Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ELLIPTIC CURVES **/
17 : /** **/
18 : /********************************************************************/
19 : #include "pari.h"
20 : #include "paripriv.h"
21 : #undef coordch
22 :
23 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
24 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
25 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
26 : */
27 :
28 : static ulong
29 438616 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
30 438616 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
31 : static void
32 438196 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
33 : {
34 438196 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
35 438196 : *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
36 438196 : }
37 : static GEN
38 2716794 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
39 2716794 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
40 : static void
41 2716794 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
42 : {
43 2716794 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
44 2716793 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
45 2716796 : }
46 : static GEN
47 135156 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
48 135156 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
49 : static void
50 135156 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
51 : {
52 135156 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
53 135156 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
54 135156 : }
55 : static void
56 2716651 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
57 : {
58 2716651 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
59 2716651 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
60 2716648 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
61 2716648 : }
62 : static void
63 438196 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
64 : {
65 438196 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
66 438196 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
67 438196 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 438196 : }
69 :
70 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
71 : static GEN
72 22012 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
73 : {
74 22012 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
75 22014 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
76 22011 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
77 22012 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
78 : }
79 : static GEN
80 420 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
81 : {
82 420 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
83 420 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
84 420 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
85 420 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
86 : }
87 :
88 : static GEN
89 22015 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
90 : {
91 : GEN A4, A6;
92 22015 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
93 22012 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
94 : }
95 : GEN
96 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
97 : {
98 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
99 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
100 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
101 : }
102 : GEN
103 420 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
104 : {
105 420 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
106 420 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
107 420 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
108 : }
109 :
110 : void
111 244494 : checkellpt(GEN z)
112 : {
113 244494 : if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
114 244488 : switch(lg(z))
115 : {
116 244082 : case 3: break;
117 406 : case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
118 : /* fall through */
119 0 : default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
120 : }
121 244488 : }
122 : void
123 71890 : checkell5(GEN E)
124 : {
125 71890 : long l = lg(E);
126 71890 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
127 71890 : }
128 : void
129 3999338 : checkell(GEN E)
130 3999338 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
131 : void
132 2212 : checkellisog(GEN v)
133 2212 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
134 :
135 : void
136 4641 : checkell_Q(GEN E)
137 : {
138 4641 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
139 0 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
140 4641 : }
141 :
142 : void
143 0 : checkell_Qp(GEN E)
144 : {
145 0 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
146 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
147 0 : }
148 :
149 : static int
150 527553 : ell_over_Fq(GEN E)
151 : {
152 527553 : long t = ell_get_type(E);
153 527554 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
154 : }
155 :
156 : void
157 274428 : checkell_Fq(GEN E)
158 : {
159 274428 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
160 7 : pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
161 274421 : }
162 :
163 : GEN
164 179804 : ellff_get_p(GEN E)
165 : {
166 179804 : GEN fg = ellff_get_field(E);
167 179804 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
168 : }
169 :
170 : int
171 301 : ell_is_integral(GEN E)
172 : {
173 602 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
174 259 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
175 245 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
176 245 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
177 546 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
178 : }
179 :
180 : static void
181 72226 : checkcoordch(GEN z)
182 72226 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
183 :
184 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
185 : GEN
186 3172 : ec_bmodel(GEN e)
187 : {
188 3172 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
189 3172 : return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
190 : }
191 :
192 : static int
193 633 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
194 :
195 : static GEN
196 673 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
197 : {
198 : GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
199 673 : long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
200 : START:
201 687 : R = roots(ec_bmodel(e), prec);
202 687 : if (s > 0)
203 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
204 211 : R = real_i(R);
205 211 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
206 211 : e1 = gel(R,1);
207 211 : e2 = gel(R,2);
208 211 : e3 = gel(R,3);
209 211 : d3 = subrr(e1,e2);
210 211 : d1 = subrr(e2,e3);
211 211 : d2 = subrr(e1,e3);
212 211 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
213 : {
214 14 : prec = precdbl(prec);
215 14 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
216 14 : goto START;
217 : }
218 : } else {
219 476 : e1 = gel(R,1);
220 476 : e2 = gel(R,2);
221 476 : e3 = gel(R,3);
222 476 : if (s < 0)
223 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
224 462 : e1 = real_i(e1);
225 462 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
226 : }
227 476 : d3 = gsub(e1,e2);
228 476 : d1 = gsub(e2,e3);
229 476 : d2 = gsub(e1,e3);
230 : }
231 673 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
232 : }
233 : static GEN
234 973 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
235 :
236 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
237 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
238 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
239 : GEN
240 753431 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
241 : {
242 753431 : pari_sp av = avma;
243 : GEN z;
244 753431 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
245 753431 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
246 753431 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
247 753431 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
248 : }
249 :
250 : /* a1 x + a3 */
251 : GEN
252 763539 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
253 : {
254 763539 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
255 763539 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
256 763539 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
257 : }
258 : static GEN
259 1170253 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
260 : {
261 1170253 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
262 1170253 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
263 1170253 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
264 : }
265 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
266 : static GEN
267 2982 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
268 : {
269 2982 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
270 2982 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
271 : }
272 :
273 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
274 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
275 : * which is the derivative of the curve equation
276 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
277 : * wrt x evaluated at Q */
278 : GEN
279 1351 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
280 : {
281 1351 : pari_sp av = avma;
282 1351 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
283 1351 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
284 1351 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
285 1351 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
286 1351 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
287 1351 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
288 : }
289 :
290 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
291 : GEN
292 5411 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
293 : {
294 5411 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
295 5411 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
296 : }
297 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
298 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
299 : * which is the derivative of the curve equation
300 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
301 : * wrt y evaluated at Q */
302 : GEN
303 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
304 : {
305 532 : pari_sp av = avma;
306 532 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
307 : }
308 :
309 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
310 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
311 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
312 : GEN
313 1449 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
314 : {
315 1449 : pari_sp av = avma;
316 1449 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
317 1449 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
318 1449 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
319 1449 : GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
320 1449 : GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
321 1449 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
322 : }
323 :
324 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
325 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
326 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
327 : GEN
328 1253 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
329 : {
330 1253 : pari_sp av = avma;
331 1253 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
332 1253 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
333 1253 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
334 1253 : return gerepileupto(av, res);
335 : }
336 :
337 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
338 : GEN
339 1533 : ellbasechar(GEN E)
340 : {
341 1533 : pari_sp av = avma;
342 1533 : GEN D = ell_get_disc(E);
343 1533 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
344 : }
345 :
346 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
347 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
348 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
349 : * component y[16])*/
350 : static GEN
351 673598 : initsmall(GEN x, long n)
352 : {
353 : GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
354 673598 : GEN y = obj_init(15, n);
355 673600 : switch(lg(x))
356 : {
357 : case 1:
358 : case 2:
359 : case 4:
360 : case 5:
361 7 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
362 0 : return NULL; break; /* not reached */
363 : case 3:
364 13909 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
365 13909 : a4 = gel(x,1);
366 13909 : a6 = gel(x,2);
367 13909 : b2 = gen_0;
368 13909 : b4 = gmul2n(a4,1);
369 13909 : b6 = gmul2n(a6,2);
370 13909 : b8 = gneg(gsqr(a4));
371 13909 : c4 = gmulgs(a4,-48);
372 13909 : c6 = gmulgs(a6,-864);
373 13909 : D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
374 13909 : break;
375 : default: /* l > 5 */
376 : { GEN a11, a13, a33, b22;
377 659684 : a1 = gel(x,1);
378 659684 : a2 = gel(x,2);
379 659684 : a3 = gel(x,3);
380 659684 : a4 = gel(x,4);
381 659684 : a6 = gel(x,5);
382 659684 : a11= gsqr(a1);
383 659682 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
384 659682 : a13= gmul(a1, a3);
385 659680 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
386 659682 : a33= gsqr(a3);
387 659681 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
388 659680 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
389 659683 : b22= gsqr(b2);
390 659684 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
391 659684 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
392 659684 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
393 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
394 659682 : break;
395 : }
396 : }
397 673591 : gel(y,1) = a1;
398 673591 : gel(y,2) = a2;
399 673591 : gel(y,3) = a3;
400 673591 : gel(y,4) = a4;
401 673591 : gel(y,5) = a6;
402 673591 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
403 673591 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
404 673591 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
405 673591 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
406 673591 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
407 673591 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
408 673591 : gel(y,12)= D;
409 673591 : if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
410 :
411 665632 : if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
412 329 : { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
413 329 : GEN g = RgX_gcd(D, c4);
414 329 : if (degpol(g) == 0)
415 287 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
416 : else
417 : {
418 42 : GEN d, c = RgX_div(c4, g);
419 42 : D = RgX_div(D, g);
420 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
421 42 : if (degpol(g) == 0)
422 7 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
423 : else
424 : {
425 35 : D = RgX_div(D, g);
426 35 : d = RgX_div(c4, g);
427 35 : g = RgX_gcd(D,c4);
428 35 : if (degpol(g))
429 : {
430 14 : D = RgX_div(D, g);
431 14 : c4 = RgX_div(c4, g);
432 : }
433 35 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
434 : }
435 : }
436 : }
437 : else
438 665303 : j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
439 665633 : gel(y,13) = j;
440 665633 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
441 : }
442 :
443 : void
444 0 : ellprint(GEN e)
445 : {
446 0 : pari_sp av = avma;
447 : long vx, vy;
448 : GEN z;
449 0 : checkell5(e);
450 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
451 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
452 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
453 0 : (void)delete_var();
454 0 : (void)delete_var(); avma = av;
455 0 : }
456 :
457 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
458 : static GEN
459 70 : doellR_ab(GEN E, long prec)
460 : {
461 70 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
462 70 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
463 :
464 70 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
465 70 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
466 56 : b = mulrr(d3,d2);
467 : else
468 14 : b = cxnorm(d3);
469 70 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
470 70 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
471 70 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
472 70 : return mkvec2(a, b);
473 : }
474 : GEN
475 973 : ellR_ab(GEN E, long prec)
476 973 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
477 :
478 : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
479 : * Let (A_n, B_n) be defined by A_1 = a1/p^v, B_1 = b1/p^v, v=v(a1)=v(a2);
480 : * A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
481 : * B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = square root of A_n B_n congruent to B_n
482 : * R_n = p^v( A_n - B_n ) = r_{n+1}
483 : * Return [An,Bn,Rn]. N.B. lim An = M2(a1,b1) = M(sqrt(a1),sqrt(b1))^2 */
484 : static GEN
485 210 : Qp_agm2_sequence(GEN a1, GEN b1)
486 : {
487 210 : GEN bp, pmod, p = gel(a1,2), q = gel(a1,3), An, Bn, Rn;
488 210 : long pp = precp(a1), v = valp(a1), i;
489 210 : int pis2 = absequaliu(p,2);
490 210 : a1 = gel(a1,4);
491 210 : b1 = gel(b1,4);
492 210 : if (pis2)
493 154 : pmod = utoipos(8);
494 : else
495 56 : pmod = p;
496 210 : bp = modii(b1, pmod);
497 210 : An = cgetg(pp+1, t_VEC); /* overestimate: rather log_2(pp) */
498 210 : Bn = cgetg(pp+1, t_VEC);
499 210 : Rn = cgetg(pp+1, t_VEC);
500 714 : for(i = 1;; i++)
501 : {
502 714 : GEN a = a1, b = b1, r;
503 : long vr;
504 714 : gel(An, i) = a;
505 714 : gel(Bn, i) = b;
506 714 : r = subii(a,b);
507 924 : if (!signe(r)) break;
508 532 : vr = Z_pvalrem(r,p,&r);
509 532 : if (vr >= pp) break;
510 504 : r = cvtop(r, p, pp - vr); setvalp(r, vr+v);
511 504 : gel(Rn, i) = r;
512 :
513 504 : b1 = Zp_sqrt(Fp_mul(a,b,q), p, pp);
514 504 : if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
515 504 : if (!equalii(modii(b1,pmod), bp)) b1 = Fp_neg(b1, q);
516 : /* a1 = (a+b+2sqrt(ab))/4 */
517 504 : if (pis2)
518 : {
519 343 : b1 = remi2n(b1, pp-1);
520 343 : a1 = shifti(addii(addii(a,b), shifti(b1,1)),-2);
521 343 : a1 = remi2n(a1, pp-2);
522 343 : pp -= 2;
523 : }
524 : else
525 161 : a1 = modii(Fp_halve(addii(Fp_halve(addii(a,b),q), b1), q), q);
526 504 : }
527 210 : setlg(An,i+1);
528 210 : setlg(Bn,i+1);
529 210 : setlg(Rn,i); return mkvec4(An, Bn, Rn, stoi(v));
530 : }
531 : static void
532 301 : Qp_descending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
533 : {
534 301 : GEN R = gel(AB,3);
535 301 : long i, n = lg(R)-1;
536 301 : GEN x = *ptx;
537 301 : if (isintzero(x))
538 : {
539 210 : i = 2;
540 210 : x = gmul2n(gel(R,1),-2);
541 210 : if (pty)
542 : {
543 0 : GEN A = gel(AB,1);
544 0 : if (n == 1)
545 0 : *pty = gmul(x, Qp_sqrt(gadd(x,gel(A,2))));
546 : else
547 0 : *pty = Qp_sqrt(gmul(gmul(x, gadd(x,gel(A,2))), gadd(x,gel(R,2))));
548 0 : if (!*pty) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
549 : }
550 : }
551 : else
552 91 : i = 1;
553 833 : for (; i <= n; i++)
554 : {
555 532 : GEN r = gel(R,i), t;
556 532 : if (gequal0(x)) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
557 532 : t = Qp_sqrt(gaddsg(1, gdiv(r,x))); /* = 1 (mod p) */
558 532 : if (!t) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
559 532 : if (i == n)
560 : {
561 259 : GEN p = gel(r,2);
562 259 : long v, vx = valp(x), vr = valp(r);
563 259 : if (vx >= vr) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
564 : /* last loop, take into account loss of accuracy from multiplication
565 : * by \prod_{j > n} sqrt(1+r_j/x_j); since vx < vr, j = n+1 is enough */
566 259 : v = 2*vr - vx;
567 : /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| + 1 bit for sqrt loss */
568 259 : if (absequaliu(p,2)) v -= 4;
569 : /* tail is 1 + O(p^v) */
570 259 : if (v < precp(x)) x = cvtop(x,p,v);
571 : }
572 : /* x_{n+1} = x_n ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
573 532 : x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,t),-1)));
574 : /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
575 532 : if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r,gmul2n(x,2)))));
576 : }
577 301 : *ptx = x;
578 301 : }
579 : static void
580 56 : Qp_ascending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
581 : {
582 56 : GEN A = gel(AB,1), R = gel(AB,3), x = *ptx, p, r;
583 56 : long n = lg(R)-1, va = itos(gel(AB,4)), v, i;
584 :
585 56 : r = gel(R,n);
586 56 : v = 2*valp(r) + va;
587 56 : if (typ(x) == t_PADIC)
588 35 : v -= 2*valp(x);
589 : else
590 21 : v -= valp(gnorm(x)); /* v(x) = v(Nx) / (e*f), here ef = 2 */
591 56 : p = gel(r,2);
592 56 : if (absequaliu(p,2)) v -= 3; /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| */
593 : /* v = v(A[n+1] R[n+1] / x_{n+1}^2) */
594 56 : if (v <= 0) pari_err_PREC("Qp_ascending_Landen");
595 : /* v > 0 => v = v(x_oo) = ... = v(x_{n+1}) */
596 56 : x = gsub(x, gmul2n(r,-1));
597 56 : if (padicprec_relative(x) > v) x = gcvtop(x, p, v);
598 : /* x = x_n */
599 154 : for (i = n; i > 1; i--)
600 : {
601 98 : GEN ar = gmul(gel(A,i),gel(R,i)), xp;
602 98 : setvalp(ar, valp(ar)+va); /* A_i = A[i] * p^va */
603 : /* x_{i-1} = x_i + a_i r_i / x_i - r_{i-1}/2 */
604 98 : xp = gsub(gadd(x, gdiv(ar, x)), gmul2n(gel(R,i-1),-1));
605 : /* y_{i-1} = y_i (1 - a_i r_i / x^2) */
606 98 : if (pty) *pty = gmul(*pty, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x))));
607 98 : x = xp;
608 : }
609 56 : *ptx = x;
610 56 : }
611 :
612 : /* q a t_REAL*/
613 : static long
614 77 : real_prec(GEN q)
615 77 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
616 : /* q a t_PADIC */
617 : static long
618 119 : padic_prec(GEN q)
619 119 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
620 :
621 : /* check whether moduli are consistent */
622 : static void
623 97236 : chk_p(GEN p, GEN p2)
624 97236 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
625 :
626 : static int
627 36036 : fix_nftype(GEN *pp)
628 : {
629 36036 : switch(nftyp(*pp))
630 : {
631 36036 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
632 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
633 0 : default: return 0;
634 : }
635 36036 : return 1;
636 : }
637 : static long
638 707395 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
639 : {
640 707395 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
641 707395 : GEN p = NULL;
642 707395 : long t = t_FRAC;
643 707395 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
644 : {
645 : case t_INT:
646 490539 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
647 1918 : p = *pp;
648 1918 : t = t_INTMOD;
649 1918 : break;
650 : case t_INTMOD:
651 7 : p = gel(*pp, 1);
652 7 : break;
653 : case t_REAL:
654 21 : e = real_prec(*pp);
655 21 : p = NULL;
656 21 : break;
657 : case t_PADIC:
658 91 : ep = padic_prec(*pp);
659 91 : p = gel(*pp, 2);
660 91 : break;
661 : case t_FFELT:
662 16898 : p = *pp;
663 16898 : break;
664 : case t_VEC:
665 36036 : t = t_VEC; p = *pp;
666 36036 : if (fix_nftype(&p)) break;
667 : default:
668 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
669 0 : return 0;
670 : }
671 : /* Possible cases:
672 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
673 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
674 : * t = t_INTMOD (p a prime)
675 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
676 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
677 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
678 4201828 : for (i = 1; i < imax; i++)
679 : {
680 3494616 : GEN p2, q = gel(x,i);
681 3494616 : switch(typ(q)) {
682 : case t_PADIC:
683 49 : p2 = gel(q,2);
684 49 : switch(t)
685 : {
686 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
687 14 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
688 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
689 : }
690 28 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
691 28 : break;
692 : case t_INTMOD:
693 121575 : p2 = gel(q,1);
694 121575 : switch(t)
695 : {
696 24352 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
697 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
698 97160 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
699 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
700 : }
701 121561 : break;
702 : case t_FFELT:
703 255743 : switch(t)
704 : {
705 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
706 95715 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
707 : case t_FFELT:
708 160020 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
709 160020 : break;
710 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
711 : }
712 255735 : break;
713 :
714 3116668 : case t_INT: case t_FRAC: break;
715 : case t_REAL:
716 56 : switch(t)
717 : {
718 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
719 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
720 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
721 : }
722 56 : break;
723 : case t_COL:
724 : case t_POL:
725 : case t_POLMOD:
726 518 : if (t == t_VEC) break;
727 : default: /* base ring too general */
728 133 : return t_COMPLEX;
729 : }
730 : }
731 707212 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
732 : }
733 :
734 : static GEN
735 140 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
736 : {
737 : GEN y;
738 : long s;
739 140 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
740 140 : s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
741 140 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
742 140 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
743 140 : return y;
744 : }
745 :
746 : static GEN
747 91 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
748 : {
749 : GEN y;
750 91 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
751 91 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
752 91 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
753 91 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
754 91 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
755 91 : return y;
756 : }
757 :
758 : static GEN
759 495425 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
760 : {
761 : GEN y;
762 : long s;
763 495425 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
764 495292 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
765 495292 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
766 495292 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
767 495292 : return y;
768 : }
769 :
770 : /* shallow basistoalg */
771 : static GEN
772 1257109 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
773 : {
774 1257109 : switch(typ(x))
775 : {
776 1256640 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
777 469 : default: return basistoalg(nf, x);
778 : }
779 : }
780 : static GEN
781 36043 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
782 : {
783 : long i, l;
784 36043 : GEN y = cgetg_copy(x,&l);
785 36043 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
786 36043 : return y;
787 : }
788 :
789 : static GEN
790 36036 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
791 : {
792 : GEN y, nf;
793 : long i;
794 36036 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
795 36036 : nf = checknf(p);
796 36036 : x = nfVtoalg(nf, x);
797 36036 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
798 36036 : for (i = 10; i < 14; i++) gel(y,i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(y,i));
799 36036 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
800 36036 : gel(y,15) = mkvec(p);
801 36036 : return y;
802 : }
803 :
804 : static GEN
805 29174 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
806 : {
807 : long i;
808 : GEN y, disc;
809 29174 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
810 24233 : if (abscmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
811 2744 : return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
812 21489 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
813 21502 : if (!signe(disc)) return NULL;
814 300750 : for(i=1;i<=13;i++)
815 279261 : gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
816 21489 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
817 21490 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
818 21488 : return y;
819 : }
820 :
821 : static GEN
822 112732 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
823 : {
824 : GEN y;
825 112732 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
826 109841 : return FF_ellinit(y,fg);
827 : }
828 :
829 : static GEN
830 2982 : ellnf_to_Fq(GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
831 : {
832 2982 : GEN nf = ellnf_get_nf(x), e = vecslice(x,1,5);
833 : GEN p, modP;
834 2982 : if (get_modpr(P))
835 : { /* modpr accept */
836 2807 : modP = P;
837 2807 : p = modpr_get_p(modP);
838 : }
839 : else
840 : { /* pr, initialize modpr */
841 175 : GEN d = Q_denom(e);
842 175 : p = pr_get_p(P);
843 175 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
844 : }
845 2982 : *pp = p;
846 2982 : *pT = modpr_get_T(modP);
847 2982 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
848 : }
849 : static GEN
850 2982 : ellinit_nf_to_Fq(GEN E, GEN P)
851 : {
852 : GEN T,p;
853 2982 : E = ellnf_to_Fq(E, P, &p, &T);
854 2982 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
855 : }
856 :
857 : GEN
858 672958 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
859 : {
860 672958 : pari_sp av = avma;
861 : GEN y;
862 672958 : switch(typ(x))
863 : {
864 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
865 : case t_VEC:
866 672951 : if (lg(x) > 6) checkell(x);
867 672955 : break;
868 0 : default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
869 : }
870 672960 : if (D && get_prid(D))
871 : {
872 2485 : if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
873 2485 : y = ellinit_nf_to_Fq(x, D);
874 2485 : goto END;
875 : }
876 670475 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
877 : {
878 : case t_PADIC:
879 91 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
880 91 : break;
881 : case t_INTMOD:
882 26247 : y = ellinit_Fp(x, D);
883 26246 : break;
884 : case t_FFELT:
885 112487 : y = ellinit_Fq(x, D);
886 112487 : break;
887 : case t_FRAC:
888 495425 : y = ellinit_Q(x, prec);
889 495418 : break;
890 : case t_REAL:
891 21 : y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
892 21 : break;
893 : case t_VEC:
894 36036 : y = ellinit_nf(x, D);
895 36036 : break;
896 : default:
897 119 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
898 : }
899 : END:
900 672903 : if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
901 664930 : return gerepilecopy(av,y);
902 : }
903 :
904 : /********************************************************************/
905 : /** **/
906 : /** COORDINATE CHANGE **/
907 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
908 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
909 : /** verbatim **/
910 : /** **/
911 : /********************************************************************/
912 : /* [1,0,0,0] */
913 : static GEN
914 3263785 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
915 : static int
916 456015 : is_trivial_change(GEN v)
917 : {
918 : GEN u, r, s, t;
919 456015 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
920 456015 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
921 456015 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
922 : }
923 :
924 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
925 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
926 : static void
927 462 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
928 : {
929 462 : GEN v = *vtotal;
930 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
931 :
932 924 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
933 448 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
934 448 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
935 448 : U2 = gsqr(U);
936 448 : gel(v,1) = gmul(U, u);
937 448 : gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
938 448 : gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
939 448 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
940 : }
941 :
942 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
943 : GEN
