Branch data Line data Source code
1 : : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 : :
3 : : This file is part of the PARI/GP package.
4 : :
5 : : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 : :
10 : : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 : :
14 : : /********************************************************************/
15 : : /** **/
16 : : /** ELLIPTIC CURVES **/
17 : : /** **/
18 : : /********************************************************************/
19 : : #include "pari.h"
20 : : #include "paripriv.h"
21 : : #undef coordch
22 : :
23 : : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
24 : : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
25 : : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
26 : : */
27 : :
28 : : static void
29 : 3800 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
30 : : {
31 : 3800 : *a4 = Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p);
32 : 3800 : *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
33 : 3800 : }
34 : : static void
35 : 1576028 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
36 : : {
37 : 1576028 : *a4 = Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p);
38 : 1576028 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
39 : 1576028 : }
40 : : static void
41 : 1575944 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
42 : : {
43 : 1575944 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
44 : 1575944 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
45 : 1575944 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
46 : 1575944 : }
47 : : static void
48 : 3800 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
49 : : {
50 : 3800 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
51 : 3800 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
52 : 3800 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
53 : 3800 : }
54 : :
55 : : static GEN
56 : 10868 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
57 : : {
58 : : GEN a1, a3, b2, c4, c6;
59 : 10868 : a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
60 : 10868 : a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
61 : 10868 : b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
62 : 10868 : c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
63 : 10868 : c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
64 : : /* [-27c4, -54c6, [6,3b2,3a1,108a3]] */
65 : 10868 : retmkvec3(Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p), Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p),
66 : : mkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p)));
67 : : }
68 : :
69 : : void
70 : 48793 : checkellpt(GEN z)
71 : : {
72 [ - + ]: 48793 : if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
73 [ + + - ]: 48793 : switch(lg(z))
74 : : {
75 : 48777 : case 3: break;
76 [ + - ]: 16 : case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
77 : : /* fall through */
78 : 0 : default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
79 : : }
80 : 48793 : }
81 : : void
82 : 47105 : checkell5(GEN E)
83 : : {
84 : 47105 : long l = lg(E);
85 [ + - ][ + + ]: 47105 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
[ - + ]
86 : 47105 : }
87 : : void
88 : 1616520 : checkell(GEN E)
89 [ + - ][ - + ]: 1616520 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
90 : :
91 : : void
92 : 260312 : checkell_Q(GEN E)
93 : : {
94 [ + - ][ + - ]: 260312 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
[ + + ]
95 : 4 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
96 : 260308 : }
97 : :
98 : : void
99 : 0 : checkell_Qp(GEN E)
100 : : {
101 [ # # ][ # # ]: 0 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
[ # # ]
102 : 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
103 : 0 : }
104 : :
105 : : static int
106 : 111788 : ell_over_Fq(GEN E)
107 : : {
108 : 111788 : long t = ell_get_type(E);
109 [ + + ][ + + ]: 111788 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
110 : : }
111 : :
112 : : void
113 : 55028 : checkell_Fq(GEN E)
114 : : {
115 [ + - ][ + - ]: 55028 : if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
[ + + ]
116 : 4 : pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
117 : 55024 : }
118 : :
119 : : GEN
120 : 37400 : ellff_get_p(GEN E)
121 : : {
122 : 37400 : GEN fg = ellff_get_field(E);
123 [ + + ]: 37400 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
124 : : }
125 : :
126 : : static int
127 : 24 : ell_is_integral(GEN E)
128 : : {
129 : 48 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
130 [ + - ]: 24 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
131 [ + - ]: 24 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
132 [ + - ]: 24 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
133 [ + - ][ + - ]: 48 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
134 : : }
135 : :
136 : :
137 : : static void
138 : 144 : checkcoordch(GEN z)
139 [ + - ][ - + ]: 144 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
140 : :
141 : : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6, N is the characteristic of the base
142 : : * ring of NULL (char = 0) */
143 : : static GEN
144 : 326 : RHSpol(GEN e, GEN N)
145 : : {
146 : 326 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
147 [ + + ]: 326 : return mkpoln(4, N? modsi(4,N): utoipos(4), b2, b42, b6);
148 : : }
149 : :
150 : : static int
151 : 330 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
152 : :
153 : : static GEN
154 : 178 : doellR_roots(GEN e, long prec)
155 : : {
156 : 178 : GEN R = roots(RHSpol(e,NULL), prec);
157 : 178 : long s = ellR_get_sign(e);
158 [ + + ]: 178 : if (s > 0)
159 : : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
160 : 110 : R = real_i(R);
161 : 110 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
162 [ + + ]: 68 : } else if (s < 0)
163 : : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
164 : 60 : gel(R,1) = real_i(gel(R,1));
165 [ + - ]: 60 : if (signe(gmael(R,2,2)) < 0) swap(gel(R,2), gel(R,3));
166 : : }
167 : 178 : return R;
168 : : }
169 : : static GEN
170 : 1232 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
171 : :
172 : : /* x^3 + a2 x^2 + a4 x + a6 */
173 : : static GEN
174 : 237045 : ellRHS(GEN e, GEN x)
175 : : {
176 : : GEN z;
177 : 237045 : z = gadd(ell_get_a2(e),x);
178 : 237045 : z = gadd(ell_get_a4(e), gmul(x,z));
179 : 237045 : z = gadd(ell_get_a6(e), gmul(x,z));
180 : 237045 : return z;
181 : : }
182 : :
183 : : /* a1 x + a3 */
184 : : static GEN
185 : 498077 : ellLHS0(GEN e, GEN x)
186 : : {
187 : 498077 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
188 : 498077 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
189 [ + + ]: 498077 : return gequal0(a1)? a3: gadd(a3, gmul(x,a1));
190 : : }
191 : :
192 : : static GEN
193 : 4 : ellLHS0_i(GEN e, GEN x)
194 : : {
195 : 4 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
196 : 4 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
197 [ - + ]: 4 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
198 : : }
199 : :
200 : : /* y^2 + a1 xy + a3 y */
201 : : static GEN
202 : 1305 : ellLHS(GEN e, GEN z)
203 : : {
204 : 1305 : GEN y = gel(z,2);
205 : 1305 : return gmul(y, gadd(y, ellLHS0(e,gel(z,1))));
206 : : }
207 : :
208 : : /* 2y + a1 x + a3 */
209 : : static GEN
210 : 948 : d_ellLHS(GEN e, GEN z)
211 : : {
212 : 948 : return gadd(ellLHS0(e, gel(z,1)), gmul2n(gel(z,2),1));
213 : : }
214 : :
215 : : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
216 : : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
217 : : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
218 : : * component y[16])*/
219 : : static GEN
220 : 297960 : initsmall(GEN x, long n)
221 : : {
222 : : GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
223 : 297960 : GEN y = obj_init(15, n);
224 [ + + + ]: 297960 : switch(lg(x))
225 : : {
226 : : case 1:
227 : : case 2:
228 : : case 4:
229 : : case 5:
230 : 4 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
231 : 0 : return NULL; break; /* not reached */
232 : : case 3:
233 : 7144 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
234 : 7144 : a4 = gel(x,1);
235 : 7144 : a6 = gel(x,2);
236 : 7144 : b2 = gen_0;
237 : 7144 : b4 = gmul2n(a4,1);
238 : 7144 : b6 = gmul2n(a6,2);
239 : 7144 : b8 = gneg(gsqr(a4));
240 : 7144 : c4 = gmulgs(a4,-48);
241 : 7144 : c6 = gmulgs(a6,-864);
242 : 7144 : D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
243 : 7144 : break;
244 : : default: /* l > 5 */
245 : : { GEN a11, a13, a33, b22;
246 : 290812 : a1 = gel(x,1);
247 : 290812 : a2 = gel(x,2);
248 : 290812 : a3 = gel(x,3);
249 : 290812 : a4 = gel(x,4);
250 : 290812 : a6 = gel(x,5);
251 : 290812 : a11= gsqr(a1);
252 : 290812 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
253 : 290812 : a13= gmul(a1, a3);
254 : 290812 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
255 : 290812 : a33= gsqr(a3);
256 : 290812 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
257 : 290812 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
258 : 290812 : b22= gsqr(b2);
259 : 290812 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
260 : 290812 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
261 : 290812 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
262 : : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
263 : 290812 : break;
264 : : }
265 : : }
266 : 297956 : gel(y,1) = a1;
267 : 297956 : gel(y,2) = a2;
268 : 297956 : gel(y,3) = a3;
269 : 297956 : gel(y,4) = a4;
270 : 297956 : gel(y,5) = a6;
271 : 297956 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
272 : 297956 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
273 : 297956 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
274 : 297956 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
275 : 297956 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
276 : 297956 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
277 : 297956 : gel(y,12)= D;
278 [ + + ]: 297956 : if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
279 : :
280 [ + + ][ + - ]: 294256 : if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
[ + - ]
281 : 24 : { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
282 : 24 : GEN g = RgX_gcd(D, c4);
283 [ + + ]: 24 : if (degpol(g) == 0)
284 : 12 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
285 : : else
286 : : {
287 : 12 : GEN d, c = RgX_div(c4, g);
288 : 12 : D = RgX_div(D, g);
289 : 12 : g = RgX_gcd(D,c4);
290 [ + + ]: 12 : if (degpol(g) == 0)
291 : 4 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
292 : : else
293 : : {
294 : 8 : D = RgX_div(D, g);
295 : 8 : d = RgX_div(c4, g);
296 : 8 : g = RgX_gcd(D,c4);
297 [ + - ]: 8 : if (degpol(g))
298 : : {
299 : 8 : D = RgX_div(D, g);
300 : 8 : c4 = RgX_div(c4, g);
301 : : }
302 : 8 : j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
303 : : }
304 : : }
305 : : }
306 : : else
307 : 294232 : j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
308 : 294256 : gel(y,13) = j;
309 : 297956 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
310 : : }
311 : :
312 : : void
313 : 0 : ellprint(GEN e)
314 : : {
315 : 0 : pari_sp av = avma;
316 : : long vx, vy;
317 : : GEN z;
318 : 0 : checkell5(e);
319 : 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
320 : 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
321 : 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ellLHS(e, z), ellRHS(e, pol_x(vx)));
322 : 0 : (void)delete_var();
323 : 0 : (void)delete_var(); avma = av;
324 : 0 : }
325 : :
326 : : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
327 : : static GEN
328 : 48 : doellR_ab(GEN E, long prec)
329 : : {
330 : 48 : GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellR_root(E, prec);
331 : : GEN a, b, t, w;
332 : :
333 : 48 : t = gmul2n(gadd(gmulsg(12,e1), b2), -2); /* = (12 e1 + b2) / 4 */
334 : 48 : w = sqrtr( gmul2n(gadd(b4, gmul(e1,gadd(b2, mulur(6,e1)))),1) );
335 [ + + ]: 48 : if (gsigne(t) > 0) setsigne(w, -1);
336 : : /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
337 : 48 : a = gmul2n(gsub(w,t),-2);
338 : 48 : b = gmul2n(w,-1); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
339 : 48 : return mkvec2(a, b);
340 : : }
341 : : GEN
342 : 592 : ellR_ab(GEN E, long prec)
343 : 592 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
344 : :
345 : : /* return x mod p */
346 : : static GEN
347 : 240 : padic_mod(GEN x) { return modii(gel(x,4), gel(x,2)); }
348 : :
349 : : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
350 : : * Return u^2 = 1 / 4M2(a1,b1), where M2(A,B) = B AGM(sqrt(A/B),1)^2; M2(A,B)
351 : : * is the common limit of (A_n, B_n), A_0 = A, B _0 = B;
352 : : * A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
353 : : * B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = the square root of A_n B_n congruent to B_n
354 : : * Update (x,y) using p-adic Landen transform; if *pty = NULL, don't update y */
355 : : static GEN
356 : 68 : do_padic_agm(GEN *ptx, GEN *pty, GEN a1, GEN b1)
357 : : {
358 : 68 : GEN bp = padic_mod(b1), x = *ptx;
359 : : for(;;)
360 : : {
361 : 172 : GEN p1, d, a = a1, b = b1;
362 : 172 : b1 = Qp_sqrt(gmul(a,b));
363 [ - + ]: 172 : if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
364 [ + + ]: 172 : if (!equalii(padic_mod(b1), bp)) b1 = gneg_i(b1);
365 : 172 : a1 = gmul2n(gadd(gadd(a,b),gmul2n(b1,1)),-2);
366 : 172 : d = gsub(a1,b1);
367 [ + + ]: 172 : if (gequal0(d)) { *ptx = x; return ginv(gmul2n(a1,2)); }
368 : 104 : p1 = Qp_sqrt(gdiv(gadd(x,d),x)); /* = 1 (mod p) */
369 : : /* x_{n+1} = x_n ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
370 : 104 : x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,p1),-1)));
371 : : /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
372 [ + + ]: 104 : if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(d,gmul2n(x,2)))));
373 : 104 : }
374 : : }
375 : :
376 : : /* q a t_REAL*/
377 : : static long
378 : 44 : real_prec(GEN q)
379 [ + - ]: 44 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
380 : : /* q a t_PADIC */
381 : : static long
382 : 44 : padic_prec(GEN q)
383 [ + + ]: 44 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
384 : :
385 : : /* check whether moduli are consistent */
386 : : static void
387 : 54724 : chk_p(GEN p, GEN p2)
388 [ + + ]: 54724 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
389 : :
390 : : static long
391 : 298048 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
392 : : {
393 : 298048 : long i, e = *prec, imax = minss(lg(x), 6);
394 : 298048 : GEN p = NULL;
395 : 298048 : long t = t_FRAC;
396 [ + + ][ + + : 298048 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
+ + + + ]
397 : : {
398 : : case t_INT:
399 [ + + ]: 259832 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
400 : 1072 : p = *pp;
401 : 1072 : t = t_INTMOD;
402 : 1072 : break;
403 : : case t_INTMOD:
404 : 4 : p = gel(*pp, 1);
405 : 4 : break;
406 : : case t_REAL:
407 : 12 : e = real_prec(*pp);
408 : 12 : p = NULL;
409 : 12 : break;
410 : : case t_PADIC:
411 : 36 : e = padic_prec(*pp);
412 : 36 : p = gel(*pp, 2);
413 : 36 : break;
414 : : case t_FFELT:
415 : 15644 : p = *pp;
416 : 15644 : break;
417 : : default:
418 : 4 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
419 : 0 : return 0;
420 : : }
421 : : /* Possible cases:
422 : : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
423 : : * t = t_INTMOD (p a prime)
424 : : * t = t_PADIC (p a prime, e = padic prec)
425 : : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
426 : : * t = t_FRAC (p = NULL) */
427 [ + + ]: 1766580 : for (i = 1; i < imax; i++)
428 : : {
429 : 1468596 : GEN p2, q = gel(x,i);
430 [ + + + + : 1468596 : switch(typ(q)) {
+ + ]
431 : : case t_PADIC:
432 : 20 : p2 = gel(q,2);
433 [ + + + ]: 20 : switch(t)
434 : : {
435 : 8 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
436 : 4 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
437 : 8 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
438 : : }
439 : 8 : e = minss(e, padic_prec(q));
440 : 8 : break;
441 : : case t_INTMOD:
442 : 68412 : p2 = gel(q,1);
443 [ + + + + ]: 68412 : switch(t)
444 : : {
445 : 13692 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
446 : 8 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
447 : 54704 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
448 : 8 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
449 : : }
450 : 68404 : break;
451 : : case t_FFELT:
452 [ + + + - ]: 58212 : switch(t)
453 : : {
454 : 8 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
455 : 6944 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
456 : : case t_FFELT:
457 [ - + ]: 51264 : if (!FF_samefield(p,q)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
458 : 51264 : break;
459 : 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
460 : : }
461 : 58208 : break;
462 : :
463 : 1341884 : case t_INT: case t_FRAC: break;
464 : : case t_REAL:
465 [ + + - ]: 32 : switch(t)
466 : : {
467 : 20 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
468 : 12 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
469 : 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
470 : : }
471 : 32 : break;
472 : : default: /* base ring too general */
473 : 36 : return t_COMPLEX;
474 : : }
475 : : }
476 : 298020 : *pp = p; *prec = e; return t;
477 : : }
478 : :
479 : : static GEN
480 : 48 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
481 : : {
482 : 48 : pari_sp av=avma;
483 : : GEN y;
484 : : long s;
485 [ - + ]: 48 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
486 [ + + ]: 48 : s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
487 : 48 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
488 : 48 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
489 : 48 : return gerepilecopy(av, y);
490 : : }
491 : :
492 : : static GEN
493 : 32 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
494 : : {
495 : 32 : pari_sp av=avma;
496 : : GEN y;
497 [ - + ]: 32 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
498 : 32 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
499 [ - + ]: 32 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
500 : 32 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
501 : 32 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
502 : 32 : return gerepilecopy(av, y);
503 : : }
504 : :
505 : : static GEN
506 : 260552 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
507 : : {
508 : 260552 : pari_sp av=avma;
509 : : GEN y;
510 : : long s;
511 [ + + ]: 260552 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
512 : 260476 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
513 : 260476 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
514 : 260476 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
515 : 260548 : return gerepilecopy(av, y);
516 : : }
517 : :
518 : : static GEN
519 : 14752 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
520 : : {
521 : 14752 : pari_sp av=avma;
522 : : long i;
523 : : GEN y, disc;
524 [ + + ]: 14752 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
525 [ + + ]: 11928 : if (cmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
526 : : {
527 : 1376 : y = FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
528 [ + + ]: 1376 : if (!y) return NULL;
529 : 1372 : return gerepilecopy(av, y);
530 : : }
531 : 10552 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
532 [ - + ]: 10552 : if (!signe(disc)) return NULL;
533 [ + + ]: 147728 : for(i=1;i<=13;i++)
534 : 137176 : gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
535 : 10552 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
536 : 10552 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
537 : 14752 : return gerepilecopy(av, y);
538 : : }
539 : :
540 : : static GEN
541 : 22576 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
542 : : {
543 : 22576 : pari_sp av=avma;
544 : : GEN y;
545 [ + + ]: 22576 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
546 : 21772 : y = FF_ellinit(y,fg);
547 [ + - ]: 22576 : return y ? gerepilecopy(av, y): NULL;
548 : : }
549 : :
550 : : GEN
551 : 297988 : ellinit(GEN x, GEN p, long prec)
552 : : {
553 : 297988 : pari_sp av = avma;
554 : : GEN y;
555 [ + + - ]: 297988 : switch(typ(x))
556 : : {
557 : 4 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
558 : 297984 : case t_VEC: break;
559 : 0 : default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
560 : : }
561 [ + + + + : 297988 : switch (base_ring(x, &p, &prec))
+ + ]
562 : : {
563 : : case t_PADIC:
564 : 32 : y = ellinit_Qp(x, p, prec);
565 : 32 : break;
566 : : case t_INTMOD:
567 : 14752 : y = ellinit_Fp(x, p);
568 : 14752 : break;
569 : : case t_FFELT:
570 : 22576 : y = ellinit_Fq(x, p);
571 : 22576 : break;
572 : : case t_FRAC:
573 : 260552 : y = ellinit_Q(x, prec);
574 : 260548 : break;
575 : : case t_REAL:
576 : 12 : y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
577 : 12 : break;
578 : : default:
579 : 36 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
580 : : }
581 [ + + ]: 297956 : if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
582 : 297956 : return y;
583 : : }
584 : :
585 : : /********************************************************************/
586 : : /** **/
587 : : /** COORDINATE CHANGE **/
588 : : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
589 : : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
590 : : /** verbatim **/
591 : : /** **/
592 : : /********************************************************************/
593 : : /* [1,0,0,0] */
594 : : static GEN
595 : 1417932 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
596 : : static int
597 : 258916 : is_trivial_change(GEN v)
598 : : {
599 : : GEN u, r, s, t;
600 [ - + ]: 258916 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
601 : 258916 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
602 [ + + ][ + + ]: 258916 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
[ + - ][ + + ]
603 : : }
604 : :
605 : : /* compose coordinate changes, *vtotal = v is a ZV */
606 : : /* v = [u,0,0,0] o v, u t_INT */
607 : : static void
608 : 0 : composev_u(GEN *vtotal, GEN u)
609 : : {
610 : 0 : GEN v = *vtotal;
611 [ # # ]: 0 : if (typ(v) == t_INT)
612 : 0 : *vtotal = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
613 [ # # ]: 0 : else if (!equali1(u))
614 : : {
615 : 0 : GEN U = gel(v,1);
616 [ # # ]: 0 : GEN uU = equali1(U)? u: mulii(u, U);
617 : 0 : gel(v,1) = uU;
618 : : }
619 : 0 : }
620 : : /* v = [1,r,0,0] o v, r t_INT */
621 : : static void
622 : 141956 : composev_r(GEN *vtotal, GEN r)
623 : : {
624 : 141956 : GEN v = *vtotal;
625 [ - + ]: 141956 : if (typ(v) == t_INT)
626 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,r,gen_0,gen_0);
627 [ + - ]: 141956 : else if (signe(r))
628 : : {
629 : 141956 : GEN U = gel(v,1), R = gel(v,2), S = gel(v,3), T = gel(v,4);
630 [ - + ]: 141956 : GEN rU2 = equali1(U)? r: mulii(r, sqri(U));
631 : 141956 : gel(v,2) = addii(R, rU2);
632 : 141956 : gel(v,4) = addii(T, mulii(rU2, S));
633 : : }
634 : 141956 : }
635 : : /* v = [1,0,s,0] o v, s t_INT */
636 : : static void
637 : 38356 : composev_s(GEN *vtotal, GEN s)
638 : : {
639 : 38356 : GEN v = *vtotal;
640 [ - + ]: 38356 : if (typ(v) == t_INT)
641 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,s,gen_0);
642 [ + - ]: 38356 : else if (signe(s))
643 : : {
644 : 38356 : GEN U = gel(v,1), S = gel(v,3);
645 [ - + ]: 38356 : GEN sU = equali1(U)? s: mulii(s,U);
646 : 38356 : gel(v,3) = addii(S, sU);
647 : : }
648 : 38356 : }
649 : : /* v = [1,0,0,t] o v, t t_INT */
650 : : static void
651 : 140796 : composev_t(GEN *vtotal, GEN t)
652 : : {
653 : 140796 : GEN v = *vtotal;
654 [ - + ]: 140796 : if (typ(v) == t_INT)
655 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,t);
656 [ + - ]: 140796 : else if (signe(t))
657 : : {
658 : 140796 : GEN U = gel(v,1), T = gel(v,4);
659 [ - + ]: 140796 : GEN tU3 = equali1(U)? t: mulii(t, powiu(U,3));
660 : 140796 : gel(v,4) = addii(T, tU3);
661 : : }
662 : 140796 : }
663 : : /* v = [1,0,s,t] o v, s,t t_INT */
664 : : static void
665 : 55688 : composev_st(GEN *vtotal, GEN s, GEN t)
666 : : {
667 : 55688 : GEN v = *vtotal;
668 [ - + ]: 55688 : if (typ(v) == t_INT)
669 : 0 : *vtotal = mkvec4(gen_1,gen_0,s,t);
670 [ + + ]: 55688 : else if (!signe(t)) composev_s(vtotal, s);
671 [ + + ]: 17332 : else if (!signe(s)) composev_t(vtotal, t);
672 : : else
673 : : {
674 : 10592 : GEN U = gel(v,1), S = gel(v,3), T = gel(v,4);
675 [ - + ]: 10592 : if (!equali1(U))
676 : : {
677 : 0 : GEN U3 = mulii(sqri(U), U);
678 : 0 : t = mulii(U3, t);
679 : 0 : s = mulii(U, s);
680 : : }
681 : 10592 : gel(v,3) = addii(S, s);
682 : 10592 : gel(v,4) = addii(T, t);
683 : : }
684 : 55688 : }
685 : : /* v = [1,r,s,t] o v, r,s,t t_INT */
686 : : static void
687 : 148944 : composev_rst(GEN *vtotal, GEN r, GEN s, GEN t)
688 : : {
689 : 148944 : GEN v = *vtotal, U, R, S, T;
690 [ - + ]: 148944 : if (typ(v) == t_INT) { *vtotal = mkvec4(gen_1,r,s,t); return; }
691 [ + + ]: 148944 : if (!signe(r)) { composev_st(vtotal, s,t); return; }
692 : 93256 : v = *vtotal;
693 : 93256 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
694 [ + - ]: 93256 : if (equali1(U))
695 : 93256 : t = addii(t, mulii(S, r));
696 : : else
697 : : {
698 : 0 : GEN U2 = sqri(U);
699 : 0 : t = mulii(U2, addii(mulii(U, t), mulii(S, r)));
700 : 0 : r = mulii(U2, r);
701 : 0 : s = mulii(U, s);
702 : : }
703 : 93256 : gel(v,2) = addii(R, r);
704 : 93256 : gel(v,3) = addii(S, s);
705 : 148944 : gel(v,4) = addii(T, t);
706 : : }
707 : :
708 : : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
709 : : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
710 : : static void
711 : 20 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
712 : : {
713 : 20 : GEN v = *vtotal;
714 : : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
715 : :
716 [ - + ]: 40 : if (typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
717 : 20 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
718 : 20 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
719 : 20 : U2 = gsqr(U);
720 : 20 : gel(v,1) = gmul(U, u);
721 : 20 : gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
722 : 20 : gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
723 : 20 : gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
724 : : }
725 : :
726 : : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
727 : : GEN
728 : 8 : ellchangeinvert(GEN w)
729 : : {
730 : : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
731 [ - + ]: 8 : if (typ(w) == t_INT) return w;
732 : 8 : u = gel(w,1);
733 : 8 : r = gel(w,2);
734 : 8 : s = gel(w,3);
735 : 8 : t = gel(w,4);
736 : 8 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
737 : 8 : U = ginv(u);
738 : 8 : R = gdiv(gneg(r), u2);
739 : 8 : S = gdiv(gneg(s), u);
740 : 8 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
741 : 8 : return mkvec4(U,R,S,T);
742 : : }
743 : :
744 : : /* apply [u,0,0,0] */
745 : : static GEN
746 : 76 : coordch_u(GEN e, GEN u)
747 : : {
748 : : GEN y, u2, u3, u4, u6;
749 : : long lx;
750 [ + + ]: 76 : if (gequal1(u)) return e;
751 : 64 : y = cgetg_copy(e, &lx);
752 : 64 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
753 : 64 : gel(y,1) = gdiv(ell_get_a1(e), u);
754 : 64 : gel(y,2) = gdiv(ell_get_a2(e), u2);
755 : 64 : gel(y,3) = gdiv(ell_get_a3(e), u3);
756 : 64 : gel(y,4) = gdiv(ell_get_a4(e), u4);
757 : 64 : gel(y,5) = gdiv(ell_get_a6(e), u6);
758 [ - + ]: 64 : if (lx == 6) return y;
759 : 64 : gel(y,6) = gdiv(ell_get_b2(e), u2);
