Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.12.1 lcov report (development 24782-f7724578b4) Lines: 3752 4072 92.1 %
Date: 2019-12-06 05:56:26 Functions: 345 362 95.3 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      342835 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      342835 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      342366 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      342366 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      342366 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      342366 : }
      37             : static GEN
      38     2813042 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2813042 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2813040 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2813040 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2813026 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2812769 : }
      46             : static GEN
      47       70058 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48       70058 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50       70059 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52       70059 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53       70042 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54       70051 : }
      55             : static void
      56     2812928 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2812928 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2812905 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2812904 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2812608 : }
      62             : static void
      63      342366 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      342366 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      342366 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      342366 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      342366 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       22637 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       22637 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       22637 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       22637 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       22638 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         469 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         469 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         469 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         469 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         469 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       22638 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       22638 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       22636 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         469 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         469 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         469 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         469 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : /* shallow basistoalg */
     111             : static GEN
     112      388262 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     113             : {
     114      388262 :   switch(typ(x))
     115             :   {
     116      384503 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     117        3759 :     default: return basistoalg(nf, x);
     118             :   }
     119             : }
     120             : 
     121             : void
     122      307873 : checkellpt(GEN z)
     123             : {
     124      307873 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     125      307866 :   switch(lg(z))
     126             :   {
     127      302630 :     case 3: break;
     128        5236 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     129             :     /* fall through */
     130           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     131             :   }
     132      307866 : }
     133             : void
     134       72212 : checkell5(GEN E)
     135             : {
     136       72212 :   long l = lg(E);
     137       72212 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     138       72212 : }
     139             : void
     140     4346707 : checkell(GEN E)
     141     4346707 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     142             : void
     143        3472 : checkellisog(GEN v)
     144        3472 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     145             : 
     146             : void
     147        3976 : checkell_Q(GEN E)
     148             : {
     149        3976 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     150           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     151        3969 : }
     152             : 
     153             : void
     154           0 : checkell_Qp(GEN E)
     155             : {
     156           0 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     157           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     158           0 : }
     159             : 
     160             : static int
     161      527820 : ell_over_Fq(GEN E)
     162             : {
     163      527820 :   long t = ell_get_type(E);
     164      527820 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     165             : }
     166             : 
     167             : void
     168      279391 : checkell_Fq(GEN E)
     169             : {
     170      279391 :   if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     171      279384 : }
     172             : 
     173             : GEN
     174      180334 : ellff_get_p(GEN E)
     175             : {
     176      180334 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     177      180334 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     178             : }
     179             : 
     180             : int
     181         315 : ell_is_integral(GEN E)
     182             : {
     183         315 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     184         273 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     185         259 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     186         259 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     187         574 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     188             : }
     189             : 
     190             : static void
     191       72793 : checkcoordch(GEN z)
     192       72793 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     193             : 
     194             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     195             : GEN
     196       13710 : ec_bmodel(GEN e)
     197             : {
     198       13710 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     199       13710 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     200             : }
     201             : 
     202             : static int
     203        6537 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     204             : 
     205             : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
     206             : static GEN
     207        8698 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
     208             : {
     209        8698 :   GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     210        8698 :   long s = ellR_get_sign(e);
     211        8698 :   if (s > 0)
     212             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     213        2179 :     R = real_i(R);
     214        2179 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     215        2179 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     216        2179 :     d3 = subrr(e1,e2);
     217        2179 :     d1 = subrr(e2,e3);
     218        2179 :     d2 = subrr(e1,e3);
     219        2179 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
     220             :   } else {
     221        6519 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     222        6519 :     if (s < 0)
     223             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     224        2193 :       e1 = real_i(e1);
     225        2193 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     226             :     }
     227        6519 :     d3 = gsub(e1,e2);
     228        6519 :     d1 = gsub(e2,e3);
     229        6519 :     d2 = gsub(e1,e3);
     230        6519 :     if (precision(d1) < prec0
     231        6498 :         || precision(d2) < prec0
     232        6498 :         || precision(d3) < prec0) return NULL;
     233             :   }
     234        8655 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     235             : }
     236             : static GEN
     237        5204 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     238             : {
     239             :   long p;
     240        5247 :   for (p = prec0;; p = precdbl(p))
     241          43 :   {
     242        5247 :     GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
     243       10451 :     if (v) return v;
     244          43 :     if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
     245             :   }
     246             : }
     247             : static GEN
     248        1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     249             : 
     250             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     251             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     252             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     253             : GEN
     254      529333 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     255             : {
     256      529333 :   pari_sp av = avma;
     257             :   GEN z;
     258      529333 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     259      529333 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     260      529333 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     261      529333 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     262             : }
     263             : 
     264             : /* a1 x + a3 */
     265             : GEN
     266      546539 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     267             : {
     268      546539 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     269      546539 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     270      546539 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     271             : }
     272             : static GEN
     273      517440 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     274             : {
     275      517440 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     276      517440 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     277      517440 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     278             : }
     279             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     280             : static GEN
     281       15988 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     282             : {
     283       15988 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     284       15988 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     285             : }
     286             : 
     287             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     288             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     289             :  * which is the derivative of the curve equation
     290             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     291             :  * wrt x evaluated at Q */
     292             : GEN
     293        2562 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     294             : {
     295        2562 :   pari_sp av = avma;
     296        2562 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     297        2562 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     298        2562 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     299        2562 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     300        2562 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     301        2562 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     302             : }
     303             : 
     304             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     305             : GEN
     306        5810 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     307             : {
     308        5810 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     309        5810 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     310             : }
     311             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     312             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     313             :  * which is the derivative of the curve equation
     314             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     315             :  * wrt y evaluated at Q */
     316             : GEN
     317         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     318             : {
     319         532 :   pari_sp av = avma;
     320         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     321             : }
     322             : 
     323             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     324             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     325             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     326             : GEN
     327        1806 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     328             : {
     329        1806 :   pari_sp av = avma;
     330        1806 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
     331        1806 :   GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
     332        1806 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     333        1806 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
     334             :   {
     335          91 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E);
     336          91 :     t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
     337          91 :     t2 = nfadd(nf, t1, b42);
     338          91 :     t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
     339          91 :     t2 = nftoalg(nf, t2);
     340             :   }
     341             :   else
     342             :   {
     343        1715 :     t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
     344        1715 :     t2 = gadd(t1, b42);
     345        1715 :     t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
     346             :   }
     347        1806 :   return gerepileupto(av, t2);
     348             : }
     349             : 
     350             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     351             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     352             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     353             : GEN
     354          14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     355             : {
     356          14 :   pari_sp av = avma;
     357          14 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     358          14 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     359          14 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     360          14 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     361          14 :   GEN x2 = gsqr(x);
     362          14 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     363          14 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     364          14 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     365             : }
     366             : 
     367             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     368             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     369             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     370             : GEN
     371        1519 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     372             : {
     373        1519 :   pari_sp av = avma;
     374        1519 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     375        1519 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     376        1519 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     377        1519 :   return gerepileupto(av, res);
     378             : }
     379             : 
     380             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     381             : GEN
     382        2891 : ellbasechar(GEN E)
     383             : {
     384        2891 :   pari_sp av = avma;
     385        2891 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     386        2891 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     387             : }
     388             : 
     389             : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
     390             :  * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
     391             :  * Also allocate room for n dynamic members. */
     392             : static GEN
     393      685461 : initsmall_i(GEN x, long n)
     394             : {
     395             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D;
     396      685461 :   GEN y = obj_init(15, n);
     397      685461 :   switch(lg(x))
     398             :   {
     399             :     case 1:
     400             :     case 2:
     401             :     case 4:
     402             :     case 5:
     403           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     404             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     405             :     case 3:
     406       16709 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     407       16709 :       a4 = gel(x,1);
     408       16709 :       a6 = gel(x,2);
     409       16709 :       b2 = gen_0;
     410       16709 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     411       16709 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     412       16709 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     413       16709 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     414       16709 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     415       16709 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     416       16709 :       break;
     417             :     default: /* l > 5 */
     418             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     419      668745 :       a1 = gel(x,1);
     420      668745 :       a2 = gel(x,2);
     421      668745 :       a3 = gel(x,3);
     422      668745 :       a4 = gel(x,4);
     423      668745 :       a6 = gel(x,5);
     424      668745 :       a11= gsqr(a1);
     425      668745 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     426      668745 :       a13= gmul(a1, a3);
     427      668745 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     428      668745 :       a33= gsqr(a3);
     429      668745 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     430      668745 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     431      668745 :       b22= gsqr(b2);
     432      668745 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     433      668745 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     434      668745 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     435             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     436      668745 :       break;
     437             :     }
     438             :   }
     439      685454 :   gel(y,1) = a1;
     440      685454 :   gel(y,2) = a2;
     441      685454 :   gel(y,3) = a3;
     442      685454 :   gel(y,4) = a4;
     443      685454 :   gel(y,5) = a6;
     444      685454 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     445      685454 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     446      685454 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     447      685454 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     448      685454 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     449      685454 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     450      685454 :   gel(y,12)= D;
     451      685454 :   gel(y,16) = zerovec(n);
     452      685454 :   return y;
     453             : }
     454             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     455             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     456             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     457             :  * component y[16])*/
     458             : static GEN
     459      685440 : initsmall(GEN x, long n)
     460             : {
     461      685440 :   GEN j, y = initsmall_i(x, n), c4 = ell_get_c4(y), D = ell_get_disc(y);
     462      685433 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     463             : 
     464      677453 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     465         315 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     466         315 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     467         315 :     if (degpol(g) == 0)
     468         266 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     469             :     else
     470             :     {
     471          49 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     472          49 :       D = RgX_div(D, g);
     473          49 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     474          49 :       if (degpol(g) == 0)
     475           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     476             :       else
     477             :       {
     478          42 :         D = RgX_div(D, g);
     479          42 :         d = RgX_div(c4, g);
     480          42 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     481          42 :         if (degpol(g))
     482             :         {
     483          21 :           D = RgX_div(D, g);
     484          21 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     485             :         }
     486          42 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     487             :       }
     488             :     }
     489             :   }
     490             :   else
     491      677138 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     492      677453 :   gel(y,13) = j;
     493      677453 :   return y;
     494             : }
     495             : void
     496           0 : ellprint(GEN e)
     497             : {
     498           0 :   pari_sp av = avma;
     499             :   long vx, vy;
     500             :   GEN z;
     501           0 :   checkell5(e);
     502           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     503           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     504           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     505           0 :   (void)delete_var();
     506           0 :   (void)delete_var(); set_avma(av);
     507           0 : }
     508             : 
     509             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     510             : static GEN
     511         203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     512             : {
     513         203 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     514         203 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     515             : 
     516         203 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     517         203 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     518         105 :     b = mulrr(d3,d2);
     519             :   else
     520          98 :     b = cxnorm(d3);
     521         203 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     522         203 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     523         203 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     524         203 :   return mkvec2(a, b);
     525             : }
     526             : GEN
     527        1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     528        1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     529             : 
     530             : /* q a t_REAL*/
     531             : static long
     532          84 : real_prec(GEN q)
     533          84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     534             : /* q a t_PADIC */
     535             : static long
     536         252 : padic_prec(GEN q)
     537         252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     538             : 
     539             : /* check whether moduli are consistent */
     540             : static void
     541       97601 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     542       97601 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     543             : 
     544             : static int
     545       36435 : fix_nftype(GEN *pp)
     546             : {
     547       36435 :   switch(nftyp(*pp))
     548             :   {
     549       36435 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     550           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     551           0 :     default: return 0;
     552             :   }
     553       36435 :   return 1;
     554             : }
     555             : static long
     556      715533 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     557             : {
     558      715533 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     559      715533 :   GEN p = NULL;
     560      715533 :   long t = t_FRAC;
     561      715533 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     562             :   {
     563             :     case t_INT:
     564      491141 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     565        1995 :       p = *pp;
     566        1995 :       t = t_INTMOD;
     567        1995 :       break;
     568             :     case t_INTMOD:
     569         665 :       p = gel(*pp, 1);
     570         665 :       break;
     571             :     case t_REAL:
     572          28 :       e = real_prec(*pp);
     573          28 :       p = NULL;
     574          28 :       break;
     575             :     case t_PADIC:
     576         224 :       ep = padic_prec(*pp);
     577         224 :       p = gel(*pp, 2);
     578         224 :       break;
     579             :     case t_FFELT:
     580       18151 :       p = *pp;
     581       18151 :       break;
     582             :     case t_VEC:
     583       36435 :       t = t_VEC; p = *pp;
     584       36435 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     585             :     default:
     586           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     587           0 :       return 0;
     588             :   }
     589             :   /* Possible cases:
     590             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     591             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     592             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     593             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     594             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     595             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     596     4237506 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     597             :   {
     598     3524563 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     599     3524563 :     switch(typ(q)) {
     600             :       case t_PADIC:
     601          49 :         p2 = gel(q,2);
     602          49 :         switch(t)
     603             :         {
     604          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     605          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     606          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     607             :         }
     608          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     609          28 :         break;
     610             :       case t_INTMOD:
     611      122010 :         p2 = gel(q,1);
     612      122010 :         switch(t)
     613             :         {
     614       24437 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     615          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     616       97510 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     617          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     618             :         }
     619      121996 :         break;
     620             :       case t_FFELT:
     621      255892 :         switch(t)
     622             :         {
     623          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     624       95830 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     625             :           case t_FFELT:
     626      160055 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     627      160055 :             break;
     628           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     629             :         }
     630      255885 :         break;
     631             : 
     632     3142811 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     633             :       case t_REAL:
     634          56 :         switch(t)
     635             :         {
     636          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     637          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     638           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     639             :         }
     640          56 :         break;
     641             :       case t_COL:
     642             :       case t_POL:
     643             :       case t_POLMOD:
     644        3731 :         if (t == t_VEC) break;
     645             :       default: /* base ring too general */
     646        2541 :         return t_COMPLEX;
     647             :     }
     648             :   }
     649      712943 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     650             : }
     651             : 
     652             : /* s = 0 complex, else real;
     653             :  * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
     654             : static GEN
     655        6020 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
     656             : {
     657             :   GEN y;
     658        6020 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     659             :   {
     660             :     case t_ELL_Rg:
     661           7 :     case t_ELL_Q: break;
     662           7 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     663             :   }
     664        6013 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     665        6013 :   if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
     666        6013 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     667        6013 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     668        6013 :   return y;
     669             : }
     670             : 
     671             : static GEN
     672         196 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     673             : {
     674             :   GEN y;
     675         196 :   if (lg(x) > 6)
     676             :   {
     677          28 :     switch(ell_get_type(x))
     678             :     { /* sanity checks */
     679          21 :       case t_ELL_Q: break;
     680           7 :       case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
     681           0 :       default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     682             :     }
     683          21 :     x = vecslice(x,1,5);
     684             :   }
     685         189 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     686         189 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     687         189 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     688         189 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     689         189 :   return y;
     690             : }
     691             : 
     692             : static GEN
     693      497840 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     694             : {
     695             :   GEN y;
     696             :   long s;
     697      497840 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     698      497707 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     699      497707 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     700      497707 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     701      497707 :   return y;
     702             : }
     703             : 
     704             : static GEN
     705       37023 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     706             : {
     707             :   long i, l;
     708       37023 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     709       37023 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     710       37023 :   return y;
     711             : }
     712             : 
     713             : static GEN
     714       37009 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     715             : {
     716             :   GEN y, nf;
     717       37009 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     718       37009 :   nf = checknf(p);
     719       37009 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     720       37009 :   if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
     721       37009 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     722       37009 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     723       37009 :   return y;
     724             : }
     725             : 
     726             : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
     727             : static GEN
     728      113897 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
     729             : {
     730      113897 :   x = FF_ellinit(x,fg);
     731      113897 :   return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
     732             : }
     733             : 
     734             : static GEN
     735       30331 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     736             : {
     737             :   long i;
     738             :   GEN y, disc;
     739       30331 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     740             :   {
     741        2429 :     case t_ELL_Q: break;
     742           0 :     case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
     743           7 :     case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
     744           0 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     745             :   }
     746       30324 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     747             :   /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     748       25382 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
     749       22638 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     750       22638 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     751      316822 :   for(i=1;i<=13;i++)
     752      294191 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     753       22631 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     754       22631 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     755       22631 :   return y;
     756             : }
     757             : 
     758             : static GEN
     759      114065 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     760             : {
     761             :   GEN y;
     762      114065 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     763      111153 :   return FF_ellinit_ns(y,fg);
     764             : }
     765             : 
     766             : static GEN
     767        3493 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     768             : {
     769        3493 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     770             :   GEN p, modP;
     771        3493 :   if (get_modpr(P))
     772             :   { /* modpr accept */
     773        3192 :     modP = P;
     774        3192 :     p = modpr_get_p(modP);
     775             :   }
     776             :   else
     777             :   { /* pr, initialize modpr */
     778         301 :     GEN d = Q_denom(e);
     779         301 :     p = pr_get_p(P);
     780         301 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     781             :   }
     782        3493 :   *pp = p;
     783        3493 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     784        3493 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     785             : }
     786             : static GEN
     787        3472 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     788             : {
     789             :   GEN T,p;
     790        3472 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     791        3472 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     792             : }
     793             : 
     794             : GEN
     795      681065 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     796             : {
     797      681065 :   pari_sp av = avma;
     798             :   GEN y;
     799      681065 :   switch(typ(x))
     800             :   {
     801           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     802             :     case t_VEC:
     803      681058 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     804      681058 :       break;
     805           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     806             :   }
     807      681065 :   if (D && get_prid(D))
     808             :   {
     809        3052 :     if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     810        3052 :     y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     811        3052 :     goto END;
     812             :   }
     813      678013 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     814             :   {
     815             :   case t_PADIC:
     816         196 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     817         189 :     break;
     818             :   case t_INTMOD:
     819       27069 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     820       27062 :     break;
     821             :   case t_FFELT:
     822      113855 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     823      113855 :     break;
     824             :   case t_FRAC:
     825      497840 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     826      497833 :     break;
     827             :   case t_REAL:
     828          28 :     y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
     829          21 :     break;
     830             :   case t_VEC:
     831       36435 :     y = ellinit_nf(x, D);
     832       36435 :     break;
     833             :   default:
     834        2541 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     835             :   }
     836             : END:
     837      680988 :   if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
     838      672987 :   return gerepilecopy(av,y);
     839             : }
     840             : 
     841             : /********************************************************************/
     842             : /**                                                                **/
     843             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     844             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     845             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     846             : /**  verbatim                                                      **/
     847             : /**                                                                **/
     848             : /********************************************************************/
     849             : /* [1,0,0,0] */
     850             : static GEN
     851     2567950 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     852             : static int
     853      457667 : is_trivial_change(GEN v)
     854             : {
     855             :   GEN u, r, s, t;
     856      457667 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     857      457667 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     858      457667 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     859             : }
     860             : 
     861             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     862             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     863             : static void
     864        1008 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     865             : {
     866        1008 :   GEN v = *vtotal;
     867             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     868             : 
     869        1008 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     870         980 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     871         980 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     872         980 :   U2 = gsqr(U);
     873         980 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     874         980 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     875         980 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     876         980 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     877             : }
     878             : 
     879             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     880             : GEN
     881          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     882             : {
     883             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     884          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     885          21 :   u = gel(w,1);
     886          21 :   r = gel(w,2);
     887          21 :   s = gel(w,3);
     888          21 :   t = gel(w,4);
     889          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     890          21 :   U = ginv(u);
     891          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     892          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     893          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     894          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     895             : }
     896             : 
     897             : static GEN
     898       99393 : ell_to_nfell10(GEN e)
     899             : {
     900             :   long i;
     901       99393 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     902       99393 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     903     1093323 :   for(i=1; i<=10; i++)
     904      993930 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     905       99393 :   return y;
     906             : }
     907             : 
     908             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     909             : static GEN
     910      153552 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     911             : {
     912             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     913             :   long lx;
     914      153552 :   if (gequal1(u)) return e;
     915      153139 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     916      153139 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     917      153139 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     918      153139 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     919      153139 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     920      153139 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     921      153139 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
     922      153139 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
     923      153139 :   if (lx == 6) return y;
     924      153132 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
     925      153132 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
     926      153132 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
     927      153132 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
     928      153132 :   return y;
     929             : }
     930             : /* apply [1,r,0,0] */
     931             : static GEN
     932      267323 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
     933             : {
     934             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     935             :   long lx;
     936      267323 :   if (gequal0(r)) return e;
     937      238980 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     938      238980 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
     939      238980 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     940             : 
     941      238980 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
     942             :   /* A2 = a2 + 3r */
     943      238980 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
     944             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     945      238980 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
     946             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     947      238980 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
     948             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     949      238980 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
     950      238980 :   if (lx == 6) return y;
     951             : 
     952      238973 :   b4 = ell_get_b4(e);
     953      238973 :   b6 = ell_get_b6(e);
     954             :   /* B2 = 12r + b2 */
     955      238973 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     956      238973 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
     957      238973 :   r2 = nfsqr(nf,r);
     958             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
     959      238973 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
     960             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
     961      238973 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
     962             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
     963      238973 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
     964      238973 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
     965      238973 :   return y;
     966             : }
     967             : 
     968             : static GEN
     969      109557 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
     970             : {
     971             :   GEN a1, y;
     972      109557 :   if (gequal0(s)) return e;
     973      109557 :   a1 = ell_get_a1(e);
     974      109557 :   y = leafcopy(e);
     975             : 
     976             :   /* A1 = a1 + 2s */
     977      109557 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
     978             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     979      109557 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
     980             :   /* A4 = a4 - s a3 */
     981      109557 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
     982      109557 :   return y;
     983             : }
     984             : /* apply [1,0,0,t] */
     985             : static GEN
     986      251874 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
     987             : {
     988             :   GEN a1, a3, y;
     989      251874 :   if (gequal0(t)) return e;
     990      251454 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     991      251454 :   y = leafcopy(e);
     992             :   /* A3 = 2t + a3 */
     993      251454 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
     994             :   /* A4 = a4 - a1 t */
     995      251454 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
     996             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     997      251454 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
     998      251454 :   return y;
     999             : }
    1000             : 
    1001             : /* apply [1,0,s,t] */
    1002             : static GEN
    1003       12936 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1004             : {
    1005             :   GEN y, a1, a3;