944 21 : ellchangeinvert(GEN w)
945 : {
946 : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
947 21 : if (typ(w) == t_INT) return w;
948 21 : u = gel(w,1);
949 21 : r = gel(w,2);
950 21 : s = gel(w,3);
951 21 : t = gel(w,4);
952 21 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
953 21 : U = ginv(u);
954 21 : R = gdiv(gneg(r), u2);
955 21 : S = gdiv(gneg(s), u);
956 21 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
957 21 : return mkvec4(U,R,S,T);
958 : }
959 :
960 : /* apply [u,0,0,0] */
961 : static GEN
962 223930 : coordch_u(GEN e, GEN u)
963 : {
964 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
965 : long lx;
966 223930 : if (gequal1(u)) return e;
967 223384 : y = cgetg_copy(e, &lx);
968 223384 : u = ginv(u); u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
969 223384 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
970 223384 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
971 223384 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
972 223384 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
973 223384 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
974 223384 : if (lx == 6) return y;
975 223384 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
976 223384 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
977 223384 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
978 223384 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
979 223384 : u12 = gsqr(u6);
980 223384 : D = ell_get_disc(e);
981 223384 : c4 = ell_get_c4(e);
982 223384 : c6 = ell_get_c6(e);
983 223384 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
984 : {
985 186893 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
986 186893 : c4 = nfmul(nf, c4, u4);
987 186893 : c6 = nfmul(nf, c6, u6);
988 186893 : D = nfmul(nf, D, u12);
989 : }
990 : else
991 : {
992 36491 : c4 = gmul(c4, u4);
993 36491 : c6 = gmul(c6, u6);
994 36491 : D = gmul(D, u12);
995 : }
996 223384 : gel(y,10)= c4;
997 223384 : gel(y,11)= c6;
998 223384 : gel(y,12)= D;
999 223384 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1000 223384 : gel(y,14)= gel(e,14);
1001 223384 : gel(y,15)= gel(e,15);
1002 223384 : gel(y,16)= gel(e,16);
1003 223384 : return y;
1004 : }
1005 : /* apply [1,r,0,0] */
1006 : static GEN
1007 875805 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1008 : {
1009 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1010 875805 : if (gequal0(r)) return e;
1011 748678 : y = leafcopy(e);
1012 748678 : a2 = ell_get_a2(e);
1013 748678 : rx3 = gmulsg(3,r);
1014 :
1015 : /* A2 = a2 + 3r */
1016 748678 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1017 : /* A3 = a1 r + a3 */
1018 748678 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1019 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1020 748678 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1021 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1022 748678 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1023 748678 : if (lg(y) == 6) return y;
1024 :
1025 748671 : b4 = ell_get_b4(e);
1026 748671 : b6 = ell_get_b6(e);
1027 : /* B2 = 12r + b2 */
1028 748671 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1029 748671 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1030 748671 : r2 = gsqr(r);
1031 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1032 748671 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1033 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1034 748671 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1035 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1036 748671 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1037 748671 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1038 748671 : return y;
1039 : }
1040 : /* apply [1,0,s,0] */
1041 : static GEN
1042 227199 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1043 : {
1044 : GEN a1, y;
1045 227199 : if (gequal0(s)) return e;
1046 227199 : a1 = ell_get_a1(e);
1047 227199 : y = leafcopy(e);
1048 :
1049 : /* A1 = a1 + 2s */
1050 227199 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1051 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1052 227199 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1053 : /* A4 = a4 - s a3 */
1054 227199 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1055 227199 : return y;
1056 : }
1057 : /* apply [1,0,0,t] */
1058 : static GEN
1059 594384 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1060 : {
1061 : GEN a1, a3, y;
1062 594384 : if (gequal0(t)) return e;
1063 524181 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1064 524181 : y = leafcopy(e);
1065 : /* A3 = 2t + a3 */
1066 524181 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1067 : /* A4 = a4 - a1 t */
1068 524181 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1069 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1070 524181 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1071 524181 : return y;
1072 : }
1073 : /* apply [1,0,s,t] */
1074 : static GEN
1075 359842 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1076 : {
1077 : GEN y, a1, a3;
1078 359842 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1079 258146 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1080 140168 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1081 140168 : y = leafcopy(e);
1082 : /* A1 = a1 + 2s */
1083 140168 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1084 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1085 140168 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1086 : /* A3 = 2t + a3 */
1087 140168 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1088 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1089 140168 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1090 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1091 140168 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1092 140168 : return y;
1093 : }
1094 : /* apply [1,r,0,t] */
1095 : static GEN
1096 169848 : coordch_rt(GEN e, GEN r, GEN t)
1097 : {
1098 169848 : e = coordch_r(e, r);
1099 169848 : return coordch_t(e, t);
1100 : }
1101 : /* apply [1,r,s,t] */
1102 : static GEN
1103 347613 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1104 : {
1105 347613 : e = coordch_r(e, r);
1106 347613 : return coordch_st(e, s, t);
1107 : }
1108 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1109 : static GEN
1110 72422 : coordch(GEN e, GEN w)
1111 : {
1112 72422 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1113 72422 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1114 72422 : return coordch_u(e, gel(w,1));
1115 : }
1116 :
1117 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1118 : * (dynamic data) */
1119 : static GEN
1120 7 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1121 : {
1122 7 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1123 7 : long prec = valp(p);
1124 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1125 7 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1126 : {
1127 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1128 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1129 : }
1130 7 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1131 : {
1132 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1133 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1134 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1135 7 : U = gmul(U, u);
1136 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1137 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1138 : }
1139 7 : return E;
1140 : }
1141 :
1142 : /* common to Q and Rg */
1143 : static GEN
1144 36764 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1145 : {
1146 36764 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1147 36764 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1148 28 : obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1149 36764 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1150 28 : obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
1151 36764 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1152 : {
1153 28 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1154 : long i;
1155 28 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1156 28 : obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
1157 : }
1158 36764 : return E;
1159 : }
1160 :
1161 : static GEN
1162 21 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1163 : {
1164 21 : GEN p = NULL;
1165 21 : long prec = ellR_get_prec(E);
1166 21 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1167 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1168 : }
1169 :
1170 : static GEN
1171 36764 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1172 : {
1173 36764 : long prec = ellR_get_prec(E);
1174 36764 : GEN S, v = NULL, p = NULL;
1175 36764 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1176 36757 : ch_R(E, e, w);
1177 36757 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1178 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1179 36757 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1180 : {
1181 875 : if (lg(S) == 2)
1182 : { /* model was minimal */
1183 7 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1184 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1185 7 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1186 : }
1187 : else
1188 : {
1189 868 : v = gel(S,2);
1190 868 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
1191 854 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1192 : else
1193 : {
1194 14 : w = ellchangeinvert(w);
1195 14 : gcomposev(&w, v); v = w;
1196 14 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1197 14 : gel(S,2) = v;
1198 : }
1199 868 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1200 : }
1201 : }
1202 36757 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1203 14 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1204 36757 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1205 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1206 36757 : return E;
1207 : }
1208 :
1209 : static void
1210 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1211 : {
1212 : GEN S;
1213 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1214 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1215 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1216 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1217 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1218 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1219 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1220 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1221 126 : }
1222 :
1223 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1224 : static GEN
1225 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1226 : {
1227 7 : long prec = 0;
1228 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1229 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1230 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1231 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1232 : }
1233 : static GEN
1234 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1235 : {
1236 119 : long prec = 0;
1237 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1238 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1239 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1240 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1241 : }
1242 :
1243 : static void
1244 71869 : ell_reset(GEN E)
1245 71869 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1246 :
1247 : GEN
1248 71890 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1249 : {
1250 71890 : pari_sp av = avma;
1251 : GEN E;
1252 71890 : checkell5(e);
1253 71890 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1254 71883 : checkcoordch(w);
1255 71883 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1256 71883 : if (lg(E) != 6)
1257 : {
1258 71869 : ell_reset(E);
1259 71869 : switch(ell_get_type(E))
1260 : {
1261 7 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1262 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1263 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1264 35917 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1265 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1266 : }
1267 : }
1268 71883 : return gerepilecopy(av, E);
1269 : }
1270 :
1271 : /* v o= [1,r,0,0] */
1272 : static void
1273 161749 : E_gcompose_r(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1274 : {
1275 161749 : GEN v = *vtotal;
1276 : GEN U2, R, S, T;
1277 323498 : if (gequal0(r)) return;
1278 94647 : *e = coordch_r(*e,r);
1279 94647 : U2 = gsqr(gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1280 94647 : gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
1281 94647 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gmul(S, r)));
1282 : }
1283 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1284 : static void
1285 109221 : E_gcompose_s(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1286 : {
1287 109221 : GEN v = *vtotal;
1288 : GEN U, S;
1289 109221 : *e = coordch_s(*e,s);
1290 109221 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1291 109221 : gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
1292 109221 : }
1293 : /* v o= [1,0,0,t] */
1294 : static void
1295 250110 : E_gcompose_t(GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1296 : {
1297 250110 : GEN v = *vtotal;
1298 : GEN U3, U, T;
1299 500220 : if (gequal0(t)) return;
1300 79387 : *e = coordch_t(*e,t);
1301 79387 : U = gel(v,1); U3 = gmul(U, gsqr(U)); T = gel(v,4);
1302 79387 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
1303 : }
1304 : /* v o= [1,r,0,t] */
1305 : static void
1306 248395 : E_gcompose_rt(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1307 : {
1308 248395 : GEN v = *vtotal;
1309 : GEN U2, U, R, S, T;
1310 496790 : if (gequal0(t)) { E_gcompose_r(vtotal, e, r); return; }
1311 169848 : *e = coordch_rt(*e,r,t);
1312 169848 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1313 169848 : U2 = gsqr(U);
1314 169848 : gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
1315 169848 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
1316 : }
1317 : /* v o= [1,0,s,t] */
1318 : static void
1319 181937 : E_gcompose_st(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1320 : {
1321 181937 : GEN v = *vtotal;
1322 : GEN U3, U, S, T;
1323 181937 : if (gequal0(s)) { E_gcompose_t(vtotal, e, t); return; }
1324 121450 : if (gequal0(t)) { E_gcompose_s(vtotal, e, s); return; }
1325 12229 : *e = coordch_st(*e,s,t);
1326 12229 : U = gel(v,1); U3 = gmul(U,gsqr(U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1327 12229 : gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
1328 12229 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
1329 : }
1330 : /* v o= [u,0,0,0] */
1331 : static void
1332 151039 : E_gcompose_u(GEN *vtotal, GEN *e, GEN u)
1333 : {
1334 151039 : GEN v = *vtotal;
1335 151039 : *e = coordch_u(*e,u); gel(v,1) = gmul(gel(v,1), u);
1336 151039 : }
1337 :
1338 : /* X = (x-r)/u^2
1339 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1340 : static GEN
1341 280 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1342 : {
1343 : GEN a, x, y;
1344 280 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1345 266 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1346 266 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1347 : }
1348 :
1349 : GEN
1350 280 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1351 : {
1352 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1353 280 : long tx, i, lx = lg(x);
1354 280 : pari_sp av = avma;
1355 :
1356 280 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1357 280 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1358 280 : checkcoordch(ch);
1359 280 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1360 280 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1361 280 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1362 280 : tx = typ(gel(x,1));
1363 280 : if (is_matvec_t(tx))
1364 : {
1365 21 : y = cgetg(lx,tx);
1366 42 : for (i=1; i<lx; i++)
1367 21 : gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1368 : }
1369 : else
1370 259 : y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
1371 280 : return gerepilecopy(av,y);
1372 : }
1373 :
1374 : /* x = u^2*X + r
1375 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1376 : static GEN
1377 63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1378 : {
1379 : GEN a, X, Y;
1380 63 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1381 63 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1382 63 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1383 : }
1384 : GEN
1385 63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1386 : {
1387 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1388 63 : long tx, i, lx = lg(x);
1389 63 : pari_sp av = avma;
1390 :
1391 63 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1392 63 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1393 63 : checkcoordch(ch);
1394 63 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1395 63 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1396 63 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1397 63 : tx = typ(gel(x,1));
1398 63 : if (is_matvec_t(tx))
1399 : {
1400 7 : y = cgetg(lx,tx);
1401 14 : for (i=1; i<lx; i++)
1402 7 : gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1403 : }
1404 : else
1405 56 : y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
1406 63 : return gerepilecopy(av,y);
1407 : }
1408 :
1409 : GEN
1410 28364 : elltwist(GEN E, GEN P)
1411 : {
1412 28364 : pari_sp av = avma;
1413 : GEN a1, a2, a3, a4, a6;
1414 : GEN a, b, c, ac, D, D2;
1415 : GEN V;
1416 28364 : checkell(E);
1417 28364 : if (!P)
1418 : {
1419 : GEN a4, a6;
1420 27188 : checkell_Fq(E);
1421 27188 : switch (ell_get_type(E))
1422 : {
1423 : case t_ELL_Fp:
1424 : {
1425 0 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
1426 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
1427 27188 : return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
1428 : }
1429 : case t_ELL_Fq:
1430 27188 : return FF_elltwist(E);
1431 : }
1432 : }
1433 1176 : a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
1434 1176 : a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
1435 1176 : if (typ(P) == t_INT)
1436 : {
1437 1162 : if (equali1(P))
1438 182 : retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
1439 980 : P = quadpoly(P);
1440 : } else
1441 : {
1442 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1443 14 : if (degpol(P) != 2 )
1444 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1445 : }
1446 994 : a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
1447 994 : ac = gmul(a, c);
1448 994 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
1449 994 : D2 = gsqr(D);
1450 994 : V = cgetg(6, t_VEC);
1451 994 : gel(V, 1) = gmul(a1, b);
1452 994 : gel(V, 2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1453 994 : gel(V, 3) = gmul(gmul(a3, b), D);
1454 994 : gel(V, 4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
1455 994 : gel(V, 5) = gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
1456 994 : return gerepilecopy(av, V);
1457 : }
1458 :
1459 : /********************************************************************/
1460 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1461 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1462 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1463 : /********************************************************************/
1464 :
1465 : static long
1466 2576 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1467 2576 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1468 :
1469 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1470 : * ellminimalmodel / get_u; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1471 : * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1472 : * Good case if reduction in get_u i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1473 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1474 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1475 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1476 : * After rescaling in get_u (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1477 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1478 : static long
1479 364 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1480 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1481 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1482 : long v4, v6, vD;
1483 :
1484 364 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1485 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1486 :
1487 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1488 308 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1489 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1490 301 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1491 :
1492 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1493 301 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1494 :
1495 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1496 238 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1497 168 : vD = vali(disc);
1498 168 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1499 161 : return -8;
1500 : }
1501 :
1502 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
1503 : It also has minimal conductor in Z[1/2]
1504 : */
1505 : GEN
1506 497 : ellminimaltwist(GEN e)
1507 : {
1508 497 : pari_sp av = avma;
1509 497 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1510 : long i, lF;
1511 497 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1512 497 : c4 = ell_get_c4(E);
1513 497 : c6 = ell_get_c6(E);
1514 497 : disc = ell_get_disc(E);
1515 497 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1516 497 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1517 497 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1518 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1519 : * then apply get_u(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3 and
1520 : * v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1521 1995 : for(i = 1; i < lF; i++)
1522 : {
1523 1498 : GEN p = gel(F, i);
1524 1498 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1525 1498 : if (vg < 6) continue;
1526 : /* twist by fund. discriminant d2; in get_u, we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1527 1092 : switch(itou_or_0(p))
1528 : {
1529 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1530 434 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1531 434 : break;
1532 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1533 294 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1534 294 : break;
1535 : case 2:
1536 364 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1537 364 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1538 364 : break;
1539 : }
1540 : }
1541 497 : obj_free(E);
1542 497 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1543 : }
1544 :
1545 : /*
1546 : Reference:
1547 : William A. Stein and Mark Watkins
1548 : A Database of Elliptic Curves-First Report
1549 : ANTS 5
1550 : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
1551 : */
1552 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1553 : GEN
1554 231 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1555 : {
1556 231 : pari_sp av = avma;
1557 231 : GEN D = ellminimaltwist(e);
1558 231 : GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
1559 231 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1560 231 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1561 231 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1562 217 : else if (f==6)
1563 : {
1564 14 : if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
1565 : else
1566 : {
1567 7 : long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
1568 7 : D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
1569 : }
1570 : }
1571 231 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1572 : }
1573 :
1574 : GEN
1575 441 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1576 : {
1577 441 : switch(flag)
1578 : {
1579 : case 0:
1580 266 : return ellminimaltwist(e);
1581 : case 1:
1582 175 : return ellminimaltwistcond(e);
1583 : }
1584 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1585 0 : return NULL; /* NOT REACHED */
1586 : }
1587 :
1588 : static long
1589 7 : ellexpo(GEN E)
1590 : {
1591 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1592 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1593 : {
1594 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1595 35 : if (f > e) e = f;
1596 : }
1597 7 : return e;
1598 : }
1599 :
1600 : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
1601 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1602 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1603 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1604 : int
1605 3059 : oncurve(GEN e, GEN z)
1606 : {
1607 : GEN LHS, RHS, x;
1608 : long pl, pr, ex, expx;
1609 : pari_sp av;
1610 :
1611 3059 : checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1612 2982 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1613 2982 : av = avma;
1614 2982 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1615 2982 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1616 2982 : if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
1617 21 : pl = precision(LHS);
1618 21 : pr = precision(RHS);
1619 21 : if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
1620 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1621 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1622 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
1623 7 : expx = gexpo(x);
1624 13 : pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
1625 7 : || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
1626 7 : avma = av; return pr;
1627 : }
1628 :
1629 : GEN
1630 4193 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1631 : {
1632 4193 : long i, tx = typ(x), lx;
1633 :
1634 4193 : checkell(e);
1635 4193 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1636 4193 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1637 4193 : tx = typ(gel(x,1));
1638 4193 : if (is_vec_t(tx))
1639 : {
1640 1687 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1641 1687 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1642 1687 : return z;
1643 : }
1644 2506 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1645 : }
1646 :
1647 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1648 : static GEN
1649 1799 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
1650 : {
1651 : GEN dy,dx;
1652 1799 : if (y1 != y2)
1653 : {
1654 : int eq;
1655 245 : if (precision(y1) || precision(y2))
1656 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1657 : else
1658 238 : eq = gequal(y1,y2);
1659 245 : if (!eq) return NULL;
1660 : }
1661 1792 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
1662 1792 : if (gequal0(dx)) return NULL;
1663 1757 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1664 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
1665 1757 : return gdiv(dy,dx);
1666 : }
1667 : static GEN
1668 3283 : get_slope(GEN e, GEN x1, GEN x2, GEN y1, GEN y2)
1669 : {
1670 : GEN dy,dx;
1671 3283 : if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
1672 1799 : return slope_samex(e, x1, y1, y2);
1673 1484 : dx = gsub(x2,x1);
1674 1484 : if (typ(dx) == t_COMPLEX) /* its Norm may be 0 */
1675 : {
1676 0 : GEN N = gnorm(dx);
1677 0 : if (gequal0(N)) return slope_samex(e,x1,y1,y2);
1678 0 : dy = gsub(y2,y1);
1679 0 : return gdiv(gmul(dy,gconj(dx)),N); /* dy/dx */
1680 : }
1681 1484 : dy = gsub(y2,y1);
1682 1484 : return gdiv(dy,dx);
1683 : }
1684 :
1685 : GEN
1686 3458 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1687 : {
1688 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
1689 3458 : pari_sp av = avma;
1690 :
1691 3458 : checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
1692 3458 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1693 3283 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1694 :
1695 3283 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1696 3283 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1697 3283 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1698 : {
1699 462 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1700 462 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1701 462 : x2 = nftoalg(nf, x2);
1702 462 : y1 = nftoalg(nf, y1);
1703 462 : y2 = nftoalg(nf, y2);
1704 : }
1705 3283 : s = get_slope(e,x1,x2,y1,y2);
1706 3283 : if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
1707 3241 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1708 3241 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
1709 3241 : z = cgetg(3,t_VEC);
1710 3241 : gel(z,1) = gcopy(x);
1711 3241 : gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
1712 : }
1713 :
1714 : static GEN
1715 49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1716 : {
1717 : GEN t, x, y;
1718 49 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1719 49 : x = gel(z,1);
1720 49 : y = gel(z,2);
1721 49 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1722 : {
1723 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1724 0 : x = nftoalg(nf,x);
1725 0 : y = nftoalg(nf,y);
1726 : }
1727 49 : t = cgetg(3,t_VEC);
1728 49 : gel(t,1) = x;
1729 49 : gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
1730 49 : return t;
1731 : }
1732 :
1733 : GEN
1734 357 : ellneg(GEN e, GEN z)
1735 : {
1736 : pari_sp av;
1737 : GEN t, y;
1738 357 : checkell(e); checkellpt(z);
1739 357 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1740 357 : t = cgetg(3,t_VEC);
1741 357 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
1742 357 : av = avma;
1743 357 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
1744 357 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
1745 357 : return t;
1746 : }
1747 :
1748 : GEN
1749 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1750 : {
1751 49 : pari_sp av = avma;
1752 49 : checkell(e); checkellpt(z2);
1753 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
1754 : }
1755 :
1756 : /* E an ell, x a scalar */
1757 : static GEN
1758 1729 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
1759 : {
1760 1729 : pari_sp av = avma;
1761 1729 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
1762 :
1763 1729 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1764 : {
1765 343 : nf = ellnf_get_nf(E);
1766 343 : x = nftoalg(nf,x);
1767 : }
1768 1729 : a = ec_f_evalx(E,x);
1769 1729 : b = ec_h_evalx(E,x);
1770 1729 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
1771 : /* solve y*(y+b) = a */
1772 1729 : if (gequal0(D)) {
1773 441 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1774 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
1775 441 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
1776 441 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
1777 441 : return gerepileupto(av,y);
1778 : }
1779 : /* D != 0 */
1780 1288 : switch(ell_get_type(E))
1781 : {
1782 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
1783 28 : p = ellff_get_p(E);
1784 28 : D = gel(D,2);
1785 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1786 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
1787 7 : break;
1788 : case t_ELL_Fq:
1789 210 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
1790 : {
1791 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
1792 77 : if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1793 42 : return gerepileupto(av, F);
1794 : }
1795 133 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1796 63 : break;
1797 : case t_ELL_Q:
1798 686 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
1799 679 : if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1800 441 : break;
1801 :
1802 : case t_ELL_NF:
1803 : {
1804 343 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
1805 343 : setvarn(T, fetch_var_higher());
1806 343 : d = nfroots(nf, T);
1807 343 : delete_var();
