Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC CURVES **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
24 :
25 : #undef coordch
26 :
27 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
28 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
29 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
30 : */
31 :
32 : static ulong
33 1529353 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
34 1529353 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
35 : static ulong
36 1450033 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
37 1450033 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
38 : static void
39 1449385 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
40 : {
41 1449385 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
42 1449385 : *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
43 1449385 : }
44 : static GEN
45 2592166 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
46 2592166 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
47 : static void
48 2592179 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
49 : {
50 2592179 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
51 2592144 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
52 2591964 : }
53 : static GEN
54 93444 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
55 93444 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
56 : static void
57 93442 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
58 : {
59 93442 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
60 93436 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
61 93439 : }
62 : static void
63 2592007 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
64 : {
65 2592007 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
66 2592005 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
67 2592034 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 2591814 : }
69 : static void
70 1449385 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
71 : {
72 1449385 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
73 1449385 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
74 1449385 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
75 1449385 : }
76 :
77 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
78 : static GEN
79 150702 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
80 : {
81 150702 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
82 150702 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
83 150702 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
84 150702 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
85 : }
86 : static GEN
87 91290 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
88 : {
89 91290 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
90 91290 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
91 91290 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
92 91290 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
93 : }
94 :
95 : static GEN
96 150702 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
97 : {
98 : GEN A4, A6;
99 150702 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
100 150703 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
101 : }
102 : GEN
103 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
104 : {
105 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
106 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
107 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
108 : }
109 : GEN
110 64236 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
111 : {
112 64236 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
113 64236 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
114 64236 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
115 : }
116 :
117 : /* shallow basistoalg */
118 : static GEN
119 1501269 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
120 : {
121 1501269 : switch(typ(x))
122 : {
123 1298892 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
124 202377 : default: return basistoalg(nf, x);
125 : }
126 : }
127 :
128 : int
129 880368 : checkellpt_i(GEN z)
130 : {
131 : long l;
132 880368 : if (typ(z)!=t_VEC) return 0;
133 880354 : l = lg(z); return l == 3 || (l == 2 && isintzero(gel(z,1)));
134 : }
135 : void
136 0 : checkellpt(GEN z)
137 0 : { if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("checkellpt", z); }
138 : void
139 229551 : checkell5(GEN E)
140 : {
141 229551 : long l = lg(E);
142 229551 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
143 229551 : }
144 : void
145 4413893 : checkell(GEN E)
146 4413893 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
147 : void
148 3528 : checkellisog(GEN v)
149 3528 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
150 :
151 : void
152 8239 : checkell_Q(GEN E)
153 : {
154 8239 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
155 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
156 8232 : }
157 :
158 : void
159 0 : checkell_Qp(GEN E)
160 : {
161 0 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
162 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
163 0 : }
164 :
165 : static int
166 505365 : ell_over_Fq(GEN E)
167 : {
168 505365 : long t = ell_get_type(E);
169 505365 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
170 : }
171 :
172 : void
173 254086 : checkell_Fq(GEN E)
174 : {
175 254086 : if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
176 254079 : }
177 :
178 : GEN
179 385699 : ellff_get_p(GEN E)
180 : {
181 385699 : GEN fg = ellff_get_field(E);
182 385699 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
183 : }
184 :
185 : int
186 52753 : ell_is_integral(GEN E)
187 : {
188 52753 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
189 52711 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
190 52690 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
191 52690 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
192 105464 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
193 : }
194 :
195 : static void
196 378267 : checkcoordch(GEN z)
197 378267 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
198 :
199 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
200 : GEN
201 247136 : ec_bmodel(GEN e, long v)
202 : {
203 247136 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
204 247136 : GEN P = mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
205 247136 : setvarn(P, v); return P;
206 : }
207 :
208 : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
209 : GEN
210 105 : ec_phi2(GEN e, long v)
211 : {
212 105 : GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
213 105 : GEN P = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
214 105 : setvarn(P, v); return P;
215 : }
216 :
217 : static int
218 236388 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
219 :
220 : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
221 : static GEN
222 231029 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
223 : {
224 231029 : GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e,0), prec);
225 231029 : long s = ellR_get_sign(e);
226 231029 : if (s > 0)
227 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
228 78796 : R = real_i(R);
229 78796 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
230 78796 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
231 78796 : d3 = subrr(e1,e2);
232 78796 : d1 = subrr(e2,e3);
233 78796 : d2 = subrr(e1,e3);
234 78796 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
235 : } else {
236 152233 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
237 152233 : if (s < 0)
238 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
239 90164 : e1 = real_i(e1);
240 90164 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
241 90164 : d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
242 : }
243 : else
244 62069 : d1 = gsub(e2,e3);
245 152233 : d3 = gsub(e1,e2);
246 152233 : d2 = gsub(e1,e3);
247 152233 : if (precision(d1) < prec0
248 152220 : || precision(d2) < prec0
249 152233 : || precision(d3) < prec0) return NULL;
250 : }
251 230993 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
252 : }
253 : static GEN
254 169792 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
255 : {
256 : long p;
257 169828 : for (p = prec0;; p = precdbl(p))
258 36 : {
259 169828 : GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
260 169828 : if (v) return v;
261 36 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
262 : }
263 : }
264 : static GEN
265 83056 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
266 :
267 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
268 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
269 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
270 : GEN
271 783719 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
272 : {
273 783719 : pari_sp av = avma;
274 : GEN z;
275 783719 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
276 783719 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
277 783719 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
278 783719 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
279 : }
280 :
281 : /* a1 x + a3 */
282 : GEN
283 1177215 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
284 : {
285 1177215 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
286 1177215 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
287 1177215 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
288 : }
289 : static GEN
290 565817 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
291 : {
292 565817 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
293 565817 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
294 565817 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
295 : }
296 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
297 : static GEN
298 129723 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
299 : {
300 129723 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
301 129723 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
302 : }
303 :
304 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
305 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
306 : * which is the derivative of the curve equation
307 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
308 : * wrt x evaluated at Q */
309 : GEN
310 136137 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
311 : {
312 136137 : pari_sp av = avma;
313 136137 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
314 136137 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
315 136137 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
316 136137 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
317 136137 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
318 136137 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
319 : }
320 :
321 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
322 : GEN
323 256056 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
324 : {
325 256056 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
326 256056 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
327 : }
328 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
329 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
330 : * which is the derivative of the curve equation
331 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
332 : * wrt y evaluated at Q */
333 : GEN
334 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
335 : {
336 532 : pari_sp av = avma;
337 532 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
338 : }
339 :
340 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
341 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
342 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
343 : GEN
344 29715 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
345 : {
346 29715 : pari_sp av = avma;
347 29715 : GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
348 29715 : GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
349 29715 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
350 29715 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF && typ(x)==t_COL)
351 0 : {
352 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
353 0 : t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
354 0 : t2 = nfadd(nf, t1, b42);
355 0 : t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
356 0 : t2 = nftoalg(nf, t2);
357 : }
358 : else
359 : {
360 29715 : t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
361 29715 : t2 = gadd(t1, b42);
362 29715 : t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
363 : }
364 29715 : return gerepileupto(av, t2);
365 : }
366 :
367 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
368 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
369 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
370 : GEN
371 65276 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
372 : {
373 65276 : pari_sp av = avma;
374 65276 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
375 65276 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
376 65276 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
377 65276 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
378 65276 : GEN x2 = gsqr(x);
379 65276 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
380 65276 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
381 65276 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
382 : }
383 :
384 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
385 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
386 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
387 : GEN
388 812 : ec_half_deriv_2divpol(GEN E, long v)
389 812 : { return deg2pol_shallow(utoi(6), ell_get_b2(E), ell_get_b4(E), v); }
390 :
391 : GEN
392 707 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
393 : {
394 707 : pari_sp av = avma;
395 707 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
396 707 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
397 707 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
398 707 : return gerepileupto(av, res);
399 : }
400 :
401 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
402 : GEN
403 9135 : ellbasechar(GEN E)
404 : {
405 9135 : pari_sp av = avma;
406 9135 : GEN D = ell_get_disc(E);
407 9135 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
408 : }
409 :
410 : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
411 : * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
412 : * Also allocate room for n dynamic members. */
413 : static GEN
414 194439 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
415 : {
416 194439 : GEN y = obj_init(15, n);
417 194439 : gel(y,1) = gen_0;
418 194439 : gel(y,2) = gen_0;
419 194439 : gel(y,3) = gen_0;
420 194439 : gel(y,4) = a4;
421 194439 : gel(y,5) = a6;
422 194439 : gel(y,6) = gen_0;
423 194439 : gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
424 194439 : gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
425 194439 : gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
426 194437 : gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
427 194438 : gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
428 194439 : gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
429 194439 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
430 : }
431 : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
432 : static GEN
433 944705 : initsmall5(GEN x, long n)
434 : {
435 944705 : GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
436 944705 : GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
437 : GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
438 944705 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
439 795479 : a11= gsqr(a1);
440 795479 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
441 795479 : a13= gmul(a1, a3);
442 795479 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
443 795479 : a33= gsqr(a3);
444 795479 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
445 795479 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
446 795479 : b22= gsqr(b2);
447 795479 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
448 795479 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
449 795479 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
450 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
451 795479 : y = obj_init(15, n);
452 795479 : gel(y,1) = a1;
453 795479 : gel(y,2) = a2;
454 795479 : gel(y,3) = a3;
455 795479 : gel(y,4) = a4;
456 795479 : gel(y,5) = a6;
457 795479 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
458 795479 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
459 795479 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
460 795479 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
461 795479 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
462 795479 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
463 795479 : gel(y,12)= D;
464 795479 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
465 : }
466 :
467 : static GEN
468 981896 : get_j(GEN c4, GEN D)
469 : {
470 : GEN g, d, c;
471 981896 : if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
472 981560 : return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
473 : /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
474 336 : g = RgX_gcd(D, c4);
475 336 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
476 42 : c = RgX_div(c4, g);
477 42 : D = RgX_div(D, g);
478 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
479 42 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
480 35 : D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
481 35 : g = RgX_gcd(D,c4);
482 35 : if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
483 35 : return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
484 : }
485 :
486 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
487 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
488 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
489 : * component y[16])*/
490 : static GEN
491 989897 : initsmall(GEN x, long n)
492 : {
493 : GEN y, D;
494 :
495 989897 : switch(lg(x))
496 : {
497 490 : case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
498 45213 : case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
499 944194 : case 6:
500 944194 : case 17: y = initsmall5(x, n); break;
501 0 : default:
502 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
503 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
504 : }
505 989897 : D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
506 981896 : gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
507 : }
508 : void
509 0 : ellprint(GEN e)
510 : {
511 0 : pari_sp av = avma;
512 : long vx, vy;
513 : GEN z;
514 0 : checkell5(e);
515 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
516 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
517 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
518 0 : (void)delete_var();
519 0 : (void)delete_var(); set_avma(av);
520 0 : }
521 :
522 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
523 : static GEN
524 58842 : doellR_ab(GEN E, long prec)
525 : {
526 58842 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
527 58842 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
528 :
529 58842 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
530 58842 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
531 26733 : b = mulrr(d3,d2);
532 : else
533 32109 : b = cxnorm(d3);
534 58842 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
535 58842 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
536 58842 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
537 58842 : return mkvec2(a, b);
538 : }
539 : GEN
540 83056 : ellR_ab(GEN E, long prec)
541 83056 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
542 :
543 : /* q a t_REAL*/
544 : static long
545 84 : real_prec(GEN q)
546 84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
547 : /* q a t_PADIC */
548 : static long
549 252 : padic_prec(GEN q)
550 252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
551 :
552 : /* check whether moduli are consistent */
553 : static void
554 99638 : chk_p(GEN p, GEN p2)
555 99638 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
556 :
557 : static int
558 230433 : fix_nftype(GEN *pp)
559 : {
560 230433 : switch(nftyp(*pp))
561 : {
562 230433 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
563 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
564 0 : default: return 0;
565 : }
566 230433 : return 1;
567 : }
568 : static long
569 1011618 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
570 : {
571 1011618 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
572 1011618 : GEN p = NULL, pol = NULL;
573 1011618 : long t = t_FRAC;
574 1011618 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
575 : {
576 509495 : case t_INT:
577 509495 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
578 2016 : p = *pp;
579 2016 : t = t_INTMOD;
580 2016 : break;
581 665 : case t_INTMOD:
582 665 : p = gel(*pp, 1);
583 665 : break;
584 28 : case t_REAL:
585 28 : e = real_prec(*pp);
586 28 : p = NULL;
587 28 : break;
588 231 : case t_PADIC:
589 231 : ep = padic_prec(*pp);
590 231 : p = gel(*pp, 2);
591 231 : break;
592 1820 : case t_FFELT:
593 1820 : p = *pp;
594 1820 : break;
595 230433 : case t_VEC:
596 230433 : t = t_VEC; p = *pp;
597 230433 : if (fix_nftype(&p)) break;
598 : default:
599 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
600 0 : return 0;
601 : }
602 1011611 : if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
603 : /* Possible cases:
604 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
605 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
606 : * t = t_INTMOD (p a prime)
607 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
608 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
609 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
610 5785347 : for (i = 1; i < imax; i++)
611 : {
612 4779917 : GEN p2, q = gel(x,i);
613 4779917 : switch(typ(q)) {
614 42 : case t_PADIC:
615 42 : p2 = gel(q,2);
616 : switch(t)
617 : {
618 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
619 7 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
620 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
621 : }
622 21 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
623 21 : break;
624 124586 : case t_INTMOD:
625 124586 : p2 = gel(q,1);
626 : switch(t)
627 : {
628 24969 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
629 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
630 99554 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
631 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
632 : }
633 124572 : break;
634 168573 : case t_FFELT:
635 : switch(t)
636 : {
637 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
638 85378 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
639 83188 : case t_FFELT:
640 83188 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
641 83188 : break;
642 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
643 : }
644 168566 : break;
645 :
646 4158948 : case t_INT: case t_FRAC: break;
647 56 : case t_REAL:
648 : switch(t)
649 : {
650 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
651 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
652 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
653 : }
654 56 : break;
655 326459 : case t_POLMOD:
656 326459 : if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
657 7 : pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
658 : case t_COL:
659 : case t_POL:
660 327691 : if (t == t_VEC) break;
661 : default: /* base ring too general */
662 6132 : return t_COMPLEX;
663 : }
664 : }
665 1005430 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
666 : }
667 :
668 : /* s = 0 complex, else real;
669 : * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
670 : static GEN
671 67361 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
672 : {
673 : GEN y;
674 67361 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
675 : {
676 7 : case t_ELL_Rg:
677 7 : case t_ELL_Q: break;
678 7 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
679 : }
680 67354 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
681 67354 : if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
682 67354 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
683 67354 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
684 67354 : return y;
685 : }
686 :
687 : static GEN
688 203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
689 : {
690 : GEN y;
691 203 : if (lg(x) > 6)
692 : {
693 28 : switch(ell_get_type(x))
694 : { /* sanity checks */
695 21 : case t_ELL_Q: break;
696 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
697 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
698 : }
699 21 : x = vecslice(x,1,5);
700 : }
701 196 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
702 196 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
703 196 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
704 196 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic_shallow(p, prec));
705 196 : return y;
706 : }
707 :
708 : static GEN
709 569352 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
710 : {
711 : GEN y;
712 : long s;
713 569352 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
714 569219 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
715 569219 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
716 569219 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
717 569219 : return y;
718 : }
719 :
720 : static GEN
721 567553 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x) { pari_APPLY_same(nftoalg(nf,gel(x,i))); }
722 :
723 : static GEN
724 73395 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
725 : {
726 : GEN y, nf;
727 73395 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
728 73395 : nf = checknf(p);
729 73395 : x = nfVtoalg(nf, x);
730 73395 : if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
731 73395 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
732 73395 : gel(y,15) = mkvec(p);
733 73395 : return y;
734 : }
735 :
736 : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
737 : static GEN
738 121029 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
739 : {
740 121029 : x = FF_ellinit(x,fg);
741 121029 : return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
742 : }
743 :
744 : static GEN
745 1959133 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
746 : static GEN
747 165123 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
748 : {
749 : long i;
750 : GEN y, disc;
751 165123 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
752 : {
753 2429 : case t_ELL_Q: break;
754 0 : case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
755 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
756 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
757 : }
758 165116 : if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
759 165116 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
760 : /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
761 160173 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
762 150702 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
763 150702 : if (!signe(disc)) return NULL;
764 2109730 : for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
765 150695 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
766 150695 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
767 150696 : return y;
768 : }
769 :
770 : static GEN
771 114484 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
772 : {
773 : GEN y;
774 114484 : if (lg(x) == 2)
775 : {
776 33418 : GEN j = gel(x,1);
777 33418 : if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
778 33418 : x = ellfromj(j);
779 : }
780 114484 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
781 111558 : return FF_ellinit_ns(y,fg);
782 : }
783 :
784 : static GEN
785 137746 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
786 : {
787 137746 : GEN e = vecslice(x,1,5);
788 : GEN p, modP;
789 137746 : if (get_modpr(P))
790 : { /* modpr accept */
791 108724 : modP = P;
792 108724 : p = modpr_get_p(modP);
793 : }
794 : else
795 : { /* pr, initialize modpr */
796 29022 : GEN d = Q_denom(e);
797 29022 : p = pr_get_p(P);
798 29022 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
799 : }
800 137746 : *pp = p;
801 137746 : *pT = modpr_get_T(modP);
802 137746 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
803 : }
804 : static GEN
805 137725 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
806 : {
807 : GEN T,p;
808 137725 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
809 137725 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
810 : }
811 :
812 : static GEN
813 900500 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
814 : {
815 : GEN y;
816 :
817 900500 : switch(typ(x))
818 : {
819 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
820 900493 : case t_VEC:
821 900493 : switch(lg(x))
822 : {
823 900486 : case 2: case 3: case 6: case 17: break;
824 7 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
825 : }
826 900486 : break;
827 0 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
828 : }
829 900493 : if (D && get_prid(D))
830 : {
831 137249 : if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
832 137249 : return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
833 : }
834 763244 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
835 : {
836 203 : case t_PADIC:
837 203 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
838 196 : break;
839 27622 : case t_INTMOD:
840 27622 : y = ellinit_Fp(x, D);
841 27615 : break;
842 87072 : case t_FFELT:
843 87072 : y = ellinit_Fq(x, D);
844 87072 : break;
845 569352 : case t_FRAC:
846 569352 : y = ellinit_Q(x, prec);
847 569352 : break;
848 28 : case t_REAL:
849 28 : y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
850 21 : break;
851 72779 : case t_VEC:
852 72779 : y = ellinit_nf(x, D);
853 72779 : break;
854 6132 : default:
855 6132 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
856 : }
857 763167 : return y;
858 : }
859 : GEN
860 899471 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
861 : {
862 899471 : pari_sp av = avma;
863 899471 : GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
864 899387 : if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
865 891372 : return gerepilecopy(av,y);
866 : }
867 :
868 : /********************************************************************/
869 : /** **/
870 : /** COORDINATE CHANGE **/
871 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
872 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
873 : /** verbatim **/
874 : /** **/
875 : /********************************************************************/
876 : /* [1,0,0,0] */
877 : static GEN
878 2694496 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
879 : static int
880 525525 : is_trivial_change(GEN v)
881 : {
882 : GEN u, r, s, t;
883 525525 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
884 525525 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
885 525525 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
886 : }
887 :
888 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
889 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
890 : static void
891 15778 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
892 : {
893 15778 : GEN v = *vtotal;
894 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
895 :
896 15778 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
897 15750 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
898 15750 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
899 15750 : U2 = NULL;
900 15750 : if (!gequal0(r))
901 : {
902 : GEN rU2;
903 14448 : U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
904 14448 : R = gadd(R, rU2);
905 14448 : T = gadd(T, gmul(S, rU2));
906 : }
907 15750 : if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
908 15750 : if (!gequal0(t))
909 : {
910 8946 : if (!U2) U2 = gsqr(U);
911 8946 : T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
912 : }
913 15750 : gel(v,1) = gmul(U, u);
914 15750 : gel(v,2) = R;
915 15750 : gel(v,3) = S;
916 15750 : gel(v,4) = T;
917 : }
918 :
919 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
920 : GEN
921 70 : ellchangeinvert(GEN w)
922 : {
923 : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
924 70 : if (typ(w) == t_INT) return w;
925 70 : u = gel(w,1);
926 70 : r = gel(w,2);
927 70 : s = gel(w,3);
928 70 : t = gel(w,4);
929 70 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
930 70 : U = ginv(u);
931 70 : R = gdiv(gneg(r), u2);
932 70 : S = gdiv(gneg(s), u);
933 70 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
934 70 : return mkvec4(U,R,S,T);
935 : }
936 :
937 : static GEN
938 181783 : ell_to_nfell10(GEN e)
939 : {
940 : long i;
941 181783 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
942 181783 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
943 1999613 : for(i=1; i<=10; i++)
944 1817830 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
945 181783 : return y;
946 : }
947 :
948 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
949 : static GEN
950 444010 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
951 : {
952 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
953 : long lx;
954 444010 : if (gequal1(u)) return e;
955 443541 : y = cgetg_copy(e, &lx);
956 443541 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
957 443541 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
958 443541 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
959 443541 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
960 443541 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
961 443541 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
962 443541 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
963 443541 : if (lx == 6) return y;
964 443534 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
965 443534 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
966 443534 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
967 443534 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
968 443534 : return y;
969 : }
970 : /* apply [1,r,0,0] */
971 : static GEN
972 499738 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
973 : {
974 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
975 : long lx;
976 499738 : if (gequal0(r)) return e;
977 420560 : y = cgetg_copy(e, &lx);
978 420560 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
979 420560 : rx3 = gmulsg(3,r);
980 :
981 420560 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
982 : /* A2 = a2 + 3r */
983 420560 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
984 : /* A3 = a1 r + a3 */
985 420560 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
986 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
987 420560 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
988 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
989 420560 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
990 420560 : if (lx == 6) return y;
991 :
992 420553 : b4 = ell_get_b4(e);
993 420553 : b6 = ell_get_b6(e);
994 : /* B2 = 12r + b2 */
995 420553 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
996 420553 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
997 420553 : r2 = nfsqr(nf,r);
998 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
999 420553 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
1000 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1001 420553 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
1002 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1003 420553 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
1004 420553 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
1005 420553 : return y;
1006 : }
1007 :
1008 : static GEN
1009 184637 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
1010 : {
1011 : GEN a1, y;
1012 184637 : if (gequal0(s)) return e;
1013 184637 : a1 = ell_get_a1(e);
1014 184637 : y = leafcopy(e);
1015 :
1016 : /* A1 = a1 + 2s */
1017 184637 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1018 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1019 184637 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1020 : /* A4 = a4 - s a3 */
1021 184637 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
1022 184637 : return y;
1023 : }
1024 : /* apply [1,0,0,t] */
1025 : static GEN
1026 407287 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
1027 : {
1028 : GEN a1, a3, y;
1029 407287 : if (gequal0(t)) return e;
1030 406811 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1031 406811 : y = leafcopy(e);
1032 : /* A3 = 2t + a3 */
1033 406811 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
1034 : /* A4 = a4 - a1 t */
1035 406811 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
1036 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1037 406811 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1038 406811 : return y;
1039 : }
1040 :
1041 : /* apply [1,0,s,t] */
1042 : static GEN
1043 19378 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1044 : {
1045 : GEN y, a1, a3;
1046 19378 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1047 18902 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1048 18902 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1049 18902 : y = leafcopy(e);
1050 : /* A1 = a1 + 2s */