760 : 64 : gel(y,7) = gdiv(ell_get_b4(e), u4);
761 : 64 : gel(y,8) = gdiv(ell_get_b6(e), u6);
762 : 64 : gel(y,9) = gdiv(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
763 : 64 : gel(y,10)= gdiv(ell_get_c4(e), u4);
764 : 64 : gel(y,11)= gdiv(ell_get_c6(e), u6);
765 : 64 : gel(y,12)= gdiv(ell_get_disc(e), gsqr(u6));
766 : 64 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
767 : 64 : gel(y,14)= gel(e,14);
768 : 64 : gel(y,15)= gel(e,15);
769 : 64 : gel(y,16)= gel(e,16);
770 : 76 : return y;
771 : : }
772 : : /* apply [1,r,0,0] */
773 : : static GEN
774 : 290964 : coordch_r(GEN e, GEN r)
775 : : {
776 : : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
777 [ + + ]: 290964 : if (gequal0(r)) return e;
778 : 235264 : y = leafcopy(e);
779 : 235264 : a2 = ell_get_a2(e);
780 : 235264 : rx3 = gmulsg(3,r);
781 : :
782 : : /* A2 = a2 + 3r */
783 : 235264 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
784 : : /* A3 = a1 r + a3 */
785 : 235264 : gel(y,3) = ellLHS0(e,r);
786 : : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
787 : 235264 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
788 : : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
789 : 235264 : gel(y,5) = ellRHS(e,r);
790 [ + + ]: 235264 : if (lg(y) == 6) return y;
791 : :
792 : 235260 : b4 = ell_get_b4(e);
793 : 235260 : b6 = ell_get_b6(e);
794 : : /* B2 = 12r + b2 */
795 : 235260 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
796 : 235260 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
797 : 235260 : r2 = gsqr(r);
798 : : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
799 : 235260 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
800 : : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
801 : 235260 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
802 : : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
803 : 235260 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
804 : 235260 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
805 : 290964 : return y;
806 : : }
807 : : /* apply [1,0,s,0] */
808 : : static GEN
809 : 63648 : coordch_s(GEN e, GEN s)
810 : : {
811 : : GEN a1, y;
812 [ - + ]: 63648 : if (gequal0(s)) return e;
813 : 63648 : a1 = ell_get_a1(e);
814 : 63648 : y = leafcopy(e);
815 : :
816 : : /* A1 = a1 + 2s */
817 : 63648 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
818 : : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
819 : 63648 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
820 : : /* A4 = a4 - s a3 */
821 : 63648 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
822 : 63648 : return y;
823 : : }
824 : : /* apply [1,0,0,t] */
825 : : static GEN
826 : 187792 : coordch_t(GEN e, GEN t)
827 : : {
828 : : GEN a1, a3, y;
829 [ + + ]: 187792 : if (gequal0(t)) return e;
830 : 151136 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
831 : 151136 : y = leafcopy(e);
832 : : /* A3 = 2t + a3 */
833 : 151136 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
834 : : /* A4 = a4 - a1 t */
835 : 151136 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
836 : : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
837 : 151136 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
838 : 187792 : return y;
839 : : }
840 : : /* apply [1,0,s,t] */
841 : : static GEN
842 : 149004 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
843 : : {
844 : : GEN y, a1, a3;
845 [ + + ]: 149004 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
846 [ + + ]: 95268 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
847 : 31620 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
848 : 31620 : y = leafcopy(e);
849 : : /* A1 = a1 + 2s */
850 : 31620 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
851 : : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
852 : 31620 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
853 : : /* A3 = 2t + a3 */
854 : 31620 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
855 : : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
856 : 31620 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
857 : : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
858 : 31620 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
859 : 149004 : return y;
860 : : }
861 : : /* apply [1,r,s,t] */
862 : : static GEN
863 : 149004 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
864 : : {
865 : 149004 : e = coordch_r(e, r);
866 : 149004 : return coordch_st(e, s, t);
867 : : }
868 : : /* apply w = [u,r,s,t] */
869 : : static GEN
870 : 60 : coordch(GEN e, GEN w)
871 : : {
872 [ - + ]: 60 : if (typ(w) == t_INT) return e;
873 : 60 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
874 : 60 : return coordch_u(e, gel(w,1));
875 : : }
876 : :
877 : : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
878 : : * (dynamic data) */
879 : : static GEN
880 : 4 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
881 : : {
882 : 4 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
883 : 4 : long prec = valp(p);
884 [ - + ]: 4 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
885 [ + - ]: 4 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
886 : : {
887 [ + - ]: 4 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
888 : 4 : obj_insert(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
889 : : }
890 [ + - ]: 4 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
891 : : {
892 : 4 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4);
893 [ - + ]: 4 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
894 : 4 : U2 = gmul(U2, u2);
895 : 4 : U = gmul(U, u);
896 : 4 : AB = gdiv(AB, u2);
897 : 4 : obj_insert(E, Qp_TATE, mkvec4(U2,U,Q,AB));
898 : : }
899 : 4 : return E;
900 : : }
901 : :
902 : : /* common to Q and Rg */
903 : : static GEN
904 : 40 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
905 : : {
906 : 40 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
907 [ + + ]: 40 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
908 : 12 : obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
909 [ + + ]: 40 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
910 : 12 : obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
911 [ + + ]: 40 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
912 : : {
913 : 12 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
914 : : long i;
915 [ + + ]: 48 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
916 : 12 : obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
917 : : }
918 : 40 : return E;
919 : : }
920 : :
921 : : static GEN
922 : 4 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
923 : : {
924 : 4 : GEN p = NULL;
925 : 4 : long prec = ellR_get_prec(E);
926 [ - + ]: 4 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
927 : 4 : ch_R(E, e, w); return E;
928 : : }
929 : :
930 : : static GEN
931 : 40 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
932 : : {
933 : 40 : long prec = ellR_get_prec(E);
934 : 40 : GEN S, v = NULL, p = NULL;
935 [ + + ]: 40 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
936 : 36 : ch_R(E, e, w);
937 [ - + ]: 36 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
938 : 0 : S = obj_insert(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
939 [ + + ]: 36 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
940 : : {
941 [ + + ]: 20 : if (lg(S) == 2)
942 : : { /* model was minimal */
943 [ + - ]: 4 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
944 : 4 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
945 : 4 : (void)obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
946 : : }
947 : : else
948 : : {
949 : 16 : v = gel(S,2);
950 [ + + ][ - + ]: 16 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
[ # # ]
951 : 12 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
952 : : else
953 : : {
954 : 4 : w = ellchangeinvert(w);
955 : 4 : gcomposev(&w, v); v = w;
956 : 4 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
957 : 4 : gel(S,2) = v;
958 : : }
959 : 16 : (void)obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
960 : : }
961 : : }
962 [ + + ]: 36 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
963 : 4 : S = obj_insert(E, Q_GLOBALRED, S);
964 [ - + ]: 36 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
965 : 0 : S = obj_insert(E, Q_ROOTNO, S);
966 : 40 : return E;
967 : : }
968 : :
969 : : static void
970 : 12 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
971 : : {
972 : : GEN S;
973 [ + - ]: 12 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
974 : 12 : S = obj_insert(E, FF_CARD, S);
975 [ + - ]: 12 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
976 : 12 : S = obj_insert(E, FF_GROUP, S);
977 [ + - ]: 12 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
978 : 12 : S = obj_insert(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
979 [ + - ]: 12 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
980 : 12 : S = obj_insert(E, FF_O, S);
981 : 12 : }
982 : :
983 : : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
984 : : static GEN
985 : 4 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
986 : : {
987 : 4 : long prec = 0;
988 : 4 : GEN p = ellff_get_field(E);
989 [ - + ]: 4 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
990 : 4 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
991 : 4 : ch_FF(E, e, w); return E;
992 : : }
993 : : static GEN
994 : 8 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
995 : : {
996 : 8 : long prec = 0;
997 : 8 : GEN p = ellff_get_field(E);
998 [ - + ]: 8 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
999 : 8 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1000 : 8 : ch_FF(E, e, w); return E;
1001 : : }
1002 : :
1003 : : static void
1004 : 52 : ell_reset(GEN E)
1005 : 52 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1006 : :
1007 : : GEN
1008 : 64 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1009 : : {
1010 : 64 : pari_sp av = avma;
1011 : : GEN E;
1012 : 64 : checkell5(e);
1013 [ + + ]: 64 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1014 : 60 : checkcoordch(w);
1015 : 60 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1016 [ + + ]: 60 : if (lg(E) == 6) return gerepilecopy(av, E);
1017 : 52 : ell_reset(E); E = gerepilecopy(av, E);
1018 [ + + + + : 52 : switch(ell_get_type(E))
+ - ]
1019 : : {
1020 : 4 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1021 : 4 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1022 : 8 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1023 : 32 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1024 : 4 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1025 : : }
1026 : 64 : return E;
1027 : : }
1028 : :
1029 : : static void
1030 : 0 : E_compose_u(GEN *vtotal, GEN *e, GEN u) {*e=coordch_u(*e,u); composev_u(vtotal,u);}
1031 : : static void
1032 : 141956 : E_compose_r(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r) {*e=coordch_r(*e,r); composev_r(vtotal,r);}
1033 : : #if 0
1034 : : static void
1035 : : E_compose_s(GEN *vtotal, GEN *e, GEN s) {*e=coordch_s(*e,s); composev_s(vtotal,s);}
1036 : : #endif
1037 : : static void
1038 : 134056 : E_compose_t(GEN *vtotal, GEN *e, GEN t) {*e=coordch_t(*e,t); composev_t(vtotal,t);}
1039 : : static void
1040 : 148944 : E_compose_rst(GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN s, GEN t)
1041 : 148944 : { *e=coordch_rst(*e,r,s,t); composev_rst(vtotal,r,s,t); }
1042 : :
1043 : : /* apply [1,r,0,0] to P */
1044 : : static GEN
1045 : 4 : ellchangepoint_r(GEN P, GEN r)
1046 : : {
1047 : : GEN x, y, a;
1048 [ - + ]: 4 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1049 : 4 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1050 : 4 : return mkvec2(a, y);
1051 : : }
1052 : :
1053 : : /* X = (x-r)/u^2
1054 : : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1055 : : static GEN
1056 : 56 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1057 : : {
1058 : : GEN a, x, y;
1059 [ - + ]: 56 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1060 : 56 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1061 : 56 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1062 : : }
1063 : :
1064 : : GEN
1065 : 56 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1066 : : {
1067 : : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1068 : 56 : long tx, i, lx = lg(x);
1069 : 56 : pari_sp av = avma;
1070 : :
1071 [ - + ]: 56 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1072 [ - + ]: 56 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1073 : 56 : checkcoordch(ch);
1074 [ - + ]: 56 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1075 : 56 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1076 : 56 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1077 : 56 : tx = typ(gel(x,1));
1078 [ + + ]: 56 : if (is_matvec_t(tx))
1079 : : {
1080 : 12 : y = cgetg(lx,tx);
1081 [ + + ]: 24 : for (i=1; i<lx; i++)
1082 : 12 : gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1083 : : }
1084 : : else
1085 : 44 : y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
1086 : 56 : return gerepilecopy(av,y);
1087 : : }
1088 : :
1089 : : /* x = u^2*X + r
1090 : : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1091 : : static GEN
1092 : 28 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1093 : : {
1094 : : GEN a, X, Y;
1095 [ - + ]: 28 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1096 : 28 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1097 : 28 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1098 : : }
1099 : : GEN
1100 : 28 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1101 : : {
1102 : : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1103 : 28 : long tx, i, lx = lg(x);
1104 : 28 : pari_sp av = avma;
1105 : :
1106 [ - + ]: 28 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1107 [ - + ]: 28 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1108 : 28 : checkcoordch(ch);
1109 [ - + ]: 28 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1110 : 28 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1111 : 28 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1112 : 28 : tx = typ(gel(x,1));
1113 [ + + ]: 28 : if (is_matvec_t(tx))
1114 : : {
1115 : 4 : y = cgetg(lx,tx);
1116 [ + + ]: 8 : for (i=1; i<lx; i++)
1117 : 4 : gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1118 : : }
1119 : : else
1120 : 24 : y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
1121 : 28 : return gerepilecopy(av,y);
1122 : : }
1123 : :
1124 : : static long
1125 : 3 : ellexpo(GEN E)
1126 : : {
1127 : 3 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1128 [ + + ]: 18 : for (i=1; i<=5; i++)
1129 : : {
1130 : 15 : f = gexpo(gel(E,i));
1131 [ + + ]: 15 : if (f > e) e = f;
1132 : : }
1133 : 3 : return e;
1134 : : }
1135 : :
1136 : : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
1137 : : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1138 : : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1139 : : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1140 : : int
1141 : 1305 : oncurve(GEN e, GEN z)
1142 : : {
1143 : : GEN LHS, RHS, x;
1144 : : long pl, pr, ex, expx;
1145 : : pari_sp av;
1146 : :
1147 [ - + ]: 1305 : checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1148 : 1305 : av = avma;
1149 : 1305 : LHS = ellLHS(e,z);
1150 : 1305 : RHS = ellRHS(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1151 [ + + ]: 1305 : if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
1152 : 7 : pl = precision(LHS);
1153 : 7 : pr = precision(RHS);
1154 [ + + ][ + - ]: 7 : if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
1155 : : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1156 [ + - ]: 3 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1157 [ + - ][ + - ]: 3 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
[ - + ]
1158 : 3 : expx = gexpo(x);
1159 [ # # ]: 3 : pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
1160 [ + - ]: 3 : || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
[ - + # # ]
1161 : 1305 : avma = av; return pr;
1162 : : }
1163 : :
1164 : : GEN
1165 : 2145 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1166 : : {
1167 : 2145 : long i, tx = typ(x), lx;
1168 : :
1169 : 2145 : checkell5(e);
1170 [ - + ]: 2145 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1171 [ - + ]: 2145 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1172 : 2145 : tx = typ(gel(x,1));
1173 [ + + ]: 2145 : if (is_vec_t(tx))
1174 : : {
1175 : 964 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1176 [ + + ]: 2008 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1177 : 964 : return z;
1178 : : }
1179 [ + + ]: 2145 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1180 : : }
1181 : :
1182 : : GEN
1183 : 656 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1184 : : {
1185 : : GEN p1, p2, x, y, x1, x2, y1, y2;
1186 : 656 : pari_sp av = avma, tetpil;
1187 : :
1188 : 656 : checkell5(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
1189 [ + + ]: 656 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1190 [ - + ]: 644 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1191 : :
1192 : 644 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1193 : 644 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1194 [ + + ][ + + ]: 644 : if (x1 == x2 || gequal(x1,x2))
1195 : : { /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1196 [ + + ]: 444 : if (y1 != y2)
1197 : : {
1198 : : int eq;
1199 [ + + ][ - + ]: 16 : if (precision(y1) || precision(y2))
1200 : 4 : eq = (gexpo(gadd(ellLHS0(e,x1),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1201 : : else
1202 : 12 : eq = gequal(y1,y2);
1203 [ + + ]: 16 : if (!eq) { avma = av; return ellinf(); }
1204 : : }
1205 : 432 : p2 = d_ellLHS(e,z1);
1206 [ + + ]: 432 : if (gequal0(p2)) { avma = av; return ellinf(); }
1207 : 424 : p1 = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1208 : : gmul(x1,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x1))));
1209 : : }
1210 : : else {
1211 : 200 : p1 = gsub(y2,y1);
1212 : 200 : p2 = gsub(x2,x1);
1213 : : }
1214 : 624 : p1 = gdiv(p1,p2);
1215 : 624 : x = gsub(gmul(p1,gadd(p1,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1216 : 624 : y = gadd(gadd(y1, ellLHS0(e,x)), gmul(p1,gsub(x,x1)));
1217 : 624 : tetpil = avma; p1 = cgetg(3,t_VEC);
1218 : 624 : gel(p1,1) = gcopy(x);
1219 : 656 : gel(p1,2) = gneg(y); return gerepile(av,tetpil,p1);
1220 : : }
1221 : :
1222 : : static GEN
1223 : 32 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1224 : : {
1225 : : GEN t;
1226 [ - + ]: 32 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1227 : 32 : t = cgetg(3,t_VEC);
1228 : 32 : gel(t,1) = gel(z,1);
1229 : 32 : gel(t,2) = gneg_i(gadd(gel(z,2), ellLHS0(e,gel(z,1))));
1230 : 32 : return t;
1231 : : }
1232 : :
1233 : : GEN
1234 : 4 : ellneg(GEN e, GEN z)
1235 : : {
1236 : : pari_sp av;
1237 : : GEN t, y;
1238 : 4 : checkell5(e); checkellpt(z);
1239 [ - + ]: 4 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1240 : 4 : t = cgetg(3,t_VEC);
1241 : 4 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
1242 : 4 : av = avma;
1243 : 4 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ellLHS0(e,gel(z,1))));
1244 : 4 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
1245 : 4 : return t;
1246 : : }
1247 : :
1248 : : GEN
1249 : 12 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1250 : : {
1251 : 12 : pari_sp av = avma;
1252 : 12 : checkell5(e); checkellpt(z2);
1253 : 12 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
1254 : : }
1255 : :
1256 : : /* E an ell, x a scalar */
1257 : : static GEN
1258 : 476 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
1259 : : {
1260 : 476 : pari_sp av = avma;
1261 : 476 : GEN a = ellRHS(E,x), b = ellLHS0(E,x), D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
1262 : : GEN d, y, p;
1263 : :
1264 : : /* solve y*(y+b) = a */
1265 [ + + ]: 476 : if (gequal0(D)) {
1266 [ + + ][ - + ]: 171 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && equaliu(ellff_get_p(E),2))
1267 : 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
1268 : 171 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
1269 : 171 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
1270 : 171 : return gerepileupto(av,y);
1271 : : }
1272 : : /* D != 0 */
1273 [ + + + + : 305 : switch(ell_get_type(E))
+ ]
1274 : : {
1275 : : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
1276 : 16 : p = ellff_get_p(E);
1277 : 16 : D = gel(D,2);
1278 [ + + ]: 16 : if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1279 : 4 : d = Fp_sqrt(D, p);
1280 : 4 : break;
1281 : : case t_ELL_Fq:
1282 [ + + ]: 121 : if (equaliu(ellff_get_p(E),2))
1283 : : {
1284 : 44 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
1285 [ + + ]: 44 : if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1286 : 22 : return gerepileupto(av, F);
1287 : : }
1288 [ + + ]: 77 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1289 : 35 : break;
1290 : : case t_ELL_Q:
1291 [ + + ]: 156 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
1292 [ + + ]: 152 : if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1293 : 108 : break;
1294 : :
1295 : : case t_ELL_Qp:
1296 : 8 : p = ellQp_get_p(E);
1297 : 8 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
1298 [ - + ]: 8 : if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
1299 : 8 : d = Qp_sqrt(D);
1300 : 8 : break;
1301 : :
1302 : : default:
1303 : 4 : d = gsqrt(D,prec);
1304 : : }
1305 : 163 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
1306 : 163 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
1307 : 163 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
1308 : 476 : return gerepileupto(av,y);
1309 : : }
1310 : :
1311 : : GEN
1312 : 196 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
1313 : : {
1314 : 196 : checkell(e);
1315 [ - + ]: 196 : if (is_matvec_t(typ(x)))
1316 : : {
1317 : : long i, lx;
1318 : 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
1319 [ # # ]: 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
1320 : 0 : return v;
1321 : : }
1322 : 196 : return ellordinate_i(e, x, prec);
1323 : : }
1324 : :
1325 : : GEN
1326 : 53480 : ellrandom(GEN E)
1327 : : {
1328 : : GEN fg;
1329 : 53480 : checkell_Fq(E);
1330 : 53480 : fg = ellff_get_field(E);
1331 [ + + ]: 53480 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1332 : 53464 : return FF_ellrandom(E);
1333 : : else
1334 : : {
1335 : 16 : pari_sp av = avma;
1336 : 16 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
1337 : 16 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
1338 : 16 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
1339 : 53480 : return gerepileupto(av, P);
1340 : : }
1341 : : }
1342 : :
1343 : : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, z != [0] */
1344 : : static GEN
1345 : 12 : ellmul_CM(GEN e, GEN z, GEN n)
1346 : : {
1347 : 12 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
1348 : : long ln, ep, vn;
1349 : :
1350 [ - + ]: 12 : if (typ(N) != t_INT)
1351 : 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
1352 : 12 : ln = itos_or_0(shifti(addsi(1, N), 3));
1353 [ - + ]: 12 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
1354 : 12 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
1355 : 12 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
1356 : 12 : z2 = gsubst(z1, 0, monomial(n, 1, 0));
1357 : 12 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
1358 : 12 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
1359 : : do
1360 : : {
1361 : 20 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
1362 : : do
1363 : : {
1364 : 28 : ep = (-valp(z2)) >> 1;
1365 : 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), monomial(gen_1, ep, 0)));
1366 : 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
1367 : : }
1368 [ + + ]: 28 : while (valp(z2) <= 0);
1369 : 20 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
1370 : 20 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
1371 [ + + ]: 20 : if (!signe(z2)) break;
1372 : 8 : z2 = ginv(z2);
1373 : : }
1374 [ + - ]: 8 : while (degpol(p1) < vn);
1375 [ + - ][ - + ]: 12 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
1376 : 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
1377 : 12 : q1p = RgX_deriv(q1);
1378 : 12 : b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12); /* x - b2/12 */
1379 : 12 : grdx = gadd(gel(z,1), b2ov12);
1380 : 12 : q1 = poleval(q1, grdx);
1381 [ - + ]: 12 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
1382 : :
1383 : 12 : p1p = RgX_deriv(p1);
1384 : 12 : p1 = poleval(p1, grdx);
1385 : 12 : p1p = poleval(p1p, grdx);
1386 : 12 : q1p = poleval(q1p, grdx);
1387 : :
1388 : 12 : x = gdiv(p1,q1);
1389 : 12 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
1390 : 12 : x = gsub(x, b2ov12);
1391 : 12 : y = gsub( gmul(d_ellLHS(e,z), y), ellLHS0(e,x));
1392 : 12 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
1393 : : }
1394 : :
1395 : : static GEN
1396 : 92 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
1397 : : static GEN
1398 : 24 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
1399 : :
1400 : : static GEN
1401 : 44188 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
1402 : : {
1403 : 44188 : GEN fg = ellff_get_field(E);
1404 [ + + ]: 44188 : if (typ(fg)==t_FFELT)
1405 : 44124 : return FF_ellmul(E, P, n);
1406 : : else
1407 : : {
1408 : 64 : pari_sp av = avma;
1409 : 64 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
1410 : 64 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
1411 : 64 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
1412 : 56 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
1413 : 44180 : return gerepileupto(av, Q);
1414 : : }
1415 : : }
1416 : : /* [n] z, n integral */
1417 : : static GEN
1418 : 44268 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
1419 : : {
1420 : : long s;
1421 [ - + ]: 44268 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
1422 [ + + ]: 44268 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
1423 : 80 : s = signe(n);
1424 [ + + ]: 80 : if (!s) return ellinf();
1425 [ - + ]: 68 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
1426 [ + + ]: 68 : if (is_pm1(n)) return z;
1427 : 44260 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
1428 : : }
1429 : :
1430 : : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
1431 : : enum { OK, LOW_PREC, NO };
1432 : : static long
1433 : 36 : myroundr(GEN *px)
1434 : : {
1435 : 36 : GEN x = *px;
1436 : : long e;
1437 [ - + ]: 36 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
1438 : 36 : *px = grndtoi(x, &e);
1439 [ - + ]: 36 : if (e >= -5) return NO;
1440 : 36 : return OK;
1441 : : }
1442 : :
1443 : : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
1444 : : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
1445 : : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
1446 : : static GEN
1447 : 12 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
1448 : : {
1449 : : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
1450 : : long prec;
1451 : :
1452 [ - + ]: 12 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
1453 [ - + - ]: 12 : switch(typ(Q))
1454 : : {
1455 : : case t_COMPLEX:
1456 : 0 : D = utoineg(4);
1457 : 0 : v = gel(Q,2);
1458 : 0 : break;
1459 : : case t_QUAD:
1460 : 12 : D = quad_disc(Q);
1461 : 12 : v = gel(Q,3);
1462 : 12 : break;
1463 : : default:
1464 : 0 : return NULL; /*-Wall*/
1465 : : }
1466 : : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