1808 343 : if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
1809 329 : d = gel(d,1);
1810 329 : break;
1811 : }
1812 :
1813 : case t_ELL_Qp:
1814 14 : p = ellQp_get_p(E);
1815 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
1816 14 : if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1817 14 : d = Qp_sqrt(D);
1818 14 : break;
1819 :
1820 : default:
1821 7 : d = gsqrt(D,prec);
1822 : }
1823 868 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
1824 868 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
1825 868 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
1826 868 : return gerepileupto(av,y);
1827 : }
1828 :
1829 : GEN
1830 1729 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
1831 : {
1832 1729 : checkell(e);
1833 1729 : if (is_matvec_t(typ(x)))
1834 : {
1835 : long i, lx;
1836 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
1837 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
1838 0 : return v;
1839 : }
1840 1729 : return ellordinate_i(e, x, prec);
1841 : }
1842 :
1843 : GEN
1844 244048 : ellrandom(GEN E)
1845 : {
1846 : GEN fg;
1847 244048 : checkell_Fq(E);
1848 244048 : fg = ellff_get_field(E);
1849 244048 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1850 244020 : return FF_ellrandom(E);
1851 : else
1852 : {
1853 28 : pari_sp av = avma;
1854 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
1855 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
1856 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
1857 28 : return gerepileupto(av, P);
1858 : }
1859 : }
1860 :
1861 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
1862 : static GEN
1863 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
1864 : {
1865 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
1866 : long ln, vn;
1867 :
1868 14 : if (typ(N) != t_INT)
1869 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
1870 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
1871 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
1872 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
1873 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
1874 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
1875 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
1876 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
1877 : do
1878 : {
1879 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
1880 : do
1881 : {
1882 28 : long ep = (-valp(z2)) >> 1;
1883 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
1884 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
1885 : }
1886 28 : while (valp(z2) <= 0);
1887 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
1888 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
1889 21 : if (!signe(z2)) break;
1890 7 : z2 = ginv(z2);
1891 : }
1892 7 : while (degpol(p1) < vn);
1893 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
1894 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
1895 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
1896 14 : b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
1897 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
1898 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
1899 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
1900 :
1901 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
1902 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
1903 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
1904 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
1905 :
1906 14 : x = gdiv(p1,q1);
1907 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
1908 14 : x = gsub(x, b2ov12);
1909 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
1910 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
1911 : }
1912 :
1913 : static GEN
1914 616 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
1915 : static GEN
1916 175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
1917 :
1918 : static GEN
1919 228093 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
1920 : {
1921 228093 : GEN fg = ellff_get_field(E);
1922 228094 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1923 227640 : return FF_ellmul(E, P, n);
1924 : else
1925 : {
1926 454 : pari_sp av = avma;
1927 454 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
1928 454 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
1929 454 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
1930 407 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
1931 407 : return gerepileupto(av, Q);
1932 : }
1933 : }
1934 : /* [n] z, n integral */
1935 : static GEN
1936 228601 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
1937 : {
1938 : long s;
1939 228601 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
1940 228605 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
1941 511 : s = signe(n);
1942 511 : if (!s) return ellinf();
1943 497 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
1944 497 : if (is_pm1(n)) return z;
1945 378 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
1946 : }
1947 :
1948 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
1949 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
1950 : static long
1951 42 : myroundr(GEN *px)
1952 : {
1953 42 : GEN x = *px;
1954 : long e;
1955 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
1956 42 : *px = grndtoi(x, &e);
1957 42 : if (e >= -5) return NO;
1958 42 : return OK;
1959 : }
1960 :
1961 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
1962 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
1963 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
1964 : static GEN
1965 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
1966 : {
1967 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
1968 : long prec;
1969 :
1970 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
1971 14 : switch(typ(Q))
1972 : {
1973 : case t_COMPLEX:
1974 0 : D = utoineg(4);
1975 0 : v = gel(Q,2);
1976 0 : break;
1977 : case t_QUAD:
1978 14 : D = quad_disc(Q);
1979 14 : v = gel(Q,3);
1980 14 : break;
1981 : default:
1982 0 : return NULL; /*-Wall*/
1983 : }
1984 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
1985 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
1986 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
1987 14 : prec = precision(tau);
1988 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
1989 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
1990 : * Compute f*k */
1991 14 : x = gel(tau,1);
1992 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
1993 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
1994 14 : switch(myroundr(&fk))
1995 : {
1996 0 : case NO: return NULL;
1997 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
1998 : }
1999 14 : fk = absi(fk);
2000 :
2001 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2002 14 : switch(myroundr(&fkb))
2003 : {
2004 0 : case NO: return NULL;
2005 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2006 : }
2007 :
2008 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2009 14 : switch(myroundr(&fkc))
2010 : {
2011 0 : case NO: return NULL;
2012 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2013 : }
2014 :
2015 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2016 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2017 14 : dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2018 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2019 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2020 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2021 14 : v = dvmdii(absi(v), q, &r);
2022 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2023 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2024 : }
2025 :
2026 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2027 : static GEN
2028 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2029 : {
2030 : GEN A, B, q;
2031 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2032 14 : q = CM_factor(e, w);
2033 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2034 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2035 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2036 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2037 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2038 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2039 7 : GEN u = gtrace(w);
2040 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2041 7 : u = shifti(u, -1);
2042 7 : if (signe(u))
2043 : {
2044 0 : w = gsub(w, u);
2045 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2046 : }
2047 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2048 : }
2049 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2050 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2051 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2052 14 : return elladd(e, A, B);
2053 : }
2054 : GEN
2055 228660 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2056 : {
2057 228660 : pari_sp av = avma;
2058 :
2059 228660 : checkell(e); checkellpt(z);
2060 228654 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2061 228595 : switch(typ(n))
2062 : {
2063 228581 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
2064 : case t_QUAD: {
2065 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2066 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2067 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2068 : }
2069 : case t_COMPLEX: {
2070 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2071 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2072 : }
2073 : }
2074 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2075 0 : return NULL; /* not reached */
2076 : }
2077 :
2078 : /********************************************************************/
2079 : /** **/
2080 : /** Periods **/
2081 : /** **/
2082 : /********************************************************************/
2083 :
2084 : /* References:
2085 : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
2086 : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
2087 : */
2088 :
2089 : static GEN
2090 568 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
2091 : {
2092 568 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
2093 568 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
2094 568 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
2095 : }
2096 :
2097 : static GEN
2098 120 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
2099 : {
2100 120 : pari_sp av = avma;
2101 120 : GEN roots = ellR_roots(E,prec);
2102 120 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
2103 120 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
2104 120 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
2105 : }
2106 :
2107 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
2108 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
2109 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
2110 : static GEN
2111 568 : doellR_omega(GEN E, long prec)
2112 : {
2113 568 : pari_sp av = avma;
2114 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
2115 568 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
2116 448 : roots = ellR_roots(E,prec);
2117 448 : d2 = gel(roots,5);
2118 448 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
2119 448 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
2120 448 : b = gel(z,2);
2121 448 : c = gabs(z, prec);
2122 448 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
2123 448 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
2124 : }
2125 : static GEN
2126 28 : doellR_eta(GEN E, long prec)
2127 28 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
2128 :
2129 : GEN
2130 1596 : ellR_omega(GEN E, long prec)
2131 1596 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
2132 : GEN
2133 42 : ellR_eta(GEN E, long prec)
2134 42 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
2135 : GEN
2136 1646 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2137 1646 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2138 :
2139 : /********************************************************************/
2140 : /** **/
2141 : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
2142 : /** **/
2143 : /********************************************************************/
2144 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
2145 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
2146 : static GEN
2147 0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
2148 : {
2149 0 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
2150 0 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
2151 0 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
2152 0 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
2153 0 : GEN z = gel(om,2);
2154 0 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
2155 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
2156 : else
2157 0 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
2158 0 : return gmul2n(z, -1);
2159 : }
2160 :
2161 : static GEN
2162 7 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
2163 : {
2164 7 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2165 7 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2166 7 : if (gequal0(y0))
2167 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
2168 : else
2169 : {
2170 7 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
2171 7 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
2172 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2173 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2174 7 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
2175 : /* |a+b| < |a-b| */
2176 7 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
2177 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2178 : }
2179 : }
2180 :
2181 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
2182 : static GEN
2183 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
2184 : {
2185 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2186 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
2187 : else
2188 : {
2189 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2190 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
2191 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
2192 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
2193 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
2194 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
2195 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
2196 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
2197 : }
2198 : }
2199 :
2200 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
2201 : static GEN
2202 7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
2203 : {
2204 7 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
2205 7 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2206 7 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
2207 7 : e1 = gel(R,1);
2208 7 : e2 = gel(R,2);
2209 7 : e3 = gel(R,3);
2210 7 : d2 = gel(R,5);
2211 7 : d3 = gel(R,6);
2212 7 : a = gsqrt(d2,prec);
2213 7 : b = gsqrt(d3,prec);
2214 7 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
2215 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2216 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2217 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2218 : } else {
2219 0 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
2220 0 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
2221 0 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
2222 0 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
2223 : }
2224 : }
2225 :
2226 : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
2227 : * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
2228 : * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
2229 : static GEN
2230 224 : doellQp_root(GEN E, long prec)
2231 : {
2232 224 : GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
2233 : GEN c6p, T, a;
2234 : long alpha;
2235 224 : int pis2 = absequaliu(p, 2);
2236 224 : if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
2237 : /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
2238 224 : alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
2239 224 : if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
2240 : /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
2241 224 : if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
2242 224 : c6p = modii(c6,p);
2243 224 : if (pis2)
2244 : { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
2245 140 : T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, mulis(c4,-9), mulis(c6, -2));
2246 : /* v_2(root a) = 1, i.e. will lose one bit of accuracy: prec+1 */
2247 140 : a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec+1);
2248 140 : alpha -= 2;
2249 : }
2250 84 : else if (absequaliu(p, 3))
2251 : { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
2252 56 : a = Fp_neg(c6p, p);
2253 56 : T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, mulis(c4, -6), negi(c6));
2254 56 : a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
2255 56 : switch(lg(a)-1)
2256 : {
2257 : case 1: /* single root */
2258 28 : a = gel(a,1); break;
2259 : case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
2260 : {
2261 28 : GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
2262 28 : long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
2263 28 : long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
2264 28 : long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
2265 28 : if (v1 == v2) a = a3;
2266 0 : else if (v1 == v3) a = a2;
2267 0 : else a = a1;
2268 : }
2269 28 : break;
2270 : }
2271 56 : alpha--;
2272 : }
2273 : else
2274 : { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
2275 : * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
2276 28 : GEN c4p = modii(c4,p);
2277 28 : a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
2278 28 : T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, mulis(c4, -18), negi(c6));
2279 28 : a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
2280 : }
2281 224 : a = cvtop(a, p, prec);
2282 224 : if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
2283 224 : return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
2284 : }
2285 : GEN
2286 455 : ellQp_root(GEN E, long prec)
2287 455 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
2288 :
2289 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x+a-b) ~ E */
2290 : static void
2291 273 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
2292 : {
2293 273 : GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2294 273 : GEN w, u, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1)), p = ellQp_get_p(E);
2295 273 : w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
2296 273 : u = gadd(t,w);
2297 : /* Decide between w and -w: we want v(a-b) > v(b) */
2298 273 : if (absequaliu(p,2))
2299 203 : { if (valp(u)-1 <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
2300 : else
2301 70 : { if (valp(u) <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
2302 :
2303 : /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
2304 273 : *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
2305 273 : *ptb = gmul2n(w,-1);
2306 273 : }
2307 :
2308 : static GEN
2309 91 : doellQp_Tate(GEN E, long prec0)
2310 : {
2311 91 : GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
2312 : GEN L, u, u2, q, x1, a, b, d, s, t, AB, A, M2;
2313 91 : long v, n, pp, prec = prec0+3;
2314 91 : int split = -1; /* unknown */
2315 91 : int pis2 = equaliu(p,2);
2316 :
2317 91 : if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
2318 : START:
2319 273 : doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
2320 273 : d = gsub(a,b);
2321 273 : v = prec0 - precp(d);
2322 273 : if (v > 0) { prec += v; goto START; }
2323 210 : AB = Qp_agm2_sequence(a,b);
2324 210 : A = gel(AB,1);
2325 210 : n = lg(A)-1; /* AGM iterations */
2326 210 : pp = minss(precp(a),precp(b));
2327 210 : M2 = cvtop(gel(A,n), p, pis2? pp-2*n: pp);
2328 210 : setvalp(M2, valp(a));
2329 210 : u2 = ginv(gmul2n(M2, 2));
2330 210 : if (split < 0) split = issquare(u2);
2331 210 : x1 = gen_0;
2332 210 : Qp_descending_Landen(AB,&x1,NULL);
2333 :
2334 210 : t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
2335 210 : s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
2336 210 : q = gadd(t,s);
2337 210 : if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
2338 210 : v = prec0 - precp(q);
2339 210 : if (split)
2340 : { /* we want log q at precision prec0 */
2341 63 : GEN q0 = leafcopy(q); setvalp(q0, 0);
2342 63 : v += valp(gsubgs(q0,1));
2343 : }
2344 210 : if (v > 0) { prec += v; goto START; }
2345 91 : if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
2346 91 : if (split)
2347 : {
2348 35 : u = Qp_sqrt(u2);
2349 35 : L = gdivgs(Qp_log(q), valp(q));
2350 : }
2351 : else
2352 : {
2353 56 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
2354 56 : u = mkpolmod(pol_x(0), T);
2355 56 : L = gen_1;
2356 : }
2357 91 : return mkvecn(6, u2, u, q, mkvec2(a, b), L, AB);
2358 : }
2359 : static long
2360 581 : Tate_prec(GEN T) { return padicprec_relative(gel(T,3)); }
2361 : GEN
2362 665 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
2363 665 : { return obj_checkbuild_prec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate, &Tate_prec,prec); }
2364 : GEN
2365 168 : ellQp_u(GEN E, long prec)
2366 168 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
2367 : GEN
2368 56 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
2369 56 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
2370 : GEN
2371 105 : ellQp_q(GEN E, long prec)
2372 105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
2373 : GEN
2374 105 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
2375 105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
2376 : GEN
2377 0 : ellQp_L(GEN E, long prec)
2378 0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,5); }
2379 : GEN
2380 147 : ellQp_AGM(GEN E, long prec)
2381 147 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,6); }
2382 :
2383 : static void
2384 7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
2385 : {
2386 7 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
2387 7 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
2388 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
2389 0 : }
2390 : static GEN
2391 161 : get_r0(GEN E, long prec)
2392 : {
2393 161 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2394 161 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2395 : }
2396 : static GEN
2397 112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
2398 : {
2399 112 : pari_sp av = avma;
2400 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
2401 : long vq, vt, Q, R;
2402 112 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
2403 105 : ab = ellQp_ab(E, prec);
2404 105 : u = ellQp_u(E, prec);
2405 105 : q = ellQp_q(E, prec);
2406 105 : a = gel(ab,1);
2407 105 : b = gel(ab,2);
2408 105 : x = gel(P,1);
2409 105 : r0 = get_r0(E, prec);
2410 105 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
2411 105 : if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
2412 98 : r = gsub(a,b);
2413 98 : ar = gmul(a, r);
2414 98 : if (gequal0(c0))
2415 : {
2416 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
2417 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
2418 : }
2419 : else
2420 : {
2421 91 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
2422 91 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
2423 91 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
2424 84 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
2425 : }
2426 91 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
2427 91 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
2428 :
2429 91 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2430 91 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2431 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
2432 91 : if (typ(t) == t_PADIC)
2433 56 : vt = valp(t);
2434 : else
2435 35 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
2436 91 : vq = valp(q); /* > 0 */
2437 91 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
2438 91 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
2439 91 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2440 91 : return gerepileupto(av, t);
2441 : }
2442 :
2443 : static GEN
2444 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
2445 : {
2446 56 : pari_sp av = avma;
2447 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
2448 : long v;
2449 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
2450 :
2451 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
2452 56 : u = ellQp_u(E,prec);
2453 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
2454 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
2455 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
2456 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
2457 56 : r0 = get_r0(E, prec);
2458 :
2459 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
2460 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
2461 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
2462 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
2463 56 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
2464 : }
2465 :
2466 : /* t to w := -1/y */
2467 : GEN
2468 329 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
2469 : {
2470 329 : pari_sp av = avma, av2;
2471 : GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
2472 329 : GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
2473 329 : ulong mask, nold = 1;
2474 329 : if (v < 0) v = 0;
2475 329 : if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
2476 315 : mask = quadratic_prec_mask(n);
2477 315 : t = pol_x(v);
2478 315 : checkell(e);
2479 315 : a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
2480 315 : a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
2481 315 : w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
2482 315 : gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
2483 : /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
2484 : *
2485 : * w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
2486 : * w <- w - -----------------------------------------------------
2487 : * w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
2488 : *
2489 : * w^3 a6 + w^2 U + w V + W
2490 : * =: w - -----------------------
2491 : * w^2 (3a6) + 2w U + V
2492 : */
2493 315 : U = gadd(gmul(a4,t), a3);
2494 315 : U2 = gmul2n(U,1);
2495 315 : V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
2496 315 : W = gpowgs(t,3);
2497 315 : av2 = avma;
2498 1645 : while (mask > 1)
2499 : { /* nold correct terms in w */
2500 1015 : ulong i, nnew = nold << 1;
2501 : GEN num, den, wnew, w2, w3;
2502 1015 : if (mask & 1) nnew--;
2503 1015 : mask >>= 1;
2504 1015 : wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
2505 1015 : wnew[1] = w[1];
2506 1015 : for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
2507 1015 : for ( ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
2508 1015 : w = wnew;
2509 1015 : w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
2510 1015 : num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
2511 1015 : den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
2512 :
2513 1015 : w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
2514 1015 : nold = nnew;
2515 : }
2516 315 : return gerepilecopy(av, w);
2517 : }
2518 :
2519 : static GEN
2520 294 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
2521 294 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
2522 :
2523 : /* t to [x,y] */
2524 : GEN
2525 21 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
2526 : {
2527 21 : pari_sp av = avma;
2528 21 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w);
2529 21 : return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
2530 : }
2531 :
2532 : static GEN
2533 273 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
2534 : {
2535 : GEN x, w1;
2536 273 : if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
2537 : { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
2538 0 : x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
2539 0 : w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
2540 : }
2541 : else
2542 : {
2543 273 : GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
2544 273 : x = gel(P,1);
2545 273 : w1 = gdiv(derivser(x), ec_dmFdy_evalQ(e, P));
2546 : }
2547 273 : *px = x; return w1;
2548 : }
2549 : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
2550 : GEN
2551 21 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
2552 : {
2553 21 : pari_sp av = avma;
2554 21 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
2555 21 : GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2556 21 : return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
2557 : }
2558 :
2559 : /* t to z, dz = w1 dt */
2560 : GEN
2561 49 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
2562 : {
2563 49 : pari_sp av = avma;
2564 49 : GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
2565 49 : GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2566 49 : return gerepileupto(av, integser(w1));
2567 : }
2568 : /* z to t */
2569 : GEN
2570 21 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
2571 : {
2572 21 : pari_sp av = avma;
2573 21 : return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
2574 : }
2575 : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
2576 : * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
2577 : * sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
2578 : * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
2579 : static GEN
2580 203 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
2581 : {
2582 203 : pari_sp av = avma;
2583 203 : GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = ser_inv(w), t = pol_x(0);
2584 203 : GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
2585 203 : GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
2586 203 : return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
2587 : integser(s)));
2588 : }
2589 :
2590 : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
2591 : static int
2592 252 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
2593 : {
2594 252 : pari_sp av = avma;
2595 : GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
2596 252 : if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
2597 245 : P = Q_muli_to_int(P,d);
2598 245 : x = gel(P,1);
2599 245 : y = gel(P,2);
2600 245 : a1 = ell_get_a1(E);
2601 245 : a3 = ell_get_a3(E);
2602 245 : t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
2603 245 : if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
2604 28 : a2 = ell_get_a2(E);
2605 28 : a4 = ell_get_a4(E);
2606 28 : d = Fp_inv(d, p);
2607 28 : x = Fp_mul(x,d,p);
2608 28 : y = Fp_mul(y,d,p);
2609 28 : t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
2610 28 : avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
2611 : }
2612 :
2613 : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
2614 : * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
2615 : GEN
2616 217 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
2617 : {
2618 217 : pari_sp av = avma;
2619 217 : GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
2620 : long i, l;
2621 217 : checkellpt(P);
2622 217 : if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
2623 217 : if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
2624 217 : S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
2625 217 : NP = gmael(S,3,1);
2626 217 : L = gel(S,4);
2627 217 : l = lg(NP);
2628 217 : d = Q_denom(P);
2629 462 : for (i = 1; i < l; i++)
2630 : {
2631 245 : GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
2632 245 : if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
2633 21 : c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
2634 21 : kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
2635 21 : if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
2636 : {
2637 7 : long nu = itos(kod) - 4;
2638 7 : long n = minss(Q_pval(ec_dmFdy_evalQ(E,P), p), nu/2);
2639 7 : nu /= ugcd(nu, n);
2640 7 : g = muliu(g, nu);