1051 18902 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1052 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1053 18902 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1054 : /* A3 = 2t + a3 */
1055 18902 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1056 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1057 18902 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1058 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1059 18902 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1060 18902 : return y;
1061 : }
1062 :
1063 : static GEN
1064 301348 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1065 : {
1066 301348 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1067 301348 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1068 : }
1069 :
1070 : /* apply [1,r,s,t] */
1071 : static GEN
1072 476 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1073 : {
1074 476 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1075 476 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1076 : }
1077 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1078 : static GEN
1079 476 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1080 : {
1081 476 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1082 476 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1083 476 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1084 : }
1085 :
1086 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1087 : static GEN
1088 246708 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1089 : {
1090 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1091 : long lx;
1092 246708 : if (gequal1(u)) return e;
1093 224392 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1094 224392 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1095 224392 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1096 224392 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1097 224392 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1098 224392 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1099 224392 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1100 224392 : if (lx == 6) return y;
1101 224392 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1102 224392 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1103 224392 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1104 224392 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1105 224392 : u12 = gsqr(u6);
1106 224392 : D = ell_get_disc(e);
1107 224392 : c4 = ell_get_c4(e);
1108 224392 : c6 = ell_get_c6(e);
1109 224392 : c4 = gmul(c4, u4);
1110 224392 : c6 = gmul(c6, u6);
1111 224392 : D = gmul(D, u12);
1112 224392 : gel(y,10)= c4;
1113 224392 : gel(y,11)= c6;
1114 224392 : gel(y,12)= D;
1115 224392 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1116 224392 : gel(y,14)= gel(e,14);
1117 224392 : gel(y,15)= gel(e,15);
1118 224392 : gel(y,16)= gel(e,16);
1119 224392 : return y;
1120 : }
1121 : /* apply [1,r,0,0] */
1122 : static GEN
1123 770973 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1124 : {
1125 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1126 770973 : if (gequal0(r)) return e;
1127 650944 : y = leafcopy(e);
1128 650944 : a2 = ell_get_a2(e);
1129 650944 : rx3 = gmulsg(3,r);
1130 :
1131 : /* A2 = a2 + 3r */
1132 650944 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1133 : /* A3 = a1 r + a3 */
1134 650944 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1135 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1136 650944 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1137 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1138 650944 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1139 650944 : if (lg(y) == 6) return y;
1140 :
1141 650937 : b4 = ell_get_b4(e);
1142 650937 : b6 = ell_get_b6(e);
1143 : /* B2 = 12r + b2 */
1144 650937 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1145 650937 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1146 650937 : r2 = gsqr(r);
1147 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1148 650937 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1149 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1150 650937 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1151 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1152 650937 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1153 650937 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1154 650937 : return y;
1155 : }
1156 : /* apply [1,0,s,0] */
1157 : static GEN
1158 119371 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1159 : {
1160 : GEN a1, y;
1161 119371 : if (gequal0(s)) return e;
1162 119371 : a1 = ell_get_a1(e);
1163 119371 : y = leafcopy(e);
1164 :
1165 : /* A1 = a1 + 2s */
1166 119371 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1167 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1168 119371 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1169 : /* A4 = a4 - s a3 */
1170 119371 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1171 119371 : return y;
1172 : }
1173 : /* apply [1,0,0,t] */
1174 : static GEN
1175 370601 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1176 : {
1177 : GEN a1, a3, y;
1178 370601 : if (gequal0(t)) return e;
1179 281022 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1180 281022 : y = leafcopy(e);
1181 : /* A3 = 2t + a3 */
1182 281022 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1183 : /* A4 = a4 - a1 t */
1184 281022 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1185 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1186 281022 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1187 281022 : return y;
1188 : }
1189 : /* apply [1,0,s,t] */
1190 : static GEN
1191 506548 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1192 : {
1193 : GEN y, a1, a3;
1194 506548 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1195 380324 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1196 260953 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1197 260953 : y = leafcopy(e);
1198 : /* A1 = a1 + 2s */
1199 260953 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1200 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1201 260953 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1202 : /* A3 = 2t + a3 */
1203 260953 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1204 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1205 260953 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1206 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1207 260953 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1208 260953 : return y;
1209 : }
1210 : /* apply [1,r,s,t] */
1211 : static GEN
1212 506548 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1213 : {
1214 506548 : e = coordch_r(e, r);
1215 506548 : return coordch_st(e, s, t);
1216 : }
1217 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1218 : static GEN
1219 230258 : coordch(GEN e, GEN w)
1220 : {
1221 230258 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1222 230258 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1223 230258 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1224 : }
1225 :
1226 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1227 : * (dynamic data) */
1228 : static GEN
1229 35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1230 : {
1231 35 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1232 35 : long prec = valp(p);
1233 35 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1234 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1235 : {
1236 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1237 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1238 : }
1239 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1240 : {
1241 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1242 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1243 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1244 7 : U = gmul(U, u);
1245 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1246 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1247 : }
1248 35 : return E;
1249 : }
1250 :
1251 : /* common to Q and Rg */
1252 : static GEN
1253 90559 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1254 : {
1255 90559 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1256 90559 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1257 35 : obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1258 90559 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1259 28 : obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
1260 90559 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1261 : {
1262 35 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1263 : long i;
1264 140 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1265 35 : obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
1266 : }
1267 90559 : return E;
1268 : }
1269 :
1270 : static GEN
1271 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1272 : {
1273 7 : GEN p = NULL;
1274 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1275 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1276 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1277 : }
1278 :
1279 : static GEN
1280 157647 : ch_NF(GEN E, GEN e, GEN w)
1281 : {
1282 157647 : long prec = ellR_get_prec(E);
1283 157647 : GEN S, p = ellnf_get_nf(E);
1284 157647 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_VEC) return ellinit(E, p, prec);
1285 157647 : if ((S = obj_check(e, NF_MINIMALMODEL)))
1286 : {
1287 42 : if (lg(S) == 1)
1288 : { /* model was minimal */
1289 0 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1290 0 : S = mkvec2(ellchangeinvert(w), e);
1291 : }
1292 42 : else if (lg(S)==3)
1293 : {
1294 42 : GEN v = gel(S,1);
1295 42 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
1296 0 : S = cgetg(1,t_VEC); /* now minimal */
1297 : else
1298 : {
1299 42 : w = ellchangeinvert(w);
1300 42 : gcomposev(&w, v);
1301 42 : S = mkvec2(w, gel(S,2));
1302 : }
1303 : }
1304 42 : (void)obj_insert_shallow(E, NF_MINIMALMODEL, S);
1305 : }
1306 157647 : if ((S = obj_check(e, NF_GLOBALRED)))
1307 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_GLOBALRED, S);
1308 157647 : if ((S = obj_check(e, NF_ROOTNO)))
1309 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_ROOTNO, S);
1310 157647 : if ((S = obj_check(e, NF_NF)))
1311 86030 : S = obj_insert_shallow(E, NF_NF, S);
1312 157647 : return E;
1313 : }
1314 :
1315 :
1316 : static GEN
1317 90559 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1318 : {
1319 90559 : long prec = ellR_get_prec(E);
1320 90559 : GEN S, p = NULL;
1321 90559 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1322 90552 : ch_R(E, e, w);
1323 90552 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1324 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1325 90552 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1326 : {
1327 18872 : if (lg(S) == 2)
1328 : { /* model was minimal */
1329 7 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1330 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1331 : }
1332 : else
1333 : {
1334 18865 : GEN v = gel(S,2);
1335 18865 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
1336 18851 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1337 : else
1338 : {
1339 14 : w = ellchangeinvert(w);
1340 14 : gcomposev(&w, v);
1341 14 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1342 14 : gel(S,2) = w;
1343 : }
1344 : }
1345 18872 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1346 : }
1347 90552 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1348 21 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1349 90552 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1350 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1351 90552 : return E;
1352 : }
1353 :
1354 : static void
1355 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1356 : {
1357 : GEN S;
1358 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1359 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1360 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1361 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1362 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1363 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1364 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1365 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1366 126 : }
1367 :
1368 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1369 : static GEN
1370 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1371 : {
1372 7 : long prec = 0;
1373 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1374 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1375 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1376 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1377 : }
1378 : static GEN
1379 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1380 : {
1381 119 : long prec = 0;
1382 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1383 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1384 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1385 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1386 : }
1387 :
1388 : static void
1389 230496 : ell_reset(GEN E)
1390 230496 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1391 :
1392 : GEN
1393 229551 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1394 : {
1395 229551 : pari_sp av = avma;
1396 : GEN E;
1397 229551 : checkell5(e);
1398 229551 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1399 229544 : checkcoordch(w);
1400 229544 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1401 229544 : if (lg(E) != 6)
1402 : {
1403 229530 : ell_reset(E);
1404 229530 : switch(ell_get_type(E))
1405 : {
1406 35 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1407 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1408 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1409 71715 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1410 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1411 157647 : case t_ELL_NF: E = ch_NF(E,e,w); break;
1412 : }
1413 : }
1414 229544 : return gerepilecopy(av, E);
1415 : }
1416 :
1417 : static GEN
1418 7 : ellQ_isisom(GEN E, GEN F)
1419 : {
1420 7 : pari_sp av = avma;
1421 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1422 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1423 7 : j = ell_get_j(E);
1424 7 : if (!gequal(j, ell_get_j(F))) return gen_0;
1425 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1426 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1427 7 : if (gequal0(j))
1428 : {
1429 0 : if (!ispower(gdiv(Ec6, Fc6), utoi(6), &u))
1430 0 : return gc_const(av, gen_0);
1431 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1432 : {
1433 0 : if (!ispower(gdiv(Ec4, Fc4), utoi(4), &u))
1434 0 : return gc_const(av, gen_0);
1435 : } else
1436 : {
1437 7 : if (!issquareall(gdiv(gmul(Fc4, Ec6),gmul(Fc6,Ec4)),&u))
1438 0 : return gc_const(av, gen_0);
1439 : }
1440 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1441 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1442 7 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1443 7 : s = gdivgs(gsub(gmul(u, Fa1), Ea1), 2);
1444 7 : r = gdivgs(gadd(gsub(gadd(gmul(u2, Fa2), gmul(s, Ea1)), Ea2), gsqr(s)), 3);
1445 7 : t = gdivgs(gsub(gsub(gmul(u3, Fa3), gmul(r, Ea1)), Ea3), 2);
1446 7 : return gerepilecopy(av, mkvec4(u,r,s,t));
1447 : }
1448 :
1449 : static GEN
1450 7 : ellnf_isisom(GEN nf, GEN E, GEN F)
1451 : {
1452 7 : pari_sp av = avma;
1453 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1454 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1455 7 : j = basistoalg(nf, ell_get_j(E));
1456 7 : if (!gequal(j, basistoalg(nf, ell_get_j(F))))
1457 0 : return gc_const(av, gen_0);
1458 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1459 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1460 7 : if (gequal0(j))
1461 : {
1462 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec6, Fc6), 6, &u))
1463 0 : return gc_const(av, gen_0);
1464 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1465 : {
1466 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec4, Fc4), 4, &u))
1467 0 : return gc_const(av, gen_0);
1468 : } else
1469 : {
1470 7 : if (!nfissquare(nf, nfdiv(nf, nfmul(nf, Fc4, Ec6), nfmul(nf, Fc6,Ec4)), &u))
1471 0 : return gc_const(av, gen_0);
1472 : }
1473 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1474 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1475 7 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2);
1476 7 : s = gdivgs(nfsub(nf, nfmul(nf, u, Fa1), Ea1),2);
1477 7 : r = gdivgs(nfadd(nf, nfsub(nf, nfadd(nf, nfmul(nf, u2, Fa2), nfmul(nf, s, Ea1)), Ea2), nfsqr(nf, s)), 3);
1478 7 : t = gdivgs(nfsub(nf, nfsub(nf, nfmul(nf, u3, Fa3), nfmul(nf, r, Ea1)), Ea3), 2);
1479 7 : u = basistoalg(nf, u); r = basistoalg(nf, r);
1480 7 : s = basistoalg(nf, s); t = basistoalg(nf, t);
1481 7 : return gerepilecopy(av, mkvec4(u,r,s,t));
1482 : }
1483 :
1484 : GEN
1485 14 : ellisisom(GEN E, GEN F)
1486 : {
1487 14 : checkell(E); checkell(F);
1488 14 : if (ell_get_type(E)!=ell_get_type(F))
1489 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1490 14 : switch(ell_get_type(E))
1491 : {
1492 7 : case t_ELL_Q:
1493 7 : return ellQ_isisom(E, F);
1494 7 : case t_ELL_NF:
1495 7 : if (gequal(ellnf_get_nf(E), ellnf_get_nf(F)))
1496 7 : return ellnf_isisom(ellnf_get_nf(E), E, F);
1497 : default: /*FALL THROUGH*/
1498 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1499 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1500 : }
1501 : }
1502 :
1503 : /* v o= [1,r,0,0] */
1504 : static void
1505 479230 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1506 : {
1507 479230 : GEN v = *vtotal;
1508 : GEN U2, R, S, T;
1509 479230 : if (gequal0(r)) return;
1510 197914 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1511 197914 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1512 197914 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1513 197914 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1514 : }
1515 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1516 : static void
1517 184637 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1518 : {
1519 184637 : GEN v = *vtotal;
1520 : GEN U, S;
1521 184637 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1522 184637 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1523 184637 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1524 184637 : }
1525 : /* v o= [1,0,0,t] */
1526 : static void
1527 842954 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1528 : {
1529 842954 : GEN v = *vtotal;
1530 : GEN U3, U, T;
1531 842954 : if (gequal0(t)) return;
1532 105463 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1533 105463 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1534 105463 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1535 : }
1536 : /* v o= [1,r,0,t] */
1537 : static void
1538 593824 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1539 : {
1540 593824 : GEN v = *vtotal;
1541 : GEN U2, U, R, S, T;
1542 593824 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1543 301348 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1544 301348 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1545 301348 : U2 = nfsqr(nf,U);
1546 301348 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1547 301348 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1548 : }
1549 : /* v o= [1,0,s,t] */
1550 : static void
1551 496188 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1552 : {
1553 496188 : GEN v = *vtotal;
1554 : GEN U3, U, S, T;
1555 496188 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1556 203539 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1557 18902 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1558 18902 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1559 18902 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1560 18902 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1561 : }
1562 :
1563 : /* v o= [u,0,0,0] */
1564 : static void
1565 443534 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1566 : {
1567 443534 : GEN v = *vtotal;
1568 443534 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1569 443534 : }
1570 :
1571 : /* X = (x-r)/u^2
1572 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1573 : static GEN
1574 147694 : ellchangepoint_i(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1575 : {
1576 : GEN a, x, y;
1577 147694 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellchangepoint",P);
1578 147673 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1579 147659 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1580 147659 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1581 : }
1582 :
1583 : GEN
1584 147736 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1585 : {
1586 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1587 147736 : long tx, i, lx = lg(x);
1588 147736 : pari_sp av = avma;
1589 :
1590 147736 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1591 147722 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1592 147722 : checkcoordch(ch);
1593 147722 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1594 147673 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1595 147673 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1596 147673 : tx = typ(gel(x,1));
1597 147673 : if (is_vec_t(tx))
1598 : {
1599 77 : y = cgetg(lx,tx);
1600 168 : for (i=1; i<lx; i++)
1601 98 : gel(y,i) = ellchangepoint_i(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1602 : }
1603 : else
1604 147596 : y = ellchangepoint_i(x,v2,v3,r,s,t);
1605 147652 : return gerepilecopy(av,y);
1606 : }
1607 :
1608 : /* x = u^2*X + r
1609 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1610 : static GEN
1611 4095 : ellchangepointinv_i(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1612 : {
1613 : GEN a, X, Y;
1614 4095 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",P);
1615 4081 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1616 4081 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1617 4081 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1618 : }
1619 : GEN
1620 1015 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1621 : {
1622 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1623 1015 : long tx, i, lx = lg(x);
1624 1015 : pari_sp av = avma;
1625 :
1626 1015 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1627 1001 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1628 1001 : checkcoordch(ch);
1629 1001 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1630 770 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1631 770 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1632 770 : tx = typ(gel(x,1));
1633 770 : if (is_vec_t(tx))
1634 : {
1635 602 : y = cgetg(lx,tx);
1636 4529 : for (i=1; i<lx; i++)
1637 3927 : gel(y,i) = ellchangepointinv_i(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1638 : }
1639 : else
1640 168 : y = ellchangepointinv_i(x,u2,u3,r,s,t);
1641 756 : return gerepilecopy(av,y);
1642 : }
1643 :
1644 : static GEN
1645 0 : elltwist_card(GEN h, GEN q) { return subii(shifti(addiu(q, 1), 1), h); }
1646 : GEN
1647 28574 : elltwist(GEN E, GEN P)
1648 : {
1649 28574 : pari_sp av = avma;
1650 28574 : GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
1651 28574 : long prec = DEFAULTPREC, isell = (lg(E) == 17);
1652 :
1653 28574 : if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
1654 28574 : if (isell) switch(ell_get_type(E))
1655 : {
1656 1323 : case t_ELL_Q:
1657 1323 : case t_ELL_Rg: prec = ellR_get_prec(E); break;
1658 : }
1659 28574 : if (!P)
1660 : {
1661 : GEN Et, S, a4, a6, e, fg, q;
1662 27195 : if (!isell)
1663 : { /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
1664 7 : e = E; E = ellinit_i(E, NULL, prec);
1665 7 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
1666 : }
1667 27188 : switch (ell_get_type(E))
1668 : {
1669 0 : case t_ELL_Fp:
1670 0 : q = ellff_get_field(E);
1671 0 : e = ellff_get_a4a6(E);
1672 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e,2), q, &a4, &a6);
1673 0 : Et = ellinit_Fp(mkvec2(a4,a6), q); break;
1674 27188 : case t_ELL_Fq:
1675 27188 : fg = ellff_get_field(E); q = FF_q(fg);
1676 27188 : Et = ellinit_Fq(FF_elltwist(E), fg); break;
1677 0 : default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
1678 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1679 : }
1680 27188 : if ((S = obj_check(E, FF_CARD)))
1681 0 : obj_insert_shallow(Et, FF_CARD, elltwist_card(S, q));
1682 27188 : return gerepilecopy(av, Et);
1683 : }
1684 1379 : if (isell && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1685 14 : if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
1686 1379 : if (typ(P) == t_INT)
1687 : {
1688 1365 : if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, prec);
1689 1008 : P = quadpoly(P);
1690 : }
1691 : else
1692 : {
1693 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1694 14 : if (degpol(P) != 2 )
1695 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1696 : }
1697 1022 : switch(lg(E))
1698 : {
1699 7 : case 3:
1700 7 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
1701 7 : a4 = gel(E,1);
1702 7 : a6 = gel(E,2); break;
1703 1015 : case 6: case 17:
1704 1015 : a1 = ell_get_a1(E);
1705 1015 : a2 = ell_get_a2(E);
1706 1015 : a3 = ell_get_a3(E);
1707 1015 : a4 = ell_get_a4(E);
1708 1015 : a6 = ell_get_a6(E); break;
1709 0 : default:
1710 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
1711 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1712 : }
1713 1022 : a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
1714 1022 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
1715 1022 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
1716 763 : V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
1717 : else
1718 : {
1719 259 : GEN a3D = gmul(a3, D);
1720 259 : V = cgetg(6, t_VEC);
1721 259 : gel(V,1) = gmul(a1, b);
1722 259 : gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1723 259 : gel(V,3) = gmul(a3D, b);
1724 259 : gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
1725 259 : gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
1726 : }
1727 1022 : E = ellinit_i(V, DOM, prec);
1728 1022 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
1729 1022 : return gerepilecopy(av, E);
1730 : }
1731 :
1732 : /********************************************************************/
1733 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1734 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1735 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1736 : /********************************************************************/
1737 :
1738 : static long
1739 29386 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1740 29386 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1741 :
1742 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1743 : * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1744 : * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1745 : * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1746 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1747 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1748 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1749 : * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1750 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1751 : static long
1752 392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1753 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1754 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1755 : long v4, v6, vD;
1756 :
1757 392 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1758 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1759 :
1760 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1761 336 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1762 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1763 329 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1764 :
1765 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1766 329 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1767 :
1768 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1769 266 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1770 175 : vD = vali(disc);
1771 175 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1772 168 : return -8;
1773 : }
1774 :
1775 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant. It also has minimal
1776 : * conductor in Z[1/2] */
1777 : GEN
1778 665 : ellminimaltwist(GEN e)
1779 : {
1780 665 : pari_sp av = avma;
1781 665 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1782 : long i, lF;
1783 665 : checkell_Q(e);
1784 665 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1785 665 : c4 = ell_get_c4(E);
1786 665 : c6 = ell_get_c6(E);
1787 665 : disc = ell_get_disc(E);
1788 665 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1789 665 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1790 665 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1791 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1792 : * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
1793 : * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1794 2436 : for(i = 1; i < lF; i++)
1795 : {
1796 1771 : GEN p = gel(F, i);
1797 1771 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1798 1771 : if (vg < 6) continue;
1799 : /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
1800 : * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1801 1197 : switch(itou_or_0(p))
1802 : {
1803 441 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1804 441 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1805 441 : break;
1806 364 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1807 364 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1808 364 : break;
1809 392 : case 2:
1810 392 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1811 392 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1812 392 : break;
1813 : }
1814 : }
1815 665 : obj_free(E);
1816 665 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1817 : }
1818 :
1819 : /* Reference: William A. Stein and Mark Watkins
1820 : * A Database of Elliptic Curves-First Report, ANTS 5
1821 : * http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf */
1822 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1823 : GEN
1824 399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1825 : {
1826 399 : pari_sp av = avma;
1827 399 : GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
1828 399 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1829 399 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1830 399 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1831 385 : else if (f==6)
1832 : {
1833 : long s, t;
1834 21 : if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
1835 : else
1836 : {
1837 14 : t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
1838 14 : s = signe(D)==t ? -3: -1;
1839 : }
1840 21 : D = shifti(D, s);
1841 : }
1842 399 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1843 : }
1844 :
1845 : GEN
1846 448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1847 : {
1848 448 : switch(flag)
1849 : {
1850 266 : case 0: return ellminimaltwist(e);
1851 182 : case 1: return ellminimaltwistcond(e);
1852 : }
1853 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1854 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1855 : }
1856 :
1857 : static long
1858 7 : ellexpo(GEN E)
1859 : {
1860 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1861 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1862 : {
1863 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1864 35 : if (f > e) e = f;
1865 : }
1866 7 : return e;
1867 : }
1868 :
1869 :
1870 : static int
1871 3855 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
1872 : {
1873 3855 : pari_sp av = avma;
1874 3855 : GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
1875 3855 : return gc_bool(av, gequal(A, B));
1876 : }
1877 : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
1878 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1879 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1880 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1881 : int
1882 125945 : oncurve(GEN e, GEN z)
1883 : {
1884 : GEN LHS, RHS, x;
1885 : long pl, pr, ex, expx;
1886 : pari_sp av;
1887 :
1888 125945 : if (!checkellpt_i(z)) return 0;
1889 125945 : if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1890 125868 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1891 125868 : av = avma;
1892 125868 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1893 125868 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1894 125868 : if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
1895 21 : pl = precision(LHS);
1896 21 : pr = precision(RHS);
1897 21 : if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
1898 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1899 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1900 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
1901 7 : expx = gexpo(x);
1902 14 : pr = (expx < ex - pr + 15
1903 7 : || expx < ellexpo(e) - pr + 5);
1904 7 : return gc_bool(av,pr);
1905 : }
1906 :
1907 : GEN
1908 45899 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1909 : {
1910 45899 : long i, tx = typ(x), lx;
1911 :
1912 45899 : checkell(e);
1913 45899 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1914 45899 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1915 45899 : tx = typ(gel(x,1));
1916 45899 : if (is_vec_t(tx))
1917 : {
1918 1687 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1919 3514 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1920 1687 : return z;
1921 : }
1922 44212 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1923 : }
1924 :
1925 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1926 : static GEN
1927 29184 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
1928 : {
1929 : GEN dy,dx;
1930 29184 : if (y1 != y2)
1931 : {
1932 : int eq;
1933 273 : if (precision(y1) || precision(y2))
1934 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1935 : else
1936 266 : eq = gequal(y1,y2);
1937 273 : if (!eq) return NULL;
1938 : }
1939 29177 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
1940 29177 : if (gequal0(dx)) return NULL;
1941 29135 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1942 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
1943 29135 : return gdiv(dy,dx);
1944 : }
1945 :
1946 : GEN
1947 57457 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1948 : {
1949 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
1950 57457 : pari_sp av = avma;
1951 :
1952 57457 : checkell(e);
1953 57457 : if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("elladd", z1);
1954 57457 : if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("elladd", z2);
1955 57457 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1956 55049 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1957 :
1958 53397 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1959 53397 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1960 53397 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1961 : {
1962 560 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1963 560 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1964 560 : x2 = nftoalg(nf, x2);
1965 560 : y1 = nftoalg(nf, y1);
1966 560 : y2 = nftoalg(nf, y2);
1967 : }
1968 53397 : if (cx_approx_equal(x1,x2))
1969 : {
1970 29184 : s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
1971 29184 : if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
1972 : }
1973 : else
1974 24213 : s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
1975 53348 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1976 53348 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
1977 53348 : z = cgetg(3,t_VEC);
1978 53348 : gel(z,1) = gcopy(x);
1979 53348 : gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
1980 : }
1981 :
1982 : static GEN
1983 70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1984 : {
1985 : GEN x, y;
1986 70 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1987 70 : x = gel(z,1);
1988 70 : y = gel(z,2);
1989 70 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1990 : {
1991 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1992 0 : x = nftoalg(nf,x);
1993 0 : y = nftoalg(nf,y);
1994 : }
1995 70 : retmkvec2(x, gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x))));
1996 : }
1997 :
1998 : GEN
1999 82034 : ellneg(GEN e, GEN z)
2000 : {
2001 : pari_sp av;
2002 : GEN t, y;
2003 82034 : checkell(e);
2004 82034 : if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellneg", z);
2005 82034 : if (ell_is_inf(z)) return z;
2006 82034 : t = cgetg(3,t_VEC);
2007 82034 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
2008 82034 : av = avma;
2009 82034 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
2010 82034 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
2011 82034 : return t;
2012 : }
2013 :
2014 : GEN
2015 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
2016 : {
2017 49 : pari_sp av = avma;
2018 49 : checkell(e);
2019 49 : if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("ellsub", z1);
2020 49 : if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("ellsub", z2);
2021 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
2022 : }
2023 :