    1006       12936 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1007       12516 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1008       12516 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1009       12516 :   y = leafcopy(e);
    1010             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1011       12516 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1012             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1013       12516 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1014             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1015       12516 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1016             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1017       12516 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1018             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1019       12516 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1020       12516 :   return y;
    1021             : }
    1022             : 
    1023             : static GEN
    1024      171094 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1025             : {
    1026      171094 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1027      171094 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1028             : }
    1029             : 
    1030             : /* apply [1,r,s,t] */
    1031             : static GEN
    1032         420 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1033             : {
    1034         420 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1035         420 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1036             : }
    1037             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1038             : static GEN
    1039         420 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1040             : {
    1041         420 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1042         420 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1043         420 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1044             : }
    1045             : 
    1046             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1047             : static GEN
    1048       73752 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1049             : {
    1050             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1051             :   long lx;
    1052       73752 :   if (gequal1(u)) return e;
    1053       73423 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1054       73423 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1055       73423 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1056       73423 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1057       73423 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1058       73423 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1059       73423 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1060       73423 :   if (lx == 6) return y;
    1061       73423 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1062       73423 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1063       73423 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1064       73423 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1065       73423 :   u12 = gsqr(u6);
    1066       73423 :   D = ell_get_disc(e);
    1067       73423 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1068       73423 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1069       73423 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1070       73423 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1071       73423 :   D = gmul(D, u12);
    1072       73423 :   gel(y,10)= c4;
    1073       73423 :   gel(y,11)= c6;
    1074       73423 :   gel(y,12)= D;
    1075       73423 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1076       73423 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1077       73423 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1078       73423 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1079       73423 :   return y;
    1080             : }
    1081             : /* apply [1,r,0,0] */
    1082             : static GEN
    1083      611282 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1084             : {
    1085             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1086      611282 :   if (gequal0(r)) return e;
    1087      511819 :   y = leafcopy(e);
    1088      511819 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1089      511819 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1090             : 
    1091             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1092      511819 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1093             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1094      511819 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1095             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1096      511819 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1097             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1098      511819 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1099      511819 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1100             : 
    1101      511812 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1102      511812 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1103             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1104      511812 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1105      511812 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1106      511812 :   r2 = gsqr(r);
    1107             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1108      511812 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1109             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1110      511812 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1111             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1112      511812 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1113      511812 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1114      511812 :   return y;
    1115             : }
    1116             : /* apply [1,0,s,0] */
    1117             : static GEN
    1118      118069 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1119             : {
    1120             :   GEN a1, y;
    1121      118069 :   if (gequal0(s)) return e;
    1122      118069 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1123      118069 :   y = leafcopy(e);
    1124             : 
    1125             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1126      118069 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1127             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1128      118069 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1129             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1130      118069 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1131      118069 :   return y;
    1132             : }
    1133             : /* apply [1,0,0,t] */
    1134             : static GEN
    1135      345044 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1136             : {
    1137             :   GEN a1, a3, y;
    1138      345044 :   if (gequal0(t)) return e;
    1139      275072 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1140      275072 :   y = leafcopy(e);
    1141             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1142      275072 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1143             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1144      275072 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1145             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1146      275072 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1147      275072 :   return y;
    1148             : }
    1149             : /* apply [1,0,s,t] */
    1150             : static GEN
    1151      347592 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1152             : {
    1153             :   GEN y, a1, a3;
    1154      347592 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1155      246050 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1156      127981 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1157      127981 :   y = leafcopy(e);
    1158             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1159      127981 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1160             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1161      127981 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1162             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1163      127981 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1164             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1165      127981 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1166             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1167      127981 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1168      127981 :   return y;
    1169             : }
    1170             : /* apply [1,r,s,t] */
    1171             : static GEN
    1172      347592 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1173             : {
    1174      347592 :   e = coordch_r(e, r);
    1175      347592 :   return coordch_st(e, s, t);
    1176             : }
    1177             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1178             : static GEN
    1179       72275 : coordch(GEN e, GEN w)
    1180             : {
    1181       72275 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1182       72275 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1183       72275 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1184             : }
    1185             : 
    1186             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1187             :  * (dynamic data) */
    1188             : static GEN
    1189          35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1190             : {
    1191          35 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1192          35 :   long prec = valp(p);
    1193          35 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1194          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1195             :   {
    1196           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1197           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1198             :   }
    1199          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1200             :   {
    1201           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1202           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1203           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1204           7 :     U = gmul(U, u);
    1205           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1206           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1207             :   }
    1208          35 :   return E;
    1209             : }
    1210             : 
    1211             : /* common to Q and Rg */
    1212             : static GEN
    1213       37352 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1214             : {
    1215       37352 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1216       37352 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1217          28 :     obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1218       37352 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1219          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1220       37352 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1221             :   {
    1222          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1223             :     long i;
    1224          28 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1225          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
    1226             :   }
    1227       37352 :   return E;
    1228             : }
    1229             : 
    1230             : static GEN
    1231           7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1232             : {
    1233           7 :   GEN p = NULL;
    1234           7 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1235           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1236           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1237             : }
    1238             : 
    1239             : static GEN
    1240       37352 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1241             : {
    1242       37352 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1243       37352 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1244       37352 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1245       37345 :   ch_R(E, e, w);
    1246       37345 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1247           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1248       37345 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1249             :   {
    1250        1463 :     if (lg(S) == 2)
    1251             :     { /* model was minimal */
    1252           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1253           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1254           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1255             :     }
    1256             :     else
    1257             :     {
    1258        1456 :       v = gel(S,2);
    1259        1456 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1260        1442 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1261             :       else
    1262             :       {
    1263          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1264          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1265          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1266          14 :         gel(S,2) = v;
    1267             :       }
    1268        1456 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1269             :     }
    1270             :   }
    1271       37345 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1272          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1273       37345 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1274           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1275       37345 :   return E;
    1276             : }
    1277             : 
    1278             : static void
    1279         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1280             : {
    1281             :   GEN S;
    1282         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1283          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1284         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1285          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1286         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1287          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1288         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1289          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1290         126 : }
    1291             : 
    1292             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1293             : static GEN
    1294           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1295             : {
    1296           7 :   long prec = 0;
    1297           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1298           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1299           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1300           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1301             : }
    1302             : static GEN
    1303         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1304             : {
    1305         119 :   long prec = 0;
    1306         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1307         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1308         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1309         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1310             : }
    1311             : 
    1312             : static void
    1313       72191 : ell_reset(GEN E)
    1314       72191 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1315             : 
    1316             : GEN
    1317       72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1318             : {
    1319       72212 :   pari_sp av = avma;
    1320             :   GEN E;
    1321       72212 :   checkell5(e);
    1322       72212 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1323       72205 :   checkcoordch(w);
    1324       72205 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1325       72205 :   if (lg(E) != 6)
    1326             :   {
    1327       72191 :     ell_reset(E);
    1328       72191 :     switch(ell_get_type(E))
    1329             :     {
    1330          35 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1331           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1332         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1333       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1334           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1335             :     }
    1336             :   }
    1337       72205 :   return gerepilecopy(av, E);
    1338             : }
    1339             : 
    1340             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1341             : static void
    1342      164395 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1343             : {
    1344      164395 :   GEN v = *vtotal;
    1345             :   GEN U2, R, S, T;
    1346      164395 :   if (gequal0(r)) return;
    1347       95809 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1348       95809 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1349       95809 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1350       95809 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1351             : }
    1352             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1353             : static void
    1354      109557 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1355             : {
    1356      109557 :   GEN v = *vtotal;
    1357             :   GEN U, S;
    1358      109557 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1359      109557 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1360      109557 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1361      109557 : }
    1362             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1363             : static void
    1364      254030 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1365             : {
    1366      254030 :   GEN v = *vtotal;
    1367             :   GEN U3, U, T;
    1368      254030 :   if (gequal0(t)) return;
    1369       80360 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1370       80360 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1371       80360 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1372             : }
    1373             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1374             : static void
    1375      251846 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1376             : {
    1377      251846 :   GEN v = *vtotal;
    1378             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1379      251846 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1380      171094 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1381      171094 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1382      171094 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1383      171094 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1384      171094 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1385             : }
    1386             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1387             : static void
    1388      184345 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1389             : {
    1390      184345 :   GEN v = *vtotal;
    1391             :   GEN U3, U, S, T;
    1392      184345 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1393      122073 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1394       12516 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1395       12516 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1396       12516 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1397       12516 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1398             : }
    1399             : 
    1400             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1401             : static void
    1402      153132 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1403             : {
    1404      153132 :   GEN v = *vtotal;
    1405      153132 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1406      153132 : }
    1407             : 
    1408             : /* X = (x-r)/u^2
    1409             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1410             : static GEN
    1411         525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1412             : {
    1413             :   GEN a, x, y;
    1414         525 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1415         511 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1416         511 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1417             : }
    1418             : 
    1419             : GEN
    1420         525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1421             : {
    1422             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1423         525 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1424         525 :   pari_sp av = avma;
    1425             : 
    1426         525 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1427         525 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1428         525 :   checkcoordch(ch);
    1429         525 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1430         525 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1431         525 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1432         525 :   tx = typ(gel(x,1));
    1433         525 :   if (is_matvec_t(tx))
    1434             :   {
    1435          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1436          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1437          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1438             :   }
    1439             :   else
    1440         504 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1441         525 :   return gerepilecopy(av,y);
    1442             : }
    1443             : 
    1444             : /* x = u^2*X + r
    1445             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1446             : static GEN
    1447          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1448             : {
    1449             :   GEN a, X, Y;
    1450          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1451          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1452          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1453             : }
    1454             : GEN
    1455          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1456             : {
    1457             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1458          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1459          63 :   pari_sp av = avma;
    1460             : 
    1461          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1462          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1463          63 :   checkcoordch(ch);
    1464          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1465          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1466          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1467          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1468          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1469             :   {
    1470           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1471          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1472           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1473             :   }
    1474             :   else
    1475          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1476          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1477             : }
    1478             : 
    1479             : GEN
    1480       28504 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1481             : {
    1482       28504 :   pari_sp av = avma;
    1483             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1484             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1485             :   GEN V;
    1486       28504 :   checkell(E);
    1487       28504 :   if (!P)
    1488             :   {
    1489             :     GEN a4, a6;
    1490       27188 :     checkell_Fq(E);
    1491       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1492             :     {
    1493             :       case t_ELL_Fp:
    1494             :         {
    1495           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1496           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1497       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1498             :         }
    1499             :       case t_ELL_Fq:
    1500       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1501             :     }
    1502             :   }
    1503        1316 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1504        1316 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1505        1316 :   if (typ(P) == t_INT)
    1506             :   {
    1507        1302 :     if (equali1(P))
    1508         322 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1509         980 :     P = quadpoly(P);
    1510             :   } else
    1511             :   {
    1512          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1513          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1514           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1515             :   }
    1516         994 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1517         994 :   ac = gmul(a, c);
    1518         994 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1519         994 :   D2 = gsqr(D);
    1520         994 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1521         994 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1522         994 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1523         994 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1524         994 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1525         994 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1526         994 :   return gerepilecopy(av, V);
    1527             : }
    1528             : 
    1529             : /********************************************************************/
    1530             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1531             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1532             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1533             : /********************************************************************/
    1534             : 
    1535             : static long
    1536        3185 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1537        3185 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1538             : 
    1539             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1540             :  * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1541             :  * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1542             :  * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1543             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1544             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1545             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1546             :  * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1547             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1548             : static long
    1549         392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1550             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1551             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1552             :   long v4, v6, vD;
    1553             : 
    1554         392 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1555          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1556             : 
    1557             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1558         336 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1559             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1560         329 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1561             : 
    1562             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1563         329 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1564             : 
    1565             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1566         266 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1567         175 :   vD = vali(disc);
    1568         175 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1569         168 :   return -8;
    1570             : }
    1571             : 
    1572             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1573             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1574             : */
    1575             : GEN
    1576         637 : ellminimaltwist(GEN e)
    1577             : {
    1578         637 :   pari_sp av = avma;
    1579         637 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1580             :   long i, lF;
    1581         637 :   checkell_Q(e);
    1582         637 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1583         637 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1584         637 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1585         637 :   disc = ell_get_disc(E);
    1586         637 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1587         637 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1588         637 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1589             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1590             :    * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
    1591             :    * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1592        2366 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1593             :   {
    1594        1729 :     GEN p = gel(F, i);
    1595        1729 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1596        1729 :     if (vg < 6) continue;
    1597             :     /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
    1598             :      * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1599        1197 :     switch(itou_or_0(p))
    1600             :     {
    1601             :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1602         441 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1603         441 :         break;
    1604             :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1605         364 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1606         364 :         break;
    1607             :       case 2:
    1608         392 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1609         392 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1610         392 :         break;
    1611             :     }
    1612             :   }
    1613         637 :   obj_free(E);
    1614         637 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1615             : }
    1616             : 
    1617             : /*
    1618             : Reference:
    1619             : William A. Stein and Mark Watkins
    1620             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1621             : ANTS 5
    1622             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1623             : */
    1624             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1625             : GEN
    1626         371 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1627             : {
    1628         371 :   pari_sp av = avma;
    1629         371 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1630         371 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1631         371 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1632         371 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1633         371 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1634         357 :   else if (f==6)
    1635             :   {
    1636             :     long s, t;
    1637          21 :     if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
    1638             :     else
    1639             :     {
    1640          14 :       t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
    1641          14 :       s = signe(D)==t ? -3: -1;
    1642             :     }
    1643          21 :     D = shifti(D, s);
    1644             :   }
    1645         371 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1646             : }
    1647             : 
    1648             : GEN
    1649         448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1650             : {
    1651         448 :   switch(flag)
    1652             :   {
    1653         266 :     case 0: return ellminimaltwist(e);
    1654         182 :     case 1: return ellminimaltwistcond(e);
    1655             :   }
    1656           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1657             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1658             : }
    1659             : 
    1660             : static long
    1661           7 : ellexpo(GEN E)
    1662             : {
    1663           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1664          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1665             :   {
    1666          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1667          35 :     if (f > e) e = f;
    1668             :   }
    1669           7 :   return e;
    1670             : }
    1671             : 
    1672             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1673             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1674             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1675             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1676             : int
    1677       16065 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1678             : {
    1679             :   GEN LHS, RHS, x;
    1680             :   long pl, pr, ex, expx;
    1681             :   pari_sp av;
    1682             : 
    1683       16065 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1684       15988 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1685       15988 :   av = avma;
    1686       15988 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1687       15988 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1688       15988 :   if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
    1689          21 :   pl = precision(LHS);
    1690          21 :   pr = precision(RHS);
    1691          21 :   if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
    1692             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1693           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1694           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1695           7 :   expx = gexpo(x);
    1696          14 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1697           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1698           7 :   return gc_bool(av,pr);
    1699             : }
    1700             : 
    1701             : GEN
    1702       17213 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1703             : {
    1704       17213 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1705             : 
    1706       17213 :   checkell(e);
    1707       17213 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1708       17213 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1709       17213 :   tx = typ(gel(x,1));
    1710       17213 :   if (is_vec_t(tx))
    1711             :   {
    1712        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1713        1687 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1714        1687 :     return z;
    1715             :   }
    1716       15526 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1717             : }
    1718             : 
    1719             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1720             : static GEN
    1721        1785 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1722             : {
    1723             :   GEN dy,dx;
    1724        1785 :   if (y1 != y2)
    1725             :   {
    1726             :     int eq;
    1727         259 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1728           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1729             :     else
    1730         252 :       eq = gequal(y1,y2);
    1731         259 :     if (!eq) return NULL;
    1732             :   }
    1733        1778 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1734        1778 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1735        1743 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1736             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1737        1743 :   return gdiv(dy,dx);
    1738             : }
    1739             : 
    1740             : GEN
    1741       13384 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1742             : {
    1743             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1744       13384 :   pari_sp av = avma;
    1745             : 
    1746       13384 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1747       13384 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1748       10983 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1749             : 
    1750        9331 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1751        9331 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1752        9331 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1753             :   {
    1754         539 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1755         539 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1756         539 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1757         539 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1758         539 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1759             :   }
    1760        9331 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    1761             :   {
    1762        1785 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1763        1785 :     if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
    1764             :   }
    1765             :   else
    1766        7546 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    1767        9289 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1768        9289 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1769        9289 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1770        9289 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1771        9289 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1772             : }
    1773             : 
    1774             : static GEN
    1775          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1776             : {
    1777             :   GEN t, x, y;
    1778          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1779          49 :   x = gel(z,1);
    1780          49 :   y = gel(z,2);
    1781          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1782             :   {
    1783           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1784           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1785           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1786             :   }
    1787          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1788          49 :   gel(t,1) = x;
    1789          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1790          49 :   return t;
    1791             : }
    1792             : 
    1793             : GEN
    1794         994 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1795             : {
    1796             :   pari_sp av;
    1797             :   GEN t, y;
    1798         994 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1799         994 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1800         994 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1801         994 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1802         994 :   av = avma;
    1803         994 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1804         994 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1805         994 :   return t;
    1806             : }
    1807             : 
    1808             : GEN
    1809          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1810             : {
    1811          49 :   pari_sp av = avma;
    1812          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1813          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1814             : }
    1815             : 
    1816             : /* E an ell, x a scalar */
    1817             : static GEN
    1818        1484 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1819             : {
    1820        1484 :   pari_sp av = avma;
    1821        1484 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1822             : 
    1823        1484 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1824             :   {
    1825         532 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1826         532 :     x = nftoalg(nf,x);
    1827             :   }
    1828        1484 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1829        1484 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1830        1484 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1831             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1832        1484 :   if (gequal0(D)) {
    1833         336 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1834           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1835         336 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1836         336 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1837         336 :     return gerepileupto(av,y);
    1838             :   }
    1839             :   /* D != 0 */
    1840        1148 :   switch(ell_get_type(E))
    1841             :   {
    1842             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1843          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1844          28 :       D = gel(D,2);
    1845          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1846           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1847           7 :       break;
    1848             :     case t_ELL_Fq:
    1849         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1850             :       {
    1851          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1852          77 :         if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1853          28 :         return gerepileupto(av, F);
    1854             :       }
    1855         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1856         105 :       break;
    1857             :     case t_ELL_Q:
    1858         357 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1859         350 :       if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1860         266 :       break;
    1861             : 
    1862             :     case t_ELL_NF:
    1863             :     {
    1864         525 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1865         525 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1866         525 :       d = nfroots(nf, T);
    1867         525 :       delete_var();
    1868         525 :       if (lg(d) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
    1869         511 :       d = gel(d,1);
    1870         511 :       break;
    1871             :     }
    1872             : 
    1873             :     case t_ELL_Qp:
    1874          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1875          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1876          14 :       if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1877          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1878          14 :       break;
    1879             : 
    1880             :     default:
    1881           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1882             :   }
    1883         917 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1884         917 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1885         917 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1886         917 :   return gerepileupto(av,y);
    1887             : }
    1888             : 
    1889             : GEN
    1890        1484 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1891             : {
    1892        1484 :   checkell(e);
    1893        1484 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1894             :   {
    1895             :     long i, lx;
    1896           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1897           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1898           0 :     return v;
    1899             :   }
    1900        1484 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1901             : }
    1902             : 
    1903             : GEN
    1904      243978 : ellrandom(GEN E)
    1905             : {
    1906             :   GEN fg;
    1907      243978 :   checkell_Fq(E);
    1908      243978 :   fg = ellff_get_field(E);
    1909      243978 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1910      243950 :     return FF_ellrandom(E);
    1911             :   else
    1912             :   {
    1913          28 :     pari_sp av = avma;
    1914          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1915          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1916          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1917          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1918             :   }
    1919             : }
    1920             : 
    1921             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    1922             : static GEN
    1923          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    1924             : {
    1925          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1926             :   long ln, vn;
    1927             : 
    1928          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    1929           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1930          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    1931          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1932          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1933          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1934          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    1935          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1936          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1937             :   do
    1938             :   {
    1939          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1940             :     do
    1941             :     {
    1942          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1943          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    1944          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1945             :     }
    1946          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    1947          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1948          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1949          21 :     if (!signe(z2)) break;
