Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux1.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - FpE.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.8.0 lcov report (development 17837-9309d7c) Lines: 916 994 92.2 %
Date: 2015-05-22 Functions: 100 109 91.7 %
Legend: Lines: hit not hit | Branches: + taken - not taken # not executed Branches: 447 549 81.4 %

           Branch data     Line data    Source code
       1                 :            : /* Copyright (C) 2009  The PARI group.
       2                 :            : 
       3                 :            : This file is part of the PARI/GP package.
       4                 :            : 
       5                 :            : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6                 :            : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7                 :            : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8                 :            : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9                 :            : 
      10                 :            : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11                 :            : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12                 :            : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13                 :            : 
      14                 :            : #include "pari.h"
      15                 :            : #include "paripriv.h"
      16                 :            : 
      17                 :            : /* Not so fast arithmetic with points over elliptic curves over Fp */
      18                 :            : 
      19                 :            : /***********************************************************************/
      20                 :            : /**                                                                   **/
      21                 :            : /**                              FpE                                  **/
      22                 :            : /**                                                                   **/
      23                 :            : /***********************************************************************/
      24                 :            : 
      25                 :            : /* These functions deal with point over elliptic curves over Fp defined
      26                 :            :  * by an equation of the form y^2=x^3+a4*x+a6.
      27                 :            :  * Most of the time a6 is omitted since it can be recovered from any point
      28                 :            :  * on the curve.
      29                 :            :  */
      30                 :            : 
      31                 :            : GEN
      32                 :       1262 : RgE_to_FpE(GEN x, GEN p)
      33                 :            : {
      34         [ -  + ]:       1262 :   if (ell_is_inf(x)) return x;
      35                 :       1269 :   retmkvec2(Rg_to_Fp(gel(x,1),p),Rg_to_Fp(gel(x,2),p));
      36                 :            : }
      37                 :            : 
      38                 :            : GEN
      39                 :        428 : FpE_to_mod(GEN x, GEN p)
      40                 :            : {
      41         [ +  + ]:        428 :   if (ell_is_inf(x)) return x;
      42                 :        428 :   retmkvec2(Fp_to_mod(gel(x,1),p),Fp_to_mod(gel(x,2),p));
      43                 :            : }
      44                 :            : 
      45                 :            : GEN
      46                 :       1100 : FpE_changepoint(GEN x, GEN ch, GEN p)
      47                 :            : {
      48                 :       1100 :   pari_sp av = avma;
      49                 :            :   GEN p1,z,u,r,s,t,v,v2,v3;
      50         [ +  + ]:       1100 :   if (ell_is_inf(x)) return x;
      51                 :       1043 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2);
      52                 :       1043 :   s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
      53                 :       1043 :   v = Fp_inv(u, p); v2 = Fp_sqr(v,p); v3 = Fp_mul(v,v2,p);
      54                 :       1043 :   p1 = Fp_sub(gel(x,1),r,p);
      55                 :       1044 :   z = cgetg(3,t_VEC);
      56                 :       1044 :   gel(z,1) = Fp_mul(v2, p1, p);
      57                 :       1044 :   gel(z,2) = Fp_mul(v3, Fp_sub(gel(x,2), Fp_add(Fp_mul(s,p1, p),t, p),p),p);
      58                 :       1100 :   return gerepileupto(av, z);
      59                 :            : }
      60                 :            : 
      61                 :            : GEN
      62                 :       2137 : FpE_changepointinv(GEN x, GEN ch, GEN p)
      63                 :            : {
      64                 :            :   GEN u, r, s, t, X, Y, u2, u3, u2X, z;
      65         [ -  + ]:       2137 :   if (ell_is_inf(x)) return x;
      66                 :       2137 :   X = gel(x,1); Y = gel(x,2);
      67                 :       2137 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2);
      68                 :       2137 :   s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
      69                 :       2137 :   u2 = Fp_sqr(u, p); u3 = Fp_mul(u,u2,p);
      70                 :       2141 :   u2X = Fp_mul(u2,X, p);
      71                 :       2141 :   z = cgetg(3, t_VEC);
      72                 :       2139 :   gel(z,1) = Fp_add(u2X,r,p);
      73                 :       2139 :   gel(z,2) = Fp_add(Fp_mul(u3,Y,p), Fp_add(Fp_mul(s,u2X,p), t, p), p);
      74                 :       2137 :   return z;
      75                 :            : }
      76                 :            : 
      77                 :            : static GEN
      78                 :    1925640 : FpE_dbl_slope(GEN P, GEN a4, GEN p, GEN *slope)
      79                 :            : {
      80                 :            :   GEN x, y, Q;
      81 [ +  + ][ +  + ]:    1925640 :   if (ell_is_inf(P) || !signe(gel(P,2))) return ellinf();
      82                 :    1905186 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2);
      83                 :    1905186 :   *slope = Fp_div(Fp_add(Fp_mulu(Fp_sqr(x,p), 3, p), a4, p),
      84                 :            :                   Fp_mulu(y, 2, p), p);
      85                 :    1881551 :   Q = cgetg(3,t_VEC);
      86                 :    1888105 :   gel(Q, 1) = Fp_sub(Fp_sqr(*slope, p), Fp_mulu(x, 2, p), p);
      87                 :    1890456 :   gel(Q, 2) = Fp_sub(Fp_mul(*slope, Fp_sub(x, gel(Q, 1), p), p), y, p);
      88                 :    1913872 :   return Q;
      89                 :            : }
      90                 :            : 
      91                 :            : GEN
      92                 :    1907456 : FpE_dbl(GEN P, GEN a4, GEN p)
      93                 :            : {
      94                 :    1907456 :   pari_sp av = avma;
      95                 :            :   GEN slope;
      96                 :    1907456 :   return gerepileupto(av, FpE_dbl_slope(P,a4,p,&slope));
      97                 :            : }
      98                 :            : 
      99                 :            : static GEN
     100                 :    1238483 : FpE_add_slope(GEN P, GEN Q, GEN a4, GEN p, GEN *slope)
     101                 :            : {
     102                 :            :   GEN Px, Py, Qx, Qy, R;
     103         [ +  + ]:    1238483 :   if (ell_is_inf(P)) return Q;
     104         [ -  + ]:    1237044 :   if (ell_is_inf(Q)) return P;
     105                 :    1237157 :   Px = gel(P,1); Py = gel(P,2);
     106                 :    1237157 :   Qx = gel(Q,1); Qy = gel(Q,2);
     107         [ +  + ]:    1237157 :   if (equalii(Px, Qx))
     108                 :            :   {
     109         [ +  + ]:       6483 :     if (equalii(Py, Qy))
     110                 :        545 :       return FpE_dbl_slope(P, a4, p, slope);
     111                 :            :     else
     112                 :       5938 :       return ellinf();
     113                 :            :   }
     114                 :    1230380 :   *slope = Fp_div(Fp_sub(Py, Qy, p), Fp_sub(Px, Qx, p), p);
     115                 :    1230128 :   R = cgetg(3,t_VEC);
     116                 :    1230302 :   gel(R, 1) = Fp_sub(Fp_sub(Fp_sqr(*slope, p), Px, p), Qx, p);
     117                 :    1230233 :   gel(R, 2) = Fp_sub(Fp_mul(*slope, Fp_sub(Px, gel(R, 1), p), p), Py, p);
     118                 :    1238362 :   return R;
     119                 :            : }
     120                 :            : 
     121                 :            : GEN
     122                 :    1235500 : FpE_add(GEN P, GEN Q, GEN a4, GEN p)
     123                 :            : {
     124                 :    1235500 :   pari_sp av = avma;
     125                 :            :   GEN slope;
     126                 :    1235500 :   return gerepileupto(av, FpE_add_slope(P,Q,a4,p,&slope));
     127                 :            : }
     128                 :            : 
     129                 :            : static GEN
     130                 :          0 : FpE_neg_i(GEN P, GEN p)
     131                 :            : {
     132         [ #  # ]:          0 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
     133                 :          0 :   return mkvec2(gel(P,1), Fp_neg(gel(P,2), p));
     134                 :            : }
     135                 :            : 
     136                 :            : GEN
     137                 :     363895 : FpE_neg(GEN P, GEN p)
     138                 :            : {
     139         [ -  + ]:     363895 :   if (ell_is_inf(P)) return ellinf();
     140                 :     363895 :   return mkvec2(gcopy(gel(P,1)), Fp_neg(gel(P,2), p));
     141                 :            : }
     142                 :            : 
     143                 :            : GEN
     144                 :          0 : FpE_sub(GEN P, GEN Q, GEN a4, GEN p)
     145                 :            : {
     146                 :          0 :   pari_sp av = avma;
     147                 :            :   GEN slope;
     148                 :          0 :   return gerepileupto(av, FpE_add_slope(P, FpE_neg_i(Q, p), a4, p, &slope));
     149                 :            : }
     150                 :            : 
     151                 :            : struct _FpE
     152                 :            : {
     153                 :            :   GEN a4,a6;
     154                 :            :   GEN p;
     155                 :            : };
     156                 :            : 
     157                 :            : static GEN
     158                 :    1908092 : _FpE_dbl(void *E, GEN P)
     159                 :            : {
     160                 :    1908092 :   struct _FpE *ell = (struct _FpE *) E;
     161                 :    1908092 :   return FpE_dbl(P, ell->a4, ell->p);
     162                 :            : }
     163                 :            : 
     164                 :            : static GEN
     165                 :    1216509 : _FpE_add(void *E, GEN P, GEN Q)
     166                 :            : {
     167                 :    1216509 :   struct _FpE *ell=(struct _FpE *) E;
     168                 :    1216509 :   return FpE_add(P, Q, ell->a4, ell->p);
     169                 :            : }
     170                 :            : 
     171                 :            : static GEN
     172                 :     475536 : _FpE_mul(void *E, GEN P, GEN n)
     173                 :            : {
     174                 :     475536 :   pari_sp av = avma;
     175                 :     475536 :   struct _FpE *e=(struct _FpE *) E;
     176                 :     475536 :   long s = signe(n);
     177 [ +  - ][ +  + ]:     475536 :   if (!s || ell_is_inf(P)) return ellinf();
     178         [ +  + ]:     475510 :   if (s<0) P = FpE_neg(P, e->p);
     179 [ +  + ][ +  + ]:     475510 :   if (is_pm1(n)) return s>0? gcopy(P): P;
     180                 :     475535 :   return gerepileupto(av, gen_pow(P, n, e, &_FpE_dbl, &_FpE_add));
     181                 :            : }
     182                 :            : 
     183                 :            : GEN
     184                 :        672 : FpE_mul(GEN P, GEN n, GEN a4, GEN p)
     185                 :            : {
     186                 :            :   struct _FpE E;
     187                 :        672 :   E.a4= a4; E.p = p;
     188                 :        672 :   return _FpE_mul(&E, P, n);
     189                 :            : }
     190                 :            : 
     191                 :            : /* Finds a random non-singular point on E */
     192                 :            : 
     193                 :            : GEN
     194                 :      29376 : random_FpE(GEN a4, GEN a6, GEN p)
     195                 :            : {
     196                 :      29376 :   pari_sp ltop = avma;
     197                 :            :   GEN x, x2, y, rhs;
     198                 :            :   do
     199                 :            :   {
     200                 :      51565 :     avma= ltop;
     201                 :      51565 :     x   = randomi(p); /*  x^3+a4*x+a6 = x*(x^2+a4)+a6  */
     202                 :      51565 :     x2  = Fp_sqr(x, p);
     203                 :      51565 :     rhs = Fp_add(Fp_mul(x, Fp_add(x2, a4, p), p), a6, p);
     204         [ -  + ]:       8712 :   } while ((!signe(rhs) && !signe(Fp_add(Fp_mulu(x2,3,p),a4,p)))
     205 [ +  + ][ +  + ]:      60277 :           || kronecker(rhs, p) < 0);
     206                 :      29376 :   y = Fp_sqrt(rhs, p);
     207         [ -  + ]:      29376 :   if (!y) pari_err_PRIME("random_FpE", p);
     208                 :      29376 :   return gerepilecopy(ltop, mkvec2(x, y));
     209                 :            : }
     210                 :            : 
     211                 :            : static GEN
     212                 :      29348 : _FpE_rand(void *E)
     213                 :            : {
     214                 :      29348 :   struct _FpE *e=(struct _FpE *) E;
     215                 :      29348 :   return random_FpE(e->a4, e->a6, e->p);
     216                 :            : }
     217                 :            : 
     218                 :            : static const struct bb_group FpE_group={_FpE_add,_FpE_mul,_FpE_rand,hash_GEN,ZV_equal,ell_is_inf,NULL};
     219                 :            : 
     220                 :            : const struct bb_group *
     221                 :        553 : get_FpE_group(void ** pt_E, GEN a4, GEN a6, GEN p)
     222                 :            : {
     223                 :        553 :   struct _FpE *e = (struct _FpE *) stack_malloc(sizeof(struct _FpE));
     224                 :        553 :   e->a4 = a4; e->a6 = a6; e->p  = p;
     225                 :        553 :   *pt_E = (void *) e;
     226                 :        553 :   return &FpE_group;
     227                 :            : }
     228                 :            : 
     229                 :            : GEN
     230                 :        819 : FpE_order(GEN z, GEN o, GEN a4, GEN p)
     231                 :            : {
     232                 :        819 :   pari_sp av = avma;
     233                 :            :   struct _FpE e;
     234                 :            :   GEN r;
     235         [ +  + ]:        819 :   if (lgefint(p) == 3)
     236                 :            :   {
     237                 :        713 :     ulong pp = p[2];
     238                 :        713 :     r = Fle_order(ZV_to_Flv(z, pp), o, umodiu(a4,pp), pp);
     239                 :            :   }
     240                 :            :   else
     241                 :            :   {
     242                 :        106 :     e.a4 = a4;
     243                 :        106 :     e.p = p;
     244                 :        106 :     r = gen_order(z, o, (void*)&e, &FpE_group);
     245                 :            :   }
     246                 :        819 :   return gerepileuptoint(av, r);
     247                 :            : }
     248                 :            : 
     249                 :            : GEN
     250                 :         42 : FpE_log(GEN a, GEN b, GEN o, GEN a4, GEN p)
     251                 :            : {
     252                 :         42 :   pari_sp av = avma;
     253                 :            :   struct _FpE e;
     254                 :            :   GEN r;
     255         [ +  - ]:         42 :   if (lgefint(p) == 3)
     256                 :            :   {
     257                 :         42 :     ulong pp = p[2];
     258                 :         42 :     r = Fle_log(ZV_to_Flv(a,pp), ZV_to_Flv(b,pp), o, umodiu(a4,pp), pp);
     259                 :            :   }
     260                 :            :   else
     261                 :            :   {
     262                 :          0 :     e.a4 = a4;
     263                 :          0 :     e.p = p;
     264                 :          0 :     r = gen_PH_log(a, b, o, (void*)&e, &FpE_group);
     265                 :            :   }
     266                 :         42 :   return gerepileuptoint(av, r);
     267                 :            : }
     268                 :            : 
     269                 :            : /***********************************************************************/
     270                 :            : /**                                                                   **/
     271                 :            : /**                            Pairings                               **/
     272                 :            : /**                                                                   **/
     273                 :            : /***********************************************************************/
     274                 :            : 
     275                 :            : /* Derived from APIP from and by Jerome Milan, 2012 */
     276                 :            : 
     277                 :            : static GEN
     278                 :      55140 : FpE_vert(GEN P, GEN Q, GEN p)
     279                 :            : {
     280         [ +  + ]:      55140 :   if (ell_is_inf(P))
     281                 :      19224 :     return gen_1;
     282                 :      55140 :   return Fp_sub(gel(Q, 1), gel(P, 1), p);
     283                 :            : }
     284                 :            : 
     285                 :            : /* Computes the equation of the line tangent to R and returns its
     286                 :            :    evaluation at the point Q. Also doubles the point R.