2024 : /* E an ell, x a scalar */
2025 : static GEN
2026 3010 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
2027 : {
2028 3010 : pari_sp av = avma;
2029 3010 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
2030 :
2031 3010 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
2032 : {
2033 532 : nf = ellnf_get_nf(E);
2034 532 : x = nftoalg(nf,x);
2035 : }
2036 3010 : a = ec_f_evalx(E,x);
2037 3010 : b = ec_h_evalx(E,x);
2038 3010 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
2039 : /* solve y*(y+b) = a */
2040 3010 : if (gequal0(D)) {
2041 1246 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2042 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
2043 1246 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
2044 1246 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
2045 1246 : return gerepileupto(av,y);
2046 : }
2047 : /* D != 0 */
2048 1764 : switch(ell_get_type(E))
2049 : {
2050 28 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
2051 28 : p = ellff_get_p(E);
2052 28 : D = gel(D,2);
2053 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2054 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
2055 7 : break;
2056 217 : case t_ELL_Fq:
2057 217 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2058 : {
2059 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
2060 77 : if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2061 28 : return gerepileupto(av, F);
2062 : }
2063 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2064 56 : break;
2065 973 : case t_ELL_Q:
2066 973 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
2067 966 : if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2068 630 : break;
2069 :
2070 525 : case t_ELL_NF:
2071 525 : if (!nfissquare(nf, D, &d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2072 511 : d = nftoalg(nf, d);
2073 511 : break;
2074 :
2075 14 : case t_ELL_Qp:
2076 14 : p = ellQp_get_p(E);
2077 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
2078 14 : if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2079 14 : d = Qp_sqrt(D);
2080 14 : break;
2081 :
2082 7 : default:
2083 7 : d = gsqrt(D,prec);
2084 : }
2085 1232 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
2086 1232 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
2087 1232 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
2088 1232 : return gerepileupto(av,y);
2089 : }
2090 :
2091 : GEN
2092 3010 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
2093 : {
2094 3010 : checkell(e);
2095 3010 : if (is_matvec_t(typ(x)))
2096 : {
2097 : long i, lx;
2098 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
2099 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
2100 0 : return v;
2101 : }
2102 3010 : return ellordinate_i(e, x, prec);
2103 : }
2104 :
2105 : GEN
2106 245847 : ellrandom(GEN E)
2107 : {
2108 : GEN fg;
2109 245847 : checkell_Fq(E);
2110 245847 : fg = ellff_get_field(E);
2111 245847 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2112 245819 : return FF_ellrandom(E);
2113 : else
2114 : {
2115 28 : pari_sp av = avma;
2116 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
2117 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
2118 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
2119 28 : return gerepileupto(av, P);
2120 : }
2121 : }
2122 :
2123 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
2124 : static GEN
2125 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
2126 : {
2127 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
2128 : long ln, vn;
2129 :
2130 14 : if (typ(N) != t_INT)
2131 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
2132 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
2133 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
2134 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
2135 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
2136 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
2137 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
2138 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
2139 : do
2140 : {
2141 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
2142 : do
2143 : {
2144 28 : long ep = (-valser(z2)) >> 1;
2145 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
2146 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
2147 : }
2148 28 : while (valser(z2) <= 0);
2149 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
2150 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
2151 21 : if (!signe(z2)) break;
2152 7 : z2 = ginv(z2);
2153 : }
2154 7 : while (degpol(p1) < vn);
2155 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
2156 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
2157 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
2158 14 : b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
2159 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
2160 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
2161 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
2162 :
2163 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
2164 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
2165 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
2166 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
2167 :
2168 14 : x = gdiv(p1,q1);
2169 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
2170 14 : x = gsub(x, b2ov12);
2171 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
2172 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
2173 : }
2174 :
2175 : static GEN
2176 1190 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
2177 : static GEN
2178 385 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
2179 :
2180 : static GEN
2181 250271 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
2182 : {
2183 250271 : GEN fg = ellff_get_field(E);
2184 250271 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2185 249186 : return FF_ellmul(E, P, n);
2186 : else
2187 : {
2188 1085 : pari_sp av = avma;
2189 1085 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
2190 1085 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
2191 1084 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
2192 1029 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
2193 1029 : return gerepileupto(av, Q);
2194 : }
2195 : }
2196 : /* [n] z, n integral */
2197 : static GEN
2198 251279 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
2199 : {
2200 : long s;
2201 251279 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2202 251279 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
2203 1008 : s = signe(n);
2204 1008 : if (!s) return ellinf();
2205 959 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2206 959 : if (is_pm1(n)) return z;
2207 721 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2208 : }
2209 :
2210 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2211 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2212 : static long
2213 42 : myroundr(GEN *px)
2214 : {
2215 42 : GEN x = *px;
2216 : long e;
2217 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2218 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2219 42 : if (e >= -5) return NO;
2220 42 : return OK;
2221 : }
2222 :
2223 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2224 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2225 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2226 : static GEN
2227 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2228 : {
2229 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2230 : long prec;
2231 :
2232 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2233 14 : switch(typ(Q))
2234 : {
2235 0 : case t_COMPLEX:
2236 0 : D = utoineg(4);
2237 0 : v = gel(Q,2);
2238 0 : break;
2239 14 : case t_QUAD:
2240 14 : D = quad_disc(Q);
2241 14 : v = gel(Q,3);
2242 14 : break;
2243 0 : default:
2244 0 : return NULL; /*-Wall*/
2245 : }
2246 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2247 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2extraprec(expi(D)));
2248 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2249 14 : prec = precision(tau);
2250 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2251 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2252 : * Compute f*k */
2253 14 : x = gel(tau,1);
2254 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2255 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2256 14 : switch(myroundr(&fk))
2257 : {
2258 0 : case NO: return NULL;
2259 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2260 : }
2261 14 : fk = absi_shallow(fk);
2262 :
2263 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2264 14 : switch(myroundr(&fkb))
2265 : {
2266 0 : case NO: return NULL;
2267 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2268 : }
2269 :
2270 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2271 14 : switch(myroundr(&fkc))
2272 : {
2273 0 : case NO: return NULL;
2274 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2275 : }
2276 :
2277 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2278 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2279 14 : dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
2280 : /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2281 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2282 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2283 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2284 14 : v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
2285 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2286 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2287 : }
2288 :
2289 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2290 : static GEN
2291 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2292 : {
2293 : GEN A, B, q;
2294 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2295 14 : q = CM_factor(e, w);
2296 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2297 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2298 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2299 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2300 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2301 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2302 7 : GEN u = gtrace(w);
2303 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2304 7 : u = shifti(u, -1);
2305 7 : if (signe(u))
2306 : {
2307 0 : w = gsub(w, u);
2308 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2309 : }
2310 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2311 : }
2312 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2313 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2314 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2315 14 : return elladd(e, A, B);
2316 : }
2317 : GEN
2318 251398 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2319 : {
2320 251398 : pari_sp av = avma;
2321 :
2322 251398 : checkell(e);
2323 251391 : if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellmul", z);
2324 251391 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2325 251279 : switch(typ(n))
2326 : {
2327 251265 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
2328 14 : case t_QUAD: {
2329 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2330 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2331 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2332 : }
2333 0 : case t_COMPLEX: {
2334 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2335 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2336 : }
2337 : }
2338 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2339 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2340 : }
2341 :
2342 : /********************************************************************/
2343 : /** **/
2344 : /** Periods **/
2345 : /** **/
2346 : /********************************************************************/
2347 :
2348 : /* References:
2349 : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
2350 : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
2351 : */
2352 :
2353 : static GEN
2354 52199 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
2355 : {
2356 52199 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
2357 52199 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
2358 52199 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
2359 : }
2360 :
2361 : static GEN
2362 42619 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
2363 : {
2364 42619 : pari_sp av = avma;
2365 42619 : GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
2366 42619 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
2367 42619 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
2368 42619 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
2369 : }
2370 :
2371 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
2372 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
2373 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
2374 : static GEN
2375 52199 : doellR_omega(GEN E, long prec)
2376 : {
2377 52199 : pari_sp av = avma;
2378 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
2379 52199 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
2380 9580 : roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
2381 9580 : d2 = gel(roots,5);
2382 9580 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
2383 9580 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
2384 9580 : b = gel(z,2);
2385 9580 : c = gabs(z, prec);
2386 9580 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
2387 9580 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
2388 : }
2389 : static GEN
2390 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
2391 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
2392 :
2393 : GEN
2394 92491 : ellR_omega(GEN E, long prec)
2395 92491 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
2396 : GEN
2397 84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
2398 84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
2399 : GEN
2400 222881 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2401 222881 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2402 :
2403 : GEN
2404 11816 : ellR_area(GEN E, long prec)
2405 : {
2406 11816 : pari_sp av = avma;
2407 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2408 11816 : w = ellR_omega(E, prec);
2409 11816 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2410 11816 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2411 11816 : return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2412 : }
2413 :
2414 : /********************************************************************/
2415 : /** **/
2416 : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
2417 : /** **/
2418 : /********************************************************************/
2419 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
2420 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
2421 : static GEN
2422 14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
2423 : {
2424 14 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
2425 14 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
2426 14 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
2427 14 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
2428 14 : GEN z = gel(om,2);
2429 14 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
2430 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
2431 : else
2432 14 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
2433 14 : return gmul2n(z, -1);
2434 : }
2435 :
2436 : static GEN
2437 28735 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
2438 : {
2439 28735 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2440 28735 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2441 28735 : if (gequal0(y0))
2442 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
2443 : else
2444 : {
2445 28735 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
2446 28735 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
2447 28735 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2448 28735 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2449 28735 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
2450 : /* |a+b| < |a-b| */
2451 28735 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
2452 28735 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2453 : }
2454 : }
2455 :
2456 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
2457 : static GEN
2458 7 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
2459 : {
2460 7 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2461 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
2462 : else
2463 : {
2464 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2465 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
2466 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
2467 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
2468 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
2469 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
2470 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
2471 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
2472 : }
2473 : }
2474 :
2475 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
2476 : static GEN
2477 28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
2478 : {
2479 28 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2480 28 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2481 28 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
2482 14 : e1 = gel(R,1);
2483 14 : e2 = gel(R,2);
2484 14 : e3 = gel(R,3);
2485 14 : d2 = gel(R,5);
2486 14 : d3 = gel(R,6);
2487 14 : a = gsqrt(d2,prec);
2488 14 : b = gsqrt(d3,prec);
2489 14 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
2490 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2491 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2492 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2493 : } else {
2494 7 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
2495 7 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
2496 7 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
2497 7 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
2498 : }
2499 : }
2500 :
2501 : static void
2502 21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
2503 : {
2504 21 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
2505 21 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
2506 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
2507 0 : }
2508 : static GEN
2509 189 : get_r0(GEN E, long prec)
2510 : {
2511 189 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2512 189 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2513 : }
2514 : static GEN
2515 140 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
2516 : {
2517 140 : pari_sp av = avma;
2518 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
2519 : long vq, vt, Q, R;
2520 140 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
2521 133 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
2522 133 : u = ellQp_u(E, prec);
2523 133 : q = ellQp_q(E, prec);
2524 133 : x = gel(P,1);
2525 133 : r0 = get_r0(E, prec);
2526 133 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
2527 133 : if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
2528 14 : pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
2529 119 : r = gsub(a,b);
2530 119 : ar = gmul(a, r);
2531 119 : if (gequal0(c0))
2532 : {
2533 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
2534 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
2535 : }
2536 : else
2537 : {
2538 112 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
2539 112 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
2540 112 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
2541 105 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
2542 : }
2543 112 : y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
2544 112 : if (gequal0(y1))
2545 : {
2546 14 : y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
2547 14 : if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
2548 : }
2549 : else
2550 98 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
2551 98 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
2552 :
2553 98 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2554 98 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2555 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
2556 98 : if (typ(t) == t_PADIC)
2557 56 : vt = valp(t);
2558 : else
2559 42 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
2560 98 : vq = valp(q); /* > 0 */
2561 98 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
2562 98 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
2563 98 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2564 98 : return gerepileupto(av, t);
2565 : }
2566 :
2567 : static GEN
2568 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
2569 : {
2570 56 : pari_sp av = avma;
2571 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
2572 : long v;
2573 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
2574 :
2575 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
2576 56 : u = ellQp_u(E,prec);
2577 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
2578 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
2579 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
2580 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
2581 56 : r0 = get_r0(E, prec);
2582 :
2583 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
2584 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
2585 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
2586 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
2587 56 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
2588 : }
2589 :
2590 : static GEN
2591 28770 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
2592 : {
2593 : GEN t;
2594 : long s;
2595 28770 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
2596 28770 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
2597 28770 : s = ellR_get_sign(e);
2598 28770 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
2599 35 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
2600 : else
2601 28735 : t = zellcx(e,z,prec);
2602 28763 : return t;
2603 : }
2604 : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
2605 : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
2606 : static void ellnfembed_free(GEN L);
2607 : GEN
2608 28903 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
2609 : {
2610 28903 : pari_sp av = avma;
2611 28903 : checkell(E);
2612 28903 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellpointtoz", P);
2613 28903 : switch(ell_get_type(E))
2614 : {
2615 140 : case t_ELL_Qp:
2616 140 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
2617 140 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
2618 7 : case t_ELL_NF:
2619 : {
2620 7 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
2621 7 : long i, l = lg(Pe);
2622 21 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
2623 7 : ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
2624 : }
2625 21 : case t_ELL_Q: break;
2626 28735 : case t_ELL_Rg: break;
2627 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
2628 : }
2629 28756 : return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
2630 : }
2631 :
2632 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
2633 : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
2634 : typedef struct {
2635 : enum period_type type;
2636 : GEN in; /* original input */
2637 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
2638 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
2639 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
2640 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
2641 : GEN x,y; /* t_INT */
2642 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
2643 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
2644 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
2645 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
2646 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
2647 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
2648 : long prec; /* precision(Z) */
2649 : long prec0; /* required precision for result */
2650 : } ellred_t;
2651 :
2652 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
2653 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
2654 : static void
2655 110796 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
2656 : {
2657 110796 : GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
2658 110796 : long e = gexpo(gel(t0,2));
2659 110796 : if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
2660 110796 : t = t0;
2661 110796 : a = d = gen_1;
2662 110796 : b = c = gen_0;
2663 : for(;;)
2664 37338 : {
2665 148134 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
2666 148134 : if (signe(n))
2667 : { /* apply T^n */
2668 47565 : t = gsub(t,n);
2669 47565 : a = subii(a, mulii(n,c));
2670 47565 : b = subii(b, mulii(n,d));
2671 : }
2672 148134 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
2673 37338 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
2674 37338 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
2675 37338 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
2676 : }
2677 110796 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
2678 110796 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
2679 110796 : }
2680 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
2681 : * Set *pU to U. */
2682 : GEN
2683 37863 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
2684 : {
2685 : GEN a,b,c,d;
2686 37863 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
2687 37863 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
2688 37863 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
2689 37863 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
2690 : }
2691 : GEN
2692 37828 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
2693 : {
2694 37828 : pari_sp av = avma;
2695 : GEN czd;
2696 37828 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
2697 37828 : return gc_all(av, 2, &t, pU);
2698 : }
2699 :
2700 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
2701 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
2702 : static void
2703 72933 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
2704 : {
2705 : long s, p;
2706 72933 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
2707 72933 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
2708 72933 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
2709 72933 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
2710 : mkvec2(T->w1,T->w2));
2711 72933 : T->swap = (s < 0);
2712 72933 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
2713 72933 : p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
2714 72933 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
2715 : /* update lattice */
2716 72933 : p = precision(T->tau);
2717 72933 : if (p)
2718 : {
2719 72555 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
2720 72555 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
2721 : }
2722 72933 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
2723 72933 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
2724 72933 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
2725 72933 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2726 72933 : p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
2727 72933 : }
2728 : /* is z real or pure imaginary ? */
2729 : static void
2730 82432 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
2731 : {
2732 82432 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
2733 69573 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
2734 62706 : else *real = *imag = 0;
2735 82432 : }
2736 : static void
2737 39557 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
2738 : {
2739 : GEN x, Z;
2740 : long p, e;
2741 39557 : switch(typ(z))
2742 : {
2743 39557 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
2744 0 : case t_QUAD:
2745 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
2746 0 : break;
2747 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
2748 : }
2749 39557 : Z = gdiv(z, T->W2);
2750 39557 : T->z = z;
2751 39557 : x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
2752 39557 : T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
2753 : /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
2754 : * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
2755 : * at the end */
2756 39557 : if (e > -10) T->x = gfloor(x);
2757 39557 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
2758 39557 : T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
2759 39557 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2760 39557 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
2761 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
2762 39557 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2763 39557 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
2764 : {
2765 : int W2real, W2imag;
2766 31346 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
2767 31346 : if (W2real)
2768 4711 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2769 26635 : else if (W2imag)
2770 6748 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
2771 : }
2772 39557 : p = precision(Z);
2773 39557 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - p)) Z = NULL; /*z in L*/
2774 39557 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2775 39557 : T->Z = Z;
2776 39557 : }
2777 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2778 : static GEN
2779 37618 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2780 : {
2781 37618 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2782 37618 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2783 37618 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2784 37618 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2785 14108 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2786 : }
2787 : /* e is either
2788 : * - [w1,w2]
2789 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2790 : * - an ellinit structure */
2791 : static void
2792 72933 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2793 : {
2794 : GEN w, e;
2795 72933 : T->q_is_real = 0;
2796 72933 : T->some_q_is_real = 0;
2797 72933 : switch(T->type)
2798 : {
2799 30688 : case t_PER_ELL:
2800 : {
2801 30688 : long pr, p = prec;
2802 30688 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2803 30688 : e = T->in;
2804 30688 : w = ellR_omega(e, p);
2805 30688 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2806 30688 : break;
2807 : }
2808 13363 : case t_PER_W:
2809 13363 : w = T->in; break;
2810 28882 : default: /*t_PER_WETA*/
2811 28882 : w = gel(T->in,1); break;
2812 : }
2813 72933 : T->w1 = gel(w,1);
2814 72933 : T->w2 = gel(w,2);
2815 72933 : red_modSL2(T, prec);
2816 72933 : if (z) reduce_z(z, T);
2817 72933 : }
2818 : static int
2819 72940 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2820 : {
2821 : GEN w1;
2822 72940 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2823 72940 : T->in = e;
2824 72940 : switch(lg(e))
2825 : {
2826 30695 : case 17:
2827 30695 : T->type = t_PER_ELL;
2828 30695 : break;
2829 42245 : case 3:
2830 42245 : w1 = gel(e,1);
2831 42245 : if (typ(w1) != t_VEC)
2832 13363 : T->type = t_PER_W;
2833 : else
2834 : {
2835 28882 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2836 28882 : T->type = t_PER_WETA;
2837 : }
2838 42245 : break;
2839 0 : default: return 0;
2840 : }
2841 72940 : return 1;
2842 : }
2843 : static int
2844 72856 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2845 : {
2846 72856 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2847 72856 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2848 : }
2849 :
2850 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2851 : static GEN
2852 139314 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2853 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2854 : static GEN
2855 70994 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2856 : {
2857 70994 : GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
2858 70994 : return cxtoreal(z);
2859 : }
2860 :
2861 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2862 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2863 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2864 : GEN
2865 4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2866 : {
2867 4459 : pari_sp av = avma;
2868 : GEN y;
2869 : ellred_t T;
2870 :
2871 4459 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2872 4459 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2873 4459 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2874 4459 : y = _elleisnum(&T, k);
2875 4459 : if (k==2 && signe(T.c))
2876 4025 : {
2877 4025 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2878 4025 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2879 : }
2880 434 : else if (k==4 && flag) y = gdivgu(y, 12);
2881 406 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2882 4459 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
2883 : }
2884 :
2885 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
2886 : static GEN
2887 66353 : _elleta(ellred_t *T)
2888 : {
2889 66353 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
2890 66353 : y2 = gmul(T->W2, e2);
2891 66353 : y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
2892 66353 : retmkvec2(y1, y2);
2893 : }
2894 :
2895 : /* compute eta1, eta2 */
2896 : GEN
2897 84 : elleta(GEN om, long prec)
2898 : {
2899 84 : pari_sp av = avma;
2900 : GEN y1, y2, E2, pi;
2901 : ellred_t T;
2902 :
2903 84 : if (!check_periods(om, &T))
2904 : {
2905 0 : pari_err_TYPE("elleta",om);
2906 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2907 : }
2908 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
2909 :
2910 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
2911 77 : prec = T.prec;
2912 77 : pi = mppi(prec);
2913 77 : E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
2914 77 : if (signe(T.c))
2915 : {
2916 21 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
2917 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
2918 21 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
2919 : }
2920 77 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
2921 77 : if (T.swap)
2922 : {
2923 7 : y1 = y2;
2924 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
2925 : }
2926 : else
2927 70 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
2928 77 : switch(typ(T.w1))
2929 : {
2930 49 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
2931 49 : y1 = real_i(y1);
2932 : }
2933 77 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
2934 : }
2935 : GEN
2936 28749 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
2937 : {
2938 28749 : pari_sp av = avma;
2939 : ellred_t T;
2940 28749 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
2941 28749 : switch(flag)
2942 : {
2943 14 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
2944 28735 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
2945 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
2946 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2947 : }
2948 : }
2949 :
2950 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
2951 : static double
2952 39431 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
2953 :
2954 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
2955 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
2956 : static GEN
2957 1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
2958 : {
2959 : long toadd;
2960 1911 : pari_sp av = avma, av1;
2961 : GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
2962 : ellred_t T;
2963 : int simple_case;
2964 :
2965 1911 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
2966 1911 : if (!T.Z) return NULL;
2967 1890 : prec = T.prec;
2968 :
2969 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
2970 1890 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
2971 1890 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
2972 1890 : u1 = gsubsg(1,u);
2973 1890 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
2974 1890 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
2975 1890 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
2976 1890 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
2977 1890 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
2978 1890 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
2979 1890 : yp = flall? gen_0: NULL;
2980 1890 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2981 :
2982 1890 : av1 = avma; qn = q;
2983 : for(;;)
2984 24448 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
2985 : /* analogous formula for yp */
2986 26338 : GEN yadd, ypadd = NULL;
2987 26338 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
2988 26338 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
2989 26338 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
2990 26338 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
2991 26338 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
2992 415 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
2993 : else
2994 : {
2995 25923 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
2996 25923 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
2997 25923 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
2998 25923 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
2999 : }
3000 26338 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
