175 : vD = vali(disc);
1650 175 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1651 168 : return -8;
1652 : }
1653 :
1654 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant. It also has minimal
1655 : * conductor in Z[1/2] */
1656 : GEN
1657 665 : ellminimaltwist(GEN e)
1658 : {
1659 665 : pari_sp av = avma;
1660 665 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1661 : long i, lF;
1662 665 : checkell_Q(e);
1663 665 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1664 665 : c4 = ell_get_c4(E);
1665 665 : c6 = ell_get_c6(E);
1666 665 : disc = ell_get_disc(E);
1667 665 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1668 665 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1669 665 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1670 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1671 : * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
1672 : * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1673 2436 : for(i = 1; i < lF; i++)
1674 : {
1675 1771 : GEN p = gel(F, i);
1676 1771 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1677 1771 : if (vg < 6) continue;
1678 : /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
1679 : * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1680 1197 : switch(itou_or_0(p))
1681 : {
1682 441 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1683 441 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1684 441 : break;
1685 364 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1686 364 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1687 364 : break;
1688 392 : case 2:
1689 392 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1690 392 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1691 392 : break;
1692 : }
1693 : }
1694 665 : obj_free(E);
1695 665 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1696 : }
1697 :
1698 : /*
1699 : Reference:
1700 : William A. Stein and Mark Watkins
1701 : A Database of Elliptic Curves-First Report
1702 : ANTS 5
1703 : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
1704 : */
1705 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1706 : GEN
1707 399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1708 : {
1709 399 : pari_sp av = avma;
1710 399 : GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
1711 399 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1712 399 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1713 399 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1714 385 : else if (f==6)
1715 : {
1716 : long s, t;
1717 21 : if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
1718 : else
1719 : {
1720 14 : t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
1721 14 : s = signe(D)==t ? -3: -1;
1722 : }
1723 21 : D = shifti(D, s);
1724 : }
1725 399 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1726 : }
1727 :
1728 : GEN
1729 448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1730 : {
1731 448 : switch(flag)
1732 : {
1733 266 : case 0: return ellminimaltwist(e);
1734 182 : case 1: return ellminimaltwistcond(e);
1735 : }
1736 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1737 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1738 : }
1739 :
1740 : static long
1741 7 : ellexpo(GEN E)
1742 : {
1743 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1744 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1745 : {
1746 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1747 35 : if (f > e) e = f;
1748 : }
1749 7 : return e;
1750 : }
1751 :
1752 :
1753 : static int
1754 3827 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
1755 : {
1756 3827 : pari_sp av = avma;
1757 3827 : GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
1758 3827 : return gc_bool(av, gequal(A, B));
1759 : }
1760 : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
1761 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1762 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1763 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1764 : int
1765 39605 : oncurve(GEN e, GEN z)
1766 : {
1767 : GEN LHS, RHS, x;
1768 : long pl, pr, ex, expx;
1769 : pari_sp av;
1770 :
1771 39605 : checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1772 39528 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1773 39528 : av = avma;
1774 39528 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1775 39528 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1776 39528 : if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
1777 21 : pl = precision(LHS);
1778 21 : pr = precision(RHS);
1779 21 : if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
1780 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1781 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1782 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
1783 7 : expx = gexpo(x);
1784 7 : pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
1785 7 : || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
1786 7 : return gc_bool(av,pr);
1787 : }
1788 :
1789 : GEN
1790 17192 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1791 : {
1792 17192 : long i, tx = typ(x), lx;
1793 :
1794 17192 : checkell(e);
1795 17192 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1796 17192 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1797 17192 : tx = typ(gel(x,1));
1798 17192 : if (is_vec_t(tx))
1799 : {
1800 1687 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1801 3514 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1802 1687 : return z;
1803 : }
1804 15505 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1805 : }
1806 :
1807 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1808 : static GEN
1809 8589 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
1810 : {
1811 : GEN dy,dx;
1812 8589 : if (y1 != y2)
1813 : {
1814 : int eq;
1815 259 : if (precision(y1) || precision(y2))
1816 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1817 : else
1818 252 : eq = gequal(y1,y2);
1819 259 : if (!eq) return NULL;
1820 : }
1821 8582 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
1822 8582 : if (gequal0(dx)) return NULL;
1823 8547 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1824 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
1825 8547 : return gdiv(dy,dx);
1826 : }
1827 :
1828 : GEN
1829 36834 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1830 : {
1831 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
1832 36834 : pari_sp av = avma;
1833 :
1834 36834 : checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
1835 36834 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1836 34433 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1837 :
1838 32781 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1839 32781 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1840 32781 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1841 : {
1842 539 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1843 539 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1844 539 : x2 = nftoalg(nf, x2);
1845 539 : y1 = nftoalg(nf, y1);
1846 539 : y2 = nftoalg(nf, y2);
1847 : }
1848 32781 : if (cx_approx_equal(x1,x2))
1849 : {
1850 8589 : s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
1851 8589 : if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
1852 : }
1853 : else
1854 24192 : s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
1855 32739 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1856 32739 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
1857 32739 : z = cgetg(3,t_VEC);
1858 32739 : gel(z,1) = gcopy(x);
1859 32739 : gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
1860 : }
1861 :
1862 : static GEN
1863 70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1864 : {
1865 : GEN t, x, y;
1866 70 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1867 70 : x = gel(z,1);
1868 70 : y = gel(z,2);
1869 70 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1870 : {
1871 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1872 0 : x = nftoalg(nf,x);
1873 0 : y = nftoalg(nf,y);
1874 : }
1875 70 : t = cgetg(3,t_VEC);
1876 70 : gel(t,1) = x;
1877 70 : gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
1878 70 : return t;
1879 : }
1880 :
1881 : GEN
1882 24590 : ellneg(GEN e, GEN z)
1883 : {
1884 : pari_sp av;
1885 : GEN t, y;
1886 24590 : checkell(e); checkellpt(z);
1887 24590 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1888 24590 : t = cgetg(3,t_VEC);
1889 24590 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
1890 24590 : av = avma;
1891 24590 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
1892 24590 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
1893 24590 : return t;
1894 : }
1895 :
1896 : GEN
1897 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1898 : {
1899 49 : pari_sp av = avma;
1900 49 : checkell(e); checkellpt(z2);
1901 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
1902 : }
1903 :
1904 : /* E an ell, x a scalar */
1905 : static GEN
1906 2975 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
1907 : {
1908 2975 : pari_sp av = avma;
1909 2975 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
1910 :
1911 2975 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1912 : {
1913 532 : nf = ellnf_get_nf(E);
1914 532 : x = nftoalg(nf,x);
1915 : }
1916 2975 : a = ec_f_evalx(E,x);
1917 2975 : b = ec_h_evalx(E,x);
1918 2975 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
1919 : /* solve y*(y+b) = a */
1920 2975 : if (gequal0(D)) {
1921 1211 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1922 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
1923 1211 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
1924 1211 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
1925 1211 : return gerepileupto(av,y);
1926 : }
1927 : /* D != 0 */
1928 1764 : switch(ell_get_type(E))
1929 : {
1930 28 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
1931 28 : p = ellff_get_p(E);
1932 28 : D = gel(D,2);
1933 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1934 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
1935 7 : break;
1936 217 : case t_ELL_Fq:
1937 217 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1938 : {
1939 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
1940 77 : if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1941 28 : return gerepileupto(av, F);
1942 : }
1943 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1944 56 : break;
1945 973 : case t_ELL_Q:
1946 973 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
1947 966 : if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1948 630 : break;
1949 :
1950 525 : case t_ELL_NF:
1951 : {
1952 525 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
1953 525 : setvarn(T, fetch_var_higher());
1954 525 : d = nfroots(nf, T);
1955 525 : delete_var();
1956 525 : if (lg(d) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
1957 511 : d = gel(d,1);
1958 511 : break;
1959 : }
1960 :
1961 14 : case t_ELL_Qp:
1962 14 : p = ellQp_get_p(E);
1963 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
1964 14 : if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
1965 14 : d = Qp_sqrt(D);
1966 14 : break;
1967 :
1968 7 : default:
1969 7 : d = gsqrt(D,prec);
1970 : }
1971 1232 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
1972 1232 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
1973 1232 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
1974 1232 : return gerepileupto(av,y);
1975 : }
1976 :
1977 : GEN
1978 2975 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
1979 : {
1980 2975 : checkell(e);
1981 2975 : if (is_matvec_t(typ(x)))
1982 : {
1983 : long i, lx;
1984 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
1985 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
1986 0 : return v;
1987 : }
1988 2975 : return ellordinate_i(e, x, prec);
1989 : }
1990 :
1991 : GEN
1992 245847 : ellrandom(GEN E)
1993 : {
1994 : GEN fg;
1995 245847 : checkell_Fq(E);
1996 245847 : fg = ellff_get_field(E);
1997 245847 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1998 245819 : return FF_ellrandom(E);
1999 : else
2000 : {
2001 28 : pari_sp av = avma;
2002 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
2003 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
2004 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
2005 28 : return gerepileupto(av, P);
2006 : }
2007 : }
2008 :
2009 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
2010 : static GEN
2011 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
2012 : {
2013 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
2014 : long ln, vn;
2015 :
2016 14 : if (typ(N) != t_INT)
2017 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
2018 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
2019 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
2020 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
2021 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
2022 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
2023 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
2024 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
2025 : do
2026 : {
2027 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
2028 : do
2029 : {
2030 28 : long ep = (-valser(z2)) >> 1;
2031 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
2032 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
2033 : }
2034 28 : while (valser(z2) <= 0);
2035 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
2036 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
2037 21 : if (!signe(z2)) break;
2038 7 : z2 = ginv(z2);
2039 : }
2040 7 : while (degpol(p1) < vn);
2041 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
2042 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
2043 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
2044 14 : b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
2045 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
2046 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
2047 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
2048 :
2049 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
2050 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
2051 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
2052 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
2053 :
2054 14 : x = gdiv(p1,q1);
2055 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
2056 14 : x = gsub(x, b2ov12);
2057 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
2058 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
2059 : }
2060 :
2061 : static GEN
2062 1169 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
2063 : static GEN
2064 371 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
2065 :
2066 : static GEN
2067 250340 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
2068 : {
2069 250340 : GEN fg = ellff_get_field(E);
2070 250340 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2071 249186 : return FF_ellmul(E, P, n);
2072 : else
2073 : {
2074 1154 : pari_sp av = avma;
2075 1154 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
2076 1154 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
2077 1152 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
2078 1066 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
2079 1065 : return gerepileupto(av, Q);
2080 : }
2081 : }
2082 : /* [n] z, n integral */
2083 : static GEN
2084 251313 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
2085 : {
2086 : long s;
2087 251313 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2088 251313 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
2089 973 : s = signe(n);
2090 973 : if (!s) return ellinf();
2091 924 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2092 924 : if (is_pm1(n)) return z;
2093 700 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2094 : }
2095 :
2096 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2097 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2098 : static long
2099 42 : myroundr(GEN *px)
2100 : {
2101 42 : GEN x = *px;
2102 : long e;
2103 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2104 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2105 42 : if (e >= -5) return NO;
2106 42 : return OK;
2107 : }
2108 :
2109 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2110 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2111 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2112 : static GEN
2113 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2114 : {
2115 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2116 : long prec;
2117 :
2118 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2119 14 : switch(typ(Q))
2120 : {
2121 0 : case t_COMPLEX:
2122 0 : D = utoineg(4);
2123 0 : v = gel(Q,2);
2124 0 : break;
2125 14 : case t_QUAD:
2126 14 : D = quad_disc(Q);
2127 14 : v = gel(Q,3);
2128 14 : break;
2129 0 : default:
2130 0 : return NULL; /*-Wall*/
2131 : }
2132 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2133 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
2134 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2135 14 : prec = precision(tau);
2136 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2137 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2138 : * Compute f*k */
2139 14 : x = gel(tau,1);
2140 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2141 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2142 14 : switch(myroundr(&fk))
2143 : {
2144 0 : case NO: return NULL;
2145 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2146 : }
2147 14 : fk = absi_shallow(fk);
2148 :
2149 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2150 14 : switch(myroundr(&fkb))
2151 : {
2152 0 : case NO: return NULL;
2153 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2154 : }
2155 :
2156 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2157 14 : switch(myroundr(&fkc))
2158 : {
2159 0 : case NO: return NULL;
2160 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2161 : }
2162 :
2163 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2164 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2165 14 : dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
2166 : /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2167 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2168 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2169 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2170 14 : v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
2171 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2172 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2173 : }
2174 :
2175 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2176 : static GEN
2177 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2178 : {
2179 : GEN A, B, q;
2180 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2181 14 : q = CM_factor(e, w);
2182 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2183 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2184 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2185 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2186 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2187 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2188 7 : GEN u = gtrace(w);
2189 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2190 7 : u = shifti(u, -1);
2191 7 : if (signe(u))
2192 : {
2193 0 : w = gsub(w, u);
2194 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2195 : }
2196 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2197 : }
2198 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2199 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2200 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2201 14 : return elladd(e, A, B);
2202 : }
2203 : GEN
2204 251432 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2205 : {
2206 251432 : pari_sp av = avma;
2207 :
2208 251432 : checkell(e); checkellpt(z);
2209 251425 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2210 251313 : switch(typ(n))
2211 : {
2212 251299 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
2213 14 : case t_QUAD: {
2214 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2215 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2216 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2217 : }
2218 0 : case t_COMPLEX: {
2219 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2220 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2221 : }
2222 : }
2223 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2224 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2225 : }
2226 :
2227 : /********************************************************************/
2228 : /** **/
2229 : /** Periods **/
2230 : /** **/
2231 : /********************************************************************/
2232 :
2233 : /* References:
2234 : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
2235 : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
2236 : */
2237 :
2238 : static GEN
2239 5119 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
2240 : {
2241 5119 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
2242 5119 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
2243 5119 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
2244 : }
2245 :
2246 : static GEN
2247 3543 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
2248 : {
2249 3543 : pari_sp av = avma;
2250 3543 : GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
2251 3543 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
2252 3543 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
2253 3543 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
2254 : }
2255 :
2256 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
2257 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
2258 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
2259 : static GEN
2260 5119 : doellR_omega(GEN E, long prec)
2261 : {
2262 5119 : pari_sp av = avma;
2263 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
2264 5119 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
2265 1576 : roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
2266 1576 : d2 = gel(roots,5);
2267 1576 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
2268 1576 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
2269 1576 : b = gel(z,2);
2270 1576 : c = gabs(z, prec);
2271 1576 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
2272 1576 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
2273 : }
2274 : static GEN
2275 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
2276 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
2277 :
2278 : GEN
2279 7539 : ellR_omega(GEN E, long prec)
2280 7539 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
2281 : GEN
2282 84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
2283 84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
2284 : GEN
2285 32165 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2286 32165 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2287 :
2288 : GEN
2289 2646 : ellR_area(GEN E, long prec)
2290 : {
2291 2646 : pari_sp av = avma;
2292 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2293 2646 : w = ellR_omega(E, prec);
2294 2646 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2295 2646 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2296 2646 : return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2297 : }
2298 :
2299 : /********************************************************************/
2300 : /** **/
2301 : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
2302 : /** **/
2303 : /********************************************************************/
2304 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
2305 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
2306 : static GEN
2307 14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
2308 : {
2309 14 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
2310 14 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
2311 14 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
2312 14 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
2313 14 : GEN z = gel(om,2);
2314 14 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
2315 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
2316 : else
2317 14 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
2318 14 : return gmul2n(z, -1);
2319 : }
2320 :
2321 : static GEN
2322 35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
2323 : {
2324 35 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2325 35 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2326 35 : if (gequal0(y0))
2327 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
2328 : else
2329 : {
2330 35 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
2331 35 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
2332 35 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2333 35 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2334 35 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
2335 : /* |a+b| < |a-b| */
2336 35 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
2337 35 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2338 : }
2339 : }
2340 :
2341 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
2342 : static GEN
2343 7 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
2344 : {
2345 7 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2346 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
2347 : else
2348 : {
2349 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2350 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
2351 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
2352 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
2353 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
2354 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
2355 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
2356 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
2357 : }
2358 : }
2359 :
2360 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
2361 : static GEN
2362 28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
2363 : {
2364 28 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2365 28 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2366 28 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
2367 14 : e1 = gel(R,1);
2368 14 : e2 = gel(R,2);
2369 14 : e3 = gel(R,3);
2370 14 : d2 = gel(R,5);
2371 14 : d3 = gel(R,6);
2372 14 : a = gsqrt(d2,prec);
2373 14 : b = gsqrt(d3,prec);
2374 14 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
2375 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2376 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2377 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2378 : } else {
2379 7 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
2380 7 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
2381 7 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
2382 7 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
2383 : }
2384 : }
2385 :
2386 : static void
2387 21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
2388 : {
2389 21 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
2390 21 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
2391 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
2392 0 : }
2393 : static GEN
2394 189 : get_r0(GEN E, long prec)
2395 : {
2396 189 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2397 189 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2398 : }
2399 : static GEN
2400 140 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
2401 : {
2402 140 : pari_sp av = avma;
2403 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
2404 : long vq, vt, Q, R;
2405 140 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
2406 133 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
2407 133 : u = ellQp_u(E, prec);
2408 133 : q = ellQp_q(E, prec);
2409 133 : x = gel(P,1);
2410 133 : r0 = get_r0(E, prec);
2411 133 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
2412 133 : if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
2413 14 : pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
2414 119 : r = gsub(a,b);
2415 119 : ar = gmul(a, r);
2416 119 : if (gequal0(c0))
2417 : {
2418 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
2419 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
2420 : }
2421 : else
2422 : {
2423 112 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
2424 112 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
2425 112 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
2426 105 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
2427 : }
2428 112 : y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
2429 112 : if (gequal0(y1))
2430 : {
2431 14 : y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
2432 14 : if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
2433 : }
2434 : else
2435 98 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
2436 98 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
2437 :
2438 98 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2439 98 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2440 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
2441 98 : if (typ(t) == t_PADIC)
2442 56 : vt = valp(t);
2443 : else
2444 42 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
2445 98 : vq = valp(q); /* > 0 */
2446 98 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
2447 98 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
2448 98 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2449 98 : return gerepileupto(av, t);
2450 : }
2451 :
2452 : static GEN
2453 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
2454 : {
2455 56 : pari_sp av = avma;
2456 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
2457 : long v;
2458 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
2459 :
2460 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
2461 56 : u = ellQp_u(E,prec);
2462 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
2463 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
2464 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
2465 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
2466 56 : r0 = get_r0(E, prec);
2467 :
2468 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
2469 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
2470 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
2471 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
2472 56 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
2473 : }
2474 :
2475 : static GEN
2476 70 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
2477 : {
2478 : GEN t;
2479 : long s;
2480 70 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
2481 70 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
2482 70 : s = ellR_get_sign(e);
2483 70 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
2484 35 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
2485 : else
2486 35 : t = zellcx(e,z,prec);
2487 63 : return t;
2488 : }
2489 : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
2490 : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
2491 : static void ellnfembed_free(GEN L);
2492 : GEN
2493 203 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
2494 : {
2495 203 : pari_sp av = avma;
2496 203 : checkell(E); checkellpt(P);
2497 203 : switch(ell_get_type(E))
2498 : {
2499 140 : case t_ELL_Qp:
2500 140 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
2501 140 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
2502 7 : case t_ELL_NF:
2503 : {
2504 7 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
2505 7 : long i, l = lg(Pe);
2506 21 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
2507 7 : ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
2508 : }
2509 21 : case t_ELL_Q: break;
2510 35 : case t_ELL_Rg: break;
2511 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
2512 : }
2513 56 : return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
2514 : }
2515 :
2516 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
2517 : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
2518 : typedef struct {
2519 : enum period_type type;
2520 : GEN in; /* original input */
2521 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
2522 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
2523 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
2524 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
2525 : GEN x,y; /* t_INT */
2526 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
