Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 20277-2bd9113) Lines: 3869 4135 93.6 %
Date: 2017-02-21 05:49:51 Functions: 338 347 97.4 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      277070 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      277070 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      276650 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      276650 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      276650 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      276650 : }
      37             : static GEN
      38     2715241 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2715241 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2715241 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2715241 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2715241 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2715241 : }
      46             : static GEN
      47      126805 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48      126805 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50      126805 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52      126805 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53      126805 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54      126805 : }
      55             : static void
      56     2715093 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2715093 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2715094 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2715094 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2715094 : }
      62             : static void
      63      276650 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      276650 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      276650 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      276650 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      276650 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       22283 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       22283 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       22284 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       22284 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       22284 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         420 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         420 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         420 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         420 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         420 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       22284 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       22284 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       22285 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         420 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         420 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         420 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         420 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : void
     111      244948 : checkellpt(GEN z)
     112             : {
     113      244948 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     114      244941 :   switch(lg(z))
     115             :   {
     116      244479 :     case 3: break;
     117         462 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     118             :     /* fall through */
     119           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     120             :   }
     121      244941 : }
     122             : void
     123       71890 : checkell5(GEN E)
     124             : {
     125       71890 :   long l = lg(E);
     126       71890 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     127       71890 : }
     128             : void
     129     3999206 : checkell(GEN E)
     130     3999206 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     131             : void
     132        2212 : checkellisog(GEN v)
     133        2212 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     134             : 
     135             : void
     136        3787 : checkell_Q(GEN E)
     137             : {
     138        3787 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     139           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     140        3780 : }
     141             : 
     142             : void
     143           0 : checkell_Qp(GEN E)
     144             : {
     145           0 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     146           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     147           0 : }
     148             : 
     149             : static int
     150      528006 : ell_over_Fq(GEN E)
     151             : {
     152      528006 :   long t = ell_get_type(E);
     153      528006 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     154             : }
     155             : 
     156             : void
     157      274484 : checkell_Fq(GEN E)
     158             : {
     159      274484 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
     160           7 :   pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     161      274477 : }
     162             : 
     163             : GEN
     164      180352 : ellff_get_p(GEN E)
     165             : {
     166      180352 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     167      180352 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     168             : }
     169             : 
     170             : int
     171         301 : ell_is_integral(GEN E)
     172             : {
     173         602 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     174         259 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     175         245 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     176         245 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     177         546 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     178             : }
     179             : 
     180             : static void
     181       72226 : checkcoordch(GEN z)
     182       72226 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     183             : 
     184             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     185             : GEN
     186        3536 : ec_bmodel(GEN e)
     187             : {
     188        3536 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     189        3536 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     190             : }
     191             : 
     192             : static int
     193         801 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     194             : 
     195             : static GEN
     196         764 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     197             : {
     198             :   GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
     199         764 :   long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
     200             : START:
     201         778 :   R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     202         778 :   if (s > 0)
     203             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     204         267 :     R = real_i(R);
     205         267 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     206         267 :     e1 = gel(R,1);
     207         267 :     e2 = gel(R,2);
     208         267 :     e3 = gel(R,3);
     209         267 :     d3 = subrr(e1,e2);
     210         267 :     d1 = subrr(e2,e3);
     211         267 :     d2 = subrr(e1,e3);
     212         267 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
     213             :     {
     214          14 :       prec = precdbl(prec);
     215          14 :       if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
     216          14 :       goto START;
     217             :     }
     218             :   } else {
     219         511 :     e1 = gel(R,1);
     220         511 :     e2 = gel(R,2);
     221         511 :     e3 = gel(R,3);
     222         511 :     if (s < 0)
     223             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     224         483 :       e1 = real_i(e1);
     225         483 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     226             :     }
     227         511 :     d3 = gsub(e1,e2);
     228         511 :     d1 = gsub(e2,e3);
     229         511 :     d2 = gsub(e1,e3);
     230             :   }
     231         764 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     232             : }
     233             : static GEN
     234         973 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     235             : 
     236             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     237             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     238             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     239             : GEN
     240      753802 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     241             : {
     242      753802 :   pari_sp av = avma;
     243             :   GEN z;
     244      753802 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     245      753802 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     246      753802 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     247      753802 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     248             : }
     249             : 
     250             : /* a1 x + a3 */
     251             : GEN
     252      764078 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     253             : {
     254      764078 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     255      764078 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     256      764078 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     257             : }
     258             : static GEN
     259     1170365 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     260             : {
     261     1170365 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     262     1170365 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     263     1170365 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     264             : }
     265             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     266             : static GEN
     267        3031 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     268             : {
     269        3031 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     270        3031 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     271             : }
     272             : 
     273             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     274             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     275             :  * which is the derivative of the curve equation
     276             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     277             :  * wrt x evaluated at Q */
     278             : GEN
     279        1351 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     280             : {
     281        1351 :   pari_sp av = avma;
     282        1351 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     283        1351 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     284        1351 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     285        1351 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     286        1351 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     287        1351 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     288             : }
     289             : 
     290             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     291             : GEN
     292        5467 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     293             : {
     294        5467 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     295        5467 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     296             : }
     297             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     298             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     299             :  * which is the derivative of the curve equation
     300             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     301             :  * wrt y evaluated at Q */
     302             : GEN
     303         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     304             : {
     305         532 :   pari_sp av = avma;
     306         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     307             : }
     308             : 
     309             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     310             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     311             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     312             : GEN
     313        1449 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     314             : {
     315        1449 :   pari_sp av = avma;
     316        1449 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     317        1449 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     318        1449 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     319        1449 :   GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
     320        1449 :   GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
     321        1449 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
     322             : }
     323             : 
     324             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     325             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     326             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     327             : GEN
     328        1253 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     329             : {
     330        1253 :   pari_sp av = avma;
     331        1253 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     332        1253 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     333        1253 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     334        1253 :   return gerepileupto(av, res);
     335             : }
     336             : 
     337             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     338             : GEN
     339        1533 : ellbasechar(GEN E)
     340             : {
     341        1533 :   pari_sp av = avma;
     342        1533 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     343        1533 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     344             : }
     345             : 
     346             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     347             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     348             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     349             :  * component y[16])*/
     350             : static GEN
     351      674037 : initsmall(GEN x, long n)
     352             : {
     353             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
     354      674037 :   GEN y = obj_init(15, n);
     355      674037 :   switch(lg(x))
     356             :   {
     357             :     case 1:
     358             :     case 2:
     359             :     case 4:
     360             :     case 5:
     361           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     362             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     363             :     case 3:
     364       13965 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     365       13965 :       a4 = gel(x,1);
     366       13965 :       a6 = gel(x,2);
     367       13965 :       b2 = gen_0;
     368       13965 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     369       13965 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     370       13965 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     371       13965 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     372       13965 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     373       13965 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     374       13965 :       break;
     375             :     default: /* l > 5 */
     376             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     377      660065 :       a1 = gel(x,1);
     378      660065 :       a2 = gel(x,2);
     379      660065 :       a3 = gel(x,3);
     380      660065 :       a4 = gel(x,4);
     381      660065 :       a6 = gel(x,5);
     382      660065 :       a11= gsqr(a1);
     383      660066 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     384      660066 :       a13= gmul(a1, a3);
     385      660066 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     386      660065 :       a33= gsqr(a3);
     387      660065 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     388      660064 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     389      660066 :       b22= gsqr(b2);
     390      660065 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     391      660066 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     392      660066 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     393             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     394      660066 :       break;
     395             :     }
     396             :   }
     397      674031 :   gel(y,1) = a1;
     398      674031 :   gel(y,2) = a2;
     399      674031 :   gel(y,3) = a3;
     400      674031 :   gel(y,4) = a4;
     401      674031 :   gel(y,5) = a6;
     402      674031 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     403      674031 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     404      674031 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     405      674031 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     406      674031 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     407      674031 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     408      674031 :   gel(y,12)= D;
     409      674031 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     410             : 
     411      666072 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     412         336 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     413         336 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     414         336 :     if (degpol(g) == 0)
     415         287 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     416             :     else
     417             :     {
     418          49 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     419          49 :       D = RgX_div(D, g);
     420          49 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     421          49 :       if (degpol(g) == 0)
     422           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     423             :       else
     424             :       {
     425          42 :         D = RgX_div(D, g);
     426          42 :         d = RgX_div(c4, g);
     427          42 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     428          42 :         if (degpol(g))
     429             :         {
     430          21 :           D = RgX_div(D, g);
     431          21 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     432             :         }
     433          42 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     434             :       }
     435             :     }
     436             :   }
     437             :   else
     438      665736 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     439      666072 :   gel(y,13) = j;
     440      666072 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     441             : }
     442             : 
     443             : void
     444           0 : ellprint(GEN e)
     445             : {
     446           0 :   pari_sp av = avma;
     447             :   long vx, vy;
     448             :   GEN z;
     449           0 :   checkell5(e);
     450           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     451           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     452           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     453           0 :   (void)delete_var();
     454           0 :   (void)delete_var(); avma = av;
     455           0 : }
     456             : 
     457             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     458             : static GEN
     459          70 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     460             : {
     461          70 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     462          70 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     463             : 
     464          70 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     465          70 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     466          56 :     b = mulrr(d3,d2);
     467             :   else
     468          14 :     b = cxnorm(d3);
     469          70 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     470          70 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     471          70 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     472          70 :   return mkvec2(a, b);
     473             : }
     474             : GEN
     475         973 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     476         973 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     477             : 
     478             : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
     479             :  * Let (A_n, B_n) be defined by A_1 = a1/p^v, B_1 = b1/p^v, v=v(a1)=v(a2);
     480             :  *   A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
     481             :  *   B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = square root of A_n B_n congruent to B_n
     482             :  *   R_n = p^v( A_n - B_n ) = r_{n+1}
     483             :  * Return [An,Bn,Rn]. N.B. lim An = M2(a1,b1) = M(sqrt(a1),sqrt(b1))^2 */
     484             : static GEN
     485         210 : Qp_agm2_sequence(GEN a1, GEN b1)
     486             : {
     487         210 :   GEN bp, pmod, p = gel(a1,2), q = gel(a1,3), An, Bn, Rn;
     488         210 :   long pp = precp(a1), v = valp(a1), i;
     489         210 :   int pis2 = absequaliu(p,2);
     490         210 :   a1 = gel(a1,4);
     491         210 :   b1 = gel(b1,4);
     492         210 :   if (pis2)
     493         154 :     pmod = utoipos(8);
     494             :   else
     495          56 :     pmod = p;
     496         210 :   bp = modii(b1, pmod);
     497         210 :   An = cgetg(pp+1, t_VEC); /* overestimate: rather log_2(pp) */
     498         210 :   Bn = cgetg(pp+1, t_VEC);
     499         210 :   Rn = cgetg(pp+1, t_VEC);
     500         714 :   for(i = 1;; i++)
     501             :   {
     502         714 :     GEN a = a1, b = b1, r;
     503             :     long vr;
     504         714 :     gel(An, i) = a;
     505         714 :     gel(Bn, i) = b;
     506         714 :     r = subii(a,b);
     507         924 :     if (!signe(r)) break;
     508         532 :     vr = Z_pvalrem(r,p,&r);
     509         532 :     if (vr >= pp) break;
     510         504 :     r = cvtop(r, p, pp - vr); setvalp(r, vr+v);
     511         504 :     gel(Rn, i) = r;
     512             : 
     513         504 :     b1 = Zp_sqrt(Fp_mul(a,b,q), p, pp);
     514         504 :     if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
     515         504 :     if (!equalii(modii(b1,pmod), bp)) b1 = Fp_neg(b1, q);
     516             :     /* a1 = (a+b+2sqrt(ab))/4 */
     517         504 :     if (pis2)
     518             :     {
     519         343 :       b1 = remi2n(b1, pp-1);
     520         343 :       a1 = shifti(addii(addii(a,b), shifti(b1,1)),-2);
     521         343 :       a1 = remi2n(a1, pp-2);
     522         343 :       pp -= 2;
     523             :     }
     524             :     else
     525         161 :       a1 = modii(Fp_halve(addii(Fp_halve(addii(a,b),q), b1), q), q);
     526         504 :   }
     527         210 :   setlg(An,i+1);
     528         210 :   setlg(Bn,i+1);
     529         210 :   setlg(Rn,i); return mkvec4(An, Bn, Rn, stoi(v));
     530             : }
     531             : static void
     532         301 : Qp_descending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
     533             : {
     534         301 :   GEN R = gel(AB,3);
     535         301 :   long i, n = lg(R)-1;
     536         301 :   GEN x = *ptx;
     537         301 :   if (isintzero(x))
     538             :   {
     539         210 :     i = 2;
     540         210 :     x = gmul2n(gel(R,1),-2);
     541         210 :     if (pty)
     542             :     {
     543           0 :       GEN A = gel(AB,1);
     544           0 :       if (n == 1)
     545           0 :         *pty = gmul(x, Qp_sqrt(gadd(x,gel(A,2))));
     546             :       else
     547           0 :         *pty = Qp_sqrt(gmul(gmul(x, gadd(x,gel(A,2))), gadd(x,gel(R,2))));
     548           0 :       if (!*pty) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     549             :     }
     550             :   }
     551             :   else
     552          91 :     i = 1;
     553         833 :   for (; i <= n; i++)
     554             :   {
     555         532 :     GEN r = gel(R,i), t;
     556         532 :     if (gequal0(x)) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     557         532 :     t = Qp_sqrt(gaddsg(1, gdiv(r,x))); /* = 1 (mod p) */
     558         532 :     if (!t) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     559         532 :     if (i == n)
     560             :     {
     561         259 :       GEN p = gel(r,2);
     562         259 :       long v, vx = valp(x), vr = valp(r);
     563         259 :       if (vx >= vr) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     564             :       /* last loop, take into account loss of accuracy from multiplication
     565             :        * by \prod_{j > n} sqrt(1+r_j/x_j); since vx < vr, j = n+1 is enough */
     566         259 :       v = 2*vr - vx;
     567             :       /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| + 1 bit for sqrt loss */
     568         259 :       if (absequaliu(p,2)) v -= 4;
     569             :       /* tail is 1 + O(p^v) */
     570         259 :       if (v < precp(x)) x = cvtop(x,p,v);
     571             :     }
     572             :     /* x_{n+1} = x_n  ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
     573         532 :     x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,t),-1)));
     574             :     /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
     575         532 :     if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r,gmul2n(x,2)))));
     576             :   }
     577         301 :   *ptx = x;
     578         301 : }
     579             : static void
     580          56 : Qp_ascending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
     581             : {
     582          56 :   GEN A = gel(AB,1), R = gel(AB,3), x = *ptx, p, r;
     583          56 :   long n = lg(R)-1, va = itos(gel(AB,4)), v, i;
     584             : 
     585          56 :   r = gel(R,n);
     586          56 :   v = 2*valp(r) + va;
     587          56 :   if (typ(x) == t_PADIC)
     588          35 :     v -= 2*valp(x);
     589             :   else
     590          21 :     v -= valp(gnorm(x)); /* v(x) = v(Nx) / (e*f), here ef = 2 */
     591          56 :   p = gel(r,2);
     592          56 :   if (absequaliu(p,2)) v -= 3; /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| */
     593             :   /* v = v(A[n+1] R[n+1] / x_{n+1}^2) */
     594          56 :   if (v <= 0) pari_err_PREC("Qp_ascending_Landen");
     595             :   /* v > 0 => v = v(x_oo) = ... = v(x_{n+1}) */
     596          56 :   x = gsub(x, gmul2n(r,-1));
     597          56 :   if (padicprec_relative(x) > v) x = gcvtop(x, p, v);
     598             :   /* x = x_n */
     599         154 :   for (i = n; i > 1; i--)
     600             :   {
     601          98 :     GEN ar = gmul(gel(A,i),gel(R,i)), xp;
     602          98 :     setvalp(ar, valp(ar)+va); /* A_i = A[i] * p^va */
     603             :     /* x_{i-1} = x_i + a_i r_i / x_i - r_{i-1}/2 */
     604          98 :     xp = gsub(gadd(x, gdiv(ar, x)), gmul2n(gel(R,i-1),-1));
     605             :     /* y_{i-1} = y_i (1 - a_i r_i / x^2) */
     606          98 :     if (pty) *pty = gmul(*pty, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x))));
     607          98 :     x = xp;
     608             :   }
     609          56 :   *ptx = x;
     610          56 : }
     611             : 
     612             : /* q a t_REAL*/
     613             : static long
     614          77 : real_prec(GEN q)
     615          77 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     616             : /* q a t_PADIC */
     617             : static long
     618         119 : padic_prec(GEN q)
     619         119 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     620             : 
     621             : /* check whether moduli are consistent */
     622             : static void
     623       97282 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     624       97282 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     625             : 
     626             : static int
     627       36071 : fix_nftype(GEN *pp)
     628             : {
     629       36071 :   switch(nftyp(*pp))
     630             :   {
     631       36071 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     632           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     633           0 :     default: return 0;
     634             :   }
     635       36071 :   return 1;
     636             : }
     637             : static long
     638      707539 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     639             : {
     640      707539 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     641      707544 :   GEN p = NULL;
     642      707544 :   long t = t_FRAC;
     643      707544 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     644             :   {
     645             :     case t_INT:
     646      490546 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     647        1925 :       p = *pp;
     648        1925 :       t = t_INTMOD;
     649        1925 :       break;
     650             :     case t_INTMOD:
     651           7 :       p = gel(*pp, 1);
     652           7 :       break;
     653             :     case t_REAL:
     654          21 :       e = real_prec(*pp);
     655          21 :       p = NULL;
     656          21 :       break;
     657             :     case t_PADIC:
     658          91 :       ep = padic_prec(*pp);
     659          91 :       p = gel(*pp, 2);
     660          91 :       break;
     661             :     case t_FFELT:
     662       16912 :       p = *pp;
     663       16912 :       break;
     664             :     case t_VEC:
     665       36071 :       t = t_VEC; p = *pp;
     666       36071 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     667             :     default:
     668           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     669           0 :       return 0;
     670             :   }
     671             :   /* Possible cases:
     672             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     673             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     674             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     675             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     676             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     677             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     678     4202501 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     679             :   {
     680     3495158 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     681     3495158 :     switch(typ(q)) {
     682             :       case t_PADIC:
     683          49 :         p2 = gel(q,2);
     684          49 :         switch(t)
     685             :         {
     686          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     687          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     688          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     689             :         }
     690          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     691          28 :         break;
     692             :       case t_INTMOD:
     693      121631 :         p2 = gel(q,1);
     694      121631 :         switch(t)
     695             :         {
     696       24363 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     697          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     698       97205 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     699          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     700             :         }
     701      121616 :         break;
     702             :       case t_FFELT:
     703      255767 :         switch(t)
     704             :         {
     705          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     706       95722 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     707             :           case t_FFELT:
     708      160034 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     709      160034 :             break;
     710           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     711             :         }
     712      255756 :         break;
     713             : 
     714     3117046 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     715             :       case t_REAL:
     716          56 :         switch(t)
     717             :         {
     718          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     719          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     720           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     721             :         }
     722          56 :         break;
     723             :       case t_COL:
     724             :       case t_POL:
     725             :       case t_POLMOD:
     726         595 :         if (t == t_VEC) break;
     727             :       default: /* base ring too general */
     728         147 :         return t_COMPLEX;
     729             :     }
     730             :   }
     731      707343 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     732             : }
     733             : 
     734             : static GEN
     735         189 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
     736             : {
     737             :   GEN y;
     738             :   long s;
     739         189 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     740         189 :   s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
     741         189 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     742         189 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     743         189 :   return y;
     744             : }
     745             : 
     746             : static GEN
     747          91 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     748             : {
     749             :   GEN y;
     750          91 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     751          91 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     752          91 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     753          91 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     754          91 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     755          91 :   return y;
     756             : }
     757             : 
     758             : static GEN
     759      495481 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     760             : {
     761             :   GEN y;
     762             :   long s;
     763      495481 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     764      495348 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     765      495348 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     766      495348 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     767      495348 :   return y;
     768             : }
     769             : 
     770             : /* shallow basistoalg */
     771             : static GEN
     772     1257480 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     773             : {
     774     1257480 :   switch(typ(x))
     775             :   {
     776     1256920 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     777         560 :     default: return basistoalg(nf, x);
     778             :   }
     779             : }
     780             : static GEN
     781       36085 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     782             : {
     783             :   long i, l;
     784       36085 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     785       36085 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     786       36085 :   return y;
     787             : }
     788             : 
     789             : static GEN
     790       36071 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     791             : {
     792             :   GEN y, nf;
     793       36071 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     794       36071 :   nf = checknf(p);
     795       36071 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     796       36071 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     797       36071 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     798       36071 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     799       36071 :   return y;
     800             : }
     801             : 
     802             : static GEN
     803       29452 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     804             : {
     805             :   long i;
     806             :   GEN y, disc;
     807       29452 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     808       24511 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     809        2751 :     return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
     810       21759 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     811       21757 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     812      304576 :   for(i=1;i<=13;i++)
     813      282818 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     814       21758 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     815       21758 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     816       21759 :   return y;
     817             : }
     818             : 
     819             : static GEN
     820      112753 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     821             : {
     822             :   GEN y;
     823      112753 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     824      109862 :   return FF_ellinit(y,fg);
     825             : }
     826             : 
     827             : static GEN
     828        3241 : ellnf_to_Fq(GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     829             : {
     830        3241 :   GEN nf = ellnf_get_nf(x), e = vecslice(x,1,5);
     831             :   GEN p, modP;
     832        3241 :   if (get_modpr(P))
     833             :   { /* modpr accept */
     834        3066 :     modP = P;
     835        3066 :     p = modpr_get_p(modP);
     836             :   }
     837             :   else
     838             :   { /* pr, initialize modpr */
     839         175 :     GEN d = Q_denom(e);
     840         175 :     p = pr_get_p(P);
     841         175 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     842             :   }
     843        3241 :   *pp = p;
     844        3241 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     845        3241 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     846             : }
     847             : static GEN
     848        3241 : ellinit_nf_to_Fq(GEN E, GEN P)
     849             : {
     850             :   GEN T,p;
     851        3241 :   E = ellnf_to_Fq(E, P, &p, &T);
     852        3241 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     853             : }
     854             : 
     855             : GEN
     856      673365 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     857             : {
     858      673365 :   pari_sp av = avma;
     859             :   GEN y;
     860      673365 :   switch(typ(x))
     861             :   {
     862           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     863             :     case t_VEC:
     864      673358 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     865      673358 :       break;
     866           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     867             :   }
     868      673364 :   if (D && get_prid(D))
     869             :   {
     870        2744 :     if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     871        2744 :     y = ellinit_nf_to_Fq(x, D);
     872        2744 :     goto END;
     873             :   }
     874      670620 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     875             :   {
     876             :   case t_PADIC:
     877          91 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     878          91 :     break;
     879             :   case t_INTMOD:
     880       26267 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     881       26268 :     break;
     882             :   case t_FFELT:
     883      112508 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     884      112507 :     break;
     885             :   case t_FRAC:
     886      495481 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     887      495474 :     break;
     888             :   case t_REAL:
     889          21 :     y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
     890          21 :     break;
     891             :   case t_VEC:
     892       36071 :     y = ellinit_nf(x, D);
     893       36071 :     break;
     894             :   default:
     895         133 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     896             :   }
     897             : END:
     898      673309 :   if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
     899      665336 :   return gerepilecopy(av,y);
     900             : }
     901             : 
     902             : /********************************************************************/
     903             : /**                                                                **/
     904             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     905             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     906             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     907             : /**  verbatim                                                      **/
     908             : /**                                                                **/
     909             : /********************************************************************/
     910             : /* [1,0,0,0] */
     911             : static GEN
     912     3263806 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     913             : static int
     914      456085 : is_trivial_change(GEN v)
     915             : {
     916             :   GEN u, r, s, t;
     917      456085 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     918      456085 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     919      456085 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     920             : }
     921             : 
     922             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     923             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     924             : static void
     925         462 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     926             : {
     927         462 :   GEN v = *vtotal;
     928             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     929             : 
     930         924 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     931         448 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     932         448 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     933         448 :   U2 = gsqr(U);