    1950           7 :     z2 = ginv(z2);
    1951             :   }
    1952           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    1953          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1954           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1955          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1956          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    1957          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    1958          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1959          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1960             : 
    1961          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1962          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1963          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1964          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1965             : 
    1966          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    1967          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1968          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1969          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    1970          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1971             : }
    1972             : 
    1973             : static GEN
    1974         637 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1975             : static GEN
    1976         196 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1977             : 
    1978             : static GEN
    1979      247918 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1980             : {
    1981      247918 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1982      247918 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1983      247366 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1984             :   else
    1985             :   {
    1986         552 :     pari_sp av = avma;
    1987         552 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1988         552 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1989         552 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1990         473 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1991         473 :     return gerepileupto(av, Q);
    1992             :   }
    1993             : }
    1994             : /* [n] z, n integral */
    1995             : static GEN
    1996      248429 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1997             : {
    1998             :   long s;
    1999      248429 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2000      248429 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2001         511 :   s = signe(n);
    2002         511 :   if (!s) return ellinf();
    2003         462 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2004         462 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2005         392 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2006             : }
    2007             : 
    2008             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2009             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2010             : static long
    2011          42 : myroundr(GEN *px)
    2012             : {
    2013          42 :   GEN x = *px;
    2014             :   long e;
    2015          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2016          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2017          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2018          42 :   return OK;
    2019             : }
    2020             : 
    2021             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2022             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2023             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2024             : static GEN
    2025          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2026             : {
    2027             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2028             :   long prec;
    2029             : 
    2030          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2031          14 :   switch(typ(Q))
    2032             :   {
    2033             :     case t_COMPLEX:
    2034           0 :       D = utoineg(4);
    2035           0 :       v = gel(Q,2);
    2036           0 :       break;
    2037             :     case t_QUAD:
    2038          14 :       D = quad_disc(Q);
    2039          14 :       v = gel(Q,3);
    2040          14 :       break;
    2041             :     default:
    2042           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2043             :   }
    2044             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2045          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    2046          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2047          14 :   prec = precision(tau);
    2048             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2049             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2050             :    * Compute f*k */
    2051          14 :   x = gel(tau,1);
    2052          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2053          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2054          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2055             :   {
    2056           0 :     case NO: return NULL;
    2057           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2058             :   }
    2059          14 :   fk = absi_shallow(fk);
    2060             : 
    2061          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2062          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2063             :   {
    2064           0 :     case NO: return NULL;
    2065           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2066             :   }
    2067             : 
    2068          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2069          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2070             :   {
    2071           0 :     case NO: return NULL;
    2072           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2073             :   }
    2074             : 
    2075             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2076          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2077          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2078          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2079          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2080             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2081          14 :   v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
    2082          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2083          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2084             : }
    2085             : 
    2086             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2087             : static GEN
    2088          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2089             : {
    2090             :   GEN A, B, q;
    2091          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2092          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2093          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2094          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2095             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2096          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2097             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2098             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2099           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2100           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2101           7 :     u = shifti(u, -1);
    2102           7 :     if (signe(u))
    2103             :     {
    2104           0 :       w = gsub(w, u);
    2105           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2106             :     }
    2107             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2108             :   }
    2109          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2110          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2111          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2112          14 :   return elladd(e, A, B);
    2113             : }
    2114             : GEN
    2115      248492 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2116             : {
    2117      248492 :   pari_sp av = avma;
    2118             : 
    2119      248492 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2120      248485 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2121      248429 :   switch(typ(n))
    2122             :   {
    2123      248415 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2124             :     case t_QUAD: {
    2125          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2126          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2127          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2128             :     }
    2129             :     case t_COMPLEX: {
    2130           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2131           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2132             :     }
    2133             :   }
    2134           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2135             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2136             : }
    2137             : 
    2138             : /********************************************************************/
    2139             : /**                                                                **/
    2140             : /**                       Periods                                  **/
    2141             : /**                                                                **/
    2142             : /********************************************************************/
    2143             : 
    2144             : /* References:
    2145             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2146             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2147             : */
    2148             : 
    2149             : static GEN
    2150        4791 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2151             : {
    2152        4791 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2153        4791 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2154        4791 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2155             : }
    2156             : 
    2157             : static GEN
    2158        3306 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2159             : {
    2160        3306 :   pari_sp av = avma;
    2161        3306 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    2162        3306 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2163        3306 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2164        3306 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2165             : }
    2166             : 
    2167             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2168             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2169             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2170             : static GEN
    2171        4791 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2172             : {
    2173        4791 :   pari_sp av = avma;
    2174             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2175        4791 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2176        1485 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    2177        1485 :   d2 = gel(roots,5);
    2178        1485 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2179        1485 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2180        1485 :   b = gel(z,2);
    2181        1485 :   c = gabs(z, prec);
    2182        1485 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2183        1485 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2184             : }
    2185             : static GEN
    2186          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2187          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    2188             : 
    2189             : GEN
    2190        6279 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2191        6279 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2192             : GEN
    2193          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2194          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2195             : GEN
    2196        6177 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2197        6177 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2198             : 
    2199             : GEN
    2200        2443 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2201             : {
    2202        2443 :   pari_sp av = avma;
    2203             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2204        2443 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2205        2443 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2206        2443 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2207        2443 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2208             : }
    2209             : 
    2210             : /********************************************************************/
    2211             : /**                                                                **/
    2212             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2213             : /**                                                                **/
    2214             : /********************************************************************/
    2215             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2216             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2217             : static GEN
    2218          14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2219             : {
    2220          14 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2221          14 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2222          14 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2223          14 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2224          14 :   GEN z = gel(om,2);
    2225          14 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2226           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2227             :   else
    2228          14 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2229          14 :   return gmul2n(z, -1);
    2230             : }
    2231             : 
    2232             : static GEN
    2233          35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2234             : {
    2235          35 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2236          35 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2237          35 :   if (gequal0(y0))
    2238           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2239             :   else
    2240             :   {
    2241          35 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2242          35 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2243          35 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2244          35 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2245          35 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2246             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2247          35 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2248          35 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2249             :   }
    2250             : }
    2251             : 
    2252             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2253             : static GEN
    2254           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2255             : {
    2256           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2257           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2258             :   else
    2259             :   {
    2260           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2261           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2262           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2263           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2264           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2265           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2266           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2267           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2268             :   }
    2269             : }
    2270             : 
    2271             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2272             : static GEN
    2273          21 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2274             : {
    2275          21 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2276          21 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2277          21 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2278           7 :   e1 = gel(R,1);
    2279           7 :   e2 = gel(R,2);
    2280           7 :   e3 = gel(R,3);
    2281           7 :   d2 = gel(R,5);
    2282           7 :   d3 = gel(R,6);
    2283           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2284           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2285           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2286           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2287           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2288           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2289             :   } else {
    2290           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2291           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2292           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2293           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2294             :   }
    2295             : }
    2296             : 
    2297             : static void
    2298           7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2299             : {
    2300           7 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2301           7 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2302           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2303           0 : }
    2304             : static GEN
    2305         161 : get_r0(GEN E, long prec)
    2306             : {
    2307         161 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2308         161 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2309             : }
    2310             : static GEN
    2311         112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2312             : {
    2313         112 :   pari_sp av = avma;
    2314             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2315             :   long vq, vt, Q, R;
    2316         112 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2317         105 :   ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
    2318         105 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2319         105 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2320         105 :   x = gel(P,1);
    2321         105 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2322         105 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2323         105 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2324          98 :   r = gsub(a,b);
    2325          98 :   ar = gmul(a, r);
    2326          98 :   if (gequal0(c0))
    2327             :   {
    2328           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2329           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2330             :   }
    2331             :   else
    2332             :   {
    2333          91 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2334          91 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2335          91 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2336          84 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2337             :   }
    2338          91 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2339          91 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2340             : 
    2341          91 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2342          91 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2343             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2344          91 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2345          56 :     vt = valp(t);
    2346             :   else
    2347          35 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2348          91 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2349          91 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2350          91 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2351          91 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2352          91 :   return gerepileupto(av, t);
    2353             : }
    2354             : 
    2355             : static GEN
    2356          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2357             : {
    2358          56 :   pari_sp av = avma;
    2359             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2360             :   long v;
    2361          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2362             : 
    2363          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2364          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2365          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2366          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2367          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2368          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2369          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2370             : 
    2371          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2372          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2373          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2374          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2375          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2376             : }
    2377             : 
    2378             : static GEN
    2379          56 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
    2380             : {
    2381             :   GEN t;
    2382             :   long s;
    2383          56 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2384          56 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2385          56 :   s = ellR_get_sign(e);
    2386          56 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2387          21 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2388             :   else
    2389          35 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2390          56 :   return t;
    2391             : }
    2392             : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
    2393             : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
    2394             : static void ellnfembed_free(GEN L);
    2395             : GEN
    2396         161 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
    2397             : {
    2398         161 :   pari_sp av = avma;
    2399         161 :   checkell(E); checkellpt(P);
    2400         161 :   switch(ell_get_type(E))
    2401             :   {
    2402             :     case t_ELL_Qp:
    2403         112 :       prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
    2404         112 :       return ellQp_P2t(E, P, prec);
    2405             :     case t_ELL_NF:
    2406             :     {
    2407           7 :       GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    2408           7 :       long i, l = lg(Pe);
    2409           7 :       for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
    2410           7 :       ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
    2411             :     }
    2412           7 :     case t_ELL_Q: break;
    2413          35 :     case t_ELL_Rg: break;
    2414           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
    2415             :   }
    2416          42 :   return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
    2417             : }
    2418             : 
    2419             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2420             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2421             : typedef struct {
    2422             :   enum period_type type;
    2423             :   GEN in; /* original input */
    2424             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2425             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2426             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2427             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2428             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2429             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2430             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2431             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2432             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2433             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2434             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2435             :   long prec; /* precision(Z) */
    2436             :   long prec0; /* required precision for result */
    2437             : } ellred_t;
    2438             : 
    2439             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2440             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2441             : static void
    2442       23744 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2443             : {
    2444       23744 :   GEN a, b, c, d, t, t0e, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2445       23744 :   long e = gexpo(gel(t0,2));
    2446       23744 :   t = t0e = (e >= 0)? t0: gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
    2447       23744 :   a = d = gen_1;
    2448       23744 :   b = c = gen_0;
    2449             :   for(;;)
    2450       21924 :   {
    2451       45668 :     GEN m, n = ground(gel(t,1));
    2452       45668 :     if (signe(n))
    2453             :     { /* apply T^n */
    2454       27439 :       t = gsub(t,n);
    2455       27439 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2456       27439 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2457             :     }
    2458       45668 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2459       21924 :     t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
    2460       21924 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2461       21924 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2462             :   }
    2463       23744 :   if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0e;
    2464       23744 :   *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
    2465       23744 : }
    2466             : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2467             :  * Set *pU to U. */
    2468             : GEN
    2469        9135 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
    2470             : {
    2471             :   GEN a,b,c,d;
    2472        9135 :   set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
    2473        9135 :   *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2474        9135 :   *czd = gadd(gmul(c,z), d);
    2475        9135 :   return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
    2476             : }
    2477             : GEN
    2478        9100 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    2479             : {
    2480        9100 :   pari_sp av = avma;
    2481             :   GEN czd;
    2482        9100 :   t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
    2483        9100 :   gerepileall(av, 2, &t, pU); return t;
    2484             : }
    2485             : 
    2486             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2487             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2488             : static void
    2489       14609 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2490             : {
    2491             :   long s, p;
    2492       14609 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2493       14609 :   if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2494       14609 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2495       14609 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2496             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2497       14609 :   T->swap = (s < 0);
    2498       14609 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2499       14609 :   p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
    2500       14609 :   set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2501             :   /* update lattice */
    2502       14609 :   p = precision(T->tau);
    2503       14609 :   if (p)
    2504             :   {
    2505       14231 :     T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
    2506       14231 :     T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
    2507             :   }
    2508       14609 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2509       14609 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2510       14609 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2511       14609 :   if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2512       14609 :   p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
    2513       14609 : }
    2514             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2515             : static void
    2516       15680 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2517             : {
    2518       15680 :   if (typ(z) != t_COMPLEX)      { *real = 1; *imag = 0; }
    2519       10283 :   else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
    2520        9758 :   else *real = *imag = 0;
    2521       15680 : }
    2522             : static void
    2523        9933 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2524             : {
    2525             :   long p;
    2526             :   GEN Z;
    2527        9933 :   switch(typ(z))
    2528             :   {
    2529        9933 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2530             :     case t_QUAD:
    2531           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2532           0 :       break;
    2533           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2534             :   }
    2535        9933 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2536        9933 :   T->z = z;
    2537        9933 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    2538        9933 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2539        9933 :   T->y = ground(real_i(Z));
    2540        9933 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2541        9933 :   T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
    2542             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2543        9933 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2544        9933 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2545             :   {
    2546             :     int W2real, W2imag;
    2547        4872 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2548        4872 :     if (W2real)
    2549         399 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2550        4473 :     else if (W2imag)
    2551         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2552             :   }
    2553        9933 :   p = precision(Z);
    2554        9933 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    2555          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    2556        9933 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2557        9933 :   T->Z = Z;
    2558        9933 : }
    2559             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2560             : static GEN
    2561        8904 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2562             : {
    2563        8904 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2564        8904 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2565        8904 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2566        8904 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2567        4255 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2568             : }
    2569             : /* e is either
    2570             :  * - [w1,w2]
    2571             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2572             :  * - an ellinit structure */
    2573             : static void
    2574       14609 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2575             : {
    2576             :   GEN w, e;
    2577       14609 :   T->q_is_real = 0;
    2578       14609 :   T->some_q_is_real = 0;
    2579       14609 :   switch(T->type)
    2580             :   {
    2581             :     case t_PER_ELL:
    2582             :     {
    2583        1064 :       long pr, p = prec;
    2584        1064 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2585        1064 :       e = T->in;
    2586        1064 :       w = ellR_omega(e, p);
    2587        1064 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2588        1064 :       break;
    2589             :     }
    2590             :     case t_PER_W:
    2591       13363 :       w = T->in; break;
    2592             :     default: /*t_PER_WETA*/
    2593         182 :       w = gel(T->in,1); break;
    2594             :   }
    2595       14609 :   T->w1 = gel(w,1);
    2596       14609 :   T->w2 = gel(w,2);
    2597       14609 :   red_modSL2(T, prec);
    2598       14609 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2599       14609 : }
    2600             : static int
    2601       14616 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2602             : {
    2603             :   GEN w1;
    2604       14616 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2605       14616 :   T->in = e;
    2606       14616 :   switch(lg(e))
    2607             :   {
    2608             :     case 17:
    2609        1071 :       T->type = t_PER_ELL;
    2610        1071 :       break;
    2611             :     case 3:
    2612       13545 :       w1 = gel(e,1);
    2613       13545 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    2614       13363 :         T->type = t_PER_W;
    2615             :       else
    2616             :       {
    2617         182 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    2618         182 :         T->type = t_PER_WETA;
    2619             :       }
    2620       13545 :       break;
    2621           0 :     default: return 0;
    2622             :   }
    2623       14616 :   return 1;
    2624             : }
    2625             : static int
    2626       14532 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    2627             : {
    2628       14532 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    2629       14532 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    2630             : }
    2631             : 
    2632             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    2633             : static GEN
    2634        9016 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    2635             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    2636             : GEN
    2637       33544 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    2638             : 
    2639             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    2640             : static GEN
    2641       13580 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    2642             : {
    2643       13580 :   GEN y = cxEk(T->Tau, k, T->prec);
    2644       13580 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    2645       13580 :   return cxtoreal(y);
    2646             : }
    2647             : 
    2648             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    2649             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    2650             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    2651             : GEN
    2652        4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    2653             : {
    2654        4459 :   pari_sp av = avma;
    2655             :   GEN y;
    2656             :   ellred_t T;
    2657             : 
    2658        4459 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    2659        4459 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    2660        4459 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    2661        4459 :   y = _elleisnum(&T, k);
    2662        4459 :   if (k==2 && signe(T.c))
    2663        4011 :   {
    2664        4011 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    2665        4011 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    2666             :   }
    2667         448 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    2668         420 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    2669        4459 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2670             : }
    2671             : 
    2672             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    2673             : static GEN
    2674        8939 : _elleta(ellred_t *T)
    2675             : {
    2676        8939 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
    2677        8939 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    2678        8939 :   y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
    2679        8939 :   retmkvec2(y1, y2);
    2680             : }
    2681             : 
    2682             : /* compute eta1, eta2 */
    2683             : GEN
    2684          84 : elleta(GEN om, long prec)
    2685             : {
    2686          84 :   pari_sp av = avma;
    2687             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    2688             :   ellred_t T;
    2689             : 
    2690          84 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    2691          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    2692             : 
    2693          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    2694          77 :   prec = T.prec;
    2695          77 :   pi = mppi(prec);
    2696          77 :   E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
    2697          77 :   if (signe(T.c))
    2698             :   {
    2699          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    2700             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    2701          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    2702             :   }
    2703          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    2704          77 :   if (T.swap)
    2705             :   {
    2706           7 :     y1 = y2;
    2707           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    2708             :   }
    2709             :   else
    2710          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    2711          77 :   switch(typ(T.w1))
    2712             :   {
    2713             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    2714          49 :       y1 = real_i(y1);
    2715             :   }
    2716          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    2717             : }
    2718             : GEN
    2719          49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    2720             : {
    2721          49 :   pari_sp av = avma;
    2722             :   ellred_t T;
    2723          49 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    2724          49 :   switch(flag)
    2725             :   {
    2726          14 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    2727          35 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    2728           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    2729             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2730             :   }
    2731             : }
    2732             : 
    2733             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    2734             : static double
    2735        9793 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    2736             : 
    2737             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    2738             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    2739             : static GEN
    2740         987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    2741             : {
    2742             :   long toadd;
    2743         987 :   pari_sp av = avma, av1;
    2744             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    2745             :   ellred_t T;
    2746             :   int simple_case;
    2747             : 
    2748         987 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    2749         987 :   if (!T.Z) return NULL;
    2750         966 :   prec = T.prec;
    2751             : 
    2752             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    2753         966 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2754         966 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    2755         966 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    2756         966 :   u1 = gsubsg(1,u);
    2757         966 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    2758         966 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    2759         966 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    2760         966 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    2761         966 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2762         966 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    2763         966 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    2764         966 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2765             : 
    2766         966 :   av1 = avma; qn = q;
    2767             :   for(;;)
    2768       11872 :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    2769             :     /* analogous formula for yp */
    2770       12838 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    2771       12838 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    2772       12838 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    2773       12838 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    2774       12838 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    2775       12838 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    2776         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    2777             :     else
    2778             :     {
    2779       12450 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    2780       12450 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    2781       12450 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    2782       12450 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    2783             :     }
    2784       12838 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    2785       12838 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    2786       12838 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    2787             : 
    2788       12838 :     qn = gmul(q,qn);
    2789       12838 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2790       11872 :     if (gc_needed(av1,1))
    2791             :     {
    2792           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    2793           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    2794             :     }
    2795             :   }
    2796         966 :   if (yp)
    2797             :   {
    2798         903 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
    2799         903 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    2800             :   }
    2801             : 
    2802         966 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    2803         966 :   u2 = gsqr(u1);
    2804         966 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    2805         966 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    2806         567 :     y = real_i(y);
    2807         966 :   if (yp)
    2808             :   {
    2809         903 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    2810         903 :     if (T.some_q_is_real)
    2811             :     {
    2812         903 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    2813         385 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    2814             :     }
    2815         903 :     y = mkvec2(y, yp);
    2816             :   }
    2817         966 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2818             : }
    2819             : static GEN
    2820         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    2821             : {
    2822             :   long i, k, l;
    2823             :   pari_sp av;
    2824         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    2825             : 
    2826         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    2827         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    2828             : 
    2829         301 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    2830         301 :   _1 = Rg_get_1(c4);
    2831         301 :   switch(PRECDL)
    2832             :   {
    2833         301 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    2834             :     case 6:
    2835         301 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    2836             :     case 4:
    2837         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    2838             :     case 2:
    2839         301 :     case 1: P[0] = _1;
    2840             :   }
    2841         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    2842         301 :   av = avma;
    2843         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    2844        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    2845             :   {
    2846         784 :     av = avma;
    2847         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    2848         784 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    2849         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    2850         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    2851         784 :     if (k % 3 == 2)
    2852         273 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    2853             :     else /* same value, more efficient */
    2854         511 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    2855         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    2856             :   }
    2857         301 :   return res;
    2858             : }
    2859             : 
    2860             : static int
    2861         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    2862             : {
    2863         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    2864             :   {
    2865             :     case 17:
    2866         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    2867         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    2868         203 :       return 1;
    2869             :     case 3:
    2870             :     {
    2871             :       ellred_t T;
    2872          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    2873          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    2874          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    2875          91 :       return 1;
    2876             :     }