     287                 :            :  */
     288                 :            : 
     289                 :            : static GEN
     290                 :      34370 : FpE_tangent_update(GEN R, GEN Q, GEN a4, GEN p, GEN *pt_R)
     291                 :            : {
     292         [ +  + ]:      34370 :   if (ell_is_inf(R))
     293                 :            :   {
     294                 :       3613 :     *pt_R = ellinf();
     295                 :       3613 :     return gen_1;
     296                 :            :   }
     297         [ +  + ]:      30757 :   else if (signe(gel(R,2)) == 0)
     298                 :            :   {
     299                 :      13826 :     *pt_R = ellinf();
     300                 :      13826 :     return FpE_vert(R, Q, p);
     301                 :            :   } else {
     302                 :            :     GEN slope, tmp1, tmp2;
     303                 :      16931 :     *pt_R = FpE_dbl_slope(R, a4, p, &slope);
     304                 :      16931 :     tmp1 = Fp_sub(gel(Q, 1), gel(R, 1), p);
     305                 :      16931 :     tmp2 = Fp_add(Fp_mul(tmp1, slope, p), gel(R,2), p);
     306                 :      34370 :     return Fp_sub(gel(Q, 2), tmp2, p);
     307                 :            :   }
     308                 :            : }
     309                 :            : 
     310                 :            : /* Computes the equation of the line through R and P, and returns its
     311                 :            :    evaluation at the point Q. Also adds P to the point R.
     312                 :            :  */
     313                 :            : 
     314                 :            : static GEN
     315                 :       4928 : FpE_chord_update(GEN R, GEN P, GEN Q, GEN a4, GEN p, GEN *pt_R)
     316                 :            : {
     317         [ +  + ]:       4928 :   if (ell_is_inf(R))
     318                 :            :   {
     319                 :        231 :     *pt_R = gcopy(P);
     320                 :        231 :     return FpE_vert(P, Q, p);
     321                 :            :   }
     322         [ -  + ]:       4697 :   else if (ell_is_inf(P))
     323                 :            :   {
     324                 :          0 :     *pt_R = gcopy(R);
     325                 :          0 :     return FpE_vert(R, Q, p);
     326                 :            :   }
     327         [ +  + ]:       4697 :   else if (equalii(gel(P, 1), gel(R, 1)))
     328                 :            :   {
     329         [ -  + ]:       1785 :     if (equalii(gel(P, 2), gel(R, 2)))
     330                 :          0 :       return FpE_tangent_update(R, Q, a4, p, pt_R);
     331                 :            :     else {
     332                 :       1785 :       *pt_R = ellinf();
     333                 :       1785 :       return FpE_vert(R, Q, p);
     334                 :            :     }
     335                 :            :   } else {
     336                 :            :     GEN slope, tmp1, tmp2;
     337                 :       2912 :     *pt_R = FpE_add_slope(P, R, a4, p, &slope);
     338                 :       2912 :     tmp1  = Fp_mul(Fp_sub(gel(Q, 1), gel(R, 1), p), slope, p);
     339                 :       2912 :     tmp2  = Fp_add(tmp1, gel(R, 2), p);
     340                 :       4928 :     return Fp_sub(gel(Q, 2), tmp2, p);
     341                 :            :   }
     342                 :            : }
     343                 :            : 
     344                 :            : /* Returns the Miller function f_{m, Q} evaluated at the point P using
     345                 :            :    the standard Miller algorithm.
     346                 :            :  */
     347                 :            : 
     348                 :            : struct _FpE_miller
     349                 :            : {
     350                 :            :   GEN p, a4, P;
     351                 :            : };
     352                 :            : 
     353                 :            : static GEN
     354                 :      34370 : FpE_Miller_dbl(void* E, GEN d)
     355                 :            : {
     356                 :      34370 :   struct _FpE_miller *m = (struct _FpE_miller *)E;
     357                 :      34370 :   GEN p = m->p, a4 = m->a4, P = m->P;
     358                 :            :   GEN v, line;
     359                 :      34370 :   GEN num = Fp_sqr(gel(d,1), p);
     360                 :      34370 :   GEN denom = Fp_sqr(gel(d,2), p);
     361                 :      34370 :   GEN point = gel(d,3);
     362                 :      34370 :   line = FpE_tangent_update(point, P, a4, p, &point);
     363                 :      34370 :   num  = Fp_mul(num, line, p);
     364                 :      34370 :   v = FpE_vert(point, P, p);
     365                 :      34370 :   denom = Fp_mul(denom, v, p);
     366                 :      34370 :   return mkvec3(num, denom, point);
     367                 :            : }
     368                 :            : 
     369                 :            : static GEN
     370                 :       4928 : FpE_Miller_add(void* E, GEN va, GEN vb)
     371                 :            : {
     372                 :       4928 :   struct _FpE_miller *m = (struct _FpE_miller *)E;
     373                 :       4928 :   GEN p = m->p, a4= m->a4, P = m->P;
     374                 :            :   GEN v, line, point;
     375                 :       4928 :   GEN na = gel(va,1), da = gel(va,2), pa = gel(va,3);
     376                 :       4928 :   GEN nb = gel(vb,1), db = gel(vb,2), pb = gel(vb,3);
     377                 :       4928 :   GEN num   = Fp_mul(na, nb, p);
     378                 :       4928 :   GEN denom = Fp_mul(da, db, p);
     379                 :       4928 :   line = FpE_chord_update(pa, pb, P, a4, p, &point);
     380                 :       4928 :   num  = Fp_mul(num, line, p);
     381                 :       4928 :   v = FpE_vert(point, P, p);
     382                 :       4928 :   denom = Fp_mul(denom, v, p);
     383                 :       4928 :   return mkvec3(num, denom, point);
     384                 :            : }
     385                 :            : 
     386                 :            : static GEN
     387                 :      15380 : FpE_Miller(GEN Q, GEN P, GEN m, GEN a4, GEN p)
     388                 :            : {
     389                 :      15380 :   pari_sp ltop = avma;
     390                 :            :   struct _FpE_miller d;
     391                 :            :   GEN v, num, denom;
     392                 :            : 
     393                 :      15380 :   d.a4 = a4; d.p = p; d.P = P;
     394                 :      15380 :   v = gen_pow(mkvec3(gen_1,gen_1,Q), m, (void*)&d, FpE_Miller_dbl, FpE_Miller_add);
     395                 :      15380 :   num = gel(v,1); denom = gel(v,2);
     396 [ +  + ][ -  + ]:      15380 :   if (!signe(num) || !signe(denom)) { avma = ltop; return NULL; }
     397                 :      15380 :   return gerepileupto(ltop, Fp_div(num, denom, p));
     398                 :            : }
     399                 :            : 
     400                 :            : GEN
     401                 :      11232 : FpE_weilpairing(GEN P, GEN Q, GEN m, GEN a4, GEN p)
     402                 :            : {
     403                 :      11232 :   pari_sp ltop = avma;
     404                 :            :   GEN num, denom, result;
     405 [ +  + ][ +  + ]:      11232 :   if (ell_is_inf(P) || ell_is_inf(Q) || ZV_equal(P,Q))
                 [ +  + ]
     406                 :       3325 :     return gen_1;
     407                 :       7907 :   num    = FpE_Miller(P, Q, m, a4, p);
     408         [ +  + ]:       7907 :   if (!num) return gen_1;
     409                 :       7277 :   denom  = FpE_Miller(Q, P, m, a4, p);
     410         [ +  + ]:       7277 :   if (!denom) { avma = ltop; return gen_1; }
     411                 :       6590 :   result = Fp_div(num, denom, p);
     412         [ +  + ]:       6590 :   if (mpodd(m))
     413                 :        595 :     result  = Fp_neg(result, p);
     414                 :      11232 :   return gerepileupto(ltop, result);
     415                 :            : }
     416                 :            : 
     417                 :            : GEN
     418                 :        196 : FpE_tatepairing(GEN P, GEN Q, GEN m, GEN a4, GEN p)
     419                 :            : {
     420                 :            :   GEN num;
     421 [ +  - ][ -  + ]:        196 :   if (ell_is_inf(P) || ell_is_inf(Q))
     422                 :          0 :     return gen_1;
     423                 :        196 :   num = FpE_Miller(P, Q, m, a4, p);
     424         [ +  + ]:        196 :   return num? num: gen_1;
     425                 :            : }
     426                 :            : 
     427                 :            : /***********************************************************************/
     428                 :            : /**                                                                   **/
     429                 :            : /**                   CM by principal order                           **/
     430                 :            : /**                                                                   **/
     431                 :            : /***********************************************************************/
     432                 :            : 
     433                 :            : /* is jn/jd = J (mod p) */
     434                 :            : static int
     435                 :      35581 : is_CMj(long J, GEN jn, GEN jd, GEN p)
     436                 :      35581 : { return remii(subii(mulis(jd,J), jn), p) == gen_0; }
     437                 :            : #ifndef LONG_IS_64BIT
     438                 :            : /* is jn/jd = -(2^32 a + b) (mod p) */
     439                 :            : static int
     440                 :        756 : u2_is_CMj(ulong a, ulong b, GEN jn, GEN jd, GEN p)
     441                 :            : {
     442                 :        756 :   GEN mJ = uu32toi(a,b);
     443                 :        756 :   return remii(addii(mulii(jd,mJ), jn), p) == gen_0;
     444                 :            : }
     445                 :            : #endif
     446                 :            : 
     447                 :            : static long
     448                 :       2996 : Fp_ellj_get_CM(GEN jn, GEN jd, GEN p)
     449                 :            : {
     450                 :            : #define CHECK(CM,J) if (is_CMj(J,jn,jd,p)) return CM;
     451         [ +  + ]:       2996 :   CHECK(-3,  0);
     452         [ +  + ]:       2954 :   CHECK(-4,  1728);
     453         [ +  + ]:       2905 :   CHECK(-7,  -3375);
     454         [ +  + ]:       2863 :   CHECK(-8,  8000);
     455         [ +  + ]:       2842 :   CHECK(-11, -32768);
     456         [ +  + ]:       2828 :   CHECK(-12, 54000);
     457         [ -  + ]:       2786 :   CHECK(-16, 287496);
     458         [ +  + ]:       2786 :   CHECK(-19, -884736);
     459         [ +  + ]:       2737 :   CHECK(-27, -12288000);
     460         [ +  + ]:       2695 :   CHECK(-28, 16581375);
     461         [ +  + ]:       2653 :   CHECK(-43, -884736000);
     462                 :            : #ifdef LONG_IS_64BIT
     463         [ -  + ]:       2268 :   CHECK(-67, -147197952000);
     464         [ +  + ]:       2268 :   CHECK(-163, -262537412640768000);
     465                 :            : #else
     466         [ -  + ]:        378 :   if (u2_is_CMj(0x00000022UL,0x45ae8000UL,jn,jd,p)) return -67;
     467         [ +  + ]:        378 :   if (u2_is_CMj(0x03a4b862UL,0xc4b40000UL,jn,jd,p)) return -163;
     468                 :            : #endif
     469                 :            : #undef CHECK
     470                 :       2996 :   return 0;
     471                 :            : }
     472                 :            : 
     473                 :            : /***********************************************************************/
     474                 :            : /**                                                                   **/
     475                 :            : /**                            issupersingular                        **/
     476                 :            : /**                                                                   **/
     477                 :            : /***********************************************************************/
     478                 :            : 
     479                 :            : /* assume x reduced mod p, monic. Return one root, or NULL if irreducible */
     480                 :            : static GEN
     481                 :       5565 : FqX_quad_root(GEN x, GEN T, GEN p)
     482                 :            : {
     483                 :       5565 :   GEN b = gel(x,3), c = gel(x,2);
     484                 :       5565 :   GEN D = Fq_sub(Fq_sqr(b, T, p), Fq_mulu(c,4, T, p), T, p);
     485                 :       5565 :   GEN s = Fq_sqrt(D,T, p);
     486         [ +  + ]:       5565 :   if (!s) return NULL;
     487                 :       5565 :   return Fq_Fp_mul(Fq_sub(s, b, T, p), shifti(addis(p, 1),-1),T, p);
     488                 :            : }
     489                 :            : 
     490                 :            : /*
     491                 :            :  * pol is the modular polynomial of level 2 modulo p.
     492                 :            :  *
     493                 :            :  * (T, p) defines the field FF_{p^2} in which j_prev and j live.