2641 7 : P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
2642 7 : d = Q_denom(P);
2643 14 : } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
2644 : { /* either 2 or 4 */
2645 7 : long nu = - itos(kod) - 4;
2646 7 : P = elladd(E, P,P);
2647 7 : d = Q_denom(P);
2648 7 : g = shifti(g,1);
2649 7 : if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
2650 : { /* it's 4 */
2651 7 : P = elladd(E, P,P);
2652 7 : d = Q_denom(P);
2653 7 : g = shifti(g,1);
2654 : }
2655 : } else {
2656 7 : if (absequaliu(c, 4)) c = gen_2;
2657 7 : P = ellmul(E, P, c);
2658 7 : d = Q_denom(P);
2659 7 : g = mulii(g, c);
2660 : }
2661 : }
2662 217 : if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
2663 217 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
2664 : }
2665 :
2666 : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
2667 : * notation (Duke 1991)*/
2668 : static GEN
2669 7434 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
2670 : {
2671 : hashentry *h;
2672 : GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
2673 : ulong m4;
2674 7434 : if (abscmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
2675 : {
2676 322 : case 0: return gen_0;
2677 882 : case 1: return gen_1;
2678 1064 : case 2: return subiu(N,1);
2679 1330 : case 3: return b8;
2680 1386 : case 4: return g4;
2681 : }
2682 2450 : if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
2683 1260 : m4 = mod4(m);
2684 1260 : n = shifti(m, -1); f = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
2685 1260 : np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
2686 1260 : np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
2687 1260 : nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
2688 1260 : nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
2689 1260 : if (odd(m4))
2690 : {
2691 770 : GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
2692 770 : GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
2693 770 : if (mpodd(n))
2694 322 : z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
2695 : else
2696 448 : z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
2697 : }
2698 : else
2699 : {
2700 490 : GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
2701 490 : GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
2702 490 : z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
2703 : }
2704 1260 : hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
2705 1260 : return z;
2706 : }
2707 :
2708 : static GEN
2709 1134 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
2710 : static GEN
2711 756 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
2712 : static GEN
2713 378 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
2714 :
2715 : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
2716 : * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
2717 : * [num,den] (coprime) */
2718 : static GEN
2719 378 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
2720 : {
2721 378 : pari_sp av = avma;
2722 378 : ulong k = expi(m);
2723 378 : hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
2724 : (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
2725 378 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
2726 378 : GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
2727 : GEN B4, B6, B8, T, g4;
2728 378 : GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
2729 378 : GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
2730 378 : GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
2731 378 : GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
2732 378 : GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
2733 378 : B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
2734 : mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
2735 378 : B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
2736 : shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
2737 : b6d3);
2738 378 : B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd, mulii(b4,d2));
2739 :
2740 378 : B4 = modii(B4,N);
2741 378 : B6 = modii(B6,N);
2742 378 : B8 = modii(B8,N);
2743 :
2744 378 : g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
2745 378 : T = Fp_sqr(B6,N);
2746 :
2747 378 : g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
2748 378 : gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
2749 378 : gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
2750 378 : C = Fp_sqr(g, N);
2751 378 : D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
2752 :
2753 378 : if(mpodd(m))
2754 : {
2755 168 : n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
2756 168 : d = Fp_mul(C,d, N);
2757 : }
2758 : else
2759 : {
2760 210 : n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
2761 210 : d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
2762 : }
2763 378 : return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
2764 : }
2765 : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
2766 : * return t = -x/y + O(p^v) */
2767 : static GEN
2768 203 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
2769 : {
2770 203 : GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
2771 : GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
2772 203 : if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
2773 203 : a1 = ell_get_a1(e);
2774 203 : b2 = ell_get_b2(e);
2775 203 : a3 = ell_get_a3(e);
2776 203 : b4 = ell_get_b4(e);
2777 203 : b6 = ell_get_b6(e);
2778 203 : d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
2779 203 : if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
2780 : /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
2781 : * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
2782 203 : d4 = Fp_sqr(d2, N);
2783 203 : d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
2784 203 : B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
2785 203 : C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
2786 : Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
2787 : Fp_mul(b6,d6,N));
2788 203 : C = FpX_eval(C, n, N);
2789 203 : if (!signe(C))
2790 0 : Y = zeropadic(p, v >> 1);
2791 : else
2792 203 : Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
2793 203 : if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
2794 203 : *pd = d;
2795 203 : return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
2796 : }
2797 :
2798 : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
2799 : static long
2800 203 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
2801 : {
2802 203 : double log2p = dbllog2(p);
2803 203 : long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
2804 203 : if (absequaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
2805 : /* guaranteed to work, now optimize */
2806 252 : for (j = i-1; j >= 2; j--)
2807 : {
2808 252 : if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
2809 49 : i = j;
2810 : }
2811 203 : if (j == 1)
2812 : {
2813 0 : if (- absequaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
2814 : }
2815 203 : return i;
2816 : }
2817 : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
2818 : static long
2819 7 : log_prec(GEN p, long v, long t)
2820 : {
2821 7 : double log2p = dbllog2(p);
2822 7 : long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
2823 : /* guaranteed to work, now optimize */
2824 28 : for (j = i-1; j >= 1; j--)
2825 : {
2826 28 : if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
2827 21 : i = j;
2828 : }
2829 7 : return i;
2830 : }
2831 :
2832 : static GEN
2833 210 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
2834 : {
2835 210 : *ab = NULL;
2836 210 : switch(typ(p))
2837 : {
2838 105 : case t_INT: break;
2839 : case t_VEC:
2840 105 : if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
2841 105 : *ab = gel(p,2);
2842 105 : if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
2843 105 : p = gel(p,1);
2844 : }
2845 210 : if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
2846 210 : return p;
2847 : }
2848 :
2849 : static GEN
2850 301 : precp_fix(GEN h, long v)
2851 301 : { return (precp(h) > v)? cvtop(h,gel(h,2),v): h; }
2852 :
2853 : GEN
2854 217 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
2855 : {
2856 217 : pari_sp av = avma;
2857 : GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
2858 : long v, vd;
2859 : int is2;
2860 217 : checkellpt(P);
2861 217 : if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
2862 210 : checkell_Q(e);
2863 210 : p = parse_p(p, &ab);
2864 210 : if (ellorder_Q(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
2865 203 : E = ellanal_globalred(e, &ch);
2866 203 : if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
2867 203 : S = ellnonsingularmultiple(E, P);
2868 203 : P = gel(S,1);
2869 203 : g = gel(S,2);
2870 203 : v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
2871 203 : is2 = absequaliu(p,2);
2872 203 : if (is2) v += 2;
2873 203 : x = gel(P,1);
2874 203 : n = numer(x);
2875 203 : d = denom(x);
2876 203 : x = mkvec2(n, d);
2877 203 : vd = Z_pval(d, p);
2878 203 : if (!vd)
2879 : { /* P not in kernel of reduction mod p */
2880 189 : GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
2881 189 : long w = v+2;
2882 189 : Pp = RgV_to_FpV(P, p);
2883 189 : if (Ep)
2884 189 : m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
2885 : else
2886 : {
2887 0 : m = ellcard(E, p); /* E has bad reduction at p */
2888 0 : if (equalii(m, p)) pari_err_TYPE("ellpadicheight: additive reduction", E);
2889 : }
2890 189 : g = mulii(g,m);
2891 : for(;;)
2892 : {
2893 378 : N = powiu(p, w);
2894 378 : X = xmP(E, x, m, N);
2895 378 : d = gel(X,2);
2896 378 : if (!signe(d))
2897 0 : w <<= 1;
2898 : else
2899 : {
2900 378 : vd = Z_pval(d, p);
2901 378 : if (w >= v+2*vd + is2) break;
2902 189 : w = v+2*vd + is2;
2903 : }
2904 189 : }
2905 189 : x = X;
2906 : }
2907 : /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
2908 : * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
2909 203 : v += 2*vd + is2;
2910 203 : N = powiu(p,v);
2911 203 : t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
2912 203 : S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
2913 203 : ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
2914 203 : lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
2915 : /* evaluate our formal power series at t */
2916 203 : H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
2917 203 : h = gsqr(poleval(lt, t));
2918 203 : g = sqri(g);
2919 203 : a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
2920 203 : b = gdiv(gneg(h), g);
2921 203 : if (E != e)
2922 : {
2923 21 : GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
2924 21 : a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
2925 21 : b = gmul(u,b);
2926 : }
2927 203 : H = mkvec2(a,b);
2928 203 : if (ab)
2929 : {
2930 105 : H = RgV_dotproduct(H, ab);
2931 105 : H = precp_fix(H,v0);
2932 : }
2933 : else
2934 : {
2935 98 : gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
2936 98 : gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
2937 : }
2938 203 : return gerepilecopy(av, H);
2939 : }
2940 :
2941 : GEN
2942 14 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
2943 : {
2944 14 : pari_sp av = avma;
2945 : long vt;
2946 : GEN t, x, y, L;
2947 14 : checkellpt(P);
2948 14 : if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
2949 14 : x = gel(P,1);
2950 14 : y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
2951 14 : vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
2952 14 : if (vt <= 0)
2953 7 : pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
2954 7 : L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
2955 7 : return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
2956 : }
2957 :
2958 : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
2959 : GEN
2960 21 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
2961 : {
2962 21 : pari_sp av = avma;
2963 : GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
2964 : ulong pp;
2965 21 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
2966 21 : if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
2967 21 : pp = itou_or_0(p);
2968 21 : F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
2969 21 : a = gcoeff(F,1,1);
2970 21 : b = gcoeff(F,1,2);
2971 21 : d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
2972 21 : if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
2973 21 : if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
2974 0 : ap = ellap(E,p);
2975 : else
2976 : { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
2977 21 : GEN q = abscmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
2978 21 : ap = padic_to_Fp(ap, q);
2979 21 : ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
2980 : }
2981 21 : D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
2982 21 : if (absequaliu(p,2)) n++;
2983 21 : sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
2984 21 : l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
2985 21 : return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
2986 : }
2987 :
2988 : GEN
2989 126 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
2990 : {
2991 126 : pari_sp av = avma;
2992 : GEN t;
2993 : long s;
2994 :
2995 126 : checkell(e); checkellpt(z);
2996 126 : switch(ell_get_type(e))
2997 : {
2998 : case t_ELL_Qp:
2999 112 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3000 112 : return ellQp_P2t(e, z, prec);
3001 7 : case t_ELL_Q: break;
3002 7 : case t_ELL_Rg: break;
3003 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
3004 : }
3005 14 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
3006 14 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
3007 14 : s = ellR_get_sign(e);
3008 14 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
3009 7 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
3010 : else
3011 7 : t = zellcx(e,z,prec);
3012 14 : return gerepileupto(av,t);
3013 : }
3014 :
3015 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
3016 : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
3017 : typedef struct {
3018 : enum period_type type;
3019 : GEN in; /* original input */
3020 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
3021 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
3022 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
3023 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
3024 : GEN x,y; /* t_INT */
3025 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
3026 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
3027 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
3028 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
3029 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
3030 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
3031 : long prec; /* precision(Z) */
3032 : } ellred_t;
3033 :
3034 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
3035 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
3036 : static void
3037 23373 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
3038 : {
3039 23373 : GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
3040 23373 : pari_sp av = avma;
3041 :
3042 23373 : a = d = gen_1;
3043 23373 : b = c = gen_0;
3044 : for(;;)
3045 : {
3046 44093 : GEN m, n = ground(real_i(t));
3047 44093 : if (signe(n))
3048 : { /* apply T^n */
3049 26805 : t = gsub(t,n);
3050 26805 : a = subii(a, mulii(n,c));
3051 26805 : b = subii(b, mulii(n,d));
3052 : }
3053 44093 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
3054 20720 : t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
3055 20720 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
3056 20720 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
3057 20720 : if (gc_needed(av, 1)) {
3058 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "redtausl2");
3059 0 : gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
3060 : }
3061 20720 : }
3062 23373 : *pa = a;
3063 23373 : *pb = b;
3064 23373 : *pc = c;
3065 23373 : *pd = d;
3066 23373 : }
3067 : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
3068 : * Set *pU to U. */
3069 : GEN
3070 8911 : redtausl2(GEN t, GEN *pU)
3071 : {
3072 8911 : pari_sp av = avma;
3073 : GEN U, a,b,c,d;
3074 8911 : set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
3075 8911 : U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
3076 8911 : t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b),
3077 : gadd(gmul(c,t), d));
3078 8911 : gerepileall(av, 2, &t, &U);
3079 8911 : *pU = U; return t;
3080 : }
3081 :
3082 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
3083 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
3084 : static void
3085 14462 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
3086 : {
3087 : long s, p;
3088 14462 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
3089 14462 : if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
3090 14462 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
3091 14462 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
3092 : mkvec2(T->w1,T->w2));
3093 14462 : T->swap = (s < 0);
3094 14462 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
3095 14462 : set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
3096 : /* update lattice */
3097 14462 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
3098 14462 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
3099 14462 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
3100 14462 : if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
3101 14462 : p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
3102 14462 : T->prec = p;
3103 14462 : }
3104 : /* is z real or pure imaginary ? */
3105 : static void
3106 15540 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
3107 : {
3108 15540 : if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
3109 10150 : else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
3110 15540 : }
3111 : static void
3112 9884 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
3113 : {
3114 : long p;
3115 : GEN Z;
3116 9884 : T->abs_u_is_1 = 0;
3117 9884 : T->some_z_is_real = 0;
3118 9884 : T->some_z_is_pure_imag = 0;
3119 9884 : switch(typ(z))
3120 : {
3121 9884 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
3122 : case t_QUAD:
3123 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
3124 0 : break;
3125 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
3126 : }
3127 9884 : T->z = z;
3128 9884 : Z = gdiv(z, T->W2);
3129 9884 : T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
3130 9884 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
3131 9884 : T->y = ground(real_i(Z));
3132 9884 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
3133 9884 : if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
3134 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
3135 9884 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
3136 9884 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
3137 : {
3138 4823 : int W2real = 0, W2imag = 0;
3139 4823 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
3140 4823 : if (W2real)
3141 427 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
3142 4396 : else if (W2imag)
3143 406 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
3144 : }
3145 9884 : p = precision(Z);
3146 9884 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
3147 28 : Z = NULL; /*z in L*/
3148 9884 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
3149 9884 : T->Z = Z;
3150 9884 : }
3151 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
3152 : static GEN
3153 8862 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
3154 : {
3155 8862 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
3156 8862 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
3157 8862 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
3158 8862 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
3159 3976 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
3160 : }
3161 : /* e is either
3162 : * - [w1,w2]
3163 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
3164 : * - an ellinit structure */
3165 : static void
3166 14462 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
3167 : {
3168 : GEN w, e;
3169 14462 : T->q_is_real = 0;
3170 14462 : T->some_q_is_real = 0;
3171 14462 : switch(T->type)
3172 : {
3173 : case t_PER_ELL:
3174 : {
3175 1022 : long pr, p = prec;
3176 1022 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
3177 1022 : e = T->in;
3178 1022 : w = ellR_omega(e, p);
3179 1022 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
3180 1022 : break;
3181 : }
3182 : case t_PER_W:
3183 13286 : w = T->in; break;
3184 : default: /*t_PER_WETA*/
3185 154 : w = gel(T->in,1); break;
3186 : }
3187 14462 : T->w1 = gel(w,1);
3188 14462 : T->w2 = gel(w,2);
3189 14462 : red_modSL2(T, prec);
3190 14462 : if (z) reduce_z(z, T);
3191 14462 : }
3192 : static int
3193 14469 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
3194 : {
3195 : GEN w1;
3196 14469 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
3197 14469 : T->in = e;
3198 14469 : switch(lg(e))
3199 : {
3200 : case 17:
3201 1029 : T->type = t_PER_ELL;
3202 1029 : break;
3203 : case 3:
3204 13440 : w1 = gel(e,1);
3205 13440 : if (typ(w1) != t_VEC)
3206 13286 : T->type = t_PER_W;
3207 : else
3208 : {
3209 154 : if (lg(w1) != 3) return 0;
3210 154 : T->type = t_PER_WETA;
3211 : }
3212 13440 : break;
3213 0 : default: return 0;
3214 : }
3215 14469 : return 1;
3216 : }
3217 : static int
3218 14427 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
3219 : {
3220 14427 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
3221 14427 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
3222 : }
3223 :
3224 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
3225 : static GEN
3226 8904 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
3227 : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
3228 : GEN
3229 33432 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
3230 :
3231 : static GEN
3232 13734 : check_real(GEN q)
3233 13734 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
3234 :
3235 : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
3236 : static GEN
3237 13489 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
3238 : {
3239 : pari_sp av;
3240 : GEN p1, q, y, qn;
3241 13489 : long n = 1;
3242 :
3243 13489 : if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
3244 245 : q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
3245 245 : q = check_real(q);
3246 245 : y = gen_0;
3247 245 : av = avma; qn = gen_1;
3248 2164 : for(;; n++)
3249 : { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
3250 2409 : qn = gmul(q,qn);
3251 2409 : p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
3252 2409 : if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3253 2164 : y = gadd(y, p1);
3254 2164 : if (gc_needed(av,2))
3255 : {
3256 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
3257 0 : gerepileall(av, 2, &y,&qn);
3258 : }
3259 2164 : }
3260 245 : return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
3261 : }
3262 :
3263 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
3264 : static GEN
3265 13489 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
3266 : {
3267 13489 : GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
3268 13489 : y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
3269 13489 : return check_real(y);
3270 : }
3271 :
3272 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
3273 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
3274 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
3275 : GEN
3276 4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
3277 : {
3278 4438 : pari_sp av = avma;
3279 : GEN y;
3280 : ellred_t T;
3281 :
3282 4438 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
3283 4438 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
3284 4438 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
3285 4438 : y = _elleisnum(&T, k);
3286 4438 : if (k==2 && signe(T.c))
3287 3955 : {
3288 3955 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
3289 3955 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
3290 : }
3291 483 : else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y, 12);
3292 462 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
3293 4438 : return gerepileupto(av,y);
3294 : }
3295 :
3296 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
3297 : static GEN
3298 8869 : _elleta(ellred_t *T)
3299 : {
3300 8869 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
3301 8869 : y2 = gmul(T->W2, e2);
3302 8869 : y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
3303 8869 : retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
3304 : }
3305 :
3306 : /* compute eta1, eta2 */
3307 : GEN
3308 42 : elleta(GEN om, long prec)
3309 : {
3310 42 : pari_sp av = avma;
3311 : GEN y1, y2, E2, pi;
3312 : ellred_t T;
3313 :
3314 42 : if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
3315 42 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
3316 :
3317 35 : compute_periods(&T, NULL, prec);
3318 35 : prec = T.prec;
3319 35 : pi = mppi(prec);
3320 35 : E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
3321 35 : if (signe(T.c))
3322 : {
3323 0 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
3324 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
3325 0 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
3326 : }
3327 35 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
3328 35 : if (T.swap)
3329 : {
3330 7 : y1 = y2;
3331 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
3332 : }
3333 : else
3334 28 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
3335 35 : switch(typ(T.w1))
3336 : {
3337 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
3338 28 : y1 = real_i(y1);
3339 : }
3340 35 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
3341 : }
3342 : GEN
3343 14 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
3344 : {
3345 14 : pari_sp av = avma;
3346 : ellred_t T;
3347 14 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
3348 14 : switch(flag)
3349 : {
3350 7 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
3351 7 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
3352 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
3353 0 : return NULL;/*not reached*/
3354 : }
3355 : }
3356 :
3357 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
3358 : static double
3359 9842 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
3360 :
3361 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
3362 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
3363 : static GEN
3364 980 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
3365 : {
3366 : long toadd;
3367 980 : pari_sp av = avma, av1;
3368 : GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
3369 : ellred_t T;
3370 : int simple_case;
3371 :
3372 980 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
3373 980 : if (!T.Z) return NULL;
3374 959 : prec = T.prec;
3375 :
3376 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
3377 959 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3378 959 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
3379 959 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
3380 959 : u1 = gsubsg(1,u);
3381 959 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
3382 959 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
3383 959 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
3384 959 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
3385 959 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
3386 959 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
3387 959 : yp = flall? gen_0: NULL;
3388 959 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3389 :
3390 959 : av1 = avma; qn = q;
3391 : for(;;)
3392 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
3393 : /* analogous formula for yp */
3394 12476 : GEN yadd, ypadd = NULL;
3395 12476 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
3396 12476 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
3397 12476 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
3398 12476 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
3399 12476 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
3400 388 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
3401 : else
3402 : {
3403 12088 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
3404 12088 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
3405 12088 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
3406 12088 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
3407 : }
3408 12476 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
3409 12476 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
3410 12476 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
3411 :
3412 12476 : qn = gmul(q,qn);
3413 12476 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
3414 11517 : if (gc_needed(av1,1))
3415 : {
3416 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
3417 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
3418 : }
3419 11517 : }
3420 959 : if (yp)
3421 : {
3422 896 : if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
3423 896 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
3424 : }
3425 :
3426 959 : u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
3427 959 : u2 = gsqr(u1);
3428 959 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
3429 959 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
3430 567 : y = real_i(y);
3431 959 : if (yp)
3432 : {
3433 896 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
3434 896 : if (T.some_q_is_real)
3435 : {
3436 896 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
3437 378 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
3438 : }
3439 896 : y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
3440 : }
3441 959 : return gerepilecopy(av, y);
3442 : }
3443 : static GEN
3444 196 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
3445 : {
3446 : long i, k, l;
3447 : pari_sp av;
3448 196 : GEN t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
3449 :
3450 196 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
3451 196 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
3452 :
3453 196 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
3454 196 : switch(PRECDL)
3455 : {
3456 196 : default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
3457 : case 6:
3458 196 : case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
3459 : case 4:
3460 196 : case 3: P[2] = gen_0;
3461 : case 2:
3462 196 : case 1: P[0] = gen_1;
3463 196 : case 0: break;
3464 : }
3465 196 : if (PRECDL <= 8) return res;
3466 196 : av = avma;
3467 196 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
3468 665 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
3469 : {
3470 469 : av = avma;
3471 469 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
3472 469 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
3473 469 : t = gmul2n(t, 1);
3474 469 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
3475 469 : if (k % 3 == 2)
3476 168 : t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
3477 : else /* same value, more efficient */
3478 301 : t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
3479 469 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
3480 : }
3481 196 : return res;
3482 : }
3483 :
3484 : static int
3485 189 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
3486 : {
3487 189 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
3488 : {
3489 : case 17:
3490 98 : *c4 = ell_get_c4(w);
3491 98 : *c6 = ell_get_c6(w);
3492 98 : return 1;
3493 : case 3:
3494 : {
3495 : ellred_t T;
3496 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
3497 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
3498 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
3499 91 : return 1;
3500 : }
3501 : }
3502 0 : *c4 = *c6 = NULL;
3503 0 : return 0;
3504 : }
3505 :
3506 : GEN
3507 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
3508 : {
3509 : GEN c4, c6;
3510 14 : checkell(e);
3511 14 : c4 = ell_get_c4(e);
3512 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