    2877             :   }
    2878           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    2879           0 :   return 0;
    2880             : }
    2881             : 
    2882             : GEN
    2883          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    2884             : {
    2885             :   GEN c4, c6;
    2886          14 :   checkell(e);
    2887          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2888          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    2889             : }
    2890             : 
    2891             : GEN
    2892           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    2893           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    2894             : 
    2895             : GEN
    2896         182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    2897             : {
    2898         182 :   pari_sp av = avma;
    2899             :   GEN y;
    2900             : 
    2901         182 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    2902         182 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2903         182 :   y = toser_i(z);
    2904         182 :   if (y)
    2905             :   {
    2906         105 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2907             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2908         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    2909         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    2910         105 :     if (gequal0(y)) {
    2911           0 :       set_avma(av);
    2912           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    2913           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    2914             :     }
    2915         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2916         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2917         105 :     if (!flag)
    2918         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    2919             :     else
    2920             :     {
    2921           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    2922           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    2923             :     }
    2924             :   }
    2925          77 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    2926          77 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    2927          70 :   return gerepileupto(av, y);
    2928             : }
    2929             : 
    2930             : GEN
    2931         161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    2932             : {
    2933             :   long prec;
    2934         161 :   pari_sp av = avma;
    2935         161 :   GEN pi2, q, y, et = NULL;
    2936             :   ellred_t T;
    2937             : 
    2938         161 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2939         161 :   y = toser_i(z);
    2940         161 :   if (y)
    2941             :   {
    2942          91 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2943             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2944          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    2945          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    2946          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    2947          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2948          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    2949          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2950          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    2951             :   }
    2952          70 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    2953          70 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    2954          70 :   prec = T.prec;
    2955          70 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    2956             : 
    2957          70 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2958          70 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    2959             : 
    2960          70 :   y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    2961          70 :   if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
    2962             :   { /* else u = -1 and this vanishes */
    2963          70 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2964          70 :     GEN qn, u, v, S = gen_0;
    2965             :     pari_sp av1;
    2966          70 :     u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    2967          70 :     v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    2968          70 :     if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    2969          70 :     y = gadd(y, v);
    2970             :     /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
    2971             :      *     = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
    2972          70 :     av1 = avma;
    2973          70 :     for (qn = q;;)
    2974             :     {
    2975        1600 :       S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
    2976         835 :       qn = gmul(q,qn);
    2977         835 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2978         765 :       if (gc_needed(av1,1))
    2979             :       {
    2980           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    2981           0 :         gerepileall(av1,2, &S,&qn);
    2982             :       }
    2983             :     }
    2984          70 :     y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
    2985             :   }
    2986          70 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    2987          70 :   if (T.some_q_is_real)
    2988             :   {
    2989          70 :     if (T.some_z_is_real)
    2990             :     {
    2991          28 :       if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
    2992             :     }
    2993          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag)
    2994             :     {
    2995          21 :       if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
    2996          21 :         gel(y,1) = gen_0;
    2997             :     }
    2998             :   }
    2999          70 :   if (et) y = gadd(y, et);
    3000          70 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3001             : }
    3002             : 
    3003             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3004             : GEN
    3005        8974 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3006             : {
    3007             :   long toadd, prec, n;
    3008        8974 :   pari_sp av = avma, av1;
    3009             :   GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3010             :   ellred_t T;
    3011             : 
    3012        8974 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3013             : 
    3014        8974 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3015        8974 :   y = toser_i(z);
    3016        8974 :   if (y)
    3017             :   {
    3018          98 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3019             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3020          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3021          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3022          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3023          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3024          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3025          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3026             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3027          91 :     P = integser(serchop0(P));
    3028          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3029          91 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3030          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3031          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3032             :   }
    3033        8876 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3034        8876 :   if (!T.Z)
    3035             :   {
    3036           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3037           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3038             :   }
    3039        8869 :   prec = T.prec;
    3040        8869 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3041        8869 :   pi  = mppi(prec);
    3042             : 
    3043        8869 :   urninv = uinv = NULL;
    3044        8869 :   if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
    3045             :   {
    3046         112 :     toadd = 0;
    3047         112 :     urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
    3048         112 :     u = gen_1;
    3049             :   }
    3050             :   else
    3051             :   {
    3052        8757 :     toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3053        8757 :     urn = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3054        8757 :     u = gneg_i(gsqr(urn));
    3055        8757 :     if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
    3056             :   }
    3057        8869 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    3058        8869 :   q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
    3059        8869 :   y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
    3060       65167 :   for(n=0;;n++)
    3061             :   { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
    3062             :      * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
    3063      121465 :     y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
    3064       65167 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3065       65167 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3066       56298 :     qn  = gmul(q,qn);
    3067       56298 :     urn = gmul(urn,u);
    3068       56298 :     if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
    3069       56298 :     if (gc_needed(av1,1))
    3070             :     {
    3071           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3072           0 :       gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3073             :     }
    3074             :   }
    3075        8869 :   y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3076        8869 :   y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
    3077             : 
    3078        8869 :   et = _elleta(&T);
    3079        8869 :   z0 = gmul(T.Z,T.W2);
    3080        8869 :   y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
    3081        8869 :   etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
    3082        8869 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
    3083        8869 :   if (flag)
    3084             :   {
    3085        8799 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3086        8799 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
    3087             :     /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
    3088        8799 :     if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
    3089          21 :       y = real_i(y);
    3090             :   }
    3091             :   else
    3092             :   {
    3093          70 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3094          70 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
    3095          70 :     if (T.some_q_is_real)
    3096             :     {
    3097             :       int re, cx;
    3098          70 :       check_complex(z,&re,&cx);
    3099          70 :       if (re) y = real_i(y);
    3100          49 :       else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
    3101             :     }
    3102             :   }
    3103        8869 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3104             : }
    3105             : 
    3106             : GEN
    3107         966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3108             : {
    3109         966 :   pari_sp av = avma;
    3110             :   GEN v;
    3111             : 
    3112         966 :   checkell(e);
    3113         966 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3114             :   {
    3115          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3116          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3117             :   }
    3118         910 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3119         910 :   if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
    3120         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3121         896 :   gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
    3122         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3123             : }
    3124             : 
    3125             : /********************************************************************/
    3126             : /**                                                                **/
    3127             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3128             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3129             : /**                                                                **/
    3130             : /********************************************************************/
    3131             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3132             : typedef struct {
    3133             :   long a1; /*{0,1}*/
    3134             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3135             :   long a3; /*{0,1}*/
    3136             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3137             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3138             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3139             : } ellmin_t;
    3140             : 
    3141             : /* u from [u,r,s,t] */
    3142             : static void
    3143      517755 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3144             : {
    3145      517755 :   M->u = u;
    3146      517755 :   if (is_pm1(u))
    3147      454237 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3148             :   else
    3149             :   {
    3150       63518 :     M->u2 = sqri(u);
    3151       63518 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3152       63518 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3153       63518 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3154             :   }
    3155      517755 : }
    3156             : /* E = original curve */
    3157             : static void
    3158      517755 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3159             : {
    3160      517755 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3161      517755 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3162       63518 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3163       63518 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3164             :   }
    3165      517755 :   M->c4 = c4;
    3166      517755 :   M->c6 = c6;
    3167      517755 : }
    3168             : static void
    3169      517447 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3170             : {
    3171      517447 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3172      517447 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3173      517447 :   M->D = D;
    3174      517447 : }
    3175             : static void
    3176      517608 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3177             : {
    3178             :   long b22, b2;
    3179      517608 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3180      517608 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3181      517608 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3182      517608 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3183      517608 : }
    3184             : static void
    3185      517468 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3186             : {
    3187      517468 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3188      517468 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3189      517468 :   if (odd(b2))
    3190             :   {
    3191      257306 :     a1 = 1;
    3192      257306 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3193             :   }
    3194             :   else
    3195             :   {
    3196      260162 :     a1 = 0;
    3197      260162 :     a2 = b2 >> 2;
    3198             :   }
    3199      517468 :   M->a1 = a1;
    3200      517468 :   M->a2 = a2;
    3201      517468 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3202      517468 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3203      517468 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3204      517468 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3205      517468 : }
    3206             : static void
    3207      517440 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3208             : {
    3209      517440 :   min_set_u(M, u);
    3210      517440 :   min_set_c(M, E);
    3211      517440 :   min_set_D(M, E);
    3212      517440 :   min_set_b(M);
    3213      517440 :   min_set_a(M);
    3214      517440 : }
    3215             : static GEN
    3216      504350 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3217             : {
    3218      504350 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3219             :   long a11, a13;
    3220      504350 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3221      504350 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3222      504350 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3223      504350 :   gel(y,4) = M->a4;
    3224      504350 :   gel(y,5) = M->a6;
    3225      504350 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3226      504350 :   gel(y,7) = M->b4;
    3227      504350 :   gel(y,8) = M->b6;
    3228      504350 :   a11 = M->a1;
    3229      504350 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3230      504350 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3231             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3232      504350 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3233      504350 :   gel(y,10)= M->c4;
    3234      504350 :   gel(y,11)= M->c6;
    3235      504350 :   gel(y,12)= M->D;
    3236      504350 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3237      504350 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3238      504350 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3239      504350 :   return y;
    3240             : }
    3241             : static GEN
    3242      517440 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3243             : {
    3244             :   GEN r, s, t;
    3245      517440 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3246      517440 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3247      517440 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3248      517440 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3249             : }
    3250             : 
    3251             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3252             : static long
    3253     1686541 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3254             : {
    3255     1686541 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3256     1686541 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3257     1686541 :   if (!signe(c6))
    3258             :   {
    3259        2933 :     d = vD / 12;
    3260        2933 :     if (d)
    3261             :     {
    3262        1071 :       if (p == 2)
    3263             :       {
    3264         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3265         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3266         819 :         if (a) d--;
    3267             :       }
    3268        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3269             :     }
    3270        2933 :     v6 = 12; /* +oo */
    3271             :   }
    3272             :   else
    3273             :   {
    3274     1683608 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3275     1683608 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3276     1683608 :     if (d) {
    3277      181167 :       if (p == 2) {
    3278      109739 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3279      109739 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3280      109739 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3281      109739 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3282       71428 :       } else if (p == 3) {
    3283       45199 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3284             :       }
    3285      181167 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3286             :     }
    3287             :   }
    3288     1686541 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3289             : }
    3290             : static long
    3291      879403 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3292             : {
    3293             :   GEN c6;
    3294             :   long d, v6, vD;
    3295      879403 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3296          39 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3297          39 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3298          39 :   if (!signe(c6))
    3299             :   {
    3300           0 :     d = vD / 12;
    3301           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3302           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3303             :   }
    3304             :   else
    3305             :   {
    3306          39 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3307          39 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3308          39 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3309             :   }
    3310          39 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3311             : }
    3312             : 
    3313             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3314             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3315             :   in the form [f, kod, v, c].
    3316             : 
    3317             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3318             : 
    3319             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3320             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3321             :     I0  -->  1
    3322             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3323             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3324             : 
    3325             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3326             : 
    3327             :   * c is the Tamagawa number.
    3328             : 
    3329             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3330             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3331             : static GEN
    3332     1734208 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3333             : {
    3334     1734208 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3335     1734208 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3336     1734208 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3337     1734208 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3338     1734208 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3339             : }
    3340             : static GEN
    3341           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3342             : {
    3343           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3344           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3345             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3346             : }
    3347             : 
    3348             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3349             : static long
    3350      880754 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3351             : 
    3352             : /* p > 3, e integral */
    3353             : static GEN
    3354      879403 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3355             : {
    3356             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3357      879403 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3358             : 
    3359      879403 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3360      879403 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3361      879403 :   nuj = j_pval(e, p);
    3362      879403 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3363      879403 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3364      879403 :   if (!k) v = init_ch();
    3365             :   else
    3366             :   { /* model not minimal */
    3367             :     ellmin_t M;
    3368       13097 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3369       13097 :     v = min_get_v(&M, e);
    3370       13097 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3371             :   }
    3372             : 
    3373      879403 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3374             :   {
    3375      761229 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3376      761229 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3377             :       {
    3378      392448 :         case  1: c = nuD; break;
    3379      368781 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3380           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3381             :       }
    3382      761229 :       break;
    3383             :     case 6:
    3384             :     {
    3385       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3386       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3387       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3388       45703 :       break;
    3389             :     }
    3390           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3391             :   }
    3392       72471 :   else switch(nuD)
    3393             :   {
    3394         539 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3395       11683 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3396       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3397        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3398        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3399        5635 :       break;
    3400       16842 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3401       16842 :       p2 = sqri(p);
    3402             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3403       16842 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3404             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3405             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3406       16842 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3407       16842 :       break;
    3408       11620 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3409       11620 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3410       11620 :       break;
    3411       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3412        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3413           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3414             :   }
    3415      879403 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3416             : }
    3417             : 
    3418             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3419             : static ulong
    3420      888818 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3421      888818 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3422             : 
    3423             : static ulong
    3424     1421938 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3425     1421938 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
    3426             : 
    3427             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3428             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3429             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3430             : static long
    3431      244300 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3432             : {
    3433      244300 :   if (p == 2)
    3434             :   {
    3435      141162 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    3436      122444 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    3437             :   }
    3438             :   /* p = 3 */
    3439      103138 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    3440       69027 :   *mult = a * b;
    3441       69027 :   if (b == 2)
    3442       22974 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3443             :   else
    3444       46053 :     return c ? 3 : 2;
    3445             : }
    3446             : 
    3447             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3448             : static long
    3449      788928 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3450             : {
    3451      788928 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    3452             :   /* p = 3 */
    3453      301084 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3454             : }
    3455             : 
    3456             : /* p = 2 or 3 */
    3457             : static GEN
    3458      704361 : localred_23(GEN e, long p)
    3459             : {
    3460             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3461             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3462             :   GEN v;
    3463             : 
    3464      704361 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3465      704361 :   if (!k) v = init_ch();
    3466             :   else
    3467             :   {
    3468             :     ellmin_t M;
    3469       48776 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3470       48776 :     v = min_get_v(&M, e);
    3471       48776 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3472             :   }
    3473             :   /* model is minimal */
    3474      704361 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3475      704361 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3476      322826 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3477             : 
    3478      704361 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3479      702898 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3480             :   {
    3481      386162 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3482      196056 :       c = nuD;
    3483             :     else
    3484      190106 :       c = 2 - (nuD & 1);
    3485      386162 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3486             :   }
    3487      316736 :   if (p == 2)
    3488             :   {
    3489      185913 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3490      185913 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3491      185913 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3492      185913 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3493             :   }
    3494             :   else /* p == 3 */
    3495             :   {
    3496      130823 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3497      130823 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3498      130823 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3499      130823 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3500             :   }
    3501             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3502      316736 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3503      316736 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3504       22288 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3505      294448 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3506       27636 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3507      266812 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3508             :   {
    3509       22512 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3510       11529 :       c = 3;
    3511             :     else
    3512       10983 :       c = 1;
    3513       22512 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3514             :   }
    3515             : 
    3516      244300 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3517       91063 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3518             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3519      244300 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3520      244300 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3521      244300 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3522      244300 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3523             :   {
    3524             :     case 3:
    3525       35987 :       c = a63 ? 1: 2;
    3526       35987 :       if (p == 2)
    3527       18718 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3528             :       else {
    3529       17269 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3530       17269 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3531             :       }
    3532       35987 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3533             :     case 2:
    3534             :     { /* compute nu */
    3535             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3536             :       long al, be, ga;
    3537      130354 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3538             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3539      130354 :       nu = 1;
    3540      130354 :       pk  = utoipos(p2);
    3541      130354 :       p2k = utoipos(p4);
    3542             :       for(;;)
    3543             :       {
    3544      645064 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3545      387709 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3546      387709 :         al = 1;
    3547      387709 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3548      323260 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3549      323260 :         pk1 = pk;
    3550      323260 :         pk  = mului(p, pk);
    3551      323260 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3552             : 
    3553      323260 :         al = a21;
    3554      323260 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3555      323260 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3556      323260 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3557      257355 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3558      257355 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3559             :       }
    3560      130354 :       if (p == 2)
    3561       72268 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    3562             :       else
    3563       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3564      130354 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3565             :     }
    3566             :     case 1:
    3567       77959 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3568             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3569       77959 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3570       77959 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    3571       77959 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    3572             :       {
    3573       29799 :         if (p == 2)
    3574       20349 :           c = 3 - 2 * a64;
    3575             :         else
    3576        9450 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    3577       29799 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    3578             :       }
    3579       48160 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    3580             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    3581       48160 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    3582       28966 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    3583             : 
    3584             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    3585       19194 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    3586             :   }
    3587             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3588             : }
    3589             : 
    3590             : /* e is integral */
    3591             : static GEN
    3592     1583379 : localred(GEN e, GEN p)
    3593             : {
    3594     1583379 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    3595      879403 :     return localred_p(e,p);
    3596             :   else
    3597             :   {
    3598      703976 :     long l = itos(p);
    3599      703976 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    3600      703976 :     return localred_23(e, l);
    3601             :   }
    3602             : }
    3603             : 
    3604             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    3605             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    3606             : static GEN
    3607       26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    3608             : {
    3609       26306 :   GEN b = z;
    3610             :   long i;
    3611       26306 :   if (typ(b) == t_INT)
    3612             :   {
    3613       26215 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    3614       26215 :     return shifti(negi(b),-1);
    3615             :   }
    3616         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3617             :   {
    3618         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3619             :   }
    3620          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    3621             : }
    3622             : 
    3623             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    3624             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    3625             : static GEN
    3626       13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    3627             : {
    3628       13153 :   GEN b = z;
    3629             :   long i;
    3630       13153 :   if (typ(b) == t_INT)
    3631             :   {
    3632       13104 :     long s = smodis(b,3);
    3633       13104 :     if (s)
    3634             :     {
    3635           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    3636           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    3637           0 :         b = subii(b, Jz);
    3638             :       else
    3639           0 :         b = addii(b, Jz);
    3640             :     }
    3641       13104 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    3642             :   }
    3643         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3644             :   {
    3645          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    3646          98 :     if (!s) continue;
    3647          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    3648          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    3649             :     else
    3650          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3651             :   }
    3652          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    3653             : }
    3654             : 
    3655             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    3656             : static GEN
    3657        3724 : get_piinv(GEN P)
    3658             : {
    3659        3724 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    3660        3724 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    3661        3724 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    3662             : }
    3663             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    3664             : static void
    3665      150444 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    3666             : {
    3667      150444 :   if (pr_is_inert(P))
    3668             :   {
    3669      146755 :     *pi = pr_get_p(P);
    3670      146755 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    3671             :   }
    3672             :   else
    3673             :   {
    3674        3689 :     *pv = get_piinv(P);
    3675        3689 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    3676             :   }
    3677      150444 : }
    3678             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    3679             : static GEN
    3680      242060 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    3681             : {
    3682      242060 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3683      242060 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3684      242060 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    3685             : }
    3686             : 
    3687             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    3688             : static GEN
    3689      392007 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    3690             : {
    3691      392007 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    3692      392007 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3693      392007 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    3694             : }
    3695             : 
    3696             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    3697             : 
    3698             : static GEN
    3699      216468 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    3700             : {
    3701      216468 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    3702      216468 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    3703      216468 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3704      216468 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    3705             : }
    3706             : 
    3707             : static GEN
    3708      585130 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    3709             : {
    3710      585130 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3711      585130 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    3712      585130 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    3713      585130 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    3714      585130 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    3715             : }
    3716             : 
    3717             : static GEN
    3718       15512 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    3719             : {
    3720       15512 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3721       15512 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    3722       15512 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    3723       15512 :   long n = 1;
    3724             :   while(1)
    3725       24682 :   {
    3726       40194 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    3727             :     GEN gama;
    3728       40194 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3729             :     {
    3730        8071 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3731        8071 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3732             :     }
    3733       32123 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3734       32123 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    3735       32123 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3736       32123 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    3737       32123 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3738             :     {
    3739        7441 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3740        7441 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3741             :     }
    3742       24682 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3743       24682 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    3744       24682 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    3745       24682 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3746             :   }
    3747             : }
    3748             : 
    3749             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    3750             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    3751             : 
    3752             : static GEN
    3753       99393 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    3754             : {
    3755             :   GEN T, p, modP;
    3756             :   long vD;
    3757             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    3758       99393 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3759       99393 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    3760       99393 :   ch = init_ch();
    3761       99393 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3762       99393 :   *ap = 0;
    3763             :   while(1)
    3764             :   {
    3765      405657 :     if (vD==0)
    3766         679 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    3767             :     else
    3768             :     {
    3769      251846 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3770      251846 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3771      251846 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    3772      251846 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    3773      251846 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    3774             :       GEN x0, y0;
    3775      251846 :       if (absequaliu(p,2))
    3776             :       {
    3777             :         GEN x02, y02;
    3778      164444 :         if (signe(a1))
    3779             :         {
    3780       30191 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    3781       30191 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    3782       30191 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    3783             :         }
    3784             :         else
    3785             :         {
    3786      134253 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    3787      134253 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    3788             :         }
    3789      164444 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    3790             :       }
    3791             :       else
    3792             :       {
    3793       87402 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    3794       87402 :         if (signe(a12))
    3795       27524 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    3796             :         else
    3797       59878 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    3798       87402 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    3799             :       }
    3800      251846 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    3801      251846 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    3802      251846 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    3803             :     }
    3804             :     /* 2 */
    3805             :     {
    3806      251846 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    3807      251846 :       if (signe(b2) != 0)
    3808             :       {
    3809       57715 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    3810       57715 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    3811       57715 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    3812       27895 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    3813             :       }
    3814             :     }
    3815             :     /* 3 */
    3816             :     {
    3817      194131 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    3818      194131 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    3819             :     }
    3820             :     /* 4 */
    3821             :     {
    3822      191429 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    3823      191429 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    3824             :     }
    3825             :     /* 5 */
    3826      187719 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    3827             :     {