     494                 :            :  */
     495                 :            : static long
     496                 :       2541 : path_extends_to_floor(GEN j_prev, GEN j, GEN T, GEN p, GEN Phi2, ulong max_len)
     497                 :            : {
     498                 :       2541 :   pari_sp ltop = avma;
     499                 :            :   GEN Phi2_j;
     500                 :            :   ulong mult, d;
     501                 :            : 
     502                 :            :   /* A path made its way to the floor if (i) its length was cut off
     503                 :            :    * before reaching max_path_len, or (ii) it reached max_path_len but
     504                 :            :    * only has one neighbour. */
     505         [ +  + ]:       5831 :   for (d = 1; d < max_len; ++d) {
     506                 :            :     GEN j_next;
     507                 :            : 
     508                 :       5565 :     Phi2_j = FqX_div_by_X_x(FqXY_evalx(Phi2, j, T, p), j_prev, T, p, NULL);
     509                 :       5565 :     j_next = FqX_quad_root(Phi2_j, T, p);
     510         [ +  + ]:       5565 :     if (!j_next)
     511                 :            :     { /* j is on the floor */
     512                 :       2275 :       avma = ltop;
     513                 :       2275 :       return 1;
     514                 :            :     }
     515                 :            : 
     516                 :       3290 :     j_prev = j; j = j_next;
     517         [ -  + ]:       3290 :     if (gc_needed(ltop, 2))
     518                 :          0 :       gerepileall(ltop, 2, &j, &j_prev);
     519                 :            :   }
     520                 :            : 
     521                 :            :   /* Check that we didn't end up at the floor on the last step (j will
     522                 :            :    * point to the last element in the path. */
     523                 :        266 :   Phi2_j = FqX_div_by_X_x(FqXY_evalx(Phi2, j, T, p), j_prev, T, p, NULL);
     524                 :        266 :   mult = FqX_nbroots(Phi2_j, T, p);
     525                 :        266 :   avma = ltop;
     526                 :       2541 :   return mult == 0;
     527                 :            : }
     528                 :            : 
     529                 :            : static int
     530                 :      13783 : jissupersingular(GEN j, GEN S, GEN p)
     531                 :            : {
     532                 :      13783 :   long max_path_len = expi(p)+1;
     533                 :      13783 :   GEN Phi2 = FpXX_red(polmodular_ZXX(2,0,1), p);
     534                 :      13783 :   GEN Phi2_j = FqXY_evalx(Phi2, j, S, p);
     535                 :      13783 :   GEN roots = FqX_roots(Phi2_j, S, p);
     536                 :      13783 :   long nbroots = lg(roots)-1;
     537                 :      13783 :   int res = 1;
     538                 :            : 
     539                 :            :   /* Every node in a supersingular L-volcano has L + 1 neighbours. */
     540                 :            :   /* Note: a multiple root only occur when j has CM by sqrt(-15). */
     541 [ +  + ][ +  + ]:      13783 :   if (nbroots==0 || (nbroots==1 && FqX_is_squarefree(Phi2_j, S, p)))
                 [ +  - ]
     542                 :      11396 :     res = 0;
     543                 :            :   else {
     544                 :       2387 :     long i, l = lg(roots);
     545         [ +  + ]:       2555 :     for (i = 1; i < l; ++i) {
     546         [ +  + ]:       2541 :       if (path_extends_to_floor(j, gel(roots, i), S, p, Phi2, max_path_len)) {
     547                 :       2373 :         res = 0;
     548                 :       2373 :         break;
     549                 :            :       }
     550                 :            :     }
     551                 :            :   }
     552                 :            :   /* If none of the paths reached the floor, then the j-invariant is
     553                 :            :    * supersingular. */
     554                 :      13783 :   return res;
     555                 :            : }
     556                 :            : 
     557                 :            : int
     558                 :        952 : Fp_elljissupersingular(GEN j, GEN p)
     559                 :            : {
     560                 :        952 :   pari_sp ltop = avma;
     561                 :            :   long CM;
     562         [ +  + ]:        952 :   if (cmpiu(p, 5) <= 0) return signe(j) == 0; /* valid if p <= 5 */
     563                 :        875 :   CM = Fp_ellj_get_CM(j, gen_1, p);
     564         [ +  + ]:        875 :   if (CM < 0) return krosi(CM, p) < 0; /* valid if p > 3 */
     565                 :            :   else
     566                 :            :   {
     567                 :        553 :     GEN S = init_Fq(p, 2, fetch_var());
     568                 :        553 :     int res = jissupersingular(j, S, p);
     569                 :        952 :     (void)delete_var(); avma = ltop; return res;
     570                 :            :   }
     571                 :            : }
     572                 :            : 
     573                 :            : /***********************************************************************/
     574                 :            : /**                                                                   **/
     575                 :            : /**                            Cardinal                               **/
     576                 :            : /**                                                                   **/
     577                 :            : /***********************************************************************/
     578                 :            : 
     579                 :            : /*assume a4,a6 reduced mod p and 3 < p < 1627 */
     580                 :            : static ulong
     581                 :      37355 : Fl_ellcard_naive(ulong a4, ulong a6, ulong p)
     582                 :            : {
     583                 :            :   ulong i;
     584                 :      37355 :   long a = p+1;
     585         [ +  + ]:     918272 :   for(i=0; i<p; i++)
     586                 :     880917 :     a += krouu((i*i+a4)*i+a6,p); /* no overflow */
     587                 :      37355 :   return a;
     588                 :            : }
     589                 :            : 
     590                 :            : /* z1 <-- z1 + z2, with precomputed inverse */
     591                 :            : static void
     592                 :     305362 : FpE_add_ip(GEN z1, GEN z2, GEN a4, GEN p, GEN p2inv)
     593                 :            : {
     594                 :            :   GEN p1,x,x1,x2,y,y1,y2;
     595                 :            : 
     596                 :     305362 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
     597                 :     305362 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
     598         [ +  + ]:     305362 :   if (x1 == x2)
     599                 :         66 :     p1 = Fp_add(a4, mulii(x1,mului(3,x1)), p);
     600                 :            :   else
     601                 :     305296 :     p1 = Fp_sub(y2,y1, p);
     602                 :            : 
     603                 :     305362 :   p1 = Fp_mul(p1, p2inv, p);
     604                 :     305362 :   x = Fp_sub(sqri(p1), addii(x1,x2), p);
     605                 :     305362 :   y = Fp_sub(mulii(p1,subii(x1,x)), y1, p);
     606                 :     305362 :   affii(x, x1);
     607                 :     305362 :   affii(y, y1);
     608                 :     305362 : }
     609                 :            : 
     610                 :            : /* make sure *x has lgefint >= k */
     611                 :            : static void
     612                 :      18872 : _fix(GEN x, long k)
     613                 :            : {
     614                 :      18872 :   GEN y = (GEN)*x;
     615         [ +  + ]:      18872 :   if (lgefint(y) < k) { GEN p1 = cgeti(k); affii(y,p1); *x = (long)p1; }
     616                 :      18872 : }
     617                 :            : 
     618                 :            : /* Return the lift of a (mod b), which is closest to c */
     619                 :            : static GEN
     620                 :     104646 : closest_lift(GEN a, GEN b, GEN c)
     621                 :            : {
     622                 :     104646 :   return addii(a, mulii(b, diviiround(subii(c,a), b)));
     623                 :            : }
     624                 :            : 
     625                 :            : static long
     626                 :         77 : get_table_size(GEN pordmin, GEN B)
     627                 :            : {
     628                 :         77 :   pari_sp av = avma;
     629                 :         77 :   GEN t = ceilr( sqrtr( divri(itor(pordmin, DEFAULTPREC), B) ) );
     630         [ -  + ]:         77 :   if (is_bigint(t))
     631                 :          0 :     pari_err_OVERFLOW("ellap [large prime: install the 'seadata' package]");
     632                 :         77 :   avma = av;
     633                 :         77 :   return itos(t) >> 1;
     634                 :            : }
     635                 :            : 
     636                 :            : /* Find x such that kronecker(u = x^3+c4x+c6, p) is KRO.
     637                 :            :  * Return point [x*u,u^2] on E (KRO=1) / E^twist (KRO=-1) */
     638                 :            : static GEN
     639                 :          0 : Fp_ellpoint(long KRO, ulong *px, GEN c4, GEN c6, GEN p)
     640                 :            : {
     641                 :          0 :   ulong x = *px;
     642                 :            :   GEN u;
     643                 :            :   for(;;)
     644                 :            :   {
     645                 :          0 :     x++; /* u = x^3 + c4 x + c6 */
     646                 :          0 :     u = modii(addii(c6, mului(x, addii(c4, sqru(x)))), p);
     647         [ #  # ]:          0 :     if (kronecker(u,p) == KRO) break;
     648                 :          0 :   }
     649                 :          0 :   *px = x;
     650                 :          0 :   return mkvec2(modii(mului(x,u),p), Fp_sqr(u,p));
     651                 :            : }
     652                 :            : static GEN
     653                 :       3472 : Fl_ellpoint(long KRO, ulong *px, ulong c4, ulong c6, ulong p)
     654                 :            : {
     655                 :       3472 :   ulong t, u, x = *px;
     656                 :            :   for(;;)
     657                 :            :   {
     658         [ -  + ]:       6444 :     if (++x >= p) pari_err_PRIME("ellap",utoi(p));
     659                 :       6444 :     t = Fl_add(c4, Fl_sqr(x,p), p);
     660                 :       6444 :     u = Fl_add(c6, Fl_mul(x, t, p), p);
     661         [ +  + ]:       6444 :     if (krouu(u,p) == KRO) break;
     662                 :       2972 :   }
     663                 :       3472 :   *px = x;
     664                 :       3472 :   return mkvecsmall2(Fl_mul(x,u,p), Fl_sqr(u,p));
     665                 :            : }
     666                 :            : 
     667                 :            : static GEN ap_j1728(GEN a4,GEN p);
     668                 :            : /* compute a_p using Shanks/Mestre + Montgomery's trick. Assume p > 457 */
     669                 :            : static GEN
     670                 :         77 : Fp_ellcard_Shanks(GEN c4, GEN c6, GEN p)
     671                 :            : {
     672                 :            :   pari_timer T;
     673                 :            :   long *tx, *ty, *ti, pfinal, i, j, s, KRO, nb;
     674                 :            :   ulong x;
     675                 :         77 :   pari_sp av = avma, av2;
     676                 :            :   GEN p1, P, mfh, h, F,f, fh,fg, pordmin, u, v, p1p, p2p, A, B, a4, pts;
     677                 :         77 :   tx = NULL;
     678                 :         77 :   ty = ti = NULL; /* gcc -Wall */
     679                 :            : 
     680         [ -  + ]:         77 :   if (!signe(c6)) {
     681                 :          0 :     GEN ap = ap_j1728(c4, p);
     682                 :          0 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
     683                 :            :   }
     684                 :            : 
     685         [ -  + ]:         77 :   if (DEBUGLEVEL) timer_start(&T);
     686                 :            :   /* once #E(Fp) is know mod B >= pordmin, it is completely determined */
     687                 :         77 :   pordmin = addis(sqrti(gmul2n(p,4)), 1); /* ceil( 4sqrt(p) ) */
     688                 :         77 :   p1p = addsi(1, p);
     689                 :         77 :   p2p = shifti(p1p, 1);
     690                 :         77 :   x = 0; KRO = 0;
     691                 :            :   /* how many 2-torsion points ? */
     692      [ +  +  + ]:         77 :   switch(FpX_nbroots(mkpoln(4, gen_1, gen_0, c4, c6), p))
     693                 :            :   {
     694                 :          9 :     case 3:  A = gen_0; B = utoipos(4); break;
     695                 :         31 :     case 1:  A = gen_0; B = gen_2; break;
     696                 :         37 :     default: A = gen_1; B = gen_2; break; /* 0 */
     697                 :            :   }
     698                 :            :   for(;;)
     699                 :            :   {
     700                 :         77 :     h = closest_lift(A, B, p1p);
     701         [ +  - ]:         77 :     if (!KRO) /* first time, initialize */
     702                 :            :     {
     703                 :         77 :       KRO = kronecker(c6,p);
     704                 :         77 :       f = mkvec2(gen_0, Fp_sqr(c6,p));
     705                 :            :     }
     706                 :            :     else
     707                 :            :     {
     708                 :          0 :       KRO = -KRO;
     709                 :          0 :       f = Fp_ellpoint(KRO, &x, c4,c6,p);
     710                 :            :     }
     711                 :            :     /* [ux, u^2] is on E_u: y^2 = x^3 + c4 u^2 x + c6 u^3
     712                 :            :      * E_u isomorphic to E (resp. E') iff KRO = 1 (resp. -1)
     713                 :            :      * #E(F_p) = p+1 - a_p, #E'(F_p) = p+1 + a_p
     714                 :            :      *
     715                 :            :      * #E_u(Fp) = A (mod B),  h is close to #E_u(Fp) */
     716                 :         77 :     a4 = modii(mulii(c4, gel(f,2)), p); /* c4 for E_u */
     717                 :         77 :     fh = FpE_mul(f, h, a4, p);
     718         [ -  + ]:         77 :     if (ell_is_inf(fh)) goto FOUND;
     719                 :            : 
     720                 :         77 :     s = get_table_size(pordmin, B);
     721                 :            :     /* look for h s.t f^h = 0 */
     722         [ +  - ]:         77 :     if (!tx)
     723                 :            :     { /* first time: initialize */
     724                 :         77 :       tx = newblock(3*(s+1));
     725                 :         77 :       ty = tx + (s+1);
     726                 :         77 :       ti = ty + (s+1);
     727                 :            :     }
     728                 :         77 :     F = FpE_mul(f,B,a4,p);
     729                 :         77 :     *tx = evaltyp(t_VECSMALL) | evallg(s+1);
     730                 :            : 
     731                 :            :     /* F = B.f */
     732                 :         77 :     P = gcopy(fh);
     733         [ -  + ]:         77 :     if (s < 3)
     734                 :            :     { /* we're nearly done: naive search */
     735                 :          0 :       GEN q1 = P, mF = FpE_neg(F, p); /* -F */
     736                 :          0 :       for (i=1;; i++)
     737                 :            :       {
     738                 :          0 :         P = FpE_add(P,F,a4,p); /* h.f + i.F */
     739         [ #  # ]:          0 :         if (ell_is_inf(P)) { h = addii(h, mului(i,B)); goto FOUND; }
     740                 :          0 :         q1 = FpE_add(q1,mF,a4,p); /* h.f - i.F */
     741         [ #  # ]:          0 :         if (ell_is_inf(q1)) { h = subii(h, mului(i,B)); goto FOUND; }
     742                 :          0 :       }
     743                 :            :     }
     744                 :            :     /* Baby Step/Giant Step */
     745                 :         77 :     nb = minss(128, s >> 1); /* > 0. Will do nb pts at a time: faster inverse */
     746                 :         77 :     pts = cgetg(nb+1, t_VEC);
     747                 :         77 :     j = lgefint(p);
     748         [ +  + ]:       9513 :     for (i=1; i<=nb; i++)
     749                 :            :     { /* baby steps */
     750                 :       9436 :       gel(pts,i) = P; /* h.f + (i-1).F */
     751                 :       9436 :       _fix(P+1, j); tx[i] = mod2BIL(gel(P,1));
     752                 :       9436 :       _fix(P+2, j); ty[i] = mod2BIL(gel(P,2));
     753                 :       9436 :       P = FpE_add(P,F,a4,p); /* h.f + i.F */
     754         [ -  + ]:       9436 :       if (ell_is_inf(P)) { h = addii(h, mului(i,B)); goto FOUND; }
     755                 :            :     }
     756                 :         77 :     mfh = FpE_neg(fh, p);
     757                 :         77 :     fg = FpE_add(P,mfh,a4,p); /* h.f + nb.F - h.f = nb.F */
     758         [ -  + ]:         77 :     if (ell_is_inf(fg)) { h = mului(nb,B); goto FOUND; }
     759                 :         77 :     u = cgetg(nb+1, t_VEC);
     760                 :         77 :     av2 = avma; /* more baby steps, nb points at a time */
     761         [ +  + ]:       1354 :     while (i <= s)
     762                 :            :     {
     763                 :            :       long maxj;
     764         [ +  + ]:     164151 :       for (j=1; j<=nb; j++) /* adding nb.F (part 1) */
     765                 :            :       {
     766                 :     162874 :         P = gel(pts,j); /* h.f + (i-nb-1+j-1).F */
     767                 :     162874 :         gel(u,j) = subii(gel(fg,1), gel(P,1));
     768         [ +  + ]:     162874 :         if (!signe(gel(u,j))) /* sum = 0 or doubling */
     769                 :            :         {
     770                 :          1 :           long k = i+j-2;
     771         [ +  - ]:          1 :           if (equalii(gel(P,2),gel(fg,2))) k -= 2*nb; /* fg == P */
     772                 :          1 :           h = addii(h, mulsi(k,B)); goto FOUND;
     773                 :            :         }
     774                 :            :       }
     775                 :       1277 :       v = FpV_inv(u, p);
     776         [ +  + ]:       1277 :       maxj = (i-1 + nb <= s)? nb: s % nb;
     777         [ +  + ]:     160461 :       for (j=1; j<=maxj; j++,i++) /* adding nb.F (part 2) */
     778                 :            :       {
     779                 :     159184 :         P = gel(pts,j);
     780                 :     159184 :         FpE_add_ip(P,fg, a4,p, gel(v,j));
     781                 :     159184 :         tx[i] = mod2BIL(gel(P,1));
     782                 :     159184 :         ty[i] = mod2BIL(gel(P,2));
     783                 :            :       }
     784                 :       1277 :       avma = av2;
     785                 :            :     }
     786                 :         76 :     P = FpE_add(gel(pts,j-1),mfh,a4,p); /* = (s-1).F */
     787         [ -  + ]:         76 :     if (ell_is_inf(P)) { h = mului(s-1,B); goto FOUND; }
     788         [ -  + ]:         76 :     if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&T, "[Fp_ellcard_Shanks] baby steps, s = %ld",s);
     789                 :            : 
     790                 :            :     /* giant steps: fg = s.F */
     791                 :         76 :     fg = FpE_add(P,F,a4,p);
     792         [ -  + ]:         76 :     if (ell_is_inf(fg)) { h = mului(s,B); goto FOUND; }
     793                 :         76 :     pfinal = mod2BIL(p); av2 = avma;
     794                 :            :     /* Goal of the following: sort points by increasing x-coordinate hash.