3001 26338 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
3002 26338 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
3003 :
3004 26338 : qn = gmul(q,qn);
3005 26338 : if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
3006 24448 : if (gc_needed(av1,1))
3007 : {
3008 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
3009 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
3010 : }
3011 : }
3012 1890 : if (yp)
3013 : {
3014 1827 : if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
3015 1827 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
3016 : }
3017 :
3018 1890 : u1 = PiI2div(T.W2, prec);
3019 1890 : u2 = gsqr(u1);
3020 1890 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
3021 1890 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
3022 1029 : y = real_i(y);
3023 1890 : if (yp)
3024 : {
3025 1827 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
3026 1827 : if (T.some_q_is_real)
3027 : {
3028 1827 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
3029 847 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
3030 : }
3031 1827 : y = mkvec2(y, yp);
3032 : }
3033 1890 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3034 : }
3035 : static GEN
3036 301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
3037 : {
3038 : long i, k, l;
3039 : pari_sp av;
3040 301 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
3041 :
3042 301 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
3043 301 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
3044 :
3045 2520 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
3046 301 : _1 = Rg_get_1(c4);
3047 301 : switch(PRECDL)
3048 : {
3049 301 : default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
3050 301 : case 6:
3051 301 : case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
3052 301 : case 4:
3053 301 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
3054 301 : case 2:
3055 301 : case 1: P[0] = _1;
3056 : }
3057 301 : if (PRECDL <= 8) return res;
3058 301 : av = avma;
3059 301 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
3060 1085 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
3061 : {
3062 784 : av = avma;
3063 784 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
3064 1239 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
3065 784 : t = gmul2n(t, 1);
3066 784 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
3067 784 : if (k % 3 == 2)
3068 273 : t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
3069 : else /* same value, more efficient */
3070 511 : t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
3071 784 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
3072 : }
3073 301 : return res;
3074 : }
3075 :
3076 : static int
3077 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
3078 : {
3079 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
3080 : {
3081 203 : case 17:
3082 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
3083 203 : *c6 = ell_get_c6(w);
3084 203 : return 1;
3085 91 : case 3:
3086 : {
3087 : ellred_t T;
3088 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
3089 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
3090 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
3091 91 : return 1;
3092 : }
3093 : }
3094 0 : *c4 = *c6 = NULL;
3095 0 : return 0;
3096 : }
3097 :
3098 : GEN
3099 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
3100 : {
3101 : GEN c4, c6;
3102 14 : checkell(e);
3103 14 : c4 = ell_get_c4(e);
3104 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
3105 : }
3106 :
3107 : GEN
3108 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
3109 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
3110 :
3111 : GEN
3112 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
3113 : {
3114 182 : pari_sp av = avma;
3115 : GEN y;
3116 :
3117 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
3118 182 : if (!z) z = pol_x(0);
3119 182 : y = toser_i(z);
3120 182 : if (y)
3121 : {
3122 105 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3123 : GEN P, Q, c4,c6;
3124 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
3125 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
3126 105 : if (gequal0(y)) {
3127 0 : set_avma(av);
3128 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
3129 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
3130 : }
3131 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3132 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3133 105 : if (!flag)
3134 105 : return gerepileupto(av, Q);
3135 : else
3136 : {
3137 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
3138 0 : return gerepilecopy(av, R);
3139 : }
3140 : }
3141 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
3142 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
3143 70 : return gerepileupto(av, y);
3144 : }
3145 :
3146 : GEN
3147 161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
3148 : {
3149 : long prec;
3150 161 : pari_sp av = avma;
3151 161 : GEN pi2, q, y, et = NULL;
3152 : ellred_t T;
3153 :
3154 161 : if (!z) z = pol_x(0);
3155 161 : y = toser_i(z);
3156 161 : if (y)
3157 : {
3158 91 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3159 : GEN P, Q, c4,c6;
3160 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
3161 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
3162 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3163 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3164 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3165 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3166 91 : return gerepileupto(av, Q);
3167 : }
3168 70 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
3169 70 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
3170 70 : prec = T.prec;
3171 70 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
3172 :
3173 70 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3174 70 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
3175 70 : y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
3176 70 : if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
3177 : { /* else u = -1 and this vanishes */
3178 70 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3179 70 : GEN qn, u, v, S = gen_0;
3180 : pari_sp av1;
3181 70 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
3182 70 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
3183 70 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
3184 70 : y = gadd(y, v);
3185 : /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
3186 : * = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
3187 70 : av1 = avma;
3188 70 : for (qn = q;;)
3189 : {
3190 863 : S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
3191 863 : qn = gmul(q,qn);
3192 863 : if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
3193 793 : if (gc_needed(av1,1))
3194 : {
3195 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
3196 0 : gerepileall(av1,2, &S,&qn);
3197 : }
3198 : }
3199 70 : y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
3200 : }
3201 70 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
3202 70 : if (T.some_q_is_real)
3203 : {
3204 70 : if (T.some_z_is_real)
3205 : {
3206 28 : if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
3207 : }
3208 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
3209 : {
3210 21 : if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
3211 21 : gel(y,1) = gen_0;
3212 : }
3213 : }
3214 70 : if (et) y = gadd(y, et);
3215 70 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3216 : }
3217 :
3218 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3219 : GEN
3220 37674 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3221 : {
3222 : long toadd, prec, n;
3223 37674 : pari_sp av = avma, av1;
3224 : GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3225 : ellred_t T;
3226 :
3227 37674 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3228 :
3229 37674 : if (!z) z = pol_x(0);
3230 37674 : y = toser_i(z);
3231 37674 : if (y)
3232 : {
3233 98 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3234 : GEN P, Q, c4,c6;
3235 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3236 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3237 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3238 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3239 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3240 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3241 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3242 91 : P = integser(serchop0(P));
3243 91 : P = gexp(P, prec0);
3244 91 : setvalser(P, valser(P)+1);
3245 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3246 91 : return gerepileupto(av, Q);
3247 : }
3248 37576 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3249 37576 : if (!T.Z)
3250 : {
3251 7 : if (!flag) return gen_0;
3252 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3253 : }
3254 37569 : prec = T.prec;
3255 37569 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3256 37569 : pi = mppi(prec);
3257 :
3258 37569 : urninv = uinv = NULL;
3259 37569 : if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
3260 : {
3261 98 : toadd = 0;
3262 98 : urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
3263 98 : u = gen_1;
3264 : }
3265 : else
3266 : {
3267 37471 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3268 37471 : urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3269 37471 : u = gneg_i(gsqr(urn));
3270 37471 : if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
3271 : }
3272 37569 : q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
3273 37569 : q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
3274 37569 : y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
3275 239006 : for(n=0;;n++)
3276 : { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
3277 : * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
3278 239006 : y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
3279 239006 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3280 239006 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec - 5) break;
3281 201437 : qn = gmul(q,qn);
3282 201437 : urn = gmul(urn,u);
3283 201437 : if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
3284 201437 : if (gc_needed(av1,1))
3285 : {
3286 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3287 0 : gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3288 : }
3289 : }
3290 37569 : y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3291 37569 : y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
3292 :
3293 37569 : et = _elleta(&T);
3294 37569 : z0 = gmul(T.Z,T.W2);
3295 37569 : y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
3296 37569 : etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
3297 37569 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
3298 37569 : if (flag)
3299 : {
3300 37499 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3301 37499 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
3302 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
3303 37499 : if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
3304 273 : y = real_i(y);
3305 : }
3306 : else
3307 : {
3308 70 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3309 70 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
3310 70 : if (T.some_q_is_real)
3311 : {
3312 : int re, cx;
3313 70 : check_complex(z,&re,&cx);
3314 70 : if (re) y = real_i(y);
3315 49 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
3316 : }
3317 : }
3318 37569 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3319 : }
3320 :
3321 : GEN
3322 1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3323 : {
3324 1890 : pari_sp av = avma;
3325 : GEN v;
3326 :
3327 1890 : checkell(e);
3328 1890 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
3329 : {
3330 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3331 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
3332 : }
3333 1834 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3334 1834 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
3335 1820 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
3336 1820 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
3337 1820 : return gerepilecopy(av, v);
3338 : }
3339 :
3340 : /********************************************************************/
3341 : /** **/
3342 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3343 : /** Kodaira types, global minimal model **/
3344 : /** **/
3345 : /********************************************************************/
3346 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3347 : typedef struct {
3348 : long a1; /*{0,1}*/
3349 : long a2; /*{-1,0,1}*/
3350 : long a3; /*{0,1}*/
3351 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3352 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3353 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3354 : } ellmin_t;
3355 :
3356 : /* u from [u,r,s,t] */
3357 : static void
3358 566139 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3359 : {
3360 566139 : M->u = u;
3361 566139 : if (is_pm1(u))
3362 470533 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3363 : else
3364 : {
3365 95606 : M->u2 = sqri(u);
3366 95606 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3367 95606 : M->u4 = sqri(M->u2);
3368 95606 : M->u6 = sqri(M->u3);
3369 : }
3370 566139 : }
3371 : /* E = original curve */
3372 : static void
3373 566139 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3374 : {
3375 566139 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3376 566139 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3377 95606 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3378 95606 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3379 : }
3380 566139 : M->c4 = c4;
3381 566139 : M->c6 = c6;
3382 566139 : }
3383 : static void
3384 565831 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3385 : {
3386 565831 : GEN D = ell_get_disc(E);
3387 565831 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3388 565831 : M->D = D;
3389 565831 : }
3390 : static void
3391 565992 : min_set_b(ellmin_t *M)
3392 : {
3393 : long b22, b2;
3394 565992 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3395 565992 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
3396 565992 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3397 565992 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3398 565992 : }
3399 : static void
3400 565852 : min_set_a(ellmin_t *M)
3401 : {
3402 565852 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3403 565852 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3404 565852 : if (odd(b2))
3405 : {
3406 286503 : a1 = 1;
3407 286503 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3408 : }
3409 : else
3410 : {
3411 279349 : a1 = 0;
3412 279349 : a2 = b2 >> 2;
3413 : }
3414 565852 : M->a1 = a1;
3415 565852 : M->a2 = a2;
3416 565852 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3417 565852 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3418 565852 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3419 565852 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3420 565852 : }
3421 : static void
3422 565817 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
3423 : {
3424 565817 : min_set_u(M, u);
3425 565817 : min_set_c(M, E);
3426 565817 : min_set_D(M, E);
3427 565817 : min_set_b(M);
3428 565817 : min_set_a(M);
3429 565817 : }
3430 : static GEN
3431 552734 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3432 : {
3433 552734 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3434 : long a11, a13;
3435 552734 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3436 552734 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3437 552734 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3438 552734 : gel(y,4) = M->a4;
3439 552734 : gel(y,5) = M->a6;
3440 552734 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3441 552734 : gel(y,7) = M->b4;
3442 552734 : gel(y,8) = M->b6;
3443 552734 : a11 = M->a1;
3444 552734 : a13 = M->a1 & M->a3;
3445 552734 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3446 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3447 552734 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3448 552734 : gel(y,10)= M->c4;
3449 552734 : gel(y,11)= M->c6;
3450 552734 : gel(y,12)= M->D;
3451 552734 : gel(y,13)= gel(E,13);
3452 552734 : gel(y,14)= gel(E,14);
3453 552734 : gel(y,15)= gel(E,15);
3454 552734 : return y;
3455 : }
3456 : static GEN
3457 565817 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3458 : {
3459 : GEN r, s, t;
3460 565817 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3461 565817 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3462 565817 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
3463 565817 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3464 : }
3465 :
3466 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
3467 : static long
3468 1702543 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
3469 : {
3470 1702543 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
3471 1702543 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
3472 1702543 : if (!signe(c6))
3473 : {
3474 3045 : d = vD / 12;
3475 3045 : if (d)
3476 : {
3477 1127 : if (p == 2)
3478 : {
3479 875 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3480 875 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3481 875 : if (a) d--;
3482 : }
3483 1127 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3484 : }
3485 3045 : v6 = 12; /* +oo */
3486 : }
3487 : else
3488 : {
3489 1699498 : v6 = Z_lval(c6,p);
3490 1699498 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3491 1699498 : if (d) {
3492 181286 : if (p == 2) {
3493 109858 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3494 109858 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3495 109858 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3496 109858 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
3497 71428 : } else if (p == 3) {
3498 45199 : if (v6 == 6*d+2) d--;
3499 : }
3500 181286 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3501 : }
3502 : }
3503 1702543 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3504 : }
3505 : static long
3506 881468 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
3507 : {
3508 : GEN c6;
3509 : long d, v6, vD;
3510 881468 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
3511 39 : c6 = ell_get_c6(E);
3512 39 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
3513 39 : if (!signe(c6))
3514 : {
3515 0 : d = vD / 12;
3516 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3517 0 : v6 = 12; /* +oo */
3518 : }
3519 : else
3520 : {
3521 39 : v6 = Z_pval(c6,p);
3522 39 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3523 39 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3524 : }
3525 39 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3526 : }
3527 :
3528 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3529 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3530 : in the form [f, kod, v, c].
3531 :
3532 : * The integer f is the conductor's exponent.
3533 :
3534 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3535 : II , III , IV --> 2, 3, 4
3536 : I0 --> 1
3537 : Inu --> 4+nu for nu > 0
3538 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3539 :
3540 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3541 :
3542 : * c is the Tamagawa number.
3543 :
3544 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3545 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3546 : static GEN
3547 1899226 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3548 : {
3549 1899226 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3550 1899226 : gel(z,1) = stoi(f);
3551 1899226 : gel(z,2) = stoi(kod);
3552 1899226 : gel(z,3) = gcopy(v);
3553 1899226 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3554 : }
3555 : static GEN
3556 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3557 : {
3558 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3559 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3560 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3561 : }
3562 :
3563 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3564 : static long
3565 884842 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3566 :
3567 : /* p > 3, e integral */
3568 : static GEN
3569 881468 : localred_p(GEN e, GEN p)
3570 : {
3571 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
3572 881468 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3573 :
3574 881468 : c4 = ell_get_c4(e);
3575 881468 : c6 = ell_get_c6(e);
3576 881468 : nuj = j_pval(e, p);
3577 881468 : nuD = Z_pval(D, p);
3578 881468 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
3579 881468 : if (!k) v = init_ch();
3580 : else
3581 : { /* model not minimal */
3582 : ellmin_t M;
3583 13097 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
3584 13097 : v = min_get_v(&M, e);
3585 13097 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
3586 : }
3587 :
3588 881468 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
3589 : {
3590 763021 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3591 763021 : switch(kronecker(negi(c6),p))
3592 : {
3593 393218 : case 1: c = nuD; break;
3594 369803 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
3595 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
3596 : }
3597 763021 : break;
3598 45829 : case 6:
3599 : {
3600 45829 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
3601 45829 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
3602 45829 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
3603 45829 : break;
3604 : }
3605 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
3606 : }
3607 72618 : else switch(nuD)
3608 : {
3609 539 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
3610 11718 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
3611 10346 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
3612 5663 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
3613 5663 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
3614 5663 : break;
3615 16856 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
3616 16856 : p2 = sqri(p);
3617 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
3618 16856 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
3619 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
3620 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
3621 16856 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
3622 16856 : break;
3623 11641 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
3624 11641 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
3625 11641 : break;
3626 10241 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
3627 5614 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
3628 0 : default: return localredbug(p,"localred");
3629 : }
3630 881468 : return localred_result(f, kod, c, v);
3631 : }
3632 :
3633 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
3634 : static ulong
3635 891702 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
3636 891702 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
3637 :
3638 : static ulong
3639 1424346 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
3640 1424346 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
3641 :
3642 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
3643 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
3644 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
3645 : static long
3646 245056 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3647 : {
3648 245056 : if (p == 2)
3649 : {
3650 141554 : if (odd(c + a * b)) return 3;
3651 122766 : *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
3652 : }
3653 : /* p = 3 */
3654 103502 : if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
3655 69286 : *mult = a * b;
3656 69286 : if (b == 2)
3657 23065 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
3658 : else
3659 46221 : return c ? 3 : 2;
3660 : }
3661 :
3662 : /* same for aX^2 +bX + c */
3663 : static long
3664 790440 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3665 : {
3666 790440 : if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
3667 : /* p = 3 */
3668 302113 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
3669 : }
3670 :
3671 : /* p = 2 or 3 */
3672 : static GEN
3673 706853 : localred_23(GEN e, long p)
3674 : {
3675 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
3676 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
3677 : GEN v;
3678 :
3679 706853 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
3680 706853 : if (!k) v = init_ch();
3681 : else
3682 : {
3683 : ellmin_t M;
3684 48776 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
3685 48776 : v = min_get_v(&M, e);
3686 48776 : e = min_to_ell(&M, e);
3687 : }
3688 : /* model is minimal */
3689 706853 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
3690 706853 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
3691 705362 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
3692 322833 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
3693 :
3694 705362 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
3695 : {
3696 387590 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
3697 196819 : c = nuD;
3698 : else
3699 190771 : c = odd(nuD)? 1: 2;
3700 387590 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
3701 : }
3702 317772 : if (p == 2)
3703 : {
3704 186494 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
3705 186494 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
3706 186494 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
3707 186494 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
3708 : }
3709 : else /* p == 3 */
3710 : {
3711 131278 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
3712 131278 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
3713 131278 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
3714 131278 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
3715 : }
3716 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
3717 317772 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
3718 317772 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
3719 22351 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
3720 295421 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
3721 27748 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
3722 267673 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
3723 : {
3724 22617 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
3725 11578 : c = 3;
3726 : else
3727 11039 : c = 1;
3728 22617 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
3729 : }
3730 :
3731 245056 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
3732 91511 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
3733 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
3734 245056 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
3735 245056 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
3736 245056 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
3737 245056 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
3738 : {
3739 36078 : case 3:
3740 36078 : c = a63 ? 1: 2;
3741 36078 : if (p == 2)
3742 18788 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
3743 : else {
3744 17290 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
3745 17290 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
3746 : }
3747 36078 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
3748 130711 : case 2:
3749 : { /* compute nu */
3750 : GEN pk, pk1, p2k;
3751 : long al, be, ga;
3752 130711 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
3753 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3754 130711 : nu = 1;
3755 130711 : pk = utoipos(p2);
3756 130711 : p2k = utoipos(p4);
3757 : for(;;)
3758 : {
3759 388402 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
3760 388402 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3761 388402 : al = 1;
3762 388402 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3763 323771 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
3764 323771 : pk1 = pk;
3765 323771 : pk = mului(p, pk);
3766 323771 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3767 :
3768 323771 : al = a21;
3769 323771 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
3770 323771 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3771 323771 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3772 257691 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
3773 257691 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3774 : }
3775 130711 : if (p == 2)
3776 72387 : c = odd(ga)? 2: 4;
3777 : else
3778 58324 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
3779 130711 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
3780 : }
3781 78267 : case 1:
3782 78267 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
3783 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3784 78267 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
3785 78267 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
3786 78267 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
3787 : {
3788 29925 : if (p == 2)
3789 20447 : c = 3 - 2 * a64;
3790 : else
3791 9478 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
3792 29925 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
3793 : }
3794 48342 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
3795 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
3796 48342 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
3797 29078 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
3798 :
3799 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
3800 19264 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
3801 : }
3802 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3803 : }
3804 :
3805 : /* e is integral */
3806 : static GEN
3807 1587901 : localred(GEN e, GEN p)
3808 : {
3809 1587901 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
3810 881468 : return localred_p(e,p);
3811 : else
3812 : {
3813 706433 : long l = itos(p);
3814 706433 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
3815 706433 : return localred_23(e, l);
3816 : }
3817 : }
3818 :
3819 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
3820 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
3821 : static GEN
3822 140616 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
3823 : {
3824 140616 : GEN b = z;
3825 : long i;
3826 140616 : if (typ(b) == t_INT)
3827 : {
3828 140525 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
3829 140525 : return shifti(negi(b),-1);
3830 : }
3831 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3832 : {
3833 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
3834 : }
3835 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
3836 : }
3837 :
3838 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
3839 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
3840 : static GEN
3841 70308 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
3842 : {
3843 70308 : GEN b = z;
3844 : long i;
3845 70308 : if (typ(b) == t_INT)
3846 : {
3847 70259 : long s = smodis(b,3);
3848 70259 : if (s)
3849 : {
3850 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
3851 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
3852 0 : b = subii(b, Jz);
3853 : else
3854 0 : b = addii(b, Jz);
3855 : }
3856 70259 : return diviiexact(b, stoi(-3));
3857 : }
3858 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3859 : {
3860 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
3861 98 : if (!s) continue;
3862 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
3863 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
3864 : else
3865 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3866 : }
3867 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3868 : }
3869 :
3870 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
3871 : static GEN
3872 157913 : get_piinv(GEN P)
3873 : {
3874 157913 : GEN z = pr_get_tau(P);
3875 157913 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
3876 157913 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
3877 : }
3878 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
3879 : static void
3880 310905 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
3881 : {
3882 310905 : if (pr_is_inert(P))
3883 : {
3884 153034 : *pi = pr_get_p(P);
3885 153034 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
3886 : }
3887 : else
3888 : {
3889 157871 : *pv = get_piinv(P);
3890 157871 : *pi = nfinv(nf, *pv);
3891 : }
3892 310905 : }
3893 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
3894 : static GEN
3895 579397 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
3896 : {
3897 579397 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3898 579397 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3899 579397 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
3900 : }
3901 :
3902 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
3903 : static GEN
3904 1069803 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
3905 : {
3906 1069803 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
3907 1069803 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3908 1069803 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
3909 : }
3910 :
3911 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
3912 :
3913 : static GEN
3914 592746 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
3915 : {
3916 592746 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
3917 592746 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
3918 592746 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3919 592746 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
3920 : }
3921 :
3922 : static GEN
3923 1626562 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
3924 : {
3925 1626562 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3926 1626562 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
3927 1626562 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
3928 1626562 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
3929 1626562 : return Fq_to_nf(r, modP);
3930 : }
3931 :
3932 : static GEN
3933 27524 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
3934 : {
3935 27524 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3936 27524 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
3937 27524 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
3938 27524 : long n = 1;
3939 : while(1)
3940 83881 : {
3941 111405 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
3942 : GEN gama;
3943 111405 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3944 : {
3945 14847 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3946 14847 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3947 : }
3948 96558 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3949 96558 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
3950 96558 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3951 96558 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
3952 96558 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3953 : {
3954 12677 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3955 12677 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3956 : }
3957 83881 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3958 83881 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
3959 83881 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
3960 83881 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3961 : }
3962 : }
3963 :
3964 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
3965 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
3966 :
3967 : static GEN
3968 181783 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
3969 : {
3970 : GEN T, p, modP;
3971 : long vD;
3972 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
3973 181783 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3974 181783 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
3975 181783 : ch = init_ch();
3976 181783 : vD = nfval(nf,D,P);
3977 181783 : *ap = 0;
3978 : while(1)
3979 : {
3980 625317 : if (vD==0)
3981 31493 : return localred_result(0,1,1,ch);
3982 : else
3983 : {
3984 593824 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3985 593824 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3986 593824 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
3987 593824 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
3988 593824 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
3989 : GEN x0, y0;
3990 593824 : if (absequaliu(p,2))
3991 : {
3992 : GEN x02, y02;
3993 385133 : if (signe(a1))
3994 : {
3995 43589 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
3996 43589 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
3997 43589 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
3998 : }
3999 : else
4000 : {
4001 341544 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
4002 341544 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
4003 : }
4004 385133 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
4005 : }
4006 : else
4007 : {
4008 208691 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
4009 208691 : if (signe(a12))
4010 39620 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
4011 : else
4012 169071 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
4013 208691 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