    3828      187719 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    3829      187719 :       if (vb6<=2)
    3830             :       {
    3831        3374 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    3832        3374 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3833        3374 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    3834             :       }
    3835             :     }
    3836             :     /* 6 */
    3837             :     {
    3838      184345 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    3839      184345 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    3840      184345 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    3841             :       GEN po2, E, F, mr;
    3842             :       long i, lE;
    3843      184345 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    3844      184345 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    3845      184345 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    3846             :       {
    3847       69748 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    3848       69748 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    3849       69748 :         lE = lg(E);
    3850       69748 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    3851             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    3852             :           long c; /* 1 + number of roots */
    3853        4739 :           switch(lE)
    3854             :           {
    3855        1764 :             case 2: c = 1; break;
    3856        2625 :             case 3: c = 2; break;
    3857         350 :             default: c = 4; break;
    3858             :           }
    3859        4739 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    3860             :         }
    3861             :       /* 7 */
    3862       65009 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    3863       65009 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    3864       65009 :         if (!gequal0(mr))
    3865             :         { /* not so frequent */
    3866       58961 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    3867       58961 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    3868             :         }
    3869       65009 :         if (lE == 3)
    3870       15512 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    3871             :       }
    3872             :     }
    3873      164094 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    3874      164094 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    3875             :     /*  8 */
    3876      164094 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    3877             :     {
    3878        4459 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    3879        4459 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    3880             :     }
    3881             :     /*  9 */
    3882             :     {
    3883      159635 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    3884      159635 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    3885      159635 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    3886        3962 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    3887             :     }
    3888             :     /* 10 */
    3889      155673 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    3890        2541 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    3891             :     /* 11 */
    3892      153132 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    3893      153132 :     vD -= 12;
    3894             :   }
    3895             : }
    3896             : 
    3897             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    3898             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    3899             : static GEN
    3900       51051 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    3901             : {
    3902       51051 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3903             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    3904             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    3905             : 
    3906       51051 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3907       51051 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3908       51051 :   D = ell_get_disc(e);
    3909       51051 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3910       51051 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    3911       51051 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    3912       51051 :   m = (vD - nuj)/12;
    3913       51051 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    3914             : 
    3915       51051 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    3916             :   else
    3917             :   { /* model not minimal */
    3918             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    3919       13153 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    3920       13153 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    3921       13153 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    3922       13153 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    3923       13153 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    3924       13153 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    3925       13153 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    3926       13153 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    3927       13153 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    3928       13153 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    3929       13153 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    3930       13153 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    3931       13153 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    3932       13153 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    3933       13153 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    3934       13153 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    3935       13153 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    3936       13153 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    3937             :   }
    3938             : 
    3939       51051 :   kod = 0; c = 1;
    3940             :   /* minimal at P */
    3941       51051 :   if (nuj > 0)
    3942             :   { /* v(j) < 0 */
    3943       47313 :     if (vD == nuj)
    3944             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    3945       45220 :       f = 1; kod = 4+vD;
    3946       45220 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    3947       45220 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    3948       24059 :         c = vD;/* split */
    3949             :       else
    3950       21161 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    3951             :     }
    3952             :     else
    3953             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    3954             :       GEN Du;
    3955        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    3956        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    3957        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    3958        2093 :       if(odd(vD))
    3959             :       {
    3960             :         GEN c6u;
    3961        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    3962        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    3963        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    3964             :       }
    3965        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    3966             :     }
    3967             :   }
    3968             :   else
    3969             :   { /* v(j) >= 0 */
    3970        3738 :     f = vD? 2: 0;
    3971        3738 :     switch(vD)
    3972             :     {
    3973             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    3974          91 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    3975         616 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    3976         497 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    3977         273 :       case 4: kod = 4;
    3978         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    3979         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3980         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3981         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3982         273 :         break;
    3983         903 :       case 6: kod = -1;
    3984         903 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    3985         903 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    3986         903 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3987         903 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    3988         903 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    3989         903 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    3990         903 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    3991         903 :         break;
    3992         609 :       case 8: kod = -4;
    3993         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    3994         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3995         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3996         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3997         609 :         break;
    3998         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    3999         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4000             :     }
    4001             :   }
    4002       51051 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4003             : }
    4004             : /* E is integral */
    4005             : static GEN
    4006      101353 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4007             : {
    4008      101353 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4009      101353 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4010             :   {
    4011             :     long i, ap, vu;
    4012       50302 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4013       50302 :     GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4014       50302 :     gel(q,3) = v;
    4015             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4016       50302 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4017       50302 :     if (vu > 0)
    4018             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4019       49315 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4020       49315 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    4021       49315 :       if (!equali1(D))
    4022             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4023             :         GEN a;
    4024         413 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4025             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4026         413 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4027         413 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    4028         413 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    4029         413 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    4030             :       }
    4031             :     }
    4032       50302 :     for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    4033       50302 :     return q;
    4034             :   }
    4035       51051 :   return nflocalred_p(E,pr);
    4036             : }
    4037             : 
    4038             : static GEN
    4039     3344772 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
    4040             : {
    4041     3344772 :   GEN q, E = *pE;
    4042             :   long tE;
    4043     3344772 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    4044     3344752 :   if (pv) *pv = NULL;
    4045     3344752 :   if (p) switch(typ(p))
    4046             :   {
    4047             :     case t_INT:
    4048     2989617 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    4049     2989590 :       break;
    4050             :     case t_VEC:
    4051      196679 :       q = get_prid(p);
    4052      196679 :       if (q && tE == t_ELL_NF)
    4053             :       {
    4054      196679 :         *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4055      196679 :         return q;
    4056             :       }
    4057           6 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    4058             :   }
    4059     3148043 :   switch(tE)
    4060             :   {
    4061             :     case t_ELL_Fp:
    4062      179963 :     case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
    4063         273 :     case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
    4064     2967807 :     case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
    4065             :     default:
    4066          16 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    4067             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4068             :   }
    4069     3148027 :   if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
    4070     3147992 :   if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
    4071     2968029 :     *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4072     3147984 :   return q;
    4073             : }
    4074             : 
    4075             : GEN
    4076      197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
    4077             : {
    4078      197085 :   pari_sp av = avma;
    4079             :   GEN v, q;
    4080      197085 :   checkell(E);
    4081      197085 :   p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
    4082      197071 :   switch(ell_get_type(E))
    4083             :   {
    4084             :     case t_ELL_Qp:
    4085       99477 :     case t_ELL_Q:  q = localred(E, p); break;
    4086       97594 :     case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
    4087           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
    4088             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4089             :   }
    4090      197071 :   if (v)
    4091             :   { /* compose local change of variables with v */
    4092          28 :     GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
    4093          28 :     if (is_trivial_change(w))
    4094          21 :       gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4095             :     else
    4096           7 :       gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
    4097             :   }
    4098      197071 :   return gerepilecopy(av, q);
    4099             : }
    4100             : 
    4101             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4102             : static GEN
    4103        9247 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4104             : {
    4105        9247 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4106        9247 :   return c;
    4107             : }
    4108             : static GEN
    4109    18126417 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4110             : {
    4111    18126417 :   *pd = NULL;
    4112    18126417 :   switch(typ(c))
    4113             :   {
    4114    18115189 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4115        1995 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4116             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4117        9247 :       if (nf)
    4118             :       {
    4119        9247 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4120        9247 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4121             :       }
    4122           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4123           0 :       return NULL;
    4124             :   }
    4125             : }
    4126             : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
    4127             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4128             : GEN
    4129     3625313 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4130             : {
    4131             :   GEN a, t, u, L, nf;
    4132             :   long i, l, k;
    4133             : 
    4134     3625313 :   if (pv) *pv = NULL;
    4135             :   /* t_ELL_Qp is also possible */
    4136     3625313 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4137     3625300 :   L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
    4138    21751724 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4139             :   {
    4140             :     GEN d;
    4141    18126409 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4142    18124721 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4143        2968 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4144             :   }
    4145             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4146     3625315 :   l = lg(L); if (l == 1) return e;
    4147        1477 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4148        1477 :   l = lg(L);
    4149             : 
    4150        1477 :   t = gen_1;
    4151        3500 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4152             :   {
    4153        2023 :     GEN p = gel(L,k);
    4154        2023 :     long n = 0, m;
    4155       12138 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4156       10115 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4157             :       {
    4158        5215 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4159        5215 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4160        5215 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4161             :       }
    4162        2023 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4163             :   }
    4164        1477 :   u = ginv(t);
    4165        1477 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4166        1477 :   return coordch_uinv(e, t);
    4167             : }
    4168             : GEN
    4169         329 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4170             : {
    4171         329 :   pari_sp av = avma;
    4172         329 :   checkell(e);
    4173         329 :   switch(ell_get_type(e))
    4174             :   {
    4175             :     case t_ELL_Q:
    4176             :     case t_ELL_Qp:
    4177         329 :     case t_ELL_NF: break;
    4178           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4179             :   }
    4180         329 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4181         329 :   if (!pv || !*pv)
    4182             :   {
    4183         308 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4184         308 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4185             :   }
    4186             :   else
    4187          21 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4188         329 :   return e;
    4189             : }
    4190             : 
    4191             : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
    4192             : GEN
    4193           0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
    4194             : {
    4195           0 :   GEN f = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4196           0 :   GEN a1 = ell_get_a1(f), a3 = ell_get_a3(f);
    4197           0 :   if (signe(a1)==0 && signe(a3)==0)
    4198             :   {
    4199           0 :     if (!*pv) *pv = init_ch();
    4200           0 :     return f;
    4201             :   }
    4202             :   else
    4203             :   {
    4204           0 :     GEN urst = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf: gen_1,
    4205             :         gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    4206           0 :     gcomposev(pv, urst);
    4207           0 :     return coordch(f, urst);
    4208             :   }
    4209             : }
    4210             : 
    4211             : static long
    4212        2380 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4213             : {
    4214        2380 :   long N = 1; /* oo */
    4215        2380 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4216        2247 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4217        2380 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4218        1967 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4219        2380 :   return N;
    4220             : }
    4221             : static long
    4222        2947 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4223             : {
    4224        2947 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4225             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4226        2947 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4227             : }
    4228             : static long
    4229        2359 : cardmod2(GEN e)
    4230             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4231        2359 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4232        2359 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4233        2359 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4234        2359 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4235        2359 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4236        2359 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4237             : }
    4238             : static long
    4239        2807 : cardmod3(GEN e)
    4240             : {
    4241        2807 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4242        2807 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4243        2807 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4244        2807 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4245             : }
    4246             : 
    4247             : static ulong
    4248         378 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4249             : 
    4250             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4251             : static void
    4252          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4253             : {
    4254          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4255          28 :   min_set_c(M, E);
    4256          28 :   min_set_b(M);
    4257          28 :   min_set_a(M);
    4258          28 : }
    4259             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4260             : static void
    4261         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4262             : {
    4263         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4264         140 :   min_set_c(M, E);
    4265         140 :   min_set_b(M);
    4266         140 : }
    4267             : 
    4268             : static long
    4269      102165 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4270             : {
    4271      102165 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4272      102165 :   if (vD) /* bad reduction */
    4273             :   {
    4274             :     GEN c6;
    4275             :     long s;
    4276      101857 :     *good_red = 0;
    4277      101857 :     if (vc6) return 0;
    4278       74991 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4279       74991 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4280       74991 :     s = kroiu(c6,p);
    4281       74991 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4282       74991 :     return s;
    4283             :   }
    4284         308 :   *good_red = 1;
    4285         308 :   if (p == 2)
    4286             :   {
    4287             :     ellmin_t M;
    4288          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4289          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4290          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4291             :   }
    4292         287 :   else if (p == 3)
    4293             :   {
    4294             :     ellmin_t M;
    4295         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4296         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4297         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4298             :   }
    4299             :   else
    4300             :   {
    4301             :     ellmin_t M;
    4302         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4303         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4304         147 :     min_set_c(&M, E);
    4305         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4306         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4307             :   }
    4308             : }
    4309             : 
    4310             : static GEN
    4311       98553 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4312             : {
    4313             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4314             :   long vc6, vD, d;
    4315       98553 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4316           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4317           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4318           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4319           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4320           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4321           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4322             :   {
    4323             :     long s;
    4324           0 :     *good_red = 0;
    4325           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4326           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4327           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4328           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4329           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4330             :   }
    4331           0 :   *good_red = 1;
    4332           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4333           0 :   if (d)
    4334             :   {
    4335           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4336           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4337           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4338             :   }
    4339           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4340           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4341             : }
    4342             : 
    4343             : static GEN
    4344      116865 : doellcard(GEN E)
    4345             : {
    4346      116865 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4347      116865 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4348       95165 :     return FF_ellcard(E);
    4349             :   else
    4350             :   {
    4351       21700 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4352       21700 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4353             :   }
    4354             : }
    4355             : 
    4356             : static GEN
    4357      168317 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4358             : {
    4359      168317 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4360      168314 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4361      168310 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4362             :   {
    4363             :     long ap;
    4364       49091 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4365       49091 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4366       49091 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4367         420 :     *good_red = 1;
    4368         420 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    4369         420 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    4370         420 :     card = FF_ellcard(E);
    4371             :   }
    4372             :   else
    4373             :   {
    4374      119213 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4375      119213 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4376      119181 :     if (vD)
    4377             :     {
    4378             :       GEN c6new;
    4379       49161 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    4380       49161 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    4381       49161 :       if (vD > 12*d)
    4382             :       { /* bad reduction */
    4383       49126 :         *good_red = 0;
    4384       98252 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4385       43771 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    4386       43771 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4387             :       }
    4388          35 :       if (d)
    4389             :       { /* model not minimal at P */
    4390          35 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    4391          35 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4392          35 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4393          35 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    4394          35 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4395          35 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4396             :       }
    4397             :     }
    4398       70055 :     *good_red = 1;
    4399       70055 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4400       70060 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4401       70072 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4402      141880 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4403       71798 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4404             :   }
    4405       70502 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4406             : }
    4407             : 
    4408             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4409             :  * basis */
    4410             : static GEN
    4411      456477 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4412             : {
    4413             :   GEN P;
    4414      456477 :   if (!signe(a))
    4415        1715 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4416      454762 :   else if (!signe(b))
    4417         959 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4418             :   else
    4419             :   {
    4420      453803 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4421             :     long k, l;
    4422      453803 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4423      345422 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4424      345422 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4425             :     /* d = gcd(A,B) */
    4426      345422 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4427      345422 :     l = lg(P);
    4428      345422 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4429      345422 :     P = shallowconcat1(P);
    4430      345422 :     P = ZV_sort(P);
    4431             :   }
    4432      348096 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4433             : }
    4434             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4435             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4436             : static GEN
    4437      455567 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
    4438             : {
    4439             :   pari_sp av;
    4440      455567 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4441      455567 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4442      455567 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4443             :   long l, k;
    4444             : 
    4445      455567 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4446      455567 :   l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
    4447      347326 :   DP = coltrunc_init(l);
    4448      347326 :   av = avma;
    4449      347326 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4450      347326 :   u = gen_1;
    4451      854602 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4452             :   {
    4453      507276 :     GEN p = gel(P, k);
    4454      507276 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4455      507276 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4456             :     {
    4457             :       case 2:
    4458             :       {
    4459             :         long a, b;
    4460       57323 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4461       57323 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4462       57323 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4463       57323 :         break;
    4464             :       }
    4465             :       case 3:
    4466        2821 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4467        2821 :         break;
    4468             :     }
    4469      507276 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4470      507276 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4471             :   }
    4472      347326 :   if (pDP) *pDP = DP;
    4473      347326 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4474             : }
    4475             : 
    4476             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4477             : static GEN
    4478          35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4479             : {
    4480          35 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4481          35 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4482          35 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4483             : 
    4484          35 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4485          35 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4486          35 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4487          35 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4488          35 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4489          35 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4490          35 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4491          35 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4492          35 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4493          35 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4494             : }
    4495             : 
    4496             : static GEN
    4497        2604 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    4498             : {
    4499        2604 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    4500        2604 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    4501             : }
    4502             : static GEN
    4503         910 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    4504             : {
    4505         910 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4506         910 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    4507         910 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    4508         910 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    4509             : }
    4510             : static GEN
    4511         784 : ellnf_D_primes(GEN E)
    4512             : {
    4513         784 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4514         784 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    4515         784 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    4516         784 :   long k, l = lg(P);
    4517         784 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    4518         784 :   if (!is_pm1(DZ))
    4519             :   {
    4520         693 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    4521         693 :     settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
    4522             :   }
    4523         784 :   return P;
    4524             : }
    4525             : 
    4526             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    4527             : static GEN
    4528         889 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    4529             : {
    4530             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    4531         889 :   long k, l = lg(P);
    4532         889 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4533         889 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4534         889 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4535         889 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4536         889 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4537        4326 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4538             :   {
    4539        3437 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    4540             :     long vu;
    4541        3437 :     v = gel(q,3);
    4542        3437 :     u = gel(v,1);
    4543        3437 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4544        3437 :     if (!vu) continue;
    4545         784 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4546         784 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4547         784 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4548         784 :     vectrunc_append(L, pr);
    4549         784 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4550             :   }
    4551         889 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    4552             : }
    4553             : /* E integral */
    4554             : static GEN
    4555         931 : ellminimalprimes(GEN E)
    4556             : {
    4557             :   GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
    4558             :   long j, k, l;
    4559             : 
    4560         931 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    4561         126 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4562         126 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    4563         126 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    4564         126 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    4565         126 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    4566         126 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    4567         126 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4568         574 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4569             :   {
    4570         448 :     GEN pr = gel(P, k);
    4571         448 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    4572         406 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    4573         399 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    4574         399 :     gel(P,j++) = pr;
    4575             :   }
    4576         126 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4577         126 :   return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4578             : }
    4579             : static GEN
    4580         812 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
    4581             : {
    4582         812 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    4583             :   long i, l;
    4584         812 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4585         812 :   S = ellminimalprimes(E);
    4586         812 :   L = gel(S,1);
    4587         812 :   U = gel(S,2);
    4588         812 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    4589         812 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    4590         812 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    4591         812 :   P = factorback2(P, U);
    4592         812 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    4593         812 :   return P;
    4594             : }
    4595             : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
    4596             :  * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL) */
    4597             : static GEN
    4598          56 : bnf_get_v(GEN E)
    4599             : {
    4600          56 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4601             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4602             : 
    4603          56 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4604          56 :   S = ellminimalprimes(E);
    4605          56 :   L = gel(S,1);
    4606          56 :   U = gel(S,2);
    4607          56 :   Lr = gel(S,3);
    4608          56 :   Ls = gel(S,4);
    4609          56 :   Lt = gel(S,5);
    4610          56 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4611          56 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4612          35 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4613          35 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4614          35 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4615          35 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4616          35 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4617          35 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4618          35 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4619             : }
    4620             : 
    4621             : GEN
    4622          70 : ellminimaldisc(GEN E)
    4623             : {
    4624          70 :   pari_sp av = avma;
    4625          70 :   checkell(E);
    4626          70 :   switch(ell_get_type(E))
    4627             :   {
    4628             :     case t_ELL_Q:
    4629           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    4630           7 :       return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
    4631             :     case t_ELL_NF:
    4632             :     {
    4633          63 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
    4634          63 :       E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
    4635          63 :       S = ellminimalprimes(E);
    4636          63 :       L = gel(S,1);
    4637          63 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    4638          63 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    4639          63 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    4640             :     }
    4641           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    4642             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4643             :   }
    4644             : }
    4645             : 
    4646             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4647             :  * ellminimalmodel(E) */
    4648             : static GEN
    4649      456918 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4650             : {
    4651             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4652             :   ellmin_t M;
    4653      456918 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4654             :   {
    4655        1351 :     if (lg(S) != 2)
    4656             :     {
    4657          56 :       E = gel(S,3);
    4658          56 :       v = gel(S,2);
    4659             :     }
    4660             :     else
    4661        1295 :       v = init_ch();
    4662        1351 :     if (ptv) *ptv = v;
    4663        1351 :     return gcopy(E);
    4664             :   }
    4665      455567 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    4666      455567 :   u = ellQ_minimalu(e, &DP);
    4667      455567 :   min_set_all(&M, e, u);
    4668      455567 :   v = min_get_v(&M, e);
    4669      455567 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4670      455567 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4671      455567 :   if (is_trivial_change(v))
    4672             :   {
    4673      454013 :     v = init_ch();
    4674      454013 :     S = mkvec(DP);
    4675             :   }
    4676             :   else
    4677        1554 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4678      455567 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4679      455567 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    4680             : }
    4681             : 
    4682             : static GEN
    4683        2016 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4684             : {
    4685        2016 :   pari_sp av = avma;
    4686        2016 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    4687        2016 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4688        2016 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4689        2016 :   DP = gel(S,1);
    4690        2016 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4691        2016 :   if (!ptv)
    4692        1981 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4693             :   else
    4694          35 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4695        2016 :   return y;
    4696             : }
    4697             : 
    4698             : static GEN
    4699          56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4700             : {
    4701             :   GEN S, y, v, v2;
    4702          56 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4703             :   {
    4704           0 :     switch(lg(S))
    4705             :     {
    4706           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    4707           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    4708           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    4709             :     }
    4710           0 :     *ptv = v;
    4711           0 :     return gcopy(E);
    4712             :   }
    4713          56 :   *ptv = NULL;
    4714          56 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    4715          56 :   v2 = bnf_get_v(y);
    4716          56 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4717             :   {
    4718          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    4719          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    4720             :   }
    4721          35 :   y = coordch(y, v2);
    4722          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4723          35 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    4724          35 :   y = coordch(y, v2);
    4725             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4726          35 :   y = obj_reinit(y);
    4727          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4728          35 :   if (is_trivial_change(v))
    4729             :   {
    4730           7 :     v = init_ch();
    4731           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    4732             :   }
    4733             :   else
    4734             :   {
    4735          28 :     v = lift_if_rational(v);
    4736          28 :     S = mkvec2(v, y);
    4737             :   }
    4738          35 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4739          35 :   *ptv = v; return y;
    4740             : }
    4741             : static GEN
    4742          56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4743             : {
    4744          56 :   pari_sp av = avma;
    4745          56 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4746          56 :   if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    4747          56 :   if (!v || !ptv)
    4748          28 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4749             :   else
    4750          28 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4751          56 :   return y;
    4752             : }
    4753             : GEN
    4754        2079 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4755             : {
    4756        2079 :   checkell(E);
    4757        2079 :   switch(ell_get_type(E))
    4758             :   {
    4759        2016 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4760          56 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4761           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4762             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4763             :   }
    4764             : }
    4765             : 
    4766             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4767             :  * update type-dependant components.