     795                 :            :      * Done in a complicated way to avoid allocating a large temp vector */
     796                 :         76 :     p1 = vecsmall_indexsort(tx); /* = permutation sorting tx */
     797         [ +  + ]:     168617 :     for (i=1; i<=s; i++) ti[i] = tx[p1[i]];
     798                 :            :     /* ti = tx sorted */
     799         [ +  + ]:     168617 :     for (i=1; i<=s; i++) { tx[i] = ti[i]; ti[i] = ty[p1[i]]; }
     800                 :            :     /* tx is sorted. ti = ty sorted */
     801         [ +  + ]:     168617 :     for (i=1; i<=s; i++) { ty[i] = ti[i]; ti[i] = p1[i]; }
     802                 :            :     /* ty is sorted. ti = permutation sorting tx */
     803         [ -  + ]:         76 :     if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&T, "[Fp_ellcard_Shanks] sorting");
     804                 :         76 :     avma = av2;
     805                 :            : 
     806                 :         76 :     gaffect(fg, gel(pts,1));
     807         [ +  + ]:       9357 :     for (j=2; j<=nb; j++) /* pts[j] = j.fg = (s*j).F */
     808                 :            :     {
     809                 :       9281 :       P = FpE_add(gel(pts,j-1),fg,a4,p);
     810         [ -  + ]:       9281 :       if (ell_is_inf(P)) { h = mulii(mulss(s,j), B); goto FOUND; }
     811                 :       9281 :       gaffect(P, gel(pts,j));
     812                 :            :     }
     813                 :            :     /* replace fg by nb.fg since we do nb points at a time */
     814                 :         76 :     avma = av2;
     815                 :         76 :     fg = gcopy(gel(pts,nb)); /* copy: we modify (temporarily) pts[nb] below */
     816                 :         76 :     av2 = avma;
     817                 :            : 
     818                 :         76 :     for (i=1,j=1; ; i++)
     819                 :            :     {
     820                 :     151888 :       GEN ftest = gel(pts,j);
     821                 :     151888 :       long m, l = 1, r = s+1;
     822                 :            :       long k, k2, j2;
     823                 :            : 
     824                 :     151888 :       avma = av2;
     825                 :     151888 :       k = mod2BIL(gel(ftest,1));
     826         [ +  + ]:    1928727 :       while (l < r)
     827                 :            :       {
     828                 :    1776839 :         m = (l+r) >> 1;
     829         [ +  + ]:    1776839 :         if (tx[m] < k) l = m+1; else r = m;
     830                 :            :       }
     831 [ +  + ][ +  + ]:     151888 :       if (r <= s && tx[r] == k)
     832                 :            :       {
     833 [ +  - ][ +  + ]:        152 :         while (r && tx[r] == k) r--;
     834                 :         76 :         k2 = mod2BIL(gel(ftest,2));
     835 [ +  - ][ +  - ]:         76 :         for (r++; r <= s && tx[r] == k; r++)
     836 [ +  + ][ +  - ]:         76 :           if (ty[r] == k2 || ty[r] == pfinal - k2)
     837                 :            :           { /* [h+j2] f == +/- ftest (= [i.s] f)? */
     838                 :         76 :             j2 = ti[r] - 1;
     839         [ -  + ]:         76 :             if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&T, "[Fp_ellcard_Shanks] giant steps, i = %ld",i);
     840                 :         76 :             P = FpE_add(FpE_mul(F,stoi(j2),a4,p),fh,a4,p);
     841         [ +  - ]:         76 :             if (equalii(gel(P,1), gel(ftest,1)))
     842                 :            :             {
     843         [ +  + ]:         76 :               if (equalii(gel(P,2), gel(ftest,2))) i = -i;
     844                 :         76 :               h = addii(h, mulii(addis(mulss(s,i), j2), B));
     845                 :         76 :               goto FOUND;
     846                 :            :             }
     847                 :            :           }
     848                 :            :       }
     849         [ +  + ]:     151812 :       if (++j > nb)
     850                 :            :       { /* compute next nb points */
     851                 :       1146 :         long save = 0; /* gcc -Wall */;
     852         [ +  + ]:     147324 :         for (j=1; j<=nb; j++)
     853                 :            :         {
     854                 :     146178 :           P = gel(pts,j);
     855                 :     146178 :           gel(u,j) = subii(gel(fg,1), gel(P,1));
     856         [ +  + ]:     146178 :           if (gel(u,j) == gen_0) /* occurs once: i = j = nb, P == fg */
     857                 :            :           {
     858                 :         66 :             gel(u,j) = shifti(gel(P,2),1);
     859                 :         66 :             save = fg[1]; fg[1] = P[1];
     860                 :            :           }
     861                 :            :         }
     862                 :       1146 :         v = FpV_inv(u, p);
     863         [ +  + ]:     147324 :         for (j=1; j<=nb; j++)
     864                 :     146178 :           FpE_add_ip(gel(pts,j),fg,a4,p, gel(v,j));
     865         [ +  + ]:       1146 :         if (i == nb) { fg[1] = save; }
     866                 :       1146 :         j = 1;
     867                 :            :       }
     868                 :     151812 :     }
     869                 :            : FOUND: /* found a point of exponent h on E_u */
     870                 :         77 :     h = FpE_order(f, h, a4, p);
     871                 :            :     /* h | #E_u(Fp) = A (mod B) */
     872                 :         77 :     A = Z_chinese_all(A, gen_0, B, h, &B);
     873         [ +  - ]:         77 :     if (cmpii(B, pordmin) >= 0) break;
     874                 :            :     /* not done: update A mod B for the _next_ curve, isomorphic to
     875                 :            :      * the quadratic twist of this one */
     876                 :          0 :     A = remii(subii(p2p,A), B); /* #E(Fp)+#E'(Fp) = 2p+2 */
     877                 :          0 :   }
     878         [ +  - ]:         77 :   if (tx) killblock(tx);
     879                 :         77 :   h = closest_lift(A, B, p1p);
     880         [ +  + ]:         77 :   return gerepileuptoint(av, KRO==1? h: subii(p2p,h));
     881                 :            : }
     882                 :            : 
     883                 :            : typedef struct
     884                 :            : {
     885                 :            :   ulong x,y,i;
     886                 :            : } multiple;
     887                 :            : 
     888                 :            : static int
     889 [ +  + ][ +  + ]:   12416283 : compare_multiples(multiple *a, multiple *b) { return a->x > b->x? 1:a->x<b->x?-1:0; }
     890                 :            : 
     891                 :            : /* find x such that h := a + b x is closest to c and return h:
     892                 :            :  * x = round((c-a) / b) = floor( (2(c-a) + b) / 2b )
     893                 :            :  * Assume 0 <= a < b < c  and b + 2c < 2^BIL */
     894                 :            : static ulong
     895                 :     107964 : uclosest_lift(ulong a, ulong b, ulong c)
     896                 :            : {
     897                 :     107964 :   ulong x = (b + ((c-a) << 1)) / (b << 1);
     898                 :     107964 :   return a + b * x;
     899                 :            : }
     900                 :            : 
     901                 :            : static long
     902                 :      92210 : Fle_dbl_inplace(GEN P, ulong a4, ulong p)
     903                 :            : {
     904                 :            :   ulong x, y, slope;
     905         [ +  + ]:      92210 :   if (!P[2]) return 1;
     906                 :      92182 :   x = P[1]; y = P[2];
     907                 :      92182 :   slope = Fl_div(Fl_add(Fl_triple(Fl_sqr(x,p), p), a4, p),
     908                 :            :                  Fl_double(y, p), p);
     909                 :      92182 :   P[1] = Fl_sub(Fl_sqr(slope, p), Fl_double(x, p), p);
     910                 :      92182 :   P[2] = Fl_sub(Fl_mul(slope, Fl_sub(x, P[1], p), p), y, p);
     911                 :      92210 :   return 0;
     912                 :            : }
     913                 :            : 
     914                 :            : static long
     915                 :    3408782 : Fle_add_inplace(GEN P, GEN Q, ulong a4, ulong p)
     916                 :            : {
     917                 :            :   ulong Px, Py, Qx, Qy, slope;
     918         [ -  + ]:    3408782 :   if (ell_is_inf(Q)) return 0;
     919                 :    3408782 :   Px = P[1]; Py = P[2];
     920                 :    3408782 :   Qx = Q[1]; Qy = Q[2];
     921         [ +  + ]:    3408782 :   if (Px==Qx)
     922         [ +  + ]:      97509 :     return Py==Qy ? Fle_dbl_inplace(P, a4, p): 1;
     923                 :    3311273 :   slope = Fl_div(Fl_sub(Py, Qy, p), Fl_sub(Px, Qx, p), p);
     924                 :    3311273 :   P[1] = Fl_sub(Fl_sub(Fl_sqr(slope, p), Px, p), Qx, p);
     925                 :    3311273 :   P[2] = Fl_sub(Fl_mul(slope, Fl_sub(Px, P[1], p), p), Py, p);
     926                 :    3408782 :   return 0;
     927                 :            : }
     928                 :            : 
     929                 :            : /* assume 99 < p < 2^(BIL-1) - 2^((BIL+1)/2) and e has good reduction at p.
     930                 :            :  * Should use Barett reduction + multi-inverse. See Fp_ellcard_Shanks() */
     931                 :            : static long
     932                 :     104506 : Fl_ellcard_Shanks(ulong c4, ulong c6, ulong p)
     933                 :            : {
     934                 :            :   GEN f, fh, fg, ftest, F;
     935                 :            :   ulong i, l, r, s, h, x, cp4, p1p, p2p, pordmin,A,B;
     936                 :            :   long KRO;
     937                 :     104506 :   pari_sp av = avma;
     938                 :            :   multiple *table;
     939                 :            : 
     940         [ +  + ]:     104506 :   if (!c6) {
     941                 :         14 :     GEN ap = ap_j1728(utoi(c4), utoipos(p));
     942                 :         14 :     avma = av; return p+1 - itos(ap);
     943                 :            :   }
     944                 :            : 
     945                 :     104492 :   pordmin = (ulong)(1 + 4*sqrt((double)p));
     946                 :     104492 :   p1p = p+1;
     947                 :     104492 :   p2p = p1p << 1;
     948                 :     104492 :   x = 0; KRO = 0;
     949      [ +  +  + ]:     104492 :   switch(Flx_nbroots(mkvecsmall5(0L, c6,c4,0L,1L), p))
     950                 :            :   {
     951                 :      18201 :     case 3:  A = 0; B = 4; break;
     952                 :      51337 :     case 1:  A = 0; B = 2; break;
     953                 :      34954 :     default: A = 1; B = 2; break; /* 0 */
     954                 :            :   }
     955                 :            :   for(;;)
     956                 :            :   { /* see comments in Fp_ellcard_Shanks */
     957                 :     107964 :     h = uclosest_lift(A, B, p1p);
     958         [ +  + ]:     107964 :     if (!KRO) /* first time, initialize */
     959                 :            :     {
     960                 :     104492 :       KRO = krouu(c6,p); /* != 0 */
     961                 :     104492 :       f = mkvecsmall2(0, Fl_sqr(c6,p));
     962                 :            :     }
     963                 :            :     else
     964                 :            :     {
     965                 :       3472 :       KRO = -KRO;
     966                 :       3472 :       f = Fl_ellpoint(KRO, &x, c4,c6,p);
     967                 :            :     }
     968                 :     107964 :     cp4 = Fl_mul(c4, f[2], p);
     969                 :     107964 :     fh = Fle_mulu(f, h, cp4, p);
     970         [ +  + ]:     107964 :     if (ell_is_inf(fh)) goto FOUND;
     971                 :            : 
     972                 :     104585 :     s = (ulong) (sqrt(((double)pordmin)/B) / 2);
     973         [ +  + ]:     104585 :     if (!s) s = 1;
     974                 :     104585 :     table = (multiple *) stack_malloc((s+1) * sizeof(multiple));
     975                 :     104585 :     F = Fle_mulu(f, B, cp4, p);
     976         [ +  + ]:    1912088 :     for (i=0; i < s; i++)
     977                 :            :     {
     978                 :    1812830 :       table[i].x = fh[1];
     979                 :    1812830 :       table[i].y = fh[2];
     980                 :    1812830 :       table[i].i = i;
     981         [ +  + ]:    1812830 :       if (Fle_add_inplace(fh, F, cp4, p)) { h += B*(i+1); goto FOUND; }
     982                 :            :     }
     983                 :      99258 :     qsort(table,s,sizeof(multiple),(QSCOMP)compare_multiples);
     984                 :      99258 :     fg = Fle_mulu(F, s, cp4, p); ftest = zv_copy(fg);
     985         [ -  + ]:      99258 :     if (ell_is_inf(ftest)) {
     986         [ #  # ]:          0 :       if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("ellap",utoi(p));
     987                 :          0 :       pari_err_BUG("ellap (f^(i*s) = 1)");
     988                 :            :     }
     989                 :      99258 :     for (i=1; ; i++)
     990                 :            :     {
     991                 :    1695210 :       l=0; r=s;
     992         [ +  + ]:   14983655 :       while (l<r)
     993                 :            :       {
     994                 :   13288445 :         ulong m = (l+r) >> 1;
     995         [ +  + ]:   13288445 :         if (table[m].x < uel(ftest,1)) l=m+1; else r=m;
     996                 :            :       }
     997 [ +  + ][ +  + ]:    1695210 :       if (r < s && table[r].x == uel(ftest,1)) break;
     998         [ -  + ]:    1595952 :       if (Fle_add_inplace(ftest, fg, cp4, p))
     999                 :          0 :         pari_err_PRIME("ellap",utoi(p));
    1000                 :    1595952 :     }
    1001                 :      99258 :     h += table[r].i * B;
    1002         [ +  + ]:      99258 :     if (table[r].y == uel(ftest,2))
    1003                 :      51944 :       h -= s * i * B;
    1004                 :            :     else
    1005                 :      47314 :       h += s * i * B;
    1006                 :            : FOUND:
    1007                 :     107964 :     h = itou(Fle_order(f, utoipos(h), cp4, p));
    1008                 :            :     /* h | #E_u(Fp) = A (mod B) */
    1009                 :            :     {
    1010                 :            :       GEN C;
    1011                 :     107964 :       A = itou( Z_chinese_all(gen_0, utoi(A), utoipos(h), utoipos(B), &C) );
    1012         [ +  + ]:     107964 :       if (cmpiu(C, pordmin) >= 0) { /* uclosest_lift could overflow */
    1013                 :     104492 :         h = itou( closest_lift(utoi(A), C, utoipos(p1p)) );
    1014                 :            :         break;