1467 : 12 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
1468 : 12 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
1469 : 12 : prec = precision(tau);
1470 : : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
1471 : : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
1472 : : * Compute f*k */
1473 : 12 : x = gel(tau,1);
1474 : 12 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
1475 : 12 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
1476 [ - - + ]: 12 : switch(myroundr(&fk))
1477 : : {
1478 : 0 : case NO: return NULL;
1479 : 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
1480 : : }
1481 : 12 : fk = absi(fk);
1482 : :
1483 : 12 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
1484 [ - - + ]: 12 : switch(myroundr(&fkb))
1485 : : {
1486 : 0 : case NO: return NULL;
1487 : 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
1488 : : }
1489 : :
1490 : 12 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
1491 [ - - + ]: 12 : switch(myroundr(&fkc))
1492 : : {
1493 : 0 : case NO: return NULL;
1494 : 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
1495 : : }
1496 : :
1497 : : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
1498 : 12 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
1499 : 12 : dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
1500 : 12 : q = dvmdii(dF, D, &r);
1501 [ + - ][ - + ]: 12 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
1502 : : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
1503 : 12 : v = dvmdii(absi(v), q, &r);
1504 [ - + ]: 12 : if (r != gen_0) return NULL;
1505 [ + - ]: 12 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
1506 : : }
1507 : :
1508 : : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
1509 : : static GEN
1510 : 12 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
1511 : : {
1512 : : GEN A, B, q;
1513 [ - + ]: 12 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
1514 : 12 : q = CM_factor(e, w);
1515 [ - + ]: 12 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
1516 [ - + ]: 12 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
1517 : : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
1518 [ + - ][ + + ]: 12 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
1519 : : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
1520 : : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
1521 : 8 : GEN u = gtrace(w);
1522 [ - + ]: 8 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
1523 : 8 : u = shifti(u, -1);
1524 [ - + ]: 8 : if (signe(u))
1525 : : {
1526 : 0 : w = gsub(w, u);
1527 : 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
1528 : : }
1529 : : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
1530 : : }
1531 : 12 : A = ellmul_Z(e,z,a);
1532 : 12 : B = ellmul_CM(e,z,w);
1533 [ - + ]: 12 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
1534 : 12 : return elladd(e, A, B);
1535 : : }
1536 : : GEN
1537 : 44224 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
1538 : : {
1539 : 44224 : pari_sp av = avma;
1540 : :
1541 : 44224 : checkell5(e); checkellpt(z);
1542 [ - + ]: 44224 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
1543 [ + + - - ]: 44224 : switch(typ(n))
1544 : : {
1545 : 44212 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
1546 : : case t_QUAD: {
1547 : 12 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
1548 [ - + ]: 12 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
1549 : 12 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
1550 : : }
1551 : : case t_COMPLEX: {
1552 : 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
1553 : 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
1554 : : }
1555 : : }
1556 : 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
1557 : 44216 : return NULL; /* not reached */
1558 : : }
1559 : :
1560 : : /********************************************************************/
1561 : : /** **/
1562 : : /** Periods **/
1563 : : /** **/
1564 : : /********************************************************************/
1565 : :
1566 : : /* References:
1567 : : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
1568 : : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
1569 : : */
1570 : :
1571 : : static GEN
1572 : 98 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
1573 : : {
1574 : 98 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
1575 : 98 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
1576 : 98 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
1577 : : }
1578 : :
1579 : : static GEN
1580 : 50 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
1581 : : {
1582 : 50 : pari_sp av = avma;
1583 : 50 : GEN roots = ellR_roots(E,prec);
1584 : 46 : GEN e1=gel(roots,1), e2=gel(roots,2), e3=gel(roots,3);
1585 : 46 : GEN a = gsqrt(gsub(e1,e2),prec);
1586 : 46 : GEN b = gsqrt(gsub(e2,e3),prec);
1587 : 46 : GEN c = gsqrt(gsub(e1,e3),prec);
1588 : 46 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
1589 : : }
1590 : :
1591 : : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
1592 : : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
1593 : : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
1594 : : static GEN
1595 : 102 : doellR_omega(GEN E, long prec)
1596 : : {
1597 : 102 : pari_sp av = avma;
1598 : : GEN roots, e1, e3, z, a, b, c;
1599 [ + + ]: 102 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
1600 : 52 : roots = ellR_roots(E,prec);
1601 : 52 : e1 = gel(roots,1);
1602 : 52 : e3 = gel(roots,3);
1603 : 52 : z = gsqrt(gsub(e1,e3),prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
1604 : 52 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
1605 : 52 : b = gel(z,2);
1606 : 52 : c = gabs(z, prec);
1607 : 52 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
1608 : 98 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
1609 : : }
1610 : : static GEN
1611 : 16 : doellR_eta(GEN E, long prec)
1612 : 16 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
1613 : :
1614 : : GEN
1615 : 684 : ellR_omega(GEN E, long prec)
1616 : 684 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
1617 : : GEN
1618 : 24 : ellR_eta(GEN E, long prec)
1619 : 24 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
1620 : : GEN
1621 : 1370 : ellR_roots(GEN E, long prec)
1622 : 1370 : { return obj_checkbuild_prec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
1623 : :
1624 : : /********************************************************************/
1625 : : /** **/
1626 : : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
1627 : : /** **/
1628 : : /********************************************************************/
1629 : : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
1630 : : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
1631 : : static GEN
1632 : 0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
1633 : : {
1634 : 0 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
1635 : 0 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
1636 : 0 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
1637 : 0 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
1638 : 0 : GEN z = gel(om,2);
1639 [ # # ]: 0 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
1640 [ # # ]: 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
1641 : : else
1642 [ # # ]: 0 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
1643 : 0 : return gmul2n(z, -1);
1644 : : }
1645 : :
1646 : : static GEN
1647 : 4 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
1648 : : {
1649 : 4 : GEN roots = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
1650 : 4 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = d_ellLHS(E,P);
1651 [ - + ]: 4 : if (gequal0(y0))
1652 : 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,roots);
1653 : : else
1654 : : {
1655 : 4 : GEN e1 = gel(roots,1), e2 = gel(roots,2), e3 = gel(roots,3);
1656 : 4 : GEN a = gsqrt(gsub(e1,e3),prec), b = gsqrt(gsub(e1,e2),prec);
1657 : 4 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
1658 : 4 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
1659 : 4 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
1660 : : /* |a+b| < |a-b| */
1661 [ + - ]: 4 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
1662 : 4 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
1663 : : }
1664 : : }
1665 : :
1666 : : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
1667 : : static GEN
1668 : 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
1669 : : {
1670 : 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = d_ellLHS(E,P);
1671 [ # # ]: 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
1672 : : else
1673 : : {
1674 : 0 : GEN roots = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
1675 : 0 : GEN e1 = gel(roots,1), e3 = gel(roots,3);
1676 : 0 : GEN a = gsqrt(gsub(e1,e3),prec);
1677 : 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
1678 : 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
1679 : 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
1680 : 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
1681 : 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
1682 : : }
1683 : : }
1684 : :
1685 : : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
1686 : : static GEN
1687 : 16 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
1688 : : {
1689 : 16 : GEN roots = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
1690 : 16 : GEN e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = d_ellLHS(E,P);
1691 [ - + ]: 16 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,roots);
1692 : 16 : e1 = gel(roots,1);
1693 : 16 : e2 = gel(roots,2);
1694 : 16 : e3 = gel(roots,3);
1695 : 16 : a = gsqrt(gsub(e1,e3),prec);
1696 : 16 : b = gsqrt(gsub(e1,e2),prec);
1697 [ + - ]: 16 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
1698 : 16 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
1699 : 16 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
1700 : 16 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
1701 : : } else {
1702 : 0 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
1703 : 0 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
1704 : 0 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
1705 : 16 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
1706 : : }
1707 : : }
1708 : :
1709 : : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
1710 : : * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
1711 : : * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
1712 : : static GEN
1713 : 92 : doellQp_root(GEN E, long prec)
1714 : : {
1715 : 92 : GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
1716 : : GEN c4p, c6p, T, a, pe;
1717 : : long alpha;
1718 : 92 : int pis2 = equaliu(p, 2);
1719 [ - + ]: 92 : if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
1720 : : /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
1721 : 92 : alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
1722 [ + + ]: 92 : if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
1723 : : /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
1724 [ + + ][ - + ]: 92 : if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
1725 : 92 : pe = powiu(p, prec);
1726 : 92 : c4 = Rg_to_Fp(c4, pe); c4p = remii(c4,p);
1727 : 92 : c6 = Rg_to_Fp(c6, pe); c6p = remii(c6,p);
1728 [ + + ]: 92 : if (pis2)
1729 : : { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
1730 : 40 : T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, Fp_muls(c4, -9, pe), Fp_muls(c6, -2, pe));
1731 : 40 : a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec);
1732 : 40 : alpha -= 2;
1733 : : }
1734 [ + + ]: 52 : else if (equaliu(p, 3))
1735 : : { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
1736 : 32 : a = Fp_neg(c6p, p);
1737 : 32 : T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, Fp_muls(c4, -6, pe), Fp_neg(c6, pe));
1738 : 32 : a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
1739 [ + + - ]: 32 : switch(lg(a)-1)
1740 : : {
1741 : : case 1: /* single root */
1742 : 24 : a = gel(a,1); break;
1743 : : case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
1744 : : {
1745 : 8 : GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
1746 : 8 : long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
1747 : 8 : long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
1748 : 8 : long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
1749 [ + - ]: 8 : if (v1 == v2) a = a3;
1750 [ # # ]: 0 : else if (v1 == v3) a = a2;
1751 : 0 : else a = a1;
1752 : : }
1753 : 8 : break;
1754 : : }
1755 : 32 : alpha--;
1756 : : }
1757 : : else
1758 : : { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
1759 : : * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
1760 : 20 : a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
1761 : 20 : T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, Fp_muls(c4, -18, pe), Fp_neg(c6, pe));
1762 : 20 : a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
1763 : : }
1764 : 92 : a = cvtop(a, p, prec);
1765 [ + + ]: 92 : if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
1766 : 92 : return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
1767 : : }
1768 : : GEN
1769 : 96 : ellQp_root(GEN E, long prec)
1770 : 96 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
1771 : :
1772 : : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
1773 : : static void
1774 : 72 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
1775 : : {
1776 : 72 : GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
1777 : 72 : GEN w, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1));
1778 : 72 : w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
1779 [ + + ]: 72 : if (valp(gadd(t,w)) <= valp(w)) w = gneg_i(w); /* <=> v(d) > v(w) */
1780 : : /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
1781 : 72 : *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
1782 : 72 : *ptb = gmul2n(w,-1);
1783 : 72 : }
1784 : :
1785 : : static GEN
1786 : 28 : doellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec0)
1787 : : {
1788 : 28 : GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
1789 : : GEN u, u2, q, x1, a, b, d, s, t;
1790 : 28 : long v, prec = prec0+2;
1791 : :
1792 [ - + ]: 28 : if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
1793 : : START:
1794 : 72 : doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
1795 : 72 : d = gsub(a,b);
1796 : 72 : v = prec0 - precp(d);
1797 [ + + ]: 72 : if (v > 0) { prec += v; goto START; }
1798 : 52 : x1 = gmul2n(d,-2);
1799 : 52 : u2 = do_padic_agm(&x1,NULL,a,b);
1800 : :
1801 : 52 : t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
1802 : 52 : s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
1803 : 52 : q = gadd(t,s);
1804 [ + + ]: 52 : if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
1805 : 52 : v = prec0 - precp(q);
1806 [ + + ]: 52 : if (v > 0) { prec += v; goto START; }
1807 [ + + ]: 28 : if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
1808 [ + + ]: 28 : if (issquare(u2))
1809 : 8 : u = Qp_sqrt(u2);
1810 : : else
1811 : : {
1812 : 20 : long v = fetch_user_var("u");
1813 : 20 : GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
1814 : 20 : setvarn(T, v); u = mkpolmod(pol_x(v), T);
1815 : : }
1816 : 28 : return mkvec4(u2, u, q, mkvec2(a, b));
1817 : : }
1818 : : GEN
1819 : 48 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
1820 : 48 : {return obj_checkbuild_padicprec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate_uniformization,prec);}
1821 : : GEN
1822 : 16 : ellQp_u(GEN E, long prec)
1823 : 16 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
1824 : : GEN
1825 : 0 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
1826 : 0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
1827 : : GEN
1828 : 0 : ellQp_q(GEN E, long prec)
1829 : 0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
1830 : : GEN
1831 : 16 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
1832 : 16 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
1833 : :
1834 : : static GEN
1835 : 16 : zellQp(GEN E, GEN z, long prec)
1836 : : {
1837 : 16 : pari_sp av = avma;
1838 : : GEN b2, a, b, ab, c0, r0, r1, ar1, e1, x, y, delta, x0,x1, y0,y1, t;
1839 [ - + ]: 16 : if (ell_is_inf(z)) return gen_1;
1840 : 16 : b2 = ell_get_b2(E);
1841 : 16 : e1 = ellQp_root(E, prec);
1842 : 16 : ab = ellQp_ab(E, prec);
1843 : 16 : a = gel(ab,1);
1844 : 16 : b = gel(ab,2); r1 = gsub(a,b);
1845 : 16 : x = gel(z,1);
1846 : 16 : y = gel(z,2);
1847 : 16 : r0 = gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
1848 : 16 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1)); ar1 = gmul(a,r1);
1849 : 16 : delta = gdiv(ar1, gsqr(c0));
1850 : 16 : x0 = gmul2n(gmul(c0,gaddsg(1,Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2))))),-1);
1851 : 16 : y0 = gdiv(gadd(y, gmul2n(d_ellLHS(E,z), -1)), gsubsg(1, gdiv(ar1,gsqr(x0))));
1852 : :
1853 : 16 : x1 = gmul(x0, gsqr(gmul2n(gaddsg(1, Qp_sqrt(gdiv(gadd(x0,r1),x0))),-1)));
1854 : 16 : y1 = gdiv(y0, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r1,gmul2n(x1,2)))));
1855 [ - + ]: 16 : if (gequal0(x1)) pari_err_PREC("ellpointtoz");
1856 : :
1857 : 16 : (void)do_padic_agm(&x1,&y1, a,b);
1858 : 16 : t = gmul(ellQp_u(E, prec), gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
1859 : 16 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
1860 : 16 : return gerepileupto(av, t);
1861 : : }
1862 : :
1863 : : GEN
1864 : 36 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
1865 : : {
1866 : 36 : pari_sp av = avma;
1867 : : GEN t;
1868 : : long s;
1869 : :
1870 : 36 : checkell(e); checkellpt(z);
1871 [ + + + - ]: 36 : switch(ell_get_type(e))
1872 : : {
1873 : : case t_ELL_Qp:
1874 : 16 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
1875 : 16 : return zellQp(e, z, prec);
1876 : 16 : case t_ELL_Q: break;
1877 : 4 : case t_ELL_Rg: break;
1878 : 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
1879 : : }
1880 : 20 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
1881 [ - + ]: 20 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
1882 : 20 : s = ellR_get_sign(e);
1883 [ + + ][ + - ]: 20 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
[ + - ]
1884 [ - + ]: 16 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
1885 : : else
1886 : 4 : t = zellcx(e,z,prec);
1887 : 36 : return gerepileupto(av,t);
1888 : : }
1889 : :
1890 : : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
1891 : : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
1892 : : typedef struct {
1893 : : enum period_type type;
1894 : : GEN in; /* original input */
1895 : : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
1896 : : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
1897 : : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
1898 : : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z + x*tau + y reduced mod <1,tau> */
1899 : : GEN x,y; /* t_INT */
1900 : : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
1901 : : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
1902 : : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
1903 : : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 = it, t \in R */
1904 : : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
1905 : : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
1906 : : long prec; /* precision(Z) */
1907 : : } ellred_t;
1908 : :
1909 : : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
1910 : : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
1911 : : static void
1912 : 12940 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
1913 : : {
1914 : 12940 : GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
1915 : 12940 : pari_sp av = avma, lim = stack_lim(av, 1);
1916 : :
1917 : 12940 : a = d = gen_1;
1918 : 12940 : b = c = gen_0;
1919 : : for(;;)
1920 : : {
1921 : 24462 : GEN m, n = ground(real_i(t));
1922 [ + + ]: 24462 : if (signe(n))
1923 : : { /* apply T^n */
1924 : 14932 : t = gsub(t,n);
1925 : 14932 : a = subii(a, mulii(n,c));
1926 : 14932 : b = subii(b, mulii(n,d));
1927 : : }
1928 [ + + ]: 24462 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
1929 : 11522 : t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
1930 : 11522 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
1931 : 11522 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
1932 [ - + ]: 11522 : if (low_stack(lim, stack_lim(av, 1))) {
1933 [ # # ]: 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "redimagsl2");
1934 : 0 : gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
1935 : : }
1936 : 11522 : }
1937 : 12940 : *pa = a;
1938 : 12940 : *pb = b;
1939 : 12940 : *pc = c;
1940 : 12940 : *pd = d;
1941 : 12940 : }
1942 : : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
1943 : : * Set *pU to U. */
1944 : : GEN
1945 : 4936 : redtausl2(GEN t, GEN *pU)
1946 : : {
1947 : 4936 : pari_sp av = avma;
1948 : : GEN U, a,b,c,d;
1949 : 4936 : set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
1950 : 4936 : U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
1951 : 4936 : t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b),
1952 : : gadd(gmul(c,t), d));
1953 : 4936 : gerepileall(av, 2, &t, &U);
1954 : 4936 : *pU = U; return t;
1955 : : }
1956 : :
1957 : : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
1958 : : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
1959 : : static void
1960 : 8004 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
1961 : : {
1962 : : long s, p;
1963 : 8004 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
1964 [ + + ]: 8004 : if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
1965 : 8004 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
1966 [ - + ]: 8004 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
1967 : : mkvec2(T->w1,T->w2));
1968 : 8004 : T->swap = (s < 0);
1969 [ + + ]: 8004 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
1970 : 8004 : set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
1971 : : /* update lattice */
1972 : 8004 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
1973 : 8004 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
1974 : 8004 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
1975 [ + + ]: 8004 : if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
1976 [ + + ]: 8004 : p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
1977 : 8004 : T->prec = p;
1978 : 8004 : }
1979 : : static void
1980 : 5472 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
1981 : : {
1982 : : long p;
1983 : : GEN Z;
1984 : 5472 : T->abs_u_is_1 = 0;
1985 : 5472 : T->some_z_is_real = 0;
1986 : 5472 : T->some_z_is_pure_imag = 0;
1987 [ + - - ]: 5472 : switch(typ(z))
1988 : : {
1989 : 5472 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
1990 : : case t_QUAD:
1991 [ # # ]: 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
1992 : 0 : break;
1993 : 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
1994 : : }
1995 : 5472 : T->z = z;
1996 : 5472 : Z = gdiv(z, T->W2);
1997 : 5472 : T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
1998 [ + + ]: 5472 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
1999 : 5472 : T->y = ground(real_i(Z));
2000 [ + + ]: 5472 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2001 [ + + ]: 5472 : if (typ(Z) != t_COMPLEX)
2002 : 272 : T->some_z_is_real = T->abs_u_is_1 = 1;
2003 [ + + ]: 5200 : else if (typ(z) != t_COMPLEX)
2004 : 2484 : T->some_z_is_real = 1;
2005 [ + + ][ - + ]: 2716 : else if (isexactzero(gel(z,1)) || isexactzero(gel(Z,1)))
2006 : 48 : T->some_z_is_pure_imag = 1;
2007 : 5472 : p = precision(Z);
2008 [ + + ][ + + ]: 5472 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
[ - + ]
2009 : 8 : Z = NULL; /*z in L*/
2010 [ + + ][ - + ]: 5472 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2011 : 5472 : T->Z = Z;
2012 : 5472 : }
2013 : : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2014 : : static GEN
2015 : 4880 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2016 : : {
2017 : 4880 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2018 [ + + ]: 4880 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2019 [ + + ]: 4880 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2020 [ + + ][ + + ]: 4880 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2021 [ + + ]: 4880 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2022 : : }
2023 : : /* e is either
2024 : : * - [w1,w2]
2025 : : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2026 : : * - an ellinit structure */
2027 : : static void
2028 : 8008 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2029 : : {
2030 : : GEN w, e;
2031 : 8008 : T->q_is_real = 0;
2032 : 8008 : T->some_q_is_real = 0;
2033 [ + + + ]: 8008 : switch(T->type)
2034 : : {
2035 : : case t_PER_ELL:
2036 : : {
2037 : 580 : long pr, p = prec;
2038 [ + + ][ + + ]: 580 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2039 : 580 : e = T->in;
2040 : 580 : w = ellR_omega(e, p);
2041 : 576 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2042 : 576 : break;
2043 : : }
2044 : : case t_PER_W:
2045 : 7340 : w = T->in; break;
2046 : : default: /*t_PER_WETA*/
2047 : 88 : w = gel(T->in,1); break;
2048 : : }
2049 : 8004 : T->w1 = gel(w,1);
2050 : 8004 : T->w2 = gel(w,2);
2051 : 8004 : red_modSL2(T, prec);
2052 [ + + ]: 8004 : if (z) reduce_z(z, T);
2053 : 8004 : }
2054 : : static int
2055 : 8012 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2056 : : {
2057 : : GEN w1;
2058 [ - + ]: 8012 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2059 : 8012 : T->in = e;
2060 [ + + - ]: 8012 : switch(lg(e))
2061 : : {
2062 : : case 17:
2063 : 584 : T->type = t_PER_ELL;
2064 : 584 : break;
2065 : : case 3:
2066 : 7428 : w1 = gel(e,1);
2067 [ + + ]: 7428 : if (typ(w1) != t_VEC)
2068 : 7340 : T->type = t_PER_W;
2069 : : else
2070 : : {
2071 [ - + ]: 88 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2072 : 88 : T->type = t_PER_WETA;
2073 : : }
2074 : 7428 : break;
2075 : 0 : default: return 0;
2076 : : }
2077 : 8012 : return 1;
2078 : : }
2079 : : static int
2080 : 7988 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2081 : : {
2082 [ - + ]: 7988 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2083 : 7988 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2084 : : }
2085 : :
2086 : : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2087 : : static GEN
2088 : 4904 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2089 : : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
2090 : : GEN
2091 : 18504 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
2092 : :
2093 : : static GEN
2094 : 7580 : check_real(GEN q)
2095 [ + + ][ + + ]: 7580 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
2096 : :
2097 : : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
2098 : : static GEN
2099 : 7440 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
2100 : : {
2101 : : pari_sp lim, av;
2102 : : GEN p1, q, y, qn;
2103 : 7440 : long n = 1;
2104 : :
2105 [ + + ]: 7440 : if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
2106 : 140 : q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
2107 : 140 : q = check_real(q);
2108 : 140 : y = gen_0;
2109 : 140 : av = avma; lim = stack_lim(av,2); qn = gen_1;
2110 : 2210 : for(;; n++)
2111 : : { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
2112 : 2350 : qn = gmul(q,qn);
2113 : 2350 : p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
2114 [ + - ][ + + ]: 2350 : if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