    4768             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4769             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4770             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4771             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4772             :  *   fa = factorization of N
    4773             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    4774             : static GEN
    4775      454503 : ellQ_globalred(GEN e)
    4776             : {
    4777             :   long k, l, iN;
    4778             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    4779             : 
    4780      454503 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
    4781      454503 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4782      454503 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4783      454503 :   D  = ell_get_disc(E);
    4784      454503 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4785      454503 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    4786      454503 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4787      454503 :   iN = 1;
    4788      454503 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4789      454503 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4790      454503 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4791     1938391 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4792             :   {
    4793     1483888 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    4794     1483888 :     if (!signe(ex)) continue;
    4795     1483888 :     gel(NP, iN) = p;
    4796     1483888 :     gel(NE, iN) = ex;
    4797     1483888 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    4798     1483888 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    4799     1483888 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4800             :   }
    4801      454503 :   setlg(L, iN);
    4802      454503 :   setlg(NP, iN);
    4803      454503 :   setlg(NE, iN);
    4804      454503 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    4805             : }
    4806             : static GEN
    4807      460509 : ellglobalred_i(GEN E)
    4808      460509 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    4809             : 
    4810             : static GEN
    4811         784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    4812             : {
    4813             :   GEN c, L, NP, NE;
    4814         784 :   long j, k, l = lg(P);
    4815         784 :   c = gen_1;
    4816         784 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4817         784 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4818         784 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4819        3878 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4820             :   {
    4821        3094 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    4822        3094 :     ex = gel(q,1);
    4823        3094 :     if (!signe(ex)) continue;
    4824        2891 :     gel(NP, j) = p;
    4825        2891 :     gel(NE, j) = ex;
    4826        2891 :     gel(L, j) = q; j++;
    4827        2891 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4828             :   }
    4829         784 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    4830         784 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    4831             : }
    4832             : 
    4833             : static GEN
    4834         784 : ellnfglobalred(GEN E0)
    4835             : {
    4836             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    4837             :   long j, k, l;
    4838             : 
    4839         784 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4840         784 :   if (!v) v = init_ch();
    4841         784 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4842         784 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    4843         784 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    4844         784 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    4845         784 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4846        6083 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4847             :   {
    4848        5299 :     GEN p = gel(P,k);
    4849        5299 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    4850        3094 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    4851        3094 :     gel(P,j++) = p;
    4852             :   }
    4853         784 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4854         784 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    4855         763 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4856         784 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    4857             : }
    4858             : 
    4859             : GEN
    4860      453950 : ellglobalred(GEN E)
    4861             : {
    4862      453950 :   pari_sp av = avma;
    4863             :   GEN S, gr, v;
    4864      453950 :   checkell(E);
    4865      453950 :   switch(ell_get_type(E))
    4866             :   {
    4867           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    4868             :     case t_ELL_Q:
    4869      452921 :       gr = ellglobalred_i(E);
    4870      452921 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4871      452921 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    4872      452921 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    4873      452921 :       break;
    4874             :     case t_ELL_NF:
    4875        1029 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    4876        1029 :       break;
    4877             :   }
    4878      453950 :   return gerepilecopy(av, v);
    4879             : }
    4880             : 
    4881             : static GEN doellrootno(GEN e);
    4882             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    4883             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    4884             :  * and E (shallow insert) */
    4885             : GEN
    4886        2142 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    4887             : {
    4888        2142 :   GEN E, S, v = NULL;
    4889        2142 :   checkell_Q(e);
    4890        2142 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    4891             :   {
    4892         371 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    4893         371 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4894         371 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4895             :   }
    4896        1771 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    4897        1757 :     E = e;
    4898             :   else
    4899             :   {
    4900          14 :     v = gel(S,2);
    4901          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    4902          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4903             :   }
    4904        2142 :   if (ch) *ch = v;
    4905        2142 :   S = ellglobalred_i(e);
    4906        2142 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    4907        2142 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    4908        2142 :   if (!S)
    4909             :   {
    4910        1071 :     S = doellrootno(E);
    4911        1071 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    4912             :   }
    4913        2142 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    4914        2142 :   return E;
    4915             : }
    4916             : 
    4917             : static long
    4918         448 : nb_real_components(GEN E) { return signe(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
    4919             : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
    4920             :  * d'une courbe elliptique" */
    4921             : GEN
    4922        1407 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
    4923             : {
    4924        1407 :   GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
    4925        1407 :   if (s == 1)
    4926         994 :     w = gel(w,1);
    4927         413 :   else if (nb_real_components(E) == 2)
    4928         147 :     w = gneg(gel(w,2));
    4929             :   else
    4930         266 :     w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
    4931        1407 :   return w;
    4932             : }
    4933             : 
    4934             : static GEN
    4935          35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    4936             : {
    4937          35 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4938          35 :   return muliu(tam, nb_real_components(e));
    4939             : }
    4940             : 
    4941             : static GEN
    4942         784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    4943             : {
    4944         784 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4945         784 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    4946             :   long r1, r2;
    4947         784 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    4948         784 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    4949             : }
    4950             : 
    4951             : GEN
    4952          42 : elltamagawa(GEN E)
    4953             : {
    4954          42 :   pari_sp av = avma;
    4955             :   GEN v;
    4956          42 :   checkell(E);
    4957          42 :   switch(ell_get_type(E))
    4958             :   {
    4959           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    4960          14 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    4961          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    4962             :   }
    4963          42 :   return gerepileuptoint(av, v);
    4964             : }
    4965             : 
    4966             : static GEN
    4967        1106 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
    4968             : {
    4969        1106 :   GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
    4970        1106 :   if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
    4971         994 :   if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
    4972         861 :   return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
    4973             : }
    4974             : /* true nf, use nf prec */
    4975             : static GEN
    4976        5236 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
    4977             : {
    4978             :   long r1, r2;
    4979             :   GEN cx;
    4980        5236 :   nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
    4981        5236 :   x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
    4982        5236 :   if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
    4983        2905 :   x = Q_primitive_part(x, &cx);
    4984        2905 :   x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
    4985        2905 :   if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
    4986        2905 :   return x;
    4987             : }
    4988             : static long
    4989        2114 : nfembed_extraprec(GEN x)
    4990        2114 : { long e = gexpo(x); return e < 8? 0: nbits2extraprec(e); }
    4991             : static GEN
    4992        1008 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    4993             : {
    4994        1008 :   GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
    4995        1008 :   long prec0 = prec, r1, r2, n, i;
    4996             : 
    4997        1008 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
    4998        1008 :   E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
    4999        1008 :   prec += nfembed_extraprec(E0);
    5000             :   /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
    5001        1008 :   prec0 = prec;
    5002        1008 :   prec += (prec-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
    5003        1008 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    5004        1008 :   sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
    5005             :   for(;;)
    5006             :   {
    5007        1008 :     nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5008        1008 :     for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
    5009        4459 :     for (i=1; i<=n; i++)
    5010             :     {
    5011             :       GEN Ei, r;
    5012             :       long j;
    5013        3451 :       for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    5014        3451 :       gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
    5015        3451 :       if (!Ei) break;
    5016        3451 :       r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
    5017        3451 :       if (!r) break;
    5018             :     }
    5019        2016 :     if (i > n) return L;
    5020           0 :     prec = precdbl(prec);
    5021           0 :     if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
    5022             :   }
    5023             : }
    5024             : 
    5025             : static GEN
    5026          98 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
    5027             : {
    5028          98 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
    5029             :   long i, l;
    5030          98 :   P = RgC_to_nfC(nf, P);
    5031          98 :   prec += nfembed_extraprec(P);
    5032          98 :   nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5033          98 :   Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
    5034          98 :   Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
    5035          98 :   l = lg(Px); L =  cgetg(l, t_VEC);
    5036          98 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    5037          98 :   return L;
    5038             : }
    5039             : 
    5040             : static void
    5041         917 : ellnfembed_free(GEN L)
    5042             : {
    5043         917 :   long i, l = lg(L);
    5044         917 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    5045         917 : }
    5046             : 
    5047             : static GEN
    5048         154 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    5049             : {
    5050         154 :   pari_sp av = avma;
    5051         154 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5052         154 :   long i, l = lg(V);
    5053         154 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5054         154 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    5055         154 :   ellnfembed_free(V);
    5056         154 :   return gerepilecopy(av, P);
    5057             : }
    5058             : 
    5059             : GEN
    5060          91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5061          91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    5062             : 
    5063             : GEN
    5064          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5065          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    5066             : 
    5067             : GEN
    5068          35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5069          35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    5070             : 
    5071             : static GEN
    5072         756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    5073             : {
    5074         756 :   pari_sp av = avma;
    5075         756 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
    5076         756 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    5077        3780 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5078             :   {
    5079        3024 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5080        3024 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5081        3024 :     per = mulrr(per, pi);
    5082             :   }
    5083         756 :   ellnfembed_free(Eb);
    5084         756 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    5085             : }
    5086             : static GEN
    5087         756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    5088             : {
    5089         756 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    5090         756 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    5091             : }
    5092             : 
    5093             : static GEN
    5094          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5095             : {
    5096          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5097          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5098          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5099          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5100             : }
    5101             : 
    5102             : static GEN
    5103          21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5104             : {
    5105          21 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5106          21 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5107          21 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5108          21 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5109          21 :   if (lg(S) != 2)
    5110             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5111          14 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5112          14 :     per = gmul(per,u);
    5113             :   }
    5114          21 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5115             : }
    5116             : 
    5117             : GEN
    5118          63 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5119             : {
    5120          63 :   pari_sp av = avma;
    5121             :   GEN v;
    5122          63 :   checkell(E);
    5123          63 :   switch(ell_get_type(E))
    5124             :   {
    5125           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5126          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5127          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5128             :   }
    5129          63 :   return gerepileupto(av, v);
    5130             : }
    5131             : 
    5132             : static GEN
    5133           0 : QE_to_ZJ(GEN P)
    5134             : {
    5135           0 :   if (ell_is_inf(P))
    5136           0 :     return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
    5137             :   else
    5138             :   {
    5139           0 :     GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
    5140           0 :     GEN R  = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
    5141           0 :     GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
    5142           0 :     GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
    5143           0 :     GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
    5144           0 :     GEN Z  = denom(mkvec2(Q1, Q2));
    5145           0 :     GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
    5146           0 :     retmkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R));
    5147             :   }
    5148             : }
    5149             : 
    5150             : static GEN
    5151           0 : QEV_to_ZJV(GEN x)
    5152           0 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
    5153             : 
    5154             : static GEN
    5155           0 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
    5156             : {
    5157           0 :   pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
    5158             : }
    5159             : 
    5160             : static GEN
    5161           0 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, GEN E, ulong p)
    5162             : {
    5163           0 :   pari_sp av = avma;
    5164           0 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    5165           0 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    5166           0 :   ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
    5167           0 :   GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    5168           0 :   GEN a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p , pi);
    5169           0 :   GEN Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
    5170           0 :   Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
    5171           0 :   Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
    5172           0 :   return gerepileuptoleaf(av, Hp);
    5173             : }
    5174             : 
    5175             : static GEN
    5176           0 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, GEN E, GEN P, GEN *mod)
    5177             : {
    5178           0 :   pari_sp av = avma;
    5179           0 :   long i, n = lg(P)-1;
    5180             :   GEN H, T;
    5181           0 :   if (n == 1)
    5182             :   {
    5183           0 :     ulong p = uel(P,1);
    5184           0 :     GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, E, p);
    5185           0 :     *mod = utoi(p);
    5186           0 :     return Flv_to_ZV(Hp);
    5187             :   }
    5188           0 :   T = ZV_producttree(P);
    5189           0 :   A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
    5190           0 :   H = cgetg(n+1, t_VEC);
    5191           0 :   for(i=1; i <= n; i++)
    5192           0 :     gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i),L,E,uel(P,i));
    5193           0 :   H = ncV_chinese_center_tree(H, P, T, ZV_chinesetree(P,T));
    5194           0 :   *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    5195           0 :   gerepileall(av, 2, &H, mod);
    5196           0 :   return H;
    5197             : }
    5198             : 
    5199             : GEN
    5200           0 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L)
    5201             : {
    5202           0 :   GEN V = cgetg(3, t_VEC);
    5203           0 :   gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, E, P, &gel(V,2));
    5204           0 :   return V;
    5205             : }
    5206             : 
    5207             : static GEN
    5208           0 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L)
    5209             : {
    5210           0 :   pari_sp av = avma;
    5211           0 :   GEN mod = gen_1, H = NULL;
    5212             :   forprime_t S;
    5213           0 :   GEN worker = strtoclosure("_ellQ_factorback_worker", 3, E, QEV_to_ZJV(A), L);
    5214           0 :   ulong bound = 1;
    5215           0 :   init_modular_big(&S);
    5216             :   while (1)
    5217           0 :   {
    5218             :     GEN amax, r;
    5219           0 :     gen_inccrt("ellfactorback", worker, NULL, bound, usqrt(bound),
    5220             :             &S, &H, &mod, ncV_chinese_center, FpC_center);
    5221           0 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    5222           0 :     r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL);
    5223           0 :     if (r) settyp(r,t_VEC);
    5224           0 :     if (r && oncurve(E,r)) return gerepileupto(av, r);
    5225           0 :     bound <<=1;
    5226             :   }
    5227             : }
    5228             : 
    5229             : static GEN
    5230           0 : ellQ_vecfactorback(GEN E, GEN G, GEN x)
    5231           0 : { pari_APPLY_type(t_VEC,ellQ_factorback(E, G, gel(x,i))) }
    5232             : 
    5233             : GEN
    5234           0 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, long prec)
    5235             : {
    5236           0 :   GEN M = ellheightmatrix(E, G, prec);
    5237           0 :   GEN L = lllgram(M);
    5238           0 :   return ellQ_vecfactorback(E, G, L);
    5239             : }
    5240             : 
    5241             : /********************************************************************/
    5242             : /**                                                                **/
    5243             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5244             : /**                                                                **/
    5245             : /********************************************************************/
    5246             : /* x a t_INT */
    5247             : static long
    5248        1953 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5249             : {
    5250             :   long v;
    5251             :   GEN z;
    5252        1953 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5253        1799 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5254        1799 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5255             : }
    5256             : static void
    5257         651 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5258             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5259             : {
    5260         651 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5261         651 :   pari_sp av = avma;
    5262         651 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5263         651 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5264         651 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
    5265         651 : }
    5266             : 
    5267             : static long
    5268         651 : kod_23(GEN e, long p)
    5269             : {
    5270             :   GEN S, nv;
    5271         651 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5272             :   {
    5273         637 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5274         637 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5275             :   }
    5276             :   else
    5277          14 :     nv = localred_23(e, p);
    5278         651 :   return itos(gel(nv,2));
    5279             : }
    5280             : 
    5281             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5282             : static long
    5283         385 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5284             : {
    5285         385 :   if (kod > 4) return 1;
    5286         217 :   switch(kod)
    5287             :   {
    5288           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5289             :     case 2:
    5290           7 :       if (vD==4) return 1;
    5291             :       else
    5292             :       {
    5293           0 :         if (vD==7) return 3;
    5294           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5295             :       }
    5296             :     case 3:
    5297          63 :       switch(vD)
    5298             :       {
    5299          42 :         case 6: return 3;
    5300           0 :         case 8: return 4;
    5301          14 :         case 9: return 5;
    5302           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5303             :       }
    5304          42 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5305             :     case -1:
    5306          14 :       switch(vD)
    5307             :       {
    5308           0 :         case 9: return 2;
    5309           0 :         case 10: return 4;
    5310          14 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5311             :       }
    5312             :     case -2:
    5313           7 :       switch(vD)
    5314             :       {
    5315           7 :         case 12: return 2;
    5316           0 :         case 14: return 3;
    5317           0 :         default: return 1;
    5318             :       }
    5319             :     case -3:
    5320           0 :       switch(vD)
    5321             :       {
    5322           0 :         case 12: return 2;
    5323           0 :         case 14: return 3;
    5324           0 :         case 15: return 4;
    5325           0 :         default: return 1;
    5326             :       }
    5327          49 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5328          21 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5329             :     case -6:
    5330           7 :       switch(vD)
    5331             :       {
    5332           7 :         case 12: return 2;
    5333           0 :         case 13: return 3;
    5334           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5335             :       }
    5336           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5337           7 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5338             :   }
    5339             : }
    5340             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5341             : static long
    5342         147 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5343             : {
    5344         147 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5345         112 :   switch(kod)
    5346             :   {
    5347          28 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5348          28 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5349             :     case -4: case 2:
    5350          49 :       switch (vD%6)
    5351             :       {
    5352           0 :         case 4: return 3;
    5353           0 :         case 5: return 4;
    5354          49 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5355             :       }
    5356             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5357           7 :       switch (vD%6)
    5358             :       {
    5359           0 :         case 0: return 2;
    5360           0 :         case 1: return 3;
    5361           7 :         default: return 1;
    5362             :       }
    5363             :   }
    5364             : }
    5365             : 
    5366             : static long
    5367         385 : ellrootno_2(GEN e)
    5368             : {
    5369             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5370         385 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5371             : 
    5372         385 :   if (!vD) return 1;
    5373         385 :   if (d) { /* not minimal */
    5374             :     ellmin_t M;
    5375           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5376           7 :     min_set_D(&M, e);
    5377           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5378             :   }
    5379         385 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5380         385 :   kod = kod_23(e,2);
    5381         385 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5382         385 :   if (kod>=5)
    5383             :   {
    5384             :     long a2, a3;
    5385         168 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5386         168 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5387         168 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5388             :   }
    5389         217 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5390         210 :   x1 = u+v+v;
    5391         210 :   switch(kod)
    5392             :   {
    5393           0 :     case 1: return 1;
    5394             :     case 2:
    5395           7 :       switch(n2)
    5396             :       {
    5397             :         case 1:
    5398           7 :           switch(v4)
    5399             :           {
    5400           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5401           0 :             case 5: return 1;
    5402           0 :             default: return -1;
    5403             :           }
    5404           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5405           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5406           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5407           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5408             :       }
    5409             :     case 3:
    5410          63 :       switch(n2)
    5411             :       {
    5412           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5413           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5414          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5415          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5416           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5417          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5418             :       }
    5419             :     case -1:
    5420          14 :       switch(n2)
    5421             :       {
    5422          14 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5423           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5424           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5425           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5426           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5427             :       }
    5428           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5429             :     case -3:
    5430           0 :       switch(n2)
    5431             :       {
    5432           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5433           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5434           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5435           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5436           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5437             :       }
    5438             :     case -5:
    5439          21 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5440           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5441             :     case -6:
    5442           7 :       switch(n2)
    5443             :       {
    5444           0 :         case 1: return 1;
    5445           7 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5446           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5447             :       }
    5448             :     case -7:
    5449           0 :       if (n2==1) return 1;
    5450             :       else
    5451             :       {
    5452           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5453           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5454           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5455             :       }
    5456           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5457           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5458          91 :     default: return -1;
    5459             :   }
    5460             : }
    5461             : 
    5462             : static long
    5463         266 : ellrootno_3(GEN e)
    5464             : {
    5465             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5466         266 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5467             : 
    5468         266 :   if (!vD) return 1;
    5469         266 :   if (d) { /* not minimal */
    5470             :     ellmin_t M;
    5471           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5472           0 :     min_set_a(&M);
    5473           0 :     min_set_D(&M, e);
    5474           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5475             :   }
    5476         266 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5477         266 :   kod = kod_23(e,3);
    5478         266 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5479         147 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5480         147 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5481         147 :   switch(kod)
    5482             :   {
    5483          28 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5484             :     case 2:
    5485           0 :       switch(n2)
    5486             :       {
    5487           0 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5488           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5489           0 :         case 3: return 1;
    5490           0 :         case 4: return -K6;
    5491             :       }
    5492             :     case 4:
    5493           7 :       switch(n2)
    5494             :       {
    5495           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5496           0 :         case 2: return -K4;
    5497           0 :         case 3: return -K6;
    5498             :       }
    5499           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5500             :     case -4:
    5501          49 :       switch(n2)
    5502             :       {
    5503             :         case 1:
    5504          42 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5505          42 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5506           7 :         case 2: return -K6;
    5507           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5508           0 :         case 4: return K6;
    5509             :       }
    5510          63 :     default: return -1;
    5511             :   }
    5512             : }
    5513             : 
    5514             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5515             : static long
    5516        1351 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5517             : {
    5518             :   long nuj, nuD, nu;
    5519        1351 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5520             :   long ep, z;
    5521             : 
    5522        1351 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5523        1351 :   if (!nuD) return 1;
    5524        1351 :   nuj = j_pval(e, p);
    5525        1351 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5526        1351 :   if (nu == 0)
    5527             :   {
    5528             :     GEN c6;
    5529             :     long d, vg;
    5530        1148 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5531             :    /* p || N */
    5532        1148 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5533        1148 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5534        1148 :     d = vg / 12;
    5535        1148 :     if (d)
    5536             :     {
    5537           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5538           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5539             :     }
    5540        1148 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5541             :     /* c6 in minimal model */
    5542        1148 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5543             :   }
    5544         203 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5545         175 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5546         175 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5547         175 :   return krosi(-z, p);
    5548             : }
    5549             : 
    5550             : static GEN
    5551        1085 : doellrootno(GEN e)
    5552             : {
    5553        1085 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5554        1085 :   long i, l, s = -1;
    5555             : 
    5556        1085 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5557        1085 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5558        1085 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5559        1085 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5560        3066 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5561             :   {
    5562        1981 :     GEN p = gel(P,i);
    5563             :     long t;
    5564        1981 :     switch(itou_or_0(p))
    5565             :     {
    5566         371 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5567         266 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5568        1344 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5569             :     }
    5570        1981 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5571             :   }
    5572        1085 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5573             : }
    5574             : 
    5575             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5576             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5577             : static long