2527 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
2528 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
2529 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
2530 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
2531 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
2532 : long prec; /* precision(Z) */
2533 : long prec0; /* required precision for result */
2534 : } ellred_t;
2535 :
2536 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
2537 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
2538 : static void
2539 24682 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
2540 : {
2541 24682 : GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
2542 24682 : long e = gexpo(gel(t0,2));
2543 24682 : if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
2544 24682 : t = t0;
2545 24682 : a = d = gen_1;
2546 24682 : b = c = gen_0;
2547 : for(;;)
2548 21958 : {
2549 46640 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
2550 46640 : if (signe(n))
2551 : { /* apply T^n */
2552 27680 : t = gsub(t,n);
2553 27680 : a = subii(a, mulii(n,c));
2554 27680 : b = subii(b, mulii(n,d));
2555 : }
2556 46640 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
2557 21958 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
2558 21958 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
2559 21958 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
2560 : }
2561 24682 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
2562 24682 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
2563 24682 : }
2564 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
2565 : * Set *pU to U. */
2566 : GEN
2567 9149 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
2568 : {
2569 : GEN a,b,c,d;
2570 9149 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
2571 9149 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
2572 9149 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
2573 9149 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
2574 : }
2575 : GEN
2576 9114 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
2577 : {
2578 9114 : pari_sp av = avma;
2579 : GEN czd;
2580 9114 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
2581 9114 : return gc_all(av, 2, &t, pU);
2582 : }
2583 :
2584 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
2585 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
2586 : static void
2587 15533 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
2588 : {
2589 : long s, p;
2590 15533 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
2591 15533 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
2592 15533 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
2593 15533 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
2594 : mkvec2(T->w1,T->w2));
2595 15533 : T->swap = (s < 0);
2596 15533 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
2597 15533 : p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
2598 15533 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
2599 : /* update lattice */
2600 15533 : p = precision(T->tau);
2601 15533 : if (p)
2602 : {
2603 15155 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
2604 15155 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
2605 : }
2606 15533 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
2607 15533 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
2608 15533 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
2609 15533 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2610 15533 : p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
2611 15533 : }
2612 : /* is z real or pure imaginary ? */
2613 : static void
2614 17516 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
2615 : {
2616 17516 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
2617 11655 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
2618 10682 : else *real = *imag = 0;
2619 17516 : }
2620 : static void
2621 10857 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
2622 : {
2623 : GEN x, Z;
2624 : long p, e;
2625 10857 : switch(typ(z))
2626 : {
2627 10857 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
2628 0 : case t_QUAD:
2629 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
2630 0 : break;
2631 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
2632 : }
2633 10857 : Z = gdiv(z, T->W2);
2634 10857 : T->z = z;
2635 10857 : x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
2636 10857 : T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
2637 : /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
2638 : * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
2639 : * at the end */
2640 10857 : if (e > -10) T->x = gfloor(x);
2641 10857 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
2642 10857 : T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
2643 10857 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2644 10857 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
2645 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
2646 10857 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2647 10857 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
2648 : {
2649 : int W2real, W2imag;
2650 5334 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
2651 5334 : if (W2real)
2652 401 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2653 4933 : else if (W2imag)
2654 854 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
2655 : }
2656 10857 : p = precision(Z);
2657 10857 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p))) Z = NULL; /*z in L*/
2658 10857 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2659 10857 : T->Z = Z;
2660 10857 : }
2661 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2662 : static GEN
2663 8918 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2664 : {
2665 8918 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2666 8918 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2667 8918 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2668 8918 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2669 6718 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2670 : }
2671 : /* e is either
2672 : * - [w1,w2]
2673 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2674 : * - an ellinit structure */
2675 : static void
2676 15533 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2677 : {
2678 : GEN w, e;
2679 15533 : T->q_is_real = 0;
2680 15533 : T->some_q_is_real = 0;
2681 15533 : switch(T->type)
2682 : {
2683 1988 : case t_PER_ELL:
2684 : {
2685 1988 : long pr, p = prec;
2686 1988 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2687 1988 : e = T->in;
2688 1988 : w = ellR_omega(e, p);
2689 1988 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2690 1988 : break;
2691 : }
2692 13363 : case t_PER_W:
2693 13363 : w = T->in; break;
2694 182 : default: /*t_PER_WETA*/
2695 182 : w = gel(T->in,1); break;
2696 : }
2697 15533 : T->w1 = gel(w,1);
2698 15533 : T->w2 = gel(w,2);
2699 15533 : red_modSL2(T, prec);
2700 15533 : if (z) reduce_z(z, T);
2701 15533 : }
2702 : static int
2703 15540 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2704 : {
2705 : GEN w1;
2706 15540 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2707 15540 : T->in = e;
2708 15540 : switch(lg(e))
2709 : {
2710 1995 : case 17:
2711 1995 : T->type = t_PER_ELL;
2712 1995 : break;
2713 13545 : case 3:
2714 13545 : w1 = gel(e,1);
2715 13545 : if (typ(w1) != t_VEC)
2716 13363 : T->type = t_PER_W;
2717 : else
2718 : {
2719 182 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2720 182 : T->type = t_PER_WETA;
2721 : }
2722 13545 : break;
2723 0 : default: return 0;
2724 : }
2725 15540 : return 1;
2726 : }
2727 : static int
2728 15456 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2729 : {
2730 15456 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2731 15456 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2732 : }
2733 :
2734 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2735 : static GEN
2736 24514 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2737 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2738 : static GEN
2739 13594 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2740 : {
2741 13594 : GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
2742 13594 : return cxtoreal(z);
2743 : }
2744 :
2745 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2746 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2747 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2748 : GEN
2749 4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2750 : {
2751 4459 : pari_sp av = avma;
2752 : GEN y;
2753 : ellred_t T;
2754 :
2755 4459 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2756 4459 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2757 4459 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2758 4459 : y = _elleisnum(&T, k);
2759 4459 : if (k==2 && signe(T.c))
2760 4023 : {
2761 4023 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2762 4023 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2763 : }
2764 436 : else if (k==4 && flag) y = gdivgu(y, 12);
2765 408 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2766 4459 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
2767 : }
2768 :
2769 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
2770 : static GEN
2771 8953 : _elleta(ellred_t *T)
2772 : {
2773 8953 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
2774 8953 : y2 = gmul(T->W2, e2);
2775 8953 : y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
2776 8953 : retmkvec2(y1, y2);
2777 : }
2778 :
2779 : /* compute eta1, eta2 */
2780 : GEN
2781 84 : elleta(GEN om, long prec)
2782 : {
2783 84 : pari_sp av = avma;
2784 : GEN y1, y2, E2, pi;
2785 : ellred_t T;
2786 :
2787 84 : if (!check_periods(om, &T))
2788 : {
2789 0 : pari_err_TYPE("elleta",om);
2790 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2791 : }
2792 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
2793 :
2794 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
2795 77 : prec = T.prec;
2796 77 : pi = mppi(prec);
2797 77 : E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
2798 77 : if (signe(T.c))
2799 : {
2800 21 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
2801 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
2802 21 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
2803 : }
2804 77 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
2805 77 : if (T.swap)
2806 : {
2807 7 : y1 = y2;
2808 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
2809 : }
2810 : else
2811 70 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
2812 77 : switch(typ(T.w1))
2813 : {
2814 49 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
2815 49 : y1 = real_i(y1);
2816 : }
2817 77 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
2818 : }
2819 : GEN
2820 49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
2821 : {
2822 49 : pari_sp av = avma;
2823 : ellred_t T;
2824 49 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
2825 49 : switch(flag)
2826 : {
2827 14 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
2828 35 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
2829 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
2830 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2831 : }
2832 : }
2833 :
2834 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
2835 : static double
2836 10729 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
2837 :
2838 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
2839 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
2840 : static GEN
2841 1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
2842 : {
2843 : long toadd;
2844 1911 : pari_sp av = avma, av1;
2845 : GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
2846 : ellred_t T;
2847 : int simple_case;
2848 :
2849 1911 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
2850 1911 : if (!T.Z) return NULL;
2851 1890 : prec = T.prec;
2852 :
2853 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
2854 1890 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
2855 1890 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
2856 1890 : u1 = gsubsg(1,u);
2857 1890 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
2858 1890 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
2859 1890 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
2860 1890 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
2861 1890 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
2862 1890 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
2863 1890 : yp = flall? gen_0: NULL;
2864 1890 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2865 :
2866 1890 : av1 = avma; qn = q;
2867 : for(;;)
2868 23627 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
2869 : /* analogous formula for yp */
2870 25517 : GEN yadd, ypadd = NULL;
2871 25517 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
2872 25517 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
2873 25517 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
2874 25517 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
2875 25517 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
2876 410 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
2877 : else
2878 : {
2879 25107 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
2880 25107 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
2881 25107 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
2882 25107 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
2883 : }
2884 25517 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
2885 25517 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
2886 25517 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
2887 :
2888 25517 : qn = gmul(q,qn);
2889 25517 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
2890 23627 : if (gc_needed(av1,1))
2891 : {
2892 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
2893 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
2894 : }
2895 : }
2896 1890 : if (yp)
2897 : {
2898 1827 : if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
2899 1827 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
2900 : }
2901 :
2902 1890 : u1 = PiI2div(T.W2, prec);
2903 1890 : u2 = gsqr(u1);
2904 1890 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
2905 1890 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
2906 1029 : y = real_i(y);
2907 1890 : if (yp)
2908 : {
2909 1827 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
2910 1827 : if (T.some_q_is_real)
2911 : {
2912 1827 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
2913 847 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
2914 : }
2915 1827 : y = mkvec2(y, yp);
2916 : }
2917 1890 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
2918 : }
2919 : static GEN
2920 301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
2921 : {
2922 : long i, k, l;
2923 : pari_sp av;
2924 301 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
2925 :
2926 301 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
2927 301 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
2928 :
2929 2520 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
2930 301 : _1 = Rg_get_1(c4);
2931 301 : switch(PRECDL)
2932 : {
2933 301 : default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
2934 301 : case 6:
2935 301 : case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
2936 301 : case 4:
2937 301 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
2938 301 : case 2:
2939 301 : case 1: P[0] = _1;
2940 : }
2941 301 : if (PRECDL <= 8) return res;
2942 301 : av = avma;
2943 301 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
2944 1085 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
2945 : {
2946 784 : av = avma;
2947 784 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
2948 1239 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
2949 784 : t = gmul2n(t, 1);
2950 784 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
2951 784 : if (k % 3 == 2)
2952 273 : t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
2953 : else /* same value, more efficient */
2954 511 : t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
2955 784 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
2956 : }
2957 301 : return res;
2958 : }
2959 :
2960 : static int
2961 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
2962 : {
2963 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
2964 : {
2965 203 : case 17:
2966 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
2967 203 : *c6 = ell_get_c6(w);
2968 203 : return 1;
2969 91 : case 3:
2970 : {
2971 : ellred_t T;
2972 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
2973 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
2974 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
2975 91 : return 1;
2976 : }
2977 : }
2978 0 : *c4 = *c6 = NULL;
2979 0 : return 0;
2980 : }
2981 :
2982 : GEN
2983 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
2984 : {
2985 : GEN c4, c6;
2986 14 : checkell(e);
2987 14 : c4 = ell_get_c4(e);
2988 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
2989 : }
2990 :
2991 : GEN
2992 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
2993 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
2994 :
2995 : GEN
2996 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
2997 : {
2998 182 : pari_sp av = avma;
2999 : GEN y;
3000 :
3001 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
3002 182 : if (!z) z = pol_x(0);
3003 182 : y = toser_i(z);
3004 182 : if (y)
3005 : {
3006 105 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3007 : GEN P, Q, c4,c6;
3008 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
3009 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
3010 105 : if (gequal0(y)) {
3011 0 : set_avma(av);
3012 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
3013 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
3014 : }
3015 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3016 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3017 105 : if (!flag)
3018 105 : return gerepileupto(av, Q);
3019 : else
3020 : {
3021 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
3022 0 : return gerepilecopy(av, R);
3023 : }
3024 : }
3025 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
3026 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
3027 70 : return gerepileupto(av, y);
3028 : }
3029 :
3030 : GEN
3031 161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
3032 : {
3033 : long prec;
3034 161 : pari_sp av = avma;
3035 161 : GEN pi2, q, y, et = NULL;
3036 : ellred_t T;
3037 :
3038 161 : if (!z) z = pol_x(0);
3039 161 : y = toser_i(z);
3040 161 : if (y)
3041 : {
3042 91 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3043 : GEN P, Q, c4,c6;
3044 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
3045 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
3046 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3047 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3048 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3049 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3050 91 : return gerepileupto(av, Q);
3051 : }
3052 70 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
3053 70 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
3054 70 : prec = T.prec;
3055 70 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
3056 :
3057 70 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3058 70 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
3059 70 : y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
3060 70 : if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
3061 : { /* else u = -1 and this vanishes */
3062 70 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3063 70 : GEN qn, u, v, S = gen_0;
3064 : pari_sp av1;
3065 70 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
3066 70 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
3067 70 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
3068 70 : y = gadd(y, v);
3069 : /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
3070 : * = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
3071 70 : av1 = avma;
3072 70 : for (qn = q;;)
3073 : {
3074 863 : S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
3075 863 : qn = gmul(q,qn);
3076 863 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
3077 793 : if (gc_needed(av1,1))
3078 : {
3079 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
3080 0 : gerepileall(av1,2, &S,&qn);
3081 : }
3082 : }
3083 70 : y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
3084 : }
3085 70 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
3086 70 : if (T.some_q_is_real)
3087 : {
3088 70 : if (T.some_z_is_real)
3089 : {
3090 28 : if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
3091 : }
3092 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
3093 : {
3094 21 : if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
3095 21 : gel(y,1) = gen_0;
3096 : }
3097 : }
3098 70 : if (et) y = gadd(y, et);
3099 70 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3100 : }
3101 :
3102 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3103 : GEN
3104 8974 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3105 : {
3106 : long toadd, prec, n;
3107 8974 : pari_sp av = avma, av1;
3108 : GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3109 : ellred_t T;
3110 :
3111 8974 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3112 :
3113 8974 : if (!z) z = pol_x(0);
3114 8974 : y = toser_i(z);
3115 8974 : if (y)
3116 : {
3117 98 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3118 : GEN P, Q, c4,c6;
3119 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3120 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3121 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3122 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3123 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3124 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3125 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3126 91 : P = integser(serchop0(P));
3127 91 : P = gexp(P, prec0);
3128 91 : setvalser(P, valser(P)+1);
3129 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3130 91 : return gerepileupto(av, Q);
3131 : }
3132 8876 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3133 8876 : if (!T.Z)
3134 : {
3135 7 : if (!flag) return gen_0;
3136 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3137 : }
3138 8869 : prec = T.prec;
3139 8869 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3140 8869 : pi = mppi(prec);
3141 :
3142 8869 : urninv = uinv = NULL;
3143 8869 : if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
3144 : {
3145 100 : toadd = 0;
3146 100 : urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
3147 100 : u = gen_1;
3148 : }
3149 : else
3150 : {
3151 8769 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3152 8769 : urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3153 8769 : u = gneg_i(gsqr(urn));
3154 8769 : if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
3155 : }
3156 8869 : q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
3157 8869 : q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
3158 8869 : y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
3159 71630 : for(n=0;;n++)
3160 : { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
3161 : * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
3162 71630 : y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
3163 71630 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3164 71630 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3165 62761 : qn = gmul(q,qn);
3166 62761 : urn = gmul(urn,u);
3167 62761 : if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
3168 62761 : if (gc_needed(av1,1))
3169 : {
3170 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3171 0 : gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3172 : }
3173 : }
3174 8869 : y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3175 8869 : y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
3176 :
3177 8869 : et = _elleta(&T);
3178 8869 : z0 = gmul(T.Z,T.W2);
3179 8869 : y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
3180 8869 : etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
3181 8869 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
3182 8869 : if (flag)
3183 : {
3184 8799 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3185 8799 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
3186 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
3187 8799 : if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
3188 7 : y = real_i(y);
3189 : }
3190 : else
3191 : {
3192 70 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3193 70 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
3194 70 : if (T.some_q_is_real)
3195 : {
3196 : int re, cx;
3197 70 : check_complex(z,&re,&cx);
3198 70 : if (re) y = real_i(y);
3199 49 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
3200 : }
3201 : }
3202 8869 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3203 : }
3204 :
3205 : GEN
3206 1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3207 : {
3208 1890 : pari_sp av = avma;
3209 : GEN v;
3210 :
3211 1890 : checkell(e);
3212 1890 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
3213 : {
3214 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3215 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
3216 : }
3217 1834 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3218 1834 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
3219 1820 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
3220 1820 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
3221 1820 : return gerepilecopy(av, v);
3222 : }
3223 :
3224 : /********************************************************************/
3225 : /** **/
3226 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3227 : /** Kodaira types, global minimal model **/
3228 : /** **/
3229 : /********************************************************************/
3230 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3231 : typedef struct {
3232 : long a1; /*{0,1}*/
3233 : long a2; /*{-1,0,1}*/
3234 : long a3; /*{0,1}*/
3235 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3236 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3237 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3238 : } ellmin_t;
3239 :
3240 : /* u from [u,r,s,t] */
3241 : static void
3242 519322 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3243 : {
3244 519322 : M->u = u;
3245 519322 : if (is_pm1(u))
3246 455266 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3247 : else
3248 : {
3249 64056 : M->u2 = sqri(u);
3250 64056 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3251 64056 : M->u4 = sqri(M->u2);
3252 64056 : M->u6 = sqri(M->u3);
3253 : }
3254 519322 : }
3255 : /* E = original curve */
3256 : static void
3257 519322 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3258 : {
3259 519322 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3260 519322 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3261 64056 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3262 64056 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3263 : }
3264 519322 : M->c4 = c4;
3265 519322 : M->c6 = c6;
3266 519322 : }
3267 : static void
3268 519014 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3269 : {
3270 519014 : GEN D = ell_get_disc(E);
3271 519014 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3272 519014 : M->D = D;
3273 519014 : }
3274 : static void
3275 519175 : min_set_b(ellmin_t *M)
3276 : {
3277 : long b22, b2;
3278 519175 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3279 519175 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
3280 519175 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3281 519175 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3282 519175 : }
3283 : static void
3284 519035 : min_set_a(ellmin_t *M)
3285 : {
3286 519035 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3287 519035 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3288 519035 : if (odd(b2))
3289 : {
3290 258159 : a1 = 1;
3291 258159 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3292 : }
3293 : else
3294 : {
3295 260876 : a1 = 0;
3296 260876 : a2 = b2 >> 2;
3297 : }
3298 519035 : M->a1 = a1;
3299 519035 : M->a2 = a2;
3300 519035 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3301 519035 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3302 519035 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3303 519035 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3304 519035 : }
3305 : static void
3306 519000 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
3307 : {
3308 519000 : min_set_u(M, u);
3309 519000 : min_set_c(M, E);
3310 519000 : min_set_D(M, E);
3311 519000 : min_set_b(M);
3312 519000 : min_set_a(M);
3313 519000 : }
3314 : static GEN
3315 505917 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3316 : {
3317 505917 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3318 : long a11, a13;
3319 505917 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3320 505917 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3321 505917 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3322 505917 : gel(y,4) = M->a4;
3323 505917 : gel(y,5) = M->a6;
3324 505917 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3325 505917 : gel(y,7) = M->b4;
3326 505917 : gel(y,8) = M->b6;
3327 505917 : a11 = M->a1;
3328 505917 : a13 = M->a1 & M->a3;
3329 505917 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3330 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3331 505917 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3332 505917 : gel(y,10)= M->c4;
3333 505917 : gel(y,11)= M->c6;
3334 505917 : gel(y,12)= M->D;
3335 505917 : gel(y,13)= gel(E,13);
3336 505917 : gel(y,14)= gel(E,14);
3337 505917 : gel(y,15)= gel(E,15);
3338 505917 : return y;
3339 : }
3340 : static GEN
3341 519000 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3342 : {
3343 : GEN r, s, t;
3344 519000 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3345 519000 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3346 519000 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
3347 519000 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3348 : }
3349 :
3350 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
3351 : static long
3352 1686996 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
3353 : {
3354 1686996 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
3355 1686996 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
3356 1686996 : if (!signe(c6))
3357 : {
3358 2933 : d = vD / 12;
3359 2933 : if (d)
3360 : {
3361 1071 : if (p == 2)
3362 : {
3363 819 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3364 819 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3365 819 : if (a) d--;
3366 : }
3367 1071 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3368 : }
3369 2933 : v6 = 12; /* +oo */
3370 : }
3371 : else
3372 : {
3373 1684063 : v6 = Z_lval(c6,p);
3374 1684063 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3375 1684063 : if (d) {
3376 181174 : if (p == 2) {
3377 109746 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3378 109746 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3379 109746 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3380 109746 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
3381 71428 : } else if (p == 3) {
3382 45199 : if (v6 == 6*d+2) d--;
3383 : }
3384 181174 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3385 : }
3386 : }
3387 1686996 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3388 : }
3389 : static long
3390 879487 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
3391 : {
3392 : GEN c6;
3393 : long d, v6, vD;
3394 879487 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
3395 39 : c6 = ell_get_c6(E);
3396 39 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
3397 39 : if (!signe(c6))
3398 : {
3399 0 : d = vD / 12;
3400 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3401 0 : v6 = 12; /* +oo */
3402 : }
3403 : else
3404 : {
3405 39 : v6 = Z_pval(c6,p);
3406 39 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3407 39 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3408 : }
3409 39 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3410 : }
3411 :
3412 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3413 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3414 : in the form [f, kod, v, c].