4014 : }
4015 593824 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
4016 593824 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
4017 593824 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
4018 : }
4019 : /* 2 */
4020 : {
4021 593824 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
4022 593824 : if (signe(b2) != 0)
4023 : {
4024 83209 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
4025 83209 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
4026 83209 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
4027 41804 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
4028 : }
4029 : }
4030 : /* 3 */
4031 : {
4032 510615 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
4033 510615 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
4034 : }
4035 : /* 4 */
4036 : {
4037 506716 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
4038 506716 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
4039 : }
4040 : /* 5 */
4041 499583 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
4042 : {
4043 499583 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
4044 499583 : if (vb6<=2)
4045 : {
4046 3395 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
4047 3395 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4048 3395 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
4049 : }
4050 : }
4051 : /* 6 */
4052 : {
4053 496188 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
4054 496188 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
4055 496188 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
4056 : GEN po2, E, F, mr;
4057 : long i, lE;
4058 496188 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
4059 496188 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
4060 496188 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
4061 : {
4062 123999 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
4063 123999 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
4064 123999 : lE = lg(E);
4065 123999 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
4066 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
4067 : long c; /* 1 + number of roots */
4068 9849 : switch(lE)
4069 : {
4070 2534 : case 2: c = 1; break;
4071 6643 : case 3: c = 2; break;
4072 672 : default: c = 4; break;
4073 : }
4074 9849 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
4075 : }
4076 : /* 7 */
4077 114150 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
4078 114150 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
4079 114150 : if (!gequal0(mr))
4080 : { /* not so frequent */
4081 102873 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
4082 102873 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
4083 : }
4084 114150 : if (lE == 3)
4085 27524 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
4086 : }
4087 : }
4088 458815 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
4089 458815 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
4090 : /* 8 */
4091 458815 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
4092 : {
4093 5068 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
4094 5068 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
4095 : }
4096 : /* 9 */
4097 : {
4098 453747 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
4099 453747 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
4100 453747 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
4101 7658 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
4102 : }
4103 : /* 10 */
4104 446089 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
4105 2555 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
4106 : /* 11 */
4107 443534 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
4108 443534 : vD -= 12;
4109 : }
4110 : }
4111 :
4112 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
4113 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
4114 : static GEN
4115 129122 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
4116 : {
4117 129122 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4118 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
4119 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
4120 :
4121 129122 : c4 = ell_get_c4(e);
4122 129122 : c6 = ell_get_c6(e);
4123 129122 : D = ell_get_disc(e);
4124 129122 : vD = nfval(nf,D,P);
4125 129122 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
4126 129122 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
4127 129122 : m = (vD - nuj)/12;
4128 129122 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
4129 :
4130 129122 : if(m <= 0) ch = init_ch();
4131 : else
4132 : { /* model not minimal */
4133 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
4134 70308 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
4135 70308 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
4136 70308 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
4137 70308 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
4138 70308 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
4139 70308 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
4140 70308 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
4141 70308 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
4142 70308 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
4143 70308 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
4144 70308 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
4145 70308 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
4146 70308 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
4147 70308 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
4148 70308 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
4149 70308 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
4150 70308 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
4151 70308 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
4152 : }
4153 :
4154 129122 : kod = 1; c = 1;
4155 : /* minimal at P */
4156 129122 : if (nuj > 0)
4157 : { /* v(j) < 0 */
4158 80423 : if (vD == nuj)
4159 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
4160 73150 : f = 1; kod = 4+vD;
4161 73150 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
4162 73150 : if (Fq_issquare(z,T,p))
4163 45367 : c = vD;/* split */
4164 : else
4165 27783 : c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
4166 : }
4167 : else
4168 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
4169 : GEN Du;
4170 7273 : f = 2; kod = 2-vD;
4171 7273 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
4172 7273 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
4173 7273 : if(odd(vD))
4174 : {
4175 : GEN c6u;
4176 4172 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
4177 4172 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
4178 4172 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
4179 : }
4180 7273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
4181 : }
4182 : }
4183 : else
4184 : { /* v(j) >= 0 */
4185 48699 : f = vD? 2: 0;
4186 48699 : switch(vD)
4187 : {
4188 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
4189 37541 : case 0: kod = 1; c = 1; break;
4190 1932 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
4191 2345 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
4192 1141 : case 4: kod = 4;
4193 1141 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
4194 1141 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4195 1141 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4196 1141 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4197 1141 : break;
4198 2632 : case 6: kod = -1;
4199 2632 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
4200 2632 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
4201 2632 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4202 2632 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
4203 2632 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
4204 2632 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
4205 2632 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
4206 2632 : break;
4207 1526 : case 8: kod = -4;
4208 1526 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
4209 1526 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4210 1526 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4211 1526 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4212 1526 : break;
4213 1281 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
4214 301 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
4215 : }
4216 : }
4217 129122 : return localred_result(f,kod,c,ch);
4218 : }
4219 : /* E is integral */
4220 : static GEN
4221 261758 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
4222 : {
4223 261758 : GEN p = pr_get_p(pr), q, v, nf = ellnf_get_nf(E);
4224 : long i;
4225 261758 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4226 : {
4227 : long ap, vu;
4228 132636 : GEN e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E), u;
4229 132636 : q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap); v = gel(q,3); u = gel(v,1);
4230 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
4231 132636 : vu = nfval(nf, u, pr);
4232 132636 : if (vu > 0)
4233 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
4234 119371 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
4235 119371 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
4236 119371 : if (!equali1(D))
4237 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
4238 : GEN a;
4239 567 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
4240 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
4241 567 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
4242 567 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
4243 567 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
4244 567 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
4245 : }
4246 : }
4247 : } else
4248 129122 : q = nflocalred_p(E,pr);
4249 261758 : v = gel(q,3);
4250 1308790 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
4251 261758 : return q;
4252 : }
4253 :
4254 : static GEN
4255 3113057 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
4256 : {
4257 3113057 : GEN q, E = *pE;
4258 : long tE;
4259 3113057 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
4260 3113047 : if (pv) *pv = NULL;
4261 3113047 : if (p) switch(typ(p))
4262 : {
4263 2642249 : case t_INT:
4264 2642249 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
4265 2642246 : break;
4266 205772 : case t_VEC:
4267 205772 : q = get_prid(p);
4268 205772 : if (q && tE == t_ELL_NF)
4269 : {
4270 205772 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4271 205772 : return q;
4272 : }
4273 7 : default: pari_err_TYPE(s,p);
4274 : }
4275 2907265 : switch(tE)
4276 : {
4277 385328 : case t_ELL_Fp:
4278 385328 : case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
4279 273 : case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
4280 2521665 : case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
4281 : default:
4282 15 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
4283 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4284 : }
4285 2907250 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
4286 2907215 : if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
4287 2521887 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4288 2907190 : return q;
4289 : }
4290 :
4291 : GEN
4292 197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
4293 : {
4294 197085 : pari_sp av = avma;
4295 : GEN v, q;
4296 197085 : checkell(E);
4297 197085 : p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
4298 197071 : switch(ell_get_type(E))
4299 : {
4300 99477 : case t_ELL_Qp:
4301 99477 : case t_ELL_Q: q = localred(E, p); break;
4302 97594 : case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
4303 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
4304 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4305 : }
4306 197071 : if (v)
4307 : { /* compose local change of variables with v */
4308 28 : GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
4309 28 : if (is_trivial_change(w))
4310 21 : gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4311 : else
4312 7 : gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
4313 : }
4314 197071 : return gerepilecopy(av, q);
4315 : }
4316 :
4317 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
4318 : static GEN
4319 41216 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
4320 : {
4321 41216 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
4322 41216 : return c;
4323 : }
4324 : static GEN
4325 16515500 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
4326 : {
4327 16515500 : *pd = NULL;
4328 16515500 : switch(typ(c))
4329 : {
4330 16442973 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
4331 31311 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
4332 41216 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
4333 41216 : if (nf)
4334 : {
4335 41216 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
4336 41216 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
4337 : }
4338 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
4339 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4340 : }
4341 : }
4342 : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
4343 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
4344 : GEN
4345 3303179 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
4346 : {
4347 : GEN a, t, u, L, nf;
4348 : long i, l, k;
4349 :
4350 3303179 : if (pv) *pv = NULL;
4351 : /* t_ELL_Qp is also possible */
4352 3303179 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
4353 3303166 : L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
4354 19818657 : for (i = 1; i < 6; i++)
4355 : {
4356 : GEN d;
4357 16515505 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
4358 16515501 : if (d) /* partial factorization of denominator */
4359 32333 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
4360 : }
4361 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
4362 3303152 : l = lg(L); if (l == 1) return e;
4363 16449 : L = ZV_sort_uniq_shallow(L);
4364 16450 : l = lg(L);
4365 :
4366 16450 : t = gen_1;
4367 39641 : for (k = 1; k < l; k++)
4368 : {
4369 23191 : GEN p = gel(L,k);
4370 23191 : long n = 0, m;
4371 139146 : for (i = 1; i < 6; i++)
4372 115955 : if (!gequal0(gel(a,i)))
4373 : {
4374 47467 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
4375 47467 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
4376 71204 : while (m < 0) { n++; m += r; }
4377 : }
4378 23191 : t = mulii(t, powiu(p, n));
4379 : }
4380 16450 : u = ginv(t);
4381 16450 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4382 16450 : return coordch_uinv(e, t);
4383 : }
4384 : GEN
4385 2478 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
4386 : {
4387 2478 : pari_sp av = avma;
4388 2478 : checkell(e);
4389 2478 : switch(ell_get_type(e))
4390 : {
4391 2478 : case t_ELL_Q:
4392 : case t_ELL_Qp:
4393 2478 : case t_ELL_NF: break;
4394 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
4395 : }
4396 2478 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
4397 2478 : if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
4398 2457 : e = gerepilecopy(av, e);
4399 2457 : if (pv) *pv = init_ch();
4400 2457 : return e;
4401 : }
4402 :
4403 : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
4404 : GEN
4405 0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
4406 : {
4407 0 : pari_sp av = avma;
4408 : GEN f, a1, a3;
4409 :
4410 0 : checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
4411 0 : a1 = ell_get_a1(f);
4412 0 : a3 = ell_get_a3(f);
4413 0 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
4414 0 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
4415 : else
4416 : {
4417 0 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
4418 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4419 0 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
4420 : }
4421 0 : if (f != e) ell_reset(f);
4422 0 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
4423 : }
4424 :
4425 : static long
4426 5159 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4427 : {
4428 5159 : long N = 1; /* oo */
4429 5159 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4430 3990 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4431 5159 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4432 3969 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4433 5159 : return N;
4434 : }
4435 : static long
4436 6335 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4437 : {
4438 6335 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4439 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4440 6335 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4441 : }
4442 : static long
4443 5138 : cardmod2(GEN e)
4444 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4445 5138 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4446 5138 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4447 5138 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4448 5138 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4449 5138 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4450 5138 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4451 : }
4452 : static long
4453 6195 : cardmod3(GEN e)
4454 : {
4455 6195 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4456 6195 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4457 6195 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4458 6195 : return F3_card(b2,b4,b6);
4459 : }
4460 :
4461 : static ulong
4462 1820 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4463 :
4464 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4465 : static void
4466 35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4467 : {
4468 35 : min_set_u(M, int2n(d));
4469 35 : min_set_c(M, E);
4470 35 : min_set_b(M);
4471 35 : min_set_a(M);
4472 35 : }
4473 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4474 : static void
4475 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4476 : {
4477 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4478 140 : min_set_c(M, E);
4479 140 : min_set_b(M);
4480 140 : }
4481 :
4482 : static long
4483 111167 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
4484 : {
4485 111167 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
4486 111167 : if (vD) /* bad reduction */
4487 : {
4488 : GEN c6;
4489 : long s;
4490 110859 : *good_red = 0;
4491 110859 : if (vc6) return 0;
4492 81473 : c6 = ell_get_c6(E);
4493 81473 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4494 81473 : s = kroiu(c6,p);
4495 81473 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4496 81473 : return s;
4497 : }
4498 308 : *good_red = 1;
4499 308 : if (p == 2)
4500 : {
4501 : ellmin_t M;
4502 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4503 21 : min_set_2(&M, E, d);
4504 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4505 : }
4506 287 : else if (p == 3)
4507 : {
4508 : ellmin_t M;
4509 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4510 140 : min_set_3(&M, E, d);
4511 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4512 : }
4513 : else
4514 : {
4515 : ellmin_t M;
4516 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4517 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4518 147 : min_set_c(&M, E);
4519 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4520 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4521 : }
4522 : }
4523 :
4524 : static GEN
4525 98567 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4526 : {
4527 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4528 : long vc6, vD, d;
4529 98567 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
4530 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4531 0 : D = ell_get_disc(E);
4532 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4533 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4534 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4535 0 : if (vD) /* bad reduction */
4536 : {
4537 : long s;
4538 0 : *good_red = 0;
4539 0 : if (vc6) return gen_0;
4540 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4541 0 : s = kronecker(c6,p);
4542 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4543 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4544 : }
4545 0 : *good_red = 1;
4546 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4547 0 : if (d)
4548 : {
4549 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4550 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4551 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4552 : }
4553 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4554 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4555 : }
4556 :
4557 : static GEN
4558 223425 : doellcard(GEN E)
4559 : {
4560 223425 : GEN fg = ellff_get_field(E);
4561 223425 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4562 102920 : return FF_ellcard(E);
4563 : else
4564 : {
4565 120505 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
4566 120505 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
4567 : }
4568 : }
4569 :
4570 : static GEN
4571 191765 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
4572 : {
4573 191765 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
4574 191760 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4575 191764 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4576 : {
4577 : long ap;
4578 49147 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4579 49147 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
4580 49147 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
4581 476 : *good_red = 1;
4582 476 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
4583 476 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
4584 476 : card = FF_ellcard(E);
4585 : }
4586 : else
4587 : {
4588 142613 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
4589 142611 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
4590 142561 : if (vD)
4591 : {
4592 : GEN c6new;
4593 49175 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
4594 49175 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
4595 49175 : if (vD > 12*d)
4596 : { /* bad reduction */
4597 49133 : *good_red = 0;
4598 92911 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
4599 43778 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
4600 43778 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
4601 : }
4602 42 : if (d)
4603 : { /* model not minimal at P */
4604 42 : GEN piinv = get_piinv(P);
4605 42 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
4606 42 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
4607 42 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
4608 42 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
4609 42 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
4610 : }
4611 : }
4612 93428 : *good_red = 1;
4613 93428 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
4614 93446 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
4615 93442 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
4616 93461 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
4617 93439 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
4618 : }
4619 93937 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
4620 : }
4621 :
4622 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
4623 : * basis */
4624 : static GEN
4625 533561 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
4626 : {
4627 : GEN P;
4628 533561 : if (!signe(a))
4629 2569 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
4630 530992 : else if (!signe(b))
4631 1526 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
4632 : else
4633 : {
4634 529466 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
4635 : long k, l;
4636 529466 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
4637 412664 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
4638 412664 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
4639 : /* d = gcd(A,B) */
4640 412664 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
4641 412664 : l = lg(P);
4642 979328 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
4643 412664 : P = shallowconcat1(P);
4644 412664 : ZV_sort_inplace(P);
4645 : }
4646 416759 : settyp(P, t_VEC); return P;
4647 : }
4648 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
4649 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
4650 : static GEN
4651 503958 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
4652 : {
4653 : pari_sp av;
4654 503958 : GEN D = ell_get_disc(E);
4655 503958 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4656 503958 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
4657 : long l, k;
4658 :
4659 503958 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
4660 503958 : l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
4661 391363 : DP = coltrunc_init(l);
4662 391363 : av = avma;
4663 391363 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4664 391363 : u = gen_1;
4665 998221 : for (k = 1; k < l; k++)
4666 : {
4667 606858 : GEN p = gel(P, k);
4668 606858 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4669 606858 : if (d) switch(itou_or_0(p))
4670 : {
4671 89397 : case 2:
4672 : {
4673 : long a, b;
4674 89397 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4675 89397 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4676 89397 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
4677 89397 : break;
4678 : }
4679 29022 : case 3:
4680 29022 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4681 29022 : break;
4682 : }
4683 606858 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
4684 606858 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
4685 : }
4686 391363 : if (pDP) *pDP = DP;
4687 391363 : return gerepileuptoint(av, u);
4688 : }
4689 :
4690 : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
4691 : static GEN
4692 42 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
4693 : {
4694 42 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
4695 42 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
4696 42 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
4697 :
4698 42 : A1 = gmodgs(a1,2);
4699 42 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
4700 42 : s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
4701 42 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
4702 42 : r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
4703 42 : r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
4704 42 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
4705 42 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
4706 42 : t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
4707 42 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
4708 : }
4709 :
4710 : static GEN
4711 60144 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
4712 : {
4713 60144 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
4714 60144 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
4715 : }
4716 : static GEN
4717 29603 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
4718 : {
4719 29603 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4720 29603 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
4721 29603 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
4722 29603 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
4723 : }
4724 : static GEN
4725 938 : ellnf_D_primes(GEN E)
4726 : {
4727 938 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4728 938 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
4729 938 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
4730 938 : long k, l = lg(P);
4731 2478 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
4732 938 : if (!is_pm1(DZ))
4733 : {
4734 770 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
4735 770 : settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
4736 : }
4737 938 : return P;
4738 : }
4739 :
4740 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
4741 : static GEN
4742 29512 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
4743 : {
4744 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
4745 29512 : long k, l = lg(P);
4746 29512 : Lr = vectrunc_init(l);
4747 29512 : Ls = vectrunc_init(l);
4748 29512 : Lt = vectrunc_init(l);
4749 29512 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
4750 29512 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
4751 107429 : for (k = 1; k < l; k++)
4752 : {
4753 77917 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
4754 : long vu;
4755 77917 : v = gel(q,3);
4756 77917 : u = gel(v,1);
4757 77917 : vu = nfval(nf, u, pr);
4758 77917 : if (!vu) continue;
4759 64225 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
4760 64225 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
4761 64225 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
4762 64225 : vectrunc_append(L, pr);
4763 64225 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
4764 : }
4765 29512 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
4766 : }
4767 : /* E integral */
4768 : static GEN
4769 58618 : ellminimalprimes(GEN E)
4770 : {
4771 : GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
4772 : long j, k, l;
4773 :
4774 58618 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
4775 28665 : nf = ellnf_get_nf(E);
4776 28665 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
4777 28665 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
4778 28665 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
4779 28665 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
4780 28665 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
4781 28665 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4782 103068 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4783 : {
4784 74403 : GEN pr = gel(P, k);
4785 74403 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
4786 74333 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
4787 74319 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
4788 74319 : gel(P,j++) = pr;
4789 : }
4790 28665 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4791 28665 : return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4792 : }
4793 : static GEN
4794 29680 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
4795 : {
4796 29680 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
4797 : long i, l;
4798 29680 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4799 29680 : S = ellminimalprimes(E);
4800 29680 : L = gel(S,1);
4801 29680 : U = gel(S,2);
4802 29680 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
4803 29680 : P = cgetg_copy(L, &l);
4804 94227 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
4805 29680 : P = factorback2(P, U);
4806 29680 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
4807 29680 : return P;
4808 : }
4809 : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
4810 : * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
4811 : static GEN
4812 63 : bnf_get_v(GEN E)
4813 : {
4814 63 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
4815 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
4816 :
4817 63 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
4818 63 : S = ellminimalprimes(E);
4819 63 : L = gel(S,1);
4820 63 : U = gel(S,2);
4821 63 : Lr = gel(S,3);
4822 63 : Ls = gel(S,4);
4823 63 : Lt = gel(S,5);
4824 63 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
4825 63 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
4826 42 : nf = bnf_get_nf(bnf);
4827 42 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
4828 42 : U = basistoalg(nf, gel(F,2));
4829 42 : R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
4830 42 : S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
4831 42 : T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
4832 42 : return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
4833 : }
4834 :
4835 : GEN
4836 70 : ellminimaldisc(GEN E)
4837 : {
4838 70 : pari_sp av = avma;
4839 70 : checkell(E);
4840 70 : switch(ell_get_type(E))
4841 : {
4842 7 : case t_ELL_Q:
4843 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
4844 7 : return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
4845 63 : case t_ELL_NF:
4846 : {
4847 63 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
4848 63 : E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
4849 63 : S = ellminimalprimes(E);
4850 63 : L = gel(S,1);
4851 63 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
4852 63 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
4853 63 : return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
4854 : }
4855 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
4856 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4857 : }
4858 : }
4859 :
4860 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
4861 : * ellminimalmodel(E) */
4862 : static GEN
4863 507570 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
4864 : {
4865 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
4866 : ellmin_t M;
4867 507570 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4868 : {
4869 3626 : if (lg(S) != 2)
4870 : {
4871 70 : E = gel(S,3);
4872 70 : v = gel(S,2);
4873 : }
4874 : else
4875 3556 : v = init_ch();
4876 3626 : if (ptv) *ptv = v;
4877 3626 : if (pS) *pS = S;
4878 3626 : return gcopy(E);
4879 : }
4880 503944 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
4881 503944 : u = ellQ_minimalu(e, &DP);
4882 503944 : min_set_all(&M, e, u);
4883 503944 : v = min_get_v(&M, e);
4884 503944 : y = min_to_ell(&M, e);
4885 503944 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4886 503944 : if (is_trivial_change(v))
4887 : {
4888 470281 : v = init_ch();
4889 470281 : S = mkvec(DP);
4890 : }
4891 : else
4892 33663 : S = mkvec3(DP, v, y);
4893 503944 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4894 503944 : if (pS) *pS = S;
4895 503944 : if (ptv) *ptv = v; return y;
4896 : }
4897 :
4898 : static GEN
4899 21399 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4900 : {
4901 21399 : pari_sp av = avma;
4902 21399 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
4903 21399 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
4904 21399 : DP = gel(S,1);
4905 21399 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
4906 21399 : if (!ptv) return gerepilecopy(av, y);
4907 1050 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4908 : }
4909 :
4910 : static GEN
4911 63 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4912 : {
4913 : GEN S, y, v, v2;
4914 63 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
4915 : {
4916 0 : switch(lg(S))
4917 : {
4918 0 : case 1: v = init_ch(); break;
4919 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
4920 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
4921 : }
4922 0 : *ptv = v;
4923 0 : return gcopy(E);
4924 : }
4925 63 : *ptv = NULL;
4926 63 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
4927 63 : v2 = bnf_get_v(y);
4928 63 : if (typ(v2) == t_COL)
4929 : {
4930 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
4931 21 : return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
4932 : }
4933 42 : y = coordch(y, v2);
4934 42 : gcomposev(&v, v2);
4935 42 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
4936 42 : y = coordch(y, v2);
4937 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
4938 42 : y = obj_reinit(y);
4939 42 : gcomposev(&v, v2);
4940 42 : if (is_trivial_change(v))
4941 : {
4942 7 : v = init_ch();
4943 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
4944 : }
4945 : else
4946 : {
4947 35 : v = lift_if_rational(v);
4948 35 : S = mkvec2(v, y);
4949 : }
4950 42 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
4951 42 : *ptv = v; return y;
4952 : }
4953 : static GEN
4954 63 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4955 : {
4956 63 : pari_sp av = avma;
4957 63 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
4958 63 : if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
4959 63 : if (!v || !ptv) return gerepilecopy(av, y);
4960 35 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4961 : }
4962 : GEN
4963 21469 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4964 : {
4965 21469 : checkell(E);
4966 21469 : switch(ell_get_type(E))
4967 : {
4968 21399 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
4969 63 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
4970 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
4971 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4972 : }
4973 : }
4974 :
4975 : /* return a model minimal among b models */
4976 : GEN
4977 966 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
4978 : {
4979 966 : pari_sp av = avma;
4980 : GEN f, a1, a3;
4981 :
4982 966 : checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
4983 966 : a1 = ell_get_a1(f);
4984 966 : a3 = ell_get_a3(f);
4985 966 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
4986 336 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
4987 : else
4988 : {
4989 630 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
4990 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4991 630 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
4992 : }
4993 966 : if (f != e) ell_reset(f);
4994 966 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
4995 : }
4996 :
4997 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
4998 : * update type-dependant components.