2115 : 2210 : y = gadd(y, p1);
2116 [ - + ]: 2210 : if (low_stack(lim, stack_lim(av,2)))
2117 : : {
2118 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
2119 : 0 : gerepileall(av, 2, &y,&qn);
2120 : : }
2121 : 2210 : }
2122 : 7440 : return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
2123 : : }
2124 : :
2125 : : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2126 : : static GEN
2127 : 7440 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2128 : : {
2129 : 7440 : GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
2130 : 7440 : y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
2131 : 7440 : return check_real(y);
2132 : : }
2133 : :
2134 : : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2135 : : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2136 : : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2137 : : GEN
2138 : 2452 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2139 : : {
2140 : 2452 : pari_sp av = avma;
2141 : : GEN y;
2142 : : ellred_t T;
2143 : :
2144 [ - + ]: 2452 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2145 [ - + ]: 2452 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2146 [ - + ]: 2452 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2147 : 2452 : y = _elleisnum(&T, k);
2148 [ + + ][ + + ]: 2452 : if (k==2 && signe(T.c))
2149 : 2188 : {
2150 : 2188 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2151 : 2188 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2152 : : }
2153 [ + + ][ + - ]: 264 : else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y, 12);
2154 [ + + ][ + - ]: 252 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2155 : 2452 : return gerepileupto(av,y);
2156 : : }
2157 : :
2158 : : /* return quasi-periods associated to [T->W1,T->W2] */
2159 : : static GEN
2160 : 4884 : _elleta(ellred_t *T)
2161 : : {
2162 : 4884 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
2163 : 4884 : y2 = gmul(T->W2, e2);
2164 : 4884 : y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
2165 : 4884 : retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
2166 : : }
2167 : :
2168 : : /* compute eta1, eta2 */
2169 : : GEN
2170 : 24 : elleta(GEN om, long prec)
2171 : : {
2172 : 24 : pari_sp av = avma;
2173 : : GEN y1, y2, E2, pi;
2174 : : ellred_t T;
2175 : :
2176 [ - + ]: 24 : if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
2177 [ + + ]: 24 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
2178 : :
2179 : 20 : compute_periods(&T, NULL, prec);
2180 : 20 : prec = T.prec;
2181 : 20 : pi = mppi(prec);
2182 : 20 : E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
2183 [ - + ]: 20 : if (signe(T.c))
2184 : : {
2185 : 0 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
2186 : : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
2187 : 0 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
2188 : : }
2189 : 20 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
2190 [ + + ]: 20 : if (T.swap)
2191 : : {
2192 : 4 : y1 = y2;
2193 : 4 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
2194 : : }
2195 : : else
2196 : 16 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
2197 [ + + ]: 20 : switch(typ(T.w1))
2198 : : {
2199 : : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
2200 : 16 : y1 = real_i(y1);
2201 : : }
2202 : 24 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
2203 : : }
2204 : : GEN
2205 : 8 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
2206 : : {
2207 : 8 : pari_sp av = avma;
2208 : : ellred_t T;
2209 [ - + ]: 8 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
2210 [ + + - ]: 8 : switch(flag)
2211 : : {
2212 : 4 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
2213 : 4 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
2214 : 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
2215 : 8 : return NULL;/*not reached*/
2216 : : }
2217 : : }
2218 : :
2219 : : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
2220 : : static double
2221 : 5452 : get_toadd(GEN z) { return (2*PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
2222 : :
2223 : : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
2224 : : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
2225 : : static GEN
2226 : 556 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
2227 : : {
2228 : : long toadd;
2229 : 556 : pari_sp av = avma, lim, av1;
2230 : : GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
2231 : : ellred_t T;
2232 : : int simple_case;
2233 : :
2234 [ - + ]: 556 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
2235 [ + + ]: 552 : if (!T.Z) return NULL;
2236 : 548 : prec = T.prec;
2237 : :
2238 : : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
2239 : 548 : pi2 = Pi2n(1, prec);
2240 : 548 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
2241 : 548 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
2242 : 548 : u1 = gsubsg(1,u);
2243 : 548 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
2244 [ + + ]: 548 : if (gequal0(u2)) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
2245 : 544 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
2246 [ + + ]: 544 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
2247 [ + + ][ + - ]: 544 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
2248 : 544 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
2249 [ + + ]: 544 : yp = flall? gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)): NULL;
2250 : 544 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2251 : :
2252 : 544 : av1 = avma; lim = stack_lim(av1,1); qn = q;
2253 : : for(;;)
2254 : : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
2255 : : /* analogous formula for yp */
2256 : 6953 : GEN yadd, ypadd = NULL;
2257 : 6953 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
2258 : 6953 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
2259 : 6953 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
2260 [ + + ]: 6953 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
2261 [ + + ]: 6953 : if (simple_case)
2262 : : { /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
2263 : 172 : yadd = gdiv(u, a2);
2264 : 172 : yadd = gmul2n(real_i(yadd), 1);
2265 [ + + ]: 172 : if (yp) ypadd = gmul2n(real_i(ypadd), 1);
2266 : : }
2267 : : else
2268 : : {
2269 : 6781 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
2270 : 6781 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
2271 : 6781 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
2272 [ + + ]: 6781 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
2273 : : }
2274 : 6953 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
2275 : 6953 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
2276 [ + + ]: 6953 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
2277 : :
2278 : 6953 : qn = gmul(q,qn);
2279 [ + + ]: 6953 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
2280 [ - + ]: 6409 : if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
2281 : : {
2282 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
2283 [ # # ]: 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
2284 : : }
2285 : 6409 : }
2286 : :
2287 : 544 : u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
2288 : 544 : u2 = gsqr(u1);
2289 : 544 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
2290 [ + - ][ + + ]: 544 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
[ + + ]
2291 : 320 : y = real_i(y);
2292 [ + + ]: 544 : if (yp)
2293 : : {
2294 : 508 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
2295 [ + - ][ + + ]: 508 : if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
2296 : 508 : y = mkvec2(y, gmul2n(yp,-1));
2297 : : }
2298 : 552 : return gerepilecopy(av, y);
2299 : : }
2300 : : static GEN
2301 : 120 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
2302 : : {
2303 : : long i, k, l;
2304 : : pari_sp av;
2305 : 120 : GEN t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
2306 : :
2307 : 120 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
2308 [ - + ]: 120 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
2309 : :
2310 [ + + ]: 980 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
2311 [ + - - - : 120 : switch(PRECDL)
- ]
2312 : : {
2313 : 120 : default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
2314 : : case 6:
2315 : 120 : case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
2316 : : case 4:
2317 : 120 : case 3: P[2] = gen_0;
2318 : : case 2:
2319 : 120 : case 1: P[0] = gen_1;
2320 : 120 : case 0: break;
2321 : : }
2322 [ - + ]: 120 : if (PRECDL <= 8) return res;
2323 : 120 : av = avma;
2324 : 120 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
2325 [ + + ]: 420 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
2326 : : {
2327 : 300 : av = avma;
2328 : 300 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
2329 [ + + ]: 536 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
2330 : 300 : t = gmul2n(t, 1);
2331 [ + + ]: 300 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
2332 [ + + ]: 300 : if (k % 3 == 2)
2333 : 112 : t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
2334 : : else /* same value, more efficient */
2335 : 188 : t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
2336 : 300 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
2337 : : }
2338 : 120 : return res;
2339 : : }
2340 : :
2341 : : static int
2342 : 108 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
2343 : : {
2344 [ + - ]: 108 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
[ + + - ]
2345 : : {
2346 : : case 17:
2347 : 56 : *c4 = ell_get_c4(w);
2348 : 56 : *c6 = ell_get_c6(w);
2349 : 56 : return 1;
2350 : : case 3:
2351 : : {
2352 : : ellred_t T;
2353 [ + - ]: 52 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
2354 : 52 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
2355 : 52 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
2356 : 52 : return 1;
2357 : : }
2358 : : }
2359 : 0 : *c4 = *c6 = NULL;
2360 : 108 : return 0;
2361 : : }
2362 : :
2363 : : GEN
2364 : 16 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
2365 : : {
2366 : : GEN c4, c6;
2367 : 16 : checkell(e);
2368 : 16 : c4 = ell_get_c4(e);
2369 : 16 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
2370 : : }
2371 : :
2372 : : GEN
2373 : 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
2374 : 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
2375 : :
2376 : : GEN
2377 : 80 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
2378 : : {
2379 : 80 : pari_sp av = avma;
2380 : : GEN y;
2381 : :
2382 [ - + ][ # # ]: 80 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
2383 [ + + ]: 80 : if (!z) z = pol_x(0);
2384 : 80 : y = toser_i(z);
2385 [ + + ]: 80 : if (y)
2386 : : {
2387 : 40 : long vy = varn(y), v = valp(y);
2388 : : GEN P, Q, c4,c6;
2389 [ - + ]: 40 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
2390 [ - + ]: 40 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
2391 [ - + ]: 40 : if (gequal0(y)) {
2392 : 0 : avma = av;
2393 [ # # ]: 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
2394 : 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
2395 : : }
2396 : 40 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
2397 : 40 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
2398 [ + - ]: 40 : if (!flag)
2399 : 40 : return gerepileupto(av, Q);
2400 : : else
2401 : : {
2402 : 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
2403 : 40 : return gerepilecopy(av, R);
2404 : : }
2405 : : }
2406 : 40 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
2407 [ + + ]: 40 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
2408 : 76 : return gerepileupto(av, y);
2409 : : }
2410 : :
2411 : : GEN
2412 : 68 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
2413 : : {
2414 : : long prec;
2415 : 68 : pari_sp av = avma;
2416 : 68 : GEN pi2, q, u, v, y, et = NULL;
2417 : : ellred_t T;
2418 : : int simple_case;
2419 : :
2420 [ + + ]: 68 : if (!z) z = pol_x(0);
2421 : 68 : y = toser_i(z);
2422 [ + + ]: 68 : if (y)
2423 : : {
2424 : 32 : long vy = varn(y), v = valp(y);
2425 : : GEN P, Q, c4,c6;
2426 [ - + ]: 32 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
2427 [ - + ]: 32 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
2428 [ - + ]: 32 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
2429 : 32 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
2430 : 32 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
2431 : 32 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
2432 : 32 : return gerepileupto(av, Q);
2433 : : }
2434 [ - + ]: 36 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
2435 [ - + ]: 36 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
2436 : 36 : prec = T.prec;
2437 [ + - ][ - + ]: 36 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
2438 : :
2439 : 36 : pi2 = Pi2n(1, prec);
2440 : 36 : q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
2441 : 36 : u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
2442 [ + + ][ + - ]: 36 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
2443 : :
2444 : 36 : y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
2445 : 36 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
2446 [ + + ]: 36 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
2447 : 36 : y = gadd(y, v);
2448 : :
2449 [ + + ]: 36 : if (!simple_case)/* otherwise |u|=1 and all terms in sum are 0 */
2450 : : {
2451 : 28 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2452 : 28 : pari_sp av1 = avma, lim = stack_lim(av1,1);
2453 : : GEN qn;
2454 : 28 : for (qn = q;;)
2455 : : { /* y += sum q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) ) */
2456 : 420 : GEN p1 = gadd(gdiv(u,gsubgs(gmul(qn,u),1)), ginv(gsub(u,qn)));
2457 : 420 : y = gadd(y, gmul(qn,p1));
2458 : 420 : qn = gmul(q,qn);
2459 [ + + ]: 420 : if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
2460 [ - + ]: 392 : if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
2461 : : {
2462 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
2463 : 0 : gerepileall(av1,2, &y,&qn);
2464 : : }
2465 : 420 : }
2466 : : }
2467 : 36 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
2468 [ - + ]: 36 : if (et) y = gadd(y,et);
2469 [ + - ]: 36 : if (T.some_q_is_real)
2470 : : {
2471 [ + + ]: 36 : if (T.some_z_is_real)
2472 : 12 : y = real_i(y);
2473 [ + + ]: 24 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
2474 : 12 : gel(y,1) = gen_0;
2475 : : }
2476 : 68 : return gerepilecopy(av, y);
2477 : : }
2478 : :
2479 : : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
2480 : : GEN
2481 : 4920 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
2482 : : {
2483 : : long toadd, prec, n;
2484 : 4920 : pari_sp av = avma, lim, av1;
2485 : : GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
2486 : : GEN u, uhalf, urn, urninv;
2487 : : ellred_t T;
2488 : :
2489 [ + - ][ - + ]: 4920 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
2490 : :
2491 [ + + ]: 4920 : if (!z) z = pol_x(0);
2492 : 4920 : y = toser_i(z);
2493 [ + + ]: 4920 : if (y)
2494 : : {
2495 : 36 : long vy = varn(y), v = valp(y);
2496 : : GEN P, Q, c4,c6;
2497 [ - + ]: 36 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
2498 [ - + ]: 36 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
2499 [ + + ]: 36 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
2500 [ - + ]: 32 : if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
2501 : 32 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
2502 : 32 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
2503 : : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
2504 : 32 : P = integser(gsub(P, monomial(gen_1,-1,vy)));
2505 : 32 : P = gexp(P, prec0);
2506 : 32 : setvalp(P, valp(P)+1);
2507 : 32 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
2508 : 32 : return gerepileupto(av, Q);
2509 : : }
2510 [ - + ]: 4884 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
2511 [ + + ]: 4884 : if (!T.Z)
2512 : : {
2513 [ - + ]: 4 : if (!flag) return gen_0;
2514 : 4 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
2515 : : }
2516 : 4880 : prec = T.prec;
2517 : 4880 : pi2 = Pi2n(1,prec);
2518 : 4880 : pi = mppi(prec);
2519 : :
2520 : 4880 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
2521 : 4880 : uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
2522 : 4880 : u = gsqr(uhalf);
2523 : 4880 : q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
2524 : 4880 : q = gpowgs(q8,8);
2525 : 4880 : u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
2526 : 4880 : y = gen_0;
2527 : 4880 : av1 = avma; lim = stack_lim(av1,1);
2528 : 4880 : qn = q; qn2 = gen_1;
2529 : 4880 : urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
2530 : 4880 : for(n=0;;n++)
2531 : : {
2532 : 27384 : y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
2533 : 27384 : qn2 = gmul(qn,qn2);
2534 [ + + ]: 27384 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
2535 : 22504 : qn = gmul(q,qn);
2536 : 22504 : urn = gmul(urn,u);
2537 : 22504 : urninv = gmul(urninv,uinv);
2538 [ - + ]: 22504 : if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
2539 : : {
2540 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
2541 : 0 : gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
2542 : : }
2543 : 22504 : }
2544 : 4880 : y = gmul(gmul(y,q8),
2545 : : gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
2546 : :
2547 : 4880 : et = _elleta(&T);
2548 : 4880 : etnew = eta_correction(&T, et);
2549 : 4880 : zinit = gmul(T.Z,T.W2);
2550 : 4880 : etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
2551 : : gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
2552 [ + + ][ + + ]: 4880 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
2553 : 4880 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
2554 [ + + ]: 4880 : if (flag)
2555 : : {
2556 : 4844 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
2557 [ + + ][ + + ]: 4844 : if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
2558 : : { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
2559 [ + - ]: 12 : if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
2560 : : }
2561 : : }
2562 : : else
2563 : : {
2564 : 36 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
2565 [ + - ]: 36 : if (T.some_q_is_real)
2566 : : {
2567 [ + + ]: 36 : if (T.some_z_is_real)
2568 : 12 : y = real_i(y);
2569 [ + + ]: 24 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
2570 : 12 : gel(y,1) = gen_0;
2571 : : }
2572 : : }
2573 : 4912 : return gerepilecopy(av, y);
2574 : : }
2575 : :
2576 : : GEN
2577 : 516 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
2578 : : {
2579 : 516 : pari_sp av = avma;
2580 : : GEN v;
2581 : :
2582 : 516 : checkell(e);
2583 : 516 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
2584 [ + + ]: 512 : if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
2585 : 508 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
2586 : 508 : gel(v,2) = gsub(gel(v,2), gmul2n(ellLHS0(e,gel(v,1)),-1));
2587 : 512 : return gerepilecopy(av, v);
2588 : : }
2589 : :
2590 : : /********************************************************************/
2591 : : /** **/
2592 : : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
2593 : : /** Kodaira types, global minimal model **/
2594 : : /** **/
2595 : : /********************************************************************/
2596 : :
2597 : : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
2598 : : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
2599 : : in the form [f, kod, v, c].
2600 : :
2601 : : * The integer f is the conductor's exponent.
2602 : :
2603 : : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
2604 : : II , III , IV --> 2, 3, 4
2605 : : I0 --> 1
2606 : : Inu --> 4+nu for nu > 0
2607 : : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
2608 : :
2609 : : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
2610 : :
2611 : : * c is the Tamagawa number.
2612 : :
2613 : : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
2614 : : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
2615 : : static GEN
2616 : 900312 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
2617 : : {
2618 : 900312 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
2619 : 900312 : gel(z,1) = stoi(f);
2620 : 900312 : gel(z,2) = stoi(kod);
2621 : 900312 : gel(z,3) = gcopy(v);
2622 : 900312 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
2623 : : }
2624 : : static GEN
2625 : 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
2626 : : {
2627 [ # # ]: 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
2628 : 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
2629 : 0 : return NULL; /* not reached */
2630 : : }
2631 : :
2632 : : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
2633 : : static long
2634 : 473268 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
2635 : :
2636 : : #if 0
2637 : : /* Here p > 3. e assumed integral, return v_p(N). Simplified version of
2638 : : * localred_p */
2639 : : static long
2640 : : localred_p_get_f(GEN e, GEN p)
2641 : : {
2642 : : long nuj, nuD;
2643 : : GEN D = ell_get_disc(e);
2644 : : nuj = j_pval(e, p);
2645 : : nuD = Z_pval(D, p);
2646 : : if (nuj == 0) return (nuD % 12)? 2 : 0;
2647 : : return (nuD - nuj) % 12 ? 2: 1;
2648 : : }
2649 : : #endif
2650 : : /* Here p > 3. e assumed integral, minim = 1 if we only want a minimal model */
2651 : : static GEN
2652 : 473116 : localred_p(GEN e, GEN p)
2653 : : {
2654 : : long k, f, kod, c, nuj, nuD;
2655 : 473116 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
2656 : :
2657 : 473116 : c4 = ell_get_c4(e);
2658 : 473116 : c6 = ell_get_c6(e);
2659 : 473116 : nuj = j_pval(e, p);
2660 : 473116 : nuD = Z_pval(D, p);
2661 : 473116 : k = (nuD - nuj) / 12;
2662 [ + + ]: 473116 : if (k <= 0) v = init_ch();
2663 : : else
2664 : : { /* model not minimal */
2665 : 4 : GEN pk = powiu(p,k), p2k = sqri(pk), p4k = sqri(p2k), p6k = mulii(p4k,p2k);
2666 : : GEN r, s, t;
2667 : :
2668 : 4 : s = negi(ell_get_a1(e));
2669 [ - + ]: 4 : if (mpodd(s)) s = addii(s, pk);
2670 : 4 : s = shifti(s, -1);
2671 : :
2672 : 4 : r = subii(ell_get_a2(e), mulii(s, addii(ell_get_a1(e), s)));
2673 [ + - - ]: 4 : switch(umodiu(r, 3))
2674 : : {
2675 : 4 : default: break; /* 0 */
2676 : 0 : case 2: r = addii(r, p2k); break;
2677 : 0 : case 1: r = subii(r, p2k); break;
2678 : : }
2679 : 4 : r = negi( diviuexact(r, 3) );
2680 : :
2681 : 4 : t = negi(ellLHS0_i(e,r));
2682 [ - + ]: 4 : if (mpodd(t)) t = addii(t, mulii(pk, p2k));
2683 : 4 : t = shifti(t, -1);
2684 : :
2685 : 4 : v = mkvec4(pk,r,s,t);
2686 : 4 : nuD -= 12 * k;
2687 : 4 : c4 = diviiexact(c4, p4k);
2688 : 4 : c6 = diviiexact(c6, p6k);
2689 : 4 : D = diviiexact(D, sqri(p6k));
2690 : : }
2691 : :
2692 [ + + ]: 473116 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
[ + + - ]
2693 : : {
2694 : 409324 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
2695 [ + + - ]: 409324 : switch(kronecker(negi(c6),p))
2696 : : {
2697 : 210620 : case 1: c = nuD; break;
2698 [ + + ]: 198704 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
2699 : 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
2700 : : }
2701 : 409324 : break;
2702 : : case 6:
2703 : : {
2704 : 24912 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
2705 [ + + ]: 24912 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
2706 : 24912 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
2707 : 24912 : break;
2708 : : }
2709 : 434236 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
2710 : : }
2711 [ + + + + : 38880 : else switch(nuD)
+ + + +
- ]
2712 : : {
2713 : 4 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
2714 : 6300 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
2715 : 5580 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
2716 : 3052 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
2717 : 3052 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
2718 : 3052 : break;
2719 : 9028 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
2720 : 9028 : p2 = sqri(p);
2721 : : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
2722 : 9028 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
2723 : : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
2724 : : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
2725 : 9028 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
2726 : 9028 : break;
2727 : 6300 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
2728 : 6300 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
2729 : 6300 : break;
2730 : 5576 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
2731 : 3040 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
2732 : 0 : default: return localredbug(p,"localred");
2733 : : }
2734 : 473116 : return localred_result(f, kod, c, v);
2735 : : }
2736 : :
2737 : : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
2738 : : static ulong
2739 : 473556 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
2740 : : {
2741 : 473556 : return umodiu(ak, q) / pl;
2742 : : }
2743 : :
2744 : : static ulong
2745 : 769544 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
2746 : : {
2747 : 769544 : pari_sp av = avma;
2748 : 769544 : ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
2749 : 769544 : avma = av; return res;
2750 : : }
2751 : :
2752 : : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
2753 : : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
2754 : : * if there's a multiple root, put it in *mult */
2755 : : static long
2756 : 130332 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
2757 : : {
2758 [ + + ]: 130332 : if (p == 2)
2759 : : {
2760 [ + + ]: 75172 : if ((c + a * b) & 1) return 3;
2761 [ + + ]: 65156 : *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
2762 : : }
2763 : : /* p = 3 */
2764 [ + + ][ + + ]: 55160 : if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
2765 : 37012 : *mult = a * b;
2766 [ + + ]: 37012 : if (b == 2)
2767 [ + + ]: 12296 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
2768 : : else
2769 [ + + ]: 130332 : return c ? 3 : 2;
2770 : : }
2771 : :
2772 : : /* same for aX^2 +bX + c */
2773 : : static long
2774 : 426052 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
2775 : : {
2776 [ + + ][ + + ]: 426052 : if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
2777 : : /* p = 3 */
2778 [ + + ]: 426052 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
2779 : : }
2780 : :
2781 : : /* p = 2 or 3 */
2782 : : static GEN
2783 : 427196 : localred_23(GEN e, long p)
2784 : : {
2785 : : long c, nu, nuD, r, s, t;
2786 : : long theroot, p2, p3, p4, p5, p6, a21, a42, a63, a32, a64;
2787 : : GEN v;
2788 : :
2789 : 427196 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
2790 : 427196 : v = init_ch();
2791 [ + + ]: 427196 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; p6 = 64;}
2792 : 203296 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; p6 =729; }
2793 : :
2794 : : for (;;)
2795 : : {
2796 [ + + ]: 427196 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v);
2797 : : /* I0 */
2798 [ + + ]: 372988 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
2799 : : {
2800 [ + + ][ + + ]: 204144 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
2801 : 103584 : c = nuD;
2802 : : else
2803 : 100560 : c = 2 - (nuD & 1);
2804 : 204144 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v);
2805 : : }
2806 : : /* Inu */
2807 [ + + ]: 168844 : if (p == 2)
2808 : : {
2809 : 98900 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