     934         448 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     935         448 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     936         448 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     937         448 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     938             : }
     939             : 
     940             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     941             : GEN
     942          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     943             : {
     944             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     945          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     946          21 :   u = gel(w,1);
     947          21 :   r = gel(w,2);
     948          21 :   s = gel(w,3);
     949          21 :   t = gel(w,4);
     950          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     951          21 :   U = ginv(u);
     952          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     953          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     954          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     955          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     956             : }
     957             : 
     958             : /* apply [u,0,0,0] */
     959             : static GEN
     960      223930 : coordch_u(GEN e, GEN u)
     961             : {
     962             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
     963             :   long lx;
     964      223930 :   if (gequal1(u)) return e;
     965      223384 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     966      223384 :   u = ginv(u); u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
     967      223384 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
     968      223384 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
     969      223384 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
     970      223384 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
     971      223384 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
     972      223384 :   if (lx == 6) return y;
     973      223384 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
     974      223384 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
     975      223384 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
     976      223384 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
     977      223384 :   u12 = gsqr(u6);
     978      223384 :   D = ell_get_disc(e);
     979      223384 :   c4 = ell_get_c4(e);
     980      223384 :   c6 = ell_get_c6(e);
     981      223384 :   c4 = gmul(c4, u4);
     982      223384 :   c6 = gmul(c6, u6);
     983      223384 :   D = gmul(D, u12);
     984      223384 :   gel(y,10)= c4;
     985      223384 :   gel(y,11)= c6;
     986      223384 :   gel(y,12)= D;
     987      223384 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
     988      223384 :   gel(y,14)= gel(e,14);
     989      223384 :   gel(y,15)= gel(e,15);
     990      223384 :   gel(y,16)= gel(e,16);
     991      223384 :   return y;
     992             : }
     993             : /* apply [1,r,0,0] */
     994             : static GEN
     995      875854 : coordch_r(GEN e, GEN r)
     996             : {
     997             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     998      875854 :   if (gequal0(r)) return e;
     999      748713 :   y = leafcopy(e);
    1000      748713 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1001      748713 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1002             : 
    1003             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1004      748713 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1005             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1006      748713 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1007             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1008      748713 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1009             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1010      748713 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1011      748713 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1012             : 
    1013      748706 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1014      748706 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1015             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1016      748706 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1017      748706 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1018      748706 :   r2 = gsqr(r);
    1019             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1020      748706 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1021             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1022      748706 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1023             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1024      748706 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1025      748706 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1026      748706 :   return y;
    1027             : }
    1028             : /* apply [1,0,s,0] */
    1029             : static GEN
    1030      227206 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1031             : {
    1032             :   GEN a1, y;
    1033      227206 :   if (gequal0(s)) return e;
    1034      227206 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1035      227206 :   y = leafcopy(e);
    1036             : 
    1037             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1038      227206 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1039             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1040      227206 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1041             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1042      227206 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1043      227206 :   return y;
    1044             : }
    1045             : /* apply [1,0,0,t] */
    1046             : static GEN
    1047      594398 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1048             : {
    1049             :   GEN a1, a3, y;
    1050      594398 :   if (gequal0(t)) return e;
    1051      524195 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1052      524195 :   y = leafcopy(e);
    1053             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1054      524195 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1055             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1056      524195 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1057             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1058      524195 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1059      524195 :   return y;
    1060             : }
    1061             : /* apply [1,0,s,t] */
    1062             : static GEN
    1063      359877 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1064             : {
    1065             :   GEN y, a1, a3;
    1066      359877 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1067      258181 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1068      140196 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1069      140196 :   y = leafcopy(e);
    1070             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1071      140196 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1072             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1073      140196 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1074             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1075      140196 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1076             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1077      140196 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1078             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1079      140196 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1080      140196 :   return y;
    1081             : }
    1082             : /* apply [1,r,0,t] */
    1083             : static GEN
    1084      169862 : coordch_rt(GEN e, GEN r, GEN t)
    1085             : {
    1086      169862 :   e = coordch_r(e, r);
    1087      169862 :   return coordch_t(e, t);
    1088             : }
    1089             : /* apply [1,r,s,t] */
    1090             : static GEN
    1091      347648 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1092             : {
    1093      347648 :   e = coordch_r(e, r);
    1094      347648 :   return coordch_st(e, s, t);
    1095             : }
    1096             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1097             : static GEN
    1098       72422 : coordch(GEN e, GEN w)
    1099             : {
    1100       72422 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1101       72422 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1102       72422 :   return coordch_u(e, gel(w,1));
    1103             : }
    1104             : 
    1105             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1106             :  * (dynamic data) */
    1107             : static GEN
    1108           7 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1109             : {
    1110           7 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1111           7 :   long prec = valp(p);
    1112           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1113           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1114             :   {
    1115           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1116           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1117             :   }
    1118           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1119             :   {
    1120           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1121           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1122           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1123           7 :     U = gmul(U, u);
    1124           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1125           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1126             :   }
    1127           7 :   return E;
    1128             : }
    1129             : 
    1130             : /* common to Q and Rg */
    1131             : static GEN
    1132       36764 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1133             : {
    1134       36764 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1135       36764 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1136          28 :     obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1137       36764 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1138          28 :     obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1139       36764 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1140             :   {
    1141          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1142             :     long i;
    1143          28 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1144          28 :     obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
    1145             :   }
    1146       36764 :   return E;
    1147             : }
    1148             : 
    1149             : static GEN
    1150          21 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1151             : {
    1152          21 :   GEN p = NULL;
    1153          21 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1154          21 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1155           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1156             : }
    1157             : 
    1158             : static GEN
    1159       36764 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1160             : {
    1161       36764 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1162       36764 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1163       36764 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1164       36757 :   ch_R(E, e, w);
    1165       36757 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1166           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1167       36757 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1168             :   {
    1169         875 :     if (lg(S) == 2)
    1170             :     { /* model was minimal */
    1171           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1172           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1173           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1174             :     }
    1175             :     else
    1176             :     {
    1177         868 :       v = gel(S,2);
    1178         868 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1179         854 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1180             :       else
    1181             :       {
    1182          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1183          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1184          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1185          14 :         gel(S,2) = v;
    1186             :       }
    1187         868 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1188             :     }
    1189             :   }
    1190       36757 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1191          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1192       36757 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1193           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1194       36757 :   return E;
    1195             : }
    1196             : 
    1197             : static void
    1198         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1199             : {
    1200             :   GEN S;
    1201         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1202          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1203         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1204          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1205         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1206          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1207         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1208          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1209         126 : }
    1210             : 
    1211             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1212             : static GEN
    1213           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1214             : {
    1215           7 :   long prec = 0;
    1216           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1217           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1218           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1219           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1220             : }
    1221             : static GEN
    1222         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1223             : {
    1224         119 :   long prec = 0;
    1225         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1226         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1227         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1228         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1229             : }
    1230             : 
    1231             : static void
    1232       71869 : ell_reset(GEN E)
    1233       71869 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1234             : 
    1235             : GEN
    1236       71890 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1237             : {
    1238       71890 :   pari_sp av = avma;
    1239             :   GEN E;
    1240       71890 :   checkell5(e);
    1241       71890 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1242       71883 :   checkcoordch(w);
    1243       71883 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1244       71883 :   if (lg(E) != 6)
    1245             :   {
    1246       71869 :     ell_reset(E);
    1247       71869 :     switch(ell_get_type(E))
    1248             :     {
    1249           7 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1250           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1251         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1252       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1253           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1254             :     }
    1255             :   }
    1256       71883 :   return gerepilecopy(av, E);
    1257             : }
    1258             : 
    1259             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1260             : static void
    1261      161756 : E_gcompose_r(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1262             : {
    1263      161756 :   GEN v = *vtotal;
    1264             :   GEN U2, R, S, T;
    1265      323512 :   if (gequal0(r)) return;
    1266       94647 :   *e = coordch_r(*e,r);
    1267       94647 :   U2 = gsqr(gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1268       94647 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
    1269       94647 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gmul(S, r)));
    1270             : }
    1271             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1272             : static void
    1273      109221 : E_gcompose_s(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1274             : {
    1275      109221 :   GEN v = *vtotal;
    1276             :   GEN U, S;
    1277      109221 :   *e = coordch_s(*e,s);
    1278      109221 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1279      109221 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
    1280      109221 : }
    1281             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1282             : static void
    1283      250110 : E_gcompose_t(GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1284             : {
    1285      250110 :   GEN v = *vtotal;
    1286             :   GEN U3, U, T;
    1287      500220 :   if (gequal0(t)) return;
    1288       79387 :   *e = coordch_t(*e,t);
    1289       79387 :   U = gel(v,1); U3 = gmul(U, gsqr(U)); T = gel(v,4);
    1290       79387 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
    1291             : }
    1292             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1293             : static void
    1294      248416 : E_gcompose_rt(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1295             : {
    1296      248416 :   GEN v = *vtotal;
    1297             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1298      496832 :   if (gequal0(t)) { E_gcompose_r(vtotal, e, r); return; }
    1299      169862 :   *e = coordch_rt(*e,r,t);
    1300      169862 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1301      169862 :   U2 = gsqr(U);
    1302      169862 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
    1303      169862 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
    1304             : }
    1305             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1306             : static void
    1307      181937 : E_gcompose_st(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1308             : {
    1309      181937 :   GEN v = *vtotal;
    1310             :   GEN U3, U, S, T;
    1311      181937 :   if (gequal0(s)) { E_gcompose_t(vtotal, e, t); return; }
    1312      121450 :   if (gequal0(t)) { E_gcompose_s(vtotal, e, s); return; }
    1313       12229 :   *e = coordch_st(*e,s,t);
    1314       12229 :   U = gel(v,1); U3 = gmul(U,gsqr(U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1315       12229 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
    1316       12229 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U3, t));
    1317             : }
    1318             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1319             : static void
    1320      151039 : E_gcompose_u(GEN *vtotal, GEN *e, GEN u)
    1321             : {
    1322      151039 :   GEN v = *vtotal;
    1323      151039 :   *e = coordch_u(*e,u); gel(v,1) = gmul(gel(v,1), u);
    1324      151039 : }
    1325             : 
    1326             : /* X = (x-r)/u^2
    1327             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1328             : static GEN
    1329         280 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1330             : {
    1331             :   GEN a, x, y;
    1332         280 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1333         266 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1334         266 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1335             : }
    1336             : 
    1337             : GEN
    1338         280 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1339             : {
    1340             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1341         280 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1342         280 :   pari_sp av = avma;
    1343             : 
    1344         280 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1345         280 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1346         280 :   checkcoordch(ch);
    1347         280 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1348         280 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1349         280 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1350         280 :   tx = typ(gel(x,1));
    1351         280 :   if (is_matvec_t(tx))
    1352             :   {
    1353          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1354          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1355          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1356             :   }
    1357             :   else
    1358         259 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1359         280 :   return gerepilecopy(av,y);
    1360             : }
    1361             : 
    1362             : /* x = u^2*X + r
    1363             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1364             : static GEN
    1365          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1366             : {
    1367             :   GEN a, X, Y;
    1368          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1369          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1370          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1371             : }
    1372             : GEN
    1373          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1374             : {
    1375             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1376          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1377          63 :   pari_sp av = avma;
    1378             : 
    1379          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1380          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1381          63 :   checkcoordch(ch);
    1382          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1383          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1384          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1385          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1386          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1387             :   {
    1388           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1389          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1390           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1391             :   }
    1392             :   else
    1393          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1394          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1395             : }
    1396             : 
    1397             : GEN
    1398       28385 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1399             : {
    1400       28385 :   pari_sp av = avma;
    1401             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1402             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1403             :   GEN V;
    1404       28385 :   checkell(E);
    1405       28385 :   if (!P)
    1406             :   {
    1407             :     GEN a4, a6;
    1408       27188 :     checkell_Fq(E);
    1409       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1410             :     {
    1411             :       case t_ELL_Fp:
    1412             :         {
    1413           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1414           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1415       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1416             :         }
    1417             :       case t_ELL_Fq:
    1418       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1419             :     }
    1420             :   }
    1421        1197 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1422        1197 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1423        1197 :   if (typ(P) == t_INT)
    1424             :   {
    1425        1183 :     if (equali1(P))
    1426         182 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1427        1001 :     P = quadpoly(P);
    1428             :   } else
    1429             :   {
    1430          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1431          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1432           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1433             :   }
    1434        1015 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1435        1015 :   ac = gmul(a, c);
    1436        1015 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1437        1015 :   D2 = gsqr(D);
    1438        1015 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1439        1015 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1440        1015 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1441        1015 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1442        1015 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1443        1015 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1444        1015 :   return gerepilecopy(av, V);
    1445             : }
    1446             : 
    1447             : /********************************************************************/
    1448             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1449             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1450             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1451             : /********************************************************************/
    1452             : 
    1453             : static long
    1454        2576 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1455        2576 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1456             : 
    1457             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1458             :  * ellminimalmodel / get_u; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1459             :  * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1460             :  * Good case if reduction in get_u i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1461             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1462             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1463             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1464             :  * After rescaling in get_u (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1465             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1466             : static long
    1467         364 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1468             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1469             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1470             :   long v4, v6, vD;
    1471             : 
    1472         364 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1473          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1474             : 
    1475             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1476         308 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1477             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1478         301 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1479             : 
    1480             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1481         301 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1482             : 
    1483             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1484         238 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1485         168 :   vD = vali(disc);
    1486         168 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1487         161 :   return -8;
    1488             : }
    1489             : 
    1490             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1491             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1492             : */
    1493             : GEN
    1494         497 : ellminimaltwist(GEN e)
    1495             : {
    1496         497 :   pari_sp av = avma;
    1497         497 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1498             :   long i, lF;
    1499         497 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1500         497 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1501         497 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1502         497 :   disc = ell_get_disc(E);
    1503         497 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1504         497 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1505         497 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1506             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1507             :    * then apply get_u(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3 and
    1508             :    * v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1509        1995 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1510             :   {
    1511        1498 :     GEN p = gel(F, i);
    1512        1498 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1513        1498 :     if (vg < 6) continue;
    1514             :     /* twist by fund. discriminant d2; in get_u, we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1515        1092 :     switch(itou_or_0(p))
    1516             :     {
    1517             :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1518         434 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1519         434 :         break;
    1520             :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1521         294 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1522         294 :         break;
    1523             :       case 2:
    1524         364 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1525         364 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1526         364 :         break;
    1527             :     }
    1528             :   }
    1529         497 :   obj_free(E);
    1530         497 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1531             : }
    1532             : 
    1533             : /*
    1534             : Reference:
    1535             : William A. Stein and Mark Watkins
    1536             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1537             : ANTS 5
    1538             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1539             : */
    1540             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1541             : GEN
    1542         231 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1543             : {
    1544         231 :   pari_sp av = avma;
    1545         231 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1546         231 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1547         231 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1548         231 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1549         231 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1550         217 :   else if (f==6)
    1551             :   {
    1552          14 :     if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
    1553             :     else
    1554             :     {
    1555           7 :       long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
    1556           7 :       D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
    1557             :     }
    1558             :   }
    1559         231 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1560             : }
    1561             : 
    1562             : GEN
    1563         441 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1564             : {
    1565         441 :   switch(flag)
    1566             :   {
    1567             :     case 0:
    1568         266 :       return ellminimaltwist(e);
    1569             :     case 1:
    1570         175 :       return ellminimaltwistcond(e);
    1571             :   }
    1572           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1573             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1574             : }
    1575             : 
    1576             : static long
    1577           7 : ellexpo(GEN E)
    1578             : {
    1579           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1580          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1581             :   {
    1582          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1583          35 :     if (f > e) e = f;
    1584             :   }
    1585           7 :   return e;
    1586             : }
    1587             : 
    1588             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1589             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1590             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1591             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1592             : int
    1593        3108 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1594             : {
    1595             :   GEN LHS, RHS, x;
    1596             :   long pl, pr, ex, expx;
    1597             :   pari_sp av;
    1598             : 
    1599        3108 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1600        3031 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1601        3031 :   av = avma;
    1602        3031 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1603        3031 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1604        3031 :   if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
    1605          21 :   pl = precision(LHS);
    1606          21 :   pr = precision(RHS);
    1607          21 :   if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
    1608             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1609           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1610           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1611           7 :   expx = gexpo(x);
    1612          13 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1613           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1614           7 :   avma = av; return pr;
    1615             : }
    1616             : 
    1617             : GEN
    1618        4242 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1619             : {
    1620        4242 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1621             : 
    1622        4242 :   checkell(e);
    1623        4242 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1624        4242 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1625        4242 :   tx = typ(gel(x,1));
    1626        4242 :   if (is_vec_t(tx))
    1627             :   {
    1628        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1629        1687 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1630        1687 :     return z;
    1631             :   }
    1632        2555 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1633             : }
    1634             : 
    1635             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1636             : static GEN
    1637        1806 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1638             : {
    1639             :   GEN dy,dx;
    1640        1806 :   if (y1 != y2)
    1641             :   {
    1642             :     int eq;
    1643         245 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1644           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1645             :     else
    1646         238 :       eq = gequal(y1,y2);
    1647         245 :     if (!eq) return NULL;
    1648             :   }
    1649        1799 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1650        1799 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1651        1764 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1652             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1653        1764 :   return gdiv(dy,dx);
    1654             : }
    1655             : static GEN
    1656        3325 : get_slope(GEN e, GEN x1, GEN x2, GEN y1, GEN y2)
    1657             : {
    1658             :   GEN dy,dx;
    1659        3325 :   if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
    1660        1806 :     return slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1661        1519 :   dx = gsub(x2,x1);
    1662        1519 :   if (typ(dx) == t_COMPLEX) /* its Norm may be 0 */
    1663             :   {
    1664           0 :     GEN N = gnorm(dx);
    1665           0 :     if (gequal0(N)) return slope_samex(e,x1,y1,y2);
    1666           0 :     dy = gsub(y2,y1);
    1667           0 :     return gdiv(gmul(dy,gconj(dx)),N); /* dy/dx */
    1668             :   }
    1669        1519 :   dy = gsub(y2,y1);
    1670        1519 :   return gdiv(dy,dx);
    1671             : }
    1672             : 
    1673             : GEN
    1674        3556 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1675             : {
    1676             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1677        3556 :   pari_sp av = avma;
    1678             : 
    1679        3556 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1680        3556 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1681        3325 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1682             : 
    1683        3325 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1684        3325 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1685        3325 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1686             :   {
    1687         476 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1688         476 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1689         476 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1690         476 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1691         476 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1692             :   }
    1693        3325 :   s = get_slope(e,x1,x2,y1,y2);
    1694        3325 :   if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
    1695        3283 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1696        3283 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1697        3283 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1698        3283 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1699        3283 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1700             : }
    1701             : 
    1702             : static GEN
    1703          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1704             : {
    1705             :   GEN t, x, y;
    1706          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1707          49 :   x = gel(z,1);
    1708          49 :   y = gel(z,2);
    1709          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1710             :   {
    1711           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1712           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1713           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1714             :   }
    1715          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1716          49 :   gel(t,1) = x;
    1717          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1718          49 :   return t;
    1719             : }
    1720             : 
    1721             : GEN
    1722         413 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1723             : {
    1724             :   pari_sp av;
    1725             :   GEN t, y;
    1726         413 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1727         413 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1728         413 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1729         413 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1730         413 :   av = avma;
    1731         413 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1732         413 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1733         413 :   return t;
    1734             : }
    1735             : 
    1736             : GEN
    1737          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1738             : {
    1739          49 :   pari_sp av = avma;
    1740          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1741          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1742             : }
    1743             : 
    1744             : /* E an ell, x a scalar */
    1745             : static GEN
    1746        2016 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1747             : {
    1748        2016 :   pari_sp av = avma;
    1749        2016 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1750             : 
    1751        2016 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1752             :   {
    1753         448 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1754         448 :     x = nftoalg(nf,x);
    1755             :   }
    1756        2016 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1757        2016 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1758        2016 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1759             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1760        2016 :   if (gequal0(D)) {
    1761         567 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1762           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1763         567 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1764         567 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1765         567 :     return gerepileupto(av,y);
    1766             :   }
    1767             :   /* D != 0 */
    1768        1449 :   switch(ell_get_type(E))
    1769             :   {
    1770             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1771          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1772          28 :       D = gel(D,2);
    1773          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1774           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1775           7 :       break;
    1776             :     case t_ELL_Fq:
    1777         210 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1778             :       {
    1779          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1780          77 :         if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1781          42 :         return gerepileupto(av, F);
    1782             :       }
    1783         133 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1784          63 :       break;
    1785             :     case t_ELL_Q:
    1786         749 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1787         742 :       if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1788         455 :       break;
    1789             : 
    1790             :     case t_ELL_NF:
    1791             :     {
    1792         441 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1793         441 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1794         441 :       d = nfroots(nf, T);
    1795         441 :       delete_var();