4999 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
5000 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
5001 : * N = arithmetic conductor of E
5002 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
5003 : * fa = factorization of N
5004 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
5005 : static GEN
5006 456708 : ellQ_globalred(GEN e)
5007 : {
5008 : long k, l, iN;
5009 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
5010 :
5011 456708 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
5012 456708 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
5013 456708 : D = ell_get_disc(E);
5014 866733 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
5015 456708 : if (!is_pm1(D))
5016 : {
5017 438774 : P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
5018 438774 : ZV_sort_inplace(P);
5019 : }
5020 456708 : l = lg(P); c = gen_1;
5021 456708 : iN = 1;
5022 456708 : NP = cgetg(l, t_COL);
5023 456708 : NE = cgetg(l, t_COL);
5024 456708 : L = cgetg(l, t_VEC);
5025 1945118 : for (k = 1; k < l; k++)
5026 : {
5027 1488410 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
5028 1488410 : if (!signe(ex)) continue;
5029 1488410 : gel(NP, iN) = p;
5030 1488410 : gel(NE, iN) = ex;
5031 1488410 : gel(L, iN) = q; iN++;
5032 1488410 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
5033 1488410 : c = mulii(c, gel(q,4));
5034 : }
5035 456708 : setlg(L, iN);
5036 456708 : setlg(NP, iN);
5037 456708 : setlg(NE, iN);
5038 456708 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
5039 : }
5040 : static GEN
5041 469728 : ellglobalred_i(GEN E)
5042 469728 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
5043 :
5044 : static GEN
5045 938 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
5046 : {
5047 : GEN c, L, NP, NE;
5048 938 : long j, k, l = lg(P);
5049 938 : c = gen_1;
5050 938 : NP = cgetg(l, t_COL);
5051 938 : NE = cgetg(l, t_COL);
5052 938 : L = cgetg(l, t_VEC);
5053 4774 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5054 : {
5055 3836 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
5056 3836 : ex = gel(q,1);
5057 3836 : if (!signe(ex)) continue;
5058 3605 : gel(NP, j) = p;
5059 3605 : gel(NE, j) = ex;
5060 3605 : gel(L, j) = q; j++;
5061 3605 : c = mulii(c, gel(q,4));
5062 : }
5063 938 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
5064 938 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
5065 : }
5066 :
5067 : static GEN
5068 938 : ellnfglobalred(GEN E0)
5069 : {
5070 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
5071 : long j, k, l;
5072 :
5073 938 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
5074 938 : if (!v) v = init_ch();
5075 938 : nf = ellnf_get_nf(E);
5076 938 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
5077 938 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
5078 938 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
5079 938 : Q = cgetg_copy(P, &l);
5080 7322 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5081 : {
5082 6384 : GEN p = gel(P,k);
5083 6384 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
5084 3836 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
5085 3836 : gel(P,j++) = p;
5086 : }
5087 938 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
5088 938 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
5089 847 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
5090 938 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
5091 : }
5092 :
5093 : GEN
5094 454181 : ellglobalred(GEN E)
5095 : {
5096 454181 : pari_sp av = avma;
5097 : GEN S, gr, v;
5098 454181 : checkell(E);
5099 454181 : switch(ell_get_type(E))
5100 : {
5101 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
5102 452949 : case t_ELL_Q:
5103 452949 : gr = ellglobalred_i(E);
5104 452949 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5105 452949 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
5106 452949 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
5107 452949 : break;
5108 1232 : case t_ELL_NF:
5109 1232 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
5110 1232 : break;
5111 : }
5112 454181 : return gerepilecopy(av, v);
5113 : }
5114 :
5115 : static GEN doellrootno(GEN e);
5116 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
5117 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
5118 : * and E (shallow insert) */
5119 : GEN
5120 4543 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
5121 : {
5122 4543 : GEN E, S, v = NULL;
5123 4543 : checkell_Q(e);
5124 4543 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5125 : {
5126 406 : E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
5127 406 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5128 : }
5129 4137 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
5130 4123 : E = e;
5131 : else
5132 : {
5133 14 : v = gel(S,2);
5134 14 : E = gcopy(gel(S,3));
5135 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5136 : }
5137 4543 : if (ch) *ch = v;
5138 4543 : S = ellglobalred_i(e);
5139 4543 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
5140 4543 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
5141 4543 : if (!S)
5142 : {
5143 3248 : S = doellrootno(E);
5144 3248 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
5145 : }
5146 4543 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
5147 4543 : return E;
5148 : }
5149 :
5150 : static long
5151 9632 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
5152 : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
5153 : * d'une courbe elliptique" */
5154 : GEN
5155 19747 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
5156 : {
5157 19747 : GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
5158 19747 : if (s == 1)
5159 10164 : w = gel(w,1);
5160 9583 : else if (nb_real_components(E) == 2)
5161 5334 : w = gneg(gel(w,2));
5162 : else
5163 4249 : w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
5164 19747 : return w;
5165 : }
5166 :
5167 : static GEN
5168 49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
5169 : {
5170 49 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5171 49 : return muliu(tam, nb_real_components(e));
5172 : }
5173 :
5174 : static GEN
5175 840 : ellnf_tamagawa(GEN e)
5176 : {
5177 840 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5178 840 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
5179 : long r1, r2;
5180 840 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
5181 840 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
5182 : }
5183 :
5184 : GEN
5185 49 : elltamagawa(GEN E)
5186 : {
5187 49 : pari_sp av = avma;
5188 : GEN v;
5189 49 : checkell(E);
5190 49 : switch(ell_get_type(E))
5191 : {
5192 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
5193 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
5194 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
5195 : }
5196 49 : return gerepileuptoint(av, v);
5197 : }
5198 :
5199 : static GEN
5200 58618 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
5201 : {
5202 58618 : GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
5203 58618 : if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
5204 46235 : if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
5205 29309 : return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
5206 : }
5207 : /* true nf, use nf prec */
5208 : static GEN
5209 206633 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
5210 : {
5211 : long r1, r2;
5212 : GEN cx;
5213 206633 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
5214 206633 : x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
5215 206633 : if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
5216 3108 : x = Q_primitive_part(x, &cx);
5217 3108 : x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
5218 3108 : if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
5219 3108 : return x;
5220 : }
5221 : static long
5222 58618 : nfembed_extraprec(GEN x)
5223 58618 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
5224 : static GEN
5225 29799 : ellnfembed(GEN E, long prec)
5226 : {
5227 29799 : GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
5228 : long prec0, r1, r2, n, i;
5229 :
5230 29799 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
5231 29799 : E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
5232 29799 : prec0 = prec + EXTRAPREC64;
5233 : /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
5234 29799 : prec += 3*prec0 + nfembed_extraprec(E0);
5235 29799 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
5236 29799 : sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
5237 : for(;;)
5238 : {
5239 29799 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5240 178794 : for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
5241 91000 : for (i=1; i<=n; i++)
5242 : {
5243 : GEN Ei, r;
5244 : long j;
5245 367206 : for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
5246 61201 : gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
5247 61201 : if (!Ei) break;
5248 61201 : r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
5249 61201 : if (!r) break;
5250 : }
5251 29799 : if (i > n) return L;
5252 0 : prec = precdbl(prec);
5253 0 : if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
5254 : }
5255 : }
5256 :
5257 : static GEN
5258 28819 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
5259 : {
5260 28819 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
5261 : long i, l;
5262 28819 : P = RgC_to_nfC(nf, P);
5263 28819 : prec += nfembed_extraprec(P);
5264 28819 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5265 28819 : Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
5266 28819 : Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
5267 28819 : l = lg(Px); L = cgetg(l, t_VEC);
5268 86436 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
5269 28819 : return L;
5270 : }
5271 :
5272 : static void
5273 987 : ellnfembed_free(GEN L)
5274 : {
5275 987 : long i, l = lg(L);
5276 4585 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
5277 987 : }
5278 :
5279 : static GEN
5280 168 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
5281 : {
5282 168 : pari_sp av = avma;
5283 168 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
5284 168 : long i, l = lg(V);
5285 168 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
5286 448 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
5287 168 : ellnfembed_free(V);
5288 168 : return gerepilecopy(av, P);
5289 : }
5290 :
5291 : GEN
5292 91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
5293 91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
5294 :
5295 : GEN
5296 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
5297 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
5298 :
5299 : GEN
5300 49 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
5301 49 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
5302 :
5303 : static GEN
5304 812 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
5305 : {
5306 812 : pari_sp av = avma;
5307 812 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
5308 812 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
5309 4116 : for(i = 1; i < l; i++)
5310 : {
5311 3304 : GEN e = gel(Eb, i);
5312 3304 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
5313 3304 : per = mulrr(per, pi);
5314 : }
5315 812 : ellnfembed_free(Eb);
5316 812 : return gerepileuptoleaf(av, per);
5317 : }
5318 : static GEN
5319 812 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
5320 : {
5321 812 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
5322 812 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
5323 : }
5324 :
5325 : static GEN
5326 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
5327 : {
5328 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5329 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5330 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
5331 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
5332 : }
5333 :
5334 : static GEN
5335 28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
5336 : {
5337 28 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
5338 28 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
5339 28 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5340 28 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5341 28 : if (lg(S) != 2)
5342 : { /* switch to minimal model if needed */
5343 21 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
5344 21 : per = gmul(per,u);
5345 : }
5346 28 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
5347 : }
5348 :
5349 : GEN
5350 70 : ellbsd(GEN E, long prec)
5351 : {
5352 70 : pari_sp av = avma;
5353 : GEN v;
5354 70 : checkell(E);
5355 70 : switch(ell_get_type(E))
5356 : {
5357 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
5358 28 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
5359 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
5360 : }
5361 70 : return gerepileupto(av, v);
5362 : }
5363 :
5364 : static GEN
5365 33680 : QE_to_ZJ(GEN P)
5366 : {
5367 33680 : if (ell_is_inf(P))
5368 0 : return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
5369 : else
5370 : {
5371 33680 : pari_sp av = avma;
5372 33680 : GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
5373 33680 : GEN R = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
5374 33680 : GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
5375 33680 : GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
5376 33680 : GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
5377 33680 : GEN Z = denom(mkvec2(Q1, Q2));
5378 33680 : GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
5379 33680 : return gerepilecopy(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
5380 : }
5381 : }
5382 :
5383 : static GEN
5384 4460 : QEV_to_ZJV(GEN x)
5385 38098 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
5386 :
5387 : static GEN
5388 15322 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
5389 : {
5390 168277 : pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
5391 : }
5392 :
5393 : static GEN
5394 10789 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
5395 : {
5396 10789 : long i, j, k, l = lg(A);
5397 : GEN B, Q;
5398 34026 : for (i = k = 1; i < l; i++)
5399 23237 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
5400 10789 : if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
5401 155 : B = cgetg(k, t_VEC);
5402 155 : Q = cgetg(k, typ(P));
5403 735 : for (i = j = 1; i < l; i++)
5404 580 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
5405 155 : *pQ = Q; return B;
5406 : }
5407 :
5408 : static GEN
5409 5332 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
5410 : {
5411 5332 : GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
5412 5332 : return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
5413 : }
5414 :
5415 : static GEN
5416 15732 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
5417 : {
5418 15732 : pari_sp av = avma;
5419 15732 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5420 15732 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
5421 15732 : ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
5422 : GEN a4a6, a, Hp;
5423 15732 : ulong d = 1;
5424 15732 : if (l != 1)
5425 : {
5426 648 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
5427 648 : ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
5428 648 : ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5429 648 : d = Fl_invsafe(l % c, c);
5430 648 : if (!d) return NULL;
5431 : }
5432 15322 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5433 15322 : a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
5434 15322 : Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
5435 15322 : if (d != 1)
5436 238 : Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
5437 15322 : Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
5438 15322 : Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
5439 15322 : return gerepileuptoleaf(av, Hp);
5440 : }
5441 :
5442 : static GEN
5443 8741 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
5444 : {
5445 8741 : pari_sp av = avma;
5446 8741 : long i, n = lg(P)-1;
5447 8741 : long CM = ellQ_get_CM(E);
5448 : GEN H, T, B, Q;
5449 8741 : if (n == 1)
5450 : {
5451 3284 : ulong p = uel(P,1);
5452 3284 : GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, l, E, CM, p);
5453 3284 : if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
5454 3260 : *mod = utoi(p);
5455 3260 : return Flv_to_ZV(Hp);
5456 : }
5457 5457 : T = ZV_producttree(P);
5458 5457 : A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
5459 5457 : H = cgetg(n+1, t_VEC);
5460 17905 : for(i=1; i <= n; i++)
5461 : {
5462 12448 : gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
5463 12448 : if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
5464 : }
5465 5457 : B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
5466 5457 : if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
5467 5457 : H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
5468 5457 : *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
5469 : }
5470 :
5471 : GEN
5472 8741 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
5473 : {
5474 8741 : GEN V = cgetg(3, t_VEC);
5475 8741 : gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
5476 8741 : return V;
5477 : }
5478 :
5479 : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
5480 : static long
5481 4214 : ZV_is_ei(GEN v)
5482 : {
5483 4214 : long i, ei = 0;
5484 15081 : for (i = lg(v)-1; i; i--)
5485 14109 : if (signe(gel(v,i)))
5486 : {
5487 5825 : if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
5488 2583 : ei = i;
5489 : }
5490 972 : return ei;
5491 : }
5492 :
5493 : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
5494 : * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
5495 : * torsion */
5496 : static GEN
5497 4228 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
5498 : {
5499 4228 : pari_sp av = avma;
5500 4228 : GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
5501 : forprime_t S;
5502 4228 : ulong bound = 1;
5503 :
5504 4228 : if (l == 1)
5505 : {
5506 4214 : long i = ZV_is_ei(L);
5507 4214 : if (i) return gel(A,i);
5508 : }
5509 3256 : hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
5510 3256 : D = ell_get_disc(E);
5511 3256 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
5512 : mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
5513 3256 : if (l==1)
5514 3242 : init_modular_big(&S);
5515 : else
5516 14 : init_modular_small(&S);
5517 3256 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
5518 3564 : {
5519 : GEN amax, r;
5520 6820 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
5521 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
5522 6820 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5523 6820 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
5524 3826 : && oncurve_exact(E,r))
5525 : {
5526 : GEN g;
5527 3256 : settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
5528 3256 : if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec/2)
5529 3256 : return gerepileupto(av, r);
5530 : }
5531 3564 : if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
5532 : }
5533 : }
5534 :
5535 : GEN
5536 833 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
5537 : {
5538 833 : pari_sp av = avma;
5539 833 : long i, j, l = lg(G);
5540 833 : GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
5541 :
5542 833 : if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
5543 : while(1)
5544 : {
5545 833 : L = lllgram(M);
5546 833 : if (L) break;
5547 0 : prec = precdbl(prec);
5548 0 : M = ellheightmatrix(E, G, prec);
5549 : }
5550 833 : l = lg(L); /* can decrease */
5551 4914 : for (i = j = 1; i < l; i++)
5552 : {
5553 4081 : GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
5554 4081 : if (expo(h) > -prec/2)
5555 4081 : gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
5556 : }
5557 833 : setlg(V, j); return gerepilecopy(av, V);
5558 : }
5559 :
5560 : static long
5561 42 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
5562 : {
5563 42 : GEN D = ell_get_disc(E);
5564 42 : pari_sp av = avma;
5565 : long m;
5566 2247 : for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
5567 : {
5568 2219 : ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
5569 2219 : if (dvdiu(D, p)) continue;
5570 2219 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5571 2219 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5572 2219 : if (o % l == 0)
5573 : {
5574 294 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5575 294 : GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5576 294 : GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
5577 294 : GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
5578 294 : if (uel(R, 3) != 0) return 0;
5579 280 : m++;
5580 : }
5581 : }
5582 28 : return 1;
5583 : }
5584 :
5585 : /* Assume l prime to 210 */
5586 : GEN
5587 42 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
5588 : {
5589 42 : pari_sp av = avma;
5590 42 : GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
5591 : forprime_t S, U;
5592 42 : long CM = ellQ_get_CM(E);
5593 : ulong bound;
5594 :
5595 42 : u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
5596 42 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
5597 28 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
5598 : mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
5599 28 : init_modular_small(&S);
5600 28 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
5601 62 : {
5602 : GEN amax, r;
5603 90 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
5604 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
5605 90 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5606 90 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
5607 29 : && oncurve_exact(E,r))
5608 : {
5609 28 : settyp(r,t_VEC);
5610 28 : if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gerepileupto(av, r);
5611 0 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
5612 : }
5613 : }
5614 : }
5615 :
5616 : /********************************************************************/
5617 : /** **/
5618 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
5619 : /** **/
5620 : /********************************************************************/
5621 : /* x a t_INT */
5622 : static long
5623 9282 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
5624 : {
5625 : long v;
5626 : GEN z;
5627 9282 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
5628 9058 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
5629 9058 : *u = umodiu(z,pk); return v;
5630 : }
5631 : static void
5632 3094 : val_init(GEN e, long p, long pk,
5633 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
5634 : {
5635 3094 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
5636 3094 : pari_sp av = avma;
5637 3094 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
5638 3094 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
5639 3094 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
5640 3094 : }
5641 :
5642 : static long
5643 3094 : kod_23(GEN e, long p)
5644 : {
5645 : GEN S, nv;
5646 3094 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
5647 : {
5648 3073 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
5649 3073 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
5650 : }
5651 : else
5652 21 : nv = localred_23(e, p);
5653 3094 : return itos(gel(nv,2));
5654 : }
5655 :
5656 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5657 : static long
5658 1673 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
5659 : {
5660 1673 : if (kod > 4) return 1;
5661 784 : switch(kod)
5662 : {
5663 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
5664 49 : case 2:
5665 49 : if (vD==4) return 1;
5666 : else
5667 : {
5668 7 : if (vD==7) return 3;
5669 7 : else return v4==4 ? 2 : 4;
5670 : }
5671 112 : case 3:
5672 112 : switch(vD)
5673 : {
5674 70 : case 6: return 3;
5675 0 : case 8: return 4;
5676 14 : case 9: return 5;
5677 28 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
5678 : }
5679 133 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
5680 84 : case -1:
5681 84 : switch(vD)
5682 : {
5683 42 : case 9: return 2;
5684 0 : case 10: return 4;
5685 42 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
5686 : }
5687 56 : case -2:
5688 56 : switch(vD)
5689 : {
5690 7 : case 12: return 2;
5691 0 : case 14: return 3;
5692 49 : default: return 1;
5693 : }
5694 56 : case -3:
5695 56 : switch(vD)
5696 : {
5697 0 : case 12: return 2;
5698 0 : case 14: return 3;
5699 0 : case 15: return 4;
5700 56 : default: return 1;
5701 : }
5702 140 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
5703 56 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
5704 42 : case -6:
5705 42 : switch(vD)
5706 : {
5707 14 : case 12: return 2;
5708 0 : case 13: return 3;
5709 28 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5710 : }
5711 35 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
5712 21 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5713 : }
5714 : }
5715 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5716 : static long
5717 595 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
5718 : {
5719 595 : if (labs(kod) > 4) return 1;
5720 322 : switch(kod)
5721 : {
5722 49 : case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
5723 140 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
5724 91 : case -4: case 2:
5725 91 : switch (vD%6)
5726 : {
5727 0 : case 4: return 3;
5728 0 : case 5: return 4;
5729 91 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
5730 : }
5731 42 : default: /* kod = -2 et 4 */
5732 42 : switch (vD%6)
5733 : {
5734 0 : case 0: return 2;
5735 0 : case 1: return 3;
5736 42 : default: return 1;
5737 : }
5738 : }
5739 : }
5740 :
5741 : static long
5742 1673 : ellrootno_2(GEN e)
5743 : {
5744 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
5745 1673 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
5746 :
5747 1673 : if (!vD) return 1;
5748 1673 : if (d) { /* not minimal */
5749 : ellmin_t M;
5750 14 : min_set_2(&M, e, d);
5751 14 : min_set_D(&M, e);
5752 14 : e = min_to_ell(&M, e);
5753 : }
5754 1673 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5755 1673 : kod = kod_23(e,2);
5756 1673 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
5757 1673 : if (kod>=5)
5758 : {
5759 : long a2, a3;
5760 889 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
5761 889 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
5762 889 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
5763 : }
5764 784 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
5765 777 : x1 = u+v+v;
5766 777 : switch(kod)
5767 : {
5768 0 : case 1: return 1;
5769 49 : case 2:
5770 : switch(n2)
5771 : {
5772 42 : case 1:
5773 42 : switch(v4)
5774 : {
5775 14 : case 4: return kross(-1,u);
5776 14 : case 5: return 1;
5777 14 : default: return -1;
5778 : }
5779 7 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
5780 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
5781 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
5782 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
5783 : }
5784 : case 3:
5785 : switch(n2)
5786 : {
5787 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
5788 21 : case 2: return -kross(2,v);
5789 70 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
5790 70 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
5791 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
5792 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
5793 : }
5794 : case -1:
5795 : switch(n2)
5796 : {
5797 42 : case 1: return -kross(2,x1);
5798 42 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
5799 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
5800 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
5801 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
5802 : }
5803 56 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
5804 56 : case -3:
5805 : switch(n2)
5806 : {
5807 56 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
5808 56 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
5809 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
5810 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
5811 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
5812 : }
5813 : case -5:
5814 56 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
5815 7 : else return -kross(2,2*u+v);
5816 42 : case -6:
5817 : switch(n2)
5818 : {
5819 28 : case 1: return 1;
5820 14 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
5821 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
5822 : }
5823 : case -7:
5824 35 : if (n2==1) return 1;
5825 : else
5826 : {
5827 21 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
5828 21 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
5829 7 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
5830 : }
5831 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
5832 14 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
5833 273 : default: return -1;
5834 : }
5835 : }
5836 :
5837 : static long
5838 1421 : ellrootno_3(GEN e)
5839 : {
5840 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
5841 1421 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
5842 :
5843 1421 : if (!vD) return 1;
5844 1421 : if (d) { /* not minimal */
5845 : ellmin_t M;
5846 0 : min_set_3(&M, e, d);
5847 0 : min_set_a(&M);
5848 0 : min_set_D(&M, e);
5849 0 : e = min_to_ell(&M, e);
5850 : }
5851 1421 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5852 1421 : kod = kod_23(e,3);
5853 1421 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
5854 595 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
5855 595 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
5856 595 : switch(kod)
5857 : {
5858 140 : case 1: case 3: case -3: return 1;
5859 21 : case 2:
5860 : switch(n2)
5861 : {
5862 21 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
5863 0 : case 2: return -K4*K6;
5864 0 : case 3: return 1;
5865 0 : case 4: return -K6;
5866 : }
5867 : case 4:
5868 : switch(n2)
5869 : {
5870 21 : case 1: return K6*kross(D1,3);
5871 0 : case 2: return -K4;
5872 0 : case 3: return -K6;
5873 : }
5874 21 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5875 70 : case -4:
5876 : switch(n2)
5877 : {
5878 63 : case 1:
5879 63 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5880 49 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5881 7 : case 2: return -K6;
5882 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5883 0 : case 4: return K6;
5884 : }
5885 322 : default: return -1;
5886 : }
5887 : }
5888 :
5889 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
5890 : static long
5891 3374 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
5892 : {
5893 : long nuj, nuD, nu;
5894 3374 : GEN D = ell_get_disc(e);
5895 : long ep, z;
5896 :
5897 3374 : nuD = Q_pval(D, p);
5898 3374 : if (!nuD) return 1;
5899 3374 : nuj = j_pval(e, p);
5900 3374 : nu = (nuD - nuj) % 12;
5901 3374 : if (nu == 0)
5902 : {
5903 : GEN c6;
5904 : long d, vg;
5905 2919 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
5906 : /* p || N */
5907 2919 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
5908 2919 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
5909 2919 : d = vg / 12;
5910 2919 : if (d)
5911 : {
5912 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
5913 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
5914 : }
5915 2919 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
5916 : /* c6 in minimal model */
5917 2919 : return -kronecker(negi(c6), p);
5918 : }
5919 455 : if (nuj) return krosi(-1,p);
5920 301 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
5921 301 : if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
5922 301 : return krosi(-z, p);
5923 : }
5924 :
5925 : static GEN
5926 3262 : doellrootno(GEN e)
5927 : {
5928 3262 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
5929 3262 : long i, l, s = -1;
5930 :
5931 3262 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5932 3262 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
5933 3262 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
5934 3262 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
5935 9702 : for (i = 1; i < l; i++)
5936 : {
5937 6440 : GEN p = gel(P,i);
5938 : long t;
5939 6440 : switch(itou_or_0(p))
5940 : {
5941 1652 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
5942 1421 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
5943 3367 : default:t = ellrootno_p(e, p);
5944 : }
5945 6440 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
5946 : }
5947 3262 : return mkvec2(stoi(s), V);
5948 : }
5949 :
5950 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
5951 : * Global if p==1 or NULL. */
5952 : static long
5953 91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
5954 : {
5955 91 : pari_sp av = avma;
5956 : GEN S;
5957 : long s;
5958 91 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
5959 77 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
5960 77 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
5961 : {
5962 49 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
5963 49 : long i = ZV_search(NP, p);
5964 49 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
5965 0 : return 1;
5966 : }
5967 28 : switch(itou_or_0(p))
5968 : {
5969 21 : case 2:
5970 21 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5971 21 : s = ellrootno_2(e); break;
5972 0 : case 3:
5973 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5974 0 : s = ellrootno_3(e); break;
5975 7 : default:
5976 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
5977 : }
5978 28 : return gc_long(av, s);
5979 : }
5980 :
5981 : /* global root number over number field
5982 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
5983 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
5984 : */
5985 :
5986 : static GEN
5987 343 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
5988 : {
5989 : long i;
5990 343 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
5991 2058 : for(i=1; i<=5; i++)
5992 1715 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
5993 343 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
5994 : }
5995 :
5996 : static GEN
5997 273 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
5998 : {
5999 273 : long v = fetch_var_higher();
6000 273 : GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
6001 273 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
6002 273 : delete_var();
6003 273 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
6004 : }
6005 :
6006 : static GEN
6007 231 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
6008 : {
6009 231 : pari_sp av = avma;
6010 231 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6011 231 : GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
6012 231 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
6013 231 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
6014 231 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
6015 231 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
6016 231 : return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
6017 : }
6018 :
6019 : static long
6020 273 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