3415 :
3416 : * The integer f is the conductor's exponent.
3417 :
3418 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3419 : II , III , IV --> 2, 3, 4
3420 : I0 --> 1
3421 : Inu --> 4+nu for nu > 0
3422 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3423 :
3424 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3425 :
3426 : * c is the Tamagawa number.
3427 :
3428 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3429 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3430 : static GEN
3431 1735216 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3432 : {
3433 1735216 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3434 1735216 : gel(z,1) = stoi(f);
3435 1735216 : gel(z,2) = stoi(kod);
3436 1735216 : gel(z,3) = gcopy(v);
3437 1735216 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3438 : }
3439 : static GEN
3440 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3441 : {
3442 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3443 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3444 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3445 : }
3446 :
3447 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3448 : static long
3449 880880 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3450 :
3451 : /* p > 3, e integral */
3452 : static GEN
3453 879487 : localred_p(GEN e, GEN p)
3454 : {
3455 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
3456 879487 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3457 :
3458 879487 : c4 = ell_get_c4(e);
3459 879487 : c6 = ell_get_c6(e);
3460 879487 : nuj = j_pval(e, p);
3461 879487 : nuD = Z_pval(D, p);
3462 879487 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
3463 879487 : if (!k) v = init_ch();
3464 : else
3465 : { /* model not minimal */
3466 : ellmin_t M;
3467 13097 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
3468 13097 : v = min_get_v(&M, e);
3469 13097 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
3470 : }
3471 :
3472 879487 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
3473 : {
3474 761278 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3475 761278 : switch(kronecker(negi(c6),p))
3476 : {
3477 392483 : case 1: c = nuD; break;
3478 368795 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
3479 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
3480 : }
3481 761278 : break;
3482 45703 : case 6:
3483 : {
3484 45703 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
3485 45703 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
3486 45703 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
3487 45703 : break;
3488 : }
3489 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
3490 : }
3491 72506 : else switch(nuD)
3492 : {
3493 539 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
3494 11697 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
3495 10332 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
3496 5642 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
3497 5642 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
3498 5642 : break;
3499 16856 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
3500 16856 : p2 = sqri(p);
3501 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
3502 16856 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
3503 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
3504 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
3505 16856 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
3506 16856 : break;
3507 11620 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
3508 11620 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
3509 11620 : break;
3510 10227 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
3511 5593 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
3512 0 : default: return localredbug(p,"localred");
3513 : }
3514 879487 : return localred_result(f, kod, c, v);
3515 : }
3516 :
3517 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
3518 : static ulong
3519 888965 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
3520 888965 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
3521 :
3522 : static ulong
3523 1421966 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
3524 1421966 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
3525 :
3526 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
3527 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
3528 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
3529 : static long
3530 244335 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3531 : {
3532 244335 : if (p == 2)
3533 : {
3534 141169 : if (odd(c + a * b)) return 3;
3535 122451 : *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
3536 : }
3537 : /* p = 3 */
3538 103166 : if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
3539 69041 : *mult = a * b;
3540 69041 : if (b == 2)
3541 22974 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
3542 : else
3543 46067 : return c ? 3 : 2;
3544 : }
3545 :
3546 : /* same for aX^2 +bX + c */
3547 : static long
3548 788963 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3549 : {
3550 788963 : if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
3551 : /* p = 3 */
3552 301112 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
3553 : }
3554 :
3555 : /* p = 2 or 3 */
3556 : static GEN
3557 704445 : localred_23(GEN e, long p)
3558 : {
3559 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
3560 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
3561 : GEN v;
3562 :
3563 704445 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
3564 704445 : if (!k) v = init_ch();
3565 : else
3566 : {
3567 : ellmin_t M;
3568 48776 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
3569 48776 : v = min_get_v(&M, e);
3570 48776 : e = min_to_ell(&M, e);
3571 : }
3572 : /* model is minimal */
3573 704445 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
3574 704445 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
3575 702954 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
3576 321699 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
3577 :
3578 702954 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
3579 : {
3580 386162 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
3581 196056 : c = nuD;
3582 : else
3583 190106 : c = odd(nuD)? 1: 2;
3584 386162 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
3585 : }
3586 316792 : if (p == 2)
3587 : {
3588 185941 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
3589 185941 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
3590 185941 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
3591 185941 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
3592 : }
3593 : else /* p == 3 */
3594 : {
3595 130851 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
3596 130851 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
3597 130851 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
3598 130851 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
3599 : }
3600 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
3601 316792 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
3602 316792 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
3603 22295 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
3604 294497 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
3605 27650 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
3606 266847 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
3607 : {
3608 22512 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
3609 11529 : c = 3;
3610 : else
3611 10983 : c = 1;
3612 22512 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
3613 : }
3614 :
3615 244335 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
3616 91084 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
3617 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
3618 244335 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
3619 244335 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
3620 244335 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
3621 244335 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
3622 : {
3623 35987 : case 3:
3624 35987 : c = a63 ? 1: 2;
3625 35987 : if (p == 2)
3626 18718 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
3627 : else {
3628 17269 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
3629 17269 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
3630 : }
3631 35987 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
3632 130368 : case 2:
3633 : { /* compute nu */
3634 : GEN pk, pk1, p2k;
3635 : long al, be, ga;
3636 130368 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
3637 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3638 130368 : nu = 1;
3639 130368 : pk = utoipos(p2);
3640 130368 : p2k = utoipos(p4);
3641 : for(;;)
3642 : {
3643 387723 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
3644 387723 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3645 387723 : al = 1;
3646 387723 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3647 323260 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
3648 323260 : pk1 = pk;
3649 323260 : pk = mului(p, pk);
3650 323260 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3651 :
3652 323260 : al = a21;
3653 323260 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
3654 323260 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3655 323260 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3656 257355 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
3657 257355 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3658 : }
3659 130368 : if (p == 2)
3660 72268 : c = odd(ga)? 2: 4;
3661 : else
3662 58100 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
3663 130368 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
3664 : }
3665 77980 : case 1:
3666 77980 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
3667 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3668 77980 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
3669 77980 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
3670 77980 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
3671 : {
3672 29813 : if (p == 2)
3673 20356 : c = 3 - 2 * a64;
3674 : else
3675 9457 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
3676 29813 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
3677 : }
3678 48167 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
3679 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
3680 48167 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
3681 28966 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
3682 :
3683 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
3684 19201 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
3685 : }
3686 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3687 : }
3688 :
3689 : /* e is integral */
3690 : static GEN
3691 1583512 : localred(GEN e, GEN p)
3692 : {
3693 1583512 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
3694 879487 : return localred_p(e,p);
3695 : else
3696 : {
3697 704025 : long l = itos(p);
3698 704025 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
3699 704025 : return localred_23(e, l);
3700 : }
3701 : }
3702 :
3703 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
3704 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
3705 : static GEN
3706 26320 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
3707 : {
3708 26320 : GEN b = z;
3709 : long i;
3710 26320 : if (typ(b) == t_INT)
3711 : {
3712 26229 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
3713 26229 : return shifti(negi(b),-1);
3714 : }
3715 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3716 : {
3717 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
3718 : }
3719 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
3720 : }
3721 :
3722 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
3723 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
3724 : static GEN
3725 13160 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
3726 : {
3727 13160 : GEN b = z;
3728 : long i;
3729 13160 : if (typ(b) == t_INT)
3730 : {
3731 13111 : long s = smodis(b,3);
3732 13111 : if (s)
3733 : {
3734 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
3735 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
3736 0 : b = subii(b, Jz);
3737 : else
3738 0 : b = addii(b, Jz);
3739 : }
3740 13111 : return diviiexact(b, stoi(-3));
3741 : }
3742 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3743 : {
3744 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
3745 98 : if (!s) continue;
3746 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
3747 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
3748 : else
3749 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3750 : }
3751 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3752 : }
3753 :
3754 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
3755 : static GEN
3756 4403 : get_piinv(GEN P)
3757 : {
3758 4403 : GEN z = pr_get_tau(P);
3759 4403 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
3760 4403 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
3761 : }
3762 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
3763 : static void
3764 151284 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
3765 : {
3766 151284 : if (pr_is_inert(P))
3767 : {
3768 146923 : *pi = pr_get_p(P);
3769 146923 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
3770 : }
3771 : else
3772 : {
3773 4361 : *pv = get_piinv(P);
3774 4361 : *pi = nfinv(nf, *pv);
3775 : }
3776 151284 : }
3777 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
3778 : static GEN
3779 242711 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
3780 : {
3781 242711 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3782 242711 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3783 242711 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
3784 : }
3785 :
3786 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
3787 : static GEN
3788 393344 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
3789 : {
3790 393344 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
3791 393344 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3792 393344 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
3793 : }
3794 :
3795 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
3796 :
3797 : static GEN
3798 217322 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
3799 : {
3800 217322 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
3801 217322 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
3802 217322 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3803 217322 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
3804 : }
3805 :
3806 : static GEN
3807 587188 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
3808 : {
3809 587188 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3810 587188 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
3811 587188 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
3812 587188 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
3813 587188 : return Fq_to_nf(r, modP);
3814 : }
3815 :
3816 : static GEN
3817 15575 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
3818 : {
3819 15575 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3820 15575 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
3821 15575 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
3822 15575 : long n = 1;
3823 : while(1)
3824 24871 : {
3825 40446 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
3826 : GEN gama;
3827 40446 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3828 : {
3829 8085 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3830 8085 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3831 : }
3832 32361 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3833 32361 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
3834 32361 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3835 32361 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
3836 32361 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3837 : {
3838 7490 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3839 7490 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3840 : }
3841 24871 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3842 24871 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
3843 24871 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
3844 24871 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3845 : }
3846 : }
3847 :
3848 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
3849 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
3850 :
3851 : static GEN
3852 99876 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
3853 : {
3854 : GEN T, p, modP;
3855 : long vD;
3856 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
3857 99876 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3858 99876 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
3859 99876 : ch = init_ch();
3860 99876 : vD = nfval(nf,D,P);
3861 99876 : *ap = 0;
3862 : while(1)
3863 : {
3864 253386 : if (vD==0)
3865 784 : return localred_result(0,1,1,ch);
3866 : else
3867 : {
3868 252602 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3869 252602 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3870 252602 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
3871 252602 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
3872 252602 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
3873 : GEN x0, y0;
3874 252602 : if (absequaliu(p,2))
3875 : {
3876 : GEN x02, y02;
3877 165039 : if (signe(a1))
3878 : {
3879 30205 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
3880 30205 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
3881 30205 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
3882 : }
3883 : else
3884 : {
3885 134834 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
3886 134834 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
3887 : }
3888 165039 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
3889 : }
3890 : else
3891 : {
3892 87563 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
3893 87563 : if (signe(a12))
3894 27545 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
3895 : else
3896 60018 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
3897 87563 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
3898 : }
3899 252602 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
3900 252602 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
3901 252602 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
3902 : }
3903 : /* 2 */
3904 : {
3905 252602 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
3906 252602 : if (signe(b2) != 0)
3907 : {
3908 57750 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
3909 57750 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
3910 57750 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
3911 27930 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
3912 : }
3913 : }
3914 : /* 3 */
3915 : {
3916 194852 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
3917 194852 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
3918 : }
3919 : /* 4 */
3920 : {
3921 192087 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
3922 192087 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
3923 : }
3924 : /* 5 */
3925 188370 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
3926 : {
3927 188370 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
3928 188370 : if (vb6<=2)
3929 : {
3930 3409 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
3931 3409 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3932 3409 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
3933 : }
3934 : }
3935 : /* 6 */
3936 : {
3937 184961 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
3938 184961 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
3939 184961 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
3940 : GEN po2, E, F, mr;
3941 : long i, lE;
3942 184961 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
3943 184961 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
3944 184961 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
3945 : {
3946 70006 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
3947 70006 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
3948 70006 : lE = lg(E);
3949 70006 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
3950 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
3951 : long c; /* 1 + number of roots */
3952 4858 : switch(lE)
3953 : {
3954 1778 : case 2: c = 1; break;
3955 2709 : case 3: c = 2; break;
3956 371 : default: c = 4; break;
3957 : }
3958 4858 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
3959 : }
3960 : /* 7 */
3961 65148 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
3962 65148 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
3963 65148 : if (!gequal0(mr))
3964 : { /* not so frequent */
3965 59093 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
3966 59093 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
3967 : }
3968 65148 : if (lE == 3)
3969 15575 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
3970 : }
3971 : }
3972 164528 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
3973 164528 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
3974 : /* 8 */
3975 164528 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
3976 : {
3977 4494 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
3978 4494 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
3979 : }
3980 : /* 9 */
3981 : {
3982 160034 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
3983 160034 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
3984 160034 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
3985 3969 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
3986 : }
3987 : /* 10 */
3988 156065 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
3989 2555 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
3990 : /* 11 */
3991 153510 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
3992 153510 : vD -= 12;
3993 : }
3994 : }
3995 :
3996 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
3997 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
3998 : static GEN
3999 51408 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
4000 : {
4001 51408 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4002 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
4003 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
4004 :
4005 51408 : c4 = ell_get_c4(e);
4006 51408 : c6 = ell_get_c6(e);
4007 51408 : D = ell_get_disc(e);
4008 51408 : vD = nfval(nf,D,P);
4009 51408 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
4010 51408 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
4011 51408 : m = (vD - nuj)/12;
4012 51408 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
4013 :
4014 51408 : if(m <= 0) ch = init_ch();
4015 : else
4016 : { /* model not minimal */
4017 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
4018 13160 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
4019 13160 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
4020 13160 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
4021 13160 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
4022 13160 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
4023 13160 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
4024 13160 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
4025 13160 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
4026 13160 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
4027 13160 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
4028 13160 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
4029 13160 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
4030 13160 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
4031 13160 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
4032 13160 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
4033 13160 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
4034 13160 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
4035 13160 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
4036 : }
4037 :
4038 51408 : kod = 1; c = 1;
4039 : /* minimal at P */
4040 51408 : if (nuj > 0)
4041 : { /* v(j) < 0 */
4042 47481 : if (vD == nuj)
4043 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
4044 45360 : f = 1; kod = 4+vD;
4045 45360 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
4046 45360 : if (Fq_issquare(z,T,p))
4047 24171 : c = vD;/* split */
4048 : else
4049 21189 : c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
4050 : }
4051 : else
4052 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
4053 : GEN Du;
4054 2121 : f = 2; kod = 2-vD;
4055 2121 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
4056 2121 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
4057 2121 : if(odd(vD))
4058 : {
4059 : GEN c6u;
4060 1148 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
4061 1148 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
4062 1148 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
4063 : }
4064 2121 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
4065 : }
4066 : }
4067 : else
4068 : { /* v(j) >= 0 */
4069 3927 : f = vD? 2: 0;
4070 3927 : switch(vD)
4071 : {
4072 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
4073 91 : case 0: kod = 1; c = 1; break;
4074 616 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
4075 518 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
4076 273 : case 4: kod = 4;
4077 273 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
4078 273 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4079 273 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4080 273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4081 273 : break;
4082 1057 : case 6: kod = -1;
4083 1057 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
4084 1057 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
4085 1057 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4086 1057 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
4087 1057 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
4088 1057 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
4089 1057 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
4090 1057 : break;
4091 616 : case 8: kod = -4;
4092 616 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
4093 616 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4094 616 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4095 616 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4096 616 : break;
4097 483 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
4098 273 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
4099 : }
4100 51408 : }
4101 51408 : return localred_result(f,kod,c,ch);
4102 : }
4103 : /* E is integral */
4104 : static GEN
4105 102137 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
4106 : {
4107 102137 : GEN p = pr_get_p(pr);
4108 102137 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4109 : {
4110 : long i, ap, vu;
4111 50729 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4112 50729 : GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
4113 50729 : gel(q,3) = v;
4114 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
4115 50729 : vu = nfval(nf, u, pr);
4116 50729 : if (vu > 0)
4117 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
4118 49504 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
4119 49504 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
4120 49504 : if (!equali1(D))
4121 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
4122 : GEN a;
4123 511 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