2810 : 98900 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
2811 : 98900 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
2812 [ + + ]: 98900 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
2813 : : }
2814 : : else /* p == 3 */
2815 : : {
2816 : 69944 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
2817 : 69944 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
2818 : 69944 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
2819 [ + + ][ + + ]: 69944 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
2820 : : }
2821 : : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
2822 [ + + ][ + + ]: 168844 : if (r || s || t) E_compose_rst(&v, &e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
[ + + ]
2823 [ + + ]: 168844 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
2824 : 11932 : return localred_result(nuD, 2, 1, v);
2825 : : /* II */
2826 [ + + ]: 156912 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
2827 : 14684 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v);
2828 : : /* III */
2829 [ + + ]: 142228 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
2830 : : {
2831 [ + + ][ + + ]: 11896 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
2832 : 6044 : c = 3;
2833 : : else
2834 : 5852 : c = 1;
2835 : 11896 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v);
2836 : : }
2837 : : /* IV */
2838 : :
2839 [ + + ]: 130332 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
2840 [ + + ]: 49856 : E_compose_t(&v, &e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
2841 : : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
2842 : 130332 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
2843 : 130332 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
2844 : 130332 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
2845 [ + + + - ]: 130332 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
2846 : : {
2847 : : case 3:
2848 [ + + ]: 19160 : c = a63 ? 1: 2;
2849 [ + + ]: 19160 : if (p == 2)
2850 : 10016 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
2851 : : else {
2852 [ + + ]: 9144 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
2853 [ + + ]: 9144 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
2854 : : }
2855 : 19160 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v);
2856 : : case 2: /* I0* */
2857 : : { /* compute nu */
2858 : : GEN pk, pk1, p2k;
2859 : : long al, be, ga;
2860 [ + + ]: 69892 : if (theroot) E_compose_r(&v, &e, stoi(theroot * p));
2861 : : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
2862 : 69892 : nu = 1;
2863 : 69892 : pk = utoipos(p2);
2864 : 69892 : p2k = utoipos(p4);
2865 : : for(;;)
2866 : : {
2867 : 209604 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
2868 : 209604 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
2869 : 209604 : al = 1;
2870 [ + + ]: 209604 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
2871 [ + + ]: 175168 : if (theroot) E_compose_t(&v, &e, mulsi(theroot,pk));
2872 : 175168 : pk1 = pk;
2873 : 175168 : pk = mului(p, pk);
2874 : 175168 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
2875 : :
2876 : 175168 : al = a21;
2877 : 175168 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
2878 : 175168 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
2879 [ + + ]: 175168 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
2880 [ + + ]: 139712 : if (theroot) E_compose_r(&v, &e, mulsi(theroot, pk1));
2881 : 139712 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
2882 : 139712 : }
2883 [ + + ]: 69892 : if (p == 2)
2884 : 38668 : c = 4 - 2 * (ga & 1);
2885 : : else
2886 : 31224 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
2887 : 69892 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v);
2888 : : }
2889 : : case 1: /* Inu* */
2890 [ + + ]: 41280 : if (theroot) E_compose_r(&v, &e, stoi(theroot*p));
2891 : : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
2892 : 41280 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
2893 : 41280 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
2894 [ + + ]: 41280 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
2895 : : {
2896 [ + + ]: 15700 : if (p == 2)
2897 : 10624 : c = 3 - 2 * a64;
2898 : : else
2899 : 5076 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
2900 : 15700 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v);
2901 : : }
2902 : : /* IV* */
2903 [ + + ]: 25580 : if (theroot) E_compose_t(&v, &e, stoi(theroot*p2));
2904 : : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
2905 [ + + ]: 25580 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
2906 : 15412 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v);
2907 : : /* III* */
2908 : :
2909 [ + - ]: 10168 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p6))
2910 : 10168 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v);
2911 : : /* II* */
2912 : 0 : E_compose_u(&v, &e, utoipos(p)); /* not minimal */
2913 : 0 : nuD -= 12;
2914 : : }
2915 : 427196 : }
2916 : : }
2917 : :
2918 : : static GEN
2919 : 900304 : localred(GEN e, GEN p)
2920 : : {
2921 [ + + ]: 900304 : if (cmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
2922 : 473116 : return localred_p(e,p);
2923 : : else
2924 : : {
2925 : 427188 : long l = itos(p);
2926 [ - + ]: 427188 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
2927 : 900304 : return localred_23(e, l);
2928 : : }
2929 : : }
2930 : :
2931 : : GEN
2932 : 12 : elllocalred(GEN e, GEN p)
2933 : : {
2934 : 12 : pari_sp av = avma;
2935 : 12 : checkell_Q(e);
2936 [ - + ]: 12 : if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
2937 : 0 : pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
2938 [ - + ]: 12 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
2939 [ - + ]: 12 : if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
2940 : 12 : return gerepileupto(av, localred(e, p));
2941 : : }
2942 : :
2943 : : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
2944 : : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
2945 : : static GEN
2946 : 259000 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
2947 : : {
2948 : 259000 : GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L;
2949 : : long i, l, k;
2950 : :
2951 : 259000 : L = cgetg(1, t_VEC);
2952 [ + + ]: 1554000 : for (i = 1; i < 6; i++)
2953 : : {
2954 : 1295000 : GEN c = gel(e,i);
2955 : 1295000 : gel(a,i) = c;
2956 [ + + - ]: 1295000 : switch(typ(c))
2957 : : {
2958 : 1294952 : case t_INT: break;
2959 : : case t_FRAC: /* partial factorization */
2960 : 48 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(gel(c,2), 0),1));
2961 : 48 : break;
2962 : 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel [not a rational curve]",e);
2963 : : }
2964 : : }
2965 : : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
2966 [ + + ][ + + ]: 259000 : l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
2967 : 16 : L = ZV_sort_uniq(L);
2968 : 16 : l = lg(L);
2969 : :
2970 : 16 : t = gen_1;
2971 [ + + ]: 44 : for (k = 1; k < l; k++)
2972 : : {
2973 : 28 : GEN p = gel(L,k);
2974 : 28 : long n = 0, m;
2975 [ + + ]: 168 : for (i = 1; i < 6; i++)
2976 [ + + ]: 140 : if (!gequal0(gel(a,i)))
2977 : : {
2978 [ + + ]: 104 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
2979 : 104 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
2980 [ + + ]: 132 : while (m < 0) { n++; m += r; }
2981 : : }
2982 : 28 : t = mulii(t, powiu(p, n));
2983 : : }
2984 : 16 : u = ginv(t);
2985 [ + - ]: 16 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
2986 : 259000 : return coordch_u(e, u);
2987 : : }
2988 : :
2989 : : /* FIXME: export ? */
2990 : : static ulong
2991 : 323296 : Mod32(GEN x) {
2992 : 323296 : long s = signe(x);
2993 : : ulong m;
2994 [ + + ]: 323296 : if (!s) return 0;
2995 [ + + ]: 321096 : m = mod32(x); if (!m) return m;
2996 [ + + ]: 279372 : if (s < 0) m = 32 - m;
2997 : 323296 : return m;
2998 : : }
2999 : : #define Mod16(x) Mod32(x)&15
3000 : : #define Mod2(x) Mod32(x)&1
3001 : :
3002 : : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3003 : : typedef struct {
3004 : : long a1; /*{0,1}*/
3005 : : long a2; /*{-1,0,1}*/
3006 : : long a3; /*{0,1}*/
3007 : : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3008 : : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3009 : : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3010 : : } ellmin_t;
3011 : :
3012 : : /* u from [u,r,s,t] */
3013 : : static void
3014 : 259068 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3015 : : {
3016 : 259068 : M->u = u;
3017 [ + + ]: 259068 : if (is_pm1(u))
3018 : 258852 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3019 : : else
3020 : : {
3021 : 216 : M->u2 = sqri(u);
3022 : 216 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3023 : 216 : M->u4 = sqri(M->u2);
3024 : 216 : M->u6 = sqri(M->u3);
3025 : : }
3026 : 259068 : }
3027 : : /* E = original curve */
3028 : : static void
3029 : 259068 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3030 : : {
3031 : 259068 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3032 [ + + ]: 259068 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3033 : 216 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3034 : 216 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3035 : : }
3036 : 259068 : M->c4 = c4;
3037 : 259068 : M->c6 = c6;
3038 : 259068 : }
3039 : : static void
3040 : 258892 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3041 : : {
3042 : 258892 : GEN D = ell_get_disc(E);
3043 [ + + ]: 258892 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3044 : 258892 : M->D = D;
3045 : 258892 : }
3046 : : static void
3047 : 258984 : min_set_b(ellmin_t *M)
3048 : : {
3049 : 258984 : long b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3050 : 258984 : long b22 = b2*b2; /* in [0,36] */
3051 : 258984 : M->b2 = b2;
3052 : 258984 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3053 : 258984 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3054 : 258984 : }
3055 : : static void
3056 : 258904 : min_set_a(ellmin_t *M)
3057 : : {
3058 : 258904 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3059 : 258904 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3060 [ + + ]: 258904 : if (odd(b2))
3061 : : {
3062 : 137996 : a1 = 1;
3063 : 137996 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3064 : : }
3065 : : else
3066 : : {
3067 : 120908 : a1 = 0;
3068 : 120908 : a2 = b2 >> 2;
3069 : : }
3070 : 258904 : M->a1 = a1;
3071 : 258904 : M->a2 = a2;
3072 : 258904 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3073 : 258904 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3074 : 258904 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3075 : 258904 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3076 : 258904 : }
3077 : : static GEN
3078 : 258892 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3079 : : {
3080 : 258892 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3081 : : long a11, a13;
3082 [ + + ]: 258892 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3083 : 258892 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3084 [ + + ]: 258892 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3085 : 258892 : gel(y,4) = M->a4;
3086 : 258892 : gel(y,5) = M->a6;
3087 : 258892 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3088 : 258892 : gel(y,7) = M->b4;
3089 : 258892 : gel(y,8) = M->b6;
3090 : 258892 : a11 = M->a1;
3091 : 258892 : a13 = M->a1 & M->a3;
3092 : 258892 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3093 : : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3094 : 258892 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3095 : 258892 : gel(y,10)= M->c4;
3096 : 258892 : gel(y,11)= M->c6;
3097 : 258892 : gel(y,12)= M->D;
3098 : 258892 : gel(y,13)= gel(E,13);
3099 : 258892 : gel(y,14)= gel(E,14);
3100 : 258892 : gel(y,15)= gel(E,15);
3101 : 258892 : return y;
3102 : : }
3103 : : static GEN
3104 : 258892 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3105 : : {
3106 : : GEN r, s, t;
3107 : 258892 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3108 [ + + ]: 258892 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3109 [ + + ]: 258892 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, ellLHS0(E,r)), -1);
3110 : 258892 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3111 : : }
3112 : :
3113 : : static long
3114 : 176 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
3115 : : {
3116 : 176 : long N = 1; /* oo */
3117 [ + + ]: 176 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
3118 [ + + ]: 144 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
3119 [ + + ]: 176 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
3120 [ + + ]: 156 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
3121 : 176 : return N;
3122 : : }
3123 : : static long
3124 : 944 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
3125 : : {
3126 : 944 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
3127 : : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
3128 : 944 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
3129 : : }
3130 : : static long
3131 : 164 : cardmod2(GEN e)
3132 : : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
3133 : 164 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
3134 : 164 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
3135 : 164 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
3136 : 164 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
3137 : 164 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
3138 : 164 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
3139 : : }
3140 : : static long
3141 : 864 : cardmod3(GEN e)
3142 : : {
3143 : 864 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
3144 : 864 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
3145 : 864 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
3146 : 864 : return F3_card(b2,b4,b6);
3147 : : }
3148 : :
3149 : : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
3150 : : static long
3151 : 1096 : get_vu_p_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
3152 : : {
3153 : 1096 : GEN c6 = ell_get_c6(E), D = ell_get_disc(E);
3154 : 1096 : long d, v6, vD = Z_lval(D,p);
3155 [ + + ]: 1096 : if (!signe(c6))
3156 : : {
3157 : 208 : d = vD / 12;
3158 [ - + ]: 208 : if (d)
3159 : : {
3160 [ # # ]: 0 : if (p == 2)
3161 : : {
3162 : 0 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3163 : 0 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3164 [ # # ]: 0 : if (a) d--;
3165 : : }
3166 [ # # ]: 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3167 : : }
3168 : 208 : v6 = 12; /* +oo */
3169 : : }
3170 : : else
3171 : : {
3172 : 888 : v6 = Z_lval(c6,p);
3173 : 888 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3174 [ + + ]: 888 : if (d) {
3175 [ + + ]: 340 : if (p == 2) {
3176 : 152 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3177 : 152 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3178 : 152 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3179 [ + + ][ + + ]: 152 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
[ + + ][ + + ]
3180 [ + + ]: 188 : } else if (p == 3) {
3181 [ - + ]: 104 : if (v6 == 6*d+2) d--;
3182 : : }
3183 [ + + ]: 340 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3184 : : }
3185 : : }
3186 : 1096 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3187 : : }
3188 : :
3189 : : static ulong
3190 : 32 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
3191 : :
3192 : : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
3193 : : static void
3194 : 12 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
3195 : : {
3196 : 12 : min_set_u(M, int2n(d));
3197 : 12 : min_set_c(M, E);
3198 : 12 : min_set_b(M);
3199 : 12 : min_set_a(M);
3200 : 12 : }
3201 : : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
3202 : : static void
3203 : 80 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
3204 : : {
3205 : 80 : min_set_u(M, powuu(3, d));
3206 : 80 : min_set_c(M, E);
3207 : 80 : min_set_b(M);
3208 : 80 : }
3209 : :
3210 : : static long
3211 : 1016 : is_minimal_ap_small(GEN E, ulong p, int *good_red)
3212 : : {
3213 : 1016 : long vc6, vD, d = get_vu_p_small(E, p, &vc6, &vD);
3214 [ + + ]: 1016 : if (vD) /* bad reduction */
3215 : : {
3216 : : GEN c6;
3217 : : long s;
3218 : 840 : *good_red = 0;
3219 [ + + ]: 840 : if (vc6) return 0;
3220 : 332 : c6 = ell_get_c6(E);
3221 [ + + ]: 332 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
3222 : 332 : s = kroiu(c6,p);
3223 [ + + ]: 332 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
3224 : 332 : return s;
3225 : : }
3226 : 176 : *good_red = 1;
3227 [ + + ]: 176 : if (p == 2)
3228 : : {
3229 : : ellmin_t M;
3230 [ - + ]: 12 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
3231 : 12 : min_set_2(&M, E, d);
3232 : 12 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
3233 : : }
3234 [ + + ]: 164 : else if (p == 3)
3235 : : {
3236 : : ellmin_t M;
3237 [ - + ]: 80 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
3238 : 80 : min_set_3(&M, E, d);
3239 : 80 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
3240 : : }
3241 : : else
3242 : : {
3243 : : ellmin_t M;
3244 : 84 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
3245 : 84 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
3246 : 84 : min_set_c(&M, E);
3247 : 84 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
3248 : 1016 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
3249 : : }
3250 : : }
3251 : :
3252 : : static GEN
3253 : 696 : is_minimal_ap(GEN E, GEN p, int *good_red)
3254 : : {
3255 : : GEN a4,a6, c4, c6, D;
3256 : : long vc6, vD, d;
3257 [ + - ]: 696 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( is_minimal_ap_small(E, p[2], good_red) );
3258 : 0 : c6 = ell_get_c6(E);
3259 : 0 : D = ell_get_disc(E);
3260 : 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
3261 : 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
3262 [ # # ]: 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3263 [ # # ]: 0 : if (vD) /* bad reduction */
3264 : : {
3265 : : long s;
3266 : 0 : *good_red = 0;
3267 [ # # ]: 0 : if (vc6) return gen_0;
3268 [ # # ]: 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
3269 : 0 : s = kronecker(c6,p);
3270 [ # # ]: 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
3271 [ # # ]: 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
3272 : : }
3273 : 0 : *good_red = 1;
3274 : 0 : c4 = ell_get_c4(E);
3275 [ # # ]: 0 : if (d)
3276 : : {
3277 : 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
3278 : 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
3279 : 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
3280 : : }
3281 : 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
3282 : 696 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
3283 : : }
3284 : :
3285 : : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm */
3286 : : static GEN
3287 : 258892 : get_u(GEN E, GEN *pc4c6P, GEN P)
3288 : : {
3289 : : pari_sp av;
3290 : : GEN c4, c6, g, u, D, c4c6P;
3291 : : long l, k;
3292 : :
3293 : 258892 : D = ell_get_disc(E);
3294 : 258892 : c4 = ell_get_c4(E);
3295 : 258892 : c6 = ell_get_c6(E);
3296 [ + - ]: 258892 : if (!P) P = gel(Z_factor(gcdii(c4,c6)),1); /* primes dividing gcd(c4,c6) */
3297 : 258892 : l = lg(P);
3298 : 258892 : c4c6P = vectrunc_init(l); settyp(c4c6P,t_COL);
3299 : 258892 : av = avma;
3300 : 258892 : g = gcdii(sqri(c6), D);
3301 : 258892 : u = gen_1;
3302 [ + + ]: 545800 : for (k = 1; k < l; k++)
3303 : : {
3304 : 286908 : GEN p = gel(P, k);
3305 : 286908 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
3306 [ + + ]: 286908 : if (!d) { vectrunc_append(c4c6P, p); continue; }
3307 [ + + + ]: 33076 : switch(itou_or_0(p))
3308 : : {
3309 : : case 2:
3310 : : {
3311 : : long a, b;
3312 : 32044 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3313 : 32044 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3314 [ + + ][ + + ]: 32044 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
[ + + ][ + + ]
3315 : 32044 : break;
3316 : : }
3317 : : case 3:
3318 [ + + ]: 1028 : if (Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
3319 : 1028 : break;
3320 : : }
3321 [ + + ]: 33076 : if (r) vectrunc_append(c4c6P, p);
3322 [ + + ]: 33076 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
3323 : : }
3324 : 258892 : *pc4c6P = c4c6P;
3325 : 258892 : return gerepileuptoint(av, u);
3326 : : }
3327 : :
3328 : : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
3329 : : * ellminimalmodel(E) */
3330 : : static GEN
3331 : 258976 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
3332 : : {
3333 : 258976 : pari_sp av = avma;
3334 : : GEN S, y, e, v, v0, u;
3335 : : GEN c4c6P;
3336 : : ellmin_t M;
3337 [ + + ]: 258976 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
3338 : : {
3339 [ + + ]: 84 : if (lg(S) != 2)
3340 : : {
3341 : 44 : E = gel(S,3);
3342 : 44 : v = gel(S,2);
3343 : : }
3344 : : else
3345 : 40 : v = init_ch();
3346 [ + - ]: 84 : if (ptv) *ptv = v;
3347 : 84 : return gcopy(E);
3348 : : }
3349 : 258892 : e = ellintegralmodel(E, &v0);
3350 : 258892 : u = get_u(e, &c4c6P, NULL);
3351 : 258892 : min_set_u(&M, u);
3352 : 258892 : min_set_c(&M, e);
3353 : 258892 : min_set_D(&M, e);
3354 : 258892 : min_set_b(&M);
3355 : 258892 : min_set_a(&M);
3356 : 258892 : y = min_to_ell(&M, e);
3357 : 258892 : v = min_get_v(&M, e);
3358 [ + + ]: 258892 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
3359 [ + + ]: 258892 : if (is_trivial_change(v))
3360 : 258812 : S = mkvec(c4c6P);
3361 : : else
3362 : 80 : S = mkvec3(c4c6P, v, y);
3363 : 258892 : S = gclone(S);
3364 : 258892 : y = gerepilecopy(av, y);
3365 : 258892 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
3366 [ + + ]: 258892 : *ptv = lg(S) == 2? init_ch(): gel(S,2);
3367 : 258976 : return y;
3368 : : }
3369 : : GEN
3370 : 20 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
3371 : : {
3372 : : GEN S, y, v;
3373 : 20 : checkell_Q(E);
3374 : 16 : y = ellminimalmodel_i(E, &v);
3375 [ + + ]: 16 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
3376 [ + + ]: 16 : if (ptv) *ptv = gcopy(v);
3377 : 16 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
3378 : 16 : obj_insert(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
3379 : 16 : return y;
3380 : : }
3381 : :
3382 : : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
3383 : : * update type-dependant components.
3384 : : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
3385 : : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
3386 : : * N = arithmetic conductor of E
3387 : : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
3388 : : * fa = factorization of N
3389 : : * L = list of localred(E,p) for p | N.
3390 : : * Return standard minimal model (a1,a3 = 0 or 1, a2 = -1, 0 or 1) */
3391 : : static GEN
3392 : 258864 : ellglobalred_all(GEN e, GEN *pgr, GEN *pv)
3393 : : {
3394 : : long k, l, iN;
3395 : : GEN S, E, c, L, P, NP, NE, D;
3396 : :
3397 : 258864 : E = ellminimalmodel_i(e, pv);
3398 : 258864 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
3399 : 258864 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* prime divisors of (c4,c6) */
3400 : 258864 : D = ell_get_disc(E);
3401 [ + + ]: 545688 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
3402 [ + + ]: 258864 : if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absi_factor(D),1)) );
3403 : 258864 : l = lg(P); c = gen_1;
3404 : 258864 : iN = 1;
3405 : 258864 : NP = cgetg(l, t_COL);
3406 : 258864 : NE = cgetg(l, t_COL);
3407 : 258864 : L = cgetg(l, t_VEC);
3408 [ + + ]: 1159156 : for (k = 1; k < l; k++)
3409 : : {
3410 : 900292 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
3411 [ + + ]: 900292 : if (signe(ex))
3412 : : {
3413 : 846084 : gel(NP, iN) = p;
3414 : 846084 : gel(NE, iN) = ex;
3415 : 846084 : gel(L, iN) = q; iN++;
3416 : 846084 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
3417 : 846084 : c = mulii(c, gel(q,4));
3418 : : }
3419 : : }
3420 : 258864 : setlg(L, iN);
3421 : 258864 : setlg(NP, iN);
3422 : 258864 : setlg(NE, iN);
3423 : 258864 : *pgr = mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
3424 : 258864 : return E;
3425 : : }
3426 : : static GEN
3427 : 258856 : doellglobalred(GEN E)
3428 : : {
3429 : : GEN v, gr;
3430 : 258856 : E = ellglobalred_all(E, &gr, &v);
3431 : 258856 : return gr;
3432 : : }
3433 : : static GEN
3434 : 259060 : ellglobalred_i(GEN E)
3435 : 259060 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &doellglobalred); }
3436 : : GEN
3437 : 258796 : ellglobalred(GEN E)
3438 : : {
3439 : 258796 : pari_sp av = avma;
3440 : : GEN S, gr, v;
3441 : 258796 : checkell_Q(E); gr = ellglobalred_i(E);
3442 : 258796 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
3443 [ + + ]: 258796 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
3444 : 258796 : return gerepilecopy(av, mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4)));
3445 : : }
3446 : :
3447 : : static GEN doellrootno(GEN e);
3448 : : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
3449 : : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
3450 : : * and E (shallow insert) */
3451 : : GEN
3452 : 136 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
3453 : : {
3454 : 136 : GEN E, S, v = NULL;
3455 : 136 : checkell_Q(e);
3456 [ + + ]: 136 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
3457 : : {
3458 : 80 : E = ellminimalmodel_i(e, &v);
3459 : 80 : S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
3460 : 80 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
3461 : : }
3462 [ + + ]: 56 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
3463 : 44 : E = e;
3464 : : else
3465 : : {
3466 : 12 : v = gel(S,2);
3467 : 12 : E = gcopy(gel(S,3));
3468 : 12 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
3469 : : }
3470 [ + + ]: 136 : if (ch) *ch = v;
3471 : 136 : S = ellglobalred_i(e);
3472 [ + + ]: 136 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
3473 : 136 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
3474 [ + + ]: 136 : if (!S)
3475 : : {
3476 : 84 : S = doellrootno(E);
3477 : 84 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
3478 : : }
3479 [ + + ]: 136 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
3480 : 136 : return E;
3481 : : }
3482 : :
3483 : : /********************************************************************/
3484 : : /** **/
3485 : : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
3486 : : /** **/
3487 : : /********************************************************************/
3488 : : /* x a t_INT */
3489 : : static long
3490 : 240 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
3491 : : {
3492 : : long v;
3493 : : GEN z;
3494 [ + + ]: 240 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
3495 : 176 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
3496 : 240 : *u = umodiu(z,pk); return v;
3497 : : }
3498 : : static void
3499 : 80 : val_init(GEN e, long p, long pk,
3500 : : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
3501 : : {
3502 : 80 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
3503 : 80 : pari_sp av = avma;
3504 : 80 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
3505 : 80 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
3506 : 80 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
3507 : 80 : }
3508 : :
3509 : : static long
3510 : 80 : kod_23(GEN e, long p)
3511 : : {
3512 : : GEN S, nv;
3513 [ + + ]: 80 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
3514 : : {
