Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ELLIPTIC CURVES **/
17 : /** **/
18 : /********************************************************************/
19 : #include "pari.h"
20 : #include "paripriv.h"
21 : #undef coordch
22 :
23 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
24 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
25 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
26 : */
27 :
28 : static ulong
29 276482 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
30 276482 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
31 : static void
32 276111 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
33 : {
34 276111 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
35 276111 : *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
36 276111 : }
37 : static GEN
38 2715860 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
39 2715860 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
40 : static void
41 2715860 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
42 : {
43 2715860 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
44 2715861 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
45 2715862 : }
46 : static GEN
47 70273 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
48 70273 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
49 : static void
50 70273 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
51 : {
52 70273 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
53 70273 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
54 70273 : }
55 : static void
56 2715714 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
57 : {
58 2715714 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
59 2715715 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
60 2715713 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
61 2715715 : }
62 : static void
63 276111 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
64 : {
65 276111 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
66 276111 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
67 276111 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 276111 : }
69 :
70 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
71 : static GEN
72 22737 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
73 : {
74 22737 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
75 22737 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
76 22738 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
77 22738 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
78 : }
79 : static GEN
80 371 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
81 : {
82 371 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
83 371 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
84 371 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
85 371 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
86 : }
87 :
88 : static GEN
89 22737 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
90 : {
91 : GEN A4, A6;
92 22737 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
93 22738 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
94 : }
95 : GEN
96 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
97 : {
98 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
99 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
100 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
101 : }
102 : GEN
103 371 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
104 : {
105 371 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
106 371 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
107 371 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
108 : }
109 :
110 : void
111 308261 : checkellpt(GEN z)
112 : {
113 308261 : if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
114 308254 : switch(lg(z))
115 : {
116 303018 : case 3: break;
117 5236 : case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
118 : /* fall through */
119 0 : default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
120 : }
121 308254 : }
122 : void
123 72149 : checkell5(GEN E)
124 : {
125 72149 : long l = lg(E);
126 72149 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
127 72149 : }
128 : void
129 4047713 : checkell(GEN E)
130 4047713 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
131 : void
132 3248 : checkellisog(GEN v)
133 3248 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
134 :
135 : void
136 3514 : checkell_Q(GEN E)
137 : {
138 3514 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
139 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
140 3507 : }
141 :
142 : void
143 0 : checkell_Qp(GEN E)
144 : {
145 0 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
146 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
147 0 : }
148 :
149 : static int
150 553177 : ell_over_Fq(GEN E)
151 : {
152 553177 : long t = ell_get_type(E);
153 553177 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
154 : }
155 :
156 : void
157 279440 : checkell_Fq(GEN E)
158 : {
159 279440 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
160 7 : pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
161 279433 : }
162 :
163 : GEN
164 180442 : ellff_get_p(GEN E)
165 : {
166 180442 : GEN fg = ellff_get_field(E);
167 180442 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
168 : }
169 :
170 : int
171 280 : ell_is_integral(GEN E)
172 : {
173 560 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
174 245 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
175 231 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
176 231 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
177 511 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
178 : }
179 :
180 : static void
181 72730 : checkcoordch(GEN z)
182 72730 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
183 :
184 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
185 : GEN
186 8975 : ec_bmodel(GEN e)
187 : {
188 8975 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
189 8975 : return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
190 : }
191 :
192 : static int
193 3258 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
194 :
195 : static GEN
196 4208 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
197 : {
198 : GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
199 4208 : long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
200 : START:
201 4229 : R = roots(ec_bmodel(e), prec);
202 4229 : if (s > 0)
203 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
204 1086 : R = real_i(R);
205 1086 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
206 1086 : e1 = gel(R,1);
207 1086 : e2 = gel(R,2);
208 1086 : e3 = gel(R,3);
209 1086 : d3 = subrr(e1,e2);
210 1086 : d1 = subrr(e2,e3);
211 1086 : d2 = subrr(e1,e3);
212 1086 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
213 : {
214 21 : prec = precdbl(prec);
215 21 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
216 21 : goto START;
217 : }
218 : } else {
219 3143 : e1 = gel(R,1);
220 3143 : e2 = gel(R,2);
221 3143 : e3 = gel(R,3);
222 3143 : if (s < 0)
223 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
224 1001 : e1 = real_i(e1);
225 1001 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
226 : }
227 3143 : d3 = gsub(e1,e2);
228 3143 : d1 = gsub(e2,e3);
229 3143 : d2 = gsub(e1,e3);
230 : }
231 4208 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
232 : }
233 : static GEN
234 1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
235 :
236 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
237 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
238 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
239 : GEN
240 529466 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
241 : {
242 529466 : pari_sp av = avma;
243 : GEN z;
244 529466 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
245 529466 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
246 529466 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
247 529466 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
248 : }
249 :
250 : /* a1 x + a3 */
251 : GEN
252 546973 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
253 : {
254 546973 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
255 546973 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
256 546973 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
257 : }
258 : static GEN
259 1170428 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
260 : {
261 1170428 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
262 1170428 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
263 1170428 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
264 : }
265 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
266 : static GEN
267 15519 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
268 : {
269 15519 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
270 15519 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
271 : }
272 :
273 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
274 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
275 : * which is the derivative of the curve equation
276 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
277 : * wrt x evaluated at Q */
278 : GEN
279 2205 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
280 : {
281 2205 : pari_sp av = avma;
282 2205 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
283 2205 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
284 2205 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
285 2205 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
286 2205 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
287 2205 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
288 : }
289 :
290 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
291 : GEN
292 6139 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
293 : {
294 6139 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
295 6139 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
296 : }
297 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
298 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
299 : * which is the derivative of the curve equation
300 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
301 : * wrt y evaluated at Q */
302 : GEN
303 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
304 : {
305 532 : pari_sp av = avma;
306 532 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
307 : }
308 :
309 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
310 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
311 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
312 : GEN
313 1687 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
314 : {
315 1687 : pari_sp av = avma;
316 1687 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
317 1687 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
318 1687 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
319 1687 : GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
320 1687 : GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
321 1687 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
322 : }
323 :
324 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
325 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
326 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
327 : GEN
328 14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
329 : {
330 14 : pari_sp av = avma;
331 14 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
332 14 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
333 14 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
334 14 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
335 14 : GEN x2 = gsqr(x);
336 14 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
337 14 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
338 14 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
339 : }
340 :
341 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
342 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
343 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
344 : GEN
345 1491 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
346 : {
347 1491 : pari_sp av = avma;
348 1491 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
349 1491 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
350 1491 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
351 1491 : return gerepileupto(av, res);
352 : }
353 :
354 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
355 : GEN
356 2450 : ellbasechar(GEN E)
357 : {
358 2450 : pari_sp av = avma;
359 2450 : GEN D = ell_get_disc(E);
360 2450 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
361 : }
362 :
363 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
364 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
365 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
366 : * component y[16])*/
367 : static GEN
368 681474 : initsmall(GEN x, long n)
369 : {
370 : GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
371 681474 : GEN y = obj_init(15, n);
372 681475 : switch(lg(x))
373 : {
374 : case 1:
375 : case 2:
376 : case 4:
377 : case 5:
378 7 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
379 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
380 : case 3:
381 15449 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
382 15449 : a4 = gel(x,1);
383 15449 : a6 = gel(x,2);
384 15449 : b2 = gen_0;
385 15449 : b4 = gmul2n(a4,1);
386 15449 : b6 = gmul2n(a6,2);
387 15449 : b8 = gneg(gsqr(a4));
388 15449 : c4 = gmulgs(a4,-48);
389 15449 : c6 = gmulgs(a6,-864);
390 15449 : D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
391 15449 : break;
392 : default: /* l > 5 */
393 : { GEN a11, a13, a33, b22;
394 666019 : a1 = gel(x,1);
395 666019 : a2 = gel(x,2);
396 666019 : a3 = gel(x,3);
397 666019 : a4 = gel(x,4);
398 666019 : a6 = gel(x,5);
399 666019 : a11= gsqr(a1);
400 666018 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
401 666018 : a13= gmul(a1, a3);
402 666019 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
403 666019 : a33= gsqr(a3);
404 666018 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
405 666019 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
406 666020 : b22= gsqr(b2);
407 666018 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
408 666017 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
409 666018 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
410 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
411 666020 : break;
412 : }
413 : }
414 681469 : gel(y,1) = a1;
415 681469 : gel(y,2) = a2;
416 681469 : gel(y,3) = a3;
417 681469 : gel(y,4) = a4;
418 681469 : gel(y,5) = a6;
419 681469 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
420 681469 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
421 681469 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
422 681469 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
423 681469 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
424 681469 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
425 681469 : gel(y,12)= D;
426 681469 : if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
427 :
428 673510 : if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
429 301 : { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
430 301 : GEN g = RgX_gcd(D, c4);
431 301 : if (degpol(g) == 0)
432 259 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
433 : else
434 : {
435 42 : GEN d, c = RgX_div(c4, g);
436 42 : D = RgX_div(D, g);
437 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
438 42 : if (degpol(g) == 0)
439 7 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
440 : else
441 : {
442 35 : D = RgX_div(D, g);
443 35 : d = RgX_div(c4, g);
444 35 : g = RgX_gcd(D,c4);
445 35 : if (degpol(g))
446 : {
447 21 : D = RgX_div(D, g);
448 21 : c4 = RgX_div(c4, g);
449 : }
450 35 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
451 : }
452 : }
453 : }
454 : else
455 673209 : j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
456 673510 : gel(y,13) = j;
457 673510 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
458 : }
459 :
460 : void
461 0 : ellprint(GEN e)
462 : {
463 0 : pari_sp av = avma;
464 : long vx, vy;
465 : GEN z;
466 0 : checkell5(e);
467 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
468 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
469 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
470 0 : (void)delete_var();
471 0 : (void)delete_var(); avma = av;
472 0 : }
473 :
474 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
475 : static GEN
476 203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
477 : {
478 203 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
479 203 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
480 :
481 203 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
482 203 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
483 105 : b = mulrr(d3,d2);
484 : else
485 98 : b = cxnorm(d3);
486 203 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
487 203 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
488 203 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
489 203 : return mkvec2(a, b);
490 : }
491 : GEN
492 1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
493 1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
494 :
495 : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
496 : * Let (A_n, B_n) be defined by A_1 = a1/p^v, B_1 = b1/p^v, v=v(a1)=v(a2);
497 : * A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
498 : * B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = square root of A_n B_n congruent to B_n
499 : * R_n = p^v( A_n - B_n ) = r_{n+1}
500 : * Return [An,Bn,Rn]. N.B. lim An = M2(a1,b1) = M(sqrt(a1),sqrt(b1))^2 */
501 : static GEN
502 210 : Qp_agm2_sequence(GEN a1, GEN b1)
503 : {
504 210 : GEN bp, pmod, p = gel(a1,2), q = gel(a1,3), An, Bn, Rn;
505 210 : long pp = precp(a1), v = valp(a1), i;
506 210 : int pis2 = absequaliu(p,2);
507 210 : a1 = gel(a1,4);
508 210 : b1 = gel(b1,4);
509 210 : if (pis2)
510 154 : pmod = utoipos(8);
511 : else
512 56 : pmod = p;
513 210 : bp = modii(b1, pmod);
514 210 : An = cgetg(pp+1, t_VEC); /* overestimate: rather log_2(pp) */
515 210 : Bn = cgetg(pp+1, t_VEC);
516 210 : Rn = cgetg(pp+1, t_VEC);
517 714 : for(i = 1;; i++)
518 : {
519 714 : GEN a = a1, b = b1, r;
520 : long vr;
521 714 : gel(An, i) = a;
522 714 : gel(Bn, i) = b;
523 714 : r = subii(a,b);
524 924 : if (!signe(r)) break;
525 532 : vr = Z_pvalrem(r,p,&r);
526 532 : if (vr >= pp) break;
527 504 : r = cvtop(r, p, pp - vr); setvalp(r, vr+v);
528 504 : gel(Rn, i) = r;
529 :
530 504 : b1 = Zp_sqrt(Fp_mul(a,b,q), p, pp);
531 504 : if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
532 504 : if (!equalii(modii(b1,pmod), bp)) b1 = Fp_neg(b1, q);
533 : /* a1 = (a+b+2sqrt(ab))/4 */
534 504 : if (pis2)
535 : {
536 343 : b1 = remi2n(b1, pp-1);
537 343 : a1 = shifti(addii(addii(a,b), shifti(b1,1)),-2);
538 343 : a1 = remi2n(a1, pp-2);
539 343 : pp -= 2;
540 : }
541 : else
542 161 : a1 = modii(Fp_halve(addii(Fp_halve(addii(a,b),q), b1), q), q);
543 504 : }
544 210 : setlg(An,i+1);
545 210 : setlg(Bn,i+1);
546 210 : setlg(Rn,i); return mkvec4(An, Bn, Rn, stoi(v));
547 : }
548 : static void
549 301 : Qp_descending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
550 : {
551 301 : GEN R = gel(AB,3);
552 301 : long i, n = lg(R)-1;
553 301 : GEN x = *ptx;
554 301 : if (isintzero(x))
555 : {
556 210 : i = 2;
557 210 : x = gmul2n(gel(R,1),-2);
558 210 : if (pty)
559 : {
560 0 : GEN A = gel(AB,1);
561 0 : if (n == 1)
562 0 : *pty = gmul(x, Qp_sqrt(gadd(x,gel(A,2))));
563 : else
564 0 : *pty = Qp_sqrt(gmul(gmul(x, gadd(x,gel(A,2))), gadd(x,gel(R,2))));
565 0 : if (!*pty) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
566 : }
567 : }
568 : else
569 91 : i = 1;
570 833 : for (; i <= n; i++)
571 : {
572 532 : GEN r = gel(R,i), t;
573 532 : if (gequal0(x)) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
574 532 : t = Qp_sqrt(gaddsg(1, gdiv(r,x))); /* = 1 (mod p) */
575 532 : if (!t) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
576 532 : if (i == n)
577 : {
578 259 : GEN p = gel(r,2);
579 259 : long v, vx = valp(x), vr = valp(r);
580 259 : if (vx >= vr) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
581 : /* last loop, take into account loss of accuracy from multiplication
582 : * by \prod_{j > n} sqrt(1+r_j/x_j); since vx < vr, j = n+1 is enough */
583 259 : v = 2*vr - vx;
584 : /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| + 1 bit for sqrt loss */
585 259 : if (absequaliu(p,2)) v -= 4;
586 : /* tail is 1 + O(p^v) */
587 259 : if (v < precp(x)) x = cvtop(x,p,v);
588 : }
589 : /* x_{n+1} = x_n ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
590 532 : x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,t),-1)));
591 : /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
592 532 : if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r,gmul2n(x,2)))));
593 : }
594 301 : *ptx = x;
595 301 : }
596 : static void
597 56 : Qp_ascending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
598 : {
599 56 : GEN A = gel(AB,1), R = gel(AB,3), x = *ptx, p, r;
600 56 : long n = lg(R)-1, va = itos(gel(AB,4)), v, i;
601 :
602 56 : r = gel(R,n);
603 56 : v = 2*valp(r) + va;
604 56 : if (typ(x) == t_PADIC)
605 35 : v -= 2*valp(x);
606 : else
607 21 : v -= valp(gnorm(x)); /* v(x) = v(Nx) / (e*f), here ef = 2 */
608 56 : p = gel(r,2);
609 56 : if (absequaliu(p,2)) v -= 3; /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| */
610 : /* v = v(A[n+1] R[n+1] / x_{n+1}^2) */
611 56 : if (v <= 0) pari_err_PREC("Qp_ascending_Landen");
612 : /* v > 0 => v = v(x_oo) = ... = v(x_{n+1}) */
613 56 : x = gsub(x, gmul2n(r,-1));
614 56 : if (padicprec_relative(x) > v) x = gcvtop(x, p, v);
615 : /* x = x_n */
616 154 : for (i = n; i > 1; i--)
617 : {
618 98 : GEN ar = gmul(gel(A,i),gel(R,i)), xp;
619 98 : setvalp(ar, valp(ar)+va); /* A_i = A[i] * p^va */
620 : /* x_{i-1} = x_i + a_i r_i / x_i - r_{i-1}/2 */
621 98 : xp = gsub(gadd(x, gdiv(ar, x)), gmul2n(gel(R,i-1),-1));
622 : /* y_{i-1} = y_i (1 - a_i r_i / x^2) */
623 98 : if (pty) *pty = gmul(*pty, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x))));
624 98 : x = xp;
625 : }
626 56 : *ptx = x;
627 56 : }
628 :
629 : /* q a t_REAL*/
630 : static long
631 77 : real_prec(GEN q)
632 77 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
633 : /* q a t_PADIC */
634 : static long
635 119 : padic_prec(GEN q)
636 119 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
637 :
638 : /* check whether moduli are consistent */
639 : static void
640 99656 : chk_p(GEN p, GEN p2)
641 99656 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
642 :
643 : static int
644 36337 : fix_nftype(GEN *pp)
645 : {
646 36337 : switch(nftyp(*pp))
647 : {
648 36337 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
649 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
650 0 : default: return 0;
651 : }
652 36337 : return 1;
653 : }
654 : static long
655 711357 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
656 : {
657 711357 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
658 711357 : GEN p = NULL;
659 711357 : long t = t_FRAC;
660 711357 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
661 : {
662 : case t_INT:
663 490546 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
664 1925 : p = *pp;
665 1925 : t = t_INTMOD;
666 1925 : break;
667 : case t_INTMOD:
668 7 : p = gel(*pp, 1);
669 7 : break;
670 : case t_REAL:
671 21 : e = real_prec(*pp);
672 21 : p = NULL;
673 21 : break;
674 : case t_PADIC:
675 91 : ep = padic_prec(*pp);
676 91 : p = gel(*pp, 2);
677 91 : break;
678 : case t_FFELT:
679 16912 : p = *pp;
680 16912 : break;
681 : case t_VEC:
682 36337 : t = t_VEC; p = *pp;
683 36337 : if (fix_nftype(&p)) break;
684 : default:
685 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
686 0 : return 0;
687 : }
688 : /* Possible cases:
689 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
690 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
691 : * t = t_INTMOD (p a prime)
692 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
693 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
694 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
695 4216020 : for (i = 1; i < imax; i++)
696 : {
697 3507293 : GEN p2, q = gel(x,i);
698 3507293 : switch(typ(q)) {
699 : case t_PADIC:
700 49 : p2 = gel(q,2);
701 49 : switch(t)
702 : {
703 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
704 14 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
705 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
706 : }
707 28 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
708 28 : break;
709 : case t_INTMOD:
710 124599 : p2 = gel(q,1);
711 124599 : switch(t)
712 : {
713 24955 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
714 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
715 99581 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
716 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
717 : }
718 124586 : break;
719 : case t_FFELT:
720 256097 : switch(t)
721 : {
722 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
723 96036 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
724 : case t_FFELT:
725 160055 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
726 160055 : break;
727 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
728 : }
729 256091 : break;
730 :
731 3122810 : case t_INT: case t_FRAC: break;
732 : case t_REAL:
733 56 : switch(t)
734 : {
735 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
736 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
737 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
738 : }
739 56 : break;
740 : case t_COL:
741 : case t_POL:
742 : case t_POLMOD:
743 3668 : if (t == t_VEC) break;
744 : default: /* base ring too general */
745 2583 : return t_COMPLEX;
746 : }
747 : }
748 708727 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
749 : }
750 :
751 : static GEN
752 5894 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
753 : {
754 : GEN y;
755 : long s;
756 5894 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
757 5894 : s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
758 5894 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
759 5894 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
760 5894 : return y;
761 : }
762 :
763 : static GEN
764 91 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
765 : {
766 : GEN y;
767 91 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
768 91 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
769 91 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
770 91 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
771 91 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
772 91 : return y;
773 : }
774 :
775 : static GEN
776 495684 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
777 : {
778 : GEN y;
779 : long s;
780 495684 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
781 495551 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
782 495551 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
783 495551 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
784 495551 : return y;
785 : }
786 :
787 : /* shallow basistoalg */
788 : static GEN
789 386904 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
790 : {
791 386904 : switch(typ(x))
792 : {
793 383558 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
794 3346 : default: return basistoalg(nf, x);
795 : }
796 : }
797 : static GEN
798 36925 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
799 : {
800 : long i, l;
801 36925 : GEN y = cgetg_copy(x,&l);
802 36925 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
803 36925 : return y;
804 : }
805 :
806 : static GEN
807 36911 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
808 : {
809 : GEN y, nf;
810 36911 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
811 36911 : nf = checknf(p);
812 36911 : x = nfVtoalg(nf, x);
813 36911 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
814 36911 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
815 36911 : gel(y,15) = mkvec(p);
816 36911 : return y;
817 : }
818 :
819 : static GEN
820 29878 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
821 : {
822 : long i;
823 : GEN y, disc;
824 29878 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
825 24936 : if (abscmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
826 2723 : return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
827 22213 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
828 22217 : if (!signe(disc)) return NULL;
829 310910 : for(i=1;i<=13;i++)
830 288699 : gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
831 22211 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
832 22213 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
833 22212 : return y;
834 : }
835 :
836 : static GEN
837 113018 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
838 : {
839 : GEN y;
840 113018 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
841 110127 : return FF_ellinit(y,fg);
842 : }
843 :
844 : static GEN
845 3024 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
846 : {
847 3024 : GEN e = vecslice(x,1,5);
848 : GEN p, modP;
849 3024 : if (get_modpr(P))
850 : { /* modpr accept */
851 2877 : modP = P;
852 2877 : p = modpr_get_p(modP);
853 : }
854 : else
855 : { /* pr, initialize modpr */
856 147 : GEN d = Q_denom(e);
857 147 : p = pr_get_p(P);
858 147 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
859 : }
860 3024 : *pp = p;
861 3024 : *pT = modpr_get_T(modP);
862 3024 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
863 : }
864 : static GEN
865 3024 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
866 : {
867 : GEN T,p;
868 3024 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
869 3024 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
870 : }
871 :
872 : GEN
873 677029 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
874 : {
875 677029 : pari_sp av = avma;
876 : GEN y;
877 677029 : switch(typ(x))
878 : {
879 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
880 : case t_VEC:
881 677022 : if (lg(x) > 6) checkell(x);
882 677023 : break;
883 0 : default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
884 : }
885 677029 : if (D && get_prid(D))
886 : {
887 2604 : if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
888 2604 : y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
889 2604 : goto END;
890 : }
891 674425 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
892 : {
893 : case t_PADIC:
894 91 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
895 91 : break;
896 : case t_INTMOD:
897 26861 : y = ellinit_Fp(x, D);
898 26860 : break;
899 : case t_FFELT:
900 112822 : y = ellinit_Fq(x, D);
901 112822 : break;
902 : case t_FRAC:
903 495684 : y = ellinit_Q(x, prec);
904 495677 : break;
905 : case t_REAL:
906 21 : y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
907 21 : break;
908 : case t_VEC:
909 36337 : y = ellinit_nf(x, D);
910 36337 : break;
911 : default:
912 2562 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
913 : }
914 : END:
915 676974 : if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
916 669001 : return gerepilecopy(av,y);
917 : }
918 :
919 : /********************************************************************/
920 : /** **/
921 : /** COORDINATE CHANGE **/
922 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
923 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
924 : /** verbatim **/
925 : /** **/
926 : /********************************************************************/
927 : /* [1,0,0,0] */
928 : static GEN
929 3267376 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
930 : static int
931 456141 : is_trivial_change(GEN v)
932 : {
933 : GEN u, r, s, t;
934 456141 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
935 456141 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
936 456141 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
937 : }
938 :
939 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
940 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
941 : static void
942 476 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
943 : {
944 476 : GEN v = *vtotal;
945 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
946 :
947 952 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
948 455 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
949 455 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
950 455 : U2 = gsqr(U);
951 455 : gel(v,1) = gmul(U, u);
952 455 : gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
953 455 : gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
954 455 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
955 : }
956 :
957 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
958 : GEN
959 21 : ellchangeinvert(GEN w)
960 : {
961 : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
962 21 : if (typ(w) == t_INT) return w;
963 21 : u = gel(w,1);
964 21 : r = gel(w,2);
965 21 : s = gel(w,3);
966 21 : t = gel(w,4);
967 21 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
968 21 : U = ginv(u);
969 21 : R = gdiv(gneg(r), u2);
970 21 : S = gdiv(gneg(s), u);
971 21 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
972 21 : return mkvec4(U,R,S,T);
973 : }
974 :
975 : static GEN
976 99218 : ell_to_nfell10(GEN e)
977 : {
978 : long i;
979 99218 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
980 99218 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
981 1091398 : for(i=1; i<=10; i++)
982 992180 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
983 99218 : return y;
984 : }
985 :
986 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
987 : static GEN
988 153363 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
989 : {
990 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
991 : long lx;
992 153363 : if (gequal1(u)) return e;
993 152950 : y = cgetg_copy(e, &lx);
994 152950 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
995 152950 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
996 152950 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
997 152950 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
998 152950 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
999 152950 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
1000 152950 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
1001 152950 : if (lx == 6) return y;
1002 152943 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
1003 152943 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
1004 152943 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
1005 152943 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
1006 152943 : return y;
1007 : }
1008 : /* apply [1,r,0,0] */
1009 : static GEN
1010 267162 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
1011 : {
1012 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1013 : long lx;
1014 267162 : if (gequal0(r)) return e;