4124 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
4125 511 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
4126 511 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
4127 511 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
4128 511 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
4129 : }
4130 : }
4131 253645 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
4132 50729 : return q;
4133 : }
4134 51408 : return nflocalred_p(E,pr);
4135 : }
4136 :
4137 : static GEN
4138 2817787 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
4139 : {
4140 2817787 : GEN q, E = *pE;
4141 : long tE;
4142 2817787 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
4143 2817770 : if (pv) *pv = NULL;
4144 2817770 : if (p) switch(typ(p))
4145 : {
4146 2452416 : case t_INT:
4147 2452416 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
4148 2452415 : break;
4149 205772 : case t_VEC:
4150 205772 : q = get_prid(p);
4151 205772 : if (q && tE == t_ELL_NF)
4152 : {
4153 205772 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4154 205772 : return q;
4155 : }
4156 6 : default: pari_err_TYPE(s,p);
4157 : }
4158 2611991 : switch(tE)
4159 : {
4160 181087 : case t_ELL_Fp:
4161 181087 : case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
4162 273 : case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
4163 2430630 : case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
4164 : default:
4165 15 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
4166 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4167 : }
4168 2611976 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
4169 2611941 : if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
4170 2430854 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4171 2611962 : return q;
4172 : }
4173 :
4174 : GEN
4175 197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
4176 : {
4177 197085 : pari_sp av = avma;
4178 : GEN v, q;
4179 197085 : checkell(E);
4180 197085 : p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
4181 197071 : switch(ell_get_type(E))
4182 : {
4183 99477 : case t_ELL_Qp:
4184 99477 : case t_ELL_Q: q = localred(E, p); break;
4185 97594 : case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
4186 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
4187 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4188 : }
4189 197071 : if (v)
4190 : { /* compose local change of variables with v */
4191 28 : GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
4192 28 : if (is_trivial_change(w))
4193 21 : gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4194 : else
4195 7 : gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
4196 : }
4197 197071 : return gerepilecopy(av, q);
4198 : }
4199 :
4200 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
4201 : static GEN
4202 40614 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
4203 : {
4204 40614 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
4205 40614 : return c;
4206 : }
4207 : static GEN
4208 15505959 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
4209 : {
4210 15505959 : *pd = NULL;
4211 15505959 : switch(typ(c))
4212 : {
4213 15461591 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
4214 3773 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
4215 40614 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
4216 40614 : if (nf)
4217 : {
4218 40614 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
4219 40614 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
4220 : }
4221 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
4222 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4223 : }
4224 : }
4225 : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
4226 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
4227 : GEN
4228 3101240 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
4229 : {
4230 : GEN a, t, u, L, nf;
4231 : long i, l, k;
4232 :
4233 3101240 : if (pv) *pv = NULL;
4234 : /* t_ELL_Qp is also possible */
4235 3101240 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
4236 3101228 : L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
4237 18607183 : for (i = 1; i < 6; i++)
4238 : {
4239 : GEN d;
4240 15505923 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
4241 15505974 : if (d) /* partial factorization of denominator */
4242 4746 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
4243 : }
4244 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
4245 3101260 : l = lg(L); if (l == 1) return e;
4246 2369 : L = ZV_sort_uniq_shallow(L);
4247 2366 : l = lg(L);
4248 :
4249 2366 : t = gen_1;
4250 6160 : for (k = 1; k < l; k++)
4251 : {
4252 3794 : GEN p = gel(L,k);
4253 3794 : long n = 0, m;
4254 22764 : for (i = 1; i < 6; i++)
4255 18970 : if (!gequal0(gel(a,i)))
4256 : {
4257 8799 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
4258 8799 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
4259 13111 : while (m < 0) { n++; m += r; }
4260 : }
4261 3794 : t = mulii(t, powiu(p, n));
4262 : }
4263 2366 : u = ginv(t);
4264 2366 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4265 2366 : return coordch_uinv(e, t);
4266 : }
4267 : GEN
4268 336 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
4269 : {
4270 336 : pari_sp av = avma;
4271 336 : checkell(e);
4272 336 : switch(ell_get_type(e))
4273 : {
4274 336 : case t_ELL_Q:
4275 : case t_ELL_Qp:
4276 336 : case t_ELL_NF: break;
4277 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
4278 : }
4279 336 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
4280 336 : if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
4281 315 : e = gerepilecopy(av, e);
4282 315 : if (pv) *pv = init_ch();
4283 315 : return e;
4284 : }
4285 :
4286 : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
4287 : GEN
4288 0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
4289 : {
4290 0 : pari_sp av = avma;
4291 : GEN f, a1, a3;
4292 :
4293 0 : checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
4294 0 : a1 = ell_get_a1(f);
4295 0 : a3 = ell_get_a3(f);
4296 0 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
4297 0 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
4298 : else
4299 : {
4300 0 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
4301 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4302 0 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
4303 : }
4304 0 : if (f != e) ell_reset(f);
4305 0 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
4306 : }
4307 :
4308 : static long
4309 2555 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4310 : {
4311 2555 : long N = 1; /* oo */
4312 2555 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4313 2415 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4314 2555 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4315 2121 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4316 2555 : return N;
4317 : }
4318 : static long
4319 3619 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4320 : {
4321 3619 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4322 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4323 3619 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4324 : }
4325 : static long
4326 2534 : cardmod2(GEN e)
4327 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4328 2534 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4329 2534 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4330 2534 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4331 2534 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4332 2534 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4333 2534 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4334 : }
4335 : static long
4336 3479 : cardmod3(GEN e)
4337 : {
4338 3479 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4339 3479 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4340 3479 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4341 3479 : return F3_card(b2,b4,b6);
4342 : }
4343 :
4344 : static ulong
4345 378 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4346 :
4347 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4348 : static void
4349 35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4350 : {
4351 35 : min_set_u(M, int2n(d));
4352 35 : min_set_c(M, E);
4353 35 : min_set_b(M);
4354 35 : min_set_a(M);
4355 35 : }
4356 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4357 : static void
4358 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4359 : {
4360 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4361 140 : min_set_c(M, E);
4362 140 : min_set_b(M);
4363 140 : }
4364 :
4365 : static long
4366 102417 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
4367 : {
4368 102417 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
4369 102417 : if (vD) /* bad reduction */
4370 : {
4371 : GEN c6;
4372 : long s;
4373 102109 : *good_red = 0;
4374 102109 : if (vc6) return 0;
4375 75159 : c6 = ell_get_c6(E);
4376 75159 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4377 75159 : s = kroiu(c6,p);
4378 75159 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4379 75159 : return s;
4380 : }
4381 308 : *good_red = 1;
4382 308 : if (p == 2)
4383 : {
4384 : ellmin_t M;
4385 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4386 21 : min_set_2(&M, E, d);
4387 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4388 : }
4389 287 : else if (p == 3)
4390 : {
4391 : ellmin_t M;
4392 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4393 140 : min_set_3(&M, E, d);
4394 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4395 : }
4396 : else
4397 : {
4398 : ellmin_t M;
4399 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4400 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4401 147 : min_set_c(&M, E);
4402 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4403 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4404 : }
4405 : }
4406 :
4407 : static GEN
4408 98574 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4409 : {
4410 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4411 : long vc6, vD, d;
4412 98574 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
4413 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4414 0 : D = ell_get_disc(E);
4415 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4416 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4417 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4418 0 : if (vD) /* bad reduction */
4419 : {
4420 : long s;
4421 0 : *good_red = 0;
4422 0 : if (vc6) return gen_0;
4423 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4424 0 : s = kronecker(c6,p);
4425 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4426 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4427 : }
4428 0 : *good_red = 1;
4429 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4430 0 : if (d)
4431 : {
4432 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4433 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4434 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4435 : }
4436 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4437 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4438 : }
4439 :
4440 : static GEN
4441 117982 : doellcard(GEN E)
4442 : {
4443 117982 : GEN fg = ellff_get_field(E);
4444 117982 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4445 96275 : return FF_ellcard(E);
4446 : else
4447 : {
4448 21707 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
4449 21707 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
4450 : }
4451 : }
4452 :
4453 : static GEN
4454 191753 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
4455 : {
4456 191753 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
4457 191747 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4458 191749 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4459 : {
4460 : long ap;
4461 49147 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4462 49147 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
4463 49147 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
4464 476 : *good_red = 1;
4465 476 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
4466 476 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
4467 476 : card = FF_ellcard(E);
4468 : }
4469 : else
4470 : {
4471 142599 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
4472 142595 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
4473 142578 : if (vD)
4474 : {
4475 : GEN c6new;
4476 49175 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
4477 49175 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
4478 49175 : if (vD > 12*d)
4479 : { /* bad reduction */
4480 49133 : *good_red = 0;
4481 92911 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
4482 43778 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
4483 43778 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
4484 : }
4485 42 : if (d)
4486 : { /* model not minimal at P */
4487 42 : GEN piinv = get_piinv(P);
4488 42 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
4489 42 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
4490 42 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
4491 42 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
4492 42 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
4493 : }
4494 : }
4495 93445 : *good_red = 1;
4496 93445 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
4497 93449 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
4498 93458 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
4499 93454 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
4500 93395 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
4501 : }
4502 93930 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
4503 : }
4504 :
4505 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
4506 : * basis */
4507 : static GEN
4508 458219 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
4509 : {
4510 : GEN P;
4511 458219 : if (!signe(a))
4512 1841 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
4513 456378 : else if (!signe(b))
4514 1022 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
4515 : else
4516 : {
4517 455356 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
4518 : long k, l;
4519 455356 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
4520 346674 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
4521 346674 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
4522 : /* d = gcd(A,B) */
4523 346674 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
4524 346674 : l = lg(P);
4525 811151 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
4526 346674 : P = shallowconcat1(P);
4527 346674 : ZV_sort_inplace(P);
4528 : }
4529 349537 : settyp(P, t_VEC); return P;
4530 : }
4531 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
4532 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
4533 : static GEN
4534 457141 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
4535 : {
4536 : pari_sp av;
4537 457141 : GEN D = ell_get_disc(E);
4538 457141 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4539 457141 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
4540 : long l, k;
4541 :
4542 457141 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
4543 457141 : l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
4544 348599 : DP = coltrunc_init(l);
4545 348599 : av = avma;
4546 348599 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4547 348599 : u = gen_1;
4548 858282 : for (k = 1; k < l; k++)
4549 : {
4550 509683 : GEN p = gel(P, k);
4551 509683 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4552 509683 : if (d) switch(itou_or_0(p))
4553 : {
4554 57896 : case 2:
4555 : {
4556 : long a, b;
4557 57896 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4558 57896 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4559 57896 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
4560 57896 : break;
4561 : }
4562 2863 : case 3:
4563 2863 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4564 2863 : break;
4565 : }
4566 509683 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
4567 509683 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
4568 : }
4569 348599 : if (pDP) *pDP = DP;
4570 348599 : return gerepileuptoint(av, u);
4571 : }
4572 :
4573 : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
4574 : static GEN
4575 35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
4576 : {
4577 35 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
4578 35 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
4579 35 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
4580 :
4581 35 : A1 = gmodgs(a1,2);
4582 35 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
4583 35 : s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
4584 35 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
4585 35 : r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
4586 35 : r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
4587 35 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
4588 35 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
4589 35 : t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
4590 35 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
4591 : }
4592 :
4593 : static GEN
4594 3108 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
4595 : {
4596 3108 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
4597 3108 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
4598 : }
4599 : static GEN
4600 1078 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
4601 : {
4602 1078 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4603 1078 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
4604 1078 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
4605 1078 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
4606 : }
4607 : static GEN
4608 952 : ellnf_D_primes(GEN E)
4609 : {
4610 952 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4611 952 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
4612 952 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
4613 952 : long k, l = lg(P);
4614 2534 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
4615 952 : if (!is_pm1(DZ))
4616 : {
4617 770 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
4618 770 : settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
4619 : }
4620 952 : return P;
4621 : }
4622 :
4623 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
4624 : static GEN
4625 1057 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
4626 : {
4627 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
4628 1057 : long k, l = lg(P);
4629 1057 : Lr = vectrunc_init(l);
4630 1057 : Ls = vectrunc_init(l);
4631 1057 : Lt = vectrunc_init(l);
4632 1057 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
4633 1057 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
4634 5278 : for (k = 1; k < l; k++)
4635 : {
4636 4221 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
4637 : long vu;
4638 4221 : v = gel(q,3);
4639 4221 : u = gel(v,1);
4640 4221 : vu = nfval(nf, u, pr);
4641 4221 : if (!vu) continue;
4642 980 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
4643 980 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
4644 980 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
4645 980 : vectrunc_append(L, pr);
4646 980 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
4647 : }
4648 1057 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
4649 : }
4650 : /* E integral */
4651 : static GEN
4652 987 : ellminimalprimes(GEN E)
4653 : {
4654 : GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
4655 : long j, k, l;
4656 :
4657 987 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
4658 126 : nf = ellnf_get_nf(E);
4659 126 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
4660 126 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
4661 126 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
4662 126 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
4663 126 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
4664 126 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4665 574 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4666 : {
4667 448 : GEN pr = gel(P, k);
4668 448 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
4669 406 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
4670 399 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
4671 399 : gel(P,j++) = pr;
4672 : }
4673 126 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4674 126 : return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4675 : }
4676 : static GEN
4677 868 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
4678 : {
4679 868 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
4680 : long i, l;
4681 868 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4682 868 : S = ellminimalprimes(E);
4683 868 : L = gel(S,1);
4684 868 : U = gel(S,2);
4685 868 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
4686 868 : P = cgetg_copy(L, &l);
4687 1645 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
4688 868 : P = factorback2(P, U);
4689 868 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
4690 868 : return P;
4691 : }
4692 : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
4693 : * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
4694 : static GEN
4695 56 : bnf_get_v(GEN E)
4696 : {
4697 56 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
4698 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
4699 :
4700 56 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
4701 56 : S = ellminimalprimes(E);
4702 56 : L = gel(S,1);
4703 56 : U = gel(S,2);
4704 56 : Lr = gel(S,3);
4705 56 : Ls = gel(S,4);
4706 56 : Lt = gel(S,5);
4707 56 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
4708 56 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
4709 35 : nf = bnf_get_nf(bnf);
4710 35 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
4711 35 : U = basistoalg(nf, gel(F,2));
4712 35 : R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
4713 35 : S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
4714 35 : T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
4715 35 : return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
4716 : }
4717 :
4718 : GEN
4719 70 : ellminimaldisc(GEN E)
4720 : {
4721 70 : pari_sp av = avma;
4722 70 : checkell(E);
4723 70 : switch(ell_get_type(E))
4724 : {
4725 7 : case t_ELL_Q:
4726 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
4727 7 : return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
4728 63 : case t_ELL_NF:
4729 : {
4730 63 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
4731 63 : E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
4732 63 : S = ellminimalprimes(E);
4733 63 : L = gel(S,1);
4734 63 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
4735 63 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
4736 63 : return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
4737 : }
4738 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
4739 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4740 : }
4741 : }
4742 :
4743 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
4744 : * ellminimalmodel(E) */
4745 : static GEN
4746 458611 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
4747 : {
4748 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
4749 : ellmin_t M;
4750 458611 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4751 : {
4752 1484 : if (lg(S) != 2)
4753 : {
4754 70 : E = gel(S,3);
4755 70 : v = gel(S,2);
4756 : }
4757 : else
4758 1414 : v = init_ch();
4759 1484 : if (ptv) *ptv = v;
4760 1484 : if (pS) *pS = S;
4761 1484 : return gcopy(E);
4762 : }
4763 457127 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
4764 457127 : u = ellQ_minimalu(e, &DP);
4765 457127 : min_set_all(&M, e, u);
4766 457127 : v = min_get_v(&M, e);
4767 457127 : y = min_to_ell(&M, e);
4768 457127 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4769 457127 : if (is_trivial_change(v))
4770 : {
4771 455014 : v = init_ch();
4772 455014 : S = mkvec(DP);
4773 : }
4774 : else
4775 2113 : S = mkvec3(DP, v, y);
4776 457127 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4777 457127 : if (pS) *pS = S;
4778 457127 : if (ptv) *ptv = v; return y;
4779 : }
4780 :
4781 : static GEN
4782 3031 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4783 : {
4784 3031 : pari_sp av = avma;
4785 3031 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
4786 3031 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
4787 3031 : DP = gel(S,1);
4788 3031 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
4789 3031 : if (!ptv) return gerepilecopy(av, y);
4790 1022 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4791 : }
4792 :
4793 : static GEN
4794 56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4795 : {
4796 : GEN S, y, v, v2;
4797 56 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
4798 : {
4799 0 : switch(lg(S))
4800 : {
4801 0 : case 1: v = init_ch(); break;
4802 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
4803 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
4804 : }
4805 0 : *ptv = v;
4806 0 : return gcopy(E);
4807 : }
4808 56 : *ptv = NULL;
4809 56 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
4810 56 : v2 = bnf_get_v(y);
4811 56 : if (typ(v2) == t_COL)
4812 : {
4813 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
4814 21 : return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
4815 : }
4816 35 : y = coordch(y, v2);
4817 35 : gcomposev(&v, v2);
4818 35 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
4819 35 : y = coordch(y, v2);
4820 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
4821 35 : y = obj_reinit(y);
4822 35 : gcomposev(&v, v2);
4823 35 : if (is_trivial_change(v))
4824 : {
4825 7 : v = init_ch();
4826 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
4827 : }
4828 : else
4829 : {
4830 28 : v = lift_if_rational(v);
4831 28 : S = mkvec2(v, y);
4832 : }
4833 35 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
4834 35 : *ptv = v; return y;
4835 : }
4836 : static GEN
4837 56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4838 : {
4839 56 : pari_sp av = avma;
4840 56 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
4841 56 : if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
4842 56 : if (!v || !ptv) return gerepilecopy(av, y);
4843 28 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4844 : }
4845 : GEN
4846 3094 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4847 : {
4848 3094 : checkell(E);
4849 3094 : switch(ell_get_type(E))
4850 : {
4851 3031 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
4852 56 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
4853 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
4854 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4855 : }
4856 : }
4857 :
4858 : /* return a model minimal among b models */
4859 : GEN
4860 938 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
4861 : {
4862 938 : pari_sp av = avma;
4863 : GEN f, a1, a3;
4864 :
4865 938 : checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
4866 938 : a1 = ell_get_a1(f);
4867 938 : a3 = ell_get_a3(f);
4868 938 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
4869 336 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
4870 : else
4871 : {
4872 602 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
4873 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4874 602 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
4875 : }
4876 938 : if (f != e) ell_reset(f);
4877 938 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
4878 : }
4879 :
4880 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
4881 : * update type-dependant components.