    1796         441 :       if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    1797         427 :       d = gel(d,1);
    1798         427 :       break;
    1799             :     }
    1800             : 
    1801             :     case t_ELL_Qp:
    1802          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1803          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1804          14 :       if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1805          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1806          14 :       break;
    1807             : 
    1808             :     default:
    1809           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1810             :   }
    1811         980 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1812         980 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1813         980 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1814         980 :   return gerepileupto(av,y);
    1815             : }
    1816             : 
    1817             : GEN
    1818        2016 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1819             : {
    1820        2016 :   checkell(e);
    1821        2016 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1822             :   {
    1823             :     long i, lx;
    1824           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1825           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1826           0 :     return v;
    1827             :   }
    1828        2016 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1829             : }
    1830             : 
    1831             : GEN
    1832      244062 : ellrandom(GEN E)
    1833             : {
    1834             :   GEN fg;
    1835      244062 :   checkell_Fq(E);
    1836      244062 :   fg = ellff_get_field(E);
    1837      244062 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1838      244034 :     return FF_ellrandom(E);
    1839             :   else
    1840             :   {
    1841          28 :     pari_sp av = avma;
    1842          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1843          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1844          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1845          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1846             :   }
    1847             : }
    1848             : 
    1849             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    1850             : static GEN
    1851          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    1852             : {
    1853          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1854             :   long ln, vn;
    1855             : 
    1856          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    1857           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1858          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    1859          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1860          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1861          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1862          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    1863          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1864          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1865             :   do
    1866             :   {
    1867          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1868             :     do
    1869             :     {
    1870          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1871          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    1872          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1873             :     }
    1874          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    1875          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1876          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1877          21 :     if (!signe(z2)) break;
    1878           7 :     z2 = ginv(z2);
    1879             :   }
    1880           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    1881          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1882           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1883          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1884          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    1885          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    1886          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1887          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1888             : 
    1889          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1890          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1891          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1892          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1893             : 
    1894          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    1895          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1896          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1897          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    1898          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1899             : }
    1900             : 
    1901             : static GEN
    1902         616 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1903             : static GEN
    1904         175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1905             : 
    1906             : static GEN
    1907      228154 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1908             : {
    1909      228154 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1910      228153 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1911      227682 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1912             :   else
    1913             :   {
    1914         471 :     pari_sp av = avma;
    1915         471 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1916         471 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1917         473 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1918         425 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1919         425 :     return gerepileupto(av, Q);
    1920             :   }
    1921             : }
    1922             : /* [n] z, n integral */
    1923             : static GEN
    1924      228715 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1925             : {
    1926             :   long s;
    1927      228715 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1928      228714 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    1929         560 :   s = signe(n);
    1930         560 :   if (!s) return ellinf();
    1931         511 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    1932         511 :   if (is_pm1(n)) return z;
    1933         378 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    1934             : }
    1935             : 
    1936             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    1937             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    1938             : static long
    1939          42 : myroundr(GEN *px)
    1940             : {
    1941          42 :   GEN x = *px;
    1942             :   long e;
    1943          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    1944          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    1945          42 :   if (e >= -5) return NO;
    1946          42 :   return OK;
    1947             : }
    1948             : 
    1949             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    1950             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    1951             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    1952             : static GEN
    1953          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    1954             : {
    1955             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    1956             :   long prec;
    1957             : 
    1958          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    1959          14 :   switch(typ(Q))
    1960             :   {
    1961             :     case t_COMPLEX:
    1962           0 :       D = utoineg(4);
    1963           0 :       v = gel(Q,2);
    1964           0 :       break;
    1965             :     case t_QUAD:
    1966          14 :       D = quad_disc(Q);
    1967          14 :       v = gel(Q,3);
    1968          14 :       break;
    1969             :     default:
    1970           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    1971             :   }
    1972             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    1973          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    1974          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    1975          14 :   prec = precision(tau);
    1976             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    1977             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    1978             :    * Compute f*k */
    1979          14 :   x = gel(tau,1);
    1980          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    1981          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    1982          14 :   switch(myroundr(&fk))
    1983             :   {
    1984           0 :     case NO: return NULL;
    1985           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1986             :   }
    1987          14 :   fk = absi(fk);
    1988             : 
    1989          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    1990          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    1991             :   {
    1992           0 :     case NO: return NULL;
    1993           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    1994             :   }
    1995             : 
    1996          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    1997          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    1998             :   {
    1999           0 :     case NO: return NULL;
    2000           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2001             :   }
    2002             : 
    2003             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2004          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2005          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2006          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2007          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2008             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2009          14 :   v = dvmdii(absi(v), q, &r);
    2010          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2011          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2012             : }
    2013             : 
    2014             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2015             : static GEN
    2016          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2017             : {
    2018             :   GEN A, B, q;
    2019          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2020          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2021          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2022          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2023             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2024          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2025             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2026             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2027           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2028           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2029           7 :     u = shifti(u, -1);
    2030           7 :     if (signe(u))
    2031             :     {
    2032           0 :       w = gsub(w, u);
    2033           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2034             :     }
    2035             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2036             :   }
    2037          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2038          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2039          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2040          14 :   return elladd(e, A, B);
    2041             : }
    2042             : GEN
    2043      228770 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2044             : {
    2045      228770 :   pari_sp av = avma;
    2046             : 
    2047      228770 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2048      228764 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2049      228708 :   switch(typ(n))
    2050             :   {
    2051      228694 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2052             :     case t_QUAD: {
    2053          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2054          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2055          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2056             :     }
    2057             :     case t_COMPLEX: {
    2058           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2059           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2060             :     }
    2061             :   }
    2062           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2063             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2064             : }
    2065             : 
    2066             : /********************************************************************/
    2067             : /**                                                                **/
    2068             : /**                       Periods                                  **/
    2069             : /**                                                                **/
    2070             : /********************************************************************/
    2071             : 
    2072             : /* References:
    2073             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2074             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2075             : */
    2076             : 
    2077             : static GEN
    2078         659 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2079             : {
    2080         659 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2081         659 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2082         659 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2083             : }
    2084             : 
    2085             : static GEN
    2086         190 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2087             : {
    2088         190 :   pari_sp av = avma;
    2089         190 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    2090         190 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2091         190 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2092         190 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2093             : }
    2094             : 
    2095             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2096             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2097             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2098             : static GEN
    2099         659 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2100             : {
    2101         659 :   pari_sp av = avma;
    2102             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2103         659 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2104         469 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    2105         469 :   d2 = gel(roots,5);
    2106         469 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2107         469 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2108         469 :   b = gel(z,2);
    2109         469 :   c = gabs(z, prec);
    2110         469 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2111         469 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2112             : }
    2113             : static GEN
    2114          28 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2115          28 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    2116             : 
    2117             : GEN
    2118        1687 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2119        1687 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2120             : GEN
    2121          42 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2122          42 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2123             : GEN
    2124        1737 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2125        1737 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2126             : 
    2127             : GEN
    2128          77 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2129             : {
    2130          77 :   pari_sp av = avma;
    2131             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2132          77 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2133          77 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2134          77 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2135          77 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2136             : }
    2137             : 
    2138             : /********************************************************************/
    2139             : /**                                                                **/
    2140             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2141             : /**                                                                **/
    2142             : /********************************************************************/
    2143             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2144             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2145             : static GEN
    2146           0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2147             : {
    2148           0 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2149           0 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2150           0 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2151           0 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2152           0 :   GEN z = gel(om,2);
    2153           0 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2154           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2155             :   else
    2156           0 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2157           0 :   return gmul2n(z, -1);
    2158             : }
    2159             : 
    2160             : static GEN
    2161           7 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2162             : {
    2163           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2164           7 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2165           7 :   if (gequal0(y0))
    2166           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2167             :   else
    2168             :   {
    2169           7 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2170           7 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2171           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2172           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2173           7 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2174             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2175           7 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2176           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2177             :   }
    2178             : }
    2179             : 
    2180             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2181             : static GEN
    2182           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2183             : {
    2184           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2185           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2186             :   else
    2187             :   {
    2188           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2189           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2190           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2191           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2192           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2193           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2194           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2195           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2196             :   }
    2197             : }
    2198             : 
    2199             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2200             : static GEN
    2201           7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2202             : {
    2203           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2204           7 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2205           7 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2206           7 :   e1 = gel(R,1);
    2207           7 :   e2 = gel(R,2);
    2208           7 :   e3 = gel(R,3);
    2209           7 :   d2 = gel(R,5);
    2210           7 :   d3 = gel(R,6);
    2211           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2212           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2213           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2214           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2215           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2216           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2217             :   } else {
    2218           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2219           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2220           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2221           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2222             :   }
    2223             : }
    2224             : 
    2225             : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
    2226             :  * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
    2227             :  * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
    2228             : static GEN
    2229         224 : doellQp_root(GEN E, long prec)
    2230             : {
    2231         224 :   GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
    2232             :   GEN c6p, T, a;
    2233             :   long alpha;
    2234         224 :   int pis2 = absequaliu(p, 2);
    2235         224 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2236             :   /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
    2237         224 :   alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
    2238         224 :   if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
    2239             :   /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
    2240         224 :   if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
    2241         224 :   c6p = modii(c6,p);
    2242         224 :   if (pis2)
    2243             :   { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
    2244         140 :     T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, mulis(c4,-9), mulis(c6, -2));
    2245             :     /* v_2(root a) = 1, i.e. will lose one bit of accuracy: prec+1 */
    2246         140 :     a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec+1);
    2247         140 :     alpha -= 2;
    2248             :   }
    2249          84 :   else if (absequaliu(p, 3))
    2250             :   { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
    2251          56 :     a = Fp_neg(c6p, p);
    2252          56 :     T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, mulis(c4, -6), negi(c6));
    2253          56 :     a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
    2254          56 :     switch(lg(a)-1)
    2255             :     {
    2256             :       case 1: /* single root */
    2257          28 :         a = gel(a,1); break;
    2258             :       case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
    2259             :       {
    2260          28 :         GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
    2261          28 :         long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
    2262          28 :         long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
    2263          28 :         long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
    2264          28 :         if      (v1 == v2) a = a3;
    2265           0 :         else if (v1 == v3) a = a2;
    2266           0 :         else a = a1;
    2267             :       }
    2268          28 :       break;
    2269             :     }
    2270          56 :     alpha--;
    2271             :   }
    2272             :   else
    2273             :   { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
    2274             :      * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
    2275          28 :     GEN c4p = modii(c4,p);
    2276          28 :     a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
    2277          28 :     T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, mulis(c4, -18), negi(c6));
    2278          28 :     a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
    2279             :   }
    2280         224 :   a = cvtop(a, p, prec);
    2281         224 :   if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
    2282         224 :   return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
    2283             : }
    2284             : GEN
    2285         455 : ellQp_root(GEN E, long prec)
    2286         455 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
    2287             : 
    2288             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x+a-b) ~ E */
    2289             : static void
    2290         273 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
    2291             : {
    2292         273 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2293         273 :   GEN w, u, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1)), p = ellQp_get_p(E);
    2294         273 :   w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
    2295         273 :   u = gadd(t,w);
    2296             :   /* Decide between w and -w: we want v(a-b) > v(b) */
    2297         273 :   if (absequaliu(p,2))
    2298         203 :   { if (valp(u)-1 <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2299             :   else
    2300          70 :   { if (valp(u) <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2301             : 
    2302             :   /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
    2303         273 :   *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
    2304         273 :   *ptb = gmul2n(w,-1);
    2305         273 : }
    2306             : 
    2307             : static GEN
    2308          91 : doellQp_Tate(GEN E, long prec0)
    2309             : {
    2310          91 :   GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
    2311             :   GEN L, u, u2, q, x1, a, b, d, s, t, AB, A, M2;
    2312          91 :   long v, n, pp, prec = prec0+3;
    2313          91 :   int split = -1; /* unknown */
    2314          91 :   int pis2 = equaliu(p,2);
    2315             : 
    2316          91 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2317             : START:
    2318         273 :   doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
    2319         273 :   d = gsub(a,b);
    2320         273 :   v = prec0 - precp(d);
    2321         273 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2322         210 :   AB = Qp_agm2_sequence(a,b);
    2323         210 :   A = gel(AB,1);
    2324         210 :   n = lg(A)-1; /* AGM iterations */
    2325         210 :   pp = minss(precp(a),precp(b));
    2326         210 :   M2 = cvtop(gel(A,n), p, pis2? pp-2*n: pp);
    2327         210 :   setvalp(M2, valp(a));
    2328         210 :   u2 = ginv(gmul2n(M2, 2));
    2329         210 :   if (split < 0) split = issquare(u2);
    2330         210 :   x1 = gen_0;
    2331         210 :   Qp_descending_Landen(AB,&x1,NULL);
    2332             : 
    2333         210 :   t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
    2334         210 :   s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
    2335         210 :   q = gadd(t,s);
    2336         210 :   if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
    2337         210 :   v = prec0 - precp(q);
    2338         210 :   if (split)
    2339             :   { /* we want log q at precision prec0 */
    2340          63 :     GEN q0 = leafcopy(q); setvalp(q0, 0);
    2341          63 :     v +=  valp(gsubgs(q0,1));
    2342             :   }
    2343         210 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2344          91 :   if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
    2345          91 :   if (split)
    2346             :   {
    2347          35 :     u = Qp_sqrt(u2);
    2348          35 :     L = gdivgs(Qp_log(q), valp(q));
    2349             :   }
    2350             :   else
    2351             :   {
    2352          56 :     GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
    2353          56 :     u = mkpolmod(pol_x(0), T);
    2354          56 :     L = gen_1;
    2355             :   }
    2356          91 :   return mkvecn(6, u2, u, q, mkvec2(a, b), L, AB);
    2357             : }
    2358             : static long
    2359         581 : Tate_prec(GEN T) { return padicprec_relative(gel(T,3)); }
    2360             : GEN
    2361         665 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
    2362         665 : { return obj_checkbuild_prec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate, &Tate_prec,prec); }
    2363             : GEN
    2364         168 : ellQp_u(GEN E, long prec)
    2365         168 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
    2366             : GEN
    2367          56 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
    2368          56 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
    2369             : GEN
    2370         105 : ellQp_q(GEN E, long prec)
    2371         105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
    2372             : GEN
    2373         105 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
    2374         105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
    2375             : GEN
    2376           0 : ellQp_L(GEN E, long prec)
    2377           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,5); }
    2378             : GEN
    2379         147 : ellQp_AGM(GEN E, long prec)
    2380         147 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,6); }
    2381             : 
    2382             : static void
    2383           7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2384             : {
    2385           7 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2386           7 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2387           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2388           0 : }
    2389             : static GEN
    2390         161 : get_r0(GEN E, long prec)
    2391             : {
    2392         161 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2393         161 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2394             : }
    2395             : static GEN
    2396         112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2397             : {
    2398         112 :   pari_sp av = avma;
    2399             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2400             :   long vq, vt, Q, R;
    2401         112 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2402         105 :   ab = ellQp_ab(E, prec);
    2403         105 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2404         105 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2405         105 :   a = gel(ab,1);
    2406         105 :   b = gel(ab,2);
    2407         105 :   x = gel(P,1);
    2408         105 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2409         105 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2410         105 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2411          98 :   r = gsub(a,b);
    2412          98 :   ar = gmul(a, r);
    2413          98 :   if (gequal0(c0))
    2414             :   {
    2415           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2416           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2417             :   }
    2418             :   else
    2419             :   {
    2420          91 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2421          91 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2422          91 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2423          84 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2424             :   }
    2425          91 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2426          91 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2427             : 
    2428          91 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2429          91 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2430             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2431          91 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2432          56 :     vt = valp(t);
    2433             :   else
    2434          35 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2435          91 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2436          91 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2437          91 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2438          91 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2439          91 :   return gerepileupto(av, t);
    2440             : }
    2441             : 
    2442             : static GEN
    2443          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2444             : {
    2445          56 :   pari_sp av = avma;
    2446             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2447             :   long v;
    2448          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2449             : 
    2450          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2451          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2452          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2453          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2454          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2455          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2456          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2457             : 
    2458          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2459          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2460          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2461          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2462          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2463             : }
    2464             : 
    2465             : /* t to w := -1/y */
    2466             : GEN
    2467         574 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
    2468             : {
    2469         574 :   pari_sp av = avma, av2;
    2470             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
    2471         574 :   GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
    2472         574 :   ulong mask, nold = 1;
    2473         574 :   if (v < 0) v = 0;
    2474         574 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
    2475         560 :   mask = quadratic_prec_mask(n);
    2476         560 :   t = pol_x(v);
    2477         560 :   checkell(e);
    2478         560 :   a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
    2479         560 :   a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
    2480         560 :   w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
    2481         560 :   gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
    2482             :   /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
    2483             :    *
    2484             :    *            w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
    2485             :    * w  <-  w - -----------------------------------------------------
    2486             :    *              w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
    2487             :    *
    2488             :    *              w^3 a6 + w^2 U + w V + W
    2489             :    *      =: w -  -----------------------
    2490             :    *                w^2 (3a6) + 2w U + V
    2491             :    */
    2492         560 :   U = gadd(gmul(a4,t), a3);
    2493         560 :   U2 = gmul2n(U,1);
    2494         560 :   V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
    2495         560 :   W = gpowgs(t,3);
    2496         560 :   av2 = avma;
    2497        3115 :   while (mask > 1)
    2498             :   { /* nold correct terms in w */
    2499        1995 :     ulong i, nnew = nold << 1;
    2500             :     GEN num, den, wnew, w2, w3;
    2501        1995 :     if (mask & 1) nnew--;
    2502        1995 :     mask >>= 1;
    2503        1995 :     wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
    2504        1995 :     wnew[1] = w[1];
    2505        1995 :     for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
    2506        1995 :     for (     ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
    2507        1995 :     w = wnew;
    2508        1995 :     w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
    2509        1995 :     num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
    2510        1995 :     den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
    2511             : 
    2512        1995 :     w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
    2513        1995 :     nold = nnew;
    2514             :   }
    2515         560 :   return gerepilecopy(av, w);
    2516             : }
    2517             : 
    2518             : static GEN
    2519         343 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
    2520         343 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
    2521             : 
    2522             : /* t to [x,y] */
    2523             : GEN
    2524          70 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
    2525             : {
    2526          70 :   pari_sp av = avma;
    2527          70 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w);
    2528          70 :   return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
    2529             : }
    2530             : 
    2531             : static GEN
    2532         420 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
    2533             : {
    2534             :   GEN x, w1;
    2535         420 :   if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
    2536             :   { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
    2537         147 :     x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
    2538         147 :     w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
    2539             :   }
    2540             :   else
    2541             :   {
    2542         273 :     GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
    2543         273 :     x = gel(P,1);
    2544         273 :     w1 = gdiv(derivser(x), ec_dmFdy_evalQ(e, P));
    2545             :   }
    2546         420 :   *px = x; return w1;
    2547             : }
    2548             : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
    2549             : GEN
    2550          70 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
    2551             : {
    2552          70 :   pari_sp av = avma;
    2553          70 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
    2554          70 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2555          70 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
    2556             : }
    2557             : 
    2558             : /* t to z, dz = w1 dt */
    2559             : GEN
    2560         147 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
    2561             : {
    2562         147 :   pari_sp av = avma;
    2563         147 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
    2564         147 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2565         147 :   return gerepileupto(av, integser(w1));
    2566             : }
    2567             : /* z to t */
    2568             : GEN
    2569          70 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
    2570             : {
    2571          70 :   pari_sp av = avma;
    2572          70 :   return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
    2573             : }
    2574             : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
    2575             :  * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
    2576             :  *   sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
    2577             :  * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
    2578             : static GEN
    2579         203 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
    2580             : {
    2581         203 :   pari_sp av = avma;
    2582         203 :   GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = ser_inv(w), t = pol_x(0);
    2583         203 :   GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2584         203 :   GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
    2585         203 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
    2586             :                                  integser(s)));
    2587             : }
    2588             : 
    2589             : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
    2590             : static int
    2591         252 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
    2592             : {
    2593         252 :   pari_sp av = avma;
    2594             :   GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
    2595         252 :   if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
    2596         245 :   P = Q_muli_to_int(P,d);
    2597         245 :   x = gel(P,1);
    2598         245 :   y = gel(P,2);
    2599         245 :   a1 = ell_get_a1(E);
    2600         245 :   a3 = ell_get_a3(E);
    2601         245 :   t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
    2602         245 :   if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
    2603          28 :   a2 = ell_get_a2(E);
    2604          28 :   a4 = ell_get_a4(E);
    2605          28 :   d = Fp_inv(d, p);
    2606          28 :   x = Fp_mul(x,d,p);
    2607          28 :   y = Fp_mul(y,d,p);
    2608          28 :   t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
    2609          28 :   avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
    2610             : }
    2611             : 
    2612             : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
    2613             :  * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
    2614             : GEN
    2615         217 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
    2616             : {
    2617         217 :   pari_sp av = avma;
    2618         217 :   GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
    2619             :   long i, l;
    2620         217 :   checkellpt(P);
    2621         217 :   if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
    2622         217 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2623         217 :   S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
    2624         217 :   NP = gmael(S,3,1);
    2625         217 :   L = gel(S,4);
    2626         217 :   l = lg(NP);
    2627         217 :   d = Q_denom(P);
    2628         462 :   for (i = 1; i < l; i++)
    2629             :   {
    2630         245 :     GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