3513 : }
3514 :
3515 : GEN
3516 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
3517 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
3518 :
3519 : GEN
3520 140 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
3521 : {
3522 140 : pari_sp av = avma;
3523 : GEN y;
3524 :
3525 140 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
3526 140 : if (!z) z = pol_x(0);
3527 140 : y = toser_i(z);
3528 140 : if (y)
3529 : {
3530 70 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3531 : GEN P, Q, c4,c6;
3532 70 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
3533 70 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
3534 70 : if (gequal0(y)) {
3535 0 : avma = av;
3536 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
3537 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
3538 : }
3539 70 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3540 70 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3541 70 : if (!flag)
3542 70 : return gerepileupto(av, Q);
3543 : else
3544 : {
3545 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
3546 0 : return gerepilecopy(av, R);
3547 : }
3548 : }
3549 70 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
3550 70 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
3551 63 : return gerepileupto(av, y);
3552 : }
3553 :
3554 : GEN
3555 119 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
3556 : {
3557 : long prec;
3558 119 : pari_sp av = avma;
3559 119 : GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
3560 : ellred_t T;
3561 : int simple_case;
3562 :
3563 119 : if (!z) z = pol_x(0);
3564 119 : y = toser_i(z);
3565 119 : if (y)
3566 : {
3567 56 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3568 : GEN P, Q, c4,c6;
3569 56 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
3570 56 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
3571 56 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
3572 56 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3573 56 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3574 56 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3575 56 : return gerepileupto(av, Q);
3576 : }
3577 63 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
3578 63 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
3579 63 : prec = T.prec;
3580 63 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
3581 :
3582 63 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3583 63 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
3584 63 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
3585 63 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
3586 :
3587 63 : y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
3588 63 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
3589 63 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
3590 63 : y = gadd(y, v);
3591 :
3592 63 : if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
3593 : {
3594 49 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3595 49 : pari_sp av1 = avma;
3596 : GEN qn;
3597 49 : for (qn = q;;)
3598 : { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
3599 483 : GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
3600 483 : y = gadd(y, gmul(qn,p1));
3601 483 : qn = gmul(q,qn);
3602 483 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
3603 434 : if (gc_needed(av1,1))
3604 : {
3605 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
3606 0 : gerepileall(av1,2, &y,&qn);
3607 : }
3608 434 : }
3609 : }
3610 63 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
3611 63 : if (et) y = gadd(y,et);
3612 63 : if (T.some_q_is_real)
3613 : {
3614 63 : if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
3615 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
3616 : }
3617 63 : return gerepilecopy(av, y);
3618 : }
3619 :
3620 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3621 : GEN
3622 8904 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3623 : {
3624 : long toadd, prec, n;
3625 8904 : pari_sp av = avma, av1;
3626 : GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3627 : GEN u, uhalf, urn, urninv;
3628 : ellred_t T;
3629 :
3630 8904 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3631 :
3632 8904 : if (!z) z = pol_x(0);
3633 8904 : y = toser_i(z);
3634 8904 : if (y)
3635 : {
3636 63 : long vy = varn(y), v = valp(y);
3637 : GEN P, Q, c4,c6;
3638 63 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3639 63 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3640 63 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3641 56 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
3642 56 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3643 56 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3644 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3645 56 : P = integser(gsub(P, pol_xnall(-1,vy)));
3646 56 : P = gexp(P, prec0);
3647 56 : setvalp(P, valp(P)+1);
3648 56 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3649 56 : return gerepileupto(av, Q);
3650 : }
3651 8841 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3652 8841 : if (!T.Z)
3653 : {
3654 7 : if (!flag) return gen_0;
3655 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3656 : }
3657 8834 : prec = T.prec;
3658 8834 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3659 8834 : pi = mppi(prec);
3660 :
3661 8834 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3662 8834 : uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3663 8834 : u = gsqr(uhalf);
3664 8834 : q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
3665 8834 : q = gpowgs(q8,8);
3666 8834 : u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
3667 8834 : y = gen_0;
3668 8834 : av1 = avma;
3669 8834 : qn = q; qn2 = gen_1;
3670 8834 : urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
3671 57960 : for(n=0;;n++)
3672 : {
3673 57960 : y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
3674 57960 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3675 57960 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3676 49126 : qn = gmul(q,qn);
3677 49126 : urn = gmul(urn,u);
3678 49126 : urninv = gmul(urninv,uinv);
3679 49126 : if (gc_needed(av1,1))
3680 : {
3681 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3682 0 : gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3683 : }
3684 49126 : }
3685 8834 : y = gmul(gmul(y,q8),
3686 : gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3687 :
3688 8834 : et = _elleta(&T);
3689 8834 : etnew = eta_correction(&T, et);
3690 8834 : zinit = gmul(T.Z,T.W2);
3691 8834 : etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
3692 : gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
3693 8834 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
3694 8834 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
3695 8834 : if (flag)
3696 : {
3697 8771 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3698 8771 : if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
3699 : { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
3700 21 : if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
3701 : }
3702 : }
3703 : else
3704 : {
3705 63 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3706 63 : if (T.some_q_is_real)
3707 : {
3708 63 : if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
3709 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
3710 : }
3711 : }
3712 8834 : return gerepilecopy(av, y);
3713 : }
3714 :
3715 : GEN
3716 966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3717 : {
3718 966 : pari_sp av = avma;
3719 : GEN v;
3720 :
3721 966 : checkell(e);
3722 966 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
3723 : {
3724 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3725 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
3726 : }
3727 910 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3728 910 : if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
3729 896 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
3730 896 : gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
3731 896 : return gerepilecopy(av, v);
3732 : }
3733 :
3734 : /********************************************************************/
3735 : /** **/
3736 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3737 : /** Kodaira types, global minimal model **/
3738 : /** **/
3739 : /********************************************************************/
3740 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3741 : typedef struct {
3742 : long a1; /*{0,1}*/
3743 : long a2; /*{-1,0,1}*/
3744 : long a3; /*{0,1}*/
3745 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3746 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3747 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3748 : } ellmin_t;
3749 :
3750 : /* u from [u,r,s,t] */
3751 : static void
3752 1170568 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3753 : {
3754 1170568 : M->u = u;
3755 1170568 : if (is_pm1(u))
3756 1107645 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3757 : else
3758 : {
3759 62923 : M->u2 = sqri(u);
3760 62923 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3761 62923 : M->u4 = sqri(M->u2);
3762 62923 : M->u6 = sqri(M->u3);
3763 : }
3764 1170568 : }
3765 : /* E = original curve */
3766 : static void
3767 1170568 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3768 : {
3769 1170568 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3770 1170568 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3771 62923 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3772 62923 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3773 : }
3774 1170568 : M->c4 = c4;
3775 1170568 : M->c6 = c6;
3776 1170568 : }
3777 : static void
3778 1170260 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3779 : {
3780 1170260 : GEN D = ell_get_disc(E);
3781 1170260 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3782 1170260 : M->D = D;
3783 1170260 : }
3784 : static void
3785 1170421 : min_set_b(ellmin_t *M)
3786 : {
3787 : long b22, b2;
3788 1170421 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3789 1170421 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
3790 1170421 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3791 1170421 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3792 1170421 : }
3793 : static void
3794 1170281 : min_set_a(ellmin_t *M)
3795 : {
3796 1170281 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3797 1170281 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3798 1170281 : if (odd(b2))
3799 : {
3800 600313 : a1 = 1;
3801 600313 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3802 : }
3803 : else
3804 : {
3805 569968 : a1 = 0;
3806 569968 : a2 = b2 >> 2;
3807 : }
3808 1170281 : M->a1 = a1;
3809 1170281 : M->a2 = a2;
3810 1170281 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3811 1170281 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3812 1170281 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3813 1170281 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3814 1170281 : }
3815 : static void
3816 1170253 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
3817 : {
3818 1170253 : min_set_u(M, u);
3819 1170253 : min_set_c(M, E);
3820 1170253 : min_set_D(M, E);
3821 1170253 : min_set_b(M);
3822 1170253 : min_set_a(M);
3823 1170253 : }
3824 : static GEN
3825 1157170 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3826 : {
3827 1157170 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3828 : long a11, a13;
3829 1157170 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3830 1157170 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3831 1157170 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3832 1157170 : gel(y,4) = M->a4;
3833 1157170 : gel(y,5) = M->a6;
3834 1157170 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3835 1157170 : gel(y,7) = M->b4;
3836 1157170 : gel(y,8) = M->b6;
3837 1157170 : a11 = M->a1;
3838 1157170 : a13 = M->a1 & M->a3;
3839 1157170 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3840 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3841 1157170 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3842 1157170 : gel(y,10)= M->c4;
3843 1157170 : gel(y,11)= M->c6;
3844 1157170 : gel(y,12)= M->D;
3845 1157170 : gel(y,13)= gel(E,13);
3846 1157170 : gel(y,14)= gel(E,14);
3847 1157170 : gel(y,15)= gel(E,15);
3848 1157170 : return y;
3849 : }
3850 : static GEN
3851 1170253 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3852 : {
3853 : GEN r, s, t;
3854 1170253 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3855 1170253 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3856 1170253 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
3857 1170253 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3858 : }
3859 :
3860 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
3861 : static long
3862 1682380 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
3863 : {
3864 1682380 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
3865 1682380 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
3866 1682380 : if (!signe(c6))
3867 : {
3868 2856 : d = vD / 12;
3869 2856 : if (d)
3870 : {
3871 1071 : if (p == 2)
3872 : {
3873 819 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3874 819 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3875 819 : if (a) d--;
3876 : }
3877 1071 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3878 : }
3879 2856 : v6 = 12; /* +oo */
3880 : }
3881 : else
3882 : {
3883 1679524 : v6 = Z_lval(c6,p);
3884 1679524 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3885 1679524 : if (d) {
3886 181146 : if (p == 2) {
3887 109732 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3888 109732 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3889 109732 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3890 109732 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
3891 71414 : } else if (p == 3) {
3892 45192 : if (v6 == 6*d+2) d--;
3893 : }
3894 181146 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3895 : }
3896 : }
3897 1682380 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3898 : }
3899 : static long
3900 878395 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
3901 : {
3902 : GEN c6;
3903 : long d, v6, vD;
3904 878395 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
3905 7 : c6 = ell_get_c6(E);
3906 7 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
3907 7 : if (!signe(c6))
3908 : {
3909 0 : d = vD / 12;
3910 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3911 0 : v6 = 12; /* +oo */
3912 : }
3913 : else
3914 : {
3915 7 : v6 = Z_pval(c6,p);
3916 7 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3917 7 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3918 : }
3919 7 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3920 : }
3921 :
3922 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3923 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3924 : in the form [f, kod, v, c].
3925 :
3926 : * The integer f is the conductor's exponent.
3927 :
3928 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3929 : II , III , IV --> 2, 3, 4
3930 : I0 --> 1
3931 : Inu --> 4+nu for nu > 0
3932 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3933 :
3934 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3935 :
3936 : * c is the Tamagawa number.
3937 :
3938 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3939 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3940 : static GEN
3941 1728132 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3942 : {
3943 1728132 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3944 1728132 : gel(z,1) = stoi(f);
3945 1728132 : gel(z,2) = stoi(kod);
3946 1728132 : gel(z,3) = gcopy(v);
3947 1728132 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3948 : }
3949 : static GEN
3950 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3951 : {
3952 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3953 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3954 0 : return NULL; /* not reached */
3955 : }
3956 :
3957 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3958 : static long
3959 879193 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3960 :
3961 : #if 0
3962 : /* Here p > 3. e assumed integral, return v_p(N). Simplified version of
3963 : * localred_p */
3964 : static long
3965 : localred_p_get_f(GEN e, GEN p)
3966 : {
3967 : long nuj, nuD;
3968 : GEN D = ell_get_disc(e);
3969 : nuj = j_pval(e, p);
3970 : nuD = Z_pval(D, p);
3971 : if (nuj == 0) return (nuD % 12)? 2 : 0;
3972 : return (nuD - nuj) % 12 ? 2: 1;
3973 : }
3974 : #endif
3975 : /* p > 3, e integral */
3976 : static GEN
3977 878395 : localred_p(GEN e, GEN p)
3978 : {
3979 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
3980 878395 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3981 :
3982 878395 : c4 = ell_get_c4(e);
3983 878395 : c6 = ell_get_c6(e);
3984 878395 : nuj = j_pval(e, p);
3985 878395 : nuD = Z_pval(D, p);
3986 878395 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
3987 878395 : if (!k) v = init_ch();
3988 : else
3989 : { /* model not minimal */
3990 : ellmin_t M;
3991 13090 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
3992 13090 : v = min_get_v(&M, e);
3993 13090 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
3994 : }
3995 :
3996 878395 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
3997 : {
3998 760718 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3999 760718 : switch(kronecker(negi(c6),p))
4000 : {
4001 392161 : case 1: c = nuD; break;
4002 368557 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
4003 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
4004 : }
4005 760718 : break;
4006 : case 6:
4007 : {
4008 45703 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
4009 45703 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
4010 45703 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
4011 45703 : break;
4012 : }
4013 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
4014 : }
4015 71974 : else switch(nuD)
4016 : {
4017 14 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
4018 11662 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
4019 10332 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
4020 5635 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
4021 5635 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
4022 5635 : break;
4023 16898 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
4024 16898 : p2 = sqri(p);
4025 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
4026 16898 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
4027 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
4028 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
4029 16898 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
4030 16898 : break;
4031 11613 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
4032 11613 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
4033 11613 : break;
4034 10227 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
4035 5593 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
4036 0 : default: return localredbug(p,"localred");
4037 : }
4038 878395 : return localred_result(f, kod, c, v);
4039 : }
4040 :
4041 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
4042 : static ulong
4043 888636 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
4044 888636 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
4045 :
4046 : static ulong
4047 1421994 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
4048 : {
4049 1421994 : pari_sp av = avma;
4050 1421994 : ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
4051 1421994 : avma = av; return res;
4052 : }
4053 :
4054 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
4055 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
4056 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
4057 : static long
4058 244286 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
4059 : {
4060 244286 : if (p == 2)
4061 : {
4062 141099 : if ((c + a * b) & 1) return 3;
4063 122367 : *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
4064 : }
4065 : /* p = 3 */
4066 103187 : if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
4067 69062 : *mult = a * b;
4068 69062 : if (b == 2)
4069 22995 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
4070 : else
4071 46067 : return c ? 3 : 2;
4072 : }
4073 :
4074 : /* same for aX^2 +bX + c */
4075 : static long
4076 788886 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
4077 : {
4078 788886 : if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
4079 : /* p = 3 */
4080 301077 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
4081 : }
4082 :
4083 : /* p = 2 or 3 */
4084 : static GEN
4085 702625 : localred_23(GEN e, long p)
4086 : {
4087 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
4088 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
4089 : GEN v;
4090 :
4091 702625 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
4092 702625 : if (!k) v = init_ch();
4093 : {
4094 : ellmin_t M;
4095 702625 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
4096 702625 : v = min_get_v(&M, e);
4097 702625 : e = min_to_ell(&M, e);
4098 : }
4099 : /* model is minimal */
4100 702625 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
4101 702625 : v = init_ch();
4102 702625 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
4103 321615 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
4104 :
4105 702625 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
4106 702506 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
4107 : {
4108 385896 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
4109 195937 : c = nuD;
4110 : else
4111 189959 : c = 2 - (nuD & 1);
4112 385896 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
4113 : }
4114 316610 : if (p == 2)
4115 : {
4116 185759 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
4117 185759 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
4118 185759 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
4119 185759 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
4120 : }
4121 : else /* p == 3 */
4122 : {
4123 130851 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
4124 130851 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
4125 130851 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
4126 130851 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
4127 : }
4128 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
4129 316610 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
4130 316610 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
4131 22281 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
4132 294329 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
4133 27580 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
4134 266749 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
4135 : {
4136 22463 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
4137 11508 : c = 3;
4138 : else
4139 10955 : c = 1;
4140 22463 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
4141 : }
4142 :
4143 244286 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
4144 91021 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
4145 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
4146 244286 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
4147 244286 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
4148 244286 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
4149 244286 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
4150 : {
4151 : case 3:
4152 36050 : c = a63 ? 1: 2;
4153 36050 : if (p == 2)
4154 18732 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
4155 : else {
4156 17318 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
4157 17318 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
4158 : }
4159 36050 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
4160 : case 2:
4161 : { /* compute nu */
4162 : GEN pk, pk1, p2k;
4163 : long al, be, ga;
4164 130347 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
4165 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
4166 130347 : nu = 1;
4167 130347 : pk = utoipos(p2);
4168 130347 : p2k = utoipos(p4);
4169 : for(;;)
4170 : {
4171 387716 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
4172 387716 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
4173 387716 : al = 1;
4174 387716 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
4175 323281 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
4176 323281 : pk1 = pk;
4177 323281 : pk = mului(p, pk);
4178 323281 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
4179 :
4180 323281 : al = a21;
4181 323281 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
4182 323281 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
4183 323281 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
4184 257369 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
4185 257369 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
4186 257369 : }
4187 130347 : if (p == 2)
4188 72261 : c = 4 - 2 * (ga & 1);
4189 : else
4190 58086 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
4191 130347 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
4192 : }
4193 : case 1:
4194 77889 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
4195 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
4196 77889 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
4197 77889 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
4198 77889 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
4199 : {
4200 29743 : if (p == 2)
4201 20286 : c = 3 - 2 * a64;
4202 : else
4203 9457 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
4204 29743 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
4205 : }
4206 48146 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
4207 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
4208 48146 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
4209 28959 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
4210 :
4211 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
4212 19187 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
4213 : }
4214 0 : return NULL; /* not reached */
4215 : }
4216 :
4217 : static GEN
4218 1580775 : localred(GEN e, GEN p)
4219 : {
4220 1580775 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
4221 878395 : return localred_p(e,p);
4222 : else
4223 : {
4224 702380 : long l = itos(p);
4225 702380 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
4226 702380 : return localred_23(e, l);
4227 : }
4228 : }
4229 :
4230 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
4231 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
4232 : static GEN
4233 26278 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
4234 : {
4235 26278 : GEN b = z;
4236 : long i;
4237 26278 : if (typ(b) == t_INT)
4238 : {
4239 26201 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
4240 26201 : return shifti(negi(b),-1);
4241 : }
4242 231 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
4243 : {
4244 154 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
4245 : }
4246 77 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
4247 : }
4248 :
4249 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
4250 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
4251 : static GEN
4252 13139 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
4253 : {
4254 13139 : GEN b = z;
4255 : long i;
4256 13139 : if (typ(b) == t_INT)
4257 : {
4258 13090 : long s = smodis(b,3);
4259 13090 : if (s)
4260 : {
4261 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
4262 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
4263 0 : b = subii(b, Jz);
4264 : else
4265 0 : b = addii(b, Jz);
4266 : }
4267 13090 : return diviiexact(b, stoi(-3));
4268 : }
4269 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
4270 : {
4271 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
4272 98 : if (!s) continue;
4273 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
4274 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
4275 : else
4276 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
4277 : }
4278 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
4279 : }
4280 :
4281 : /* return a such that v_P(a) = -1, v_Q(a) >= 0, Q!=P, Q|p */
4282 : static GEN
4283 62741 : get_piinv(GEN P)
4284 : {
4285 62741 : GEN z = pr_get_tau(P);
4286 62741 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
4287 62741 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
4288 : }
4289 :
4290 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
4291 : static GEN
4292 238973 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
4293 : {
4294 238973 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
4295 238973 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
4296 238973 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
4297 : }
4298 :
4299 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
4300 : static GEN
4301 387233 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
4302 : {
4303 387233 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
4304 387233 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
4305 387233 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
4306 : }
4307 :
4308 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
4309 :
4310 : static GEN
4311 214039 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
4312 : {
4313 214039 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
4314 214039 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
4315 214039 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
4316 214039 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
4317 : }
4318 :
4319 : static GEN
4320 578165 : pol2sqrt_23(GEN nf, GEN modP, GEN Q)
4321 : {
4322 578165 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
4323 578165 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
4324 578165 : if (!gequal1(gel(Q,4)))
4325 4018 : r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
4326 578165 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
4327 578165 : return nftoalg(nf, Fq_to_nf(r, modP));
4328 : }
4329 :
4330 : static GEN
4331 15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
4332 : {
4333 15498 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
4334 15498 : GEN pi3 = gsqr(pi);
4335 15498 : GEN pv3 = gsqr(pv), pv4 = gmul(pv,pv3), pv6 = gsqr(pv3);
4336 15498 : long n = 1;
4337 : while(1)
4338 : {
4339 40166 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
4340 : GEN gama;
4341 40166 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
4342 : {
4343 8064 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4344 8064 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
4345 : }
4346 32102 : gama = pol2sqrt_23(nf,modP, Q);
4347 32102 : E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(gama,pi3));
4348 32102 : pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
4349 32102 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
4350 32102 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
4351 : {
4352 7434 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4353 7434 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
4354 : }
4355 24668 : gama = pol2sqrt_23(nf, modP, Q);
4356 24668 : E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama, pi3));
4357 24668 : pi3 = gmul(pi, pi3);
4358 24668 : pv3 = pv4; pv4 = gmul(pv,pv4); pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
4359 24668 : }
4360 : }
4361 :
4362 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
4363 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
4364 :
4365 : static GEN
4366 97881 : nflocalred_23(GEN e, GEN P, long *ap)
4367 : {
4368 97881 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP;
4369 : long vD;
4370 : GEN ch, D, pv, pv2, pv4, pi, pol;
4371 97881 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4372 97881 : if (typ(pr_get_tau(P)) == t_INT) /* inert prime */
4373 : {
4374 97454 : pv = mkfrac(gen_1, p);
4375 97454 : pi = p;
4376 : }
4377 : else