4882 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
4883 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
4884 : * N = arithmetic conductor of E
4885 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
4886 : * fa = factorization of N
4887 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
4888 : static GEN
4889 454566 : ellQ_globalred(GEN e)
4890 : {
4891 : long k, l, iN;
4892 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
4893 :
4894 454566 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
4895 454566 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
4896 454566 : D = ell_get_disc(E);
4897 863373 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
4898 454566 : if (!is_pm1(D))
4899 : {
4900 436842 : P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
4901 436842 : ZV_sort_inplace(P);
4902 : }
4903 454566 : l = lg(P); c = gen_1;
4904 454566 : iN = 1;
4905 454566 : NP = cgetg(l, t_COL);
4906 454566 : NE = cgetg(l, t_COL);
4907 454566 : L = cgetg(l, t_VEC);
4908 1938587 : for (k = 1; k < l; k++)
4909 : {
4910 1484021 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
4911 1484021 : if (!signe(ex)) continue;
4912 1484021 : gel(NP, iN) = p;
4913 1484021 : gel(NE, iN) = ex;
4914 1484021 : gel(L, iN) = q; iN++;
4915 1484021 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
4916 1484021 : c = mulii(c, gel(q,4));
4917 : }
4918 454566 : setlg(L, iN);
4919 454566 : setlg(NP, iN);
4920 454566 : setlg(NE, iN);
4921 454566 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
4922 : }
4923 : static GEN
4924 460978 : ellglobalred_i(GEN E)
4925 460978 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
4926 :
4927 : static GEN
4928 952 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
4929 : {
4930 : GEN c, L, NP, NE;
4931 952 : long j, k, l = lg(P);
4932 952 : c = gen_1;
4933 952 : NP = cgetg(l, t_COL);
4934 952 : NE = cgetg(l, t_COL);
4935 952 : L = cgetg(l, t_VEC);
4936 4830 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4937 : {
4938 3878 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
4939 3878 : ex = gel(q,1);
4940 3878 : if (!signe(ex)) continue;
4941 3619 : gel(NP, j) = p;
4942 3619 : gel(NE, j) = ex;
4943 3619 : gel(L, j) = q; j++;
4944 3619 : c = mulii(c, gel(q,4));
4945 : }
4946 952 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
4947 952 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
4948 : }
4949 :
4950 : static GEN
4951 952 : ellnfglobalred(GEN E0)
4952 : {
4953 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
4954 : long j, k, l;
4955 :
4956 952 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4957 952 : if (!v) v = init_ch();
4958 952 : nf = ellnf_get_nf(E);
4959 952 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
4960 952 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
4961 952 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
4962 952 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4963 7406 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4964 : {
4965 6454 : GEN p = gel(P,k);
4966 6454 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
4967 3878 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
4968 3878 : gel(P,j++) = p;
4969 : }
4970 952 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4971 952 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
4972 931 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4973 952 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
4974 : }
4975 :
4976 : GEN
4977 454167 : ellglobalred(GEN E)
4978 : {
4979 454167 : pari_sp av = avma;
4980 : GEN S, gr, v;
4981 454167 : checkell(E);
4982 454167 : switch(ell_get_type(E))
4983 : {
4984 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
4985 452949 : case t_ELL_Q:
4986 452949 : gr = ellglobalred_i(E);
4987 452949 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4988 452949 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
4989 452949 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
4990 452949 : break;
4991 1218 : case t_ELL_NF:
4992 1218 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
4993 1218 : break;
4994 : }
4995 454167 : return gerepilecopy(av, v);
4996 : }
4997 :
4998 : static GEN doellrootno(GEN e);
4999 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
5000 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
5001 : * and E (shallow insert) */
5002 : GEN
5003 2310 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
5004 : {
5005 2310 : GEN E, S, v = NULL;
5006 2310 : checkell_Q(e);
5007 2310 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5008 : {
5009 406 : E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
5010 406 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5011 : }
5012 1904 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
5013 1890 : E = e;
5014 : else
5015 : {
5016 14 : v = gel(S,2);
5017 14 : E = gcopy(gel(S,3));
5018 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5019 : }
5020 2310 : if (ch) *ch = v;
5021 2310 : S = ellglobalred_i(e);
5022 2310 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
5023 2310 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
5024 2310 : if (!S)
5025 : {
5026 1106 : S = doellrootno(E);
5027 1106 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
5028 : }
5029 2310 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
5030 2310 : return E;
5031 : }
5032 :
5033 : static long
5034 462 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
5035 : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
5036 : * d'une courbe elliptique" */
5037 : GEN
5038 1407 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
5039 : {
5040 1407 : GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
5041 1407 : if (s == 1)
5042 994 : w = gel(w,1);
5043 413 : else if (nb_real_components(E) == 2)
5044 147 : w = gneg(gel(w,2));
5045 : else
5046 266 : w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
5047 1407 : return w;
5048 : }
5049 :
5050 : static GEN
5051 49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
5052 : {
5053 49 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5054 49 : return muliu(tam, nb_real_components(e));
5055 : }
5056 :
5057 : static GEN
5058 840 : ellnf_tamagawa(GEN e)
5059 : {
5060 840 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5061 840 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
5062 : long r1, r2;
5063 840 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
5064 840 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
5065 : }
5066 :
5067 : GEN
5068 49 : elltamagawa(GEN E)
5069 : {
5070 49 : pari_sp av = avma;
5071 : GEN v;
5072 49 : checkell(E);
5073 49 : switch(ell_get_type(E))
5074 : {
5075 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
5076 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
5077 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
5078 : }
5079 49 : return gerepileuptoint(av, v);
5080 : }
5081 :
5082 : static GEN
5083 1162 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
5084 : {
5085 1162 : GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
5086 1162 : if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
5087 1064 : if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
5088 861 : return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
5089 : }
5090 : /* true nf, use nf prec */
5091 : static GEN
5092 5516 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
5093 : {
5094 : long r1, r2;
5095 : GEN cx;
5096 5516 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
5097 5516 : x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
5098 5516 : if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
5099 2975 : x = Q_primitive_part(x, &cx);
5100 2975 : x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
5101 2975 : if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
5102 2975 : return x;
5103 : }
5104 : static long
5105 1162 : nfembed_extraprec(GEN x)
5106 1162 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
5107 : static GEN
5108 1064 : ellnfembed(GEN E, long prec)
5109 : {
5110 1064 : GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
5111 : long prec0, r1, r2, n, i;
5112 :
5113 1064 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
5114 1064 : E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
5115 1064 : prec0 = prec + EXTRAPREC64;
5116 : /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
5117 1064 : prec += (prec0-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
5118 1064 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
5119 1064 : sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
5120 : for(;;)
5121 : {
5122 1064 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5123 6384 : for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
5124 4795 : for (i=1; i<=n; i++)
5125 : {
5126 : GEN Ei, r;
5127 : long j;
5128 22386 : for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
5129 3731 : gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
5130 3731 : if (!Ei) break;
5131 3731 : r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
5132 3731 : if (!r) break;
5133 : }
5134 1064 : if (i > n) return L;
5135 0 : prec = precdbl(prec);
5136 0 : if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
5137 : }
5138 : }
5139 :
5140 : static GEN
5141 98 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
5142 : {
5143 98 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
5144 : long i, l;
5145 98 : P = RgC_to_nfC(nf, P);
5146 98 : prec += nfembed_extraprec(P);
5147 98 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5148 98 : Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
5149 98 : Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
5150 98 : l = lg(Px); L = cgetg(l, t_VEC);
5151 273 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
5152 98 : return L;
5153 : }
5154 :
5155 : static void
5156 973 : ellnfembed_free(GEN L)
5157 : {
5158 973 : long i, l = lg(L);
5159 4543 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
5160 973 : }
5161 :
5162 : static GEN
5163 154 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
5164 : {
5165 154 : pari_sp av = avma;
5166 154 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
5167 154 : long i, l = lg(V);
5168 154 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
5169 406 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
5170 154 : ellnfembed_free(V);
5171 154 : return gerepilecopy(av, P);
5172 : }
5173 :
5174 : GEN
5175 91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
5176 91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
5177 :
5178 : GEN
5179 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
5180 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
5181 :
5182 : GEN
5183 35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
5184 35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
5185 :
5186 : static GEN
5187 812 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
5188 : {
5189 812 : pari_sp av = avma;
5190 812 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
5191 812 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
5192 4116 : for(i = 1; i < l; i++)
5193 : {
5194 3304 : GEN e = gel(Eb, i);
5195 3304 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
5196 3304 : per = mulrr(per, pi);
5197 : }
5198 812 : ellnfembed_free(Eb);
5199 812 : return gerepileuptoleaf(av, per);
5200 : }
5201 : static GEN
5202 812 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
5203 : {
5204 812 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
5205 812 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
5206 : }
5207 :
5208 : static GEN
5209 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
5210 : {
5211 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5212 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5213 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
5214 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
5215 : }
5216 :
5217 : static GEN
5218 28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
5219 : {
5220 28 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
5221 28 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
5222 28 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5223 28 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5224 28 : if (lg(S) != 2)
5225 : { /* switch to minimal model if needed */
5226 21 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
5227 21 : per = gmul(per,u);
5228 : }
5229 28 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
5230 : }
5231 :
5232 : GEN
5233 70 : ellbsd(GEN E, long prec)
5234 : {
5235 70 : pari_sp av = avma;
5236 : GEN v;
5237 70 : checkell(E);
5238 70 : switch(ell_get_type(E))
5239 : {
5240 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
5241 28 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
5242 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
5243 : }
5244 70 : return gerepileupto(av, v);
5245 : }
5246 :
5247 : static GEN
5248 33684 : QE_to_ZJ(GEN P)
5249 : {
5250 33684 : if (ell_is_inf(P))
5251 0 : return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
5252 : else
5253 : {
5254 33684 : pari_sp av = avma;
5255 33684 : GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
5256 33684 : GEN R = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
5257 33684 : GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
5258 33684 : GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
5259 33684 : GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
5260 33684 : GEN Z = denom(mkvec2(Q1, Q2));
5261 33684 : GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
5262 33684 : return gerepilecopy(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
5263 : }
5264 : }
5265 :
5266 : static GEN
5267 4445 : QEV_to_ZJV(GEN x)
5268 38087 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
5269 :
5270 : static GEN
5271 15617 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
5272 : {
5273 173123 : pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
5274 : }
5275 :
5276 : static GEN
5277 10927 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
5278 : {
5279 10927 : long i, j, k, l = lg(A);
5280 : GEN B, Q;
5281 34612 : for (i = k = 1; i < l; i++)
5282 23685 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
5283 10927 : if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
5284 155 : B = cgetg(k, t_VEC);
5285 155 : Q = cgetg(k, typ(P));
5286 735 : for (i = j = 1; i < l; i++)
5287 580 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
5288 155 : *pQ = Q; return B;
5289 : }
5290 :
5291 : static GEN
5292 5397 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
5293 : {
5294 5397 : GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
5295 5397 : return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
5296 : }
5297 :
5298 : static GEN
5299 16026 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
5300 : {
5301 16026 : pari_sp av = avma;
5302 16026 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5303 16026 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
5304 16026 : ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
5305 : GEN a4a6, a, Hp;
5306 16026 : ulong d = 1;
5307 16026 : if (l != 1)
5308 : {
5309 647 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
5310 647 : ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
5311 648 : ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5312 648 : d = Fl_invsafe(l % c, c);
5313 647 : if (!d) return NULL;
5314 : }
5315 15617 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5316 15617 : a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
5317 15617 : Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
5318 15617 : if (d != 1)
5319 238 : Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
5320 15617 : Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
5321 15617 : Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
5322 15617 : return gerepileuptoleaf(av, Hp);
5323 : }
5324 :
5325 : static GEN
5326 8799 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
5327 : {
5328 8799 : pari_sp av = avma;
5329 8799 : long i, n = lg(P)-1;
5330 8799 : long CM = ellQ_get_CM(E);
5331 : GEN H, T, B, Q;
5332 8799 : if (n == 1)
5333 : {
5334 3269 : ulong p = uel(P,1);
5335 3269 : GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, l, E, CM, p);
5336 3269 : if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
5337 3245 : *mod = utoi(p);
5338 3245 : return Flv_to_ZV(Hp);
5339 : }
5340 5530 : T = ZV_producttree(P);
5341 5530 : A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
5342 5530 : H = cgetg(n+1, t_VEC);
5343 18287 : for(i=1; i <= n; i++)
5344 : {
5345 12757 : gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
5346 12757 : if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
5347 : }
5348 5530 : B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
5349 5530 : if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
5350 5530 : H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
5351 5530 : *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
5352 : }
5353 :
5354 : GEN
5355 8799 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
5356 : {
5357 8799 : GEN V = cgetg(3, t_VEC);
5358 8799 : gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
5359 8799 : return V;
5360 : }
5361 :
5362 : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
5363 : static long
5364 4199 : ZV_is_ei(GEN v)
5365 : {
5366 4199 : long i, ei = 0;
5367 15450 : for (i = lg(v)-1; i; i--)
5368 14478 : if (signe(gel(v,i)))
5369 : {
5370 5872 : if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
5371 2645 : ei = i;
5372 : }
5373 972 : return ei;
5374 : }
5375 :
5376 : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
5377 : * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
5378 : * torsion */
5379 : static GEN
5380 4213 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
5381 : {
5382 4213 : pari_sp av = avma;
5383 4213 : GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
5384 : forprime_t S;
5385 4213 : ulong bound = 1;
5386 :
5387 4213 : if (l == 1)
5388 : {
5389 4199 : long i = ZV_is_ei(L);
5390 4199 : if (i) return gel(A,i);
5391 : }
5392 3241 : hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
5393 3241 : D = ell_get_disc(E);
5394 3241 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
5395 : mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
5396 3241 : if (l==1)
5397 3227 : init_modular_big(&S);
5398 : else
5399 14 : init_modular_small(&S);
5400 3241 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
5401 3589 : {
5402 : GEN amax, r;
5403 6830 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
5404 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
5405 6830 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5406 6830 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
5407 3798 : && oncurve_exact(E,r))
5408 : {
5409 : GEN g;
5410 3241 : settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
5411 3241 : if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec2nbits(prec)/2)
5412 3241 : return gerepileupto(av, r);
5413 : }
5414 3589 : if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
5415 : }
5416 : }
5417 :
5418 : GEN
5419 805 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
5420 : {
5421 805 : pari_sp av = avma;
5422 805 : long i, j, l = lg(G);
5423 805 : GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
5424 :
5425 805 : if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
5426 805 : L = lllgram(M); l = lg(L); /* can decrease */
5427 4871 : for (i = j = 1; i < l; i++)
5428 : {
5429 4066 : GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
5430 4066 : if (expo(h) > -prec2nbits(prec)/2)
5431 4066 : gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
5432 : }
5433 805 : setlg(V, j); return gerepilecopy(av, V);
5434 : }
5435 :
5436 : static long
5437 42 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
5438 : {
5439 42 : GEN D = ell_get_disc(E);
5440 42 : pari_sp av = avma;
5441 : long m;
5442 2247 : for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
5443 : {
5444 2219 : ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
5445 2219 : if (dvdiu(D, p)) continue;
5446 2219 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5447 2219 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5448 2219 : if (o % l == 0)
5449 : {
5450 294 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5451 294 : GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5452 294 : GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
5453 294 : GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
5454 294 : if (uel(R, 3) != 0) return 0;
5455 280 : m++;
5456 : }
5457 : }
5458 28 : return 1;
5459 : }
5460 :
5461 : /* Assume l prime to 210 */
5462 : GEN
5463 42 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
5464 : {
5465 42 : pari_sp av = avma;
5466 42 : GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
5467 : forprime_t S, U;
5468 42 : long CM = ellQ_get_CM(E);
5469 : ulong bound;
5470 :
5471 42 : u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
5472 42 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
5473 28 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
5474 : mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
5475 28 : init_modular_small(&S);
5476 28 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
5477 62 : {
5478 : GEN amax, r;
5479 90 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
5480 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
5481 90 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5482 90 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
5483 29 : && oncurve_exact(E,r))
5484 : {
5485 28 : settyp(r,t_VEC);
5486 28 : if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gerepileupto(av, r);
5487 0 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
5488 : }
5489 : }
5490 : }
5491 :
5492 : /********************************************************************/
5493 : /** **/
5494 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
5495 : /** **/
5496 : /********************************************************************/
5497 : /* x a t_INT */
5498 : static long
5499 2058 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
5500 : {
5501 : long v;
5502 : GEN z;
5503 2058 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
5504 1904 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
5505 1904 : *u = umodiu(z,pk); return v;
5506 : }
5507 : static void
5508 686 : val_init(GEN e, long p, long pk,
5509 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
5510 : {
5511 686 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
5512 686 : pari_sp av = avma;
5513 686 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
5514 686 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
5515 686 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
5516 686 : }
5517 :
5518 : static long
5519 686 : kod_23(GEN e, long p)
5520 : {
5521 : GEN S, nv;
5522 686 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
5523 : {
5524 665 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
5525 665 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
5526 : }
5527 : else
5528 21 : nv = localred_23(e, p);
5529 686 : return itos(gel(nv,2));
5530 : }
5531 :
5532 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5533 : static long
5534 399 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
5535 : {
5536 399 : if (kod > 4) return 1;
5537 231 : switch(kod)
5538 : {
5539 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
5540 14 : case 2:
5541 14 : if (vD==4) return 1;
5542 : else
5543 : {
5544 0 : if (vD==7) return 3;
5545 0 : else return v4==4 ? 2 : 4;
5546 : }
5547 70 : case 3:
5548 70 : switch(vD)
5549 : {
5550 49 : case 6: return 3;
5551 0 : case 8: return 4;
5552 14 : case 9: return 5;
5553 7 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
5554 : }
5555 42 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
5556 14 : case -1:
5557 14 : switch(vD)
5558 : {
5559 0 : case 9: return 2;
5560 0 : case 10: return 4;
5561 14 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
5562 : }
5563 7 : case -2:
5564 7 : switch(vD)
5565 : {
5566 7 : case 12: return 2;
5567 0 : case 14: return 3;
5568 0 : default: return 1;
5569 : }
5570 0 : case -3:
5571 0 : switch(vD)
5572 : {
5573 0 : case 12: return 2;
5574 0 : case 14: return 3;
5575 0 : case 15: return 4;
5576 0 : default: return 1;
5577 : }
5578 49 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
5579 21 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
5580 7 : case -6:
5581 7 : switch(vD)
5582 : {
5583 7 : case 12: return 2;
5584 0 : case 13: return 3;
5585 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5586 : }
5587 0 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
5588 7 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5589 : }
5590 : }
5591 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5592 : static long
5593 168 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
5594 : {
5595 168 : if (labs(kod) > 4) return 1;
5596 119 : switch(kod)
5597 : {
5598 28 : case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
5599 28 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
5600 49 : case -4: case 2:
5601 49 : switch (vD%6)
5602 : {
5603 0 : case 4: return 3;
5604 0 : case 5: return 4;
5605 49 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
5606 : }
5607 14 : default: /* kod = -2 et 4 */
5608 14 : switch (vD%6)
5609 : {
5610 0 : case 0: return 2;
5611 0 : case 1: return 3;
5612 14 : default: return 1;
5613 : }
5614 : }
5615 : }
5616 :
5617 : static long
5618 399 : ellrootno_2(GEN e)
5619 : {
5620 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
5621 399 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
5622 :
5623 399 : if (!vD) return 1;
5624 399 : if (d) { /* not minimal */
5625 : ellmin_t M;