    2631         245 :     if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
    2632          21 :     c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
    2633          21 :     kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
    2634          21 :     if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
    2635             :     {
    2636           7 :       long nu = itos(kod) - 4;
    2637           7 :       long n = minss(Q_pval(ec_dmFdy_evalQ(E,P), p), nu/2);
    2638           7 :       nu /= ugcd(nu, n);
    2639           7 :       g = muliu(g, nu);
    2640           7 :       P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
    2641           7 :       d = Q_denom(P);
    2642          14 :     } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
    2643             :     { /* either 2 or 4 */
    2644           7 :       long nu = - itos(kod) - 4;
    2645           7 :       P = elladd(E, P,P);
    2646           7 :       d = Q_denom(P);
    2647           7 :       g = shifti(g,1);
    2648           7 :       if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
    2649             :       { /* it's 4 */
    2650           7 :         P = elladd(E, P,P);
    2651           7 :         d = Q_denom(P);
    2652           7 :         g = shifti(g,1);
    2653             :       }
    2654             :     } else {
    2655           7 :       if (absequaliu(c, 4)) c = gen_2;
    2656           7 :       P = ellmul(E, P, c);
    2657           7 :       d = Q_denom(P);
    2658           7 :       g = mulii(g, c);
    2659             :     }
    2660             :   }
    2661         217 :   if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
    2662         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
    2663             : }
    2664             : 
    2665             : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
    2666             :  * notation (Duke 1991)*/
    2667             : static GEN
    2668        7434 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
    2669             : {
    2670             :   hashentry *h;
    2671             :   GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
    2672             :   ulong m4;
    2673        7434 :   if (abscmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
    2674             :   {
    2675         322 :     case 0: return gen_0;
    2676         882 :     case 1: return gen_1;
    2677        1064 :     case 2: return subiu(N,1);
    2678        1330 :     case 3: return b8;
    2679        1386 :     case 4: return g4;
    2680             :   }
    2681        2450 :   if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
    2682        1260 :   m4 = mod4(m);
    2683        1260 :   n = shifti(m, -1); f   = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
    2684        1260 :   np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
    2685        1260 :   np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
    2686        1260 :   nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
    2687        1260 :   nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
    2688        1260 :   if (odd(m4))
    2689             :   {
    2690         770 :     GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
    2691         770 :     GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
    2692         770 :     if (mpodd(n))
    2693         322 :       z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
    2694             :     else
    2695         448 :       z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
    2696             :   }
    2697             :   else
    2698             :   {
    2699         490 :     GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
    2700         490 :     GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
    2701         490 :     z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
    2702             :   }
    2703        1260 :   hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
    2704        1260 :   return z;
    2705             : }
    2706             : 
    2707             : static GEN
    2708        1134 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
    2709             : static GEN
    2710         756 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
    2711             : static GEN
    2712         378 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
    2713             : 
    2714             : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
    2715             :  * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
    2716             :  * [num,den] (coprime) */
    2717             : static GEN
    2718         378 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
    2719             : {
    2720         378 :   pari_sp av = avma;
    2721         378 :   ulong k = expi(m);
    2722         378 :   hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
    2723             :                                       (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
    2724         378 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
    2725         378 :   GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
    2726             :   GEN B4, B6, B8, T, g4;
    2727         378 :   GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
    2728         378 :   GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
    2729         378 :   GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
    2730         378 :   GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
    2731         378 :   GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
    2732         378 :   B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
    2733             :               mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
    2734         378 :   B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
    2735             :               shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
    2736             :               b6d3);
    2737         378 :   B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd,  mulii(b4,d2));
    2738             : 
    2739         378 :   B4 = modii(B4,N);
    2740         378 :   B6 = modii(B6,N);
    2741         378 :   B8 = modii(B8,N);
    2742             : 
    2743         378 :   g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
    2744         378 :   T = Fp_sqr(B6,N);
    2745             : 
    2746         378 :   g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
    2747         378 :   gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2748         378 :   gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2749         378 :   C = Fp_sqr(g, N);
    2750         378 :   D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
    2751             : 
    2752         378 :   if(mpodd(m))
    2753             :   {
    2754         168 :     n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
    2755         168 :     d = Fp_mul(C,d, N);
    2756             :   }
    2757             :   else
    2758             :   {
    2759         210 :     n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
    2760         210 :     d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
    2761             :   }
    2762         378 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
    2763             : }
    2764             : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
    2765             :  * return t = -x/y + O(p^v) */
    2766             : static GEN
    2767         203 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
    2768             : {
    2769         203 :   GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
    2770             :   GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
    2771         203 :   if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
    2772         203 :   a1 = ell_get_a1(e);
    2773         203 :   b2 = ell_get_b2(e);
    2774         203 :   a3 = ell_get_a3(e);
    2775         203 :   b4 = ell_get_b4(e);
    2776         203 :   b6 = ell_get_b6(e);
    2777         203 :   d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
    2778         203 :   if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2779             :   /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
    2780             :    * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
    2781         203 :   d4 = Fp_sqr(d2, N);
    2782         203 :   d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
    2783         203 :   B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
    2784         203 :   C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
    2785             :                 Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
    2786             :                 Fp_mul(b6,d6,N));
    2787         203 :   C = FpX_eval(C, n, N);
    2788         203 :   if (!signe(C))
    2789           0 :     Y = zeropadic(p, v >> 1);
    2790             :   else
    2791         203 :     Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
    2792         203 :   if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2793         203 :   *pd = d;
    2794         203 :   return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
    2795             : }
    2796             : 
    2797             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2798             : static long
    2799         203 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
    2800             : {
    2801         203 :   double log2p = dbllog2(p);
    2802         203 :   long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
    2803         203 :   if (absequaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
    2804             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2805         252 :   for (j = i-1; j >= 2; j--)
    2806             :   {
    2807         252 :     if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2808          49 :     i = j;
    2809             :   }
    2810         203 :   if (j == 1)
    2811             :   {
    2812           0 :     if (- absequaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
    2813             :   }
    2814         203 :   return i;
    2815             : }
    2816             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2817             : static long
    2818           7 : log_prec(GEN p, long v, long t)
    2819             : {
    2820           7 :   double log2p = dbllog2(p);
    2821           7 :   long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
    2822             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2823          28 :   for (j = i-1; j >= 1; j--)
    2824             :   {
    2825          28 :     if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2826          21 :     i = j;
    2827             :   }
    2828           7 :   return i;
    2829             : }
    2830             : 
    2831             : static GEN
    2832         210 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
    2833             : {
    2834         210 :   *ab = NULL;
    2835         210 :   switch(typ(p))
    2836             :   {
    2837         105 :     case t_INT: break;
    2838             :     case t_VEC:
    2839         105 :       if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2840         105 :       *ab = gel(p,2);
    2841         105 :       if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2842         105 :       p = gel(p,1);
    2843             :   }
    2844         210 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
    2845         210 :   return p;
    2846             : }
    2847             : 
    2848             : static GEN
    2849         301 : precp_fix(GEN h, long v)
    2850         301 : { return (precp(h) > v)? cvtop(h,gel(h,2),v): h; }
    2851             : 
    2852             : GEN
    2853         217 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
    2854             : {
    2855         217 :   pari_sp av = avma;
    2856             :   GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
    2857             :   long v, vd;
    2858             :   int is2;
    2859         217 :   checkellpt(P);
    2860         217 :   if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
    2861         210 :   checkell_Q(e);
    2862         210 :   p = parse_p(p, &ab);
    2863         210 :   if (ellorder_Q(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
    2864         203 :   E = ellanal_globalred(e, &ch);
    2865         203 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2866         203 :   S = ellnonsingularmultiple(E, P);
    2867         203 :   P = gel(S,1);
    2868         203 :   g = gel(S,2);
    2869         203 :   v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
    2870         203 :   is2 = absequaliu(p,2);
    2871         203 :   if (is2) v += 2;
    2872         203 :   x = gel(P,1);
    2873         203 :   n = numer(x);
    2874         203 :   d = denom(x);
    2875         203 :   x = mkvec2(n, d);
    2876         203 :   vd = Z_pval(d, p);
    2877         203 :   if (!vd)
    2878             :   { /* P not in kernel of reduction mod p */
    2879         189 :     GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
    2880         189 :     long w = v+2;
    2881         189 :     Pp = RgV_to_FpV(P, p);
    2882         189 :     if (Ep)
    2883         189 :       m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
    2884             :     else
    2885             :     {
    2886           0 :       m = ellcard(E, p); /* E has bad reduction at p */
    2887           0 :       if (equalii(m, p)) pari_err_TYPE("ellpadicheight: additive reduction", E);
    2888             :     }
    2889         189 :     g = mulii(g,m);
    2890             :     for(;;)
    2891             :     {
    2892         378 :       N = powiu(p, w);
    2893         378 :       X = xmP(E, x, m, N);
    2894         378 :       d = gel(X,2);
    2895         378 :       if (!signe(d))
    2896           0 :         w <<= 1;
    2897             :       else
    2898             :       {
    2899         378 :         vd = Z_pval(d, p);
    2900         378 :         if (w >= v+2*vd + is2) break;
    2901         189 :         w = v+2*vd + is2;
    2902             :       }
    2903         189 :     }
    2904         189 :     x = X;
    2905             :   }
    2906             :   /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
    2907             :    * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
    2908         203 :   v += 2*vd + is2;
    2909         203 :   N = powiu(p,v);
    2910         203 :   t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
    2911         203 :   S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
    2912         203 :   ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
    2913         203 :   lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
    2914             :   /* evaluate our formal power series at t */
    2915         203 :   H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
    2916         203 :   h = gsqr(poleval(lt, t));
    2917         203 :   g = sqri(g);
    2918         203 :   a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
    2919         203 :   b = gdiv(gneg(h), g);
    2920         203 :   if (E != e)
    2921             :   {
    2922          21 :     GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
    2923          21 :     a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
    2924          21 :     b = gmul(u,b);
    2925             :   }
    2926         203 :   H = mkvec2(a,b);
    2927         203 :   if (ab)
    2928             :   {
    2929         105 :     H = RgV_dotproduct(H, ab);
    2930         105 :     H = precp_fix(H,v0);
    2931             :   }
    2932             :   else
    2933             :   {
    2934          98 :     gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
    2935          98 :     gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
    2936             :   }
    2937         203 :   return gerepilecopy(av, H);
    2938             : }
    2939             : 
    2940             : GEN
    2941          14 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    2942             : {
    2943          14 :   pari_sp av = avma;
    2944             :   long vt;
    2945             :   GEN t, x, y, L;
    2946          14 :   checkellpt(P);
    2947          14 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
    2948          14 :   x = gel(P,1);
    2949          14 :   y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
    2950          14 :   vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
    2951          14 :   if (vt <= 0)
    2952           7 :     pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
    2953           7 :   L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
    2954           7 :   return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
    2955             : }
    2956             : 
    2957             : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
    2958             : GEN
    2959          21 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
    2960             : {
    2961          21 :   pari_sp av = avma;
    2962             :   GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
    2963             :   ulong pp;
    2964          21 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
    2965          21 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
    2966          21 :   pp = itou_or_0(p);
    2967          21 :   F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
    2968          21 :   a = gcoeff(F,1,1);
    2969          21 :   b = gcoeff(F,1,2);
    2970          21 :   d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
    2971          21 :   if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
    2972          21 :   if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
    2973           0 :     ap = ellap(E,p);
    2974             :   else
    2975             :   { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
    2976          21 :     GEN q = abscmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
    2977          21 :     ap = padic_to_Fp(ap, q);
    2978          21 :     ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
    2979             :   }
    2980          21 :   D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
    2981          21 :   if (absequaliu(p,2)) n++;
    2982          21 :   sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
    2983          21 :   l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
    2984          21 :   return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
    2985             : }
    2986             : 
    2987             : GEN
    2988         126 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
    2989             : {
    2990         126 :   pari_sp av = avma;
    2991             :   GEN t;
    2992             :   long s;
    2993             : 
    2994         126 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2995         126 :   switch(ell_get_type(e))
    2996             :   {
    2997             :     case t_ELL_Qp:
    2998         112 :       prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    2999         112 :       return ellQp_P2t(e, z, prec);
    3000           7 :     case t_ELL_Q: break;
    3001           7 :     case t_ELL_Rg: break;
    3002           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
    3003             :   }
    3004          14 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    3005          14 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    3006          14 :   s = ellR_get_sign(e);
    3007          14 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    3008           7 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    3009             :   else
    3010           7 :     t = zellcx(e,z,prec);
    3011          14 :   return gerepileupto(av,t);
    3012             : }
    3013             : 
    3014             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    3015             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    3016             : typedef struct {
    3017             :   enum period_type type;
    3018             :   GEN in; /* original input */
    3019             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    3020             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    3021             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    3022             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    3023             :   GEN x,y; /* t_INT */
    3024             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    3025             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    3026             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    3027             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    3028             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    3029             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    3030             :   long prec; /* precision(Z) */
    3031             : } ellred_t;
    3032             : 
    3033             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    3034             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    3035             : static void
    3036       23373 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    3037             : {
    3038       23373 :   GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
    3039       23373 :   pari_sp av = avma;
    3040             : 
    3041       23373 :   a = d = gen_1;
    3042       23373 :   b = c = gen_0;
    3043             :   for(;;)
    3044             :   {
    3045       44072 :     GEN m, n = ground(real_i(t));
    3046       44072 :     if (signe(n))
    3047             :     { /* apply T^n */
    3048       26763 :       t = gsub(t,n);
    3049       26763 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    3050       26763 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    3051             :     }
    3052       44072 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    3053       20699 :     t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
    3054       20699 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    3055       20699 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    3056       20699 :     if (gc_needed(av, 1)) {
    3057           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "cxredsl2");
    3058           0 :       gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
    3059             :     }
    3060       20699 :   }
    3061       23373 :   *pa = a;
    3062       23373 :   *pb = b;
    3063       23373 :   *pc = c;
    3064       23373 :   *pd = d;
    3065       23373 : }
    3066             : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    3067             :  * Set *pU to U. */
    3068             : GEN
    3069        8911 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    3070             : {
    3071        8911 :   pari_sp av = avma;
    3072             :   GEN U, a,b,c,d;
    3073        8911 :   set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
    3074        8911 :   U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    3075        8911 :   t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b), gadd(gmul(c,t), d));
    3076        8911 :   gerepileall(av, 2, &t, &U);
    3077        8911 :   *pU = U; return t;
    3078             : }
    3079             : 
    3080             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    3081             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    3082             : static void
    3083       14462 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    3084             : {
    3085             :   long s, p;
    3086       14462 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    3087       14462 :   if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    3088       14462 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    3089       14462 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    3090             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    3091       14462 :   T->swap = (s < 0);
    3092       14462 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    3093       14462 :   set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    3094             :   /* update lattice */
    3095       14462 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    3096       14462 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    3097       14462 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    3098       14462 :   if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    3099       14462 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    3100       14462 :   T->prec = p;
    3101       14462 : }
    3102             : /* is z real or pure imaginary ? */
    3103             : static void
    3104       15540 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    3105             : {
    3106       15540 :   if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
    3107       10150 :   else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
    3108       15540 : }
    3109             : static void
    3110        9884 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    3111             : {
    3112             :   long p;
    3113             :   GEN Z;
    3114        9884 :   T->abs_u_is_1 = 0;
    3115        9884 :   T->some_z_is_real = 0;
    3116        9884 :   T->some_z_is_pure_imag = 0;
    3117        9884 :   switch(typ(z))
    3118             :   {
    3119        9884 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    3120             :     case t_QUAD:
    3121           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    3122           0 :       break;
    3123           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    3124             :   }
    3125        9884 :   T->z = z;
    3126        9884 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    3127        9884 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    3128        9884 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    3129        9884 :   T->y = ground(real_i(Z));
    3130        9884 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    3131        9884 :   if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
    3132             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    3133        9884 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    3134        9884 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    3135             :   {
    3136        4823 :     int W2real = 0, W2imag = 0;
    3137        4823 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    3138        4823 :     if (W2real)
    3139         427 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    3140        4396 :     else if (W2imag)
    3141         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    3142             :   }
    3143        9884 :   p = precision(Z);
    3144        9884 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    3145          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    3146        9884 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    3147        9884 :   T->Z = Z;
    3148        9884 : }
    3149             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    3150             : static GEN
    3151        8862 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    3152             : {
    3153        8862 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    3154        8862 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    3155        8862 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    3156        8862 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    3157        3969 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    3158             : }
    3159             : /* e is either
    3160             :  * - [w1,w2]
    3161             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    3162             :  * - an ellinit structure */
    3163             : static void
    3164       14462 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    3165             : {
    3166             :   GEN w, e;
    3167       14462 :   T->q_is_real = 0;
    3168       14462 :   T->some_q_is_real = 0;
    3169       14462 :   switch(T->type)
    3170             :   {
    3171             :     case t_PER_ELL:
    3172             :     {
    3173        1022 :       long pr, p = prec;
    3174        1022 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    3175        1022 :       e = T->in;
    3176        1022 :       w = ellR_omega(e, p);
    3177        1022 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    3178        1022 :       break;
    3179             :     }
    3180             :     case t_PER_W:
    3181       13286 :       w = T->in; break;
    3182             :     default: /*t_PER_WETA*/
    3183         154 :       w = gel(T->in,1); break;
    3184             :   }
    3185       14462 :   T->w1 = gel(w,1);
    3186       14462 :   T->w2 = gel(w,2);
    3187       14462 :   red_modSL2(T, prec);
    3188       14462 :   if (z) reduce_z(z, T);
    3189       14462 : }
    3190             : static int
    3191       14469 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    3192             : {
    3193             :   GEN w1;
    3194       14469 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    3195       14469 :   T->in = e;
    3196       14469 :   switch(lg(e))
    3197             :   {
    3198             :     case 17:
    3199        1029 :       T->type = t_PER_ELL;
    3200        1029 :       break;
    3201             :     case 3:
    3202       13440 :       w1 = gel(e,1);
    3203       13440 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    3204       13286 :         T->type = t_PER_W;
    3205             :       else
    3206             :       {
    3207         154 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    3208         154 :         T->type = t_PER_WETA;
    3209             :       }
    3210       13440 :       break;
    3211           0 :     default: return 0;
    3212             :   }
    3213       14469 :   return 1;
    3214             : }
    3215             : static int
    3216       14427 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    3217             : {
    3218       14427 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    3219       14427 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    3220             : }
    3221             : 
    3222             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    3223             : static GEN
    3224        8904 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    3225             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    3226             : GEN
    3227       33432 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    3228             : 
    3229             : static GEN
    3230       13734 : check_real(GEN q)
    3231       13734 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
    3232             : 
    3233             : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
    3234             : static GEN
    3235       13489 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
    3236             : {
    3237             :   pari_sp av;
    3238             :   GEN p1, q, y, qn;
    3239       13489 :   long n = 1;
    3240             : 
    3241       13489 :   if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
    3242         245 :   q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
    3243         245 :   q = check_real(q);
    3244         245 :   y = gen_0;
    3245         245 :   av = avma; qn = gen_1;
    3246        2164 :   for(;; n++)
    3247             :   { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
    3248        2409 :     qn = gmul(q,qn);
    3249        2409 :     p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
    3250        2409 :     if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3251        2164 :     y = gadd(y, p1);
    3252        2164 :     if (gc_needed(av,2))
    3253             :     {
    3254           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
    3255           0 :       gerepileall(av, 2, &y,&qn);
    3256             :     }
    3257        2164 :   }
    3258         245 :   return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
    3259             : }
    3260             : 
    3261             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    3262             : static GEN
    3263       13489 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    3264             : {
    3265       13489 :   GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
    3266       13489 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    3267       13489 :   return check_real(y);
    3268             : }
    3269             : 
    3270             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    3271             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    3272             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    3273             : GEN
    3274        4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    3275             : {
    3276        4438 :   pari_sp av = avma;
    3277             :   GEN y;
    3278             :   ellred_t T;
    3279             : 
    3280        4438 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    3281        4438 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    3282        4438 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    3283        4438 :   y = _elleisnum(&T, k);
    3284        4438 :   if (k==2 && signe(T.c))
    3285        3955 :   {
    3286        3955 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    3287        3955 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    3288             :   }
    3289         483 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    3290         462 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    3291        4438 :   return gerepileupto(av,y);
    3292             : }
    3293             : 
    3294             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    3295             : static GEN
    3296        8869 : _elleta(ellred_t *T)
    3297             : {
    3298        8869 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
    3299        8869 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    3300        8869 :   y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
    3301        8869 :   retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
    3302             : }
    3303             : 
    3304             : /* compute eta1, eta2 */
    3305             : GEN
    3306          42 : elleta(GEN om, long prec)
    3307             : {
    3308          42 :   pari_sp av = avma;
    3309             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    3310             :   ellred_t T;
    3311             : 
    3312          42 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    3313          42 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    3314             : 
    3315          35 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    3316          35 :   prec = T.prec;
    3317          35 :   pi = mppi(prec);
    3318          35 :   E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
    3319          35 :   if (signe(T.c))
    3320             :   {
    3321           0 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    3322             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    3323           0 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    3324             :   }
    3325          35 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    3326          35 :   if (T.swap)
    3327             :   {
    3328           7 :     y1 = y2;
    3329           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    3330             :   }
    3331             :   else
    3332          28 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    3333          35 :   switch(typ(T.w1))
    3334             :   {
    3335             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    3336          28 :       y1 = real_i(y1);
    3337             :   }
    3338          35 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    3339             : }
    3340             : GEN
    3341          14 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    3342             : {
    3343          14 :   pari_sp av = avma;
    3344             :   ellred_t T;
    3345          14 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    3346          14 :   switch(flag)
    3347             :   {
    3348           7 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    3349           7 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    3350           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    3351             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    3352             :   }
    3353             : }
    3354             : 
    3355             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    3356             : static double
    3357        9842 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    3358             : 
    3359             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    3360             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    3361             : static GEN
    3362         980 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    3363             : {
    3364             :   long toadd;
    3365         980 :   pari_sp av = avma, av1;
    3366             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    3367             :   ellred_t T;
    3368             :   int simple_case;
    3369             : 
    3370         980 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    3371         980 :   if (!T.Z) return NULL;
    3372         959 :   prec = T.prec;
    3373             : 
    3374             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    3375         959 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3376         959 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3377         959 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3378         959 :   u1 = gsubsg(1,u);
    3379         959 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    3380         959 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    3381         959 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    3382         959 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    3383         959 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3384         959 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    3385         959 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    3386         959 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3387             : 
    3388         959 :   av1 = avma; qn = q;
    3389             :   for(;;)
    3390             :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    3391             :     /* analogous formula for yp */
    3392       12476 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    3393       12476 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    3394       12476 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    3395       12476 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    3396       12476 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    3397       12476 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    3398         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    3399             :     else
    3400             :     {
    3401       12088 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    3402       12088 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    3403       12088 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    3404       12088 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    3405             :     }
    3406       12476 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    3407       12476 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    3408       12476 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    3409             : 
    3410       12476 :     qn = gmul(q,qn);
    3411       12476 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3412       11517 :     if (gc_needed(av1,1))
    3413             :     {
    3414           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    3415           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    3416             :     }
    3417       11517 :   }
    3418         959 :   if (yp)
    3419             :   {
    3420         896 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
    3421         896 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    3422             :   }
    3423             : 
    3424         959 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    3425         959 :   u2 = gsqr(u1);
    3426         959 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    3427         959 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    3428         567 :     y = real_i(y);
    3429         959 :   if (yp)
    3430             :   {
    3431         896 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    3432         896 :     if (T.some_q_is_real)
    3433             :     {
    3434         896 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    3435         378 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    3436             :     }
    3437         896 :     y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
    3438             :   }
    3439         959 :   return gerepilecopy(av, y);
    3440             : }
    3441             : static GEN
    3442         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    3443             : {
    3444             :   long i, k, l;
    3445             :   pari_sp av;
    3446         301 :   GEN t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    3447             : 
    3448         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    3449         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    3450             : 
    3451         301 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    3452         301 :   switch(PRECDL)
    3453             :   {
    3454         301 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    3455             :     case 6:
    3456         301 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    3457             :     case 4:
    3458         301 :     case 3: P[2] = gen_0;
    3459             :     case 2:
    3460         301 :     case 1: P[0] = gen_1;
    3461         301 :     case 0: break;
    3462             :   }
    3463         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    3464         301 :   av = avma;
    3465         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    3466        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    3467             :   {
    3468         784 :     av = avma;
    3469         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    3470         784 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    3471         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    3472         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    3473         784 :     if (k % 3 == 2)
    3474         273 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    3475             :     else /* same value, more efficient */
    3476         511 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    3477         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    3478             :   }
    3479         301 :   return res;
    3480             : }
    3481             : 
    3482             : static int