    1015                 :            :       }
    1016                 :       3472 :       B = itou(C);
    1017                 :            :     }
    1018                 :       3472 :     A = (p2p - A) % B; avma = av;
    1019                 :       3472 :   }
    1020         [ +  + ]:     104506 :   avma = av; return KRO==1? h: p2p-h;
    1021                 :            : }
    1022                 :            : 
    1023                 :            : /** ellap from CM (original code contributed by Mark Watkins) **/
    1024                 :            : 
    1025                 :            : static ulong
    1026                 :    3948756 : Mod16(GEN x) {
    1027                 :    3948756 :   long s = signe(x);
    1028                 :            :   ulong m;
    1029         [ -  + ]:    3948756 :   if (!s) return 0;
    1030         [ +  + ]:    3948756 :   m = mod16(x); if (!m) return m;
    1031         [ -  + ]:    3784522 :   if (s < 0) m = 16 - m;
    1032                 :    3948756 :   return m;
    1033                 :            : }
    1034                 :            : #define Mod2(x) (Mod16(x) & 1)
    1035                 :            : #define Mod4(x) (Mod16(x) & 3)
    1036                 :            : #define Mod8(x) (Mod16(x) & 7)
    1037                 :            : 
    1038                 :            : static GEN
    1039                 :      49602 : ap_j0(GEN a6,GEN p)
    1040                 :            : {
    1041                 :            :   GEN a, b, e, d;
    1042         [ +  + ]:      49602 :   if (umodiu(p,3) != 1) return gen_0;
    1043                 :      24689 :   (void)cornacchia2(utoipos(27),p, &a,&b);
    1044         [ +  + ]:      24689 :   if (umodiu(a, 3) == 1) a = negi(a);
    1045                 :      24689 :   d = mulis(a6,-108);
    1046                 :      24689 :   e = diviuexact(shifti(p,-1), 3); /* (p-1) / 6 */
    1047                 :      49602 :   return centermod(mulii(a, Fp_pow(d, e, p)), p);
    1048                 :            : }
    1049                 :            : static GEN
    1050                 :    2635024 : ap_j1728(GEN a4,GEN p)
    1051                 :            : {
    1052                 :            :   GEN a, b, e;
    1053         [ +  + ]:    2635024 :   if (mod4(p) != 1) return gen_0;
    1054                 :    1316175 :   (void)cornacchia2(utoipos(4),p, &a,&b);
    1055         [ +  + ]:    1316175 :   if (Mod4(a)==0) a = b;
    1056         [ +  + ]:    1316175 :   if (Mod2(a)==1) a = shifti(a,1);
    1057         [ +  + ]:    1316175 :   if (Mod8(a)==6) a = negi(a);
    1058                 :    1316175 :   e = shifti(p,-2); /* (p-1) / 4 */
    1059                 :    2635024 :   return centermod(mulii(a, Fp_pow(a4, e, p)), p);
    1060                 :            : }
    1061                 :            : static GEN
    1062                 :        112 : ap_j8000(GEN a6, GEN p)
    1063                 :            : {
    1064                 :            :   GEN a, b;
    1065                 :        112 :   long r = mod8(p), s = 1;
    1066 [ +  + ][ +  + ]:        112 :   if (r != 1 && r != 3) return gen_0;
    1067                 :         42 :   (void)cornacchia2(utoipos(8),p, &a,&b);
    1068      [ +  -  - ]:         42 :   switch(Mod16(a)) {
    1069         [ +  + ]:         42 :     case 2: case 6:   if (Mod4(b)) s = -s;
    1070                 :         42 :       break;
    1071         [ #  # ]:          0 :     case 10: case 14: if (!Mod4(b)) s = -s;
    1072                 :          0 :       break;
    1073                 :            :   }
    1074         [ +  + ]:         42 :   if (kronecker(mulis(a6, 42), p) < 0) s = -s;
    1075         [ +  + ]:        112 :   return s > 0? a: negi(a);
    1076                 :            : }
    1077                 :            : static GEN
    1078                 :        112 : ap_j287496(GEN a6, GEN p)
    1079                 :            : {
    1080                 :            :   GEN a, b;
    1081                 :        112 :   long s = 1;
    1082         [ +  + ]:        112 :   if (mod4(p) != 1) return gen_0;
    1083                 :         49 :   (void)cornacchia2(utoipos(4),p, &a,&b);
    1084         [ +  + ]:         49 :   if (Mod4(a)==0) a = b;
    1085         [ +  + ]:         49 :   if (Mod2(a)==1) a = shifti(a,1);
    1086         [ +  + ]:         49 :   if (Mod8(a)==6) s = -s;
    1087         [ +  + ]:         49 :   if (krosi(2,p) < 0) s = -s;
    1088         [ +  + ]:         49 :   if (kronecker(mulis(a6, -14), p) < 0) s = -s;
    1089         [ +  + ]:        112 :   return s > 0? a: negi(a);
    1090                 :            : }
    1091                 :            : static GEN
    1092                 :       1006 : ap_cm(int CM, long A6B, GEN a6, GEN p)
    1093                 :            : {
    1094                 :            :   GEN a, b;
    1095                 :       1006 :   long s = 1;
    1096         [ +  + ]:       1006 :   if (krosi(CM,p) < 0) return gen_0;
    1097                 :        528 :   (void)cornacchia2(utoipos(-CM),p, &a, &b);
    1098         [ +  + ]:        528 :   if ((CM&3) == 0) CM >>= 2;
    1099         [ +  + ]:        528 :   if ((krois(a, -CM) > 0) ^ (CM == -7)) s = -s;
    1100         [ +  + ]:        528 :   if (kronecker(mulis(a6,A6B), p) < 0) s = -s;
    1101         [ +  + ]:       1006 :   return s > 0? a: negi(a);
    1102                 :            : }
    1103                 :            : static GEN
    1104                 :      23091 : ec_ap_cm(int CM, GEN a4, GEN a6, GEN p)
    1105                 :            : {
    1106   [ +  +  +  +  :      23091 :   switch(CM)
          +  +  +  +  +  
             +  +  +  +  
                      - ]
    1107                 :            :   {
    1108                 :        700 :     case  -3: return ap_j0(a6, p);
    1109                 :      21161 :     case  -4: return ap_j1728(a4, p);
    1110                 :        112 :     case  -8: return ap_j8000(a6, p);
    1111                 :        112 :     case -16: return ap_j287496(a6, p);
    1112                 :        133 :     case  -7: return ap_cm(CM, -2, a6, p);
    1113                 :        112 :     case -11: return ap_cm(CM, 21, a6, p);
    1114                 :        112 :     case -12: return ap_cm(CM, 22, a6, p);
    1115                 :        112 :     case -19: return ap_cm(CM, 1, a6, p);
    1116                 :        112 :     case -27: return ap_cm(CM, 253, a6, p);
    1117                 :        133 :     case -28: return ap_cm(-7, -114, a6, p); /* yes, -7 ! */
    1118                 :        112 :     case -43: return ap_cm(CM, 21, a6, p);
    1119                 :         96 :     case -67: return ap_cm(CM, 217, a6, p);
    1120                 :         84 :     case -163:return ap_cm(CM, 185801, a6, p);
    1121                 :      23091 :     default: return NULL;
    1122                 :            :   }
    1123                 :            : }
    1124                 :            : 
    1125                 :            : static GEN
    1126                 :       2121 : Fp_ellj_nodiv(GEN a4, GEN a6, GEN p)
    1127                 :            : {
    1128                 :       2121 :   GEN a43 = Fp_mulu(Fp_powu(a4, 3, p), 4, p);
    1129                 :       2121 :   GEN a62 = Fp_mulu(Fp_sqr(a6, p), 27, p);
    1130                 :       2121 :   return mkvec2(Fp_mulu(a43, 1728, p), Fp_add(a43, a62, p));
    1131                 :            : }
    1132                 :            : 
    1133                 :            : GEN
    1134                 :          0 : Fp_ellj(GEN a4, GEN a6, GEN p)
    1135                 :            : {
    1136                 :          0 :   pari_sp av=avma;
    1137                 :          0 :   GEN z = Fp_ellj_nodiv(a4, a6, p);
    1138                 :          0 :   return gerepileuptoint(av,Fp_div(gel(z,1),gel(z,2),p));
    1139                 :            : }
    1140                 :            : 
    1141                 :            : static GEN /* Only compute a mod p, so assume p>=17 */
    1142                 :    2664872 : Fp_ellcard_CM(GEN a4, GEN a6, GEN p)
    1143                 :            : {
    1144                 :    2664872 :   pari_sp av = avma;
    1145                 :            :   GEN a;
    1146         [ +  + ]:    2664872 :   if (!signe(a4)) a = ap_j0(a6,p);
    1147         [ +  + ]:    2615970 :   else if (!signe(a6)) a = ap_j1728(a4,p);
    1148                 :            :   else
    1149                 :            :   {
    1150                 :       2121 :     GEN j = Fp_ellj_nodiv(a4, a6, p);
    1151                 :       2121 :     long CM = Fp_ellj_get_CM(gel(j,1), gel(j,2), p);
    1152         [ +  + ]:       2121 :     if (!CM) { avma = av; return NULL; }
    1153                 :         42 :     a = ec_ap_cm(CM,a4,a6,p);
    1154                 :            :   }
    1155                 :    2664872 :   return gerepileuptoint(av, subii(addis(p,1),a));
    1156                 :            : }
    1157                 :            : 
    1158                 :            : GEN
    1159                 :    2691031 : Fp_ellcard(GEN a4, GEN a6, GEN p)
    1160                 :            : {
    1161                 :    2691031 :   long lp = expi(p);
    1162                 :    2691031 :   ulong pp = p[2];
    1163         [ +  + ]:    2691031 :   if (lp < 7)
    1164                 :      26159 :     return utoi(Fl_ellcard_naive(umodiu(a4,pp), umodiu(a6,pp), pp));
    1165         [ +  + ]:    2664872 :   { GEN a = Fp_ellcard_CM(a4,a6,p); if (a) return a; }
    1166         [ +  + ]:       2079 :   if (lp >= 56)
    1167         [ +  - ]:        574 :   { GEN a = Fp_ellcard_SEA(a4, a6, p, 0); if (a) return a; }
    1168         [ +  + ]:       1505 :   if (lp <= BITS_IN_LONG-2)
    1169                 :       1428 :     return utoi(Fl_ellcard_Shanks(umodiu(a4,pp), umodiu(a6,pp), pp));
    1170         [ -  + ]:         77 :   if (lp >= 90) pari_err_PACKAGE("seadata");
    1171                 :    2691031 :   return Fp_ellcard_Shanks(a4, a6, p);
    1172                 :            : }
    1173                 :            : 
    1174                 :            : long
    1175                 :     109034 : Fl_elltrace(ulong a4, ulong a6, ulong p)
    1176                 :            : {
    1177                 :            :   pari_sp av;
    1178                 :            :   long lp;
    1179                 :            :   GEN a;
    1180         [ +  + ]:     109034 :   if (p < 127) return p+1-Fl_ellcard_naive(a4, a6, p);
    1181                 :     103078 :   lp = expu(p);
    1182         [ +  - ]:     103078 :   if (lp <= minss(56, BITS_IN_LONG-2)) return p+1-Fl_ellcard_Shanks(a4, a6, p);
    1183                 :          0 :   av = avma; a = subui(p+1, Fp_ellcard(utoi(a4), utoi(a6), utoipos(p)));
    1184                 :     109034 :   avma = av; return itos(a);
    1185                 :            : }
    1186                 :            : long
    1187                 :     137288 : Fl_elltrace_CM(long CM, ulong a4, ulong a6, ulong p)
    1188                 :            : {
    1189                 :            :   pari_sp av;
    1190                 :            :   GEN a;
    1191         [ +  + ]:     137288 :   if (!CM) return Fl_elltrace(a4,a6,p);
    1192         [ +  + ]:      28289 :   if (p < 127) return p+1-Fl_ellcard_naive(a4, a6, p);
    1193                 :      23049 :   av = avma; a = ec_ap_cm(CM, utoi(a4), utoi(a6), utoipos(p));
    1194                 :     137288 :   avma = av; return itos(a);
    1195                 :            : }
    1196                 :            : 
    1197                 :            : static GEN
    1198                 :      10994 : _FpE_pairorder(void *E, GEN P, GEN Q, GEN m, GEN F)
    1199                 :            : {
    1200                 :      10994 :   struct _FpE *e = (struct _FpE *) E;
    1201                 :      10994 :   return  Fp_order(FpE_weilpairing(P,Q,m,e->a4,e->p), F, e->p);
    1202                 :            : }
    1203                 :            : 
    1204                 :            : GEN
    1205                 :      21532 : Fp_ellgroup(GEN a4, GEN a6, GEN N, GEN p, GEN *pt_m)
    1206                 :            : {
    1207                 :            :   struct _FpE e;
    1208                 :      21532 :   e.a4=a4; e.a6=a6; e.p=p;
    1209                 :      21532 :   return gen_ellgroup(N, subis(p, 1), pt_m, (void*)&e, &FpE_group, _FpE_pairorder);
    1210                 :            : }
    1211                 :            : 
    1212                 :            : GEN
    1213                 :        574 : Fp_ellgens(GEN a4, GEN a6, GEN ch, GEN D, GEN m, GEN p)
    1214                 :            : {
    1215                 :            :   GEN P;
    1216                 :        574 :   pari_sp av = avma;
    1217                 :            :   struct _FpE e;
    1218                 :        574 :   e.a4=a4; e.a6=a6; e.p=p;
    1219         [ +  + ]:        574 :   switch(lg(D)-1)
    1220                 :            :   {
    1221                 :            :   case 1:
    1222                 :        476 :     P = gen_gener(gel(D,1), (void*)&e, &FpE_group);
    1223                 :        476 :     P = mkvec(FpE_changepoint(P, ch, p));
    1224                 :        476 :     break;
    1225                 :            :   default:
    1226                 :         98 :     P = gen_ellgens(gel(D,1), gel(D,2), m, (void*)&e, &FpE_group, _FpE_pairorder);
    1227                 :         98 :     gel(P,1) = FpE_changepoint(gel(P,1), ch, p);
    1228                 :         98 :     gel(P,2) = FpE_changepoint(gel(P,2), ch, p);
    1229                 :         98 :     break;
    1230                 :            :   }
    1231                 :        574 :   return gerepilecopy(av, P);
    1232                 :            : }
    1233                 :            : 
    1234                 :            : /* Not so fast arithmetic with points over elliptic curves over FpXQ */
    1235                 :            : 
    1236                 :            : /***********************************************************************/
    1237                 :            : /**                                                                   **/
    1238                 :            : /**                              FpXQE                                  **/
    1239                 :            : /**                                                                   **/
    1240                 :            : /***********************************************************************/
    1241                 :            : 
    1242                 :            : /* Theses functions deal with point over elliptic curves over FpXQ defined
    1243                 :            :  * by an equation of the form y^2=x^3+a4*x+a6.
    1244                 :            :  * Most of the time a6 is omitted since it can be recovered from any point
    1245                 :            :  * on the curve.