    5578          84 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    5579             : {
    5580          84 :   pari_sp av = avma;
    5581             :   GEN S;
    5582             :   long s;
    5583          84 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5584          70 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5585          70 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5586             :   {
    5587          49 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5588          49 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5589          49 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5590           0 :     return 1;
    5591             :   }
    5592          21 :   switch(itou_or_0(p))
    5593             :   {
    5594             :     case 2:
    5595          14 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5596          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5597             :     case 3:
    5598           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5599           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5600             :     default:
    5601           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5602             :   }
    5603          21 :   return gc_long(av, s);
    5604             : }
    5605             : 
    5606             : /* global root number over number field
    5607             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    5608             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    5609             :  */
    5610             : 
    5611             : static GEN
    5612         322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    5613             : {
    5614             :   long i;
    5615         322 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5616        1932 :   for(i=1; i<=5; i++)
    5617        1610 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    5618         322 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    5619             : }
    5620             : 
    5621             : static GEN
    5622         252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    5623             : {
    5624         252 :   long v = fetch_var_higher();
    5625         252 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    5626         252 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    5627         252 :   delete_var();
    5628         252 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    5629             : }
    5630             : 
    5631             : static GEN
    5632         217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    5633             : {
    5634         217 :   pari_sp av = avma;
    5635         217 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5636         217 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    5637         217 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5638         217 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    5639         217 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    5640         217 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    5641         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    5642             : }
    5643             : 
    5644             : static long
    5645         252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    5646         252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    5647             : 
    5648             : static GEN
    5649         259 : ec_bmodel_var(GEN E, long v)
    5650             : {
    5651         259 :   GEN P = ec_bmodel(E);
    5652         259 :   setvarn(P,v); return P;
    5653             : }
    5654             : 
    5655             : static long
    5656         147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    5657             : {
    5658         147 :   pari_sp av = avma;
    5659         147 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5660         147 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    5661         147 :   long v, var = fetch_var_higher();
    5662             :   GEN F;
    5663         147 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    5664         147 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel_var(E, var));
    5665         147 :   if (lg(F)>1)
    5666             :   {
    5667          35 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    5668          35 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5669          35 :     obj_free(Et);
    5670          35 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    5671             :   } else
    5672             :   {
    5673         112 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
    5674         112 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel_var(E, var), utoi(4)), 4);
    5675         112 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
    5676         112 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    5677         112 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    5678         112 :     if (lg(F)>1)
    5679           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    5680             :     else
    5681             :     {
    5682         105 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5683         105 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    5684         105 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    5685         105 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    5686         105 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    5687         105 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5688         105 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5689         105 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    5690         105 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    5691         105 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    5692         105 :       v = odd(v2+v3);
    5693             :     }
    5694             :   }
    5695         147 :   delete_var();
    5696         147 :   return gc_long(av, v? -1: 1);
    5697             : }
    5698             : 
    5699             : static GEN
    5700         147 : doellnfrootno(GEN e)
    5701         147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    5702             : 
    5703             : long
    5704        2128 : ellrootno_global(GEN e)
    5705             : {
    5706        2128 :   pari_sp av = avma;
    5707             :   GEN S;
    5708        2128 :   switch(ell_get_type(e))
    5709             :   {
    5710             :     case t_ELL_Q:
    5711        1862 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    5712        1862 :       break;
    5713             :     case t_ELL_NF:
    5714         266 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    5715         266 :       break;
    5716             :     default:
    5717             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5718             :   }
    5719        2128 :   return gc_long(av, itos(S));
    5720             : }
    5721             : 
    5722             : long
    5723         182 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5724             : {
    5725         182 :   checkell(e);
    5726         182 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5727         182 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5728         182 :   switch(ell_get_type(e))
    5729             :   {
    5730             :     case t_ELL_Q:
    5731          84 :       return ellQ_rootno(e, p);
    5732           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    5733             :     case t_ELL_NF:
    5734          98 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    5735          98 :       return ellrootno_global(e);
    5736             :   }
    5737             : }
    5738             : 
    5739             : /********************************************************************/
    5740             : /**                                                                **/
    5741             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5742             : /**                                                                **/
    5743             : /********************************************************************/
    5744             : 
    5745             : /* assume p does not divide disc E */
    5746             : long
    5747      345824 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5748             : {
    5749             :   ulong a4, a6;
    5750      345824 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5751      344312 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5752      342366 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5753      342366 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5754             : }
    5755             : 
    5756             : static void
    5757         693 : checkell_int(GEN e)
    5758             : {
    5759         693 :   checkell_Q(e);
    5760        1386 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5761        1386 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5762        1386 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5763        1386 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5764         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5765         693 : }
    5766             : 
    5767             : long
    5768        2779 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5769             : {
    5770        2779 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5771        2779 :   long CM = 0;
    5772        2779 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5773             :   {
    5774             :     case 0:
    5775         121 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5776         121 :       break;
    5777         126 :     case 1728: CM = -4; break;
    5778          21 :     case -3375: CM = -7; break;
    5779          21 :     case  8000: CM = -8; break;
    5780          21 :     case 54000: CM = -12; break;
    5781          21 :     case -32768: CM = -11; break;
    5782          21 :     case 287496: CM = -16; break;
    5783           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    5784          21 :     case -12288000: CM = -27; break;
    5785          21 :     case  16581375: CM = -28; break;
    5786           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    5787             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    5788           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    5789           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    5790             : #endif
    5791             :   }
    5792        2779 :   return CM;
    5793             : }
    5794             : 
    5795             : /* bad reduction at p */
    5796             : static void
    5797        3556 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    5798             : {
    5799             :   ulong m, N;
    5800        3556 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    5801             :   {
    5802             :     case -1: /* non-split */
    5803        1029 :       N = n/p;
    5804      457365 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5805      456336 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    5806        1029 :       break;
    5807             :     case 0: /* additive */
    5808        1274 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    5809        1274 :       break;
    5810             :     case 1: /* split */
    5811        1253 :       N = n/p;
    5812      149236 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5813      147983 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    5814        1253 :       break;
    5815             :   }
    5816        3556 : }
    5817             : /* good reduction at p */
    5818             : static void
    5819      338362 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    5820             : {
    5821      338362 :   const long ap = an[p];
    5822             :   ulong m;
    5823      338362 :   if (p <= SQRTn) {
    5824       12465 :     ulong pk, oldpk = 1;
    5825       50772 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    5826             :     {
    5827       38307 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    5828     4986892 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    5829     4948585 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    5830             :     }
    5831             :   } else {
    5832     1746953 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    5833     1421056 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    5834             :   }
    5835      338362 : }
    5836             : static void
    5837      341918 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    5838             : {
    5839      341918 :   if (good_red)
    5840      338362 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    5841             :   else
    5842        3556 :     sievep_bad(p, an, n);
    5843      341918 : }
    5844             : 
    5845             : static long
    5846      341918 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    5847             : {
    5848      341918 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    5849        3612 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    5850             :   else /* good reduction */
    5851             :   {
    5852      338306 :     *good_red = 1;
    5853      338306 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    5854             :   }
    5855             : }
    5856             : GEN
    5857        2240 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    5858             : {
    5859             :   pari_sp av;
    5860        2240 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    5861             :   GEN an;
    5862             :   int CM;
    5863             : 
    5864        2240 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    5865        2240 :   if (n >= LGBITS)
    5866           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    5867        2240 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    5868        2240 :   SQRTn = usqrt(n);
    5869        2240 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    5870             : 
    5871        2240 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    5872        2240 :   an[1] = 1; av = avma;
    5873     2818285 :   for (p=2; p<=n; p++)
    5874             :   {
    5875             :     int good_red;
    5876     2816045 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    5877      341918 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    5878      341918 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    5879             :   }
    5880        2240 :   set_avma(av); return an;
    5881             : }
    5882             : 
    5883             : static GEN
    5884         315 : ellanQ(GEN e, long N)
    5885         315 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    5886             : 
    5887             : static GEN
    5888       69376 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
    5889             : {
    5890       69376 :   pari_sp av = avma;
    5891       69376 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
    5892       69385 :   long l = lg(LP), i;
    5893      138801 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5894             :   {
    5895             :     int goodred;
    5896       69416 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    5897       69416 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    5898       69391 :     long f = pr_get_f(P);
    5899       69392 :     if (goodred)
    5900       69210 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    5901             :     else
    5902             :     {
    5903         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    5904         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    5905             :     }
    5906       69404 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    5907       69404 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    5908             :   }
    5909       69385 :   if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
    5910       37906 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
    5911             : }
    5912             : 
    5913             : GEN
    5914        4382 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
    5915             : {
    5916        4382 :   pari_sp av = avma;
    5917        4382 :   long i, l = lg(P);
    5918        4382 :   GEN W = cgetg(l, t_VEC);
    5919       73760 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5920             :   {
    5921       69378 :     ulong p = uel(P,i);
    5922       69378 :     long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
    5923       69379 :     gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
    5924             :   }
    5925        4382 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
    5926             : }
    5927             : 
    5928             : static GEN
    5929         189 : ellnfan(GEN E, long N)
    5930             : {
    5931         189 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
    5932         189 :   return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    5933             : }
    5934             : 
    5935             : GEN
    5936         497 : ellan(GEN E, long N)
    5937             : {
    5938         497 :   checkell(E);
    5939         497 :   switch(ell_get_type(E))
    5940             :   {
    5941         308 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    5942         189 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    5943             :     default:
    5944           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    5945             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5946             :   }
    5947             : }
    5948             : 
    5949             : static GEN
    5950         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    5951             : {
    5952             :   GEN u, v, w;
    5953             :   long j;
    5954         735 :   if (e == 1) return ap;
    5955         112 :   u = ap;
    5956         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    5957         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    5958             :   {
    5959          14 :     v = u; u = w;
    5960          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    5961             :   }
    5962         112 :   return w;
    5963             : }
    5964             : 
    5965             : GEN
    5966         693 : akell(GEN e, GEN n)
    5967             : {
    5968             :   long i, j, s;
    5969         693 :   pari_sp av = avma;
    5970             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    5971             : 
    5972         693 :   checkell_int(e);
    5973         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    5974         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    5975         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    5976         693 :   D = ell_get_disc(e);
    5977         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    5978         693 :   y = gen_1;
    5979         693 :   s = 1;
    5980         693 :   if (!equalii(u, n))
    5981             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    5982         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    5983         441 :     P = gel(fa,1);
    5984         441 :     E = gel(fa,2);
    5985        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    5986             :     {
    5987         581 :       GEN p = gel(P,i);
    5988         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    5989             :       int good_red;
    5990         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    5991         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    5992         350 :       j = signe(ap);
    5993         350 :       if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
    5994         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    5995             :     }
    5996             :   }
    5997         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    5998         693 :   fa = Z_factor(u);
    5999         693 :   P = gel(fa,1);
    6000         693 :   E = gel(fa,2);
    6001        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    6002             :   { /* good reduction */
    6003         504 :     GEN p = gel(P,i);
    6004         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6005         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6006             :   }
    6007         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6008             : }
    6009             : 
    6010             : GEN
    6011        3479 : ellQ_get_N(GEN e)
    6012        3479 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6013             : void
    6014         882 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6015         882 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6016             : 
    6017             : GEN
    6018          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6019             : {
    6020          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    6021             :   ulong l, n;
    6022             :   long eps, flun;
    6023             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6024             : 
    6025          14 :   if (!A) A = gen_1;
    6026             :   else
    6027             :   {
    6028           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    6029           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6030           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6031             :   }
    6032          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
    6033          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6034          14 :   checkell_Q(e);
    6035          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6036          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    6037          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    6038          14 :   if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
    6039             : 
    6040          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    6041          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6042          14 :   cga = gmul(cg, A);
    6043          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6044          42 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
    6045          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6046          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6047          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6048          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6049          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6050          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6051          14 :   z = gen_0;
    6052          14 :   av1 = avma;
    6053        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6054             :   {
    6055        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6056        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6057        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    6058             : 
    6059        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6060        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6061        1106 :     if (flun)
    6062           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6063             :     else
    6064             :     {
    6065        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6066        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6067        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6068             :     }
    6069        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6070        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    6071             :     {
    6072           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6073           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6074             :     }
    6075             :   }
    6076          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6077             : }
    6078             : 
    6079             : /********************************************************************/
    6080             : /**                                                                **/
    6081             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6082             : /**                                                                **/
    6083             : /********************************************************************/
    6084             : 
    6085             : static GEN
    6086          56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
    6087             : {
    6088          56 :   GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
    6089          56 :   long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
    6090          56 :   GEN r = gen_1;
    6091          56 :   for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
    6092          56 :   for(   ; i < l  ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
    6093          56 :   return r;
    6094             : }
    6095             : 
    6096             : /* The function follows
    6097             : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
    6098             : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
    6099             : */
    6100             : 
    6101             : static GEN
    6102          56 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
    6103             : {
    6104             :   GEN h;
    6105             :   long d;
    6106          56 :   pari_sp av = avma;
    6107          56 :   checkell(e);
    6108          56 :   switch(ell_get_type(e))
    6109             :   {
    6110             :     case t_ELL_Q:
    6111           0 :       d = 1;
    6112           0 :       h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
    6113           0 :       break;
    6114             :     case t_ELL_NF:
    6115          56 :       d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
    6116          56 :       h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
    6117          56 :       break;
    6118             :     default:
    6119           0 :       pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6120             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6121             :   }
    6122          56 :   return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
    6123             : }
    6124             : 
    6125             : static GEN
    6126         707 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6127             : 
    6128             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6129             : static GEN
    6130        1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6131             : {
    6132        1106 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6133             : }
    6134             : 
    6135             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6136             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6137             : static GEN
    6138        1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6139             : {
    6140        1106 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6141        1106 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    6142             : 
    6143        1106 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6144        1106 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6145        1106 :   a = gel(ab, 1);
    6146        1106 :   b = gel(ab, 2);
    6147        1106 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6148        1106 :   x = gsub(x, e1);
    6149        1106 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6150             : 
    6151        1106 :   x_a = gsub(x, a);
    6152        1106 :   if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
    6153        1106 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6154        1106 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6155             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6156        6049 :   for(n=0;; n++)
    6157        4943 :   {
    6158        6049 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6159        6049 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6160        6049 :     r = gsub(a, a0);
    6161        6049 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6162        4943 :     ab = gmul(a0, b);
    6163        4943 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6164             : 
    6165        4943 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6166        4943 :     p2 = gsqr(a);
    6167        4943 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6168        4943 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6169             :   }
    6170        1106 :   if (n) {
    6171        1106 :     x = gel(V,n);
    6172        1106 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6173             :   } else
    6174           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6175             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6176        1106 :   return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
    6177             : }
    6178             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6179             : static int
    6180        1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6181             : {
    6182        1106 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6183        1106 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6184             : }
    6185             : 
    6186             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6187             : static GEN
    6188        1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6189             : {
    6190        1106 :   pari_sp av = avma;
    6191             :   GEN h;
    6192        1106 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6193             :   {
    6194         455 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6195             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6196         455 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6197             :   }
    6198             :   else
    6199         651 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6200        1106 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6201        1106 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6202             : }
    6203             : GEN
    6204        1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6205             : 
    6206             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    6207             : static GEN
    6208          28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    6209             : {
    6210          28 :   pari_sp av = avma;
    6211          28 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    6212          28 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    6213          28 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
    6214          28 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    6215          28 :   GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
    6216          28 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
    6217          28 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    6218          28 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    6219          28 :   GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
    6220          28 :   GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
    6221          28 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    6222             : }
    6223             : 
    6224             : static GEN
    6225         140 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6226         140 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6227             : static GEN
    6228          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6229             : {
    6230          35 :   pari_sp av = avma;
    6231          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6232          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6233          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6234             : }
    6235             : GEN
    6236         217 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6237         217 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): a? ellheight(e,a,n): ellheightfaltings(e,n); }
    6238             : GEN
    6239          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6240          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6241             : 
    6242             : static GEN
    6243         245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    6244             : {
    6245             :   long v1, v2, vD, vu;
    6246         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    6247         245 :   GEN lr = nflocalred(e,pr);
    6248         245 :   GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
    6249         245 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    6250         245 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
    6251             :   GEN v;
    6252         245 :   vu = nfval(nf, u, pr);
    6253         245 :   v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
    6254         245 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    6255         245 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
    6256         245 :   if (v1<0)
    6257           7 :     vu = 0;
    6258         245 :   if (v1<=0 || v2<=0)
    6259         210 :     v = gen_0;
    6260          35 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    6261             :   {
    6262          21 :     GEN a = sstoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
    6263          21 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a), sstoQ(vD,2));
    6264             :   }
    6265             :   else
    6266             :   {
    6267          14 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    6268          28 :     v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? sstoQ(-v2,3):
    6269          14 :                                     sstoQ(-v3,8);
    6270             :   }
    6271         245 :   return gsubgs(v,vu);
    6272             : }
    6273             : 
    6274             : static GEN
    6275         112 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    6276             : {
    6277         112 :   pari_sp av = avma;
    6278             :   GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
    6279             :   long i, n, l, r1;
    6280         112 :   if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gen_0;
    6281          91 :   x = gel(P,1);
    6282          91 :   if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { set_avma(av); return gen_0; }
    6283          91 :   nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
    6284          91 :   disc = ell_get_disc(E);
    6285          91 :   d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
    6286          91 :   F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
    6287          91 :   Ee = ellnfembed(E, prec);
    6288          91 :   Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    6289          91 :   n = lg(Ee); l = lg(F);
    6290          91 :   s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
    6291         224 :   for (i=1; i<=r1; i++)
    6292         133 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    6293         119 :   for (   ; i<n; i++)
    6294          28 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    6295         336 :   for (i=1; i<l; i++)
    6296             :   {
    6297         245 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
    6298         245 :     long f = pr_get_f(pr);
    6299         245 :     GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    6300         245 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
    6301             :   }
    6302          91 :   return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
    6303             : }
    6304             : 
    6305             : static GEN
    6306         133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    6307             : {
    6308             :   long i, lx;
    6309             :   pari_sp av;
    6310             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6311             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6312             : 
    6313         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6314         126 :   if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
    6315         112 :   av = avma;
    6316         112 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6317             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6318          84 :     if (lg(S) != 2)
    6319             :     {
    6320           7 :       v = gel(S,2);
    6321           7 :       e = gel(S,3);
    6322           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6323             :     }
    6324             :   }
    6325             :   else
    6326             :   {
    6327          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    6328          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6329             :   }
    6330         112 :   if (!oncurve(e,a))
    6331           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6332         105 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6333         105 :   if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6334         105 :   x = gel(a,1);
    6335         105 :   y = gel(a,2);
    6336         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6337         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6338         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6339         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6340         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6341             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6342             :   );
    6343         105 :   if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6344         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6345         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6346         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6347         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6348             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6349             :   );
    6350         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6351         105 :   D = ell_get_disc(e);
    6352         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6353         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6354         105 :   lx = lg(Lp);
    6355         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6356             :   {
    6357         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6358             :     long u, v, n, n2;
    6359         112 :     if (!dvdii(c4,p))
    6360             :     { /* p \nmid c4 */
    6361          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    6362          35 :       if (!N) continue;
    6363          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6364          35 :       if (n > N) n = N;
    6365          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6366          35 :       v = N << 3;