4378 : {
4379 427 : pv = basistoalg(nf, get_piinv(P));
4380 427 : pi = basistoalg(nf, nfinv(nf,pv)); /* local uniformizer */
4381 : }
4382 97881 : ch = init_ch();
4383 97881 : D = ell_get_disc(e);
4384 97881 : vD = nfval(nf,D,P);
4385 97881 : *ap = 0;
4386 : while(1)
4387 : {
4388 248920 : if (vD==0)
4389 525 : return localred_result(0,1,1,ch);
4390 : else
4391 : {
4392 248395 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
4393 248395 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
4394 248395 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
4395 248395 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
4396 248395 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
4397 : GEN x0, y0;
4398 248395 : if (absequaliu(p,2))
4399 : {
4400 : GEN x02, y02;
4401 161658 : if (signe(a1))
4402 : {
4403 29666 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
4404 29666 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
4405 29666 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
4406 : }
4407 : else
4408 : {
4409 131992 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
4410 131992 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
4411 : }
4412 161658 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
4413 : }
4414 : else
4415 : {
4416 86737 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
4417 86737 : if (signe(a12))
4418 27370 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
4419 : else
4420 59367 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
4421 86737 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
4422 : }
4423 248395 : x0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(x0, modP));
4424 248395 : y0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(y0, modP));
4425 248395 : E_gcompose_rt(&ch, &e, x0, y0);
4426 : }
4427 : /* 2 */
4428 : {
4429 248395 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
4430 248395 : if (signe(b2) != 0)
4431 : {
4432 57036 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
4433 57036 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
4434 57036 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
4435 27748 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
4436 : }
4437 : }
4438 : /* 3 */
4439 : {
4440 191359 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
4441 191359 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
4442 : }
4443 : /* 4 */
4444 : {
4445 188790 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
4446 188790 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
4447 : }
4448 : /* 5 */
4449 185143 : pv2 = gsqr(pv);
4450 : {
4451 185143 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
4452 185143 : if (vb6<=2)
4453 : {
4454 3206 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
4455 3206 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4456 3206 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
4457 : }
4458 : }
4459 : /* 6 */
4460 : {
4461 181937 : GEN pv3 = gmul(pv, pv2);
4462 181937 : GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pola1a2(e, nf, modP));
4463 181937 : GEN beta = pol2sqrt_23(nf, modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
4464 : GEN po2, E, F, mr;
4465 : long i, lE;
4466 181937 : E_gcompose_st(&ch, &e, alpha, gmul(beta, pi));
4467 181937 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
4468 181937 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
4469 : {
4470 69097 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
4471 69097 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
4472 69097 : lE = lg(E);
4473 69097 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
4474 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
4475 : long c; /* 1 + number of roots */
4476 4515 : switch(lE)
4477 : {
4478 1764 : case 2: c = 1; break;
4479 2534 : case 3: c = 2; break;
4480 217 : default: c = 4; break;
4481 : }
4482 4515 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
4483 : }
4484 : /* 7 */
4485 64582 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
4486 64582 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
4487 64582 : if (!gequal0(mr))
4488 : { /* not so frequent */
4489 58534 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
4490 58534 : E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama,pi));
4491 : }
4492 64582 : if (lE == 3)
4493 15498 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
4494 : }
4495 : }
4496 161924 : pv4 = gsqr(pv2);
4497 161924 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
4498 : /* 8 */
4499 161924 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
4500 : {
4501 4403 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
4502 4403 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
4503 : }
4504 : /* 9 */
4505 : {
4506 157521 : GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pol);
4507 157521 : E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(alpha, gsqr(pi)));
4508 157521 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
4509 3948 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
4510 : }
4511 : /* 10 */
4512 153573 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
4513 2534 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
4514 : /* 11 */
4515 151039 : E_gcompose_u(&ch, &e, pi);
4516 151039 : vD -= 12;
4517 151039 : }
4518 : }
4519 :
4520 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
4521 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
4522 : static GEN
4523 49231 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
4524 : {
4525 49231 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4526 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
4527 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
4528 :
4529 49231 : c4 = ell_get_c4(e);
4530 49231 : c6 = ell_get_c6(e);
4531 49231 : D = ell_get_disc(e);
4532 49231 : vD = nfval(nf,D,P);
4533 49231 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
4534 49231 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
4535 49231 : m = (vD - nuj)/12;
4536 49231 : piinv = get_piinv(P);
4537 49231 : pi = nfinv(nf, piinv); /* local uniformizer */
4538 :
4539 49231 : if(m <= 0) ch = init_ch();
4540 : else
4541 : { /* model not minimal */
4542 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
4543 13139 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
4544 13139 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
4545 13139 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
4546 13139 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
4547 13139 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
4548 13139 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
4549 13139 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
4550 13139 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
4551 13139 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
4552 13139 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
4553 13139 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
4554 13139 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
4555 13139 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
4556 13139 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
4557 13139 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
4558 13139 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
4559 13139 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
4560 13139 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
4561 : }
4562 :
4563 49231 : kod = 0; c = 1;
4564 : /* minimal at P */
4565 49231 : if (nuj > 0)
4566 : { /* v(j) < 0 */
4567 45864 : if (vD == nuj)
4568 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
4569 43771 : f = 1; kod = 4+vD;
4570 43771 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
4571 43771 : if (Fq_issquare(z,T,p))
4572 23226 : c = vD;/* split */
4573 : else
4574 20545 : c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
4575 : }
4576 : else
4577 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
4578 : GEN Du;
4579 2093 : f = 2; kod = 2-vD;
4580 2093 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
4581 2093 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
4582 2093 : if(odd(vD))
4583 : {
4584 : GEN c6u;
4585 1120 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
4586 1120 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
4587 1120 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
4588 : }
4589 2093 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
4590 : }
4591 : }
4592 : else
4593 : { /* v(j) >= 0 */
4594 3367 : f = vD? 2: 0;
4595 3367 : switch(vD)
4596 : {
4597 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
4598 63 : case 0: kod = 0; c = 1; break;
4599 588 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
4600 462 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
4601 273 : case 4: kod = 4;
4602 273 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
4603 273 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4604 273 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4605 273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4606 273 : break;
4607 623 : case 6: kod = -1;
4608 623 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
4609 623 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
4610 623 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4611 623 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
4612 623 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
4613 623 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
4614 623 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
4615 623 : break;
4616 609 : case 8: kod = -4;
4617 609 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
4618 609 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4619 609 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4620 609 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4621 609 : break;
4622 476 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
4623 273 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
4624 : }
4625 : }
4626 49231 : return localred_result(f,kod,c,ch);
4627 : }
4628 : static GEN
4629 97937 : nflocalred(GEN e, GEN pr)
4630 : {
4631 97937 : GEN p = pr_get_p(pr);
4632 97937 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0) { long ap; return nflocalred_23(e,pr,&ap); }
4633 49231 : return nflocalred_p(e,pr);
4634 : }
4635 :
4636 : GEN
4637 195153 : elllocalred(GEN e, GEN p)
4638 : {
4639 195153 : pari_sp av = avma;
4640 195153 : checkell(e);
4641 195153 : switch(ell_get_type(e))
4642 : {
4643 : case t_ELL_Q:
4644 97587 : if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
4645 0 : pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
4646 97587 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
4647 97587 : if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
4648 97587 : return gerepileupto(av, localred(e, p));
4649 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
4650 : case t_ELL_NF:
4651 97566 : checkprid(p);
4652 97566 : return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
4653 : }
4654 : }
4655 :
4656 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
4657 : static GEN
4658 392 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
4659 : {
4660 392 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
4661 392 : return c;
4662 : }
4663 : static GEN
4664 2284380 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
4665 : {
4666 2284380 : *pd = NULL;
4667 2284380 : switch(typ(c))
4668 : {
4669 2283148 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
4670 840 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
4671 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
4672 392 : if (nf)
4673 : {
4674 392 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
4675 392 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
4676 : }
4677 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
4678 0 : return NULL;
4679 : }
4680 : }
4681 : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
4682 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
4683 : GEN
4684 456876 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
4685 : {
4686 456876 : GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
4687 : long i, l, k;
4688 :
4689 456876 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
4690 456876 : L = cgetg(1, t_VEC);
4691 2741256 : for (i = 1; i < 6; i++)
4692 : {
4693 : GEN d;
4694 2284380 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
4695 2284380 : if (d) /* partial factorization of denominator */
4696 952 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
4697 : }
4698 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
4699 456876 : l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
4700 469 : L = ZV_sort_uniq(L);
4701 469 : l = lg(L);
4702 :
4703 469 : t = gen_1;
4704 1120 : for (k = 1; k < l; k++)
4705 : {
4706 651 : GEN p = gel(L,k);
4707 651 : long n = 0, m;
4708 3906 : for (i = 1; i < 6; i++)
4709 3255 : if (!gequal0(gel(a,i)))
4710 : {
4711 1666 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
4712 1666 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
4713 1666 : while (m < 0) { n++; m += r; }
4714 : }
4715 651 : t = mulii(t, powiu(p, n));
4716 : }
4717 469 : u = ginv(t);
4718 469 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4719 469 : return coordch_u(e, u);
4720 : }
4721 : GEN
4722 21 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
4723 : {
4724 21 : pari_sp av = avma;
4725 : long t;
4726 21 : checkell(e);
4727 21 : t = ell_get_type(e);
4728 21 : if (t != t_ELL_Q && t != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
4729 21 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
4730 21 : if (!pv || !*pv)
4731 : {
4732 7 : e = gerepilecopy(av, e);
4733 7 : if (pv) *pv = init_ch();
4734 : }
4735 : else
4736 14 : gerepileall(av, 2, &e, pv);
4737 21 : return e;
4738 : }
4739 :
4740 : static long
4741 1435 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4742 : {
4743 1435 : long N = 1; /* oo */
4744 1435 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4745 1288 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4746 1435 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4747 1162 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4748 1435 : return N;
4749 : }
4750 : static long
4751 2933 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4752 : {
4753 2933 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4754 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4755 2933 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4756 : }
4757 : static long
4758 1414 : cardmod2(GEN e)
4759 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4760 1414 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4761 1414 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4762 1414 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4763 1414 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4764 1414 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4765 1414 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4766 : }
4767 : static long
4768 2793 : cardmod3(GEN e)
4769 : {
4770 2793 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4771 2793 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4772 2793 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4773 2793 : return F3_card(b2,b4,b6);
4774 : }
4775 :
4776 : static ulong
4777 112 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4778 :
4779 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4780 : static void
4781 28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4782 : {
4783 28 : min_set_u(M, int2n(d));
4784 28 : min_set_c(M, E);
4785 28 : min_set_b(M);
4786 28 : min_set_a(M);
4787 28 : }
4788 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4789 : static void
4790 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4791 : {
4792 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4793 140 : min_set_c(M, E);
4794 140 : min_set_b(M);
4795 140 : }
4796 :
4797 : static long
4798 101003 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
4799 : {
4800 101003 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
4801 101003 : if (vD) /* bad reduction */
4802 : {
4803 : GEN c6;
4804 : long s;
4805 100695 : *good_red = 0;
4806 100695 : if (vc6) return 0;
4807 73752 : c6 = ell_get_c6(E);
4808 73752 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4809 73752 : s = kroiu(c6,p);
4810 73752 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4811 73752 : return s;
4812 : }
4813 308 : *good_red = 1;
4814 308 : if (p == 2)
4815 : {
4816 : ellmin_t M;
4817 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4818 21 : min_set_2(&M, E, d);
4819 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4820 : }
4821 287 : else if (p == 3)
4822 : {
4823 : ellmin_t M;
4824 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4825 140 : min_set_3(&M, E, d);
4826 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4827 : }
4828 : else
4829 : {
4830 : ellmin_t M;
4831 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4832 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4833 147 : min_set_c(&M, E);
4834 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4835 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4836 : }
4837 : }
4838 :
4839 : static GEN
4840 98553 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4841 : {
4842 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4843 : long vc6, vD, d;
4844 98553 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
4845 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4846 0 : D = ell_get_disc(E);
4847 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4848 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4849 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4850 0 : if (vD) /* bad reduction */
4851 : {
4852 : long s;
4853 0 : *good_red = 0;
4854 0 : if (vc6) return gen_0;
4855 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4856 0 : s = kronecker(c6,p);
4857 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4858 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4859 : }
4860 0 : *good_red = 1;
4861 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4862 0 : if (d)
4863 : {
4864 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4865 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4866 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4867 : }
4868 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4869 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4870 : }
4871 :
4872 : static GEN
4873 115054 : doellcard(GEN E)
4874 : {
4875 115054 : GEN fg = ellff_get_field(E);
4876 115054 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4877 94285 : return FF_ellcard(E);
4878 : else
4879 : {
4880 20769 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
4881 20769 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
4882 : }
4883 : }
4884 :
4885 : static GEN
4886 233506 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
4887 : {
4888 233506 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
4889 233506 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4890 233506 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4891 : {
4892 : long ap;
4893 49175 : GEN L = nflocalred_23(E,P,&ap), kod = gel(L,2);
4894 49175 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
4895 497 : *good_red = 1;
4896 497 : E = coordch(E, gel(L,3));
4897 497 : E = ellinit_nf_to_Fq(E, modP);
4898 497 : card = doellcard(E);
4899 : }
4900 : else
4901 : {
4902 184331 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
4903 184331 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
4904 184331 : if (vD)
4905 : {
4906 49224 : long vc6 = nfval(nf,c6,P), d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4907 49224 : GEN piinv = NULL;
4908 : /* non minimal model ? */
4909 49224 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; piinv = get_piinv(P); }
4910 49224 : if (vD) /* bad reduction */
4911 : {
4912 49175 : *good_red = 0;
4913 49175 : if (vc6) return gen_0;
4914 43820 : if (d) c6 = nfmul(nf, c6, nfpow(nf, piinv, stoi(6*d)));
4915 43820 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
4916 43820 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
4917 : }
4918 49 : if (d)
4919 : {
4920 49 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
4921 49 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
4922 49 : GEN ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
4923 49 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
4924 49 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
4925 : }
4926 : }
4927 135156 : *good_red = 1;
4928 135156 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
4929 135156 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
4930 135156 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
4931 272279 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
4932 137123 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
4933 : }
4934 135653 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
4935 : }
4936 :
4937 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
4938 : * basis */
4939 : static GEN
4940 454671 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
4941 : {
4942 : GEN P;
4943 454671 : if (!signe(a))
4944 1645 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
4945 453026 : else if (!signe(b))
4946 938 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
4947 : else
4948 : {
4949 452088 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
4950 : long k, l;
4951 452088 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
4952 343917 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
4953 343917 : B = diviiexact(b, coprime_part(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
4954 : /* d = gcd(A,B) */
4955 343917 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
4956 343917 : l = lg(P);
4957 343917 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
4958 343917 : P = shallowconcat1(P);
4959 343917 : P = ZV_sort(P);
4960 : }
4961 346500 : settyp(P, t_VEC); return P;
4962 : }
4963 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
4964 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
4965 : static GEN
4966 454538 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
4967 : {
4968 : pari_sp av;
4969 454538 : GEN D = ell_get_disc(E);
4970 454538 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4971 454538 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
4972 : long l, k;
4973 :
4974 454538 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
4975 454538 : l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
4976 346388 : DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
4977 346388 : av = avma;
4978 346388 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4979 346388 : u = gen_1;
4980 852117 : for (k = 1; k < l; k++)
4981 : {
4982 505729 : GEN p = gel(P, k);
4983 505729 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4984 505729 : if (d) switch(itou_or_0(p))
4985 : {
4986 : case 2:
4987 : {
4988 : long a, b;
4989 56840 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4990 56840 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4991 56840 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
4992 56840 : break;
4993 : }
4994 : case 3:
4995 2282 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4996 2282 : break;
4997 : }
4998 505729 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
4999 505729 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
5000 : }
5001 346388 : *pDP = DP;
5002 346388 : return gerepileuptoint(av, u);
5003 : }
5004 :
5005 : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
5006 : static GEN
5007 21 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
5008 : {
5009 21 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
5010 21 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
5011 21 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
5012 :
5013 21 : A1 = gmodgs(a1,2);
5014 21 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
5015 21 : s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
5016 21 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
5017 21 : r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
5018 21 : r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
5019 21 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
5020 21 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
5021 21 : t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
5022 21 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
5023 : }
5024 :
5025 : static GEN
5026 357 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
5027 : {
5028 357 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
5029 357 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
5030 : }
5031 : static GEN
5032 133 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
5033 : {
5034 133 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5035 133 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
5036 133 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
5037 133 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* prime ideals potentially dividing D */
5038 : }
5039 : static GEN
5040 91 : ellnf_D_primes(GEN E)
5041 : {
5042 91 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5043 91 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
5044 91 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
5045 91 : long k, l = lg(P);
5046 91 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
5047 91 : if (!is_pm1(DZ))
5048 : {
5049 77 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
5050 77 : settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
5051 : }
5052 91 : return P;
5053 : }
5054 :
5055 : static GEN
5056 42 : bnf_get_v(GEN bnf, GEN E, GEN *pDP)
5057 : {
5058 : GEN nf, c4, c6, P, DP, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
5059 : long l, k;
5060 :
5061 42 : nf = bnf_get_nf(bnf);
5062 42 : c4 = ell_get_c4(E); if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
5063 42 : c6 = ell_get_c6(E); if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
5064 42 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
5065 42 : l = lg(P);
5066 42 : DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
5067 42 : Lr = vectrunc_init(l);
5068 42 : Ls = vectrunc_init(l);
5069 42 : Lt = vectrunc_init(l);
5070 42 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
5071 42 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
5072 168 : for (k = 1; k < l; k++)
5073 : {
5074 126 : GEN pr = gel(P, k), q, f, v, u;
5075 : long vu;
5076 126 : if (c4 && !ZC_prdvd(nf,c4,pr)) continue;
5077 119 : if (c6 && !ZC_prdvd(nf,c6,pr)) continue;
5078 : /* pr | (c4,c6) */
5079 119 : q = nflocalred(E, pr);
5080 119 : f = gel(q,1);
5081 119 : v = gel(q,3);
5082 119 : u = gel(v,1);
5083 119 : vu = nfval(nf, u, pr);
5084 119 : if (signe(f)) vectrunc_append(DP, q); /* store useful localred data */
5085 119 : if (!vu) continue;
5086 70 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
5087 70 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
5088 70 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
5089 70 : vectrunc_append(L, pr);
5090 70 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
5091 : }
5092 42 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
5093 42 : *pDP = DP;
5094 42 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
5095 21 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
5096 21 : U = basistoalg(nf, gel(F,2));
5097 21 : R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
5098 21 : S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
5099 21 : T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
5100 21 : return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
5101 : }
5102 :
5103 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
5104 : * ellminimalmodel(E) */
5105 : static GEN
5106 456015 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
5107 : {
5108 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
5109 : ellmin_t M;
5110 456015 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
5111 : {
5112 1477 : if (lg(S) != 2)
5113 : {
5114 168 : E = gel(S,3);
5115 168 : v = gel(S,2);
5116 : }
5117 : else
5118 1309 : v = init_ch();
5119 1477 : if (ptv) *ptv = v;
5120 1477 : return gcopy(E);
5121 : }
5122 454538 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
5123 454538 : u = get_u(e, &DP);
5124 454538 : min_set_all(&M, e, u);
5125 454538 : v = min_get_v(&M, e);
5126 454538 : y = min_to_ell(&M, e);
5127 454538 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
5128 454538 : if (is_trivial_change(v))
5129 : {
5130 453474 : v = init_ch();
5131 453474 : S = mkvec(DP);
5132 : }
5133 : else
5134 1064 : S = mkvec3(DP, v, y);
5135 454538 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
5136 454538 : if (ptv) *ptv = v; return y;
5137 : }
5138 :
5139 : static GEN
5140 1414 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
5141 : {
5142 1414 : pari_sp av = avma;
5143 1414 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
5144 1414 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
5145 1414 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5146 1414 : DP = gel(S,1);
5147 1414 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
5148 1414 : if (!ptv)
5149 1379 : y = gerepilecopy(av, y);
5150 : else
5151 35 : { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
5152 1414 : return y;
5153 : }
5154 :
5155 : static GEN
5156 42 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
5157 : {
5158 : GEN S, y, v, v2, bnf, nf, DP;
5159 42 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
5160 : {
5161 0 : switch(lg(S))
5162 : {
5163 0 : case 2: v = init_ch(); break;
5164 0 : case 3: v = NULL; E = gel(S,2); break;
5165 0 : default: E = gel(S,3); v = gel(S,2); break;
5166 : }
5167 0 : if (ptv) *ptv = v;
5168 0 : return gcopy(E);
5169 : }
5170 42 : bnf = ellnf_get_bnf(E);
5171 42 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
5172 42 : if (ptv) *ptv = NULL;
5173 42 : nf = bnf_get_nf(bnf);
5174 42 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
5175 42 : v2 = bnf_get_v(bnf, y, &DP);
5176 42 : if (typ(v2) == t_COL)
5177 : {
5178 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec2(DP, v2));
5179 21 : return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
5180 : }
5181 21 : y = coordch(y, v2);
5182 21 : gcomposev(&v, v2);
5183 21 : v2 = nfrestrict23(nf, y);
5184 21 : y = coordch(y, v2);
5185 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
5186 21 : y = obj_reinit(y);
5187 21 : gcomposev(&v, v2);
5188 21 : if (is_trivial_change(v))
5189 : {
5190 7 : v = init_ch();
5191 7 : S = mkvec(DP);
5192 : }
5193 : else
5194 14 : S = mkvec3(DP, v, y);
5195 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
5196 21 : if (ptv) *ptv = v;
5197 21 : return y;
5198 : }
5199 : static GEN
5200 42 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
5201 : {
5202 42 : pari_sp av = avma;
5203 42 : GEN S, v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
5204 42 : S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL);
5205 42 : if (v) /* true change of variable; v = NULL => no minimal model */
5206 : {
5207 21 : S = mkvec(gel(S,1));
5208 21 : if (!is_trivial_change(v)) (void)ch_Rg(y, E, v);
5209 21 : obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, S);
5210 : }
5211 42 : if (!v || !ptv)
5212 21 : y = gerepilecopy(av, y);
5213 : else
5214 21 : { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
5215 42 : return y;
5216 : }
5217 : GEN
5218 1463 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
5219 : {
5220 1463 : checkell(E);
5221 1463 : switch(ell_get_type(E))
5222 : {
5223 1414 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
5224 42 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
5225 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
5226 0 : return NULL;
5227 : }
5228 : }
5229 :
5230 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
5231 : * update type-dependant components.