    1246                 :            :  */
    1247                 :            : 
    1248                 :            : GEN
    1249                 :        868 : RgE_to_FpXQE(GEN x, GEN T, GEN p)
    1250                 :            : {
    1251         [ -  + ]:        868 :   if (ell_is_inf(x)) return x;
    1252                 :        868 :   retmkvec2(Rg_to_FpXQ(gel(x,1),T,p),Rg_to_FpXQ(gel(x,2),T,p));
    1253                 :            : }
    1254                 :            : 
    1255                 :            : GEN
    1256                 :       1715 : FpXQE_changepoint(GEN x, GEN ch, GEN T, GEN p)
    1257                 :            : {
    1258                 :       1715 :   pari_sp av = avma;
    1259                 :            :   GEN p1,z,u,r,s,t,v,v2,v3;
    1260         [ +  + ]:       1715 :   if (ell_is_inf(x)) return x;
    1261                 :        861 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2);
    1262                 :        861 :   s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1263                 :        861 :   v = FpXQ_inv(u, T, p); v2 = FpXQ_sqr(v, T, p); v3 = FpXQ_mul(v,v2, T, p);
    1264                 :        861 :   p1 = FpX_sub(gel(x,1),r, p);
    1265                 :        861 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1266                 :        861 :   gel(z,1) = FpXQ_mul(v2, p1, T, p);
    1267                 :        861 :   gel(z,2) = FpXQ_mul(v3, FpX_sub(gel(x,2), FpX_add(FpXQ_mul(s,p1, T, p),t, p), p), T, p);
    1268                 :       1715 :   return gerepileupto(av, z);
    1269                 :            : }
    1270                 :            : 
    1271                 :            : GEN
    1272                 :        868 : FpXQE_changepointinv(GEN x, GEN ch, GEN T, GEN p)
    1273                 :            : {
    1274                 :            :   GEN u, r, s, t, X, Y, u2, u3, u2X, z;
    1275         [ -  + ]:        868 :   if (ell_is_inf(x)) return x;
    1276                 :        868 :   X = gel(x,1); Y = gel(x,2);
    1277                 :        868 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2);
    1278                 :        868 :   s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1279                 :        868 :   u2 = FpXQ_sqr(u, T, p); u3 = FpXQ_mul(u,u2, T, p);
    1280                 :        868 :   u2X = FpXQ_mul(u2,X, T, p);
    1281                 :        868 :   z = cgetg(3, t_VEC);
    1282                 :        868 :   gel(z,1) = FpX_add(u2X,r, p);
    1283                 :        868 :   gel(z,2) = FpX_add(FpXQ_mul(u3,Y, T, p), FpX_add(FpXQ_mul(s,u2X, T, p), t, p), p);
    1284                 :        868 :   return z;
    1285                 :            : }
    1286                 :            : 
    1287                 :            : static GEN
    1288                 :     196398 : FpXQE_dbl_slope(GEN P, GEN a4, GEN T, GEN p, GEN *slope)
    1289                 :            : {
    1290                 :            :   GEN x, y, Q;
    1291 [ +  + ][ +  + ]:     196398 :   if (ell_is_inf(P) || !signe(gel(P,2))) return ellinf();
    1292                 :     195270 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2);
    1293                 :     195270 :   *slope = FpXQ_div(FpX_add(FpX_mulu(FpXQ_sqr(x, T, p), 3, p), a4, p),
    1294                 :            :                             FpX_mulu(y, 2, p), T, p);
    1295                 :     195270 :   Q = cgetg(3,t_VEC);
    1296                 :     195270 :   gel(Q, 1) = FpX_sub(FpXQ_sqr(*slope, T, p), FpX_mulu(x, 2, p), p);
    1297                 :     195270 :   gel(Q, 2) = FpX_sub(FpXQ_mul(*slope, FpX_sub(x, gel(Q, 1), p), T, p), y, p);
    1298                 :     196398 :   return Q;
    1299                 :            : }
    1300                 :            : 
    1301                 :            : GEN
    1302                 :     191869 : FpXQE_dbl(GEN P, GEN a4, GEN T, GEN p)
    1303                 :            : {
    1304                 :     191869 :   pari_sp av = avma;
    1305                 :            :   GEN slope;
    1306                 :     191869 :   return gerepileupto(av, FpXQE_dbl_slope(P,a4,T,p,&slope));
    1307                 :            : }
    1308                 :            : 
    1309                 :            : static GEN
    1310                 :      38090 : FpXQE_add_slope(GEN P, GEN Q, GEN a4, GEN T, GEN p, GEN *slope)
    1311                 :            : {
    1312                 :            :   GEN Px, Py, Qx, Qy, R;
    1313         [ -  + ]:      38090 :   if (ell_is_inf(P)) return Q;
    1314         [ -  + ]:      38090 :   if (ell_is_inf(Q)) return P;
    1315                 :      38090 :   Px = gel(P,1); Py = gel(P,2);
    1316                 :      38090 :   Qx = gel(Q,1); Qy = gel(Q,2);
    1317         [ +  + ]:      38090 :   if (ZX_equal(Px, Qx))
    1318                 :            :   {
    1319         [ +  + ]:        829 :     if (ZX_equal(Py, Qy))
    1320                 :          7 :       return FpXQE_dbl_slope(P, a4, T, p, slope);
    1321                 :            :     else
    1322                 :        822 :       return ellinf();
    1323                 :            :   }
    1324                 :      37261 :   *slope = FpXQ_div(FpX_sub(Py, Qy, p), FpX_sub(Px, Qx, p), T, p);
    1325                 :      37261 :   R = cgetg(3,t_VEC);
    1326                 :      37261 :   gel(R, 1) = FpX_sub(FpX_sub(FpXQ_sqr(*slope, T, p), Px, p), Qx, p);
    1327                 :      37261 :   gel(R, 2) = FpX_sub(FpXQ_mul(*slope, FpX_sub(Px, gel(R, 1), p), T, p), Py, p);
    1328                 :      38090 :   return R;
    1329                 :            : }
    1330                 :            : 
    1331                 :            : GEN
    1332                 :      37467 : FpXQE_add(GEN P, GEN Q, GEN a4, GEN T, GEN p)
    1333                 :            : {
    1334                 :      37467 :   pari_sp av = avma;
    1335                 :            :   GEN slope;
    1336                 :      37467 :   return gerepileupto(av, FpXQE_add_slope(P,Q,a4,T,p,&slope));
    1337                 :            : }
    1338                 :            : 
    1339                 :            : static GEN
    1340                 :          0 : FpXQE_neg_i(GEN P, GEN p)
    1341                 :            : {
    1342         [ #  # ]:          0 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1343                 :          0 :   return mkvec2(gel(P,1), FpX_neg(gel(P,2), p));
    1344                 :            : }
    1345                 :            : 
    1346                 :            : GEN
    1347                 :        749 : FpXQE_neg(GEN P, GEN T, GEN p)
    1348                 :            : {
    1349                 :            :   (void) T;
    1350         [ -  + ]:        749 :   if (ell_is_inf(P)) return ellinf();
    1351                 :        749 :   return mkvec2(gcopy(gel(P,1)), FpX_neg(gel(P,2), p));
    1352                 :            : }
    1353                 :            : 
    1354                 :            : GEN
    1355                 :          0 : FpXQE_sub(GEN P, GEN Q, GEN a4, GEN T, GEN p)
    1356                 :            : {
    1357                 :          0 :   pari_sp av = avma;
    1358                 :            :   GEN slope;
    1359                 :          0 :   return gerepileupto(av, FpXQE_add_slope(P, FpXQE_neg_i(Q, p), a4, T, p, &slope));
    1360                 :            : }
    1361                 :            : 
    1362                 :            : struct _FpXQE
    1363                 :            : {
    1364                 :            :   GEN a4,a6;
    1365                 :            :   GEN T,p;
    1366                 :            : };
    1367                 :            : 
    1368                 :            : static GEN
    1369                 :     191869 : _FpXQE_dbl(void *E, GEN P)
    1370                 :            : {
    1371                 :     191869 :   struct _FpXQE *ell = (struct _FpXQE *) E;
    1372                 :     191869 :   return FpXQE_dbl(P, ell->a4, ell->T, ell->p);
    1373                 :            : }
    1374                 :            : 
    1375                 :            : static GEN
    1376                 :      37467 : _FpXQE_add(void *E, GEN P, GEN Q)
    1377                 :            : {
    1378                 :      37467 :   struct _FpXQE *ell=(struct _FpXQE *) E;
    1379                 :      37467 :   return FpXQE_add(P, Q, ell->a4, ell->T, ell->p);
    1380                 :            : }
    1381                 :            : 
    1382                 :            : static GEN
    1383                 :       3134 : _FpXQE_mul(void *E, GEN P, GEN n)
    1384                 :            : {
    1385                 :       3134 :   pari_sp av = avma;
    1386                 :       3134 :   struct _FpXQE *e=(struct _FpXQE *) E;
    1387                 :       3134 :   long s = signe(n);
    1388 [ +  - ][ -  + ]:       3134 :   if (!s || ell_is_inf(P)) return ellinf();
    1389         [ +  + ]:       3134 :   if (s<0) P = FpXQE_neg(P, e->T, e->p);
    1390 [ +  + ][ +  + ]:       3134 :   if (is_pm1(n)) return s>0? gcopy(P): P;
    1391                 :       3134 :   return gerepileupto(av, gen_pow(P, n, e, &_FpXQE_dbl, &_FpXQE_add));
    1392                 :            : }
    1393                 :            : 
    1394                 :            : GEN
    1395                 :        854 : FpXQE_mul(GEN P, GEN n, GEN a4, GEN T, GEN p)
    1396                 :            : {
    1397                 :            :   struct _FpXQE E;
    1398                 :        854 :   E.a4= a4; E.T = T; E.p = p;
    1399                 :        854 :   return _FpXQE_mul(&E, P, n);
    1400                 :            : }
    1401                 :            : 
    1402                 :            : /* Finds a random non-singular point on E */
    1403                 :            : 
    1404                 :            : GEN
    1405                 :        998 : random_FpXQE(GEN a4, GEN a6, GEN T, GEN p)
    1406                 :            : {
    1407                 :        998 :   pari_sp ltop = avma;
    1408                 :            :   GEN x, x2, y, rhs;
    1409                 :        998 :   long v = get_FpX_var(T), d = get_FpX_degree(T);
    1410                 :            :   do
    1411                 :            :   {
    1412                 :       2011 :     avma= ltop;
    1413                 :       2011 :     x   = random_FpX(d,v,p); /*  x^3+a4*x+a6 = x*(x^2+a4)+a6  */
    1414                 :       2011 :     x2  = FpXQ_sqr(x, T, p);
    1415                 :       2011 :     rhs = FpX_add(FpXQ_mul(x, FpX_add(x2, a4, p), T, p), a6, p);
    1416         [ #  # ]:          0 :   } while ((!signe(rhs) && !signe(FpX_add(FpX_mulu(x2,3,p), a4, p)))
    1417 [ -  + ][ +  + ]:       2011 :           || !FpXQ_issquare(rhs, T, p));
    1418                 :        998 :   y = FpXQ_sqrt(rhs, T, p);
    1419         [ -  + ]:        998 :   if (!y) pari_err_PRIME("random_FpE", p);
    1420                 :        998 :   return gerepilecopy(ltop, mkvec2(x, y));
    1421                 :            : }
    1422                 :            : 
    1423                 :            : static GEN
    1424                 :        144 : _FpXQE_rand(void *E)
    1425                 :            : {
    1426                 :        144 :   struct _FpXQE *e=(struct _FpXQE *) E;
    1427                 :        144 :   return random_FpXQE(e->a4, e->a6, e->T, e->p);
    1428                 :            : }
    1429                 :            : 
    1430                 :            : static const struct bb_group FpXQE_group={_FpXQE_add,_FpXQE_mul,_FpXQE_rand,hash_GEN,ZXV_equal,ell_is_inf};
    1431                 :            : 
    1432                 :            : const struct bb_group *
    1433                 :          7 : get_FpXQE_group(void ** pt_E, GEN a4, GEN a6, GEN T, GEN p)
    1434                 :            : {
    1435                 :          7 :   struct _FpXQE *e = (struct _FpXQE *) stack_malloc(sizeof(struct _FpXQE));
    1436                 :          7 :   e->a4 = a4; e->a6 = a6; e->T = T; e->p = p;
    1437                 :          7 :   *pt_E = (void *) e;
    1438                 :          7 :   return &FpXQE_group;
    1439                 :            : }
    1440                 :            : 
    1441                 :            : GEN
    1442                 :         14 : FpXQE_order(GEN z, GEN o, GEN a4, GEN T, GEN p)
    1443                 :            : {
    1444                 :         14 :   pari_sp av = avma;
    1445                 :            :   struct _FpXQE e;
    1446                 :         14 :   e.a4=a4; e.T=T; e.p=p;
    1447                 :         14 :   return gerepileuptoint(av, gen_order(z, o, (void*)&e, &FpXQE_group));
    1448                 :            : }
    1449                 :            : 
    1450                 :            : GEN
    1451                 :          0 : FpXQE_log(GEN a, GEN b, GEN o, GEN a4, GEN T, GEN p)
    1452                 :            : {
    1453                 :          0 :   pari_sp av = avma;
    1454                 :            :   struct _FpXQE e;
    1455                 :          0 :   e.a4=a4; e.T=T; e.p=p;
    1456                 :          0 :   return gerepileuptoint(av, gen_PH_log(a, b, o, (void*)&e, &FpXQE_group));
    1457                 :            : }
    1458                 :            : 
    1459                 :            : 
    1460                 :            : /***********************************************************************/
    1461                 :            : /**                                                                   **/
    1462                 :            : /**                            Pairings                               **/
    1463                 :            : /**                                                                   **/
    1464                 :            : /***********************************************************************/
    1465                 :            : 
    1466                 :            : /* Derived from APIP from and by Jerome Milan, 2012 */
    1467                 :            : 
    1468                 :            : static GEN
    1469                 :       5320 : FpXQE_vert(GEN P, GEN Q, GEN T, GEN p)
    1470                 :            : {
    1471         [ +  + ]:       5320 :   if (ell_is_inf(P))
    1472                 :        105 :     return pol_1(get_FpX_var(T));
    1473                 :       5320 :   return FpX_sub(gel(Q, 1), gel(P, 1), p);
    1474                 :            : }
    1475                 :            : 
    1476                 :            : /* Computes the equation of the line tangent to R and returns its
    1477                 :            :    evaluation at the point Q. Also doubles the point R.
    1478                 :            :  */
    1479                 :            : 
    1480                 :            : static GEN
    1481                 :       4620 : FpXQE_tangent_update(GEN R, GEN Q, GEN a4, GEN T, GEN p, GEN *pt_R)
    1482                 :            : {
    1483         [ +  + ]:       4620 :   if (ell_is_inf(R))
    1484                 :            :   {
    1485                 :         35 :     *pt_R = ellinf();
    1486                 :         35 :     return pol_1(get_FpX_var(T));
    1487                 :            :   }
    1488         [ +  + ]:       4585 :   else if (!signe(gel(R,2)))
    1489                 :            :   {
    1490                 :         63 :     *pt_R = ellinf();
    1491                 :         63 :     return FpXQE_vert(R, Q, T, p);
    1492                 :            :   } else {
    1493                 :            :     GEN slope, tmp1, tmp2;
    1494                 :       4522 :     *pt_R = FpXQE_dbl_slope(R, a4, T, p, &slope);
    1495                 :       4522 :     tmp1 = FpX_sub(gel(Q, 1), gel(R, 1), p);
    1496                 :       4522 :     tmp2 = FpX_add(FpXQ_mul(tmp1, slope, T, p), gel(R,2), p);
    1497                 :       4620 :     return FpX_sub(gel(Q, 2), tmp2, p);
    1498                 :            :   }
    1499                 :            : }
    1500                 :            : 
    1501                 :            : /* Computes the equation of the line through R and P, and returns its
    1502                 :            :    evaluation at the point Q. Also adds P to the point R.