1015 238840 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1016 238840 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
1017 238840 : rx3 = gmulsg(3,r);
1018 :
1019 238840 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
1020 : /* A2 = a2 + 3r */
1021 238840 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
1022 : /* A3 = a1 r + a3 */
1023 238840 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
1024 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1025 238840 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
1026 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1027 238840 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
1028 238840 : if (lx == 6) return y;
1029 :
1030 238833 : b4 = ell_get_b4(e);
1031 238833 : b6 = ell_get_b6(e);
1032 : /* B2 = 12r + b2 */
1033 238833 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1034 238833 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
1035 238833 : r2 = nfsqr(nf,r);
1036 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1037 238833 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
1038 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1039 238833 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
1040 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1041 238833 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
1042 238833 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
1043 238833 : return y;
1044 : }
1045 :
1046 : static GEN
1047 109550 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
1048 : {
1049 : GEN a1, y;
1050 109550 : if (gequal0(s)) return e;
1051 109550 : a1 = ell_get_a1(e);
1052 109550 : y = leafcopy(e);
1053 :
1054 : /* A1 = a1 + 2s */
1055 109550 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1056 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1057 109550 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1058 : /* A4 = a4 - s a3 */
1059 109550 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
1060 109550 : return y;
1061 : }
1062 : /* apply [1,0,0,t] */
1063 : static GEN
1064 251783 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
1065 : {
1066 : GEN a1, a3, y;
1067 251783 : if (gequal0(t)) return e;
1068 251363 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1069 251363 : y = leafcopy(e);
1070 : /* A3 = 2t + a3 */
1071 251363 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
1072 : /* A4 = a4 - a1 t */
1073 251363 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
1074 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1075 251363 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1076 251363 : return y;
1077 : }
1078 :
1079 : /* apply [1,0,s,t] */
1080 : static GEN
1081 12901 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1082 : {
1083 : GEN y, a1, a3;
1084 12901 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1085 12481 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1086 12481 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1087 12481 : y = leafcopy(e);
1088 : /* A1 = a1 + 2s */
1089 12481 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1090 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1091 12481 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1092 : /* A3 = 2t + a3 */
1093 12481 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1094 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1095 12481 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1096 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1097 12481 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1098 12481 : return y;
1099 : }
1100 :
1101 : static GEN
1102 171059 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1103 : {
1104 171059 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1105 171059 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1106 : }
1107 :
1108 : /* apply [1,r,s,t] */
1109 : static GEN
1110 420 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1111 : {
1112 420 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1113 420 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1114 : }
1115 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1116 : static GEN
1117 420 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1118 : {
1119 420 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1120 420 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1121 420 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1122 : }
1123 :
1124 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1125 : static GEN
1126 73052 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1127 : {
1128 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1129 : long lx;
1130 73052 : if (gequal1(u)) return e;
1131 72751 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1132 72751 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1133 72751 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1134 72751 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1135 72751 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1136 72751 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1137 72751 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1138 72751 : if (lx == 6) return y;
1139 72751 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1140 72751 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1141 72751 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1142 72751 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1143 72751 : u12 = gsqr(u6);
1144 72751 : D = ell_get_disc(e);
1145 72751 : c4 = ell_get_c4(e);
1146 72751 : c6 = ell_get_c6(e);
1147 72751 : c4 = gmul(c4, u4);
1148 72751 : c6 = gmul(c6, u6);
1149 72751 : D = gmul(D, u12);
1150 72751 : gel(y,10)= c4;
1151 72751 : gel(y,11)= c6;
1152 72751 : gel(y,12)= D;
1153 72751 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1154 72751 : gel(y,14)= gel(e,14);
1155 72751 : gel(y,15)= gel(e,15);
1156 72751 : gel(y,16)= gel(e,16);
1157 72751 : return y;
1158 : }
1159 : /* apply [1,r,0,0] */
1160 : static GEN
1161 611149 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1162 : {
1163 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1164 611149 : if (gequal0(r)) return e;
1165 511805 : y = leafcopy(e);
1166 511805 : a2 = ell_get_a2(e);
1167 511805 : rx3 = gmulsg(3,r);
1168 :
1169 : /* A2 = a2 + 3r */
1170 511805 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1171 : /* A3 = a1 r + a3 */
1172 511805 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1173 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1174 511805 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1175 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1176 511805 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1177 511805 : if (lg(y) == 6) return y;
1178 :
1179 511798 : b4 = ell_get_b4(e);
1180 511798 : b6 = ell_get_b6(e);
1181 : /* B2 = 12r + b2 */
1182 511798 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1183 511798 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1184 511798 : r2 = gsqr(r);
1185 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1186 511798 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1187 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1188 511798 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1189 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1190 511798 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1191 511798 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1192 511798 : return y;
1193 : }
1194 : /* apply [1,0,s,0] */
1195 : static GEN
1196 117992 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1197 : {
1198 : GEN a1, y;
1199 117992 : if (gequal0(s)) return e;
1200 117992 : a1 = ell_get_a1(e);
1201 117992 : y = leafcopy(e);
1202 :
1203 : /* A1 = a1 + 2s */
1204 117992 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1205 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1206 117992 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1207 : /* A4 = a4 - s a3 */
1208 117992 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1209 117992 : return y;
1210 : }
1211 : /* apply [1,0,0,t] */
1212 : static GEN
1213 344925 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1214 : {
1215 : GEN a1, a3, y;
1216 344925 : if (gequal0(t)) return e;
1217 275016 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1218 275016 : y = leafcopy(e);
1219 : /* A3 = 2t + a3 */
1220 275016 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1221 : /* A4 = a4 - a1 t */
1222 275016 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1223 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1224 275016 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1225 275016 : return y;
1226 : }
1227 : /* apply [1,0,s,t] */
1228 : static GEN
1229 347452 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1230 : {
1231 : GEN y, a1, a3;
1232 347452 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1233 245980 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1234 127988 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1235 127988 : y = leafcopy(e);
1236 : /* A1 = a1 + 2s */
1237 127988 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1238 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1239 127988 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1240 : /* A3 = 2t + a3 */
1241 127988 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1242 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1243 127988 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1244 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1245 127988 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1246 127988 : return y;
1247 : }
1248 : /* apply [1,r,s,t] */
1249 : static GEN
1250 347452 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1251 : {
1252 347452 : e = coordch_r(e, r);
1253 347452 : return coordch_st(e, s, t);
1254 : }
1255 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1256 : static GEN
1257 72198 : coordch(GEN e, GEN w)
1258 : {
1259 72198 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1260 72198 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1261 72198 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1262 : }
1263 :
1264 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1265 : * (dynamic data) */
1266 : static GEN
1267 7 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1268 : {
1269 7 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1270 7 : long prec = valp(p);
1271 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1272 7 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1273 : {
1274 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1275 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1276 : }
1277 7 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1278 : {
1279 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1280 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1281 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1282 7 : U = gmul(U, u);
1283 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1284 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1285 : }
1286 7 : return E;
1287 : }
1288 :
1289 : /* common to Q and Rg */
1290 : static GEN
1291 36771 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1292 : {
1293 36771 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1294 36771 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1295 28 : obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1296 36771 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1297 28 : obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
1298 36771 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1299 : {
1300 28 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1301 : long i;
1302 28 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1303 28 : obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
1304 : }
1305 36771 : return E;
1306 : }
1307 :
1308 : static GEN
1309 28 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1310 : {
1311 28 : GEN p = NULL;
1312 28 : long prec = ellR_get_prec(E);
1313 28 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1314 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1315 : }
1316 :
1317 : static GEN
1318 36771 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1319 : {
1320 36771 : long prec = ellR_get_prec(E);
1321 36771 : GEN S, v = NULL, p = NULL;
1322 36771 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1323 36764 : ch_R(E, e, w);
1324 36764 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1325 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1326 36764 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1327 : {
1328 882 : if (lg(S) == 2)
1329 : { /* model was minimal */
1330 7 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1331 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1332 7 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1333 : }
1334 : else
1335 : {
1336 875 : v = gel(S,2);
1337 875 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
1338 861 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1339 : else
1340 : {
1341 14 : w = ellchangeinvert(w);
1342 14 : gcomposev(&w, v); v = w;
1343 14 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1344 14 : gel(S,2) = v;
1345 : }
1346 875 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1347 : }
1348 : }
1349 36764 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1350 14 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1351 36764 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1352 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1353 36764 : return E;
1354 : }
1355 :
1356 : static void
1357 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1358 : {
1359 : GEN S;
1360 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1361 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1362 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1363 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1364 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1365 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1366 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1367 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1368 126 : }
1369 :
1370 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1371 : static GEN
1372 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1373 : {
1374 7 : long prec = 0;
1375 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1376 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1377 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1378 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1379 : }
1380 : static GEN
1381 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1382 : {
1383 119 : long prec = 0;
1384 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1385 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1386 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1387 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1388 : }
1389 :
1390 : static void
1391 72128 : ell_reset(GEN E)
1392 72128 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1393 :
1394 : GEN
1395 72149 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1396 : {
1397 72149 : pari_sp av = avma;
1398 : GEN E;
1399 72149 : checkell5(e);
1400 72149 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1401 72142 : checkcoordch(w);
1402 72142 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1403 72142 : if (lg(E) != 6)
1404 : {
1405 72128 : ell_reset(E);
1406 72128 : switch(ell_get_type(E))
1407 : {
1408 7 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1409 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1410 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1411 35917 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1412 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1413 : }
1414 : }
1415 72142 : return gerepilecopy(av, E);
1416 : }
1417 :
1418 : /* v o= [1,r,0,0] */
1419 : static void
1420 164045 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1421 : {
1422 164045 : GEN v = *vtotal;
1423 : GEN U2, R, S, T;
1424 328090 : if (gequal0(r)) return;
1425 95683 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1426 95683 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1427 95683 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1428 95683 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1429 : }
1430 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1431 : static void
1432 109550 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1433 : {
1434 109550 : GEN v = *vtotal;
1435 : GEN U, S;
1436 109550 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1437 109550 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1438 109550 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1439 109550 : }
1440 : /* v o= [1,0,0,t] */
1441 : static void
1442 253610 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1443 : {
1444 253610 : GEN v = *vtotal;
1445 : GEN U3, U, T;
1446 507220 : if (gequal0(t)) return;
1447 80304 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1448 80304 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1449 80304 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1450 : }
1451 : /* v o= [1,r,0,t] */
1452 : static void
1453 251538 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1454 : {
1455 251538 : GEN v = *vtotal;
1456 : GEN U2, U, R, S, T;
1457 503076 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1458 171059 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1459 171059 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1460 171059 : U2 = nfsqr(nf,U);
1461 171059 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1462 171059 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1463 : }
1464 : /* v o= [1,0,s,t] */
1465 : static void
1466 184114 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1467 : {
1468 184114 : GEN v = *vtotal;
1469 : GEN U3, U, S, T;
1470 184114 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1471 122031 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1472 12481 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1473 12481 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1474 12481 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1475 12481 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1476 : }
1477 :
1478 : /* v o= [u,0,0,0] */
1479 : static void
1480 152943 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1481 : {
1482 152943 : GEN v = *vtotal;
1483 152943 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1484 152943 : }
1485 :
1486 : /* X = (x-r)/u^2
1487 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1488 : static GEN
1489 525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1490 : {
1491 : GEN a, x, y;
1492 525 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1493 511 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1494 511 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1495 : }
1496 :
1497 : GEN
1498 525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1499 : {
1500 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1501 525 : long tx, i, lx = lg(x);
1502 525 : pari_sp av = avma;
1503 :
1504 525 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1505 525 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1506 525 : checkcoordch(ch);
1507 525 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1508 525 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1509 525 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1510 525 : tx = typ(gel(x,1));
1511 525 : if (is_matvec_t(tx))
1512 : {
1513 21 : y = cgetg(lx,tx);
1514 42 : for (i=1; i<lx; i++)
1515 21 : gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1516 : }
1517 : else
1518 504 : y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
1519 525 : return gerepilecopy(av,y);
1520 : }
1521 :
1522 : /* x = u^2*X + r
1523 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1524 : static GEN
1525 63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1526 : {
1527 : GEN a, X, Y;
1528 63 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1529 63 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1530 63 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1531 : }
1532 : GEN
1533 63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1534 : {
1535 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1536 63 : long tx, i, lx = lg(x);
1537 63 : pari_sp av = avma;
1538 :
1539 63 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1540 63 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1541 63 : checkcoordch(ch);
1542 63 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1543 63 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1544 63 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1545 63 : tx = typ(gel(x,1));
1546 63 : if (is_matvec_t(tx))
1547 : {
1548 7 : y = cgetg(lx,tx);
1549 14 : for (i=1; i<lx; i++)
1550 7 : gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1551 : }
1552 : else
1553 56 : y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
1554 63 : return gerepilecopy(av,y);
1555 : }
1556 :
1557 : GEN
1558 28385 : elltwist(GEN E, GEN P)
1559 : {
1560 28385 : pari_sp av = avma;
1561 : GEN a1, a2, a3, a4, a6;
1562 : GEN a, b, c, ac, D, D2;
1563 : GEN V;
1564 28385 : checkell(E);
1565 28385 : if (!P)
1566 : {
1567 : GEN a4, a6;
1568 27188 : checkell_Fq(E);
1569 27188 : switch (ell_get_type(E))
1570 : {
1571 : case t_ELL_Fp:
1572 : {
1573 0 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
1574 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
1575 27188 : return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
1576 : }
1577 : case t_ELL_Fq:
1578 27188 : return FF_elltwist(E);
1579 : }
1580 : }
1581 1197 : a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
1582 1197 : a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
1583 1197 : if (typ(P) == t_INT)
1584 : {
1585 1183 : if (equali1(P))
1586 182 : retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
1587 1001 : P = quadpoly(P);
1588 : } else
1589 : {
1590 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1591 14 : if (degpol(P) != 2 )
1592 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1593 : }
1594 1015 : a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
1595 1015 : ac = gmul(a, c);
1596 1015 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
1597 1015 : D2 = gsqr(D);
1598 1015 : V = cgetg(6, t_VEC);
1599 1015 : gel(V, 1) = gmul(a1, b);
1600 1015 : gel(V, 2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1601 1015 : gel(V, 3) = gmul(gmul(a3, b), D);
1602 1015 : gel(V, 4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
1603 1015 : gel(V, 5) = gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
1604 1015 : return gerepilecopy(av, V);
1605 : }
1606 :
1607 : /********************************************************************/
1608 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1609 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1610 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1611 : /********************************************************************/
1612 :
1613 : static long
1614 2583 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1615 2583 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1616 :
1617 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1618 : * ellminimalmodel / get_u; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1619 : * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1620 : * Good case if reduction in get_u i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1621 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1622 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1623 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1624 : * After rescaling in get_u (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1625 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1626 : static long
1627 364 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1628 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1629 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1630 : long v4, v6, vD;
1631 :
1632 364 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1633 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1634 :
1635 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1636 308 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1637 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1638 301 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1639 :
1640 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1641 301 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1642 :
1643 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1644 238 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1645 168 : vD = vali(disc);
1646 168 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1647 161 : return -8;
1648 : }
1649 :
1650 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
1651 : It also has minimal conductor in Z[1/2]
1652 : */
1653 : GEN
1654 497 : ellminimaltwist(GEN e)
1655 : {
1656 497 : pari_sp av = avma;
1657 497 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1658 : long i, lF;
1659 497 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1660 497 : c4 = ell_get_c4(E);
1661 497 : c6 = ell_get_c6(E);
1662 497 : disc = ell_get_disc(E);
1663 497 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1664 497 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1665 497 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1666 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1667 : * then apply get_u(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3 and
1668 : * v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1669 1995 : for(i = 1; i < lF; i++)
1670 : {
1671 1498 : GEN p = gel(F, i);
1672 1498 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1673 1498 : if (vg < 6) continue;
1674 : /* twist by fund. discriminant d2; in get_u, we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1675 1092 : switch(itou_or_0(p))
1676 : {
1677 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1678 434 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1679 434 : break;
1680 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1681 294 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1682 294 : break;
1683 : case 2:
1684 364 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1685 364 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1686 364 : break;
1687 : }
1688 : }
1689 497 : obj_free(E);
1690 497 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1691 : }
1692 :
1693 : /*
1694 : Reference:
1695 : William A. Stein and Mark Watkins
1696 : A Database of Elliptic Curves-First Report
1697 : ANTS 5
1698 : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
1699 : */
1700 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1701 : GEN
1702 231 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1703 : {
1704 231 : pari_sp av = avma;
1705 231 : GEN D = ellminimaltwist(e);
1706 231 : GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
1707 231 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1708 231 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1709 231 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1710 217 : else if (f==6)
1711 : {
1712 14 : if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
1713 : else
1714 : {
1715 7 : long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
1716 7 : D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
1717 : }
1718 : }
1719 231 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1720 : }
1721 :
1722 : GEN
1723 441 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1724 : {
1725 441 : switch(flag)
1726 : {
1727 : case 0:
1728 266 : return ellminimaltwist(e);
1729 : case 1:
1730 175 : return ellminimaltwistcond(e);
1731 : }
1732 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1733 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1734 : }
1735 :
1736 : static long
1737 7 : ellexpo(GEN E)
1738 : {
1739 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1740 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1741 : {
1742 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1743 35 : if (f > e) e = f;
1744 : }
1745 7 : return e;
1746 : }
1747 :
1748 : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
1749 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1750 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1751 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1752 : int
1753 15596 : oncurve(GEN e, GEN z)
1754 : {
1755 : GEN LHS, RHS, x;
1756 : long pl, pr, ex, expx;
1757 : pari_sp av;
1758 :
1759 15596 : checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1760 15519 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1761 15519 : av = avma;
1762 15519 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1763 15519 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1764 15519 : if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
1765 21 : pl = precision(LHS);
1766 21 : pr = precision(RHS);
1767 21 : if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
1768 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1769 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1770 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
1771 7 : expx = gexpo(x);
1772 13 : pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
1773 7 : || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
1774 7 : avma = av; return pr;
1775 : }
1776 :
1777 : GEN
1778 16730 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1779 : {
1780 16730 : long i, tx = typ(x), lx;
1781 :
1782 16730 : checkell(e);
1783 16730 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1784 16730 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1785 16730 : tx = typ(gel(x,1));
1786 16730 : if (is_vec_t(tx))
1787 : {
1788 1687 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1789 1687 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1790 1687 : return z;
1791 : }
1792 15043 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1793 : }
1794 :
1795 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1796 : static GEN
1797 1848 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
1798 : {
1799 : GEN dy,dx;
1800 1848 : if (y1 != y2)
1801 : {
1802 : int eq;
1803 245 : if (precision(y1) || precision(y2))
1804 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1805 : else
1806 238 : eq = gequal(y1,y2);
1807 245 : if (!eq) return NULL;
1808 : }
1809 1841 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
1810 1841 : if (gequal0(dx)) return NULL;
1811 1806 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1812 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
1813 1806 : return gdiv(dy,dx);
1814 : }
1815 : static GEN
1816 9471 : get_slope(GEN e, GEN x1, GEN x2, GEN y1, GEN y2)
1817 : {
1818 : GEN dy,dx;
1819 9471 : if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
1820 1848 : return slope_samex(e, x1, y1, y2);
1821 7623 : dx = gsub(x2,x1);
1822 7623 : if (typ(dx) == t_COMPLEX) /* its Norm may be 0 */
1823 : {
1824 0 : GEN N = gnorm(dx);
1825 0 : if (gequal0(N)) return slope_samex(e,x1,y1,y2);
1826 0 : dy = gsub(y2,y1);
1827 0 : return gdiv(gmul(dy,gconj(dx)),N); /* dy/dx */
1828 : }
1829 7623 : dy = gsub(y2,y1);
1830 7623 : return gdiv(dy,dx);
1831 : }
1832 :
1833 : GEN
1834 13524 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1835 : {
1836 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
1837 13524 : pari_sp av = avma;
1838 :
1839 13524 : checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
1840 13524 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1841 11123 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1842 :
1843 9471 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1844 9471 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1845 9471 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1846 : {
1847 476 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1848 476 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1849 476 : x2 = nftoalg(nf, x2);
1850 476 : y1 = nftoalg(nf, y1);
1851 476 : y2 = nftoalg(nf, y2);
1852 : }
1853 9471 : s = get_slope(e,x1,x2,y1,y2);
1854 9471 : if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
1855 9429 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1856 9429 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
1857 9429 : z = cgetg(3,t_VEC);
1858 9429 : gel(z,1) = gcopy(x);
1859 9429 : gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
1860 : }
1861 :
1862 : static GEN
1863 49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1864 : {
1865 : GEN t, x, y;
1866 49 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1867 49 : x = gel(z,1);
1868 49 : y = gel(z,2);
1869 49 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1870 : {
1871 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1872 0 : x = nftoalg(nf,x);
1873 0 : y = nftoalg(nf,y);
1874 : }
1875 49 : t = cgetg(3,t_VEC);
1876 49 : gel(t,1) = x;
1877 49 : gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
1878 49 : return t;
1879 : }
1880 :
1881 : GEN
1882 826 : ellneg(GEN e, GEN z)
1883 : {
1884 : pari_sp av;
1885 : GEN t, y;
1886 826 : checkell(e); checkellpt(z);
1887 826 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1888 826 : t = cgetg(3,t_VEC);
1889 826 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
1890 826 : av = avma;
1891 826 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
1892 826 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
1893 826 : return t;
1894 : }
1895 :
1896 : GEN
1897 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1898 : {
1899 49 : pari_sp av = avma;
1900 49 : checkell(e); checkellpt(z2);
1901 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
1902 : }
1903 :
1904 : /* E an ell, x a scalar */
1905 : static GEN
1906 2100 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
1907 : {
1908 2100 : pari_sp av = avma;
1909 2100 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
1910 :
1911 2100 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1912 : {
1913 518 : nf = ellnf_get_nf(E);
1914 518 : x = nftoalg(nf,x);
1915 : }
1916 2100 : a = ec_f_evalx(E,x);
1917 2100 : b = ec_h_evalx(E,x);
1918 2100 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
1919 : /* solve y*(y+b) = a */
1920 2100 : if (gequal0(D)) {
1921 574 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1922 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
1923 574 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
1924 574 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
1925 574 : return gerepileupto(av,y);
1926 : }
1927 : /* D != 0 */
1928 1526 : switch(ell_get_type(E))
1929 : {
1930 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
1931 28 : p = ellff_get_p(E);
1932 28 : D = gel(D,2);
1933 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1934 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