5232 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
5233 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
5234 : * N = arithmetic conductor of E
5235 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
5236 : * fa = factorization of N
5237 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
5238 : static GEN
5239 454174 : ellQ_globalred(GEN e)
5240 : {
5241 : long k, l, iN;
5242 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
5243 :
5244 454174 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
5245 454174 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5246 454174 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
5247 454174 : D = ell_get_disc(E);
5248 454174 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
5249 454174 : if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
5250 454174 : l = lg(P); c = gen_1;
5251 454174 : iN = 1;
5252 454174 : NP = cgetg(l, t_COL);
5253 454174 : NE = cgetg(l, t_COL);
5254 454174 : L = cgetg(l, t_VEC);
5255 1937362 : for (k = 1; k < l; k++)
5256 : {
5257 1483188 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
5258 1483188 : if (!signe(ex)) continue;
5259 1483188 : gel(NP, iN) = p;
5260 1483188 : gel(NE, iN) = ex;
5261 1483188 : gel(L, iN) = q; iN++;
5262 1483188 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
5263 1483188 : c = mulii(c, gel(q,4));
5264 : }
5265 454174 : setlg(L, iN);
5266 454174 : setlg(NP, iN);
5267 454174 : setlg(NE, iN);
5268 454174 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
5269 : }
5270 : static GEN
5271 463981 : ellglobalred_i(GEN E)
5272 463981 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
5273 :
5274 : static GEN
5275 91 : ellnfglobalred(GEN E)
5276 : {
5277 : GEN c, L, P, NP, NE, D, nf, v;
5278 : long k, lP, iN;
5279 :
5280 91 : E = ellintegralmodel_i(E, &v);
5281 91 : if (!v) v = init_ch();
5282 91 : nf = ellnf_get_nf(E);
5283 91 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
5284 91 : lP = lg(P);
5285 91 : D = ell_get_disc(E);
5286 91 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
5287 :
5288 91 : c = gen_1;
5289 91 : iN = 1;
5290 91 : NP = cgetg(lP, t_COL);
5291 91 : NE = cgetg(lP, t_COL);
5292 91 : L = cgetg(lP, t_VEC);
5293 469 : for (k = 1; k < lP; k++)
5294 : {
5295 378 : GEN p = gel(P,k), q, ex;
5296 378 : if (D && !ZC_prdvd(nf, D, p)) continue;
5297 :
5298 252 : q = nflocalred(E, p),
5299 252 : ex = gel(q,1);
5300 252 : if (!signe(ex)) continue;
5301 210 : gel(NP, iN) = p;
5302 210 : gel(NE, iN) = ex;
5303 210 : gel(L, iN) = q; iN++;
5304 210 : c = mulii(c, gel(q,4));
5305 : }
5306 91 : setlg(L, iN);
5307 91 : setlg(NP, iN);
5308 91 : setlg(NE, iN);
5309 91 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
5310 : }
5311 :
5312 : GEN
5313 453390 : ellglobalred(GEN E)
5314 : {
5315 453390 : pari_sp av = avma;
5316 : GEN S, gr, v;
5317 453390 : checkell(E);
5318 453390 : switch(ell_get_type(E))
5319 : {
5320 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
5321 : case t_ELL_Q:
5322 453180 : gr = ellglobalred_i(E);
5323 453180 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5324 453180 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
5325 453180 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
5326 453180 : break;
5327 : case t_ELL_NF:
5328 210 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
5329 210 : break;
5330 : }
5331 453390 : return gerepilecopy(av, v);
5332 : }
5333 :
5334 : static GEN doellrootno(GEN e);
5335 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
5336 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
5337 : * and E (shallow insert) */
5338 : GEN
5339 2002 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
5340 : {
5341 2002 : GEN E, S, v = NULL;
5342 2002 : checkell_Q(e);
5343 2002 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5344 : {
5345 399 : E = ellminimalmodel_i(e, &v);
5346 399 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5347 399 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5348 : }
5349 1603 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
5350 1589 : E = e;
5351 : else
5352 : {
5353 14 : v = gel(S,2);
5354 14 : E = gcopy(gel(S,3));
5355 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5356 : }
5357 2002 : if (ch) *ch = v;
5358 2002 : S = ellglobalred_i(e);
5359 2002 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
5360 2002 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
5361 2002 : if (!S)
5362 : {
5363 616 : S = doellrootno(E);
5364 616 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
5365 : }
5366 2002 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
5367 2002 : return E;
5368 : }
5369 :
5370 : /********************************************************************/
5371 : /** **/
5372 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
5373 : /** **/
5374 : /********************************************************************/
5375 : /* x a t_INT */
5376 : static long
5377 1092 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
5378 : {
5379 : long v;
5380 : GEN z;
5381 1092 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
5382 938 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
5383 938 : *u = umodiu(z,pk); return v;
5384 : }
5385 : static void
5386 364 : val_init(GEN e, long p, long pk,
5387 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
5388 : {
5389 364 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
5390 364 : pari_sp av = avma;
5391 364 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
5392 364 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
5393 364 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
5394 364 : }
5395 :
5396 : static long
5397 364 : kod_23(GEN e, long p)
5398 : {
5399 : GEN S, nv;
5400 364 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
5401 : {
5402 350 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
5403 350 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
5404 : }
5405 : else
5406 14 : nv = localred_23(e, p);
5407 364 : return itos(gel(nv,2));
5408 : }
5409 :
5410 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5411 : static long
5412 168 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
5413 : {
5414 168 : if (kod > 4) return 1;
5415 133 : switch(kod)
5416 : {
5417 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
5418 : case 2:
5419 7 : if (vD==4) return 1;
5420 : else
5421 : {
5422 0 : if (vD==7) return 3;
5423 0 : else return v4==4 ? 2 : 4;
5424 : }
5425 : case 3:
5426 63 : switch(vD)
5427 : {
5428 42 : case 6: return 3;
5429 0 : case 8: return 4;
5430 14 : case 9: return 5;
5431 7 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
5432 : }
5433 35 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
5434 : case -1:
5435 0 : switch(vD)
5436 : {
5437 0 : case 9: return 2;
5438 0 : case 10: return 4;
5439 0 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
5440 : }
5441 : case -2:
5442 7 : switch(vD)
5443 : {
5444 7 : case 12: return 2;
5445 0 : case 14: return 3;
5446 0 : default: return 1;
5447 : }
5448 : case -3:
5449 0 : switch(vD)
5450 : {
5451 0 : case 12: return 2;
5452 0 : case 14: return 3;
5453 0 : case 15: return 4;
5454 0 : default: return 1;
5455 : }
5456 7 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
5457 14 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
5458 : case -6:
5459 0 : switch(vD)
5460 : {
5461 0 : case 12: return 2;
5462 0 : case 13: return 3;
5463 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5464 : }
5465 0 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
5466 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5467 : }
5468 : }
5469 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5470 : static long
5471 154 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
5472 : {
5473 154 : if (labs(kod) > 4) return 1;
5474 133 : switch(kod)
5475 : {
5476 77 : case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
5477 14 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
5478 : case -4: case 2:
5479 35 : switch (vD%6)
5480 : {
5481 0 : case 4: return 3;
5482 0 : case 5: return 4;
5483 35 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
5484 : }
5485 : default: /* kod = -2 et 4 */
5486 7 : switch (vD%6)
5487 : {
5488 0 : case 0: return 2;
5489 0 : case 1: return 3;
5490 7 : default: return 1;
5491 : }
5492 : }
5493 : }
5494 :
5495 : static long
5496 168 : ellrootno_2(GEN e)
5497 : {
5498 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
5499 168 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
5500 :
5501 168 : if (!vD) return 1;
5502 168 : if (d) { /* not minimal */
5503 : ellmin_t M;
5504 7 : min_set_2(&M, e, d);
5505 7 : min_set_D(&M, e);
5506 7 : e = min_to_ell(&M, e);
5507 : }
5508 168 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5509 168 : kod = kod_23(e,2);
5510 168 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
5511 168 : if (kod>=5)
5512 : {
5513 : long a2, a3;
5514 35 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
5515 35 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
5516 35 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
5517 : }
5518 133 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
5519 133 : x1 = u+v+v;
5520 133 : switch(kod)
5521 : {
5522 0 : case 1: return 1;
5523 : case 2:
5524 7 : switch(n2)
5525 : {
5526 : case 1:
5527 7 : switch(v4)
5528 : {
5529 7 : case 4: return kross(-1,u);
5530 0 : case 5: return 1;
5531 0 : default: return -1;
5532 : }
5533 0 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
5534 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
5535 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
5536 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
5537 : }
5538 : case 3:
5539 63 : switch(n2)
5540 : {
5541 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
5542 0 : case 2: return -kross(2,v);
5543 42 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
5544 42 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
5545 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
5546 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
5547 : }
5548 : case -1:
5549 0 : switch(n2)
5550 : {
5551 0 : case 1: return -kross(2,x1);
5552 0 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
5553 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
5554 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
5555 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
5556 : }
5557 7 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
5558 : case -3:
5559 0 : switch(n2)
5560 : {
5561 0 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
5562 0 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
5563 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
5564 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
5565 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
5566 : }
5567 : case -5:
5568 14 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
5569 0 : else return -kross(2,2*u+v);
5570 : case -6:
5571 0 : switch(n2)
5572 : {
5573 0 : case 1: return 1;
5574 0 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
5575 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
5576 : }
5577 : case -7:
5578 0 : if (n2==1) return 1;
5579 : else
5580 : {
5581 0 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
5582 0 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
5583 0 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
5584 : }
5585 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
5586 0 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
5587 42 : default: return -1;
5588 : }
5589 : }
5590 :
5591 : static long
5592 196 : ellrootno_3(GEN e)
5593 : {
5594 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
5595 196 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
5596 :
5597 196 : if (!vD) return 1;
5598 196 : if (d) { /* not minimal */
5599 : ellmin_t M;
5600 0 : min_set_3(&M, e, d);
5601 0 : min_set_a(&M);
5602 0 : min_set_D(&M, e);
5603 0 : e = min_to_ell(&M, e);
5604 : }
5605 196 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5606 196 : kod = kod_23(e,3);
5607 196 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
5608 154 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
5609 154 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
5610 154 : switch(kod)
5611 : {
5612 14 : case 1: case 3: case -3: return 1;
5613 : case 2:
5614 7 : switch(n2)
5615 : {
5616 7 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
5617 0 : case 2: return -K4*K6;
5618 0 : case 3: return 1;
5619 0 : case 4: return -K6;
5620 : }
5621 : case 4:
5622 7 : switch(n2)
5623 : {
5624 7 : case 1: return K6*kross(D1,3);
5625 0 : case 2: return -K4;
5626 0 : case 3: return -K6;
5627 : }
5628 0 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5629 : case -4:
5630 28 : switch(n2)
5631 : {
5632 : case 1:
5633 28 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5634 28 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5635 0 : case 2: return -K6;
5636 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5637 0 : case 4: return K6;
5638 : }
5639 98 : default: return -1;
5640 : }
5641 : }
5642 :
5643 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
5644 : static long
5645 798 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
5646 : {
5647 : long nuj, nuD, nu;
5648 798 : GEN D = ell_get_disc(e);
5649 : long ep, z;
5650 :
5651 798 : nuD = Q_pval(D, p);
5652 798 : if (!nuD) return 1;
5653 798 : nuj = j_pval(e, p);
5654 798 : nu = (nuD - nuj) % 12;
5655 798 : if (nu == 0)
5656 : {
5657 : GEN c6;
5658 : long d, vg;
5659 546 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
5660 : /* p || N */
5661 546 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
5662 546 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
5663 546 : d = vg / 12;
5664 546 : if (d)
5665 : {
5666 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
5667 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
5668 : }
5669 546 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
5670 : /* c6 in minimal model */
5671 546 : return -kronecker(negi(c6), p);
5672 : }
5673 252 : if (nuj) return krosi(-1,p);
5674 224 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
5675 224 : if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
5676 224 : return krosi(-z, p);
5677 : }
5678 :
5679 : static GEN
5680 630 : doellrootno(GEN e)
5681 : {
5682 630 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
5683 630 : long i, l, s = -1;
5684 :
5685 630 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5686 630 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
5687 630 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
5688 630 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
5689 1771 : for (i = 1; i < l; i++)
5690 : {
5691 1141 : GEN p = gel(P,i);
5692 : long t;
5693 1141 : switch(itou_or_0(p))
5694 : {
5695 154 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
5696 196 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
5697 791 : default:t = ellrootno_p(e, p);
5698 : }
5699 1141 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
5700 : }
5701 630 : return mkvec2(stoi(s), V);
5702 : }
5703 : long
5704 1666 : ellrootno_global(GEN e)
5705 : {
5706 1666 : pari_sp av = avma;
5707 1666 : GEN S = obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno);
5708 1666 : avma = av; return itos(gel(S,1));
5709 : }
5710 :
5711 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
5712 : * Global if p==1 or NULL. */
5713 : long
5714 42 : ellrootno(GEN e, GEN p)
5715 : {
5716 42 : pari_sp av = avma;
5717 : GEN S;
5718 : long s;
5719 42 : checkell_Q(e);
5720 42 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
5721 28 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
5722 28 : if (signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
5723 28 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
5724 28 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
5725 : {
5726 7 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
5727 7 : long i = ZV_search(NP, p);
5728 7 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
5729 0 : return 1;
5730 : }
5731 21 : switch(itou_or_0(p))
5732 : {
5733 : case 2:
5734 14 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5735 14 : s = ellrootno_2(e); break;
5736 : case 3:
5737 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5738 0 : s = ellrootno_3(e); break;
5739 : default:
5740 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
5741 : }
5742 21 : avma = av; return s;
5743 : }
5744 :
5745 : /********************************************************************/
5746 : /** **/
5747 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
5748 : /** **/
5749 : /********************************************************************/
5750 :
5751 : /* assume p does not divide disc E */
5752 : long
5753 440548 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
5754 : {
5755 : ulong a4, a6;
5756 440548 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
5757 439589 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
5758 438196 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5759 438196 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5760 : }
5761 :
5762 : static void
5763 693 : checkell_int(GEN e)
5764 : {
5765 693 : checkell_Q(e);
5766 1386 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
5767 1386 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
5768 1386 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
5769 1386 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
5770 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
5771 693 : }
5772 :
5773 : long
5774 1939 : ellQ_get_CM(GEN e)
5775 : {
5776 1939 : GEN j = ell_get_j(e);
5777 1939 : long CM = 0;
5778 1939 : if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
5779 : {
5780 : case 0:
5781 107 : if (!signe(j)) CM = -3;
5782 107 : break;
5783 98 : case 1728: CM = -4; break;
5784 7 : case -3375: CM = -7; break;
5785 7 : case 8000: CM = -8; break;
5786 7 : case 54000: CM = -12; break;
5787 35 : case -32768: CM = -11; break;
5788 7 : case 287496: CM = -16; break;
5789 7 : case -884736: CM = -19; break;
5790 7 : case -12288000: CM = -27; break;
5791 7 : case 16581375: CM = -28; break;
5792 7 : case -884736000: CM = -43; break;
5793 : #ifdef LONG_IS_64BIT
5794 6 : case -147197952000L: CM = -67; break;
5795 6 : case -262537412640768000L: CM = -163; break;
5796 : #endif
5797 : }
5798 1939 : return CM;
5799 : }
5800 :
5801 : /* bad reduction at p */
5802 : static void
5803 2394 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
5804 : {
5805 : ulong m, N;
5806 2394 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
5807 : {
5808 : case -1: /* non-split */
5809 553 : N = n/p;
5810 408498 : for (m=2; m<=N; m++)
5811 407945 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
5812 553 : break;
5813 : case 0: /* additive */
5814 1211 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
5815 1211 : break;
5816 : case 1: /* split */
5817 630 : N = n/p;
5818 282726 : for (m=2; m<=N; m++)
5819 282096 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
5820 630 : break;
5821 : }
5822 2394 : }
5823 : /* good reduction at p */
5824 : static void
5825 438581 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
5826 : {
5827 438581 : const long ap = an[p];
5828 : ulong m;
5829 438581 : if (p <= SQRTn) {
5830 8265 : ulong pk, oldpk = 1;
5831 32719 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
5832 : {
5833 24454 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
5834 9186535 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
5835 9162081 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
5836 : }
5837 : } else {
5838 2882304 : for (m = n/p; m > 1; m--)
5839 2451988 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
5840 : }
5841 438581 : }
5842 : static void
5843 440975 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
5844 : {
5845 440975 : if (good_red)
5846 438581 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
5847 : else
5848 2394 : sievep_bad(p, an, n);
5849 440975 : }
5850 :
5851 : static long
5852 440975 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
5853 : {
5854 440975 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
5855 2450 : return ellQap_u(e, p, good_red);
5856 : else /* good reduction */
5857 : {
5858 438525 : *good_red = 1;
5859 438525 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
5860 : }
5861 : }
5862 : GEN
5863 1421 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
5864 : {
5865 : pari_sp av;
5866 1421 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
5867 : GEN an;
5868 : int CM;
5869 :
5870 1421 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
5871 1421 : if (n >= LGBITS)
5872 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
5873 1421 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
5874 1421 : SQRTn = usqrt(n);
5875 1421 : CM = ellQ_get_CM(e);
5876 :
5877 1421 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
5878 1421 : an[1] = 1; av = avma;
5879 4512460 : for (p=2; p<=n; p++)
5880 : {
5881 : int good_red;
5882 4511039 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
5883 440975 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
5884 440975 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
5885 : }
5886 1421 : avma = av; return an;
5887 : }
5888 :
5889 : static GEN
5890 805 : ellanQ(GEN e, long N)
5891 : {
5892 805 : GEN v = ellanQ_zv(e, N);
5893 : long i;
5894 805 : for (i = 1; i <= N; i++) gel(v,i) = stoi(v[i]);
5895 805 : settyp(v, t_VEC); return v;
5896 : }
5897 :
5898 : static GEN
5899 135590 : ellnflocal(void *S, GEN p)
5900 : {
5901 135590 : pari_sp av = avma;
5902 135590 : GEN gS = (GEN)S, E = gel(gS,1), N = gel(gS,2);
5903 135590 : GEN LP = idealprimedec_limit_norm(ellnf_get_nf(E), p, N), T = NULL;
5904 135590 : long l = lg(LP), i;
5905 271481 : for (i = 1; i < l; i++)
5906 : {
5907 : int goodred;
5908 135891 : GEN P = gel(LP,i), T2;
5909 135891 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
5910 135891 : long f = pr_get_f(P);
5911 135891 : if (goodred)
5912 135618 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
5913 : else
5914 : {
5915 273 : if (!signe(ap)) continue;
5916 245 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
5917 : }
5918 135863 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
5919 135863 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
5920 : }
5921 135590 : if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
5922 75740 : return gerepileupto(av, ginv(T));
5923 : }
5924 :
5925 : static GEN
5926 245 : ellnfan(GEN E, long N)
5927 : {
5928 245 : GEN gN = stoi(N);
5929 245 : return direuler((void*)mkvec2(E,gN), &ellnflocal, gen_2, gN, NULL);
5930 : }
5931 : GEN
5932 1043 : ellan(GEN E, long N)
5933 : {
5934 1043 : checkell(E);
5935 1043 : switch(ell_get_type(E))
5936 : {
5937 798 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
5938 245 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
5939 : default:
5940 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
5941 0 : return NULL; /*NOT REACHED*/
5942 : }
5943 : }
5944 :
5945 : static GEN
5946 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
5947 : {
5948 : GEN u, v, w;
5949 : long j;
5950 735 : if (e == 1) return ap;
5951 112 : u = ap;
5952 112 : w = subii(sqri(ap), p);
5953 126 : for (j=3; j<=e; j++)
5954 : {
5955 14 : v = u; u = w;
5956 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
5957 : }
5958 112 : return w;
5959 : }
5960 :
5961 : GEN
5962 693 : akell(GEN e, GEN n)
5963 : {
5964 : long i, j, s;
5965 693 : pari_sp av = avma;
5966 : GEN fa, P, E, D, u, y;
5967 :
5968 693 : checkell_int(e);
5969 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
5970 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
5971 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
5972 693 : D = ell_get_disc(e);
5973 693 : u = coprime_part(n, D);
5974 693 : y = gen_1;
5975 693 : s = 1;
5976 693 : if (!equalii(u, n))
5977 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
5978 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
5979 441 : P = gel(fa,1);
5980 441 : E = gel(fa,2);
5981 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5982 : {
5983 581 : GEN p = gel(P,i);
5984 581 : long ex = itos(gel(E,i));
5985 : int good_red;
5986 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
5987 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
5988 350 : j = signe(ap);
5989 350 : if (!j) { avma = av; return gen_0; }
5990 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
5991 : }
5992 : }
5993 693 : if (s < 0) y = negi(y);
5994 693 : fa = Z_factor(u);
5995 693 : P = gel(fa,1);
5996 693 : E = gel(fa,2);
5997 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5998 : { /* good reduction */
5999 504 : GEN p = gel(P,i);
6000 504 : GEN ap = ellap(e,p);
6001 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
6002 : }
6003 693 : return gerepileuptoint(av,y);
6004 : }
6005 :
6006 : GEN
6007 7581 : ellQ_get_N(GEN e)
6008 7581 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
6009 : void
6010 588 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
6011 588 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
6012 :
6013 : GEN
6014 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
6015 : {
6016 14 : pari_sp av = avma, av1;
6017 : ulong l, n;
6018 : long eps, flun;
6019 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
6020 :
6021 14 : if (!A) A = gen_1;
6022 : else
6023 : {
6024 7 : if (gsigne(A)<=0)
6025 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
6026 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
6027 : }
6028 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
6029 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
6030 14 : checkell_Q(e);
6031 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
6032 14 : N = ellQ_get_N(e);
6033 14 : eps = ellrootno_global(e);
6034 14 : if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
6035 :
6036 14 : gs = ggamma(s, prec);
6037 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
6038 14 : cga = gmul(cg, A);
6039 14 : cgb = gdiv(cg, A);
6040 42 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
6041 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
6042 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
6043 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
6044 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
6045 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
6046 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
6047 14 : z = gen_0;
6048 14 : av1 = avma;
6049 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
6050 : {
6051 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
6052 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
6053 1330 : if (!signe(an)) continue;
6054 :
6055 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
6056 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
6057 1106 : if (flun)
6058 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
6059 : else
6060 : {
6061 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
6062 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
6063 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
6064 : }
6065 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
6066 1106 : if (gc_needed(av1,1))
6067 : {
6068 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
6069 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
6070 : }
6071 : }
6072 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
6073 : }
6074 :
6075 : /********************************************************************/
6076 : /** **/
6077 : /** CANONICAL HEIGHT **/
6078 : /** **/
6079 : /********************************************************************/
6080 :
6081 : static GEN
6082 329 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
6083 :
6084 : /* one root of X^2 - t X + c */
6085 : static GEN
6086 973 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
6087 : {
6088 973 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
6089 : }
6090 :
6091 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
6092 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
6093 : static GEN
6094 973 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
6095 : {
6096 973 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
6097 973 : long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
6098 :
6099 973 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
6100 973 : ab = ellR_ab(e, p);
6101 973 : a = gel(ab, 1);
6102 973 : b = gel(ab, 2);
6103 973 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
6104 973 : x = gsub(x, e1);
6105 973 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
6106 :
6107 973 : x_a = gsub(x, a);
6108 973 : if (gsigne(a) > 0)
6109 : {
6110 84 : GEN a0 = a;
6111 84 : x = gsub(x, b);
6112 84 : a = gneg(b);
6113 84 : b = gsub(a0, b);
6114 : }
6115 973 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
6116 973 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
6117 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
6118 5188 : for(n=0; ; n++)
6119 : {
6120 5188 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
6121 5188 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
6122 5188 : r = gsub(a, a0);
6123 5188 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
6124 4215 : ab = gmul(a0, b);
6125 4215 : b = gsqrt(ab, prec);
6126 :
6127 4215 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
6128 4215 : p2 = gsqr(a);
6129 4215 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
6130 4215 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
6131 4215 : }
6132 973 : if (n) {
6133 973 : x = gel(V,n);
6134 973 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
6135 : } else {
6136 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
6137 : }
6138 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
6139 1526 : return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
6140 1526 : : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
6141 : }
6142 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
6143 : static int
6144 973 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
6145 : {
6146 973 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
6147 973 : return gcmp(x, e1) >= 0;
6148 : }
6149 :
6150 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
6151 : static GEN
6152 973 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
6153 : {
6154 973 : pari_sp av = avma;
6155 : GEN h;
6156 973 : checkell_Q(E);
6157 973 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
6158 : {
6159 420 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
6160 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
6161 420 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
6162 : }
6163 : else
6164 553 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
6165 973 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
6166 973 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
6167 : }
6168 : GEN
6169 868 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
6170 :
6171 : static GEN
6172 217 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
6173 217 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
6174 : static GEN
6175 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6176 : {
6177 35 : pari_sp av = avma;
6178 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
6179 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
6180 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