    1503                 :            :  */
    1504                 :            : 
    1505                 :            : static GEN
    1506                 :        630 : FpXQE_chord_update(GEN R, GEN P, GEN Q, GEN a4, GEN T, GEN p, GEN *pt_R)
    1507                 :            : {
    1508         [ -  + ]:        630 :   if (ell_is_inf(R))
    1509                 :            :   {
    1510                 :          0 :     *pt_R = gcopy(P);
    1511                 :          0 :     return FpXQE_vert(P, Q, T, p);
    1512                 :            :   }
    1513         [ -  + ]:        630 :   else if (ell_is_inf(P))
    1514                 :            :   {
    1515                 :          0 :     *pt_R = gcopy(R);
    1516                 :          0 :     return FpXQE_vert(R, Q, T, p);
    1517                 :            :   }
    1518         [ +  + ]:        630 :   else if (ZX_equal(gel(P, 1), gel(R, 1)))
    1519                 :            :   {
    1520         [ -  + ]:          7 :     if (ZX_equal(gel(P, 2), gel(R, 2)))
    1521                 :          0 :       return FpXQE_tangent_update(R, Q, a4, T, p, pt_R);
    1522                 :            :     else
    1523                 :            :     {
    1524                 :          7 :       *pt_R = ellinf();
    1525                 :          7 :       return FpXQE_vert(R, Q, T, p);
    1526                 :            :     }
    1527                 :            :   } else {
    1528                 :            :     GEN slope, tmp1, tmp2;
    1529                 :        623 :     *pt_R = FpXQE_add_slope(P, R, a4, T, p, &slope);
    1530                 :        623 :     tmp1  = FpXQ_mul(FpX_sub(gel(Q, 1), gel(R, 1), p), slope, T, p);
    1531                 :        623 :     tmp2  = FpX_add(tmp1, gel(R, 2), p);
    1532                 :        630 :     return FpX_sub(gel(Q, 2), tmp2, p);
    1533                 :            :   }
    1534                 :            : }
    1535                 :            : 
    1536                 :            : /* Returns the Miller function f_{m, Q} evaluated at the point P using
    1537                 :            :    the standard Miller algorithm.
    1538                 :            :  */
    1539                 :            : 
    1540                 :            : struct _FpXQE_miller
    1541                 :            : {
    1542                 :            :   GEN p;
    1543                 :            :   GEN T, a4, P;
    1544                 :            : };
    1545                 :            : 
    1546                 :            : static GEN
    1547                 :       4620 : FpXQE_Miller_dbl(void* E, GEN d)
    1548                 :            : {
    1549                 :       4620 :   struct _FpXQE_miller *m = (struct _FpXQE_miller *)E;
    1550                 :       4620 :   GEN p  = m->p;
    1551                 :       4620 :   GEN T = m->T, a4 = m->a4, P = m->P;
    1552                 :            :   GEN v, line;
    1553                 :       4620 :   GEN num = FpXQ_sqr(gel(d,1), T, p);
    1554                 :       4620 :   GEN denom = FpXQ_sqr(gel(d,2), T, p);
    1555                 :       4620 :   GEN point = gel(d,3);
    1556                 :       4620 :   line = FpXQE_tangent_update(point, P, a4, T, p, &point);
    1557                 :       4620 :   num  = FpXQ_mul(num, line, T, p);
    1558                 :       4620 :   v = FpXQE_vert(point, P, T, p);
    1559                 :       4620 :   denom = FpXQ_mul(denom, v, T, p);
    1560                 :       4620 :   return mkvec3(num, denom, point);
    1561                 :            : }
    1562                 :            : 
    1563                 :            : static GEN
    1564                 :        630 : FpXQE_Miller_add(void* E, GEN va, GEN vb)
    1565                 :            : {
    1566                 :        630 :   struct _FpXQE_miller *m = (struct _FpXQE_miller *)E;
    1567                 :        630 :   GEN p = m->p;
    1568                 :        630 :   GEN T = m->T, a4 = m->a4, P = m->P;
    1569                 :            :   GEN v, line, point;
    1570                 :        630 :   GEN na = gel(va,1), da = gel(va,2), pa = gel(va,3);
    1571                 :        630 :   GEN nb = gel(vb,1), db = gel(vb,2), pb = gel(vb,3);
    1572                 :        630 :   GEN num   = FpXQ_mul(na, nb, T, p);
    1573                 :        630 :   GEN denom = FpXQ_mul(da, db, T, p);
    1574                 :        630 :   line = FpXQE_chord_update(pa, pb, P, a4, T, p, &point);
    1575                 :        630 :   num  = FpXQ_mul(num, line, T, p);
    1576                 :        630 :   v = FpXQE_vert(point, P, T, p);
    1577                 :        630 :   denom = FpXQ_mul(denom, v, T, p);
    1578                 :        630 :   return mkvec3(num, denom, point);
    1579                 :            : }
    1580                 :            : 
    1581                 :            : static GEN
    1582                 :         70 : FpXQE_Miller(GEN Q, GEN P, GEN m, GEN a4, GEN T, GEN p)
    1583                 :            : {
    1584                 :         70 :   pari_sp ltop = avma;
    1585                 :            :   struct _FpXQE_miller d;
    1586                 :            :   GEN v, num, denom, g1;
    1587                 :            : 
    1588                 :         70 :   d.a4 = a4; d.T = T; d.p = p; d.P = P;
    1589                 :         70 :   g1 = pol_1(get_FpX_var(T));
    1590                 :         70 :   v = gen_pow(mkvec3(g1,g1,Q), m, (void*)&d, FpXQE_Miller_dbl, FpXQE_Miller_add);
    1591                 :         70 :   num = gel(v,1); denom = gel(v,2);
    1592 [ +  - ][ -  + ]:         70 :   if (!signe(num) || !signe(denom)) { avma = ltop; return NULL; }
    1593                 :         70 :   return gerepileupto(ltop, FpXQ_div(num, denom, T, p));
    1594                 :            : }
    1595                 :            : 
    1596                 :            : GEN
    1597                 :         37 : FpXQE_weilpairing(GEN P, GEN Q, GEN m, GEN a4, GEN T, GEN p)
    1598                 :            : {
    1599                 :         37 :   pari_sp ltop = avma;
    1600                 :            :   GEN num, denom, result;
    1601 [ +  + ][ +  - ]:         37 :   if (ell_is_inf(P) || ell_is_inf(Q) || ZXV_equal(P,Q))
                 [ -  + ]
    1602                 :          2 :     return pol_1(get_FpX_var(T));
    1603                 :         35 :   num    = FpXQE_Miller(P, Q, m, a4, T, p);
    1604         [ -  + ]:         35 :   if (!num) return pol_1(get_FpX_var(T));
    1605                 :         35 :   denom  = FpXQE_Miller(Q, P, m, a4, T, p);
    1606         [ -  + ]:         35 :   if (!denom) { avma = ltop; return pol_1(get_FpX_var(T)); }
    1607                 :         35 :   result = FpXQ_div(num, denom, T, p);
    1608         [ -  + ]:         35 :   if (mpodd(m))
    1609                 :          0 :     result  = FpX_neg(result, p);
    1610                 :         37 :   return gerepileupto(ltop, result);
    1611                 :            : }
    1612                 :            : 
    1613                 :            : GEN
    1614                 :          0 : FpXQE_tatepairing(GEN P, GEN Q, GEN m, GEN a4, GEN T, GEN p)
    1615                 :            : {
    1616                 :            :   GEN num;
    1617 [ #  # ][ #  # ]:          0 :   if (ell_is_inf(P) || ell_is_inf(Q))
    1618                 :          0 :     return pol_1(get_FpX_var(T));
    1619                 :          0 :   num = FpXQE_Miller(P, Q, m, a4, T, p);
    1620         [ #  # ]:          0 :   return num? num: pol_1(get_FpX_var(T));
    1621                 :            : }
    1622                 :            : 
    1623                 :            : /***********************************************************************/
    1624                 :            : /**                                                                   **/
    1625                 :            : /**                           issupersingular                         **/
    1626                 :            : /**                                                                   **/
    1627                 :            : /***********************************************************************/
    1628                 :            : 
    1629                 :            : GEN
    1630                 :        848 : FpXQ_ellj(GEN a4, GEN a6, GEN T, GEN p)
    1631                 :            : {
    1632         [ -  + ]:        848 :   if (equaliu(p,3)) return pol_0(get_FpX_var(T));
    1633                 :            :   else
    1634                 :            :   {
    1635                 :        848 :     pari_sp av=avma;
    1636                 :        848 :     GEN a43 = FpXQ_mul(a4,FpXQ_sqr(a4,T,p),T,p);
    1637                 :        848 :     GEN a62 = FpXQ_sqr(a6,T,p);
    1638                 :        848 :     GEN num = FpX_mulu(a43,6912,p);
    1639                 :        848 :     GEN den = FpX_add(FpX_mulu(a43,4,p),FpX_mulu(a62,27,p),p);
    1640                 :        848 :     return gerepileuptoleaf(av, FpXQ_div(num, den, T, p));
    1641                 :            :   }
    1642                 :            : }
    1643                 :            : 
    1644                 :            : int
    1645                 :     164199 : FpXQ_elljissupersingular(GEN j, GEN T, GEN p)
    1646                 :            : {
    1647                 :     164199 :   pari_sp ltop = avma;
    1648                 :            : 
    1649                 :            :   /* All supersingular j-invariants are in FF_{p^2}, so we first check
    1650                 :            :    * whether j is in FF_{p^2}.  If d is odd, then FF_{p^2} is not a
    1651                 :            :    * subfield of FF_{p^d} so the j-invariants are all in FF_p.  Hence
    1652                 :            :    * the j-invariants are in FF_{p^{2 - e}}. */
    1653                 :     164199 :   ulong d = get_FpX_degree(T);
    1654                 :            :   GEN S;
    1655                 :            :   int res;
    1656                 :            : 
    1657         [ +  + ]:     164199 :   if (degpol(j) <= 0) return Fp_elljissupersingular(constant_term(j), p);
    1658         [ -  + ]:     163758 :   if (cmpiu(p, 5) <= 0) return 0; /* j != 0*/
    1659                 :            : 
    1660                 :            :   /* Set S so that FF_p[T]/(S) is isomorphic to FF_{p^2}: */
    1661         [ +  + ]:     163758 :   if (d == 2)
    1662                 :      12642 :     S = T;
    1663                 :            :   else { /* d > 2 */
    1664                 :            :     /* We construct FF_{p^2} = FF_p[t]/((T - j)(T - j^p)) which
    1665                 :            :      * injects into FF_{p^d} via the map T |--> j. */
    1666                 :     151116 :     GEN j_pow_p = FpXQ_pow(j, p, T, p);
    1667                 :     151116 :     GEN j_sum = FpX_add(j, j_pow_p, p), j_prod;
    1668                 :     151116 :     long var = varn(T);
    1669         [ +  + ]:     151116 :     if (degpol(j_sum) > 0) { avma = ltop; return 0; /* j not in Fp^2 */ }
    1670                 :        588 :     j_prod = FpXQ_mul(j, j_pow_p, T, p);
    1671         [ -  + ]:        588 :     if (degpol(j_prod) > 0 ) { avma = ltop; return 0; /* j not in Fp^2 */ }
    1672                 :        588 :     j_sum = constant_term(j_sum); j_prod = constant_term(j_prod);
    1673                 :        588 :     S = mkpoln(3, gen_1, Fp_neg(j_sum, p), j_prod);
    1674                 :        588 :     setvarn(S, var);
    1675                 :        588 :     j = pol_x(var);
    1676                 :            :   }
    1677                 :      13230 :   res = jissupersingular(j, S, p);
    1678                 :      13230 :   avma = ltop;
    1679                 :     164199 :   return res;
    1680                 :            : }
    1681                 :            : 
    1682                 :            : /***********************************************************************/
    1683                 :            : /**                                                                   **/
    1684                 :            : /**                           Point counting                          **/
    1685                 :            : /**                                                                   **/
    1686                 :            : /***********************************************************************/
    1687                 :            : 
    1688                 :            : GEN
    1689                 :       6328 : elltrace_extension(GEN t, long n, GEN q)
    1690                 :            : {
    1691                 :       6328 :   pari_sp av = avma;
    1692                 :       6328 :   GEN v = RgX_to_RgC(RgXQ_powu(pol_x(0), n, mkpoln(3,gen_1,negi(t),q)),2);
    1693                 :       6328 :   GEN te = addii(shifti(gel(v,1),1), mulii(t,gel(v,2)));
    1694                 :       6328 :   return gerepileuptoint(av, te);
    1695                 :            : }
    1696                 :            : 
    1697                 :            : GEN
    1698                 :       6041 : Fp_ffellcard(GEN a4, GEN a6, GEN q, long n, GEN p)
    1699                 :            : {
    1700                 :       6041 :   pari_sp av = avma;
    1701                 :       6041 :   GEN ap = subii(addis(p, 1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    1702                 :       6041 :   GEN te = elltrace_extension(ap, n, p);
    1703                 :       6041 :   return gerepileuptoint(av, subii(addis(q, 1), te));
    1704                 :            : }
    1705                 :            : 
    1706                 :            : static GEN
    1707                 :        840 : FpXQ_ellcardj(GEN a4, GEN a6, GEN j, GEN T, GEN q, GEN p, long n)
    1708                 :            : {
    1709                 :        840 :   GEN q1 = addis(q,1);
    1710         [ +  + ]:        840 :   if (signe(j)==0)
    1711                 :            :   {
    1712                 :            :     GEN W, w, t, N;
    1713         [ +  + ]:        280 :     if (umodiu(q,6)!=1) return q1;
    1714                 :        210 :     N = Fp_ffellcard(gen_0,gen_1,q,n,p);
    1715                 :        210 :     t = subii(q1, N);
    1716                 :        210 :     W = FpXQ_pow(a6,diviuexact(shifti(q,-1), 3),T,p);
    1717         [ +  + ]:        210 :     if (degpol(W)>0) /*p=5 mod 6*/
    1718         [ +  + ]:         98 :       return ZX_equal1(FpXQ_powu(W,3,T,p)) ? addii(q1,shifti(t,-1)):
    1719                 :         42 :                                              subii(q1,shifti(t,-1));
    1720                 :        154 :     w = modii(gel(W,2),p);
    1721         [ +  + ]:        154 :     if (equali1(w))  return N;
    1722         [ +  + ]:        133 :     if (equalii(w,subiu(p,1))) return addii(q1,t);
    1723                 :            :     else /*p=1 mod 6*/
    1724                 :            :     {
    1725                 :         91 :       GEN u = shifti(t,-1), v = sqrtint(diviuexact(subii(q,sqri(u)),3));
    1726                 :         91 :       GEN a = addii(u,v), b = shifti(v,1);