6021 273 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
6022 :
6023 : static long
6024 161 : ellnf_rootno_global(GEN E)
6025 : {
6026 161 : pari_sp av = avma;
6027 161 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6028 161 : long prec = nf_get_prec(nf);
6029 161 : long v, var = fetch_var_higher();
6030 : GEN F;
6031 161 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
6032 161 : F = nfroots(nf, ec_bmodel(E, var));
6033 161 : if (lg(F)>1)
6034 : {
6035 42 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
6036 42 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
6037 42 : obj_free(Et);
6038 42 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
6039 : } else
6040 : {
6041 119 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
6042 119 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E, var), utoi(4)), 4);
6043 119 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
6044 119 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
6045 119 : GEN F = nfroots(nf, D);
6046 119 : if (lg(F)>1)
6047 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
6048 : else
6049 : {
6050 112 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
6051 112 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
6052 112 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
6053 112 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
6054 112 : GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
6055 112 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
6056 112 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
6057 112 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
6058 112 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
6059 112 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
6060 112 : v = odd(v2+v3);
6061 : }
6062 : }
6063 161 : delete_var();
6064 161 : return gc_long(av, v? -1: 1);
6065 : }
6066 :
6067 : static GEN
6068 161 : doellnfrootno(GEN e)
6069 161 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
6070 :
6071 : long
6072 4585 : ellrootno_global(GEN e)
6073 : {
6074 4585 : pari_sp av = avma;
6075 : GEN S;
6076 4585 : switch(ell_get_type(e))
6077 : {
6078 4270 : case t_ELL_Q:
6079 4270 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
6080 4270 : break;
6081 315 : case t_ELL_NF:
6082 315 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
6083 315 : break;
6084 0 : default:
6085 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6086 : }
6087 4585 : return gc_long(av, itos(S));
6088 : }
6089 :
6090 : long
6091 203 : ellrootno(GEN e, GEN p)
6092 : {
6093 203 : checkell(e);
6094 203 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
6095 203 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
6096 203 : switch(ell_get_type(e))
6097 : {
6098 91 : case t_ELL_Q:
6099 91 : return ellQ_rootno(e, p);
6100 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
6101 112 : case t_ELL_NF:
6102 112 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
6103 112 : return ellrootno_global(e);
6104 : }
6105 : }
6106 :
6107 : /********************************************************************/
6108 : /** **/
6109 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
6110 : /** **/
6111 : /********************************************************************/
6112 :
6113 : /* assume p does not divide disc E */
6114 : long
6115 1135064 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
6116 : {
6117 : ulong a4, a6;
6118 1135064 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
6119 1131669 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
6120 1127091 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
6121 1127091 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
6122 : }
6123 :
6124 : static void
6125 693 : checkell_int(GEN e)
6126 : {
6127 693 : checkell_Q(e);
6128 693 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
6129 693 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
6130 693 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
6131 693 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
6132 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
6133 693 : }
6134 :
6135 : long
6136 20382 : ellQ_get_CM(GEN e)
6137 : {
6138 20382 : GEN j = ell_get_j(e);
6139 20382 : if (typ(j) != t_INT) return 0;
6140 1226 : if (is_bigint(j))
6141 : {
6142 : #ifndef LONG_IS_64BIT
6143 4 : if (signe(j) < 0)
6144 : {
6145 4 : pari_sp av = avma;
6146 4 : if (absequalii(j, uu32toi(0x22UL,0x45ae8000UL))) return gc_long(av,-67);
6147 2 : if (absequalii(j, uu32toi(0x03a4b862,0xc4b40000UL))) return gc_long(av,-163);
6148 : }
6149 : #endif
6150 0 : return 0;
6151 : }
6152 1222 : switch(signe(j))
6153 : {
6154 372 : default: return -3; /* j = 0 */
6155 567 : case 1:
6156 567 : switch(j[2])
6157 : {
6158 266 : case 1728: return -4;
6159 28 : case 8000: return -8;
6160 70 : case 54000: return -12;
6161 112 : case 287496: return -16;
6162 70 : case 16581375: return -28;
6163 21 : default: return 0;
6164 : }
6165 283 : case -1:
6166 283 : switch(j[2]) {
6167 84 : case 3375: return -7;
6168 28 : case 32768: return -11;
6169 14 : case 884736: return -19;
6170 77 : case 12288000: return -27;
6171 14 : case 884736000: return -43;
6172 : #ifdef LONG_IS_64BIT
6173 12 : case 147197952000L: return -67;
6174 12 : case 262537412640768000L: return -163;
6175 : #endif
6176 42 : default: return 0;
6177 : }
6178 : }
6179 : }
6180 :
6181 : static long
6182 56 : ellnf_get_CM(GEN E)
6183 : {
6184 56 : long av = avma;
6185 56 : GEN j = ell_get_j(E), nf = ellnf_get_nf(E);
6186 56 : GEN P = minpoly(basistoalg(nf, j), 0);
6187 56 : return gc_long(av, polisclass(P));
6188 : }
6189 :
6190 : long
6191 154 : elliscm(GEN E)
6192 : {
6193 154 : checkell(E);
6194 154 : switch(ell_get_type(E))
6195 : {
6196 98 : case t_ELL_Q: return ellQ_get_CM(E);
6197 56 : case t_ELL_NF: return ellnf_get_CM(E);
6198 0 : default: pari_err_TYPE("elliscm", E);
6199 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6200 : }
6201 : }
6202 :
6203 : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
6204 : static GEN
6205 2421990 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
6206 : {
6207 2421990 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
6208 2421964 : if (!signe(D))
6209 : {
6210 97986 : pari_sp av = avma;
6211 97986 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
6212 97986 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
6213 : }
6214 2323978 : *good_red = 1;
6215 2323978 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
6216 2322226 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
6217 2320590 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
6218 2320390 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
6219 : }
6220 :
6221 :
6222 : /* bad reduction at p */
6223 : static void
6224 12544 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
6225 : {
6226 : ulong m, N;
6227 12544 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
6228 : {
6229 4424 : case -1: /* nonsplit */
6230 4424 : N = n/p;
6231 661801 : for (m=2; m<=N; m++)
6232 657377 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
6233 4424 : break;
6234 3794 : case 0: /* additive */
6235 7819392 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
6236 3794 : break;
6237 4326 : case 1: /* split */
6238 4326 : N = n/p;
6239 386358 : for (m=2; m<=N; m++)
6240 382032 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
6241 4326 : break;
6242 : }
6243 12544 : }
6244 : /* good reduction at p */
6245 : static void
6246 1069698 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
6247 : {
6248 1069698 : const long ap = an[p];
6249 : ulong m;
6250 1069698 : if (p <= SQRTn) {
6251 32830 : ulong pk, oldpk = 1;
6252 128912 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
6253 : {
6254 96082 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
6255 12318425 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
6256 12222343 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
6257 : }
6258 : } else {
6259 6170052 : for (m = n/p; m > 1; m--)
6260 5133184 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
6261 : }
6262 1069698 : }
6263 : static void
6264 1082242 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
6265 : {
6266 1082242 : if (good_red)
6267 1069698 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
6268 : else
6269 12544 : sievep_bad(p, an, n);
6270 1082242 : }
6271 :
6272 : static long
6273 1082242 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
6274 : {
6275 1082242 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
6276 12600 : return ellQap_u(e, p, good_red);
6277 : else /* good reduction */
6278 : {
6279 1069642 : *good_red = 1;
6280 1069642 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
6281 : }
6282 : }
6283 : GEN
6284 6699 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
6285 : {
6286 : pari_sp av;
6287 6699 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
6288 : GEN an;
6289 : int CM;
6290 :
6291 6699 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
6292 6699 : if (n >= LGBITS)
6293 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
6294 6699 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6295 6699 : SQRTn = usqrt(n);
6296 6699 : CM = ellQ_get_CM(e);
6297 :
6298 6699 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
6299 6699 : an[1] = 1; av = avma;
6300 9823688 : for (p=2; p<=n; p++)
6301 : {
6302 : int good_red;
6303 9816989 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
6304 1082242 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
6305 1082242 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
6306 : }
6307 6699 : set_avma(av); return an;
6308 : }
6309 :
6310 : static GEN
6311 56 : ellQ_eulerf(GEN e, GEN p)
6312 : {
6313 : int good_red;
6314 56 : GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
6315 56 : GEN ap = subii(addiu(p, 1), card);
6316 56 : if (good_red)
6317 56 : return mkrfrac(gen_1,deg2pol_shallow(p, gneg(ap), gen_1, 0));
6318 0 : if (!signe(ap)) return pol_1(0);
6319 0 : return mkrfrac(gen_1,deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1,0));
6320 : }
6321 :
6322 : static GEN
6323 329 : ellanQ(GEN e, long N)
6324 329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
6325 :
6326 : static GEN
6327 83779 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
6328 : {
6329 83779 : pari_sp av = avma;
6330 83779 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6331 83777 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
6332 83794 : long l = lg(LP), i;
6333 167565 : for (i = 1; i < l; i++)
6334 : {
6335 : int goodred;
6336 83770 : GEN P = gel(LP,i), T2;
6337 83770 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
6338 83733 : long f = pr_get_f(P);
6339 83731 : if (goodred)
6340 83549 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
6341 : else
6342 : {
6343 182 : if (!signe(ap)) continue;
6344 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
6345 : }
6346 83748 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
6347 83756 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
6348 : }
6349 83795 : if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
6350 46365 : if (n==0) return gerepilecopy(av, mkrfrac(gen_1,T));
6351 46351 : return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
6352 : }
6353 :
6354 : GEN
6355 4963 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
6356 : {
6357 4963 : pari_sp av = avma;
6358 4963 : long i, l = lg(P);
6359 4963 : GEN W = cgetg(l, t_VEC);
6360 88735 : for(i = 1; i < l; i++)
6361 : {
6362 83772 : ulong p = uel(P,i);
6363 83772 : long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
6364 83771 : gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
6365 : }
6366 4963 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
6367 : }
6368 :
6369 : static GEN
6370 203 : ellnfan(GEN E, long N)
6371 : {
6372 203 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
6373 203 : return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
6374 : }
6375 :
6376 : GEN
6377 70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
6378 : {
6379 70 : checkell(E);
6380 70 : switch(ell_get_type(E))
6381 : {
6382 56 : case t_ELL_Q: return ellQ_eulerf(E, p);
6383 14 : case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
6384 0 : default:
6385 0 : pari_err_TYPE("elleulerf",E);
6386 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6387 : }
6388 : }
6389 :
6390 : GEN
6391 525 : ellan(GEN E, long N)
6392 : {
6393 525 : checkell(E);
6394 525 : switch(ell_get_type(E))
6395 : {
6396 322 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
6397 203 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
6398 0 : default:
6399 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
6400 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6401 : }
6402 : }
6403 :
6404 : static GEN
6405 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
6406 : {
6407 : GEN u, v, w;
6408 : long j;
6409 735 : if (e == 1) return ap;
6410 112 : u = ap;
6411 112 : w = subii(sqri(ap), p);
6412 126 : for (j=3; j<=e; j++)
6413 : {
6414 14 : v = u; u = w;
6415 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
6416 : }
6417 112 : return w;
6418 : }
6419 :
6420 : GEN
6421 693 : akell(GEN e, GEN n)
6422 : {
6423 : long i, j, s;
6424 693 : pari_sp av = avma;
6425 : GEN fa, P, E, D, u, y;
6426 :
6427 693 : checkell_int(e);
6428 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
6429 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
6430 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
6431 693 : D = ell_get_disc(e);
6432 693 : u = Z_ppo(n, D);
6433 693 : y = gen_1;
6434 693 : s = 1;
6435 693 : if (!equalii(u, n))
6436 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
6437 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
6438 441 : P = gel(fa,1);
6439 441 : E = gel(fa,2);
6440 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6441 : {
6442 581 : GEN p = gel(P,i);
6443 581 : long ex = itos(gel(E,i));
6444 : int good_red;
6445 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
6446 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
6447 350 : j = signe(ap);
6448 350 : if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
6449 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
6450 : }
6451 : }
6452 693 : if (s < 0) y = negi(y);
6453 693 : fa = Z_factor(u);
6454 693 : P = gel(fa,1);
6455 693 : E = gel(fa,2);
6456 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6457 : { /* good reduction */
6458 504 : GEN p = gel(P,i);
6459 504 : GEN ap = ellap(e,p);
6460 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
6461 : }
6462 693 : return gerepileuptoint(av,y);
6463 : }
6464 :
6465 : GEN
6466 8057 : ellQ_get_N(GEN e)
6467 8057 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
6468 : void
6469 917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
6470 917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
6471 :
6472 : GEN
6473 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
6474 : {
6475 14 : pari_sp av = avma, av1;
6476 : ulong l, n;
6477 : long eps, flun;
6478 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
6479 :
6480 14 : if (!A) A = gen_1;
6481 : else
6482 : {
6483 7 : if (gsigne(A)<=0)
6484 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
6485 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
6486 : }
6487 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
6488 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
6489 14 : checkell_Q(e);
6490 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
6491 14 : N = ellQ_get_N(e);
6492 14 : eps = ellrootno_global(e);
6493 14 : if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
6494 :
6495 14 : gs = ggamma(s, prec);
6496 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
6497 14 : cga = gmul(cg, A);
6498 14 : cgb = gdiv(cg, A);
6499 14 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
6500 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
6501 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
6502 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
6503 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
6504 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
6505 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
6506 14 : z = gen_0;
6507 14 : av1 = avma;
6508 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
6509 : {
6510 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
6511 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
6512 1330 : if (!signe(an)) continue;
6513 :
6514 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
6515 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
6516 1106 : if (flun)
6517 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
6518 : else
6519 : {
6520 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
6521 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
6522 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
6523 : }
6524 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
6525 1106 : if (gc_needed(av1,1))
6526 : {
6527 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
6528 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
6529 : }
6530 : }
6531 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
6532 : }
6533 :
6534 : /********************************************************************/
6535 : /** **/
6536 : /** CANONICAL HEIGHT **/
6537 : /** **/
6538 : /********************************************************************/
6539 :
6540 : static GEN
6541 56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
6542 : {
6543 56 : GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
6544 56 : long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
6545 56 : GEN r = gen_1;
6546 133 : for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
6547 63 : for( ; i < l ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
6548 56 : return r;
6549 : }
6550 :
6551 : /* The function follows
6552 : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
6553 : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
6554 : */
6555 :
6556 : static GEN
6557 70 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
6558 : {
6559 : GEN h;
6560 : long d;
6561 70 : pari_sp av = avma;
6562 70 : checkell(e);
6563 70 : switch(ell_get_type(e))
6564 : {
6565 14 : case t_ELL_Q:
6566 14 : d = 1; e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6567 14 : h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
6568 14 : break;
6569 56 : case t_ELL_NF:
6570 56 : d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
6571 56 : h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
6572 56 : break;
6573 0 : default:
6574 0 : pari_err_TYPE("ellheight", e);
6575 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6576 : }
6577 70 : return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
6578 : }
6579 :
6580 : static GEN
6581 157580 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
6582 :
6583 : /* one root of X^2 - t X + c */
6584 : static GEN
6585 83056 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
6586 : {
6587 83056 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
6588 : }
6589 :
6590 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
6591 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
6592 : static GEN
6593 83056 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
6594 : {
6595 83056 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
6596 83056 : long n, ex = 5-prec, p = prec+EXTRAPREC64;
6597 :
6598 83056 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
6599 83056 : ab = ellR_ab(e, p);
6600 83056 : a = gel(ab, 1);
6601 83056 : b = gel(ab, 2);
6602 83056 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
6603 83056 : x = gsub(x, e1);
6604 83056 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
6605 :
6606 83056 : x_a = gsub(x, a);
6607 83056 : if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
6608 83056 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
6609 83056 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
6610 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
6611 83056 : for(n=0;; n++)
6612 442740 : {
6613 525796 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
6614 525796 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
6615 525796 : r = gsub(a, a0);
6616 525796 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
6617 442740 : ab = gmul(a0, b);
6618 442740 : b = gsqrt(ab, prec);
6619 :
6620 442740 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
6621 442740 : p2 = gsqr(a);
6622 442740 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
6623 442740 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
6624 : }
6625 83056 : if (n) {
6626 83056 : x = gel(V,n);
6627 442740 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
6628 : } else
6629 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
6630 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
6631 83056 : return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
6632 : }
6633 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
6634 : static int
6635 83056 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
6636 : {
6637 83056 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
6638 83056 : return gcmp(x, e1) >= 0;
6639 : }
6640 :
6641 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
6642 : static GEN
6643 83056 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
6644 : {
6645 83056 : pari_sp av = avma;
6646 : GEN h;
6647 83056 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
6648 : {
6649 27210 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
6650 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
6651 27210 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
6652 : }
6653 : else
6654 55846 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
6655 83056 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
6656 83056 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
6657 : }
6658 : GEN
6659 30660 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
6660 :
6661 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
6662 : static GEN
6663 28728 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
6664 : {
6665 28728 : pari_sp av = avma;
6666 28728 : GEN z = zell(E, P, prec);
6667 28728 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
6668 28728 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
6669 28728 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
6670 28728 : GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
6671 28728 : GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
6672 28728 : GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
6673 28728 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
6674 28728 : GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
6675 28728 : GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
6676 28728 : return gerepileupto(av, gsub(r, l));
6677 : }
6678 :
6679 : static GEN
6680 20468 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
6681 20468 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
6682 : static GEN
6683 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6684 : {
6685 35 : pari_sp av = avma;
6686 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
6687 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
6688 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
6689 : }
6690 : GEN
6691 57659 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
6692 : {
6693 57659 : if (!a)
6694 : {
6695 77 : if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
6696 70 : return ellheightfaltings(e,n);
6697 : }
6698 57582 : return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
6699 : }
6700 : GEN
6701 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6702 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
6703 :
6704 : /* Based on J.H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic
6705 : * Curves, GTM 151, chap VI, p 478, exercise 6.7
6706 : * Note that we use BSD normalization not Silverman's. */
6707 : /* P an affine point on e */
6708 : static GEN
6709 85988 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
6710 : {
6711 : long v2, vD, vu, vP, vQ;
6712 85988 : GEN lr = nflocalred(e,pr), k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3);
6713 85988 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
6714 85988 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst), nf = ellnf_get_nf(e), v;
6715 :
6716 85988 : vP = minss(0, nfval(nf, gel(P,1), pr)); /* v_p(den(x_P)) */
6717 85988 : vQ = minss(0, nfval(nf, gel(Q,1), pr)); /* v_p(den(x_Q)) */
6718 85988 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
6719 85988 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
6720 85988 : vu = (vQ-vP) >> 1;
6721 85988 : if (v2 <= 0 || nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr) <= 0)
6722 45605 : v = gen_0;
6723 40383 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
6724 : {
6725 27503 : GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
6726 27503 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
6727 : }
6728 : else
6729 : {
6730 12880 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
6731 12880 : v = (v2 < LONG_MAX && v3 >= 3*v2)? sstoQ(-v2,3): sstoQ(-v3,8);
6732 : }
6733 85988 : return gsubgs(v,vu);
6734 : }
6735 :
6736 : /* L list of prime ideals, merge with prime ideals dividing integral ideal A
6737 : * in HNF (use elements of L as hints, which may or may not divide A).
6738 : * Return sorted list, without duplicates */
6739 : static GEN
6740 28812 : prV_merge_factors(GEN nf, GEN L, GEN A)
6741 : {
6742 28812 : if (lg(L) > 1)
6743 : {
6744 20104 : GEN LQ = prV_primes(L); /* rational primes */
6745 20104 : GEN p, e, N = Z_smoothen(gcoeff(A,1,1), LQ, &p, &e);
6746 20104 : L = shallowconcat(L, gel(idealfactor_partial(nf, A, LQ), 1));
6747 : /* L = primes in original L or dividing (A, vecprod(LQ)) */
6748 20104 : A = N? ZM_hnfmodid(A, N): NULL;
6749 : }
6750 : /* A made coprime to vecprod(LQ), add remaining primes if not trivial */
6751 28812 : if (A) L = shallowconcat(L, gel(idealfactor(nf, A), 1));
6752 28812 : return gen_sort_uniq(L, (void*)cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
6753 : }
6754 : static GEN
6755 28833 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
6756 : {
6757 28833 : pari_sp av = avma;
6758 : GEN logp, oldp, x, nf, d, F, Ee, Pe, s, v, phi2, psi2;
6759 : long i, l, r1;
6760 28833 : E = ellintegralmodel_i(E, &v); if (v) P = ellchangepoint(P, v);
6761 28833 : if (!oncurve(E,P))
6762 0 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
6763 28833 : if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gc_const(av, gen_0);
6764 28812 : x = gel(P,1);
6765 28812 : if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) return gc_const(av, gen_0);
6766 28812 : nf = ellnf_get_nf(E);
6767 28812 : phi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dFdx_evalQ(E, P)), 1);
6768 28812 : psi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, P)),1);
6769 28812 : d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
6770 28812 : F = gel(ellminimalprimes(E), 1); /* prime ideals dividing (c4,c6) */
6771 28812 : F = prV_merge_factors(nf, F, idealadd(nf, phi2, psi2));
6772 28812 : Ee = ellnfembed(E, prec); Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
6773 28812 : l = lg(Ee); r1 = nf_get_r1(nf);
6774 28812 : s = gsub(gmul2n(glog(d, prec), -1), glog(ellnf_minimalnormu(E), prec));
6775 57687 : for (i=1; i <= r1; i++)
6776 28875 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
6777 57540 : for ( ; i < l; i++)
6778 28728 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
6779 28812 : l = lg(F); oldp = logp = NULL;
6780 114800 : for (i = 1; i < l; i++)
6781 : { /* F = primes dividing (c4,c6) or (phi2,psi2) */
6782 85988 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr), lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
6783 85988 : if (!oldp || !equalii(p, oldp)) { oldp = p; logp = glog(p, prec); }
6784 85988 : s = gadd(s, gmul(lam, mulru(logp, pr_get_f(pr))));
6785 : }
6786 28812 : return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
6787 : }
6788 :
6789 : static GEN
6790 52410 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
6791 : {
6792 52410 : long i, lx, newell = 0;
6793 : pari_sp av;
6794 : GEN Lp, x, z, phi2, psi2, psi3;
6795 : GEN v, S, c4, D;
6796 :
6797 52410 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
6798 52403 : if (!oncurve(e,a))
6799 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
6800 52396 : if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
6801 52396 : av = avma;
6802 52396 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
6803 : { /* switch to minimal model if needed */
6804 23339 : if (lg(S) != 2)
6805 : {
6806 17872 : v = gel(S,2);
6807 17872 : e = gel(S,3);
6808 17872 : a = ellchangepoint(a, v);
6809 : }
6810 : }
6811 : else
6812 : {
6813 29057 : newell = 1;
6814 29057 : e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
6815 29057 : a = ellchangepoint(a, v);
6816 : }
6817 52396 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6818 52396 : if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
6819 52396 : x = gel(a,1);
6820 52396 : psi3 = Q_numer( ec_3divpol_evalx(e, x) );
6821 52396 : if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
6822 52396 : phi2 = Q_numer(ec_dFdx_evalQ(e, a));
6823 52396 : c4 = ell_get_c4(e);
6824 52396 : D = ell_get_disc(e);
6825 52396 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6826 52396 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6827 52396 : lx = lg(Lp);
6828 223870 : for (i=1; i<lx; i++)
6829 : {
6830 171474 : GEN p = gel(Lp,i);
6831 : long u, v, n, n2;
6832 171474 : if (!dvdii(c4,p))
6833 : { /* p \nmid c4 */
6834 147264 : long N = Z_pval(D,p);
6835 147264 : if (!N) continue;
6836 147264 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6837 147264 : if (n > N) n = N;
6838 147264 : u = n * ((N<<1) - n);
6839 147264 : v = N << 3;
6840 : }
6841 : else
6842 : {
6843 24210 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6844 24210 : n = Z_pval(psi3, p);
6845 24210 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6846 : }
6847 : /* z -= u log(p) / v */
6848 171474 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6849 : }
6850 52396 : if (newell) obj_free(e);
6851 52396 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
6852 : }
6853 :
6854 : GEN
6855 81243 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6856 : {
6857 81243 : checkell(e);
6858 81243 : if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("ellheight", a);
6859 81243 : switch(ell_get_type(e))
6860 : {
6861 52410 : case t_ELL_Q:
6862 52410 : return ellQ_height(e, a, prec);
6863 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6864 28833 : case t_ELL_NF:
6865 28833 : return ellnf_height(e, a, prec);
6866 : }
6867 : }
6868 :
6869 : GEN
6870 875 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6871 : {
6872 : GEN D, A, B;
6873 875 : long lx = lg(x), i, j;
6874 875 : pari_sp av = avma;
6875 :
6876 875 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6877 875 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6878 875 : A = cgetg(lx,t_MAT);
6879 875 : B = cgetg(lx,t_MAT);
6880 5124 : for (i=1; i<lx; i++)
6881 : {
6882 4249 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6883 4249 : gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
6884 4249 : gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
6885 : }
6886 5124 : for (i=1; i<lx; i++)
6887 : {
6888 4249 : GEN h = gel(D,i);
6889 4249 : if (p)
6890 : {
6891 28 : gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
6892 28 : gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
6893 : }
6894 : else
6895 4221 : gcoeff(A,i,i) = h;
6896 20398 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6897 : {
6898 16149 : h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6899 16149 : h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
6900 16149 : if (p)
6901 : {
6902 21 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
6903 21 : gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
6904 : }
6905 : else
6906 16128 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
6907 : }
6908 : }
6909 875 : return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
6910 : }
6911 : GEN
6912 861 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6913 861 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6914 :
6915 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6916 : static GEN
6917 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6918 : {
6919 : GEN y;
6920 21 : long i, l = lg(P);
6921 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6922 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
6923 7 : y = cgetg(l, typ(P));
6924 21 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
6925 7 : return y;
6926 : }
6927 : GEN
6928 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6929 : {
6930 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6931 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6932 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6933 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6934 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6935 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6936 7 : if (is_matvec_t(t2))
6937 : {
6938 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6939 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6940 0 : return bilhell_i(E,Q,P,n);
6941 : }
6942 7 : return bilhell_i(E,P,Q,n);
6943 : }
6944 : /********************************************************************/
6945 : /** **/
6946 : /** Modular Parametrization **/
6947 : /** **/
6948 : /********************************************************************/
6949 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6950 : static GEN
6951 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6952 : {
6953 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6954 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(v) | evalvarn(0);
6955 0 : gel(s,2) = t; return s;
6956 : }
6957 :
6958 : GEN
6959 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6960 : {
6961 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6962 : long n, m;
6963 14 : pari_sp av = avma;
6964 :
6965 14 : checkell_Q(e);
6966 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
6967 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
6968 :
6969 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
6970 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
6971 7 : d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalser(d,-1);
6972 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
6973 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6974 7 : c = gsqr(d);
6975 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
6976 : * Take derivative then divide by 2x':
6977 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
6978 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
6979 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
6980 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
6981 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
6982 : * */
6983 7 : C = c+4;