3515 : 72 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
3516 [ + + ]: 72 : nv = equaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
3517 : : }
3518 : : else
3519 : 8 : nv = localred_23(e, p);
3520 : 80 : return itos(gel(nv,2));
3521 : : }
3522 : :
3523 : : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
3524 : : static long
3525 : 44 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
3526 : : {
3527 [ + + ]: 44 : if (kod > 4) return 1;
3528 [ - - + + : 40 : switch(kod)
- - - - -
- - - ]
3529 : : {
3530 [ # # ]: 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
3531 : : case 2:
3532 [ # # ]: 0 : if (vD==4) return 1;
3533 : : else
3534 : : {
3535 [ # # ]: 0 : if (vD==7) return 3;
3536 [ # # ]: 0 : else return v4==4 ? 2 : 4;
3537 : : }
3538 : : case 3:
3539 [ + - + - ]: 28 : switch(vD)
3540 : : {
3541 : 20 : case 6: return 3;
3542 : 0 : case 8: return 4;
3543 : 8 : case 9: return 5;
3544 [ # # ]: 0 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
3545 : : }
3546 [ + - ]: 12 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
3547 : : case -1:
3548 [ # # # ]: 0 : switch(vD)
3549 : : {
3550 : 0 : case 9: return 2;
3551 : 0 : case 10: return 4;
3552 [ # # ]: 0 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
3553 : : }
3554 : : case -2:
3555 [ # # # ]: 0 : switch(vD)
3556 : : {
3557 : 0 : case 12: return 2;
3558 : 0 : case 14: return 3;
3559 : 0 : default: return 1;
3560 : : }
3561 : : case -3:
3562 [ # # # # ]: 0 : switch(vD)
3563 : : {
3564 : 0 : case 12: return 2;
3565 : 0 : case 14: return 3;
3566 : 0 : case 15: return 4;
3567 : 0 : default: return 1;
3568 : : }
3569 [ # # ]: 0 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
3570 [ # # ][ # # ]: 0 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
3571 : : case -6:
3572 [ # # # ]: 0 : switch(vD)
3573 : : {
3574 : 0 : case 12: return 2;
3575 : 0 : case 13: return 3;
3576 [ # # ]: 0 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
3577 : : }
3578 [ # # ][ # # ]: 0 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
3579 [ # # ]: 44 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
3580 : : }
3581 : : }
3582 : : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
3583 : : static long
3584 : 32 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
3585 : : {
3586 [ + + ]: 32 : if (labs(kod) > 4) return 1;
3587 [ + - + + ]: 28 : switch(kod)
3588 : : {
3589 [ + - ]: 12 : case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
3590 [ # # ]: 0 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
3591 : : case -4: case 2:
3592 [ - - + ]: 12 : switch (vD%6)
3593 : : {
3594 : 0 : case 4: return 3;
3595 : 0 : case 5: return 4;
3596 [ - + ]: 12 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
3597 : : }
3598 : : default: /* kod = -2 et 4 */
3599 [ - - + ]: 4 : switch (vD%6)
3600 : : {
3601 : 0 : case 0: return 2;
3602 : 0 : case 1: return 3;
3603 : 32 : default: return 1;
3604 : : }
3605 : : }
3606 : : }
3607 : :
3608 : : static long
3609 : 44 : ellrootno_2(GEN e)
3610 : : {
3611 : : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
3612 : 44 : long d = get_vu_p_small(e, 2, &v6, &vD);
3613 : :
3614 [ - + ]: 44 : if (!vD) return 1;
3615 [ - + ]: 44 : if (d) { /* not minimal */
3616 : : ellmin_t M;
3617 : 0 : min_set_2(&M, e, d);
3618 : 0 : e = min_to_ell(&M, e);
3619 : : }
3620 : 44 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
3621 : 44 : kod = kod_23(e,2);
3622 : 44 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
3623 [ + + ]: 44 : if (kod>=5)
3624 : : {
3625 : : long a2, a3;
3626 : 4 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
3627 : 4 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
3628 [ + - ]: 4 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
3629 : : }
3630 [ - + ][ # # ]: 40 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
3631 : 40 : x1 = u+v+v;
3632 [ - - + - : 40 : switch(kod)
- - - - -
- - + ]
3633 : : {
3634 : 0 : case 1: return 1;
3635 : : case 2:
3636 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
3637 : : {
3638 : : case 1:
3639 [ # # # ]: 0 : switch(v4)
3640 : : {
3641 : 0 : case 4: return kross(-1,u);
3642 : 0 : case 5: return 1;
3643 : 0 : default: return -1;
3644 : : }
3645 [ # # ]: 0 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
3646 [ # # ][ # # ]: 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
3647 [ # # ]: 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
3648 [ # # ]: 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
3649 : : }
3650 : : case 3:
3651 [ - - + - : 28 : switch(n2)
+ - ]
3652 : : {
3653 : 0 : case 1: return -kross(2,u*v);
3654 : 0 : case 2: return -kross(2,v);
3655 : 20 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
3656 [ + - ][ + + ]: 20 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
3657 [ # # ][ # # ]: 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
3658 [ - + ]: 8 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
3659 : : }
3660 : : case -1:
3661 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
3662 : : {
3663 : 0 : case 1: return -kross(2,x1);
3664 [ # # ][ # # ]: 0 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
3665 [ # # ]: 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
3666 [ # # ]: 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
3667 [ # # ]: 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
3668 : : }
3669 [ # # ]: 0 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
3670 : : case -3:
3671 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
3672 : : {
3673 [ # # ]: 0 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
3674 [ # # ][ # # ]: 0 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
3675 : 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
3676 : 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
3677 [ # # ]: 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
3678 : : }
3679 : : case -5:
3680 [ # # ][ # # ]: 0 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
3681 : 0 : else return -kross(2,2*u+v);
3682 : : case -6:
3683 [ # # # # ]: 0 : switch(n2)
3684 : : {
3685 : 0 : case 1: return 1;
3686 [ # # ]: 0 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
3687 [ # # ][ # # ]: 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
3688 : : }
3689 : : case -7:
3690 [ # # ]: 0 : if (n2==1) return 1;
3691 : : else
3692 : : {
3693 : 0 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
3694 [ # # ][ # # ]: 0 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
[ # # ]
3695 [ # # ][ # # ]: 0 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
3696 : : }
3697 [ # # ]: 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
3698 [ # # ]: 0 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
3699 : 44 : default: return -1;
3700 : : }
3701 : : }
3702 : :
3703 : : static long
3704 : 36 : ellrootno_3(GEN e)
3705 : : {
3706 : : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
3707 : 36 : long d = get_vu_p_small(e, 3, &v6, &vD);
3708 : :
3709 [ - + ]: 36 : if (!vD) return 1;
3710 [ - + ]: 36 : if (d) { /* not minimal */
3711 : : ellmin_t M;
3712 : 0 : min_set_3(&M, e, d);
3713 : 0 : min_set_a(&M);
3714 : 0 : e = min_to_ell(&M, e);
3715 : : }
3716 : 36 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
3717 : 36 : kod = kod_23(e,3);
3718 [ + + ]: 36 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
3719 : 32 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
3720 : 32 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
3721 [ - - + - : 32 : switch(kod)
+ + ]
3722 : : {
3723 : 0 : case 1: case 3: case -3: return 1;
3724 : : case 2:
3725 [ # # # # : 0 : switch(n2)
# ]
3726 : : {
3727 [ # # ][ # # ]: 0 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
3728 : 0 : case 2: return -K4*K6;
3729 : 0 : case 3: return 1;
3730 : 0 : case 4: return -K6;
3731 : : }
3732 : : case 4:
3733 [ + - - - ]: 4 : switch(n2)
3734 : : {
3735 : 4 : case 1: return K6*kross(D1,3);
3736 : 0 : case 2: return -K4;
3737 : 0 : case 3: return -K6;
3738 : : }
3739 [ # # ]: 0 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
3740 : : case -4:
3741 [ + - - - : 12 : switch(n2)
- ]
3742 : : {
3743 : : case 1:
3744 [ - + ][ # # ]: 12 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
[ # # ]
3745 [ + - ][ + - ]: 12 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
3746 : 0 : case 2: return -K6;
3747 [ # # ][ # # ]: 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
3748 : 0 : case 4: return K6;
3749 : : }
3750 : 36 : default: return -1;
3751 : : }
3752 : : }
3753 : :
3754 : : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
3755 : : static long
3756 : 152 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
3757 : : {
3758 : : long nuj, nuD, nu;
3759 : 152 : GEN D = ell_get_disc(e);
3760 : : long ep, z;
3761 : :
3762 : 152 : nuD = Q_pval(D, p);
3763 [ - + ]: 152 : if (!nuD) return 1;
3764 : 152 : nuj = j_pval(e, p);
3765 : 152 : nu = (nuD - nuj) % 12;
3766 [ + + ]: 152 : if (nu == 0)
3767 : : {
3768 : : GEN c6;
3769 : : long d, vg;
3770 [ - + ]: 56 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
3771 : : /* p || N */
3772 : 56 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
3773 : 56 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
3774 : 56 : d = vg / 12;
3775 [ + + ]: 56 : if (d)
3776 : : {
3777 : 4 : GEN q = powiu(p,6*d);
3778 [ + - ]: 4 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
3779 : : }
3780 [ - + ]: 56 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
3781 : : /* c6 in minimal model */
3782 : 56 : return -kronecker(negi(c6), p);
3783 : : }
3784 [ + + ]: 96 : if (nuj) return krosi(-1,p);
3785 : 80 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
3786 [ + + ][ + + ]: 80 : if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
3787 : 152 : return krosi(-z, p);
3788 : : }
3789 : :
3790 : : static GEN
3791 : 92 : doellrootno(GEN e)
3792 : : {
3793 : : GEN S, V, v, P;
3794 : 92 : long i, l, s = -1;
3795 [ + + ]: 92 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
3796 : : {
3797 : 84 : GEN S2 = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
3798 [ - + ]: 84 : if (lg(S2) != 2) e = gel(S2,3);
3799 : : }
3800 : : else
3801 : : {
3802 : 8 : GEN E = ellglobalred_all(e, &S, &v);
3803 : 8 : obj_insert(e, Q_GLOBALRED, S);
3804 : 8 : e = E;
3805 : : }
3806 : 92 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
3807 : 92 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
3808 [ + + ]: 316 : for (i = 1; i < l; i++)
3809 : : {
3810 : 224 : GEN p = gel(P,i);
3811 : : long t;
3812 [ + + + ]: 224 : switch(itou_or_0(p))
3813 : : {
3814 : 40 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
3815 : 36 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
3816 : 148 : default:t = ellrootno_p(e, p);
3817 : : }
3818 : 224 : V[i] = t; s *= t;
3819 : : }
3820 : 92 : return mkvec2(stoi(s), V);
3821 : : }
3822 : : long
3823 : 144 : ellrootno_global(GEN e)
3824 : : {
3825 : 144 : pari_sp av = avma;
3826 : 144 : GEN S = obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno);
3827 : 144 : avma = av; return itos(gel(S,1));
3828 : : }
3829 : :
3830 : : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
3831 : : * Global if p==1 or NULL. */
3832 : : long
3833 : 20 : ellrootno(GEN e, GEN p)
3834 : : {
3835 : 20 : pari_sp av = avma;
3836 : : GEN S;
3837 : : long s;
3838 : 20 : checkell_Q(e);
3839 [ + + ][ - + ]: 20 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
3840 [ - + ]: 12 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
3841 [ - + ]: 12 : if (signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
3842 [ - + ]: 12 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
3843 [ + + ]: 12 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
3844 : : {
3845 : 4 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
3846 : 4 : long i, l = lg(NP);
3847 [ + - ]: 4 : for (i = 1; i < l; i++)
3848 : : {
3849 : 4 : GEN q = gel(NP,i);
3850 [ + - ]: 4 : if (equalii(p, q)) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
3851 : : }
3852 : 0 : return 1;
3853 : : }
3854 [ + - + ]: 8 : switch(itou_or_0(p))
3855 : : {
3856 : : case 2:
3857 : 4 : e = ellintegralmodel(e, NULL);
3858 : 4 : s = ellrootno_2(e); break;
3859 : : case 3:
3860 : 0 : e = ellintegralmodel(e, NULL);
3861 : 0 : s = ellrootno_3(e); break;
3862 : : default:
3863 : 4 : s = ellrootno_p(e,p); break;
3864 : : }
3865 : 20 : avma = av; return s;
3866 : : }
3867 : :
3868 : : /********************************************************************/
3869 : : /** **/
3870 : : /** TRACE OF FROBENIUS **/
3871 : : /** **/
3872 : : /********************************************************************/
3873 : :
3874 : : /* assume e has good reduction mod p */
3875 : : static long
3876 : 3928 : ellap_small_goodred(int CM, GEN E, ulong p)
3877 : : {
3878 : : ulong a4, a6;
3879 [ + + ]: 3928 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
3880 [ + + ]: 3888 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
3881 : 3800 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
3882 [ + + ]: 3928 : return CM? Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p): Fl_elltrace(a4, a6, p);
3883 : : }
3884 : :
3885 : : static void
3886 : 508 : checkell_int(GEN e)
3887 : : {
3888 : 508 : checkell_Q(e);
3889 [ + - + - ]: 1016 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
3890 [ + - ]: 1016 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
3891 [ + - ]: 1016 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
3892 [ - + ]: 1016 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
3893 : 508 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("anellsmall [not an integral model]",e);
3894 : 508 : }
3895 : :
3896 : : static int
3897 : 212 : ell_get_CM(GEN e)
3898 : : {
3899 : 212 : GEN j = ell_get_j(e);
3900 : 212 : int CM = 0;
3901 [ + + ][ + + : 212 : if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
+ + + + +
+ + + + +
+ - ]
3902 : : {
3903 : : case 0:
3904 [ + + ]: 10 : if (!signe(j)) CM = -3;
3905 : 10 : break;
3906 : 24 : case 1728: CM = -4; break;
3907 : 4 : case -3375: CM = -7; break;
3908 : 4 : case 8000: CM = -8; break;
3909 : 4 : case 54000: CM = -12; break;
3910 : 4 : case -32768: CM = -11; break;
3911 : 4 : case 287496: CM = -16; break;
3912 : 4 : case -884736: CM = -19; break;
3913 : 4 : case -12288000: CM = -27; break;
3914 : 4 : case 16581375: CM = -28; break;
3915 : 4 : case -884736000: CM = -43; break;
3916 : : #ifdef LONG_IS_64BIT
3917 : 3 : case -147197952000: CM = -67; break;
3918 : 3 : case -262537412640768000: CM = -163; break;
3919 : : #endif
3920 : : }
3921 : 212 : return CM;
3922 : : }
3923 : : GEN
3924 : 108 : anellsmall(GEN e, long n0)
3925 : : {
3926 : : pari_sp av;
3927 : 108 : ulong p, m, SQRTn, n = (ulong)n0;
3928 : : GEN an, D;
3929 : : int CM;
3930 : :
3931 : 108 : checkell_int(e);
3932 [ - + ]: 108 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
3933 [ - + ]: 108 : if (n >= LGBITS)
3934 : 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
3935 : 108 : SQRTn = (ulong)sqrt(n);
3936 : 108 : D = ell_get_disc(e);
3937 : 108 : CM = ell_get_CM(e);
3938 : :
3939 : 108 : an = cgetg(n+1,t_VECSMALL); an[1] = 1;
3940 : 108 : av = avma;
3941 [ + + ]: 14860 : for (p=2; p <= n; p++) an[p] = LONG_MAX; /* not computed yet */
3942 [ + + ]: 14860 : for (p=2; p<=n; p++)
3943 : : {
3944 : : long ap;
3945 [ + + ]: 14752 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
3946 [ + + ]: 3560 : if (!umodiu(D,p)) /* p | D, bad reduction or non-minimal model */
3947 : : {
3948 : : int good_red;
3949 : 320 : ap = is_minimal_ap_small(e, p, &good_red);
3950 [ + + ]: 320 : if (good_red) goto GOOD_RED;
3951 [ + + + - ]: 288 : switch (ap) /* (-c6/p) */
3952 : : {
3953 : : case -1: { /* non-split */
3954 : 48 : ulong N = n/p;
3955 [ + + ]: 128 : for (m=1; m<=N; m++)
3956 [ + - ]: 80 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
3957 : 48 : break;
3958 : : }
3959 : : case 0: /* additive */
3960 [ + + ]: 9880 : for (m=p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
3961 : 232 : break;
3962 : : case 1: { /* split */
3963 : 8 : ulong N = n/p;
3964 [ + + ]: 408 : for (m=1; m<=N; m++)
3965 [ + + ]: 400 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
3966 : 320 : break;
3967 : : }
3968 : : }
3969 : : }
3970 : : else /* good reduction */
3971 : : {
3972 : 3240 : ap = ellap_small_goodred(CM, e, p);
3973 : : GOOD_RED:
3974 [ + + ]: 3272 : if (p <= SQRTn) {
3975 : 324 : ulong pk, oldpk = 1;
3976 [ + + ]: 1316 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
3977 : : {
3978 [ + + ]: 992 : if (pk == p)
3979 : 324 : an[pk] = ap;
3980 : : else
3981 : 668 : an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
3982 [ + + ]: 13676 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
3983 [ + + ][ + + ]: 12684 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
3984 : : }
3985 : : } else {
3986 : 2948 : an[p] = ap;
3987 [ + + ]: 7276 : for (m = n/p; m > 1; m--)
3988 [ + - ]: 4328 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
3989 : : }
3990 : : }
3991 : : }
3992 : 108 : avma = av; return an;
3993 : : }
3994 : :
3995 : : GEN
3996 : 92 : anell(GEN e, long n0)
3997 : : {
3998 : 92 : GEN v = anellsmall(e, n0);
3999 : : long i;
4000 [ + + ]: 13812 : for (i = 1; i <= n0; i++) gel(v,i) = stoi(v[i]);
4001 : 92 : settyp(v, t_VEC); return v;
4002 : : }
4003 : :
4004 : : static GEN
4005 : 424 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
4006 : : {
4007 : : GEN u, v, w;
4008 : : long j;
4009 [ + + ]: 424 : if (e == 1) return ap;
4010 : 64 : u = ap;
4011 : 64 : w = subii(sqri(ap), p);
4012 [ + + ]: 72 : for (j=3; j<=e; j++)
4013 : : {
4014 : 8 : v = u; u = w;
4015 : 8 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
4016 : : }
4017 : 424 : return w;
4018 : : }
4019 : :
4020 : : GEN
4021 : 400 : akell(GEN e, GEN n)
4022 : : {
4023 : : long i, j, s;
4024 : 400 : pari_sp av = avma;
4025 : : GEN fa, P, E, D, u, y;
4026 : :
4027 : 400 : checkell_int(e);
4028 [ - + ]: 400 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
4029 [ - + ]: 400 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
4030 [ - + ]: 400 : if (gequal1(n)) return gen_1;
4031 : 400 : D = ell_get_disc(e);
4032 : 400 : u = coprime_part(n, D);
4033 : 400 : y = gen_1;
4034 : 400 : s = 1;
4035 [ + + ]: 400 : if (!equalii(u, n))
4036 : : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
4037 : 252 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
4038 : 252 : P = gel(fa,1);
4039 : 252 : E = gel(fa,2);
4040 [ + + ]: 584 : for (i=1; i<lg(P); i++)
4041 : : {
4042 : 332 : GEN p = gel(P,i);
4043 : 332 : long ex = itos(gel(E,i));
4044 : : int good_red;
4045 : 332 : GEN ap = is_minimal_ap(e,p,&good_red);
4046 [ + + ]: 332 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
4047 : 200 : j = signe(ap);
4048 [ - + ]: 200 : if (!j) { avma = av; return gen_0; }
4049 [ + + ][ - + ]: 200 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
4050 : : }
4051 : : }
4052 [ - + ]: 400 : if (s < 0) y = negi(y);
4053 : 400 : fa = Z_factor(u);
4054 : 400 : P = gel(fa,1);
4055 : 400 : E = gel(fa,2);
4056 [ + + ]: 692 : for (i=1; i<lg(P); i++)
4057 : : { /* good reduction */
4058 : 292 : GEN p = gel(P,i);
4059 : 292 : GEN ap = ellap(e,p);
4060 : 292 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
4061 : : }
4062 : 400 : return gerepileuptoint(av,y);
4063 : : }
4064 : :
4065 : : GEN
4066 : 108 : ellQ_get_N(GEN e)
4067 : 108 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
4068 : : void
4069 : 20 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
4070 : 20 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
4071 : :
4072 : : GEN
4073 : 16 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
4074 : : {
4075 : 16 : pari_sp av = avma, av1, lim;
4076 : : ulong l, n;
4077 : : long eps, flun;
4078 : : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
4079 : :
4080 [ + + ]: 16 : if (!A) A = gen_1;
4081 : : else
4082 : : {
4083 [ - + ]: 12 : if (gsigne(A)<=0)
4084 : 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
4085 [ - + ]: 12 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
4086 : : }
4087 [ + - ][ - + ]: 16 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
4088 [ + + ][ - + ]: 16 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
4089 : 16 : checkell_Q(e);
4090 : 16 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
4091 : 16 : N = ellQ_get_N(e);
4092 : 16 : eps = ellrootno_global(e);
4093 [ - + ][ # # ]: 16 : if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
4094 : :
4095 : 16 : gs = ggamma(s, prec);
4096 : 16 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
4097 : 16 : cga = gmul(cg, A);
4098 : 16 : cgb = gdiv(cg, A);
4099 : 16 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
4100 : 16 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
4101 : 16 : / rtodbl(cgb) + 1);
4102 [ - + ]: 16 : if ((long)l < 1) l = 1;
4103 : 16 : v = anellsmall(e, minss(l,LGBITS-1));
4104 : 16 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
4105 [ + - ]: 16 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
4106 : 16 : z = gen_0;
4107 : 16 : av1 = avma; lim = stack_lim(av1,1);
4108 [ + + ]: 1156 : for (n = 1; n <= l; n++)
4109 : : {
4110 : 1140 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
4111 [ + - ]: 1140 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
4112 [ + + ]: 1140 : if (!signe(an)) continue;
4113 : :
4114 : 952 : ns = gpow(gn,s,prec);
4115 : 952 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
4116 [ - + ]: 952 : if (flun)
4117 : 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
4118 : : else
4119 : : {
4120 : 952 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
4121 [ + - ]: 952 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
4122 : 952 : p1 = gadd(p1, p2);
4123 : : }
4124 : 952 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
4125 [ - + ]: 952 : if (low_stack(lim, stack_lim(av1,1)))
4126 : : {
4127 [ # # ]: 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
4128 : 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
4129 : : }
4130 : : }
4131 : 16 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
4132 : : }
4133 : :
4134 : : /********************************************************************/
4135 : : /** **/
4136 : : /** CANONICAL HEIGHT **/
4137 : : /** **/
4138 : : /********************************************************************/
4139 : :
4140 : : /* h' := h_oo(a) + 1/2 log(denom(a)) */
4141 : : static GEN
4142 : 4 : hell(GEN e, GEN a, long prec)
4143 : : {
4144 : : long n;
4145 : 4 : pari_sp av = avma;
4146 : 4 : GEN pi2 = Pi2n(1, prec);
4147 : 4 : GEN om = ellR_omega(e,prec), w1 = gel(om,1), w2 = gel(om,2);
4148 : : GEN p1, y, z, q, pi2surw, qn, ps;
4149 : :
4150 : 4 : pi2surw = gdiv(pi2, w1);
4151 : 4 : z = gmul(real_i(zell(e,a,prec)), pi2surw);
4152 : 4 : q = real_i( expIxy(mpneg(pi2surw), w2, prec) );
4153 : 4 : y = mpsin(z); qn = gen_1; ps = gneg_i(q);
4154 : 4 : for (n = 3; ; n += 2)
4155 : : {
4156 : 24 : qn = gmul(qn, ps);
4157 : 24 : ps = gmul(ps, q);
4158 : 24 : y = gadd(y, gmul(qn, gsin(gmulsg(n,z),prec)));
4159 [ + + ]: 24 : if (gexpo(qn) < -prec2nbits(prec)) break;
4160 : 20 : }
4161 : 4 : p1 = gmul(gsqr(gdiv(gmul2n(y,1), d_ellLHS(e,a))), pi2surw);
4162 : 4 : p1 = gsqr(gsqr(gdiv(p1, gsqr(gsqr(denom(gel(a,1)))))));
4163 : 4 : p1 = gdiv(gmul(p1,q), ell_get_disc(e));
4164 : 4 : p1 = gmul2n(glog(gabs(p1,prec),prec), -5);
4165 : 4 : return gerepileupto(av, gneg(p1));
4166 : : }
4167 : :
4168 : : static GEN
4169 [ + + ]: 324 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
4170 : :
4171 : : /* h' := h_oo(x) + 1/2 log(denom(x)) */
4172 : : static GEN
4173 : 4 : hells(GEN e, GEN Q, long prec)
4174 : : {
4175 : 4 : GEN b2 = ell_get_b2(e);
4176 : 4 : GEN b4 = ell_get_b4(e);
4177 : 4 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
4178 : 4 : GEN b8 = ell_get_b8(e);
4179 : 4 : GEN x = gel(Q,1), w, z, t, mu, b42, b62;
4180 : : long n, lim;
4181 : :
4182 : 4 : mu = gmul2n(glog(Q_numer(x),prec),-1);
4183 : 4 : t = ginv(gtofp(x, prec));
4184 : 4 : b42 = gmul2n(b4,1);
4185 : 4 : b62 = gmul2n(b6,1);
4186 : 4 : lim = 15 + prec2nbits(prec);
4187 [ + + ]: 284 : for (n = 3; n < lim; n += 2)
4188 : : {
4189 : : /* 4 + b2 t + 2b4 t^2 + b6 t^3 */
4190 : 280 : w = gmul(t, gaddsg(4, gmul(t, gadd(b2, gmul(t, gadd(b42, gmul(t, b6)))))));
4191 : : /* 1 - (b4 t^2 + 2b6 t^3 + b8 t^4) */
4192 : 280 : z = gsubsg(1, gmul(gsqr(t), gadd(b4, gmul(t, gadd(b62, gmul(t, b8))))));
4193 : 280 : mu = gadd(mu, gmul2n(glog(z,prec), -n));
4194 : 280 : t = gdiv(w, z);
4195 : : }
4196 : 4 : return mu;
4197 : : }
4198 : :
4199 : : static GEN
4200 : 4 : hell2(GEN e, GEN x, long prec)
4201 : : {
4202 : : GEN e3, ro, r;
4203 : 4 : pari_sp av = avma;
4204 : :
4205 [ - + ]: 4 : if (ell_is_inf(x)) return gen_0;
4206 : 4 : ro= ellR_roots(e, prec);
4207 [ - + ]: 4 : e3 = (ellR_get_sign(e) < 0)? gel(ro,1): gel(ro,3);
4208 : 4 : r = addis(gfloor(e3),-1);
4209 : 4 : e = coordch_r(e, r);
4210 : 4 : x = ellchangepoint_r(x, r);
4211 : 4 : return gerepileupto(av, hells(e, x, prec));
4212 : : }
4213 : :
4214 : : /* one root of X^2 - t X + c */
4215 : : static GEN
4216 : 592 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
4217 : : {
4218 : 592 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
4219 : : }
4220 : :
4221 : : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
4222 : : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
4223 : : static GEN
4224 : 592 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
4225 : : {
4226 : 592 : GEN x_a, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
4227 : 592 : long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
4228 : :
4229 [ + + ][ + - ]: 592 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
4230 : 592 : e1 = ellR_root(e, p);
4231 : : {
4232 : 592 : GEN ab = ellR_ab(e, p);
4233 : 592 : a = gel(ab, 1);
4234 : 592 : b = gel(ab, 2);
4235 : : }
4236 : 592 : x = gsub(x, e1);
4237 : 592 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
4238 : :
4239 : 592 : x_a = gsub(x, a);
4240 [ + + ]: 592 : if (gsigne(a) > 0)
4241 : : {
4242 : 48 : GEN a0 = a;
4243 : 48 : x = gsub(x, b);
4244 : 48 : a = gneg(b);
4245 : 48 : b = gsub(a0, b);
4246 : : }
4247 : 592 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
4248 : 592 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
4249 : : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
4250 : 592 : for(n=0; ; n++)
4251 : : {
4252 : 3061 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
4253 : 3061 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
4254 : 3061 : r = gsub(a, a0);
4255 [ + + ][ + + ]: 3061 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
4256 : 2469 : ab = gmul(a0, b);
4257 : 2469 : b = gsqrt(ab, prec);
4258 : :
4259 : 2469 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
4260 : 2469 : p2 = gsqr(a);
4261 : 2469 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
4262 : 2469 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
4263 : 2469 : }
4264 [ + - ]: 592 : if (n) {
4265 : 592 : x = gel(V,n);
4266 [ + + ]: 2469 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
4267 : : } else {
4268 : 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
4269 : : }
4270 : : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
4271 : 920 : return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
4272 [ + + ]: 920 : : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
4273 : : }