    1727         [ +  + ]:         91 :       if (equali1(Fp_powu(w,3,p)))
    1728                 :            :       {
    1729         [ +  + ]:         35 :         if (signe(Fp_add(modii(a,p),Fp_mul(w,modii(b,p),p),p))==0)
    1730                 :         21 :           return subii(q1,subii(shifti(b,1),a));
    1731                 :            :         else
    1732                 :         14 :           return addii(q1,addii(a,b));
    1733                 :            :       }
    1734                 :            :       else
    1735                 :            :       {
    1736         [ +  + ]:         56 :         if (signe(Fp_sub(modii(a,p),Fp_mul(w,modii(b,p),p),p))==0)
    1737                 :          7 :           return subii(q1,subii(a,shifti(b,1)));
    1738                 :            :         else
    1739                 :         49 :           return subii(q1,addii(a,b));
    1740                 :            :       }
    1741                 :            :     }
    1742         [ +  + ]:        560 :   } else if (equalii(j,modsi(1728,p)))
    1743                 :            :   {
    1744                 :            :     GEN w, W, N, t;
    1745         [ +  + ]:        280 :     if (mod4(q)==3) return q1;
    1746                 :        210 :     W = FpXQ_pow(a4,shifti(q,-2),T,p);
    1747         [ +  + ]:        210 :     if (degpol(W)>0) return q1; /*p=3 mod 4*/
    1748                 :        182 :     w = modii(gel(W,2),p);
    1749                 :        182 :     N = Fp_ffellcard(gen_1,gen_0,q,n,p);
    1750         [ +  + ]:        182 :     if (equali1(w)) return N;
    1751                 :        140 :     t = subii(q1, N);
    1752         [ +  + ]:        140 :     if (equalii(w,subiu(p,1))) return addii(q1,t);
    1753                 :            :     else /*p=1 mod 4*/
    1754                 :            :     {
    1755                 :         91 :       GEN u = shifti(t,-1), v = sqrtint(subii(q,sqri(u)));
    1756         [ +  + ]:         91 :       if (signe(Fp_add(modii(u,p),Fp_mul(w,modii(v,p),p),p))==0)
    1757                 :         28 :         return subii(q1,shifti(v,1));
    1758                 :            :       else
    1759                 :         63 :         return addii(q1,shifti(v,1));
    1760                 :            :     }
    1761                 :            :   } else
    1762                 :            :   {
    1763                 :        280 :     GEN g = Fp_div(j, Fp_sub(utoi(1728), j, p), p);
    1764                 :        280 :     GEN l = FpXQ_div(FpX_mulu(a6,3,p),FpX_mulu(a4,2,p),T,p);
    1765                 :        280 :     GEN N = Fp_ffellcard(Fp_mulu(g,3,p),Fp_mulu(g,2,p),q,n,p);
    1766         [ +  + ]:        280 :     if (FpXQ_issquare(l,T,p)) return N;
    1767                 :        840 :     return subii(shifti(q1,1),N);
    1768                 :            :   }
    1769                 :            : }
    1770                 :            : 
    1771                 :            : GEN
    1772                 :        855 : FpXQ_ellcard(GEN a4, GEN a6, GEN T, GEN p)
    1773                 :            : {
    1774                 :        855 :   pari_sp av = avma;
    1775                 :        855 :   long n = get_FpX_degree(T);
    1776                 :        855 :   GEN q = powiu(p, n), r, J;
    1777 [ +  + ][ +  + ]:        855 :   if (degpol(a4)<=0 && degpol(a6)<=0)
    1778                 :          7 :     r = Fp_ffellcard(constant_term(a4),constant_term(a6),q,n,p);
    1779         [ -  + ]:        848 :   else if (lgefint(p)==3)
    1780                 :            :   {
    1781                 :          0 :     ulong pp = p[2];
    1782                 :          0 :     r =  Flxq_ellcard(ZX_to_Flx(a4,pp),ZX_to_Flx(a6,pp),ZX_to_Flx(T,pp),pp);
    1783                 :            :   }
    1784         [ +  + ]:        848 :   else if (degpol(J=FpXQ_ellj(a4,a6,T,p))<=0)
    1785                 :        840 :     r = FpXQ_ellcardj(a4,a6,constant_term(J),T,q,p,n);
    1786                 :            :   else
    1787                 :            :   {
    1788                 :          8 :     r = Fq_ellcard_SEA(a4, a6, q, T, p, 0);
    1789         [ -  + ]:          8 :     if (!r) pari_err_PACKAGE("seadata");
    1790                 :            :   }
    1791                 :        855 :   return gerepileuptoint(av, r);
    1792                 :            : }
    1793                 :            : 
    1794                 :            : static GEN
    1795                 :         37 : _FpXQE_pairorder(void *E, GEN P, GEN Q, GEN m, GEN F)
    1796                 :            : {
    1797                 :         37 :   struct _FpXQE *e = (struct _FpXQE *) E;
    1798                 :         37 :   return  FpXQ_order(FpXQE_weilpairing(P,Q,m,e->a4,e->T,e->p), F, e->T, e->p);
    1799                 :            : }
    1800                 :            : 
    1801                 :            : GEN
    1802                 :         14 : FpXQ_ellgroup(GEN a4, GEN a6, GEN N, GEN T, GEN p, GEN *pt_m)
    1803                 :            : {
    1804                 :            :   struct _FpXQE e;
    1805                 :         14 :   GEN q = powiu(p, get_FpX_degree(T));
    1806                 :         14 :   e.a4=a4; e.a6=a6; e.T=T; e.p=p;
    1807                 :         14 :   return gen_ellgroup(N, subis(q,1), pt_m, (void*)&e, &FpXQE_group, _FpXQE_pairorder);
    1808                 :            : }
    1809                 :            : 
    1810                 :            : GEN
    1811                 :          7 : FpXQ_ellgens(GEN a4, GEN a6, GEN ch, GEN D, GEN m, GEN T, GEN p)
    1812                 :            : {
    1813                 :            :   GEN P;
    1814                 :          7 :   pari_sp av = avma;
    1815                 :            :   struct _FpXQE e;
    1816                 :          7 :   e.a4=a4; e.a6=a6; e.T=T; e.p=p;
    1817         [ +  - ]:          7 :   switch(lg(D)-1)
    1818                 :            :   {
    1819                 :            :   case 1:
    1820                 :          7 :     P = gen_gener(gel(D,1), (void*)&e, &FpXQE_group);
    1821                 :          7 :     P = mkvec(FpXQE_changepoint(P, ch, T, p));
    1822                 :          7 :     break;
    1823                 :            :   default:
    1824                 :          0 :     P = gen_ellgens(gel(D,1), gel(D,2), m, (void*)&e, &FpXQE_group, _FpXQE_pairorder);
    1825                 :          0 :     gel(P,1) = FpXQE_changepoint(gel(P,1), ch, T, p);
    1826                 :          0 :     gel(P,2) = FpXQE_changepoint(gel(P,2), ch, T, p);
    1827                 :          0 :     break;
    1828                 :            :   }
    1829                 :          7 :   return gerepilecopy(av, P);
    1830                 :            : }
    1831                 :            : 
    1832                 :            : /***********************************************************************/
    1833                 :            : /**                                                                   **/
    1834                 :            : /**                      n-division polynomial                        **/
    1835                 :            : /**                                                                   **/
    1836                 :            : /***********************************************************************/
    1837                 :            : 
    1838                 :            : struct divpol_red
    1839                 :            : {
    1840                 :            :   GEN h, T, p;
    1841                 :            : };
    1842                 :            : 
    1843                 :            : INLINE GEN
    1844                 :      17906 : _red(GEN x, struct divpol_red *r)
    1845         [ +  + ]:      17906 : { return r->h ? FqX_rem(x,r->h,r->T,r->p): gcopy(x); }
    1846                 :            : 
    1847                 :            : INLINE GEN
    1848                 :      25655 : _rsqr(GEN x, struct divpol_red *r)
    1849                 :            : {
    1850                 :      25655 :   GEN h=r->h, T=r->T, p=r->p;
    1851         [ +  + ]:      25655 :   return h ? FqXQ_sqr(x,h,T,p): FqX_sqr(x,T,p);
    1852                 :            : }
    1853                 :            : 
    1854                 :            : INLINE GEN
    1855                 :      72674 : _rmul(GEN x, GEN y, struct divpol_red *r)
    1856                 :            : {
    1857                 :      72674 :   GEN h=r->h, T=r->T, p=r->p;
    1858         [ +  + ]:      72674 :   return h ? FqXQ_mul(x,y,h,T,p): FqX_mul(x,y,T,p);
    1859                 :            : }
    1860                 :            : 
    1861                 :            : static GEN divpol(GEN t, GEN a4, GEN a6, GEN r2, long n, struct divpol_red *r);
    1862                 :            : 
    1863                 :            : static GEN
    1864                 :      43890 : divpol_f2(GEN t, GEN a4, GEN a6, GEN r2, long n, struct divpol_red *r)
    1865                 :            : {
    1866         [ +  + ]:      43890 :   if (gmael(t,2,n)) return gmael(t,2,n);
    1867         [ +  + ]:      26250 :   if (n<=2) return scalarpol(gen_1,0);
    1868                 :      19117 :   gmael(t,2,n) = _rsqr(divpol(t,a4,a6,r2,n,r),r);
    1869                 :      43890 :   return gmael(t,2,n);
    1870                 :            : }
    1871                 :            : 
    1872                 :            : static GEN
    1873                 :      43890 : divpol_ff(GEN t, GEN a4, GEN a6, GEN r2, long n, struct divpol_red *r)
    1874                 :            : {
    1875         [ +  + ]:      43890 :   if(gmael(t,3,n)) return gmael(t,3,n);
    1876         [ +  + ]:      31647 :   if (n<=4) return divpol(t,a4,a6,r2,n,r);
    1877                 :      14287 :   gmael(t,3,n) = _rmul(divpol(t,a4,a6,r2,n,r), divpol(t,a4,a6,r2,n-2,r),r);
    1878                 :      43890 :   return gmael(t,3,n);
    1879                 :            : }
    1880                 :            : 
    1881                 :            : static GEN
    1882                 :      71589 : divpol(GEN t, GEN a4, GEN a6, GEN r2, long n, struct divpol_red *r)
    1883                 :            : {
    1884                 :      71589 :   long m = n/2;
    1885                 :            :   GEN res;
    1886                 :      71589 :   GEN T=r->T, p=r->p;
    1887         [ +  + ]:      71589 :   if (gmael(t,1,n)) return gmael(t,1,n);
    1888   [ -  +  +  + ]:      33313 :   switch(n)
    1889                 :            :   {
    1890                 :            :   case 1:
    1891                 :            :   case 2:
    1892                 :          0 :     res = scalarpol(gen_1,0);
    1893                 :          0 :     break;
    1894                 :            :   case 3:
    1895                 :       6538 :     res = _red(mkpoln(5, utoi(3), gen_0, Fq_mulu(a4, 6, T, p),
    1896                 :            :           Fq_mulu(a6, 12, T, p), Fq_neg(Fq_sqr(a4, T, p), T, p)), r);
    1897                 :       6538 :     break;
    1898                 :            :   case 4:
    1899                 :            :     {
    1900                 :       4830 :       GEN a42 = Fq_sqr(a4, T, p);
    1901                 :       4830 :       res = _red(FqX_mulu(mkpoln(7, gen_1, gen_0, Fq_mulu(a4, 5, T, p),
    1902                 :            :               Fq_mulu(a6, 20, T, p), Fq_Fp_mul(a42,stoi(-5), T, p),
    1903                 :            :               Fq_Fp_mul(Fq_mul(a4, a6, T, p), stoi(-4), T, p),
    1904                 :            :               Fq_sub(Fq_Fp_mul(Fq_sqr(a6, T, p), stoi(-8), T, p),
    1905                 :            :                 Fq_mul(a4,a42, T, p), T, p)), 2, T, p), r);
    1906                 :            :     }
    1907                 :       4830 :     break;
    1908                 :            :   default:
    1909         [ +  + ]:      21945 :     if (odd(n))
    1910         [ +  + ]:      14497 :       if (odd(m))
    1911                 :       6475 :         res = FqX_sub(_rmul(divpol_ff(t,a4,a6,r2,m+2,r),
    1912                 :            :               divpol_f2(t,a4,a6,r2,m,r), r),
    1913                 :            :             _rmul(r2,  _rmul(divpol_ff(t,a4,a6,r2,m+1,r),
    1914                 :            :                 divpol_f2(t,a4,a6,r2,m+1,r), r), r), T, p);
    1915                 :            :       else
    1916                 :       8022 :         res = FqX_sub(_rmul(r2, _rmul(divpol_ff(t,a4,a6,r2,m+2,r),
    1917                 :            :                 divpol_f2(t,a4,a6,r2,m,r), r), r),
    1918                 :            :             _rmul(divpol_ff(t,a4,a6,r2,m+1,r),
    1919                 :            :               divpol_f2(t,a4,a6,r2,m+1,r), r), T, p);
    1920                 :            :     else
    1921                 :       7448 :       res = FqX_sub(_rmul(divpol_ff(t,a4,a6,r2,m+2,r),
    1922                 :            :             divpol_f2(t,a4,a6,r2,m-1,r), r),
    1923                 :            :           _rmul(divpol_ff(t,a4,a6,r2,m,r),
    1924                 :            :             divpol_f2(t,a4,a6,r2,m+1,r), r), T, p);
    1925                 :            :   }
    1926                 :      33313 :   gmael(t,1,n) = res;
    1927                 :      71589 :   return res;
    1928                 :            : }
    1929                 :            : 
    1930                 :            : /*Computes the n-division polynomial modulo the polynomial h \in Fq[x] */
    1931                 :            : GEN
    1932                 :       6538 : Fq_elldivpolmod(GEN a4, GEN a6, long n, GEN h, GEN T, GEN p)
    1933                 :            : {
    1934                 :            :   struct divpol_red r;
    1935                 :       6538 :   pari_sp ltop = avma;
    1936                 :            :   GEN t, rhs, r2;
    1937         [ -  + ]:       6538 :   if (n <= 2) return scalarpol(gen_1,0);
    1938                 :       6538 :   r.h=h; r.T=T;
    1939                 :       6538 :   r.p=p;
    1940                 :       6538 :   t  = mkvec3(const_vec(n, NULL),const_vec(n, NULL),const_vec(n, NULL));
    1941                 :       6538 :   rhs = FqX_mulu(_red(mkpoln(4, gen_1, gen_0, a4, a6), &r), 4, T, p);
    1942                 :       6538 :   r2 = _rsqr(rhs,&r);
    1943                 :       6538 :   return gerepilecopy(ltop, divpol(t,a4,a6,r2,n,&r));
    1944                 :            : }
    1945                 :            : 
    1946                 :            : GEN
    1947                 :         28 : FpXQ_elldivpol(GEN a4, GEN a6, long n, GEN T, GEN p)
    1948                 :            : {
    1949                 :         28 :   return Fq_elldivpolmod(a4,a6,n,NULL,T,p);
    1950                 :            : }
    1951                 :            : 
    1952                 :            : GEN
    1953                 :          0 : Fp_elldivpol(GEN a4, GEN a6, long n, GEN p)
    1954                 :            : {
    1955                 :          0 :   return Fq_elldivpolmod(a4,a6,n,NULL,NULL,p);
    1956                 :            : }

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