6984 7 : X = x+4;
6985 7 : gel(X,-2) = gen_1;
6986 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
6987 7 : b2 = ell_get_b2(e);
6988 7 : b4 = ell_get_b4(e);
6989 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
6990 : {
6991 105 : pari_sp av2 = avma;
6992 : GEN s1, s2, s3;
6993 105 : if (n != 2)
6994 : {
6995 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
6996 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
6997 98 : s2 = gen_0;
6998 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
6999 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
7000 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
7001 98 : s1 = gen_0;
7002 476 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
7003 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
7004 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
7005 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
7006 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
7007 : }
7008 : else
7009 : {
7010 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
7011 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
7012 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
7013 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
7014 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
7015 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
7016 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
7017 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
7018 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
7019 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
7020 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
7021 7 : w = derivser(U); setvalser(w,-2); /* q X' */
7022 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
7023 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
7024 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
7025 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
7026 7 : s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
7027 : }
7028 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
7029 : }
7030 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalser(w, valser(w)+1);
7031 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
7032 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
7033 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
7034 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
7035 : }
7036 :
7037 : /********************************************************************/
7038 : /** **/
7039 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
7040 : /** **/
7041 : /********************************************************************/
7042 : static GEN
7043 19292 : doellff_get_o(GEN E)
7044 : {
7045 19292 : GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
7046 19292 : return mkvec2(d, Z_factor(d));
7047 : }
7048 : GEN
7049 19845 : ellff_get_o(GEN E)
7050 19845 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
7051 :
7052 : static void
7053 497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
7054 : {
7055 497 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
7056 497 : *a4 = gel(e, 1);
7057 497 : *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
7058 497 : *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
7059 497 : }
7060 : GEN
7061 140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
7062 : {
7063 140 : pari_sp av = avma;
7064 : GEN p;
7065 140 : checkell_Fq(E);
7066 140 : if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("elllog", a);
7067 140 : if (!checkellpt_i(g)) pari_err_TYPE("elllog", g);
7068 140 : p = ellff_get_field(E);
7069 140 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
7070 140 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
7071 : else
7072 : {
7073 : GEN a4;
7074 49 : RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
7075 49 : return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
7076 : }
7077 : }
7078 :
7079 : GEN
7080 5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
7081 : {
7082 : GEN p;
7083 5250 : checkell_Fq(E);
7084 5243 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", P);
7085 5243 : if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", Q);
7086 5243 : p = ellff_get_field(E);
7087 5243 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
7088 : else
7089 : {
7090 245 : pari_sp av = avma;
7091 : GEN w, a4;
7092 245 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
7093 245 : w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
7094 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
7095 : }
7096 : }
7097 :
7098 : GEN
7099 301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
7100 : {
7101 : GEN p;
7102 301 : checkell_Fq(E);
7103 301 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltatepairing", P);
7104 301 : if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("elltatepairing", Q);
7105 301 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
7106 301 : p = ellff_get_field(E);
7107 301 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
7108 : else
7109 : {
7110 203 : pari_sp av = avma;
7111 : GEN t, a4;
7112 203 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
7113 203 : t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
7114 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
7115 : }
7116 : }
7117 :
7118 : GEN
7119 2584108 : ellap(GEN E, GEN p)
7120 : {
7121 2584108 : pari_sp av = avma;
7122 : GEN q, card;
7123 : int goodred;
7124 2584108 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
7125 2584065 : switch(ell_get_type(E))
7126 : {
7127 112 : case t_ELL_Fp:
7128 112 : q = p; card = ellff_get_card(E);
7129 112 : break;
7130 54474 : case t_ELL_Fq:
7131 54474 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
7132 54474 : break;
7133 2421515 : case t_ELL_Qp:
7134 : case t_ELL_Q:
7135 2421515 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7136 2421410 : break;
7137 107961 : case t_ELL_NF:
7138 107961 : return ellnfap(E, p, &goodred);
7139 0 : default:
7140 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
7141 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7142 : }
7143 2475996 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
7144 : }
7145 :
7146 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
7147 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
7148 : GEN
7149 126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
7150 : {
7151 126 : const ulong minq = 523;
7152 126 : checkell_Fq(E);
7153 126 : switch(ell_get_type(E))
7154 : {
7155 112 : case t_ELL_Fp:
7156 : {
7157 112 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
7158 112 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
7159 105 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
7160 : }
7161 14 : case t_ELL_Fq:
7162 : {
7163 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7164 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
7165 0 : return FF_ellcard(E);
7166 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
7167 : }
7168 : }
7169 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7170 : }
7171 :
7172 : GEN
7173 269205 : ellff_get_card(GEN E)
7174 269205 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
7175 :
7176 : GEN
7177 187032 : ellcard(GEN E, GEN p)
7178 : {
7179 187032 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
7180 187025 : switch(ell_get_type(E))
7181 : {
7182 186570 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7183 186570 : return icopy(ellff_get_card(E));
7184 420 : case t_ELL_Qp:
7185 : case t_ELL_Q:
7186 : {
7187 420 : pari_sp av = avma;
7188 : int goodred;
7189 420 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7190 420 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
7191 420 : return gerepileuptoint(av, N);
7192 : }
7193 35 : case t_ELL_NF:
7194 : {
7195 35 : pari_sp av = avma;
7196 : int goodred;
7197 35 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
7198 35 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
7199 35 : return gerepileuptoint(av, N);
7200 : }
7201 0 : default:
7202 0 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
7203 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7204 : }
7205 : }
7206 :
7207 : /* assume model is p-minimal */
7208 : static GEN
7209 120715 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
7210 : {
7211 120715 : GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
7212 120715 : *pm = gen_1;
7213 120715 : if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
7214 120715 : if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
7215 120715 : if (absequaliu(p, 3))
7216 : { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
7217 : ulong b2, b4, b6;
7218 0 : if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
7219 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
7220 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
7221 0 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
7222 0 : if (b6) return mkvec(N);
7223 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
7224 0 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
7225 0 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
7226 0 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
7227 0 : return mkvec2s(2, 2);
7228 : } /* Now assume p > 3 */
7229 120715 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
7230 120715 : return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
7231 : }
7232 :
7233 : static GEN
7234 146454 : doellGm(GEN E)
7235 : {
7236 146454 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7237 146454 : GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
7238 146454 : return mkvec2(G, m);
7239 : }
7240 : static GEN
7241 185997 : ellff_Gm(GEN E)
7242 185997 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
7243 : GEN
7244 167307 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
7245 : GEN
7246 18690 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
7247 : GEN
7248 18690 : ellff_get_D(GEN E)
7249 : {
7250 18690 : GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
7251 18690 : switch(lg(G))
7252 : {
7253 91 : case 1: return G;
7254 15883 : case 2: return mkvec(o);
7255 2716 : default: return mkvec2(o, gel(G,2));
7256 : }
7257 : }
7258 :
7259 : /* E / Fp */
7260 : static GEN
7261 18690 : doellgens(GEN E)
7262 : {
7263 18690 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7264 18690 : if (typ(fg)==t_FFELT)
7265 18116 : return FF_ellgens(E);
7266 : else
7267 : {
7268 574 : GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
7269 574 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
7270 574 : return FpVV_to_mod(F,p);
7271 : }
7272 : }
7273 :
7274 : GEN
7275 18767 : ellff_get_gens(GEN E)
7276 18767 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
7277 :
7278 : GEN
7279 127806 : ellgroup(GEN E, GEN p)
7280 : {
7281 127806 : pari_sp av = avma;
7282 : GEN m, G;
7283 127806 : p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
7284 127799 : switch(ell_get_type(E))
7285 : {
7286 127365 : case t_ELL_Fp:
7287 127365 : case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
7288 392 : case t_ELL_Qp:
7289 : case t_ELL_Q:
7290 392 : if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
7291 : {
7292 14 : GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
7293 14 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
7294 14 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
7295 : }
7296 378 : G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
7297 42 : case t_ELL_NF:
7298 42 : if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
7299 : {
7300 21 : GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
7301 21 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
7302 21 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
7303 : }
7304 28 : E = ellinit(E, p, 0);
7305 28 : G = ellff_get_group(E);
7306 28 : G = gcopy(G); obj_free(E); break;
7307 0 : default:
7308 0 : pari_err_TYPE("ellgroup", E);
7309 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7310 : }
7311 127799 : return gerepilecopy(av, G);
7312 : }
7313 :
7314 : GEN
7315 21490 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
7316 : {
7317 21490 : pari_sp av = avma;
7318 21490 : long tE, freeE = 0;
7319 : GEN G;
7320 21490 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
7321 1946 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
7322 1946 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
7323 1946 : if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
7324 : {
7325 1869 : GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
7326 : long vu;
7327 1862 : switch(tE)
7328 : {
7329 70 : case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
7330 1841 : case t_ELL_Q: vu = Q_pval(u, p); break;
7331 21 : case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
7332 0 : default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
7333 : }
7334 1862 : if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
7335 1855 : if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
7336 : {
7337 91 : GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
7338 91 : if (typ(p) == t_INT)
7339 : {
7340 : long i;
7341 70 : Ep = obj_init(15, 4);
7342 910 : for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
7343 : }
7344 : else
7345 : {
7346 21 : q = pr_norm(p);
7347 21 : Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
7348 : }
7349 91 : E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
7350 91 : gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
7351 91 : obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
7352 : }
7353 : else
7354 1764 : E = ellinit(E, p, 0);
7355 1855 : freeE = 1;
7356 : }
7357 1932 : G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
7358 1932 : if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
7359 1855 : G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
7360 : }
7361 :
7362 : GEN
7363 16849 : ellgenerators(GEN E)
7364 : {
7365 16849 : checkell(E);
7366 16849 : switch(ell_get_type(E))
7367 : {
7368 7 : case t_ELL_Q:
7369 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
7370 16835 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7371 16835 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
7372 7 : default:
7373 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
7374 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7375 : }
7376 : }
7377 :
7378 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
7379 : static GEN
7380 22715 : ellfromj_simple(GEN j)
7381 : {
7382 22715 : pari_sp av = avma;
7383 22715 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
7384 22715 : GEN E = zerovec(5);
7385 22715 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
7386 22715 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
7387 : }
7388 : GEN
7389 34020 : ellfromj(GEN j)
7390 : {
7391 34020 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
7392 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
7393 34020 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
7394 : {
7395 3549 : case 2:
7396 3549 : if (gequal0(j))
7397 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
7398 : else
7399 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
7400 7651 : case 3:
7401 7651 : if (gequal0(j))
7402 21 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7403 : else
7404 : {
7405 7630 : GEN E = zerovec(5);
7406 7630 : pari_sp av = avma;
7407 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
7408 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
7409 7630 : return E;
7410 : }
7411 : }
7412 22820 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
7413 22785 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7414 22715 : return ellfromj_simple(j);
7415 : }
7416 :
7417 : /********************************************************************/
7418 : /** **/
7419 : /** IS SUPERSINGULAR **/
7420 : /** **/
7421 : /********************************************************************/
7422 :
7423 : int
7424 165907 : elljissupersingular(GEN x)
7425 : {
7426 165907 : pari_sp av = avma;
7427 : int res;
7428 :
7429 165907 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
7430 504 : GEN p = gel(x, 1);
7431 504 : GEN j = gel(x, 2);
7432 504 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7433 165403 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
7434 165396 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
7435 165396 : GEN p = FF_p_i(x);
7436 165396 : GEN T = FF_mod(x);
7437 165396 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7438 : } else {
7439 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
7440 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7441 : }
7442 165900 : set_avma(av);
7443 165900 : return res;
7444 : }
7445 :
7446 : int
7447 166117 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
7448 : {
7449 : pari_sp av;
7450 : GEN j;
7451 166117 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
7452 17017 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
7453 17003 : j = ell_get_j(E);
7454 17003 : switch(ell_get_type(E))
7455 : {
7456 16807 : case t_ELL_Fp:
7457 : case t_ELL_Fq:
7458 16807 : return elljissupersingular(j);
7459 56 : case t_ELL_Qp:
7460 : case t_ELL_Q:
7461 56 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
7462 21 : av = avma;
7463 21 : return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
7464 140 : case t_ELL_NF:
7465 : {
7466 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
7467 : int res;
7468 140 : av = avma;
7469 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
7470 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
7471 : {
7472 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
7473 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7474 : }
7475 : else
7476 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7477 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
7478 126 : if (typ(j) == t_INT)
7479 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7480 : else
7481 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7482 126 : return gc_bool(av, res);
7483 : }
7484 0 : default:
7485 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
7486 : }
7487 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7488 : }
7489 :
7490 : GEN
7491 1204 : ellsupersingularj(GEN a)
7492 : {
7493 1204 : pari_sp av = avma;
7494 : GEN r, T, p;
7495 : long d;
7496 1204 : switch(typ(a))
7497 : {
7498 1190 : case t_INT:
7499 1190 : p = a;
7500 1190 : if (Z_issquare(p)) pari_err_PRIME("ellsupersingularj", p);
7501 1190 : T = init_Fq(p, 2, fetch_user_var("w"));
7502 1190 : d = 2;
7503 1190 : break;
7504 14 : case t_FFELT:
7505 14 : p = FF_p_i(a); T = FF_mod(a); d = degpol(T);
7506 14 : if (!odd(d))
7507 : {
7508 14 : if (d != 2)
7509 7 : T = init_Fq(p, 2, varn(T));
7510 14 : break;
7511 : }
7512 : default: /* FALL THROUGH */
7513 0 : pari_err_TYPE("ellsupersingular", a);
7514 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
7515 : }
7516 1204 : r = Fq_to_FF(ellsupersingularj_FpXQ(T, p), Tp_to_FF(T, p));
7517 1204 : if (d != 2)
7518 7 : r = ffmap(ffembed(r, a), r);
7519 1204 : return gerepilecopy(av, r);
7520 : }
7521 :
7522 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7523 : static GEN
7524 15050 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
7525 : {
7526 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
7527 15050 : if (n==0) return pol_0(v);
7528 15050 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
7529 1799 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
7530 1799 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
7531 1799 : if (n==3)
7532 833 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
7533 : else
7534 : {
7535 966 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
7536 966 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
7537 966 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
7538 : }
7539 1799 : setvarn(res, v); return res;
7540 : }
7541 :
7542 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
7543 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7544 : static GEN
7545 5075 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
7546 : {
7547 : GEN ret;
7548 5075 : long m = n/2;
7549 5075 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
7550 3150 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
7551 882 : else if (odd(n))
7552 : {
7553 525 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7554 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
7555 525 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
7556 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
7557 525 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
7558 91 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
7559 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
7560 434 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
7561 : }
7562 : else
7563 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
7564 357 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7565 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
7566 357 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
7567 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
7568 357 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
7569 : }
7570 3150 : gel(t,n) = ret;
7571 3150 : return ret;
7572 : }
7573 :
7574 : GEN
7575 13111 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
7576 : {
7577 13111 : pari_sp av = avma;
7578 : GEN f, D, N;
7579 13111 : long n = labs(n0);
7580 :
7581 13111 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7582 13111 : if (v < 0) v = 0;
7583 13111 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7584 13111 : N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
7585 13111 : if (n==1 || n==3)
7586 231 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7587 : else
7588 : {
7589 12880 : GEN d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
7590 12880 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7591 12880 : if (n <= 4)
7592 12551 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7593 : else
7594 329 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
7595 12880 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
7596 : }
7597 13111 : if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
7598 13090 : return gerepilecopy(av, f);
7599 : }
7600 :
7601 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
7602 : GEN
7603 406 : ellxn(GEN e, long n, long v)
7604 : {
7605 406 : pari_sp av = avma;
7606 : GEN d2, D, N, A, B;
7607 406 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7608 406 : if (v==-1) v = 0;
7609 406 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7610 406 : N = characteristic(D);
7611 406 : if (!signe(N)) N = NULL;
7612 406 : if (n < 0) n = -n;
7613 406 : d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
7614 406 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7615 406 : if (n == 0)
7616 : {
7617 7 : A = pol_0(v);
7618 7 : B = pol_0(v);
7619 : }
7620 399 : else if (n == 1)
7621 : {
7622 7 : A = pol_1(v);
7623 7 : B = pol_x(v);
7624 : }
7625 392 : else if (n == 2)
7626 : {
7627 105 : A = d2;
7628 105 : B = ec_phi2(e, v);
7629 : }
7630 : else
7631 : {
7632 287 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
7633 287 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
7634 287 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
7635 287 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
7636 287 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
7637 287 : if (!odd(n))
7638 14 : A = RgX_mul(f2, d2);
7639 : else
7640 273 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
7641 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
7642 287 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
7643 : }
7644 406 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
7645 : }
7646 :
7647 : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
7648 : static ulong
7649 2807 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
7650 : {
7651 2807 : ulong x, y, r = (p-1)/l;
7652 4389 : for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
7653 : }
7654 :
7655 : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
7656 : static void
7657 8631 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
7658 : GEN S, long *m)
7659 : {
7660 8631 : long i, n = lg(P)-1;
7661 8631 : GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
7662 8631 : pari_sp av = avma;
7663 8631 : ulong q = o / l;
7664 :
7665 8631 : F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
7666 8631 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
7667 8631 : g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
7668 63238 : for (i=1; i <= n; i++)
7669 : {
7670 54607 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
7671 54607 : if (!ell_is_inf(Q))
7672 54278 : v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
7673 : }
7674 8631 : gel(S,(*m)++) = v;
7675 8631 : set_avma(av);
7676 8631 : }
7677 :
7678 : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
7679 : static void
7680 2807 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
7681 : ulong p, GEN S, long *m)
7682 : {
7683 2807 : long i, n = lg(P)-1;
7684 2807 : GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
7685 2807 : ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
7686 2807 : pari_sp av = avma;
7687 :
7688 2807 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
7689 2807 : G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
7690 2807 : G1 = gel(G,1);
7691 2807 : G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
7692 16457 : for (i = 1; i <= n; i++)
7693 : {
7694 13650 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
7695 13650 : if (!ell_is_inf(Q))
7696 : {
7697 13279 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
7698 13279 : v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
7699 13279 : if (G2)
7700 : {
7701 3395 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
7702 3395 : w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
7703 : }
7704 : }
7705 : }
7706 2807 : gel(S,(*m)++) = v;
7707 2807 : if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
7708 2807 : set_avma(av);
7709 2807 : }
7710 :
7711 : static void
7712 11438 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
7713 : GEN S, long *m)
7714 : {
7715 11438 : P = ZM_to_Flm(P, p);
7716 11438 : if (p % l == 1)
7717 2807 : FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
7718 : else
7719 8631 : FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
7720 11438 : }
7721 :
7722 : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
7723 : * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
7724 : static GEN
7725 1204 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
7726 : {
7727 1204 : long m = 1;
7728 1204 : GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
7729 : forprime_t S;
7730 :
7731 1204 : P = QEV_to_ZJV(P);
7732 1204 : (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
7733 326459 : while (m <= nb)
7734 : {
7735 325255 : ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
7736 : long o;
7737 325255 : if (dvdiu(D, p)) continue;
7738 320075 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
7739 320075 : if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
7740 : {
7741 34979 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
7742 34979 : hash_insert_long(h,(void*)p, o);
7743 : }
7744 320075 : if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
7745 : }
7746 1204 : return M;
7747 : }
7748 :
7749 : INLINE long
7750 147 : Flv_firstnonzero(GEN v)
7751 : {
7752 147 : long i, l = lg(v);
7753 154 : for (i = 1; i < l; i++)
7754 154 : if (v[i]) break;
7755 147 : return i;
7756 : }
7757 :
7758 : /* update M in place */
7759 : static GEN
7760 1204 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
7761 : long vxl, long nb, long prec)
7762 : {
7763 1204 : GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
7764 1204 : GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l, nb); /* fill hh */
7765 1204 : pari_sp av = avma;
7766 1204 : GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
7767 1204 : long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
7768 :
7769 1204 : if (lK==1) return gc_NULL(av);
7770 147 : if (DEBUGLEVEL >= 3)
7771 0 : err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
7772 : /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
7773 147 : if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
7774 147 : for (i = 1; i < lK; i++)
7775 : {
7776 147 : GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
7777 147 : long f = Flv_firstnonzero(ki);
7778 :
7779 : /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
7780 147 : if (f > nH) continue;
7781 147 : if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
7782 147 : Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
7783 147 : h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
7784 147 : if (*xl)
7785 : {
7786 133 : GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
7787 133 : if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
7788 : }
7789 : else
7790 : {
7791 14 : h = gdiv(h, sqru(l));
7792 14 : R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
7793 : }
7794 147 : if (DEBUGLEVEL >= 2)
7795 0 : err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
7796 147 : if (!R)
7797 : {
7798 28 : if (lK == 2) break;
7799 140 : return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
7800 : }
7801 119 : gcoeff(M, f, f) = h;
7802 490 : for (i = 1; i <= nH; i++)
7803 371 : if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
7804 490 : for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
7805 119 : gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
7806 : }
7807 7 : return gc_NULL(av); /* l-saturated */
7808 : }
7809 :
7810 : static GEN
7811 49 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7812 : {
7813 : forprime_t S;
7814 49 : GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
7815 49 : long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
7816 : hashtable h;
7817 : ulong p;
7818 :
7819 49 : hash_init_ulong(&h, 16, 1);
7820 49 : (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
7821 49 : P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
7822 1113 : while((p = u_forprime_next(&S)))
7823 : {
7824 1064 : long nb = lg(P)-1 + 25 / log2(p) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
7825 1064 : GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
7826 1064 : if (lg(T)==1) T = NULL;
7827 : while (1)
7828 140 : {
7829 1204 : GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, nb, prec);
7830 1204 : if (!Q) break;
7831 140 : nb += lg(P)-1;
7832 140 : P = Q;
7833 : }
7834 : }
7835 49 : (void)delete_var(); return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
7836 : }
7837 :
7838 : GEN
7839 49 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7840 : {
7841 49 : pari_sp av = avma;
7842 : GEN urst;
7843 :
7844 49 : if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
7845 49 : E = ellminimalmodel(E, &urst);
7846 49 : if (is_trivial_change(urst)) urst = NULL;
7847 49 : if (urst) P = ellchangepoint(P, urst);
7848 49 : P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
7849 49 : if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert(urst));
7850 49 : obj_free(E); return gerepilecopy(av, P);
7851 : }
7852 :
7853 : static GEN
7854 126 : to_RgX(GEN P, long vx)
7855 126 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
7856 : GEN
7857 70 : elltrace(GEN E, GEN P)
7858 : {
7859 70 : pari_sp av = avma;
7860 70 : GEN xP, yP, T = NULL, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
7861 : long v, n, i, j, d;
7862 :
7863 70 : checkell(E);
7864 70 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltrace", P);
7865 70 : if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
7866 63 : if (!oncurve(E,P))
7867 0 : pari_err_DOMAIN("elltrace", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
7868 : /* More checks */
7869 :
7870 63 : xP = gel(P,1); yP = gel(P,2);
7871 63 : if (typ(xP)==t_POLMOD) { T = gel(xP,1); xP = gel(xP,2); }
7872 63 : if (typ(yP)==t_POLMOD)
7873 : {
7874 63 : if (T)
7875 : {
7876 56 : if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
7877 : }
7878 : else
7879 7 : T = gel(yP,1);
7880 63 : yP = gel(yP,2);
7881 : }
7882 63 : if (!T) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
7883 63 : v = varn(T); n = degpol(T);
7884 : /* Trivial cases */
7885 63 : if (n == 1) { return gerepilecopy(av, mkvec2(xP,yP)); }
7886 63 : xP = to_RgX(xP, v);
7887 63 : yP = to_RgX(yP, v);
7888 63 : if (degpol(xP) <= 0)
7889 : {
7890 28 : if (degpol(yP) > 0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7891 14 : P = mkvec2(constant_coeff(xP), constant_coeff(yP));
7892 14 : return gerepileupto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
7893 : }
7894 : /* Strategy: look for a function with divisor equal to
7895 : * [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
7896 35 : LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
7897 35 : gel(LP,1) = pol_1(v);
7898 35 : gel(LP,2) = xP;
7899 35 : gel(LP,3) = yP;
7900 84 : for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = RgXQ_mul(gel(LP,i-2), xP, T);
7901 35 : M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
7902 189 : for (j = 1; j <= n+1; j++)
7903 714 : for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(gel(LP,j), n);
7904 35 : K = gel(ker(M),1);
7905 : /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
7906 : * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
7907 : * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
7908 35 : U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
7909 35 : V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
7910 35 : gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
7911 105 : for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
7912 84 : for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
7913 35 : U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
7914 : /* f does not depend on y, so trace = oo */
7915 35 : if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7916 : /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
7917 : * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
7918 35 : R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
7919 35 : R = gmul(R, V);
7920 35 : R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
7921 35 : R = gmul(R, V);
7922 35 : R = gsub(R, gsqr(U));
7923 : /* Discard Galois orbit of P */
7924 35 : R = RgX_div(R, RgXQ_minpoly(xP,T, 0));
7925 : /* What is left is either constant -> return 0, or deg 1 -> nontrivial trace. */
7926 35 : if(degpol(R)<=0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7927 : /* Recover the trace */
7928 28 : xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
7929 28 : yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
7930 28 : Q = mkvec2(xQ, yQ);
7931 : /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
7932 : * we still need to compute [L:K(P)] */
7933 28 : d = 0;
7934 42 : for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
7935 28 : return gerepileupto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
7936 : }
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