4274 : : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
4275 : : static int
4276 : 592 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
4277 : : {
4278 : 592 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
4279 : 592 : return gcmp(x, e1) >= 0;
4280 : : }
4281 : :
4282 : : /* exp( 4h_oo(z) ) */
4283 : : static GEN
4284 : 96 : exp4hellagm(GEN E, GEN z, long prec)
4285 : : {
4286 [ + + ]: 96 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
4287 : : {
4288 : 56 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
4289 : : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
4290 : 56 : return gmul(eh, gabs(d_ellLHS(E, z), prec));
4291 : : }
4292 : 96 : return exphellagm(E, z, 1, prec);
4293 : : }
4294 : :
4295 : : GEN
4296 : 496 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec)
4297 : : {
4298 : 496 : pari_sp av = avma;
4299 : : GEN h;
4300 : 496 : checkell_Q(E);
4301 [ + + ]: 496 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
4302 : : {
4303 : 208 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
4304 : : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
4305 : 208 : h = gmul(eh, gabs(d_ellLHS(E, z), prec));
4306 : : }
4307 : : else
4308 : 288 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
4309 : 496 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
4310 : : }
4311 : :
4312 : : GEN
4313 : 116 : ellheight0(GEN e, GEN a, long flag, long prec)
4314 : : {
4315 : 116 : long i, tx = typ(a), lx;
4316 : 116 : pari_sp av = avma;
4317 : : GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
4318 : : GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
4319 : :
4320 [ + - ][ - + ]: 116 : if (flag > 2 || flag < 0) pari_err_FLAG("ellheight");
4321 [ - + ]: 116 : checkell_Q(e); if (!is_matvec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellheight",a);
4322 [ - + ]: 116 : lx = lg(a); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
4323 : 116 : tx = typ(gel(a,1));
4324 [ + + ]: 116 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
4325 : : { /* switch to minimal model if needed */
4326 [ + + ]: 100 : if (lg(S) != 2)
4327 : : {
4328 : 16 : v = gel(S,2);
4329 : 16 : e = gel(S,3);
4330 : 16 : a = ellchangepoint(a, v);
4331 : : }
4332 : : }
4333 : : else
4334 : : {
4335 : 16 : e = ellminimalmodel_i(e, &v);
4336 : 16 : a = ellchangepoint(a, v);
4337 : : }
4338 [ - + ]: 116 : if (is_matvec_t(tx))
4339 : : {
4340 : 0 : z = cgetg(lx,tx);
4341 [ # # ]: 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellheight0(e,gel(a,i),flag,prec);
4342 : 0 : return z;
4343 : : }
4344 [ - + ]: 116 : if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
4345 [ + + ]: 116 : if (!oncurve(e,a))
4346 : 4 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
4347 : 112 : psi2 = Q_numer(d_ellLHS(e,a));
4348 [ + + ]: 112 : if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
4349 [ + + + ]: 104 : switch(flag)
4350 : : {
4351 : 4 : case 0: z = hell2(e,a,prec); break; /* Tate 4^n */
4352 : 4 : case 1: z = hell(e,a,prec); break; /* Silverman's log(sigma) */
4353 : : default:
4354 : : {
4355 : 96 : GEN d = denom(gel(a,1));
4356 : 96 : z = exp4hellagm(e,a,prec); /* = exp(4h_oo(a)), Mestre's AGM */
4357 [ + + ]: 96 : if (!is_pm1(d)) z = gmul(z, sqri(d));
4358 : 96 : z = gmul2n(mplog(z), -2); break;
4359 : : }
4360 : : }
4361 : 104 : x = gel(a,1);
4362 : 104 : y = gel(a,2);
4363 : 104 : b2 = ell_get_b2(e);
4364 : 104 : b4 = ell_get_b4(e);
4365 : 104 : b6 = ell_get_b6(e);
4366 : 104 : b8 = ell_get_b8(e);
4367 : 104 : psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
4368 : : poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
4369 : : );
4370 [ - + ]: 104 : if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
4371 : 104 : a1 = ell_get_a1(e);
4372 : 104 : a2 = ell_get_a2(e);
4373 : 104 : a4 = ell_get_a4(e);
4374 : 104 : phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
4375 : : poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
4376 : : );
4377 : 104 : c4 = ell_get_c4(e);
4378 : 104 : D = ell_get_disc(e);
4379 : 104 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
4380 : 104 : lx = lg(Lp);
4381 [ + + ]: 176 : for (i=1; i<lx; i++)
4382 : : {
4383 : 72 : GEN p = gel(Lp,i);
4384 : : long u, v, n, n2;
4385 [ + + ]: 72 : if (signe(remii(c4,p)))
4386 : : { /* p \nmid c4 */
4387 : 8 : long N = Z_pval(D,p);
4388 [ - + ]: 8 : if (!N) continue;
4389 : 8 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
4390 [ - + ]: 8 : if (n > N) n = N;
4391 : 8 : u = n * ((N<<1) - n);
4392 : 8 : v = N << 3;
4393 : : }
4394 : : else
4395 : : {
4396 : 64 : n2 = Z_pval(psi2, p);
4397 : 64 : n = Z_pval(psi3, p);
4398 [ + + ]: 64 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
4399 : : }
4400 : : /* z -= u log(p) / v */
4401 : 72 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
4402 : : }
4403 : 112 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
4404 : : }
4405 : :
4406 : : GEN
4407 : 96 : ghell(GEN e, GEN a, long prec) { return ellheight0(e,a,2,prec); }
4408 : :
4409 : : GEN
4410 : 8 : mathell(GEN e, GEN x, long prec)
4411 : : {
4412 : : GEN y, h, pdiag;
4413 : 8 : long lx = lg(x),i,j,tx=typ(x);
4414 : 8 : pari_sp av = avma;
4415 : :
4416 [ - + ]: 8 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
4417 : 8 : y = cgetg(lx,t_MAT); pdiag = new_chunk(lx);
4418 [ + + ]: 24 : for (i=1; i<lx; i++)
4419 : : {
4420 : 16 : gel(pdiag,i) = ghell(e,gel(x,i),prec);
4421 : 16 : gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
4422 : : }
4423 [ + + ]: 24 : for (i=1; i<lx; i++)
4424 : : {
4425 : 16 : gcoeff(y,i,i) = gel(pdiag,i);
4426 [ + + ]: 24 : for (j=i+1; j<lx; j++)
4427 : : {
4428 : 8 : h = ghell(e, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)), prec);
4429 : 8 : h = gsub(h, gadd(gel(pdiag,i),gel(pdiag,j)));
4430 : 8 : gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
4431 : : }
4432 : : }
4433 : 8 : return gerepilecopy(av,y);
4434 : : }
4435 : :
4436 : : static GEN
4437 : 24 : bilhells(GEN e, GEN z1, GEN z2, GEN h2, long prec)
4438 : : {
4439 : 24 : long lz1=lg(z1), tx, i;
4440 : 24 : pari_sp av = avma;
4441 : : GEN y,p1,p2;
4442 : :
4443 [ - + ]: 24 : if (lz1==1) return cgetg(1,typ(z1));
4444 : :
4445 : 24 : tx = typ(gel(z1,1));
4446 [ + + ]: 24 : if (!is_matvec_t(tx))
4447 : : {
4448 : 16 : p1 = ghell(e, elladd(e,z1,z2),prec);
4449 : 16 : p2 = gadd(h2, ghell(e,z1,prec));
4450 : 16 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(p1,p2), -1));
4451 : : }
4452 : 8 : y = cgetg(lz1, typ(z1));
4453 [ + + ]: 24 : for (i=1; i<lz1; i++) gel(y,i) = bilhells(e,gel(z1,i),z2,h2,prec);
4454 : 24 : return y;
4455 : : }
4456 : :
4457 : : GEN
4458 : 8 : bilhell(GEN e, GEN z1, GEN z2, long prec)
4459 : : {
4460 : : GEN p1, h2;
4461 : 8 : long tz1 = typ(z1), tz2 = typ(z2);
4462 : 8 : pari_sp av = avma;
4463 : :
4464 [ - + ]: 8 : if (!is_matvec_t(tz1)) pari_err_TYPE("ellbil",z1);
4465 [ - + ]: 8 : if (!is_matvec_t(tz2)) pari_err_TYPE("ellbil",z2);
4466 [ - + ]: 8 : if (lg(z1)==1) return cgetg(1,tz1);
4467 [ - + ]: 8 : if (lg(z2)==1) return cgetg(1,tz2);
4468 : :
4469 : 8 : tz1 = typ(gel(z1,1));
4470 : 8 : tz2 = typ(gel(z2,1));
4471 [ - + ]: 8 : if (is_matvec_t(tz2))
4472 : : {
4473 [ # # ]: 0 : if (is_matvec_t(tz1)) pari_err_TYPE("bilhell",z1);
4474 : 0 : p1 = z1; z1 = z2; z2 = p1;
4475 : : }
4476 : 8 : h2 = ghell(e,z2,prec);
4477 : 8 : return gerepileupto(av, bilhells(e,z1,z2,h2,prec));
4478 : : }
4479 : :
4480 : : /********************************************************************/
4481 : : /** **/
4482 : : /** Modular Parametrization **/
4483 : : /** **/
4484 : : /********************************************************************/
4485 : : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
4486 : : static GEN
4487 : 0 : triv_ser(GEN t, long v)
4488 : : {
4489 : 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
4490 : 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
4491 : 0 : gel(s,2) = t; return s;
4492 : : }
4493 : :
4494 : : GEN
4495 : 12 : elltaniyama(GEN e, long prec)
4496 : : {
4497 : : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
4498 : : long n, m;
4499 : 12 : pari_sp av = avma;
4500 : :
4501 : 12 : checkell_Q(e);
4502 [ + + ]: 12 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
4503 [ - + ]: 8 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
4504 : :
4505 : 8 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
4506 : 8 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
4507 : 8 : d = ginv(gtoser(anell(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
4508 : : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
4509 : : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
4510 : 8 : c = gsqr(d);
4511 : : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
4512 : : * Take derivative then divide by 2x':
4513 : : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
4514 : : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
4515 : : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
4516 : : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
4517 : : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
4518 : : * */
4519 : 8 : C = c+4;
4520 : 8 : X = x+4;
4521 : 8 : gel(X,-2) = gen_1;
4522 : 8 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
4523 : 8 : b2 = ell_get_b2(e);
4524 : 8 : b4 = ell_get_b4(e);
4525 [ + + ]: 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
4526 : : {
4527 : 104 : pari_sp av2 = avma;
4528 : : GEN s1, s2, s3;
4529 [ + + ]: 104 : if (n != 2)
4530 : : {
4531 : 96 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
4532 [ + + ]: 96 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
4533 : 96 : s2 = gen_0;
4534 [ + + ]: 896 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
4535 [ + + ]: 800 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
4536 : 96 : s2 = gmul2n(s2,-1);
4537 : 96 : s1 = gen_0;
4538 [ + + ]: 424 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
4539 : 96 : s1 = gmul2n(s1, 1);
4540 [ + + ]: 96 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
4541 : : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
4542 : 96 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
4543 : : }
4544 : : else
4545 : : {
4546 : 8 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
4547 : 8 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
4548 : 8 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
4549 : 8 : gel(U,2) = gel(x,2);
4550 : 8 : gel(U,3) = gel(x,3);
4551 : 8 : gel(U,4) = gel(x,4);
4552 : 8 : gel(U,5) = gel(x,5);
4553 : 8 : gel(U,6) = gel(x,6);
4554 : 8 : gel(U,7) = gel(x,7);
4555 : 8 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
4556 : : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
4557 : 8 : w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
4558 : : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
4559 : 8 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
4560 : : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
4561 : 8 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
4562 [ - + ]: 8 : s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
4563 : : }
4564 : 104 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
4565 : : }
4566 : 8 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
4567 : 8 : w = gsub(w, ellLHS0(e,x));
4568 : 8 : c = cgetg(3,t_VEC);
4569 : 8 : gel(c,1) = gcopy(x);
4570 : 8 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
4571 : : }
4572 : :
4573 : : /********************************************************************/
4574 : : /** **/
4575 : : /** TORSION POINTS (over Q) **/
4576 : : /** **/
4577 : : /********************************************************************/
4578 : : static int
4579 : 116 : smaller_x(GEN p, GEN q)
4580 : : {
4581 : 116 : int s = absi_cmp(denom(p), denom(q));
4582 [ + + ][ + + ]: 116 : return (s<0 || (s==0 && absi_cmp(numer(p),numer(q)) < 0));
[ + + ]
4583 : : }
4584 : :
4585 : : /* best generator in cycle of length k */
4586 : : static GEN
4587 : 88 : best_in_cycle(GEN e, GEN p, long k)
4588 : : {
4589 : 88 : GEN p0 = p,q = p;
4590 : : long i;
4591 : :
4592 [ + + ]: 180 : for (i=2; i+i<k; i++)
4593 : : {
4594 : 92 : q = elladd(e,q,p0);
4595 [ + + ][ + + ]: 92 : if (ugcd(i,k)==1 && smaller_x(gel(q,1), gel(p,1))) p = q;
4596 : : }
4597 [ + + ]: 88 : return (gsigne(d_ellLHS(e,p)) < 0)? ellneg_i(e,p): p;
4598 : : }
4599 : :
4600 : : /* <p,q> = E_tors, possibly NULL (= oo), p,q independent unless NULL
4601 : : * order p = k, order q = 2 unless NULL */
4602 : : static GEN
4603 : 104 : tors(GEN e, long k, GEN p, GEN q, GEN v)
4604 : : {
4605 : : GEN r;
4606 [ + + ]: 104 : if (q)
4607 : : {
4608 : 44 : long n = k>>1;
4609 : 44 : GEN p1, best = q, np = ellmul_Z(e,p,utoipos(n));
4610 [ + + ][ + + ]: 44 : if (n % 2 && smaller_x(gel(np,1), gel(best,1))) best = np;
4611 : 44 : p1 = elladd(e,q,np);
4612 [ + + ]: 44 : if (smaller_x(gel(p1,1), gel(best,1))) q = p1;
4613 [ - + ]: 28 : else if (best == np) { p = elladd(e,p,q); q = np; }
4614 : 44 : p = best_in_cycle(e,p,k);
4615 [ - + ]: 44 : if (v)
4616 : : {
4617 : 0 : p = ellchangepointinv(p,v);
4618 : 0 : q = ellchangepointinv(q,v);
4619 : : }
4620 : 44 : r = cgetg(4,t_VEC);
4621 : 44 : gel(r,1) = utoipos(2*k);
4622 : 44 : gel(r,2) = mkvec2(utoipos(k), gen_2);
4623 : 44 : gel(r,3) = mkvec2copy(p, q);
4624 : : }
4625 : : else
4626 : : {
4627 [ + + ]: 60 : if (p)
4628 : : {
4629 : 44 : p = best_in_cycle(e,p,k);
4630 [ - + ]: 44 : if (v) p = ellchangepointinv(p,v);
4631 : 44 : r = cgetg(4,t_VEC);
4632 : 44 : gel(r,1) = utoipos(k);
4633 : 44 : gel(r,2) = mkvec( gel(r,1) );
4634 : 44 : gel(r,3) = mkvec( gcopy(p) );
4635 : : }
4636 : : else
4637 : : {
4638 : 16 : r = cgetg(4,t_VEC);
4639 : 16 : gel(r,1) = gen_1;
4640 : 16 : gel(r,2) = cgetg(1,t_VEC);
4641 : 16 : gel(r,3) = cgetg(1,t_VEC);
4642 : : }
4643 : : }
4644 : 104 : return r;
4645 : : }
4646 : :
4647 : : static GEN
4648 : 336 : doellff_get_o(GEN E)
4649 : : {
4650 : 336 : GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
4651 : 336 : return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
4652 : : }
4653 : : GEN
4654 : 484 : ellff_get_o(GEN E)
4655 : 484 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); };
4656 : :
4657 : : GEN
4658 : 72 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
4659 : : {
4660 : 72 : pari_sp av = avma;
4661 : : GEN fg, r;
4662 : 72 : checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
4663 : 72 : fg = ellff_get_field(E);
4664 [ + + ]: 72 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
4665 [ + + ]: 72 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4666 : 48 : r = FF_elllog(E, a, g, o);
4667 : : else
4668 : : {
4669 : 24 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
4670 : 24 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
4671 : 24 : GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
4672 : 24 : r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
4673 : : }
4674 : 72 : return gerepileuptoint(av, r);
4675 : : }
4676 : :
4677 : : /* assume e is defined over Q (use Mazur's theorem) */
4678 : : static long
4679 : 24 : _orderell(GEN E, GEN P)
4680 : : {
4681 : 24 : pari_sp av = avma;
4682 : : GEN tmp, p, a4, dx, dy, d4, d6, D, Pp, Q;
4683 : : forprime_t T;
4684 : : ulong pp;
4685 : : long k;
4686 [ - + ]: 24 : if (ell_is_inf(P)) return 1;
4687 : :
4688 : 24 : dx = Q_denom(gel(P,1));
4689 : 24 : dy = Q_denom(gel(P,2));
4690 [ + - ]: 24 : if (ell_is_integral(E)) /* integral model, try Nagell Lutz */
4691 [ + + ][ + + ]: 24 : if (cmpiu(dx, 4) > 0 || cmpiu(dy, 8) > 0) return 0;
4692 : :
4693 : 16 : d4 = Q_denom(ell_get_c4(E));
4694 : 16 : d6 = Q_denom(ell_get_c6(E));
4695 : 16 : D = ell_get_disc (E);
4696 : : /* choose not too small prime p dividing neither a coefficient of the
4697 : : short Weierstrass form nor of P and leading to good reduction */
4698 : :
4699 : 16 : u_forprime_init(&T, 100003, ULONG_MAX);
4700 [ + - ]: 16 : while ( (pp = u_forprime_next(&T)) )
4701 [ + - ][ + - ]: 16 : if (Rg_to_Fl(d4, pp) && Rg_to_Fl(d6, pp) && Rg_to_Fl(D, pp)
[ + - ]
4702 [ + - ][ + - ]: 16 : && Rg_to_Fl(dx, pp) && Rg_to_Fl(dy, pp)) break;
4703 : :
4704 : : /* transform E into short Weierstrass form Ep modulo p
4705 : : and P to Pp on Ep */
4706 : 16 : p = utoipos(pp);
4707 : 16 : tmp = ell_to_a4a6_bc(E, p);
4708 : 16 : a4 = gel(tmp, 1);
4709 : 16 : Pp = FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P, p), gel(tmp,3), p);
4710 : :
4711 : : /* check whether the order of Pp on Ep is <= 12 */
4712 [ + + ]: 64 : for (Q = FpE_dbl(Pp, a4, p), k = 2;
4713 [ + - ]: 80 : !ell_is_inf(Q) && k <= 12;
4714 : 32 : Q = FpE_add(Q, Pp, a4, p), k++) /* empty */;
4715 : :
4716 [ + - ]: 16 : if (k != 13)
4717 : : /* check over Q; one could also run more tests modulo primes */
4718 [ + + ]: 64 : for (Q = elladd(E, P, P), k = 2;
4719 [ + - ]: 80 : !ell_is_inf(Q) && k <= 12;
4720 : 32 : Q = elladd(E, Q, P), k++) /* empty */;
4721 : :
4722 : 16 : avma = av;
4723 [ + - ]: 24 : return (k == 13 ? 0 : k);
4724 : : }
4725 : :
4726 : : GEN
4727 : 1244 : ellorder(GEN E, GEN P, GEN o)
4728 : : {
4729 : 1244 : pari_sp av = avma;
4730 : 1244 : GEN fg, r, E0 = E;
4731 : 1244 : checkell(E); checkellpt(P);
4732 [ - + ]: 1244 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
4733 [ + + ]: 1244 : if (ell_get_type(E)==t_ELL_Q)
4734 : : {
4735 : 1040 : GEN p = NULL;
4736 [ + + ][ + - ]: 1040 : if (is_rational_t(typ(gel(P,1))) && is_rational_t(typ(gel(P,2))))
4737 : 24 : return utoi( _orderell(E, P) );
4738 [ + - ][ + - ]: 1016 : if (RgV_is_FpV(P,&p) && p)
4739 : : {
4740 : 1016 : E = ellinit(E,p,0);
4741 [ + + ]: 1016 : if (lg(E)==1) pari_err_IMPL("ellorder for curve with singular reduction");
4742 : : }
4743 : : }
4744 : 1216 : checkell_Fq(E);
4745 : 1216 : fg = ellff_get_field(E);
4746 [ + + ]: 1216 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
4747 [ + + ]: 1216 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4748 : 872 : r = FF_ellorder(E, P, o);
4749 : : else
4750 : : {
4751 : 344 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
4752 : 344 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P,p), gel(e,3), p);
4753 : 344 : r = FpE_order(Pp, o, gel(e,1), p);
4754 : : }
4755 [ + + ]: 1216 : if (E != E0) obj_free(E);
4756 : 1240 : return gerepileuptoint(av, r);
4757 : : }
4758 : :
4759 : : GEN
4760 : 4 : orderell(GEN e, GEN z) { return ellorder(e,z,NULL); }
4761 : :
4762 : : /* Using Lutz-Nagell */
4763 : :
4764 : : /* p in Z[X] of degree 3. Return vector of x/4, x integral root of p */
4765 : : static GEN
4766 : 0 : ratroot(GEN p)
4767 : : {
4768 : : GEN L, a, ld;
4769 : 0 : long i, t, v = ZX_valrem(p, &p);
4770 : :
4771 [ # # ]: 0 : if (v == 3) return ellinf();
4772 [ # # ]: 0 : if (v == 2) return mkvec2(gen_0, gmul2n(negi(gel(p,2)), -2));
4773 : :
4774 : 0 : L = cgetg(4,t_VEC); t = 1;
4775 [ # # ]: 0 : if (v == 1) gel(L,t++) = gen_0;
4776 : 0 : ld = divisors(gel(p,2));
4777 [ # # ]: 0 : for (i=1; i<lg(ld); i++)
4778 : : {
4779 : 0 : a = gel(ld,i);
4780 [ # # ]: 0 : if (!signe(poleval(p,a))) gel(L,t++) = gmul2n(a, -2);
4781 : 0 : a = negi(a);
4782 [ # # ]: 0 : if (!signe(poleval(p,a))) gel(L,t++) = gmul2n(a, -2);
4783 : : }
4784 : 0 : setlg(L,t); return L;
4785 : : }
4786 : :
4787 : : static int
4788 : 0 : is_new_torsion(GEN e, GEN v, GEN p, long t2) {
4789 : 0 : GEN pk = p, pkprec = NULL;
4790 : : long k,l;
4791 : :
4792 [ # # ]: 0 : for (k=2; k<=6; k++)
4793 : : {
4794 : 0 : pk = elladd(e,pk,p); /* = [k] p */
4795 [ # # ]: 0 : if (ell_is_inf(pk)) return 1;
4796 : :
4797 [ # # ]: 0 : for (l=2; l<=t2; l++)
4798 [ # # ]: 0 : if (gequal(gel(pk,1),gmael(v,l,1))) return 1;
4799 : :
4800 [ # # ][ # # ]: 0 : if (pkprec && k<=5)
4801 [ # # ]: 0 : if (gequal(gel(pk,1),gel(pkprec,1))) return 1;
4802 : 0 : pkprec=pk;
4803 : : }
4804 : 0 : return 0;
4805 : : }
4806 : :
4807 : : static GEN
4808 : 0 : nagelllutz(GEN e)
4809 : : {
4810 : : GEN ld, pol, p1, lr, r, v, w2, w3;
4811 : : long i, j, nlr, t, t2, k, k2;
4812 : 0 : pari_sp av=avma;
4813 : :
4814 : 0 : e = ellintegralmodel(e, &v);
4815 : 0 : pol = RgX_rescale(RHSpol(e,NULL), utoipos(4));
4816 : 0 : r = cgetg(17, t_VEC);
4817 : 0 : gel(r,1) = ellinf();
4818 : 0 : lr = ratroot(pol); nlr=lg(lr)-1;
4819 [ # # ]: 0 : for (t=1,i=1; i<=nlr; i++)
4820 : : {
4821 : 0 : GEN x = gel(lr,i), y = gmul2n(gneg(ellLHS0(e,x)), -1);
4822 : 0 : gel(r,++t) = mkvec2(x, y);
4823 : : }
4824 : 0 : ld = absi_factor(gmul2n(ell_get_disc(e), 4));
4825 : 0 : p1 = gel(ld,2); k = lg(p1);
4826 [ # # ]: 0 : for (i=1; i<k; i++) gel(p1,i) = shifti(gel(p1,i), -1);
4827 : 0 : ld = divisors(ld);
4828 [ # # ]: 0 : for (t2=t,j=1; j<lg(ld); j++)
4829 : : {
4830 : 0 : GEN d = gel(ld,j);
4831 : 0 : lr = ratroot(ZX_Z_sub(pol, shifti(sqri(d), 6)));
4832 [ # # ]: 0 : for (i=1; i<lg(lr); i++)
4833 : : {
4834 : 0 : GEN x = gel(lr,i), y = gmul2n(gsub(d, ellLHS0(e,x)), -1);
4835 : 0 : p1 = mkvec2(x, y);
4836 [ # # ]: 0 : if (is_new_torsion(e,r,p1,t2))
4837 : : {
4838 : 0 : gel(r,++t) = p1;
4839 : 0 : gel(r,++t) = mkvec2(x, gsub(y, d));
4840 : : }
4841 : : }
4842 : : }
4843 [ # # ]: 0 : if (t == 1) { avma = av; return tors(e,1,NULL,NULL,v); }
4844 : :
4845 [ # # ]: 0 : if (nlr < 3)
4846 : : {
4847 : 0 : w2 = mkvec( utoipos(t) );
4848 [ # # ]: 0 : for (k=2; k<=t; k++)
4849 [ # # ]: 0 : if (_orderell(e,gel(r,k)) == t) break;
4850 [ # # ]: 0 : if (k>t) pari_err_BUG("elltors (bug1)");
4851 : :
4852 : 0 : w3 = mkvec( gel(r,k) );
4853 : : }
4854 : : else
4855 : : {
4856 [ # # ]: 0 : if (t&3) pari_err_BUG("elltors (bug2)");
4857 : 0 : t2 = t>>1;
4858 : 0 : w2 = mkvec2(utoipos(t2), gen_2);
4859 [ # # ]: 0 : for (k=2; k<=t; k++)
4860 [ # # ]: 0 : if (_orderell(e,gel(r,k)) == t2) break;
4861 [ # # ]: 0 : if (k>t) pari_err_BUG("elltors (bug3)");
4862 : :
4863 : 0 : p1 = ellmul_Z(e,gel(r,k),utoipos(t>>2));
4864 [ # # ][ # # ]: 0 : k2 = (!ell_is_inf(p1) && gequal(gel(r,2),p1))? 3: 2;
4865 : 0 : w3 = mkvec2(gel(r,k), gel(r,k2));
4866 : : }
4867 [ # # ]: 0 : if (v)
4868 : : {
4869 : 0 : gel(v,1) = ginv(gel(v,1));
4870 : 0 : w3 = ellchangepoint(w3,v);
4871 : : }
4872 : 0 : return gerepilecopy(av, mkvec3(utoipos(t), w2,w3));
4873 : : }
4874 : :
4875 : : /* Using Doud's algorithm */
4876 : :
4877 : : /* finds a bound for #E_tor */
4878 : : static long
4879 : 104 : torsbound(GEN e)
4880 : : {
4881 : 104 : GEN D = ell_get_disc(e);
4882 : 104 : pari_sp av = avma, av2;
4883 : : long m, b, bold, nb;
4884 : : forprime_t S;
4885 : 104 : int CM = ell_get_CM(e);
4886 : 104 : nb = expi(D) >> 3;
4887 : : /* nb = number of primes to try ~ 1 prime every 8 bits in D */
4888 : 104 : b = bold = 5040; /* = 2^4 * 3^2 * 5 * 7 */
4889 : 104 : m = 0;
4890 : 104 : (void)u_forprime_init(&S, 3, ULONG_MAX);
4891 : 104 : av2 = avma;
4892 [ + + ][ + + ]: 972 : while (m < nb || (b > 12 && b != 16))
[ + + ]
4893 : : {
4894 : 876 : ulong p = u_forprime_next(&S);
4895 [ - + ]: 876 : if (!p) pari_err_BUG("torsbound [ran out of primes]");
4896 [ + + ]: 876 : if (!umodiu(D, p)) continue;
4897 : :
4898 : 688 : b = ugcd(b, p+1 - ellap_small_goodred(CM, e, p));
4899 : 688 : avma = av2;
4900 [ + + ]: 688 : if (b == 1) break;
4901 [ + + ]: 680 : if (b == bold) m++; else { bold = b; m = 0; }
4902 : : }
4903 : 104 : avma = av; return b;
4904 : : }
4905 : :
4906 : : static GEN
4907 : 0 : myround(GEN x, long *e)
4908 : : {
4909 : 0 : GEN y = grndtoi(x,e);
4910 [ # # ][ # # ]: 0 : if (*e > -5 && prec2nbits(gprecision(x)) < gexpo(y) - 10)
4911 : 0 : pari_err_PREC("elltors");
4912 : 0 : return y;
4913 : : }
4914 : :
4915 : : /* E the curve, w in C/Lambda ~ E of order n, returns q = pointell(w) as a
4916 : : * rational point on the curve, or NULL if q is not rational. */
4917 : : static GEN
4918 : 0 : torspnt(GEN E, GEN w, long n, long prec)
4919 : : {
4920 : 0 : GEN p = cgetg(3,t_VEC), q = pointell(E, w, prec);
4921 : : long e;
4922 : 0 : gel(p,1) = gmul2n(myround(gmul2n(gel(q,1),2), &e),-2);
4923 [ # # ][ # # ]: 0 : if (e > -5 || typ(gel(p,1)) == t_COMPLEX) return NULL;
4924 : 0 : gel(p,2) = gmul2n(myround(gmul2n(gel(q,2),3), &e),-3);
4925 [ # # ][ # # ]: 0 : if (e > -5 || typ(gel(p,2)) == t_COMPLEX) return NULL;
4926 : 0 : return (oncurve(E,p)
4927 [ # # ]: 0 : && ell_is_inf(ellmul_Z(E,p,utoipos(n)))
4928 [ # # ][ # # ]: 0 : && _orderell(E,p) == n)? p: NULL;
4929 : : }
4930 : :
4931 : : static GEN
4932 : 0 : elltors_doud(GEN e)
4933 : : {
4934 : 0 : long B, i, ord, prec, k = 1;
4935 : 0 : pari_sp av=avma;
4936 : : GEN v,w,w1,w22,w1j,w12,p,tor1,tor2;
4937 : : GEN om;
4938 : :
4939 : 0 : e = ellintegralmodel(e, &v);
4940 : 0 : B = torsbound(e); /* #E_tor | B */
4941 [ # # ]: 0 : if (B == 1) { avma = av; return tors(e,1,NULL,NULL, v); }
4942 : :
4943 : : /* prec >= size of sqrt(D) */
4944 : 0 : prec = DEFAULTPREC + ((lgefint(ell_get_disc(e))-2) >> 1);
4945 : 0 : om = ellR_omega(e, prec);
4946 : 0 : w1 = gel(om,1);
4947 : 0 : w22 = gmul2n(gel(om,2),-1);
4948 [ # # ]: 0 : if (B % 4)
4949 : : { /* cyclic of order 1, p, 2p, p <= 5 */
4950 : 0 : p = NULL;
4951 [ # # ]: 0 : for (i=10; i>1; i--)
4952 : : {
4953 [ # # ]: 0 : if (B%i != 0) continue;
4954 : 0 : w1j = gdivgs(w1,i);
4955 : 0 : p = torspnt(e,w1j,i,prec);
4956 [ # # ][ # # ]: 0 : if (!p && i%2==0)
4957 : : {
4958 : 0 : p = torspnt(e,gadd(w22,w1j),i,prec);
4959 [ # # ]: 0 : if (!p) p = torspnt(e,gadd(w22,gmul2n(w1j,1)),i,prec);
4960 : : }
4961 [ # # ]: 0 : if (p) { k = i; break; }
4962 : : }
4963 : 0 : return gerepileupto(av, tors(e,k,p,NULL, v));
4964 : : }
4965 : :
4966 : 0 : ord = 0; tor1 = tor2 = NULL;
4967 : 0 : w12 = gmul2n(w1,-1);
4968 [ # # ]: 0 : if ((p = torspnt(e,w12,2,prec))) { tor1 = p; ord++; }
4969 : 0 : w = w22;
4970 [ # # ]: 0 : if ((p = torspnt(e,w,2,prec))) { tor2 = p; ord += 2; }
4971 [ # # ]: 0 : if (!ord)
4972 : : {
4973 : 0 : w = gadd(w12,w22);
4974 [ # # ]: 0 : if ((p = torspnt(e,w,2,prec))) { tor2 = p; ord += 2; }
4975 : : }
4976 : 0 : p = NULL;
4977 [ # # # # : 0 : switch(ord)
# ]
4978 : : {
4979 : : case 0: /* no point of order 2 */
4980 [ # # ]: 0 : for (i=9; i>1; i-=2)
4981 : : {
4982 [ # # ]: 0 : if (B%i != 0) continue;
4983 : 0 : w1j = gdivgs(w1,i);
4984 : 0 : p = torspnt(e,w1j,i,prec);
4985 [ # # ]: 0 : if (p) { k = i; break; }
4986 : : }
4987 : 0 : break;
4988 : :
4989 : : case 1: /* 1 point of order 2: w1 / 2 */
4990 [ # # ]: 0 : for (i=12; i>2; i-=2)
4991 : : {
4992 [ # # ]: 0 : if (B%i != 0) continue;
4993 : 0 : w1j = gdivgs(w1,i);
4994 : 0 : p = torspnt(e,w1j,i,prec);
4995 [ # # ][ # # ]: 0 : if (!p && i%4==0) p = torspnt(e,gadd(w22,w1j),i,prec);
4996 [ # # ]: 0 : if (p) { k = i; break; }
4997 : : }
4998 [ # # ]: 0 : if (!p) { p = tor1; k = 2; }
4999 : 0 : break;
5000 : :
5001 : : case 2: /* 1 point of order 2: w = w2/2 or (w1+w2)/2 */
5002 [ # # ]: 0 : for (i=5; i>1; i-=2)
5003 : : {
5004 [ # # ]: 0 : if (B%i != 0) continue;
5005 : 0 : w1j = gdivgs(w1,i);
5006 : 0 : p = torspnt(e,gadd(w,w1j),2*i,prec);
5007 [ # # ]: 0 : if (p) { k = 2*i; break; }
5008 : : }
5009 [ # # ]: 0 : if (!p) { p = tor2; k = 2; }
5010 : 0 : tor2 = NULL; break;
5011 : :
5012 : : case 3: /* 2 points of order 2: w1/2 and w2/2 */
5013 [ # # ]: 0 : for (i=8; i>2; i-=2)
5014 : : {
5015 [ # # ]: 0 : if (B%(2*i) != 0) continue;
5016 : 0 : w1j = gdivgs(w1,i);
5017 : 0 : p = torspnt(e,w1j,i,prec);
5018 [ # # ]: 0 : if (p) { k = i; break; }
5019 : : }
5020 [ # # ]: 0 : if (!p) { p = tor1; k = 2; }
5021 : 0 : break;
5022 : : }
5023 : 0 : return gerepileupto(av, tors(e,k,p,tor2, v));
5024 : : }
5025 : :
5026 : : /* return a rational point of order pk = p^k on E, or NULL if E(Q)[k] = O.