1935 7 : break;
1936 : case t_ELL_Fq:
1937 210 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1938 : {
1939 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
1940 77 : if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1941 42 : return gerepileupto(av, F);
1942 : }
1943 133 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1944 63 : break;
1945 : case t_ELL_Q:
1946 756 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
1947 749 : if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1948 462 : break;
1949 :
1950 : case t_ELL_NF:
1951 : {
1952 511 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
1953 511 : setvarn(T, fetch_var_higher());
1954 511 : d = nfroots(nf, T);
1955 511 : delete_var();
1956 511 : if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
1957 497 : d = gel(d,1);
1958 497 : break;
1959 : }
1960 :
1961 : case t_ELL_Qp:
1962 14 : p = ellQp_get_p(E);
1963 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
1964 14 : if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1965 14 : d = Qp_sqrt(D);
1966 14 : break;
1967 :
1968 : default:
1969 7 : d = gsqrt(D,prec);
1970 : }
1971 1057 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
1972 1057 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
1973 1057 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
1974 1057 : return gerepileupto(av,y);
1975 : }
1976 :
1977 : GEN
1978 2100 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
1979 : {
1980 2100 : checkell(e);
1981 2100 : if (is_matvec_t(typ(x)))
1982 : {
1983 : long i, lx;
1984 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
1985 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
1986 0 : return v;
1987 : }
1988 2100 : return ellordinate_i(e, x, prec);
1989 : }
1990 :
1991 : GEN
1992 244062 : ellrandom(GEN E)
1993 : {
1994 : GEN fg;
1995 244062 : checkell_Fq(E);
1996 244062 : fg = ellff_get_field(E);
1997 244062 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1998 244034 : return FF_ellrandom(E);
1999 : else
2000 : {
2001 28 : pari_sp av = avma;
2002 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
2003 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
2004 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
2005 28 : return gerepileupto(av, P);
2006 : }
2007 : }
2008 :
2009 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
2010 : static GEN
2011 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
2012 : {
2013 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
2014 : long ln, vn;
2015 :
2016 14 : if (typ(N) != t_INT)
2017 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
2018 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
2019 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
2020 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
2021 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
2022 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
2023 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
2024 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
2025 : do
2026 : {
2027 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
2028 : do
2029 : {
2030 28 : long ep = (-valp(z2)) >> 1;
2031 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
2032 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
2033 : }
2034 28 : while (valp(z2) <= 0);
2035 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
2036 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
2037 21 : if (!signe(z2)) break;
2038 7 : z2 = ginv(z2);
2039 : }
2040 7 : while (degpol(p1) < vn);
2041 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
2042 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
2043 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
2044 14 : b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
2045 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
2046 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
2047 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
2048 :
2049 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
2050 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
2051 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
2052 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
2053 :
2054 14 : x = gdiv(p1,q1);
2055 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
2056 14 : x = gsub(x, b2ov12);
2057 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
2058 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
2059 : }
2060 :
2061 : static GEN
2062 616 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
2063 : static GEN
2064 175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
2065 :
2066 : static GEN
2067 248516 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
2068 : {
2069 248516 : GEN fg = ellff_get_field(E);
2070 248516 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2071 247450 : return FF_ellmul(E, P, n);
2072 : else
2073 : {
2074 1066 : pari_sp av = avma;
2075 1066 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
2076 1066 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
2077 1065 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
2078 1010 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
2079 1010 : return gerepileupto(av, Q);
2080 : }
2081 : }
2082 : /* [n] z, n integral */
2083 : static GEN
2084 249027 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
2085 : {
2086 : long s;
2087 249027 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2088 249027 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
2089 511 : s = signe(n);
2090 511 : if (!s) return ellinf();
2091 462 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2092 462 : if (is_pm1(n)) return z;
2093 378 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2094 : }
2095 :
2096 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2097 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2098 : static long
2099 42 : myroundr(GEN *px)
2100 : {
2101 42 : GEN x = *px;
2102 : long e;
2103 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2104 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2105 42 : if (e >= -5) return NO;
2106 42 : return OK;
2107 : }
2108 :
2109 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2110 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2111 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2112 : static GEN
2113 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2114 : {
2115 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2116 : long prec;
2117 :
2118 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2119 14 : switch(typ(Q))
2120 : {
2121 : case t_COMPLEX:
2122 0 : D = utoineg(4);
2123 0 : v = gel(Q,2);
2124 0 : break;
2125 : case t_QUAD:
2126 14 : D = quad_disc(Q);
2127 14 : v = gel(Q,3);
2128 14 : break;
2129 : default:
2130 0 : return NULL; /*-Wall*/
2131 : }
2132 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2133 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
2134 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2135 14 : prec = precision(tau);
2136 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2137 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2138 : * Compute f*k */
2139 14 : x = gel(tau,1);
2140 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2141 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2142 14 : switch(myroundr(&fk))
2143 : {
2144 0 : case NO: return NULL;
2145 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2146 : }
2147 14 : fk = absi(fk);
2148 :
2149 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2150 14 : switch(myroundr(&fkb))
2151 : {
2152 0 : case NO: return NULL;
2153 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2154 : }
2155 :
2156 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2157 14 : switch(myroundr(&fkc))
2158 : {
2159 0 : case NO: return NULL;
2160 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2161 : }
2162 :
2163 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2164 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2165 14 : dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2166 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2167 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2168 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2169 14 : v = dvmdii(absi(v), q, &r);
2170 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2171 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2172 : }
2173 :
2174 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2175 : static GEN
2176 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2177 : {
2178 : GEN A, B, q;
2179 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2180 14 : q = CM_factor(e, w);
2181 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2182 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2183 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2184 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2185 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2186 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2187 7 : GEN u = gtrace(w);
2188 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2189 7 : u = shifti(u, -1);
2190 7 : if (signe(u))
2191 : {
2192 0 : w = gsub(w, u);
2193 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2194 : }
2195 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2196 : }
2197 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2198 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2199 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2200 14 : return elladd(e, A, B);
2201 : }
2202 : GEN
2203 249083 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2204 : {
2205 249083 : pari_sp av = avma;
2206 :
2207 249083 : checkell(e); checkellpt(z);
2208 249076 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2209 249020 : switch(typ(n))
2210 : {
2211 249006 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
2212 : case t_QUAD: {
2213 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2214 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2215 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2216 : }
2217 : case t_COMPLEX: {
2218 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2219 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2220 : }
2221 : }
2222 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2223 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2224 : }
2225 :
2226 : /********************************************************************/
2227 : /** **/
2228 : /** Periods **/
2229 : /** **/
2230 : /********************************************************************/
2231 :
2232 : /* References:
2233 : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
2234 : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
2235 : */
2236 :
2237 : static GEN
2238 3809 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
2239 : {
2240 3809 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
2241 3809 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
2242 3809 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
2243 : }
2244 :
2245 : static GEN
2246 2990 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
2247 : {
2248 2990 : pari_sp av = avma;
2249 2990 : GEN roots = ellR_roots(E,prec);
2250 2990 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
2251 2990 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
2252 2990 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
2253 : }
2254 :
2255 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
2256 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
2257 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
2258 : static GEN
2259 3809 : doellR_omega(GEN E, long prec)
2260 : {
2261 3809 : pari_sp av = avma;
2262 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
2263 3809 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
2264 819 : roots = ellR_roots(E,prec);
2265 819 : d2 = gel(roots,5);
2266 819 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
2267 819 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
2268 819 : b = gel(z,2);
2269 819 : c = gabs(z, prec);
2270 819 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
2271 819 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
2272 : }
2273 : static GEN
2274 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
2275 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
2276 :
2277 : GEN
2278 4865 : ellR_omega(GEN E, long prec)
2279 4865 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
2280 : GEN
2281 84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
2282 84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
2283 : GEN
2284 5181 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2285 5181 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2286 :
2287 : GEN
2288 2114 : ellR_area(GEN E, long prec)
2289 : {
2290 2114 : pari_sp av = avma;
2291 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2292 2114 : w = ellR_omega(E, prec);
2293 2114 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2294 2114 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2295 2114 : return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2296 : }
2297 :
2298 : /********************************************************************/
2299 : /** **/
2300 : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
2301 : /** **/
2302 : /********************************************************************/
2303 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
2304 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
2305 : static GEN
2306 0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
2307 : {
2308 0 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
2309 0 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
2310 0 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
2311 0 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
2312 0 : GEN z = gel(om,2);
2313 0 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
2314 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
2315 : else
2316 0 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
2317 0 : return gmul2n(z, -1);
2318 : }
2319 :
2320 : static GEN
2321 35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
2322 : {
2323 35 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2324 35 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2325 35 : if (gequal0(y0))
2326 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
2327 : else
2328 : {
2329 35 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
2330 35 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
2331 35 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2332 35 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2333 35 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
2334 : /* |a+b| < |a-b| */
2335 35 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
2336 35 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2337 : }
2338 : }
2339 :
2340 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
2341 : static GEN
2342 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
2343 : {
2344 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2345 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
2346 : else
2347 : {
2348 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2349 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
2350 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
2351 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
2352 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
2353 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
2354 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
2355 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
2356 : }
2357 : }
2358 :
2359 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
2360 : static GEN
2361 7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
2362 : {
2363 7 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2364 7 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2365 7 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
2366 7 : e1 = gel(R,1);
2367 7 : e2 = gel(R,2);
2368 7 : e3 = gel(R,3);
2369 7 : d2 = gel(R,5);
2370 7 : d3 = gel(R,6);
2371 7 : a = gsqrt(d2,prec);
2372 7 : b = gsqrt(d3,prec);
2373 7 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
2374 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2375 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2376 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2377 : } else {
2378 0 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
2379 0 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
2380 0 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
2381 0 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
2382 : }
2383 : }
2384 :
2385 : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
2386 : * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
2387 : * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
2388 : static GEN
2389 224 : doellQp_root(GEN E, long prec)
2390 : {
2391 224 : GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
2392 : GEN c6p, T, a;
2393 : long alpha;
2394 224 : int pis2 = absequaliu(p, 2);
2395 224 : if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
2396 : /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
2397 224 : alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
2398 224 : if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
2399 : /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
2400 224 : if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
2401 224 : c6p = modii(c6,p);
2402 224 : if (pis2)
2403 : { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
2404 140 : T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, mulis(c4,-9), mulis(c6, -2));
2405 : /* v_2(root a) = 1, i.e. will lose one bit of accuracy: prec+1 */
2406 140 : a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec+1);
2407 140 : alpha -= 2;
2408 : }
2409 84 : else if (absequaliu(p, 3))
2410 : { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
2411 56 : a = Fp_neg(c6p, p);
2412 56 : T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, mulis(c4, -6), negi(c6));
2413 56 : a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
2414 56 : switch(lg(a)-1)
2415 : {
2416 : case 1: /* single root */
2417 28 : a = gel(a,1); break;
2418 : case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
2419 : {
2420 28 : GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
2421 28 : long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
2422 28 : long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
2423 28 : long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
2424 28 : if (v1 == v2) a = a3;
2425 0 : else if (v1 == v3) a = a2;
2426 0 : else a = a1;
2427 : }
2428 28 : break;
2429 : }
2430 56 : alpha--;
2431 : }
2432 : else
2433 : { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
2434 : * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
2435 28 : GEN c4p = modii(c4,p);
2436 28 : a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
2437 28 : T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, mulis(c4, -18), negi(c6));
2438 28 : a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
2439 : }
2440 224 : a = cvtop(a, p, prec);
2441 224 : if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
2442 224 : return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
2443 : }
2444 : GEN
2445 455 : ellQp_root(GEN E, long prec)
2446 455 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
2447 :
2448 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x+a-b) ~ E */
2449 : static void
2450 273 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
2451 : {
2452 273 : GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2453 273 : GEN w, u, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1)), p = ellQp_get_p(E);
2454 273 : w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
2455 273 : u = gadd(t,w);
2456 : /* Decide between w and -w: we want v(a-b) > v(b) */
2457 273 : if (absequaliu(p,2))
2458 203 : { if (valp(u)-1 <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
2459 : else
2460 70 : { if (valp(u) <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
2461 :
2462 : /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
2463 273 : *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
2464 273 : *ptb = gmul2n(w,-1);
2465 273 : }
2466 :
2467 : static GEN
2468 91 : doellQp_Tate(GEN E, long prec0)
2469 : {
2470 91 : GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
2471 : GEN L, u, u2, q, x1, a, b, d, s, t, AB, A, M2;
2472 91 : long v, n, pp, prec = prec0+3;
2473 91 : int split = -1; /* unknown */
2474 91 : int pis2 = equaliu(p,2);
2475 :
2476 91 : if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
2477 : START:
2478 273 : doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
2479 273 : d = gsub(a,b);
2480 273 : v = prec0 - precp(d);
2481 273 : if (v > 0) { prec += v; goto START; }
2482 210 : AB = Qp_agm2_sequence(a,b);
2483 210 : A = gel(AB,1);
2484 210 : n = lg(A)-1; /* AGM iterations */
2485 210 : pp = minss(precp(a),precp(b));
2486 210 : M2 = cvtop(gel(A,n), p, pis2? pp-2*n: pp);
2487 210 : setvalp(M2, valp(a));
2488 210 : u2 = ginv(gmul2n(M2, 2));
2489 210 : if (split < 0) split = issquare(u2);
2490 210 : x1 = gen_0;
2491 210 : Qp_descending_Landen(AB,&x1,NULL);
2492 :
2493 210 : t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
2494 210 : s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
2495 210 : q = gadd(t,s);
2496 210 : if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
2497 210 : v = prec0 - precp(q);
2498 210 : if (split)
2499 : { /* we want log q at precision prec0 */
2500 63 : GEN q0 = leafcopy(q); setvalp(q0, 0);
2501 63 : v += valp(gsubgs(q0,1));
2502 : }
2503 210 : if (v > 0) { prec += v; goto START; }
2504 91 : if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
2505 91 : if (split)
2506 : {
2507 35 : u = Qp_sqrt(u2);
2508 35 : L = gdivgs(Qp_log(q), valp(q));
2509 : }
2510 : else
2511 : {
2512 56 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
2513 56 : u = mkpolmod(pol_x(0), T);
2514 56 : L = gen_1;
2515 : }
2516 91 : return mkvecn(6, u2, u, q, mkvec2(a, b), L, AB);
2517 : }
2518 : static long
2519 581 : Tate_prec(GEN T) { return padicprec_relative(gel(T,3)); }
2520 : GEN
2521 665 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
2522 665 : { return obj_checkbuild_prec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate, &Tate_prec,prec); }
2523 : GEN
2524 168 : ellQp_u(GEN E, long prec)
2525 168 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
2526 : GEN
2527 56 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
2528 56 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
2529 : GEN
2530 105 : ellQp_q(GEN E, long prec)
2531 105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
2532 : GEN
2533 105 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
2534 105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
2535 : GEN
2536 0 : ellQp_L(GEN E, long prec)
2537 0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,5); }
2538 : GEN
2539 147 : ellQp_AGM(GEN E, long prec)
2540 147 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,6); }
2541 :
2542 : static void
2543 7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
2544 : {
2545 7 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
2546 7 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
2547 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
2548 0 : }
2549 : static GEN
2550 161 : get_r0(GEN E, long prec)
2551 : {
2552 161 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2553 161 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2554 : }
2555 : static GEN
2556 112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
2557 : {
2558 112 : pari_sp av = avma;
2559 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
2560 : long vq, vt, Q, R;
2561 112 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
2562 105 : ab = ellQp_ab(E, prec);
2563 105 : u = ellQp_u(E, prec);
2564 105 : q = ellQp_q(E, prec);
2565 105 : a = gel(ab,1);
2566 105 : b = gel(ab,2);
2567 105 : x = gel(P,1);
2568 105 : r0 = get_r0(E, prec);
2569 105 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
2570 105 : if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
2571 98 : r = gsub(a,b);
2572 98 : ar = gmul(a, r);
2573 98 : if (gequal0(c0))
2574 : {
2575 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
2576 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
2577 : }
2578 : else
2579 : {
2580 91 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
2581 91 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
2582 91 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
2583 84 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
2584 : }
2585 91 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
2586 91 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
2587 :
2588 91 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2589 91 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2590 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
2591 91 : if (typ(t) == t_PADIC)
2592 56 : vt = valp(t);
2593 : else
2594 35 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
2595 91 : vq = valp(q); /* > 0 */
2596 91 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
2597 91 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
2598 91 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2599 91 : return gerepileupto(av, t);
2600 : }
2601 :
2602 : static GEN
2603 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
2604 : {
2605 56 : pari_sp av = avma;
2606 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
2607 : long v;
2608 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
2609 :
2610 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
2611 56 : u = ellQp_u(E,prec);
2612 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
2613 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
2614 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
2615 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
2616 56 : r0 = get_r0(E, prec);
2617 :
2618 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
2619 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
2620 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
2621 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
2622 56 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
2623 : }
2624 :
2625 : /* t to w := -1/y */
2626 : GEN
2627 574 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
2628 : {
2629 574 : pari_sp av = avma, av2;
2630 : GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
2631 574 : GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
2632 574 : ulong mask, nold = 1;
2633 574 : if (v < 0) v = 0;
2634 574 : if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
2635 560 : mask = quadratic_prec_mask(n);
2636 560 : t = pol_x(v);
2637 560 : checkell(e);
2638 560 : a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
2639 560 : a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
2640 560 : w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
2641 560 : gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
2642 : /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
2643 : *
2644 : * w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
2645 : * w <- w - -----------------------------------------------------
2646 : * w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
2647 : *
2648 : * w^3 a6 + w^2 U + w V + W
2649 : * =: w - -----------------------
2650 : * w^2 (3a6) + 2w U + V
2651 : */
2652 560 : U = gadd(gmul(a4,t), a3);
2653 560 : U2 = gmul2n(U,1);
2654 560 : V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
2655 560 : W = gpowgs(t,3);
2656 560 : av2 = avma;
2657 3115 : while (mask > 1)
2658 : { /* nold correct terms in w */
2659 1995 : ulong i, nnew = nold << 1;
2660 : GEN num, den, wnew, w2, w3;
2661 1995 : if (mask & 1) nnew--;
2662 1995 : mask >>= 1;
2663 1995 : wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
2664 1995 : wnew[1] = w[1];
2665 1995 : for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
2666 1995 : for ( ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
2667 1995 : w = wnew;
2668 1995 : w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
2669 1995 : num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
2670 1995 : den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
2671 :
2672 1995 : w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
2673 1995 : nold = nnew;
2674 : }
2675 560 : return gerepilecopy(av, w);
2676 : }
2677 :
2678 : static GEN
2679 343 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
2680 343 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
2681 :
2682 : /* t to [x,y] */
2683 : GEN
2684 70 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
2685 : {
2686 70 : pari_sp av = avma;
2687 70 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w);
2688 70 : return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
2689 : }
2690 :
2691 : static GEN
2692 420 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
2693 : {
2694 : GEN x, w1;
2695 420 : if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
2696 : { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
2697 147 : x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
2698 147 : w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
2699 : }
2700 : else
2701 : {
2702 273 : GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
2703 273 : x = gel(P,1);
2704 273 : w1 = gdiv(derivser(x), ec_dmFdy_evalQ(e, P));
2705 : }
2706 420 : *px = x; return w1;
2707 : }
2708 : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
2709 : GEN
2710 70 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
2711 : {
2712 70 : pari_sp av = avma;
2713 70 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
2714 70 : GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2715 70 : return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
2716 : }
2717 :
2718 : /* t to z, dz = w1 dt */
2719 : GEN
2720 147 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
2721 : {
2722 147 : pari_sp av = avma;
2723 147 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
2724 147 : GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2725 147 : return gerepileupto(av, integser(w1));
2726 : }
2727 : /* z to t */
2728 : GEN
2729 70 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
2730 : {
2731 70 : pari_sp av = avma;
2732 70 : return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
2733 : }
2734 : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
2735 : * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
2736 : * sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
2737 : * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
2738 : static GEN
2739 203 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
2740 : {
2741 203 : pari_sp av = avma;
2742 203 : GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = ser_inv(w), t = pol_x(0);
2743 203 : GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2744 203 : GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
2745 203 : return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
2746 : integser(s)));
2747 : }
2748 :
2749 : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
2750 : static int
2751 252 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
2752 : {
2753 252 : pari_sp av = avma;
2754 : GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
2755 252 : if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
2756 245 : P = Q_muli_to_int(P,d);
2757 245 : x = gel(P,1);
2758 245 : y = gel(P,2);
2759 245 : a1 = ell_get_a1(E);
2760 245 : a3 = ell_get_a3(E);
2761 245 : t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
2762 245 : if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
2763 28 : a2 = ell_get_a2(E);
2764 28 : a4 = ell_get_a4(E);
2765 28 : d = Fp_inv(d, p);
2766 28 : x = Fp_mul(x,d,p);
2767 28 : y = Fp_mul(y,d,p);
2768 28 : t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
2769 28 : avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
2770 : }
2771 :
2772 : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
2773 : * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
2774 : GEN
2775 217 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
2776 : {
2777 217 : pari_sp av = avma;
2778 217 : GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
2779 : long i, l;
2780 217 : checkellpt(P);
2781 217 : if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
2782 217 : if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
2783 217 : S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
2784 217 : NP = gmael(S,3,1);
2785 217 : L = gel(S,4);
2786 217 : l = lg(NP);
2787 217 : d = Q_denom(P);
2788 462 : for (i = 1; i < l; i++)
2789 : {
2790 245 : GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
2791 245 : if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
2792 21 : c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
2793 21 : kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
2794 21 : if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
2795 : {
2796 7 : long nu = itos(kod) - 4;
2797 7 : long n = minss(Q_pval(ec_dmFdy_evalQ(E,P), p), nu/2);
2798 7 : nu /= ugcd(nu, n);
2799 7 : g = muliu(g, nu);
2800 7 : P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
2801 7 : d = Q_denom(P);
2802 14 : } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
2803 : { /* either 2 or 4 */
2804 7 : long nu = - itos(kod) - 4;
2805 7 : P = elladd(E, P,P);
2806 7 : d = Q_denom(P);
2807 7 : g = shifti(g,1);
2808 7 : if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
2809 : { /* it's 4 */
2810 7 : P = elladd(E, P,P);
2811 7 : d = Q_denom(P);
2812 7 : g = shifti(g,1);
2813 : }
2814 : } else {
2815 7 : if (absequaliu(c, 4)) c = gen_2;
2816 7 : P = ellmul(E, P, c);
2817 7 : d = Q_denom(P);
2818 7 : g = mulii(g, c);
2819 : }
2820 : }
2821 217 : if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
2822 217 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
2823 : }
2824 :
2825 : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
2826 : * notation (Duke 1991)*/
2827 : static GEN
2828 7434 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
2829 : {
2830 : hashentry *h;
2831 : GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
2832 : ulong m4;
2833 7434 : if (abscmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
2834 : {
2835 322 : case 0: return gen_0;
2836 882 : case 1: return gen_1;
2837 1064 : case 2: return subiu(N,1);
2838 1330 : case 3: return b8;
2839 1386 : case 4: return g4;
2840 : }
2841 2450 : if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
2842 1260 : m4 = mod4(m);
2843 1260 : n = shifti(m, -1); f = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
2844 1260 : np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
2845 1260 : np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