    3483         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    3484             : {
    3485         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    3486             :   {
    3487             :     case 17:
    3488         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    3489         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    3490         203 :       return 1;
    3491             :     case 3:
    3492             :     {
    3493             :       ellred_t T;
    3494          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    3495          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    3496          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    3497          91 :       return 1;
    3498             :     }
    3499             :   }
    3500           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    3501           0 :   return 0;
    3502             : }
    3503             : 
    3504             : GEN
    3505          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    3506             : {
    3507             :   GEN c4, c6;
    3508          14 :   checkell(e);
    3509          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3510          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    3511             : }
    3512             : 
    3513             : GEN
    3514           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    3515           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    3516             : 
    3517             : GEN
    3518         175 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    3519             : {
    3520         175 :   pari_sp av = avma;
    3521             :   GEN y;
    3522             : 
    3523         175 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    3524         175 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3525         175 :   y = toser_i(z);
    3526         175 :   if (y)
    3527             :   {
    3528         105 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3529             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3530         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    3531         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    3532         105 :     if (gequal0(y)) {
    3533           0 :       avma = av;
    3534           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    3535           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    3536             :     }
    3537         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3538         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3539         105 :     if (!flag)
    3540         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    3541             :     else
    3542             :     {
    3543           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    3544           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    3545             :     }
    3546             :   }
    3547          70 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    3548          70 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    3549          63 :   return gerepileupto(av, y);
    3550             : }
    3551             : 
    3552             : GEN
    3553         154 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3554             : {
    3555             :   long prec;
    3556         154 :   pari_sp av = avma;
    3557         154 :   GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
    3558             :   ellred_t T;
    3559             :   int simple_case;
    3560             : 
    3561         154 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3562         154 :   y = toser_i(z);
    3563         154 :   if (y)
    3564             :   {
    3565          91 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3566             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3567          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3568          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3569          91 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3570          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3571          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3572          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3573          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3574             :   }
    3575          63 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3576          63 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3577          63 :   prec = T.prec;
    3578          63 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3579             : 
    3580          63 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3581          63 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3582          63 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3583          63 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3584             : 
    3585          63 :   y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3586          63 :   v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3587          63 :   if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3588          63 :   y = gadd(y, v);
    3589             : 
    3590          63 :   if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
    3591             :   {
    3592          49 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3593          49 :     pari_sp av1 = avma;
    3594             :     GEN qn;
    3595          49 :     for (qn = q;;)
    3596             :     { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
    3597         483 :       GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
    3598         483 :       y = gadd(y, gmul(qn,p1));
    3599         483 :       qn = gmul(q,qn);
    3600         483 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3601         434 :       if (gc_needed(av1,1))
    3602             :       {
    3603           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3604           0 :         gerepileall(av1,2, &y,&qn);
    3605             :       }
    3606         434 :     }
    3607             :   }
    3608          63 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3609          63 :   if (et) y = gadd(y,et);
    3610          63 :   if (T.some_q_is_real)
    3611             :   {
    3612          63 :     if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3613          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3614             :   }
    3615          63 :   return gerepilecopy(av, y);
    3616             : }
    3617             : 
    3618             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3619             : GEN
    3620        8939 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3621             : {
    3622             :   long toadd, prec, n;
    3623        8939 :   pari_sp av = avma, av1;
    3624             :   GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3625             :   GEN u, uhalf, urn, urninv;
    3626             :   ellred_t T;
    3627             : 
    3628        8939 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3629             : 
    3630        8939 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3631        8939 :   y = toser_i(z);
    3632        8939 :   if (y)
    3633             :   {
    3634          98 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3635             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3636          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3637          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3638          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3639          91 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3640          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3641          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3642             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3643          91 :     P = integser(gsub(P, pol_xnall(-1,vy)));
    3644          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3645          91 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3646          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3647          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3648             :   }
    3649        8841 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3650        8841 :   if (!T.Z)
    3651             :   {
    3652           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3653           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3654             :   }
    3655        8834 :   prec = T.prec;
    3656        8834 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3657        8834 :   pi  = mppi(prec);
    3658             : 
    3659        8834 :   toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3660        8834 :   uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3661        8834 :   u = gsqr(uhalf);
    3662        8834 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    3663        8834 :   q = gpowgs(q8,8);
    3664        8834 :   u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
    3665        8834 :   y = gen_0;
    3666        8834 :   av1 = avma;
    3667        8834 :   qn = q; qn2 = gen_1;
    3668        8834 :   urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
    3669       57960 :   for(n=0;;n++)
    3670             :   {
    3671       57960 :     y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
    3672       57960 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3673       57960 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3674       49126 :     qn  = gmul(q,qn);
    3675       49126 :     urn = gmul(urn,u);
    3676       49126 :     urninv = gmul(urninv,uinv);
    3677       49126 :     if (gc_needed(av1,1))
    3678             :     {
    3679           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3680           0 :       gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3681             :     }
    3682       49126 :   }
    3683        8834 :   y = gmul(gmul(y,q8),
    3684             :            gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3685             : 
    3686        8834 :   et = _elleta(&T);
    3687        8834 :   etnew = eta_correction(&T, et);
    3688        8834 :   zinit = gmul(T.Z,T.W2);
    3689        8834 :   etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
    3690             :                            gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
    3691        8834 :   if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
    3692        8834 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
    3693        8834 :   if (flag)
    3694             :   {
    3695        8771 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3696        8771 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
    3697             :     { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
    3698          21 :       if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
    3699             :     }
    3700             :   }
    3701             :   else
    3702             :   {
    3703          63 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3704          63 :     if (T.some_q_is_real)
    3705             :     {
    3706          63 :       if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3707          42 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3708             :     }
    3709             :   }
    3710        8834 :   return gerepilecopy(av, y);
    3711             : }
    3712             : 
    3713             : GEN
    3714         966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3715             : {
    3716         966 :   pari_sp av = avma;
    3717             :   GEN v;
    3718             : 
    3719         966 :   checkell(e);
    3720         966 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3721             :   {
    3722          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3723          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3724             :   }
    3725         910 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3726         910 :   if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
    3727         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3728         896 :   gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ec_h_evalx(e,gel(v,1)),-1));
    3729         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3730             : }
    3731             : 
    3732             : /********************************************************************/
    3733             : /**                                                                **/
    3734             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3735             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3736             : /**                                                                **/
    3737             : /********************************************************************/
    3738             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3739             : typedef struct {
    3740             :   long a1; /*{0,1}*/
    3741             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3742             :   long a3; /*{0,1}*/
    3743             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3744             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3745             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3746             : } ellmin_t;
    3747             : 
    3748             : /* u from [u,r,s,t] */
    3749             : static void
    3750     1170680 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3751             : {
    3752     1170680 :   M->u = u;
    3753     1170680 :   if (is_pm1(u))
    3754     1107750 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3755             :   else
    3756             :   {
    3757       62930 :     M->u2 = sqri(u);
    3758       62930 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3759       62930 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3760       62930 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3761             :   }
    3762     1170680 : }
    3763             : /* E = original curve */
    3764             : static void
    3765     1170680 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3766             : {
    3767     1170680 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3768     1170680 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3769       62930 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3770       62930 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3771             :   }
    3772     1170680 :   M->c4 = c4;
    3773     1170680 :   M->c6 = c6;
    3774     1170680 : }
    3775             : static void
    3776     1170372 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3777             : {
    3778     1170372 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3779     1170372 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3780     1170372 :   M->D = D;
    3781     1170372 : }
    3782             : static void
    3783     1170533 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3784             : {
    3785             :   long b22, b2;
    3786     1170533 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3787     1170533 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3788     1170533 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3789     1170533 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3790     1170533 : }
    3791             : static void
    3792     1170393 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3793             : {
    3794     1170393 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3795     1170393 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3796     1170393 :   if (odd(b2))
    3797             :   {
    3798      600404 :     a1 = 1;
    3799      600404 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3800             :   }
    3801             :   else
    3802             :   {
    3803      569989 :     a1 = 0;
    3804      569989 :     a2 = b2 >> 2;
    3805             :   }
    3806     1170393 :   M->a1 = a1;
    3807     1170393 :   M->a2 = a2;
    3808     1170393 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3809     1170393 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3810     1170393 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3811     1170393 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3812     1170393 : }
    3813             : static void
    3814     1170365 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3815             : {
    3816     1170365 :   min_set_u(M, u);
    3817     1170365 :   min_set_c(M, E);
    3818     1170365 :   min_set_D(M, E);
    3819     1170365 :   min_set_b(M);
    3820     1170365 :   min_set_a(M);
    3821     1170365 : }
    3822             : static GEN
    3823     1157282 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3824             : {
    3825     1157282 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3826             :   long a11, a13;
    3827     1157282 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3828     1157282 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3829     1157282 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3830     1157282 :   gel(y,4) = M->a4;
    3831     1157282 :   gel(y,5) = M->a6;
    3832     1157282 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3833     1157282 :   gel(y,7) = M->b4;
    3834     1157282 :   gel(y,8) = M->b6;
    3835     1157282 :   a11 = M->a1;
    3836     1157282 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3837     1157282 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3838             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3839     1157282 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3840     1157282 :   gel(y,10)= M->c4;
    3841     1157282 :   gel(y,11)= M->c6;
    3842     1157282 :   gel(y,12)= M->D;
    3843     1157282 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3844     1157282 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3845     1157282 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3846     1157282 :   return y;
    3847             : }
    3848             : static GEN
    3849     1170365 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3850             : {
    3851             :   GEN r, s, t;
    3852     1170365 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3853     1170365 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3854     1170365 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3855     1170365 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3856             : }
    3857             : 
    3858             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3859             : static long
    3860     1682618 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3861             : {
    3862     1682618 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3863     1682618 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3864     1682618 :   if (!signe(c6))
    3865             :   {
    3866        2856 :     d = vD / 12;
    3867        2856 :     if (d)
    3868             :     {
    3869        1071 :       if (p == 2)
    3870             :       {
    3871         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3872         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3873         819 :         if (a) d--;
    3874             :       }
    3875        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3876             :     }
    3877        2856 :     v6 = 12; /* +oo */
    3878             :   }
    3879             :   else
    3880             :   {
    3881     1679762 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3882     1679762 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3883     1679762 :     if (d) {
    3884      181146 :       if (p == 2) {
    3885      109732 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3886      109732 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3887      109732 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3888      109732 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3889       71414 :       } else if (p == 3) {
    3890       45192 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3891             :       }
    3892      181146 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3893             :     }
    3894             :   }
    3895     1682618 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3896             : }
    3897             : static long
    3898      878486 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3899             : {
    3900             :   GEN c6;
    3901             :   long d, v6, vD;
    3902      878486 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3903           7 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3904           7 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3905           7 :   if (!signe(c6))
    3906             :   {
    3907           0 :     d = vD / 12;
    3908           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3909           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3910             :   }
    3911             :   else
    3912             :   {
    3913           7 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3914           7 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3915           7 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3916             :   }
    3917           7 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3918             : }
    3919             : 
    3920             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3921             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3922             :   in the form [f, kod, v, c].
    3923             : 
    3924             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3925             : 
    3926             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3927             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3928             :     I0  -->  1
    3929             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3930             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3931             : 
    3932             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3933             : 
    3934             :   * c is the Tamagawa number.
    3935             : 
    3936             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3937             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3938             : static GEN
    3939     1728300 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3940             : {
    3941     1728300 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3942     1728300 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3943     1728300 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3944     1728300 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3945     1728300 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3946             : }
    3947             : static GEN
    3948           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3949             : {
    3950           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3951           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3952             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3953             : }
    3954             : 
    3955             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3956             : static long
    3957      879347 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3958             : 
    3959             : /* p > 3, e integral */
    3960             : static GEN
    3961      878486 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3962             : {
    3963             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3964      878486 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3965             : 
    3966      878486 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3967      878486 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3968      878486 :   nuj = j_pval(e, p);
    3969      878486 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3970      878486 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3971      878486 :   if (!k) v = init_ch();
    3972             :   else
    3973             :   { /* model not minimal */
    3974             :     ellmin_t M;
    3975       13090 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3976       13090 :     v = min_get_v(&M, e);
    3977       13090 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3978             :   }
    3979             : 
    3980      878486 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3981             :   {
    3982      760795 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3983      760795 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3984             :       {
    3985      392210 :         case  1: c = nuD; break;
    3986      368585 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3987           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3988             :       }
    3989      760795 :       break;
    3990             :     case 6:
    3991             :     {
    3992       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3993       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3994       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3995       45703 :       break;
    3996             :     }
    3997           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3998             :   }
    3999       71988 :   else switch(nuD)
    4000             :   {
    4001          14 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    4002       11676 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    4003       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    4004        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    4005        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    4006        5635 :       break;
    4007       16898 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    4008       16898 :       p2 = sqri(p);
    4009             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    4010       16898 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    4011             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    4012             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    4013       16898 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    4014       16898 :       break;
    4015       11613 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    4016       11613 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    4017       11613 :       break;
    4018       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    4019        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    4020           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    4021             :   }
    4022      878486 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    4023             : }
    4024             : 
    4025             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    4026             : static ulong
    4027      888699 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    4028      888699 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    4029             : 
    4030             : static ulong
    4031     1421994 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    4032             : {
    4033     1421994 :   pari_sp av = avma;
    4034     1421994 :   ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
    4035     1421994 :   avma = av; return res;
    4036             : }
    4037             : 
    4038             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    4039             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    4040             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    4041             : static long
    4042      244307 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    4043             : {
    4044      244307 :   if (p == 2)
    4045             :   {
    4046      141099 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    4047      122367 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    4048             :   }
    4049             :   /* p = 3 */
    4050      103208 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    4051       69062 :   *mult = a * b;
    4052       69062 :   if (b == 2)
    4053       22995 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    4054             :   else
    4055       46067 :     return c ? 3 : 2;
    4056             : }
    4057             : 
    4058             : /* same for aX^2 +bX + c */
    4059             : static long
    4060      788886 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    4061             : {
    4062      788886 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    4063             :   /* p = 3 */
    4064      301077 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    4065             : }
    4066             : 
    4067             : /* p = 2 or 3 */
    4068             : static GEN
    4069      702667 : localred_23(GEN e, long p)
    4070             : {
    4071             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    4072             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    4073             :   GEN v;
    4074             : 
    4075      702667 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    4076      702667 :   if (!k) v = init_ch();
    4077             :   {
    4078             :     ellmin_t M;
    4079      702667 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    4080      702667 :     v = min_get_v(&M, e);
    4081      702667 :     e = min_to_ell(&M, e);
    4082             :   }
    4083             :   /* model is minimal */
    4084      702667 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    4085      702667 :   v = init_ch();
    4086      702667 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    4087      321643 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    4088             : 
    4089      702667 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    4090      702548 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    4091             :   {
    4092      385903 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    4093      195937 :       c = nuD;
    4094             :     else
    4095      189966 :       c = 2 - (nuD & 1);
    4096      385903 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    4097             :   }
    4098      316645 :   if (p == 2)
    4099             :   {
    4100      185766 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    4101      185766 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    4102      185766 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    4103      185766 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    4104             :   }
    4105             :   else /* p == 3 */
    4106             :   {
    4107      130879 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    4108      130879 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    4109      130879 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    4110      130879 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    4111             :   }
    4112             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    4113      316645 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    4114      316645 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    4115       22281 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    4116      294364 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    4117       27594 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    4118      266770 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    4119             :   {
    4120       22463 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    4121       11508 :       c = 3;
    4122             :     else
    4123       10955 :       c = 1;
    4124       22463 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    4125             :   }
    4126             : 
    4127      244307 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    4128       91021 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    4129             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    4130      244307 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    4131      244307 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    4132      244307 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    4133      244307 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    4134             :   {
    4135             :     case 3:
    4136       36071 :       c = a63 ? 1: 2;
    4137       36071 :       if (p == 2)
    4138       18732 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    4139             :       else {
    4140       17339 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    4141       17339 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    4142             :       }
    4143       36071 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    4144             :     case 2:
    4145             :     { /* compute nu */
    4146             :       GEN pk, pk1, p2k;
    4147             :       long al, be, ga;
    4148      130347 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    4149             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    4150      130347 :       nu = 1;
    4151      130347 :       pk  = utoipos(p2);
    4152      130347 :       p2k = utoipos(p4);
    4153             :       for(;;)
    4154             :       {
    4155      387716 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    4156      387716 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    4157      387716 :         al = 1;
    4158      387716 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    4159      323281 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    4160      323281 :         pk1 = pk;
    4161      323281 :         pk  = mului(p, pk);
    4162      323281 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    4163             : 
    4164      323281 :         al = a21;
    4165      323281 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    4166      323281 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    4167      323281 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    4168      257369 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    4169      257369 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    4170      257369 :       }
    4171      130347 :       if (p == 2)
    4172       72261 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    4173             :       else
    4174       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    4175      130347 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    4176             :     }
    4177             :     case 1:
    4178       77889 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    4179             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    4180       77889 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    4181       77889 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    4182       77889 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    4183             :       {
    4184       29743 :         if (p == 2)
    4185       20286 :           c = 3 - 2 * a64;
    4186             :         else
    4187        9457 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    4188       29743 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    4189             :       }
    4190       48146 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    4191             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    4192       48146 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    4193       28959 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    4194             : 
    4195             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    4196       19187 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    4197             :   }
    4198             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4199             : }
    4200             : 
    4201             : static GEN
    4202     1580908 : localred(GEN e, GEN p)
    4203             : {
    4204     1580908 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    4205      878486 :     return localred_p(e,p);
    4206             :   else
    4207             :   {
    4208      702422 :     long l = itos(p);
    4209      702422 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    4210      702422 :     return localred_23(e, l);
    4211             :   }
    4212             : }
    4213             : 
    4214             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    4215             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    4216             : static GEN
    4217       26278 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    4218             : {
    4219       26278 :   GEN b = z;
    4220             :   long i;
    4221       26278 :   if (typ(b) == t_INT)
    4222             :   {
    4223       26201 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    4224       26201 :     return shifti(negi(b),-1);
    4225             :   }
    4226         231 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4227             :   {
    4228         154 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4229             :   }
    4230          77 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    4231             : }
    4232             : 
    4233             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    4234             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    4235             : static GEN
    4236       13139 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    4237             : {
    4238       13139 :   GEN b = z;
    4239             :   long i;
    4240       13139 :   if (typ(b) == t_INT)
    4241             :   {
    4242       13090 :     long s = smodis(b,3);
    4243       13090 :     if (s)
    4244             :     {
    4245           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    4246           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    4247           0 :         b = subii(b, Jz);
    4248             :       else
    4249           0 :         b = addii(b, Jz);
    4250             :     }
    4251       13090 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    4252             :   }
    4253         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4254             :   {
    4255          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    4256          98 :     if (!s) continue;
    4257          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    4258          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    4259             :     else
    4260          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4261             :   }
    4262          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    4263             : }
    4264             : 
    4265             : /* return a such that v_P(a) = -1, v_Q(a) >= 0, Q!=P, Q|p */
    4266             : static GEN
    4267       62804 : get_piinv(GEN P)
    4268             : {
    4269       62804 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    4270       62804 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    4271       62804 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    4272             : }
    4273             : 
    4274             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    4275             : static GEN
    4276      238980 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    4277             : {
    4278      238980 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4279      238980 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4280      238980 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    4281             : }
    4282             : 
    4283             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    4284             : static GEN
    4285      387240 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    4286             : {
    4287      387240 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    4288      387240 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4289      387240 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    4290             : }
    4291             : 
    4292             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    4293             : 
    4294             : static GEN
    4295      214039 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    4296             : {
    4297      214039 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    4298      214039 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    4299      214039 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4300      214039 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    4301             : }
    4302             : 
    4303             : static GEN
    4304      578165 : pol2sqrt_23(GEN nf, GEN modP, GEN Q)
    4305             : {
    4306      578165 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4307      578165 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    4308      578165 :   if (!gequal1(gel(Q,4)))
    4309        4018 :     r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    4310      578165 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    4311      578165 :   return nftoalg(nf, Fq_to_nf(r, modP));
    4312             : }
    4313             : 
    4314             : static GEN
    4315       15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    4316             : {
    4317       15498 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4318       15498 :   GEN pi3 = gsqr(pi);
    4319       15498 :   GEN pv3 = gsqr(pv), pv4 = gmul(pv,pv3), pv6 = gsqr(pv3);
    4320       15498 :   long n = 1;
    4321             :   while(1)
    4322             :   {
    4323       40166 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    4324             :     GEN gama;
    4325       40166 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4326             :     {
    4327        8064 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4328        8064 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4329             :     }
    4330       32102 :     gama = pol2sqrt_23(nf,modP, Q);
    4331       32102 :     E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(gama,pi3));
    4332       32102 :     pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
    4333       32102 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    4334       32102 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4335             :     {
    4336        7434 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4337        7434 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4338             :     }
    4339       24668 :     gama = pol2sqrt_23(nf, modP, Q);
    4340       24668 :     E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama, pi3));
    4341       24668 :     pi3 = gmul(pi, pi3);
    4342       24668 :     pv3 = pv4; pv4 = gmul(pv,pv4); pv6 = gmul(pv,pv6); n++;
    4343       24668 :   }
    4344             : }
    4345             : 
    4346             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    4347             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    4348             : 
    4349             : static GEN
    4350       97902 : nflocalred_23(GEN e, GEN P, long *ap)
    4351             : {
    4352       97902 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP;
    4353             :   long vD;
    4354             :   GEN ch, D, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    4355       97902 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4356       97902 :   if (typ(pr_get_tau(P)) == t_INT) /* inert prime */