5626 14 : min_set_2(&M, e, d);
5627 14 : min_set_D(&M, e);
5628 14 : e = min_to_ell(&M, e);
5629 : }
5630 399 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5631 399 : kod = kod_23(e,2);
5632 399 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
5633 399 : if (kod>=5)
5634 : {
5635 : long a2, a3;
5636 168 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
5637 168 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
5638 168 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
5639 : }
5640 231 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
5641 224 : x1 = u+v+v;
5642 224 : switch(kod)
5643 : {
5644 0 : case 1: return 1;
5645 14 : case 2:
5646 : switch(n2)
5647 : {
5648 14 : case 1:
5649 14 : switch(v4)
5650 : {
5651 14 : case 4: return kross(-1,u);
5652 0 : case 5: return 1;
5653 0 : default: return -1;
5654 : }
5655 0 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
5656 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
5657 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
5658 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
5659 : }
5660 : case 3:
5661 : switch(n2)
5662 : {
5663 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
5664 0 : case 2: return -kross(2,v);
5665 49 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
5666 49 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
5667 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
5668 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
5669 : }
5670 : case -1:
5671 : switch(n2)
5672 : {
5673 14 : case 1: return -kross(2,x1);
5674 0 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
5675 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
5676 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
5677 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
5678 : }
5679 7 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
5680 0 : case -3:
5681 : switch(n2)
5682 : {
5683 0 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
5684 0 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
5685 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
5686 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
5687 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
5688 : }
5689 : case -5:
5690 21 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
5691 0 : else return -kross(2,2*u+v);
5692 7 : case -6:
5693 : switch(n2)
5694 : {
5695 0 : case 1: return 1;
5696 7 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
5697 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
5698 : }
5699 : case -7:
5700 0 : if (n2==1) return 1;
5701 : else
5702 : {
5703 0 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
5704 0 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
5705 0 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
5706 : }
5707 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
5708 0 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
5709 91 : default: return -1;
5710 : }
5711 : }
5712 :
5713 : static long
5714 287 : ellrootno_3(GEN e)
5715 : {
5716 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
5717 287 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
5718 :
5719 287 : if (!vD) return 1;
5720 287 : if (d) { /* not minimal */
5721 : ellmin_t M;
5722 0 : min_set_3(&M, e, d);
5723 0 : min_set_a(&M);
5724 0 : min_set_D(&M, e);
5725 0 : e = min_to_ell(&M, e);
5726 : }
5727 287 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5728 287 : kod = kod_23(e,3);
5729 287 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
5730 168 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
5731 168 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
5732 168 : switch(kod)
5733 : {
5734 28 : case 1: case 3: case -3: return 1;
5735 0 : case 2:
5736 : switch(n2)
5737 : {
5738 0 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
5739 0 : case 2: return -K4*K6;
5740 0 : case 3: return 1;
5741 0 : case 4: return -K6;
5742 : }
5743 : case 4:
5744 : switch(n2)
5745 : {
5746 7 : case 1: return K6*kross(D1,3);
5747 0 : case 2: return -K4;
5748 0 : case 3: return -K6;
5749 : }
5750 7 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5751 49 : case -4:
5752 : switch(n2)
5753 : {
5754 42 : case 1:
5755 42 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5756 42 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5757 7 : case 2: return -K6;
5758 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5759 0 : case 4: return K6;
5760 : }
5761 77 : default: return -1;
5762 : }
5763 : }
5764 :
5765 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
5766 : static long
5767 1393 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
5768 : {
5769 : long nuj, nuD, nu;
5770 1393 : GEN D = ell_get_disc(e);
5771 : long ep, z;
5772 :
5773 1393 : nuD = Q_pval(D, p);
5774 1393 : if (!nuD) return 1;
5775 1393 : nuj = j_pval(e, p);
5776 1393 : nu = (nuD - nuj) % 12;
5777 1393 : if (nu == 0)
5778 : {
5779 : GEN c6;
5780 : long d, vg;
5781 1176 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
5782 : /* p || N */
5783 1176 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
5784 1176 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
5785 1176 : d = vg / 12;
5786 1176 : if (d)
5787 : {
5788 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
5789 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
5790 : }
5791 1176 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
5792 : /* c6 in minimal model */
5793 1176 : return -kronecker(negi(c6), p);
5794 : }
5795 217 : if (nuj) return krosi(-1,p);
5796 189 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
5797 189 : if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
5798 189 : return krosi(-z, p);
5799 : }
5800 :
5801 : static GEN
5802 1120 : doellrootno(GEN e)
5803 : {
5804 1120 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
5805 1120 : long i, l, s = -1;
5806 :
5807 1120 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5808 1120 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
5809 1120 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
5810 1120 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
5811 3171 : for (i = 1; i < l; i++)
5812 : {
5813 2051 : GEN p = gel(P,i);
5814 : long t;
5815 2051 : switch(itou_or_0(p))
5816 : {
5817 378 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
5818 287 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
5819 1386 : default:t = ellrootno_p(e, p);
5820 : }
5821 2051 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
5822 : }
5823 1120 : return mkvec2(stoi(s), V);
5824 : }
5825 :
5826 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
5827 : * Global if p==1 or NULL. */
5828 : static long
5829 91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
5830 : {
5831 91 : pari_sp av = avma;
5832 : GEN S;
5833 : long s;
5834 91 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
5835 77 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
5836 77 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
5837 : {
5838 49 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
5839 49 : long i = ZV_search(NP, p);
5840 49 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
5841 0 : return 1;
5842 : }
5843 28 : switch(itou_or_0(p))
5844 : {
5845 21 : case 2:
5846 21 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5847 21 : s = ellrootno_2(e); break;
5848 0 : case 3:
5849 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5850 0 : s = ellrootno_3(e); break;
5851 7 : default:
5852 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
5853 : }
5854 28 : return gc_long(av, s);
5855 : }
5856 :
5857 : /* global root number over number field
5858 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
5859 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
5860 : */
5861 :
5862 : static GEN
5863 343 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
5864 : {
5865 : long i;
5866 343 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
5867 2058 : for(i=1; i<=5; i++)
5868 1715 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
5869 343 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
5870 : }
5871 :
5872 : static GEN
5873 273 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
5874 : {
5875 273 : long v = fetch_var_higher();
5876 273 : GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
5877 273 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
5878 273 : delete_var();
5879 273 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
5880 : }
5881 :
5882 : static GEN
5883 231 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
5884 : {
5885 231 : pari_sp av = avma;
5886 231 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5887 231 : GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
5888 231 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5889 231 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
5890 231 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
5891 231 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
5892 231 : return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
5893 : }
5894 :
5895 : static long
5896 273 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
5897 273 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
5898 :
5899 : static long
5900 161 : ellnf_rootno_global(GEN E)
5901 : {
5902 161 : pari_sp av = avma;
5903 161 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5904 161 : long prec = nf_get_prec(nf);
5905 161 : long v, var = fetch_var_higher();
5906 : GEN F;
5907 161 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
5908 161 : F = nfroots(nf, ec_bmodel(E, var));
5909 161 : if (lg(F)>1)
5910 : {
5911 42 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
5912 42 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5913 42 : obj_free(Et);
5914 42 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
5915 : } else
5916 : {
5917 119 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
5918 119 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E, var), utoi(4)), 4);
5919 119 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
5920 119 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
5921 119 : GEN F = nfroots(nf, D);
5922 119 : if (lg(F)>1)
5923 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
5924 : else
5925 : {
5926 112 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5927 112 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
5928 112 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
5929 112 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
5930 112 : GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
5931 112 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5932 112 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5933 112 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
5934 112 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
5935 112 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
5936 112 : v = odd(v2+v3);
5937 : }
5938 : }
5939 161 : delete_var();
5940 161 : return gc_long(av, v? -1: 1);
5941 : }
5942 :
5943 : static GEN
5944 161 : doellnfrootno(GEN e)
5945 161 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
5946 :
5947 : long
5948 2338 : ellrootno_global(GEN e)
5949 : {
5950 2338 : pari_sp av = avma;
5951 : GEN S;
5952 2338 : switch(ell_get_type(e))
5953 : {
5954 2037 : case t_ELL_Q:
5955 2037 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
5956 2037 : break;
5957 301 : case t_ELL_NF:
5958 301 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
5959 301 : break;
5960 0 : default:
5961 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5962 : }
5963 2338 : return gc_long(av, itos(S));
5964 : }
5965 :
5966 : long
5967 203 : ellrootno(GEN e, GEN p)
5968 : {
5969 203 : checkell(e);
5970 203 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
5971 203 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
5972 203 : switch(ell_get_type(e))
5973 : {
5974 91 : case t_ELL_Q:
5975 91 : return ellQ_rootno(e, p);
5976 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
5977 112 : case t_ELL_NF:
5978 112 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
5979 112 : return ellrootno_global(e);
5980 : }
5981 : }
5982 :
5983 : /********************************************************************/
5984 : /** **/
5985 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
5986 : /** **/
5987 : /********************************************************************/
5988 :
5989 : /* assume p does not divide disc E */
5990 : long
5991 378385 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
5992 : {
5993 : ulong a4, a6;
5994 378385 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
5995 376726 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
5996 374178 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5997 374178 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5998 : }
5999 :
6000 : static void
6001 693 : checkell_int(GEN e)
6002 : {
6003 693 : checkell_Q(e);
6004 693 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
6005 693 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
6006 693 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
6007 693 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
6008 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
6009 693 : }
6010 :
6011 : long
6012 13986 : ellQ_get_CM(GEN e)
6013 : {
6014 13986 : GEN j = ell_get_j(e);
6015 13986 : if (typ(j) != t_INT) return 0;
6016 785 : if (is_bigint(j))
6017 : {
6018 : #ifndef LONG_IS_64BIT
6019 4 : if (signe(j) < 0)
6020 : {
6021 4 : pari_sp av = avma;
6022 4 : if (absequalii(j, uu32toi(0x22UL,0x45ae8000UL))) return gc_long(av,-67);
6023 2 : if (absequalii(j, uu32toi(0x03a4b862,0xc4b40000UL))) return gc_long(av,-163);
6024 : }
6025 : #endif
6026 0 : return 0;
6027 : }
6028 781 : switch(signe(j))
6029 : {
6030 281 : default: return -3; /* j = 0 */
6031 315 : case 1:
6032 315 : switch(j[2])
6033 : {
6034 182 : case 1728: return -4;
6035 28 : case 8000: return -8;
6036 28 : case 54000: return -12;
6037 28 : case 287496: return -16;
6038 28 : case 16581375: return -28;
6039 21 : default: return 0;
6040 : }
6041 185 : case -1:
6042 185 : switch(j[2]) {
6043 28 : case 3375: return -7;
6044 28 : case 32768: return -11;
6045 14 : case 884736: return -19;
6046 35 : case 12288000: return -27;
6047 14 : case 884736000: return -43;
6048 : #ifdef LONG_IS_64BIT
6049 12 : case 147197952000L: return -67;
6050 12 : case 262537412640768000L: return -163;
6051 : #endif
6052 42 : default: return 0;
6053 : }
6054 : }
6055 : }
6056 :
6057 : static long
6058 56 : ellnf_get_CM(GEN E)
6059 : {
6060 56 : long av = avma;
6061 56 : GEN j = ell_get_j(E), nf = ellnf_get_nf(E);
6062 56 : GEN P = minpoly(basistoalg(nf, j), 0);
6063 56 : return gc_long(av, polisclass(P));
6064 : }
6065 :
6066 : long
6067 154 : elliscm(GEN E)
6068 : {
6069 154 : checkell(E);
6070 154 : switch(ell_get_type(E))
6071 : {
6072 98 : case t_ELL_Q: return ellQ_get_CM(E);
6073 56 : case t_ELL_NF: return ellnf_get_CM(E);
6074 0 : default: pari_err_TYPE("elliscm", E);
6075 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6076 : }
6077 : }
6078 :
6079 : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
6080 : static GEN
6081 2330984 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
6082 : {
6083 2330984 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
6084 2330957 : if (!signe(D))
6085 : {
6086 97993 : pari_sp av = avma;
6087 97993 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
6088 97993 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
6089 : }
6090 2232964 : *good_red = 1;
6091 2232964 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
6092 2232079 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
6093 2231145 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
6094 2230838 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
6095 : }
6096 :
6097 :
6098 : /* bad reduction at p */
6099 : static void
6100 3787 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
6101 : {
6102 : ulong m, N;
6103 3787 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
6104 : {
6105 1071 : case -1: /* nonsplit */
6106 1071 : N = n/p;
6107 461048 : for (m=2; m<=N; m++)
6108 459977 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
6109 1071 : break;
6110 1351 : case 0: /* additive */
6111 886144 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
6112 1351 : break;
6113 1365 : case 1: /* split */
6114 1365 : N = n/p;
6115 161518 : for (m=2; m<=N; m++)
6116 160153 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
6117 1365 : break;
6118 : }
6119 3787 : }
6120 : /* good reduction at p */
6121 : static void
6122 355075 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
6123 : {
6124 355075 : const long ap = an[p];
6125 : ulong m;
6126 355075 : if (p <= SQRTn) {
6127 13391 : ulong pk, oldpk = 1;
6128 54572 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
6129 : {
6130 41181 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
6131 5240900 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
6132 5199719 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
6133 : }
6134 : } else {
6135 1826111 : for (m = n/p; m > 1; m--)
6136 1484427 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
6137 : }
6138 355075 : }
6139 : static void
6140 358862 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
6141 : {
6142 358862 : if (good_red)
6143 355075 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
6144 : else
6145 3787 : sievep_bad(p, an, n);
6146 358862 : }
6147 :
6148 : static long
6149 358862 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
6150 : {
6151 358862 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
6152 3843 : return ellQap_u(e, p, good_red);
6153 : else /* good reduction */
6154 : {
6155 355019 : *good_red = 1;
6156 355019 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
6157 : }
6158 : }
6159 : GEN
6160 2415 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
6161 : {
6162 : pari_sp av;
6163 2415 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
6164 : GEN an;
6165 : int CM;
6166 :
6167 2415 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
6168 2415 : if (n >= LGBITS)
6169 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
6170 2415 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6171 2415 : SQRTn = usqrt(n);
6172 2415 : CM = ellQ_get_CM(e);
6173 :
6174 2415 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
6175 2415 : an[1] = 1; av = avma;
6176 2946398 : for (p=2; p<=n; p++)
6177 : {
6178 : int good_red;
6179 2943983 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
6180 358862 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
6181 358862 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
6182 : }
6183 2415 : set_avma(av); return an;
6184 : }
6185 :
6186 : static GEN
6187 56 : ellQ_eulerf(GEN e, GEN p)
6188 : {
6189 : int good_red;
6190 56 : GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
6191 56 : GEN ap = subii(addiu(p, 1), card);
6192 56 : if (good_red)
6193 56 : return mkrfrac(gen_1,deg2pol_shallow(p, gneg(ap), gen_1, 0));
6194 0 : if (!signe(ap)) return pol_1(0);
6195 0 : return mkrfrac(gen_1,deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1,0));
6196 : }
6197 :
6198 : static GEN
6199 329 : ellanQ(GEN e, long N)
6200 329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
6201 :
6202 : static GEN
6203 83772 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
6204 : {
6205 83772 : pari_sp av = avma;
6206 83772 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6207 83770 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
6208 83788 : long l = lg(LP), i;
6209 167550 : for (i = 1; i < l; i++)
6210 : {
6211 : int goodred;
6212 83762 : GEN P = gel(LP,i), T2;
6213 83762 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
6214 83722 : long f = pr_get_f(P);
6215 83721 : if (goodred)
6216 83539 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
6217 : else
6218 : {
6219 182 : if (!signe(ap)) continue;
6220 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
6221 : }
6222 83746 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
6223 83752 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
6224 : }
6225 83788 : if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
6226 46358 : if (n==0) return gerepilecopy(av, mkrfrac(gen_1,T));
6227 46344 : return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
6228 : }
6229 :
6230 : GEN
6231 4963 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
6232 : {
6233 4963 : pari_sp av = avma;
6234 4963 : long i, l = lg(P);
6235 4963 : GEN W = cgetg(l, t_VEC);
6236 88731 : for(i = 1; i < l; i++)
6237 : {
6238 83769 : ulong p = uel(P,i);
6239 83769 : long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
6240 83765 : gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
6241 : }
6242 4962 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
6243 : }
6244 :
6245 : static GEN
6246 203 : ellnfan(GEN E, long N)
6247 : {
6248 203 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
6249 203 : return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
6250 : }
6251 :
6252 : GEN
6253 70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
6254 : {
6255 70 : checkell(E);
6256 70 : switch(ell_get_type(E))
6257 : {
6258 56 : case t_ELL_Q: return ellQ_eulerf(E, p);
6259 14 : case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
6260 0 : default:
6261 0 : pari_err_TYPE("elleulerf",E);
6262 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6263 : }
6264 : }
6265 :
6266 : GEN
6267 525 : ellan(GEN E, long N)
6268 : {
6269 525 : checkell(E);
6270 525 : switch(ell_get_type(E))
6271 : {
6272 322 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
6273 203 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
6274 0 : default:
6275 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
6276 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6277 : }
6278 : }
6279 :
6280 : static GEN
6281 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
6282 : {
6283 : GEN u, v, w;
6284 : long j;
6285 735 : if (e == 1) return ap;
6286 112 : u = ap;
6287 112 : w = subii(sqri(ap), p);
6288 126 : for (j=3; j<=e; j++)
6289 : {
6290 14 : v = u; u = w;
6291 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
6292 : }
6293 112 : return w;
6294 : }
6295 :
6296 : GEN
6297 693 : akell(GEN e, GEN n)
6298 : {
6299 : long i, j, s;
6300 693 : pari_sp av = avma;
6301 : GEN fa, P, E, D, u, y;
6302 :
6303 693 : checkell_int(e);
6304 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
6305 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
6306 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
6307 693 : D = ell_get_disc(e);
6308 693 : u = Z_ppo(n, D);
6309 693 : y = gen_1;
6310 693 : s = 1;
6311 693 : if (!equalii(u, n))
6312 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
6313 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
6314 441 : P = gel(fa,1);
6315 441 : E = gel(fa,2);
6316 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6317 : {
6318 581 : GEN p = gel(P,i);
6319 581 : long ex = itos(gel(E,i));
6320 : int good_red;
6321 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
6322 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
6323 350 : j = signe(ap);
6324 350 : if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
6325 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
6326 : }
6327 : }
6328 693 : if (s < 0) y = negi(y);
6329 693 : fa = Z_factor(u);
6330 693 : P = gel(fa,1);
6331 693 : E = gel(fa,2);
6332 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6333 : { /* good reduction */
6334 504 : GEN p = gel(P,i);
6335 504 : GEN ap = ellap(e,p);
6336 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
6337 : }
6338 693 : return gerepileuptoint(av,y);
6339 : }
6340 :
6341 : GEN
6342 3682 : ellQ_get_N(GEN e)
6343 3682 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
6344 : void
6345 917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
6346 917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
6347 :
6348 : GEN
6349 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
6350 : {
6351 14 : pari_sp av = avma, av1;
6352 : ulong l, n;
6353 : long eps, flun;
6354 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
6355 :
6356 14 : if (!A) A = gen_1;
6357 : else
6358 : {
6359 7 : if (gsigne(A)<=0)
6360 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
6361 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
6362 : }
6363 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
6364 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
6365 14 : checkell_Q(e);
6366 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
6367 14 : N = ellQ_get_N(e);
6368 14 : eps = ellrootno_global(e);
6369 14 : if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
6370 :
6371 14 : gs = ggamma(s, prec);
6372 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
6373 14 : cga = gmul(cg, A);
6374 14 : cgb = gdiv(cg, A);
6375 14 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
6376 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
6377 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
6378 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
6379 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
6380 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
6381 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
6382 14 : z = gen_0;
6383 14 : av1 = avma;
6384 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
6385 : {
6386 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
6387 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
6388 1330 : if (!signe(an)) continue;
6389 :
6390 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
6391 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
6392 1106 : if (flun)
6393 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
6394 : else
6395 : {