2846 1260 : nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
2847 1260 : nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
2848 1260 : if (odd(m4))
2849 : {
2850 770 : GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
2851 770 : GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
2852 770 : if (mpodd(n))
2853 322 : z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
2854 : else
2855 448 : z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
2856 : }
2857 : else
2858 : {
2859 490 : GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
2860 490 : GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
2861 490 : z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
2862 : }
2863 1260 : hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
2864 1260 : return z;
2865 : }
2866 :
2867 : static GEN
2868 1134 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
2869 : static GEN
2870 756 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
2871 : static GEN
2872 378 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
2873 :
2874 : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
2875 : * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
2876 : * [num,den] (coprime) */
2877 : static GEN
2878 378 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
2879 : {
2880 378 : pari_sp av = avma;
2881 378 : ulong k = expi(m);
2882 378 : hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
2883 : (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
2884 378 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
2885 378 : GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
2886 : GEN B4, B6, B8, T, g4;
2887 378 : GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
2888 378 : GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
2889 378 : GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
2890 378 : GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
2891 378 : GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
2892 378 : B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
2893 : mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
2894 378 : B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
2895 : shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
2896 : b6d3);
2897 378 : B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd, mulii(b4,d2));
2898 :
2899 378 : B4 = modii(B4,N);
2900 378 : B6 = modii(B6,N);
2901 378 : B8 = modii(B8,N);
2902 :
2903 378 : g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
2904 378 : T = Fp_sqr(B6,N);
2905 :
2906 378 : g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
2907 378 : gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
2908 378 : gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
2909 378 : C = Fp_sqr(g, N);
2910 378 : D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
2911 :
2912 378 : if(mpodd(m))
2913 : {
2914 168 : n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
2915 168 : d = Fp_mul(C,d, N);
2916 : }
2917 : else
2918 : {
2919 210 : n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
2920 210 : d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
2921 : }
2922 378 : return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
2923 : }
2924 : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
2925 : * return t = -x/y + O(p^v) */
2926 : static GEN
2927 203 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
2928 : {
2929 203 : GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
2930 : GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
2931 203 : if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
2932 203 : a1 = ell_get_a1(e);
2933 203 : b2 = ell_get_b2(e);
2934 203 : a3 = ell_get_a3(e);
2935 203 : b4 = ell_get_b4(e);
2936 203 : b6 = ell_get_b6(e);
2937 203 : d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
2938 203 : if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
2939 : /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
2940 : * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
2941 203 : d4 = Fp_sqr(d2, N);
2942 203 : d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
2943 203 : B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
2944 203 : C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
2945 : Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
2946 : Fp_mul(b6,d6,N));
2947 203 : C = FpX_eval(C, n, N);
2948 203 : if (!signe(C))
2949 0 : Y = zeropadic(p, v >> 1);
2950 : else
2951 203 : Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
2952 203 : if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
2953 203 : *pd = d;
2954 203 : return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
2955 : }
2956 :
2957 : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
2958 : static long
2959 203 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
2960 : {
2961 203 : double log2p = dbllog2(p);
2962 203 : long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
2963 203 : if (absequaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
2964 : /* guaranteed to work, now optimize */
2965 252 : for (j = i-1; j >= 2; j--)
2966 : {
2967 252 : if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
2968 49 : i = j;
2969 : }
2970 203 : if (j == 1)
2971 : {
2972 0 : if (- absequaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
2973 : }
2974 203 : return i;
2975 : }
2976 : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
2977 : static long
2978 7 : log_prec(GEN p, long v, long t)
2979 : {
2980 7 : double log2p = dbllog2(p);
2981 7 : long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
2982 : /* guaranteed to work, now optimize */
2983 28 : for (j = i-1; j >= 1; j--)
2984 : {
2985 28 : if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
2986 21 : i = j;
2987 : }
2988 7 : return i;
2989 : }
2990 :
2991 : static GEN
2992 210 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
2993 : {
2994 210 : *ab = NULL;
2995 210 : switch(typ(p))
2996 : {
2997 105 : case t_INT: break;
2998 : case t_VEC:
2999 105 : if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
3000 105 : *ab = gel(p,2);
3001 105 : if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
3002 105 : p = gel(p,1);
3003 : }
3004 210 : if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
3005 210 : return p;
3006 : }
3007 :
3008 : static GEN
3009 301 : precp_fix(GEN h, long v)
3010 301 : { return (precp(h) > v)? cvtop(h,gel(h,2),v): h; }
3011 :
3012 : GEN
3013 217 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
3014 : {
3015 217 : pari_sp av = avma;
3016 : GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
3017 : long v, vd;
3018 : int is2;
3019 217 : checkellpt(P);
3020 217 : if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
3021 210 : checkell_Q(e);
3022 210 : p = parse_p(p, &ab);
3023 210 : if (ellorder_Q(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
3024 203 : E = ellanal_globalred(e, &ch);
3025 203 : if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
3026 203 : S = ellnonsingularmultiple(E, P);
3027 203 : P = gel(S,1);
3028 203 : g = gel(S,2);
3029 203 : v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
3030 203 : is2 = absequaliu(p,2);
3031 203 : if (is2) v += 2;
3032 203 : x = gel(P,1);
3033 203 : n = numer(x);
3034 203 : d = denom(x);
3035 203 : x = mkvec2(n, d);
3036 203 : vd = Z_pval(d, p);
3037 203 : if (!vd)
3038 : { /* P not in kernel of reduction mod p */
3039 189 : GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
3040 189 : long w = v+2;
3041 189 : Pp = RgV_to_FpV(P, p);
3042 189 : if (Ep)
3043 189 : m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
3044 : else
3045 : {
3046 0 : m = ellcard(E, p); /* E has bad reduction at p */
3047 0 : if (equalii(m, p)) pari_err_TYPE("ellpadicheight: additive reduction", E);
3048 : }
3049 189 : g = mulii(g,m);
3050 : for(;;)
3051 : {
3052 378 : N = powiu(p, w);
3053 378 : X = xmP(E, x, m, N);
3054 378 : d = gel(X,2);
3055 378 : if (!signe(d))
3056 0 : w <<= 1;
3057 : else
3058 : {
3059 378 : vd = Z_pval(d, p);
3060 378 : if (w >= v+2*vd + is2) break;
3061 189 : w = v+2*vd + is2;
3062 : }
3063 189 : }
3064 189 : x = X;
3065 : }
3066 : /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
3067 : * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
3068 203 : v += 2*vd + is2;
3069 203 : N = powiu(p,v);
3070 203 : t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
3071 203 : S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
3072 203 : ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
3073 203 : lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
3074 : /* evaluate our formal power series at t */
3075 203 : H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
3076 203 : h = gsqr(poleval(lt, t));
3077 203 : g = sqri(g);
3078 203 : a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
3079 203 : b = gdiv(gneg(h), g);
3080 203 : if (E != e)
3081 : {
3082 21 : GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
3083 21 : a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
3084 21 : b = gmul(u,b);
3085 : }
3086 203 : H = mkvec2(a,b);
3087 203 : if (ab)
3088 : {
3089 105 : H = RgV_dotproduct(H, ab);
3090 105 : H = precp_fix(H,v0);
3091 : }
3092 : else
3093 : {
3094 98 : gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
3095 98 : gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
3096 : }
3097 203 : return gerepilecopy(av, H);
3098 : }
3099 :
3100 : GEN
3101 14 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
3102 : {
3103 14 : pari_sp av = avma;
3104 : long vt;
3105 : GEN t, x, y, L;
3106 14 : checkellpt(P);
3107 14 : if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
3108 14 : x = gel(P,1);
3109 14 : y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
3110 14 : vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
3111 14 : if (vt <= 0)
3112 7 : pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
3113 7 : L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
3114 7 : return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
3115 : }
3116 :
3117 : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
3118 : GEN
3119 21 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
3120 : {
3121 21 : pari_sp av = avma;
3122 : GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
3123 : ulong pp;
3124 21 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
3125 21 : if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
3126 21 : pp = itou_or_0(p);
3127 21 : F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
3128 21 : a = gcoeff(F,1,1);
3129 21 : b = gcoeff(F,1,2);
3130 21 : d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
3131 21 : if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
3132 21 : if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
3133 0 : ap = ellap(E,p);
3134 : else
3135 : { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
3136 21 : GEN q = abscmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
3137 21 : ap = padic_to_Fp(ap, q);
3138 21 : ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
3139 : }
3140 21 : D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
3141 21 : if (absequaliu(p,2)) n++;
3142 21 : sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
3143 21 : l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
3144 21 : return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
3145 : }
3146 :
3147 : GEN
3148 154 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
3149 : {
3150 154 : pari_sp av = avma;
3151 : GEN t;
3152 : long s;
3153 :
3154 154 : checkell(e); checkellpt(z);
3155 154 : switch(ell_get_type(e))
3156 : {
3157 : case t_ELL_Qp:
3158 112 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3159 112 : return ellQp_P2t(e, z, prec);
3160 7 : case t_ELL_Q: break;
3161 35 : case t_ELL_Rg: break;
3162 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
3163 : }
3164 42 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
3165 42 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
3166 42 : s = ellR_get_sign(e);
3167 42 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
3168 7 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
3169 : else
3170 35 : t = zellcx(e,z,prec);
3171 42 : return gerepileupto(av,t);
3172 : }
3173 :
3174 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
3175 : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
3176 : typedef struct {
3177 : enum period_type type;
3178 : GEN in; /* original input */
3179 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
3180 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
3181 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
3182 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
3183 : GEN x,y; /* t_INT */
3184 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
3185 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
3186 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
3187 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
3188 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
3189 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
3190 : long prec; /* precision(Z) */
3191 : } ellred_t;
3192 :
3193 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
3194 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
3195 : static void
3196 23499 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
3197 : {
3198 23499 : GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
3199 23499 : pari_sp av = avma;
3200 :
3201 23499 : a = d = gen_1;
3202 23499 : b = c = gen_0;
3203 : for(;;)
3204 : {
3205 45304 : GEN m, n = ground(real_i(t));
3206 45304 : if (signe(n))
3207 : { /* apply T^n */
3208 27537 : t = gsub(t,n);
3209 27537 : a = subii(a, mulii(n,c));
3210 27537 : b = subii(b, mulii(n,d));
3211 : }
3212 45304 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
3213 21805 : t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
3214 21805 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
3215 21805 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
3216 21805 : if (gc_needed(av, 1)) {
3217 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "cxredsl2");
3218 0 : gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
3219 : }
3220 21805 : }
3221 23499 : *pa = a;
3222 23499 : *pb = b;
3223 23499 : *pc = c;
3224 23499 : *pd = d;
3225 23499 : }
3226 : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
3227 : * Set *pU to U. */
3228 : GEN
3229 8939 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
3230 : {
3231 8939 : pari_sp av = avma;
3232 : GEN U, a,b,c,d;
3233 8939 : set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
3234 8939 : U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
3235 8939 : t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b), gadd(gmul(c,t), d));
3236 8939 : gerepileall(av, 2, &t, &U);
3237 8939 : *pU = U; return t;
3238 : }
3239 :
3240 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
3241 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
3242 : static void
3243 14560 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
3244 : {
3245 : long s, p;
3246 14560 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
3247 14560 : if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
3248 14560 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
3249 14560 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
3250 : mkvec2(T->w1,T->w2));
3251 14560 : T->swap = (s < 0);
3252 14560 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
3253 14560 : set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
3254 : /* update lattice */
3255 14560 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
3256 14560 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
3257 14560 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
3258 14560 : if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
3259 14560 : p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
3260 14560 : T->prec = p;
3261 14560 : }
3262 : /* is z real or pure imaginary ? */
3263 : static void
3264 15540 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
3265 : {
3266 15540 : if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
3267 10206 : else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
3268 15540 : }
3269 : static void
3270 9912 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
3271 : {
3272 : long p;
3273 : GEN Z;
3274 9912 : T->abs_u_is_1 = 0;
3275 9912 : T->some_z_is_real = 0;
3276 9912 : T->some_z_is_pure_imag = 0;
3277 9912 : switch(typ(z))
3278 : {
3279 9912 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
3280 : case t_QUAD:
3281 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
3282 0 : break;
3283 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
3284 : }
3285 9912 : T->z = z;
3286 9912 : Z = gdiv(z, T->W2);
3287 9912 : T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
3288 9912 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
3289 9912 : T->y = ground(real_i(Z));
3290 9912 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
3291 9912 : if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
3292 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
3293 9912 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
3294 9912 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
3295 : {
3296 4851 : int W2real = 0, W2imag = 0;
3297 4851 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
3298 4851 : if (W2real)
3299 371 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
3300 4480 : else if (W2imag)
3301 406 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
3302 : }
3303 9912 : p = precision(Z);
3304 9912 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
3305 28 : Z = NULL; /*z in L*/
3306 9912 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
3307 9912 : T->Z = Z;
3308 9912 : }
3309 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
3310 : static GEN
3311 8890 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
3312 : {
3313 8890 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
3314 8890 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
3315 8890 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
3316 8890 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
3317 4242 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
3318 : }
3319 : /* e is either
3320 : * - [w1,w2]
3321 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
3322 : * - an ellinit structure */
3323 : static void
3324 14560 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
3325 : {
3326 : GEN w, e;
3327 14560 : T->q_is_real = 0;
3328 14560 : T->some_q_is_real = 0;
3329 14560 : switch(T->type)
3330 : {
3331 : case t_PER_ELL:
3332 : {
3333 1050 : long pr, p = prec;
3334 1050 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
3335 1050 : e = T->in;
3336 1050 : w = ellR_omega(e, p);
3337 1050 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
3338 1050 : break;
3339 : }
3340 : case t_PER_W:
3341 13328 : w = T->in; break;
3342 : default: /*t_PER_WETA*/
3343 182 : w = gel(T->in,1); break;
3344 : }
3345 14560 : T->w1 = gel(w,1);
3346 14560 : T->w2 = gel(w,2);
3347 14560 : red_modSL2(T, prec);
3348 14560 : if (z) reduce_z(z, T);
3349 14560 : }
3350 : static int
3351 14567 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
3352 : {
3353 : GEN w1;
3354 14567 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
3355 14567 : T->in = e;
3356 14567 : switch(lg(e))
3357 : {
3358 : case 17:
3359 1057 : T->type = t_PER_ELL;
3360 1057 : break;
3361 : case 3:
3362 13510 : w1 = gel(e,1);
3363 13510 : if (typ(w1) != t_VEC)
3364 13328 : T->type = t_PER_W;
3365 : else
3366 : {
3367 182 : if (lg(w1) != 3) return 0;
3368 182 : T->type = t_PER_WETA;
3369 : }
3370 13510 : break;
3371 0 : default: return 0;
3372 : }
3373 14567 : return 1;
3374 : }
3375 : static int
3376 14483 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
3377 : {
3378 14483 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
3379 14483 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
3380 : }
3381 :
3382 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
3383 : static GEN
3384 9002 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
3385 : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
3386 : GEN
3387 33586 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
3388 :
3389 : static GEN
3390 13790 : check_real(GEN q)
3391 13790 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
3392 :
3393 : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
3394 : static GEN
3395 13545 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
3396 : {
3397 : pari_sp av;
3398 : GEN p1, q, y, qn;
3399 13545 : long n = 1;
3400 :
3401 13545 : if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
3402 245 : q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
3403 245 : q = check_real(q);
3404 245 : y = gen_0;
3405 245 : av = avma; qn = gen_1;
3406 2164 : for(;; n++)
3407 : { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
3408 2409 : qn = gmul(q,qn);
3409 2409 : p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
3410 2409 : if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3411 2164 : y = gadd(y, p1);
3412 2164 : if (gc_needed(av,2))
3413 : {
3414 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
3415 0 : gerepileall(av, 2, &y,&qn);
3416 : }
3417 2164 : }
3418 245 : return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
3419 : }
3420 :
3421 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
3422 : static GEN
3423 13545 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
3424 : {
3425 13545 : GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
3426 13545 : y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
3427 13545 : return check_real(y);
3428 : }
3429 :
3430 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
3431 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
3432 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
3433 : GEN
3434 4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
3435 : {
3436 4438 : pari_sp av = avma;
3437 : GEN y;
3438 : ellred_t T;
3439 :
3440 4438 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
3441 4438 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
3442 4438 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
3443 4438 : y = _elleisnum(&T, k);
3444 4438 : if (k==2 && signe(T.c))
3445 4011 : {
3446 4011 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
3447 4011 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
3448 : }
3449 427 : else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y, 12);
3450 406 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
3451 4438 : return gerepileupto(av,y);
3452 : }
3453 :
3454 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
3455 : static GEN
3456 8925 : _elleta(ellred_t *T)
3457 : {
3458 8925 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
3459 8925 : y2 = gmul(T->W2, e2);
3460 8925 : y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
3461 8925 : retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
3462 : }
3463 :
3464 : /* compute eta1, eta2 */
3465 : GEN
3466 84 : elleta(GEN om, long prec)
3467 : {
3468 84 : pari_sp av = avma;
3469 : GEN y1, y2, E2, pi;
3470 : ellred_t T;
3471 :
3472 84 : if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
3473 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
3474 :
3475 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
3476 77 : prec = T.prec;
3477 77 : pi = mppi(prec);
3478 77 : E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
3479 77 : if (signe(T.c))
3480 : {
3481 21 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
3482 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
3483 21 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
3484 : }
3485 77 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
3486 77 : if (T.swap)
3487 : {
3488 7 : y1 = y2;
3489 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
3490 : }
3491 : else
3492 70 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
3493 77 : switch(typ(T.w1))
3494 : {
3495 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
3496 49 : y1 = real_i(y1);
3497 : }
3498 77 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
3499 : }
3500 : GEN
3501 42 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
3502 : {
3503 42 : pari_sp av = avma;
3504 : ellred_t T;
3505 42 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
3506 42 : switch(flag)
3507 : {
3508 7 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
3509 35 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
3510 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
3511 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
3512 : }
3513 : }
3514 :
3515 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
3516 : static double
3517 9870 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
3518 :
3519 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
3520 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
3521 : static GEN
3522 980 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
3523 : {
3524 : long toadd;
3525 980 : pari_sp av = avma, av1;
3526 : GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
3527 : ellred_t T;
3528 : int simple_case;
3529 :
3530 980 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
3531 980 : if (!T.Z) return NULL;
3532 959 : prec = T.prec;
3533 :
3534 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
3535 959 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3536 959 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
3537 959 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
3538 959 : u1 = gsubsg(1,u);
3539 959 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
3540 959 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
3541 959 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
3542 959 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
3543 959 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
3544 959 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
3545 959 : yp = flall? gen_0: NULL;
3546 959 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3547 :
3548 959 : av1 = avma; qn = q;
3549 : for(;;)
3550 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
3551 : /* analogous formula for yp */
3552 12476 : GEN yadd, ypadd = NULL;
3553 12476 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
3554 12476 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
3555 12476 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
3556 12476 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
3557 12476 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
3558 388 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
3559 : else
3560 : {
3561 12088 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
3562 12088 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
3563 12088 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
3564 12088 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
3565 : }
3566 12476 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
3567 12476 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
3568 12476 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
3569 :
3570 12476 : qn = gmul(q,qn);
3571 12476 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
3572 11517 : if (gc_needed(av1,1))
3573 : {
3574 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
3575 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
3576 : }
3577 11517 : }
3578 959 : if (yp)
3579 : {
3580 896 : if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
3581 896 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
3582 : }
3583 :
3584 959 : u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
3585 959 : u2 = gsqr(u1);
3586 959 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
3587 959 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
3588 567 : y = real_i(y);
3589 959 : if (yp)
3590 : {
3591 896 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
3592 896 : if (T.some_q_is_real)
3593 : {
3594 896 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
3595 378 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
3596 : }
3597 896 : y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
3598 : }
3599 959 : return gerepilecopy(av, y);
3600 : }
3601 : static GEN
3602 301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
3603 : {
3604 : long i, k, l;
3605 : pari_sp av;
3606 301 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
3607 :
3608 301 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
3609 301 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
3610 :
3611 301 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
3612 301 : _1 = RgX_get_1(c4);
3613 301 : switch(PRECDL)
3614 : {
3615 301 : default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
3616 : case 6:
3617 301 : case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
3618 : case 4:
3619 301 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
3620 : case 2:
3621 301 : case 1: P[0] = _1;
3622 : }
3623 301 : if (PRECDL <= 8) return res;
3624 301 : av = avma;
3625 301 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
3626 1085 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
3627 : {
3628 784 : av = avma;
3629 784 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
3630 784 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
3631 784 : t = gmul2n(t, 1);
3632 784 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
3633 784 : if (k % 3 == 2)
3634 273 : t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
3635 : else /* same value, more efficient */
3636 511 : t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
3637 784 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
3638 : }
3639 301 : return res;
3640 : }
3641 :
3642 : static int
3643 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
3644 : {
3645 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
3646 : {
3647 : case 17:
3648 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
3649 203 : *c6 = ell_get_c6(w);
3650 203 : return 1;
3651 : case 3:
3652 : {
3653 : ellred_t T;
3654 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
3655 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
3656 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
3657 91 : return 1;
3658 : }
3659 : }
3660 0 : *c4 = *c6 = NULL;
3661 0 : return 0;
3662 : }
3663 :
3664 : GEN
3665 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
3666 : {
3667 : GEN c4, c6;
3668 14 : checkell(e);
3669 14 : c4 = ell_get_c4(e);
3670 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
3671 : }
3672 :
3673 : GEN
3674 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
3675 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
3676 :
3677 : GEN
3678 175 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
3679 : {
3680 175 : pari_sp av = avma;
3681 : GEN y;
3682 :
3683 175 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
3684 175 : if (!z) z = pol_x(0);
3685 175 : y = toser_i(z);
3686 175 : if (y)
3687 : {
3688 105 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3689 : GEN P, Q, c4,c6;
3690 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
3691 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
3692 105 : if (gequal0(y)) {
3693 0 : avma = av;
3694 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
3695 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
3696 : }
3697 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3698 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3699 105 : if (!flag)
3700 105 : return gerepileupto(av, Q);
3701 : else
3702 : {
3703 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
3704 0 : return gerepilecopy(av, R);
3705 : }
3706 : }
3707 70 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
3708 70 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
3709 63 : return gerepileupto(av, y);
3710 : }
3711 :
3712 : GEN
3713 154 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
3714 : {
3715 : long prec;
3716 154 : pari_sp av = avma;
3717 154 : GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
3718 : ellred_t T;
3719 : int simple_case;
3720 :
3721 154 : if (!z) z = pol_x(0);
3722 154 : y = toser_i(z);
3723 154 : if (y)
3724 : {
3725 91 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3726 : GEN P, Q, c4,c6;
3727 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
3728 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
3729 91 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
3730 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3731 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3732 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3733 91 : return gerepileupto(av, Q);
3734 : }
3735 63 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
3736 63 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
3737 63 : prec = T.prec;
3738 63 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
3739 :
3740 63 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3741 63 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
3742 63 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
3743 63 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
3744 :
3745 63 : y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
3746 63 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
3747 63 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
3748 63 : y = gadd(y, v);
3749 :
3750 63 : if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
3751 : {
3752 49 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3753 49 : pari_sp av1 = avma;
3754 : GEN qn;
3755 49 : for (qn = q;;)
3756 : { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
3757 483 : GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
3758 483 : y = gadd(y, gmul(qn,p1));
3759 483 : qn = gmul(q,qn);
3760 483 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
3761 434 : if (gc_needed(av1,1))
3762 : {
3763 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
3764 0 : gerepileall(av1,2, &y,&qn);
3765 : }
3766 434 : }
3767 : }
3768 63 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
3769 63 : if (et) y = gadd(y,et);
3770 63 : if (T.some_q_is_real)
3771 : {
3772 63 : if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
3773 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
3774 : }
3775 63 : return gerepilecopy(av, y);
3776 : }
3777 :
3778 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3779 : GEN
3780 8967 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3781 : {
3782 : long toadd, prec, n;
3783 8967 : pari_sp av = avma, av1;
3784 : GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3785 : GEN u, uhalf, urn, urninv;
3786 : ellred_t T;
3787 :
3788 8967 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3789 :
3790 8967 : if (!z) z = pol_x(0);
3791 8967 : y = toser_i(z);
3792 8967 : if (y)
3793 : {
3794 98 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3795 : GEN P, Q, c4,c6;