    4357             :   {
    4358       97468 :     pv = mkfrac(gen_1, p);
    4359       97468 :     pi = p;
    4360             :   }
    4361             :   else
    4362             :   {
    4363         434 :     pv = basistoalg(nf, get_piinv(P));
    4364         434 :     pi = basistoalg(nf, nfinv(nf,pv)); /* local uniformizer */
    4365             :   }
    4366       97902 :   ch = init_ch();
    4367       97902 :   D = ell_get_disc(e);
    4368       97902 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4369       97902 :   *ap = 0;
    4370             :   while(1)
    4371             :   {
    4372      248941 :     if (vD==0)
    4373         525 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    4374             :     else
    4375             :     {
    4376      248416 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4377      248416 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4378      248416 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    4379      248416 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    4380      248416 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    4381             :       GEN x0, y0;
    4382      248416 :       if (absequaliu(p,2))
    4383             :       {
    4384             :         GEN x02, y02;
    4385      161665 :         if (signe(a1))
    4386             :         {
    4387       29673 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    4388       29673 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    4389       29673 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    4390             :         }
    4391             :         else
    4392             :         {
    4393      131992 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    4394      131992 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    4395             :         }
    4396      161665 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    4397             :       }
    4398             :       else
    4399             :       {
    4400       86751 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    4401       86751 :         if (signe(a12))
    4402       27370 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    4403             :         else
    4404       59381 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    4405       86751 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    4406             :       }
    4407      248416 :       x0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(x0, modP));
    4408      248416 :       y0 = nftoalg(nf,Fq_to_nf(y0, modP));
    4409      248416 :       E_gcompose_rt(&ch, &e, x0, y0);
    4410             :     }
    4411             :     /* 2 */
    4412             :     {
    4413      248416 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    4414      248416 :       if (signe(b2) != 0)
    4415             :       {
    4416       57043 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    4417       57043 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    4418       57043 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    4419       27748 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    4420             :       }
    4421             :     }
    4422             :     /* 3 */
    4423             :     {
    4424      191373 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    4425      191373 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    4426             :     }
    4427             :     /* 4 */
    4428             :     {
    4429      188804 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    4430      188804 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    4431             :     }
    4432             :     /* 5 */
    4433      185150 :     pv2 = gsqr(pv);
    4434             :     {
    4435      185150 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    4436      185150 :       if (vb6<=2)
    4437             :       {
    4438        3213 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    4439        3213 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4440        3213 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    4441             :       }
    4442             :     }
    4443             :     /* 6 */
    4444             :     {
    4445      181937 :       GEN pv3 = gmul(pv, pv2);
    4446      181937 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pola1a2(e, nf, modP));
    4447      181937 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(nf, modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    4448             :       GEN po2, E, F, mr;
    4449             :       long i, lE;
    4450      181937 :       E_gcompose_st(&ch, &e, alpha, gmul(beta, pi));
    4451      181937 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    4452      181937 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    4453             :       {
    4454       69097 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    4455       69097 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    4456       69097 :         lE = lg(E);
    4457       69097 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    4458             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    4459             :           long c; /* 1 + number of roots */
    4460        4515 :           switch(lE)
    4461             :           {
    4462        1764 :             case 2: c = 1; break;
    4463        2534 :             case 3: c = 2; break;
    4464         217 :             default: c = 4; break;
    4465             :           }
    4466        4515 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    4467             :         }
    4468             :       /* 7 */
    4469       64582 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    4470       64582 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    4471       64582 :         if (!gequal0(mr))
    4472             :         { /* not so frequent */
    4473       58534 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    4474       58534 :           E_gcompose_r(&ch, &e, gmul(gama,pi));
    4475             :         }
    4476       64582 :         if (lE == 3)
    4477       15498 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    4478             :       }
    4479             :     }
    4480      161924 :     pv4 = gsqr(pv2);
    4481      161924 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    4482             :     /*  8 */
    4483      161924 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    4484             :     {
    4485        4403 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    4486        4403 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    4487             :     }
    4488             :     /*  9 */
    4489             :     {
    4490      157521 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(nf, modP, pol);
    4491      157521 :       E_gcompose_t(&ch, &e, gmul(alpha, gsqr(pi)));
    4492      157521 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    4493        3948 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    4494             :     }
    4495             :     /* 10 */
    4496      153573 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    4497        2534 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    4498             :     /* 11 */
    4499      151039 :     E_gcompose_u(&ch, &e, pi);
    4500      151039 :     vD -= 12;
    4501      151039 :   }
    4502             : }
    4503             : 
    4504             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    4505             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    4506             : static GEN
    4507       49245 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    4508             : {
    4509       49245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4510             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    4511             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    4512             : 
    4513       49245 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4514       49245 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4515       49245 :   D = ell_get_disc(e);
    4516       49245 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4517       49245 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    4518       49245 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    4519       49245 :   m = (vD - nuj)/12;
    4520       49245 :   piinv = get_piinv(P);
    4521       49245 :   pi = nfinv(nf, piinv); /* local uniformizer */
    4522             : 
    4523       49245 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    4524             :   else
    4525             :   { /* model not minimal */
    4526             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    4527       13139 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    4528       13139 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    4529       13139 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    4530       13139 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    4531       13139 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4532       13139 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    4533       13139 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    4534       13139 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    4535       13139 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    4536       13139 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4537       13139 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4538       13139 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4539       13139 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4540       13139 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4541       13139 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4542       13139 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4543       13139 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4544       13139 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4545             :   }
    4546             : 
    4547       49245 :   kod = 0; c = 1;
    4548             :   /* minimal at P */
    4549       49245 :   if (nuj > 0)
    4550             :   { /* v(j) < 0 */
    4551       45878 :     if (vD == nuj)
    4552             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4553       43785 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4554       43785 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4555       43785 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4556       23233 :         c = vD;/* split */
    4557             :       else
    4558       20552 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    4559             :     }
    4560             :     else
    4561             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4562             :       GEN Du;
    4563        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4564        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4565        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4566        2093 :       if(odd(vD))
    4567             :       {
    4568             :         GEN c6u;
    4569        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4570        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4571        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4572             :       }
    4573        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4574             :     }
    4575             :   }
    4576             :   else
    4577             :   { /* v(j) >= 0 */
    4578        3367 :     f = vD? 2: 0;
    4579        3367 :     switch(vD)
    4580             :     {
    4581             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4582          63 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    4583         588 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4584         462 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4585         273 :       case 4: kod = 4;
    4586         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4587         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4588         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4589         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4590         273 :         break;
    4591         623 :       case 6: kod = -1;
    4592         623 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4593         623 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4594         623 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4595         623 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4596         623 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4597         623 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4598         623 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4599         623 :         break;
    4600         609 :       case 8: kod = -4;
    4601         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4602         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4603         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4604         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4605         609 :         break;
    4606         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4607         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4608             :     }
    4609             :   }
    4610       49245 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4611             : }
    4612             : static GEN
    4613       97972 : nflocalred(GEN e, GEN  pr)
    4614             : {
    4615       97972 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4616       97972 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0) { long ap; return nflocalred_23(e,pr,&ap); }
    4617       49245 :   return nflocalred_p(e,pr);
    4618             : }
    4619             : 
    4620             : GEN
    4621      195153 : elllocalred(GEN e, GEN p)
    4622             : {
    4623      195153 :   pari_sp av = avma;
    4624      195153 :   checkell(e);
    4625      195153 :   switch(ell_get_type(e))
    4626             :   {
    4627             :     case t_ELL_Q:
    4628       97587 :       if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
    4629           0 :         pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
    4630       97587 :       if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
    4631       97587 :       if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
    4632       97587 :       return gerepileupto(av, localred(e, p));
    4633           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
    4634             :     case t_ELL_NF:
    4635       97566 :       checkprid(p);
    4636       97566 :       return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
    4637             :   }
    4638             : }
    4639             : 
    4640             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4641             : static GEN
    4642         455 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4643             : {
    4644         455 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4645         455 :   return c;
    4646             : }
    4647             : static GEN
    4648     2285360 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4649             : {
    4650     2285360 :   *pd = NULL;
    4651     2285360 :   switch(typ(c))
    4652             :   {
    4653     2284065 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4654         840 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4655             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4656         455 :       if (nf)
    4657             :       {
    4658         455 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4659         455 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4660             :       }
    4661           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4662           0 :       return NULL;
    4663             :   }
    4664             : }
    4665             : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
    4666             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4667             : GEN
    4668      457072 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4669             : {
    4670      457072 :   GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
    4671             :   long i, l, k;
    4672             : 
    4673      457072 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4674      457072 :   L = cgetg(1, t_VEC);
    4675     2742432 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4676             :   {
    4677             :     GEN d;
    4678     2285360 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4679     2285360 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4680         952 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4681             :   }
    4682             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4683      457072 :   l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
    4684         469 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4685         469 :   l = lg(L);
    4686             : 
    4687         469 :   t = gen_1;
    4688        1120 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4689             :   {
    4690         651 :     GEN p = gel(L,k);
    4691         651 :     long n = 0, m;
    4692        3906 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4693        3255 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4694             :       {
    4695        1666 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4696        1666 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4697        1666 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4698             :       }
    4699         651 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4700             :   }
    4701         469 :   u = ginv(t);
    4702         469 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4703         469 :   return coordch_u(e, u);
    4704             : }
    4705             : GEN
    4706          21 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4707             : {
    4708          21 :   pari_sp av = avma;
    4709             :   long t;
    4710          21 :   checkell(e);
    4711          21 :   t = ell_get_type(e);
    4712          21 :   if (t != t_ELL_Q && t != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4713          21 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4714          21 :   if (!pv || !*pv)
    4715             :   {
    4716           7 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4717           7 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4718             :   }
    4719             :   else
    4720          14 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4721          21 :   return e;
    4722             : }
    4723             : 
    4724             : static long
    4725        1477 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4726             : {
    4727        1477 :   long N = 1; /* oo */
    4728        1477 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4729        1309 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4730        1477 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4731        1183 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4732        1477 :   return N;
    4733             : }
    4734             : static long
    4735        2989 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4736             : {
    4737        2989 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4738             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4739        2989 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4740             : }
    4741             : static long
    4742        1456 : cardmod2(GEN e)
    4743             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4744        1456 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4745        1456 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4746        1456 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4747        1456 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4748        1456 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4749        1456 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4750             : }
    4751             : static long
    4752        2849 : cardmod3(GEN e)
    4753             : {
    4754        2849 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4755        2849 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4756        2849 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4757        2849 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4758             : }
    4759             : 
    4760             : static ulong
    4761         112 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4762             : 
    4763             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4764             : static void
    4765          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4766             : {
    4767          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4768          28 :   min_set_c(M, E);
    4769          28 :   min_set_b(M);
    4770          28 :   min_set_a(M);
    4771          28 : }
    4772             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4773             : static void
    4774         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4775             : {
    4776         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4777         140 :   min_set_c(M, E);
    4778         140 :   min_set_b(M);
    4779         140 : }
    4780             : 
    4781             : static long
    4782      101080 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4783             : {
    4784      101080 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4785      101080 :   if (vD) /* bad reduction */
    4786             :   {
    4787             :     GEN c6;
    4788             :     long s;
    4789      100772 :     *good_red = 0;
    4790      100772 :     if (vc6) return 0;
    4791       73787 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4792       73787 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4793       73787 :     s = kroiu(c6,p);
    4794       73787 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4795       73787 :     return s;
    4796             :   }
    4797         308 :   *good_red = 1;
    4798         308 :   if (p == 2)
    4799             :   {
    4800             :     ellmin_t M;
    4801          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4802          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4803          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4804             :   }
    4805         287 :   else if (p == 3)
    4806             :   {
    4807             :     ellmin_t M;
    4808         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4809         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4810         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4811             :   }
    4812             :   else
    4813             :   {
    4814             :     ellmin_t M;
    4815         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4816         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4817         147 :     min_set_c(&M, E);
    4818         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4819         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4820             :   }
    4821             : }
    4822             : 
    4823             : static GEN
    4824       98574 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4825             : {
    4826             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4827             :   long vc6, vD, d;
    4828       98574 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4829           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4830           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4831           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4832           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4833           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4834           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4835             :   {
    4836             :     long s;
    4837           0 :     *good_red = 0;
    4838           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4839           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4840           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4841           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4842           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4843             :   }
    4844           0 :   *good_red = 1;
    4845           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4846           0 :   if (d)
    4847             :   {
    4848           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4849           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4850           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4851             :   }
    4852           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4853           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4854             : }
    4855             : 
    4856             : static GEN
    4857      115329 : doellcard(GEN E)
    4858             : {
    4859      115329 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4860      115329 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4861       94308 :     return FF_ellcard(E);
    4862             :   else
    4863             :   {
    4864       21021 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4865       21021 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4866             :   }
    4867             : }
    4868             : 
    4869             : static GEN
    4870      225155 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4871             : {
    4872      225155 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4873      225155 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4874      225155 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4875             :   {
    4876             :     long ap;
    4877       49175 :     GEN L = nflocalred_23(E,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4878       49175 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4879         497 :     *good_red = 1;
    4880         497 :     E = coordch(E, gel(L,3));
    4881         497 :     E = ellinit_nf_to_Fq(E, modP);
    4882         497 :     card = doellcard(E);
    4883             :   }
    4884             :   else
    4885             :   {
    4886      175980 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4887      175980 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4888      175980 :     if (vD)
    4889             :     {
    4890       49224 :       long vc6 = nfval(nf,c6,P), d = vc6==LONG_MAX || vD < 2*vc6 ? vD/12: vc6/6;
    4891       49224 :       GEN piinv = NULL;
    4892             :       /* non minimal model ? */
    4893       49224 :       if (d) { vD -= 12*d; piinv = get_piinv(P); }
    4894       49224 :       if (vD) /* bad reduction */
    4895             :       {
    4896       49175 :         *good_red = 0;
    4897       49175 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4898       43820 :         if (d) c6 = nfmul(nf, c6, nfpow(nf, piinv, stoi(6*d)));
    4899       43820 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4900       43820 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4901             :       }
    4902          49 :       if (d)
    4903             :       {
    4904          49 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4905          49 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4906          49 :         GEN ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4907          49 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4908          49 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4909             :       }
    4910             :     }
    4911      126805 :     *good_red = 1;
    4912      126805 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4913      126805 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4914      126805 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4915      255542 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4916      128737 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4917             :   }
    4918      127302 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4919             : }
    4920             : 
    4921             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4922             :  * basis */
    4923             : static GEN
    4924      454762 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4925             : {
    4926             :   GEN P;
    4927      454762 :   if (!signe(a))
    4928        1645 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4929      453117 :   else if (!signe(b))
    4930         938 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4931             :   else
    4932             :   {
    4933      452179 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4934             :     long k, l;
    4935      452179 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4936      344001 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4937      344001 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4938             :     /* d = gcd(A,B) */
    4939      344001 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4940      344001 :     l = lg(P);
    4941      344001 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4942      344001 :     P = shallowconcat1(P);
    4943      344001 :     P = ZV_sort(P);
    4944             :   }
    4945      346584 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4946             : }
    4947             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4948             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4949             : static GEN
    4950      454608 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
    4951             : {
    4952             :   pari_sp av;
    4953      454608 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4954      454608 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4955      454608 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4956             :   long l, k;
    4957             : 
    4958      454608 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4959      454608 :   l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
    4960      346451 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    4961      346451 :   av = avma;
    4962      346451 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4963      346451 :   u = gen_1;
    4964      852264 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4965             :   {
    4966      505813 :     GEN p = gel(P, k);
    4967      505813 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4968      505813 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4969             :     {
    4970             :       case 2:
    4971             :       {
    4972             :         long a, b;
    4973       56847 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4974       56847 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4975       56847 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4976       56847 :         break;
    4977             :       }
    4978             :       case 3:
    4979        2282 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4980        2282 :         break;
    4981             :     }
    4982      505813 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4983      505813 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4984             :   }
    4985      346451 :   *pDP = DP;
    4986      346451 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4987             : }
    4988             : 
    4989             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4990             : static GEN
    4991          21 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4992             : {
    4993          21 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4994          21 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4995          21 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4996             : 
    4997          21 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4998          21 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4999          21 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    5000          21 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    5001          21 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    5002          21 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    5003          21 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    5004          21 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    5005          21 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    5006          21 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    5007             : }
    5008             : 
    5009             : static GEN
    5010         420 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    5011             : {
    5012         420 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    5013         420 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    5014             : }
    5015             : static GEN
    5016         154 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    5017             : {
    5018         154 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5019         154 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    5020         154 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    5021         154 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* prime ideals potentially dividing D */
    5022             : }
    5023             : static GEN
    5024         112 : ellnf_D_primes(GEN E)
    5025             : {
    5026         112 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5027         112 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    5028         112 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    5029         112 :   long k, l = lg(P);
    5030         112 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    5031         112 :   if (!is_pm1(DZ))
    5032             :   {
    5033          91 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    5034          91 :     settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
    5035             :   }
    5036         112 :   return P;
    5037             : }
    5038             : 
    5039             : static GEN
    5040          42 : bnf_get_v(GEN bnf, GEN E, GEN *pDP)
    5041             : {
    5042             :   GEN nf, c4, c6, P, DP, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    5043             :   long l, k;
    5044             : 
    5045          42 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    5046          42 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    5047          42 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    5048          42 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    5049          42 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    5050          42 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    5051          42 :   l = lg(P);
    5052          42 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    5053          42 :   Lr = vectrunc_init(l);
    5054          42 :   Ls = vectrunc_init(l);
    5055          42 :   Lt = vectrunc_init(l);
    5056          42 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    5057          42 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    5058         168 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5059             :   {
    5060         126 :     GEN pr = gel(P, k), q, f, v, u;
    5061             :     long vu;
    5062         126 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    5063         119 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    5064             :     /* pr | (c4,c6) */
    5065         119 :     q = nflocalred(E, pr);
    5066         119 :     f = gel(q,1);
    5067         119 :     v = gel(q,3);
    5068         119 :     u = gel(v,1);
    5069         119 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    5070         119 :     if (signe(f)) vectrunc_append(DP, q); /* store useful localred data */
    5071         119 :     if (!vu) continue;
    5072          70 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    5073          70 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    5074          70 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    5075          70 :     vectrunc_append(L, pr);
    5076          70 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    5077             :   }
    5078          42 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    5079          42 :   *pDP = DP;
    5080          42 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    5081          21 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    5082          21 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    5083          21 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    5084          21 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    5085          21 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    5086          21 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    5087             : }
    5088             : 
    5089             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    5090             :  * ellminimalmodel(E) */
    5091             : static GEN
    5092      456148 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    5093             : {
    5094             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    5095             :   ellmin_t M;
    5096      456148 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    5097             :   {
    5098        1540 :     if (lg(S) != 2)
    5099             :     {
    5100         196 :       E = gel(S,3);
    5101         196 :       v = gel(S,2);
    5102             :     }
    5103             :     else
    5104        1344 :       v = init_ch();
    5105        1540 :     if (ptv) *ptv = v;
    5106        1540 :     return gcopy(E);
    5107             :   }
    5108      454608 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    5109      454608 :   u = get_u(e, &DP);
    5110      454608 :   min_set_all(&M, e, u);
    5111      454608 :   v = min_get_v(&M, e);
    5112      454608 :   y = min_to_ell(&M, e);
    5113      454608 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    5114      454608 :   if (is_trivial_change(v))
    5115             :   {
    5116      453509 :     v = init_ch();
    5117      453509 :     S = mkvec(DP);
    5118             :   }
    5119             :   else
    5120        1099 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    5121      454608 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    5122      454608 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    5123             : }
    5124             : 
    5125             : static GEN
    5126        1414 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5127             : {
    5128        1414 :   pari_sp av = avma;
    5129        1414 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    5130        1414 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    5131        1414 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5132        1414 :   DP = gel(S,1);
    5133        1414 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    5134        1414 :   if (!ptv)
    5135        1379 :     y = gerepilecopy(av, y);
    5136             :   else
    5137          35 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    5138        1414 :   return y;
    5139             : }
    5140             : 
    5141             : static GEN
    5142          42 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    5143             : {
    5144             :   GEN S, y, v, v2, bnf, nf, DP;
    5145          42 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    5146             :   {
    5147           0 :     switch(lg(S))
    5148             :     {
    5149           0 :       case 2: v = init_ch(); break;
    5150           0 :       case 3: v = NULL; E = gel(S,2); break;
    5151           0 :       default: E = gel(S,3); v = gel(S,2); break;
    5152             :     }
    5153           0 :     if (ptv) *ptv = v;
    5154           0 :     return gcopy(E);
    5155             :   }
    5156          42 :   bnf = ellnf_get_bnf(E);
    5157          42 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    5158          42 :   if (ptv) *ptv = NULL;
    5159          42 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    5160          42 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    5161          42 :   v2 = bnf_get_v(bnf, y, &DP);
    5162          42 :   if (typ(v2) == t_COL)
    5163             :   {
    5164          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec2(DP, v2));
    5165          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    5166             :   }
    5167          21 :   y = coordch(y, v2);
    5168          21 :   gcomposev(&v, v2);
    5169          21 :   v2 = nfrestrict23(nf, y);
    5170          21 :   y = coordch(y, v2);
    5171             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    5172          21 :   y = obj_reinit(y);
    5173          21 :   gcomposev(&v, v2);
    5174          21 :   if (is_trivial_change(v))
    5175             :   {
    5176           7 :     v = init_ch();
    5177           7 :     S = mkvec(DP);
    5178             :   }
    5179             :   else
    5180          14 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    5181          21 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    5182          21 :   if (ptv) *ptv = v;
    5183          21 :   return y;
    5184             : }
    5185             : static GEN
    5186          42 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5187             : {
    5188          42 :   pari_sp av = avma;
    5189          42 :   GEN S, v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    5190          42 :   S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL);
    5191          42 :   if (v) /* true change of variable; v = NULL => no minimal model */
    5192             :   {
    5193          21 :     S = mkvec(gel(S,1));
    5194          21 :     if (!is_trivial_change(v)) (void)ch_Rg(y, E, v);
    5195          21 :     obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, S);
    5196             :   }
    5197          42 :   if (!v || !ptv)
    5198          21 :     y = gerepilecopy(av, y);
    5199             :   else
    5200          21 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    5201          42 :   return y;
    5202             : }
    5203             : GEN
    5204        1463 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5205             : {
    5206        1463 :   checkell(E);
    5207        1463 :   switch(ell_get_type(E))
    5208             :   {
    5209        1414 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    5210          42 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    5211           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    5212           0 :              return NULL;
    5213             :   }
    5214             : }
    5215             : 
    5216             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    5217             :  * update type-dependant components.