5027 : : * *fk is either NULL (pk = 4 or prime) or elldivpol(p^(k-1)).
5028 : : * Set *fk to elldivpol(p^k) */
5029 : : static GEN
5030 : 100 : tpoint(GEN E, long pk, GEN *fk)
5031 : : {
5032 : 100 : GEN f = elldivpol(E,pk,0), g = *fk, v;
5033 : : long i, l;
5034 : 100 : *fk = f;
5035 [ + + ]: 100 : if (g) f = RgX_div(f, g);
5036 : 100 : v = nfrootsQ(f); l = lg(v);
5037 [ + + ]: 140 : for (i = 1; i < l; i++)
5038 : : {
5039 : 120 : GEN x = gel(v,i);
5040 : 120 : GEN y = ellordinate_i(E,x,0);
5041 [ + + ]: 120 : if (lg(y) != 1) return mkvec2(x,gel(y,1));
5042 : : }
5043 : 100 : return NULL;
5044 : : }
5045 : : /* return E(Q)[2] */
5046 : : static GEN
5047 : 72 : t2points(GEN E, GEN *f2)
5048 : : {
5049 : : long i, l;
5050 : : GEN v;
5051 : 72 : *f2 = RHSpol(E,NULL);
5052 : 72 : v = nfrootsQ(*f2); l = lg(v);
5053 [ + + ]: 232 : for (i = 1; i < l; i++)
5054 : : {
5055 : 160 : GEN x = gel(v,i);
5056 : 160 : GEN y = ellordinate_i(E,x,0);
5057 [ + - ]: 160 : if (lg(y) != 1) gel(v,i) = mkvec2(x,gel(y,1));
5058 : : }
5059 : 72 : return v;
5060 : : }
5061 : :
5062 : : static GEN
5063 : 104 : elltors_divpol(GEN E)
5064 : : {
5065 : 104 : GEN T2 = NULL, p, P, Q, v;
5066 : : long v2, r2, B;
5067 : :
5068 : 104 : E = ellintegralmodel(E, &v);
5069 : 104 : B = torsbound(E); /* #E_tor | B */
5070 [ + + ]: 104 : if (B == 1) return tors(E,1,NULL,NULL, v);
5071 : 96 : v2 = vals(B); /* bound for v_2(point order) */
5072 : 96 : B >>= v2;
5073 : 96 : p = const_vec(9, NULL);
5074 : 96 : r2 = 0;
5075 [ + + ]: 96 : if (v2) {
5076 : : GEN f;
5077 : 72 : T2 = t2points(E, &f);
5078 [ - + + ]: 72 : switch(lg(T2)-1)
5079 : : {
5080 : 0 : case 0: v2 = 0; break;
5081 [ - + ]: 28 : case 1: r2 = 1; if (v2 == 4) v2 = 3; break;
5082 : 44 : default: r2 = 2; v2--; break; /* 3 */
5083 : : }
5084 [ + - ]: 72 : if (v2) gel(p,2) = gel(T2,1);
5085 : : /* f = f_2 */
5086 [ + + ][ + + ]: 72 : if (v2 > 1) { gel(p,4) = tpoint(E,4, &f); if (!gel(p,4)) v2 = 1; }
5087 : : /* if (v2>1) now f = f4 */
5088 [ + + ][ + + ]: 72 : if (v2 > 2) { gel(p,8) = tpoint(E,8, &f); if (!gel(p,8)) v2 = 2; }
5089 : : }
5090 : 96 : B <<= v2;
5091 [ + + ]: 96 : if (B % 3 == 0) {
5092 : 36 : GEN f3 = NULL;
5093 : 36 : gel(p,3) = tpoint(E,3,&f3);
5094 [ + + ][ + - ]: 36 : if (!gel(p,3)) B /= (B%9)? 3: 9;
5095 [ + + ][ + + ]: 36 : if (gel(p,3) && B % 9 == 0)
5096 : : {
5097 : 4 : gel(p,9) = tpoint(E,9,&f3);
5098 [ - + ]: 36 : if (!gel(p,9)) B /= 3;
5099 : : }
5100 : : }
5101 [ + + ]: 96 : if (B % 5 == 0) {
5102 : 12 : GEN junk = NULL;
5103 : 12 : gel(p,5) = tpoint(E,5,&junk);
5104 [ + + ]: 12 : if (!gel(p,5)) B /= 5;
5105 : : }
5106 [ + + ]: 96 : if (B % 7 == 0) {
5107 : 4 : GEN junk = NULL;
5108 : 4 : gel(p,7) = tpoint(E,7,&junk);
5109 [ - + ]: 4 : if (!gel(p,7)) B /= 7;
5110 : : }
5111 : : /* B is the exponent of E_tors(Q), r2 is the rank of its 2-Sylow,
5112 : : * for i > 1, p[i] is a point of order i if one exists and i is a prime power
5113 : : * and NULL otherwise */
5114 [ + + ]: 96 : if (r2 == 2) /* 2 cyclic factors */
5115 : : { /* C2 x C2 */
5116 [ + + ]: 44 : if (B == 2) return tors(E,2, gel(T2,1), gel(T2,2), v);
5117 [ + + ]: 24 : else if (B == 6)
5118 : : { /* C2 x C6 */
5119 : 12 : P = elladd(E, gel(p,3), gel(T2,1));
5120 : 12 : Q = gel(T2,2);
5121 : : }
5122 : : else
5123 : : { /* C2 x C4 or C2 x C8 */
5124 : 12 : P = gel(p, B);
5125 : 12 : Q = gel(T2,2);
5126 [ - + ]: 12 : if (gequal(Q, ellmul(E, P, utoipos(B>>1)))) Q = gel(T2,1);
5127 : : }
5128 : : }
5129 : : else /* cyclic */
5130 : : {
5131 : 52 : Q = NULL;
5132 [ + + ]: 52 : if (v2)
5133 : : {
5134 [ + + ]: 28 : if (B>>v2 == 1)
5135 : 16 : P = gel(p, B);
5136 : : else
5137 : 12 : P = elladd(E, gel(p, B>>v2), gel(p,1<<v2));
5138 : : }
5139 : 24 : else P = gel(p, B);
5140 : : }
5141 : 104 : return tors(E,B, P, Q, v);
5142 : : }
5143 : : GEN
5144 : 104 : elltors(GEN e)
5145 : : {
5146 : 104 : pari_sp av = avma;
5147 : 104 : checkell_Q(e);
5148 : 104 : return gerepileupto(av, elltors_divpol(e));
5149 : : }
5150 : :
5151 : : GEN
5152 : 76 : elltors0(GEN e, long flag)
5153 : : {
5154 : 76 : checkell_Q(e);
5155 [ + - - - ]: 76 : switch(flag)
5156 : : {
5157 : 76 : case 0: return elltors(e);
5158 : 0 : case 1: return nagelllutz(e);
5159 : 0 : case 2: return elltors_doud(e);
5160 : 0 : default: pari_err_FLAG("elltors");
5161 : : }
5162 : 76 : return NULL; /* not reached */
5163 : : }
5164 : :
5165 : : GEN
5166 : 144 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
5167 : : {
5168 : : GEN fg;
5169 : 144 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
5170 [ - + ]: 140 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
5171 : 140 : fg = ellff_get_field(E);
5172 [ + + ]: 140 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5173 : 4 : return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
5174 : : else
5175 : : {
5176 : 136 : pari_sp av = avma;
5177 : 136 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
5178 : 136 : GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
5179 : 272 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
5180 : 140 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
5181 : : }
5182 : : }
5183 : :
5184 : : GEN
5185 : 116 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
5186 : : {
5187 : : GEN fg;
5188 : 116 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
5189 [ - + ]: 116 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
5190 : 116 : fg = ellff_get_field(E);
5191 [ + + ]: 116 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5192 : 4 : return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
5193 : : else
5194 : : {
5195 : 112 : pari_sp av = avma;
5196 : 112 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
5197 : 112 : GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
5198 : 224 : FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
5199 : 116 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
5200 : : }
5201 : : }
5202 : :
5203 : : /* E/Q, return cardinal including the (possible) ramified point */
5204 : : static GEN
5205 : 1566308 : ellcard_ram(GEN E, GEN p)
5206 : : {
5207 : 1566308 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
5208 [ + + ]: 1566308 : if (!signe(D))
5209 : : {
5210 : 364 : pari_sp av = avma;
5211 : : int good_red;
5212 : 364 : GEN ap = is_minimal_ap(E, p, &good_red);
5213 : 364 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
5214 : : }
5215 [ + + ]: 1565944 : if (equaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
5216 [ + + ]: 1565820 : if (equaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
5217 : 1565044 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
5218 : 1566308 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
5219 : : }
5220 : :
5221 : : static GEN
5222 : 1604808 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
5223 : : {
5224 : : GEN q;
5225 [ + + ]: 1604808 : if (p)
5226 : : {
5227 [ + + ]: 1577980 : if (typ(p)!=t_INT) pari_err_TYPE(s,p);
5228 [ + + ]: 1577976 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
5229 : : }
5230 : 1604800 : checkell(E);
5231 [ + + + - ]: 1604800 : switch(ell_get_type(E))
5232 : : {
5233 : : case t_ELL_Qp:
5234 : 8 : q = ellQp_get_p(E);
5235 [ + + ][ - + ]: 8 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
5236 : 8 : return q;
5237 : :
5238 : : case t_ELL_Fp:
5239 : : case t_ELL_Fq:
5240 : 37252 : q = ellff_get_p(E);
5241 [ + + ][ - + ]: 37252 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
5242 : 37252 : return q;
5243 : : case t_ELL_Q:
5244 [ + + ]: 1567540 : if (p) return p;
5245 : : default:
5246 : 8 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
5247 : 1604792 : return NULL;/*not reached*/
5248 : : }
5249 : : }
5250 : :
5251 : : GEN
5252 : 1565144 : ellap(GEN E, GEN p)
5253 : : {
5254 : 1565144 : pari_sp av = avma;
5255 : : GEN q, card;
5256 : 1565144 : p = checkellp(E, p, "ellap");
5257 [ + - + - ]: 1565132 : switch(ell_get_type(E))
5258 : : {
5259 : : case t_ELL_Fp:
5260 : 48 : q = p; card = ellff_get_card(E);
5261 : 48 : break;
5262 : : case t_ELL_Fq:
5263 : 0 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
5264 : 0 : break;
5265 : : case t_ELL_Q:
5266 : 1565084 : q = p; card = ellcard_ram(E, p);
5267 : 1565084 : break;
5268 : : default:
5269 : 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
5270 : 0 : return NULL; /*NOT REACHED*/
5271 : : }
5272 : 1565132 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
5273 : : }
5274 : :
5275 : : static GEN
5276 : 26728 : doellcard(GEN E)
5277 : : {
5278 : 26728 : GEN fg = ellff_get_field(E);
5279 [ + + ]: 26728 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5280 : 16288 : return FF_ellcard(E);
5281 : : else
5282 : : {
5283 : 10440 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
5284 : 26728 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
5285 : : }
5286 : : }
5287 : :
5288 : : GEN
5289 : 36228 : ellff_get_card(GEN E)
5290 : 36228 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
5291 : :
5292 : : GEN
5293 : 27168 : ellcard(GEN E, GEN p)
5294 : : {
5295 : 27168 : p = checkellp(E, p, "ellcard");
5296 [ + + + ]: 27168 : switch(ell_get_type(E))
5297 : : {
5298 : : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
5299 : 25940 : return icopy(ellff_get_card(E));
5300 : : case t_ELL_Q:
5301 : : {
5302 : 1224 : pari_sp av = avma;
5303 : 1224 : GEN N = ellcard_ram(E, p);
5304 : 1224 : GEN D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
5305 [ - + ]: 1224 : if (!signe(D)) N = subis(N, 1); /* remove singular point */
5306 : 1224 : return gerepileuptoint(av, N);
5307 : : }
5308 : : default:
5309 : 4 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
5310 : 27164 : return NULL; /*NOT REACHED*/
5311 : : }
5312 : : }
5313 : :
5314 : : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
5315 : : * d_r | ... | d_1 */
5316 : : static GEN
5317 : 1008 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
5318 : : {
5319 : 1008 : pari_sp av = avma;
5320 [ + + ]: 1008 : if (cmpiu(p, 3)<=0)
5321 : : {
5322 : 712 : ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
5323 : 712 : long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
5324 : 712 : long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
5325 [ + + ]: 712 : if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
5326 [ + + ]: 668 : if (l==2)
5327 : : {
5328 : 56 : long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
5329 : 56 : long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
5330 : 56 : long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
5331 [ + + + + ]: 56 : switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
5332 : : { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
5333 : : case 18: case 29:
5334 : 4 : retmkvec(mkvec2s(1,1));
5335 : : case 19: case 24: case 26:
5336 : 4 : retmkvec(mkvec2s(0,1));
5337 : : case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
5338 : 20 : retmkvec(mkvec2s(1,0));
5339 : : default:
5340 : 28 : retmkvec(mkvec2s(0,0));
5341 : : }
5342 : : } else
5343 : : { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
5344 : 612 : long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
5345 : 612 : long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
5346 : 612 : long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
5347 : 612 : long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
5348 : : long x,y;
5349 [ + + ]: 612 : if (r==2) /* [2,2] */
5350 : 36 : retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
5351 : : /* cyclic, order d_1 */
5352 : 576 : y = equaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
5353 [ + + ]: 576 : if (equaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
5354 : : {
5355 : 108 : long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
5356 [ + + ][ + + ]: 108 : x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
[ + - ][ + + ]
5357 : : }
5358 : : else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
5359 : : { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
5360 [ + + ]: 468 : if (y == 1)
5361 [ + + ][ + + ]: 360 : x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
5362 : : else
5363 [ + + ][ - + ]: 108 : x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
[ + + ][ + - ]
5364 : : }
5365 : 576 : retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
5366 : : }
5367 : : }
5368 : : else
5369 : : {
5370 : 296 : GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
5371 : 1008 : return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
5372 : : }
5373 : : }
5374 : :
5375 : : static GEN
5376 : 11616 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
5377 : : {
5378 : 11616 : GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
5379 [ + + ]: 11612 : if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
5380 [ + + ]: 11568 : if (equaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
5381 [ + + ]: 11512 : if (equaliu(p, 3))
5382 : : { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
5383 : : ulong b2, b4, b6;
5384 [ + + ]: 612 : if (!equaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
5385 : : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
5386 : : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
5387 : 144 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
5388 [ + + ]: 144 : if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
5389 : : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
5390 : 72 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
5391 : 72 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
5392 [ + + ]: 72 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
5393 : 36 : G = mkvec2s(2, 2); goto END;
5394 : : } /* Now assume p > 3 */
5395 : 10900 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
5396 : 10900 : G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
5397 : : END:
5398 : 11612 : return mkvec2(G, m);
5399 : : }
5400 : :
5401 : : static GEN
5402 : 20592 : doellgroup(GEN E)
5403 : : {
5404 : 20592 : GEN fg = ellff_get_field(E);
5405 [ + + ]: 20592 : return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
5406 : : }
5407 : :
5408 : : GEN
5409 : 20848 : ellff_get_group(GEN E)
5410 : 20848 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
5411 : :
5412 : : /* E / Fp */
5413 : : static GEN
5414 : 9584 : doellgens(GEN E)
5415 : : {
5416 : 9584 : GEN fg = ellff_get_field(E);
5417 [ + + ]: 9584 : if (typ(fg)==t_FFELT)
5418 : 9556 : return FF_ellgens(E);
5419 : : else
5420 : : {
5421 : 28 : GEN e, Gm, F, p = fg;
5422 : 28 : e = ellff_get_a4a6(E);
5423 : 28 : Gm = ellff_get_group(E);
5424 : 28 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
5425 : 9584 : return FpVV_to_mod(F,p);
5426 : : }
5427 : : }
5428 : :
5429 : : GEN
5430 : 9628 : ellff_get_gens(GEN E)
5431 : 9628 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
5432 : :
5433 : : GEN
5434 : 11444 : ellgroup(GEN E, GEN p)
5435 : : {
5436 : 11444 : pari_sp av = avma;
5437 : : GEN G;
5438 : 11444 : p = checkellp(E,p, "ellgroup");
5439 [ + + ]: 11444 : if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
5440 : 216 : else G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
5441 : 11444 : return gerepilecopy(av, gel(G,1));
5442 : : }
5443 : :
5444 : : GEN
5445 : 12152 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
5446 : : {
5447 : 12152 : pari_sp av = avma;
5448 : : GEN V;
5449 [ + + ]: 12152 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
5450 [ - + ]: 1052 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
5451 : 1052 : p = checkellp(E, p, "ellgroup");
5452 [ + + ]: 1048 : if (!ell_over_Fq(E))
5453 : : { /* t_ELL_Q */
5454 : 1012 : GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
5455 : 1008 : GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
5456 : 1008 : return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
5457 : : }
5458 : 36 : V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
5459 : 12144 : return gerepilecopy(av, V);
5460 : : }
5461 : :
5462 : : GEN
5463 : 9600 : ellgenerators(GEN E)
5464 : : {
5465 : 9600 : checkell(E);
5466 [ + + + ]: 9600 : switch(ell_get_type(E))
5467 : : {
5468 : : case t_ELL_Q:
5469 : 4 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
5470 : : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
5471 : 9592 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
5472 : : default:
5473 : 4 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
5474 : 9596 : return NULL;/*not reached*/
5475 : : }
5476 : : }
5477 : :
5478 : : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
5479 : : static GEN
5480 : 3160 : ellfromj_simple(GEN j)
5481 : : {
5482 : 3160 : pari_sp av = avma;
5483 : 3160 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
5484 : 3160 : GEN E = zerovec(5);
5485 : 3160 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
5486 : 3160 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
5487 : : }
5488 : : GEN
5489 : 9592 : ellfromj(GEN j)
5490 : : {
5491 [ + + ]: 9592 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
5492 : : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
5493 [ + + ][ + + ]: 9592 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
[ + + ][ + + ]
[ + + + ]
5494 : : {
5495 : : case 2:
5496 [ + + ]: 2028 : if (gequal0(j))
5497 : 4 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
5498 : : else
5499 : 2024 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
5500 : : case 3:
5501 [ + + ]: 4364 : if (gequal0(j))
5502 : 4 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
5503 : : else
5504 : : {
5505 : 4360 : GEN E = zerovec(5);
5506 : 4360 : pari_sp av = avma;
5507 : 4360 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
5508 : 4360 : gel(E,2) = gcopy(j);
5509 : 4360 : return E;
5510 : : }
5511 : : }
5512 [ + + ]: 3200 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
5513 [ + + ]: 3188 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
5514 : 9592 : return ellfromj_simple(j);
5515 : : }
5516 : :
5517 : : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
5518 : : static GEN
5519 : 232 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
5520 : : {
5521 : : GEN b2,b4,b6,b8, res;
5522 [ - + ]: 232 : if (n==0) return pol_0(v);
5523 [ + + ][ + + ]: 232 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
5524 : 148 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
5525 : 148 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
5526 [ + + ]: 148 : if (n==3)
5527 [ - + ]: 76 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
5528 : : else
5529 : : {
5530 : 72 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
5531 : 72 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
5532 [ - + ]: 72 : res = mkpoln(7, N? modsi(2, N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
5533 : : }
5534 : 232 : setvarn(res, v); return res;
5535 : : }
5536 : :
5537 : : /* T = (2y + a1x + a3)^2 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
5538 : : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
5539 : : static GEN
5540 : 452 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
5541 : : {
5542 : : GEN ret;
5543 : 452 : long m = n/2;
5544 [ + + ]: 452 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
5545 [ + + ]: 252 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
5546 [ + + ]: 92 : else if (odd(n))
5547 : : {
5548 : 48 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
5549 : : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
5550 : 48 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
5551 : : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
5552 [ + + ]: 48 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
5553 : 4 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
5554 : : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
5555 : 44 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
5556 : : }
5557 : : else
5558 : : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
5559 : 44 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
5560 : : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
5561 : 44 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
5562 : : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
5563 : 44 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
5564 : : }
5565 : 252 : gel(t,n) = ret;
5566 : 452 : return ret;
5567 : : }
5568 : :
5569 : : GEN
5570 : 112 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
5571 : : {
5572 : 112 : pari_sp av = avma;
5573 : : GEN ret, D, N;
5574 : 112 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
5575 [ + + ]: 112 : if (v==-1) v = 0;
5576 [ - + ]: 112 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
5577 : 112 : N = characteristic(D);
5578 [ + + ]: 112 : if (!signe(N)) N = NULL;
5579 [ - + ]: 112 : if (n<0) n = -n;
5580 [ + - ][ + + ]: 112 : if (n==1 || n==3)
5581 : 36 : ret = elldivpol4(e, N, n, v);
5582 : : else
5583 : : {
5584 : 76 : GEN d2 = RHSpol(e, N); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
5585 : 76 : setvarn(d2,v);
5586 [ + + ]: 76 : if (n <= 4)
5587 : 36 : ret = elldivpol4(e, N, n, v);
5588 : : else
5589 : 40 : ret = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
5590 [ + + ]: 76 : if (n%2==0) ret = RgX_mul(ret, d2);
5591 : : }
5592 : 112 : return gerepilecopy(av, ret);
5593 : : }
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