3796 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3797 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3798 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3799 91 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
3800 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3801 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3802 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3803 91 : P = integser(serchop0(P));
3804 91 : P = gexp(P, prec0);
3805 91 : setvalp(P, valp(P)+1);
3806 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3807 91 : return gerepileupto(av, Q);
3808 : }
3809 8869 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3810 8869 : if (!T.Z)
3811 : {
3812 7 : if (!flag) return gen_0;
3813 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3814 : }
3815 8862 : prec = T.prec;
3816 8862 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3817 8862 : pi = mppi(prec);
3818 :
3819 8862 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3820 8862 : uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3821 8862 : u = gsqr(uhalf);
3822 8862 : q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
3823 8862 : q = gpowgs(q8,8);
3824 8862 : u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
3825 8862 : y = gen_0;
3826 8862 : av1 = avma;
3827 8862 : qn = q; qn2 = gen_1;
3828 8862 : urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
3829 58100 : for(n=0;;n++)
3830 : {
3831 58100 : y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
3832 58100 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3833 58100 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3834 49238 : qn = gmul(q,qn);
3835 49238 : urn = gmul(urn,u);
3836 49238 : urninv = gmul(urninv,uinv);
3837 49238 : if (gc_needed(av1,1))
3838 : {
3839 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3840 0 : gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3841 : }
3842 49238 : }
3843 8862 : y = gmul(gmul(y,q8),
3844 : gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3845 :
3846 8862 : et = _elleta(&T);
3847 8862 : etnew = eta_correction(&T, et);
3848 8862 : zinit = gmul(T.Z,T.W2);
3849 8862 : etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
3850 : gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
3851 8862 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
3852 8862 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
3853 8862 : if (flag)
3854 : {
3855 8799 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3856 8799 : if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
3857 : { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
3858 21 : if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
3859 : }
3860 : }
3861 : else
3862 : {
3863 63 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3864 63 : if (T.some_q_is_real)
3865 : {
3866 63 : if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
3867 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
3868 : }
3869 : }
3870 8862 : return gerepilecopy(av, y);
3871 : }
3872 :
3873 : GEN
3874 966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3875 : {
3876 966 : pari_sp av = avma;
3877 : GEN v;
3878 :
3879 966 : checkell(e);
3880 966 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
3881 : {
3882 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3883 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
3884 : }
3885 910 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3886 910 : if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
3887 896 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
3888 896 : gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
3889 896 : return gerepilecopy(av, v);
3890 : }
3891 :
3892 : /********************************************************************/
3893 : /** **/
3894 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3895 : /** Kodaira types, global minimal model **/
3896 : /** **/
3897 : /********************************************************************/
3898 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3899 : typedef struct {
3900 : long a1; /*{0,1}*/
3901 : long a2; /*{-1,0,1}*/
3902 : long a3; /*{0,1}*/
3903 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3904 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3905 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3906 : } ellmin_t;
3907 :
3908 : /* u from [u,r,s,t] */
3909 : static void
3910 1170743 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3911 : {
3912 1170743 : M->u = u;
3913 1170743 : if (is_pm1(u))
3914 1107806 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3915 : else
3916 : {
3917 62937 : M->u2 = sqri(u);
3918 62937 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3919 62937 : M->u4 = sqri(M->u2);
3920 62937 : M->u6 = sqri(M->u3);
3921 : }
3922 1170743 : }
3923 : /* E = original curve */
3924 : static void
3925 1170743 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3926 : {
3927 1170743 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3928 1170743 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3929 62937 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3930 62937 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3931 : }
3932 1170743 : M->c4 = c4;
3933 1170743 : M->c6 = c6;
3934 1170743 : }
3935 : static void
3936 1170435 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3937 : {
3938 1170435 : GEN D = ell_get_disc(E);
3939 1170435 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3940 1170435 : M->D = D;
3941 1170435 : }
3942 : static void
3943 1170596 : min_set_b(ellmin_t *M)
3944 : {
3945 : long b22, b2;
3946 1170596 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3947 1170596 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
3948 1170596 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3949 1170596 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3950 1170596 : }
3951 : static void
3952 1170456 : min_set_a(ellmin_t *M)
3953 : {
3954 1170456 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3955 1170456 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3956 1170456 : if (odd(b2))
3957 : {
3958 600411 : a1 = 1;
3959 600411 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3960 : }
3961 : else
3962 : {
3963 570045 : a1 = 0;
3964 570045 : a2 = b2 >> 2;
3965 : }
3966 1170456 : M->a1 = a1;
3967 1170456 : M->a2 = a2;
3968 1170456 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3969 1170456 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3970 1170456 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3971 1170456 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3972 1170456 : }
3973 : static void
3974 1170428 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
3975 : {
3976 1170428 : min_set_u(M, u);
3977 1170428 : min_set_c(M, E);
3978 1170428 : min_set_D(M, E);
3979 1170428 : min_set_b(M);
3980 1170428 : min_set_a(M);
3981 1170428 : }
3982 : static GEN
3983 1157345 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3984 : {
3985 1157345 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3986 : long a11, a13;
3987 1157345 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3988 1157345 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3989 1157345 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3990 1157345 : gel(y,4) = M->a4;
3991 1157345 : gel(y,5) = M->a6;
3992 1157345 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3993 1157345 : gel(y,7) = M->b4;
3994 1157345 : gel(y,8) = M->b6;
3995 1157345 : a11 = M->a1;
3996 1157345 : a13 = M->a1 & M->a3;
3997 1157345 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3998 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3999 1157345 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
4000 1157345 : gel(y,10)= M->c4;
4001 1157345 : gel(y,11)= M->c6;
4002 1157345 : gel(y,12)= M->D;
4003 1157345 : gel(y,13)= gel(E,13);
4004 1157345 : gel(y,14)= gel(E,14);
4005 1157345 : gel(y,15)= gel(E,15);
4006 1157345 : return y;
4007 : }
4008 : static GEN
4009 1170428 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
4010 : {
4011 : GEN r, s, t;
4012 1170428 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
4013 1170428 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
4014 1170428 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
4015 1170428 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
4016 : }
4017 :
4018 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
4019 : static long
4020 1682730 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
4021 : {
4022 1682730 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
4023 1682730 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
4024 1682730 : if (!signe(c6))
4025 : {
4026 2870 : d = vD / 12;
4027 2870 : if (d)
4028 : {
4029 1071 : if (p == 2)
4030 : {
4031 819 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4032 819 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4033 819 : if (a) d--;
4034 : }
4035 1071 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
4036 : }
4037 2870 : v6 = 12; /* +oo */
4038 : }
4039 : else
4040 : {
4041 1679860 : v6 = Z_lval(c6,p);
4042 1679860 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
4043 1679860 : if (d) {
4044 181146 : if (p == 2) {
4045 109732 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4046 109732 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4047 109732 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4048 109732 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
4049 71414 : } else if (p == 3) {
4050 45192 : if (v6 == 6*d+2) d--;
4051 : }
4052 181146 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4053 : }
4054 : }
4055 1682730 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
4056 : }
4057 : static long
4058 878514 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
4059 : {
4060 : GEN c6;
4061 : long d, v6, vD;
4062 878514 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
4063 7 : c6 = ell_get_c6(E);
4064 7 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
4065 7 : if (!signe(c6))
4066 : {
4067 0 : d = vD / 12;
4068 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
4069 0 : v6 = 12; /* +oo */
4070 : }
4071 : else
4072 : {
4073 7 : v6 = Z_pval(c6,p);
4074 7 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
4075 7 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4076 : }
4077 7 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
4078 : }
4079 :
4080 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
4081 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
4082 : in the form [f, kod, v, c].
4083 :
4084 : * The integer f is the conductor's exponent.
4085 :
4086 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
4087 : II , III , IV --> 2, 3, 4
4088 : I0 --> 1
4089 : Inu --> 4+nu for nu > 0
4090 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
4091 :
4092 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
4093 :
4094 : * c is the Tamagawa number.
4095 :
4096 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
4097 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
4098 : static GEN
4099 1731331 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
4100 : {
4101 1731331 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
4102 1731331 : gel(z,1) = stoi(f);
4103 1731331 : gel(z,2) = stoi(kod);
4104 1731331 : gel(z,3) = gcopy(v);
4105 1731331 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
4106 : }
4107 : static GEN
4108 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
4109 : {
4110 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
4111 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
4112 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4113 : }
4114 :
4115 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
4116 : static long
4117 879375 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
4118 :
4119 : /* p > 3, e integral */
4120 : static GEN
4121 878514 : localred_p(GEN e, GEN p)
4122 : {
4123 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
4124 878514 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
4125 :
4126 878514 : c4 = ell_get_c4(e);
4127 878514 : c6 = ell_get_c6(e);
4128 878514 : nuj = j_pval(e, p);
4129 878514 : nuD = Z_pval(D, p);
4130 878514 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
4131 878514 : if (!k) v = init_ch();
4132 : else
4133 : { /* model not minimal */
4134 : ellmin_t M;
4135 13090 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
4136 13090 : v = min_get_v(&M, e);
4137 13090 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
4138 : }
4139 :
4140 878514 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
4141 : {
4142 760816 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
4143 760816 : switch(kronecker(negi(c6),p))
4144 : {
4145 392224 : case 1: c = nuD; break;
4146 368592 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
4147 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
4148 : }
4149 760816 : break;
4150 : case 6:
4151 : {
4152 45703 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
4153 45703 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
4154 45703 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
4155 45703 : break;
4156 : }
4157 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
4158 : }
4159 71995 : else switch(nuD)
4160 : {
4161 14 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
4162 11676 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
4163 10339 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
4164 5635 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
4165 5635 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
4166 5635 : break;
4167 16898 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
4168 16898 : p2 = sqri(p);
4169 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
4170 16898 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
4171 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
4172 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
4173 16898 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
4174 16898 : break;
4175 11613 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
4176 11613 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
4177 11613 : break;
4178 10227 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
4179 5593 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
4180 0 : default: return localredbug(p,"localred");
4181 : }
4182 878514 : return localred_result(f, kod, c, v);
4183 : }
4184 :
4185 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
4186 : static ulong
4187 888699 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
4188 888699 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
4189 :
4190 : static ulong
4191 1421994 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
4192 : {
4193 1421994 : pari_sp av = avma;
4194 1421994 : ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
4195 1421994 : avma = av; return res;
4196 : }
4197 :
4198 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
4199 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
4200 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
4201 : static long
4202 244307 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
4203 : {
4204 244307 : if (p == 2)
4205 : {
4206 141099 : if ((c + a * b) & 1) return 3;
4207 122367 : *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
4208 : }
4209 : /* p = 3 */
4210 103208 : if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
4211 69062 : *mult = a * b;
4212 69062 : if (b == 2)
4213 22995 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
4214 : else
4215 46067 : return c ? 3 : 2;
4216 : }
4217 :
4218 : /* same for aX^2 +bX + c */
4219 : static long
4220 788886 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
4221 : {
4222 788886 : if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
4223 : /* p = 3 */
4224 301077 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
4225 : }
4226 :
4227 : /* p = 2 or 3 */
4228 : static GEN
4229 702695 : localred_23(GEN e, long p)
4230 : {
4231 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
4232 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
4233 : GEN v;
4234 :
4235 702695 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
4236 702695 : if (!k) v = init_ch();
4237 : {
4238 : ellmin_t M;
4239 702695 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
4240 702695 : v = min_get_v(&M, e);
4241 702695 : e = min_to_ell(&M, e);
4242 : }
4243 : /* model is minimal */
4244 702695 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
4245 702695 : v = init_ch();
4246 702695 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
4247 321650 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
4248 :
4249 702695 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
4250 702576 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
4251 : {
4252 385903 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
4253 195937 : c = nuD;
4254 : else
4255 189966 : c = 2 - (nuD & 1);
4256 385903 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
4257 : }
4258 316673 : if (p == 2)
4259 : {
4260 185787 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
4261 185787 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
4262 185787 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
4263 185787 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
4264 : }
4265 : else /* p == 3 */
4266 : {
4267 130886 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
4268 130886 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
4269 130886 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
4270 130886 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
4271 : }
4272 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
4273 316673 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
4274 316673 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
4275 22281 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
4276 294392 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
4277 27608 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
4278 266784 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
4279 : {
4280 22477 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
4281 11522 : c = 3;
4282 : else
4283 10955 : c = 1;
4284 22477 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
4285 : }
4286 :
4287 244307 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
4288 91021 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
4289 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
4290 244307 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
4291 244307 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
4292 244307 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
4293 244307 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
4294 : {
4295 : case 3:
4296 36071 : c = a63 ? 1: 2;
4297 36071 : if (p == 2)
4298 18732 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
4299 : else {
4300 17339 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
4301 17339 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
4302 : }
4303 36071 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
4304 : case 2:
4305 : { /* compute nu */
4306 : GEN pk, pk1, p2k;
4307 : long al, be, ga;
4308 130347 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
4309 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
4310 130347 : nu = 1;
4311 130347 : pk = utoipos(p2);
4312 130347 : p2k = utoipos(p4);
4313 : for(;;)
4314 : {
4315 387716 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
4316 387716 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
4317 387716 : al = 1;
4318 387716 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
4319 323281 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
4320 323281 : pk1 = pk;
4321 323281 : pk = mului(p, pk);
4322 323281 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
4323 :
4324 323281 : al = a21;
4325 323281 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
4326 323281 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
4327 323281 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
4328 257369 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
4329 257369 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
4330 257369 : }
4331 130347 : if (p == 2)
4332 72261 : c = 4 - 2 * (ga & 1);
4333 : else
4334 58086 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
4335 130347 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
4336 : }
4337 : case 1:
4338 77889 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
4339 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
4340 77889 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
4341 77889 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
4342 77889 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
4343 : {
4344 29743 : if (p == 2)
4345 20286 : c = 3 - 2 * a64;
4346 : else
4347 9457 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
4348 29743 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
4349 : }
4350 48146 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
4351 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
4352 48146 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
4353 28959 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
4354 :
4355 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
4356 19187 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
4357 : }
4358 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4359 : }
4360 :
4361 : static GEN
4362 1580964 : localred(GEN e, GEN p)
4363 : {
4364 1580964 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
4365 878514 : return localred_p(e,p);
4366 : else
4367 : {
4368 702450 : long l = itos(p);
4369 702450 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
4370 702450 : return localred_23(e, l);
4371 : }
4372 : }
4373 :
4374 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
4375 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
4376 : static GEN
4377 26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
4378 : {
4379 26306 : GEN b = z;
4380 : long i;
4381 26306 : if (typ(b) == t_INT)
4382 : {
4383 26215 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
4384 26215 : return shifti(negi(b),-1);
4385 : }
4386 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
4387 : {
4388 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
4389 : }
4390 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
4391 : }
4392 :
4393 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
4394 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
4395 : static GEN
4396 13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
4397 : {
4398 13153 : GEN b = z;
4399 : long i;
4400 13153 : if (typ(b) == t_INT)
4401 : {
4402 13104 : long s = smodis(b,3);
4403 13104 : if (s)
4404 : {
4405 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
4406 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
4407 0 : b = subii(b, Jz);
4408 : else
4409 0 : b = addii(b, Jz);
4410 : }
4411 13104 : return diviiexact(b, stoi(-3));
4412 : }
4413 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
4414 : {
4415 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
4416 98 : if (!s) continue;
4417 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
4418 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
4419 : else
4420 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
4421 : }
4422 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
4423 : }
4424 :
4425 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
4426 : static GEN
4427 3556 : get_piinv(GEN P)
4428 : {
4429 3556 : GEN z = pr_get_tau(P);
4430 3556 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
4431 3556 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
4432 : }
4433 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
4434 : static void
4435 150122 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
4436 : {
4437 150122 : if (pr_is_inert(P))
4438 : {
4439 146615 : *pi = pr_get_p(P);
4440 146615 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
4441 : }
4442 : else
4443 : {
4444 3507 : *pv = get_piinv(P);
4445 3507 : *pi = nfinv(nf, *pv);
4446 : }
4447 150122 : }
4448 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
4449 : static GEN
4450 241787 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
4451 : {
4452 241787 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
4453 241787 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
4454 241787 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
4455 : }
4456 :
4457 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
4458 : static GEN
4459 391531 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
4460 : {
4461 391531 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
4462 391531 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
4463 391531 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
4464 : }
4465 :
4466 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
4467 :
4468 : static GEN
4469 216216 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
4470 : {
4471 216216 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
4472 216216 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
4473 216216 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
4474 216216 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
4475 : }
4476 :
4477 : static GEN
4478 584423 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
4479 : {
4480 584423 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
4481 584423 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
4482 584423 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
4483 584423 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
4484 584423 : return Fq_to_nf(r, modP);
4485 : }
4486 :
4487 : static GEN
4488 15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
4489 : {
4490 15498 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
4491 15498 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
4492 15498 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
4493 15498 : long n = 1;
4494 : while(1)
4495 : {
4496 40166 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
4497 : GEN gama;
4498 40166 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
4499 : {
4500 8064 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4501 8064 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
4502 : }
4503 32102 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
4504 32102 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
4505 32102 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
4506 32102 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
4507 32102 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
4508 : {
4509 7434 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4510 7434 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
4511 : }
4512 24668 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
4513 24668 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
4514 24668 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
4515 24668 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
4516 24668 : }
4517 : }
4518 :
4519 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
4520 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
4521 :
4522 : static GEN
4523 99218 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
4524 : {
4525 : GEN T, p, modP;
4526 : long vD;
4527 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
4528 99218 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4529 99218 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
4530 99218 : ch = init_ch();
4531 99218 : vD = nfval(nf,D,P);
4532 99218 : *ap = 0;
4533 : while(1)
4534 : {
4535 252161 : if (vD==0)
4536 623 : return localred_result(0,1,1,ch);
4537 : else
4538 : {
4539 251538 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
4540 251538 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
4541 251538 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
4542 251538 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
4543 251538 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
4544 : GEN x0, y0;
4545 251538 : if (absequaliu(p,2))
4546 : {
4547 : GEN x02, y02;
4548 164234 : if (signe(a1))
4549 : {
4550 30163 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
4551 30163 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
4552 30163 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
4553 : }
4554 : else
4555 : {
4556 134071 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
4557 134071 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
4558 : }
4559 164234 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
4560 : }
4561 : else
4562 : {
4563 87304 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
4564 87304 : if (signe(a12))
4565 27510 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
4566 : else
4567 59794 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
4568 87304 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
4569 : }
4570 251538 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
4571 251538 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
4572 251538 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
4573 : }
4574 : /* 2 */
4575 : {
4576 251538 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
4577 251538 : if (signe(b2) != 0)
4578 : {
4579 57673 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
4580 57673 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
4581 57673 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
4582 27867 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
4583 : }
4584 : }
4585 : /* 3 */
4586 : {
4587 193865 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
4588 193865 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
4589 : }
4590 : /* 4 */
4591 : {
4592 191177 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
4593 191177 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
4594 : }
4595 : /* 5 */
4596 187481 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
4597 : {
4598 187481 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
4599 187481 : if (vb6<=2)
4600 : {
4601 3367 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
4602 3367 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4603 3367 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
4604 : }
4605 : }
4606 : /* 6 */
4607 : {
4608 184114 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
4609 184114 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
4610 184114 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
4611 : GEN po2, E, F, mr;
4612 : long i, lE;
4613 184114 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
4614 184114 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
4615 184114 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
4616 : {
4617 69678 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
4618 69678 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
4619 69678 : lE = lg(E);
4620 69678 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
4621 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
4622 : long c; /* 1 + number of roots */
4623 4732 : switch(lE)
4624 : {
4625 1764 : case 2: c = 1; break;
4626 2618 : case 3: c = 2; break;
4627 350 : default: c = 4; break;
4628 : }
4629 4732 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
4630 : }
4631 : /* 7 */
4632 64946 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
4633 64946 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
4634 64946 : if (!gequal0(mr))
4635 : { /* not so frequent */
4636 58898 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
4637 58898 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
4638 : }
4639 64946 : if (lE == 3)
4640 15498 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
4641 : }
4642 : }
4643 163884 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
4644 163884 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
4645 : /* 8 */
4646 163884 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
4647 : {
4648 4459 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
4649 4459 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
4650 : }
4651 : /* 9 */
4652 : {
4653 159425 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
4654 159425 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
4655 159425 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
4656 3948 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
4657 : }
4658 : /* 10 */
4659 155477 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
4660 2534 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
4661 : /* 11 */
4662 152943 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
4663 152943 : vD -= 12;
4664 152943 : }
4665 : }
4666 :
4667 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
4668 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
4669 : static GEN
4670 50904 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
4671 : {
4672 50904 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4673 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
4674 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
4675 :
4676 50904 : c4 = ell_get_c4(e);
4677 50904 : c6 = ell_get_c6(e);
4678 50904 : D = ell_get_disc(e);
4679 50904 : vD = nfval(nf,D,P);
4680 50904 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
4681 50904 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
4682 50904 : m = (vD - nuj)/12;
4683 50904 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
4684 :
4685 50904 : if(m <= 0) ch = init_ch();
4686 : else
4687 : { /* model not minimal */
4688 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
4689 13153 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
4690 13153 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
4691 13153 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
4692 13153 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
4693 13153 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
4694 13153 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
4695 13153 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
4696 13153 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
4697 13153 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
4698 13153 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
4699 13153 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
4700 13153 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
4701 13153 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
4702 13153 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
4703 13153 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
4704 13153 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
4705 13153 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
4706 13153 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
4707 : }
4708 :
4709 50904 : kod = 0; c = 1;
4710 : /* minimal at P */
4711 50904 : if (nuj > 0)
4712 : { /* v(j) < 0 */