6396 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
6397 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
6398 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
6399 : }
6400 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
6401 1106 : if (gc_needed(av1,1))
6402 : {
6403 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
6404 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
6405 : }
6406 : }
6407 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
6408 : }
6409 :
6410 : /********************************************************************/
6411 : /** **/
6412 : /** CANONICAL HEIGHT **/
6413 : /** **/
6414 : /********************************************************************/
6415 :
6416 : static GEN
6417 56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
6418 : {
6419 56 : GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
6420 56 : long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
6421 56 : GEN r = gen_1;
6422 133 : for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
6423 63 : for( ; i < l ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
6424 56 : return r;
6425 : }
6426 :
6427 : /* The function follows
6428 : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
6429 : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
6430 : */
6431 :
6432 : static GEN
6433 70 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
6434 : {
6435 : GEN h;
6436 : long d;
6437 70 : pari_sp av = avma;
6438 70 : checkell(e);
6439 70 : switch(ell_get_type(e))
6440 : {
6441 14 : case t_ELL_Q:
6442 14 : d = 1; e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6443 14 : h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
6444 14 : break;
6445 56 : case t_ELL_NF:
6446 56 : d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
6447 56 : h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
6448 56 : break;
6449 0 : default:
6450 0 : pari_err_TYPE("ellheight", e);
6451 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6452 : }
6453 70 : return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
6454 : }
6455 :
6456 : static GEN
6457 71369 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
6458 :
6459 : /* one root of X^2 - t X + c */
6460 : static GEN
6461 25577 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
6462 : {
6463 25577 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
6464 : }
6465 :
6466 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
6467 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
6468 : static GEN
6469 25577 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
6470 : {
6471 25577 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
6472 25577 : long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPREC64;
6473 :
6474 25577 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
6475 25577 : ab = ellR_ab(e, p);
6476 25577 : a = gel(ab, 1);
6477 25577 : b = gel(ab, 2);
6478 25577 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
6479 25577 : x = gsub(x, e1);
6480 25577 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
6481 :
6482 25577 : x_a = gsub(x, a);
6483 25577 : if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
6484 25577 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
6485 25577 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
6486 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
6487 25577 : for(n=0;; n++)
6488 146621 : {
6489 172198 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
6490 172198 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
6491 172198 : r = gsub(a, a0);
6492 172198 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
6493 146621 : ab = gmul(a0, b);
6494 146621 : b = gsqrt(ab, prec);
6495 :
6496 146621 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
6497 146621 : p2 = gsqr(a);
6498 146621 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
6499 146621 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
6500 : }
6501 25577 : if (n) {
6502 25577 : x = gel(V,n);
6503 146621 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
6504 : } else
6505 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
6506 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
6507 25577 : return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
6508 : }
6509 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
6510 : static int
6511 25577 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
6512 : {
6513 25577 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
6514 25577 : return gcmp(x, e1) >= 0;
6515 : }
6516 :
6517 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
6518 : static GEN
6519 25577 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
6520 : {
6521 25577 : pari_sp av = avma;
6522 : GEN h;
6523 25577 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
6524 : {
6525 6636 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
6526 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
6527 6636 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
6528 : }
6529 : else
6530 18941 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
6531 25577 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
6532 25577 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
6533 : }
6534 : GEN
6535 1918 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
6536 :
6537 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
6538 : static GEN
6539 28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
6540 : {
6541 28 : pari_sp av = avma;
6542 28 : GEN z = zell(E, P, prec);
6543 28 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
6544 28 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
6545 28 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
6546 28 : GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
6547 28 : GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
6548 28 : GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
6549 28 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
6550 28 : GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
6551 28 : GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
6552 28 : return gerepileupto(av, gsub(r, l));
6553 : }
6554 :
6555 : static GEN
6556 20446 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
6557 20446 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
6558 : static GEN
6559 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6560 : {
6561 35 : pari_sp av = avma;
6562 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
6563 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
6564 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
6565 : }
6566 : GEN
6567 238 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
6568 : {
6569 238 : if (!a)
6570 : {
6571 77 : if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
6572 70 : return ellheightfaltings(e,n);
6573 : }
6574 161 : return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
6575 : }
6576 : GEN
6577 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6578 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
6579 :
6580 : static GEN
6581 245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
6582 : {
6583 : long v1, v2, vD, vu;
6584 245 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
6585 245 : GEN lr = nflocalred(e,pr);
6586 245 : GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
6587 245 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
6588 245 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
6589 : GEN v;
6590 245 : vu = nfval(nf, u, pr);
6591 245 : v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
6592 245 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
6593 245 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
6594 245 : if (v1<0)
6595 7 : vu = 0;
6596 245 : if (v1<=0 || v2<=0)
6597 210 : v = gen_0;
6598 35 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
6599 : {
6600 21 : GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
6601 21 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
6602 : }
6603 : else
6604 : {
6605 14 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
6606 28 : v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? sstoQ(-v2,3):
6607 14 : sstoQ(-v3,8);
6608 : }
6609 245 : return gsubgs(v,vu);
6610 : }
6611 :
6612 : static GEN
6613 112 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
6614 : {
6615 112 : pari_sp av = avma;
6616 : GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
6617 : long i, n, l, r1;
6618 112 : if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gen_0;
6619 91 : x = gel(P,1);
6620 91 : if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { set_avma(av); return gen_0; }
6621 91 : nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
6622 91 : disc = ell_get_disc(E);
6623 91 : d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
6624 91 : F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
6625 91 : Ee = ellnfembed(E, prec);
6626 91 : Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
6627 91 : n = lg(Ee); l = lg(F);
6628 91 : s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
6629 224 : for (i=1; i<=r1; i++)
6630 133 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
6631 119 : for ( ; i<n; i++)
6632 28 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
6633 336 : for (i=1; i<l; i++)
6634 : {
6635 245 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
6636 245 : long f = pr_get_f(pr);
6637 245 : GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
6638 245 : s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
6639 : }
6640 91 : return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
6641 : }
6642 :
6643 : static GEN
6644 23673 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
6645 : {
6646 23673 : long i, lx, newell = 0;
6647 : pari_sp av;
6648 : GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
6649 : GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
6650 :
6651 23673 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
6652 23666 : if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
6653 23666 : av = avma;
6654 23666 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
6655 : { /* switch to minimal model if needed */
6656 23058 : if (lg(S) != 2)
6657 : {
6658 17738 : v = gel(S,2);
6659 17738 : e = gel(S,3);
6660 17738 : a = ellchangepoint(a, v);
6661 : }
6662 : }
6663 : else
6664 : {
6665 608 : newell = 1;
6666 608 : e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
6667 608 : a = ellchangepoint(a, v);
6668 : }
6669 23666 : if (!oncurve(e,a))
6670 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
6671 23659 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6672 23659 : if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
6673 23659 : x = gel(a,1);
6674 23659 : y = gel(a,2);
6675 23659 : b2 = ell_get_b2(e);
6676 23659 : b4 = ell_get_b4(e);
6677 23659 : b6 = ell_get_b6(e);
6678 23659 : b8 = ell_get_b8(e);
6679 23659 : psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
6680 : poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
6681 : );
6682 23659 : if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
6683 23659 : a1 = ell_get_a1(e);
6684 23659 : a2 = ell_get_a2(e);
6685 23659 : a4 = ell_get_a4(e);
6686 23659 : phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
6687 : poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
6688 : );
6689 23659 : c4 = ell_get_c4(e);
6690 23659 : D = ell_get_disc(e);
6691 23659 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6692 23659 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6693 23659 : lx = lg(Lp);
6694 160971 : for (i=1; i<lx; i++)
6695 : {
6696 137312 : GEN p = gel(Lp,i);
6697 : long u, v, n, n2;
6698 137312 : if (!dvdii(c4,p))
6699 : { /* p \nmid c4 */
6700 126288 : long N = Z_pval(D,p);
6701 126288 : if (!N) continue;
6702 126288 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6703 126288 : if (n > N) n = N;
6704 126288 : u = n * ((N<<1) - n);
6705 126288 : v = N << 3;
6706 : }
6707 : else
6708 : {
6709 11024 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6710 11024 : n = Z_pval(psi3, p);
6711 11024 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6712 : }
6713 : /* z -= u log(p) / v */
6714 137312 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6715 : }
6716 23659 : if (newell) obj_free(e);
6717 23659 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
6718 : }
6719 :
6720 : GEN
6721 23785 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6722 : {
6723 23785 : checkell(e); checkellpt(a);
6724 23785 : switch(ell_get_type(e))
6725 : {
6726 23673 : case t_ELL_Q:
6727 23673 : return ellQ_height(e, a, prec);
6728 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6729 112 : case t_ELL_NF:
6730 112 : return ellnf_height(e, a, prec);
6731 : }
6732 : }
6733 :
6734 : GEN
6735 847 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6736 : {
6737 : GEN D, A, B;
6738 847 : long lx = lg(x), i, j;
6739 847 : pari_sp av = avma;
6740 :
6741 847 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6742 847 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6743 847 : A = cgetg(lx,t_MAT);
6744 847 : B = cgetg(lx,t_MAT);
6745 5081 : for (i=1; i<lx; i++)
6746 : {
6747 4234 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6748 4234 : gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
6749 4234 : gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
6750 : }
6751 5081 : for (i=1; i<lx; i++)
6752 : {
6753 4234 : GEN h = gel(D,i);
6754 4234 : if (p)
6755 : {
6756 28 : gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
6757 28 : gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
6758 : }
6759 : else
6760 4206 : gcoeff(A,i,i) = h;
6761 20376 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6762 : {
6763 16142 : h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6764 16142 : h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
6765 16142 : if (p)
6766 : {
6767 21 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
6768 21 : gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
6769 : }
6770 : else
6771 16121 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
6772 : }
6773 : }
6774 847 : return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
6775 : }
6776 : GEN
6777 833 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6778 833 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6779 :
6780 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6781 : static GEN
6782 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6783 : {
6784 : GEN y;
6785 21 : long i, l = lg(P);
6786 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6787 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
6788 7 : y = cgetg(l, typ(P));
6789 21 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
6790 7 : return y;
6791 : }
6792 : GEN
6793 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6794 : {
6795 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6796 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6797 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6798 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6799 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6800 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6801 7 : if (is_matvec_t(t2))
6802 : {
6803 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6804 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6805 0 : return bilhell_i(E,Q,P,n);
6806 : }
6807 7 : return bilhell_i(E,P,Q,n);
6808 : }
6809 : /********************************************************************/
6810 : /** **/
6811 : /** Modular Parametrization **/
6812 : /** **/
6813 : /********************************************************************/
6814 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6815 : static GEN
6816 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6817 : {
6818 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6819 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(v) | evalvarn(0);
6820 0 : gel(s,2) = t; return s;
6821 : }
6822 :
6823 : GEN
6824 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6825 : {
6826 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6827 : long n, m;
6828 14 : pari_sp av = avma;
6829 :
6830 14 : checkell_Q(e);
6831 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
6832 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
6833 :
6834 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
6835 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
6836 7 : d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalser(d,-1);
6837 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
6838 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6839 7 : c = gsqr(d);
6840 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
6841 : * Take derivative then divide by 2x':
6842 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
6843 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
6844 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
6845 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
6846 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
6847 : * */
6848 7 : C = c+4;
6849 7 : X = x+4;
6850 7 : gel(X,-2) = gen_1;
6851 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
6852 7 : b2 = ell_get_b2(e);
6853 7 : b4 = ell_get_b4(e);
6854 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
6855 : {
6856 105 : pari_sp av2 = avma;
6857 : GEN s1, s2, s3;
6858 105 : if (n != 2)
6859 : {
6860 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
6861 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
6862 98 : s2 = gen_0;
6863 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
6864 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
6865 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
6866 98 : s1 = gen_0;
6867 476 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
6868 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
6869 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
6870 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
6871 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
6872 : }
6873 : else
6874 : {
6875 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
6876 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
6877 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
6878 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
6879 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
6880 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
6881 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
6882 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
6883 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
6884 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
6885 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
6886 7 : w = derivser(U); setvalser(w,-2); /* q X' */
6887 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
6888 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
6889 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
6890 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
6891 7 : s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
6892 : }
6893 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
6894 : }
6895 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalser(w, valser(w)+1);
6896 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
6897 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
6898 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
6899 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
6900 : }
6901 :
6902 : /********************************************************************/
6903 : /** **/
6904 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
6905 : /** **/
6906 : /********************************************************************/
6907 : static GEN
6908 19292 : doellff_get_o(GEN E)
6909 : {
6910 19292 : GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
6911 19292 : return mkvec2(d, Z_factor(d));
6912 : }
6913 : GEN
6914 19845 : ellff_get_o(GEN E)
6915 19845 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
6916 :
6917 : static void
6918 497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
6919 : {
6920 497 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
6921 497 : *a4 = gel(e, 1);
6922 497 : *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
6923 497 : *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
6924 497 : }
6925 : GEN
6926 140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
6927 : {
6928 140 : pari_sp av = avma;
6929 : GEN p;
6930 140 : checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
6931 140 : p = ellff_get_field(E);
6932 140 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
6933 140 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
6934 : else
6935 : {
6936 : GEN a4;
6937 49 : RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
6938 49 : return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
6939 : }
6940 : }
6941 :
6942 : GEN
6943 5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6944 : {
6945 : GEN p;
6946 5250 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
6947 5243 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
6948 5243 : p = ellff_get_field(E);
6949 5243 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
6950 : else
6951 : {
6952 245 : pari_sp av = avma;
6953 : GEN w, a4;
6954 245 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
6955 245 : w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
6956 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
6957 : }
6958 : }
6959 :
6960 : GEN
6961 301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6962 : {
6963 : GEN p;
6964 301 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
6965 301 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
6966 301 : p = ellff_get_field(E);
6967 301 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
6968 : else
6969 : {
6970 203 : pari_sp av = avma;
6971 : GEN t, a4;
6972 203 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
6973 203 : t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
6974 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
6975 : }
6976 : }
6977 :
6978 : GEN
6979 2493080 : ellap(GEN E, GEN p)
6980 : {
6981 2493080 : pari_sp av = avma;
6982 : GEN q, card;
6983 : int goodred;
6984 2493080 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
6985 2493075 : switch(ell_get_type(E))
6986 : {
6987 112 : case t_ELL_Fp:
6988 112 : q = p; card = ellff_get_card(E);
6989 112 : break;
6990 54474 : case t_ELL_Fq:
6991 54474 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
6992 54474 : break;
6993 2330523 : case t_ELL_Qp:
6994 : case t_ELL_Q:
6995 2330523 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6996 2330484 : break;
6997 107961 : case t_ELL_NF:
6998 107961 : return ellnfap(E, p, &goodred);
6999 0 : default:
7000 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
7001 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7002 : }
7003 2385070 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
7004 : }
7005 :
7006 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
7007 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
7008 : GEN
7009 126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
7010 : {
7011 126 : const ulong minq = 523;
7012 126 : checkell_Fq(E);
7013 126 : switch(ell_get_type(E))
7014 : {
7015 112 : case t_ELL_Fp:
7016 : {
7017 112 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
7018 112 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
7019 105 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
7020 : }
7021 14 : case t_ELL_Fq:
7022 : {
7023 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7024 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
7025 0 : return FF_ellcard(E);
7026 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
7027 : }
7028 : }
7029 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7030 : }
7031 :
7032 : GEN
7033 163762 : ellff_get_card(GEN E)
7034 163762 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
7035 :
7036 : GEN
7037 88267 : ellcard(GEN E, GEN p)
7038 : {
7039 88267 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
7040 88260 : switch(ell_get_type(E))
7041 : {
7042 87805 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7043 87805 : return icopy(ellff_get_card(E));
7044 420 : case t_ELL_Qp:
7045 : case t_ELL_Q:
7046 : {
7047 420 : pari_sp av = avma;
7048 : int goodred;
7049 420 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7050 420 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
7051 420 : return gerepileuptoint(av, N);
7052 : }
7053 35 : case t_ELL_NF:
7054 : {
7055 35 : pari_sp av = avma;
7056 : int goodred;
7057 35 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
7058 35 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
7059 35 : return gerepileuptoint(av, N);
7060 : }
7061 0 : default:
7062 0 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
7063 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7064 : }
7065 : }
7066 :
7067 : /* assume model is p-minimal */
7068 : static GEN
7069 21917 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
7070 : {
7071 21917 : GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
7072 21917 : *pm = gen_1;
7073 21917 : if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
7074 21917 : if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
7075 21917 : if (absequaliu(p, 3))
7076 : { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
7077 : ulong b2, b4, b6;
7078 0 : if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
7079 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
7080 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
7081 0 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
7082 0 : if (b6) return mkvec(N);
7083 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
7084 0 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