    6367             :     }
    6368             :     else
    6369             :     {
    6370          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6371          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6372          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6373             :     }
    6374             :     /* z -= u log(p) / v */
    6375         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6376             :   }
    6377         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6378             : }
    6379             : 
    6380             : GEN
    6381         245 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6382             : {
    6383         245 :   checkell(e); checkellpt(a);
    6384         245 :   switch(ell_get_type(e))
    6385             :   {
    6386             :     case t_ELL_Q:
    6387         133 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6388           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6389             :     case t_ELL_NF:
    6390         112 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6391             :   }
    6392             : }
    6393             : 
    6394             : GEN
    6395          21 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6396             : {
    6397             :   GEN D, A, B;
    6398          21 :   long lx = lg(x), i, j;
    6399          21 :   pari_sp av = avma;
    6400             : 
    6401          21 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6402          21 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6403          21 :   A = cgetg(lx,t_MAT);
    6404          21 :   B = cgetg(lx,t_MAT);
    6405          63 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6406             :   {
    6407          42 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6408          42 :     gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6409          42 :     gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
    6410             :   }
    6411          63 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6412             :   {
    6413          42 :     GEN h = gel(D,i);
    6414          42 :     if (p)
    6415             :     {
    6416          28 :       gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
    6417          28 :       gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
    6418             :     }
    6419             :     else
    6420          14 :       gcoeff(A,i,i) = h;
    6421          70 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6422             :     {
    6423          28 :       h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6424          28 :       h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
    6425          28 :       if (p)
    6426             :       {
    6427          21 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
    6428          21 :         gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
    6429             :       }
    6430             :       else
    6431           7 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
    6432             :     }
    6433             :   }
    6434          21 :   return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
    6435             : }
    6436             : GEN
    6437           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6438           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6439             : 
    6440             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6441             : static GEN
    6442          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6443             : {
    6444             :   GEN y;
    6445          21 :   long i, l = lg(P);
    6446          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6447          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
    6448           7 :   y = cgetg(l, typ(P));
    6449           7 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
    6450           7 :   return y;
    6451             : }
    6452             : GEN
    6453           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6454             : {
    6455           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6456           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6457           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6458           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6459           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6460           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6461           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6462             :   {
    6463           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6464           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6465           0 :     return bilhell_i(E,Q,P,n);
    6466             :   }
    6467           7 :   return bilhell_i(E,P,Q,n);
    6468             : }
    6469             : /********************************************************************/
    6470             : /**                                                                **/
    6471             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6472             : /**                                                                **/
    6473             : /********************************************************************/
    6474             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6475             : static GEN
    6476           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6477             : {
    6478           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6479           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6480           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6481             : }
    6482             : 
    6483             : GEN
    6484          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6485             : {
    6486             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6487             :   long n, m;
    6488          14 :   pari_sp av = avma;
    6489             : 
    6490          14 :   checkell_Q(e);
    6491          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6492           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6493             : 
    6494           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6495           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6496           7 :   d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalp(d,-1);
    6497             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6498             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6499           7 :   c = gsqr(d);
    6500             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6501             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6502             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6503             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6504             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6505             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6506             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6507             :    * */
    6508           7 :   C = c+4;
    6509           7 :   X = x+4;
    6510           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6511           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6512           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6513           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6514         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6515             :   {
    6516         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6517             :     GEN s1, s2, s3;
    6518         105 :     if (n != 2)
    6519             :     {
    6520          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6521          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6522          98 :       s2 = gen_0;
    6523        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6524         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6525          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6526          98 :       s1 = gen_0;
    6527          98 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6528          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6529          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6530             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6531          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6532             :     }
    6533             :     else
    6534             :     {
    6535           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6536           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6537           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6538           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6539           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6540           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6541           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6542           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6543           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6544           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6545             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6546           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6547             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6548           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6549             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6550           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6551           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6552             :     }
    6553         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6554             :   }
    6555           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6556           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6557           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6558           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6559           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6560             : }
    6561             : 
    6562             : /********************************************************************/
    6563             : /**                                                                **/
    6564             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6565             : /**                                                                **/
    6566             : /********************************************************************/
    6567             : static GEN
    6568       19285 : doellff_get_o(GEN E)
    6569             : {
    6570       19285 :   GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
    6571       19285 :   return mkvec2(d, Z_factor(d));
    6572             : }
    6573             : GEN
    6574       19824 : ellff_get_o(GEN E)
    6575       19824 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6576             : 
    6577             : GEN
    6578         140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6579             : {
    6580         140 :   pari_sp av = avma;
    6581             :   GEN fg, r;
    6582         140 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6583         140 :   fg = ellff_get_field(E);
    6584         140 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6585         140 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6586          91 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    6587             :   else
    6588             :   {
    6589          49 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6590          49 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    6591          49 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    6592          49 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    6593             :   }
    6594         140 :   return gerepileuptoint(av, r);
    6595             : }
    6596             : 
    6597             : GEN
    6598        5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6599             : {
    6600             :   GEN fg;
    6601        5250 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6602        5243 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6603        5243 :   fg = ellff_get_field(E);
    6604        5243 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6605        4998 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6606             :   else
    6607             :   {
    6608         245 :     pari_sp av = avma;
    6609         245 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6610         490 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6611         490 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6612         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6613             :   }
    6614             : }
    6615             : 
    6616             : GEN
    6617         301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6618             : {
    6619             :   GEN fg;
    6620         301 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6621         301 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6622         301 :   fg = ellff_get_field(E);
    6623         301 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6624          98 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6625             :   else
    6626             :   {
    6627         203 :     pari_sp av = avma;
    6628         203 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6629         406 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6630         406 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6631         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6632             :   }
    6633             : }
    6634             : 
    6635             : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6636             : static GEN
    6637     2868047 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6638             : {
    6639     2868047 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6640     2868031 :   if (!signe(D))
    6641             :   {
    6642       97972 :     pari_sp av = avma;
    6643       97972 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6644       97972 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6645             :   }
    6646     2770059 :   *good_red = 1;
    6647     2770059 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6648     2769205 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6649     2768367 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6650     2768054 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6651             : }
    6652             : 
    6653             : GEN
    6654     3021187 : ellap(GEN E, GEN p)
    6655             : {
    6656     3021187 :   pari_sp av = avma;
    6657             :   GEN q, card;
    6658             :   int goodred;
    6659     3021187 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
    6660     3021114 :   switch(ell_get_type(E))
    6661             :   {
    6662             :   case t_ELL_Fp:
    6663         112 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6664         112 :     break;
    6665             :   case t_ELL_Fq:
    6666       54467 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6667       54467 :     break;
    6668             :   case t_ELL_Qp:
    6669             :   case t_ELL_Q:
    6670     2867655 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6671     2867691 :     break;
    6672             :   case t_ELL_NF:
    6673       98868 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6674             :   default:
    6675           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6676             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6677             :   }
    6678     2922270 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6679             : }
    6680             : 
    6681             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    6682             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    6683             : GEN
    6684         126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
    6685             : {
    6686         126 :   const ulong minq = 523;
    6687         126 :   checkell_Fq(E);
    6688         126 :   switch(ell_get_type(E))
    6689             :   {
    6690             :   case t_ELL_Fp:
    6691             :     {
    6692         112 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6693         112 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6694         105 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6695             :     }
    6696             :   case t_ELL_Fq:
    6697             :     {
    6698          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6699          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    6700           0 :         return FF_ellcard(E);
    6701          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6702             :     }
    6703             :   }
    6704             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6705             : }
    6706             : 
    6707             : GEN
    6708      162645 : ellff_get_card(GEN E)
    6709      162645 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6710             : 
    6711             : GEN
    6712       87164 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6713             : {
    6714       87164 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
    6715       87157 :   switch(ell_get_type(E))
    6716             :   {
    6717             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6718       86702 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6719             :   case t_ELL_Qp:
    6720             :   case t_ELL_Q:
    6721             :     {
    6722         420 :       pari_sp av = avma;
    6723             :       int goodred;
    6724         420 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6725         420 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6726         420 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6727             :     }
    6728             :   case t_ELL_NF:
    6729             :     {
    6730          35 :       pari_sp av = avma;
    6731             :       int goodred;
    6732          35 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6733          35 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6734          35 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6735             :     }
    6736             :   default:
    6737           0 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6738             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6739             :   }
    6740             : }
    6741             : 
    6742             : /* assume model is p-minimal */
    6743             : static GEN
    6744       21917 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
    6745             : {
    6746       21917 :   GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
    6747       21917 :   *pm = gen_1;
    6748       21917 :   if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
    6749       21917 :   if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
    6750       21917 :   if (absequaliu(p, 3))
    6751             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6752             :     ulong b2, b4, b6;
    6753           0 :     if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
    6754             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6755             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6756           0 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6757           0 :     if (b6) return mkvec(N);
    6758             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6759           0 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6760           0 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6761           0 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
    6762           0 :     return mkvec2s(2, 2);
    6763             :   } /* Now assume p > 3 */
    6764       21917 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6765       21917 :   return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
    6766             : }
    6767             : 
    6768             : static GEN
    6769       40971 : doellGm(GEN E)
    6770             : {
    6771       40971 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6772       40971 :   GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
    6773       40971 :   return mkvec2(G, m);
    6774             : }
    6775             : static GEN
    6776       80493 : ellff_Gm(GEN E)
    6777       80493 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
    6778             : GEN
    6779       61810 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
    6780             : GEN
    6781       18683 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
    6782             : GEN
    6783       18683 : ellff_get_D(GEN E)
    6784             : {
    6785       18683 :   GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
    6786       18683 :   switch(lg(G))
    6787             :   {
    6788          91 :     case 1: return G;
    6789       15876 :     case 2: return mkvec(o);
    6790        2716 :     default: return mkvec2(o, gel(G,2));
    6791             :   }
    6792             : }
    6793             : 
    6794             : /* E / Fp */
    6795             : static GEN
    6796       18683 : doellgens(GEN E)
    6797             : {
    6798       18683 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6799       18683 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6800       18109 :     return FF_ellgens(E);
    6801             :   else
    6802             :   {
    6803         574 :     GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6804         574 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
    6805         574 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6806             :   }
    6807             : }
    6808             : 
    6809             : GEN
    6810       18760 : ellff_get_gens(GEN E)
    6811       18760 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6812             : 
    6813             : GEN
    6814       22323 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6815             : {
    6816       22323 :   pari_sp av = avma;
    6817             :   GEN m, G;
    6818       22323 :   p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
    6819       22316 :   switch(ell_get_type(E))
    6820             :   {
    6821             :     case t_ELL_Fp:
    6822       21882 :     case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
    6823             :     case t_ELL_Qp:
    6824             :     case t_ELL_Q:
    6825         392 :       if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
    6826             :       {
    6827          14 :         GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
    6828          14 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    6829          14 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    6830             :       }
    6831         378 :       G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
    6832             :     case t_ELL_NF:
    6833          42 :       if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
    6834             :       {
    6835          21 :         GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
    6836          21 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    6837          21 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    6838             :       }
    6839          28 :       E = ellinit(E, p, 0);
    6840          28 :       G = ellff_get_group(E);
    6841          28 :       G = gcopy(G); obj_free(E); break;
    6842             :     default:
    6843           0 :       pari_err_TYPE("ellgroup", E);
    6844             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6845             :   }
    6846       22316 :   return gerepilecopy(av, G);
    6847             : }
    6848             : 
    6849             : GEN
    6850       21483 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6851             : {
    6852       21483 :   pari_sp av = avma;
    6853       21483 :   long tE, freeE = 0;
    6854             :   GEN G;
    6855       21483 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6856        1946 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6857        1946 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    6858        1946 :   if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
    6859             :   {
    6860        1869 :     GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
    6861             :     long vu;
    6862        1862 :     switch(tE)
    6863             :     {
    6864          70 :       case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
    6865        1841 :       case t_ELL_Q:  vu = Q_pval(u, p); break;
    6866          21 :       case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
    6867           0 :       default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
    6868             :     }
    6869        1862 :     if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
    6870        1855 :     if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
    6871             :     {
    6872          91 :       GEN Ep = obj_init(15, 4), T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
    6873          91 :       if (typ(p) == t_INT)
    6874             :       {
    6875             :         long i;
    6876          70 :         for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
    6877             :       }
    6878             :       else
    6879             :       {
    6880          21 :         q = pr_norm(p);
    6881          21 :         Ep = initsmall_i(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
    6882             :       }
    6883          91 :       E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
    6884          91 :       obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
    6885             :     }
    6886             :     else
    6887        1764 :       E = ellinit(E, p, 0);
    6888        1855 :     freeE = 1;
    6889             :   }
    6890        1932 :   G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
    6891        1932 :   if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
    6892        1855 :   G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
    6893             : }
    6894             : 
    6895             : GEN
    6896       16842 : ellgenerators(GEN E)
    6897             : {
    6898       16842 :   checkell(E);
    6899       16842 :   switch(ell_get_type(E))
    6900             :   {
    6901             :     case t_ELL_Q:
    6902           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    6903             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6904       16828 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    6905             :     default:
    6906           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    6907             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6908             :   }
    6909             : }
    6910             : 
    6911             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    6912             : static GEN
    6913       22568 : ellfromj_simple(GEN j)
    6914             : {
    6915       22568 :   pari_sp av = avma;
    6916       22568 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    6917       22568 :   GEN E = zerovec(5);
    6918       22568 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    6919       22568 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    6920             : }
    6921             : GEN
    6922       33845 : ellfromj(GEN j)
    6923             : {
    6924       33845 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    6925             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    6926       33845 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    6927             :   {
    6928             :     case 2:
    6929        3549 :       if (gequal0(j))
    6930           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    6931             :       else
    6932        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    6933             :     case 3:
    6934        7637 :       if (gequal0(j))
    6935           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6936             :       else
    6937             :       {
    6938        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    6939        7630 :         pari_sp av = avma;
    6940        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    6941        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    6942        7630 :         return E;
    6943             :       }
    6944             :   }
    6945       22659 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    6946       22631 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6947       22568 :   return ellfromj_simple(j);
    6948             : }
    6949             : 
    6950             : /********************************************************************/
    6951             : /**                                                                **/
    6952             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    6953             : /**                                                                **/
    6954             : /********************************************************************/
    6955             : 
    6956             : int
    6957      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    6958             : {
    6959      164703 :   pari_sp av = avma;
    6960             :   int res;
    6961             : 
    6962      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    6963         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    6964         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    6965         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6966      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    6967      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    6968      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    6969      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    6970      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6971             :   } else {
    6972           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    6973             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6974             :   }
    6975      164696 :   set_avma(av);
    6976      164696 :   return res;
    6977             : }
    6978             : 
    6979             : int
    6980      164913 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    6981             : {
    6982             :   pari_sp av;
    6983             :   GEN j;
    6984      164913 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    6985       17010 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
    6986       16996 :   j = ell_get_j(E);
    6987       16996 :   switch(ell_get_type(E))
    6988             :   {
    6989             :   case t_ELL_Fp:
    6990             :   case t_ELL_Fq:
    6991       16800 :     return elljissupersingular(j);
    6992             :   case t_ELL_Qp:
    6993             :   case t_ELL_Q:
    6994          56 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    6995          21 :     av = avma;
    6996          21 :     return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
    6997             :   case t_ELL_NF:
    6998             :     {
    6999         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    7000             :       int res;
    7001         140 :       av = avma;
    7002         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    7003         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    7004             :       {
    7005          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    7006           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7007             :       }
    7008             :       else
    7009         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7010         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    7011         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    7012          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7013             :       else
    7014          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7015         126 :       return gc_bool(av, res);
    7016             :     }
    7017             :   default:
    7018           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    7019             :   }
    7020             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7021             : }
    7022             : 
    7023             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7024             : static GEN
    7025        5642 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    7026             : {
    7027             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    7028        5642 :   if (n==0) return pol_0(v);
    7029        5642 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    7030        1204 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    7031        1204 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    7032        1204 :   if (n==3)
    7033         665 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    7034             :   else
    7035             :   {
    7036         539 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    7037         539 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    7038         539 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    7039             :   }
    7040        1204 :   setvarn(res, v); return res;
    7041             : }
    7042             : 
    7043             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    7044             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7045             : static GEN
    7046        4207 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    7047             : {
    7048             :   GEN ret;
    7049        4207 :   long m = n/2;
    7050        4207 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    7051        2478 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    7052         728 :   else if (odd(n))
    7053             :   {
    7054         441 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7055             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    7056         441 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    7057             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    7058         441 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    7059         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    7060             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    7061         336 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    7062             :   }
    7063             :   else
    7064             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    7065         287 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7066             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    7067         287 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    7068             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    7069         287 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    7070             :   }
    7071        2478 :   gel(t,n) = ret;
    7072        2478 :   return ret;
    7073             : }
    7074             : 
    7075             : GEN
    7076        4102 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    7077             : {
    7078        4102 :   pari_sp av = avma;
    7079             :   GEN f, D, N;
    7080        4102 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7081        4102 :   if (v==-1) v = 0;
    7082        4102 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7083        4102 :   N = characteristic(D);
    7084        4102 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7085        4102 :   if (n<0) n = -n;
    7086        4102 :   if (n==1 || n==3)
    7087         196 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7088             :   else
    7089             :   {
    7090        3906 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7091        3906 :     setvarn(d2,v);
    7092        3906 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7093        3906 :     if (n <= 4)
    7094        3696 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7095             :     else
    7096         210 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    7097        3906 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    7098             :   }
    7099        4102 :   return gerepilecopy(av, f);
    7100             : }
    7101             : 
    7102             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    7103             : GEN
    7104         413 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    7105             : {
    7106         413 :   pari_sp av = avma;
    7107             :   GEN d2, D, N, A, B;
    7108         413 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7109         413 :   if (v==-1) v = 0;
    7110         413 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7111         413 :   N = characteristic(D);
    7112         413 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7113         413 :   if (n < 0) n = -n;
    7114         413 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7115         413 :   setvarn(d2,v);
    7116         413 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7117         413 :   if (n == 0)
    7118             :   {
    7119          21 :     A = pol_0(v);
    7120          21 :     B = pol_0(v);
    7121             :   }
    7122         392 :   else if (n == 1)
    7123             :   {
    7124           7 :     A = pol_1(v);
    7125           7 :     B = pol_x(v);
    7126             :   }
    7127         385 :   else if (n == 2)
    7128             :   {
    7129         119 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    7130         119 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    7131         119 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    7132         119 :     A = d2;
    7133             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    7134         119 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    7135         119 :     setvarn(B,v);
    7136             :   }
    7137             :   else
    7138             :   {
    7139         266 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7140         266 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7141         266 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7142         266 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7143         266 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7144         266 :     if (!odd(n))
    7145           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7146             :     else
    7147         259 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7148             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7149         266 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7150             :   }
    7151         413 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7152             : }

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