4713 47306 : if (vD == nuj)
4714 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
4715 45213 : f = 1; kod = 4+vD;
4716 45213 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
4717 45213 : if (Fq_issquare(z,T,p))
4718 24059 : c = vD;/* split */
4719 : else
4720 21154 : c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
4721 : }
4722 : else
4723 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
4724 : GEN Du;
4725 2093 : f = 2; kod = 2-vD;
4726 2093 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
4727 2093 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
4728 2093 : if(odd(vD))
4729 : {
4730 : GEN c6u;
4731 1120 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
4732 1120 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
4733 1120 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
4734 : }
4735 2093 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
4736 : }
4737 : }
4738 : else
4739 : { /* v(j) >= 0 */
4740 3598 : f = vD? 2: 0;
4741 3598 : switch(vD)
4742 : {
4743 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
4744 77 : case 0: kod = 0; c = 1; break;
4745 609 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
4746 490 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
4747 273 : case 4: kod = 4;
4748 273 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
4749 273 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4750 273 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4751 273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4752 273 : break;
4753 791 : case 6: kod = -1;
4754 791 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
4755 791 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
4756 791 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4757 791 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
4758 791 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
4759 791 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
4760 791 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
4761 791 : break;
4762 609 : case 8: kod = -4;
4763 609 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
4764 609 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4765 609 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4766 609 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4767 609 : break;
4768 476 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
4769 273 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
4770 : }
4771 : }
4772 50904 : return localred_result(f,kod,c,ch);
4773 : }
4774 : static GEN
4775 101052 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
4776 : {
4777 101052 : GEN p = pr_get_p(pr);
4778 101052 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4779 : {
4780 : long i, ap, vu;
4781 50148 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4782 50148 : GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
4783 50148 : gel(q,3) = v;
4784 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
4785 50148 : vu = nfval(nf, u, pr);
4786 50148 : if (vu > 0)
4787 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
4788 49231 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
4789 49231 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
4790 49231 : if (!equali1(D))
4791 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
4792 : GEN a;
4793 399 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
4794 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
4795 399 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
4796 399 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
4797 399 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
4798 399 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
4799 : }
4800 : }
4801 50148 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
4802 50148 : return q;
4803 : }
4804 50904 : return nflocalred_p(E,pr);
4805 : }
4806 :
4807 : GEN
4808 195153 : elllocalred(GEN e, GEN p)
4809 : {
4810 195153 : pari_sp av = avma;
4811 195153 : checkell(e);
4812 195153 : switch(ell_get_type(e))
4813 : {
4814 : case t_ELL_Q:
4815 97587 : if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
4816 0 : pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
4817 97587 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
4818 97587 : if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
4819 97587 : return gerepileupto(av, localred(e, p));
4820 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
4821 : case t_ELL_NF:
4822 97566 : checkprid(p);
4823 97566 : return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
4824 : }
4825 : }
4826 :
4827 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
4828 : static GEN
4829 5222 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
4830 : {
4831 5222 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
4832 5222 : return c;
4833 : }
4834 : static GEN
4835 2294915 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
4836 : {
4837 2294915 : *pd = NULL;
4838 2294915 : switch(typ(c))
4839 : {
4840 2288853 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
4841 840 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
4842 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
4843 5222 : if (nf)
4844 : {
4845 5222 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
4846 5222 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
4847 : }
4848 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
4849 0 : return NULL;
4850 : }
4851 : }
4852 : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
4853 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
4854 : GEN
4855 458983 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
4856 : {
4857 458983 : GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
4858 : long i, l, k;
4859 :
4860 458983 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
4861 458983 : L = cgetg(1, t_VEC);
4862 2753898 : for (i = 1; i < 6; i++)
4863 : {
4864 : GEN d;
4865 2294915 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
4866 2294915 : if (d) /* partial factorization of denominator */
4867 1736 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
4868 : }
4869 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
4870 458983 : l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
4871 854 : L = ZV_sort_uniq(L);
4872 854 : l = lg(L);
4873 :
4874 854 : t = gen_1;
4875 1904 : for (k = 1; k < l; k++)
4876 : {
4877 1050 : GEN p = gel(L,k);
4878 1050 : long n = 0, m;
4879 6300 : for (i = 1; i < 6; i++)
4880 5250 : if (!gequal0(gel(a,i)))
4881 : {
4882 3276 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
4883 3276 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
4884 3276 : while (m < 0) { n++; m += r; }
4885 : }
4886 1050 : t = mulii(t, powiu(p, n));
4887 : }
4888 854 : u = ginv(t);
4889 854 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4890 854 : return coordch_uinv(e, t);
4891 : }
4892 : GEN
4893 196 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
4894 : {
4895 196 : pari_sp av = avma;
4896 : long t;
4897 196 : checkell(e);
4898 196 : t = ell_get_type(e);
4899 196 : if (t != t_ELL_Q && t != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
4900 196 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
4901 196 : if (!pv || !*pv)
4902 : {
4903 182 : e = gerepilecopy(av, e);
4904 182 : if (pv) *pv = init_ch();
4905 : }
4906 : else
4907 14 : gerepileall(av, 2, &e, pv);
4908 196 : return e;
4909 : }
4910 :
4911 : static long
4912 1491 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4913 : {
4914 1491 : long N = 1; /* oo */
4915 1491 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4916 1323 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4917 1491 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4918 1197 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4919 1491 : return N;
4920 : }
4921 : static long
4922 3017 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4923 : {
4924 3017 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4925 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4926 3017 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4927 : }
4928 : static long
4929 1470 : cardmod2(GEN e)
4930 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4931 1470 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4932 1470 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4933 1470 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4934 1470 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4935 1470 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4936 1470 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4937 : }
4938 : static long
4939 2877 : cardmod3(GEN e)
4940 : {
4941 2877 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4942 2877 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4943 2877 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4944 2877 : return F3_card(b2,b4,b6);
4945 : }
4946 :
4947 : static ulong
4948 112 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4949 :
4950 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4951 : static void
4952 28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4953 : {
4954 28 : min_set_u(M, int2n(d));
4955 28 : min_set_c(M, E);
4956 28 : min_set_b(M);
4957 28 : min_set_a(M);
4958 28 : }
4959 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4960 : static void
4961 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4962 : {
4963 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4964 140 : min_set_c(M, E);
4965 140 : min_set_b(M);
4966 140 : }
4967 :
4968 : static long
4969 101136 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
4970 : {
4971 101136 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
4972 101136 : if (vD) /* bad reduction */
4973 : {
4974 : GEN c6;
4975 : long s;
4976 100828 : *good_red = 0;
4977 100828 : if (vc6) return 0;
4978 73808 : c6 = ell_get_c6(E);
4979 73808 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4980 73808 : s = kroiu(c6,p);
4981 73808 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4982 73808 : return s;
4983 : }
4984 308 : *good_red = 1;
4985 308 : if (p == 2)
4986 : {
4987 : ellmin_t M;
4988 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4989 21 : min_set_2(&M, E, d);
4990 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4991 : }
4992 287 : else if (p == 3)
4993 : {
4994 : ellmin_t M;
4995 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4996 140 : min_set_3(&M, E, d);
4997 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4998 : }
4999 : else
5000 : {
5001 : ellmin_t M;
5002 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
5003 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
5004 147 : min_set_c(&M, E);
5005 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
5006 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
5007 : }
5008 : }
5009 :
5010 : static GEN
5011 98574 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
5012 : {
5013 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
5014 : long vc6, vD, d;
5015 98574 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
5016 0 : c6 = ell_get_c6(E);
5017 0 : D = ell_get_disc(E);
5018 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
5019 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
5020 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
5021 0 : if (vD) /* bad reduction */
5022 : {
5023 : long s;
5024 0 : *good_red = 0;
5025 0 : if (vc6) return gen_0;
5026 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
5027 0 : s = kronecker(c6,p);
5028 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
5029 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
5030 : }
5031 0 : *good_red = 1;
5032 0 : c4 = ell_get_c4(E);
5033 0 : if (d)
5034 : {
5035 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
5036 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
5037 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
5038 : }
5039 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
5040 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
5041 : }
5042 :
5043 : static GEN
5044 115034 : doellcard(GEN E)
5045 : {
5046 115034 : GEN fg = ellff_get_field(E);
5047 115034 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5048 94125 : return FF_ellcard(E);
5049 : else
5050 : {
5051 20909 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
5052 20909 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
5053 : }
5054 : }
5055 :
5056 : static GEN
5057 168462 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
5058 : {
5059 168462 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
5060 168462 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
5061 168462 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
5062 : {
5063 : long ap;
5064 49070 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
5065 49070 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
5066 49070 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
5067 420 : *good_red = 1;
5068 420 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
5069 420 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
5070 420 : card = FF_ellcard(E);
5071 : }
5072 : else
5073 : {
5074 119392 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
5075 119392 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
5076 119392 : if (vD)
5077 : {
5078 : GEN c6new;
5079 49168 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
5080 49168 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
5081 49168 : if (vD > 12*d)
5082 : { /* bad reduction */
5083 49119 : *good_red = 0;
5084 98238 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
5085 43764 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
5086 43764 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
5087 : }
5088 49 : if (d)
5089 : { /* model not minimal at P */
5090 49 : GEN piinv = get_piinv(P);
5091 49 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
5092 49 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
5093 49 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
5094 49 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
5095 49 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
5096 : }
5097 : }
5098 70273 : *good_red = 1;
5099 70273 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
5100 70273 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
5101 70273 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
5102 142303 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
5103 72030 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
5104 : }
5105 70693 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
5106 : }
5107 :
5108 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
5109 : * basis */
5110 : static GEN
5111 455490 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
5112 : {
5113 : GEN P;
5114 455490 : if (!signe(a))
5115 1652 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
5116 453838 : else if (!signe(b))
5117 945 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
5118 : else
5119 : {
5120 452893 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
5121 : long k, l;
5122 452893 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
5123 344596 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
5124 344596 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
5125 : /* d = gcd(A,B) */
5126 344596 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
5127 344596 : l = lg(P);
5128 344596 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
5129 344596 : P = shallowconcat1(P);
5130 344596 : P = ZV_sort(P);
5131 : }
5132 347193 : settyp(P, t_VEC); return P;
5133 : }
5134 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
5135 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
5136 : static GEN
5137 454643 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
5138 : {
5139 : pari_sp av;
5140 454643 : GEN D = ell_get_disc(E);
5141 454643 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
5142 454643 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
5143 : long l, k;
5144 :
5145 454643 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
5146 454643 : l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
5147 346486 : DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
5148 346486 : av = avma;
5149 346486 : g = gcdii(sqri(c6), D);
5150 346486 : u = gen_1;
5151 852362 : for (k = 1; k < l; k++)
5152 : {
5153 505876 : GEN p = gel(P, k);
5154 505876 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
5155 505876 : if (d) switch(itou_or_0(p))
5156 : {
5157 : case 2:
5158 : {
5159 : long a, b;
5160 56854 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
5161 56854 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
5162 56854 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
5163 56854 : break;
5164 : }
5165 : case 3:
5166 2289 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
5167 2289 : break;
5168 : }
5169 505876 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
5170 505876 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
5171 : }
5172 346486 : *pDP = DP;
5173 346486 : return gerepileuptoint(av, u);
5174 : }
5175 :
5176 : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
5177 : static GEN
5178 28 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
5179 : {
5180 28 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
5181 28 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
5182 28 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
5183 :
5184 28 : A1 = gmodgs(a1,2);
5185 28 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
5186 28 : s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
5187 28 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
5188 28 : r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
5189 28 : r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
5190 28 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
5191 28 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
5192 28 : t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
5193 28 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
5194 : }
5195 :
5196 : static GEN
5197 2478 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
5198 : {
5199 2478 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
5200 2478 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
5201 : }
5202 : static GEN
5203 847 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
5204 : {
5205 847 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5206 847 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
5207 847 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
5208 847 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
5209 : }
5210 : static GEN
5211 784 : ellnf_D_primes(GEN E)
5212 : {
5213 784 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5214 784 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
5215 784 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
5216 784 : long k, l = lg(P);
5217 784 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
5218 784 : if (!is_pm1(DZ))
5219 : {
5220 693 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
5221 693 : settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
5222 : }
5223 784 : return P;
5224 : }
5225 :
5226 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
5227 : static GEN
5228 833 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
5229 : {
5230 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
5231 833 : long k, l = lg(P);
5232 833 : Lr = vectrunc_init(l);
5233 833 : Ls = vectrunc_init(l);
5234 833 : Lt = vectrunc_init(l);
5235 833 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
5236 833 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
5237 4032 : for (k = 1; k < l; k++)
5238 : {
5239 3199 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
5240 : long vu;
5241 3199 : v = gel(q,3);
5242 3199 : u = gel(v,1);
5243 3199 : vu = nfval(nf, u, pr);
5244 3199 : if (!vu) continue;
5245 714 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
5246 714 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
5247 714 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
5248 714 : vectrunc_append(L, pr);
5249 714 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
5250 : }
5251 833 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
5252 : }
5253 : static GEN
5254 819 : ellminimalprimes(GEN E0)
5255 : {
5256 : GEN E, S, nf, c4, c6, P, Q;
5257 : long j, k, l;
5258 :
5259 819 : if ((S = obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
5260 63 : E = ellintegralmodel_i(E0, NULL);
5261 63 : nf = ellnf_get_nf(E);
5262 63 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
5263 63 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
5264 63 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
5265 63 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
5266 63 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
5267 63 : Q = cgetg_copy(P, &l);
5268 217 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5269 : {
5270 154 : GEN pr = gel(P, k);
5271 154 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
5272 147 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
5273 147 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
5274 147 : gel(P,j++) = pr;
5275 : }
5276 63 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
5277 63 : return obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
5278 : }
5279 : static GEN
5280 756 : ellminimalnormu(GEN E0)
5281 : {
5282 756 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
5283 : long i, l;
5284 756 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
5285 756 : S = ellminimalprimes(E);
5286 756 : L = gel(S,1);
5287 756 : U = gel(S,2);
5288 756 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
5289 756 : P = cgetg_copy(L, &l);
5290 756 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
5291 756 : P = factorback2(P, U);
5292 756 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
5293 756 : return P;
5294 : }
5295 : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
5296 : * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL), set DP = primes where the
5297 : * model is not locally minimal */
5298 : static GEN
5299 49 : bnf_get_v(GEN E)
5300 : {
5301 49 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
5302 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
5303 :
5304 49 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
5305 49 : S = ellminimalprimes(E);
5306 49 : L = gel(S,1);
5307 49 : U = gel(S,2);
5308 49 : Lr = gel(S,3);
5309 49 : Ls = gel(S,4);
5310 49 : Lt = gel(S,5);
5311 49 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
5312 49 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
5313 28 : nf = bnf_get_nf(bnf);
5314 28 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
5315 28 : U = basistoalg(nf, gel(F,2));
5316 28 : R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
5317 28 : S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
5318 28 : T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
5319 28 : return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
5320 : }
5321 :
5322 : GEN
5323 21 : ellminimaldisc(GEN E)
5324 : {
5325 21 : pari_sp av = avma;
5326 21 : checkell(E);
5327 21 : switch(ell_get_type(E))
5328 : {
5329 : case t_ELL_Q:
5330 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
5331 7 : return gerepileuptoint(av, absi(ell_get_disc(E)));
5332 : case t_ELL_NF:
5333 : {
5334 14 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5335 14 : GEN S = ellminimalprimes(E), L, U, D;
5336 14 : L = gel(S,1);
5337 14 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
5338 14 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
5339 14 : return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
5340 : }
5341 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
5342 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5343 : }
5344 : }
5345 :
5346 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
5347 : * ellminimalmodel(E) */
5348 : static GEN
5349 456183 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
5350 : {
5351 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
5352 : ellmin_t M;
5353 456183 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
5354 : {
5355 1540 : if (lg(S) != 2)
5356 : {
5357 196 : E = gel(S,3);
5358 196 : v = gel(S,2);
5359 : }
5360 : else
5361 1344 : v = init_ch();
5362 1540 : if (ptv) *ptv = v;
5363 1540 : return gcopy(E);
5364 : }
5365 454643 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
5366 454643 : u = get_u(e, &DP);
5367 454643 : min_set_all(&M, e, u);
5368 454643 : v = min_get_v(&M, e);
5369 454643 : y = min_to_ell(&M, e);
5370 454643 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
5371 454643 : if (is_trivial_change(v))
5372 : {
5373 453530 : v = init_ch();
5374 453530 : S = mkvec(DP);
5375 : }
5376 : else
5377 1113 : S = mkvec3(DP, v, y);
5378 454643 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
5379 454643 : if (ptv) *ptv = v; return y;
5380 : }
5381 :
5382 : static GEN
5383 1421 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
5384 : {
5385 1421 : pari_sp av = avma;
5386 1421 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
5387 1421 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
5388 1421 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5389 1421 : DP = gel(S,1);
5390 1421 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
5391 1421 : if (!ptv)
5392 1386 : y = gerepilecopy(av, y);
5393 : else
5394 35 : { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
5395 1421 : return y;
5396 : }
5397 :
5398 : static GEN
5399 49 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
5400 : {
5401 : GEN S, y, v, v2;
5402 49 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
5403 : {
5404 0 : switch(lg(S))
5405 : {
5406 0 : case 1: v = init_ch(); break;
5407 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
5408 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
5409 : }
5410 0 : *ptv = v;
5411 0 : return gcopy(E);
5412 : }
5413 49 : *ptv = NULL;
5414 49 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
5415 49 : v2 = bnf_get_v(y);
5416 49 : if (typ(v2) == t_COL)
5417 : {
5418 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
5419 21 : return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
5420 : }
5421 28 : y = coordch(y, v2);
5422 28 : gcomposev(&v, v2);
5423 28 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
5424 28 : y = coordch(y, v2);
5425 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
5426 28 : y = obj_reinit(y);
5427 28 : gcomposev(&v, v2);
5428 28 : if (is_trivial_change(v))
5429 : {
5430 7 : v = init_ch();
5431 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
5432 : }
5433 : else
5434 : {
5435 21 : v = lift_if_rational(v);
5436 21 : S = mkvec2(v, y);
5437 : }
5438 28 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
5439 28 : *ptv = v; return y;
5440 : }
5441 : static GEN
5442 49 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
5443 : {
5444 49 : pari_sp av = avma;
5445 49 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
5446 49 : if (v) /* true change of variable; v = NULL => no minimal model */
5447 : {
5448 28 : if (!is_trivial_change(v)) (void)ch_Rg(y, E, v);
5449 28 : obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
5450 : }
5451 49 : if (!v || !ptv)
5452 21 : y = gerepilecopy(av, y);
5453 : else
5454 28 : { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
5455 49 : return y;
5456 : }
5457 : GEN
5458 1477 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
5459 : {
5460 1477 : checkell(E);
5461 1477 : switch(ell_get_type(E))
5462 : {
5463 1421 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
5464 49 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
5465 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
5466 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5467 : }
5468 : }
5469 :
5470 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
5471 : * update type-dependant components.
5472 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
5473 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
5474 : * N = arithmetic conductor of E
5475 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
5476 : * fa = factorization of N
5477 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
5478 : static GEN
5479 454279 : ellQ_globalred(GEN e)
5480 : {
5481 : long k, l, iN;
5482 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
5483 :
5484 454279 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
5485 454279 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5486 454279 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
5487 454279 : D = ell_get_disc(E);
5488 454279 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
5489 454279 : if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
5490 454279 : l = lg(P); c = gen_1;
5491 454279 : iN = 1;
5492 454279 : NP = cgetg(l, t_COL);
5493 454279 : NE = cgetg(l, t_COL);
5494 454279 : L = cgetg(l, t_VEC);
5495 1937656 : for (k = 1; k < l; k++)
5496 : {
5497 1483377 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
5498 1483377 : if (!signe(ex)) continue;
5499 1483377 : gel(NP, iN) = p;
5500 1483377 : gel(NE, iN) = ex;
5501 1483377 : gel(L, iN) = q; iN++;
5502 1483377 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
5503 1483377 : c = mulii(c, gel(q,4));
5504 : }
5505 454279 : setlg(L, iN);
5506 454279 : setlg(NP, iN);
5507 454279 : setlg(NE, iN);
5508 454279 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
5509 : }
5510 : static GEN
5511 464331 : ellglobalred_i(GEN E)
5512 464331 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
5513 :
5514 : static GEN
5515 784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
5516 : {
5517 : GEN c, L, NP, NE;
5518 784 : long j, k, l = lg(P);
5519 784 : c = gen_1;
5520 784 : NP = cgetg(l, t_COL);
5521 784 : NE = cgetg(l, t_COL);
5522 784 : L = cgetg(l, t_VEC);
5523 3878 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5524 : {
5525 3094 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
5526 3094 : ex = gel(q,1);
5527 3094 : if (!signe(ex)) continue;
5528 2891 : gel(NP, j) = p;
5529 2891 : gel(NE, j) = ex;
5530 2891 : gel(L, j) = q; j++;
5531 2891 : c = mulii(c, gel(q,4));
5532 : }
5533 784 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
5534 784 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
5535 : }
5536 :
5537 : static GEN
5538 784 : ellnfglobalred(GEN E0)
5539 : {
5540 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
5541 : long j, k, l;
5542 :
5543 784 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
5544 784 : if (!v) v = init_ch();
5545 784 : nf = ellnf_get_nf(E);
5546 784 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
5547 784 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
5548 784 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
5549 784 : Q = cgetg_copy(P, &l);
5550 6083 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5551 : {
5552 5299 : GEN p = gel(P,k);
5553 5299 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
5554 3094 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
5555 3094 : gel(P,j++) = p;
5556 : }
5557 784 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
5558 784 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
5559 770 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
5560 784 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
5561 : }
5562 :
5563 : GEN
5564 453971 : ellglobalred(GEN E)
5565 : {
5566 453971 : pari_sp av = avma;
5567 : GEN S, gr, v;
5568 453971 : checkell(E);
5569 453971 : switch(ell_get_type(E))
5570 : {
5571 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
5572 : case t_ELL_Q:
5573 452942 : gr = ellglobalred_i(E);
5574 452942 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5575 452942 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
5576 452942 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
5577 452942 : break;
5578 : case t_ELL_NF:
5579 1029 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
5580 1029 : break;
5581 : }
5582 453971 : return gerepilecopy(av, v);
5583 : }
5584 :
5585 : static GEN doellrootno(GEN e);
5586 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
5587 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
5588 : * and E (shallow insert) */
5589 : GEN
5590 2100 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
5591 : {
5592 2100 : GEN E, S, v = NULL;
5593 2100 : checkell_Q(e);
5594 2100 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5595 : {
5596 455 : E = ellminimalmodel_i(e, &v);
5597 455 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5598 455 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5599 : }
5600 1645 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
5601 1631 : E = e;
5602 : else
5603 : {
5604 14 : v = gel(S,2);
5605 14 : E = gcopy(gel(S,3));
5606 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5607 : }
5608 2100 : if (ch) *ch = v;
5609 2100 : S = ellglobalred_i(e);
5610 2100 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
5611 2100 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
5612 2100 : if (!S)
5613 : {
5614 672 : S = doellrootno(E);
5615 672 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
5616 : }
5617 2100 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
5618 2100 : return E;
5619 : }
5620 :
5621 : static GEN
5622 35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
5623 : {
5624 35 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5625 35 : return (signe(ell_get_disc(e)) > 0)? shifti(tam,1): icopy(tam);
5626 : }
5627 :
5628 : static GEN
5629 784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
5630 : {
5631 784 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5632 784 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
5633 : long r1, r2;
5634 784 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
5635 784 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
5636 : }
5637 :
5638 : GEN
5639 42 : elltamagawa(GEN E)
5640 : {
5641 42 : pari_sp av = avma;
5642 : GEN v;
5643 42 : checkell(E);
5644 42 : switch(ell_get_type(E))
5645 : {
5646 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
5647 14 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
5648 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
5649 : }
5650 42 : return gerepileuptoint(av, v);
5651 : }
5652 :
5653 : static GEN
5654 931 : ellnfembed(GEN E, long prec)
5655 : {
5656 931 : pari_sp av = avma;
5657 931 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5658 931 : long r1 = nf_get_r1(nf), r2 = nf_get_r2(nf), n = r1+r2;
5659 : GEN Eb, e, L;
5660 : long i,j;
5661 931 : Eb = cgetg(6, t_VEC);
5662 5586 : for(i=1;i<=5; i++)
5663 4655 : gel(Eb, i) = nfeltembed(nf,gel(E, i),NULL);
5664 931 : e = cgetg(6, t_VEC);
5665 931 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
5666 4242 : for(i=1; i<=n; i++)
5667 : {
5668 3311 : for(j=1;j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