    5218             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    5219             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    5220             :  *   N = arithmetic conductor of E
    5221             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    5222             :  *   fa = factorization of N
    5223             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    5224             : static GEN
    5225      454251 : ellQ_globalred(GEN e)
    5226             : {
    5227             :   long k, l, iN;
    5228             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    5229             : 
    5230      454251 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
    5231      454251 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5232      454251 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    5233      454251 :   D  = ell_get_disc(E);
    5234      454251 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    5235      454251 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    5236      454251 :   l = lg(P); c = gen_1;
    5237      454251 :   iN = 1;
    5238      454251 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    5239      454251 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    5240      454251 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    5241     1937572 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5242             :   {
    5243     1483321 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    5244     1483321 :     if (!signe(ex)) continue;
    5245     1483321 :     gel(NP, iN) = p;
    5246     1483321 :     gel(NE, iN) = ex;
    5247     1483321 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    5248     1483321 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    5249     1483321 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5250             :   }
    5251      454251 :   setlg(L, iN);
    5252      454251 :   setlg(NP, iN);
    5253      454251 :   setlg(NE, iN);
    5254      454251 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    5255             : }
    5256             : static GEN
    5257      464303 : ellglobalred_i(GEN E)
    5258      464303 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    5259             : 
    5260             : static GEN
    5261         112 : ellnfglobalred(GEN E)
    5262             : {
    5263             :   GEN c, L, P, NP, NE, D, nf, v;
    5264             :   long k, lP, iN;
    5265             : 
    5266         112 :   E = ellintegralmodel_i(E, &v);
    5267         112 :   if (!v) v = init_ch();
    5268         112 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    5269         112 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    5270         112 :   lP = lg(P);
    5271         112 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    5272         112 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    5273             : 
    5274         112 :   c = gen_1;
    5275         112 :   iN = 1;
    5276         112 :   NP = cgetg(lP, t_COL);
    5277         112 :   NE = cgetg(lP, t_COL);
    5278         112 :   L = cgetg(lP, t_VEC);
    5279         602 :   for (k = 1; k < lP; k++)
    5280             :   {
    5281         490 :     GEN p = gel(P,k), q, ex;
    5282         490 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    5283             : 
    5284         287 :     q = nflocalred(E, p),
    5285         287 :     ex = gel(q,1);
    5286         287 :     if (!signe(ex)) continue;
    5287         245 :     gel(NP, iN) = p;
    5288         245 :     gel(NE, iN) = ex;
    5289         245 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    5290         245 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5291             :   }
    5292         112 :   setlg(L, iN);
    5293         112 :   setlg(NP, iN);
    5294         112 :   setlg(NE, iN);
    5295         112 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    5296             : }
    5297             : 
    5298             : GEN
    5299      453187 : ellglobalred(GEN E)
    5300             : {
    5301      453187 :   pari_sp av = avma;
    5302             :   GEN S, gr, v;
    5303      453187 :   checkell(E);
    5304      453187 :   switch(ell_get_type(E))
    5305             :   {
    5306           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    5307             :     case t_ELL_Q:
    5308      452914 :       gr = ellglobalred_i(E);
    5309      452914 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5310      452914 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    5311      452914 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    5312      452914 :       break;
    5313             :     case t_ELL_NF:
    5314         273 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    5315         273 :       break;
    5316             :   }
    5317      453187 :   return gerepilecopy(av, v);
    5318             : }
    5319             : 
    5320             : static GEN doellrootno(GEN e);
    5321             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    5322             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    5323             :  * and E (shallow insert) */
    5324             : GEN
    5325        2100 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    5326             : {
    5327        2100 :   GEN E, S, v = NULL;
    5328        2100 :   checkell_Q(e);
    5329        2100 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5330             :   {
    5331         455 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    5332         455 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5333         455 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5334             :   }
    5335        1645 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    5336        1631 :     E = e;
    5337             :   else
    5338             :   {
    5339          14 :     v = gel(S,2);
    5340          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    5341          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5342             :   }
    5343        2100 :   if (ch) *ch = v;
    5344        2100 :   S = ellglobalred_i(e);
    5345        2100 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    5346        2100 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    5347        2100 :   if (!S)
    5348             :   {
    5349         672 :     S = doellrootno(E);
    5350         672 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    5351             :   }
    5352        2100 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    5353        2100 :   return E;
    5354             : }
    5355             : 
    5356             : static GEN
    5357          28 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    5358             : {
    5359          28 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5360          28 :   return (signe(ell_get_disc(e)) > 0)? shifti(tam,1): icopy(tam);
    5361             : }
    5362             : 
    5363             : static GEN
    5364          42 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    5365             : {
    5366          42 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5367          42 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    5368             :   long r1, r2;
    5369          42 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    5370          42 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    5371             : }
    5372             : 
    5373             : GEN
    5374          35 : elltamagawa(GEN E)
    5375             : {
    5376          35 :   pari_sp av = avma;
    5377             :   GEN v;
    5378          35 :   checkell(E);
    5379          35 :   switch(ell_get_type(E))
    5380             :   {
    5381           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    5382          14 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    5383          21 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    5384             :   }
    5385          35 :   return gerepileuptoint(av, v);
    5386             : }
    5387             : 
    5388             : static GEN
    5389          21 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    5390             : {
    5391          21 :   pari_sp av = avma;
    5392          21 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5393          21 :   long r1 = nf_get_r1(nf), r2 = nf_get_r2(nf), n = r1+r2;
    5394             :   GEN Eb, e, L;
    5395             :   long i,j;
    5396          21 :   Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5397         126 :   for(i=1;i<=5; i++)
    5398         105 :     gel(Eb, i) = nfeltembed(nf,gel(E, i),NULL);
    5399          21 :   e = cgetg(6, t_VEC);
    5400          21 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    5401          56 :   for(i=1; i<=n; i++)
    5402             :   {
    5403          35 :     for(j=1;j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    5404          35 :     gel(L,i) = ellinit_Rg(e, i<=r1, prec);
    5405             :   }
    5406          21 :   return gerepilecopy(av, L);
    5407             : }
    5408             : 
    5409             : static void
    5410          21 : ellnfembed_free(GEN L)
    5411             : {
    5412          21 :   long i, n = lg(L)-1;
    5413          56 :   for(i=1; i<=n; i++)
    5414          35 :     obj_free(gel(L,i));
    5415          21 : }
    5416             : 
    5417             : static GEN
    5418          21 : ellnfbsdperiod(GEN E, long prec)
    5419             : {
    5420          21 :   pari_sp av = avma;
    5421          21 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec);
    5422          21 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5423          21 :   long r1 = nf_get_r1(nf), r2 = nf_get_r2(nf), n = r1+r2;
    5424          21 :   GEN per = real_1(prec);
    5425             :   long i;
    5426          56 :   for(i=1; i<=n; i++)
    5427             :   {
    5428          35 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5429          35 :     GEN pi = i<=r1 ? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5430          35 :     per = mulrr(per, pi);
    5431             :   }
    5432          21 :   ellnfembed_free(Eb);
    5433          21 :   return gerepileupto(av, per);
    5434             : }
    5435             : 
    5436             : static GEN
    5437          21 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5438             : {
    5439          21 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(E);
    5440          21 :   GEN per = ellnfbsdperiod(E, prec);
    5441          21 :   GEN tam = ellnf_tamagawa(E);
    5442          21 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5443          21 :   GEN disc= nf_get_disc(nf);
    5444          21 :   return divrr(divri(mulri(per, tam),sqri(tor)),gsqrt(absi(disc),prec));
    5445             : }
    5446             : 
    5447             : static GEN
    5448          14 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5449             : {
    5450          14 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5451          14 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5452          14 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5453          14 :   return divri(mulri(per, tam),sqri(tor));
    5454             : }
    5455             : 
    5456             : GEN
    5457          35 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5458             : {
    5459          35 :   pari_sp av = avma;
    5460             :   GEN v;
    5461          35 :   checkell(E);
    5462          35 :   switch(ell_get_type(E))
    5463             :   {
    5464           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5465          14 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5466          21 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5467             :   }
    5468          35 :   return gerepileupto(av, v);
    5469             : }
    5470             : 
    5471             : /********************************************************************/
    5472             : /**                                                                **/
    5473             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5474             : /**                                                                **/
    5475             : /********************************************************************/
    5476             : /* x a t_INT */
    5477             : static long
    5478        1176 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5479             : {
    5480             :   long v;
    5481             :   GEN z;
    5482        1176 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5483        1022 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5484        1022 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5485             : }
    5486             : static void
    5487         392 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5488             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5489             : {
    5490         392 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5491         392 :   pari_sp av = avma;
    5492         392 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5493         392 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5494         392 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
    5495         392 : }
    5496             : 
    5497             : static long
    5498         392 : kod_23(GEN e, long p)
    5499             : {
    5500             :   GEN S, nv;
    5501         392 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5502             :   {
    5503         378 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5504         378 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5505             :   }
    5506             :   else
    5507          14 :     nv = localred_23(e, p);
    5508         392 :   return itos(gel(nv,2));
    5509             : }
    5510             : 
    5511             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5512             : static long
    5513         168 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5514             : {
    5515         168 :   if (kod > 4) return 1;
    5516         133 :   switch(kod)
    5517             :   {
    5518           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5519             :     case 2:
    5520           7 :       if (vD==4) return 1;
    5521             :       else
    5522             :       {
    5523           0 :         if (vD==7) return 3;
    5524           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5525             :       }
    5526             :     case 3:
    5527          63 :       switch(vD)
    5528             :       {
    5529          42 :         case 6: return 3;
    5530           0 :         case 8: return 4;
    5531          14 :         case 9: return 5;
    5532           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5533             :       }
    5534          35 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5535             :     case -1:
    5536           0 :       switch(vD)
    5537             :       {
    5538           0 :         case 9: return 2;
    5539           0 :         case 10: return 4;
    5540           0 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5541             :       }
    5542             :     case -2:
    5543           7 :       switch(vD)
    5544             :       {
    5545           7 :         case 12: return 2;
    5546           0 :         case 14: return 3;
    5547           0 :         default: return 1;
    5548             :       }
    5549             :     case -3:
    5550           0 :       switch(vD)
    5551             :       {
    5552           0 :         case 12: return 2;
    5553           0 :         case 14: return 3;
    5554           0 :         case 15: return 4;
    5555           0 :         default: return 1;
    5556             :       }
    5557           7 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5558          14 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5559             :     case -6:
    5560           0 :       switch(vD)
    5561             :       {
    5562           0 :         case 12: return 2;
    5563           0 :         case 13: return 3;
    5564           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5565             :       }
    5566           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5567           0 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5568             :   }
    5569             : }
    5570             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5571             : static long
    5572         182 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5573             : {
    5574         182 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5575         161 :   switch(kod)
    5576             :   {
    5577          98 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5578          21 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5579             :     case -4: case 2:
    5580          35 :       switch (vD%6)
    5581             :       {
    5582           0 :         case 4: return 3;
    5583           0 :         case 5: return 4;
    5584          35 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5585             :       }
    5586             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5587           7 :       switch (vD%6)
    5588             :       {
    5589           0 :         case 0: return 2;
    5590           0 :         case 1: return 3;
    5591           7 :         default: return 1;
    5592             :       }
    5593             :   }
    5594             : }
    5595             : 
    5596             : static long
    5597         168 : ellrootno_2(GEN e)
    5598             : {
    5599             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5600         168 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5601             : 
    5602         168 :   if (!vD) return 1;
    5603         168 :   if (d) { /* not minimal */
    5604             :     ellmin_t M;
    5605           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5606           7 :     min_set_D(&M, e);
    5607           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5608             :   }
    5609         168 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5610         168 :   kod = kod_23(e,2);
    5611         168 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5612         168 :   if (kod>=5)
    5613             :   {
    5614             :     long a2, a3;
    5615          35 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5616          35 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5617          35 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5618             :   }
    5619         133 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5620         133 :   x1 = u+v+v;
    5621         133 :   switch(kod)
    5622             :   {
    5623           0 :     case 1: return 1;
    5624             :     case 2:
    5625           7 :       switch(n2)
    5626             :       {
    5627             :         case 1:
    5628           7 :           switch(v4)
    5629             :           {
    5630           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5631           0 :             case 5: return 1;
    5632           0 :             default: return -1;
    5633             :           }
    5634           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5635           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5636           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5637           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5638             :       }
    5639             :     case 3:
    5640          63 :       switch(n2)
    5641             :       {
    5642           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5643           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5644          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5645          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5646           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5647          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5648             :       }
    5649             :     case -1:
    5650           0 :       switch(n2)
    5651             :       {
    5652           0 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5653           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5654           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5655           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5656           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5657             :       }
    5658           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5659             :     case -3:
    5660           0 :       switch(n2)
    5661             :       {
    5662           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5663           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5664           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5665           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5666           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5667             :       }
    5668             :     case -5:
    5669          14 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5670           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5671             :     case -6:
    5672           0 :       switch(n2)
    5673             :       {
    5674           0 :         case 1: return 1;
    5675           0 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5676           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5677             :       }
    5678             :     case -7:
    5679           0 :       if (n2==1) return 1;
    5680             :       else
    5681             :       {
    5682           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5683           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5684           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5685             :       }
    5686           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5687           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5688          42 :     default: return -1;
    5689             :   }
    5690             : }
    5691             : 
    5692             : static long
    5693         224 : ellrootno_3(GEN e)
    5694             : {
    5695             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5696         224 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5697             : 
    5698         224 :   if (!vD) return 1;
    5699         224 :   if (d) { /* not minimal */
    5700             :     ellmin_t M;
    5701           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5702           0 :     min_set_a(&M);
    5703           0 :     min_set_D(&M, e);
    5704           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5705             :   }
    5706         224 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5707         224 :   kod = kod_23(e,3);
    5708         224 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5709         182 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5710         182 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5711         182 :   switch(kod)
    5712             :   {
    5713          21 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5714             :     case 2:
    5715           7 :       switch(n2)
    5716             :       {
    5717           7 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5718           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5719           0 :         case 3: return 1;
    5720           0 :         case 4: return -K6;
    5721             :       }
    5722             :     case 4:
    5723           7 :       switch(n2)
    5724             :       {
    5725           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5726           0 :         case 2: return -K4;
    5727           0 :         case 3: return -K6;
    5728             :       }
    5729           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5730             :     case -4:
    5731          28 :       switch(n2)
    5732             :       {
    5733             :         case 1:
    5734          28 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5735          28 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5736           0 :         case 2: return -K6;
    5737           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5738           0 :         case 4: return K6;
    5739             :       }
    5740         119 :     default: return -1;
    5741             :   }
    5742             : }
    5743             : 
    5744             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5745             : static long
    5746         861 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5747             : {
    5748             :   long nuj, nuD, nu;
    5749         861 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5750             :   long ep, z;
    5751             : 
    5752         861 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5753         861 :   if (!nuD) return 1;
    5754         861 :   nuj = j_pval(e, p);
    5755         861 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5756         861 :   if (nu == 0)
    5757             :   {
    5758             :     GEN c6;
    5759             :     long d, vg;
    5760         609 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5761             :    /* p || N */
    5762         609 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5763         609 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5764         609 :     d = vg / 12;
    5765         609 :     if (d)
    5766             :     {
    5767           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5768           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5769             :     }
    5770         609 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5771             :     /* c6 in minimal model */
    5772         609 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5773             :   }
    5774         252 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5775         224 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5776         224 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5777         224 :   return krosi(-z, p);
    5778             : }
    5779             : 
    5780             : static GEN
    5781         686 : doellrootno(GEN e)
    5782             : {
    5783         686 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5784         686 :   long i, l, s = -1;
    5785             : 
    5786         686 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5787         686 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5788         686 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5789         686 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5790        1918 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5791             :   {
    5792        1232 :     GEN p = gel(P,i);
    5793             :     long t;
    5794        1232 :     switch(itou_or_0(p))
    5795             :     {
    5796         154 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5797         224 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5798         854 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5799             :     }
    5800        1232 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5801             :   }
    5802         686 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5803             : }
    5804             : long
    5805        1764 : ellrootno_global(GEN e)
    5806             : {
    5807        1764 :   pari_sp av = avma;
    5808        1764 :   GEN S = obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno);
    5809        1764 :   avma = av; return itos(gel(S,1));
    5810             : }
    5811             : 
    5812             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5813             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5814             : long
    5815          42 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5816             : {
    5817          42 :   pari_sp av = avma;
    5818             :   GEN S;
    5819             :   long s;
    5820          42 :   checkell_Q(e);
    5821          42 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5822          28 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5823          28 :   if (signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5824          28 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5825          28 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5826             :   {
    5827           7 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5828           7 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5829           7 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5830           0 :     return 1;
    5831             :   }
    5832          21 :   switch(itou_or_0(p))
    5833             :   {
    5834             :     case 2:
    5835          14 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5836          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5837             :     case 3:
    5838           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5839           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5840             :     default:
    5841           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5842             :   }
    5843          21 :   avma = av; return s;
    5844             : }
    5845             : 
    5846             : /********************************************************************/
    5847             : /**                                                                **/
    5848             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5849             : /**                                                                **/
    5850             : /********************************************************************/
    5851             : 
    5852             : /* assume p does not divide disc E */
    5853             : long
    5854      279114 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5855             : {
    5856             :   ulong a4, a6;
    5857      279114 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5858      278106 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5859      276650 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5860      276650 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5861             : }
    5862             : 
    5863             : static void
    5864         693 : checkell_int(GEN e)
    5865             : {
    5866         693 :   checkell_Q(e);
    5867        1386 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5868        1386 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5869        1386 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5870        1386 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5871         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5872         693 : }
    5873             : 
    5874             : long
    5875        2219 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5876             : {
    5877        2219 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5878        2219 :   long CM = 0;
    5879        2219 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5880             :   {
    5881             :     case 0:
    5882         121 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5883         121 :       break;
    5884         112 :     case 1728: CM = -4; break;
    5885          21 :     case -3375: CM = -7; break;
    5886          21 :     case  8000: CM = -8; break;
    5887          21 :     case 54000: CM = -12; break;
    5888          35 :     case -32768: CM = -11; break;
    5889          21 :     case 287496: CM = -16; break;
    5890           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    5891          21 :     case -12288000: CM = -27; break;
    5892          21 :     case  16581375: CM = -28; break;
    5893           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    5894             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    5895           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    5896           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    5897             : #endif
    5898             :   }
    5899        2219 :   return CM;
    5900             : }
    5901             : 
    5902             : /* bad reduction at p */
    5903             : static void
    5904        2450 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    5905             : {
    5906             :   ulong m, N;
    5907        2450 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    5908             :   {
    5909             :     case -1: /* non-split */
    5910         574 :       N = n/p;
    5911      408603 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5912      408029 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    5913         574 :       break;
    5914             :     case 0: /* additive */
    5915        1232 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    5916        1232 :       break;
    5917             :     case 1: /* split */
    5918         644 :       N = n/p;
    5919       91892 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5920       91248 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    5921         644 :       break;
    5922             :   }
    5923        2450 : }
    5924             : /* good reduction at p */
    5925             : static void
    5926      273535 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    5927             : {
    5928      273535 :   const long ap = an[p];
    5929             :   ulong m;
    5930      273535 :   if (p <= SQRTn) {
    5931        8160 :     ulong pk, oldpk = 1;
    5932       32593 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    5933             :     {
    5934       24433 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    5935     4279794 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    5936     4255361 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    5937             :     }
    5938             :   } else {
    5939     1523324 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    5940     1257949 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    5941             :   }
    5942      273535 : }
    5943             : static void
    5944      275985 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    5945             : {
    5946      275985 :   if (good_red)
    5947      273535 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    5948             :   else
    5949        2450 :     sievep_bad(p, an, n);
    5950      275985 : }
    5951             : 
    5952             : static long
    5953      275985 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    5954             : {
    5955      275985 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    5956        2506 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    5957             :   else /* good reduction */
    5958             :   {
    5959      273479 :     *good_red = 1;
    5960      273479 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    5961             :   }
    5962             : }
    5963             : GEN
    5964        1470 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    5965             : {
    5966             :   pari_sp av;
    5967        1470 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    5968             :   GEN an;
    5969             :   int CM;
    5970             : 
    5971        1470 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    5972        1470 :   if (n >= LGBITS)
    5973           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    5974        1470 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    5975        1470 :   SQRTn = usqrt(n);
    5976        1470 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    5977             : 
    5978        1470 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    5979        1470 :   an[1] = 1; av = avma;
    5980     2429582 :   for (p=2; p<=n; p++)
    5981             :   {
    5982             :     int good_red;
    5983     2428112 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    5984      275985 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    5985      275985 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    5986             :   }
    5987        1470 :   avma = av; return an;
    5988             : }
    5989             : 
    5990             : static GEN
    5991         812 : ellanQ(GEN e, long N)
    5992         812 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    5993             : 
    5994             : static GEN
    5995      127330 : ellnflocal(void *S, GEN p)
    5996             : {
    5997      127330 :   pari_sp av = avma;
    5998      127330 :   GEN gS = (GEN)S, E = gel(gS,1), N = gel(gS,2);
    5999      127330 :   GEN LP = idealprimedec_limit_norm(ellnf_get_nf(E), p, N), T = NULL;
    6000      127330 :   long l = lg(LP), i;
    6001      254870 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6002             :   {
    6003             :     int goodred;
    6004      127540 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    6005      127540 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    6006      127540 :     long f = pr_get_f(P);
    6007      127540 :     if (goodred)
    6008      127267 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    6009             :     else
    6010             :     {
    6011         273 :       if (!signe(ap)) continue;
    6012         245 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    6013             :     }
    6014      127512 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    6015      127512 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    6016             :   }
    6017      127330 :   if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
    6018       70476 :   return gerepileupto(av, ginv(T));
    6019             : }
    6020             : 
    6021             : static GEN
    6022         245 : ellnfan(GEN E, long N)
    6023             : {
    6024         245 :   GEN gN = stoi(N);
    6025         245 :   return direuler((void*)mkvec2(E,gN), &ellnflocal, gen_2, gN, NULL);
    6026             : }
    6027             : GEN
    6028        1050 : ellan(GEN E, long N)
    6029             : {
    6030        1050 :   checkell(E);
    6031        1050 :   switch(ell_get_type(E))
    6032             :   {
    6033         805 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    6034         245 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    6035             :     default:
    6036           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    6037             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6038             :   }
    6039             : }
    6040             : 
    6041             : static GEN
    6042         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    6043             : {
    6044             :   GEN u, v, w;
    6045             :   long j;
    6046         735 :   if (e == 1) return ap;
    6047         112 :   u = ap;
    6048         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    6049         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    6050             :   {
    6051          14 :     v = u; u = w;
    6052          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    6053             :   }
    6054         112 :   return w;
    6055             : }
    6056             : 
    6057             : GEN
    6058         693 : akell(GEN e, GEN n)
    6059             : {
    6060             :   long i, j, s;
    6061         693 :   pari_sp av = avma;
    6062             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    6063             : 
    6064         693 :   checkell_int(e);
    6065         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    6066         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    6067         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    6068         693 :   D = ell_get_disc(e);
    6069         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    6070         693 :   y = gen_1;
    6071         693 :   s = 1;
    6072         693 :   if (!equalii(u, n))
    6073             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    6074         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    6075         441 :     P = gel(fa,1);
    6076         441 :     E = gel(fa,2);
    6077        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    6078             :     {
    6079         581 :       GEN p = gel(P,i);
    6080         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    6081             :       int good_red;
    6082         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    6083         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    6084         350 :       j = signe(ap);
    6085         350 :       if (!j) { avma = av; return gen_0; }
    6086         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    6087             :     }
    6088             :   }
    6089         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    6090         693 :   fa = Z_factor(u);
    6091         693 :   P = gel(fa,1);
    6092         693 :   E = gel(fa,2);
    6093        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    6094             :   { /* good reduction */
    6095         504 :     GEN p = gel(P,i);
    6096         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6097         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6098             :   }
    6099         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6100             : }
    6101             : 
    6102             : GEN
    6103        8015 : ellQ_get_N(GEN e)
    6104        8015 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6105             : void
    6106         588 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6107         588 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6108             : 
    6109             : GEN
    6110          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6111             : {
    6112          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    6113             :   ulong l, n;
    6114             :   long eps, flun;
    6115             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6116             : 
    6117          14 :   if (!A) A = gen_1;
    6118             :   else
    6119             :   {
    6120           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    6121           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6122           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6123             :   }
    6124          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
    6125          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6126          14 :   checkell_Q(e);
    6127          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6128          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    6129          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    6130          14 :   if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
    6131             : 
    6132          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    6133          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6134          14 :   cga = gmul(cg, A);
    6135          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6136          42 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
    6137          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6138          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6139          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6140          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6141          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6142          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6143          14 :   z = gen_0;
    6144          14 :   av1 = avma;
    6145        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6146             :   {
    6147        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6148        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6149        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    6150             : 
    6151        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6152        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6153        1106 :     if (flun)
    6154           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6155             :     else
    6156             :     {
    6157        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6158        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6159        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6160             :     }
    6161        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6162        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    6163             :     {
    6164           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6165           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6166             :     }
    6167             :   }
    6168          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6169             : }
    6170             : 
    6171             : /********************************************************************/
    6172             : /**                                                                **/
    6173             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6174             : /**                                                                **/
    6175             : /********************************************************************/
    6176             : 
    6177             : static GEN
    6178         329 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6179             : 
    6180             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6181             : static GEN
    6182         973 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6183             : {
    6184         973 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6185             : }
    6186             : 
    6187             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6188             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6189             : static GEN
    6190         973 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6191             : {
    6192         973 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6193         973 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    6194             : 
    6195         973 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6196         973 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6197         973 :   a = gel(ab, 1);
    6198         973 :   b = gel(ab, 2);
    6199         973 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6200         973 :   x = gsub(x, e1);
    6201         973 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6202             : 
    6203         973 :   x_a = gsub(x, a);
    6204         973 :   if (gsigne(a) > 0)
    6205             :   {
    6206          84 :     GEN a0 = a;
    6207          84 :     x = gsub(x, b);
    6208          84 :     a = gneg(b);