6181 : }
6182 : GEN
6183 35 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
6184 35 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
6185 : GEN
6186 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6187 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
6188 :
6189 : GEN
6190 133 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6191 : {
6192 : long i, lx;
6193 133 : pari_sp av = avma;
6194 : GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
6195 : GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
6196 :
6197 133 : checkell_Q(e);
6198 133 : checkellpt(a);
6199 133 : if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
6200 133 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
6201 126 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
6202 : { /* switch to minimal model if needed */
6203 98 : if (lg(S) != 2)
6204 : {
6205 7 : v = gel(S,2);
6206 7 : e = gel(S,3);
6207 7 : a = ellchangepoint(a, v);
6208 : }
6209 : }
6210 : else
6211 : {
6212 28 : e = ellminimalmodel_i(e, &v);
6213 28 : a = ellchangepoint(a, v);
6214 : }
6215 126 : if (!oncurve(e,a))
6216 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
6217 119 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6218 119 : if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
6219 105 : x = gel(a,1);
6220 105 : y = gel(a,2);
6221 105 : b2 = ell_get_b2(e);
6222 105 : b4 = ell_get_b4(e);
6223 105 : b6 = ell_get_b6(e);
6224 105 : b8 = ell_get_b8(e);
6225 105 : psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
6226 : poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
6227 : );
6228 105 : if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
6229 105 : a1 = ell_get_a1(e);
6230 105 : a2 = ell_get_a2(e);
6231 105 : a4 = ell_get_a4(e);
6232 105 : phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
6233 : poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
6234 : );
6235 105 : c4 = ell_get_c4(e);
6236 105 : D = ell_get_disc(e);
6237 105 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6238 105 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6239 105 : lx = lg(Lp);
6240 217 : for (i=1; i<lx; i++)
6241 : {
6242 112 : GEN p = gel(Lp,i);
6243 : long u, v, n, n2;
6244 112 : if (signe(remii(c4,p)))
6245 : { /* p \nmid c4 */
6246 35 : long N = Z_pval(D,p);
6247 35 : if (!N) continue;
6248 35 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6249 35 : if (n > N) n = N;
6250 35 : u = n * ((N<<1) - n);
6251 35 : v = N << 3;
6252 : }
6253 : else
6254 : {
6255 77 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6256 77 : n = Z_pval(psi3, p);
6257 77 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6258 : }
6259 : /* z -= u log(p) / v */
6260 112 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6261 : }
6262 105 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
6263 : }
6264 :
6265 : GEN
6266 28 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6267 : {
6268 : GEN y, D;
6269 28 : long lx = lg(x), i, j;
6270 28 : pari_sp av = avma;
6271 :
6272 28 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6273 28 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6274 28 : y = cgetg(lx,t_MAT);
6275 105 : for (i=1; i<lx; i++)
6276 : {
6277 77 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6278 77 : gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
6279 : }
6280 105 : for (i=1; i<lx; i++)
6281 : {
6282 77 : gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
6283 147 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6284 : {
6285 70 : GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6286 70 : h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
6287 70 : gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
6288 : }
6289 : }
6290 28 : return gerepilecopy(av,y);
6291 : }
6292 : GEN
6293 7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6294 7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6295 :
6296 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6297 : static GEN
6298 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
6299 : {
6300 21 : long l = lg(P);
6301 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6302 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
6303 : else
6304 : {
6305 7 : GEN y = cgetg(l, typ(P));
6306 : long i;
6307 7 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
6308 7 : return y;
6309 : }
6310 : }
6311 : static GEN
6312 7 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
6313 : {
6314 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6315 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6316 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6317 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6318 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6319 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6320 7 : if (is_matvec_t(t2))
6321 : {
6322 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6323 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6324 0 : return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
6325 : }
6326 7 : return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
6327 : }
6328 : GEN
6329 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6330 7 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
6331 : /********************************************************************/
6332 : /** **/
6333 : /** Modular Parametrization **/
6334 : /** **/
6335 : /********************************************************************/
6336 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6337 : static GEN
6338 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6339 : {
6340 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6341 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
6342 0 : gel(s,2) = t; return s;
6343 : }
6344 :
6345 : GEN
6346 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6347 : {
6348 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6349 : long n, m;
6350 14 : pari_sp av = avma;
6351 :
6352 14 : checkell_Q(e);
6353 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
6354 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
6355 :
6356 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
6357 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
6358 7 : d = ginv(gtoser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
6359 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
6360 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6361 7 : c = gsqr(d);
6362 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
6363 : * Take derivative then divide by 2x':
6364 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
6365 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
6366 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
6367 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
6368 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
6369 : * */
6370 7 : C = c+4;
6371 7 : X = x+4;
6372 7 : gel(X,-2) = gen_1;
6373 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
6374 7 : b2 = ell_get_b2(e);
6375 7 : b4 = ell_get_b4(e);
6376 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
6377 : {
6378 105 : pari_sp av2 = avma;
6379 : GEN s1, s2, s3;
6380 105 : if (n != 2)
6381 : {
6382 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
6383 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
6384 98 : s2 = gen_0;
6385 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
6386 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
6387 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
6388 98 : s1 = gen_0;
6389 98 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
6390 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
6391 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
6392 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
6393 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
6394 : }
6395 : else
6396 : {
6397 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
6398 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
6399 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
6400 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
6401 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
6402 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
6403 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
6404 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
6405 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
6406 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
6407 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
6408 7 : w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
6409 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
6410 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
6411 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
6412 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
6413 7 : s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
6414 : }
6415 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
6416 : }
6417 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
6418 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
6419 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
6420 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
6421 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
6422 : }
6423 :
6424 : /********************************************************************/
6425 : /** **/
6426 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
6427 : /** **/
6428 : /********************************************************************/
6429 : static GEN
6430 903 : doellff_get_o(GEN E)
6431 : {
6432 903 : GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
6433 903 : return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
6434 : }
6435 : GEN
6436 1183 : ellff_get_o(GEN E)
6437 1183 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
6438 :
6439 : GEN
6440 126 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
6441 : {
6442 126 : pari_sp av = avma;
6443 : GEN fg, r;
6444 126 : checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
6445 126 : fg = ellff_get_field(E);
6446 126 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
6447 126 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6448 84 : r = FF_elllog(E, a, g, o);
6449 : else
6450 : {
6451 42 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6452 42 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
6453 42 : GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
6454 42 : r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
6455 : }
6456 126 : return gerepileuptoint(av, r);
6457 : }
6458 :
6459 : GEN
6460 280 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6461 : {
6462 : GEN fg;
6463 280 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
6464 273 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
6465 273 : fg = ellff_get_field(E);
6466 273 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6467 28 : return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
6468 : else
6469 : {
6470 245 : pari_sp av = avma;
6471 245 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6472 490 : GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
6473 490 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
6474 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
6475 : }
6476 : }
6477 :
6478 : GEN
6479 294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6480 : {
6481 : GEN fg;
6482 294 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
6483 294 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
6484 294 : fg = ellff_get_field(E);
6485 294 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6486 91 : return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
6487 : else
6488 : {
6489 203 : pari_sp av = avma;
6490 203 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6491 406 : GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
6492 406 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
6493 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
6494 : }
6495 : }
6496 :
6497 : /* E/Q, return cardinality including the (possible) ramified point */
6498 : static GEN
6499 2772938 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
6500 : {
6501 2772938 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
6502 2772938 : if (!signe(D))
6503 : {
6504 97972 : pari_sp av = avma;
6505 97972 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
6506 97972 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
6507 : }
6508 2674966 : *good_red = 1;
6509 2674966 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
6510 2674511 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
6511 2673111 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
6512 2673111 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
6513 : }
6514 :
6515 : static GEN
6516 3052352 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
6517 : {
6518 : GEN q;
6519 3052352 : if (p) switch(typ(p))
6520 : {
6521 : case t_INT:
6522 2795849 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
6523 2795842 : break;
6524 : case t_VEC:
6525 97755 : q = get_prid(p);
6526 97755 : if (q) { p = q; break; }
6527 7 : default: pari_err_TYPE(s,p);
6528 : }
6529 3052338 : checkell(E);
6530 3052339 : switch(ell_get_type(E))
6531 : {
6532 : case t_ELL_Qp:
6533 14 : q = ellQp_get_p(E);
6534 14 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
6535 14 : return q;
6536 :
6537 : case t_ELL_Fp:
6538 : case t_ELL_Fq:
6539 179440 : q = ellff_get_p(E);
6540 179440 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
6541 179440 : return q;
6542 : case t_ELL_NF:
6543 : case t_ELL_Q:
6544 2872884 : if (p) return p;
6545 : default:
6546 14 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
6547 0 : return NULL;/*not reached*/
6548 : }
6549 : }
6550 :
6551 : GEN
6552 2922962 : ellap(GEN E, GEN p)
6553 : {
6554 2922962 : pari_sp av = avma;
6555 : GEN q, card;
6556 : int goodred;
6557 2922962 : p = checkellp(E, p, "ellap");
6558 2922941 : switch(ell_get_type(E))
6559 : {
6560 : case t_ELL_Fp:
6561 91 : q = p; card = ellff_get_card(E);
6562 91 : break;
6563 : case t_ELL_Fq:
6564 54460 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
6565 54460 : break;
6566 : case t_ELL_Q:
6567 2770796 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6568 2770796 : break;
6569 : case t_ELL_NF:
6570 97594 : return ellnfap(E, p, &goodred);
6571 : default:
6572 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
6573 0 : return NULL; /*NOT REACHED*/
6574 : }
6575 2825347 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
6576 : }
6577 :
6578 : GEN
6579 28 : ellsea(GEN E, ulong smallfact)
6580 : {
6581 28 : checkell_Fq(E);
6582 28 : switch(ell_get_type(E))
6583 : {
6584 : case t_ELL_Fp:
6585 : {
6586 14 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
6587 14 : if (abscmpiu(p, 7) <= 0)
6588 0 : return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
6589 14 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
6590 : }
6591 : case t_ELL_Fq:
6592 : {
6593 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6594 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0)
6595 0 : return FF_ellcard(E);
6596 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
6597 : }
6598 : }
6599 0 : return NULL; /*NOT REACHED*/
6600 : }
6601 :
6602 : GEN
6603 158377 : ellff_get_card(GEN E)
6604 158377 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
6605 :
6606 : GEN
6607 87887 : ellcard(GEN E, GEN p)
6608 : {
6609 87887 : p = checkellp(E, p, "ellcard");
6610 87887 : switch(ell_get_type(E))
6611 : {
6612 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6613 85718 : return icopy(ellff_get_card(E));
6614 : case t_ELL_Q:
6615 : {
6616 2142 : pari_sp av = avma;
6617 : int goodred;
6618 2142 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6619 2142 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
6620 2142 : return gerepileuptoint(av, N);
6621 : }
6622 : case t_ELL_NF:
6623 : {
6624 21 : pari_sp av = avma;
6625 : int goodred;
6626 21 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
6627 21 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
6628 21 : return gerepileuptoint(av, N);
6629 : }
6630 : default:
6631 7 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
6632 0 : return NULL; /*NOT REACHED*/
6633 : }
6634 : }
6635 :
6636 : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
6637 : * d_r | ... | d_1 */
6638 : static GEN
6639 1764 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
6640 : {
6641 1764 : pari_sp av = avma;
6642 1764 : if (abscmpiu(p, 3)<=0)
6643 : {
6644 1246 : ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
6645 1246 : long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
6646 1246 : long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
6647 1246 : if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
6648 1169 : if (l==2)
6649 : {
6650 98 : long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
6651 98 : long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
6652 98 : long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
6653 98 : switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
6654 : { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
6655 : case 18: case 29:
6656 7 : retmkvec(mkvec2s(1,1));
6657 : case 19: case 24: case 26:
6658 7 : retmkvec(mkvec2s(0,1));
6659 : case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
6660 35 : retmkvec(mkvec2s(1,0));
6661 : default:
6662 49 : retmkvec(mkvec2s(0,0));
6663 : }
6664 : } else
6665 : { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6666 1071 : long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
6667 1071 : long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
6668 1071 : long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
6669 1071 : long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
6670 : long x,y;
6671 1071 : if (r==2) /* [2,2] */
6672 63 : retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
6673 : /* cyclic, order d_1 */
6674 1008 : y = absequaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
6675 1008 : if (absequaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
6676 : {
6677 189 : long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
6678 189 : x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
6679 : }
6680 : else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
6681 : { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
6682 819 : if (y == 1)
6683 630 : x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
6684 : else
6685 189 : x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
6686 : }
6687 1008 : retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
6688 : }
6689 : }
6690 : else
6691 : {
6692 518 : GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
6693 518 : return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
6694 : }
6695 : }
6696 :
6697 : static GEN
6698 22778 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
6699 : {
6700 22778 : GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
6701 22771 : if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
6702 22694 : if (absequaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
6703 22596 : if (absequaliu(p, 3))
6704 : { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
6705 : ulong b2, b4, b6;
6706 1071 : if (!absequaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
6707 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
6708 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
6709 252 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
6710 252 : if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
6711 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
6712 126 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
6713 126 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
6714 126 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
6715 63 : G = mkvec2s(2, 2); goto END;
6716 : } /* Now assume p > 3 */
6717 21525 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
6718 21525 : G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
6719 : END:
6720 22771 : return mkvec2(G, m);
6721 : }
6722 :
6723 : static GEN
6724 38675 : doellgroup(GEN E)
6725 : {
6726 38675 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6727 38675 : return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
6728 : }
6729 :
6730 : GEN
6731 39172 : ellff_get_group(GEN E)
6732 39172 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
6733 :
6734 : /* E / Fp */
6735 : static GEN
6736 16800 : doellgens(GEN E)
6737 : {
6738 16800 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6739 16800 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6740 16744 : return FF_ellgens(E);
6741 : else
6742 : {
6743 56 : GEN e, Gm, F, p = fg;
6744 56 : e = ellff_get_a4a6(E);
6745 56 : Gm = ellff_get_group(E);
6746 56 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
6747 56 : return FpVV_to_mod(F,p);
6748 : }
6749 : }
6750 :
6751 : GEN
6752 16877 : ellff_get_gens(GEN E)
6753 16877 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
6754 :
6755 : GEN
6756 22687 : ellgroup(GEN E, GEN p)
6757 : {
6758 22687 : pari_sp av = avma;
6759 : GEN G;
6760 22687 : p = checkellp(E,p, "ellgroup");
6761 22687 : if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
6762 378 : else G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
6763 22687 : return gerepilecopy(av, gel(G,1));
6764 : }
6765 :
6766 : GEN
6767 21301 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
6768 : {
6769 21301 : pari_sp av = avma;
6770 : GEN V;
6771 21301 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
6772 1841 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
6773 1841 : p = checkellp(E, p, "ellgroup");
6774 1834 : if (!ell_over_Fq(E))
6775 : { /* t_ELL_Q */
6776 1771 : GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
6777 1764 : GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
6778 1764 : return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
6779 : }
6780 63 : V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
6781 63 : return gerepilecopy(av, V);
6782 : }
6783 :
6784 : GEN
6785 16828 : ellgenerators(GEN E)
6786 : {
6787 16828 : checkell(E);
6788 16828 : switch(ell_get_type(E))
6789 : {
6790 : case t_ELL_Q:
6791 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
6792 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6793 16814 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
6794 : default:
6795 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
6796 0 : return NULL;/*not reached*/
6797 : }
6798 : }
6799 :
6800 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
6801 : static GEN
6802 22540 : ellfromj_simple(GEN j)
6803 : {
6804 22540 : pari_sp av = avma;
6805 22540 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
6806 22540 : GEN E = zerovec(5);
6807 22540 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
6808 22540 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
6809 : }
6810 : GEN
6811 33817 : ellfromj(GEN j)
6812 : {
6813 33817 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
6814 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
6815 33817 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
6816 : {
6817 : case 2:
6818 3549 : if (gequal0(j))
6819 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
6820 : else
6821 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
6822 : case 3:
6823 7637 : if (gequal0(j))
6824 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6825 : else
6826 : {
6827 7630 : GEN E = zerovec(5);
6828 7630 : pari_sp av = avma;
6829 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
6830 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
6831 7630 : return E;
6832 : }
6833 : }
6834 22631 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
6835 22603 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6836 22540 : return ellfromj_simple(j);
6837 : }
6838 :
6839 : /********************************************************************/
6840 : /** **/
6841 : /** IS SUPERSINGULAR **/
6842 : /** **/
6843 : /********************************************************************/
6844 :
6845 : int
6846 164703 : elljissupersingular(GEN x)
6847 : {
6848 164703 : pari_sp av = avma;
6849 : int res;
6850 :
6851 164703 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
6852 497 : GEN p = gel(x, 1);
6853 497 : GEN j = gel(x, 2);
6854 497 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6855 164206 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
6856 164199 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
6857 164199 : GEN p = FF_p_i(x);
6858 164199 : GEN T = FF_mod(x);
6859 164199 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6860 : } else {
6861 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
6862 0 : return 0; /*NOT REACHED*/
6863 : }
6864 164696 : avma = av;
6865 164696 : return res;
6866 : }
6867 :
6868 : int
6869 164878 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
6870 : {
6871 : pari_sp av;
6872 : GEN j;
6873 : int res;
6874 164878 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
6875 16975 : j = ell_get_j(E);
6876 16975 : p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
6877 16975 : switch(ell_get_type(E))
6878 : {
6879 : case t_ELL_Fp:
6880 : case t_ELL_Fq:
6881 16800 : return elljissupersingular(j);
6882 : case t_ELL_Q:
6883 35 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
6884 14 : av = avma;
6885 14 : res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
6886 14 : avma = av; return res;
6887 : case t_ELL_NF:
6888 : {
6889 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
6890 140 : av = avma;
6891 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
6892 : {
6893 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
6894 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
6895 : }
6896 : else
6897 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
6898 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
6899 126 : if (typ(j) == t_INT)
6900 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6901 : else
6902 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6903 126 : avma = av; return res;
6904 : }
6905 : default:
6906 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
6907 : }
6908 0 : return 0; /* Not reached */
6909 : }
6910 :
6911 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6912 : static GEN
6913 3080 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
6914 : {
6915 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
6916 3080 : if (n==0) return pol_0(v);
6917 3080 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
6918 1008 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
6919 1008 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
6920 1008 : if (n==3)
6921 504 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
6922 : else
6923 : {
6924 504 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
6925 504 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
6926 504 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
6927 : }
6928 1008 : setvarn(res, v); return res;
6929 : }
6930 :
6931 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
6932 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6933 : static GEN
6934 3752 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
6935 : {
6936 : GEN ret;
6937 3752 : long m = n/2;
6938 3752 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
6939 2051 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
6940 714 : else if (odd(n))
6941 : {
6942 427 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6943 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
6944 427 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
6945 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
6946 427 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
6947 105 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
6948 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
6949 322 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
6950 : }
6951 : else
6952 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
6953 287 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6954 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
6955 287 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
6956 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
6957 287 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
6958 : }
6959 2051 : gel(t,n) = ret;
6960 2051 : return ret;
6961 : }
6962 :
6963 : GEN
6964 1953 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
6965 : {
6966 1953 : pari_sp av = avma;
6967 : GEN f, D, N;
6968 1953 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6969 1953 : if (v==-1) v = 0;
6970 1953 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6971 1953 : N = characteristic(D);
6972 1953 : if (!signe(N)) N = NULL;
6973 1953 : if (n<0) n = -n;
6974 1953 : if (n==1 || n==3)
6975 168 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
6976 : else
6977 : {
6978 1785 : GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
6979 1785 : setvarn(d2,v);
6980 1785 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
6981 1785 : if (n <= 4)
6982 1575 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
6983 : else
6984 210 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
6985 1785 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
6986 : }
6987 1953 : return gerepilecopy(av, f);
6988 : }
6989 :
6990 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
6991 : GEN
6992 259 : ellxn(GEN e, long n, long v)
6993 : {
6994 259 : pari_sp av = avma;
6995 : GEN d2, D, N, A, B;
6996 259 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6997 259 : if (v==-1) v = 0;
6998 259 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6999 259 : N = characteristic(D);
7000 259 : if (!signe(N)) N = NULL;
7001 259 : if (n < 0) n = -n;
7002 259 : d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
7003 259 : setvarn(d2,v);
7004 259 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7005 259 : if (n == 0)
7006 : {
7007 21 : A = pol_0(v);
7008 21 : B = pol_0(v);
7009 : }
7010 238 : else if (n == 1)
7011 : {
7012 7 : A = pol_1(v);
7013 7 : B = pol_x(v);
7014 : }
7015 231 : else if (n == 2)
7016 : {
7017 98 : GEN b4 = ell_get_b4(e);
7018 98 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
7019 98 : GEN b8 = ell_get_b8(e);
7020 98 : A = d2;
7021 : /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
7022 98 : B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
7023 98 : setvarn(B,v);
7024 : }
7025 : else
7026 : {
7027 133 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
7028 133 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
7029 133 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
7030 133 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
7031 133 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
7032 133 : if (!odd(n))
7033 7 : A = RgX_mul(f2, d2);
7034 : else
7035 126 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
7036 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
7037 133 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
7038 : }
7039 259 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
7040 : }
7041 :
7042 : GEN
7043 175 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
7044 : {
7045 175 : checkell_Q(E);
7046 175 : return hyperellpadicfrobenius(ec_bmodel(E), p, n);
7047 : }
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