5669 3311 : gel(L,i) = ellinit_Rg(e, i<=r1, prec);
5670 : }
5671 931 : return gerepilecopy(av, L);
5672 : }
5673 :
5674 : static GEN
5675 91 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P)
5676 : {
5677 91 : pari_sp av = avma;
5678 91 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5679 91 : GEN Px = nfeltembed(nf, gel(P,1), NULL);
5680 91 : GEN Py = nfeltembed(nf, gel(P,2), NULL);
5681 91 : long i, l = lg(Px);
5682 91 : GEN L = cgetg(l, t_VEC);
5683 91 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
5684 91 : return gerepilecopy(av, L);
5685 : }
5686 :
5687 : static void
5688 840 : ellnfembed_free(GEN L)
5689 : {
5690 840 : long i, l = lg(L);
5691 840 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
5692 840 : }
5693 :
5694 : static GEN
5695 84 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
5696 : {
5697 84 : pari_sp av = avma;
5698 84 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
5699 84 : long i, l = lg(V);
5700 84 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
5701 84 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
5702 84 : ellnfembed_free(V);
5703 84 : return gerepilecopy(av, P);
5704 : }
5705 :
5706 : GEN
5707 28 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
5708 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
5709 :
5710 : GEN
5711 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
5712 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
5713 :
5714 : GEN
5715 28 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
5716 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
5717 :
5718 : static GEN
5719 756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
5720 : {
5721 756 : pari_sp av = avma;
5722 756 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellminimalnormu(E), prec);
5723 756 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
5724 3780 : for(i = 1; i < l; i++)
5725 : {
5726 3024 : GEN e = gel(Eb, i);
5727 3024 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
5728 3024 : per = mulrr(per, pi);
5729 : }
5730 756 : ellnfembed_free(Eb);
5731 756 : return gerepileuptoleaf(av, per);
5732 : }
5733 : static GEN
5734 756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
5735 : {
5736 756 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
5737 756 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
5738 : }
5739 :
5740 : static GEN
5741 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
5742 : {
5743 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5744 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5745 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
5746 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
5747 : }
5748 :
5749 : static GEN
5750 21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
5751 : {
5752 21 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
5753 21 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
5754 21 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5755 21 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5756 21 : if (lg(S) != 2)
5757 : { /* switch to minimal model if needed */
5758 14 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
5759 14 : per = gmul(per,u);
5760 : }
5761 21 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
5762 : }
5763 :
5764 : GEN
5765 63 : ellbsd(GEN E, long prec)
5766 : {
5767 63 : pari_sp av = avma;
5768 : GEN v;
5769 63 : checkell(E);
5770 63 : switch(ell_get_type(E))
5771 : {
5772 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
5773 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
5774 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
5775 : }
5776 63 : return gerepileupto(av, v);
5777 : }
5778 :
5779 : /********************************************************************/
5780 : /** **/
5781 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
5782 : /** **/
5783 : /********************************************************************/
5784 : /* x a t_INT */
5785 : static long
5786 1176 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
5787 : {
5788 : long v;
5789 : GEN z;
5790 1176 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
5791 1022 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
5792 1022 : *u = umodiu(z,pk); return v;
5793 : }
5794 : static void
5795 392 : val_init(GEN e, long p, long pk,
5796 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
5797 : {
5798 392 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
5799 392 : pari_sp av = avma;
5800 392 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
5801 392 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
5802 392 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
5803 392 : }
5804 :
5805 : static long
5806 392 : kod_23(GEN e, long p)
5807 : {
5808 : GEN S, nv;
5809 392 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
5810 : {
5811 378 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
5812 378 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
5813 : }
5814 : else
5815 14 : nv = localred_23(e, p);
5816 392 : return itos(gel(nv,2));
5817 : }
5818 :
5819 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5820 : static long
5821 168 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
5822 : {
5823 168 : if (kod > 4) return 1;
5824 133 : switch(kod)
5825 : {
5826 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
5827 : case 2:
5828 7 : if (vD==4) return 1;
5829 : else
5830 : {
5831 0 : if (vD==7) return 3;
5832 0 : else return v4==4 ? 2 : 4;
5833 : }
5834 : case 3:
5835 63 : switch(vD)
5836 : {
5837 42 : case 6: return 3;
5838 0 : case 8: return 4;
5839 14 : case 9: return 5;
5840 7 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
5841 : }
5842 35 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
5843 : case -1:
5844 0 : switch(vD)
5845 : {
5846 0 : case 9: return 2;
5847 0 : case 10: return 4;
5848 0 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
5849 : }
5850 : case -2:
5851 7 : switch(vD)
5852 : {
5853 7 : case 12: return 2;
5854 0 : case 14: return 3;
5855 0 : default: return 1;
5856 : }
5857 : case -3:
5858 0 : switch(vD)
5859 : {
5860 0 : case 12: return 2;
5861 0 : case 14: return 3;
5862 0 : case 15: return 4;
5863 0 : default: return 1;
5864 : }
5865 7 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
5866 14 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
5867 : case -6:
5868 0 : switch(vD)
5869 : {
5870 0 : case 12: return 2;
5871 0 : case 13: return 3;
5872 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5873 : }
5874 0 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
5875 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5876 : }
5877 : }
5878 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5879 : static long
5880 182 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
5881 : {
5882 182 : if (labs(kod) > 4) return 1;
5883 161 : switch(kod)
5884 : {
5885 98 : case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
5886 21 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
5887 : case -4: case 2:
5888 35 : switch (vD%6)
5889 : {
5890 0 : case 4: return 3;
5891 0 : case 5: return 4;
5892 35 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
5893 : }
5894 : default: /* kod = -2 et 4 */
5895 7 : switch (vD%6)
5896 : {
5897 0 : case 0: return 2;
5898 0 : case 1: return 3;
5899 7 : default: return 1;
5900 : }
5901 : }
5902 : }
5903 :
5904 : static long
5905 168 : ellrootno_2(GEN e)
5906 : {
5907 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
5908 168 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
5909 :
5910 168 : if (!vD) return 1;
5911 168 : if (d) { /* not minimal */
5912 : ellmin_t M;
5913 7 : min_set_2(&M, e, d);
5914 7 : min_set_D(&M, e);
5915 7 : e = min_to_ell(&M, e);
5916 : }
5917 168 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5918 168 : kod = kod_23(e,2);
5919 168 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
5920 168 : if (kod>=5)
5921 : {
5922 : long a2, a3;
5923 35 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
5924 35 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
5925 35 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
5926 : }
5927 133 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
5928 133 : x1 = u+v+v;
5929 133 : switch(kod)
5930 : {
5931 0 : case 1: return 1;
5932 : case 2:
5933 7 : switch(n2)
5934 : {
5935 : case 1:
5936 7 : switch(v4)
5937 : {
5938 7 : case 4: return kross(-1,u);
5939 0 : case 5: return 1;
5940 0 : default: return -1;
5941 : }
5942 0 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
5943 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
5944 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
5945 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
5946 : }
5947 : case 3:
5948 63 : switch(n2)
5949 : {
5950 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
5951 0 : case 2: return -kross(2,v);
5952 42 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
5953 42 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
5954 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
5955 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
5956 : }
5957 : case -1:
5958 0 : switch(n2)
5959 : {
5960 0 : case 1: return -kross(2,x1);
5961 0 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
5962 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
5963 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
5964 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
5965 : }
5966 7 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
5967 : case -3:
5968 0 : switch(n2)
5969 : {
5970 0 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
5971 0 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
5972 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
5973 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
5974 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
5975 : }
5976 : case -5:
5977 14 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
5978 0 : else return -kross(2,2*u+v);
5979 : case -6:
5980 0 : switch(n2)
5981 : {
5982 0 : case 1: return 1;
5983 0 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
5984 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
5985 : }
5986 : case -7:
5987 0 : if (n2==1) return 1;
5988 : else
5989 : {
5990 0 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
5991 0 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
5992 0 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
5993 : }
5994 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
5995 0 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
5996 42 : default: return -1;
5997 : }
5998 : }
5999 :
6000 : static long
6001 224 : ellrootno_3(GEN e)
6002 : {
6003 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
6004 224 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
6005 :
6006 224 : if (!vD) return 1;
6007 224 : if (d) { /* not minimal */
6008 : ellmin_t M;
6009 0 : min_set_3(&M, e, d);
6010 0 : min_set_a(&M);
6011 0 : min_set_D(&M, e);
6012 0 : e = min_to_ell(&M, e);
6013 : }
6014 224 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
6015 224 : kod = kod_23(e,3);
6016 224 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
6017 182 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
6018 182 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
6019 182 : switch(kod)
6020 : {
6021 21 : case 1: case 3: case -3: return 1;
6022 : case 2:
6023 7 : switch(n2)
6024 : {
6025 7 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
6026 0 : case 2: return -K4*K6;
6027 0 : case 3: return 1;
6028 0 : case 4: return -K6;
6029 : }
6030 : case 4:
6031 7 : switch(n2)
6032 : {
6033 7 : case 1: return K6*kross(D1,3);
6034 0 : case 2: return -K4;
6035 0 : case 3: return -K6;
6036 : }
6037 0 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
6038 : case -4:
6039 28 : switch(n2)
6040 : {
6041 : case 1:
6042 28 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
6043 28 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
6044 0 : case 2: return -K6;
6045 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
6046 0 : case 4: return K6;
6047 : }
6048 119 : default: return -1;
6049 : }
6050 : }
6051 :
6052 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
6053 : static long
6054 861 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
6055 : {
6056 : long nuj, nuD, nu;
6057 861 : GEN D = ell_get_disc(e);
6058 : long ep, z;
6059 :
6060 861 : nuD = Q_pval(D, p);
6061 861 : if (!nuD) return 1;
6062 861 : nuj = j_pval(e, p);
6063 861 : nu = (nuD - nuj) % 12;
6064 861 : if (nu == 0)
6065 : {
6066 : GEN c6;
6067 : long d, vg;
6068 609 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
6069 : /* p || N */
6070 609 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
6071 609 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
6072 609 : d = vg / 12;
6073 609 : if (d)
6074 : {
6075 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
6076 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
6077 : }
6078 609 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
6079 : /* c6 in minimal model */
6080 609 : return -kronecker(negi(c6), p);
6081 : }
6082 252 : if (nuj) return krosi(-1,p);
6083 224 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
6084 224 : if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
6085 224 : return krosi(-z, p);
6086 : }
6087 :
6088 : static GEN
6089 686 : doellrootno(GEN e)
6090 : {
6091 686 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
6092 686 : long i, l, s = -1;
6093 :
6094 686 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
6095 686 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
6096 686 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
6097 686 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
6098 1918 : for (i = 1; i < l; i++)
6099 : {
6100 1232 : GEN p = gel(P,i);
6101 : long t;
6102 1232 : switch(itou_or_0(p))
6103 : {
6104 154 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
6105 224 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
6106 854 : default:t = ellrootno_p(e, p);
6107 : }
6108 1232 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
6109 : }
6110 686 : return mkvec2(stoi(s), V);
6111 : }
6112 :
6113 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
6114 : * Global if p==1 or NULL. */
6115 : static long
6116 42 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
6117 : {
6118 42 : pari_sp av = avma;
6119 : GEN S;
6120 : long s;
6121 42 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
6122 28 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
6123 28 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
6124 : {
6125 7 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
6126 7 : long i = ZV_search(NP, p);
6127 7 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
6128 0 : return 1;
6129 : }
6130 21 : switch(itou_or_0(p))
6131 : {
6132 : case 2:
6133 14 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
6134 14 : s = ellrootno_2(e); break;
6135 : case 3:
6136 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
6137 0 : s = ellrootno_3(e); break;
6138 : default:
6139 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
6140 : }
6141 21 : avma = av; return s;
6142 : }
6143 :
6144 : /* global root number over number field
6145 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
6146 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
6147 : */
6148 :
6149 : static GEN
6150 322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
6151 : {
6152 : long i;
6153 322 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
6154 1932 : for(i=1; i<=5; i++)
6155 1610 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
6156 322 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
6157 : }
6158 :
6159 : static GEN
6160 252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
6161 : {
6162 252 : long v = fetch_var_higher();
6163 252 : GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
6164 252 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
6165 252 : delete_var();
6166 252 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
6167 : }
6168 :
6169 : static GEN
6170 217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
6171 : {
6172 217 : pari_sp av = avma;
6173 217 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6174 217 : GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
6175 217 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
6176 217 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
6177 217 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
6178 217 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
6179 217 : return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
6180 : }
6181 :
6182 : static long
6183 252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
6184 252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
6185 :
6186 : static long
6187 147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
6188 : {
6189 147 : pari_sp av = avma;
6190 147 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6191 147 : long prec = nf_get_prec(nf);
6192 : long v;
6193 : GEN F;
6194 147 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
6195 147 : F = nfroots(nf, ec_bmodel(E));
6196 147 : if (lg(F)>1)
6197 : {
6198 35 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
6199 35 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
6200 35 : obj_free(Et);
6201 35 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
6202 : } else
6203 : {
6204 112 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), 0);
6205 112 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E), utoi(4)), 4);
6206 112 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(0),-2), prec);
6207 112 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
6208 112 : GEN F = nfroots(nf, D);
6209 112 : if (lg(F)>1)
6210 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
6211 : else
6212 : {
6213 105 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
6214 105 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
6215 105 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
6216 105 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
6217 105 : GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
6218 105 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
6219 105 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
6220 105 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
6221 105 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
6222 105 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
6223 105 : v = odd(v2+v3);
6224 : }
6225 : }
6226 147 : avma = av; return v ? -1: 1;
6227 : }
6228 :
6229 : static GEN
6230 147 : doellnfrootno(GEN e)
6231 147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
6232 :
6233 : long
6234 2030 : ellrootno_global(GEN e)
6235 : {
6236 2030 : pari_sp av = avma;
6237 : GEN S;
6238 2030 : switch(ell_get_type(e))
6239 : {
6240 : case t_ELL_Q:
6241 1764 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
6242 1764 : break;
6243 : case t_ELL_NF:
6244 266 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
6245 266 : break;
6246 : default:
6247 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6248 : }
6249 2030 : avma = av; return itos(S);
6250 : }
6251 :
6252 : long
6253 140 : ellrootno(GEN e, GEN p)
6254 : {
6255 140 : checkell(e);
6256 140 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
6257 140 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
6258 140 : switch(ell_get_type(e))
6259 : {
6260 : case t_ELL_Q:
6261 42 : return ellQ_rootno(e, p);
6262 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
6263 : case t_ELL_NF:
6264 98 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
6265 98 : return ellrootno_global(e);
6266 : }
6267 : }
6268 :
6269 : /********************************************************************/
6270 : /** **/
6271 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
6272 : /** **/
6273 : /********************************************************************/
6274 :
6275 : /* assume p does not divide disc E */
6276 : long
6277 278617 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
6278 : {
6279 : ulong a4, a6;
6280 278617 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
6281 277595 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
6282 276111 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
6283 276111 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
6284 : }
6285 :
6286 : static void
6287 693 : checkell_int(GEN e)
6288 : {
6289 693 : checkell_Q(e);
6290 1386 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
6291 1386 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
6292 1386 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
6293 1386 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
6294 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
6295 693 : }
6296 :
6297 : long
6298 2275 : ellQ_get_CM(GEN e)
6299 : {
6300 2275 : GEN j = ell_get_j(e);
6301 2275 : long CM = 0;
6302 2275 : if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
6303 : {
6304 : case 0:
6305 135 : if (!signe(j)) CM = -3;
6306 135 : break;
6307 119 : case 1728: CM = -4; break;
6308 21 : case -3375: CM = -7; break;
6309 21 : case 8000: CM = -8; break;
6310 21 : case 54000: CM = -12; break;
6311 35 : case -32768: CM = -11; break;
6312 21 : case 287496: CM = -16; break;
6313 7 : case -884736: CM = -19; break;
6314 21 : case -12288000: CM = -27; break;
6315 21 : case 16581375: CM = -28; break;
6316 7 : case -884736000: CM = -43; break;
6317 : #ifdef LONG_IS_64BIT
6318 6 : case -147197952000L: CM = -67; break;
6319 6 : case -262537412640768000L: CM = -163; break;
6320 : #endif
6321 : }
6322 2275 : return CM;
6323 : }
6324 :
6325 : /* bad reduction at p */
6326 : static void
6327 2506 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
6328 : {
6329 : ulong m, N;
6330 2506 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
6331 : {
6332 : case -1: /* non-split */
6333 581 : N = n/p;
6334 408596 : for (m=2; m<=N; m++)
6335 408015 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
6336 581 : break;
6337 : case 0: /* additive */
6338 1267 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
6339 1267 : break;
6340 : case 1: /* split */
6341 658 : N = n/p;
6342 92032 : for (m=2; m<=N; m++)
6343 91374 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
6344 658 : break;
6345 : }
6346 2506 : }
6347 : /* good reduction at p */
6348 : static void
6349 272681 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
6350 : {
6351 272681 : const long ap = an[p];
6352 : ulong m;
6353 272681 : if (p <= SQRTn) {
6354 8118 : ulong pk, oldpk = 1;
6355 32390 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
6356 : {
6357 24272 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
6358 4263652 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
6359 4239380 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
6360 : }
6361 : } else {
6362 1520125 : for (m = n/p; m > 1; m--)
6363 1255562 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
6364 : }
6365 272681 : }
6366 : static void
6367 275187 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
6368 : {
6369 275187 : if (good_red)
6370 272681 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
6371 : else
6372 2506 : sievep_bad(p, an, n);
6373 275187 : }
6374 :
6375 : static long
6376 275187 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
6377 : {
6378 275187 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
6379 2562 : return ellQap_u(e, p, good_red);
6380 : else /* good reduction */
6381 : {
6382 272625 : *good_red = 1;
6383 272625 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
6384 : }
6385 : }
6386 : GEN
6387 1512 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
6388 : {
6389 : pari_sp av;
6390 1512 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
6391 : GEN an;
6392 : int CM;
6393 :
6394 1512 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
6395 1512 : if (n >= LGBITS)
6396 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
6397 1512 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6398 1512 : SQRTn = usqrt(n);
6399 1512 : CM = ellQ_get_CM(e);
6400 :
6401 1512 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
6402 1512 : an[1] = 1; av = avma;
6403 2423800 : for (p=2; p<=n; p++)
6404 : {
6405 : int good_red;
6406 2422288 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
6407 275187 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
6408 275187 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
6409 : }
6410 1512 : avma = av; return an;
6411 : }
6412 :
6413 : static GEN
6414 854 : ellanQ(GEN e, long N)
6415 854 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
6416 :
6417 : static GEN
6418 69538 : ellnflocal(void *S, GEN p, long n)
6419 : {
6420 69538 : pari_sp av = avma;
6421 69538 : GEN E = (GEN)S;
6422 69538 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
6423 69538 : long l = lg(LP), i;
6424 139132 : for (i = 1; i < l; i++)
6425 : {
6426 : int goodred;
6427 69594 : GEN P = gel(LP,i), T2;
6428 69594 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
6429 69594 : long f = pr_get_f(P);
6430 69594 : if (goodred)
6431 69412 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
6432 : else
6433 : {
6434 182 : if (!signe(ap)) continue;
6435 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
6436 : }
6437 69580 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
6438 69580 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
6439 : }
6440 69538 : if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
6441 37996 : return gerepileupto(av, RgXn_inv(T, n));
6442 : }
6443 :
6444 : static GEN
6445 189 : ellnfan(GEN E, long N)
6446 : {
6447 189 : return direuler_bad((void*)E, &ellnflocal, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
6448 : }
6449 : GEN
6450 1036 : ellan(GEN E, long N)
6451 : {
6452 1036 : checkell(E);
6453 1036 : switch(ell_get_type(E))
6454 : {
6455 847 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
6456 189 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
6457 : default:
6458 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
6459 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6460 : }
6461 : }
6462 :
6463 : static GEN
6464 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
6465 : {
6466 : GEN u, v, w;
6467 : long j;
6468 735 : if (e == 1) return ap;
6469 112 : u = ap;
6470 112 : w = subii(sqri(ap), p);
6471 126 : for (j=3; j<=e; j++)
6472 : {
6473 14 : v = u; u = w;
6474 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
6475 : }
6476 112 : return w;
6477 : }
6478 :
6479 : GEN
6480 693 : akell(GEN e, GEN n)
6481 : {
6482 : long i, j, s;
6483 693 : pari_sp av = avma;
6484 : GEN fa, P, E, D, u, y;
6485 :
6486 693 : checkell_int(e);
6487 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
6488 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
6489 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
6490 693 : D = ell_get_disc(e);
6491 693 : u = Z_ppo(n, D);
6492 693 : y = gen_1;
6493 693 : s = 1;
6494 693 : if (!equalii(u, n))
6495 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
6496 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
6497 441 : P = gel(fa,1);
6498 441 : E = gel(fa,2);
6499 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6500 : {
6501 581 : GEN p = gel(P,i);
6502 581 : long ex = itos(gel(E,i));
6503 : int good_red;
6504 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
6505 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
6506 350 : j = signe(ap);
6507 350 : if (!j) { avma = av; return gen_0; }
6508 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
6509 : }
6510 : }
6511 693 : if (s < 0) y = negi(y);
6512 693 : fa = Z_factor(u);
6513 693 : P = gel(fa,1);
6514 693 : E = gel(fa,2);
6515 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6516 : { /* good reduction */
6517 504 : GEN p = gel(P,i);
6518 504 : GEN ap = ellap(e,p);
6519 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
6520 : }
6521 693 : return gerepileuptoint(av,y);
6522 : }
6523 :
6524 : GEN
6525 8015 : ellQ_get_N(GEN e)
6526 8015 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
6527 : void
6528 588 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
6529 588 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
6530 :
6531 : GEN
6532 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
6533 : {
6534 14 : pari_sp av = avma, av1;
6535 : ulong l, n;
6536 : long eps, flun;
6537 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
6538 :
6539 14 : if (!A) A = gen_1;
6540 : else
6541 : {
6542 7 : if (gsigne(A)<=0)
6543 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
6544 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
6545 : }
6546 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
6547 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
6548 14 : checkell_Q(e);
6549 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
6550 14 : N = ellQ_get_N(e);
6551 14 : eps = ellrootno_global(e);
6552 14 : if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
6553 :
6554 14 : gs = ggamma(s, prec);
6555 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
6556 14 : cga = gmul(cg, A);
6557 14 : cgb = gdiv(cg, A);
6558 42 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
6559 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
6560 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
6561 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
6562 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
6563 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
6564 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
6565 14 : z = gen_0;
6566 14 : av1 = avma;
6567 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
6568 : {
6569 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
6570 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
6571 1330 : if (!signe(an)) continue;
6572 :
6573 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
6574 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
6575 1106 : if (flun)
6576 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
6577 : else
6578 : {
6579 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
6580 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
6581 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
6582 : }
6583 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
6584 1106 : if (gc_needed(av1,1))
6585 : {
6586 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
6587 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
6588 : }
6589 : }
6590 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
6591 : }
6592 :
6593 : /********************************************************************/
6594 : /** **/
6595 : /** CANONICAL HEIGHT **/
6596 : /** **/
6597 : /********************************************************************/
6598 :
6599 : static GEN
6600 329 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
6601 :
6602 : /* one root of X^2 - t X + c */
6603 : static GEN
6604 1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
6605 : {
6606 1106 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
6607 : }
6608 :
6609 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
6610 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
6611 : static GEN
6612 1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
6613 : {
6614 1106 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
6615 1106 : long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
6616 :
6617 1106 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
6618 1106 : ab = ellR_ab(e, p);
6619 1106 : a = gel(ab, 1);
6620 1106 : b = gel(ab, 2);
6621 1106 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
6622 1106 : x = gsub(x, e1);
6623 1106 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
6624 :
6625 1106 : x_a = gsub(x, a);
6626 1106 : if (gsigne(a) > 0)
6627 : {
6628 161 : GEN a0 = a;
6629 161 : x = gsub(x, b);
6630 161 : a = gneg(b);
6631 161 : b = gsub(a0, b);
6632 : }
6633 1106 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
6634 1106 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
6635 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
6636 6049 : for(n=0; ; n++)
6637 : {
6638 6049 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
6639 6049 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
6640 6049 : r = gsub(a, a0);
6641 6049 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
6642 4943 : ab = gmul(a0, b);
6643 4943 : b = gsqrt(ab, prec);
6644 :
6645 4943 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
6646 4943 : p2 = gsqr(a);
6647 4943 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
6648 4943 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
6649 4943 : }
6650 1106 : if (n) {
6651 1106 : x = gel(V,n);
6652 1106 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
6653 : } else {
6654 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
6655 : }
6656 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
6657 1757 : return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
6658 1757 : : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
6659 : }
6660 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
6661 : static int
6662 1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
6663 : {
6664 1106 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
6665 1106 : return gcmp(x, e1) >= 0;
6666 : }
6667 :
6668 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
6669 : static GEN
6670 1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
6671 : {
6672 1106 : pari_sp av = avma;
6673 : GEN h;
6674 1106 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
6675 : {
6676 455 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
6677 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
6678 455 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
6679 : }
6680 : else
6681 651 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
6682 1106 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
6683 1106 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
6684 : }
6685 : GEN
6686 1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
6687 :
6688 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
6689 :
6690 : static GEN
6691 28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
6692 : {
6693 28 : pari_sp av = avma;
6694 28 : GEN z = zell(E, P, prec);
6695 28 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
6696 28 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = gconj(w1);
6697 28 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
6698 28 : GEN D = gsub(gmul(w1, gconj(w2)),gmul(w1c, w2));
6699 28 : GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, gconj(z)),gmul(w1c, z)), D);
6700 28 : GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
6701 28 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
6702 28 : GEN r = gmul2n(greal(gmul(z, eta)), -1);
6703 28 : GEN l = greal(ellsigma(per, z, 1, prec));