    6209          84 :     b = gsub(a0, b);
    6210             :   }
    6211         973 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6212         973 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6213             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6214        5188 :   for(n=0; ; n++)
    6215             :   {
    6216        5188 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6217        5188 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6218        5188 :     r = gsub(a, a0);
    6219        5188 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6220        4215 :     ab = gmul(a0, b);
    6221        4215 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6222             : 
    6223        4215 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6224        4215 :     p2 = gsqr(a);
    6225        4215 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6226        4215 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6227        4215 :   }
    6228         973 :   if (n) {
    6229         973 :     x = gel(V,n);
    6230         973 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6231             :   } else {
    6232           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6233             :   }
    6234             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6235        1526 :   return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
    6236        1526 :              : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
    6237             : }
    6238             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6239             : static int
    6240         973 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6241             : {
    6242         973 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6243         973 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6244             : }
    6245             : 
    6246             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6247             : static GEN
    6248         973 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6249             : {
    6250         973 :   pari_sp av = avma;
    6251             :   GEN h;
    6252         973 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6253             :   {
    6254         420 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6255             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6256         420 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6257             :   }
    6258             :   else
    6259         553 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6260         973 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6261         973 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6262             : }
    6263             : GEN
    6264         868 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6265             : 
    6266             : static GEN
    6267         217 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6268         217 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6269             : static GEN
    6270          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6271             : {
    6272          35 :   pari_sp av = avma;
    6273          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6274          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6275          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6276             : }
    6277             : GEN
    6278          35 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6279          35 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
    6280             : GEN
    6281          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6282          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6283             : 
    6284             : GEN
    6285         133 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6286             : {
    6287             :   long i, lx;
    6288         133 :   pari_sp av = avma;
    6289             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6290             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6291             : 
    6292         133 :   checkell_Q(e);
    6293         133 :   checkellpt(a);
    6294         133 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    6295         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6296         126 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6297             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6298          98 :     if (lg(S) != 2)
    6299             :     {
    6300           7 :       v = gel(S,2);
    6301           7 :       e = gel(S,3);
    6302           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6303             :     }
    6304             :   }
    6305             :   else
    6306             :   {
    6307          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    6308          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6309             :   }
    6310         126 :   if (!oncurve(e,a))
    6311           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6312         119 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6313         119 :   if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
    6314         105 :   x = gel(a,1);
    6315         105 :   y = gel(a,2);
    6316         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6317         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6318         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6319         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6320         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6321             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6322             :   );
    6323         105 :   if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
    6324         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6325         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6326         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6327         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6328             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6329             :   );
    6330         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6331         105 :   D = ell_get_disc(e);
    6332         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6333         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6334         105 :   lx = lg(Lp);
    6335         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6336             :   {
    6337         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6338             :     long u, v, n, n2;
    6339         112 :     if (signe(remii(c4,p)))
    6340             :     { /* p \nmid c4 */
    6341          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    6342          35 :       if (!N) continue;
    6343          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6344          35 :       if (n > N) n = N;
    6345          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6346          35 :       v = N << 3;
    6347             :     }
    6348             :     else
    6349             :     {
    6350          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6351          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6352          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6353             :     }
    6354             :     /* z -= u log(p) / v */
    6355         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6356             :   }
    6357         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6358             : }
    6359             : 
    6360             : GEN
    6361          28 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6362             : {
    6363             :   GEN y, D;
    6364          28 :   long lx = lg(x), i, j;
    6365          28 :   pari_sp av = avma;
    6366             : 
    6367          28 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6368          28 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6369          28 :   y = cgetg(lx,t_MAT);
    6370         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6371             :   {
    6372          77 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6373          77 :     gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6374             :   }
    6375         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6376             :   {
    6377          77 :     gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
    6378         147 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6379             :     {
    6380          70 :       GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6381          70 :       h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
    6382          70 :       gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
    6383             :     }
    6384             :   }
    6385          28 :   return gerepilecopy(av,y);
    6386             : }
    6387             : GEN
    6388           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6389           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6390             : 
    6391             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6392             : static GEN
    6393          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6394             : {
    6395          21 :   long l = lg(P);
    6396          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6397          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
    6398             :   else
    6399             :   {
    6400           7 :     GEN y = cgetg(l, typ(P));
    6401             :     long i;
    6402           7 :     for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
    6403           7 :     return y;
    6404             :   }
    6405             : }
    6406             : static GEN
    6407           7 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6408             : {
    6409           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6410           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6411           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6412           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6413           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6414           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6415           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6416             :   {
    6417           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6418           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6419           0 :     return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
    6420             :   }
    6421           7 :   return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
    6422             : }
    6423             : GEN
    6424           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6425           7 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
    6426             : /********************************************************************/
    6427             : /**                                                                **/
    6428             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6429             : /**                                                                **/
    6430             : /********************************************************************/
    6431             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6432             : static GEN
    6433           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6434             : {
    6435           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6436           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6437           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6438             : }
    6439             : 
    6440             : GEN
    6441          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6442             : {
    6443             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6444             :   long n, m;
    6445          14 :   pari_sp av = avma;
    6446             : 
    6447          14 :   checkell_Q(e);
    6448          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6449           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6450             : 
    6451           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6452           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6453           7 :   d = ginv(gtoser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
    6454             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6455             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6456           7 :   c = gsqr(d);
    6457             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6458             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6459             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6460             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6461             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6462             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6463             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6464             :    * */
    6465           7 :   C = c+4;
    6466           7 :   X = x+4;
    6467           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6468           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6469           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6470           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6471         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6472             :   {
    6473         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6474             :     GEN s1, s2, s3;
    6475         105 :     if (n != 2)
    6476             :     {
    6477          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6478          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6479          98 :       s2 = gen_0;
    6480        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6481         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6482          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6483          98 :       s1 = gen_0;
    6484          98 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6485          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6486          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6487             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6488          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6489             :     }
    6490             :     else
    6491             :     {
    6492           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6493           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6494           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6495           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6496           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6497           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6498           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6499           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6500           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6501           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6502             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6503           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6504             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6505           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6506             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6507           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6508           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6509             :     }
    6510         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6511             :   }
    6512           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6513           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6514           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6515           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6516           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6517             : }
    6518             : 
    6519             : /********************************************************************/
    6520             : /**                                                                **/
    6521             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6522             : /**                                                                **/
    6523             : /********************************************************************/
    6524             : static GEN
    6525         917 : doellff_get_o(GEN E)
    6526             : {
    6527         917 :   GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
    6528         917 :   return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
    6529             : }
    6530             : GEN
    6531        1218 : ellff_get_o(GEN E)
    6532        1218 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6533             : 
    6534             : GEN
    6535         133 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6536             : {
    6537         133 :   pari_sp av = avma;
    6538             :   GEN fg, r;
    6539         133 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6540         133 :   fg = ellff_get_field(E);
    6541         133 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6542         133 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6543          91 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    6544             :   else
    6545             :   {
    6546          42 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6547          42 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    6548          42 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    6549          42 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    6550             :   }
    6551         133 :   return gerepileuptoint(av, r);
    6552             : }
    6553             : 
    6554             : GEN
    6555         280 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6556             : {
    6557             :   GEN fg;
    6558         280 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6559         273 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6560         273 :   fg = ellff_get_field(E);
    6561         273 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6562          28 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6563             :   else
    6564             :   {
    6565         245 :     pari_sp av = avma;
    6566         245 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6567         490 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6568         490 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6569         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6570             :   }
    6571             : }
    6572             : 
    6573             : GEN
    6574         294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6575             : {
    6576             :   GEN fg;
    6577         294 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6578         294 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6579         294 :   fg = ellff_get_field(E);
    6580         294 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6581          91 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6582             :   else
    6583             :   {
    6584         203 :     pari_sp av = avma;
    6585         203 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6586         406 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6587         406 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6588         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6589             :   }
    6590             : }
    6591             : 
    6592             : /* E/Q, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6593             : static GEN
    6594     2770866 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6595             : {
    6596     2770866 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6597     2770866 :   if (!signe(D))
    6598             :   {
    6599       97993 :     pari_sp av = avma;
    6600       97993 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6601       97993 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6602             :   }
    6603     2672873 :   *good_red = 1;
    6604     2672873 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6605     2672425 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6606     2671032 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6607     2671032 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6608             : }
    6609             : 
    6610             : static GEN
    6611     3050821 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
    6612             : {
    6613             :   GEN q;
    6614     3050821 :   if (p) switch(typ(p))
    6615             :   {
    6616             :     case t_INT:
    6617     2794029 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    6618     2794022 :       break;
    6619             :     case t_VEC:
    6620       97755 :       q = get_prid(p);
    6621       97755 :       if (q) { p = q; break; }
    6622           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    6623             :   }
    6624     3050807 :   checkell(E);
    6625     3050807 :   switch(ell_get_type(E))
    6626             :   {
    6627             :     case t_ELL_Qp:
    6628          14 :       q = ellQp_get_p(E);
    6629          14 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6630          14 :       return q;
    6631             : 
    6632             :     case t_ELL_Fp:
    6633             :     case t_ELL_Fq:
    6634      179981 :       q = ellff_get_p(E);
    6635      179981 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6636      179981 :       return q;
    6637             :     case t_ELL_NF:
    6638             :     case t_ELL_Q:
    6639     2870812 :       if (p) return p;
    6640             :     default:
    6641          14 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    6642             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6643             :   }
    6644             : }
    6645             : 
    6646             : GEN
    6647     2920890 : ellap(GEN E, GEN p)
    6648             : {
    6649     2920890 :   pari_sp av = avma;
    6650             :   GEN q, card;
    6651             :   int goodred;
    6652     2920890 :   p = checkellp(E, p, "ellap");
    6653     2920869 :   switch(ell_get_type(E))
    6654             :   {
    6655             :   case t_ELL_Fp:
    6656          91 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6657          91 :     break;
    6658             :   case t_ELL_Fq:
    6659       54460 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6660       54460 :     break;
    6661             :   case t_ELL_Q:
    6662     2768724 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6663     2768724 :     break;
    6664             :   case t_ELL_NF:
    6665       97594 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6666             :   default:
    6667           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6668             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6669             :   }
    6670     2823275 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6671             : }
    6672             : 
    6673             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    6674             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    6675             : GEN
    6676          35 : ellsea(GEN E, ulong smallfact)
    6677             : {
    6678          35 :   const ulong minq = 523;
    6679          35 :   checkell_Fq(E);
    6680          35 :   switch(ell_get_type(E))
    6681             :   {
    6682             :   case t_ELL_Fp:
    6683             :     {
    6684          21 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6685          21 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6686          14 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6687             :     }
    6688             :   case t_ELL_Fq:
    6689             :     {
    6690          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6691          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    6692           0 :         return FF_ellcard(E);
    6693          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6694             :     }
    6695             :   }
    6696             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6697             : }
    6698             : 
    6699             : GEN
    6700      158652 : ellff_get_card(GEN E)
    6701      158652 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6702             : 
    6703             : GEN
    6704       88141 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6705             : {
    6706       88141 :   p = checkellp(E, p, "ellcard");
    6707       88141 :   switch(ell_get_type(E))
    6708             :   {
    6709             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6710       85971 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6711             :   case t_ELL_Q:
    6712             :     {
    6713        2142 :       pari_sp av = avma;
    6714             :       int goodred;
    6715        2142 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6716        2142 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6717        2142 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6718             :     }
    6719             :   case t_ELL_NF:
    6720             :     {
    6721          21 :       pari_sp av = avma;
    6722             :       int goodred;
    6723          21 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6724          21 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6725          21 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6726             :     }
    6727             :   default:
    6728           7 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6729             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6730             :   }
    6731             : }
    6732             : 
    6733             : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
    6734             :  * d_r | ... | d_1 */
    6735             : static GEN
    6736        1764 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
    6737             : {
    6738        1764 :   pari_sp av = avma;
    6739        1764 :   if (abscmpiu(p, 3)<=0)
    6740             :   {
    6741        1246 :     ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
    6742        1246 :     long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
    6743        1246 :     long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
    6744        1246 :     if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
    6745        1169 :     if (l==2)
    6746             :     {
    6747          98 :       long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
    6748          98 :       long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
    6749          98 :       long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
    6750          98 :       switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
    6751             :       { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
    6752             :         case 18: case 29:
    6753           7 :           retmkvec(mkvec2s(1,1));
    6754             :         case 19: case 24: case 26:
    6755           7 :           retmkvec(mkvec2s(0,1));
    6756             :         case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
    6757          35 :           retmkvec(mkvec2s(1,0));
    6758             :         default:
    6759          49 :           retmkvec(mkvec2s(0,0));
    6760             :       }
    6761             :     } else
    6762             :     { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6763        1071 :       long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
    6764        1071 :       long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
    6765        1071 :       long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
    6766        1071 :       long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
    6767             :       long x,y;
    6768        1071 :       if (r==2) /* [2,2] */
    6769          63 :         retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
    6770             :       /* cyclic, order d_1 */
    6771        1008 :       y = absequaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
    6772        1008 :       if (absequaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
    6773             :       {
    6774         189 :         long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
    6775         189 :         x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
    6776             :       }
    6777             :       else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
    6778             :       { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
    6779         819 :         if (y == 1)
    6780         630 :           x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
    6781             :         else
    6782         189 :           x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
    6783             :       }
    6784        1008 :       retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
    6785             :     }
    6786             :   }
    6787             :   else
    6788             :   {
    6789         518 :     GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
    6790         518 :     return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
    6791             :   }
    6792             : }
    6793             : 
    6794             : static GEN
    6795       23030 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
    6796             : {
    6797       23030 :   GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
    6798       23023 :   if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
    6799       22946 :   if (absequaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6800       22848 :   if (absequaliu(p, 3))
    6801             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6802             :     ulong b2, b4, b6;
    6803        1071 :     if (!absequaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6804             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6805             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6806         252 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6807         252 :     if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
    6808             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6809         126 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6810         126 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6811         126 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
    6812          63 :     G = mkvec2s(2, 2); goto END;
    6813             :   } /* Now assume p > 3 */
    6814       21777 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6815       21777 :   G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
    6816             : END:
    6817       23023 :   return mkvec2(G, m);
    6818             : }
    6819             : 
    6820             : static GEN
    6821       38948 : doellgroup(GEN E)
    6822             : {
    6823       38948 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6824       38948 :   return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
    6825             : }
    6826             : 
    6827             : GEN
    6828       39473 : ellff_get_group(GEN E)
    6829       39473 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
    6830             : 
    6831             : /* E / Fp */
    6832             : static GEN
    6833       16814 : doellgens(GEN E)
    6834             : {
    6835       16814 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6836       16814 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6837       16758 :     return FF_ellgens(E);
    6838             :   else
    6839             :   {
    6840          56 :     GEN e, Gm, F, p = fg;
    6841          56 :     e = ellff_get_a4a6(E);
    6842          56 :     Gm = ellff_get_group(E);
    6843          56 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
    6844          56 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6845             :   }
    6846             : }
    6847             : 
    6848             : GEN
    6849       16891 : ellff_get_gens(GEN E)
    6850       16891 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6851             : 
    6852             : GEN
    6853       22974 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6854             : {
    6855       22974 :   pari_sp av = avma;
    6856             :   GEN G;
    6857       22974 :   p = checkellp(E,p, "ellgroup");
    6858       22974 :   if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
    6859         378 :   else                G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
    6860       22974 :   return gerepilecopy(av, gel(G,1));
    6861             : }
    6862             : 
    6863             : GEN
    6864       21315 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6865             : {
    6866       21315 :   pari_sp av = avma;
    6867             :   GEN V;
    6868       21315 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6869        1841 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6870        1841 :   p = checkellp(E, p, "ellgroup");
    6871        1834 :   if (!ell_over_Fq(E))
    6872             :   { /* t_ELL_Q */
    6873        1771 :     GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
    6874        1764 :     GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
    6875        1764 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
    6876             :   }
    6877          63 :   V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
    6878          63 :   return gerepilecopy(av, V);
    6879             : }
    6880             : 
    6881             : GEN
    6882       16842 : ellgenerators(GEN E)
    6883             : {
    6884       16842 :   checkell(E);
    6885       16842 :   switch(ell_get_type(E))
    6886             :   {
    6887             :     case t_ELL_Q:
    6888           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    6889             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6890       16828 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    6891             :     default:
    6892           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    6893             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6894             :   }
    6895             : }
    6896             : 
    6897             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    6898             : static GEN
    6899       22540 : ellfromj_simple(GEN j)
    6900             : {
    6901       22540 :   pari_sp av = avma;
    6902       22540 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    6903       22540 :   GEN E = zerovec(5);
    6904       22540 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    6905       22540 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    6906             : }
    6907             : GEN
    6908       33817 : ellfromj(GEN j)
    6909             : {
    6910       33817 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    6911             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    6912       33817 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    6913             :   {
    6914             :     case 2:
    6915        3549 :       if (gequal0(j))
    6916           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    6917             :       else
    6918        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    6919             :     case 3:
    6920        7637 :       if (gequal0(j))
    6921           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6922             :       else
    6923             :       {
    6924        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    6925        7630 :         pari_sp av = avma;
    6926        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    6927        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    6928        7630 :         return E;
    6929             :       }
    6930             :   }
    6931       22631 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    6932       22603 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6933       22540 :   return ellfromj_simple(j);
    6934             : }
    6935             : 
    6936             : /********************************************************************/
    6937             : /**                                                                **/
    6938             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    6939             : /**                                                                **/
    6940             : /********************************************************************/
    6941             : 
    6942             : int
    6943      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    6944             : {
    6945      164703 :   pari_sp av = avma;
    6946             :   int res;
    6947             : 
    6948      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    6949         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    6950         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    6951         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6952      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    6953      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    6954      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    6955      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    6956      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6957             :   } else {
    6958           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    6959             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6960             :   }
    6961      164696 :   avma = av;
    6962      164696 :   return res;
    6963             : }
    6964             : 
    6965             : int
    6966      164878 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    6967             : {
    6968             :   pari_sp av;
    6969             :   GEN j;
    6970             :   int res;
    6971      164878 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    6972       16975 :   j = ell_get_j(E);
    6973       16975 :   p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
    6974       16975 :   switch(ell_get_type(E))
    6975             :   {
    6976             :   case t_ELL_Fp:
    6977             :   case t_ELL_Fq:
    6978       16800 :     return elljissupersingular(j);
    6979             :   case t_ELL_Q:
    6980          35 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    6981          14 :     av = avma;
    6982          14 :     res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
    6983          14 :     avma = av; return res;
    6984             :   case t_ELL_NF:
    6985             :     {
    6986         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    6987         140 :       av = avma;
    6988         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    6989         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    6990             :       {
    6991          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    6992           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6993             :       }
    6994             :       else
    6995         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6996         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    6997         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    6998          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6999             :       else
    7000          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7001         126 :       avma = av; return res;
    7002             :     }
    7003             :   default:
    7004           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    7005             :   }
    7006             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7007             : }
    7008             : 
    7009             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7010             : static GEN
    7011        3710 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    7012             : {
    7013             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    7014        3710 :   if (n==0) return pol_0(v);
    7015        3710 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    7016        1379 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    7017        1379 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    7018        1379 :   if (n==3)
    7019         693 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    7020             :   else
    7021             :   {
    7022         686 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    7023         686 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    7024         686 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    7025             :   }
    7026        1379 :   setvarn(res, v); return res;
    7027             : }
    7028             : 
    7029             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    7030             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7031             : static GEN
    7032        4466 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    7033             : {
    7034             :   GEN ret;
    7035        4466 :   long m = n/2;
    7036        4466 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    7037        2681 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    7038         805 :   else if (odd(n))
    7039             :   {
    7040         504 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7041             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    7042         504 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    7043             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    7044         504 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    7045         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    7046             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    7047         399 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    7048             :   }
    7049             :   else
    7050             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    7051         301 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7052             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    7053         301 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    7054             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    7055         301 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    7056             :   }
    7057        2681 :   gel(t,n) = ret;
    7058        2681 :   return ret;
    7059             : }
    7060             : 
    7061             : GEN
    7062        2107 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    7063             : {
    7064        2107 :   pari_sp av = avma;
    7065             :   GEN f, D, N;
    7066        2107 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7067        2107 :   if (v==-1) v = 0;
    7068        2107 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7069        2107 :   N = characteristic(D);
    7070        2107 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7071        2107 :   if (n<0) n = -n;
    7072        2107 :   if (n==1 || n==3)
    7073         203 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7074             :   else
    7075             :   {
    7076        1904 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7077        1904 :     setvarn(d2,v);
    7078        1904 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7079        1904 :     if (n <= 4)
    7080        1631 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7081             :     else
    7082         273 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    7083        1904 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    7084             :   }
    7085        2107 :   return gerepilecopy(av, f);
    7086             : }
    7087             : 
    7088             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    7089             : GEN
    7090         364 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    7091             : {
    7092         364 :   pari_sp av = avma;
    7093             :   GEN d2, D, N, A, B;
    7094         364 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7095         364 :   if (v==-1) v = 0;
    7096         364 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7097         364 :   N = characteristic(D);
    7098         364 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7099         364 :   if (n < 0) n = -n;
    7100         364 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7101         364 :   setvarn(d2,v);
    7102         364 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7103         364 :   if (n == 0)
    7104             :   {
    7105          21 :     A = pol_0(v);
    7106          21 :     B = pol_0(v);
    7107             :   }
    7108         343 :   else if (n == 1)
    7109             :   {
    7110           7 :     A = pol_1(v);
    7111           7 :     B = pol_x(v);
    7112             :   }
    7113         336 :   else if (n == 2)
    7114             :   {
    7115         112 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    7116         112 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    7117         112 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    7118         112 :     A = d2;
    7119             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    7120         112 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    7121         112 :     setvarn(B,v);
    7122             :   }
    7123             :   else
    7124             :   {
    7125         224 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7126         224 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7127         224 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7128         224 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7129         224 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7130         224 :     if (!odd(n))
    7131           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7132             :     else
    7133         217 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7134             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7135         224 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7136             :   }
    7137         364 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7138             : }
    7139             : 
    7140             : GEN
    7141         175 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
    7142             : {
    7143         175 :   checkell_Q(E);
    7144         175 :   return hyperellpadicfrobenius(ec_bmodel(E), p, n);
    7145             : }

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