7085 0 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
7086 0 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
7087 0 : return mkvec2s(2, 2);
7088 : } /* Now assume p > 3 */
7089 21917 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
7090 21917 : return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
7091 : }
7092 :
7093 : static GEN
7094 40978 : doellGm(GEN E)
7095 : {
7096 40978 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7097 40978 : GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
7098 40978 : return mkvec2(G, m);
7099 : }
7100 : static GEN
7101 80521 : ellff_Gm(GEN E)
7102 80521 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
7103 : GEN
7104 61831 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
7105 : GEN
7106 18690 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
7107 : GEN
7108 18690 : ellff_get_D(GEN E)
7109 : {
7110 18690 : GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
7111 18690 : switch(lg(G))
7112 : {
7113 91 : case 1: return G;
7114 15883 : case 2: return mkvec(o);
7115 2716 : default: return mkvec2(o, gel(G,2));
7116 : }
7117 : }
7118 :
7119 : /* E / Fp */
7120 : static GEN
7121 18690 : doellgens(GEN E)
7122 : {
7123 18690 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7124 18690 : if (typ(fg)==t_FFELT)
7125 18116 : return FF_ellgens(E);
7126 : else
7127 : {
7128 574 : GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
7129 574 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
7130 574 : return FpVV_to_mod(F,p);
7131 : }
7132 : }
7133 :
7134 : GEN
7135 18767 : ellff_get_gens(GEN E)
7136 18767 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
7137 :
7138 : GEN
7139 22330 : ellgroup(GEN E, GEN p)
7140 : {
7141 22330 : pari_sp av = avma;
7142 : GEN m, G;
7143 22330 : p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
7144 22323 : switch(ell_get_type(E))
7145 : {
7146 21889 : case t_ELL_Fp:
7147 21889 : case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
7148 392 : case t_ELL_Qp:
7149 : case t_ELL_Q:
7150 392 : if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
7151 : {
7152 14 : GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
7153 14 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
7154 14 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
7155 : }
7156 378 : G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
7157 42 : case t_ELL_NF:
7158 42 : if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
7159 : {
7160 21 : GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
7161 21 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
7162 21 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
7163 : }
7164 28 : E = ellinit(E, p, 0);
7165 28 : G = ellff_get_group(E);
7166 28 : G = gcopy(G); obj_free(E); break;
7167 0 : default:
7168 0 : pari_err_TYPE("ellgroup", E);
7169 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7170 : }
7171 22323 : return gerepilecopy(av, G);
7172 : }
7173 :
7174 : GEN
7175 21490 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
7176 : {
7177 21490 : pari_sp av = avma;
7178 21490 : long tE, freeE = 0;
7179 : GEN G;
7180 21490 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
7181 1946 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
7182 1946 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
7183 1946 : if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
7184 : {
7185 1869 : GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
7186 : long vu;
7187 1862 : switch(tE)
7188 : {
7189 70 : case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
7190 1841 : case t_ELL_Q: vu = Q_pval(u, p); break;
7191 21 : case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
7192 0 : default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
7193 : }
7194 1862 : if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
7195 1855 : if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
7196 : {
7197 91 : GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
7198 91 : if (typ(p) == t_INT)
7199 : {
7200 : long i;
7201 70 : Ep = obj_init(15, 4);
7202 910 : for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
7203 : }
7204 : else
7205 : {
7206 21 : q = pr_norm(p);
7207 21 : Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
7208 : }
7209 91 : E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
7210 91 : gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
7211 91 : obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
7212 : }
7213 : else
7214 1764 : E = ellinit(E, p, 0);
7215 1855 : freeE = 1;
7216 : }
7217 1932 : G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
7218 1932 : if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
7219 1855 : G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
7220 : }
7221 :
7222 : GEN
7223 16849 : ellgenerators(GEN E)
7224 : {
7225 16849 : checkell(E);
7226 16849 : switch(ell_get_type(E))
7227 : {
7228 7 : case t_ELL_Q:
7229 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
7230 16835 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7231 16835 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
7232 7 : default:
7233 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
7234 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7235 : }
7236 : }
7237 :
7238 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
7239 : static GEN
7240 22715 : ellfromj_simple(GEN j)
7241 : {
7242 22715 : pari_sp av = avma;
7243 22715 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
7244 22715 : GEN E = zerovec(5);
7245 22715 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
7246 22715 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
7247 : }
7248 : GEN
7249 34020 : ellfromj(GEN j)
7250 : {
7251 34020 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
7252 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
7253 34020 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
7254 : {
7255 3549 : case 2:
7256 3549 : if (gequal0(j))
7257 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
7258 : else
7259 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
7260 7651 : case 3:
7261 7651 : if (gequal0(j))
7262 21 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7263 : else
7264 : {
7265 7630 : GEN E = zerovec(5);
7266 7630 : pari_sp av = avma;
7267 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
7268 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
7269 7630 : return E;
7270 : }
7271 : }
7272 22820 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
7273 22785 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7274 22715 : return ellfromj_simple(j);
7275 : }
7276 :
7277 : /********************************************************************/
7278 : /** **/
7279 : /** IS SUPERSINGULAR **/
7280 : /** **/
7281 : /********************************************************************/
7282 :
7283 : int
7284 165907 : elljissupersingular(GEN x)
7285 : {
7286 165907 : pari_sp av = avma;
7287 : int res;
7288 :
7289 165907 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
7290 504 : GEN p = gel(x, 1);
7291 504 : GEN j = gel(x, 2);
7292 504 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7293 165403 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
7294 165396 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
7295 165396 : GEN p = FF_p_i(x);
7296 165396 : GEN T = FF_mod(x);
7297 165396 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7298 : } else {
7299 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
7300 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7301 : }
7302 165900 : set_avma(av);
7303 165900 : return res;
7304 : }
7305 :
7306 : int
7307 166117 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
7308 : {
7309 : pari_sp av;
7310 : GEN j;
7311 166117 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
7312 17017 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
7313 17003 : j = ell_get_j(E);
7314 17003 : switch(ell_get_type(E))
7315 : {
7316 16807 : case t_ELL_Fp:
7317 : case t_ELL_Fq:
7318 16807 : return elljissupersingular(j);
7319 56 : case t_ELL_Qp:
7320 : case t_ELL_Q:
7321 56 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
7322 21 : av = avma;
7323 21 : return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
7324 140 : case t_ELL_NF:
7325 : {
7326 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
7327 : int res;
7328 140 : av = avma;
7329 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
7330 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
7331 : {
7332 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
7333 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7334 : }
7335 : else
7336 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7337 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
7338 126 : if (typ(j) == t_INT)
7339 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7340 : else
7341 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7342 126 : return gc_bool(av, res);
7343 : }
7344 0 : default:
7345 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
7346 : }
7347 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7348 : }
7349 :
7350 : GEN
7351 1204 : ellsupersingularj(GEN a)
7352 : {
7353 1204 : pari_sp av = avma;
7354 : GEN r, T, p;
7355 : long d;
7356 1204 : switch(typ(a))
7357 : {
7358 1190 : case t_INT:
7359 1190 : p = a;
7360 1190 : if (Z_issquare(p)) pari_err_PRIME("ellsupersingularj", p);
7361 1190 : T = init_Fq(p, 2, fetch_user_var("w"));
7362 1190 : d = 2;
7363 1190 : break;
7364 14 : case t_FFELT:
7365 14 : p = FF_p_i(a); T = FF_mod(a); d = degpol(T);
7366 14 : if (!odd(d))
7367 : {
7368 14 : if (d != 2)
7369 7 : T = init_Fq(p, 2, varn(T));
7370 14 : break;
7371 : }
7372 : default: /* FALL THROUGH */
7373 0 : pari_err_TYPE("ellsupersingular", a);
7374 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
7375 : }
7376 1204 : r = Fq_to_FF(ellsupersingularj_FpXQ(T, p), Tp_to_FF(T, p));
7377 1204 : if (d != 2)
7378 7 : r = ffmap(ffembed(r, a), r);
7379 1204 : return gerepilecopy(av, r);
7380 : }
7381 :
7382 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7383 : static GEN
7384 8414 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
7385 : {
7386 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
7387 8414 : if (n==0) return pol_0(v);
7388 8414 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
7389 1799 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
7390 1799 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
7391 1799 : if (n==3)
7392 833 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
7393 : else
7394 : {
7395 966 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
7396 966 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
7397 966 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
7398 : }
7399 1799 : setvarn(res, v); return res;
7400 : }
7401 :
7402 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
7403 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7404 : static GEN
7405 5075 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
7406 : {
7407 : GEN ret;
7408 5075 : long m = n/2;
7409 5075 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
7410 3150 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
7411 882 : else if (odd(n))
7412 : {
7413 525 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7414 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
7415 525 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
7416 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
7417 525 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
7418 91 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
7419 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
7420 434 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
7421 : }
7422 : else
7423 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
7424 357 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7425 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
7426 357 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
7427 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
7428 357 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
7429 : }
7430 3150 : gel(t,n) = ret;
7431 3150 : return ret;
7432 : }
7433 :
7434 : GEN
7435 6475 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
7436 : {
7437 6475 : pari_sp av = avma;
7438 : GEN f, D, N;
7439 6475 : long n = labs(n0);
7440 :
7441 6475 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7442 6475 : if (v < 0) v = 0;
7443 6475 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7444 6475 : N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
7445 6475 : if (n==1 || n==3)
7446 231 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7447 : else
7448 : {
7449 6244 : GEN d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
7450 6244 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7451 6244 : if (n <= 4)
7452 5915 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7453 : else
7454 329 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
7455 6244 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
7456 : }
7457 6475 : if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
7458 6454 : return gerepilecopy(av, f);
7459 : }
7460 :
7461 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
7462 : GEN
7463 406 : ellxn(GEN e, long n, long v)
7464 : {
7465 406 : pari_sp av = avma;
7466 : GEN d2, D, N, A, B;
7467 406 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7468 406 : if (v==-1) v = 0;
7469 406 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7470 406 : N = characteristic(D);
7471 406 : if (!signe(N)) N = NULL;
7472 406 : if (n < 0) n = -n;
7473 406 : d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
7474 406 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7475 406 : if (n == 0)
7476 : {
7477 7 : A = pol_0(v);
7478 7 : B = pol_0(v);
7479 : }
7480 399 : else if (n == 1)
7481 : {
7482 7 : A = pol_1(v);
7483 7 : B = pol_x(v);
7484 : }
7485 392 : else if (n == 2)
7486 : {
7487 105 : A = d2;
7488 105 : B = ec_phi2(e, v);
7489 : }
7490 : else
7491 : {
7492 287 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
7493 287 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
7494 287 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
7495 287 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
7496 287 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
7497 287 : if (!odd(n))
7498 14 : A = RgX_mul(f2, d2);
7499 : else
7500 273 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
7501 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
7502 287 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
7503 : }
7504 406 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
7505 : }
7506 :
7507 : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
7508 : static ulong
7509 2807 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
7510 : {
7511 2807 : ulong x, y, r = (p-1)/l;
7512 4389 : for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
7513 : }
7514 :
7515 : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
7516 : static void
7517 8631 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
7518 : GEN S, long *m)
7519 : {
7520 8631 : long i, n = lg(P)-1;
7521 8631 : GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
7522 8631 : pari_sp av = avma;
7523 8631 : ulong q = o / l;
7524 :
7525 8631 : F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
7526 8631 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
7527 8631 : g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
7528 63238 : for (i=1; i <= n; i++)
7529 : {
7530 54607 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
7531 54607 : if (!ell_is_inf(Q))
7532 54229 : v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
7533 : }
7534 8631 : gel(S,(*m)++) = v;
7535 8631 : set_avma(av);
7536 8631 : }
7537 :
7538 : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
7539 : static void
7540 2807 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
7541 : ulong p, GEN S, long *m)
7542 : {
7543 2807 : long i, n = lg(P)-1;
7544 2807 : GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
7545 2807 : ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
7546 2807 : pari_sp av = avma;
7547 :
7548 2807 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
7549 2807 : G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
7550 2807 : G1 = gel(G,1);
7551 2807 : G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
7552 16457 : for (i = 1; i <= n; i++)
7553 : {
7554 13650 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
7555 13650 : if (!ell_is_inf(Q))
7556 : {
7557 13272 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
7558 13272 : v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
7559 13272 : if (G2)
7560 : {
7561 3402 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
7562 3402 : w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
7563 : }
7564 : }
7565 : }
7566 2807 : gel(S,(*m)++) = v;
7567 2807 : if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
7568 2807 : set_avma(av);
7569 2807 : }
7570 :
7571 : static void
7572 11438 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
7573 : GEN S, long *m)
7574 : {
7575 11438 : P = ZM_to_Flm(P, p);
7576 11438 : if (p % l == 1)
7577 2807 : FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
7578 : else
7579 8631 : FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
7580 11438 : }
7581 :
7582 : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
7583 : * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
7584 : static GEN
7585 1204 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
7586 : {
7587 1204 : long m = 1;
7588 1204 : GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
7589 : forprime_t S;
7590 :
7591 1204 : P = QEV_to_ZJV(P);
7592 1204 : (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
7593 326459 : while (m <= nb)
7594 : {
7595 325255 : ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
7596 : long o;
7597 325255 : if (dvdiu(D, p)) continue;
7598 320075 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
7599 320075 : if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
7600 : {
7601 34979 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
7602 34979 : hash_insert_long(h,(void*)p, o);
7603 : }
7604 320075 : if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
7605 : }
7606 1204 : return M;
7607 : }
7608 :
7609 : INLINE long
7610 147 : Flv_firstnonzero(GEN v)
7611 : {
7612 147 : long i, l = lg(v);
7613 154 : for (i = 1; i < l; i++)
7614 154 : if (v[i]) break;
7615 147 : return i;
7616 : }
7617 :
7618 : /* update M in place */
7619 : static GEN
7620 1204 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
7621 : long vxl, long nb, long prec)
7622 : {
7623 1204 : GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
7624 1204 : GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l, nb); /* fill hh */
7625 1204 : pari_sp av = avma;
7626 1204 : GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
7627 1204 : long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
7628 :
7629 1204 : if (lK==1) return gc_NULL(av);
7630 147 : if (DEBUGLEVEL >= 3)
7631 0 : err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
7632 : /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
7633 147 : if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
7634 147 : for (i = 1; i < lK; i++)
7635 : {
7636 147 : GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
7637 147 : long f = Flv_firstnonzero(ki);
7638 :
7639 : /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
7640 147 : if (f > nH) continue;
7641 147 : if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
7642 147 : Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
7643 147 : h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
7644 147 : if (*xl)
7645 : {
7646 133 : GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
7647 133 : if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
7648 : }
7649 : else
7650 : {
7651 14 : h = gdiv(h, sqru(l));
7652 14 : R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
7653 : }
7654 147 : if (DEBUGLEVEL >= 2)
7655 0 : err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
7656 147 : if (!R)
7657 : {
7658 28 : if (lK == 2) break;
7659 140 : return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
7660 : }
7661 119 : gcoeff(M, f, f) = h;
7662 490 : for (i = 1; i <= nH; i++)
7663 371 : if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
7664 490 : for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
7665 119 : gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
7666 : }
7667 7 : return gc_NULL(av); /* l-saturated */
7668 : }
7669 :
7670 : static GEN
7671 49 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7672 : {
7673 : forprime_t S;
7674 49 : GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
7675 49 : long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
7676 : hashtable h;
7677 : ulong p;
7678 :
7679 49 : hash_init_ulong(&h, 16, 1);
7680 49 : (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
7681 49 : P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
7682 1113 : while((p = u_forprime_next(&S)))
7683 : {
7684 1064 : long nb = lg(P)-1 + 25 / log2(p) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
7685 1064 : GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
7686 1064 : if (lg(T)==1) T = NULL;
7687 : while (1)
7688 140 : {
7689 1204 : GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, nb, prec);
7690 1204 : if (!Q) break;
7691 140 : nb += lg(P)-1;
7692 140 : P = Q;
7693 : }
7694 : }
7695 49 : return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
7696 : }
7697 :
7698 : GEN
7699 49 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7700 : {
7701 49 : pari_sp av = avma;
7702 : GEN urst;
7703 :
7704 49 : if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
7705 49 : E = ellminimalmodel(E, &urst);
7706 49 : if (is_trivial_change(urst)) urst = NULL;
7707 49 : if (urst) P = ellchangepoint(P, urst);
7708 49 : P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
7709 49 : if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert(urst));
7710 49 : obj_free(E); return gerepilecopy(av, P);
7711 : }
7712 :
7713 : static GEN
7714 231 : to_RgX(GEN P, long vx)
7715 231 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
7716 : GEN
7717 56 : elltrace(GEN E, GEN P)
7718 : {
7719 56 : pari_sp av = avma;
7720 : GEN xP,yP, T, lxP, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
7721 : long v, n, i, j, d;
7722 :
7723 56 : checkell(E);
7724 56 : checkellpt(P);
7725 56 : if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
7726 : /* More checks */
7727 49 : xP = gel(P,1); if (typ(xP)!=t_POLMOD) pari_err_TYPE("elltrace",xP);
7728 49 : yP = gel(P,2); if (typ(yP)!=t_POLMOD) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
7729 49 : T = gel(xP,1); v = varn(T); n = degpol(T);
7730 49 : if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
7731 : /* Trivial cases */
7732 49 : if (n == 1) { set_avma(av); return gcopy(P); }
7733 49 : lxP = to_RgX(gel(xP,2), v);
7734 49 : if (!degpol(lxP))
7735 : {
7736 7 : GEN lyP = to_RgX(gel(yP,2), v);
7737 7 : if (degpol(lyP)){ set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7738 7 : P = mkvec2(gel(lxP,2), gel(lyP,2));
7739 7 : return gerepileupto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
7740 : }
7741 : /* Strategy: look for a function with divisor equal to
7742 : * [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
7743 42 : LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
7744 42 : gel(LP,1) = gen_1;
7745 42 : gel(LP,2) = xP;
7746 42 : gel(LP,3) = yP;
7747 91 : for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = gmul(gel(LP,i-2), xP);
7748 42 : M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
7749 217 : for (j = 1; j <= n+1; j++)
7750 : {
7751 175 : GEN t = to_RgX(liftpol_shallow(gel(LP,j)), v);
7752 777 : for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(t, n);
7753 : }
7754 42 : K = gel(ker(M),1);
7755 : /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
7756 : * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
7757 : * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
7758 42 : U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
7759 42 : V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
7760 42 : gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
7761 119 : for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
7762 98 : for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
7763 42 : U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
7764 : /* f does not depend on y, so trace = oo */
7765 42 : if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7766 : /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
7767 : * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
7768 35 : R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
7769 35 : R = gmul(R, V);
7770 35 : R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
7771 35 : R = gmul(R, V);
7772 35 : R = gsub(R, gsqr(U));
7773 : /* Discard Galois orbit of P */
7774 35 : R = RgX_div(R, minpoly(xP,0));
7775 : /* What is left is either constant -> return oo, or deg 1 -> nontrivial trace. */
7776 35 : if(degpol(R)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7777 : /* Recover the trace */
7778 28 : xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
7779 28 : yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
7780 28 : Q = mkvec2(xQ, yQ);
7781 : /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
7782 : * we still need to compute [L:K(P)] */
7783 28 : d = 0;
7784 42 : for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
7785 28 : return gerepileupto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
7786 : }
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