6704 28 : return gerepileupto(av, gsub(r, l));
6705 : }
6706 :
6707 : static GEN
6708 217 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
6709 217 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
6710 : static GEN
6711 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6712 : {
6713 35 : pari_sp av = avma;
6714 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
6715 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
6716 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
6717 : }
6718 : GEN
6719 126 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
6720 126 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
6721 : GEN
6722 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6723 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
6724 :
6725 : static GEN
6726 245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
6727 : {
6728 : long v1, v2, vD, vu;
6729 245 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
6730 245 : GEN lr = nflocalred(e,pr);
6731 245 : GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
6732 245 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
6733 245 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
6734 : GEN v;
6735 245 : vu = nfval(nf, u, pr);
6736 245 : v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
6737 245 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
6738 245 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
6739 245 : if (v1<0)
6740 7 : vu = 0;
6741 245 : if (v1<=0 || v2<=0)
6742 210 : v = gen_0;
6743 35 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
6744 : {
6745 21 : GEN a = gdivsg(minss(2*v2,vD),mulss(2,vD));
6746 21 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a),gdivgs(stoi(vD),2));
6747 : }
6748 : else
6749 : {
6750 14 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
6751 28 : v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? gdivgs(stoi(v2),-3):
6752 14 : gdivgs(stoi(v3),-8);
6753 : }
6754 245 : return gsubgs(v,vu);
6755 : }
6756 :
6757 : static GEN
6758 91 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
6759 : {
6760 91 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), disc = ell_get_disc(E);
6761 91 : GEN d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, gel(P,1)), 2));
6762 91 : GEN F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
6763 91 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec);
6764 91 : GEN Pe = ellpointnfembed(E, P);
6765 91 : long i, n = lg(Ee), l = lg(F), r1 = nf_get_r1(nf);
6766 91 : GEN s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
6767 224 : for (i=1; i<=r1; i++)
6768 133 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
6769 119 : for ( ; i<n; i++)
6770 28 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
6771 336 : for (i=1; i<l; i++)
6772 : {
6773 245 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
6774 245 : long f = pr_get_f(pr);
6775 245 : GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
6776 245 : s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
6777 : }
6778 91 : return gmul2n(s, 1);
6779 : }
6780 :
6781 : static GEN
6782 133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
6783 : {
6784 : long i, lx;
6785 133 : pari_sp av = avma;
6786 : GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
6787 : GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
6788 :
6789 133 : checkell_Q(e);
6790 133 : checkellpt(a);
6791 133 : if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
6792 133 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
6793 126 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
6794 : { /* switch to minimal model if needed */
6795 98 : if (lg(S) != 2)
6796 : {
6797 7 : v = gel(S,2);
6798 7 : e = gel(S,3);
6799 7 : a = ellchangepoint(a, v);
6800 : }
6801 : }
6802 : else
6803 : {
6804 28 : e = ellminimalmodel_i(e, &v);
6805 28 : a = ellchangepoint(a, v);
6806 : }
6807 126 : if (!oncurve(e,a))
6808 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
6809 119 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6810 119 : if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
6811 105 : x = gel(a,1);
6812 105 : y = gel(a,2);
6813 105 : b2 = ell_get_b2(e);
6814 105 : b4 = ell_get_b4(e);
6815 105 : b6 = ell_get_b6(e);
6816 105 : b8 = ell_get_b8(e);
6817 105 : psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
6818 : poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
6819 : );
6820 105 : if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
6821 105 : a1 = ell_get_a1(e);
6822 105 : a2 = ell_get_a2(e);
6823 105 : a4 = ell_get_a4(e);
6824 105 : phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
6825 : poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
6826 : );
6827 105 : c4 = ell_get_c4(e);
6828 105 : D = ell_get_disc(e);
6829 105 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6830 105 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6831 105 : lx = lg(Lp);
6832 217 : for (i=1; i<lx; i++)
6833 : {
6834 112 : GEN p = gel(Lp,i);
6835 : long u, v, n, n2;
6836 112 : if (signe(remii(c4,p)))
6837 : { /* p \nmid c4 */
6838 35 : long N = Z_pval(D,p);
6839 35 : if (!N) continue;
6840 35 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6841 35 : if (n > N) n = N;
6842 35 : u = n * ((N<<1) - n);
6843 35 : v = N << 3;
6844 : }
6845 : else
6846 : {
6847 77 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6848 77 : n = Z_pval(psi3, p);
6849 77 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6850 : }
6851 : /* z -= u log(p) / v */
6852 112 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6853 : }
6854 105 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
6855 : }
6856 :
6857 : GEN
6858 224 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6859 : {
6860 224 : checkell(e);
6861 224 : checkellpt(a);
6862 224 : if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
6863 224 : switch(ell_get_type(e))
6864 : {
6865 : case t_ELL_Q:
6866 133 : return ellQ_height(e, a, prec);
6867 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6868 : case t_ELL_NF:
6869 91 : return ellnf_height(e, a, prec);
6870 : }
6871 : }
6872 :
6873 : GEN
6874 28 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6875 : {
6876 : GEN y, D;
6877 28 : long lx = lg(x), i, j;
6878 28 : pari_sp av = avma;
6879 :
6880 28 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6881 28 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6882 28 : y = cgetg(lx,t_MAT);
6883 105 : for (i=1; i<lx; i++)
6884 : {
6885 77 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6886 77 : gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
6887 : }
6888 105 : for (i=1; i<lx; i++)
6889 : {
6890 77 : gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
6891 147 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6892 : {
6893 70 : GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6894 70 : h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
6895 70 : gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
6896 : }
6897 : }
6898 28 : return gerepilecopy(av,y);
6899 : }
6900 : GEN
6901 7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6902 7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6903 :
6904 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6905 : static GEN
6906 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
6907 : {
6908 21 : long l = lg(P);
6909 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6910 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
6911 : else
6912 : {
6913 7 : GEN y = cgetg(l, typ(P));
6914 : long i;
6915 7 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
6916 7 : return y;
6917 : }
6918 : }
6919 : static GEN
6920 7 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
6921 : {
6922 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6923 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6924 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6925 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6926 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6927 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6928 7 : if (is_matvec_t(t2))
6929 : {
6930 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6931 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6932 0 : return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
6933 : }
6934 7 : return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
6935 : }
6936 : GEN
6937 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6938 7 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
6939 : /********************************************************************/
6940 : /** **/
6941 : /** Modular Parametrization **/
6942 : /** **/
6943 : /********************************************************************/
6944 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6945 : static GEN
6946 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6947 : {
6948 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6949 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
6950 0 : gel(s,2) = t; return s;
6951 : }
6952 :
6953 : GEN
6954 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6955 : {
6956 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6957 : long n, m;
6958 14 : pari_sp av = avma;
6959 :
6960 14 : checkell_Q(e);
6961 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
6962 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
6963 :
6964 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
6965 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
6966 7 : d = ginv(gtoser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
6967 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
6968 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6969 7 : c = gsqr(d);
6970 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
6971 : * Take derivative then divide by 2x':
6972 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
6973 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
6974 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
6975 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
6976 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
6977 : * */
6978 7 : C = c+4;
6979 7 : X = x+4;
6980 7 : gel(X,-2) = gen_1;
6981 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
6982 7 : b2 = ell_get_b2(e);
6983 7 : b4 = ell_get_b4(e);
6984 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
6985 : {
6986 105 : pari_sp av2 = avma;
6987 : GEN s1, s2, s3;
6988 105 : if (n != 2)
6989 : {
6990 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
6991 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
6992 98 : s2 = gen_0;
6993 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
6994 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
6995 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
6996 98 : s1 = gen_0;
6997 98 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
6998 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
6999 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
7000 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
7001 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
7002 : }
7003 : else
7004 : {
7005 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
7006 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
7007 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
7008 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
7009 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
7010 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
7011 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
7012 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
7013 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
7014 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
7015 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
7016 7 : w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
7017 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
7018 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
7019 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
7020 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
7021 7 : s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
7022 : }
7023 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
7024 : }
7025 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
7026 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
7027 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
7028 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
7029 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
7030 : }
7031 :
7032 : /********************************************************************/
7033 : /** **/
7034 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
7035 : /** **/
7036 : /********************************************************************/
7037 : static GEN
7038 917 : doellff_get_o(GEN E)
7039 : {
7040 917 : GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
7041 917 : return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
7042 : }
7043 : GEN
7044 1218 : ellff_get_o(GEN E)
7045 1218 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
7046 :
7047 : GEN
7048 133 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
7049 : {
7050 133 : pari_sp av = avma;
7051 : GEN fg, r;
7052 133 : checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
7053 133 : fg = ellff_get_field(E);
7054 133 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
7055 133 : if (typ(fg)==t_FFELT)
7056 91 : r = FF_elllog(E, a, g, o);
7057 : else
7058 : {
7059 42 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
7060 42 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
7061 42 : GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
7062 42 : r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
7063 : }
7064 133 : return gerepileuptoint(av, r);
7065 : }
7066 :
7067 : GEN
7068 5236 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
7069 : {
7070 : GEN fg;
7071 5236 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
7072 5229 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
7073 5229 : fg = ellff_get_field(E);
7074 5229 : if (typ(fg)==t_FFELT)
7075 4984 : return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
7076 : else
7077 : {
7078 245 : pari_sp av = avma;
7079 245 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
7080 490 : GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
7081 490 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
7082 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
7083 : }
7084 : }
7085 :
7086 : GEN
7087 294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
7088 : {
7089 : GEN fg;
7090 294 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
7091 294 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
7092 294 : fg = ellff_get_field(E);
7093 294 : if (typ(fg)==t_FFELT)
7094 91 : return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
7095 : else
7096 : {
7097 203 : pari_sp av = avma;
7098 203 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
7099 406 : GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
7100 406 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
7101 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
7102 : }
7103 : }
7104 :
7105 : /* E/Q, return cardinality including the (possible) ramified point */
7106 : static GEN
7107 2771146 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
7108 : {
7109 2771146 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
7110 2771146 : if (!signe(D))
7111 : {
7112 97993 : pari_sp av = avma;
7113 97993 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
7114 97993 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
7115 : }
7116 2673153 : *good_red = 1;
7117 2673153 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
7118 2672705 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
7119 2671312 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
7120 2671312 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
7121 : }
7122 :
7123 : static GEN
7124 3052444 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
7125 : {
7126 : GEN q;
7127 3052444 : if (p) switch(typ(p))
7128 : {
7129 : case t_INT:
7130 2794197 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
7131 2794190 : break;
7132 : case t_VEC:
7133 99008 : q = get_prid(p);
7134 99008 : if (q) { p = q; break; }
7135 7 : default: pari_err_TYPE(s,p);
7136 : }
7137 3052430 : checkell(E);
7138 3052430 : switch(ell_get_type(E))
7139 : {
7140 : case t_ELL_Qp:
7141 14 : q = ellQp_get_p(E);
7142 14 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
7143 14 : return q;
7144 :
7145 : case t_ELL_Fp:
7146 : case t_ELL_Fq:
7147 180071 : q = ellff_get_p(E);
7148 180071 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
7149 180071 : return q;
7150 : case t_ELL_NF:
7151 : case t_ELL_Q:
7152 2872345 : if (p) return p;
7153 : default:
7154 14 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
7155 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7156 : }
7157 : }
7158 :
7159 : GEN
7160 2922248 : ellap(GEN E, GEN p)
7161 : {
7162 2922248 : pari_sp av = avma;
7163 : GEN q, card;
7164 : int goodred;
7165 2922248 : p = checkellp(E, p, "ellap");
7166 2922227 : switch(ell_get_type(E))
7167 : {
7168 : case t_ELL_Fp:
7169 91 : q = p; card = ellff_get_card(E);
7170 91 : break;
7171 : case t_ELL_Fq:
7172 54460 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
7173 54460 : break;
7174 : case t_ELL_Q:
7175 2768829 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7176 2768829 : break;
7177 : case t_ELL_NF:
7178 98847 : return ellnfap(E, p, &goodred);
7179 : default:
7180 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
7181 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7182 : }
7183 2823380 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
7184 : }
7185 :
7186 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
7187 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
7188 : GEN
7189 35 : ellsea(GEN E, ulong smallfact)
7190 : {
7191 35 : const ulong minq = 523;
7192 35 : checkell_Fq(E);
7193 35 : switch(ell_get_type(E))
7194 : {
7195 : case t_ELL_Fp:
7196 : {
7197 21 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
7198 21 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
7199 14 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
7200 : }
7201 : case t_ELL_Fq:
7202 : {
7203 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7204 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
7205 0 : return FF_ellcard(E);
7206 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
7207 : }
7208 : }
7209 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7210 : }
7211 :
7212 : GEN
7213 158868 : ellff_get_card(GEN E)
7214 158868 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
7215 :
7216 : GEN
7217 88504 : ellcard(GEN E, GEN p)
7218 : {
7219 88504 : p = checkellp(E, p, "ellcard");
7220 88504 : switch(ell_get_type(E))
7221 : {
7222 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7223 86159 : return icopy(ellff_get_card(E));
7224 : case t_ELL_Q:
7225 : {
7226 2317 : pari_sp av = avma;
7227 : int goodred;
7228 2317 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7229 2317 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
7230 2317 : return gerepileuptoint(av, N);
7231 : }
7232 : case t_ELL_NF:
7233 : {
7234 21 : pari_sp av = avma;
7235 : int goodred;
7236 21 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
7237 21 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
7238 21 : return gerepileuptoint(av, N);
7239 : }
7240 : default:
7241 7 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
7242 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7243 : }
7244 : }
7245 :
7246 : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
7247 : * d_r | ... | d_1 */
7248 : static GEN
7249 1764 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
7250 : {
7251 1764 : pari_sp av = avma;
7252 1764 : if (abscmpiu(p, 3)<=0)
7253 : {
7254 1246 : ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
7255 1246 : long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
7256 1246 : long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
7257 1246 : if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
7258 1169 : if (l==2)
7259 : {
7260 98 : long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
7261 98 : long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
7262 98 : long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
7263 98 : switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
7264 : { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
7265 : case 18: case 29:
7266 7 : retmkvec(mkvec2s(1,1));
7267 : case 19: case 24: case 26:
7268 7 : retmkvec(mkvec2s(0,1));
7269 : case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
7270 35 : retmkvec(mkvec2s(1,0));
7271 : default:
7272 49 : retmkvec(mkvec2s(0,0));
7273 : }
7274 : } else
7275 : { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
7276 1071 : long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
7277 1071 : long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
7278 1071 : long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
7279 1071 : long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
7280 : long x,y;
7281 1071 : if (r==2) /* [2,2] */
7282 63 : retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
7283 : /* cyclic, order d_1 */
7284 1008 : y = absequaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
7285 1008 : if (absequaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
7286 : {
7287 189 : long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
7288 189 : x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
7289 : }
7290 : else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
7291 : { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
7292 819 : if (y == 1)
7293 630 : x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
7294 : else
7295 189 : x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
7296 : }
7297 1008 : retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
7298 : }
7299 : }
7300 : else
7301 : {
7302 518 : GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
7303 518 : return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
7304 : }
7305 : }
7306 :
7307 : static GEN
7308 22918 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
7309 : {
7310 22918 : GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
7311 22911 : if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
7312 22834 : if (absequaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
7313 22736 : if (absequaliu(p, 3))
7314 : { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
7315 : ulong b2, b4, b6;
7316 1071 : if (!absequaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
7317 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
7318 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
7319 252 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
7320 252 : if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
7321 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
7322 126 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
7323 126 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
7324 126 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
7325 63 : G = mkvec2s(2, 2); goto END;
7326 : } /* Now assume p > 3 */
7327 21665 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
7328 21665 : G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
7329 : END:
7330 22911 : return mkvec2(G, m);
7331 : }
7332 :
7333 : static GEN
7334 38850 : doellgroup(GEN E)
7335 : {
7336 38850 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7337 38850 : return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
7338 : }
7339 :
7340 : GEN
7341 39389 : ellff_get_group(GEN E)
7342 39389 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
7343 :
7344 : /* E / Fp */
7345 : static GEN
7346 16828 : doellgens(GEN E)
7347 : {
7348 16828 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7349 16828 : if (typ(fg)==t_FFELT)
7350 16772 : return FF_ellgens(E);
7351 : else
7352 : {
7353 56 : GEN e, Gm, F, p = fg;
7354 56 : e = ellff_get_a4a6(E);
7355 56 : Gm = ellff_get_group(E);
7356 56 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
7357 56 : return FpVV_to_mod(F,p);
7358 : }
7359 : }
7360 :
7361 : GEN
7362 16905 : ellff_get_gens(GEN E)
7363 16905 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
7364 :
7365 : GEN
7366 22862 : ellgroup(GEN E, GEN p)
7367 : {
7368 22862 : pari_sp av = avma;
7369 : GEN G;
7370 22862 : p = checkellp(E,p, "ellgroup");
7371 22862 : if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
7372 378 : else G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
7373 22862 : return gerepilecopy(av, gel(G,1));
7374 : }
7375 :
7376 : GEN
7377 21329 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
7378 : {
7379 21329 : pari_sp av = avma;
7380 : GEN V;
7381 21329 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
7382 1855 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
7383 1855 : p = checkellp(E, p, "ellgroup");
7384 1848 : if (!ell_over_Fq(E))
7385 : { /* t_ELL_Q */
7386 1771 : GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
7387 1764 : GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
7388 1764 : return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
7389 : }
7390 77 : V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
7391 77 : return gerepilecopy(av, V);
7392 : }
7393 :
7394 : GEN
7395 16842 : ellgenerators(GEN E)
7396 : {
7397 16842 : checkell(E);
7398 16842 : switch(ell_get_type(E))
7399 : {
7400 : case t_ELL_Q:
7401 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
7402 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7403 16828 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
7404 : default:
7405 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
7406 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7407 : }
7408 : }
7409 :
7410 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
7411 : static GEN
7412 22540 : ellfromj_simple(GEN j)
7413 : {
7414 22540 : pari_sp av = avma;
7415 22540 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
7416 22540 : GEN E = zerovec(5);
7417 22540 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
7418 22540 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
7419 : }
7420 : GEN
7421 33817 : ellfromj(GEN j)
7422 : {
7423 33817 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
7424 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
7425 33817 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
7426 : {
7427 : case 2:
7428 3549 : if (gequal0(j))
7429 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
7430 : else
7431 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
7432 : case 3:
7433 7637 : if (gequal0(j))
7434 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7435 : else
7436 : {
7437 7630 : GEN E = zerovec(5);
7438 7630 : pari_sp av = avma;
7439 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
7440 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
7441 7630 : return E;
7442 : }
7443 : }
7444 22631 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
7445 22603 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7446 22540 : return ellfromj_simple(j);
7447 : }
7448 :
7449 : /********************************************************************/
7450 : /** **/
7451 : /** IS SUPERSINGULAR **/
7452 : /** **/
7453 : /********************************************************************/
7454 :
7455 : int
7456 164703 : elljissupersingular(GEN x)
7457 : {
7458 164703 : pari_sp av = avma;
7459 : int res;
7460 :
7461 164703 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
7462 497 : GEN p = gel(x, 1);
7463 497 : GEN j = gel(x, 2);
7464 497 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7465 164206 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
7466 164199 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
7467 164199 : GEN p = FF_p_i(x);
7468 164199 : GEN T = FF_mod(x);
7469 164199 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7470 : } else {
7471 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
7472 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7473 : }
7474 164696 : avma = av;
7475 164696 : return res;
7476 : }
7477 :
7478 : int
7479 164878 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
7480 : {
7481 : pari_sp av;
7482 : GEN j;
7483 : int res;
7484 164878 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
7485 16975 : j = ell_get_j(E);
7486 16975 : p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
7487 16975 : switch(ell_get_type(E))
7488 : {
7489 : case t_ELL_Fp:
7490 : case t_ELL_Fq:
7491 16800 : return elljissupersingular(j);
7492 : case t_ELL_Q:
7493 35 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
7494 14 : av = avma;
7495 14 : res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
7496 14 : avma = av; return res;
7497 : case t_ELL_NF:
7498 : {
7499 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
7500 140 : av = avma;
7501 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
7502 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
7503 : {
7504 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
7505 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7506 : }
7507 : else
7508 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7509 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
7510 126 : if (typ(j) == t_INT)
7511 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7512 : else
7513 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7514 126 : avma = av; return res;
7515 : }
7516 : default:
7517 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
7518 : }
7519 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7520 : }
7521 :
7522 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7523 : static GEN
7524 5439 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
7525 : {
7526 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
7527 5439 : if (n==0) return pol_0(v);
7528 5439 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
7529 1484 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
7530 1484 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
7531 1484 : if (n==3)
7532 756 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
7533 : else
7534 : {
7535 728 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
7536 728 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
7537 728 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
7538 : }
7539 1484 : setvarn(res, v); return res;
7540 : }
7541 :
7542 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
7543 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7544 : static GEN
7545 4585 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
7546 : {
7547 : GEN ret;
7548 4585 : long m = n/2;
7549 4585 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
7550 2800 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
7551 812 : else if (odd(n))
7552 : {
7553 511 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7554 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
7555 511 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
7556 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
7557 511 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
7558 105 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
7559 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
7560 406 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
7561 : }
7562 : else
7563 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
7564 301 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7565 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
7566 301 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
7567 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
7568 301 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
7569 : }
7570 2800 : gel(t,n) = ret;
7571 2800 : return ret;
7572 : }
7573 :
7574 : GEN
7575 3731 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
7576 : {
7577 3731 : pari_sp av = avma;
7578 : GEN f, D, N;
7579 3731 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7580 3731 : if (v==-1) v = 0;
7581 3731 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7582 3731 : N = characteristic(D);
7583 3731 : if (!signe(N)) N = NULL;
7584 3731 : if (n<0) n = -n;
7585 3731 : if (n==1 || n==3)
7586 231 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7587 : else
7588 : {
7589 3500 : GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
7590 3500 : setvarn(d2,v);
7591 3500 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7592 3500 : if (n <= 4)
7593 3220 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7594 : else
7595 280 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
7596 3500 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
7597 : }
7598 3731 : return gerepilecopy(av, f);
7599 : }
7600 :
7601 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
7602 : GEN
7603 392 : ellxn(GEN e, long n, long v)
7604 : {
7605 392 : pari_sp av = avma;
7606 : GEN d2, D, N, A, B;
7607 392 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7608 392 : if (v==-1) v = 0;
7609 392 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7610 392 : N = characteristic(D);
7611 392 : if (!signe(N)) N = NULL;
7612 392 : if (n < 0) n = -n;
7613 392 : d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
7614 392 : setvarn(d2,v);
7615 392 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7616 392 : if (n == 0)
7617 : {
7618 21 : A = pol_0(v);
7619 21 : B = pol_0(v);
7620 : }
7621 371 : else if (n == 1)
7622 : {
7623 7 : A = pol_1(v);
7624 7 : B = pol_x(v);
7625 : }
7626 364 : else if (n == 2)
7627 : {
7628 112 : GEN b4 = ell_get_b4(e);
7629 112 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
7630 112 : GEN b8 = ell_get_b8(e);
7631 112 : A = d2;
7632 : /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
7633 112 : B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
7634 112 : setvarn(B,v);
7635 : }
7636 : else
7637 : {
7638 252 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
7639 252 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
7640 252 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
7641 252 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
7642 252 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
7643 252 : if (!odd(n))
7644 7 : A = RgX_mul(f2, d2);
7645 : else
7646 245 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
7647 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
7648 252 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
7649 : }
7650 392 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
7651 : }
7652 :
7653 : GEN
7654 175 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
7655 : {
7656 175 : checkell_Q(E);
7657 175 : return hyperellpadicfrobenius(ec_bmodel(E), p, n);
7658 : }
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